/
Автор: Ли С.
Теги: алгебра математика монография дифференциальные уравнения теория групп точные науки
ISBN: 978-5-4344-0009-1
Год: 2011
Текст
ТНЕОШЕ
LEIPZIG
DRDCK DND VERLAG VON B. G. TEUBNEU
1888
deb
TRA^SFORMATIONSGRUPPEN
UNTEB MITWIRKUNG VON Dr. PRIEDRICH ENGEL
BEARBEITET
von
SOPHUS LIE,
РВОГВ8ВОВ DBB GBOMBTBIB AH DIB иХ1УВВв1ТАт LBIPZlO
ERSTER ABSCHN1TT
Софус Ли
ТЕОРИЯ
ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Часть 1
При содействии Фридриха Энгеля
Перевод с немецкого
Л. А. Фрай
Под редакцией
А. В. Болсинова
Москва ♦ Ижевск
2011
УДК 512.64
ББК 22.143
Л 55
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту №09-01-07076
Ли С.
Теория групп преобразований: В 3-х частях: Часть 1. — М.-Ижевск:
Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 712 с.
В предлагаемой классической работе выдающийся норвежский математик Со-
фус Ли систематизировал свои обширные исследования в области непрерывных
групп преобразований, проводимых им с 1873 года. Монография, написанная при
содействии немецкого математика Фридриха Энгеля, позволяет ознакомиться со
всеми основными направлениями научного творчества С. Ли: непрерывными
группами и их приложениями, контактными преобразованиями, дифференциальными
уравнениями, а также его малоизвестными геометрическими исследованиями.
Созданная С. Ли теория непрерывных групп, ныне называемая теорией групп Ли,
оказала глубокое влияние на развитие оснований геометрии, топологии, теоретической
физики.
ISBN 978-5-4344-0009-1 ББК 22.143
© Перевод на русский язык:
Институт компьютерных исследований, 2011
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
физика
математика
биология
нефтегазовые
технологии
Интернет-магазин
http://shop.md.rii
Оглавление
Предисловие к переводу vii
Предисловие xiii
Введение 1
Глава 1. Определение конечных непрерывных групп
преобразований 11
Глава 2. Вывод основных дифференциальных уравнений . ... 29
Глава 3. Однопараметрические группы и инфинитезимальные
преобразования 49
Глава 4. Порождение r-параметрических групп при помощи одно-
параметрических 73
Глава 5. Полные системы 91
Глава 6. Новое понимание решений полной системы 106
Глава 7. Описание всех систем уравнений, допускающих данные
инфинитезимальные преобразования 120
Глава 8. Полные системы, допускающие все преобразования од-
нопараметрической группы 152
Глава 9. Характеристические соотношения между инфинитези-
мальными преобразованиями группы 163
Глава 10. Системы дифференциальных уравнений в частных
производных, общие решения которых зависят лишь от
конечного числа произвольных констант 192
Глава 11. Определяющие уравнения для инфинитезимальных
преобразований группы 206
Оглавление
Глава 12. Описание всех подгрупп r-параметрической группы . 227
Глава 13. Транзитивность, инварианты, примитивность .... 236
Глава 14. Описание всех систем уравнений, допускающих
заданную r-параметрическую группу 248
Глава 15. Инвариантные семейства инфинитезимальных
преобразований 273
Глава 16. Присоединенная группа 300
Глава 17. Структура и изоморфизм 320
Глава 18. Конечные группы, преобразования которых образуют
дискретные непрерывные семейства 344'
Глава 19. Теория подобия r-параметрических групп 363
Глава 20. Группы, преобразования которых перестановочны со
всеми преобразованиями заданной группы 406
Глава 21. Группа параметров 444
Глава 22. Описание всех r-параметрических групп 475
Глава 23. Инвариантные семейства многообразий 505
Глава 24. Систатические и асистатические группы
преобразований 546
Глава 25. Дифференциальные инварианты 573
Глава 26. Общая проективная группа 608
Глава 27. Линейные однородные группы 634
Глава 28. Подход к описанию всех конечных непрерывных групп
n-мерного пространства 656
Глава 29. Характеристические свойства групп, подобных
некоторым известным проективным группам 678
Предисловие к переводу
Книга, которую Вы держите в руках, является уникальной. Wikipedia
включает ее в список наиболее важных математических публикаций1.
Трехтомный труд был написан Софусом Ли при содействии Фридриха Энгеля во
второй половине XIX столетия, впервые издан на немецком языке в 1888—
1893 годах в Лейпциге и с тех пор не переводился в полном объеме ни на
один из языков мира.
В 90-х годах 20-го века Международный центр Софуса Ли начал
большой издательский проект по переводу основных трудов С. Ли на русский
язык. В частности, была переведена большая часть первого тома «Теории
групп преобразований». К сожалению, этот перевод не был опубликован,
а нам о его существовании стало известно, когда наша работа над первым
томом была почти завершена. Мы хотели бы поблагодарить Б. П. Комрако-
ва за предоставленную нам рукопись перевода, выполненного А. Л. Онищи-
ком, которая оказалась очень полезной для уточнения терминологии.
Предложенная Софусом Ли точка зрения на группы преобразований
и полученные им результаты несомненно интересны и сегодня. Даже
искушенный читатель почти наверняка найдет в книге много новых или
малоизвестных фактов. Более того, после некоторой адаптации к современным
обозначениям и терминологии этот трехтомник мог бы служить
прекрасным учебником по теории групп и алгебр Ли, поскольку с
концептуальной точки зрения изложение очень естественно, геометрически наглядно
и практически не использует абстрактного языка, характерного для
современной математической литературы. Суть происходящего не скрывается,
автор подробно объясняет, что он делает и зачем.
Одним из вариантов адаптированного для современного читателя
изложения теории Ли является, например, совсем недавно появившийся
в arXiv'e перевод первой части на английский язык2:
Joel Merker, Theory of Transformation Groups
by Sophus Lie and Friedrich Engel (Vol. I, 1888)
Modern Presentation and English Translation
^ttpi/Zen-wikipeda^rg/wiki/Listofimp^
2arXiv:1003.3202vl [math.DG] 16 Mar 2010
viii
Предисловие к переводу
Желание переписать текст в более современных терминах
возникало и у нас. Однако несмотря на легко предсказуемые трудности, с
которыми может столкнуться читатель, мы решили строго следовать автору
и переводить как можно ближе к оригиналу. Прежде всего потому, что
книга исключительно интересна с исторической точки зрения, как
своеобразный документ, показывающий зарождение одной из наиболее
продуктивных математических теорий. Вызывает восхищение, насколько глубоко
автору удалось понять и объяснить природу изучаемого объекта, не имея
при этом того удобного аппарата, которым располагают математики
сегодня.
Мы надеемся, что в ближайшие годы работа над переводом
трехтомника на русский язык будет завершена, и он наконец увидит свет.
Комментарии к переводу терминов
Терминология, использованная Софусом Ли, существенно отличается
от современной. Если читать книгу подряд с самого начала, то никакого
дискомфорта это не вызывает, автор абсолютно последователен, его подход
тщательно продуман и систематичен.
Однако чтобы и у читателя, открывшего книгу посередине на
интересующей его главе, не возникало затруднений, мы позволим себе
прокомментировать некоторые терминологические моменты.
• Конечные и бесконечные группы (endliche und unendliche Gruppen)
Под конечной понимается конечномерная группа. Соответственно,
говоря о бесконечной группе, С. Ли имеет в виду бесконечномерную
группу, такую как, например, группа канонических или контактных
преобразований. Отметим также, что очень часто С. Ли рассматривает
все объекты локально, не интересуясь, в частности, глобальной
топологией группы.
• г-параметрическая группа (r-gliedrige Gruppe)
Хотя дословно r-gliedrige означает «r-членная», мы позволили себе
перевести этот термин (более привычным образом) как
«г-параметрическая». Сам С. Ли называет г числом (существенных) параметров.
В современном контексте г — это размерность группы.
• Инфинитезимальные преобразования и конечные преобразования
(infinitesimale Transformationen und endliche Transformationen)
Предисловие к переводу
ix
В современном понимании инфинитезимальное, т.е. бесконечно
малое, преобразование — это векторное поле, рассматриваемое как
генератор однопараметрической группы, состоящей из «настоящих»
преобразований, которые автор, чтобы подчеркнуть отличие от бесконечно
малых, называет конечными. Другими словами, конечные
преобразования — это элементы группы, а инфинитезимальные — элементы
соответствующей алгебры Ли. При этом, разумеется, рассматриваются не
абстрактные группы и алгебры Ли, а их действия на некотором гладком
многообразии. Термин «конечный» часто используется автором как
антоним к «бесконечно малому» и в других ситуациях.
• Структура (Zusammensetzung)
Речь идет об алгебраической структуре алгебры Ли, т. е. по существу
о наборе структурных констант с^, задающих операцию в некотором
фиксированном базисе: [ej,ej] = с^е^.
• Равносоставленные группы (gleichzusammengesetze Gruppen)
Термин «группа» Ли использует и для совокупности всех инфините-
зимальных преобразований некоторой группы, т. е. в современной
терминологии — для соответствующей алгебры Ли. «Равносоставленные»
мы использовали вместо несколько хуже звучащего «равноструктур-
ные». По смыслу наиболее адекватным было бы «имеющие
одинаковые структуры». Это именно то, что имеется здесь в виду: равно-
составленные — это имеющие одинаковую алгебраическую структуру,
т. е. «изоморфные» на современном языке.
Равносоставленные группы — это группы с изоморфными алгебрами
Ли.
• Подобие групп, подобные группы (Ahnlichkeit [von Gruppen], ahnliche
Gruppen)
Поскольку Ли исследует не абстрактно заданные группы, а их
действия на многообразиях, то основным отношением эквивалентности
для него является изоморфизм действий. Две группы G\ и G2, с их
заданными действиями Fi : Rn х d —► Rn на пространстве Мп,
называются подобными, если можно задать диффеоморфизмы ф : Rn —► Rn
и ф : G\ —> G2 такие, что ф о F\(x,g) = Г2(ф(х),,ф(д)). Другими
словами, одно действие отличается от другого лишь некоторой заменой
координат.
• Изоморфизм, голоэдрический и мероэдрический (holoedrischer und
meroedrischer Isomorphismus)
X
Предисловие к переводу
Изоморфизмом автор называет линейное отображение «на» между
алгебрами Ли, сохраняющее операцию, т.е. сюръективный
гомоморфизм. Если Х\, ..., Хг — базис в одной алгебре Ли векторных полей,
a Y\, ..., Yr — набор векторных полей, порождающий другую алгебру,
то отображение, переводящее Xi в Yi9 называется изоморфизмом при
условии, что
г г
(ХгХк) = ^ Cik3X3 и (Yi Yk) = ^2 сгкзУз-
к=1 к=1
Здесь (XiXj) обозначает скобку Ли векторных полей.
Если кроме того векторные поля Y\, ..., Yr независимы, т. е. образуют
базис в алгебре, то изоморфизм называется голоэдрическим, в
противном случае — мероэдрическим. Другими словами, голоэдрический
изоморфизм — это просто изоморфизм в современной терминологии,
а мероэдрический — это сюръективный гомоморфизм с нетривиальным
ядром.
• Равноправные подгруппы (gleichberechtigte Untergruppen)
Речь идет о сопряженных подгруппах, т.е. подгруппах #i, #2 С G,
связанных соотношением Н2 = дН\д~1 для некоторого д Е G.
• Инвариантные подгруппы (invariante Untergruppen)
Инвариантной называется нормальная подгруппа. Такой термин
является очень естественным в том подходе, который развивает автор. Эти
подгруппы Н С G в случае групп преобразований характеризуются
в точности тем свойством, что они остаются инвариантными при
заменах переменных, задаваемых преобразованиями группы G.
• Группа параметров (Parametergruppe)
По существу это и есть абстрактная группа Ли в современном
понимании, рассматриваемая сама по себе без конкретного действия на
многообразии, или, говоря точнее, действующая на самой себе левыми
сдвигами.
• Система значений (Werthsystem)
Системой значений называется упорядоченный набор чисел
(координат) (х\, ..., хп). Автор обычно делает различие между системой
значений и ее геометрической реализацией как точки n-мерного
пространства Rn. Много раз в книге он обращается к геометрической интерпре-
Предисловие к переводу
xi
тации рассматриваемых аналитических конструкций, чтобы
прокомментировать их более наглядно.
• Функциональный определитель (Funktionaldeterminante)
Это определитель матрицы Якоби системы из п функций от п
переменных:
дх\ дхп
dU dfn
дх\ дхп
Определитель матрицы с компонентами автор обычно записывает
в виде £±ац •••
• Выделенные преобразования (ausgezeichnete Transformationen)
Речь идет об элементах группы или алгебры Ли, которые коммутируют
со всеми остальными элементами, т. е. об элементах центра в
современной терминологии.
Обозначение оот используется в книге для т-параметрического
семейства каких-либо объектов. Автор использует его как обычное
числительное, что на самом деле очень удобно. Например, «оот
многообразий» означает «m-параметрическое семейство многообразий».
• Скобка Ли векторных полей X и Y обозначается (X Y). Автор часто
называет ее комбинацией инфинитезимальных преобразований.
Несколько замечаний следует сделать и по поводу набора формул.
Мы старались по возможности придерживаться авторского стиля, который
немного отличается от общепринятого сейчас. Иногда это может выглядеть
как опечатка. Например, вместо общепринятого х\, ..., хт автор всюду
использует х\ • • • хг, или х\ + е\, • • • хг + ег вместо х\ + е\, ..., хг + ег. Мы
позволили себе немного отойти от авторского варианта лишь дважды. Для
обозначения логарифма Ли использует просто букву /, мы взяли обычное In
во избежание неправильного понимания формулы. Кроме этого, при сум-
мировании Ли часто использует J^k или вместо Y1» мы использовали
1 к к=1
последнее.
Полный алфавитный указатель терминов появится в конце 3-го тома.
xii
Предисловие к переводу
Благодарности
Мы хотели бы поблагодарить А. В. Борисова, НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика» и издательство «Институт компьютерных
исследований» за организацию и поддержку программы перевода на русский язык
классических работ по математике и механике, одной из которых является
эта книга, а также всех сотрудников издательства за помощь и
оперативность в решении возникавших вопросов.
Работа над переводом была непростой, поскольку математические
конструкции, терминология и речевые обороты, используемые автором, весьма
своеобразны и порой существенно отличаются от принятых сегодня. В
процессе работы мы неоднократно обращались за помощью к нашим коллегам.
Прежде всего мы хотели бы выразить признательность за исключительно
полезные комментарии Алексу Штромайеру, Евгению Ферапонтову и
Борису Дуброву. Материалы, предоставленные издательству Б. П. Комраковым,
оказались также очень полезными для нас.
Отдельное спасибо L & L, без которых мы бы за это дело никогда не
взялись.
А. Болсинов и Л. Фрай
4 июня 2011 г.
Предисловие
В наше время в математике приобретает все большее значение и
выходит на передний план понятие группы.
Из различных, известных ныне категорий групп в круг
математических исследований попали прежде всего группы из теории подстановок,
также называемые конечными разрывными группами. С тех пор как Галуа
сделал свои открытия, понятие «группы подстановок» стало важнейшим
в теории алгебраических уравнений; стоит лишь вспомнить изыскания
последователей Галуа, в особенности г-на К. Жордана. В последнее время
рассмотрению подвергаются также бесконечные разрывные группы. С
другой стороны, начиная с 1876 г. различные математики, а именно Ф. Клейн,
Пуанкаре и Пикар, с большим успехом применяли теорию конечных и
бесконечных разрывных групп в теории функций.
От разрывных групп существенно отличаются группы, которые в
предлагаемом читателю произведении называются конечными непрерывными
группами. Последние характерны тем, что их аналитические выражения
содержат определенные произвольные параметры. В качестве известных
примеров подобных групп можно назвать совокупность всех движений, а также
совокупность всех проективных преобразований пространства. Другими,
также общеизвестными примерами являются: совокупность всех вращений
вокруг точки и совокупность всех проективных преобразований,
переводящих поверхность второго порядка в себя.
Только что упомянутые и многие другие конечные непрерывные
группы, которые можно определить подобным образом, уже давно
рассматривались в геометрии, однако при этом аспекты теории групп не были
определяющими. Если не ошибаюсь, первыми работами, в которых понятие группы
играет важную роль, являются исследования г-на К. Жордана о группах
отображений. Но даже эти исследования носят совершенно особый
характер, т. к. они касаются только одной определенной группы. Первые общие
изыскания о конечных непрерывных группах по моим сведениям
принадлежат моему перу.
Произведение, первую часть которого я здесь представляю, и при
написании которого мне оказал надежную поддержку доктор Энгель,
систематизирует обширные исследования в области конечных непрерывных групп,
xiv
Предисловие
проводимые мной с 1873 года; оно обобщает и дополняет многие труды,
опубликованные большей частью в Христиании3, в которых я изложил суть
(а в некоторых — лишь результаты) своих изысканий. Поскольку эти
исследования теперь имеют непосредственное отношение ко многим другим
областям математики, и желательно разъяснить эти отношения, то будет
уместным вкратце упомянуть о том, что изначально привело меня к
созданию общей теории конечных непрерывных групп.
Исследования в области геометрии 1869-1871 гг. заставили меня
обратить внимание на конечные непрерывные группы. Правда, сперва я
ограничился тем, что перевел определенные важные непрерывные группы при
помощи подходящих аналитических преобразований — алгебраических или
трансцендентных контактных преобразований — в другие известные
группы; в этом смысле данные работы носили специальный характер. Но мне
хотелось бы отметить, что общее и очень похожее определение понятия
«группа», относящееся как к непрерывным, так и к разрывным группам
преобразований, я дал еще в 1871 г. Тогда же я поставил конкретную
задачу описать все разрывные и все непрерывные группы, преобразования
которых определяются при помощи линейных уравнений. Позже, как
известно, многие математики успешно классифицировали все разрывные
линейные группы от двух или трех однородных переменных, а я выявил все
непрерывные линейные группы от двух, трех, а также, по существу, и от
четырех однородных переменных.
Начатые мною в 1869 г. изыскания в области дифференциальных
уравнений, допускающих непрерывную группу преобразований, также носили
общий характер.
Я заметил, что большинство обыкновенных дифференциальных
уравнений, интегрирование которых осуществляется старыми методами,
остаются инвариантными относительно некоторых легко определяемых
семейств преобразований, и что эти методы интегрирования состоят
в использовании этого свойства. Другими словами, я увидел, что понятие
дифференциального инварианта конечной непрерывной группы
встречается, хотя бы неявно и в специальном виде, в любом учебнике по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. После того как я обобщил ряд
старых методов интегрирования, я, естественно, поставил перед собой
задачу разработать общую теорию интегрирования для всех обыкновенных
дифференциальных уравнений, допускающих известные конечные или ин-
финитезимальные преобразования. При этом с самого начала было ясно,
что соответствующие преобразования в каждом отдельном случае должны
порождать группу.
3До 1924 г. название города Осло. — Прим. перев.
Предисловие
XV
Вышеописанную задачу я самостоятельно поставил и решил. Пока
я этим занимался, я вел оживленную переписку со своим другом,
профессором Феликсом Клейном. Тот в свою очередь поставил перед собой
задачу, хотя и отличную от моих, но во многом им аналогичную. А именно:
он рассматривал с общей точки зрения геометрические и аналитические
структуры, допускающие разрывную группу, и хотел в первую очередь
использовать теорию разрывных групп линейных преобразований для теории
уравнений. Насколько сейчас ясно, что наши обстоятельные устные и
письменные дискусии на заботящие нас родственные темы оказали влияние на
нас обоих, настолько же трудно для меня теперь определить степень
этого взаимного влияния; так как в нашем общении речь шла в основном об
общих аспектах, а не о конкретных утверждениях.
В 1872 и 1873 гг. я занимался дифференциальными уравнениями
в частных производных первого порядка. Причем я заметил, что теорию
интегрирования этих уравнений, развитую Лагранжем, Пфаффом, Коти
и Якоби, можно толковать как теорию преобразований. Задача
интегрирования подобного уравнения сводится к задаче нахождения всех инфини-
тезимальных контактных преобразований, при которых данное уравнение
остается инвариантным. Это основано на том, что скобку Пуассона
можно прямо интерпретировать как символ инфинитезимального контактного
преобразования. Так я пришел к общим исследованиям об инфинитези-
мальных преобразованиях и обнаружил, что многие основные формулы
в теории уравнений в частных производных первого порядка при взятии
за основу понятия инфинитезимального преобразования допускают
замечательную концептуальную трактовку. Далее мне удалось при помощи
символа скобки исключительно просто охарактеризовать инфинитезимальные
преобразования, которые порождают конечную непрерывную группу.
От моего внимания не могло также ускользнуть, что все конечные
непрерывные группы от одной переменной могут быть преобразованы
в проективные группы путем надлежащего выбора системы координат,
а еще, что для п переменных можно заведомо определить все непрерывные
группы, содержащие заданное число параметров, при помощи
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Этими открытиями, сделанными в 1873 и 1874 гг., было, на мой взгляд,
положено начало совершенно новой теории, теории конечных непрерывных
групп преобразований. С тех пор я почти непрерывно занимаюсь
дальнейшим развитием этой теории и ее применением в интегральном исчислении
и геометрии.
Теория конечных непрерывных групп преобразований очень близка
к теории подстановок, но, несмотря, на это должна рассматриваться как
xvi
Предисловие
самостоятельная область. Только частично понятия и утверждения теории
подстановок могут быть перенесены на мою теорию преобразований, но
даже в тех случаях, когда это удается сделать, такой перенос далеко не
всегда очевиден, чтобы можно было его назвать само собой разумеющимся.
Конечно, понятия, с которыми имеет дело теория подстановок, более
элементарны, чем те, что используются в теории преобразований, но лично
мне правила композиции данных понятий в теории преобразований
кажутся более простыми и наглядными, чем в теории подстановок.
Здесь невозможно проследить все связи между моей теорией
преобразований и смежными областями. Но по крайней мере следует упомянуть,
что теории, представленные в данной работе, имеют разнообразные
точки соприкосновения с общей теорией инвариантов, которая была развита
Кэли, Сильвестром, Аронхольдом и Эрмитом, Клебшем и Горданом и их
последователями. Несомненно, совершенные методы теории инвариантов
прекрасно подходят для решения многих важных задач моей теории
преобразований; с другой стороны, последняя также открывает новые аспекты
для теории инвариантов.
Публикуемая здесь первая часть моего труда о группах
преобразований представляет собой законченное целое. Она содержит первую часть
теории и развивает общие свойства конечных непрерывных групп.
Вторая часть, которая выйдет в свет позже, будет содержать еще два раздела:
в первом из них будет изложена общая теория конечных групп
контактных преобразований, а во втором — полная теория конечных непрерывных
групп от одной, двух и трех переменных. К этому добавятся еще различные
общие исследования о группах от п переменных, в частности, теоретико-
групповое исследование задачи из основ геометрии, которой занимались
Риман и ф. Гелъмгольц.
Я уже давно собирался опубликовать подробную работу о конечных
непрерывных группах, но реализация этого намерения затруднялась тем,
что я не владею в совершенстве ни одним из известных культурных
языков. Поэтому я был очень рад, когда осенью 1884 г. получил поддержку
доктора Энгеля, который еще до этого ознакомился с моими изысканиями
по группам преобразований. Г-н Энгель не ограничился тем, что самым
широким образом неустанно помогал мне в решении языковых и
стилистических проблем; он также оказал мне действенную помощь в процессе
переработки и упрощения аналитических и синтетических методов,
необходимых для обоснования моих результатов. Более того, он
самостоятельно провел многие важные исследования о непрерывных группах; они будут
в дальнейшем неоднократно использоваться, что соответствующим образом
помечено в тексте.
Предисловие
xvii
Введенные в данной работе понятия и представленные здесь новые
теории за редкими исключениями, которые всегда оговариваются,
принадлежат мне. Теория полных систем, у истоков которой стоят Якоби и Клебш,
связь между интегрируемыми системами уравнений в частных
производных и в полных дифференциалах, замеченная Дарбу для важного частного
и развитая А. Майером для общего случая, и, наконец, редукция Коти
системы линейных дифференциальных уравнений к канонической форме —
вот те немногие теории других ученых, которые будут здесь в
дальнейшем полностью воспроизведены. Зато г-н Энгель, как уже было сказано
выше, внес существенный вклад в ту форму, в которую мои теории здесь
облечены, даже если собственная терминология в этой работе почти без
исключения принадлежит мне.
В некоторых работах я уже пытался объяснить значение моей теории
преобразований для интегрального исчисления. Надеюсь, что мне в скором
будущем удастся также опубликовать и эти результаты, систематически
изложенные.
Прежде чем закончить общие предварительные замечания, я не могу
не выразить своей радости по поводу того, что господа Пуанкаре и Пикар,
чьи исследования в области разрывных групп так способствовали
развитию теории функций, в течение последних лет использовали также и мою
теорию конечных разрывных групп в теории функций. Я радуюсь потому,
что всегда трудно привлечь внимание математиков к новому направлению
в науке. Моя надежда, что теория групп преобразований пробьет себе путь,
основана в большей степени на том, что она предлагает новые аспекты
и методы, которые будут полезны во многих областях математики.
Еще несколько полезных советов читателю первой части данной книги.
Для строгого обоснования теории необходим ряд дополнительных
рассуждений (они изложены более мелким шрифтом), которые при первом
прочтении желательно пропустить. То же самое касается многих других
результатов, которые также хотя сами по себе и важны, но для общего
понимания особого значения не имеют и могут сперва быть пропущены при
чтении. Но поскольку не во всех таких случаях используется более мелкий
шрифт, то я хочу отметить, что объяснения на страницах 138-148, 192-204
(глава 10 полностью), 343-362 (глава 18), 401-405, 436-443 можно
опустить, что никак не скажется на понимании нижеследующего.
Лейпциг, май 1888 г.
Софус Ли
Введение
Если переменные х\ - • • х'п заданы как функции от х\ • • • хп при
помощи п уравнений, разрешимых относительно х\ • • • хп,
то говорят, что эти уравнения представляют преобразование между
переменными х и х'. С такими преобразованиями мы будем в дальнейшем иметь
дело; там, где четко не оговорено противное, мы ограничимся случаем,
когда fi являются аналитическими функциями своих аргументов. Однако
поскольку немало наших результатов не зависит от этого условия, мы будем
иногда пояснять, каким образом различные результаты переносятся на
случай функций более общего вида.
Если функции fi(xi • • Хп) являются аналитическими и определены внутри
некоторой общей области, то согласно известным результатам Коши, Вейер-
штрасса, Врио и Буке можно всегда выделить такую область (х) в
многообразии всех действительных и комплексных систем значений х\ • • • хп, что все
функции fi на всем протяжении этой области будут однозначны, а поведение их
в окрестности любой системы значений х\ • • • хп9 принадлежащей области (х), —
регулярно, т. е. их можно разложить в обычные степенные ряды от х\ — х\, • • • хп —
— хп, содержащие лишь целые положительные степени.
Единственное необходимое и достаточное условие для разрешения уравнений
x'i = fi(x) таково, что функциональный определитель
не должен тождественно обращаться в нуль. Если это условие выполняется, то
ранее определенная область (х) может быть специально выбрана такой, что
функциональный определитель для любой системы значений будет отличен от нуля. Если
при этом условии х будет последовательно принимать все значения в области (я),
то уравнения х\ = fi(x) задают во множестве переменных х' некоторую область,
такую, что х\ • - хп как функции от х[ • - • х'п в окрестности любой системы
значений xi0 • • • х'п этой новой области будут вести себя регулярно и, следовательно,
могут быть разложены в обычные степенные ряды от xi — a?i°, • • • х^—х'®. Из этого,
как известно, не следует, что Xi на всем протяжении новой области являются
однозначными функциями от x'i - • • х'п; однако можно при необходимости так сузить
х'г = fi(xl • • ' хп) (t = 1 • • • п),
2
Введение
определенную выше область (х), чтобы две различные системы значений х\ • • • хп
из области (х) всегда давали две различные системы значений х\ = fi (х), • • • х'п =
= fn(x). В этом случае х\ ••• хп также являются однозначными функциями от
х[ • • • х'п во всей соответствующей области переменных х'.
Тогда уравнения х[ = fi(x) задают взаимно однозначное соответствие между
областями переменных х и х'. Каждой системе значений из одной области они
ставят в соответствие одну и только одну систему значений из другой, и наоборот.
Если уравнения х\ = f%{x) разрешаются относительно х, то уравнения
хк =Fk(x\ ••• х'п) (* = 1..-п)
снова представляют преобразование. Связь между этим преобразованием
и исходным, очевидно, взаимна, в таких случаях говорят: эти
преобразования являются обратными друг другу.
Из этого определения сразу вытекает следующее:
Если сперва выполнить преобразование
x'i = fi(x\ • • • Xn) (i = 1 • • • n),
а затем обратное к нему преобразование
х'! = Ъ{х'г.--х'п) (» = 1...п),
то получится тождественное преобразование
х'[ = Xi (г = 1 • • • п).
В этом, собственно, и заключается определение понятия двух
обратных друг другу преобразований.
Если выполнить вообще любые два преобразования
x'i = fi(Xi • • • хп), х" = gi(x[ • • • х'п) (г = 1 • • • п)
одно за другим, то получается новое преобразование, а именно:
х" = 9i{h{x) • • • fn(x)) (» = i ■.. n).
Конечно, это новое преобразование, вообще говоря, изменится, если
изменить порядок двух исходных преобразований, но может оказаться, что
последовательность выполнения этих преобразований не имеет значения.
Этот особый случай возникает, если выполняется тождество:
0t(/i(s)-- - fn(x)) =fi(gi(x)--- gn(x)) (г = 1-.п);
Введение
3
тогда мы говорим в контексте теории подстановок: преобразования
x'i = fi(xl хп) (г = 1— п)
и
xi — 9i{x\ ••• хп) (t = I--- п)
перестановочны.
Конечное или бесконечное семейство преобразований между х и х'
называется группой преобразований, если два преобразования этого
семейства, выполненные одно за другим, дают преобразование, которое,
в свою очередь, принадлежит этому семейству*.
Группа преобразований называется разрывной, если она состоит из
дискретного множества преобразований, причем это множество может быть
конечным или бесконечным. Два преобразования такой группы конечным
образом5 отличаются друг от друга. Разрывные группы являются объектом
теории подстановок, поэтому ниже они не рассматриваются.
Разрывным группам противопоставляются непрерывные группы
преобразований, которые всегда содержат бесконечно много преобразований.
Группа преобразований называется непрерывной, если каждому
преобразованию этой группы можно сопоставить некоторые другие преобразования,
которые бесконечно мало отличаются от данного преобразования, и
наоборот, если невозможно разложить всю совокупность преобразований,
содержащихся в группе, на отдельные дискретные семейства.
Среди непрерывных групп преобразований мы, в свою очередь, будем
различать две категории, которые назовем конечными непрерывными и
бесконечными непрерывными группами. Для обеих категорий мы пока можем
дать только предварительные определения, которые позже будут
сформулированы точнее.
Конечная непрерывная группа преобразований задается системой из п
уравнений:
А = fi(xi xn,ai-- - Or) (t = l• • • n),
где fi — аналитические функции переменных х\ • • • хп и произвольных
параметров а\ • • • аг. Поскольку мы имеем дело с группой, то два
преобразования этой группы,
x'i =fi(xl * * * хп,0>1 ' * * аг),
4Софус Ли, Научное общество Христиании, 1871 г., стр. 243. Клейн, Сравнительное
обозрение новейших геометрических методов, Эрланген, 1872 г. Л и, Gottinger Nachrichten, 1874 г.,
3 декабря.
5 Не бесконечно мало. — Прим. ред.
4
Введение
xi =fi(xl x'nM •" Ьг),
выполненные последовательно, должны давать преобразование,
принадлежащее этой группе, т. е. имеющее вид
xi = fi(fl(x,0>) ' • • fn{x,a),b\ - •' Ьг) = fi(xl ' ' ' xn,Ci • • • Cr).
Параметры Ck здесь, конечно, не зависят от х, а являются функциями от а
и Ъ.
Примеры. Известной группой этого вида является следующая:
, х + а
х —
CL2X + аз'
содержащая три параметра а\, аз. Если выполнить преобразования
j _ х + а\ х„ _ х' + Ь\
CL2X + «3 ' &2# + Ьз
одно за другим, то получится
X = ; ,
С2Х + с3 '
где ci, с2, сз как функции от а и Ь определены соотношениями
_ а\ + b\as _ b2 + 02^3 _ 62^1 + ЬзДз
1 + b\a2 ' 1 + &ia2 ' 1 + Ь\а2
Не менее известна группа
п
X\ = ^ агкхк (t = 1 • • • п)
с га2 параметрами а^. Если при этом положить
п
х'1 = ^ bvix\ (1/ = 1 • • • п),
г=1
то получится
6
Введение
Предположим теперь, что семейство преобразований х\ — f\(x\ • • • хп)
определено системой дифференциальных уравнений вида
Далее предположим, что эта система дифференциальных уравнений
обладает первым из двух упомянутых свойств, но не обладает вторым, то
есть что эти дифференциальные уравнения вместе с решениями х\ =
= fi{x\"-xn) и х[ = Qi{x\ • • • хп) также всегда допускают систему
решений вида х\ = 9i{f\(x) • • • /п(я)), однако общая система этих решений
зависит не просто от конечного числа произвольных констант, а от
произвольных элементов более общего вида, например произвольных функций.
Тогда совокупность всех преобразований, удовлетворяющих данным
дифференциальным уравнениям, в свою очередь, очевидно, образует группу,
причем, как правило, непрерывную, но уже не конечную, а такую, которую
мы называем бесконечной непрерывной.
Теперь приведем несколько простых примеров бесконечных
непрерывных групп преобразований.
Если дифференциальные уравнения, определяющие данную
бесконечную группу, сводятся к тождеству 0 = 0, то преобразования этой группы
таковы:
где Щ означают произвольные аналитические функции своих аргументов.
Уравнения
где Щ опять-таки совершенно произвольны.
Необходимо, впрочем, отметить, что можно дать еще более общее
определение понятия бесконечной непрерывной группы. Вообще любую непрерывную
группу, которая не является конечной, можно назвать бесконечной непрерывной. Это
определение, однако, не совпадает с данным выше.
Так, например, уравнения
х[ = #г(#1 * *' Хп) (г = 1 • • • п),
—— =0 (г ф к; г, к = 1 • • • п)
дхк
также определяют бесконечную группу, а именно
Х[ = Щ(Хг) (i = l... п),
x' = F(x), y' = F(y)y
Введение
5
где cvk определяются уравнениями
п
Сик = bviaik («>, fc = 1 • • • п).
г=1
Чтобы прийти к разумному определению бесконечной непрерывной
группы, мы сперва несколько изменим определение конечной непрерывной
группы. При этом мы используем одно утверждение из теории
дифференциальных уравнений, которое мы, кстати, позднее рассмотрим более подробно
(ср. гл. 10).
Пусть уравнения
х\ = fi(xi • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
представляют какую-то конечную непрерывную группу. Тогда, следуя
этому утверждению, fi9 рассматриваемые как функции от х, можно
определить при помощи системы дифференциальных уравнений. Для этого надо
лишь достаточное число раз продифференцировать уравнения х\ — fi(x, а)
по х\ • • • хп, а затем выписать все уравнения, которые получаются путем
исключения а\ ••• аг. Если пойти при дифференцировании достаточно
далеко, то после исключения а получается система дифференциальных
уравнений для х[ • • • х'п, общая система решений которой представляет собой
исходные уравнения х\ = fi(x,a) с произвольными константами а\ • • • аг.
Так как уравнения х\ = fi(x,a) по условию определяют группу, то
получается, что данная система дифференциальных уравнений обладает
следующим замечательным свойством: если х\ = fi(x\ • • • хп, Ь\ • • • Ьг) — одна
система ее решений, аж| = /Дх, а) — другая, то
А = Л(/i(a:,a)-' fn(x,а)М"-Ьг) (г = 1 • • • п)
также является системой решений.
Итак, мы видим, что уравнения каждой такой конечной непрерывной
группы преобразований можно определить при помощи системы
дифференциальных уравнений, которая обладает некими особыми свойствами.
Во-первых, из двух систем решений данных дифференциальных уравнений
всегда можно получить описанным ранее способом третью систему
решений: это означает, что мы имеем дело с группой. Во-вторых, самая общая
система решений данных дифференциальных уравнений зависит лишь от
конечного числа произвольных констант: это говорит о том, что наша
группа конечна.
Введение
7
где F в обоих случаях означает одну и ту же произвольную функцию своего
аргумента, представляют группу. Эта группа непрерывна, поскольку все ее
преобразования представляются при помощи одной единственной системы уравнений;
очевидно, кроме того, что она не является конечной. Следовательно, это была бы
бесконечная непрерывная группа, если бы мы сформулировали это понятие в
данном ранее более широком смысле. С другой стороны, семейство преобразований
x' = F(x), y' = F(y)
невозможно определить при помощи дифференциальных уравнений, не
содержащих произвольных элементов. Стало быть, сформулированное прежде определение
бесконечной непрерывной группы для этого случая не годится. Так что мы находим
целесообразным рассматривать лишь такие бесконечные непрерывные группы,
которые определяются при помощи дифференциальных уравнений, и потому всегда
берем за основу наше первое, более узкое определение.
Мы хотим непременно подчеркнуть, что понятие «группа
преобразований» далеко не исчерпывается выделением разрывных и непрерывных
групп. Существует много других групп, не относящихся ни к одному из
этих двух классов, но все же имеющих нечто общее с каждым из них.
С подобными группами нам придется в последующем хотя бы иногда иметь
дело. А пока ограничимся двумя примерами.
Совокупность всех преобразований координат на плоскости, при
которой происходит переход от одной обычной прямоугольной системы
координат к другой, образует группу, которая не является ни непрерывной, ни
разрывной. Данная группа содержит две отдельные категории
преобразований, между которыми непрерывный переход невозможен: во-первых, такие
преобразования, при которых старая и новая системы координат одинаково
ориентированы, и во-вторых, такие, при которых эти системы
ориентированы различно.
Первые имеют вид
х1 — а = х cos а — у sin а, у' — b = х sin а + у cos а,
аналитическое выражение других таково:
х' — а = х cos а + у sin а, у1 — Ь' = х sin а — у cos а.
Каждая из этих систем уравнений представляет собой непрерывное
семейство преобразований, так что эта группа не является разрывной; но она не
является и непрерывной, поскольку только обе вместе взятые системы дают
все преобразования группы; последние распадаются таким образом на два
дискретных семейства. Если представить себе плоскость х, у в обычном
8
Введение
пространстве и добавить третью прямоугольную координату 2, то
совокупность таких преобразований координат на плоскости z = О можно
рассматривать как совокупность определенных движений пространства, а именно
таких, при которых плоскость z = О сохраняет свое положение. Эти
движения делятся соответственно на два класса: такие, при которых плоскость
скользит сама по себе, и такие, при которых она переворачивается.
В качестве второго примера подобных групп приведем здесь
совокупность всех проективных и дуальных преобразований плоскости.
После этих общих замечаний о понятии группы преобразований
вообще обратимся к рассмотрению конечных непрерывных групп
преобразований, составляющих предмет нижеследующих исследований. Эти
исследования делятся на три части. В первой части речь пойдет о конечных
непрерывных группах вообще. Во второй — о таких конечных непрерывных
группах, преобразованиями которых являются так называемые контактные
преобразования. И, наконец, в третьей части будут подробно рассмотрены
некоторые общие задачи теории групп для малого числа переменных.
Часть первая.
Общие свойства конечных
непрерывных групп
преобразований
Глава 1
Определение конечных непрерывных
групп преобразований
Теперь наша первая задача — дать более четкое определение понятия
конечных непрерывных групп, о котором шла речь во введении.
Начнем с одного вспомогательного замечания о непрерывных
семействах преобразований вообще. Пусть уравнения
представляют собой произвольное семейство преобразований, т. е. вовсе не
обязательно группу. И пусть fa — аналитические функции как переменных
Х\ • • • хп, так и параметров а\ • • • аг; само собой разумеется, что
функциональный определитель
не должен тождественно обращаться в нуль.
Если мы придадим параметрам а\ • • • аг одно за другим все
возможные значения внутри некоторой области, то получим все преобразования,
представленные уравнениями выше. Итак, в целом имеется oorl
различных систем значений а\ • • • аг; сколько же различных преобразований х\ =
= /г(х,а) соответствует этим ооГ системам значений?
Теоретически ответить на этот вопрос совсем несложно. Давайте
просто разложим fi по степеням х\ — х\, • • • хп — х„9 понимая под • • • х„
какую-либо систему значений х, в окрестности которой все fi ведут себя
регулярно. Затем запишем по порядку коэффициенты в этих разложениях
х'г — fi(xl ' • • Хп,а\ - • • CLr) (г = 1 • • • п)
2lfc(ai ••• Or) (fc = l,2...),
Здесь и ниже ооГ понимается как г-параметрическое семейство. — Прим. ред.
12
Глава 1
где 21, разумеется, — аналитические функции параметров а\ • • • аг. Теперь
остается лишь выяснить, сколько функций 2Х^ из всех имеющихся не
зависят друг от друга.
Другими словами, если среди всех 21^ найдется ровно г независимых
друг от друга функций, то оог различным системам значений а\ • • • аг,
очевидно, соответствуют в точности оог различных систем значений 211, 2I2 ..
а значит, и в точности оог различных преобразований х\ — /Дх, а).
Если же среди 21^ имеется не г, а меньше независимых друг от
друга функций, например, лишь г — т, то картина будет иной. В этом случае
можно выразить все 21^ через г — га из них, скажем, %L[ • • • 2tJ._m, которые,
разумеется, должны быть независимы друг от друга; если а\ • • • аг
пробегают при этом оог различных значений, то это равносильно тому, как если
бы 2Ц • • • 2tJ._m пробегали ровно oor_m различных систем значений. Итак,
оог системам значений а\ • • • аг соответствуют в точности оог_т
различных систем значений 2ti, 21г • • •, а значит, и в точности оог_т различных
преобразований х[ = /^(х, а). Отчетливее всего это видно, если учесть,
что функции fi также содержат параметры а\ • • • аг лишь в выражениях
21^ • • • 2lr_m, то есть что они имеют вид
fi(xi • • • xn, ai • • • or) = /i(xi • • • хп, 2li • • • Яг_ш) (t = l • • • п).
Из этого следует, что мы просто можем ввести в качестве новых
параметров 2ti • • • 2tJ._m вместо а\ • • • ar, так что число произвольных параметров,
встречающихся в уравнениях х\ = /*(х, а), уменьшится с г до г —га. Но
тогда ясно, что уравнения х[ = /Дх, а) представляют не оог, а только oor_m
различных преобразований.
Теперь мы хотим ввести следующую терминологию:
В уравнениях
xi = fi(xi • • • xn, ai • • • ar) (t = 1 • • • n)
все г параметров a\ • • • ar являются существенными, если эти
уравнения представляют оог различных преобразований между х и х', или, что
то же самое, если невозможно ввести такие независимые друг от друга
функции от а\ - • • аг в качестве новых параметров, чтобы после этого
уравнения х\ = /*(х,а) содержали не г, а меньшее число произвольных
параметров.
Если параметры а\ • • • аг в уравнениях х[ = /*(х, а) не являются
существенными, то fi могут быть, как показано выше, приведены к виду
fi(x\ • • • xn,2ti(a) • • • 2lJ._m(a)), где число га как минимум равно единице.
Определение конечных непрерывных групп преобразований
13
Заметим, что тогда при любых условиях имеется хотя бы одно
дифференциальное уравнение в частных производных специального вида:
г р. г
Exfe(ai---ar)—=0,
к=1
которому функции 2li • • • 2l£._m, а также f\ • • • fn удовлетворяют
тождественно. Это свойство является характеристическим для обсуждаемого
случая. Наоборот, предположим, что все функции /1 • • • /п удовлетворяют
одному линейному дифференциальному уравнению в частных производных
только что рассмотренного вида. Известно, что это уравнение имеет г —
— 1 независимых решений ф\(а) ••• t/v_i(a), которые зависят только от
а\ • • • аг, и что любое другое решение, если оно зависит от а, само является
функцией от ф\ • • фг-\- Следовательно, любое можно привести к виду
fi(xi • • • хп, ф\(а) • • • фг-\{а)), а это доказывает, что параметры а\ - • • аг
в уравнениях х\ — а) не являются существенными.
Поэтому мы можем сформулировать
Утверждение 1. В уравнениях преобразований
х\ = fi{x\ - • • хп, а\ • • • ar) (t = l • • • n)
г параметров а\ • • • аг являются существенными тогда и только тогда,
когда не существует ни одного линейного дифференциального уравнения
в частных производных
Т df
не содержащего х\ • • • хп, которому удовлетворяли бы все п функций
/l.../п-
Критерий, высказанный в предыдущем утверждении, имеет, впрочем, не
только теоретическое значение; он может также практически использоваться, если надо
выяснить, являются ли параметры а\ • • • аг заданных уравнений преобразований
х'г — fi(xi • • • Хп, cli • • ar) существенными или нет. Мы хотим вкратце пояснить,
как можно провести это исследование.
Сначала рассмотрим п уравнений
и придадим в них величинам х какие-нибудь определенные, но общие значения
x'i • • • х'п. Таким образом, получаются п линейных однородных уравнений для
нахождения xi • • • Хг, из которых, скажем, г' ^ г будут независимы друг от друга.
14
Глава 1
Если г' = г, то xi''' Хг должны тождественно обращаться в нуль, и г параметров
а\ • • • аг являются существенными. Если же г' < г, то мы придадим х некоторые
другие общие, отличные от х' значения х'{ • • • х„ и получим таким образом новые
уравнения для нахождения х- Некоторые из этих новых уравнений, скажем г",
будут независимы друг от друга и от вышеуказанных г'; тогда, конечно, г' + г" < г.
Если г' + г" — г, то все х обращаются в нуль, и параметры а\ • • • аг являются
существенными; если г' + г" < г, то нам придется снова придавать х определенные
общие значения x'i • • • х^', выводить новые уравнения для определения х и т. д.
Можно считать, что мы найдем указанным способом одно за другим г' + г" +
_1 1_ r(g-i) ^ г независимых друг от друга уравнений для определения х, и что
ни одно из q — 1 чисел г',г" • • • г^_1) не обращается в нуль. Напротив, пусть
равно нулю, так что уравнения (1) при совершенно произвольном выборе х всегда
являются следствием найденных г' + г'ч hr*(9_1) < г уравнений. В этом случае
обращаются в нуль также все числа г^+1^г^+2^ • • •, поэтому для определения х
мы получим как раз лишь эти г' + г" + • • • + г^ч~1^ уравнений. Если теперь г' +
_1 1_ r(g-i) = г-, то все х = 0, и параметры а\ • • • аг являются существенными;
если же г' + • • • + г^-1^ < г, то х можно задать как функции от а\ • • • аг, и г
параметров а\ • • • ат не являются существенными.
Этим показано, что в каждом отдельном случае ответ на вопрос, являются
параметры а\ • • • аг существенными или нет, может быть получен при помощи
конечного числа выполнимых операций.
§2
Пусть теперь в уравнениях преобразований
х'{ = fi(xi • • • хп, а\ • - - аг) (г = 1 • • • п)
все параметры а\ • • • аг являются существенными.
Поскольку ft являются аналитическими функциями своих аргументов, то во
множестве всех систем значений х\ • • • хп и всех систем значений а\ • • • аг мы
можем выбрать такие области (х) и (а) соответственно, что имеет место следующее:
Первое. fi(x,a) являются всюду в областях (х) и (а) однозначными
функциями от п + г переменных х\ • • xn, ai • • аг.
Второе. Функции fi(x,a) ведут себя регулярно в окрестности каждой
системы значений ж? • • • ж°, а? • • • а°, то есть могут быть разложены в обычные
степенные ряды по xi — аг?, — • Хп — хп,а\ — а?, • • • аг — а£, коль скоро х? • • • хп
произвольны во множестве (аг), а а? • • а£ — во множестве (а).
Третье. Функциональный определитель
дхг дхп
не обращается в нуль ни для какой комбинации систем значений Xi и а* из областей
(х) и (а) соответственно.
Определение конечных непрерывных групп преобразований
15
Четвертое. Если придать параметрам а* в уравнениях х\ = /i(x,a) какие-
либо значения а£ из множества (а), то уравнения
x'i = /г(#1 • • • хп,а{ • • • а°) (г = 1 • • • п)
для двух различных систем значений xi • • хп из множества (х) также всегда дадут
две различные системы значений х\ • • • х'п.
Предположим, что множества (х) и (а) выбраны такими, что все эти
четыре условия выполнены. Если теперь придать переменным Xi в уравнениях х* =
= fi(x, а) все возможные значения из (х), а параметрам а* — все возможные
значения из (а), то х\ будут пробегать в своем множестве значений некоторую область,
которую мы можем символически обозначить через х' — /((х)(а)). Эта новая
область имеет следующие свойства:
Первое. Если а? • • • а£ — какая-либо система значений из (a), a х'® • • • х„ —
какая-либо система значений из области x' = /((х)а°), то Х\ • • • хп
разлагаются в окрестности системы значений х'?,а%. в обычные степенные ряды от х\ —
- xi°, • • • х'п - х'п ,ai - a?, • • • ar - a°.
Второе. Если придать а* постоянные значения а£ из области (а), то
величины xi • • хп в уравнениях
х- = /t(xi • • • xn,a? • • • a°) (t = 1- • • n)
будут однозначными функциями от xi • • • х^, поведение которых регулярно всюду
в области х = /((х)а°).
Теперь мы хотим добавить специальное условие, что оог различных
преобразований, представленных уравнениями х\ = /»(х, а), образуют
группу преобразований. Эта группа, очевидно, будет непрерывной и
конечной. Чтобы кратко указать количество преобразований в ней, мы скажем,
что уравнения х\ — fi(x,a) представляют г-параметрическую группу
преобразований с г существенными параметрами а\ • • • аг.
Согласно данному нами во введении определению конечной
непрерывной группы, уравнения
xi = fi(xl * ' ' хп,П\ ' * * Gr),
x'l = fi(xi--- х'пМ"' К)
должны после исключения х' давать систему уравнений такого же вида,
а именно:
х" = fi(xl хп,С\ ••• Сг),
где с зависят только от а и 6.
Здесь необходимо отметить, что мы наложили ограничения на поведение
функций /»(х,а) только внутри областей (х) и (а).
16
Глава 1
Следовательно, нам только тогда разрешается подставлять выражения х'и =
= fu(x,a) в уравнения х" = /i(x', b), когда система значений х\ • • • х'п находится
в области (х). Поэтому мы вынуждены добавить к до этого сформулированным
условиям для областей (х) и (а) следующее предположение: внутри областей (х)
и (а) можно задать подобласти ((х)) и ((a)), такие, что x'i всегда остаются в
области (х), если Xi произвольны в ((х)), а а* произвольны в ((a)); выражаясь кратко:
область х' — /(((#)) ((a))) должна полностью попадать в область (аг).
Если мы согласно этим положениям выберем х\ • • • хп в области ((х))
и ai • • • ar в области ((a)), то в выражении fi(x\ • • • х'П1 bi • • • 6Г) мы
действительно можем произвести подстановку х'к = Д(х,а); то есть если х? • • • хп означает
какую-нибудь систему значений в области ((а;)), то выражение
/i(/i(x,a)--- /n(x,a),6i ••• br)
можно разложить в обычный степенной ряд от х\ — х?, • • • хп — хп в окрестности
системы значений х£. Коэффициентами этого степенного ряда являются функции
от а\ • • • ar, &i •• • 6Г, и они ведут себя регулярно, если а* выбраны произвольно
в ((a)), а Ьк - в (а).
Теперь можно показать, что величины с\ • • cv являются вполне
определенными и даже аналитическими функциями от а\ • • • ar, 61 • • • 6Г. Чтобы
это доказать, рассмотрим уравнения
/i(/i(x,a)-- - fn(x,a),bi ••• 6r) = /.(xi ••• xn,ci cv),
которые для заданных a и 6 при подходящем выборе с должны выполняться
тождественно. Разложим обе части по степеням от х\ — х\, • • • хп — х^
и сравним коэффициенты. Тогда мы получим в общем случае бесконечный
ряд уравнений для определения с\ • • • cv:
Я*(с1--- Cr) = *fc(ai--- Or,6i--- br) (* = i,2-..).
Прежде всего, ясно, что эти уравнения не могут иметь следствием
никакие соотношения только между а и 6, из которых с были бы исключены:
ведь системы а, так же как и Ь, совершенно произвольны внутри
определенных областей. Далее ясно, что найденные уравнения между а, Ь, с
совместны друг с другом, так как по условию для любых систем
значений а\ • • • ar, 61 • • • br можно задать соответствующие значения с. Наконец,
легко видеть, что найденных уравнений достаточно для определения всех
с. По условию все параметры а\ • • • аг в уравнениях х\ = /г(х, а) являются
существенными; мы заключаем отсюда с учетом результатов предыдущего
параграфа, что среди функций 2li(c),2l2(c) • • • имеется ровно г
независимых друг от друга. Следовательно, разрешение относительно с\ • • • ev
возможно, и для Ck получаются вполне определенные аналитические функции
Определение конечных непрерывных групп преобразований
17
от а и 6:
ск = <Рк(о>1 • • • аг, 6i • • • 6Г) (л = 1... г).
Если подставить эти выражения для с\ • • • <v в уравнения
/i(/i(x,a)--- fn(x,a),bi ••• 6r) = ••• xn,Ci ••• <v) (г = 1 n),
(2)
то получатся одни лишь тождества, т.к. величины Xi,ak,bk независимы
друг от друга.
Мы можем предположить и предполагаем, что область ((a)) выбрана так, что
все ipk(a,b) ведут себя регулярно, если как а, так и Ь совершенно произвольны
в ((a)). Кроме того, мы должны еще учесть, что параметры с в уравнениях
х" = fi(x',b) = fi(x,c)
не должны выходить за пределы области (а). Поэтому мы наложим еще одно
специальное условие: система значений ск = <£fc(a, b) должна всегда попадать в область
(а), если а и 6 находятся в области ((a)).
Если эти условия выполнены, то поведение функций
fi(xi • • • xn, tpi (a, b) • • • ipr(a, 6))
для всех систем значений Хг,ак,Ьк из областей ((х)) и ((a)) соответственно
является регулярным. И если мы в соотношение (2) подставим у?ь(а, 6) вместо с&, то
возникающие тождества будут справедливы для всех оговоренных систем значений
Xi, afc, 6^.
Из системы уравнений (2) мы хотим теперь вывести две другие
похожие системы, которые помогут нам лучше разъяснить природу функций
<р*(а,Ь).
Сначала предположим, что х\ • • • хп определены из уравнений х\ =
= fi(x, а) как функции от х' и а, и что полученные значения Xi = Fi(x', а)
подставлены в (2). Таким образом, мы найдем одну из двух обещанных
систем, а именно следующую:
fi(x[ • • • <,6i • • • br) = /i(Fi(x/,a) • • • Fn(s,,a),ci • • • cv) (3)
(i = 1 • • • n).
Вторая система получается просто разрешением уравнений (2)
относительно fi(х, а) • • • fn(x, а). Она будет такой:
fi{x\-- xn,ai-- - ar) = Fi(/i(x,c)--- fn{x,c),b\ ••• 6r) (i = l -n).
(4)
18
глава 1
Новые уравнения (3) и (4) будут, конечно, точно так же, как и (2), из
которых они выведены, при подстановке с* = v?fc(a, b) превращаться в
тождества, поскольку величины х[, a^, 6^, так же как и х*, а^, не связаны друг
с другом никакими соотношениями.
Теперь мы поступим с уравнениями (3) и (4), как прежде с
уравнениями (2). Сначала разложим обе части уравнения (3) в окрестности
подходящей системы значений в обычный степенной ряд по xv — х® и сравним
коэффициенты; тогда мы получаем уравнения следующего вида:
- br) = Yk(a1~- ar,d-- - Cr) (* = i,2...). (5)
Затем разложим обе части уравнения (4) в окрестности х° в обычный
степенной ряд по Ху — х® и вновь сравним коэффициенты. Таким образом мы
получим новые уравнения вида
a*(ai ••• Or) = fl*(fei••• Ьг,а ••• Сг) (fc = 1,2 •)• (6)
Функции 2lfc(ai • • • ar), а также 2lk(&i • • • 6Г) здесь согласно
вышесказанному таковы, что среди них имеется ровно г независимых друг от друга.
Поскольку по построению уравнения (5), как и (6), обращаются в
тождества при подстановке с\ = <^i(a, 6), • • • cv = <^r(a, 6), то получается, что
каждая из этих систем эквивалентна системе с* = <fk(a,b). По виду
уравнений (5) и (6) ясно, однако, что они разрешаются относительно Ьк и ак
соответственно; следовательно, и уравнения ск = ifk(a, Ь) могут
разрешаться относительно как Ьк, так и ак:
Ьк = ФкЫ • • • ar, ci • • • Сг) (к = 1 • • • г),
а* = Xfc(bi • ■ • Ьг, ci • • • Сг) (fc = 1 • • • г).
Итак, имеет место
Теорема 1. Если уравнения
xi = fi(xi • • • xn, ai • • • ar) (i = l • • • n)
с г существенными параметрами a\- •• ar представляют собой r-napa-
метрическую группу, т. е. результатом двух преобразований
х\ = fi(x\ • • • xn,ai • • • Or),
xi = fi(xl ''' x'nM • • • br) (i = l • • • n),
Определение конечных непрерывных групп преобразований
19
выполненных последовательно, является преобразование
х" = fi(fi(x,a)--- /n(x,a),6i ••• 6r) = fi(xi ••• хп,сг ••• cv),
где Ck выражаются следующим образом через а и Ь:
Ск = 4>к{а>\ • • • ar, 6i • • • 6r) (л = 1 • • • г),
то эти уравнения разрешаются как относительно а\ • • • аТ, так и
относительно Ъ\ - • • br. Иначе говоря, ни один из функциональных определителей
даг дог' ^ дЬг" дЬг
не обращается в нуль тождественно1.
Мы полагаем, что область ((a)) выбрана такой, что упомянутые выше
функциональные определители всегда отличны от нуля для произвольных а и & из ((a)).
Если оог преобразований
А = /г(#1 • * * Q>1' • • 0>r) (i = 1 • • • n)
образуют r-параметрическую группу, то и оог преобразований
Х{ = Fi(x[ • • • х'п, а\ • • • ar) (г = 1 • n),
возникающих в результате разрешения относительно х\ • • • хп, образуют
r-параметрическую группу.
Действительно, при наложенном условии имеют место соотношения
вида
х\ = fi(x,a), х'( = /i(x',6), x'l = fi(x,c),
где Ck = 4>k{o>, b). В результате разрешения получаются следующие
уравнения:
Xi = Fi(x', a), х\ = Fi(x", 6), Xi = Fi{x", с),
причем снова Ck = <Pk(a>, b). Если теперь выполнить последовательно
преобразования
х[ =Fi(xi • • • х„, b\ • • • 6r),
Xi =Fi(x'1 ••• x'n,ai ••• ar),
2Ли, Archiv for Mathematik og Naturv., том 1, Христиания, 1876 г.
20
Глава 1
то получим преобразование
Xi =Fi(F1(x/,,6).-.Fn(x/,,6),a1 •••ar) =
= Fi{x'{ ••• xj(,ci-- - cr),
которое, в свою очередь, принадлежит семейству я* = Fi{x', а).
Тем самым сформулированное утверждение доказано. Итак,
справедлива
Теорема 2. Пусть уравнения
х\ = fi(xi • • • хп,а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
с г существенными параметрами а\ • • • аг представляют
г-параметрическую группу преобразований. Тогда то же самое верно и для разрешенных
уравнений
Xi = Fi(x\ • • • х'п, а\ • • • ar) (г = 1 • п).
Из этой теоремы можно, кроме того, заключить, что разрешимость
уравнений ck = <^fc(a, 6) относительно а очевидна, если известно, что они
разрешимы относительно 6.
Теорема 2 в дальнейшем не используется, т. к. условия на области,
предъявленные нами к группе x'i = fi(x,a), не обязательно должны таким же образом
выполняться для группы Xi = Fi(x',а). В то же время теорема интересна тем, что она
открывает различные взаимосвязи.
§з
До сих пор мы всегда предполагали, что fi в уравнениях х\ =
= fi(x,a) r-параметрической группы являются аналитическими
функциями от х\ • • • хп, а\ • • • аг. Теперь можно было бы заменить это
предположение другим, менее общим. Например, предположить, что функции fi,
зависящие как от х, так и от а, рациональны, и наоборот, что х\ • • • хп
определяются как рациональные функции от х[ • • • х'п и а\ • • • аг из
уравнений х\ — fi(x,a). Группа х[ = fi(x,a) состояла бы тогда из
однозначных и взаимнооднозначных преобразований, или, как их обычно называют,
преобразований Кремоны.
В наши планы совершенно не входит подробное рассмотрение
этого особого случая; но видится нелишним коротко остановить на нем свое
внимание. Так, мы можем сделать несколько важных выводов, которые хотя
Определение конечных непрерывных групп преобразований
21
и не могут быть непосредственно перенесены на общий случай, но все же
дают различные указания для его рассмотрения.
Допустим, что нам дана группа преобразований Кремоны:
х- = /i(xi • • • хп,аг • • • аг) (г = 1 • • • п),
где согласно предположению, высказанному выше, параметры а\ • • • аг
входят рационально как в сами уравнения преобразований, так и в их
разрешения относительно х\ • хп.
Тогда результаты § 2 значительно упрощаются. Прежде всего отпадает
необходимость ограничивать переменные Хг,а^,6^ определенными
областями, так как возникающие функции определены во всей области всех
систем значений х^,а^,6^. Следующим немедленным результатом
является то, что Ck = (fk(a,b) становятся алгебраическими функциями от
а\ •• • аг,Ь\ • • • 6Г.
Более того, в уравнениях
ак = Хкфг • • • 6r, ci • • • сг) (к = 1 • • • г),
получающихся из ск = <£fc(a, b) путем разрешения относительно а\ • • • аг,
мы можем просто произвести подстановку ск = bk- Если при этом
Хк{Ь\ • • • ЪГ,Ь\ • • • 6Г) = а£, то преобразования
х\ =fi(xi ••• хп,а\--- а°г),
Xi =fi(Xl хпМ'" br),
выполненные последовательно, дают следующее преобразование:
xi = fi(xl т * * хп,Ь\ • • • 6r).
Уравнения x" = /i(x, b) определяют теперь при наложенных условиях
переменные х\ • • • хп как рациональные функции от х'{ • • • х„, b\ • • • 6Г,
а уравнения х" = fi(x', b) дают для х[ • • • х'п те же самые рациональные
функции от х", bk. Таким образом, из уравнений
xi = fi(Xl Х'пМ Ьг) = /i(Xi • • • Xn, 6i • • • br)
немедленно следует x\ = x\, • • • x'n = xn, что является доказательством
того, что значениям параметров а§ • • • а{! соответствует тождественное
преобразование. Другими словами, каждая из обсуждаемых групп
преобразований Кремоны содержит тождественное преобразование. Параметры а£,
разумеется, не зависят от Ь.
22
Глава 1
Из уравнений ск = <^fc(a,6) мы можем, однако, вывести также
следующие равенства:
Ьк = фк(о>1-- a>r,ci ••• Сг),
и произвести здесь подстановку ск = о%, откуда следует —
ipk(ai ••• аг,а? ••• а°) = ак.
Поэтому каждой системе значений а\ • • • аг соответствует система
значений Щ • • • аг с таким свойством, что два последовательно выполненных
преобразования
х\ =fi{xi • • • хп,а\ • • • аг),
xi =fi(xl "' xn^l "' «r)
дают в результате
fi{xi - •' хп, а® • • - а®) — Xi,
то есть тождественное преобразование. Таким образом, преобразования
рассматриваемых групп преобразований Кремоны упорядочиваются в пары
взаимно обратных*.
Пример. Одна из таких групп преобразований Кремоны — упомянутая
во введении трехпараметрическая группа
, х + аг
х =
а>2Х + а3'
состоящая из всех проективных преобразований простого многообразия4.
Уравнения ск = <Pk(a<> 6) для этой группы, как мы знаем, имеют
следующий вид:
_ а\ + Ь\аз _ 62 4- a2bs _ ^Qi + 63Q3
Cl " 1 + 61 а2 ' С2~ 1 + fciaa' °3 " 1 + М2 "
Если разрешить их относительно ai, 02, аз, а затем положить ск = Ьк, то мы
получим а? = 0, с*2 = 0,а§ = 1. Это значения параметров,
соответствующих тождественному преобразованию. С другой стороны, если разрешить
уравнения выше относительно 61,62,63 и затем положить с\ — с2 = О,
сз = 1, то в качестве параметров обратного к ab а2, as преобразования мы
найдем следующие: -:aj^, щ.
3 Другими словами, с каждым преобразованием группа содержит обратное к нему. — Прим.
ред.
4Под простым многообразием понимается прямая. — Прим. ред.
Определение конечных непрерывных групп преобразований
23
Это то, что касается групп преобразований Кремоны. Теперь снова
обратимся к рассмотрению общего случая, когда /г(х, а) являются
аналитическими функциями своих аргументов.
Из теоремы 1 мы знаем, что уравнения ск = <рк(а,Ь) можно
разрешить как относительно а\ • • • аг, так и относительно b\ • • • br. Но одних
лишь наложенных ранее условий недостаточно, чтобы решить, можно ли
удовлетворить требованию ск = Ьк. О функциях крк мы знаем только, что
они регулярны для систем значений ак,Ьк, лежащих в области ((a)), и что
при этом система значений ск — (рк{а, Ь) всегда попадает в область (а). Но
мы ничего не знаем о том, существуют ли системы значений ск, лежащие
в области ((a)), и тем более о том, можно ли для такой системы значений
считать, что ск = Ьк.
Но даже если равенство ск = Ьк возможно, т.е. если
тождественное преобразование соответствует определенным значениям параметров а£
в области ((a)), то все же остается открытым вопрос, может ли ск
принимать значение а?к, то есть удовлетворять уравнениям а£ = у>к(а, Ь).
Нельзя утверждать a priori, что каждая конечная непрерывная
группа содержит тождественное преобразование. Но даже если
тождественное преобразование встречается в данной группе, то это еще не означает,
что преобразования этой группы упорядочиваются в пары взаимно
обратных.
§4
Пусть некоторая г-параметрическая группа задана уравнениями от п
переменных х\ • • • хп:
Xi = fi(xl "' xn,Q>\ *•• йг)-
Тогда существуют различные средства для того, чтобы вывести из этих
уравнений другие, которые, в свою очередь, тоже будут представлять г-па-
раметрическую группу.
Первое: вместо а мы можем ввести в качестве новых параметров
какие-либо г независимых функций:
ак = (Зк(аг--- аг) (к = 1---г).
Пусть при разрешении этих уравнений относительно а\ • • • аг получаются
функции
ак = 7k(ai - • • ar) (k = l- --r),
24
Глава 1
а при подстановке этих значении мы имеем
fi(xi • • • хп,а\ • • • ar) = fi(xi • • • xn,a"i • • • ar).
Если, кроме того, положить
0k(bi br) = Ък, /3fc(ci • • • Cr) = ск (к = l• ■ • r),
то уравнение
fi{fi{x,a) • • • /n(#,a),bi • ■ • ftr) = • • • xn,ci • • •
задающее групповое условие, сразу принимает такой вид:
U(H(x,a) • • - U(x,a)M ''' Ьг) = U(xi • • • xn,ci • • • ёг),
откуда следует, что уравнения
xi = fi(#l * • * Хп, a>i • • • аг) (г = 1 • п)
с г существенными параметрами а\ • ar также представляют г-парамет-
рическую группу.
Конечно, уравнения этой новой группы отличаются от уравнений
исходной группы, однако эти уравнения представляют те же самые
преобразования, что и исходные уравнения х\ = fi(x,a). Следовательно, новая
группа, по существу, идентична старой.
Второе: мы можем ввести вместо х новые независимые переменные
У\ • • • 2М:
Уъ =Wi(xi--- хп) (» = 1... п),
или после разрешения:
Xi = Wi(yi--- уп) (» = 1-- - п).
Тогда мы положим
х\ = Wi{y'i •'•Уп)= х'( = Wi{y'{• • • yJJ) = w'{
и получим отсюда вместо уравнений преобразований
х\ = fi(xi • • • xn,ai • • • ar)
следующие уравнения:
wi(y'i • •" Уп) = /<(^1 • • ■ wn,ai • • • ar),
Определение конечных непрерывных групп преобразований 25
или в результате разрешения:
У\ =Wi(fi(w,a)-- fn(w,a)) =$i(yi--- Уп,аг--- ar).
Можно легко доказать, что уравнения
у[ = $i{yi • • • Уп, ai • • • ar) (» = 1 • • • п)
с г существенными параметрами а\ • • • аг опять же представляют г-пара-
метрическую группу. Действительно, уже знакомое нам уравнение
fi{f\{x,a)--- /n(x,a),6i ••• br) = fi(xi-- хп,сг--- Cr)
переходит при вводе новых переменных в следующее:
fi(f(w,a),b) = fi(wi-" wn,ci-- Cr),
что также можно записать как
fi(w\ • • • w'n, bi • • • br) = fi{wi • • • wn, ci • • • Cr) = w";
а отсюда в результате разрешения относительно у'{ • • • у^ получаем
y'v=Wv(fi{w\b)-- fn(w',b)) = u)v(fi(w,c) ••• fn{w,c))
или, что то же самое,
у'1 = $Лу[ '' * УпМ ''' ьг) = $1/(2/1 • • • Уп, с\ • • • Сг);
то есть имеется уравнение
ffi/(ffi(y,a)---ffn(y,a),bi ••• br) =Ъу{У\-" 2/n,ci-- - cv),
что как раз и доказывает, что уравнения у[ = $i(y, а) представляют группу.
И наконец, мы можем одновременно ввести новые параметры и
переменные в данную группу; ясно, что таким образом мы также получим из
исходной новую группу.
Теперь дадим следующее
Определение. Две г-параметрические группы
xi = fi(xi ''' xn,ai •'' a>r) (t = l---n),
У\ = U(yi " ' УпМ • • - br) (t = l---n)
26
Глава 1
от одного и того же числа переменных подобны5, если при введении
подходящих новых переменных и параметров одна из них превращается
в другую.
Очевидно, что существует бесконечно много групп, подобных
заданной, но все группы из этого бесконечного множества нам сразу же известны
одновременно с заданной. Поэтому, как в дальнейшем и будет происходить,
мы можем рассматривать две подобные группы как несущественно
отличающиеся друг от друга.
Выше мы говорили о введении новых параметров и переменных, не
останавливаясь на предположениях, при которых можно утверждать, что все существенные
для нас свойства системы уравнений х\ — fi(x,a) при этом сохраняются. Теперь
еще несколько слов по этому поводу.
Если в группе Хг = fi(x\ • - хп) разрешается ввести новые параметры а,к =
= /Зк(а\ • • • аг) вместо а, то cik должны быть однозначными функциями от а во всей
ранее определенной области (а), а также всюду вести себя регулярно;
функциональный определитель V ± • • • не должен нигде в области (о) обращаться
оа\ оаг
в нуль, и наконец, двум различным системам значений а\ • • • аг из этого множества
должны всегда соответствовать две различные системы значений а\ • • • аг.
Другими словами, во множестве величин cik должна выделяться такая область (а), на
системы значений которой однозначно отображаются системы значений из области
(а) при помощи уравнений cik = Pk(ai • • • ar).
Если, с другой стороны, допускается введение новых переменных yi =
= u>i(xi • • хп), то у должны быть однозначными и регулярными функциями для
всех систем значений х\ • • • хп, которые учитываются при формулировке
группового свойства уравнений х\ = fi(x\ • •• xnio>i • • • аг); функциональный опреде-
± —— • • • —— внутри этого множества не должен нигде обращаться
дх\ дхп
в нуль, и наконец, двум различным системам значений х\ • • • хп из этого
множества должны всегда соответствовать две различные системы значений у\ • • • уп-
Таким образом, соответствующая область систем значений х должна однозначно
отображаться на некоторую область систем значений у.
Если бы в группу х[ = fi(x,a) были введены новые параметры или
переменные, и при этом только что изложенные требования не были выполнены, то вполне
могло бы произойти так, что важные свойства группы и даже само групповое
свойство оказались бы утрачены; группа с тождественным преобразованием могла бы
превратиться в такую, которая не содержит тождественного преобразования, и т. п.
Иногда, однако, требуется просто исследовать семейство преобразований х\ =
= fi(x,a) в окрестности одной отдельной точки а\ • • • аг или х\ • • - хп. Это
исследование часто упрощается за счет того, что вводятся новые переменные или па-
5 В современной математике используется термин «изоморфны». — Прим. ред.
Определение конечных непрерывных групп преобразований
27
раметры, которые в окрестности данной точки удовлетворяют сформулированным
выше требованиям.
И поэтому в таком случае вовсе не нужно останавливаться на вопросе,
выполнены ли данные требования на всей области (х) или (а) соответственно.
§5
До сих пор понятия преобразования и группы преобразований
носили для нас чисто аналитический характер. Их можно, однако, представить
наглядно, если ввести понятие n-мерного пространства.
Если мы примем х\ • • • хп за координаты точек такого пространства, то
преобразование х[ = fi(xi • • • хп) становится точечным преобразованием;
оно же может пониматься как операция, состоящая в том, что все точки Xi
одновременно переводятся в новое положение х\. Можно это выразить еще
и так: данное преобразование — это операция, которая переставляет точки
пространства х\ • • • хп между собой.
Если мы теперь имеем семейство, состоящее из оог преобразований
xi = fi(xi''' xn,a>i • * * аг),
образующих r-параметрическую группу, то этому семейству соответствует
семейство из оог операций, переставляющих точки пространства х\ - • • хп
между собой. Очевидно, что результатом любых двух таких операций,
выполненных одна за другой, всегда будет операция, снова принадлежащая
этому семейству.
Поэтому если мы назовем вообще любое подобное множество
операций группой операций или еще короче — группой, то можно сказать, что
каждая заданная г-параметрическая группа преобразований может
рассматриваться как аналитическое представление некоторой группы,
содержащей оог перестановок** точек х\ • • • хп.
Если, наоборот, задана группа, содержащая оог перестановок точек
#1 • • • хп, и эти перестановки можно представить при помощи
аналитических уравнений преобразований, то соответствующие оог преобразований
естественным образом создают группу.
Если теперь предположить, что нам дана определенная группа
операций, а также ее аналитическое представление, т. е. группа преобразований,
то это представление имеет две очевидных неопределенности.
6Автор использует термин Vertauschung (перестановка), понимая при этом биективное
отображение пространства на себя. Сегодня мы бы просто сказали «преобразование», но
автору важно различать между собой аналитический и геометрический подходы, термин
«преобразование» он использует в аналитическом контексте. — Прим. ред.
28
Глава 1
Первая неопределенность — это выбор параметров а\ • • • аг.
Становится ясно, что на группу операций как таковую не окажет никакого влияния,
если мы вместо а введем новые параметры ак = 0k(ai • • • аг). Иным при
этом будет лишь аналитическое выражение для группы операций; поэтому
это выражение, как и прежде, будет представлять некоторую группу
преобразований.
Вторая неопределенность в аналитическом представлении нашей
группы операций — это выбор системы координат в пространстве х\ - • • хп.
Любая перестановка точек х\ • • • хп совершенно не зависит от выбора
системы координат, с которой эти точки соотнесены; с изменением
соответствующей системы координат меняется лишь аналитическое представление
перестановки. То же самое верно, конечно, для любой группы
перестановок. Отсюда следует, что из группы преобразований при введении новых
переменных, то есть при замене системы координат, снова получается
группа преобразований, так как уравнения преобразований, получающиеся при
введении новых переменных, представляют собой в точности ту же
группу операций, что и исходная группа преобразований; а потому они, в свою
очередь, тоже образуют группу преобразований.
Это объясняет абстрактные аналитические соображения предыдущего
параграфа. Именно теперь становится понятно, почему две подобные
группы преобразований не могут считаться существенно различными: потому,
что обе они аналитически представляют собой одну и ту же группу
операций.
Глава 2
Вывод основных дифференциальных
уравнений
Из данного ранее определения конечной непрерывной группы х[ =
= fi(xi ■ ■ • xn,ai ■ • • аг) мы хотим теперь вывести некоторые
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции
§6
В результате объединения уравнений
х- = fi(x\ • • • хп,а\ • • • аг),
х'( = fi{xi"' х'пМ"- Ьг)
(г = 1 • • • п)
получается, как мы знаем, третья система уравнений аналогичного вида:
Х-' = fi(Xi • • • Хп, С\ • • • Сп) (г = 1 • • • п),
где — определенные и даже аналитические функции, зависящие лишь от
переменных а и Ь. Аналитически это выражается при помощи п уравнений,
задающих групповое условие,
fi(x[ • • • х'п, Ь\ • • • Ьг) = fi(xi • • • Xn, Ci • • • Cr) (i = 1 • • • п). (1)
Если положить в этих равенствах х\ = /*(х, а), = <£>fc(a, Ь), то мы
получим одни лишь тождества, так как п + 2г переменных х*, и Ь&
независимы друг от друга.
Подобное относится, конечно, к любому соотношению между шестью
системами переменных Xi,xJ,x",afc,bfc,Cfc; если в таком соотношении
выразить все через три независимые друг от друга системы переменных, то
всегда получается тождество.
30
глава 2
Согласно нашим предположениям, уравнения группового условия (1)
выполняются, если х лежит в области ((х)), а и Ь — в области ((a)), в то время как х\ и Ск
согласно уравнениям
Ж = Л(х,а), ск = <р(а,Ь)
остаются внутри определенных частей множеств (х) и (а) соответственно.
Будем сначала исходить из уравнений (1). Мы рассматриваем в них
х\ • • хп, а\ • • • аг и ci • • • Сг пока что как независимые переменные, а х'
и 6, в силу уравнений х\ = /*(х, a), ск = ipk(a, b), — как функции
независимых переменных.
Приняв за основу такую точку зрения, мы хотим продифференцировать
уравнения (1) по ак\ при этом мы для краткости запишем // вместо fi(xf, b)
и получим
M^i + ... + M.^k + M^i + ... + M^r =0
дх\ дак дх'п дак дЬ\ дак dbr дак
(г = 1 • • • п, к = 1 • • • г).
Поскольку функциональный определитель
^ дх\ дх'п
не обращается в нуль тождественно, то мы можем разрешить только что
полученные уравнения относительно • • •
oak oak
^ = <M:r'6W + ' " + <Мх'6)а^ (2)
(i/ = 1 • • • n, Л = 1 • • • r),
где Ф не зависят от индекса к.
Что касается вида функций Ф(х', 6), то они являются отношениями двух
функциональных определителей, ведущих себя регулярно для всех систем значений х\
и Ьк внутри областей (х) и (а) соответственно. Поскольку, кроме того, общий для
всех Ф знаменатель У) ±тгт ''' тгт ни]где в данной области не обращается в нуль,
дх\ дхп
то и Ф(х\ Ь) ведут себя для любой из оговоренных систем значений х\, Ьк
регулярно, более того, они однозначны во всей этой области.
Заметим, однако, что область, в которой определены функции Ф(х', 6), не
обязательно будет являться также областью справедливости уравнений (2). Последние
вывод основных дифференциальных уравнений
31
были выведены при условии, что х\ • • • хп лежат в ((ж)), а\ • • • ог и Ь\ • • • Ьг —
в ((a)) и соответственно х[ ■ • • х'п — в области х' = /(((#)) ((a)))- Можно ли
заменить эти условия другими, менее ограничительными, мы пока не знаем.
Входящие в (2) производные функций Ь по а можно представить как
функции от а\ • • • ar, Ь\ • • • Ъг при помощи уравнений см = <£>д(а, Ь).
Действительно, если мы продифференцируем эти уравнения по ак,
рассматривая при этом, как и прежде, а и с в качестве независимых переменных, а b —
как функции от а и с, то получим
7Г = 1
то есть в результате разрешения имеем
дЬ„ _ dfri ' ' dK-i дак дК+г
дак , дуг дуг
^ Ж' Ж
Если подставить эти значения в уравнения (2), то получится
^=^*Ма,Ь)'Ф^(х',Ь) (i/ = i...n, fc = i..-r). (2')
Эти уравнения чрезвычайно важны, как мы позднее увидим.
Поведение функций #(а, 6), согласно ранее сделанным предположениям,
регулярно, если afc и bk произвольны в области ((о)). Поэтому определитель
ни для одной из соответствующих систем значений Ofc, bk не будет бесконечным.
До сих пор мы рассматривали а\ • • • аг вместе с х\ • • • хп и с\ • • • Сг
как независимые переменные, но с тем же успехом можем выбрать в
качестве таковых Ь\ • • • br с х\ • • • хп и с\ • • • cv. Исходя из последней
точки зрения, мы должны рассматривать а\ • • • аг и х\ • • • х'п как
функции соответствующих независимых переменных в силу уравнений ск =
= </?fc(a, b),x[ = /i(x,a). Мы так сейчас и поступим, с тем чтобы сделать
разрешение уравнений (2) относительно наглядным. Для этого пере-
множим только что упомянутые уравнения с и просуммируем по к от
dbr
^7rfc(ai • • • ar,b\ • • • br).
32
Глава 2
1 до г, тогда получится:
fc=l д=1
и мы можем записать
Это и есть искомые решения уравнений (2). Впрочем, мы можем
вывести уравнения = Ф7Г1/(х\Ь) также непосредственно из уравнений
/г(ж;, 6) = /г(х, с), дифференцируя их по Ьтг, продолжая при этом
рассматривать bk, Xi, Ск как независимые переменные:
дх'
и наконец разрешая полученные уравнения относительно
тг дЬтг ddk
Как прежде -^-ZL, мы хотим теперь представить производные как
oak ооп
функции от а\ • • ar, 6i • • • br. Поскольку
к=1
то получается
дак дак-i db* дак+i даг
■ктг = ~ = Ankiai • • • ar, 61 • • • br).
да\ даг
Если мы подставим эти значения в (3), то получим уравнения
Фм(х',Ъ) = у2Ажк(а,Ь)7-^ (i/ = i...nf ir = l-..r), (3')
вывод основных дифференциальных уравнений
33
которые, разумеется, можем также получить непосредственно путем
разрешения уравнений (2').
Поведение функций А(а,Ь), так же как и встречающихся выше \Р(а,Ь),
регулярно для всех систем значений из области ((a)). Следовательно, и определитель
ни для одной из этих систем значений ак,Ьк не будет бесконечным. Поэтому из
известного соотношения
E.aai даг . дЬ\ dbr _ -.
дЬг" дЬг ^ dai " даг ~
получается, что ни один из определителей ^2±Фц • • - Фгг и ^2 ±Ац • • • Агг не
обращается в нуль ни для одной из рассматриваемых систем значений aklbk.
§7
Уравнения
fi(x[ ••• хпМ ••• fcr) = fi(Xi ••• Xn,Ci ••• Cr), (1)
из которых мы исходили, обращались в тождества, когда мы вводили для
х'г и с*; выражения а) и y?fc(a, 6) соответственно. То же самое
справедливо, разумеется, для уравнений (2') и (3'), т. к. переменные Xi,ak, Ьк друг
от друга независимы.
Однако величины ск не встречаются ни в одной из этих двух систем
уравнений, так что (2') и (3') уже тогда обращаются в тождества, когда
мы заменяем х[ на /Дат, а). Другими словами, уравнения (2') и (3') — это
некоторые дифференциальные уравнения для х\ • • • х'п, рассматриваемых
как функции от а\ • • • ar, х\ • • • хп. При подстановке х\ = /г(х, а) эти
дифференциальные уравнения выполняются тождественно, т. е. независимо от
значений величин Ь\ • • • 6Г. Вследствие этого последние играют в
дифференциальных уравнениях (2') и (3') лишь роль произвольных констант.
Поэтому если мы придадим величинам Ь\ • • • Ьг в уравнениях (2') и (3') какие-
либо произвольные допустимые, но фиксированные значения uj\ • • • шГ9 то
эти уравнения по-прежнему будут представлять собой дифференциальные
уравнения, которые при подстановке х\ — f%{x,a) тождественно
выполняются. Эти новые дифференциальные уравнения имеют, однако, то
преимущество, что содержат лишь переменные х\ • • • х'п, а\ • • • аг и производные
дх'и
а произвольных констант, напротив, не содержат.
34
Глава 2
Для удобства записи таких дифференциальных уравнений введем
следующие обозначения:
Фж„(х[ • • • х'п,ш\ • • • шг) = €™(х[ • • • х'п),
\Pjk(ai • • • ат,ш\ • • • шг) = Фзк{а\ • * • ar),
Ajk(ai • • • ar,u>i • • • шг) = atjk(ai • • • ar), ^ '
[у = 1 • • • п; 7Г, j, /с = 1 • • • г).
Тогда из (2') при подстановке 6^ = шк получится следующая система
дифференциальных уравнений:
дх' ^
= zZ^jki^i'" а*) • tjifa'i • - • х'п) (i = n, fc = 1-r), (5)
а из (3') — система, эквивалентная системе (5):
• • * x'n) — ^2,akj{ai • • • ar)irr^ (i = l •■• n, fc = l • •• r). (6)
j=i a'
Входящие в эти уравнения функции ^fc(a) и akj(a), очевидно, связаны
соотношениями
г
fc=l
^fcj (a) • с*Ьг (a) = £jn,
fc=i
^±^11 ••• ?>rr -^an ••• arr = 1,
где 6jW обращается в нуль, если тг отлично от j, а Ejj равны 1.
Само собой разумеется, что система значений Ьк = ujk должна находиться
в области ((a)).
Дифференциальные уравнения (5) и (6), в свою очередь, выведены сначала
при условии, что Xi находятся в области ((#)), аа^-в области ((a)), причем х[ =
= fi(x,a) принимают тогда определенные значения внутри области (х). Ниже,
однако, мы покажем, что функции, входящие в (5) и (6), могут быть определены на
большей области, из чего сможем тогда заключить, что и область справедливости
этих уравнений больше.
Впрочем, из сказанного выше можно сделать вывод, что функции £ji(x')
заданы по крайней мере во всей области (аг), а не только в ранее заданной меньшей
вывод основных дифференциальных уравнений
35
области. Кроме того, поведение €ji(x') для всех систем значений х[ • • • х'п в
области (х) регулярно, они даже однозначны во всей этой области по той простой
причине, что все это справедливо для Ф^(х',Ь), из которых возникают £ji(x') при
подстановке bk = us к. Однако ниже мы увидим, что £ji(xf) могут быть определены
путем аналитического продолжения в некоторой еще большей области.
Необходимо также отметить, что функции ^jfc(a) и ajk(a) ведут себя для
всех систем значений ак в области ((a)) регулярно, а также то, что ни один из
определителей
ни для какой из этих систем значений не обращается в нуль.
Из уравнений (6) можно получить еще одно следствие, которое
позднее окажется важным: гп выражений не зависят друг от друга в том
смысле, что невозможно удовлетворить и уравнениям
г
^2 вк "' Хп)=° (» = 1 • ■ • п)
при помощи таких величин е\ • • • ег, которые не обращаются
одновременно в нуль и не содержат переменных х[ - - - х'п.
Действительно, если предположить, что е\ • • • ег — такие независимые
от х\--- х'п величины, которые удовлетворяют уравнениям выше, то в
силу (6) мы получим следующие п уравнений:
т дх'
]Р ekakj(a)-^ = О (» = 1 • • • п),
обращающиеся в тождества при подстановке х[ = а). Следовательно,
все п функций /Дх, а) одновременно удовлетворяют линейному
дифференциальному уравнению в частных производных
r df
£ efcafcj(a)^-=0,
kj=l 3
в котором коэффициенты при наложенных условиях зависят только от
а\ • • • ar, но не от х\ • • • хп. Согласно утверждению 1, глава 1, это
невозможно, т.к. параметры а\ • • • аг в уравнениях х[ = /Дх,а) являются
существенными. Итак, данное дифференциальное уравнение должно само по
себе являться тождеством, т. е. для любого j должно выполняться
г
^2ekakj(a) =0 {j = l г);
k=i
36
Глава 2
но поскольку определитель, составленный из а^-(а), не обращается в нуль,
то немедленно получается е\ = еъ = • • • = ег = О, что доказывает наше
утверждение.
Подытожим основные из полученных до сих пор результатов
следующим образом:
Теорема 3. Если п уравнений
х% = fi(xi' • * хп, а\--- ar) (г = 1 • • • п)
представляют конечную непрерывную группу, все параметры которой
а\ • • • аТ являются существенными, то х\-- х'п, рассматриваемые как
функции от а\ - - • аТ, х\- • хп, удовлетворяют дифференциальным
уравнениям вида
дх' г
= Yl^k(ai'" ar)'€ji(x'l ••• х'п) (i = - п, /с = Ь - г), (5)
k j=l
которые можно записать и так:
Т дх'
tji(xi-' хп) = Ylaik(ai"' а^Ъа^ (i==1"*n' J" = 1 •••»•)• (6)
Здесь тождественно не обращаются в нуль ни определитель из ^jfc(a),
ни определитель из ocjk{a); кроме того, невозможно задать г таких не
зависящих от х[ • • • х'п и не равных одновременно нулю величин е\ • • • ег,
чтобы п выражений
e\i\i{x') + • • • + eriri(xf) (i = l • • • n)
одновременно обращались в нуль1.
Эта теорема является основой для последующих результатов. То же
самое справедливо, как уже было сказано, для всех конечных непрерывных
групп. А именно: нужно подчеркнуть, что при доказательстве этой
теоремы совершенно не берется во внимание, содержит ли данная группа
тождественное и обратные преобразования. Другими словами, мы не
использовали в доказательстве никаких других предположений, кроме сделанных
в §2.
*Ли, Archiv for Math, og Naturv.. том 1, Христиания, 1876 г.
вывод основных дифференциальных уравнений
37
Пример. Рассмотрим снова группу
. х + ai
CL2X + аз'
Мы имеем:
дх[
1
а>2Х + а3'
поэтому, как легко убедиться:
1
да\
дх^
дач
dti
даз
дх[
да,2
дх[
даз
а2
х(х + ai)
(а2х + а3)2'
х + а\
(а2х + а3)2'
аз — aia2
аз — aia2
ai 5
аз — aia2
03
-х
/2
аз — aia2
а2
/2
оз — aia2 аз — aia2
Итак, для выполнения утверждений теоремы 3 нам достаточно положить
6i(xr) = l, Ы{х')=х\ Ы{х')
§8
Теперь мы переходим к обещанному доказательству того, что область, в
которой определены функции £ji и ipjk, может быть расширена. Необходимо при этом,
однако, отметить, что эти рассуждения в дальнейшем, строго говоря, необязательны.
О функциях £ji(x) и ф]к{о) было пока известно следующее: поведение
функций £ji(x) регулярно во всей области (аг), а для ф]к{а) верно то же самое в области
((a)). Сейчас мы покажем, что можно аналитически продолжить как £(х), так и ф(а)
за пределы данных областей. Одновременно будет видно, что уравнения (5),
= ]£^*(а)'Ы*/)»
верны также в большей области, чем мы до сих пор знаем; пока же справедливость
этих уравнений обеспечена только тогда, когда xi принимают значения в ((х)), ак —
в ((a)), а xfi соответственно определяются из соотношений х[ = /г(х, а).
38
Глава 2
дх'
Уравнения (5) представляют производные как функции независимых друг
дх'
от друга переменных х[ • • • х'п, а\ • • • аг. Другое представление —- через х' и а
оак
находится следующим образом: в уравнении
— = —fi(x а)
дак дак
выражение в правой части корректно определено и ведет себя регулярно, если х
произвольны во всей области (х), а а — во всей области (а). Тогда по условию
можно разрешить уравнения x'i = /г(х,а) относительно х\ • • • хп: хи = Fu(x',a),
где Fv ведут себя регулярно в окрестности любой системы значений х[, cik при
условии, что а\ • • • аг лежит в области (а) и что х\ = /г(х, а), где ~х~\ - • • хп при-
надлежит области (х). Поэтому если произвести в выражениях ——/г(х,а) подста-
оак
новку хи = Fu(x', а), то мы получим
дх' Я
■к-2- = *—fi(x,а) = Qki(x'i - x'niai - аг) (г = 1 • • • п, к = 1 • • • г),
оак оак
где Оы, в свою очередь, ведут себя регулярно в окрестности любой системы
значений х'^Ък с заданным выше свойством.
В дальнейшем будет важным замечание, что не существует независимых от
переменных х - • • • х'п функций Xi(a) * *' Хг{о) от а\ • • • ar, удовлетворяющих п
уравнениям
г
Xk(ai • • • аг) • Оы{х, а) = 0 (г = 1 • • • п);
fc=i
это исключено просто потому, что не существует линейного дифференциального
уравнения в частных производных вида
г or
2>(ai'"arW=0'
fc=l
которому удовлетворяли бы все п функций /i(x, a) • • • /п(х,а). Напротив, вполне
возможно, что для отдельных специальных систем значений, например для
некоторых а\ • • • аг, имеют место соотношения вида
г
У^ 1к &ы(х\ а0) = 0 (г = 1 • • • п),
fc=i
в которых величины 1\ • - • 1Г не зависят от индекса г и от переменных х[ • • • х^.
вывод основных дифференциальных уравнений
39
Естественно, что в общей области определения оба наши представления тг-1
оак
должны совпадать. Следовательно, имеют место тождества
j=i
если ак лежат в ((a)) и х'и = fv(x, а), где х принадлежит области ((х)). Эти
тождества нам вскоре очень пригодятся.
Сначала расширим область, в которой определены £(х'). Для этого положим
где под Ск понимаются произвольные, независимые от х' величины. Применим
к уравнениям (8) утверждение из теории дифференциальных уравнений, которое
мы уже однажды упоминали (ср. введение, стр. 5, см. также гл. 10). Согласно этому
утверждению можно задать некоторые дифференциальные уравнения, не
содержащие С\ • - Сг, которым Si • • • Еп удовлетворяют как функции от xi • • • х'п, и
общие решения которых представляют собой в точности вышеназванные значения
для Е, если рассматривать С\ • • • Ст как константы интегрирования. Мы получим
эти дифференциальные уравнения, если вычислим все производные функций Е по
x'i • • - х'п до некоторого порядка, скажем га, и затем выпишем все уравнения,
получающиеся путем исключения величин Ск- Число га при этом выбирается таким,
чтобы полученная система дифференциальных уравнений была разрешима
относительно всех производных от Е\ • • • Еп порядка га, но не всех производных порядка
Таким образом, мы получаем систему линейных дифференциальных
уравнений в частных производных, определяющую выражения Е\ — • Еп. Будем считать,
что эта система разрешена относительно стольких производных функций Е,
сколько уравнений она содержит. Тогда очевидно, что коэффициенты в разрешенных
дифференциальных уравнениях — это рациональные функции от Оы{хг,а) и их
производных по x'i • • • х'п порядка от 1 до га. Каждый из этих коэффициентов
является поэтому отношением двух функций от xi • • • х'п, а\ • • • аг, поведение которых
регулярно, если ак принимают любые значения из (а), а х\ удовлетворяют
уравнениям х\ с= /г(х,а), где х принимает любые значения из (х). Отсюда мы заключаем,
что каждый такой коэффициент по крайней мере в общем случае ведет себя для
соответствующих систем значений ак->х\ регулярно и может быть аналитически
продолжен на все множество этих систем значений.
Вернемся теперь к тождествам (7). Они показывают, что уравнения (8) можно
также записать в виде
г
(8)
(т-1).
,-=1 \fc=i
(г = 1 - - - г»),
(8')
40
Глава 2
по крайней мере пока ак находятся в ((a)) и x'i = fi(x,a), причем хи находятся
в ((#)). Следовательно, если мы ограничимся этими системами значений х[, ак, то
для вывода обсуждаемых дифференциальных уравнений для Б\ • • • Бп мы можем
использовать как уравнения (8х), так и уравнения (8); полученные в обоих случаях
дифференциальные уравнения будут идентичны.
Теперь легко видеть, что дифференциальные уравнения для Б\ ■ • ■ jz-n,
выведенные из (8'), не содержат а\ • - - аг. А именно: уравнения (8') представляют
собой в известной нам области х\, ак наиболее общую систему решений этих
дифференциальных уравнений, если рассматривать С\ • • ■ Сг как константы
интегрирования. Если же положить
г
k=i
и учесть, что определитель, составленный из ^jfc(a), не обращается тождественно
в нуль, то очевидно, что и уравнения
S = £C&,(*') (i = l---n) (8")
с г константами интегрирования С[ • • • С'г будут представлять наиболее общую
систему решений наших дифференциальных уравнений. Поэтому из уравнений (8")
мы можем с тем же успехом, что и из (8'), вывести дифференциальные уравнения
для Ег • • • Бп. Но если мы это сделаем, т.е. продифференцируем уравнения (8")
и исключим С', то получим дифференциальные уравнения, коэффициенты
которых не содержат а\ • • • аг и зависят только от • • • х'п. То же самое, разумеется,
должно иметь место и для дифференциальных уравнений, полученных из (8') и (8)
соответственно, по крайней мере для всех х\ из области х' = /(((х))((а))).
Рассмотрим теперь в разрешенных дифференциальных уравнениях,
выведенных из (8), какой-нибудь коэффициент Е(х'г - • • х'п, а\ • • • ar). Его можно, как мы
знаем, аналитически продолжить на всю область (a), х' = f((x)(a)). Но только
что мы видели, что этот коэффициент не зависит от а\ • • • аг, пока ак находятся
в ((a)), а х\ — в х' = /(((#)) ((a))). Значит, г производных ^ в этой
последней области тождественно обращаются в нуль. Поскольку эти производные, так
же как и Е, можно аналитически продолжить на всю область (a), х1 = /((я?)(а)),
то во всей этой области они тождественно обращаются в нуль; то есть Е и
вообще все коэффициенты разрешенных дифференциальных уравнений, выведенных из
(8), во всей области (a), х' = f((x)(a)) не содержат ак и являются, таким образом,
функциями лишь от xi - • • х'п. Разумеется, эти коэффициенты можно аналитически
продолжить на всю область х' = f((x)(a)), и они всегда ведут себя в этой области
регулярно.
Мы знаем, что самая общая система решений дифференциальных уравнений
для Б\ • • • Бп содержит ровно г произвольных констант. Эту общую систему ре-
вывод основных дифференциальных уравнений
41
шений можно линейно получить2 из г частных систем решений Ski - • • Skn (к =
= 1 • • • г), если они образуют так называемую фундаментальную систему, т. е. если
нельзя задать г не зависящих от х[ • • • х'п величин h\ • • • hr, которые бы
тождественно удовлетворяли п уравнениям
г
hk Zki = 0 (г = 1 • • • п),
fc=i
не обращаясь одновременно в нуль.
Таким образом, мы можем задать для любой системы значений х[ из
области х' = /((х)(а)) такую фундаментальную систему решений, все функции
которой в окрестности данной системы значений х\ ведут себя регулярно.
Действительно, если ai • • • аг — система значений общего положения в (а), то выражения
i?/ci • • • Qkn (к = 1 • • г) представляют собой такую фундаментальную систему.
Поэтому равенства
г
Ег = ^Г,Ск Oki{x\а) (г = 1 • • • п)
k=i
с произвольными константами С\ • • • Сг задают самую общую систему решений.
Причем все Оы{х' ,а) в окрестности любой системы значений х\ = fi (#, а) ведут
себя регулярно, если выбрать х\ • • • хп где-то в области (х). Если добавить к этому,
что коэффициенты наших дифференциальных уравнений аналитически
продолжаются на всю область х = f((x)(а)), то мы поймем, что можно исходить из
некоторой определенной фундаментальной системы систем решений, например, из
вышеописанной, и аналитически продолжить ее на всю область х' = f((x)(a)). Само
собой разумеется, что эти аналитические продолжения в любом месте этой области
ведут себя регулярно и, кроме того, всегда представляют собой фундаментальную
систему. Выбрав конкретную систему значений а\ • • • аг в области ((a)), мы можем
использовать тождества (7), чтобы увидеть, что £ji(x') могут быть продолжены на
всю область х' = f((x)(a)). Итак, мы получаем
г
]РФзк{а) • £ji(x') = Qki(x\а) (г = 1 • • • п, к = 1 • • • г),
а поскольку определитель ^2 ±фц (а) • • • фгг(а) при наложенных условиях
заведомо отличен от нуля, то мы получим £ji(x'), выраженные в виде линейных
однородных функций от Qki{x\a) с постоянными коэффициентами. Эти выражения для
£ji(xf) можно аналитически продолжить на всю область х' — f((x)(a)) (поскольку
это верно для Qki(x'', а)), и они ведут себя при этом регулярно в любом месте этой
области и представляют собой фундаментальную систему решений.
Тем самым первая часть нашей задачи выполнена — область, в которой
определены £ji(x'), расширена. Остается лишь проделать то же самое для ipjk(a).
2Получить как линейную комбинацию. — Прим. ред.
42
Глава 2
Для этого используем следующее соображение.
Функции ^ji{x') образуют в любом месте х[ систему из г решений, более
того, фундаментальную систему. Функции Qki(xf,a) представляют собой г частных
систем решений для любой системы значений а\ • • • аг, но для некоторых
специальных а? • • • а® эта система может оказаться не фундаментальной. Однако каждая
система решений (2ki(x'\а) • • • Qkn{x' ,а) может быть линейно получена из
фундаментальной системы €ji(xf):
г
Окг{х,а) = Y^h3k^jiix') (* = 1 ••• г, г = 1 ... п),
причем hjk — совершенно определенные константы, если а\ - - • аг фиксированы.
Поэтому если величины hfjk, так же как и hjk, удовлетворяют только что
записанным уравнениям, то получается
г
^2(h'jk - hjk) • Zji(x') = 0 {к = 1 •. • г, г = 1 • • • тг),
т.е. hjk = hjk согласно известным свойствам £ji(x').
Конечно, данные значения hjk зависят от йк, или, если мы запишем ак
вместо ак, hjk будут некоторыми функциями от ак. Чтобы определить эти функции,
разложим в уравнениях
г
Qki(x ,а) = ^ hjk(a) • £ji(x')
j=i
обе части по степеням x'v — ж(?, где х'„ — fu(x°,a) и х® лежит в области (х),
aafc-в области (а). Затем сравним коэффициенты обеих частей и получим систему
линейных уравнений
г
Vkifxja) = y^Jjiy ' hjkja) (к = 1 • - г, г = 1 • • • n, /i = l,2-)
для нахождения hjk(a). Эти уравнения должны, согласно вышесказанному,
полностью определять hjk(a), однако не могут их переопределить, т.к. любой системе
значений ак заведомо соответствует система значений hjk. Поскольку Iji^
являются числовыми константами, а шыц{а) — обычными степенными рядами от ак — ак,
то и hjk будут обычными степенными рядами от ак — а~к> причем в окрестности
любой из систем значений ак в области (а).
Это означает, что hjk(a) аналитически продолжаются и ведут себя регулярно
на всей области (а). Так как очевидно, что hjk(a) внутри области ((a)) совпадают
с ^jk{o) [ср. (7)], то и ipjk(o>) тогда определены на всей области (а). При этом,
впрочем, не исключено, что определитель ^2 ±фп • • • фгг обращается в нуль для
отдельных систем значений области (а); отсюда будет следовать, что функции ctkj(a),
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
о которых шла речь выше, не для всех систем значений области (а) ведут себя
регулярно.
Итак, задача, которую мы поставили себе в начале настоящего параграфа,
решена. Области, в которых определены функции £ji(x') и ^jkip), мы расширили.
Тем самым одновременно расширена область справедливости уравнений (5); и мы
можем утверждать следующее:
Уравнения х[ = fi(xi • • • хп, аг • • • аг) нашей г-параметрической группы
удовлетворяют дифференциальным уравнениям (5):
Jfa" = zJ^fc(ai ar) ' &(x'i x'n) (t = 1 • • ■ n, k = 1 • • • r),
если x\ • • - xn означает любую систему значений из области (х), а а\ • • • аг —
любую систему значений из области (а).
§9
К найденным до этого дифференциальным уравнениям мы хотим
теперь добавить еще некоторые новые.
При этом мы используем полученные в § 6 уравнения (3):
дх\ ^ дх[ дак * , , , ч
^ = £^^ = <м*'.») с-!-* -=i—). (з)
при выведении которых мы предполагали, что Ь\ • • • 6Г, х\ • • • хП9 с\ • • • сг —
независимые переменные, рассматривая при этом ак и х[, в силу уравнений
ск = (рк(а,Ь),х[ = fi(x,a), как функции от &i • • • 6Г, х\ • • • хП9 сг • • • Сг.
В уравнения (3) мы сначала подставим вместо -г-1 их значения из (5),
оак
да
а вместо производных — найденные на стр. 32 выражения Апк(а,Ь),
тогда получим следующие уравнения:
дх' r г
Qjf- = ^2^л(х,)^2Л^к(а,Ь) • фзк(а)
ж j=l к=1
или, если мы положим
г
Дг*(а, Ь) • ^jfe(a) = ^(ai • • • a,., fci • • • ftr),
44
Глава 2
то нижеследующие:
дх'
Кроме того, уравнения (3) дали второе выражение для -^т-1, а именно
Фтгг(яЛ Ь); значит, имеют место соотношения
г
5^^(а,Ь).^(х/) = ^<(х/,Ь).
Поскольку п + 2г переменных xj, аь 6& не зависят друг от друга, то эти
уравнения могут иметь место, только если они тождественны по х£, ак и
Поэтому если ai • • • ar и Щ • • • ar означают две произвольные системы
значений а, то соотношение
г
]Г (0^(а, 6) - 7?j7r(а, 6)) • ^(х') = О
является тождеством. Из этого, однако, немедленно следует, что ^^(a, Ь) =
#jW(a, 6), т. е. #J7r (а, 6) не содержат а и зависят лишь от 6.
Вследствие этого наши дифференциальные уравнения для х\ • • • х'п
имеют вид:
дх' т
0^ = ^зЛЬ)-Ы^) (* = 1-.-п,7г = 1-..г). (9)
Само собой разумеется, что определитель, составленный из здесь не
обращается тождественно в нуль.
В соответствии с тем, как они были выведены, уравнения (9) заведомо
выполняются, если Xi находятся в области ((х)), а* и bk — в области ((a)), и наконец, х\ —
в области х' = f(((x))((a))), т.е. в определенной части области (х). Однако можно
показать, что функции, появляющиеся в (9), определены в большей области; тем
самым расширяется также и область справедливости уравнений (9).
Чтобы доказать выдвинутое утверждение, мы исходим из тождеств
г
Х)Ы*')чМ6) = <Мх',6) (t = l •■•!», W = l--T), (10)
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 45
которые уже использовались выше. Эти тождества справедливы, впрочем, только
в указанной выше области; однако мы знаем, что функции €ji(x')9 Фъг(х',Ь) для
всех комбинаций систем значений х\ из (х), Ьк из (а) не только определены, но
и ведут себя регулярно, и даже однозначны во всей этой области. Если мы примем
это во внимание, то из тождеств выше можно вывести некоторое выражение для
которое действует не только в ((a)), но и во всей области (а).
Итак, предположим, что обе части тождества выше мы разложили по степеням
х[ — xi0, • • • х'п —х'п, понимая под х*° систему значений в области х' = /(((х))((а))).
Сравним теперь коэффициенты разложения в обеих частях и получим, вообще
говоря, бесконечную последовательность линейных уравнений:
г
$3^>(Ь) = Х^(Ь) 0г = 1.-.г, /1=1,2..-), (11)
3 = 1
для нахождения #J7r. Величины при этом — числовые константы, а Х>,Д&) —
некоторые функции, ведущие себя всюду в области (а) регулярно.
Прежде всего, ясно, что только что полученные уравнения не могут
противоречить друг другу, т. к. если Ь\ • • • Ьг произвольны в области ((a)), то имеют место
тождества (10), а из этого следует, что данные функции rdj-n(b) удовлетворяют также
уравнениям (11) тождественно, то есть что эти уравнения совместны.
Далее можно показать, что уравнения (11) полностью определяют величины
iij,r(6). В противном случае пришлось бы допустить существование двух различных
систем функций, &]ж{Ь) и i?jW(6), которые тождественно удовлетворяли бы (11),
а значит, и (10). Тогда отсюда следовало бы
г
E(^W-^W)-^i(^)=0 (|=1...П, 7Г=1 .--Г),
i=i
и согласно теореме 3, стр. 36, все выражения fij^ —tfj*- должны были бы обращаться
в нуль. Но это приводит к противоречию.
Следовательно, уравнения (11) задают однозначным образом как
линейные однородные функции от с постоянными коэффициентами, и тем самым
доказано, что dJ7T(b) аналитически продолжаемы на всю область (а) и ведут себя
в окрестности любой системы значений 6i • • • br из этой области регулярно.
Поэтому, согласно известному утверждению из теории функций, тождества (10)
справедливы для всех систем значений х\ из (х) и Ьк из (а). Но тогда дифференциальные
уравнения
дх'
0^- = ФЖг(х\Ь) (г = 1 ...п, 7Г = 1-..Г)
имеют место для всех таких систем значений x'i9 bk, о чем свидетельствует их вывод
на стр. 32. Таким образом, получается, что и дифференциальные уравнения (9)
верны, если х\ произвольно изменяются в (х), а Ьк — в (а).
46
ГЛАВА 2
Вновь подытоживая результаты § 9, мы находим удобным подставить
в уравнения (9) вместо х\ и ак вместо Ьк. Тогда мы можем высказать
следующее утверждение.
Теорема 4. Если рассмотреть в уравнениях
А = fi{x\ • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
группы с г существенными параметрами а\ • • • аг величины Xi как
функции от а\ • • • аТ и х\ • • • х'п, то имеют место дифференциальные
уравнения вида
дх Т
тт1 = ^2#jk(a>i ••• ar) -£ji{xi ••• хп) (г = 1 ■•• п, fc = i ... г). (9')
Теорему 4 можно было бы проще вывести на основе связи между
теоремами 2 и 3. Используемый здесь метод доказательства предпочтителен по
многим причинам, в том числе потому, что он показывает, что упомянутые
в теореме 4 функции £ji(x) тождественно совпадают с функциями £ji{x')
из теоремы 3.
Добавим к этому следующее:
В дифференциальных уравнениях (9') х» могут принимать произвольные
значения в области (х), а а* — в области (о).
Пример. Для группы
/ х + а\
х =
получается:
а^х + аз
дхх аз а2
да\ аз — а\а,2 аз — a\a<i
dxj _ аг ^ 1 х2
дач аз — а\ач аъ—а\аъ '
9xj = Qi + 1 х
9аз аз — aiu2 аз — а\ач
Это согласуется со сказанным ранее:
Ы(х) = 1, = ^ = *2-
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
47
§ю
В заключение мы хотим из уравнений (5) и (9') вместе взятых вывести
некоторые новые уравнения.
Продифференцируем уравнения х[ = fi(x,a) по а^, рассматривая х
в силу этих уравнений как функции от а и х'. Получаем
0 = df^dx^ df^
^—j dxv дак дак'
дхи dfi dx\ /r4
и подставляя значения из (9) и -— = из (5), имеем
oak oak oak
I/=l [j=l J v j=l
Очевидно, что последние уравнения выполняются тождественно, т.к.
х\ • • • хп и а\ • • • ат независимы друг от друга. Поэтому мы можем
также сказать, что х[ • • • х'п, рассматриваемые как функции от х\ • • • хп и
o>i • • • аг, удовлетворяют дифференциальным уравнениям
£ | \ ^+£<ыакж)=о
„=i [ j=i J v j=i
(t = 1 • • • n, = 1 • • • r).
Эти дифференциальные уравнения можно записать симметрично по
переменным х и х'. Для этого мы рассмотрим F{x\ • • • х'п) как произвольную
функцию от гг^ • • • х'п, умножим вышестоящее уравнение на и просум-
OXi
мируем по i от 1 до п; тогда, используя очевидное соотношение
dF дх'{ _ QF
EOF _
. л dx\dxv dxv"
мы получим г уравнении:
£*;*(«)£Ы*)|г + £^(а)£ы*')|^ = о (12)
j=i i/=i " j—1 i/=i ^
(fc=l -г).
Итак, мы можем сформулировать следующее утверждение.
48
Глава 2
Теорема 5. Если уравнения
х\ = fi{xi
• • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
представляют r-параметрическую группу преобразований с г
существенными параметрами а\ ar, a F{x\ • • • х'п) является произвольной
функцией от х\ ••• х'п, если, наконец, £jk, ipjk{a)> ^jk{o) — функции своих
аргументов, как в теоремах 3 и 4, то г соотношений
при подстановке х[ = а), • • • х'п = /п(х, а) обращаются в
тождества.
Что касается области справедливости уравнений (12), то необходимо отметить
следующее:
Уравнения х\ = /«(х,о), благодаря которым (12) тождественно выполняются,
справедливы, если Xi лежат в (я), а а* — в (а), откуда тогда находятся
соответствующие значения для х\. Поскольку теперь коэффициенты уравнений (12) также
определены и ведут себя регулярно, если ж» лежат в (х), ак — в (а), а х[ — в области
х' = f((x)(о)), то мы заключаем, что и сами уравнения (12) справедливы для всех
этих систем значений Xi, а*, х\.
(12)
Глава 3
Однопараметрические группы
и инфинитезимальные преобразования
Общие рассуждения предыдущей главы мы применим сперва к
самому простому случаю г = 1, т. е. к однопараметрическим группам. При этом
нам предоставится возможность ввести понятие инфинитезимального
преобразования1.
§и
Пусть
х[ = fi{x\ • • • xn,a) (t = l • • • n)
суть уравнения однопараметрической группы. Согласно теореме 3, стр. 36,
х'\ "' х'п, рассматриваемые как функции от а, удовлетворяют следующей
системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
dx'
-^=<ф(а).Ь(х'г -..<) (i = i..-n). (1)
Что касается области справедливости этих дифференциальных уравнений, то
мы ссылаемся на сказанное в §8. Отметим особо только то обстоятельство, что
функция ф(а) во всей ранее оговоренной области ведет себя регулярно и что по
крайней мере в области ((a)) нигде не обращается в нуль.
Если мы рассматриваем х\ • • • хп как произвольные константы, то
уравнения х\ = fi(x\ ••• xn,a) представляют собой систему
интегральных уравнений системы (1), а именно полную систему интегральных
уравнений, поскольку она разрешима относительно констант интегрирования
х\ • • • хп. Полных систем интегральных уравнений существует бесконечно
много, но если известна одна из них, например
4 = ЩСг •••Сп,а°) (i = i..-п)
!Ли, Научное общество Христиании 1872, 1873 г., Archiv for Mathematik og Naturv.,
Христиания, 1876 г.
50
глава 3
с п константами интегрирования С\ • • Сп, то всегда можно подставить
вместо С\ • • • Сп такие функции от х\ • • хп, что Vi(C, а) = fi(x, а).
Чтобы задать константы С требуемым образом, необходимо лишь знать вид
функций /г(х, а) для какого-либо определенного значения а = а0, а затем
разрешить уравнения
относительно С\ • • • Сп.
Отсюда явствует, что дифференциальные уравнения (1), взятые сами
по себе, еще не полностью задают нашу группу. Однако если мы имеем
дифференциальные уравнения (1), и если, кроме того, нам известно
преобразование нашей группы х[ = f%(x\ • • • хп,а°), соответствующее
заданному значению а = а0, то можно найти уравнения однопараметрической
группы, полностью проинтегрировав систему (1).
Мы можем использовать это обстоятельство для получения различных
форм представления нашей однопараметрической группы, применяя
различные формы полной системы интегральных уравнений. Для простоты мы
сначала наложим условие, что среди преобразований нашей группы,
принадлежащих области ((a)), имеется тождественное преобразование. Итак,
пусть fi(x\ • • • xn,a°) = Xi, где a° означает определенное место в обла-
Предположим, что любую полную систему интегральных
уравнений (1) можно привести к виду
где функции ft\ • • • fin не зависят друг от друга, и С\ • • • Сп означают
константы интегрирования. Чтобы теперь получить уравнения нашей группы,
нам надо лишь таким образом задать С\ • • • Сп как функции от х\ • • • хп,
чтобы значению a = a° соответствовало тождественное преобразование
х[ = Xi, т.е. положить С\ = fi\(x),- Сп = Оп(х). Таким образом мы
найдем уравнения
Vi(Ci •••
Cn,a°) = fi(xi ••• хп,а°) (t = l ■•• n)
ста ((a)).
(2)
Qi{x\ • • • x'n) = Qi(xi • • • xn) (i = l • • • n - l),
12»(xi • • • x'n) - I ip(a)da = Qn{xi • • • xn),
которые представляют собой лишь иную форму уравнений х\ = /t(xi • • • xn, a).
однопараметрические группы
51
Теперь уместно ввести вместо а новый параметр
Согласно изложенному в начале этого параграфа, здесь не только t как
функция от а в окрестности а0 ведет себя регулярно, но также и а как
функция от t в окрестности t = 0. Поэтому соответствие между а и t в
некоторой окрестности а — a0 (t = 0) взаимно однозначно. В этой окрестности
уравнения
представляют нашу однопараметрическую группу с тождественным
преобразованием.
Впрочем, последние уравнения можно также непосредственно вывести
из системы уравнений
Надо лишь так задать х[ • • • х'п в качестве функций от t, чтобы при
подстановке t = 0 получилось х\ = х\, • • • х'п = хп, и тогда мы имеем систему
уравнений, эквивалентную (3). Конечно, можно и наоборот: вывести из (3)
при помощи дифференцирования систему (4).
Теперь рассмотрим уравнения (3) сами по себе, без учета того, что
они выведены из уравнений х[ = fi(x\ • • • хп, а). Итак, предположим, что
функции Q\ • • • Qn в (3) — произвольно заданные функции своих
аргументов, на которые наложено единственное ограничение: они должны быть
независимы друг от друга.
Пусть величина t принимает все возможные значения, тогда уравнения
(3) представляют собой семейство из оо1 преобразований. Если
последовательно выполнить два преобразования этой группы, то мы, очевидно, всегда
получим преобразование, также принадлежащее этому семейству.
Следовательно, оо1 преобразований (3) всегда образуют группу.
Об этой группе можно сказать следующее: если выполнить
последовательно два ее преобразования с параметрами t\ и £2 соответственно, то
получится преобразование с параметром t\ -И2. Таким образом, любые два
преобразования этой группы перестановочны. Тождественное
преобразование соответствует параметру t = 0; поэтому если параметры t \ и t2 двух
(г = 1 • • • п - 1),
(3)
dx[
dt
= Zi{x'i -"О (t = i---n).
(4)
52
Глава 3
преобразований группы удовлетворяют условию t\ + t2 = 0, то данные
преобразования обратны друг другу. Тем самым ясно, что преобразования
группы (3) упорядочиваются в пары взаимно обратных.
Далее заметим, что каждая система вида (4) дает систему уравнений
вида (3), какими бы функциями от х\ • • • х'п ни были Следовательно, мы
можем сказать, что каждая система вида (4) дает совершенно
определенную однопараметрическую группу, содержащую тождественное
преобразование. Позже, когда мы введем понятие инфинитезимального
преобразования, мы сможем этот факт выразить лаконичнее.
Теперь же вернемся к группе х\ — fi(x\ • • • жп,а) с тождественным
преобразованием х\ = fi{x\ • •• хп,а°) = х\. На нее сразу можно
перенести все то, что было сказано о группе (3), с единственным условием,
что мы ограничимся некоторой окрестностью t = 0 или, что то же самое,
а = а0. В данной окрестности t = 0 мы всегда можем выбрать t\ и t2
такими, чтобы как t\ +t2i так и —1\ лежали в этой окрестности. Следовательно,
и для группы х[ = fi{x\ • • хп, а) будет справедливо, что ее
преобразования, по крайней мере в некоторой определенной окрестности
тождественного преобразования, перестановочны и упорядочиваются в пары взаимно
обратных.
Вид (3), к которому могут быть приведены преобразования х\ =
= fi(xi • • • хп, а) в окрестности а, наводит на мысль ввести вместо х
следующие новые переменные:
Тогда в этих новых переменных у\ • • • уп мы получаем
однопараметрическую группу
которая согласно введенному в §4 определению подобна группе х\ —
= fi(xi • • • хп, а). Если при этом рассматривать у\ - уп как обычные
декартовы координаты n-мерного пространства и использовать
терминологию, применительную к трехмерному пространству, то можно сказать, что
однопараметрическая группа, записанная в переменных у\ • • • уП9 состоит
из параллельных переносов данного n-мерного пространства.
Теперь еще раз подытожим полученные до сих пор результаты, прежде
чем двинуться дальше.
Теорема 6. Если однопараметрическая группа
Qi(x\
• •' хп) = уь • • • Hn(xi • • • хп) = уп.
Уг=Уи ••• y'n-i = Уп-ъ Уп
<'п=Уп + t,
х\ = fi(xi • • • хп, а) (г = 1 • • • п)
54
Глава 3
До сих пор мы предполагали, что наша группа содержит тождественное
преобразование в области ((a)). Теперь же пусть будет неважно, есть там
тождественное преобразование или нет. Тогда многое будет происходить
несколько иначе.
Если а — некоторая точка в области ((a)), то уравнения х\ —
— fi(xi '' • хп,а) нашей группы могут быть представлены в следующем
виде:
Qi(x\ ••• х'п) = A(/i(xi ••• xn,a)--- fn{xi ••• xn,a)) (г = l - n-i),
Пп(х[ ••• x'n) - / ф{а)(1а = Qn(f\{xi ••• xn,a)-«- /n(xi xn,a)).
и ограничимся некоторой окрестностью точки а. Тогда можно полагать, что
каждое преобразование нашей группы в окрестности а получается, если
выполнить сначала преобразование
x~i = fi{xi • • • xn,a) (t = l • ■ • n),
а затем — преобразование вида
то есть сперва преобразование самой группы х[ = fi(x\ • • • хп, а), а затем
преобразование однопараметрической группы, заведомо содержащей
тождественное преобразование.
Этот результат мы также сможем выразить более кратко и четко,
когда введем понятие инфинитезимального преобразования. К этому понятию
нас подведет более обстоятельное рассмотрение тех однопараметрических
групп, которые содержат тождественное преобразование.
Выше мы видели, что уравнения любой однопараметрической группы
с тождественным преобразованием могут быть получены путем
интегрирования вполне определенной системы
Положим теперь
(5)
§12
dx'
—г-=Ь(х\---х'п) « = 1...
п).
(4)
однопараметрические группы
53
содержит тождественное преобразование, то ее преобразования
перестановочны и упорядочиваются в пары взаимно обратных. Каждая од-
нопараметрическая группа такого рода подобна группе переносов
У'\ = Уъ • • • Уп-i = Уп-ъ Уп = Уп+ t-
Пример. Уравнения
х\ = ах\, Х2 = 0?Х2
с параметром а представляют однопараметрическую группу, содержащую
тождественное преобразование, а именно для а = 1. Дифференциальные
уравнения (1) имеют здесь вид
dx[ _ 1 d4 _ i
da ~ <*х*' da " a**2"
Поэтому если мы хотим перевести данную однопараметрическую группу
в группу параллельных переносов согласно вышеизложенным правилам,
то нам надо сначала положить а° равным 1, тогда имеем
t
затем необходимо проинтегрировать систему
dx\ dx'o
—^ = —f=dt
xi 2x2
с учетом начального условия х\ = хь х2 = х2 при t = 0. В результате мы
получаем уравнения группы в виде
Хо Х2 1/1
"Я = ~2> \llX1=\nX1+t.
Xj Xj
Если в качестве новых переменных выбрать следующие:
х2 ,
2/1 =У2 = 1пхь
xf
то группа приобретает желаемый канонический вид:
2/i =Уъ У2 = У2+*
или, если предпочтительнее оставить исходный параметр a
У1=Уь у2 = У2 + 1па.
2Для In х Ли использует обозначение 1х. — Прим. ред.
однопараметрические группы
55
Если эта система интегрируется при начальном условии х\ = х\, • • • х'п =
= хп, то получающиеся уравнения
Qi(xi •••<) = Д (xi • • • xn) (t = l • • • n - l),
/2n(xi • • • xJJ = Qn{xi • • • xn) +1
являются другой формой записи нашей группы. С другой стороны, мы
также видели, что любая система вида (4) связана только что описанным
образом с совершенно определенной однопараметрической группой.
Это обстоятельство мы хотим использовать, чтобы вывести новое
представление любой однопараметрической группы с тождественным
преобразованием.
Мы можем осуществить интегрирование системы (4) также при
помощи степенных рядов, т. е. разложить xi • • • х'п в такие обычные степенные
ряды по t, чтобы тождественно выполнялись как система (4), так и
начальное условие х\ = Xi при t = 0. Соответствующие разложения таковы:
Ji=Xi + jti(xi •'•*")+i^£&&^ + --- (< = 1 •••«)• (6)
Следовательно, это и есть общий вид однопараметрической группы
с тождественным преобразованием.
Чтобы отчетливее выделить правило построения вышеназванных
рядов, введем сокращенное обозначение, а именно положим
п
'•• Х")^~~/(Х1 Хп) =X(f)
понимая под / совершенно произвольную функцию от х\ • • • хп. Тогда
уравнения (6) можно записать в виде
< =xi + f £ + Д х&) + Y^xixib)) +■■■ (&)
или, если угодно, еще и так:
Xri = xi + ±X(xi) + ^X(X(xi))+— (г = 1-п), (6")
где теперь правило построения совершенно легко прослеживается.
56
Глава 3
Систему из п уравнений (6") можно свести к одному единственному
уравнению. А именно: вместо того чтобы задавать разложение в ряд по
степеням t для каждой переменной х\ • • • х'п в отдельности, можно просто
задать общее разложение в ряд для произвольной функции от х\ • • • х'п\
если затем придать этой функции одно за другим значения х[, х'2 • • • х'п, то
мы снова получим все п уравнений (6").
Таким образом, речь идет о том, чтобы разложить выражение /(х[ • • • х'п)
по степеням от t, причем х[ ••• х'п определяются уравнениями (6") и
поэтому удовлетворяют системе (4).
Требуемое разложение в ряд имеет вид
М ■•<) = /' = (/').=. + {(f)i_o + -;
df d? f
поэтому сначала вычислим производные -j-, —4-
dt dt2
dt -^дх\ dt " n)dx'{
t=l 1 1=1 1
fi f1
Если записать здесь £г' вместо и X\f) вместо ]С£г'-"^> то получаем
dxi
1=1 *
х' (ziUug) =*'(*'(/'))
и так далее. При подстановке t = О величины х\ • • • х'п превращаются
соответственно в х\ ••• хп, затем /' — в /, X'(f) — в X(f) и так далее,
короче говоря, мы получаем следующее разложение в ряд:
f(x[ ••• <) = /(*! ■■■xn) + \-X(f) + ^-X(X(f)) + ---. (7)
В этом одном уравнении, очевидно, содержатся все п уравнений (6').
Следовательно, и одно это уравнение (7) может рассматриваться как общее
выражение однопараметрической группы с тождественным
преобразованием.
dt
d2f
dt2
однопараметрические группы
57
Иногда бывает желательно выразить функцию от х\ • • • хп через
х\ • • • х'п и через t. Здесь также можно выписать общую формулу. При
рассмотрении уравнений (3), являющихся разновидностью нашей однопа-
раметрической группы (б'') или (7), мы видели, что преобразование с
параметром —t обратно преобразованию с параметром +t. Поэтому если
мы в уравнениях (6") заменим переменные х\ - • • хп соответственно на
х\ • • • х'п и, кроме этого, t на —t, то получим разрешение этих уравнений
относительно х\ • • • хп. Это разрешение мы можем, очевидно, также
свести к одному единственному уравнению: надо просто применить данную
процедуру к уравнению (7). Тогда мы получим уравнение:
•••*„) = /(*; • • • <) - f • X'(f') + Д • X'(X'(f')) - ■ ■ ■ , (7а)
выражающее произвольную функцию от Xi через x^nt.
§13
Среди оо1 преобразований однопараметрической группы (6) или (7)
исключительную роль играет такое, параметр которого t имеет бесконечно
малое значение, например значение St. Это «бесконечно малое», или «инфи-
нитезимальное», преобразование группы мы рассмотрим теперь поближе.
Если учитывать только первую степень St, а всеми более высокими,
напротив, пренебречь, то из (6') мы получим искомое инфинитезимальное
преобразование в виде
х\ =Xi ••• Xn)St (» = 1.--п); (8)
если же, наоборот, использовать уравнение (7), то мы получим последние п
уравнений сведенными в одно:
/'= / + *•(/)• й,
или, более подробно:
f(x\ •..X'n)=f(x1 ■••*n)+ft-f>|£.
г=1 °Xi
Удобно ввести для разности х\ — Xi, т. е. для выражения ^St, специальный
термин. Иногда мы будем называть ^St «приращением» или
«инкрементом», а также «вариацией» Xi и обозначать через Sxi. Тогда можно
представить инфинитезимальное преобразование также в виде
Sx\ = £\St, • • • Sxn = £nSt.
58
Глава 3
Естественным образом мы соответственно назовем разность /' — / или
выражение X(f)St приращением или вариацией функции f(x\ • • - хп) и
запишем
f'-f = X(f)-St = 6f.
Очевидно, что выражение
2=1
уже само по себе полностью определяет преобразование 6х{ — ^St, если
понимать под f(x\ • • • хп) неопределенную функцию своих аргументов.
В то же время X(f) задает все п функций £i • • • £п по отдельности.
Поэтому введем в качестве символа инфинитезимального преобразо-
вания выражение X(f) = и даже будем прямо говорить об «инфини-
тезимальном преобразовании X(f)». Однако, сразу же хотим обратить
внимание читателя на то, что символ инфинитезимального преобразования (8),
вообще говоря, определен только с точностью до произвольного
постоянного множителя. А именно: если умножить выражение X(f) на какую-либо
конечную константу с, то получающееся выражение cX(f) также можно
рассматривать как символ инфинитезимального преобразования (8). В
соответствии с определением понятия бесконечно малой величины замена St
на cSt ничего не меняет в уравнениях (8).
Введение символа X(f) для инфинитезимального преобразования (8)
дает много преимуществ. Во-первых, очень удобно, что уравнения х[ —
— Xi + £i6t этого преобразования заменяются одним выражением X(f).
Во-вторых, удобно, что при помощи символа X(f) мы имеем дело лишь
с одним набором переменных, а не с обоими: Х\ • • • хп и х\ • • х'п. И
наконец, в-третьих, символ X(f) отражает связь между инфинитезималь-
ными преобразованиями и линейными дифференциальными уравнениями
в частных производных, поскольку в теории последних такие выражения
как X(f), играют большую роль. Эту связь мы подробно рассмотрим ниже
(ср. гл. 6).
Вышеизложенные рассуждения показывают, что однопараметрическая
группа с тождественным преобразованием всегда содержит одно
совершенно определенное инфинитезимальное преобразование х\ = х^ + £i5t, или
кратко, X(f). Также ясно, однако, что такая однопараметрическая группа
полностью определена, если известно ее инфинитезимальное
преобразование. Преобразование х[ = Xi + — это, так сказать, лишь по-другому
однопараметрические группы
59
записанная система (4), из которой выведены уравнения (6)
однопараметрической группы.
Итак, поскольку каждая однопараметрическая группа с
тождественным преобразованием полностью определена своим инфинитезимальным
преобразованием, то мы введем для удобства следующую терминологию:
Каждое преобразование однопараметрической группы
x'i=Xi + |б + y^X{Zi) + ''' (г = 1 • • • п)
получается путем бесконечного числа повторений инфинитезимального
преобразования
x'i^Xi+bSt, или X(f) =£ji^ + ... + £ni^.
Или еще короче:
Однопараметрическая группа порождается своим
инфинитезимальным преобразованием.
В отличие от инфинитезимального преобразования X(f), мы называем
уравнения
^ = *» + у& + ^2*(&) + ---
конечными уравнениями данной однопараметрической группы.
Теперь мы можем кратко выразить обнаруженную выше связь между
системой уравнений (4) и однопараметрической группой (6") следующим
образом.
Утверждение 1. Каждая однопараметрическая группа, содержащая
тождественное преобразование, порождается некоторым вполне
определенным инфинитезимальным преобразованием.
И наоборот:
Утверждение 2. Каждое инфинитезимальное преобразование
порождает некоторую вполне определенную однопараметрическую группу.
То, что было сказано в конце § 11 о произвольных однопараметриче-
ских группах с тождественным преобразованием или без него, можно
теперь сформулировать следующим образом.
Теорема 7. Каждой однопараметрической группе
x'i = fi(xi • • • xn, a) (i = l • • • n)
60
Глава 3
соответствует некоторое вполне определенное инфинитезимальное
преобразование
х\ = Xi +&(xi ••• xn)8t (i = l---n), или *(/) = У^я"",
г=1 °^
со следующим свойством: если Xi = f%{x\ • • • xn,a) — какое-либо
преобразование однопараметрической группы, то каждое преобразование х\ =
= /г(#1 • • • #п» я), параметр которого а лежит в некоторой окрестности
точки а, можно получить, выполнив сначала преобразование
Xi = fi(xi • • • жп,а) (г = 1 • • • n),
а затем подходящее преобразование
х\ = Хг + | • • • • xn) + • • • (г = 1 • • • п)
однопараметрической группы, порожденной X(f).
§14
Мы знаем, что каждая однопараметрическая группа с тождественным
преобразованием полностью определяется инфинитезимальным
преобразованием
х[ = Xi + ' * * Xn)5t (г = 1 • n),
а также символом
Но сохраняется ли связь между символом X(f) и соответствующей
однопараметрической группой, если ввести вместо х новые независимые
переменные
Vi = 4>i{xi ••• Xn) (i = i •••п)?
При такой замене переменных -Х"(/) принимает вид
однопараметрические группы
61
или
Если мы предположим, что коэффициенты
здесь выражены через у\ - уп: Х(у1/) = r)u(yi • • • уп), и положим
где / в правой части обозначает функцию от у\ • • • уп, в которую переходит
f(x\ • • • хп) при введении у.
Таким образом, мы видим, что выражение X(f) превращается при
введении новых переменных в символ нового инфинитезимального
преобразования, а именно следующего:
С другой стороны, однопараметрическая группа (7), порожденная
преобразованием X(f):
превращается в некоторую однопараметрическую группу от переменных
2/1 ' — Уп, аналитическое выражение которой мы можем непосредственно
выписать. Если функция f(x\ • • • хп) при введении новых переменных
уi = (fi(x\ • • • хп) принимает вид
f(xi ... хп) = F(yi ••• уп),
а функция f(x[ • • • х'п) при введении у[ = <Pi(x[ • • • х'п) — соответственно
f(x[ ■■■x'n)=F(y'1 ■■■y'J,
то получим
X(f) = Y(f),
у'х,=У*>+ vAvi ■ ■ ■ Vn)St (u = 1 • • • n).
fWi •••<) = -Xn) + {-x(f) + ±-X{X{f)) + ■■■,
62
Глава 3
то мы получим
F(y'i ■■■Уп) = F(Vi ■ ■ ■ Уп) + f • Y(F) + J-_y(y(F)) + • • • ,
где F обозначает теперь, как прежде /, произвольную функцию своих
аргументов. Это последнее уравнение, однако, есть не что иное, как
аналитическое выражение той однопараметрической группы, которая порождается
инфинитезимальным преобразованием Y(f).
Следовательно, связь между однопараметрической группой и
символом ее инфинитезимального преобразования не зависит от выбора
переменных. Другими словами, наш символ инфинитезимального преобразования
однопараметрической группы переходит при введении новых переменных
в символ инфинитезимального преобразования преобразованной
однопараметрической группы.
Этим показано, что символ X(f) инфинитезимального преобразования
однопараметрической группы и при замене переменных полностью
заменяет конечные уравнения этой группы, то есть что нам надо при введении
новых переменных просто рассматривать символ X(f), а не конечные
уравнения группы.
Более того, проведенные выше вычисления показывают, что верно
следующее утверждение:
Утверждение 3. Если символ
инфинитезимального преобразования
х[ = Xi + £iSt (t = l • ■ • n)
принимает при введении новых независимых переменных
- хп) (i = 1 • • • п)
вид
однопараметрические группы
63
то конечное преобразование
x'i=Xi + {-Si + Y^X(£i) + --- (i = l
п),
порожденное X(f), в новых переменных выглядит так.
п),
причем параметр t в обоих случаях имеет одно и то же числовое значение.
Понятия инфинитезимального преобразования, а также однопарамет-
рической группы приобретают наглядность, если воспользоваться
некоторыми геометрическими и механическими представлениями.
В инфинитезимальном преобразовании
рассмотрим переменные х как декартовы координаты n-мерного
пространства. Тогда это преобразование, очевидно, можно толковать как такое, при
котором каждая точка с координатами х\ • • - хп переводится в бесконечно
близкую точку с координатами х[ • • • х'п. Следовательно, данное
преобразование ставит в соответствие каждой точке, для которой не все £г
обращаются в нуль, некоторое направление движения и вдоль этого
направление движения — некоторый бесконечно малый отрезок; это
направление движения задано отношением £i(x) : £2 (я) : • • • : £п(#)> а бесконечно
малый отрезок имеет длину, + • • • + £2 * ^* Если в точке #1 * * * хп все
£ равны нулю, то инфинитезимальное преобразование не ставит ей в
соответствие никакого направления движения.
Представим себе, что все пространство заполнено сжимаемой
жидкостью, тогда можно толковать инфинитезимальное преобразование X(f)
просто как бесконечно малое движение этой жидкости, a St — как
бесконечно малый отрезок времени, в течение которого это движение происходит.
Величины £i(x) • • -£n(#) являются тогда, очевидно, компонентами
скорости той частицы жидкости, которая находится как раз в точке х\ • • • хп.
§15
Х- = Xi +&(xi
• Xn)St (г = 1 • • • n),
или
64
Глава 3
Конечные преобразования однопараметрической группы X(f)
возникают, как мы выше уже отмечали, за счет бесконечного повторения
инфинитезимального преобразования х[ = хг + £г6*£. Таким образом, чтобы прийти
к конечному преобразованию, нам надо представить себе бесконечно
малое движение, представляемое инфинитезимальным преобразованием,
повторяющееся в течение бесконечно многих отрезков времени St; другими
словами, мы должны проследить за движением частиц жидкости в
течение конечного отрезка времени. Для этого необходимо проинтегрировать
дифференциальные уравнения этого движения, т. е. систему уравнений
Частица жидкости, находящаяся в момент времени t = 0 в точке х\ • • хп,
достигает по прошествии времени t точки х[ • • • х'п\ следовательно,
интегрирование должно быть произведено так, чтобы при t = 0 мы имели х\ =
= Хг. Действительно, именно таким способом мы ранее нашли общий вид
конечного преобразования нашей группы. Движение нашей жидкости — это
dx'i
так называемое стационарное движение, так как компоненты скорости —-
at
не зависят от t. Отсюда следует, что процесс движения в одной и той же
точке в любое время одинаков, т. е. что весь процесс движения всегда
протекает одинаково, независимо от того, в какое время начать его наблюдать.
По сути, в этом уже заключается доказательство того, что конечные
преобразования, порожденные инфинитезимальным преобразованием X(f),
образуют группу.
Если мы рассмотрим конкретную частицу жидкости — ту, что
находится в момент времени t = О в точке xj • • • х^, — то мы увидим, что
эта частица движется по кривой, проходящей через точку х\ • • • х^. Таким
образом, все пространство распадается на множество кривых с таким
свойством, что каждая частица остается на кривой, на которой она и находилась
вначале. Мы назовем эти кривые траекториями инфинитезималъных
преобразований X(f). Таких кривых имеется, очевидно, oon_1 различных.
Можно легко записать уравнения траектории, проходящей через
заданную точку Xj • • • х^. Эта траектория есть не что иное, как
геометрическое место всех точек, в которые переходит точка х\ • х^, если к ней
применить оо1 преобразований
dx[
dxn
= dt.
А = *i + f&(*°) + '
(i = 1 • • • n)
однопараметрические группы
65
однопараметрической группы. Итак, уравнения
А=< + \ш + Д №))I=l0 + • • • (.=1 • • •»)
представляют данную траекторию, если рассматривать t как независимую
переменную.
Чтобы представить эту траекторию при помощи соотношений только
между х[ • х'п, надо лишь исключить t из полученных уравнений.
Однако, удобнее исходить из вида (3), к которому можно привести однопара-
метрическую группу X(f). Тогда уравнения траектории, проходящей через
х\ • • • хп, очевидно, будут такими:
Пг{х[ .-•Ж,Л) = Д(Х? (i = l...n-l).
Отсюда следует, что семейство всех oon_1 траекторий может быть
представлено уравнениями
Пг{х\ •••х'п)=Си--' Пп-1{Х[ •"Х,п) = Сп-1
еп — 1 произвольными параметрами С\ • • Сп-\.
§16
Пусть заданы г инфинитезимальных преобразований от переменных
Х\ ' ' • Хп'.
= 1 ••• г).
Умножим каждое из выражений Xk{f) на произвольно выбранную, не
зависящую от х\ • • • хп величину А&, просуммируем все и получим выражение
вида
Ai*i(/) + --- + ArJMA
опять же представляющее собой инфинитезимальное преобразование. Этот
метод получения новых инфинитезимальных преобразований из
имеющихся будет в последующем так часто использоваться, что видится
целесообразным ввести для него собственное название. Поэтому впредь мы
будем говорить, что инфинитезимальное преобразование XiXi(f) + ••• -f
+ \rXr(f) линейно п олу чено из г инфинитезимальных преобразований
ВД) -Xr(f).
66
Глава 3
Может так случиться, что среди инфинитезимальных преобразований
X\(f) • • • Xr(f) имеются несколько таких, которые могут быть получены
линейно из остальных. Это происходит, очевидно, тогда и только тогда,
когда среди линейно полученных из X\(f) • • • Xr(f) инфинитезимальных
преобразований имеются такие, которые тождественно обращаются в нуль,
иначе говоря, если существуют г констант в\ — • ег, которые удовлетворяют
уравнению
eiXi(/) + ... + erXr(/) = 0,
не будучи одновременно равными нулю.
Чтобы упростить изложение, введем следующую терминологию:
г инфинитезимальных преобразований
ВД) = ]ГЫ*1 ■■■Xn)-Jr (* = !•• г)
i=l oxi
называются независимыми друг от друга, если уравнение
eiXi(/)+ +erXr(/) = 0,
в котором е\ • • • ег обозначают независимые от х величины, только тогда
может быть удовлетворено, когда все е\ • • • ег положены равными нулю.
Или несколько короче:
г инфинитезимальных преобразований X\(f) Xr(f) называются
независимыми друг от друга, если ни одно из них нельзя линейно получить
из остальных.
Если, напротив, соотношение
eiXi{f)+ ... +erXr(/)=0
может выполняться при постоянных, не всех обращающихся в нуль
значениях величин е/е, то инфинитезимальные преобразования X\(f) • • Xr(f)
не будут независимыми друг от друга, но среди них будет иметься
некоторое число независимых преобразований, например Xi(f)---Xrn(f)
(т < г), в то время как Xm+i(/) • • • Xr(f) можно линейно получить из
X\(f) ••• Xm(f). Очевидно, что совокупность всех инфинитезимальных
преобразований AiXi(/) + • • • + XrXr(f) можно тогда линейно получить
уже из одних X\(f) • • • Xm(f).
Всякое инфинитезимальное преобразование
AiX!(/) + ... + ArXr(/) = C(/)
однопараметрические группы
67
порождает, как мы знаем, группу C(f) — однопараметрическую группу,
конечные преобразования которой имеют вид
Рассматривая здесь величины Ai • • • Лг как произвольные параметры и
придавая этим параметрам всевозможные значения, мы получим целое
семейство однопараметрических групп. Конечные преобразования этого
семейства однопараметрических групп представляются выписанными выше
уравнениями с г + 1 параметрами Ai • • • Ar, t\ но поскольку эти г + 1
параметров встречаются только в г комбинациях \\t • • Агг, то мы можем без
ограничения общности положить t равным 1 и получим тогда в качестве
аналитического представления соответствующих преобразований
следующие уравнения:
с г параметрами Ai • • • Аг.
Так сколько же различных преобразований представлены этими
уравнениями? Или, что то же самое, сколько из г параметров Ai • • • Аг являются
существенными?
Если эти г инфинитезимальных преобразований X\(f) •• - Xr(f) не
являются независимыми друг от друга, то и не все г параметров Ai • • • Аг
в уравнениях (9) являются существенными. А именно: пусть, например,
лишь X\(f) - • • Xm(f) (т < г) друг от друга независимы, в то время как
-X'm+iC/) • • • Xr(f) можно линейно получить из Xi(f) - • • Xm(f):
X = Xi + jC(Xi) + ^С(С{Хг)) + • • • (t = 1 - - - n).
k=l k,j=l
m
Y,ejMf) (j = i...
r — m).
/i=l
Тогда мы имеем
т. е. число произвольных параметров в выражении C(f) сокращается до ш,
а тем самым и число произвольных параметров в (9).
68
Глава 3
Если, таким образом, среди г инфинитезимальных преобразований
имеется только т друг от друга независимых, то в уравнениях (9) из г
параметров Ai • • • Аг самое большее т являются существенными.
Поэтому отныне мы предполагаем, что инфинитезимальные
преобразования Xi(f) • • • Xr(f) не зависят друг от друга.
При этом условии параметры Ai • • Аг в уравнениях
преобразований (9) действительно являются существенными; мы сейчас это докажем.
Целесообразно, однако, будет разобраться с некоторым простым
случаем, а именно со случаем, когда число г не больше п, и при этом не все
определители порядка г матрицы
6i
(10)
тождественно обращаются в нуль. В этом специальном случае заведомо не
все определители порядка г матрицы
дх\
дхп
d\i
дХг
дх\
дхп
дХг
дХг
тождественно обращаются в нуль, так как для специальной системы
значений Ai = А2 = • • • = Ar = 0 эта матрица переходит в записанную выше,
у которой по условию не все определители порядка г тождественно равны
нулю.
Поэтому, исключив параметры Ai • • • Аг из уравнений (9), мы
получим в точности п — г и не более независимых друг от друга соотношений,
только между х и х. Но из этого следует, что параметры Ai • • Аг при
наложенных специальных условиях действительно являются существенными;
т. к. если бы они таковыми не являлись, то есть если бы их число можно
было сократить за счет введения подходящих новых параметров, то тогда
из уравнений (9) можно было бы вывести заведомо больше чем п — г не
зависящих от параметров уравнений, что исключено.
Теперь перейдем к рассмотрению общего случая, который можно
свести к только что разобранному специальному.
Для этого г раз запишем преобразования (9) разными способами,
а именно при помощи г различных систем переменных:
»
(м=1 ■•■!•),
однопараметрические группы
69
т. е. мы рассматриваем семейство преобразований
к=1
(i = 1 ■ • • п, /1 = 1 • • • г),
(п)
в которых положено
Z^1
1/=1
Семейство преобразований (11) содержит, очевидно, столько же
существенных параметров, сколько и семейство (9).
Если нам теперь удастся доказать, что не все определители порядка г
матрицы
£in Си
£1 сп
Srn Sri
Sin
i"
Srn
e(r)
sii
sin
f(r)
Sri
*(r)
ST*n
(12)
тождественно обращаются в нуль, то тем самым будет показано, что
семейство преобразований (11) подпадает под ранее обсуждавшийся
специальный случай, и что все г его параметров Ai • • • Аг являются
существенными. Тогда отсюда немедленно будет следовать, что г параметров Ai • • • Аг
и в уравнениях (9) также являются существенными.
Мы можем, очевидно, ограничиться случаем, когда все определители
порядка г матрицы (10) тождественно равны нулю. Если бы теперь и все
определители порядка г матрицы (12) обратились тождественно в нуль, то
пг линейных уравнений
tfl-s^+'-' + tfr's^ =0 (г = 1-.-п, /х = 1...г)
(13)
могли бы быть выполнены при помощи г не одновременно равных нулю
функций tfi • • • дг от пг переменных х\ц\ Легко показать, что это
невозможно.
Выберем /х = 1 и получим, таким образом, из (13) для д\ • • • t?r
следующие п уравнений:
tfl-41) + --- + tfr-£-;=0 (< = !...»),
(1)
(14)
70
Глава 3
которые заведомо не все выполняются тождественно. Тогда прежде всего
понятно, что не каждое из п аналогичных уравнений
#i-$ + --- + #r-&)=0 0 = 1-..«) (15)
может быть следствием из (14), иначе функции $i • • • $г, не зависящие от
х^ • • • Хп \ удовлетворяли бы уравнениям (15), а г инфинитезимальных
преобразований x[2\f) • • • Xr2\f) не были бы независимы друг от
друга. Следовательно, (14) и (15) вместе взятые дают по крайней мере два
независимых уравнения для i?i • • • i?r. Можно таким образом продолжить
это рассуждение и в конце концов увидеть, что среди пг уравнений (13)
имеется в точности г друг от друга независимых, т.е. что из (13) следует:
0Х = 0, дг = 0.
Тем самым доказано, что не все определители порядка г матрицы (12)
тождественно равны нулю. Поэтому мы можем непосредственно
сформулировать следующую теорему.
Теорема 8. Если г инфинитезимальных преобразований
Xk(f) = Y,&i(xi---Xn)Q^ (fc = i-r)
i=l г
являются независимыми друг от друга, а Х\ • • • Аг — произвольные
параметры, то совокупность всех однопараметрическихгрупп \\X\(f)+ • • • +
+ XrXr(f) образует семейство преобразований
Xi = Xi + ^T ХкЫ + ^2 J^f**(&*) + " ■ " (* = 1 • • • П)'
к=1 kj=l
в котором все г параметров \\ • • • Аг являются существенными, т. е.
семейство из оог различных преобразований.
По сути, однако, мы доказали больше, чем утверждается в этой
теореме. Правда, мы предположили, что уравнения (9) представляют
конечные преобразования семейства однопараметрических групп, но
использовали это предположение лишь в той мере, в какой из него следует, что
это семейство групп однозначно определяет в (9) члены первого
порядка по Ai .. Аг. Какой вид имеют члены второго порядка и выше — это
в нашем исследовании семейства преобразований (9) вообще не
использовалось. Поэтому наш результат, что параметры Ai •• Аг в уравнениях (9)
однопараметрические группы
71
являются существенными, также остается в силе, если не налагать никаких
условий на поведение членов второго порядка и выше. Теорема 8 может
быть в соответствии с этим обобщена следующим образом:
Утверждение 4. Если семейство преобразований содержит г
произвольных параметров е\ • • • ег, и уравнения этих преобразований,
разложенные по степеням е\ • • • ег, имеют вид
г
х\ = Xi + екЫ(Х1 * * ' Хг) Н (« = 1 • • • п),
к=1
где многоточие обозначает члены порядка 2 и выше по е\ • • • еТ, наконец,
если функции £ki(x) обладают тем свойством, что г полученных из них
инфинитезимальных преобразований
п F)f
i=i OXi
независимы друг от друга, то эти уравнения преобразований
представляют собой оог различных преобразований или, что то же самое, г
параметров е\ • • • ег являются существенными.
Для последующих приложений сформулируем здесь еще одно
утверждение; оно следует непосредственно из того, что в матрице (12) не все
определители порядка г обращаются в нуль.
Утверждение 5. Если г инфинитезимальных преобразований
П elf
xkU) = Yl'"Хп>)д^ {к=1 ■ ■ ■г)
г=1 1
являются независимыми друг от друга, и если, кроме того,
^'-lif' (м=1--т)
суть г различных систем по п переменных в каждой, наконец, если для
краткости положить
(м)//ч _ с. .л» (n)\J)f
72
Глава 3
то г инфинитезимальных преобразований
Wk(f) = J2X^(f) (* = !•.. г)
/х=1
от пг переменных xf^ не удовлетворяют никаким соотношениям вида
£Xk(x\ • • • х'„ • • •х(хг) • • • х<Г>) • ЗД) = 0.
Глава 4
Порождение r-параметрических групп
при помощи однопараметрических
Если уравнения
x'i = f%{x\ ■ ■ ■ хп, di • • • Or) (t = 1 • • • n)
(1)
представляют г-параметрическую группу, то согласно теореме 3, стр. 36,
имеют место некоторые дифференциальные уравнения вида
^Г1 =]С^Ма1"" аг)'Ых1'" хп) (i = l- n, к = 1- г), (2)
которые при подстановке х\ = /i(x,a), • • • х'п = /п(х,а) становятся
тождествами. При этом функции tpjk(a>) обладают тем свойством, что
составленный из них определитель не обращается тождественно в нуль. В свою
очередь, ^(х') таковы, что не существует не зависящих от х[--- х'п
величин е\ • • • ег, которые удовлетворяют следующим п уравнениям:
не обращаясь при этом одновременно в нуль. Это свойство мы можем
согласно введенной на стр. 66 терминологии выразить короче: г инфинитези-
малъных преобразований
независимы друг от друга. Поэтому и теорему 3 на стр. 36 можно кратко
сформулировать так:
г
j=l
г
74
Глава 4
Утверждение 1. г независимых инфинитезимальных преобразований
i=l °Xi
связаны с любой г-параметрической группой х\ — fi(x\ • • • хп,а\- • • аг)
таким образом, что имеют место соотношения вида
дх' ^
которые могут быть разрешены относительно
г дх'
€Ax'i'" хп) = Ylaik(ai "' а^да^'
Точно так же, как ранее с однопараметрическими, мы можем теперь
поступить и с г-параметрическими группами. Мы можем использовать
дифференциальные уравнения (2), чтобы при помощи интегрирования
вывести из них другое представление г-параметрической группы и таким
образом найти общие свойства r-параметрических групп.
Рекомендуется, однако, сперва рассмотреть все это с более общей
точки зрения, поскольку свойствами, которые мы найдем указанным путем,
обладают также некоторые системы уравнений вида (1), не
представляющие никаких групп.
§17
Пока что мы не будем учитывать того требования, чтобы уравнения
х\ = fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг) представляли r-параметрическую группу.
Напротив, мы лишь предполагаем, что уравнения (1), во-первых,
представляют семейство из оог различных преобразований, т. е. что все г параметров
а\ * • • аг являются существенными, и во-вторых> что они удовлетворяют
дифференциальным уравнениям специального вида (2).
Сначала покажем, что и при теперешних, более общих условиях
функции Фзк{а) и £j%(x') также обладают вышеуказанными свойствами.
Если бы определитель, составленный из функций ф^к{о),
тождественно обращался в нуль, то можно было бы исключить ^г{х') из уравнений (2),
Порождение г-параметрических групп
75
и мы получили бы п уравнений вида
т дх'
где \к не зависят от индекса г. Но согласно утверждению 1, стр. 13, это
невозможно, т.к. все параметры а\ ••• аг в уравнениях (1) являются
существенными. Следовательно, определитель, составленный из tpjk(a), не
равен тождественно нулю, так что уравнения (2) разрешимы относительно
£ji(x'), и мы получаем
т дх'
ЫХ1 Х'п) = ^OLjk{ai ar)g^ 0 = Ь "Г, 1=1 ••П). (3)
Если функции i)jk{a) ведут себя в окрестности некоторой системы
значений а? • • • а£ регулярно, а определитель ±Фп ''' Фгт отличен от нуля
и при = 0%, то otjk{o) тоже ведут себя в окрестности а° • • • а£
регулярно, и составленный из них определитель также не обращается в нуль при
a*; = а%. В последующем мы будем полагать, что система значений =
= 0% выбрана так, что функции ф]к{о), а следовательно, и ajk(a) обладают
оговоренными свойствами.
Следовало бы еще лишь доказать, что г независимых от х' величин
е\ • • • ег, не все из которых равны нулю, не могут удовлетворять п
уравнениям
г
^2^г(х')=0 (г = 1-.-п).
3=1
Но это доказательство явилось бы повторением того, о чем говорилось
в гл. 2, стр. 36, поэтому мы не будем на нем останавливаться.
Во всяком случае является несомненным, что ф^к{о) и по-
прежнему обладают вышеуказанными свойствами.
Теперь мы докажем, что семейство х[ = fi(x, а) полностью
определено, если, во-первых, заданы дифференциальные уравнения (2), которым это
семейство удовлетворяет, и если, кроме того, известно то преобразование
этого семейства, которое соответствует значениям а\ • • • а£ параметров
Большим преимуществом этого подхода является то, что нам вообще
не требуется никаких рассуждений, относительно интегрируемости
дифференциальных уравнений (2) или (3), так как мы уже знаем одну систему
решений этих дифференциальных уравнений, а именно х[ = /г(х, а).
76
Глава 4
Интегрируя дифференциальные уравнения (2) с учетом начального
условия х[ = fi(x,a°) при помощи некоторого специального метода, мы
получим для х\ вполне определенные функции от х* и а^. Тогда само собой
разумеется, что эти функции будут идентичны функциям /*(х, а).
Более того, при выполнении этих операций мы обнаружим, что
семейство преобразований х\ = /г(х, а) посредством введения новых параметров
вместо ак можно привести к замечательному виду, который позволяет
сделать важные выводы относительно свойств этого семейства.
Для выполнения требуемого интегрирования мы прибегнем к одному
искусственному приему: умножим (3) на Xj, просуммируем по j от 1 до г
и получим уравнения
г дх' r т
Y,^Y,^aM = YlX^^x,>> (* = 1'--п). (4)
k=i к j=i j=i
Теперь определим а\ • • • аг из системы
^=5>,оук(а) (* = !•.т) (5)
3=1
как функции вспомогательной переменной t и величин Ai • • • Аг, добавив
начальное условие ак = а® для t = 0. При этом мы получим некоторые
разложения в ряд
г
*k = а>°к + \ £ *j ajk(a°) + • • • (к = 1 • • • г), (6)
з=\
в простой закон построения которого нам не обязательно вникать
подробнее. Все же хочется отметить, что Aj встречаются в них только в
следующей комбинации: w\ = X\t, • • • wr = Xrt. А отсюда следует, что а& можно
рассматривать как функции новых переменных w\ - •• wr. Поскольку
определитель £ ± ац(а°) • • • агг(а°) при наложенных условиях не
обращается тождественно в нуль, то ак — независимые функции от Wk, и
наоборот, W\ - • • wr можно представить как функции от а\ - • • аг, и как таковые
они ведут себя в окрестности а\ - • - а® регулярно. Таким образом, между
а\ • • • аг и w\ • • • wr в некоторых окрестностях а\ • • • а£ и w\ = 0 • • • wr =
= 0 имеет место взаимно однозначное соответствие. Поэтому если мы
ограничимся такими преобразованиями х\ = /г(х, а), параметры которых лежат
в некоторой окрестности а£, то мы можем непосредственно ввести Wk
вместо ак в качестве параметров.
Порождение г-параметрических групп
77
Впрочем, в последующем мы будем в большинстве случаев
рассматривать а*; как функции вспомогательной переменной t и величин Ai • • • Аг.
Подставив эти значения для величин а\ • • • ат в уравнения х\ = /г(х, а), мы
получим также х\ • • • х'п в виде функций от t и от Ai • • Аг. Теперь очень
легко вывести некоторые дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют х[ • • • х'п как функции от t. Действительно, мы имеем
dx[ _ ^ дх\ dak
~dt ~^u7a~k~dt'
к—I
а если использовать систему (5), которой удовлетворяют а^, то получим
С помощью уравнений (4) мы можем теперь полностью исключить
а\ • • • аг и получить
dx' т
-^=£Л;Ы*') (t = l-»n). (7)
3=1
Итак, если известным образом выразить в уравнениях х'г — /г(х, а)
величины а\ • • • аг через t и Ai • • • Аг, то мы получим х[ • • • х'п в виде
функций от t, удовлетворяющих системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (7). Помимо этих дифференциальных уравнений, х\
удовлетворяют также некоторым начальным условиям; /г(х, а) обращается
в /г(х,а°) для а£, и поскольку ак теперь принимают значения а£ при t =
= 0, то эти начальные условия получаются следующими: х'г — /г(х, а0) при
* = 0.
Вместе с заданными начальными условиями дифференциальные
уравнения (7), очевидно, полностью определяют х'г. Чтобы задать
соответствующие выражения для х[, нам нужна лишь какая-нибудь полная система
интегральных уравнений системы (7). Если
Q%(x\ • • • х'п, \\t, • • • \ri) = Ci (г = 1 • • • n)
— такая система, то начальное условие х\ — /г(х,а) немедленно задает
значения констант Ci, т. е. для нахождения х\ мы получаем уравнения
Qi(xi • • • х'п, \xt, • • • Xrt) = Qi(Л(х, a0) • • • /п(х, a0), 0 • • • 0) (8)
(г = 1 • • • п).
Порождение г-параметрических групп
79
Тем самым найдено универсальное свойство, являющееся общим для всех
семейств оог преобразований х'% = fi(x\ • • • хп,а\ • • • аг),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям вида (2). Мы можем сформулировать
это свойство следующим образом:
Теорема 9. Если все г параметров а\ • • • аг в уравнениях
преобразований
х[ = fi(xi • • • хп,а\ • • • an) (г = 1 • • • n)
являются существенными и, кроме того, имеют место дифференциальные
уравнения вида
дх' ^
0^ = Z-j^Jkiaiаг) ' £зг(х'\ "' хп) (* = 1 • • • n, fc = 1 ■ ■ • г),
превращающиеся при подстановке х\ = a), • • • х'п = fn{x, а) в
тождества, то каждое преобразование х\ = /г(х, а), параметры которого
а\ • • • аг лежат в некоторой окрестности точки а\ • • • а®, может быть
получено в результате выполнения сначала преобразования
Xi = fi(x\ • • • хп, a? * • • aj) (г = 1 • ■ n),
а затем некоторого преобразования
х[ =Wi(xi ••• хп)
однопараметрической группы, инфинитезимальное преобразование
которой имеет вид
k=l г=1 1
где \\ • • • Аг — некоторые константы.
В этой теореме а\ • • • а® обозначает произвольную систему значений,
в которой функции tpjk ведут себя регулярно, и при этом составленный из
них определитель не обращается в нуль.
Пример. Весьма полезно показать на примере, что уравнения х\ =
= /Дх,а) с г существенными параметрами а\ ••• аг вполне могут
удовлетворять дифференциальным уравнениям вида (2), не образуя при этом
группы.
Так, оо2 преобразований
х\ = Х\ + #2 + 0*1, Х2 = Х\ — #2 + &2,
78
Глава 4
Решая эти уравнения, мы получаем отсюда в качестве х\ ••• х'п вполне
определенные функции от х\ • • • хп, X\t = w\, • • • Art = wr:
х\ = Vi(xi • • • xn, Ait, • • • Art) (i = l • • • n). (8')
Стало быть, Vi — это me функции, в которые превращаются /г(х,а),
когда мы выражаем а\-- • аг известным образом через Ait, • • • Art.
Если мы, наоборот, заменим Afct = wk в Vi их значениями как функции от
а\ • • • аг, то уравнения х[ = Vi превратятся в первоначальные уравнения
х[ = fi(x,a).
Таким образом, уравнения (8') представляют собой другую форму
уравнений (1), а так как соответствие между а\ • • • аг и w\ = Ait, • • • wr =
= Art взаимно однозначно в некоторой окрестности точки а\ • • • а® и t = О
соответственно, то уравнения (8') в некоторой окрестности t = О
полностью эквивалентны уравнениям (1). Иначе говоря: уравнения (8')
представляют все преобразования (1), параметры которых а\ • • • аг лежат в
некоторой окрестности а? • • • а£.
Теперь, как следует из уравнений (8), эквивалентных (8'), каждое
преобразование (8') может быть получено, если выполнить последовательно
два преобразования: первое преобразование
Xi = /i(xi • • • xn, а? • • • а°) (i = 1 • • п)
— это преобразование из семейства (1), имеющее параметры а? • • • а£;
и второе преобразование:
Qi(x\ - • • х'п, Ait, • • • Art) = i?z(xi • • • xn, 0 - • • 0) (i = l • • • n).
Если мы еще учтем, что эти последние уравнения удовлетворяют
системе (7) и, кроме того, начальным условиям х[ — Xi при t = 0, то мы увидим,
что уравнения
Qi(x\\t) = Щх,0)
представляют собой не что иное, как преобразования некоторой
однопараметрической группы, а именно такой, которая определяется системой (7).
Инфинитезимальное преобразование, порождающее данную однопарамет-
рическую группу, очевидно, выглядит так:
80
ГЛАВА 4
очевидно, не образуют никакой двухпараметрической группы; однако мы
находим:
дх[ ^ дх[ q q &х2 i
да\ ' да,2 ' да\ ' 9а2 '
то есть наши ос2 преобразований все же будут удовлетворять
дифференциальным уравнениям вида (2), если придать функциям £ji(x'), il>jk(o)
следующие значения:
Ы = 1, Ы = о, Ы = о, ы = 1,
^11 = 1, Ф21 = 0, -012 = 0, ^22 = 1.
§18
Применим теперь вышестоящие общие рассуждения к специальному
случаю, когда оог преобразований х\ — fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг) образуют
г-параметрическую группу.
Если уравнения (1) представляют г-параметрическую группу, то
согласно теореме 3 всегда имеют место дифференциальные уравнения
вида (2); то есть это требование особо оговаривать не надо.
Далее заметим, что все инфинитезимальные преобразования вида (9)
могут быть линейно получены из г следующих г преобразований:
т. к. в выражении
£А*ВД)
fc=i
содержатся все инфинитезимальные преобразования (9). При этом
инфинитезимальные преобразования X\(f) • • • Xr(f) не зависят друг от друга,
как мы уже подчеркивали во введении к этой главе.
В соответствии с этим мы можем сформулировать следующую теорему
о произвольных r-параметрических группах.
Теорема 10. Каждой г-параметрической группе
xi = fi(xl ' ' ' хп, 0>\ ' • ' Q>r) (» = 1 • • • п)
порождение г-параметрических групп
81
соответствует г независимых инфинитезимальных преобразований
Xk(f) = Yl^i(xi--- Хп)-^- (fc = l".r),
i=l 1
которые находятся в следующей связи с конечными преобразованиями
этой группы: если х\ = f%(x\ • • • xn,aj • • • a£) — какое-либо
преобразование данной группы, то любое преобразование х\ = /i(x, а), параметры
которого лежат в некоторой окрестности а\ • • • может быть
получено путем выполнения сначала преобразования Xi = fi(x\ • • • хп, а\ • • • а£),
а затем — некоторого преобразования х\ = (Ji(xi • • • хп)
однопараметрической группы, инфинитезимальное преобразование которой имеет вид
\\X\(f) + • • • + XrXr(f), где Х\ • • • Лг — некоторые подходящим образом
выбранные константы.
Если мы знаем не только то, что уравнения х\ — /»(х, а) представляют
r-параметрическую группу, но и то, что эта группа содержит
тождественное преобразование, а также то, что параметры а°к тождественного
преобразования представляют собой систему значений в области ((a)), то можно
сказать еще больше. А именно: если мы в качестве преобразования х» =
= /г(х, а0) специально выберем тождественное преобразование, то сразу
увидим, что преобразования нашей группы — не что иное, как
преобразования однопараметрических групп, порожденных инфинитезимальными
преобразованиями
AiXi(/) + .-. + Ar(Xr)(/).
Значит, если положить для краткости
г
Х>вд) = с(/),
k=i
то уравнения
Х\ = Xi + ±C(Xi) + ^C(C(Xi)) + • • • (г = 1 • • • п)
представляют ооГ преобразований этой группы. То обстоятельство, что
число входящих параметров Ai • • • Ar, t равно r-fl, является только
кажущимся, поскольку они встречаются лишь в г комбинациях X\t, • • • Xrt. Поэтому
мы можем спокойно положить t равным 1. Если к тому же вспомнить
представление однопараметрической группы при помощи одного единственного
Порождение г-параметрических групп
83
Совокупность всех этих конечных преобразований идентична
совокупности всех преобразований группы х\ = /г(х,а). Преобразования этой
группы можно, кроме того, упорядочить в пары взаимно обратных.
§19
Если вообще какая-либо г-параметрическая группа содержит все
преобразования однопараметрической группы, и эта однопараметрическая
группа порождена инфинитезимальным преобразованием X(f) в ранее
оговоренном смысле, то мы говорим, что r-параметрическая группа содержит
инфинитезимальное преобразование X(f). Мы только что видели, что
каждая r-параметрическая группа с тождественным преобразованием может
быть приведена к виду
г
•••*;) = /(*i •••*») + £ Afcxfc(/)+
fc=l
+ 1I2 E А*А^Х*(ВД)) + ...,
где Ai • Ar — произвольные константы, a X\(f)-- - Xr(f) обозначают
независимые друг от друга инфинитезимальные преобразования. Итак, мы
можем сказать, что каждая такая r-параметрическая группа содержит г
независимых инфинитезимальных преобразований.
Напрашивается предположение, что r-параметрическая группа не
может содержать больше чем г независимых инфинитезимальных
преобразований.
Чтобы прояснить этот момент, мы поставим вопрос прямо: когда
инфинитезимальное преобразование
г=1 °хг
содержится в r-параметрической группе с г независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями X\(f) • • • Xr(f)l
Если Y(f) принадлежит данной r-параметрической группе, то это
справедливо также для всех преобразований
82
Глава 4
уравнения, данное в главе 3, стр. 56, ур.(7), то мы увидим, что уравнения
нашей г-параметрической группы можно свести к единственному
уравнению
Я*; ...*;) = /(xi •••*„) + с(/) + ^с(с(/)) + ■■■.
О том, что можно преобразования этой группы упорядочить в пары взаимно
обратных, вряд ли надо упоминать.
Вышеуказанные результаты относительно r-параметрических групп
с тождественным преобразованием мы можем кратко сформулировать
следующим образом.
Теорема И. Если г-параметрическая группа
х'г — fi(xl ' ' ' xrn CLl 0>г) (г = 1 • п)
содержит тождественное преобразование, то ооГ ее преобразований
можно так разбить на оог~1 семейств из оо1 преобразований, что каждое
из этих оог~1 семейств будет состоять из всех преобразований некоторой
однопараметрической группы с тождественным преобразованием. Чтобы
найти эти однопараметрические группы, составим известные уравнения
~Qa± = z2^3k(ai ' * * аг) • €ji(xi • • * хп) (t = 1 ••• n, fc = 1 ■• ■ г),
которые выполняются тождественно при подстановке х'г = /г(х, а), а
затем положим
п ftf
«=1 °Xi
тогда выражение
fc=l
с г произвольными параметрами Х\ • • Аг представляет инфинитезималь-
ные преобразования этих oor_1 однопараметрических групп, а их конечные
преобразования имеют вид
г r А А
*;=i k,j=i
84
Глава 4
однопараметрической группы, порожденной Y(f). Если мы сперва
выполним произвольное преобразование этой однопараметрической группы,
а потом произвольное преобразование
к=1 k,j=l
г-параметрической группы, то должны будем получить преобразование,
которое также принадлежит этой г-параметрической группе. Путем
вычислений мы находим, что это новое преобразование имеет вид
г
X" = Xi; + TT)i(x) + ХкЫ(х) + • • • (t = 1 • • • n),
k=l
где все опущенные члены — второго порядка и выше по Ai • • • Аг, т. Стало
быть, и при произвольных Ai • • • Аг, т это преобразование должно
принадлежать этой г-параметрической группе. Если бы г -f 1 инфинитезимальных
преобразований X\(f) • • • Xr(/), Y(f) были независимы друг от друга, то
согласно утверждению 4 в гл. 3, стр. 71 последние из записанных
уравнений представляли бы oor+1 различных преобразований; но это невозможно,
т. к. г-параметрическая группа содержит всего лишь оог преобразований.
Следовательно, X\(f) • • • Xr(f),Y(f) не являются независимыми друг от
друга, но поскольку X\{f).. .Xr(f) независимы, то Y(f) должно
получаться линейно из X\(f) • • • Xr(f), то есть иметь вид
г(/) = 5>ад),
к=\
где 1\ • • • 1Г означают подходящие константы. А это значит, что справедливо
Утверждение 2. Если г-параметрическая группа содержит
тождественное преобразование, то она содержит г независимых
инфинитезимальных преобразований X\{f) ••• Xr(f), и каждое из содержащихся
в ней инфинитезимальных преобразований имеет вид \\X\(f) + ••• +
+ XrXr(f), где \\ • • • Аг — константы.
Выше мы также видели, что каждое инфинитезимальное
преобразование вида AiXi(/) + • • + \rXr(f) принадлежит этой группе; поэтому
в дальнейшем мы будем называть выражение \iX\(f) Н Ь XrXr(f) с г
произвольными константами \\ • • Аг общим инфинитезимальным
преобразованием данной г-параметрической группы.
Результатом вышеизложенного является также следующее, хотя и
специальное, но все же важное
Порождение г-параметрических групп
85
Утверждение 3. Если г-параметрическая группа содержит т ^ г
независимых друг от друга инфинитезимальных преобразований
X\(f)"- Xm(f), то она содержит также всякое инфинитезимальное
преобразование следующего вида: \\Xi(f)-\ XrnXm(f), где \\ • • • Лт —
совершенно произвольные константы.
Проведенные до этого исследования дают, конечно, средства для
нахождения инфинитезимальных преобразований г-параметрической группы
х\ = /г(х, а) с тождественным преобразованием. Но можно прийти к этой
цели и быстрее.
Пусть тождественное преобразование нашей группы соответствует
параметрам а? • • • а£, и при этом пусть а? • • • а£ лежат в области ((a)), так
чтобы определитель Yl ±^п(а°) • • • ^rr(a°) был заведомо отличен от
нуля. Тогда мы имеем
Значит, если положить a* = a£, то
]Г^(а°)-^г(Х1 ••• хп) =
3=1
df
Это уравнение мы умножим на и просуммируем по г от 1 до п,
UX%
тогда получится
j=i
i=l
(fc = l..-r).
Так как X\(f) • • • Xr(f) — независимые инфинитезимальные
преобразования, а определитель, составленный из ipjk(o>°), кроме того, отличен от нуля,
то правые части последних уравнений представляют собой г независимых
инфинитезимальных преобразований нашей группы.
Следующий способ еще немного проще.
Положим a,k = a£ + Stk, понимая под 6t\--- Str произвольные
бесконечно малые величины. Тогда мы получим
х\ = fi(xi • • • хп,а\ + Ль * * * а® + Mr) =
k=l
afe/i(x'a)
■Stk + -
86
Глава 4
где опущенные члены имеют по Stk порядок два и выше. Этим
непосредственно показано, что наша группа содержит г инфинитезимальных
преобразований
х[ = Xi +
• 5tk (i = 1 • • • n),
(fc = l ••• г).
Правда, являются ли эти г инфинитезимальных преобразований друг от
друга независимыми, требует в каждом отдельном случае специальной
проверки, если с самого начала неизвестно, что определитель величин ф в
точке dk = а%. не обращается в нуль.
Пример. Рассмотрим снова общую проективную группу
/ х + а
х =
a<ix + аз
одномерного многообразия1.
Инфинитезимальные преобразования этой группы получаются очень
просто согласно только что разработанному методу. Поскольку здесь а? =
= 0, а§ = 0, а% = 1, то мы имеем
/ х Н- St\ г, г, о с.
х = —X* , ч , г, = х + Sti - х • St3 - xz • St2 + • • • ,
и значит, наша группа содержит три независимых друг от друга
инфинитезимальных преобразования:
*,1Я_* ад) = 4, вд) = **|.
Общее инфинитезимальное преобразование нашей группы имеет вид
(Ai + А2х +А3х2)^,
поэтому ее конечные преобразования мы получаем путем интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx' =dt
Ai + А2х' + Азх72
при добавлении начального условия х' — х для t = 0.
*Ли использует термин «einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit». — Прим. ред.
Порождение г-параметрических групп
87
Чтобы провести это интегрирование, приведем дифференциальное
уравнение к виду
dx' dx'
х' — а х' — (3
полагая
7 * А,
а/?7 х <* + Р „ х 7
а — р а — р а — р
то есть
о^._ ^2 , VA1-4A!A3 9A?__A2 VAl-4AiA3
_ \ I \ 5 ^Р — X \ 1
Аз Лз Лз Лз
7 = V/A1-4A1A3.
В результате интегрирования находим
1п(х' - а) - 1п(х' - /3) = jt + 1п(х - а) - 1п(х - /?),
или
х' — а _ lt х — а
х'-/?"6 "ж-/Г
Теперь не представляет труда выразить а, /?, 7 через Ai, А2, A3, с тем
чтобы таким образом получить разбиение оо3 преобразований нашей трехпа-
раметрической группы на оо2 однопараметрических групп, как это
утверждается в теореме 11.
Известный простой вид нашей группы получается, кстати, если
оставить оба параметра а и (3 прежними, а вместо е7* ввести новый параметр 7;
тогда наша группа запишется в виде
= 7
х'-(3 1 х-0'
§20
Если х\ = fi{x\ • -xn,ai - ar) — произвольная
г-параметрическая группа, то согласно теореме 5, гл. 2, стр. 48, для любой функции
/(xi * • • хп) имеют место соотношения
j=l г=1 г j=l г=1 *
которые при подстановке х\ = /г(х, а) превращаются в тождества.
(10)
88
Глава 4
Используя сокращения
i=l
= Х>(*')|4
г=1 aXi
мы можем записать вышестоящие соотношения так:
г г
£0ifc(a) • Xj(f) + 2^fc(a) • = 0 (fc = i ... г). (100
j=i j=i
Если мы вспомним далее, что определитель, составленный из $jfc(a), так
же как и из xpjk(a), не обращается тождественно в нуль, то мы увидим, что
X[(f) • • • X'r(f) можно линейно выразить через X\(f) • • • Хг(/), и
наоборот. Поэтому имеет место соотношение вида
к=\ к=\
при этом либо ек могут быть выбраны произвольно, и тогда е'к будут
функциями от и а, либо ек могут быть выбраны произвольно, а ек будут
функциями от ек и а.
Чтобы найти в явном виде соотношения между е'к и е^, умножим (10')
на А* и просуммируем по к от 1 до г:
Е (е А* *»щ - Вд)+Е (е л* • х*и) = о-
j=i U=i J j=i U=i J
Коэффициенты Ai • • • Ar мы, очевидно, можем выбрать так, чтобы
г г
Afc tfjfc(a) = е^, Е ^J'fc(a) = ~er
k=l k=l
Из второй группы этих равенств мы совсем легко можем найти Ai • • • Аг,
используя определенные в гл. 2, стр. 34, функции a&j(a). А именно:
г
><к = -EaJ*(a) 'ер
порождение г-параметрических групп
89
из чего следует:
ез = -^2\ ^2Ък(а) • а„к(а) \ е'^ (j = 1 • • • г).
тг=1 L Ar=l J
Эти уравнения можно, конечно, разрешить и относительно е\ • • • е'г.
Согласно этому мы имеем следующее
Утверждение 4. Если уравнения х\ = fi(x\ ••• хп,а\ • • • аг)
представляют г-параметрическую группу, и эта группа содержит г
независимых инфинитезимальных преобразований
xk(f) = Х!ЫХ1 ••• O^; (fe = i-r),
г=1 1
то общее инфинитезимальное преобразование
eiXi(/) + --- + erXr(/)
сохраняет свой вид при введении новых переменных х\ = fi (х, а), если для
любой системы значений е\ • • ег имеет место соотношение вида
k=l k=l
где е\ • • • е'г — независимые линейные однородные функции от е\ • • • ег
с коэффициентами, являющимися функциями от а\ • • • аг.
В заключение — еще одно общее замечание, касающееся понятия
однопараметрической группы.
Понятия и утверждения теории непрерывных групп преобразований
зачастую имеют аналоги в теории подстановок2, т. е. в теории разрывных
групп. В ходе наших исследований мы не будем всякий раз особо
подчеркивать эти аналогии, но все же будем часто напоминать о них, перенося
обозначения из теории подстановок в теорию групп преобразований, что
вполне возможно.
Здесь мы хотим обратить внимание на то, что однопараметрические
группы играют, по существу, ту же роль в теории групп преобразований,
2С. Jordan, Traite des substitutions, Paris. 1870.
90
Глава 4
что и группы, порожденные одной отдельной подстановкой, — в теории
подстановок.
Мы будем рассматривать однопараметрические группы или их
инфинитезимальные преобразования в известной степени как элементы г-па-
раметрических групп. При исследованиях г-параметрических групп почти
всегда полезно сперва обратиться к инфинитезимальным преобразованиям
этих групп и выбрать их в качестве предмета изучения.
Глава 5
Полные системы
Мы исходим из того, что нам известна теория интегрирования одного
линейного дифференциального уравнения в частных производных первого
порядка
*(/) = X>(*i ••*x-)|f = 0
i=l °Xi
или эквивалентной ему системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx\ _ _ dxn
IT ~!n~'
но все же сформулируем без доказательства в качестве введения некоторые
связанные с этим утверждения. Опираясь на эти утверждения, мы
вскоре построим теорию интегрирования систем линейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка. Эту теорию,
восходящую, по существу, кЯкоби и Клебшу, мы представим в следующей
главе в новом свете, рассмотрев подробнее взаимосвязь между понятиями
«линейное дифференциальное уравнение в частных производных» и
«инфинитезимальное преобразование», о которой мы уже ранее упоминали
(гл. 3, стр. 58).
§21
Пусть £i • • • £п ведут себя регулярно в окрестности некоторой
заданной системы значений х? • • • ж^, и пусть, кроме того, £n(^i • • • х„) отлично
от нуля. При этих условиях можно определить х\ • • • xn_i как
аналитические функции от хп таким образом, что при подстановке этих функций
соотношения
dx\ _ 6_ dxn-i _ gn-i
dxn £n dxn £n
92
Глава 5
тождественно выполняются, и что, помимо этого, х\ • • • xn_i принимают
при хп = хп некоторые предписанные начальные значения х\ • • • х!п_1. Эти
начальные значения понимаются как константы интегрирования.
Уравнения, представляющие х\ ••• хп-\ описанным способом как
функции от хп, называются полными интегральными уравнениями
системы; они могут быть записаны в виде
хк = х'к + (х° - хп) • фк(х[ - х?, • • • х'п_х - х°_ьхп - хп)
(к = 1 ••• п- 1),
где Ц$к — обычные степенные ряды своих аргументов. Если поменять
местами х\ • • • xn_i,xn и х\ • • • х^_1?х^, то снова получатся
интегральные уравнения, разрешенные на сей раз относительно начальных значений
х\ * ' * хп-1:
х'к = хк + (хп - хп) • yk(xi - x?, • • • Хп - х° ) = Vk(Xi • • • хп)
0 = 1 ••• п-1).
Здесь функции ик — это так называемые интегральные функции системы,
покольку все дифференциалы этих функций:
= 1- -.п-1),
в силу системы обращаются в нуль тождественно, а всякая функция,
обладающая таким свойством, называется интегральной функцией системы.
Каждая такая интегральная функция является в то же время решением
линейного дифференциального уравнения в частных производных X(f) = 0.
Стало быть, uj\ • • • ujn-\ — это решения уравнения X(f) = 0, причем,
очевидно, независимые. В некоторой окрестности точки xj • • • х£ эти решения
ведут себя регулярно, кроме того, при хп = х£ они сводятся к х\ • • • хп-\
соответственно; поэтому они называются главными решениями уравнения
X(f) = 0 относительно хп = х°.
Если вообще известно п — 1 независимых решений
Хп) Фп-гЫ Хп)
уравнения X(f) = 0, то самое общее его решение имеет вид 0(ф\ • • • фп-i),
где Q обозначает произвольную аналитическую функцию своих
аргументов.
Полные системы
93
§22
Если функция *ф(х\ • • • хп) удовлетворяет двум уравнениям
*i(/) = 0, X2(f) = 0,
то она, разумеется, также удовлетворяет следующим двум
дифференциальным уравнениям второго порядка:
Xl(X2(f))=0, X2(X1(f))=0,
и вследствие этого — также уравнению
X1(X2(f))-X2(X1(f))=0,
которое получается из двух последних путем вычитания.
Если теперь
ВД) = £ы*1 •■•*»)!£.
i=l 1
то получается
x1(x2(f)) -x2(x1(f)) =£шы)-х2(Ы)}^,
г=1 °Xi
поскольку все члены, содержащие производные второго порядка,
сокращаются. Итак, справедливо следующее
Утверждение 1. Если функция *ф{х\ • • • хп) удовлетворяет двум
дифференциальным уравнениям первого порядка:
Xk(f) = J2tki(xi •••xn)^-=0 (fc = i,2),
то она также удовлетворяет уравнению
Хг(Х2(Л) - Х2(Хг(/)) = £{*i(6i) - Х2(Ы)}^Г = О,
г=1 1
тоже являющемуся уравнением первого порядка.
Очень важно знать, как ведет себя выражение Х\ (X2(f)) —Х2 (Х\ (/)),
если вместо х\ • • • хп ввести новые независимые переменные у\- • • уп.
94
Глава 5
Предположим, что при введении у получается:
Xk(f) = jj£ = f>*(wi • • ■ 0n)|f = Yk(f) (к = i,2).
г=1 ^ i=l °Vi
Поскольку / означает здесь совершенно произвольную функцию от
х\ • • • хп, то мы можем подставить Xi(f) или X2(f) вместо /, отсюда
имеем
X1(X2(f))=Yi(X2(f))=Y1(Y2(f)),
X2(X1(f)) = У2(Хг(/)) = ^(ВД)),
следовательно,
Хг(Х2(/)) - Х2(ВД)) = Fi(r2(/)) - Г2(У,(/)).
Таким образом, мы имеем
Утверждение 2. Если выражения Xi(f) и X2(f) при введении новых
независимых переменных переходят в Y\(f) и Y2(f) соответственно, то
выражение Xi(X2(f)) - Х2(Хг(/)) переходит в УЦУгСО) - Y2(Y1{f)).
Это свойство выражения Х\ [X2{f)) — Х2{Х\(/)) будет часто
использоваться в ходе наших исследований. Более кратко его можно
сформулировать так: выражение X\{X2(f)) — Х2{Х\{})) ведет себя при введении
новых переменных инвариантно.
Рассмотрим теперь q уравнений
Х1(/) = 0,-Х,(/) = 0 (1)
и спросим, какие у них могут быть общие решения.
Можно предположить, что между выражениями Xk(f) имеют место
соотношения вида
Х>(*1 ■•■*п).ВД)=0. (2)
к=1
В таком случае некоторые из наших уравнений были бы следствием
остальных и могли бы при решении поставленной задачи быть попросту
опущены. Поэтому будет вполне правомерно наложить условие, что соотношений
вида (2) не существует, то есть что уравнения (1) разрешимы относительно
q из производных Именно это подразумевается, когда мы для кратко-
OXi
ста будем говорить, что уравнения (1) независимы друг от друга.
Полные системы
95
После того что выше было сказано об уравнениях X\(f) — О
и = 0, ясно, что возможные общие решения наших q уравнений
удовлетворяют также всем уравнениям вида
Xi(Xk(f))-Xk(Xt(f))=0.
Здесь возможны два случая.
Во-первых, все таким образом полученные уравнения могут быть
следствием предыдущих, так что для любых г и к ^ q имеет место соотношение
следующего вида:
Xi(Xk(f))-Xk(Xi(f)) =
= Xik\{X\ ' ' ' Xn)Xi{f) + • • • + Xikq{X\ • • • Xn)Xq(f).
Следуя Клебшу, мы тогда скажем, что q друг от друга независимых
уравнений X\(f) = О- • • Xq(f) = О образуют q-параметрическую полную
систему.
В общем случае, однако, появляется вторая возможность; среди вновь
образованных уравнений
Xi(Xk(f))-Xk(Xi(f))=0
найдется несколько таких, которые не зависят друг от друга и от q заданных
уравнений. Мы добавляем их, например
*,+ !(/) = О,-" *,+.(/)= О,
к q исходным и обращаемся с полученными q + s уравнениями точно так
же, как ранее с q заданными. Поскольку мы можем получить не больше чем
п независимых друг от друга уравнений Xi(f) = 0, то, продолжая таким
образом, мы должны в конце концов прийти к полной системе, состоящей
не более чем из п независимых уравнений.
Утверждение 3. Нахождение общих решений q линейных
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка X\f =
= 0, • • • Xqf — 0 всегда можно свести путем дифференцирований и
исключений к интегрированию полной системы.
Предположим теперь, что Xi(f) = 0,--Xq(f) = 0 образуют q-
параметрическую полную систему. Очевидно, что эти уравнения могут
быть заменены q другими уравнениями:
я
Ук{Л = ^2ФкЛх1 •••xn).xj(f) = o (fc = i ■..*).
96
Глава 5
При этом необходимо лишь, чтобы определитель, составленный из xpkj,
не обращался тождественно в нуль, с тем чтобы Xj(f) также выражались
линейно через !*(/). Очевидно, что тогда имеют место соотношения вида
«(%(/))-n(i5(/))=Ea;*w(a?1 •■•*»)■?*(/); (з)
таким образом, уравнения У^(/) = 0 образуют ^-параметрическую полную
систему и потому целиком эквивалентны уравнениям Xk(f) = 0.
Как было впервые отмечено Клебшем, можно всегда найти такие
xfrkj, чтобы все Uikj обращались в нуль. Проще всего этого достичь, если,
следуя Май еру, выбрать rp^j такими, чтобы = 0 оказались разре-
df df
шейными относительно q производных, например — :
ОХп C/Xn—q+1
В таком случае выражения Yi(Yk(f)) — Yk(Yi(f)) не будут содержать
• следовательно, они могут иметь вид ]Г uikjYj(f) лишь
dxn-q+l дхп' ' 3
тогда, когда все и;^ равны нулю. Итак.
Утверждение 4. Если разрешить q-параметрическую полную
систему
ад) = о..-ад) = о
относительно q производных, то получающиеся в результате уравнения
у*(л = я^—+ Ет»«ё"=0 {h=1"-q) (4)
OXn-q+k ~[ OXi
попарно удовлетворяют соотношениям
lri(n(/))-n(lr«(/))=0. (5)
§23
Предположим, что задана ^-параметрическая полная система,
приведенная к вышеупомянутому виду:
полные системы
97
Мы увидим, что эта система имеет n — q независимых решений, для
нахождения которых достаточно проинтегрировать одно за другим по
отдельности q линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Сначала проинтегрируем дифференциальное уравнение
г—1
из п — 1 независимых решений которого х\ • • • х'п_г следующие q — 1,
а именно:
xn-q+l ~ xn-q+l-> ' ' ' Хп-1 = хп—1->
сразу известны. Если ввести п — 1 выражений х\ • • • х'п_ъ наряду с
независимой от них величиной хп, в качестве новых переменных, то наша полная
система примет вид
(fc = l ..q-l).
Поскольку выражения Yi(Yk(f)) — Yfc(Y*(/)) инвариантны относительно
введения новых переменных (ср. утверждение 2 из данной главы), то они
должны теперь снова обратиться в нуль, из чего следует, что все г)'ы
являются функциями только от х\ • • • х'п_х и не зависят от хп. Исходная задача
интегрирования сводится тем самым к тому, чтобы найти общие решения
q — 1 уравнений
OXn-q+k i=i ОХг
причем эти уравнения, содержащие лишь п — 1 независимых
переменных, а именно х[ • • • х'п_19 опять же попарно удовлетворяют соотношениям
>7(n,(/))-n'(W))-
Этот результат мы сформулируем следующим образом.
Утверждение 5. Общие решения уравнений q-параметрической
полной системы от п переменных можно определить также как общие
решения уравнений (q — \)-параметрической полной системы отп — 1
переменных. Чтобы составить эту новую полную систему, надо
проинтегрировать одно единственное линейное дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка от п — q + 1 переменных.
98
Глава 5
Новая полная система опять появляется в разрешенном виде; мы
можем немедленно снова воспользоваться вышеизложенным методом и
получим в результате его (q — 1)-кратного применения следующее
Утверждение 6. Общие решения уравнений q-параметрической пол-
ной системы от п переменных можно определить также как решения
одного единственного линейного дифференциального уравнение в частных
производных первого порядка omn—q+l переменных. Чтобы получить это
уравнение, достаточно проинтегрировать одно за другим q — 1 отдельных
уравнений этого типа.
Отсюда непосредственно следует
Утверждение 7. q-параметрическая полная система от п
независимых переменных всегда имеет п — q независимых решений.
Также верно и обратное
Утверждение 8. Если q независимых линейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка от п независимых
переменных
имеют в точности п — q независимых общих решений, то они образуют
q-параметрическую полную систему
Для доказательства заметим, что уравнения
согласно изложенному ранее, задают полную систему с q или более
параметрами; если бы эта система содержала более чем q независимых
уравнений, то она имела бы не п — q, а строго меньше независимых решений;
следовательно, по условию утверждения она является я-параметрической,
т.е. образуется исходными уравнениями X\(f) — О, • • • Xq(f) = 0.
Если даны какие-либо п — q независимых функций и>\ • • • ujn-q от
х\ • • • хп, то всегда можно выписать q независимых линейных
дифференциальных уравнений в частных производных, которым все ш
удовлетворяют тождественно. И если предположить, что определитель
(Л = о
х, (Я = <>,•..*,(/) = о,
Полные системы
99
не обращается тождественно в нуль, что мы без ограничения общности
можем сделать, то q уравнений
df
df
дх\
dXrx — q
dxn-q+k
дш\
дшг
дх\
dXn — q
dXn-q+k
дшп-ч
dun-q
ЭШп-q
дх\
Ox n — q
dxn-q+k
являются дифференциальными уравнениями требуемого типа, т. к. при
подстановке / = u)j они обращаются в тождества. Судя по их виду, они
также являются независимыми друг от друга. Согласно последнему
утверждению эти уравнения образуют ^-параметрическую полную систему. Итак,
мы имеем.
Утверждение 9. Если даны n — q независимых функций от п
переменных, то всегда существует некоторая q-параметрическая полная система
от х\ • • • хп, для которой эти функции являются решениями.
§24
Для наших целей, однако, недостаточно доказать существование
решений полной системы, необходимо, кроме того, также подробнее
рассмотреть их аналитические свойства.
Для этого предположим, что в заданной ^-параметрической полной
системе
аналитические функции rj^i ведут себя в окрестности точки
х\ = • • • = хп = О
регулярно. В качестве величин х[ • • • х,п_1 выберем теперь среди решений
уравнения
г=1
100
Глава 5
ранее определенные главные решения этого уравнения относительно хп =
= 0. Мы знаем, что эти главные решения х[ • • • х'п_х являются в некоторой
окрестности точки х\ = • • • = хп = 0 обычными степенными рядами от
Xi • • • хп, и что они сводятся при хп = 0 к xi • • • xn-i соответственно.
Упомянутые выше решения
X'n-1 + 1 = xn-q+l-> ' ' ' х'п-\ — Хп-1
являются поэтому главными решениями.
Наоборот, согласно замечаниям, сделанным в §21, Х\ ••• хп-\
также являются аналитическими функциями от х\ • • • х!п_11хп и ведут себя
в окрестности системы значений х'г = • • • = х'п-\ — хп = 0 регулярно.
Поскольку коэффициенты г]ы в новой полной системе Y£(f) = 0 ведут
себя в некоторой окрестности х\ = • • • = хп = 0 регулярно как
функции от Х\ • • • хп, то они также будут обычными степенными рядами от
х\ • • • хп в некоторой окрестности точки х[ = 0, • • • х'п_г = 0, хп =
= 0, причем, как мы знаем, независимыми от хп.
Теперь найдем главные решения уравнения
относительно x^-i = 0. Они, назовем их х'{ • • • х„_2, ведут себя как
функции от х[ • • • х'п_г регулярно в окрестности х\ = • • • = x^.-l = 0 и поэтому
будут регулярными в окрестности х\ = ••• = хп = 0 также как
функции от xi • • • хп. При подстановке х^_х =0 решения х'{ • • • х^_2 сводятся
к х[ • х'п_2, следовательно, при подстановке хп-\ = хп = 0 они сводятся
к х\ • • • хп_2. Коэффициенты следующей — 2)-параметрической полной
системы будут, разумеется, обычными степенными рядами от х'[ • • • х^_2.
После д-кратного повторения этих рассуждений мы наконец получим
n — q независимых решений х^ • • • x^nq}_q нашей полной системы. Они
являются обычными степенными рядами от х[я~г^ в некоторой окрестности
_ ... _ x^JTg+i = 0 и такими же рядами от х» в некоторой
окрестности Х\ = • • • = Хп = 0. При X^Zgli = 0 фуНКЦИИ Х^ • • • Х„1д сводятся
соответственно к х^-1^ • • • x^Zql\ а значит, при xn_g+i = • • • = хп = 0
они сводятся к х\ • • • хп-я. Таким образом,
х[я) = х{ + qji(^i • • • xn) (»= i ■ • • n - g),
где все при xn-q+\ = • • • = xn = 0 обращаются в нуль.
Полные системы
101
Мы называем решения • • • xnq!_q нашей полной системы ее
главными решениями относительно xn_g+i = 0, • • • хп = 0.
Сформулируем полученный результат в несколько более общем виде,
введя вместо специальной системы значений
х1 — х2 = * * * = Хп — 0,
общую х\ • • х^. Тогда имеет место
Теорема 12. Каждая q-параметрическая полная система
коэффициенты которой Щ{ ведут себя в окрестности точки х\ =
= х®, • • • хп = х„ регулярно, имеет n — q независимых решений
* * * xn-q> которые ведут себя регулярно в некоторой окрестности
точки х\ = хп = х^ и, кроме того, сводятся при подстановке
xn-q+i = xn_g+iхп = хпк xi • • • xn_g соответственно.
В такой точной формулировке это основное утверждение из теории
полных систем не было записано ни Якоби, ни Клебшем. В то же время
оно содержалось в неявном виде в известных исследованиях, начало
которым было положено Коши, Вейерштрассом, Брио и Буке,
Ковалевской и Дарбу, где рассматривался вопрос о существовании решений
данных дифференциальных уравнений.
§25
Теория одного отдельного взятого линейного дифференциального
уравнения в частных производных
*(/) = £&(*! •••о|£ = 0
г=1 1
тесно связана, как уже было сказано, с теорией системы дифференциальных
уравнений вида
dx\ _ _ dxn
IT-'" "IT"
102
Глава 5
Нечто аналогичное имеет место также в системах линейных
дифференциальных уравнений в частных производных1, Math. Ann., том V.
Пусть даны q независимых линейных дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка, которые не обязательно образуют
полную систему. Ради простоты мы представим себе, что эти уравнения
разрешены относительно q производных:
OXn—q+k UXi
Если и(х\ • • • хп) — общее решение этих уравнений, то
n—q
ди _ _ д(л^ (к = 1 q)'
dxn-q+k ~^ 1 дХг
то есть
duo = ^2 {tei-Y, VkidXn-q+k \ •
Ы °Xi I fc=l J
Дифференциал duo обращается тем самым тождественно в нуль в силу n — q
уравнений в полных дифференциалах
я
dXi-^VkidXn-q+k =0 (t = l -n-q). (6)
Каждая функция с таким свойством называется интегральной функцией
этой системы уравнений в полных дифференциалах. Следовательно, можно
сказать:
Каждое общее решение q линейных дифференциальных уравнений
в частных производных (4') является интегральной функцией системы п —
— q уравнений в полных дифференциалах (6).
И наоборот, каждая интегральная функция системы (6) является
общим решением уравнений (4').
Действительно, если w(x\ • • • хп) — интегральная функция
системы (6), то выражение
п
dw — тг- dxi
tTdXi
1Эту взаимосвязь впервые обнаружил Буль. Ср. также А.Майер, О
дифференциальных уравнениях, интегрируемых без ограничений (A. Mayer, Uber unbeschrankt integrable
DifFerentialgleichungen).
Полные системы
103
в силу (6) тождественно обращается в нуль, т. е.
dxn-q+k = 0,
откуда следует, что w тождественно удовлетворяет уравнениям (4).
Но интегрирование системы (6) равнозначно нахождению всех ее
интегральных функций. Ведь как известно, интегрирование системы (6)
означает не что иное, как нахождение всех возможных функций £i • • • дп-я от
х\ • • • хп, которые превращают выражение
в полный дифференциал, то есть в дифференциал некоторой интегральной
функции.
Другими словами:
Интегрирование системы q линейных дифференциальных уравнений
в частных производных (4') выполнено, если проинтегрирована система
п — q уравнений в полных дифференциалах (6), и наоборот.
Эта связь между системами (4') и (6) предполагает, конечно, что
первая из них имеет решения, а вторая — интегральные функции; но
определенная взаимосвязь имеет место даже и в том случае, когда (4') не имеет
никаких общих решений, а (6) не имеет интегральных функций. К этому
мы еще вернемся (гл. 6, стр. 116).
Поскольку уравнения (4') имеют максимум n — q независимых общих
решений, то система (6) имеет самое большее n — q независимых
интегральных функций. Если имеется в точности n — q независимых
интегральных функций, то система (6) называется интегрируемой без ограничений,
следовательно, этот случай наступает лишь тогда, когда q уравнений (4')
образуют ^-параметрическую полную систему.
Предположим, что система (6) интегрируема без ограничений, или, что
то же самое, все выражения Yk(Yj(f)) — Yj(Yk{f)) тождественно
обращаются в нуль. Далее предположим, что заданы все n — q главных решений
n—q
%п) \dxi - Vki dxn-q+k
I k=i
u>i(xi • • • xn) • • • Un-q(Xi
полной системы (4') относительно
xn—g+1 — Xn_(?_|_1, • • • Xn
104
Глава 5
Тогда уравнения
u>i(x\ • • • хп) = сц,• • • U)n-q(X\ • • • хп) = an-q
cn — q произвольными константами а\ • • • ап-я называются полными
интегральными уравнениями системы (6). Эти интегральные уравнения явно
разрешимы относительно х\ • • • хп-я, т. к. и\ • • • con-q при
сводятся к xi • • • хп-я соответственно. Поэтому мы получаем
Xi = 1pi(Xn-q+l * * ' Xn, CL\ •-• an-q) (t = 1 • • ■ n-q).
Легко видеть, что уравнения (6) при подстановке х\ = гр\, - • • хп-я =
= ipn-q обращаются в тождества. Так, мы сначала имеем
хг - 1>i(xn-q+i • • • Xn,u>i • • • и;п-д) = 0 (г = 1 • • • n - q)\
поэтому, подставив х* — xpi вместо / в Yk(f), мы, разумеется, снова
получим выражение, тождественно обращающееся в нуль, а поскольку все
Yk(u>i) • • • Yk(u)n-q) тождественно равны нулю, то мы имеем
о
Щг(х1 • • • хп) ~ ~ ^tO&n-g+l •••ХП1Ш1-" Шп-Я) = 0
ОХп—q+k
(к = 1 • • • q, i = 1 • • • n — q).
Если мы сделаем здесь подстановку х\ = ф\, • • • хп-я = Фп-q, то
получится:
Vki(^l ••' ll>n-qixn-q+l xn)~^ ^t(^n-g+l * ' * Xn,ai ••• an_g) = 0.
OXn—q+k
Умножив это выражение на dxn-q+k и просуммировав по /с от 1 до q, мы
увидим, что выражение
я
dxi Vki(xl • • • xn) dxn-<H-fc
k=l
действительно тождественно обращается в нуль при подстановке х\ =
— ipi,--' xn-q — Фп-q- Кроме того, предположим, что ai из уравнений
u>i = ai можно всегда задать такими, что переменные Х\ • - • xn-q
принимают при xn-9+i = xn_g+1, • • • хп = хп предписанные начальные значения
х\ • • • xn-q\ тогда мы можем сказать:
Полные системы
105
Если система уравнений в полных дифференциалах (6) интегрируема
без ограничений, то всегда можно задать Х\ • • • xn-q как аналитические
функции от xn-q+i • • • хп, таким образом, что система (6)
удовлетворяется тождественно, а х\ • • • xn-q принимают предписанные начальные
значения при xn_g+i = • • • хп = xQn.
§26
Для удобства в будущем мы введем некоторые сокращения.
Прежде всего, начиная с этого момента будут часто опускаться скобки
вокруг / в выражении X(f).
Поскольку в дальнейшем все чаще будут встречаться выражения вида
X(Y(f)) - Y(X(f)), то мы будем писать
X(Y(f)) - Y(X(f)) = XYf - YXf = (XY);
а также будем нередко пользоваться речевым оборотом: выражение или
инфинитезимальное преобразование (XY) получается как «композиция» или
«комбинация» Xf и У/.
Теперь можно также привести здесь следующее замечание.
Для трех произвольных выражений Xf, Yf, Zf всегда имеет место
следующее тождество:
((XY)Z) + ((YZ)X) + ({ZX)Y) = 0. (7)
Оно является специальным случаем так называемого тождества Якоб и,
с которым мы позднее познакомимся. Здесь мы удовольствуемся тем, что
проверим правильность специального тождества (7); далее, в
соответствующем месте (ср. часть 2) будет также разъяснен смысл тождества Якоби.
Очевидно, что
((XY)Z) ее XYZf - YXZf - ZXYf + ZYXf;
если здесь циклически переставить Xf, Yf, Zf и сложить три
получившихся соотношения, то в правой части все сократится, и сразу получится
указанное тождество.
Это специальное тождество Якоби2 оказывается исключительно
важным при всех исследованиях групп преобразований.
2 Приведенная выше простая проверка специального тождества Якоби была впервые
предложена Энгелем.
Глава 6
Новое понимание решений полной
системы
Если мы в рассуждениях предыдущей главы рассмотрим выражения
X(f) как символы инфинитезимальных преобразований или, что то же
самое, как символы однопараметрических групп, то все сказанное там
приобретает новый смысл. С другой стороны, если мы истолкуем переменные
х\ • • • хп как координаты точек в n-мерном пространстве, то прежние
результаты получат также некоторую наглядность.
Показать и то, и другое по отдельности, а затем во взаимосвязи — вот
задача настоящей главы; однако для этого необходимо ввести различные
новые понятия1.
§27
Пусть х\ = fi{x\ ••• хп) — преобразование переменных х\ ••• хп,
а Ф{х\ • • • хп) — какая-либо функция; если эта функция случайно обладает
таким свойством, что имеет место тождественное соотношение
* *' fn{x)) = Ф(хг • • • хп),
то мы говорим: функция Ф(х\ • • • хп) допускает или разрешает,
преобразование х\ = fi(x\ • • • хп)\ мы можем выразиться еще и так: функция
Ф(х\ • • • хп) остается при данном преобразовании инвариантной, или она
ведет себя по отношению к нему как инвариант.
Если функция Ф(х\ • • • хп) допускает все оог преобразований х\ =
= fi(xi ••• xn,ai • • ar) r-параметрической группы, то мы скажем, что
она остается инвариантной относительно этой группы, или что она эту
группу допускает; при этом мы называем Ф абсолютным инвариантом или
просто инвариантом этой группы.
1 Новые понятия этой главы были развиты Лив трудах Научного общества Христиании
в 1872, 1873, 1874 гг. и 19 февраля 1875 г. Ср. также Math. Ann., т. VIII, EX и XI.
Новое понимание решений полной системы
107
Здесь мы ограничимся однопараметрическими группами. Итак, пусть
дана однопараметрическая группа
*(я=х>(*1 •••*»)!£.
i=i oxi
конечные преобразования которой имеют вид
x'i=Xi + f 6 + Г"2Х(^) + ' * * (* = 1 ' • • »)•
Нас интересует, сколько у этой группы всего инвариантов.
Если Ф(х\ • • • хп) — такой инвариант, то для любого t должно
выполняться тождество
Ф(х1 + t£i + •••,••• хп + tin + • • •) = Ф(хг • • • хп).
Если разложить его левую часть согласно общей формуле (7) из главы 3,
стр. 56, в ряд по степеням от t, то мы получим условие
Ф(хг • • • хп) + | • Х(Ф) + JLx(X&)) +"'= "'ХП)
для любого £. Отсюда немедленно следует, что выражение Х(Ф) должно
тождественно обращаться в нуль, если Ф допускает нашу однопараметри-
ческую группу; тем самым мы имеем необходимый критерий
инвариантности этой функции относительно однопараметрической группы X(f).
Выражение Х(Ф) задает, как мы уже ранее видели (ср. стр. 58),
приращение, которое получает функция Ф при инфинитезимальном
преобразовании X(f). Но поскольку это приращение 5Ф = X^)5t вместе с Х(Ф)
обращается в нуль, то вполне естественно ввести следующую терминологию:
если выражение Х(Ф) тождественно обращается в нуль, то мы говорим,
что функция Ф допускает инфинитезимальное преобразование X(f).
Поэтому полученный выше результат можно сформулировать еще
и так: для того чтобы функция Ф от Х\ • • • хп допускала все
преобразования однопараметрической группы X(f), необходимо, чтобы она допускала
инфинитезимальное преобразование X(f) данной группы.
Однако легко видеть, что это необходимое условие одновременно
является и достаточным. Ведь вместе с Х(Ф) тождественно обращаются в нуль
и все выражения Х(Х(Ф)), Х(Х(Х(Ф))) и т.д., то есть уравнение
Ф{Х\ •••Х'п)= Ф(Х1 • • • ХП) + \Х{Ф) + •
108
Глава 6
для любого значения t сводится к равенству Ф(х') = Ф(х), а это
доказывает, что функция Ф(х) допускает все преобразования однопараметрической
группы X(f). И поскольку функции Ф(х\ • • • хп), для которых выражение
Х(Ф) тождественно обращается в нуль, суть ничто иное, как решения
линейного дифференциального уравнения в частных производных X(f) = 0,
то мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 13. Решения линейного дифференциального уравнения в
частных производных
i=i OXi
являются инвариантами и притом единственными инвариантами
однопараметрической группы X(f).
Конечно, нельзя забывать, что инварианты однопараметрической
группы X(f) одновременно являются инвариантами всякой
однопараметрической группы вида
£(х1 ••• ХП)]Г&(х1 ••• Хп)^Г = QX(f),
г=1 1
какой бы функцией своих аргументов g при этом ни была. Это следует
попросту из того, что уравнение X(f) = 0, определяющее соответствующие
инварианты, можно умножить на произвольную функцию g от х\ • • х„.
Это обстоятельство можно выразить еще так: если функция от х\ • • • хп
допускает инфинитезимальное преобразование X(f), то она также
допускает всякое инфинитезимальное преобразование вида д(х\ • • • хп) • X(f).
Мы видим, что понятия «однопараметрическая группа X(f)»n
«инфинитезимальное преобразование X(f)» — более специальные, чем понятие
«линейное дифференциальное уравнение в частных производных X(f) =
= 0».
Наше прежнее замечание о том, что общие решения двух уравнений
Xi(f) = 0 и Xk(f) =0 удовлетворяют одновременно и третьему
уравнению Xi(Xk(f)) — Xk(Xi(f)) = 0, мы можем теперь на основании
вышеизложенного сформулировать следующим образом.
Утверждение 1. Если функция от х\ • • • хп допускает
инфинитезимальные преобразования Xi(f) и Xk(f) от этих переменных, то она
допускает также инфинитезимальное преобразование Xi(Xk{f)) — Xk(Xi(f)).
Новое понимание решений полной системы
109
Иначе говоря, имеет место
Утверждение 2. Если функция от х\ • •• хп допускает однопарамет-
рические группы Xi(f) и Xk(f), то она допускает также однопарамет-
рическую группу Х{(Хк(/)) - Xk(Xi(f)).
Если фх - • • фп-я — это система независимых решений д-параметриче-
ской полной системы X\(f) = 0, • • • Xq(f) = 0, а значит, 0{ф\ • • • фп-q) —
общий вид решения этой полной системы, то Q(tpi • • • фп-q) допускает
вообще любое инфинитезимальное преобразование вида
• • • ХП) • Xi(f) + • • • + \q(Xl •••ХП)- ВД), (1)
какими бы ни были выбраны функции Xi"' Xq- Более того, ясно, что,
кроме только что записанных, нет других инфинитезимальных
преобразований, при которых все функции вида 0(ф\ • • • tpn-q) остаются
инвариантными, поскольку мы знаем, что g-параметрическая полная система Х\ (/) =
= (),••• Xq(f) = 0 определяется своими решениями ф\ • • • ipn-q-
Функции Q допускают также, конечно, все преобразования
однопараметрических групп (1). Можно, впрочем, указать все конечные
преобразования, при которых все функции ф\ - • • фп-я одновременно остаются
инвариантными. Эти преобразования имеют вид
Фк{х'г • • • х'п) = фк(Х1 • • • Хп) (k = l-n-q),
Иу(х[ - • . Хп, Xi • • • Хп) = 0 (j = 1 • - • q),
где iij подчиняются тому условию, что получается настоящее
преобразование. Кроме того, как хк, так и х'к должны оставаться внутри определенных
областей.
Мы скажем, что система уравнений
п\{х\ • • • хп) = 0,• • • 7Tm(Xi • • • хп) = 0
допускает преобразование х\ = j%[x\ • • • хп), если система уравнений
7Ti(xi • • . Хп) = 0, • • • 7Гт(х[ • • • Х'п) = 0
при подстановке х\ = f%{x\'--xn) эквивалентна системе ni(x) =
= 0, •••7гт(х) = 0, т.е. если любая система значений х\ • • • хп,
удовлетворяющая га уравнениям тг^(х) = 0, удовлетворяет также га уравнениям
7Tl(/l(x) • • • fn(x)) = 0, • • - *m(/l(*) • • • fn(x)) = 0.
по
Глава 6
При введении этого определения совсем не обязательно предполагать,
что т уравнений 7Ti = 0, • • • 7гш = 0 независимы друг от друга, но в
дальнейшем мы это условие будем всегда налагать, если четко не оговорено
противное. Из вышеизложенного немедленно следует
Утверждение 3. Если W\, W2 • • • Wm (га < п — q) —
произвольные независимые решения q-параметрической полной системы X\(f) =
— О, • • • Xq(f) = О от п независимых переменных х\ • • • хп, если, кроме
того, а\ • • • аш — некоторые произвольно выбранные константы, то си-
стема уравнений
Wi = аь • Wm =ат
допускает любую однопараметрическую группу вида
я
Y^Xk{xi ••• хп)-Хк(/),
1
где под Х\"' Xq понимаются произвольные функции своих аргументов.
§28
В предыдущем параграфе мы представили теорию интегрирования
линейных дифференциальных уравнений в частных производных в новом
свете, связав с ней инфинитезимальные преобразования и однопараметриче-
ские группы. Теперь мы хотим пойти другим путем и попытаться сделать
эту теорию интегрирования и все, что с ней связано, доступными для
наглядного понимания при помощи рассмотрения многообразий.
Если мы посмотрим на xi • • • хп как на координаты в n-мерном
пространстве Rn, то система
dx\ _ _ dxn
получает некий наглядный смысл; а именно: она ставит в соответствие
каждой точке х\ • • хп из Rn определенное направление.
Интегральные уравнения этой системы задают п — 1 из переменных
х\ • • • хп, например х\ • • xn_x, как функции от n-ой переменной хп и
начальных значений х\ • • • хп\ следовательно, эти интегральные уравнения
при заданных определенным образом начальных значениях представляют
некоторое одномерное многообразие, которое мы назовем интегральной
Новое понимание решений полной системы
111
кривой этой системы. Каждая такая интегральная кривая в каждой своей
точке касается соответствующего этой точке направления.
Для нашей системы имеется в целом oon_1 различных интегральных
кривых, причем через каждую точку пространства Rn проходит в общем
случае одна из них.
Если ф\ - - - фп-1 — независимые интегральные функции
рассматриваемой системы, то всевозможные интегральные кривые также могут быть
представлены п — 1 уравнениями
Фк(хг • • • Хп) = Ск (к = 1 • • • п - 1)
с п — 1 произвольными константами С\ • • Сп-\. Если приравнять любую
интегральную функцию П(ф\ • • • фп-\) произвольной константе:
/2(^1 ••• фп-г) = А,
то мы получим уравнение, задающее оо1 многообразий размерности п — 1,
порожденных интегральными кривыми, а именно: каждое в отдельности
порождено ооп~2 различными интегральными кривыми. Наконец, если
вообще приравнять т ^ п—\ независимых интегральных функций Q\ • • • i?m
произвольным константам:
Пц(ф1'" ^n-l) = Ац (м=1 -т),
то получится аналитическое выражение семейства оош многообразий
размерности п — т, каждое из которых состоит из oon_m_1 интегральных
кривых.
Интегральные функции нашей системы в то же время являются
решениями линейного дифференциального уравнения в частных производных
-.*п)|£=Х(/) = 0.
i=l 1
Иногда мы называем интегральные кривые нашей системы также
характеристиками линейного дифференциального уравнения в частных
производных X(f) = 0, возвращаясь к термину, введенному Монжем для п = 3.
Используя эту терминологию, мы можем также сказать: каждое решение
линейного дифференциального уравнения в частных производных X(f) =
= 0, будучи приравнено константе, задает однопараметрическое семейство
многообразий, каждое из которых состоит из ооп_2 характеристик
уравнения X(f) = 0.
112
Глава 6
Предположим теперь, что нам даны два линейных дифференциальных
уравнения в частных производных, например X\(f) = 0 и X2(f) = 0.
Может случиться, что эти уравнения имеют общие характеристики.
Это происходит, если имеет место тождество вида
xi(si • • • хп) • Xx(f) + X2(xi • • • хп) • X2(f) = 0,
где ни хь ни Х2 не обращаются в нуль. Естественно, в этом случае каждое
решение уравнения X\(f) — 0 также удовлетворяет X2(f) = 0, и наоборот.
Если уравнения X\(f) = 0 и X2(f) = 0 имеют различные
характеристики, то не все их решения являются общими; спрашивается тогда, есть
ли у них вообще какие-либо общие решения, или, как мы теперь можем
это выразить, можно ли из характеристик уравнения X\(f) = 0 составить
многообразия, которые состоят из характеристик уравнения X2(f) = 0.
На этот вопрос можно непосредственно ответить, если известны
характеристики обоих уравнений, но мы на этом задерживаться не будем.
В дальнейшем мы ограничимся тем, что выразим ранее полученные
аналитическими методами результаты языком теории многообразий.
Пусть q независимых друг от друга уравнений
х,(Я = о,...вд) = о
образуют ^-параметрическую полную систему, а ф\ • • • фп-q являются ее
независимыми решениями. Тогда уравнения
1>l{Xl ' ' ' Хп) = Си • • • Фп-д{Х1 • • • Хп) = Сп-д
с 71 — q произвольными константами Ck задают (п — (^-параметрическое
семейство g-мерных многообразий, каждое из которых состоит из ооя~1
характеристик каждого из q уравнений X\(f) = 0, • • • Xq(f) = 0. Эти ооп~я
многообразий мы назовем характеристическими многообразиями полной
системы.
Если мы приравняем какие-либо п — q — т независимых функций от
ф\ • • • фп-q произвольным константам
ПЛФг ' ' ' Фп-q) = -Ali * * ' Пп-д-т(Ф1 • • • Фп-q) = An-q-m,
то получим аналитическое выражение семейства из ооп~я"т многообразий
размерности q + m, каждое из которых состоит из оот характеристических
многообразий.
Уравнения ооп~я характеристических многообразий показывают, что
каждая точка пространства Rn соответствует одному и только одному
характеристическому многообразию. Таким образом, мы можем сказать, что
Новое понимание решений полной системы
113
все пространство Rn разбито на ооп~я многообразий размерности q, т. е.
что наша полная система задает разбиение пространства.
И наоборот, любое разбиение Rn на oon~q ^-мерных многообразий,
Ч>\{Х\ ' ' • Хп) = М, • • • <Pn-q(xi ' * * Хп) = An-q
можно определить при помощи ^-параметрической полной системы;
поскольку ф\ • • • (fn-q необходимо являются независимыми функциями, то
согласно утверждению 9, стр. 99, существует ^-параметрическая полная
система, самым общим решением которой является произвольная функция
от (f\ • • • (fn-q, эта полная система и определяет данное разбиение.
Отдельно взятое линейное дифференциальное уравнение в частных
производных X(f) = О ставило в соответствие каждой точке пространства
Rn некоторое направление. Если теперь у нас таких уравнений несколько,
например следующие (они могут выбираться совершенно произвольно):
п Я f
то каждое из них ставит в соответствие каждой точке пространства одно
направление движения. Например, q направлений, соответствующих точке
х\ • • • хп, заданы уравнениями
(5х? : 5х% : • • • : 6х°п = £к1(х°) : ^2(х°) : • • : £кп(х°) (к = 1 • • q).
Мы называем эти q направлений в выбранной точке х\ • • • хп
независимыми друг от друга, если ни одно из них нельзя получить линейно из
остальных, т. е. если невозможно найти q чисел Ai • • А9, не
обращающихся одновременно в нуль, но в то же время удовлетворяющих п уравнениям
А1& + --- + Ад^=0 (t = i-..n).
Отсюда следует, что q уравнений X\(f) = 0, • • • Xq(f) = О каждой
точке общего положения ставят в соответствие q независимых
направлений, если они сами независимы друг от друга, т. е. если уравнение
я
•••*„) •**(/)= О
k=l
может быть тождественно удовлетворено лишь при \\ = (),••• \q = 0.
114
Глава 6
Чтобы наглядно показать с геометрической точки зрения, что
понимается под «независимыми направлениями», надо начинать с обычного
трехмерного пространства Rs'9 в этом случае ответ лежит на ладони. Два
направления в точке пространства Rs называются друг от друга
независимыми, если они вообще различны; три направления независимы друг от друга,
если не лежат в одной плоскости, проходящей через данную точку; более
трех независимых друг от друга направлений в пространстве Rs вообще не
бывает.
Соответственно этому q направлений в точке пространства Rn
независимы друг от друга тогда и только тогда, когда они, взятые вместе, не
содержатся ни в одном плоском многообразии, проходящем через эту точку
и имеющем менее q измерений.
Всякое возможное общее решение q уравнений
0,-••*,(/) = о
удовлетворяет также всем уравнениям вида
п
5>fc(*i •••*„).ВД) = 0. (2)
к=1
Таким образом, совокупность всех этих уравнений ставит каждой точке
пространства Rn в соответствие целое семейство направлений. Если мы
предположим, что уравнения Xi(f) =(),••• Xq(f) = О независимы друг от
друга, то мы не ограничим при этом общность исследования; при помощи
уравнений (2) мы тогда получим семейство из оо9-1 различных
направлений для каждой точки х\ • • • хп. Легко заметить, что эти оо9-1 направлений
образуют в каждой точке плоский пучок и тем самым задают плоское 67-
мерное многообразие2, проходящее через эту точку, а именно наименьшее
плоское многообразие, содержащее q независимых направлений,
соответствующих q уравнениям X\{f) = О, • • • Xq(f) = 0.
Каждое возможное общее решение уравнений
ВД) = (>,••■ *,(/) = о
удовлетворяет также всем уравнениям вида
хк(ВД))-*ЛВД))=о.
Эти уравнения также ставят в соответствие каждой точке х\ • • • хп
определенные направления, но в общем случае эти направления будут принадле-
2Имеется в виду g-мерное линейное подпространство. — Прим. ред.
Новое понимание решений полной системы
115
жать ранее указанному пучку из оо9 1 направлений только в виде
исключения. Каждое из направлений, заданных уравнениями
Хк(Х^/))-Х^Хк(/))=0,
входит в этот пучок в каждой точке пространства только в одном случае,
а именно тогда, когда для любых к и j имеет место соотношение вида
Хк(Хл(/)) - Xj(Xk(f)) = J2ukja(xi ■■■хп)- Xa(f),
3 = 1
т.е. когда уравнения Xi(f) = 0, - • • Xq(f) = О «случайно» образуют q-
параметрическую полную систему.
Пучок направлений, который определяется уравнениями X\(f) =
= (),••• XQ(f) = 0 в каждой точке х\ • • • хп, мы можем также задать с
помощью равенства
я я
бхг : • • • : Sxn = Y^Xk(x) • 6и(ж) : • • • : E*fc(x) " &п(ж)-
k=i к=1
Если мы исключим отсюда произвольные функции Xi"' Хя и™' что то же
самое, если все определители порядка q + 1 матрицы
dx\
dx2 •
• dxn
ы
62 •
€.1
£q2 '
положим равными нулю, то получим систему из n — q независимых
уравнений в полных дифференциалах. Эта система ставит в соответствие каждой
точке х\ • — хп тот же самый плоский пучок из ос9-1 направлений, что
и уравнения (2). Следовательно, и наоборот: совокупность линейных
дифференциальных уравнений в частных производных (2) полностью
определяется указанной системой уравнений в полных дифференциалах.
Этими формулами будет особенно удобно пользоваться, если заменить
q уравнений Xi(f) = 0, • • • Xq(f) = 0 другими q уравнениями, разрешен-
д/
ными относительно q из производных например следующими:
OXi
116
ГЛАВА 6
Совокупность всех уравнений (2) эквивалентна совокупности всех
уравнений
я
J^Xfc(*i ■••Жп)-П(/) = 0;
к=1
так что все направления, сопоставленные точке х\ • • • хп, могут также быть
выражены уравнениями
dx\ : • • • : dxn-q : dxn-q+\ : • • • : dxn =
я я
= ^2xkriki • '^Хк rik,n-q -Хг-'-'-Хя-
к=1 к=1
Поэтому если мы исключим отсюда \г • • * Хя-> то получим следующую
систему уравнений в полных дифференциалах:
я
dXi - ^2 Vki(x) • dxn-q+k = О (г = 1 • • • п - q). (3)
к=1
Еще в предыдущей главе, стр. 101-103, мы видели, что между системой
линейных дифференциальных уравнений в частных производных Y\ (/) =
= 0, • • • Yq(f) = 0 и указанной выше системой уравнений в полных
дифференциалах существует взаимосвязь. Но тогда мы ограничились тем
специальным случаем, когда q уравнений
yl(/) = 0,...ye(/)=0
имеют общие решения, и доказали, что нахождение этих общих решений
сводится к интегрированию уравнений в полных дифференциалах,
приведенных выше, и наоборот.
В последних же рассуждениях речь об интегрировании этих систем
дифференциальных уравнений вообще не шла. Таким образом, связь между
системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных
Yi(f) = 0, • • • Yq(f) = 0 и системой уравнений в полных дифференциалах
(3) совершенно не зависит от интегрируемости обеих систем; эта связь
основана, скорее, на том, что обе системы ставят одной и той же точке
в соответствие один и тот же плоский пучок из ооя~г направлений.
В заключение — еще одно замечание, которое хоть и кажется само
собой разумеющимся, но все же должно быть сделано: если q уравнений
X\f = 0, • • • Xqf = 0 образуют ^-параметрическую полную систему, то
характеристическое многообразие этой полной системы касается в каждой
новое понимание решений полной системы
117
точке xi • • • хп, через которую оно проходит, каждого отдельного из ооя~
направлений, поставленных в соответствие этой точке всеми уравнениями
вида (2).
§29
Наконец, целесообразно связать рассуждения о многообразиях из
предыдущего параграфа с рассуждениями § 27. Мы ограничимся здесь,
однако, лишь некоторыми замечаниями.
Каждое преобразование х\ — j%(x\ • • • хп) можно понимать как
операцию, которая переставляет между собой точки пространства Rn, переводя
при этом каждую точку х\ • • • хп в новое положение х\ = /i(x), • • • х'п =
= fn(x) (гл. 1, стр. 27).
Система га независимых уравнений
fti(xi • • • хп) = 0, • • • /?m(xi • • • хп) = О
представляет (п —га)-мерное многообразие в Rn. Мы говорим, что это
многообразие допускает преобразование х\ = fi{x\ • • • хп), если это верно для
системы уравнений Q\ = О, • • • Пт = 0. Согласно § 27 это условие
выполняется в том случае, когда любая система значений х\ • • • хп,
удовлетворяющая уравнениям Q\(x) = 0, • • • От(х) = 0, в то же время удовлетворяет
уравнениям
Hi (/i(x) • • • /п(х)) = 0, • • • flm(/i(x) • • • /п(х)) = 0.
Поэтому мы можем выразить свою мысль еще и так:
Многообразие
Qi(x\ • • • хп) = 0, • • • nm(xi • • • хп) = 0
допускает преобразование
х1 = /Лх1 ' ' ' хп), х'п = /п(Х1 • • • Хп),
если каждая точка Х\ • • • хп многообразия переходит при этом
преобразовании в точку х\ • • • х'п, также принадлежащую этому многообразию.
В главе 3, стр. 64 и 65, мы видели, что через каждую точку х\ • • • хп
общего положения в Rn проходит траектория инфинитезимального
преобразования
*(я=х>(*1
г=1 1
Мы определяли эту траекторию как совокупность всех положений,
которые принимает точка х\ • •• хп при всех оо1 преобразованиях однопара-
метрической группы X(f); причем точка х\ • • • хп может быть выбрана
118
Глава 6
на этой траектории совершенно произвольно. Отсюда следует, что любая
точка х\ • • • хп при любом преобразовании однопараметрической группы
X(f) остается на проходящей через нее траектории, так что всякая
траектория инфинитезимального преобразования X(f) остается инвариантной
относительно оо1 преобразований однопараметрической группы X(f). То
же самое касается, конечно, любого многообразия, состоящего из
траекторий.
Траектории инфинитезимального преобразования X(f), однако, суть
не что иное, как интегральные кривые системы
dx\ _ dxn
1Г"'"~ 17'
а отсюда опять же следует, что рассмотренные выше характеристики
линейных дифференциальных уравнений в частных производных X(f) = О
совпадают с траекториями инфинитезимального преобразования X(f).
Ранее (гл. 3, стр. 62) мы уже подчеркивали, что инфинитезимальное
преобразование X(f) ставит в соответствие каждой точке х\ • хп общего
положения определенное направление движения, а именно такое, которое
касается проходящей через нее траектории. Очевидно, это направление
движения совпадает с направлением, которое уравнение Xf = О сопоставляет
данной точке.
Несколько, скажем q, инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2Ы(хг Xn)~fa. (k = l' - я)
i=l 1
задают в каждой точке х\ • • • хп общего положения q различных
направлений; в соответствии с вышесказанным мы называем последние
независимыми друг от друга, если уравнения X\f = О, • • • Xqf = О независимы
друг от друга.
Отсюда немедленно следует, что q инфинитезимальных
преобразований X\f • • Xqf ставят в соответствие каждой точке общего положения
ровно h < q независимых направлений, если все определители порядка
h + 1, но не все определители порядка h матрицы
£п • * £in
тождественно обращаются в нуль.
Новое понимание решений полной системы
119
Все, что мы еще должны здесь добавить, можно выразить одним
утверждением.
Утверждение 4. Если q инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xqf n-мерного пространства х\ • • • хп таковы, что q уравнений
X\f = 0, • • • Xqf = 0 друг от друга независимы, то X\f... Xqf
ставят в соответствие каждой точке х\ • • • хп общего положения q
независимых направлений; если, кроме того, уравнения Xif = 0,---Xqf = 0
образуют q-параметрическую полную систему, то X\f • • • Xqf задают
разбиение пространства на ооп~я q-мерных многообразий —
характеристических многообразий полной системы. Каждое из этих многообразий
касается в каждой своей точке направлений, сопоставленных этой точке
преобразованиями X\f • • • Xqf. Каждое из них может быть порождено
оо9-1 траекториями инфинитезимального преобразования вида
Xl{Xi • • • Хп) • Xif + • • • + Xqfal ' ' ' Хп) • Xqf,
где под Xi" ' Xq понимаются совершенно произвольные функции своих
аргументов; и наконец, каждое из указанных многообразий допускает все
преобразования всякой однопараметрической группы вида
Xl'Xlf+'-'+Xq-Xqf-
Глава 7
Описание всех систем уравнений,
допускающих данные
инфинитезимальные преобразования
Прежде всего, мы определим, что должно означать выражение:
система уравнений
• • • Хп) = О, • • • On-m(xi • ' • Хп) = О
допускает инфинитезимальное преобразование X(f). Затем мы решим
крайне важную задачу — найдем все системы уравнений, допускающие
заданное инфинитезимальное преобразование1.
Но сначала отметим следующее: мы рассматриваем, разумеется, только
такие системы уравнений
fli = 0, • • • Пп-т = О,
которым действительно удовлетворяют некоторые системы значений
х\ • • • хп\ при этом мы всегда ограничиваемся такими системами
значений х\ • • • хп, в окрестности которых функции Q\ • • • Qn-m ведут себя
регулярно. Кроме того, мы хотим раз и навсегда установить: если четко не
оговорено противное, то всякая рассматриваемая нами система уравнений
fi\ = О, • • • Qn-m = 0 должна быть такой, что не все определители порядка
п — т матрицы
а)
dxi
дхп
дОп-т
дОп-т
dxi
дхп
у Ох = 0,-
гать разрешено, поскольку система уравнений, которая еще не обладает
требуемым свойством, всегда может быть приведена к такому виду, чтобы
удовлетворять поставленному требованию.
!Ср. Ли, Gesellsch. der Wiss. zu Christiania (Научное общество Христиании. — Прим. перев.)
1872-1874 гг., а также Math. Arm. том XI, том XXIV, стр. 542-544.
Описание всех систем уравнений
121
§30
Пусть дано инфинитезимальное преобразование
в переменных х\ • • • хп. При исследованиях, имеющих к нему отношение,
мы всегда будем ограничиваться такими системами значений, для
которых & ведут себя регулярно.
Если система уравнений Q\ — 0, • • • fin-m — 0 допускает все конечные
преобразования
х\ = Xi + е • Xxi + • • • (г = 1 • • • п)
однопараметрической группы X/, то система уравнений
+ е • Хх\ Н , • • • хп + е- Ххп Н ) = 0 (Л = 1 • • • n - т)
или, что то же самое, система
Qk+e- ХПк + • • • = 0 (k = l • • • n-m)
должна быть эквивалентна системе уравнений
Пг = 0, • • • Пп-т = 0
для всех значений е. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы все XQk для
систем значений, удовлетворяющих П\ = 0, • • 42п_ш = 0, обращались
в нуль, т.е. чтобы приращение XQkSt, которое получает Qk при инфи-
нитезимальном преобразовании х[ = Xi + <^> обращалось в нуль в силу
Пг = 0, • • • /?п_т = 0.
Эти рассуждения приводят нас к следующему определению:
Система уравнений
Qi(xi • • • xn) = 0, • • • l?n_m(xi • • • xn) = 0
допускает инфинитезимальное преобразование Xf, если все п — т
выражений XQk в силу этой системы уравнений обращаются в нуль.
Тогда на основании этого определения, очевидно, справедливо
Утверждение 1. Если система уравнений допускает все
преобразования однопараметрической группы Xf, то она должна во всяком случае
допускать инфинитезимальное преобразование Xf.
122
ГЛАВА 7
Кроме того, мы сразу видим, что система уравнений, допускающая
инфинитезимальное преобразование Xf, в то же время допускает любое
инфинитезимальное преобразование вида x(xi ' " хп) • Xf, разумеется,
при условии, что функция х ведет себя регулярно для рассматриваемых
систем значений этой системы уравнений.
Нетрудно понять, что данное выше определение не зависит от выбора
переменных, т. е. что всякая система уравнений Q\ = 0, • • Оп-т — О,
допускающая инфинитезимальное преобразование Xf в вышеуказанном
смысле, по-прежнему его допускает, если ввести вместо х новые
независимые переменные у\ • • • уп. То, что это действительно так, следует
непосредственно из поведения символа Xf при введении новых переменных.
При этом, как всегда, предполагается, что у будут обычными степенными
рядами от х, а х — обычными степенными рядами от у для всех
рассматриваемых систем значений х\ • • • хп, у\ • • • уп.
Остается еще доказать, что записанное выше определение также не
зависит от вида системы уравнений Q\ = О, • • • Оп-т — О- Только после
того, как мы это докажем, введение этого определения будет по-настоящему
оправдано.
Чтобы провести это доказательство, мы сначала приведем некоторые
общие рассуждения, которые важны также и сами по себе и найдут позднее
неоднократное применение.
Пусть система уравнений Q\ = 0, • • • 4?п_ш = 0 допускает
инфинитезимальное преобразование Xf. Поскольку не все определители порядка
п — т матрицы (1) в силу Q\ = 0, • • • i?n_m = 0 обращаются в нуль то мы
можем предположить, что определитель
V- , дПг дПп
^ дх\ дхп-т
в нуль не обращается. Тогда можно разрешить уравнения Qk = 0
относительно х\ • • • Хп-т, что естественным образом дает систему уравнений
xl = ^l(«^n—m+l * " * хп)ч ' ' ' хп—т ~ (Рп—т{хп—т+1 ' ' ' хп)ч
аналитически эквивалентную системе Q\ = 0, • • • Пп-т = 0. Поэтому
если мы обозначим подстановку х\ = <^ь •• хп-ш = <рп-т через [ ], то
получим:
[fli]=0,..- [ап-т]=0;
тогда тот факт, что система уравнений Q\ = 0, • • • Оп-т = 0 допускает
инфинитезимальное преобразование Xf, выразится тождествами
[М] =(),■•• [XQn-m}=0.
Описание всех систем уравнений
123
Пусть теперь ф(х\ • - • хп) — произвольная функция, ведущая себя для
рассматриваемых систем значений х\ • • • хп регулярно. Тогда имеем
[ХФ] = ^[Хх^
г=1
дФ
dxi
с другой стороны,
к=1
[*[*]]= |f + £[X*n-m+,J
дхк
дФ
то есть
дхп—ш+д
дФ^
дхк
(2)
[хф] = [х[ф}}+
Если мы подставим сюда по порядку функции /?!••• Qn-m вместо Ф,
учитывая, что как [fij]y так и а также тождественно обращаются
в нуль, то получим
дхк
'дПг'
дОгь—т
дх\
дХп—т
(j = 1 • • • n - га).
Поскольку [XQj] также тождественно обращается в нуль, а определитель
не обращается в нуль, то отсюда следует:
[Х(хк-<рк)]=0 (* = l...n-m),
т. е. уравнение (2) принимает вид
[ХФ] = [Х[Ф]). (3)
Эта формула, справедливая для любой функции ф(х\ • • • хп), нам в
дальнейшем очень пригодится. Здесь она нужна нам только для специального
случая, когда ф обращается в нуль в силу fi\ = О, • • • i?n_m = 0; тогда [ф],
а также тождественно равны нулю. Таким образом, наша формула
показывает, что [X ф] также обращается в нуль тождественно. Словами мы
этот результат можем выразить так.
124
Глава 7
Утверждение 2. Если система уравнений
Ql{xi • • • Хп) = О, • • • Пп-ш{Х1 • • • хп) = О
допускает инфинитезимальное преобразование
a V(x\ • • • хп) — это функция, обращающаяся в нуль в силу этой
системы уравнений, то функция XV также обращается в нуль в силу fi\ =
= О, • • • Пп-т = О.
Если теперь V\ = О, • • • Уп-т = О — произвольная система уравнений,
аналитически эквивалентная системе
i?l = 0, • • • i?n-m = О,
то все п — т выражений XVk, согласно только что сформулированному
утверждению, обращаются в нуль в силу Q\ = 0,••• Qn-m = 0, а также
в силу V\ — 0, • • • Уп—т — 0; другими словами, система уравнений V\ =
= 0, • • • Vn-m = 0 допускает инфинитезимальное преобразование Xf.
Этим окончательно доказано, что наше данное выше определение
инвариантности системы уравнений относительно инфинитезимального
преобразования от вида этой системы уравнений также не зависит. Введение
этого определения, следовательно, совершенно естественно.
Мы знаем, что система уравнений только тогда может допускать все
преобразования однопараметрической группы Xf, когда она допускает
инфинитезимальное преобразование Xf. Это необходимое условие в то же
время является и достаточным, а именно: можно доказать, что всякая
система уравнений, допускающая инфинитезимальное преобразование Xf,
допускает вообще все преобразования однопараметрической группы Xf.
Действительно, пусть система уравнений Q\ = 0, • • • i?n_m = 0
допускает инфинитезимальное преобразование Xf; кроме того, пусть х\ =
— <Pi, • • • #n-m ~ <£n-m — система уравнений Q\ = 0, • • • J?n-m = 0 в
разрешенном виде; наконец, снова обозначим подстановку хд = </?д через [ ].
При этих условиях сначала мы имеем [Дь] = 0, затем [Xfik] = 0, и из
только что записанного утверждения 2 далее следует:
[ХХПк]=0, [XXX Пк] = 0-
Описание всех систем уравнений
125
Следовательно, бесконечный ряд
Пк + \XQk + Y^XXQk + • • •
при подстановке хд = рц тождественно обращается в нуль, какое бы
значение ни принимал параметр е. Таким образом, системы значений, для
которых i?i = 0, • • • i?n_m = 0, удовлетворяют системе уравнений
Qk + e- XQk н = 0 {к = 1 • • • п - т)
при любом е, что согласно вышесказанному означает не что иное, как то,
что система уравнений
fli = 0, • • • Пп-т = О
допускает все преобразования
х\ = Xi + е • + • • • (г = 1 • • • п)
однопараметрической группы Xf.
Тем самым высказанное выше утверждение доказано; следовательно,
имеет место
Теорема 14. Система уравнений
Пг{хг • • • хп) = 0, • • • ^n-m^i • • • хп) = О
допускает все преобразования однопараметрической группы Xf тогда
и только тогда, когда она допускает инфинитезимальное преобразование
Xf, т. е. когда все п — т выражений ХПк обращаются в нуль в силу ft\ =
= 0, • • • Пп-т = 0.
Эта теорема доказана при условии, которое мы всегда налагаем, если
явно не указано ничего другого, а именно при условии, что не все
определители порядка п — т матрицы (1) обращаются в нуль в силу i?i =
= 0, • • • i?n-m = 0. Кроме того, как уже было сказано, как ftk, так и &
должны для рассматриваемых систем значений х\ • • • хп вести себя
регулярно.
Легко видеть, что теорема 14 уже не справедлива, если налагаемое
выше условие относительно определителей матрицы (1) не выполняется.
Рассмотрим, например, систему уравнений
Пг = х\ = 0, • • • J?n-m = х2п_т = 0,
126
Глава 7
в силу которой все определители порядка п — т матрицы (1) обращаются
в нуль. Мы находим для нее: XQk = 2xfc • Xxk, т. е. все Xfik здесь
обращаются в нуль в силу i?i = 0, • • • i?n_m = 0, какой бы вид Xf ни принимало.
Если бы согласно этому теорема 14 была по-прежнему верна, то система
уравнений
xi = 0,--x2n_m = 0
должна была бы допускать любую однопараметрическую группу Xf, что,
разумеется, неверно.
Отсюда мы заключаем следующее: если система уравнений i?i =
= 0, • • • Оп-т = 0 обращает все определители порядка п — т матрицы (1)
в нуль, то обращение в нуль всех XQk в силу i?i = 0, • • • i?n-m = 0 хотя
и является необходимым для того, чтобы эта система уравнений допускала
однопараметрическую группу Xf, но все же будет недостаточным.
Часто общие рассуждения приводят к системам уравнений, для
которых нельзя непосредственно решить, выполнено ли это много раз
упомянутое требование. Как же тогда понять, допускает рассматриваемая система
уравнений данную однопараметрическую группу или нет?
В подобных случаях хорошую службу часто может сослужить
критерий, который мы сейчас изложим.
— некоторая система уравнений. Мы предполагаем, что функции А\ • • • А3
ведут себя внутри некоторой области В из окрестности системы значений
х\ хп, удовлетворяющей этой системе уравнений, регулярно.
Относительно поведения функциональных определителей системы А мы,
напротив, ничего не предполагаем; мы даже не требуем, чтобы наши s уравнений
были независимы друг от друга, то есть при известных условиях число s
может быть и больше п.
Далее, пусть
— инфинитезимальное преобразование, и пусть среди систем значений
х\ • • • хп, для которых £i • • • £п ведут себя регулярно, имеются такие,
которые удовлетворяют уравнениям Л\ = 0, • • • Л8 = 0 и, кроме того,
принадлежат области В.
Если теперь при этих условиях s выражений ХАа можно представить
следующим образом:
Пусть
Ах{х\ ••• хп) =0,- Аа(хг •••
хп) =0
3
XAa = ^QariXl •••
Хп) • АТ(х\ • • • Хп) (a = 1 • • • s),
т=1
Описание всех систем уравнений
127
и если при этом все дат ведут себя для рассматриваемых систем значений
при
Ах=0,--А8=0
регулярно, то наша система уравнений допускает любое преобразование
x'^Xi + j- Xxi + • • • (t = 1 • • • n)
однопараметрической группы Xf.
Доказать это очень просто. Мы имеем:
Аа(х\ •••<) = Аг(*1 •' * хп) + f • ХЛа + . •. ;
но отсюда вытекает:
XXАа = { xq°t +
&77Г07ГТ > ' Ат,
Т = 1 { 7Г = 1 J
где коэффициенты при А в правой части снова ведут себя для систем
значений, удовлетворяющих уравнениям А\ = О, • • • А9 = О, регулярно.
Аналогичным образом функции XXXАа линейно выражаются через А\ • • • As
и так далее. Короче говоря, мы находим
s
Аа{х\ х,п) = ^2• • • хп,е) • Ат(х) {а = 1 .• • s),
т=1
где — обычные степенные ряды от е, которые к тому же ведут себя
для систем значений из А\ = 0,- • А3 = 0 регулярно. Отсюда следует, что
любая система значений х\ • • • хп, удовлетворяющая уравнениям А\(х) =
= 0, • • • А3(х) = 0, удовлетворяет также уравнениям
Д<т(х1 + у • Хх\....... хп + | * Н ) = 0 (<г = 1 • • • а),
то есть что система уравнений А\ = 0, • • • А3 = 0 действительно допускает
однопараметрическую группу X/.
Согласно этому мы имеем
Утверждение 3. Если задана система уравнений
Ai(xi * * • хп) = 0, • • • 4e(a?i • • • хп) = 0
128
Глава 7
от переменных х\ • • • хп, для которой неясно, являются ли ее уравнения
друг от друга независимыми, и более того — обращаются ли все
определители порядка s матрицы
дХ!
дхп
дл3
дЛ3
дх\
дхп
в нуль в силу А\ = 0,- • А3 = О, то эта система уравнений заведомо
допускает все преобразования однопараметрической группы Xf, если s
выражений XAG могут быть представлены в виде
s
ХАа = q<tt{x\ • • • Хп) • АТ (а = 1 • • • s),
т=1
и при этом QaT ведут себя регулярно для тех систем значений Х\ • • • хп,
которые удовлетворяют системе уравнений А\ = О, • • • А3 = О.
§31
В предыдущих параграфах мы показали, что описание всех
систем уравнений, допускающих однопараметрическую группу Xf,
сводится к описанию всех систем уравнений, допускающих инфинитезимальное
преобразование Xf. Поэтому возникает вопрос относительно всех систем
уравнений Q\ = 0, • • • i?n_m = 0 (т ^ п), допускающих
инфинитезимальное преобразование
Этот вопрос должен найти свой ответ в настоящем параграфе.
Надо различать два случая, а именно: либо не все п функций £i • • • £п
обращаются в нуль при условии
01 =(),••• Оп-т=0,
либо уравнения £i = 0, • • • £п = 0 являются следствием соотношений
1?1 = 0, ■ ■ • Пп-т = 0.
Рассмотрим сначала первый случай.
Описание всех систем уравнений
129
Пусть, например, £п не обращается в нуль при условии fi\ =
= 0, • • • fin-m = 0. Тогда данная система уравнений допускает также
инфинитезимальное преобразование
Yf= гХ/=*1 df 1 I k"1 df I df .
€n €n dxi £n dxn-\ dxn
Если теперь • • • xn — система значений, удовлетворяющая уравнениям
fik = 0 и не обращающая £п в нуль, то мы полагаем, что главные
решения уравнения Xf — 0 или, что то же самое, У/ = 0, заданы
относительно хп — хп; эти главные решения, которые можно обозначить через
у\ • • • уп-i, ведут себя в окрестности х\ • • • хп регулярно и не зависят от хп
и друг от друга. Поэтому если мы вместо х введем новые независимые
переменные t/i * * 2/п-ь Уп — хп, то это будет допустимым преобразованием.
При этом Yf примет вид а система уравнений fi\ = 0, • • fin-m = 0
ОУп
перейдет в новую:
fii(yi • * * Уп) = 0, • • • fin-m(yi ' * * Уп) = 0,
допускающую инфинитезимальное преобразование J^-.
Отсюда следует, что система уравнений i?^ = 0 не разрешима
относительно уп- Так как если бы она была разрешима относительно уп и в
результате получалось бы, например, уп — Ф(уг • • • Уп-i) = 0, то выражение
У(уп-Ф) = ^-(уп-Ф) = 1
ОУп
должно было бы обращаться в нуль при условии fi\ = 0, • • • fin-m = 0,
что является противоречием. Следовательно, уп может входить в уравнения
fik = 0 разве что формально, то есть мы можем в любом случае привести
эти уравнения к такому виду, что они будут представлять собой
соотношения только между у\ - • • уп-1- При этом на вид этих соотношений никаких
дальнейших ограничений не накладывается.
Если мы теперь вернемся к исходным переменным, то немедленно
увидим, что систему уравнений fik = 0 можно выразить посредством
соотношений между п — 1 независимыми решениями у\ - • • yn-i уравнения Xf —
= 0. Этот результат, очевидно, не зависит от условия, что именно £п не
обращается в нуль в силу fik = 0; мы также видим, что каждая система
уравнений, допускающая инфинитезимальное преобразование Xf и не
обращающая £i • • • £п в нуль, представляет собой соотношения между решениями
130
Глава 7
уравнения Xf = 0. С другой стороны, мы знаем, что совершенно
произвольные соотношения между решениями уравнения Xf = 0
представляют собой систему уравнений, допускающую не только инфинитезимальное
преобразование Xf, но и все преобразования однопараметрической
группы Xf (гл. 6, утверждение 3, стр. ПО). Тем самым подтверждается ранее
полученный результат, что наша система уравнений Пк = 0 допускает од-
нопараметрическую группу Xf.
Теперь перейдем ко второму из вышеупомянутых случаев; разумеется,
он может возникнуть лишь при условии, что системы значений х\ - • • хп,
для которых все п функций & обращаются в нуль, вообще существуют.
Если х\ • • • Хп — какая-либо система значений, для которой все &
обращаются в нуль, то преобразование
/ в
х% = хг + у& + Y^2X^ (t = 1 • • ■ п)
нашей однопараметрической группы при подстановке х\ = х® сводится к
/ _ О / _ о
х1 — х\-> хп — xw>
что можно выразить так: система значений х\ • • • х^ остается
инвариантной при всех преобразованиях однопараметрической группы Xf. Это
означает, что любая система уравнений вида
6 = 0, •••£„= 0, фг(х1 • • • хп) = 0, ф2{х1 ' • • хп) = 0 • • • ,
которой вообще удовлетворяют какие-нибудь системы значений х\ • • • хП9
допускает все преобразования однопараметрической группы Xf. Но к
этому виду относятся все системы уравнений, обращающие в нуль £i • • • £п;
таким образом, мы разобрались и со вторым из ранее выделенных случаев.
Полученные результаты мы обобщим следующим образом.
Теорема 15. Имеется два типа таких систем уравнений, которые
допускают инфинитезимальное преобразование
г=1
а значит, и все преобразования однопараметрической группы Xf.
Системы уравнений первого типа представляются совершенно произвольными
соотношениями между решениями линейного дифференциального
уравнения в частных производных Xf = 0. Системы уравнений второго типа
Описание всех систем уравнений
131
имеют вид
6 = 0, • • • £п = 0, ф\(х\ - • • хп) = О, ik(xi • • • хп) = (),••• ,
где ф — совершенно произвольны, но, разумеется, при условии, что
системы значений х\ • • • хп, удовлетворяющие данным уравнениям,
существуют.
Добавим к этому еще одно краткое замечание.
Пусть С\ • • Сп-т — произвольные константы, a i?i • • • i?n_m —
функции от х, не зависящие от С; наконец, пусть любая система уравнений вида
• • • Хп) = Сь • • ■ Оп-т(Х1 • ' ' %п) = Сп-т
допускает инфинитезимальное преобразование Xf, не зависящее от С. При
этих условиях п — т выражений Xfik должны обращаться в нуль в силу
^1 = С\, • • • i?n-m = Cn-m?
причем для всех значений С. Но поскольку все они независимы от С, то это
возможно только тогда, когда XQk обращаются в нуль тождественно, т.е.
когда Qk являются решениями уравнения X f — 0. Таким образом, верно
Утверждение 4. Если уравнения
i?l(Xi • • • Хп) = С\, • • • fin-m(xi * ' ' Хп) = Сп-т
с произвольными константами С\ • • • Сп-т представляют собой
систему уравнений, допускающую инфинитезимальное преобразование Xf, то
i?i • • • i?n_m являются решениями дифференциального уравнения Xf — 0,
не содержащего С.
§32
Пусть теперь даны q произвольных инфинитезимальных
преобразований
п df
Xkf = Y^&i(xi '"xn)~Q^: (* = !••• 9)1
i=l 1
и мы хотим найти систему уравнений Q\ = 0, J?2 = 0 • •, допускающую
все эти инфинитезимальные преобразования. При этом мы как всегда
ограничиваемся системами значений х\ • • • хп, для которых все £^ ведут себя
регулярно.
132
Глава 7
Прежде всего, ясно, что каждая искомая система уравнений допускает
также все инфинитезимальные преобразования вида
я
Y^Xk(x\ ••• xn)-Xkf
k=l
при условии, что Xi"'Xq ведут себя регулярно для систем значений
х\ • • • хп, удовлетворяющих данной системе. Более того, из предыдущего
параграфа мы видим, что каждая такая система уравнений допускает также
все конечные преобразования тех однопараметрических групп, которые
порождаются соответствующими инфинитезимальными преобразованиями.
Вспомним далее гл. 6, утверждение 1, стр. 108. Там мы видели, что
всякая функция от х\ • • • хП9 допускающая оба инфинитезимальных
преобразования Xif и Х2/, допускает также преобразование X\X<if — X^Xif.
То же самое верно для каждой системы уравнений, допускающей оба
инфинитезимальных преобразования Xif и Х2/.
Действительно, пусть система уравнений
Qk{x\ • • • Хп) = 0 (к = 1 • • • п - га)
допускает инфинитезимальные преобразования Xif и Х2/, т.е. все
выражения X\Qj и X2i?j обращаются в нуль в силу системы i?i =
= 0, • • • 4?n_m = 0. Тогда согласно утверждению 2, стр. 124, то же самое
справедливо для всех выражений XiX2i?j и X2Xii?j, следовательно,
любая функция XiX2i?j — X2X\Qj также обращается в нуль в силу системы
уравнений i?i = 0, • • • i?n-m = 0. Отсюда мы имеем следующее
Утверждение 5. Если система уравнений
i?l(Xi • • • Хп) = 0, • • • Qn-m(X\ • • • Хп) = 0
допускает два инфинитезимальных преобразования Xif и Х2/, то она
также допускает инфинитезимальное преобразование XiX2/ — X2Xi/.
Этим утверждением мы теперь воспользуемся подобно тому, как это
в свое время было сделано в утверждении 1, стр. 93, где речь шла о
нахождении общих решений для q заданных уравнений Xif = 0, • • • Xqf = 0.
Там мы сводили поставленную задачу к нахождению решений некоторой
полной системы. Теперь мы будем действовать следующим образом.
Образуем все инфинитезимальные преобразования
XkXjf - XjXkf = (XkXj)
Описание всех систем уравнений
133
и выясним, являются ли линейные дифференциальные уравнения в частных
производных (XkXj) — О следствием уравнений X\f = 0,••• Xqf = 0.
Если нет, то добавим к инфинитезимальным преобразованиям Xif • • • Xqf
все преобразования (XkXj)2, что разрешено, поскольку каждая система,
допускающая X\f • • • Xqf, допускает также (XkXj). С инфинитезималь-
ными преобразованиями
XifXqf,(XkXj) (kj = I-- q),
взятыми вместе, мы теперь поступим так же, как ранее с Х\$ • • • Xqf\ т. е.
образуем все инфинитезимальные преобразования
{{xkXi){xhXi))
и выясним, получаются ли в результате приравнивания этих выражений
к нулю уравнения, являющиеся следствием уравнений Xkf = 0, (XkXj) =
= 0 (к, j = 1 • • • q). Если нет, то мы добавим все найденные
инфинитезимальные преобразования к Xkf, {XkXj) (k,j = l • • • q).
Продолжая подобным образом, мы должны в конце концов получить
ряд инфинитезимальных преобразований:
X1f---XQf,Xq+1f---Xq,f (q'^q),
таких, что любое уравнение
(XkXj) = 0 (fc,i = l-■•(,')
является следствием X\f = 0, • • • Xq>f = 0. Тогда уравнения
X1f = 0,— Xq.f = 0
задают полную систему с q' или менее параметрами. Таким образом, имеет
место
Теорема 16. Задачу описания всех систем уравнений, допускающих q
заданных инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xqf, всегда
можно свести к нахождению всех систем уравнений, допускающих, помимо
Xif • • • Xqf еще некоторые другие инфинитезимальные преобразования:
Xq+1f---Xq,f (q'^q),
2На практике добавляются, вообще говоря, не все инфинитезимальные преобразования,
а только некоторые из них.
134
Глава 7
при этом уравнения
X1f = О, • • • Xqf = о, = о, •.. Xq,f = о
задают теперь полную систему, имеющую столько же параметров,
сколько среди этих уравнений имеется независимых.
Согласно этому мы можем отныне ограничиться следующей, более
специальной задачей.
Заданы q инфинитезимальных преобразований от переменных х\ • • • хп:
Xkf = ^2ы(хг ••• хп)'о^. (*=i■•■ ?)»
такие, что из q уравнений
хг/ = о-..хя/ = о
имеется в точности р < q друг от друга независимых, и при этом
некоторые р независимых из этих q уравнений образуют р-параметрическую
полную систему, которой принадлежат все уравнения X\f = 0, • • • Xqf =
= 0. Требуется найти все системы уравнений от х\ • • • хп, допускающие
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xqf.
Ясно, что мы можем без ограничения общности полагать, что X\f • • • Xqf
как инфинитезимальные преобразования друг от друга не зависят. Далее
заметим, что по условиям задачи все определители порядка р + 1 матрицы
£п • • • 6п
(4)
обращаются в нуль тождественно, а порядка р-не все.
Первым шагом к решению нашей задачи послужит разделение
систем уравнений, допускающих q инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xqf на два отдельных класса; за основу такого разделения
примем поведение определителей порядка р матрицы (4).
К первому классу отнесем все системы уравнений, в силу которых
обращаются в нуль не все определители порядка р матрицы (4).
Ко второму классу причислим все системы уравнений, в силу которых
все упомянутые определители порядка р обращаются в нуль.
Исследуем оба эти класса по порядку.
Описание всех систем уравнений
135
§33
Среди q уравнений X\f = О, • • • Xqf = О выберем некоторые р,
независимые друг от друга; пусть это будут X\f = 0, • • Xpf = О, так что не
все определители порядка р матрицы
£п ••• £ln
£pi • • • £рп
обращаются в нуль тождественно. Найдем те из систем уравнений Q\ =
= 0, • • • Пп-т = О первого вида, при выполнении которых не нарушается
независимость уравнений X\f = О-- - Xpf = О, т.е. не все
определители порядка р матрицы (5) обращаются в нуль. При этом мы хотим сначала
наложить специальное условие, что некий заданный определитель порядка
р матрицы (5), а именно
£i,n-p+i • • • £in
£p,n-p+i • • • £pn
не обращается в нуль ни тождественно, ни в силу Q\ = О, • • Qn-m = 0.
При наложенных условиях имеют место тождества вида
р
XP+jf = ^2 ^Лх\ ' ' • хп) • Xnf (j = 1 • • • q - р).
тг=1
Для определения функций \jtt мы тогда имеем уравнения
р
&п/ • Xjtt = £p+j> (i/ = 1 • • • n, j = 1 • • • q - p);
7Г = 1
а поскольку определитель/) не обращается в нуль при условии Q\ =
= 0, • • • Qn-m = 0, то мы видим, что функции Xjn ведут себя для систем
значений, удовлетворяющих i?i = 0, • • • i?n-m = 0, регулярно, так что мы
можем при наложенных условиях отбросить инфинитезимальные
преобразования Xp+if • • • Xqf, так как если система уравнений допускает
преобразование X\f • • • Xpf, то она немедленно допускает и Xp+\f • • • Xqf.
Инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xpf мы теперь заменим
на другие р преобразований специального вида:
df ^ , ч df
Y*f = -W- + > Г)ъАх\ ' ' ' xn)-~— (тг = 1 • • р).
С7Хп_р+7Г ^ OXi
(5)
136
Глава 7
Мы вправе это сделать, т. к. для нахождения Y\f• • • Ypf получаем
уравнения
р
Cj,n-p+7T ' Утг! = Xjf (j = 1 • • • р),
7Г=1
являющиеся разрешимыми и дающие для Ynf выражения вида
р
Ynf = ^2 Q*j(xi ' • • хп) • Xjf (тг = l • • ■ р),
j=i
коэффициенты которых ведут себя для систем значений,
удовлетворяющих
Пг = О, • • • Пп-т = О,
регулярно. Поэтому если система уравнений Пк = О допускает ин-
финитезимальные преобразования X\f-- - Xpf, то она также допускает
Y\f ••• Ypf, и наоборот.
Пусть х\ • • • х° — какая-либо система значений, удовлетворяющая
уравнениям Q\ = 0, • • • Qn-m и не обращающая определитель D в нуль.
В таком случае r)ni ведут себя в окрестности х\ • • • х^ регулярно. Тогда
уравнения Y\f = О, • • • Ypf = О, также как и уравнения X\f = О, • • • Хр/ = О,
образуют р-параметрическую полную систему и имеют согласно
теореме 12, стр. 101, п — р главных решений у\ • • • г/п-р> ведущих себя в
окрестности х\ • • • хп регулярно и сводящихся при хп-р+\ = х°_р+1, • • • хп = х°
к х\ • • • хп_р соответственно.
Поэтому если положить еще г/п-р+1 = #п-р+ъ • * * Уп = #п> то можно
ввести г/i • • • г/n в качестве новых переменных вместо х. При этом инфи-
нитезимальные преобразования Ynf принимают вид
а система уравнений = 0 переходит в
(1\{У\ • • • Уп) = 0, • • • tfn-m(yi • • • Уп) = 0,
и эта новая система уравнений должна допускать инфинитезимальные пре-
образования -—-—, • • • тг~- Отсюда следует, что уравнения Пк = 0 нель-
оуп-Р+1 оуп
зя разрешить относительно ни одной из переменных гуп_р+1 • • • г/п, т. е. что
они содержат эти переменные разве что формально и могут быть всегда
Описание всех систем уравнений
137
преобразованы так, что будут представлять собой соотношения лишь меж-
ДУ У1 • • • Уп-р.
Если мы теперь вернемся к исходным переменным х\ • • • хп, то
увидим, что уравнения Q\ = 0, • • • i?n_m = 0 являются не чем иным, как
соотношениями между решениями полной системы Y\f = 0, • • • Ypf — О
или, что то же самое, полной системы X\f = О, • • • Xpf = 0. Этот
результат, кроме того, не зависит от условия, чтобы именно определитель/) не
обращался в нуль в силу Q\ = 0, • • • 4?n_m = 0. Он имеет место всегда,
когда не все определители порядка р матрицы (5) обращаются в нуль в силу
Пг = 0, • • • Пп-т = 0.
Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 17. Если q инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xqf
от переменных х\ • • • хп, положенных равными нулю, дают в точности
р ^ q независимых уравнений, например X\f = 0, • • Xpf = 0, и если
эти последние образуют р-параметрическую полную систему, то всякая
система уравнений
П\(хг • • • хп) = 0, • • • f2n-m(xi • • • хп) = 0,
допускающая q инфинитезимальных преобразований X\f ••• Xqf, но не
нарушающая независимости уравнений
Xi/ = 0, ••• Хр/ = 0,
представляется соотношениями между решениями р-параметрической
полной системы X\f = 0, • • • Xpf = 0.
При помощи этой теоремы описание всех систем уравнений,
принадлежащих нашему первому классу, выполнено. Вместо X\f = 0, • • • Xpf = 0
нам теперь надо лишь последовательно подставить все подсистемы из р
независимых уравнений, входящих в систему X\f = 0, • • • Xqf = 0.
§34
Перейдем теперь ко второму классу систем уравнений, допускающих
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xqf, а именно к таким
системам уравнений, которые обращают все определители порядка р матрицы (4)
в нуль.
Здесь необходимо различить сразу несколько подслучаев. А именно:
система уравнений
П1 = 0, • • • Пп-т = 0,
138
Глава 7
помимо определителей порядка р матрицы (4), может также обращать
в нуль все определители порядка р — 1 и даже р — 2 и т. д.
Таким образом, мы видим, что каждой из искомых систем уравнений
соответствует определенное целое число h < р, такое, что данная система
обращает в нуль все определители порядка р, р - 1, • • •, ft + 1 матрицы (4),
но не все порядка h. Поэтому нам надо поочередно перебрать возможные
различные значения h, т. е. 1,2 • • • р— 1, и выписать для каждого из этих
значений соответствующие системы уравнений, допускающие X\f • • • Xqf.
Пусть h — одно из чисел 1,2 • • • р — 1. Система уравнений,
обращающая все определители порядка h 4- 1, но не все определители порядка
h матрицы (4) в нуль, непременно содержит все уравнения,
получающиеся в результате приравнивания нулю всех определителей А\ • • • As порядка
h +1 матрицы (4). Если же такие системы значений х\ • • • хп, для которых
£te(x) ведут себя регулярно, вовсе не удовлетворяют уравнениям А\ =
= О, • • • As = О, или если уравнения А\ = О, • • • As = 0 обращают в нуль
также все определители порядка h матрицы (4), то это было бы знаком
того, что для выбранного числа h не существует никакой системы уравнений
с требуемым свойством. Поэтому мы полагаем, что ни один из этих двух
случаев не имеет места.
Сначала выясним, приводима ли система уравнений А\ = 0, • • • А8 =
= 0. Если да, то надо рассматривать каждую неприводимую систему
уравнений, получающуюся из^1 = 0, ••• А9 = 0ине обращающую все
определители порядка h матрицы (4) в нуль, в отдельности.
Пусть W\ = 0, • • • Wi = 0 — одна из найденных неприводимых систем
уравнений, и пусть она уже приведена к такому виду, что не все
определители порядка / матрицы
dWi
OWi
дх\
дхп
dWi
dWi
dxi
дхп
в силу W\ = 0, • • • Wi = 0 обращаются в нуль. Тогда мы должны
попытаться найти все системы уравнений, допускающие X\f • • • Xqf, содержащие
уравнения W\ — 0, • • • Wi = 0 и при этом не обращающие все
определители порядка h матрицы (4) в нуль. Если проделать это для каждой
неприводимой системы уравнений, полученной из А\ = 0, • • • А3 = 0, то мы
найдем все системы, допускающие X\f • • • Xqf и соответствующие
числу h.
Вообще говоря, система уравнений W\ = 0, • • • Wi =0 сама по себе не
будет допускать инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xqf. Поэто-
140
глава 7
то получим, очевидно, все искомые системы уравнений, содержащие W\ =
= о,... Wn-m = 0.
Независимость уравнений X\f = 0, • • • X^f = 0 не нарушается при
наложенных условиях относительно W\ = 0, • • • Wn-m — 0, зато для
систем значений из (6) имеют место некоторые соотношения вида
h
Xh+jf = ^^(^l ' * * хп) ' Xkf (j = 1 • •• q - h),
k=l
где tyjk находятся из уравнений
h
£/i+j> = ^2 fybtb" 0' = 1 "'' 9 - Л; i/ = 1 • • • n).
k=l
Поскольку все определители порядка ft +1 матрицы (4) обращаются в нуль
в силу (6), тогда как Л — нет, то функции xpjk полностью определены и
ведут себя регулярно для всех систем значений из (6). Поэтому мы можем
без ограничения общности опустить инфинитезимальные преобразования
Xh+if-- Xqf. Дело в том, что каждая система уравнений, содержащая
уравнения (6), не обращающая при этом определитель Л в нуль и, наконец,
допускающая X\f • • • X^f, обязательно допускает также Xh+if • • • Xqf.
Легко видеть, что из уравнений (6) нельзя вывести никаких
соотношений только между xn-h+\ • • • хп. Если бы можно было это сделать,
например
хп - и(жп_л+1 • • • xn-i) = 0,
то выражения
h-l
Хк(хп - ш) = £кп ~ z2 Я ~ Cfc.n-fc+j (k = l-h)
J-f °Xn-h+j
должны были бы обратиться в нуль в силу (6); но это невозможно, т.к.
Л в силу (6) в нуль не обращается. Отсюда мы делаем вывод, что число
п-шво всяком случае не больше, чем п — ft, и что уравнения (6)
можно разрешить относительно п — т переменных из х\ • • • xn-h, например,
относительно х\ • • • xn_m:
Xk = фк(хп-т+1 * * * Хп) (к = I ■ • • п - т) (n-m^n-h). (7)
Этими уравнениями мы, таким образом, можем заменить систему (6).
Описание всех систем уравнений
139
му к системе уравнений, содержащей W\ = 0, • • • Wi = О и допускающей,
кроме того, X\f • • • Xqf, непременно относятся также все уравнения
XkWx=0, XjXkWx=0 (fc,j = l...g, A = l.--0
и так далее. Составим эти уравнения и посмотрим, 1) противоречат ли они
друг другу или уравнению W\ = О, • • • W\ = О, и 2) не приводят ли они
к обращению всех определителей порядка h матрицы (4) в нуль. Если один
из этих двух случаев имеет место, то систем с таким свойством не
существует, а если ни один из них не имеет места, то независимые уравнения из
системы
WA=0, XkWx=0, XjXkWx = 0,.-(л = i - - г; =
являются системой уравнений, допускающей Xif--- Xqf. В эту
систему уравнений, которая, естественно, может быть приводимой, входят все
системы уравнений, допускающие Xif--- Xqf и содержащие уравнения
W\ = О, • • • Wi = О, но при этом она не содержит никакой меньшей
системы, обладающей теми же свойствами.
Эти системы уравнений очевидно являются наименьшими из тех, что
допускают Xif • • • Xqf и при этом обращают в нуль все определители
матрицы (4) порядка h + 1, но не все порядка h.
Пусть теперь
Wi =0,... Wn-m =0 (n-m^l) (6)
— это одна из найденных неприводимых систем уравнений; тогда речь
пойдет еще и о том, чтобы добавить к ней самым общим образом такие новые
уравнения, чтобы получить систему, допускающую Xif • • Xqf, но не
обращающую все определители порядка h матрицы (4) в нуль.
Поскольку не все определители порядка h матрицы (4) в силу
Wi = о,.. Wn.m = 0 (6)
обращаются в нуль, то мы можем предположить, что, например,
определитель
£i,n-/i+i • £in
Л =
относится к необращающимся в нуль, и можем поставить себе задачу найти
все системы уравнений, допускающие Xif • • • Xqf и при этом не
обращающие А в нуль. Если мы проделаем это для каждого отдельного
определителя порядка h матрицы (4), не обращающегося в нуль уже в силу (6),
Описание всех систем уравнений
141
Очевидно, что всякая система уравнений, содержащая уравнения (6)
или (7), может быть приведена к такому виду, что будет содержать, помимо
уравнений (7), только некоторые соотношения
лишь между £n_m+i ••• хп. Если такая система допускает
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xnf, то все выражения XkVj должны
обращаться в нуль в силу (7) и V\ = О, • • •; или, если мы вновь обозначим
подстановку х\ =(/?!,••• хп-т — (рп-т знаком [ ], выражения
должны обращаться в нуль в силу V\ = О, • •. Это можно, однако, выразить
еще и так: система уравнений V\ = О, • • • в переменных xn_m+i • • • хп
должна допускать h укороченных инфинитезимальных преобразований
в этих переменных. Кроме того, система уравнений V\ = О, • • • не должна,
разумеется, обращать в нуль определитель [Л].
Напротив, всякая система уравнений V\ = 0, ■ ■, обладающая
оговоренными свойствами, вместе с (7) дает систему уравнений, не
обращающую Л в нуль и, кроме того, допускающую X\f • • • X^f, а также
Xh+xf-- - Xqf.
Тем самым наша исходная задача сводится к более простой —
нахождению всех систем уравнений от т <jri переменных, допускающих h < т
инфинитезимальных преобразований X\f • • • X^f и не обращающих при
этом определитель
Vj{xn-m+l--- Хп) =0 0 = 1,2- •)
m
dVi
/х=1
в нуль.
Обобщим все вышесказанное.
Теорема 18. Если q инфинитезимальных преобразований
п
dXi
Хп)
(* = !•••«)
»=1
142
Глава 7
таковы, что все определители порядка р + 1, но не все определители
порядка р матрицы
Ы * * • 6п
обращаются в нуль тождественно, и что некоторые р независимых
уравнений из X\f = 0, • • • Xqf = О образуют р-параметрическую полную
систему, то все системы уравнений от Х\ • • • хп, допускающие X\f • • • Xqf
и обращающие при этом все определители порядка h + \, но не все
порядка h вышеуказанной матрицы в нуль, можно найти следующим образом:
сначала с помощью составления определителей находятся наименьшие
системы уравнений, для которых все определители порядка h + 1, но не все
определители порядка h данной матрицы обращаются в нуль. Если такие
системы существуют, и W\ = О, • • • W\ = О — одна из них, то надо
составить уравнения XkWi = О, • • • XjXkWi = О и найти, таким образом,
наименьшие системы уравнений (если таковые имеются), содержащие W\ =
= О, • • • Wi = О, допускающие X\f • • • Xqf и не обращающие в нуль все
определители порядка h этой матрицы; если W\ = О, • • Wn-m = О (п —
— т ^ I) — такая система уравнений, которая не обращает в нуль
определитель
то h < т, и уравнения W\ = 0, • • • Wn-m = О могут быть разрешены
относительно п — т переменных из х\- • • хп-ь, например, следующим
образом:
Xk = <£fc(#n-m+l • • * Хп) (k = l ■■■ п-т).
Наконец, найдем все системы уравнений от т переменных xn_m+i • • хп,
допускающие h укороченных инфинитезимальных преобразований
Xkf = У. &,п-т+м(^1 * * ' <£n-m, Zn-m+1 * * * Хп) -х
= [&,п-т+м] (* = 1 ■ • • Л)
ОХп—т+ц
и не обращающие в нуль определитель
Описание всех систем уравнений
143
Каждая из этих систем представляет при добавлении х\ = (f \ • • • хп-т =
= (рп-гп систему уравнений с требуемым свойством. Если указанные выше
рассуждения провести для всех возможных случаев, то мы получим все
системы уравнений с требуемым свойством.
Часто бывает, что система уравнений U\ = О, U2 = 0 • • • Un-S = О,
допускающая инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xqf и
обращающая все определители порядка h 4-1, но не обращающая, например,
определитель А из определителей порядка h матрицы (4) в нуль, уже
известна. Тогда можно поставить вопрос об описании всех систем, содержащих
уравнения U\ = 0 • • • Un-3 = 0, допускающих X\f - • • Xqf, а также не
обращающих А в нуль.
Нахождение всех этих систем уравнений проводится так же, как в
специальном случае выше, где наименьшая система с заданным свойством
W\ = 0 • • • Wn-m = О была известна, и требовалось найти все
системы уравнений, допускающие X\f ••• Xqf, содержащие систему W\ =
= 0 • • • Wn-m = О и не обращающие А в нуль.
Точно так же, как выше, сначала доказывается, что h < s, и что
уравнения U\ =(),••• Un-S = 0 разрешимы относительно п — s переменных из
х\ • • • xn-h, например, так:
Xk = ^k(xn-s+l ' ' * Хп) (к = 1 • • • п - з).
Чтобы теперь найти искомые системы уравнений, возьмем h укороченных
инфинитезимальных преобразований
df
дхп.
s+cr
Xkf = ^Cfc,n-s+(j(^l •••'0n-e,Zn-s+l ••• Xn)
cr=l
v-P df
= £к}п-з+*-?г- (* = 1 • • • h)
C/Xn_s_|_<j
(7=1
и найдем все системы уравнений с s переменными xn_s+i • • • хп,
допускающие X\f • • • Xhf и не обращающие в нуль определитель
А = ^ ±£ijn_fc+i • • • £h,n-h+h-
Если их последовательно добавить к уравнениям х\ — ipi = О, • • • хп-3 —
—фп_3 — 0, то мы получим все системы уравнений с требуемым свойством.
В более подробном обосновании сказанного нет необходимости.
144
Глава 7
§35
Поставленная в начале § 32 задача теперь, по сути дела, решена. Она
сводится согласно последней теореме к тому, чтобы найти все системы
уравнений от га переменных xn_m+i • • • хп, допускающие h
инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xhf. Но эта задача того же рода, что
и первоначальная, только упрощенная за счет того, что число переменных
га меньше п.
К этой упрощенной задаче_применим теперь те же самые
рассуждения. А именно: если уравнения X/ =(),••• Xhf сами по себе не образуют
Л-параметрической полной системы, то необходимо составить для k,j =
= 1 • • • h инфинитезимальные преобразования (XkXj) и выяснить,
образуют ли независимые из уравнений Xkf = О, (ХкХ3) = О полную систему
и т.д., короче говоря, точно так же, как в исходной задаче. Разница лишь
в том, что мы с самого начала ищем только такие системы уравнений,
которые не нарушают независимости уравнений
Xi/ = 0,--.Xa/ = 0,
и, в частности, не обращают определитель [Л] в нуль.
Точно так же, как и в первом случае, упрощенную задачу можно
частично решить, а частично — свести к подобной задаче с еще меньшим
числом переменных и т. д. Итак, мы видим, что полное решение исходной
задачи достигается путем конечного числа шагов.
Мы не будем вдаваться в детали, но все же рассмотрим поближе один
особенно важный частный случай.
Пусть система уравнений
Xi - <£l(xn-m+l • • • Хп) = О, • • • Хп-т ~ <Pn-m{Xi * • • Хп) = 0, (7')
как и прежде, такова, что допускает инфинитезимальные преобразования
Xif-" Xqf и все определители порядка h + 1 матрицы (4) обращает
в нуль, в то время как определитель Л нулю не равен. Однако под
системой уравнений (7') мы будем понимать не наименьшую, а совершенно
произвольную систему с упомянутым свойством.
Некоторые р независимых друг от друга уравнений из X\f =
= 0, ••• Xqf — 0, к примеру X\f = 0, •• Xpf = 0, образовывали р-
параметрическую полную систему; во всяком случае имели место
соотношения вида
я
(XkXj) = ^Tu>kj<r(xi • •• хп) • Xaf {кJ = l---q).
(7=1
Описание всех систем уравнений
145
Для систем значений, удовлетворяющих (7'), лишь h уравнений
-у1/ = о,-..хл/ = о
остаются друг от друга независимыми, a Xh+\f • • • Xqf могут быть
представлены в виде
h
Xh+jf = ^2 ФзгЫ • • * хп) ' XTf (j = 1 • • • q - h),
т=1
где ifrjk ведут себя для рассматриваемых систем значений регулярно.
Мы хотим теперь наложить особое условие, что все коэффициенты
ujkjs также ведут себя регулярно для всех систем значений,
удовлетворяющих (7). Тогда для упомянутых систем значений, очевидно, будут иметь
место уравнения вида
h q-h
(XkXj) = ]Г {uk3o + ^Vkjh+t 'Фта}' Xaf.
<7=1 Г=1
В этом частном случае можно задать сразу все системы уравнений,
содержащие уравнения (7'), допускающие X\f • • • Xqf и не обращающие Л
в нуль. Мы сейчас это покажем.
Для всех систем значений х\ • • • хп, удовлетворяющих уравнениям
(7'), имеют место соотношения вида
h
{XkXj) = ]Г wkja(x1 • • • хп) - Xaf (k,j = l ••• Л).
(7=1
При этом функции Wkjay а также [wkjS] ведут себя регулярно, если
использовать знак [ ], как и прежде, для подстановки
Х\ = (fir • • Xn-m = (fn-m-
Запишем данные выше соотношения следующим образом:
•••хп)'£зи (kj = l'h; i/ = l -n).
s=l
Разумеется, при подстановке [ ] они остаются тождествами, так что мы
имеем
h
[Xkb»] ~ \X&v) = J>jy.] • [U]- (8)
3 = 1
146
Глава 7
Однако система уравнений хк — (рк = О допускает инфинитезимальные
преобразования X\f • • • X^f, то есть выполняется соотношение (3),
выведанное на стр. 123:
[ХкФ} = [Хк[Ф\],
в котором Ф{х\ хп) означает совершенно произвольную функцию своих
аргументов. Это соотношение мы можем также записать несколько иначе,
если вспомним об инфинитезимальных преобразованиях
Xkf = 5}&,n-m+„] д—1 (fc = 1 • • • h).
Очевидно, что
[Хк[Ф}]=Хк{Ф},
следовательно, мы имеем
[ХкФ}=Хк[Ф].
Отсюда следует, что тождества (8) могут быть заменены следующими:
h
ХкЫ-хА^кА^ТУ^ЛЫ-
3=1
Другими словами, имеют место тождества вида
h
(XkXj) = XkXjf - XjXkf == • X3f,
3=1
то есть уравнения X\ = (),••• Xhf = 0 образуют /i-параметрическую
полную систему от га независимых переменных xn_m+i • • • хп.
Вспомним теперь замечания, сделанные нами в заключение
теоремы 18. Они показывают, что наша поставленная выше задача
сводится к тому, чтобы найти все системы уравнений от xn_m+i • • хп,
допускающие Xif — 'Xhf и не нарушающие независимости уравнений
Х\ — 0j^--Xhf = 0. Поскольку в нашем случае уравнения X\f =
= 0, • • • Xhf = 0 образуют /i-параметрическую полную систему, то мы
можем непосредственно применить теорему 17. Из нее видно, что
искомые системы уравнений от xn_m+i хп представляются соотношениями
между решениями полной системы X\f = 0, • • • Xhf — 0.
Описание всех систем уравнений
149
этого многообразия сохраняет при всех преобразованиях
однопараметрической группы Xf свое положение. Очевидно тогда, что и каждое меньшее
многообразие, входящее в данное, также допускает однопараметрическую
группу Xf.
Тем самым содержание теоремы 15 на понятийном уровне разъяснено,
и, по сути дела, можно рассматривать предыдущие рассуждения просто как
новое доказательство теоремы 15.
Еще мы должны объяснить, что понятийно означает тот факт, что
система уравнений Q\ = О, • • • Qn-m = 0 допускает инфинитезимальное
преобразование Xf.
Для этого напомним, что инфинитезимальное преобразование Xf
ставит в соответствие каждой точке х\ • • • хп, в которой не все £ обращаются
в нуль, совершенно определенное направление движения:
5xi : • * * : Sxn = & : • • • : fn,
в то время как точке, для которой £i = • • • = £п = 0, никакого направления
не сопоставляется. Поэтому мы можем сказать:
Система уравнений Q\ = 0, • • • Qn-m = 0 допускает
инфинитезимальное преобразование Xf, если последнее каждой точке многообразия
fi\ = 0, • • • Оп-т = 0 либо не сопоставляет никакого направления
движения, либо сопоставляет такое направление движения 5х\ : • • • : 6хп,
которое удовлетворяет п — т уравнениям
^~Г^х1 + Ь ^~^хп ~ 0 {k = 1 ■■ п- га),
то есть касается этого многообразия.
Это определение, очевидно, не зависит ни от выбора переменных, ни
от вида системы уравнений
iix = О, • • • Пп-Ш = 0.
Теореме 14 можно теперь придать следующую наглядную
формулировку:
Если инфинитезимальное преобразование Xf каждой точке
многообразия либо не сопоставляет никакого направления движения, либо
сопоставляет такое, которое касается этого многообразия, то многообразие
допускает все преобразования однопараметрической группы Xf.
Наконец, если мы введем выражение: «многообразие Q\ = 0, ...
Qn-m — 0 допускает инфинитезимальное преобразование X/», то
теорему 14 можно сформулировать еще и так.
148
Глава 7
тогда h независимых друг от друга уравнений X\f — 0, • • • X^f = О
образуют h-параметрическую полную систему от независимых переменных
Яп-т+1 '•• Хп. Если
^1 {%п—т+1 ' ' ' Хп) ' ' ' ^т—h{%n—m-f 1 * * * хп)
— независимые решения этой полной системы, то
ж1 — У>1 = О, • • ■ Хп-т - (рп-т = О, <Pi(ui un_m) = О (t = 1,2-..)
— общий вид требуемой системы уравнений; под Ф{ понимаются при этом
произвольные функции своих аргументов.
§36
Аналитические разработки настоящей главы также приобретают
некоторую наглядность и большую «прозрачность», если применить к ним идеи
и понятия из теории многообразий. Это мы и хотим теперь сделать.
Последующее соотносится с §§ 30-35 в той же мере, что и глава 6 с главой 5.
Всякая система уравнений в переменных х\ • • • хп представляет
собой многообразие в n-мерном пространстве Rn. Если эта система
допускает однопараметрическую группу Xf, то и соответствующее многообразие
согласно ранее введенной терминологии тоже ее допускает; то есть если
точка х\ • • • хп принадлежит этому многообразию, то в нем лежат также
все точки, в которые переходит х\ • • • хп при всех преобразованиях
однопараметрической группы Xf.
Если теперь х\ • • • хп — какая-либо точка этого пространства, то
возможны два случая: либо £i • • • £п не обращаются одновременно в нуль для
Xi = х®, либо все величины £i(x°) • • • £п(х°) равны нулю. В первом случае
точка х\ • • • хп принимает при оо1 преобразованиях однопараметрической
группы Xf бесконечно много положений, совокупность которых, как мы
знаем, остается инвариантной относительно однопараметрической группы
Xf и образует траекторию инфинитезимального преобразования Xf. Во
втором случае х? • • • хп сохраняет свое положение при всех
преобразованиях однопараметрической группы Xf; таким образом, траектория,
проходящая через х® • • • хп, сводится к самой этой точке.
Поэтому если многообразие допускает однопараметрическую группу
Xf и состоит, вообще говоря, из таких точек, для которых не все £i • • • £п
одновременно обращаются в нуль, то оно порождено траекториями
инфинитезимального преобразования Xf. Если же данное многообразие
состоит из точек, для которых все £i • • • £п обращаются в нуль, то каждая точка
Описание всех систем уравнений
147
Поэтому если добавить к уравнениям Хк = <Рк произвольные
соотношения между решениями этой /i-параметрической полной системы, то мы
получим общий вид системы уравнений, допускающей
инфинитезимальные преобразования X\f ••• Xqf, содержащей уравнения Хк = (рк и не
обращающей Л в нуль.
Формулировка полученного здесь результата в его полной общности
в виде утверждения видится излишней. Напротив, следующая теорема,
соответствующая особому случаю q = р — h, четко сформулированная, будет
далее полезна.
Теорема 19. Если система из п — т независимых уравнений в
переменных Х\ • • • хп допускает h инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2Ы(хг -'хп)д^Г. № = Л),
i—l 1
и при этом определитель
не обращается в нуль ни тождественно, ни в силу этой системы
уравнений, то h ^ га, и данную систему можно разрешить относительно п — т
переменных из х\ • • • xn-/i, например, следующим образом:
Х\ — (f\ (xn—m+1 • • • Xn), • • * Хп—т = <^?n_m(xn_m+l • • • Xn).
Если же все выражения (XkXj) для систем значений Х\ • • • хп этой
системы уравнений можно представить в виде
h
(XkXj) = ]Р Wkja(Xi • • • Xn) • X3f (к, j = 1 • • • h),
3=1
где Wkjs ведут себя для упомянутых систем значений регулярно, то все
системы уравнений, содержащие уравнения
Xl ~ <Pl = 0, • • • Xn-m - (Рп-т = О,
допускающие инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xhf и не
обращающие определитель А в нуль, находятся следующим образом:
составим h укороченных инфинитезимальных преобразований:
Xkf = V,£fc,n-m+//(<^l • • * * * * Xn)д- (k = 1 • • • h)\
1 OXn—m-i-д
150
Глава 7
Многообразие допускает все преобразования однопараметрической
группы Xf тогда и только тогда, когда оно допускает инфинитезималь-
ное преобразование Xf.
В §§ 32 и 34 мы классифицировали все системы уравнений,
допускающие инфинитезимальное преобразование Xf. При этом мы исходили из
поведения определителей матрицы (4)
£п • • £in
£ql ' ' £qn
Мы предполагали, что все определители порядка р + 1 этой матрицы
обращаются в нуль тождественно, а определители порядка р — нет. К одному
и тому же классу мы причисляли, таким образом, все системы уравнений,
в силу которых все определители порядка h + 1 этой матрицы, но не все
определители порядка h обращались в нуль; число h при этом могло иметь
р + 1 различных значений: р, р — 1, • • • 2,1,0.
Еще в главе 6 мы замечали, что при изложенных выше условиях q
инфинитезимальных преобразований
ставят в соответствие каждой точке х\ • - хп общего положения ровно р
независимых направлений движения. Становится ясно, что
соответствующим образом каждой точке Х\ • • • хп преобразованиями X\f • • • Xqf
сопоставляются в точности h независимых направлений, если не все
определители порядка h рассматриваемой выше матрицы обращаются в нуль в этой
точке, в то время как все определители порядка h + 1 принимают значение
нуль. Поскольку всякая система уравнений, допускающая
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xqf, представляет собой многообразие с тем
же свойством, то наша прежняя классификация систем уравнений
немедленно приводит к классификации многообразий. А именно: к одному классу
многообразий, допускающих X\f • • • Xqf, мы причисляем такие
многообразия, точкам которых инфинитезимальные преобразования X\f • • ■ Xqf
ставят в соответствие одно и то же число h ^ р независимых направлений
движения.
Если многообразие допускает инфинитезимальные преобразования
Xif ••• Xqf, то оно касается в любой своей точке направлений
движения, ставящих X\f ••• Xqf в соответствие этой точке. А если X\f • • • Xqf
в каждой точке многообразия задают в точности h независимых
направлений, то это многообразие должно иметь по меньшей мере h измерений.
Таким образом, мы можем сформулировать
Описание всех систем уравнений
151
Утверждение 6. Если q инфинитезималъных преобразований
Xif • • • Xqf ставят в соответствие конкретной точке х\ • • • хп в
точности h независимых направлений движения, то заведомо не существует
никакого многообразия размерности меньше h, содержащего точку х? • • • хп
и допускающего q инфинитезималъных преобразований X\f • • • Xqf.
По сути дела, это утверждение — лишь другая формулировка
прежнего результата. В § 34 мы рассматривали системы уравнений, допускающие
X\f... Xqf и при этом оставляющие из q уравнений X\f = 0, • • • Xqf = О
лишь h независимых друг от друга. Причем мы видели, что такая система
уравнений состоит не более чем из п — h независимых уравнений, т. е.
представляет многообразие размерности по меньшей мере h.
Глава 8
Полные системы, допускающие все
преобразования однопараметрической
группы
Если в g-параметрическую полную систему
ввести новые независимые переменные х\ = F\{x\ • • • хп), • • • х'п = Fn,
то мы снова получим, как уже ранее отмечалось (ср. гл. 5, стр. 96) q-
параметрическую полную систему от х'х • • • х'п. Вообще говоря, эта новая
полная система, конечно, имеет другой вид, нежели исходная; но может
случиться, что обе эти полные системы несущественно отличаются друг от
друга, так что имеют место соотношения вида
я п df
j=l г=1 °Xi
где определитель, составленный из ф^, разумеется, не обращается в нуль
тождественно. В этом случае мы говорим, что полная система
X1f = 0,---Xqf = 0
допускает преобразование х\ = Fi(x\ • • • хп), или что она остается при
этом преобразовании инвариантной.
Применяя сокращенные обозначения
Ы(х[ ••• х'п)
i=l °Xi
мы можем записать следующее определение:
Полные системы, допускающие все преобразования
153
q-параметрическая полная система
Xkf = Y2^ki(Xl Хп^дх~ (k= 1'" q)
i=l 1
допускает преобразование x\ — Fi(x\ • • • хп) тогда и только тогда, когда
для любого к имеет место соотношение вида1
x*/ = £iM*i -O-xtf. (i)
Смысл этого важного определения можно нагляднее всего пояснить на
простом примере.
Уравнения
*>' = 5Г°
от трех переменных х\, Х2, хз образуют двухпараметрическую полную
систему. Если теперь ввести вместо х новые переменные
х\ — Х\ -f х2, х'2 = Х\ — Х2, х3 = Хз,
то мы получим новую полную систему:
дх\ дх[ дх'2 ' дх2 дх\ дх'2
эквивалентную системе ^Ц- = 0, -Щ- = 0. Соотношения вида
ОХ\ ОХ2
е. полная система
вание х\ = х\ + хг, х2 = х\ — х2.
имеют место, т. е. полная система 0 допускает преобразо-
§37
Пусть g-параметрическая полная система X\f = 0, • • • Xqf = 0
допускает преобразование х\ = Fi(x\ • • • хп), то есть для любой / имеют место
JLie, Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania, Februar 1875. Ли, Научное общество
Христиании, февраль 1875 г.
154
Глава 8
соотношения вида (1). Тогда если (р(х\ • • хп) — решение полной системы,
то правая часть уравнения (1) при подстановке / = <р(х'г • • • х'п)
обращается в нуль тождественно, с левой частью происходит то же самое при
подстановке / = (f(F\(x) • • • Fn(x)); следовательно, ip{F\(x) • • • Fn(x))
вместе с <р(х) является решением, или, как можно выразиться: преобразование
х\ = Fi(x) переводит каждое решение полной системы X\j = О, • • • Xqf =
= О снова в решение той же самой полной системы.
И наоборот, справедливо следующее: если каждое решение (/-парамет-
рической полной системы X\f = 0, • • • Xqf = О переводится
преобразованием х\ = Fi(x\ • • - хп) снова в решение, то эта полная система допускает
данное преобразование. Уравнения X[f = 0,••• X'qf = О превращаются
при введении переменных х\ вместо х\ в (/-параметрическую полную
систему, у которой все решения те же самые, что и у (/-параметрической полной
системы X\f = О, • • • Xqf = 0; но отсюда следует, что имеют место
соотношения (1), т.е. что полная система X\f = 0, • • • Xqf = 0 действительно
допускает преобразование х[ = Fi(x).
Из всего этого следует, что q-параметрическая полная система
допускает преобразование х[ = Fi(x\ • • • хп) тогда и только тогда, когда это
преобразование переводит каждое решение полной системы снова в
решение. Разумеется, для этого требуется лишь, чтобы это преобразование
переводило какие-либо п — q независимых решений системы в решения.
Если мы теперь зададим вопрос: каким образом можно понять, что
(/-параметрическая полная система X\f = 0, ••• Xqf = 0 допускает все
преобразования однопараметрической группы У/, то это будет полностью
соответствовать ходу мыслей в главах 6 и 7. Правда, этот вопрос
относится, собственно, к общей теории дифференциальных уравнений, допуска-
щих однопараметрические группы, поэтому к нему следует снова вернуться
в одной из последующих глав этой части книги — в главе о
дифференциальных инвариантах — и ответить на него на основании развитой там общей
теории. Но еще раньше нам потребуются критерии, по которым мы сможем
определить, допускает заданная полная система все преобразования
заданной однопараметрической группы или нет. Поэтому мы хотим получить
такие критерии уже сейчас, при помощи более простых вспомогательных
средств.
Обозначим какие-либо n — q независимых решений (/-параметрической
полной системы X\f = 0, • • • Xqf — 0 через <р\--- ^pn-q- Тогда если эта
полная система допускает все преобразования
х\ = Xi + j • YXi + j^YYXi + • • • (t = l • • • n)
Полные системы, допускающие все преобразования
155
однопараметрической группы Yf9 то и п — q независимых функций
<pk(x + t-Yx + ..-) = (pk(x) + ±-Y<pk + Y^y^k + • • •
(к = 1 • • • n — q)
должны быть решениями этой системы, причем для каждого значения t.
Отсюда мы заключаем, что n — q выражений Y(pk заведомо являются
решениями системы, так что должны иметь место n — q соотношений вида
Y<Pk =Wk(<fl 4>n-q) (fc = l ••• П-g). (2)
Это условие — необходимое, но оно одновременно является и
достаточным, т.к. если оно выполняется, то все YY(fk,YYYtpk • • • будут
функциями только от (fi • • • (fn-q, выражения <рк(х + t • Yx + • •) будут поэтому
решениями полной системы, а отсюда следует, что эта система
действительно допускает все преобразования однопараметрической группы Yf.
Таким образом, справедливо
Утверждение 1. Полная q-параметрическая система X\f = 0, • • • ,
Xqf = О с п — q независимыми решениями <pi-- - <-fn-q допускает все
преобразования однопараметрической группы
Yf = Y,4i(xi '''хп)§£-
<=i ° 1
тогда и только тогда, когда имеют место n — q соотношений вида
Y(fk =U)k((fi ••• (fn-q) (k = l---n-q). (2)
Полученный таким образом критерий, разумеется, применим
практически только тогда, когда полная система уже проинтегрирована. Но из
этого критерия можно легко вывести другой, который не предполагает, что
решения полной системы известны.
Если в тождестве
Xk(Y(f)) - Y(Xk(f)) = J2(XkVi - ¥Ы)^г
i=i OXi
подставить вместо / произвольное решение ip полной системы, то
получится
г=1
156
Глава 8
Если полная система допускает все преобразования однопараметрической
группы У/, то согласно вышесказанному У((f) будет также являться
решением этой системы, т.е. левая часть последнего уравнения
обращается в нуль тождественно; с правой частью, конечно, происходит то же
самое, следовательно, любое решение полной системы удовлетворяет также q
уравнениям
- УЫ)£ = 0;
i=i OXi
но отсюда следует, что имеют место q тождеств вида
n Bf 4
J2(XkVi - а£ = Yi Xkj (*!••• Xn) -Xjf (k = 1 • • - q).
2=1 1 J = l
С другой стороны, если мы предположим, что тождества этого вида
имеют место, и будем опять же понимать под (р какое-либо решение полной
системы, то немедленно получим, что q выражений Xk(Y(f)) —Y(Xk(f))
тождественно обращаются в нуль при подстановке f = <р; однако отсюда
следует: Xk(Y(cp)) = 0, и это значит, что Yip является решением системы,
т. е. имеются n — q соотношений вида
Y(pk=u>k(<Pl-" <Рп-я) (k = l-n-q), (2)
а это говорит о том, что полная система допускает все преобразования
однопараметрической группы У/.
Тем самым мы имеем следующую теорему.
Теорема 20.2 q-параметрическая полная система
п fit
Хк/ = У,Ых1-'-Хп)я?г=0 (fc = l..-g)
t=l °Xi
от переменных Х\ • • • хп допускает все преобразования
однопараметрической группы
Yf = f^rji(xi хп)^-
t-i ОХг
тогда и только тогда, когда все Xk(Y(f)) — Y(Xk(f)) выражаются
линейно через X\f • • • Xqf
я
(XkY)=Xk(Y(f)) -Y(Xk(f)) =Y,Xkj(xi •••xn).Xjf(k=i.-.q). (3)
2 Л и, Научное общество Христиании, 1874 г.
Полные системы, допускающие все преобразования
157
Выполнение соотношений вида (3) является, таким образом,
необходимым и достаточным условием для того, чтобы полная система X\f =
= О, • • • Xqf = О допускала все преобразования однопараметрической
группы Yf. По разным причинам видится желательным доказать по
крайней мере необходимость соотношений (3) еще и прямым методом.
Преобразования однопараметрической группы Yf имеют вид
t t2
x'i=Xi + j-rii + j~2 •Yr)i + '- (i = 1 • • • n).
Если мы теперь, пользуясь этой формулой, введем вместо х новые
переменные х[ • • • х'п в выражения Xkf, то получим
**/ = £ад.|£
Здесь надо еще выразить Хкх\ через х[ • • • х'п. Если пренебречь второй
и более высокими степенями t, то сначала получится
Хкх • = Хкх{ + t • Хкщ + • • • . (4)
Затем (ср. гл. 3, уравн. 7а, стр. 58)
XkXi = £ki(x) = £ki - y • У'£ы +
t • XkT}i = t • Х'кГ)[ .
Следовательно,
ад = &+<(ВД-!"?«) + •••,
и наконец,
Xkf = X'kf+±(X'kY'f-Y'X'kf) + -, (5)
где опущенные члены имеют порядок два и выше по t.
Если полная система X\f = О, • • • Xqf = 0 допускает все
преобразования однопараметрической группы Yf, то система из g уравнений
+ =0 (fc = l-..g)
должна быть эквивалентна системе Xi/ = 0, • • • Xqf = 0, притом для
любого значения t. Следовательно, коэффициенты при t должны заведомо
158
Глава 8
линейно выражаться через Xif • • • Xqf, т. е. должны иметь место
соотношения вида (3)
Xk(Y(f)) - Y(Xk(f)) = (XkY) = Xkj(xi • • • Xn) • Xjf (k = 1 • • • q).
Этим непосредственно показано, что выполнение этих соотношений
является необходимым; что оно также и достаточное, мы не будем снова
доказывать, а ограничимся вышесказанным.
Так же, как мы говорим о системах уравнений
0\{х\ ••• хп) = 0,•■• nn-m(xi ••• хп) =0,
допускающих инфинитезимальное преобразование Yf, мы можем
говорить и о полных системах, для которых это справедливо. Мы скажем: q-
параметрическая полная система X\f = 0, • • • Xqf = 0 допускает
инфинитезимальное преобразование Yf, если имеют место соотношения
вида (3).
Используя эту терминологию, мы можем сформулировать теорему 20
также следующим образом:
q-параметрическая полная система X\f = 0,••• Xqf = 0
допускает все преобразования однопараметрической группы Yf тогда и только
тогда, когда она допускает инфинитезимальное преобразование Yf.
Если полная система допускает все преобразования
однопараметрической группы, то мы скажем кратко, что она допускает эту
однопараметрическую группу.
Условия теоремы 20 выполняются, в частности, если Yf имеет вид
я
У! = *52qj(xi xn)-Xjf,
j=i
где под Qj понимаются произвольные функции от х. Тогда соотношения
вида (3) всегда имеют место, и, кроме того, Y(fj = 0. Это согласуется
с рассуждениями из главы 6, стр. 110, согласно которым любое решение
Q((pi • • • (fn-q) полной системы X\f = 0, • • • Xqf = 0 при преобразованиях
всех однопараметрических групп вида T,QjXjf остается инвариантным.
Если, с другой стороны, инфинитезимальное преобразование Yf,
которое не имеет вида T,Qj(x) • Xjf, удовлетворяет условиям теоремы 20, то
конечные преобразования однопараметрической группы никоим образом не
Полные системы, допускающие все преобразования
159
оставляют инвариантным каждое отдельное решение полной системы, но
для совокупности всех этих решений это верно.
Среди инфинитезимальных преобразований, которые допускает
полная система Xif = 0, • • • Xqf = О, имеются также преобразования вида
Y,Qj(x) • Xjf, заданные одновременно с этой полной системой, и потому их
следует рассматривать как тривиальные. Остальные же
инфинитезимальные преобразования, которые допускает эта система, вообще говоря, не
могут быть заданы, пока система не проинтегрирована.
Если полная система X\f = 0, • • • Xqf допускает
инфинитезимальное преобразование У/, то, как мы видели выше, каждое решение
tt((pi • • • (fn-q) полной системы при любом преобразовании
х\ = Xi + y * Yxi Н (г = 1 • п)
однопараметрической группы Yf переходит в решение. Поэтому если мы
истолкуем х и х1 как координаты точек n-мерного пространства, а
только что записанные преобразования — как операции, при которых
точка х\ • • • хп принимает новое положение х\ • • • х'п9 и если мы к тому
же вспомним, что уравнения ipi = ai,-- <pn-q — a>n-q с константами
а\ • • • an-q представляют собой характеристическое многообразие полной
системы X\f = 0, • • • Xqf = 0 (ср. гл. 6, стр. 112), то мы сразу увидим, что
преобразования однопараметрической группы Yf переводят каждое
характеристическое многообразие полной системы в некоторое
характеристическое многообразие. Таким образом, характеристические многообразия
нашей полной системы переставляются между собой преобразованиями
однопараметрической группы Yf, они образуют — как мы это назовем, —
семейство, инвариантное относительно однопараметрической группы.
Поскольку упомянутые характеристические многообразия определяют
согласно гл. 6, стр. 112, разбиение пространства, то мы можем также сказать, что
это разбиение остается инвариантным относительно
однопараметрической группы Yf.
§38
Сформулируем еще несколько простых утверждений о полных
системах, допускающих однопараметрические группы.
Утверждение 2. Если q-параметрическая полная система
допускает любое преобразование двух однопараметрических групп Yf и Zf, то
160
Глава 8
она допускает также любое преобразование однопараметрической группы
Y(Z(f))-Z(Y(f)) = (YZ).
Пусть Xkf = 0 — уравнения полной системы. Тогда если выписать
тождество Якоби
((YZ)Xk) + {(ZXk)Y) + {(XkY)Z) = 0
и принять во внимание, что (YXk) и (ZXk) по условию утверждения
выражаются линейно через X\f • • • Xqf, то понятно, что то же самое верно
и для ((YZ)Xk). Тем самым утверждение доказано.
Утверждение 3. Если уравнения A\f = 0, • • • Aqf = 0, равно как и
B\f = 0, • • • B3f = 0, образуют полные системы, то полную систему
образует также и совокупность всех возможных уравнений Cf = 0,
являющихся общими для этих двух полных систем в том смысле, что имеют
место соотношения вида
Я s
cf = ^2аз(х1 ' *" хп) • Ajf = ^2pk(xi • • • Хп) • Bkf.
3=1 к=1
Если полные системы Akf = 0 и Bkf = 0 допускают некоторую од-
нопараметрическую группу Xf, то и полная система уравнений Cf = 0
допускает эту группу
Доказательство. Пусть среди уравнений Cf = 0 можно выбрать в
точности т и не более друг от друга независимых, например
Ci/ = 0, ••• Cm/ = 0.
Тогда для любого /х = 1 • • • га имеют место соотношения вида
Я з
Cpf = aw (ж) • Ajf = ^Рцк{х) • Bkf;
3=1 к=1
следовательно, каждая скобка CtJL(Cl,(f)) — C^C^f)) = (С^С») может
быть выражена линейно как через Af9 так и через Bf, то есть всякая
{СцСи) выражается линейно через C\f • • • Cmf. Тем самым первая часть
нашего утверждения доказана. Далее, каждая (ХС^) выражается как через
Af9 так и через Bf, и поэтому имеют место соотношения вида
т
(ХСЦ) = 7^(xi • • • хп) • Cvf (\i = 1 • • • т).
v=l
Это доказывает вторую часть утверждения.
Полные системы, допускающие все преобразования 161
Если даны две полные системы A\f = 0, • • • Aqf = 0 и Bif =
= 0, • • • Bsf = 0, то все возможные общие решения обеих систем
также определяются некоторой полной системой, которую можно получить из
уравнений
Ai/ = 0,-.- Aqf = 0, Bi/= (),••• B9f = 0,
как указано в гл. 5, стр. 95. При этом справедливо
Утверждение 4. Если полные системы A\f = О, • • • Aqf = О и B\f =
= 0,B3f = О допускают однопараметрическую группу Xf, то и полная
система, определяющая общие решения всех уравнений Akf = О и Bkf =
= 0, также допускает однопараметрическую группу Xf.
Доказательство. Тождество
{{AjBk)X) + ((BkX)Aj) + ((XAj)Bk) = О
показывает, что все ((AjBk)X) выражаются линейно через Af, Bf и (АВ).
Поэтому если уравнения (AjBk) = 0 вместе с уравнениями Af = 0 и Bf = 0
образуют полную систему, то наше утверждение доказано. В противном
случае следует поступить с системой уравнений Af = 0, Bf = 0, (АВ) = 0
так же, как только что с системой уравнений Af = 0, Bf = 0, а именно:
взяв любые два из выражений Af, Bf, (АВ), добавить к ним Xf и
образовать тождество Якоби и т. д.
Утверждения 3 и 4 обретают простой наглядный смысл, если
трактовать х\ - хп как координаты точек пространства Rn.
Мы сначала напомним, что ocn~q ^-мерных характеристических
многообразий Mq полной системы A\f — 0, • • • Aqf = 0 образуют
семейство, остающееся инвариантным относительно однопараметрической
группы. Далее заметим, что ооп~3 5-мерных характеристических многообразий
Mq полной системы B\f = 0, • • • B3f = 0 также образуют такое
инвариантное семейство.
Предположим, что s ^ q. Тогда всякое М3 общего положения
разбивается с помощью тех Mq, которые вообще его пересекают, на семейство
из oo3~q^h многообразий размерности (q — h), причем под h понимается
некоторое определенное число из 0,1 • • • q. Таким образом, все
пространство Rn разбивается на семейство из oc3~qJrh (q — Л)-мерных
многообразий. Разумеется, совокупность этих многообразий остается инвариантной
относительно однопараметрической группы Xf, поскольку она
представляет собой пересечение совокупности всех Мя с совокупностью всех Ма,
162
Глава 8
и обе эти совокупности, как уже было сказано, инвариантны относительно
группы Xf.
Только что упомянутые (q — Л)-мерные многообразия суть не что иное,
как характеристические многообразия полной системы С/ = 0,
появляющейся в утверждении 3, эта полная система является при наложенных
условиях (q — /^-параметрической.
С другой стороны, можно спросить о наименьших многообразиях,
состоящих как из Mq, так и из М3. Если такие многообразия существуют, то
их совокупность, разумеется, остается инвариантной относительно
однопараметрической группы Xf; они являются характеристическими
многообразиями полной системы, определенной в утверждении 4.
Глава 9
Характеристические соотношения
между инфинитезимальными
преобразованиями группы
В главах 2 и 4 (утверждение 1, стр. 74) было показано, что каждой
г-параметрической группе соответствуют г независимых инфинитезимальных
преобразований, имеющих с данной группой своеобразную связь. Теперь
мы хотим вывести некоторые важные соотношения, имеющие место между
подобными инфинитезимальными преобразованиями. Затем мы докажем не
менее важное утверждение о том, что г независимых инфинитезимальных
преобразований, удовлетворяющих этим соотношениям, всегда определяют
r-параметрическую группу с тождественным преобразованием.
Вместо того чтобы рассматривать r-параметрическую группу, мы
хотим сперва встать на более общую точку зрения, рассматривая семейство
из оог различных преобразований
В таком случае мы знаем (ср. гл. 4, стр. 74), что г инфинитезимальных
преобразований
§39
х'% = fi(xl * * ' хп, «1 ' * * ar) (t = 1 ■ • •
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям вида
тг-1 =^2^jk(ai • • • аг) • ^i(x[ • • • х'п
х'п) (г= 1... п,к = 1 ••• г).
(*=1...г)
164
Глава 9
не зависят друг от друга, и что определитель, составленный из V>jfc(a), не
обращается в нуль тождественно; следовательно, мы можем, как и ранее,
записать вышеуказанные дифференциальные уравнения еще и так:
г дх'
£fl(xi х'п) = Xja^(ai '"a^dak (i = 1'~n>i = 1~'r)- W
Разумеется, определитель ctjk здесь тождественно в нуль не обращается.
Если, с другой стороны, предположить, что уравнения
х'% = fi(xi ' * * xn,ai • • • ar)
разрешены относительно х\ • • • хп:
Xi = Fi(x[ • • • х'п, а\ • • • аг) (t = 1 • • • п),
то можно совсем легко вывести некоторые дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют Fi • • • Fn. Мы просто продифференцируем
тождества
Fi(fi(x,a)~- /n(x,a),ai ••• ar) = а*
no dk\ тогда имеем
^dFi(^,a)dU(x,a) dFi(x\a)
^-f da* + da*
при условии, что здесь всюду положено x'v — fv(x,a). Это тождество мы
умножим на otjk{a) и просуммируем по А: от 1 до г, тогда, учитывая
Y^ajk(a)^q*^ =€jAfi fn),
получим следующее уравнение:
i/=i ox» k=\ k
(j = 1 ... r, i = 1 • • n).
В соответствии с тем, как они получены, эти уравнения будут
тождествами, если произвести в них подстановку x'v = fu(x,a); но поскольку они
вообще не содержат х\ • • хп, то уже сами по себе должны быть
тождествами, то есть все F\ • • Fn являются решениями следующих линейных
Характеристические соотношения
165
дифференциальных уравнений в частных производных:
ял?) = £ы*')^ + 1>м|г =0 (2)
(j = l-r).
Эти г уравнений содержат п + г переменных, а именно xi • • • х^
и ^ ••• ar; кроме того, они независимы друг от друга, поскольку
определитель akj не обращается в нуль тождественно, а потому возможно их
яр яр _
разрешение относительно г производных ^ да' ДРУГ0И стороны,
уравнения (2) имеют п общих независимых решений, а именно функции
Fi(x',a) • • • Fn(x',a), функциональные определители которых
относительно Xх
dFx dFn 1
Е■££!...££» =
дх[ дх'п r±E*...f*h
дх\ дхп
не обращаются в нуль тождественно, так как уравнения х\ — /(х, а) по
условию представляют собой преобразования. Таким образом, условия из
утверждения 8, гл. 5, стр. 98, выполнены также для уравнений (2), то есть
эти уравнения образуют r-параметрическую полную систему.
Положим
и, далее,
X>(*')g = x;(n
i/=l v
в соответствии с ранее введенными обозначениями, тогда уравнения (2)
принимают вид
nj(F) = X'j(F) + Aj(F)=0 (,• = !-«)•
То, что они образуют r-параметрическую полную систему, находит, как мы
знаем, свое выражение в том, что имеют место определенные тождества
вида
г
Q^QjiF)) - Qj{Qk(F)) =^2^з(х\ • • • x;,ai • • • ar) • !2a{F)
3=1
(k,j = l - -.г),
166
Глава 9
какой бы функцией от х\ • • • х'п,а\ • • аг ни была F. Поскольку эти
тождества можно еще записать так:
Х'к{Х'^)) - X'{X'k{F)) + MMF)) ~ Aj(MF)) =
8=1 8=1
то мы можем их непосредственно разложить на пары:
\x'k{X'{F))-X't{Xk(F)) =Ers=i^jaX's(F),
\Ак(А^)) - Ai(Ak(F)) = £l=i tikjsAa(F),
а вторая строка разлагается и дальше:
(3)
А-к(<*зц) ~ Aj(c*kn) = ^fikjs^n = 1 ••■ г).
5=1
Поскольку определитель аа/х не обращается в нуль тождественно, то flkja
полностью заданы этими последними условиями, и оказывается, что fikja
могут зависеть лишь от а\ • • • аг, в то время как они заведомо не зависят
от х[ • • • х'п. Но можно доказать, что dkja не зависят также и от а\ • • • аг.
Действительно, если мы в первой группе тождеств (3) рассмотрим F как
произвольную функцию только от х'г • • • х'п, то в результате
дифференцирования по ар получим следующее тождественное равенство:
0 = i^±Xs(F) (*,J,M = l-r).
5=1
Но так как X[(F) • • • X'r{F) — независимые инфинитезимальные преобра-
зования, и, кроме того, Q не зависят от х, • • • х', то все , долж-
ны обращаться в нуль тождественно, то есть fikjs не зависят также и от
а\ • • • аг, они суть числовые константы.
Таким образом, имеет место
Теорема 21. Если семейство из оог преобразований
x'i ~ fi(xl ' ' ' хп, «1 * * ' 0>г) (г = 1 • • • п)
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений специального вида
дх' г
-qT = Y1 фма1 ''' аг) • Zji(xi '' • х'п) (» = 1 ■ • • п, к = 1 • • • г),
к 3=1
Характеристические соотношения
167
и если эти уравнения записать (что всегда возможно) в виде
г
дх'
&(х\ - • • х'п) = ^2 азк(<>>1 • ' ' ar)g^ (j = 1 • г, i = 1 • • • n),
то между 2г независимыми друг от друга инфинитезимальными
преобразованиями
i=l
dxi
dF
(4)
/x=l M
имеют место соотношения вида
[xk{X>(F))-X>(X>k{F)) = T.:=1ckjsX'a(F),
\Ак(А^)) - А,(Ак(Р)) = ЕГ», <4y.^.(F),
где Ckjs — числовые константы. Поэтому г уравнений
Xj(F) + A,-(F)=0 0 = i--r),
разрешимых относительно • • • образуют г-параметрическую
OCL\ UCLr
полную систему вп + r переменных х[ • • • х'п, а\ • • • аг. Если п уравнений
х\ = fi(x,a)
Xi = Fi(x\ • - • х'п, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
разрешить относительно х\ • •• хп, то F\(x',а) • Fn(x',а) являются
независимыми решениями этой полной системы.
Эту теорему можно непосредственно применить ко всем г-параметри-
ческим группам, независимо от того, содержат они тождественное
преобразование или нет.
Эта теорема, примененная в случае r-параметрической группы с
тождественным преобразованием, дает нам определенные соотношения,
имеющие место между инфинитезимальными преобразованиями группы. Таким
образом, мы получаем важную теорему.
Теорема 22. Если г-параметрическая группа в переменных Х\ • • • хп
содержит г независимых инфинитезимальных преобразований
П elf
г=1 г
Характеристические соотношения
169
в переменных а\ • • аг, которые попарно удовлетворяют соотношениям
аналогичного вида
г
Ak(Ai(F)) - Aj{Ak{F)) = £cfcjsAfc(F)
5=1
с теми же CkjS, и определитель которых Е±ац(а) • • • агг(а) не обращается
в нуль тождественно. Мы покажем, что инфинитезимальные
преобразования X[(F) • • • X'r(F) порождают при этих условиях совершенно
определенную r-параметрическую группу с тождественным преобразованием.
Для этого составим уравнения
fij(F) = XfrF) + Aj(F) = О (j = l - г),
образующие при наложенных условиях r-параметрическую полную
систему; соотношения вида
г
5=1
имеют место, и, кроме того, уравнения Q\{F) = 0, • • • Or(F) = 0
разрешимы относительно тг~ * • • тг-- Пусть теперь aS • • - aS. — система значений
да\ дат 1 г
параметров а, в окрестности которой otjkip) ведут себя регулярно, и для
которой определитель ]П ±ац (а0) • • • агг(а) отличен от нуля. Тогда согласно
теореме 12, гл. 5, стр. 101, полная система Oj{F) = 0 имеет п решений
F\(xf, а) • • • Fn(x', а), которые сводятся при = а\ к х\ • • • х'п
соответственно. Это суть так называемые главные решения полной системы
относительно dk — а®. Предположив, что эти главные решения известны,
составляем п уравнений
Xi = Fi(x'i • • • х'п, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
и разрешаем их относительно х[ • • • х'п, что всегда возможно, т. к.
очевидно, что F\ • • • Fn независимы друг от друга относительно х[ • • • х'п.
Полученные таким образом уравнения
А = /г(#1 • • • xn, ai • • • аг) (г = 1 • • • п)
представляют собой, как мы сейчас покажем, r-параметрическую группу
и, конечно же, группу с тождественным преобразованием, поскольку при
a,k — аРк получается х\ — Xi.
168
Глава 9
то между этими инфинитезимальными преобразованиями имеют место
попарные соотношения вида
Xk(Xj(f)) -Xi{Xk(f)) =J2^jaXa(f),
3=1
где под CkjS понимаются числовые константы1.
Отсюда, в частности, следует важное
Утверждение 1. Если конечная непрерывная группа содержит два
инфинитезимальных преобразования
i=l 1 i=l 1
то она также содержит инфинитезимальное преобразование
X(Y(f))-Y(X(f)).
§40
Предположим, что теперь, наоборот, заданы г независимых
инфинитезимальных преобразований
г=1 *
от х\ • • • х'п, которые находятся попарно в соотношениях вида
Х'к{Х'№) - X'^XUF)) = $>rf(F),
3=1
где Ckjs — числовые константы. Кроме того, пусть даны г
инфинитезимальных преобразований
г
Aj(F) = J2^j^i •"Off tf = !•■•'')
/i=i м
!Lie, Math. Ann.Bd. 8, S. 303; Gdttinger Nachr. 1874.
170
Глава 9
Прежде всего, мы имеем тождество
E^fi+E0^)^0 (i=i-r, i=i...»). (5)
С другой стороны, из Xi — Fi(x', а) в результате дифференцирования по
получается уравнение
*dFidx' dFt
превращающееся в тождество при подстановке х'и = fv(x,a). Умножив
это уравнение на а^м(а) и просуммировав по \х от 1 до г, мы получим
уравнение, которое с использованием (5) переходит в
Е0(е^и^-ы-о)=о («=1-п, j=i...r).
1^=1 " \/х=1 ^ /
Но поскольку определитель • • • не обращается в нуль тожде-
ственно, то мы получаем систему
т Эх'
/х=1 м
которую можно, в свою очередь, разрешить относительно т.к. опре-
делитель aJAt (а) не обращается в нуль. В результате получается, что имеют
место уравнения вида
дх' т
*г. = 5Z^>(ai "' аг)' €зЛх1 ' - Х'п) (6)
дсц, .=1
(i/= 1 ••• п, м = 1 ••• г),
которые естественным образом превращаются в тождества при подстановке
x'v = /„(ж, a).
Теперь совсем нетрудно доказать, что уравнения х[ — fi(x,a)
представляют г-параметрическую группу.
Характеристические соотношения
171
А именно: прежде всего, легко видеть, что уравнения х\ — fi(x,a)
представляют оог различных преобразований, так что все параметры
а\ - • • аг являются существенными. В противном случае (ср. утв. 1, гл. 1,
стр. 13) все функции /i(x,a) • • • /п(х,а) должны были бы удовлетворять
линейному дифференциальному уравнению в частных производных вида
т df
gxfc(«i---ar)^=0,
где Хк были бы независимы от х\ • • • хп. Тогда вследствие (6) мы имели
бы г
X **(a) * чМа) * tjvtfi'' • fn) = 0 {у = 1 • • • п),
k,j=l
а поскольку X[(F) • • • Xfr{F) — независимые инфинитезимальные
преобразования, то
г
X] Хк(а) • ^jk(a) = 0 (j = 1 • • • г);
но отсюда следовало бы немедленно: Xi(a) = 0, • • • Хг{о) = О, т.к.
определитель, составленный из ijj3k{p), не обращается в нуль тождественно.
Таким образом, уравнения х\ = fi(x,a) действительно представляют
собой семейство из оог различных преобразований. Тогда это семейство
удовлетворяет определенным дифференциальным уравнениям
специального вида (6); поэтому мы можем непосредственно применить теорему 9 из
гл. 4, стр. 79, согласно которой справедливо следующее: если а\ • • • аг —
система значений параметров а, для которой rpjk(o>) ведут себя регулярно,
а определитель^ (а) • • • VVr(a) не обращается в нуль тождественно,
то любое преобразование х\ = /i(#,a), параметры которого а\ • • • аг
лежат в определенной окрестности а\ - • • ar, получается в результате того,
что сперва выполняется преобразование
Хг = fi{%l ' ' ' Хп,а\ • • • ат) (г = 1 ••• тг),
а затем преобразование
г
Xi = Xi + ^2 ХкЫ(х) + ' ' * (г = 1 • • • п)
к=1
однопараметрической группы XiXi(f)-] \-XrXr(f)9 где под Ai • • • Аг
понимаются соответствующие константы. Если, в частности, положить ак =
— ajj, то получится Х{ = х^ т. е. мы, прежде всего, видим, что семейство оог
172
Глава 9
преобразований х\ = /г(х,а) в некоторой окрестности системы а? • • • а£
совпадает с семейством преобразований
г
X'i = Xi + Ц A^^(X) + " " " (» = 1 •' • п). (7)
А:=1
Поэтому если мы, с другой стороны, выберем а\ • • • аг произвольным
образом в некоторой окрестности а\ • - - а£, то преобразование х\ — fa(x, а)
всегда будет принадлежать семейству (7). Если, однако, сначала выполнить
преобразование — fi(x,a), а затем соответствующее преобразование
г
x'i = Xi + ^ ХкЫ(х) + '•'
к=1
семейства (7), то согласно вышесказанному мы получим преобразование
х'% = fi(x,a), где а\ • • • аг могут принимать все значения в некоторой
окрестности а\ • • • аг. В частности, если мы выберем а\ • • • аг в
вышеупомянутой окрестности а\ • • • а£, что всегда возможно, то преобразование
xi — fi(x, о) будет также принадлежать семейству (7); итак, мы видим, что
два преобразования из этого семейства (7), выполненные последовательно,
снова дают некоторое преобразование этого семейства. Следовательно, это
семейство, а также, конечно, идентичное ему семейство х[ — /г(х, а),
образуют r-параметрическую группу, такую, которая содержит тождественное
преобразование, и преобразования которой упорядочиваются в пары
взаимно обратных.
Полученный результат мы выразим следующим образом.
Теорема 23. Если г независимых инфинитезимальных преобразований
**(/) = Еы^1 (*=i-r)
г=1 *
в переменных х\ • • • х'п удовлетворяют попарно соотношениям вида
Х'к(Х'^))-Х',(Х'к(Л) =J2ckj,X's(f),
5=1
и если далее г независимых инфинитезимальных преобразований
r df
Характеристические соотношения
173
в переменных а\ • • • аг удовлетворяют соответствующим соотношениям
Ак(АМ))-А,(Ак{/)) = J2ckJ3As{f)
8=1
с теми же самыми ckjS, и, кроме того, определитель^ ±ац(а) • • • агг(а)
не обращается в нуль тождественно, то уравнения г-параметрической
группы получаются следующим образом: образуем г-параметрическую
полную систему
X'k(f) + Ak(f) = 0 (fc = i-..r)
и найдем ее главные решения относительно подходящей системы значений
ак = а°к. Если этими решениями являются хг = Fi(x\ • • • х'п,а\ • • • аг),
то возникающие в результате их разрешения уравнения
х\ = fi(x\ • • • хп,а\ • • аг) представляют r-параметрическую
непрерывную группу преобразований. Эта группа содержит тождественное
преобразование и с каждым из ее преобразований — также обратное к нему;
она порождена oor_1 инфинитезимальными преобразованиями
x1x[(f) + -- + xrxuf),
где Ai • • • Лг — произвольные константы. И потому путем введения новых
параметров вместо ак можно привести уравнения этой группы к виду
г г Л Л
А = Xi + ]Г Xkiki(x) + ]Г JL+XAZm) + • • • (г = 1 • • • п).
к=1 kj=l
Очевидно, уравнения хг = Fi(x',a) из данной теоремы также
представляют группу, а именно х[ = fi(x,a).
§41
Условия, наложенные в важной теореме 23, можно существенно
упростить.
Теорема утверждает, что 2г инфинитезимальных преобразований Xk(f)
и Ak(f) задают некоторую r-параметрическую группу в переменных х\ в то
же время имеется представление этой группы, совершенно не зависящее от
Ak(f); данная группа согласно цитируемой теореме идентична семейству
oor_1 однопараметрических групп AiXi (/)Н \-\rXr(f), и это семейство
174
Глава 9
уже только при помощи Xk(f) полностью определено. Это обстоятельство
наводит нас на мысль, что семейство оог-1 однопараметрических групп
XiXi(f)-\ \-XrXr(f) образует r-параметрическую группу всякий раз,
когда независимые инфинитезимальные преобразования X\(f) • • • Xr(f)
находятся попарно в соотношениях
г
Xk(Xj(f)) - Xj(Xk(f)) = (XkXt) = £ckjsXs(f). (8)
s=l
Согласно теореме 22 это условие является необходимым для того, чтобы
оог-1 однопараметрических групп ]Г] XkXk(f) образовывали г-парамет-
рическую группу. Наше предположение означает, таким образом, что это
необходимое условие является также и достаточным.
Это предположение могло бы перейти в уверенность, если бы нам
удалось построить для каждой системы Xk(f) с оговоренным свойством г
независимых инфинитезимальных преобразований
Ak(f) = Y1 акЛа1 • • • а^)^~ =1 • • •
/и=1 м
от а\ • • • аг, удовлетворяющих соответствующим соотношениям
г
Ммл) -ммл) = 5>«и.(я.
s=l
в то время как определитель ^ ±ац • • агг не обращается тождественно
в нуль, или, иначе говоря, между которыми не существует тождественного
соотношения вида
52хк(аг ••■аг)-А*(/) = 0.
к=1
При помощи утверждения 5, гл. 3, стр. 71, мы действительно
всегда можем построить такую систему инфинитезимальных преобразований
Ak(f). Положим, как и прежде,
4/i)(/) = E^^)-^))^
Характеристические соотношения
175
и образуем г инфинитезималъных преобразований
wk(f) = J24tI)(f)-
Тогда они согласно приведенному утверждению обладают тем свойством,
что соотношений вида
£фк{х\ ■■■х'п,х'{ *<г) • • • *£■>). щ/) = о
fc=l
не существует. А поскольку, кроме того,
г
3=1
то г независимых уравнений
Wk(/) = 0,... Wr(/) = 0
образуют г-параметрическую полную систему от rn переменных х\ • • •
хп' *' '' * хп Эта полная система имеет r(n — 1) независимых
решений, которые можно обозначить u\,U2 - • • urn-r. Поэтому если выбрать
г независимых друг от друга и от щ • • • итп-т функций у\ • • • уг от rn ве-
личин х\ , то можно ввести у и и в качестве новых переменных вместо
х\^. При этом мы получаем
7Г= 1 Т=1
или (т. к. все Wk(uT) тождественно обращаются в нуль)
wk(f) = У^ЬгСш ••• уг,щ ••• гхгп_г)^—,
где Wi (/)••• Wr (/) не связаны никакими соотношениями вида
г
5^ * * * Уг, Щ • • • Urn_r) • = 0.
k=l
176
ГЛАВА 9
Это свойство функций Wk(f) сохраняется, конечно же, и тогда, когда мы
придаем величинам ит подходящие постоянные значения и®. Если
положить и:к-к{у,и0) = и;%п(у)9 то г независимых инфинитезимальных
преобразований
vk(f) = J2<(yi---yr)§f
7Г=1 у*
от г независимых переменных у\ • • • ут находятся попарно в соотношениях
г
Vk{Vj{f)) - Vt{Vk{f)) = 5>,.v.(/)
3=1
и, кроме того, не связаны никакими соотношениями вида
г
5>*(и -»r)-Vfc(/) = 0.
*=1
Следовательно, Vk(f) — инфинитезимальные преобразования с требуемым
свойством. Поэтому мы можем непосредственно применить теорему 23,
стр. 172, к 2г инфинитезимальным преобразованиям и тем самым доказать,
что оог-1 однопараметрических групп ]Г] ХкХк(/) образуют
г-параметрическую группу. Таким образом, справедлива
Теорема 24. Если г независимых инфинитезимальных преобразований
попарно удовлетворяют соотношениям
т
-МВД)) - Mx*(f)) = (ЗД) = Х>,*ВД), (8)
где Cfcje — константы, то совокупность ооТ~1 однопараметрических групп
А1Х1(/) + ... + АгВД)
образует г-параметрическую непрерывную группу, которая содержит
тождественное преобразование, и преобразования которой
упорядочиваются в пары взаимно обратных2.
2Ли, Math. Annalen, том 8, стр. 303, 1874; Gdttinger Nachrichten, 1874, стр. 533 и 540; Archiv
for Math, og Naturv., Христиания, 1878 п
Характеристические соотношения
177
Если мы имеем г независимых инфинитезимальных преобразований
X!(/)...xr(A
отвечающих условиям предыдущей теоремы, то мы будем впредь говорить,
что X\(f) • • • Xr(f) порождают r-параметрическую группу, или же
говорить просто о г-параметрической группе X\(f) • • • Xr(f).
§42
Пусть X\(f) • • • Xr(f) — r-параметрическая группа в переменных
х\ • • • хп, a Yi(f) - Ym(f) — m-параметрическая группа в тех же
переменных. Соотношения между Xk(f) и соответственно пусть имеют
вид
-х,(вд)) = Х>*ад) = (ад),
3=1
771
з=1
(k J = 1 •■• г, = 1 ••• т).
Может случиться так, что эти группы имеют некоторые общие инфи-
нитезимальные преобразования. Предположим, что их в точности I
независимых, например
г m
Zb(f) = Y,9xkXk(f) = Y,h*Mft (A = 1"0.
к=1 »=1
где дхк и /ia/i — константы. Тогда любое другое инфинитезимальное
преобразование, содержащееся в обеих группах, можно получить линейно из
Zi(f) • • • Zi(f). Но если составить выражения
Zx(Zv(f)) - Zv(Zx{f)) = {ZXZV),
то мы увидим, что они получаются линейно как из X\(f) • • • Xr(f)9 так
и из Y\(f) • • • Ym(f), т.е. что они являются общими для обеих групп.
Следовательно, имеют место соотношения вида
i
ZA(Z„(/)) - Z„(ZA(/)) = (ZXZV) = 5^dA„eZ,(/),
3=1
т. e. Zi(/) • • • Z/(/) порождают /-параметрическую группу.
178
ГЛАВА 9
Таким образом, мы имеем
Утверждение 2. Если две непрерывные группы Xi(f)---Xr(f) и
Y\{f) • • * Ym(f) имеют в точности I и не более общих независимых
инфинитезимальных преобразований в одних и тех же переменных, то эти
преобразования порождают, в свою очередь, l-параметрическую
непрерывную группу.
§43
Если уравнения х[ = fi(x\ • • • хп,а\ • • • аг) представляют собой
семейство из оог преобразований и кроме того удовлетворяют
дифференциальным уравнениям специального вида
дх'
fr^ =Z2^k^ai "' ar)-€ji(x'l x'n) (» = 1 ••• n, fe = 1 ••• r),
то г инфинитезимальных преобразований
n ftf
являются, как мы знаем, независимыми друг от друга и связаны, кроме
того, согласно теореме 21, стр. 166, соотношениями вида
г
Xk[Xi(f)) - *Л(ВД)) = (XkXj) = Y^Ckjs ■ X.{f).
3=1
Семейство oor_1 однопараметрических групп
AiX!(/) + ... + ArXr(/)
образует тогда r-параметрическую группу с тождественным
преобразованием. Итак, мы можем сформулировать теорему 9, стр. 79, следующим
образом.
Теорема 25. Если семейство из оог преобразований
х\ — fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида
дх' Т
= ^J*(ai * *' ar) • €ji(x'l х'п) (* = l • ■ • n, fe = l • • • г),
Характеристические соотношения
179
а а\ • • • а£ — система значений параметров а, для которой i/)jk(o) ведут
себя регулярно, и, кроме того, определитель
отличен от нуля, то можно считать, что любое преобразование х\ =
= /г(х,а), параметры которого а\ аг лежат в некоторой
окрестности а? • • • а% возникает за счет того, что сначала выполняется
преобразование Xi = fi(x, а°), а затем совершенно определенное преобразование
г
Xi = хг + Y1 Л*&«(^) + ' • ' (* = 1 • ■' л)
такой г-параметрической группы, которая порождается при наложенных
условиях г независимыми инфинитезимальными преобразованиями
ГС or
Xk(f) =J2^Xl '"^^ (* = !••■ г).
Теорема выше особенно интересна тогда, когда уравнения х\ — /г(х,а)
представляют собой r-параметрическую группу, которая по крайней мере в области ((a))
не содержит тождественного преобразования. Для этого случая мы сделаем еще
несколько важных заключений.
Итак, пусть x'i = fi(xi • • • xn, ai • • • ar) — r-параметрическая группа без
тождественного преобразования, и пусть в результате преобразований
Xi — fi{x\ • • • Xn,CLl ' ' • Or),
Xi = fi(x'i ' ' ' Xn, Ь\ • • • 6r),
выполненных последовательно, получается преобразование
х" = fi(xi • • • xn,ci ... Cr) = fi(x\ • • • xn,<pi(a,fc) • • • (pr(a,b)).
При этом, если применить обозначения, введенные раньше, Xi • • • хп меняются
произвольным образом в области ((х)), ai • • • аг и 6i • • • br — в области ((a)), тогда
как положение точек х'{, х" и с* определено заданными уравнениями. Кроме того,
имеют место дифференциальные уравнения специального вида:
дх' ^ , ,
^-1 = 22 il>jk{ai • • • Or) • • • • х'п) (г = 1 • • • п, к = 1 ■ • г).
180
Глава 9
В дальнейшем пусть а? • • • а°, а также 6? • • • 6° обозначают заданное положение
в области ((a)), а ipk(a°,b°) равно с£. Напротив, под ai • • • ar мы будем понимать
произвольные точки в области (а), так что уравнения
Xi = fi(xi • • • £n,ai • • • oV)
могут представлять любое преобразование данной группы.
Любое преобразование вида Xi = /г(х,а) может быть получено путем
выполнения преобразования х[ = fi(x, a°), а затем некоторого второго
преобразования. Чтобы найти последнее, разрешим уравнения х[ = /г(х,а°) относительно
Х\ • • ' Хп"
Xi = i*i(Xi • • • хп,ах • • • аг),
и подставим эти значения Xi в хг = /г(ж,а). Так мы получим для искомого
преобразования выражение вида
Xi = #i(xi • • • Xn, ai • • • ar) (i = 1 • • • n); (9)
a£ при этом мы не пишем, т. к. рассматриваем их как числовые константы.
Преобразование (9) определено для всех систем значений а* из области (а),
и его выражение можно аналитически продолжить на всю область этих систем
значений; это следует из условий, наложенных нами в свое время на характер функций
fi и ^.
Теперь мы утверждаем, что преобразования семейства Xi = Фг(х', а) для
определенных значений параметров а* принадлежат первоначально заданной группе
х[ = /г(х, а), а для некоторых других значений а* — группе X\f • • • Xrf с
тождественным преобразованием.
Первую часть только что выдвинутого утверждения мы докажем следующим
образом. Мы знаем, что преобразования
x'i = fi(xi • • • xn,a? • • • a°), Xi = fi(x[ • • • x'n,bi • • • 6r),
выполненные последовательно, дают в результате преобразование хг = /г(х, с), где
ск = (pfc(a°,6); причем в качестве 6i • • • br мы можем подставить любую систему
значений из области ((a)), тогда как система значений с\ — • Сг лежит в области
(а), а именно в некоторой окрестности точки с? • • • с£. Согласно вышесказанному
преобразование хг = /г(х, с) получается также, если выполнить последовательно
преобразования
x'i = /t(xi • • • Xn,a? • • • a°)> Xi = #i(xi • • • xn,ai • • • ar)
и при этом выбрать ак = с*. Следовательно, при подстановке ак = <pfc(a°,6)
преобразование Хг = Фг(х',а) будет совпадать с преобразованием хг = /г(х;,6), т.е.
все преобразования жг = Фг(ж/,а), параметры которых а* лежат в окрестности
с? • • • с?, заданной при помощи уравнения Uk = <£>fc(a°,6), принадлежат заданной
группе х[ = /г(х,а).
Характеристические соотношения
181
Чтобы доказать вторую часть нашего утверждения, вспомним теорему 25. Если
а~\ ■ • • аг лежат в некоторой окрестности а? • • • а£, то согласно этой теореме можно
получить преобразование х, = /г(х,а), выполнив сначала преобразование
i t ( 0 0\
= ji(xi • • • xn, ai • • • arj,
а затем некоторое вполне определенное преобразование
Г
= + + (Ю)
fc=i
той r-параметрической группы, которая порождается г независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями
Xk(f) = f^tki(xi--xn)§t (fc = l ■••!•).
г=1 1
Из прежних рассуждений (ср. гл. 4, стр. 78) мы также знаем, что
соответствующее преобразование (10) находится, если выбрать подходящим образом а\ • • • аг
как независимые функции от Ai • • • Аг, а затем определить Ai • • • Аг как
функции от ai • • • аг путем разрешения. Но, с другой стороны, мы получим
преобразование xt = /г(х,а) и тогда, когда выполним сначала преобразование х\ —
= /i(x,a°), а затем — преобразование х, = Фг(х',а). Значит, преобразование х» =
= Фг(х;,а) принадлежит группе, порожденной X\f Xrf, коль скоро система
значений аг • аг лежит в определенной окрестности точки а? • • а°. Иными
словами, уравнения х* = Фг(х', а) переходят в уравнения (10), если заменить а\ • • • аг
ранее упомянутыми функциями от Ai • • • АГ.
Тем самым выдвинутое нами выше утверждение полностью доказано.
Итак, уравнения преобразований хг = Ф^х ,а) обладают следующими
важными свойствами: если вместо ак ввести при помощи уравнений ак = (рк(а°,Ь)
новые параметры 6i • • • 6Г, то для некоторых областей переменных уравнения Xi =
= Фг(х;, а) принимают вид Xi = f%{x\ b); если же вместо ак ввести новые
параметры А1 • • • АГ, то уравнения х* = Ф»(х',а) для подходящих областей превращаются
в уравнения
г
Xi = Xi + ^2 ^кЫ(х') + • • • (l = 1 • • • П).
fc=l
В этом заключается важное свойство исходной группы х\ — /г(х,а). А именно:
если мы в уравнения х\ — /i(x,a) введем новые параметры а\ • • • аг вместо ак,
полагая ак = <рк(а°, а), то получим уравнения преобразований х\ — Ф*(х, а),
которые с учетом их аналитических продолжений представляют собой семейство
преобразований, которому принадлежат все преобразования r-параметрической группы,
содержащей тождественное преобразование.
182
глава 9
Это выразить можно еще и так.
Теорема 26. Всякая r-параметрическая группа х\ — fi(x\ • • • xn,ai - • • ar),
не порожденная г независимыми инфинитезимальными преобразованиями, может
быть получена из г-параметрической группы с г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями следующим образом: сначала составим дифференциальные
уравнения
дх
q£ = J2 ^ifc(a) ' (» = 1 • ■ ■ n, * = 1 ■ ■ • г),
i=i
которым удовлетворяют функции х[ — /г(х, а), а затем положим
ЕЫх)Й = Хк(/) (* = 1-г)
г=1
w составим конечные уравнения
г
x'i = Xi + ^ Afcffci(x) H (г = 1 • • • n)
той r-параметрической группы с тождественным преобразованием, которая
порождается г независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\f • • • Xrf.
Тогда можно ввести в эти конечные уравнения такие новые параметры а\ • • • аг
вместо \\ • • • Аг, что получаемые уравнения преобразований
x'i = Фъ(х1 • • • хп, ai - • • аг) (г = 1 • • • п)
при аналитическом продолжении представляют собой семейство из ооГ
преобразований, включающее все оог преобразований группы
x'i = fi(xi • • • хПуai ar).
§44
Несложно доказать, что группы, не содержащие тождественного
преобразования, и преобразования которых не упорядочиваются в пары взаимно обратных,
действительно существуют.
Уравнение
х = ах
с произвольным параметром а представляет однопараметрическую группу. Если
последовательно выполнить два преобразования
х — ах, х = ох
Характеристические соотношения
183
этой группы, то получится преобразование
х" — abx,
также принадлежащее этой группе. Отсюда следует, что семейство всех
преобразований вида х = ах, в которых абсолютная величина а меньше 1, также образует
группу. Очевидно, что это семейство не содержит тождественного преобразования,
а его преобразования не упорядочиваются в пары взаимно обратных.
Поэтому если можно было бы задать аналитическое выражение, которое
представляет только те преобразования вида х — ах, при которых абсолютная величина
а меньше 1, то мы имели бы тем самым конечную непрерывную группу без
тождественного преобразования и без обратных преобразований.
Аналитическое выражение с требуемым свойством действительно можно
задать. ,
Известно, что функция
и=1 1 - а
разлагается в окрестности а = 0 в обычный степенной ряд по а, который сходится,
если абсолютная величина числа а меньше 1. Такой ряд имеет вид
с»
где — целые числа, зависящие от индекса /х. Поэтому если мы будем
рассматривать комплексные значения а как точки плоскости, то а; (а) будет аналитической
функцией от а, определенной внутри окружности, описанной вокруг точки а = О
с радиусом 1.
Кроме того, известно, что функция а;(а) для таких значений а, абсолютная
величина которых равна 1, уже не имеет'смысла, так что указанная окружность
вокруг точки а = О образует естественную границу для а;(а), за пределы которой
эта функция не может быть продолжена аналитически.
Положим теперь а;(а) = Л, затем пусть \а°\ < 1 и w(a°) = Л°; тогда можно
разрешить уравнение a;(а) = Л относительно а, т. е. мы можем представить а как
обычный степенной ряд от А — А0, такой, что при А = А0 получается, а = а0, и что
уравнение и>(а) = А при подстановке выражения для а выполняется тождественно.
Пусть а = х(Х); тогда х(^) — аналитическая функция, принимающая лишь
такие значения, абсолютная величина которых меньше 1; это справедливо не только
для найденного выше функционального элемента, представленного в окрестности
А = А0 обычным степенным рядом от А—А0, но также и для любого аналитического
продолжения этого функционального элемента.
Поэтому если положить
х = х(А) • х,
184
Глава 9
то мы получим искомое аналитическое выражение для всех преобразований х =
= ах, в которых \а\ меньше 1. Если теперь
x' = x(*i)'X, х" = х(А2) • х,
то мы имеем
х" = X(^i)x(^2) х;
это уравнение, однако, можно всегда привести к виду
х" = х(Аз) • х,
а так как |x(Ai) х(^)| < 1, то, положив x(Ai) * х(Аг) = ос, мы получаем просто
Аз = о;(а).
Тем самым доказано, что уравнение xf = \(Х) - х с произвольным параметром
А представляет группу. Эта группа непрерывна и конечна, но не содержит
тождественного преобразования, а ее преобразования не упорядочиваются в пары
взаимно обратных. Наша цель — доказать, что группы такого типа существуют, — таким
образом, достигнута. Кроме того, легко видеть, что подобным образом можно
построить сколько угодно групп с таким свойством.
Примечание. В своих первых работах о конечных непрерывных группах
преобразований Ли пытался доказать, что всякая г-параметрическая группа содержит
тождественное преобразование, а также г независимых инфинитезималъных
преобразований и порождается последними (ср., в частности, оба исследования в Archiv
for Math, og Naturvid, том 1, Христиания, 1876 г.). Однако вскоре он увидел, что в
его доказательстве были сделаны некоторые неявные предположения о поведении
встречающихся функций; вследствие этого он ограничился рассмотрением таких
групп, преобразования которых упорядочиваются в пары взаимно обратных, и
показал, что упомянутое утверждение во всяком случае справедливо для таких групп
(Math. Ann. том 16, стр. 441 ff.).
Позже, в 1884 году, Энгелю удалось построить конечную непрерывную
группу, не содержащую тождественного преобразования и не упорядочивающую свои
преобразования в пары взаимно обратных; таковой является группа, рассмотренная
в данном параграфе.
Наконец, Л и обнаружил, что уравнения любой конечной непрерывной группы
с г параметрами всегда могут быть получены путем введения новых параметров
и аналитического продолжения из уравнений г-параметрической группы,
содержащей тождественное преобразование и г независимых инфинитезималъных
преобразований, ее конечные преобразования при этом упорядочиваются в пары взаимно
обратных (теорема 26).
§45
В главе 4, стр. 83, мы обнаружили, что всякая г-параметрическая группа,
содержащая г независимых инфинитезималъных преобразований, обладает тем свой-
Характеристические соотношения
185
ством, что ее конечные преобразования упорядочиваются в пары взаимно обратных.
С другой стороны, в конце предыдущего параграфа упоминалось, что это
утверждение можно обратить, то есть что любая г-параметрическая группа, преобразования
которой упорядочиваются в пары взаимно обратных, содержит тождественое
преобразование и порождается г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями. Мы покажем, как можно убедиться в справедливости этого утверждения.
Пусть уравнения
х[ = fi(xi - - • xn, а\ • • • ar) (i = 1 • • • n)
с г существенными параметрами а\ • • • аг представляют r-параметрическую
группу с попарно обратными преобразованиями. В результате разрешения относительно
х\ • • • Хп получаем
Xi = Fi(x\ - - - х'п, а\ - • • ar) (i = 1 • • • n).
Если система значений £\ - • • er лежит в некоторой окрестности точки е\ =
= 0, • • • £г = 0, то мы можем, очевидно, выполнить последовательно
преобразования
Xi = Fi(x[ • • • хп,а\ - • - аг),
х" = fi(Xi ' • • Xn,CL\ + £l, ' ' ' CLr + Sr)
и получим тогда преобразование
х" = fi(Fi(x\a) • • • Fn(x',a)yai -f ei, • • • ar -f er),
которое также принадлежит нашей группе и которое можно разложить по степеням
\dfi(x,a)]
a i .
(И)
J x=F(x',a)
Если здесь положить все ек равными нулю, то мы получим тождественное
преобразование, которое, таким образом, имеется в нашей группе. Если же выбрать все
£к бесконечно малыми, то мы получим преобразования нашей группы, бесконечно
мало отличающиеся от тождественного преобразования.
Для краткости положим
dfi(x,a)
дак
J x=F(x',a)
так что преобразования (11) принимают вид
= Vki(x\a),
(12)
х" = x'i + ^£k77fci(:r',a) Н (i = !•••»»).
186
Глава 9
Затем в переменных х[ • • х'п образуем г инфинитезимальных
преобразований
п7 = 1>*«(*',а)|т (*=1-..г),
которые для неопределенных значений ак, безусловно, независимы друг от друга.
В противном случае имелось бы г не обращающихся одновременно в нуль величин
Qi- — Qr, которые удовлетворяли бы тождественно уравнению
Х>п'/ = о
к=1
и при этом не зависели бы от х\ • • х'п\ из этого следовали бы тогда п соотношений
г
QkT)ki(x\ а) = О (i = 1 • п),
fc=i
которые, в свою очередь, переходили бы при подстановке х\ — /г (ж, а) в
соотношение
дк-д^Г = 0 {l = 1"'п)'
k=i к
Такие соотношения, однако, не могут иметь места, поскольку параметры а\ • • • аг
по условию являются существенными в уравнениях х\ = /*(х,а) (ср. гл. 1, стр. 13).
Отсюда мы заключаем, что Y{f--- Y^fvi тогда остаются независимыми друг
от друга, когда в качестве а\ • • • аг берется определенная система значений общего
положения. Если а\ • • • аг — такая система, то мы запишем
rjki(x',a) = £ы(х')]
то есть тогда и г инфинитезимальных преобразований
х/=х>«(*')£т (*=1-г)
не зависят друг от друга. Остается показать, что наша группа порождена г инфини-
тезимальными преобразованиями X'kf.
Выполним последовательно два преобразования нашей группы, а именно:
сначала преобразование
г
х" = х\ + ^2 £кГ)ы(х\а) Н ,
fc=i
а затем преобразование
г
х"' = х" + tikVkiix", а) Н =
fc=i
Характеристические соотношения
187
г
k=i
Если, как и прежде, учитывать только члены первого порядка, то мы получим уже
указанным способом преобразование
г г
Х" = Xi + ^ £kT)ki(x\ а) + ^2 #кЫ(х) + • • • »
к=1 к=1
которое, разумеется, принадлежит нашей группе, причем для всех значений
параметров a,£,i9 внутри определенных областей.
Если бы среди инфинитезимальных преобразований Y{f• • • Уг'/ имелось хоть
одно, не зависящее от X[f • • • Х'г/,то последние записанные уравнения
представляли бы согласно предложению 4, гл. 3, стр. 71, по крайней мере, oor+1 различных
преобразований, тогда как наша группа содержит лишь оог различных
преобразований. Следовательно, любое из инфинитезимальных преобразований Yfc'/ должно
получаться линейно из X[f • • • X'rf, какие бы значения ни принимали а. Тогда при
помощи рассуждений, подобных приведенным в гл. 2, стр. 41, можно увидеть, что
имеют место г тождеств вида
г
j=i
где ipjk ведут себя регулярно в некоторой окрестности а к = а~к\ кроме того,
определитель из ф^к, разумеется, не обращается в нуль тождественно, иначе Y{f • • У//
не были бы независимыми инфинитезимальными преобразованиями.
Теперь понятно, что r)ki(x',a) выражаются через £ji(x') следующим образом:
г
Tjki(x\a) = $^jfc(a) -&(х').
Если, наконец, вспомнить уравнения (12), которые задают функции r)ki(x', а), то
мы увидим, что дифференциальные уравнения
|^ = £Ыа)-<М*') (13)
3 = 1
выполняются тождественно при подстановке х\ = fi(x,a).
Тем самым непосредственно доказано, что всякая группа с попарно обратными
преобразованиями удовлетворяет определенным уравнениям характеристического
вида (13); таким образом, получена отправная точка для рассуждений в главах 3
и 4.
188
Глава 9
Если бы можно было теперь доказать, что определитель функций ipjk(a)
для значений параметров а? • • • а? тождественного преобразования имеет
значение, отличное от нуля, то из только что приведенных рассуждений следовало
бы, что группа х\ — fi(x,a) порождается г инфинитезимальными
преобразованиями Xif — - Xrf. Из общих соображений, однако, нельзя доказать, что
определитель^ ±^п (а0) • • • tprr(a°) отличен от нуля. Этой неприятности можно избежать
следующим образом.
Известно, что уравнения
г
x'i = Xi + Y^eb&i{x) + -- (t = l---n) (14)
fc=l
представляют преобразования группы х[ = fi(x, а), когда Ек принадлежат
некоторой окрестности точки е\ = О, • • ег = 0; кроме того, можно показать, что таким
образом получены все преобразования x'i = fi(x,a), параметры которых аь
лежат в некоторой окрестности а? • • • а°. Тогда, взяв за основу уравнения (14), легко
видеть, что х', рассматриваемые как функции от е и х, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида.
дх'
q^- = 2Z*J'fc(£l •••£*•)• &i(a?i ---x'n) {г = 1 • • • п,к = 1 • • • г),
причем определитель х(е) для е\ = 0, •••£> = 0 не обращается в нуль. Таким
образом, мы, наконец, приходим к следующему результату:
Каждая г-параметрыческая группа с попарно обратными преобразованиями
содержит тождественное преобразование, а также г независимых
инфинитезимальных преобразований, которыми она порождается.
§46
Пусть заданы г независимых инфинитезимальных преобразований
п
д f
Xkf = ^2••• xn)-faT (* = i ■•• О»
v=l v
удовлетворяющих попарно соотношениям вида
г
Xi(xh(f)) - xh(Xi(f)) = (ад) = Y,CiksX3(f) с = i... г) (8)
3=1
с определенными константами с^3, так что согласно теореме 24, стр. 176,
совокупность всех однопараметрических групп вида
AiXi(/) + --- + ArXr(/)
Характеристические соотношения
189
образует г-параметрическую группу. Мы покажем, что константы с^3,
в свою очередь, связаны в вышеупомянутых соотношениях некоторыми
уравнениями.
Прежде всего, мы имеем (XiXk) = — (XkXi), откуда немедленно
следует: Ciks — —Ckis • Другие соотношения мы находим, если число г больше
двух. В этом случае (гл. 5, § 26, стр. 105) для каждых трех Xif, Xkf, Xjf из
г инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf имеет место тождество
Якоби:
((XiXk)Xj) + {(ХкХ^) + ((XjXi)Xk) =0 (г, к,i = l • • • г).
Отсюда, используя вышестоящие соотношения (8), мы сначала получаем
г
{ciks(X3Xj) + Ckjs{XsXi) + Cji3(X9Xk)} = 0,
3=1
а при повторном использовании этих соотношений:
г
^ ^ {^iks^sjr ~\~ Ckj8csiT ~\~ CjisCskr} XTf = 0.
s,t = 1
Но поскольку инфинитезимальные преобразования XTf друг от друга
независимы, то это уравнение распадается на г следующих:
г
{CiksCsjr + CkjsCsir + CjisCsfcr} =0 (т = 1 • • • г). (15)
3=1
Таким образом, справедлива
Теорема 27.3 Если г независимых инфинитезимальных
преобразований Xi(f) • • • Xr(f) таковы, что попарно удовлетворяют соотношениям
вида
г
Х^Хк(/))-Хк(Хг(/)) = (ХМ = ^^Х'^ (t,* = i--r) (8)
5=1
с некоторыми константами сцсз, так что совокупность всех oor_1
однопараметрических групп вида
А1ВД) + ... + АгВД)
3Л и, Archiv for Math, og Naturv., т. 1, стр. 192, Христиания, 1876.
190
Глава 9
образует r-параметрическую группу, то между константами с^5 имеют
место следующие соотношения:
Cikr + Ckir = 0,
г
{CiksCsjr + CkjsCsir + CjisCskr} = 0, (16)
3=1
(i, fc, j,r = 1 ... г).
Уравнения (16) совершенно независимы от числа переменных х\ • • • хп
в инфинитезимальных преобразованиях X\(f) • • • Xr(f). Поэтому мы
можем из предыдущего утверждения заключить еще следующее.
Даже если число п независимых переменных х\ • • • хп выбирается
совершенно произвольно, то и тогда не для каждой системы констант Ciks
— l • • г) можно задать г независимых инфинитезимальных
преобразований
п df
i/=l ^
попарно удовлетворяющих соотношениям
г
(ХЛ) = ^ЗДаВД) (t,fc = l.-r).
s=l
Для существования такого рода инфинитезимальных преобразований
необходимо, скорее, выполнение уравнений (16); это же условие является и
достаточным, как мы вскоре увидим.
Там, где особо не оговорено противное, мы ограничимся во всех
следующих исследованиях такими r-параметрическими группами, которые
содержат г независимых инфинитезимальных преобразований
i=l 1
и, следовательно, порождены ими. При этом мы всегда принимаем во
внимание лишь такие системы значений Х\ • • • хп, для которых все £ki ведут
себя регулярно.
Далее мы еще раз подчеркнем, что будем впредь часто для
краткости обозначать г-параметрическую группу с независимыми инфинитези-
мальными преобразованиями X\f • • • Xrf как группу X\f • • • Xrf. Среди
Характеристические соотношения
191
различных форм, которые могут принимать конечные уравнения т-пара-
метрической группы X\f • • • Xrf, назовем нижеследующую
г
Xi = Х* + ^2 Ck&i(x) + (» = 1 • • • п)
fc=l
канонической формой группы.
Глава 10
Системы дифференциальных уравнений
в частных производных, общие решения
которых зависят лишь от конечного
числа произвольных констант
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных
производных произвольного порядка, заданную в переменных х\ • • • хп,
z\ • • • zm. Пусть она содержит, помимо х\ • • • хп, z\ • • • zm, только
производные от z\ • • • zm по х\ • • • хп, так что х\ • • • хп будут рассматриваться
как независимые друг от друга переменные, тогда как z\ • • • zm
определяются как функции от xi • • • хп, такие, что система тождественно
выполняется.
Наша система дифференциальных уравнений ни в коем случае не
должна быть совершенно произвольной, а должна обладать некоторыми
специальными свойствами. Мы полагаем, что она удовлетворяет в том
виде, как задана, следующим условиям:
Первое. Если s — старший порядок производных, встречающихся
в системе, то в силу уравнений системы путем разрешения все
производные 5-го порядка 2i • • • zm по х\ • — хп должны выражаться через
производные от первого до (s — 1)-го порядка и через z\ • • • zm, х\ • • • хп,
а выразить аналогичным образом все производные (s — 1)-го порядка через
производные более низкого порядка и через z\ • • • zm, х\ • • • хп должно
быть невозможно.
Второе. В результате однократного дифференцирования данной
системы по отдельным переменным х\ • • • хп и комбинирования полученных
уравнений должны получаться лишь такие соотношения между х\ • • • хп,
z\ • • • zm и производными от первого до (s — 1)-го порядка, которые уже
следуют из заданной системы.
Эти специальные условия относительно вида данной системы
уравнений мы налагаем только ради удобства. Само собой разумеется, что после-
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 193
дующие рассуждения можно применить вообще к любой системе
дифференциальных уравнений в частных производных, которая может принять
вышеупомянутый вид в результате дифференцирований и исключений.
Из известной теории уравнений в полных дифференциалах тогда
легко следует, что всякая система дифференциальных уравнений, обладающая
вышеописанными свойствами, является интегрируемой, и что самые общие
функции z\ • • • zm от х\ • • • хп, удовлетворяющие этой системе, зависят
лишь от конечного числа произвольных констант.
Мы хотим теперь обосновать это утверждение другим способом,
сведя упомянутую задачу интегрирования к задаче нахождения систем
уравнений, допускающих некоторое число определенных инфинитезимальных
преобразований; последнюю задачу мы можем решить непосредственно на
основании результатов главы 7.
С другой стороны, мы также покажем, что рассматриваемое
утверждение можно обратить: мы докажем, что всякая система уравнений
содержащая конечное число г произвольных параметров а*>, представляет
собой самую общую систему решений некоторой системы
дифференциальных уравнений в частных производных.
Для нас более важным является второе утверждение; мы его уже
использовали ранее (ср. введение, стр. 5, а также гл. 2, стр. 39) и будем вновь
применять в следующей главе.
Поэтому желательно вывести оба эти утверждения независимо, без
привлечения теории уравнений в полных дифференциалах.
Обозначим через ек число всех производных к-го порядка z\ • • • zm
по х\ • • • хп. Для самих производных fc-ro порядка мы введем обозначение
р[к\ где г пробегает значения 1,2 • • • £*>; но оставим за собой право писать
вместо Pi°^ • • • pi°J просто z\ • • • zm. Наконец, положим
2/1 = Z^(x\
••• хп,а\ ••• аг) (д= l
m),
§47
dxj
так что p\j означает одну из вк+\ производных (к + 1)-го порядка.
194
Глава 10
В этих обозначениях мы можем записать исследуемую систему
дифференциальных уравнений следующим образом:
/WiCx, z.p*1* '' • Р(з-1]) = 0, • • • Wq(x, z,pW • • • р*-1)) =0,
При этом мы полагаем, что уравнения W\ = 0, ■ • • Wg = 0
независимы друг от друга. Конечно, nes-i уравнений р[*~^ = Pij независимы от
(з— 1)
W = 0, но не друг от друга, поскольку пе3-\ выражений
представляют собой не только различные производные 5-го порядка. В последующем,
однако, пользоваться вышеупомянутым способом записи удобнее, чем
записывать систему уравнений (1) в виде
Wt = 0, • • • Wq = 0,ргЫ = Р4(х, г,р(1) • • • р(*-1}) (» = 1... е3).
Наша система уравнений (1) по условию обладает свойством не
давать никаких новых соотношений между х, z,p(^ • • • p(s_1) при
однократном дифференцировании по х. Все соотношения между х, zyp^ • • • р^_1\
получающиеся в результате однократного дифференцирования системы (1),
должны, таким образом, являться следствием уравнений W\ = 0, • • • Wq =
= 0.
Очевидно, мы найдем все такие соотношения, если
продифференцируем (1) по каждой из п переменных х\ • • • хп, а затем уберем все
производные (s 4- 1)-го порядка и заменим все производные 5-го порядка их
значениями из (1).
Путем дифференцирования Wk = 0 и последующего исключения
производных 5-го порядка мы получим уравнения
dxv ^Piv dzi + ^Viv +
i=i --• i=i dp]
+ Is Pi* *% (e-2) 2s w (
i=i dp] ' i=i dp]
Г2) U др^
(к = 1 • • • q, v = 1 • • • n).
Согласно вышесказанному, эти уравнения являются следствием
уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0. Другими словами: система уравнений от
переменных х, z,pW • • • p(a_1) допускает следующие п инфинитезимальных
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 195
преобразований:
дхи
(|/= 1 ••• п),
dzi
f_
+
a/
i=l
(2)
o/w тле* же переменных (ср. гл. 7, стр. 122).
С другой стороны, если продифференцировать уравнения p\j
.(•-1) _
= Pi
по Хь, и затем исключить все производные 5-го порядка, то мы получим:
dxudxj
Pi
(s-i)
Из этих уравнений надо еще убрать все производные порядка 5 + 1. Легко
видеть, что при этом получаются лишь следующие соотношения:
ПЛРч) - fy(Piv) = 0 (u,j = 1 • • • п, г = 1 • • • e,-i),
(3)
которые также должны быть следствием уравнений W\ = 0, • • • Wq — 0.
Тем самым свойства системы (1), затребованные в начале главы,
сформулированы аналитически.
Предположим теперь, что нам дана некоторая система решений
z\ =4>\{х\ ••• хп), • • • zm = (fm(xi • • • хп)
дифференциальных уравнений (1). Дифференцируя ее, мы получим
... р(3-г\р(8\ представленные как функции от х\ • • • хп\
ft (s-l)
(1) (1)/ v (s-l) (s-l)/ \ (s-l)
«1 = Ч>\гЛ*\ • * ' ' * ' PLi = ^ * ' * xl =
(ik = 1,2-•• ek, i/ = 1 ••• n),
и если подставить эти выражения, а также выражения для z\ • • • zm в
уравнения (1), то мы, конечно же, получим только тождества. Отсюда следует,
что уравнения W\ = О, • • Wq = 0 при подстановке
*М = У>м(х1 ' ' ' Xn), pj^ = ^(Xi ' • ' хп), • ••pfc? = <Pi'~i4xl "'Xn) (4)
(/u = 1 ••• m, ifc = efc),
196
ГЛАВА 10
в свою очередь, тоже превращаются в тождества; это можно, очевидно,
выразить также следующим образом: система уравнений (4) включает в себя
уравнения W\ = 0, • • • Wq = 0.
Далее мы утверждаем, что система уравнений (4) допускает
вышеупомянутые инфинитезимальные преобразования Q\f • • • Qnf. Действительно,
сначала в силу (4) обращаются в нуль все выражения
ПЛ*и - <Ри)
. „(0) _ д^
dxv'
dxv '
поскольку уравнения (4) получены из zM — (рц = 0 дифференцированием
по х\ • • • хп. Но и выражения
также обращаются в нуль в силу (4), т. к. уравнения
выполняются тождественно, как уже было сказано выше, при подстановке
(1) (1) (s-1) (s-1) °Vis-i
Тем самым сформулированное выше утверждение доказано.
Теперь, наоборот, предположим, что задана система уравнений
вида (4), о которой мы не знаем ничего, кроме того, что она допускает
инфинитезимальные преобразования Q\f • • • Qnf и включает в себя уравнения
Wx = 0, • • • Wq = 0.
Очевидно, что все уравнения (4) получаются из уравнений zM = (f^
в результате дифференцирования по Х\ ••• хп. Кроме того, поскольку при
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 197
наложенных условиях уравнения
так же как и уравнения W\ = 0, • • Wq = О, являются следствием
системы (4), то система уравнений (1) выполняется тождественно, если произ-
вести подстановку (4), а затем положить p£~^ = ——. Таким образом,
уравнения zM = фц представляют собой систему решений
дифференциальных уравнений (1).
Отсюда мы видим: всякая система решений гм = (р^
дифференциальных уравнений (1) дает совершенно определенную систему уравнений
вида (4), допускающую инфинитезимальные преобразования Q\f---Qnf
и включающую в себя уравнения W\ = 0, • • • Wq = 0; и наоборот,
всякая система уравнений вида (4), обладающая вышеуказанными
свойствами, дает совершенно определенную систему решений дифференциальных
уравнений (1). Следовательно, задача нахождения всех систем решений
дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче нахождения всех
систем уравнений вида (4), допускающих инфинитезимальные
преобразования Q\f • • • Qnf, а также включающих в себя уравнения W\ = 0, • • • Wq =
= 0. Если известно самое общее решение одной из этих задач, то
одновременно получается и самое общее решение другой.
Эту новую задачу мы можем, однако, решить на основании
рассуждений из гл. 7, стр. 131.
Согласно утверждению 5, гл. 7, стр. 131, любая из искомых систем
уравнений вместе с ft\f • • • Qnf в то же время допускает все
инфинитезимальные преобразования вида Д,(fy(f)) — (ДД/)). В результате
вычисления получаем
i=i др\
поскольку выражения
одновременно обращаются в нуль, если k < s — 1. Но мы видели ранее, что
уравнения (3)
198
Глава 10
являются следствием уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0. Поэтому для систем
значений x,zypW • - • р^3~г\ удовлетворяющих системе уравнений W\ =
= 0, • • • Wq = 0, имеют место соотношения вида
п
г=1
где все функции равны нулю, а значит, заведомо ведут себя регулярно
для систем значений из W\ = 0, • • • Wq = 0.
Кроме того, необходимо подчеркнуть, что среди определителей
порядка п матрицы
10-0 pff • р(::2 Рп ■ Ре.-г1
0 0 1 р<°> ■ &Z% Pin ■ Ре..1П
один принимает значение 1 и потому не может обращаться в нуль ни для
одной из искомых систем.
Отсюда видно, что мы имеем дело со специальным случаем, решение
которого дано в гл. 7, теорема 19, стр. 147. С помощью этой теоремы мы
можем выписать вообще все системы уравнений, допускающие Cl\ f • • • Qnf
и включающие в себя уравнения W\ — 0, • • • Wq = 0. Не представляет
труда выделить те из них, которые могут принимать вид (4).
Из системы уравнений, допускающей инфинитезимальные
преобразования flif---(2nf, никогда нельзя получить соотношение только между
переменными х\ ••• хп. Это следует из приведенной теоремы и можно легко
увидеть непосредственно. Поэтому уравнения W\ — 0, • • • Wq = 0 можно
разрешить относительно q из ео + £\ Н Ь £3-\ величин zyp^ • • • р^а~^.
Если мы это сделаем, то получим q из ^2ек переменных z,p^ • • • р^а~г\
выраженными через ^вк — q остальных и через х\ ••• хп.
После такой подготовки мы можем построить укороченные
инфинитезимальные преобразования, о которых идет речь в теореме. Мы получим
их, если отбросим из Q\f • • • Qnf все члены с производными функции / по
q переменным, выбранным из z,p^ • • • а затем в оставшихся
членах заменим эти q переменных на их выражения как функции от ек — q
остальных переменных и от х.
Полученные таким образом п инфинитезимальных преобразований,
которые можно обозначить Q\f ' • • • Qnf, содержат п — q + J2£k
независимых переменных и, кроме того, согласно этой теореме находятся попарно
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 199
в соотношениях
llvijijtf)) - п3(ДЛЯ) = 0 з = 1 • • • п).
Следовательно, п независимых друг от друга уравнений = 0, • • finf =
= О образуют n-параметрическую полную систему с^£к~Я
независимыми решениями: щ, и2 • • • иу* . Если эти решения найдены, то можно
непосредственно задать все системы уравнений, допускающие инфините-
зимальные преобразования Q\f • • • Qnf и включающие в себя уравнения
W\ = 0, • • • Wq = 0. Общий вид подобной системы уравнений таков:
W\ = 0, • • Wq = 0 с произвольно добавленными соотношениями меж-
ду ^2 £к — Я решениями и.
Речь идет теперь не обо всех системах уравнений такого вида, а только
о тех, которые могут быть приведены к виду (4). Всякая система
уравнений с этим свойством содержит в точности ^2 Sk независимых решений,
и потому может принимать вид
Wi = 0, • • • Wq = 0, Hi = aU • • • U^£k-q = (5)
где а — константы. Но всякая система уравнений этого вида может быть
разрешена относительно Yl£k переменных z,pW • • • р^~г\ поскольку она
допускает инфинитезимальные преобразования Q\f ••• ftnf и поэтому не
может иметь в качестве следствия никаких соотношений, только между
х\ • • • хп. Если мы произведем такое разрешение, то получим систему
уравнений
Z/z = Z^(xi ••• хп>аиа2-'-),р!ь = П^\х\ ••• xn,ai,a2 • • •),
< ••• p[s~^ = nia-i(xi xn,a1,a2---) (5')
(/i = 1 • m, ik = 1 • • • efc),
удовлетворяющую всем поставленным условиям: она допускает
инфинитезимальные преобразования Q\f • • • /2П/, включает в себя уравнения W\ —
= 0, • • • Wq = 0 и имеет вид (4). Если мы теперь рассмотрим ^2sk — q
параметров а в качестве произвольных констант, то, очевидно, получим
самую общую систему уравнений с требуемым свойством.
Отсюда, согласно вышесказанному, следует, что уравнения
Zp = Z^(x\ • • • xn,ai,a2 • • •) (/i = i---m) (6)
представляют собой систему решений дифференциальных уравнений (1),
причем наиболее общую систему решений. Мы утверждаем, что в этой
200
Глава 10
системе решений все Y2£k ~ Я произвольных констант а являются
существенными.
Для доказательства нашего утверждения напомним, что уравнения (5')
могут быть получены из уравнений = ZM путем дифференцирования по
х\ • • • хп при условии, что р(г\р№ • • • снова рассматриваются как
производные z по х. Если бы ^2 £к — Я параметров а в уравнениях (6) не были
существенными, то число параметров можно было бы уменьшить за счет
введения подходящих функций от них. Но тем самым, согласно
вышесказанному, одновременно уменьшилось бы число параметров в уравнениях
(5'), что невозможно, поскольку уравнения (5') приводятся к виду (5),
откуда непосредственно следует, что все параметры а в (5') являются
существенными. Это противоречие, а значит, сделанное выше предположение
неверно, и все параметры а существенны также и в уравнениях (6).
Следовательно, мы можем сформулировать
Утверждение 1. Если система дифференциальных уравнений в
частных производных s-го порядка вида
^■•■^••■^5Г"£г"-т£)-0 <—•'■■■»
обладает тем свойством, что все производные функций z по х s-го
порядка могут быть выражены через производные более низкого порядка,
Z\ * *' zm ы х\ • • - хп, тогда как это условие справедливо не для всех
производных (s — \)-го порядка, и если, кроме того, эта система при
однократном дифференцировании по х дает лишь такие соотношения между
х\ • • • хп, z\ • • • zm и производными от первого до (s — 1)-го порядка,
которые следуют из самой системы, то общая система решений
Z» = <£>/i(£l * * * #п) (/* = 1 • • • m)
данной системы дифференциальных уравнений содержит лишь конечное
число произвольных констант. Это число равно sq 4- £i 4- • • • 4- £a-i — Q>
где Sk — число производных k-го порядка от z\ • - • zm по Х\ • • • хп, а q —
число независимых соотношений, которые дает данная система между
х\ • • • хп, z\ • • • zm и производными от первого до (s — \)-го порядка.
Общая система решений z^ = </?м находится при помощи интегрирования
п-параметрической полной системы от п — q 4 £о Н t-£5_i независимых
переменных.
При доказательстве предыдущего утверждения мы полагали, что
уравнения W\ = 0, • • • Wq — 0 разрешимы относительно q из величин
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 201
z,p^ • • • р(8~г\ Собственно, совершенно безразлично, относительно
каких из этих величин они разрешаются; но поскольку уравнения W\ =
= 0, • • • Wq = 0 являются дифференциальными, а р(г\р(2) • • • обозначают
производные, то целесообразно произвести данное разрешение некоторым
специальным способом, который мы теперь и разберем.
Сначала, исключая из уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0 все производные
р(1)р(2)... р(3-г)9 мы получим, скажем, независимых уравнений только
между х и г и можем поэтому представить щ величин z как функции от
Eq — щ — т — остальных и х.
Выражения для этих щ величин z подставим в уравнения W\ =
= 0, • • • Wq = 0, которые теперь сводятся к q — щ независимым друг от
друга. Затем устраним из этих q — щ уравнений все производные . •.
и получим таким образом, скажем, v\ друг от друга независимых
уравнений, при помощи которых мы можем выразить v\ из величин р^ через
е\ — v\ остальных, через во — щ величин z и через х\ • • • хп.
Если мы будем продолжать действовать описанным образом, то
система уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0 будет в конце концов разрешена
относительно I/* из £к производных р^к\ где под к понимается произвольное
из чисел 0,1,2 • • • s — 1. При этом каждый раз эти щ из величин р№
выражаются через вк — v\z остальных, через некоторые из производных более
низкого порядка р^-1) • •. р(г\р(°) и через х. Сумма щ + v\ Л +
разумеется, равна q. Наконец, можно показать, что vk всегда меньше, чем
Ек- Прежде всего, vs-\ заведомо меньше е3-\, т.к. мы предположили, что
не все производные (s — 1)-го порядка в нашей системе
дифференциальных уравнений можно выразить через производные более низкого порядка
и через х. Но если бы какое-либо другое число из vk равнялось то мы
имели бы
=Fi(x1,z,pW (i = i,2...efc);
а поскольку система уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0 допускает
инфинитезимальные преобразования ft\f • • • Qnf, то и все уравнения
p\kJ = Q^Fi) (t = l-..efc;i/=l...n)
должны были бы являться следствием уравнений W\ = 0, • • • Wq = 0, т. е.
мы имели бы Vk+\ = а также vk+2 = £fc+2,-*- = £«-ь что,
согласно вышесказанному, невозможно.
Разрешив уравнения W\ — 0, • • • Wq = 0, мы одновременно
совершенно определенным образом разрешаем также систему дифференциальных
уравнений (1), а именно: по vk из ек производных порядка к, где под к
понимается любое из чисел 0,1,2 • • • 5. При этом Vk всегда меньше лишь
202
Глава 10
vs равно es, и всякий раз vk производных к-го порядка выражаются через
остальные ек — Щ производных к-го порядка, производные более низкого
порядка и через х.
Если все числа ек и vk известны, то можно сразу определить
число произвольных констант в общей системе решений дифференциальных
уравнений (1). Согласно утверждению выше, это число равно
£о + е\ + • • • + es-i - q = (e0- щ) + (ei - i/i) + • • • 4- (es-i - iys-i)-
§48
Пусть теперь, наоборот, задана система уравнений вида
Z/x = Z^(xi • • • хп, а\ • • • аг) (ц = 1 • • • т), (7)
в которой Х\ • • • хп рассматриваются как независимые переменные,
а а\ - • • аг — как произвольные параметры. И пусть все г параметров
а\ • • • аг, число которых конечно, являются существенными.
Мы покажем, что существует система дифференциальных уравнений
в частных производных, не содержащая а\ • • • аг, самые общие решения
которой могут быть представлены как раз при помощи уравнений (7).
Дифференцируя уравнения (7) по х\ • • • хп, мы получим
последовательно уравнения вида
pt(1) = Z<(1)(si ---Хп,^ ..-ar) (t = i...ei), (7i)
pf] = Z(?\xl---xn,al---ar) (г = ь..£2) (72)
и так далее.
Тогда при помощи уравнений (7) можно выразить некоторое число,
например, /хо параметров а через г — /хо остальных, через х и z. Если взять
вместе уравнения (7) и (7i), то можно выразить /хо 4- Р\ из а через г — /хо —
— /xi остальных, через z и х. Если же вообще взять (7), (7i), • • • (7^),
то можно выразить /хо 4- /xi 4- • • • + /J>k из величин а через г — /хо — • • •
—/Х£ остальных и через р(*),р(*-1)... р(*), z и х. При этом /хо> A*i * * * —
совершенно определенные целые положительные числа.
Сумма /хо 4- /xi Н Ь /хь разумеется, не превосходит г; кроме того,
число /хо заведомо отлично от нуля, так как мы предполагаем г > 0.
Следовательно, должно иметься конечное целое число s ^ 1, такое, что все
/xo,/xi • • • /jLs-i отличны от нуля, а /х3 равно нулю. Если теперь из
уравнений (7), (7i) • • • (7^_i) определить соответствующие из величин а\ • • • аг
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 203
и подставить их значения в уравнения (7а), то получатся лишь уравнения,
не содержащие а\ • • • аг\ в противном случае, исходя из уравнений (7),
(7i) • • • (7S), можно было бы выразить более чем /хо + • • • + №з-1 из
величин а, т.е. мы имели бы р3 > 0, что неверно, согласно сказанному
выше.
Следовательно, мы получаем из уравнений (7), (7i) • • • (7S) в
результате исключения а\ • • • аг следующие уравнения:
во-первых, е3 уравнений, которые выражают все е3 производных
через р3-1) • • • р(г\ z, х и,
во-вторых, еще ео — ро + £\ — р\ Н Ь es-i — fa-i независимых
друг от друга соотношений между х, z, р^ • • • р^*~1\
Легко видеть, что найденная таким образом система
дифференциальных уравнений 5-го порядка обладает всеми свойствами, предписанными
дифференциальным уравнениям Fa(x, z, ^ • • •) = 0 в утверждении 1,
стр. 200.
В самом деле все es производных 5-го порядка являются функциями
от производных более низкого порядка и от х; однако для производных
(s — 1)-го порядка это неверно, т.к. вышеупомянутое число р8-\
отлично от нуля. Наконец, в результате дифференцирования по х и
комбинирования полученных уравнений возникают лишь такие соотношения
между х, z,pW • • • р^_1\ которые являются следствиями из рассмотренных
выше. Уравнения (7), (7i) ■ • • (7s_i) и те, что из них следуют, являются
единственными конечными соотношениями, посредством которых
связаны величины а\ • • • ar,x, z,p^ • • • р^-1^; поэтому если мы исключим а,
то получим единственные конечные соотношения, имеющие место между
х, z,p^ • • • р(8~г\ а именно: вышеупомянутые ео — ро Н Ь ea-\ — ps-\
соотношений.
Таким образом, к нашей системе дифференциальных уравнений
порядка 5 можно непосредственно применить уже упомянутое утверждение 1,
стр. 200. Определенные там числа щ равны ек — Рк, а число q в данном
случае имеет значение
£о — й) Н + £а-1 — Цз-1-
Следовательно, самая общая система решений наших дифференциальных
уравнений содержит в точности ро + р\ + • • • + ps-\ произвольных
констант. Так как, с другой стороны, уравнения (7) представляют собой
систему решений наших дифференциальных уравнений, причем систему с г
существенными параметрами а\ • • • аг, являющимися произвольными
константами, то число ро + Ь Рз-и которое меньше либо равно г, должно
204
Глава 10
равняться г в точности. Другими словами, система уравнений (7)
представляет собой самую общую систему решений наших дифференциальных
уравнений.
Тем самым мы имеем
Утверждение 2. Если z\ • • • zm — заданные функции от переменных
х\ • • • хп и конечного числа параметров а\ • • • аг:
= Z^(x\ • • • xn, а\ • • • ar) (/х = 1 • • • m),
то всегда существует интегрируемая система дифференциальных
уравнений в частных производных, которая задает z как функции от х, и
самые общие решения которой представлены в точности уравнениями z^ =
— Zn(x,a).
Если связать это утверждение с утверждением 1, стр. 200, то немедле-
но получим
Утверждение 3. Если интегрируемая система дифференциальных
уравнений в частных производных
dz\ d2z\
F<,(xi ... xn,zi zm, —••• -Щ'") = 0 (* = 1,2---)
такова, что ее самые общие решения зависят лишь от конечного
числа произвольных констант, то при помощи дифференцирований и
исключений ее всегда можно привести к виду, обладающему двумя
следующими свойствами: во-первых, все производные определенного порядка,
скажем s, выражены через производные более низкого порядка и через
z\ • zmixi • • • хп, тогда как в случае порядка (s — 1) это справедливо
заведомо не для всех производных. Во-вторых, в результате
однократного дифференцирования по х получаются лишь такие соотношения между
x,z и производными от первого до (s — 1)-го порядка, которые следуют из
уже имеющихся уравнений.
В рассуждениях настоящего параграфа кроме прочего предлагается
простой метод для ответа на вопрос, сколько из параметров а\ • • • аг
заданной системы уравнений
Z» = %ЛХ1 "' хп-> а1 ' ' ' аг) (д = 1 • • • т)
являются существенными.
Системы дифференциальных уравнений в частных производных 205
Чтобы ответить на этот вопрос, нам достаточно вычислить
определенные выше числа /хо,М1 • • • Дд-ь тогда их сумма /хо + Mi -f • • • -f
даст число существенных параметров из а\ • • • аг, поскольку уравнения
= Z^x, а) представляют собой самые общие решения системы
дифференциальных уравнений, которые, согласно вышеизложенному, содержат
в точности до Н h Ma-i существенных параметров.
Глава 11
Определяющие уравнения для
инфинитезимальных преобразований
группы
В главе 9 мы свели нахождение всех г-параметрических групп к
описанию всех систем, состоящих из г независимых инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xrf, удовлетворяющих соотношениям вида
г
XiXkf - XkXif = (XiXk) = CiksXgf
3=1
с некоторыми константами Ciks- Лишь позднее мы найдем средства для
исследования этой упрощенной задачи; временно нам придется ограничиться
тем, чтобы считать системы X\f • • Xrf такого типа заданными и
исследовать их свойства.
В настоящей главе мы первым делом применим рассуждения
предыдущей главы; из них мы заключим, что общее инфинитезимальное
преобразование
ег -Xxf + --- + er-Xrf
г-параметрической группы X\f • • Xrf может быть задано при помощи
некоторых линейных дифференциальных уравнений в частных
производных, которые мы назовем «определяющими уравнениями» группы. Отсюда
будут затем сделаны дальнейшие выводы1.
§49
Пусть даны г независимых инфинитезимальных преобразований
п df
Xkf = ^&г(я1 * ' " Xn)]fa. (* = 1 О,
i=l 1
!Ли, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том 3 и том 8, 1883 г.; Gesellschaft der
Wissenschaften zu Christiania (Научное общество Христиании), 1883 г., № 12.
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 207
порождающих г-параметрическую группу. Тогда общее
инфинитезимальное преобразование этой группы имеет вид
г=1 г=1 к=\
где ек — произвольные константы. Отсюда для & получаются выражения
г
6 = 5Zefc-Cw(x) (г = 1- п), (1)
к=\
в которых £ы{х) — заданные функции от х\ ••• хп.
Согласно утверждению 2 из предыдущей главы выписанные выше
выражения £i • • £п являются общей системой решений некоторой
системы дифференциальных уравнений в частных производных, не
содержащей произвольных констант е\ • • • ег. Чтобы составить эту систему, мы
поступим согласно указаниям из §48: продифференцируем уравнения (1)
по каждой из п переменных х\ • • • хп, полученные уравнения снова проди-
ференцируем по Х\ • • • хп и т. д. Если мы затем вычислим все производные
функций £ вплоть до определенного порядка, описанного подробнее в § 48,
и исключим из найденных уравнений произвольные константы е\ • • • ег,
то получим в результате искомую систему дифференциальных уравнений,
общими решениями которой как раз и являются выражения £i • • • £п-
Мы можем всегда устроить так, что все уравнения обсуждаемой
системы будут линейными и однородными относительно ^ и их производных;
из двух любых систем решений
€kv,€jv (i/=l---n)
этих дифференциальных уравнений можно всегда получить новую систему
решений ek£kv + Cj€ju с двумя произвольными константами ек и е^.
Система дифференциальных уравнений, определяющая £i • £п> имеет
в соответствии с этим следующий вид:
]Г AMI/(xi • • • хп) • + ]Г B^{xi •. • Xn)-Q^- + • • • = 0
V=l 1/,7Г = 1 П
(М=1,2,---)
где А, В ■ ■ ■ не содержат констант е\ ••• ет.
208
Глава 11
Эти дифференциальные уравнения мы для краткости назовем
определяющими уравнениями группы X\f - • • Xrf, поскольку они
полностью определяют совокупность всех инфинитезимальных преобразований
этой группы, а следовательно, и саму группу.
В этом месте можно сразу пояснить сказанное на паре примеров.
В общем инфинитезимальном преобразовании
дх\ дх2
шестипараметрической линейной группы
х\ = а\Х\ 4 а2#2 + аз>
х'2 = CL4X1 4- CL5X2 4 а>в
£1 и £2 имеют значения:
£1 = е\ 4 еч,х\ 4 езХг, £2 = 64 4 е$х\ 4 е^х^.
Отсюда получаются следующие определяющие уравнения группы:
дх\ дхгдх2 дх% '
^=0 -^. = 0 ^=0
дх\ ' дххдхг и' axi
Известная восьмипараметрическая группа
_ aiXi 4 02X2 4 аз , _ а±х\ 4 05X2 4 ав
Хо —
1 a-jX\ + agX2 4 1' 07X1 4 agX2 4 1
всех проективных преобразований плоскости послужит вторым примером.
Ее общее инфинитезимальное преобразование
£1 = ei 4 e2Xi 4 езХ2 4 e-jx\ 4 e8XiX2,
£2 = 64 4 еъХ\ 4 вбХ2 4 67X1X2 4 е%х\
задается четырьмя соотношениями между производными второго порядка
от £, а именно:
Ьх\ дххдх-г 0*2 дххдх* ' дх\ ' &г2
При последующем дифференцировании обнаруживается, что все частные
производные третьего порядка от £1 и £2 обращаются в нуль.
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 209
§50
Когда же, наоборот, система линейных однородных
дифференциальных уравнений
определяет общее инфинитезимальное преобразование некоторой конечной
непрерывной группы?
Первое условие, разумеется, состоит в том, что общие решения
£i • • • £п этой системы зависят только от конечного числа произвольных
констант. Пусть это условие выполнено. Тогда согласно утв. 3, стр. 204
предыдущей главы, такую систему всегда можно привести при помощи
дифференцирований и исключений к некоторому специальному виду. При
этом все производные высшего, скажем 5-го, порядка будут выражаться
через производные более низкого порядка и через х\ • • • хп, но для
производных (s — 1)-го порядка аналогичное свойство уже не всегда будет
справедливо. Кроме того, повторное дифференцирование по х не дает
никаких новых соотношений между х\ • • • xn, £i • • • £п и производными
порядка от 1 до (s — 1). Мы предполагаем, что система приняла такой вид,
и считаем, что она разрешена способом, изложенным на стр. 201; тогда
для к = 0,1 • • • s мы всякий раз получим определенное число, скажем vk
из ек производных fc-ro порядка от £, представленных как линейные
однородные функции остальных производных порядка к и некоторых порядка
(к — 1), • • • 1,0, с коэффициентами, зависящими лишь от xi • • • хп, причем
vs = es, но в остальных случаях vk всегда меньше, чем ек.
Как показано в предыдущей главе, стр. 202, общая система решений
£i * * * £п наших дифференциальных уравнений содержит при наложенных
условиях в точности
произвольных констант; эта общая система решений выводится из г
частных систем решений £н • • • £Гг при помощи г констант интегрирования
е\ • • • ег следующих образом:
u=\ 1/,7Г = 1
(so - щ) + (ei - i/i) + • • • + {es-i - ^s-i) = г
г
к=1
210
Глава 11
только эти частные системы решений должны при этом быть таковы,
чтобы г выражений
1=1 1 1=1
представляли столько же независимых инфинитезимальных
преобразований.
Если теперь £i- h • 4- общее инфинитезимальное пре-
ОХ 1 ОХ п
образование r-параметрической группы, то по теореме 24, стр. 176, одно
и то же условие является и необходимым, и достаточным, а именно: если
£н • * * €kn и £ji • • • £jn — частные системы решений, то выражения
тоже должны всегда представлять собой систему решений. Таким образом,
мы имеем теорему.
Теорема 28. Если функции £i • • • £п от х\ ••• хп задаются при
помощи линейных однородных дифференциальных уравнений в частных
производных
п n pic
5]у*)^+ в^(х)^ + --- = о (M=i,2••■),
1/=1 1МГ=1 "
то выражение £i Н Ь £п представляет общее инфинитезималь-
ОХ 1 С«С п.
ное преобразование конечной непрерывной группы тогда и только тогда,
когда, во-первых, общая система решений этих дифференциальных
уравнений зависит лишь от конечного числа произвольных констант, и, во-
вторых, из каждых двух частных систем решений, £fci • • • £fcn w £ji • • • £jn>
при помощи образования п выражений
' дхи jl/ дх
всегда получается новая система решений.
Если £i Н Ь £п-^ действительно общее инфинитезимальное
ОХ\ ОХп
преобразование конечной группы, то вышеупомянутые дифференциальные
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 211
уравнения естественным образом являются определяющими уравнениями
этой группы.
Если заданы определяющие уравнения конечной группы, то
упомянутые выше числа щ, v\ • • • vs-\ можно найти при помощи
дифференцирований и исключений; число
r = (e0- vq) + (ei - vi) + h (ea-i - v3-i)
указывает тогда, сколько параметров содержит группа. Так, в первом из
двух предыдущих примеров
5 = 2, щ = О, ui= О, е0 = 2, Е\ = 4,
таким образом, г = 6. Во втором примере
5 = 3, щ = 0, i/i = 0, и2 =4, е0 = 2, е\ =4, е2 = 6,
следовательно, г = 8.
§51
Пусть теперь снова
п df
Xkf = ^2Ы(хг • * * Xn)faT. (fc = l • О
суть независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы. Будем считать, что определяющие уравнения этой группы
известны и приведены к указанному выше виду, т.е. разрешены по каждой из
Vk из вк производных к-го порядка функций £ (к = 0,1 • • • s); при этом,
как уже было сказано выше, ик всегда строго меньше ек, за исключением
случая к = 5, где vs = es.
Коэффициенты в разрешенных определяющих уравнениях будут,
очевидно, рациональными функциями от £ и их производных от первого до
5-го порядка. Поскольку мы теперь (ср. стр. 190) в основном
ограничиваемся такими системами значений х\ • • • жп, для которых все £^ ведут себя
регулярно, то упомянутые коэффициенты для систем значений х\ • • • хп,
подлежащих рассмотрению, также будут в общем случае вести себя
регулярно, но, очевидно, только в общем случае: вполне возможно, что имеются
точки х\ • • • хп, в которых все £&г> но не все коэффициенты разрешенных
212
Глава 11
дифференциальных уравнений ведут себя регулярно. На это отличие
между разными точками х\ • • • хп надо будет в последующем всегда обращать
внимание.
Пусть х? • • • х„ — точка, для которой все коэффициенты в
разрешенных определяющих уравнениях ведут себя регулярно; тогда £i • • • £п в
некоторой окрестности ж§ • • • будут обычными степенными рядами от хк —
хк-
п п
6 = 9i + Yl sL(x* -xl)+Y, йЛ^и - *1){х« ~ х%) + • • • ,
1/=1 1/,7Г=1
причем предполагается, что члены одного и того же порядка всегда
объединены вместе. Коэффициенты g°,g' • • • должны при этом быть заданы так,
чтобы данные дифференциальные уравнения при подстановке разложений
в ряд вместо £i • • • £п тождественно выполнялись.
Если мы вспомним, что наша группа г-параметрическая, то мы сразу
увидим, что в целом г коэффициентов из g°,gf • • • остаются
неопределенными, т.е. что некоторые из начальных значений, которые принимают £
и их производные для точки х\ = х?, * * * хп = хп> могут выбираться
произвольно. Так как наши дифференциальные уравнения показывают, что все
производные порядка s и выше можно выразить через х\ • • • хп и
производные от нулевого до (s — 1)-го порядка, то среди начальных значений
до,д', д" * должно иметься г таких, которые можно выбрать
произвольно, или, что то же самое: вышеупомянутые начальные значения во +
+ еН \-£3-i должны быть связаны некоторыми ^ £к — г независимыми
соотношениями. Эти соотношения мы сейчас рассмотрим.
Наша система дифференциальных уравнений дает все соотношения,
имеющие место при произвольных х между £ и их производными от
первого до (s — 1)-го порядка. Поэтому если мы произведем в наших
дифференциальных уравнениях подстановку х* = х9, то получим некоторые
соотношения, которыми связаны начальные значения д°,д' ••• д^8~^.
Таким образом, получаются щ линейных однородных соотношений между д,
далее — v\ соотношений между д' и некоторыми из д°, и вообще ик
соотношений между д№ и некоторыми из д^к~1^ • • • д',до. Эти соотношения
разрешены относительно щ величин из д°, v\ — из д' и так далее, т.е.
в целом мы получаем Y^uk — ]С£к — г независимых соотношений.
Поскольку, согласно вышесказанному, между д°, д' • • - g^a~l>} имеется не более
чем ^2 £к — Т независимых соотношений, то мы тем самым нашли все
соотношения, которыми связаны эти ]Г] £к начальных значений; в то же время
мы получаем щ + Ь v8-\ величин из д° • • • </(s-1\ представленных как
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 213
линейные однородные функции от остальных J2(£k — vk) = г, остающихся
совершенно произвольными.
Мы используем предыдущие замечания, чтобы сделать из них
некоторые важные выводы о свойствах частных систем решений наших
дифференциальных уравнений.
Прежде всего, можно доказать, что не существует ни одной частной
системы решений £i • • • £п, разложения в ряд которой по степеням х* — х?
начинаются с членов порядка s или выше. В разложениях в ряд такой
системы решений все коэффициенты g°,g' • • • д^3~г^ были бы равны нулю,
следовательно, все д(а\д(а*1) • • • также должны были бы обратиться в нуль, и
система решений свелась бы тем самым к & = 0, • • • £п = 0. Эта система
решений, конечно, удовлетворяет заданным дифференциальным
уравнениям, однако не дает нам никаких инфинитезимальных преобразований нашей
группы, а потому является бесполезной.
Зато имеется целый ряд частных систем решений £i • • • £п, разложения
в ряд которых начинаются с членов порядка ниже, чем s, скажем порядка
к. Все коэффициенты д' • • • д^к~г^ можно выбрать равными нулю; тогда
все соотношения, имеющиеся между ними, удовлетворяются, и остаются
лишь vk соотношений между д^к\ vk+i соотношений между д(к+г) и
некоторыми д(к\---, наконец, vs-\ соотношений между д(к+1> и некоторыми
д(3~2\ • • • д(к\ Итак, можно произвольно выбрать в целом еще (ек — vk) +
Н \-{ss-\—us-i) из констант д№ • • • </s-1\ и если эти константы таковы,
что не все ек величин д^ обращаются в нуль, то всегда получается частная
система решений £i • • • £п, разложения в ряд которой по х* — х^ содержат
члены порядка к, но не ниже.
Если £i • • • £п — частная система решений наших дифференциальных
уравнений, то инфинитезимальное преобразование
дх\ дхп
принадлежит нашей группе. Таким образом, из вышесказанного следует,
что эта группа всегда содержит инфинитезимальные преобразования, для
которых разложения в ряд начинаются с членов fc-ro порядка, если к — одно
из чисел ОД, 2 • • • s — 1. Напротив, в группе нет инфинитезимальных
преобразований, для которых разложения в ряд по х* — х? начинаются с членов
порядка 5 или выше. Все это доказано, разумеется, лишь при условии, что
коэффициенты разрешенных определяющих уравнений ведут себя в точке
xi "' хп регулярно.
214
Глава 11
Чтобы попытаться хоть в какой-то мере сократить формулировки, мы
далее будем говорить: инфинитезимальное преобразование имеет порядок
к относительно Xi — х®, если его разложение в ряд по х\ — х\ начинается
с членов к-го порядка. Тогда мы можем сформулировать вышеупомянутый
результат следующим образом.
Если х\ • • • х„ — точка, в которой коэффициенты в разрешенных
определяющих уравнениях группы X\f • • • Xrf ведут себя регулярно, то эта
группа содержит некоторые инфинитезимальные преобразования
нулевого порядка, некоторые — первого и, вообще, некоторые — fc-ro порядка по
Xi — х® (к — любое из чисел 0,1 • • • 5 — 1), но не содержит никаких
инфинитезимальных преобразований s-ro или более высокого порядка по Xi — х®.
Ясно, что два инфинитезимальных преобразования различного
порядка по Xi — х® всегда друг от друга независимы. Вообще при выяснении
вопроса о том, являются ли заданные инфинитезимальные преобразования
независимыми друг от друга, рассмотрение членов самого низкого порядка
при их разложении в ряд часто уже является решающим; а именно:
если члены самого низкого порядка, взятые сами по себе, задают
независимые инфинитезимальные преобразования, то и данные инфинитезимальные
преобразования будут независимыми друг от друга.
Общее выражение инфинитезимального преобразования к-ro порядка
по Xi — х®9 принадлежащего нашей группе, содержит, как мы знаем, (ек —
— "к) 4- • • • 4- (ёэ-i — v9-\) = дк произвольных и существенных констант,
а именно: ек — vk произвольно выбираемых среди д(к\ ек+\ — ^fc+i
произвольных из и так далее; при этом произвольность этих ек — vk
величин д№ ограничена тем, что не все д№ могут одновременно обращаться
в нуль. Отсюда следует, что хоть и можно задать дк независимых
инфинитезимальных преобразований нашей группы к-го порядка по Xi —х®, однако
легко видеть, что из этих дк инфинитезимальных преобразований в целом
можно линейно получить дк+\ независимых, имеющих порядок (А; 4- 1)
или выше по Xi — х®. Общее выражение инфинитезимального
преобразования, получаемого линейно из этих дк независимых, содержит в точности те
же произвольные константы, что и общее выражение инфинитезимального
преобразования порядка к по Xi — х®, с той лишь разницей, что в
первом выражении все ек — vk имеющихся в распоряжении д№ можно сразу
положить равными нулю, причем всегда получается инфинитезимальное
преобразование порядка (к 4 1) или выше. Следовательно, среди этих дк
инфинитезимальных преобразований к-го порядка имеется только дк+\ —
— Qk = £k — vk независимых друг от друга, из которых нельзя линейно
получить ни одного инфинитезимального преобразования порядка (к 4 1)
или выше по Xi — х®.
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 215
Обобщим полученные до сих пор результаты в следующей теореме.
Теорема 29. Любой г-параметрической группе X\f • • • Xrf от п
переменных Х\ - • • хп соответствует целое число s ^ 1 такое, что группа
в окрестности любой точки х®, для которой коэффициенты в
разрешенных определяющих уравнениях ведут себя регулярно, содержит некоторые
инфинитезимальные преобразования нулевого, первого, • • • (s — 1)-го
порядка от Xi — х®, но не содержит преобразований порядка s или выше.
В частности, можно всегда выбрать г таких независимых
инфинитезимальных преобразований группы, что среди них для каждого из s значений
О,1 • • • s — 1 числа к имеется в точности ек — ъ>к таких независимых друг
от друга преобразований k-го порядка по Xi—x®, из которых нельзя
линейно получить никакого инфинитезимального преобразования порядка (fc-f 1)
или выше. При этом число vk может быть найдено из определяющих урав-
нений общего инфинитезимального преобразования £i ^ h • • • 4- £п
ОХ 1 ОХп
этой группы, а ек, которое всегда больше, чем vk, обозначает число всех
производных k-го порядка от £i • • • £п по х\ • • • хп.
Пример. Уравнения
д% д% д% д^2 д^2 д^2
дх\ дххдх2 дх\ дх\ дхгдх2 дх\
= 0
мы уже ранее упоминали как определяющие уравнения шестипараметриче-
ской линейной группы.
х\ = а\Х\ 4 CL2X2 4- аз, х'2 = сцх\ -I- 0,5X2 4- а>б-
Эти определяющие уравнения записаны уже в разрешенной форме; все
встречающиеся там коэффициенты равны нулю, т. е. ведут себя регулярно.
Из инфинитезимальных преобразований этой группы мы можем выбрать
следующие шесть друг от друга независимых:
первые два из них — нулевого, четыре последних — первого порядка по
Xi Х4 •
При вычислениях с инфинитезимальными преобразованиями важную
роль играют выражения вида
X(Y(f))-Y(X(f)) = (XY).
216
Глава 11
Поэтому если Xf и Yf разложены в окрестности точки по степеням
Xi — х®9 то возникает вопрос, как ведет себя преобразование (XY) в этой
точке.
Пусть разложение в ряд для Xf начинается с членов порядка /л, а для
Y f — с членов порядка и, т. е. пусть
*/-£«?*+■•■>& г/=£>г+...)-|,
к=1 j=l J
где £^ и — однородные функции порядка р и v от Xi — х^
соответственно, тогда как члены более высокого порядка по Xi — х® опущены.
Разложение в ряд для (XY) при таких условиях, с учетом членов лишь
самого низкого порядка будет следующим:
Таким образом, члены самого низкого порядка для (XY) имеют порядок
р + v — 1 и происходят исключительно от членов порядка р и v в Xf и Yf
соответственно.
Теорема 30. Если Xf и Yf — два инфинитезимальных
преобразования, разложения в ряд которых по степеням х\ — х?, • • • хп — х„
начинаются с членов порядка puv соответственно, то разложение в ряд для
инфинитезимального преобразования XYf—YXf = (XY) начинается с членов
порядка (/л + v — 1), которые полностью определяются членами порядка
р и v в Xf и Yf соответственно. Если эти члены порядка (/л + v — 1)
обращаются в нуль, то о разложении в ряд преобразования (XY) можно
сказать только, что оно начинается с членов порядка (/л 4- v) или выше.
Если оба числа /л и v больше единицы, то число p,+v — l будет больше
любого из них. Это наблюдение часто бывает очень полезным при
вычислениях с инфинитезимальными преобразованиями различного порядка.
При выводе теоремы 30 отнюдь не предполагается, что оба
инфинитезимальных преобразования Xf и Yf принадлежат одной группе;
единственное условие — что как Xf, так и Yf можно разложить в ряд по
степеням Xk — х\.
§52
Пусть определяющие уравнения r-параметрической группы заданы
в ранее указанном виде, т. е. разрешены относительно vk из ек производных
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 217
порядка к от £i • • • £п. Кроме того, пусть х® — точка, в которой
коэффициенты разрешенных определяющих уравнений ведут себя регулярно.
При этих условиях мы можем разложить инфинитезимальные
преобразования нашей группы в обычные степенные ряды по х* — х?. Мы даже
знаем, что наша группа содержит совершенно определенное число
независимых инфинитезимальных преобразований, а именно ео — которые
имеют нулевой порядок по Xi — и из которых нельзя линейно получить
никаких инфинитезимальных преобразований первого или более
высокого порядка; кроме того, группа содержит совершенно определенное число,
а именно е\ — v\, таких независимых инфинитезимальных преобразований
первого порядка по х\ — х°, из которых нельзя линейно получить
инфинитезимальные преобразования второго или более высокого порядка и т. д.
Короче говоря, наша группа каждой точке с заданным свойством
ставит в соответствие последовательность из s целых чисел ео — Щ9 S\ —
— v\,.. .e3-i — ^s-i, и эти целые числа для всех таких точек одни и те
же.
Могут существовать также точки х\ особого положения, т.е. такие,
в окрестности которых коэффициенты разрешенных определяющих
уравнений уже не ведут себя регулярно, в то время как все инфинитезимальные
преобразования группы, напротив, разлагаются в обычные степенные ряды
по Xi — Х{. Если Xi.. .хп — это некоторая точка такого рода, то в нашей
группе, разумеется, имеется совершенно определенное число таких
инфинитезимальных преобразований нулевого порядка по х\ — х*, из которых
нельзя линейно получить инфинитезимальные преобразования более
высокого порядка и т. д.
Следовательно, наша группа ставит в соответствие каждой точке
особого положения определенную — очевидно, конечную —
последовательность чисел. Часто двум различным точкам особого положения
соответствуют две различные последовательности целых чисел.
Лучше всего пояснить это на примере.
df 2 Of
Определяющие уравнения двухпараметрическои группы ^Г>х2^г
в разрешенном виде таковы:
6 = 0, ^. = ^ = ^=0,
9xi 9xi дх2
дх\ дх!дх2 ' дх\ х2 дх2'
дх\ дххдх2' дх\
218
глава 11
Имеющиеся здесь коэффициенты ведут себя для всех точек х\, х2, лежащих
в конечной области, регулярно за исключением точек прямой х2 = 0.
Рассмотрим сначала точку ж§, х2 с х2, отличным от нуля. Мы имеем
s = 2, кроме того, е$ = 2, е\ = 4, v§ = 1, v\ = 3, то есть точке х°,х2
соответствуют числа 1,1. Все инфинитезимальные преобразования группы
можно линейно получить из двух преобразований:
первое из которых имеет по Xi — х\ нулевой, а второе — первый порядок.
Иначе обстоит дело в точке Х\,х2 — 0.
Ей группа ставит в соответствие три числа 1,0, 1, т. к. среди ее
инфинитезимальных преобразований нет ни одного порядка 1 по хг — хг, но есть
2 df
одно второго, т. е. s-ro порядка, а именно: xi-^—.
Если х 1 • • • х^ — точка, для которой коэффициенты разрешенных
определяющих уравнений ведут себя регулярно, то группа согласно теореме 29
обязательно содержит инфинитезимальные преобразования нулевого,
первого, • • , (s — 1)-го порядка по хг — х°, но не содержит инфинитезимальных
преобразований порядка s или выше. Только что рассмотренный нами
пример показывает, что для точки хг, в которой упомянутые коэффициенты не
все ведут себя регулярно, подобное общее утверждение уже не верно:
группа вполне может содержать инфинитезимальные преобразования порядка s
по Xi — х°, возможно, даже более высокого; с другой стороны, может
случиться, что для отдельных чисел к < s группа не содержит вообще никаких
инфинитезимальных преобразований порядка к по хг — х°.
Если х® • - • хп обозначает произвольную точку, в которой все £ ведут
себя регулярно, то инфинитезимальные преобразования нашей группы, как
уже было сказано, можно классифицировать согласно их порядку по хг —
— х£. Очень важно, чтобы эта классификация оставалась верной, если
вместо х ввести новые переменные у\ • • • уп. Само собой разумеется, такая
замена переменных должна обладать в окрестности х? • • • х° следующими
свойствами: во-первых, у\ ••• уп должны быть обычными степенными
рядами от хг - х°:
Ук
= Vk + 'E*ki(xi;-*?) + (* = l ■■•»»), (2)
и, во-вторых, х\ • • • хп должны также представляться как обычные
степенные ряды от ук — причем такие, что каждая функция хг при у\ =
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 219
= Vi ? * * * Уп = Уп принимает значение х®. Если первое из этих требований
выполнено, то второе, как известно, имеет место всегда, когда
определитель ]Г =Ьац • • • апп отличен от нуля.
Чтобы теперь доказать, что упомянутая классификация при переходе
к переменным у\ • • • уп остается верной, нам надо лишь проверить, что
всякое инфинитезимальное преобразование порядка р, по Xi — х® при
введении новых переменных у превращается в инфинитезимальное
преобразование порядка р по yk — 2/2- Но это несложно.
Общий вид инфинитезимального преобразования порядка /л по х\ — х\
таков: п
j = l
где • • • ffl — целые рациональные функции от Xi - х?, • • • хп - х„,
которые однородны2, имеют порядок р и не все одновременно обращаются
в нуль; члены порядка (// + 1) и выше опущены.
При переходе к у\ упмы получаем
п
xf=Y2*yk
к=1
дун
здесь Xyk — обычные степенные ряды по х\ — х\\
п
XVk = Y,ak*$') + ~m'
J=l
начинающиеся с членов порядка р. Эти члены не обращаются
одновременно в нуль, т. к. иначе мы имели бы
п
$^afcj£JM)=0 (* = l...n),
что невозможно, так как определитель ^=Ьац • • • апп отличен от нуля,
а £^ • • • не обращаются одновременно в нуль. Если мы теперь
выразим Xi через у\ в Ху\ • • • ХуП9 то получим п обычных степенных рядов от
у г —У®- Эти степенные ряды также начинаются с членов порядка р, которые
не обращаются одновременно в нуль. Соответствующие члены порядка р
получаются, если заменить х на у в п выражениях
2Имеются в виду однородные многочлены степени /х. — Прим. ред.
220
Глава 11
в силу уравнений
п
Ук = Ук + aki^Xi = п).
г=1
Но так как заданные п выражений не обращаются одновременно в нуль, то
и после введения у этого не произойдет.
Следовательно, инфинитезимальное преобразование Xf при введении
у переходит в инфинитезимальное преобразование, имеющее по yi — у®
порядок р. Это и требовалось доказать.
Итак, мы имеем
Утверждение 1. Если ввести в инфинитезимальное преобразование
Xf, имеющее по х* — х?, • • • хп—х„ порядок р, новые переменные у\ • • • уп:
п п
Ук = Ук + Ylaki^Xi ~ х°) + ^2 a>kij(xi ~ a%){xj - x0j) + • • •
г=1 i,j=l
(к = 1 ..-n),
и если при этом определитель ^ ±ац • • • апп отличен от нуля, то Xf
переходит в инфинитезимальное преобразование порядка pnoyi—y^--- уп—
-У°п-
Отсюда непосредственно следует несколько более специальное
Утверждение 2. Если r-параметрическая группа в окрестности точ-
ки х\ • • • х^ содержит в точности тд таких независимых
инфинитезимальных преобразований, из которых нельзя линейно получить ни одного
преобразования более высокого порядка, и если в этой группе введены
новые переменные
п
Ук = Ук + Ylaki(Xi " Х^ + ' ' * (* = !••• п),
г=1
причем определитель ]П ±ац • • • апп отличен от нуля, то полученная в
результате новая группа, в свою очередь, содержит в окрестности точки
у% в точности тм таких независимых инфинитезимальных
преобразований порядка р по ук — из которых нельзя линейно получить ни одного
инфинитезимального преобразования более высокого порядка.
Таким образом: последовательность целых чисел, которую исходная
группа ставит в соответствие точке х? • • • х^, совпадает с
последовательностью целых чисел, которую новая группа ставит в соответствие точке
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 221
§53
Если определяющие уравнения г-параметрической группы известны,
и если эти уравнения разрешены вышеупомянутым образом, то можно,
как мы видели, непосредственно задать определенные выше числа Sk — Vk-
Следовательно, для каждой точки х\ • • • х^, в которой коэффициенты этих
разрешенных определяющих уравнений ведут себя регулярно,
одновременно известно число всех независимых инфинитезимальных преобразований
группы, которые имеют порядок к по х\ — х? и при этом обладают
свойством, что из них нельзя линейно получить никакого инфинитезимального
преобразования порядка к + 1 или выше.
Можно, конечно, вычислить соответствующие числа и для таких точек
х\ ••• х^, в которых коэффициенты разрешенных определяющих
уравнений не все ведут себя регулярно. Для этого достаточно знать
определяющие уравнения, но гораздо удобнее, если какие-либо г независимых»инфи-
нитезимальных преобразований X\f - • • Xrf уже заданы, что мы и будем
в дальнейшем предполагать. В этом случае процедура состоит в
следующем.
Прежде всего следует определить, сколько независимых
инфинитезимальных преобразований порядка к и выше по х* — х? содержит группа.
Для этого надо разложить общее инфинитезимальное преобразование
eiXi/ + -.- + erXr/
по степеням х\ — х°, а затем в п выражениях:
Н h er£ri (i = l ••• n),
положить равными нулю все коэффициенты при членах порядка 0,1, ■ • • (к—
— 1). Таким образом мы получим некоторое число линейных однородных
уравнений между е\ • • • ег; сколько среди этих уравнений независимых,
можно легко определить путем вычисления некоторых определителей;
если получается, что число независимых уравнений равно г — с^, то отсюда
следует, что эта группа содержит в точности иок независимых
инфинитезимальных преобразований порядка к или выше по х\ — х?. Очевидно, что
тогда uik — — число независимых инфинитезимальных
преобразований порядка fc, из которых нельзя линейно получить преобразований более
высокого порядка.
Вряд ли нужно упоминать, что вышеупомянутые операции остаются
применимы к любой точке х\ • • • х°, для которой коэффициенты
разрешенных определяющих уравнений ведут себя регулярно.
222
Глава 11
Немного подробнее мы хотим остановиться на тех инфинитезималь-
ных преобразованиях 53 ej * ^jf группы X\f - • • Xrf, разложения в ряд
которых по Xi — х® содержат члены только первого и более высокого
порядка, но не нулевого. Сначала выясним, сколько имеется таких
независимых инфинитезимальных преобразований, а затем покажем, как их
простым образом выписать. Под х® • • • х„ мы при этом понимаем совершенно
произвольную, но фиксированную точку.
Подлежащие обсуждению инфинитезимальные преобразования,
очевидно, характеризуются тем, что они сами, а также порожденная ими
однопараметрическая группа оставляют неподвижной точку Xi — х® (ср. гл. 7,
стр. 148), или (что то же самое) что среди инфинитезимальных
преобразований ej ' Xjf они единственные не ставят точке Xi — х® в соответствие
никакого направления.
Аналитически самое общее преобразование Ylej ' Xjf с таким
свойством задается уравнениями
•••*n) + -'- + er-£ri(x? •••Ж°)=0 (i=l-..n).
Если в матрице
6п(х°)
£г„(*°)
О)
все определители порядка h 4-1, но не все порядка h обращаются в нуль,
то h из величин е\ • • • ег можно представить как линейные однородные
функции остальных г — /i, которые остаются совершенно произвольными.
Согласно этому мы получаем следующий простой, но важный результат.
Утверждение 3. Если в матрице
' ' fin (*)
£г\{х) • • £гп(х)
для х\ = х\, • • • хп = х„ все определители порядка ft 4 1, «о не все
определители порядка h обращаются в нуль, то г-параметрическая группа
df
дьцх-1 • • • хп)
2=1
Xkf = ^2ы(хг - " хп)
dxi
(к:
г)
содержит в точности г — h независимых преобразований, которые,
будучи разложены по степеням х\ — х°, • • • хп — х°, не содержат членов
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 223
нулевого порядка, другими словами, которые оставляют точку х\ • • • х„
неподвижной.
Вместе с тем из сказанного следует
Утверждение 4. Если все определители порядка h+l матрицы
положить равными нулю, то полученные уравнения определяют
местоположение всех точек х\ • • • хп, допускающих по меньшей мере г — h
независимых инфинитезимальных преобразований группы X\f • • • Xrf; те из
найденных точек, в которых не все определители порядка h нашей
матрицы обращаются в нуль, допускают в точности г — h независимых
инфинитезимальных преобразований группы.
Ранее (стр.150) мы уже отмечали, что инфинитезимальные
преобразования X\f • • Xrf ставят в соответствие точке х\ • • • хп ровно h
независимых направлений, если все определители порядка h + 1 матрицы (3)
обращаются в нуль, в то время как определители порядка /г-не все.
Отсюда мы видим, что полученные результаты можно выразить следующим
образом:
Утверждение 5. Если т-параметрическая группа X\f ••• Xrf
пространства х\ • • • хп содержит ровно г — h независимых
инфинитезимальных преобразований, которые оставляют некоторую точку х\ • • • х°
неподвижной, то инфинитезимальные преобразования группы ставят в
соответствие этой точке в точности h независимых направлений.
Теперь сделаем следующий шаг: приступим к явному описанию всех
инфинитезимальных преобразований Ylej ' Xjf, которые оставляют
неподвижной определенную точку х? • • • х^.
Мы полагаем, что все определители порядка h + 1, но не все
определители порядка h матрицы (3) обращаются в нуль, и что, в частности,
в меньшей матрице
6п(*°)
не все определители порядка h равны нулю.
224
Глава 11
При этих условиях, очевидно, не существует инфинитезимальных
преобразований вида e\-X\f-\ Кед -Xhf, оставляющих неподвижной точку
х1 " ' хп» и наоборот, для г — h инфинитезимальных преобразований
Xh+kf + Afci • x\f Л h \kh • Xhf (к = l • • • г - h)
это выполняется, если выбрать подходящим образом константы А, что,
очевидно, возможно только единственным образом. Тем самым найдены г — h
независимых инфинитезимальных преобразований, разложения в ряд
которых не содержат членов нулевого порядка; из этих г — h, разумеется,
можно линейно получить любое другое преобразование такого же
свойства. Отсюда следует, что среди инфинитезимальных преобразований
нашей группы, которые имеют нулевой порядок по Xi — х£, имеется лишь h
независимых, из которых нельзя линейно получить никаких
преобразований первого или более высокого порядка; очевидно, что таким свойством
обладают X\f • • • Xhf преобразований нулевого порядка; поэтому они
ставят в соответствие точке х\ • • • х^ в точности h независимых направлений.
Тем самым мы имеем
Утверждение 6. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований
Xkf = ^2Ы(Х1 xn)-fa. (к = 1- --г)
i=i 1
г-параметрической группы пространства х\ • • • хп таковы, что при х\ =
= х5, • • • хп = х£ все определители порядка h + I, но не все
определители порядка h матрицы
обращаются в нуль, и если, в частности, не все определители порядка h
матрицы
Ы(х) • • €нп(х)
равны нулю в точке х* = х®, то все инфинитезимальные преобразования
е\ -Xif + --- + eh-Xhf
Определяющие уравнения для инфинитезимальных преобразований 225
имеют нулевой порядок по Xi — х® и ставят точке х\ • • • х„ в
соответствие ровно h независимых направлений. Кроме того, всегда можно, и
притом единственным образом, выбрать h(r — К) констант Xkj так, чтобы
в г — h независимых инфинитезимальных преобразованиях
Xh+kf + Ли • Xi f + • • • + Xkh • Xhf (k = l • r - h)
отсутствовали все члены нулевого порядка по х\ — х\; из этих r — h
инфинитезимальных преобразований можно тогда линейно получить все
инфинитезимальные преобразования группы X\f - • • Xrf первого порядка или
выше по Xi — х®.
Для последующего полезно сформулировать это утверждение в
несколько более специальном виде.
Предположим, что все определители порядка q + 1 матрицы
Ы(х)
6п(ж)
£гп(х)
(4)
обращаются в нуль тождественно, но что это верно не для всех
определителей порядка q и что, в частности, не все определители порядка q
матрицы
6п(х)
(5)
тождественно равны нулю.
При этих условиях нельзя задать q не равных одновременно нулю
функций Xi(x) * * 'Xq(x)> которые тождественно обращали бы в нуль
выражение Xi(x) ' X\f + h Хя(х) ' Xqf. Напротив, можно задать q(r — q)
функций (fjk {x) таких, что г — q уравнений
Xq+jf = хп) • Xif +
+ <Pjq(xl xn)'Xqf
(j = 1 ... r - q)
выполняются тождественно; каждое ipjk будет при этом равно дроби,
числителем которой является некоторый определитель порядка q матрицы (4),
а знаменателем — не обращающийся в нуль определитель матрицы (5) (ср.
похожие рассуждения в гл. 7, стр. 135).
Пусть теперь х\ • • • х„ — точка общего положения, точнее говоря,
точка, в которой не все определители порядка q матрицы (5) обращаются
226
Глава 11
в нуль. Тогда выражения <pjk(x°) являются некоторыми конечными
константами, и при этом г — q инфинитезимальных преобразований
Xq+jf ~ <Pjl(x°) ' XXf <Pjq(x°) ' Xqf (j = 1 • • • Г - q)
принадлежат нашей группе. Эти инфинитезимальные преобразования,
очевидно, не зависят друг от друга и, кроме того, обладают тем свойством,
что в их разложениях по хг- — х® отсутствуют все члены нулевого
порядка. Поэтому согласно утверждению 3, стр. 222, каждое инфинитезимальное
преобразование нашей группы, разложение в ряд которого содержит только
члены первого или более высокого порядка, должно линейно получаться из
только что найденых г — q инфинитезимальных преобразований.
Таким образом, справедливо
Утверждение 7. Если первые q инфинитезимальных преобразований
X\f ••• Xrf r-параметричекой группы не связаны никакими линейными
соотношениями вида
XI 0*1 • • • Хп) • X1f + • • • + XqiXl ' * * Хп) • Xqf = О,
в то время как Хя+\/ • • • Xrf можно линейно выразить через X\f • • • Xqf:
q
Xq+jf = ^2 4>jk{X\ • • • Xn) • Xkf (j = 1 ■ • • r -q),
k=l
то эта группа содержит в окрестности любой точки х® • • • х^ общего
положения в точности q независимых инфинитезимальных
преобразований, например X\f • • • Xqf, которые имеют нулевой порядок и из которых
нельзя линейно получить инфинитезимальных преобразований первого или
более высокого порядка по хг — х®. Напротив, группа содержит в
окрестности ровно г — q преобразований
q
x*+jf-Y,<PMxi '"X°n)-Xkf tf = l...r-*),
k=i
которые не содержат членов нулевого порядка по Xi—x® и поэтому
оставляют точку ж§ • • • ж£ неподвижной.
Что в данном утверждении понимается под точкой общего положения,
мы ранее подробно объяснили.
Глава 12
Описание всех подгрупп
r-параметрической группы
Если все преобразования ^-параметрической группы содержатся в
группе с более чем д — скажем с г, — параметрами, то эта ^-параметрическая
группа называется подгруппой r-параметрической группы.
Пример подгруппы r-параметрической группы приводится еще в
рассуждениях гл. 4, а именно: они показывают, что всякая г-параметрическая
группа содержит оог-1 однопараметрических подгрупп. В настоящей главе
мы прежде всего разовьем некоторые специальные методы, позволяющие
найти подгруппы заданой группы. Затем мы поставим вопрос, как
действовать, чтобы описать все подгруппы заданной группы. При этом мы получим
важный результат, состоящий в том, что описание всех непрерывных
подгрупп r-параметрической группы всегда возможно при помощи разрешения
алгебраических уравнений.
§54
В предыдущей главе мы рассматривали разложение в ряд
инфинитезимальных преобразований заданной r-параметрической группы по степеням
Xi — х®, понимая под х® систему значений, для которой все эти
преобразования ведут себя регулярно. Таким образом, для инфинитезимальных
преобразований группы мы получили разбиение на классы, которое приведет нас
теперь к существованию некоторых подгрупп. Конечно, соображения этого
параграфа распространяются лишь на такие группы, которые в
определенных точках х® заведомо содержат инфинитезимальные преобразования не
только нулевого, но и более высокого порядка по Xi — х®.
Пусть r-параметрическая группа пространства х\ • • • хп содержит
в окрестности точки ж§ • • • ж° в точности Шк независимых
инфинитезимальных преобразований
228
Глава 12
разложения в ряд для которых по степеням xi — х" начинаются с членов
порядка к или выше.
Мы полагаем, что к ^ 1. Тогда, комбинируя друг с другом два
инфинитезимальных преобразования У*/ и Yjf, мы получим (теорема 30, стр. 216)
инфинитезимальное преобразование {YiYj) порядка (2к — 1) или выше, т.е.
по меньшей мере порядка А:. Согласно этому (YiYj) должно линейно
получаться из Yf:
(YiYj)=Y,dijvY„f,
или, что то же самое: Y\f • • • YUkf порождают uik-параметрическую
подгруппу заданной группы. Таким образом, верно следующее
Утверждение 1. Если г-параметрическая группа пространства
х\ • • • хп содержит в окрестности точки х\ •• • х„ ровно Uk
независимых инфинитезимальных преобразований порядка к или выше, и при этом
к > 1, то эти ик инфинитезимальных преобразований порождают
параметрическую группу данной группы.
Если точка х\ • • • х£ такова, что в ней коэффициенты разрешенных
определяющих уравнений группы X\f • • Xrf ведут себя регулярно, то
ш\ имеет значение
{ek-Vk) + -- + (ea-i -vs-i)
(ср. гл. 11, стр. 215).
Особенно важным является случай к = 1, поэтому на нем мы
задержимся.
Если
i=l °Xi
— независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы, то число и\ находится согласно гл. 11, стр. 222, путем
исследования определителей матрицы
6i(x°) • • &п(*°)
£н(*°) • • Wx°) '
Далее вспомним (ср. стр. 222), что все инфинитезимальные преобразования
группы, содержащие только члены первого или более высокого порядка по
Описание всех подгрупп г-параметрической группы
229
Xi — x®, характеризуются тем, что оставляют неподвижной точку х? • • • х„.
Поэтому если к = 1, то мы можем переформулировать изложенное выше
утверждение так.
Утверждение 2. Если в группе пространства х\ • • • хп имеется
в точности и\ независимых инфинитезимальных преобразований,
оставляющих некоторую точку х\ • • • х„ инвариантной, то они порождают uj\-
параметрическую подгруппу данной группы.
Ясно, что в переменных х\ • • • хп не существует больше чем п
независимых инфинитезимальных преобразований, которые имеют нулевой
порядок по Х{ — х® и из которых нельзя линейно получить никаких
инфинитезимальных преобразований первого или более высокого порядка. Отсюда
мы заключаем, что всякая r-параметрическая группа в п < г переменных
содержит по меньшей мере г — п независимых инфинитезимальных
преобразований, имеющих первый или более высокий порядок по х* — х^. Таким
образом, мы имеем
Утверждение 3. Каждая r-параметрическая группа от п < г
переменных содержит подгруппы по меньшей мере с г — п параметрами.
Из утверждения 7 предыдущей главы (стр. 226) мы, наконец, получаем
для точек Xi • • • х„ общего положения следующее
Утверждение 4. Если инфинитезимальные преобразования
X\f • • • Xqf • • • Xrf r-параметрической группы пространства х\ • • • хп
таковы, что X\f • • Xqf не связаны никакими соотношениями вида
Х\(ХХ • • • Хп) • Xif + • • • + \q{X\ Хп)' Xqf ее О,
в то время Xq+\f • • • XTf можно линейно выразить через X\f • • • Xqf:
Xq+3f ее (fjl(Xi • • • Xn) • Xif + h Vjq{Xi • • • Xn) • Xqf
(j = 1 • • . r - q),
и если, кроме того, х\ • • • х„ — точка общего положения, то все г — q
независимых инфинитезимальных преобразований
я
51 •'•*п)-*м/ 0 = 1 • г - с/)
/х=1
будут иметь первый или более высокий порядок по Xi — х® и порождать
(г — а)-параметрическую подгруппу, преобразования которой
характеризуются тем, что оставляют точку xj • • • х£ инвариатной.
230
Глава 12
Под точкой общего положения мы понимаем здесь, как и на стр. 226,
такую точку, в которой не все определители порядка q матрицы
Ы*°) • • Ы*°)
обращаются в нуль.
§55
Здесь мы хотим обратить внимание на другой, более общий метод,
который зачастую очень простым путем ведет к нахождению некоторых
подгрупп заданной группы. Этот метод основывается на следующей теореме.
Теорема 31. Если r-параметрическая группа X\f • • • Xrf содержит
такие инфинитезимальные преобразования, при которых заданная
система уравнений
fti{xi ••• Хп) = 0 (t = 1,2-..)
остается инвариантной, и если каждое входящее в эту группу
инфинитезимальное преобразование такого рода можно линейно получить из т
независимых инфинитезимальных преобразований
г
Ykf = Y^hkv'Xl/f 0 = 1--m),
i/=l
mo Y\f-"Ymf порождают т-параметрическую подгруппу группы
Справедливость этой теоремы следует почти непосредственно из
утверждения 5 в главе 7, стр. 131. Согласно этому утверждению П{ = О
допускает также все инфинитезимальные преобразования вида (YkYj).
Поскольку (YkYj), в свою очередь, также принадлежат группе X\f - • • Xrf,
то при наложенных условиях ни одно из этих инфинитезимальных
преобразований не может быть независимым от Y\f • • • Ут/5 напротив, должны
иметь место соотношения вида
m
Д=1
Описание всех подгрупп г-параметрической группы
231
то есть Ykf действительно порождают группу.
Разумеется, мы можем сформулировать вышеизложенную теорему еще
и так.
Утверждение 5. Если среди инфинитезимальных преобразований
r-параметрической группы в переменных х\ • • • хп имеется в
точности т независимых, при которых некоторое многообразие пространства
х\ хп остается инвариантным, то эти т инфинитезимальных
преобразований порождают т-параметрическую подгруппу г-параметрической
группы.
Самым простым случаем является случай, когда инвариантная система
уравнений определяет неподвижную точку, т. е. имеет вид:
xi — Xi = О, • • • хп — £° = О-
Подгруппа, соответствующая этой системе уравнений, порождается,
очевидно, всеми теми инфинитезимальными преобразованиями, разложения
которых в ряд по Xi — х® начинаются с членов первого порядка или выше.
Таким образом, мы приходим к одной из тех подгрупп, которые мы уже
ранее нашли.
Вторым примером послужит подгруппа восьмипараметрической
общей проективной группы плоскости. Уравнение невырожденного
конического сечения допускает в точности три независимых инфинитезимальных
проективных преобразования плоскости; следовательно, эти три
инфинитезимальных преобразования порождают трехпараметрическую подгруппу
общей проективной группы.
И наконец, еще один пример — десятипараметрическая группа всех
конформных точечных преобразований пространства Д3. В этой группе
имеется ровно шесть независимых инфинитезимальных преобразований,
оставляющих инвариантной произвольно выбранную сферу. Эти
преобразования порождают шестипараметрическую подгруппу этой десятипара-
метрической группы.
Теорема 31 является лишь частным случаем следующей общей теоремы:
Теорема 32. Если задана какая-либо группа в переменных х\ • • • хп,
конечная или бесконечная, непрерывная или разрывная, то совокупность всех входящих
в нее преобразований, оставляющих какую-либо систему уравнений от Х\ • • - хп
инвариантной, также образует группу
Доказательство этой теоремы очень простое. Какие-либо два преобразования
группы, оставляющие систему уравнений инвариантной, выполненные
последовательно, дают преобразование, в свою очередь принадлежащее этой группе и в то же
232
Глава 12
время оставляющее эту систему уравнений инвариантной. Тем самым мы
привели доказательство того, что определенная в теореме совокупность преобразований
действительно образует группу.
Вместо системы уравнений можно, конечно, рассматривать систему
дифференциальных уравнений, и тогда теорема будет также оставаться верной.
Впрочем, если заданная группа непрерывна, то подгруппа, определенная при
помощи инвариантной системы уравнений, вполне может быть и разрывной.
После того как мы ознакомились с некоторыми методами нахождения
отдельных подгрупп заданной группы, обратимся теперь к более общей
задаче описания всех непрерывных подгрупп заданной г-параметрической
группы X\f • • • Xrf.
Какие-либо т независимых инфинитезимальных преобразований
нашей группы порождают m-параметрическую подгруппу тогда и только
тогда, когда все
выражаются только через Y\f • • • Ymf. Если ввести здесь обозначения
§56
Г
г
(ВД) = £ {ХеХа)
г
т=1
то получится
г
и требуется, чтобы эти уравнения принимали вид
Описание всех подгрупп г-параметрической группы
233
Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнения
г т
h^ehV(Jce(jT = l^h^r (м, v = 1 • • • m; т = 1 • • • г) (1)
£<7 = 1 7Г=1
удовлетворялись; для того, чтобы это было возможно, все определители
порядка га + 1 матрицы
X^^,<7=i hixghi/ffCgfff h\r • hmr
должны обращаться в нуль.
Тем самым мы имеем последовательность алгебраических уравнений
для нахождения гаг неизвестных hne. Но поскольку Y\f • • • Ymf должны
быть независимыми инфинитезимальными преобразованиями, то с самого
начала исключается любая система значений hn6, обращающая в нуль все
определители порядка га матрицы
h\\ • • hmi
в нуль.
Если hng заданы так, что они удовлетворяют всем этим условиям, то
уравнения (1) для любой пары чисел /х, v сводятся ровно к га уравнениям,
полностью задающим неизвестные константы l^v\ • • • ZMI/m. Итак, всякая
система решений hVQ дает га-параметрическую подгруппу, и ясно, что
таким образом находятся все га-параметрические подгруппы.
Тем самым мы имеем общий метод нахождения всех подгрупп
заданной r-параметрической группы; практическое применение в общем случае
он имеет, правда, лишь тогда, когда число г не слишком велико; но он
показывает, что задача нахождения всех этих подгрупп требует лишь
алгебраических операций, что само по себе уже является очень важным результатом.
Теорема 33. Нахождение всех непрерывных подгрупп заданной
г-параметрической группы Xif • • • Xrf требует лишь алгебраических
операций; эти операции полностью определены константами сцсв в
соотношениях1
г
(XiXk) = ^ °ika * X9f (i, fc = 1 • • • г).
s=l
!Ли, Archiv for Mathematik og Naturv., том 1, Христиания, 1876 г.
(2)
234
Глава 12
В частных случаях нахождение всех подгрупп заданной группы
облегчается за счет того, что с самого начала известны некоторые
определенные подгруппы и вообще некоторые определенные свойства данной
группы; а также оно облегчается, конечно, если задача уже решена для одной
подгруппы заданной группы. Кстати, мы позднее увидим, что собственно,
вовсе не обязательно действительно выписывать все подгруппы, а
достаточно задать некоторые из них (ср. исследования о классах подгрупп, гл. 23).
§57
Пусть га независимых инфинитезимальных преобразований
г
= ^ ' (м = 1 • • • ™)
порождают m-параметрическую подгруппу r-параметрической группы
Xif-- - Xrf. Тогда общее инфинитезимальное преобразование этой
подгруппы имеет вид
т т г
/х=1 /1=1 fc=l
где ам — произвольные параметры.
Все инфинитезимальные преобразования e\X\f + • • • 4- erXrf
r-параметрической группы, принадлежащие m-параметрической подгруппе
Yif • • • Ymf, определяются поэтому уравнениями
т
ек = ^ OL^hpk (к = 1 г).
Если допустить, что га произвольных параметров отсюда убраны, то мы
получим в точности г — га независимых линейных однородных уравнений
между е\ - - - ег, то есть можем сформулировать
Утверждение 6. Если e\X\f + - - - + erXrf — общее
инфинитезимальное преобразование r-параметрической группы, то
инфинитезимальные преобразования т-параметрической подгруппы этой группы можно
определить при помощи г — т независимых линейных однородных
соотношений между е\ • • • ег.
Глава 13
Транзитивность, инварианты,
примитивность
Понятия транзитивности и примитивности, играющие в теории
подстановок такую большую роль, будут здесь распространены на конечные
непрерывные группы преобразований. Упомянем вскользь, что эти понятия
можно распространить вообще на все группы, как на конечные, так и на
бесконечные, как на непрерывные, так и на разрывные1.
§58
Конечная непрерывная группа от переменных х\ • • • хп называется
транзитивной, если в пространстве {х\ • • • хп) имеется n-мерная область,
внутри которой любая точка может быть переведена в любую другую при
помощи по крайней мере одного преобразования группы. Все группы, не
являющиеся транзитивными, называются интранзитивными.
Согласно этому определению г-параметрическая группа
х\ = fi(xi • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
является транзитивной, если в общем случае для каждой системы значений
х\ • • • хп, х\ • • • х'п можно задать по меньшей мере одну такую систему
1 После того как Ли в 1869 г. проинтегрировал некоторые дифференциальные уравнения
с известной непрерывной группой, он в 1871-1872 г. совместно с Клейном поставил задачу,
по возможности перенести понятия теории подстановок на теорию непрерывных групп
преобразований. Ли решил эту задачу самостоятельно; опираясь на полученные при этом
представления и понятия, он развил в 1874 г. основы общей теории интегрирования таких полных
систем, которые допускают известные инфинитезимальные преобразования (Verh. d. G. d. W.
zu Christiania, 1874 г.). Он свел эту задачу к случаю, когда известные инфинитезимальные
преобразования порождают конечную непрерывную группу, являющуюся импримитивной, так
как ее преобразования переставляют между собой характеристические многообразия полной
системы. В частности, он указал все случаи, в которых интегрирование полной системы
можно выполнить при помоши квадратур.
Транзитивность, инварианты, примитивность
237
значений а\ • • • аг, что уравнения х\ = /г(х, а) удовлетворяются
соответствующими значениями х, а, х'. Другими словами, уравнения х\ = /г(х, а)
транзитивной группы могут быть разрешены относительно п из г
параметров а\ • • • аг. Если же такое разрешение невозможно, если из
уравнений х\ = /i(x,a) этой группы можно, напротив, вывести соотношения,
не зависящие от параметров а и содержащие лишь переменные х\ • • • хп,
х\ • • • х'п, то группа не будет транзитивной, то есть будет интранзи-
тивной.
Отсюда мы видим, что всякая транзитивная группа пространства
xi • • хп содержит по меньшей мере п существенных параметров.
Если транзитивная группа от п переменных имеет в точности п
существенных параметров, то в общем случае она содержит одно и только одно
преобразование, которое переводит заданную точку пространства в
другую произвольную точку; в частности, оно поэтому не содержит никакого
преобразования, кроме тождественного, которое оставляет точку общего
положения неподвижной. Мы называем всякую группу с таким свойством
просто транзитивной.
Данный выше критерий транзитивности (соот. интранзитивности)
группы практически применим лишь тогда, когда нам известны конечные
уравнения группы. Но не существует ли критерия, для применения
которого достаточно лишь того, чтобы были известны инфинитезимальные
преобразования группы? Мы покажем, что такой критерий действительно
можно дать. Одновременно мы укажем способ, позволяющий узнать, сколько
соотношений только между х и х' возникает для интранзитивной группы
с известными инфинитезимальными преобразованиями.
Пусть даны г независимых инфинитезимальных преобразований
Xkf = У]• • • хп)^- (к = 1 • • • г),
порождающих r-параметрическую группу. Эта группа, конечные уравнения
которой мы можем представить записанными в виде
г
Фг = -х\ 4- Xi 4- ]Г ек • ffci(x) 4- • • • = 0 (i = 1 • •. п),
к=\
согласно вышесказанному, тогда и только тогда транзитивна, когда п
уравнений Ф\ = 0, • • • Фп = 0 разрешимы относительно п из г параметров
е\ • • • ег. Следовательно, необходимым и достаточным условием
транзитивности нашей группы является то, что не все определители порядка п
Описание всех подгрупп г-параметрической группы 235
Инфинитезимальные преобразования, являющиеся общими для двух
различных подгрупп r-параметрической группы X\f • • Xrf, порождают
в свою очередь подгруппу; как общие инфинитезимальные преобразования
двух групп они порождают согласно гл. 9, утв. 2, стр. 178, группу, которая,
конечно, содержится в X\f • • • Xrf как подгруппа.
Предположим теперь, что одна подгруппа — m-параметрическая, а
другая — //-параметрическая. Тогда их общие инфинитезимальные
преобразования определяются г — т + г — ц линейными однородными уравнениями
между константами е, уравнениями, которые разумеется, не обязательно
должны быть независимыми друг от друга.
Отсюда мы заключаем, что среди общих инфинитезимальных
преобразований имеется по крайней мере г — (2r — га — р) = m+fi — r независимых.
Таким образом, мы имеем
Утверждение 7. Если г-параметрическая группа содержит две
подгруппы с ти р параметрами соответственно, то они имеют по меньшей
мере т+р—г общих независимых инфинитезимальных преобразований. Все
те инфинитезимальные преобразования r-параметрической группы,
которые являются общими для обеих подгрупп, в свою очередь порождают
подгруппу
Это утверждение можно очевидно обобщить.
Если среди инфинитезимальных преобразований e\-X\f-\ \-er-Xrf
r-параметрической группы выделены два семейства, одно — посредством
г — га линейных однородных уравнений между е, другое — посредством
r — fjL таких уравнений, то имеется по меньшей мере га + р — r независимых
инфинитезимальных преобразований, которые являются общими для обоих
семейств.
238
Глава 13
матрицы
дФх
дФп
дег
дег
дФг
дФп
дег
дег
обращаются в нуль тождественно. Отсюда следует, что группа заведомо
транзитивна, если соответствующие определители не обращаются
одновременно в нуль при е\ = О, • • • ег = 0, т. е. если не все определители порядка
п матрицы
£и •' * £in
тождественно равны нулю.
Таким образом, мы нашли достаточное условие транзитивности нашей
группы. Теперь мы хотим выяснить, что происходит, если это условие не
выполняется.
Итак, пусть все определители порядка п только что выписанной
матрицы (2) тождественно равны нулю; чтобы рассмотреть все возможности
сразу, мы, кроме того, предположим, что все определители порядка п — 1,
п — 2, • • • q + 1 этой матрицы обращаются в нуль тождественно, но не все
порядка q.
При этих условиях определители порядка q матрицы (1) также
заведомо не все обращаются в нуль. Следовательно, мы можем заключить, что
из п уравнений Ф\ = О, • • • Фп = 0 можно получить самое большее n — q
не содержащих е\ • • • ег и не зависящих друг от друга уравнений только
между х и х1.
Однако при наложенных условиях эти г уравнений X\f = 0, • • Xrf =
= 0 сводятся к ровно q < п независимым, например к уравнениям X\f =
= 0, • • • Xqf = 0, в то время как Xq+\f • • • Xrf выражаются следующим
образом:
Xq+„f = 4>„l{x) • X1f + • • • + 4>uq{x) • Xqf {у = 1 • • • г - q).
Таким образом,
(2)
q / r-q \
(Х{Хк) = ^jT I Cikj + Cik,q+v 4>„j j Xjf
Транзитивность, инварианты, примитивность
239
для всех значений г и А:, то есть q уравнений X\f = 0, • • • Xqf = 0
образуют ^-параметрическую полную систему с п — q независимыми
решениями, обозначим их через i?i(x) • • • i?n_9(x). Эти решения допускают любое
инфинитезимальное преобразование вида е\ • Xif + • • • + er • Xrf9 т.е.
все инфинитезимальные, а также — как следствие этого, — все конечные
преобразования нашей г-параметрической группы Xif • • • Xrf (ср. гл. 6,
стр. НО). Аналитически это выражается в том, что между переменными
x и х7, которые встречаются в уравнениях преобразований нашей группы,
имеют место n — q независимых, не содержащих е соотношений:
П1(х[ • • • Х'п) = /2i(Xi • • • Хп), • • • Пп-д(х\ • • • Х'п) = Пп-qiXi • • • Хп).
Выше мы видели, что могут иметь место максимум n — q независимых
соотношений только между х и х', согласно этому мы тем самым нашли
все эти соотношения.
В частности, мы видим, что группа X\f • • • Xrf интранзитивна, если
все определители порядка п матрицы (2) обращаются в нуль
тождественно. Тем самым доказано также, что ранее найденное достаточное условие
транзитивности группы Xif • • Xrf является не только достаточным, но
и необходимым.
Сформулируем полученные результаты в утверждениях. Во главу
поставим следующую теорему.
Теорема 34. г-параметрическая группа Xif • • • Xrf пространства
xi • • • хп является транзитивной, если среди г уравнений Xif = 0,- • -Xrf =
= 0 найдется в точности п друг от друга независимых, в противном
случае она интранзитивна.
Затем следует
Утверждение 1. Из конечных уравнений
х\ = fi(xi • • • xn, ai • • • аг) (г = 1 • • • п)
г-параметрической группы с инфинитезимальными преобразованиями
Xif • • • Xrf можно только тогда исключить все г параметров ai • • • аг,
когда эта группа интранзитивна; в этом случае мы получаем некоторое
число соотношений между х и х', которые можно привести к виду
nr(x'i--> х'п) = nr(xi--- хп) (л = 1,2.-.),
где i?i (х), i?2 (х) • • • — система независимых решений полной системы,
заданной при помощи г уравнений Xif = 0, • • • Xrf = 0.
240
Глава 13
В главе 6, стр. 108, мы видели, что решения линейного
дифференциального уравнения в частных производных Xf = 0 являются
единственными инвариантами однопараметрической группы Xf; совместные решения
уравнений Xif = 0, • • • Xrf = 0 являются соответственно единственными
инвариантами группы Xif • • • Xrf. Поэтому мы можем сформулировать
Утверждение 2. Если r-параметрическая группа Xif • • • Xrf
пространства Xi • • • хп транзитивна, то она не имеет инвариантов, если же
она интранзитивна, то ее единственными инвариантами являются
совместные решения уравнений Xif = 0, • • • Xrf — 0.
Наконец, можно привести еще следующее утверждение, которое
выражает характеристическое свойство инвариантов конечных непрерывных
групп.
Утверждение 3. Если щ • • • ив — инварианты г-параметрической
группы Xif • • Xrf, то и каждая функция от ui • • • ив является
инвариантом этой группы.
Чтобы пояснить наглядный смысл полученных аналитических
результатов, мы теперь истолкуем xi • •• хп как координаты точки n-мерного
пространства.
Пусть упомянутая в теореме полная система является
^-параметрической, а число q будет меньше п, т.е. группа Xif • • Xrf является ин-
транзитивной. Пусть функции i?i(xi • • • хп) • • • Qn-q(xi • • • хп) —
независимые решения этой полной системы, наконец, пусть С\ • • • Сп-Я
обозначают произвольные константы. Тогда уравнения
^1 = Cl, • • • Qn-q = Cn-q
разбивают все пространство на oon~q различных q-мерных
подмножеств, каждое из которых остается инвариантным относительно
группы Xif • • • Xrf. Каждая точка пространства принадлежит одному вполне
определенному подмножеству и может быть переведена преобразованиями
группы только в точки того же самого подмножества. Однако точки одной
части транзитивно преобразуются между собой, то есть каждая точка
общего положения в этом подмножестве может быть переведена по меньшей
мере одним преобразованием группы в другую такую точку.
Если xi • • • хп — точка общего положения, то функции i?i (х) • • • Qn-q (х)
мы также рассматриваем как инварианты точки х\ • • • хп относительно
группы Xif • • • Xrf. Число этих инвариантов задает степень интранзитив-
ности нашей группы, так как чем больше число инвариантов, тем меньше
Транзитивность, инварианты, примитивность
241
число измерений той части, внутри которой точка х\ • • • хп остается под
действием преобразований группы.
Если же задана транзитивная группа, то точка общего положения,
очевидно, инвариантов не имеет.
Изложенная выше теорема позволяет выяснить, является заданная
группа X\f • • • Xrf транзитивной или нет. Содержащемуся в ней
критерию транзитивности или интранзитивности некоторой группы можно
также придавать различные другие формы.
Прежде всего, слегка изменив терминологию, мы можем сказать:
г-параметрическая группа X\f • • Xrf от переменных х\ • • • хп транзитивна
тогда и только тогда, когда среди ее инфинитезимальных преобразований
имеется в точности п — например X\f • •• Xnf, — преобразований, не
связанных линейными соотношениями вида
• • • хп) • Xif 4- • • • 4- Xn(xi - - • хп) • Xnf = О,
тогда как Xn+\f • • • Xrf выражаются через X\f • • • Xnf следующим
образом:
Xn+jf = <Pji • Xif + • • • + ipjn • Xnf
(j = 1... r - n).
Если же инфинитезимальных преобразований с таким свойством не п,
то группа интранзитивна.
Вспомним теперь, что всякое инфинитезимальное преобразование Xkf
ставит в соответствие каждой точке пространства х\ • • • хп некоторое
направление. Добавив к этому сказанное в гл. 6, стр. ИЗ, о независимости
таких направлений, проходящих через эту точку, мы можем
сформулировать критерий транзитивности группы также следующим образом.
Утверждение 4. Группа X\f • • • Xrf в переменных Х\ • • • хп
транзитивна, если она содержит п инфинитезимальных преобразований,
которые каждой точке общего положения ставят в соответствие п
независимых направлений; если же группа не содержит п таких
инфинитезимальных преобразований, то она интранзитивна.
С другой стороны, вспомним рассуждения из гл. 11, стр. 226, где мы
предполагали, что инфинитезимальные преобразования группы в
окрестности точки х® общего положения разложены по степеням х\ — х®.
Поскольку транзитивная группа X\f • • • Xrf в переменных х\ - • • хп содержит п
инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xnf, которые не связаны
никакими соотношениями вида Х\(х) • X\f + • • • + Хп(х) • Xnf = 0, то мы
получаем следующее
242
Глава 13
Утверждение 5. r-параметрическая группа Xif • • • Xrf в п
переменных х\ • • • хп является транзитивной, если она в окрестности точки
х® общего положения содержит в точности п таких независимых
инфинитезимальных преобразований нулевого порядка по х* — х®, из которых
нельзя линейно получить никаких инфинитезимальных преобразований
первого или более высокого порядка. Если число таких инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка меньше п, то группа интранзитивна.
Отсюда видно, что нам достаточно знать только определяющие
уравнения группы Xif • • Xrf для того, чтобы можно было решить, транзи-
тивна она или нет.
Первую часть утверждения 5 мы, наконец, можем высказать еще и так:
группа Xif • • Xrf транзитивна, если она в окрестности точки х® общего
положения содержит в точности г — и независимых инфинитезимальных
преобразований, разложения в ряд которых по х» — х\ начинаются с
членов первого или более высокого порядка, то есть если эта группа содержит
в точности г — п и не более независимых инфинитезимальных
преобразований, оставляющих точку общего положения инвариантной.
Если известны лишь инфинитезимальные преобразования интранзи-
тивной группы Xif • - • Xrf, то инварианты этой группы, как мы видели,
можно найти путем интегрирования полной системы Xif = О, • • • Xrf = 0.
Очень важно, что это интегрирование вовсе не обязательно, если известны
конечные уравнения группы; в этом случае, напротив, инварианты
получаются путем простого исключения.
Чтобы доказать это, предположим, что нам даны конечные уравнения
х\ = fi(xi • • • xn, ai • • • аг) (г = 1 • • • п)
интранзитивной группы, из которых затем исключены параметры ai • • • аг.
Полученные таким образом п — q независимых уравнений
WM(Xi • • • Xn, x'i • • - Хп) = 0 (/х = 1 • • • п - q) (3)
должны, согласно вышесказанному, приводиться к виду
Q^(x'i - • • х'п) = Яд(х1 • • • хп) (/х = 1 • • • n - д), (4)
где i?At(x) — искомые инварианты. Поэтому если мы разрешим
уравнения (3) относительно п — q из переменных х[ • • • х'п (что всегда возможно):
Х^ = ЯМ(Х1 • • • Хп, • • • х'п) (М = 1 • • • п - q),
Транзитивность, инварианты, примитивность
243
то получим п — q функций П\ • • • Пп-Я, в которых переменные х\ • • • хп
встречаются только в выражениях Q\(х) • • • i?n_q(x). Таким образом, n — q
выражений
Яд(х1 • • • xn, an-q+i • • • an) (/i = 1 • • ■ n - q),
где an_9+i • • • ап — константы, представляют инварианты нашей группы,
причем, очевидно, n — q независимых инвариантов.
Итак, справедлива
Теорема 35. Если известны конечные уравнения:
xi = fi{x\ - • • xn, ai • • • ar) (i = l • • • n)
интранзитивной группы, то инварианты этой группы можно найти
путем исключения.
§59
Исследование поведения точки общего положения при действии
преобразований r-параметрической группы привело нас с необходимостью
к понятиям транзитивности и интранзитивности. Таким образом, мы
получили разделение всех г-параметрических групп n-мерного пространства
на два различных класса точно так же, как в теории подстановок; но
вместе с тем мы одновременно получили еще одно разделение интранзитивных
групп, а именно по числу инвариантов, которые имеет точка общего
положения при действии этих групп.
По аналогии с теорией подстановок мы можем теперь пойти еще
дальше и исследовать поведение двух и более точек общего положения при
действии преобразований r-параметрической группы. Это дает нам новую
классификацию групп пространства Rn. Пусть
Ух = fi{x\ • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • тг)
— г-параметрическая группа, a X\f - • • Xrf — г ее независимых
инфинитезимальных преобразований.
Рассмотрим сначала две точки х[ • • • х'п и х'[ • • • и найдем их
инварианты относительно нашей группы, то есть мы ищем все функции от
xi • • • х'п, х'{ • • • х{£, остающиеся инвариантными при преобразованиях
нашей группы.
Для этого обозначим инфинитезимальные преобразования Xkf в
переменных х' через Xfkf9 а в переменных х" — через X%f; искомыми
Транзитивность, инварианты, примитивность
245
§60
Выше мы видели, что интранзитивная группа X\f • • • Xrf разбивает
все пространство (х\ • • • хп) в непрерывное семейство ^-мерных точечных
многообразий
Q\(X\ • • • Хп) = Ci, * • * Qn—q(X\ • • • Хп) = Сп—д,
каждое из которых остается при преобразованиях группы инвариантным.
Через Q обозначены при этом независимые решения д-параметрической
полной системы, заданной уравнениями X\f = 0, • • • Xrf — 0.
Каждая точка пространства принадлежит одному и только одному из
ооп-<? многообразий Q\ = ai, • • • fin-q = a>n-q, т. е. здесь мы имеем дело
с разбиением пространства в смысле, указанном в гл. 6, стр. 112. Это
разбиение остается при всех преобразованиях группы X\f • • • Xrf
инвариантным, вместе с тем остается инвариантным каждый отдельный элемент
этого разбиения.
Бывает, что и для транзитивных групп существует разбиение
пространства на ооп~я ^-мерных многообразий Q\ = ai, • • • On-q = a>n-q>
остающееся при действии группы инвариантным. Но каждое отдельное из ооп~я
многообразий не может, разумеется, оставаться при этом инвариантным,
иначе группа была бы интранзитивной; эти ооп~я многообразий, напротив,
должны переставляться группой между собой, тогда как их совокупность
остается инвариантной.
Группа пространства Rn называется импримитивной, если она
определяет хотя бы одно инвариантное разбиение пространства на oon~q q-
мерных многообразий; группа, которая не допускает ни одного
инвариантного разбиения, называется примитивной. О том, что значения q = 0
и q = п при этом исключаются, вряд ли стоит упоминать.
Интранзитивность является, очевидно, частным случаем
импримитивности; каждая интранзитивная группа в то же время является
импримитивной. С другой стороны, всякая примитивная группа необходимо является
транзитивной.
Чтобы получить теперь аналитическое определение
импримитивности r-параметрической группы X\f ••• Xrf, нам надо лишь вспомнить,
что любое разбиение пространства на ооп~я ^-мерных многообразий
ух = const, • • • yn-q — const задается аналитически при помощи q-
параметрической полной системы Y\f = 0, Yqf = 0, решениями
которой являются Тот факт, что данное разбиение остается
инвариантным относительно группы X\f • • • Xrf9 означает, что соответствующая q-
параметрическая полная система допускает все преобразования группы.
244
Глава 13
инвариантами тогда являются просто инварианты r-параметрической
группы
X'kf + X'{f (k = l-r) (5)
в переменных х[ • • • х'п, х'{ • • • х'^.
Если Ji(x) • • • Jei (х) — инварианты группы X\f • • Xrf, то 2qi
функций
Ji(x')-. -Jffl(x,),Ji(x,/)-- -Jft(^)
разумеется, являются инвариантами группы (5) и при этом независимыми;
кроме того, может еще иметься несколько, скажем Q2, инвариантов
J[(х'г • • • х'п, х'[ • • • х^) • • • J'P2 (х[ • • • х'п,х" • • • х^),
не зависящих друг от друга и от 2д\ вышеназванных. В этом случае две
точки общего положения имеют в точности 2qi + Q2 независимых
инвариантов относительно группы X\f • • • Xrf, из которых, однако, лишь Q2
рассматриваются как существенные, так как каждая из этих точек сама по
себе уже имеет д\ инвариантов. Из уравнений
y'i = fi(x'i - • х'п,а\ • • • От), у" = fi(x" ■ • ■ ai ■ • • Or) (t = l • • • n)
получаются в этих предположениях следующие соотношения, не
содержащие а:
Ыу') = Jk(x'), Jk(y") = Jk{x") (к = i • • • Ы,
щу',у") = ЩХ',Х") u = 1-82).
Поэтому если предположить, что величины х[ • • • х'п и у[ • • • у'п выбраны
фиксированными, то множество всех положений у'{ • • • которые может
принимать точка х'{ • • х„, задано уравнениями
Му") = Л(*")> J'j(y',y") = J'j(x',x") (fc = i...ffll j =
Следовательно, имеется oon_tfl_p2 различных положений этого рода.
Подобным образом можно задать инварианты, которые имеют три,
четыре и больше точек при действии группы X\f • • • Xrf. Так, мы находим
последовательность целых чисел Q\, Q2,Qs • • •, свойственных этой группе
и не зависящих от выбора переменных. Вычисляя эти числа одно за
другим, мы всегда придем к числу дт, которое обращается в нуль вместе со
всеми последующими числами £т+ь Qm+2 — • - Не будем вдаваться в
подробности, но все же заметим, что подобные рассуждения можно провести
для любого семейства из оог преобразований, будь то группа или нет.
246
глава 13
Полная ^-параметрическая система Ykf — 0 допускает нашу группу,
если она допускает общую однопараметрическую группу Ai • X\f + • • • +
+Ar -Xrf. Согласно теореме 20, гл. 8, стр. 156, это верно тогда, когда между
Xif и Ykf имеют место соотношения следующего вида:
я
Таким образом, необходимым и достаточным условием
импримитивности группы X\f---Xrf является существование ^-параметрической
полной системы
Yi/ = 0f...yg/ = 0 (<z<n),
связанной с Xkf описанным образом.
Впрочем, группа X\f • • • Xrf может быть также
«мультиимпримитивной»2 — это значит, что может иметься несколько или даже бесконечно
много полных систем, допускающих эту группу.
Позже мы расскажем о методах описания всех полных систем,
остающихся инвариантными относительно заданной группы. В частности, мы
сможем также понять, является эта группа примитивной или нет. Конечно,
последний вопрос требует специального изучения лишь для транзитивных
групп.
Теперь еще одно краткое замечание.
Пусть уравнения
У\ — Cb * * * Уп—q = С n—q
задают разбиение пространства х\ • • • хп, инвариантное относительно
группы X\f • • • Xrf. Тогда если мы введем у\ - • • yn-q вместе с q другими
подходящими функциями z\ • • • zq от Х\ • • • хп в качестве новых
независимых переменных, то получим инфинитезимальные преобразования Xkf
специального вида
n-q df q df
m=i °У» j=i °Zj
(* = l.-.r).
Согласно главе 12, стр. 230, все инфинитезимальные преобразования
£\ - X\f + • • • + er • Xrf, оставляющие некоторое фиксированное
многообразие у\ = У\,-" Уп-q = У n-q инвариантным, порождают подгруппу.
2 Автор использует термин auf mehrfache Weise imprimitiv. — Прим. перев.
Транзитивность, инварианты, примитивность
247
Если мы хотим найти все такие инфинитезимальные преобразования, то
нам достаточно лишь найти все системы значений е\ • • • ег,
удовлетворяющие n — q уравнениям
г
5^ ek ' UkviVl ' ' * Уп-q) =0 = 1 • • • П - g).
к=1
Если г > п — q, то всегда имеются системы значений е\ • • • ег с этим
свойством, следовательно, группа Xi/ • • Xrf в этом случае заведомо
содержит подгруппы с по меньшей мере г — п -f q параметрами. Кстати, ясно,
что г укороченных инфинитезимальных преобразований
n-q ~ .
*fc/ = У" * ' ' Уп-я)-к— (л = 1 • • • г)
в n — q переменных 2/1 • • • yn-g порождают группу; однако эта группа
содержит, возможно, не г, а меньше существенных параметров. Ранее
упомянутое вычисление сводится, очевидно, кописанию всех инфинитезимальных
преобразований е\ • X\f + • • • + ег • Xrf, оставляющих точку у? • • • y^-q
(п — q)-мерного пространства у\ • • • уп-я инвариантной.
Описание всех систем уравнений
249
Мы рассмотрим один за другим оба эти случая, прежде всего, из-за
приложений, но также и для того, чтобы поглубже ознакомиться с данным
вопросом; на самом деле, оба подхода взаимно друг друга дополняют1.
Наконец, надо еще упомянуть, что мы отныне будем часто переносить
символику, употребляемую в теории подстановок, на теорию групп
преобразований. Так, например, мы обозначаем через 5, Т, • • • отдельные
преобразования, а через Т-1, • • — соответствующие им обратные
преобразования. Под ST мы понимаем преобразование, получающееся, если
сначала выполнить преобразование 5, а затем преобразование Т2. Отсюда
следует, что выражения вида ТТ~1 означают тождественное
преобразование.
§6i
Рассмотрим какую-либо точку Р пространства. Множество всех
положений, которые эта точка принимает при оог преобразованиях группы,
образует некоторое многообразие М. Покажем, что это многообразие
допускает группу, иначе говоря, всякая точка из М при любом
преобразовании группы снова переходит в точку многообразия М.
Действительно, пусть Р' какая-либо точка из М, а именно: пусть Р'
получается из Р при помощи преобразования S нашей группы, что мы
выразим с помощью символического уравнения
(Р)5 = (Р').
Тогда если Т — произвольное преобразование группы, то при
выполнении Т точка Р' переходит в
(P')T = (P)ST;
но поскольку преобразование ST также принадлежит этой группе, то
(Р)ST — это тоже точка из М, следовательно, наше утверждение
доказано.
Очевидно, что всякое инвариантное относительно этой группы
многообразие, содержащее точку Р, должно в то же время содержать
многообразие М. Поэтому мы можем также сказать: М — это наименьшее
инвариантное относительно группы многообразие, которому принадлежит точка Р.
1Ли, Math. Ann., том XI, стр. 510-512, том XVI, стр. 476. Archiv for Math, og Nat.,
Христиания, 1878, 1882, 1883 гг., Math. Ann., том XXTV.
2Используемая здесь и ниже символика теории групп отличается от принятой сейчас. —
Прим. ред.
Глава 14
Описание всех систем уравнений,
допускающих заданную
г-параметрическую группу
Если система уравнений от х\ • • • хп остается при всех
преобразованиях r-параметрической группы X\f • • • Xrf инвариантной, то мы говорим,
что она допускает эту группу. Каждая такая система допускает все
преобразования общей однопараметрической группы ]Г ек • Xkf, т. е., в частности,
все oor_1 инфинитезимальных преобразований Ylek' Xkf г-параметриче-
ской группы.
Но, с другой стороны, мы уже показали, что всякая система
уравнений, допускающая г инфинитезимальных преобразований X\f - • • Xrf,
а также все oor_1 инфинитезимальных преобразований ^Г, * Xkf, в то же
время допускает все конечные преобразования однопараметрических групп
Y^ek • Xkf, т.е. все преобразования группы X\f • • • Xrf (ср. теорему 14,
стр. 125). Поэтому если надо описать все системы уравнений,
допускающие г-параметрическую группу X\f • • • Xrf, то эта задача уже была
решена в полной общности в главе 7. Там были описаны все системы уравнений,
допускающие г заданных инфинитезимальных преобразований.
Одно то обстоятельство, что рассматриваемые здесь X\f•• - Xrf
порождают г-параметрическую группу, означает по сравнению с общим
случаем значительное упрощение. Поэтому видится совершенно
обоснованным, если этот особый случай, где Xkf порождают группу, мы исследуем
самостоятельно.
Различия в решении обсуждаемой задачи для случаев, когда конечные
уравнения данной группы известны и когда нет, довольно существенны.
В первом случае интегрирование не требуется. Во втором же без него,
вообще говоря, не обойтись; но необходимость многих операций,
использованных при решении общей задачи в главе 7, отпадает.
250
Глава 14
Более того, можно показать, что при помощи преобразований группы
можно перевести любую точку из М в любую другую точку этого
многообразия. А именно: если Р' и Р" — две точки из М, и они получаются
из Р в результате преобразований S и U соответственно, то имеют место
соотношения
(P)S^(P'), (P)U = (P");
из первого следует:
(P')S"1 = (P)SS-1 = (Р);
таким образом, при помощи второго соотношения получается
(P')S_1t/ = (Р"),
это значит, что точка Р' переходит при преобразовании S~lU, которое
также принадлежит этой группе, в точку Р". Тем самым сформулированное
выше утверждение доказано.
Отсюда мы видим, что многообразие М может также быть определено
как совокупность всех положений, которые принимает любая другая его
точка, отличная от Р, при оог преобразованиях группы.
Таким образом, верна
Теорема 36. Если применить все оог преобразований г-параметри-
ческой группы пространства (х\ • • • хп) к точке Р этого пространства,
то множество всех положений, которые эта точка в результате
принимает, образует инвариантное относительно этой группы многообразие;
это многообразие не содержит никакого меньшего инвариантного
относительно этой группы подмножества, напротив, оно само содержится во
всех инвариантных многообразиях, которым принадлежит точка Р.
Если предположить, что конечные уравнения х[ — fi{x\ • • • хп, а\ • • • аг)
г-параметрической группы известны, то можно без труда описать для
любой точки х\ • • • х„ наименьшее инвариантное многообразие, которому она
принадлежит. Это многообразие состоит, согласно вышесказанному, из
совокупности всех положений х\ • • • хп, которые принимает точка х\ • • • хп
при преобразованиях группы. Очевидно, однако, что совокупность этих
положений представляется п уравнениями
Xi = fi(xi - • хп,а\ - ar) (i = 1 • • • n),
в которых параметры а истолковываются как независимые переменные.
Если исключить а, то мы получим искомое многообразие, заданное
уравнениями, содержащими лишь переменные х.
Описание всех систем уравнений
251
Здесь необходимо напомнить, что в уравнениях xi = fi(x°,a) параметры а
не являются совершенно произвольными; с самого начала исключены все системы
значений а\ • • • аг, для которых определитель
dfi(x,a)
dfn(x,a)
dxi
х=х°
дхп
обращается в нуль, так как мы всегда используем лишь такие преобразования,
которые являются разрешимыми. Отсюда следует, что при исключении а при
определенных условиях получаются уравнения многообразия, содержащего, помимо тех
точек, в которые переходит х? • • • х„ под действием разрешимых преобразований
группы, еще и другие точки; тогда эти последние точки, в свою очередь, как легко
видеть, образуют некоторое инвариантное многообразие.
Далее надо заметить, что описанный процесс исключения может
происходить по-разному для различных систем значений х£; исключение
параметров а не обязательно всегда приводит к одному и тому же числу
соотношений между переменными х, что опять же означает, что соответствующие
наименьшие инвариантные многообразия не обязаны все иметь одну и ту
же размерность.
Если из всех наименьших инвариантных многообразий одинаковой
размерности выбрать бесконечную совокупность согласно какому-нибудь
аналитическому закону, то она также образует инвариантное многообразие.
Таким образом можно, очевидно, получить все инвариантные многообразия.
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема 37. Если известны конечные уравнения г-параметрической
группы X\f • • • Xrf в переменных х\ • • • хп, то можно без
интегрирования найти все инвариантные относительно этой группы системы
уравнений или, что то же самое, все инвариантные многообразия.
§62
В главе 12, стр. 229, мы видели, что г-параметрическая группа Gr
в переменных х\ • • • хп каждой точке пространства ставит в соответствие
совершенно определенную подгруппу, а именно такую, которая состоит из
преобразований группы Gr, оставляющих эту точку инвариантной.
Пусть точка Р остается инвариантной относительно подгруппы
группы Gr с га, но не более параметрами; пусть S — общий символ
преобразования этой ш-параметрической подгруппы, так что (Р) S = (Р). Пусть,
далее. Т будет преобразованием, переводящим точку Р в новое
положение Р'\
(Р)Т=(Р').
252
Глава 14
Если теперь Т — произвольное преобразование группы Gr, также
переводящее Р в Р', то мы имеем
(Р)Т = (Р') = (Р)Т,
следовательно
(Р)ТГ-1 = (р)
Отсюда ясно, что Т Т-1 — одно из преобразований 5, т. е. что
J = ST
является общим видом такого преобразования Т. А поскольку имеется
в точности оош различных преобразований 5, то мы видим:
Группа Gr содержит в точности оош различных преобразований,
переводящих Р в Р'.
Если мы, с другой стороны, зададимся вопросом описания всех
преобразований S' группы Gr, оставляющих точку Р' инвариантной, то нам
потребуется выполнение условия (P')S" = (Р'). Отсюда мы видим, что
(P)TSf = {P)T и (P)TS'T~l = (Р),
следовательно, ТS'T'1 является преобразованием S, т.е. S" имеет вид
s' = t-xst.
Легко видеть, что S здесь может быть совершенно произвольным
преобразованием подгруппы, соответствующей точке Р; поэтому наша группа
содержит в точности оот различных преобразований 5', которые, в свою
очередь, очевидно, образуют m-параметрическую подгруппу группы Gr.
Обобщим прежние результаты этого параграфа следующим образом:
Утверждение 1. Если г-параметрическая группа Gr пространства
Rn содержит в точности оот и не более преобразований S, оставляющих
точку Р инвариантной, и, кроме того, хотя бы одно преобразование Т,
переводящее точку Р в точку Р', то в целом она содержит оот
различных преобразований, переводящих Р в Р'; общий вид этих преобразований
таков: S Т. Кроме того, группа Gr содержит в точности оот
преобразований, оставляющих точку Р' инвариантной, общий вид которых T~l S Т.
Из второй части этого утверждения следует, что те точки, которые
допускают в точности оот преобразований нашей группы, переставляются
между собой преобразованиями этой группы, в то время как их
совокупность остается инвариантной.
Описание всех систем уравнений
253
Таким образом, справедлива
Теорема 38. Совокупность всех точек, допускающих одинаковое
количество, скажем оош и не более, преобразований г-параметрической
группы, остается инвариантной относительно всех преобразований группы.
Эту теорему мы доказали, применяя рассуждения, заимствованные из
теории перестановок. Вместе с тем мы хотим показать, как можно провести
это доказательство, не прибегая к таким рассуждениям, вернее, к языку
теории подстановок.
Точка #5 • • хп, допускающая оош преобразований г-параметрической
группы
df
Xkf = • * * Xn)/fo7 (* = !•••*■)»
i=l Х%
допускает в точности т независимых инфинитезимальных преобразований
этой группы. Поэтому в окрестности точки х\ • • • хп эта группа содержит
в точности т независимых инфинитезимальных преобразований,
разложения которых в ряд по Xi — х® начинаются с членов первого или более
высокого порядка. Если теперь предположить, что в группу введены новые
переменные
п
W* = + 51 а**(Х* " Хк) + * * * (» = 1 • • • n), ±а11 * * * апп Ф О,
г=1
то согласно гл. 11, стр. 220, мы получим в переменных Xi группу, также
содержащую в окрестности х? в точности т независимых
инфинитезимальных преобразований порядка 1 или выше. Если, в частности, предположить,
что переход от Xi к х% является преобразованием группы X\f • • • Xrf, то
группа в переменных х\ просто идентична группе
Xkf = У2ы(хг ••• хп)— (* = 1... г)
(ср. гл. 4, утв. 4, стр. 89). Другими словами, если точка при
преобразовании нашей группы переходит в точку х®, то эта точка также допускает
в точности га независимых инфинитезимальных преобразований этой
группы. Но тем самым теорема 38, очевидно, доказана.
Из теоремы 38 непосредственно следует, что верно также следующее
Утверждение 2. Совокупность всех точек х\ • • • хп, допускающих т
или более независимых инфинитезимальных преобразований
г-параметрической группы Xif • • • Xrf, остается при преобразованиях этой группы
инвариантной.
254
Глава 14
Объединив это утверждение с рассуждениями из главы 11, утв. 4,
стр. 223, мы получим новый важный результат. Там мы видели, что
точки xi • • • хп, допускающие га или более независимых
инфинитезимальных преобразований е\ • X\f + • • • + ег • Xrf r-параметрической группы
X\f - • • Xrf, характеризуются тем, что обращают в нуль все
определители порядка г — га + 1 некоторой матрицы. Теперь мы видим, что
система уравнений, получающаяся в результате приравнивания этих
определителей порядка г — га + 1 к нулю, допускает все преобразования группы
X\f • • • Xrf. В соответствии с этим мы имеем следующую теорему.
Теорема 39. Если г независимых инфинитезимальных преобразований
Xkf = J2bi(*i •••*п)тр- (* = 1- ..г)
t=l axi
порождают г-параметрическую группу, то в результате приравнивания
нулю всех определителей порядка г — га + 1 матрицы
Ы{х) ' ' Ы(х)
€ri(x) * * €гп(х)
(1)
всегда получается система уравнений, допускающая все преобразования
группы X\f • • • Xrf; это справедливо для любого числа т ^ г, но лишь при
условии, что системы значений Х\ • • • хп, обращающие все такие
определители порядка г — т + 1 в нуль, вообще существуют.
Далее в этой главе (§§ 66 и 67, стр. 264 и 265) мы дадим еще два
других, чисто аналитических, доказательства этой важной вышеизложенной
теоремы. А пока заметим лишь следующее.
Теорема 39 показывает, что между задачей из главы 7, стр. 137-148,
и задачей из настоящей главы имеется существенное различие.
Если Xif • • • Xrf порождают r-параметрическую группу, то
приравнивая нулю все определители порядка г — га + 1 матрицы (1), мы всегда
получим инвариантную систему уравнений, если только все эти
определители действительно одновременно могут обращаться в нуль. Ситуация
будет иной, если относительно Xkf предполагается лишь, что они, будучи
приравнены нулю, дают полную систему из г или менее уравнений. В этом
случае инвариантные системы, включающие в себя уравнения, полученные
в результате приравнивания соответствующих определителей нулю, вполне
могут существовать. Однако далеко не всегда в результате приравнивания
Описание всех систем уравнений
255
этих определителей нулю сразу получается инвариантная система
уравнений. Для проверки условия инвариантности в общем случае понадобятся
дополнительные операции, описанные в гл. 7, стр. 138.
В последнем параграфе этой главы, стр. 268 и далее, мы остановимся
на этом вопросе подробнее.
§63
В предыдущем параграфе мы видели, что из инфинитезимальных
преобразований r-параметрической группы можно без интегрирования
получить некоторые системы уравнений, остающиеся инвариантными
относительно данной группы. Теперь мы покажем, как находятся все системы
уравнений, которые допускают г-параметрическую группу с заданными
инфинитезимальными преобразованиями:
Мы полагаем, что среди г уравнений X\f = О, • • • Xrf = О имеется в
точности q друг от друга независимых, т. е. что все определители порядка q+1,
но не все определители порядка q в матрице (1) обращаются в нуль
тождественно.
Также, как в гл. 7, стр. 134 и 137, мы можем тогда разделить
системы уравнений, допускающие г инфинитезимальных преобразований
Xif • • • Xrf, на q + 1 различных классов. К одному и тому же классу мы
отнесем при этом те системы уравнений, в силу которых все
определители порядка р + 1, но не все определители порядка р матрицы (1)
обращаются в нуль, под р понимается одно из q + 1 чисел q, q — 1, • • • 1,0. Если
мы предпочтем использование терминологии теории многообразий, то мы
должны будем сказать: к одному и тому же классу относятся те
инвариантные многообразия, точки которых допускают одинаковое число, например
ровно г — р, независимых инфинитезимальных преобразований ei - X\f +
+ • • • + ее • Xrf. Каждой точке такого многообразия инфинитезимальные
преобразования Xif - - - Xrf ставят в соответствие в точности р
независимых направлений, которые, в свою очередь, касаются этого многообразия
(ср. гл. 7, стр. 148).
Польза этой классификации состоит в том, что можно рассматривать
каждый класс в отдельности и описывать относящиеся к нему системы
уравнений и многообразия.
256
Глава 14
Если число р равно q, то все инвариантные системы уравнений,
принадлежащие соответствующему классу, описываются при помощи
теоремы 17, гл. 7, стр. 137, согласно которой каждая такая система может быть
представлена соотношениями между общими решениями уравнений Х\ f =
= 0, • • ■ Xrf = 0. Поскольку эти г уравнений образуют ^-параметрическую
полную систему, то они будут лишь тогда иметь общие решения, когда
q < п.
Случай р = q мы можем теперь не рассматривать. Отныне мы
предполагаем, что р — одно из чисел 0,1, q — 1, и ставим себе задачу описать все
инвариантные относительно группы X\f • • • Xrf многообразия,
принадлежащие классу, заданному числом р.
Первый шаг к решению этой задачи — определение местонахождения
всех точек, для которых все определители порядка р + 1, но не все
определители порядка р матрицы (1) обращаются в нуль. Это множество,
очевидно, содержит все многообразия, инвариантные относительно этой группы
и принадлежащие нашему классу; кроме того, оно само согласно
теореме 38, стр. 253, образует инвариантное многообразие.
Чтобы найти искомое множество, сначала найдем совокупность всех
точек, для которых по меньшей мере все определители порядка р + 1
матрицы (1) обращаются в нуль, то есть вычислим все определители порядка
р + 1 упомянутой матрицы — обозначим их через А\, А2 • • • AQ — и
положим их равными нулю:
Аг =0,.-. Ав = 0.
Найденные таким образом уравнения задают многообразие, являющееся
согласно теореме 39, стр. 254, инвариантным относительно этой группы
и содержащее искомое множество.
Если же никакой системы значений х\ • • • хП9 обращающей все А
в нуль вообще не существует, или если определители порядка р + 1
обращаются, в нуль лишь в том случае, когда и все определители порядка
р одновременно обращаются в нуль, то понятно, что класс, отвечающий
числу р, не содержит вообще никаких многообразий, инвариантных
относительно группы Хг/ • • • Xrf. Таким образом, мы видим, что далеко не
каждый из наших q + 1 классов должен быть представлен
принадлежащими ему многообразиями.
Предположим, что для выбранного нами р ни один из упомянутых
исключительных случаев не имеет места, т. е. что действительно имеются
системы значений х\ • • • хп, для которых все определители порядка р + 1,
но не все — порядка р матрицы (1) обращаются в нуль.
Многообразие Аг = 0, - • • Аб = 0 остается, как мы уже заметили,
Описание всех систем уравнений
257
инвариантным относительно группы X\f•• • Xrf. Если это многообразие
приводимо, то есть состоит из дискретного числа различных многообразий,
то оно попросту распадается на столько же инвариантных по отдельности
многообразий. В самом деле, группа X\f • • • Xrf порождена инфинитези-
мальными преобразованиями, поэтому если она оставляет инвариантной
совокупность нескольких конечным образом различных многообразий, то
она должна оставлять неподвижным каждое отдельное из этих
многообразий.
Пусть Mi, М2, • • — отдельные неприводимые и потому инвариантные
относительно группы многообразия, на которые распадается многообразие
Л\ = О, • • • Ав = 0. Среди них могут тогда иметься некоторые
многообразия, для точек которых все определители порядка р матрицы (1)
также обращаются в нуль. Если исключить все многообразия с этим особым
свойством, то останутся еще некоторые многообразия Mi, М2, • • •,
совокупность которых очевидно образует множество всех точек, для которых все
определители порядка р + 1, но не все определители порядка р матрицы (1)
обращаются в нуль.
Тем самым мы нашли искомое множество; вместе с тем мы видим,
что это множество может состоять из дискретной совокупности отдельных
инвариантных многообразий Mi, М2, • • •, каждое из которых, разумеется,
принадлежит классу, заданному числом р.
Очевидно, что всякое инвариантное относительно нашей группы
многообразие, принадлежащее классу, соответствующему числу р,
содержится в одном из многообразий Mi,M2, •••• Поэтому, чтобы найти все
такие многообразия, нам нужно лишь рассмотреть каждое из многообразий
Mi, М2, • • • по отдельности и описать содержащиеся в нем инвариантные
многообразия, принадлежащие упомянутому классу. Согласно одному из
предыдущих замечаний (гл. 7, утв. 6, стр. 151) любое инвариантное
многообразие, принадлежащее классу р, является по крайней мере р-мерным.
§64
Задача, к которой мы были приведены в конце предыдущего параграфа,
является частным случаем следующей общей задачи.
Даны уравнения неприводимого многообразия М, остающегося при
преобразованиях r-параметрической группы X\f Xrf инвариантным.
Точкам этого многообразия инфинитезимальные преобразования
X\f • • • Xrf в общем случае ставят в соответствие ровно р
независимых направлений, которые, разумеется, касаются этого (по крайней мере
258
Глава 14
р-мерного) многообразия. Надо найти все содержащиеся в М
инвариантные подмножества, точкам которых инфинитезимальные преобразования
Xif • • • Xrf также ставят в соответствие ровно р независимых
направлений.
Эту задачу мы теперь решим.
Мы предполагаем, что уравнения многообразия М даны нам в
разрешенном виде:
Xs+i - <£s+i(£i ' ' • Х8) = 0 (i = 1 • • • п - s),
но не должны при этом забывать, что, сделав выбор определенного
разрешения, мы исключаем все системы значений xi • • • хп, для которых
именно это разрешение уравнений невозможно. Вполне вероятно, что мы
таким образом исключаем некоторые инвариантные подмножества
многообразия М, которые получили бы при другом разрешении.
Случай р = 0 особо рассматривать нет надобности, поскольку
многообразие М состоит в этом случае, очевидно, только из инвариантных точек.
Чтобы решить эту задачу для остальных значений р, необходимо
сделать несколько предварительных замечаний, которые сами по себе очень
важны и вдобавок тесно связаны с аналитическими построениями в
главе 7, стр. 140-141.
Поскольку многообразие М остается инвариантным при
преобразованиях нашей группы, то его точки переставляются между собой
преобразованиями этой группы. Поэтому если не принимать во внимание точки,
лежащие за пределами М, то наша группа Xif • • • Xrf задаст некоторую
группу преобразований точек многообразия М (ср. стр. 27). Конечно, эта
новая группа не обязана содержать г существенных параметров, так как
может случиться, что некоторая подгруппа группы Xif • • • Xrf оставляет
неподвижными все точки из М по отдельности.
Сначала обобщим сказанное в утверждении.
Теорема 40. Точки многообразия, остающегося инвариантным
относительно r-параметрической группы пространства (xi • • • хп), в свою
очередь, преобразуются непрерывной группой, содержащей г или менее
параметров.
Поскольку мы полагаем, что инвариантное многообразие М
является неприводимым, мы можем рассматривать его как некоторое
пространство само по себе. Поэтому мы должны получить аналитическое
выражение группы преобразований, которая преобразует точки этого пространства,
Описание всех систем уравнений
259
если сопоставим точкам из М некоторую систему координат на этом
многообразии и проследим, как эти координаты преобразуются под действием
группы X\f • • • Xrf.
При наложенных условиях группу, преобразующую точки из М,
можно задать непосредственно. Действительно, нам требуется лишь
истолковать х\ • • • х3 как координаты точек из М и в конечных уравнениях х[ =
= /г(х, а) группы X\f • • • Xrf заменить x5+i • • • хп на </?5+i • • - <рп или
опустить; тогда мы получим следующие уравнения данной группы:
xi = fi(xl ' ' ' xs, ' • ' 4>п, «1 * * • €Lr) (г = 1 • • • s).
Можно было бы непосредственно убедиться, что мы действительно
имеем дело с группой в переменных xi • • • х3. Для этого достаточно
было бы выполнить последовательно два преобразования указанного
вида и затем учесть два факта: во-первых, что преобразования х\ =
— fi(xi ' • • хп, «1 " ' о»г) образуют группу, и, во-вторых, что система
уравнений х5+г = (fs+i эту группу допускает.
Если же, напротив, желательно знать инфинитезимальные
преобразования этой группы в переменных х\ • • х5, то надо лишь отбросить в Xkf
df df
члены с ^ • • • а в остальных членах заменить х3+\ • • хп на <р.
Находим г инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2^кЛх1 хп,Ч>з+\ ••• </>п)д (* = 1 ••• г),
i/=l °Хи
которые, однако, не обязаны быть друг от друга независимыми.
Мы непосредственно проверим, что укороченные
инфинитезимальные преобразования Xkf порождают группу. Соответствующие
вычисления очень похожи на те, что были проведены в гл. 7, стр. 146.
Как и тогда, мы обозначим выполнение подстановки x5+i = (fs+i
через [ ]. Тогда прежде всего мы имеем:
°Xv
Далее мы видим из уравнения (3), глава 7, стр. 123, что
ХкЩ = [ХкП),
260
Глава 14
где под Q понимается совершенно произвольная функция от х\ • • • хп.
Отсюда следует:
(ВД) = ]Г{[Х^„] -
а так как имеют место соотношения вида
3
{XkXj) = ]Р Ckjn • X^f
или, что то же самое, вида
3
i/=l
то мы просто получаем
3
[XkXj) = ^Ск^ • X^f.
Тем самым чисто аналитически доказано, что X\f--- Xrf порождают
группу.
Инфинитезимальные преобразования X\f--- Xrf пространства х\ • • • хп
каждой точке общего положения на многообразии М ставят в соответствие
в точности р независимых направлений dx\ : • • • : dxn, которые, как
известно, касаются этого многообразия. Можно предвидеть, что
инфинитезимальные преобразования X\f - - - Xrf пространства х\ • • • ха или, что то же
самое, многообразия М также ставят в соответствие каждой точке х\ • • • х3
общего положения в точности р независимых направлений dx\ : • • • : dx3.
Мы проверим, что это действительно так. При наложенных условиях все
определители порядка р + 1, но не все определители порядка р матрицы (1)
обращаются в нуль при подстановке xs+\ = <^3+ь следовательно, среди г
уравнений
Ы|£ + - + [Ы!£ = 0 (.-1..Т) (2)
имеется в точности р независимых. Отсюда следует, что из г уравнений
Xkf = 0 имеется не более р независимых; наша задача — доказать, что их
ровно р. Это несложно.
Описание всех систем уравнений
261
Поскольку система уравнений xs+i — (fs+\ = 0 допускает
инфинитезимальные преобразования Xkf, то имеет место тождество
[Хк{х3+г -</Vh)] = О,
или подробнее:
s
Если обозначить через Xi * * * Хг произвольные функции от х\ • • • xs, то мы
имеем
г г
Y2 х* = ■ ^*^+*-
fc=l к=1
Если теперь имеются г функций фг • • • фг от х\ • • • х3, не обращающихся
одновременно в нуль, таких, что уравнение
г
5^*0*1 **• xs)-Xkf = о
тождественно выполняется, то мы получим
г г
откуда также:
г п df
^ЫХ\ • ' ' жп) ' д&Л^ = 0.
Тем самым доказано, что среди уравнений
Л?1/ = 0,---Хг/ = 0
ровно столько же независимых, сколько и среди уравнений (2), то есть
ровно р.
Теперь мы, наконец-то, имеем возможность решить задачу,
поставленную в начале параграфа, на стр. 257.
Речь идет о нахождении некоторых инвариантных относительно
группы Xif • • • Xrf подмножеств инвариантного многообразия М, а
именно: тех подмножеств, точкам которых инфинитезимальные преобразования
262
Глава 14
Xif-- - Xrf ставят в соответствие в точности р независимых
направлений. Эти подмножества можно, согласно вышесказанному, определить как
некоторые многообразия пространства Xi - • - xs; они характеризуются тем,
что допускают _группу Xif - - - Xrf, и что инфинитезимальные
преобразования Xif - - - Xrf ставят их точкам в соответствие ровно р независимых
направлений. Наша задача сводится, таким образом, к следующей.
В з-мерном пространстве М дана группа Xif - - - Xrf,
инфинитезимальные преобразования которой сопоставляют точкам общего положения
в этом пространстве в точности р < s независимых направлений. Требуется
найти все такие инвариантные многообразия, содержащиеся в М.
Эту задачу _мы уже,_однако, решили выше (стр. 255); только тогда
вместо группы Xif - - • Xrf рассматривалась группа Xif - - - Xrf9
вместо s — число п, вместо р — число q. Искомые многообразия
представляются согласно этому при помощи соотношений между решениями
р-параметрической полной системы, которую задают уравнения X\f =
= 0, • • • Xrf = 0. Если эти соотношения добавить к уравнениям
многообразия М, то получатся уравнения инвариантных подмножеств в М в
исходных переменных xi - - - хп.
Конечно, инвариантные подмножества требуемого типа имеются в М
лишь тогда, когда s > р, и отсутствуют, если числа вир равны.
Итак, мы имеем, прежде всего, следующий важный результат:
Теорема 41. Если s-мерное многообразие пространства xi - - - хп
допускает г-параметрическую группу Xif - - - Xrf, и если точкам этого
многообразия инфинитезимальными преобразованиями этой группы ставятся
в соответствие ровно р независимых направлений, которые тогда
заведомо касаются многообразия, то s ^ р; в случае s > р многообразие
разбивается на оо3~р р-мерных подмножеств, каждое из которых допускает
группу Xif - Xrf.
Вместе с тем также полностью решена задача, к которой мы были
приведены в конце предыдущего параграфа (стр. 257), а следовательно,
получено описание всех систем уравнений, допускающих группу Xif - - • Xrf.
Для дальнейшего использования еще раз сведем воедино необходимые для
этого шаги.
Теорема 42. Если г независимых инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2Ы(х1 ••• хп)-к— (fc = 1 ••• г)
Описание всех систем уравнений
263
порождают г-параметрическую группу, и если при этом все
определители порядка q + 1, но не все определители порядка q матрицы
обращаются в нуль тождественно, то все системы уравнений или, что
то же самое, все многообразия, которые допускает эта группа, находятся
следующим образом:
Разобьем данные системы уравнений и соответственно
многообразия на q -Ь 1 различных классов, причисляя к одному и тому же классу
те системы уравнений, в силу которых все определители порядка р + 1,
но не все определители порядка р вышеупомянутой матрицы обращаются
в нуль, где под р понимается одно из чисел q, q — 1, • • • 1,0.
Чтобы теперь найти все инвариантные системы уравнений,
относящиеся к определенному классу, выделим все определители порядка р + 1
матрицы А\, А2, • • • Ав и приравняем их нулю. Если не существует
никакой системы значений х\ • • • хп, которая все g определителей Ai
одновременно обращает в нуль, то класс, задаваемый числом р, не содержит
вообще никаких инвариантных многообразий; то же самое, очевидно,
справедливо и для классов, отвечающих числам р — 1,р — 2, • • • 1,0. С другой
стороны, если все системы значений х\ • • • хп, которые обращают в нуль
А\ • • • Ав, одновременно приводят к обращению в нуль всех
определителей порядка р нашей матрицы, то и в этом случае класс с числом р вообще
не будет представлен многообразиями. Если же ни один из этих двух
случаев не имеет места, то система уравнений
Аг =0,-- - AQ = 0
представляет то инвариантное относительно этой группы многообразие
М, в котором содержатся все инвариантные многообразия из класса,
задаваемого числом р. Если М распадается на дискретное множество
многообразий Mi, М2 • • •, то они остаются инвариантными по отдельности,
но в любом из этих многообразий может содержаться бесконечно много
инвариантных подмножеств, принадлежащих тому же классу, что и М.
Чтобы найти эти подмножества, рассмотрим уравнения, например,
задающие Mi в разрешенном виде:
Xs+i = </Vm(x1 ' • * Xs) (г = 1 • • • n - s),
264
Глава 14
где целое число s больше либо равно р. Наконец, выпишем г уравнений
xkf = У2^Axi ••• хп, <рз+1--- ч>п)-~— = о
|/=1 axv
и вычислим какие-либо s — р независимых решений
u>i(xi • • • хп) • • -ш9-р(х\ • • • хп)
р-параметрической полной системы, заданной этими уравнениями. Тогда
общее аналитическое выражение искомых инвариантных подмножеств
в Mi таково:
Xs+i ~ 4>s+i{Xi • • • Хп) = 0, rl)j(uJi • "Шз-р) = О
(г = 1 • • • п - s; j = 1 • • • m),
где т ^ s —р соотношений tpj = 0 являются совершенно произвольными.
Таким же образом, как с М\, следует поступить, разумеется,
и с Мг, • • •. В качестве р, кроме того, надо по порядку подставить все
q+1 чисел q - 1,• • • 1,0.
§65
В качестве примера использования вышеизложенных рассуждений
рассмотрим трехпараметрическую группу
, df df „ . df df
dy+yZd-z
обычного пространства. Эта группа транзитивна, так как определитель
0
0
1
У
-z + xy у' yz
= -(z-xy)2
не обращается тождественно в нуль. Отсюда мы заключаем, что
поверхность второго порядка z — ху — 0 остается инвариантной относительно
этой группы, но только она и никакая другая.
Описание всех систем уравнений
265
Для точек поверхности z — ху = 0 — и только для них —
обращаются в нуль даже все двумерные миноры матрицы Д тогда так одномерные
миноры не могут одновременно обращаться в нуль. Отсюда следует, что
инвариантная поверхность разбивается на ос1 инвариантных кривых, при
этом никаких других инвариантных кривых не возникает, а инвариантных
точек нет вообще.
Чтобы найти оо1 инвариантных кривых на поверхности z—xy = О,
выберем х и у в качестве координат для точек поверхности и зададим согласно
изложенному выше правилу укороченные инфинитезимальные
преобразования в переменных х, у:
Три уравнения Xkf = 0 сводятся к одному единственному, решением
которого является х. Следовательно, искомые кривые задаются уравнениями
z — ху = О, х = const,
то есть каждая отдельная прямая из семейства прямолинейных образующих
на этой поверхности второго порядка остается инвариантной.
§66
Здесь мы дадим одно из двух новых, обещанных на стр. 254
доказательств важной теоремы 39.
Как и прежде, через А\(х) • • • AQ(x) мы обозначаем все
определители порядка р + 1 матрицы
6-1 (я)
6п(ж)
£гп(х)
(3)
Кроме того, мы предполагаем, что существует система значений х\ • • хп,
обращающая все д определителей А в нуль. Требуется доказать, что
система уравнений
Аг(х) =(),••• Ав(х) = 0
допускает все преобразования
А = fi(xi • • • хп, а\ • • • аг) (г = 1 • • • п)
266
Глава 14
г-параметрической группы Xif • • • Xrf.
Согласно гл. 6, стр. 110, достаточно доказать, что система уравнений
4i(x') = 0,.-. AQ(x') = 0
при подстановке х\ — /i(x,a) будет эквивалентна системе уравнений
Ai(x) = 0,-- - Ае(х)=0;
при этом совершенно безразлично, являются уравнения Ai = 0, • • • Ав = 0
друг от друга независимыми или нет.
Чтобы теперь доказать, что наша система уравнений действительно
обладает данным свойством, мы поступим следующим образом.
В гл. 4, стр. 89, мы видели, что в силу уравнений х\ = /Дх, а) имеет
место соотношение вида
j^e'k-X'kf = j^ek-Xkf, (4)
к=1 к=1
в котором е'к связаны с еь посредством г уравнений
г г
ч = - ^*(а) ■ а»*(а) ■е'*= 5Z wj»(a) •е*-
7Г,Ас = 1 7Г = 1
Подставляя записанные выше выражения для в (4) и сравнивая
коэффициенты в обеих частях, получаем г соотношений
г
Kf = Y.u;ok{o)-Xjf (* = i...r),
которые, очевидно, обращаются в тождества, если выразить х' через х при
помощи уравнений х\ — /*(х, а).
В только что найденных уравнениях подставим вместо / функцию х\
и получим таким образом уравнения
г
Е/ \ V^«t / ,dfi(x,a)
Описание всех систем уравнений
267
которые выражают £ki ix) непосредственно как функции от х и а. Это дает
нам возможность исследовать поведение уравнений А(х') = О при
подстановке х\ = fi(x,a).
Определители А\(х') - • • Лв{х') получаются из матрицы
Ы{х') ' ' Ы{х')
6асо • • uoo
точно так же, как определители Л\{х) • • • Лв(х) из матрицы (3). Если
теперь подставить найденные прежде значения
г
ы(х') = • Xjx\
в только что записанную матрицу, а затем вычислить определители, то мы,
прежде всего, увидим следующее: определители Аа(х') имеют вид
Q
Л<т(х') = *°т(а) Dr (<r = 1 • • • <?),
т=1
где Хат — некоторые, образованные из Ujk(a) определители, тогда как
D\-De означают все определители порядка р + 1 матрицы
Хгх[ • • Ххх'п
Хгх^ • • Хгхп
Наконец, если заменить каждую величину Хкх\ ее значением:
X*x'i = ^^Лх)Э^а\
то мы получим для определителей DT выражения вида
Q
Dr = Yl ^т»(х, а) • А^(х),
. dfi(x,a)
где 1рТц — некоторые, составленные из — определители.
ОХ и
268
Глава 14
Этим доказано, что Аа(х') при подстановке х\ = fi(x,a) принимают
вид
Q
r,/x=l
Поскольку функции Х(тт(о)у ^Гд(ж,а) ведут себя для рассматриваемых
систем значений х, а, вообще говоря, регулярно, то ясно, что система
уравнений А(Т(х') = 0 при подстановке х[ = /j(x,a) будет эквивалентна системе
уравнений Аа(х) = 0, то есть что последняя система уравнений допускает
все преобразования х'г = /г(х, а), что и требовалось доказать.
§67
Теорема 39 является настолько важной, что видится нелишним дать
еще одно, третье ее доказательство.
Согласно утверждению 3 из главы 7 (стр. 127) система уравнений А\ =
= 0, • • Ав = 0 заведомо допускает все преобразования г-параметрической
группы X\f • • • Хг/, если имеют место соотношения вида
Q
ХкАа = Y^^t{xi • • • Хп) • Дг (* = 1 • • • г, <т = 1 ■ ■ ■ я),
т=1
и если, кроме того, функции a;ar ведут себя регулярно для таких систем
значений х\ • • хта, которые удовлетворяют уравнениям А\ = 0, • • • Ле =
= 0. В нашем случае нетрудно доказать, что система уравнений Аа = 0
этими свойствами обладает. Однако, чтобы не быть многословными, мы
приведем доказательство только для одного наиболее простого случая. Из
него достаточно хорошо видно, как поступать в общем случае.
Во-первых, предположим, что наша группа является просто
транзитивной. Тогда она содержит п независимых инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xnf и, кроме того, определитель
А =
Ы(х) ' * Ы(х)
fnlfa) ' * €пп(х)
не обращается тождественно в нуль.
Далее ограничимся доказательством того, что выполняются п
соотношений вида
Х\А = u)%\x\ • • • хп) А (г = 1 • • • п),
Описание всех систем уравнений
269
то есть что уравнение А = О допускает все преобразования группы.
Инвариантные системы уравнений, получающиеся путем приравнивания нулю
миноров определителя Л, мы при этом обсуждать не будем.
Если выразить миноры порядка п — 1 определителя А через частные
производные А по ^fJtl/9 то для Xi А получится выражение
XiA= Xi^v— .
Преобразования Xif • • • Xnf порождают п-параметрическую группу, т.е.
имеют место соотношения вида
(Xi Хц) — Ci^sXgf
3=1
или, если записать подробнее,
п
Xi — Хц ^iv = ^ ^ Cins^sw
3=1
Таким образом, для Xi получается нижеследующее выражение:
п
Xi — ^ ] (£дв + Ci д в €«!/)•
Если подставить его в вышестоящее уравнение для XiA, то получим,
д,1/,а=1 ^
Здесь можно выразить коэффициенты при и СгД5 через А согласно
ОХз
известному утверждению об определителях. А именно:
Ее 1А. -с Л
д=1
Ее ЗА _е л
270
Глава 14
где величина епв обращается в нуль, если 7г и д отличны друг от друга, в то
время как ежж всегда имеет значение 1. Используя эти формулы, получаем,
{п d£ п 1
а отсюда, наконец, следует:
Х{Л = Л^2в31/ + Ci3S^ (г = 1 • • • п). (5)
Поскольку, как всегда, учитываются только такие системы значений
х\ • • • хп, для которых все £ы(х) ведут себя регулярно, то и сомножитель,
стоящий в правой части после А, очевидно, ведет себя для
рассматриваемых систем значений х\ • • • хп регулярно. Но если уравнение А = 0
выполняется для подобных систем значений х\ • • хп, то согласно
утверждению 3, стр. 127, оно допускает все преобразования группы X\f • • • Xnf.
§68
Как уже подчеркивалось на стр. 248, рассуждения в настоящей главе
очень похожи на рассуждения из главы 7, стр. 134. Тем более важно
поэтому уяснить различия между этими двумя теориями.
Первое различие мы уже упоминали на странице 254. Оно состоит
в следующем: если г независимых инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xnf порождают r-параметрическую группу, то каждая из уже
достаточно часто упоминавшихся систем уравнений А\ = 0, • • Ав = 0,
полученных из определителей, допускает все инфинитезимальные
преобразования X\f • • • Xrf. Если же на эти г инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xrf наложено лишь то ограничение, что независимые из
уравнений X\f = 0, • • • Xrf — 0 образуют полную систему, то, вообще говоря,
ни одна из систем уравнений А\ = 0, • • • Ав = 0 не обязана допускать
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xrf.
Впрочем, при известных условиях можно и во втором из упомянутых
случаев быть заранее уверенным в том, что система уравнений А\ = 0, • • • Ав =
= 0, полученная из определителей, допускает инфинитезимальные преобразования
Пусть г независимых инфинитезимальных преобразований X\f • Xrf
таковы, что независимые из г уравнений Xif = 0,-Xrf = 0 образуют полную
Описание всех систем уравнений
271
систему, так что выполняются соотношения вида
(XiXk) = yikl(xi ••• *n)-Ai/+-"+7<fcr(*i ••• xn)-Xrf (i,k= 1 ••• r). (6)
Обозначим определители порядка p + 1 матрицы
€n(x) • • 6n(x)
€п(я) • • £rn(:r)
(7)
через Ai,-- - A6. Тогда, если существуют системы значений х\ • • • хп, для которых
все определители А\--- Ав обращаются в нуль, и если все функции 7ikj(xi • • хп)
ведут себя для этих систем значений регулярно, можно показать, что система
уравнений А\ = О, • • • Ав = О допускает инфинитезимальные преобразования
Хг/'-Xrf.
В дальнейшем это утверждение роли не играет, поэтому мы ограничимся тем,
что докажем его только для одного наиболее простого случая; доказательство
общего утверждения можно провести совершенно аналогичным образом.
Предположим, что г = п, и что п уравнений Xif = О, • • • Xnf = 0
независимы друг от друга; кроме того, пусть р = п — 1. Матрица (7) сводится тогда к не
обращающемуся в нуль тождественно определителю
Л = £±&1-"€пп
и содержит один единственный определитель порядка р+1, а именно сам А. Мы
покажем, что это уравнение заведомо допускает инфинитезимальные преобразования
Xif - • - Xnf, если функции 7^ в уравнениях
п
(XiXk) = Y,4ikj-Xjf (i,k = l~.n)
j=i
ведут себя регулярно для тех систем значений х\ • • • хп, которые обращают А
в нуль.
Согласно гл. 7, утверждение 3, стр. 127, нам необходимо лишь доказать, что
каждое выражение Хк А можно представить в виде u)k(xi • • хп)• А, и что ик ведут
себя для систем значений, удовлетворяющих А = 0, регулярно. Это доказательство
проводится тем же путем, что и в предыдущем параграфе. Мы просто вычисляем
выражения Хк А и находим тем же образом:
ХИ = 4]Г{^ + 7fc^(xi • • • хп)} (к = 1 • • • п).
Необходимое для этого вычисление — точно такое же, как и прежде, хотя
прежние константы dkj заменены функциями ^ikj(x); если тем не менее никакого
различия не наблюдается, то причина этого такова, что в предыдущем параграфе тот
факт, что dkj являются константами, никак не использовался.
272
ГЛАВА 14
Сомножители, стоящие после Л в правой части приведенных выше уравнений,
очевидно, ведут себя для систем значений, удовлетворяющих Л = О, регулярно, то
есть мы видим, что уравнение Л = О действительно допускает инфинитезимальные
преобразования Xif • • • Xnf.
Второе важное различие между случаем r-параметрической группы
X\f • • • Xrf и более общим случаем из главы 7 проявляется, если мы уже
знаем многообразие М, допускающее все инфинитезимальные
преобразования X\f • - • Xrf.
Мы полагаем, что X\f - • • Xrf ставят точкам из М в соответствие
ровно р независимых направлений, и что, в частности, Xif • • • Xpf задают
р независимых направлений. В этих предположениях для точек из М имеют
место соотношения вида
Xp+kf = <fki(xi * * * Хп)' Xif Н Ь <fkp(xi • • • хп) • Xpf
(*=l...r-p),
где (fkj ведут себя регулярно; с другой стороны, никаких соотношений вида
Xi(х\ • - • хп) - Xif + • • • + xP{xi • • • хп) • Xpf = О
нет. Если теперь Xif---Xrf порождают r-параметрическую группу, то
все (XiXk) для точек из М можно представить в виде
р
(Х{Хк) = ^2i>ikj{xi хп) • X3f (*,* = l ... г),
i=l
и tfrikj ведут себя при этом регулярно. Если же Xif,-- - Xrf обладают
лишь тем свойством, что независимые из уравнений Xif = 0, • • • Xrf =
= 0 образуют полную систему, то такое представление выражений (XiXk)
для точек многообразия М не во всех случаях возможно; но оно всегда
возможно, если функции 7^ в уравнениях (6) ведут себя регулярно для
систем значений Х\ • • • хп. Это обстоятельство мы уже научились
использовать в главе 7, стр. 145 и далее.
Глава 15
Инвариантные семейства
инфинитезимальных преобразований
Под
мы, как обычно, понимаем независимые инфинитезимальные
преобразования, и пока это единственное условие, которое мы налагаем на Xkf.
Рассмотрим семейство из ос9-1 инфинитезимальных преобразований,
представленное выражением
с q произвольными параметрами е\ • • • ея. Если мы введем новые
независимые переменные х' вместо х, то всякое инфинитезимальное
преобразование нашего семейства принимает новый вид; в соответствии с этим мы,
очевидно, получим, вообще говоря, совершенно новое семейство из оо9-1
инфинитезимальных преобразований. Однако при определенных условиях
может случиться, что новое семейство несущественно отличается по виду
от исходного, если для произвольных значений е имеет место соотношение
следующего типа:
в котором е'к зависят не от х, а лишь от е\ • • • ея.
Если соотношение такого рода, которое мы также можем кратко
записать в виде
ei-Xif + --- + eq-Xqf
q п
к=1 г=1
Я
Я
(2)
274
Глава 15
имеет место, то мы говорим: семейство инфинитезимальных
преобразований YlekXkf остается при введении новых переменных х'
инвариантным, или: оно допускает преобразование, представленное данной
заменой переменных.
Пусть семейство из оо9-1 инфинитезимальных преобразований
^2 ekXkf остается при переходе к переменным х' инвариантным, то есть
имеет место соотношение вида
где е' — некоторые функции, зависящие только от е. Сначала рассмотрим
это отношение зависимости между е и е'; так мы получаем отправную
точку для более точного анализа семейств инфинитезимальных
преобразований подобного рода.
Выражение Xkf можно записать так:
Если подставить это значение в уравнение (2), то можно приравнять
коэффициенты при в обеих частях и получить таким образом следую-
OXi
щие линейные соотношения между еие':
§69
(2)
или, если выразить Хкх\ через х'\
я я
]Ге'к • tkiirf) = ]Г efc • г)ы{х') (t = 1 • • • п).
(2')
fc=l к=\
Согласно нашему условию можно вместо е' подставить такие функции
только от е, что уравнения (2') будут выполняться для всех значений х'.
Можно показать, что эти функции от е однозначно определены.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 275
Поскольку уравнения (2') должны выполняться для всех значений я',
то они должны также иметь место, если заменить х\ • • • х'п любой другой
системой переменных. Сделаем это и запишем уравнения (2') ровно для q
различных систем переменных: х\ • • • хп, х'{ • • • х^, • • • х^ • • • хпя^:
я я
^е'к.Ы(х^) = ^ек-Щг(хМ) (i = i...n) (i/ = l...9).
к=1 к=1
Полученные таким образом уравнения разрешимы относительно е[ - • • е'д,
так как при наложенных условиях согласно рассуждениям в главе 3, стр. 69,
не все определители порядка q матрицы
£11 * * Cin £11 *
4"gl " * 4"gn 4"д1
обращаются в нуль.
Поскольку, кроме того, данные уравнения, несомненно, являются
совместными, то мы получим величины е', представленные как линейные
однородные функции от е:
я
е'к = YlQkJeJ (к = 1'" Я)-
3=1
Разумеется, gkj здесь являются независимыми от х',х" • • • х^ и
потому абсолютными константами; определитель, составленный из Qkj,
отличен от нуля, так как ек, очевидно, можно таким же образом представить
как линейные однородные функции от е'.
Даже если семейство инфинитезимальных преобразований ^ ekXkf
при наложенных условиях и введении х' остается инвариантным, то его
отдельные преобразования в общем случае переставляются между собой.
Однако всегда имеется по крайней мере одно инфинитезимальное
преобразование ^ eiPXkf, само остающееся инвариантным, поскольку условие
J2ek°-Xkf=u>J2ek°-Xkf,
к=1 к=1
которому должны удовлетворять коэффициенты такого
инфинитезимального преобразования, можно заменить q уравнениями
я
и ек° = ^Г, Qkj е/ (fc = 1 ■ ■ • 9),
sin
Sqm
Ля)
Sin
Ля)
Sgn
276
Глава 15
и последние всегда можно удовлетворить так, чтобы не все ек° обращались
в нуль.
Самым подходящим для более детального объяснения вышесказанного
будет следующий пример.
В семействе из оо3 инфинитезимальных преобразований
df df ( 2df df\ ( df 28f\
ei^7 + е2дх~2 +ез lXl^7 + XlX2dx~2) + 64 {^dx-, + X>dx~2 )
введем новые переменные, полагая
х\ = а\Х\ + а2х2, х2 = а^х\ + d\x2.
Семейство получит при этом новый вид:
+е2дх>2 +ез Г1 дх\ +XlX2dx'2) +ч у^дх', +Х2 дх>2
2 ,
где е[ • • • е'А выражаются следующим образом:
е[ = а\в\ + а2е2у е2 = а$е\ + а±е2, е'3 =
а±еъ — азб4 , а\е^ — а2е$
, е4 = .
а\й4 — а2а$ * а\а,4 — а2а^
Таким образом, это семейство остается в определенном выше смысле
инвариантным. Если мы хотим узнать, какие отдельные
инфинитезимальные преобразования семейства остаются инвариантными, то надо лишь
определить и из уравнения
а\ — и а2
аз ад — uj
<Х\Ш — 1 а2
аз a^oj — 1
О
и выбрать ei • • • б4 такими, чтобы ек = иек\ соответствующие системы
значений ек дают нам инвариантные инфинитезимальные преобразования.
Возвращаясь теперь к общему случаю, мы конкретизируем
наложенные выше условия в одном определенном направлении. А именно: мы
предполагаем, что переход от х к х' является совершенно произвольным
преобразованием некой однопараметрической группы. В соответствии с этим мы
зададим себе теперь следующий вопрос.
При каких условиях семейство ^ ekXkf остается инвариантным
относительно любого преобразования х\ = fi{x\ — • xn,t)
однопараметрической группы Y f, другими словами, при каких условиях для каждой системы
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 277
значений е\ • • • er, t имеет место соотношение
к=1 к=1
в котором е'к зависят кроме ej еще только от t?
Если применить общее преобразование
х\ = Xi + t • Yxi Н (t = 1 • • • n)
однопараметрической группы У/, чтобы ввести в Xkf новые переменные,
то согласно гл. 8, стр. 157, формула (5), мы получим
Xkf = X'kf + t(X'kY'f - Y'X'J) + ■■■;
следовательно, и наоборот:
X'kf = Xkf + t{YXk) + ---, (3)
что для последующего удобнее.
Для того чтобы всякое инфинитезимальное преобразование Xkf +
+ t(YXk) + • • • принадлежало семейству e\X\f + • • • + erXrf, причем
для любого значения £, в это семейство должно, очевидно, также входить
и любое инфинитезимальное преобразование (YXk). Тем самым найдены
некоторые необходимые условия инвариантности нашего семейства,
которые сводятся к тому, что должны иметь место q соотношений вида
я
(YXk) = '£tgkrXjf (* = l---g)f (4)
где gkj — абсолютные константы.
Если семейство инфинитезимальных преобразований
ei • Xif н Ь eq • Xqf
таково, что для любого к имеет место соотношение вида (4), то мы скажем,
что это семейство допускает инфинитезимальное преобразование Yf.
Принимая это определение, мы можем сформулировать только что
полученный результат следующим образом.
Если семейство инфинитезимальных преобразований
е1-Хг/ + --- + ея-Хд/
278
Глава 15
допускает все преобразования однопараметрической группы Yf, то оно
допускает также инфинитезимальное преобразование Yf.
Обратное тоже верно, как мы сейчас покажем.
Мы предполагаем, что семейство преобразований Y^ekxkf допускает
инфинитезимальное преобразование У/, т. е. что имеют место
соотношения вида (4). Чтобы теперь семейство Y2ekXkf в то же время допускало
все конечные преобразования однопараметрической группы У/,
необходимо, чтобы можно было задать е\ • • • e'q как функции от е\ • • • eq и t такие,
что соотношение
JTe'k-X'kf = iTek.Xkf
k=l k=l
будет выполняться тождественно, если ввести в X'kf переменные х
вместо х'. Поэтому если X'kf при введении х принимает вид
Xkf = ^2Cki(xi'" Хп^~дх~.'
то ek должны задаваться таким образом, чтобы выражение
Я ЯП Qj.
]С в'к ' Xkf = l>2Ylek' ''' Хп^~3х~.
k=l k=l i=l 1
не зависело от t, т. е. чтобы производная
д 9 П df д 4
k=l i=l k=l
обращалась в нуль; но в то же время величины е должны удовлетворять
начальному условию е'к — ек при t = 0.
Чтобы показать, что при наложенных условиях действительно имеются
функции е' с требуемым свойством, нам необходимо сначала вычислить
производную
д_у1 AdCfcipEi-- - xn,t) df
& hi m dxi'
для этого мы выбираем косвенный путь. Выше мы видели, что X'kf
выражается через х\ • • • хп и t следующим образом:
X'kf = Xkf + t(YXk) + -- - ,
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 279
если независимые переменные я', входяшие в X'kf, заданы уравнениями
х\ = fi(x\ • • • xn,i) однопараметрической группы У/. Следовательно,
искомая производная получается в результате дифференцирования по t
бесконечного ряда в правой части, иначе говоря, она является коэффициентом
при г1 в разложении выражения
Xkf + (t + r)(YXk) + • • • = ''' <)& = X'if
i=l °Xi
по степеням от т. При этом величины х" означают
xi = fi(xl - Xn,t + т).
Упомянутый коэффициент разложения появляется, однако, сначала
в виде бесконечного ряда по степеням от t. Но нетрудно найти для него
конечное замкнутое выражение.
Переход от переменных х к переменным х\ = fi(x\ • • • xn,t)
происходит, как мы знаем, при помощи преобразования однопараметрической
группы Yf9 а именно при помощи преобразования с параметром t. От х
к х'( = fi(xi • • • xn, t + г) мы приходим путем преобразования той же
самой группы, а именно преобразования с параметром t + г. Это
преобразование можно, однако, заменить последовательностью двух преобразований,
первое из которых имеет параметр t, а второе — параметр г; следовательно,
переход от х' к х" происходит также посредством преобразования
однопараметрической группы У/, а именно преобразования, параметром которого
является г:
хг = fi{xl ' ' ' хп'> Т)'
Отсюда мы заключаем, что разложение в ряд Xkff по степеням г
таково:
Тем самым найдено конечное замкнутое выражение для ранее упомянутых
d(X'kf)
коэффициентов разложения, поэтому искомая производная ——— имеет
C*t
вид
±X'kf = (Y'X'k) = Y'X'J - X'kY'f. (5)
Эта формула верна, разумеется, и в общем случае, какими бы мы
ни выбрали инфинитезимальные преобразования Xkf и У/. Но в нашем
особом случае Xif • • • Xqf, Yf не являются совершенно произвольными,
280
Глава 15
а связаны соотношениями (4). Поэтому при наложенных выше условиях
мы получаем
d(X'kf)
dt
= Y,9*>-Kf (* = !•••«). (6)
Если мы теперь вычислим производную от ^ ek^kf п0 70 полу™*1
9 9 de^ q 9
/с=1 fc=l к=1 v=l
fc=l I i/=l J
Это выражение, очевидно, обращается в нуль только тогда, когда е'к
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
^+Х>*е-=0 (* = !•■■ (7)
Отсюда е'к выражаются как такие функции от t, что каждое е'к при t = 0
переходит в соответствующее е^; более того, е' будут линейными
однородными функциями от е.
Если подставить значения е' в выражение Y^ek-^kf и затем вернуться
от х' к исходным переменным х\ • • • хп, то ^ не будет зависеть от
£, то есть будет равна ekXkf- Семейство инфинитезимальных
преобразований ^2 ekXkf действительно остается инвариантным при такой замене
переменных.
Таким образом мы можем сформулировать следующую теорему
Теорема 43.1 Семейство, состоящее из оо9-1 инфинитезимальных
преобразований е\ • X\f + • • • + eQ • XQf, остается инвариантным при
введении новых переменных х1, заданных уравнениями
х\ = Xi +1 • Yxi H (i = l • • • n),
определяющими однопараметрическую группу, тогда и только тогда,
когда между Yf и Xkf имеют место q соотношений вида
я
(УХк) = ^Гдк„.Хг/ (k = i...q), (4)
и=1
]Ли, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том 3, Христиания, 1878 г.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 281
где Qkv — некоторые константы. Если эти условия выполнены, то при
данной замене переменных выражение ^ ekXkf принимает вид ^ e'kX'kf, где
е\ • • • e'q как функции от t определяются дифференциальными уравнениями
de'k V- , л
с учетом начальных условий е'к = и/?м £ = 0.
Если выполнить интегрирование, о котором идет речь в предыдущей
теореме, то есть если е[ - • - е'Т задать из дифференциальных уравнений
de'k V- , л
с учетом начальных условий е'к = ек при t = 0, то получаются уравнения
вида
4 = $1<М*)-е^ (k = l--.q).
3=1
Ясно, что эти уравнения представляют конечные преобразования
некоторой однопараметрической группы, а именно такой, которая порождается
инфинитезимальным преобразованием
(ср. гл. 3, стр. 52).
Выведем из только что сформулированной теоремы очевидное, но
важное утверждение.
Если семейство из оо9-1 инфинитезимальных преобразований e\X\f+
+ • • • + eqXqf допускает два инфинитезимальных преобразования Y\f
и Yzf9 то оно в то же время допускает любое инфинитезимальное
преобразование c\Y\f + с2у2/, полученное линейно из Y\f и Y2f; это следует
непосредственно из того, что инфинитезимальное преобразование
(С1У1/ + С2У2/, Xkf) = ci(yiXfc) 4- c2(Y2Xk)
в нашем случае можно линейно получить из Xif. Наше семейство e\X\f +
Н \-eqXqf допускает, однако, также инфинитезимальное преобразование
(YiY2). Действительно, если выписать тождество Якоби
№Y2)xk) + №хк)У!) + ((Вд)у2) - о
282
Глава 15
и учесть при этом, что (Y\Xk) и (Y^fc) получаются линейно из Xif, то
понятно, что это верно также и для {(YiY^Xk)-
Объединяя эти оба замечания, мы получим обещанное
Утверждение 1. Если самое общее инфинитезимальное
преобразование, оставляющее инвариантным семейство оо9-1 инфинитезимальных
преобразований
ei - Xif н \-eq- Xqf,
можно получить линейно из конечного числа инфинитезимальных
преобразований, например u3Y\f • • • Ymf, то эти преобразования Ykf порождают
т-параметрическую группу
Это утверждение можно еще обобщить: само собой разумеется,
что совокупность всех конечных преобразований, оставляющих семейство
^2 ekXkf инвариантным, всегда образуют группу.
§70
Пусть условия последней теоремы выполнены, и пусть семейство из
оо9-1 инфинитезимальных преобразований YlekXkf инвариантно
относительно всех преобразований однопараметрической группы Yf.
Тогда согласно гл. 3, стр. 62, справедливо следующее: если
инфинитезимальное преобразование Xf при введении новых переменных переходит
в Z/, то преобразования однопараметрической группы Xf также переходят
в преобразования однопараметрической группы Zf. Отсюда мы заключаем,
что в предположениях теоремы 43 инвариантным остается не только
семейство из оо9-1 инфинитезимальных преобразований e\X\f + --- + eqXqf,
но и семейство из оо9-1 однопараметрических групп, порожденных
этими инфинитезимальными преобразованиями, и, конечно же, совокупность
оо9 конечных преобразований, принадлежащих этим однопараметрическим
группам.
Однако мы хотим пойти еще дальше — выяснить, как ведет себя
аналитическое выражение отдельных конечных преобразований
однопараметрических групп e\X\f-\ \-cqXqf, если ввести вместо х новые переменные
Х^ — Xi ~{~ t ' ~YXi ~\~ •
Ответ на этот вопрос дает утверждение 3, гл. 3. стр. 62. А именно: из
этого утверждения сразу следует, что всякое конечное преобразование
9 9
Xi = Xi + ]Гек - ХкXi + ]Г XkXjXi + --- (t = 1 • • • п) (8)
к=1 к, j=\
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 283
при введении новых переменных х' принимает вид
x[ = x'i + J2e'k-Xkx'i+YtT^KX'j4 + ... (. = !...„), (9)
к=1 k,j=l
где связь между ек и ек устанавливается при помощи соотношения
J2^-xkf = J2e'k-x'kf- (ю)
к=1 к=1
Итак, мы непосредственно видим, что данное семейство из ооя конечных
преобразований имеет в новых переменных х' в точности такой же вид, что
и в исходных. Но, кроме этого, мы замечаем, что конечное преобразование,
имеющее в переменных х параметры е\ • • • е9, после введения новых
переменных х' будет иметь параметры е\ • • • e'q.
Поскольку, как уже было сказано, связь между еие' полностью
определяется при помощи тождества (10), то этого тождества совершенно
достаточно, если речь идет о задании нового вида, который принимает
произвольное конечное преобразование (8) при переходе к х'.
Нагляднее всего это можно продемонстрировать, если мы истолкуем
Y^ekXkf просто как символ конечного преобразования
я
Xi = Xi 4- вк • XkXi + • • • (i = 1 • • • п),
k=i
причем учитываются абсолютные значения еь а не только их отношения.
Тогда мы можем просто сказать:
Конечное преобразование ^ ekXkf при введении новых переменных х'
переходит в конечное преобразование ^e'kX'kf.
В последующих исследованиях этой главы ^ ekXkf будет
использоваться то как символ конечного, то как инфинитезимального
преобразования. Поэтому в каждом отдельном случае мы будем указывать, какая из
этих двух интерпретаций символа имеется в виду.
§71
Пусть семейство из ооя конечных преобразований e\X\f-\ \-eqXqf
остается инвариантным при всех преобразованиях однопараметрической
группы У/. Может случиться, что Yf само является инфинитезимальным
284
Глава 15
преобразованием семейства YlekXkf\ особый интерес представляет
случай, когда можно в качестве Y f взять любое из ocq~1 инфинитезимальных
преобразований ekXkf- Но это произойдет тогда и только тогда, когда
между Xkf имеют место соотношения вида
я
(XiXk) = y^^iksXsf.
3=1
Из теоремы предыдущего параграфа мы тогда получаем следующую,
более специальную, в которой мы позволяем себе записать г вместо q и Ciks
вместо giks-
Теорема 44. Для того чтобы семейство, состоящее из оог конечных
преобразований
е\ • Xif Н h ег • Xrf или Xi = *#i(x\ • • • xn, е\ • • • er),
оставалось инвариантным при любом содержащемся в нем
преобразовании, т. е. чтобы оно при введении новых переменных
х\ = 4Pi{xi • • • xn, hi • • • hr), х\ = %ii{xi • • • хп, hi • • • hr)
вместо х их принимало вид
х\ = *#i{x'i • •• x'n,li • •• Zr),
где I зависит лишь от ei • • ег и hi • • • hr, необходимо и достаточно,
чтобы Xf попарно находились в соотношениях вида
г
(XiXk) = ^2 Ciks • X9f,
3=1
где Ciks — абсолютные константы.
Эта теорема выражает важное свойство, которым обладает семейство
оог конечных преобразований Yl ekXkf, если имеют место соотношения
вида (XiXk) = Yl8 CiksXsf. Примечательно, что при доказательстве этой
теоремы мы лишь в самой малой мере использовали результаты
предыдущих глав — некоторые рассуждения из глав 1, 2, 3 и 8, — и более ничего.
Обратим особое внимание на то, что мы не пользовались теоремой 24, гл. 9,
стр. 176.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 285
Если исходить из того, что эта последняя теорема известна, то
доказательство теоремы 44 можно сократить следующим образом: сначала
надо показать, как это было сделано выше, что соотношения (XiXk) =
= ^2S CiksXsf являются необходимыми; тогда из теоремы 24, стр. 176, мы
получаем, что oor_1 инфинитезимальных преобразований екХк/
порождают r-параметрическую группу. Если х\ = фг(#1 • * • х-п, h\ • • • hr) —
конечные уравнения этой группы, то согласно теореме 5, стр. 48, имеет место
тождество вида
к=1 к=1
таким образом, теорема 44 доказана.
Можно даже совсем не обращаться к теореме 5, стр. 48, а сделать
вывод следующим образом:
Разрешенные уравнения х\ = фг(х, h) нашей группы дают
преобразование вида
х{ =?Pt(«i ••• x'n,xi(h)"- Xr(h)),
а именно такое, которое является обратным к преобразованию с
параметрами h\ • • • hr. Если теперь подставить эти значения х% в уравнения х% =
= ?Pi(x, е) и учесть при этом, что мы имеем дело с группой, то понятно,
что выполняются некоторые уравнения вида
Xi =?Pt(zi x'n,xl>i(h,e)-- tl>r(h,e)).
Наконец, подставляя эти выражения для ж* в уравнения х[ = ф*(ж, h),
получаем
х\ = фг(^1 ' • * x'n,li • • • lr)-
Это тот новый вид, который принимают преобразования х% = tyi(x, е) при
введении новых переменных х'. При этом величины /, очевидно, — функции
лишь от е и h, в точности так, как это утверждается в теореме 44, стр. 284.
Таким образом, связь между теоремой 24, стр. 176, и теоремой 44
настоящей главы явно установлена.
§72
Чтобы сформулировать полученные до этого результаты более кратко
и, если угодно, четко, мы перенесем символику теории подстановок, как
это уже делалось ранее, на теорию групп преобразований.
Все конечные преобразования e\X\f Н Ь erXrf мы обозначим
одним и тем же символом Т, а отдельные преобразования — при помощи
286
ГЛАВА 15
добавленного индекса, так что символ Т(а), например, будет обозначать
конечное преобразование
a>i • Xif Н Ь аг • Xrf.
Используя эти обозначения, мы можем, прежде всего, следующим
образом сформулировать теорему 24, стр. 176.
Утверждение 2. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований Xif • • • XTf попарно находятся в соотношениях вида
г
(XiXk) = y^^CjksXsf,
3=1
то семейство всех конечных преобразований YlekXkf, или Г(е),
одновременно с преобразованиями Т(а) и Т^) содержит также и преобразование
Г(а)Г(5) и, следовательно, имеет место символическое равенство вида
в котором параметры с являются функциями от аиЬ.
Соответствующим образом из теоремы 44 настоящей главы мы
получаем следующее утверждение, которое, однако, не исчерпывает всего
содержания теоремы.
Утверждение 3. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований Xif • • • Xrf находятся попарно в соотношениях вида (XiXk) =
— Y^CiksXsf, то семейство, состоящее из оог конечных преобразований
X) ekXkf, или Т(е), содержит одновременно с преобразованиями Г(а) и Т^)
преобразование Т^~*Т(&)Т(а), т. е. выполнено уравнение вида
(а)Г(Ь)Г(а) =Т(с>),
где параметр d является функцией от аиЬ.
Существование символического соотношения Т^Т^Т^ = Т(с/),
очевидно, является следствием прежнего соотношения Т^Т^ = Т(с), т.е.
последнее утверждение является следствием предшествующего, как мы уже
видели в предыдущем параграфе.
Наконец, объединяя теоремы 44 и 24, стр. 176, мы получаем
следующий замечательный результат.
Теорема 45. Если семейство, состоящее из оог конечных
преобразований aiXif + • • • + arXrf, или кратко Г(а), обладает тем свойством,
что преобразование Т^Т^)Т^а) всегда принадлежит этому семейству,
ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 287
какими бы ни были значения параметров а\- • • аг, Ь\ • • • br, то данное
семейство оог преобразований образует г-параметрическую группу, т. е.
Т{а)Т(ъ) также всегда является преобразованием, принадлежащим
данному семейству.
§73
Если преобразование Т^Т^Т^ совпадает с преобразованием Т(5),
что мы выражаем при помощи символического уравнения
(a)iwi(a) = i(b)»
то мы говорим: преобразование остается при преобразовании Т(а)
инвариантным.
Но в этом случае мы имеем также
Г<—1 ГТ~1 ГТ~1 Г | I
(Ь)Г(а)Г(Ь) =Т{а),
то есть преобразование Г(а) остается при преобразовании Г(5)
инвариантным; с другой стороны, уравнение
Т{а)Т(Ъ) = Т(Ь)Т(а)
свидетельствует о том, что преобразования Г(а) и Т(ь) перестановочны (ср.
стр. 3).
Еще в теореме 6, стр. 52, мы замечали, что преобразования любой
однопараметрической группы попарно перестановочны. Теперь мы можем
также решить более общий вопрос: когда преобразования двух
различных однопараметрических групп Xf и Yf перестановочны.
Введем в общее конечное преобразование eXf однопараметрической
группы Xf новые переменные х[, определенные при помощи конечных
уравнений х\ = Xi + t- Yxi Н однопараметрической группы Yf.
Преобразования обеих наших однопараметрических групп будут перестановочны
тогда и только тогда, когда всякое преобразование вида eXf при
введении х' остается инвариантным, т. е. когда eXf равно eX'f.
Согласно теореме 43, стр. 280, для выполнения равенства вида
е • Xf = е' • X'f
необходимо и достаточно, чтобы инфинитезимальные преобразования Xf
и Yf удовлетворяли соотношению
(YX)=g.Xf;
288
Глава 15
при этом е' находится из дифференциального уравнения
Однако в нашем случае е' должно быть равно е для любого t, следова-
de' с
тельно, е совсем не зависит от t, т. е. производная — обращается в нуль,
at
а вместе в ней и величина д. Это условие, очевидно, является одновременно
и необходимым, и достаточным. Таким образом, справедливо
Утверждение 4. Конечные преобразования двух однопараметрических
групп Xf и Yf перестановочны тогда и только тогда, когда выражение
(XY) тождественно равно нулю.
Два инфинитезимальных преобразования Xf и Yf, находящиеся в
соотношении (XY) = 0, естественно называть перестановочными. Если
мы введем такое определение, то можно сказать, что конечные
преобразования двух однопараметрических групп тогда и только тогда попарно
перестановочны, когда таковыми являются инфинитезимальные преобразования
этих групп.
Из последнего утверждения следует
Теорема 46. Конечные преобразования г-параметрической группы
X\f — - Xrf попарно перестановочны тогда и только тогда, когда все
выражения (XiXk) тождественно обращаются в нуль, другими словами,
когда все инфинитезимальные преобразования Xif - - - Xrf попарно
перестановочны2.
§74
Из общих рассуждений §§69 и 70 мы теперь сделаем еще несколько
важных выводов.
Предположим снова, что г независимых инфинитезимальных
преобразований Xif - - - Xrf удовлетворяют соотношениям
г
(Х{Хк) = y^^CiksXsf,
3=1
т.е. что согласно теореме 24, гл. 9, стр. 176, оог конечных преобразований
X) ekXkf образуют r-параметрическую группу. Если семейство
преобразований ^2 ekXkf остается инвариантным относительно всех преобразований
2 Л и, Научное общество Христиании, 1872 г.; Archiv for Mathematik og Naturvidenskab,
том 8, стр. 180, 1882 г.; Math. Annalen, том 24, стр. 557, 1884 г.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 289
однопараметрической группы, не принадлежащей этой г-параметрической
группе, то согласно теореме 43, стр. 280, имеют место г уравнений вида
Эти уравнения показывают, что г + 1 инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xrf, Yf порождают (г + 1)-параметрическую группу, в
которую X\f • • • Xrf входят в качестве r-параметрической подгруппы.
Кроме того, ясно, что соотношения (4) несущественно меняют свой
вид, если подставить вместо Yf совершенно произвольное
инфинитезимальное преобразование (г + 1)-параметрической группы.
Поэтому если х\ = ipi(xi • • • хп; а\ • • • ar+i) — конечные уравнения
(г + 1)-параметрической группы, то семейство конечных преобразований
Y^ekXkf остается инвариантным, если в нем вместо х ввести новые
переменные х', т. е. в аналитическом выражении r-параметрической группы
меняются только параметры.
Аналогичное выполнялось бы, если бы имелось не одно
преобразование Yf, а несколько, скажем га, таких преобразований,
удовлетворяющих всем соотношениям вида (4); кроме того, мы хотим добавить
условие, что эти га инфинитезимальных преобразований Yi/-- Ymf вместе
с X\f • • • Xrf порождают (г + га)-параметрическую группу. Если теперь
ввести в группу Xif-- - Xrf с помощью произвольного преобразования
(г + га)-параметрической группы новые переменные, то семейство
конечных преобразований нашей r-параметрической группы останется
инвариантным, в то время как в ее аналитическом представлении параметры
изменятся.
Говоря: г-параметрическая группа X\f-- - Xrf является
инвариантной подгруппой1 (г + т)-параметрическойгруппы, т.е.
остается инвариантной при всех преобразованиях последней, мы кратко выражаем
эту связь между обеими группами.
Если перенести это на терминологию, используемую в теории
подстановок, то определение инвариантных подгрупп можно сформулировать
следующим образом.
Если Т — символ произвольного преобразования (г +
га)-параметрической группы G, а S — произвольное преобразование подгруппы группы G,
то эта подгруппа в G инвариантна, если преобразование T~lST также
всегда принадлежит этой подгруппе.
3 Современный термин — нормальная подгруппа. — Прим. ред.
г
(4)
290
Глава 15
Аналитические условия инвариантности подгруппы полностью
описаны выше; поэтому нам надо только еще раз подытожить.
Теорема 47. Если г-параметрическая группа X\f • • • Xrf
содержится в (г + га)-параметрической группе X\f - • • Xrf,Y\f- • • Ymf, то она
является ее инвариантной подгруппой, если каждая скобка (YiXk) линейно
выражается с постоянными коэффициентами только через X\f • • • Xrf.
Теорему 47 можно обобщить (правда, лишь формально) следующим
образом:
Утверждение 5. Если совокупность всех инфинитезимальных
преобразований e\Xif + "- + emXmf образует инвариантное подмножество
в r-параметрической группе X\f • • • Xmf • • • Xrf, то X\f • • • Xmf
порождают т-параметрическую инвариантную подгруппу этой
г-параметрической группы.
Поскольку все (XiXk), в которых г < га, можно линейно
получить лишь из X\f-- - Xmf, то это верно, в частности, и для всех
(XiXk), в которых г, к ^ га. Согласно этому X\f • • • Хт/ порождают га-
параметрическую подгруппу, к которой можно непосредственно применить
теорему 47.
Сначала приведем несколько примеров инвариантных подгрупп.
Утверждение б.4 Если г независимых инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xrf порождают r-параметрическую группу, то
совокупность всех инфинитезимальных преобразований (XiXk) также
порождает группу; если последняя содержит г параметров, то она
тождественно совпадает с группой X\f • • • Xrf; если меньше чем г параметров, то
она является инвариантной подгруппой группы X\f - - • Xrf; если
добавить к (XiXk) произвольное число независимых друг от друга и от
(XiXk) инфинитезимальных преобразований e\X\f Н Ь erXrf, то мы
всегда снова получим инвариантную подгруппу группы X\f • • • Xrf.
Ясно, что (XiXk) могут породить самое большее —
r-параметрическую группу, так как все они принадлежат группе X\f • • • Xrf\ то, что они
действительно порождают группу, непосредственно следует из
соотношений
г
(XiXk) = ^CjksXsf,
3=1
4В своей работе в Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том 8, стр. 390, Христиания,
1883 г., Ли заметил, что (ХгХ^) образуют инвариантную подгруппу. Независимо от него это
установил Киллинг в 1886 году.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 291
поскольку
г
((XiXk)(XjXl)) = ^ CiksCjla(X9Xa).
а,<т=1
То, что группа, порожденная (XiXk), будет инвариантной в группе
X\f • • • Xrf, явствует из соотношений
г
(Xj(XiXk)) = ^Cjks(XjX9).
3=1
Последняя часть утверждения не нуждается в дальнейшем
обосновании. Примечательно следующее обобщение только что доказанного
утверждения:
Утверждение 7. Если т независимых инфинитезимальных
преобразований Zif • • • Zmf г-параметрической группы Xif • • • Xrf порождают
в ней т-параметрическую подгруппу, и данная подгруппа в этой
г-параметрической группе инвариантна, то и подгруппа, порожденная
всевозможными инфинитезимальными преобразованиями (Z^Zy), в этой
г-параметрической группе также будет инвариантной.
Доказательство очень простое. По условиям утверждения имеют место
соотношения вида
т
(XkZ^) = ^2 hkn\Z\f {к = 1 • • • г; /х = 1 • • m),
A=l
где hkfjix — константы. Выписывая теперь тождество Якоби (ср. гл. 5,
стр. 94)
(хк(г^)) + (г^Хк)) + (z„(xfczM)) = о
и подставляя в него вместо (Z^Xk) и (ZvXk) записанные ранее выражения,
получаем уравнения
т
(XkiZ^Zv)) = ^2 {hkv\(Z»Z\) - hk^\(ZvZ\)} ,
A=l
из которых следует, что подгруппа группы Xif - - - Xrf, порожденная
преобразованиями (Z^Zv), является в этой группе инвариантной. Это и
требовалось доказать.
292
ГЛАВА 15
Пусть r-параметрическая группа X\f • • • Xrf, или кратко Gr,
содержит (г — 1)-параметрическую инвариантную подгруппу, и пусть г
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yrf группы Gr выбраны
так, что Y\f • • • Yr-if будет этой инвариантной подгруппой. Тогда имеют
место соотношения вида
(YiYk) = dkiYif + • • • + cifc,r_iYr_i/ (г, к = l • • • г),
таким образом, все (YiYfc) и, конечно же, все (XiXk) можно линейно
получить только из Y\f • • • Yr-i/. Отсюда мы заключаем, что каждая (г —
^-параметрическая инвариантная подгруппа группы Gr содержит все
инфинитезимальные преобразования (XiXk) и видим, что справедливо следующее
Утверждение 8. В г-параметрической группе X\f---Xrf тогда
и только тогда имеется (г — \)-параметрическая инвариантная
подгруппа, когда инфинитезимальные преобразования (XiXk) порождают группу
с меньшим, чем г, числом параметров; если среди (XiXk) имеется ровно
И < г независимых между собой инфинитезимальных преобразований, то
все (г — \)-параметрические инвариантые подгруппы группы X\f • • • Xrf
можно получить, если добавить к (XiXk) произвольным образом г — г\ — 1
независимых друг от друга и от (XiXk) инфинитезимальных
преобразований e\X\f Н Ь erXrf.
Утверждение 1 в главе 12, стр. 228, дает нам другие примеры
инвариантных подгрупп.
Так, если бы группа в окрестности точки х? • • • хп содержала
инфинитезимальные преобразования первого и более высокого порядка в Xi — х®,
то все инфинитезимальные преобразования порядка к (к > 0) и выше
всякий раз порождали бы подгруппу. Тогда два инфинитезимальных
преобразования Xf и У/, порядка к и (к + и) соответственно, дают в результате
взятия скобки преобразование (XY) порядка 2к + v — 1. Поскольку к > 0,
то 2k + v — I ^2 к + v, следовательно, (XY) должно линейно получаться
из инфинитезимальных преобразований порядка (к + и) и выше. Другими
словами, все инфинитезимальные преобразования порядка (к + v) и выше
порождают группу, которая инвариантна в группе, порожденной
инфинитезимальными преобразованиями порядка к и выше. Но все это, как уже
говорилось, выполняется только при условии, что число к больше нуля.
В частности, если числа к и к + v можно выбрать такими, что
группа не содержит инфинитезимальных преобразований порядка (2к + v — 1)
и выше в окрестности х\ • • • хп, то выражение (XY) должно тождественно
обращаться в нуль. Поэтому справедливо
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 293
Утверждение 9. Если группа не содержит в окрестности точки
х1" ' хп инфинитезимальных преобразований порядка s+1 или более
высокого, но зато содержит преобразования k-го порядка, где к удовлетворяет
условию 2к — 1 > s, то все инфинитезимальные преобразования группы,
имеющие порядок к или выше, порождают группу с попарно
перестановочными преобразованиями.
При этом точка х\ • • • хп вовсе не должна быть такой, чтобы
коэффициенты разрешенных определяющих уравнений этой группы (ср. гл. 11,
стр. 212 и далее) вели себя регулярно.
Чтобы оставаться последовательными, надо сказать, что всякая
конечная непрерывная группа содержит две инвариантные подгруппы, а именно:
1) саму себя и 2) тождественное преобразование. Это видно, если в
теореме 47 сначала га, а затем г положить равными нулю; в обоих
случаях условие инвариантности подгруппы X\f - • • Xrf выполняется
очевидным образом, если только X\f-- - Xrf, Y\f-- - Ymf является (г + га)-
параметрической группой.
Особо важными являются группы, которые не содержат никаких
инвариантных подгрупп, за исключением двух всегда имеющихся. Поэтому
эти группы должны иметь специальное название, они должны называться
простыми группами. В противоположность этому группа называется
составной, если она содержит, помимо вышеназванных двух, и другие
инвариантные подгруппы.
В заключение еще два утверждения об инвариантных подгруппах.
Утверждение 10. Общие преобразования двух инвариантных
подгрупп группы G также образуют инвариантную в G подгруппу.
Некоторую подгруппу группы G рассматриваемые преобразования
непременно образуют (ср. гл. 9, утверждение 2, стр. 178); эта подгруппа
должна быть в G инвариантной, так как переходит при всех
преобразованиях G в группу, принадлежащую обеим инвариантным подгруппам, т. е.
в себя саму.
Утверждение 11. Если две инвариантные подгруппы Y\f-"Ymf
и Z\f • • • Zpf группы G не имеют общих инфинитезимальных
преобразований, то все выражения (K»Zfc) тождественно обращаются в нуль, то
есть любое преобразование одной подгруппы перестановочно с любым
преобразованием другой.
Каждое выражение (YiZk) должно при наложенных условиях
выражаться линейно с постоянными коэффициентами как через Yi / • • • Ymf, так
294
Глава 15
и через Z\f • • • Zpf; но поскольку обе подгруппы не имеют общих
инфинитезимальных преобразований, то это может быть только при
тождественном обращении всех выражений (YiZk) в нуль и никак иначе. Остальное
следует из утверждения 4, стр. 288.
§75
Существуют r-параметрические группы, из инфинитезимальных
преобразований которых можно выбрать г независимых Y\f • • • Yrf таким
образом, что г независимых инфинитезимальных преобразований Yi / • • Уг/
для любого i < г порождают г-параметрическую группу, инвариантную
в (г 4- 1)-параметрической группе Yi/ • • • Yi+i/. Тогда между Y\f • • • Yrf
имеют место соотношения вида
(YiYi+k) = Yi/ Н h Ci,i+k,i+k-i Y^+fc-i/ (5)
(г = 1 • • • г — 1; к = 1 • • • г — г).
В теории интегрирования систем дифференциальных уравнений, до-
riyекающих конечные группы, доказывается, что группы с только что
определенным специальным свойством занимают по отношению ко всем
остальным некоторое исключительное положение5.
Позже, в главе о линейных однородных группах, мы подробнее
ознакомимся с этой особой категорией групп; теперь же мы лишь хотим показать,
каким образом можно решить, относится данная r-параметрическая группа
X\f • • • Xrf к данной категории или нет.
Если среди инфинитезимальных преобразований e\X\f Н Ь erXrf
можно выбрать г друг от друга независимых Yi/-Yr/, связанных
соотношениями вида (5), то прежде всего в группе Gr, порожденной
Xif • • • Xrf, должна иметься (г — 1)-параметрическая инвариантная
подгруппа. Верно ли последнее, нам позволяет определить утверждение 8,
стр. 292: согласно этому утверждению группа X\f • • • Xrf содержит (г —
— 1)-параметрическую инвариантную подгруппу только тогда, когда группа,
порожденная всеми (XiXk), содержит меньше, чем г, например гь
параметров; если это условие выполнено, то добавляя к (XiXk) в самом
общем виде г — ri — 1 независимых друг от друга и от (ХгХк)
инфинитезимальных преобразований e\X\f + • • • + erXrf, мы получаем все (г — 1)-
параметрические инвариантные подгруппы группы Gr.
5 Л и, Ges.der Wiss. zu Christiania, 1874 г., стр. 273. Math. Ann., том XI, стр. 517-518. Archiv
for Math, og Nat., том 3, 1878 г.. стр. 105, том 8, 1883 г.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 295
Но не всякая r-параметрическая группа, содержащая (г —
1)-параметрическую инвариантную подгруппу, относится к определенной выше
особой категории; чтобы к ней относиться, группа должна содержать (г — 1)-
параметрическую инвариантную подгруппу, которая в свою очередь
содержит (г — 2)-параметрическую инвариантную подгруппу, а эта последняя
должна опять же содержать (г — 3)-параметрическую инвариантную
подгруппу и т. д.
Отсюда видно, как нам следует поступить с группой X\f--- Xrf:
мы должны выбрать из всех (г — 1)-параметрических инвариантных
подгрупп группы Gr такие, которые содержат по меньшей мере одну
(г — 2)-параметрическую инвариантную подгруппу, и определить все ее
(г — 2)-параметрические инвариантные подгруппы; согласно
вышесказанному, это несложно. Затем мы должны выбрать из найденных (г —2)-
параметрических инвариантных подгрупп те, которые содержат (г — 3)-па-
раметрические инвариантные подгруппы и т. д.
Ясно, что мы таким путем приходим к ответу на вопрос, который
поставили себе относительно группы X\f • • • Xrf. Либо мы увидим, что
данная группа не относится к этой нашей особой категории, либо найдем г
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yrf нашей
группы, связанных соотношениями вида (5).
Упомянутое выше вычисление иногда затрудняется тем, что
исследуемые группы содержат произвольные параметры, которые специфицируются
в процессе вычисления. Поэтому мы дадим еще один метод, который также
приводит к ответу на наш вопрос, избегая любых вычислений с
произвольными параметрами.
Предположим, что среди {XiXk) найдется в точности г\ < г
независимых, и что все {XiXk) можно линейно получить из X[f ••• Xrif,
что соответствующим образом можно далее линейно получить все (Х-Х'к)
из г2 ^ ri независимых преобразований Х'{$ - •• X"2f, все (Х"Хк) из
гз ^ Т2 независимых Х["'/ • • • Xr"f и т. д. Тогда согласно утверждению 6,
стр. 290, X[f • • • Xrif порождают г\ -параметрическую инвариантную
подгруппу Gri группы Gr: X\f • • • Xrf. Кроме того, X"f • • • X"2f порождают
г2-параметрическую инвариантную подгруппу G>2 группы Gri и так далее;
короче говоря, мы получаем ряд подгрупп Gri, G>2, G>3 • • • группы Gr,
каждая из которых содержится во всех предшествующих, а в
непосредственно предшествующей заведомо инвариантна. Однако согласно
утверждению 7, стр. 291, группа Gr2 изначально инвариантна не только в Gri,
но и в Gr, и далее, согласно тому же утверждению, Gr3 инвариантна не
только в Gr2, но и в Gri и даже в самой Gr и т. д. Мы видим, что в ряду
групп Gr, Gri, GT2 • • • каждая содержится и является инвариантной во всех
предшествующих группах.
296
Глава 15
В последовательности целых чисел г, п, г2 • • • нет ни одного такого,
чтобы оно было больше предыдущего, а с другой стороны — меньше нуля.
Следовательно, должно существовать целое положительное число q, такое,
что = rg, тогда как для j < q всегда верно rj+\ < Tj. Очевидно, что
тогда
то есть вообще
гя+к = гя (* = 1,2-..)-
Различают два случая в зависимости от того, равно число rq нулю или
больше нуля.
В случае rq = 0, как мы покажем, всегда можно выбрать г
независимых инфинитезимальных преобразований Yif • • • Yrf группы Gr,
удовлетворяющих соотношениям вида (5).
Действительно, выберем в качестве инфинитезимальных
преобразований Уг/, Уг_х/• • • Yri+\f какие-либо г — г\ независимых друг от друга
и от X[f • • • X'TJ инфинитезимальных преобразований группы Gr в
качестве преобразований Yrif, Yri-if • • • Yr2+if выберем какие-либо г\ — г2
друг от друга и от X"f • • • X"2f независимых преобразований e[X[f -h
+ •••-+■ e'riXrif группы Gri,---; наконец, в качестве преобразований
Yrq_1f, Yrq_1-if- • • Yif выберем какие-либо rg_i независимых
инфинитезимальных преобразований е^~г^x[q~1^ f + h e^~^X^qZ\ f группы
Grq_1. Таким образом, мы, очевидно, получим г независимых друг от друга
инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yrf нашей группы Gr; о них
мы утверждаем, что для любого г < г преобразования Y\j • • • Yif
порождают г-параметрическую группу, которая в (г + 1)-параметрической группе
Yif • • • Yi+if инвариантна. Если нам удастся доказать это утверждение, то
мы также докажем, что Yif • • • Yrf удовлетворяют соотношениям (5).
Пусть j — одно из чисел 1,2, • • q. Тогда ясно, что Tj независимых
друг от друга инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yr.f
порождают Tj -параметрическую группу, а именно: определенную выше группу Grj;
правда, надо заметить, что в случае j = q группа Grj сводится к
тождественному преобразованию.
Как мы уже ранее замечали, Grj инвариантна в группе Grj_x согласно
утверждению 6, стр. 290; из этого утверждения, однако, можно заключить
еще больше: мы всегда получаем инвариантную подгруппу группы Grj_15
если добавить к инфинитезимальным преобразованиям Y\f • • • Yrjf
группы Grj какие-либо независимые друг от друга и от Yif • • • YTjf
инфинитезимальные преобразования группы Grj_1. Поскольку Yrj+if • • • Yrj_1f
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 297
принадлежат группе Grj_19 и поскольку они к тому же не зависят друг
от друга и от Y\f • • • YTjf9 то получается, что каждая из нижеследующих
систем инфинитезимальных преобразований:
Yif ••• YTjf9 Yrj+if ••• Yrj_1-\f,
Yif *•• Yrjf, Yrj+if ••• Yrj_1^2f,
Yif ••• YrJ, yri+i/, yri+2/i
порождает инвариантную подгруппу группы Grj_x.
Таким образом, между группами Grj_x и Grj вставлены некоторые
группы, обозначим их rrj_1-i, rrj_1_2, • • • /V,+b обладающие
следующими свойствами: каждая из них имеет на один параметр меньше, чем
предыдущая в этой последовательности, каждая содержится во всех
предшествующих группах ряда и в GTj_l9 каждая инвариантна в Grj_19 а стало
быть, и во всех предшествующих группах последовательности, в
частности в непосредственно предыдущей. К этому добавляется, что Grj входит
в frj+i в качестве инвариантной подгруппы.
Сказанное верно для всех значений 1,2-•• q числа j, т.е. тем
самым доказано, что Y\f • • • Yrf действительно являются такими
независимыми инфинитезимальными преобразованиями группы Xif-- - Xrf9 что
при г < г Yif - - - Yif всегда порождают г-параметрическую, инвариантную
в (г +1)-параметрической группе Y\f - • • Y\+\f подгруппу. Это мы и хотели
доказать.
Таким образом, случай, когда определенное выше целое число гя
обращается в нуль, рассмотрен, остается лишь случай, когда rq больше нуля.
Мы покажем, что в этом случае невозможно выбрать в группе Xif - - - Xrf
г независимых инфинитезимальных преобразований Y\f - - - Yrf, для
которых выполняются соотношения вида (5).
Если гя > О, то rq-параметрическая группа GTq9 порожденная rq
независимыми инфинитезимальными преобразованиями х[4^ f • • • X$f9
заведомо не содержит ни одной (rq — 1)-параметрической инвариантной
подгруппы. Поскольку rq+\ = rq9 то среди инфинитезимальных
преобразований (Х^Х^) находятся в точности rq друг от друга независимых, откуда
с учетом утверждения 8, стр. 292, следует только что заявленное свойство
группы Grq.
Предположим теперь, что в группе Xif - - - Xrf имеется г
независимых инфинитезимальных преобразований Yif •-• Yrf9 связанных соотно-
298
ГЛАВА 15
шениями вида (5), и обозначим г-параметрическую группу, порождаемую
при этих условиях преобразованиями Y\j • • • Yif через (5*.
Группа Grqi согласно стр. 295, инвариантна в группе X\f • • • Xrf, но
не содержит, как мы видели ранее, ни одной (rq — 1)-параметрической
инвариантной подгруппы. А так как всякая <&i содержит (г —
1)-параметрическую подгруппу — группу 6г-ь то немедленно получается, что Grq не
может совпадать с группой <8rq. Вместе с тем отсюда следует, что существует
целое число га, rq ^ га < г, такое, что Grq не входит ни в одну из групп
©tv ®rq+i • • • <Sm и наоборот, входит во все группы (Jm+i,6m+2 • • • <5Г.
В соответствии с этим мы имеем m-параметрическую группу <5Ш
и г9-параметрическую группу Grq, обе содержатся в (ш 4-
^-параметрической группе как подгруппы, причем, очевидно, как инвариантные
подгруппы. Общие преобразования групп Фш и GTq образуют согласно утв. 7,
гл. 12, стр. 235, группу Г, имеющую по меньшей мере rq — 1 параметров
и инвариантную в группе 6m+i согласно гл. 15, утв. 10, стр. 293. А
поскольку Grq при наложенных условиях не содержится в Фт, то получается,
что Г является в точности (rq — 1)-параметрической и к тому же
инвариантной в GTq.
Это — противоречие, т.к. Gr<j, согласно вышесказанному, не
содержит ни одной (rq — 1)-параметрической инвариантной подгруппы.
Следовательно, предположение, из которого мы исходили, о том, что в группе
Х\ f • • • Xrf можно задать г независимых инфинитезимальных
преобразований Y\f Yrf, связанных соотношениями вида (5), неверно. Отсюда
мы видим, что в случае rq > 0 нет инфинитезимальных преобразований
Y\f • • • Yrf с таким свойством.
Предыдущие рассуждения дают нам простой способ, при помощи
которого можно понять, относится ли заданная r-параметрическая группа
X\f-" Xrf к особой категории групп, определенной на стр. 294. Для
удобства еще раз подытожим найденные результаты следующим образом:
Утверждение 12.6 Пусть X\f • - • Xrf — независимые
инфинитезимальные преобразования г-параметрической группы, a X[f • • • X'rif (r\ ^
г) — такие независимые инфинитезимальные преобразования, через
которые линейно выражаются все (XiXk); пусть далее X"f • • • X"2f (г 2 ^
г\) — такие инфинитезимальные преобразования, через которые
линейно выражаются все (Х[Х'к). Если аналогичным образом определяются
гз ^ 7*2 независимых друг от друга инфинитезимальных
преобразований X'"f • • • X'^j и т. д., то X'f порождают г\-параметрическую груп-
6В этом утверждении п, а также гг, гз и т.д.; имеют, конечно, те же значения, что и на
стр. 295.
Инвариантные семейства инфинитезимальных преобразований 299
пу, X" f порождают г^-параметрическую, X"1f — г ^-параметрическую
и так далее, при этом каждая из этих групп инвариантна во всех
предшествующих и в самой группе X\f • • • Xrf. В последовательности чисел
г,г1,г2,"- имеется число, скажем rq, равное всем последующим числам:
rq+\, rg+2 • • •. тогда как числа г, г\ • • • rq, напротив, все различны. Если при
этом rq = О, то в группе X\f • • • Xrf всегда можно выбрать г таких
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yrf, что для
каждого г < г преобразования Y\f• • • У*/ порождают г-параметрическую
группу, которая инвариантна в (г + 1)-параметрической группе Y\f • • • Yi+if,
так что имеют место соотношения специального вида:
(YiYi+k) = CM+fc,lYi/ Н + Ci,i+fc,i+fc-lУг+fc-l/
(г = 1 • • • г — 1; к = 1 • • • г - г).
Если, напротив, rq > 0, то в группе X\f • • • Xrf нельзя задать г
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f • • • Yrf с только что
описанным свойством.
Глава 16
Присоединенная группа
Пусть х\ — fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг) — r-параметрическая группа с г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Если ввести х\ в выражение ekXkf в качестве новых переменных,
то для любых значений е&, как уже было показано в гл. 4, утв. 4, стр. 89,
получится уравнение вида
При этом е'к являются некоторыми линейными однородными функциями
от ек с коэффициентами, зависящими от а\ • • • аг:
г
ek = J2Qk^ai'" аг)'ез- (!)
Если далее ввести в ^e'kX'kf новые переменные х" = /г(х',6), то
получится
к=1 к=1
где
Но уравнения xj = /г(х, а) представляют группу, т.е. х" связаны с х
соотношениями вида х" = /»(х, с), в которых с зависят только от а и Ь:
Ск = <£fc(ai • • • ar, fti • • • К).
Присоединенная группа
301
Если перейти от х непосредственно к х", то мы получим, что
к=1 к=1
и имеет место
г г
ек = Qk^Cl*'' Cr) * ei = Л Qkj(<Pifa Ь)'-' <Рг(а, Ь)) • е3. (1")
j=\ з=1
Отсюда можно заключить, что совокупность всех преобразований е'к =
= Qkj{a>) • ej образует группу. Объединяя уравнения (1) и (Iх), получаем
г
e'k = ^кз(bl '•' br)- Qjv{a>i • • • ar) • e„,
что, разумеется, должно совпадать с уравнениями (1"), причем для всех
значений е, а и 6. Поэтому имеют место г2 тождеств:
г
Qkv(<Pi(a,b)'" <Pr{a,b)) = Jlft-i/fai ••• «r) * Qk3(bi--- Ьг),
i=i
из которых следует, что семейство преобразований e'fc = ^ • ^
действительно образует группу.
Таким образом, с каждой г-параметрической группой х[ = fi(x,a)
связана некоторая вполне определенная линейная однородная группа
г
4 = $^ 0**(ai "' аг)'е3 (* = !••• г), (1)
j=l
которую мы назовем присоединенной группой1 группы х\ = /г(х,а).
Рассмотрим, к примеру, двухпараметрическую группу х' = ах + b
с двумя независимыми инфинитезимальными преобразованиями ^f-, х~-.
ах ах
Мы находим:
'Ли, Archiv for Math., том 1, Христиания, 1876 г.
302
Глава 16
то есть для присоединенной группы группы х' — ах + Ъ получаем
следующие уравнения:
которые, очевидно, действительно представляют группу.
Присоединенная группа группы х\ = /г(х, а) в том виде, в котором мы
ее выше нашли, имеет в точности г произвольных параметров: а\ • • • ат.
Однако для каждой отдельно взятой группы требуется специальное
исследование, чтобы выяснить, все ли параметры а\ • • • аг в присоединенной
группе являются существенными. Действительно, мы скоро увидим, что
существуют r-параметрические группы, присоединенные группы которых
не имеют г существенных параметров.
Впрочем, одно преобразование содержится в присоединенной группе
х[ = fi(x, а) при любых обстоятельствах — тождественное преобразование;
так как если в уравнениях (1) придать параметрам а\ • • • аг те числовые
значения, которые дают тождественное преобразование х[ = Xi в группе
х[ = /г(х, а), то получится преобразование е'г = е\, • • • е'г = ег, которое
поэтому всегда имеется в присоединенной группе. Правда, может случиться,
что присоединенная группа состоит лишь из тождественного
преобразования е'г = е\, • • • е'г = ег.
Чтобы сделать присоединенную группу доступной для исследования,
мы должны прежде всего задать ее инфинитезимальные преобразования.
Это легко достигается при помощи теоремы 43, гл. 15, стр. 280; но при
этом мы должны заменить уравнения х\ = fi(x,a) нашей группы
эквивалентными им каноническими уравнениями
которые представляют оог_1 однопараметрических подгрупп группы х\ =
= fi(x,a). Согласно гл. 4, стр. 76, параметры ак определяются здесь как
функции от t и Ai • • • Аг при помощи системы
е[ = ае\ — Ье2, е!2 = е2,
§76
г
х\ = Xi + J ^2 ' XkXi H (t = 1 • • • n),
(2)
(3)
Присоединенная группа
303
То есть мы должны посредством уравнений (2) ввести в YlekXkf
новые переменные х[ и получить при этом соотношение вида
г г
к=1 к=1
Инфинитезимальное преобразование, обозначенное Yf в теореме 43,
стр. 280, выглядит теперь так: \\Xif + • • • + XrXrf; поэтому в нашем
случае мы получаем
г г f г ^
У (Xfe(/)) - Xk(Y(f)) = Y М****) = Е \ Е А-с-ь \ X.f.
U=l 3=1 KV=1 J
В соответствии с этим для е'х • • • е'г получаются следующие
дифференциальные уравнения:
def r г
^ + ^Л^с^е* = 0 (s = 1 -г). (4)
и=1 к=1
Интегрирование этих дифференциальных уравнений мы
рассматриваем как выполнимую операцию, поскольку оно, как известно, требует лишь
разрешения одного алгебраического уравнения r-го порядка. Если мы
выполним интегрирование с учетом начального условия е'к = ек при t = 0, то
получим г уравнений вида
г
е'к = ^2^kj(Xit,'-- ,\rt)-ej (k = l- -г), (5)
эквивалентных уравнениям (1), если в последних ак выразить как функции
от Ait, • • • , Xrt.
Отсюда следует, что уравнения (5) также представляют
присоединенную группу. Однако мы получили теперь уравнения (5) таким образом, как
если бы хотели найти все конечные преобразования, порождаемые инфи-
нитезимальными преобразованиями
и=1 кз 8 и=1
(ср. стр. 55). Итак, мы заключаем, что присоединенная группа (1) состоит
из совокупности всех однопараметрических групп вида XiEif-\ \-XrErf.
304
Глава 16
Если в семействе инфинитезимальных преобразований \\E\f Н Ь
4- Ari£r/ имеется ровно д и не более независимых, скажем E\f • • • Eef, то
все конечные преобразования однопараметрических групп \\E\f + • • • +
+ XrErf уже содержатся в совокупности всех инфинитезимальных
преобразований оо^-1 однопараметрических групп \\E\f + Ь \eEef.
Совокупность этих оов конечных преобразований образует присоединенную
группу е'к = ]Г Qkj{a) • е^, которая, таким образом, содержит лишь д
существенных параметров (гл. 3, теорема 8, стр. 71).
Согласно вышесказанному, можно предсказать, что Eif • • • Eef
связаны соотношениями вида
Q
{ЕцЕу) = ^^дЦу3 ' Esf;
3=1
мы можем также убедиться в этом при помощи вычислений. Путем прямого
вычисления получаем
т df
Ец(Еи{/)) - Еи(Ец{/)) = ^2 fart ckva ~ c^ukCk^e^ — .
<7,k,7T = l °
Но между Ciks имеют место соотношения
г
Скца) = О,
к=1
которые мы в свое время (ср. гл. 9, теорема 27, стр. 190) вывели из
тождества Якоби. ЕСЛИ МЫ ДОбаВИМ К ЭТОМу, ЧТО С^к = —Стгик И Скпа = —Сттка,
то можно привести правую часть нашего уравнения для (ЕцЕи) к
следующему виду:
к=1 <т,тг=1 °e°
таким образом, получается:
г
(ЕцЕи) = У^сд^ • Ekf.
k=i
Наконец, при наложенных условиях здесь можно выразить правую
часть только через E\f • • • E6f9 так что действительно имеют место
соотношения вида
Q
(ЕцЕи) = У^^д^уз - Esf,
3=1
в которых дЦ1/3 означают константы.
Присоединенная группа
305
Прежде чем пойти дальше, повторим полученные до этого в данной
главе результаты во взаимосвязи
Теорема 48. Если в общее инфинитезимальное преобразование e\X\f+
+ • • • 4- erXrf r-параметрической группы х[ = fi(x,a) ввести вместо х
новые переменные х', то получится выражение вида
е',-*{/+•..+
при этом е' связаны с е соотношениями
г
е'к = ^2^kэ(alar)-ej (* = 1 • • • г),
j=i
которые представляют некоторую группу в переменных е, так
называемую присоединенную группу группы х\ = /г(х,а). Эта присоединенная
группа содержит тождественное преобразование и порождается
некоторыми инфинитезимальными преобразованиями; если X\f • • • Xrf
удовлетворяют соотношениям
г
{ХгХк)=^2сгкэ-Х3/ (t,* = l...r),
и мы положим
E»f = ^2 с^ке^дёк~ (/* = !••• г),
k,j=l
то \\E\f + • • • + XrErf будет общим инфинитезимальным
преобразованием присоединенной группы, и между E\f • • • Erf будут при этом
выполнены соотношения
г
(EiEk) = Y^Ciks'Esf (г, к = 1 • • • г).
3=1
Если две г-параметрические группы X\f • • • Xrf и Y\f • • • Yrf
таковы, что одновременно выполняется
г г
(XiXk) = Yl °iks ■ X.f, (YtYk) = £ aks ■ Y.f
3=1 3=1
306
Глава 16
в обоих случаях с одними и теми же константами с^3, то эти группы,
очевидно, имеют одну и ту же присоединенную группу. Позднее мы увидим,
что группы, имеющие неодинаковое число параметров, все же могут иметь
при определенных условиях одну и ту же присоединенную группу.
§77
Как же узнать, сколько имеется независимых среди
инфинитезимальных преобразований E\f • • • Erfl
Если не все E\f••• Erf независимы друг от друга, то имеется по
меньшей мере одно инфинитезимальное преобразование Ylg^E^f,
тождественно обращающееся в нуль. Из тождества
Е Cjtxkej§L~°
получается
г
для всех значений j и к, следовательно, выражение
\ м=1 / k=l U=l J
обращается в нуль, то есть инфинитезимальное преобразование ]Г] g^X^f
перестановочно со всеми г инфинитезимальными преобразованиями Xjf.
Если же, наоборот, группа X\f • • • Xrf содержит инфинитезимальное
преобразование 5^ перестановочное со всеми Xkf, то отсюда таким
же образом следует, что инфинитезимальное преобразование Ylg^E^f
обращается тождественно в нуль.
Чтобы выразить эти связи как можно короче, введем следующее
определение:
Инфинитезимальное преобразование ]Г g^X^f г-параметрической
группы Xif • • • Xrf называется выделенным2 инфинитезимальным
преобразованием этой группы, если оно перестановочно со всеми Xkf.
2Для таких преобразований в современной математике специального термина обычно не
используют, а говорят о них как об элементах центра группы или алгебры. — Прим. ред.
Присоединенная группа
307
К слову сказать, выделенные инфинитезимальные преобразования
группы Xif - - - Xrf характеризуются также тем, что сохраняют свой вид
при введении новых переменных х\ — fi(x,a), какие бы значения ни
принимали параметры ai - - • аг. А именно: если инфинитезимальное
преобразование Y^9^X^f является выделенным, то согласно гл. 15, стр. 288, имеет
место соотношение вида
Кроме того, указанные рассуждения показывают, что конечное
преобразование однопараметрической группы ^g^X^f перестановочно с
любым конечным преобразованием группы Xif - - - Xrf.
Согласно вышесказанному, каждому выделенному инфинитезималь-
ному преобразованию группы Xif • • • Xrf соответствует линейное
соотношение между Eif -- • Erf. Если ^2g^X^f — выделенное
инфинитезимальное преобразование, то между Ef имеет место просто соотношение
Yl,9n^nf — 0- Следовательно, среди Eif • - • Erf содержится ровно
столько независимых соотношений такого рода, сколько имеется независимых
выделенных инфинитезимальных преобразований в группе Xif --- Xrf.
Таким образом, если таких независимых преобразований ровно т и не
более, то среди инфинитезимальных преобразований Eif- - Erf
имеется в точности г — т и не более независимых, и столько же параметров
содержит присоединенная группа.
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема 49. Присоединенная группа е'к = ]Г gkj (а) • ej т-параметри-
ческой группы Xif - - - Xrf тогда и только тогда содержит г
существенных параметров, когда ни одно из oor_1 инфинитезимальных
преобразований ]Г g^X^f не является выделенным в группе Xif - - - Xrf; напротив,
присоединенная группа имеет менее г, а именно в точности г — т
существенных параметров, если Xif - - - Xrf содержит ровно т и не более
независимых выделенных инфинитезимальных преобразований3.
Возьмем, к примеру, группу
EL...EL (г<п).
dxi ~ дхг ^
Все ее инфинитезимальные преобразования являются выделенными,
т. к. все Ciks равны нулю. Таким образом, все г выражений Eif - - - Erf об-
3Ли, Math. Ann., том XXV, стр. 94.
308
Глава 16
ращаются в нуль тождественно, а присоединенная группа сводится к
тождественному преобразованию.
Если мы, напротив, рассмотрим четырехпараметрическую группу
д£ д£ д£ д£
хдх,удх'хду,уду'
то она содержит одно единственное выделенное инфинитезимальное
преобразование, а именно:
df df
Xdx-+ydy-;
поэтому ее присоединенная группа является лишь трехпараметрической.
Если группа X\f ••• Xrf содержит выделенное инфинитезимальное
преобразование ]Г g^X^f, то Yl 9цХ^/ = 0 является линейным
дифференциальным уравнением в частных производных, остающимся инвариантным
относительно этой группы; следовательно, эта группа им примитивна (ср.
стр. 245). Отсюда мы заключаем, что справедливо следующее
Утверждение 1. Если группа X\f • • • Xrf в переменных х\ • • • хп
является примитивной, то она не содержит выделенных
инфинитезимальных преобразований.
Если соединить это утверждение с последней теоремой, то получится
еще одно
Утверждение 2. Присоединенная группа r-параметрической
примитивной группы содержит г существенных параметров.
Несколько позднее мы дадим более общую формулировку двух
последних утверждений (ср. гл. 24, о систатических группах).
Согласно вышесказаному, инфинитезимальные преобразования г-па-
раметрической группы X\f • • • Xrf и инфинитезимальные преобразования
присоединенной группы E\f--- Erf связаны друг с другом таким образом,
что всякое не являющееся выделенным инфинитезимальное
преобразование Yl ekXkf соответствует не обращающемуся тождественно в нуль ин-
финитезимальному преобразованию, в то время как всякому выделенному
инфинитезимальному преобразованию ekXkf в присоединенной группе
отвечает тождественное преобразование. Если к тому же учесть, что две
системы уравнений
г г
s=l s=l
Присоединенная группа
309
имеют один и тот же вид, то можно прийти к гипотезе, что присоединенная
группа не может содержать выделенных инфинитезимальных
преобразований. Но это предположение было бы неверным, как нам показывает группа
ъ—» xi тг^' тг^, присоединенная группа которой состоит из двух переста-
ОХ2 ОХ2 ОХ\
новочных инфинитезимальных преобразований и, следовательно, содержит
два независимых выделенных инфинитезимальных преобразования.
§78
Исходным пунктом нашего исследования послужило замечание, что
выражение J2ekXkf при введении новых переменных х\ — fi(x,a)
принимает аналогичный вид Yle'kXkf- ^° выражение ^екХк/ можно
согласно гл. 15, стр. 283, воспринимать как символ общего конечного
преобразования группы X\f • • • Xrf; причем величины е\ • • • ег надо
рассматривать как параметры конечных преобразований группы X\f • • Xrf.
Следовательно, мы можем также сказать: конечные преобразования группы
X\f • • Xrf при переходе к переменным х\ переставляются между собой,
в то время как их совокупность остается инвариантной. Мы можем на
основании результатов предыдущего параграфа добавить, что соответствующая
перестановка обусловлена преобразованием присоединенной группы.
Но если речь идет о «перестановке конечных преобразований ekXkf
между собой», то под этим подразумевается, что эти преобразования
рассматриваются индивидуально, т.е. как отдельные объекты —
«индивидуумы»; на этой трактовке мы хотим теперь остановиться подробнее.
Каждый «индивидуум» в семействе J2ekXkf задается
соответствующими значениями параметров е\ • • • ег; поэтому для наглядности
представим себе, что ек - координаты точек r-мерного многообразия в
прямоугольной системе координат. Тогда точки этого многообразия представляют все
конечные преобразования ]Г ekXkf; поэтому они преобразуются уже
известной нам линейной однородной группой
г
e'k = ^2Qkj(a)'ej.
j=i
Начало координат е\ = 0, • • • ег = 0, являющееся образом
тождественного преобразования, очевидно, остается при этом инвариантным.
Каждое конечное преобразование ек принадлежит совершенно
определенной однопараметрической группе, преобразования которой определяют-
310
Глава 16
ся уравнениями
но в нашей интерпретации эти уравнения представляют собой прямую,
проходящую через ек = 0, то есть
Каждая однопараметрическая подгруппа группы X\f ••• Хг/ л/?е<)-
ставляет собой прямую в пространстве е\ • • • ег, проходящую через
начало координат ек = 0; и наоборот, любая прямая, проходящая через начало
координат, представляет такую однопараметрическую подгруппу.
Любая другая подгруппа г-параметрической группы X\f Xrf
состоит из однопараметрических подгрупп, а эти однопараметрические
подгруппы определяются инфинитезимальными преобразованиями,
содержащимися в соответствующей подгруппе. Однако согласно гл. 11,
утв. 6, стр. 235, инфинитезимальные преобразования подгруппы группы
X\f • • Xrf можно определить при помощи линейных однородных
уравнений между е\ • • • ег; конечно, те же уравнения определяют также
однопараметрические группы, принадлежащие подгруппе, то есть вообще конечные
преобразования данной подгруппы. Иначе говоря,
Каждая т-параметрическая подгруппа группы X\f ••- Xrf
представлена в пространстве е\ • • • ег плоским т-мерным многообразием,
проходящим через начало координат е\ = 0, • • • ег = О4.
Само собой разумеется, что обратное, вообще говоря, неверно и
происходит только в совершенно исключительном случае, когда любое
плоское многообразие, проходящее через начало координат, представляет
подгруппу.
Присоединенная группа e'k = ]Р gkj (а) • еj преобразует точки ек
линейно. Если какая-либо точка ек и, как следствие этого, каждая точка тек =
= Const, ек остаются при всех преобразованиях группы инвариантными,
то согласно вышесказанному, это означает, что преобразования
однопараметрической группы Y2 ekXkf перестановочны со всеми преобразованиями
группы Xif ••• Xrf.
Всякая инвариантная подгруппа группы X\f • • Xrf представляется
плоским многообразием, содержащим начало координат и сохраняющим
свое положение при всех преобразованиях е'к = ]Г gkj (а) • е3;. С другой
стороны, каждое плоское многообразие, проходящее через начало координат
и остающееся при всех преобразованиях присоединенной группы
инвариантным, представляет инвариантную подгруппу группы X\f • • • Xrf (ср.
гл. 15, утв. 5, стр. 290).
4Имеется в виду m-мерное линейное подпространство. — Прим. ред.
Присоединенная группа
311
Пусть М — произвольное плоское многообразие, проходящее
через начало координат, представляющее некоторую подгруппу группы
Gr'Xif • • • Xrf. Если к М применить какое-либо преобразование
присоединенной группы, то получится новое плоское многообразие, также
представляющее подгруппу группы Gr. Очевидно, что эта новая подгруппа
подобна исходной посредством преобразования из Gr, что в терминах
теории подстановок мы выразим так: две вышеупомянутые подгруппы
равноправны5 между собой в группе Х\ f • • • Xrf.
Совокупность всех подгрупп, являющихся внутри Gr равноправными
с подгруппой, представленной некоторым М, представляется семейством
плоских многообразий, а именно таким, которое получается, если
применить к М все преобразования присоединенной группы. Любые два
многообразия этого семейства, конечно, представляют равноправные подгруппы.
Отсюда мы заключаем, что любая инвариантная подгруппа группы Gr
является внутри Gr равноправной лишь самой себе.
Поскольку семейство всех подгрупп д, равноправных с данной,
получается из последней в результате выполнения всех преобразований е'к =
= Qkj(a) • Cj, то это же самое семейство должно воспроизводиться при
всех преобразованиях ек = J2Qkj{b) • ej. Так, выполнив последовательно
преобразования е'к = ]Г Qkj{o) • ej и ек = ^ Qkj(b) • ej, мы получим тот же
результат, как если бы к исходно заданной подгруппе были применены все
преобразования
в обоих случаях получается одно и то же семейство.
Если все равноправные подгруппы д обладают некоторым
непрерывным, общим для них семейством преобразований, то совокупность всех
этих преобразований представляется плоским многообразием пространства
е\ • • • ег. Это плоское многообразие, разумеется, остается при всех
преобразованиях присоединенной группы инвариантным и потому представляет,
согласно вышесказанному, инвариантную подгруппу группы Gr.
Следовательно, верна
Теорема 50. Если те подгруппы группы Gr, которые равноправны
внутри Gr с некоторой фиксированной подгруппой, имеют общее
семейство преобразований, то совокупность таких преобразований образует
инвариантную в Gr подгруппу.
5В современной терминологии: «сопряжены». — Прим. ред.
312
Глава 16
§79
Мы разделяем подгруппы любой г-параметрической группы Gr на
различные классы, которые назовем типами подгрупп группы GT. К одному
и тому же типу отнесем такие подгруппы группы Gr, которые
равноправны между собой внутри Gr\ подгруппы, которые не являются
равноправными внутри Gr, мы относим к разным типам.
Если известна какая-либо подгруппа группы Gr, то можно
непосредственно задать все подгруппы, принадлежащие тому же самому типу.
Благодаря этому обстоятельству перечисление подгрупп заданной группы
существенно упрощается, поскольку очевидно, что нет необходимости
действительно описывать все подгруппы, скорее, надо перечислить лишь
различные типы подгрупп, для чего задать один представитель для каждого
типа, то есть подгруппу, относящуюся к данному типу.
При рассмотрении конечных преобразований группы мы также
говорим о различных типах. Два конечных преобразования: e\X\f-\ \-e®Xrf
и eiXi/H YeTXTf, r-параметрической группы X\f • • • Xrf мы
причисляем к одному и тому же типу тогда и только тогда, когда они равноправны
друг с другом внутри группы Gr, то есть, когда присоединенная группа
содержит преобразование, переводящее точку е? • • е£ в точку Ъ\ • ёг.
Само собой разумеется (но все же хочется об этом упомянуть), что в
данном преобразовании е'к = J^7ifcjej присоединенной группы определитель,
составленный из коэффициентов 7^ не должен обращаться в нуль.
Мы сейчас не будем рассматривать вопрос относительно типов
подгрупп заданной группы в полной общности, но хотим по крайней мере
показать, как находятся имеющиеся типы однопараметрических групп и
конечных преобразований.
Сначала зададимся вопросом относительно всех типов конечных
преобразований.
Пусть e\X\f + • • • + e^Xrf — какое-либо конечное преобразование
группы Xif • • • Xrf- Если применить к точке • • • е£ все преобразования
присоединенной группы, то мы получим образы всех тех конечных
преобразований нашей группы, которые равноправны с J2 ek-Xkf и, таким
образом, относятся к одному и тому же типу, что и ]Г e^Xkf. Совокупность всех
этих точек образует согласно гл. 14, стр. 250, многообразие, инвариантное
относительно присоединенной группы6, а именно одно из инвариантных
многообразий, названных нами тогда наименьшими.
Конечные уравнения присоединенной группы мы можем
рассматривать как известные; следовательно, мы в состоянии найти без интегриро-
6В современной терминологии: «орбита присоединенного представления». — Прим. ред.
314
Глава 16
Наоборот, ясно, что каждая однородная по е система уравнений,
допускающая присоединенную группу, представляет инвариантное семейство
однопараметрических групп. А поскольку всякая однородная по е система
уравнений характеризуется как таковая тем, что допускает все
преобразования вида
то мы получим все инвариантные семейства однопараметрических групп,
если найдем все многообразия пространства е\ • • • ег, допускающие,
помимо преобразований присоединенной группы, еще и все преобразования
вида (6). В частности, если мы будем искать все наименьшие
инвариантные многообразия с этим свойством, то получим, очевидно, все имеющиеся
типы однопараметрических подгрупп.
Преобразования (6) образуют однопараметрическую группу,
инфинитезимальное преобразование которой таково:
Добавляя Ef к инфинитезимальным преобразованиям E\f---Erf
присоединенной группы, мы снова получаем инфинитезимальные
преобразования некоторой группы; а именно: все выражения (Ек Е) обращаются,
как показывает их вычисление, тождественно в нуль. Очевидно, все
сводится к описанию наименьших многообразий, остающихся при действии
группы Eif • • • Erf, Ef инвариантными. Это описание может быть выполнено
согласно указаниям в гл. 14, стр. 250, так как если известны конечные
уравнения присоединенной группы, то сразу же известны и конечные уравнения
только что упомянутой группы. Поэтому мы имеем
Утверждение 4. Если задана г-параметрическая группа х'г =
= f%(x\ ' * * #п» о>\ " • От) с г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями X\f • • • Xrf, то все типы однопараметрических подгрупп или,
что то же самое, инфинитезимальных преобразований e\X\f-\ \-erXrf
данной группы можно найти следующим образом: составляются
инфинитезимальные преобразования Eif • • • Erf присоединенной группы заданной
группы Xif • • • Xrf, затем вычисляются конечные уравнения группы,
порожденной г Н-1 инфинитезимальными преобразованиями Eif • • • Erf и
е[ = Aei, • • • е'г =
(6)
Присоединенная группа
313
вания уравнения только что упомянутых наименьших инвариантных
многообразий (ср. гл. 14, теорема 37, стр. 251). А поскольку всякое такое
наименьшее инвариантное многообразие представляет совокупность всех
конечных преобразований, относящихся к определенному типу, то тем
самым все типы конечных преобразований нашей группы найдены.
Следовательно, верно
Утверждение 3. Если задана г-параметрическая группа х\ =
= /г(#1 * * * Xn,Q>i * • • Яг) с г независимыми инфинитезималъными
преобразованиями Xif • • • Xrf, то все типы конечных преобразований e\X\f -Ь
+ • • • -f erXrf этой группы находятся следующим образом:
составляются конечные уравнения e'k = YlQkji0) • ej присоединенной группы группы
X\f • • • Xrf, а затем в пространстве е определяются наименьшие
многообразия, остающиеся инвариантными при действии присоединенной
группы; эти многообразия и представляют искомые типы.
Все же нельзя забывать, что допустимы лишь такие преобразования
присоединенной группы, при которых определитель, составленный из
коэффициентов, не обращается в нуль. Сравните с тем, что сказано по этому
вопросу в гл. 14, стр. 250.
Теперь найдем все типы однопараметрических подгрупп или, что то
же самое, все типы инфинитезимальных преобразований нашей группы.
Две однопараметрические группы ^e^X^f и YlekXkf равноправны
внутри Gr, если в присоединенной группе имеется преобразование,
переводящее прямую
е± = _ вг
в прямую
£1 = =
ei ёг'
обе эти прямые, проходящие через начало координат, являются
образами соответствующих однопараметрических групп. Поэтому если мы
представим себе, что к первой прямой применены все преобразования
присоединенной группы, то получим все проходящие через начало
координат прямые, представляющие однопараметрические подгруппы,
равноправные группе ek\Xkf- Совокупность всех этих прямых образует,
разумеется, некоторое многообразие, инвариантное относительно присоединенной
группы — наименьшее инвариантное многообразие, которому принадлежит
прямая ^ = • • • = ^. Ясно, что это многообразие представляется систе-
€\ ег
мой уравнений, являющейся в переменных е\ - • - ег однородной.
Присоединенная группа
315
и, наконец, в пространстве е\ • • • ег определяются наименьшие
многообразия, инвариантные относительно только что определенной группы; эти
многообразия представляют искомые типы.
Выше было показано, как можно задать все типы конечных
преобразований и все типы однопараметрических подгрупп заданной г-парамет-
рической группы. Сейчас мы рассмотрим немного подробнее взаимосвязь
между этими двумя задачами и увидим, что решение одной из них всякий
раз значительно упрощает решение другой.
Предположим прежде всего, что нам уже известны все типы
конечных преобразований группы X\f - •• Xrf, то есть все наименьшие
многообразия пространства е\ • • • ег, допускающие присоединенную группу
E\f •• • Erf. Как же нам тогда надо действовать, чтобы найти наименьшие
многообразия, инвариантные относительно группы Ef, E\f• • • Erf?
Ясно, что всякое инвариантное относительно группы Ef, E\f • • • Erf
многообразие допускает присоединенную группу; следовательно, каждое
искомое многообразие либо должно быть одним из уже известных, либо
должно содержать одно из известных многообразий. Поэтому, чтобы найти
все искомые многообразия, нам надо лишь взять поочередно уже
известные многообразия и для каждого из них найти наименьшее инвариантное
относительно группы Ef, E\f • • • Erf многообразие, в котором оно
содержится.
Пусть
Wx(ei • • • ег) = 0, • • - Wm(ei ■ • • ег) = 0, (7)
или короче — М, — одно из известных наименьших многообразий,
допускающих присоединенную группу E\f•• • Erf. Как же найти наименьшее
многообразие, допускающее группу Ef, E\f - - • Erf и включающее к
тому же многообразие М?
Искомое многообразие обязательно содержит начало координат е\ =
= 0, • • • ег = О и, кроме того, состоит из проходящих через него прямых,
поэтому оно заведомо содержит такое многообразие М', которое
образовано прямыми между началом координат и точками многообразия М. Если
мы теперь сможем доказать, что М' допускает инфинитезимальные
преобразования Ef, E\f • • • Erf, то тем самым мы также докажем, что М'
является искомым многообразием.
Очевидно, уравнения многообразия М' получаются, если исключить
из уравнений
Wi(eir, • • • err) = 0, • • • Wm{exr, • • • егт) = 0 (8)
произвольный параметр т. Следовательно, М' можно также рассматривать
как совокупность из оо1 многообразий, представленных уравнениями (8)
316
Глава 16
с произвольным параметром т. Но совокупность многообразий (8),
очевидно, допускает инфинитезимальное преобразование Ef, так как со1 систем
уравнений (8) переставляются между собой конечными преобразованиями
однопараметрической группы Ef. К тому же легко видеть, что даже
каждая отдельно взятая из со1 систем уравнений (8) допускает
инфинитезимальные преобразования Eif--- Erf. Действительно, поскольку система
уравнений (7) допускает инфинитезимальное преобразование
то есть сами преобразования E\f • Erf, каким бы ни было значение т.
Отсюда мы заключаем, что совокупность из со1 многообразий (8)
допускает инфинитезимальные преобразования Ef, E\f ••- Erf, то есть что
многообразие М', совпадающее с этой совокупностью, действительно
является искомым многообразием; то же самое, как уже было сказано,
аналитически представляется уравнениями, которые получаются из (8) путем
исключения параметра т.
Будем считать, что для каждого многообразия М построено
соответствующее многообразие М', тогда мы получим, согласно вышесказанному,
все типы однопараметрических подгрупп группы X\f -- • Xrf.
С другой стороны, предположим, что нам известны все типы
однопараметрических подгрупп группы X\f - • • Xrf,n попытаемся с их помощью
найти типы конечных преобразований этой группы.
Нам известны все наименьшие многообразия, инвариантные
относительно группы Bft E\f - • • Erfb и требуется найти наименьшие, инвари-
атные относительно группы Eif--- Erf. Поскольку каждое из искомых
многообразий, очевидно, содержится в одном из уже известных, то нам
надо лишь рассмотреть каждое из известных многообразий само по себе
и отыскать содержащиеся в нем многообразия с требуемым свойством.
Пусть g-мерное многообразие М — одно из наименьших
многообразий, инвариантных относительно группы Ef, Eif - • • Erf. Тогда для точек
е[ = Аеь ••• е'г =
то система (8) с параметром г должна допускать преобразования
Присоединенная группа
317
многообразия М все определители порядка q+1, но не все определители
порядка q матрицы
ei • ег
|Xjt=icfciiefc ' Sb=icfcirefc|
A;=l
(9)
обращаются в нуль (ср. гл. 14, стр. 263 и далее.)
О том, разбивается ли М на подмножества, остающиеся
инвариантными относительно группы E\f • • • Erf9 можно судить по поведению
миноров порядка q определителей
Л =
к=\
г
k=l
Если для точек многообразия М не все рассматриваемые миноры
обращаются в нуль, то разбиения М на меньшие многообразия, инвариантные
относительно присоединенной группы, не происходит.
Если же, напротив, рассматриваемые миноры для точек из М
одновременно обращаются в нуль, то М разбивается на оо1 (q — 1)-мерных,
инвариантных относительно группы E\f • • • Erf подмножеств; тот факт, что
таких подобластей — в точности оо1, следует из того обстоятельства, что
для точек многообразия М заведомо не все миноры порядка q — 1
определителя Л обращаются в нуль, в противном случае обращались бы в нуль
все определители порядка q матрицы (9). Конечно, можно выписать
уравнения оговоренных подмножеств без интегрирования, поскольку конечные
уравнения группы E\f • • • Erf известны.
В настоящей главе мы до сих пор всегда рассматривали лишь конечные
преобразования группы X\f • • • Xrf как «индивидуумы» и
интерпретировали их как точки r-мерного пространства.
Существует другая точка зрения, которая тоже оправданна. Мы можем
также рассматривать однопараметрические подгруппы или, что то же
самое, инфинитезимальные преобразования нашей группы как
«индивидуумы» и истолковывать их на сей раз как точки (г — 1)-мерного пространства.
Тогда мы должны понимать величины е\ • • • ег как однородные координаты
в этом пространстве.
Присоединенная группа
319
то есть точка, однородные координаты которой имеют значения
г
es = ]Р cvka А° е£ (s = 1 • • • г),
лежит на этой касательной. Но очевидно, что эта точка соответствует ин-
финитезимальному преобразованию
(J2 д° • ад ei ■ xkf) =J2\J2c^ л° e°*1 ад,
\i/=l k=l / 3=1 [i/,fc=l J
получающемуся в результате комбинации двух преобразований, 53 А^Х^/
и ^ ekXkf. Следовательно, мы имеем следующее
Утверждение 5. Если интерпретировать oor_1
инфинитезимальных преобразований e\X\f + • • • + erXrf некоторой г-параметрической
группы X\f • • • Xrf как точки (г — 1)-мерного пространства, в
котором е\ • • • ег понимаются как однородные координаты этого
пространства, то имеет место следующее: если к некоторому инфинитезималь-
ному преобразованию e\X\f + • • • + e®Xrf группы применены все
преобразования некоторой однопараметрической группы \\X\f + • • • + \®Xrf,
то точка-образ преобразования e\X\f + • • • + e®Xrf описывает кривую,
касательная к которой в точке е\ : • • • : е£ получается, если эту
точку соединить прямой с точкой-образом инфинитезимальнго
преобразования (J2 A^Xi//, ^2 ekXkf); если, с другой стороны, к инфинитезимальному
преобразованию ^2 ^tXuf применить все преобразования
однопараметрической группы ^2 ek^kff то точка-образ преобразования ^ X^X^f
описывает кривую, касательная к которой в точке А? : • • • : А£ получается,
если эту точку соединить прямой с точкой-образом инфинитезимального
преобразования (X^AjX,,/, YlekXkf)-
318
Глава 16
Мы не намерены развивать эту мысль; тем более что многое, что
можно было бы здесь сказать, кажется, с учетом вышесказанного, само собой
разумеющимся, например, что всякая т-параметрическая подгруппа
группы X\f-- - Xrf представляется в (г — 1)-мерном пространстве плоским
многообразием размерности га—1. Мы выведем только одно простое
утверждение, получающееся при взятии за основу новой трактовки и часто
являющееся полезным при исследованиях групп преобразований в более общих
терминах.
Мы считаем, что применяем общее конечное преобразование
г
X'i =Xi + jJ2XkXkXi + ''' (г = 1"П)
к=1
однопараметрической группы A^Xi/H \-\®Xrf к инфнинитезимальному
преобразованию нашей г-параметрической группы, то есть предполагаем,
что в выражении e\X\f-\ \-e®Xrf вместо Х\ • • • хп введены новые
переменные х\ • • • х'п. Согласно изложенному на стр. 302, инфинитезимальное
преобразование e\X\f Н Ь e®Xrf переходит в оо1 инфинитезимальных
преобразований e\X\f + • • • + erXrf нашей группы, где е\ • • • ег —
некоторые функции от е\ • • • е£ и t, которые задаются из дифференциальных
уравнений
^ = -Ел°Х>**е* (•=!■••'■) (4')
и=\ к=1
и начальных условий е\ = е\, • • • ег = е£ при t = 0.
Поскольку всякое инфинитезимальное преобразование нашей группы
представляется точкой ранее упомянутого (г — 1)-мерного пространства, то,
очевидно, мы также можем сказать: если применить к инфинитезимальному
преобразованию e\X\f-\ \-e^Xrf все оо1 преобразований
однопараметрической группы \\X\f + • • • + \®Xrf, то точка, соответствующая этому
инфинитезимальному преобразованию, движется по некоторой кривой
пространства е\ • • • ег.
Тогда имеется очень простое определение для касательной к этой
кривой, проходящей через точку : ••• : е£. Уравнения этой касательной
имеют вид
г г
е8 С"кг A° efc - ет ^2 Cuks Л° вк = 0 (в,т = 1 ■ • • г),
и,к=\ и,к=1
Глава 17
Структура и изоморфизм
Для решения многих задач, которые можно поставить относительно
r-параметрической группы X\f • • • Xrf, требуется знать лишь константы
Ciks в соотношениях
г
(XiXk)=Y,Ciks-X8f.
3 = 1
Так, например, мы видели, что описание всех подгрупп группы
X\f • • • Xrf зависит лишь от констант с*ь, и то же самое справедливо для
описания всех типов подгрупп (ср. теорему 33, стр. 233, и гл. 16, стр. 310—
311).
Отсюда явствует, что константы с^кз сами по себе уже отражают
некоторые свойства группы Xif • • • Xrf. Для совокупности этих свойств мы
введем особый термин, назовем ее структурой группы и скажем поэтому,
что константы Cik8 в соотношениях
г
(XiXk) = Y,dk3'Xsf (1)
3=1
задают структуру r-параметрической группы Xif • • • Xrf.
§80
Система констант Ciks, задающая структуру r-параметрической группы
Xif • • • Xrf, в свою очередь, определена неоднозначно. А именно:
отдельные Ciks получают, вообще говоря, другие числовые значения, если выбрать
вместо Xif • • • Xrf какие-либо другие г независимых инфинитезимальных
преобразований этой же группы.
Отсюда следует, что две различные системы констант Ciks могут при
некоторых условиях представлять структуру одной и той же группы. Как
же узнать, происходит это или нет?
Структура и изоморфизм
321
Мы исходим из соотношений
г
(ХгХк) = ^акз-х3/ (t,* = i. г), (1)
5=1
имеющих место между определенными г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями Xif -•• Xrf нашей группы. Найдем общий вид
соотношений, которыми связаны г произвольных независимых
инфинитезимальных преобразований Xif • • • Xrf группы X\f - • • Xrf.
Если эти соотношения имеют вид
г
= £ 4,.*./, (2)
то система констант dika является самой общей, представляющей структуру
группы X\f--- Xrf. При этом речь идет лишь о вычислении констант diks.
Поскольку Xif - - • Xrf должны быть произвольными независимыми
инфинитезимальными преобразованиями, то
г
Xkf = ^2hkj-Xjf (* = 1...г),
j=i
где константы hkj могут принимать всевозможные значения, при которых
определитель
D = ±Лц • • • hrr
не обращается в нуль.
В результате вычислений получается:
г г
(Xi Хк) = ^2 hij hkir(Xj Xv) = ^2 hij ftfcTr Cjns • Xsf;
j,7T = l j,7T,S = l
с другой стороны, из (2) следует:
г
(Xi Хк) = ^2 Ьттз c'ikn ' X.f.
Сравнивая эти два выражения для (Xi Хк) и учитывая, что X\f -- • Xrf —
независимые инфинитезимальные преобразования, мы получаем
соотношения
г г
Е^^Ьг = Е h4hb*cJ** (s=l--r). (3)
7Г = 1 j,7T = l
322
Глава 17
При наложенных условиях эти уравнения можно разрешить
относительно c^fc7r, то есть
\ Ж~ ^ hi3hkn \ Cjns (t,fc,e=l--T). (4)
S = l I ' j^=l
Тем самым, согласно вышеизложенному, найден самый общий вид
всех систем констант, задающих структуру группы X\f - Xrf. В то же
время мы имеем по крайней мере теоретическую возможность решить,
задает ли данная система констант Ciks структуру группы X\f • • • Xrf; она
обладает этим свойством, очевидно, тогда и только тогда, когда можно
выбрать параметры hkj в (4) такими, что c'iks = Ciks.
Если даны две r-параметрические группы, то мы можем сравнить их
структуры. Очевидно, что рассуждения выше дают нам возможность
решить, имеют ли эти группы одинаковые или разные структуры. Число
переменных, встречающихся в обеих группах, можно при этом не учитывать.
Две г-параметрические группы, которые имеют одну и ту же
структуру, мы назовемравносоставленными1.
Если
Xkf = &i (Xl * ' * Хп) ^ (* = 1 • • • г)
г=1 1
— независимые инфинитезимальные преобразования одной
г-параметрической группы, а
m о г
Ykf = У\г)кц(У\'- Ут)д— (к = 1- г)
— независимые инфинитезимальные преобразования другой, и если, кроме
того, имеют место соотношения
(XiXk) = ^сгь • Xsf,
3 = 1
то эти две группы тогда и только тогда являются равносоставленными,
когда среди инфинитезимальных преобразований e\Y\f-\ YeTYTf второй
JB современной терминологии это условие означает, что соответствующие алгебры Ли
изоморфны. — Прим. ред.
Структура и изоморфизм
323
группы можно выбрать г таких независимых друг от друга / • • • ?)г/.
что имеют место тождества
г
омы = я./-
3=1
Если соотношения, выполняющиеся между Y\f • • • Уг/, имеют вид
г
(у*п) = $>*в-п/,
то мы можем сказать: обе группы являются равносоставленными тогда
и только тогда, когда параметры hkj в уравнениях (4) можно выбрать
такими, что каждое diks будет равно соответствующему с^д-
Можно также сравнить структуры таких групп, которые имеют
неодинаковое число параметров. Это будет возможно, если ввести общее понятие
изоморфизма1.
Мы называем г-параметрическую группу X\f • • • Xrf:
г
(XiXk) = ^2,Ciks • Xsf,
3=1
изоморфной (r — q)-параметрическойгруппе Y\f • • • Yr-'qf, если можно
выбрать г инфинитезимальных преобразований
%}kf = ftfcl ' Yif + • • • + hktr-q ' Yr-qf
(fc = l-.r)
такими, чтобы не все определители порядка г — q матрицы
hr\ • hr^—q
обращались в нуль, и в то же время тождественно имели место
соотношения3, 4
г
3 = 1
2В современной терминологии: «гомоморфизм», или, более точно, «сюръективный
гомоморфизм», между соответствующими алгебрами Ли. — Прим. ред.
3Ср. часть III, стр. 701.
4Ссылка дана на оригинальное немецкое издание, часть 3. — Прим. перев.
324
Глава 17
Допустим, что изоморфизм в этом смысле имеет место, и что
/ • • * ?)г/ уже выбраны указанным способом. Тогда если инфинитези-
мальному преобразованию e\X\f Н Ь erXrf r-параметрической группы
всегда сопоставляется инфинитезимальное преобразование
(г — (^-параметрической группы, какие бы значения ни принимали
константы ei •• • ег, то имеет место следующее: если Ti/ — такое преобразование
(г — д)-параметрической группы, которое сопоставляется преобразованию
Ei/ другой группы, и если таким же образом Т2/ сопоставляется
преобразованию Е2/, то преобразование (Е1Е2) всегда соответствует
преобразованию (Т1Т2). Более кратко это можно выразить так: при заданном
соответствии между инфинитезимальными преобразованиями обеих групп эти
группы связаны друг с другом изоморфизмом. Очевидно, что эта
изоморфная связь полностью задана, если известно, что X\f • • • Xrf соответствуют
преобразованиям 2)i / • • 2)г/.
Различают голоэдрический и мероэдрический изоморфизмы.
Голоэдрический имеет место, если число q, встречающееся в определении
изоморфизма, равно нулю, а мероэдрический — если q больше нуля. В
зависимости от этого говорят, что две группы изоморфны друг другу
голоэдрически или соответственно мероэдрически.
Очевидно, что свойство равносоставленности двух групп является
частным случаем изоморфизма, а именно: две равносоставленные группы
всегда голоэдрически изоморфны, и наоборот.
Например, следующие две группы:
с четырьмя и тремя параметрами соответственно являются мероэдрически
изоморфными. Мы получим мероэдрический изоморфизм одной из них на
другую, если четырем инфинитезимальным преобразованиям одной
группы:
dx\1 dx\1 dx\1 dx2
и
EL *к
дуг' У1дУ1'
EL
дх\
, Х2 = x\-z—, Х3 = х
дх\
19xi' дх\ дх2'
Структура и изоморфизм
325
поставим в соответствие следующие четыре преобразования:
3)1/ = f, Ф2/ = IT.^, Фз/ = У? ?W = ^,
другой группы.
В теории подстановок также идет речь об изоморфных группах, но
определение изоморфизма там дается иначе, чем здесь5. Позднее (ср. гл. 21,
«Группа параметров») мы убедимся, что понятие изоморфизма, следующее
из нашего определения, тем не менее полностью совпадает с тем, которое
получается, если перенести определение из теории подстановок
непосредственно на теорию конечных непрерывных групп.
Сначала выведем несколько простых следствий из нашего определения
изоморфизма.
В предыдущей главе мы видели, что каждой r-параметрической
группе X\f - • • Xrf соответствует некоторая линейная однородная группа,
которую мы назвали присоединенной группой. Из соотношений между ин-
финитезимальными преобразованиями присоединенной группы (ср. гл. 16,
стр. 305) непосредственно следует, что группа Xif - - • Xrf изоморфна
своей присоединенной группе; голоэдрически изоморфными эти группы
являются, однако, лишь тогда, когда группа Xif-- - Xrf не содержит
выделенных инфинитезимальных преобразований, так как только в этом случае
присоединенная группа является r-параметрической, в то время как во всех
остальных случаях она содержит меньше, чем г параметров. Отсюда
следует
Теорема 51. Для каждой г-параметрической группы Xif-- - Xrf
имеется изоморфная линейная однородная группа, а именно
соответствующая присоединенная группа; эта группа голоэдрически изоморфна группе
Xif - - - Xrf лишь тогда, когда последняя не содержит выделенных
инфинитезимальных преобразований.
Мы не будем здесь останавливаться на вопросе, для всякой ли такой г-па-
раметрической группы, содержащей выделенные инфинитезимальные
преобразования, можно задать голоэдрически изоморфную линейную однородную группу. Но
хотим все же показать на примерах, что во многих случаях это возможно, даже
если заданная r-параметрическая группа содержит выделенные инфинитезимальные
преобразования.
Пусть r-параметрическая группа Xif • • • Xrf содержит в точности г—га
независимых выделенных инфинитезимальных преобразований, a Xif - - - Xrf
выбраны такими, что Xm+if - "Xrf являются выделенными преобразованиями; тогда
5Камиль Жор дан, Traite des substitutions, Париж, 1870 г.
326
Глава 17
между Xif • • • Xrf имеют место соотношения вида
(Хц Хи) = Cpvi • Xif + • • • + C^vr ' Xrf,
(Xfj. Xm+k) = (Xm+k Xm-rj) = 0,
(/i, v = 1 • • m; fc, j = 1 • • • r — m).
В соответствующей присоединенной группе Eif- - - Erf имеется только га
независимых инфинитезимальных преобразований Eif---Emf, в то время как
Em+if •• • Erf обращаются в нуль тождественно, поэтому Eif - • • Emf связаны
соотношениями
(ЕцЕи) = С^и! • Elf + • • • -h CfMum • £тп/.
Если, в частности, все c^^m+i • • • с^иг обращаются в нуль, то всегда можно
задать r-параметрическую линейную однородную группу, которая будет
голоэдрически изоморфной группе Xif - • • Xrf. В этом случае преобразования Xif • • • Xmf
сами по себе порождают га-параметрическую группу, которой группа Eif •• • Emf
голоэдрически изоморфна. Поэтому если положить
F t * д* ft. 9f
tm+iJ = er+i о »''' tr/ = e2r-m о »
Cer+i Ce2r-m
то г независимых инфинитезимальных преобразований
Elf'-' i?m/, Em+l/' • ' Er/,
очевидно, порождают линейную однородную группу, голоэдрически изоморфную
группе Xif - - - Xrf.
Но и в таких случаях, когда не все c^,i/,m-i-i • • • с^г обращаются в нуль,
часто можно легко задать голоэдрически изоморфную линейную однородную группу.
Примером послужит трехпараметрическая группа Xif, Xif* Хз/:
(XiX2) = X3f, (Х1Х3) = (Х2Хз) = 0,
содержащая выделенные инфинитезимальные преобразования, а именно Лз/; она
голоэдрически изоморфна линейной однородной группе:
д f д f д f
Ei/ = Q3^—, Е2/ = ai-—, Е3/ = а3-—.
C7Ql OOL2 OOL2
Константы Ciks в уравнениях
г
(xixk) = ^2cik.-x.f (1)
3=1
328
Глава 17
или эквивалентным им г2 уравнениям
9lCjlk + 92Cj2k Н Ь ^rCjrfc =0 (j, = 1 • • г)
при помощи г не обращающихся одновременно в нуль величин д\-дг-
Таким образом, имеет место
Теорема 52.6 Если константы с^з (г, fc, s = 1 • • • г) имеют такие
значения, что все соотношения вида
Cika + Ckis = 0,
Г (^)
v=\
выполняются, то г линейных однородных инфинитезимальных
преобразований
Enf = Л cJ^ejg— (/X = 1 ■ • • r)
k,j=i k
находятся попарно в соотношениях
г
(EiEk)=^2cik3-Esf (»,fc=i...r)
3=1
и порождают поэтому линейную однородную группу Если, в частности,
Cika таковы, что не все определители порядка г, строчки которых имеют
вид:
\Cj\k Cj2k ' * ' Cjrk I (j, = 1 • • г),
обращаются в нуль, то E\f ••• ETf являются независимыми инфините-
зимальными преобразованиями и порождают г-параметрическую группу,
структура которой определяется системой сц^з и которая не содержит
выделенных инфинитезимальных преобразований. Во всех остальных
случаях группа, порожденная E\f• • • Erf, имеет меньше, чем г параметров.
§81
Результаты предыдущего параграфа приводят нас к предположению,
что вообще любая система констант с^3, удовлетворяющая
соотношениям (5), представляет структуру некоторой г-параметрической группы. Это
предположение соответствует истине, т. к. имеет место следующее
6 Л и, Archiv for Math, og Nat., том 1, стр. 192, Христиания, 1876 г.
Структура и изоморфизм
327
удовлетворяют, как мы видели в гл. 9, стр. 190, соотношениям
Cika + Ckis = 0,
г
< ^ ^ {Cikv Cyjs ~Г" Cfcji/ ^i/is ~H Cjii/ Сукз} ~ 0> (5)
k(t,fc,j,s= - r).
С помощью этих соотношений нам удалось в гл. 16, стр. 303, доказать,
что г инфинитезимальных преобразований
k,j=l
группы, присоединенной к группе X\f • • - Xrf, попарно находятся в
соотношениях
г
(E^E1/) = J2c^s'E3f. (7)
8 = 1
В этом доказательстве соотношений (7) мы не использовали ничего
другого, кроме того обстоятельства, что с^5 удовлетворяют уравнениям
(5), в частности, мы не воспользовались тем, что нам уже было
известно о факте существования г независимых инфинитезимальных
преобразований Xif • • • Xrf, связанных соотношениями (1). Поэтому при помощи
процитированных рассуждений доказано, что г инфинитезимальных
преобразований (6) всегда находятся в соотношениях (7), если с2^5
удовлетворяют уравнениям (5).
Следовательно, если нам известна система констант сцсз,
удовлетворяющая соотношениям (5), то мы немедленно можем задать г линейных
однородных инфинитезимальных преобразований Eif- - Erf9 а именно
преобразования (6), находящиеся попарно в соотношениях
г
(EiEk) = Y,Ciks'Esf.
3=1
Само собой разумеется, полученные таким образом
инфинитезимальные преобразования Eif • • • Erf порождают группу с г или менее
параметрами; группу с г параметрами они, очевидно, порождают только тогда,
когда независимы друг от друга, то есть когда невозможно удовлетворить
уравнениям
gi-Eif + --.+gr-Erf = 0
Структура и изоморфизм
329
Утверждение 1. Если константы Ciks (г, к, s = 1 • • • г) имеют такие
значения, что выполняются соотношения
^iks "Т" Ckis = О?
< Т (Б)
Е {CikvCvjs + CkjvCvis + CjivCuks} = О (г, fc, j, S = 1 • • • r),
wo в пространстве подходящей размерности всегда имеется г
независимых инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf, находящихся
попарно в соотношениях
г
(XiXk) = ^(kks • Xsf
3=1
и потому порождающих г-параметрическую группу со структурой Ciks.
Чтобы не отвлекаться, мы пока отложим доказательство этого важного
утверждения и приведем его в следующей части книги. До тех пор,
разумеется, мы по возможности не будем использовать это утверждение.
Из утверждения 1 следует, что совокупность всех возможных структур
r-параметрических групп представляется совокупностью всех систем Ciks,
удовлетворяющих уравнениям (5). Если все такие системы констант
известны, то вместе с тем известны и все структуры г-параметрических
групп.
Но, как мы видели на стр. 322, вообще говоря, существует
бесконечно много систем Ciks, представляющих одну и ту же структуру; если дана
некоторая система Ciks, представляющая какую-то структуру, то при
помощи уравнений (4) находятся все системы diks, представляющих ту же
структуру, где hjk — произвольные параметры. Поэтому если известны все
системы констант Ciks, удовлетворяющие уравнениям (5), то необходимо
еще одно специальное исследование, чтобы установить, какие из этих
систем представляют различные структуры. Чтобы провести это
исследование, мы должны сначала более подробно рассмотреть уравнения (4).
Не будем пока принимать во внимание того, что Ciks связаны
соотношениями; напротив, рассмотрим CikS9 а также diks как независимые друг от
друга переменные. Мы увидим, что при взятии за основу этой трактовки
уравнения (4) будут представлять собой непрерывную группу
преобразований в переменных Cike и с параметрами hjk-
Чтобы доказать заявленное свойство уравнений (4), просто выполним
два преобразования (4) или, что то же самое, два преобразования
г г
Е h™Cikn = Е hk* СЭ*3 (*, * = 1 • • • г) (3)
7Г=1 J,7T=1
последовательно.
330
Глава 17
Сначала перейдем при помощи преобразования (3) от с^кз к diks, а
затем — в силу преобразования
I>;s<4*= Е <л*^* (зо
7Г=1 j,7T=l
Таким образом, мы имеем новое преобразование, уравнения которого
получаются, если исключить diks из (3) и (3'). Требуется доказать, что это
новое преобразование имеет вид
7Г = 1 j,7T,S = l
где /г" — функции только от h и Ы.
Умножая (3') на haa и суммируя по s, мы получаем
г г
5^ Кз hs* Cik* = hiJ h'b* hs(T C'j™
it,3 = 1 j,7T,S = l
или вследствие (3)
г г
^tts ^<7 c"fc?r = ^ /l-j ft^ /ijr ^тгр Crpa.
7Г,3 = 1 j,7T,t,0=1
Это и есть вышеупомянутое новое преобразование; оно превращается
в (3"), если положить
г
3=1
Тем самым доказано, что преобразования (4) действительно образуют
группу.
Теперь мы утверждаем, что преобразования этой группы оставляют
систему уравнений (5) инвариантной.
Пусть Ciks — система констант, удовлетворяющая соотношениям (5)
и представляющая согласно утверждению 1 структуру некоторой
г-параметрической группы. Тогда, как мы знаем, система констант diks,
задаваемая уравнениями (4), также представляет структуру, а именно ту же самую,
что и система констант с%ка\ следовательно, и diks удовлетворяют
соотношениям вида (5). Преобразования (4) переводят, таким образом, любую
332
Глава 17
Далее, пусть Yi/--- Yr-qf ~ (r ~ я)-параметрическая группа,
изоморфная группе Gr, причем мероэдрически изоморфная, так что q больше
нуля. Эту вторую группу обозначим кратко через Gr-q.
Пусть эти две группы связаны друг с другом изоморфизмом в смысле,
изложенном на стр. 323 и 324; то есть пусть в Gr-q выбраны г
инфинитезимальных преобразований 2)i / • • • 2)г/5 находящихся в соотношениях
г
3 = 1
причем 2)i/ • • 2)г-д/ друг от друга независимы, тогда как 2)r_g+i/ • • • 2)г/
заданы тождествами:
Z)r-q+kf = dfci • 2)l/ + • • • + dktr-q • Ют-qf (к = 1 • • • q). (8)
При наложенных условиях, очевидно,
или
3=1 I
д=1 J
Если мы заменим здесь 2)r_g+i/-- 2)г/ их значениями (8), то
получим линейные соотношения между 2)i / • • • 2)r_g/; такие соотношения
могут, очевидно, иметь место лишь тогда, когда их коэффициенты для
каждого отдельного 2)i/ • • %)r-qf равны нулю.
Из обращения в нуль этих коэффициентов следует, что rq выражений
(r-q \ г ( r-q \
Xjf, Xr-q+kf - Е dk^X^f Cj,r_g+fc,3 - ^2 dk^Cj^s > Xsf
Д=1 / з=1 l д=1 J
могут быть линейно получены только из q инфинитезимальных
преобразований
r-q
Xr.^f-J^dk^X^f (fc = l-.-e). (9)
д=1
Иначе говоря, q независимых инфинитезимальных преобразований (9)
порождают (/-параметрическую инвариантную подгруппу группы X\j • • -Xrf.
Структура и изоморфизм
331
систему значений с^3, удовлетворяющую системе (5), в систему значений
ciks с тем же свойством, то есть оставляют систему уравнений (5)
инвариантной, что мы и утверждали.
Интерпретируем теперь г3 переменных dkS как координаты точек
в пространстве размерности г3.
В этом пространстве выделяют некоторое многообразие М,
остающееся инвариантным при преобразованиях группы (4). Каждая точка
пространства М — можно так сказать, — представляет структуру г-параметрической
группы, и наоборот, любая возможная структура г-параметрических групп
представляется некоторыми точками многообразия М. Две различные
точки из М представляют одну и ту же структуру, если в группе (4) имеется
преобразование, переводящее одну точку в другую.
Следовательно, если Р — какая-либо точка из М, то множество всех
положений, которые занимает Р при преобразованиях группы (4),
совпадает с множеством всех точек, представляющих ту же структуру, что и Р.
Как мы уже знаем (гл. 14, стр. 250), это множество точек образует
многообразие, инвариантное относительно группы (4), а именно так называемое
наименьшее инвариантное многообразие.
Отсюда следует, что последовательность действий, необходимых для
нахождения всех различных структур r-параметрической группы, такова:
найдем все лежащие на М наименьшие многообразия, остающиеся
инвариантными относительно группы (4); на каждом таком многообразии
выберем по одной точке Ciksl тогда системы значений Ciks, принадлежащие
выбранным точкам, представляют все различные структуры
г-параметрических групп.
Поскольку конечные уравнения группы (4) заданы, то нахождение
наименьших инвариантных многообразий надо рассматривать как
выполнимую операцию; оно требует лишь разрешения алгебраических уравнений.
Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 53. Описание всех существенно различных структур
г-параметрических групп требует лишь алгебраических операций.
§82
Пусть теперь X\j • • • Xrf — r-параметрическая группа со структурой
г
(ХгХк) = Ciks • Xsf.
8=1
Структура и изоморфизм
333
Теорема 54. Если (г — q)-параметрическая группа Y\f • • • Yrf
изоморфна г-параметрической: X\f -• - Xrf, и если 2)i / • • • 2)г/ — такие
инфинитезимальные преобразования этой (г — а)-параметрической группы,
что, во-первых, 2)i / • • • 2)г-д/ независимы друг от друга, в то время как
2)r_g+i/ • • • 2)г/ можно получить линейно из 2ь/ • • • 2)r_g/:
Z)r-q+kf = • 2)i/ 4- • • • 4- 4,r-g • 2)r-J (k = 1 • • • q),
и что, во-вторых, одновременно с соотношениями
г
(XiXk) = ^2,Ciks • Xsf
3 = 1
имеют место аналогичные соотношения
г
3 = 1
то q инфинитезимальных преобразований
Xr-q+kf — dkl - Xif dk,r-q ' Xr-qf (к = 1 • • • q)
порождают q-параметрическую инвариантную подгруппу группы
хл ...xrf.
Как мы знаем, группы Gr: X\f • • • Xrf и Gr-q: Y\f • • • Yr-Qf
связаны друг с другом изоморфизмом, если каждому инфинитезимальному
преобразованию вида e\Xif + '-- + erXrf можно поставить в соответствие
инфинитезимальное преобразование
г r-q ( q ^
J2 ек . <Qkf = ^ I *k + ]Г вг-я+1 di* (
k=i k=i [ J=l j
При таком соответствии инфинитезимальные преобразования
группы Gr, принадлежащие (/-параметрической группе (9), являются
единственными, которым соответствуют инфинитезимальные преобразования группы
Gr-q, обращающиеся тождественно в нуль. Следовательно, всякой
однопараметрической подгруппе группы Gr в общем случае соответствует
некоторая совершенно определенная однопараметрическая подгруппа группы
Gr-Q, только однопараметрическим подгруппам группы (9) не
соответствуют никакие однопараметрические подгруппы группы Gr-q, говоря точнее,
334
Глава 17
соответствующие однопараметрические группы сводятся к
тождественному преобразованию. Напротив, одной и той же однопараметрической
подгруппе Н (- hr-q 2)r-qf группы Gr-q соответствует в целом ooQ
различных однопараметрических подгрупп группы Gr, и все они имеют
вид
r-q q ( r-q
У^hk • Xkf + ^jT Aj; < Xr-q+jf -^2dm' x»f
k=l j=l l д=1
где Ai • • • \q — произвольные константы.
И вообще, между подгруппами групп Gr и Gr-q имеет место
определенное соответствие.
Если какие-либо га независимых друг от друга инфинитезимальных
преобразований
1ц1 • X\f Н (- /дг • Xrf (/1 = 1 • • • m)
группы Gr порождают m-параметрическую подгруппу, то га
инфинитезимальных преобразований
г r-q ( q
У^ 1цк ' = у»к + l^r~<i+i dw \ %kf (М = 1 • • • m),
к=1 fc=i [ j=i J
очевидно, порождают подгруппу группы Gr-q. Эта подгруппа будет самое
большее ш-параметрической, в частности нульпараметрической, то есть
состоять только из тождественного преобразования, если эта га-параметриче-
ская подгруппа группы Gr содержится в ^-параметрической группе (9),
причем, очевидно, лишь в этом случае.
Если, наоборот, какие-либо т! независимых инфинитезимальных
преобразований
1ц1 ' Vlf + • • • + l^r-q • Юг-qf (М = 1 • • • т')
порождают ш'-параметрическую подгруппу группы Gr-q: Yif — - Yr-qf,
то т' инфинитезимальных преобразований
1»1 * Xif Н (- /д,г-д * Xr-qf (д = 1---га')
вместе с q преобразованиями
Xr-q+kf - dkl ' Xif dk,r-q ' Xr-qf (к = 1 • • • q)
всегда порождают (га' + q)-параметрическую подгруппу группы Gr.
■
Структура и изоморфизм
335
Отсюда мы видим, что каждой подгруппе группы Gr соответствует
совершенно определенная подгруппа группы Gr-q, состоящая при
определенных условиях лишь из тождественного преобразования, а также что
каждой подгруппе группы Gr-q соответствует по меньшей мере одна
подгруппа группы Gr. Если нам известны все подгруппы группы Gr, и если
мы зададим все соответствующие им подгруппы группы Gr-q, то получим
все подгруппы группы Gr-q. Таким образом, справедливо
Утверждение 2. Если г-параметрическая группа, все подгруппы
которой известны, связана изоморфизмом с (г — а)-параметрической группой,
то можно непосредственно задать также все подгруппы [т —
(^-параметрической группы.
Пусть Xif • • • Xrf9 или кратко Gr, — это r-параметрическая группа со
структурой
г
(XiXk) = ^jTciks • Xsf.
5 = 1
Мы хотим выяснить, какие различные структуры может иметь группа,
мероэдрически изоморфная группе Gr.
До сих пор нам известно лишь следующее. Если Gr можно связать
с (г — q)-параметрической группой изоморфизмом, то в группе Gr
имеется совершенно определенная ^-параметрическая инвариантная
подгруппа, которой в (г — д)-параметрической группе соответствует
тождественное преобразование. Мы утверждаем, что можно следующим образом
обратить это утверждение: если Gr содержит ^-параметрическую
инвариантную подгруппу, то всегда найдется (г — q)-параметрическая группа Gr-q,
изоморфная группе Gr и связанная с последней изоморфизмом так, что
^-параметрической инвариантной группе группы Gr в Gr-q соответствует
тождественное преобразование.
Ради удобства представим себе, что г независимых
инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf выбраны так, что Xr-q+if • • • Xrf
порождают некоторую инвариантную подгруппу группы Gr. Тогда наше
утверждение, очевидно, сводится к тому, что в каких-либо переменных
2/1,2/2 • • • имеется г инфинитезимальных преобразований 2)i / • • • 2)г/,
удовлетворяющих следующим двум условиям: во-первых, 2)r-g+i/• • * фг/
должны обращаться в нуль тождественно, тогда как 2)i / • • • 2)г-д/ друг
от друга независимы, и во-вторых, должны тождественно выполняться
соотношения
(©t©fc) = Ciki • ©i / + • • • + (kkr • фг/ (г, к = 1 • • • г). (10)
336
Глава 17
Поскольку Xr-q+if • • • Xrf порождают подгруппу, инвариантную
в Gr, то все Ciki,Cik2 • • • Cik,r-q, в которых хотя бы один из двух индексов
ink больше, чем г — q, равны нулю. Если мы теперь положим все
инфинитезимальные преобразования 2)r_g+i/-- 2)г/ в соотношениях (10)
равными нулю, то все соотношения, в которых хотя бы один из индексов
г и к больше г — </, тождественно выполняются, и у нас остаются только
следующие соотношения между 2)i / • • • 2)r-qf'-
(фгЗЫ = с*1 • / + • • • + dks-q ' Фг-g/ (i, * = 1 - ■ • г - (11)
Поэтому требуется лишь доказать, что существует г — q независимых
инфинитезимальных преобразований 2)i/ • • • фг_д/, связанных
соотношениями (11), или, что то же самое, что имеется (г — (?)-параметрическая
группа, структура которой представлена системой констант CikS (i, k,s ~
= 1 • • • г - q).
Для доказательства этого мы исходим из того, что для г, fc, j = 1 • • • г —
— q имеет место тождество Якоби:
((XiXk)X3) + ((XkXjW + ((XjXJXk) = о,
которое можно также записать в виде
r—q
{cikpiXpXj) + CkjuiXpXi) + с^(Х^Хк)} +
я
+ (Xr-q+n f j Cik,r-q+nXj f + Ckj,r-q+nXif + Cji.r—q+'nXkf) = 0.
7Г=1
Разлагая полностью левую часть и учитывая, что коэффициенты при
Xif" - Xr-qf должны обращаться в нуль, получаем следующие
соотношения между константами с^ь, входящими в (11):
r-q
Cixkv) = 0
= 1... r-q).
Они показывают, что Cifc3 (г, fc, 5 = 1 • • • г — q) задают структуру в
ранее определенном смысле. Как замечено на стр. 329, заведомо имеется
(г — q)-параметрическая группа, структура которой задается при помощи
Cika (i, fe, * = 1 • • • г - q).
Структура и изоморфизм
337
Тем самым выдвинутое выше утверждение доказано. Если добавить
к этому то, что мы уже знали раньше, то мы получим7
Утверждение 3. Если известны все инвариантные подгруппы т-пара-
метрической группы Xif - - - Xrf:
г
(XiXk) = ^2 °iks ' Xsf,
то можно указать все структуры, которые может иметь группа, меро-
эдрически изоморфная группе Xif • • • Xrf.
Чтобы действительно выписать все соответствующие структуры,
необходимо действовать следующим образом
Пусть q > О независимых инфинитезимальных преобразований
9ц\ • Xif Ч Ь 9цг • Xrf (ji = l--q)
порождают ^-параметрическую инвариантную подгруппу группы
Xif • • • Xrf, или кратко Gr. Положим
<7/Л • Н h 9цг • ?)г/ = 0 (м = 1 • • •
разрешим эту систему относительно q из г выражений 2)i / • • • 2)г/ и затем
исключим их из соотношений
г
5=1
Тогда между оставшимися г—выражениями из 2)i / • • фг/
получатся соотношения, определяющие структуру (г—q)-параметрической группы,
изоморфной группе Gr. Если таким образом поступить с каждой отдельной
инвариантной подгруппой группы Gr, то мы получим все искомые
структуры.
Поскольку всякая группа является инвариантной подгруппой самой
себя, то получается, что для любой r-параметрической группы Gr существует
мероэдрически изоморфная группа, образуемая тождественным
преобразованием. Если группа Gr — простая (ср. гл. 15, стр. 293), то тождественное
преобразование, очевидно, является единственной мероэдрически
изоморфной ей группой.
7Далее мы покажем, что процитированное утверждение 1, стр. 329, отнюдь не является
необходимым для рассуждений, данных в этом месте. Ср. Л и, Archiv for Math, og Nat., том 10,
стр. 357, Христиания, 1885 г.
338
Глава 17
§83
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые важные случаи, в которых
встречаются группы, изоморфные заданной группе.
Пусть r-параметрическая группа
Xkf = '$2$ki(xi---Xn)g£; (fc = i---r)
г=1 1
пространства х\ • • • хп им примитивна, и пусть
U\(X\ • • • Хп) = COnst, • • • Un-q(xi • ■ • Хп) — COnst
— инвариантное относительно этой группы разбиение пространства на
ооп~я ^-мерных многообразий.
Согласно гл. 13, стр. 246, n — q независимых друг от друга функций
щ • • • un-q удовлетворяют соотношениям вида
XkUv = U>kv{ui • • • Un-q) (fc = 1 • ■ ■ г, v = 1 • • • n - q),
поэтому г выражений
n-q д. n-q д.
£ XkUvd^v = £ fa,fc"(ui'"' ""-^ = Xkf
v—\ i/=l
(fc = l-..r)
представляют столько же инфинитезимальнь1х_преобразований в
переменных и\ • • • wn_g. Мы утверждаем, что X\f • • • Хг/ порождают группу,
изоморфную группе Xif • • • Хг/. Для доказательства образуем выражения
v—\ v
Но тогда
r
X4(Xfc(/)) - X*(X<(/)) = ]Гс*ь •
s=l
Структура и изоморфизм
339
или, если подставить uv вместо /,
Xi CJku — Xk Uliv — °гкз ' XSUV = ^2 Сгкз ^sv\
з=1 s=l
таким образом, подставляя найденное значение X^kv — Xkuiv, получаем:
Хг(Хк(/))-Хк(Х{(/)) = ЕЕсл.^^-,
з=1 у=1 v
или, что то же самое:
г
(XiXk) = ^2Ciks'xsf,
3=1
что и требовалось доказать.
Группа Xif • • • Xrf имеет очень простое описание в более общих
терминах.
Из определения импримитивности следует, что множество из oon~q
многообразий ui(xi - • • хп) — const, • • • un-q(xi • - • хп) — const остается
инвариантным относительно группы Xif • - • Xrf, так что при любом
преобразовании этой группы oon~q многообразий могут переставляться между
собой. Следовательно, каждому преобразованию группы Xif-- - Xrf
соответствует некоторая перестановка наших oon~q многообразий или, что
то же самое, преобразование от п — q переменных щ - - - ип-я. Ясно, что
совокупность всех полученных преобразований в переменных и образует
группу, а именно группу, порожденную Xif - - - Xrf.
Разумеется, группа Xif •• - Xrf не обязательно должна быть
голоэдрически изоморфной исходной группе, но она, очевидно, изоморфна ей ме-
роэдрически только тогда, когда среди инфинитезимальных преобразований
eiXif Н (- erXrf имеется хотя бы одно, обращающееся в нуль
тождественно, a ei • • • ег при этом не все равны нулю, т. е. когда хотя бы одно
из инфинитезимальных преобразований eiXifН YerXrf оставляет
инвариантным каждое отдельное из наших oon~q многообразий. Итак, мы
имеем
Утверждение 4. Если г-параметрическая группа Xif-- - Xrf
пространства xi - - - хп импримитивна, и если уравнения
Ui(xi - - - Хп) — COnst, • • • Un-q(xi - - - Хп) — COnst
340
ГЛАВА 17
представляют инвариантное относительно этой группы разбиение
пространства на oon~q q-мерных многообразий, то инфинитезимальные
преобразования
n-q n-q ^
^XkUv-Q^- = ^2^кЛи1"' ип~я)д^- = Xkf № = 1- r)
порождают в переменных u\- — un-q группу, изоморфную группе
X\f • • • Xrf, показывающую, каким образом переставляются oon~q
многообразий при преобразованиях группы Xif - • • Xrf. Если среди
инфинитезимальных преобразований eiXif Н h erXrf имеется в точности г — g
независимых, оставляющих каждое отдельное из ооп~я многообразий
инвариантным, то группа X\f Xrf всего лишь д-параметрическая.
Используя теорему 54, стр. 333, мы также получаем
Утверждение 5. Если группа Xif- - Xrf пространства имприми-
тивна, и если
Ui(xi • • • Хп) — COnst, • • • Un-q(Xi • • • Хп) = COnst
является инвариантным относительно этой группы разбиением
пространства на oon~q q-мерных многообразий, то совокупность всех
инфинитезимальных преобразований e\Xif + ---+ erXrf, оставляющих каждое
отдельное из этих многообразий инвариантным, порождает инвариантную
подгруппу группы Xif • • • Xrf.
Рассмотрим теперь произвольную r-параметрическую группу
Xif-- - Xrf, оставляющую некоторое многообразие пространства xi • • • хп
инвариантным.
Согласно гл. 14, стр. 258, точки этого многообразия, в свою очередь,
преобразуются группой, инфинитезимальные преобразования которой
можно немедленно выписать, если у нас есть уравнения этого многообразия
в разрешенном виде. А именно: если уравнения многообразия выглядят
следующим образом:
Xl — (^i(xn_m+i • • • Xn), • • • Xfi—m — (pn—m(xn_m+i • • • Xn),
и если xn_m+i • • • xn выбираются как координаты для точек этого
многообразия, то инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы
имеют вид (ср. гл. 14, стр. 259)
Xkf = y^£fc,n-m+/z(<£l <Рп-т, Хп-т+1 '•' Хп) -т - (А; = 1 • •• г).
Структура и изоморфизм
341
При этом, как мы тогда уже доказали, имеют место соотношения
г
(XiXk) = ^(kks • Xsf.
s=l
Отсюда мы видим, что группа X\f---Xrf изоморфна группе
X\f ••• Xrf; в частности, она мероэдрически изоморфна ей, если среди
инфинитезимальных преобразований
ei -Xi/ + --- + er -Xrf
имеется хотя бы одно, обращающееся в нуль тождественно, т. е. если
хотя бы одно из инфинитезимальных преобразований егХг/ + • • • + erXrf
оставляет каждую отдельную точку многообразия на месте.
Итак, мы можем дополнить теорему 40 в гл. 14, стр. 258, следующим
образом.
Утверждение 6. Если г-параметрическаягруппа X\f Xrf в
переменных хг • • • хп оставляет многообразие
Хг = (рг(хп-т+г • * • Хп), • • • Хп-Ш = ¥п-гп(Хп-т+\ • • • хп)
инвариантным, то укороченные инфинитезимальные преобразования
Xkf = Е &,n-m+/*(^l • • * Vn-rrn Хп-т+г ' ' • Хп) ~ (Л = 1 • • • г)
в переменных xn-m+i • •я хп порождают группу изоморфную этой
г-параметрической, показывающую, каким образом точки многообразия
переставляются между собой преобразованиями группы Хг/ • • • Xrf. Если
среди инфинитезимальных преобразований eiXif + • - - + erXrf имеется
в точности г — g независимых, оставляющих каждую отдельную точку
многообразия инвариантной, то группа X\f Xrf является всего лишь
д-параметрической.
Кроме того, конечно, справедливо
Утверждение 7. Если г-параметрическая группа Xif Xrf
пространства хг • • • хп оставляет многообразие инвариантным, то
совокупность всех инфинитезимальных преобразований eiXif + • • - + erXrf,
оставляющих каждую отдельную точку этого многообразия
неподвижной, образует инвариантную подгруппу этой r-параметрической группы.
342
Глава 17
Пусть
Xkf = У2Ы(Х1- - хп)-к— (к = 1---г)
ti dxi
— r-параметрическая интранзитивная группа пространства Rn, причем
такая, которая содержит только конечное число инвариантных подгрупп.
Полная система, задаваемая уравнениями
Х,/ = 0,-" xrf = o,
является при этих предположениях ^-параметрической, где q < п, и имеет
п — q независимых решений. Поэтому мы можем считать, что переменные
х\ - - - хп с самого начала выбраны так, чтобы xq+\ • • - хп были решениями
полной системы; если мы так сделаем, то все • • • £fcr при подстановке
£k,q+j — XkXq+j обраТЯТСЯ в НуЛЬ.
Тогда очевидно, что каждое из ооп~я g-мерных многообразий
Xq+1 — ' ' * Хп — On
остается инвариантным относительно группы X\f - • • Xrf\ но зато его
точки, согласно гл. 14, стр. 258, переставляются между собой посредством
некоторой группы. Выберем х\ - • • хя в качестве координат для точек
многообразия, тогда инфинитезимальные преобразования этой группы будут
такими:
я
Xkf = Y2bi(xi • • • xq, aq+i • - • a>n)-x— (k = I-r).
i=i OXi
Является эта группа r-параметрической или нет, остается пока
неизвестным, во всякомслучае адга изоморфна группе Xif • - • Xrf.
Если группа Xif-- - Xrf является ^-параметрической (д ^ г), то
группа Xif - • - Xrf содержит (г — д)-параметрическую инвариантную
подгруппу, оставляющую каждую отдельную точку многообразия —
= aq+i, - - - хп — ап неподвижной (ср. утв. 6 и 7). Эта инвариантная
подгруппа не может изменяться в зависимости от значений aq+i • • • an, иначе
группа Xif-- - Xrf должна была бы содержать непрерывное семейство
инвариантных подгрупп, что противоречило бы нашему предположению.
Следовательно, в группе Xif - - - Xrf существует (г — д) -параметрическая
инвариантная подгруппа, оставляющая все точки каждого из oon~q
многообразий
xq+i — ag+i, • • • хп — an,
Структура и изоморфизм
343
а стало быть, и вообще все точки пространства х\ • • • хп неподвижными.
Но тождественное преобразование — единственное, оставляющее все точки
пространства х\_ — • хп на месте, то есть г — д — 0 и д — г; это значит, что
группа Xif • • • Xrf голоэдрически изоморфна группе Xif • • • Xrf.
Итак, верно следующее
Утверждение 8. Если Xif • • • Xrf — независимые
инфинитезимальные преобразования r-параметрической группы с абсолютными
инвариантами Qi{xi... хп), • • • Qn-q(xi • • • хп), и если в этой группе имеется лишь
дискретное число инвариантных подгрупп, то точки любого
инвариантного множества Qi = ai, • • • On-q = a>n-q группы Xif • • • Xrf
преобразуются некоторой r-параметрической голоэдрически изоморфной ей
группой.
Глава 18
Конечные группы, преобразования
которых образуют дискретные
непрерывные семейства
До сих пор мы имели дело только с конечными непрерывными
группами преобразований, т. е. с такими, которые представляются при помощи
системы уравнений вида
x'i = fi(xl ' ' • хп, U1 ' * " 0>г) (г = 1 • п).
В этой главе будут кратко рассмотрены и такие конечные группы, которые
задаются не одной такой системой, а несколькими системами данного вида;
это такие группы, о которых мы уже упоминали во введении, стр. Iх.
Итак, допустим, что нам дан ряд систем уравнений вида
4 = fik\xi---xn,a?)...a№) (t = i...n), (* = i,2...), (1)
каждая из которых содержит конечное число гк произвольных параметров
а[к^ - • • аг*\ и предположим, что совокупность всех преобразований,
представленных этими системами уравнений, образует группу.
Поскольку каждая из систем уравнений (1) представляет непрерывное
семейство преобразований, то наша группа состоит из нескольких
дискретных непрерывных семейств2. Ясно, что любое непрерывное семейство
преобразований нашей группы должно либо совпадать с одним из семейств (1),
либо содержаться в одном из этих семейств. Разумеется, мы предполагаем,
что ни одно из семейств (1) не входит ни в одно из остальных.
Мы намерены развить основы общей теории только что определенного
вида групп, но ради простоты введем некоторые ограничения, не
являющиеся, впрочем, существенными.
!Ли, Verhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Christiania (Слушания Научного
общества Христиании), № 12, стр. 1, 1883 г.
2Речь идет о группах, состоящих из нескольких связных компонент. — Прим. ред.
Конечные группы
345
Во-первых, предположим, что преобразования группы (1)
упорядочиваются в пары взаимно обратных. Тогда если преобразования отдельного
семейства
4 = f?)(x1--'Xn,a<t)---aM) « = l-n)
не упорядочиваются в пары взаимно обратных, то совокупность
соответствующих обратных преобразований должна образовывать семейство,
которое принадлежит группе, то есть содержится среди семейств (1).
Во-вторых, предположим, что число семейств (1) конечно и равно,
скажем, т. В том же случае, когда полученные нами утверждения
останутся справедливыми и для бесконечного числа семейств (1), мы сделаем об
этом специальное упоминание.
§84
К тем двум условиям, что мы наложили на группу (1) в начале данной
главы, добавим временно еще третье, что все семейства этой группы
должны содержать одинаковое число существенных параметров, например г.
В следующем параграфе мы покажем, что это третье условие следует из
двух первых и потому является излишним.
Пусть
А = fik\xl'-' хп^1 Or) (г = 1-"п)
— одно из т семейств оог преобразований, из которых состоит наша
группа, а к — одно из чисел 1 • • • га.
В результате разрешения только что выписанных уравнений мы
получим семейство преобразований
Хг = Ег(к){х[ • • - х'п, аг - • • ar) (i = 1 •.. n),
также принадлежащее этой группе при наложенных условиях.
Поэтому если мы выполним друг за другом два преобразования
Xi = F^k)(x[--- х'п, аг-- - аг),
xi = fik\x\ - - хп, аг + hi, • - - ar + hr) (i = l • • • n),
то получим опять же преобразование нашей группы, а именно следующее:
x'l = /W (jf* (х', а) ■ ■ ■ (Х\ a), oi + fti, • • • о, + Лг) (г = 1 • • • п). (2)
346
Глава 18
Разложим здесь правые части по степеням h\ • • • hr и найдем
< = /W(FW(^,a),a)+^^
j=i
где все отброшенные члены по h\ • • • hr — порядка 2 и выше. Если, однако,
принять во внимание, что преобразования
Xi=Ft{k)(x\a), xj = flk)(x,a) (i = i---n)
являются обратными друг другу, и для краткости положить
= 4#Vi •••<,a1..-ar), (3)
x=F(fc)(x,,a)
то мы увидим, что только что найденное выше преобразование имеет
следующий вид:
г
< = X'i + Е Л* ' # a) + ' * ' (* = 1' * * (4)
Легко видеть, что не существует не зависящих от х[ • • • х^ функций
Xi(a) *' A>(a)> которые тождественно удовлетворяли бы п уравнениям
г
Xj(ai • • • ar) -17}•} (x',a) = 0 (» = i -. - n),
не обращаясь одновременно в нуль. Если же в этих уравнениях произвести
подстановку x'v = /У^(х,а), то получатся уравнения
2^Xj(a) о" =0 (t = l-..n),
j=i aai
которые также должны тождественно выполняться; но согласно утв. 1, гл. 1,
стр. 13, это невозможно, так как параметры а\ • ■ • аг в уравнениях
преобразований х\ = (х, а) являются существенными.
д/1к\х,а)
да*
+ ■
df\k\x,a)
ddj
Конечные группы
347
Мы заключаем, что г инфинитезимальных преобразований
J2nf{x\---x'n,a1---ar)^ 0 = 1- -г) (5)
2=1 *
всегда независимы друг от друга, если а\ • • • аг — система значений общего
положения.
Понимая под а? • • • а£ систему значений общего положения и полагая
$V,a°)=&(*i •••*'»)
(число к при этом получает особое значение 1), мы покажем, что все
инфинитезимальные преобразования (5) можно получить линейно из г
независимых друг от друга инфинитезимальных преобразований
г=1 *
каким бы из чисел 1,2 • • • т ни было к и какие бы значения ни
принимали а\ • • • аг.
Доказательство этого очень похоже на рассуждения в главе 4, стр. 84.
Выполним два преобразования нашей группы последовательно, а
именно: сначала преобразование
г
X'i =X'i + Y,hJ' + • • • (* = (6)
которое получается из преобразования (4), если положить к = 1 и а\ =
= а?, • • • аг = а£, а затем — преобразование
также имеющее вид (4). Таким образом, мы получим следующее
преобразование, относящееся к нашей группе:
г г
<' = < + ]Гhj ■ ^{х') + rff(xT,a) + ■■■ (t = 1 ■ • • n),
i=i j=i
348
Глава 18
где опущенные члены имеют порядок 2 и выше по 2г величинам
hi...hr,Qi---Qr.
Помимо а, в последнее преобразование входит 2г произвольных
параметров h\... hr, Qi • • • дг, в то время как наша группа может содержать
лишь преобразования с г существенными произвольными параметрами. Из
утверждения 4, гл. 3, стр. 71, тем самым следует, что среди 2г
инфинитезимальных преобразований (5) и X[f • • • Xrf может иметься только г
независимых друг от друга. Но поскольку X[f • •• X'rf независимы друг от
друга, то инфинитезимальные преобразования (5) на самом деле должны
получаться линейно из X[f • • • X'rf для всех значений 1,2 • • • га числа к и
всех значений а.
Рассуждения, аналогичные приведенным в гл. 2, стр. 41-43,
показывают, что имеют место тождества вида
1=1 * 7Г = 1
(к = I-- - га, j = I-- - г),
где — совершенно определенные аналитические функции от а\ • • • аг.
Наконец, возвращаясь к уравнениям (3), которые, очевидно, можно
записать как:
$}(/i(fcW)» - /Jfc)(*,a),a,... =
и связывая их тождествами
^ = y\'-(fc)'
7Г = 1
мы получаем тождества
d/<(^J'a) = «г) -^(/i(fe)(*,«)••• /Jfc)(*,a)) (7)
7Г = 1
(j = 1... г, г = 1 • • • п; /с = 1 • • т).
Функции £тгг при этом не зависят от индекса fc, а вообще говоря,
зависят.
Конечные группы
349
Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 55. Если т систем уравнений
А = fik)(xi"' хп,аг--- аг) (г = 1-п)
(fc = l--. m),
в каждой из которых г параметров а\ • • • аг являются существенными,
представляют все преобразования группы {и все эти преобразования
упорядочиваются при этом в пары взаимно обратных)*, то существует г
независимых инфинитезимальных преобразований
п df
г=1 °Xi
находящихся в таком отношении с этой группой, что каждое семейство
х'г = flk\xl'- xn,Q>i ••• аТ) (i = 1 п)
удовлетворяет дифференциальным уравнениям вида
-й- = £ - - •а-) • ^ (7')
(г = 1 • • • п, j = 1 • • • г).
Отсюда следует, прежде всего, согласно теоремам 21, 24, стр. 166
и 176, что г независимых инфинитезимальных преобразований X\f • • • Хг/
порождают r-параметрическую группу.
Далее ясно, что к каждому из семейств х[ = f-k^(х,а) применима
теорема 25 в гл. 9, стр. 178: любое преобразование х\ — f\k\x,a),
параметры которого а\ • • • аг лежат в некоторой окрестности а\ • • • аг, получается
в результате выполнения сначала преобразования Xi = f\k\x,a), & затем —
некоторого преобразования г-параметрической группы X\f • • • Xrf.
Поскольку наша группа содержит все преобразования вида (6):
г
X'i = Xi + £ ^ ' ^ + ' * * (* = 1 •.. п),
j=l
3Теорема 55 остается, как легко видеть, по-прежнему справедливой, если слова в скобках
вычеркнуть. (Ср. рассуждения гл. 2.)
350
Глава 18
и так как одно из этих преобразований, а именно преобразование с
параметрами h\ = 0, • • • hr = 0, является тождественным преобразованием,
то тождественное преобразование должно содержаться в одном из семейств
х\ = f\k\x, а). Следовательно, одно из этих семейств — г-параметрическая
группа X\f • • • Xrf. Разумеется, это единственная порожденная инфините-
зимальными преобразованиями r-параметрическая группа, содержащаяся
в группе х[ = (х, а).
Таким образом, мы получили следующую теорему.
Теорема 56. Любая группа
xi = fik\xl ''' Xn,ai • • • аг) (г = 1 •••n), (fc=l-ra)
со свойством, заданным в предыдущей теореме, содержит одну и
только одну r-параметрическую группу с попарно обратными
преобразованиями. Эта r-параметрическая группа порождается определенными в
предыдущей теореме инфинитезимальными преобразованиями Xif • — Xrf, ее
(к)
оог преобразований образуют одно из т семейств х\ = f\ (х, а) и,
кроме того, находятся в следующем соотношении к остальным т — 1
семействам: если Хг = /г^(х,а) — какое-либо преобразование семейства
х[ = (х, а), то любое другое преобразование этого семейства,
параметры которого лежат в некоторой окрестности а\ • • • аг, получает-
(к}
ся, если сначала выполняется преобразование х\ = f> (х,а), а затем —
некоторое преобразование х[=ш(х\---хп)из r-параметрической группы
X1f--Xrf.
Рассмотрим, к примеру, группу, состоящую из двух семейств по ос1
преобразований, представляемую двумя системами уравнений:
х' = xcosa — ysina, у' — xsina + ycosa,
х' = х cos а + у sin а, у' = х sin а — у cos а.
В обоих семействах в результате дифференцирования по а получается
dx!_ _ _f/ _ _/
da " У' da~ '
так что функции , упомянутые в теореме 55, в данном случае не зависят
от индекса к.
Конечные группы
351
Первое из двух вышеназванных семейств — однопараметрическая
группа, порожденная инфинитезимальными преобразованиями у^- — х^-.
ох оу
Общее преобразование второго семейства получается, если сначала
выполнить преобразование
х = х, у = -г/,
а затем — преобразование
х' — xcosa — 2/sina, у' — xsina + у cosa
однопараметрической группы у-^- — х-^-9 то есть общее преобразование
ох оу
первого семейства.
Нельзя не упомянуть, что обе теоремы, 55 и 56, остаются верными
и тогда, когда обсуждаемая в них группа состоит из бесконечного числа
дискретных непрерывных семейств, каждое из которых содержит одно и то
же число существенных параметров.
Прежде чем пойти дальше, сделаем еще несколько довольно важных
замечаний.
Пусть
x'i = fi(xi • • • хп, ai • • • аг) (г = 1 • • п)
— г-параметрическая непрерывная группа, не содержащая тождественного
преобразования. Тогда согласно теореме 25, гл. 9, стр. 178, существует г-параметрическая
группа Xif " • Xrf с тождественным и с попарно обратными преобразованиями,
связанная следующими соотношениями с группой х\ = /t(x, а), или кратко 0: если
выполнить сначала преобразование Xi = fi(x,a) из 0, а затем преобразование
г
x'i = Xi + ел • Xk Xi + • • • (i = 1 • • • n)
fc=i
группы Xif • • • Xrf, то всегда получится преобразование группы 0.
Теперь можно легко доказать, что преобразование группы 0 всегда
получается также, если сначала выполнить преобразование группы Xif • • • Хг/, а затем —
преобразование группы 0. Мы не будем задерживаться на подробном
доказательстве, заметим лишь, что совершенно аналогичные рассуждения мы уже приводили
в главе 4 (ср. теорему 58).
Если теперь рассмотреть оба эти соотношения между 0 и группой Xif • • • Xrf
вместе и, кроме того учесть, что мы имеем дело с двумя группами, то сразу станет
ясно, что преобразования группы 0 и группы Xif • • • Xrf, если их объединить,
в свою очередь, образуют группу, причем такую, преобразования которой не
упорядочиваются в пары взаимно обратных.
352
Глава 18
Теперь добавим в круг нашего рассмотрения следующее семейство
преобразований:
x'i = Fi(xi • • • in, di • - - dr) (г = 1 • • • n),
которые обратны преобразованиям х\ = fi(x,a). Согласно теореме 2, гл. 1, стр. 20,
это семейство преобразований также образует группу, обозначим ее 0'. Мы
покажем, что преобразования трех групп 0, 0', X\f • • • Xrf, взятые вместе, снова
образуют группу, разумеется, группу с попарно обратными преобразованиями.
Пусть Т — общий символ преобразования группы 0, Т-1 — общий
символ преобразования 0', а под S всегда понимается преобразование группы
Xif---Xrf.
Мы уже знаем, что все вместе взятые преобразования Т и S, образуют группу,
и преобразования Т-1 сами по себе — тоже. Отсюда мы выводим наличие
соотношений, имеющих следующий вид:
Т. гг rp Q Q С гр—1гр—\ /т">— 1
а±(3 — i7, Э\Эц — Ои, *0 -L а — -L-у »
TaS\ = T,r, S\Ta = Тд.
Второй ряд этих соотношений мы также можем записать в виде
Q—lrp—l rp—1 rp—lQ—1 ПР~ 1
1 а — Jir ) 1 а Э\ — 1Q '
Поскольку группа преобразований S состоит из попарно обратных
преобразований, то сразу ясно, что Т-1 вместе с S образуют группу. Далее мы имеем
Ti— 1 ГГ) rri— 1 rri rt Г»
a lie = la ioOA = Од,
TaT"1 =TaT~1S;1 = 5д1>
то есть совокупность всех S, Т, Т~1 также образует группу.
Тем самым приведено обещанное доказательство того, что преобразования
трех групп 0, 0', X\f - - - Xrf, взятые вместе, образуют группу, причем группу
с попарно обратными преобразованиями.
§85
Мы встанем теперь на более общую точку зрения, чем в предыдущем
параграфе. Наложенное там особое условие опустим и оставим лишь два
условия, сформулированные в вводной части.
Итак, рассмотрим группу G, состоящую из m дискретных семейств
с существенными параметрами г\, т2 • • • тт соответственно и содержащую
для каждого своего преобразования обратное. Мы докажем, что все числа
г\, г2 • • • rm равны между собой. Тогда отсюда следует, что предположение
Конечные группы
353
П = г2 = • • • = гт, сделанное в предыдущем параграфе, не было
ограничением.
Выполним последовательно два преобразования группы G, сначала
преобразование
xi = f\k\xl "' Хп,0>1--- 0>rk) (г = 1--п)
семейства с г к параметрами, а затем преобразование
x'l = ft\x\...x'nM--brj) (г = 1--п)
семейства с т3 параметрами.
Таким образом мы находим преобразование
< = fij)(/ifc)(*><*)••■ а)М-Ьг,),
принадлежащее нашей группе и формально содержащее г к + т3
произвольных параметров. Если теперь наибольшее из чисел т\, г2 • • • гт имеет
значение г, то среди этих Тк + т3 произвольных параметров не может быть
больше, чем г существенных, с другой стороны, их не меньше, чем
наибольшее из чисел г к и г3. В частности, если оба числа г к и г3 равны г, то
записанное последним преобразование содержит ровно т существенных
параметров. Следовательно, все семейства нашей группы, содержащие ровно
г существенных параметров, образуют, вместе взятые, группу Г.
К группе Г мы можем теперь непосредственно применить теорему
56 из предыдущего параграфа. Из нее видно, что Г, а также G содержат
r-параметрическую группу
х\ = fi(xi • • • хП1 а\ • • • ar) (i = 1 • • • п),
порожденную г независимыми инфинитезимальными преобразованиями.
Если мы в соответствии с этим сначала выполним преобразование х\ —
— fi(x, а), а затем преобразование
< = /('Vi"-Oi---4), (8)
то получим снова преобразование группы G, а именно следующее:
< = flj)(fi&о) • • • /п(х, a), fci • • • brj) (t = i... n). (9)
Из г + параметров этого преобразования ровно г являются
существенными, таким образом, выписанные выше уравнения
представляют непрерывное семейство оог преобразований группы G. Но
поскольку группа х\ = fi(x,a) содержит тождественное преобразование, то
354
Глава 18
имеются особые значения параметров а\ • • • аг, для которых функции
а) • • /п(я, а) сводятся к х\ • • • хп соответственно. Следовательно,
семейство из оог' преобразований (8) содержится в семействе из оог
преобразований (9). Согласно замечаниям, сделанным во введении к данной главе,
это возможно только тогда, когда оба семейства совпадают, то есть когда
rj — г.
Тем самым доказано, что все числа r\, г 2 • • • rm действительно равны
между собой. Таким образом, имеет место
Теорема 57. Если группа, преобразования которой попарно взаимооб-
ратны, состоит из т непрерывных семейств преобразований, и если
каждое из этих семейств содержит лишь конечное число произвольных
параметров, то все эти семейства имеют одно и то же число существенных
параметров.
Эта теорема, впрочем, остается справедливой и тогда, когда число
семейств, из которых состоит группа, бесконечно велико, если только при
этом предположить, что каждое из этого бесконечно большого числа
семейств зависит только от конечного числа рк произвольных параметров,
и что среди чисел имеется самое большое.
§86
Как и прежде, пусть G состоит из га дискретных непрерывных
семейств, каждое из оог преобразований; кроме того, предположим, что
преобразования группы G попарно взаимообратны.
Согласно теореме 57 из предыдущего параграфа в группе G
содержится одна и только одна г-параметрическая группа, порожденная
независимыми инфинитезимальными преобразованиями. Если теперь 5 —
символ общего преобразования этой r-параметрической группы, а Т — символ
какого-либо преобразования группы G, то
T-i5T
также будет символом общего преобразования r-параметрической группы,
порожденной инфинитезимальными преобразованиями. Поскольку эта
новая группа содержится в G, то она должна совпадать с группой всех S;
согласно терминологии, введенной в гл. 15, стр. 290, мы можем это выразить
еще и так: рассматриваемая г-параметрическая группа остается при любом
преобразовании Т инвариантной. Стало быть, справедлива следующая
Теорема 58. Если группа G с попарно взаимно обратными
преобразованиями состоит из нескольких семейств преобразований, то наибольшая
Конечные группы
355
группа, входящая в G, порожденная инфинитезимальными
преобразованиями, остается инвариантной при любом преобразовании группы G.
Отсюда видно, как можно построить группы, состоящие из многих
непрерывных семейств по оог преобразований в каждом.
Пусть X\f • • • Xrf — r-параметрическая группа в переменных х\ • • • хп,
a S — символ общего преобразования этой группы.
Если группа с попарно взаимно обратными преобразованиями
содержит все преобразования r-параметрической группы X\f • • • Xrf и, кроме
того, еще некоторое конечное число, скажем га — 1, дискретных семейств,
каждое по оог преобразований, то по теореме 56, стр. 349, она имеет вид
Г05, Г!5, ... Гт_х5. (10)
Здесь То означает тождественное преобразование, а Т\- • Tm_i
согласно последней теореме таковы, что оставляют совокупность всех
преобразований S инвариантной. Аналитически это свойство преобразования Tv
выражается тем, что для каждого преобразования группы X\f • • • Xrf
имеет место соотношение вида
Ти ^SkTu = Sj,
где преобразование Sj снова принадлежит группе X\f - Xrf. Это
соотношение выполняется, впрочем, и тогда, когда v равно нулю, в этом случае
Sk = Sj.
Поскольку Т\ • • • Tm_i сами относятся к преобразованиям (10), то
совокупность всех преобразований (10) может лишь тогда образовывать
группу, когда все преобразования Тд Tv принадлежат этой совокупности.
Преобразования Ti должны поэтому удовлетворять, помимо вышеупомянутых,
еще и соотношениям вида
ТцТу = T<xSti
где р и v — произвольные из чисел 1,2 • • • га — 1, тогда как 7г пробегает
значения 0,1 • • • га — 1. Если одно из чисел /х, v равно нулю (например, /х),
то соотношение данного вида выполняется, очевидно, уже само по себе;
тогда Тж = Tv и 5тг, так же как и Го, — это тождественное преобразование.
Если, с другой стороны, преобразования обладают указанными
свойствами, то для всех значений 0,1 •• га — 1 обоих чисел р и v
имеют место соотношения вида
T^S^TySi — TyTvSjSi — T^SrSjSi — TirSg,
356
Глава 18
то есть совокупность всех преобразований (10) образует группу. Легко
видеть, что в общем случае преобразования такой группы всегда
упорядочиваются в пары взаимно обратных.
Теперь спрашивается еще, каковы должны быть преобразования
чтобы все га семейств (10) были отличны друг от друга.
Очевидно, что все семейства (10) друг от друга отличны, если ни одно
преобразование группы не принадлежит одновременно двум из этих
семейств. Если, напротив, какие-либо два семейства из (10), скажем Гд5
и TVS, имеют общее преобразование, то они совпадают друг с другом.
Поскольку из существования соотношения вида
T^Sk = TvSt
немедленно следует:
то семейство преобразований TUS имет вид
TpSkS^S,
то есть идентично семейству T^S.
Поэтому, для того чтобы все га семейств (10) были отличны друг от
друга, необходимо и достаточно, чтобы никакие два из преобразований
То, Т\ • • • Tm_i не были связаны соотношением вида
Т„ = T^Sj {у ф ц).
Полученные результаты мы обобщим в следующей теореме.
Теорема 59. Если S — символ общего преобразования
г-параметрической группы X\f -•• Xrf, аТ\- Tm_i — преобразования, которые
оставляют группу X\f • • • Xrf инвариантной и связаны друг с другом и с
тождественным преобразованием То соотношением вида
а соотношениями вида
Ти = T^Sj {v ф /а)
— не связаны, то совокупность всех преобразований
TnS, Ti5, ••• Tm_i5
Конечные группы
357
образует группу с попарно взаимно обратными преобразованиями,
состоящую из дискретного числа т непрерывных семейств с оог
преобразований в каждом и содержащую при этом все преобразования группы
X\f • • • Xrf. Если выбрать преобразования Т\ • • • Tm_i всеми
возможными способами, то мы получим все группы с указанным свойством.
В следующей главе мы дадим общий метод для нахождения всех
преобразований, оставляющих заданную группу X\f • • • Xrf инвариантной.
Если имеются две различные системы преобразований Т\ • • • Tm_i,
например Ti • • • Tm_i и Т[ • • Т^_1? то две группы
ToS, Ti5, ••• Tm_i5,
T0S, T[S, ■■■ T^S,
очевидно, будут отличны друг от друга тогда и только тогда, когда хотя бы
одно из преобразований Т[ • • • Т'ш_х нельзя представить в виде
Кстати сказать, часто можно устроить так, что га преобразований
Т0, Ti, • • • Tm_i уже сами по себе образуют разрывную группу.
Пример, п инфинитезимальных преобразований
df_ df_
порождают п-параметрическую группу. Совокупность всех
преобразований, оставляющих эту группу инвариантной, представляет собой конечную
непрерывную группу, порождаемую п + п2 инфинитезимальными
преобразованиями
df df
dx~'Xidx^ (*'* = 1-"n)-
Если среди oonn преобразований
х\ = йцХ\ + • • • ainXn (t = 1 • • • fl)
группы
358
ГЛАВА 18
выбрать какие-либо ш, образующие разрывную группу, и взять их в
качестве преобразований To,7i,-- Tm_i, а в качестве 5 положить общее
преобразование
х[ = х\ + а\, • • • х'п = хп + ап
df df
группы , то мы всегда получим группу, состоящую из га разрыв-
ОХ\ ОХп
ных семейств и содержащую все оо" преобразовании группы • ■ • -к—.
ОХ\ ОХп
Теорема 58, стр. 354, верна, конечно, и тогда, когда группа G состоит из
бесконечно многих семейств, с оог преобразованиями в каждом. Поэтому
если мы хотим построить такую группу, то надо лишь найти бесконечно
большое дискретное семейство преобразований
ТьТ2,Т3-.. ,
оставляющих группу X\f • • • Xnf инвариантной и, кроме того,
удовлетворяющих попарно соотношениям вида
и наоборот, не связанных ни друг с другом, ни с тождественным
преобразованием То соотношениями вида
= Tj/ST.
Тогда совокупность всех преобразований
То5, TiS, T2S, • • •
образует группу G, включающую в себя группу X\f • • • Xrf и состоящую
из бесконечно большого числа различных семейств, содержащих по оог
преобразований.
Но преобразования найденной таким образом группы G в общем
случае не упорядочиваются в пары взаимно обратных; для того чтобы это
происходило, всякое преобразование Т\,Т2 • • • должно, помимо ранее
упомянутых соотношений, удовлетворять также еще одному, следующего вида:
§87
Теперь еще немного об инвариантах тех групп, которые мы
рассматривали в трех предыдущих параграфах.
Конечные группы
359
Пусть G — группа, состоящая из га дискретных семейств:
(к = 1 • • • га),
с оог преобразованиями в каждом, причем для каждого преобразования
группы в ней содержится также и обратное. Пусть, в частности,
Xi = f\l\x\ • • • xn, а\ • • • ar) (t = l • • • n)
— r-параметрическая группа, содержащаяся в G и порожденная г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\j • • • Хг/.
В соответствии с гл. 6, стр. 106, мы будем называть инвариантом
группы G любую функцию il(xi • • • хп), допускающую все
преобразования группы G, то есть удовлетворяющую га уравнениям
П(х[к) • • • *<*>) = U(xi • • • Хп) (к = 1...т).
Покажем, как можно найти инварианты группы G.
Каждый инвариант G, очевидно, является в то же время инвариантом
r-параметрической группы X\f • • • Xrf, а значит, решением полной
системы, задаваемой уравнениями
Xi/ = 0,.--Xr/ = 0.
Если эта полная система — п-параметрическая, то группа X\f • • • Хг/,
а стало быть, и группа G не имеют никаких инвариантов. Поэтому
предположим, что указанная полная система является (п — q)-параметрической
и обозначим некоторые q ее независимых решений через щ • • • ия.
Согласно теореме 58 группа X\f • • • Xrf остается при всех
преобразованиях инвариантной; следовательно, и (п — q)-параметрическая полная
система, задаваемая уравнениями
Xi/ = 0,-..Xr/ = 0,
допускает все преобразования группы G. А потому решения щ • • • uq этой
полной системы удовлетворяют (ср. гл. 8, стр. 154) соотношениям вида
Uj(x[k) ■ ■ ■ = uj*\Ul(x)... Uq(x), а[к) ■ ■ • 4*>) (11)
(j = 1 • • • q, к = 1 • • • га).
Можно показать, что все функции и;^ независимы от параметров а[к^ • • • агк\
360
Глава 18
Через • • • агк^ обозначим какую-либо фиксированную систему зна-
й. Тогда
-(*)
и а\ • •
образование
(к) (к)
чений. Тогда если система значений а\ • • • аг ' лежит в некоторой окрест
ности а[к^ • • • агк\ то согласно теореме 56, стр. 349, можно получить пре
xf) = /W(Xl...Xn,a(fe)...a(fc))
в результате того, что сначала выполняется преобразование
x?)=flk\x1...xn,a[»...alk)),
а затем некоторое преобразование
x4(fe)-/|1)(x«-.4fc),a1--ar)
группы X\f • • • Xrf. Таким образом, мы имеем
e« = /<«(/№)(Х|Я(*))• • • /М(х,**>), аг- аг).
Теперь ui • • • uq — это инварианты группы Xif • Xrf и потому
удовлетворяют соотношениям вида
U,(x«...4fe)) = «i(^)-x(fc))-
С другой стороны
Uj(x(k) ---х^) =ы{к)Ых)--- ия(х)),
где } зависят лишь от щ • • • uq и не содержат произвольных параметров,
так как а[к^ • • • агк^ являются численными константами. Таким образом,
получается
Uj(x[k) ■ ■ ■ *<*>) = Ъ{к\щ{х) ■ • • u,(x)) (11')
(j = 1- • q; к = - га),
чем доказано, что функции u)^ в уравнениях (11) действительно не зави-
(к) (к)
сят от параметров а\ • • • аг .
Согласно вышесказанному, каждый инвариант il(xi • • • хп) группы G
удовлетворяет га уравнениям вида
ЩХ{к) • • • *<*>) = • • • ХП) (к = 1.. .ш);
Конечные группы
361
поскольку он к тому же является функцией только от и\ • • • uq, например
••• Хп) = J(UI-" Uq),
то он удовлетворяет одновременно т соотношениям:
./((^(til •••Uq)--- JV(Ul • • • Uq)) = J(Ul • - • Uq) (12)
(k = I- - m).
И наоборот, каждая функция J(u\ • • uq), удовлетворяющая выше
упомянутым га функциональным уравнениям, очевидно, является инвариантом
группы G. Следовательно, чтобы получить все инварианты группы G,
надо лишь удовлетворить этим функциональным уравнениям в самом общем
виде.
Задача нахождения всех решений функциональных уравнений (12),
очевидно, идентична задаче нахождения всех функций от щ • • • uq,
допускающих га преобразований
u;=o;{fc)(ui.--*«) (J = i---0), (13)
(к = I-- - m).
Но эти т преобразований образуют разрывную группу, как легко следует
из группового свойства G. Таким образом, поставленная нами в начале
параграфа задача сводится к задаче из теории разрывных групп.
Полученные результаты мы подытожим в следующей теореме.
Теорема 60. Если группа G (преобразования которой попарно обрат-
ны) состоит из нескольких дискретных семейств, содержащих по оог
преобразований
x?)=flk\x1...xn,a[k)-..aW) (г = 1...п),
(* = 1,2...),
то все инварианты группы G являются в то же время инвариантами
г-параметрической непрерывной группы Х\ f • • • Xrf, отвечающей группе G.
Если инварианты этой последней группы известны, то есть если
известны какие-либо q независимых решений и\--- щ (п — (^-параметрической
полной системы, определяемой уравнениями
Xi/ = 0,.--Xr/ = 0,
362
Глава 18
то инварианты группы G находятся следующим образом: сначала
составим соотношения
Uj(x[k) •••*<*>) = u>f](щ(х) • •. uq(x)) tf = i...
(* = 1,2...).
(к)
которые имеют место при наложенных условиях и в которых uij
зависят только от индексов j и к; затем находятся все функции от щ • • • uq,
допускающие разрывную группу, образуемую преобразованиями
U'j =uf\v>\' - Uq) (j = 1- q),
(* = 1,2...)-
Полученные функции являются инвариантами группы G.
Подобная теорема справедлива, очевидно, если группа G состоит из
бесконечного числа семейств преобразований.
Можно поставить себе задачу найти все инварианты, которые имеет заданное
семейство преобразований:
x'i = ip(xi - - • хп, сы • • • аг) (г = 1 • • • п),
или все инварианты, являющиеся общими для нескольких таких семейств4. Это
семейство или эти семейства могут быть совершенно произвольными и не обязаны
принадлежать некоторой конечной группе.
Мы не намерены рассматривать эту задачу в полном объеме; заметим только,
что данные инварианты являются решениями (правда, непроизвольными)
некоторой легко задаваемой полной системы. А так как искомые инварианты, помимо
заданных преобразований, допускают, очевидно, еще и соответствующие обратные
преобразования, то совсем несложно выписать некоторые инфинитезимальные
преобразования, при которых они также остаются инвариантными. Эти
инфинитезимальные преобразования в общем случае содержат произвольные элементы, в
частности некоторые параметры; будучи приравнены нулю, они дают линейные
дифференциальные уравнения в частных производных, которым должны удовлетворять
искомые инварианты. Всегда можно записать наименьшую полную систему,
включающую все эти дифференциальные уравнения. Если известна система решений
u\,U2 • • - этой полной системы, то следует образовать произвольную функцию от
этих решений Q(ui,U2 • • •), применить к ней общее преобразование заданного
семейства и задать Q в общем виде так, чтобы О вела себя как инвариант.
4Ср. Л и, Berichte der К. Sachs. Ges. d. W. (Доклады Королевского научного общества
Саксонии), 1 августа 1887 г.
Глава 19
Теория подобия г-параметрических
групп
Крайне важным часто бывает ответ на вопрос, является ли
заданная г-параметрическая группа х\ = fi(x\ • • • х9, а\ • • • аг) s-мерного
пространства подобной другой заданной г-параметрической группе у\ =
= Fi(yi • • • ys, &i • • • 6Г) того же пространства, то есть можно ли ввести
вместо х и а такие новые переменные у\- • • у3и новые параметры Ь\ • • • 6Г,
чтобы первая группа перешла во вторую (гл. 1, стр. 25). Если в каком-то
конкретном случае известно, что такой переход одной группы в другую
возможен, то возникает второй вопрос: как осуществить такой переход
наиболее общим образом?
В настоящей главе мы дадим средства для ответов на оба вопроса.
Сначала покажем, что первый из двух вопросов может быть заменен
следующим, более простым: при каких условиях существует
преобразование
Уг = ••• Х9) (г = 1 s),
такое, что какие-либо г независимых инфинитезимальных преобразований
группы х\ — /г(х,а) при введении новых переменных у\---у8
переходят в инфинитезимальные преобразования группы у\ — Fi(y, 6)? Эту более
простую задачу мы решим, сформулировав некоторые условия,
необходимые для существования преобразования у± = Ф{ (х) с требуемым свойством,
которые окажутся также и достаточными. В то же время мы увидим, что
все имеющиеся преобразования yi = Фг{х) с требуемым свойством могут
быть найдены при помощи интегрирования полных систем. Тем самым мы
получим ответ и на второй из двух поставленных вопросов.
§88
Пусть две r-параметрические группы, х\ = /г(х,а) и у[ = Fi(y,b),
подобны, а именно: пусть одна переходит в другую, если вместо х\ • • • х3
364
Глава 19
ввести новые переменные у* = Фг(х\ - х3), а вместо а\ • • • аг — новые
параметры Ьк = /Зк(а\ • • • аг). Далее пусть
— какие-либо г независимых инфинитезимальных преобразований группы
х\ = /i(sja)> принимающих при введении новых переменных yi • • • у3
такой вид:
Xkf = £xkyi2L = Yibki(Vi...V.)§L=ykf (fc = i...r).
г=1 г=1
Переход от группы х^ = fi(x,a) к группе у£ = F$(y, 6) разобьем на
несколько шагов.
Сначала приведем группу х\ = /г(х,а) к канонической форме
г
х- = Xi + ]Г • • • • х3) + • • • (г = 1 • • • s), (1)
k=i
введя вместо ai • • • ar некоторые, кстати говоря, совершенно
определенные, зависящие от них функции е\ • • • ег. Из (1) мы тогда должны
получить уравнения у[ = Fi(y,b), если введем вместо х новые переменные
Уг • * * 2/s> и, кроме того, вместо е\ • • • ег — некоторые совершенно
определенные функции ОТ 6i • • 6Г.
Но тогда уравнения (1) согласно гл. 3, стр. 62, при введении
переменных у\ • • • у3 принимают вид
г
У'г = Vi + 6к ' *>кг(У1 ' ' * У а) + ' ' ' (t = 1 ■ • ■ в); (Г)
fc=l
то есть уравнения (1') должны быть идентичны уравнениям у[ = F;(y, 6),
если выразить ei • • • ег указанным образом через fti • • • 6Г. Следовательно,
уравнения (1') являются записью группы у\ = Fj(y, Ь), причем, как мы
видим, в канонической форме. Другими словами, 2)i / • • • 2)г/ — независимые
инфинитезимальные преобразования этой группы.
Если г-параметрическая группа х\ = f%(x\ • • • х3, а\ • • • аг) при
введении новых переменных у\ • • • у3 и новых параметров 6i • • • br превращается
в группу у[ = Fi(y\ • • • ys, &i • • • 6Г), то инфинитезимальные
преобразования первой группы при введении переменных у\ - • • у3 превращаются в
инфинитезимальные преобразования второй группы.
366
Глава 19
В то же время понятно, что преобразование yi = Ф^х\ • • • х9)
устанавливает голоэдрически изоморфную связь между двумя группами: х[ —
= fi(x, а) ну[ = Fi(y, b), оно ставит в соответствие г независимым инфи-
нитезимальным преобразованиям X\f--- Xrf одной группы г
независимых инфинитезимальных преобразований другой, и благодаря такому
соответствию эти группы, очевидно, связаны друг с другом голоэдрическим
изоморфизмом.
Предположим, что нам даны две произвольные г-параметрические
группы от одинакового числа переменных; пусть их инфинитезимальные
преобразования таковы:
Вопрос: являются эти две группы подобными друг другу или нет?
Наш ответ на этот вопрос, очевидно, должен быть отрицательным,
если группы не являются равносоставленными; согласно теореме 62
подобными могут быть только равносоставленные группы. Следовательно, нам
надо рассматривать лишь тот случай, когда эти две группы являются
равносоставленными; выполнение этого условия для заданных групп можно
всегда проверить алгебраическими методами.
Следовательно, отныне мы предполагаем, что заданные группы
являются равносоставленными.
По теореме 61 две равносоставленные группы X\f • • • Xrf и Z\f• • •
Zrf подобны друг другу тогда и только тогда, когда существует
преобразование yi = Фг(#1 • • • xs), такое, что X\f • • • Xrf превращаются при
введении новых переменных у\ — - у9 в инфинитезимальные
преобразования группы Zif-- - Zrf. Если мы объединим это с замечанием в конце
предыдущего параграфа, то увидим, что эти две группы подобны тогда и
только тогда, когда между ними можно установить такую голоэдрически
изоморфную связь, чтобы путем введения подходящих новых переменных
Уъ,= ••• xs) можно было перевести г инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xrf как раз в те инфинитезимальные преобразования
§89
и
Теория подобия г-параметрических групп
365
Очевидно, имеет место и обратное: если две группы, х\ = fi(x, а)
и у\ = Fi(y,b), связаны между собой так, что инфинитезимальные
преобразования первой при введении новых переменных у\ - • • у3 переходят
в инфинитезимальные преобразования второй, то всегда можно при
подходящем выборе переменных и параметров перевести группу х\ = /$(х, а)
в группу у\ = Fi(y,b). При введении у каноническая форма (1) группы
х[ = fi(x, а) переходит в каноническую форму (1') группы у[ = Fi(y, b).
Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 61. Две r-параметрические группы от одинакового
числа переменных подобны тогда и только тогда, когда можно перевести
какие-либо г независимых инфинитезимальных преобразований одной
группы в инфинитезимальные преобразования другой при помощи введения
новых переменных.
Таким образом, чтобы выяснить, являются ли две г-параметрические
группы х[ = fi{x,a) и у[ = Fi(y,b) подобными, надо лишь рассмотреть
инфинитезимальные преобразования обеих групп и спросить, можно ли
перевести их друг в друга.
Из рассуждений выше можно непосредственно сделать еще один
важный вывод.
Мы знаем, что между инфинитезимальными преобразованиями
X\f • • • Xrf группы х\ = /г(х, а) имеют место соотношения вида
г
Xi(Xk(f)) - Xk(Xi(f)) = (XtXk) = Xaf.
(7=1
При введении новых переменных у\ - у9 эти соотношения, согласно гл. 5,
стр. 93, принимают вид
г
ШЗМЯ) - 2Шг(/)) - (3)г2Ы - £ Cik<J • 2),/,
<7=1
то есть, г независимых инфинитезимальных преобразований 2)i / • • • 2)г/
группы у[ = F{(y,b) связаны точно такими же соотношениями, что и
инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xrf группы х[ = fi(x> а).
Поэтому в соответствии с введенной в гл. 11 (стр. 322) терминологией
мы можем сказать:
Теорема 62. Если две т-параметрические группы от одинакового
числа переменных подобны, то они также являются равносоставленными,
или, что то же самое, голоэдрически изоморфными.
Теория подобия г-параметрических групп
367
• • • Фг/ группы Zif • • • Zrf, которые поставлены им в соответствие
изоморфной связью.
Следующий шаг, который нам надо сделать для ответа на
поставленный вопрос, — это наиболее общим образом связать между собой эти две
группы голоэдрическим изоморфизмом.
Выберем в группе Z\f••• Zrf самым общим образом г таких
независимых инфинитезимальных преобразований
г
j=i
что, наряду с соотношениями
г
(Вдь) = ад (2)
(7=1
мы одновременно будем иметь соотношения
г
(YiYk) = Y,cik<,.Yaf. (20
(7=1
Когда это сделано — для этого необходимы лишь алгебраические
операции — мы сопоставим Y\f Yrf инфинитезимальным преобразованиям
X\f — • Xrf и получим наиболее общую голоэдрически изоморфную связь
между этими группами.
В настоящей главе под gkj мы всюду понимаем общую систему
констант, удовлетворяющую вышеупомянутым требованиям.
Здесь надо заметить, что в общем случае gkj зависят от некоторых
произвольных элементов, прежде всего от произвольных параметров, а
кроме того, от некоторых неоднозначностей, обусловленных
алгебраическими операциями, необходимыми для нахождения gkj: вполне возможно, что
имеется несколько дискретных семейств таких систем значений gkj,
которые обладают требуемым свойством.
Теперь спрашивается, имеется ли среди найденных данным образом
изоморфных связей между двумя группами такая, которая обладает
вышеупомянутым свойством. Другими словами, можно ли из произвольных
элементов, входящих в коэффициенты gkj, выделить такие, чтобы можно было
перевести X\f • • • Xrf подходящей заменой переменных у\ = Фг(х\ • • • xs)
в Y\f • • • Yrf соответственно?
368
Глава 19
Эти две группы Xif • • • Xrf и Zif • • • Zrf являются подобными тогда
и только тогда, когда ответ на этот вопрос положителен.
Пусть Xif-- - Xnf (n < г) не связаны линейными соотношениями
вида
Xi(*1 • • • xs) - Xif + • • • + Хп{х\ • • • ха) • Xnf = О,
a Xn+if • • • Xrf, напротив, можно выразить линейно через X\f • • • Xnf:
Xn+kf = 4>k\ (xi • • • Xa) ' Xif + • • • + Vkn(xi - - - x3) • Xnf (k = 1 • • • г - n).
(3)
Если преобразование од = <&i{xi - - • xa) таково, что Xif---Xrf
при введении у переходят в некоторые инфинитезимальные
преобразования 2)х/••• 2)г/, принадлежащие группе Zif ••• Zrf, то, разумеется,
* * * ?)п/ не могут быть связаны линейным соотношением вида
Mvi' • * Уз)' 2Ь/ + • •' + <Мш • • • У») • 3)п/ = 0;
напротив, для 2)n+i/ * * * ?)г/ мы, очевидно, получаем выражения типа
п
Фп+А:/ = ^1/(2/1 * * * Уз) ' 2)i// (fc = 1 • • • г - п),
i/=l
в которых Tpkv{y) получаются из (fki/(x) в результате введения переменных
у вместо х, так что п(г — п) уравнений
ФкЛУг-' Уз) = 4>kv{xi--- ха)
при подстановке од = Ф\{х\ - - - х3) превращаются в тождества.
Отсюда мы заключаем:
Если между Xif - Xnf нет линейных соотношений, в то время как
Xn+if * * • Xrf выражаются линейно через Xif • • • Xnf при помощи
соотношений (3), то дверавносоставленныегруппы Xif — - Xrf и Zif • • • Zrf
лишь тогда могут быть подобными, когда произвольные элементы в
определенных выше коэффициентах gkj можно выбрать так, что
инфинитезимальные преобразования
г
Ykf = Y,9kj-Zjf (*=1...Г)
будут обладать следующими свойствами: во-первых, Yif---Ynf не
связаны никакими линейными соотношениями, в то время как Yn+if •• - Yrf,
Теория подобия г-параметрических групп
369
напротив, выражаются линейно через Y\f • • • Ynf:
п
Yn+kf = ^ки(у\ '"Уз)' Yvf (k=l — -
r-n);
(3')
и, во-вторых, n(r — п) уравнений
<Pkv{x\ • • • xa) - фкЛУг '•• Уз) = 0 (fc = 1 • • • г - п, I/ = 1 • ■ • п) (4)
совместны друг с другом и не дают никаких соотношений по отдельности
ни между х, ни между у.
Эти условия являются необходимыми для подобия двух равносо-
ставленных групп X\f • • • Xrf и Z\f • • • Zrf. Мы утверждаем, что они
являются также и достаточными. Точнее говоря, мы утверждаем:
если выполнены указанные условия, то всегда имеется преобразование
У% = $i(xi • • • xs), переводящее инфинитезимальные преобразования
X\f — ' Xrf в Y\f - - - Yrf соответственно, и эти две группы X\f • • • XTf
и Z\f • • • ZTf являются подобными.
Это утверждение мы докажем при помощи разработанного нами
метода, приводящего к нахождению преобразования с указанным свойством.
Наша теперешняя точка зрения, таким образом, следующая:
Дана г-параметрическая группа
от s переменных х\ • • • х3, структура которой определяется соотношениями
При этом между X\f • • • Xnf нет никаких линейных соотношений вида
в то время как Xn+i/ • • • Xrf, напротив, можно выразить через Xif • • • Xnf:
г
Xl(Xl ' ' ' Xa) ' Xif + • • • + Xn(Xl • ' * Xa) • Xnf = 0,
n
(fc = 1... r - n).
(3)
370
Глава 19
Кроме того, дана r-параметрическая группа, равносоставленная с
группой X\f • • • Xrf:
s df
и в этой группе г независимых инфинитезимальных преобразований
г 9 df
Ykf = Е9kjZjf = Е 4fci(yi ' * * Уз)-J- (fc = 1 ■ • ■ г)
j=l i=l Уг
выбраны такими, что, во-первых, соотношения
г
(YiYk) = J2cik*'Y*f
выполняются тождественно, во-вторых, Y\f • • • Ynf не связаны никакими
линейными соотношениями вида
1>i(Vi''' Уз) • Yxf + • • • + •■•!/•)• Ynf = 0,
в то время как Уп+i/ * * • ^г/5 напротив, выражаются следующим образом:
п
Yn+kf = ^2^кЛУ1"-Уз)-УЛ (к = 1... г -п), (3х)
1/=1
и наконец, что п(г — п) уравнений
4>kv{X\ • • • Х3) - фкЛУ! * ' * Уз) = 0 {к = 1 • г - п, I/ = 1 ..• п) (4)
совместны друг с другом и не дают соотношений по отдельности ни
между х, ни между у.
Требуется найти преобразование
Уг = Фг(хг ••• Х3) (г=1.-5), (5)
переводящее X\f • • • XTf eY\f • - • YTf соответственно.
Мы можем добавить:
Искомое преобразование таково, что уравнения (4) л/ш подстановке
г/1 = #i(x), • • • ys = Фз{х) становятся тождествами.
Тем самым сформулирована задача, решением которой мы прежде
всего и займемся.
Теория подобия г-параметрических групп
371
§90
Прежде чем заняться поставленной в конце предыдущего параграфа
задачей в ее полной общности, рассмотрим частный случай, справиться
с которым намного проще; мы имеем в виду случай п = г, который,
очевидно, может возникнуть лишь тогда, когда s больше либо равно г.
Пусть определенное выше целое число п равно г.
Ясно, что в этом случае ни между X\f • - • Xrf, ни между Z\f • • • Zrf
нет линейных соотношений. Отсюда следует, что г инфинитезимальных
преобразований
г
Ykf = '529kjZjf (fc = i-..r)
3=1
удовлетворяют указанным на стр. 368 условиям сами по себе, и
содержащиеся в gkj произвольные элементы не нуждаются при этом в дальнейшем
уточнении. Во-первых, между Y\f Yrf нет никаких линейных
соотношений, и, во-вторых, уравнения (4) сводятся к тождеству 0 = 0, то есть
они, безусловно, совместны друг с другом и не дают соотношений по
отдельности ни между х, ни между у.
Поэтому если сформулированное на стр. 368 утверждение верно, то
наши г-параметрические группы подобны, а именно: имеется преобразование
yi = $i{xi,' * * х3), переводящее X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf
соответственно. Попробуем найти такое преобразование.
Если мы введем при помощи уравнений преобразований
Уг = $i{Xi ••• Жв) (i=l'"S) (5)
переменные у\ • • • у3 в Xkf, то получим
Сравнивая с
мы видим, что преобразование (5) переводит X\f • • • Xrf в Yi / • • • Yrf
соответственно тогда и только тогда, когда rs уравнений
Ykyi -ХкФг =0 (к = 1 • г, i = 1 •.• а)
(6)
Теория подобия г-параметрических групп
373
обращаются в нуль тождественно, и это тем более верно для матрицы
fii(s) • • mi(y) • • ms(y)
(7)
Поэтому если система уравнений обращает все определители порядка
г матрицы (7) в нуль, то она обязательно должна содержать соотношения
только между х.
Наша задача — нахождение системы уравнений вида
г/1 - *i(xi • • • ха) = О, • • • ys - Ф8(х1 • • • ха) = О, (8)
допускающей группу Xkf + Ykf и притом разрешимой относительно
Х\ * * * Хд.
Такая система уравнений заведомо не содержит никаких соотношений
только между х\ • • • xs, то есть она не обращает все определители порядка
г матрицы (7) в нуль и согласно теореме 17 в гл. 1, стр. 137, может быть
приведена к такому виду, что будет содержать лишь соотношения между
решениями полной системы:
Okf = Xkf + Ykf = 0 (* = l...r). (9)
Следовательно, наша задача будет решена, если нам удастся найти s
независимых, разрешимых относительно как х\ • • • xs, так и у\ • • - у3
соотношений между решениями этой полной системы. Полная система (9) имеет
2s — г независимых решений, которые мы, очевидно, можем выбрать так,
что s — г из них, скажем
Ui(x\ • • • Х8) * ' ' Us-r(Xl " ' * Xs),
зависят лишь от х, a s — г других:
Vl(yi Уз)"' V3-r(yi' - Уз)
— лишь от у, тогда как остальные г
wi(xi • • • xs, yi • • • ys) - • • wr(xi • • • xe, yi • • • Уз),
напротив, должны содержать как некоторые х, так и у. Здесь s функций
ui • • • us-r, w\ • • ■ wr являются независимыми друг от друга относительно
х\ • • • xs, a s функций v\ • • • г;3_г, W\ • • • wr — относительно у\ • • • ys; это
372
Глава 19
при подстановке у\ = • • • у9 = Ф9(х) обращаются в тождества. Если
теперь положим:
Xkf + Ykf = Qkf (fc = i...r),
то
Пк(Ух - *i) = YkVi ~ ХкФ^
поэтому если уравнения (5) представляют преобразование с требуемым
свойством, то rs выражений Qk(yi — Ф%) обращаются одновременно в нуль
в силу (5), или, что то же самое, система уравнений (5) допускает г
инфинитезимальных преобразований Q\f • • • Qrf (ср. гл. 7, стр. 122 и далее).
С другой стороны, очевидно, что справедливо следующее: всякая
система уравнений вида (5), разрешимая относительно х\ • - • х3,
допускающая г инфинитезимальных преобразований Q\f - firf-> представляет
преобразование, переводящее X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно.
Если теперь принять во внимание, что г независимых
инфинитезимальных преобразований fi\f • - • firf находятся попарно в соотношениях
г
(fkfik) = (IA) + (YiYk) = J2*k*0of
и, следовательно, порождают г-параметрическую группу от 25 переменных
х\ - - - х8,у\ - • - у9, то мы можем сказать:
Совокупность всех преобразований (5), переводящих X\f---Xrf
eY\f ••• Yrf соответственно, идентична совокупности всех разрешимых
относительно х\ • • • х8 систем уравнений вида (5), допускающих
г-параметрическую группу Q\f • • • ftrf.
Тем самым нахождение преобразования с указанным свойством
сводится к нахождению некоторой системы уравнений от 2s переменных
х\ • • • х89 у\ • > • ys; эта система должна обладать следующими свойствами:
она должна состоять из s независимых уравнений, должна быть
разрешима относительно как х\ • • • х9, так и у\- • • у3 и, наконец, должна
допускать г-параметрическую группу Q\f • • • Qrf.
При решении этой новой задачи мы можем опираться на рассуждения
из главы 14.
При наложенных условиях не все определители порядка г матрицы
£п(я) • • fie(s)
374
Глава 19
следует из того, что г уравнений полной системы разрешимы как
относись/ df
тельно г из производных ^ , так и относительно г из производных
(ср. гл. 5, теорема 12, стр. 101).
ОХ\ ОХз
Когда же 5 независимых друг от друга соотношений между u,v,w
разрешимы относительно как х\ -• • х3, так и y\---ysf Очевидно,
тогда и только тогда, когда они могут быть разрешены как относительно
и\ • • • us-r, w\ - • • wr, так и относительно v\ • - • vs-r, w\ • • - wr, то есть
приведены к виду
Vl = $l{ui - • • U9-r)i * ' * Vs-r = $8-r(Ul - • • Us-r), .
wi = <£>i{ui • • • 1Ц_Г), • • • гуг = 0r(^i • • • us-r),
где За • • • 3s-r означают произвольные независимые друг от друга
функции своих аргументов, в то время как на функции <&i - • • Фг не налагается
никаких ограничений.
Уравнения (10) представляют собой наиболее общую систему
уравнений, которая состоит из 5 независимых уравнений, допускает группу
Qif - • • QTf и разрешима относительно как х\ • • • х3, так и у\... у3; в то же
время они представляют наиболее общее преобразование между х\ • • • х3
и 2/1 • • • Уз, переводящее X\f - Xrf в Y\f - • • Уг/ соответственно. Таким
образом, мы доказали, что существуют преобразования, реализующие этот
переход, то есть что наши две группы действительно подобны.
Более того, уравнения (10) вообще представляют самое общее
преобразование, переводящее группу Xif - • • Xrf в группу Z\f ••- Zrf.
В самом деле, если yi = \&i(xi - - - х3) — какое-либо
преобразование, переводящее одну группу в другую, то оно превращает X\f • • • Xrf
в определенные инфинитезимальные преобразования • • 2)г/ группы
Z\f • • • Zrf, находящиеся попарно в соотношениях
г
(7=1
и получаемые поэтому из г инфинитезимальных преобразований
г
Ykf = ^k*Z*f (* = 1'"г)'
если подходящим образом выбрать входящие в произвольные
элементы. Однако все преобразования, превращающие Xif-- - Xrf в Yif - - • Уг/
Теория подобия г-параметрических групп
375
соответственно, имеют вид (10), то есть, в частности, и преобразование
yi = \Pi(xi • • • xs) имеет такой вид.
Обобщая полученные результаты, мы можем сказать:
Теорема 63. Если две г-параметрические группы:
xkf = J2^Xi---x^d^ (*=!•••»•)
1=1
и ч
являются равносоставленными, и ни X\f • • • Xrf, ни Z\f • • • Zrf не
связаны линейными соотношениями, то эти группы также подобны. Самое
общее преобразование, переводящее одну группу в другую, получается
следующим образом: выбирают самым общим образом г2 констант gkj,
таких, что г инфинитезимальных преобразований
г
Ykf = Y,9kjZjf (fc = l-..r)
независимы друг от друга, и что, наряду с соотношениями
г
(XiXk) = CjkgXgf,
а=1
одновременно имеют место соотношения
г
<т=1
затем образуют г-параметрическую полную систему
Xkf + Ykf = 0 (* = i...r)
от 2s переменных х\ • • • х3, у\ • • • ys и находят 2s — г ее независимых
решений, а именно: s — г независимых решений
u\(xi • • • х3) • • • u3-r(xi • • • хв), содержащих только х,
s — г независимых решений
vi {yi - • - Уз)' • • vs-r (yi • • • Уз), содержащих только у,
376
Глава 19
и г независимых друг от друга и от ui- - u3-r, v\ • • • v8-r решений
wx(xi ••• x3,yi'-' Уз)-- - wr(xi ••• xsiyx." ys);
если это сделано, то система уравнений
V\ = ^1(^1 • - • ue_r), • • • Vs-r = $s-r{Ul • • • Us-r),
Wi = ®i{ui • • • U3-r), Wr = <&r{u>l ' ' • U>s-r)
представляет требуемое преобразование; причем <£>\ • • • 0r — совершенно
произвольные функции своих аргументов, a 3i • • • За-r должны
обязательно быть независимы друг от друга.
Отсюда, в частности, следует
Утверждение 1. Если г ^ s независимых инфинитезимальных
преобразований
xkf = ^2ы(х1---x*)q^ (* = !••• о
г=\ 1
находятся попарно в соотношениях
(XiXk)=0 (tffc = i...r),
но не связаны линейным соотношением вида
$^Xfc(^i ••• xs)-Xkf = О,
k=i
то они порождают г-параметрическую группу, подобную группе
переносов:
dyi дуг
Исключительно важным является случай, когда числа 5 и г равны, то
есть обе группы являются транзитивными или, точнее, просто
транзитивными (ср. гл. 13, стр. 237). Для этого случая мы сформулируем теорему 64
отдельно.
Теорема 64. Две равносоставленные просто транзитивные группы
от равного числа переменных также всегда являются подобными. Если
x*f = У2 fa {xi • • • хг) jj- (* = 1 ■ ■ ■ г)
i=l axi
Теория подобия г-параметрических групп
377
и
г*/ = Г&(У1-Уг)/ (* = 1»-г)
— инфинитезимальные преобразования этих двух групп, то самое общее
преобразование, переводящее одну группу в другую, находится следующим
образом: выбирают самым общим образом г2 констант gkj, таких, что г
инфинитезимальных преобразований
г
ykf = J2vkJzjf (*=!•• г)
независимы друг от друга, и что, наряду с соотношениями
г
(XiXk) = CjkqXGj,
<т=1
одновременно выполняются соотношения
г
(YiYk) = Y,cikaY(Tf;
<7=1
далее образуют г-параметрическую полную систему
Xkf + Ykf = 0 (fc = i..-r)
в 2г переменных х\ - • • хТ, у г - - • уТ и находят какие-либо г ее
независимых решений:
wi(xi • • • жг, уг • • • уг) • • • гуг(ж! • • • жг, уг • • • уг)\
тогда г уравнений
wi = fli, • ■ • Wr =
с г произвольными константами представляют самое общее
преобразование с требуемым свойством.
§91
Теперь перейдем к решению общей задачи, которую мы поставили
в конце § 89 (стр. 369).
378
Глава 19
Прежде всего, мы можем, причем точно так же, как и в предыдущем
параграфе, доказать, что всякое преобразование yi = Ф^х\, • • • х3),
переводящее X\f • Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно, представляет собой
систему уравнений, допускающую r-параметрическую группу Qkf = Xkf +
+ Ykf, и что, с другой стороны, всякая, разрешимая относительно х\ - • • х3
система уравнений
yi = Фг(*1 ••• х8),
допускающая группу Q\f • • • i?r/, представляет собой преобразование,
переводящее X\f • • • Xrf в Yi/ • • • Yrf соответственно.
Но согласно рассуждениям на стр. 369 всякое преобразование,
переводящее X\f - • • Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно, таково, что уравнения (4)
при подстановке у\ = Ф\(х),-- у8 = Ф3(х) превращаются в тождества.
Следовательно, можно сформулировать задачу на стр. 369 еще и
следующим образом:
Требуется найти систему уравнений в переменных х\ • • • х3, у\ • • • у3,
допускающую г-параметрическую группу ft\f--- /?г/, состоящую ровно
из s независимых уравнений, разрешимую относительно как х\ • • • х3, так
и У\ * • • Уз и* наконец, содержащую п(г — п) уравнений
Ч>кЛх1''' хз) - ФкЛУ\ • • * Уз) = 0 (к = 1 • г - n, v = 1 • • • п). (4)
Для решения этой задачи очень важно, чтобы система уравнений (4),
в свою очередь, допускала r-параметрическую группу Q\f • • • Qrf.
Чтобы это доказать, запишем матрицу
frl(s)
iu(x) тЛу)
£гз{х) T)rl{y)
Vu(y)
VrS{y)
(11)
соответствующую инфинитезимальным преобразованиям Q\f • • • Qrf. Мы
покажем, что уравнения (4) — одна из систем уравнений, получающихся
в результате приравнивания нулю всех определителей порядка п + 1
матрицы (11). Тем самым согласно теореме 39, гл. 14, стр. 254, будет доказано,
что система уравнений (4) допускает группу Q\f • • • QTf.
Среди определителей порядка п + 1 матрицы (11) имеются, в
частности, определители такого вида:
Л =
tiki (х)
6fcnW тЛу)
£пкЛх) • £пкп(х) ЧпАу)
Uj,feiW • fn+j,fcn(z) Vn+jAy)
Теория подобия г-параметрических групп
379
Заменяя в А члены последней строки их значениями, полученными
из (3) и (30:
п п
€n+j,k„(x) = *52<PjAx)-^kAX)' Vn+jAv) = ^ФзЛУ)"Пиа(У)^
l/=l l/=l
и вычитая из последней строки п первых, предварительно умноженных на
(fji(x) • • • <Pjn{x) соответственно, получаем
п
Здесь при ранее наложенных условиях не все определители вида
D = ^2±£lkl(x)--- ^nfcn(x)
обращаются в нуль тождественно, и также не все определители вида
^ = ^2±гПкЛу)'"ЛпкЛУ)-
Система уравнений, обращающая определители Л в нуль, должна,
очевидно, либо содержать все уравнения вида D = О, либо s(r — п) уравнений:
п
Е ЪЛу){ФзЛу) ~ 4>зи{х)} = О (а = 1 • • • 5, J = 1 • • • г - п);
1
в последнем случае она включает в себя либо все уравнения вида 2) = 0,
либо п(г — п) уравнений
<pjv{x) - ф3„{у) = 0 (j = 1 • г - n, v = 1... п). (4)
В последнем из этих трех случаев заметим следующее: система
уравнений (4) обращает в нуль не только все определители Д но и вообще все
определители порядка п + 1 матрицы (11). Это видно сразу, если записать
эту матрицу в виде
fllO*) • tla(x) Туп (у) • T)ls{y)
fnl(z) ' fne(s) Vnl(y) ' Insiy)
n n n n
n n
380
Глава 19
а затем произвести подстановку i)ku(y) — фки(х)\ определители порядка
п + 1 полученной таким образом матрицы тождественно равны нулю.
Следовательно, (4) относится к тем системам уравнений, которые получаются
в результате приравнивания нулю всех определителей порядка п +1
матрицы (11), и потому допускает согласно вышеизложенной теореме
г-параметрическую группу Qif Qrf.
Только что доказанное важное свойство системы уравнений (4) может
также еще быть подтверждено другим, более непосредственным путем.
Согласно рассуждениям на стр. 122 и 248, система уравнений (4)
допускает г-параметрическую группу Qif--- Qrf только тогда, когда все
уравнения вида
ftj(4>kv{x) - фки(у)) = Х,<рк„(х) - У3фки(у) = 0
являются следствием из (4). Можно легко доказать, что это условие в
настоящем случае выполнено.
Для j = г, к = 1- • г — п мы имеем
(Х3Хп+к) = \ Xjf, ^2 ^kv ' Xi/fJ =
n n
= ^Xjipkv • Xvf ^^^ku(XjXu).
Далее в общем случае:
г п ( г—п \
{XjX^) = ^2 • Xnf = ^2\ cmv + ^2 сз^п+тЧ>ти > Xvf.
7Г=1 1/=1 I T=l J
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение и учитывая,
кроме того, что Xif • • • Xnf не связаны никаким линейным соотношением,
находим
(12)
I U
Таким образом,
Xj(fkv = IIjkl/((pii, (pi2 •••) (j = l- --г, * = !••• г-n, i/ = l • n),
Теория подобия г-параметрических групп
381
и совершенно аналогичное вычисление дает
Yj%l)ku = #jfc„(^n, -012 • • •),
где Iljkv в обоих случаях обозначает одну и ту же функцию своих
аргументов. Тогда мы получаем
Щ{Ч>к* ~ Фки) = ЩкЛфП* <Р12Ш- ') - #7*1/(^1 ъ ^12 •)»
откуда видно, что все выражения О^ки — фки) действительно обращаются
в нуль в силу (4).
Вообще говоря, п(г—п) уравнений <pkv(x) = Фки(у) не будут
независимыми друг от друга, напротив, их можно будет заменить меньшим числом
независимых друг от друга уравнений, например s — д ^ s следующих:
4>к{х\ ' ' * Ха) = Фк{У1 ---Уз) (к = 1 • • s - д). (13)
Конечно, тогда каждое будет функцией только от y?i • • • (p3-Q:
Xjipk = Kjk{<pi • • • (fa-q) (J = 1 • • • r; fc = 1 • • • в - в), (14)
а каждое У^фк будет той же функцией от ф\ • • • ф3-в:
УэФк = ^зк{Ф\ • • • Фз-q) U = 1 • • • г; к = 1 • • • a - q), (14х)
поэтому в силу системы уравнений ip\ — ф\ = 0, • • • ¥>3-д = Фз-q все
ftj(<Pk—ipk) обращаются в нуль. А поскольку эта система уравнений задана
в виде, удовлетворяющем требованию, поставленному на стр. 120 и ниже,
то, согласно изложенному на стр. 125 и 248, мы можем заключить, что она
допускает г-параметрическую группу Q\f • • • Qrf.
Если s—g = s,m.e.g = 0, то s уравнений ipi = ф\, • • • </?s = ф3 уже
сами по себе представляют преобразование в переменных х\ - • • х3, у\ • • • у3.
Это преобразование, очевидно, переводит X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf
соответственно и в то же время является самым общим преобразованием,
осуществляющим такой переход.
Таким образом, со случаем s — g = s мы сразу разобрались, случай же
s — g < s требует более детального рассмотрения.
Чтобы упростить дальнейшие рассуждения, прежде всего введем
вместо х и у подходящие новые переменные.
Независимые друг от друга п уравнений X\f = 0, • • • Xnf = 0
образуют 71-параметрическую полную систему от 5 переменных х\ • • • х3, поэтому
они имеют s — п независимых совместных решений, и также п уравнений
382
Глава 19
Y\f = 0, • • • Ynf = О от переменных у\--- у3 имеют s — п независимых
совместных решений.
Инфинитезимальные преобразования X\f - Xrf и Yi/ • • • Yrf вполне
можно упростить за счет введения новых независимых переменных вместо
х, из которых s — п являются независимыми решениями полной системы
X\f = 0, • • • Xrf = 0, а вместо у — новых независимых переменных, из
которых s — п являются независимыми решениями полной системы Y\f =
С другой стороны, вполне можно упростить уравнения (13), введя в
качестве новых переменных функции (fi(x) • • • (р3-6(х) и ф\(у) • • • ф3-в(у).
Попробуем, насколько это возможно, соединить то и другое.
Сначала займемся введением подходящих новых переменных вме-
Среди решений полной системы X\f = 0, • • • Xnf = О могут иметься
такие, которые можно выразить только через функции tpi(x) • • • ips-e(x);
все решения F(<pi • • • <р3-д) такого рода определяются из п
дифференциальных уравнений
от s — д переменных <pi • • • (р3-в. Мы полагаем, что эти уравнения имеют
в точности s — q ^ s — д независимых решений, например следующих:
При этом условии очевидно, что
ill(<pl(x)---<p3-e(x)) =U1(x)r"ii3-q(ip1(x)"-ip3-g{x)) =U3-q{x)
являются такими независимыми решениями полной системы X\f = О,
--•Xnf = 0, которые можно выразить только через <pi{x) • ip3-e(x),
и всякое другое решение такого же типа является функцией только от
щ(х) • - • u3-q(x). Разумеется, при этом справедливо также неравенство s —
— q ^ s — п, то есть ни одно из чисел д и п не превосходит q.
Пусть теперь
= о,-..уп/ = о.
СТО X.
us—q+l — us—q+l{x), * * * U3—п — U3—п
(X)
— какие-либо q — п независимых друг от друга и от и\{х) • • • u3-q(x)
решений полной системы Xif — 0, • • • Xnf = 0. Покажем, что s — д + q — п
функций u3-q+i(x) • - - u3-n(x), if\(x) • • • (р3-в(х) друг от друга не зависят.
Теория подобия г-параметрических групп
383
Поскольку <рг(х) • • • ips-e(x) друг от друга независимы, то среди
функций ipi(x) - • • (р3-в(х), us-q+i(x) • • • us-n(x) есть хотя бы s — д, то есть
скажем, ровно s — g + q — n — h друг от друга независимых, где 0 ^ h ^ q —
— п. Мы полагаем, что как раз (fi(x) • • • ip3-e(x)9 u3-q+h+i(x)' * * us-n(x)
независимы друг от друга, тогда как us-q+i(x) • • • u3-q+h(x) можно
выразить только через <fi{x) • • • <р3-в(х), us-q+h+i{x) • • • и9-п(х). Таким
образом, между величинами us_g+i • • • и3-п, <р\ • • • ф3-в должны иметь место
соотношения вида
Us-q+j = Xj(Us-q+h+l ' ' ' Щ-п, Ч>\ ' ' ' 4>8-q) (j = 1 • • • Л),
обращающиеся при подстановке
Г Щ-q+l = «e-g+l(l), ' * * Us-n = U3-n(x),
l Ч>\= ' • • 4>8-Q = 4>S-Q{X)
в тождества.
Если обозначить подстановку (17) через [ ], то мы имеем
[us-q+j ~Xj] = 0 (j = !••• h),
(16)
(17)
следовательно, также имеем
S-Q
Xk[us-q+j - Xj] = - 5^kfci/(^l • • • 4>a-Q)\
i/=l
(к = n, j = 1- • /i),
то есть все выражения
5^*Tfci/(<Pl
(fc = 1 • • • n, j
dXj
h)
(18)
обращаются при подстановке (17) в нуль. Но при этом все эти
выражения не содержат u3-q+\ • • • u3-q+h* поэтому если бы они не
равнялись тождественно нулю, а обращались бы в нуль только при
подстановке (17), то функции us-q+h+\(x) • • - и3-п(х), <pi(x)--- ips-e{x) не были
бы друг от друга независимы, но это противоречило бы нашему
предположению. Следовательно, выражения (18) сами по себе тождественно
равны нулю или, что то же самое, функции Х\"' Хн являются
решениями п дифференциальных уравнений (15) в s — д переменных </?!••• ^>s~q-
384
Глава 19
Отсюда следует, что (р\--- <p3-Q входят в \j только в следующих связях
ili(<pi • • • ip3-e) • • • И3-Я(ф1 • • • (р3-в)9 то есть что h уравнений (16) можно
заменить h соотношениями вида
Us-q+j =Xj(Us-q+h+l-- U3-n,Ui -- - U3-q) (j = 1 • • • Л), (19)
которые, в свою очередь, при подстановке
щ = иг(х), • • • и3-п = и3-п{х)
становятся тождествами.
Очевидно, что соотношения вида (19) не могут выполняться, так как
и\ • • • и3-п являются независимыми решениями полной системы X\f =
= 0, • • • Xnf — 0; следовательно, h равно нулю. Тем самым доказано, что
з - Q + q - п функций <р\{х) • • • (р3-в(х), u3-q+i(x) - • • и3-п{х)
действительно независимы друг от друга.
Мы видим, что между s — n+s — £ величинами щ • • • и3-п, ip\ • • • <р3-в
нет других соотношений, кроме s — q следующих:
Щ = iii((fl - - - <fs-Q), ' * * Ua-q = И3-Я{Ц>1 • • • ^e-ff), (20)
обращающихся при подстановке
Щ = Щ(х), - • • U3-q = U3-q{x), <fi = ^l(x), • ■ • <f3-e = (f3-e(x)
в тождества.
Из сказанного выше следует, что из 5 — n + s — д функций щ (х) • • •
u3_n(x), <рг(х) • • • (р3-в(х) имеется в точности 5 — п + s — д — (s — q) =
= s — n + q — д друг от друга независимых, а именно, скажем, s — п
функций и\{х) • • • и3-п(х), к которым добавляются еще q — д > 0 из функций
<Рг(х) • • • (p3-Q(x). Если предположить, что уравнения (20) разрешаются
относительно фя-в+1 • • • <p3-Q9 то можно заключить, что ровно s — п + q —
— д функций и\(х) • • • ue_n(x), (fi(x) • • • <pq-e(x) являются независимыми
друг от друга. При этом число q — д, или короче — га, заведомо не больше
п, так как сумма s — п + q — д, разумеется, не может превосходить число s
переменных х.
Теперь мы подошли к тому, чтобы ввести вместо х\ • • • х3 новые
независимые переменные х\ • • • х'3\ выбираем их следующим образом.
Просто положим
x'q+\ — и\{х\' * * х3), • • • х3 — u3-q(x\ • • • хд),
Теория подобия г-параметрических групп
385
далее
Xn_|_j = Us—q^.\(xi • • • Х5), • • • Хц = Us—n(x\ • • • Xs)
И
xi = <fl(Xi • • • X5), • • • x'm = <fm(Xi ' • • X5),
где m = q — g не превосходит n; кроме того, положим
х'т+\ ~ ^1(^1 * * ' хз), ' ' ' хп = Хп—т{х1 ' ' ' %з),
где Ai(x) • • • An_m(x) — некоторые независимые друг от друга и от
Ui(x)-- - Us-n(x), <pi(x)r-' ,<Рт(х) ФУНКЦИИ.
Совершенно аналогичным образом введем новые независимые
переменные вместо у\ - — у3.
Построим s — q функций
- Фа-0(У)) =V\(y), Ua-q(ll>l(y) • ' ' Фа-е(у)) = Va-q(y),
очевидно, являющихся независимыми решениями n-параметрической
полной системы Y\f = О, • • • Ynf = 0; далее находим какие-либо q — n
независимых друг от друга и от v\(y) • • • vs-q(y) решений vs-q+i(y) • • • vs-n(y)
этой же полной системы. Тогда ясно, что 5 — п + q — д функций
vi(y) • • • vs-n(y), ФЛу) • • • Фя-в{у)
не зависят друг от друга.
Новые переменные у[ • • • у'3 мы выбираем точно так же, как прежде х'.
Просто положим
У'Ч+1 = МУ1 ' ' ' Уз), Уз= Уз-Я(У1 ' ' * Уз),
далее
Уп+1 = • • • У а), ... У'ч = У8-п(У1 -'Уз)
И
У[ = Фг(У\ * * * Уз), * * * У'т = ФтЫ ' ' ' Уз)',
кроме того, положим
У'т+l = МУг-' Уз), " - Уп = Лп-тЫ ' * • Уз),
где А\ • • • Лп-т — какие-либо независимые друг от друга и от v\{y) • • •
va-n(y)9 фг(у) • • • ipm(y) функции.
386
Глава 19
Теперь введем новые переменные х' и у' в инфинитезимальные
преобразования Xkf, Ykf и в уравнения (13).
Поскольку все Xkx'n+i • • • XkX3 обращаются в нуль тождественно,
а все Xk<fi • • • Xk<fm зависят лишь от у>\ • • • <ps-Q, то есть от х[ • • • х'т,
иЯ+1
х3, то Xkf в переменных х\ • • • принимает вид
/i=l
/ч 9/
+ £ УМ
:,m+j(^l
Точно так же
т
в/
5x1
= Ekf.
m+j
/i=l
n—m
+ 4k,m+j(y'l ■ ■ ■ У'т ■ ■ У'п ■ ■ ■ Уд ■ ■ ■ У'а)-гг-, = Hkf.
j=l
m+j
• • y's) означают здесь те же функции
х'^ х'я+1х'з)- Из уравнений (14)
Выражения Пц{У\ '"Ут^Уо+\
своих аргументов, что и 2кц(х\"-
и (14') следует, что Yky^ будет такой же функцией от у[ • • • у'т, y'q^ • • • у'3
как XkX^ — от х\ • - • х'ш, x'q+x • • • х'3, где под \х понимается произвольное
число из 1,2-•• га.
С другой стороны, мы должны выяснить, какой вид принимает система
уравнений (13) в новых переменных.
Систему уравнений (13), очевидно, можно заменить следующей:
¥>1 ~ </>1 =0, • • • <рт ~ 1рт = 0,
Ul(y>i ••• <Ра-е) -Ui(^l Фз-в) = О,-- - ,
Ua-q(<Pl ' ' ' ~ ^з-Я{Ф\ ' ' ' Фа-о) = 0.
Если мы теперь введем в эту систему наши новые переменные, то,
очевидно, получим простую систему уравнений:
х\ -у[ =0,
:;+1-^+1=0, ••• x'a-y'g = 0;
(21)
Теория подобия г-параметрических групп
387
таким образом, систему уравнений (13) или, что то же самое, систему (4)
после введения новых переменных можно привести к такому виду.
Наконец, если мы вспомним, что ни X\f • • • Xnf, ни Y\f • • • Ynf не
связаны линейными соотношениями, и что в силу (4) все определители
порядка п + 1 матрицы (11) обращаются в нуль, то увидим, что также ни
Eif • • ■ Enf, ни Hif • • • Hnf не связаны линейными соотношениями, и что
в силу (21) обращаются в нуль все определители порядка п + 1 той
матрицы, которая может быть образована из коэффициентов при производных /
в г инфинитезимальных преобразованиях Qkf = Ekf + Hkf-
При помощи рассуждений выше задача, поставленная в начале
параграфа на стр. 378, сводится к следующей, более простой:
Требуется найти систему уравнений от 2s переменных х\ • • • х'3,
У\' " У3> допускающую г-параметрическую группу
Qkf = Ekf + Hkf (fc = i..-r)
и, кроме того, состоящую из s независимых уравнений, разрешимую
относительно как x'i- - • х'3, так и у[ - • • у'3 и, наконец, включающую в себя
s — q + m уравнений (21).
Чтобы решить эту новую задачу, вернемся к гл. 14, стр. 258 и ниже;
из сказанного там мы заключаем, что всякая система уравнений,
допускающая группу Ekf + Hkf = Qkf и охватывающая уравнения (21), может
быть получена в результате добавления к уравнениям (21) системы
уравнений от s + q — т переменных х\ • • • х'ш • • • х'п • • • x'q • • • x's9 y'm+i • • • y'q,
допускающей г-параметрическую группу:
Gkf = Yllknix'i х'т, x'q+i • • • хз)т^г +
/i=l А*
п—т
+ 5^ ?fc,m+j(#i " ' х'т" ' Х'п
3=1
п—т
Здесь Qkf получается, если в Qkf — Ekf + Hkf отбросить все чле-
df df
ны с —— • • • —— и в остальных членах сделать подстановку, вытекающую
dyi дУт
из (21):
У1 ~ ХП ' ' ' Ут — хтч Уд+1 = "' Уз= Хз'
df
31дх'
+
У'п'
УЯч xq+l
df
т+з
388
Глава 19
Из этого построения fikf видно, что в матрице
Уи(*') • Яп(я') th,m+i(x',t/) • t)ln(x',y')
(22)
trl(x') ' lrn{x') t)r,m+\{x',y') • t)rn(x',y')
образованной из Q\f • • • i?r/, все определители порядка n + 1, но не все
определители порядка п обращаются в нуль тождественно. Если к тому же
учесть, что ни E\f • • • 5^/, ни H\f•• • Hnf не связаны линейными
соотношениями, то мы, в частности, сразу видим, что определители порядка п:
не равны тождественно нулю.
Наша задача теперь заключается не в том, чтобы найти все системы
уравнений, включающие (21) и допускающие группу Q\f • • • 4?г/, а лишь
в нахождении таких систем уравнений, которые состоят из s
независимых уравнений и разрешимы относительно как х\ • • • х'3, так и у[ • • • у'3.
Следовательно, нам надо выписатьне все системы уравнений от х\ • • • х'3,
Ут+г " ' y'q* допускающие fi\f - • • i?r/, а только те, которые состоят из s —
— (m + s — q)=q — т независимых уравнений и, кроме того, разрешимы
относительно как х'т+1 • • • х'п • • • х', так и у'т+г • • • у'п • • • y'q.
Если система уравнений от тг • • • х'3, у'т+\ -"Уд удовлетворяет
поставленным выше требованиям, то ее можно привести к виду
y'm+j = Фт+э(х\' • - Х'т - • - х'п - - • Xq - • - Х3) (j = l...g-m), (25)
где функции Фт+1 • • • Фя, в свою очередь, независимы друг от друга по
переменным • • • x'q. Тогда ясно, что система вида (25) обращает в нуль
не все определители порядка п матрицы (22), так как определитель (23)
также не может равняться нулю в силу (25). Поскольку, с другой стороны, все
определители порядка п + 1 матрицы (22) обращаются в нуль
тождественно, то из гл. 14, стр. 255, следует, что всякая система уравнений вида (25),
допускающая группу Q\f • • • Qrf, представлена соотношениями между
решениями уравнений: Q\f = 0, • • • Qrf = О или, что то же самое,
соотношениями между решениями n-параметрической полной системы Q\f =
(23)
и
Уи(я') ' tlm(x') t)i,m+i(x',?/) • tH„(l,,y')
(24)
?nl(s') ' Ъпт(х') X)n,m+i(x',y') • X)nn{x',y')
= o,..- Я„/ = 0.
Теория подобия г-параметрических групп
389
Полная п-параметрическая система Q\f — 0, •• Qnf = 0 содержит
s-\-q—m независимых переменных и потому имеет s—n+q—m независимых
решений; s — n+q — n независимых решений можно сразу указать, а именно
xn+i * *' x'q ''' x's-> У'п+\ "' Vq* недостающие п — т должны получаться при
помощи интегрирования и могут, очевидно, быть приведены к виду
' * ' Х'т ' ' * *i> I/m+1 ---Уд)-'- "n-mix'x • • • х'т • • • Х3, у'т+г • • • y'q).
Поскольку оба определителя, (23) и (24), не обращаются в нуль
тождественно, то уравнения нашей полной системы разрешимы относительно как
df df df df df df df
—— • • • — ~t\~f~' так и тгт ''' 7гт~> тгт тгт» и поэтому ее s —
dxx <9xm dxn dxx dxn <9t/m+1 dyn
— n + q — m независимых решений x^^ • • • x's9 y'n+i • • • y'q, u>i • • • o;n_m
независимы друг от друга относительно как х'т+г • • • х'п • • • x'q • • • x's9
Уп+1 -'УЯ> ТаК И *g * * ' Xs* Уп+1 '"y'q (СР« ТвОрему 12,
стр. 101). Следовательно, функции и)п-т независимы друг от
друга относительно как y'm+i • • • у'п, так и х^+г • • • х'п.
Всякая система уравнений (25), удовлетворяющая поставленным
требованиям, представлена соотношениями между решениями х'п+1 • • • х'39
2/n+i •' • y'q^i'" un-m, а именно q — m соотношениями, разрешимыми
относительно как y'm+i - "y'q, так и х^-м • • • x'q. Очевидно, что эти
соотношения должны быть разрешимы относительно как ш\ • • • o;n_m, х^^ ••• x'q9
так и ш\ • • • u;n_m, */^+ 1 *' * Уд> то есть иметь вид
fwM(xi • • • х'т, х'т^ • • • • • • 1^) = x„(*n+i
(д = 1 ... n-m) (26)
X+l = Я1«+1 * * * X'q ' ' ' X's), '"Уд = Д|-п«+1
где #i • • • Яд_п независимы друг от друга относительно • • • x'q.
И наоборот, всякая система уравнений вида (26), в которой П\ • • • Пя-П
независимы друг от друга относительно х'п+г • • • x'q9 разрешима
относительно как y'm+i - у'я, так и х'т+г • • • x'q9 и поскольку она также допускает
группу Q\f • • • Qrf9 то обладает всеми свойствами, которые должна иметь
искомая система уравнений от переменных х\ • • • х'89 y'm+i ••• уд.
Отсюда мы заключаем, что уравнения (26) представляют собой самую
общую систему уравнений, которая допускает группу Q\f • • • 4?г/, состоит
из ровно q — m независимых уравнений и является разрешимой
относительно как у'т+г • • • yfq9 так и х'т+1 • • • хд; при этом \\ • • • Хп-т - совершенно
произвольные функции своих аргументов и П\ • • • Пя-П — тоже, правда,
последние с тем ограничением, что они должны быть независимы друг от
друга относительно х'п+х • • • x'q.
Теория подобия г-параметрических групп
391
Теперь обобщим наши результаты.
Прежде всего, мы имеем следующую теорему.
Теорема 65. Две г-параметрические группы
^»/ = J]u((*l-«.)^ (fc = l-r)
и
Zkf = J2Cki(yi---ya)%f- (fc = l--r)
от одинакового числа переменных подобны друг другу тогда и только
тогда, когда выполнены следующие условия: во-первых, обе группы должны
быть равносоставленными; то есть если имеют место соотношения
г
{XiXk) = CjkgXgf,
<7=1
то должна иметься возможность задать г2 таких констант gkj, чтобы
г инфинитезимальных преобразований
г
2)*/ = £яу^7 (* = 1--т)
3=1
были независимы друг от друга и удовлетворяли соотношениям
г
<7=1
тождественно.
Во-вторых, если X\f Xrf таковы, что некоторые из них,
например X\f • - • Xnf, не связаны никакими линейными соотношениями
вида
Xi0*1 Xif + • • • + Xn(xi • • • xa) • Xnf = О,
тогда как Xn+if — -Xrf, напротив, выражаются линейно через
Xtf—Xnf:
п
Xn+kf = ^2 ^kv(xi ''' xs) * Xvf (k = 1 • • • r - n),
390
Глава 19
Поэтому если добавить систему уравнений (26) к уравнениям (21), то
мы получим самую общую систему уравнений в х\ • • • x's9 у\ • • • у'3,
которая допускает группу f?kf = 5ь/ + Hkf, содержит уравнения (21),
состоит из s независимых уравнений и разрешима относительно как х\ • • • х'8,
так и у[ • • • у'3. Наконец, если мы в этой системе уравнений выразим
переменные х' и у' через исходные переменные х и у, то получим самую
общую систему уравнений, которая допускает группу Qkf = Xkf + Ykf,
содержит уравнения (4), состоит из s независимых уравнений и разрешима
относительно как х\ • • • х3, так и у\ • • • у3. Другими словами, мы получим
самое общее преобразование yi — Фг(#ь • • • xs), переводящее X\f • • • Xrf
в Y\f • • Yrf соответственно.
Таким образом, поставленная на стр. 369 задача решена; собственно,
сделано даже больше, чем там требовалось, так как нам известно не просто
какое-то преобразование с требуемым свойством, а сразу все такие
преобразования. В то же время доказано утверждение, выдвинутое на стр. 368,
о том, что две группы, X\f • • • Xrf и Z\f Zrf, действительно подобны
друг другу при наложенных там условиях.
Наконец, на основании вышеизложенного, мы можем также задать
самое общее преобразование, переводящее группу X\f • • • Xrf в группу
Z\f' • • • Zrf; если вспомнить рассуждения на стр. 366 и связать их с только
что полученными результатами, то мы непосредственно увидим, что такое
преобразование может быть найдено следующим образом: в определенных
на стр. 369 инфинитезимальных преобразованиях
г
Ykf = Y,'9kjZjf (* = l-.-r)
i=i
наиболее общим образом выбираются константы дк^ и затем согласно
предложенному нами методу задается самое общее преобразование,
переводящее X\f • — Xrf в Yi / • • • YTf соответственно; тогда это преобразование
будет одновременно и самым общим из тех, что вообще переводят группу
Xi/.--Хг/в группу Zi/---Zr/.
Найденное таким образом преобразование содержит, как показывают
уравнения (26), п — т + q — п = q — т произвольных функций от s —
- п аргументов и, кроме того, некоторые произвольные элементы, которые
происходят из gkji это, во-первых, некоторые произвольные параметры и,
во-вторых, неоднозначности, вытекающие из того, что gkj задаются
алгебраическими уравнениями. Отсюда следует, что искомое преобразование не
во всех случаях может быть представлено единственной системой
уравнений.
392
Глава 19
то среди систем констант gkj, удовлетворяющих требованиям выше,
должна иметься хотя бы одна, например система gkj = ~§ky такая> что
из г инфинитезимальных преобразований
г
Ykf = Y,^JZif (* = Ь..г)
3=1
первые п не связаны никакими линейными соотношениями вида
Фг(У1' • * Уз) • Y\f + • • • + ЫУ1 '"Уз)' Ynf = О,
тогда как Yn+i/ • • • Yrf линейно выражаются через Yif • • • Ynf:
п
Yn+kf = 'ФкАУг '"Уз)' Yuf (к = 1 • г - п),
i/=i
и что, кроме того, п(г — п) уравнений
Ч>кЛх\ Xs)- ^kv{y\ • • • Уз) = О (к = 1 • • • г - n, v = 1 • • • п)
противоречат друг другу и не дают соотношений только между х или
между у1.
Далее следует
Утверждение 2. Если две т-параметрические группы Xif-- - Xrf
и Zif-- - Zrf подобны друг другу, и г инфинитезимальных
преобразований
г
Ykf = Y29kjZjf (* = l..-r)
выбраны так, как указано в теореме 65, то всегда существует по меньшей
мере одно преобразование:
yi = Фг(х1 - - • • • • у3 = Ф3(Х1 • • • х5),
переводящее Xif - - - Xrf в Y\f - Yrf соответственно. Всякое
преобразование с таким свойством можно получить, проинтегрировав некоторые
полные системы. Самое общее преобразование, которое переводит группу
1Лп, Archiv for Math, og Naturv., том 3 и 4, Христиания, 1878 и 1879 гг.; Math. Annalen, том
XXV, стр. 96-107.
Теория подобия г-параметрических групп
393
X\f — - Xrf в группу Z\f • • • Zrf, получается, если выбрать константы
gkj наиболее общим образом в выражениях для Ykf, а затем найти самое
общее преобразование, переводящее X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf
соответственно.
Полные системы, о которых идет речь в этом утверждении, в одном
случае вообще не возникают, а именно в случае, когда ранее определенное
число g равно нулю, то есть когда среди п(г — п) функций (fki/{xi • • • xs)
имеется в точности s независимых. Мы уже замечали на стр. 381, что в этом
случае уравнения
<Pkv(xl • * * xs) - ФкиЫ ••' Уз)=0 (k = 1 • • • г - n, v = 1 •.. n)
разрешимы относительно как у\ • - - у3, так и х\ • • • х8 и представляют
самое общее преобразование, переводящее X\f - • • Xrf в Y\f • - - Yrf
соответственно.
С другой стороны, имеются случаи, в которых интегрирование
упомянутых полных систем можно выполнить. Например, оно всегда
возможно, если известны конечные уравнения обеих групп Xif--Xrf
и Z\f-" ZTf\ но здесь мы не будем рассматривать подобного рода
вопросы.
§92
Пусть две r-параметрические группы X\f • • • Xrf и Z\f • • • Zrf
подобны друг другу, то есть существуют преобразования, превращающие
X\f • • • Xrf в инфинитезимальные преобразования другой группы.
Тогда если в группе Z\f — - Zrf выбрать г инфинитезимальных
преобразований
г
Ykf = Y,9kjZjf (* = 1...г),
3=1
то, согласно вышесказанному, преобразование, переводящее Xif- — Xrf
в Y\f - - • Уг/, существует тогда и только тогда, когда Y\f • • • Yrf обладает
свойствами, указанными в теореме 65.
Предположим, что Y\f-—Yrf удовлетворяют этому требованию,
и что yi — Фг{х\,'.'Х3) — преобразование,переводящее Xif--Xrf
в Yi/ • • Yrf соответственно. Тогда при преобразовании yi = Ф%{х) общее
инфинитезимальное преобразование
£\X\f Л Ь erXrf принимает вид e\Y\f Л Ь егУг/,
394
Глава 19
то есть наше преобразование ставит всякому инфинитезимальному
преобразованию группы X\f • • • Xrf в соответствие совершенно
определенное инфинитезимальное преобразование группы Z\fZrf, и наоборот.
Взаимно однозначное соответствие, получающееся таким образом между
инфинитезимальными преобразованиями обеих групп, является согласно
стр. 365 голоэдрически изоморфным.
Пусть теперь х\ • • • — точка общего положения, т. е. точка, для
которой преобразования X\f • • • Xnf дают п независимых направлений, так
что функции ifkv (х) в тождествах
п
Xn+kf = ^2 <РкЛ*1 X„f (к = 1 • • • г - п) (3)
ведут себя регулярно. Тогда, согласно гл. И, стр. 226, инфинитезимальные
преобразования, оставляющие точку х? • • • х® инвариантной, имеют вид
][> \x^kf - JT <pto,(x\ • • • х°а) • хА , (27)
к=1 { v=\ )
где под Е\ - • ег-п понимаются произвольные параметры, и все эти
инфинитезимальные преобразования порождают (г — п)-параметрическую
подгруппу группы X\f • • • Xrf.
Если мы в силу преобразования у\ = Ф%{х\, - - - xs) введем в
тождества (3) новые переменные у\ • • • ys, то получим между Y\f ••• Yrf
следующие тождества:
п
Yn+kf = J2l>k»(Vi---Vs)-Y»f (* = i"-r-n). (3х)
i/=i
Поэтому если у® = Фг{х\ • •• х^), то инфинитезимальное
преобразование (27) при введении переменной у переходит в
Х> ( W - £imv? • • • y°s) • у,/} , (27')
то есть в самое общее инфинитезимальное преобразование e\Y\f + • • • +
+erYJ./, оставляющее неподвижной точку общего положения у® • • • у£. При
этом все инфинитезимальные преобразования вида (27х), разумеется,
порождают (г — п)-параметрическую подгруппу группы Z\f — • ZTf.
Теория подобия г-параметрических групп
395
В этом заключается важное свойство голоэдрически изоморфной
связи, получающейся в результате преобразования у* = • • • xs) между
нашими группами. А именно: эта голоэдрически изоморфная связь всегда
ставит в соответствие самой общей подгруппе X\f • • • Xrf9 оставляющей
произвольно выбранную точку общего положения х\ • • • x°s неподвижной,
самую общую подгруппу группы Y\f •• • Yrf9 оставляющую неподвижной
точку общего положения у® • • • у°3. То же самое соответствие имеет место
и в обратном направлении; другими словами, если точка х\ • • • х°3
пробегает все возможные положения, то и точка у? • • • у® пробегает все возможные
положения.
Чтобы теперь, наоборот, две r-параметрические группы от равного
числа переменных были подобны друг другу, между ними, очевидно,
должна образоваться голоэдрически изоморфная связь с вышеописанным
свойством. Мы утверждаем, что это необходимое условие одновременно
является и достаточным; мы покажем, что эти группы действительно
подобны, если можно установить между ними такую голоэдрически изоморфную
связь.
В самом деле, пусть Z\f • • • Zrf — некоторая r-параметрическая
группа, которую можно указанным образом связать голоэдрическим
изоморфизмом с группой X\f • • • Xrf, a e\Y\f-\ \-erYrf — такое
инфинитезимальное преобразование группы Z\f • • • Zrf, которое ставится в соответствие
общему инфинитезимальному преобразованию e\X\f + —- + erXrf при
помощи этой голоэдрически изоморфной связи.
Если X\f • • • Xnf не связаны никакими линейными отношениями,
тогда как Xn+i/ • • • Xrf выражаются известным образом через X\f • • • Xnf,
то самое общее инфинитезимальное преобразование группы X\f • • • Xrf,
оставляющее точку х\ • • • х°3 общего положения инвариантной, будет
следующим:
1—п ( п }
Е 6к \ - Е • • • *°.)' X»f \ • (27)
к=1 I и=\ )
При наложенном условии ему соответствует в группе Z\f Zrf
инфинитезимальное преобразование
r—n ( п \
Е *fc { yn+kf - Е • • • х°а) • Yvf I, (28)
в свою очередь являющееся самым общим инфинитезимальным
преобразованием группы Z\f • • • Zrf, оставляющим некоторую точку общего поло-
396
Глава 19
жения у? • • • у3 неподвижной. Если при этом точка ж? • • • х°3 пробегает все
возможные значения, тогда то же самое верно и для точки у J • • • у°.
Поскольку (28) является самым общим инфинитезимальным
преобразованием e{Y\f + • • • + erYr/, оставляющим точку общего положения
2/J •• • у°3 инвариантной, то Y\f • • • Ynf не могут быть связаны никаким
линейным соотношением, напротив, Yn+i/••• Yrf должны выражаться
известным образом через Y\f • • • Ynf. Отсюда мы заключаем, что самое
общее инфинитезимальное преобразование e\Y\f Н herYr/, оставляющее
точку у? • • • у? неподвижной, представлено следующим выражением:
£У* j Yn+fc/ - J2 <Ыу? • • • У°.) • уА • (28')
k=l I i/=l J
Очевидно, что каждое инфинитезимальное преобразование,
содержащееся в выражении (28), идентично одному из инфинитезимальных
преобразований (28'), то есть для произвольно выбранных Ег • • • £г_„ всегда
возможно так задать такие е[ • • • е'г_п, что равенство
г—п п (г—п Л
J>fc - e'k)Yn+kf-£ £ (ek<pb,{a?) - е'кфк,(у0)) > Yvf = О
k=l i/=l lfc=l J
выполняется тождественно.
Поскольку Yi/--« YJ./ — независимые инфинитезимальные
преобразования, то записанное выше уравнение разбивается на следующие:
г—п
ек - 4 =0, Y, (?№Л*°) - е№ЛУ°)) = °
j=l v^y)
(к = 1 • • • г — п, 1/ = 1 • • • п).
Отсюда непосредственно следует:
^1 = £l> * * " ^r—n = Е-г—т
и, кроме того, в силу произвольности е мы получаем уравнения
tpkv(Ж? ' ' * Х°3) - фки(у? • • • у°) = 0 (* = 1 • • - г - п, 1/ = 1 - - - п),
которые, таким образом, должны при наложенных условиях иметь место
для обеих точек, ж? • • • х°3 и у J • • • у£. Если теперь еще вспомнить, что точка
Теория подобия г-параметрических групп
397
2/i • • • Уд пробегает все возможные положения, если это выполняется для
точки х5 • • x^, то мы сразу видим, что при наложенных условиях п(г — п)
уравнений
Vkv{x\ ••• Xs) - ll)kv(y\ ' * * Уз) = О (Л = i-- - г - п; I/ = 1-- - п) (4)
совместны друг с другом и не дают никаких соотношений по отдельности
ни между х, ни между у.
Согласно теореме 65, стр. 391, тем самым доказано, что группы
X\f • • • Xrf и Zif • • • Zrf подобны друг другу, что и требовалось
доказать.
Таким образом, мы имеем
Утверждение 3. Две r-параметрические группы G и Г от
одинакового числа переменных подобны друг другу тогда и только тогда, когда
можно так связать их голоэдрическим изоморфизмом, чтобы самой общей
подгруппе группы G, оставляющей определенную точку общего положения
инвариантной, всегда, как бы ни была выбрана эта точка,
соответствовала самая общая подгруппа группы Г, оставляющая некоторую точку
общего положения инвариантной, и то же самое соответствие также
имело место в обратном направлении.
В то же время доказано, что при только что наложенном условии
существует преобразование од = ■ • • переводящее Xif • - • Xrf
в Yif • • • Yrf соответственно. Поэтому мы можем сформулировать
следующее, несколько более специальное
Утверждение 4. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований
порождают г-параметрическую группу G, а г независимых
преобразований
— г-параметрическую еруппу Г, то преобразование yi = Ф^х\ • ■» х3),
переводящее X\f--> Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно, существует тогда
и только тогда, когда выполнены следующие условия: во-первых, если
G содержит ровно г — п независимых инфинитезимальных
преобразований, оставляющих произвольно выбранную точку общего положения
инвариантной, той Г должна содержать ровно r — п таких
инфинитезимальных преобразований.
398
Глава 19
Во-вторых, если каждому инфинитезимальному преобразованию
£\X\f + • • • + erXrf группы G ставится в соответствие
инфинитезимальное преобразование e\Y\f Ч + erYrf группы Г, то эти две группы
должны быть связаны между собой голоэдрическим изоморфизмом так,
как указано в предыдущем утверждении.
Поскольку самая общая подгруппа группы G, оставляющая
определенную точку общего положения инвариантной, полностью определена этой
точкой, и так как, кроме того, эта многократно упомянутая
голоэдрически изоморфная связь между G и Г ставит в соответствие каждой такой
подгруппе группы G подгруппу группы Г с тем же свойством, то эта
связь между G и Г устанавливает соответствие между точками х\ • • • х3
и у\ • • • Уз', но это соответствие, вообще говоря, бесконечно
многозначно, так как любой точке х\ • • • х3, очевидно, соответствуют все точки
У\ -• Уз, удовлетворяющие уравнениям (4), и наоборот. Это согласуется
с тем, что в целом имеется бесконечно много преобразований,
переводящих X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно.
Для транзитивных групп критерий подобия, сформулированный в
утверждении 3, выглядит особенно просто. Далее (гл. 21) мы увидим, что две
г-параметрические группы G и Г от одинакового числа переменных,
скажем 5, подобны друг другу уже тогда, когда возможно так связать их
голоэдрическим изоморфизмом, что одной единственной (г — s)-параметрической
подгруппе группы G, оставляющей точку общего положения неподвижной,
соответствует аналогичная (г — з)-параметрическая подгруппа группы F.
Если задана г-параметрическая группа
2=1 1
со структурой
г
(XiXk) = y^^CikyXyf,
<7=1
то можно поставить вопрос относительно всех преобразований
х\ = Фх(х\ ••• х3) (i = 1 - • ■ в),
оставляющих ее инвариантной, то есть всех преобразований, в силу
которых эта группа подобна себе самой.
Рассуждения из предыдущего параграфа позволяют нам найти все эти
преобразования.
Теория подобия г-параметрических групп
399
Сначала свяжем группу X\f • • • Xrf самым общим образом с самой
собой голоэдрическим изоморфизмом, то есть выберем самым общим
образом г независимых инфинитезимальных преобразований
г
Skf = Y,9kjX0f (/с = 1 • - • г),
находящихся попарно в соотношениях
г
<т=1
Затем специфицируем содержащиеся в gkj произвольные элементы так,
чтобы выполнялись следующие условия: если между X\f • • • Xnf нет
никаких линейных соотношений, в то время как Xn+\f • • Xrf выражаются
линейно через X\f • • • Xnf:
п
Xn+kf = Е Ч>Ь"(Х1 ' ' ' xs) • Xvf (Л = 1 • • • г - n),
i/=l
то во-первых, S\f • • • Snf также не должны быть связаны никакими
линейными соотношениями, a En+\f • • • Erf должны выражаться линейно через
П
i/=l
и, во-вторых, п(г — п) уравнений
(fki/{x\ ' • • x's) = 1ркЛх\ xs) (к = 1 • • • г - п, v - 1 • • • п)
должны быть совместны друг с другом и не давать соотношений по
отдельности ни между х, ни между х'.
Если все это выполняется, то согласно указанию из §91 мы находим
самое общее преобразование х[ — Ф%(х\ • • • xs), переводящее S\f •• - Erf
в X[f • • • X'rf соответственно:
1 г
400
Глава 19
Это преобразование является тогда самым общим, при котором группа
X\f • - • Xrf переходит в себя.
Ясно, что совокупность всех преобразований, оставляющих группу
Xif- - Xrf инвариантной, сама образует группу, а именно наибольшую
группу, в которой Xif-- - Xrf содержится как инвариантная
подгруппа. Эта группа может быть конечной или бесконечной, непрерывной или
не непрерывной, но в любом случае ее преобразования упорядочиваются
в пары взаимно обратных, так как если преобразование х\ = Ф\{х1 - • • х3)
оставляет группу Xif - - - Xrf инвариантной, то это же верно и для
соответствующего обратного преобразования.
Если определенная выше группа случайно состоит из конечного
числа различных семейств преобразований, и каждое из этих семейств
содержит при этом лишь конечное число произвольных параметров, то согласно
гл. 18, стр. 361 и ниже, в этой группе имеется семейство преобразований,
образующее конечную непрерывную группу; это семейство является тогда
самой большой непрерывной группой, в которой Xif •-• Xrf содержится
как инвариантная подгруппа.
До сих пор мы говорили о подобии лишь для тех групп, которые
содержат одинаковое число переменных. Но при этом не исключалось, что
некоторые из переменных вовсе не преобразовывались соответствующими
группами, более того, даже не встречались в инфинитезимальных
преобразованиях.
Но и для групп, содержащих неодинаковое число переменных,
можно говорить о подобии; ведь всегда можно увеличить число переменных
в группе, добавив некоторое число таких переменных, которые вообще не
преобразуются этой группой. Тогда мы получим две группы от одинакового
числа переменных и можем выяснить, подобны они друг другу или нет.
В последующем мы, впрочем, будем всегда, если четко не оговорено
противное, рассматривать понятие подобия в исходном более узком смысле.
Чтобы пояснить общую теорию подобия на примере, мы исследуем,
являются ли две трехпараметрические группы с двумя независимыми
переменными:
§93
x3f
Теория подобия г-параметрических групп
401
подобными.
Как можно заметить, Ykf здесь уже выбраны такими, что мы
одновременно имеем
(ХгХ2) = XJ, (ХгХ3) = 2X2f, (Х2Х3) = X3f
(YlY2) = Ylf, (YxY3) = 2Y2f, (Y2Y3) = Y3f.
Правда, мы выбрали не самый общий вид преобразований
удовлетворяющих заданным соотношениям, но это и не обязательно делать, —
результат от этого не изменится.
Мы находим
X3f = -{х\ + Cxix2)Xif + (2xi + Cx2)X2f
и
Y3f = -yiyMf + (yi + 2/2)^2/,
то есть должно получиться
2/12/2 = х\ + Сххх2, у\+у2 = 2xi + Сх2.
Пока константа С не обращается в нуль, эти уравнения задают
преобразование, следовательно, согласно нашей общей теории в случае С ф 0 эти
две группы подобны.
Если же С = 0, то получается соотношение только между у\ и у2, то
есть вообще не существует преобразований, которые бы переводили X\f,
X2f, X3f в Yi/, Y2f9 Y3f соответственно; можно легко убедиться, что эти
две группы в данном случае вообще не являются подобными.
§94
В связи с теорией подобия г-параметрических групп мы хотим еще
вкратце рассмотреть один более общий вопрос и дать его решение.
402
Глава 19
Предположим, что нам даны какие-либо р инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xpf от переменных х\ • • • х3, то есть не обязательно
такие, которые порождают конечную группу; а также предположим, что
в У\- • • Уз нам даны какие-либо р инфинитезимальных преобразований
Y\f ••• Ypf. Мы спрашиваем, при каких условиях существует
преобразование yi = Ф^х\ • • xs), переводящее X\f • • • Xpf в Y\f • • • Ypf
соответственно. При этом мы не требуем, чтобы X\f • • • Xpf были независимыми
инфинитезимальными преобразованиями, так как это условие хоть и не
повлияло бы на общность последующих рассуждений, но все же затруднило
бы их изложение, так как должно было бы всегда учитываться.
Вышеупомянутую общую задачу мы можем сначала свести к
специальному случаю, когда независимые из уравнений X\f = 0, • • Xpf — 0
образуют полную систему.
Ибо если имеется преобразование, переводящее X\f • • • Xpf в Y\f • • •
Ypf соответственно, то согласно гл. 5, стр. 93, оно превращает также любое
выражение
Xk(Xj(f)) - Xj(Xk(f)) = (XkXj)
в соответствующее выражение
Поэтому если независимые из уравнений X\f = 0, • • • Xpf = 0 не
образуют полную систему сами по себе, то мы можем добавить к X\f • • • Xpf еще
все выражения (XkXj), но в этом случае мы должны будем также добавить
и все выражения (YfcYj) к Y\f • • • Ypf. Вопрос, существует ли
преобразование с требуемым свойством, сводится тогда к выяснению того,
существует ли преобразование, переводящее X\fXpf, (XkXj) в Y\f--- Ypf,
(YkYj), где к и j пробегают последовательно значения 1,2 • • • р.
Если же теперь и независимые среди уравнений X\f = 0, • • • Xpf = 0,
(XkXj) = 0 не образуют полной системы, то добавим к ним еще
выражения Xi(XkXj)) и ((XiXk){XjXi)), а также соответствующие выражения
в У/. Продолжая так, мы в конце концов получим нашу исходную задачу
сведенной к следующей.
Даны г инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf от
переменных х\ • • • х3, из которых п ^ г, скажем X\f • • • Xnf, не связаны никакими
линейными соотношениями, в то время как Xn+\f • • • Xrf выражаются
линейно через X\f • • • Xnf:
п
Xn+kf = ^2 ^Лх\ * • * xs) ' X„f (к = 1 • • • г - п);
Теория подобия г-параметрических групп
403
кроме того, имеют место соотношения вида
п
[XkXj) = Е <Pkj*{xi •' • х8) • X„f (k,j = 1 • • • г),
l/=l
так что независимые из уравнений Xif = 0, • • • Xrf = 0 образуют п-па-
раметрическую полную систему Далее, в переменных yi - • • у3 даны г
инфинитезимальных преобразований Yif--- Yrf, и надо определить,
существует ли преобразование yi = Фг(#1 * * * х8), переводящее Xif • - • Xrf
в Yif • • • Yrf соответственно.
Для того, чтобы существовало преобразование с требуемым здесь
свойством, Yif Ynf, конечно, не должны быть связаны линейным
соотношением, напротив, yn_|_i/--« Yrf должны линейно выражаться через
Yif-Ynf:
П
Yn+kf = Е ^ки(У\ • • * Уз) ' Yvf (Л = 1... г - п),
1/=1
и должны иметь место соотношения вида
п
(YkYj) = Е Фк,*{У1 '"У*)' Y"f (k>i = i • ■ • г).
Кроме того, уравнения
Г 4>kv (х\' * * х3) - фки (г/i • • • ys) = 0 (к = 1 • г - п; I/ = 1 • ■ • п), ^
Xs)-\l)kjv(yi- - Уз) = 0 (fc,j = l.-.r;i/=l...n)
не могут ни противоречить друг другу, ни приводить к соотношениям
только между х или г/, так как эти уравнения, очевидно, становятся
тождествами при подстановке yi = Ф^Х1 - - - х3), если преобразование гу* = Ф^х)
переводит выражения Xif - - • Хг/ в Yif - • • Уг/ соответственно.
Мы предполагаем, что эти условия выполнены, и что все
уравнения (30) сводятся к q независимым друг от друга уравнениям:
ifi{x) - tfi(w) = 0,.. ■ <pQ{x) - Му) = 0- (31)
Благодаря рассуждениям, аналогичным изложенным на стр. 371,
мы увидим, что нахождение преобразования, переводящего Xif-- - Xrf
в Yif - - - YTf соответственно, сводится к тому, чтобы найти систему
уравнений от 2s переменных xi - - - х3, yi - - • у3, а именно систему уравнений
404
Глава 19
со следующими свойствами: она должна допускать г инфинитезимальных
преобразований Qkf— Xkf + Ykf, состоять ровно из 5 независимых
уравнений, быть разрешима относительно как х\ • • • ха, так и у\ • • • у3 и,
наконец, включать в себя д уравнений (31).
Система уравнений, содержащая д уравнений (31) и допускающая г
инфинитезимальных преобразований Okf, в то же время содержит и все
следующие гд уравнений:
Ok{<Pj{x) - ф3(у)) = Хк<р;(х) - Yk^(y) = 0
Если эти уравнения не являются следствием (31), то мы можем
получить из них новые уравнения, которые должны содержаться в искомой
системе уравнений, и так далее. Продолжая так, мы в конце концов
должны будем прийти либо к соотношениям, которые друг другу противоречат,
либо к соотношениям только между х или только между у, либо, наконец,
к системе из a ^ s независимых уравнений:
Vi(x)-il>1(y)=Or..<p<,(x)-tl><,(y) = 0 (32)
обладающей двумя следующими свойствами: она не дает никаких
соотношений только между х или у и допускает г инфинитезимальных
преобразований Qkf, так что любое из га уравнений
Пк(<Р,(х) - il>j(y)) =0 (* = l...r,j = l...*)
является следствием (32).
Очевидно, что преобразование, переводящее X\f • • • Xrf в Yif • • • Yrf,
может существовать только тогда, когда мы при помощи указанных
операций приходим к системе уравнений (32) с только что определенным
свойством. Таким образом, нам надо рассмотреть только этот случай.
Если целое число а в точности равно з, то система уравнений (32)
сама по себе представляет преобразование, осуществляющее требуемый
переход, причем, очевидно, единственное преобразование, для которого это
справедливо. Мы покажем, что в случае а < s существует
преобразование, переводящее Xif • • • Xrf в Yif • • • Yrf соответственно;
доказательство этому мы получим, указав метод, приводящий к нахождению
преобразования с требуемым свойством.
Ясно, что уравнения (32) сохраняют независимость как уравнений
Xif = 0, • • • Xnf = 0, так и уравнений Yif = 0, • • Ynf — 0, ведь они
не дают соотношений ни между х, ни между у по отдельности.
Теория подобия г-параметрических групп
405
Более того, надо заметить, что имеют место соотношения вида
п п
{nkQj) = Y^ 4>hjAx) ' Д// = 51 ^зЛУ) ' Д// (fc,J = 1,2. • • п),
i/=l i/=l
в которых коэффициенты ipkji/{x) = Фкзи{у) для систем значений системы
уравнений <р\ — ф\ = 0, • • • <ра — фа = 0, вообще говоря, ведут себя
регулярно. Таким образом, имеет место случай, рассмотренный в теореме 19,
стр. 147.
Как и на стр. 381, введем решения га-параметрической полной
системы X\f = 0, • • Xnf = 0 в качестве новых х, а решения полной
системы Y\f = 0, • • • Ynf = 0 — в качестве новых у, при этом так же, как
и тогда, мы должны различать такие решения, которые выражаются через
<£i(x) • • • 4>G(x) или через ф\{у) • - - фа{у), и такие, которые не зависят от
(р или ф соответственно. Таким образом, мы упрощаем вид уравнений (32)
и можем тогда точно так же, как на стр. 386, найти систему уравнений,
допускающую Q\f • • • Qrf, содержащую s независимых уравнений,
разрешимую относительно как х\ • • • х3, так и у\ • • • у3 и, наконец, включающую
в себя уравнения (32). Очевидно, она представляет собой преобразование,
переводящее X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf соответственно.
Тем самым мы имеем следующую теорему.
Теорема 66. Если даны р инфинитезимальных преобразований Xif • • •
Xpf от переменных xi • • • х3 и р инфинитезимальных преобразований
Yif- - Ypf от г/i • • • у3, то при помощи дифференцирования и
исключения всегда можно выяснить, существует ли преобразование у\ —
= Фг(х1, • • • х3), переводящее Xif • • • Xvf в Y\f • • • Ypf соответственно;
если да, то можно задать самое общее преобразование, осуществляющее
этот переход, коль скоро проинтегрирована некоторая полная система2.
2Ли, Archiv for Math, og Naturv., том 3, стр. 125, Христиания, 1878 r.
Глава 20
Группы, преобразования которых
перестановочны со всеми
преобразованиями заданной группы
Благодаря результатам §§89, 90, 91, стр. 365-393, мы получили
возможность описать все преобразования, оставляющие заданную г-парамет-
рическую группу
инвариантной. Теперь мы хотим из всех подобных преобразований выбрать
такие, которые к тому же обладают свойством оставлять каждое
преобразование группы X\f • Xrf инвариантным, и остановиться на этих
преобразованиях несколько подробнее.
Если преобразование Т оставляет каждое отдельное преобразование 5
группы Xif - • • Xrf инвариантным, то согласно стр. 286 оно связано с 5
следующим соотношением:
то есть перестановочно с Т. Следовательно, мы можем также
охарактеризовать определенные выше преобразования следующим образом: это
такие преобразования, которые перестановочны со всеми преобразованиями
группы Xif-- - Xrf.
t~1st = s
или, что то же самое, соотношением
st = Г5,
§95
Согласно гл. 15, стр. 283, можно рассматривать выражение eiXif +
Н h erXrf как общий символ группы Xif - - - Xrf. Следовательно,
преобразование х\ = #i(xi • • • х3) оставляет каждое отдельное преобразование
Группы, преобразования которых перестановочны 407
группы X\f • • • Xrf инвариантным тогда и только тогда, когда оно
оставляет инвариантным выражение e\Xif-\ YeTXTf при произвольном выборе
чисел е, то есть когда выражение e\X\f Н Ь erXrf при введении новых
переменных х\ = Ф^х) принимает вид e\X[f Н Ь erX'rf9 где
Необходимым и достаточным условием для этого является то, что г
инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf при введении новых
переменных х\ принимают вид X[f • • • X'rf соответственно.
Ясно, что преобразования х\ — Фг{х) с требуемым свойством
существуют: тождественное преобразование х\ = х* является таковым, кроме
того, это следует из утверждения 2 в предыдущей главе (стр. 392),
поскольку это утверждение показывает, что существуют преобразования,
переводящие X\f • • • Xrf в X[f • • • X'rf. Из тех прежних рассуждений следует
также, что самое общее преобразование с требуемым свойством
представляется самой общей, разрешимой относительно х\ • • • х3 системой
уравнений
допускающей r-параметрическую группу X\f + X[f, • • • Xrf + X'rf от 25
переменных х\ • • • х3, х\ • • • х'8.
Если выполнить последовательно два преобразования, оставляющие
всякое отдельное преобразование группы X\f • • • Xrf инвариантным, то
мы, очевидно, всегда получим преобразование, для которого это тоже
справедливо, то есть совокупность всех таких преобразований образует группу
G. Эта группа может быть разрывной и даже сводиться к тождественному
преобразованию, она может состоять из нескольких дискретных семейств,
каждое из которых содержит лишь конечное число произвольных
параметров, может быть бесконечной, но ее преобразования будут всегда
упорядочиваться в пары взаимно обратных, так как если преобразование оставляет
инвариантными все преобразования группы X\f ••• Xrf, то
соответствующее обратное преобразование, разумеется, обладает тем же свойством.
Если определенная выше группа G содержит лишь конечное число
произвольных параметров, то она относится к категории групп, обсуждаемых в главе 18, и
согласно теореме 56, стр. 349, непременно содержит порожденную инфинитезималь-
ными преобразованиями конечную непрерывную подгруппу. С другой стороны,
если группа G бесконечна, то при помощи рассуждений, подобных тем, что были
проведены в главе 18, можно доказать, что эта группа содержит однопараметрические
х\ = Фг(х1
"' Хз), "' Х8= Фз(Х1 ••* Хз),
408
Глава 20
группы (причем бесконечно много), порожденные бесконечно многими
независимыми инфинитезимальными преобразованиями.
Мы ставим теперь непосредственную задачу — найти все однопара-
метрические группы, которые содержатся, например, в группе G.
Согласно гл. 15, стр. 286 и 288, г выражений X\f • • • Xrf остаются
инвариантными при всех преобразованиях однопараметрической группы Zf
тогда и только тогда, когда г соотношений
(ВД = Xk(Z(f)) - Z(Xk(f)) = О (fc = i • •. г)
выполнены тождественно, то есть когда инфинитезимальное
преобразование Zf перестановочно со всеми преобразованиями группы Xif - • • Xrf.
В соответствии с этим описание всех однопараметрических групп с
указанным выше свойством сводится к нахождению самого общего
преобразования Zf, перестановочного со всеми Xkf.
Если есть два Xkf инфинитезимальных преобразования Z\f и Z2/,
которые перестановочны со всеми Xkf, то все выражения (Z\Xk) и (Z^X^)
обращаются в нуль тождественно, то есть тождество Якоби
((ZiZ2)Xk) + ((Z2Xk)Zi) + ((XfcZi)Z2) = 0
сводится к
((Z1Z2)Xk) = 0.
Таким образом, справедливо следующее
Утверждение 1. Если два инфинитезимальных преобразования Z\f
и Z^f перестановочны со всеми инфинитезимальными преобразованиями
г-параметрическойгруппы X\f • Xrf, то это верно и для
преобразования (ZiZ2).
С другой стороны, всякое инфинитезимальное преобразование aZ\ f +
+ 6Z2/ в то же время перестановочно с X\f • • • Xrf, какие бы значения
ни принимали константы а и 6. Поэтому если случайно имеется только
конечное число, скажем, только q независимых инфинитезимальных
преобразований Z\f'• • • Zqf, перестановочных с X\f Xrf, то самое общее
инфинитезимальное преобразование с таким свойством имеет вид \\Z\f +
Ч \Zqf, где под Ai • • • Xq понимаются произвольные параметры. Тогда
вследствие утверждения 1 должны иметь место соотношения вида
я
(ZiZk) = У^с^^/,
так что Zif • • • Zqf порождают q-параметрическую группу.
Группы, преобразования которых перестановочны 409
Попробуем теперь непосредственно найти самое общее
инфинитезимальное преобразование
i=i OXi
перестановочное со всеми инфинитезимальными преобразованиями
группы Xif "-Xrf.
Соответствующие г уравнений
(XiZ)=0,..- (XrZ)=0
непосредственно распадаются на rs следующих:
XkCi = %Ы (к = 1 • • г, г = 1 • • • а),
или подробнее:
|/=1 |/=1
Таким образом, речь идет о том, чтобы найти самые общие решения
этих дифференциальных уравнений для Ci * * * Сз- Если
Сг =Ui(xi ••• xs) (i = l---s) (2)
— какая-либо система решений системы (1), то выражения
i/=i
при подстановке d = cji(x), ••• £3 = с^(х) одновременно обращаются
в нуль тождественно; другими словами, система уравнений (2) в 25
переменных х\ • • • х3, Ci • * * Cs допускает г инфинитезимальных
преобразований:
Если, наоборот, система уравнений вида (2) допускает
инфинитезимальные преобразования W\f ••• Wrf, то u;i(x) ••• uj3(x), очевидно,
являются решениями дифференциальных уравнений (1). Следовательно,
интегрирование дифференциальных уравнений (1) равносильно нахождению
410
Глава 20
самой общей системы уравнений (2), допускающей инфинитезимальные
преобразования W\f • • • Wrf.
Любая система уравнений, допускающая W\f---Wrf, допускает
также инфинитезимальное преобразование Wk{Wj(f)) - W3(Wk(f)) =
= (H'fcWj); вычислим его.
Мы имеем
и правую часть при этом можно записать так:
(вд) + £ JL £ |^Цг - } eg.
г,/х=1 ^ i/=l V. у
Но при этом имеют место соотношения вида
г
(XkXj) = CkjoXgf,
а=1
из которых следует:
таким образом, получается просто
г
Отсюда мы видим, что W\ f • • • Wrf порождают r-параметрическую группу
от 2з переменных х\ • • • х3, £i • • • правда, это можно было предвидеть.
Среди инфинитезимальных преобразований X\f Xrf могут
иметься какие-либо га, скажем X\f • • • Хп/, не связанные никакими
соотношениями вида
• • • х3) • Xi/ + • • • + Xn(xi • • • х3) • Хп/ = 0,
Группы, преобразования которых перестановочны
411
в то время как Xn+\f • • • Xrf выражаются следующим образом:
п
Xn+kf = Е ^(х1 xs)' Xvf (к = 1 • г - п). (3)
1/=1
При этих условиях дифференциальные уравнения (1) можно также
записать в виде
XvQ — Z^vi = О {у = 1 • • • п, г = 1 • • • s),
п
Е Фки{х) • XvC,i - Z£n+k,i =0 (к = 1 • • • г - п, г = 1 • • • s).
v=\
Поэтому если исключить выражения X\Q • • • XnQ, то для Ci * * * Сз
получаются конечные уравнения:
(к = 1 • • г — п, i = 1 • • • s).
Очевидно, что любая система уравнений вида (2), допускающая группу
W\f - Wrf, должна содержать уравнения (4).
Уравнения (4) являются линейными и однородными в £i • • • £s; если
среди них найдутся ровно 5 друг от друга независимых, то £i = 0, • • • £s =
= 0 — единственная система решений, которая им всем удовлетворяет.
В этом случае существует только одна система решений вида (2),
допускающая группу W\f • • • Wrf, а именно система Ci = 0, • • • (8 = 0, то есть
не существует никакого инфинитезимального преобразования Zf,
перестановочного с Xkf-
Ситуация изменится, если уравнения (4) сводятся менее чем к 5,
скажем, к т < s независимым уравнениям. Мы увидим, что в этом случае,
помимо не интересующей нас системы £i = 0, • • • С =0, имеются еще
другие системы вида (2), допускающие группу W\f • • • Wrf.
Прежде всего, мы замечаем, что система уравнений (4) допускает
группу Wif- • • Wrf.
Чтобы это доказать, запишем матрицу, соответствующую инфинитези-
мальным преобразованиям W\f • • • Wrf:
6i
(5)
412
Глава 20
Покажем, что (4) относится к системам уравнений, которые получаются
путем приравнивания нулю всех определителей порядка га+1 этой матрицы.
Тогда согласно гл. 14, стр. 254, будет доказано, что (4) допускает группу
Wxf... Wrf.
Среди определителей порядка п + 1 матрицы (5) имеются
определители вида
D
€nkn
E8 d£io ^
1/=1 я. Si>
dxv
dxu
Si/=i
Ea d€n+j,o
"=1 dxv ^
Если использовать тождества, следующие из (3):
п
£.п+з,-к = ^оЛх) (тг = 1 • •. s, j = 1 • • г - п),
1/=1
то можно, очевидно, записать:
с-
Теперь при наложенных условиях не все определители вида
^lki ' * *
тождественно обращаются в нуль; поэтому, если приравнять все
определители вида D нулю, мы получим либо соотношения только между х\ • • • х3,
либо систему уравнений (4). Эта система уравнений, однако, как легко
видеть, обращает вообще все определители порядка п + 1 матрицы (5) в нуль,
то есть допускает группу W\f ••• Wrf.
Нахождение самой общей системы уравнений (2), допускающей
группу Wif • • • Wrf и содержащей уравнения (4), можно провести на
основании гл. 14, стр. 262-263.
Система уравнений (4) обращает все определители порядка п + 1, но
не все определители порядка п матрицы (5) в нуль; точно так же система
уравнений вида (2) не может обратить все определители порядка п
матрицы (5) в нуль. Значит, мы поступим следующим образом: разрешим
уравнения (4) относительно т из величин Ci • • * Си например относительно
Группы, преобразования которых перестановочны 413
Ci • •" Cm затем согласно указаниям в цитируемых рассуждениях, образуем
укороченные инфинитезимальные преобразования W\f • • • Wrf от 2s — т
переменных х\ • • • xs, Cm+i • • • Cs> наконец, найдем какие-либо 2s — т — п
независимых решений п-параметрической полной системы, образованной
п уравнениями W\f — О, • • • Wrf = 0.
Эти п уравнений W\f = 0, • • • Wrf = 0 разрешимы относительно п
Of df
производных то есть 2s - т — п их независимых решении
относительно s — п независимы от х, а переменные Cm+i - • Сз — Друг от
друга (ср. теор. 12, гл. 5, стр. 101). Тогда среди решений полной системы
Wkf = 0 имеется ровно s — п независимых, одновременно
удовлетворяющих п-параметрической полной системе Xif = 0, • • Xnf = 0, а значит,
зависящих лишь от х решений, обозначим их:
ui(xi ••• х8)-- - us_n(xi ••• х8).
Поэтому если
®l(Cm+l * ' * Си^1 • • • Xs), . . .93e_m(Cm+l • • • (s,Xl ' * * Xs)
— какие-либо s — т независимых друг от друга и от и решений полной
системы Wkf = 0, то они необходимо независимы друг от друга
относительно Стп+1 Сз-
Самую общую систему уравнений (2), допускающую группу W\ / • • •
Wrf мы получим теперь, если добавим к уравнениям (4) самым общим
образом s — т независимых друг от друга, разрешимых относительно
Cm+i • * • Сз соотношений между ui • • • us_n, 2$i • • • ЯЗл-т- Ясно, что эти
соотношения должны быть разрешимы относительно 931 • • • Я33_т, то есть
приводимы к виду
55/х(Сш+1 Ca,Xl-" Ха) = ^(u^x)-- - Щ-п(х)) (/i = l... з-т). (6)
Здесь i?M не подлежат никаким ограничениям, а являются совершенно
произвольными функциями своих аргументов.
Поэтому если мы добавим уравнения (6) к (4) и разрешим их в
совокупности относительно Ci"'" Са> что всегда возможно, то мы получим
самую общую систему уравнений (2), допускающую группу W\f - • • Wrf,
и тем самым также самую общую систему решений дифференциальных
уравнений (1). Эта самая общая система решений, очевидно, содержит 5 —
— т произвольных функций от Ui • • • us-n.
414
Глава 20
Однако дифференциальные уравнения (1) линейны и однородны
относительно неизвестных £i • • • то есть можно заключить, что самая общая
система их решений Ci'' * С» получена из s — га частных систем решений
СцЛх)'" C/is(x) (Д = 1 s-m)
следующим образом:
Ci = Xl("1 ' * * U3-n) • Си + * ' ' + Хз-т{Щ ' ' ' "з-п) ' Сз-т,г
(г = 1- •*),
где х ~ совершенно произвольные функции от и; разумеется, эти
частные системы решений должны быть такими, что не существует s — т
функций ipi(ui • • • us-n) • • • ips-m(ui • • • us-n), тождественно
удовлетворяющих s уравнениям
^l(u) - Cl* Н Ь ^e-m(u) • Cs-тЛ = 0 (i = 1 ■ ■ • а).
Можно даже показать, что не существует вообще никаких s — т функций,
Ф\{х\ • • • Хд) • • • Ф8-т{х\ ••• Хд), которые удовлетворяли бы 5 — m
уравнениям
*l(^)-Cli + ---+ *з-т(х) * Ca-m.i = 0 (1 = 1.. - в)
тождественно. А именно: s — т уравнений
3 — 771
Cm+<r = ^m(U) ' Ci,m+<r (а = s-m),
очевидно, эквивалентны уравнениям (6), то есть должны быть разрешимы
относительно Xi'" Xs-m, а определитель
^ ] ^Cl,т-Н * Сз—тПуТп+з—т
не должен обращаться в нуль тождественно.
После этих приготовлений мы, наконец-то, можем указать вид,
который имеет самое общее, перестановочное с X\f • • • Xrf
инфинитезимальное преобразование Zf. Это преобразование таково:
3 — 771
д=1
Группы, преобразования которых перестановочны 415
где s — m инфинитезимальных преобразований
s д f
i=l °Xi
не связаны никакими линейными соотношениями вида
Фг(Х1 • • • ха) • Zif + • • • + Фа-т(Х1 • • • ха) - Ze_m/ = 0.
Поскольку, кроме того, согласно утв. 1, стр. 408, любое
инфинитезимальное преобразование (ZUZV) перестановочно с X\f • • • Хг/,то имеют место
соотношения специального вида:
з—га
(ZUZ„) = Е ^VttCui * * * us_m) • Znf (д, v = 1 • • • s - т).
7Г=1
Таким образом, мы видим: инфинитезимальное преобразование,
перестановочное с Xif - • • Xrf, существует тогда и только тогда, когда число га,
определенное на стр. 411, меньше числа 5 переменных х. Если т < s
и в то же время п < s, то есть если группа Xif - • • Xrf интранзитив-
на, то самое общее инфинитезимальное преобразование Z/,
перестановочное с Xif • - • Xrf, зависит лишь от произвольных функций. Если же
п = s, то есть группа Xif • • • Xrf транзитивна, то самое общее
инфинитезимальное преобразование Z/, перестановочное с Xif-- - Xrf, можно
линейно получить из s — га независимых инфинитезимальных
преобразований Zif - - - Zs-mf; согласно вышеупомянутому замечанию (стр. 408), эти
инфинитезимальные преобразования порождают тогда (s — га)-параметри-
ческую группу.
Мы знаем, что инфинитезимальное преобразование, перестановочное
с Xif - - - Xrf, существует только тогда, когда уравнения (4) сводятся к
менее чем s независимым. Этому условию мы можем придать более
наглядную формулировку, если вспомним тождества (3) или эквивалентные им
п
€n+k,i - Е Vkv(x) - = 0 (к = 1 • • • г - n; i = 1 • • • s),
i/=l
определяющие функции ipkv Продифференцировав вышеупомянутые
тождества относительно Xj9 получаем следующие тождества:
(fe = 1 • • • г — п; г, j = 1 • • • з),
416 Глава 20
в силу которых можно заменить уравнения (4) эквивалентными
уравнениями:
П 3 г\
£**£ОаГ = 0 (• = i---*.* = i---r-n).
i/=i j=\ j
Но поскольку не все определители вида ]Г i^iiki • • • £nkn обращаются
в нуль тождественно, то последние уравнения, в свою очередь,
эквивалентны следующим:
£<i|^=0 (fc=l-r-»,V = i-«). (4')
j=i 3
Таким образом, инфинитезимальное преобразование Z/,
перестановочное с X\f • • • Xrf9 существует только тогда, когда уравнения (4'),
линейные по Cj, сводятся к менее чем s независимым уравнениям.
Уравнения (4') нагляднее, чем уравнения (4), кроме того, они имеют
простой смысл, который состоит в том, что каждая из п(г — п) функций
фки(х\ • • • х3) допускает все инфинитезимальные преобразования Zf.
Если среди уравнений (4) имеется ровно т независимых друг от друга,
то, конечно, и среди уравнений (4') имеется ровно m независимых друг от
друга, то есть очевидно, что га — не что иное, как число независимых среди
п(г — п) функций (pkv(x).
Обобщим полученные результаты.
Теорема 67. Если из г независимых инфинитезимальных
преобразований:
= 1-..г)
r-параметрической группы некоторые X\f ••• Xnf не связаны никакими
линейными соотношениями, в то время как Xn+\f • • • Xrf можно
выразить через них линейно:
п
Xn+jf = ^2 ФзЛх\ х3) • Xvf у = 1... г - п),
и если среди п(г — п) функций (р^ имеется ровно s друг от друга
независимых, то не существует инфинитезимального преобразования,
перестановочного со всеми Xkf,' если же среди функций <$kv имеется меньше, чем s,
скажем лишь га независимых, то инфинитезимальное преобразование,
ГРУППЫ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОТОРЫХ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ 417
перестановочное с X\f - • • Xrf, а именно самое общее такое
инфинитезимальное преобразование Zf, имеет вид
Zf = V>l(Ui • • • Us_n) • Zif + • • • + ф3-т(Щ * ' * Us_n) • Zs_m/,
где щ • " us-n — независимые решения п-параметрической полной
системы X\f = 0, • • • Xnf = 0, а ф\ - • - фз-т — произвольные функции своих
аргументов и, наконец, где перестановочные с X\f - • • Xrf
инфинитезимальные преобразования, не связанные никакими линейными
соотношениями
= 1 • • • 8 — ГП),
находятся попарно в соотношениях вида1
s—m
{Z^Zv) = ^2 <*w(ui * * * us-n) • Znf.
7Г=1
Часть сформулированных в этом утверждении результатов следует, кстати,
непосредственно из рассуждений предыдущей главы. Так, если число независимых
функций среди ц>ки{х\ • • • хв) в точности равно s, то уравнения
(рки(х[ • • • х8) = <Pkv(xi • • • х3) (к = 1 • • • г - n; v = 1 • • • п),
согласно стр. 381, представляют самое общее преобразование, переводящее Xif • • •
Xrf в X[f-- - X'rf соответственно. Если же среди <р^и имеется меньше, чем s
независимых друг от друга функций, то согласно теореме 65, стр. 391, имеется
непрерывное семейство преобразований, оставляющих всякое Xkf инвариантным;
на стр. 407 мы уже замечали, что совокупность всех таких преобразований образует
группу, о которой сразу можно сказать, что она содержит однопараметрические
группы.
Видится уместным сформулировать особо еще следующее
Утверждение 2. Если вообще существует инфинитезимальное
преобразование, перестановочное со всеми инфинитезимальными
преобразованиями Xif -•• Xrf г-параметрической группы пространства xi-- - х3,
то самое общее инфинитезимальное преобразование, перестановочное
с Xif •- - Xrf, содержит произвольные функции, если группа Xif -•• Xrf
интранзитивна, и напротив, оно содержит только произвольные
параметры, если группа транзитивна.
1 На эту общую теорему Л и указал в Math. Ann., том XXV.
418
Глава 20
§96
Исключительное значение имеет случай, когда группа Xkf является
просто транзитивной, то есть случай s = г = п.
Если мы хотим в этом случае знать самое общее преобразование х\ =
= Фг(х\ • • • хп), в силу которого всякое Xkf принимает вид X'kf, то надо
лишь найти п независимых решений i?i • • • Qn n-параметрической полной
системы
Xkf + X'kf = 0 (* = i...n)
и приравнять их произвольным константам а\ • • • ап. Тогда уравнения
Qk[x\ • • • хп, х[ • • • х'п) = dk (к = 1 • • • п)
разрешимы относительно как х9 так их'и представляют требуемое
преобразование.
Мы знаем изначально, что совокупность всех преобразований Qk =
= ak образует группу. Теперь мы видим, что эта группа является п-пара-
метрической и простой транзитивной; это следует непосредственно из
вида, который принимает группа, будучи разрешенной относительно п своих
параметров.
Группа
Q\(x,x') = ai, ••• Qn(x,xf) = ап
содержит тождественное преобразование и п независимых
инфинитезимальных преобразований
Zkf = yZ&iixi ••• хп)^— (fc = 1 п).
г=1 °xi
Это следует из рассуждений предыдущего параграфа, но ясно и само по
себе, так как преобразования группы упорядочиваются в пары взаимно
обратных, и стало быть, применима теорема 56 из гл. 18, стр. 349. Кроме того,
из транзитивности группы Z\f • • • Znf следует, что Z\f • • • Znf не связаны
никакими линейными соотношениями вида YlXi{xi"' xe)Zif = 0.
Между двумя просто транзитивными группами Xkf и Zif имеет
место полное взаимное соответствие. Если заданы Xkf, то общее
инфинитезимальное преобразование Z f = YleiZif полностью определяется п
уравнениями
Xk(Z(f))-Z(Xk{f))=0 (* = !•••»);
Группы, преобразования которых перестановочны 419
если, с другой стороны, заданы Zj/, то п уравнений
X(Zi(f))-Zi(X(f))=0 (. = !...»)
задают тем же образом общее инфинитезимальное преобразование
Но этим описание своеобразной связи, в которой находятся эти две
группы, еще не исчерпывается, а именно: как мы теперь покажем, они к тому
же являются равносоставленными; поскольку обе группы являются просто
транзитивными, то отсюда непосредственно следует, что они также
подобны (ср. гл. 19, теорема 64, стр. 376).
Допустим, что £fc
и и C,iu в инфинитезимальных преобразованиях Xkf
и Zif разложены по степеням х\ • • хп, если предположить, что х\ =
= О, ••• хп = 0 — точка общего положения. Согласно гл. 13, стр. 241,
группа Xkf, будучи просто транзитивной, содержит в точности п
инфинитезимальных преобразований нулевого порядка относительно х\ • • • хп,
из которых нельзя линейно получить никаких инфинитезимальных
преобразований первого или более высокого порядка.
Поэтому мы можем считать, что X\f-- - Xnf заменены другими п
независимыми инфинитезимальными преобразованиями X\f • • • Xnf9
имеющими вид
если опустить члены второго и более высокого порядка. Таким же образом
мы можем заменить Z\f ••• Znf п независимыми инфинитезимальными
преобразованиями вида
(t = l...п).
После этих приготовлений составим уравнение (Xk3i) = 0; оно будет
иметь вид
(fe = l- n),
420
Глава 20
откуда следует:
Подобные вычисления дают в результате:
(XkXj) = ^(hjku - hkjv)j!£- + • • • ,
o^j) = ]Сн**"++ • • • =
С другой стороны,
n n
(XfcXj) = ^ CkjvXvf, (ЪкЪз) = E С'кзиЪи1\
v=\ u=\
здесь мы подставим найденные только что выражения для Xvf, 3i//5
(XkXj), (3*ЗД а затем произведем подстановку х\ = 0, • • • хп = 0; при
этом получим
tkjv — hjkv hkjv = ^kjv
Таким образом, наши группы действительно являются равно со
ставленными и вследствие этого, как уже выше отмечалось, подобными. Итак,
справедлива
Теорема 68. Если X\f--- Xnf — независимые инфинитезимальные
преобразования просто транзитивной группы в переменных х\ • • • хп, то
п уравнений (XkZ) = 0 определяют общее инфинитезимальное
преобразование Zf второй просто транзитивной группы Z\f • • • Znf, являющейся
равносоставленной с группой X\f • • • Xnf и в то же время подобной ей.
Связь между этими двумя просто транзитивными группами является
двусторонней: каждая из обеих групп состоит из совокупности всех однопа-
раметрических групп, преобразования которых перестановочны с любым
преобразованием другой группы2.
Удобно называть группы Xkf и Zif взаимными группами
преобразований, или же одну из них взаимной по отношению к другой.
2Теорему 68 Ли представил Научному обществу Христиании в ноябре 1882 г. и мае 1883 г.;
ср. также Math. Annalen, том XXV, стр. 107 дд.
Группы, преобразования которых перестановочны 421
Вспомним из гл. 16, стр. 306, что выделенные инфинитезимальные
преобразования e\X\f + • • • + enXnf = Yf группы Xif • • • Xnf
определены n уравнениями (XkY) = 0, тогда можно также сформулировать
следующее
Утверждение 3. Общие инфинитезимальные преобразования двух
взаимных просто транзитивных групп являются в то же время выделенными
инфинитезимальными преобразованиями обеих групп.
Пусть две п-параметрические группы Xif ••• Xnf и Zif • • • Znf в n
переменных xi • • • хп являются просто транзитивными и взаимными по
отношению друг к другу. Тогда если при введении новых переменных
x'i • • • х'п преобразования Хк переходят в Xkf\ a Zkf — в Zkf, то обе
просто транзитивные группы X[f • • • X'nf и Z[f • • • Z'nf также
являются взаимными по отношению друг к другу. Это непосредственно следует из
соотношения (XkZj) = (XkZj) = 0.
Отсюда, в частности, следует
Утверждение 4. Если п-параметрическая просто транзитивная
группа от п переменных остается при преобразовании инвариантной, то
и взаимная ей просто транзитивная группа остается инвариантной.
Из этого утверждения, наконец, следует
Утверждение 5. Наибольшая группа пространства xi • • • хп, в
которой п-параметрическая просто транзитивная группа этого
пространства содержится как инвариантная подгруппа, совпадает с наибольшей
группой, в которой группа, взаимная этой просто транзитивной группе,
содержится как инвариантная подгруппа.
Снабдим предшествующие общие рассуждения о просто транзитивных
группах парой простых примеров.
Группа
дх' дх ду
плоскости х, у является просто транзитивной. Конечные уравнения
взаимной группы получаются в результате интегрирования полной системы
df df Л df df ,df ,df Л
и имеют следующий вид:
422
Глава 20
или, разрешенные относительно х' и t/':
х' = х + ш/, у' = by.
Тогда инфинитезимальные преобразования взаимной группы будут
таковы:
df df
Еще более интересный пример: шестипараметрическая проективная
группа невырожденной поверхности второго порядка в обычном
пространстве. Эта группа содержит две двухпараметрические просто транзитивные
взаимные по отношению друг к другу группы, одна из которых оставляет
неподвижными все образующие одного семейства, а вторая — все
образующие другого.
Если z — ху = 0 — уравнение поверхности, то
v * 20/ , ч0/ df
— одна из этих двух просто транзитивных групп, а
— вторая.
Эти две взаимные группы, разумеется, подобны, но надо заметить, что
подобны они посредством проективного преобразования, а именно всякого
проективного преобразования, переставляющего два семейства,
образующих поверхности.
§97
Мы продолжаем общие исследования взаимных просто транзитивных
групп.
Пусть X\f ••• Xnf и Zif • • • Znf — две просто транзитивные и
взаимные по отношению друг к другу группы в переменных xi • • • хп.
Группы, преобразования которых перестановочны 423
Если бы п равнялось 1, то эти группы были бы идентичны, как
легко убедиться; поэтому мы предполагаем, что п больше 1. Тогда группа
Zif''' Znf заведомо содержит подгруппы. Если Z\f • • • Zmf (m < п) —
одна из них, то т уравнений
^i/ = 0,-.. Zmf = 0
образуют m-параметрическую полную систему, которая, как следует из
тождеств
(XiZO = (),••• {XiZm) = 0 (i = l.--n),
допускает группу X\f • • • Xnf (ср. гл. 8, теорема 20, стр. 156).
Следовательно, группа X\f • • • Xnf является импримитивной.
Если щ ••• ип-т — независимые решения полной системы Z\f =
— 0, • • • Zmf = 0, то согласно гл. 8, утв. 1, стр. 155, имеют место
соотношения вида
XXUV = Uii/(Ul • • • Un-m) (t = 1 • • • П, v — \ • • п — rn),
и поэтому (ср. стр. 159) ооп_ш m-мерных многообразий
ui = const, • • • ип-т = const
переставляются между собой при помощи группы Xif - • • Xnf.
Таким образом, мы имеем
Утверждение 6. Всякая просто транзитивная группа Xif - - • Xnf
от п > 1 переменных Xi • • • хп является импримитивной; если Zif • • • Znf —
соответствующая взаимная группа, a Zif • • • Zmf — ее произвольная
подгруппа с инвариантами щ • • • ип-т, то т-параметрическая полная
система Zif = 0, • • • Zmf = 0 допускает группу Xif • • • Xnfr а ооп~т т-
мерных многообразий щ = const, • • • ип-т = const переставляются этой
группой между собой.
Предыдущее утверждение показывает, что всякая т-параметрическая
подгруппа группы Zif • • • Znf дает совершенно определенное,
инвариантное относительно группы X\f • • • Xnf разбиение пространства xi • • хп на
ооп_ш m-мерных многообразий. Поэтому если представить, что все
подгруппы группы Zif • • • Znf заданы, и для каждой вычислены
соответствующие инварианты, то мы получим бесконечно много разбиений
пространства, инвариантных относительно группы Xif • • • Xnf. Можно доказать,
что таким образом находятся все имеющиеся инвариантные разбиения, то
есть что утверждение 6 можно обратить.
424
Глава 20
Пусть Y\f = 0, • • • Ymf = 0 — некоторая га-параметрическая полная
система, допускающая группу Xif • • • Xnf, а щ • • • ип-т — независимые
решения этой полной системы, так что семейство из oon-m га-мерных
многообразий
щ = const, • • • ип-т = const
представляет инвариантное относительно группы X\f • • • Xnf разбиение
пространства. Мы утверждаем, что группа Z\f--- Znf содержит
совершенно определенную га-параметрическую подгруппу, оставляющую
каждое из этих oon-m многообразий неподвижным; это как раз и есть
утверждение, обратное утверждению 6.
Сначала введем в качестве переменных в наших взаимных группах
функции и\ - • • ип-т и какие-либо га независимых от них и друг от друга
функций v\ • • • vm от х, тогда
п—т о г 771 о г
xkf = ^2 - - - un-m)-Q^-+^2 ХкУ»д^~ (fc=1 • •' п)
П — т r\ г 771 г\ г
V=\ /i=l
где ХкУц, Zkuv и ZkVp — некоторые функции от it и г;. Наше утверждение,
очевидно, сводится к тому, что из Z\f • • • Znf должны линейно получаться
в точности га независимых инфинитезимальных преобразований, которые
вовсе не преобразуют и\--- izn_m, то есть в которых все коэффициенты
df df
при тг^ —-— равны нулю.
OUi OUn-m
Чтобы это доказать, мы должны вычислить коэффициенты при
• • • -г-^— в общем инфинитезимальном преобразовании Zf = e\Z\ f+
dm dUn-m
+ • • • + enZnf группы Zif • • • Znf.
Инфинитезимальное преобразование Zf полностью определено
соотношениями
Хг (Z(f)) - Z(Xi(f)) = 0, • • • Xn(Z(f)) - Z(Xn(f)) = 0-
Если мы в них заменим / на uVi то получим соотношения
X\{Zuv) — Zu)\v = 0, • • • Xn(Zuu) — Zu)nv = 0 (i/ = l • n-m).
Группы, преобразования которых перестановочны 425
Следовательно, функции Zu\ • • • Zun_m являются решениями
дифференциальных уравнений
м=1
в которых д\ - • • Qn-m надо рассматривать как неизвестные функции.
Если
Q\ = Ф1Ы • • ' Un-m, Vi" - Vm), • • • Qn-m = фп-т{Щ ' * * ^n-m, • • • t7m)
(8)
— некоторая система решений дифференциальных уравнений (7), то все
п(п — т) выражений
п—т гл
,х=1
при подстановке д\ = ф\, • • • дп-ш = Фп-т обращаются в нуль
тождественно. Поэтому если понимать уравнения (8) как систему уравнений от
п+п—т переменных и\ • • • un_m, v\ • • • vm, g\--- gn-m, то сразу ясно, что
эта система уравнений допускает п инфинитезимальных преобразований
И наоборот, также ясно, что если известна какая-либо система уравнений
вида (8), допускающая инфинитезимальные преобразования U\f-- - Unf,
то также известна система решений дифференциальных уравнений (7), так
как функции ф\ • • • фп-ш являются такой системой.
Отсюда следует, что описание самой общей системы решений
дифференциальных уравнений (7) сводится к тому, чтобы найти самую общую
систему уравнений (8) от 2п — m переменных и, v, д, допускающую
инфинитезимальные преобразования U\f • • • Unf.
Всякая система уравнений, допускающая U\f • • • Unf, допускает
также все инфинитезимальные преобразования (UiUk)- Вычисляя, находим
М,1/,7Г=1
п—тп
+ Е
Д,1/,7Г = 1
426
Глава 20
или, если записать по-другому:
п—т г\м
(UiUk) = (хм + £ ^-№wb - Xkuiv) ■ q^.
Но так как X\f • • • Xnf порождают группу, то имеют место соотношения
вида
п
(ХгХк) = Xi(Xk(f)) - Xh(Xi(f)) = ^CikM,
то есть, в частности:
п
Хг(Хки„) - Xk(XiUv) = XiUkv - XkUiv = E CjbWw,
и тогда мы имеем
n
(UiUk) = Y,Cik*Uaf.
Следовательно, инфинитезимальные преобразования U\f • • • Unf
порождают n-параметрическую группу в 2п —т переменных щ • • • гхп_ш, v\ • • • г>ш,
Ql'" Qn-m-
Таким образом, речь теперь идет о том, чтобы найти самую общую
систему уравнений вида (8), допускающую группу U\f - • • Unf. Поскольку
X\f ••• Xnf не связаны никакими линейными соотношениями, то в
матрице, соответствующей преобразованиям U\f • • • С/п/, не все
определители порядка п обращаются в нуль тождественно, и точно так же эти
определители не могут все обращаться в нуль в силу системы уравнений
вида (8). Из теоремы 42, гл. 14, стр. 263, следует поэтому, что всякая система
уравнений вида (8), допускающая группу U\f • • • Unf, представлена
соотношениями между решениями n-параметрической полной системы U\f =
= 0, • • • Unf = 0. Но эта полная система имеет ровно п — т независимых
решений, например:
Фц(и1 - • • lfcn-m, Vi • • • Vrn, Qi • • • Qn-m) (к = 1 ■ ■ n — га),
а значит, Ф\ • • • Фп-т являются независимыми друг от друга относительно
Qi • • • Qn-m, так как полная система разрешима относительно производных
• - - -tJ-^-—, тг- ' •' (ср. гл. 5, теорема 12, стр. 101). Отсюда мы
OUi OUn-m OVi OVn
Группы, преобразования которых перестановочны 427
заключаем, что самая общая система уравнений (8), допускающая группу
U\f ••• Unf, может принять вид
&1 = С\, - • • &п-т = Сп-т,
где С\ • Сп-т — произвольные константы.
Разрешив только что найденную систему уравнений относительно
Qi'" Qn-m, что, несомненно, возможно, мы получим самую общую
систему решений дифференциальных уравнений (7), то есть мы видим, что
эта самая общая система решений содержит ровно п — т существенных
произвольных констант. Но поскольку дифференциальные уравнения (7)
от неизвестных д\ • • • дп-т линейны и однородны, то должно быть
возможным записать упомянутую самую общую систему решений в виде
9» = С[фР+С^ + --- + С'п_т^-т) („ = !••• n-m), (10)
где п — т систем функций
(* = l-»-m)
представляют собой столько же линейно независимых, не содержащих
произвольных констант систем решений дифференциальных уравнений (7),
и где С — произвольные константы. Само собой разумеется, определитель,
составленный из ф, здесь не обращается в нуль, так как уравнения (10)
должны быть разрешимы относительно С[ • • • Сп_т.
Функции Zu\ • • • Zun-m являются (стр. 424) решениями
дифференциальных уравнений (7), а потому имеют вид
ZuM = ft. = Сц#> + • • • + Cn-m^n"m) (A* = 1 • ■ • n - m).
При этом Cv — константы, о которых мы пока больше ничего точно не
знаем; не исключено, что эти функции связаны линейными соотношениями.
Из значений функции Zu^ для инфинитезимального преобразования
Zf группы Z\f • • • Znf получается следующее представление:
А поскольку п — тп выражений
П — ТП с\ г
428
Глава 20
представляют независимые инфинитезимальные преобразования, то из
Zif''' Znf можно, очевидно, линейно получить по меньшей мере га, то
есть, например, в точности га + е независимых инфинитезимальных
преобразований, в которых коэффициенты при - • • Q ^— равны нулю.
OU\ OUn-m
Эти га + £ инфинитезимальных преобразований, конечно, порождают (га +
+ е)-параметрическую подгруппу группы Z\j•-- Zn/, а именно
подгруппу, которая оставляет каждое из oon-m га-мерных многообразий щ =
— const, • • • Un-m — const неподвижным. Но это возможно лишь тогда,
когда целое число е равно нулю, так как если бы было е > 0, то группа
Zif • • • Znf не могла бы быть просто транзитивной.
Итак, утверждение, сформулированное на стр. 423, доказано,
следовательно мы можем сформулировать следующее
Утверждение 7. Если Xif - • • Xnf и Z\f - • • Znf — две взаимные
просто транзитивные группы в п переменных х\ --• хп, а
U\(x\ • • • Хп) = COnst, • • • Un-m(Xi • • • Хп) = COnSt
— некоторое инвариантное относительно группы X\f • • • Xnf
разбиение пространства х\ • • • хп на ооп~Тп m-мерных многообразий, то группа
Zif--* Zrf всегда содержит т-параметри ческу ю подгруппу,
оставляющую каждое из этих ооп~т многообразий неподвижным.
Связав это утверждение с утверждением 6 на стр. 423, мы получим
следующую теорему.
Теорема 69. Если п-параметрическая группа X\f-- - Xnf в п
переменных х\ • • • хп является просто транзитивной, то все т-парамет-
рические полные системы, допускающие эту группу или, что то же
самое, все инвариантные разбиения пространства Х\ • • • хп на oon_m
химерных многообразий находятся следующим образом: сначала задается
соответствующая группе Xif-" Xnf взаимная просто транзитивная
группа Zif-- - Znf и выписываются все т-параметрические подгруппы
последней; если
2-nf = 9n\Zif Н Ь 9\xnZnf (/1 = 1 • ■ • m)
— одна из найденных подгрупп, то уравнения Zif = 0, • • • Zmf = 0
представляют собой одну из искомых полных систем и задают некоторое
инвариантное относительно группы Xif-- - Xnf разбиение пространства
Xi - - • хп на ооп~т т-мерных многообразий; если для каждой из
найденных подгрупп составить т-параметрическую полную систему, которая ей
Группы, преобразования которых перестановочны 429
соответствует, то получатся все т-параметрические полные системы,
допускающие группу X\f • • • Xnf. Если провести указанное исследование
для каждого из чисел т = 1,2 — п— 1, то мы получим вообще все полные
системы, допускающие группу X\f • • • Xnf, и в то же время все
инвариантные относительно этой группы разбиения пространства Х\ • • • хп.
Вышеизложенная теорема содержит решение задачи нахождения всех
возможных вариантов, каким образом заданная просто транзитивная
группа может быть представлена как импримитивная.
Пусть теперь уравнения
Щ — COnst, • • • Un-m — COnst
снова представляют какое-либо инвариантное относительно группы X\f • • •
Xnf разбиение пространства х\ • • • хп на ооп~т m-мерных многообразий,
такое, что если ввести щ - • • ип-т в качестве новых переменных,
помимо т функций v\ • • • Vm, то X\f • • • Xnf принимают вид
Здесь не все определители порядка п — т матрицы
1^11 * Vl,n-m\
l^nl ' Vn,n-m\
могут обращаться в нуль тождественно, иначе X\f • • • Xnf должны были
бы быть связаны линейным соотношением, что противоречило бы условию.
Поэтому если мы под гх§ • • ttn_m понимаем общую систему значений, то
группа X\f • •• Xnf содержит согласно гл. 13, стр. 246, ровно oom_1
различных инфинитезимальных преобразований, оставляющих систему
уравнений
инвариантной; тогда эти инфинитезимальные преобразования,
разумеется, порождают m-параметрическую подгруппу, самую общую
подгруппу группы Xif-»-Xnf, оставляющую m-мерное многообразие и\ —
= гх?, • • • ип-т = un_m, или кратко М, неподвижным.
С другой стороны, только что упомянутое выше m-мерное
многообразие М допускает также m независимых инфинитезимальных
преобразований взаимной группы Z\f ••• Znf, так как эта группа содержит
согласно утверждению 7, стр. 427, m-параметрическую подгруппу, оставляющую
430
Глава 20
неподвижным каждое из этих oon m многообразий в отдельности:
щ = const, • • • tfcn_m = const.
Кроме того, ясно, что М не может допускать никакой большей
подгруппы, чем подгруппа группы Z\f • • • Znf, так как и\ • • • и{п_т должна быть
общей системой значений.
Отсюда мы видим, что М допускает для каждой из взаимных групп
X\f-- - Xnf и Zif • • • Znf в точности m независимых
инфинитезимальных преобразований, то есть для каждой группы — совершенно
определенную ш-параметрическую подгруппу.
Мы можем описать обе эти m-параметрические подгруппы более явно,
если выберем какую-либо систему значений • • • общего положения
и разложим инфинитезимальные преобразования обеих наших взаимных
групп по степеням tii - м§, • • • ип-ш - гх°_ш, уг - г;?, • • • vm - v^. Если
не принимать во внимание члены первого и более высокого порядка, то мы
можем, как это было сделано на стр. 419, заменить инфинитезимальные
преобразования X\f • • • Xnf на п независимых вида
г f - df л. г / - д/
du\ оип-т
a Z\f • - • Znf — на п преобразований вида
Ч i--df + Ч f-- df +
ч f- 9/ + W- 9/ +
Ai-m+i/- g^ + -~ '---М - д^ + '"'
Здесь 3Cn_m.fi/- - • Xnf, очевидно, — независимые
инфинитезимальные преобразования, оставляющие многообразие щ = и\, • • • itn_m =
= и>п_т инвариантным, и Зп-m+i/* * • Зп/ — независимые
инфинитезимальные преобразования, делающие то же самое; то есть j£n_m+i/ • • • Xnf
и Зп-m+i / • • • Зп/ — две m-параметрические подгруппы, о которых только
что шла речь.
Из этого представления обеих подгрупп можно сделать несколько
замечательных выводов.
Группы, преобразования которых перестановочны
431
Между X\f • • • Xnf имеют место соотношения вида
п
(XiXk) = ^2 CikuXvf,
i/=l
и, согласно стр. 419 и д., между 3i/ * • • Зп/ имеют место те же
соотношения: V
\ п
(ЪгЪк) = likvbvf,
с теми же константами с^- Отсюда следует, что обе подгруппы
3£n_m+i/ • • • Xnf и Зп-m+i/ * * * Зп/ являются равносоставленными. И
можно сказать даже больше. Группы Xif---Xnf и Zif---Znf связаны
между собой голоэдрическим изоморфизмом, который всякому
инфинитезимальному преобразованию eiXif + • • • 4- enXnf ставит в
соответствие инфинитезимальное преобразование ei3i/ + • • • 4- еп3п/.
Поскольку при этом соответствии подгруппе 3En_m+i/ • • • Xnf отвечает подгруппа
Зп-m+i / • • * Зп/» то ясно, что обе эти взаимные группы могут быть так
связаны между собой голоэдрическим изоморфизмом, что обе т-парамет-
рические подгруппы, оставляющие М инвариантным, соответствуют друг
ДРУГУ-
Обобщая результаты на стр. 429 и далее, мы имеем
Утверждение 8. Если т-мерное многообразие пространства xi • • • хп
допускает ровно т независимых инфинитезимальных преобразований, а
стало быть, и т-параметрическую подгруппу просто транзитивной
группы Xif Xnf этого пространства, то она в то же время допускает
ровно т независимых инфинитезимальных преобразований, а значит,
т-параметрическую подгруппу группы, взаимной по отношению к просто
транзитивной группе Zif • • • Znf. Эти две определенные таким образом
т-параметрические подгруппы являются равносоставленными, и можно
так связать эти взаимные простые транзитивные группы голоэдрическим
изоморфизмом, что при этом наши т-параметрические подгруппы
соответствуют друг другу.
§98
Большую часть результатов предыдущего параграфа можно получить
при помощи простых рассуждений в более общих терминах. Мы сейчас это
проделаем и получим некоторые дополнительные результаты.
432
Глава 20
Пусть, как и прежде, Xif---Xnf и Z\f---Znf — две
взаимные просто транзитивные группы в переменных xi • • • хп\ далее пусть
Zif-- - Zmf — снова какая-либо га-параметрическая подгруппа группы
Zif •- - Znf, a ui - - • ип-ш — ее инварианты. Пусть S будет общим
символом преобразования группы Zif - - Zmf и, наконец, Т будет произвольно
выбранным преобразованием группы Xif - •• Xnf.
Если теперь Р — какая-либо точка пространства х\ -•• хп, то
(РО = (P)s
— общий символ точки на таком многообразии
til = COnst, • • • lfcn-m = COnst,
которое проходит через точку Р. Поскольку, кроме того, преобразования S
и Т перестановочны, то мы имеем
{Р')Т = (P)ST = (Р)Г5,
то есть, если обозначить точку (Р)Т через П:
(Р')Т = (Я)5. (11)
Здесь (II)S — общий символ точки на многообразии, проходящем
через П: ии = const. Следовательно, наше символическое уравнение (11)
означает, что преобразование Т, то есть вообще всякое преобразование
группы Xif • • • Xnf, переставляет между собой oon_m многообразий щ =
= const, • • • itn-m = const, переводя каждое из этих многообразий в
многообразие того же семейства.
Таким образом, мы вывели утверждение 6, стр. 423.
Но и обратное к этому утверждение мы можем доказать при помощи
аналогичных общих рассуждений.
Предположим, что нам дано некоторое разбиение пространства х\ — - хп
на oon_m га-мерных многообразий, инвариантное относительно группы
Xif -• - Xnf, и что М — одно из этих oon-m многообразий. Под РиР' мы
понимаем какие-либо две точки М, а под Т — какое-либо преобразование
группы Xif-- - Xnf.
Если Р переходит при выполнении Т в Я, то мы имеем
(Я) = (Р)Т;
с другой стороны, во взаимной группе Zif-- - Znf всегда имеется одно
и только одно преобразование S, переводящее Р в Р':
(P') = (P)S.
Группы, преобразования которых перестановочны
433
Поскольку
(P)ST
(P)TS,
то
(Р')Т
(Я)5.
(12)
Это уравнение мы должны попытаться объяснить.
Сначала предположим, что точка П также принадлежит
многообразию М. В этом случае преобразование Т обладает свойством оставлять М
инвариантным. Действительно, Т переставляет упомянутые oon_m
многообразий между собой, с другой стороны, Т переводит точку из М, а
именно Р, в точку из М, а именно в точку П; таким образом, Т должно
переводить все точки из М в точки из М, то есть оставлять М инвариантным.
Но поскольку Р' лежит на М, то точка (Р')Т, а в силу (12) также и точка
(Я)5, принадлежат многообразию М; однако П при подходящем выборе Т
может быть любой точкой из М, то есть преобразование S переводит
каждую точку из М в точку из М, то есть оно тоже оставляет многообразие М
инвариантным.
С другой стороны, мы можем предположить, что П — произвольная
точка какого-либо другого многообразия из упомянутых oon-m
многообразий; если мы наложим такое условие, то сразу увидим из (12), что S
оставляет рассматриваемое многообразие на месте.
Тем самым доказано, что группа Z\f • • • Znf содержит
преобразование 5, оставляющее каждое из наших oon-m многообразий неподвижным.
Таких преобразований S имеется, очевидно, оош различных, так как при
фиксированном Р точка Р' внутри М может выбираться еще оош
различными способами. Больше, чем оош, таких преобразований в группе
Z\f • • • Znf также не может иметься, так как она является просто
транзитивной; то есть оот имеющихся преобразований образуют ш-парамет-
рическую подгруппу группы Z\f • • • Znf.
Итак, утверждение 7 на стр. 427 доказано.
Очевидно, что многообразие М допускает, кроме оош преобразований
группы Z\f • • • Zn/, еще oom преобразований группы Xif • • • Xnf,
которые, в свою очередь, образуют га-параметрическую подгруппу этой
группы. Это результат, сформулированный в утверждении 8, стр. 431.
Нечто существенно новое получается, если в только что проведенных
рассуждениях число га выбрать равным п. До сих пор этот случай не
рассматривался, поскольку ему не соответствует никакое разбиение
пространства Х\ • • • хп.
Если га равно гг, то многообразие М совпадает с самим пространством
х\ • • • хп\ поэтому Р и Р' — произвольные точки этого пространства, S
434
Глава 20
может при подходящем выборе точек Р и Р' быть любым преобразованием
взаимной группы Zif • • • Znf.
Если выбрать фиксированными Р и Р\ то преобразование S будет
полностью определено; тогда если Т — произвольное преобразование группы
X\f - • • Xnf9 то мы имеем
(p)ST = (P)TS
или, в силу (Р') = (P)S,
(Р')Т = (P)TS. (13)
Здесь точка (Р)Т при подходящем выборе преобразования Т может быть
совмещена с любой точкой пространства xi • • • хп; то же самое верно для
точки (Р')Т. Следовательно, уравнение (13) дает нам возможность, указать
для всякой точки 05 этого пространства новое положение ф', которое она
получает при преобразовании 5; нам надо лишь задать такое
преобразование Т группы Xif • • • Xnf, которое переводит Р в ф, то есть удовлетворяет
символическому уравнению
(Р)т = СР)-
Тогда
en = ms=(p)ts,
то есть
(«РО = (рот.
Пусть теперь точка ф принимает все возможные положения, или что
то же самое, подставим в качестве Т по очереди все преобразования
группы Xif • • • Xnf, тогда для каждой точки пространства х\ - • • хп мы
получим соответствующую ей совершенно определенную другую точку, то есть
мы получим преобразование пространства xi • • • хп, а именно
преобразование S. Если мы, наконец, еще выберем точки Р и Р' всеми возможными
способами, то получим, очевидно, все преобразования группы Zif • • • Znf.
Таким образом, мы можем сказать:
Если две точки Р и Р' пространства Xi • • • хп преобразуются ко-
гредиентным образом каждым из ооп преобразований просто
транзитивной группы Xif - • • Xnf, то преобразование, которое переводит любое
из ооп принимаемых точкой Р положений в соответствующее положение
точки Р', принадлежит взаимной группе Zif • • • Znf группы Xif • • • Xnf.
Группы, преобразования которых перестановочны 435
Если выбирать точки Р и Р' всеми возможными способами, то получатся
все преобразования группы Z\f • • • Znf.
Само собой разумеется, что здесь под точками Р и Р' всегда
понимаются точки общего положения или, точнее говоря, такие, которые
не лежат ни на каком многообразии, инвариантном относительно группы
Xxf...Xnf.
Если известны конечные уравнения группы X\f • • • Xnf, то чтобы
выписать конечные уравнения для преобразований группы Z\f • • • Zn/,
можно использовать только что найденную конструщию.
Пусть
х\ = fi(xi • • • xn,ai • • • an) (г = I- - n)
— конечные уравнения группы X\f • • • Xnf. Тогда если обозначить
координаты точки Р через х\ - • • х^, а координаты точки Р' — через и\ • • • гх£,
то Р принимает в результате ооп преобразований группы X\f • • • Хта/ ооп
различных положений
Уг = fi(Xi • • • ж°, ai • • • ап) (г = 1 • •. п),
а Р' принимает ооп положений
!/< = Л(м? * *' ип, °>i' * * °>п) (t = 1 • • • п).
Всякая система значений а дает нам соответствующие друг другу
положения Р и Р'; поэтому если мы исключим из уравнений yi = /i(x°,a)
и у[ — fi(u°, а) параметры а\ • • • an, то получим уравнения
y'i = • • • l/n, '' • х°, м? • • • и°п) (i = 1 • •. п) (14)
преобразования группы Z\f - • • Znf, а именно такого, которое переводит
Р в Р'. Наконец, если мы придадим величинам х\ • • • х^ и и} • • • uJ все
возможные значения, то получим все преобразования группы Z\f • • • Zn/.
В только что найденных уравнениях (14) группы Z\f • • • Zn/, казалось
бы, имеется 2п произвольных параметров, но лишь п из этих параметров
являются существенными. Действительно, каждое преобразование группы
Z\f ••• Znf можно получить ооп способами, так как можно всегда
произвольно выбрать точку Р, тогда как точка Р' при фиксированном Р задается
соответствующим преобразованием.
Из этого следует, что все преобразования группы Z\f • • • Znf можно
получить и таким образом: зафиксировать раз и навсегда точку Р и
придавать только точке Р' все возможные положения; это значит, что для величин
х? • • х^ можно фиксировать значения и тогда нужно рассматривать лишь
щ • • • в качестве произвольных параметров.
436
ГЛАВА 20
Таким образом, верно следующее
Утверждение 9. Если заданы конечные уравнения
xi = fi(%i - хп, ai-- - On) (i = 1 ■ • ■ n)
п-параметрической просто транзитивной группы пространства х\ • • • хп,
то уравнения взаимной просто транзитивной группы находятся
следующим образом.
В уравнениях
Уг = /г(я? * ' * Х°п, аг • • • ап) (г = 1 • • • п)
надо придать х° фиксированные значения и затем исключить из них и из
уравнений
У[ = fi(ui • • • ti°, ai • • • а„) (i = l • • • n)
га величин a\ • • • an; вытекающие отсюда уравнения
У[ = &(У1''' Уп, х°г • • • 4, и°г • • • и°п) (t = 1... п)
с п произвольными параметрами гх? • • • — это уравнения взаимной
группы. При этом по условию х\ выбираются так, что точка х\ • • • х„ не
лежит ни на каком многообразии, остающемся инвариантным
относительно группы х\ = а).
§99
Утверждение 1, стр. 427, — это частный случай общего утверждения,
которое справедливо также для некоторых групп, не являющихся просто
транзитивными. Это общее утверждение мы хотим теперь вывести;
одновременно мы получим новое доказательство для утверждения 7.
Пусть X\f - Xnf — га-параметрическая группа в переменных х\ • • • х8у
причем число га не больше 5. Кроме того, мы накладываем условие, что
X\f • • • Xnf не связаны никакими линейными соотношениями вида
Xi (si • • • xs) • Xif + • • • + Xn(xi • • • xs) • Xnf = 0.
Доказываемое утверждение сводится к следующему: если известна
какая-либо гга-параметрическая полная система = 0, • • • = 0,
допускающая группу X\f • • • Xnf, то эту систему всегда можно привести
Группы, преобразования которых перестановочны 437
к такому виду Y\f = 0, • • • Ymf = 0, что все инфинитезимальные
преобразования Y\f • • • Ymf перестановочны с X\f • • • Xnf, и что в соотношениях
т
(YiYk) = ]Гnkv{xi - • • хп) • Yvf,
i/=i
имеющих место между Y\f • • • Уш/, все функции являются решениями
гг-параметрической полной системы X\f = 0, • • • Хп/ = 0.
В специальном случае s = п, где группа X\f • • • Хп/ является просто
транзитивной, инфинитезимальные преобразования Y\f • • • Ут/, очевидно,
относятся к группе Z\f Znf, взаимной к просто транзитивной группе
X\f • • • Xnf; далее, поскольку n-параметрическая полная система X\f =
= 0, • • Xnf = 0 в этом случае не имеет другого решения, кроме / = const,
то функции Tikv являются просто константами, так что Y\f - • • Ymf
порождают m-параметрическую подгруппу группы Z\f'• • • Znf. Таким образом,
мы получаем утверждение 7, стр. 427.
Но пока вернемся к общему случаю.
Предположим, нам дана m-параметрическая полная система
2Ь/ = о,---фт/ = о,
допускающая группу X\f • •• Xnf, так что Xf и 2)/ связаны
соотношениями вида
т
(ЮцХк) = ацки(хг ---xa)- %vf (к = 1 • • • n; р = 1 • • • га) (15)
i/=i
(ср. гл. 13, стр. 245).
Сначала попробуем задать га функций д\ - дт от х так, чтобы
инфинитезимальное преобразование
m
/х=1
было перестановочно со всеми п инфинитезимальными преобразованиями
Xkf- Таким образом, необходимо, чтобы выполнялись следующие п
уравнений:
т т
(XkY) = £ Хкб11 ■ 2)й/ + МЗДм) =
/i=l /i=l
m f m ^
/х=1 I l/=l J
438
Глава 20
или — поскольку / • • • 2)т/ не могут быть связаны линейными
соотношениями, — следующие ran соотношений:
т
XkQn ~ ^2 a^y,Qv = 0 (к = 1 • • • п; /х = 1 • • • т). (16)
i/=l
Это дифференциальные уравнения, из которых надо определить д.
Если
дг = Pi(xi,--- xs),--« дт = Pm(xi--- х3) (17)
— система решений дифференциальных уравнений (16), то уравнения
ХкРц - ^2 a"knQi> = 0
!/=1
при подстановке д\ = Р\, • • • дт = Рт выполняются тождественно.
Другими словами, система уравнений (17) в 5-1- га переменных х\ • • • х3, д\ • • • дт
допускает инфинитезимальные преобразования
ТП ( ТП
Если, наоборот, система уравнений вида (17) допускает
инфинитезимальные преобразования ii\f • • • iln/, то функции Р\ - - • Рп, очевидно,
являются системой решений дифференциальных уравнений (16).
Отсюда мы видим, что интегрирование дифференциальных
уравнений (16) сводится к тому, чтобы найти самую общую систему
уравнений (17) в s + m переменных х, д, допускающую инфинитезимальные
преобразования ill/ • • ttnf.
Эта система допускает также инфинитезимальные преобразования
(HiiU).
Вычисляя, находим
(Hi ilfc) = (XiXk) + ^2 iXi а»к» - Xk Otvin) gv 7j—V
m
ддц
/i,l/,7T = l ^
Группы, преобразования которых перестановочны 439
Чтобы упростить здесь правую часть, применим тождество Якоби (ср.
гл. 5, стр. 105):
(УЛхм) + (х<(х*2Ы) + (хк@)М) = о,
которое, если использовать (15), можно записать в виде
т
©Лад*)) = £{№/,а,1Л/) ~ (хкЬ<*«М)}
или
т
m
+ {a"*m QA*fc7r ~~ Ql/fc^ а/хгтг} 2)тг/.
/i,7T = l
Ho Хп/ порождают n-параметрическую группу, то есть
п
(XiXk) = y^^CjkaXgf,
откуда следует:
т ( п \
(2)„р№)) = ]Г \ Е \ 2W-
/i=i U=i J
Если еще учесть, что 2)i / • • 2)т/ не связаны линейными
соотношениями, то мы получаем:
m
Х{ OLykn ~ Xk ОСищ -f- ^ ^{&1/г7г &1гкц ~ OLvkif Q^7ri/i} =
7Г = 1
n
Если подставить это значение в полученное выше выражение вместо
(iU И*), то получится
п
<7=1
440
Глава 20
следовательно, ill/ • • • iln/ порождают n-параметрическую группу в s + m
переменных х, д.
Но теперь речь идет о том, чтобы задать самую общую систему
уравнений (17), допускающую n-параметрическую группу ill / • • • iln/-
Так как X\f • • • Xnf не связаны никакими линейными
соотношениями, то не все определители порядка п + 1 в матрице, соответствующей
Hi / • • • iln/, обращаются в нуль тождественно; но эти определители
порядка п также, очевидно, не могут все быть равны нулю в силу системы
уравнений вида (17). Следовательно, любая система уравнений вида (17),
допускающая группу Hi/ • • • Unf, будет представлена соотношениями между
решениями п-параметрической полной системы ill/ = 0, • • • iln/ = 0 (ср.
гл. 14, теорема 42, стр. 263).
Полная п-параметрическая система ili/ = 0,---iln/ = 0 имеет s +
-f га — п независимых решений; 5 — п из этих решений можно выбрать так,
что они будут зависеть лишь от х и не будут содержать д. Это те
независимые решения п-параметрической полной системы X\f = 0, • • • Xnf = 0,
которые могут быть обозначены через
0i(xi • • • Х8) • • • Ds_n(Xi • • • Х3).
Пусть, кроме того,
ftl(Ql ' ' ' Qm, Xi • • • Ха)-- - Om(Ql ' ' ' £m, X\ ' ' ' Xs)
— какие-либо m независимых друг от друга и от и решений полной системы
ili/ = 0,...iln/ = 0.
Поскольку уравнения ill/ = 0, • • • iln/ = 0 разрешимы относительно
п из производных ^ то s-n + ra функций 0i • • • Ds_n, Q\ • - • Qm
OX 1 OX s
должны быть независимы друг от друга относительно 5 — п из переменных
xi • хв и относительно д\ • • • дт. Следовательно, Q\ - • • i?m независимы
друг от друга относительно д\ • • • дш.
После этих приготовлений мы можем задать самую общую
систему уравнений, которая допускает группу ill/ • • iln/ и может принимать
вид (17).
Такая система уравнений состоит из т соотношений между Di • • Ds_n,
Q\ • • • Qm и разрешима относительно д\--- дт; следовательно, она также
разрешима относительно Q\ • • • Пт и имеет вид
Пц{д\'-9т, Xi ••• Х8) = ^(Di(x)-- - Ds_n(x)) (jjl = 1 •• • m), (18)
Группы, преобразования которых перестановочны 441_
где Ф — совершенно произвольные функции своих аргументов. Если мы
разрешим эту систему уравнений относительно д\ - • • дт, то получим для
Qi' • • Qm выражения, представляющие самую общую систему решений
дифференциальных уравнений (16).
Таким образом, самая общая система решений уравнений (16)
содержит т произвольных функций Di • • • Ds_n. А поскольку уравнения (16)
являются линейными и однородными по неизвестным £i • • • Qm, то можно
заключить, что самая общая система их решений д\ • • • дт может быть
получена из т частных систем решений
Р^\хг • • • хв) - • • Р^\х1 .••*,) (р = 1 • • • т)
следующим образом:
Qy = Xl(f 1 • ' ' Ьв-пУН1**' * - + Xm(t)i • • • Х>3-п).Р^ (i/ = 1... m), (19)
где под х понимаются произвольные функции своих аргументов.
Разумеется, эти т частных систем решений должны быть таковы, что невозможно
задать такие т функций ф\ • • • ipm от Di • • os_n, чтобы одновременно
выполнялись т уравнений
т
f.-n)'^ =0 (i/=l...m).
Наконец, необходимо еще заметить, что уравнения (19) разрешимы
относительно xi"' Хт, так что определитель, составленный из Р^\ не
обращается в нуль тождественно. Согласно вышесказанному, должна быть
возможность привести уравнения (19) к виду уравнения (18), что,
очевидно, невозможно, если определитель из Р^ обращается в нуль.
Теперь мы можем выписать самое общее инфинитезимальное
преобразование
т
являющееся перестановочным с X\f • • - Xnf (ср. выше, стр. 437). Оно
имеет вид
тп т
1/=1 /х=1
442
Глава 20
или
т
Yf = ^хЛ*>1'' • t>s-n) • Y»f,
i/=i
если мы положим
т
YJP^^f = Yuf (v = l...m).
ц=1
Здесь все Y\f ••• Ymf, очевидно, перестановочны с X\f • • • Xnf,
кроме того, уравнения Y\f = 0, • • • Ymf = 0 эквивалентны уравнениям =
= 0,-««2)т/ = 0и потому образуют, в свою очередь, т-параметрическую
полную систему, допускающую группу X\f • • • Xnf.
Следовательно, между Y\f • • • Ymf имеют место соотношения вида
т
(yMyi/) = ^W(x1...xs).n/.
7Г=1
Но из тождества Якоби
(Хк(У^)) + (Y^Xk)) + (У„(ВД)) = 0,
в котором оба последних члена тождественно равны нулю,
непосредственно следует:
Итак, мы должны иметь
т
7Г = 1
или (так как Y\f • • • Уш/ не связаны никакими линейными соотношениями)
Хк тМ1/7Г =0 (fc = 1 • • • п),
то есть все гм1/7Г являются решениями полной системы Xi/ = 0, • • • Xnf =
= 0, причем они являются функциями только от Di • • • Ds_n.
Полная система Y\f = 0, • • • Ymf = 0 обладает всеми указанными на
стр. 436 свойствами; таким образом, мы можем сформулировать следующее
утверждение.
Группы, преобразования которых перестановочны 443
Теорема 70. Если т-параметрическая полная система 2)i/ =
= 0, • • • 2)т/ = 0 в s переменных х\ • • • х3 допускает п-параметрическую
группу X\f • • • Xnf, и если эта группа такова, что между X\f • • • Xnf
нет никаких линейных соотношений вида
XiO&i ---xa)- Xif + • • • + Xn(xi • • • x8) • Xnf = 0,
то можно задать га2 таких функций Р^\х\ • • • х3) с необращающимся
в нуль определителем, что все т инфинитезимальных преобразований
т
перестановочны с X\f •• - Xnf- Тогда уравнения, эквивалентные 2)i/ =
= О,- - 2)т/ — 0, в свою очередь образуют т-параметрическую полную
систему, допускающую группу X\f • • • Xnf. Наконец, между Y\f • • • Ymf
имеют место соотношения особого вида:
т
(Г„ П) = £ «W°i • • • о-»)
тг=1
где Di • • • tJs_„ — независимые решения п-параметрической полной
системы Xif = 0, • • • Xnf = О3.
3Теорему 70, рассматривающую теорему 69 как частный случай, Ли изложил в лекции
летнего семестра 1887 г. об общей теории интегрирования таких дифференциальных уравнений,
которые допускают известную конечную непрерывную группу.
Глава 21
Группа параметров
Если последовательно выполнить три преобразования пространства
х\ • • • хп, например следующие:
x'i =fi{Xl Хп) (г = 1 • -п),
< < = <7г(х1 •••<) (*=1 '"П), (1)
^#' = Л<(*1"-0 (г = 1..п),
то получится новое преобразование:
Х-" = ^i(Xi • • • Хп) (t = 1 • • • п),
пространства xi • • • хп.
Уравнения нового преобразования получаются, если исключить 2п
переменных х\ • • • х'п, х'{ • • • х'п из Зп уравнений (1). Очевидно, что это
исключение можно провести двумя различными способами, так как можно
начать с исключения либо х', либо х". В первом случае сначала
получаются соотношения между х и х":
х'- = 9i{h{x) • • • /п(х)) (» = 1...П),
а затем эти значения х" • • • x{J надо подставить в уравнения
Х-" = hi(x" • - • x'n) (г = 1 • • • п).
Во втором случае сначала получаются соотношения между х' и х'":
x'i' = Ы(дг(х')-- - дп(х')) (t = i...n),
а затем надо еще подставить вместо х' их значения:
= fi{Xl ' ' ' Хп) (t = 1 • • • п).
Группа параметров
445
Само собой разумеющееся замечание о том, что в обоих упомянутых
случаях в конечном результате получается одно и то же преобразование,
приобретает содержание, если трактовать преобразования как операции
и применить к ним символику теории подстановок.
Для трех подстановок (1) мы хотим ввести обозначения S, Т, U
соответственно так, чтобы преобразование
- обозначение TU и, наконец, преобразование х"' = u^(xi • • • хп) —
обозначение STU. Оба описанных выше способа получения преобразования
х"' = u>i(xi • • • хп) мы можем тогда охарактеризовать, сказав, что это
преобразование получается как в случае, если сперва выполнить
преобразование ST, а затем U, так и в случае, когда первым выполняется
преобразование S, а вторым — TU.
Символически можно выразить этот факт при помощи уравнения
которое, как известно, свидетельствует о том, что операции 5, Т, U
удовлетворяют так называемому ассоциативному закону.
Таким образом, мы можем сказать:
Преобразования n-мерного пространства являются такими
операциями, для которых выполняется ассоциативный закон.
Теперь рассмотрим специальный случай, когда 5, Т, U являются
произвольными преобразованиями r-параметрической группы
В этом случае к данной группе относятся, конечно же, и преобразования
ST, TU и STU. Посмотрим, что можно заключить из выполнения
ассоциативного закона.
{ST)U = S(TU) = STU,
(2)
А = fi(xi
• • • xn, a\ - • • ar) (i = 1 • • • n).
§ioo
Пусть преобразования 5, Г, U нашей группы таковы:
(3)
446
глава 21
Для преобразования ST отсюда известным образом получаются
уравнения вида
= ••• я„, (pi(a,b)--- <рг(а,Ь)),
где функции (pi(a,fr)-- <pr(a, Ь) согласно теореме 1, стр. 18, независимы
друг от друга относительно как а\ • • • аг, так и Ь\ • • • Ьг.
Далее, пусть уравнения преобразования (ST)U будут иметь вид
х'/' = fi(xi ••• xn, <pi(y>(a,ft),c) ••• <£r(</?(a,b),c)). (4)
С другой стороны, для преобразования TU мы имеем уравнения
х'С = fi(x[ ••• х'п, <pi(b,c)---<pr(b,c)),
а значит, для S(TU) — следующие:
x'i' = fi(xi ••• хп, 1рг(а,1р(Ь,с)) •••<рг(а,<р(Ъ,с))). (4')
Так как (ST)U — S(TU), то преобразования (4) и (4') должны быть
идентичны; сравнивая параметры в этих преобразованиях, получаем следующие
соотношения:
<M<Pi(a,ft)--- <Рг(о>,Ь),сг ... сг) = <fk(ai • • • ar, <pi(b,c)--« <£г(Ь,с))
(* = i .--г),
или короче:
<£fc (^(a, Ь), с) = <pfc (а, <р(Ьу с)) (к = 1 • • • r). (5)
Таким образом, функции y>i • • • <pr должны тождественно
удовлетворять этим соотношениям для всех значений а, 6, с.
Уравнения (5) выражают ассоциативный закон для трех
произвольных преобразований группы х\ — /г(х, а). Но можно их истолковать и по-
друтому: они выражают тот факт, что уравнения
а!к = (рк(аг • • • ar, bx • • • ftr) (fc = l • • • г) (6)
в переменных ai • • • ar представляют группу, причем группу с г
параметрами Ъ\ • • • Ьг.
Так, если выполнить два преобразования (6), например:
ак = <£fc(ai * *' ar> bi * * • М
Группа параметров
447
и
ак = <£fc(ai а'г,с\ - сг),
последовательно, то мы получим преобразование
4' = <Pk{<Pi{a,b)--- <pr(a,b), а ••• Сг),
принимающее в силу (5) следующий вид:
4' = <Pk(ai <>>г, ^i(b,c)-- - <^г(Ь,с)),
и потому относящееся также к преобразованиям вида (б). Тем самым наше
утверждение доказано.
Назовем группу
а'к = <pk(ai ••• Or,bi - Ьг) (к = 1 • • • г) (б)
группой параметров группы х\ — fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг).
Согласно уже цитированной теореме 1, стр. 18, уравнения а'к —
— (^fc(a, Ь) разрешимы относительно параметров Ь\ • • • Ьг:
Ьк = Фк{о>1 ••• ar, а\ а'г) {к = l • • г).
Отсюда мы заключаем, что эта группа параметров является
г-параметрической и транзитивной, причем, просто транзитивной. Более того,
уравнения (5) показывают, что эта группа является группой параметров для самой
себя.
Обобщая, мы можем сказать:
Теорема 71. Если функции fi(x\ • • • яп, а\ • • • аг) удовлетворяют
в уравнениях х\ — fi(x,a) г-параметрической группы функциональным
уравнениям
fi(fi(x,a)--- /п(х,а), bi ••• br) = /{(хг ••• xn,<p(a,ft) ■ • • <pr(a,b))
(i = l ••• n),
то г соотношений
a[ = <pi(a\ - • - Or, b\ - - • br) (t = l • • • r)
задают г-параметрическую группу преобразований между 2г переменными
а и а': группу параметров исходной группы. Она является просто
транзитивной и группой параметров для самой себя.
448
ГЛАВА 2 1
§101
Если r-параметрическая группа х\ — fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг)
порождена г независимыми инфинитезимальными преобразованиями:
i=l
то ее преобразования упорядочиваются в пары взаимно обратных
согласно гл. 9, стр. 176. Очевидно, что преобразования соответствующей группы
параметров а'к = </?fc(a, Ь) тогда тоже упорядочиваются в пары взаимно
обратных, то есть группа параметров содержит согласно гл. 9, стр. 188, ровно
г независимых инфинитезимальных преобразований и порождена ими.
Это важное свойство группы параметров можно доказать также
следующим образом (который позволит нам одновременно найти
инфинитезимальные преобразования этой группы).
Если в уравнениях х\ = fi(x\ • • • хп, а\ • • • аг) рассмотреть х\ как
функции от х и а, то согласно теореме 3, стр. 36, имеют место
дифференциальные уравнения вида
дх' т
Я-1 = ]С ^0k{al ' ' ' ат) • • ' • x'n) (г = 1 • • • n, fc = 1 • • г)
которые можно записать и так:
г
дх'
&(х'г ••• х'п) = Y^ajk{dl ar)^ (j = 1 • • г, г = 1 п).
(7)
(7')
Здесь, согласно рассуждениям главы 2, стр. 32-34, ^ и определяются
уравнениями
dbj
otjk{a\ • • • ar) =
b=u>
дан
db.
смысл которых объяснен там же.
Для группы а'к = (/?fc(a, b) мы, разумеется, получаем аналогичные
дифференциальные уравнения:
Группа параметров
449
в которых г/jjk имеют те же значение, что и в (7), тогда как aji(a) находятся
из г
_ / ч da,i
otji(ai • • • ar) =
L 3 J ь=и>
Вследствие этого ciji являются теми же функциями своих аргументов,
что и otji\ таким образом, в соответствии с (7) и (7') мы получаем два
следующих соотношения:
до! Т
зГ1 =E,i>jk(bi ■■■ br)-aji(oi ■■■a'r) (i,fc = i...r), (8)
k 3=1
• • • a!r) = ]Tajk(bi --K)-^ 0\i = l • • ■ r). (8')
j=i
Группа x£ = fi(x\ • • • xn, a\ • • ar) содержит тождественное
преобразование, и притом мы всегда можем предположить, что параметры
тождественного преобразования а? • • • а£ лежат в области ((a)), определенной на
стр. 16. Поэтому согласно стр. 34 определитель
заведомо отличен от нуля.
С другой стороны, ясно, что в семействе преобразований ak — <£fc(a, Ь)
также присутствует тождественное преобразование а\ — а\,--- a'r — ar,
и что именно преобразование
ак = ^fc(ai • • • ar, a? • • ■ a?) (fc = l • • • г)
и есть это тождественное преобразование. Если учесть наличие
дифференциальных уравнений (8) и обратиться к теореме 9, стр. 79, то мы сразу
видим, что семейство из оог преобразований ак = (fk{a>, Ь) совпадает с
семейством oor_1 однопараметрических групп:
к=1 г=1 1
Следовательно, группа а'к = <£fc(a, 6) порождена г
инфинитезимальными преобразованиями:
Akf = ^afcj(ai ••• ar)^— (* = l ... г).
j=i 0а>
450
Глава 21
Разумеется, эти инфинитезимальные преобразования независимы друг
от друга, между ними даже не существует ни одного соотношения вида
Xi(ai • * • Or) • Aif + • • • + Xrtei • • • ar) - Arf = 0;
это мы видели еще в гл. 2, теорема 3, стр. 36; с другой стороны, это также
следует из того, что эта группа параметров является просто транзитивной
(теор. 71).
Выше мы не только доказали, что группа ак = </?fc(a, Ь) порождена
инфинитезимальными преобразованиями, но и нашли эти самые
инфинитезимальные преобразования. Отсюда мы можем вывести новое важное
свойство группы а'к — <Рк(о>, Ь).
Инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xrf группы х* = /*(х, а)
связаны соотношениями вида
г
(XiXk) = У^СНкзХд/,
3=1
и согласно теореме 21, стр. 166, между A\f • • • Arf имеют место
соотношения такого же вида:
г
(А{Ак) = ^С1кзА3/,
3=1
с теми же константами с+кз- Поэтому, используя введенную в гл. 17,
стр. 322, 325, терминологию, мы можем сформулировать следующую
теорему.
Теорема 72. Каждая г-параметрическая группа
х'% = /itei • • • хп, а\ - • • аг) (г = 1 • ■ • п)
является равносоставленной со своей группой параметров:
ак = (fk{ai • • • ar, fti ■ • ■ ftr) (к = 1 • • • г),
или, что то же самое, голоэдрически ей изоморфна. Если для
инфинитезимальных преобразований группы х\ — /г(х, а) выполняются соотношения
г
к=1
то выражения
г
Ajf = Y^<*jk(ai
к=1
дх'
^ак 0 = 1 ""Г)
Группа параметров
451
представляют собой г независимых инфинитезимальных преобразований
этой группы параметров1.
§102
Пусть, как обычно,
Xkf = ^^kj{Xl ■■■ Xn)g^ (fc=l-r)
i=l 1
— независимые инфинитезимальные преобразования r-параметрической
группы от переменных Х\ • • • хп.
Руководствуясь указаниями в гл. 9, стр. 174-175, найдем г
независимых инфинитезимальных преобразований
Akf = ^2akj(ai ••• ar)Tj— (fc = l - г),
не связанных никакими линейными соотношениями вида
Xi(аг • • • аг) • Л2/ + • • • + \т{а\ • • • аг) • Arf = 0,
но находящимися попарно в соотношениях
г
(А~Ак) = Y^ciksAsf;
s=l
другими словами, найдем г независимых инфинитезимальных
преобразований какой-либо r-параметрической просто транзитивной группы, равно-
составленной с группой Хг/ • • • Xrf.
Затем выберем какую-либо систему значений, в окрестности которой
а(аг • • • аг) ведут себя регулярно и для которой определитель ^2±ац • • • агг
не обращается в нуль, и найдем относительно этой системы значений
главные решения r-параметрической полной системы
Е^(*')|£+Е5*>)1г = х£/+лк/=о (*=1-г) (9)
i=l * j=l 3
от п + г переменных х\ • • • х'п, аг • • • аг.
]Л и. Научное общество Христиании, 1884 г., № 15.
452
Глава 21
Если теперь F(x\ - • • х'п, а\ - • • аг) - - • Fn(x',а) суть эти главные
решения, то полагая
Xi = Fi(x[ - • • х'п, ai - - • ar) (t = l • • ■ n)
и разрешая относительно x\ -- • xn, получаем уравнения вида
х\ = f{(xi -•• xn, ai --• ar) (i = l • • • n),
представляющие собой согласно теор. 23, стр. 172, конечные
преобразования r-параметрической группы, а именно группы Х\ f - - • XrJ.
В теореме выше мы уже замечали, что уравнения х\ = Д(х,а) путем
введения новых параметров могут быть приведены к
Х^ = Х{ + Е ekXkXi + Е Y7^^kXJXi (г = 1 • ■ • п),
то есть что они представляют конечные преобразования той г-парамет-
рической группы, которая порождается инфинитезимальными
преобразованиями Xif - - • Хг/.
Это означает, что не имеет значения, выбираем ли мы группу
Aif • • • Arf или какую-либо другую из бесконечного множества просто
транзитивных групп, равносоставленных с группой X\f - - - Xrf, и
совершенно безразлично, выбираем ли мы систему значений Щ - • • аг или
какую-либо другую: мы всегда получаем указанным способом
аналитическое представление для конечных преобразований группы X\f - • • Xrf.
Это замечание мы также делали в гл. 9, хотя, конечно, другими
словами. Но теперь мы продвинулись настолько, что можем непосредственно
видеть, почему при различном выборе группы Aif-- - Arf и системы
значений ai - - - аг тем не менее всегда получаются уравнения одной и той же
группы.
Действительно, пусть
— какая-либо другая, просто транзитивная, равносоставленная с группой
X\f-- - Xrf группа, для которой соотношения
г
3 = 1
Группа параметров
453
тождественно выполняются; далее, пусть Oi • • • аг — какая-либо система
значений, в окрестности которой все 0kj{a) ведут себя регулярно и для
которой определитель • • • /Згг не обращается в в нуль.
Поскольку группы Aif • • • Arf и 2li / • • • 21г/ являются равносостав-
ленными и просто транзитивными, то существует оог различных
преобразований (теорема 64, стр. 376)
ак = Afc(ai • • • ar, Ci • • • Сг) (к = l • • • г),
переводящих 2li / • • • 21г/ в Aif • • • Arf соответственно. Уравнения этих
преобразований разрешимы относительно произвольных параметров
С\ • • • Сг, то есть С\-Сг можно, в частности, выбрать такими, что они
будут удовлетворять уравнениям
5fc = Afc(a?... a°,Ci ...Cr) (fc = l-..r).
Если С i • • • С У — полученные таким образом значения С\ • • • Сг, и
если положить:
Afc(ai... Ог,С?.-. C?) = 7rfc(a... Or) (* = 1 • -г),
то уравнения
afc = 7rfc(ai.-- Or) (fc=i--.r) (10)
представляют преобразование, переводящее / • • • 21г/ в Aif - - - ATf
соответственно, а также систему значений а? • • • в систему значений
а\ • • • ar.
Отсюда следует, что мы получим главные решения полной системы
*£/ + а/ = о (* = !..т) (9')
относительно ai = a?, • • • ar = a^, если произведем в главных решениях
Fi(x\ • • • xn, ai • • • ar) (i = 1 • • • п)
полной системы (9) подстановку а\ = 7Ti(a), • • •_ar = тт>(о). Поэтому
если бы мы вместо просто транзитивной группы Aif - • • Arf использовали
группу • • • %-f, а вместо системы значений а\ • •_• аг систему значений
а? • • • а^, то получили бы вместо уравнений х\ = fi(x\ • • • хп, а\ • • • ar)
уравнения
xi =7t(xi ^n,7Ti(a)... 7Tr(a)) (t = 1 ••• n).
454
Глава 21
Последние, очевидно, переходят в исходные, если в силу уравнений (10)
ввести вместо Oi • сц- новые параметры а\ - • • аг.
Как и в параграфах 100 и 101, стр. 444 и ниже, мы будем снова
исходить из того, что группа X\f • • • Xrf задана соотношениями
определенного вида:
х'% — fi(xl * ' * хп, 0>1 ' •• Q>r) (t = 1 ■ ■ • п),
и пусть а? * • • аг> как и прежде, обозначают параметры, соответствующие
тождественному преобразованию х\ — Х{.
Тогда легко указать полную систему, интегрирование которой приводит
как раз к уравнениям х\ — /*(х, а).
Эта полная система просто имеет вид
X'k + Akf = 0 (fc = i-.-r),
где в инфинитезимальных преобразованиях
функции akj (а) те же, что и в дифференциальных уравнениях (7'). Если
Fi(x\ ••• x'n,ai ••• Or) (i = l ••• г)
означают главные решения полной системы X'kf + Akf = 0 относительно
ai = а?, • • • ar = a°, то в результате разрешения уравнений
Xi = Fi{x[ • • • х'п, ai • • • ar) (t = l • • • n)
относительно х'г ••• xfn получаются в точности уравнения х\ = /*(х,а).
Все это следует из рассуждений глав 2 и 9.
Применим эти рассуждения к группе параметров, относящейся к
группе х\ — /г(х, а), уравнения которой согласно стр. 447 имеют вид
dk — <fk(ai • • • ar, bi • • • br) (к = l • • • r),
а ее тождественное преобразование имеет параметры bi = а?, • • • Ьг = а£.
Полная система, при помощи интегрирования которой могут быть
найдены уравнения а'к — (рк(а, 6) группы параметров, очевидно, такова:
г or г or
...ati-j±+Yiaki(b1 ...br)-^-=0 (fc = i..-r).
Группа параметров
455
Найдем главные решения
Hj(a[ • • • a!r,bi • • • br) (j = l • • • г)
этой полной системы относительно Ьк = ак. Затем, разрешая уравнения
dj = Hj(a[ • • • a!r,b\ • • • br) (j = l • • • r)
относительно a\ • • • a'r, получаем a'k = (fk{a,b). Таким образом,
справедлива
Теорема 73. Если известны инфинитезимальные преобразования
j=i aj
группы параметров г-параметрической группы и то, что
тождественное преобразование этой группы и группы параметров имеет параметры
а\ • • • а®, то конечные уравнения этой группы параметров находятся
следующим образом: находят главные решения полной системы
£<м<о|£+1>,<»>££-о
j=l -7 j=l
относительно b\ = a®, - • - br = а®; если
Н,{а\---а'гМ "-br) (j = i r)
— эти главные решения, то искомые уравнения группы параметров
получаются, если разрешить г уравнений
aj = Hj(a[ - - - а'г, Ьг - • • br) (j = l • • • r)
относительно a[ • • • o!r.
Если в г-параметрическую группу х\ = fi(x, а) ввести новые
параметры йк вместо а, то группа получает новый вид, которому, разумеется,
соответствует также новая группа параметров.
Связь между новой и старой группами параметров очень простая: если
новые параметры йк заданы уравнениями
aj = <Mai ••• О u = l •••»■).
456
Глава 21
то новый вид группы х\ = /j(x, а) будет следующим:
А = h{x\ ••• xn,Ai(a)-- - Ar(a)) (» = l ••■ n),
а новая группа параметров будет такой:
A*(a'i • • • a'r) = Wb(Ai(a) • • • Ar(a), Ai(b) • • • Ar(b)) (* = l • r),
если старая была a'k = <^fc(a, b). Следовательно, новая группа получается
из старой, если применить подстановку a,j = Aj(a) как к параметрам а, так
и к 6, то есть если в уравнения о!к = <£fc(a, 6) подставить вместо а', а, 6
следующие значения:
a'j = Aj(a;), aj = Aj(a), 6, = А,(Ь) (j = l • • • r).
§103
Согласно теореме 72, стр. 450, всякая г-параметрическая группа
является равно со ставленной со своей группой параметров, а значит, все г-пара-
метрические группы, имеющие одну и ту же группу параметров, равносо-
ставлены между собой.
Теперь мы утверждаем, что, наоборот, две г-параметрические равно-
составленные группы могут путем введения новых параметров всегда быть
приведены к такому виду, что они будут иметь одну и ту же группу
параметров.
Чтобы доказать это утверждение, предположим, что нам даны
инфинитезимальные преобразования этих двух групп; для первой:
п f)f
ti dXi
для второй:
га or
Ykf = y\vklt(yi ' ' ' Ут)тГГ (* = 1 • ■• г).
Так как группы равносоставлены, то мы можем предположить, что Xkf
и Ykf уже выбраны так, что, наряду с соотношениями
г
(XiXk) = ^CiksXsf,
8=1
Группа параметров
457
одновременно имеют место соотношения
г
3=1
Наконец, допустим, что нам даны еще какие-либо г независимых
инфинитезимальных преобразований
r Bf
Akf = J2akj(ai а*-)^7 (* = i ••• г),
j=i j
порождающих r-параметрическую просто транзитивную группу, равносо-
ставленную с этими группами, и находящихся попарно в соотношениях
(AiAk) = ^2ciksAsf.
3=1
Теперь составим полную систему:
X'kf + Akf = 0 (* = i.-.r),
и найдем ее главные решения:
Fi(x\ ••• х'п,сц •■• ar) (t = i ••• n),
относительно какой-либо системы значений а\ = а?, • • • аг = а£; далее
составим полную систему:
Ylf + Akf = 0 (* = i...r),
и найдем ее главные решения:
' * * 2/m> ai *'' аг) (м = 1 • • • m),
относительно той же самой системы значений ак = ак.
Кроме того, разрешим п уравнений = Fi(x',a) относительно
х[ • • • х'п\
A = fi{xi • • • жп, ai • ■ • ar) = 1 • ■ • m), (11)
а также m уравнений з/м = $ц(у\ а) относительно j/J • • • у'ш\
V'lA = ^(2/1 ••' Угп, CL\ '•• CLr) (М = 1 • • • m). (11Х)
458
Глава 21
Тогда если конечные уравнения группы X\f ••• Xrf заданы в каком-
нибудь виде, то они могут, очевидно, быть приведены путем введения
новых параметров к виду (11), и точно так же конечные уравнения группы
Yif • • * Yrf, в каком бы виде они ни существовали, могут получить вид
(11') в результате введения новых параметров.
Но к группам (11) и (11') можно применить теорему 73, стр. 455:
в обеих группах тождественное преобразование имеет параметры а® • • • а£,
и для обеих соответствующая группа параметров содержит г независимых
инфинитезимальных преобразований A\f • • • Arf, следовательно, согласно
упомянутой теореме для каждой из этих групп можно задать
соответствующую группу параметров, и эта группа параметров будет для обеих групп
одинаковой.
Тем самым сформулированное выше утверждение доказано.
Таким образом, отныне установлено, что две группы, имеющие одну
и ту же группу параметров, являются равносоставленными, и, с другой
стороны, что две равносоставленные группы могут путем введения новых
параметров быть приведены к виду, в котором они имеют одну и ту же
группу параметров. Следовательно, мы можем сказать:
Теорема 74. Две г-параметрические группы
xi = fi(xi • • • xn, ai • • • ar) (i = l • • • n)
и
У'и = 9»(Уг 1/m, ai ••• О = l • • • m)
являются равносоставленными тогда и только тогда, когда можно
представить параметры й\ • • • аг как независимые функции от параметров а:
a* = Xk(o>i ar) (fc = i •■•г),
так, что группа параметров группы
совпадает с группой параметров группы х[ = /г(х, а).
Стоит особо отметить, что маши две равносоставленные группы
X\f • * • Xrf и Yif'-* Yrf будут иметь общую группу параметров тогда,
когда их конечные уравнения записываются в каноническом виде:
г г
x'i = Xi + J2ekXkXi+ ^2 -£-±XkXJxi + --- (i = i..-n) (12)
fc=l k,j=l
Группа параметров
459
и, соответственно,
г г
^ = Ум + 1>*1ЪУм + Е Г^ВДУм + --" (м = 1--т). (120
fc=l fc,j=l
Действительно, из рассуждений в гл. 4, стр. 74, следует, что
уравнения (11) при подстановке
г г
= а° + ^ек[Ака„]а=ао + ]Г -^[4ьА,а,,]а=ао + • • • (13)
k=l k,j=l
(у = 1 • • • г)
принимают вид (12), и что уравнения (11') при той же самой подстановке
переходят в (12'). Поскольку уравнения (13) задают преобразование между
параметрами а\ • • • аг и е\ • • • ег, а группы (11) и (11') имеют общую
группу параметров, то отсюда следует, что и группам (12) и (12') соответствует
одна и та же группа параметров. Таким образом, справедливо следующее
Утверждение 1. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований
df
■ хп)
находятся попарно в соотношениях
^kf = ^2ЫЫ ■■■ Хп)-^- (fc = l..-r)
1=1 1
г
(XiXk) = ^С1кзХ3/,
3=1
и, с другой стороны, г независимых инфинитезимальных преобразований
т or
П/ = У>1 •••l/m)o7L (fc = l---r)
находятся попарно в тех же соотношениях
г
(YiYk) = ^2cikaYaf,
3 = 1
то соответствующие г-параметрические равносоставленные группы
г г
x[=Xi + ^2ekXkXi + ]Р YT2XkXiXi (i = l • • • n)
k=l k,j=l
460
Глава 21
У'и = У» + Y1 е^кУц + Е ^~2¥^У^ + (а* = 1 ■ ■ ■ m)
имеют одну и ту же группу параметров.
Предположим, что нам даны какие-либо две r-параметрические равно-
составленные группы:
xi = /г(#1 ' *' хп, fli • • • CLr) (г = 1 • • • n)
и
У'ц = ЫУ1 Ут, '•' Or) (Р = 1 • • • m),
уже имеющие такой вид, что группа параметров у них одинакова.
Пусть инфинитезимальные преобразования этой группы параметров
таковы:
j=l °aj
и связаны соотношениями
(AiAk) = Y^bksAsf.
8 = 1
Согласно стр. 448, х\ • • • х'п, рассматриваемые как функции от х\ • • • хп
а\ • ■ ■ аг, удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям вида
€ij(xi ••• х'п) = Y^ajk(ai ••• ar)|^ (j = 1 •■■ г; » = 1 ••• п).
к=1
При этом £ji(x') — совершенно определенные функции. Так, если в
результате разрешения уравнений х\ = fi(x,a) получится, например, х% =
= Fi(x', а), то мы имеем тождество:
€ji(x[ Х*п) = EaJfc(fll * • • °>г)
к=1
dfj(x,a)
дак
J x=F(x',a)
и можем при желании без труда найти £ji(x').
Группа параметров
461
Согласно теореме 21, стр. 166, г выражений
df
Xkf = ^Ы(Х1 ■■■ хп)^- (fc = l-r)
г=1 г
являются независимыми инфинитезимальными преобразованиями и
связаны соотношениями
г
(XiXk) = ^CjksXgf;
s=l
разумеется, они порождают группу х\ = /г(х, а).
Для группы = fM(y,a) получаются соответствующим образом
дифференциальные уравнения вида
VjniVl ' ' • У'т) = Yl aJk(a\ ' ' • ar) U = 1 • • • г, /х = 1 • • • т),
где r}j^(y') — вполне определенные функции. Выражения
т о г
Ykf = У] r/fcm(yi • • • 2/т) о— (* = 1 • • • г)
являются независимыми инфинитезимальными преобразованиями и
связаны соотношениями
г
(YiYk) = ^ciksYsf;
3=1
они, естественно, порождают группу у'ц = а).
Теперь мы видим, как и на стр. 458, что группы х\ — fi(x,a) и у'ц ==
= f(у, а) при подстановке
г
fli/ = а° + ek[Akav)a=ao + • • • {v = l • • • г)
fc=i
принимают вид
г
Xi = Х* + X вкХкХ* Н (» = 1 • • • п)
и
г
Ум = Ум + X efc yfc2/^ +" *" (а* = 1 * ■ • m)
fc=i
соответственно. Отсюда следует
462
Глава 21
Утверждение 2. Если две г-параметрические группы
х'% = fi{xl ' ' ' хпч CLl " • 0>г) (г = 1 • п)
U
У» = //х(Ш ''" Ут, <*1 • • • ar) (А* = 1 • • • т)
имеют одну и ту же группу параметров, то можно ввести вместо а
такие новые параметры е\ ••• ег, что эти группы примут вид
г
X'i=xi + Y^ek XkXi (г = 1 • • • n)
k=l
U
г
У» = ^2 вк ¥кУ» + ' " (М = 1 • • • т)
к=1
соответственно; причем X\f • • • Xrf и Y\f • • • Yrf — такие независимые
инфинитезимальные преобразования обеих групп, что, наряду с
соотношениями
г
(XiXk) = y^;Cik3x3f,
3 = 1
одновременно имеют место соотношения
г
(YiYk) = Y,Cik3Y3f,
5=1
так что эти группы связаны между собой голоэдрическим изоморфизмом,
при котором всякому инфинитезимальному преобразованию e\X\f Ч Ь
+ erXrf ставится в соответствие инфинитезимальное преобразование
ei>i/ + --- + eryr/.
На группы х[ = /г(х, а) и у' = fM(y, а) мы налагаем те же условия, что
и в утверждении 2, кроме того, мы полагаем, что a'k = (рк(а,Ь) являются
конечными уравнениями их общей группы параметров.
Очевидно, что при этом условии для каждой из этих двух групп
имеет место следующее: если выполнить последовательно два
преобразования группы, имеющих параметры а\ • • • аг и Ь\ • - - br соответственно, то
результирующее преобразование принадлежит группе и имеет параметры
(рг(а,Ь)-- - <рг(а,Ь).
Группа параметров
463
Этот факт мы можем выразить несколько иначе, если сопоставим
преобразования обеих групп так, что всякому преобразованию одной группы
соответствует преобразование другой группы, имеющее те же параметры.
Тогда мы можем сказать следующее: если S — преобразование одной
группы, а в — соответствующее преобразование другой, если Т — еще одно
преобразование первой группы, а Т — соответствующее преобразование
второй группы, то преобразованию ST первой группы соответствует
преобразование 6Т во второй группе.
Согласно теореме 74, стр. 458, такое соответствие между
преобразованиями обеих групп возможно тогда и только тогда, когда эти группы
являются равносоставленными. Таким образом, имеет место следующая
Теорема 75. Две r-параметрические группы являются
равносоставленными тогда и только тогда, когда преобразования одной можно так
взаимно однозначно связать с преобразованиями другой, что имеет место
следующее: если в одной группе последовательно выполнить два
преобразования и в другой группе выполнить соответствующие преобразования
в той же последовательности, то преобразование, получаемое в первой
группе, соответствует тому преобразованию, которое получается во
второй1.
Новый важный результат дают приведенные выше рассуждения, если
их применить к утверждению 1, стр. 459. Чтобы сформулировать этот
результат в наиболее простой форме, вспомним еще две вещи: во-первых, что
группы Xif • • • Xrf и Y\f • • • Yrf связаны голоэдрическим изоморфизмом,
при котором всякому инфинитезимальному преобразованию e\X\f Л V
+ erXrf соответствует инфинитезимальное преобразование e{Y\f Л Ь
+ егУг/, и, во-вторых, что выражение e\X\f + • • • + erXrf может также
трактоваться как символ конечного преобразования группы Xif-- - Xrf
(ср. гл. 17, стр. 325 и гл. 15, стр. 283). С учетом этого мы можем
сформулировать
Утверждение 3. Пусть две равносоставленные г-параметрические
группы
п
dxi
Xkf
Хп)
(fc = l ...г)
г=1
U
т
2Ср. Ли, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 1876 г.; Math. Ann., томXXV, стр. 77;
H.o. Христиании, 1884 г., № 15.
464
Глава 21
связаны друг с другом голоэдрическим изоморфизмом, при котором всякому
инфинитезимальному преобразованию e\X\f-\ YerXrf соответствует
инфинитезимальное преобразование e\Y\ f + • • • + erYrf, то есть пусть,
наряду с соотношениями
г
(XiXk) = ^Ciks Xsf
3=1
одновременно имеют место соотношения
г
(YM) = '£cikaYaf.
8=1
Если истолковать выражения Y^ekXkf и Y^ek¥kf как общие символы
конечных преобразований групп X\f - • - Xrf и Y\f • - • Yrf, то
справедливо следующее: если два преобразования YlekXkf и ^2e'kXkf группы
X\f-- - Xrf, выполненные последовательно, дают в итоге
преобразование ^2 е'к Xkf, то в результате последовательного выполнения
преобразований ^2 ek^kf u^2ekYkf группы Y\f •• - YTf получается преобразование
Итак, если мы связали две г-параметрические равносоставленные
группы друг с другом голоэдрическим изоморфизмом в смысле гл. 17,
стр. 325, то тем самым мы одновременно установили между конечными
преобразованиями этих двух групп взаимно однозначное соответствие, как
это изложено в теореме 75.
Но верно и обратное: если между преобразованиями двух г-параметри-
ческих равносоставленных групп установлено такое взаимно однозначное
соответствие, как в теореме 75, то эти группы в то же время связаны друг
с другом голоэдрическим изоморфизмом.
В самом деле, пусть х\ = fi(x\ -- - хп, а\ - - • аг) — одна из этих групп,
а У'ц = f/x(2/i * * * У mi °>\ ' " °>г) — то преобразование другой группы,
которое соответствует преобразованию х\ — fi(x, а). Тогда обе группы, х\ —
= fi(x,a) и у'ц — а), очевидно, имеют одну и ту же группу
параметров и потому могут согласно утверждению 2, стр. 462, в результате
введения новых параметров е\ - • • ег принять следующий вид:
г
X • = Xi + ^2 ек XkXi Н (г = 1 • • • п)
к=1
Группа параметров
465
к=1
Отсюда следует, что указанное взаимно однозначное соответствие между
преобразованиями этих групп сводится к тому, что всякому конечному
преобразованию e\X\f + • • • + erXrf одной группы соответствует конечное
преобразование e{Y\f Н h erYrf другой группы. В то же время всякому
инфинитезимальному преобразованию ^2ekXkf ставится в соответствие
инфинитезимальное преобразование ekYkf, и, таким образом, согласно
утверждению 2 между этими группами действительно установлена
голоэдрически изоморфная связь.
В теории подстановок голоэдрический изоморфизм двух групп и
голоэдрически изоморфная связь между двумя группами определяются иначе,
чем мы это сделали в гл. 17. Там говорится, что две группы с одинаковым
числом подстановок являются «равносоставленными», или «голоэдрически
изоморфными», если между преобразованиями этих групп можно
установить взаимно однозначное соответствие, обладающее свойством,
описанным в теореме 75, стр. 463. Если такое соответствие между двумя
голоэдрически изоморфными группами действительно установлено, то говорят,
что эти две группы «связаны друг с другом голоэдрическим
изоморфизмом».
Но еще на стр. 325 мы отмечали, что по существу наше определение
обсуждаемых понятий точно соответствует тому, которое принято в теории
подстановок, во всяком случае соответствует настолько, насколько это
возможно для двух таких различных областей, как теория групп подстановок
и теория групп преобразований.
Наши последние результаты показывают, что утверждение на стр. 325
является верным. Из теоремы 75, стр. 463, следует, что две г-параметри-
ческие группы, являющиеся голоэдрически изоморфными в смысле гл. 17,
стр. 325, должны быть голоэдрически изоморфными также в смысле теории
подстановок и наоборот. Из утверждения 3, стр. 463, и последующих
замечаний ясно, что две r-параметрические группы, связанные между собой
голоэдрическим изоморфизмом в смысле гл. 17, стр. 325, связаны таким же
образом и в смысле теории подстановок, и наоборот.
Остается лишь доказать, что наше определение мероэдрического изоморфизма
(ср. гл. 17, стр. 325) соответствует определению, которое дается для этого понятия
в теории подстановок.
Пусть Xif • • • Xr-q • • • Xrf и Yif • • - Yr-qf — две мероэдрически
изоморфные группы, и пусть Xr-q+if ■ • • Xrf — именно та инвариантная подгруппа
r-параметрической группы, которая соответствует тождественному преобразованию
466
Глава 21
(г — q)-параметрической группы. Наконец, пусть A\f • • • Arf — просто
транзитивная группа от переменных а\ • • • аг, равносоставленная с группой X\f • • • Xrf.
При этом мы предполагаем, что а\ • • • ar-q являются решениями полной системы
Ar_9+i/ = 0, ••• Arf = 0.
При таком выборе переменных A\f • • • Ar-qf имеют вид
Akf = J2<*ki(ai ••• аг-<?)^:+ 51 ^(fll а^^а~
t=l * j=r-q+\ 3
(к=1 - r-q),
тогда как Ar-q+\f • • - Ar-qf имеют вид
r~q df
Akf = ]Г 0ki(ai ••• Or)^- (fc = r-g+l. r).
В то же время ясно, что укороченные инфинитезимальные преобразования
— г~ч df
Akf = ^2aki(ai ••• ar-q)-Q^ (k=l ••• r-q)
t=i 1
порождают просто транзитивную группу, равносоставленную с г —
^-параметрической группой Yif • • • Yr-qf. _
Если обозначить инфинитезимальные преобразования Akf, Akf, записанные
в переменных b вместо а, через Bkf, Bkf, то согласно предыдущим рассуждениям
группа параметров (г — д)-параметрической группы Y\f • • • Yr-qf находится путем
интегрирования полной системы
Akf + Bkf = 0 (k = l---r-q),
а группа параметров r-параметрической группы X\f • • • Xrf — при помощи
интегрирования полной системы
Akf Л-Bkf = 0 (* = 1..-г).
Если таким образом получаются уравнения группы параметров,
соответствующей (г — q)-параметрической группе, например
a'k = <£fc(ai • • • ar-q,b\ • • • br-q) (к = 1 -r-q),
то ясно, что группа параметров, соответствующая r-параметрической группе,
задается уравнениями вида
0>'к =(Рк(0>1 ' ' ' CLr-q, bi • • • br-q) (к = 1 • • г — д),
a'i =^i(ai • • • ar, bi • • • br) (i = г - q + 1 • • • г).
Группа параметров
467
Отсюда следует, что группы Xif • • • Xrf и Yif • - • Yr-qf являются мероэдрически
изоморфными в смысле теории подстановок.
Теперь выведем только что полученный результат еще другим способом.
Однако в детальном разборе этого замечательного метода мы необходимости не видим,
поскольку он совершено аналогичен предыдущим рассуждениям.
Пусть нам даны уравнения преобразований
Xi = fi(Xi - • • Xn, Q>1 • • ' CLr) (г = 1 • • • n),
но при этом неизвестно, являются параметры а существенными или нет. Если
теперь /, удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида
к j'=i
которые можно разрешить относительно
&(/) = EQ'fc(ai ■■'^йГ'
fc=i к
то мы легко видим (ср. гл. 4, стр. 74 и ниже), что любое преобразование х\ =
= /г(х, а), параметры которого а лежат в некоторой окрестности а\ • • • аг,
возникает в результате того, что мы сначала выполняем преобразование Хг — /г(х,а),
а затем — некоторое преобразование
х[ = Wi(x\ • • • xn, Ai • • • Лг)
однопараметрической группы
Ai + • • • + Ar Xrf = i2XkJl^x^'
k=\ i=l 1
Кроме того, мы обнаруживаем, что эти значения параметра А зависят только от вида
функций Qfcj(a), а также от обеих систем значений а* и а*.
Если положить
i>*(a)|f = ^ Т,М*')ТП = X'kf,
то при наложенных условиях получается (ср. стр. 165 и ниже), что имеют место
соотношения вида
г
(Х[Х'к) = Y^tiiks(x'i ••• х'п, ai ••• ar) - X'af,
s=l
r
(Ai Ak) = dibsix*! - • • Xn, ai • • • ar) • Aaf,
3=1
468
Глава 21
в которых дгкз на самом деле не зависят от х'. Правда, теперь нельзя, как в
аналогичных рассуждениях выше, доказать, что в обоих последних уравнениях $ могут
быть положены равными абсолютным константам. Но если мы рассмотрим только
уравнения
№'4) = ^*(a)-i;/,
3=1
то становится ясно, что при конкретном значении параметров а они дают
соотношения вида г
{X'iX,k) = Y,ciksX'sf,
5 = 1
в которых ciks обозначают некоторые константы. Поэтому и при наших настоящих
условиях все конечные преобразования Ai X\f 4- • • + Аг Xrf образуют группу,
заведомо содержащую столько же существенных параметров, что и семейство х\ =
= fi(x,a).
С другой стороны, пусть X{f • • • X'rf — это такие г не обязательно
независимых инфинитезимальных преобразований от переменных х[ • • • х'п, которые
находятся в соотношениях
г
(X'iX'k) = '£icik,X',f;
3=1
далее, пусть
г df
Akf = ^<*ki(ai--ar)-7^- (к = 1 • • • г)
i=l 1
— г независимых инфинитезимальных преобразований просто транзитивной
группы, структура которой задана уравнениями
г
(AiAk) = y^^iksAsf.
3=1
Выпишем теперь г-параметрическую полную систему
X'kf-rAkf = 0 (fc = l..-r),
найдем ее главные решения F\ • • • Fn относительно подходящей системы значений
a>i = о?, ■■• Or = a° и положим х\ = Fi, ••• хп = Fn. Тогда получающиеся
в результате разрешения уравнения:
х'к = fk{x\ • • • xn,ai • • • ar),
задают семейство, состоящее не более чем из оог преобразований, в которое,
очевидно, входит тождественное преобразование х'к = хк.
Действуя точно так же, как на стр. 169, мы сначала получаем систему
уравнений:
/1=1 h
Группа параметров
469
а затем в результате разрешения:
дх ^ ,
h j=i
Отсюда мы заключаем, во-первых, что семейство х\ — fi(x,a) состоит из
преобразований всех однопараметрических групп ^2\kXkf, во-вторых, что все
эти преобразования образуют группу с максимум г существенными параметрами, и,
наконец, в-третьих, что из двух преобразований
x'i = fi(x, a), x^ = fi(x,b)
возникает третье преобразование x'i — fz(x, с) этой группы, параметры которого
с\ = tpi(a,b), - • • Сг = ipr(a,b) определяются двумя системами значений ak,bi
и видом функций Qfcj(a).
Но тем самым прежде полученный результат выведен новым способом,
останавливаться на котором подробнее нет необходимости.
Если заданная г-параметрическая группа Xif • • • Xr-qf • • • Xrf содержит
известную инвариантную подгруппу, скажем Xr-q+if — • Xrf, то мы можем
теперь легко задать мероэдрически изоморфную ей (г — а)-параметрическую
группу, тождественное преобразование которой соответствует вышеупомянутой
инвариантной подгруппе (ср. стр. 337). В самом деле, рассмотрим просто транзитивную
группу A\f • • • Ar-qf - • • Arf в переменных а\ • • • ar, равносоставленную с
данной г-параметрической. При этом мы можем, как и прежде, предположить, что
а\ • • • ar-q являются инвариантами г-параметрической группы Ar-q+\f • • • Arf.
Если мы вновь положим
Akf = Y2<*ki(ai ar-g)J^ + YI PuW^lr
i=l 1 j=r-q+\ J
(k = l--r-q)}
то укороченные инфинитезимальные преобразования
— r~q df
Akf = Y^aki(<*>i Qr-q)Tj— (* = 1 ••• r-g),
=i
очевидно, порождают (г — q)-параметрическую группу с требуемым свойством.
Кроме того, из этих рассуждений следует, что всякое утверждение о структуре
(г — q)-параметрических групп непосредственно дает утверждение о структуре
г-параметрических груш с инвариантной q-параметрической подгруппой. Этот
общий принцип, имеющий аналог в теории подстановок, будет обсуждаться в третьей
части3.
3Ср. Ли, Math.Ann., томXXV, стр. 137.
470
Глава 21
§104
В гл. 19, утверждение 3, стр. 397, мы придали критериям подобия
равносоставленных групп замечательный вид: мы показали, что две рав-
носоставленные группы от одинакового числа переменных подобны тогда
и только тогда, когда их можно определенным, весьма специальным
образом связать между собой голоэдрическим изоморфизмом.
Уже тогда говорилось, что этот критерий значительно упрощается,
если обе группы, о которых идет речь, являются транзитивными; мы
утверждали, что справедлива следующая
Теорема 76. Две равносоставленные транзитивные группы
п f){
Xkf = Y^ki(xx •••^n)^: (* = 1- -т)
и
от одинакового числа переменных подобны тогда и только тогда,
когда выполняется следующее условие: если выбрать определенную точку
х\ • • • х„, не лежащую ни на одном многообразии, инвариантном
относительно группы X\f • • • Xrf, то должна иметься возможность связать
эти две группы голоэдрическим изоморфизмом так, что наибольшей
входящей в группу X\f • • • Xrf подгруппе, оставляющей точку х\ • • • х„
инвариантной, соответствует наибольшая подгруппа группы Zif- — Zrf,
оставляющая неподвижной некоторую точку • • • у® 4.
Из утверждения 3, стр. 397 ясно, что это условие является
необходимым для подобия этих двух групп; поэтому требуется лишь доказать, что
оно является также и достаточным.
Допустим, что условия теоремы выполнены, и в группе Zif ••• Zrf
выбраны такие независимые инфинитезимальные преобразования
Y\f • - - Yrf, что наши группы связаны друг с другом голоэдрическим
изоморфизмом, описанным в теореме 76, при котором каждому инфинитези-
мальному преобразованию eiXif + • • • + erXrf ставится в соответствие
инфинитезимальное преобразование e{Yif Н h erYrf.
Согласно рассуждениям из предыдущего параграфа, это голоэдрически
изоморфное соответствие дает нам также взаимно однозначное
соответствие между конечными преобразованиями обеих групп. Последнее можно
4Ср. Ли, Archiv for Math, og Naturv., Христиания, 1885 г., стр. 388-389.
Группа параметров
471
описать проще всего, если мы, как ранее, будем рассматривать символы
ekXkf и eicYkf как символы конечных преобразований наших групп
и, кроме того, обозначим для большего удобства конечное преобразование
ekXkf кратко через Т(е), а преобразование ekYkf — через Т(е).
При этих условиях голоэдрически изоморфная связь между нашими
группами ставит преобразованию Т(е) в соответствие преобразование 1(е)»
и наоборот, и это соответствие обладает тем свойством, что
преобразования Г(е) Т(е/) и Т(е) Т(е/) также соответствуют друг другу, причем е\ • • • ег
и е\ • • • е'г означают совершенно произвольные системы значений.
Точка х? "' хп остается инвариантной относительно ровно г — п
независимых инфинитезимальных преобразований группы X\f • • - Xrf,
следовательно, она допускает в точности оог_п различных конечных
преобразований этой группы, которые, как известно, образуют (г —
^-параметрическую подгруппу. Мы хотим ввести для общего преобразования Т(е),
оставляющего точку х§ • • • х£ неподвижной, символ S(ai ...ar_„)» и™
кратко S(a); под а\ • • • ar_n мы при этом понимамем произвольные параметры.
Те преобразования Т(е) группы Zif••• Zrf, которым соответствуют
преобразования S(a) группы Xif • • • Xrf, мы обозначим 6(ai ...ar_n), или
кратко 6(a); тогда при наложенных условиях оог_п преобразований б(а)
образуют наибольшую в группе Zif • • • Zrf подгруппу, оставляющую точ-
ку Vi '" Уп инвариантной. Это означает, что точка у® • • • у® не
принадлежит никакому многообразию, остающемуся инвариантным относительно
группы Zif • • • Zrf.
После этих приготовлений проведем следующие рассуждения.
При выполнении преобразования Т(е) точка х® переходит в точку
(х^)Т(е), положение которой, разумеется, зависит от значений параметров
ei • • • ег. Эта новая точка, согласно утверждению 1, гл. 14, стр. 253, в свою
очередь, допускает в точности оог~п преобразований группы X\f • • • Xrf,
а именно все преобразования вида
T(~e)S(a)T(e),
с г — ть произвольными параметрами а\ - ar_n.
С другой стороны, точка у® переходит при преобразовании Т(е) в
точку (з/^^е)» которая, конечно, допускает в точности оо**~п преобразований
группы Zif • • • Zr/, а именно все преобразования вида
S£)6(a) 1(е).
Очевидно, что это те преобразования группы Zif • • • Zrf, которые
поставлены в соответствие преобразованиям Tj~* 5(a) Т(еу, таким образом, мы ви-
472
Глава 21
дим, что при нашей голоэдрически изоморфной связи для точек (х^)Т^
и (2/?)Т(е) выполняется то же самое, что и для точек х® и у®:
наибольшей подгруппе, содержащейся в группе X\f • • • Xrf и оставляющей
точку (х?)Т(е) инвариантной, соответствует наибольшая подгруппа группы
Z\f • • • Zrf, относительно которой точка (у^)^(е) остается неподвижной.
Придадим теперь параметрам е\ • • ег в преобразованиях Г(е) и Т(е)
одно за другим все возможные значения. Тогда точка (х^)Т^ в силу
транзитивности группы X\f • • • Xrf будет по очереди переходить во все
точки пространства х\ • • • хп, которые не лежат ни на одном инвариантном
многообразии, то есть во все точки общего положения. В то же время
точка (у®)Т(е) переходит во все точки общего положения в пространстве
Уг • • • Уп-
Тем самым показано, что голоэдрически изоморфная связь между
нашими двумя группами обладает свойствами, сформулированными в
утверждении 3, стр. 397; следовательно, группа X\f ••• Xrf согласно этому
утверждению подобна группе Z\f • • • Zrf, и справедливость теоремы 76,
стр. 470, доказана.
Для доказательства теоремы 76, впрочем, совсем необязательно
прибегать к цитированному утверждению. Скорее наоборот, из изложенного
выше можно непосредственно заключить, что существует преобразование,
переводящее инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xrf в Y\f • • • Yrf
соответственно.
Мы видели, что наша голоэдрически изоморфная связь ставит в
соответствие точке (а^)Т(е) пространства х\ - •• хп точку (yf )Т(е) пространства
2/1 * * * Уп, а именно таким образом установлено взаимно однозначное
соответствие в пределах определенной области между точками общего
положения обоих пространств. Если мы теперь истолкуем х\ и уг как координаты
точек одного и того же n-мерного пространства Rn, причем в обоих случаях
относительно одной и той же системы координат, то существует
совершенно определенное преобразование Т пространства Rn, которое всегда
переводит точку с координатами (х?)Т(е) в точку с координатами (у%)Т(е). Мы
докажем, что это преобразование Т переводит инфинитезимальные
преобразования Xif • • • Xrf в Yi / • • • Yrf соответственно, то есть что наши две
r-параметрические группы именно в силу преобразования Т являются
подобными.
Преобразование Т удовлетворяет всем бесконечно многим
символическим уравнениям
(*°)Т(е,)Т = (j,,0)V) (14)
с г произвольными параметрами е\ • • • ег, оно даже определено этими
уравнениями. Отсюда следует, что Т в то же время удовлетворяет следу-
Группа параметров
473
ющим символическим уравнениям:
(х?)Г(е()Т(е)Т = (у,0)Х(е0Х(е),
какие бы значения ни принимали параметры еие'.
Если мы свяжем эти уравнения с уравнениями (14), которые можно,
очевидно, записать и так:
(х°)Г(е0 = (у°)£(е<)Т-\
то получим
(2/,°)Х(е0Т-1Г(е)Т = (0?)V)*(e)
или, что то же самое,
(у°)%{е1)Т-%е)Т1^ = (15)
Точка (2/?)1(е') может при подходящем выборе параметров е'х • • • е'г
попасть в любую точку общего положения в Rn, таким образом,
уравнения (15) говорят, что всякое преобразование вида
Т-'ГмТХ^ (16)
оставляет все точки общего положения в пространстве Rn неподвижными.
Но это, очевидно, возможно лишь тогда, когда все преобразования (16)
совпадают с тождественным преобразованием.
Тем самым доказано, что имеют место следующие оог символических
уравнений:
Т-1Г(е)Т = Т(е), (17)
то есть что преобразование Т переводит всякое преобразование Т(е) группы
Xif - - - Xrf в соответствующее преобразование Т(е) группы Z\f ••• Zrf.
Другими словами, выражение е\ X\f Н \- erXrf превращается при
выполнении преобразования Т в выражение е\ Y\f Н Ь er Yrf, или, что то
же самое, г инфинитезимальных преобразований X\f-- - Xrf переходят
при выполнении Т в Y\f - • • Yrf соответственно.
Следовательно, группы X\f-- - Xrf и Z\f ••• Zrf подобны, и
теорема 76, стр. 470, доказана теперь также независимо от утверждения 3,
стр. 397.
§105
В § 100 мы видели, что определенные там уравнения а'к = ipk(a,b)
представляют группу, причем этот вывод был основан на том, что между г
474
Глава 21
функциями (fk(a, b) имели место г тождеств:
<Pk{<Pi(a>b)-- (frfab), сг ••• Cr) = ipk(a>i ••• dry <fi(b,c)--- (fr(b,c)).
(5)
Теперь мы убеждаемся, что и уравнения
ак = <рк(Ьг • • • br, ai • - • аг) (к = 1 • • • г) (18)
представляют группу от переменных а с параметрами 6, а именно: г-пара-
метрическую просто транзитивную группу.
Несколько замечаний по поводу этой новой группы.
Она обладает замечательным свойством: любое из ее
преобразований перестановочно с любым преобразованием группы параметров а!к =
= (рк(а,Ь). Так, если сначала выполнить преобразования (18), а затем
какое-либо преобразование
ак = (рк(а[ a'r, ci ••• Сг) (к = 1 • • • г)
группы параметров а'к = <рк(а, о), то получится преобразование
ак = Ч>к{<Р\{Ъ,а)-- <рг(Ь,а), сг • • • Сг) (к = 1 • г),
которое можно в силу тождеств (5) привести к виду
ak = (fk(bi ••• Ьг, (fi(a,c)-- - <рг(а,с)) (к = 1 - г).
Но это преобразование можно также получить, выполнив сначала
преобразование
а'к = ч>к(а\ • • • ar, ci ••• Сг)
группы параметров, а затем — преобразование
ак = Ч>к{Ъ\ •-• br, а'г • • • aj.)
группы (18).
Следовательно, группа (18) — это не что иное, как взаимная к
группе параметров просто транзитивная группа5; она является согласно
теореме 68, стр. 420, равносоставленной с группой параметров и даже подобной
ей; более того, она также является равносоставленной с самой группой
х\ = Л(х,а).
5 Замечание о том, что упомянутые в тексте группы (6) и (18) находятся в таком
соотношении, что преобразования одной перестановочны с преобразованиями другой, принадлежит
Энгелю.
Глава 22
Описание всех
r-параметрических групп
Еще в главе 17, стр. 329, мы отмечали, что всякая система констант
Ciks > удовлетворяющая соотношениям
представляет возможную структуру r-параметрических групп, т. е. что
всегда существуют г-параметрические группы, структура которых задается как
раз этой системой Ciks- Доказательство этого в полной общности, как мы
уже указывали, будет дано только во второй части. Там мы рассмотрим
произвольную систему Ciks с указанным свойством и докажем, что для
нахождения инфинитезимальных преобразований r-параметрической группы,
имеющей структуру Ciks, необходимо только лишь интегрирование систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечные уравнения этой
группы получаются тогда согласно гл. 4 и 9 также путем интегрирования
систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В настоящей же главе мы покажем две вещи.
Во-первых, мы рассмотрим конечные уравнения
r-параметрической группы и покажем, что при помощи интегрирования
систем обыкновенных дифференциальных уравнений можно заведомо найти
все г-параметрические транзитивные группы, являющиеся
равносоставленными с группой х\ = fi(x, а).
Во-вторых, мы покажем, что все г-параметрические интранзитив-
ные группы можно описать без интегрирования, если известны все
транзитивные группы с г или менее параметрами.
Соединив эти результаты с вышесказанным и добавив к этому, что
согласно теореме 53, стр. 331, описание всех возможных структур групп
(1)
x'i = fi(xi ■ ■ ■ х„, а\ ■ • • ar) (i = 1 • • • п)
476
Глава 22
с заданным числом параметров требует лишь алгебраических операций,
мы непосредственно заключаем следующее:
Если число г задано, то описание всех г-параметрических групп
требует, помимо выполнимых операций, всего лишь интегрирования систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Конечно, очень важным является вопрос, будет ли интегрирование
возникающих дифференциальных уравнений выполнимым. Но ни в этой
главе, ни в соответствующих местах второй части мы такими вопросами
заниматься не можем, так как ответы на них предполагают наличие теорий
интегрирования, которые не могут быть развиты в работе о группах
преобразований, а требуют отдельного рассмотрения.
§106
В этом параграфе мы сопоставим различные методы описания просто
транзитивных групп, отчасти поскольку эти методы позже будут
применяться, а отчасти еще потому, что они замечательны сами по себе.
Пусть сначала заданы конечные уравнения
А = • * * хп, аг • • • аг) (г = 1 • г) (2)
r-параметрической группы. Найдем конечные уравнения просто
транзитивной группы, являющейся равносоставленной с ней.
Согласно гл. 21, стр. 447, группа параметров группы (2) является
просто транзитивной и равносоставленной с группой (2). Тогда конечные
уравнения
a'k = (pk{a>i • • • аг, Ъ\ • • • 6Г) {к = 1 • г)
этой группы параметров находятся при помощи выполнимых операций,
а именно: путем разрешения конечных уравнений. Следовательно, мы
можем выписать конечные уравнения просто транзитивной группы с
требуемым свойством, то есть упомянутой группы параметров.
Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 77. Если заданы конечные уравнения г-параметрической
группы, то при помощи выполнимых операций можно найти конечные
уравнения равносоставленной с ней просто транзитивной группы.
Очевидно, что задав эту одну просто транзитивную группу, мы задаем
и все другие просто транзитивные группы, равносоставленные с группой
х\ — fi(x, а); ведь в соответствии с теоремой 64, стр. 376, все они подобны
между собой.
Описание всех г-параметрических групп
477
Предположим теперь, что заданы не конечные, а лишь
инфинитезимальные преобразования
п df
Xkf = Е£fc*(Xl ''' Хп) № = i • • ■ О
r-параметрической группы, и попробуем найти инфинитезимальные
преобразования равносоставленной просто транзитивной группы.
Эту задачу мы уже, очевидно, решили в гл. 9, стр. 174-175, но она
сформулирована там иначе, поскольку мы тогда еще не располагали
понятиями просто транзитивной группы и равносоставленности. Наше
тогдашнее решение этой задачи мы теперь можем выразить так:
Утверждение 1. Если заданы инфинитезимальные преобразования
r-параметрической группы, то инфинитезимальные преобразования равно-
составленной с ней просто транзитивной группы находятся следующим
образом: положим
^ = Е^(4М)---^)^ <* = 1-г), <* = 1,2-г-1),
1 dxfJ
возьмем г инфинитезимальных преобразований
Wkf = Xkf + X^f + ■■■ + X<£-l)f (fc = l • • • г)
и найдем какие-либо rn — г независимых решений щ--- ипг-г г-парамет-
рической полной системы
Wi/ = 0, ••• Wrf = 0;
затем введем щ • • • ипг-г в качестве новых независимых переменных,
помимо г подходящих функций у\ • • • уТ от пг переменных х\ц\ и получим
таким образом инфинитезимальные преобразования:
1 О Г
Wkf = ^Vkj (У1 ••• Уг, Ml Unr-r)-Q^ (fc = 1 ••• г);
j=l
478
Глава 22
если, кроме того, под и® • • • ипг_г понимаются числовые константы, то
г независимых инфинитезимальных преобразований
т*/ = Л Vkj (У1 • • • Уг, М? • • • l£r_r) Tjf- (* = 1 • ■ ■ г)
порождают просто транзитивную группу, которая является равносо-
ставленной с группой X\f • • • Xrf. Если X\f • • • Xrf связаны
соотношениями
г
(Xi Хк) = ^2 °^кз x*f->
3=1
то между • • • 2ПГ/ имеют место те же соотношения
г
3=1
Процедура, описанная в этом утверждении, требует интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений, а это интегрирование будет,
конечно же, не всегда выполнимо. Теоретически это совершенно
безразлично, потому что в настоящей главе без интегрирования не обойтись. Тем не
менее там, где речь пойдет действительно о просто транзитивных группах,
мы в следующей главе нигде не будем использовать описанный выше
метод; мы применим его только в одном случае, когда понадобится доказать
существование просто транзитивной группы с определенными свойствами.
Наконец, мы еще хотим стать на следующую точку зрения:
предположим, что нам дана лишь одна структура г-параметрических групп, то есть
система констант Ciks, удовлетворяющая уравнениям (1). Мы покажем, что
по меньшей мере в очень многих случаях можно выписать конечные
уравнения просто транзитивной группы со структурой Cik3 при помощи
выполнимых операций.
Воспользуемся для этого теоремой 52, стр. 328, согласно которой г
инфинитезимальных преобразований
r df
находятся попарно в соотношениях
г
3=1
Описание всех г-параметрических групп
479
то есть порождают линейную однородную группу в переменных е\ • • • ег.
Эта группа является, в частности, r-параметрической, если не все
определители порядка г, строки которых имеют вид
\Cjlk Cj2k * * * Cjrk\ U, к = 1 • • • г),
обращаются в нуль, и тогда она, очевидно, имеет структуру Cik3 -
Теперь можно выписать конечные уравнения группы E\f ••• Erf при
помощи выполнимых операций (ср. стр. 302); поэтому если упомянутые
определители не все равны нулю, то мы можем задать конечные
уравнения r-параметрической группы со структурой Cik3. Но отсюда сразу
следует (теор. 77, стр. 476), что мы можем также задать конечные уравнения
просто транзитивной группы со структурой Ciks- Тем самым мы получаем
следующее
Утверждение 2. Если задана система констант Ciks,
удовлетворяющая уравнениям
Ciks ~f" Ckis — 0,
Yll^liCikvCvjs + Ckjl/Cuk3 = 0 (i,k,j,S = 1 • • • г)
и такая, что не все определители порядка г, строки которых имеют вид
\Cjlk Cj2k ' ' ' Cjrk\ (j,k = 1 • • • г),
обращаются в нуль, то всегда можно при помощи выполнимых
операций найти просто транзитивную группу со структурой Ciks.
Впрочем, то же самое можно совершенно аналогичным образом
доказать и для других систем Cik99 но мы не хотим в это дальше углубляться.
Еще всего лишь одно замечание.
Если даны г независимых инфинитезимальных преобразований
X\f - • • Xrf, порождающих r-параметрическую группу, то одновременно
задана система Cik39 отвечающая этой группе. И если эта система Cik3
такова, что указанные в утверждении 2 определители не все обращаются в нуль,
то группа X\f • • • Xrf, очевидно, не содержит никаких совершенных
инфинитезимальных преобразований (ср. стр. 306), то есть мы видим, что
верно следующее:
Если даны г независимых инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xrf, порождающих r-параметрическую группу, то во всяком
случае тогда, когда эта группа не содержит совершенных
инфинитезимальных преобразований, при помощи выполнимых операций можно
выписать конечные уравнения просто транзитивной группы, равносоставлен-
ной с группой Xrf • • • Xrf.
480
Глава 22
§107
Теперь приступим к первой из двух задач, решение которых мы
обещали в вводной части этой главы.
Итак, предположим, что нам даны конечные уравнения
г-параметрической группы, и поставим задачу описать все г-параметри-
ческие транзитивные группы, равносоставленныес данной.
Если r-параметрическая группа Г какого-либо пространства является
транзитивной и равносоставленной с группой х\ — /i(x,a), то очевидно,
что то же самое справедливо для всех групп того же пространства,
подобных Г. Поэтому вполне можно поделить искомые группы на классы, отнеся
к одному и тому же классу все группы с требуемым свойством, которые
содержат одинаковое число переменных и, кроме того, подобны между собой.
Совокупность всех групп, принадлежащих такому классу, мы назовем
типом транзитивных групп данной структуры.
Это деление искомых групп на типы имеет преимущество, что нам не
надо выписывать действительно все группы. Поскольку если известна одна
группа с требуемым свойством, то одновременно известны все подобные ей
группы, то есть все группы, относящиеся к этому же типу. Поэтому будет
вполне достаточно, если мы перечислим, сколько имеется различных типов
искомых групп, и если для каждого отдельного типа зададим
представитель, то есть группу, относящуюся к данному типу.
Чтобы решить нашу задачу, пойдем следующим путем:
Сначала опишем метод, дающий транзитивные группы,
равносоставленные с группой х\ — /i(x,a). Затем приведем доказательство того,
что при помощи этого метода можно получить любую такую группу,
и что, в частности, найдется хотя бы один представитель для любого
типа таких групп. Наконец, зададим критерии, позволяющие решить,
являются ли две различные группы, полученные нашим методом, подобными
или нет, то есть относятся ли они к одному и тому же типу. Тем
самым мы получаем возможность охватить все имеющиеся различные типы
и в то же время указать для каждого из этих типов одного
представителя.
Такова программа, которую мы далее будем выполнять.
xi = fi(Xl ' ' ' Хп, о>\ ar) (f = 1 • • • п)
(2)
Пусть
Описание всех г-параметрических групп
481
— независимые инфинитезимальные преобразования просто транзитивной
группы, равносоставленной с группой х\ = /Дх, а). Далее, пусть
г д *
j=i Уз
— независимые инфинитезимальные преобразования соответствующей
взаимной группы, являющейся согласно теореме 68, стр. 420, также просто
транзитивной и равносоставленной с группой х\ — /^(х,а).
Все эти условия, очевидно, могут быть выполнены. Двумя просто
транзитивными группами с заданным свойством являются, например,
определенная в предыдущей главе группа параметров
а!к = ipk(ai • • • ar, 61 • • • fcr) (к = 1 • • • г)
группы х\ — /Дх, а) и взаимная ей группа
ак = *' * Ьг, а\ • • • аг) (к = 1 • • • г).
Для этих двух групп можно даже выписать конечные уравнения при
помощи выполнимых операций.
После этих приготовлений обратимся к изложению вышеуказанного
метода получения транзитивных групп, равносоставленных с группой х\ —
= /i(x, а). При этом мы, очевидно, можем заменить группу х\ = /г(х,а)
на группу Yi/-- Yrf.
В главе 17, стр. 337-340, мы показали, как можно использовать
произвольное инвариантное относительно группы разбиение пространства
для того, чтобы получить изоморфную группу. Применим это к группе
Yif-Yrf.
На основании теоремы 69, стр. 427, ищем какое-либо инвариантное
относительно группы Y\f • • • Yrf разбиение пространства у\ • • • уг. При
помощи алгебраических операций найдем т-параметрическую подгруппу
взаимной группы Z\f • • - Zrf. Если
ZM/ = eMiZi/ + ---+eMrZr/ (/i = i...m) (3)
— независимые инфинитезимальные преобразования этой группы, то мы
образуем m-параметрическую полную систему
Zi/ = 0,---Zm/ = 0
и вычислим путем ее интегрирования какие-либо г — т независимых
инвариантов
Щ{У1 ••• Уг)"' иг-т{У\ Уг)
482
Глава 22
группы Zi/ • • • Zm/. Тогда уравнения
u\(yi ••• Уг) = const, • • • ur-m(yi • • • Уг) = const (4)
задают инвариантное относительно группы Y\f • • • Yrf разбиение
пространства yi • • уг на оог-ш m-мерных многообразий.
Теперь введем щ(у)-- - иг-т(у) вместе с га другими подходящими
функциями v\ • • • vm от у в качестве новых переменных в Y\ f • • • Yrf и
получим
г—m о г m о г
Ykf = ^ ^кЛи1 ' ' ' ^r-m)^- + WkAul ' ' ' Ur-m, Vl ' * * V^t)~Q^~
i/=l " д=1 ^
(jfe = 1 •■• r).
Отсюда, наконец, образуем укороченные инфинитезимальные
преобразования:
i/=i 27
Они порождают согласно утв. 4, гл. 17, стр. 340, группу, изоморфную
группе Y\f- • • Yrf в переменных щ • • • t/r_m.
Если бы мы вместо щ (у)-- - иг-т(у) выбрали какие-либо другие
независимые инварианты и[(у) • • • и'г_т(у) группы Z\f • - - Zm/, то получили
бы вместо группы U\f • • • Urf другую группу в переменных и[ • • • и'г_т,
но она была бы подобна группе U\f • • • Urf, поскольку и\(у) • • • и{,_т(г/)
суть независимые функции от щ(у) • • • ur_m(y). Если бы мы заменили
и\(у) • • • иг-т(у) на общую систему г — га независимых инвариантов
группы Z\f • • • Zm/, то получили бы наиболее общую группу в г — га
переменных, подобную группе U\f • • • Urf.
Из того, что группа Y\f • • • Yrf является просто транзитивной, следует,
как уже отмечалось в гл. 20, стр. 429, что не все определители порядка г—га
матрицы
шп(и) • u;i,r_m(iO
Uri(u) • Шг,г-т(и)
обращаются в нуль тождественно; иначе говоря, получается, что группа
U\f • • • Ur-mf от г — га переменных и транзитивна.
Тем самым мы имеем метод для описания транзитивных групп,
изоморфных группе Y\f • • • Yrf. Но этого нам недостаточно, нам требуются
Описание всех г-параметрических групп
483
транзитивные группы, равносоставленные с группой Y\f - • • Yrf, то есть
голоэдрически изоморфные. Следовательно, группа Uif--- Urf для нас
лишь тогда интересна, когда она является r-параметрической. При каких
условиях это выполняется?
Поскольку группа Uif • - • Urf транзитивна, то она содержит по
меньшей мере г — га существенных параметров, то есть в общем случае она
будет содержать г — / существенных параметров, где 0 ^ / ^ га. Тогда
согласно стр. 340 в группе Yif --- Yrf имеется ровно / независимых
инфинитезимальных преобразований, оставляющих каждое из oor-m
многообразий (4) неподвижным, и эти инфинитезимальные преобразования
порождают /-параметрическую инвариантную подгруппу группы Yif - • • Yrf.
Обозначим эту подгруппу для краткости через д.
Если М — какое-либо многообразие общего положения из (4), то М
допускает ровно га независимых инфинитезимальных преобразований ви-
да eiYif + • • • + erYrf, порождающих га-параметрическую подгруппу 7
группы Yif-- - Yrf (ср. стр. 429). Разумеется, в этой группе 7
содержится инвариантная подгруппа д. С другой стороны, М допускает
ровно га независимых инфинитезимальных преобразований взаимной группы
Zif-- - Zrf, а именно Zif - - - Zm/, которые тоже порождают га-парамери-
ческую группу. Поэтому можно так связать эти просто транзитивные
группы Yif --• Yrf и Zif - • • Zrf друг с другом голоэдрическим
изоморфизмом, что подгруппе 7 будет соответствовать подгруппа Zif • - - Zmf. При
этом инвариантной подгруппе д, очевидно, соответствует
/-параметрическая инвариантная подгруппа д' группы Zif - - - Zrf, причем д' содержится
в подгруппе Zif -•- Zmf.
Итак, мы видим: если группа Uif •• • Urf является в точности (г —
— /)-параметрической, то группа Zif •-- Zmf содержит /-параметрическую
подгруппу д', инвариантную в группе Zif ••• Zrf.
Наоборот, если группа Zif • • • Zmf содержит /-параметрическую
подгруппу
Z'a/ = h\i Zif Н h h\m Zmf,
инвариантную в группе Zif - • • Zr/, то группа Uif -•• Urf может быть
максимум (г — /)-параметрической.
Действительно, при только что наложенном условии / друг от друга
независимых уравнений
Zi/ = 0,--Z{/ = 0 (5)
образуют /-параметрическую полную систему с г — / независимыми
решениями
Ф\(У1 ••• Ут)"- Фг-iiyi ••• уг).
484
Глава 22
Кроме того, имеют место соотношения вида
(ZfcZ'A) = Л*л1 Zi / + • • - + hkXi Z{/ (* = l - - • г, А = l - - ■ О,
говорящие о том, что полная система (5) допускает группу Z\f •-- Zr/.
Следовательно, уравнения
</>i(</i * * * Уг) = const, • • • rpr-i(yi • • • yr) = const (6)
представляют инвариантное относительно группы Zif--- Zrf разбиение
пространства у\ • • • ут на оог_/ /-мерных многообразий.
Эти оог_/ многообразий находятся в очень простой связи с oor_m
многообразиями
и\(у\ • • • уг) = const, • • • ur-m(yi - • • yr) = const, (4)
а именно: каждое многообразие из (4) состоит из oom~l различных
многообразии (6). Это непосредственно следует из того, что щ(у) • • • ur-m(y)
как решения полной системы
z'1/ = o,..-z'm/ = o
в то же время удовлетворяют полной системе (5) и могут быть
представлены как функции от <фг(уг • • • уг) - • • Vr-z(yi • • • уг).
Взаимная группа Yif-- - Yrf согласно гл. 20, стр. 427, содержит в
точности I независимых инфинитезимальных преобразований, оставляющих
любое отдельно взятое из оог_/ многообразий (6) неподвижным, то есть
оно, очевидно, содержит по меньшей мере Z независимых
инфинитезимальных преобразований, оставляющих любое [отдельно взятое] из oor_m
многообразий (4) неподвижным; но отсюда немедленно следует, что группа
Uif - - • Urf при наложенных условиях может быть максимум (г —
/)-параметрической, как мы и утверждали выше.
При помощи вышеизложенных рассуждений доказано: группа
Uif-- - Urf является (г — I)-параметрической тогда и только тогда,
когда группа Zif - - • Zmf содержит инвариантную в группе Zif - - - ZTf
подгруппу с I параметрами, но не больше. В частности, группа Uif - - - Urf
поэтому является r-параметрической тогда и только тогда, когда группа
Zif - - - Zm/, помимо тождественного преобразования, не содержит
никакой подгруппы, инвариантной в группе Zif-- - Zrf. Слово «подгруппа»
при этом надо трактовать в самом широком смысле, так что даже сама
группа Zif - - - Zmf рассматривается как содержащаяся в ней подгруппа.
Описание всех г-параметрических групп
485
Обобщая полученные результаты, мы можем теперь сказать:
Теорема 78. Если две г-параметрические группы
Ykf = ^r)kj{yi •••»r)o^ (* = i"-r)
и
j=i °Уэ
являются транзитивными и взаимными по отношению друг к другу, и если
ZM/ = e^\Z\f Н h e^rZrf (ц = l • • • m)
— т-параметрическая подгруппа группы Z\f• • • Zrf, а
U\(y\ • • • уг) • • • иг-т(У1 Уг)
— независимые инварианты этой подгруппы, то г инфинитезимальных
преобразований
2^ YkUvdu-v = Ъ • • •u*-™fe = Ukf
U=l V—\
порождают в г — m переменных щ- • • ur_m транзитивную группу,
изоморфную группе Y\f • • • Уг/. Эта группа является (г—1)-параметрической,
если в группе Zif • • • Zm/ имеется подгруппа с I, но не более
параметрами, инвариантная в группе Z\f • • • Zrf. Поэтому она, в частности, тогда
и только тогда будет г-параметрической и равносоставленной с группой
Y\f • • • Yrf, когда группа Z\f • • • Zmf ни сама не является инвариантной
в группе Z\f • • • Zrf, ни содержит никакой другой инвариантной в группе
Z\f • • • ZTf подгруппы, за исключением тождественного преобразования.
Если заменить щ(у) • • • иг-т(у) наиболее общей системой
ui (у)"' и'г-т(у) независимых r — т инвариантов группы Z\f • • • Zmf, то
вместо группы U\f • • • Urf получится подобная ей, наиболее общая группа
отг — т переменных. Если, в частности, группа U\f' • • • Urf —
r-параметрическая, то, таким образом, получается наиболее общая транзитивная
группа, равносоставленная с группой Yi / • • • Yrf, относящаяся к тому же
типу, что и группа U\f • • • Urf.
Из рассуждений, использованных при доказательстве этой теоремы,
следует, кроме того,
486
Глава 22
Утверждение 3. Если Y\f---Yrf и Z\f - • • Zrf — две взаимные
просто транзитивные группы, и если Zif--- Zif — инвариантная
{-параметрическая подгруппа второй из них, то инварианты этой
{-параметрической группы можно также определить как инварианты
некоторой l-параметрической группы, содержащейся в г-параметрической группе
Y\f --- Yrf в качестве инвариантной подгруппы.
Благодаря теореме 78 первая часть поставленной на стр. 480 задачи
решена, мы имеем способ получения транзитивных групп, равносостав-
ленных с группой х\ = /г(х,а). Переходим теперь ко второй части, к
доказательству того, что при помощи нашего метода можно найти любую
подобного рода группу.
Пусть в переменных г — га дана какая-либо транзитивная группа, рав-
носоставленная с группой х\ — /г(х,а); пусть ее инфинитезимальными
преобразованиями будут
Xkf = ]Г Tku{z\ - • • 2r_m)— (fc = 1 • ■ ■ г).
v—\ и
Докажем сначала, что среди просто транзитивных групп с той же
структурой имеется во всяком случае одна, из которой может быть получена
группа Х\ - • • Xrf, совершенно аналогично тому, как группа U\f - - Urf —
из просто транзитивной группы Y\f --• Yrf.
Для этого рассмотрим согласно указанию в утверждении 1, стр. 477
г инфинитезимальных преобразований
wkf = xkf + xk1)f + .-- + xir1)f (* = 1-т)
от г (г — га) переменных z, - • • z^r~l\ Если теперь pi • • - <pr — какие-
либо (г — га)г — г = R решений г-параметрической полной системы
W,/ = 0,---Wr/ = 0, (7)
то мы введем их вместе с z\ • • • zr-m и еще с га подходящими
функциями zi •• • zm от z, z^ • - • z^r~^B качестве новых переменных. Это
возможно, так как уравнения (7) разрешимы благодаря Транзитибй&ети группы
Х\ - • • Xrf относительно - • • ^ ? поэтому z\ - - • zr-m независимы
UZ\ OZr—m
от функций (pi-- - tpR. В новых переменных W\f •-• Wrf принимают вид
m g .
Wkf = Xf+Yl WkAZl ' ' * zr-m, Zi-'-Zmiip!--- Ч>в)~^Г (k = 1 - - • r),
Описание всех г-параметрических групп
487
и если мы здесь придадим (р подходящие фиксированные значения
<£l • • • yPR и положим
Wk(zi • • • 2r_m, Zi - • • Zm, tp\ - • • (p°R) = W°k(zi - • • Zr-m, Z\ • • • Zm),
TO
суть независимые инфинитезимальные преобразования просто
транзитивной группы, равносоставленной с группой Xif---Xrf9 а стало быть,
и с группой х\ = fi(x, а).
Тем самым мы нашли просто транзитивную группу с заданным прежде
свойством.
Уравнения
Z\ = COnst, • • • Zr-m = COnst,
очевидно, задают инвариантное относительно группы 2#i/«- 2#г/
разбиение пространства z\ • • • 2r_m, ~z\ • - • zr-m на oor_m m-мерных
многообразий. Группа X\f • - • Xrf указывает, каким образом эти oor~m
многообразий группы 2Ui/- • • 2#г/ переставляются между собой. Таким
образом, между группами X\f • • • Xrf и 2#i/ • • • 2#г/ существует
соотношение, совершенно подобное вышеупомянутому между группами U\f • • • Urf
Тогда совсем несложно доказать, что группа X\f • • • Xrf подобна
одной из групп, которые мы получим, если применим описанный в
теореме 78, стр. 485, метод к двум взаимным просто транзитивным группам
Yif'' • Yrf и Z\f • • • Zrf с соответствующей структурой.
Пусть Bi/-- Вг/ просто транзитивная группа, взаимная к группе
2TJi/• • • 2ИГ/. Конечно же, она является равносоставленной с группой
Z\f • • • ZTfа потому также подобна ей (ср. гл. 19, теор. 64, стр. 376).
Мы полагаем, что преобразование
Z\ = 2l(2/l • • • Уг), * * ' Zr-m = Zr-m{y\ - • • yr), , .
Zl = Zi(yi • • • yr), ••-Zm = Zm(yi Уг)
переводит группу Z\f • • • Zrf в группу Bi/ • • Вг/. Тогда одновременно
согласно гл. 20, стр. 421, при том же преобразовании группа Y\f • • • Yrf
переходит в группу 2#i/ • • • 2Ur/9 то есть в силу (8) имеют место
соотношения вида
г
П/ = Х>)Л/ (* = i •■•••),
488
Глава 22
где определитель, составленный из констант f)^, не обращается в нуль. Но
из этих соотношений непосредственно следуют соотношения
которые также имеют место в силу (8). Это означает, что уравнения
представляют разбиение пространства у\ • • • уг, инвариантное
относительно группы Z\f • • • Zrf, что равносильно тому, что z\(y) • • • zr-m(y)
являются независимыми инвариантами совершенно определенной т-пара-
метрической подгруппы группы Z\f • • • Zrf. Таким образом, мы
получаем группу X\f - • - Xrf при помощи описанного в теореме 78, стр. 485,
метода, если сделаем следующее: в качестве группы Zi/ Zm/
выберем только что определенную ш-параметрическую подгруппу д группы
Z\f • • • Zr/, в качестве функций щ(у) • • • иг-т(у) — вышеупомянутые
инварианты z\(y) • • • zr-m\y) группы а. При этих условиях имеют место
соотношения (9), выражения в правой части которых суть независимые
инфинитезимальные преобразования группы X\f • • • Xrf.
Тем самым доказано, что при помощи метода, описанного в
теореме 78, стр. 485, можно найти любую транзитивную группу, изоморфную
группе х\ = fi(x, а). Поэтому мы можем сформулировать следующую
теорему.
Теорема 79. Если заданы конечные уравнения
г-параметрической группы, то все равносоставленные с ней
транзитивные группы находятся следующим образом.
Сначала определяется то, что требует лишь выполнимых операций:
две г-параметрические просто транзитивные группы
г—т
г
(9)
zi(yi Уг)= const, • • • 2r_m(yi • • • yr) = const
х\ = fi(x\ • • • xn, а\ • • • ar) (i = l • • ■ n)
(k
l
r)
и
(k
1
Описание всех г-параметрических групп
489
взаимные друг к другу и равносоставленные с заданной группой. Затем при
помощи алгебраических операций выписываются все те подгруппы группы
Z\f • • • Zrf, которые неинвариантны в этой группе и не содержат
никаких других инвариантных в этой группе подгрупп, кроме тождественного
преобразования. Каждая из найденных подгрупп дает согласно указанию
из теоремы 78 все транзитивные группы, равносоставленные с группой
х\ = /Дх, а), относящиеся к определенному типу. Задав эти группы для
всех найденных подгрупп, мы получаем все транзитивные группы,
равносоставленные с группой х[ = /г(х, а)1.
Теперь и вторая часть нашей программы выполнена, мы можем
задать все типы транзитивных групп, равносоставленных с группой х\ =
= fi(x, а). Всякая подгруппа группы Z\f • • • Zrf, обладающая указанным
в теореме 79 свойством, дает нам такой тип. Остается лишь выяснить, когда
две различные подгруппы группы Z\f• • • Zrf дают разные типы, а когда
один и тот же.
Пусть т независимых инфинитезимальных преобразований
г
ZM/ = ^2 €»kZkf (м = 1 • • • m)
к=1
порождают ш-параметрическую группу, которая неинвариантна в этой
группе и не содержит никакой другой инвариантной в этой группе
подгруппы, кроме тождественного преобразования. Пусть функции
Щ{У\ Уг)"' иг-тЫ -" Уг)
будут независимыми инвариантами группы Z\f • • • Zm/. При этих
условиях группа
r—m r\r r—m г\г
Ukf = ^2 YkUv~d^ = XI • • • Wr-™)^7~ (* =1 • • • о
в г — т переменных щ - иг-т является согласно теореме 79
равносоставленной с группой х\ — fi(xya) и, кроме того, транзитивной, и поэтому
является представителем некоторого типа таких групп, соответствующего
подгруппе Zif • • • Zm/.
!Ли, Archiv for Math., том 10, Христиания, 1885 г., а также Verh. der Gesellsch. d. W. zu
Chr. (Слушания Научного общества Христиании), 1884 г. и Berichte der Kgl. Sachs. G. d. W.
(Записки Королевского Научного общества Саксонии), 1888 г.
490
Глава 22
Для того чтобы другая подгруппа группы Zxf • • • Zrf давала этот же
тип группы, она, очевидно, должна быть га-параметрической, так как лишь
тогда она может давать транзитивные группы в г — т переменных, равно-
составленные с группой х\ — fi(x, а).
Предположим, что
г
Зд/ = С^к2к1 (М = 1 гп)
— другая m-параметрическая подгруппа группы Z\f • • • Zrf, и что эта
подгруппа также не является инвариантной в группе Z\f • • • Zr/, и Z\f • • • Zrf
не содержит никакой другой инвариантной в этой группе подгруппы, кроме
тождественного преобразования. Пусть независимые инварианты группы
3i/-- Зт/ таковы:
u(t/i ••• г/г)-- - ur_m(t/i ••• уг).
При этих условиях группа
г-т о /. r-т гч-
v—\ V v—\ v
в r — m переменных u - • • ur_m также является транзитивной и
равносоставленной с группой х\ — fi(x,a).
Вопрос, дают ли подгруппы Zi/-Zm/ и 3i/--*3m/ группы
Zif • — Zrf один и тот же тип группы, очевидно, можно теперь
сформулировать еще и так: являются ли группы U\f • • • Urf и Ui / • • • Urf
подобными?
Группы, о которых здесь идет речь, являются транзитивными, а
подобны они или нет, можно решить на основании теоремы 76, стр. 470.
Из нее мы видим, что группы Uif • • • Urf и ii\f • • - ilmf подобны
тогда и только тогда, когда их можно так связать друг с другом
голоэдрическим изоморфизмом, что будет выполняться следующее условие: наиболее
общей подгруппе группы Uif • - • Urf, оставляющей произвольно
выбранную, но фиксированную систему значений щ = и°{, • • • ur_m = °б-
щего положения инвариантной, должна соответствовать наиболее общая
подгруппа группы iXif •• • Um/, оставляющая некоторую систему значений
щ = и?, • • • Ur-m — общего положения инвариантной.
Теперь обе группы Uif • • • Urf и Uif • • • ilmf связаны по своему
построению голоэдрическим изоморфизмом с группой Yif - • • Yrf,
следовательно, мы можем сформулировать необходимый и достаточный критерий
Описание всех г-параметрических групп
491
их подобия еще и так: подобие имеет место тогда и только тогда,
когда можно так связать группу Y\f - • • Yrf голоэдрическим изоморфизмом
с самой собой, что ее наибольшей подгруппе G, сохраняющей многообразие
ui(yi '•' Уг) = м?,, • • • ,txr_m(yi • • • уг) = и°г_ш, (10)
соответствует ее наибольшая подгруппа (3, сохраняющая многообразие
МУ1 * * * Уг) = U?, • • • иг-гп(У1 •••Ут) = U°r-m- (И)
Найденный таким образом критерий можно привести к другому
замечательному виду. Действительно, рассмотрим группу Z\f •-• Zr/,
взаимную группе Yif-- - Yrf. В ней Zif-- - Zmf — наибольшая
подгруппа, оставляющая многообразие (10) инвариантным, a 3i/•* * Зт/ —
наибольшая подгруппа, оставляющая многообразие (11) инвариантным. Тогда
согласно утв. 8, гл. 20, стр. 431, можно так связать группы Yif-- - Yrf
и Zif - Zrf между собой голоэдрическим изоморфизмом, что
подгруппе G будет соответствовать подгруппа Zif •-• Zm/; но можно связать их
между собой голоэдрическим изоморфизмом и так, что подгруппе (8 будет
соответствовать подгруппа 3i/ • • • 3m/-
Отсюда следует, что группу Yif-- - Yrf можно связать с ней самой
голоэдрическим изоморфизмом указанным выше способом тогда и только
тогда, когда можно связать группу Zif - - - Zrf с ней самой голоэдрическим
изоморфизмом так, чтобы подгруппе Zif - • • Zmf соответствовала
подгруппа 3i/"- Зт/.
Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 80. Если две r-параметрические группы
Ук/ = ^ъЛУ1--'Уг)1Г- (к = 1--г)
3=1 °Уэ
и
Zkf = ^CkAvi'--Vr)ir- (* = i--t)
з=1 иУз
являются транзитивными и взаимными по отношению друг к другу, и если
г
~Z-nf = Y^£^Zkf {k = I ■ ■ ■ m)
k=l
492
Глава 22
и
г
Зм/ = ^t^kZkf (fc = 1 • ■ ■ m)
к=1
суть две т-параметрические подгруппы группы Z\f •• • Zrf, которые
неинвариантны в этой группе и не содержат никакой другой инвариантной
в этой группе подгруппы, кроме тождественного преобразования;
наконец, если (у) • • • иг-т(у) и М\(у) • • • ur_m(y) — независимые инварианты
этих двух т-параметрических подгрупп соответственно, то две
транзитивные группы, равносоставленные с группой Y\f • • • Yrf:
r—m о г r—m о г
ukf = 5>*«*e£ = Е w*<«» • • •и*-^ {к -1 -г)
U
Ukf = ^2 YkU»d^~ = S D^^Ul'' * ^-^ди (/c = 1"' *r)
подобны тогда и только тогда, когда можно связать группу Z\f • • • Zrf
с ней самой голоэдрическим изоморфизмом так, чтобы подгруппе Z\f • • •
Zm/ соответствовала подгруппа 3i/ • • • 3m/-
Благодаря этой теореме и последняя часть составленной на стр. 480
программы выполнена. Мы можем теперь определить, дают ли две
различные подгруппы группы Zif • • • Zrf различные типы транзитивных групп,
равносоставленных с группой х\ = fi(x,a). Для этого достаточно,
очевидно, исследовать подгруппы группы Z\j - • • Zrf или, что то же самое,
подгруппы группы х\ = fi(x, а).
Объединим необходимые операции в следующей теореме.
Теорема 81. Если даны конечные уравнения или инфинитезимальные
преобразования г-параметрической группы Г, то определить, сколько
имеется различных типов транзитивных групп, равносоставленных с группой
Г, можно следующим образом: надо задать все т-параметрические
подгруппы группы Г, исключив, однако, все те подгруппы, которые либо
инвариантны в Г, либо содержат какую-либо другую инвариантную в Г
подгруппу, кроме тождественного преобразования. Найденные подгруппы
надо разделить на классы, причем две подгруппы всегда относятся к одному
и тому же классу, если можно так связать Г с ней самой голоэдрическим
изоморфизмом, что эти две подгруппы будут соответствовать друг другу.
Описание всех г-параметрических групп
493
Каждому из полученных таким образом классов т-параметрических
подгрупп соответствует совершенно определенный тип транзитивных, рав-
носоставленных с Г групп omr — т переменных; различным классам
соответствуют различные типы. Если провести это исследование для каждого
из чисел т = О,1,2 • • • г — 1, то можно получить представление о числе
всех имеющихся типов.
Заметим еще следующее: все требуемые в теореме 81 операции
выполнимы, даже если задана не группа Г, а только ее структура. И в этом
случае необходимы лишь алгебраические операции. Поскольку количество
подгрупп для каждого г зависит только от произвольных параметров, то
и количество имеющихся типов зависит не более, чем от произвольных
параметров. В частности, имеется один единственный тип просто
транзитивных групп, равносоставленных с группой Г. Это следует, однако, уже
из рассуждений предыдущего параграфа.
Объединяя теоремы 81 и 78, мы получаем еще одну теорему.
Теорема 82. Если заданы конечные уравнения
х\ = fi(xi • • • xn, аг • • • аг) (г = 1 • • • п)
r-параметрической группы, то для описания всех равносоставленных
транзитивных групп, помимо выполнимых операций, требуется
каждый раз только интегрирование систем обыкновенных дифференциальных
уравнений1.
Если мы хотим выписать все г-параметрические транзитивные группы
от п переменных, то надо задать все структуры r-параметрических групп,
а затем найти для каждой структуры соответствующие типы транзитивных
групп от п переменных. Все эти типы распадаются для заданного г (и п)
на ограниченное число категорий, таких, что типы одной категории имеют
то же самое аналитическое представление. Однако аналитические
выражения для всех типов одной категории в общем случае содержат
определенные параметры, число которых мы всегда полагаем сведенным к минимуму.
Появление таких параметров основано на двух различных обстоятельствах:
во-первых, на том, что заданному г > 2 соответствует неограниченное
число различных структур; во-вторых, что заданная г-параметрическая группа
в общем случае содержит неограниченное число подгрупп, дающих самые
различные типы. Мы не считаем целесообразным продолжать здесь эти
рассуждения.
2Ср. Ли, Math. Annalen, том XVI, стр. 528.
494
Глава 22
§108
Вернемся еще раз к той точке^зрения, которой мы придерживались на
стр. 489.
Мы использовали две ш-параметрические подгруппы, Zi/-Zm/
и 3i/ • • * Зт/, группы Zif • • • Zrf9 чтобы получить транзитивные группы,
равносоставленные с группой Y\f Yrf9 и нашли, таким образом, группы
Uif • • • Urf и ill / • • Ur/. После этого спрашивалось, при каких условиях
эти две группы подобны.
На этот вопрос мы тогда отвечали, опираясь на теорему 76, стр. 470,
и получили, таким образом, теорему 80, стр. 491. Теперь снова поставим
этот же вопрос и попробуем ответить на него без привлечения теоремы 76.
Можно, очевидно, предположить, что группы Uif • • • Urf и ill/ • • • Urf
подобны во всяком случае тогда, когда существует преобразование
Ук = Пк{У1-"Ут) (* = 1.-т), (12)
которое превращает подгруппу Zi / • • Zm/ в подгруппу 3i/••• 3m/ и в то
же время переводит группу Zif - - Zrf в себя. Покажем, что это
предположение истинно.
Итак, пусть (12) — преобразование, обладающее указанными
свойствами. Под его действием инварианты группы Zif • • • Zm/, очевидно,
переходят в инварианты, группы: 3i/ • • • Зт/, а потому в силу (12)
иЛУг •"Уг) = Хи{иг(у)--- ur-m(y)) (У= 1 ••• r-m),
где функции xi * * • Xr-m полностью определены и независимы друг от
друга относительно щ(у) • - • ur-m(y). С другой стороны, согласно гл. 20,
стр. 421, при преобразовании (12) не только группа Zif • • • Zrf, но и
взаимная ей группа Y\f • • • Yrf переходят в себя. Таким образом, мы имеем
r df — г
^VkjiVi •"yr)-d-=ykf = J2hk3Yjf (fc = i ...r),
где hkj — константы, определитель из которых не обращается в нуль.
Взяв теперь в только что записанных уравнениях в качестве / какую-
либо функцию F от ui(y) • • • ur-m(y) или, что то же самое, функцию от
ui(y) • • • Ur_m(y), получаем
т—m г т—га
YkF = ^2 *кЛи"- ur-m)J^ = ^2hkj ]Г (^(Ui ••• Ur-m)j^-.
' Описание всех г-параметричесЙх г;рупп 495
. ^
Другими словами, группы U\f • • • Urf и Hi / • • • U+f подобны. Очевидно,
что
u„ = Xv{ul ' ' ' иг-т) : {у = 1 • • • г - т) (13)
— преобразование, переводящее одну группу'в другую. Тем самым
высказанное выше предположение доказано.
Но можно также доказать, что и обратное верно: если группы
U\f • • • Urf и ili/ • • • ilrf подобны, то всегда существует преобразование,
переводящее подгруппу Zi/ • • • Zm/ в подгруппу 3i/ • • • Зт/ и
одновременно группу Z\f • • • Zrf — в себя.
Итак, пусть две группы, Ukf и Щ/, подобны, и пусть
U„ = фи(и1 • • • Ur-m) (i/ = l • r-m) (14)
— преобразование, переводящее одну группу в другую, так что
г
^kf = Y,5^Ujf = Ufkf (fc = i...r). (15)
Под Jfcj здесь понимаются константы, такие, что составленные из них
определители не обращаются в нуль. Если ill / • • • Иг/ связаны соотношениями
вида
г
(HiHfc) = $>fceUe/,
3=1
то U[f • • • U'Tf, конечно, тоже связаны соотношениями вида
(Щий^съи',/.
5=1
Мы уже видели прежде, что всякое преобразование (12), оставляющее
группу Z\f • • • Zrf инвариантной и переводящее подгруппу ZM/ в
подгруппу 3/х/> дает совершенно определенное преобразование (13), переводящее
группу Ukf в группу life/. При настоящих условиях нам уже известно одно
преобразование, осуществляющее последний переход, а именно
преобразование (14). Поэтому попытаемся задать преобразование
Ук = Ок(У1-"Уг) (* = 1--т), (16)
оставляющее группу Z\f ••• Zrf инвариантной, превращающее
подгруппу Zi/ • • • Zm/ в подгруппу 3i/ • • • Зт/ и, наконец, дающее
преобразование (14).
496
Глава 22
Ясно, что всякое преобразование (16) требуемого вида должно быть
таким, чтобы его уравнения включали в себя г — га независимых друг от
друга уравнений
Ml/l -"Уг)= i(«l(y) • • • Ur-m{y)) {у = 1 • • ■ г - т). (14')
Если оно удовлетворяет этому условию и, кроме того, оставляет группу
Zif • — Zrf инвариантной, то оно удовлетворяет всем нашим требованиям.
С одной стороны оно переводит инварианты группы Z\f • • • Zm/ в
инварианты группы 3i/ • * * 3m/» то есть превращает первую из этих групп во
вторую, а с другой стороны оно явно задает преобразование (14), в силу
которого группы U\f • - • Urf и ill/ • • • itr/ подобны.
Однако очевидно, что совершенно безразлично, требуем ли мы теперь,
чтобы оно оставляло группу Z\f • • • Zrf инвариантной или же чтобы
переводило группу Yif --• Yrf в себя. Поэтому мы можем нашу задачу
сформулировать еще и так:
Требуется найти преобразование (16), оставляющее группу Y\f • • • Yrf
инвариантной, такое, что его уравнения включают в себя уравнения (14').
Для простоты введем новые переменные.
Выберем какие-либо га независимых друг от друга и от щ(у)---
иг-т(у) функций vi(y) • • • Vm(y) и еще какие-либо га независимых
друг от друга и от щ(у) • • • Ur-m(y) функций Di(y) • • • Dm(y). Функции
и\(у) • • • ur-m(y)> vi(y) • • • Vm(y) мы введем в качестве новых
переменных вместо 2/i • • • 2/г, а функции щ(у) • • • Ur-m(y), ъх{у) • • • х>т{у) -
вместо уг • • • уТ.
В этих новых переменных искомое преобразование (16) необходимо
принимает вид
U„ = • • • Ur-m) (v = 1 ' • г - m),
t)/x = &»(ui • • • Ur-m, Vf- Vm) (/x = 1 • • • m),
где уже предусмотрено, что его настоящие уравнения должны содержать
уравнения (14).
Что же встает на место требования, чтобы преобразование (16)
оставляло группу Yif • • • Yrf инвариантной?
В новых переменных и\ • • • ur-m,v\ • • • vm группа Yif ••• Yrf,
очевидно, принимает вид
Ukf + ^2 wbn(ui' ' ' ur-m, Vi"' = Ukf + Vkf (k = 1 • ■ • r).
Описание всех г-параметрических групп
497
С другой стороны, инфинитезимальные преобразования
Ykf = Y,rjkj(yi '"Уг)^г (* = 1--т)
j=i иуэ
при введении щ • • • ur_m, t>i • • • t>m переходят в
m о г
&kf + £ Ш^(Ц1 • • • "r-m, , *1 • • • t)m)^" = Ukf + (* = 1 • • ■ r).
/х=1 Д
Следовательно, мы должны требовать от преобразования (16'), чтобы оно
переводило группу U\f + V\f, • • • С/г/ + Vr/ в группу Ui/ + 9Ji/, • • • ilr/ +
+ 2ТГ/; мы должны попытаться в соответствии с этим найти функции
Как показывают уравнения (15), г независимых инфинитезимальных
преобразований
г г
£<№/> ••• £<№/
j=i j=i
переходят под действием преобразования
U„ ='ф„(и1>- Ur-m) (i/ = 1 ■ • ■ г - m) (14)
в
соответственно. Поэтому чтобы преобразование вида (16') превращало
группу Ukf + Vkf в группу ilfc/-f-2Jfc/, г независимых инфинитезимальных
преобразований
г г
j=l j=l
должны под его действием переходить в
соответственно. Это условие является необходимым, но в то же время и
достаточным.
При помощи таких рассуждений, как в гл. 19, стр. 371, мы теперь
видим, что всякое преобразование (16') с требуемым свойством может быть
498
Глава 22
также определено как система уравнений от 2г переменных u, и, t>,
имеющая вид
U„ = ф^Щ • • . Ur-m) {у = 1 ' • • г - ш),
= ^/х(^1 • ' ' Ur-m, Vl'" Vm) (/х = 1 • • • m),
(160
допускающая r-параметрическую группу
г
Wik/ = Hit/ + *kf + ^2skj(Ujf + (k = i •.• r)
и разрешаемая относительно u\ • - • ur_m, • • • vm.
Система уравнений
U„ = ^(Ui • . • Ur-m) (v = l ■■■ r-m) (14)
представляет согласно нашему условию преобразование, переводящее г
независимых инфинитезимальных преобразований
г
(*=1--т)
в ill / • • Иг/ соответственно и допускающее, таким образом, г-параметри-
ческую группу
г
+ (* = 1-г),
J=l
а следовательно, и группу W\f Wrf.
Поэтому мы можем использовать результаты из гл. 14, стр. 258-262,
для нахождения системы уравнений (16') требуемого типа.
Сначала составим из W\f • • • Wrf некоторые укороченные
инфинитезимальные преобразования 2Di/ • • • 2ПГ/, опустив все члены с производ-
df df
ными ^—-— и произведя во всех остальных членах подстановку
ОлХ\ OUr-m
ui = Ф\(и), - • • Ur-m — Фг-т(и). Если эту подстановку обозначить через
[ ], то Wkf принимают следующий вид:
m о г г
= ЦКм("1 • • • «г-т. f 1 •' • Ога))^- + £ *fcj(£^/ + Vjf),
м=1 М j=l
Описание всех г-параметрических групп
499
или еще короче:
г
mi = [ад + 5ыШ + yof) (* = 1 ■ • • о.
j=i
Конечно же, W\f • • • Wrf порождают группу в г 4- га переменных t)i • • • t)m,
iti • • • ur-m, v\--- Vm, причем в нашем случае — г-параметрическую.
Теперь зададим в переменных t>, u, v систему уравнений вида
DM = lPM(t£i • • • ur_m, vi---vm) (/i = 1 • • • га), (17)
допускающую группу Wif • • • Wrf и разрешимую относительно vi • • • уш.
Наконец, если мы добавим ее к уравнениям (14), то получим систему
уравнений вида (16')> которая имеет вышеуказанные свойства. Поскольку г-па-
раметрическая группа
г
+ (fc = i-r)
является просто транзитивной, то в матрице, которая может быть
составлена из коэффициентов Wif • • • 2Ur/, заведомо не все определители
порядка г обращаются в нуль тождественно, точно так же они не могут в
силу системы уравнений вида (17) обращаться в нуль все одновременно.
Следовательно, всякая система уравнений вида (17), допускающая
группу Wif • •• Wrf, может быть представлена посредством га независимых
соотношений между какими-либо га независимыми решениями г-парамет-
рической полной системы
2Ui/ = 0,... Wrf = 0 (18)
от г -h га переменных t>i • • • t>m, щ • • • ur_m, v\--- vm.
Уравнения (18), очевидно, разрешимы относительно * * * ^~—»
df df
тг-, с другой стороны, они также разрешимы относительно
OVi OVm
df df df df ,
— —-—, — -s-^—» поскольку если мы введем в г инфинитези-
dU\ OUT-m OX)l ОЪт
мальных преобразований
Ui/ + aJi/,-..ur/ + »r/
вместо Ui • • • Ur_m, x>i • • • t>m, в силу уравнений
UM = ф„(и\ ••• Ur-m) (v = 1 ■•■ г -т), (14)
500
Глава 22
новые переменные щ - - • ur_m, t>i • • • Dm, то получим инфинитезимальные
преобразования
г
i=i
которые, в свою очередь, порождают в переменных щ - • • wr_m, t>i • • • om
просто транзитивную группу. Поэтому если
" • • t)m, 1И • • • Ur-m> Vi - • • Vm) (/i = 1 • • • m)
— какие-либо m независимых решений полной системы (18), то они
независимы друг от друга как по отношению к Dj • • • t)m, так и по отношению
к vi • • • vm (ср. теор. 12, стр. 101).
Отсюда следует, что наиболее общая система уравнений вида (17),
которая может быть разрешена относительно V\ - • • vm и допускает группу
Wif - • • Wrf, получается за счет того, что т уравнений
Рц{*>1 ' ' ' t>m, Ui • • • Ur_m, Vi • • • Vm) = Const (/x = 1 • • • m) (19)
разрешаются относительно t>i • • • t)m.
Тогда мы можем непосредственно задать некоторое, да и вообще —
наиболее общее преобразование (16'), переводящее инфинитезимальные
преобразования
г г
j=l j=l
в
соответственно; оно просто представлено уравнениями (14) и (19),
вместе взятыми. Если, наконец, снова ввести в (14) и (19) переменные
2/1 • — Уг* Уг "' Уг> то мы получим преобразование, которое оставляет
группу Yif • • • Yrf инвариантной и уравнения которого включают в себя
уравнения (14'), другими словами, преобразование, оставляющее группу
Zif • • • Zrf инвариантной и переводящее подгруппу Zif-- - Zmf в
подгруппу 3l/*- Зт/.
Тем самым доказано, что всегда имеется преобразование с указанным
свойством, если группы U\f • - - Urf и iiif - - - ilrf подобны. Поскольку
напротив, согласно стр. 494 из существования такого преобразования следует
подобие этих двух групп, то мы можем сказать:
Описание всех г-параметрических групп
501
Группы Uif • - - Uгf и Hi/ • • • Иг/ подобны тогда и только тогда,
когда существует преобразование, которое оставляет группу Z\f ••• Zrf
инвариантной, а подгруппу Z\f • - - Zmf переводит в подгруппу 3i/ • • • 3m/-
Так как группа Z\f • • • Zrf — просто транзитивная, то ясно, что такое
преобразование существует тогда и только тогда, когда группа Z\j • • • Zrf
может быть связана сама с собой голоэдрическим изоморфизмом так, что
подгруппы Zi/ • • • Zmf и 3i/ * • • Зт/ соответствуют друг другу. Таким
образом, мы находим для подобия групп U\f • • • Urf и ili/ • • • ilr/
точно такой же критерий, как тот, что был сформулирован в теореме 80,
стр. 491.
Полученные выше результаты могут, кстати, быть использованы в
новом доказательстве теоремы 76, гл. 21, стр. 470, как мы хотим обрисовать.
Прежде всего, при помощи рассуждений, совершенно аналогичных
тем, что на стр. 489, можно доказать, что транзитивные группы U\f • • • Urf
и ili/ • Иг/ могут быть связаны между собой голоэдрическим
изоморфизмом вида, описанного в теореме 76, тогда и только тогда, когда можно
так связать группу Z\f • • • Zrf с нею же самой голоэдрическим
изоморфизмом, что подгруппы Z\f • • • Zmf и 3i/ * * * Зт/ будут соответствовать
друг другу. Из вышеизложенного тогда следует, что условия подобия двух
групп, U\f ••• Urf и ili /• • • ilr/, в теореме 76 являются необходимыми
и достаточными.
§109
Перейдем теперь ко второй из задач, о решении которых было
объявлено в начале главы (на стр. 475), — к описанию всех г-параметрических
интранзитивных групп; как уже было сказано, мы будем проводить
соответствующее описание при условии, что все транзитивные группы с г
или менее параметрами уже заданы. Поскольку все транзитивные группы
с одинаковым числом параметров упорядочиваются в классы согласно их
структуре, и так как, кроме того, все транзитивные группы с одной и той
же структурой распадаются на ряд типов (ср. стр. 479 и далее), то мы
можем уточнить наше условие, предположив, во-первых, что все возможные
структуры группы с г или менее параметрами нам известны, и во-вторых,
что мы считаем, что все возможные типы транзитивных групп с
соответствующей структурой заданы.
Рассмотрим сначала r-параметрическую интранзитивную группу.
Если Xif ••• Xrf — независимые инфинитезимальные
преобразования r-параметрической интранзитивной группы пространства х\ • • • хп, то
г уравнений
Xi/ = 0, ...Хг/ = 0 (20)
502
Глава 22
имеют определенное число, скажем, в точности п — I > 0 независимых
решений. Поэтому мы с самого начала можем считать, что переменные
х\ • • • хп выбраны так, что xj+i • • • хп суть эти независимые решения.
Тогда Xif • • • Xrf примут вид,
' д f
Xkf = £&a(zi xi,xi+\ ••• хп) (fc = i - г),
где, разумеется, не все определители порядка I матрицы,
frl(x) • frj(x)
обращаются в нуль тождественно, иначе уравнения (20) имели бы больше,
чем п — / независимых совместных решений.
Если бы число г, которое больше или равно /, равнялось в точности /,
то Xif*- - Xrf были бы заведомо не связаны никакими соотношениями
вида
Xi(x/+i • • • хп) • Xif + -•• + Xr(xi+i • • • хп) • Xrf = 0;
но поскольку г не обязано быть равным /, то вышеупомянутые
соотношения вполне могут иметь место, и при этом не все функции Хг
обращаются в нуль. Поэтому мы предполагаем, что X\f • • • Xmf
никакими подобными соотношениями не связаны, a Xm+i/ • • • Xrf — напротив,
можно выразить через X\f • • • Xmf следующим образом:
т
Xm+vf = £ ' • * Хп) • Xpf (i/ = 1 • • ■ г - m). (21)
/х=1
Само собой разумеется, что при этом т удовлетворяет неравенству
l^m^r. Соединяя уравнения (21) с соотношениями
г
(Xi Хк) = £ CiksXsf (г, к = 1 • • • г),
3=1
которые имеют место при любых условиях, мы также видим, что Х\ f • • •
Хт/ находятся попарно в соотношениях
т ( г—га ^
(ХЛ Хм) = £ < СлМтг + £ C*.M,m+i/ #i/irO&t+l * * * Хп) > Хх/
7Г=1 I l/=l J
(л, /г = 1 • • • т).
Описание всех г-параметрических групп
503
Если теперь заменить переменные xj+i • • • хп произвольными
константами aj+i • • • ап и рассматривать в качестве переменных лишь х\ • • • хП9
то ясно, что г инфинитезимальных преобразований
Xkf = ^2 €k\(xi ''' xi, a/+i • • • ап) (к = 1 • • • г)
от I переменных х\ • • • х\ больше не являются независимыми друг от друга,
а получаются линейно из га независимых инфинитезимальных
преобразований
— 1 df
X^f = ^2 С/ха(ж1 ' " ' xl'al+l ' ' ' ап) (/i = 1 • •• m).
Эти га инфинитезимальных преобразований Xif • • • Xmf, в свою очередь,
связаны соотношениями
т ( т—т Л
(Х\ Хм) = 1 °Х»п + XI СА,/х,т+1/^1/тг(а/+1 • • • On) > Xnf, (22)
7Г = 1 L I/=l J
таким образом, они всегда порождают, какие бы значения не
придавались параметрам aj+i • • • an, га-параметрическую группу в переменных
х\ • • • xi, причем, разумеется, транзитивную группу.
Если придавать параметрам a/+i • • • an последовательно все
возможные значения, то получится ооп~1 га-параметрических групп в I
переменных. При этом возможно, но не обязательно, что эти ооп~' групп подобны
между собой. Если это не так, то они упорядочиваются в oon_/_a семейств,
состоящих из ооа групп каждое, причем таким образом, что две группы
одного и того же семейства подобны, и наоборот, две группы, относящиеся
к различным семействам, не являются подобными.
В любом случае наши ооп~1 групп относятся к одной и той же
категории типов; эта категория зависит в последнем случае от существенных
параметров (ср. стр. 492 и ниже).
Теперь понятно, как можно найти все интранзитивные группы от п
переменных. Два числа, / и га, выбираются такими, что I < га < г и, кроме
того, / < п, затем рассматриваются все категории транзитивных
га-параметрических групп от I переменных. Если Y\f ••• Ymf:
l Qf
Ykf = ^2vki(xi ••• xu ai, a2- •) 7^7 (fc = 1 ••• m)
2=1 1
504
Глава 22
— такая категория с существенными параметрами а\, с*2 • •, то их следует
трактовать как неизвестные функции от • • хп, положить
т
Xkf = ]РPki(xi+i ~-Xn)-Yif (к = 1 • • • г)
i=i
и, наконец, попытаться выбрать наиболее общим образом еще
неизвестные функции aj, /Зы от xj+i • • • хп так, чтобы X\f • - • Xrf были
независимыми инфинитезимальными преобразованиями r-параметрической
группы. Это требование ведет к некоторым конечным соотношениям между а,
/3 и структурными константами искомой r-параметрической группы,
которые должны выполняться наиболее общим образом. Выражения
заданных таким образом инфинитезимальных преобразований содержат, помимо
некоторых произвольных констант Ciks, еще некоторые произвольные
функции инвариантов этой группы.
Тем самым, мы прежде всего, имеем следующую теорему.
Теорема 83. Описание всех интранзитивных г-параметрических
групп X\f • • • Xrf отп переменных не требует интегрирования, если
найдены все транзитивные группы с г или менее параметрами, а требует
лишь выполнимых операций1.
Пожалуй, надо заметить, что вычисления, необходимые для описания
всех интранзитивных групп, зависят лишь от чисел г, / и т. Число п,
напротив, не имеет непосредственного значения. Отсюда следует
Теорема 84. Описание всех r-параметрических групп от
произвольного числа переменных может быть сведено к описанию всех
г-параметрических групп от г или менее переменных.
Еще одно краткое замечание, касающееся описания всех интранзитивных
г-параметрических групп с заданной структурой.
Если группа с соответствующей структурой содержит лишь конечное число
инвариантных подгрупп, то должно выполняться равенство т — г (утверждение 8,
стр. 343), и, следовательно, решение поставленной выше задачи просто сводится
к описанию всех транзитивных групп с соответствующей структурой. Если же
имеется бесконечно много инвариантных подгрупп, то т может быть меньше г; тогда
согласно процитированным результатам вышеупомянутая m-параметрическая
группа Xif - • • Xmf должна быть мероэдрически изоморфна искомой г-параметриче-
ской. Подробнее мы здесь не будем останавливаться на том, как задача решается
в этом случае.
3Л и, Archiv for Math, og Naturv., том 10, Христиания, 1885 г.; Math. Ann., том XVI, стр. 528,
1880 г.
Глава 23
Инвариантные семейства многообразий
Если Х\ • • • хп — координаты точек n-мерного пространства, то
семейство многообразий этого пространства представлено уравнениями вида
Qi(x\ ••• xnJi ••• lm) = 0, ••• f2n-q(xi ••• xn,/i ••• lm) =0, (1)
в которых, помимо переменных х\ • • • хП9 встречаются еще некоторые
произвольные параметры 1\- • • 1т. Если выполнить преобразование
x'i = fi(xl хп) (г = I" п)
пространства х\ • • • хп, то каждое из многообразий (1) переходит в новое
многообразие пространства х\ • • • хп, все семейство (1) превращается
поэтому в новое семейство многообразий. Уравнения этого нового
многообразия получаются, если исключить х\ • • • хп из (1) с помощью п уравнений
х\ = fi(x). Если же теперь, в частности, новое семейство многообразий
совпадает с исходным семейством (1), то есть под действием
преобразования х\ — fi(x) всякое многообразие семейства (1) переходит в
многообразие того же семейства, то мы говорим, что семейство (1) допускает
соответствующее преобразование, и что оно остается под его действием
инвариантным.
Если семейство многообразий пространства х\ • • • хп допускает все
преобразования r-параметрической группы, то мы говорим, что оно
допускает эту группу.
Примеры инвариантных семейств многообразий нам уже часто
встречались; так, всякая интранзитивная группа разбивала пространство на
инвариантное семейство отдельных инвариантных многообразий (гл. 13,
стр. 240), всякая импримитивная группа разбивала пространство на
инвариантное семейство многообразий, которые оно переставляло между собой
(стр. 244 и ниже); каждое отдельное инвариантное относительно группы
многообразие также может быть истолковано как инвариантное семейство
многообразий, а именно как инвариантное семейство точек.
506
Глава 23
В последующем мы рассмотрим совершенно произвольное семейство
многообразий. Сначала выясним, при каких условиях это семейство
допускает отдельное заданное преобразование и заданную г-параметрическую
группу. Затем допустим, что нам дана группа, относительно которой это
семейство остается инвариантным и зададим правило, согласно которому
многообразия этого семейства под действием преобразований этой группы
переставляются между собой. Таким образом, мы получим новый способ
описания групп, изоморфных заданной группе. Наконец, мы дадим метод
нахождения всех инвариантных относительно заданной группы семейств
многообразий.
§ио
Пусть уравнения
Ок{х\ • • • Xn, h - • • 1т) = 0 (k = l---n-q) (1)
с т произвольными параметрами 1\ • • • 1т представляют семейство
многообразий.
Разумеется, поскольку 1\ - • • 1ш — совершенно произвольные
параметры, то х не могут все одновременно исключаться из (1); следовательно,
уравнения (1) должны быть разрешимы относительно n — q из переменных
Х\ • • • хп.
Напротив, I вполне можно исключить из (1), и то, что из (1) можно
получить соотношения только между х, ни о чем не говорит. Только число
независимых, не содержащих / уравнений, следующих из (1), должно быть
меньше, чем n — q, иначе параметры 1\ • • • /г в (1) оказались бы
фиктивными, а уравнения (1) представляли бы не семейство многообразий, а лишь
одно отдельное многообразие.
Прежде чем выяснить, как ведет себя семейство многообразий (1) по
отношению к преобразованиям переменных х, мы должны сделать
несколько замечаний по поводу свойств уравнений (1) как таковых.
Уравнения (1) содержат т параметров 1\ • • • 1т; если мы придадим
этим параметрам все возможные значения, то получим оот различных
систем значений 1\ • • • 1т, но не обязательно оот различных многообразий.
Поэтому надо установить, при каких условиях заданная система уравнений
представляет в точности оош различных многообразий, другими словами,
надо задать критерий того, являются ли параметры в уравнениях (1)
существенными или нет.
Чтобы найти такой критерий, предположим, что уравнения Ок — 0
разрешены относительно n — q переменных из х, скажем относительно
Инвариантные семейства многообразий
507
Xq+i • • • Хп.
Xq+k = ФЯ+к(х1 ' ' ' Xq, 1\ • • • 1т) (к = 1 • • • n - q), (2)
и что функции фд+к в окрестности какой-либо системы значений • • • х®
разложены по степеням х\ — х?, • • • xq — х®. Коэффициенты разложения
в ряд, число которых в общем случае бесконечно велико, будут
аналитическими функциями от 1\ • • • /ш, обозначим их так:
Все зависит теперь лишь от того, сколько имеется друг от друга
независимых среди всех функций Л\, Л2 • • •
Так, если среди Л имеется ровно т друг от друга независимых
функций (больше, чем т, их заведомо быть не может), то оот различным
системам значений 1\ • • • /ш, очевидно, соответствуют также оош различных
систем значений Л\у Л2 • • •, а стало быть, и оош различных многообразий (2),
то есть параметры h - 1т в уравнениях (2), а значит, и в уравнениях (1)
являются существенными.
Иначе будет, если среди функций А\, Л2 • • • нет, а меньше, скажем,
лишь m — h друг от друга независимых. В этом случае все Aj можно
выразить через т — h из них, скажем через Л[ • • - A'm_h, которые, конечно же,
должны быть независимы друг от друга. Поэтому оот различным
системам значений 1\ - • • 1т соответствуют oom~h различных систем значений
Л[ • • • A'm_h и оош~н различных систем значений Л\, А2 • • •, так что
уравнения (2), а стало быть, и уравнения (1) представляют лишь oom_/l
различных многообразий. Отчетливее всего это видно, если учесть, что функции
V>9+/c(x, /) содержат параметры 1\ • • • 1т лишь в связях Л[ - • • A'm_hi то есть
что уравнения (2) имеют вид
Хд+к = Фя+к(х1 * * • хп, Л[ • • • A'm_h) (к = 1 • • • п - q). (2')
А отсюда следует, что мы можем непосредственно ввести в (2)
Л[ - A'rn_h в качестве новых параметров вместо 1\ • • • /ш, за счет чего
число всех встречающихся в (2) произвольных параметров снижается до m — h.
Следовательно, мы можем сказать:
Уравнения
Ok(xi • • • £п, /1 • • • 1т) = 0 (к = 1 ..• п - q)
только тогда представляют различные многообразия, когда невозможно
задать т — h < т таких функций 7Г\ • • • nm-h от 1\ - • • 1т, что в
разрешенных уравнениях
xq+k — i>q+k{xl XqM-" I'm) (k = 1 • • n - q)
508
Глава 23
функции фя+\ • • • фп выражаются только через х\ • • • хя и 7Г\ • • • iTm-h-
Если же можно задать т — h < т функций 7ГМ с таким свойством, то
уравнения Qk = 0 представляют максимум oom~h различных
многообразий, а потому параметры Zi • • • Zm не являются существенными.
К этому добавим еще одно краткое замечание.
Если вышеупомянутые функции Л\, Л 2 • • • принимают при подстановке 1\ =
= /?,••• 1т = 1т значения Л?, Л § • • •, то уравнения
Aj(h • • • lm) = A°j 0 = 1,2-.•)
определяют совокупность всех систем значений 1\ - - • Zm, которые, будучи
подставлены в (2) или (1), дают то же многообразие, что и система значений Z? • • • 1т. Если
же среди функций Лг, Л2 • • • имеется га независимых друг от друга, т. е. все
параметры 1\ • • • 1т являются существенными, то, очевидно, выполняется следующее:
всякую систему значений Z? • • • 1т общего положения можно окружить такой
областью, что две различные системы значений 1\ • • Zm из этой области всегда будут
также давать два различных многообразия.
Данное выше определение существенности или несущественности
параметров 1\ - • • 1т только тогда имеет смысл, когда уравнения Q\ —
= 0, • • • Qn-q = 0 уже разрешены относительно п — q из х. Однако и для
последующего, и само по себе желательно так изменить это определение,
чтобы оно подходило и для неразрешенной системы уравнений Qk — 0.
Это несложно.
Пусть параметры Zi • • • lm в уравнениях
Хя+к = ФЯ+к{Х1 • ' * Хя, 1\ • - • 1т) (к = 1 • • n - q) (2)
не являются существенными, то есть можно задать т — h < т таких
функций 7Ti(Z) • • • 7Гт-н{1)> что фя^.\(х, Z) • • • фп(х, I) можно выразить лишь че-
рез х\ - - • xq и 7Ti(Z) • • • 7rm-h(l)- Очевидно, тогда существует хотя бы одно
линейное дифференциальное уравнение в частных производных:
/х=1 М
с коэффициентами Ai(Z) • • • AM(Z), не содержащими х, которому все
функции 7Ti(Z) • • • 7rm-h(l), а стало быть, и все функции — Vvh(x — О УД°'
влетворяют тождественно. Таким образом, мы можем также сказать (ср.
гл. 7, теорема 15, стр. 130): если в (2) параметры не являются
существенными, то система уравнений (2), истолкованная как система уравнений от
Инвариантные семейства многообразий
509
переменных х\ • • • хп, 1\ • • • /т, допускает инфинитезимальное
преобразование Lf только от переменных 1\ • • • 1т.
Но верно также и обратное: если система уравнений (2),
истолкованная как система уравнений от переменных х\ • • хП9 1\ • • • /т,
допускает инфинитезимальное преобразование Lf только от /, то параметры
^1 • • '1т в этой системе уравнений не являются существенными, а именно:
непосредственно ясно, что фч+\(х,1) - • - 7pn(xJ) являются при
наложенном условии решениями линейных дифференциальных уравнений в
частных производных Lf = 0, то есть можно уменьшить число встречающихся
в (2) произвольных параметров.
Если теперь учесть, что система уравнений (2) является лишь другим
видом системы уравнений (1), то мы сразу видим (ср. стр. 124), что имеет
место следующее
Утверждение 1. Разрешимая относительно п — q из п переменных
х\ • • • хп система уравнений
ttk(Xl-- Xn,h-" lm) = 0 (к = 1 • • • п - q) (1)
с га параметрами 1\ • • • 1Ш задает оот различных многообразий
пространства х\ • • • хп тогда и только тогда, когда она, рассматриваемая как
система уравнений от п + т переменных х\ • • • хп, 1\ • • • 1т, не допускает
никакого инфинитезимального преобразования
только от переменных I.
§ш
Пусть в пространстве х\ • • • хп задано семейство из оот различных
многообразий при помощи уравнений i?fc(x, /) = 0 или равносильных им:
Xq-rk = * * * XqJi • • • lm) (к = I--n-q). (2)
Чтобы это семейство под действием преобразования х\ — fi(x\ - • • хп)
оставалось инвариантным, всякое многообразие этого семейства должно
при этом преобразовании снова переходить в многообразие этого
семейства. Поэтому если мы под 1[ • • • 1'т понимаем параметры того
многообразия семейства, в которое переходит многообразие с параметрами 1\ • • • 1т
510
Глава 23
под действием преобразования х\ — fi(x), то уравнения (2) после введения
новых переменных х[ = • • • х'п = fn(x) должны принимать вид
xq+k = i>q+k(xi ' • ' x'q,l\ * * * l'm) (* = 1 • • • n - q),
где параметры l[ • • • l'm зависят, конечно, лишь от /.
Но тогда уравнения (2) при введении я', очевидно, принимают вид
Xq+k = &q+k(x'i • * ' x'q,l\ • • • lm) (k = l---n-q)\
то есть для того чтобы семейство (2) под действием преобразования х\ =
= fi (х) оставалось инвариантным, необходимо, чтобы n — q уравнений
фя+к{х\ ' • * 4,1[ • - • l'm) = 9q+k(x[ •••x'q,l1---lm) (к = 1 • • • n - q) (3)
могли выполняться независимо от значений переменных х[ • • • x'q.
Если разложить обе части (3) в окрестности какой-либо системы
значений х[° • • • х'п° по степеням х\ — х^0, • • • х'п — х'п°, сравнить
коэффициенты и учесть, что 1[ • • • 1'т — существенные параметры, то мы видим, что
1[ • • • 1'т должны быть совершенно определенными функциями от 1\ • • • 1т:
С = Хц.{1\ lm) (М = 1 • т).
И наоборот, разумеется, / также должны представляться как функции
от Г, поскольку и при переходе от х' к х семейство наших многообразий
должно оставаться неизменным.
Таким образом, мы видим, что уравнения
xi — fi(xl '' * хп) (г = 1 • • • п), 1'^ — Хц(1\ '"1т) = 1 • • • ш),
взятые вместе, представляют преобразование вп+m переменных х\ • • • хп,
h" • lm, оставляющее систему уравнений хя+к — фд^.к(х, I) в этих п + га
переменных инвариантной. Следовательно, мы можем сказать:
Семейство из оош многообразий
Ок(х\ ' ' • хп, h * * ' lm) = 0 (к = 1 • • • п - q)
пространства х\ • • • хп допускает преобразование
х'г = fi(xl • ' * хп) (t = 1 • • • п)
тогда и только тогда, когда можно добавить к этому преобразованию
в переменных х соответствующее преобразование
I'» = X»(h '" lm) (д = 1 • m)
Инвариантные семейства многообразий
511
в переменных I, такое, что система уравнений f2k(x,l) = О от п + тп
переменных х\ • • • хп, 1\ • • • 1Ш допускает преобразование
xi = fi(xl ' ' ' хп), 1'ц = X»(h ' ' ' lm)-
Из рассуждений выше следует, что преобразование 1'^ = Хм (0» если
оно вообще существует, единственно в своем роде; оно полностью
определено, если преобразование х[ = fi(x) известно. Поэтому преобразование
— Хм (0 не содержит [никаких] произвольных параметров.
Если семейство из оош многообразий 14 (х, I) = 0 допускает два
различных преобразования
х% == fi(xl ' ' ' хп)\ х% — Р%(х\ ' ' ' xn)i
то оно, очевидно, допускает также преобразование
х'! = fn(x)),
возникающее в результате последовательного выполнения этих двух
преобразований. Отсюда мы заключаем:
Совокупность всех преобразований х\ = fi(x\ • • • хп), оставляющих
семейство из оош многообразий пространства х\ - • • хп инвариантным,
образует группу.
Эта группа не обязательно должна быть конечной или непрерывной;
мы можем в общем случае сказать только следующее: ее преобразования
упорядочиваются в пары взаимно обратных. Поэтому если она, в
частности, содержит только конечное число произвольных параметров, то
относится к категории групп, обсуждавшихся в гл. 18, и содержит согласно
теореме 56, стр. 349, совершенно определенную, порожденную
инфинитезимальными преобразованиями конечную непрерывную подгруппу. Эта
подгруппа, очевидно, — наибольшая непрерывная группа, относительно
которой семейство Ok(x> I) = 0 остается инвариантным.
Теперь мы переходим к рассмотрению конечных непрерывных групп,
оставляющих семейство из оош многообразий
ttk(xi ' • • Хп,1\ • • • 1Ш) = О (к = 1 • • • n - q) (1)
инвариантным; но для простоты мы ограничимся случаем
однопараметрической группы с таким свойством.
Пусть семейство из оош многообразий (1) допускает все
преобразования
х\ = fi(xi хп,е) {{ = !••• п) (4)
512
Глава 23
однопараметрической группы
i=l
Пусть преобразование в переменных /, соответствующее согласно стр. 510
общему преобразованию х\ = fi(x, е), будет таким:
lp = XiA{li---lm,e) (д = 1-т). (4')
Легко видеть, что совокупность всех преобразований вида
х\ = fi(x\ • • • хп,е) (г = 1 • • • п),
С = Хм(^1 lm,e) (М = 1 • • • т),
(4-)
в свою очередь, образует однопараметрическую группу отп + ш
переменных Х\ • • • Хп,1\ • • • /т.
Действительно, преобразования (4") согласно стр. 510 оставляют
систему уравнений (1) инвариантной; поэтому если сначала выполнить
преобразование (4"), а затем преобразование того же вида с параметром е\9 то
получится преобразование
х" = (ж, е) • • • /п(х, г), 5i) (t = 1 • ■ • п),
С = (*>£) * * * Xie), ei) (д = 1 • • • m),
также оставляющее систему уравнений (1) инвариантной. Тогда
преобразование
х" = fi(fi(x,e)-- - fn{x,e),ei) (5)
принадлежит однопараметрической группе Xf, и потому его можно
привести к виду
х" = fi(X\ • • • Хп,£2) (г = 1 •■• п),
где 82 зависит лишь от е и е \. Следовательно, то преобразование в
переменных /, которое соответствует преобразованию (5), имеет вид
и поэтому
X/i(Xl(^)'" Xm(^),£l) = XiAh lm,£2) (/i = m).
Инвариантные семейства многообразий
513
Тем самым доказано, что уравнения (4") действительно представляют
однопараметрическую группу вп + m переменных х\ • • • хп, 1\ • • • /т,
причем она имеет такую же группу параметров, что и заданная группа х\ =
= fi(x,e)- В то же время ясно, что уравнения (4'), взятые сами по себе,
представляют группу от переменных 1\ • • • Zm, правда, мы не знаем,
является ли эта группа однопараметрической, так как вполне возможно, что
параметр е в уравнениях (4') совсем отсутствует.
Преобразования группы (4) упорядочиваются в пары взаимно обратных, для
преобразований группы (£") очевидно выполняется то же самое. Отсюда следует
(ср. гл. 9, стр. 188), что и группа (4") содержит тождественное преобразование и,
кроме того, инфинитезимальное преобразование
Е^*1 • • • + Е • • • '»0 If = */ + Lf>
1=1 1 /i=l ^
которым она порождена.
Полученные результаты обобщим в следующем утверждении.
Утверждение 2. Если семейство из оот многообразий
&к{х\ • • • ХпМ ' • * 1т) = 0 (* = 1 *' • п - q)
в пространстве х\ • • • хп допускает все преобразования
х\ = fi(x\ • • • xn,е) (t = 1 • • • п)
однопараметрической группы
Xf = 5^6(^1 Xn)~faT.i
то описанные выше преобразования
х\ = fi(xi • • • хп,е) (i = 1 • • • п),
С = Xv(h ''' lrn,e) О* = 1 • • • rn),
оставляющие инвариантной систему уравнений Q\ (х, I) = 0, • • • Qn-q(x,l) =
= 0 от п + т переменных х\ • • • хп, 1\ • • • 1Ш, образуют
однопараметрическую группу, отвечающую инфинитезимальному преобразованию вида
= Xf + Lf.
514
Глава 23
Теперь дадим следующее
Определение. Семейство многообразий
Qk(x\ • • • Хп, h • • • lm) = 0 (к = 1 • • • п - q)
пространства Х\ • • • хп допускает инфинитезимальное преобразование
i=i °хг
если в переменных 1\ ■ ■ • 1т существует такое инфинитезимальное
преобразование
b/ = X>M(Jl"-lm)|p
/х=1 м
что система уравнений Q\(x,I) = 0, • • • Qn-q(x,I) = О от п + га wejpe-
менных х\ - • • хп, h • • • lm допускает инфинитезимальное преобразование
Xf + Lf.
Еще здесь остается вопрос, полностью ли инфинитезимальное
преобразование Lf определено преобразованием Xf. Легко видно, что это так;
если система уравнений Qk{x,l) = О допускает два инфинитезимальных
преобразования, Xf + Lf и Xf + £/, то она одновременно допускает
преобразование
+ -(*/ + £/) =£/-£/,
а поскольку параметры семейства Qk(x,l) = О являются существенными,
то выражение Lf — £/ должно обращаться в нуль тождественно, поэтому
преобразование £/ не может отличаться от преобразования Lf.
Взяв за основу данное выше определение, мы можем, очевидно,
выразить содержание утверждения 2 еще и так:
Если семейство из оош многообразий
Qk(x\ • • • Хп, h • • • lm) = 0 (к = 1 • • • п - q)
допускает однопараметрическую группу Xf, то оно в то же время
допускает инфинитезимальное преобразование Xf.
И наоборот, если семейство из оот многообразий Qk(x,l) = О
допускает инфинитезимальное преобразование Xf, то оно также допускает
однопараметрическую группу Xf.
При наложенном условии система уравнений Qk(x,l) — О допускает
вп + m переменных х, / инфинитезимальное преобразование вида
X/+ L/= • • • *n)|f + £ • • • Zm)^-,
Инвариантные семейства многообразий
515
поэтому она в то же время допускает все преобразования
однопараметрической группы Xf + Lf, но это означает, что семейство из оот многообразий
f?k(x,l) = 0 пространства х\ • • • хп допускает все преобразования
однопараметрической группы Xf.
Тем самым доказано
Утверждение 3. Семейство, состоящее из оош многообразий,
Qk{X\ • • • Хп, 1\ • • • 1т) = 0 (к = 1 • • п - q)
пространства х\ • • • хп, допускает однопараметрическую группу Xf
тогда и только тогда, когда оно допускает инфинитезимальное
преобразование Xf.
Если мы хотим знать, допускает ли семейство из оош многообразий
/) = 0 заданное инфинитезимальное преобразование X/, то сначала
надо разрешить уравнения Ок(х, I) относительно n — q переменных из х:
Xq+k = 1pq+k{xi * * ' Xq, l\ - • • lm) {k = 1 • • • 71 - q), (2)
а затем постараться найти m таких функций Ai (/)••• Am(/) от /, чтобы
система уравнений (2) от п + т переменных х, I допускала
инфинитезимальное преобразование
Xf + Lf = ...*„)!£ + f; AM(b • • • lm)^f.
Если обозначить подстановку xq+\ = Wh> ' * * xn = Фп знаком [ ], то
для Ai(/) • • • Am(/), очевидно, получаются следующие уравнения:
которые должны выполняться независимо от значений переменных х\ • • • хя.
Теоретически совсем несложно понять, возможно ли это. Либо мы
обнаружим, что не существует системы функций Ам(/) с требуемым свойством,
либо найдем такую систему, но тогда только одну, так как
инфинитезимальное преобразование Lf, если оно вообще существует, полностью
определено преобразованием Xf.
Теперь докажем, что верно следующее
Утверждение 4. Если семейство, состоящее из оош многообразий
Qk{x\ - - • Хп, h ' ' ' lm) = 0 (k = 1 • • ■ п - q)
516
ГЛАВА 23
пространства х\ • - • хп, допускает два инфинитезимальных
преобразования
г=1 1 г=1 г
то оно допускает не только всякое преобразование
e\Xif + e2X2f,
которое может быть линейно получено из Xif и X2f, но также и
преобразование (XiX2).
При условиях, наложенных в этом утверждении, имеется два
инфинитезимальных преобразования Lif и L2f только от /, таких, что система
уравнений flk(x,l) = 0 от п + т переменных х,1 допускает оба
инфинитезимальных преобразования Xif + Lif, X2f + L2f. Тогда согласно
гл. 7, утв. 5, стр. 131, система уравнений Qk(x,l) = О допускает также
возникающее в результате комбинации инфинитезимальное
преобразование (XiX2) + (LiL2); но это означает не что иное, как то, что семейство из
оош многообразий Qk(x,l) = О допускает также (XiX2). Таким образом,
утверждение доказано.
Из рассуждений, примененных при проведении этого доказательства,
следует также:
Если семейство из оот многообразий 12*(ж,/) = 0 допускает два
инфинитезимальных преобразования, Xif и X2f, a Lif и L2f являются
соответствующими инфинитезимальными преобразования только в
переменных li - • • lm, то преобразованию (XiX2) соответствует
преобразование (LiL2).
Допустим теперь, что семейство из оош многообразий Qk(x,l) = О
пространства х\ - • • хп допускает все преобразования какой-либо
г-параметрической группы
xi = fi(xl ' ' ' хп, Q>1 • ' ' 0>г) (г = 1 • п). (6)
Пусть эта группа порождена г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями
Xkf = У2ы{х1 - - - хп)-к— (* = 1 ■ •• г),
i=l °Xi
так что между Xif-- - Xrf могут иметь место соотношения известного
вида
г
(XiXk) = ^2 CiksXsf (t,fc = 1 • • • г).
3 = 1
Инвариантные семейства многообразий
517
Если
С = Xn(h ''' lm, а>1 • • • Or) (м = 1 • • m) (6')
— такое преобразование в переменных /, которое соответствует
общему преобразованию группы X\f • • • Xrf, то уравнения (6) и (б7), вместе
взятые, представляют г-параметрическую группу от п + т переменных
Х\ • ' ' ХП9 1\ • • • 1т.
Действительно, если Т(в1... вг), или кратко Т(в), и Т]^... br) — два
преобразования группы х[ = fi(x, а), то, выполненные последовательно, они, как
известно, дают в результате преобразование Т(а)Т(ь) = Т(с) той же самой
группы, причем параметры с\ • • • сг зависят только от а и 6.
Если, с другой стороны, 5(а) и 5(&) — такие преобразования (6'),
которые соответствуют преобразованиям Т(а) и Т(Ь), то преобразование в
переменных соответствующее преобразованию Т(а)Т(&), очевидно,
получается, если выполнить последовательно преобразования 5(в) и 5(&), то
есть преобразованию Т(а)Т(ъ) соответствует преобразование 5(а)5(ь).
Однако Т(а)Т(ь) = Т(с), и преобразованию Т(с) соответствует в переменных /
преобразование 5(с), то есть должно быть 5(а)5(&) = 5(с).
Тем самым доказано, что уравнения (6) и (6') действительно
представляют r-параметрическую группу от переменых х\ • хП91\ • • • /т, причем
группу, голоэдрически изоморфную группе х\ — fi(x,a); эти две
группы, очевидно, имеют одну и ту же группу параметров (ср. гл. 21, стр. 465
и ниже).
Одновременно с этим доказано, что и уравнения (6'), в свою очередь,
представляют группу от переменных 1\ • • • /ш, а именно: как следует из
одновременного выполнения символических соотношений
Т(а)Т(Ь) = Т(с)
и
S(a)S(b) = ^(с),
группу, изоморфную группе х\ = /г(х, а) (ср. гл. 21, стр. 465 и ниже). Если
каждому преобразованию группы (6) поставить в соответствие то
преобразование группы (6'), которое им задается, то группы (6) и (6') окажутся
связанными между собой изоморфизмом.
Изоморфизм этих двух групп не обязательно должен быть
голоэдрическим, группа (6') при определенных условиях может даже сводиться к
тождественному преобразованию, а именно, если группа х\ — fi(x, а)
оставляет каждое отдельно взятое из оот многообразий неподвижным.
518
Глава 23
Мы покажем, что группа, представляемая уравнениями (6) и (6') в
совокупности, порождена г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями.
Поскольку семейство из оот многообразий J2fc(x, I) = О допускает все
преобразования группы х- = /Дх, а), то оно, в частности, допускает
любую из г однопараметрических групп X\f • • • Xrf, то есть согласно утв. 3,
стр. 515, оно также допускает любое из г инфинитезимальных
преобразований Xif- - Xrf. Отсюда следует, что всякому инфинитезимальному
преобразованию Xkf соответствует совершенно определенное
преобразование
т q j
Lkf = ^2 * * * lm)~Qf>
такое, что система уравнений i?fc(x, 0 = 0 от п + га переменных х\ • • • хп,
h'-' lm допускает инфинитезимальное преобразование Xkf + Lkf.
В то же время система уравнений ДДх, /) = О, конечно, допускает
всякое инфинитезимальное преобразование e\(Xif+L\f)-\ \-er{Xrf+Lrf)
и вследствие этого также всякую однопараметрическую группу e\(X\f +
+ Lif) + • • • + er{Xrf + Lrf). Поскольку группа х\ = fi(x,a) состоит
из совокупности всех однопараметрических групп e\X\f + • • • + erXrf9
то группа, представленная уравнениями (6) и (6'), должна, очевидно, быть
идентична совокупности всех однопараметрических групп, то есть
должна порождаться г независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Xkf + Lkf, что и требовалось доказать.
Тогда отсюда следует, что любые два из этих инфинитезимальных
преобразований удовлетворяют соотношениям вида
г
(Xif + LJ, Xkf + Lkf) = J2ciks(*sf + L3f).
3 = 1
Проверяя это непосредственно, мы получим новое доказательство того, что
все конечные преобразования х[ = /Дх, а), = хЛ^а) образуют группу.
В то же время мы видим, что diks = с^в, что согласуется с тем, что наша
группа в племенных х и / имеет ту же группу параметров, что и заданная
группа х\ — /г(х,а).
Система уравнений Qk(x, I) = 0 допускает одновременно с г
инфинитезимальными преобразованиями X\f+L\f, • • • Xrf-{-Lrf преобразования
г
(XtXk) + (LiLk) = c*sX3f + (Li, Lk) (t, к = l • • • r),
Инвариантные семейства многообразий
519
а стало быть, и следующие:
г г
{XiXk) + (LiLk) - ^CiksiXsf + L3f) = (Li,Lk) - ^CiksLsf
3=1 3 = 1
только в переменных 1\ • • • 1т. Однако в силу характера системы уравнений
Фь(ж>0 = 0 это возможно лишь тогда, когда вышеупомянутые
инфинитезимальные преобразования обращаются в нуль тождественно, то есть когда
имеют место соотношения
г
(LiLk) = y^^CjksLsf.
3=1
Отсюда немедленно следует:
г
(ХгХк) + (LiLk) = Y,Cik3(X3f + Lsf),
3=1
чем доказано указанное свойство объединенных уравнений (6), (6').
Само собой разумеется, что из вышесказанного следует, что группа (6')
порождена г инфинитезимальными преобразованиями L\j • • • Lrf. В то же
время мы имеем в вышестоящих рассуждениях доказательство того, что
уравнения (6') представляют группу в переменных 1\ • • • /ш, изоморфную
группе Xif-- - Xrf.
Упомянутая на стр. 516 изоморфная связь между группами (6) и (6')
может теперь быть еще определена так, что всякому инфинитезимальному
преобразованию e\X\f Л Ь erXrf она ставит в соответствие
инфинитезимальное преобразование e\L\f Н Ь erLrf в переменных /.
Таким образом, мы имеем следующее
Утверждение 5. Если семейство, состоящее из оош многообразий
Qk(x\ • • • xn, h • • • 1т) = 0 (к = 1 ■ ■ • п - q)
пространства Х\ • • • хп, допускает г независимых инфинитезимальных
преобразований
п f)f
Xkf = ^Ы(Х1' - xn)-~— (* = 1- г)
i=l °Xi
г-параметрической группы со структурой:
г
(XiXk) = ]Р CiksXsf (г, к = 1 • • • г),
520
Глава 23
так что каждому Xkf отвечает вполне определенное инфинитезимальное
преобразование
с тем свойством, что система уравнений Пк(х,1) = 0 от п+т переменных
Х\ хп, 1\ - • • 1т допускает г инфинитезимальных преобразований Xkf+
+ Lkf, то г инфинитезимальных преобразований Lkf находятся попарно
в соотношениях
то есть порождают группу, изоморфную группе X\f • • • Xrf.
Здесь мы хотим четко сформулировать и независимо доказать еще одно
утверждение.
Утверждение 6. Если г-параметрическая группа X\f — - Xrf
пространства х\ • • • хп содержит ровно р ^ г независимых
инфинитезимальных преобразований, оставляющих инвариантным семейство из оош
многообразий
Qk(x\ • • • Хп, 1\ • • • 1т) = 0 (k = 1 • • • п - q),
то эти р независимых инфинитезимальных преобразований порождают
р-параметрическую подгруппу группы X\f • • • Xrf.
Доказательство очень простое. Пусть
— независимые инфинитезимальные преобразования группы X\f • • • Xrf,
оставляющие семейство Qk(x,l) = 0 инвариантным, так что любое
другое инфинитезимальное преобразование e\X\f Н Ь erXrf, для которого
это справедливо, можно получить линейно из E\f • • • Epf. Тогда согласно
утв. 4, стр. 515, семейство Qk(x,l) = 0 также допускает всякое
инфинитезимальное преобразование (Б^Би) группы X\f • • • Xrf, кроме того, имеют
место соотношения
г
г
1... р)
р
7г = 1
Инвариантные семейства многообразий
521
в которых дц1/п означают константы. Отсюда следует, что S\f • • • Spf
действительно порождают р-параметрическую группу.
Если заданы семейство из ос771 многообразий
Ок{х\ - • • XnJi • • • /ш) = 0 (к = 1 ■ • • п - q)
и г-параметрическая группа X\f • • • Xrf пространства х\ • • • хп, то можно
спросить, сколько независимых инфинитезимальных преобразований
группы X\f • • Xrf допускает заданное семейство. Посмотрим, как можно
ответить на этот вопрос.
Если семейство Qk{x, I) =0 допускает инфинитезимальное
преобразование вида e\X\f-\ \-erXrf, то должно существовать такое
инфинитезимальное преобразование Lf только от /, что система уравнений Qk{x, I) = О
от п+т переменных х\ • • • хп, 1\ • • • 1т допускает инфинитезимальное
преобразование ^2 ekXkf+Lf. Поэтому если мы предположим, что уравнения
i?/c(x, /) = О разрешены относительно п — q из переменных х:
Xq+k = ' ' * Xq,l\ • • • lm) (к = 1 • • • n - q),
и обозначим подстановку = ^+1, • • • хп = *фП9 как и на стр. 515, через
[ ], то нам надо лишь задать константы е\ • • • ег и функции Ai(/) • • • Am(/)
в общем виде так, чтобы п — q уравнений
выполнялись независимо от значений переменных х\ • • • хп. Таким
образом, мы найдем наиболее общее инфинитезимальное преобразование
£\X\f + V erXrf, оставляющее семейство fik(x, I) = О инвариантным.
§ш
Если семейство из оош многообразий
Пк{х\ • • • Хп, h * * ' lm) = 0 (к = 1 •. • п - q) (1)
допускает преобразование х\ = fi(x\ • • • хп), то, как мы видели на стр. 509,
существует совершенно определенное преобразование 1^ = хЛ^ "' 'm)»
такое, что система уравнений Пк(х,1) = 0 от п + га переменных х,1
522
ГЛАВА 23
допускает преобразование
Х\ = fi(Xi--- Хп) (» = 1-
{
С = X/x('l lm) (/i= m).
На стр. 509 мы уже замечали, что уравнения = Хм(0 задают параметры
1[ • • • 1'ш того многообразия инвариантного семейства (1), в которое
многообразие с параметрами 1\ • • • 1т переходит под действием преобразования
х\ — fi(x). Поэтому если мы рассмотрим 1\ • • • 1т просто как координаты
отдельных многообразий семейства (1), то уравнения = Хм(0 зададут
правило, по которому многообразия нашего инвариантного семейства
переставляются между собой преобразованием х\ = fi(x).
Если, например, специальная система значений • • • 1т допускает
преобразование
С = '"1т) (М = I"' т),
то многообразие
одновременно допускает преобразование
#i = fi(Xi • • • Xn) (t = 1 • • • n).
Действительно, многообразие flk(x,l°) = 0 переходит при
выполнении преобразования х\ = fi(x) в новое:
Пк(х[ • • • Х'п, Xl(l°) ' ' • Хт(1°)) =0 (к = 1 •. • п - д);
однако при наложенном условии
О = # (Ai = l-m),
то есть новое многообразие совпадает со старым, и многообразие
Пк(х, 1°) = 0 действительно остается инвариантным.
Обратное же выполняется не всегда. Если специальное многообразие
Пк(Х1--'Хп,$.--1т)=0 (k = l-n-q)
семейства (1) допускает преобразование х\ = /г(х), то отсюда не
обязательно следует, что система значений /J • • • 1т допускает
преобразование 1'ц = Хм(0- Вполне возможно, что система значений • • • 1т
входит в непрерывное множество систем значений 1\ • • • /ш, которые, будучи
Инвариантные семейства многообразий
523
подставленными в (1), дают то же многообразие, что и система значений
'? * *' 'т> в этом случае из инвариантности многообразия 1\ • • • 1т следует
лишь то, что отдельные системы значений 1т только что
определенного множества преобразований = Хм(0 переставляются между собой,
а не то, что система значений • • • остается под действием этого
преобразования инвариантной.
Если же 1к имеют не специальные, а общие значения, то многообразие
Пк(х,1) = О допускает преобразование х[ = fi(x) только тогда, когда
система значений 1к допускает соответствующее преобразование =
= Хм (0» тем самым это условие является необходимым и достаточным.
Рассмотрим теперь общий случай, когда семейство из оош
многообразий
Qk(xi • • • Хп, h • • • lm) = 0 (k = 1 • • • п - q) (1)
допускает г-параметрическую группу
xi = fifei • • • sn,ai • • • ar) = 0 (t = l • • • n)
с г независимыми инфинитезимальными преобразованиями Xif-- - Xrf.
Пусть группа от переменных /, соответствующая группе х\ = fi(x, а),
имеет вид
С = X»(h " • " 'm> Л1 • • ■ Or) (/i = 1 • • • m)
и порождена г инфинитезимальными преобразованиями L\f - - - Lrf,
которые, разумеется, в свою очередь соответствуют инфинитезимальным
преобразованиям Xif --• Xrf.
Теперь, прежде всего, спрашивается, как выяснить, оставляет ли
инфинитезимальное преобразование e\Xif Н Ь e^Xrf определенное,
входящее в семейство (1) многообразие
Пк(х1---Хп,1°1-'-1°т)=0 (* = 1--.п-9) (7)
инвариантным?
Легко видеть, что многообразие (7) допускает инфинитезимальное
преобразование e\Xif Н Ь e^Xrf всякий раз тогда, когда система
значений li - •• 1т допускает инфинитезимальное преобразование e\Lif Н h
+ e°rLrf.
Действительно, система уравнений (1) от п + т переменных xi -- • хп,
h- - lm допускает при наложенных условиях инфинитезимальное
преобразование ^2e°j{Xjf + Ljf); то есть n — q выражений
524
Глава 23
одновременно обращаются в нуль в силу Q\(x,l) = 0, • • • Qn-q(x,l) = 0.
Это также справедливо, если положить l\ = I®, • • • 1т = 1^; однако теперь
система значений • • • допускает инфинитезимальное преобразование
^2 c°jLjf, и потому т выражений
е?А1д(/°) + • • • + e°r\r»(l°) (м = 1 •. - т)
одновременно обращаются в нуль. Следовательно, все п — q выражений
V- fv- о, , Д дПк(х,1°)
£|X>fc«(*)> QXi (*=i-n-*)
обращаются в нуль в силу (7), то есть многообразие (7) действительно
допускает инфинитезимальное преобразование ^e^Xjf.
Однако найденный таким образом достаточный критерий не является
необходимым.
Если наше семейство многообразий Ок(х, I) = 0 относительно
группы X\f • • • Xrf остается инвариантным, то для того, чтобы специальное
многообразие Qk(x,l°) = 0 при этом допускало инфинитезимальное
преобразование e®Xif Н + e®Xrf, необходимо, чтобы п — q выражений
ЕЕ
M=lj=l
ru /90.дПк{х,1°)
dl
в силу системы уравнений Qk(x,l°) = 0 стали равны нулю; но вовсе не
обязательно, чтобы г выражений ^ e^Aj/i(/°) сами обращались в нуль.
Поэтому если мы желаем знать, допускает ли многообразие fik(x,l) =
= 0 инвариантного семейства одно или более инфинитезимальных
преобразований, и если мы хотим, кроме того, для каждого многообразия 1к найти
соответствующие инфинитезимальные преобразования, то надо задать ек
в общем виде как функции от / такими, что уравнения
ЕЕ«)^=о (8)
становятся следствием системы уравнений Пк(х,1) = 0. Но поскольку,
согласно предположению выше о том, что / являются существенными
параметрами, система уравнений Qk(x,l) = 0 от п + т переменных х,1 не
Инвариантные семейства многообразий
525
может допускать никакого не обращающегося тождественно в нуль
преобразования
/i=lj = l
то следует с необходимостью:
eiAiM(Z) + • • • + erXrfl{l) = О (д = l,2•.. m).
Таким образом, мы имеем следующее:
Если ^2ekLkf — самое общее инфинитезимальное преобразование,
входящее в группу Lif • • - Lrf, оставляющее систему значений общего
положения - • • инвариантной, то ^ ekXkf — самое общее
инфинитезимальное преобразование, входящее в группу X\f - • • Xrf и оставляющее
многообразие (7) общего положения инвариантным.
Мы можем предположить, что из г инфинитезимальных
преобразований L\f • • • LTf ровно т — р, скажем Lif • • • Lm_p/, не связаны никакими
линейными соотношениями вида
(*i(h - • • lrn)Lif Н Ь am_p(/i • • • lm)Lm-Pf = О,
в то время как Lm-P+if• • • Lrf можно выразить линейно через Lif • • •
Lm—pf'-
гп—р
Lm-p+jf = ^2 a3^ih ' ' ' lrn)L^f (j = r-m + p).
Это условие мы можем всегда налагать, даже если инфинитезимальные
преобразования Lif • • • Lrf не являются независимыми друг от друга, что
вполне возможно.
Теперь ясно, что г - га + р инфинитезимальных преобразований
т—р
Lm-p+jf- J2a^ ('I"" lm)L*f 0 = 1- r-m-fp) (9)
оставляют систему значений /J • • • I™ инвариантной; а поскольку • • • I™,
кроме того, является системой значений общего положения, то мы сразу
видим, что всякое инфинитезимальное преобразование ^ ekLkf, при
котором эта система значений остается инвариантной, может быть линейно
526
Глава 23
получена из г — га + р преобразований (9). Следовательно, наиболее общее
инфинитезимальное преобразование YlekXkf, оставляющее
многообразие (7) в общем положении инвариантным, может быть линейно получено
из г — га + р преобразований:
т—р
Xm-p+jf- £aJM(/?...C)XM/ 0 = 1-"Г-т + р). (10)
Само собой разумеется, что инфинитезимальные преобразования (10)
являются независимыми друг от друга и порождают (г — га +
р)-параметрическую группу, а именно наиболее общую подгруппу, содержащуюся
в группе X\f • •• Xrf, относительно которой многообразие (7) остается
инвариантным.
Если, в частности, группа L\f • • • Lrf транзитивна, то целое число р
имеет значение нуль; стало быть, в этом случае всякое многообразие
семейства (1), находящееся в общем положении, допускает в точности г — га
независимых инфинитезимальных преобразований группы X\f • • • Xrf.
Таким образом, мы получаем
Утверждение 7. Если семейство, состоящее из оош многообразий
Qk{x\ • • • хп, 1\ • • • 1т) = 0 (к = 1 • • • п - q),
допускает г-параметрическуюгруппу X\f • • • XTf, если, далее, L\f • • • Lrf —
инфинитезимальные преобразования только от переменных I,
соответствующие Xjf, и если, наконец, L\f • • • Lrf связаны г — т + р
независимыми соотношениями вида ^ (3j(l)Ljf = 0, то группа X\f - • • Xrf
содержит ровно г — т + р независимых инфинитезимальных
преобразований, которые оставляют инвариантным многообразие 1\ - •• 1т общего
положения. Эти преобразования порождают (г —т-\-р)-параметрическую
группу. Если группа L\f - • • Lrf от т переменных 1т транзитивна,
то каждое находящееся в общем положении многообразие из семейства
i?fc(x, /) =0 допускает ровно г — т независимых инфинитезимальных
преобразований группы X\f • Xrf, и эти инфинитезимальные
преобразования порождают (г — т)-параметрическую подгруппу.
Добавим к этому естественное замечание, что группа L\f • • • Lrf от
переменных 1\ • • • 1т транзитивна тогда и только тогда, когда всякое
многообразие семейства i?fc(x, /) = 0, находящееся в общем положении, может
быть переведено в любое другое при помощи как минимум одного
преобразования группы X\f • • • Xrf.
Инвариантные семейства многообразий
527
§из
Пусть в n-мерном пространстве х\ - - - хп задана г-параметрическая
группа Xif • - • Xrf и, кроме того, какое-либо многообразие, которое мы
обозначим через М. Мы предполагаем, что в уравнениях для М не
встречается никаких произвольных параметров.
Если выполнить все оот преобразований группы X\f • • • Xrf,TO оно
перейдет во множество новых многообразий. Мы докажем, что
совокупность всех этих многообразий остается инвариантной относительно группы
X\f ••• Xrf, и что они образуют инвариантное относительно этой группы
семейство.
Пусть М' — какое-либо многообразие, соответствующее
вышеупомянутому многообразию, а Т\ — такое преобразование группы Xif - • • Xrf,
которое переводит М в М'. Таким образом, имеет место символическое
уравнение
(М)Тг = (М').
Тогда, если Т — произвольное преобразование этой группы, мы имеем
(М')Т = (М)ТгТ = (М)Г2,
где преобразование Т2 опять же принадлежит группе; следовательно,
многообразие М' переходит под действием преобразования Т в другое
многообразие упомянутой совокупности. Поскольку это выполняется для
любого многообразия М' этой совокупности, то мы видим, что
многообразия, принадлежащие этой совокупности, переставляются между собой
преобразованием Т, а стало быть, и вообще всеми преобразованиями
группы X\f--- Xrf, и что определенная выше совокупность многообразий
действительно образует семейство, инвариантное относительно группы
Xrf ■■■Xrf.
Легко видеть, что любое многообразие этого инвариантного семейства
может быть переведено в другое многообразие этого семейства по меньшей
мере одним преобразованием группы. Так, если
(М') = (М)ТЬ (М") = (М)Г2,
то (М) = (M')Tj-1, следовательно,
(М") = (MOTf^a,
тем самым утверждение доказано. В то же время отсюда следует, что
мы также получим упомянутое семейство многообразий, если применим
к какому-либо из его многообразий все оог преобразований этой группы.
528
Глава 23
Таким образом, мы имеем следующее
Утверждение 8. Если к заданному многообразию пространства Rn
применить все оог преобразований г-параметрической группы X\f ••• Xrf
этого пространства, то совокупность всех положений, принимаемых
в результате этим многообразием, образует инвариантное
относительно этой группы семейство многообразий. Каждое многообразие из этого
семейства может быть переведено в любое другое по крайней мере
одним преобразованием группы. Из каждого отдельного из данных
многообразий это семейство можно получить таким же образом, как из
исходного.
Многообразие М будет допускать некоторое число, предположим,
ровно г — т независимых инфинитезимальных преобразований группы
X\f • • • Xrfx. Тогда эти преобразования порождают (г —
т)-параметрическую подгруппу (ср. теорему 31, стр. 230).
Пусть S — общий символ преобразования этой подгруппы, то есть,
(M)S = (М); пусть, далее, Т\ — какое-то преобразование группы
X\f • • • Xrf9 и пусть М переходит под действием 7\ в новое положение
М'\ (М') = (M)Ti. Тогда легко можно задать все преобразования Т
группы Xkf, переводящие М в М'.
Итак, мы имеем
(М)Т = (М/) = (М)Г1,
следовательно,
(M)TTf1 = (М),
то есть TT-f1 — это преобразование 5, a STi — общий символ всех
преобразований группы Х/е/, переводящих М в М'. Но преобразований STi
имеется ровно столько, сколько имеется различных преобразований S, то
есть осг_т.
Подобным образом находятся все преобразования в нашей группы,
оставляющие М' инвариантным. Из (М')6 = (М') и (М)7\ = (М')
получаем
(M)Ti&T~l = (М),
1 Совокупность всех конечных преобразований группы Xif • • • Xrf, оставляющей
многообразие М инвариантным, всегда образует подгруппу (теорема 32, стр. 231), которая, однако,
не обязана быть конечной непрерывной группой. Если мы тем не менее в последующих
рассуждениях неявно сделаем предположение, что эта подгруппа порождается инфинитезималь-
ными преобразованиями, то это не должно рассматриваться как существенное ограничение,
так как мы можем оговоренную на стр. 16 область ((a)) всегда подходящим образом сузить.
Инвариантные семейства многообразий
529
следовательно,
TjSTf1 = S, в = T^STi.
Таких преобразований также oor~m различных, и их совокупность образует
(г — ш)-параметрическую подгруппу, которая внутри группы Xkf является
равноправной с группой, образованной преобразованим 5.
Обобщим эти результаты следующим образом.
Утверждение 9. Если многообразие М пространства Rn допускает
ровно г — т независимых инфинитезимальных преобразований
г-параметрической группы X\f • • • Xrf, или короче — Gr, и S — общий символ для
oor-m конечных преобразований той (г — т)-параметрической подгруппы,
которая порождена этими r — т инфинитезимальными преобразованиями,
если, наконец, Т — какое-нибудь преобразование из Gr: X\f • • • Xrf, и М
принимает в результате применения Т новое положение М', mo Gr
содержит ровно оог~т различных преобразований, которые также переводят
М в М', их общий символ имеет вид ST. Более того, Gr содержит ровно
оог~ш преобразований, оставляющих М' инвариантным, последние
записываются в виде T~1ST и образуют (г — т)-параметрическую подгруппу,
которая равноправна в Gr с группой S.
Если мы предположим, что над уравнениями многообразия М
произведены оог преобразований х\ = /Дх, а) группы X\f • • • Xrf, то мы
получим аналитическое выражение указанного инвариантного семейства
многообразий. Формально это выражение содержит г параметров а\ • • • аг, но
не все они обязательно должны быть существенными. Определим число га'
существенных параметров среди а\ • • • аг.
Наше инвариантное семейство состоит из оот различных
многообразий, и любое из этих многообразий может быть переведено в любое другое
преобразованием группы X\f ••• Xrf. Поэтому согласно утверждению 7,
стр. 526, каждое отдельное из оош многообразий допускает г — га'
независимых инфинитезимальных преобразований группы Gr; однако, из
вышесказанного мы знаем, что при наложенных условиях любое из этих
многообразий допускает ровно oor~m конечных преобразований группы Gr,
следовательно, га' = га, и из г параметров а\ • • • аг ровно га являются
существенными.
Итак, мы имеем
Утверждение 10. Если многообразие М n-мерного пространства Rn
допускает ровно г — га независимых инфинитезимальных преобразований
r-параметрической группы X\f • • • Xrf этого пространства, то под
действием оог преобразований этой группы оно принимает ровно оот
различных положений.
530
Глава 23
§114
В уравнениях нашего инвариантного семейства многообразий, как уже
было сказано, не все параметры а\ • • • аг обязательно должны быть
существенными, но мы можем всегда предположить, что га ^ г функций
h" • 1щ от а введены как новые параметры, тогда уравнения нашего
семейства принимают вид
&к(х\ • • • Хп,1\ • • • lm) = 0 (к = 1 • • • n - q),
где теперь 1\ • • • 1Ш — существенные параметры.
Семейство Qk = 0 остается инвариантным относительно группы
Xif • • • XTf , в то время как его отдельные многообразия
переставляются между собой. Как они переставляются, это задает группа L\f • • • Lrf,
действующая только на переменные /, которая, как уже было ранее
показано, полностью определена группой X\f • • • Xrf.
Группа Lkf от переменных 1\ • • • 1т изоморфна группе Xkf, то есть
имеет максимум г существенных параметров; с другой стороны, при
наложенных условиях она заведомо транзитивна (ср. стр. 526 и ниже), т.е.
имеет минимум т существенных параметров. Нам остается лишь задать
простой критерий для выяснения того, сколько существенных параметров
имеет группа Lkf на. самом деле.
Пусть группа L\f • • • Lrf — ^-параметрическая, где т^д^г.
Поскольку она мероэдрически изоморфна группе Gr, порожденной X\f ••• Xrf9
то в последней должна иметься (г — д)-параметрическая инвариантная
подгруппа, соответствующая тождественному преобразованию группы Lkf
(ср. теорему 54, стр. 333). Таким образом, эта (г — ^-параметрическая
инвариантная подгруппа группы Gr оставляет каждое отдельное из оош
многообразий J?/c(x, /) = 0 неподвижным, то есть содержится в той (г —
т)-параметрической подгруппе дг-т группы Gr, которая оставляет
вышеупомянутое многообразие М инвариантным, и в то же время она содержится во
всех (г — ш)-параметрических подгруппах группы Gr, равноправных
вышеупомянутой подгруппе Qr-ra внутри Gr.
Если, наоборот, эта дг-т является (г — ^-параметрической
подгруппой, которая инвариантна в Gr, то она в то же время содержится во всех
подгруппах группы Gr, равносоставленных с дг-т, поэтому она оставляет
всякое Ok(x, I) = 0 неподвижным, и в группе L\f • • • LTf ей соответствует
тождественное преобразование.
Чтобы выяснить, сколько параметров содержит группа L\f'••• Lrf,
нам надо лишь найти наибольшую содержащуюся в дг-т группу, которая
Инвариантные семейства многообразий
531
инвариантна в Gr. Если такая группа является в точности (г —
^-параметрической (д > га), то группа L\f • • • Lrf является в точности
^-параметрической.
Этот результат мы не будем формулировать в специальном
утверждении, но все результаты из двух последних параграфов мы теперь обобщим
в теореме.
Теорема 85. Если заданы г-параметрическая группа Xif • Xrf, или
короче — Gr, пространства xi - • • хп и какое-либо многообразие М,
допускающее ровно г — т независимых инфинитезимальных преобразований
из Gr и, следовательно, порожденную ими (г — т)-параметрическую
подгруппу gr-m группы Gr, то под действием оог преобразований группы Gr
многообразие М принимает в целом оош различных положений,
совокупность которых остается инвариантной относительно группы Gr. Если
отдельные положения, принимаемые М, охарактеризовать т
параметрами li • • • lm, то мы получим некоторую группу от переменных li • • • lm:
С = X»(h •' • lm] Q>\ •'' Q>r) (/i = 1 • • • m),
которая показывает, каким образом отдельные положения, принимаемые
М, переставляются между собой при действии группы Xif • • • Xrf. Эта
группа от переменных I транзитивна и изоморфна группе Xif • • • Xrf.
Если наибольшая содержащаяся в gr-m инвариантная подгруппа группы Gr
является в точности (г—д)-параметрической, то группа = Хд(/, а)
имеет ровно д существенных параметров. В частности, если Gr — простая,
то эта группа от I всегда является r-параметрической и голоэдрически
изоморфной Gr, за исключением единственного случая т = О, в котором
группа = а) состоит лишь из тождественного преобразования2.
Упомянутое в теореме число г — g может принимать любое из
значений 0,1 • • • г — га; если г — g = О, то (г — £>)-параметрическая подгруппа
группы gr-m состоит из тождественного преобразования, поэтому группа
1'и = Хц(1)а) голоэдрически изоморфна группе Gr; а если г — g = г —
— га, то сама gr-m инвариантна в G>, и группа 1^ = Хц{1,а) является лишь
га-параметрической.
§И5
В предпоследнем параграфе мы дали метод нахождения таких
семейств многообразий, которые остаются инвариантными относительно за-
2 Л и, Archiv for Mathematik og Naturv., том 10, Христиания, 1885 г.
532
ГЛАВА 23
данной r-параметрической группы Xif - - • Xrf. Инвариантные семейства,
которые мы таким образом получили, отличались тем, что любое
многообразие подобного семейства могло быть переведено посредством как
минимум одного преобразования группы X\f • • • Xrf в любое другое
многообразие этого семейства.
Теперь мы хотим так обобщить упомянутый метод, чтобы он давал все
инвариантные относительно группы X\f • • • Xrf семейства многообразий.
К этому нас ведет естественное замечание, что рассуждения на
стр. 527- 529 остаются верными и тогда, когда уравнения многообразия М
содержат произвольные параметры, то есть если мы вместо одного
отдельно взятого многообразия М используем сразу все семейство многообразий.
Исходя из этого, мы можем поступить также следующим образом для того,
чтобы найти инвариантные семейства многообразий.
Возьмем какое-нибудь семейство
Vk(xi • • • Хп, Щ • • • Uh) = О (к = 1 • • • п - q) (11)
из ooh многообразий и применим к нему все оог преобразований группы
X\f • • • Xrf; совокупность всех преобразований, которые мы таким
образом получим, всегда образует семейство, инвариантное относительно
группы X\f • • • Xrf.
Ясно, что мы получим все инвариантные относительно группы
Xif-- - Xrf семейства многообразий, если выберем семейство (11)
всеми возможными способами. Так как если задано произвольное семейство,
инвариантное относительно этой группы, например
• • • Xn, h - - - lm) = 0 (* = 1 • • • п - q), (1)
то его в любом случае можно получить, просто выбрав в качестве
семейства (11) само семейство (1). Впрочем, можно легко задать бесконечно
много других семейств (11), из которых получается как раз семейство (1),
однако мы не будем на этом останавливаться.
Остается ответить еще на один вопрос.
Если задано семейство (11), и на его многообразиях выполнены все
преобразования группы Xif - - - Xrf, то очевидно, что уравнения
возникающего инвариантного семейства имеют вид
Wk(x\ - • • xn, ui - - - ин, ai - - - Or) = 0 (к = 1 • • • п - q)y (12)
и, следовательно, формально имеют h 4- г произвольных параметров,
а именно щ--- Uh, а\--- аг. Сколько из этих параметров являются суще-
Инвариантные семейства многообразий
533
ственными? Всякое многообразие семейства (11), находящееся в общем
положении, принимает относительно группы X\f • • • Xrf определенное
число, скажем оор, различных положений; из этих оор положений опять-таки
определенное число, скажем оо°, различных положений будет
принадлежать семейству (11). Таким образом, все семейство (11) разбивается на
оон~° многообразий таких, что любое многообразие семейства (11)
всегда может быть переведено в любое многообразие, принадлежащее одному
и тому же подсемейству, посредством по меньшей мере одного
преобразования группы X\f • • • Xrf,n что любое многообразие семейства (11), если
оно под действием преобразования группы X\f • • • Xrf остается в
семействе (11), в то же время остается в подсемействе, которому принадлежит.
Если мы теперь представим, что на каких-либо двух многообразиях
семейства (11), принадлежащих одному и тому же подсемейству,
последовательно выполнены все преобразования группы X\f • • • Xrf, то в обоих
случаях, очевидно, получается одно и то же семейство из оор
многообразий; если же представить, что все преобразования этой группы выполнены
на двух многообразиях семейства (11), принадлежащих различным
подсемействам, то мы получим два различных семейства, по оор многообразий
в каждом, не имеющие вообще никаких общих многообразий.
Поэтому если мы выберем из каждого подсемейства семейства (11),
состоящего из ooh~° подсемейств, одно многообразие и выполним на
полученных таким образом ooh~° многообразиях все преобразования группы
X\f • • • Xrf, то получим ooh~° различных семейств, по оор многообразий
в каждом, то есть в целом oo/l_0+p различных многообразий. В то же время
ясно, что таким образом мы получим такое же точно семейство
многообразий, как в случае, если выполнить все преобразования нашей группы над
самими многообразиями (11).
Тем самым доказано, что семейство (12) состоит из oo/l_0+p
различных многообразий, то есть что из h -f г параметров уравнений (12) ровно
h — о + р являются существенными.
Еще мы хотим показать, что надо делать, чтобы найти вышеупомянутые числа
р и о.
Очевидно, что г — р — это число независимых инфинитезимальных
преобразований e\X\f -Ь • • • -Ь erXrf, оставляющих одно многообразие семейства (11),
находящееся в общем положении, инвариантным. Но тогда наиболее общее
инфинитезимальное преобразование YlejXjf, оставляющее многообразие
Vfe(£i • • • xn,ui • • • Uh) = О
инвариантным, необходимо имеет вид
(к = 1 • • • n — q)
(13)
г
(14)
536
ГЛАВА 23
— какая-нибудь г-параметрическая группа, порожденная г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями. И пусть в результате разрешения
уравнений х\ = fi(x,а) относительно х получается
Xi = Fi(x[ - • • х'п, а\ • • • аг) (t = 1 • • • п).
Наконец, мы хотим еще предположить, что многообразие (16)
допускает ровно г—т независимых инфинитезимальных преобразований группы
х\ = Л(х,о).
Если мы применим к многообразию (16) общее преобразование х[ =
= fi(x,a) нашей группы, то согласно теореме 85, стр. 531, получим
семейство из оош многообразий, инвариантное относительно этой группы.
Уравнения этого семейства будут такими:
Vk(Fx(*', о) • • • Fn(x\ а)) = Wk(x[ • • • <, ец • • • аг) = 0 (17)
(k = l-n-q),
то есть получают формально г произвольных параметров. Но среди этих
г только т — существенные, поэтому можно задать т таких независимых
функций ш\(а) • • • и>т{о) от а, что уравнения (17) принимают вид
Пк(х[ • • • х'п,и>г(а) • • • и>т(а)) =0 (к = 1---п-д). (17')
Наконец, здесь мы можем вместо а ввести 1\ = и)\(а) • • • 1т = и>т(а) в
качестве новых параметров; в возникающей таким образом системе
уравнений
Пк(х\--- 1т) =0 (k = l..-n-q) (18)
параметры 1\ • • • 1т будут тогда существенными.
Новое представление нашего инвариантного семейства мы найдем,
если применим к системе уравнений (18) какое-либо преобразование х" =
= fi(x',b) нашей группы. При этом (18) согласно теореме 85, стр. 531,
принимает вид
Пк(х';---х';,1[---1'т)=0 (fc = i--п-,), (18')
где /' — совершенно определенные функции от I и Ь:
С = Хм(*1 '"1тМ"-Ьг) (д = 1 • • • т). (19)
Это же представление нашего семейства мы должны получить, если мы
сразу же применим к многообразию (16) преобразование
d( = fi(h(x,a)-- fn(x,a)M-- br) = fi(xi-- xn,a[-- a'r),
Инвариантные семейства многообразий
535
То же самое можно получить из совершенно определенного числа, скажем h! < h,
выражений:
^2 Фт*(иг • • • uh)-^- (т = 1 • • • ti),
а=1
путем их перемножения с функциями отки сложения. Соответствующие hf
уравнений
^2Фта{и1"-ин)-^- = 0 (т = 1...Л')
образуют согласно природе вещей /i'-параметрическую полную систему с h — h!
независимыми решениями:
Wi(ui • • • Uh)-" Wh-h>(u\ • • • Uh),
и понятно, что уравнения
wi = const, • • • Wh-h' — const
задают те ooh~° подсемейств, на которые, как мы видели выше, разбивается
семейство (11). Следовательно, h — о = h — h! ио = h'.
Нельзя не упомянуть, что результаты настоящей главы можно и дальше
обобщить.
Например, вместо одного отдельного многообразия можно исходить
из дискретного числа многообразий или еще более общо: вместо одного
отдельного семейства многообразий — из нескольких таких семейств.
Множество из нескольких многообразий назовем для краткости фигурой.
§иб
Теорема 85, стр. 531, содержит способ описания транзитивных групп,
изоморфных заданной r-параметрической группе; способ описания всех
таких групп мы излагали еще в гл. 22, стр. 480 и ниже. Теперь мы покажем,
что наш новый метод, по сути дела, сводится к старому, и придем, таким
образом, к тому, чтобы сформулировать ранее найденный важный результат
в новом, намного более общем виде.
Пусть
Vk(xi-- - Xn)=Q (k = l-<n-q) (16)
— какое-либо многообразие, а
х\ = fi(xi"' xn>a>i •
аг) (г = 1 • • • п)
Инвариантные семейства многообразий
537
в котором о! — совершенно определенные функции от а и Ь:
а'к = (fk(ai • • • аг, Ьг • • • 6Г) (к = 1 • • • г). (20)
Если мы так сделаем, то уравнения нашего семейства сначала примут вид
a')--- Fn(x\ а')) = Wk(x'{ • • • а[ • •. а'т) = 0,
но мы можем, очевидно, записать их и так:
Пк(х'{ - • • ьл(а') • • • и>т(а')) =0 (к = 1 • • • п - q).
Поскольку эти уравнения должны совпадать с уравнениями (18'), то
получается, что параметры V связаны с а' соотношениями
С = ии(а1 аг) (м = 1 • • • т).
Таким образом, вследствие уравнений (19) имеем
ъ>ц{а') = Xn(h ImM К) (ц = 1 • • • т)
или
oV(a') = Х/л(ъ>1 (а) • • • ^m(a), bi ■ ■ • М (м = 1 • • ■ ™). (21)
Если произвести здесь подстановку а[ = (fi (a, 6), • • • a£. = <^r (a, 6), то
должны будут получиться одни лишь тождества, так как параметры а\ • • • ar,
b\" - br совершенно произвольны и потому не связаны соотношениями.
Если теперь вспомнить, что уравнения (20) представляют просто
транзитивную группу от переменных а\ • • • ar, равносоставленную с группой
х\ — fi(x,a), а именно соответствующую группу параметров (гл. 21,
стр. 447), и что уравнения (19) представляют транзитивную группу,
изоморфную группе х\ = /г(я, а), то сразу ясно следующее:
Уравнения
и)\(а\ • • • ar) = const, a;m(ai • • • ar) = const (22)
представляют инвариантное относительно группы (20) разбиение г-мерно-
го пространства а\ • • • ar, причем разбиение на оош (г — т)-мерных
многообразий. Группа же
С = '"ImM"'К) (д = 1 • т) (19)
задает, каким образом оот многообразий (22) под действием
преобразований просто транзитивной группы (20) переставляются между собой.
534
ГЛАВА 23
где ej(u\ • • • Uh) — функции от и. Поэтому нам надо лишь самым общим образом
задать функции ej(u) так, чтобы система уравнений (13) в переменных х\ • • • хп
допускала инфинитезимальное преобразование (14).
Если мы предположим, что уравнения (13) разрешены относительно п — q
из х:
Xq+k = Uq+k{x\ • • ' Xq, U\ ' • • Uh) (k = 1 • • • П - q),
и обозначим подстановку xq+i = uiq+i, • • • xn = u)n через [ ], то для функций ej(u)
очевидно получим уравнения
(к = 1 n-q),
которые должны выполняться независимо от значений х\ • • • xq.
Если мы из этих уравнений задали е3 (и) самым общим образом, то нам
известно самое общее инфинитезимальное преобразование J2ejXjf, оставляющее
многообразие (13) инвариантным, а отсюда мы можем непосредственно вывести число
независимых инфинитезимальных преобразований ejXjf с этим свойством.
Для нахождения числа о мы поступим следующим образом.
Сначала найдем самое общее инфинитезимальное преобразование
^2cj(ui • * • UhjXjf, переводящее многообразие (13) в бесконечно близкое
многообразие семейства (11), иначе говоря, мы ищем самое общее инфинитезимальное
преобразование
г h
^ejiui-- uh)Xjf + Y^ Ф<тЫ •* • Uh)~du~i
j = l сг = 1 а
оставляющее систему уравнений (13) от п + h переменных хг - • • хП9 иг • • • ин
инвариантной.
Если сохранить выбранные выше обозначения, то функции £j(u) и Фа(и),
очевидно, задаются уравнениями
j = l к 7Г=1 ^ ) 0 = 1 а
(к= I--- n-q),
которым они должны удовлетворять независимо от значений переменных х\ • • • xq.
Предположим, что £j(u) и Фа(и) из этих уравнений заданы самым общим
образом, и рассмотрим выражение
538
Глава 23
Таким образом, мы видим, что группа (19) может быть получена из
просто транзитивной группы а'к = (рк{а,Ь) по правилам из предыдущей
главы (стр. 480 и ниже).
Это обстоятельство мы можем использовать, чтобы решить, при каких
условиях мы получим две подобные группы (19), если исходить из двух
различных многообразий (16). При помощи простых рассуждений мы
увидим, что справедливо следующее утверждение, частным случаем которого,
по сути, является теорема 80 в гл. 22, стр. 491.
Теорема 86. Если в пространстве х\ • • • хп заданы г-параметриче-
ская группа X\f • • • Xrf,a также два многообразия М и М', и если к
каждому из этих многообразий применить все оог преобразований группы
Xif- • • Xrf, то отдельные многообразия из полученных таким образом
инвариантных семейств будут преобразовываться двумя транзитивными
группами, изоморфными группе Х\ f • • • Xrf, которые будут подобны друг
другу тогда и только тогда, когда выполнены два следующих условия:
Во-первых, оба многообразия М и М' должны допускать
одинаковое число независимых инфинитезимальных преобразований вида e\X\f +
+ • • • + erXrf, и
во-вторых, должен существовать такой голоэдрический
изоморфизм группы X\f • • • Xrf на себя, при котором каждое
инфинитезимальное преобразование, оставляющее неподвижным одно многообразие,
соответствует инфинитезимальному преобразованию, оставлющее
инвариантным другое.
Само собой разумеется, что эта теорема остается верной и тогда, когда
эти два многообразия заменены двумя фигурами.
§117
Особого упоминания заслуживает случай, когда имеется
многообразие или фигура, не допускающие вообще никакого инфинитезимального
преобразования группы Gr: X\f-- - Xrf. Тогда группа (19), изоморфная
группе Gr имеет вид
^ - Xk(h •' * lr, Q>i - • • CLr) (fc = l • • • г),
является просто транзитивной и потому голоэдрически изоморфной
группе Gr3.
3Ли, Научное общество Христиании, 1884 г.
Инвариантные семейства многообразий
539
Таким образом, мы имеем здесь общий метод описания просто
транзитивных групп, равносоставленных с заданной г-параметрической.
Метод, использованный в предыдущей главе, утв. 1, стр. 477, — это
всего лишь частный случай теперешнего общего. А именно: тогда — так
мы можем теперь выразиться, — мы использовали в качестве фигуры
совокупность г различных точек пространства Rn. Если на положение этих
точек не наложено никаких особых условий, то состоящая из них фигура
не может допускать никаких инфинитезимальных преобразований группы
Xkf. Так как группа Xkf заведомо не оставляет ни одной точки общего
положения инвариантной, то в ней может быть максимум г — 1 независимых
инфинитезимальных преобразований, которые фиксируют такую точку; из
этих возможных г — 1 можно снова линейно получить максимум г — 2
независимых инфинитезимальных преобразований, для которых вторая точка
общего положения остается неподвижной и т.д.; так, в конце концов,
становится понятно, что в этой группе нет инфинитезимальных
преобразований, под действием которых г точек общего положения оставались бы
инвариантными.
Поэтому если мы возьмем фигуру, состоящую из г таких точек, и
применим к ней оог преобразований группы X\f • • • Xrf, то эта фигура
принимает оог различных положений, совокупность которых относительно этой
группы остается инвариантной. Эти оог положений преобразуются просто
транзитивной группой.
Если мы действительно построим эту просто транзитивную группу, то
получим в точности ту же группу, что и при помощи метода из предыдущей
главы.
Общие результаты §§114 и 116 желательно также пояснить на
специальном примере. При этом мы ограничимся указаниями и предоставим
читателю выполнение соответствующих простых вычислений.
Наиболее общая проективная группа плоскости, оставляющая
инвариантным невырожденное коническое сечение х2 — 2у — 0, является трехпара-
метрической и содержит следующие три независимых инфинитезимальных
преобразования:
§118
ду'
Инвариантные семейства многообразий
541
§119
Пусть задана линейная однородная группа
п df
Xkf = ^ ak»vxV-faT (k = l---r)
пространства Rn. Она оставляет семейство из ооп плоских многообразий
и\Х\ Ч ипхп 4-1=0,
пространства Rn инвариантным. Построим соответствующую группу в
действующую на параметры и\ • • • ип.
Инфинитезимальные преобразования
Ukf = У2 Vkv{Ui • • • ип)^-
искомой группы должны согласно § 111 задаваться таким образом, чтобы
уравнение ^ uvxv + 1=0 допускало инфинитезимальное преобразование
Xkf + Ukf- Стало быть, г выражений
п п
^ ^ 0'к/АЪ'хцУ'1/ ~\~ ^ ^ 2Ci/Vkv
fJL,V=\ V=\
должны обращаться в нуль в силу ^2иихи + 1 = 0. Это возможно лишь
тогда, когда они обращаются в нуль тождественно, то есть когда Vkv =
Итак, мы находим
Ukf = ~ ]Г akv»U„-^-.
Следовательно, группа Ukf также является линейной и однородной; о том,
что она изоморфна группе Xkf, мы знаем изначально.
Назовем группу U\f ••• Urf двойственной к группе Xif- - - Xrf.
Для примера найдем группу, двойственную к присоединенной группе
r-параметрической группы Yif - - - Yrf со структурой
ода = j>*.n/.
4=1
540
Глава 23
Сразу видно, что эта группа — назовем ее кратко G3, — транзитивна,
и что ее структура определяется соотношениями
(ХгХ2) = Xxf, (ХгХз) = X2f, (Х2Х3) = X3f.
Отсюда, с учетом утв. 8, гл. 15, стр. 292, следует, что G3 не содержит
никакой двухпараметрической инвариантной подгруппы; в том, что она не
содержит также никакой однопараметрической инвариантной подгруппы,
нетрудно убедиться. Следовательно, G3 является простой (гл. 15, стр. 293).
Всякая касательная фиксированного конического сечения х2 — 2у =
= 0 допускает ровно два независимых инфинитезимальных преобразования
этой группы, кроме того, можно показать, что касательные являются
единственными кривыми на плоскости, имеющими такое свойство. Точно так
же те конические сечения, которые касаются фиксированного конического
сечения в двух точках, являются единственными кривыми, допускающими
одно и только одно инфинитезимальное преобразование группы G3; в
качестве дважды касающегося конического сечения должна, однако,
рассматриваться любая прямая на плоскости, пересекающая коническое сечение
в двух различных точках. Наконец, ясно, что любая не лежащая на
коническом сечении точка допускает одно и только одно инфинитезимальное
преобразование.
Если же выбрать в качестве многообразия какую-нибудь другую
кривую, то есть такую, которая не допускает вообще никаких
инфинитезимальных преобразований группы G3, то она принимает при действии
группы оо3 различных положений, а совокупность этих положений будет,
очевидно, преобразовываться трехпараметрической группой. Итак, мы
получаем просто транзитивную группу пространства Дз, равно со ставленную
с исходной группой G3. Все группы, найденные таким образом, подобны
между собой; одна из них, например, это трехпараметрическая группа всех
проективных преобразований пространства Дз, оставляющих кривую
третьего порядка инвариантной.
Если ввести в качестве многообразия М коническое сечение,
касательное в двух отдельных точках (неприводимое или распадающееся), то
получится группа двумерного многообразия, голоэдрически изоморфная G3; все
полученные таким образом группы подобны между собой. Если же
использовать в качестве многообразия М коническое сечение с четырьмя точками
касания, то получится совершенно другой тип трехпараметрических групп
двумерного многообразия.
Наконец, если ввести в качестве многообразия М касательную
фиксированного конического сечения, то получится трехпараметрическая группа
одномерного пространства, подобная общей проективной группе прямой.
542
ГЛАВА 23
Присоединенная группа имеет вид (ср. стр. 305)
1
г),
тогда ее двойственной будет группа'
1
причем используется соотношение Ciks = —сш-
Аналогичные рассуждения можно провести вообще для всех
проективных групп пространства Rn, поскольку они оставляют семейство из ооп
плоских (п — 1)-мерных многообразий пространства Rn инвариантным. Но
мы здесь не будем этим заниматься, а отсылаем, скорее, к следующей части
книги, в которой понятие двойственности рассматривается с более общей
точки зрения, а именно как частный случай общего понятия «контактное
преобразование».
Наконец, рассмотрим еще один важный пример общей природы.
Предположим, что нам известны все ^-параметрические подгруппы
группы Gr: Xif • • • Xrf. Тогда речь идет лишь о том, чтобы решить, какие
имеются различные типы таких ^-параметрических подгрупп.
Понятие «типов подгрупп» мы объяснили еще в гл. 16, стр. 311; в
соответствии с этим мы причисляем две ^-параметрические подгруппы к
одному и тому же типу, если они равноправны внутри группы Gr; поэтому
нам надо задать только одну из всех подгрупп, относящихся к одному типу,
остальные будут ею полностью определены.
Мы знаем, что любая подгруппа группы Xif • • • Xrf представлена
рядом линейных однородных соотношений между параметрами ei • • • ег
общего инфинитезимального преобразования eiXif + • • • + erXrf (гл. 12,
Более того, мы знаем, что две подгруппы тогда и только тогда
равноправны внутри группы Xif- • • Xrf, когда система уравнений между па-
§120
стр. 235).
4Ли, Math. Ann., том XVI, стр. 496, ср. также Archiv for Mathematik, том 1, Христиания,
1876 г.
Инвариантные семейства многообразий
543
раметрами е, представляющая одну подгруппу, при помощи
преобразования присоединенной группы может быть переведена в систему уравнений,
представляющую другую подгруппу (гл. 16, стр. 310).
Так, если, по нашему предположению, нам известны все д-параметри-
ческие подгруппы группы Gr, то нам также известны все системы из г — q
независимых линейных однородных уравнений между е:
г
£ ftfcjej =0 (к = 1 • • • г - д),
j=i
представляющие ^-параметрические подгруппы.
Для простоты мы выделим из всех этих систем уравнений такие,
которые можно разрешить относительно eg+i • • • ег, то есть привести к виду
= 09+ме1 Н 9q+k,qeq (23)
(fc = i...r-g);
остальные, которые нельзя привести к такому виду, оставим в стороне;
с ними, конечно, можно было бы поступить так же, как с уравнениями
вида (23).
Все системы значений p9+fc,j, которые, будучи подставлены в (23),
дают ^-параметрические подгруппы, определяются известными уравнениями
между ^g+fcj; однако в общем случае нельзя представить все эти системы
значений при помощи одной единственной системы уравнений между д,
наоборот, потребуется дискретное число таких систем уравнений, если мы
хотим получить все ^-параметрические подгруппы, задаваемые
соотношениями (23). Две различные системы уравнений такого рода дают,
разумеется, также различные типы ^-параметрических подгрупп.
Мы ограничиваемся одной из таких систем уравнений, например
следующей:
Яд (03+1,1, 0g+lf2-" 9rq) = 0 (11 = 1,2..-), (24)
и хотим посмотреть, какие типы ^-параметрических подгрупп она задает.
Уравнения (23) представляют (если gq+kj совершенно произвольны)
семейство всех плоских ^-мерных многообразий пространства е\ • • • ег,
которые проходят через точку е\ = 0, • • • ег = 0. Само собой разумеется, что
это семейство многообразий остается инвариантным относительно
присоединенной группы
г
ек = Yl Qki (ai " ' a^ei (k = 1''r) (25)
544
Глава 23
группы X\f ••• Xrf. Поэтому если выполнить над системой (23)
преобразование (25), то мы получим в переменных е' систему уравнений
соответствующего вида:
я
где д' — линейные однородные функции от д с коэффициентами,
зависящими от а:
r-q q
9q+kj = YI акЗ^Ла1 ' • ' ar) ' 9q+W (26)
(k = 1 • • • т — q, j = 1 • • • q).
Согласно стр. 515 уравнения (26) задают группу от переменных д. Система
уравнений (24) остается инвариантной относительно этой группы, так как
всякая система значений gq+k,j* дающая подгруппу, разумеется, переходит
в систему значений g'q+k,j>также задающую подгруппу; но поскольку
группа (26) непрерывна, то она оставляет все дискретные области подобных
систем значений gq+kj по отдельности инвариантными, то есть, в частности,
и систему уравнений
Дм(рв+1|1---5г,)=0 (м = 1,2...)- (24)
Теперь спрашивается, как системы значений из (24) преобразуются
при действии группы (26), может ли любая система значений быть
переведена в любую другую или нет.
Этот вопрос получает более наглядный смысл, если мы рассмотрим
gq+kj как координаты точек в пространстве размерности q(r — q). Тогда
уравнения (24) в этом пространстве представляют некоторое
многообразие, остающееся инвариантным относительно группы (26). Каждая
точка этого многообразия принадлежит некоторой наименьшей инвариантной
подобласти многообразия, и точки каждой такой подобласти представляют
только равноправные ^-параметрические подгруппы группы Gr, а именно
все ^-параметрические подгруппы группы Gr, которые относятся к одному
и тому же типу.
Впрочем, необходимо заметить, что к такой наименьшей инвариантной
подобласти относятся только те ее точки gq+kj, которые, со своей стороны,
не содержатся ни в какой меньшей инвариантной подобласти; так как
только в том случае, когда подобласть ограничена указанным образом, любая
Инвариантные семейства многообразий
545
ее точка может быть переведена невырожденным преобразованием
группы (26) в любую другую точку.
Поэтому если мы хотим описать все типы ^-параметрических
подгрупп, содержащихся в системе уравнений (24), то надо лишь найти все
наименьшие инвариантные подмножества многообразия = 0. Каждое
такое подмножество задает все подгруппы, относящиеся к одному и тому
же типу, и любая точка этого подмножества дает группу, которая может
быть выбрана в качестве представителя соответствующего типа.
Кстати, чтобы найти упомянутые инвариантные подмножества, ни
в коей мере не требуется знать конечные уравнения (25)
присоединенной группы; достаточно иметь инфинитезимальные преобразования этой
группы, тогда можно непосредственно задать инфинитезимальные
преобразования группы (26), а затем определить согласно правилам в главе 14
искомые инвариантные подмножества; в данном случае это определение
требует лишь выполнимых операций.
Надо учесть, что эти результаты могут быть применимы даже в том
случае, когда известна не r-параметрическая группа, а только возможная
структура таковой, то есть система констант сцс3, удовлетворяющая
известным соотношениям
Ciks + Ckis = 0,
г
< ^ ^{CikvCi/js ~Ь CkjvCvis "f" Cjii/Cvhs} = 0,
v=\
(i,fc,j,S = I--, r).
Если Gr: X\f • • • Xrf инвариантна в большей группе (S, то часто
возникает вопрос, являются ли две подгруппы группы Gr в этой большей
группе (S равноправными. В этом случае можно дать также другое определение
понятия «типы подгрупп группы Gr», отнеся две подгруппы группы Gr
к различным типам только тогда, когда они и в 0 не равноправны между
собой.
Если мы хотим описать все подгруппы группы Gr в этом смысле, то
это не особенно сложно. Но эта задача, очевидно, — часть более общей:
найти все типы подгрупп группы (8, где слово «тип» понимается в смысле
гл. 16, стр. 311.
Это исследование является особо важным, если группа (S —
наибольшая группа пространства Rn, в которой Gr: X\f' • • • Xrf инвариантна.
Глава 24
Систатические и асистатические
группы преобразований
Пусть в 5-мерном пространстве х\
группа
х3 задана г-параметрическая
3 df
i=l
или короче — Gr. Пусть из г инфинитезимальных преобразований X\f • • • Xrf
в точности п, скажем X\f • • • Xnf, не связаны никакими линейными
соотношениями, тогда как Xn+\f • • • Xrf выражаются следующим образом:
xn+jf = vAxi - - • xs) - xvj и = i
(i)
Тогда если x\
матрицы
Хд — точка, для которой не все определители порядка п
\Ы{х) ■ ■ Ь.(х)\
Zns(x)
(2)
обращаются в нуль, то согласно главе 11, стр. 226, в группе Gr имеется
ровно г — п независимых инфинитезимальных преобразований,
разложения в ряд которых по Xi — х® не содержит членов нулевого порядка, а лишь
первого и выше; таким образом, точка я? • • • х® допускает ровно г — п
независимых инфинитезимальных преобразований группы Gr, порождающей
(г — п)-параметрическую подгруппу Gr-n группы Gr (ср. гл. 12,
утверждение 2, стр. 228). Инфинитезимальные преобразования этой подгруппы
Gr-n можно согласно стр. 226 линейно получить из г — п независимых:
и=1
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 547
В последующем мы будем называть точку х\ • • • х°9, для которой не
все определители порядка п матрицы (2) обращаются в нуль, коротко также
точкой общего положения.
Каждой точке х\ • • • х® общего положения соответствует, согласно
изложенному выше, совершенно определенная (г — гг)-параметрическая
подгруппа группы Gr, а именно самая общая подгруппа группы Gr,
относительно которой эта точка остается инвариантной.
Если мы позволим точке х° изменить свое положение, то получим
другую (г — п)-параметрическую подгруппу группы Gr, а поскольку
имеется oos различных точек, то в целом мы получим ос5 таких подгрупп; однако
не сказано, что мы получим ос3 различных подгрупп.
Например, если г = п, то все вышеупомянутые oos подгрупп
совпадают, а именно: они сводятся к тождественному преобразованию, так как Gr
не содержит никакого инфинитезимального преобразования, которое
оставляло бы точку х общего положения неподвижной.
Но и помимо этого специального случая, может случиться так, что оо3
точкам пространства х\ • • • х9 соответствуют лишь oos_1 или еще меньше
различных групп указанного выше вида; это, очевидно, будет происходить
всякий раз, когда имеется непрерывное семейство отдельных точек,
которые одновременно сохраняют свое положение при действии одной и той
же (г — п)-параметрической подгруппы группы Gr.
Теперь мы хотим найти аналитические условия, при которых такое
происходит. Поэтому прежде всего зададим себе вопрос: когда две точки
общего положения остаются инвариантными относительно одной и той же
(г — п)-параметричекой подгруппы группы Gr?
Ответ на этот вопрос имеет большое сходство с рассуждениями
в гл. 19, стр. 395 и д.
Пусть одной из точек будет х\ • • • х®, соответствующую ей (г —
^-параметрическую подгруппу группы Gr обозначим через Gr_n; тогда общее
инфинитезимальное преобразование подгруппы Gr_n таково:
§121
где под е понимаются произвольные параметры.
548
ГЛАВА 24
Другой точкой пусть будет х\ • • • х3, а общее инфинитезимальное
преобразование соответствующей ей подгруппы Gr_n таким:
Г — П / п
3=1 \ I/=l
Теперь обе точки должны оставаться инвариантными относительно одной
и той же (г - тг)-параметрической подгруппы, то есть, Gr-n и Gr-n
должны совпадать; для этого необходимо и достаточно, чтобы все
инфинитезимальные преобразования одной принадлежали также и другой, и наоборот.
Выражаясь аналитически, уравнение
1—п ( п \ r — n ( п
j=\ I i/=l J j=l I v=\
должно при произвольно выбранных е всегда тождественно выполняться
за счет подходящих значений £, а при произвольно выбранном е — за счет
подходящих значений е.
Последнее уравнение можно записать так:
r—n п г—п
£(ej - ej) ■ Xn+jf - £ £(£j¥>°„ - ё3 TpJU) ■ X„f = 0,
j=\ v=\ з=\
таким образом, оно в силу независимости инфинитезимальных
преобразований не может иметь место иначе, как если Ej — е3\ так как, кроме того,
е3- совершенно произвольны, то получается
4>3v(x\ •-- X°s) = (fjviXi - --Ха) (J = 1 • •• r-n;i/= 1 n).
Согласно этому обе (г — п)-параметрические подгруппы группы Gr,
относящиеся к двум различным точкам общего положения, идентичны друг
другу тогда и только тогда, когда любая из п(г — п) функций ip3V принимает
для одной точки то же самое числовое значение, что и для другой.
Поэтому если мы желаем знать все точки общего положения, которые
одновременно с точкой х\ - • • x°s сохраняют свое положение относительно
группы Gr_n, то нам надо лишь описать все системы значений х,
удовлетворяющие уравнениям
(Pjv(xi ••• Ха)=<р% U = 1 • • • п - q; v = 1 • • • q)- (3)
каждая такая система значений дает одну точку с требуемым свойством.
■
систатические и асистатические группы преобразований
549
Здесь различают два случая.
Во-первых, число независимых друг от друга среди п(г — п) функций
(fki/(x) может быть в точности равно s. В этом случае (г —
п)-параметрическая подгруппа Gr_n, фиксирующая точку х\ оставляет
неподвижными еще максимум дискретное число точек общего положения.
Во-вторых, число независимых среди фкЛх) может быть меньше 5.
В этом случае имеется непрерывное многообразие из точек общего
положения, которые остаются инвариантными относительно группы Gr_n;
каждой точке этого многообразия тогда соответствует та же самая (г —
п)-параметрическая подгруппа группы Gr, что и точке х\ • • • х®. При этом точка
х\ • • х°3, очевидно, лежит внутри некоторого многообразия, то есть в этом
многообразии имеются и такие точки, которые бесконечно близки к точке
хг х9.
Предположим, что имеет место второй случай, то есть среди п(г — п)
функций <fkv(x) имеется лишь s - д < s независимых друг от друга,
которые можно обозначить через <fi(x) • • • <ps-6(x).
При этом условии все фкЛх) можно выразить только через (ps-Q(x)9
а уравнения (3) могут быть заменены s — д независимыми друг от друга
уравнениями
<Pi(xi • • • ха) = ч>\(х\ • • • х°), • • • <pa-e(xi • • • xs) = <р3-в(х°1 • • • х°3).
(3')
Таким образом, мы видим, что всякая точка общего положения • • • х®
принадлежит совершенно определенному ^-мерному многообразию (3;),
образуемому совокупностью всех точек, которым соответствует та же
самая (г — п)-параметрическая подгруппа группы Xif • • • Xrf, что и точке
Возможно, что уравнения
(fju(Xi ••• Ха) =<Pjv(x\ ••• X°s) (j = l -r-n; и = 1 • •• п)
представляют для каждой системы значений х\ • • • х® многообразие,
распадающееся на дискретное число конечным образом различных
многообразий1 . Например, для трехпараметрической группы
Xlf = m;' *2/ = -cosx^' X3f~tgX2d^2
имеем
X3f = sinx2 • X2f,
1 Имеются в виду многообразия, не являющиеся бесконечно близкими, то есть не
образующие непрерывных семейств. — Прим. ред.
550
Глава 24
тогда как Xif и X2f не связаны никаким линейным соотношением.
Поэтому если зафиксировать точку х5>х2» то и все точки, координаты которых
х\, Х2 удовлетворяют уравнению
sinx2 = sin
остаются фиксированными; это значит, что одновременно с точкой х\,х%
каждая точка, лежащая на одной из бесконечно многих прямых,
параллельных оси Х\\
Х2 = х\ + 2&7Г,
сохраняет свое положение; под к понимается произвольное положительное
или отрицательное число.
Поскольку группа X\f • • • Xrf при наложенных условиях
сопоставляет каждой точке х\ • • • х® проходящее через нее ^-мерное многообразие, то
она, очевидно, разбивает все пространство xi • • xs на семейство,
состоящее из oos~0 ^-мерных многообразий:
(fi(xi • • • xs) = const,• • • ч>8-е{х\ • • • x9) = const, (4)
причем таких, что все преобразования этой группы, фиксирующие
произвольно выбранную точку общего положения, одновременно оставляют все
точки проходящего через эту точку многообразия неподвижными.
Кстати, здесь надо заметить, что речь о действительном разбиении
может идти лишь тогда, когда число д меньше s; если д = s, то
настоящего разбиения пространства не происходит, и тогда всякое преобразование
нашей группы, фиксирующее точку общего положения, оставляет вообще
все точки пространства инвариантными; другими словами, тождественное
преобразование — это единственное преобразование группы, оставляющее
точку общего положения неподвижной.
Предыдущие рассуждения дают повод для нового важного деления
всех r-параметрических групп X\f • • • Xrf пространства х\ • • • х3, а
именно деления на два различных класса.
Если группа пространства Х\ • • • х3 такова, что все ее
преобразования, оставляющие точку общего положения инвариантной, в то же время
фиксируют все точки непрерывного, проходящего через эту точку
многообразия, то мы относим эту группу к одному классу и называем ее си-
статической. Все остальные группы, то есть те, что не являются
систатическими, мы относим к другому классу и называем асистати-
ческими2.
2 Понятия «систатические и асистатические группы», а также соответствующая теория,
развитая в данном тексте, восходят к Ли (Научн. об-во Христиании, 1884, Archiv for Math, том 10,
Христиания, 1885 г.) Выразительные названия систатический (mitstehenlassend) и асистати-
ческий (nichtmitstehenlassend) принадлежат Энгелю. В остальном в данной работе введена
терминология, принадлежащая Л и.
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 553
Х\ f • • • Xrf, так что разбиение (4) действительно остается инвариантным
относительно нашей группы.
Поскольку согласно теореме 88 любая систатическая группа является
импримитивной, то и, наоборот, любая примитивная группа должна быть
асистатической. Однако имеются импримитивные группы, которые
являются асистатическими, например четырехпараметрическая группа
д£ д£ д£ dl
Эх' ду,Хду,Уду
плоскости я, у. Эта группа им примитивна, так как оставляет семейство
прямых х = const, инвариантным, в то же время она является асистатической,
поскольку из тождеств
Хду ~~ Х ду' У ду ~У ду
явствует, что относящиеся к этой группе функции ipkv — не что иное, как
сами х и у; но они, очевидно, друг от друга независимы. О том, что
существуют даже интранзитивные асистатические группы, свидетельствует
следующая трехпараметрическая интранзитивная группа:
21 Ж Ж
ду' хду' уду-
§Ш
Если известны г независимых инфинитезимальных преобразований
Xif • • • Xrf г-параметрической группы пространства xi • • • х9, то
согласно теореме 87, стр. 551, можно легко определить, является данная группа
систатической или нет.
Для этой цели построим матрицу:
и исследуем ее определители. Если все определители порядка п + 1, но не
все порядка п (в частности, не все, которые можно образовать из п верхних
строк этой матрицы) обращаются в нуль тождественно, то имеют место
тождества вида
п
Xn+kf = ]Г <Pkv(xl ' ' ' Xs)Xvf (fc = 1 • • • Г - fi), (1)
552
Глава 24
дают разбиение пространства х\ • • • х3 на oos~^ ^-мерных многообразий,
а именно, как мы видели выше, разбиение, полностью определенное
группой X\f - • • Xrf и находящееся с ней в совершенно своеобразной связи.
Вполне можно предположить, что это разбиение остается инвариантным
относительно группы X\f - • • Xrf; тогда отсюда следовало бы, что систа-
тическая группа Х\ f • • • Xrf и в случае s — д > 0 является им примитивной
(гл. 13, стр. 223).
Очень просто понять, что только что высказанное предположение
справедливо. Действительно, согласно гл. 19, стр. 380 и далее, r(s - д)
выражений Хк<Р1 • • • X^s-q можно представить как функции только от
Ч>\ ' ' ' <Pa-q'-
Xk<fj = 71^(^1 ••• <Ps-q) (к = 1 • •■ г; j = 1 ... з-q).
Это означает (ср. гл. 8, стр. 155 и 159), что разбиение (4) допускает г
инфинитезимальных преобразований Xkf9 а стало быть, и вообще всю группу
Хг/..-Xrf.
Проведенные только что рассуждения доказывают, что систатическая
группа пространства Х\ • • • х9 всегда им примитивна. Таким образом, имеет
место следующая
Теорема 88. Любая систатическая группа является импримитивной.
Нелишним будет доказать при помощи рассуждений в более общих
терминах, что в случае s — д > 0 разбиение (4) остается инвариантным
относительно группы X\f • • • Xrf.
Обозначим через М какое-либо из оо3~в ^-мерных многообразий (4),
через Р — общий символ точки многообразия М, общим символом оог-п
преобразований нашей группы, оставляющих все точки М неподвижными,
пусть будет 5, наконец, под Т мы понимаем произвольное преобразование
нашей группы.
Применив преобразование Т к М, мы получим некоторое ^-мерное
многообразие М', оо^ точек которого Р' определены уравнением
(Р') = (Р)Т.
Так как любая точка Р относительно всех оог-п преобразований S
нашей группы остается инвариантной, то ясно, что любая точка Р' сохраняет
свое положение относительно оог_п преобразований T~lST, которые
также принадлежат нашей группе. Отсюда следует, что и М' принадлежит
к оо*~в многообразиям (4); таким образом, доказано, что оо8~°
многообразий (4) переставляются между собой любым преобразованием группы
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 551
Используя эти понятия, мы можем сформулировать полученные
результаты следующим образом.
Теорема 87. Если независимые инфинитезимальные преобразования
X\f • • • Xrf r-параметрическойгруппы от s переменных х\ • • • х9 связаны
г — п линейными соотношениями вида:
тогда как между самими X\f••• Xnf никаких подобных соотношений
нет, то эта группа является систатической, если среди п(г — п)
функций (fkv(x\ ••• xs) имеется меньше, чем s, друг от друга независимых;
если же среди функций (fkv(x\ • • xs) ровно s друг от друга независимых,
то эта группа — асистатическая.
Все условия, которые были нами наложены на г-параметрическую
группу Xif • • • Xrf пространства xi • • • х3 в вводной части к данной
главе, остаются в силе, но мы хотим добавить еще условие, что группа
должна быть систатической, то есть мы полагаем, что среди п(г — п) функций
4>hv(x\ • • • х3) имеется лишь 0 < 5 — g < s друг от друга независимых,
которые, как и выше, могут быть обозначены через <fi(x) • • • ф9-6(х).
Сначала рассмотрим случай, когда число s — g имеет значение нуль.
Если s — g обращается в нуль, то очевидно, что п равно г, то есть г
независимых инфинитезимальных преобразований Xif • • • Xrf не связаны
никакими линейными соотношениями вида
Xi(xi • • • xa) • Xif + • • • + Хг(хг • • • x3) • Xrf = 0.
Отсюда следует, что число г во всяком случае не больше числа s
переменных х, то есть что группа Xrf • •• Xrf является либо интранзитивной,
либо в крайнем случае просто транзитивной. Поэтому группа Xif • • • Xrf
в обоих случаях является импримитивной (ср. гл. 13, стр. 245, и гл. 20,
утверждение 6, стр. 423).
Таким образом, мы видим, что систатическая группа Xif • • • Xrf
всегда импримитивна, если целое число s — g имеет значение нуль.
Теперь рассмотрим случай s — д> 0.
В этом случае уравнения
п
(к = 1 • • г — п),
§122
(p(xi • • • х3) = const, • • • (f3-6(Xi
• • • х3) = const
(4)
554
Глава 24
тогда как X\f • • • Xnf не связаны никакими линейными соотношениями.
Если тождества (1) составлены, то определяющим является число
независимых среди п(г — п) функций ч>к„{х\ * * * х3).
Но для того чтобы решить, является ли некоторая г-параметрическая
группа систатической, конечные выражения для инфинитезимальных
преобразований этой группы вовсе не нужны, достаточно уже того, что
известны определяющие уравнения этой группы. Этот факт основан на том,
что если определяющие уравнения группы заданы, то всегда можно задать
интегрируемую без ограничений систему уравнений в полных
дифференциалах, единственными интегральными функциями которой являются как
раз (fki/(x) и функции от них. А отсюда, очевидно, следует, что можно
определить число независимых среди (fkv(x), не зная самих (pkv(x).
Выведем этот важный результат.
Независимые среди уравнений
* V ' dXi =0 (fc = l...r-n;i/ = l---n) (5)
образуют интегрируемую без ограничений систему уравнений в полных
дифференциалах, единственными интегральными функциями которой
являются (fkv(x) и функции от них (ср. гл. 5, стр. 101 и д.). Мы исходим из
этой системы уравнений в полных дифференциалах.
Равенство
п
£>п+Э,г - ^2 Фй^™ = 0 (j = 1 • • • г - n; t = 1 • • • в)
выполняется тождественно в силу (1), следовательно, в результате
дифференцирования получается
п п
v=\ i/=l
или, поскольку по условию не все определители порядка п матрицы
\Ы(х) • • Ы*)|
обращаются в нуль
i=l I i/=l J
у = 1 • • • r — n; 7Г = 1 • • • n).
556
ГЛАВА 24
где из s2 величин g'ni известное число, которое мы тогда обозначали через
е\ — v\, были произвольны, тогда как остальные S\—v\ являлись линейными
однородными функциями этих е\ с коэффициентами, которые можно
вычислить непосредственно из определяющих уравнений. Таким образом,
если исходить из определяющих уравнений, то мы получаем для
выражения (7) следующее представление:
X? 4 Е • • • - + • • • > (?/)
j=l г,7г=1
где означают произвольные параметры, a aj^x0) — совершенно
определенные аналитические функции от х°, которые, как только что было
сказано, могут быть вычислены из определяющих уравнений.
Поскольку (7) и (7') являются лишь различными представлениями
одних и тех же инфинитезимальных преобразований, то множители при (хж —
— х° в обоих выражениях должны быть одинаковыми, то есть имеют
Ох%
место следующие s2 соотношений:
= Е г3а^г(Х°) (*,*г = 1 ••• в).
х=х° j=l
Эти соотношения должны всегда выполняться для подходящих значений г'д
при произвольно выбранных гд- и для подходящих значений Cj при
произвольно выбранных t'y
Все это справедливо для любой точки х\ • • • х°3 общего положения, то
есть и тогда, когда мы рассматриваем х° как переменную и заменяем на
х\ • • х8. Следовательно, если мы выбрали е совершенно произвольным
образом как функции от х, то можем всегда задать е' как такие функции от
х, что уравнения
(j, 7Г = 1 • • • в)
выполняются тождественно, а если мы выбрали е' совершенно
произвольным образом как функции от х, то мы всегда можем при подходящих
функциях г\ • • • ег_п от х тождественно выполнить (7")-
7 = 1
36
дхж
Эх*
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 555
Отсюда следует, что система уравнений в полных дифференциалах (5)
может быть заменена следующей:
Гае*
s
7Г=1 I
дхп
Ew
dxn = 0 (j = i
- n; г = 1 • • • s). (6)
Очевидно, что независимые среди уравнений (6) образуют интегрируемую
без ограничений систему уравнений в полных дифференциалах,
единственными интегральными функциями которой являются как раз <pkv(x) и
функции от них.
Правда, без интегрирования невозможно составить отдельные
уравнения (6), если известны лишь определяющие уравнения группы X\f • • • Xrf;
однако можно заменить систему уравнений (6) другой, содержащей,
помимо d:^, только коэффициенты определяющих уравнений. К этому мы
приходим следующим образом.
х£ мы понимаем точку общего положения. Согласно
Под х?
стр. 226 самое общее инфинитезимальное преобразование e\X\f + • • • +
+ erXrf, разложение которого в ряд по степеням х\ — х\ содержит члены
лишь первого порядка и выше, выглядит так:
г—п / п \
£ tj ( Xn+jf - £ 4>iv{x\ ■ ■ ■ j»)Xvf ),
3=1 ^ v=\ '
где tj — произвольные параметры. Однако это выражение, если мы
действительно выполним разложение по х* — х® и при этом будем учитывать
лишь члены первого порядка, принимает вид
r—n s (
36
п+з4
дхп
v=\
дхж
х=хо J
(7)
Члены первого порядка в выражении (7) мы также можем получить
из определяющих уравнений этой группы, причем без интегрирования. А
именно: согласно гл. 11, стр. 211 и далее, самое общее инфинитезимальное
преобразование e\X\j Л V erXrf, разложение в ряд которого по х* — х^
содержит лишь члены первого порядка и выше, имеет вид
систатические и асистатические группы преобразований 557
Теперь, очевидно, можно заменить уравнения (6) следующими s
уравнениями:
j=l 7Г = 1 I, V=\ )
но лишь при условии, что в последних с рассматриваются как
произвольные функции от х. Таким образом, из сказанного выше следует, что
совокупность всех уравнений (6) эквивалентна совокупности всех уравнений
вида
£1-1/1 3
X CJ X a3^{Xi • • • Xs)dXir =0 (г = 1 • • s),
J = l 7Г = 1
в которых е' трактуются как произвольные функции от х. Последние
уравнения могут быть, очевидно, заменены следующими (е\ — Vj)s
уравнениями:
з
X Otjniixi Xs) dXn = О (j = 1 • • • ei - i/i; i = 1 • • • s). (8)
7T = 1
Тем самым доказано, что системы уравнений в полных
дифференциалах, (6) и (8), эквивалентны; то есть получается, что независимые среди
уравнений (8) образуют интегрируемую без ограничений систему
уравнений в полных дифференциалах, а именно систему, единственными
интегральными функциями которой являются (fkv{x) и функции от них.
Поэтому мы можем утверждать следующее.
Теорема 89. Если заданы определяющие уравнения г-параметри
ческой группы пространства х\ • • • х3, то определить, является ли эта
группа систатической, можно следующим образом.
Пусть х\ • • • х® — произвольная точка, в окрестности которой
коэффициенты разрешенных определяющих уравнений ведут себя
регулярно. Найдем члены нулевого и первого порядка в разложении в ряд
общего инфинитезимального преобразования этой группы по степеням Х\ —
Затем найдем члены первого порядка в общем инфините-
зимальном преобразовании этой группы, не содержащем членов нулевого
порядка. Эти члены будут иметь вид
558
Глава 24
где z'j — означают произвольные параметры, а а^(х°) — совершенно
определенные аналитические функции, которые вычисляются из
коэффициентов определяющих уравнений без интегрирования. Теперь образуем
систему уравнений в полных дифференциалах:
S
OLjni(x\ • • • Xs) dXn = О (j = 1- • • ei - i/i; i = 1 • • • s), (8)
7T = 1
и найдем число s — g независимых среди этих уравнений. Если s — g < s,
то группа является систатической, а если s — g = s, то асистатической3.
Мы можем добавить.
Утверждение 1. s — g независимых дифференциальных уравнений из
системы (8) образуют интегрируемую без ограничений систему с s — g
интегральными функциями (fi(x) • • • (р3-в(х). Эти интегральные функции
находятся в следующем соответствии с группой X\f ••• Xrf: если из г
независимых инфинитезимальных преобразований Xif • • • Xrf ровно п,
скажем Xif • •• Xnf, не связаны никакими линейными соотношениями, тогда
как Xn+if • • • Xrf выражаются линейно через X\f ••• Xnf:
п
Xn+kf = ^2 ^кЛх\ • • • xs)Xvf (k = l • • • r - n),
то все n(r — n) функций (fku(x) можно выразить только через
(рг(х)-" (pa-e(x).
Нам не нужно даже знать сами определяющие уравнения, чтобы
решить, является группа систатической или нет. Для этого нужны лишь
начальные члены разложения в ряд инфинитезимального преобразования
этой группы в окрестности одной единственной точки общего
положения: х\ • - • х®. Так, если известны эти начальные члены, можно, очевидно,
вычислить числовые значения оР^, которые принимают функции а^(х)
при xi = х\, • • • х3 = х®. Тогда определенное выше число 5 — g — не что
иное, как число друг от друга независимых среди линейных уравнений от
dx\ • • • dxs:
8
7T = 1
3Ли, Archiv for Math., том 10, Христиания, 1885 г.
систатические и асистатические группы преобразований 559
Система уравнений в полных дифференциалах (6) имеет очень простой
геометрический смысл. А именно: как непосредственно легко видеть, она
определяет все точки х\ + dx\, - • • х3 + dx8, бесконечно близкие с точкой
х\ • • • х3, остающиеся инвариантными при всех преобразованиях нашей
группы, оставляющих точку х\ • • • х8 неподвижной. В этом заключается
внутренняя причина того, что <pkv(x) и их функции являются
единственными интегральными функциями системы (6) или (8), так как уравнения
<РкЛУ1 '•' Уз) = <РкЛх1 хз) (fc = 1 • • • г - n; v = 1 • • • п)
определяют все точки у\ • • • у3, остающиеся вместе с точкой х\ • • • х3
инвариантными.
§124
Мы выяснили, что г-параметрическая группа X\f Xrf
пространства х\ • • • х3 может быть систатической или асистатической в
зависимости от того, сколько имеется определенных на стр. 367 и 545 функций
4>kv{x\ •• • х3): ровно 5 или меньше, чем 5. При этом согласно теореме 67,
гл. 20, стр. 416, инфинитезимальное преобразование Zf, перестановочное
со всеми Xkf, существует тогда и только тогда, когда число независимых
среди функций (fku{x) меньше 5. Стало быть, мы можем также
сформулировать следующее
Утверждение 2. г-параметрическая группа X\f' • • • Xrf
пространства х\ • • • х3 является систатической тогда и только тогда, когда
существует инфинитезимальное преобразование Zf, перестановочное со
всеми Xkf; если такого инфинитезимального преобразования нет, то группа
X\f • • • Xrf будет асистатической*.
Кроме того, поскольку всякое выделенное инфинитезимальное
преобразование группы перестановочно со всеми другими ее
инфинитезимальными преобразованиями, то мы имеем
Утверждение 3. Любая группа, содержащая одно или несколько
выделенных инфинитезимальных преобразований, является систатической.
Для таких групп уже из их структуры видно, что они систатические.
Вспомнив еще, наконец, что группа, присоединенная к группе без
выделенных инфинитезимальных преобразований, содержит г существенных
параметров (ср. теорему 49, стр. 308), мы видим, что справедливо
следующее.
4 Л и, Archiv for Math., том 10, стр. 377, Христиания, 1885 г.
560
Глава 24
Утверждение 4. Группа, присоединенная к асистатической, всегда
будет г-параметрической.
Утверждения 2 и 4 являются обобщениями утверждений 1 и 2 в
главе 16 (стр. 308 и далее), о которых в свое время упоминалось.
Еще в главе 20 мы могли бы использовать полученные там результаты
для деления всех групп на два класса; к одному классу мы бы причислили
тогда всякую r-параметрическую группу Xif • • • Xrf, для которой имеется
хотя бы одно перестановочное со всеми Xkf инфинитезимальное
преобразование, ко второй — все остальные группы. Согласно вышесказанному,
ясно, что это разделение совпало бы с нашим теперешним делением групп на
систатические и асистатические; первый класс состоял бы из всех систати-
ческих, второй — из всех асистатических групп. Мы хотим в последующем
объяснить это обстоятельство при помощи более общих рассуждений и в то
же время вывести ряд новых важных результатов.
Пусть 0 — преобразование, перестановочное со всеми
преобразованиями заданной r-параметрической группы Xif • • • Xrf пространства
х\ - - • х8, кроме того, пусть S — общий символ всех преобразований
группы X\f • • • Xrf, оставляющих какую-либо точку Р общего положения
пространства xi ••• х8 инвариантной.
Если Р при выполнении преобразования 9 переходит в Pi, то
в-150, очевидно, является общим символом всех преобразований группы
X\f • • • Xrf, оставляющих точку Pi инвариантной. А поскольку 0
перестановочна со всеми преобразованиями группы X\f • • • Xrf, то
совокупность всех преобразований ©-15© идентична совокупности всех
преобразований S, то есть мы видим, что все преобразования группы X\f ••• Xrf,
фиксирующие точку Р, оставляют также и точку Pi неподвижной.
Применим это к случаю, когда имеется непрерывное семейство
преобразований 0, перестановочных со всеми преобразованиями Xif • • • Xrf.
Так как Р — точка общего положения, то она принимает при
выполнении преобразований © непрерывную последовательность различных
положений. Но любое из этих положений, как мы только что видели,
остается при всех преобразованиях S инвариантным, следовательно, группа
Xif • • • Xrf является систатической.
Тем самым доказано, что г-параметрическая группа Xif • • • Xrf
пространства xi • • • х8 во всяком случае является систатической, если имеется
инфинитезимальное преобразование, перестановочное со всеми Xkf-
Остается еще лишь показать, что верно также и обратное: что для любой
систатической группы Xif • • • Xrf можно задать непрерывное семейство
преобразований, перестановочных со всеми преобразованиями X\f • • • Xrf.
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 561
Итак, представим себе г-параметрическую систатическую группу
X\f • • • Xrf пространства х\ • • • х8. Опишем конструкцию, дающую
бесконечно много преобразований, являющихся перестановочными со всеми
преобразованиями этой группы.
Всякое преобразование 0, перестановочное со всеми
преобразованиями группы X\f • • • Xrf, переводит любую точку Р пространства в
точку Р\, которая допускает точно такие же преобразования этой группы, что
и точка Р; это мы показали выше. Поэтому выберем какие-либо две
точки Р и Р\, допускающие одни и те же преобразования нашей группы, и
попробуем найти преобразование 0, являющееся перестановочным со всеми
преобразованиями нашей группы и, кроме того, переводящее Р в Р\.
Пусть Р' — точка, в которую можно перевести Р при помощи
преобразования группы X\f • • • Xrf\ кроме того, пусть 5, как и раньше, общий
символ всех преобразований этой группы, оставляющих Р, а значит, и Pi
инвариантными. Тогда ST — общий символ всех преобразований нашей
группы, переводящих Р в Р' (гл. 14, утверждение 1, стр. 253). Очевидно,
что Р при всех этих преобразованиях ST принимает одно и то же
положение, поскольку
{PX)ST = {РХ)Т.
Теперь мы, предполагая существование одного преобразования 0 с
требуемым свойством, можем легко видеть, что любая точка Р' = (Р)Т
принимает при всех возможных © совершенно определенное положение; это
непосредственно следует из уравнений
(р')е = (р)ге = (Р)ег = (Pj)r.
Поэтому если Т — произвольное преобразование нашей группы, то
точка (Р)Т при любом преобразовании 0, если такое вообще существует,
принимает новое положение (Р\)Т.
Добавим к этому, что таким образом мы не получим
переопределенности нового положения точки Р'. Так, если в последних уравнениях
заменить преобразование Т другим произвольным преобразованием группы
X\f • • • Xrf, которое также переводит Р в Р', то есть записать ST
вместо Т, то снова получится
(Р')0 = (Р)5Г0 = (Р)05Г = (Pi)Sr = (Рг)Т.
Сначала рассмотрим специальный случай, когда систатическая группа
X\f • • • Xrf транзитивна.
Если группа Xif • • • Xrf транзитивна, то точкой (Р)Г при
подходящем выборе Т можно накрыть любую точку пространства; поэтому если
562
Глава 24
мы поставим в соответствие любой точке (Р)Т пространства точку (Р\)Т,
то зададим тем самым совершенно определенное преобразование 0'. Если
нам удастся еще доказать, что 0' перестановочно со всеми
преобразованиями нашей группы, то станет ясно, что 0' имеет все свойства, которые мы
требовали от преобразования 0, и является единственным
преобразованием 0, которое вообще имеется.
Увидеть, что 0' перестановочно со всеми преобразованиями нашей
группы, можно довольно просто. Мы имеем
(Р)Т& = (Рг)Т = (P)Q'T,
где Т — произвольное преобразование нашей группы. Поэтому если под Т
также понимать произвольное преобразование нашей группы, то мы
получим
(Р)ГТ©' = (Р)©'ГТ = (Р)Г0'Т,
таким образом, преобразование Т©'!"-1©'"1 оставляет точку (Р)Т, то есть
любую точку пространства, инвариантной. Отсюда следует, что Т©'Т~1 ©'"1 —
тождественное преобразование, то есть 0 действительно перестановочно
со всеми преобразованиями нашей группы.
Поэтому если систатическая группа X\f • Xrf транзитивна, то
всякой паре точек Р, Pi с определенным выше свойством соответствует одно
и только одно преобразование, перестановочное со всеми
преобразованиями этой группы. Если выбирать эту пару точек всеми возможными
способами, то мы получим бесконечно много таких преобразований; сколько —
легко определить: если всякий раз оов различных точек при всех
преобразованиях группы, оставляющих произвольно выбранную точку инвариантной,
остаются неподвижными, то имеется в точности оов различных
преобразований, перестановочных со всеми преобразованиями группы X\f • • • Xrf.
Это согласуется с теоремой 67, стр. 416, так как благодаря только что
наложенному условию среди п(г — п) функций (fki/(x) имеется в точности
s — д друг от друга независимых, то есть имеется ровно д независимых
преобразований Z\f - • • Zef, перестановочных со всеми Xkf-
Поэтому мы можем сформулировать следующее
Утверждение 5. Если г-параметрическая систатическая группа
X\f • •• Xrf пространства х\ • •• х3 транзитивна, а Р и Р\ — две
точки, допускающие одни и те же инфинитезимальные преобразования
группы X\f---Xrf, то имеется одно и только одно преобразование 0,
перестановочное со всеми преобразованиями группы X\f • • • Xrf и
переводящее Р в Pi. Если под Т понимать общий символ преобразования группы
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 563
Xif • • • Xrf, то 0 можно также определить как такое преобразование,
которое переводит точку (Р)Т в точку (Pi)Т. Если всякий раз ровно оо0
различных точек допускают одни и те же инфинитезимальные
преобразования группы X\f • • • Xrf, то имеется ровно оов различных
преобразований, перестановочных со всеми преобразованиями группы X\f • • • Xrf.
Рассуждения о просто транзитивных группах, проведенные нами
в гл. 20, стр. 431-436, очевидно, входят в только что проведенные
рассуждения в качестве специального случая.
Теперь обратимся к случаю, когда г-параметрическая систатическая группа
Xif • • • Xrf интранзитивна, но будем краткими.
Если систатическая группа Xif • • • Xrf — интранзитивна, то преобразование,
переводящее точку Р в определенную на стр. 560 точку Pi и перестановочное со
всеми преобразованиями нашей группы, — не единственное, напротив, имеется
бесконечно много различных преобразований с таким свойством. Мы укажем, как
найти такие преобразования.
Интранзитивная систатическая группа Xif • • • Xrf определяет несколько
инвариантных разбиений пространства х\ • • • х3.
Первое разбиение представлено s — g < s уравнениями
Второе определяют некоторые s — п > 0 независимых решений и\{х) - • • и3-п(х)
71-параметрической полной системы Xif — 0, • • • Xnf — 0; аналитическое
выражение для этого разбиения таково:
В дальнейшем мы всегда будем понимать под Ме одно из oos~Q ^-мерных
многообразий (а), а под Мп — одно из oos-n n-мерных многообразий (Ь).
Среди решений полной системы Xif — 0, • • • Xnf = 0 имеется несколько,
скажем s — q^s — n, выражающихся только через <pi (х) • • • ips-e(x); мы полагаем,
что такими решениями являются ui(x) • • • и3-я(х)9 то есть что имеют место s —
— q < s — g соотношений вида
Ul(x) = ii((fl(x) • • • if3-g(x))1 • • • Us-q(x) = iis-q((fl(x) • • • ifs-g(x)),
и что всякое решение полной системы Xif = 0, • • • Xnf = 0, которое выражается
только через <pi(x) • • • ifs-Q(x), является функцией от Ui{x) • • • us-q{x) (ср. гл. 19,
стр. 382). Тогда s — q уравнений
(fl(Xi • • • Xs) = COnst, • • • (fs-e(Xl • - - Xa) = COnst.
(a)
Ui(xi • • • Xs) — COnSt, • • • Us-n(Xl • • • Xs)) = COnst.
(b)
Ui(Xi • ■ • Xs) = COnst, • • • Us-n(xi • • • Xa) = COnst.
■(c)
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 565
§125
Функции ifku(x), определяющие, является группа систатической или
нет, играли большую роль еще в главе о подобии г-параметрических групп.
Здесь мы хотим продолжить и в определенном смысле дополнить прежние
рассуждения.
Если заданы две r-параметрические группы от одинакового числа
переменных:
3 р\ г
**/ = ^Ы*1 ••• X,)-j± (fc = l-.-r)
г=1 1
и
3 О Г
г=1 °Vi
и при этом имеют место соотношения
Г Г
(XiXk) = ^2cikaXaf и (YiYk) = YfcikaYaf
(7=1 (7=1
в обоих случаях с теми же константами с^, то согласно гл. 19, стр. 391
и далее, преобразование
yv = Ф„(х\ ••• Х3) (i/= 1 ••• в),
переводящее Xif • • • Xrf в Y\f - • - Yrf соответственно, существует
тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: если между
Xif • • • Xrf имеют место соотношения вида
п
Xn+kf = ^2 ' • • Ха) • Xvf (к = 1 • • • г - п),
i/=l
тогда как X\f - Xnf не связаны линейными соотношениями, то между
Y\f • • • Yrf имеют место аналогичные соотношения:
п
Yn+kf = ^2 ^ки(У1 - "Уз)- Yvf (к = 1 • • • г - п),
1/=1
причем Yif • • • Ynf не должны быть связаны линейными соотношениями;
кроме того, п(г — п) уравнений
Ч>кЛх* Х9) = фку{У\ '"Уз) (к = 1 • • • г - щ v = 1 • • • п) (е)
564
Глава 24
представляют третье инвариантное относительно группы X\f • • • Xrf разбиение.
Отдельные многообразия этого разбиения очевидно являются наименьшими
многообразиями, состоящими как из Мв, так и из Мп (ср. гл. 8, стр. 165). Под DRq мы
будем всегда в дальнейшем понимать одно из оо3~ч ^-мерных многообразий (с).
И наконец, четвертое инвариантное разбиение определено многообразиями,
являющимися пересечениями Мв и Мп (ср. гл. 8, стр. 161), оно определяется,
очевидно, s — q + q — п уравнениями:
\ч>\{х) = const, • • • фа-в(х) = const,
1 Us-q+l(x) — COnSt, • • • Ua-n(x) = COnst,
которые согласно гл. 19, стр. 382, друг от друга независимы. Мы будем в
дальнейшем под Ne+n-q всегда понимать оо3~в^ч~п (g + n — q)-мерных многообразий (d).
Чтобы теперь найти преобразование В, перестановочное со всеми
преобразованиями группы Xif • • • Xrf, мы поступим следующим образом.
Внутри каждого fflq поставим в соответствие каждому Мп другое Мп,
которое обозначим Мп, а именно установим это соответствие согласно произвольному
аналитическому закону. Затем выберем на каждом из оо5_п многообразий Мп
произвольную точку Р и сопоставим каждой из выбранных оо5_п точек произвольную
точку Pi на том Ng+n-q, по которому Мв, проходящее через эту точку,
пересекается с Мп, соответствующим проходящему через эту точку Мп.
Существует одно и только одно преобразование 9', переводящее любую из
oos_n выбранных точек Р в соответствующую ей точку Р\. Это преобразование 9
определено символическим уравнением
(P)T9 = (Pi)T,
в котором Р — это общий символ выбранных оо5_п точек, а Т — общий символ оог
преобразований нашей группы.
Легко убедиться, что только что определенное преобразование 9
перестановочно со всеми преобразованиями группы Xif • • • Xrf, и что все преобразования 9
с этим свойством получаются, если в определении 9 самым общим образом
выбрать содержащиеся в этом определении произвольные элементы.
Нам не надо задерживаться на том, чтобы это доказывать; заметим лишь
следующее: если составить аналитическое выражение преобразования 0, то сразу
видно, что число встречающихся в этом выражении произвольных функций и число
встречающихся в этих функциях аргументов согласуются с теор. 67, стр. 416.
Наконец, еще одно замечание, относящееся как к интранзитивным, так
и к транзитивным группам: если многообразие
<Pkv(xi • • • ха) = 4>ku(xi - х°3) (к = 1 • • • г - п; и = 1 . • • п)
разбивается для всякой системы значений х? • • • х°3 на несколько дискретных
многообразий, то и совокупность всех преобразований, перестановочных с
преобразованиями группы Xif • • • Xrf, разбивается на несколько дискретных семейств.
566
Глава 24
не должны ни противоречить друг другу, ни давать соотношений только
между х или у.
Если среди функций 4>kv{x) было меньше, чем s, друг от друга
независимых, то нахождение преобразования, переводящего Xif--- Xrf
в Y\f - • • Yrf соответственно, требовало некоторого интегрирования; когда
же независимых функций среди 4>kv(x) было ровно 5, то уравнения (е)
сами представляли преобразование, переводящее Xif • - • Xrf в Yif • • • Yrf,
причем самое общее преобразование такого рода. Поэтому если мы
вспомним, что в последнем случае группа Xif-- - Xrf и, разумеется, также
группа Yi f - - - Yrf являются асистатическими, то получим
Утверждение 6. Если известно, что г-параметрические асистатиче-
ские группы от s переменных подобны, и если в каждой из этих групп уже
выбраны такие независимые инфинитезимальные преобразования
^/ = УЫЛ'"^/ (fc = l ---г)
i=l °Xi
и
г at
что существует преобразование yi = Ф{(х1 - • • х3), переводящее
Xif-- - Xrf в Yif • -• Yrf, то самое общее преобразование,
осуществляющее этот переход, можно задать без интегрирования; это самое общее
преобразование не содержит ни произвольных функций, ни произвольных
параметров.
Отсюда следует, что можно без интегрирования найти самое
общее преобразование, которое вообще переводит асистатическую группу
Xif - • • Xrf в подобную ей группу Yif -• - Yrf. Для этого необходимо
действовать следующим образом.
В группе Yif ••• Yrf самым общим образом находятся такие
независимые инфинитезимальные преобразования
г
к=\
что, во-первых, имеют место соотношения
г
(YiYfc) = CjkaYgf
(7=1
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 567
и, во-вторых, существует преобразование, переводящее X\f---Xrf
в Yi / • • • Yrf соответственно. Тогда, согласно вышесказанному, можно без
интегрирования найти самое общее преобразование, осуществляющее
такой переход, и в то же время получить самое общее преобразование,
превращающее группу X\f • • • Xrf в группу Y\f • • • Yrf. Очевидно, что это
преобразование содержит лишь произвольные параметры.
Если, в частности, допустить, чтобы группа Y\f---Yrf совпала
с группой X\f • • • Xrf, то указанным образом можно получить все
преобразования, оставляющие группу Xif • • • Xrf инвариантной. Совокупность
всех этих преобразований образует согласно гл. 19, стр. 399, группу,
причем, в нашем случае, очевидно, конечную группу. Отсюда следует
Теорема 90. Наибольшая группа, в которой содержится аси-
статическая г-параметрическая группа Xif---Xrf пространства
xi • • • х3 в качестве инвариантной подгруппы, имеет лишь конечное
число параметров. Конечные уравнения этой группы можно найти без
интегрирования, если заданы инфинитезимальные преобразования группы
X1f---Xrf.
Важно то, что даже конечные уравнения асистатической группы
Xif • • • Xrf можно найти без интегрирования, если известны ее
инфинитезимальные преобразования.
Надо просто составить конечные уравнения:
г
ek = X ^M£l "'£г)-е, (к = 1 • • • г), (f)
j=i
группы, присоединенной к группе Xif • • • Xrf; для этого требуются лишь
выполнимые операции (ср. гл. 16, стр. 273). Тогда если искомые конечные
уравнения группы Xif ••• Xrf имеют вид х[ = fi(xi • • • xn,Si • • • ег), то
согласно теор. 48, стр. 305, инфинитезимальное преобразование Xkf при
введении новых переменных х[ — fi(x, е) принимает вид
г
Xkf = '52il>jk(ei---er)'X'jf (* = i-..r),
j=i
где, как обычно, положено
J2^i(x[---x'a)^=X'kf-
i=l г
5 Л и, Archiv for Math., том 10, стр. 378, Христиания, 1885 г.
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
569
оставляющая М инвариантным, содержит ровно г — / параметров, и
обозначим эту подгруппу GT-i.
Разумеется, Gr-n либо совпадает с Gr-i, либо содержится в ней как
подгруппа. Последнее происходит всегда, когда Gr транзитивна; а именно,
в этом случае точка х\ • • • х® может быть переведена подходящим
преобразованием во все точки М, а поскольку всякое преобразование группы Gr,
переводящее х\ • • • х°8 в точку из М, очевидно, оставляет многообразие М
инвариантным, то Gr содержит непрерывное семейство преобразований,
оставляющих М инвариантным, не фиксируя всех точек М; таким
образом, в случае транзитивной группы Gr число г — I заведомо больше, чем
г — п. Если же Gr интранзитивна, то вполне возможно, что все ее
преобразования, оставляющие М инвариантным, также фиксируют все его точки,
то есть что г — I = г — п. Это видно на примере трехпараметрической
интранзитивной систатической группы
8X2' 0X2' 2 0X2
ПЛОСКОСТИ Xi,X2.
Легко видеть, что Gr-n в Gr-i инвариантна. Действительно, Gr-n
порождается всеми инфинитезимальными преобразованиями,
оставляющими все точки многообразия М неподвижными; но эти инфинитезимальные
преобразования порождают согласно утверждению 7, гл. 17, стр. 341
инвариантную подгруппу группы Gr-n. Итак, мы имеем
Утверждение 8. Пусть X\f-- - Xrf, или Gr, — г-параметрическая
систатическая группа пространства х\ • - • х3, пусть, кроме того,
Р — точка общего положения и, наконец, М — многообразие тех же
точек, остающихся инвариантными относительно всех преобразований
группы Gr, что и Р. Тогда наибольшая подгруппа группы Gr, оставляющая Р
инвариантной, либо идентична наибольшей подгруппе, оставляющей М
неподвижным, либо содержится в ней в качестве инвариантной
подгруппы. Первый случай возможен лишь тогда, когда Gr интранзитивна; если
она транзитивна, то имеет место второй случай.
С другой стороны, если известна какая-либо г-параметрическая
группа пространства х\ • • • х3 и известно, что ее наибольшая подгруппа Gr_n,
оставляющая какую-либо точку Р общего положения неподвижной,
является инвариантной в еще большей подгруппе Gr-n с г — h > г — п
параметрами, то можно заключить, что Gr относится к классу систатических
групп.
568
Глава 24
Так как группа Xif-- - Xrf — асистатическая, то имеется совершенно
определенное преобразование между х и х', переводящее Xif -- - Xrf в
г
^2^к(ег'-'ег)-Х^ (к = 1-.-г)
j=i
соответственно. Вычисляя это преобразование по прежним правилам, мы
находим искомые уравнения х\ — f\{x, е).
В частности, если уравнения (f) являются канонической формой
присоединенной группы (ср. гл. 9, стр. 171), то конечные уравнения группы
Xif-- - Xrf тоже, очевидно, получаются в канонической форме. Таким,
образом, мы имеем
Утверждение 7. Если известны инфинитезимальные преобразования
асистатической группы пространства xi - - • xs, то всегда можно найти
конечные уравнения этой группы при помощи выполнимых операций,
причем в канонической форме.
Существуют более общие случаи, в которых конечные уравнения
r-параметрической группы, инфинитезимальные преобразования которой
Xif - - • Xrf известны, находятся без интегрирования. Однако мы не
будем здесь подробно рассматривать такие вопросы, а лишь заметим, что
нахождение конечных уравнений будет среди прочего успешным, если не
существует инфинитезимальных преобразований, перестановочных со
всеми Xkf, которые бы не принадлежали группе Xif ••• Xrf.
§126
Пусть Xif - - - Xrf, или кратко Gr, — г-параметрическая систатиче-
ская группа пространства х\ • •• х8 и Gr-n — такая (г—п)-параметрическая
подгруппа группы Gr, которая соответствует определенной точке х\ - -• хп
общего положения. Многообразие
<Pkv(xl '' ' xs) = <Pkv(x<i • • • х°3) (k = 1 • • • г - n-r = 1 • • • п),
состоящее из всех инвариантных относительно Gr-n точек, обозначим
через М.
Поскольку Gr-n фиксирует все точки М, то она, разумеется, оставляет
само М инвариантным; однако возможно, что Gr содержит также другие
преобразования, оставляющие многообразие М инвариантным, не
фиксируя всех его точек. Предположим, что наибольшая подгруппа группы Gr,
570
Глава 24
Действительно, точка Р допускает ровно г — п независимых
инфинитезимальных преобразований группы Gr-h и принимает, таким образом,
(гл. 23, теор. 85, стр. 531) при всех oor~h преобразованиях группы Gr-h
ровно ооп~н различных положений, где число п — h при наложенных
условиях больше либо равно 1. Но тогда, поскольку Gr-n в Gr-h
инвариантна, каждому из этих oon~h положений точки Р соответствует та же самая
(г — п)-параметрическая подгруппа группы Gr, что и для точки Р. Это
значит, что Gr действительно является систатической. Следовательно, имеет
место
Утверждение 9. Если г-параметрическая группа Gr пространства
х\ • • • х3 такова, что ее наибольшая подгруппа Gr-n, оставляющая
какую-либо точку общего положения инвариантной, инвариантна также
в еще большей подгруппе группы Gr или вообще в самой Gr, то группа Gr
относится к классу систатических групп.
Из этого утверждения непосредственно следует, что для г-параметри-
ческой асистатической группы пространства х\ • • • х9 подгруппа,
соответствующая точке общего положения, не является инвариантной ни в самой
Gr, ни в одной большей ее подгруппе. Если же Gr такова, что подгруппа,
соответствующая точке общего положения, не является инвариантной ни
в одной большей подгруппе, то она не обязательно будет асистатической,
это лишь тогда неибежно, когда она одновременно является также и
транзитивной; это очевидно следует из утверждения 8, стр. 569. Поэтому мы
можем сформулировать
Утверждение 10. Транзитивная г-параметрическая группа Gr
пространства х\ • • • х3 является асистатической тогда и только тогда,
когда подгруппа, соответствующая точке общего положения, не является
инвариантной ни в одной большей подгруппе.
В главе 22, теорема 79, стр. 443, мы дали метод описания всех
транзитивных групп, равносоставленных с заданной r-параметрической
группой Г. Теперь мы можем так конкретизировать этот метод, что он будет,
в частности, давать все транзитивные ас и статические группы, рав-
носоставленные с группой Г.
Найдем все подгруппы группы Г, не содержащие ни одной подгруппы,
инвариантной в Г, и не являющиеся инвариантными ни в одной большей
подгруппе группы Г. Каждая из этих подгрупп, если следовать правилам
теоремы 78, дает транзитивную асистатическую группу, равносоставлен-
ную с Г, и именно таким образом находятся все транзитивные асистатиче-
ские группы с подобной структурой.
СИСТАТИЧЕСКИЕ И АСИСТАТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
571
На основании утверждения 10 можно ответить на вопрос, является заданная
транзитивная группа систатической или асистатической. Можно сформулировать
утверждение, похожее на то, которое позволяло ответить на вопрос, является
заданная группа примитивной или нет.
Пусть г-параметрическая транзитивная группа Gr пространства х\ • • • х3 им-
примитивна, и пусть
U\(X\ ' • • Х3) = COnst, • • • U3-m{x\ • • • Xs) = COnst (0 < 771 < s)
— инвариантное относительно этой группы разбиение пространства на оо3~т
т-мерных многообразий.
Поскольку Gr — транзитивна, то все ее преобразования, оставляющие
точку х? • • • х° общего положения инвариантной, образуют (г — s)-параметрическую
подгруппу Gr-s, с другой стороны, все ее преобразования, оставляющие
инвариантным m-мерное многообразие
Ul(xi ••• Xs) = Wi(x°), • • • Us-m(xi Х3) = U3-m(x°),
образуют (г — s + га)-параметрическую подгруппу Gr-s-\-m (ср. гл. 23, стр. 531).
При этом, разумеется, Gr-a входит в качестве подгруппы в группу (2r_a+m, которая
в свою очередь является подгруппой группы Gr.
Теперь предположим, что, наоборот, задана какая-либо г-параметрическая
транзитивная группа (5Г пространства Х\ • • • х3, и что (г — s)-параметрическая
подгруппа <5г-з группы <5Г, соответствующая точке Р общего положения, содержится
в большей подгруппе:
<5r-s+h (г — s < г — s + h < г).
Если к Р применить все преобразования <&r-s+h, то эта точка примет ooh
различных положений. Эти ooh положений образуют /i-мерное многообразие М,
остающееся инвариантным относительно <5r-s+h (ср. гл. 23, стр. 531). Если, наконец,
подействовать на М всеми преобразованиями, то мы получим oos_h различных
/i-мерных многообразий, определяющих разбиение пространства xi • • • х3.
Действительно, поскольку многообразие М остается инвариантным
относительно <5r-s+h, то оно принимает при оог преобразованиях группы 0Г максимум
oos~h различных положений (ср. гл. 23, стр. 531), ас другой стороны, по причине
транзитивности <5Г оно принимает минимум oos~h положений, то есть
относительно <5 г получается именно oos~h различных положений, заполняющих пространство
и потому определяющих его разбиение. То, что это разбиение остается
инвариантным относительно <5Г, следует из теоремы 85, стр. 531.
Отсюда следует, что группа 0Г при наложенных условиях является имприми-
тивной. Соединив этот результат с полученным выше, мы, прежде всего, получим
следующую теорему.
Теорема 91. г-параметрическая транзитивная группа Gr пространства
х\ - • - х3 примитивна тогда и только тогда, когда (г — s)-параметрическая
подгруппа Gr-s, сопоставленная какой-либо точке общего положения, не содержится
ни в какой большей подгруппе.
572
Глава 24
Но, кроме этого, мы, очевидно, получаем еще и метод нахождения всех
возможных разбиений пространства х\ • • • х3, остающихся инвариантными
относительно заданной транзитивной группы этого пространства.
Теорема 92. Если задана г-параметрическая транзитивная группа Gr
пространства х\ • • • Хз, то все возможные инвариантные относительно этой группы
разбиения находятся следующим образом.
Сначала найдем (г — s)-параметрическую подгруппу Gr-s группы Gr,
относительно которой некоторая точка Р, не лежащая ни на одном инвариантном
относительно Gr многообразии, остается инвариантной. Затем найдем все
подгруппы группы Gr, содержащие Gr-S- Если Gr-s+h — одна из этих групп, то
применим к Р все преобразования из Gr-s+h; при этом точка Р будет принимать
оон различных положений, образующих h-мерное многообразие М; если теперь
подействовать на М всеми преобразованиями группы Gr, то М принимает oos~h
различных положений, определяющих инвариантное разбиение пространства
относительно Gr- Если таким образом поступить со всеми подгруппами Gr, в
которые входит Gr-s, то мы получим все инвариантные относительно Gr разбиения.
Теперь мы можем также указать, как конкретизировать изложенный в гл. 22,
теорема 79, метод нахождения всех примитивных групп, равносоставленных с
заданной r-параметрической группой Г.
Поскольку все примитивные группы транзитавны, то надо действовать
следующим образом.
Находим все подгруппы группы Г, не содержащие никаких инвариантных в Г
подгрупп и не входящие ни в какую большую подгруппу группы Г. Каждая из
этих подгрупп, если действовать согласно указаниям теоремы 78, дает
примитивную группу, равносоставленную с Г, причем таким образом находятся все
подобные примитивные группы.
Теорема 92 показывает, что все инвариантные относительно транзитивной
группы разбиения можно найти без интегрирования, если известны конечные
уравнения этой группы. То же самое верно и для интранзитивных групп, но чтобы это
понять, необходимы довольно долгие рассуждения, излагать здесь которые не
представляется целесообразным.
Глава 25
Дифференциальные инварианты
Предположим, что нам дано преобразование от п переменных:
Vi = fi(xi ••• хп) (г = 1 -n), (1)
и что это преобразование применено к системе из n — q независимых
уравнений
flk(xi •••хп)=0 (*=1...п-9). (2)
Мы получаем, таким образом, новую систему уравнений
ЩУ1 Уп) =0 (к = 1.-п-я) (2')
от у.
Тогда в силу уравнений (2) можно представить п — q из переменных
х\ ••• хп как функции от q остальных, и эти n — q имеют, конечно,
определенные производные р\, р2 • • • по q остальным. С другой стороны, в силу
уравнений (2') можно представить n-q из переменных у\ • • • уп как
функции от q остальных, и эти n — q имеют, в свою очередь, определенные
производные р[, р'2 • • • по q остальным.
Между этими двумя определенными описанным способом наборами
производных существует некоторая связь, которая, по существу, не зависит
от вида n—q соотношений (2). По ходу этой главы мы подробно рассмотрим
эту связь, а здесь лишь напомним, что производные р' порядка от 1 до т
можно представить как функции от х\ • • хп и производных р порядка
от 1 до ш, тогда как р выражаются как функции от х\ • • • х'п и р'. Отсюда
следует, что из преобразования (1) можно вывести новое преобразование,
которое, помимо х, преобразует также производные порядка от 1 до ш. Мы
будем говорить, что это новое преобразование получается путем
продолжения преобразования (1).
Очевидно, что продолжение преобразования (1) может происходить
самыми различными способами, поскольку мы можем по своему
усмотрению решить, сколько и какие из переменных х\ - • • хп рассматриваются как
574
Глава 25
функции от остальных. Можно даже еще увеличить число возможностей,
добавив вспомогательные переменные ti, £2 • •, которые совсем не
преобразуются преобразованием (1), то есть добавив к уравнениям
преобразования (1) тождественное преобразование от вспомогательных переменных t\9
t2«...
Если задана r-параметрическая группа, то мы можем продолжить все
ее оог преобразований и получим, таким образом, оог продолженных
преобразований; последние, как мы увидим, образуют, в свою очередь, г-пара-
метрическую группу, которая является равносоставленной с исходной
группой.
§127
Сначала рассмотрим один очень простой вид продолжения. В
преобразовании
Ух = fi(xi ••• Жп) (t = 1 ••■ п) (1)
рассмотрим переменные х\ • • • хп как функции вспомогательной
переменной t, которая вообще не преобразуется преобразованием (1). Тогда
и у\ • • • уп понимаются как функции от t; поэтому если положить
dxi _ (1) dy* _ (1)
dt 1 ' dt Vi '
то в результате дифференцирования (1) no t получается
^El^ <* = i-n). (3)
i/=l °Xv
Взяв (1) и (3) вместе, получаем преобразование от 2п переменных, Xi
их»1».
Преобразование (1), (3) является в некотором смысле самым простым
преобразованием, получающимся из (1) путем продолжения.
Если мы применим вышеупомянутое специальное продолжение ко
всем оог преобразованиям г-параметрической группы X\f • • • Xrf или:
Уг = fi(xi • • ■ жп, 01 • • • or) (t = 1 • • • n), (4)
то получим оог продолженных преобразований, которые имеют вид
Уг = fi{xi ••• а?„, oi ••• ог), у\ = } —^ х\;} (t = 1 ••• п). (5)
Дифференциальные инварианты
575
Можно легко доказать, что уравнения (5) представляют г-параметри-
о (1)
ческую группу от 2п переменных Х{, х\ .
В самом деле, уравнения
Уг = fi(xi • • * хп, ai • • • аг) и z{ = fi(yi • • • уп, 6i • • • 6r)
по условию имеют следствием
Zi = fi{x\ • • • Xn, C\ • • • Cr),
где с зависят только от а и 6. Таким образом, из
(1) ^dfi{x,a) (1) (1) ^ dfj{y,b) (1)
в результате исключения у^ мы получаем
(1) _ A dfj(y,b) dfj(x,a) (1)
^ "А* дуг dxv Х»
г,1/=1
Edfj(y,b) (1) ^dfj{x,c) (1)
1^=1 1^=1
и тем самым необходимое доказательство выполнено.
Кроме того, из сказанного следует, что эта новая группа имеет те же
параметры, что и исходная:
Уг = fi(xi ••• хп, а\ • • • аг).
Новая группа:
yk = fk(x,a), У? =£У±х\г) № = 1-п), (5)
являющаяся первым примером продолженной группы, имеет очень простой
геометрический смысл.
А именно: если х\ • • • хп толковать как обычные координаты точек п-
мерного пространства, то 2п величин х\ • • • хп, х^ • • • хп^ могут быть
истолкованы как определяющие компоненты направления, проходящего через
точку Х\ - • • хп, то есть как компоненты, определяющие линейный элемент;
Дифференциальные инварианты
577
Если мы продифференцируем эти уравнения по г и примем во
внимание, что а не зависят от t, то получим
^ = Е^иЕ^^' <«=1-».*=1-г). (8)
Если теперь а? • • • а® — параметры тождественного преобразования в
группе yi = /г(х, а), то определитель ^ ±фи (о) * • ■ Фгг{а) при а\ = а?, • • • аг =
= а® не обращается в нуль; но а? • • являются также параметрами
тождественного преобразования продолженной группы (5), следовательно, мы
можем из уравнений (7) и (8) известным образом (ср. гл. 4, стр. 76 и ниже)
заключить, что продолженная группа действительно порождена г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями X^f. Мы назовем X^f
продолженными инфинитезимальными преобразованиями.
Будучи независимыми инфинитезимальными преобразованиями г-па-
раметрической группы, X^f удовлетворяют попарно соотношениям вида
3=1
Здесь коэффициенты при слева и справа должны совпадать, то
ОХ г
есть должно выполняться XkX3f — XjXkf = J2S c'kjsXsf> a стало быть:
г
s=l
или, в силу независимости Xif • • • Xrf,
ckjs = °kjs (k,j,s = 1 • r).
Следовательно, продолженная группа (5) голоэдрически изоморфна
исходной группе, что соответствует тому, что обе группы согласно стр. 575 имеют
одну и ту же группу параметров.
Дадим еще другое непосредственное доказательство только что
полученного результата.
Если Xkf и Xjf — произвольные инфинитезимальные преобразования,
и если соответствующие продолженные инфинитезимальные преобразова-
576
Глава 25
при этом х\ • • • хп — однородные координаты в области ооп
направлений, проходящих через точку х\ • • • хп.
Новая группа (5) от переменных х,х^ указывает, каким образом
линейные элементы пространства х\ • • • хп переставляются между собой
исходной группой у = /г(ж, а).
Поскольку группа у\ = fi(x,a) порождена г независимыми инфини-
тезимальными преобразованиями X\f • • • Xrf, то ее конечные уравнения
в канонической форме таковы:
г
Ук = Хк + X е&к (* = 1 • • • п).
j=l
Возьмем эту запись группы yi = fi(x, а) за основу, чтобы образовать
продолженную группу (5), тогда уравнения последней принимают вид
г г
j=i j=\
(к = 1 ••• п),
где для краткости положено
V^Lr(i) _М)
dxi
Отсюда мы сразу видим, что продолженная группа содержит
тождественное преобразование, и в то же время приходим к предположению, что она
порождена г независимыми инфинитезимальными преобразованиями
i=l г=1 uxi
Правильность этого предположения можно доказать следующим образом.
Согласно теореме 3, стр. 36, п функций yi = fi(x,a) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям вида
= У2 ^зк(а1 - • аг) • €ji{yi ' • • Уг) (г = 1 • • • п, к = 1 • • • г). (7)
°ак г=1
578
Глава 25
или
(9)
Допустим, в частности, что Xkf — инфинитезимальные
преобразования r-параметрической группы, и что при этом
г
XkXjf - XjXkf = ^2 ckjsX3f.
3=1
Тогда
xi^f-X^f=±ckja±U^+
8=1 7Г = 1 П
+ ±**±it- ■&-£<*.*?>/.
8=1 7T = 1 3 = 1
что и требовалось доказать1.
Особый интерес в только что проведенном вычислении представляет
общая формула (9), которую словами можно выразить так:
1 Вышеизложенные аналитические результаты имеют большое сходство с некоторыми
результатами главы 20 (ср. стр. 409 и ниже). Внутренняя причина этой связи заключается в том,
ду
что величины С, на стр. 409 суть не что иное, как некоторые производные — от у по t.
dt
ния, как и прежде, обозначить X^f и X^f, то получается:
Дифференциальные инварианты
579
Утверждение 1. Если для двух произвольных инфинитезимальных
преобразований
i=l i=l
построить продолженные инфинитезимальные преобразования
г=1 г=1 их%
то X^X^f—Х^Х^ f будет продолженным инфинитезимальным
преобразованием, соответствующим преобразованию X\X2f — X2X\f.
§128
Теперь мы спрашиваем, как можно определить, допускает ли
уравнение
п
Y,Uv{Xl ■■■хп)-хР=0
1/=1
всякое конечное преобразование продолженной однопараметрической
группы
EL + v гм Ж.
-dxi + dXvx- д(ху
г=1 \,v—\ USji
Согласно гл. 7, стр. 125, это верно тогда и только тогда, когда
XWCZUvxP) обращается в нуль в силу ^Uux^ = 0. Вычисляя,
получаем выражение
\v=\ / v=\ и=1 г=1 1
которое является по х[^ линейным. Таким образом, уравнение Uvx^ =
= 0 допускает однопараметрическую группу X^f тогда и только тогда,
когда имеет место соотношение
xv (j^UuxA = qJ2u^^
где под q понимается функция только от х\ • • • хп.
Дифференциальные инварианты
581
Из рассуждений, приведенных выше в данной главе, получаются
важные утверждения относительно систем уравнений Пфаффа:
п
Uki(xi ••• xn)-dxi=0 (к = 1 • • • т). (10')
i=l
Применение преобразования yi = fi(x\ • • • хп) к дифференциальному
выражению Yli Uki{%i • • • хп) dxi происходит, очевидно, таким образом, что
2п величин Х\ - - • хп, dx\ • • • dxn преобразуются при помощи
продолженного преобразования:
Уг = fi(xi •' • хп), dyi = ^2 ~Q^T dxu (t = 1 • • • n).
v=\ V
Отсюда следует, что система уравнений Пфаффа
п
5^ Uki{xi • • • хп) • dxi = 0 (к = 1 • • • т) (10')
г=1
остается инвариантной относительно однопараметрической группы Xf
тогда и только тогда, когда система уравнений
п
Uki(xi ■ ■ ■ Хп) ■ хгШ = 0 (к = 1- т)
1=1
допускает продолженную однопараметрическую группу
xWf-^(-EL+^^-^-
г=1 г=1 Udji
то есть, выполняются т соотношений вида
п п т п
^XUki -dxi + Y^Uki d{Xxi) = ]Г gkj(x) Ujidxi
i=l n=l j=l i=l
(к = 1 • • • m).
Поэтому если мы введем сокращенное обозначение:
п п / п \
Y, XUki -dXi + Y, Uki4(XXi) = X\ yjUkidxiY
г=1 г=1 \г=1 /
то получим
580
Глава 25
Попутно можно заметить, что выражение ^ Uux\}^ остается инвариантным
при любом конечном преобразовании продолженной группы X^f тогда и только
тогда, когда выражение Х^Е^) обращается в нуль тождественно.
Наконец, система из т уравнений
п
^Ukiix! Хп)-х[1] =0 (* = 1-..т) (10)
г=1
будет допускать все преобразования продолженной группы X^f тогда
и только тогда, когда каждое выражение
Х™(Е UvxP) обращается в нуль
в силу этой системы, то есть когда имеют место соотношения
(п \ то п
£М!))='Z^ыEuj^) (* = i ■■•«•).
i=l / j=l i=l
где Qkj означают функции лишь от х.
Если мы свяжем утверждение 5, гл. 7, стр. 131, с доказанным выше
утверждением 1 (стр. 579), то, очевидно, получим следующее
Утверждение 2. Если система уравнений вида
п
тт. .(~. ... ~ \ . Л1)
1=1
Uki(xi • • • хп) • х\1) =0 (к = 1 •.. т) (10)
допускает две однопараметрические группы, х[^ f и X^f, полученные
из X\f и X2f путем определенного выше продолжения, то она в то же
время допускает однопараметрическую группу X^X^f — X^X^f,
полученную путем продолжения группы X\X2j — X2X\f.
Мы получили этот результат, применив утверждение 5 главы 7 к
специальному случаю системы уравнений вида (10). Однако необходимо упомянуть, что наше
теперешнее утверждение будет намного проще доказать, чем общее утверждение 5
главы 7. Так, можно без труда при помощи вычислений убедиться, что система
уравнений (10), допускающая х[^ f и Х^/, допускает также и X^X^f —
Уравнение вида
]Г[/г(Я1 Хп) -dXi = 0
1=1
мы называем уравнением Пфаффа, а его левую часть — формой Пфаффа.
582
Глава 25
Утверждение 3. Для того чтобы система из т уравнений Пфаффа
п
^2Uki(xi ••• хп) -dxi = 0 (fc = i-m) (10')
г=1
допускала все преобразования yi = х\ + еХх\ + • • •
однопараметрической группы Xf, то есть чтобы для любого е имели место соотношения
вида:
п т п
^2Uki{yi ••• Уп)' dyi=^Twkj(xi ••• xn,e)^2uji(x)dxi (* = i ••• m),
г=1 j=l г=1
необходимо и достаточно, чтобы т выражений Х(%2 Uki dxi) можно
было представить в виде
(п \ т п
]Г UkidXi I = ^2 Qkj{x) ^2 UJ* (k = 1 • • • m)
i=l / i=l t=l
Наконец, используя следующую терминологию: система уравнений
Пфаффа (10') допускает инфинитезимальное преобразование Xf, если
имеют место т соотношений вида
(п \ га п
^2ukidXi\ = ^2gkj(x)^2ujidxi,
i=l / j=l i=l
последнее утверждение можно будет сформулировать еще и так:
Система из т уравнений Пфаффа (10') допускает все преобразования
однопараметрической группы Xf тогда и только тогда, когда она
допускает инфинитезимальное преобразование Xf.
Кроме того, из утверждения 2 непосредственно следует
Теорема 93. Если система из т уравнений Пфаффа
п
Uki(xi • • • Хп) • dXi = 0 (к = 1 • • ■ т)
г=1
допускает две однопараметрические группы, Xif и X2f, то она в то же
время допускает и однопараметрическую группу X\X2f — X2X\f.
Дифференциальные инварианты
583
Необходимо еще заметить, что форма Пфаффа YL% Ui(xi "' хп) dx\
остается инвариантной при любом преобразовании однопараметрической
группы Xf тогда и только тогда, когда выражение Х(%2 Uidxi) обращается
в нуль тождественно.
Ранее (стр. 58 и ниже) мы условились, что будем иногда писать
дх Sf
-г-1 вместо £г, а также -f- вместо Xf. Аналогичным образом запишем
dt dt
jj.Y^Uidxi вместо Х(%2 Uidxi) и тогда получим уравнение
(п \ п п
]Г UidXi J = X SU* ' dxi + X Ui dS XU
1=1 / 2=1 2=1
которое в этом же смысле используется в вариационном исчислении.
§129
Утверждений из предыдущего параграфа совершенно достаточно,
чтобы в полной общности вывести теорию продолжения групп путем
добавления производных. Однако, прежде чем приступить к обсуждению общего
случая, мы хотим рассмотреть один частный. При этом мы будем опираться
на известные геометрические понятия трехмерного пространства.
Пусть под х, у, z понимаются обычные координаты точек трехмерного
пространства и пусть
x'=~(x,y,z), у, = Н, z' = Z (11)
— преобразование этого пространства.
При действии преобразования (11) все точки х, у, z преобразуются, то
есть переходят в новые положения х', у', z'. В то же время все поверхности
принимают новые положения: всякая поверхность x(xiViz) — О
переходит в новую поверхность ij){x',y\z') = О, уравнение которой получается
в результате исключения х,у, z из уравнений (11) этого преобразования
в сочетании с \ = 0.
Вполне естественно, что преобразование (11) переводит
соприкасающиеся поверхности, по крайней мере в общем случае, в поверхности с
аналогичным свойством. Поэтому если мы назовем элементом поверхности
совокупность точки х, у, z, лежащей на поверхности и касательной
плоскости:
z1-z=p(x1-x)+q(y1-y) (р = |5> Я. = If),
584
Глава 25
то мы сможем сказать, что наше преобразование (11) превращает всякий
элемент поверхности ж, у, г, р, q в новый элемент поверхности ж', у', z',
р\ q'. Другими словами, должны иметь место некоторые уравнения
р' = n(x,y,z,p,q), q' = K(x,y,z,p,q), (12)
которые мы ниже действительно выпишем. Уравнения (11) и (12), вместе
взятые, представляют преобразование, возникшее из преобразования (11)
в результате продолжения.
Предположим теперь, что нам даны оог преобразований
х' = S(x,y,z,ai ••• Or), у' = Н, z' = Z (13)
представляющие г-параметрическую группу точечных преобразований
пространства, и что для каждого из этих оог преобразований выписано
определенное выше продолженное преобразование. Мы утверждаем, что
оог продолженных преобразований
х' = ~(x,y,z,ai аг), у' = Н, z' — Z,
р' = II(x,y,z,p,q,ai ••• аг), q' = К,
полученных таким образом, образуют г-параметрическую группу от
переменных х, у, z,p, q.
Для доказательства рассмотрим оог преобразований (13) как операции
и заметим, что эти операции переставляют между собой как точки ж, у, г,
так и элементы поверхности ж, у, z,p, q. Рассматриваемые как перестановки
точек, эти операции образуют группу, следовательно, они должны
образовывать группу и как перестановки элементов поверхности, а это находит
свое аналитическое выражение как раз в том, что уравнения (14)
представляют группу.
Уточним прежние рассуждения, развивая их чисто аналитически.
Пусть
х' = ~(х, у, г), у' = Н(ж, у, z), z' = Z(x, у, z) (11)
— преобразование между переменными ж, у, г и x',y',z'. Если
предположить, что z — это произвольно выбранная функция z — </?(х, у) от ж и у, то
имеют место дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка от z по ж и у; они определены уравнением
dz — pdx — qdy = 0.
Дифференциальные инварианты
585
С другой стороны, наше преобразование превращает всякое
отношение зависимости z — ip(x, у) между x,y,z в такое же отношение между
x',y',z', которое в общем случае может принимать вид z' — 7р(х',у')\
поэтому и z' также имеет две частные производные р' и qf, удовлетворяющие,
в свою очередь, условию
dz' - p'dx' - q'dy' = 0.
Подставляя в только что записанное уравнение вместо z', у1z' их
значения Z, Б, Н и группируя в полученном выражении члены при dz, dx, dy9
получаем
(I-'f-'f)-+(i^f-''f)dI+
♦(f-'ff-^)*-0
или, поскольку dz — pdx + qdy
J {g-*g-*ffi+'(g-'£-<g)}**
1+ {f-'f-^(f-'f-'f)}*^-
(15)
В уравнении (15) множители dx и dy должны обращаться в нуль, так
как dx и dy не связаны никаким соотношением. Поэтому получаем два
уравнения:
эт
dz'
(16)
Их можно разрешить относительно р и q. Действительно, если бы
определитель
ах + p~a*
ах ^а*
ду dz
ду ^qdz
(17)
обращался в нуль для произвольной функции z от х и г/, то он должен
был бы сам по себе обращаться в нуль тождественно для каждого значения
586
Глава 25
переменных х, у, q. Последнее может, очевидно, иметь место только
тогда, когда все определители второго порядка матрицы
дБ дБ дБ
дх ду dz
дИ дИ дИ
дх ду dz
обращаются в нуль тождественно, то есть когда S и Н не являются
независимыми функциями от х, у, z. Это, однако, с самого начала исключено.
Таким образом, мы видим, что уравнения (16) в общем случае разрешимы
относительно р' и qf, какой бы функцией от х и у ни было z, и что это
разрешение лишь тогда невозможно, когда функция z = ip(x, у)
удовлетворяет дифференциальному уравнению, возникающему в результате
приравнивания определителя (17) нулю. Выполняя в действительности разрешение
уравнений (16), мы получим для р' и q' совершенно определенные функции
отх,у,г,р, q:
р' = II(x,y,z,p,q), q' = K(x,y,z,p,q).
Это утверждение всегда верно, так как мы не налагали специальных
условий на функцию z = <^>(х, у).
Все это, впрочем, давно известно.
Уравнение (15) показывает, что можно задать величину о такой, что
соотношение
dZ — p'dE — q' dH = a(dz —pdx — qdy) (18)
no dx,dy,dz выполняется тождественно. Так, если разложить (18) по
dx, dy, dz, то сначала путем сравнения множителей при dz в обеих частях
получается
если же это значение подставить в уравнение (18), то оно превращается
в (15).
Уравнение (18), в свою очередь, имеет очень простой смысл, оно
свидетельствует о том, что продолженное преобразование
х'=~, t/ = H, z' = Z, р' = П, q' = K
оставляет уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy = 0 инвариантным2.
2Ли, Gottinger Nachr, 1872 г., стр. 480, Verhandl. d. G. d. W. zu Christiania (Слушания
Научного общества Христиании), 1873 г.; Math. Ann., том VIII.
Дифференциальные инварианты
587
Для последующего очень важно отметить, что продолженное
преобразование х' — Е, - • - q' — К полностью определено благодаря этому
свойству. Другими словами, если известны 5\ Н, Z, то Я и К в силу того
требования, что преобразование х' — Е, • • • q' = К оставляет уравнение Пфаффа
dz — pdx — qdy = 0 инвариантным, однозначно определены.
Теперь мы снова переходим к рассмотрению r-параметрической
группы
х' = E(x,y,z,ai ••• ar), у = Н, z' = Z (19)
и предполагаем, что любое из оог преобразований этой группы является
продолженным вышеуказанным образом путем добавления уравнений
р' = II(x,y,z,p,q,ai ••• Or), q' = К. (20)
О том, что уравнения (19) и (20) вместе взятые представляют г-параметри-
ческую группу, мы уже знаем (ср. стр. 583), но хотим теперь доказать это
также и аналитически. Если уравнения
х" = Е(х', у', z', Ь, ■ ■ ■ Ьг), у" = Н, z" = Z,
связаны с (19), то известным образом получается
х" = Е(х, y,z,a • • • Сг), у" = Н, z" = Z,
где с зависят только от а и 6. С другой стороны, уравнения
dz' - р'dx' - q'dy' — a{dz - pdx -qdy),
dz" - p" dx" - q" dy" = a'{dz' - p' dx' - q' dy')
дают аналогичное уравнение
dz"-p"dx" - q"dy" = aa'{dz-pdx - qdy),
которое, согласно замечанию выше, показывает, что р" и q" точно так же
зависят от с, как р' и q1 от х, у, z,p,qn а. Таким образом, мы имеем
Утверждение 4. Если уравнения
х' = E(x,y,z,ai ••• аг), у' = Н, z' = Z (19)
представляют г-параметрическую группу, и функции П(х, y,z,a\ •• - аг),
К(х,г/, z,a\ • • • аг) заданы так, что продолженные уравнения
преобразований
х' = Е, у, = Н, z, = Z, р'-Я, 9, = К (21)
588
Глава 25
оставляют уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy — 0 инвариантным, так
что имеет место соотношение вида
dz —pdx — qdy = а(ж,у,z,p,q,a\ • • • аг) • (dz —pdx — qdy),
то эти уравнения преобразований также представляют
г-параметрическую группу, а именно группу, имеющую с исходной общую группу
параметров.
Теперь мы утверждаем: если r-параметрическая группа (19)
порождена независимыми инфинитезимальными преобразованиями — а мы это
здесь, как и везде, разумеется, предполагаем, — то это же справедливо
одновременно для продолженной группы (21).
Докажем это утверждение сначала для простого случая г = 1. Итак,
пусть г = 1, и пусть группа (19) порождена инфинитезимальным
преобразованием
Xf = tte+T,dy- + Cdz-
Чтобы доказать, что присоединенная группа также порождена
инфинитезимальным преобразованием, нам надо лишь показать, что из Xf можно
получить продолженное инфинитезимальное преобразование
А ; ^дх+Т1 ду+(> dz+7r дР + х dq'
оставляющее уравнение Пфаффа
dz-pdx - qdy = О (22)
инвариантным. Если это показано, то ясно, что однопараметрическая
группа, порожденная X^f в переменных ж, у, г,р, q, идентична
однопараметрической группе (21), она оставляет уравнение Пфаффа (22) инвариантным
и возникает в результате продолжения группы Xf, которая, по
предположению, как раз и является группой (19).
Согласно стр. 582 инфинитезимальное преобразование X^f
оставляет уравнение Пфаффа (22) инвариантным тогда и только тогда, когда тг их
удовлетворяют уравнению вида
dC, — pd£ — qdr\ — ndx — xdy = b(dz — pdx — qdy),
где под b понимается функция от ж, у, z,p, q. Это уравнение разбивается на
три следующих:
, д{ д£ дг)
b = dz--pd-z-Qdz-'
Дифференциальные инварианты
589
д( д£ дг)
1Г = Й"р&-в& + ^
дС д£ дт] ь
ду " ду * ду
то есть для 7г и х получаются вполне определенные значения:
dx dx dx' dy dy dy'
где для краткости положено
дФ(х,у,г) | дФ(х,у,г) = д\ф дФ{х,у,г) ^ дФ{х,у,г) = ^Ф
дх Р dz dx' ду q dz dy'
Тем самым существование инфинитезимального преобразования X^f
доказано, а вместе с ним и правильность выдвинутого выше утверждения для
г = 1.
Теперь пусть г произвольно. Тогда если e\X\f + • • • + erXrf —
какое-либо преобразование группы (19), то та однопараметрическая
группа, которая порождена продолженным инфинитезимальным
преобразованием eiX[^f + h erXr^/> очевидно, принадлежит группе (21),
поскольку эта однопараметрическая группа возникает в результате продолжения
однопараметрической группы e\Xif + --- + erXrf. Отсюда следует, что
группа (21) содержит oor_1 однопараметрических групп e\X[^ f + • • • +
+ erXr^f, то есть что она порождена г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями x[^f • • • X^f.
Само собой разумеется, X^f попарно удовлетворяют соотношениям
вида
3=1
Мы проверим это при помощи вычисления и, кроме того, увидим, что c'iks
имеют те же значения, что и с+кз в соотношениях
XiXkf - XkXif = X ciksX9f.
3=1
Уравнение Пфаффа dz —pdx — qdy — 0 согласно теор. 93, стр. 582,
одновременно с инфинитезимальными преобразованиями X^f и X^f также
590
Глава 25
допускает и следующее: X^X^f — X^X^f, очевидно, имеющее вид
X^xPf - X<№"f - ХМ - XkXif + а| +
Отсюда следует, что инфинитезимальное преобразование X^X^f —
— X^X^f получается путем продолжения из
г
XiXkf - XkXif — ^2 CiksXgf,
3=1
так что имеют место соотношения
3=1
Отсюда мы видим, что продолженная группа (21) голоэдрически
изоморфна группе (19), что соответствует тому, что обе группы имеют одну
и ту же группу параметров (утверждение 4, стр. 587).
Группу
х' = S(x,y,z,ai аг), у' = Н, z' = Z (19)
можно продолжить и далее, а именно рассмотрев также производные
порядка выше первого. Здесь мы рассмотрим только продолжение в
результате добавления производных второго порядка.
Поскольку z рассматривается как функция от х и у, то помимо р и q
мы должны также учитывать три производных второго порядка:
дх2 ' дхду-3' ду2
При преобразованиях нашей группы х',у', z' известным образом
зависят от х, у, z, a p',q', согласно вышесказанному, точно так же зависят от
x,y,z,Piq. Как теперь следует показать, r\s\t' тоже можно представить
как функции от х, у, £,р,q^г,в,t:
г' = P(x,y,z,p,q,r,s,t;ai ••• ar), s' = Е, t' = Т.
Величины г', s', t' определены через
dp' -r'dx-s'dy = 0, dqf - s'dx' -1'dy' = 0.
Дифференциальные инварианты
591
Если здесь разложить dx', dy', dp', dq' no dx, dy, dz, dp, dq, а затем
подставить вместо dz, dp, dq их значения из
dz — pdx — qdy — 0, dp — r dx — sdy = 0, dq — sdx — tdy = 0,
то получаются два уравнения вида Adx + Bdy = 0, коэффициенты,
в которых, помимо x',y',z' и производных по x,y,z, содержат также
p',q',r',s',t',p,q,r,s,t. Поскольку dx и dy друг от друга независимы, то
А и В в обоих случаях должны по отдельности обращаться в нуль, и таким
образом мы находим четыре уравнения:
Первые два из этих уравнений разрешимы относительно г' и s', а два
последних — относительно s' и t' точно так же, как уравнения (16) были
разрешимы относительно р' и q'. Спрашивается еще только, совпадают ли
оба значения, которые мы таким образом находим для s'. Это, как
известно, верно, иначе мы получили бы нетождественное соотношение между
x,y,z,p,g,r,s,t, которое при подстановке z = (f(x,y) должно было бы
выполняться тождественно, но это невозможно, так как на <р не наложены
вообще никакие ограничения.
Здесь, как и прежде, мы видим, что величины г', s', t' определены как
функции от х, у, z, р, q, г, 5, t тем условием, что уравнения вида
dp' — г' dx' — s' dy' — ct\{dz — pdx — q dy) + /3\ (dp — r dx — s dy)+
+7i(dtf — sdx — tdy),
dq' — s'dx' - t' dy' — a2(dz - pdx - qdy) + /32(dp -rdx — sdy)+
+l2(dq — sdx — t dy)
выполняются тождественно no dp, dq, dz, dy, dx. Если к тому же вспомнить
тождество выше:
которое определяло р и q, то мы можем сказать, что при заданных Е, Н, Z
уравнения преобразований
х' = Е{х,у,г,а\ ••• Or),-- - if = Т(х,у,z,p,q,r,s,t,ai • • • ar) (23)
'(f+>f)-'(i+^)
'(f+<fb'(i+'£)
и т.д.
dz' - pdx' — qdy' = a(dz — pdx - qdy),
592
Глава 25
полностью и однозначно определены тем требованием, что они должны
оставлять систему уравнений Пфаффа
dz — pdx — qdy — О, dp — rdx — sdy — 0, dq — sdx — tdy = 0 (24)
инвариантной.
Отсюда следует, что в результате последовательного выполнения двух
преобразований (23) снова возникает преобразование, оставляющее
систему (24) инвариантной. Однако уравнения
х' = E(x,y,z,ai ••• аг), у' = Н, z' = Z,
х" = ~ (х', г/', z', bi • • • Ьг), у" = Н, г" = Z
по предположению имеют следствием
х" = ~ (х,», г, d • - • е.), у" = Н, г' = Z, (19')
где с зависят только от а и 6. Кроме того, преобразования
х' = S(x,y,z,ai ••• ar),--« = T(x,y,z,p,?,r,s,£,ai ••• ar),
х" = ~ (х', г/', • • • М, • • • t" = Т(х', г/, г',р', </, г', s', t', h • • • Ьг)
выполненные последовательно, дают преобразование, получающееся
из (19') в результате того же продолжения, в результате которого из
х' = ~(x,y,z,ai ••• Or), t/ = H, z' = Z (19)
возникло (23), то есть преобразование, также принадлежащее
семейству (23). Таким образом, преобразования (23) образуют
r-параметрическую группу.
Мы непосредственно убедимся в том, что группа (23) порождена г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями.
Если же, наоборот, сначала предположить, что г = 1 и что группа (19)
порождена инфинитезимальным преобразованием Xfy то нам, очевидно,
надо лишь доказать, что существует продолженное инфинитезимальное
преобразование
оставляющее систему уравнений Пфаффа (24) инвариантной. Но это
несложно: для 7г и х найдем те же значения, что и раньше, аналогичным
образом для д, сг, г получаются выражения, зависящие линейно и однородно
от £, т], с и m производных первого и второго порядка.
Дифференциальные инварианты
593
Здесь мы также сначала находим четыре уравнения для д, <т, т; однако
легко можно доказать, что эти уравнения друг с другом совместны. Мы
переносим проведение этого доказательства на рассмотрение общего случая,
который приобретает большую наглядность.
Из существования X^f следует, конечно, что группа (23) в случае
г = 1 порождена именно преобразованием X^f.
Точно так же мы видим, что при произвольном г группа (23) порож-
дена г инфинитезимальными преобразованиями Х\ /••• Хг /,
получающимися в результате продолжения инфинитезимальных преобразований
X\f • • • Xrf группы (19). Тем самым одновременно доказано, что имеют
место соотношения вида
X^X^f-X^f = ±c^aXi2)f-
3=1
Можно легко убедиться, что d(ks = сцс3 • Действительно, система
уравнений Пфаффа (24) допускает одновременно с Х^ f и X^f также
инфинитезимальное преобразование X^X^f — Х^Х^ f = (Х^Х^), но
оно, очевидно, имеет вид
то есть возникает из преобразования
г
{XiXk) = y^jcik3x3f
3=1
в результате продолжения и может быть представлено следующим образом:
3=1
Это означает, что продолженная группа является равносоставленной с
исходной.
§130
После проведения специальных исследований предыдущего параграфа
развитие общей теорий продолжения конечной непрерывной группы путем
добавления производных для нас уже не будет представлять трудности.
594
ГЛАВА 25
Сначала рассмотрим отдельное преобразование отп + m переменных
х\ • • • хп, z\ • zm, например следующие:
xi = fi(xl ' ' ' xn,Zl * * ' Zm) (i = 1 • • • n), ^
zk = Fk(xl ••' Xn,Zi • • • Zm) {к = 1 • • • m).
Если мы хотим продолжить его при помощи добавления
производных, то мы должны сначала решить, сколько и какие из переменных
х\ - xn,z\ • — Zm надо рассматривать как независимые, а какие — как
зависимые. Это может происходить очень разными способами, и каждому
возможному способу соответствует совершенно определенное продолжение
преобразования (25).
В последующем мы будем всегда рассматривать х\ • • • хп как
независимые переменные, a Z\ • • • zm — как функции, причем произвольно
выбираемые функции отх\ • • • хп. При этом условии х[ • • • х'п являются в общем
случае друг от друга независимыми, тогда как z[ • • • z'm становятся
функциями от х[ • • • х'п.
Для производных z по х и z' по х' введем следующие обозначения:
dz^_ gg1+...+gn^ ^ у1+...+аяд, ^
дхк Zl/>k> дх?-..дт%г дх?1...да%* -z^-^'
Мы утверждаем, что z'^ai ...Qn можно выразить через х\ • • • хп, z\ ••• zm
и производные zv$x... /зп от первого порядка до {рс\ Л h ап)-го:
^,ai-an = ■F/i.ai -a„(^i •••Xn,Zi • • • Zm, - 0„ ) (26)
(iy = 1 • • • m, 0i • • • 0n < ai • • • an).
Если положить ai H h an = N, то справедливость уравнений вида (26)
для N = О очевидна; чтобы доказать то же самое для любого JV, нам надо
лишь показать, что уравнения вида (26) выполняются также для а\ Н h
+ ап = N + 1, если они имеют место для а\ Н h ап < N.
Итак, пусть функции FM)Ql+...+an (ai -an < JV) известны; тогда
значения z^Ql ...Qn (ai H h an = N + 1) определяются из уравнений
п
dz^ai...an-^z'^ai...ai+1^andx\=0 (ai+... + a„=tf)- (27)
а именно: (27) должны выполняться тождественно в силу системы
уравнений
п
dzl,(3i - /Зп " 52zl,t>i - А+1.-/3» d^ = 0 (28)
г=1
Дифференциальные инварианты
595
тогда как dx\ • • • dxn совершенно независимы друг от друга. Поэтому для
*M,ai-.. ai+i,... an мы получаем уравнения
яг- + L тпг f - —z:—' (29)
i=l
ar* ' dzv
dxk
(к = 1 • • • n),
где правая часть означает полную производную
+ + 2^ - - 0»
дхк
(l<A + ---+A^Ql + --- + Qn)
OT^ai-an ПО Xfc.
Если бы уравнения (29) не были разрешимы относительно
^,ai...ai+i,-a« (* = 1 * *" п)> т0 определитель
м=1
м=1
% а %
<9/п #/п
м=1
должен был бы равняться нулю, какие бы функции от х\ • • • хп не
вводились в качестве z\ • • zm, то есть он должен был бы тождественно
обращаться в нуль для всех значений переменных х^г^, z^i. Легко убедиться,
что это происходит только тогда, когда все определители порядка т
матрицы
dh . . dfi_ dh dfi_
дх\ дхп dz\ dz-m
dfn
дх\
dfn dfn
дхп dzi
dfn
dZm
обращаются в нуль тождественно, то есть когда функции fi • • • fn не
являются независимыми друг от друга. Это исключено, следовательно,
уравнения (29) разрешимы относительно z'^ai ...ai+it...an (г = 1 • • • n).
596
Глава 25
Еще одно сомнение надо устранить. Уравнения (29), очевидно, дают
для 1тгх)юводньгх z^ai... Q.+1 ... Qn, вообще говоря, различные значения. На
самом деле это только так кажется, поскольку в противном случае между Xi,
и производными последних получились бы нетождественные
соотношения, которые должны были бы тождественно выполняться для совершенно
произвольных функций z\ • • • zm от х\ • • • хп, что невозможно.
Итак, мы видим: уравнения (29) полностью и однозначно определяют
все ••• a.+i, ап> следовательно, уравнения вида (26) выполняются при
наложенных условиях также для а\ -\ h ап = N + 1, чем доказана их
справедливость в общем случае. Кроме того, мы видим, что преобразование
\х\ = fi(xi Xn,Zi ••• Zm), Z^ = FM(Xi • • • Xn, Zi - Zm),
(30)
(t = 1 ■ • • n; /i = 1 • • • m; 0 < ai H an < N)
оставляет систему уравнений Пфаффа
п
d zn,Pi - Pn~Y^ z»'fo - 0» dx* = 0 (31)
г=1
(/i= 1- •• m; 0 < ^Tft, < AT)
инвариантной, и что оно благодаря этому свойству полностью определено.
Наконец, ясно также, что последовательность из двух преобразований (30),
оставляющая систему уравнений Пфаффа (31) инвариантной, опять же дает
в результате преобразование с этим свойством.
Предположим теперь, что исходные уравнения преобразований (25)
содержат определенное число, скажем г параметров:
= fi(xi Xn,Zi • • • Zm, Q>\ * ' * CLr), (t = 1 • • ■ n), , .
z'p = FM(xi ••• xn,z\ ••• zm,ai or), (/i = l •••m),
и представляют г-параметрическую группу, порожденную г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями. Допустим, из (32) мы вывели все
уравнения вида (26), в которых а\ + • • • + ап < N; мы утверждаем, что
они, взятые вместе с уравнениями (32):
\х< = fi(x, z, a), z^ = F„{x, z, a),
V.<*i •••<*« = Fn,<*i-an(x,z,zl,ip1...pn,a) (33)
^(i = l---n; n = l-m; 0 < ai H \-an^N),
снова представляют г-параметрическую группу.
Дифференциальные инварианты
597
Доказательство очень простое.
Преобразования
х\ = fi(x,z,a), z'k = Fk(x,z,a),
< = /,(*', z',6), z'j; = Fk(x\z',b)
дают в результате их последовательного выполнения преобразование
я" = fi(x,z,c), zk = Ffc(x,z,c),
в котором с — некоторые функции от а и 6. Поэтому, согласно
вышесказанному, ...ап выражаются через х*, zk, zv^x...рп, и Cj точно так же, как
2V.ai-an» выражаются через Xi,zk,zv$x...рп и а. Тем самым наше
утверждение доказано.
Остается еще доказать, что продолженная группа (33), как и
исходная группа (32), порождена г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями. Для проведения этого доказательства мы сначала проведем
следующие рассуждения.
Мы исходим из произвольного инфинитезимального преобразования
dXi
г=1 11=1
Попробуем образовать из него продолженное инфинитезимальное
преобразование
=xf+± y: ->
„=1 a OZw-a*
оставляющее систему уравнений Пфаффа
п
dzv,0i-0n -^2zv,0i-0t+l,-0ndxi =0 (31)
1=1
{у = 1 • • • m; 0 ^ 0г + • • • + 0п < N)
инвариантной.
Для N = 0 и N = 1 заведомо имеется инфинитезимальное
преобразование X^f с только что описанным свойством, это не требует более
подробного обоснования. Поэтому мы можем провести общее
доказательство существования , показав следующее: если существуют
и X^f, то существует также и X^N+1^f.
598
ГЛАВА 25
Итак, пусть X^N~^f и X^f существуют. Тогда для
существования инфинитезимального преобразования X^N+1^f, оставляющего систему
уравнений Пфаффа
п
dzv,Pi-0n -^Zvfti-Pi+h-PndXi = О (34)
г=1
(I/ = 1 • • • т, 0 ^ fa + • • • + 0п < N + 1)
инвариантной, неизвестные пока еще
Sz^ 71...7
^ - =C/i,7i-7» (7l+-"+7n=JV + l)
должны удовлетворять некоторым уравнениям вида
n п
г=1 i=l
rn f п \
v=l 0 I i=l J
(ai + • • • + an = N, 0 ^ /3i + ■ • • + 0n < N + 1),
причем независимо от дифференциалов dx\, d zv$x... /?п.
Отсюда сначала однозначно определяются Pv,P\—pn* и остаются
лишь уравнения между независимыми друг от друга дифференциалами:
dx\ • • • dxn. Поэтому если подставить значения Ри,рг —рп и сравнить
коэффициенты dxiB обеих частях, то для Cutai ••• ai+i, -an получается
следующее выражение:
-г
(0l+---+Qn = N),
где ~- означает полную производную по х3.
(XX %
Но теперь остается еще одна сложность: в общем случае для каждого
C/x.ai — ai+i,-Qn мы получаем несколько различных по виду выражений.
3Формула (35), по сути, идентична одной из формул Пуассона в вариационном исчислении.
Дифференциальные инварианты
599
Выражение справа согласно своему происхождению — это значение
производной:
Но, с другой стороны,
^^,a1...o.+l,...o. - gt
dC^t,ai ••• a^ —I,-* oti+1, ••• an
~ 2^ ^ - ai+l.-«K-l.-«.+l,-e.^.
j = l
(36)
где /i — какое-либо из чисел 1,2, • • • n, отличное от г. Этим все возможности
исчерпаны. Поэтому необходимо лишь доказать, что последнее значение
J^M.ai ...ап совпадает со значением (35). Чтобы это доказать, мы
напомним, что имеют место следующие уравнения:
5t dxh
— ^2 ZV>,<*i —otj
S/x,ai •••a/i-l,---ai + l,an ~~
_ dC/i,ai»-gfc-l,-..gn
Подставляя значение CMjQl an B (35), получаем:
(5 dzn,ai — an _ _d__d_r —
Tt 9^ ~ daridxfcWl-efc-1,-°"
600
Глава 25
Если же подставить значение C/x,ai-ah-i,-a.+i, в (36) и учесть,
что -у— -у— — -у— -у—, то мы находим
dxi ахи ахи dxi
St dxh St dxi
Что и требовалось доказать.
Таким образом, доказано, что £м>71... 7п (71 Н h jn = TV +1) при
наложенных условиях действительно существуют и однозначно определены;
кроме того, согласно вышесказанному, ясно, что преобразованию Xf для
каждого значения N соответствует совершенно определенное
инфинитезимальное преобразование X^f.
Коэффициенты в X^f9 очевидно, линейны и однородны по и их
производным по х и z. Поэтому если Xxf и Xjf — два
инфинитезимальных преобразования вида Xf, а * <">/ и >/ — соответствующие
продолженные указанным образом инфинитезимальные преобразования, то из
CiXif + CjXjf в результате такого продолжения получается
Поскольку, кроме того, x\N) f и X$N)f, наряду с Х^Х™ f-X\N)x[N) f,
оставляют систему уравнений Пфаффа (31) инвариантной, то из XiXjf —
— XjXif должно также возникать
в результате этого продолжения.
Пусть, наконец, X\f ••• Xrf будут независимыми
инфинитезимальными преобразованиями r-параметрической группы (32), которые также
удовлетворяют известным соотношениям
г
XiXjf — XjXif = CijsX9f.
8=1
Если образовать продолженные инфинитезимальные преобразования
X^N^f • • - X^f, то из XiXjf — XjXif, а стало быть, и из QjsXsf мы
также получим X\N^X^ f — Х^х[м>) f, что опять же означает, что
5=1
Дифференциальные инварианты
601
Поэтому г инфинитезимальных преобразований Х\ ) f порождают для
каждого значения N группу, равносоставленную с Xif, которая,
очевидно, идентична ранее описанной группе (33), получающейся в результате
продолжения конечных уравнений (32) группы X\f • • • Xrf.
Теорема 94. Если оог преобразований
образуют в переменных х\ • • • xn, z\ • • • zm r-параметрическую группу,
и если рассматривать zk как произвольно выбираемые функции от х\, то
производные zk также преобразуются в соответствии с х*. Если взять
все производные от первого до, скажем, N-го порядка, то получаются
некоторые уравнения:
2/i,ai,а„ =-P/i,ai,■••,<*„ 0^1 ' * ' хт zl ' ' ' zmi zvt(3i,-~ ,(Зп'•> а1 ' ' ' аг)
которые, будучи объединены с уравнениями исходной группы,
представляют r-параметрическую группу, равносоставленную с исходной4.
Выше мы уже упоминали, что всякая заданная группа может быть
продолжена многими различными способами; какие переменные выбираются
в качестве независимых, предоставляется на наше усмотрение.
Кроме того, можно с самого начала заменить заданную группу на
равносоставленную с ней, добавив несколько переменных t\--- ta, которые
относительно этой группы совсем не преобразуются или, иначе говоря,
преобразуются только тождественным преобразованием:
Рассматривая некоторые переменные из исходных и U как независимые,
а остальные — как зависимые, можно добавить производные и таким
образом продолжить; мы всегда приходим к равносоставленной группе.
Как мы видим, число возможностей при этом очень велико.
Изложенную в гл. 13 теорию инвариантов произвольной группы можно
непосредственно применить к нашим продолженным группам.
4Ли, Math. Annalen. том XXIV, 1884 г.; Archiv for Math., Христиания, 1883 г.
x'i = fi{x\ - • xn,zi • • • Zm,a\ • • • ar) (i = l ••• r
z'k =Fk{xi • • • xn, z\ • • • zm,ai • • • Or) (* = !.-•
(0i + • • • + Pn ^ ai + • • • + an ^ N),
§131
602
Глава 25
Так как число N можно выбрать таким большим, что
инфинитезимальные преобразования x\N^ f будут содержать больше, чем г, переменных, то
всегда можно устроить так, что г уравнений X^f = 0 образуют полную
систему с одним или более решениями. Эти решения являются функциями
от х, z и производных от z, они допускают всякое конечное
преобразование продолженной группы XJ^^f, а потому являются абсолютными
инвариантами этой группы и называются дифференциальными инвариантами
исходной группы.
Функция Q от х\ - - • xn, z\ - •• zmu производных от z по х
называется дифференциальным инвариантом r-параметрической группы
х i = fi(x\ • • • xn, z\ • • • zm\ a\ • • • ur),
z'k = Fk{xi • • • xn, z\ • • • zm\ a\ • • • ar),
если соотношение вида
Q (x1 • • • xn, • • • zm, z M)Q!1...Qn) =
= О (x\ • • • xn, z\ я •' zm, z^ioci ... qn)
выполняется тождественно.
Поскольку мы можем выбирать N произвольно большим, то имеем
следующую теорему.
Теорема 95. Всякая конечная непрерывная группа преобразований
Xif-- - Xrf задает бесконечное множество дифференциальных
инвариантов, которые можно определить как решения полных систем5.
Если конечные уравнения группы X\f •-• Xrf известны, то
вышеизложенным образом находятся конечные уравнения продолженной группы,
а затем, согласно указанию в гл. 13, — дифференциальные инварианты
любого порядка без интегрирования. Однако в общем случае этот метод не
может быть практически применен для нахождения дифференциальных
инвариантов. В большинстве случаев предпочтительно непосредственное
интегрирование полной системы X^f = 0.
На этом моменте заострять внимание не будем. Заметим лишь, что
из достаточно многих известных дифференциальных инвариантов можно
получить новые при помощи дифференцирования и взятия определителей.
Если в переменных х\ • • • xn, z\ • • • zm задана группа, представленная
несколькими системами уравнений с г параметрами каждая, то, естественно, существуют
5Ли, Gesellsch. d.W. zu Christiania (Научное общество Христиании), 1882 г.; Math. Ann.,
том XXIV, 1884 г.
Дифференциальные инварианты
603
также и продолженные группы, инварианты которых являются дифференциальными
инвариантами исходной группы. Прежние общие результаты показывают не только
то, что каждая такая группа имеет дифференциальные инварианты, но и то, как они
могут быть найдены.
Можно также задать вопрос о возможных системах дифференциальных
уравнений, остающихся инвариантными относительно заданной группы. Такую систему,
очевидно, можно найти, продолжив данную группу надлежащим образом и
применив к продолженной группе результаты главы 14, на основании которых могут быть
описаны все системы уравнений, инвариантные относительно продолженной
группы. Каждая найденная таким образом система уравнений представляет тогда
систему дифференциальных уравнений, инвариантную относительно исходной группы.
Однако в каждом отдельном случае надо еще исследовать, удовлетворяет ли
эта система дифференциальных уравнений условиям интегрируемости.
Напротив, можно предположить, что система дифференциальных уравнений —
интегрируемая или неинтегрируемая — задана, и можно задать себе вопрос,
допускает ли она данную группу. На этот вопрос ответить тоже несложно. Надо только
правильным образом продолжить заданную группу, а затем исследовать,
допускает ли заданная система уравнений продолженную группу; это исследование может
согласно гл. 7 быть проверено без интегрирования.
Чтобы дать простое приложение предшествующим теориям, мы найдем
условия, при которых система дифференциальных уравнений вида
от переменных х\ • • • хп; при этом, конечно, предполагается, что q уравнений
Акр = 0 независимы друг от друга.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, мы должны добавить к переменным
хг • — Хп группы Xkf еще одну переменную у>, которая, очевидно, совсем не
преобразуется этой группой. Переменные х рассматриваются как независимые, (р — как
зависимая, а группа Xif • • • Xrf должна соответственно быть продолжена путем
добавления п производных
§132
§133
допускает r-параметрическую группу
604
Глава 25
Затем требуется выяснить, допускает ли система уравнений ^ ctki<pi = 0
продолженную группу.
Сначала вычислим бесконечно малое приращение Sift, которое получает
при инфинитезимальном преобразовании Х3 /. Его надо определить так, чтобы
выражение
/ п \
S I d(f — (fudxu J = dS(p — ^j^{ipud5xu + S<pudxu}
\ u=l ) u=l
в силу dip = ^2 фи dxu обращалось в нуль. Поскольку 6<р, как замечено выше, равно
нулю, то мы получаем для 6<ри следующее уравнение:
п
^2{<Pvd£jv • 6t + 6 фи • dxu} = 0,
которое должно тождественно выполняться. Следовательно,
*^=-E|jr>-**.
а продолженное инфинитезимальное преобразование Xjf имеет вид
1=1 *=1 \Ц=1 )
Чтобы теперь система уравнений Qfcl(x)y?i = 0 от 2п переменных х\ • • • хп,
<pi • • • у?п допускала инфинитезимальное преобразование Xj1^ /, все <7 выражений
*,(1> (Ё= Ё• - Ё (Ё°"ъг) {к =1 ■ •я)
\г=1 / г=1 /1=1 I г=1 1 )
в силу этой системы уравнений должны обращаться в нуль. Это необходимое и в то
же время достаточное условие выполняется только тогда, когда имеют место
соотношения вида
(п \ q п
1=1 / <Т = 1 1 = 1
где Qjka означают функции только от xi • • • хп и не зависят от </?z.
Тем самым мы нашли искомые условия, их можно записать так:
а=\ г=1
Дифференциальные инварианты
605
или, если вместо <pi снова подставить ^—:
•г
Ч
Такие соотношения должны иметь место для произвольной функции (р(х\ • • • хп).
Всегда, когда они имеют место, и только в этом случае, система из q линейных
частных дифференциальных уравнений Ацр = 0, • • • Aqip = 0 остается при любом
преобразовании группы Xif • • • Xrf инвариантной.
Этот результат не представляет для нас ничего нового в случае, когда q
уравнений АкЦ> = 0 образуют д-параметрическую систему. Только что найденный
необходимый и достаточный критерий для этого специального случая мы указали еще
в гл. 8, теорема 20, стр. 156. Однако последние наши результаты весомее по
сравнению с прежними, поскольку мы теперь показали, что данный критерий остается
справедливым и в общем случае, даже если уравнения Ak<p = 0 не образуют
никакой ^-параметрической полной системы.
Начало теории дифференциальных инвариантов уходит далеко в прошлое, так
как математики еще в прошлом столетии рассматривали и интегрировали
инвариантные дифференциальные уравнения для многих особенно простых групп.
Так, например, давно известно, что всякое дифференциальное уравнение
первого порядка между х и у, в которое одна переменная, скажем у, входит неявно,
может быть проинтегрировано при помощи квадратуры; однако очевидно, что
есть не что иное, как самое общее дифференциальное уравнение первого порядка,
допускающее однопараметрическую группу
с параметром а. Из частного интегрального уравнения у = <р(х) такого
дифференциального уравнения самое общее интегральное уравнение может быть получено
путем, как мы можем теперь сказать, применения общего преобразования
однопараметрической группы (37) к этому частному интегральному уравнению; благодаря
этому получается уравнение t) = y?(j) + а с произвольной константой а.
Кроме того, однородное дифференциальное уравнение
является общим видом дифференциального уравнения первого порядка,
допускающее однопараметрическую группу у = ах, tj = ay; здесь / ( -, у') — самый общий
дифференциальный инвариант первого порядка, имеющийся у этой группы.
r. = x, t) = у + а
(37)
606
Глава 25
Давно замечено, что любое частное интегральное уравнение F(x, у) = 0
однородного дифференциального уравнения / = 0 в результате выполнения общего
преобразования г. = ах, г) = ау переходит в общее интегральное уравнение:
ft i\
I а' а J
0.
Уравнение ху' — у = 0 здесь, однако, не рассматривается.
Третий пример дают дифференциальные уравнения вида
/сГу dT+1y\ ,
(™) „("»+!)
однако группу, отвечающую всем уравнениям этого вида, выписывать нет
необходимости.
В теории инвариантов линейных преобразований часто встречаются
настоящие дифференциальные инварианты по отношению ко всем линейным
преобразованиям. Они были впервые рассмотрены Кэли. Однако надо заметить, во-первых, что
дифференциальные инварианты Кэли не являются самыми простыми,
относящимися к общей линейной однородной группе; во-вторых, что Кэли не рассматривает
инвариантные дифференциальные уравнения и тем более не интегрирует их.
В представленной в 1867 г. и опубликованной в 1871 г. известной работе
(Нахождение специальной минимальной поверхности, Берлинская акад. наук) Г. Шварц
рассматривает дифференциальные уравнения вида
у'у"'-\у"'1
J = if- № = о,
У
которые, как он сам указывал, иногда встречались еще у Лагранжа. Шварц
замечает, что из любого частного решения у = у?(х) можно получить самое общее,
и последнее будет иметь вид
_ а + Ь(р
^ c + d(p
с произвольными константами а : Ь : с : d. Поэтому мы можем сказать, что
выражение J — это дифференциальный инвариант, причем самый общий
дифференциальный инвариант третьего порядка группы
а + Ьу
г = х, п = —.
* c + dy
Но насколько несомненно ценными являются эти специальные теории, настолько же
важно отметить, что внутренняя связь между ними — общий принцип, из которого
Дифференциальные инварианты
607
все они вытекают, — математиками была упущена. Они не заметили, что каждой
конечной непрерывной группе соответствуют дифференциальные инварианты.
В 1869-1871 гг. Ли занимался дифференциальными уравнениями,
допускающими перестановочные инфинитезимальные преобразования, и в 1874 г.
опубликовал представленную еще в 1872 г. общую теорию интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, допускающих произвольную непрерывную группу
преобразований*.
Затем Альфан вычислил простейшие дифференциальные инварианты для всех
проективных преобразований и, кроме того, показал их интересные приложения
к теории линейных дифференциальных уравнений7.
Позже, в 1882-1884 гг., Ли развил общую теорию дифференциальных
инвариантов конечных и бесконечных непрерывных групп, уделив при этом особое
внимание конечным группам от двух переменных8. Эта общая теория в части, касающейся
конечных групп, изложена в вышеупомянутых источниках.
Наконец, после 1884 г. Сильвестр и многие другие английские и
американские математики опубликовали подробные, но специальные исследования в области
дифференциальных инвариантов.
6Слушания Научного общества Христиании, 1870-1874 гг.; Math. Ann. том V, XI;
GottNachr., 1874 г.
7 These sur les invariants differentiels 1878; Journal de l'ecole pol., 1880 г. Ср. также Comptes
rendus, т 81, 1875 г., стр. 1053; Journal de Liouville, ноябрь 1876 г. Memoire sur la reduction des
equat. diff. lin. aux formes integrables, 1880-1883 гт.
8Слушания Научного общества Христиании, 1882, 1883 и февраль 1875 гг.; Archiv for Math.
1882, 1883 гг.; Math. Ann., том XXIV, 1884 г.
Глава 26
Общая проективная группа
Уравнения
, а\их\ Н h апихп + Q>n+\,v t ч v
х.у = ■ ■ ■ (i/ = l---n) (1)
oi,n+ixi Н Ь an,n+ixn -f an+i,n+i
задают, как легко убедиться, группу, так называемую общую проективную
группу многообразия х\ • •• хп. Мы хотим в настоящей главе исследовать
эту важную группу, которая также называется группой всех коллинеаций
пространства х\ • • • хп, обратив особое внимание на ее подгруппы.
§134
Не все из (п+1)2 параметров а являются существенными, важны лишь
их отношения; поэтому один из параметров, лучше всего an+i|Tl+i, может
быть положен равным 1. На значения параметров наложено ограничение,
что определитель ^ ±ац • • • an+i)n+i не может быть равен нулю,
поскольку одновременно с ним обращался бы в нуль и функциональный
определитель V ± ^х'1 ^х'п
дх\ дхп
Тождественное преобразование в нашей группе содержится, оно
относится к значениям параметров
аии = \, a^v = О (д, v = 1 • • • п + 1,/х Ф г/),
для которых х[ = Xi. Вследствие этого мы получаем инфинитезимальное
преобразование группы, придавая аД1/ значения
0,vv = 1 + U)Vu an+ijn+i = 1, aMI/ = Ld^v
и считая си бесконечно малыми величинами. Таким образом, мы находим
Общая проективная группа
609
или, если опустить величины второго и третьего порядка
п п
x'v — Xv = ^2 ^ци^ц + ^n+l,i/ — ^2 ^M.n+l^M-
/х=1 /х=1
Если здесь положить все а;м1/, за исключением одного, равными нулю, то
шаг за шагом станет ясно, что наша группа содержит п(п + 2)
инфинитезимальных преобразований
^х^хф^Щ (*.*-!-»)• (2)
Общая проективная группа n-мерного пространства х\ - • • хп
содержит п(п + 2) существенных параметров и порождена
инфинитезимальными преобразованиями. Аналитические выражения последних ведут себя
для любой точки этого пространства регулярно.
Вместо мы будем отныне, как правило, писать Pi.
OX %
Кроме того, мы хотим в этой главе для удобства ввести сокращения:
п
Xipk = Tik, Xi У^ХкРк = Pi-
k=l
Наконец, мы хотим еще ввести соглашение, что е& всякий раз означает
нуль, если ink различны, в то время как ец9 напротив, имеет значение 1, —
соглашение, которое мы иногда уже использовали выше. На основании
этого мы можем соотношения, получающиеся в результате комбинации
инфинитезимальных преобразований р*, 7^, Pi9 записать следующим образом:
п
(Pi Pk) = 0, (PiPK) = 0, (j)iPk) = Tki + Eik ]Г Тии,
i/=l
(PiTkv) = SikPv, (PiTkv) = -eiuPk,
{TikT^v) — EkiiTiv — Ei/iT^h-
Легко убедиться, что эти соотношения остаются неизменными, если
заменить в них pi, Tik и Pi соответственно выражениями, стоящими под ними,
согласно следующей схеме:
Pi, Tik, Ри (3)
Pii ~ Pi'
610
Глава 26
Таким образом, можно связать общую проективную группу саму с собой
голоэдрическим изоморфизмом.
Можно было бы предположить, что существует преобразование х\ — Ф{х\ • • хп),
переводящее инфинитезимальные преобразования
п
Pi, XiPk, Xi ^ Хк Рк
к=1
В
п
/ V"^4 / / / / /
Xi 2_^ХкРк, —ХкРг, Pi
к=1
соответственно. Однако такого преобразования не существует по той простой
причине, что п инфинитезимальных преобразований р\ ■ • • рп порождают п-парамет-
рическую транзитивную группу, тогда как х[ J2х'кРк ''' хп^2х'крк порождают
п-параметрическую интранзитивную группу.
Лишь в следующей части книги, где будут введены понятие
контактного преобразования, а главное — понятие двойственности, мы увидим и
полностью осознаем значение этого важного свойства проективной группы.
Общее инфинитезимальное преобразование
п п п
z=l i,k=l г=1
нашей группы разложено по степеням х\ • • • хп и содержит, очевидно,
лишь члены нулевого, первого и второго порядка по х. Легко видеть, что
группа п содержит независимые инфинитезимальные преобразования
нулевого порядка по х, из которых нельзя линейно получить ни одного инфини-
тезимального преобразования первого или второго порядка по х. Например,
Pi - Рп — п таких инфинитезимальных преобразований. Отсюда следует,
что общая проективная группа является транзитивной.
Кроме того, имеется еще п2 инфинитезимальных преобразований
первого порядка по Xi, например все XiPk = Tik, из которых нельзя линейно
получить никаких преобразований второго порядка. Наконец, есть еще п
преобразований второго порядка по х:
п
XiYXkPk = Pi-
к=1
В соответствии с утверждением 9, гл. 15, стр. 294, Р* являются попарно
перестановочными, и, кроме того, Тцс порождают вместе с Рг подгруппу,
в которой группа Pi содержится как инвариантная подгруппа.
Общая проективная группа
611
Как мы видим (и как следует из сделанного нами выше замечания
относительно соотношений между р* и Pi), преобразования pi также
являются попарно перестановочными и порождают вместе с Tik подгруппу,
в которой группа из pi является инвариантной.
§135
Для самых важных подгрупп общей проективной группы
рекомендуется использовать специальные названия. Если в общем выражении (1)
знаменатель можно считать равным 1, то получится линейное преобразование:
х'и = а\ух\ н Ь апихп + ап+\,„ (i/ = 1 • • • п);
все преобразования этого вида образуют так называемую общую линейную1
группу. Ее инфинитезимальные преобразования мы указали еще в конце
предыдущего параграфа; они могут быть линейно получены из следующих
п(п+ 1):
Pi,XiPk (г,к = 1 ••• п).
Если трактовать х\ • • • хп как координаты точек в n-мерном
пространстве Rn и перенести терминологию из обычного пространства, то можно
сказать, что общая линейная группа состоит из всех проективных
преобразований, оставляющих бесконечно удаленное (п — 1)-мерное плоское
многообразие, или короче — бесконечно удаленное плоское — Мп-\
инвариантным.
Если вспомнить, что при последовательном выполнении двух
конечных линейных преобразований определители преобразований ]Г ±ац • • • апп
перемножаются, то непосредственно видно, что совокупность всех
линейных преобразований, определители которых ]Г ±ац • • • апп равны 1,
образует в общей линейной группе подгруппу, а именно инвариантную
подгруппу, которую мы назовем специальной линейной группой. Легко понять, что
в качестве ее п(п+1) — 1 независимых инфинитезимальных преобразований
могут быть выбраны следующие:
Pi, Xi Pk, Xi Pi - Xk Pk (i ^ k).
Если выбрать из всех линейных преобразований те, что однородны по х, то
получится общая линейная однородная группа2:
х'и = a\vX\ Л V апихп (и = 1 • • • п),
]В современной терминологии: (общая) аффинная группа. — Прим. ред.
2В современной терминологии: общая линейная группа. — Прим. ред.
612
Глава 26
все инфинитезимальные преобразования которой имеют вид Y^^ikXiPk
и потому могут быть линейно получены из п2 преобразований хда. Эта
группа также, очевидно, содержит инвариантную подгруппу, специальную
линейную однородную, для которой ^±ац ••• апп имеет значение 1. Ее
п2 — 1 инфинитезимальных преобразований таковы:
Х% Pk, Xi Pi - Xk Рк (г ^ к);
поэтому общее инфинитезимальное преобразование этой группы имеет вид
J2ik aikXiPk, где п2 произвольных констант ацс подчинены лишь условию
J2<*u = 0.
Так как выражение (xiPk, Ylj xj Pj) всегда обращается в нуль, то
очевидно, что две упомянутые последними группы являются систатическими,
а стало быть, импримитивными. Действительно, если положить
Xi Xi i
£=Уи f=y[ « = l-n-l),
то мы получаем
, d\uy\ H h an-\yUyn-\ + anu
Vv = ; ; i (i/ = l • • • n - l).
u a\}n-iyi H h an-i,n-i2/n-i + anjTl_i
Отсюда, кроме того, следует, что в обоих случаях у преобразуются (п2 —
— 1)-параметрической общей проективной группой (п — 1)-мерного
многообразия. Поэтому этой группе изоморфна как общая, так и специальная
линейная однородная группа n-мерного многообразия, но этот изоморфизм,
разумеется, только для специальной линейной однородной группы является
голоэдрическим, поскольку она содержит п2 — 1 параметров.
Теорема 96. Специальная линейная однородная группа
XiPk, XiPi - xkPk (t ^ к = 1 • • • n)
от переменных X\ • • • xn является импримитивной и голоэдрически
изоморфной общей проективной группе (п — \)-мерного многообразия.
Формально наиболее простыми инфинитезимальными
преобразованиями общей проективной группы являются р\ • • • рп; они сами по себе
порождают, как уже было замечено, группу всех переносов:
х\ = Xi -h di (t = 1 • • • n),
которая, очевидно, является просто транзитивной.
Общая проективная группа
613
Вообще любые га инфинитезимальных переносов, скажем р\ • • • рт,
всегда порождают т-параметрическую группу. Для всех этих групп
справедливо следующее
Утверждение 1. Все т-параметрические группы переносов
являются внутри общей проективной и даже уже внутри общей линейной групп
равноправными между собой.
Так, т независимых инфинитезимальных преобразований такой
группы всегда имеют вид
(м = 1 ■•• m),
i/=l
где не все определители порядка га из Ь^и обращаются в нуль.
Однако, мы можем легко показать, что при помощи линейного
преобразования могут быть введены новые переменные х\ • • • х'п, для которых
будет выполняться
п
р'и = fyxi/Pi/ (/i = 1 • m).
Действительно, р' — р\—f Л Урп—г- Следовательно, требуется лишь
м дхц дхц
положить
дх
Tj^f = Ъци {v = 1 • • • п, /х = 1 • • • m),
дх дх
в то время как , и —у остаются произвольными. Этим последним
axm+i дхп
мы можем придать такие значения, что уравнения
771 П
хи = ь^х'и + ^2 с™х* =1 • ■ •п)
/1=1 7Г =771+1
задают преобразование, которое затем будет переводить заданную
группу переносов в группу р[ • • • р'т. Отсюда непосредственно следует наше
утверждение.
Второе доказательство этого же утверждения мы хотим хотя бы обозначить.
Как уже было замечено, общая линейная группа оставляет бесконечно удаленное
плоское многообразие Mn-i инвариантным, а именно: она даже является самой
614
Глава 26
общей проективной группой с этим свойством. Тогда всякий инфинитезимальный
перенос направлен на некоторую бесконечно удаленную точку и полностью ею
определен; поэтому каждую т-параметрическую группу переносов можно
представить при помощи т-мерного бесконечно удаленного плоского многообразия
Mm- Но два бесконечно удаленных плоских многообразия Мт всегда переводятся
друг в друга линейным преобразованием, которое оставляет бесконечно удаленную
плоскость инвариантной. Следовательно, все m-параметрические группы переносов
внутри общей линейной, а также внутри общей проективной группы равноправны
между собой.
Вышеупомянутое соответствие, имеющее место между р* и Р*, дает,
как мы сейчас покажем,
Утверждение 2. Все т-параметрические группы,
инфинитезимальные преобразования которых имеют вид ^efPi, являются внутри общей
проективной группы равноправными.
При доказательстве мы исходим из того, что две подгруппы внутри
группы Gr равноправны тогда, когда при помощи преобразования
соответствующей присоединенной группы одна из них может быть переведена
в другую; эти подгруппы мы себе при этом представляем как плоские
многообразия в пространстве е\ • • ег, которое преобразуется под действием
присоединенной группы* (ср. гл. 16, стр. 310). Если теперь записать
преобразования проективной группы сначала в порядке pi, Т^, Р*, а затем —
в порядке Pi, — Tki, Pi, то оба раза получается абсолютно та же самая
присоединенная группа. Но поскольку две m-параметрические группы
переносов всегда могут быть переведены присоединенной группой друг в друга,
то это всегда должно быть верным и для двух таких т-параметрических
групп, инфинитезимальные преобразования которых можно линейно
получить из Pi. Получается даже, что две такие m-параметрические группы уже
в группе Pf, Tik равноправны между собой. Тем самым наше утверждение
доказано.
Рассмотрим теперь по очереди общую проективную, общую линейную
и линейную однородную группы. Мы хотим выяснить, содержатся ли в этих
трех группах инвариантные подгруппы и какие именно.
Прежде всего — общая проективная группа. Пусть
п п п п п
S = £>iPi + £ XiPk + Z Хк рк
г=1 г=1 к=1 г=1 к=1
Общая проективная группа
615
— инфинитезимальное преобразование инвариантной подгруппы, тогда
(Pi/S) и (p^pvS)) — также обязательно ее преобразования. В нашей
инвариантной подгруппе поэтому заведомо имеется инфинитезимальный
перенос ^2 QiPi- Поскольку внутри общей проективной группы все
инфинитезимальные переносы равноправны между собой, то все они должны туда
входить. Далее эта подгруппа, поскольку она инвариантна, обязательно
содержит все преобразования (р*,хг Y^xjPj)> или» после вычислений:
п
XiPk XiPi + YxjPj-
Если сложить п преобразований хг рг + YljxjPj> 70 получаем (п +
+ l)YlxjPj> отсюда XiPi, а стало быть, и все хг р*;. Наконец, пусть
инвариантная подгруппа содержит все преобразования (хгрг, хг X^x^pfc), то
есть все х, ^ ХкРк и потому совпадает с самой общей проективной
группой. Отсюда наш первый результат —
Теорема 97. Общая проективная группа от п переменных является
простой3.
В соответствии с этим специальная линейная однородная группа
XiPk,XiPi-XkPk (г^к) (4)
также является простой.
Общая линейная однородная группа с п2 инфинитезимальными
преобразованиями Xi рк содержит, как мы видели выше, инвариантную
подгруппу с п2 — 1 параметрами, а именно вышеупомянутую группу (4).
Если имеется вторая инвариантная подгруппа, то она, очевидно, не
может содержать группу (4), а также не может иметь с ней общих
инфинитезимальных преобразований, так как последние образовывали бы (ср.
утверждение 10 в гл. 15, стр. 293) в простой группе (4) инвариантную
подгруппу. Поэтому, с учетом утверждения 7, гл. 12, стр. 235, отсюда следует,
что любая другая инвариантная подгруппа может содержать только одно
инфинитезимальное преобразование следующего вида:
п п п
YXiPi+ ILs а*хгРк =0J.
t=l t,*=l i=l '
Это преобразование согласно утверждению 11, гл. 15, стр. 293, должно,
кроме того, быть перестановочно с любым преобразованием группы (4),
3Ли. Math. Ann., том XXV, стр. 130.
616
ГЛАВА 26
откуда следует, что преобразование
п
(£>=о)
4 i=i 7
OtikXiPk
должно быть выделенным внутри группы (4). Однако такого
преобразования не существует, а значит, все а** обращаются в нуль, и получается,
что х\ pi Н Ь хп рп и (4) — единственные две инвариантные подгруппы
группы Xi р*.
Теорема 98. Общая линейная однородная группа х* Рк от п
переменных содержит только две инвариантные подгруппы, а именно,
специальную линейную однородную группу и однопараметрическую группу х\ р\ +
Н Ь хп рп.
Теперь легко можно выписать все инвариантные подгруппы общей
линейной группы. Пусть
— преобразование такой подгруппы. Тогда (PjS) одновременно с 5
также принадлежит инвариантной подгруппе; поэтому она заведомо содержит
один перенос, а в силу утверждения 1, стр. 613, — все. Таким образом,
наименьшая инвариантная подгруппа состоит из самих переносов; всякая
другая должна кроме переносов содержать еще какие-то инфинитезимальные
преобразования вида £\ Y^k aijxiPk- Но последние, очевидно, порождают
инвариантную подгруппу линейной однородной группы х» р*.
Следовательно, имеет место
Теорема 99. Общая линейная однородная группа р\, х» pk содержит
только три инвариантных подгруппы*, а именно:
Pi, Pi, xiPi Н Ь хпрп, pi, Xipk, XiPi - XkPk (t ^ k)
с n, n+lun2 + n — 1 параметрами соответственно.
Пользуясь, как мы это уже неоднократно делали, терминологией,
употребительной для обычного пространства, мы можем сказать, что три
инвариантных подгруппы общей линейной группы — это, во-первых,
группа всех переносов, во-вторых, группа всех преобразований подобия (xi —
— х\)р\ -Ь • • • + (хп — х^)рп и, наконец, самая общая линейная группа,
оставляющая все объемы неизменными.
п
п
п
г=1
г=1 к=1
4Ли, Math. Ann., том XXV, стр. 130.
Общая проективная группа
617
§137
Прежде чем перейти к описанию самых больших подгрупп общей
проективной группы, мы сделаем предварительное замечание, которое будет
впоследствии часто использоваться.
Пусть X\f • • • Xrf — независимые инфинитезимальные
преобразования r-параметрической группы Gr, и пусть семейство из oor_m_1 ее
инфинитезимальных преобразований задано га независимыми уравнениями
вида
г
^2akjej=® (fc = i---m). (5)
j=i
Пусть, кроме того, откуда-то известно, что среди инфинитезимальных
преобразований eiXif Н Ь erXrf этого семейства нет ни одного
преобразования вида eiXif -f • • • + emXm/. Тогда можно, прежде всего,
заключить, что уравнения (5) разрешимы относительно ei • еш, так как если
в этих уравнениях положить em+i = • • = ег = О, то из них должно
следовать ei = • • • = ет = О, что имеет место лишь тогда, когда
определитель^ ±ац • ашш не обращается в нуль. Поэтому если выбрать
em+i • • • еу произвольными, но не все равными нулю, то е\ • • • ет
получают некоторые определенные значения, и семейство содержит, таким
образом, г — га независимых друг от друга инфинитезимальных преобразований
вида
Xm+jf + eijXif Н Ь emjXmf (j = 1 • • • г - га).
Следовательно, справедливо следующее
Утверждение 3. Если среди инфинитезимальных преобразований
Y^ekXkf r-параметрической группы Xif • • • Xrf при помощи га
независимых линейных уравнений
г
^otkjej =0 (fc = l- ra)
j=i
выделить семейство, в которое не входит ни одно инфинитезимальное
преобразование вида eiXif-\ \-emXmf, то оно будет содержать г — т
инфинитезимальных преобразований вида
т
Xm+j + ^2 eJ"X"f О" = 1 • • • г - m).
i/=l
618
ГЛАВА 26
§138
После этих приготовлений обратимся непосредственно к общей
проективной группе. Число ее параметров п(п + 2) обозначим для краткости
через N и будем искать сначала все подгруппы с более чем N — п
параметрами, то есть все Gn-ш, для которых т < п. Такая постановка вопроса,
разумеется, имеет смысл только тогда, когда число п больше 1.
Согласно замечанию выше (ср. гл. 12, утверждение 7, стр. 235),
искомая подгруппа Gn-ш имеет с п-параметрической группой р\ • • • рп по
меньшей мере п — т общих независимых инфинитезимальных
преобразований, то есть Gn-гп содержит во всяком случае п — т независимых
инфинитезимальных переносов. Если их содержится не больше, чем п — т,
то в силу утверждения 1 мы можем предположить, что этими переносами
являются Pm+i • • • рП9 и что нет ни одного переноса вида e\pi Н \-етрт.
Тогда из утверждения 3 следует, что в подгруппе имеется преобразование
вида
£m+iPi 4- e\pi Н Ь етрт,
но в комбинации с pm+i5 оно давало бы р\, что было бы противоречием.
Поэтому в нашей Gn-ш имеется заведомо больше, чем п — т, скажем п —
— q (q < m), инфинитезимальных переносов, например p^+i • • • pm • • • рп\
напротив, если q > О, то никаких переносов вида е\р\ + • • • + eqpq нет.
Тогда в Gn-ш имеется во всяком случае одно (ср. гл. 12, утверждение 7,
стр. 235) преобразование:
An^nPi Н Ь Ag+iXg+ipi + eqpq Н ь eipi,
в котором, согласно вышесказанному, не все А могут обращаться в нуль.
Поэтому в результате комбинации с одним из переносов pq+i • • • рп
получается по крайней мере один раз р\, что было, по предположению,
исключено. Следовательно, число q не может быть больше нуля, q = 0, и искомая
Gn-ш, таким образом, включает в себя все переносы, если т < п.
При помощи совершенно аналогичных рассуждений можно видеть,
что Gn-ш {т < п) должна содержать все преобразования Pim Эти
рассуждения будут даже дословно совпадать с изложенными выше, если только
заменить pi9 XiPk, Pi на Pi, —XkPu Pi соответственно и сослаться на
утверждение 2, стр. 614.
Поэтому наша группа Gn-ш содержит все pi и в то же время все Pi,
но тогда, как уже раньше (на странице 614) в этой связи было показано, она
содержит также и все XiPk, и потому совпадает с самой общей проективной
группой. Итак,
5Здесь и ниже под комбинацией понимается скобка Ли. — Прим. ред.
Общая проективная группа
619
Теорема 100. Общая проективная группа многообразия х j * * * Xfi не
содержит ни одной подгруппы с более чем п(п + 2) — п = п(п + 1)
параметрами.
§139
Теперь речь пойдет об описании всех подгрупп с N — п = п(п +1)
параметрами, содержащихся в общей проективной группе. Чтобы полностью
справиться с этой задачей, мы должны будем рассмотреть по отдельности
несколько различных возможностей.
Сначала найдем все п(п + 1)-параметрические подгруппы, не
содержащие никаких инфинитезимальных переносов ^ вкРк- Тогда согласно
утверждению 3, стр. 617, эта подгруппа заведомо содержит преобразование
п п п
U = ^2 XiPi - ^2 aiPi = XI " ai
г=1 г=1 г=1
а для каждого значения ink — также преобразование вида
п
T=(Xi- ai)pk + ^2(Pikj)Pj.
J=l
В результате комбинации двух инфинитезимальных преобразований U и Т
получается выражение (UT) = — PikjPj, а поскольку наша группа не
содержит никаких инфинитезимальных преобразований этого вида, то все
fiikj должны обращаться в нуль.
Наконец, имеются еще п инфинитезимальных преобразований
п
Pi + ^ЪкРк
к=1
или, что тоже самое,
п п
Р[ = (xi - а{) ^2(xj - а3)р0 + ^2 SikPk-
3=1 k=l
Комбинируя P[ с Ylkxk — <%k)Pk = U, получаем
n n
(UP[) = [Xi - щ) Y^(xj ~ aj)Pj ~ ]L 5ikPk'
j=l k=l
так что все Sik обращаются в нуль.
620
Глава 26
Поэтому в искомую n(n-f 1)-параметрическую подгруппу должны
входить следующие п(п + 1) независимых инфинитезимальных
преобразований:
п
{х{-аг)рк, (xi -oti)^2,(xj -aj)pj = l • • • n). (6)
При помощи попарной комбинации легко убедиться, что эти
инфинитезимальные преобразования действительно порождают п(п +
1)-параметрическую группу. Это, кстати, следует еще и из того, что все
инфинитезимальные преобразования (6) оставляют неподвижной некоторую точку
Xi = а*, лежащую в конечной области. Эти преобразования независимы
друг от друга, и их число — п(п +1), то есть ровно столько, сколько
имеется в п(п + 2)-параметрической проективной группе независимых
инфинитезимальных преобразований, оставляющих точку ж» — а* инвариантной.
Поэтому согласно утверждению 2, стр. 228, инфинитезимальные
преобразования (6) порождают п(п + 1)-параметрическую группу.
Таким образом, всякая п(п + 1)-параметрическая проективная
группа Rn, в которой нет ни одного инфинитезимального переноса ^ £kPk,
состоит из всех проективных преобразований, которые оставляют
неподвижной некоторую лежащую в конечной области точку.
Если бы мы в вычислении выше везде записали Pi, —XiPk, Pi вместо
Ри xkPu Р% соответственно, то мы нашли бы все п(п +
1)-параметрические подгруппы, которые не содержат инфинитезимальных преобразований
^kPk- Поэтому мы можем сразу сделать такую замену в выражениях (6)
и получить:
п п
xkpi + аР*, Pi + af X xjPj + Eai(xjPi + aipj)-
j=i j=i
Здесь можно просто опустить член ^ otj (xjPi+aiPj), и поэтому в качестве
общего вида п(п + 1)-параметрических групп, не содержащих ни одного
преобразования ^ е^Лк, получается следующая группа:
п
Pi + ai Е Х№> XiPk + akPi' (7)
Тот факт, что эти инфинитезимальные преобразования порождают группу,
следует из их построения; разумеется, это можно и непосредственно
подтвердить.
Общая проективная группа
621
Если все аг обращаются в нуль, то мы имеем уже упомянутую выше
общую линейную группу, которая оставляет бесконечно удаленное плоское
многообразие Mn_i инвариантным. Поэтому напрашивается
предположение, что в общем случае, когда не все а* равны нулю, существует также
плоское многообразие Mn_i : AiXi Н Ь Хпхп 4- А = 0, допускающее все
инфинитезимальные преобразования (7).
В результате выполнения инфинитезимальных преобразований Pi +
+ XjPj А» выполняются следующие условия:
п
Af + oti ^2 ^jxj = 0 = Xi — агА.
3=1
Поэтому величина А в любом случае не может обращаться в нуль и может
быть положена равной 1; то есть если вообще существует инвариантное
плоское Мп_ь то оно может иметь только следующий вид: а\Х\ + • • • +
-Ь OLnxn -f 1 = 0. В действительности же последнее также допускает
инфинитезимальные преобразования XiPk 4- QkPi-
Следовательно, всякая подгруппа (7) оставляет плоское многообразие
M„_i пространства Rn инвариантным и, кроме того, является самой общей
проективной группой пространства Ям, оставляющей это плоское Mn_i
неподвижным. Действительно, любое другое инфинитезимальное
проективное преобразование, которое оставляло бы плоское Мп-\\ а\Х\ -\ Ь
+ апхп + 1 = 0 инвариантным, принимало бы вид
п п п
^2вкРк = ЩвкХк Xipi-
к=1 к=1 г=1
Если же применить это инфинитезимальное преобразование к Мп_ь то
получается
тг п л
Y2вкХк ^2aiXi = 0 = ~ вкХк>
fc=l г=1 к=1
откуда е\ = • • • еп = 0.
Таким образом, если п(п + 1)-параметрическая проективная
группа пространства Rn не содержит инфинитезимального преобразования
^2екРк, то она состоит из всех проективных преобразований,
оставляющих инвариантным плоское Mn_i, не проходящее через начало координат.
Из прежних результатов мы можем при помощи простого
преобразования получить еще некоторые другие, которые нам в дальнейшем
пригодятся. Так, если мы переместим прежнее начало координат при помощи
622
ГЛАВА 26
коллинеации
Х\ = — , Х2
Хп —
(Г)
в бесконечность, то получим
следовательно,
п
г=1
п
Х'кр\ = -Xfc^XiPf = (fc = 2-.-n).
г=1
Аналогичным образом получается:
п
Х1 ^2 Xipi = ~Pl' Х1Р* = ~Рк (fc = 2 ' ' ' П)'
г=1
и вообще, любое инфинитезимальное проективное преобразование при
введении х1 переходит в такое же преобразование (ср. гл. 4, утверждение 4,
стр. 89).
Отсюда мы видим: наша коллинеация (7;) превращает всякую п(п 4-
+ 1)-параметрическую проективную группу, в которой нет ни одного
инфинитезимального преобразования J2ek Ль в такую, которая не содержит
никакого преобразования е\ р\ 4- е2 #2 Pi 4- • •• 4- enxnpi. Так же всякая
не содержащая е^р^ проективная группа переходит в такую, которая не
содержит никакого преобразования е\ Р\ + е2 х\ р2 Н Ь еп х\ рп.
Поэтому если в п(п 4-1)-параметрической проективной группе не
имеется никакого инфинитезимального преобразования е\ р\ + е2 #2 р\ Л Ь
4- епхпрг9 то эта группа состоит из всех проективных преобразований,
которые оставляют некоторое плоское Mn_i инвариантным. Если,
напротив, в группе нет никакого инфинитезимального преобразования е\ Р\ +
4- е2 х\ р2 Н h еп Х\ рп, то она состоит из всех проективных
преобразований, оставляющих некоторую точку инвариантной.
Общая проективная группа
623
Общая проективная группа обладает тем свойством, что может
переводить любую точку пространства Rn в любую другую и любое плоское
Мп-\ в любое другое. Отсюда следует, что всякая п(п-hi)-параметрическая
проективная группа пространства i?n, оставляющая точку инвариантной,
является равноправной с любой другой группой такого рода внутри
общей проективной группы пространства Rn, и что также всякая п(п + 1)-
параметрическая проективная группа пространства Rn, оставляющая
плоское Mn_i инвариантным, равноправна с любой другой проективной
группой этого рода.
Теперь мы можем наконец-то приступить к нахождению всех п(п +
+ 1)-параметрических проективных групп.
Поскольку нам известны все такие группы, которые не содержат
никаких переносов, то остается найти лишь те, в которых инфинитезимальные
переносы встречаются. Предположим, что таких имеется ровно q
независимых, скажем рп - • • pn_g+i, т. е. что если п — q > О, то не имеется никаких
переносов вида е\pi Н Ь en-qpn-q.
В нашей группе тогда обязательно имеется инфинитезимальное
преобразование вида
q n-q
Xn-q+i ^ Ajfc Pfc + ei pi Н h en-q Pn-q, (8)
2=1 k=l
если число (n — q){q +1) содержащихся в этом инфинитезимальном
преобразовании членов больше п.
Это верно только тогда, когда (п — q)(q -\-1) — п = q(n — q — 1) больше
нуля, откуда следует, что мы пока не должны рассматривать случаи q = п —
— 1 и q = п. Однако если мы предположим, что q < п — 1, и скомбинируем
преобразование (8), в котором, очевидно, не все обращаются в нуль,
с каждым из имеющихся в подгруппе переносов pn_g+i • рп, то в любом
случае получим преобразование вида р\ р\ Л V рп-ярп-я, не
обращающееся тождественно в нуль, а это противоречие. Поэтому число q не может
быть меньше п — 1.
Таким образом, если п(п + 1)-параметрическая проективная группа
содержит один инфинитезимальный перенос YlekPk> то она содержит по
крайней мере п — 1 независимых переносов.
В этом утверждении мы снова можем, как это уже часто бывало,
заменить Pi на Pi и найти, что в любой группе указанного вида имеется п — 1
независимых преобразований ^е^Р^, если имеется хотя бы одно такое
преобразование.
624
Глава 26
Теперь найдем все п(п 4- 1)-параметрические проективные группы
с ровно п — 1 независимыми инфинитезимальными переносами YekPk,
например с р2 • • • рп- Ни одна такая группа не может содержать
преобразования вида
eiPi + e2X2Pi Н h enxnpi,
поскольку в результате комбинации с р2 • • • рп получилось бы р\, что
исключено. Согласно вышесказанному, все эти группы относятся поэтому
к категории таких п(п 4-1)-параметрических проективных групп, которые
оставляют плоское Мп-\ инвариантным. Соответственно, получается, что
всякая п(п + 1)-параметрическая группа, содержащая ровно п — 1
независимых преобразований ^ ек Рк, оставляет некоторую точку инвариантной.
Остается еще описать п(п +1)-параметрические проективные группы,
содержащие все п переносов р\ • • • рп. Отметим кстати, что Pi не могут все
одновременно входить в эту группу, так как иначе она совпала бы с самой
проективной группой.
Поэтому, согласно вышесказанному, имеются лишь две возможности:
либо вообще никакого преобразования Y вкРк нет, либо их будет п — 1
независимых. Оба случая уже разобраны выше.
Таким образом, наше исследование подошло к концу. Результат его
таков:
Теорема 101. Наибольшие подгруппы общей проективной группы п-
мерного многообразия содержат п(п+1) параметров. Каждая такая
подгруппа состоит либо из всех проективных преобразований, оставляющих
инвариантным плоское Мп-\, либо из всех преобразований, оставляющих
одну точку инвариантной. В первом случае она равноправна внутри
общей проективной группы с общей линейной группой р^ XiPk, во втором —
с группой XiPk, Pk6.
Поскольку группы из первой категории получаются из групп второй
в результате замены pi9 XiPk9 Pi на Pi, —XkPu Pi, то все n(n +
^-параметрические подгруппы общей проективной группы голоэдрически
изоморфны между собой. Кроме того, из вышесказанного следует
Утверждение 4. ОбщаН Проективная группа пространства xi • • • хп
может быть так связана с самой собой изоморфизмом, что наибольшая
подгруппа, оставляющая одну точку инвариантной, всякий раз
соответствует наибольшей подгруппе, оставляющей плоское Mn_i
инвариантным.
6 Л и, Math. Ann., том XXV, стр. 130.
Общая проективная группа
625
Если п = 1, то различие между точкой и плоским Мп-\ исчезает;
поэтому общая трехпараметрическая проективная группа простого
многообразия содержит лишь одну категорию двухпараметрических подгрупп,
и все они равноправны между собой в трехпараметрической.
Общая проективная группа n-мерного пространства содержит
согласно полученным ранее результатам п(п + 1) независимых
инфинитезимальных преобразований, оставляющих заданную точку неподвижной, а
именно: они порождают подгруппу, которая не содержится ни в какой большей
подгруппе. Отсюда следует (гл. 24, теор. 91, стр. 571), что общая
проективная группа является примитивной и, более того, асистатической.
§140
Добавим к этому некоторые общие рассуждения, касающиеся
описания всех подгрупп общей линейной группы ри Xipk (i,k = 1 • - • п)
пространства Rn.
Общее инфинитезимальное преобразование линейной группы
пространства Rn можно записать так:
{г^к п—1 п п
Q>ikXiPk + ^,bi(xiPi -хпрп) + сУ^ХкРк + J^dfcpfc. (9)
г,/с г=1 к=1 к=1
Если скомбинировать два инфинитезимальных преобразования такого типа,
то получится преобразование
г^к n-1 п V
^2 AikXiРк + B^Xipi - хпРп)+c^2xkPk+Y1D*P*»
г,к i=l k=l к=1
в котором Aik, Bi и С (С = 0) зависят только от а^, 6* и с. Следовательно,
укороченное инфинитезимальное преобразование
г^к n-1 п
(*ikxiPi + ^2 bi(xiPi ~ хпРп) + С ^2 хкРк, (Ю)
г,/с г—1 к=1
в свою очередь, является общим инфинитезимальным преобразованием
линейной однородной группы от х\ ••• хп.
Отсюда мы видим, что задача нахождения всех подгрупп общей
линейной группы разбивается на две задачи, которые должны решаться одна за
626
Глава 26
другой. Сначала необходимо найти все подгруппы общей линейной
однородной группы X|,рк (г, к = 1 • • • п); затем к инфинитезимальным
преобразованиям каждой из найденных групп надо самым общим образом добавить
члены ^2 Pk Рк так, чтобы вновь получилась группа. Таким образом, если
X\f • • • Xrf — одна из найденных линейных однородных групп, то надо
описать все группы вида
п п
Xkf+ ^>2akiPi, ^T^PniPi (fc=l---r, /х=1 ••■m, m^n).
i=l i=l
О дальнейшем решении обеих этих упрощенных задач мы здесь
более ничего не скажем, а отошлем читателя к третьей части, в которой
будут даны более подробные исследования проективных групп на плоскости
и в трехмерном пространстве.
С другой стороны, мы не преминем обратить внимание на
геометрический смысл, который имеет только что упомянутое разбиение данной
задачи.
Для этого предположим, что группу (9) мы продолжили, рассматривая
х, как и в гл. 25, стр. 574, в качестве вспомогательной переменной и добав-
dXi I rr
ляя производные = х\. При этом получится группа
^2 aMXiPi + Ьг(ХгРг ~ ХпРп) + С ^ Хкрк + ^ dkpk + ^jT СЦк^Р^
+ J2 biWi - х'пР'п) + С ]Г X'fcp'fc,
в которой члены, отвечающие х[, сами по себе задают группу, причем
именно найденную выше группу (10). Но тогда, как мы там же видели, можно
трактовать х\ как однородные координаты направлений, проходящих через
точки х\ • • • хп пространства Rn. Поэтому то, что х\ относительно
вышеупомянутой группы преобразуются сами по себе, означает не что иное,
как то, что параллельная прямая при любом линейном преобразовании х
переходит в точно такую же прямую; ведь направления, ставящие в
соответствие всем точкам пространства Rn определенную систему значений
х^, параллельны между собой. Однако каждый пучок параллельных
прямых дает одну совершенно определенную точку на бесконечно удаленном
плоском многообразии Мп-г пространства Rn, то есть х[ ••• х'п могут
трактоваться просто как однородные координаты бесконечно удаленного
плоского многообразия Mn_i, и, следовательно, группа
]Г aik х\ p'k + J2bi(x'ip!i-x'np'n) + cJ2 4 Рк
(П)
Общая проективная группа
627
задает то, как бесконечно удаленные точки пространства Rn преобразуются
группой (9). При этом надо еще заметить, что инфинитезимальное
преобразование x'kPk оставляет неподвижными все бесконечно удаленные точки,
так что эти точки преобразуются последней выписанной группой точно так,
как если бы с было равно нулю.
Теперь мы имеем внутреннее основание для указанного выше
разделения задачи описания всех линейных групп пространства Rn. При этом
мы полагаем, что эти группы поделены на классы, и к каждому классу
относятся те группы, для которых группа (11) — одна и та же, то есть те,
которые преобразуют бесконечно удаленные точки пространства Rn
одинаковым образом (ср. т. же теорему 40, стр. 258).
§141
Чтобы дать хотя бы одно приложение изложенным выше общим
рассуждениям, мы опишем все линейные группы пространства Rn, которые
преобразуют бесконечно удаленные точки пространства Rn наиболее
общим образом. Для всех этих групп соответствующая группа (11) имеет вид
x'iPki xiPi~xkPk (t,fc = l n, t^fe),
к чему при определенных обстоятельствах может еще добавиться
преобразование х[р[ + • • • + х'пр'п, оставляющее все бесконечно удаленные точки
по отдельности неподвижными. Эти бесконечно удаленные точки будут
согласно этому (п2 — 1)-параметрически преобразовываться общей
проективной группой (п — 1)-мерного пространства.
Каждая из искомых групп должна содержать п2 — 1
инфинитезимальных преобразований, из которых не может быть получено ни одного такого,
которое оставляло бы все бесконечно удаленные точки инвариантными, то
есть такого, которое имело бы вид 7 XjPj + jkPk- Эта группа
поэтому заведомо содержит п2 — 1 инфинитезимальных преобразований вида
г п п
Хг Рк + Otik Е xi Pi + Е (' ^
j=1 „ v=1 n (12)
xi Pi ~~ xn Pn + ai^2xjPji+J^Ai/Pb.
j=l y=\
Кроме того, могут встретиться еще одно или более инфинитезимальных
преобразований вида 7 ^ Xj Pj + Yj„ IvPv
628
Глава 26
Если группа требуемого типа содержит один перенос, то она
содержит их все. Так, если этим переносом является р\ + е^Ръ Н Ь епрп, то
комбинируя его с
п п
х\ Pk + а1к Е хз Рз + Е Pl/ (fc = 2' *'n)'
j=i i/=i
мы получаем таким образом Р2 * Рп и тем самым все р*.
Поэтому мы сначала предположим, что все переносы там появляются.
Если существует еще и преобразование ^хзРз->10 мы имеем саму общую
линейную группу. Если же преобразования xjPj нет, то при помощи
комбинации преобразований (12), в которых мы до этого можем положить
и Pi„ равными нулю, получаем
s П П v
( х% Рк + Otik Е Х3 Pj->Xk Pi + ^fci Е XJ Ь ) = XiPi ~ Хк Рк'
^ 3=1 3=1 '
так что все щ равны нулю. Но, кроме того,
( Xi Pi - Хк Рк, Xi Рк + Щк Е Х3 Рз j = 2 Хг Рк-
v j=i '
Следовательно, эта группа является специальной линейной.
Если в искомой группе нет ни одного переноса, но есть преобразование
п п п
S xi pi + ]С > р" = + Ъ) Р>« (13)
j = l 1/=1 j = l
то все oiifc и все а* могут быть положены равными нулю. Если мы к тому
же запишем инфинитезимальное преобразование (12) в виде
(Xi + 7t) Рк + Е #fci/ (* ^
n
(«i + 7i)W - {Xn + 7n)Pn + ^P'ivPv,
v=l
то при помощи комбинации с Х^(х* + 7г)Рг сразу увидим, что все /3'ikl/ и fi'iv
обращаются в нуль, и находим, таким образом, группу
(Xi +ъ)Рк (»,* = !••• п).
Общая проективная группа
629
Наконец, если не встречается ни одного преобразования вида (13), то
сначала в результате комбинации из (12) следует, что все аг& и аг равны
нулю. Далее получается
п п \
XiPk + $ikv Pv" Хк Pi @kiv Pv) = Xi Pi ~ Хк Рк + @ikk Pi ~ @kii Рк'
и, кроме того,
(
I (хг + Pikk)Pi - (Хк + Pkii)Pk, Xi Рк + ]Г] ftfci/ Pi/
\ i/=l
= 2xipfc + 2fokkPk - PikiPi,
так что все Д*^, за исключением /3ikk и через которые также
выражаются pit,, обращаются в нуль.
Если теперь п > 2, то (3ikk могло бы варьироваться вместе с к; однако
это не так. А именно: если мы в
{Xi + Pikk)Pi ~ (Хк + Рки)Рк
заменим г и к сперва на fc, j, а затем — на j, г и сложим эти три
получившихся преобразования, то сумма должна будет обратиться в нуль, потому
что переносов возникнуть не может. Итак, мы получаем /3ikk = Pijj и Т-Д-
Поэтому если мы вместо /Зц^к кратко запишем то получим группу:
(xi + 0i)pk, (Xi + Pi) Pi - (хк + Pk)pk (< ^ *)■
Тем самым все случаи рассмотрены. Введя в обоих последних видах
группы в качестве новой хг соответственно х» + 7i и + /9», мы можем
сформулировать наш результат следующим образом.
Теорема 102. Общая линейная группа от п переменных содержит
только три различных типа подгрупп, которые так же, как и сама эта
группа, (п2 — \)-параметрически преобразуют точки бесконечно удаленной
плоскости: таковыми являются, во-первых, специальная линейная группа,
и, во-вторых, все подгруппы, равноправные с однородными группами7
Xi Pk; Xi pk, Xi pi - xk Pk (t ^ k).
7Ли, Archiv for Math, og Nat., том IX, стр. 103 и 104, Христиания, 1884 r.
630
Глава 26
Таким образом, мы имеем здесь характеристическое свойство, которое
является общим для всех уже известных нам групп. Напротив, признаки
отличия этих четырех групп вкратце таковы: общая линейная группа
оставляет отношения всех объемов, а специальная линейная группа — все объемы
инвариантными. Общая и специальная линейные однородные группы
отличаются от общей и специальной линейных соответственно тем, что они
еще оставляют точку Х\ = 0 инвариантной.
§142
В начале предыдущего параграфа мы видели, что описание всех
линейных групп пространства Rn значительно упрощается, если известны
все линейные однородные группы пространства Rn. Последнюю же
задачу решить несложно, если известны все проективные группы пространства
Rn-i. Это мы сейчас покажем.
Общая линейная однородная группа пространства Rn : хфк =
= 1 • • • п) содержит, как мы знаем, инвариантную подгруппу с п2 — 1
параметрами, а именно: специальную линейную однородную группу
XiPk, XiPi-ХкРк (t,fe = l ••• п, г ^АО-
Последняя является равносоставленной с общей проективной группой
пространства Rn-i, поэтому ее подгруппы можно сразу выписать, если
известны все проективные группы пространства Rn-i (ср. в связи с этим
следующую главу). Тогда подгруппы группы XiPk находятся при помощи
следующих рассуждений.
r-параметрическая подгруппа Gr группы ХгРк либо содержится также
в группе XiPk,XiPi — XkPk(i ^ к), либо не содержится. В первом
случае она была бы уже известна, во втором она имела бы согласно
утверждению 7, стр. 235, подгруппу Gr_i, общую со специальной линейной
однородной группой. Поэтому чтобы найти все линейные однородные Gr
второго типа, нам надо лишь к каждой подгруппе Gr-i : Xif- • • Xr-if
группы XiPk,XiPi — XkPk (i ^ к) добавить инфинитезимальное
преобразование вида
ТО ТО у
Y/ = YlXiPi+ Y1 аЪХкРз (][>fcfc=0
i=l kj=l ^ к
и при помощи комбинации с Xif • • • Xr-if найти все значения а^,
которые приводят к группе. При этом надо заметить, что (г —
1)-параметрическая группа Xif • • • Xr-if, очевидно, должна быть в искомой г-параметри-
ческой группе инвариантной; поэтому мы можем сказать, что найдем самые
Общая проективная группа
631
общие значения otkj, если будем искать самое общее линейное
однородное инфинитезимальное преобразование Y/, которое оставляет заданную
(г — 1)-параметрическую группу инвариантной. Кстати, одну г-параметри-
ческую группу мы всегда получим, если положим все равными нулю.
Если принять во внимание инфинитезимальные преобразования
Xif - • • Xr-if, то ясно, что г — 1 из ukj могут быть приравнены нулю.
Поэтому чем меньше число г, тем больше констант должно быть
определено. Для малых значений г (но не только) зачастую более удобным является
следующий метод.
г-параметрические подгруппы группы Xi pk можно еще и по-другому
поделить на две категории: 1) те, что содержат преобразование YlxiPu ~
их мы можем при наложенных условиях немедленно выписать, — и 2) те,
что преобразования х\ р\ Л + хп рп не содержат. В последнем случае г
инфинитезимальных преобразований группы должны иметь вид
где Xkf представляют собой инфинитезимальные преобразования
специальной линейной однородной группы. Поскольку преобразование J2 хг Рг
перестановочно со всеми Xkf, то при вычислении скобки безразлично,
обращаются щ в нуль или нет; поэтому X\f • • • Xrf должны сами порождать
группу, а именно: r-параметрическую подгруппу группы , Рь жг рг—Xk Pk
(г^к), одну из тех, которые мы предполагаем известными. Следовательно,
остается лишь так задать otk самым общим образом, чтобы
инфинитезимальные преобразования (14) порождали группу. При известных условиях
можно сразу видеть, что некоторые из otk обращаются в нуль; так, если
имеет место уравнение вида
то ctj обязательно должно быть равно нулю.
Если все (Xi Xk) порождают ^-параметрическую группу (гл. 15,
утверждение 6, стр. 290), то можно предположить, что инифинитезимальные
преобразования Xkf выбраны так, что все (Xi Xk) могут быть линейно
получены из X\f • • • X6f. Тогда а\ = • • • = а6 = 0, в то время как все
другие щ могут быть отличны от нуля. Поэтому если g < г, то возникают
произвольные параметры. Дают ли различные значения этих параметров
различные типы линейных однородных групп, другими словами,
являются ли соответствующие параметры существенными, должно быть в каждом
отдельном случае исследовано особо. Решение этой задачи для п = 2 см.
в третьей части.
(14)
2=1
(Х{Хк) = Xjf,
632
Глава 26
§143
Если задана линейная однородная группа Gr, которая не содержится
в специальной линейной, то эта Gr, как мы уже выше замечали, включает
в себя инвариантную (г—1)-параметрическую подгруппу,
инфинитезимальные преобразования которой характеризуются тем, что имеют вид
г^к п-1
a>ik Xi рк + Y, ai(Xi Pi ~ Хп Рп)-
г=1
Если применить это замечание к присоединенной группе:
r df
E»f = Y Ckvs ekfcT (" = 1 • • • О,
fc,s=l 9
соответствующей произвольной r-параметрической группе X\ f • • • Xrf, то
мы непосредственно увидим, что она (если не все г сумм Ckvk
обращаются в нуль) содержит инвариантную подгруппу, инфинитезимальные
преобразования которой \\E\f + • • • + XrErf определены уравнениями,
задающими условие инвариантности:
г г
к Y,Скг/к = °*
v=\ к=1
Если, наконец, вспомнить, что всякая группа изоморфна своей
присоединенной, то мы получим следующее
Утверждение 5. Если г независимых инфинитезимальных
преобразований X\f • • • Xrf r-параметрической группы находятся попарно в
соотношениях (XiXk) = Yl3 CiksXsf, и если по крайней мере одна из г
сумм Y^k Cl/kk отлична от нуля, то все инфинитезимальные
преобразования \\X\f Н Ь \rXrf, удовлетворяющие условию
г г
Y, ^ Cvkk = О'
|/=1 к=1
порождают инвариантную (г — 1)-параметрическую подгруппу*.
8 Л и, Archiv for Math., том ГХ, стр. 89, Христиания, 1884 г.; Fortschritte der Mathematik, том
XVI, стр. 325.
Общая проективная группа
633
При более подробом исследовании общей проективной группы необходимо,
конечно, особое внимание уделить ее присоединенной группе YlekEkf, а также
соответствующим инвариантным системам уравнений в переменных е/с. Здесь же —
лишь два кратких, но важных замечания.
Если, как обычно, интерпретировать ек как однородные координаты точек
пространства размерности п2 +2п — 1, то среди всех инвариантных многообразий этого
пространства имеется одно, размерность которого имеет наименьшее значение. Это
важное многообразие состоит из всех точек ек, которые представляют либо
переносы, либо равноправные с ними преобразования. Оно не содержится ни в одном
плоском многообразии этого пространства. Впрочем, известная классификация всех
проективных преобразований дает, разумеется, сразу все инвариантные
многообразия пространства е\ • • • ег.
При любом инфинитезимальном проективном преобразовании, равноправном
с переносом, все точки плоского Mn-i в пространстве Хк, а также все плоские
Мп-1, проходящие через некоторую точку этого Mn-i, остаются инвариантными.
Всякое такое преобразование полностью определено упомянутым первым
инвариантным плоским Mn-i и его выделенной инвариантной точкой.
Если п = 2, то мы можем сказать, что любое равноправное с
инфинитезимальным переносом проективное преобразование плоскости х\, хч полностью
представлено линейным элементом. В соответствии с этим в трехмерном пространстве х\,
Х2, хз всякое равноправное с инфинитезимальным переносом проективное
преобразование будет представлено элементом поверхности и т. д. Эти замечания найдут
применение в третьей части книги.
Глава 27
Линейные однородные группы
Общую линейную однородную группу от п переменных х\ ••• хп мы
в предыдущей главе, стр. 629, определили как общую проективную группу
n-мерного пространства х\ • • • хп (или кратко Rn), оставляющую
бесконечно удаленное плоское многообразие Mn_i и одновременно точку х\ =
= • • • = хп = О инвариантными. Другой смысл эта группа приобретает,
если трактовать х\ • • • хп как однородные координаты в (п — 1)-мерном
пространстве. Эту трактовку следует положить в основу настоящей главы.
§144
Мы полагаем, что переход от обычных декартовых координат у\ • • • уп-\
(п — 1)-мерного пространства Rn-\ к однородным координатам х\ • • • хп
происходит при помощи соотношений
Ук = р~ (* = 1--.п-1).
Тогда п2-параметрической общей линейной однородной группе
п
х[ = ^2 агкХк (* = 1 • • • n) (1)
к=1
соответствует в переменных у\ • уп-\ мероэдрически изоморфная группа
п-1
52aikyk+а™
У[ = ^ЕТ (г = 1-.-п-1), (2)
пп
к=1
т.е. (п2 — 1)-параметрическая общая проективная группа пространства
Rn-i- Всякому линейному однородному преобразованию (1) соответствует
Линейные однородные группы
635
согласно этому единственное проективное преобразование (2), то есть
совершенно определенная коллинеация пространства Rn-i, тогда как всякому
проективному преобразованию (2), напротив, соответствуют в целом ос1
различных линейных однородных преобразований.
Можно, кстати, установить однозначно обратимое соответствие
между линейными однородными преобразованиями в координатах х\ • • - хп
и проективными преобразованиями в координатах у\ - • - уп-\-> если на
константы ацс наложить условие ]Г} ±ац • • • апп = 1, то есть если вместо
общей рассматривать специальную линейную однородную группу,
являющуюся голоэдрически изоморфной общей проективной группе (2) (ср. гл. 26,
стр. 613). Мы хотим подробно описать это соответствие для
инфинитезимальных преобразований обеих групп.
Специальная линейная однородная группа от xi • • • хп содержит
следующие п2 — 1 независимых инфинитезимальных преобразований:
XiPk, XiPi - ХкРк (г ^ к). (3)
Чтобы найти соответствующие инфинитезимальные преобразования
в Уг • • • Уп-ь нам требуется лишь подсчитать для каждого отдельного из
вышеупомянутых преобразований приращения
- Xn5Xi Xi5xn
ОУг = 2 (t = 1 • • • п - 1).
хп
Таким образом, мы найдем следующую таблицу:
хпРк = Як, ХкРп = -Ук{УгЯг Н Уп-гЯп-г),
ХкРк ~ ХпРп = ykqk + VlQl + ' ' ' + Уп-iqn-l, хгРк = УгЧк (4)
(г, к = 1 • • • п — 1; г ^ к),
где вместо пишется q^. И так же наоборот, всякому инфинитезимально-
Oyi
му преобразованию проективной группы (2) эта таблица ставит в
соответствие инфинитезимальное преобразование специальной линейной
однородной группы (3); из уравнений (4) мы непосредственно получим следующие
формулы:
п{У1Я1 Н г Уп-\Чп-\) = Х\Р\ Н Ь Хпрп - ПХпРп,
nykqk = пХкРк ~ (xiPi + • • • + хпрп).
Теперь можно также легко указать, какие сю1 инфинитезимальных
преобразований общей линейной группы (1) соответствуют заданному инфини-
тезимальному преобразованию проективной группы (2). А именно:
инфинитезимальное преобразование х\р\ + • • • + хпрп сводится в переменных
636
Глава 27
Уг' •' Уп-i к тождеству, поскольку для него все приращения у к обращаются
в нуль. Поэтому если инфинитезимальному преобразованию Xf
специальной однородной группы (3) соответствует инфинитезимальное
преобразование Yf проективной группы (2), то все сю1 инфинитезимальных
преобразований общей однородной группы (1), соответствующих У/,
содержатся в выражении Xf + с(х\р\ + • • • + хпрп), где с означает произвольную
константу.
Если система уравнений
&к(У1--- Уп-г) = 0 {к = 1 ■■■т)
допускает в переменных у\ • • • уп-\ конечное или инфинитезимальное
проективное преобразование, то соответствующая система уравнений от х:
^(й-^)=0 <* = l-m).
естественно, допускает соответствующее конечное или инфинитезимальное
преобразование группы (3); кроме того, она также допускает в силу своей
однородности инфинитезимальное преобразование х\р\ Н h хпрп.
И наоборот, всякая система уравнений от х\ • • • хп, допускающая
я\ Pi Н Ь ЯпРп, является однородной. Но тогда, если мы запишем
проективную группу пространства Rn-\ в однородных переменных х\ • • хп,
все сводится лишь к отношениям между х, то есть лишь к системам
уравнений, однородных по х. Поэтому мы будем добавлять инфинитезимальное
преобразование х\ р\ + V хп рп всякий раз, когда, записав
инфинитезимальные преобразования проективной группы пространства Rn-i при
помощи таблицы (4) в однородном виде, мы хотим найти соответствующие
инвариантные системы уравнений от х\ • - • хп. Полученная таким образом
группа от х\ • • • хп является аналитическим представлением
соответствующей проективной группы пространства Rn-i в однородных переменных.
Если мы хотим при исследовании проективной группы рассматривать
также бесконечно удаленные точки, то необходимо записывать эту группу
в однородных переменных.
§145
в предыдущем параграфе мы показали, что инфинитезимальные
проективные преобразования пространства Rn-i могут быть заменены
инфинитезимальными линейными однородными преобразованиями от п пере-
Линейные однородные группы
637
менных. Теперь представим себе, что нам дано произвольное
преобразование этого типа от переменных х\ • • • хп, например
и исследуем его более подробно. А именно: нас интересуют плоские
многообразия пространства Rn-\, допускающие соответствующее
инфинитезимальное преобразование. Таким образом, нам удастся показать, что Xf
может всегда быть приведена к определенному каноническому виду в
результате введения надлежащих новых переменных х\ — Y^°ikXk-
Если плоское многообразие Mn_2: с%Хх — О пространства Rn-i
допускает инфинитезимальное преобразование Xf, то согласно теореме 14,
стр. 125, оно в то же время допускает все конечные преобразования
соответствующей однопараметрической группы. Тогда Мп_2 допускает
инфинитезимальное преобразование Xf тогда и только тогда, когда
выражение X(Y,CiXi) обращается в нуль одновременно с Y^°ixi- Поскольку
X(^CiXi) является линейным по Хи то это условие сводится к
тождественному выполнению соотношения вида
п
i,k=l
где д — константа. Следующее отсюда уравнение
разбивается на п уравнений:
auCi Ч Ь (а>ц -
д)сг Ч- • • • Ч- aniCn =0 (i = l • • • n),
(5)
которые могут выполняться, если определитель
ап - д
а>\2
«21
«22 - д
а>п\
0>п2
= A(Q)
(6)
0>1п
0>2п
0>пп ~ Q\
обращается в нуль. Это дает для д уравнение п-й степени с п корнями,
среди которых, однако, могут быть кратные. Таким образом, при любых
638
Глава 27
условиях имеется хотя бы одно плоское многообразие Mn_2 : с\Х\ Н h
+ спхп = О, остающееся инвариантным относительно
однопараметрической группы.
Как известно, точно таким же образом можно понять, что любое конечное
проективное преобразование или, в однородной записи, любое преобразование х\ =
= 5^ bikXk также оставляет как минимум одно плоское многообразие Мп-2
неподвижным. Это, кстати, следует из того, что преобразование х\ = ^ bikXk
принадлежит некоторой однопараметрической группе Xf.
Если найденное выше уравнение Л(д) = О имеет в точности п
различных корней д, то для группы Xf в целом п отдельных плоских
многообразий Мп-2 остаются инвариантными; так, два различных корня д\ и Q2
этого уравнения на д в соответствии с видом уравнений (5) всегда также
дают две различные системы значений с\ : с2 : • • • : Сп. Если же
имеются кратные корни д, то могут возникать различные случаи. А именно:
если для т-кратного корня д сам определитель (6) обращается в нуль, а его
миноры порядка п — 1 — не все обращаются в нуль, то для
соответствующего значения д в точности п — 1 среди уравнений (5) остаются друг от
друга независимыми, и тогда все отношения между с\ однозначно
определены. Следовательно, этому ш-кратному корню соответствует лишь одно
единственное инвариантное плоское многообразие Мп_2, но оно считается
т-кратным. Если же для m-кратного корня не только сам определитель (6)
равен нулю, но и все его миноры порядка п — 1 • • • п — q + l (но не все
порядка п — q (q ^ m)) обращаются в нуль, то уравнения (5) сводятся ровно
к п — q независимым, и q — 1 среди отношений с\ остаются произвольно
выбираемыми. Поэтому m-кратный корень д дает в этом случае семейство
из оо9-1 плоских многообразий Мп-2, остающихся инвариантными по
отдельности.
Легко видеть, что корень уравнения Л(д) = 0 является по меньшей
мере <7-кратным, если для него все миноры порядка п — q + 1 из Л(д)
обращаются в нуль. Дело в том, что производные порядка (q — 1) от Л(д)
по д выражаются суммами миноров порядка п — q + 1 из Л(д).
Если бы мы хотели уже здесь исходить из того, что теория
двойственности известна, то мы могли бы сразу заключить, что инфинитезимальное
преобразование Xf в пространстве Rn-i также оставляет хотя бы одну
точку инвариантной. Однако мы предпочитаем доказать и это
непосредственно, тем более что при этом мы получим более глубокий взгляд на
ситуацию.
В однородных переменных х\ • • • хп точка представляется п — 1
уравнениями вида XiX°k— XkX® = 0; следовательно, эта точка будет допускать все
Линейные однородные группы
639
преобразования однопараметрической группы X/, если Хх% • х\ — Xxk • х®
в силу уравнений XiX% — XkX® — О обращается в нуль, то есть если имеют
место п соотношений вида
XXi = aXi (t = 1 • • • п).
Поэтому для Х{ и а мы получим п уравнений, выражающих это условие:
ОцХ\ Н h (da — cr)Xj Н h ain^n =0 (г = 1 • • • тг).
Если не рассматривать ничего не говорящее нам решение х\ = • • • = хп =
= 0, то а должно быть корнем уравнения
Л(а)
а\\ — а а\2 • • • 0\п
0>21 0,22-0- • • • 02п
оп\ аП2 • • • апп — а
= 0,
и каждый такой корень дает одну инвариантную точку. Таким образом,
нахождение точек, остающихся неподвижными под действием X/, приводит
к тому же алгебраическому уравнению, что и нахождение инвариантных
плоских многообразий Мп_2 :с\Х\Л Ь СпХп = 0.
Поэтому если это уравнение п-ой степени имеет п различных корней,
то в пространстве Rn-\: х\ : Х2 : • • • : хп не только п различных плоских
многообразий Мп-2: CkXk = 0, но также и п отдельных точек остаются
инвариантными. Причем не все эти п точек лежат в одном и том же
плоском многообразии Мп_2, поскольку если в плоском многообразии Мп_2
п различных точек остаются фиксированными, то бесконечно много точек
многообразия Мп_2 неизбежно сохраняют свое положение, что при
наложенном условии исключено. Это свойство п инвариантных точек мы
можем кратко выразить, сказав, что при действии Xf остается инвариантной
невырожденная п-поверхность1.
Если возникают кратные корни, то снова необходимо различать два
случая. Если не все миноры порядка п — 1 обращаются в нуль для 771-
кратного корня, то этот корень дает одно инвариантное плоское
многообразие Мп-2 и одну инвариантную точку, которые считаются т-кратными.
Если же для этого корня все миноры порядка п — \ - • - п — #+1, но не
все порядка п — q равны нулю (q ^ га), то этому корню соответствует
семейство из ооя~г отдельных инвариантных плоских многообразий Мп_2
и одно плоское многообразие, состоящее из ооя~г отдельных
инвариантных точек. Таким образом, верно следующее
1 Ли использует термин n-Flach, имея в виду систему из п гиперповерхностей, находящихся
в общем положении. — Прим. ред.
640
Глава 27
Утверждение 1. Всякое инфинитезимальное преобразование
п
akiXiPk
i,k=l
от однородных переменных х\ • • • хп или, что то же самое, всякое
инфинитезимальное проективное преобразование от п — 1 переменных
Х\ xn-i
хп хп
оставляет некоторое множество точек х\ : х2 : • • • : хп и некоторое
множество плоских многообразий Мп-2 • CiXi + CnXn = 0 инвариантными.
Точки, остающиеся неподвижными, заполняют конечное число, причем не
более п отдельных плоских многообразий. Инвариантные плоские
многообразия Мп-2 также образуют конечное число, причем не более п отдельных
линейных пучков.
Если инфинитезимальное преобразование Xf имеет вид Y^xkPk> то
оно оставляет вообще все точки х\ : х2 : • • • : хп и, конечно же, все
плоские многообразия Мп-2 : 5^ c2Xj = 0 инвариантными. Из
найденного до сих пор можно сделать дальнейшие выводы. Сначала рассмотрим
специальный случай, когда вышеупомянутое уравнение п-го порядка
имеет п различных корней. В этом случае имеется п отдельных инвариантных
плоских многообразий Мп-2 : £V с^х* = 0, которые, согласно
вышесказанному, образуют 71-поверхность2. Поэтому мы можем ввести
п
х'к = ^2,CkiXi (к = 1 • • • п)
2=1
как новую однородную переменную и должны при этом получить в
переменных х[ • • • х'п инфинитезимальное преобразование, которое оставляет п
уравнений х'к = 0 инвариантными, то есть имеет вид
Xf = a'1x'1p'1 + "- + a'nx'npn.
К этой канонической форме можно привести Xf при наложенных
условиях. Разумеется, никакие две из величин а\ • • • а'п не являются здесь
одинаковыми, так как уравнение
К- <?)••• К-е) = о
должно, очевидно, иметь п различных корней.
2См. комментарий выше. — Прим. ред.
Линейные однородные группы
641
Подобные канонические формы для Xf существуют также тогда,
когда уравнение на д имеет кратные корни. Однако мы не намерены их
рассматривать, а лишь хотим показать, что существует каноническая форма,
к которой всякое инфинитезимальное преобразование
п
Xf = ]Р CLki Xi Pk
i,fc=l
может быть приведено путем надлежащей замены переменных х'к =
= 53 hkiXi, т. е. при помощи подходящей коллинеации пространства Rn-i,
вне зависимости от свойств уравнения Л(д) = 0.
Поскольку Xf всегда оставляет одну точку инвариантной, мы можем
предположить, что наши координаты выбраны так, что точка х\ = - - - =
= xn-i = 0 остается фиксированной. При этом мы находим:
п—1n—1 п п
xf = ^2^2а*ьxkPi + ^2а'пкХкРп = x'f+X!а'пкХкРп- (7)
к=1 t=l fc=l к=1
К линейному инфинитезимальному преобразованию п — 1 переменных
х\ - • • xn-i мы можем применить тот же самый метод, который позволил
нам привести Xf к виду (7) и, таким образом, получаем
n—In—2 n—1 п
Xf = YI Y1 а* XkPi + Yl ап-1,к хк Рп-1 + Y1 а'гьк Хк рп-
к=1 г=1 к=1 к=1
Здесь мы снова можем аналогично поступить с правой частью. В
результате получается
Теорема 103. Во всякое линейное однородное инфинитезимальное
преобразование от п переменных можно ввести п таких линейных
однородных функций этих переменных в качестве новых переменных, что
данное инфинитезимальное преобразование принимает канонический вид:
«11 Х\ Pi + («21 Х\ + а22 х2) Р2 Н h («nl Xi Н h «nn xn) pn-
Довольно интересно было бы интерпретировать способ, которым
получен этот результат, геометрически.
Поскольку Xf в любом случае оставляет одну точку инвариантной,
мы выбрали выше такую точку в качестве начала координат х\ = • • =
= xn-i = 0. Тогда отношения х\ : x<i : • • • : xn-i представляют прямые,
642
Глава 27
проходящие через выбранную точку; эти прямые переставляются между
собой при преобразовании Xf одновременно с точками х\ : • • • : хп,
а именно линейным инфинитезимальным преобразованием X1 f от п — 1
переменных х\ • • • xn-i- Но, согласно вышесказанному, при действии X' f
некоторая система отношений Х\ : • • • : хп-ь то есть прямая, проходящая
через вышеуказанную точку, должна оставаться инвариантной. Эту прямую
мы выбираем в качестве оси х\ = • • • = хп-2 = 0 нашей системы
координат, тогда соотношения х\ : • • • : хп-2 представляют плоские многообразия
Мг, проходящие через эту ось. Эти многообразия М2 также
переставляются между собой преобразованием Xf, одно из них заведомо остается
инвариантным и позволяет нам сделать следующий шаг в построении системы
координат, и т. д.
Таким образом мы видим, что систему координат можно выбрать так,
что Xf получает указанную выше нормальную форму. Однако мы
хотим проведенные только что рассуждения сформулировать в специальном
утверждении, поскольку они выражают одно общее свойство
инфинитезимальных проективных преобразований пространства Rn-i-
Утверждение 2. При любом инфинитезимальном проективном
преобразовании пространства Rn-i по крайней мере одна точка остается
инвариантной, через любую инвариантную точку проходит по крайней мере
одна инвариантная прямая ... наконец, через любое инвариантное плоское
многообразие Мп_з — по крайней мере одно инвариантное плоское
многообразие Мп-2-
§146
Результаты из предыдущего параграфа, по сути, уже давно известны
и по существу совпадают с принадлежащим Коши сведением системы
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами к нормальной форме.
Ниже мы существенно обобщим прежние результаты, но прежде
необходимо включить замечания другого рода, которые, однако, строго говоря,
подпадают под общие результаты главы 23, стр. 526 и ниже. Но здесь мы
можем провести рассуждения несколько более простым способом.
Пусть задана какая-нибудь г-параметрическая группа Gr с (г —
га)-параметрической инвариантной подгруппой Gr,m, Т означает произвольное
преобразование группы Gr, a S — произвольное преобразование подгруппы
Gr-m. Тогда, по предположению, имеют место равенства вида
T~1ST = SU TS^^S,
Линейные однородные группы
643
где Si — опять же преобразование подгруппы Gr_m, причем совершенно
произвольное, если только подходящим образом выбрать 5.
Если теперь любое преобразование 5 оставляет некоторую фигуру3 М
инвариантной, то имеет место
(M)S = (М),
а также следующее уравнение:
(M)TT~lST = (Af )Г,
которое показывает, что фигура (М)Т допускает всякое преобразование
Т-15Т, следовательно, вообще всякое преобразование 5.
Утверждение 3. Если Gr — г-параметрическая группа, a Gr-m — ее
инвариантная подгруппа, если, наконец, М — фигура, допускающая все
преобразования подгруппы Gr-m, то и всякое положение, которое
принимает М под действием преобразования группы Gr, остается при всех
преобразованиях подгруппы Gr-m инвариантным.
В частности, пусть эти две группы, Gr и Gr_m, являются
проективными группами пространства Rn-i, причем записанными в п переменных.
Пусть множество М является точкой. Тогда каждая отдельно взятая
инвариантная при всех 5 точка переходит при выполнении всех
преобразований Т исключительно в такие точки, которые опять же допускают все
преобразования S. Следовательно, совокупность всех инвариантных
относительно группы Gr-m точек остается инвариантной также относительно
группы Gr, однако в общем случае отдельные точки этой совокупности
переставляются между собой группой Gr.
Выше мы видели, что все точки, остающиеся инвариантными
относительно однопараметрической проективной группы, организуются не более
чем в п конечным образом отличных друг от друга плоских
многообразий. Это справедливо, конечно, также и для тех точек, которые сохраняют
свое положение относительно нашей Gr-m. Поэтому пусть МьМг, • • • Мв
(g ^ п) — конечным образом различные плоские многообразия, все
точки которых остаются фиксированными относительно Gr_m, тогда как вне
этих многообразий нет ни одной инвариантной относительно Gr-m точки.
Если бы группа Gr была разрывной, — проведенные рассуждения
остаются в силе и в этом случае, — то многообразия М\ • • • Мв можно было бы
группой Gr переставлять между собой. Другое дело, когда Gr непрерывна,
3Ли использует термин Punktfigur, понимая под этим просто некоторое множество точек. —
Прим. ред.
644
Глава 27
то есть порождена инфинитезимальными преобразованиями. Если бы,
скажем, Mi принимала под действием содержащихся в Gr преобразований
новые положения, то они должны были бы образовывать непрерывное
семейство. Но мы только что видели, что М\ может принимать самое большее
М\ - • • М0 конечным образом отличных друг от друга положений.
Следовательно, никакое преобразование из Gr не может изменить положение М\.
Точно так же, естественно, любое другое из д многообразий Мк при всех
преобразованиях группы Gr остается на своем месте.
Мы хотим теперь еще добавить условие, что га имеет значение 1.
Пусть Xif - - • Xr-if — независимые инфинитезимальные преобразования
из группы Gr_i, инвариантной в Gr, a Xif • - • Xr_i/, Yf —
преобразования из Gr\ кроме того, пусть xi = О, • • • хя = 0 — одно из плоских
многообразий Mi • -- MQ9 все точки которого остаются инвариантными
относительно Xif ••• Xr-if.
Поскольку, как нам известно, Yf заведомо оставляет многообразие
Xi = 0, • • хя = 0 инвариантным, то оно должно иметь вид
q п п
Yf= ^2akiXiPk+ ^2 y^flj"xvPj-
i,k=l j=g+i v=l
Точки этого многообразия преобразуются под действием Yf (ср.
теорему 40, стр. 258 и д.), точнее, при помощи преобразования, которое
получается из Yf при подстановке xi = • • • = xq = 0, то есть
П П
YI ]l аз^х^Рз'^ (8)
переменные xq+\ • • • хп здесь надо рассматривать как координаты для
точек этого многообразия. Тогда преобразование (8) оставляет внутри
многообразия xi = • • • = xq = 0 как минимум одну точку х£+1 : • • : хп
инвариантной, затем — прямую, проходящую через эту точку, и т. д.
Тем самым мы имеем следующую теорему
Теорема 104. Если (г + 1)-параметрическая проективная группа
Xif-- - Xrf, Yf пространства Rn-i содержит г-параметрическую
инвариантную подгруппу Xif • • • Xrf, и если существуют точки
пространства Rn-i, остающиеся при всех Xkf инвариантными, то всякое
состоящее из таких инвариантных точек плоское многообразие, не
входящее ни в одно большее многообразие подобного рода, также допускает
все преобразования (г + \)-параметрической группы. Точки всякого такого
Линейные однородные группы
645
многообразия при этом переставляются между собой, но так, что хотя
бы одна из этих точек сохраняет свое положение при всех преобразованиях
(г 4- 1)-параметрической группы.
Эту теорему мы теперь применим к специальной категории линейных
однородных групп.
Пусть X\f---Xrf — инфинитезимальные преобразования
г-параметрической линейной однородной группы, a X\f---Xef всегда,
когда g меньше г, порождают ^-параметрическую подгруппу, инвариантную
в (g +1)-параметрической подгруппе. Аналитически эти условия находят
свое выражение в определенных соотношениях вида
(XiXi+k) = ^2 CiksXsf (i= 1 • • r-l, k = 1 ... r-i).
s=l
Если мы, как и прежде, будем толковать х\ • • • хп как однородные
координаты некоторого i?n_i, то увидим, что в этом Rn-\ имеется по крайней
мере одна точка, инвариантная относительно X\f, кроме того, по крайней
мере одна такая, которая сохраняет свое положение относительно как Х\ /,
так и X2f, и, наконец, одна такая точка, которая допускает вообще все
преобразования X\f • • • Xrf, то есть для которой имеют место соотношения
вида
Xk %i = &k xi (fc = 1 • • • г, t = 1 • • • n).
Если выбрать переменные Xi такими, что этой инвариантной точкой будет
хг = • •. = xn_i = 0, то в каждом из г выражений
Xkf = &1 Pi + г €кп Рп
п — 1 первых коэффициентов £н • • • £fc,n-i зависят только от х\ • • • xn_i.
Следовательно, и для укороченных выражений
X^f = ^fcl Pi Н h &,n-l Pn-l
опять же выполняются соотношения
i+fc-l
{Х[Х[+к) = CiksX'3f.
3=1
Конечно, X[f - • • Xfrf больше не должны быть независимыми друг от
друга, но тем не менее мы можем применить к ним те же рассуждения, что
646
Глава 27
и к X\f • • • Xrf, потому что при этом независимость Xkf совершенно не
использовалась. Поэтому можно аналогично вышеизложенному
предположить, что переменные х\ • • • xn_i выбраны так, что • • • £к,п-2 зависят
лишь от х\ • • • хп_2. Точно так же можно тогда поступить с выражениями
Xkf = Ы Pi 4- ... 4- £fc,n-2Pn-2
и т. д.
Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 105. Если X\f • • • Xrf — независимые инфинитезимальные
преобразования r-параметрической линейной однородной группы от
переменных х\ • • • хп, и имеют место соотношения специального вида:
i+ifc-l
(XiXi+k) = ]^ CiksXsf, (i = 1 ■■■ r- l, k = 1 ... г-г),
3=1
mo всегда можно ввести такие линейные однородные функции от х\ • • - хп
в качестве новых переменных, что все Xkf одновременно примут
канонический вид4:
Q>kiiXi Pi + {a>k2i х\ + afc22 Х2)Р2 Н г- (afcni rri Н h аып^п)Рп-
С другой стороны, если вспомнить, что X\f - • • Хг/ также является
проективной группой пространства Яп-i, то мы можем сформулировать
Утверждение 4. Если X\f • • • Xrf — г-параметрическая проективная
группа пространства Rn-i со специальной структурой:
i+fc-l
(XiXi+k) = ^ksXsf,
s=l
то в Rn-i имеется по меньшей мере одна инвариантная относительно
этой группы точка Mq, через каждую инвариантную точку проходит по
меньшей мере одна инвариантная прямая М\, ..., через всякое
инвариантное плоское многообразие Мп_з проходит по меньшей мере одно
инвариантное плоское многообразие Мп_2. При известных условиях к этой
группе относится больше, даже бесконечно много подобных
последовательностей инвариантных многообразий Мо, М\ • • • Мп_2-
4Ли, Archiv for Math., том 3, стр. 110-111, теорема 3: Христиания, 1878 г.
Линейные однородные группы
647
Если мы сохраним условия последнего утверждения и, кроме того,
предположим, что в пространстве х\ : Х2 : • • • : хт уже известны
многие инвариантные плоские многообразия bAQl • • • MQq9 из которых каждое
содержится в последующем, то очевидно, что в последовательностях
инвариантных многообразий Мо, М\ • • • Мп_2, упомянутых в утверждении 4,
имеется по крайней мере одна, для которой MQl совпадает с Ме1, Мв2 —
с Ме2, ...Мвч - с MQq.
§147
Изложенные выше результаты хотя, очевидно, и носят довольно
специальный характер, но тем не менее имеют общее значение для всякой
конечной непрерывной группы, потому что для каждой из них можно задать
изоморфную линейную однородную группу, а именно соответствующую
присоединенную группу (глава 16).
В частности, мы можем использовать вышеупомянутые теории для
того, чтобы доказать, что любая группа с более чем двумя параметрами
содержит двухпараметрические подгруппы, а любая с более чем тремя —
трехпараметрические.
Пусть X\f • • • Xrf — произвольная r-параметрическая группа, а
Ekf = Y ciki6jfe~. (fc = 1 • • • r)
— соответствующая ей присоединенная группа, так что одновременно
имеют место соотношения
г г
(ХМ = Y CiksX3f, (EiEk) = Y dksEsf.
3=1 3=1
Мы утверждаем, что X\f в любом случае принадлежит одной двухпа-
раметрической группе, то есть что существует инфинитезимальное
преобразование \2X2f Л Ь XrXrf, для которого получается
г
(Хг, А2Х2 + • • • + ArXr) = gXxf + /х £ \kXkf.
к=2
Это условие представляется в виде
г г г
Y Хк c^sXsf = gXxf + /х Y *kXkf
к=2 з=1 к=2
648
Глава 27
и разбивается на п уравнений:
AfcCifci = д,
к72 (9)
^2><кС1кз = (з = 2- --г).
Здесь речь, очевидно, идет о том, чтобы выполнялись последние г — 1
уравнений; то, что это возможно, видно проще всего непосредственно, т. к.
для /х получается уравнение
Cl22 - М с132 * С\Г2
С123 С133 - /X • С\гЗ _ р
Cl2r Ci3r * Cirr — A*
которое всегда имеет корни; поэтому также существует система из Хк, не
обращающихся одновременно в нуль, удовлетворяющих условиям выше
и задающих д.
Однако тот факт, что уравнения (9) могут выполняться, является
непосредственным следствием изложенных нами выше теорий; даже если это
замечание здесь, где все обстоит достаточно просто, кажется излишним,
мы все же не хотим его пропускать, потому что в более общих случаях,
которые позже будут рассматриваться, нам без этих теорий не обойтись.
В инфинитезимальном преобразовании
г=1 fc=l г=1
присоединенной группы все Е\ не зависят от е\, так как сщ всегда равны
нулю. Тогда сокращенное линейное однородное инфинитезимальное
преобразование £2Р2 Н \-srPr от г — 1 переменных е2 • • • ег заведомо оставляет
систему е2 : • — : ег инвариантной; таким образом, уравнениям
г
сшек = crei (г = 2 • • г)
к=2
можно удовлетворить, но они совсем не отличаются от последних г — 1
уравнений (9), так как Ски = -сш-
Теперь мы можем точнее сформулировать наше утверждение выше
о том, что всякая группа с более чем двумя параметрами содержит двухпа-
раметрические подгруппы, следующим образом.
Линейные однородные группы
649
Утверждение 5. Всякое инфинитезимальное преобразование группы
с более чем двумя параметрами содержится как минимум в одной двухпа-
раметрической подгруппе5.
Теперь предположим, что X\f и X2f порождают двухпараметриче-
скую группу, то есть что имеет место соотношение вида
Мы утверждаем, что если г больше 3, также всегда имеется трехпарамет-
рическая подгруппа, в которой содержатся X\f и X2j.
Прежде всего, мы всегда можем одну из констант с\2\ и с\22
приравнять нулю (если они обе еще не равны нулю). Действительно, если,
например, с\2\ отлична от нуля, то мы введем X\f + §^^2/ в качестве нового
X\f и таким образом получим
Итак, любую двухпараметрическую группу можно привести к этому
виду.
Для того чтобы Л3Х3/ Н h \rXrf вместе с X\f и Х2/ порождала
трехпараметрическую группу, нужно, чтобы были выполнены равенства
(Хг, Л3Х3 + • • • + КХГ) = aiXi / + a2X2f + /i(A3X3/ + • • • + ArXr/),
(X2, A3X3 -f • • • + ArXr) = AXi / + 02X2f + u(X3X3f + • • • + XrXrf).
Как можно заметить, требуется доказать лишь то, что 2(г — 2)
уравнений в последней строке могут выполняться, тогда и остальные уравнения
всегда выполняются.
{XiX2) = C\2\X\f + Ci22^2/-
{Х1Х2) = C\2\X\f.
(10)
Отсюда мы получаем следующие уравнения:
5 Л и, Archiv for Math., том 1, стр. 192, Христиания, 1876 г.
650
Глава 27
Чтобы теперь решить этот вопрос, составим инфинитезимальные
преобразования
r т д f т df
Si/= £$>иек^-= 5>н^-,
i=l k—l г=1
Eif = 5252Скывкяг = 52£*яг
tifi dei U dei
находящиеся, как мы знаем, в соотношении
{ЕгЕ2) = c121Exf.
Поскольку все сщ9 c22i и с\22 • • • с\2т равны нулю, то е\ и е2 вообще не
появляются в £i3 • • • £ir, 82з - • • е2г. Поэтому укороченные выражения:
являются линейными однородными инфинитезимальными
преобразованиями от ез • • • ег и удовлетворяют соотношению
(Е\Е2) = c\2\E\f.
Отсюда, согласно вышесказанному, следует существование по меньшей
мере однойсистемы ез : • • • : ег, допускающей инфинитезимальные
преобразования E\f и E2f, для которой, стало быть, выполняются условия вида
г г
52 Сш ek = °ei, ^2 ски ек = rei (i = з • • • г).
к=3 к=3
Но именно это и требовалось доказать, так как последние уравнения суть
не что иное, как уравнения (11), о выполнении которых и шла речь. При
помощи А*, разумеется, определяются также величины ai, с*2, /?i,02.
Следовательно, поскольку мы в любом случае можем выбрать Аз • • • Аг
такими, что выполняются уравнения вида (10), мы можем сказать следующее.
Теорема 106. Всякое инфинитезимальное преобразование, а также
всякая двухпараметрическая подгруппа группы с более чем тремя
параметрами содержится по меньшей мере в одной трехпараметрической группе^.
Можно было бы предположить, что и всякая трехпараметрическая
подгруппа содержится как минимум в одной четырехпараметрической и т. д.,
6Ли, Archiv for Math., том 1, стр. 193, том 3, стр. 114-116, Христиания, 1876 и 1878 гг.
Линейные однородные группы
651
но это предположение не подтверждается. Ход нашего доказательства мог
бы лишь тогда быть продолжен, когда можно было бы всякую трехпарамет-
рическую группу Xif, Хг/, X3f привести к виду
то есть когда не только X\f инвариантно в группе Xif, X2f, но и
последняя — во всей трехпараметрической группе.
Однако для всех трехпараметрических групп со структурой
это не так (гл. 15, утверждение 12, стр. 298).
Мы хотим еще кратко остановиться на специальном случае, в котором
m-параметрическая подгруппа действительно содержится в (га +
^-параметрической.
Пусть задана г-параметрическая группа Xif---Xrf, содержащая
т-параметрическую подгруппу Xif • • • Xmf с вышеупомянутой
специальной структурой:
Мы утверждаем, что всегда существует (m-f 1)-параметрическая подгруппа
вида
Наше утверждение эквивалентно тому, что имеют место определенные
соотношения вида
(XiX2) = ci2iXif, {Х1Х3) = ci3iXif + С132Х2/,
(Х2Х3) = C23\Xif + 0232^2/,
(XiX2) = Xif, (XiX3) = 2X2f, (X2X3) = X3f
(XiXi+k) = У2 ci+k,sX3f (i <m, i + к < m).
3=1
Xif • ' • Xmf, Am+iXm+i/ H h \rXrf.
m r
(Xj, Am+iXm+i H h XrXrf) = ^2 aJkXkf + rlj ^2 ^зХ3 f
k—1 s=m+l
(j = i •••*»)•
В результате разложения получаем
(12)
^Cjis = Hj^s (J — 1 • •' га; s = m + 1, • • • r).
652
Глава 27
Таким образом, спрашивается, могут ли выполняться последние
га (г — га) уравнений; тогда первые га2 могут всегда выполняться.
Чтобы ответить на этот вопрос, построим га инфинитезимальных
преобразований:
г=1 j=l г i=l г
удовлетворяющих попарно соотношениям
(EiEi+k) = Y, Ciii+k^sEsf (i + fc^m).
Мы замечаем, что все c3^ym+\ * * * Cjkr, в которых j и к меньше га +1,
обращаются в нуль, и отсюда заключаем, что в E\f • • i£m/ все коэффициенты
£fc,m+i * • • £kr не зависят от е\ • • • ет. Поэтому укороченные
инфинитезимальные преобразования
Ekf = Y, £ki~fe. (fc = 1 • •' m)
г=га+1
в переменных em+i • • • er находятся попарно в соотношениях
(EiEk) = Y Ci,i+k,SEsf (* + fc ^ m),
и, таким образом, согласно утверждению 4, стр. 646, существует
система em+i_: • • • : ег, допускающая все инфинитезимальные преобразования
Ef • • • i£m/. Но это означает не что иное, как то, что можно удовлетворить
всем уравнениям
г
Cjfceej = аке3 {к = 1 • • • m; s = т + 1, • • • г).
j=m+l
Эти уравнения, однако, те же самые, что и найденные выше (12), и, таким
образом, все, что мы хотели показать, действительно доказано.
Теорема 107. Если в r-параметрической группе X\f • • • Xrf имеется
т-параметрическая подгруппа X\f • • • Xmf со специальной структурой
i+k-\
(XiXi+k) = Y Cij+k^Xsf (t + fc^m),
3=1
Линейные однородные группы
653
то эта т-параметрическая подгруппа всегда содержится как минимум
в одной (га + 1)-параметрической7.
§148
Мы хотим сформулированную только что теорему вывести еще при
помощи абстрактных рассуждений, интерпретируя инфинитезимальные
преобразования e\X\f Н h erXrf нашей группы как точки (г — 1)-мерного
пространства с однородными координатами е\ • • • ег (как это было сделано
в гл. 16).
Поскольку группа X\f • • • Xmf • • • Xrf изоморфна своей
присоединенной группе Eif • • • Emf • • • Erf, то Eif • • • Emf удовлетворяют при
наложенных условиях соотношениям вида
(EiEi+k) = ^2 Citi+baEaf (* + к < m)>
поэтому они порождают подгруппу, которая в пространстве
представлена (га — 1)-мерным плоским многообразием
em+i = 0, • • • ег = 0.
Это плоское многообразие, разумеется, допускает подгруппу Eif ••• Emf,
и то же самое, очевидно, справедливо для семейства всех га-мерных
плоских многообразий:
em+i _ ет+2 _ _ вг_
*т+1 ~~ *т+2 "~ "~ ег'
проходящих через многообразие em+i = 0, • • • ег = 0. Поскольку
параметры em+i : • • • : сг преобразуются линейной однородной группой,
изоморфной подгруппе Eif • • • i£m/ (гл. 23, утверждение 5, стр. 519), то
среди га-мерных многообразий нашего инвариантного семейства имеется по
крайней мере одно, остающееся инвариантным относительно подгруппы
Eif • • • Emf. Это га*мерное многообразие является образом (га +
^-параметрической подгруппы группы Xif • • • Xrf (ср. утверждение 5, стр. 319).
Только что изложенные абстрактные рассуждения, приведшие нас
снова к теореме 107, по существу, идентичны ранее изложенным
аналитическим рассуждениям. Однако синтетическое обоснование более прозрачно,
чем аналитическое.
7Ли, Archiv for Math., том 3, стр. 114-116, Христиания, 1878 г.
654
Глава 27
Вообще целесообразно при исследовании структуры групп
преобразований класть в основу интерпретацию всех инфинитезимальных
преобразований e\X\f Н VerXrf как точек пространства, преобразуемого
линейной однородной присоединенной группой. Мы хотим на примере осветить
продуктивность и простоту этого метода, который найдет широкое
применение также в третьей части книги, и в то же время вывести новое
замечательное утверждение.
Рассмотрим г-параметрическую группу Xif---Xrf,
инфинитезимальные преобразования которой связаны соотношениями вида
Тогда инфинитезимальные преобразования E\f--Erf присоединенной
группы удовлетворяют аналогичным уравнениям
Таким образом (утверждение 4, стр. 589), пространство е& содержит по
крайней мере одну инвариантную относительно присоединенной группы
точку. Через каждую такую инвариантную точку проходит как минимум
одна инвариантная прямая М\, через каждую такую М\ — по крайней мере
одна инвариантная плоскость М2 и т. д.
Если мы теперь истолкуем точки е& как инфинитезимальные
преобразования, то увидим, что наша r-параметрическая группа X\f • • • Xrf
содержит по меньшей мере одну инвариантную однопараметрическую
подгруппу; более того, что каждая инвариантная однопараметрическая
подгруппа содержится как минимум в одной инвариантной двухпараметриче-
ской подгруппе, каждая двухпараметрическая подгруппа — по крайней мере
в одной трехпараметрической и т. д.
Поэтому справедлива следующая
Теорема 108. Если r-параметрическая группа содержит г
независимых инфинитезимальных преобразований Y\f • - • Yrf, удовлетворяющих
соотношениям вида
3=1
(EiEi+k) = ^i+ktsEsf-
3=1
Линейные однородные группы
655
то она в то же время содержит г независимых инфинитезимальных
преобразований Z\f - • • Zrf, между которыми имеют место соотношения
вида
тогда Z\f• • • Zif порождают для всякого г < г {-параметрическую
подгруппу <&i, причем каждая <&i инвариантна в каждой Фг+ь а также в
самой группе Y\f - • • УГ/8.
Если оставить условия этой теоремы и предположить, кроме того, что
несколько инвариантных подгрупп, скажем Gei, Ge2 • • • G6q, из которых
каждая входит в последующую, уже известны, то становится ясно (ср.
заключительные замечания § 146), что описанные в теореме 108 подгруппы
<5i могут быть выбраны такими, что <&Ql будет совпадать с Gei, <5Q2 —
Если, с другой стороны, имеется r-параметрическая группа X\f • • • Xrf
с рассмотренной здесь специальной структурой, то всегда можно
получить некоторые инвариантные подгруппы путем дифференцирования. Все
(Xi Xk) порождают первую производную инвариантную подгруппу, скажем,
с п < г независимыми инфинитезимальными преобразованиями. Если
обозначить их, как в гл. 15, стр. 295, через X{f ••• Xrif, то все (Х[Х'к)
порождают вторую производную инвариантную подгруппу г-параметриче-
ской группы, скажем, с г2 < г\ независимыми инфинитезимальными
преобразованиями X['f • • • X"2f и т. д.
Поэтому можно привести нашу группу к такому виду U\f' • • • Uif • • • Urf,
что, во-первых, для любого г инфинитезимальные преобразования U\f ■ • • Uif
порождают инвариантную подгруппу, во-вторых, все (UiUk) можно
линейно получить из Uif • • • Urif, и, в-третьих, что все ({UiUk){UaUp)) можно
линейно получить из Uif • • • UT2f и т. д.
3=1
8 Л и, Archiv for Math., том 3, стр. 112 и 113. Христиания, 1878 г.; ср. также том IX, стр. 79-
82.
Глава 28
Подход к описанию всех конечных
непрерывных групп п-мерного
пространства
Маловероятно, что в скором времени можно будет описать все
конечные непрерывные группы преобразований; да и вообще сомнительно,
удастся ли это когда-нибудь сделать. Поэтому будет разумным вместо
общей задачи описания всех конечных непрерывных групп приступить
сначала к более специальным задачам, касающимся нахождения определенных
категорий конечных непрерывных групп. Именно таковыми являются три
следующие задачи:
Во-первых, нахождение всех г-параметрических групп от п
переменных.
Во-вторых, нахождение вообще всех г-параметрических групп.
В-третьих, нахождение всех конечных непрерывных групп от п
переменных.
В главе 22, стр. 475 и д., мы показали, что решение первой из этих
задач, помимо выполнимых операций, всякий раз требует лишь
интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того,
мы обнаружили, что вторая из наших задач сводится к первой (теор. 84,
стр. 504).
Третья же задача никоим образом не решается при помощи результатов
главы 22. Так, если п > 1, то для каждого значения г, каким бы большим
оно ни было, всегда имеются r-параметрические группы от п переменных.
Если, например, г функций F\ • • • Fr от х\ • • xn_i таковы, что между
ними нет никаких линейных соотношений вида
ciFi +... + CrFr = 0
с постоянными коэффициентами, то г инфинитезимальных преобразований
ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП
657
являются независимыми друг от друга и попарно перестановочными, а
потому порождают r-параметрическую группу от п переменных х\ • • • хп.
Таким образом, несмотря на важные результаты главы 22, третья из
вышеперечисленных задач еще ждет своего решения. Поэтому в
настоящей главе мы рассмотрим эту задачу и дадим хотя бы одно указание к ее
решению.
Задачу описания всех групп n-мерного пространства Rn мы в дальней-
тем разобьем на ряд отдельных независимых друг от друга задач. Это
достигается при помощи естественного деления всех групп пространства Rn
на классы, которые выбраны так, что группы каждого класса могут быть
определены без того, чтобы о группах остальных классов было что-либо
известно. Правда, мы не можем задать никакого общего метода, который
позволяет в каждом случае описать все группы одного класса, но все же
дадим важные утверждения о группах, относящихся к одному классу и, с
другой стороны, изложим некоторые соображения, существенно облегчающие
описание всех групп одного класса; в следующей главе это будет
объяснено при помощи специальных приложений. При этом общем рассмотрении
мы ограничиваемся в основном транзитивными группами, так как именно
для транзитивных групп наша классификация имеет особое практическое
значение.
Если мы позднее (в третьей части) при описании всех конечных
непрерывных групп от одной, двух или трех переменных будем частично
использовать результаты настоящей главы, то это имеет свои веские причины. При
описании примитивных групп пространства рассматриваемый здесь способ
несомненно целесообразен; при описании импримитивных групп это не
так, тут, скорее, рекомендуется пойти другим путем. Всякая импримитив-
ная группа пространства Rn разбивает это пространство на инвариантное
семейство многообразий и преобразует многообразия этого семейства при
помощи изоморфной группы с менее чем п переменными. Отсюда следует,
что будет правильным только тогда рассматривать описание всех
импримитивных групп, когда уже известны все группы от менее чем п
переменных. Согласно этому принципу мы и будем в части III проводить описание
всех импримитивных групп пространства R2 и некоторых групп
пространства Яз.
§149
Пусть
i=l
*n)^ (fc = l
r)
658
Глава 28
— совершенно произвольная r-параметрическая группа n-мерного
пространства х\ • • • хп, или кратко — пространства Rn.
Согласно введению к главе 25, стр. 572 и далее, мы продолжаем эту
группу, рассматривая х\ • • • хп как функции некоторой вспомогательной
переменной t, которая относительно нашей группы вообще не
преобразуется, и учитывая, что производные = х\ преобразуются под действием
этой группы. Таким образом, мы получим продолженную группу от 2п
переменных х\ • • • хп, х[ • • • х'п:
г=1 г г=1 \ь>=\
Она, как мы знаем, задает, каким образом oo2n_1 линейных элементов
х\ • • • хп, х[ : х'2 : • • • : х'п пространства х\ • • • хп переставляются между
собой группой X\f • • • Xrf (ср. стр. 575).
Всякая точка х\ • • • хп общего положения остается при
совершенно определенном числе независимых инфинитезимальных преобразований
£\X\f + • • • + erXrf инвариантной, а именно: минимум при г — п и
максимум при г — 1. Обозначим число этих независимых инфинитезимальных
преобразований через г — q и предположим, что X®f • • • X^_qf — такие
независимые инфинитезимальные преобразования; тогда они обязательно
порождают (г — ^)-параметрическую подгруппу группы X\f • • • Xrf (ср.
гл. 12, стр. 228 и д.)
В разложениях в ряд от X^f • - • X®_qf по степеням хг —х?, разумеется,
отсутствуют все члены нулевого порядка, а имеются лишь члены первого
порядка и выше:
2/-Е{Еаи,(«?-«»)-(«*-»?) + -}^- <* = 1-г-,).
l=\ L г=1 ) V
Группа X\f - • • X^_qf оставляет точку х? • • • хп инвариантной, но
переставляет между собой линейные элементы, проходящие через эту точку;
как это происходит, показывает соответствующая продолженная группа:
п ( п
подход к описанию всех конечных непрерывных групп
659
преобразующая ос линейных элементов пространства х\ • • • хп точно
так же, как группа X®f • • • X®_qf. Поэтому если мы хотим ограничиться
линейными элементами, проходящими через точку х? • • • х£, а остальные
не принимать во внимание, то согласно введению к главе 14, стр. 258 и
далее, необходимо опустить все члены с производными от / по х\ • • • хп,
а в оставшихся членах произвести подстановку х\ = х?, • • • хп = х„.
Полученные таким образом укороченные инфинитезимальные преобразования
п f)f
Lkf=J2akiA4---x°n)-x'iQxT (fc = i-r-g) (1)
порождают линейную однородную группу от п переменных х[ • • • х'п\
эта группа, изоморфная группе X1f---Xr_qf и, конечно же, группе
X^f • • • X®_qf, задает, каким образом обе вышеназванные группы
преобразуют оо71-1 линейных элементов х\ : х'2 : • • • : х'п, проходящих через
точку х\ • • • х°.
Линейная однородная группа L\f---Lr-qf, очевидно, полностью
определена членами первого порядка в разложениях X®f • • • X®_qf в ряд,
следовательно, она содержит столько же существенных параметров,
сколько группа X®f • • • X®_qf — независимых инфинитезимальных
преобразований первого порядка, из которых нельзя линейно получить ни одного
преобразования второго или более высокого порядка. Отсюда следует, что
можно выписать группу L\f • • • Lr-qf, если известно, сколько независимых
инфинитезимальных преобразований первого порядка, из которых нельзя
линейно получить ни одного преобразования второго или более высокого
порядка, содержит группа X\f • • • Xrf в окрестности х? • • х^, и, кроме
того, известны члены первого порядка в разложениях в ряд этих
инфинитезимальных преобразований. И наоборот, если известна группа L\f • • • Lrf,
то можно указать число членов первого порядка (и сами члены) тех
независимых инфинитезимальных преобразований группы X\f • • • Xrf, из
которых нельзя линейно получить ни одного преобразования второго или более
высокого порядка по Х\ — х?.
Линейную однородную группу L\f • • • Lr-qf можно также получить
следующим образом.
Поскольку речь идет о том, каким образом преобразуются направления в
фиксированной точке Xi • • • хп, то группу Xif • • • X^-qf можно заменить следующей:
660
Глава 28
которая получается путем исключения всех членов второго и более высокого
порядка. Здесь можно непосредственно трактовать х\ — х?, • • • хп -х„ как однородные
координаты линейных элементов, проходящих через точку х? • • • х„, то есть группа
У2 OLkiv(xi ••■1°)' fa - х^) д^ (к = 1 • г - q)
задает, как эти линейные элементы преобразуются. Это соответствует
вышесказанному.
Мы видели, что r-параметрическая группа X\f • • • Xrf каждой точ-
ке • • • хп общего положения ставит в соответствие совершенно
определенную линейную однородную группу (1), которая, однако, для различных
точек в общем случае будет разной. Теперь исследуем, как ведет себя эта
линейная однородная группа при введении новых переменных.
Вместо xi • • • хп введем новые переменные:
п
Vi = Vi + *52aiAxv - а£) + • ■ ■ (t = l ■ ■ • n), (2)
являющиеся обычными степенными рядами от xi — х?, • • • хп — хп,
предполагая, как всегда, при этом, что определитель
]Р±ац ••• апп
отличен от нуля, с тем чтобы и, наоборот, х* были обычными степенными
рядами от 2/i - у?, • * * Уп - Уп-
Пусть Xkf принимает в у\ • • • уп следующий вид:
п°/ = е[е^-^-у^+-]§^ (^=1 •--„).
Тогда, прежде всего, ясно, что группа, полученная из X\f • • • Xrf в
реках уг
руппу
Л*/-£/^|т (* = 1-г-*). (1')
Но, с другой стороны (ср. гл. 11, стр. 218 и д.), ясно, что члены первого
порядка
зультате введения новых переменных у\ • • • уп, ставит в соответствие точке
У\ ••• Уп линейную однородную группу:
ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП
661
для Y£f получаются из членов первого порядка
f>fcil/(*i-z°)|£
для X%f в результате введения новых переменных
п
Уг =У? + Y1 а™(Х» ~Xl) (i = 1 •' * п).
Таким образом, видно, что линейная однородная группа (1/) получается из
линейной однородной группы (1), если ввести в (1) с помощью линейного
однородного преобразования
новые переменные у[ • • • у'п вместо х'.
Это значит, что линейная однородная группа (1), по существу, не
зависит от аналитического представления группы X\f • • • Xrf, то есть от
выбора переменных; так как если в силу преобразования (2) ввести в группу
X\f - — Xrf новые переменные, то эта линейная однородная группа
превращается в другую линейную однородную группу (1'), равноправную с (1)
внутри общей линейной однородной группы (ср. гл. 16, стр. 310). Путем
подходящего выбора констант агг, в преобразовании (2) можно, очевидно,
достичь того, что группой (1'), соответствующей точке у®, будет любая
группа, равноправная с (1).
В частности, предположим, что преобразование (2) само принадлежит
группе Xif - - - Xrf. В этом случае (1') — очевидно, такая линейная
однородная группа, которую группа X\f - Xrf сопоставляет точке у? • • • у®,
следовательно, (1') получается из (1), если в a,kiv(x\ • • • хп) заменить х°
на у0. Но поскольку обе группы, (1) и (1') равноправны внутри общей
линейной однородной группы пространства Rn, то мы имеем следующую
теорему.
Теорема 109, Всякая г-параметрическая группа Xif • • • Xrf
пространства xi • • • хп ставит в соответствие каждой точке х\ • • • хп
общего положения совершенно определенную однородную группу
пространства Rn, которая указывает, каким образом преобразуются линейные
элементы, проходящие через эту точку, при условии, что она остается
п
662
Глава 28
неподвижной. Тем точкам, которые в результате преобразований группы
X\f • • • Xrf могут переходить одна в другую, отвечают линейные
однородные группы, равноправные внутри общей линейной однородной группы
пространства Rn. В частности, если группа Xif • • • Xrf транзитивна,
то всем точкам, не лежащим ни на каких инвариантных многообразиях,
она ставит в соответствие такие линейные однородные группы,
которые внутри общей линейной однородной группы являются равноправными
между собой.
Итак, изложенная выше теорема, обобщающая важнейшие из
полученных до сих пор результатов, дает классификацию1 всех групп
пространства Rn, о которой шла речь во введении.
Рассмотрим сначала транзитивные группы.
Две транзитивные группы пространства Rn, G и Г, мы относим к
одному классу, если линейная однородная группа, ставящая G в соответствие
какой-либо точке общего положения, равноправна с такой линейной
однородной группой, которую Г ставит в соответствие какой-либо из таких
точек. В противном случае мы относим G и Г к различным классам.
В соответствии с этим мы различаем столько же классов транзитивных
групп пространства Rn, сколько имеется типов подгрупп общей линейной
однородной группы пространства Rn (ср. стр. 311). Позже мы увидим, что
в каждый такой класс входит по крайней мере одна транзитивная группа
пространства Rn.
Если две транзитивные группы G и Г пространства х\ • • • хп
принадлежат одному и тому же классу, то они, очевидно, содержат в окрестности
любой точки х\ • • • хп общего положения одинаковое число независимых
инфинитезимальных преобразований первого порядка по — из
которых нельзя линейно получить ни одного преобразования второго или более
высокого порядка. Кстати, поскольку всегда можно за счет введения новых
переменных так изменить вид Г, что она будет ставить в соответствие точке
Xi • • • хп ту же самую линейную однородную группу, что и G, то всякий
раз можно добиться того, чтобы члены первого порядка в
соответствующих инфинитезимальных преобразованиях для обеих групп были одни и те
же. Кроме того, G и Г, так как они транзитивны, содержат в окрестности
х\ • • - хп по п независимых инфинитезимальных преобразований нулевого
порядка каждая, из которых нельзя линейно получить ни одного
преобразования первого или более высокого порядка; зато числа и начальные члены
инфинитезимальных преобразований второго, третьего • • • порядка вполне
могут быть для Г другими, чем для G. Это означает, что две транзитив-
]Под классификацией понимается разбиение на классы. — Прим. ред.
ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП
663
ные группы пространства х\ • • • хп, принадлежащие одному и тому же
классу, отнюдь не требуют одинакового числа параметров.
Обратимся теперь к интранзитивным группам.
Каждой транзитивной группе пространства Rn соответствует совершенно
определенный тип линейных однородных групп пространства Rn, для
интранзитивных групп это в общем случае не так. Всякая и транзитивная группа G
пространства Rn разбивает это пространство на семейство из oon~q (0 < q < п)
отдельных инвариантных q-мерных многообразий Mq, но так, что она транзитив-
но преобразует точки каждого отдельного из этих многообразий Мч (ср. гл. 13,
стр. 240). Отсюда следует, что Gp всем точкам одного и того же Мя всегда
ставит в соответствие равноправные линейные однородные группы, но не обязательно
точкам различных Mq.
Наши ооп~ч Mq в общем случае упорядочиваются в такие непрерывные
семейства, что только таким точкам, которые принадлежат многообразиям Mq одного
и того же семейства, ставятся в соответствие равноправные линейные однородные
группы. Если такое семейство состоит ровно из oom Мя, то все пространство Rn
разбивается на oon~q~rn (q+m)-мерных многообразий Mg+m, и каждому Mg+m
соответствует совершенно определенный тип линейных однородных групп, в то время
как различным Mq+m также ставятся в соответствие различные типы. Так, нашей
группе G соответствует семейство из ооп~я~гп различных типов; совокупность всех
этих типов может, конечно, быть представлена определенными аналитическими
выражениями с п — q — rn существенными произвольными параметрами. Мы можем
это сформулировать еще и так: все такие подобные типы относятся к одной и той
же категории типов2 (ср. гл. 22, стр. 494 выше).
Две нетранзитивные группы мы причисляем к одному и тому же классу, если
если им обеим соответствует одна и та же категория типов линейных однородных
групп пространства Rn.
§150
Описанную выше классификацию всех групп пространства Rn мы
можем использовать для того, чтобы дать подход к описанию этих групп. Но
это мы сделаем только для транзитивных групп.
Предположим, что переменные х\ • • • хп выбраны так, что начало
координат х\ = 0, • • • хп = 0 является точкой общего положения, тогда
всякая транзитивная группа пространства Rn содержит в окрестности начала
координат п независимых инфинитезимальных преобразований нулевого
порядка по х^.
Т(о) df
Ли использует термин Typengattung. — Прим. ред.
664
Глава 28
из которых нельзя линейно получить никаких преобразований первого или
более высокого порядка.
Далее, всякая транзитивная группа пространства Rn содержит в
общем случае также некоторые инфинитезимальные преобразования первого
порядка по xi; какие — зависит, согласно вышесказанному, от того класса,
которому она принадлежит. А поскольку к каждому типу линейных
однородных групп пространства Rn относится совершенно определенный класс
транзитивных групп этого пространства, то мы выберем один такой тип
и ограничимся рассмотрением тех транзитивных групп, которые
принадлежат соответствующему классу.
Пусть mi-параметрическая группа
является представителем выбранного типа линейных однородных групп.
Тогда, согласно сказанному ранее, всякая транзитивная группа
пространства Rn, относящаяся к этому классу, путем подходящего выбора
переменных х\ • • • хп может быть приведена к такому виду, что будет содержать
в окрестности х\ = 0, • • • хп = О следующие т\ независимых
инфинитезимальных преобразований первого порядка:
Эти т\ инфинитезимальных преобразований Tj ; таковы, что из них
нельзя линейно получить ни одного преобразования второго или более высокого
порядка, а, с другой стороны, для всякого инфинитезимального
преобразования первого порядка этой группы члены первого порядка можно линейно
получить из членов первого порядка преобразований т[ ^ • • • Тт}.
Кстати, мы видим уже теперь, что в любом случае имеется минимум
одна транзитивная группа, принадлежащая выбранному нами классу; одну
такую группу можно сразу задать, а именно (п + га i) -параметрическую:
(3)
п ( п
и=1 (i=l
схци Н ) д— (j = 1 •••mi).
EL
П
она получается в результате отбрасывания всех членов первого порядка
преобразований Pi и, соответственно, членов второго порядка и выше
преобразований TJ1 \
подход к описанию всех конечных непрерывных групп 665
Помимо уже перечисленных инфинитезимальных преобразований
нулевого и первого порядка, всякая группа, принадлежащая нашему классу,
может содержать в окрестности х\ = О, • • • хп = О еще некоторое
число независимых инфинитезимальных преобразований второго порядка, из
которых нельзя линейно получить никаких преобразований третьего и
более высокого порядка, кроме того, она может содержать некоторое число
независимых инфинитезимальных преобразований третьего, четвертого ...
порядка; однако согласно теор. 29, стр. 215, всегда имеется некоторое
присущее этой группе целое число s ^ 1, такое, что эта группа содержит
инфинитезимальные преобразования второго, третьего, • • • 5-го порядка, но не
содержит ни одного преобразования (s+l)-ro или более высокого порядка3.
Отсюда следует, что совокупность всех групп нашего класса разбивается на
ряд подклассов: каждому значению s соответствует один подкласс.
Поскольку имеется бесконечно много чисел s ^ 1, то число
определенных только что подклассов бесконечно велико, но на самом деле вовсе не
обязательно, чтобы каждый подкласс был представлен группами. Мы
покажем, как для каждого отдельного значения s можно выяснить, принадлежат
ли хоть какие-то группы соответствующему подклассу; при этом речь идет,
по существу, лишь о тех числах s, которые больше 1, так как о том, что
подкласс 5 = 1 содержит группы, мы уже знаем.
Пусть 5о ^ 1 — произвольно выбранное, но определенное целое
число; мы спрашиваем, имеются ли в нашем классе группы, принадлежащие
подклассу s = so-
Ели такие группы имеются, то пусть, например, G будет одной из них.
Тогда если для к = О,1,2 • • • so из инфинитезимальных преобразований
к-го порядка группы G отбросить все члены (к + 1)-го и более высокого
порядка, то мы, очевидно, получим независимые инфинитезимальные
преобразования, порождающие некоторую группу Г, а именно группу,
принадлежащую, как и G, подклассу s = so.
Отсюда следует, что подкласс s = so, если он вообще содержит
группы, содержит минимум одну группу Г со следующим особым свойством: Г
порождена п+т\ инфинитезимальными преобразованиями нулевого и
первого порядка:
и, кроме того, гаг независимыми инфинитезимальными преобразованиями
второго, гпз независимыми третьего, • • • т3о независимыми so-ro порядка;
3То число, которое в теореме 29 мы обозначали через s, мы теперь называем s +1!
666
Глава 28
общий вид этих преобразований таков:
i/=l
(fc = 2,3-- 50; гк = 1,2-. тк),
где — целые однородные функции k-го порядка своих аргументов. В то
же время получается, что всякой группе G, принадлежащей подклассу 5 =
= 5о, ставится в соответствие совершенно определенная группа Г с
вышеописанным свойством.
При помощи выполнимых операций можно решить, существует ли
группа Г, обладающая вышеописанным свойством, и даже задать все
имеющиеся группы Г.
Действительно, число всех возможных систем гаг, газ, • • • т3о прежде
всего конечно. Если такая система далее выбрана, то всегда можно при
помощи алгебраических операций самым общим образом задать Л V
4- т3о инфинитезимальных преобразований
(* = 2,3...e0; tfc = l,2,...mfc),
вместе с Tf\ порождающих (п -Ь rai -I- • • • + га3о)-параметрическую
группу. Для этого лишь требуется так задать самым общим образом
неизвестные коэффициенты в функциях чтобы всякое преобразование
{ТЮТЫ) (fe,M = o,i...So)
получалось линейно из
если к -Ь р — 1 ^ 5о, и обращалось в нуль тождественно, если к + р —
— 1 > 5о- Ясно, что при этом для неизвестных коэффициентов получаются
только алгебраические уравнения.
Выше было показано, что для каждого отдельного целого числа 5о > 1
при помощи выполнимых операций можно установить, есть ли в нашем
классе группы, принадлежащие подклассу s = so. Но мы не
располагаем общим методом, обеспечивающим то же самое сразу для всех целых
чисел 5 > 1. Лишь в специальных случаях, учитывая особое свойство
линейной однородной группы (3), нам удается выяснить, сколько и какие из
подход к описанию всех конечных непрерывных групп
667
бесконечно многих подклассов представлены группами. При этом бывает,
что для числа s существует максимум; то есть что только такие
подклассы, число которых не превышает определенного максимума, действительно
содержат группы (ср. главу 29); однако и для существования такого
максимума мы не имеем общего критерия. Тем не менее мы думаем, что такие
критерии можно получить.
Вследствие этого мы ограничимся тем, что рассмотрим, как могут
быть найдены все группы нашего класса, содержащиеся в определенном
подклассе, например в следующем: s = so ^ 1-
Согласно стр. 665 всякой группе подкласса s = so соответствует
совершенно определенная группа Г того же подкласса с
инфинитезимальными преобразованиями, имеющими особый, описанный там вид. Тогда,
поскольку, как мы знаем, все подобные группы Г, принадлежащие подклассу
s = so, могут быть заданы при помощи выполнимых операций, нам
необходимо еще лишь показать, каким образом находятся эти группы подкласса
s = so, к которым относится некоторая группа, произвольно выбранная из
таких групп Г.
Пусть
т(0) _ df_ T(i)
* " дхг j
К i/=l
(г = 1 • • • n; j = \-—mi\ = 1 • • • ш^; = 2 • • • so)
— n + mi + • • • + mSQ независимых инфинитезимальных преобразований
какой-либо из упомянутых групп Г, и пусть структура этой группы задана
соотношениями
(TffTj?)" £ <WT(*+«-» (5)
7Г = 1
(fc,M = 0,1— s0; ik = l-mk; jM = 1 • • • m^; m0 = n),
в которых с в правой части рассматриваются как известные и, в частности,
обращаются в нуль, если к + /i — 1 превышает число so-
Всякая относящаяся к подклассу s = so группа (5,
соответствующая группе (4), содержит п + mi + • • • + mSo параметров и порождена
таким же количеством независимых инфинитезимальных преобразований;
1/,7Г = 1
" Xn)
7Г=1
EL
дху
(4)
668
Глава 28
это преобразования
т(0) _ df _ А {к) df
Ti ~дх~ + '^ Т'* -^>^Xl'''Xn>'dxZ + -'' (6)
(г = 1 • • • n; ifc = 1 • ■ • тпк; к = 1 • • • so),
где опущенные члены везде имеют порядок выше, чем записанные. Таким
образом, речь идет не о чем другом, как о нахождении всех групп,
инфинитезимальные преобразования которых имеют вид (6).
Структура группы с инфинитезимальными преобразованиями (6),
очевидно, представлена соотношениями вида
во тт * (7)
т = к+1Л 7ГГ = 1
(fe>M = 0,l,---50; tfc = l---mfc; jm = 1 ■ • m^x m0 = n).
Здесь С — определенные константы, удовлетворяющие известным
соотношениям, полученным из тождества Якоби (ср. гл. 9, стр. 188 и д.).
Предположим, что соответствующие соотношения между С заданы,
и вычислена общая система С, им удовлетворяющая. Поскольку все
соотношения являются алгебраическими, то это вычисление требует лишь
выполнимых операций. Вид соотношений (7) может быть упрощен,
например, за счет того, что всякое инфинитезимальное преобразование к-го
порядка заменяется другим преобразованием к-го порядка:
So 771-г
£(*) = ^) + ££ р^гИ, (8)
7ГГ = 1
где под Р понимаются какие-либо численные величины. Так, если вместо
Т ввести % то вместо (7) получатся соотношения вида
T = fc+/X 7ГТ = 1
подход к описанию всех конечных непрерывных групп
669
где между £ и С имеет место легко задаваемая взаимосвязь. Можно сделать
так, что коэффициенты Р, являющиеся совершенно произвольными,
принимают по возможности простые числовые значения; тем самым достигается
некоторое упрощение.
Если в уравнении (8) все Р выбраны фиксированными, то мы иногда
будем говорить, что инфинитезимальное преобразование /с-го порядка
полностью нормировано.
Если известны все системы С, удовлетворяющие вышеупомянутым
соотношениям, то одновременно известны и все структуры, которые может
иметь группа вида (6). Спрашивается еще лишь, для всякой ли
определенной таким образом структуры существуют группы вида (6), имеющие
соответствующую структуру, и как эти группы могут быть найдены, если
они существуют.
Итак, предположим, что в уравнениях (7) С — система значений,
удовлетворяющих некоторым соотношениям, так что уравнения (7)
представляют возможную структуру (п + mi Н Ь mSo)- параметрических групп
(ср. стр. 297).
Прежде всего, легко видеть, что если группы вида (6), имеющие
структуру (7), вообще существуют, то все они подобны между собой и
относятся к одному и тому же типу транзитивных групп пространства х\ • • • хп
(гл. 22, стр. 479).
Действительно, если у нас есть две группы, (5 и <5', обе имеющие
вид (6) и структуру (7), то эти группы, благодаря выбору их
инфинитезимальных преобразований, очевидно, так связаны между собой
голоэдрическим изоморфизмом, что наибольшая подгруппа в (5, оставляющая точку
х\ — О, • • • хп = 0 инвариантной, соответствует наибольшей подгруппе
в &, фиксирующей эту точку. А поскольку точка х\ = О, • • • хп = О при
наложенных условиях является точкой общего положения, то обе эти
транзитивные группы, (5 и <5', согласно теореме 76, стр. 470, подобны между
собой. Это и требовалось доказать.
Далее мы покажем, что всегда существуют группы вида (6) со
структурой (7).
Прежде всего в пространстве Rn размерности N = п + т\-\ Ь mSo
зададим просто транзитивную группу
Wif, W%]f (i = i...n; fc = i..-*o; ifc = i •••**) (9)
со структурой (7); согласно гл. 22, стр. 475-477, это всегда возможно, и
максимум, что для этого требуется, — интегрирование обыкновенных
дифференциальных уравнений. Затем выберем многообразие Ш пространства Rn,
670
Глава 28
допускающее (N — п)-параметрическую подгруппу
W^f (fc = i...eo; ik = l---mk) (10)
группы (9), но не допускающее никакой большей подгруппы; этим
свойством обладает всякое характеристическое многообразие (стр. 112)
(N — п)-параметрической полной системы
w£)f = 0 (fc = i...eo; ik = i~-mh).
Под действием ooN преобразований группы (9) ЯП принимает ровно ооп
различных положений, совокупность которых образует инвариантное
семейство. Если характеризовать отдельные многообразия этого семейства
при помощи п переменных х\ ••• хП9 то получим транзитивную группу
от х\ • • • хп:
*i0)/, (i = l •n;fc = l.-.S0;ifc = l---mfc), (И)
указывающую, каким образом многообразия нашего инвариантного
семейства переставляются между собой группой (9). Эта новая группа
изоморфна группе (9), так что имеют место соотношения вида
(4k) Xj?) = £ «W Xik+»-»f + ££ <W*i?/ (7")
7г=1 Л+/17гГ=1
(fc,/Lt = 0,1, • • • so; ifc = l- mfc; jAt = l--mAt; mo =n)
(ср. теорему 85, стр. 531).
Можно легко доказать, что инфинитезимальные преобразования
группы (11) при подходящем выборе переменных х\ • • • хп принимают вид (6).
Чтобы провести соответствующее доказательство, мы прежде всего
предположим, что переменные х\ • • • хп выбраны такими, что 9Л получает
координаты х = 0, • • • хп = 0. Тогда все инфинитезимальные
преобразования
(к)
Xik}f (fc = l---s0; tfc = l---mfc),
очевидно, будут по хи иметь порядок 1 и выше, a X^f • • • X„f — будут
независимыми инфинитезимальными преобразованиями нулевого порядка, из
которых нельзя линейно получить ни одного преобразования первого и
более высокого порядка; последнее следует из транзитивности группы (11).
Таким образом, ясно, что мы, не нарушая только что наложенного нами
подход к описанию всех конечных непрерывных групп
671
условия, можем выбрать переменные х\ • • • хп такими, что X®f • • • X%f
будут иметь вид
После этих приготовлений мы сначала найдем начальные члены в
разложениях в ряд mi инфинитезимальных преобразований X^f.
Мы имеем
^1)/ = Ec?(x1---xn)g- + ... o = i.-п),
i/=i и
где под СУ"* понимаем линейные однородные функции своих аргументов.
Подставляя это выражение в п соотношений:
П So ТПт
(W) = Е**x<?>f+ЕЕc*rr(i=1 •••»),
7Г = 1 Т = 1 7ГТ = 1
и сравнивая в обеих частях члены нулевого порядка, получаем
Aj^^L,^^ (г = 1 n),
1/=1 7Г=1
то есть все производные первого порядка от Сф) полностью определены,
а также — в силу известного уравнения
П
^-Хг дхг
г=1
— и сами Но поскольку очевидно, удовлетворяет всем
дифференциальным уравнениям, которые мы только что нашли, то получается
V = следовательно
Таким же образом мы в общем случае находим
672
Глава 28
другими словами, мы обнаруживаем, что инфинитезимальные
преобразования группы (11) имеют вид (6). Это, очевидно, означает, что N
инфинитезимальных преобразований (11) независимы друг от друга, то есть,
что группа (11) является iV-параметрической и равносоставленной с
группой (9).
Так как группа (11), как мы только что видели, является TV-параметрической,
то группа
W^f, W™f (» = 1-..п; * = 1...в0; ik = l-mk) (9)
не содержат никакой инвариантной подгруппы, принадлежащей группе
W%}f (* = 1...в0; »* = 1 ■■■*!*) (10)
(теорема 85, стр. 531). Но можно, однако, непосредственно увидеть, что такой
инвариантной подгруппы группы (9) не существует; таким образом, с учетом
теоремы 85 получается новое доказательство того, что группа (11) имеет N
существенных параметров.
Всякая инвариантная подгруппа д группы (9), принадлежащая группе (10),
очевидно, содержит инфинитезимальное преобразование
т=1 fc=p+lrfc=l
в котором не все тр величин дг обращаются в нуль. Одновременно с 2U/ в д входят
также п инфинитезимальных преобразований
(И?2П) ... (W°2U);
поэтому, как видно из структуры (7) группы (9), в g обязательно имеется
преобразование вида
mp_i s0 гпк
20'/ = Е </rW<*-» + £ £
T = l fc=pTfc = l
в котором не все mp_i величин д'т равны нулю. Итак, в конце концов мы видим, что
0 должна содержать инфинитезимальное преобразование, не принадлежащее
группе (10); однако это противоречит условию, что q должна содержаться в группе (10),
следовательно, не существует ни одной группы q с предполагаемым свойством.
Полученные до сих пор результаты дают следующую теорему:
Теорема НО.4 Пусть в переменных Х\ • • • хп задана транзитивная
группа, содержащая в окрестности точки общего положения Х\ = 0, • • •
4Ли, Archiv for Math., том X, стр. 381-389, 1885 г.
ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП
673
хп = 0 следующие инфинитезимальные преобразования: во-первых, п
независимых преобразований нулевого порядка вида
т(0) df_ (0) _ df_
1 дхгг" 'п дхп'
во-вторых, для k = 1,2 • • • 5 по rrik > 0 независимых преобразований к-го
порядка вида
п
где означают целые однородные функции к-го порядка. Пусть
структура этой группы задана соотношениями
7Г=1
= 0,1, • s; tfc = 1 • • • mfc; jM = 1 • mM;m0 = n),
где все с в правой части обращаются в нуль, если к + р — 1 больше s.
Тогда все (гс + mi • • • + т^-параметрические группы пространства
Х\ • • • хп, инфинитезимальные преобразования которых в окрестности
х\ = 0, • • • хп = 0 имеют вид
^(0) = 1£ + -' ^) = ЕС(-1---^)-£ + --- (в)
(г = 1 • • • п; /с = 1 • • • 5; г* = 1 • • • т^),
находятся следующим образом.
В уравнениях
7Г = 1
в ТПт
У У с т(г)
^ Т = к+1л 7ГХ=1
= 0,1,-■ • s; ifc = l -га*; ^ = 1 - m^; mo = n)
самым общим образом зададим константы С так, чтобы соотношения,
следующие из тождества Якоби, выполнялись. Когда это сделано, то
уравнения (7) будут представлять все структуры, которые могут иметь
искомые группы. Каждой отдельной из этих структур соответствуют группы
вида (6), которые все подобны между собой и могут всегда быть найдены
при помощи интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
(7)
674
Глава 28
§151
Задачу описания всех транзитивных групп пространства Rn мы
в предыдущих параграфах сводили к следующим четырем задачам:
21. Найти все типы линейных однородных групп от п переменных.
Если эта задача решена, то в окрестности любой точки общего
положения будут известны возможные виды начальных членов во всех
преобразованиях первого порядка, которые могут встретиться в транзитивной группе
пространства Rn.
55. В окрестности точки общего положения заданы начальные члены
инфинитезимальных преобразований первого порядка транзитивной
группы пространства R^; требуется найти возможные виды начальных
членов в инфинитезимальных преобразованиях второго и более высокого
порядка.
<£. Найти все структуры, которые может иметь транзитивная
группа пространства Rn, содержащая в окрестности точки общего
положения некоторые инфинитезимальные преобразования первого, второго • • •
s-го порядка с заданными начальными членами, но не содержащая
преобразований (s + 1)-го или более высокого порядка.
©. Задана одна из искомых в предыдущих задачах структур.
Требуется получить транзитивную группу, которая имеет эту структуру и
инфинитезимальные преобразования которой первого • • • s-го порядка имеют
вид, заданный в предыдущих задачах.
Если нам известна одна группа со свойством, требуемым в последней
задаче, то известны и все остальные, поскольку согласно теореме 110 они
подобны между собой.
Решение первой из этих четырех задач требует лишь выполнимых,
точнее говоря, лишь алгебраических операций (ср. гл. 12, стр. 233, и гл. 23,
стр. 542 и д.). Однако свести задачу 5$ к конечному числу выполнимых
операций нам не удалось. Задача <£ опять же требует лишь алгебраических
операций. И наконец, задача ©, как мы показали в предыдущем параграфе,
может быть решена при помощи интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Теперь мы хотим подробнее рассмотреть специальный случай,
допускающий своеобразное упрощение.
Пусть (n + mi Н h га5)-параметрическая группа
(г = 1 • • n; fc = l-s; ik = 1 • • • тп^),
ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВСЕХ КОНЕЧНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП
675
которую мы полагали заданной в теореме ПО, стр. 672, среди своих
инфинитезимальных преобразований первого порядка
eiTi1) + - + emiT^1
содержит, в частности, одно следующего вида:
df df
Xldx~^'" + Xndx~^'
а именно: пусть, например, Тп\\ имеет такой вид. Мы покажем, что при
этом условии можно всегда описать все (n+rai Н \-ms)-параметрические
транзитивные группы пространства, инфинитезимальные преобразования
которого в окрестности точки общего положения х\ = 0, • • • хп = 0 имеют
вид
7f} = e- + -, T^ = ±^(Xl...Xn).§f + ... (120
(t = 1 • • • п; к = 1 • • • s; ik = 1 • • • га*;).
Вместо п
T(i)_ V* -^- + ...
запишем U, обозначение, которое мы и позднее будем порой применять.
Прежде всего, ясно, что между U и инфинитезимальными
преобразованиями 5-го порядка группы вида (12') имеют место следующие
соотношения:
(T^U) = (l-s)T^ Or=l.-me).
Подобным образом между U и инфинитезимальными преобразованиями
(5 — 1)-го порядка имеют место соотношения вида
(T^U) = (2 - «)lf _1) + £ KJ7rT^ 0 = l • • • m._i),
7Г = 1
где К — неизвестные константы. Чтобы упростить эти соотношения,
положим (ср. стр. 668)
7Г=1
и получим
(Ъ^ U) = (2- s)t5s-1} + £ + (1 - a - 2 + в)Р^)^,
7Г=1
676
Глава 28
то есть если выбрать Р подходящим образом, то
(T5s-1)C/) = (2-S)T$s-1) О = !...«,.-,).
Тем самым инфинитезимальные преобразования (s — 2)-го порядка
группы (12х) являются нормированными.
Точно так же мы можем нормировать преобразования (s — 2)-го
порядка, положив
т„-\ гпв
^-2) = Tis-2) + £ р + £ р,;г(в)
7Г=1 7Г=1
и имея в своем распоряжении подходящие Р' и Р"; следовательно
(1^-2)U) = (3 - «)£<-а) 0 = 1... m._a).
Продолжая таким образом, если везде опять заменить Т на Т, мы наконец
получаем
(Т%)и) = (1-к)т£) (* = 0,1.-.в; tfc = l..-mfc; m0 = п). (13)
Итак, все инфинитезимальные преобразования нулевого и от первого до
s-го порядка нормированы, за исключением самого U.
Теперь вспомним, что согласно структуре группы (12') между Т имеют
место соотношения вида
(2£>з£>)= «и^я***-1 + £ E<wT7£> (14)
7Г=1 T=k+y, 7ГТ = 1
(к,ц = 0,1,- • s; ifc = 1 ••• mfc; jM = l---mM; mo = n),
в которых с везде обращаются в нуль, коль скоро к + р — 1 > s. Для того
чтобы задать здесь неизвестные константы С, составим тождество Якоби:
((2£>2£>)Р) + ((Г^^)Г«) + ((trrW)^) =0,
принимающее, очевидно, в силу (13) следующий вид:
((Т^)и) = (2-к-Й)(Т^).
Подставляя здесь выражение (14) и снова используя уравнения (13),
получаем
£ W2-^-M)Tifc+"-1)+ Е £<Wr(i-t)T£> =
7Г=1 T = fc+/i 7ГТ = 1
= (2-^-м)(^)^))
подход к описанию всех конечных непрерывных групп
677
или, поскольку Т являются независимыми инфинитезимальными
преобразованиями,
Отсюда следует, что все С обращаются в нуль.
Согласно этому при наложенном условии все группы вида (12х)
имеют ту же структуру, что и группа (12), таким образом, все они согласно
теореме 110, стр. 672, подобны между собой и группе (12).
Следовательно, мы можем сказать следующее.
Теорема 111. Если транзитивная (п+гаН \-т^-параметрическая
группа от переменных Х\ • • • хп в окрестности точки общего положения
Х\ = 0, • • • хп = 0 содержит, помимо п независимых инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка от х:
Ti = §x- + '-' (* = l ■••*),
еще по rrik независимых инфинитезимальных преобразований к-го порядка
для каждого к = 1,2 • • • s, из которых нельзя линейно получить
преобразования (к + \)-го или более высокого порядка, и если она, в частности,
содержит инфинитезимальное преобразование первого порядка вида
2-<Xvdxv+'"'
то можно путем введения новых переменных х\ ■■• х'п привести ее к виду
Т - Т - Т(к) - Т(к) - VР(к)(г' ■■■ т' \Ш-
' ~ * " дх[' ik ~ ik ~^CikA 1 n'dx'v
(г = 1 • • • п; к = 1 • • • s; ik = 1 • • • wife);
здесь — такие целые однородные функции к-го порядка, которые
задают в инфинитезимальных преобразованиях к-го порядка
i/=l °Xv
этой группы члены порядка к.
Глава 29
Характеристические свойства групп,
подобных некоторым известным
проективным группам
В предыдущей главе мы дали классификацию всех транзитивных
групп X\f ■•• Xrf n-мерного пространства Х\ • • ■ хп. Мы выбирали точку
ж° • • • ж° общего положения и рассматривали все инфинитезимальные
преобразования группы, оставляющие эту точку неподвижной, то есть все те,
разложения которых в ряд по х$ — х® имеют вид
Е а*"(в° — xn)-(*i-*0i)^ + -~ 0 = 1.2-).
где опущенные члены имеют порядок два и выше. Затем линейная
однородная группа
Ljf= i2a^X^'''Xn)Xi§^ 0 = 1,2---)
i,i/=l v
показывала, каким образом oon_1 линейных элементов х\ : х'2 : • • • : х'п
в точке х\ • • • преобразуются при помощи тех преобразований группы
X\f • • • Хг/, которые оставляют эту точку инвариантной.
В настоящей главе мы прежде всего решим задачу описания всех
транзитивных групп Xif • - - Xrf пространства Xi • • • хп, для которых линейная
однородная группа Li/, L^f • • •, соответствующая точке общего
положения, совпадает с общей или специальной линейной однородной группой1.
1 Легко видеть, что группа пространства Яп, сопоставляющая точке общего
положения xi - хп общую или специальную линейную однородную группу, всегда транзитивна.
А именно: эта группа в окрестности • • • ж° заведомо содержит инфинитезимальное
преобразование нулевого порядка по ж* — то есть преобразование Е а%Рг Н «в котором не
все ai равны нулю. Кроме того, эта группа обязательно содержит п(п — 1) преобразований
первого порядка следующего вида:
(xi - х?) pfc + • • • (г, к = 1 • • • п; г ф к).
Комбинируя последние с Е aiPt Н > можно увидеть, что в группу входят п преобразовании
вида pi Н , • • • рп + • • •, то есть что группа действительно транзитивна.
Характеристические свойства групп
679
При этом мы получаем удивительный результат — всякая такая группа
X\f • • • Xrf подобна либо общей проективной, либо специальной
линейной группе пространства xi • • • хп.
Кроме того, в последнем параграфе этой главы мы покажем, что в
пространстве Xi • • • хп не существует ни одной конечной непрерывной
группы, которая переводила бы т > п + 2 выбранных точек общего положения
в га таких же точек; в то же время мы докажем, что общая проективная
и подобные ей группы являются единственными группами пространства
Xi • • • хп, которые могут перевести п + 2 произвольно выбранных точек
общего положения в п + 2 таких же точек.
§152
Всякая транзитивная группа G пространства Rn содержит в
окрестности точки Xi • • • хп общего положения п независимых инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка по яг — х®:
Pi Н , Р2 Н , • • • Рп Н ,
где в соответствии с соглашением на стр. 609 мы пишем рг вместо ^—.
ох%
Если G ставит теперь в соответствие точке х\ - - • хп общую линейную
однородную группу как группу Li/, L2f • • -, то она содержит в
окрестности х\ • • • хп наибольшее возможное число, а именно п2 таких
независимых инфинитезимальных преобразований первого порядка по xi —
— х®, • • • хп — хп, из которых нельзя линейно получить ни одного
преобразования второго или более высокого порядка. Эти преобразования первого
порядка имеют вид
{Xi-x^)pk + --- (i,k = 1 ■•■ n).
Если же G ставит в соответствие точке xi • • • хп специальную линейную
однородную группу, то она содержит в окрестности этой точки только п2 —
— 1 независимых инфинитезимальных преобразований первого порядка, из
которых нельзя линейно получить ни одного преобразования второго или
более высокого порядка, и они имеют следующий вид:
(Xi - Х?)рк + ' ' * , {Xi ~ X?)pi - (хк - Х°к) рк + • • •
(г, к = 1 • • • п, г ^ к).
680
Глава 29
Поэтому мы можем, выбрав точку х\ • • • хп началом координат,
сформулировать изложенную во вводной части этой главы задачу следующим
образом:
Требуется найти все группы X\f • • • Xrf, или кратко G, от
переменных Х\ • • • хп, содержащие в окрестности точки общего положения х\ —
— 0, • • • хп — 0 следующие инфинитезимальные преобразования нулевого
и первого порядка.
либо п + п2 преобразований
Pi Л ,XiPk Н (t,fc = 1 ••• п),
либо п + п2 — 1 преобразований
Pi-\ ,XiPk Н ,XiPi - XkPk Н
(г, к = 1 • • • п; г ^ к).
Сначала можно рассматривать оба случая одновременно, надо лишь как
можно дольше не обращать внимания на то, что в первом случае, кроме
преобразований, встречающихся во втором случае, имеется еще одно
преобразование: ]Г\ XiPi Н .
Пусть группа X\f • • • Xrf содержит инфинитезимальные
преобразования, разложения которых в ряд по х начинаются членами второго или более
высокого порядка соответственно, короче, инфинитезимальными
преобразованиями второго или более высокого порядка. Мы хотим найти самый
высокий порядок s имеющихся преобразований и задать сами эти
преобразования. Число s мы можем считать большим 1, так как все встречающиеся
инфинитезимальные преобразования первого порядка нам уже известны.
Пусть
К = Ф1р1 + --- + ФпРп + ~-
— инфинитезимальное преобразование s-ro порядка этой группы; при
этом # означают целые однородные функции s-ro порядка от Х\ • • • хп\
опущенные члены имеют более высокий порядок. Очевидо, что не все #i • • • #п
обращаются в нуль, поскольку не существует инфинитезимального
преобразования ]Г ekXkf, разложение в ряд которого начинается с членов (s +
-f 1)-го порядка; поэтому мы можем всегда предположить, что #i не равна
нулю.
Пусть самая низкая степень х\, встречающаяся в будет а.\ и пусть
Х°гХ%2 Х%п (ai + ...+an =s)
Характеристические свойства групп
681
— соответствующий член в $i с необращающимся в нуль коэффициентом.
Теперь скомбинируем преобразование Х\Р2~\ с К, результат снова
скомбинируем с Х\ р2 Н и т. д., всего аг раз. Полученное таким образом
инфинитезимальное преобразование s-ro порядка скомбинируем с Х\рз Н ,
и так поступим последовательно аз раз, наконец, применим Х\рп Н
также последовательно ап раз. В результате мы, таким образом, увидим, что
преобразование вида
К' = xslPl+ $'2Р2 + • • • + КРп + • • •
принадлежит нашей группе.
Все остальные члены i исчезают; действительно, они либо тоже
содержат степень х"1, либо более высокую, в обоих случаях степень какой-то
переменной х\ (г > 1) заведомо не а*, а более низкая; поэтому
соответствующий член обращается в нуль при а*-разовой комбинации с X\Pi +
Члены (s + 1)-го порядка и выше, как всегда, здесь не рассматриваются (ср.
гл. И, теорема 30, стр. 216).
Чтобы подробнее описать преобразование К', воспользуемся
вспомогательным утверждением, которое может быть многократно и с пользой
применено.
Утверждение 1. Если инфинитезимальные преобразования Cf и B\f +
+ • • • + Bmf принадлежат некоторой группе, и, кроме того, имеют
место соотношения вида (CBk) = EkBkf, где все константы ек
различны, то эта группа содержит все т инфинитезимальных преобразований
B1f---Bmf.
Доказывается это утверждение очень просто. Помимо B\f-\ \-Bmf,
группа содержит еще следующие инфинитезимальные преобразования:
(С,Вг-\ Ь Вт) = £\Bif Н ь emBmf,
(C,£i#i + • • • + етВш) = е2гВ^ + • • • + e2mBmf,
Но поскольку определитель
га-2
Вт)
1
jm—\
~m— 1
"m
B1f + --- + e%-1Bmf.
= П& - с*)
i,k
682
Глава 29
по условию не обращается в нуль, то каждое отдельное преобразование
Bkf можно получить из только что найденных путем умножения на
подходящие константы и последующего сложения. Тем самым утверждение
доказано.
Чтобы его применить, скомбинируем теперь преобразование К' в
развернутом виде:
х\Р1 + {^Арх^ .••а£}р2 + --- + {е,Ъ*?---<*}рп + ■ ■ •
(01 + • ' • + 0п = • • • = 1/1 + • • • + Vn = в),
с преобразованием
XlPl ~ XiPi + • • • ,
где под г понимается любое из чисел 2 • • • п. При этом получается
(s - l)x\Pl + - А + г*)*?1 ■ ■ • а#*}р2 + • • • +
+ ~ ^ + " * * ХпП } + • • • , (1)
где вц имеет значение 1, тогда как все Sk% (i Ф к) обращаются в нуль.
Следовательно, члены s-ro порядка инфинитезимального преобразования К'
имеют указанный выше вид B\f Н -f Bmf, где Bkf при взятии
комбинации с х\ р\ — XiPi воспроизводятся, но с различными коэффициентами.
Поскольку из разложения в ряд инфинитезимальных преобразований нашей
группы можно получить инфинитезимальные преобразования новой
группы Г, оставив в каждом разложении лишь члены самого низкого порядка
(гл. 28, стр. 665), то наше утверждение 1 показывает, что каждое отдельное
Bkf принадлежит группе Г. Тогда, очевидно, существует Bkf,
включающий в себя член х\ р\ и поэтому воспроизводящийся с коэффициентом 5—1.
Остальные члены этого Bkf определены уравнениями
Pi - Pi + e2i = • • • = i/i - Vi + eni = s - 1,
из которых мы, поскольку 623*" £2п обращаются в нуль, немедленно
получаем Рз = • • • = Рп, а следовательно,
Pl+P2 + -' + Pn=Pl+P2 + (n-2)P3 = S,
кроме того,
p2=Pl-S + 2, 03 = 0! -8 + 1.
Характеристические свойства групп
683
Путем исключения fa и /?з получаем
(/?! -в + 1)п = 0,
то есть /3i = s - 1, /32 = 1, /?з = * * * = /?п = 0.
Аналогично находятся vk и т. д. Короче говоря, мы видим, что наша группа
X\f • • • Xrf содержит инфинитезимальное преобразование вида
К" = x\pi + А2х\~1Х2Р2 + ••• + Апха1~~1хпрп + ••• .
Если скомбинировать К" с pi Н , то получается
sZi_1Pi + (5 - 1)А2х\~2х2р2 + ■•• + (*- l)Anx\~2xnpn + ••• = £,,
и, таким образом, наша группа содержит инфинитезимальное
преобразование, а именно (LK")9 имеющее вид
Sx\8~2pi +r)2P2 + -- + VnPn + -' •
Но поскольку 2s — 2 не может быть больше s, a s в, свою очередь, больше 1,
то отсюда следует —
5 = 2,
так что
К" = x\pi + A2xi Х2Р2 + г Anxi хпрп + --- .
Кроме того,
(xipi + • • • , AT") = (л - + • • • .
Если бы Ai не было равно 1, то мы получили бы последовательно два
преобразования:
{x\pi Н ,XiPi Н ) = x\pi - 2xiXiPi Н ,
(x\pi - 2xi XiPi + • • • ,x2pi + •••) = *x\Pi + ''' •
А поскольку инфинитезимальные преобразования третьего порядка
появляться не должны, то все Ai = 1. Итак, К" имеет вид
Xl (Xi pi + Х2 Р2 Н \-Хпрп) Н ,
684
Глава 29
Поэтому если группа X\f • • • Xrf с требуемым на стр. 680 и ниже
свойством содержит инфинитезимальные преобразования более, чем
первого порядка, то таковыми являются лишь преобразования второго
порядка, причем среди них заведомо есть п преобразований вида
мы получаем преобразование х\ р\ Л Ь хп рп Н . Поэтому если
группа Х\ / • • • Xrf содержит инфинитезимальные преобразования второго
порядка, то соответствующая линейная группа L\f, L2f • • • является общей
линейной однородной. И наоборот:
Группа X\f - • • Xrf никогда не содержит инфинитезимального
преобразования порядка выше первого, если соответствующая группа L\f,
L2f • • • является специальной линейной однородной.
Для краткости запишем инфинитезимальные преобразования х\ (х\ р\ +
Л \-хпрп)-\ в виде Hi Н , понимая под Hi члены второго порядка.
Вполне возможно, что в группе X\f • • • Xrf, помимо этих п
преобразований, имели место еще и другие второго порядка. Например, такое:
где тг — однородные функции второго порядка от х\ • • • xn, а Т — сумма
Y^TkVk- Тогда, очевидно, выражение (#гТ) должно обращаться в нуль,
поскольку оно представляет младшие члены инфинитезимального
преобразования третьего порядка. Следовательно, Т\ • • • тп удовлетворяют уравнению
Xi (Xi pi + • • • + Хп рп) + ' ' ' (г = 1 • • п).
Сложив все тг преобразований
Рг + -" ,Xi]TxfcPfc + ••• J = XiPi + 52xkpk + ••• ,
fc=l / k=l
npi H + TnPn +
... = t+..,
оно распадается на n следующих:
Характеристические свойства групп
685
а отсюда, кроме само собой разумеющегося уравнения
k=i *
следует еще и XiTj — XjTi — 0. Поэтому т* и Т имеют вид
п п
П = ак Хк Х*' ^ = ак **к'
к=1 к=1
Тем самым доказано, что группа X\f • • • Xrf с заданным свойством не
может содержать никаких других инфинитезимальных преобразований
второго порядка, кроме п преобразований н
В итоге мы имеем следующие три случая
Если линейная однородная группа L\f, L2/ * * • является общей
линейной однородной, то соответствующая группа X\f • • • Xrf содержит
ровно п инфинитезимальных преобразований нулевого порядка:
Pi=Pi + -~ (г = 1 • • • п),
ип2 — первого:
Tik = XiPk Н (i,fc = 1 ••• и).
Преобразований более высокого порядка либо нет вообще, либо имеется п
следующих:
Si = Xi (xi pi + • • • + xnpn) + • • • (i = 1 • • • n).
Если группа Li/, L2f • • • — специальная линейная однородная, то группа
X\f - - - Xrf содержит ровно п инфинитезимальных преобразований
нулевого порядка:
Pi = Pt Н (г = 1 •• п),
м ewje п2 — 1 — первого:
tik =XiPk-\ , Тц - Ткк = XiPi - хкрк ~\ (t ^ fc = l • • • n),
но никаких других более высокого порядка.
Эти три случая мы рассмотрим по порядку. Сначала приведем
соотношения между инфинитезимальными преобразованиями, а затем и сами эти
преобразования к наиболее простому виду. При этом заметим, что первые
два из этих трех случаев уже разобраны благодаря результатам
параграфа 151, стр. 674 и д. Тем не менее мы считаем целесообразным рассмотреть
подробно и эти оба случая.
686
Глава 29
§153
Первый случай, когда имеется п преобразований нулевого и п2 —
первого порядка, — самый простой.
Соотношения между п2 инфинитезимальными преобразованиями
первого порядка мы можем задать непосредственно:
причем Eik обращается в нуль, если ink различны, тогда как ец имеет
значение 1. Особенно важно, что любое выражение
п
' г
I 1/1/
[Tik,Y,Tv
обращается в нуль. Кроме того, если для краткости ввести обозначение
1/=1
то имеют место соотношения
(PtU) = Pt+ ££<*„* Т**,
1/=1 7г = 1
или, если ввести правую часть в качестве нового Р*, {PiU) = Pi. Наконец,
имеют место соотношения вида
(Pi^fcj) = SikPj ■+" ^ ^ ^ ^ РутгТу-п •>
(РгРк) - Е>р" + Е Е 5™т™-
Но тождества Якоби
((PiTkj)U) - (PiTkj) = о,
((PiPk)U) -2(ЗД)= О
показывают непосредственно, что все константы /3,7, S обращаются в нуль,
то есть выполняется
(РгТъ) = е1кР^ (PiPk) = 0.
Характеристические свойства групп
687
Итак, все соотношения между инфинитезимальными преобразованиями
нашей группы известны.
Далее г инфинитезимальных преобразований Р* = pi + • • •
порождают просто транзитивную группу, равносоставленную с группой р\ • • • р'п
и потому также подобную ей (гл. 19, утверждение 1, стр. 376). Поэтому мы
можем ввести такие новые переменные х\ • • • х'п, что
Pi=p'i (t=l...n),
Вид £i р[ н 4- £nPn» который принимает U в новых переменных,
определяется соотношениями (PiU) = Pi, из которых следует:
U = J2(x'k + ak)p'k,
к=1
и если ввести х'к + в качестве нового х^, что не меняет вида Р*, то
получится U = Y^XkPk- Из соотношений
{PiTkj) = SikPj
мы также находим
п
Tkj = Xk Pj + ^
i/=i
но поскольку (TkjU) должно обращаться в нуль, то все равны нулю.
Следовательно, мы имеем группу
Pi = Pi, Tik = XiPk (i = l • • n),
то есть все группы, подпадающие под первый случай, подобны общей
линейной группе многообразия х\ • • • хп.
§154
Теперь перейдем ко второму случаю, где, кроме п преобразований
нулевого порядка Pi = pi + • • • и п2 преобразований первого порядка Tik =
= XiPk Н , еще имеют место п преобразований второго порядка:
Si =Xi(xipi Н \-хпрп) Н .
688
Глава 29
Следующие соотношения мы получаем непосредственно:
(Si Sk) = О, (TikSj) = ekjSu (USj) = S3.
Далее имеют место уравнения вида
п
(Tik U) = YaikjSj.
j=l
Если мы сначала предположим, что ink оба не равны п, то мы
можем ввести Tik + Y^OLikjSj в качестве новых Tik и получим для
соответствующих значений г и к соотношение (Tik U) = 0. Поскольку к тому же
(UU) = 0, то и вообще получается
(TikU)=0 (t,fc = l-..n).
Кроме того,
п
(Tik Тиж) = SkvTiir — E-niTvk ^ ^ PjSj',
j=l
но тождество
((TikT^)U)=0
дает понять, что все (3j обращаются в нуль, следовательно,
(Tik Tv-k) = Ekv Ti-к — ^7ri Tvk-
Из соотношения
п п п
(Pi U)=Pi + J2Y, Т™ + Y, 5"S"
1/=1 7г = 1 1/=1
если ввести
п п п
Pi+Е >»т- +1 £ ^
1/=1 7г = 1 1/=1
в качестве новых Р*, получается
(P<tf) = P<.
Далее,
п
(Pi Sk) = eikU + Tki + b,Sv;
i/=i
Характеристические свойства групп
689
однако если использовать тождество
(Pi Tkj) = SikPj + ]Р ]Р аипТип + ]Р KSU,
(PiPk) = ^ диРи + J2J2 h™T™ + Y1 Л"5";
но и здесь все константы обращаются в нуль в силу тождеств
((PiTki)U)-(PiTki) = 0,
((PiPle)U)-2(PiPk) = 0.
Теперь все соотношения между инфинитезимальными
преобразованиями нашей группы заданы. Можно заметить, что инфинитезимальные
преобразования Pi, Tik порождают подгруппу, имеющую рассмотренный в
первом случае вид, и принимающие поэтому при надлежащем выборе
переменных следующий вид:
Инфинитезимальное преобразование Si в новых переменных запишется
в виде YlZikPk, где ^ удовлетворяют соотношениям:
то есть = XiXk и
Si = Xi (xipi н hx„pn).
Итак, мы имеем группу
Pi=Pi, Tik=XiPk, Si=Xi(xiPi-\ \-хпрп) (i,fc = l n);
то есть все группы, относящиеся ко второму случаю, подобны общей
проективной группе многообразия Х\ • • • хп.
Pi=Pi, Tik=XiPk (г,к = 1 ••• п).
(Pl/Si)=el/iU + Til
(USi) = Si.
Отсюда мы находим:
690
Глава 29
§155
Остается третий и последний случай с п инфинитезимальными
преобразованиями нулевого порядка Pi = щ + • • •, и п2 — 1 преобразованиями
первого порядка:
Tik = Xiрк Н , Тц - Ткк = XiPi - ХкРк Н (г ^ fc = 1 • • п),
тогда как преобразования более высокого порядка не встречаются.
Удобно заменить инфинитезимальные преобразования Тц — Ткк одним
единственным вида а\ Гц Н \-ап Тпп, если предположить, что а* —
произвольные константы, удовлетворяющие условию а* = 0. Тогда прежде
всего выполняются соотношения
(Tik Tvlf) = SkvTi-n - EntiTuk (» ^ ^ тг),
E a» Tvv^ = (ак - ai)Tik, ^Тц - T^, E a„ T„„^ = 0.
Более того, имеет место уравнение вида
( Ри ^auTuA=aiPi + ^Y, A*i T*i (Е = о] .
\ i/=l / к=\ з=\ ^ к '
Поэтому, если положить
p;=Pi+itiL 1*зтъ (е****=°).
fc=l j=l ^fc=l '
получится
(п \ п п
/ fc=l j=l
Теперь предположим, что для ai • • • ап выбрана совершенно
определенная система значений, удовлетворяющая условию Еаг = 0 и имеющая,
кроме того, свойство, что ни одно выражение а» + ак — aj не обращается
в нуль — требование, которое всегда выполнимо. При этих условиях мы
можем выбрать Uk3 такими, что имеют место уравнения
Aifcj - (ai + ак - aj) likj = 0,
Характеристические свойства групп
691
причем условие Yk ккк = 0 будет выполнено само по себе. Следовательно,
снова применяя первоначальное обозначение, получаем
Если подставить выражение
(п \ п п
р^ркткк\ =PiPi + Y,Y,v™T™ (Ел = Е^ = °)
к=1 ) 1/=1тг=1
в тождество
(^ it & Tk^j itak Tkk) -ai e ^=°'
то получится
n n
E(a7r -olv- oti) gvi< = 0.
I/=l 7T=1
Отсюда следует в силу свойств а, что все диж равны нулю, то есть
справедливо равенство
для всех систем значений /?!••• /Зп, удовлетворяющих условию ^ /Зк = 0.
Далее имеет место соотношение вида
(P»Tkj) = EikPj + ]Г ]Г /^Т™ ( fc ^ j, ]Г fcw = 0 j .
U=\ 7Г=1 \ I/ /
Поэтому тождество
({РиТкз) РтТтт) = (А + Pi - Pk){Pi Tkj) = о
^ т=1 '
принимает вид
п п
Ы0к - А) + £ ]Г(Аг -0v-0i + 0k- 0t) hvn Тип = 0;
J/=l 7Г=1
692
Глава 29
следовательно, поскольку /?„, несмотря на условие Ри = 0? совершенно
произвольны, hvr должны обращаться в нуль:
(PuTkj) = eikPj (k%j).
Наконец, надо еще исследовать соотношения
п п п , п v
(PiPk) = 52ш»р» + 5252т™т™ (£m„„=о).
I/=l 1/=1тг=1 \v=l 1
Произведя вычисления в тождестве
((ед) £ д. ггт) - (а + Pfc) = о,
мы находим
п п п
Е(/?" - А - А)т„Р„ + Х> ]Г(Дг -0v-0i- 0к)т„ Тип = 0;
1/=1 1/=1 7г = 1
поэтому в силу произвольности (Зи все га„ и mult должны равняться нулю.
Следовательно,
(PiPk) = 0,
и, таким образом, нам известны все соотношения между
инфинитезимальными преобразованиями нашей группы.
Точно так же, как мы делали в первом случае, приведем Р\ • • • Рп при
помощи подходящего выбора переменных к виду
Pi=Pi (i = l"-n).
Действуя, как в конце параграфа 153, мы заключаем отсюда, что все группы,
подпадающие под третий случай, подобны специальной линейной группе
многообразия х\ • • • хп.
Объединяя найденные результаты, мы таким образом получаем
следующую теорему.
Теорема 112. Если транзитивная группа G от п переменных
такова, что все ее преобразования, оставляющие точку общего положения
инвариантной, преобразуют проходящие через нее линейные элементы при
помощи общей или специальной линейной однородной группы Li/, L2f • • •,
то G подобна общей проективной, общей линейной или специальной
линейной группе от п переменных2.
2 Л и, Archiv for Math., том 3, Христиания, 1878 г.; ср. также Math. Ann., том XVI, том XXV
и G6tting. Nachr., 1874 г., стр. 539.
Характеристические свойства групп
693
Назовем г-параметрическую группу пространства х\ • • • хп т кратно
транзитивной, если она содержит по крайней мере одно преобразование,
переводящее т заданных точек общего взаимного положения в т других
произвольно заданных точек общего положения, тогда мы можем легко
доказать, во-первых, что всегда m < п + 2, и, во-вторых, что группа, для
которой т = п + 2, подобна общей проективной группе т-мерного
пространства.
Действительно, если инфинитезимальные преобразования X\f • • • Xrf
порождают m-кратную транзитивную группу от переменных х\ • • • хп, то
непосредственно ясно, что линейная однородная группа L\f, L2f-• •,
соответствующая точке х® общего положения, преобразует oon_1 линейных
элементов, проходящих через эту точку при помощи (га — 1)-кратной
транзитивной проективной группы. Но поскольку общая проективная группа
(п — 1)-мерного пространства, как известно, является (п + 1)-кратно
транзитивной, то мы видим, что
m-l^n + 1, а значит, т < п + 2.
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 113. Конечная непрерывная группа от п переменных
является максимум (п + 2)-кратно транзитивной.
Если г-параметрическая группа X\f - • • Xrf от п переменных является
ровно (п + 2) раз транзитивной, то группой, L\f, L^f • • •, соответствующей
точке х\ общего положения, как уже раньше отмечалось, будет общая или
специальная линейная однородная группа от п переменных;
следовательно, группа Xif • • • Xrf подобна общей проективной, общей линейной или
специальной линейной группе от п переменных. А поскольку лишь первая
из этих трех перечисленных групп является (п + 2) раз транзитивной, мы
получаем следующую теорему.
Теорема 114. Если г-параметрическая группа от п переменных
(п 4- 2) кратно транзитивна, то она подобна общей проективной группе
n-мерного пространства.
Во второй и третьей частях будет, помимо всего прочего, проведен ряд
исследований, аналогичных изложенным в данной главе.
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой: subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин: http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414,
тел.: (499) 135-54-37, (495) 641-69-38
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
ISBN 978-5-4344-0009-1
Софу с Ли
Теория групп преобразований: в 3-х частях
Часть 1
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор О. А. Шемякина
Подписано в печать 27.06.2011. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 41,39. Уч. изд. л. 44,45.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная № 1. Заказ № 11-27.
АНО «Ижевский институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shcjp.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Переплет выполнен в ГУП УР «Ижевский полиграфический комбинат»
426039, г. Ижевск, Боткинское шоссе, 180.