Уравновешивание механизмов авиационных моторов - Семёнов М.В.

Автор: Семёнов М.В.

Теги: авиация авиатехника авиастроение

Год: 1947

Похожие

Авиационные поршневые двигатели: Кинематика, динамика и расчет на прочность. Пособие для инженеров

Автомобильные двигатели

Поршневые компрессоры. Том 1

Автомобильные двигатели

Текст

I
M.B. СЕМЕНОВ
УРАВНОВЕШИВАНИЕ
МЕХАНИЗМОВ
АВИАЦИОННЫХ МОТОРОВ
ИЗДАНИЕ ЛКВВИА
1947

ленинградская краснознаменная
ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ

Посвящается дорогому учителю
Евгению Леопольдовичу Николаи
Инженер-подполковник
СЕМЕНОВ М. В.
С
УРАВНОВЕШИВАНИЕ
МЕХАНИЗМОВ АВИАЦИОННЫХ
МОТОРОВ
Киевский институт
библиотека
- /63 /О 6
ИЗДАНИЕ ЛКВВИА
Лениш рад — 1947
Технический редактор М. И. Юрченко
Подписано к печати 10.10.47. Печ. листов 7,75. Авт. листов 8,6
В 1 печ. листе 46.400 зн. Бумага 62X94. Зак. 55/593. Г29095
Типо-литография ЛКВВИА
Введение
Под уравновешиванием механизмов обычно понимается урав-
новешивание сил инерции, впервые использованных для этой
цели в 1848 году инженером Nollau [1]. Так как уравновешен-
ность механизма, главным образом, определяется величиной
статических моментов масс отдельных его звеньев, то для целей
уравновешивания можно не применять сил инерции, представля-
ющих собой лишь вторые производные от статических моментов
масс. Известно, что статические моменты масс представляют
собой произведения из точечных масс на их перемещения, поэтому
задача об уравновешивании сводится к определению перемеще-
ний отдельных точек и к вычислению замещающих масс, сосре-
доточенных в этих точках.
Считаем полезным предлагаемый курс подразделить на две
части. В первой части, названной нами теорией уравновешивания,
предполагается изложить все подготовительные операции, связан-
ные с уравновешиванием, как-то: определение проекций переме-
щений замещающих точек, вычисление замещающих масс, про-
екций статических и центробежных моментов этих масс, а также
вывод общих условий уравновешенности механизмов. Так как
предполагается осветить общие вопросы применительно к авиа-
ционным моторам, то сочли необходимым изложить, с целью
определения перемещений, кинематику механизмов авиационных
моторов, предпослав этому параграф}’ описание существующих
кинематических схем этих моторов.
Вторая же часть, построенная на базе первой, является основ-
ной и посвящается уже непосредственно уравновешиванию меха-
низмов авиационных моторов. В этой части будут рассмотрены
методы уравновешивания коленчатых валов и механизмов, рас-
положенных в одной или нескольких параллельных плоскостях.
Имея в виду, что динамический расчет подмоторной рамы, произ-
водится по величине сил инерции, сочли возможным в этой же
части указать также метод определения сил инерции и их мо-
ментов.
Часть I. ТЕОРИЯ УРАВНОВЕШИВАНИЯ
Кинематические схемы механизмов авиационных моторов-
Для получения большой мощности мотора приходится при-
менять значительное число цилиндров, каковые могут быть-
расположены как в плоскости, параллельной к оси коленчатого,
вала, образуя блок цилиндров, так и в плоскости, перпендикуляр-
ной к валу, составляя отдельные секции. Цилиндры в каждой
секции размещаются различным образом, образуя V, W, X и
звездообразное расположения цилиндров. Кроме того применяют
иногда мотор с двумя валами. В этом случае отдельные секции
представляют собой Н и сдвоенные различным образом V-образ-
ные расположения цилиндров.
По виду расположения цилиндров в отдельной секции и при-
писывают наименование самому мотору, например, V-образный
мотор, причем, если в секции имеется только один цилиндр, то.
двигатель Называется однорядным. Из конструктивных сообра-
жений в некоторых типах двигателей, а именно, в однорядных
и V-образных приходится устанавливать коленчатый вал вверху,,
а цилиндры внизу. В этом случае к наименованию мотора доба-
вляется слово перевернутый.
Вкратце осветим вопрос о существовании многообразия форм>
отдельных секций. При наличии нескольких цилиндров в одном
моторе необходимо для получения более или менее постоянного-
крутящего момента соблюдать равномерное чередование вспы
шек зажигания. Если взять многоколенчатый однорядный двига-
тель, колена которого повернуты относительно друг друга на
равные углы (уД то угол поворота коленчатого вала у, соответст-
вующий вспышкам зажигания, должен быть равен уу. Эти углы
могут быть просто определены, если известен процесс двигателя.
Так:
для 4-х тактного двигателя
720
для 2-х тактного двигателя
360
где z — число цилиндров.
4
На фигуре 1 указано расположение углоь заклинки кривоши-
пов для восьмицилиндровых двигателей, работающих по 4-х и
2-х тактным процессам, причем кривошипы вдоль оси вала могут
быть расположены лю-
бым образом.
Пусть на фигуре 2
изображен двухтакт-
ный двигатель с двумя
цилиндрами. Величина g
крутящего момента не
изменится, если криво-
шип и ось второго ци- *
.линдра повернем на
один и тот же угол ог.
Этот поворот и поло-
жен в основу различ-^4"’
Фиг 1 Кривошипная диаграмма
и 2-х тактных восьмицилиндровых моторов
ного расположения ци-
линдров в одной секции. Разделим, например, в восьмицилин-
дровом 4-х тактном двигателе все
цилиндры на две группы по 4 ци-
линдра, и одну из них будем
поворачивать так, чтобы кри-
вошипы этой группы совпали
с кривошипами первой i руп-
пы. Затем к совмещенным та-
ким образом кривошипам гфй-
соединйм по два шатуна и тем
самым получим не 8-ми, а
только лишь 4-х коленчатый
вал. П носкость же четырех
цилиндров второй группы бу
дет смещена относительно
плоскости цилиндров первой
группы на так называемый
угол развала 8.
Ввиду того, что располо-
жение цилиндров вдоль оси
вала ге изменяет величины
крутящего момента, то при
таком вращении группы из
Фиг. 2. Схема образования прицеп- 4'х ЦИЛИНД[ ОВ возможен ряд
ного механизма вариантов. В табл. 1 на стр. 6
указаны всевозможные формы
-4-х коленчатого вала V-образного мотора, работающего по 4-х
« 2-х тактным процессам.
Таким образом угол развала тесно связан с формой коленча-
того вала и не может быть выбран произвольно, так как в про-
тивном случае будет нарушаться постоянство крутящего мо-
мента.
5
Если бы взять не восьмицилиндровый, а 12-ти и 16-ти цилин-
дровые двигатели, то, делая аналогичный поворот, получили бы
в секции W и Х-образные расположения цилиндров. Очевидно
Таблица 1
Угол развала 8 93° 8 -90° 8f80° 8-180°
Стематич. изображение секции
Схематич. изображение колени вала 9 ’’тактн. дв. X /Л р А< >! zjp
Угол развала 8- 45° 8-90° 8- 135° 8=180°
Схемаглич. изображение секции / у 1
Схематич изображение колени, вала 2хтактн. дв. >! ¥ nZ )/ $ j — -1
увеличение числа цилиндров в секции ведет к уменьшению'
длины рядного двигателя и тем самым улучшается конструкция
самого мотора.
При звездообразном расположении цилиндров равномерное
чередование вспышек зажигания требует, чтобы угол между
, 360 ’
осями двух смежных цилиндров был бы равен --- , причем ради
удобства газораспределения приходится применять нечетное
число цилиндров.
Наконец остается разобрать двухвальные моторы, широко при-
меняемые в авиации за последние годы. Они представляют собой
соединение двух параллельно работающих моторов, коленчатые
валы которых, вращаясь в одном и том же или в противополож-
ном направлениях, приводят во вращательное движение один
и тот же винт с помощью трех зубчатых колес, или через редук-
торы приводят в движение два винта, вращающиеся в противо-
положные стороны. Секция каждого из таких моторов имеет
V-образное расположение цилиндров, причем если угол раз-
вала равен 180е, то получается вертикальный или горизонтальный
Н-образный мотор. При других же углах развала может быть
достигнуто самое различное расположение цилиндров.
6
Если расположение колен вдоль оси вала, как уже указыва-
юсь не влияет на величину крутящего момента, то таковое может
оказать существенное влияние на движение центра инерции меха-
низма, т. е. на его уравновешенность. Кроме того, при безраз-
личном расположении колен может оказаться, что вспышки зажи-
Iания будут происходить в соседних цилиндрах и тем самым
увеличатся напряжения коленчатого вала и давления на под-
Таблица 2
шипники, что потребует увеличения размеров вала. Расположение
колен вдоль оси вала влияет еще на качество наполнения цилин-
дров. Наконец форма коленчатого вала определяется его техно-
логией. Так, вал, колена которого расположены в одной плоско-
сти, требует для обработки более простой технологический
процесс, чем вал, колена которого расположены в нескольких
плоскостях.
Следовательно углы заклинки кривошипов, углы развала пло-
скостей цилиндров и расположение кривошипов вдоль оси вала
определяются равномерностью крутящего момента, уравновешен-
7
ностью, прочностью коленчатого вала и его технологией, а также
наполнением отдельных цилиндров.
В настоящем курсе предполагаем остановиться на одном лишь
вопросе, а именно—на уравновешенности мотора, принимая
форму коленчатого вала, удовлетворяющую более или менее
указанным выше требованиям.
За последние годы имеется тенденция к уменьшению числа
различных типов моторов. Так, широко применяются одинарные
9-ти цилиндровые звезды, двойные звезды с 14 и 18 цилиндрами,
V-образные моторы с 12 и 18 цилиндрами, а также двухваль-
ные типы моторов с 24 цилиндрами.
Ввиду того, что в технике часто приходится возвращаться
к старым образцам, поэтому сочли возможным рассмотреть
кинематические схемы как применяющихся, так и ранее применяе-
мых типов двигателей, сведенных нами в таблице 2, 3 и 4, при-
Таблица 3
,М' по лор. Схема двигателя Одинарные Двойные
1 Углы развала Схема вала 1 Углы развала Схема вала
1 3 « 360L °Г~Г~ i~i,2 I I
2 5 ~ 360i 5 L 1,7,3,4 I I
3 7 д 3602 7 i /у ..6 I I 14 Задняя звезда смещена на угол '/2 8 (25°42'51,5 ") -J ц
4 9 x. 3002 г i 1,2. .8 [ I 18 Задняя звезда смещена на угол '/г 8 (20°)
чем в этих таблицах не указаны ротативные моторы, так как их
схематическое изображение совпадает с изображением звездо-
образных моторов.
Наконец отметим еще одну особенность авиационных моэоров.
связанную с образованием секций. Нами было показано, что один
механизм в секции остается без изменения и носит название
8
главного механизма; механизм же, который поворачивается,
называется прицепным.
Таблица 4
А7/ ГО пор. Схема секции Наименование двигателя 1 Вариант П вариант
Z Кривошип схема 2 Кривошип схема
1 )) (( Н образный 16 26-
? X-образный <6 26
J С Z Ромбо-" образный 16 26 (^x^Zzj
Если шатун прицепного механизма соединяется вращатель-
ной парой непосредственно с коленчатым валом, то такое соеди-
Фиг. 3 V образный механизм
с центральным сочленением
некие носит название центрального сочленения (фиг. 3). В этом
случае звенья главного и прицепного механизмов будут совер-
шенно тождественны. Такое соединение можно осуществить
только в V образных моторах с одним и двумя валами.
При наличии двух и более цилиндров в одной плоскости
приходится шатуны прицепных механизмов присоединить к ша-
туну главного механизма, образуя прицепное сочленение (фиг. 4).
В таких механизмах масса главного шатуна получается значи-
тельно большей, чем масса прицепного шатуна. Кроме того сте-
пень сжатия и кинематика главного и прицепного механизмов
будут различны, т. е. прицепное сочленение является в сущест-
вующих типах моторов неизбежным недостатком.
Проекции перемещений точек механизмов
авиационных моторов
Механизмы авиационных моторов в основном представляют
собой кривошипно-шатунный механизм (главный механизм), к кото-
рому и присоединяются одна или несколько диад (прицепные
механизмы), при этом возможны прицепное и центральное сочле-
нения. Кроме того в ротативных двигателях применяется меха-
низм с вращающейся кулисой. Для намеченных типов механиз-
мов и рассмотрим методы определения перемещений различных
их точек.
1. Кривошипно-шатунный механизм
Пусть на фигуре 5 представлен кривошипно-шатунный меха-
низм, где указаны все обозначения, необходимые для определе-
ния проекций перемещений его точек. Система координат вы-
брана левая, положение осей которой определяется правилом
буравчика или правилом трех пальцев левой руки.
Определим проекции перемещения точки прицепа Д;; она
соответствует любым точкам, расположенным на плоскости
шатуна.
При изложении рассматриваемого вопроса будем считать из-
вестным кинематику кривошипно-шатунного механизма и по-
этому все преобразования, связанные с этим вопросом изложены
очень кратко.
Опустим из точки А, перпендикуляр на прямую АВ или ее
продолжение и основание перпендикуляра обозначим через
точку Ct. Пусть длина перпендикуляра AjCj есть qb которому бу-
дем приписывать знак плюс, если точка At при «=0 проекти-
руется на положительное направление оси OY, и — знак минус
при проектировании точки At на отрицательное направление оси
OY. Кроме того, если точка С; лежит за точкой А, то < О и
Ь-, > I, если же за точкой В, то bt < 0 и а\ > I.
10
Как видно из фигуры 5, можно написать следующие очевид-
ные соотношения:
Ли i = л'с i + qt sin р,
Ул i— Ус i + Qi cos p.
но 'Ха и ya, как видно из той
же фигуры, могут быть вы-
ражены следующими уравне-
ниями:
хс ;= г cos ® 4- a, cos р,
ус{= Я/Sinp.
Следовательно,
Ха i = г cos ® +
+ a, cos р + qt sin р, (2)
у a i = bt sin р + qt cos p.
Выразим sinp и cosp че-
рез ®. По теореме синусов из
Д АОВ имеем следующее со-
отношение:
sin р__ г
sin® I '
г
Обозначая через X = —,
получим
sin р = X sin ®. ‘(3)
Теперь выразим cosp че-
рез sin р
(1)
Фиг. 5. К кинематике центрального
кривошипно-шатунного механизма
1
Т 1 1 1
cos Р = (1 — X2 sin2») = 1 — sin2 ® — -X4sin 4? ~ jg sin
но
sin3® = (] — cos 2»),
sin4 ® = -|- (3 — 4 cos 2® + cos 4®),
О
sin6» = 575(10 — 15cos 2® + 6cos4® — cos6^).
Тогда cosp может быть представлен следующим рядом Фурье:
cos р = t0 + t2 cos 2® + cos 4® + cos 6®..., (4)
11
где:
1 1 15
'= = -4 ' + Г6>? + 5Г/’->
512,с--
Такое разложение для кривошипно-шатунного механизма при-
менил в 1897 году английский инженер Macalpine [2].
Так как/. ~ 0,3, то членами, содержащими л больше чем во
второй степени, можно пренебречь. В этом случае
pos р = 1 - + - /? cos 2?. (5)
4 4 '
Подставляя найденные значения sin р и cosp в уравнение (2),
получим выражения проекций перемещения точки въиде рядов
Фурье, представленных двумя гармониками
хА t = и — Г- А + г cos * + cos 2® + sin ©,
z / (6)
/ 1 \ i ’
у A i = (1 — >-2. j qt + 4 '^q, COS 2o + i.b, sin ®.
Очевидно, если не откидывать члены, содержащие cos 4?,
cos и т. д., то в уравнении (6) добавятся гармоники 4-го, 6-го
и т. д. порядков, и уравнение примет следующий вид:
Л'л i = toat 4- г cos <о + /zflj.cos 2® + cos 4® + t6at cos 6®+Ц^ sin ®,
,Vn i = cos 2® + cos 4® + cos 67 + t.b-, sin <0.
Полученные уравнения являются общими для всех точек
шатуна. Так, рассматривая точку Ch следует положить #г = 0.
Тогда
Ле, ~ t^cii + г cos ® + t,ci, cos 2'0 + ttai ccs 4? + cos 67,
ус t = sin 'о. (8)
Если в уравнении (8) положить at = l и bi~ 0, то получим
проекции перемещения точки В
хв = tjl -t- г cos о + t^l cos 2'0 + tj. cos 4'0 + t&l cos 6cp,
J'B = 0. ' ' (9)
12
Л 1 2
о.
I + /* cos ф*+ ^-X2/cos 2ф,
‘ 4
(10)
Зйачения коэфициентов t0, t2, tt и tc даны в уравнении (4). '
Если ограничиться двумя гармониками, то уравнения (9) примут
следующий вид:
Хв —
Ув =
Наконец принимая в уравнении (8) пг = 0 и bx — I, получим
проекции перемещения точки А
хА — г cos «,
(11>
уА = Г S\X\ '!>. v
2. Прицепной механизм с прицепным сочленением
Для прицепного механизма определим лишь проекции пере-
мещения точки Вх, вводя следующие обозначения.
г4 = ДД., = — радиус прицепа и длина прицепного шатуна;.
Ва — угол развала, измеряемый по часовой
стрелке от оси движения точки В до оси
движения точки В4;
— угол прицепа, измеряемый по часовой стрелке
от АВ до ААХ;
pi — угол качания прицепного шатуна.
Во всех этих обозначениях индекс i соответствует i-ому
прицепному механизму.
Пользуясь фиг. 6, можно написать в следующем виде проек-
ции перемещения точки Вх
xBi = XAi + /jSina;,
Ув -1=УД1 + /;COS a;,
но a-t = 90—(В; + р;).
Следовательно,
xBi = xAi + /icos(Bi + р;) = л'лг + A cos Bi cos — Zj sin В/sin pi( .
yBl =yA . + I. sin (В; + рг) — yAi+li sin B,: cos p; + /, cos B; sin p{. '
Для того чтобы выразить угол р; через текущий угол с,,
спроектируем ломаную линию ОААХВХ на направление, перпен-
дикулярное к прямой ОВХ, при этом сделаем дополнительное
построение, проводя из точки А прямую, параллельную ОВ^
образующую с АА; угол уг. Тогда
sin рг = г sin (Bj — ф) + /'i sin-jj,
но как видно из фигуры 6
7i -— 3 4- — 'Ь,- - р -f- Ai,
где Д; = о__о.
* I I I
13.
Подставим значение у, и раскроем синусы углов:
sin [1; — j- sin о, cos cp — y cos sin cp y' cos Ai sin 0 + j- sin cos p.
Z; » I: It
Фиг. 6. К кинематике V-образного механизма
с прицепным сочленением *
Далее, подставляя значение sin р — к sin ср, получим выраже-
ние для sin в виде следующего трехчлена:
sin р, = ki cos ср + S; sin ср + pi cos p, (13)
где:
k; — г sin si = ^7l cos Д; — cos P;— — sin Д;.
h 6 ' 4 h
Теперь выразим cosp£- через sinp,, ограничиваясь лишь двумя
членами разложения
± 1
cos 3, = (1 — sin2 рг-)2 ~ 1 — — sin2 pf,
(14)
Э4
Sin2p (kj cos <p + S; sin ф + Pices p)2 = k2 cos2 <? + s2 sin2 y +
' pt2 cos2 p + ^kjSj cos у sin у + 2k-,pt cos lycos p + 2s-tpt sin ъ cos p.
Так как
з 1 . 1 о
cos3'i —2 + 2" cos 2<p’
11 O
sin-c = 2—2~cos2-i,
cos2p — 1 — 12sin2 у = 1--—A2 + a2 cos 2y,
cos p — 1 — ^-a2 + J- a2 cos 2y,
‘ 4 4
TO
SHI2 pj = -2 fy3 + S3 + (1 — 2 ) Pi2 + 2k‘pi ( 1-T }2) C0S ? +
+ 2sjpj | >2 j sin у + (kp—st2 + a2/?,2) cos 2y + kjSjsin 2? +
+ \k1P11 s cos ? cos 2? + ^SiP/2 sin <p cos 2<p.
Имея в виду, что
« 1 о 1
COS a COS 2? = 2" cos + 2~ C0S'r>’
1-0 1
sin о ccs 2о = sln Зу — sln ®
и подставляя получен! ое при этом значение sin2 pj в уравнение
(14), будем иметь выражение djsp, в виде ряда Фурье:
, k 3 Л=3
со5р; = л„+ V «acosZjo+ VJ c«Asin^y, (15)
A-l k 1
где:
л0=1-^-[-2^2 + ^i2+(1-^2)pi2 >'
с-Т =—(1 — 4->-2 kjPi, /г, = — (k^ Si2+'i2Pi3), /г3 = — ^'^hjP,,
fflj = — (1 — g A2 j s,Pi, т2 — — piSi, - /л3 = — '^SiPi-
15
Выражение sin 3/, представленное уравнением (13), выразим
полностью через параметр ®, принимая, что cos[3=l—|л24-
+ л2 cos 2®.
4
sin fij А42 ^р. _|_ р. cos? + cos 2? + s. sin». (16)
Подставляя значения cos и snip/ из уравнений (15),
а также XAt, у a i из уравнений (6), получим в следующем
выражения xBi п у вр
1'2
4 Л
(16)
виде
xBi
— I, sin bj
Ув,—
+ li COS 0;
+ I, COS
at 4- r cos rs> 4- 1. X2 cos 2® 4- X qt sin ® 4-
й 3 л 3
i //0+ X nA cos Ze® 4- X musink'p —
й = 1 й=1
1 — X2jPi 4- kj cos ® 4- b2pt ccs 2<f> 4- Si sin ®
! X2
1
+ /|Б1п'4 n0 +
qt 4- Xя q-t cos 2® 4- X bt sin о +
k ?> /<• 3
\ /zA cos Ze® 4- V mk s’lite +
Al k -1
Pi + k-, cos a 4- -1 Dpt cos 2® + S; sin tp .
1
T
Делая приведение подобных членов, получим выражения хВ:
и yBi в виде рядов Фурье:
й = 3 ' й = 3
лВ; = Л04- X Л*cos/?® 4- X £/<sin^<p, (17)
й=1 k и
й 3 й 3
Ув,~ Со 4- X G cos А® 4- X sin Л®,
Ji 1 k = 1
где:
1- pX,. + I.
A(} =
n0 cos
pi sin ог
Д, = r + Zj [/Zj cos 0; — /?, sin
Д2 = ~^X2 ai ’+• /;
n2 cos ог —
1 ,2 ' "I
4 '’/W ,
A3=l-t n3C0SOi,
— 't q-i 4- L, [m, cos o- — Si sin o,],
B.> — Z; mt cos Oj,
B3 — Ц 1Пй COS Oj,
Q=(i—-xn^Z,
Hosino; 4-
Pi cos o;
C, — lt [rzj sin \ 4- k-t cos 8J,

1
n» sin o(. 4- — Pi cos ог
Сй = li n3 sin Si,
Di = lbi + li [mx sin S; 4- s; cos SJ,
D:, = l-t т.г sin ог-,
D3 = Zi//73sinSi.
Коэфициенты ряда Фурье, соответствующие проекциям пере-
мещения точки В-, на ось 0Y, если не равно 90’, можно не
вычислять, а достаточно у множить соответствующие коэфициенты
А,, и на ig o;.
Следует заметить, что для прицепных механизмов, симмет-
рично расположенных относительно оси ОХ, можно получить
выражения соответствующих коэфициентов, изменяя знак перед
<7, п
Так как точка прицепа обычно задается радиусом гг и углом ,
прицепа •!»,-, то
q. = rt sin 'рг, a; — i'i cos <l)f, bi — l — ap
4
причем, отсчитывая угол от осн главного шатуна ио часовой
стрелке, тем самым определяем знак qt и а,.
Если бы потребовалось определить проекции перемещения
промежуточной точки Kt па прицепном шатуне, то достаточно
в коэфициентах уравнения (17) подставить вместо длины прицеп-
ного шатуна (Z.), отрезок Дг^, который мы в дальнейшем обо-
значим через k'.
Используем выведенные уравнения в частном случае, когда
угол развала равен углу прицепа (Дг = 0); вследствие чего коэфи-
г.ишпы уравнения (13) будут иметь следующие значения:
ki— 'j-sxnb,,' S; =-1-(/. г,-cos S;), Pi = 0. _____ (18)
17
(“vmchoh M. B.
r I

/«ГЗ/06
16
Так как Р/ = 0, то гармоники третьего порядка будут отсут-
ствовать, а оставшиеся коэфициенты уравнений (17) будут пред-
ставлены следующими выражениями:
Л) = (1----J- >-2j (li + (1- -|-Лг2-cosrV
Л1 = Г(1-—Sin2 <4) = Г COS2 <4,
* Д 2 = ~7— ' 2 ---Т ( 'V — Sj2 I 4 COS
j 4 i 4 i i j ‘
= '/. qt — Sj lt sin о,- = r sin 23,,
B2 —-----1- kj s; 4 cos S; = — rs; sin 2o;,
Co=(l-~4 '-2)-7,+ (19)
C\ — kt lt cos 3. = —L /- sin 2of,
- '2^. - 4 (V—vHsinS;,
£>! — У bi + s/,. cos 3. = r sin1 o;,
D2 —----^kisi 4 Sin =---------rsi sin2 °i-
Для механизмов, у которых Д, =0, можно без значительных
трудностей вывести выражения для гармоник четвертого порядка.-
3 этом случае:
cos р = t0 + t2 cos 2? +1± cos 4cp, (20)
sinp,-= &;cos® + s2 sir о, (21)
cos p,- = 1--~ sin3 p.----4" sin4 p;. (22)
z О
Выразим sin2Pj и sin4pf, используя уравнение (21)
•in2 р; ~ 4;2 cos3 ср + sf2sin3<p + 2^jSjcos®sin®,
sin4 р; = k/ cos4 p + 4/гг3 s; cos3 cps n p + 6 k/s? cos2 у sin2 7 +
+ 4/?; S? COS cp Sin3 cp + Sj4 sin4 cp.
Имея в виду, что
1,1 о
ccsj ? = _ + — cos 2р,
11 о
snr ср = —--cos ”?>
1 • о
cos 'р sin ср — ту sin 2'р,
cos4 ср = 4- (3 + 4 cos 2« + cos1 ср),
о
cos3 ср sin ср = (2 sin 2ср + sin 4р),
о
COS2 ср sin2 ср = -^-(1 — COS 4ср),
о
cos ср sin3 'р = (2 sin 2ср — sin 4ср),
О
sin4 <р = 4 (3—4 cos 2ср + cos 4ср),
О
получим в виде следующего ряда выражение cosp;:
cos р; = л0 + п>, cos 2cp + ni cos 4<p + m2 sin 2p + mi sin 4<p, (23)
где:
„ -- 1___1_Ь2— _Lc'2 _ b* _____ 3 /,2S2_.3 4
«0—1 4 «i 4 si ^4 32 « I ?ASi’
1
4
п
4з-*г2+4№4_5'-4)]’
*/-3w+ 4-s?
£
2
т.
i + y kiSi’
Щ = — J(5 (^i2 ~ Si2) ki Si‘
Если теперь подставить значения sin р4 и cos рг из уравнений
(21) и (23), а.также xAi и уА1 из уравнений (7), ограничиваясь
2« 19
18
гармониками четвертого порядка, то получим в следующем виде
выражения п_ув;:
xBi=A0 + Л! cos о + A cos 2® + .44cos 4® 4- В{ sin ® 4-
„ 4- В., sin 2® 4- Bi sin 4®, (24)
yB. = Co 4- C\ cos ® 4- C2 cos 2® 4- C4 cos 4® 4- D, sin ® A
4- Dn sin 2® 4- D, sin 4®,
где:
Ло = tZ; -P 71., /; cos oi;
Л1 = г(1 — sin2o;),
A3 = a-, + n2 lt cos o;,
Л4 = at 4- nt /; cos S-,
Bi — 'tQi — Sj lt sin
B2 = 772, li cos о;>
B4 = /n4/iC0S0j,
— + я0 sin S;,
Ct = kt lt COSO,-,
C3 = t2qL + n211 sin 6i;
+ tlill SillO;,
D{ — i.bi 4- s(- 4 cos o;.,
D.2 = /72, l-t sin Op
Pi =. /j sin o;.
Значения коэфициентов Zo, Z2 и Z4 даны в уравнении (4), а коэфи-
циенты л0, п.у, iii, mi и /ге4 в уравнении (23).
3. V - образный механизм с центральным сочленением
Рассматреваемый
с одним или двумя
Фиг. 7. V-рбразный механизм с централь-
ным сочленением и смещенными осями дви-
жения ползунов
механизм встречается в рядных моторах
валами, причем в последнем случае иногда
применяются дезаксначь-
ные кривошипно - шатун-
ные механизмы (фиг. 7).
Считаём правильным оп-
ределить проекции пере-
мещений точек В] и В2
для дезаксиальных меха-
низмов, тогда проекции
перемещений тех же то-
чек для центральных ме-
ханизмов могут быть по-
лучены, как частный слу-
чай, принимая смещения
осей движения пальцев
поршней относительно
центра вращения криво-
шипа равными hj лю.
Все обозначения даны
на фигуре 7. Координат-
ные оси расположены так,
что ось ОХ делит угол
развала 3 пополам, тогда
О
ось правого цилиндра составляет с осью ОХ угол ол, а ось левого
цилиндра — минус 60.
Определим перемещение точки В}. выразив его, как видно
из фигуры 7, в виде следующего уравнения:
sB1 = rcos(? —+/cos;v (25)
Для определения cos^ поступим обычным способом, т. е.
определим sin рР Для чего спроектируем ломаную линию ОАВХ
на направление, перпендикулярное к оси движения точки
Тогда
sin р, = -—= а _ Sin _ s0)j, (26)
где:
Выражая cosp1; через sinj?,, с помощью ряда и беря два
члена разложения, получим в следующем виде выражение-cos рр
cos pj = 1 sin2 pi =1 —-^-k2 [/e2—2k sin (7—80) + sin2(« — o())] =
A3 — 2/г cos o0 sin 7 4- 2/г sin oo cos 7 4-
+ — TTcos2('f — 30)
Раскроем cos 2 (7— o0) и найдем окончательное выражение
cos Pi в виде следующего ряда Фурье:
• cos р = 1---к3 - — к2 k sin о0 cos ® A- -7- k2 cos 2o0 cos 27 4-
4 Z • ’ 4
-)-k2 k cos So sin 7 4- k2 sin 2o0 sin 2®. (27)
Если в этом уравнении положить /г = О и ort = 0, то получим
Уравнение (5).
Найденное значение cospj подставим в уравнение (25), раз-
ложив в нем cos (7 — 80).
sB i~ ^1--------------2' cos ?Jo~ I s’n %) cos ?+
4- к-1 cos 2?0 cos 27 4- (г Sin о0 + kl cos o0) sin 7 +
+ ~ к21 sin 2o0 sin 27.
(28)
21
Располагая выражением sei, можно определить проекции
перемещения точки
хвi — sB 1 cos So = f 1 — 4. k2-4-k2 k2 / cos % + (r cos2 80 —
— к2 kl sin 80 cos 8e) cos ф + 4-k3 / cos 28O cos 80 cos 2?-f-(r sin 8() cos 80 -p
+k8AZcos2 80) sin cp 4-4-'k2/ sin 280 cos 8C sin 2ф,
yB\ =e cos8e + sBi sin Bo = e cos 80+ ^1 — -4k2 — 4-дЗ^ /sin80-p
+ (r cos 80 sin 80 — k3 kl sin2 60) cos ф + -4k2/cos 28(1 sin 80 cos 2ф-p
+ (rsin2o0 + k3^/cos 80 sin oo) sin»+ ~k2l sin 280sin80 sin 2s.
4
Имея в виду, что
cos2S0 = 4_(l+cos 2%),
sin280=-4(l—cos2oC1),
cos 8C sin 80 = -j- sin 2o0,
cos 280cos 80 = 4- (cos 380-|-cos 80),
sin 280 cos 80 = 1- (sin 38O + sin 80),
cos 28O Sin 80 = 4-(sin 38O — sin 80),
sin 280 sin 60 = -4. (cos ao _ cos 3^
— ks kl sin 28O
получим выражения xbi и в виде следующего ряда:
Xbi ~ fl— 4-к2 —4-k2^^/cos80+ 4- r(l -}-cos280)-
cos<p + 4-к2 Z (cos 380-|-cos о0) cos 2ф4
+ "о" Ir sin 280 + k2 kl (1 +cos 28O) sin ? P 4 a2 / (sin 380 + sin 80) sin 2*
z I о
1
22
_yBl 3=<?COSS0+ (1-^-А2—4-A2^2j/sin %+'
(29)
T'sin230— а2Щ1—cos280) cos®+ а21 (sin 380 —
1 '
— sin %) cos 2? 4- -g-
+ -4 a21 (cos So — cos 3o0) sin 2-
r (1— cos 28O) + \-kl sin 2o0
sin? +
Для того чтоб» получить проекции перемещения точки Bit
достаточно изменить знак в членах уравнения (29) перед 30, е
, е ' ’
п k = —.
г
Уравнения (29) можно также использовать для получения
проекций перемещения точки Вг центрального кривошипно-шатун-
е
него механизма, приняв e = 0nk = ~ = 0. Тогда
хв 1 ~ ----j1 cos % 4- 4- г (1 4- cos 28О) cos ? +
4- , a2 I (cos ЗВ0 + cos 8fi) cos 2? 4- 4- г sin 2% sin ? 4-
4- 4- X21 (sin 3% 4- sin 30) sin 2?,
Ув\ — (1---I-A3'\/sin30+ 4-r sin80 cos ?4- 4-a2 / (sin 38O — (30)
\ 4 J 1 о
— sin 80) cos 2 ? 4- 4- r (1— cos 230) sin ? + 4- a2 I (cos 80 —
— cos 38O) sin 2?.
Если в уравнениях (30) заменить 80 на минус 80, то получим
проекции перемещения точки Вг.
Наконец проекции перемещения точки А как для дезаксиаль-
ного, так и для центрального кривошипно-шатунных 'механизмов
будут определяться одним и тем же уравнением, а именно:
хА — г cos ?,
_ул =rsin?. (31)
4. Механизм ротативных моторов
В качестве механизма ротативных моторов применяется меха-
низм с вращающейся кулисой, в котором кривошип г является
неподвижным звеном, шатун / представляет собой кривошип,
а вращающийся цилиндр соответствует кулисе (фиг. 8).
23
Для определения проекций перемещений точек ротативного
двигателя достаточно рассмотреть
Фиг. 8. К кинематике механизма ротатив-
ного мотора
только один механизм, взяв
на нем всего лишь две точ-
ки, а именно — центр тя-
жести цилиндра (Q) и точ-
ку
Если обозначигь.рассгоя
ние от центра Вращения до
центра тяжести через eh
то проекции перемещения
точки могут быть пред-
ставлены следующими оче
видными уравнениями:
xCi = е; соя о=,
. (32)
у а = sin <pt.
Для определения проек-
ций перемещения точки Bt
составим предварительно
выражение для самого пе-
ремещения:
Sg j =.r COS 'Pi +1 COS P;.
По аналогии с обычным кривошипно-шатунным механизмом
1 1
cos р = 1 — — X2 + — X2 cos 2<р;, тогда
,sB । 1 — - — X2 j I + г cos<p(- + cos;2<fp
Проектируя точку B-t на оси прямоугольной системы коорди-
нат, получим следующие выражения для ее проекций:
Xg i — (1 — X2 ) I COS + r cos2 <Pj + | - X2 / cos 2«,- cos <p;,
(33)
/ 1 \ 1 v ’
= ( 1-----— X2 ) /sincSj + /'COS<PjSin Ф, + -7-Xs / COS 2'/= SIH©;.
Имея в виду, что
, 1 1
cos-?,- = + -g-cos 2'f,.,
1 • о
COS <p(.sin <Pj = -- Sin 2?,-,
Sit
О 1 г 1 Q
cos ft cos 2ft = cos + — cos 3ft,
Z &
cos 2ft sin ft - ~ sin 3ft—sin ft,
ложно уравнение (33) представить в следующем окончательном
виде:
л2 ) I cos ft + 1- г cos 2е{ + ~ k21 cos 3ft,
О / Z о
У я i — 0 ~
’J /sin ft 4- г sin 2 ft + -g-k2/sin 3ft.
(34)
8 Г
5. Механизм гильзового газораспределения
звездообразных моторов
За последнее время в звездообразных моторах все чаще и чаще,
вместо клапанного, применяется
Гильза совершает одно-
временно поступательное
[виженнс вдоль оси ци-
линдра и вращательное
движение вокруг этой же
Фиг. 10. Схема расположения цилиндров
звездообразного цилиндрового мотора
<1’111.9, Механизм гильзового
га ^распределения
оси. Такое движение осуществляется с помощью кинематической
схемы, изображенной на фигуре 9. От коленчатого вала при-
водится в движение кривошипный валик газораспределения с по-
мощью зубчатых колес, имеющих передаточное число, равное 0,5.
25
11алец кривошипа охватывается шаровым шарниром, смонтиро-
ванным в гильзе. Рассматриваемая конструкция кинематической
гильзе перемещаться поступательно и
пары дает возможность
Фиг. 11. Схема расположения кривоши-
пов механизма гильзового газораспре-
деления в семицилиндровом моторе
вращаться вокруг оси цилин-
дра, передвигаясь вдоль оси
пальца кривошипа.
Так как газораспределенш
в звездообразных моторах осу-
ществляется через один ци-
линдр, то этим самым опреде-
ляется положение кривошипов
газораспределения огноситель-
по друг друга.
На фигуре 10 представлена
схема семицилиндрового мо-
тора. Чередование вспышек за-
жигания в цилиндрах этого
мотора будет протекать в
следующем порядке: 1, 3, 5,
7, 2, 4, 6. Как видно из кине-
матической схемы (фиг. 9),
кривошипы вращаются в том
же самом направлении, что и
коленчатый вал мотора, т. е.
по часовой стрелке. Очевидно
(фиг. 11), если кривошип газо-
распределения первого цилин-
дра совпадает с НМТ, то
кривошип третьего цилиндра не дойдег до своей НМТ на угол
1 л с.
т 3 ~ °2
Аналогично кривошип, например, седьмого цилиндра
не дойдет- до своей НМТ на угол -^-37 = о4, т. е. будет повер-
нут относительно первого кривошипа на угол и г. д. Таким
образом углы заклинки кривошипов газораспределения будут
равны углам развала между цилиндрами, если нумерацию кри-
вошипов считать в порядке их зажигания.
Пусть кривошип первого механизма газораспределения соста-
вляет с осью ОХ угол 180°, тогда угол заклинки кривошипа г-го
механизма относительно первого будет определяться следующим
очевидным соотношением:
ъ.=1.(г_1}г0 = (Л_1)о0, (зз)
где: 7; — искомый.угол заклинки z-ro кривошипа;
z — порядок механизма, причем для четных механизмов
действительное значение z следует увеличивать на общее
число цилиндров;
26
So—угол развала между осями цвух смежных цилиндров;
п — число, определяющее порядок зажигания Z-го меха-
низма.
6. Графический метод определения проекции перемещений
различных точек механизмов
Выведенные уравнения для механизмов с прицепными сочлене-
ниями являются довольно громоздкими, поэтому параллельно с ана-
литическим методом, можно рекомендовать следующий графиче-
ский способ автора [3].
Пусть на фигуре 12
представлен V-образ-
ный механизм с при-
цепным сочленением.
Произведем разметку
траекторий точек А, В,
С и D.
Очевидно, проекции
перемещения точки А
могут быть определе-
ны аналитическим пу-
тем
Ха = г cos со,
(36)
>H=rsin<p.
Для определения
проекций перемещения
точки Л производят
измерение расстояний
этой точки на размечен-
ной траектории, при-
няв в качестве точки
отсчета первое положение механизма (кривошип О А совпадает
с осью ОХ). Таким образом последовательно измеряют отрезки
ВгВ2, ВхВк, BlBi и т. д.
Располагая численными значениями измеренных отрезков,
получают их проекции, пользуясь следующими уравнениями:
хВз — BjJgCOSOj и т. д.
}'/)1 = 0, Увг— ^j^sinop уВз = В1Ва sinSj и т. д.
Таким образом проекции перемещения точки В получены
в виде функции, заданных численными отметками:
хв=ЕлМ,
Ув=Ву(ъ).
(37)
27
Аналогичным образом могут быть получены проекции пере-
мещения точки D, а также всякой другой точки, совершающей
прямолинейное движение.
Если точка описывает криволинейную траекторию, как, напри-
мер, точка С, то вначале проектируют размеченную траекторию
на оси ОХ и OY (фиг. 12). Затем измеряют отрезки на проек-
циях траектории от первого положения точно так, как это дела-
лось при измерении отрезков траектории точки В. Численные
значения измеренных отрезков и представляют собой проекции
перемещения точки С, как функций, заданных численными отмет-
ками:
Л'с = Сх (?),
Ус. = Су(ъ).
(38)
Статическая уравновешенность механизмов
Пусть масса т (фиг. 13),
движение в плоскости OXY,
Фиг. 13. Относительное движе-
ние массы
связанная с системой А, совершает
причем как на массу, так и на
систему А не действуют никакие
внешние силы.
Приняв в основу принцип реак-
тивного движения, можно утвер-
ждать, что относительное движе-
ние массы т будет вызывать пере-
носное движение системы А, при-
чем их общий центр инерции бу-
дет находиться в состоянии по-
коя 1). В качестве подобного при-
мера -Можно привести, например,
движение массы вращающегося ро-
тора, центр тяжести которого не
лежит на его оси вращения.
Если выбрать неподвижную си-
стему координат с началом в цен-
тре инерции, то можно написать следующие уравнения:
где:
т х — — тх,
ту = — ту,
(39)
х, у — проекции перемещения массы z/i;
х,у—проекции центра тяжести системы А, имеющей массу т.
]) Предполагается, что в начальный момент масса т п система А находи-
лись в состоянии покоя.
28
Очевидно, переносное движение будет отсутствовать, если
проекции статического момента массы, находящейся в относи-
тельном движении, будут равны нулю,
т. е.
Мх ~ тх = О,
Му = ту = 0.
(40)
Конечно, если начало координат пе-
ренести в -другую точку, то проекций
статического момента будут равны ка-
ким-то ’постоянным величинам, опреде-
ляющим новое начало координат.
Усложним поставленную задачу, а
именно, вместо одной движущейся мас-
сы, рассмотрим механизм, состоящий из
нескольких звеньев (фиг. 14). В этом слу-
чае центры тяжести отдельных звеньев
будут совершать движения как точки,
Фиг. 14. Относительное
движение механизма
в которых сосредоточены массы соот-
ветствующих звеньев. Их движение мо-
жет быть, в свою очередь, заменено дви-
жением одной материальной точки, а
именно—движением центра инерции механизма, в котором будут
сосредоточены массы всех звеньев. Эту массу назовем замещаю-
щей массой механизма. Проекции' статического момента этой
массы должны удовлетворять теореме о движении центра инерции
Л1Х о = У mtxi = У 44л г,
() ' (0
У У
(0 (0
(41)
Уравнения (41) могут быть представлены также в векторной
форме
Мо= У т^г. = VMi, (42)
где г—радиус-вектор перемещения t-ой массы, а Л1(- и /Ио—век-
торы статических моментов i-ой массы и замещающей массы
механизма.
Считаем нужным напомнить о применяемой нами терминоло-
гии—центр тяжести и центр инерции. Как известно.1), центр
тяжести и центр инерции определяются одним и тем же уравне-
нием
’) Лойцянскпй и Лурье „Курс теоретической механики". Часть II, 1938 г
29»
Центр тяжести определяется через неизменные расстояния,
между отдельными материальными точками, принадлежащими
одному и тому же твердому телу. Термин — центр инерции
соответствует точечным массам, расстояния между которыми
в процессе движения изменяются.
Если окажется, что проекции статического момента замеща-
ющей массы механизма для каждого его положения будут равны
нулю или иметь постоянные значения, то центр инерции меха-
низма в относительном движении перемещаться не будет, т. е.
механизм будет статически уравновешен. Следовательно» можно
сформулировать условия уравновешенности в следующем виде:
В статически уравновешенном механизме, массы которого
совершают движение в одной плоскости, проекции статиче-
ского момента замещающей массы для любого положения-
механизма имеют постоянное значение-.
Мх0= V т.х. — V щ*. = с0,
Му0= V т.у. — £ му. ~ С(г
(43)
Усложним еще несколько вопрос об .уравновешенности меха-
низмов. Пусть (фиг. 15) перемещаются две массы т, и т2 в двух
Фиг. 15. Относительное движение двух
масс в двух параллельных плоскостях
параллельных плоскостях, ко-
торые в дальнейшем будем на-
зывать плоскостями движения.
Очевидно центр инерции этих
двух масс будет находиться
в относительном движении в
состоянии покоя, если выпол:
няются при соответствующем
выборе начала координат сле-
дующие условия:
ЛЦ0 = Мх1+ Мх2=0,
Myii=Myl + My2 = 0. ( '
Но это возможно в двух слу-
чаях:
1) /Ин = -<2, (45)
Му1 = - Л1у2;
2) Мх1=Мх2 = 0, (46)
Му1 = Му2 = 0.
Уравнение (Л1л1 = — Л4Х,) показывает, что центр инерции масс
mt и т„ будет находиться в состоянии покоя. Противополож-
ные же движения этих масс вдоль осей, параллельных ,оси ОХ,
вызовут вращательное движение системы А вокруг оси ОУ, про-
зе
одяшей через центр тяжести этой системы. Аналогичное явле-
ние будет наблюдаться при ЛД,, =— АД,,, т. е. в этом случае
система А будет поворачиваться вокруг оси ОХ, проходящей
через ее центр тяжести.
Так как поворот масс в относительном
движении определяется центробежными мо-
ментами, представляющими собой моменты
векторов статических моментов масс, поэтому
считаем полезным напомнить о соотноше-
ниях между подобными векторами.
Пусть отложены от точки О (фиг. 16) век-
торы перемещения (г;) и статического мо-
мента (Лф) i-ой массы. Тогда вектор, пред-
Фнг. 16. Векторное
произведение век-
тора центробежно-
го момента массы
ставляющий собой момент М-„ будет также
вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, в которой
находятся rz- и /И,-. Направление вектора центробежного мо-
мента С; определяется в левой системе координат тремя паль-
цами левой руки; величина же его вычисляется из векторного
произведения: •
Проекции вектора С, можно выразить через проекции векто-
ров гг и А4; в виде следующих уравнений:
Сх1=у-,Мг1-z.M,,,
C^z^-x^, (47)
В плоских механизмах массы не совершают никаких движений
вдоль оси OZ, поэтому Л4г/ = 0, т. с. уравнения (47) примут сле-
дующий вид:
Сд.г — ZjMyj,
C^ — z-^x,, (48)
= — ytMxi-
Докажем одну теорему, важную для наших исследований
в области уравновешивания, а именно:
Если главный вектор статических моментов масс (7140) равен
нулю, то величина главного вектора центробежного момента
не зависит от местоположения точки приложения ~Мй, т. е.
в этом случае С'о представляет собой пару.
Пусть дано, что
7ио=^М = о.
(О
31
Напишем выра?кение главного вектора центрооежного момента
относительно точек О и О', причем положение точки О' будет
определяться постоянным вектором а
я?;.
б)
Со' ~ т; + а М~ L г, М-, + X а , /И;,
О) (О (О
но \ а,. М;— а \ M-t — 0.
(*) (')
Следовательно,
Со'лГг = С0. (49)
(')
Указанные положения о центробежных моментах используем
для разбираемого случая о движении двух масс. Так как главный
вектор статических моментов масс и т, равен пулю, то Сд0 и
С,,0 представляют собой пары, под действием которых система .4
Фиг. 17. Разнос масс на две пло-
скости приведения
будет поворачиваться вокруг со-
ответствующих осей, проходя-
щих через ее центр тяжести.
Системы, поворачивающиеся
в-переносном движении вокруг
осей, параллельных плоскостям
движения, будем называть стати-
чески неуравновешенными во
вращательном движении.
Теперь рассмотрим второй
случай, т. с.- уравнения 41д1=:
= /И,2 = 0 и Л1у1 — Л1у„ = 0. Они
показывают, что центры тяже-
сти обеих масс находятся в со-
стоянии покоя, вследствие чего
система /1 не будет иметь ни по-
ступательного, ни вращательною
движений, т. е. система А будет
полностью уравновешена.
При рассмотрении п масс
(фиг. 17), совершающих относи-
тельное движение в п параллель-
ных плоскостях, следует при-
вести эти массы к двум произвольно выбранным плоскостям Р и Q,
которые мы в дальнейшем будем называть плоскостями приве-
дения.
Обозначим через р, и расстояния, определяющие положе-
ние у-ой плоскости движения от плоскостей приведения Р и Q.
32
Тогда, пользуясь теоремой о движении центра инерции, можно
все движущиеся массы заменить двумя массами, совершающими
относительное движение в плоскостях Р и Q. Статические мо-
менты этих двух замещающих масс будут иметь следующие зна-
чения:
= X Mxj 11 , Myt) = Myj , (50)
O') ° O') z°
= X Mxj , Myq — Myj Ll, 9 (5i)
O') Z« O') Zo
где l0—расстояние между плоскостями приведения.
Очевидно все рассуждения останутся в силе, если в каждой
плоскости движения будут совершать относительное движение
не отдельные массы, а массы механизмов. В этом случае опре-
деляются проекции статического момента замещающей массы
каждого механизма в отдельности, используя для этой цели
уравнения (41). Затем, применяя уравнения (50) и (51),’ разносят
проекции статического момента каждой земещающей массы меха-
низма на две плоскости приведения Р и Q.
Располагая проекциями статических моментов в плоскостях
приведения Р и Q, можно указать условия уравновешенности
механизмов, расположенных в нескольких плоскостях движения:
1) Если (Л7го)р = — “ (муй)р = — (^уо)д . то меха-
низм, расположенный в нескольких параллельных плоскостях
движения, будет статически уравновешен только в поступа-
тельном движении. Такую уравновешенность будем называть
статической уравновешенностью первого рода.
2) Если (Мл3)р = (M.r0)q 0, (Муй)р —(M^)q = 0, то механизм,
расположенный в нескольких параллельных плоскостях движе-
ния, будет статически уравновешен как в поступательном., так
и во вращательном движениях. Такую же уравновешенность
будем называть статической уравновешенностью второго рода.
Можно установить условия уравновешенности механизмов,
замещающие массы которых расположены в нескольких парал-
лельных плоскостях, не прибегая к разнесу статических моментов
на плоскости Р и Q, а используя центробежные моменты масс.
С этой целью определим проекции статического момента заме-
щающей массы для каждой плоскости движения, пользуясь ура-
внением (41). Затем найденные проекции статических моментов
алгебраически суммируем и получаем проекции на оси ОХ и OY
главного вектора статических моментов замещающих масс:
Л4,0=Х(Л7ЛО)У,
(Л
Му^
(у)
3 Семеном М. В.
(52)
33
Если при соответствующем выборе начала координат Л1г0=0
и My0 = G, пю механизм, расположенный в нескольких парал-
лельных плоскостях движения, будет иметь статическую ура-
вновешенность первого рода.
После чего определяем проекции на оси ОХ и OY главного
центробежного мол ента масс, выбирая произвольно местополо-
жение точки, относительно которой вычисляются центробежные
моменты.
ОЛ (, — —J Р
V (Ю)
Zj (^хо)р
(J)
где Zj—расстояние от начала координат до у-ой плоскости.
Если Сх0 = 0 и Су{1 = 0, то механизм, расположенный
в нескольких параллельных плоскостях будет иметь стати-
ческую уравновешенность второго рода.
Следует заметить, что вычисление проекций центробежных
моментов для выяснения уравновешенности механизмов, если
Млйф 0 и Му_в^0, не имеет никакого смысла, так как CxU и Су0
будут изменять свои численные значения в зависимости от место-
положения точки моментов.
Все установленные на.мц условия статически уравновешенных ,
механизмов получены с помощью преобразований статических
моментов масс, используя для этой цели теорему о движении
центра инерции, т. е. статическая уравновешенность- механиз-
мов определяется только теоремой о движении центра инер-
ции.
Статический разнос масс
Как было установлено, статическая уравновешенность меха-
низмов определяется теоремой о движении центра инерции.
В этом случае движение центра инерции не изменится, если одну
массу заменим несколькими массами или, наоборот, несколько
масс заменим одной массой, выполняя при этом условия, накла- '
дываемые указанной теоремой
т — тх = £ m-t, (б S mixi (0
ту — т,}-,
(О
(54)
34
Точечные массы, заменяющие собой системы материальных
очск или несколько масс, называются замещающими, массами,
а точки, в которых они сосредоточены, называются .замещаю-
щими точками. Разнос масс, осуществленный на основе теоремы
о движении центра инерции, называется статическим разносом
массг).
Замещающие массы широко применяются в технике уравно-
вешивания механизмов, так как число замещающих масс полу-
чается меньше по сравнению с числом движущихся звеньев меха-
низма;
Как видно из уравнения (54), одна масса может быть разне-
сена на бесчисленное множество замещающих точек, но в прак-
тике применяют разнос масс отдельных звеньев на одну, на две
и на три замещающих точки.
а) Разнос массы на одну замещающую точку
В этом случае, если звено совершает вращательное или слож-
ное плоское движение, замещающей точкой является центр
тяжести звена. Если же звено совершает поступательное движе-
ние, то в качестве замещающей точки может быть взята любая
его точка, так как перемещения всех точек будут одинаковые.
Обычно центр шарнира ползуна является замещающей точкой.
б) Разнос массы на две замещающие точки
Пусть звено совершает сложное плоское или вращательное
движение (фиг. 18). Проведем прямоугольную систему коорди-
нат, начало которой совпадает с
центром тяжести звена и ось ОХ
проходит через одну из замещаю-
щих точек, например,через точку А.
Для двух замещающих масс си-
стема уравнений (54) примет сле-
дующий вид:
тА + тв~ т, (55)
тАхА + Шв Хв = о, (56)
тА уА + тв ув — 0. (57)
массы звена на две точки
Так как уА = 0, то, как видно
из уравнения (57), ув также должен
быть равен нулю, т. е. две замещающие точки должны лежать
на рямой, проходящей через центр тяжести.
*) В специальной литературе обышо замещающие массы называются при-
веденными, что является неправильным, так как под приведенными пони-
маются переменные массы, численное значение которых определяется вели-
чиной кинетической энергии. Такие массы применяются, например, при рас-
*>eie маховика и регулятора.
За:
35
Обычно положение замещающих точек относительно выбран-
ной системы координат является известным. Пусть хА = о-
и Хв =
При Хв = — Ь, т. е. замещающие точки А и В лежат по разные
стороны от центра тяжести. В этом случае уравнение (56) примет
следующий вид:
тА а — тв b = 0. (58)
Решая совместно уравнения (55) и (58), получим значение
замещающих масс в следующем виде:
b
тА — т -г-
(59|
а
тв — tn -j- ,
где 1 — АВ.
Если хв = Ь, т. е. замещающие точки лежат по одну сторону
от центра тяжести, то уравнение (56) будет представлено в сле-
дующем виде:
тАа + тв Ь = 0. (6(ф
Совместное решение уравнений (55) и (60) дает возможность
определить величины замещающих масс:
b
тА = — т,
а
тв = т у .
(61)
Как видно из этих уравнений, тв > т, так как а I, а заме-
щающая масса тА имеет отрицательное значение.
Таким образом масса звена, совершающего сложное плоское
или вращательное движение, может быть статически разнесена
на две точки, если они лежат на прямой, проходящей через
центр тяжести. Величина же замещающих масс будет обратно
пропорциональна отрезкам, соединяющим центр тяжести с заме-
щающими точками.
в) Разнос массы на три замещающие точки
Пусть на звене (фиг. 19), совершающем сложное плоское или
вращательное движение, заданы три замещающие точки, обра-
зующие треугольник, причем центр тяжести не лежит ни на одной
из сторон этого треугольника.
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы начало
координат совпадало с центром тяжести и одна из осей прохо-
дила бы через одну из замещающих точек, например точку А.
В этом случае уА = 0 и система уравнений (54) примет следую-
щий вид: „
тА + тв + тс = 0,
тА хА + тв хв + тс хс — 0, (62)
tu в У в + т-сус~ 0.
36
Если координаты точек Л, В и С заданы, то, решая три ура-
внения совместно, можно получить уравнения, определяющие
численное значение заметающих масс.
in с = т---------------------------------
%А -^С + (-V4 — Хв
Ув
Vr
тв = — тс — ,
Ув
(63) •
тА = т — тс — тв.
Таким образом, если центр тяжести
соединяющей две замещающие точки,
то массу звена следует разносить на три
точки.
После того как разобран метод стати-
ческого разноса масс отдельных звеньев,
можно без каких-либо затруднений оп-
ределить замещающие массы отдельных
механизмов авиационных моторов, при-
чем в качестве замещающих точек при-
мем центры шарниров, так как их пе-
ремещения легко определяются.
Разнос замещающих масс механиз-
мов осуществляют следующим образом:
массы поршней сосредотачивают в соот-
ветствующих центрах их пальцев; сим-
метричные шатуны разносят на две, а
Фиг. 19. Статический разнос
Фиг. 20. Замещающие
массы кривошипно-
iuar\иного механизма
несимметричные на массы звена на три точки
три замещающие
точки, являющиеся центрами вращательных
пар; кривошип разносят на две точки, одна
из которых является неподвижным центром
вращения, а другая — центром пальца криво-
шипа. Применим указанный метод, статиче-
ского разноса к отдельным типам механизмов.
1. Кривошипно-шатунный механизм
На фигуре 20 изображен кривошипно-ша-
тунный механизм и тв, тп и Шщ — массы кри-
вошипа поршня и шатуна. Положение центра
тяжести шатуна АВ определяется размерами
а и Ь, а кривошипа ОА—размером е.
Разнос масс отдельных звеньев произве-
дем, как указывалось выше, т. е. шатун раз-
несем на две точки А и В, кривошип — на
37
две точки О и А, а массу поршня сосредоточим в точке В. Так
как точка О не совершает никакого движения, то звенья кри-
вошипно-шатунного механизма могут быть заменены двумя дви-
жущимися замещающими массами, сосредоточенными в точ-
ках А и В
е 'Ь
тА ~тк — + тш— ,
г I
а (46)
тв = тп + т.ш — .
2. Механизмы с прицепными шатунами,
имеющие центральное сочленение
Для таких механизмов, безразлично будет ли зто V-образный
или звездообразный двигатель, разнос масс осуществляется
точно так же, как и для кривошипно шатунного механизма. Осо-
бенность разноса будет заключаться лишь в том, что половина
замещающих масс от всех шатунов будет сосредоточена в одной
точке —в центре пальца кривошипа. Так как размеры всех шату-
нов и их массы одинаковы, то величина замещающих масс будет
определяться следующими уравнениями:
е b
1ПА = тк - + zmm -J- ,
а
mBi = тп + тш —,
(65>
где г = 1, 2,....г.
Очевидно число всех замещающих масс будет равно числу ци-
линдров (г) в одной секции, уве-
личенное на единицу, т. е. г+1.
Фиг. 21. Замещающие массы V-образ-
ного механизма с прицепным сочле-
нением
3. Механизм V-образного мотора
На фигуре 21 изображен V-об-
разный механизм с прицепным
сочленением, где указаны все не-
обходимые размеры для разноса
масс.
;> Массы поршней принимаются
соответственно сосредоточенны-
ми в точках В и В,, масса при-
цепного шатуна разносится на
точки Вх и /lj, а кривошипа—на
О и А. На главном шатуне в точ-
ках А и /ф будут сосредоточены
части масс кривошипа и прицеп-
ного шатуна, а в точке В—масса
поршня. Массу же главного ша-
38
гуНа следует разнести на три точки А, В и так как центр
тяжести всех масс не лежит ни на одной из прямых, соединяю-
щих две его шарнирные точки.
Таким образом, учитывая, что точка О не совершает движе-
ния, массы всех звеньев V-образного механизма могут быть заме-
нены четырьмя замещающими массами
е
Ш А — тК~ + ШшА
т,в — тп + тшв
(66)
«1
nt а 1 — тип —Р тгпа 1
Шв 1 — тП 1 + тшх
ч
Численные значения замещающих масс тшл, т-шв и тщм,
получающиеся при разносе массы главного шатуна на три точки,
вычисляются по ранее выведенным уравнениям (63), причем раз-
меры хА, хв, Xai У в и Ув1 указаны на фигуре (22).
4. Механизм W-образного мотора
Производя разнос масс прицепных шатунов и кривошипа на
Фиг. 22. Разнос массы главного
шатуна V-образного мотора
две точки, получим на главном шатуне три замещающие [массы
в точках /1, Alt и Л2. Так как размеры и массы прицепных меха-
низмов имеют одни и те же численные значения, то массы в точ-
39
ках Ai и А3 могут быть заменены одной
ной на оси главного
шатуна
массой, сосредоточен-
оче-
две
Фиг. 24. Разнос массы главного
шатуна Х-образного мотора
точке Q. Эту массу, в свою
редь, следует разнести па
точки А и В.
Центр тяжести главного
туна, благодаря симметрии
следнего, лежит на оси
а поэтому можно произвести раз-
нос его массы на две точки А
и В.
Таким образом звенья W-об-
разного механизма, имеющего
симметричный главный шатун,
могут быть заменены четырьмя
замещающими массами:
е b
тА = тк — + тш +
о , «'^1
+ 2тш~Г1
ша-
ПО-
АВ,
в
тв = тп + тт-j- Ч- 2т’ш — ,
, т
/пв 1 = тв 2 = тц + т'щ —.
(67)
В этих уравнениях т'ш есть масса первого и второго прицеп-
ных шатунов. Все необходимые геометрические размеры ука-
заны на фигуре 23.
5. Механизм Х-образного мотора
Если сначала произвести разнос масс прицепных шатунов
л кривошипа на две точки, то па главном шатуне будут четыре
замещающие массы тк hi'uiai, пЦцдг, т’шлъ и кроме тою
масса главного шатуна, сосредоточенная в его центре тяжести.
Все эти массы расположены не симметрично относительно пря-
мой АВ, а поэтому не могут быть заменены двумя замещаю-
щими массами, сосредоточенными в точках А и В. Следова-
тельно эти пять масс можно заменить лишь тремя массами.
Если, папример, в качестве замещающих точек выбрать точки
-4, В и Др то каждую из масс тш, т'шлг и т’ШАЗ следует раз-
нести на три точки, как это ранее указывалось (уравнение 63),
выбирая последовательно прямоугольные системы координат
с началами в течках С, и А3.
40
Следовательно звенья Х-образного механизма могут быть
ценены шестью замещающими массами
—тк — + т-игл + (т шла a + (in шал)а ,
тв — Шп + + (т'шл j)b.+ (ni'uiA з)в> (68)
nix 1 — т'шл i + min a i + (in'ii'k 2 Ia i + (ni'nix з)д j,
, Hl’
/71В 1 = Ш В 2 — nip 3 in [I + III П! .
•• , , , , n' .
В этих уравнениях in щх i =/» ///a 2 — m ///а з тш у, где т'ш
есть масса прицепного'шатуна. Геометрические размеры глав-
ного шатуна могут определяться по фигуре 24.
6. Механизм звездообразного мотора
Разнос масс звеньев звездообразных механизмов осущест-
вляется аналогичным образом, как W-образного механизма, т. е.
прицепные шатуны и кривошип разносятся на две точки. Каж-
дые две симметрично расположенные на главном шатуне заме-
щающие массы заменяются одной массой, расположенной на оси
АВ или ее продолжении Полученную таким образец массу раз-
носят на две точки А и В. На эти же точки разносится и масса
главного шатуна. Очевидно любой звездообразный механизм
с прицепным сочленением, имеющий z цилиндров, может быть
представлен z + 1 замещающими массами.
Г ,рО-1)
е _ , п' , ь
nix—111 к—\-2ni щ \ b, + Шщ
г И-1 I '
i 1
'к о <69)
г* г \1
wiB = //?// + 2т'ш у (I; + Шщ у ,
i I
, in'
т К j — Шц + 111 Ш J,- .
Размеры главного шатуна представлены на фигуре 25.
В обще,м случае для всех механизмов с прицепными шату-
нами следует заметить, что массы всех деталей, применяемых
лля соединения прицепного шатуна с главным, необходимо доба-
41
влять к соответствующим замещающим массам прицепных шату-
нов, сосредоточенным на главном шатуне. Массы же деталей
для соединения прицепных
шатунов с поршнями добавляются
к замещающим массам прицепных
шатунов, сосредоточенным в соот-
ветствующих центрах пальцев порш-
ней.
Фиг. 25. Разнос массы главного
шатуна звеззообразиого мотора
7. Механизм гильзового
газораспределения
Центр тяжести гильзы переме-
щается по тому же самому за-
кону, что и центр пальца'криво-
шипа. Таким образом массы каж-
дого механизма газораспределения
могут быть заме! ены двумя мас-
сами, сосредоточенными в центре
пальца кривошипа, причем одна из
них совершает вращательное дви-
жение с угловой скоростью ту0*»
а другая—возвратно поступатель-
ное движение параллельно оси ци-
линдра.
В заключение этого параграфа отметим, что разнос масс ша-
тунов может быть осуществлен и экспериментальным путем.
В случае симметричного шатуна кладут его на призмы, уста-
новленные на чашках весов, .причем расстояние между реб-
рами призм должно равняться расстоянию между замещающими
точками. Тогда одна чашка, если центр тяжести шатуна нахо-
дится не па середине, перетянет. Пусть масса, добавленная до
состояния равновесия весов, есть Ат, а масса всего шатуна,
определяемая специальным взвешиванием, есть 1пш. Тогда можно
написать следующее очевидное соотношение:
b а b — а .
тш-j---Шщ -j — тщ —[— — ±т.
Отку да
, , I
b а —-------1, но b + а — I.
тш
Решим эти два уравнения совместно:
(тш -I- Am)/
’ ~ 2тш
42
Полученное уравнение дает возможность опретелить вели-
чину заметающей массы в точке А.
b (тш + Д/zz) /
/«А — tTlU! Т- — Шш----Ь----7------
/ 2тщ1
Откуда
«л = 2* (тш + ^т),
тк = тш — тА.
(70)
Можно разнос масс осуществить и другим способом, кладя
шатун точками А и В на ребра двух призм, причем одна из этих
призм устанавливается на чашку весов, а другая является непо-
движной. Тогда, уравновешивая весы с помощью гирь, накла-
дываемых на другую чашку весов, определяют величину заме-
щающей массы шатуна, которая производит через призму давле-
ние на весы. Очевидно масса положенных гирь как раз равна
замещающей массе шатуна.
Аналогичным образом осуществляется разнос несимметрич
ного шатуна на три замещающие точки, причем две из них устана-
вливаются на ребра неподвижных призм, а третья на призму,
находящуюся на чашке весов. Взвешивание для определения
численных значений двух замещающих масс приходится прово-
дить два раза, а третья замещающая масса определяется, как
дополнение до всей массы шатуна.
Пример 1. Произвести разнос масс главного шатуна 12-ти цилиндрового
V-образного мотора марки АМ-35. Данные этого механизма, соответствующие
одной секции, приведены в таблице 5.
Таблица 5
Г 1 mi /| Ф1 тп тш т'ш
95 313 75 115 123 238 60э 66°58' 0,238 0,500 .0,192
Главный шатун рассматриваемого механизма представляет
собой несимметричное тело, поэтому масса его должна быть
разнесена на три точки, а именно на точки А, В и At (фиг. 26).
Положение центра тяжести главного шатуна определялось '
провешиванием. С этой целью шатун подвешивался на призме
вначале на втулке шарнира А, а затем — шарнира В. Тогда точка
пересечения направлений отвесов, соответственно опущенных
из вершин призм, определила центр тяжести шатуна. По изме-
рении оказалось, что 05 = 252 мм, а ОА = 67 мм.
43
Для определения координат точек Д В и Д найдем значе
ния углов а. и р
cos а. —
ОА* + В —О В*
21 • ОА ~
0,92876
а = 21°46'
Р = О, — а = 45°12'.
Располагая этими углами, определим координаты точек
следующих уравнений, причем хА = 67 мм и j'a = O.
из
Хв = — (I cos а — лА) = — 223,70 мм,
j/в =/sin а = 115,97 мм,
k = — (г cos [3—Л'д) = — 14,17 мм,
У А1 = — Г sin р = — 53,22 мм,
4
Фиг. 26. Определение величин, необходимых
к разносу массы главного шатуна мотора
АМ-37
Численные значения
замещающих масс опре-
деляем по уравнениям(бЗ)
wjhja 1>пш X
Х *А__________=
Х\ — Xf, 1 + (Ад — Хв)
=0,156 кгсек'^м,
ГПщв =— tflWAl х
х -У— = 0,072 кг сек2 } м,
.Ув
/ПША = HI—/ПША 1 — /Ящв=
= 0,272 кгсек^м.
Кроме того в точки
Ах В и А должны быть
еще соответственно добавлены: замещающая масса от прицеп-
ного шатуна, масса поршня и замещающая масса от кривошипа.
Пример 2. Произвести разнос масс главного шатуна звездообразного
мотора М-62. Этот механизм имеет один главный и восемь равных прицеп-
ных шатунов, причем угол развала равен соответственному углу прицепа,
т. е. = й> Данные этого механизма приведены в таблице 6, где mg пред-
ставляет собой массу всех' деталей, принадлежащих точке прицепа, как-то
44
пальца
болта.
прицепного шатуна, соответствующей части втулочного замка и одного
Таблица 6
Так как все прицепные шатуны одинаковы, то z/гш f = тщ
п.—п', т-, — т' и \~1', т. е. замещающие массы в точках при-
цепа будут иметь одно и тоже
численное значение. Следовательно _________А______
главный шатун со всеми замещаю- "I у
щими массами, представляя отно-
сительно оси АВ симметричное
тело, может быть разнесен на две
точки А и В (фиг. 27).
Предварительно вычислим а-, и Ь1
п, — rx cos 40° — 68,30 мм,
аа = r2 cos 80° = 13,51 мм,
а3 = rs cos 120° = — 38,48 мм.
п4 = r4 cos 160° = — 72,15 мм,
bt = l — а, = 280,95 мм,
b2 — I — а2 = 335,74 мм,
Фиг. ‘27. Статический разнос
масс 9-ти цилиндрового шата-
на мотора М-62
bz-l— — мм,
— «4 = 421,40 мм.
7=4(г— 1) z=y(2-l)
Тогда £ аг = —28,82 мм и V = 1420,82 мм, а величина»
7=1 7=1
замещающих масс определяется из уравнений (69)
/,гшв = тш j + 2

0,153—0,017= 0,136 кг сек2\м,
/Пша =пгш- + 2( т'ш С + теУ~,! = 0,681 + 0,863 = 1,544 кгсек2)м.
1 1 I “ I
45
В качестве поверочного уравнения будем иметь следующие
соотношения:
тш + 8 ( т'ш т„\ = 1,682 кг сек2 м,
\ )
/лша + '«шв = 1,680 кг сек2!м.
Таким образом неточность вычисления соответствует ошибке
0,002 кг’секу м.
К вычисленным значениям . замещающих масс /кША и шшв
соответственно добавляются замещающая масса от кривошипа
и масса поршня.
Статический момент замещающей массы механизмов
Численное значение статического момента г-ой замещающей
массы будет определяться следующими уравнениями:
Myi = т,Уе
Так как аналитические выражения проекций перемещений
замещающих точек для всех рассмотренных механизмов пред-
ставлены в виде рядов Фурье, то
М,; = о,о + S (й, л cos А? + bih sin k'f) ,
(/?)
г (71)
Myi~ mi Qo + У (c/ft cosA® + rfiftsinZf<?) .
I (k)
Располагая проекциями статического момента г-ой замещаю-
щей массы, можно определить проекции статического момента
замещающей массы всего механизма, используя уравнение (41)
Л1л0 = cos А® + bh sin kq),
(Л)
хл (72)
/ИрО = 2jic*cos +^ftsinfc?),
(k)
где:
bh — У tnfik
(0 (0
ck= У m^ki, dk-=
(о (')
•46
В уравнениях (72) опущены постоянные коэфициенгы а0 и с0,
так как они не изменяют положения центра инерции механизма
и не влияют на закон его движения.
Нами был еще указан графический метод определения
проекций перемещений замещающих точек. В этом случае,
располагая л,- = .х;(?) и у,—у{(?) в виде числовых отметок, опре-
,зля’ем, пользуясь уравнениями (41), проекции статического
момента замещающей массы всего механизма также в виде
числовых отметок. Затем, применяя, например, метод Рунге
для 12-ти ординат ]) можно значения 44,. 0 и Муп представить
в виде рядов Фурье, т. е. в форме уравнений (72).
Если обозначить замещающую массу механизма через w0,
, авную сумме всех замещающих масс, то проекции перемеще-
ния центра инерции для каждого положения механизма могут
тыгь определены из следующих уравнений:
/Wv0
х(,= —
/«0
V —
(73)
Таким образом траектория центра инерции и годограф ста-
итческого момента массы тй будут представлять собой одну
и ту же кривую, но построенную в различных масштабах
Каждая, например, k-я гармоника уравнения (72) может быть
представлена следующим уравнением:
Млк = о* cos £ о + bksmkv(,
<ft = QCO3^? + ^sinA?. (74)
Уравнение (74) представляет собой уравнение эллипса, т. е.
конец вектора статического момента А-ой гармоники будет опи-
сывать эллипс. Годограф же статического момента массы
и траектория центра инерции представляют собой семейство
эллипсов, наложенных друг на друга, причем некоторые из них
могут превращаться в окружности, прямые линии и точки.
О таком движении центра инерции механизмов впервые
упоминается в 1895 году в работе Mallock’a [4]. Далее теорию
Mallock’a развил Koisch [5], который рассматривал уравновеши-
вание кривошипно-шатунных механизмов с центральным сочлене-
нием. В нашей отечественной литературе об эллипсах, как об
годографах сил инерции кривошипно-шатунных механизмов, упо-
минается впервые у Квасникова [6].
Разложение годографа статического момента массы т0 на
семейство эллипсов дает наглядное представление об уравнове-
шенности в механизме отдельных гармоник. Для уравновешива-
ния же отдельных гармоник с помощью вращающихся масс
1) Фихтенгольц „Математика для инженеров”, часть 1, вып. II.
47
удобнее движение по эллипсу представить в виде двух круго-
вых движений
Пусть (фиг. 28) имеется эллипс, представляющий собой годо-
граф статического момента, например, первой гармоники с ося-
ми 2а^ и 2£»i* и pi есть радиус-вектор, соответствующий углу
поворота кривошипа 7. Разложим геометрически pj на два век-
тора: г/ = ^(«i* + ^1*) 11 г 1 = “2 —^1Й)11 определим сум-
му проекций этих векторов па оси эллипса ОХ' и OY'. Тогда,
пользуясь обозначениями на указанной фигуре, получим следую-
щие уравнения:
г/ cos х + г ” cos у = a, * cos 7,
r/sinx + rf' siny = ft/1 sin 7. *'э/
В уравнения (75) подставим значения г/ и г"
(af + ft/^cosx + |- («,* —£/) cosy = ny* cos 7,
у (а/5 + sin х 4- ~ (af — by*) siny — bf sin 7,
или
оф*(cosх + cosy) + by* (ecsx— cosy) = 2а/’ cos 7,
(76)
(sin л — siny) + 04* (sin х + siny) = 2^*51117.
Уравнения (76) выполняются тождественно, если
. cosх -I- cosy = 2cos Ф,
cosx — cosy —О,
sin x — sin у = 2 sin 7,
sin x + sin у — 0.
Последняя система уравнений (77) может выполняться при
условии, если х — — у = 7. Таким образом радиус-вектор
эллипса, построенный для угла 7, может быть заменен двумя
векторами гх' и г/', имеющими постоянные модули, причем г/
составляет с осью ОХ угол 7, а г" угол минус 7, т. е. эти
радиусы векторы описывают две окружности в противополож-
ном направлении, a oci, ОХ' является биссектрисой угла", обра-
зованного радиусами г/ и г".
Аналогичным образом могут быть разложены эллипсы стати-
ческих моментов высших гармоник. В этом случае для /г-ой
гармоники радиусы векторы будут соответственно поворачи-
ваться на угол £7 и минус kv.
Если эллипс, соответствующий, например, гармонике первого
порядка, превращается в прямую, то by* или ах* равняется нулю и
или Ь*. Этот частный случай раз-
48
Фиг. 28. Эллипс статического момента
гармоники первого порядка
ложения прямолинейного движения на два круговых движения
впервые указал в 1907 году Sharp [7], который показал, что каж-
дую гармонику силы инерции возвратно движущейся массы
можно заменить двумя равными центробежными силами инерции,
вращающимися в противоположном направлении. Этот метод им
был применен при уравновешивании гармоник сил инерций криво-
шипно-шатунных механизмов с центральным сочленением.
В нашей отечественной литературе о разложении прямоли-
нейного движения на два круговых движения впервые упоми-
нается у Брикса [8], далее
у Бруевича [9], Кириченко [10]
и Колмакова [11], причем по-
следние два автора независимо
друг от друга развили метод
Sharp’a, применив его к меха-
низмам авиационных моторов
с прицепным сочленением.
Следует заметить, что Хол-
маков и вслед за ним другие
авторы неправильно приписы-
вают Taylor’y [12] м^тод
Sharp’a.
Указав разложение годо-
графа статического момента
на семейство эллипсов, а каж-
дый из них на две окруж-
ности, мы считаем нужным
остановиться на методе опре-
деления всех величин, необхо-
димых при этом разложении.
Пусть, например, имеется
уравнение первой гармоники
статического момента в си-
стеме координат OXY
7ИГ г = Я1 cos ? + ^sin®,
Му1 = Ci cos ср + rfjSin ср. V6'
При разложении движения по эллипсу на два круговых дви-
жения нами были обозначены противоположно вращающиеся
векторы через г/ и rt", причем г/ > г/'. В дальнейшем введем
другое обозначение противоположно вращающихся векторов,
характеризуя, в первую очередь, их направление вращения.
Пусть /?/—радиус-вектор статического момента первой гармо-
ники, вращающийся по часовой стрелке; /?/' — радиус-вектор
статического момента первой гармоники, вращающийся против
часовой стрелки. Обозначим фазовые углы этих векторов через
Ф/ и ф/', измеряя при этом ф/ по часовой, а против часо-
вой стрелки от положительного направления оси ОХ. Так как
4
Семенов.
49
д " вращается против часовой стрелки, то его текущему углу ср
и фазовому углу ф/' следует приписать знак минус.
Сделав все указания в отношении обозначений, можно проек-
ции статического момента первой гармоники замещающей массы
механизма представить как сумму проекций противоположно
вращающихся векторов в системе координат OXY.
Mxl — Ri cos (с? + ф/) + R"cos [ — (ср + ф/')],
= Ri sin (? + К) + /?i"sin[ —(ср + ф/')].
Раскроем косинусы и синусы суммы углоц:
Мх j — R^ cos ср cos ф/ Ri sin ср sin ф/ 4-
4- R"cos ср cos ф/' — /?/' sin ср sin ф/',
Л1у1 — Ri cos ср sin ф/ + sin ср cos ф/ — (79)
— R/' cos cs sin ф/' — /?/' sin ср cos ф/1.
Приравняем правые части уравнений (78) и (79), причем cos ср
и sin ср вынесем общими -множителями:
ах cos ср + Ьг sin ср = (/?/ cos ф/ + /?/' cos ф/') cos ср —
— (/?/ sin ф/ + /?/' sin фх") sin ср,
Ci cos ср -р sin ср = (/?/ sin ф' — Ri" sin фх") cos ср 4-
4- (/?,'со8ф1' —R/' cos фх") sin ср.
Так как коэфициенты при cos ср и sin ср должны быть равны,
то получим четыре уравнения, дающие возможность определить
четыре неизвестные величины:
Ri cos ф/ + R^' cos ф/' = «х,
/?/со8ф/ — Ri' совф/' — dlt (80)
81пф1 + /?//81Пф1" = — b-i,
Т^'БШф/ —/?/81Пф1" = С1.
* Сложим и вычтем по два уравнения системы (80):
2/?/ cos фх' = at 4- du
4R" cos фх' = «х — dlt
2/?j'sin фх'= q — blt (81)
2/?x' sin фх'' = —Cx— bv
Отсюда и можно определить искомые величины:
50
Я/=^]/Ля1 + <Л)2 + (<ч-*1)2, (82>
+ + (83)
Полученные уравнения дают возможность найти все извест-
ные в литературе частные случаи численных значений противо-
положно-вращающихся векторов. Так при bi=0, сх — 0, ^=0
получим, что /?/ = /?/' =~~ ах и = ф/' = 0, т. е. имеем слу-
чай прямолинейного движения при отсутствии фазы (Sharp).
Если фаза не равна нулю, а движение прямолинейное, т. е. сх —
==d1=0 или ax~bx — 0, то в этом случае, как видно из выве-
денных нами уравнений, противоположно вращающиеся векторы
и их фазовые углы будут равны друг другу (Кириченко, Холма-
нов).
Далее для определения параметров эллипса обозначим боль-
ший из векторов Rx через г/,
а меньший г". Тогда полуоси
эллипса определяются из сле-
дующих уравнений:
Радиус-вектор эллипса р2 бу-
дет вращаться в том же самом
направлении, в котором вра-
щается радиус вектор г/. Угол
же поворота системы координат
эллипса OX'Y' относительно си-
стемы координат OXY опреде-
ляется из того условия, что
большая ось делит сумму углов
Ф/ и ф/' пополам. Как видно из
фигуры 29, значение угла ах бу-
дет определяться следующим
Уравнением, если угол ф/' отсчи-
тывать против часовой стрелки:
Фиг. 29. Схема для определения угла
между осью ОХ и осью эллипса
at = 180 +
Ф/-К
2
(85)
Противоположно вращающиеся векторы статического момен-
та массы /я0 обладают очень важным свойством, а именно—за-
нимают неизменное положение на плоскости движения и вели-
чины их не зависят от системы координат, т. е. противополож-
но вращающиеся векторы являются инвариантами движущей-
с я системы масс. Следовательно при переходе от одной системы
координат к другой будут лишь меняться численные значения
фазовых углов. Так, если система координат OX'Y' повернута
на угол 8 по часовой стрелке, то новые фазовые углы противо-
положно вращающихся векторов, например первой гармоники,
будут иметь следующие численные значения:
Чу = ф/ — о,
’17' = ^" + 8. (86)
Если же, напротив, система координат повернута на угол 8
против часовой стрелки, то в уравнениях (86) следует знак пе-
ред 8 изменить на обратный.
Динамическая неуравновешенность механизмов
Пусть звено, связанное с системой А, совершает плоское слож-
ное или неравномерное вращательное движение (фиг. 30). В этом
случае движение его определяется
двумя теоремами: теоремой сдви-
жении центра инерции и законом
моментов:
тхс = X, myt = Y; (87)
Фиг. 30. Относительное движение
звена во вращательном движении
U = MZ. (88)
Как уже мы показали, что масса
звена может быть так подобрана,
что хе — 0 и уе = 0, т. е. звено бу-
дет статически уравновешено и
уравнения (87) обращаются тожде-
ственно в нули.
Если же звено совершает дви-
жение с угловым ускорением, то
уравнение (88) не может быть об-
ращено в нуль за счет соответст-
вующего распределения масс, так
как момент инерции звена не может сделаться равным нулю.
Таким образом одно звено, совершающее неравномериое-
вращательное движение, не может быть уравновешено и всегда
будет вызывать переносное вращательное движение системы А
в противоположном направлении.
Неуравновешенность, подчиняющуюся закону моментов, бу-
дем называть динамической неуравновешенностью.
Следует заметить, что в существующей литературе очень
редко упоминается о такой неуравновешенности. Однако тер-
мин „динамическая уравновешенность" существует, но приме-
няется в случае движения масс, расположенных в нескольких
52
параллельных плоскостях. Этот вид неуравновешенности разобран
на с-тр. 30 и назван статической неуравновешенностью во враща-
тельном движении. Считаем данную нами терминологию правиль-
ной, так как движение масс в нескольких параллельных плоско-
стях определяется только теоремой о движении центра инерции
и с законом моментов такое движение ни в коей мере не связано.
Для выяснения динамической неуравновешенности в прямом
смысле этого слова, т. е. определяемой законом моментов, вы-
годно звенья, так же как и при статической уравновешенности,
заменить замещающими массами. Численное значение этих масс,
а также и расположение замещающих точек должно опреде-
ляться на основании обеих теорем динамики.
Если начало координат находится в центре тяжести звена, то
должны выполняться следующие уравнения:
V mi — т>
М
' (89)
V zzzfyi=O;
(0
+уЛ) = 60.
(0
Такой разнос масс называется динамическим и может при
меняться для любых задач динамики, в
ский разнос масс может применяться
только для статического уравнове-
шивания механизмов.
Для выяснения динамической не-
уравновешенности механизмов имеет
значение разнос звена на две заме-
щающие точки. В этом случае, если
систему координат выбрать таким об-
разом, что ось ОХ проходит через
одну из замещающих точек (фиг. 31),
уравнения (89 и 90) будут иметь сле-
дующий вид;
тА + тк = т, (91)
тА хА +' тк хк = 0, (92)
то время как статиче-
тлл х2л + тк х\ = %. (93)
Фиг. 31. Динамический разнос
Так как JM — о, то у к тоже рав- масс звена иа две точки
няется нулю, т. е. две замещающие .
точки должны лежать на одной прямой, проходящей через центр
тяжести звена.
53
Пусть положение точки А является заданным, т. е. хА=а.
Ша
Тогда, подставляя значения тк = т — и хк = — а в урав-
нение (93). получим выражение замещающей массы в точке Л:
тА = —
та2 + и0
(94>
Располагая значением тА, можно определить: тк = , (95> % (96>
Уравнение (96) показывает, что точка К должна находиться
по другую сторону от центра тяжести. Обозначим через k — — хк.
Тогда
k=-^-
та
Если в уравнения (94) и (95) подставить значение f)0 = mka, то
k
тА = т-----г- ,
а + k ’
а
/пк = т--------г- .
а + k
(97>
Таким образом масса звена может быть разнесена на две
точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр тяже-
сти, причем одна из них может быть выбрана произвольно и
называется точкой подвеса, а другая, называемая центром кача-
ния, должна лежать по другую сторону от центра тяжести на
L
определенном расстоянии k — .
Очевидно уравнения (97) для замещающих масс тА и тк
удовлетворяют также и статическому разносу масс (сравнить
с уравнениями 59).
Моменты инерции звеньев определяются экспериментальными
методами, изучаемыми в курсе теории машин и механизмов.
Перейдем теперь от звена к механизму, расположенному
в одной плоскости движения. Заменим отдельные его звенья
замещающими массами, причем для всех звеньев, совершающих
сложное плоское и неравномерно вращательное движения, сле-
дует произвести динамический разнос масс.
54
Определив перемещения замещающих точек, можно найти
центробежный момент i-ой замещающей массы относительно оси,
перпендикулярной к плоскости движения
Сг1 = х,Му1 (98)
Для рассмотренных нами механизмов уравнения проекций пе-
ремещений замещающих точек представлены в виде рядов Фурье:
xi = Ац> + Е Ил cos + Bift sin A<p),
W (99)
У, = Cio + У (Cift cos sin k?)-
(k)
Очевидно уравнения (99) могут быть использованы для опре-
деления проекций статического момента i-ой замещающей массы,
принимая при этом равномерное вращение кривошипа
А4Л1 = т-, У cos + Bik sin kv),
(*)
A1yi = nil У (C!h cos ky + Dik sin Л<р).
(k)
Подставив значение xit yjt Mx, и Л/,,} в уравнение (98), рас-
крыв скобки и делая сокращение, получим выражение в виде
следующего ряда Фурье:
C2i= V(pJft cos k<? + Q/ftsin Лс>), (100)
(*)
где:
Bik = mi{AioCik— CioAik),
Qik = tn-, (AibDik — CioBik).
Очевидность сделанного преобразования следует из того, что
уравнение (100) превращается в уравнение момента сил инер-
ции, если ввести постоянный коэфициент, равный (А<о)а.
Если произвести суммирование уравнений (100) по индексу I,
то получим главный вектор центробежного момента механизма
относительно оси OZ-.
Сго— У (РА cos + Qft sin &?),
(*)
где:
= Q*= £<?»*•
(0 (0
Если механизм расположен в нескольких плоскостях движе’
ния, то следует определить центробежный момент механизма
55
относительно оси OZ для каждой плоскости движения, а затем
произвести алгебраическое суммирование
Czo~ £ (Pzo)j‘ (102)
U)
Найденное значение центробежного момента механизма отно-
сительно оси, перпендикулярной к плоскости движения, даст
возможность сформулировать условие динамической уравнове-
шенности в следующем виде:
Механизм будет динамически уравновешен, если центро-
бежный момент механизма относительно оси OZ будет равен
нулю или будет иметь какое-то постоянное значение.
Критерии уравновешенности механизмов
При оценке уравновешенности механизмов следует различать
два случая: во-первых, оценка одного и того же механизма,
уравновешенного в одной и той же степени различными спосо-
бами и, во-вторых, оценка неуравновешенного или частично
уравновешенного механизма в зависимости от наличия возму-
щающих движений.
Для первого случая можно установить три признака, по ко-
торым могут сравниваться два в одинаковой степени уравнове-
шенных механизма.
1. Конструктивные усложнения, связанные с постановкой до-
полнительных масс и звеньев. Конструктивный признак, как нам
представляется, является самым основным и решающим при срав-
нении уравновешенных механизмов.
2. Утяжеление механизма вследствие постановки дополни-
тельных масс и звеньев. Так, если т0 и т0'—замещающие массы
механизма до и после уравновешивания и km = ’~ есть коэфици-
ент утяжеления механизма, то из двух механизмов лучшим будет
тот, у которого km имеет меньшее численное значение.
3. Опрокидываемость механизма вследствие увеличения глав-
ного центробежного момента инерции относительно оси OZ. В
С
качестве критерия введем коэфнциент опрокидываемости kc—-~ ,
где Сго и С'г1)—центробежные моменты до и после уравновеши-
вания механизма. Следует заметить, что указанный признак
является наименее важным и обычно в практике во внимание нр
принимается.
Возмущения, вызываемые неуравновешенностью механизма,
могут быть как в относительном, так и в переносном движениях.
В относительном движении в качестве критерия неуравнове-
шенности для механизмов, массы которых расположены в одной
56
плоскости движения, будем принимать максимальные значения
рроекций статического момента замещающей массы.
Для механизмов же, массы которых расположены в несколь-
ких параллельных плоскостях (помимо установленного критерия,
оценки по величинам (Л/г0)тоад. и (^>о)тал)> определяют максималь-
ные значения проекций центробежных моментов {Сх^\тах и (Су^тах
для тех гармоник, статические моменты которых равны нулю.
Значения (Мяй)тах, (Му0)тая, (Ся0)тах и (С^Д^-максимум-мак-
снморумы, определяемые обычным путем, т. е. находят углы ф,
соответствующие корням следующих уравнений:
^*° = 0, -^=0, = °- ^ = 0. (103)
а® а<р а<р а?
Затем для найденных соответствующих углов <?„,.. ,уп опре-
деляют численные значения проекций статических и центро-
бежных моментов, из которых берут значения, наибольшие по
абсолютной величине. Следует заметить, что если уравнения (103)
получаются высоких порядков, то применяют или метод Греффе
или решают данные уравнения графическим путем.
Так как определения максимальных значений проекций стати-
ческих и центробежных моментов связано в некоторых случаях
со значительными трудностями, возникающими при отыскании
экстремал’ьных значений, то в этом случае следует производить
построение годографов этих моментов, используя для этой цели
противоположно вращающиеся векторы.
Как уже было показано, первая гармоника статического мо-
мента выражается следующими уравнениями:
— at cos sin ?,
Л4у1 = cos <f> + sin
представляющими собой уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса
определяют через противоположно вращающиеся векторы:
a^ = R\ + R^', =\Ri'- Ri"\.
Очевидно ax* есть максимальное, а д* минимальное значения
статического момента первой гармоники. Для определения положе-
ния осей эллипса откладывают векторы RJ и R^' под углами
Ф/ и Ф/' (фиг. 32). Тогда биссектриса угла между этими векто-
рами как раз совпадает с большой осью, а малая ось к ней пер-
пендикулярна.
Проводя окружности радиусами /?/ и /?/', можно построить
эллипс, размеченный в зависимости от угла поворота кривошипа.
С этой целью делят эти окружности, например, на 12 частей,
соответствующих углам поворота кривошипа, принимая за пер-
вые положения начальные положения векторов /?,' и /?/'. Так
как вектор R-J вращается по часовой стрелке, то нумерация его
положений отсчитываемся в том же самом направлении. Напро-
тив, положения вектора отмечаются против часовой стрелки.
57
Затем, производя для каждого положения геометрическое
построение векторов /V/ и получают 12 точек, лежащих на
эллипсе с осями 2а^ и 2Ь^. Следует заметить, что если/?/</?/',
то радиус-вектор эллипса (pt) будет вращаться против часовой
стрелки.
Аналогичным образом производится построение эллипсов для
гармоник второго, третьего и следующего порядков, имея в
виду, что при повороте векторов /?/ и R” на угол ъ векторы
/?/ и /?/' поворачиваются в противоположном направлении на.
I
Фиг. о2. Годограф статического момента гармоники первого порядка
угол kv. Очевидно радиус-вектор эллипса, например, гармоники
второго порядка будет обегать эллипс за один оборот кривошипа
два раза (фиг. 33).
Располагая построенными эллипсами гармоник различных
порядков, производят геометрическое сложение радиусов-векто-
ров этих эллипсов для каждого положения кривошипа. Плавная
кривая, соединяющая конечные точки вектора рр, и представляет
собой искомый годограф статического момента замещающей
массы механизма (фиг. 34).
Построенный годограф дает возможность чисто графическим
путем определить максимальное значение статического момента
и, примерно, угол поворота кривошипа, при котором действует
этот момент.
Как уже ранее указывалось, построенный годограф в соот-
ветствующем масштабе будет представлять собой траекторию
58
центра инерции механизма в относительном движении. Коорди-
наты х0 и у0 центра этой траектории легко могут быть опре-
делены, если учесть отбрасываемые ранее постоянные члены
проекций статических моментов замещающих масс:
yjwtiOoi _ YmiCW
хо~ т0 ’ -У® т0 ‘ (Ю4)
Годограф статического момента или траектории центра инер-
ции механизма в относительном движении будет наглядно харак-
теризовать собой статиче-
скую уравновешенность пер-
вого рода.
Если замещающие массы
механизма расположены в
нескольких параллельных
плоскостях, то необходимо
построить годограф стати-
ческих моментов в плоско-
стях приведения Р и Q.
Как указывалось, относи-
тельное движение механизма
является источником возму-
щений в переносном движе-
нии, причем амплитуды этих
возмущений зависят от
массы и моментов инерции
мотора.
Если связать систему
Фиг. 33. Годограф статического мо-
мента гармоники второго порядка
координат- OXYZ с рамой
мотора так, чтобы начало
координат совпадало с центром его тяжести, то критерии урав-
новешенности могут быть определены из следующих уравнений:
а) Для механизмов, замещающие массы которых расположены
в одной плоскости движения:
х — —
^ntax —
m0
С (-/Hjobnav
К
_____ (^уоУтах .
У max — --- ’ >
m0
,________(-^дго)тол
\Чу)тах — 77
V
(105)
(Ю6)
б) Для механизмов, массы которых расположены в нескольких
плоскостях движения:
— (/14 УП "Г/Hjr« 1 — (Afvn
v ________ 4 XP x4 'max .. __ ___ ' УР ‘ УЧ hnax /107)
лтах — — ’ Утах — — ' >
59
— (AlVn-lo+^va
\ __x >P P УЧ 4 ’max
XTxJmax — ~ 7-
o*
(Mxp -l„ +Mva -1.Л (108)
/„ \ ___ v ЛР P________У У__4 'max
vtyJmax — Tp »
uy
где:
Хщах’ Утах- (.Чу)тах ~ МЭКСИМЭЛЬНЫе ЗМПЛИТуДЫ ЛИНСЙНЫХ И
_ _ угловых перемещений мотора;
0л, Oj, — моменты инерции мотора;
с — расстояние центра вращения криво-
шипа в направлении оси OZ до
центра тяжести мотора;
/р, 1д — расстояния плоскостей приведения Р
и Q до центра тяжести мотора.
Как видно из уравнений (105—108), численные значения ампли-
Фиг. 34. Годограф статического момента гармоник первого и второго порядков
туд будут обратно пропорциональны массе и моментам инерции
мотора. Таким образом из двух моторов с одинаковыми меха-
низмами будет лучше уравновешен в переносном движении тот,
у которого больше масса и моменты инерции.
Следует заметить, что в существующих методах уравновеши-
вания машин в качестве критерия их уравновешенности прини-
мают силы инерции и их моменты. По нашему мнению, величина
сил инерции не отражает действительного характера уравнове-
60
щенности машин. Так, например, с увеличением ю силы инерции,
будучи пропорциональны ша, увеличиваются по своей величине,
а уравновешенность механизма, как известно, ни в какой мере
не" зависит от угловрй скорости кривошипа. Кроме того, силы
инерции в явном виде не отражают возмущений в переносном
движении, так как они прямо не связаны с массой и моментами,
инерции мотора.
Считаем нужным указать, что идея оценки уравновешенности
машин с помошью перемещений в переносном движении не
является новой. Так, в 1848 году немецкий инженер Nollau, демон-
стрируя уравновешенность подвешенного на цепях паровоза,
замерял на закопченном стекле амплитуды подергивания и виля-
ния. Аналогичная установка выполнена в 1849 году француз-
ким инженером Lechatellier, который при этом дал аналитиче-
ский метод определения перемещений паровоза в переносном
движении. Этот метод с некоторыми изменениями применяется
и до настоящего времени в практике паровозостроения.
Часть II. УРАВНОВЕШИВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
__________АВИАЦИОННЫХ МОТОРОВ
Уравновешивание вращающихся масс
Коленчатые валы авиационных моторов, представляя собой
вращающиеся массы, в большинстве своем являются обычно
уравновешенными, а поэтому имеет смысл их выделить и рас-
смотреть самостоятельно вопрос об их уравновешенности.
Рассмотрим сперва одноколенчатый вал.
Массу шатунной шейки
тш можно считать сосре-
доточенной в точке А,
а массу двух щек /после-
дует разнести на две
точки О и А. Тогда
е
тА=тш+2тш-, (149)
Фиг. 35. Кинематическая схема одноколенча- Г^е е ес1Ь расстояние от
того вала центра вращения вала до
центра тяжести щеки
(фиг. 35).
Проекции перемещения точки А будут выражаться следую-
щими уравнениями:
Хд = Г COS ср,
(ИО)
yA — r sin '?,
представляющими собой уравнение окружности. Следовательно
вектор статического момента массы тА является вектором первой
гармоники, вращающимся по часовой стрелке, т. е. •
МА=Яг’ = гтА. (111)
Направление вектора /?/ совпадает с направлением радиуса
кривошипа.
Для уравновешивания этого вектора поставим дополнитель-
ную массу, статический момент которой должен быть равен, но
прямо противоположен вектору /?/. Эта дополнительная масса
называется противовесом.
62
Обозначим;
m'npi—масса противовеса, вращающегося по часовой стрелке;
Г’гр1 — радиус противовеса, т. е. расстояние от центра вращения
до центра тяжести противовеса;
--'яр1— Угол заклинки противовеса, измеряемый по часовой
стрелке от радиуса кривошипа.
Тогда численное значение массы противовеса может быть
определено, если задаться из конструктивных соображений ра-
диусом противовеса:
Ш'кр1 =
г
г' А
пр\ ' пр!
(112)
Так как вектор статического момента противовеса прямо про-
тивоположен вектору /?/, то = 180°.
Форма и расположение противовеса на коленчатом вале дик-
туется исключительно конструктивными соображениями. На фи-
гуре 36 даны схемы расположения, противовесов, из которых

Фиг. 36. Виды размещений противовесов на одноколенчатом вале
видно, что вместо одной массы т'пр1 ставят две массы, причем
они могут быть поставлены по разные стороны и по одну сто-
рону от плоскости движения.
Применяя теорему о проекциях статических моментов масс,
можно написать следующие соотношения для определения вели-
чины отдельных масс противовеса:
а) Противовесы установлены с двух сторон от плоскости дви-
жения
тг + т2 — т'гр\,
m1zl = m2z2.
Откуда
, z2
т.= т' „1 —, — ,
1 npl Zt + z2
m%—m'npl-mu (113)
Tfi = Ъ = 1 wi-
При zv = z2 получим, что т2 = ~ т'„р1.
63
б) Противовесы установлены по одну сторону от плоскости
движения (гг < z2)
«1— т„=т'„р1,
— тух,.
Откуда
Г
= т’пр1 ,
Z.2
яг2 = /п1 — rri„pU (114)
Ъ = 72 = 71 + 180°.
Следовательно угол заклинки второго противовеса смещен на 180е..
В отношении фермы противовеса можно заметить, что при
одинаковой его толщине площадь сегмента будет соответство-
вать наименьшей массе противовеса. Это положение может быть
доказано, решая элементарную задачу вариационного исчисления.
Теперь перейдем к уравновешиванию многоколенчатого вала,
имеющего в каждой плоскости движения одинаковые по величине
статические моменты замещающих масс. Направление их совпа-
дает с направлением соответствующих кривошипов.
Так как = то главные векторы статических моментов
(Мй) и центробежных моментов (Со) представляют собой замы-
кающие стороны многоугольников, построенных из соответст-
вующих векторов. Это можно записать в виде следующих век-
торных уравнений:
/И0=2Я'17, (П5)
U)
G = Г ZjR\j. (116)
(Л
Если коленчатый вал имеет статическую уравновешенность
первого рода, то его центр тяжести находится в состоянии
покоя и многоугольник векторов, являясь замкнутым, предста-
вляет собой правильный многоугольник
/Wo=S/?'v = O. (П7)
(0
Это условие выполняется, если углы между соседними криво-
шипами равны между собой, т. е. по величине представляют
угол, равный . Такое расположение кривошипов будем назы-
вать симметричной кривошипной диаграммой (фиг. 37). Таким
образом коленчатый вал с равными радиусами кривошипов и
64
равными вращающимися массами будет иметь статическую
уравновешенность первого рода, если его кривошипная диаг-
рамма является симметричной.
Если это условие соблюдается, то можно приступить к выя-
снению условии статической уравновешенности второго рода.
/
4
Фиг. 37. Несимметричный вал с симметричной кривошипной диаграммой
Очевидно в этом случае Со должно равняться нулю. Последнее
условие можно выполнить различным образом, меняя положения
колен вдоль вала и расстояния между плоскостями движения
-так, чтобы полигон, соответствующий уравнению (116), оказался
бы замкнутым.
Не будем подробно останавливаться на методе замыкания
полигона векторов центробежных моментов, а рассмотрим один
частный случай, имеющий большое практическое значение. Пусть
имеется четное число кривошипов и они расположены гак, что
Фиг. 38. Симметричный вал с симметричной кривошипной диаграммой
правая половина представляет собой зеркальное отображение
левой половины коленчатого- вала (фиг. 38). Если к тому же
кривошипы одной из половин составляют симметричную кри-
вошипную диаграмму, то такой вал будет полностью уравно-
вешен как в отношении статических, так и центробежных
моментов вала, т. е. в этом случае главная центральная ось
совпадает с осью вращения.
Вал с указанным , расположением колен будем называть сим-
метричным валом с симметричной кривошипной диаграммой.
Такие валы имеют широкое применение в авиации.
Если же коленчатый вал не обладает свойствами явной сим-
метрии, то условие его уравновешенности удобнее представить
че в векторной форме, а в проекциях, тогда для у-ой плоскости"
проекции статического момента будут представлены следующими
выражениями:
Mxj — rmh cos (? +1у),
, Myj — ппк sin (ср +7у), (118)
Семенов. ^5
где уу есть угол заклинки, измеряемый от кривошипа, располо-
женного в первой плоскости движения, причем направление пер-
вого кривошипа совпадает с направлением оси ОХ, т. е. т,=0.
Так как уравновешенность вала должна выполняться при
любом значении угла <р, следовательно и при = 0, то, суммируя
у (авнения (118) при <р = 0 для всех плоскостей движения, полу-
чим в следующем виде условия статической уравновешенности
первого рода:
У rin.\ cos -'у = О, S л//1А sin -[у = О,
.(у) (у)
или
У cos ‘[j = О,
(у) (119)
S sin 7у = 0.
(У)
Если это условие выполняется, то можно определить имеет
ли вал уравновешенность второго рода. Выбрав в этом случае
совершенно произвольно точку, относительно которой вычисля-
ются центробежные моменты, можно представить значение такого
момента для z-ой плоскости движения в следующем виде:
Cxj — ZjMyj — zjrmk sin (<p + •jy), (120)
Cyj = = ZjrmK cos (и + уу).
Положив o = 0 и производя суммирование уравнений (120)
по индексу j, получим следующие условия статической уравно-
вешенности второго рода:
X Зу cos i'y = О,
(121)
у ZySin-|'y = O.
(У)
Если коленчатый вал имеет различные вращающиеся массы
и различные радиусы кривошипов, то в этом случае условия
уравновешенности следует определить, применяя разнос стати-
ческих моментов на две плоскости Р и Q, как это было ука-
зано на стр. 31.
. Если при каком-либо из рассмотренных исследований ока-
жется, что коленчатый вал не уравновешен, то его уравнове-
шивание может быть достигнуто следующими двумя способами:
1) Каждое колено уравновешивается с помощью двух про-
тивовесов независимо друг от друга, причем расстояния z, и z.,
для каждого колена можно так подобрать, чтд плоскости про-
Об
тизовесов будут совпадать и тем самым может быть уменьшено
число противовесов. Таким методом уравновешены валы, изо-
браженные на фиг. 39.
2) Любой коленчатый вал может быть уравновешен с помощью
двух противовесов. С этой целью выбирают из конструктивных
соображений на коленчатом вале две плоскости Р и Q, в кото-
рых должны быть установлены противовесы. Пользуясь уравне-
ниями (50) и (51), определим проекции статических моментов
в плоскостях Р и Q, причем значения и Myj вычислим
дри о = 0.
п, г--------------- х М
Riq=V М”-хд +APjq, tg^=M
. Mvo
ip = у лг-хр + ЛРур. tg Тр= -^р-
‘ хр
Определив численные значения векторов статических момен-
тов в плоскостях Р и Q и их фазовые углы, можно найти все
параметры искомых противовесов, если задаться из конструктив-
ных соображений их радиусами:
А- 7^4“ ’ + 180°
V r.pVq
(»1'Лр1)р= Л"1 <- , Wr.pl> р = Тд + 18<Г-
V Пр\)р
Q .
9 (122)
Следует заметить, что уравновешенный коленчатый вал не
будет вызывать переносного движения фундамента, но вращаю-
щиеся массы будут влиять на рас-
пределение давлений в отдель-
ных подшипниках, если вал пред-
ставляет собой многоопорную
балку. В этом случае можно на
уравновешенном вале добавить до-
•элнительные грузы, не нарушаю-
щие уравновешенности вала, но
улучшающие работу подшипников
it прочность самого вала.
Такой вал был предложен впер-
вые в 1902 году Dalby [14], кото-
рый предложил па уравновешен-
ном 4-х коленчатом вале поставить
на каждом колене по два противо-
Фпг. 39. Виды размещений про-
тивовесов на многоколенчатом
вале с целью уменьшения давле-
ний на опорах
веса. Этому же вопросу посвящена интересная статья, написан-
ная под псевдонимом Н [15].
При исследовании уравновешенности коленчатых валов пред-
полагалось, чго они имеют однородное строение, правильные
геометрические размеры и не обладают упругостью, г. е. имелся
67
в виду идеальный вал. В действительности же будем иметь ряд
отклонений от такого вала, что вызовет его неуравновешенность,
которую мож'но установить и устранить только эксперименталь-
ным путем, используя для этой цели так называемые баланси-
ровочные машины. Считаем здесь излишним останавливаться на
описании конструкции этих машин, так как они подробно описа-
ны у Клименко [16], Зельцермана [17], Кочеткова и Каверина (18].
В заключение отметим о динамической неуравновешенности
коленчатого вала. Так, если коленчатый вал вращается
неравномерно, то он будет динамически не уравновешен, при-
чем поставленные противовесы, увеличивая момент инерции
вала, будут увеличивать его динамическз ю неуравновешенность.
Уравновешивание механизмов, замещающие массы которых
расположены в одной плоскости движения
В этом параграфе изложим методы уравновешивания меха-
низмов, применяемых в авиации, а именно рассмотрим криво-
шипно-шатунный механизм, механизмы звездообразных моторов
с центральным и прицепным сочленениями, а также механизмы
ротативных моторов и гильзового газораспределения.
1. Кривошипно-шатуннЫй механизм
Кривошипно - шатунный механизм имеет самостоятельное
широкое применение в различных областях техники и кроме
того является составной частью применяемых в авиации дви-
гателей. Вследствие чего считаем нужным подробно'осветить
вопрос об уравновешивании кривошипно-шатунного механизма.
Мйссы звеньев кривошипно-шатунного механизма могут быть,
как уже указывалось, заменены дв$'мя замещающими массами,
причем одна из них сосредоточена в пальце кривошипа, а дру-
гая—в пальце поршня.
Определим проекции статического момента замещающей
массы механизма, используя ранее выведенные уравнения для
проекций перемещений точек А к В, принимая при этом только
две гармоники:
Л1ло = /лА г cos о + тв (г cos <? + - - >.2/ cos 2?), (124)
Муо = mA г sin <р.
Как видно из уравнения (124), первая и вторая гармоники ста-
тического момента будут представлены следующими уравне-
ниями:
68
Мх] = r (Z«A + /«в) COS <?,
Aiyi = г/Па sin 7;
ТИл2 = ).rmB cos 2?,
/И>2 = 0.
(125)
(126)
Принимая во -внимание уравнения (72), можно коэфициенты
рядов Фурье представить в следующем виде:
=г(шд+/«в), ^i = 0, G = 0, d^ — rniA.
а2 — /ппв, Ь.> = 0, с.2 = 0, d.2 — 0.
Располагая коэфициентамн уравнений (72), можно определить
для первой гармоники противоположно вращающиеся векторы
и их фазовые углы:
R'
1 ч
= г (Отд + ^та),
-= 0, = 0;
aL + dl 11
(127)
R'\=
1 - №2+ (С1 + &1)2 = у Г/Пв ,
rl£* + ^) = 0, <V\=0.
(128)
Таким образом вектор /?'1 = г(/пА + J_ тв) вращается
с кривошипом по часовой стрелке, а вектор R\—-~rmB-'против
часовой стрелки, причем его фазовый угол >У/1 = 0.
Следовательно для любого угла поворота о противоположно
вращающиеся векторы поворачиваются от оси движения поршня
в противоположные стороны на угол <р.
Очевидно вектор R\ может быть уравновешен противовесом,
вращающимся вместе с кривошипом. Статический момент этого
противовеса равен, но прямо противоположен вектору R'^ Это
дает возможность определить массу противовеса и его угол за-
клинки, если задаться радиусом противовеса
R'
вместе
41 npl
' кр1
= 180°.
(129)
69
Такое уравновешивание (фиг. 40) первой гармоники назы-
вается частичным, так как вектор статического момента R'\,
вращающийся против часовой стрелки, остался неуравновешен-
ным. Следует заметить, что метод частичного уравновешивания
Фиг. 40. Частичное урав-
новешивание в криво-
шипно-шатунном меха-
низме первой гармоники
с помощью вращающе-
гося противовеса
первой гармоники силы инерции, а также
и сама теория уравновешивания были впер-
вые разработаны инж. Nollau в 1848 году.
Применяя противовесы, установленные
на кривошипе, можно статический момент
гармоники первого порядка перевести из
одной плоскости в другую. Так, если урав-
новесить замещающую массу в точке .4,
совершающую вращательное движение,
как это указывалось на стр. 63, то проекции
статического момента гармоники первого
порядка будут представлены следующими
уравнениями:
7ИЛ1 = r/ii.\ coso,
Поставим теперь противовес на кри-
вошипе, статический момент которого ра-
вен rm-s и его центр тяжести смещен от-
носительно кривошипа на угол, равный
180". В этом случае уравнения (130) при-
мут следующий вид:
/Ил1 = гтв cos ф + r/пв cos (ф + 180 ) = 0
Л1у1 = ппв sin(ф 4- 180°) — — ппвsin у,
т. е. неуравновешенный статический момент будет действовать,
не относительно осн ОХ, а относительно оси OY. Такой метод
уравновешивания применяют иногда в горизонтальных стацио-
нарных машинах, заменяя горизонтальное относительное пере-
мещение на вертикальное. Наличие же вертикального переме-
щения почти не отражается на прочности фундаментных болтов,
так как вес самой машины при перемещении ее центра тяжести
вверх разгружает болты от дополнительной нагрузки.
Перенос в кривошипно-шатунном механизме статического
момента гармоники первого порядка из одной плоскости в дру-
гую был использован в 1900 году паровозной фирмой Krause для
полного уравновешивания первой гармоники, применив верти-
кально движущийся противовес, статический момент которого
равен, но прямо противоположен МуХ (фиг. 41). Расчет массы
противовеса производился приближенно, считая, что точка С опи-
сывает окружность радиуса г.
Теперь определим противоположно вращающиеся векторы
гармоники второго порядка:
7Q
^'2 Т\/ + ^)3 + ь^г = ~ s Хг'»в.
с — b
1в^=^=°- '(•=»=
=4- \/ (°2 — <’)3+ (С2 + Лз)2 = 4-^/В,
V о
tg>%=7 fi+^O, -У'3 = О.
С1.3 — (tq
(131)
(132)
Как видно из уравнений (131) и (132), вектор статическою
момента гармоники второго порядка может быть представлен
Фнг. 41. Приближенное полное уравновешивание
в кривошипно-шатунном механизме первой гар-
моники с помощью возвратно движущегося про-
тивовеса
двумя равными и противоположно вращающимися векторами,'
углы начальных фаз которых равны пулю. Эти векторы вра-
щаются с угловой скоростью 2ы и поэтому с помощью противо-
весов, установленных на кривошипе, уравновешены быть не могу г.
Следовательно в кривошипно-шатунном механизме с помощью
противовеса, установленного на кривошипе, может быть А'рав-
повешен только один вектор первой гармоники /?/, вращаю-
щийся в направлении кривошипа, вектор же и противопо-
ложно вращающиеся векторы гармоник второго, четвертого пт.д.
порядков остаются неуравновешенными.
Так как кривошипно-шатунный механизм имел и имеет ши-
рокое применение в технике, то неоднократно и даже ранее ра-
боты Nollau возникали идеи о полном уравновешивании этого
механизма. Так в 1834 году швейцарец Bodmer [19] получил па-
тент на уравновешенный паровоз (фиг. 42), в котором уравно-
вешивание возвратно движущихся масс достигалось за счет про-
тивоположного движения поршней.
71
В 1847 году идея Bodmer’a была 'осуществлена английским
инженером Heaton’om в несколько ином виде, а именно: паро-
Фиг. 42. Метод Bodmer’a для приближенного полного уравновешивания статиче-
ского момента в кривошипно-шатунном механизме
возная машина была обычной конструкции, но кривошипом ко-
торой с помощью дополнительного шатуна приводился в дви-
Фнг. 43. Метод Heaton’a для точного уравновешивания статического момента
в кривошипно-шатунном механизме
жение противовес (фиг. 43 и 44). Паровоз, уравновешенный по
методу Heaton’a, демонстрировался на Всемирной выставке в
Фиг. 44. Метод Heaton’a для приближенного уравновешивания статического
момента в кривошипно-шатунном механизме
72
Париже в 1867 году, ио ввиду сложности конструкции, не по-
лучил практического применения.
Следует заметить, что помимо применения видоизмененной
идеи Bodmer’a предлагались очень часто конструкции, в которых
непосредственно поршни совершали противоположные движе-
ния. Из всех таких предложенных конструкций можно при-
звать наиболее удачной — двигатель
Junkers’a [20] (фиг. 45).
Наконец отметим метод полного урав-
новешивания кривошипно-шатунного меха-
низма с помощью противовесов, устано-
вленных на зубчатых колесах, вращаю-
щихся в противоположном направлении.
Идея этого метода приписывается Lanche-
ster’y [21]. С этой целью используем про-
тивоположно вращающиеся векторы ста-
тических моментов. Если ограничиться гар-
мониками первого и второго порядков, то
будем иметь следующие противоположно
вращающиеся векторы /?/, /?/', R3' и А?а",
численные значения которых определяются
уравнениями (127), (128), (131) и (132).
Тогда, задаваясь радиусами противо-
весов, определим массы последних:
, я/
'« пр I = -Г-
//Г -*£-
1,1 пр 1 — „
' пр 1
/?/'
/'"лр2
, Rn
m'npi=-,---
' пр2
'« пр 2
Углы же заклинки всех этих масс смещены относительно
кривошипа па 180°, так как фазовые углы всех векторов равны
нулю.
Если теперь эти массы закрепить па зубчатых колесах, вра-
щающихся в противоположном направлении (фиг. 46) для гар-
моники первого порядка с угловой скоростью ш, а для гармо-
ники второго порядка с угловой скоростью 2о, то в механизме
будут полностью уравновешены эти гармоники. Аналогичным об-
разом можно было бы уравновесить гармоники четвертого, ше-
стого и т. д. порядков. Следует заметить, что метод Lanches-
ter’a, ввиду сложности конструкции, связанной с постановкой
новых звеньев, применяется очень редко.
Можно полное уравновешивание кривошипно-шатунного ме-
ханизма достигнуть иным путем, не применяя дополнительных
звеньев. Такая задача была решена Villarceau [22| в 1851 году
и Resal’eM [23] в 1853 году, которые, производя уравновешива-
ние паровозов, показали довольно сложным аналитическим пу-
73
тем, что кривошипно-шатунный механизм может быть полностью
уравновешен за счет соответствующего распределения масс ша-
туна и кривошипа. Такой же уравновешенный механизм был по-
фиг. 46. Уравновешивание кривошипно-шатунного
механизма по Lancliesfet'y
ползуна, и этим самым достигнем уравновешивания возвратно-
движущейся массы в точке В.
В точке же /1 будут
замещающие массы от
b
шатуна, равная гищ у,
е
и от кривошипа Шк — .
Эти две массы могут
быть уравновешены
с помощью противо-
веса, установленного
на продолжении кри-
вошипа.
лучен значительно
позднее Fischer’oM
[24| и Sharp’OM.
Считаем полез-
ным осветить метод
Sharp’a, как наибо-
лее простой из всех
указанных методов.
На продолжении ша-
туна поставим до-
полнительную массу
•гак, что центр тя-
жести шатуна (точ-
ка С) окажется за
точкой А (фиг. 47).
Массу шатуна, как
уже указывалось,
можно разнести на
две точки А и В,
причем в точке В
будет, в этом слу-
чае, отрицательная
масса. Подберем до-
полнительную массу
такой величины, что-
бы эта отрицатель-
ная масса как раз
равнялась бы массе
Фиг. 17. Полное уравновешивание статического
момента в кривошиино-шатуннсм механизме
но Villarcean
Конструкция таким
способом уравновешенною механизма также не получила широ-
кого применения, ввиду ее громоздкости, а также значитель-
ного увеличения веса механизма.
Заканчивая вопрос о статической уравновешенности криво-
шипно-шатунного механизма, считаем нужным заметйть, что наи-
более широко применяется частичное уравновешивание первой
гармоники, когда на кривошипе устанавливается противовес,
статический момент которого равен + j /'•
Для полноты картины осветим вопрос о динамической урав-
новешенности кривошипно-шатунного механизма. Впервые этот
вид уравновешенности кривошипно-шатунного механизма был
разобран упомянутыми Villarceau и Resal’eM, а затем Sharp’oM.
В нашей отечественной литературе по этому вопросу упоми-
нается у Квасникова [6] и Артоболевского [25].
Так как в кривошипно-шатунном механизме вращательное
движение шатуна является ускоренным, то следует произвести
динамический разнос мас-
сы шатуна на две точки
А и К (фиг. 48), где точка
К есть центр качания.
Масса кривошипа при
со = const разносится ста-
тически на две точки О
и А. Таким образом по-
лучаются три замещаю-
щие массы: /Па, /Ив и тк .
Ввиду того, что цент-
робежные моменты отно-
сительно оси OZ масс /Па
Фиг 48. Динамический разнос масс кри-
вошипно-шатунного механизма
и тъ равны нулю, то следует определить лишь центробежный
момент массы тк, используя уравнения (100) и (101) для гармо-
ник первого и второго порядков
к=2
Сг = V (Р/г COS !{ ? + Qa S1П ?)
к=1
(101)
где
Рh — f,1k (^ 0 О'А Со ^а)> Qk = ,пк (^0 С/г С(1 Вк\
Для определения коэфициентов уравнения (101) напишем про-
екции перемещения точки К, имея в виду обозначения на фи-
гуре 48 и используя ранее выведенные уравнения (8) для точки С-
лк — | 1 — 'Д (n + &) + rcos 7 + (я+.4) COS 2?
Ук — [Z — (а + /?))). sin 7.
Следовательно
Ло=( 1 — -^-Ха^(а+/г), Ах = г,
Д2 = -р.3(а + А), Г>! = [/-(« + *)]>-.
Остальные же коэфициенты будут равны нулю. Тогда
Cz — mK^ 1 — ~ л®^ (« + Л)[/ — (о + /г^] /.sinср.
Преобразуем выражение Q = тк {а -|-Л) [Z — (д + /г)], приняв во
а
внимание, что //?к = /«ш-----;—•
a -i- к
Q = /;гш (а/ — а2 — ak) ~ тщ [а (I — а) — ak],
но I — а = Ь, тш ak = тш Р<? =
Таким образом окончательное выражение центробежного мо-
мента механизма относительно оси OZ будет иметь следующее
значение:
Сг = (тш ab — у ( 1 - 1- .sinср. ^33)
Очевидно Cz будет равно нулю, если 6f = тш ab.
Следовательно, для динамической уравновешенности криво-
шипно-шатунного механизма необходимо, чтобы одна из шар-
нирных точек совпадала с центром качания, т. е. центр тя-
жести шатуна должен находиться между точками А и В. С дру-
гой стороны, как уже было установлено ранее, что для полной
статической уравновешенности кривошипно-шатунного механизма
центр тяжести шатуна должен находиться за точкой А. Таким
образом кривошипно-шатунный механизм за счет соответствую-
щего распределения масс его звеньев не может быть одновре-
менно уравновешен и статически и динамически.
При этом исследовании предполагалось, что кривошип вра-
щается равномерно. В противном случае статическая уравнове-
шенность сохранится, а динамическая — нарушится, так как
момент инерции кривошипа относительно оси OZ не может обра-
титься в пуль.
Все это показывает, что стремиться к осуществлению дина-
мической уравновешенности не имеет никакого смысла.
Перейдем теперь к определению критериев уравновешенности
кривошипно-шатунного механизма. Делая оценку с конструктив-
ной точки зрения, можно утверждать, что частичное уравнове-
шивание первой гармоники является в данном' случае наилуч-
76
щим способом уравновешивания. Коэфициент утяжеления такого
уравновешенного механизма будет иметь следующие значения,
если принять, что /'вр1=/, то
тА + тв + тА + -~тв 1 + — -—
£ _ । & ША
тА + тв “ тв^
Ф тА
(134)
При тА = тв значение km — 1,75, а при тА = — тв коэфи-
циент ktn = 1,66.
Опрокидываемость частично уравновешенного механизма не
ухудшилась, так как величина тщаЬ — 0с осталась без измене-
ния.
Наконец определим критерии уравновешенности кривошипно-
шатунного механизма в относительном движении. С этой целью
построим годограф для неуравновешенного механизма.
Как видно из уравнения (125), первая гармоника статического
момента представляет собой каноническое уравнение эллипса,
большая полуось которого ai* — r(mA + тв) и совпадает с осью-
ОХ, а малая полуось Ь^ = гтА . Те же самые численные значе-
ния полуосей эллипса можно получить, если пользоваться про-
тивоположно вращающимися векторами (уравнения 127 и 128).
Годограф второй гармоники представляет собой прямую,
параллельную оси ОХ. Достаточно в этом случае отложить пз
конца вектора рх параллельно оси ОХ отрезок, равный -i.rmBcos 2у.
Годограф, изображенный на фигуре 49, построен в масштабе
перемещений, причем принято, что тА = тв . Координаты центра
годографа будут определяться следующими уравнениями:
1-р? j lmB
тА + тв
J
+ 1 (135)
_уо = О.
Если в кривошипно-шатунном механизме частично уравнове-
шена первая гармоника, то годограф гармоники первого порядка
представит собой окружность, радиус которой [д —/?/' = ~2ппв
вращается против часовой стрелки. Вторая же гармоника остается
без изменения. Величина замещающей массы механизма увели-
чится на величину массы противовеса, т. е. т'0 — 2тА + 1,5 тв.
Тогда
(136)
- (1 4
Уо = О.
) I ------------ ,
' 2 'Па + 1,5
Траектория центра инерции частично уравновешенного меха-
низма при тА = тв построена на той
же самой 49-ой фигуре.
Для определения проекций макси-
мальных перемещений в переносном
движении значения максимум-макси-
морум (Л410)тах и (7Wj,0Lo.v вычи-
сляются очень просто аналитиче-
ским путем, пользуясь уравнениями
(103).
При <? = 0, (Л1Л 0\Л7Л = (тА + тв)г+
1 .
4- — >-гтв ,
при <?=9(Г, (Му^1гах = тАг.
2. Механизмы звездообразных моторов
с центральным сочленением
<1>пг. 49. Годограф статического Механизмы звездообразных мото-
момента крпвошппно-шатун- ров с центральным сочленением имеют
ного механизма лишь теоретическое значение и слу-
жат для сравнения с аналогичными
механизмами, имеющими прицепное сочленение. Поэтому счи-
таем необходимым указать в общем виде уравновешенность рас-
сматриваемых механизмов, не прибегая к вычислению статических
моментов.
Для вывода условий уравновешенности применим метод Sha-
1 р’а, который пользовался в своих рассуждениях конечно не
статическими моментами, как это мы будем делать, а силами
инерции.
Как уже было показано на стр. 38 массы механизма с централь-
ным сочленением могут быть заменены z возвратно движущи-
мися массами, где z есть число цилиндров, и одной вращаю-
щейся массой, которая может быть уравновешена с помощью
вращающегося противовеса. Последнее обстоятельство дает воз-
можность рассматривать уравновешенность только возвратно
движущихся масс.
Тац как доказательство Sharp’a применено и к гармоникам
высших порядков, то считаем полезным выразить проекции
статического момента замещающей возвратнодвижущейся массы
кривошипно-шатунного механизма в виде ряда, имеющего гармо-
ники высших порядков, используя с этой целью уравнение 9.
78
/И rn = а„ + cos k'-f,
(/?) (137)
Л1уВ = 0,
где:
rz„ = тв tol
с^—твН
а 2 — mBt2l
a^niBtJ
Пд — t $1*
Годограф каждой гармоники представляет собой прямую
линию. В этом случае противоположно вращающиеся векторы каж-
дой гармоники будут равны между собой и численное значение
их будет определяться следующими равенствами:
/?/ — R< = i- tzi
/?/ = /?/' = щ2
Rk=R> ={~ «*
Начальные фазы противоположно вращающихся векторов
будут равны пулю, т. е. когда кривошип совпадает с осью дви-
жения поршня, оба противоположно вращающиеся вектора для
каждой гармоники также будут совпадать с этим направлением.
Для любого же текущего угла поворота кривошипа векторы
Rk и Rk' будут отклоняться от оси движения поршня в разные
стороны на угол k^.
Если теперь в механизме звездообразного мотора кривошип
совместить с осью движения поршня главного механизма, ю
этот кривошип будет смещен в отношении любого прицепного
механизма на угол минус о;. Следовательно вектор пой замещаю-
щей массы /?']; относительно оси i-го цилиндра будет повернут
на угол минус 6,, т. е. будет параллелен оси ОХ, а вектор/?/ бу-
дет составлять с осью ОХ угол 2Йг.
Аналогичная зависимость будет существовать и для /г-ой гар-
моники, а именно — вектор /?\; повернется относительно оси
z-го цилиндра против часовой стрелки на угол (/г - 1)6,-, а век-
тор /?"*,- — по часовой стрелке на угол (Z? + 1)о;.
л , (i—1)2-
Для каждого прицепного механизма угол развала —- .
Таким образом, если кривошип совпадает с осью ОХ, то векторы
А-ой гармоники двух смежных цилиндров, вращающиеся по часо-
г k-- 1 о
вой стрелке, буду/ составлять между собой угол —2-,
79
а векторы, вращающиеся против часовой стрелки, составят между
г- .. k + 1 г,
собой угол ----2~.
J Z
Ввиду того, что для всех цилиндров противоположно вра-
щающиеся векторы каждой гармоники равны между собой
и имеют равные внешние углы, то они составят замкнутые поли-
гоны за исключением гех случаев, когда внешние углы между
векторами равны нулю или кратны 2~. В этом случае все сто-
роны полигона вытянутся в прямую линию, параллельную оси
ОХ, т. е. многоугольник будет не замкнут.
Условие незамкнутое™ полигонов из векторов, вращающихся
k - 1
по часовой стрелке, наступит, если ——— равно нулю или
целому числу. Для полигонов же из векторов, вращающихся
к + 1
против часовой стрелки, эго условие выполняется, если ——
составляет целое число.
Учитывая, что нечетные гармоники 3-го, 5-го, 7-го и т. д.
порядков будут отсутствовать, то полигоны будут не замкнуты
для гармоник следующих порядков: •
а) для векторов, вращающихся по часовой стрелке, при
k — 1, k — z + 1, k — 3z + 1, k = 5z + 1 и т. д.,
б) для векторов, вращающихся против часовой стрелки при
к — z — 1, r = 3z — 1, /г = 5z — 1 и т. д.
Таким образом для всех механизмов звездообразных моторов
с центральным сочленением, векторы первой гармоники, вра-
щающиеся по часовой стрелке, будут не уравновешены и их
равнодействующий вектор R'llt = \ гтв Z. Этот вектор так же,
как и вектор статического момента вращающейся массы, может
быть уравновешен с помощью противовеса, установленного па
кривошипе.
Если задаться радиусом противовеса то масса послед-
него будет иметь следующее численное значение:
/ 1 \
I тА + у z тв I г
т'г,Р 1 = Х-----------,
' пр 1
Угол же заклинки центра тяжести противовеса будет равен
180°, так как фазовый угол неуравновешенного вектора равен
нулю. При таком виде уравновешивания коэфициенг утяжеления
при г пр1 — г будет иметь следующее значение:
80
rnA + гтъ *- тА + -= тв z 1 + — z —
___________________2________ j 2 wA
/ид + гтв ' , тв
1+ z-----
mA
.(138)
Все же остальные гармоники высших порядков незамкнутых
полигонов можно или уравновесить с помощью систем зубчатых
колес или оставить их неуравновешеш ыми. В таблице 7 при-
ведены все неуравновешенные гармоники и даны значения рав-
нодействующих векторов статического момента замещающей
массы механизмов.
Порядок
гармоники
Ч'кП
В таблице 8 приведены для ’ механизма пятицилиндрового
звездообразного мотора, все его замкнутые полигоны включи-
тельно до гармоники 20-го порядка, причем масштаб для этих
полигонов для каждой гармоники различен.
Рассмотрим еще вопрос о динамической уравновешенности
механизмов с центральным сочленением. С этой целью исполь-
зуем выведенное ранее уравнение (133), применив его к главно-
му механизму. Тогда для любого прицепного механизма будем
иметь следующее выражение для центробежного момента инер-
ции относительно оси OZ
Czi ~ («ш a b — 6J ( 1 — | Р V sin (» — 8f).
6 Семенов.
81
р Если теперь просуммировать уравнение по индексу I, раскрыв
sin(f —3,), то получим в следующем виде значение главного
Таблица 8
ч^орма полигона Гармоники векторов вращающ по час стрелке Гармоники векторов враидющ прот час imp
3^ С /Д / 5 ' Z я @ 8ан118ая
5 >/ х У 3^ ю°\ ?оая •i0oez0aa
3. 5 f\ 1 иая 1Ifaa
Z 4 8ае^ fg ан 1 2 fl^
вектора центробежного момента инерции
Сл = ab - 6f) ( 1 —
sin ©
i=z
У, COsSj —.
i=l
z=z
— cos»S si гр
z=l
где о, -- (I - 1) —г.
Очевидно Сг0 = 0, если
(139)
i=z i=z
У, cos8; = 0, ^81п2, = 0.
z=l <=1
82
Если на оси i-го цилиндра от начала координат отложить еди-
ничный вектор, то его проекции на оси прямоугольной системы
координат будут равны cos 8, и sin8z. Так как угол между смеж-
ными векторами будет равен — , то единичные векторы при их
геометрическом сложении образуют замкнутый правильный мно-
гоугольник, число сторон которого будет равно г, т. е. этим
самым при любом значении z всегда будет выполняться условие,
i=z i=z
что V соз8г = 0 и yjsinS, =0. Таким образом механизмы в слу-
z = l z=l
чае равномерного вращения кривошипа звездообразных моторов
с центральным сочленением являются динамически уравновешен
вы ми.
3. Механизмы звездообразных моторов с прицепным
сочленением
Для определения статического момента замещающей массы
механизма используем уравнения (24). При суммировании, бла-
годаря симметричному расположению прицепных механизмов,
следует иметь в виду, что угол развала (г— г)-го цилиндра ра-
вен минус Следовательно члены, содержащие sin 8, в нечет-
ной степени, будут сокращаться и уравнения проекций статичес-
кого момента будут иметь следующий вид:
.44гО — аг cos ср + а2 cos*2cp + а4 cos 4э,
Му(] = c^sin <р 4-z/2sin 2s-|-d4sin 4?,’ (140)
где:
/z?a + та + (г — 1) mBi — mBi sin^
i—z — 1 i~z—1
+ \ E n2cos^,
Z = 1 Z = 1
i=z— 1 z=z—1
S а, + 1'п1В1 S ni cos 8;,
z'=l z=l
z=z—1 i—z~ 1
d^—гтк + i mB j S bt + V mB t S S; cos 8,,
Z=1 z‘=J

83
i = z—1 •
— X b + ~ (V+s?) js/Sin2^
/-!* -*
/ = Z—1
< = — 16 rmB i V] (k? — Si2) Si sin1 Oj.
i-1
Если ограничиться гармониками второго порядка, то для вы-
числения коэфициентов ая и dt можно использовать уравнения
(19). В этом случае
fli = _ хг/71в+ —
Z = z—1 /=z—1
Г Xs S а, — /' \ (k? - Si2) cos
L i = 1 i = 1
mBi, (141)
i = z—l
d2—-----rmE t s, sin2 Sj.
Zj • 1
I 1
Значения противоположно вращающихся векторов и их фа-
зовых углов для А-ой гармоники могут быть определены из
следующих уравнений:
R'k — (ап + ^ц), R'k~ — (ah — dk);
z z (142)
*§<]/*=-4^- = ° или 180°, tgrA = — 0-r = ° ИЛИ 180°;
«л+а* ак~~ал
где к принимает значения 1, 2 и 4.
Если при определении фазовых углов знаменатель имеет по-
ложительное значение, то фазовый угол равен 0° и равен 180°,
если знаменатель имеет отрицательное значение.
Годографы статических моментов первой, второй и четгер-
той гармоник представляют собой эллипсы, одна из осей кото-
рых совпадает с осью ОХ. Построение этих эллипсов и геомет-
рическое их суммирование указывалось на стр. 57.
Построенный годограф от всех гармоник, как уже отмеча-
лось, может быть использован для определения максимальных
значений проекций перемещений центра инерции механизма.
Если же отбросить гармонику четвертого порядка, ввиду ее
малости, то задача о максимальных значениях (Л4л0)тдд и
(^о)то4г очень просто разрешается аналитическим путем.
Положим в основу уравнения:
Л1л0 = Oj cos <p + «2cos2<p,
Му0 = dx sin © + sin 2<p (143)
S4
и определим значения углов ср, при которых А4М имеет макси-
мальное значение
= — («iSin ? + 2аа sin 2<р)= — sin ср (^ +4aacos<p) —0.
Следовательно могут быть четыре максимума: для у1 и ®2 при
Л а1
sm?:=0, и ср3, при cos ср = — — , причем последние два ре-
шения возможны в том случае, если at<^4a.j.
Теперь определим значения углов ср для
г/Л/
= dt cos <f> + 2rf2 cos 2« = 4rf2 coss« -| d, cos <p — 2d, = 0.
Откуда возможны два корня, дающие четыре значения углов ср,
cos ср =---------------------^^8 ~ • 0 44)
Уравнение (144) выполняется лишь в том случае, если cos<p< 1.
В некоторых конструкциях звездообразных моторов ось дви-
жения поршня главного механизма не совпадает с осью ОХ.
В этом случае необходимо иметь в виду, что противоположно
вращающиеся векторы являются инвариантами движущихся масс
и поэтому достаточно изменить лишь фазовые углы противопо-
ложно вращающихся векторов, определяемые по уравнению (86).
Покажем, как можно применить метод противоположно вра-
щающихся векторов к уравновешиванию звездообразных мото-
ров с прицепным сочленением. Рассмотрим вначале уравнове-
шивание гармоники первого порядка.
Для массы тв значение противоположно вращающихся век-
торов и их фазовых углов дано в уравнениях (127) и (128)
R 1в — R"ib = g"гтъ ’
ф 1В = ф”1в — 0.
Для того, чтобы найти значения противоположно вращаю-
щихся векторов массы mBl, необходимо перейти от проекции
к самим перемещениям точки Bt. Так как первая гармоника
проекции перемещения, например, на ось О V выражается уравне-
нием XiBj = At cos <р + Вх sin ср, то
гЖ = 7г,r <cos*6’cos + 2 sln 28181,1 ?)
85
или
Sjb i = r (cos 8, cos <p + sin 8, sin ?),
тогда
Л41в i = fmn i (cos 8,- cos ъ + sin 8,- sin <f).
(145)
Уравнение (145) дает возможность определить численные значе-
ния противоположно вращающихся векторов и их фазовых
углов
cos2 8. 4- sill2 8j = i- mB i,
= /?"ibj = 2- rOTBi'l
, ,, . — r/nBisin8,
= „,= r„,B|C-os6| '=-•««►
(146)
Следовательно
ф ibi = ф"1в, — — 8r
Таким образом, если угол развала равен углу прицепа, то
вектор при ф = 0 отклонится против часовой стрелки от
оси движения точки Bt на угол 3,, т. е. всегда будет совпадать
с кривошипом- Очевидно равнодействующий вектор статичес-
кого момента первой гармоники от всех возвратно движущихся
масс, вращающийся по часовой стрелке, будет также совпадать
с кривошипом и его численное значение будет равно сумме всех
вращающихся по часовой стрелке векторов, т. е.
Я'зо = гр''Р«в + (г — 1) /пв,]-
(147)
Вектор же R"iBi отклонится по часовой стрелке от оси дви-
жения массы тв, на величину угла 8,, т. е. составит с осью ОХ
угол 28,. Этот результат был уже получен для механизма звездо-
образного мотора с центральным сочленением. Если принять,
что тв — niBi, то векторы статических моментов первой гармо-
ники от возвратно движущихся масс взаимно уравновесятся.
В отношении первой гармоники статического момента звездо-
образного мотора можно сделать заключение, что прицепное
сочленение вызывает только неравенство возвратно движущихся
масс. Обычно
Очевидно для получения равенства возвратно движущихся
масс необходимо добавить в точку В отрицательную массу.
С этой целью следует на продолжении оси главного шатуна за
точкой А поставить дополнительную массу Д/n. Разнося эту
массу на две точки А и В, тем самым определим ее величину,
так как дополнительная замещающая масса в точке В является
известной величиной, а именно Дтв —— (тв— тв^.
86
Исходя из уравнений (61), можно написать следующие соотно-
шения = — Д/Пв = («в — mB — , (148) ro ro = — \mB ——° = (mB — mB;) , (149) ro Го
где г0 есть расстояние от точки Д до центра тяжести дополни-
тельной массы Дт, величиной которого можно задаться из кон-
структивных соображений.
Достигнув уравновешивания всех векторов перво'й гармоники ,
вращающихся против часовой стрелки, можно уравновесить с по-
мощью противовеса, установленного на кривошипе, все векторы
этой же гармоники, но вращающиеся по часовой стрелке. Если
задаться радиусом противовеса, то »
т'пгл
= , [тв + (z — 1) тВ;] 4- тА + (тв — mBj
'i'npi — 180 .
Если на главном шатуне не ставить дополнительной массы,
то вектор, вращающийся против часовой стрелки, будет не
уравновешен. Величина и положение его определяются из урав-
нений (142)
r„Pi
(150)

Очевидно годограф неуравновешенного статического момента
представляет собой окружность, уравнение которой будет иметь
следующий вид:
= у («) —rfJcOScp,
Myi = sin
(151)
Делая аналогичные преобразования в отношении второй гармо-
никй, получим в следующем виде выражение статического
момента замещающей массы tnBi
Л1_в . = niB j Д- [Х2г, — (/f{2 — s‘<) Г] cos 2'f — r S| sin о, sin 2-4. (Io2)
87
Исходя из уравнения (152), можно определить противопо-
ложно вращающиеся векторы и их фазовые углы
/?2в; — R'mi = |- mB | g p Л'2 + sin б,]8,
, ,, . — rSj sin3,
tg'p2Bj = tgy 2Bi= .----------*—---1----- •
2. [x»r._(,v_SjS)/j
(153)
Таким образом, на вторую гармонику, а также на все следую-
щие четные гармоники прицепное сочленение влияет как на
величину противоположно вращающихся векторов, так и их
фазовых углов, делая их различными для каждого прицепного
механизма.
Если бы в уравнениях (153) принять /, =0 и /' = /, т, е. тем
самым перейти к центральном}' сочленению, то
R 2Bj = R^b; — — ^ГШВ j,
tg^Bi —— tg23;
или
ф'гвг — ф'^В} = — 23,.
Следовательно при = имеем точно такой же резуль-
тат, который был получен для механизма звездообразного мотора
с центральным сочленением.
Считаем более удобным пользоваться для целей уравновеши-
вания не уравнениями (153), а ранее выведенными уравнениями
(140) или (141). Коэфициенты этих уравнений а2 и ds в нули не
обращаются, т. е. вторая гармоника статического момента звездо-
образного мотора остается неуравновешенной. Аналогично будут
не уравновешены все следующие четные гармоники.
Каждая из четных гармоник может быть уравновешена .по
Lanchester’y с помощью вращающихся противовесов, закреплен-
ных на зубчатых колесах. Такой метод уравновешивания обычно
в практике применяется очень редко, ввиду значительного
усложнения конструкции мотора.
Следует заметить, что механизм звездообразного мотора,
ввиду неравенства моментов инерции главного и прецепных шату-
нов, а также различия центробежных моментов замещающих масс
прицепных шатунов, будет динамически не уравновешен. Таким
образом прицепное сочленение по сравнению с центральным
вызывает и статическую, и динамическую неуравновешенность.
. Рассмотрим уравновешенность звездообразного механизма
с прицепными сочленениями на примере мотора М-62, данные
которого приведены в таблице 6.
88
На стр. 45 был выполнен пример по разносу масс главного
шатуна этого мотора, причем было получено, что тшв = 0,136 кг.
секУм и отШа = 1,544 кг. сек?/м. Замещающиеся же массы рас-
сматриваемого мотора следует определить по уравнениям (69)
е *
/пА = Wk— + Wiija =0,393+ 1,544 — 1,937 кг. сек2/М,
гпв = тп + тшв = 0,298 + 0,136 = 0,434 кг. сек21м,
mBi = inn +/п'ш -jr = 0,298 + 0,074 = 0,372 кг. сек21м,
тй = ?лА + /ив +- 8/«Bi = 1,937 + 0,434 + 8-0,372 = 5,347 кг. сек21м.
Произведем полное уравновешивание первой гармоники, уста- •
новив два противовеса на продолжении щек коленчатого вала.
Пользуясь уравнениями (150) и приняв го = 70мм и г’пр1—г,
получим следующие численные значения масс противовесов:
1
/л, = /п,= —
I
(тъ + 8 /пв;) + m а + (тъ — тв г)-----------
Z г0
= 2,007 кг. сек2/м,
71 — 7з = = 180,
Л//г = (/«в — тв i) ——° = 0,309 кг. сек2]м.
го
Дополнительную массу можно выполнить в виде двух пла-
стинок, закрепленных по обе стороны главного шатуна.
Если же не ставить дополнительной массы на главном шату-
не, то масса каждого противовеса должна быть уменьшена на
1 А
величину -у-Д/Ил. В этом случае
Wi = //га = — 2“(wB + 8 /пв,)
=1,822 кг. сек-iM.
При таких противовесах будут частично не уравновешены
первая, а также все гармоники четных порядков. Коэфициенты
проекции неуравновешенного статического момента следует вычи-
слить по уравнениям (140).
С целью применения более рационального метода вычисле-
ния этих коэфициентов предварительно необходимо вычислить
все вспомогательные величины, изменяющиеся в зависимости от
угла развала цилиндров. Численные значения их приведены
в таблице 9.
89
Постоянные же величины, определяющие параметры главного
механизма, имеют следующие численные значения:
/. = 0,2498, •/, = 0,0158, —0,0001.
Располагая численными значениями всех указанных коэфи-
циентов, были^ вычислены коэфициенты гармоник проекций ста-
тического момента замещающей массы механизма:
^=0,3206, а2=- 0,0062, dx =0,3166, rf, = —0,0058,
причем численные значения коэфициентов й4=0,00001 и
=0,000003 сочли возможном откинуть, ввиду того, что все вычи-
сления выполнялись с точностью до четырех знаков. Если бы
вычисление коэфициентов а2 и d2 производить не по уравнениям
’(140), а по уравнениям (141), то а2——0,0052 и d2=—0,0051.
Таким образом проекции неуравновешенного статическою
момента замещающей массы механизма будут представлены сле-
дующими уравнениями:
Л4Д.О =0,0020 cos с — 0,0062 cos 2»,
Alv0 = —0,0020 sin <f — 0,C0c8sin 2».
(154)
Таблица 9
Наименование Номера цилиндров i = 8 V 1 = 1
1,8 2,7 3,6 1.5
sin2 5. 1 0,4161 ' 0,9702 0,7150 1 0,1171 4,4964
a. i 0,0. 83 0.0C65 — 0,0i85 ! —0,0721 — 0,0916
b. i 0,2910 0,3427 0,3877 0,4214 2,8856
sin 6. 0,2052 0,3128 0,2750 0,1086
tr. — r cos 8. -0,1760 0,0186 0,2288 0,3664
Si I'
n2=- >, i I*2, - s\ + + 1/1(^i - )] -0,0030 -0,0182 — 0,0068 0,0355
n2 cos 0. - 0,0023 — 0,0032 0,0034 — 0,0334 - 0,0777
Щ = -1/з2(1М4.-3«/2*.-2+ + V^4) 0,0001 0,0602 0,0002 — 0,0001
II4 cos 0. 0,1001 0,0600 - 0,0031 0,0001 0,0002
5 i cos 0; — 0,1348 0,0032 - 0,1144 - 0,3463 — 1,1846
s i sin 36; - 0,0732 0,0180 0,1704 -0,0431 0,3166
11 + V4 (k i2 + s i2)] $ i sin *0,- — 0,0745 0,0186 0,1758 0,0590 0,3558
(k; — Si) Si sin 28, — 0,0008 0,0011 0,0041 — 0,0053 - 0,0018
V-l (k i 2 — .v i 2) cos8; (',0071 0,0028 -0,0031 0,0291 0,0682
90
Противоположно вращающиеся векторы этих уравнений имеют
следующие значения:
7<" = 0,0020, /?а' = 0,0060, Т?2" = 0,0002 ~ 0,
<!>/' = 0, ф2' =180°, Ф8" =180°.
Коэфициенты утяжеления при частичном и полном уравнове-
шивании первой гармоники вычислены по следующим уравне-
ниям
_ 5,3474-2-1,822
. =------ЗД47------= ь682’
, _ те + 2/«, + Ат 5,347 + 2-2,007 + 0,309 . 7О1
---------------=---------5М7-;--------- 1’781
По уравнению (154) построен .годограф (фиг.
чением вектора /?./' пре-
небрегли, ввиду его ма-
лости.
Для определения мак-
симальных проекций пе-
ремещения мотора в пе-
реносном движении необ-
ходимо вычислить значе-
ния: (Жж0)
пах и (^jo)max'
При — 0 получим
(-W хс)тах=— 0,0082 кг. сек^'м,
а при <р~44°8' и ф = 315’52,
будем соответственно
иметь, что (7И^)т,ж =
= -+ 0,00719 кг. сек21м.
Т огда
СО), причем ана-
- _ (м.л
Хтвх ~ тс
статического момента
Фиг. 50. Годограф _
частично уравновешенного мотора М-62
0,00820
—F3-----— 0,14 мм;
Оо
58
V — (Myoimax ________0,0072 _, , „
Утах — ~ ~— —0,1 о ММ,
тп 58
'
где /п0=з58 кг.сек'^м есть масса рассматриваемого мотора.
Уравновешивание второй гармоники может быть достигнуто
с помощью метода Lancliester’a, причем, ввиду малости числен-
ного значения вектора R2 ', произвели уравновешивание только
/?./, вращающегося по часовой стрелке с \ гловой скоростью 2<и.
91
Задаваясь радиусом противовеса, равным 60 мм, получили сле-
дующее значение массы противовеса:
, М/ 0,0060 л 1ЛЛ
“0,06 = 0’100 кг-с^м-
Противовес должен быть установлен на одном или на двух
зубчатых колесах, вращающихся на одной и той же оси с угло-
вой скоростью 2<о; центр тяжести их должен быть отклонен от
Оси ОХ на угол + 180° = 0, т. е. радиус противовеса
.должен совпадать с кривошипом мотора.
Как показывает более подробное исследование, что -при z>3
вектор имеет всегда малое значение по сравнению с векто-
ром Следовательно можно принять, что приближенно
или а, и направлен противоположно кривошипу, т. ‘ е.
ф/=180°.
4. Механизм гильзового газораспределения
Ранее было показано, что массы каждого механизма гильзо-
вого газораспределения могут быть заменены двумя массами,
сосредоточенными в пальце кривошипа, причем одна из них
совершает вращательное, а другая—поступательное движение.
Кроме того весь гильзовый механизм звездообразного мотора
может быть представлен симметричной кривошипной диаграм-
мой, кривошипы которой расположены не в порядке расположе-
ния цилиндров, а в порядке следования зажиганий (фиг. 11).
Так как валики гильзового механизма вращаются с угловой ско-
.. 1
ростью равной ^-ш, то статические моменты движущихся масс
представляют гармоники половинного порядка.
Ввиду того что вращающиеся массы составляют симметрич-
ную кривошипную диаграмму, их статические моменты будут
взаимно уравновешены.
Для выяснения уравновешенности возвратно движущихся
масс применим аппарат противоположно вращающихся векторов.
Так как векторы, вращающиеся по,часовой стрелке, совпадают
со своими кривошипами, образующими симметричную диаграмму,
то они также взаимно уравновесятся.
В то время, когда .вектор (/?/') первого механизма, вращаю-
щийся против часовой стрелки будет занимать положение, соот-
ветствующее НМТ, то векторы R' -t и R"{ отклонятся от своей
рижней мертвой точки в противоположные стороны на угол
~ о. (фиг. 51). Таким образом угол между этими двумя векторами
будет равен Кроме того вектор /?/ отстоит от НМТ первого
механизма на угол у;, равный Следовательно вектор /?/'
92
будет повернут'по часовой стрелке относительно вектора R/
3
на угол — Так как окружность равна гй0, то фазовый угол
вектора отсчитываемый против
часовой стрелки от НМТ первого
механизма (фиг. 51), будет выражен
следующим уравнением:
= G-1)%
или
у
1) й0. (155)
где z есть число цилиндров, a So и i
имеют значения, указанные ранее в
уравнении (35).
Если ф",- получит отрицательное
значение, то его следует отклады-
вать по часовой стрелке.
Фиг. 51. Схема для определе-
ния фазового угла вектора в-
механизме гильзового газорас-
пределения
На фигуре 52 построены, пользуясь уравнением (155), криво-
шипные диаграммы векторов, вращающихся против часовой
Фиг. 5?. Диаграммы векторов, вращающихся против часовой стрелки, в меха-
низме гильзового распределения для звездообразных моторов
стрелки. Откуда видно, что только при г = 3 механизм гильзо-
вого газораспределения будет не уравновешен.
&з.
5. Механизм ротативных моторов
В ротативных моторах вращающаяся масса ротора будет
сосредоточена в его центре тяжести и при числе цилиндров z=2,
3, 5, 7 и т. д будет уравновешена.
Разнося массу кривошипа АВ (фиг. 53) на две точки, полу-
чим
в точке В замещающую массу тъ, равную тп + /иш
а
7
Фиг. 53. К уравновешиванию механизма ротативных моторов
Если принять во внимание уравнения (34), то проекции статичес-
кого момента замещающей массы механизма будут представлены
в следующем виде:
Л4л0 = а1 JJcos'-s,- + tz,^cos 2'^+«3У cos3?i,
(О (0 (0 (156)
A4y0 = d] ^sin®j + sin2?I-+rf85] sin3^,
(i) U) (0
где: «=(' 4 '•) | lmB, a2 = rml{, a3 = ,
\ О 1 \lm&, d2—~rmB, ds=~l2lmB. z о
94
Так как при выводе уравнений (34) нами был представлен
€OS"J в виде двух гармоник, то, принимая во внимание уравне-
ние (4), порядок гармоник в общем случае будет изменяться
в пределах от 1 до п.
Для того, чтобы вывести условия уравновешенности ротатив-
ных моторов, необходимо показать, когда EcosAcpj и 12 sin А<рг
•обращаются в нуль. Если обозначить угол развала между двумя
» 2я
соседними цилиндрами через о0= — и текущий угол первого
цилиндра через ср (фиг. 53), то
У cos k ifi — cos k 'a + cos A(-p + %) + • + . cos A[<p + (z — 1) %] =
i = z—\
= У, cos k'fe 4- ion),
i 0
(157)
У sill = sin Ac? 4- sill k (cp + o0) 4- ..; + sin k |® 4- (г — l)o0] =
i-z—1 4
— У sin k (cp 4- t'8o).
i 0
Эти суммы представляют собой арифметические прогрессии
с разностьй 80 и метод суммирования их для целей уравнове-
шивания был применен впервые Devillers’oM [26].
Найдем суммы этих прогрессий. Для этой цели составим сле-
дующее выражение:
/
2 sin • cos А(ср 4- $0) = sin k I ср4-
21 + 1
2
\ / 91_1 \
80 -sinA <р4-^2~Ч .(158)
Давая значения i от 0 до z— 1, получим ряд уравнений типа
уравнения (158). При почленном сложении этих уравнений в пра-
вой части сократятся все члены кроме двух и получим следую-
щее уравнение:
AS i = g—1 /
2 sin у cos А(<р 4- i80) = sin А I <р
1 = 0
2г — 1 Л \
—-------о0 I — sin А
Заменим разность синусов произведением:
sin А
2z-l.
. , / 1 J \ . Аг80 , / , z — 1Й
— sinA ® ]=sin-^-cos А( <р + —s— «о
95
Тогда
• kz%
= z-l -sm—Y
5]cosA(<f + zo0)=:---
i-=0 sin —°
, / z—1„
• cos^b+--g— 80
Если в полученное уравнение подставить вместо <р значение
7Г
2 Т°
• kzo0
: = z-i sin 2 /
£sin&(<p + iSo) =-----' sin^ (’H
i-0 sin“2~ '
z — 1 „
“2~8°
Таким образом уравнения (157) будут представлены вслед\ ю-
щем виде:
, ^z'/i
sin 2
V COS kq, ~----------75— COS
" 1 . A8n
(o . sin -2-
, z — 1 „5
?+—2“ 8o
S'n 2
^sin &?. =
(О
• ^'о
sin 2
>z — !
? + —
(159)
2^
Так как 8П = — ,
° z
to sin — 2&° = sin Arc. Очевидно уравнения
(159) обращаются в нули при всех k, кроме тех, при которых
А80 , г. с А80 А2гс
sin-^ f 0. В тех же случаях-, когда рк — (р есть целое
число), то sin-^ —0 и
Аг80
sin —g - _ 0
. А80 ~ 0”
sm -2°
Неопределенность можно раскрыть по правилу Лепиталя
kz^0
d Sin~~2~
sin^°
kz kz\}
2~COS~~2~_
k ktq ~ Z'
2'CQS~2
96
Проведенное исследование показывает, что ротативный мотор
будет Цолностью уравновешен за исключением только тех гармо-
ник, порядок которых кратен числу цилиндров. Так для 3-х цилин-
дрового мотора будут не уравновешены гармоники 3, 6, 9
и т. д., порядков.
В тех же случаях, когда k — pz, все члены правых частей
уравнений (157) будут равны между собой, т. е.
V cos A'fj = z cos ky,
(i)
(160)
у sin^Oj sin A®.
(0.
Уравнения (160) дают возможность просто подсчитать значе-
ния проекции статического момента при k — pz
/ИА0 = гу t^cosfc®,
W (161)
Му 0 = z у d-K sin Л©.
W
Уравновешивание механизмов авиационных моторов,
получающих движение от многоколенчатых валов
В этом параграфе предполагается рассмотреть уравновешива-
ние следующих типов моторов: рядных, звездообразных, а также
моторов, имеющих два коленчатых вала.
I. Рядные моторы
К рассматриваемому типу механизмов следует отнести одно-
рядные моторы и многорядные могоры с V, W и Х-образным
расположением цилт ндров в поперечной секции. В этом случае
подвижные замещающие массы каждой поперечной секции имеют
одни те же численные значения и совершают движения по одним
и тем же законам. Отличие заключается лишь в том, что кри-
вошипы их смещены на угол т, относительно оси ОХ, с которой
совпадает первый кривошип. Очевидно проекции статического
момента для каждой у-ой секции будут представлены следую-
щими уравнениями:
(ТИА 0)у = у [йА cos й(о + 7j) + bk sin k (© + ?,)],
(*) (162)
(My о), = у [c* cos k (<? + Ту) + dk sin k (<? + b-)].
(A)
Выведем в общем случае независимо от структуры, которую
имеет механизм в поперечной секции, условия уравновешен-
7 Семенов.
97
ности рядных моторов, рассматривая, например, гармонику А-го
порядка. Тогда
Л*, й - У («й cos k Of + уу) + bk sin k (ср + Ту)],
My k = • У Iе» cos k + T/) + dk sfn k (? + T/)].
O’)
В этих уравнениях раскроем синусы и косинусы сумм:
Mxh = V [ak cos Ауу cos ky — ah sin kij sin ky +
O’)
+ bh cos kij sin k'i + bk sin Ay,cos Af],
M k = у [rft cos kij cos kv — cftsin Ay, sin A® +
O’)
4- dk cos kijsin k'i 4- dk sin kijcos kv],
или
= cos k? У Akj + sin A<p У BkJ-,
O’) O’)
V, v. О64)
Alyi~ cos tef У Ckj 4- sin fop >, Dkj,
U) O’)
где:
Ahj — ah cos Ауу + bh sin ^yy, Bkj — bk cos fofy — ak sin Ayy,
Ckj — cft cos fojy + dksin kij, Dkj ~ dhcos kij — c* sin Ayy.
Для того чтобы А-ая гармоника статического момента заме-
щающей массы всего механизма была бы уравновешена, необхо-
димо и достаточно выполнить следующие условия:
S Л/-0, УДАу = О; (165)
О) О)
X САу = 0, У Dkj — 0. (166)
О’) О’)
Представим уравнение (165) в следующем виде:
ak У cos Ауу + bk У sin Ауу = 0,
О’) О’)
Ьк У cos Ауу + ак У sin Ауу = 0.
О’) О’)
98
Исключим из этих уравнений сначала у cosk-\jt а затем
sln^y. Тогда
U)
(«лг +V)^cos^y=O,
(/)
(«л2 + М S singly = 0.
U)
Так как ak и bk отличны от нуля, то для удовлетворения
уравнений (165) достаточно, чтобы
у cosATy = 0, у sin^y = 0.
О) О)
Аналогично можно показать, что уравнения (166) приводятся
к виду уравнений (167), последние, таким образом, и выражают
собой условия уравновешенности Л-ой гармоники статического
момента замещающей массы всего механизма.
Если рассматриваемые моторы имеют коленчатый вал с п
симметрично расположенными кривошипами, то введя обозначе-
2^
ние угла между соседними кривошипами через у0 = — можно
представить в следующем виде уравнения (167)
У cos Ауу = cos k.0° + cos /гу0 + cos k 2y0" + ... + cos k (n — 1) y0 =
— L cos kiy0, (168)
i=e *
V sin/syy = sin£.O° + sin^io + sin A2y0+ ... + sin/Цл — l)y0 =
<0
i = n—1
= _ sin kirfo.
i=Q
Такие суммы были рассмотрены при уравновешивании рота-
тивных моторов и они обратятся в нули за исключением слу-
чаев, когда порядок гармоники Кратен числу кривошипов. При
наличии несимметричного вала число кривошипов в диаграмме
будет равно числу колен или числу секций. Так для 4-х колен-
чатого вала будут не уравновешены гармоники 4-го, 8-го, 12-го
и т. д. порядков. Если же рассматривать симметричный вал, то
число кривошипов в диаграмме будет равно половине числа
колен или секций й для 4-х коленчатого вала будут не уравно-
вешены гармоники 2-го, 4-го, 6-го и т. Д. порядков.
'99
При k—pti уравнения (168) примут следующий вид:
VcosAY7=/r, (169
(/) О)
где и равно числу кривошипов как для несимметричного, так
и симметричного валов. Следовательно уравнения (164) примут
следующий вид:
Mxk - п (ak cos k<f + bh sin k<?),
Alyk = n (cft cos k<? + dk sin ky). f
Если Л-ая гармоника статического момента замещающей
массы механизма уравновешена, то можно вывести условия урав-
новешенности 6-ой гармоники центробежного момента замещаю-
щих масс. Как уже было показано на стр. 31 что если Л-ая гармо-
ника статического момента равна нулю, то &-ая гармоника цен-
тробежного момента образует пару, т. е. местоположение точки,
относительно которой вычисляется центробежный момент,
может быть выбрано произвольно.
Приняв во внимание сделанное замечание, обозначим через
Zj расстояние вдоль оси OZ от плоскости у-го механизма до
произвольно выбранной точки. Тогда значение Л-ой гармоники
центробежного момента замещающих масс может быть пред-
ставлено следующими уравнениями:
Сяк = cos У Akj Zj + sin ky У, BkjZj,
(£) (171)
Cyft— — (cos k<? У CkjZj+ sin
(t) (0
Производя аналогичные преобразования, которые нами сделаны
в отношениии уравнений (165), получим условия уравновешен-
ности Л-ой гармоники действующего в продольной плоскости
центробежного момента замещающих масс:
yZj-cos ky = 0, yiZjSink'[j = 0. (172)
(0 (0
Уравнения (169) и (172), определяющие собой условия урав-
новешенности, впервые были установлены для паровых машин
независимо друг от друга Lorenz’oM [26] и Schubert’oM [27].
Далее эти же условия механически были распространены на
однорядные двигатели внутреннего сгорания Sharp'oM. Эти же
условия, как это показано автором, могут применятся к любому
типу многорядных моторов.
В случае симметричного вала уравнения (172) выполняются
тождественно для тех гармоник, для которых статический момент
равен нулю. Для тех же гармоник, для которых статический
момент не равен нулю, вычислять проекции центробежных
)00
моментов на оси ОХ и ОК не имеет никакого смысла, так как
их величина будет зависеть от положения точки, относительно
которой составляется уравнением моментов.
Установив наличие неуравновешенных гармоник статического
момента, следует произвести их вычисление, пользуясь уравне-
нием (164), причем значения коэфициентов ак, bk, ckndk опреде-
ляют, исходя из величины замещающих масс и их проекций
перемещений. При вычислении этих коэфициентов ограничимся
для различного типа двигателей гармониками первого, второго
и третьего порядков.
Однорядные двигатели
= (та + тв) г,' as=^- )гтв, as ~ 0;
^ = ^ = ^, = 0; (173)
:zz C2 Cg ~
rf1 = mAr, d2 = d3 = 0.
V-образные моторы с центральным рочленением
Так как в уравнениях (30) sin/2% для обоих цилиндров взаимно
сократятся, то
й! = /ид + (1 + cos 2б0) «в
а2— Xr(cos 80 + cos Зй0) тв, = 0;
О
А1 = ^3 = ^3 = 0;
= с2 — с3 — 0,
rfj = /пА + (1 — cos 28О) /ив
d2 —----^-Kr(sin80—sin380)/nB, d3 = 0,
О
где 80 есть половина угла развала между осями цилин тров.
V-образные моторы с прицепным сочленением
Если принять, что ось ОХ совпадает с осью цилиндра глав-
ного механизма, то, используя, помимо уравнений кривошипно-
101
шатунного механизма, уравнения (6) и (17), получим в следую-
щем виде значение коэфициентов:
а\ = г(/па4-/яа1+ тв + ты) + cos —i- X^sinS^/^Bi,
«’s= ~^-Х2р«в +П] ^/лА1 + + (na cos 8j —X2/^ sin 8, ) ^niBi r
a'a = п^ты cos 8j;
b\ = 4i («ai + /»в 1) + (/«i cos 8, — Sj sin 8j) /]тв i,
b'z ~ tn^niBi cos 8„
&'8 = /n3ZI/nBiCos81; ’• (175)
сг — (пг sin 8, + kx cos Sj) 1ЛП1Ъ i,
c't~ -y X2^ ^/nAi + mBi^ + sin8, + -1 X2/>1cos81
c’8 = n8/]7nBiSinoj;
d'x — rm^ 4-ХЛ1 (znAi + «Bi) + («1 sin8t + Sj cosSJ/jWbj f
(1'а= /л^/пв! sinBj,
d’q = т^тв i sin 8V
Если в механизме угол развала 8j равен углу прицепа >yj, то*
Рх = 0, а также /^ = 0, п2= — |-(/г12—хД и3=0, /Л] = 0 и /и3=0.
W-образные моторы
В этом случае для прицепных механизмов синусы углов раз-
вала взаимно сокращаются. Члены, содержащие pit равны нулю,
так как угол развала равен углу прицепа. Коэфициенты будут
иметь следующие значения:
ах = г(ма + тв) + 2rmBi cos28i,
«з = -^-Х2 ^4у /«в + a?«Bi j---s2i^ 1хтв1 cos 8Г,
«з = 0;
b1~bi — ba — Q-, с1 = с2 = с3 = 0;
d} == гтк + 2(Xbj + gylx cosSJ/wbi, (V6)
dt = — гшв\Sx sin281;
rf3 = 0.
J02
Х-образные моторы
В этом случае как и для V-образных моторов ось ОХ
следует совместить с осью цилиндра главного механизма. Если
принять, что угол развала равен углу прицепа, то коэфициенты
примут следующие значения:
аг' = г(тк+тк1 + тв 4-3m'B Seos2 3,),
1тв +(«iAi + т'в)
—/' т в S (^j2 ~ si®) cos 8i>
«s' = 0;
• •
= k (т А1 + т'в) S <7 г —1' т'ъ S sisin °i>
£
2
/'/«'в У, /tj Sj COS О;,
(177)
^' = 0;
ч '
с/ = I'm'в У, kx cos 3,,
с2' = | k2(mAi + т'в) У qt------1' т'в £ (V — s/) sin 8г, •
с3' = 0;
di=\(mkx + mB\\ Vhj + Гт'в y.^coso,,
rf2' =----~-гт’в Vsj sin’S,-,
<Z3' = 0.
В случае V и Х-образных ‘Моторов с прицепными сочлене-
ниями, у которых ось цилиндра главного механизма не совпа-
дает с вертикалью, следует сделать пересчет коэфициентов для
другой системы координат, в которой ось ОХ направлена вер-
тикально. Пусть ось главного механизма отклонена от вертикаль-
ной оси на угол 80, отсчитываемый в направлении часовой стрелки,
то, обозначая через 8 = 360—80, можно определить искомые коэфи-
циенты для Л-ой гармоники, пользуясь обычными формулами
перехода
ak = ak' cos 8 — ск' sin 8, b:. — bk' cos 8 — dk sin 8,
ch = ck cos 8 +д/sin o, c/ft = </A'cosS + Z>ft'sin8. (178)
Значения коэфициентов ак, bk, ck' и dk' даны в уравнениях
(175) и (177).
J03
Вычислив проекции статического момента неуравновешенных
гармоник для каждой секции, следует затем их разнести на две
плоскости приведения PuQ, как это указывалось на стр. 33 исполь-
зуя для этой цели уравнения (50) и (51). После чего в каждой
плоскости приведения производят уравновешивание статических
моментов, т. е. определяют противоположно вращающиеся век-
торы и их фазовые углы и производят частичное или полное
уравновешивание в каждой плоскости приведения.
В практике строительства рядных моторов обычно применяют
коленчатые валы с симметричной кривошипной диаграммой, причем
для двухтактных двигателей ставят несимметричные валы, а для
четырехтактных—симметричные с четырьмя, шестью и восемью
коленами. Укажем методы улучшения уравно’вешенноЛ'И указан-
ных моторов.
а) Моторы с несимметричными валами
Такие моторы в отношении статических моментов уравнове-
шены очень хорошо, так как порядок неуравновешенных гармо-
ник статического момента будет кратен числу колен. Следова-
тельно для 4-х коленчатого вала будут уравновешены гармоники
первого, второго и третьего порядков, т. е. можно считать, что
статические моменты будут полностью уравновешены. Еще луч-
шая уравновешенность статического момента будет в моторах
с шестью и восемью коленчатыми валами.
В отношении же центробежных моментов относительно осей
ОХ и О' эти моторы имеют, наоборот, плохую уравновешен-
, ность. Как уже указывалось, условия уравновешенности А-ой
гармоники центробежных моментов будут определяться следу-
ющими уравнениями:
У Zj cos k Sy — 0, У, Zj sin k?jj = 0. *
U) V)
Очевидно за счет изменения расстояний Zj и расположения
колен вдоль оси вала можно добиться уравновешивания второй
гармоники, соблюдая следующие условия:
У, Zj cos 23у =0, У, Zj sin 23у = 0.
(Л О)
Схема такого вала представлена на фигуре 54.
Первая же гармоника уравновешивается следующим образом.
В каждом J-ом механизме, как это указывается в нашей работе1),
уравновешивается вектор статического момента, вращающийся
против часовой стрелки, с помощью дополнительной массы,
установленной на главном шатуне. Таким образом в каждой
*) Семенов М. В. „Новый аналитический метод уравновешивания авиаци-
онных двигателей" Труды J1BBAKA, вып. 6, стр. 112—115.
101

J-on плоскости останется неуравновешенный вектор, вращаю-
щийся по часовой стрелке. Численные значения этих векторов
и их фазовые углы являются известными, поэтому эти векторы
Фиг. 54. 4-х коленчатый вал, дающий уравновешивание гармоники второго
порядка
для всех секций могут быть уравновешены с помощью противо-
весов, установленных на коленчатом вале (как это делалось
при уравновешивании вращающихся масс).
б) Моторы с симметричными валами
В таких моторах с восьмиколенчатым валом будут неуравно-
вешены гармоника 4-го порядка, с шестиколенчатым — 3-го по-
рядка и с четырехколенчатым валом—гармоника 2-го порядка.
Фиг. 55. Уравновешивание гармоники второго порядка по Lanchester’y
Таким образом плохо уравновешенным валом является 4-х колен-
чатый вал, который благодаря этому и не получил широкого
распространения в авиационные моторах.
Уравновешивание второй гармоники может быть осуществлено
только по методу Lanchester’a, устанавливая два противовеса на
двух дополнительных валиках, вращающихся в противоположные
стороны с угловой скоростью 2<о (фиг. 55).
105
С этой целью статические моменты гармоник второго порядка
каждого J-ro механизма разносятся на две плоскости приведения
Р и Q. Затем для каждой из этих плоскостей определяются
противоположно вращающиеся векторы и их фазовые углы и, за-
даваясь радиусами противовесов, определяют массы последних.
(т' „Р^ q — - (,п"пл2)<? — ’
V прл>а V npzJq
(1'9)
(т'^2)9=Ф'2? + 18^. = Ф'% +18(Г;
R\P ч R"*p
цр21 р — Гл₽2^р Г-Д/ \ >
. прЧр (]80)
(f„p2)p = и +180. (Лрг)Р = ¥Г2Р +180°.
Пример. В качестве примера рассмотрим 12-ти цилиндровый
V-образный мотор марки АМ-35. Данные этого мотора приведены
Фиг. 56. Вал мотора АМ-35
в таблице 5, а форма коленчатого вала представлена на фигуре
56, т. е. мотор имеет симметричный вал с симметричной криво-
шипной диаграммой.
Для главного шатуна этого механизма был произведен раз-
нос масс на три точки (численный пример проведен на стр. 43.)
Затем, принимая во внимание массы прицепного шатуна и поршня,
были определены все замещающие массы, причем ввиду полной
уравновешенности вала массы, кривошипа не учитывались. Так
тА =0,202 кг.сек21м, ть =0,291 кг. сек2\м,
m.Ai = 0,354 кг. сек2\м, mBi= 0,321 кг.сек2\м.
Ввиду симметричности кривошипной диаграммы и вала будут
не уравновешены только гармоники статического момента 3-гог
6-го, 9-го и т. д. порядков.
Совмещая ось ОХ с осью главного цилиндра, получим сле-
дующие значения коэфициентов гармоники третьего порядка:
д3' = 0,0000057, А/= 0,0000022,
cs' = 0,0000099, d3' = 0,0000020.
:об
Далее сделан был переход к другой системе координат, повер-
нутой относительно старой системы координат на 8о = ЗО°..
Тогда
п3 = а3' cos 30° + с3 sin 30° = 0,0000099,
bs = bs' cos 30° 4- d3 sin 30° = 0,000029.
c3 = c3’ cos 30° — a3' sin 30° = 0,0000057,
d3 = d3 cos 30° — bs’ sin 30° = - 0,0000007.
Пользуясь уравнениями (170), были вычислены проекции ста-
тического момента
Млд = 0,0000594 cos 3? + 0,0000174 sin 3®,
Му0 = 0,0000343 cos 3? — 0,0000042 sin 3?.
Годограф полученного уравнения представляет собой эллипс,,
о построении которого указывалось на стр. 57.
Для определения максимальных перемещений мотора в пере-
носном движении не следует разносить проекции статического
момента на плоскости Р и Q, ввиду уравновешенности центро-
бежных моментов. Значения углов поворота кривошипа <р, при
которых /ИЛО и Му0 принимают значение максимум-максиморум,.
будут определяться соответственно следящими уравнениями::
1g 3® = ^ =0 29310, <р = 5°40'
°з
1g 3® = -=? = — 0,12539, ® = 2°23'.
^3
Тогда
ч _ 0,0000609
=5 40. -------= - - - —-£4---------- 0,0107 мм,
, ч (/Иу^тах 0,0000392 _ _.
(хтах\ = 2 23, =-----=------------84 = 0,0004 мм,
где /л = 84 кг.сек^/м есть масса рассматриваемого мотора.
2. Многозвездные моторы
В практике строительства авиационных моторов получили более
или менее широкое применение 2-х звездные моторы с двухко-
ленчатым валом, причем в этих моторах обычно угол между
кривошипами равен углу между осями цилиндров главных меха-
низмов. Следовательно механизмы имеют одну и ту же струк-
туру, но смещены относительно друг друга на угол заклинки
107
кривошипов. В этом случае будут иметь место выведенные ранее
условия уравновешенности для рядных моторов.
Очевидно, если принять симметричт ю кривошипную диаг-
рамму, состоящую из двух кривошипов, смещенных относи-
тельно друг друга на угол 180°, то получим полное уравнове-
шивание первой гармоники статического момента. Вторая же
гармоника и все следующие четные гармоники статического
момента, при наличии их неуравновешенности в одинарной звезде,
будут в двойной звезде также не уравновешены. Ввиду того
что симметричная 2-х кривошипная диаграмма допускает только
несимметричный вал, то первая гармоника центробежною момента
представляет собой неуравновешенную пару статического
момента. Поскольку все следующие гармоники статического
момента не уравновешены, то говорить об уравновешенности
центробежных моментов этих гармоник не имеет никакого
смысла.
Для уравновешивания центробежного момента первой гармо-
ники следует поставить вначале дополнительные массы на каж-
дом главном шатуне, как это делалось для уравновешивания
векторов, вращающихся против часовой стрелки, одинарной
звезды. Затем оставшиеся не уравновешенными векторы, вра-
щающиеся по часовой стрелке, уравновешиваются как вращаю-
щиеся массы, устанавливая на 2-х коленчатом вале два или четыре
противовеса. Для первой и второй звезд численные значения век-
торов /?'п=/?'12 определяются по уравнениям (140), а направле-
ния их совпадают с соответствующими кривошипами, т. е. Ф'и =0
и ф'12= 180°.
Помимо рассмотренного типа . механизмов начинают приме-
няться шестирядные моторы с звездообразным расположением
цилиндров в поперечной секции, имеющие вал с несимметрич-
ной кривошипной диаграммой. Так в практике уже имеются
24-х цилиндровые моторы. В этих моторах газораспределение
осуществляется не с помощью кулачковых шайб, а применяются,
обычные для рядных двигателей, кулачковые распределительные
валики. Последнее обстоятельство дает возможность более сво-
бодного выбора углов заклинки кривошипов.
Если эти углы будут соответствовать условиям, при которых
соблюдаются равномерность чередования вспышек зажигания,
наилучшее всасывание, наименьшая напряженность коленчатого
вала, наименьший износ подшипников и наипростейший процесс
изготовления этого вала, то подбирают углы смещения осей
цилиндров соответствующих главных механизмов так, чтобы
статические и центробежные моменты второй гармоники были
бы уравновешены. Так как первая гармоника всегда может быть
уравновешена, то тем самым механизмы рассматриваемых мото-
ров будут иметь уравновешенными и первую и вторую гармо-
ники, т. е. можно практически считать, что такие 24-х цилиндро-
вые моторы будут полностью уравновешены. Очевидно оста-
118
нутся не уравновешенными гарш
ков.
< В этих моторах углы развала
для уравновешивания первой i
поставить дополнительные
массы на каждом из главных
шатунов такой величины,
чтобы все возвратно дви-
жущиеся замещающиемассы
имели одно и то же числен-
ное значение, В этом слу-
чае ' в каждой звезде век-
торы первой гармоники,
вращающиеся против часо-
вой стрелки, будут смещены
от оси цилиндра главного
ягики 4>го, 6-го И Т. Д. П0| яд-
равны углам прицепа, поэтому
армон.икн следует, во-перьых.
Фиг. 57. Диаграмма век-
торов гармоники пер
вого порядка, вращаю-
щихся против часовой
стрелки, в 6-ти цилинд-
ровой звезде
Фиг. 58. Кинематическая схема меха-
низмов первой и /-ой звезд
механизма на угол 2о;, т. е. составят симметричную кривошипную
диаграмму (фиг. 57) .Следовательно эти векторы взаимно уравно-
весятся.
Во-вторых, векторы, вращающиеся по часовой стрелке, урав-
новешиваются как обычные вращающиеся массы, т. е. или
с помощью противовесов, установленных на продолжении щек
каждого колена, или с помощью всего лишь двух противовесов,
установленных в плоскостях приведения. Наконец, с помощью
нескольких вращающихся противовесов, расположение которых
удовлетворяет условиям наименьшего износа подшипников
и йаименьшей напряженности коленчатого вала. Численные зна-
чения векторов определяют, исходя из уравнения (150), а направ-
ление их совпадает с соответствующими кривошипами.
Рассмотрим теперь метод уравновешивания второй гармоники.
Пусть 8; есть угол смещения кривошипа /-ой звезды относи-
109
тельно оси цилиндра своего главного механизма (фиг. 58), отсчи-
тываемый но часовой стрелке. Очевидно в системе координат
X'OY', ось ОХ' которой совпадает с осью упомянутого цилиндра,
проекции статического момента второй гармоники у-ой звезды
будут представлены следующими уравнениями:
(/W\a);-=a2cos2(<F + 8У),
(M\2), = d2sin2(<? + 8у).
Для перехода к системе (ХО/), связанной аналогичным обра-
зом с первой звездой, следует применить обычные формулы
перехода от одной системы координат к другой
(ТИх2)у = а2 cos cos 2 (-₽ф-8)—d7 s'n фу sin 2 (<р + 8),
(182)
(2Wj,,)y = <72 sin фу cos 2 (<р + oy) + d2 cos фу sin 2 (? 4- 8y),
где фу есть угол, отсчитываемый по часовой стрелке, между
осями цилиндров главных механизмов первой и /-ой звезд
<фиг. 58).
Производя суммирование по индексу / и раскрывая синусы
и косинусы сумм, получим значение второй гармоники статиче-
ского момента для всего мотора:
7 = 4 у=4
Л7л, = а2[сО8 2фУ^СО8фуС08 28у--81П2? У СО8фу8Ш28у] —
7-1 7=1
7=4 у=4
—dt [cos 2?£sin фу s n 28у + sin2? У sin фу- cos 28y],
• J 4 (183>
J 4 J = 4
JW>2 — a2 [cos 2<p У sin Фусов 28y —sin 2® }]sin фувй! 28y] +
7-1 7 1
7 = 4 j 4
+ d3[cos2<p^ созфу8}п28у+ sin 2<p У cos фу cos 28y].
7=1 7 1
Центробежные моменты относительно осей ОХ и OY будут
отличаться от уравнений (183) лишь тем, что под знак У, войдет
множитель Zy. Очевидно условия уравновешенности второй гармо-
ники статического и центробежного моментов будут представ-
лены следующими уравнениями;
7=4 7=4
У cos фу cos 28у = 0, У Zj cos фу cos 28у = 0,
7-1 7=1
но
7 = 4 7 = 4
У, cos ф,- sin 28/ = 0, У, Zj cos фу sin 28у — 0,
7 = 1 7=1
j'=4 7 = 4
У sin фу cos 28? = 0, У Zj sin ф7 cos 28у ~ 0,
7 = 1 7=1
7 = 4 7 = 4
У, sin ф7 sin 28у = 0; У Zj sin фу sin 28у = 0.
7 = 1 7=1
Если в каждой группе, состоящей из четырех уравнений
сложить и вычесть первое с четвертым и второе с третьим, то
условия уравновешенности примут следующий вид;
7 = 4 7 = 4
у cos (фу ± 2у) = 0, у Zj cos (фу ± 28у) = 0,
7 = 1 7=1
7 = 4 7 = 4
у Sin (фу + 28у) = 0, У Zj sirr (фу ± 28у) ~ 0.
7 = 1 7=1
Обозначим угол фу + 28у- через «у, и представим себе такой
фиктивный 4-х коленчатый вал, углы заклинки кривошипов
которого равны ау. Очевидно, первая гармоника, рассматриваемая
в отношении угла а7 будет в механизме с таким фиктивным ва-
лом полностью уравновешена, если этот вал является симметрич-
ным и имеет симметричную кривошипную диаграмму, т. е.
а,=0, а2—180°, а3=180° И а4 = 0°
или
^±2^ = 0, ф,±282 = 0, ф3^283 = 0, % + 284 = 0.'s (185)
Симметричный фиктивный вал представляет собой единствен-
ную форму уравновешенного вала, так как он определяется од-
нозначно четырьмя неизвестными: а2, а3, а4 и отношением рас-
стояний между двумя звездами. Угол же а4 и расстояние zx
могут быть приняты равными нулю, если соответствующим обра-
зом выбрать начало отсчетов углов <%у и расстояний Zj.
Если обозначить через 7у = фу+8у угол заклинки действитель-
ного кривошипа, отсчитываемый от оси ОХ в направлении
часовой стрелки, то уравнения (185) могут быть представлены
следующим образом, принимая в них 8у = уу— фу и -^ = 0:
ф1==0, ф2 = 2у2—180°, Ф3 = 2Ь-180°, ф4 = 274. (186)
9 2 2
фл = 0, ф2=~т2 + 60°, %^±7s + 60°, (187)
Ш
Так как углы заклинки кривошипов являются заданными вели-
чинами, то по уравнению (186) или (187) можно вычислить
значения углов (фу) смещения осей цилиндров главных механиз-
мов, отсчитываемых от оси ОХ.
Следует иметь в виду, что углы фу должны или равняться
нулю или быть кратны углу развала между осями двух смеж-
ных цилиндров.
Пример. В качестве примера рассмотрим 24-х цилиндровый
мотор с 4-х коленчатым валом, выполненный в процессе диплом-
ного проектирования слушателями Ленинградской Краснознамен-
ной Военной Воздушной Инженерной Академии. Кривошипная
диаграмма и схема коленчатого вала представлены на фигуре 59,
Фиг. 59. Коленчатый вал 24-х цилиндрового рядного мотора со звездообразным-
расположением цилиндров
Как видно из кривошипной диаграммы, углы заклинки криво-
шипов имеют следующие численные значения: у4 = 0, ~ 150
Ъ = 210°, Ь = 0.
Исходя из уравнений (186), определим углы смещения осей
цилиндров главных механизмов относительно оси ОХ; ф4 — О,
ф2 = 120е, ф-, = 240° и ф4 = 0. На фигуре 60 указаны положения
всех цилиндров в том числе и цилиндров главных механизмов
всех четырех звезд. Если бы определение углов производить по
уравнению (187), то полученные значения углов "{у не соответство-
вали бы возможности размещения цилиндров в шести рядах.
В некоторых случаях, а именно при получении плохих крутиль-
ных характеристик коленчатого вала, можно изменить диаграмму
крутящего момента за счет изменения положения осей цилиндров
главных механизмов. Тогда следует отказаться от уравновешен-
ности центробежных моментов второго порядка, оставляя уравно-
вешенными лишь статические моменты. При такой постановке
задачи условия уравновешенности примут следующий вид:
j 4 7=4
У cos (фу £ 28,) = cos йу = 0,
М 7=1
j~4 7=4
У, sin (фу +- 28у) — У sin йу = 0,
j. 1 J-1
112
Переходя к уравновешиванию первой гармоники статического
момента фиктивного вала с углами необходимо отметить, что
приведенные два уравнения дают
возможность определить только
Два угла, а значения двух дру-
гих углов должны быть заданы.
Пусть заданы, например,
углы aj и аа, т. е. звезду первую
и третью следует использовать
для улучшения крутящего мо-
мента за счет изменения поло-
жения осей цилиндров их глав-
ных механизмов. Тогда углы «2
и а4 примут единственное поло-
жение'— кривошипы фиктивного
вала этих звезд будут смещены
на угол 180° относительно углов
txj и а3, т. е. «2 = я1-4-180° иа4 =
= я3-р180°.
Индексы 1, 2, 3, 4 можно ме-
Фиг. 60. Схема к определению углов
осей цилиндров главных механизмов
в 24-х цилиндровом рядном моторе.
нять в каком угодно порядке,
так как центробежные моменты
будут не уравновешены. Наи-
лучшим решением следует считать то, когда неуравновешенный
центробежный момент фиктивного вала будет являться наимень-
/-4 г = 4
шим, т. е. cos ay и yjZjSinaj = B будут иметь такое
/-!
значение, что амплитуда второй гармоники, равная ]/Д2 + £2,
представляет собой минимум из всех возможных вариантов при
изменении индекса 1, 2, 3, 4. При этом число всех вариантов,
учитывая зеркальность расположения, будет равно половине
числа всех перестановок из четырех элементов, т. е. 41 = 12.
Располагая значениями углов Яу, а также углами заклинки
кривошипов fy, можно определить углы смещения осей цилин-
ров главных механизмов, имея в виду равенства Яу = ф+23, и
Si = T>—Ф/
фу=2Ту— Яу
*'= з-’'+з
Конечно, углы фу должны быть кратны углу развала между
двумя рядами.
8 Семенов.
113
3. Рядные моторы с двумя валами
Как уже отмечалось, моторы с двумя валами в основном
состоят из двух моторов с V-образным расположением цилин-
дров в поперечной секции. Уравновешенность таких моторов
может быть подчинена двум различным требованиям.
Так один из моторов в процессе полета самолета может быть
выключен из работы или же два спаренные мотора работают
как единая и неделимая установка. Если применить для каждого
мотора 6-ти коленчатый симметричный вал с симметричной криво-
шипной диаграммой, то в обоих случаях мотор будет уравно-
вешен включительно до гармоники пятого порядка. Предпола-
гается, что угол прицепа для прицепного механизма равен углу
развала, т. е. третья гармоника будет отсутствовать. Валы, в та-
ких 24-х цилиндровых моторах могут иметь как одинаковые,
так и противоположные направления вращения.
Единственный интерес с точки зрения уравновешивания пред-
ставляет собой 16-ти цилиндровый мотор с двумя коленчатыми
валами. Рассмотрим ряд случаев в зависимости от угла развала
V-образной секции, принимая при этом центральное сочленение
шатунов. При исследовании будем пользоваться аппаратом
противоположно вращающихся векторов.
а) Угол развала 8j - 180°
В этом случае имеем Н-образное расположение цилиндров. Ранее
указывалось, что положение противоположно вращающихся век-
торов зависит от угла развала. Так, если в V-образном меха-
низме с углом 8, = 180' кривошип совместить с осью ОХ, то оба
вектора первой гармоники, вращающиеся по часовой стрелке,
будут совпадать с осью ОХ, т. е. равнодействующий вектор
А?'1О = /?'[, + /?'12. Точно также оба вектора, вращающиеся про-
тив часовой стрелки, будут совпадать тоже с осью ОХ, так как
вектор R"n совпадает с осью ОХ, а вектор /?"19 составляет
с ней угол, равный 2оь т. е. 360°. Таким образом, первая гармо-
ника будет полностью не уравновешена. Вторая же гармоника
будет напротив полностью уравновешена, так как векторы /?'21
и /?"2|, совпадая с осью ОХ, соответственно уравновешиваются
векторами /?'22 и /?"а2 ввиду того, что первый из них будет
повернут на угол минус 8П т. е. 180°, а второй по часовой
стрелке на угол 38ь что тоже составляет 180°.
Следовательно, выбирая плоский симметричный вал, в кото-
ром, как известно, первая гармоника полностью уравновешена,
получим уравновешенный 16-ти цилиндровый мотор, причем
валы могут вращаться как в одном, так и в противоположном
направлениях, а также один вал со своими цилиндрами может
быть полностью выключен.
114
б) Угол развала ot 90*
Рассуждая аналогичным образом, как и в предыдущем случае,
получим, что для первой гармоники векторы, вращающиеся по
часовой стрелке, суммируются, а векторы, вращающиеся против
часовой стрелки, взаимно уравновешиваются. Для второй же
гармоники оба вектора составляют с осью ОХ угол минус 90.
так как /?'22 отклонится на угол—a R"q2—на угол 33 L.
Если оси цилиндров второго мотора вместе с валом повер-
нуть на 180°, т. е. получить крестообразное расположение
цилиндров, то статические моменты в одной поперечной секции
первой, второй, а также и всех следующих гармоник будут
полностью уравновешены. Таким образом можно выбирать любой
формы коленчатый вал, который не нарушит уравновешенности
мотора.
Последнее исследование показывает, что можно достигнуть
полного уравновешивания всех гармоник статического момента
в поперечной секции, а тем самым и уравновешивания всех
гармоник центробежных моментов в долевой плоскости незави-
симо от формы коленчатого вала, угла развала, а также и от
вида сочленения, т. е. может быть применено и прицепное сочле-
нение. С этой целью достаточно второй мотор вместе с валом
повернуть на 180 и оба вала должны иметь вращение в одном
и том же направлении.
Углы развала и форма коленчатого вала должны удовлетво-
рять равномерному чередованию вспышек зажигания, наимень-
шему давлению на опоры, наилучшему наполнению, наипростей-
шему технологическому процессу вала и компактной форме кон-
струкции самого мотора. Следует заметить, что уравновешен-
ность такого мотора нарушится, если один из валов будет
выключен из работы.
Определение сил инерции и приведение их к одной точке
При расчете коленчатого вала на прочность и его опор на
износ, а также при динамическом расчете самолета должны быть
известны силы инерции и их моменты. Ввиду этого считаем
полезным в указанном разделе дать методы определения сил
инерции, используя для этой цели статические моменты заме-
щающих масс.
Определяя давления на опоры коленчатого вала от масс дви-
жущихся звеньев, можно принять, что силы инерции приложены
в замещающих точках. В этом случае сила инерции предста-
вляет собой вторую производную, взятую с обратным знаком
от статического момента замещающей массы. Так, если заме-
щающая масса совершает равномерное вращательное движение,
то cifria инерции представит собой обычную центробежную силу,
8* 115
направленную по радиусу от центра вращения. Величина ее
определится как произведение статического момента на ш2
/А=/?'Аш3 = г/лАш2 (188)
Если замещающая масса совершает сложное движение, то
проекции силы инерции могут быть выражены через проекции
статического момента этой массы
у d2MxB у (i'AlyB (IRQ)
хв_ -Л, , Гв_- м, . (189)
Так как численные значения проекций статического момента
являются периодическими функциями, которые могут быть выра-
жены рядами Фурье, то принимая вращение кривошипа равно-
мерным, получим:
АФв = «>8^Л2(аЛсоб^а>.-|- £ftsin£<p), <190)
(k)
У и = ю3 У k2 (c^cos k<f + dk sin /г<р).
• W
Таким образом, k-я гармоника силы инерции замещающей
массы тв может быть просто вычислена, если известны коэфи-
циенты разложения ряда Фурье.
г, При динамическом расчете возмущающими силами являются
неуравновешенные силы инерции, приведенные соответственно
к центру тяжести самолета или рамы мотора. Так как при
проектировании мотора центр тяжести самолета или его рамы
может оказаться неизвестным, то считаем более правильным
задавать главный вектор и главный момент приведенными
к началу выбранной нами системы координат. Рассмотрим при
этом два типа моторов.
1. Моторы, замещающие массы которых расположены
в одной плоскости движения
Имея в виду, что проекции силы инерции являются вторыми
производными, взятыми с обратным знаком от соответствующих
проекций статического момента замещающей массы механизма,
то k-я ее гармоника будет представлена следующими уравне-
ниями ;
Хк — л2о>3 (ак cos 4- Ьк sin k'-f), (191)
Yk — k2^- (ск cos k<c> - dk sin Л»).
Коэффициенты ак, bk, ck и dk являются известными, а угловая
ТШ
скорость кривошипа ш— - представляет собой заданную .вели-
Ом
1 16
чину. Суммируя затем по индексу k только неуравновешенные
гармоники, получим значение проекции силы инерции всего
мотора
-^о—X 1о—X (192)
(*) (А)
Так как сила инерции мотора приложена к центру инерции
механизма, а главный вектор приводится к началу координат,
то должна быть добавлена пара сил инерции, действующая отно-
сительно оси OZ
^z0~ X (Xlt^ к —(193)
(А)
где xk и уп координаты точки приложения силы инерции /г-го
порядка, определяемые для каждого значения угла поворота
кривошипа через проекции статического момента замещающей
массы т0, учитывая при этом координаты центра инерции
в начальном положении
хь = ±-^ -г ±-(ак cos k<? + Ьк shift?),
//(•n
(194)
Л = — S micoi + cos ft? + dk sin ft?).
Помимо пары, определяемой по уравнению (193) будет еще
действовать пара сил инерции от звеньев, совершающих неравно-
мерное вращательное движение. Таковыми в авиационных мото-
рах являются главный и прицепные шатуны. В этом случае
момент сил инерции будет удобнее выразить не через динами-
чески разнесенные массы, а непосредственно через угловые уско-
рения (е{) и через моменты инерции шатунов (ОД вычисленных
относительно их центра тяжести:
(195)
(О
Найдем значение угловых ускорений вначале для главного,
а затем для прицепных шатунов:
а) Угловое ускорение главного шатуна.
Используем уравнение (3)
sin р = К sin ? = х.
Откуда р = arc sin х.
Значение arc sin х разложим в степенной ряд, ограничившись
двумя членами разложения:
117
Р = л- + -L л3 = л sin ф + -L л3 sin 3<р,
. , 3 • 1 Q Т
но sin3 ф — -.-sin ф--sin3<p. Тогда
4'4
p = ;7i+Xx*
sin<₽ — л8 sin3<p-
24
(196)
Диференцируя дважды по времени уравнение (196),
значение углового ускорения главного шатуна в.виде
двух гармоник—первой и третьей
s — ----
получим
суммы
sin <р — -f-13 sin 3?
О
ш2
(197)
шатуна
б) Угловое ускорение прицепного шатуна.
Метод определения углового ускорения прицепного
останется такой же, как и для главного шатуна. Если принять,
что угол прицепа равен углу развала, то уравнение (13) примет
следующий вид:
sin р; = kj cos ? + S; sin x-t.
Разложим, как и в предыдущем случае, arc sin лу в степен-
ной ряд
Pi = kt cos ф + s,- sin ® -Ь -i- (kiS cos3 ф 4- 3/?/\ cos2 ф sin <f +
+ 3AjSj2 cos ф sin2 e + s,3 sin3 <p).
Заметим, что
, 3 1 о
COS’ Ф — -j- COS Ф -г — cos Зф.
4 4
cos2 ф sin ф — 4-sin ф + 4- sin ф cos 2ф = — sin Зф + -J- sin ф,
2 2 ‘4 т 4
11 11
cos ф sin2 ф — cos <f —— cos <р cos 2?— —cos 3tp + — cos
sin3 = — sin <p —sin 3<p.
Тогда
Pi = ft; (1 +-§-£? + YS‘2) C0S ? + Si ( 1 + IT + Sinf* +
+ ~ k, ( kf — 3s(2 J cos 3? — st ( «Л — 3ki2 sin Зф. (196)
118
После двухкратного дшреренцирования уравнения (196) полу-
чим в следующем виде угловые ускорения прицепных шатунов:
+ + -g-s,-2
cos <Р + sf [ 1 + 4- Sj2 + -Д-Af2) sin <p +
\ о о /

+ k J kt3- 3sf2 ) cos 3? ~ 4- sj Si2 — 3# ) sin 3<p. (197)
2. Чпгоры с многоколенчатыми валами
Для таких моторов определение неуравновешенных сил инер-
ции и их моментов производится аналогичным образом, что
и в предыдущем случае, используя численные значения проекций
статических и центробежных моментов замещающих масс. Так
проекции А’-ой гармоники силы инерции могут бьгъ представлены
следующими уравнениями:
£ cos£(<p + у,) + sin/t(<? 4-у,) ,
О’) . О’)

ck COS k ('? + Ту) + dftS Sin k (<? + fy) .
O’) O’) J
Или раскрывая косинусы и синусы сумм, получим в следую-
щем виде проекции силы инерции А-го порядка:
Хк = A2ws cos ky (ак YJ cos Л^у + bK £ sin AyJ —
O’) O’)
— sin ky ( йй S sin — bk cos «ту j
' O’) U)
cos k<f (cA £ cos Afy + dh yj sin /гуу) —
(J) (198)
— sin ky (c S sin kyj — dk 5? cos Ajy) •
(Л O’)
Y, = kU
Производя суммирование по индексу k и беря при этом лишь
неуравновешенные гармоники, определим проекции главного
вектора сил инерции, приведенного к началу координат:
(*) (*)
(199)
119
Проекции А-ой гармоники главного момента сил инерции
отндсительно осей ОХ и OY могут быть получены обычным
путем, используя уравнения (198):
Lxk = — У Zj Yk = — cos k<? (cA S Zj cos kij +
0 *
+ dk У Zj sin Ayy) — sin k<f> (ckY Zj sin ky — dk^ cos Afy) I ,
0 0 (J) J
Lyk=%ZjXk = kW
COS k<? (1?A У Zj COS +
0
(200)
+ ZjsinAyy) —sinA<?(nA У ZysinAyy —Z?A £ ^cosAyy) .
0) 0
Затем эти уравнения следует просуммировать по .индексу k
в отношении неуравновешенных гармоник
= Х Дпь Аго— X Lyk- (201)
(k) (k)
Если предполагается найти величину момента сил инерции
относительно оси OZ, то таковой определяется сначала для у-ой
плоскости, а затем производится суммирование по индексу J,
причем учитываются моменты, возникающие, как вследствие
приведения сил инерции к началу координат, так и вследствие
неравномерного вращения шатунов
^о = S L — ykjXkj) + У У (202)
. (Л (*) • 0 О’)
ЛИТЕРАТУРА
1. Noll an „De 1’application des contrepoids auX roues motriccs machines
locomotives". Journal des Chamins de Fer allmands. 1848.
2. M a с a 1 p i n e.- „Analysis of the Inertia Porces of the moving "Parts
of aa Engine”. Engineering, 1897.
3. Семенов M. В. .Кинематический анализ шарнирных механизмов”.
Вестник инженеров п техников, 1935 г., № 11.
4- Mai lock. „On the vibrapons of Setups and Engines". Tr. of the Inst,
of Nav. Archit., 1895
5. Koi sc h. „Gleichgang und Massenkrafte bei Fahr tind Flugzeugmas-
chinen-", 1911.
6. Квасников „Определение неуравновешенности поршневых машин".
Известия Томске о Технологического ин-та, 1923 г.
7. Sharp. Balancing of Engines Steam Gas and Petrol", 1907
8. Брике. „Кинематика, динамика и уравновешивание массовых сил
мотылевых машин", 1931 г.
9. Бруевич и Ширяев. „Уравновешивание авиационных двигате-
лей", 1933 г.
10. К и р и ч е н к о. „Динамика авиадвигателей.“ 1939 г.
И. Хол маков „Динамика авиационных двигателей", 1938 г.
- 12. Taylor. „The causes of vibrations of screw streamers". lourn, of the
American society of Naval Enginers, vol III. 1890
13. Lachateher. „Etubes sui la stabilite' des machnes locomotives en mou-
veinent," 1849.
14. D a 1 b y. A comparaslon of Five of with respest to their Jnertis Forces
. and Cauples", Trans Jnst . of Naval Archit., 1902
15. Dr. H „Ober den Ausgleich durch Gegengewichte bei vierzylindermoto-
ren“" Zeit. den Motorwagen, 1916.
16. Клименко. Проектирование быстроходных двигателей автомо-
бильного типа", 1930 г.
17. Зельцерман. „Современные балансировочные машины". 1938 г.
18. Кочетков и Каверин. „Динамическая балансировка коленча-
тых валов на станке Гишольт". 1931.
19. Шотландер „Уравновешивание 4-х цилиндровых компаунд-паро-
возов" журнал „Инженер", 1905 г.
20. Full agar „Ober den Ausgleich bei verbrenunqsmashinen". Der
Ohnotor, 1915.
21. Lanch ester. „Engine balancing". Proceedings of the Jnst. of Auto
Engine, 1914.
22. V il 1 e rc e a u. „Theorie de la stabilite' des machines locomotives en
mouvement" comtes rendus de la Siete xles iugenieurs civile, 1851.
23. Resal. „Snr la stabilite' des machines locomotives". Annales des
mines 5 se'rie. T. Ill 1853.
24. Fischer. „Uber die reduzirten systeme und die Hauptpunkte der
glieder eins gelenkmechan sinus und ihre Bedeutung for technische Mechanik"
Zeit fiir Math, und Physik 1902.
25. Артоболевский „Теория механизмов и машин" 1938 г.
2о. Beyillers ,,Le moteur a'expl >sious, 1920.
27. Lorenz. Die Massenausgleichen an Kurbelgctriebe unb ihre Ausgeichung
bei mehrkurbebgen Maschinen, V. D. 1. 1897
28. Schubert. „Zur Theorie des Schlickschen problems" Mitt, der Mathem.
Gesellschaft in Hamburq, 1898.
121
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение.................•........................................ 3
✓
Часть 1. Теория уравновешивания
Кинематические схемы механизмов авиационных моторов .............. 4
Проекции перемещений точек механизмов авиационных моторов ... 10
Статическая уравновешенность механизмов.......................... 28
Статический разнос масс ......................................... 31
Статический момент замещающей массы механизмов................... 46
Динамическая неуравновешенность механизмов....................... 52
Критерии уравновешенности механизмов........................... 56
Часть 11. Уравновешивание механизмов авиационных моторов
Уравновешивание вращающихся масс................................. 62
Уравновешивание механизмов, замещающие массы которых располо-
жены в одной тоскости движения................... .......... 68
Уравновешивание механизмов авиационных моторов, получающих движе-
ние от многоколенчатых валов............................... 97
Определение сил инерции и приведение их к одной точке •......... 115
замеченные опечатки
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
62 Формула (109) е тА = т!1г‘2,П1Ц е г
66 7 снизу на стр. 31 на стр. 33
69 Формула (128) /?1 (<Ч
93 Формула (155) Ф"1 [z~y ('-!)] 41 .1 СО |см 1 N У ] во
111 13 снизу 4>.,±202 = 0, Фл±2«з-О k±&WW2?'3 = 180°
117 11 снизу и через моменты инерции и чс$рез моменты пнерци
шатунов (0;), вычисленных шату1нов(0.), вычисленные