РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. М. ВОРОНЦА
№
10
Проф. Н. Н. ИОВЛЕВ
\ . \ДЪбБ
ВВЕДЕНИЕ
В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ
ГЕОМЕТРИЮ и ТРИГОНОМЕТРИЮ
.ЛОБАЧЕВСКОГО
ГГс . \
к
Научно - педагогической секиией
Государственного ученого совета
допущено дгя школ II ступени
ТОи
гор. Москвы
Л-
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА if 1930 ic ЛЕНИНГРАД


t/ &o(yAapСгпСГнноь\
3 ^^М^Аот€лЬСтОо ^
82 Xlll-4',tJ У. 28 Гиз J4 32521 'M
Ленинградский Областлгт № 44883
Тираж 8000.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Когда мы изучаем в школе геометрию, мы посте¬
пенно усваиваем одну теорему за другой, опираясь
в доказательстве каждой последующей теоремы на
предыдущие. Получается логическая цепь геометри¬
ческих истин, которые в совокупности говорят нам
о свойствах пространства. Мы при этом не задумы¬
ваемся о том, что пространство может обладать иными
свойствами, чем те, которые мы узнали из школь¬
ного курса геометрии. Например, мы знаем, что сумма
углов всякого треугольника равна двум прямым углам;
мы не сомневаемся в том, что это бесспорная истина,
так как она строго доказывается; нам не приходит
в голову мысль, что’ в пространстве, как мы его по¬
нимаем, возможен треугольник, сумма углов которого
не равна двум прямым.
Однако мы до сих пор не знаем, какими свойствами
обладает пространство, не знаем, несмотря на то, что
геометрия, как точная наука, существует более двух
тысяч лет.
Первобытный. человек познавал простейшие геоме¬
трические истины из опытов и жизненных наблюде¬
ний, например, что кратчайшее расстояние есть пря¬
мая линия. По мере развития человеческой мысли,
наблюдений и исследований, накапливались знания,
служившие непосредственно для жизненных потреб-
«
3

ностей. Еще задолго до нашей эры люди умели вы¬
числить достаточно точно длину окружности, измерив
ее диаметр, умели вполне точно определить объем усе¬
ченной пирамиды и т. д., но все такие знания остава¬
лись разрозненными и не имели логического обосно¬
вания, пока этого не сделал греческий математик
Евклид в третьем веке до нашей эры. Он изложил
все накопленные к тому времени геометрические зна¬
ния в строгой логической системе, именно так, как
мы знаем геометрию по школьному курсу. Труд Ев¬
клида „Начала" и по настоящее время служит (ко¬
нечно, в переводе) в некоторых английских школах
учебником геометрии.
После Евклида геометрия обогатилась сравнительно
немногими новыми истинами, система построения и
изложения курса геометрии оставалась неизменною,
и до XIX века нашей эры никто не сомневался в том,
что геометрия Евклида единственно и абсолютно ис¬
тинная, что она учит нас действительным свойствам
мирового пространства.
В системе Евклида есть уязвимое место, замеченное
еще греческими математиками, последователями Ев¬
клида. Именно, пятый постулат 1 Евклида, равно¬
сильный постулату, что через данную точку можно
провести единственную прямую, параллельную данной
прямой, — не представляет собой аксиомы. Между тем.
означенный постулат является исходной точкой для
теории параллельных прямых и всего последующего
курса геометрии. Все попытки трактовать пятый по¬
стулат Евклида как теорему и, следовательно, дать
его доказательство окончились неудачей.
Вопрос о значении постулатов в геометрии привлек
1 Постулатом называется положение, само по себе не оче¬
видное, но н не могущее быть доказанным.
4

к себе в первой половине прошлого столетия заострен¬
ное внимание математиков, и Лобачевскому уда¬
лось сделать одно из величайших в науке открытий.
Лобачевский не пошел по старому пути попыток
доказать пятый постулат Евклида, а заменил этот по¬
стулат ему противоположным и построил новую гео¬
метрию, логически безупречно стройную. Не предвидя
практического значения новой геометрии, Лобачев¬
ский назвал ее „воображаемою". Это название по су¬
ществу неправильно, так как геометрия Лобачевского
столь же воображаемая, как геометрия Евклида или
другие геометрии, которые возникли после трудов Ло¬
бачевского. Главная научная заслуга Лобачевского
заключается в расширении и углублении понятия о
пространстве и его свойствах. Лобачевский пока¬
зал, что логически мыслимы пространства, обладаю¬
щие другими свойствами, чем те, которые известны из
геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского
сумма углов треугольника менее двух прямых.
Какими же свойствами обладает то пространство,
в котором мы существуем, пока решить невозможно.
Геометрия Евклида удовлетворяет всем нашим прак¬
тическим потребностям и не находится в противоречии
с астрономическими наблюдениями. Но наши опыты и
наблюдения не могут охватить пространство в целом,
мы копошимся, так сказать, в очень ограниченной
части пространства. Ведь и кривая линия на очень
малом ее протяжении обладает свойствами прямой;
в самом деле, мы целимся из винтовки, на небольшом
расстоянии, по прямой линии и попадаем в цель;
между тем, пуля летит не по прямой линии, а по кри¬
вой линии-параболе, которая на короткой дистанции
почти не отличается от прямой.
Таким образом, Лобачевский, не разрушая прак¬
тического значения геометрии Евклида, поставил

вопрос о свойствах пространства в полном его объеме
и положил начало таким новым исследованиям мате-
.V
Н. И. Лобачевский.
матиков, коих не могло возникнуть, пока все думали,
что геометрия Евклида единственно возможная.
6

Жизнь великого геометра Николая Ивановича Ло¬
бачевского очень бедна внешними событиями. Он
родился в 1793 году, умер в 1856 году и всю свою
жизнь провел в Казани, где был профессором и рек¬
тором университета, занимаясь исключительно наукою.
Если бы Лобачевский не печатал своих трудов за
границею, то они не были бы оценены своевременно.
Русские математики, современники Лобачевского, не
поняли значения * воображаемой" геометрии и даже
глумились над нею. Прошло не мало лет, пока геоме¬
трия Лобачевского не получила всеобщего признания
и автор ее не был причислен к величайшим ученым
всех времен и народов.
А. Воронец.
ВВЕДЕНИЕ
При систематическом изложении начал геометрии
Евклида с целью школьного преподавания, рекомен¬
дуется в современных методиках геометрии не увле¬
каться „научной строгостью".
Но как только начинают систематически излагать
геометрию Лобачевского для „самого первоначального"
ознакомления с нею, так сейчас же считают долгом
излагать подробный и тонкий анализ основных поня¬
тий геометрии и пяти групп аксиом Гильберта,
как основу дальнейшего вполне строгого и научного
изложения.
В результате получается настоящий гранитный мо¬
нолит основ этой науки, о который и „ломает зубы"
большинство интересующихся этой геометрией.
В настоящей статье дано такое изложение первых
понятий и теорем геометрии и тригонометрии Лоба¬
чевского (по найденному автором методу), которое не
7

строже изложения учебников Давидова или Киселева
и не труднее его.
Б виду ограниченных размеров статьи, изложены
только те понятия и теоремы геометрии Лобачевского,
которые необходимы для вывода основных формул его,
тригонометрии.
Поэтому автор здесь совсем не касается вопросов:
о линии равных расстояний, об измерении площадей,
об идеальных точках и пучках и т. д.
Интересующиеся всеми этими вопросами найдут их
изложение в следующих книгах:
1) Проф. С, А. Богомолов. Эволюция геометрической
мысли. Ленинград, 1928, Ц. 1 р. 75 коп.
2) Академик Я. В. Успенский. Введение в не-ЕвклиФюу
геометрию Лобачевского — Больяи. Петроград, 1922.
3) Проф. Н. II. Иов л ев. Главные методы обоснованна гео¬
метрии Лобачевского. Самара, 1923.

1. ОБ АКСИОМАХ И ПОСТУЛАТЕ ЕВКЛИДА
В начале учебников Евклидовой геометрии (Кисе¬
лева и др.) обыкновенно приводятся аксиомы. Аксиомы
там определяются как истины, очевидные сами по
себе, а потому не требующие никакого доказательства,
и разделяются обыкновенно на 2 группы:
а) общие аксиомы, относящиеся ко всем вели¬
чинам, и
б) аксиомы геометрические, которые отно¬
сятся к величинам, имеющим протяжение.1
Общие аксиомы:
1. Две величины, равные порознь третьей, равны и
между собою.
2. Если к величинам равным прибавим или отнимем
от них величины равные, то и результаты получим
равные.
3. Если к величинам неравным прибавим или от¬
нимем от них величины равные, то и результаты по¬
лучим неравные.
Непосредственным следствием аксиомы (3) является
положение: целое больше своей части. [Если целое
0 = А-{-В, то Л-|-Б> O-j-Б, так как И > О, В = Б.]
Кроме этих аксиом, очень часто пользуются еще
одной аксиомой, которая, однако, в большинстве учеб¬
1 См. ниже 8 аксиому Евклида.
9

п
ников не приводится и которой пользуются как исти¬
ной, самой по себе очевидной. Это так называемый
„постулат Архимеда". Его можно формулиро¬
вать так:
Если даны две однородные (конечные) величины А
и а, то, как бы ни была мала а и велика А, всегда а
можно повторить слагаемым такое число (п) раз, что |
па будет больше А.
Геометрические аксиомы сводятся в учебни¬
ках к трем:
1. Аксиома о протяжениях. Пространство и
геометрические тела имеют 3 протяжения: длину, ши¬
рину и вышину; поверхности—два: длину и ширину;
линии — одно, а точки—ни одного.
2. Аксиома о неизменяемости геометриче¬
ских тел и фигур от перенесения из одного места
пространства в другое.
3. Аксиома о прямой. Прямая линия вполне
определяется двумя точками. (В этом виде аксиома
о прямой приводится в тех учебниках, которые пре¬
тендуют на большую „научность" изложения; более же
педагогично определять прямую, как „кратчайшее рас¬
стояние между двумя точками". В самом деле, даже
животное, чтобы скорее добежать до воды, бежит „пря¬
мо"; голубь летит домой по прямой линии.)
4. Аксиома о конгруентности (совместимости)
равных геометрических величин.
Но этих аксиом, которые считаются вполне очевид¬
ными, оказывается недостаточно, когда дело доходи
до учения о линиях параллельных.
Определяются параллельные линии, как прямые, ко¬
торые при своем продолжении никогда не пересека¬
ются.
Так называемые „прямые теоремы о парал¬
лельных линиях" могут быть формулированы так
10

Две прямые линии параллельны (т. е. никогда
не пересекутся):
1) если сумма внутренних (или внешних) одно¬
сторонних углов равна двум прямым углам; или
2) если внутренние (или внешние) накрест-
лежащие углы равны между собою; или
3) если соответственные углы равны.
Эти теоремы не требуют введения новой аксиомы,
но без нее нельзя доказать теоремы обратные:
Если две прямые линии параллельны, то:
1. Сумма двух внутренних (или внешних) одно¬
сторонних углов равна двум прямым углам.
2. Внутренние (или внешние) накрест-лежащие
углы равны.
3. Соответственные углы равны.
Чтобы доказать эти теоремы, а следовательно, и
все остальные свойства пространства, из них выте¬
кающие,— необходимо одну из этих теорем принять
за аксиому.
Впервые эта аксиома встречается в „Началах гео¬
метрии" знаменитого греческого геометра Евклида,
почему и получила название XI аксиомы или пя¬
того постулата Евклида.
*
В основание своих „Начал геометрии" Евклид по¬
ложил следующие постулаты и аксиомы:
Постулаты:
Допускается, что:
1. От одной точки до другой какой-нибудь можно
провести прямую линию.
2. Конечную прямую можно продолжить неопреде¬
ленно.
3. Из какой-нибудь точки, как из центра, произ¬
вольным радиусом можно описать круг.
11

Аксиомы:
1. Величины, равные одной и той же величине,
равны между собою.
2. Если к величинам равным придадим величины
равные, то суммы получим равные.
3. Если от величин равных отнимем величины рав¬
ные, то остатки получим равные.
4. Если к величинам неравным придадим величины
равные, то суммы получим неравные.
5. Если от величин неравных отнимем величины
равные, то остатки получим неравные.
в. Величины, двойные одной и той же величины,
равны между собою.
7. Половины одной и той же величины равны между
собою.
8. Величины, которые по наложении совмещаются,
равны между собою.
9. Целое больше своей части.
10. Все прямые углы равны между собою.
И. Если две прямые пересекаются третьей так,
что сумлт внутренних углов, лежащих по одну сто¬
рону третьей, меньше двух прямых углов, — то две
первые прямые, по достаточном продолжении, встре¬
тятся по ту сторону третьей прямой, на которой
сумма внутренних углов меньше двух прямых углов. 1
12. Две прямые линии не могут, заключать про¬
странства.
*
Первые 28 теорем первой книги „Начал" доказаны
Евклидом без помощи XI аксиомы, или так назы¬
ваемого „постулата Евклида", а потому эти теоремы
1 Эта аксиоыа, называемая еще „пятым постулатом" Ев¬
клида, может быть формулирована короче так:
Если сумма двух внутренних односторонних углов менее 2с1,
то прямые линии пересекутся со стороны этих углов.
ч

определяют свойства пространства, общие и геометрии
Евклида, и геометрии Лобачевского, построенной на
отрицании этого постулата.
В виду того, что постулат Евклида не обладает той
степенью очевидности, как остальные его постулаты
и аксиомы, — геометры почти 2000 лет напрягали все
усилия доказать этот постулат. Но все эти доказа¬
тельства неверны, так как опираются на какие-
нибудь свойства пространства, являющиеся непосред¬
ственными следствиями того же постулата Евклида.
Наконец, сто лет тому назад, великий русский гео¬
метр Н. И. Лобачевский построил новую гео¬
метрию, основанную на тех же аксиомах, что и Евкли¬
дова геометрия, кроме его XI аксиомы, замененной
Лобачевским другим постулатом.
Здесь мы изложим только „доказательство" посту¬
лата Евклида, данное знаменитым французским гео¬
метром Лежандром.
Одним из ближайших следствий постулата Евклида
является предложение о том, что сумма внутренних
углов во всяком треугольнике равна 2d; с этой сто¬
роны Лежандр и старается подойти к решению за¬
дачи. Прежде всего им доказана так называемая —
Первая теорема Лежандра. Во всяком треугольнике
сумма внутренних углов пли менее 2d, или равна 2d
Доказательство. Пусть на какой-нибудь прямой
отложено последовательно р равных отрезков АВ, ВС,
• . • , MN (черт. 1); на этих отрезках по одну и ту же
13

сторону прямой построено р равных треугольников,
третьи вершины коих находятся в точках а,Ъ,с,..., 1,т.
Отрезки аЪ, Ъс, ... , 1т, соединяющие эти вершины,
равны между собою, и их можно рассматривать, как
основания р других равных между собою треугольни¬
ков аВЪ, ЪСс, . . . , 1Мт.
Пополним наш чертеж еще треугольником mNu,
равным аВЪ. Означим угол Ап В треугольника АаВ
буквой а, а угол аВЬ в треугольнике ВаЪ — буквой [3.
Докажем, что угол а менее или равен углу [3.
В самом деле, если бы угол а был больше [3, то
из сравнения треугольников АВа. и аЪВ, имеющих по
две равных стороны, следовало бы, что большему углу
а противолежит и большая сторона: АВу>аЪ. Но ло¬
маная АаЪс,. . . , 1тhN больше прямой AN (равной
АВ-р), а потому
Aa-\-(ab)-p-\-nN> (АВ)-р, или, так как Aa=nN,
2Аа > (АЛ—аЪ) -р.
Но как бы ни была мала разность (АВ — аЪ), при
достаточно большом р всегда можем сделать произведе¬
ние (АВ—аЪ) -р сколь угодно большим, 1 а следова¬
тельно, и бблыпим 2Аа.
Таким образом, наше предположение о том, что угол
а.	> [З, привело нас к нелепости, и остаются предполо¬
жения, что угол а меньше или равен углу [3.
А так как угол аАВ — углу ЬВС, то угол [3 допол¬
няет сумму углов аАВ и аВА треугольника АВа до
2d. Следовательно, если угол а = [3, то сумма всех
трех углов в треугольнике АВа равна 2d\ она менее
2d, когда а < [3.
Вторая теорема Лежандра. Если в каком-нибудь
одном треугольнике сумма внутренних углов равна, 2d
1 В силу постулата Архимеда (см. выше).

пли менее 2d, то эта же сумма рата 2d или Менеё
2d во всяком другом треугольнике.
Доказательство. 1. Вели сумма углов в тре¬
угольнике ABC равна
2d, то она равна 2d и в
каждом из треугольни¬
ков (ADC, DC В, AED,
и т. д.), отрезанных
от треугольника ABC
(черт. 2).
В самом деле, если
бы суммы углов в тре¬
угольниках A CD и CBD
были соответственно
равны 2d — а и 2d — (3,
то сумма углов в треугольнике ABC была бы равна
сумме углов в треугольниках ACD и CBD без
углов ABC и CDB (рав¬
ных в сумме 2d), т. е.
равна 4 d—а—р—(ADC-\-
-\-CDB) = 2d — а — р.
Итак, сумма углов в тре-
в угольнике ABC менее
2d, что противоречит ус¬
ловию теоремы.
2.	Возьмем треугольник
ABC, в котором сумма
углов равна 2d. Высота
CD делит треугольник
ABC на два прямоуголь¬
ных треугольника ACD
и CDB (черт. 8). Берем
один из этих треугольников, например, ADC и дополняем
его равным ему треугольником САЕ до четыреугольника
ADCE, в котором, очевидно, все 4 угла будут прямые
15

Легко видеть, что, приставляя к прямоугольнику
ADCE равные ему четыреугольники, можно построить
четыреугольник KLMC любой величины, у кото¬
рого все углы будут прямые.
Четыреугольник KLMC разделяется его диагональю
на два треугольника, и сумма углов в каждом из них
равна 2d, а так как от каждого треугольника (по 1)
можно отделить сколь угодно малый треугольник с
суммой углов, равной 2d, то теорема доказана.
Доказтаельство постулата Евклида, данное Лежан¬
дром, основывается на постулате:
Через произвольную тонну, взятую внутри угла,
всегда можно провести прямую, пересекающую обе
стороны этого угла.
К треугольнику ABC прибавим равный ему тре¬
угольник CDB (черт. 4). Через точку D проведем пря¬
мую EF так, чтобы она встретила обе стороны АЕ и
AF угла А, например, в точках Е и F. Предположим,
3.	Если сумма уг¬
лов в одном тре¬
угольнике ABC ме¬
нее 2d, то она ме¬
нее 2d и во всяком
другом треуголь¬
нике.
А
Черт. 4.
В самом деле, если
бы сумма углов в
каком-нибудь тре¬
угольнике оказалась
равною 2d, то она
была бы равна 2d
и во всяком другом,
а следовательно, и в
треугольнике ABC,
что невозможно.

что суммы углов в треугольниках ABC, CBD, DBE и
CDF меньше 2d и соответственно равны:
2d — а, 2d—а,
2d — р, 2d — у.
Сложив эти суммы, мы получим:
8d— 2а—р — 7 < 8d—2a.
Но сумма смежных углов при каждой из трех вер¬
шин В, С я D равна 2d; следовательно, отняв от
суммы всех углов сумму смежных углов, равную 6d,
мы получим сумму остальных трех углов А, Е и F.
Таким образом, сумма углов в треугольнике AEF
равна:
2d — 2а. —- р — у < 2d — 2а.
Повторяя то же построение неопределенное число
раз, мы можем построить такой треугольник, сумма
углов в котором будет сколь угодно мала (даже от¬
рицательна), чего быть не может, так как все эти
треугольники имеют общий угол А.
Итак, сумма углов в треугольнике равна 2d, а это
равносильно постулату Евклида. 1
II.	РАЗЛИЧНЫЙ ФОРМЫ ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
Всякое предложение, доказательство которого невоз¬
можно без постулата Евклида, может заменить этот
постулат. Укажем ближайшие следствия этого посту¬
лата, которые можно рассматривать, как особые, зама¬
скированные, его виды:
1.	Перпендикуляр и наклонная к одной и той же
щтмой всегда пересекутся.
1 См. ниже, следствие 5 аксиомы о параллельных в геометрии
Лобачевского.
2 Н. Н. Иовлев.
ЦЕГПТАЛЬНМ
БИБЛИОТЕКА
тпстшл шз‘н
гор. Москвы
17

2. Через точку, взятую вне банной прямой, можно
провести к этой прямой только одну параллельную
линию.
3. Сумма внутренних углов в треугольнике равна
2d.
Чтобы убедиться в том, что из положения (3) сле¬
дует постулат Евклида, предположим противное, т. е.
пусть сумма углов в
треугольнике равна
2d, а постулат Евкли¬
да не справедлив.
Тогда линии ВС
и AD будут парал¬
лельны (черт. 5), а
сумма внутренних
односторонних углов
В и А будет меньше
2d, т. е.:
/_ BAD + /_ ABC = 2d - а.
(1)
Проведем через точку А еще другую секущую АС
так, чтобы она образовала с прямою ВС угол АСВ,
равный а; получим треугольник ABC, в котором со¬
гласно нашему допущению сумма углов равна 2d,
Т. 6.1
/_ ВАС+ L ЛВС+ а = 2d,
откуда:
1_ ВАС -)- l_ ABC —2d — а.	(2)
Сравнивая равенства (1) и (2), находим:
l_ BAD + /_ ABC — ВАС-l- L ЛВС,
или по сокращении:
l_ BAD = £_ ВАС,
т. е. часть равна целому, что невозможно.
№

Таким образом, если сумма углов в треугольнике
равна 2d, то отрицание постулата Евклида приводит
к нелепости; значит, постулат Евклида является след¬
ствием этого положения.
4. Сумма внутренних углов в четыреугольнике
равна 4d.
5. Параллельные линии равно отстоят друг от
друга.
Пусть BC\\AD, а В А и CD перпендикулярны к AD
(черт. 6).
Черт. е.
Перегнем фигуру по прямой ВА\ вследствие равен¬
ства прямых углов при точке А и равенства расстоя¬
ний между параллельными ВС и AD, стороны смеж¬
ных углов при точке В при этом перегибе также со¬
впадут, т. е. эти углы прямые. Так же докажем, что
углы при вершине С также прямые. Таким образом,
в четыреугольнике ABCD все углы прямые, т. е. сумма
их равна 4d, что равносильно постулату Евклида.
6.	Если две прямые параллельны в одном направле¬
нии, то они параллельны и в другом.
Потому что, если бы сумма внутренних односторон¬
них углов была при этом меньше 2d с одной стороны
секущей, то она должна быть менее 2d и с другой ее
*	19

стороны; но тогда сумма двух flap смежных углов
менее 4й, что невозможно.
7. Если внутренние накрест - лежащие (или со¬
ответственные) углы равны, то линии параллельны.
8. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же
прялюй сближаются в одном направлении и расхо¬
дятся до бесконечности в другом.
9. На плоскости для всякой фигуры можно по¬
строить ей подобную.
Если это положение спра¬
ведливо, то перпендикуляр
CD и наклонная АВ к одной
и той же прямой АС непре¬
менно пересекутся.
В самом деле, опустим
из точки Е на прямую АС
перпендикуляр EF (черт. 7);
получим прямоугольный
треугольник AEF. Как бы
велика АС ни была, она,
согласно допущению, может
быть стороной треугольника, подобного треугольнику
AEF, т. е. перпендикуляр CD всегда пересечет АВ, что
и требовалось доказать.
10. Через всякие три точки (L, М. N), не лежащие
на одной прямой, можно провести окружность. 1
В самом деле, отрезки LM и MN (черт. 8) будут
хордами искомого круга, а перпендикуляры АВ и CD,
восставленные из середины А и С этих хорд, должны
пересечься в центре этого круга. Но перпендикуляр CD
к хорде ME будет наклонной к хорде LM, а наклон¬
ная {CD) и перпендикуляр {АВ) к одной и той же
прямой (LM) всегда пересекаются только на плоскости
Евклида.1
Черт. 7.
1 См. ниже теорему 5.
20

11.	Расстояние между двумя параллельными ли¬
ниями конечно.
В самом деле, пусть А В || CD, а их секущая Л С J_ CD
М
Черт. О.
(черт. 9). Если положение (10) справедливо, то и угол
САВ должен быть прямой. Предположим, что он ту¬
пой: тогда, проведя АР J_ С А, увидим, что прямые А В
21

и АЕ расходятся до бесконечности; а следовательно,
до бесконечности расходятся и АВ с CD, так как рас¬
стояние от В до АЕ меньше расстояния от В до CD
(перпендикуляр BG на АЕ меньше перпендикуляра
ВН, опущенного на CD).
12.	У прямой существует только одна бесконечно¬
удаленная точка.
III.	ТЕОРЕМЫ, НЕ ЗАВИСИМЫЕ ОТ ПОСТУЛАТА ЕВКЛИДА
В ГЕОМЕТРИИ на плоскости:
1. Теоремы о вертикальных и смежных углах.
2. Теоремы о перпендикуляре и наклонных.
3. Условия равенства треугольников.
Ь.	Сложение, вычитание и умножение на целые
числа отрезков и углов.
5.	Деление отрезков и углов пополам (единство сере¬
дины отрезка и биссектрисы угла).
в.	Решения задач о вписывании в треугольник и
описывании около него окружности.
7. Отношение заключенных между двумя радиусами
дуг двух концентрических кругов не зависит от длины
дуг, а относятся такие дуги, как окружности тех же
радиусов.
8. Две прямые линии, перпендикулярные к третьей,
не пересекутся, и др.
В стереометрии:
1. Теоремы о перпендикуляре и наклонных к пло¬
скости.
2. Все перпендикуляры к прямой, восставленные из
одной ее точки, образуют плоскость.
3. Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости,
лежат в другой плоскости, перпендикулярной к первой.
22

4.	Если из какой-нибудь точки одной из граней пря¬
мого двугранного угла опустить на его ребро перпен¬
дикуляр, то последний будет перпендикуляром к дру¬
гой его грани и лежит в первой.
». Теоремы о равенстве линейных углов одного и
того же двугранного угла и о равенстве двугранных
углов, у которых равны их линейные углы.
6.	Всякая плоскость EFGH (черт. 10), проходящая
через перпендикуляр (EF) к плоскости (Р), сама пер¬
пендикулярна к этой плоскости и пересекает ее по
линии (FG), перпендикулярной к EF (т. е. угол EFG —
= 90°).
7. Если две плоскости перпендикулярны к третьей,
то линия их пересечения также к ней перпендику¬
лярна.
8. Пусть плоскости R и Q образуют с третьей пло¬
скостью Р два двугранных угла (черт. 10): прямой
(с ребром ВС) и острый (с ребром AD).
Возьмем на плоскости Q точку Е и опустим на
ребро ВС прямого двугранного угла перпендикуляр
EF, а через него проведем плоскость EFGH, пер пен-
23

г
дикулярную к ребру АВ другого, острого, двугран¬
ного угла.
По 6 угол EFG — 90J, а по 5 угол FGII будет л и-
нейным углом острого двугранного угла.
Этим построением мы в своем изложении будем не
раз пользоваться.
9.	Теоремы о равенстве трехгранных углов и др.
IV.	ПОПЫТКИ ДОКАПАТЬ ПОСТУЛАТ ГНКЛПДА
Прежде чем перейти к изложению „начал геометрии
Лобачевского", скажем несколько слов о некоторых
из бесчисленных попыток доказать „постулат Ев¬
клида".
Вера в незыблемость „Начал Евклида" была такова,
что в течение 2000 лет никто из геометров не сомне¬
вался в справедливости пятого постулата Евклида, и
все усилия самых знаменитых геометров, интересовав¬
шихся этим вопросом, были направлены на отыскание
доказательства этого постулата.
Весьма замечательно то обстоятельство, что самые
гениальные геометры при этих попытках допускали
иногда наивные ошибки; в общем, все их доказатель¬
ства всегда основывались явно или в скрытом виде на
одном из положений, равносильных постулату Евклида,
т. е. таких, допущение коих неизбежно влечет призна¬
ние постулата Евклида, и обратно.
Так, например, Посидоний (I век до нашей эры)
основывал свое доказательство на определении
параллельных, как линий, равноотстоящих друг
от друга; а Прокл (410 — 480 г.) принимал за оче¬
видное, что расстояние между параллельными ко¬
нечно.
Птоломей (II век нашей эры) основал свое дока¬
зательство на допущении (5), что если две прямые
24

параллельны в одном направлении, то они параллельны
и в другом; Нассир-Эддин (1201 —1274) считал оче¬
видным, что перпендикуляр и наклонная сближаются
в одном направлении и расходятся до бесконечности в
другом, — а Джон Валлис (1616—1703) основывал
доказательство на том, что всегда, „ очевидно можно
построить фигуру произвольной величины, подобную
данной фигуре.
Вольфганг Боль я и (1775 — 1856) в своем дока¬
зательстве опирался на „очевидное" предложение,
согласно коему через всякие три точки можно про¬
вести окружность, и т. д.
Таких „доказательств" постулата Евклида было дано
более сотни, но все они выводили постулат Евклида
из положений, которые сами являлись следствиями
постулата Евклида, т. е. выводили постулат Евклида
из самого же постулата Евклида.
Но это обстоятельство нисколько не смущало геоме¬
тров, и попытки продолжались непрерывно.
Особенно оригинальна была попытка патера Д ж е р о-
ламо-Саккери (1667 —1733), который основал свое
доказательство на том логическом законе, что ъиз
истинного положения нельзя вывести ложного след¬
ствия*.
Поэтому, принимая первые 28 предложений 1 кнпги
Евклида, Саккери отвергает постулат Евклида, как
ложный, и старается вывести из этого предположения
ложное следствие.
Такого следствия он не нашел, но зато вывел целый
ряд теорем, которые будут справедливы, если заменить
постулат Евклида его отрицанием, т. е. ряд тео¬
рем геометрии, основанной на отрицании постулата
Евклида.
Основной фигурой у Саккери является четыреуголь-
ник с двумя прямыми углами и двумя рав¬
25

ными сторонами, прилежащими к этим углам. Для
вывода свойств этой фигуры С а к к е р и пользуется
следующей леммой:
Предложение I. Если в четыреугольнике с пря¬
мыми углами А и В стороны AD и ВС равны, то
угол С = углу D; если же стороны AD и ВС неравны,
то из двух углов С и В больше тот, который про¬
тиволежит большей стороне.	^
Отсюда Сак к ер и выводит, прежде всего:
Предложение II. Прямая MN, соединяющая сере¬
дины сторон АВ и CD четыреугольника, перпендику¬
лярна к АВ и CD.	*
Затем он рассматривает 3 гипотезы относительно
углов С и D своего четыреугольника:
1. Гипотезу, прямого угла, когда углы С и D прямые.
2. Гипотезу тупого угла, когда они оба тупые.
3. Гипотезу острого угла, когда они острые.
Саккери доказывает (предложение IV), что при
допущении первой гипотезы АВ = CD, при второй
АВ > CD, а при гипотезе острого угла АВ < CD.
Обратное предложение также справедливо.
Далее (предложения V — VII) доказывается, что если
какая-нибудь из этих гипотез справедлива относи¬
тельно одного из четыреугольников Саккери, то она
будет справедлива и для всякого другого такого
четыреугольника.
В предложении IX доказывается, что при гипотезах
прямого, тупого и острого угла сумма углов
треугольника соответственно
равна 2d, более 2d и менее 2d.
В предложениях XI и XII говорится, что при гипо¬
тезах прямого и тупого угла перпендикуляр и
наклонная к одной и той же прямой всегда пересе¬
кутся.
26

В предложении XIII Саккери доказывает, что если
сумма внутренних односторонних углов менее 2d, то
при гипотезах прямого и тупого угла прямые линии
пересекутся, т. е. постулат Евклида справедлив при
обеих этих гипотезах, а потому сумма углов в тре¬
угольнике должна быть равна 2d и при гипотезе ту¬
пого угла, что противоречит предложению IX.
Таким образом, гипотеза тупого угла сама себя
уничтожает.
В дальнейшем усилия Саккери направлены к тому,
чтобы привести к такому же самоуничтожению и ги¬
потезу острого угла.
С этой целью он отмечает, что при этой гипотезе
перпендикуляр и наклонная к данной прямой (любой
длины) могут и не пересекаться (предложение XVII).
Далее он доказывает, что если две не пересекаю¬
щиеся прямые не имеют общего перпендикуляра, то
они веб более и более сближаются (предложение
XXIII) и расстояние между ними может сделаться
сколь угодно малым (предложение XXV), т. е. такие
прямые сближаются ассимптотически. 1
В заключение он приходит к выводу, что если бы
гипотеза острого угла была справедлива, то прямая
АК (черт. 11) имела бы с ассимптотически сближаю¬
щейся с нею прямой ВС общий бесконечно-удаленный
перпендикуляр DE, восставленный из их общей бес¬
конечно-удаленной точки Е. А это Саккери считает
невозможным.
Таким образом, „доказательство" Саккери основыва¬
ется на распространении на бесконечность из¬
вестных свойств пространства, имеющих место на. ко¬
нечном расстоянии.
1 Беспредельно, постепенно, не пересекаясь в пределах конеч¬
ных расстояний,
27

Впрочем, и сам Саккери не удовлетворяется своим
доказательством и пробует добиться своей цели при
помощи древнего определения параллельных линий,
как равноотстоящих.
Таким образом, стараясь доказать постулат Евклида,
Саккери вывел из его отрицания целый ряд
свойств геометрии не-Евклидовой.
Иоганн - Генрих Ламберт (1728 — 1777) в
третьей части своей „Theorie der Parallellinienu изла¬
гает свои исследования, сходные с исследованием
Саккери, только Ламберт за основную фигуру берет
/L
Черт. 11.
четыреуголыш к с тремя прямыми углами, при¬
чем относительно четвертого угла им высказываются
три гипотезы: прямого, тупого и острого угла.
Очевидно, что четыреугольник Ламберта представляет
половину четыреугольника Саккери.
Из гипотезы тупого угла Ламберт быстро выво¬
дит опровергающее ее следствие; но из гипотезы
острого угла ему такое следствие вывести не уда¬
лось. Зато, в своих поисках такого вывода, Ламберт
пришел к трем очень важным заключениям:
1.	Если гипотеза острого угла справедлива, то сумма
углов в треугольнике меньше 2d, и если мы недоста¬
ток (дефицит) суммы углов в треугольнике ABC до
28

id назовем о, то этот дефицит 2 возрастает пропор¬
ционально 71. ющадп треугольника, т. е.
если 2d — А —В — С — Ь, то \АВС = к-ь,
где к постоянный множитель пропорциональности.
2.	Если гипотеза острого угла справедлива, то су¬
ществует так называемая „абсолютная единица длины
При изучении каждого конкретного случая мы во¬
обще за данные принимаем определенные фи¬
гуры определенных размеров, которые меняются
в каждом отдельном случае. Но, кроме этих пере¬
менных данных, при решении каждого геометриче¬
ского вопроса всегда применяются так называемые
основные неизменяемые геометрические образы: прямые,
плоскости, пучки лучей и плоскостей и т. д.
Если какое-нибудь построение существенно связано
с данными переменными, то оно называется относи¬
тельным; напротив, построение называется абсолю7п-
ным, когда оно связано только с неизменными величи¬
нами (основными образами), или в том случае, когда
оно, хотя и зависит от данных переменных, но зави¬
симость эта только кажущаяся, т. е. когда построение
остается неизменным при изменении этих переменных.
Согласно этому определению, измерение углов есть
операция абсолютная, так как измерять углы можно,
беря их отношение к углу Ы, т. е. к целому пучку
лучей (основному образу).
„Полный угол вокруг точкиа, т. е. 4А, и является,
таким образом, абсолютной единицей углов.
Но измерение отрезков в геометрии Свклида есть
операция относительная. В самом деле, такой абсо¬
лютной меры, которая бы зависела только от какого-
нибудь основного образа, нет и быть не может на пло¬
скости Евклида вследствие существования на ней по¬
добных фигур.
29

При отрицании же постулата Евклида (гипотезе
острого угла) подобных фигур на плоскости не будет,
а следовательно, должна существовать и абсолютная
мера отрезков.
Чтобы построить абсолютную меру отрезка, можно
построить на нем равносторонний треугольник.
Так как „недостаток“ суммы углов треуголщика
пропорционален его площади, то очевидно, что каждому
отрезку у нас будет соответствовать свой угол, и
обратно.
Таким образом, длина каждого отрезка выразится
числом; но эти числа не удовлетворяют законусло-
ж е н и я, т. е. не будут складываться, когда склады¬
ваются соответствующие им отрезки, так как, чем
больше отрезок, тем меньше соответствующий ему угол.
Но мы можем определить некоторую функцию угла,
обладающую свойством слагаемости, и эту функцию,—
а не самый угол, — будем считать „абсолютной мерой
соответствующего отрезка
„Абсолютной единицей меры“ будет служить отре¬
зок, для которого эта функция принимает значение 1.
Из сказанного очевидно, что, отрицая существование
„абсолютной единицы", мы должны были бы, вместе с
Ламбертом, отбросить и „гипотезу острого угла".
3.	Третий свой замечательный вывод Ламберт
выразил такими словами:
„Я почти принужден притти к заключению, что
третья гипотеза находит себе применение на мнимой
сфере".
В настоящее время установлено, что сам Н. И. Ло¬
бачевский сначала был убежден в справедливости
постулата Евклида, и пришел к мысли построить гео¬
метрию на отрицании этого постулата только после
долгих размышлений, когда тщательное изучение всех
возможных доказательств этого постулата привело его
30

^ к заключению, что все они ошибочны и что этот посту¬
лат доказан быть не может.
Тогда Лобачевский стал выводить из отрицания
постулата Евклида следствия уже не для того,
чтобы получить нелепость, доказывающую справед¬
ливость постулата Евклида, а будучи вполне убежден
в том, что такая система логически так же пра¬
вильна, как и система геометрии Евклида.
Почти одновременно с Лобачевским построил такую
же геометрию венгерский ученый Больяи.
Знаменитый Гаусс в письмах к Шумахеру по по¬
воду работ Лобачевского признавался, что ему давно
приходила в голову эта мысль, но боязнь расшевелить
„осиное гнездо" верующих в постулат Евклида гео¬
метров помешала ему опубликовать свои взгляды,
кои он сохранял про себя, чтобы не прослыть выжив¬
шим из ума стариком.
Новая геометрия Лобачевского была встречена со¬
временниками насмешками и издевательствами, и са¬
мые добродушные из них смотрели на нее как на
причуду большого барина, извинительную для ректора
университета и помощника попечителя округа. Даже
такой крупный математик, как Остроградский, не
мог понять важности великого открытия Лобачевского
и относился к нему скептически.
V.	ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ II НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ.
БЕСКОНЕЧНО-УДА Л Е НН Ы F ТОЧКИ ПРЯМОЙ
1.	Возьмем прямую ВС (черт. 12), точку А вне ее и
опустим из А на ВС перпендикуляр АВ, длину кото¬
рого обозначим через р. Затем проведем через А на¬
клонную АС- Если угол ВАС, образуемый этой наклон¬
ною с перпендикуляром АВ, станем увеличивать, то
точка С пересечения этой наклонной с прямою ВС
станет удаляться в направлении слева направо.
31

г
Очевидно, настанет момент, когда прямая АС пере* f
станет пересекать ВС в этом направлении (слева на¬
право). Таким образом, существует два рода прямых,
проходящих через точку А: одни из них встречают
прямую ВС в направлении слева направо, а другие не
встречают; на границе же между теми и другими
должна лежать такая прямая АТ), которая отделяет
прямые, пересекающие ВС от прямых, ВС не пересе¬
кающих.
Говорят, что такая пограничная прямая AD пересе¬
кает ВС в ее бесконечно-удаленной точке Б, лежащей
в направлении слева направо. Прямая AD располо¬
жена в плоскости, определяемой точкою А и прямою
ВС. Поэтому можно сказать, что:
Если прямая (АВ) имеет с плоскостью две общие
точки: одну (А) на конечном расстоянии, а другую
(В) — в бесконечности; то прямая, лежит на этой
плоскости всеми своими точками.
2.	В силу симметрии очевидно, что в направлении
справа налево расположена другая бесконечно-удален¬
ная точка Б' прямой ВС, симметричная с Б, а через
точки А п Б' проходит другая пограничная прямая
32
Е
Е
В С С'	С"
Черт. 12.
1

\ АБ , отделяющая прямые, проходящие через А и встре-
\ чающие ВС в этом направлении, от прямых, ее в этом
направлении не пересекающих.1
'■ На плоскости Евклида бесконечно-удаленные точки
Ь и Б' одной прямой сливаются в одну точку, почему
и прямые АБ и А Б' тоже совпадают в одну прямую,
которая будет, очевидно, перпендикулярна к АВ и па¬
раллельна прямой ВС.
В геометрии же Лобачевского точки Б и Б' раз¬
личны, прямые А Б и А Б’ будут наклонными к пер¬
пендикуляру АВ и называются параллельными к ВС,
первая {АБ) — в направлении слева направо, а вторая
{АБ') г-справа налево.
А
Черт. 13.
Теорема 1. Через точку А и через бесконечно-удален¬
ную точку Б {расположенную на какой-нибудь пря¬
мой ВС) можно провести только одну прямую линию.
Это будет прямая, параллельная линии ВС в том
направлении, в котором лежит бесконечно-удаленная
точка Б.
Теорена 2. Если две прямые (АВ и ВС) имеют
одну общую бесконечно-удаленную точку Б, то они
лежат в одной плоскости.
В самом деле, возьмем на прямой АО какую-нибудь
1 Прямая AD проходит через Б, а потому ее можем также обо¬
значать АБ, а прямую АТУ обозначать АБ', так как она проходит
через Б'.
3 В. Н, Иовлеч.	33

точку А (через 13); эта точка вместе с прямой ВС
определяет плоскость, с которой прямая AD имеет две /
общие точки А и Б, а потому лежит на ней всеми
своими точками.
Углы ВАБ и ВАБ', образуемые прямыми, параллел1-
ными к ВС, с перпендикуляром АВ, равны и называ¬
ются углами параллельности перпендикуляра А В
(или р).
Следствие. Веяния прямая АЕ, лежащая внутри
угла параллельности ВАБ (или ВАБ'), пзресечет^гря-
,иую ВС.	'
VI.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ НА ПЛОСКОСТИ ЛОЬАЧЕВСКОГО
1
Аксиома. Каждая прямая имеет две бесконечно¬
удаленные точки.	'
Следствия. I. Через точку Л, взятую в не'прямой
ВС, можно провести две прямые, параллельное ВС в
двух противоположных направлениях.	,	\
Эти прямые соединяют точку А с двумя бесконечно -
удаленными точками Б и Б‘ прямой ВС.
2. Если прямая AD параллельна прямой ВС в одной
своей точке, например, в А, то она параллельна ей
во зеех остальных своих точках.
Это значит, что если мы возьмем на AD какую-ни¬
будь другую точку Е и проведем через нее прямую,
параллельную ВС в том же направлении, что и
AD, то она совпадет с AD.
В самом деле, обе прямые проходят через две точки:
точку Е и бесконечно-удаленную точку Б, а потому
совпадут.
3. Параллельность двух прямых взаимна, т. е., если
AD || ВС, то и ВС || AD в том же направлении.
Это очевидно из того, что в направлении параллель¬
ности бесконечно-удаленная точка (Б) у них общая.
34

i.	Две прямые (1) и (2j, параллельные третьей пря¬
мой (3) в одном и том же направлении, параллельны
и между собою в том же направлении.
(Три прямые могут лежать в одной плоскости или в
разных.)
В самом деле, прямые (1) и (2) параллельны прямой
(3) в одном и том же направлении; значит, они прохо¬
дят через одну и ту же бесконечно-удаленную точку
а (по теореме 2) должны лежать в одной плоско¬
сти.1 А такие две прямые должны быть параллельны
в том направлении,
где лежит их общая
бесконечно удален¬
ная точка Б, что
и требовалось до¬
казать.
5.	Сумма внутрен¬
них углов в треуголь¬
нике на плоскости
Лобачевского менее
2d.
Мы уже знаем, 2 что сумма эта не может быть бо¬
лее 2d; теперь докажем, что на плоскости Лобачев¬
ского она не может быть равна 2d.
Предположим противное, и пусть AD || ВС (в напра¬
влении слева направо), а АВ — их секущая. Так как
постулат Евклида на плоскости Лобачевского не верен,
то сумма внутренних односторонних углов BAD и АБС
должна быть меньше 2d на некоторый угол а, т. е.
BAD + ABC = 2d — а.	(1)
Проведем через А (черт. 14) еще другую секущую
АС так, чтобы она образовала с АВ угол АСВ, рав¬
1 Если уже не лежат в одной плоскости с прямой (3) по условию.
2 Первая теорема Лежандра,
*	33

ный а. Получим треугольник ЛВС, в котором по пред¬
положению сумма внутренних углов равна 2d, т. е.
ВАС + ABC-\-а = 2d,
откуда:
В ACABC = 2d —а.	(И)
Сравнивая равенства (I) и (И), находим:
BAD + АБС = ВАС -f ABC,
откуда:
BAD = ВАС,
т. е. часть равна целому, что невозможно.
В
Таким образом, на плоскости Лобачевского сумма
углов в треугольнике не может быть ни больше 2d,
ни равна 2d; следовательно, она может быть только
меньше 2d, чтб и требовалось доказать.
6. Сумма углов в четыреугольник? на плоскости
.Лобачевского менее 4d.
7. На плоскости Лобачевского нет подобных фигур.
В самом деле, предположим, что на плоскости Лоба¬
чевского существует два подобных треугольника ABC
и abc, причем углы £тА — £та,£_В = 1_Ъ, L.C = 1_с
(черт. 15). Наложим меныпий треугольник аЪс на
больший треугольник ABC так, чтобы их равные углы
зь

А и а совпали; тогда сторона Ьс займет положение В'С
и /_Ъ = /.АВ'С' — /_В; /_с= £_АСВ' = /_С.
Таким образом, в четыреугольнике ВСС'Е сумма
всех внутренних углов равна 4 d:
L в+L с+L1+L 2 = L ав'с + /. асе +
+ Z.l + Z.2 = 4«f,
а это возможно только на плоскости Евклида.
Теорема 3. С увеличением длины перпендикуляра р
до бесконечности соответствующий ему „угол парал¬
лельности“ уменьшается до нуля-, с уменьшением р
до нуля, угол, параллельности увеличивается до ” .
Короче: угол параллельности перпендикуляра р есть
функция длины этого перпендикуляра, которую Лоба¬
чевский назвал П(р); причем П(оо) = 0, 11(0) = ”.
Доказательство. 1. Прежде всего нам надо дока¬
зать, что если длина перпендикуляра АВ к прямой Аа
(черт. 16) будет принимать возрастающие значения:
А В < АС < AD < . . . , то соответствующие этим дли¬
нам углы параллельности будут все уменьшаться, т. е
АВЬ>АСс р ADd > ...
В самом деле, возьмем наклонные BE и ЕС. Оче¬
видно, что угол АВЕ больше угла АСЕ. Если станем
37

А
точку Е удалять в бесконечность, то BE н СЕ будут
стремиться слиться с параллельными ВЬ п Се, но
всегда угол АВЕ > АСЕ.
Следовательно, и предел угла АВЕ больше предела
АСЕ, т. е. угол АВЪ > АСс. (Равны эти углы быть не
могут, ибо это было бы равносильно постулату
Евклида.)
2. Легко убедиться и в том, что предел углов парал¬
лельности ABb, АСс, Aikl... есть нуль.
Предположим противное, что этот предел больше нуля,
а следовательно, больше какого-нибудь другого угла а,
т. е. что П(АВ) > а, как
бы перпендикуляр АВ
ни был велик.
Строим угол С'АС=
= 2а (черт. 17); на его
биссектрисе берем от¬
резок любой длины АВ
и проводим прямую
СВС J_AB. По усло¬
вию, всегда П(АВ) > а;
поэтому линии АС и АС
всегда будут лежать
внутри угла П{АВ) и
(следствие теоремы *2)'должны пересечь прямую СВС.
Таким образом, в удвоенном угле 2а — САС через
всякую точку В его биссектрисы АВ можно провести
прямую СС _\_АВ, встречающую обе стороны угла С АС.
Но на этом допущении Лежандр основал свое дока¬
зательство постулата Евклида. Следовательно, предел
угла параллельности при АВ— ооне может быть
больше 0, а потому он равен нулю.
3. Легко убедиться и в том, что предел ЩАВ) ра¬
вен | , когда АВ стремится к нулю.
MejjT. 17.
38

В самом деле, когда точки А и В совпадут (черт. 16),
прямая ВЬ будет иметь с Аа две общие точки: А и
бесконечно-удаленную Б; а потому ВЬ и Аа совпадут,
и так как Аа\_АВ, то и BbJ_ AB, т. е. угол П(О)
будет прямой, чтб и требовалось доказать.
Обратная теорема очевидна.
Следствия. 1. Параллельные линии ассимпшо-
тически сближаются в направлении их параллельно¬
сти (вплоть до их пересечения в бесконечно-удаленной
точке) и расходятся до бесконечности в направлении
противоположном.
А
В самом деле, пусть АБЦВВ, АВ^ВС и DCJ_BC
(черт. 18). Требуется доказать, что DC < АВ. Очевидно,
что угол А = Т1(АВ), угол СВБ = ll(CD), и если мы
докажем, что угол СПБ > А, то (теорема 3) тем самым
докажем, что CD < АВ.
Но угол CDB не может быть равен углу А, так как
тогда сумма внутренних углов в четыреугольнике ABCD
была бы равна Ad. 1
Тем более, угол СПБ не может быть менее угла А,
так как тогда сумма внутренних углов в четыреуголь¬
нике ABCD стала бы больше Ad.
1 Углы В и С прямые, а угол А=СВВ дополнял бы угол ABC
до 2d.
39

Следовательно, угол С'1)Вугла А, а потому и
ПС - АВ.
В том, что прямые AD и ВС расходятся до беско¬
нечности в направлении, противоположном направле¬
нию их параллельности, легко убедиться, восставив
перпендикуляр в точке D, например, DE DC. Сто¬
роны угла ADE расходятся до бесконечности, и в
то же время DE не пересечет никогда ВС, так как
обе эти линии перпендикулярны к DC. 1 Очевидно,
что и AD с ВС расходятся до бесконечности, что и
требовалось доказать.
ВНн	О
Черт. 19.
2.	Если перпендикуляр и наклонная к одной и той
же прямой не пересекаются и не параллельны, то они
расходятся до бесконечности в одном направлении, а
в другом — сначала сближаются до известного пре¬
дела, именно — до точек пересечения их с их общим
перпендикуляром, — а дальше начинают расходиться
до бесконечности.
а.	В самом деле, сближаться беспредельно такие
прямые не могут, так как они не параллельны; следо¬
вательно, они могут сближаться только до известного
предела НЕ (черт. 19), а после того должны расхо¬
диться, т. е. расстояние между ними будет увеличи-
] См. теоремы, независимые от постулата Евклида (8).
40

ваться, пока снова не сделается равным АВ. Пусть
CD = АВ, (CD _J_ BD).
б. Разделим BD пополам ц восставим перпендику¬
ляр НЕ; перегнем фигуру по этому перпендикуляру.
Тогда четыреугольник HDCE совпадет с ВНЕА, а потому
смежные углы СЕН и ЛЕН равны, т. е. тоже прямые.
Таким образом, НЕ будет общим перпендикуляром к
линиям АС и BD.
в. В том, что НЕ будет меньше всякого другого пер¬
пендикуляра KL, легко убедиться, разделив КН попо¬
лам, восставив из середины КН перпендикуляр к
КН и перегнув четыреугольник KHEL по этому пер¬
пендикуляру. Если НЕ = KL, то НЕ совпадет с KL,
а прямой угол HEL совпадет с углом KLE, т. е. все
4 угла в четыреугольнике KHEL будут прямые, что
равносильно постулату Евклида, который на плоскости
Лобачевского не имеет места.
г. То, что АЕ и ВН расходятся до бесконечности,
легко доказать так же, как и в случае параллельных
линий (см. следствие 1).
3.	Итак, на плоскости Лобачевского две прямые,
перпендику. гярные к третьей, расходятся до бесконеч¬
ности в обоих направлениях.
Теорема 4. Если две плоскости „а“ и „Ь“ пересекают,
третью плоскость „с“ по двум параллельным прямы.и
АТ) и ВС так, что сумма двух внутренних односто¬
ронних двугранных углов, образуемых этими плоско¬
стями, меньше 2d, то плоскости ,//“ и. „Ь“ Пересе-
кутся, причем линия их пересечения будет парал¬
лельна AD и ВС.
Построение. Для простоты предположим, что
двугранный угол (Ъ, с) — прямой, а угол (а, с) — острый
(черт. 20). На плоскости Ъ проведем прямую ЕЕ J_ ВС,
а через FE— плоскость EFGJ A_AD. От пересечения
плоскости EFGJ с плоскостями а, Ь и с получим:
4J

1)	прямой угол EFG и 2) угол FGJ, который будет
линейным углом острого двугранного угла (а, с).1
Доказательство 1. Параллельные прямые AD
и ВС ассимптотически сближаются в направлении их
параллельности. Это значит, что перпендикуляр FG
(к линии AD) будет уменьшаться до нуля, если пер¬
пендикуляр FE, а с ним и плоскость EFGJ, мы станем
Черт. 20.
передвигать по направлению параллельности линий
AD и ВС.
Но по мере уменьшения FG соответствующий ему
угол параллельности n(F(?) будет увеличиваться до
прямого угла, тогда как острый угол FGJ остается
неизменным, ибо это линейный угол двугранного угла
(а, с).
1 См. теоремы, независимые от постулата Евклида, теорему 8,
42

Следовательно, всегда можно передвинуть плоскость
EFGJ настолько, чтобы угол параллельности ll(FG)
сделался больше острого угла FGJ, т. е. чтобы пря¬
мая GJ оказалась внутри угла П(FG) — PGF. Но
тогда (теорема 2, следствие) перпендикуляр FE и
наклонная GJ непременно пересекутся в некоторой
точке М, а с ними пересекутся по некоторой прямой
МП и плоскости „Ъ“ и „п“, на коих они находятся,
2. Докажем теперь, что МП параллельна АТ)
и ВС.
В треугольнике MFG угол MFG — прямой, а угол
MGF есть линейный угол двугранного угла (а, с); оба
эти угла не изменяются от перемещения треугольника
MFG в направлении параллельности прямых АВъВС-,
сторона же FG при таком передвижении уменьшается
до нуля. Очевидно, что и другие две стороны этого
треугольника также в пределе обратятся в нуль, т. е.
прямая МП ассимптотически приближается к АВ и ВС,
т. е. будет им параллельна, что и требовалось дока¬
зать.
Следствия. 1. Если две плоскости и про¬
ходящие через две параллельные линии, не пересе¬
каются между собою, то внутренние односторонние
двугранные углы, образуемые этими плоскостями с
плоскостью, в которой лежат параллельные линии,
дают в сумме 2d.
В виду аналогии этого предложения с постулатом
Евклида, такие две плоскости „аи и „Ь* называются
„параллельными “.
2. Через прямую (1), параллельную двум данным
прямым (2) и (3), параллельны-м между собою, можно
провести только одну плоскость {а), не встречающую
плоскости (2, 3) данных параллелей.
3. Сумма внутренних двугранных углов шрехгранной
фигуры, образованной тремя плоскостями, пересекаю¬
43

щимися по трем параллельным прямым (1). (2) и (3),
равна 2d. 1
Такая фигура представляет, очевидно, трехгранный
угол с бесконечно-удаленной вершиной (черт. 21).
Через одну из параллелей, например (1), проведем
плоскость (а) „параллельную" плоскости (2, 3), опреде¬
ляемой двумя другими параллелями (2) и (3).
Секущие плоскости (1, 2) и (1, 8) образуют с „парал¬
лельными “ плоскостями (а) и (2, 3) равные внутренние
накреет-лежащие двугранные углы: С = А', В=А".
D
Двугранные же углы А' и А" (а следовательно, и
С а В) образуют с двугранным углом А развернутый
двугранный угол, равный 2d, что и требовалось до¬
казать.
VII.	ПРЕДЕЛ ЬНЛЖ ОКРУЖНОСТЬ
Теорема 5. На плоскости Лобачевского не через вся¬
кие три точки, не лежащие на одной пряной, воз¬
можно провести окружность.
1 Построение и доказательство этой теоремы совершенно анало¬
гичны тем, при помощи которых доказывается равенство 2d суммы
углов в треугольнике на плоскости Евклида.
44

В самом деле, возьмем какие-нибудь 3 точки Р, М и Я,
не лежащие на одной прямой (черт. 22). Если из
середин прямых РМ
и МН восставим пер¬
пендикуляры ВС и
AD, то они пересе¬
кутся в центре К
круга, проходящего
через точки Р, М
и И.
Но прямые:	ВС
(перпендикулярная
к РМ) и AD (на¬
клонная к РМ) на
плоскости Лобачев¬
ского не всегда пе¬
ресекаются, а сле¬
довательно, и центр
К искомого круга не всегда существует.
Следствии. — Возьмем AF _]_ ВС и круг с центром О
Черт. 23.
на AF, касающийся ВС в точке А (черт. 23). Если мы
станем удалять центр этого круга по прямой AF в

бесконечность, то на плоскости Евклида наш круг в
пределе сольется с его касательной ВС', а на плоскости
Лобачевского этого слияния не произойдет, и круг
обратится в пределе в кривую линию, называемую
.предельной кривой“ или „предельным кругом", Иоро-
циклом“.
Прямая АВ называется осью предельной линии;
так же называют всякую прямую, параллельную АВ
в том направлении, где лежит центр Б предельной
линии.
Из этого определения „предельной линии" легко
выводятся ее основные свойства:
Свойства окруж¬
ности.
1. Всякий отрезок мо¬
жет быть сделан радиу¬
сом -круга (третий посту¬
лат Евклида).
2. Прямая, перпенди¬
кулярная к радиусу круга
в его конце, касается
круга.
3. Три точки окружно¬
сти не могут лежать на
одной прямой, почему
прямая не может пересе¬
кать окружность более
ш чем в двух точках.
4. Круг симметричен
относительно его диа¬
метра.
Свойства „предель¬
ной линии".
1. Всякая прямая явля¬
ется осью некоторой пре¬
дельной линии.
2. Прямая, перпенди¬
кулярная к оси предель¬
ной линии в точке их
пересечения, касается ее
в этой точке.
3. Три точки предель¬
ной линии не могут ле¬
жать на одной прямой,
почему прямая не может
пересекать предельную
линию более чем в двух
точках.
4. Предельная линия
симметрична относитель¬
но ее оси.

Докажем последнее. Каждой точке кругов (и, Ъ,с,. . .),
расположенной справа от оси АБ (черт. 23), соответ¬
ствует слева симметричная точка (а1, Ь', с', . . . ,,
совпадающая с правой при перегибе фигуры по АБ,
так что: Da = JJn', Db = Db', Dc = Dc.', . . . , т. е. две
переменные величины (полухорды) при всех своих
изменениях равны; а следовательно, и пределы их
Dd и Dd' тоже равны, т. е. точка d предельной линии
симметрична с d!, что и требовалось доказать.
Таким же образом легко вывести из соответствую¬
щих свойств круга и следующие свойства пре¬
дельной линии:
5. Если концы дуг предельной линии при наложе¬
нии совпадут, то и дуги совпадут.
6. Все предельные линии при наложении совпадают
(как окружности с равными — бесконечно-большими —
радиусами).
7. Бблыней хорде соответствует ббльшая дуга.
8. Всякая прямая, параллельная оси предельной ли¬
нии, обладает свойствами оси и также называется
осью этой линии.
9. Все оси („радиусы") предельной линии парал¬
лельны (они сходятся в ее бесконечно-удаленном
центре).
10. Хорда предельной линии образует равные углы
с осями („радиусами"), проходящими через концы этой
хорды.
11. Предельная линия есть геометрическое место та¬
ких точек, что отрезок, соединяющий любые две из
них, образует равные углы с прямыми, проведенными
через его концы и через бесконечно-удаленную точку Б
(т. е. параллельно одной и той же прямой в одном и
том же направлении).
12. Через две точки можно провести две предельных
линии.
47

13.	Перпендикуляр, восставленный из середины
хорды предельной линии, параллелен оси (т. е. прохо¬
дит через бесконечно-удаленный центр этой предель¬
ной линии).
Определении. Две не совпадающие предельные
линии, имеющие общие оси (и общий бесконечно-уда¬
ленный центр), мы будем называть концентрическими.
Из элементарной геометрии известно, что если даны
концентрические окружности, то их дуги, заключен¬
ные между одинаковыми радиусами, пропорциональны:
Яти соотношения имеют место, как бы мы ни уве¬
личивали радиусы концентрических кругов. Следова¬
тельно, будут равны и пределы этих отношений, т. е.
справедлива такая:
Теорема 6. Дуги концентрических предельных линий,
заключенные между их осями, пропорциональны.
Следствия. 1. Переставив средние члены в пер¬
вой из пропорций (*), получим:
Дуги Л В и ВС — произвольной длины, но они отстоят
от соответственных дуг AjBi и В{Сi на одинаковых
расстояниях 1 т. е.
Если это расстояние изменится, то изменится и зна¬
чение отношения дуг (X). Таким образом, отношение
1 Отрезки радиусов, заключенные между концентрическими
кругами, всегда равны, а следовательно, равны и пределы их,
т. е. отрезки параллельных осей, заключенные между концентри¬
ческими предельными дугами.
ЛИ Л, В,
(*)
ВС ~ в, с,
АА! = ВВ{ = СС,
48

это: а) не зависит от длины дуг и б) есть функций
расстояния между ними.
2.	Возьмем две концентрические предельные дуги
АВ и АпВ„, заключенные между их осями АА„ и ВВ„
(черт. 24). Разделим расстояние АА„ — х между этими
дугами на п равных частей, каждую из которых озна¬
чим буквой а. Очевидно, что х — па.
Через точки деления Аи А2,..., А„-1 проведем кон¬
центрические предельные дуги:
A,BU A^Bz,..., Au—i, В„ i.
Так как расстояния между всеми этими дугами
равны а, то (теорема 6, следствие 1) и отношения
между соседними дугами также все равны, т. е.
, AjBi 	Аг-2		, An_i
A& - A.,Bl - A> ■ ■ An_1 Br _j - ~A'Bn -
Перемножая эти равенства почленно и сокращая
дроби, получим:
АВ 71	А	В	'
, —ь = *"i или	— =	—	л'',	так	как	па	—	х	—	АА„.
я п	п	я
4 Н. Н. Иовлвв.
49

VIII.	ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Если *1ы станем плоскость чертежа 23 вращать во¬
круг прямой AF, то прямая АС, перпендикулярная к
AF, опишет плоскость, круги опишут шары, касаю¬
щиеся этой плоскости в точке А, а предельная линия
опишет „предельную поверхность", которая, очевидно,
также касается плоскости в точке А. Таким образом,
„предельную поверхность" можно рассматривать как
предел шара, когда его радиус увеличивается до бес¬
конечности, а потому свойства „предельной поверхно¬
сти" легко вывести из свойств шара тем же перехо¬
дом к пределу, как и свойства предельной линии,
например:
1. Всякая прямая, параллельная оси предельной по¬
верхности, обладает свойствами оси и также называ¬
ется осью этой поверхности.
2. Предельная поверхность симметрична относительно
любой ее оси и относительно всякой плоскости, про¬
ходящей через ось.
3. Хорда предельной поверхности образует равные
углы с осями, проходящими через ее концы.
4. Предельная поверхность есть геометрическое место
таких точек, что отрезки, соединяющие эти точки, об¬
разуют с осями, проходящими через них, равные углы.
5. Плоскость, проведенная перпендикулярно к хорде
из ее середины, пройдет через ось предельной поверх¬
ности (выходящую из этой середины).
6. Сечение предельной поверхности плоскостью-есть
предельная линия, если плоскость проходит через
какую-нибудь ось этой поверхности, 1 и круг —в про¬
тивном случае.
1 Предельная линия будет „окружностью большого круга" на
предельном шаре, а плоскость, проходящая через ось предельного
шара, будет „диаметральной плоскостью" этого шара.

>в
7.	Через каждые две точки предельной линии можно
провести только одну предельную дугу.
Теорема 7. Даны прямые	с
АВ || ВБ || СВ (черт. 25). Если
почки А, В и С выбраны на
пих так, что /_ БАВ— /_ ВВА,
/_БВС=/_БСВ, то и I_БАС=
= L ВС А.
Все эти теоремы, обратятся в
соответственные теоремы о ша¬
ре, если заменим в них: ось —
задиусом, предельную поверх¬
ность — поверхностью шара,
предельные дуги — дугами
больших кругов шара (точка Б
будет тогда в центре шара),
Черт. 25.
параллельные пря¬
мые (в теореме 7) —
радиусами шара.
Теорема 8. Черев
всякие три точки
(А, В, С), не лежащие
на одной прямой,
моэюно провести
только две предель¬
ных поверхности.
Перпендикуляр
DETJ к плоскости
треугольника ABC,
восставленный из
центра Еописанного
около него круга, есть геометрическое место центров ша¬
ров. проходящих через точки А, В, С (черт. 26). С уда¬
*	31

лением центра этих шаров в бесконечность по напра¬
влению ЕВ' шар обратится в предельную поверхность
с осью ЕВ'\ удаление центра в противоположном на¬
правлении дает вторую предельную поверхность с
осью ED. В обоих случаях предельные поверхности
будут единственными, так как переменная величина
может стремиться только к одному пределу.
В геометрии Евклида обе предельные поверхности
сольются с плоскостью треугольника ABC.	^
Углом между дву¬
мя предельными ли¬
ниями ВА' и ВС',
1 »
расположенными на
предельной поверх-
^ ности, называется '
угол ABC между ка¬
сательными К НИМ]
в точке их пере¬
сечения (черт. 27). ■
А так как эти ка-!
сательные АВ и ВС,
ч 27	перпендикулярны	к	!
оси поверхности ВБ, }
то углом между двумя предельными линиями ВА'
и ВС можно считать двугранный угол А ВВС' ме- 1
жду плоскостями, проходящими через стороны угла
и через ось ВБ поверхности, исходящую из вершины
этого угла.
Теорема 9. Если на предельной поверхности две пре¬
дельных линии (АС и BD) пересечены третьей (АВ)
так, что сумма внутренних односторонних углов ме¬
нее 2d, т. е. если САВ -[- DBA < 2d, то линии пересе¬
кутся (черт. 29).
Проведем через точки А и В оси АВ и ВБ предель¬
ной поверхности, через них и через дуги АС, АВаВВ—

плоскости а, Ъ и с (черт. 28). Получим фигуру тео¬
ремы 4, согласно которой плоскости а и с должны пе¬
ресечься, а следовательно, пересекутся и линии АС и
BD, что и требовалось доказать.
Следствия. 1. Доказанная теорема показывает,
что на предельной поверхности имеет место постулат
Евклида, а следовательно и вся планиметрия, триго¬
нометрия и аналитическая геометрия на плоскости
А
Евклида, если последнюю заменить предельной поверх¬
ностью, а прямые — предельными линиями на этой по¬
верхности. Например:
Теорема 10. Сумма углов в „предельном“ треуголь¬
нике ABC равна 2d.
2.	Тригонометрические функции на предельной по¬
верхности определяются теми же отношениями эле¬
ментов треугольника, что и на плоскости Евклида
(только место прямых линий занимают линии предель¬
ные), и имеют ту же самую величину. Так как вели¬
53

чина углов не зависит от длины сторон, то углы между
прямыми, касательными к предельным линиям, > мы
можем определять теми же тригонометрическими
функциями.
IX.	ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Окружность, лежащую на предельной поверхности,
можно получить двумя способами:
1. Описать окружность концом
В предельной дуги АС В, лежа-
д щей на предельной поверхности
и вращающейся вокруг своей се¬
редины С (черт. 29).
2. Описать ее концом хорды АВ,
вращающейся вокруг ее сере¬
дины Ci (черт. 29).
В первом случае она будет
окружностью круга, описанного
на предельной поверхности пре¬
дельною дугой СВ, а во втором —
окружностью плоского круга,
описанного полухордой СгВ, вра¬
щающейся вокруг середины хор¬
ды Си перпендикулярно к оси СВ
поверхности. Отсюда следует:
Теорема. 11. Окружность, по¬
строенная на полухорде (С\В)
предельной дуги (АСВ), как на радиусе, равна окруж¬
ности круга, описанного на предельной поверхности
половиною дуги АСВ, как радиусом.
1 Касательные прямые и предельные дуги имеют около точки
их соприкосновения бесконечно-малые части общие.
54

Обозначая окружности, имеющие радиусы СХВ и СВ,
символами QCtB и О СВ, можем написать:
©С,Б = ©(Ж	(1)
Основное построение. Возьмем какой-нибудь
прямоугольный прямолинейный треугольник ABC
(угол С =90°) и через вершину А одного из его
острых углов проведем прямую АА', перпендикуляр¬
ную к плоскости треугольника ЛВС (черт. 30), а че¬
рез другие две вершины В в С проведем прямые ВБ
и СС, параллельные А А1 (в одном и том же напра-
В
влении). Получим прямоугольный трехгранный угол
АВСБ с бесконечно-удаленной вершиной Б.
Затем через вершину В, приняв прямую АА' за ось,
проведем „предельную поверхность", т. е. шар с цен¬
тром в бесконечно-удаленной точке Б. От пересечения
этой предельной поверхности с плоскостями, в кото¬
рых лежат прямые АА', В В и СС, получатся три пре¬
дельных дуги, образующих „предельный треугольник"
i4,£CV
1.	Внутренние углы в „предельном треугольнике"
AjCtB равны внутренним двугранным углам трехгран¬
ного угла АВСБ, именно:
55

угол Ai = двугранному углу (AiA1),
п С, =	„	„	(СХС),
„ AiBCi =	„	„	(ВВ').
2. По построению плоскость ABC перпендикулярна к
ребру АА', а потому угол ВАС (или А) будет ли¬
нейным углом двугранного угла (АЛ1).	|
3. Но если АА' J_ ABC, то и проходящая через АА’’ч
плоскость АА'СС также перпендикулярна к плоскости/
ABC, т. е. двугранный угол (АС) — прямой. А
4. Линия СВ лежит в одной из сторон прямого дву-j
гранного угла (АС) и перпендикулярна 1 к его ребру*
АС; следовательно, она будет перпендикулярна и кД
другой его стороне, т. е. СВ перпендикулярна к пло-В
скости АСС'А' и к прямой СС\ лежащей в этой плоВ
скости.	В
5. Итак, СВ перпендикулярна к С А и к СС и к пло-Щ
скости АСС'. Проходящая через СВ плоскость С'СВВ'Щ
перпендикулярна к плоскости АСС', т. е. двугран-р
ный угол (СС') — прямой и плоский угол ВСС — V
тоже прямой.	"
6. Но в предельном треугольнике А&В угол Сх
равен двугранному углу (СС); следовательно, угол Ct \
тоже прямой, а треугольник А\ Сг В— прямоугольный.
7. Острый угол А, предельного треугольника A,CiB,
равный двугранному углу (АА1), будет равен и его |
линейному углу, т. е.	*
£Ai=L(AAi) = L^; LABC, = ЩВВ')
(но угол A^BCi не равен углу ABC).
8. Фигуры A’AiBB’ и CCiBB1 (черт. 3oj здесь совер¬
шенно такие же, как фигура СВБ на чертеже 29, а
потому
О BCi — © ВС; &BAi = QBA.
1 Угол АСВ в треугольнике АБС—прямой по условию.
56
t

V
На плоскости Евклида катет прямоугольного тре¬
угольника ABC равен его гипотенузе, умноженной на
синус противолежащего угла:
о = с • sin А.	(2)
Умножив обе части этого равенства на 2й, получим:
2 тг а — 2 тс с ■ sin А,
или
О а — О с ■ sin А,	(з)
где О а и © с означают длины окружностей с радиу¬
сами а и с.
Эти соотношения имеют место и для „предельного
треугольника" в пространстве Лобачевского; поэтому:
© ВС1 = © ВАг ■ sin А.	(4)
Аналогично найдем:
Q А±Сх = QBAi -cos А.	(4')
Пользуясь данным выше „основным построением",
легко убедиться, что соотношение (3) [но не (2)] спра¬
ведливо и для треугольника ABC на плоскости Лоба¬
чевского, т. е. справедлива:
Теорема 12. Во всяком прямоугольном прямолиней¬
ном треугольнике ABC окружность с радиусом, рав¬
ным катету	а,	равна окружности с	радиусом, равным
гипотенузе	с,	умноженной на синус	противолежащего
угла А:
©a = ©c-sinA	(3)
В самом деле, проделав с треугольником ABC „основ¬
ное построение" (черт. 30), будем иметь:
© BCi = © BAi • sin Ах.
(4)
57

Но (теорема И):
• ' BCi—QВС— -)а;
О ВА1 == О В А = О с, а	At = /_ А.
Подставляя эти значения в (4), получим:
Da = 0c-sin.4, что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к нашему „основному построению"
и рассмотрим отдельно ту его часть, которая располо¬
жена на плоскости, проходящей через параллельные
линии СхС' и ВВ' (черт. 30). В этой плоскости лежит
предельная дуга ВС, и прямая ВС, перпендикулярная
к CjС'. Очевидно, что с изменением длины перпенди¬
куляра ВС изменяется и расстояние ССи т. е.
СС] = 1{ВС).
Теорема 13. Отрезки ВС=а и CCi=i(a) основного
построения связаны между собой уравнением:
СС,
sin П(£С) = е~ *■,	(5)
или
f(a>
sin П(«) — е k .
Доказательство. Дополним нашу фигуру, в ко¬
торой угол СВВ' = ЩВС) = П(а), еще двумя линиями
(черт. 31):
1) предельной дугой СМ с осью СБ и
2) прямою CL, перпендикулярной к ВВ.'
Получим прямоугольный треугольник BCL, в кото¬
ром (теорема 12):
© CL = © ВС • sin СВВ',
откуда
sin П(«) = sin СВВ' —	•
58

Но (теорема 11 й следствие 1 теоремы 12):
О C!L = О СМ= 2тг • СМ;
О ВС = О BCi = 2тг • ВСй
подставляя в предыдущее равенство и сокращая, по¬
лучим :
тт/ \ ^ СМ	(*\
SmU(a) = ^BC1’	()
причем 1
= Х ? и® S^ = (X-)
в
Число /и здесь произвольно, а потому мы (можем
выбрать его так, чтобы Xм =е, где е = 2,718281...—
основание натуральных логарифмов; тогда и т-а = 1с
ссх
(постоянной), так что = е к , где ССХ — f(a).
f(o)
Вставляя в равенство (*), получим: sin П(«) = е к ,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь всю фигуру основного построе¬
ния, дополнив ее двумя линиями, лежащими в пло-
В силу следствия 2 теоремы С о предельной линии.
59

СкосТи A'ACC' (черт. 30): а) прямою Д = Ь', перпен-|
дикулярною к оси АА1, и 6) предельною дугой СЕ, кон-|
центричной с C,Ai.
Основная лемма. Перпендикуляр «V» связан с ка- >
тетями «о» и «Ь» прямоугольного треугольника ABC
уравнением:
©Ь' =
О ъ
sin П(а) ‘
(6)'
В самом деле, из чертежа 30, где Д Д = Ъ\ С А = Ь,]
видно, что (теорема 11 и следствие 1 теоремы 9):
©6'=©i^ = 2тг . А&С,
ОЪ = ОСЕ = 2тг • СЕ.
Разделяя эти равенства почленно друг на друга и|
принимая во внимание теоремы 6 и 13, получим:
© V
© ъ
1
sin П(о) ’
V-J СЕ
что и требовалось доказать.
Теорема 14. (Q с)* =	+	(<-><$
(7)
В нашем основном построении треугольник А^В —
предельный, а потому для него имеет место теорема
Пифагора, т. е.:
(А1Ву = (А1С1у-\-(С1ву,
где AiB, AAJu CiB—предельные дуги. Умножив все ^
члены этого равенства на (2я)2, получим:
или
• Но
(2и • AiB)2 = (2к ■ Afii)2 +(2к ■ CiB)2,
(© А^)2 = (О Ai Ci)2 -j- (© CiB)2.
© AiB = © AB = 0 c; © CiB — © CB = © a,
60

ii (основная лемма):
О AtC^Qh^-.^r-..	(6)
1	sin	П(а)	к	'
Подставляя эти значения в предыдущую формулу,
и получим соотношение (7).
Теорема 15. Длина окружности радиуса „а“ про¬
порциональна ctg П(я), т. е.
О а — М- ctg II(rO,	(н)
где М — постоянная.
Доказательство. В самом деле, решая уравне¬
ние (7) относительно sin2 П(«),
получим:
откуда:
smJ Щ«)_ (Qc5JLJQ(1)! ,
Точно так же (переставляя а и Ъ) имеем:
с*
Разделяя последние два равенства почленно друг
на друга, получим:
откуда:
Отсюда:
ctg- П(«) (О «)8
ctg* П(Л) ~~ (о ь;- ’
0 а _ Оь _ м
ctg П(а) ctg П(ь;
Qa = M ■ ctg П(«),
О Ъ = М • ctg П(Ь)
и
О с = М ■ ctg П(с),
что и требовалось доказать.
(8')
61

Теорема К». Постоянная М = 2тг, т. о. д.шна окруж¬
ности. радиуса „а“ равна 0 а = 2т: • ctg П(я). 1
Сравнивая эту формулу с выражением 0 a = 2ir«
длины окружности в геометрии Евклида, видим, что
они отличаются только тем, что вместо радиуса „я“
стоит ctg П(«). Поэтому естественно предположить,
что такое же различие существует и между выраже¬
ниями площади S круга в обеих геометриях. Но, на
самом деле, на плоскости Лобачевского площадь S
круга радиуса во“ равна:
S = 4тг • ctg2 п(").
X.	ОСНОВНЫЕ тригонометрические ФОРМУЛЫ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
1.	(Соответствует теореме Пифагора.) Вставляя в
равенство (7) из (8) вместо окружностей их значения
и сокращая результат на Ж2, получим:
ctg2 n(c) = g^^ + ctg2 Ща).
Заменяя в этом равенстве котангенсы их значениями,
прибавляя к обеим частям его по единице и приводя
их затем каждую к одному знаменателю, получим:
cos3 П(с) -f- sin3 П(с)
sin2 11(c)
 сов2 11(6) -}- cos3 П(а) - sin3 П(6) + sin2 П(а) • sin2 11(6)
sin2 Ща) • sin-' Г1(6)
Так как сумма квадратов синуса и косинуса угла
равна единице, то легко убедиться в том, что числи¬
тели в этом равенстве равны 1, а следовательно, равны
и знаменатели, т. е.:
sin П(с) = sin П(я) • sin П(Ь)
(1)
1 Эту теорему мы приводим здесь без доказательства.
62

2.	Мы знаем, что (равенство 4') в предельном тре
угольнике А^С'.
О Afii — О АХВ ■ cos А.
Но, в силу основной леммы:
(4')
_Qb
sin П(а)’
а по теореме 12:
и по теореме II:
©Ь = 0с • sin В,
ОА1В = Ос.
Вставляя все эти значения в равенство (4') и сокра¬
щая на 0с, получим:
sin В = sin П(© cos А
И аналогично:
sin А = sin П(6) cos В
(И')
(II)
3.	По теореме 12 из прямоугольного треугольника
ABC имеем:
© а = О с ■ sin А; О Ъ = 0 с • sin В.
Вставляя в эти равенства вместо окружностей их
значения из (8') и сокращая на М, получим:
ctg П(а) = ctg П(с) - sin А
ctg П(Ь) = ctg П(с) ■ sin В
(Ш)
(ПГ)
Этой формуле соответствует равенство а— с- sin А
в тригонометрии Евклида,
63

4.	Из предельного прямоугольного треугольника
АХСХВ имеем (равенство 4'):
О АХСХ — ОАхВ • cos Ах
или:
Ob' —	=	Oc-cosH,
sin 11(a)	’
(в силу теоремы 11 и основной леммы).
, Заменяя в последнем равенстве 06 и 0с их значе¬
ниями из (8'), получим (по сокращении на М):
S!rra = cte П(С)-С08
пли
cos П(Ь)
cos П(с) ■ cos А
sin П(а) • sin П(Ь)	sin П(с)
Но в силу равенства (I) знаменатели последних"
дробей равны; следовательно:
cos 11(6) = cos П(с) • cos А
и аналогично:
cos П(и) = cos П(с) • cos В
(JV)
(IV)
Очевидно, эта формула соответствует равенству
а = с • cos А тригонометрии Евклида.
5.	Перемножая почленно равенства (II) и (II'), получим:
sin А - sin B = sin П(о) • sin П(6) ■ cos А ■ cos В;
откуда, разделяя на cos А • cos В и принимая во вни¬
мание соотношение (I), находим:
tg А ■ tg В = sin П(с)
(V)
В Евклидовой тригонометрии угол параллельности
П(с) = 90°, а потому там:
tg А - tg В = 1.
64

Xt. ОСНОВНОЕ СООТНОШЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
(МЕЖД5 ДЛИНОЙ ОТРЕЗКА «Ь» И ЕГО УГЛОМ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ):
tg 2 П(Ь) = е *
(VI)
Сравнивая эту формулу с равенством (5) теоремы 13,
видим, что если положим Ъ = {(а), то будем иметь
соотношение:
tg П(Ь) = sin П(а),
(*)
(где а = ВС, Ь — С^С на чертеже 32), которое мы и
докажем.
Заменим для удобства на этом чертеже букву Су
буквой А и дополним его хордою АВ. Получим (черт.
32):
угол СВВ = П(а), угол ВАБ=А — АВБ—АВС-\-
-f- СВБ = В П(я), откуда В = А— П(а), и прямоуголь¬
ный треугольник ABC, в котором АС = Ъ; СВ = щ
АВ = с.
1.	Применяя к треугольнику ABC соотношение (П),
имеем:
sin £ = sinn(o)-cos А.
'/+5 Н. К. Иовлев.	65

Но в нашем треугольнике угол В = А— П(а), а по¬
тому
sin | А—II(c)]=sin П(о) • nos А
или
sin Л-cos П(я) -cos А■ sin II(o) = sin П(я)• cos А.
Перенося второй член левой части последнего ра¬
венства в правую и разделяя затем на cos A -cos Щя),
получим:
tg А = 2 tg П(я).	(**)
2. С другой стороны, разделяя (IV') на (IV) и снова
заменяя угол В через А — П(я), получим:
cos II (а) cos В 	 cos [А— II (а)]
cos П(Ь) cos A	cos А
 cos A cos П(а) -f- sin A -sin П(а)
cos А	*
откуда, по разделении на cos П(я) и замене tg А через
2 tgn(a) из равенства (**):
sec П(Ь) =. 1 -f- 2tg2 П(я).
3. Вставляя это значение sec II(Ь) в известную фор¬
мулу гониометрии:
tg2 1 П(Ь) = вес п(ь) т,1
8 2 W — йес щЬ) + ! »
получим:
tg3-i П(6) = sin2 П(я),
что и доказывает теорему [см. равенство (*)].

СОДЕРЖАНИЕ.
Стр.
Предисловие редактора 	 3
Введение	  7
I. Об аксиомах и постулате Евклида ■	 9
II. Различные формы постулата Евклида	 17
III. Теоремы, не зависимые от постулата Евклида ....	22
IV. Попытки доказать постулат Евклида	 24
V. Пересекающиеся и ие пересекающиеся прямые. Беско¬
нечно-удаленные точки прямой	  31
VI. Параллельные иа плоскости Лобачевского	 34
VII. Предельная окружность	  44
VIII. Предельная поверхность	  50
IX. Тригонометрия на плоскости Лобачевского	 54
X. Основные тригонометрические формулы прямоуголь¬
ного треугольника	 62
XI.	Основное соотношение геометрии Лобачевского . . . •	65
*	07