Текст
                    Министерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
53
Ф 503
№3001
ФИЗИКА
Методические указания
и контрольные задания для студентов ИДО
(Контрольная работа № 1)
НОВОСИБИРСК
2005

УДК 53(07) Ф503 Данные методические указания составлены в соответствии с рабочими программами, принятыми на кафедрах общей физики и прикладной и теоретической физики НГТУ, и предназначены для студентов института дистанционного образования, но могут быть использованы и при проведении практических занятий на дневном отделении, а также при самоподготовке студентов к практическим занятиям. Составители: | К. В. Аленькина, доц.|, Р. М. Маркель, ст. преп., В. М. Любимский, доц., А. Г. Моисеев, доц., М. Г. Ноппе, доц. Рецензенты: А. А. Харьков, доц., В. В. Христофоров, доц. Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики. © Новосибирский государственный технический университет, 2005 .
ОГЛАВЛЕНИЕ I. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ..................4 1. УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ..........4 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ....5 3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.....................6 4. О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ...................7 II. ВОПРОСЫ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЭКЗАМЕН ПО РАЗДЕЛУ "ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ"....................8 III. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...................9 IV. МЕХАНИКА...................................10 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ..................10 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.. 11 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ................13 4. ИМПУЛЬС И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА........14 5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И РАБОТА.. 18 6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ..........................19 7. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА......................................22 8. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ....................23 9. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.28 ’ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.......................30 1. СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1..........30 2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ..30 3. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ ДЛЯ ПЕРВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.................42 4. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1..........42 5. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ.......................52 6. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ.........52 7. ОТВЕТЫ.................................... 56
Всему свой час, и время всякому делу под небесами: Время разрушать и время строить, Время плакать и время смеяться, Время разбрасывать камни и время складывать камни. Экклесиаст I. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Десять страниц понятых лучше ста страниц, изученных на память и не по- нятых, а одна страница, самостоятельно проработанная, лучше десяти страниц понятых отчетливо, но пассивно. Д. Юнг Работа студента-заочника по изучению физики включает са- мостоятельное изучение физики по учебным пособиям, выполне- ние контрольных (решение задач) и лабораторных работ, а также сдачу зачетов и экзаменов. Прежде чем приступить к выполнению контрольной работы, ознакомьтесь с содержанием всех разделов данной методической разработки. 1. УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ Для более эффективного изучения курса рекомендуем Вам при выполнении контрольной работы завести две отдельные тет- ради: в одной выполняется по всем правилам контрольная рабо- та, отсылаемая на рецензию, а в другой конспектируются указан- ные разделы из учебников и учебных пособий и даются ответы на предлагаемые контрольные вопросы. Это поможет Вам при устной беседе с преподавателем во время защиты контрольной работы в межсессионный период и на экзамене. После изучения теоретического материала приступайте к ре- шению задач своего варианта. Иногородние студенты, отсылаю- щие контрольные работы на заочное рецензирование, должны подробно объяснить решение задач. Обратите внимание, если используемые в задачах формулы не являются физическими законами, то необходимо сделать их вывод. 4
Не забывайте о проводимых для городских студентов очных консультациях, на которых студенты решают задачи своего вари- анта, задавая вопросы преподавателю (на эти консультации сле- дует приносить учебники и методические пособия). Иногородние студенты могут пользоваться такими же конспектами, обращаясь с письмами к преподавателю, адресованными в деканат. Напоми- наем Вам, что приступать к выполнению контрольных работ нужно в соответствии с учебным графиком. 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Обращаем Ваше внимание на выполнение ряда формальных, но обязательных правил по оформлению контрольных работ. 1. Контрольная работа выполняется чернилами в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся сведения по следующему образцу: Контрольная работа № 1 по физике студента П курса ЭЭФ НГТУ Н. И. Петрова, Шифр 30634215 Адрес: 656000, г. Барнаул, ул. Советская, 10, кв. 15 2. Для замечаний преподавателя на страницах тетради остав- ляют поля шириной 3 см. Каждую следующую задачу начинают с новой страницы. 3. В контрольной работе № 1 студент должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней циф- рой его шифра. Номера задач определяются по таблице вариан- тов для первой контрольной работы. 4. Должны быть выполнены все требования к решению задач, изложенные в разд. 3. 5. В конце контрольной работы указать, каким учебным посо- бием студент пользовался при изучении курса физики (автор, на- звание учебника, год издания). Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что студенту сле- дует изучить для завершения контрольной работы. 6. Высылать на рецензию следует одновременно не более од- ной работы. Во избежание одних и тех же ошибок очередную работу высылают только после получения рецензии на предыдущую. 5
Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, сту- дент обязан представить ее на повторную рецензию, выполнив работу над ошибками в той же тетради. 3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Внимательно изучите требования, которые следует обязатель- но выполнять при решении задач. 1. Переписать условие задачи в тетрадь полностью без сокра- щений. Сделать краткую запись условия, т. е. величины, данные в ус- ловии, выписать для наглядности столбиком и выразить их в единицах СИ. 3. Дать аккуратно выполненный чертеж, поясняющий содер- жание задачи (в тех случаях, когда это возможно). 4. Указать основные законы и формулы, на которых базирует- ся решение задачи, дать словесную формулировку этих законов, разъяснить буквенные обозначения формул. Если при решении задач применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какого-либо физического закона или не являющая- ся определением какой-нибудь физической величины, то ее сле- дует вывести. 5. Сопроводить решение задачи краткими, но исчерпываю- щими пояснениями. 6. Получить решение задачи в общем виде, т. е. выразить ис- комую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. Вычисление промежуточных величин не произ- водить. 7. Во всех задачах выполнить проверку размерности, т.е. под- ставить в правую часть полученной рабочей формулы вместо символов величин обозначения единиц, произвести с ними необ- ходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом единица соответствует искомой величине. 8. Подставить в рабочую формулу числовые значения, произ- вести вычисления, руководствуясь правилами приближенных вычислений; записать в ответ числовое значение и наименование единицы искомой величины. 9. При подстановке в рабочую формулу, а также при записи ответа числовое значение величины представить как произведе- ние десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на 6
соответствующую степень десяти. Например, надо вместо 3520 записать 3,520-103 , а вместо 0,00129 записать 1,29-10'3 и т.д. 4. О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ Значащими цифрами называют все цифры, кроме нуля, а так- же и нуль в двух случаях: когда он стоит между значащими циф- рами и когда он стоит в конце числа. Например: 0,205 - нуль ме- жду 2 и 5 - значащий; 0,300 - два нуля в конце значащие. Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближенных чисел оконча- тельный результат округлять так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разделах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых. Например, при сложении чисел 4,462+2,38+1,17273 + 1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04, так как слагаемое 2,38 задано с точно- стью до сотых долей. 2. При умножении округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько и сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо выражения (3,723; 2,4; 5,1846) следует вычислять выражение (3,7; 2,4; 5,2). В окончательном результате оставлять такое же количество цифр, какое содержится в сомножителях после их округления. В про- межуточных результатах сохранять на одну цифру больше. Такое же правило соблюдать и при делении приближенных чисел. 3. При возведении в степень в результате указать столько зна- чащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, 1,322 -1,74. При извлечении корня в результате указать столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении. Например, л/1,17-10’8 «1,08кг4. 4. При вычислении сложных выражений применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Напри- мер, требуется вычислить (3,2 + 17,062)^7 5,1-2,007 10’ 7
Сомножитель 5,1 содержит наименьшее число значащих цифр - две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр (3,2 + 17,062) Ту 20,3 1,92 39,0 79 1()_3 5,Ь2,007-Ю3 ~ 10,3-10а ~10,3-103 После округления результата до двух значащих цифр получа- ем 3,8-Ю'3. П. ВОПРОСЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЭКЗАМЕН ПО РАЗДЕЛУ<ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ» 1. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности. 2. Главные характеристики движения (энергия и импульс, связь между ними и связь со скоростью). 3. Закон сохранения импульса. 4. Кинетическая энергия (релятивистский и нерелятивистский случаи). 5. Консервативные (потенциальные) и неконсервативные си- лы. Потенциальная энергия. 6. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергия. 7. Связь консервативной силы с потенциальной энергией. Движение в потенциальном поле. Границы движения, устойчи- вость 8. Понятие твердого тела. Центр инерции. Система отсчета центра инерции. 9. Вращение твердого тела. Характеристики вращательного движения. Кинетическая энергия вращения. 10. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. 11. Основное уравнение динамики вращательного движения. 12. Принцип относительности. Постулаты Эйнштейна. Преоб- разования Лоренца. 13. Следствия из преобразований Лоренца: а) длительность события в разных системах отсчета; б) длина тел в разных системах отсчета; в) релятивистский закон сложения скоростей. 8
14. Инвариантные величины в механике: скорость света в ва- кууме, масса, интервал. 15. Соотношение между энергией, импульсом и массой в ре- лятивистской механике. 16. Применение законов сохранения в релятивистской меха- нике (распад, столкновение). Ш. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ 1. Савельев И. В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1977— 1988. -Т.1. 2. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1985. 3. Трофимова Т. И. Курс физики. -М.: Высшая школа; 1985. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ 4. Волъкенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физи- ки. - М.: Наука, 1980-1988. 5. Чертой А. Г, Воробьев А. А. Задачник по физике. - М.: Высш, шк.., 1981. 6. Яворский Б. М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и самообразования. - М.: Наука 1984. 7. Копылов Р. И. Всего лишь кинематика - М.: Наука, 1981. 8. Яворский Б. М, Пинский А. А. Основы физики. - М.: Наука, 1981.-Т.1. 9. КухлингХ. Справочник по физике. - М.: Мир, 1983. 10. Савельев И. В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1977 - 1988.- Т.З. Настоятельно рекомендуем Вам учебник Т. И. Трофимовой "Курс физики” [3] , предназначенный для студентов высших тех- нических учебных заведений, изучающих физику в течение трех семестров. Если Вы забыли единицы физических величин и их размерность, то необходимо обратиться к пособию [6]. 9
IV. МЕХАНИКА Я не знаю, какого мнения будет свет о моих трудах, я же лично смотрю на себя, как на ребенка, который играл на морском берегу, нашел несколько камешков поглаже и несколько раковин попестрее, чем удава- лось другим, в то время, как неизмеримый океан истины расстилался перед моим взо- ром неисследованным. Ньютон 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ 1.1. Материальная точка - тело, размеры которого настоль- ко малы, что в рассматриваемом движении их можно не прини- мать во внимание и считать, что вещество как бы сосредоточено в одной геометрической точке. Так, например, для расчета орбиты Земли при ее движении вокруг Солнца размеры нашей планеты несущественны, и Землю можно считать материальной точкой. С другой стороны, при рас- чете орбит для низколетящих спутников Земли необходимо учи- тывать размеры планеты, то есть одно и то же тело в одних задачах можно считать материальной точкой, а в другой нельзя. 1.2. Система отсчета. Система координат, связанная с телом, плюс прибор для измерения времени, называются системой от- счета. 1.3. Свободное тело - тело, на которое не действует другие тела. 1.4. Инерциальная система отсчета. Система координат, связанная со свободным не вращающимся телом, плюс прибор для измерения времени называются инерциальной системой от- счета. Инерциальные системы отсчета играют центральную роль в физике. Так, основные законы физики выглядят очень просто только в инерциальных системах отсчета. 10
2.0СН0ВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Радиус-вектор материальной точки. Вектор, проведен- ный из начала координат в точку, где находится тело, называется радиусом-вектором материальной точки. 2.2. Закон движения материальной точки. Радиус-вектор материальной точки, заданный как функция времени, называется законом движения материальной точки. 2.3. Траектория - это линия, вдоль которой тело (материаль- ная точка) движется в пространстве, или линия, которую вычер- чивает в пространстве конец радиус-вектор при движении тела (рис. 2.1). Здесь точка 1 - начальная точка движения, а точка 2 - конечная точка движения. Рис.2.1 2.4. Вектор перемещения. Вектор, проведенный из начальной точки движения 1 в конечную точку движения 2, называется век- тором перемещения. 2.5. Путь. Путь - это длина траектории. 2.6. Скорость материальной точки. Скорость есть отношение вектора перемещения, при движении тела из точки 1 в точку 2, ко времени, за которое происходит это перемещение, при условии, что точка 2 очень близка к точке 7. С точки зрения математики скорость - это предел т7 .. AT? dR V = lim — = — kt dt (2-1) 11
Свойство вектора скорости. Вектор скорости направлен по ка- сательной к траектории. 2.7. Ускорение материальной точки. Ускорение - это отноше- ние изменения скорости точки при ее движении из положения 1 в положение 2 ко времени, за которое осуществляется это движе- ние при условии, что точка 2 находится очень близко к точке 1. _ KV а -- , М (2.2) где (2-3) С точки зрения математики ускорение - это предел а = .. \V lim----= dV dt (2.4) 2.8. Единицы измерения в системе СИ. Время измеряется в се- кундах (с). Путь и перемещение измеряется в метрах (м), уско- рение измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате (м /с2). 2.9. Преобразование скорости материальной точки при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: неподвиж- ную х, у и подвижную х' , у' (рис. 2.2) Рис. 2.2 Пусть V - скорость точки в неподвижной системе отсчета. Скорость точки в подвижной системе отсчета - К. Скорость под- вижной системы отсчета относительно неподвижной системы от- счета - v . Тогда связь между скоростями V ,У' и v задается соотношением (2.5) 12
V = V' + v (2.5) В классической физике условие (2.5.) называют также зако- ном сложения скоростей. 3. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 3.1. Сила - это количественная мера взаимодействия тел. 3.2. Закон сложения сил. Сила является величиной векторной и характеризуется своим модулем и направлением. Силы склады- ваются по правилу параллелограмма (рисунок). 3.3. Законы Ньютона. Движение материальных точек описыва- ется законами Ньютона. 3.4. Первый закон Ньютона. (Закон инерции Галилея). В инерци- альной системе отсчета тело, на которое не действуют другие те- ла, или, когда действие всех сил скомпенсировано, движется равномерно и прямолинейно или покоится. 3.5. Второй закон Ньютона. Ускорение тела пропорционально результирующей силе, действующей на тело, и обратно пропор- ционально массе тела F а = -. (3.1) т Примечание. Сила измеряется в ньютонах (Н). 3.6. Третий закон Ньютона. При взаимодействии двух точеч- ных масс (тело 1 и тело 2) сила, с которой первое тело действует на второе, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое. Силы действу- ют вдоль прямой, соединяющей эти точечные массы (3-2) 13
3.7. Область применения законов Ньютона. Законы Ньютона справедливы только: а) в инерциальных системах отсчета; б) при условии, что скорости тел много меньше скорости света. 4. ИМПУЛЬС И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 4.1. Импульс материальной точки. Импульсом (количеством движения) материальной точки называется величина, равная произведению массы тела т на его скорость V . Импульс - вели- чина векторная p — m-V. (4.1) 4.2. Импульс силы. Это величина, равная произведению силы, действующей на материальную точку, и времени действия этой силы. Импульс силы Fbt. (4.2) 4.3. Альтернативная формулировка второго закона Ньютона. Импульс результирующей силы, действующей на материаль- ную точку, равен изменению импульса этой точки = (4.3) Такая формулировка второго закона Ньютона следует из выше- приведенной формулировки закона F = т- а . (4.4) тт - Поскольку ускорение точки есть а = —-L, то А/ V -V (45) или Кр-^ = т-^-т-^ ’ (4-6) но т V2 - т есть изменение импульса Др материальной точки 14
Ap = m’V2-m’V}. (4.7) Это позволяет утверждать, что импульс силы равен измене- нию импульса. 4.4. Импульс системы материальных точек. Импульсом Р сис- темы материальных точек называется величина равная сумме импульсов всех точек системы (4.8) (=1 Здесь т, - масса i точки; V. - скорость точки i; N - число мате- риальных точек. 4.5. Закон сохранения импульса (количества движения) системы материальных точек. Импульс системы сохраняется, если сумма внешних сил, дей- ствующих на систему, равна нулю. Такие системы называются замкнутыми. Вышеприведенный закон сохранения импульса в рамках классической механики можно считать следствием зако- нов Ньютона. Закон сохранения импульса можно записать в виде n const, (4.9) /=1 к если ^/^=0. 4.6. Условие выполнения закона сохранения импульса. Закон сохранения импульса может быть получен как следствие законов Ньютона, условия применения которых даны выше. Следова- тельно, в рамках данного подхода закон сохранения импульса выполняется только тогда, когда выполняются законы Ньютона. 4.7. Преобразование импульса системы материальных точек при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Рассмотрим систему из материальных точек. Пусть V( - скорость точки i в неподвижной инерциальной системе отсчета, V! — ско- рость той же точки в подвижной инерциальной системе отсчета, v - скорость подвижной инерциальной системы отсчета относи- 15
тельно неподвижной. Тогда скорости точек в подвижной и не- подвижной системах отсчета связаны соотношением (2.5) . (4.10) Умножая (4.10) на mit получим соотношение между импульсом частицы в подвижной mi - V' и неподвижной т{ • V, системах от- счета. mt V. = т.! Ш; • v,. (4.11) Суммируя обе части последнего уравнения по всем i, получим закон преобразования импульса при переходе из покоящейся инерциальной системы отсчета в движущуюся Р=-Р' + М-Р. (4.12) Здесь Р = - V. - импульс системы материальных точек в не- /=1 подвижной системе отсчета; Р' = - импульс системы ^=1 материальных точек в движущейся системе; М = - полная Г=1 масса системы материальных точек. 4.8. Система центра инерции. Системой центра инерции назы- вается инерциальная система отсчета, в которой полный импульс системы материальных точек равен нулю. Для нахождения ско- рости подвижной системы отсчета относительно неподвижной рассмотрим две системы координат. Если подвижная система от- счета есть система центра инерции, можно воспользоваться урав- нением (4.12). В этом случае Pf - 0, и скорость находится из соотношения P = M-VQ. (4.13) Откуда скорость системы центра инерции равна Го=~. (4.14) 16
Поскольку полный импульс системы в неподвижной системе отсчета Р = т. -У.. то скорость системы центра инерции равна /=1 1 N Го =--У,тгК- м % ' (4.15) Возьмем производную по времени от левой и правой частей (4.15) dV. 1 Л dV, 1 Л _ 1 1 dt М t dt М t Mi М ре1 Из полученной формулы видно, что если результирующая сила равна нулю, то скорость движения центра масс - величина посто- янная. 4.9. Радиус-вектор центра инерции системы материальных то- чек. Радиус-вектор центра инерции системы материальных точек определяется на основе формулы (4.15). Поскольку скорость час- тицы i есть ее производная радиуса-вектора г* V=^L ' dt ’ то скорость системы центра инерции можно записать в виде (4.15) 1 dr. (4.16) (4.17) или г. d i Л _ Vn =------? т. г. . ° dt М ‘ ‘ Величина, стоящая под знаком полной производной 1 * Ло=17,2"г<-'1’ М tr (4.18) (4.19) называется радиусом-вектором центра инерции системы матери- альных точек. Примечание. Системы центра инерции интересны тем, что многие процессы в них выглядят проще, чем в произвольных инерциальных системах отсчета. 17
5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И РАБОТА 5.1. Работа постоянной силы при прямолинейном движении. Ра- ботой А постоянной силы F при прямолинейном однонаправлен- ном движении точки называется скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения Д7? А - [F Дй) = |дя| cosct . (5.1) Здесь | F | и | Д7? | - модули векторов силы и перемещения, а - угол между этими векторами. Модуль вектора перемещения при прямолинейном движении есть путь 5. Поэтому работа в этом случае может быть обозначена как Л-FScosa. (52) 5.2. Работа переменной силы при криволинейном движении. Для того чтобы дать понятие работы переменной силы при криволи- нейном движении тела из точки 1 в точку 2 (рис. 5.1), разобьем всю тра- екторию движения на N очень не- -ь больших участков, таких что на / Xt каждом участке i сила 7\. практиче- У ски остается постоянной, а сам уча- / / сток очень мало отличается от // отрезка прямой. Здесь 7^ - сила, действующая на Рис.5.1 тело на участке z, Д7?( - вектор пе- ремещения на i участке. В этом случае работа А силы F] на участке i траектории есть 8Л = (^-ДД)- (5.3) Работа же силы на всей траектории от точки 1 до точки 2 есть сумма работ на всех участках траектории Л = = -АД,-. (5.4) 1=1 (=1 18
В строгом математическом смысле работа переменной силы может быть представлена как предел суммы работ 5А , тогда ка- ждый вектор перемещения ЛЯ,, стремится к нулю, а число раз- биений N - к бесконечности Л = —Ш — У^-ДЯ. (5.5) Такой предел суммы математики называют криволинейным интегралом силы по заданной траектории между точками 1 и 2 . Теперь можно сказать, что работа переменной силы F при криво- линейном движении тела из точки 1 в точку 2 есть криволиней- ный интеграл силы F по заданной траектории движения тела A=^F-dR. . (5.6) 5.3. Кинетическая энергия и теорема об изменении кинетиче- ской энергии материальной точки. Кинетической энергией материальной точки называется вели- mV2 чина Т ~. Здесь m - масса материальной точки, V - ско- рость материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. При перемещении тела из точки 1 в точку 2 под действием пе- ременной результирующей силы FP« изменение кинетической энергии равно работе результирующей силы ту2 т/2 2 (S.7) Z Z J 6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 6.1. Поле потенциальных (консервативных сил). Пространство, в каждой точке которого действуют силы, называется силовым полем. Силы, работа которых не зависит от пути, по которому 19
частица переходит из одного положения в другое, называются консервативными. 6.2. Свойства работы в потенциальном поле. Работа при пере- мещении материальной точки в поле потенциальных сил по замкнутой траектории равна нулю. 6.3. Потенциальная энергия тела и работа в силовом статиче- ском поле. Потенциальной энергией тела в произвольной точке, например 1, называется работа консервативных сил поля, совер- шаемая при перемещении тела из точки 1 в точку 0, в которой потенциальная энергия равна нулю (рис. 6.1) . Рис. 6.1. Ц=Л (6-1) Примечание. Точка 0 выбирается произвольно. Произвол в выборе нулевой точки обусловливает неоднозначность потенциальной энергии. Работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2 в силовом статическом поле равна раз- ности потенциальных энергий тела в точках 1 и 2 (6.2) 6.4. Сила, действующая на материальную точку, при произ- вольном движении точки в силовом статическом поле. При произ- вольном движении тела потенциальная энергия есть функция трех координат тела х, у, z U = U(x,y,z). (6.3) В этом случае проекции силы Fx,Fy,F2, действующей на тело, мо- гут быть найдены по формулам, похожим на формулу (6.4) dU р _ р dU dx ’ y dy ’ dz (6-4) 20
6.5. Механическая энергия. Механической энергией тела назы- вается сумма кинетической и потенциальной энергий E = ~- + U. (6.5) 6.6. Закон сохранения механической энергии тела (материаль- ной точки) при его движении в поле потенциальных сил. При дви- жении тела в поле только потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергией тела остается постоянной mV1 —— + U - const. (6,6) 6.7. Упругий удар двух тел. Упругим ударом двух тел называ- ется такой удар, при котором кинетическая энергия тел сохраня- ется, так как потенциальные энергии до и после удара равны друг другу. 6.8. Упругий удар двух тел на которые не действуют внешние силы. При упругом ударе двух тел, на которые не действуют ни- какие другие внешние силы кроме кинетической энергии, сохра- няется полный импульс системы двух тел, т. е. имеет место закон сохранения импульса тх • V\ + т2 И2 = тх Vx + т2 • V2 . (6.7) Здесь тх и т2 - массы 1 и 2 тела; V} и V2~ скорости 1 и 2 тела до удара; V’ и V2 - скорости 1 и 2 тела после удара. Поскольку при упругом ударе сохраняется и кинетическая энергия, то имеет место следующее утверждение т2У2 _т^2 t т2У22 2 2 2 2 Закон сохранения кинетической энергии (6.8) и импульса (6.7) составляют математическое описание упругого удара двух тел, на которые не действуют внешние силы. 6.9. Неупругмй удар двух тел, на которые не действуют внешние силы. Неупругим ударом называется удар, при котором не сохра- няется механическая энергия, так как часть кинетической энер- гии переходит во внутреннею энергию взаимодействующих тел. Поэтому имеет место только закон сохранения импульса 21
тУ\ + т2^2 ~ + т2^2 (6-9) при условии, что система замкнута. 7. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 7.1. Момент импульса и момент силы. Определение 1. Моментом импульса L материальной точки на- зывается величина L=rxmV. (7.1) Здесь т - масса точки, г - ее радиус-вектор, V - скорость частицы. Определение 2. Моментом импульса системы материальных точек называется величина 2 = ^7] (7.2) i=i Здесь N - число материальных точек в системе, i - номер мате- риальной точки (г - 1, 2, 3,...7V) Определение 3. Моментом силы Mj действующим на точку называется величина (7.3) Здесь F\ - сила, действующая на i точку, - вектор, прове- денный от оси вращения до точки приложения силы. Определение 4. Моментом сил М, действующим на систему из W материальных точек, называется величина (7.4) 7.2. Скорость изменения момента импульса точки. Скорость f dL\ изменения момента импульса материальной точки равна результирующему моменту сил, действующему на точку 22
dL - — -M. dt 7.3. Закон сохранения момента импульса системы материаль- ных точек. Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек, равна нулю, то момент импульса этой системы сохраняется. 7.4. Условие выполнения закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса системы материальных то- чек может быть получен как следствие законов Ньютона. Поэто- му в данном случае область выполнения закона сохранения момента импульса обусловлена областью применения законов Ньютона. (7.5) 8. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ 8.1. Кинематика вращательного движения твердого тела. Твердым телом называется тело, у которого расстояние между двумя любыми точками не изменяется в процессе движения тела. Поступательное движение — это движение, при котором все точки тела получают за один и тот же промежуток времени рав- ные перемещения. Вращательное движение - это движение, при котором все точ- ки твердого тела движутся по окружностям, центры которых ле- жат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Любое движение твердого тела может быть представлено как совокупность поступательного и вращательного движений. Углом поворота твердого тела на- зывается угол Дф, на который пово- рачивается тело вокруг оси вращения. Например, оси г (рис. 8.1). Угловая скорость (со) твердого тела - это отношение угла поворота к времени, за которое осуществляет- ся этот поворот. С математической точки зрения угловая скорость - предел 23
.. Дф d® со = lim — = — Д/1 dt (8.1) Угловую скорость удобно рассматривать как вектор. В каче- стве модуля вектора угловой скорости выбирается величина (8.1). В качестве направления вектора со выбирается направление вдоль оси вращения такое, что при наблюдении из конца вектора твер- дое тело вращается против часовой стрелки. Угловым ускорением £ твердого тела называется величина, равная отношению изменения угловой скорости к времени, за ко- торое это изменение произошло. С точки зрения математики уг- ловое ускорение - это предел Если угловая скорость возрастает, то вектор углового ускорения направлен вдоль вектора угловой скорости, а если угловая ско- рость убывает, то вектор углового ускорения направлен против вектора угловой скорости. Мгновенная линейная скорость произвольной точки твердого тела. Рассмотрим вращение тела вокруг оси (рис. 8.2). Рис. 8.2 Для определения скорости произвольной точки А вспомним, что линейная скорость всегда направлена по касательной к тра- ектории, а модуль вектора скорости - это путь точки А (Дф т) за время (Д0. Теперь модуль скорости точки А будет иметь вид V =^ = А dt (8.3) 24
Нормальное ускорение произвольной точки твердого тела. Нормальным ускорением точки называется ускорение точки, двигающейся по дуге радиуса г со скоростью, модуль которой постоянен. Нормальное ускорение всегда направлено к центру и по модулю равно к/ а„ = — Г или, так как VA ~ гео, а„=®2г. Касательное (тангенциальное) ускорение произвольной точки твердого тела. Касательное ускорение ах произвольной точки А твердого тела определяется изменением модуля скорости точки А и направлено по касательной к траектории так как VA = сог, то йт=г£. (8.5) Результирующее ускорение произвольной точки твердого тела с закрепленной осью вращения может быть найдено по теореме Пифагора через а„ и аг a = yla*+a* . (8.6) 8.2 Момент импульса твердого тела с закрепленной осью вра- щения. Момент импульса произвольного числа N материальных точек равен Z = (8.7) Z=1 Эта формула может быть применена для расчета момента им- пульса твердого тела с закрепленной осью вращения (рис.8.2) . Для этого мысленно разобьем все твердое тело на элементарные массы. Введем обозначения: т, - масса, - радиус-вектор,^ - скорость точки твердого тела. По правилу векторного произведе- 25
ния момент импульса Z. точки перпендикулярен векторам и , но эти векторы лежат в плоскости твердого тела. Следовательно, вектор Д произвольной точки направлен по оси вращения твер- дого тела. Это позволяет утверждать, что вектор момента им- пульса всего тела тоже направлен по оси вращения и его модуль L равен сумме модулей векторов момента импульса всех точек твердого тела z = (8.8) /=| Модуль вектора момента импульса Ц точки i равен Д Поскольку скорость произвольной точки i есть V. = coz;, то Д ра- вен (8.9) Теперь момент импульса всего твердого тела равен Z = тир;2 . (8.10) / = 1 м Величина / = называется моментом инерции твердого те- ла относительно оси z. L = ®I. (8.11) 8.3. Основное уравнение вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. Для вывода основного уравнения вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения можно использовать выражение для скорости измене- ния момента импульса произвольной системы материальных точек. — = М . (8.12) dt В случае вращения твердого тела вокруг оси (z) вектор L на- правлен по оси вращения. В этом случае (8.12) можно записать в скалярной форме 26
(8.13) Здесь Mz - компонента внешнего момента сил вдоль оси z. Так как Z - ю/, то (8.13) можно записать в виде (8-14) den Так как момент инерции - константа, а — = 8 , то последнее dt уравнение принимает окончательную форму 1(И=М.. (8.15) Это уравнение называется основным уравнением вращатель- ного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. 8.4. Кинетическая энергия твердого тела с закрепленной осью вращения. Кинетической энергией произвольного числа матери- альных точек называется величина (8.16) Как было отмечено выше, модуль скорости произвольной точки твердого тела с закрепленной осью вращения - Vi=(ari . Это по- зволяет представить кинетическую энергию Т в виде (8.17) Как отмечалось, величина - момент инерции твердого тела относительно оси вращения. Теперь кинетическая энергия твердого тела (8.18) 27
9. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Лишь немногие люди на земле в со- стоянии постичь то невероятное напряже- ние и прежде всего то самопожертвование, без которого не могут родиться творения разума, пролагающие науке новые пути; только эти люди в состоянии постичь всю силу чувства, побуждающего к такому тру- ду, далекому от практической жизни. А. Эйнштейн 9.1. Энергия, импульс, масса свободной частицы в теории отно- сительности. Теория относительности изучает движение тел, ко- гда скорость материальной точки сопоставима со скоростью света с в вакууме, но V«c (с = 3-Ю8 м/с). При этих условиях им- пульс свободной частицы р и ее полная энергия Е задаются фор- мулами (9.1) Здесь то ~ масса покоя частицы. Формулы (9.1) позволяют установить, что для покоящейся частицы, когда О, полный импульс р тоже равен нулю, а энер- гия покоящейся частицы - mG с2. Последняя формула £0 = тос2 (9.2) описывает энергию покоящейся частицы, и эта энергия называет- ся энергией покоя. Исключив из формул (9.1) скорость, можно найти связь между энергией Е, импульсом р и массой свободной частицы £, = cJ(moc)2 +р2 . (9.3) 28
Формула (9.3) позволяет так же описать движение свободных безмассовых частиц. Безмассовые частицы - это такие частицы, для которых т0 = 0. В этом случае связь между энергией и импульсом безмассовой частицы задается соотношением Е - рс (9-4) К безмассовым частицам относятся фотоны, по-видимому, нейтрино. Кинетической энергией Т свободной частицы называ- ется энергия, которой обладает частица вследствие своего дви- жения или (9-6) 9.2. Закон сохранения энергии и импульса в теории относитель- ности. При взаимодействии нескольких частиц при условии, что на систему частиц не действуют внешние силы, сохраняется пол- ная энергия частиц Et = const и сохраняется полный импульс частиц Ха = const. (9.7) (9.8) 29
V. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Крупное научное открытие дает реше- ние крупной проблемы, но н в решении любой задачи присутствует крупица откры- тия. Если Вы решаете ее собственными си- лами, то Вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы. Д.Пойя 1. СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 В контрольную работу № 1 входят задачи по следующим раз- делам: 1. «Кинематика поступательного и вращательного движения» (задачи № 91-100). 2. «Импульс. Изменение импульса» (задачи № 101-110). 3. «Закон сохранения импульса в нерелятивистской механи- ке» (задачи № 111-120), 4. «Применение законов сохранения энергии и импульса для упругого и неупругого соударений тел (нерелятивистский слу- чай)» (задачи № 121-130). 5. «Вращательное движение. Определение кинетической энергии в случае плоского движения твердого тела - поступа- тельного и вращательного» (задачи № 131-140). 6. «Вращательное движение. Законы сохранения момента им- пульса и энергии» (задачи 141-150). 7. «Связь между полной энергией, импульсом, массой и кинети- ческой энергией в релятивистской механике» (задачи № 151-160). 8. «Законы сохранения импульса и энергии в релятивистской ме- ханике (на примере задач о распаде частиц)» (задачи № 161—170). 2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1. «Кинематика поступательного и вращательного движения» (задачи № 91-100). При изучении задач этого типа студенты должны уметь находить: мгновенную и среднюю скорость; угло- вую скорость и угловое ускорение; нормальную и тангенциаль- 30
ную составляющую ускорения. Рекомендуем изучить [1, § 3-5; 3 § 1-4]. Пример 1. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R = 50 м. Уравнение движения ав- томобиля = A+Bt+Ct2, где А = 10 м, В ~ 10 м/с, С = -0,5 м/с2. Найти: скорость V автомобиля, его тангенциальное ат, нормаль- ное ап, и полное ускорение а в момент времени t = 5 с. Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени: V= — = В + 2Ct. dt Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычис- ления: V- 5 м/с. Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую dV производную от скорости по времени: ах - — = 2С. Подставив dt значение С, получим =-1 м/с2. Отрицательный знак ускоре- ния означает: движение - равнозамедленное в данной задаче. Нормальное ускорение определяется по формуле ап ~ V2 / А. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значе- ние радиуса кривизны траектории и произведем вычисления: ап = 0,5 м/с2. Полное ускорение является векторной суммой ускорений ах и ап: а=ах+ап. Абсолютное значение ускорения а = ^а2 +а2. Подставив в это выражение найденные значения ах и ani полу- чим а = 1,12 м/с2. Пример 2. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой п0 =10<?"\ при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика стало рав- номерным, но уже с частотой и = 6с-1. Определить угловое уско- рение в маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N =50 оборотов. Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной соо и конечной со угловыми скоростями соотношением со2 - со2 = 2еср, где ф = угол в радианах. Чтобы получить Jco d® это соотношение, нужно вспомнить: 8 =— и со = —Проин- dt dt 31
тегрировав первое выражение по времени, получим со = соо + е-/. Подставив полученную формулу в выражение о = —, выразив dt dty и проведя интегрирование по времени, получим в t2 <р = (р0 +соо -Г-ь —Выразив время из со = соо+е-/, подставив его в предыдущее выражение, выразим £ через со и ср. Тогда £ = (со2 -сОо)/(2ср). Но так как ср = 2тсХ, со = 2л и, соо=2лио, то со2-со2 л(п2-и02) 8 =---------------—. Подставив значения л,л,и„,У и вычис- 2ср< N % лив, получим £ = -4,02 рад/с2. Знак «минус» указывает на то, что маховик вращался замед- ленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угловую скорость вращения с временем I: угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать со(/) = соо + £/, тогда t = (со-со0)/8, где со = 2лл, откуда 2У т. t =----- Подставив числовые значения и произведя вычисле- но + « ния, найдем t == 6,25 с. 2.2. «Импульс. Изменение импульса» (задачи № 101-110). При решении задач этого типа Вы должны научиться находить вектор изменения импульса и определять модуль этого вектора. Обрати- те внимание на определения «импульс материальной точки» и «импульс твердого тела» и способ нахождения изменения им- пульса тела при его движении. Рекомендуем изучить [1, § 2,8,18; 2, §1.2.3]. Пример 3. Тело массой т=1 кг движется с постоянной скоро- стью Р=1 м/с по окружности. Определить изменение импульса тела А Р графически и модуль |АР| за время прохождения им трех четвертей окружности. Решение. Скорость и импульс - векторные величины. Для на- хождения вектора АР = Р^-Р\ нужно использовать правило вы- читания векторов (см. «Сложение и вычитание векторов» в рабо- те [1, § 2]). Учтем, что Ро = \-p~mV, но направления 32
векторов Р о и Р] различны (рис.1). Векторы Рои Р} перенесем на отдельный рисунок (рис.2) и построим вектор I АР I . Пра- вильность построения I АР I легко проверить, сделав обратную операцию: зная векторы I API и Ро построить вектор Pj (Pf=P0+AP). Из рис. 2 следует: I АР I = ^Р2 + Р02 = 42mV. 2.3 «Закон сохранения импульса в нерелятивистской механике» (задачи №111-120). При составления уравнений на основания за- кона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости (а значит, и импульсы) всех рассматриваемых тел, обра- зующих замкнутую систему, должны отсчитываться относитель- но одной системы отсчета. После изучения литературы [1, № 8, 9, 18, 27; 2, § 1.2.3; 1.2.7] попытайтесь ответить на следую- щие вопросы: 1. Если мы имеем систему тел, то чему равен суммарный им- пульс этой системы? 2. Найдите и сформулируйте условие, при котором сохраняет- ся суммарный импульс системы тел. Пример 4, На горизонтальных рельсах стоит тележка с песком (общая масса 102 кг). В песок попадает снаряд массой т = 5,0 кг. В момент попадания скорость снаряда V - 4,0-102 м/с и на- правлена сверху вниз под углом а - 30° к горизонту. Найти ско- рость тележки если снаряд застревает в песке. 33
Решение. Тележку и снаряд можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но для этой системы суммарный импульс не сохраняется, так как действуют внешние силы: сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения. Ес- ли пренебречь действием силы трения на тележку во время удара, то, поскольку силы тяжести и нормальной реакции рельсов стро- го вертикальны, проекция внешних сил на горизонтальное на- правление х равна 0. Тогда в направлении оси х проекция векто- ра импульса системы на ось х сохраняется Рх до ~ РХ послеэ (3.1) где Рх д0= zt?2Ecos (а); Рх после- ~ проекции вектора импульса системы на ось X соответственно до и после взаимо- действия тел. Тогда уравнение (3.1) примет вид m2 Feos Получаем C/=m2Fcos м/с. 2.4. «Применение законов сохранения энергии и импульса для упругого и неупругого соударении тел (нерелятивистский случай)» (задачи № 121-130). Перед решением задач: 1. Сравните определения «упругий удар» и «неупругий удар». 2. Обратите внимание на различие в использовании законов сохранения энергии и импульса при упругом и неупругом ударах. 3. Если известны массы ттц и т2 двух тел и скорости их до удара Ki и К2, то попытайтесь определить скорости (71 и U2 после удара, если удар абсолютно упругий. Вам легко будет ответить на предлагаемые вопросы после изучения [1, §28; 2, § 1.3.5] . Пример.5. Молот массой /Wj-2,0102 кг падает на поковку, масса т2 которой вместе с наковальней равна 2,5403 кг. Считая удар центральным и неупругим, определить коэффициент полез- ного действия (КПД) ц удара молота о поковку. Полезной счи- тать энергию, затраченную на деформацию поковки. Решение. КПД удара молота о поковку равен отношению энергии РЕдеф, затраченной на деформацию поковки, ко всей за- траченной энергии: Г= Р//2. Для определения применим законы сохранения импульса и энергии для системы молот-поковка (с наковальней): 34
К v={m\+m-2)U, где V i - скорость молота в момент удара; U - скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара _ ОТ| +т2 ТТ2 , ГГ/ 2 - 2 + Разделив на Т= V^/2 уравнение для энергии, получим /г Находим U из закона сохранения импульса U= и определяем КПД удара: т|=^ = _^2_ = 0,93. Т п\+т2 2.5. «Вращательное движение. Определение кинетической энер- гии для плоского движения твердого тела» (задачи № 131-140). Рекомендуем внимательно прочитать литературу [1, § 5, 36-39, 41, 42; 2, § 1.1.5 и гл. 1.4] и составить таблицу, в которой должна быть проведена аналогия характеристик поступательного и вра- щательного движения (образец таблицы приведен в работе [1, § 41]). После изучения основных характеристик вращательного движения предлагаем Вам ответить на такие вопросы: 1. Как определить направление угловой скорости со и углово- го ускорения s ? 2. Совпадают ли по направлению угловая скорость и угловое ускорение? 3. От чего зависит момент инерции тела J и как его можно из- менить? 4. Как определить направление момента силы , если заданы приложенная сила F и радиус-вектор г от центра вращения до точки приложения силы? 5. Как связаны между собой моменты силы М , момент инер- ции J и угловое ускорение е ? 35
Обращаем Ваше внимание, что момент силы М =[ г , F ]и связь между линейной и угловой скоростью К=[о;г] выража- ются через векторные произведения. Поэтому Вам необходимо изучить раздел «Векторное произведение» (см. [1, § 2] ). Направ- ление вектора угловой скорости со определяется по правилу пра- вого винта [1, § 5]. Пример 6. Диск массой m катится без скольжения по горизон- тальной плоскости со скоростью Ve. Найти кинетическую энер- гию диска. Решение. Кинетическая энергия при плоском движении диска слагается из энергии поступательного движения (Гпост) со скоро- стью, равной скорости центра инерции Кс, и энергии вращения (Гвр) вокруг оси, проходящей через центр инерции диска: 1 1 пост^* вр Л _ 5 2 2 где Кс скорость центра инерции; со -угловая скорость; Jc - мо- мент инерции диска относительно оси вращения, проходящей т mR2 через центр инерции диска <7диска=---'> w - масса диска. 2 Примечание. Понятие о центре инерции тела и его кинетической энергии при плоском движении можно найти в учебном пособии [1, § 27, 37, 42] и в справочнике [2, § 1.2.3, 1.4.3]. При отсутствии скольжения Кс=о>/?. Тогда mV2 mR2V2 2>mV2 т Tmct+Tsv 2 + 2Л22 - 4 • 2.6. «Вращательное движение. Законы сохранения углового им- пульса и энергии» (задачи № 141-150). Обратите внимание, что при использовании закона сохранения момента импульса следует рассматривать моменты импульсов всех тел системы относитель- но одной оси (или параллельных и неподвижных друг относи- тельно друга осей). Предлагаем Вам ответить на следующие во- просы: 1. Чему равен и как направлен момент импульса: а) материальной точки? б) твердого тела? 36
2. При выполнении какого условия можно применить закон сохранения момента импульса к системе? Для того, чтобы ответить на эти вопросы, изучите литературу [1, § 29; 2, § 1.4.4] . Пример 7. Человек массой 6Q,Q кг находится на непод- вижной платформе массой т ~ 100,0 кг. С какой частотой п будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружно- сти радиусом г = 5,0 м вокруг оси вращения? Скорость движе- ния человека относительно платформы V4 пл = 1,0 м/с. Радиус платформы 10,0м. Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой _mR2 2 */пл , Jг . Решение. Сначала поясним некоторые обозначения: Кч пл - линейная скорость человека относительно платформы; соч пл - угловая скорость человека относительно платформы. Если нет проскальзывания, то со ч пл= Кч щЛ- Применяем закон сохранения момента импульса для системы человек - платформа относитель- но Земли, считая момент сил трения равным нулю: «Л1л СО пл"^Л-СО гЗ—0, гдейгз = йч пл+ сопл “ угловая скорость человека относительно Земли. Выбираем положительное направление оси, которое свя- зываем с направлением угловой скорости человека. Проектируем моменты импульсов человека и платформы на выбранную ось. Закон сохранения момента импульса для системы человек - платформа запишется в скалярном виде относительно Земли сле- дующим образом: Jy Ф гЗ - СО пл”• Подставляем значения Jr, и со г3 = Кч пл/г- со лл и получаем = ^пл 1 0,4 — . 2тс 2л / mR2 2 ч ’ мин ( + V ) 37
2.7. «Связь между полной энергией, импульсом, массой и ки- нетической энергией в релятивистской механике» (задачи № 161- 160). При изучении этой темы студенты должны ответить на во- просы 12-16 раздела II. Для этого следует изучить [1,гл. 8; 7, гл. 4]. Важным результатом теории относительности Эйнштейна является универсальное соотношение между полной энергией уединенного тела е и его массой т (7.1) Релятивистский импульс (7.2) Связь между полной энергией Е, импульсом Р и массой т тела получается после проведения некоторых преобразований формул (7.1) и (7.2) £2-Л2=Л4. (7.3) Выражение (Е2 - PV) при любых скоростях тела остается не- изменным, равным т2с* ,т.е. оно есть инвариант движения. Таким образом, масса покоя т является инвариантной (неизменной) комбинацией Е и Р, Из соотношения Е ~ (w?c2+T) следует выра- 2 1 жение для кинетической энергии Т = тс (—- -1). № Пример 8. Какую ускоряющую разность потенциалов U дол- жен пройти ц-мезон, чтобы его скорость составляла 95 % скоро- сти света? р- — = 0,95, т =207we, тес2 =0,51 МэВ, с 1 МэВ = 1,6 10~вДж, = е = 1,6*10“’9Кл, те = 9,1 • 10’31кг 38
Решение. В данном примере и в задачах № 151-160 рассмат- риваются мезоны. Мезоны - это нестабильные элементарные частицы с элементарным электрическим зарядом или нейтраль- ные со значением масс, промежуточных между массами электро- на и нуклонов (протонов и нейтронов). В данной задаче мезон движется со скоростью, близкой к скорости света, и поэтому яв- ляется релятивистским. Пройдя ускоряющую разность потенциа- лов U, мезон приобретает кинетическую энергию Т. Согласно закону сохранения энергии записываем eU=T. (1А) Кинетическая энергия определяется с помощью следующей формулы: г = тс2(1 1). (7.5) Тогда из (7.4) и (7.5) следует: w„c2 1 е vw 2,2mе2 U = -—— «232,2 Mb. e 2.8. «Законы сохранения импульса и энергии в релятиви- стской механике (на примере задач о распаде частиц» (задачи № 161-170). Одним из примеров экспериментального подтвер- ждения выводов релятивистской механики являются процессы распада (и столкновения) элементарных частиц. Утверждается, что основной принцип, регулирующий процессы в микромире, таков: все, что не запрещено законами сохранения, разрешено. Из всего множества законов, принятых в микромире, нас особенно будут интересовать законы сохранения энергии и импульса. Они формулируются применительно к распаду так: после процесса распада суммарная конечная энергия возникших частиц равна начальной энергии распавшейся частицы. То же и с импульсом. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 9. Частица с массой распадается на две частицы с массами тх и т2. Определить энергии и импульсы образовавших- ся частиц: Ei,E2,P],P2. 39
Решение. Используем систему отсчета, в которой суммарный импульс частиц до и после их взаимодействия равен нулю. Это система центра инерции (СЦИ). Запишем законы сохранения энергии и импульса Е,=Е}+Ег, (8.1) Ро=^+Л=О; |Р2| = |^| = р. (8.2) Из (7.3) и (8.2) следуют выражения для энергий всех частиц Е^г + т^сУ2- (8.3) £2=(/с2 + т2с4)1/2; (8.4) £()=m()c2. Подставляя выражения для энергий всех частиц в (8.1), полу- чим уравнение относительно р т$с2 ~ (р2с2 + т 2 с4)1/2 = (р2с2 + т \ с4)1/2. Возводя в квадрат обе части уравнения, сократив подобные чле- ны и сделав перенос выражений, не зависящих от р, в правую часть, получим -2 т0с2(р2с2 + т2 с4)1/2 = т2 с4 - (moc2)2 - т 2 с4. Сократив на с2, разделив на (-2/п0)5 опять возводя в квадрат обе части уравнения и сократив подобные члены, получим выраже- ние для модулей импульсов рг=р2=р= с[( (m2 + т2-т2)/(2то) )2 -w2]1/2. (8.5) Подставляя выражения для импульсов всех частиц (8.5) в (8.3) и (8.4), получим энергии образовавшихся частиц^ и Е2. Пример 10. Покоившаяся частица распалась на новую частицу массой и на фотон с импульсом Ру . Определить массу рас- павшейся частицы то. Решение. Используем систему единиц СИ и систему отсчета (система центра инерции) СЦИ. Обращаем Ваше внимание на существование частиц (фотон, нейтрино, для которых энергия, обусловленная массой, равна нулю. Если в формуле (7.3) поло- 40
жим /к2с4 = 0, то Еу- РуС. Кроме того, Р = . Формулы Еу= Рус с „ Ei'V и г = —-— согласуются только в том случае, если скорость час- с тицы V равна скорости света с. Значит, частица с нулевой энерги- ей, обусловленной массой, всегда движется со скоростью света. Применяем законы сохранения энергии к импульса (8.6) (8.7) Из (7.3) и (8.7) следуют выражения для энергий всех частиц EHPrV + mf с4)|/2; (8.8) Еу=Рус; (8.9) Eo=woc2. Подставляя выражения для энергий всех частиц в (8.6), полу- чим уравнение относительно w0. Ру с1 + т2 ?)ш + Лс- Разделив на с2, Вы получите массу распавшейся частицы w0=[( Ру2с2 + т2 ?)1/2 + Рус\/с2. 41
3. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ ДЛЯ ПЕРВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Студент-заочник должен решить восемь задач (разд. 7) того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра Вари- ант Номера задач 0 91 101 111 121 131 141 151 161 1 92 102 112 122 132 142 152 162 2 93 103 113 123 133 143 (53 163 3 94 104 114 124 134 144 154 164 4 95 105 115 125 135 145 155 165 5 96 106 116 126 136 146 156 166 6 97 107 117 127 137 147 157 167 7 98 108 118 128 138 148 158 168 8 99 109 119 129 139 149 159 169 9 100 НО 120 130 140 150 160 170 Кроме того, предлагаем Вам решить нестандартные задачи (разд. 5). Решение этих задач будет учитываться при сдаче экза- мена и несомненно повысит Вашу эрудицию. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 Вы тигр, вы лев, вы кошка. Если бы к небу и к земле были приделаны кольца, вы бы схватили бы эти кольца и притянули бы небо к земле. И.А. Бабель 91. Движение точки по прямой задано уравнением х - At + Bt\ где А = 2 м/с, В = -0,5 м/с2. Определить среднюю путевую ско- рость <v> движения точки в интервале времени от - 1 с до /2 = 3 с. 92. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением £ = А + Bt + С?, где А=10 м; В= - 2 м/с, С = 1 м/с2. Найти тангенциальное нормальное а„ и полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с. 93. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В не- который момент времени нормальное ускорение точки ап = 4,9 м/с2; 42
в этот момент векторы полного и нормального ускорений обра- зуют угол ф = 60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение аг точки. 94. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м/с2, со- гласно уравнению £, = At3, где А~2 м/с3 В какой момент времени t нормальное ускорение ап точки будет равно тангенциальному Определить полное ускорение а в этот момент. 95. Диск радиусом г = 20 см вращается согласно уравнению ф = A+Bt+Ct3, где А~3 рад; В = ~1 рад/с; С = 0,1 рад/с . Опреде- лить тангенциальное аг, нормальное а„ и полное а ускорения то- чек на окружности диска доя момента времени t = 10 с. 96. Диск радиусом г = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением £ = 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное ат, нормальное а„ и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения. 97. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N = 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от п\ ~ 4 с'1 до д2 = 6 с1. Определить угловое ускорение £ колеса. 98. Диск вращается с угловым ускорением £ = -2 рад/с2. Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты враще- ния от «1 = 240 мин"1 до п2 ”90 мин"1? Найти время At, в течение которого это произойдет. 99. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение ац точек, лежащих на земной поверхности: 1) на эква- торе; 2) на широте Москвы (ф = 56°). 100. Движения двух материальных точек выражаются уравне- ниями х = + B}t + Ct2, х2 - А2 + B2t + Crf2, где Ai — 20 м; А2 ~ 2 м; В2 = В} = 2 м/с; С] = -4 м/с2; С2 = 0,5 м/с2. В какой момент време- ни t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скоро- сти Vi и v2 и ускорения аг и а2 точек в этот момент. Во всех задачах 101-110 обязательно сделать поясняющие чертежи, как показано в примере 3. 101. С высоты А] = 2,0 м на стальную плиту свободно падает шарик массой т = 0,2кг и подпрыгивает на высоту Л2=0,5 м. Оп- ределить изменение импульса шарика за время удара (g = 9,8 м/с2). 102. Тело массой т ~ 0,3 кг, брошенное с поверхности Земли со скоростью Г=2,0 м/с вертикально вверх, падает на Землю. Найти изменение импульса тела за время движения. Сопротивле- нием воздуха пренебречь. 43
103. Пуля пущена с поверхности Земли с начальной скоростью Ко = 200 м/с под углом а = 60° к горизонту. Масса пули ОД кг. Найти изменение импульса к моменту достижения пулей наи- высшей точки траектории движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. 104. Снаряд массой 2,0 кг выпущен из орудия под углом а-30° к горизонту с начальной скоростью 50 м/с. Найти изменение им- пульса к моменту падения снаряда иа Землю. Сопротивление воздуха не учитывать. 105. Камень массой ОД кг брошен с вышки высотой h - 44,1 м в горизонтальном направлении с начальной скоростью К= 30,0 м/с. Определить импульс камня в момент падения на Землю и изме- нение импульса за время движения. Сопротивление воздуха не учитывать (g = 9,8 м/с2). 106. Молекула массой т = 4,65 ДО"26 кг, летящая по нормали к стенке сосуда со скоростью V - 600 м/с, ударяется о стенку и уп- руго отскакивает от нее без потери скорости. Найти изменение импульса молекулы за время удара о стенку. 107. Молекула массой т - 4,65-10’26 кг, летящая со скоростью V- 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом а = 602 к норма- ли и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти изме- нение импульса молекулы за время удара. 108. Тело массой ОДО кг, двигаясь равномерно, описывает 1/4 окружности радиусом R - 1,20 м в течение 2,00 с. Найти измене- ние импульса за время движения. 109. Тело массой 0,2 кг движется с постоянной скоростью 0,5 м/с по окружности. Определить изменение импульса тела за время прохождения им половины окружности. ПО. Тело массой т = ОД кг брошено под углом а = 30° к го- ризонту с начальной скоростью Ко= 10 м/с. Пренебрегая сопро- тивлением воздуха, найти изменение импульса к моменту паде- ния тела на Землю. При решении задач № 111-120 необходимо сделать поясняющие чертежи и указать, относительно какой системы отсчета Вы при- менили закон сохранения импульса. 111. При горизонтальном полете со скоростью V = 250 м/с снаряд массой т = 8 кг разорвался на две части. Большая часть массой wi = 6 кг получила скорость U\ = 400 м/с в направлении полета снаряда. Определить абсолютное значение и направление скорости t/2 меньшей части снаряда. 112. На тележке, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью V\ - 3 м/с, находится человек. Человек прыга- 44
ет в сторону, противоположную движению тележки. После прыжка скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Оп- ределить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки т = 210 кг, масса человека т2 = 70 кг. 113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной плат- форме, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом а = 30° к линии горизонта. Определить скорость U2 отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью С/] =480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядом т = 18,0 т, масса снаря- да 7И1 =60,0 кг. 114. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса его т\ = 60,0 кг, масса доски ?п2=20,0кг. С какой скоростью U (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пой- дет вдоль нее со скоростью (относительно доски) К] = 1,0 м/с? Массой колес пренебречь, .трение не учитывать. 115. Снаряд, летевший со скоростью К= 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40 % от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью Z71 = 150 м/с. Определить скорость U2 большего ос- колка. 116. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием М = 15,0 т. Орудие стреляет вверх под углом а = 60° к горизонту. С какой скоростью V\ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда т = 20 кг и он вылетает со скоростью V2 = 600,0 м/с? 117. Тело массой в 1,0 кг, движется горизонтально со скоро- стью 1,0 м/с, догоняет второе тело массой 0,5 кг и неупруго стал- кивается с ним. Какую скорость U получат тела, если второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направлении, что и пер- вое тело? 118. Человек массой т = 60,0 кг бежит со скоростью 2,0 м/с навстречу тележке массой т2 = 80,0 кг и вскакивает на нее. Те- лежка движется со скоростью 0,85 м/с. С какой скоростью V бу- дет двигаться тележка после того, как человек запрыгнет на нее? 119. Снаряд массой тх = 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью V} ~ 500 м/с, попадает в вагон с песком, масса которого т2 = 10 т, и застревает в нем. Ка- кую скорость U получит вагон, если он двигался со скоростью У2 = 10 м/с в направлении, противоположном движению снаряда? 45
120. В лодке массой mi = 240,0 кг стоит человек массой т2~ 60,0 кг. Лодка плывет со скоростью К] = 2,0 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью V - 4,0 м/с (относительно лодки) в сторону, противоположную движению лодки. Найти скорость U движения лодки после прыжка человека. 121. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на на- ковальне массой 300кг, ударяется молот массой т2 = 8 кг. Определить КПД удара, если удар неупругий. Полезной счи- тать энергию, затраченную на деформацию куска железа. 122. Шар массой т\ ~ 1,0 кг движется со скоростью Vi = 4,0 м/с и сталкивается с шаром массой т2 = 2,0 кг, движущимся навстре- чу ему со скоростью У2 = 3,0 м/с. Каковы скорости шаров Ц и U2 после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, цен- тральным. 123. Шар массой - 3,6 кг движется со скоростью. Vx - = 2,0 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 = 5,0 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным. 124. Определить КПД (т]) неупругого удара бойка массой тх = 0,5 т, падающего на сваю массой т2= 120 кг. Полезной счи- тать энергию, затраченную на вбивание свай. 125. Шар массой mi = 4,0 кг движется со скоростью Kj = 5,0 м/с и сталкивается с шаром массой т2 = 6,0 кг, который движется ему навстречу со скоростью V2 = 2,0 м/с. Считая удар прямым, цен- тральным, а шары однородными, абсолютно упругими, найти их скорости после удара. 126. Шар массой тх = 5,0 кг движется со скоростью Fi — 1,0 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 - 2,0 кг. Опреде- лить скорости шаров L/j и U2 после удара. Шары считать одно- родными, абсолютно упругими, удар прямым, центральным. 127. Тело массой тх - 3 кг движется со скоростью И = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар цен- тральным и неупругим, найти количество теплоты Q , выделив- шееся при ударе. 128. Тело массой т\ - 5,0 кг ударяется о неподвижное тело массой т2 = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с ки- нетической энергией Т2 - 5,0 Дж. Считая удар центральным и уп- ругим, найти кинетические энергии 71 и Т2 первого тела до и по- сле удара. 129. Два тела движутся навстречу друг другу и соударяются неупруго. Скорости тел до удара были: Kj = 2,0 м/с и V2 = 4,0 м/с. 46
Общая скорость тел после удара U = 1,0 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости V\ . Во сколько раз кинетиче- ская энергия Т\ первого тела была больше кинетической энергии Т2 второго тела? 130. Тело массой тг ~ 5,0 кг ударяется о неподвижное тело массой т2 = 2,5 кг. Кинетическая энергия системы двух тел непо- средственно после удара стала Т = 5,0 Дж. Считая удар цен- тральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара. При решении задач № 131-150 Вам необходимо знать фор- мулы для определения момента инерции некоторых тел отно- сительно оси, проходящей через центр инерции тела: т mR1 цилиндра - J - ——; _ mR1 диска - J =-------; 2 обруча, обода - J — mR2", 2 2 шара J——mR, ml2 стержня - J = — Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен Во всех задачах# принять равным 9,8 м/с2. 131. Определить скорость поступательного движения сплош- ного цилиндра, скатившегося с наклонной плоскости высотой h = 0,2 м. 132. По плоской горизонтальной поверхности катится диск со скоростью V = 8,0 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь 5 = 18,0м. 133. Диск массой т = 2 кг катится без скольжения со скоро- стью V~ 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска Т. 134. Обруч и диск одинаковой массы т\ - т2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью V. Кинетическая энергия обруча Т} = 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска. 47
135. Шар диаметром d ~ 0,06 м и массой т = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой враще- ния п = 4,0 об/с. Найти кинетическую энергию шара Т. 136. Найти кинетическую энергию Т велосипеда, едущего со скоростью Г=9 км/ч. Масса велосипеда вместе с велосипедистом m = 78 кг, причем на колеса приходится масса mQ ~ 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами. 137. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т~ 2,0 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью V- 5,0 м/с. Найти кинетические энергии этих тел. 138. Определить линейную скорость V центра шара, скатив- шегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 10,0 м. 139. Шар катится по горизонтальной плоскости. Какую часть составляет энергия поступательного движения от общей кинети- ческой энергии? 140. Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой скоро- стью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается выше? Найти отношение высот подъема. В задачах № 141-150 скамью Жуковского рассматривать как однородный диск. 141. На краю платформы в виде диска диаметром D = 2 м, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой И1 = 8 об/мин, стоит человек массой = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой т = Ю об/мин. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 142. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой т} ~ 6,0 кг стоит человек массой тп2 = 60,0кг. С какой угловой скоростью со начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой т = 0,5 кг? Траек- тория мяча - горизонтальная прямая, проходит на расстоянии г = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча /= 5,0 м/с. 143. Человек стоит на скамье Жуковского и держит и руках стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается с частотой п} - 15,0 об/с. С какой угловой скоростью со2 будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол а = 180° и коле- со окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи J -8 кг м1, радиус колеса А = 0,25 м. Массу колеса т = 2,5 кг можно считать равномерно распределен- 48
ной по ободу. Считать, что центр тяжести человека с колесом на- ходится на оси платформы. 144. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень за его конец вертикально по оси вращения скамьи. Ска- мья с человеком вращается с угловой скоростью coi = 4,0 рад/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное по- ложение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = = 5,0 кг-м2. Длина стержня L = 1,8 м, его масса т = 6,0 кг. Счи- тать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы. 145. Платформа в виде диска диаметром D =3,0 м и массой = 180,0 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С ка- кой угловой скоростью СО] будет вращаться эта платформа, если по ее краю пройдет человек массой т2 - 70,0 кг со скоростью V= =1,8 м/с относительно платформы? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 146. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол (р повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платфор- ме) точку? Масса платформы т\ = 280,0 кг, масса человека т2 = 80,0 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для ма- териальной точки. 147. Шарик массой т = 0,06 кг, привязанный к концу нити длиной L = 1,2 м, вращается с частотой «1 = 2 об/с, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая ша- рик к оси вращения до расстояния L2 “ 0,6 м. С какой частотой п2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. 148. Горизонтальная платформа массой т = 80 кг и радиусом А ~ 1 м вращается с частотой И] = 20 об/мин. В центре платфор- мы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой пг будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от = 2,94 кг м2 до J2 = 0,98 кг-м2? Считать платформу однородным диском. 149. Человек стоит на скамье Жуковского и держит и руках за конец легкий стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвиж- на, колесо вращается с частотой пг = 10 об/с. С какой частотой 49
будет вращаться скамейка, если человек повернет стержень на угол 90°? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кг-м2, момент инерции колеса 0,12 кг м2. 150. Горизонтальная платформа массой т\ = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой = 10 об/мин. Человек массой = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой п2 она начнет вращать- ся, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой. При решении задач № 151-160 необходимы следующие величины: 1) энергия электрона, обусловленная массой, тес2 = 0,51 МэВ; 2) масса ц-мезоиа равна 207 те; энергия, обусловленная массой ц-мезона, равна 106 МэВ, где те - масса электрона (we = 9,l- Ю’31 кг); 3) энергия протона, обусловленная массой, равна 938 МэВ; 1 МэВ = 10^ эВ = 1,6 10 13 Дж, 1 ГэВ = 10+9 эВ - 1,6 Ю"10 Дж. 151. Найти импульс электрона, имеющего кинетическую энер- гию 1 МэВ. 152. Кинетическая энергия некоторой частица равна ее энер- гии, обусловленной массой. Чему равна скорость частицы? 153. Найти скорость ц-мезона, ускоренного разностью потенциа- лов в 1000 В. (Заряд ц-мезона равен заряду электрона е = 1,6 10'19 Кл.) 154. Найти скорость ц-мезона и его кинетическую энергию, если полная энергия в 5 раз больше его энергии, обусловленной массой. 155. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен прой- ти электрон, чтобы его скорость составляла 95 % скорости света? 156. Скорость электрона V = 0,8 с (где с - скорость света в ва- кууме). Определить в мегаэлектрон-вольтах кинетическую энер- гию электрона (1 МэВ = 10+б эВ). 157. Определить скорость частицы, если ее кинетическая энергия в 9 раз больше энергии, обусловленной массой. 158. Какую скорость Р (в долях скорости света) нужно сооб- щить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удво- енному значению энергии, обусловленной массой? 159. Определить импульс и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью V = 0,9 с, где с - скорость света в ва- кууме. 160. Синхрофазотрон дает пучок ц-мезонов с кинетической энергией 1 ГэВ. Какую долю р скорости света составляет ско- рость ц-мезонов в этом пучке (1 ГэВ = 109 эВ)? 50
Задачи № 161-170 следует решать в такой системе отсчета, в ко- торой суммарный импульс тел (или частиц) до и после их взаимо- действия равен нулю (это система центра инерции - СЦИ). При ре- шении этих задач рекомендуем использовать геометрические представления. О таких элементарных частицах, как S-гипероны, мезоны, нейтроны, протоны, Вы можете прочитать в [10, § 66,74,49] 161. Найти кинетическую энергию нейтрона, возникшего при распаде остановившегося S-гиперона (£'~»и+л). Энергии, обу- словленные массами частиц, имеют следующие значения: для S-гиперона 2328 тес\ для нейтрона 1836 тес\ для я-мезона 273 тес2, где т^2 - 0,51 МэВ. 162. Покоившаяся частица массой М распадается на две оди- наковые частицы с массами т. Определить кинетические энергии этих частиц. 163. Покоившаяся частица распалась на новую частицу массой т и на фотон с энергией Определить массу т распавшейся частицы. 164. Остановившийся тг-мезон распался на мюон (ц+-мезон) и нейтрино. Найти энергию’ нейтрино. Энергии, обусловленные массами частиц, равны: для я+-мезона - 273 тес2, для ц+-мезона - 207 тес\ где тес2 = 0,51 МэВ. 165. Покоившаяся частица массой М распалась на две одина- ковые частицы с массами т. Определить импульсы этих частиц. 166. Определить полную энергию нейтрона, возникшего при распаде остановившегося £>гиперона (S'—>и+л' ). Энергии, обу- словленные массами частиц, равны: для S' -гиперона 2328 тес2, для нейтрона 1836 тес2, для я'-мезона 273 тес2, где тес2 = 0,51 МэВ. 167. Остановившийся я+-мезон распался на мюон (ц+ -мезон) и нейтрино. Определить импульс мюона. Энергии, обусловленные массами частиц, равны: для я+-мезона 273 тес\ для ц+-мезона 207 тес2, где тес2 = 0,51 МэВ. 168. Покоившаяся частица массой М распалась на новую час- тицу массой т и на фотон. Определить импульс и энергию фотона. 169. Покоившаяся нейтральная частица распалась на протон с кинетической энергией Тр = 5,3 МэВ и я-мезон. Найти массу т нейтральной частицы. Энергии, обусловленные массами частиц, равны: для протона 1836 тес\ для я-мезона 273 тес\ где тес2 ~ 0,51 МэВ. 170. Остановившийся я+-мезон распался на ц+-мезон и нейтри- но. Найти кинетическую энергию ц+-мезона. Энергии, обуслов- ленные массами частиц, равны: для я+-мезона 273 тес\ для ц-мезона 207 rrigC2, где тес2 - 0,51 МэВ. 51
5. НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ 5.1. Мячик массой 0,1 кг падает вертикально со скоростью 2,0 м/с, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона к горизонту 30°. Опре- делить изменение импульса мячика за время удара. 5.2. Телеграфный столб высотой h = 5 м и массой М = 50 кг подпиливают у основания. С какой скоростью упадет на Землю верхний конец столба? Столб считать тонким и однородным. 5.3. С какой наименьшей высоты h должен съехать велосипе- дист, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имею- щую форму «мертвой петли» радиусом X = 0,3 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велосипедиста с вело- сипедом т = 75. кг, причем на колеса приходится масса mQ = 3 кг. 5.4. Как определить момент инерции тела произвольной формы? 5.5. Показать, что в результате распада К°-мезона не могут появиться два нулевых тг -мезона (К0->я'+тг°)? Энергии, обуслов- ленные массами частиц, имеют следующие значения: типс2 ~ =0,140 ГэВ; т^с2 = 0,135 ГэВ; = 0,498 ГэВ (1 ГэВ=106 * * 9 эВ). 5.6. Ток (I- 100 мА) свободных электронов со скоростью Г=100 м/с падает на заземленную мишень. Найти силу давления электронов на мишень. 5.7. Тело без трения скатывается с вершины полусферы ра- диусом R. Найти скорость в точке отрыва тела от полусферы. 6. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ № 101-105,110. Векторы изменения импульса и силы тяжести должны иметь одно направление, так как согласно второму зако- АР - ну Ньютона — = F. Ы № 106, 107. Изменение импульса должно быть направлено перпендикулярно стенке (по направлению действия силы реакции со стороны стенки). № 103-105, 110. Подсказку для решения задач Вы найдете в примере 1 разд. 2. № 111-120. Подумайте, почему эти задачи нельзя решить с использованием закона сохранения энергии. Прежде чем приме- 52
нить закон сохранения импульса, не забудьте показать, что сис- тема тел, для которой Вы используете этот закон, должна быть замкнутой (пример 2 разд. 2). № 112. Обратите внимание на выбор системы отсчета. Требу- ется определить горизонтальную составляющую скорости чело- века при прыжке относительно тележки (U2), в то время как в ус- ловии указаны скорости тележки относительно Земли. Положительным направлением считаем направление скорости тележки , тогда проекция скорости человека относительно Земли на выбранное направление равна № 114. Выбираем в качестве системы отсчета Землю. Проек- ция скорости человека относительно Земли: Ki-17. № 116. Внимательно разберите решение примера 2 (разд. 2). № 118,119. При записи закона сохранения импульса обратите внимание, что человек и снаряд двигались навстречу, соответст- венно - тележка и вагон. № 120. Если в качестве системы отсчета выбрать Землю, то проекция скорости человека относительно Земли равна V- U. № 121,124. Внимательно разберите решение примера 3 (разд. 2). № 122, 125, 126. Не забудьте получить формулы для скоро- стей тел Ui и U2 после удара [1, § 28]. № 123, 127, 129, 130. Обратите внимание, что при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Часть суммарной кинетической энергии шаров до удара переходит в энергию де- формации: + + W 2 2 2 деф’ U находим из закона сохранения импульса: тух + тгчг -(т} + m2)U. № 131-140. Эти задачи решаются с использованием закона сохранения энергии: потенциальная энергия тела, находящегося на высоте /г, переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения и наоборот (задача № 140). № 132. Сумма кинетических энергий поступательного и вра- щательного движений диска расходуется на работу по преодоле- нию сил трения, которая равна mgks. № 141-150. Подумайте, почему эти задачи нельзя решить с использованием закона сохранения энергии. Покажите, что сис- 53
тема тел, для которой Вы используете закон сохранения момента импульса, является замкнутой. № 143. Вспомните, что угловая скорость й направлена вдоль оси вращения. Поэтому если выбрать положительное направле- ние оси, совпадающее с первоначальным направлением угловой скорости колеса й, то проекция на эту ось - положитель- ная. Когда колесо повернуто на 180°, то проекция момента им- пульса колеса на выбранную ось будет отрицательной^/^). № 145,146. Внимательно разберите решение примера 7 (раз- дел 2). № 146. Учтите, что угловая скорость й = № 149. См. указания к задаче № 143. Если колесо повернуто на 90°, то проекция момента импульса колеса на выбранную ось равна 0. № 151-160. Внимательно разберите решение примера 8 и вы- вод соотношений между массой, импульсом и энергией в реляти- вистской механике [разд. 2, формулы Ai, А2, 2]. При решении задач, когда известны кинетическая энергия Т и масса частицы т, необходимо определить, по какой формуле рассчитывается импульс (релятивистский случай Р ~ -^Т(7’ + 2лю2); нереляти- с вистский Р = ^2тТ)? Необходимо помнить перевод эВ, МэВ в Дж: 1 эВ = 1,6-10'19 Дж; 1 МэВ = 1,6-10’13 Дж. № 151,159. Следует иметь в виду, что для микрочастиц им- пульс принято выражать в МэВ/c, где с - скорость света; перевод в СИ делается следующим образом: 1 6-Ю’13 ГГж-с Р = МэВ / с = -—з Куз — = 5,3’10"22 кгм / с (килограмм-метр в секунду). № 153. Обратите внимание, что ц-мезон является заряженной частицей (см. пример 8). Следовательно, пройдя разность потен- циалов 1 кВ, ц -мезон получает от электрического поля энергию, равную eU. № 154-156, 158-160. Эти задачи легко решаются, если ис- пользовать формулу для кинетической энергии частицы 54
№ 161-170. Внимательно разберите примеры 9 и 10 (разд. 2.8). Обращаем Ваше внимание, что эти задачи решаются с ис- пользованием законов сохранения энергии и импульса и инвари- антного соотношения (2) между полной энергией е, импульсом Р и массой т: е2 - Р2 с2 - т2с4. № 161. У остановившегося S-гиперона импульс Ре = 0 и кине- тическая энергия Те = 0. Поэтому полная энергия равна энергии, обусловленной массой es = WeC2 • № 162. См. указания к задаче № 161. № 163. Полная энергия ех распавшейся частицы равна тхс2, а полная энергия фотона ey = Рус? так как энергия, обусловленная массой фотона, равна нулю: пгус~ = 0. № 164. Остановившийся л+-мезон распадается: п+ ->ц++ v. Полная энергия остановившегося л+-мезона ел - с2 (Рк = 0 и Тк = 0), полная энергия нейтрино £- = Р-"с (для нейтрино т-с2 = 0). Прежде чем решить эту задачу, разберите пример 9. № 165. Внимательно разберите пример 10, № 166. См. указания к задаче № 161. № 167. См. указания к задаче № 164. Напомним, что импульс микрочастиц принято выражать в МэВ/c, где с - скорость света. В СИ: 1 МэВ/c ~ 5,3’10'22 кгм/с (килограмм-метр в секунду) - см. указания к задачам № 151 и№ 159. № 168. См. указания к задаче № 163. № 169. Некоторая частица распадается: jx°->|Р1+л'. Массу частицы тх следует выразить по отношению к массе электрона, которую обозначаем те. Для распавшейся частицы Тх = 0, Рх - 0, полная энергия ех =л?хс2. Задачу следует решать, используя гео- метрические представления (пример 9). № 170. См. указания к задаче № 164. 55
7. ОТВЕТЫ 91.<И> = (х (t2)-х ( Л ))/ (/2 -1\ ) - 0,5 м/с. 92. = гс 2 м/с; ап = -(В + 2Ctx)2/R - 1 м/с; а = yja2 + а2 ~ 2,24 м/с2. 93. у = =7 м/с; ах = aj4b= 8,5 м/с2. 94. t} = l]2R/3A ~ 0,872 с; ал(Л) = (/i) = - 6Atj = 10,46 м/с ; a(7i) = 6л/2 At\. 95. ат(б) = бЯС/ь ап -R(B + = 3C/i2)2; а{ tx ) = у/а2 + а2 «168 м/с.96. ят( Л ) = er; а„( tx ) = -£2?i4r/2; а( Г] ) = 2 + а2 ~ 11 см/с2. 97. £ = я( п2 - п2 )/N = - 1,26 рад/с2. 98. N = я( п2 — п2 )/е - 21,6; А/ = ( п2 пх )2тг/е = = 7,85 с. 99. И1 = Рсо = 463 м/с; V2 = Рю cos q>2 - 259 м/с; ах - Rco2 = 3,37 см/с2; а2 ~ Рю2 cos2 q>2 = 1,88 см/с2. 100. 6 = ( Вх - - В2 )/(2 (С2 - -С0) = 0; Ki( /1 ) = И2( t} ) = В2 + 2С2Л = - 2 м/с; а,( tx ) = 2Q = -8 м/с2; а2 (t2 ) = 2С2 - 1 м/с2. 101. АР = = mj2g(y/h^ + y[h/) = l,9 кгм/с. 102. АР = 2тИ= 1,2 кгм/с. 103. АР = = mV sin а = 9 кгм/с. 104. АР = mVQ sin а = 100 кгм/с. 105. Р = = т + 2gh - 4,2 кгм/с; АР ~ т ^2gh = 2,9 кгм/с. 106. АР = = 2mV ~ 5,6-10"23 кгм/с. 107. АР = mV cos а - 2,8 10'23 кгм/с. 108. АР = тахРл/2 = 0,13 кгм/с. 109. ДР = 2тУ — 0,2 кгм/с. 110. АР = 2тИо sin а ~ 1 кгм/с. 111. U2 = = 200 м/с. ^2 112. + (ц _ {/) = 4 м/с. 113. U-, = !>icosa = 1>4 м/с. т2 т 114. U= m'V' - = 0,8 м/с. 115. U2 = ^K+0’4Lfi) = 767 м/с т2 + т} т2 тг n?K2cosa ТТ тУ.+тА^ , 116. И] = ----------- = 0,4 м/с. 117. U = —= 0,8 м/с. М тх+т2 гт тУ,-т7У. л. . ,, 118. U = —- 0,4 м/с. 119. U = = 5 м/с. т, +т? т, + т. 56
120. U _ 2 8 П1 л = „ % т} +т2 т} + т2 122. U2 = 1,7 м/с; Ut = 5,3 м/с. 123. Лдеф = 3,8 Дж. 124. д = т' = 80 %. 125. U2 = 3,6 м/с; U, = 3,4 м/с. и, + т, 126. Ux = 0,4 м/с; U2 = 1,4 м/с. 127. Q = 12 Дж. 128. Д = 5,6 Дж; Г,’ = 0,6 Дж. 129. Т\/Т2 = 1,25. 130. Г, = 7,5 Дж. 131. V = 2 . М =1,6 м/с. 132. К = = 0,3. 133. Т = 24 Дж. V 3 4gs 134. Т2 = 30 Дж. 135. Т= 9,9 10'* 2 Дж. 136. Т = 262 Дж. 137. 7^. = 37,5 Дж. = 50 Дж. 138. М = 12 м/с. 139. = 0,7. 140. = 1,07. 141. т2 = 2т'П' = 560 кг. 142. оз = 9,8-102 рад/с. К п2-п, 143. со2 " 1,9 рад/с. 144. со2 = 3,0 рад/с. 145. ©i = 0,5 рад/с. 146. ф •= 131° = 2,3 рад. 147. п2 = 8 об/с; А = 20 Дж. 148. п2 = 21 об/мин. 149. и2 = 12 об/мин. 150. п2 = 22 об/мин. 151. Р = 1,42 МэВ/c, где с - скорость света, или Р = 7,6-10"22 кгм/с. 152. К=—С = 2,6 108 м/с. 153. V = 0,004 с = 1,3 106 м/с. 2 154. V = 0,98 с = 1,94 1 08 м/с. 155. U = 1,1Ю6 в = 1,1 МВ. 156. Т = 0,34 МэВ. 157. V = 0,99 с = 1,98-10® м/с. 158. К= 0,87 с. 159. Р - 1,05 МэВ/c, где с - скорость света; Т = 0,66 МэВ. 160. В = 0,996. 161. Тп = ^~ЯУ--С2 - 26,5 МэВ. 2^ 162. Т = —тс1. 163. тх=~{гу + }. 164. е. = 2 с J/ \ 2 -А‘ 2 J 57
2 •? •> 2 2 166. 8, = = 955 МэВ. 167. Рм - с = 2тт 2т„ = 1,6-10'20 * кгм/с. Или, учитывая, что 1 МэВ/c = 5,3-10'22 кгм/с, по- лучаем Р ~ 29,6 МэВ/c, где с ~ скорость света. 168. Ру = М2 - т2 М2 - т2 2 ” 2М С> 8у ~ 2М С ' 1(И> {(^+г,)ф-с7н^Х} ,18й 169. тх = ---------------------------- = 2186 те> сг (т. - гп )2 , где те - масса электрона. 170. Гц =-—с = 4,07 МэВ. 2/ия ФИЗИКА Методические указания ПЕРЕИЗДАНИЕ Подписано в печать 14.10.2005. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 300 экз. Уч.-изд. л. 3,5. Печ. л. 3,75. Изд. 241. Заказ № //4^’Цена договорная Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20