Автор: Атья М. Макдональд И.
Теги: математика математический анализ математическая физика издательство мир
Год: 1972
Текст
И. МАКДОНАЛЬД
ВВЕДЕНИЕ
В КОММУТАТИВНУЮ
АЛГЕБРУ
ADDISON-WESLEY SERIES IN MATHEMATICS
INTRODUCTION
TO COMMUTATIVE ALGEBRA
M. F. ATIYAH, frs
University of Oxford
I. G. MACDONALD
ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY
Reading, Massachusetts, 1969
М. АТЬЯ
И. МАКДОНАЛЬД
ВВЕДЕНИЕ
В КОММУТАТИВНУЮ
АЛГЕБРУ
Перевод с английского
Ю. И. Манина
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972
УДК S19.4
М. Атья — известный тополог и алгебраист, лауреат филд-
совской премии — знаком советскому читателю по русскому пере-
переводу его монографии «Лекции по К-теории» («Мир», 1967). «Вве-
«Введение в коммутативную алгебру», написанное им совместно
с И. Макдональдом, также основано на курсе лекций. Эта книга
отличается исключительно удачиым подбором материала, изло-
изложенного современно, лаконично и с предельной ясностью. Разо-
Разобрав все доказательства и потренировавшись иа многочисленных
упражнениях, читатель овладеет основами коммутативной ал-
алгебры, равно необходимыми специалистам по топологии, теории
чисел, функциональному анализу, алгебраической геометрии, тео-
теории функций комплексного переменного.
Книга, несомненно, представляет интерес для математиков
различных специальностей, от студентов до научных работников.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3
инд- ТтГ
М. Атья, И. Макдональд
ВВЕДЕНИЕ В КОММУТАТИВНУЮ АЛГЕБРУ
Редактор Н. И. Плужникова
Художник Af. Я. Шпиндлер. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор 3. И. Резник. Корректор О. УС. Румянцева
Сдано в набор 13/VIH 1971 г. Подписано к печати 6/1II 1972 г. Бумага 60Х90'Ав-
5 бум. Л. 10 печ. л. Уч.-изд. л. 9,44. Изд. № 1/6395. Цеиа 65 коп. Зак. 1238
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рнжскнй пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главлр/Шграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, Измайловский проспект, 29
ВВЕДЕНИЕ
Коммутативная алгебра в основном изучает коммутатив-
коммутативные кольца. Несколько упрощая, можно сказать, что она раз-
развилась из двух источников: алгебраической геометрии и теории
алгебраических чисел. Типичное алгебро-геометрическое коль-
кольцо — это k[Xi хп] — кольцо многочленов от нескольких пе-
переменных над некоторым полем k. Типичное числовое коль-
кольцо— это Z (рациональные целые числа). При этом алгебро-
геометрическая точка зрения приводит к более далеко идущим
результатам и в современной трактовке Гротендика включает
в себя также большую часть алгебраической теории чисел.
Коммутативная алгебра превратилась в одно из основных ору-
орудий новой алгебраической геометрии. Она служит локальным
аппаратом для этой теории, подобно тому как дифференциала
ное исчисление дает локальную технику дифференциальной
геометрии.
Эта книга возникла из лекций, читанных третьему курсу
студентов Оксфордского университета. Ее цель скромна — бы-
быстро ввести читателя в суть дела. Она предназначена для сту-
студентов, проработавших элементарный вводный курс общей
алгебры, и не может служить заменой более обстоятельных
изложений коммутативной алгебры, таких, как книги Зарис-
ского и Самюэля [4] или Бурбаки [1]. Мы сосредоточили вни-
внимание на некоторых центральных темах, не затронув такие
обширные разделы, как теория полей.
По содержанию этот курс перекрывает книгу Норткотта
[3J; стиль нашего изложения существенно отличается тем, что
в соответствии с современными тенденциями больше внима-
внимания уделено модулям и локализации.
Центральное место в коммутативной алгебре занимает по-
понятие простого идеала. Оно служит одновременным обобще-
обобщением простых чисел в арифметике и точек в алгебраической
геометрии. Принятый в геометрии способ рассматривать си-
ситуацию в окрестности некоторой точки также имеет алгебраи-
алгебраический аналог: это важный процесс локализации кольца
относительно простого идеала. Не удивительно поэтому, что
утверждения о локализации полезно интерпретировать геоме-
геометрически. Это последовательно делается в теории схем Гро-
Гротендика. Мы включили схемные варианты многих результатов
в упражнения и замечания, отчасти желая ввести читателя
6 Введение
в теорию Гротендика [2], отчасти же для развития геометри-
геометрической интуиции.
Поскольку эта книга возникла из записей лекций, ее стиль
довольно лаконичен, общие разговоры почти отсутствуют, и
многие доказательства написаны сжато. Мы противились иску-
искушению увеличить объем в надежде, что экономность изложе-
изложения позволит яснее показать математическую структуру тео-
теории, принявшей к нашему времени изящный и привлекатель-
привлекательный облик. Общий принцип состоял в том, чтобы представлять
доказательства основных теорем в виде серии простых шагов,
опуская стандартные проверки.
Любой автор, взявшийся за изложение коммутативной ал-
алгебры, стоит перед необходимостью принять решение по поводу
гомологической алгебры, роль которой в современных дости-
достижениях столь велика. Изложить ее как следует в маленькой
книжке невозможно; полностью игнорировать ее, однако, едва
ли разумно. Компромиссное решение, принятое нами, состоит
в том, чтобы пользоваться элементарными гомологическими
методами (точные последовательности, диаграммы и т. п.), но
не прибегать ни к каким результатам, требующим глубокого
изучения гомологии. Мы надеемся таким образом подготовить
почву для систематического изучения гомологической алгебры,
которое должен предпринять любой читатель, желающий
сколько-нибудь далеко продвинуться в алгебраической гео-
геометрии.
Мы собрали довольно много упражнений к каждой главе;
среди них есть легкие и трудные. К последним обычно даны
указания, а иногда и полные решения. Мы признательны
Р. Шарпу, решившему все задачи и избавившему нас от ряда
ошибок.
Мы не делали попыток указать вклад многих математиков,
усилия которых привели к оформлению изложенной здесь тео-
теории. Однако нам хотелось бы поблагодарить Ж. П. Серра и
Дж. Тэйта, научивших нас коммутативной алгебре и оказав-
оказавших решающее влияние на выбор материала и способ его
представления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, М„ 1971.
2. Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de Geometrie Alge-
brique, Publ. Math. IHES, № 4, 8, 11, Paris, 1960.
3. Northcott D. G., Ideal Theory, Cambridge University Press, 1953.
4. Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, М„ 1963.
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ
Кольца и модули обозначаются большими латинскими бук-
буквами, а их элементы— маленькими. Буква k часто обозначает
поле. Идеалы обозначены малыми готическими буквами; Z, Q,
R, С обозначают соответственно кольцо целых рациональных
чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел
и поле комплексных чисел.
Отображения как операторы действуют слева: образ эле-
элемента х при отображении f записывается в виде f (х), а не (x)f.
Поэтому композиция отображений f: X-*-Y и g: Y-*-Z есть
g о f, а не f о g.
Отображение f: X -*- Y называется инъективным, если из
f (xi) = f (х2) следует, что Xi — х2; сюръективным, если f(X) —
= Y; биективным, если оно одновременно инъективно и сюръ-
ективно.
Конец доказательства (или его отсутствие) обозначается
символом ¦.
Включение множеств обозначается знаком ^;знак с озна-
означает, что включение строгое. Таким образом, запись А с В
означает, что А содержится в В и не совпадает с В.
Глава 1
КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ
Мы начнем с краткого обзора определения и элементарных
свойств колец. Это позволит указать уровень требований к под-
подготовке читателя и условиться относительно обозначений. За-
Затем мы перейдем к обсуждению простых и максимальных иде-
идеалов. Оставшаяся часть главы посвящена описанию ряда эле-
элементарных операций над идеалами. Язык схем Гротендика
вводится в упражнениях в конце главы.
Кольца и гомоморфизмы колец
Кольцом А называется множество с двумя бинарными опе-
операциями (сложение и умножение), которое удовлетворяют сле-
следующим аксиомам:
1) По сложению А является абелевой группой (стало быть,
в А есть нуль 0, а у каждого элемента х е А есть противопо-
противоположный —х).
2) Умножение ассоциативно: (ху) г = х (yz) и дистрибу-
дистрибутивно относительно сложения:
х(у-\- г) = ху. -f- xz, (у + z) х = ух -f- zx.
Мы будем рассматривать только коммутативные кольца:
3) ху = ух для всех х, у е А.
Кроме того, все наши кольца имеют единичный элемент 1:
4) Существует такой элемент 1 е А, что х\ = \х = х для
всех хе!
Можно проверить, что такой элемент единствен.
На протяжении всей книги слово «кольцо» означает комму-
коммутативное кольцо с единицей, т. е. кольцо, удовлетворяющее
приведенным выше аксиомам 1)—4).
Замечание. Мы не исключаем возможности 1 = 0 в 4).
Если это так, то для всякого элемента х е А имеем
д:==д;1==д;О==О,
так что А состоит из одного элемента 0. Такое кольцо назы-
называется нулевым и для краткости обозначается также О,
10 Глава 1
Гомоморфизмом колец называется всякое отображение f
кольца А в кольцо В со следующими свойствами:
(I) /(* + у) = f(x)-\-f (у) (так что f — гомоморфизм
абелевых групп; поэтому f(x — y) = f(x) — f(y), f(—х) —
fW/() )
(И) f(xy) = f(x)f(y);
(III) f(l)=l.
Иными словами, гомоморфизм сохраняет сложение, умно-
умножение и единичный элемент.
Подмножество S кольца Л называется подкольцом в Л,
если S является аддитивной подгруппой, замкнуто относитель-
относительно умножения и содержит единичный элемент А. В этом слу-
случае тождественное отображение S в А является гомоморфиз-
гомоморфизмом колец.
Если отображения f: А -у В и g: В -*- С являются гомомор-
гомоморфизмами колец, то же верно для их композиции g°f: А-*-С,
Идеалы. Фактор кольца
Идеалом а в кольце А называется всякая аддитивная под-
подгруппа со свойством Лае а (т.е. из включений яеЛ и г/е«
следует, что ху&а). Умножение в А индуцирует однозначно
определенное умножение в факторгруппе А/а, что превращает
эту группу в кольцо, называемое факторкольцом (или кольцом
классов вычетов) Л/a. Элементы А/а — это смежные классы Л
по а, и отображение q>: Л—»Л/а, переводящее всякий элемент
дсеЛ в его класс х-\-а, является сюръективным гомоморфиз-
гомоморфизмом колец.
Мы будем часто пользоваться следующим фактом:
Предложение 1.1. Существует взаимно однозначное и
сохраняющее включения соответствие между теми идеалами Ь
в А, которые содержат а, и идеалами Ь в А/а.Ш
Пусть f: Л -> В — любой гомоморфизм колец. Его ядро
/"'(О) является некоторым идеалом а в кольце Л, а образ
f(A) есть подкольцо С в В. Гомоморфизм f индуцирует изо-
изоморфизм колец Л/a ^ С.
Обозначение л: = г/(moda), которым мы иногда будем
пользоваться, равносильно включению х — r/ea.
Делители нуля. Нильпотенты. Единицы
Целителем нуля в кольце Л называется всякий элемент к,
для которого существует у ф 0 в Л, такой, что ху = 0. Кольцо,
15 котором нет ненулевых делителей нуля (и 1 Ф 0), называет-
Кольца и идеалы 11
ся областью целостности. Примеры: Z, Щхи..., хп], где k —
поле, ах, — независимые переменные.
Элемент х е А называется нильпотентом, если хп = О для
некоторого л > 0. Всякий нильпотент является делителем ну-
нуля (если только А Ф 0), но обратное, вообще говоря, неверно.
Единицей*) в кольце А называется всякий элемент х, кото-
который «делит 1», т. е. удовлетворяет условию ху = 1 для неко-
некоторого jeA Такой элемент у определяется однозначно и обо-
обозначается х~1. Единицы в А образуют абелеву группу (по
умножению).
Все кратные ах некоторого элемента х еЛ образуют идеал,
который обозначается (х) или Ах и называется главным. Эле-
Элемент х является единицей в том и только том случае, когда
(х) = А = A). Нулевой идеал @) обычно обозначается про-
просто 0.
Полем называется кольцо А, в котором 1 ф 0 и всякий не-
ненулевой элемент является единицей. Любое поле есть область
целостности (обратное неверно: Z — ие поле).
Предложение 1.2. Пусть А — ненулевое кольцо. Сле-
Следующие утверждения равносильны:
(I) A — поле;
(II) в А нет идеалов, кроме 0 « A);
(III) любой гомоморфизм А в ненулевое кольцо инъекти-
вен.
Доказательство. A)=^(П). Пусть а фО—идеал в Л.
Он содержит ненулевой элемент х. Но х — единица, поэтому
аа(д;)== A), так что а = A).
A1)=^ (III). Пусть ф: А-*-В— некоторый гомоморфизм ко*
лец. Его ядро Кег (ф) есть идеал в А, отличный от A), поэто-
поэтому Кег(ф) = 0, так что ф инъективен.
(Ш)=>A). Пусть х — элемент А, не являющийся единицей.
Тогда (х)ФA), так что кольцо В = А/(х) ненулевое. Пусть
ф: А -*¦ В — естественный гомоморфизм Л на В с ядром (х).
По предположению, ф инъективен. Поэтому (х) =0 и, значит,
х = 0. ¦
Простые идеалы и максимальные идеалы
Идеал t» в кольце А называется простым, если $ ф (I) и
из включения ху е jj следует, что либо х е fc, либо у е j>.
') По-английски 1 называется «identity», а «делитель 1» — «unit». Мы
переводим оба слова как «единица»; в тех случаях, когда это может при-
привести к недоразумениям, 1 называется «единичным элементом». — Прим.
перев.
12 Глава 1
Идеал m в А называется максимальным, если m ф A) и
не существует идеала а, удовлетворяющего условиям mczctc:
сA) (включения строгие).
Иными словами:
р — простой идеалффЛ/Р —область целостности;
m — максимальный идеал^ф Л/m — поле (в силу A.1) и A.2)).
Следовательно, всякий максимальный идеал прост (обрат-
(обратное, вообще говоря, неверно). Нулевой идеал прост в том и
только том случае, когда Л — область целостности.
Пусть f: А-*-В — некоторый гомоморфизм колец, a q —
простой идеал в В. Тогда идеал f~l(q) в Л прост, потому что
Л//-1^) изоморфно подкольцу в B/q и, значит, не содержит
ненулевых делителей нуля. Однако, если идеал п максимален
в В, f-1(n) не обязан быть максимальным; мы можем быть
уверены лишь в том, что он прост. (Пример: Л = Z, В = Q,
Простые идеалы играют фундаментальную роль во всей
коммутативной алгебре. Их достаточно много, как показывает
следующая теорема:
Теорема 1.3. В каждом кольце АфО есть максималь-
максимальный идеал.
(Напомним, что рассматриваются только коммутативные
кольца с единицей.)
Доказательство. Теорема доказывается стандартным
применением леммы Цорна1). Обозначим через 2 множество
всех идеалов в Л, отличных от A). Упорядочим 2 по включе-
включению. Множество 2 непусто, ибо содержит 0. Чтобы применить
лемму Цорна, следует проверить, что всякая цепочка в 2 имеет
верхнюю границу в 2. Пусть (аа)— некоторая цепочка идеа-
идеалов в 2, так что для любой пары индексов а, 0 имеем либо
aasap, либо ap?ae. Положим a = (Jaa. Тогда a — идеал (про-
a
верьте это) и 1^а, потому что 1 ф aa для всех а. Следова-
Следовательно, «еЕиа является верхней границей рассматриваемой
>) Пусть S — непустое частично упорядоченное множество. Это озна-
означает, что иа S задано отношение х sg: у, которое рефлексивно, транзитив-
но и обладает тем свойством, что х ^ у и у ^ х вместе влекут за собой
равенство х = у. Подмножество Т в S называется цепочкой, если для лю-
любой пары х, у еГ обязательно либо х «? у, либо у ^ х. Верхней грани-
границей цепочки Т в S называется всякий элемент х е S, такой, что t ^ x при
всех /sT. Лемма Цориа утверждает, что если для любой цепочки Т в S
существует верхняя граница, то в S существует хотя бы один максималь-
максимальный элемент.
Лемма Цорна эквивалентна аксиоме выбора, принципу полного упо-
упорядочения и т. п.; это доказано, например, в книге Н а 1 m о s P. R., Naive
Set Theory, Van Nostrand/1960,
Кольца и идеалы 13
цепочки. Из леммы Цорна следует, что в 2 существует макси-
максимальный элемент. ¦
Следствие 1.4. Всякий идеал а=^A) содержится в не-
некотором максимальном идеале.
Доказательство. Применим A.3) к кольцу А/а и вос-
воспользуемся A.1). Можно рассуждать и непосредственно, видо-
видоизменив доказательство A.3).
Следствие 1.5. Любой элемент из А, не являющийся
единицей, содержится в некотором максимальном идеале. Ш
Замечания. 1) Если кольцо А нётерово (глава 7), мож-
можно обойтись без леммы Цорна: в множестве всех идеалов, от-
отличных от A), есть максимальный элемент.
2) Существуют кольца, в которых есть ровно один макси-
максимальный идеал, — например, поля. Кольцо А с единственным
максимальным идеалом m называется локальным; поле k =
= A/m называется полем вычетов кольца А.
Предложение 1.6.A) Пусть А — некоторое кольцо,
m ф A) — такой идеал в А, что любой элемент х е А — та яв-
является единицей. Тогда А — локальное кольцо, am — его мак-
максимальный идеал.
(II) Пусть А—некоторое кольцо, m — его максимальный
идеал, и пусть любой элемент из 1 + m (г. е. 1 + х, где х S5 т)
является единицей в А. Тогда А — локальное кольцо.
Доказательство. (I) Любой идеал, отличный от A),
состоит из элементов, не являющихся единицами, и, значит,
содержится в т. Следовательно, m—единственный макси-
максимальный идеал в А.
(II) Пусть х е А — т. Так как т максимален, х и т вме-
вместе порождают идеал A). Поэтому существуют такие элемен-
элементы у е А и/еш, что ху -\-1 = 1. Следовательно, ху = 1 — t
принадлежит 1 + m и, значит, является единицей. Теперь сле-
следует воспользоваться A).И.
Кольцо, в котором множество максимальных идеалов ко-
конечно, называется полулокальным.
Примеры. 1) А = k[xu ..., хп], k — поле. Пусть f e A —
неприводимый многочлен. Из теоремы об однозначности раз-
разложения следует, что идеал (f) прост.
2) А = Z. Любой идеал в Z имеет вид (пг), где m Ijs 0. Он
прост, если /п=0 или m — простое число. Все идеалы вида (р),
где р — простое число, максимальны: Z/(p) —это поле из р
элементов.
Аналогичные утверждения для примера 1) справедливы
при я= 1, но не при я> 1. Идеал m всех многочленов без
14 Глава 1
свободного члена в А = k[xit..., хп] максимален, потому что
является ядром гомоморфизма А ->¦ k, переводящего / е А
в f @). Но при п > 1 идеал m не является главным: любая си-
система его образующих содержит не меньше п элементов.
3) Областью главных идеалов называется область целост-
целостности, в которой все идеалы главные. В таком кольце любой
ненулевой простой идеал максимален. Действительно, если
идеал (х)Ф0 прост и (г/)гэ(л:), то х^(у), скажем х = г/г,
так что yzе(х) а уф(х), откуда ге(^). Пусть г = tx; тогда
х = yz = ytx, значит, yt = 1 и (у) = A).
Нильрадикал и радикал Джекобсона
Предложение 1.7. Множество 31 всех нильпотентных
элементов кольца А является идеалом; в кольце А/31 нет не-
ненулевых нильпотентов.
Доказательство. Если х е 31, очевидно, ах е Ш для
всех йеЛ. Пусть х, у е 31: скажем, хт = 0, уп — 0. По фор-
формуле бинома (верной в любом коммутативном кольце)
(х + y)m+n-i является суммой произведений xrys, г + s = fti-f-'
¦+n — 1, с целыми коэффициентами. Очевидно, неравенства
г < т и s < n одновременно не могут выполняться, поэтому
каждое из этих произведений обращается в нуль и, значит,
(* + у)т+п~1 = 0. Следовательно, х-\-у^% так что 31 —
идеал.
Пусть класс х е А/31 представлен элементом х&А. Тогда
хп представлен хп. Поэтому хп = 0 =Ф хп s Ш =ф (xn)k = 0 для
некоторого k> 0=фх&Ш=$х = 0. Ш
Идеал 31 называется нильрадикалом кольца А. Вот его дру-
другое описание:
Предложение 1.8. Нильрадикал А совпадает с пересе-
пересечением всех простых идеалов в А.
Доказательство. Пусть 31' — пересечение всех про-
простых идеалов в А. Если f e A — нильпотент, то для любого
простого идеала fc> имеем fn = Oefe при некотором п > 0. Из
простоты J; следует, что /е)). Поэтому f e 31'.
Наоборот, предположим, что f не является нильпотентом.
Обозначим через S множество всех идеалов а, обладающих
свойством
Оно непусто, ибо OeS. To же рассуждение, что в A.3), пока-
показывает применимость леммы Цорна к 2, упорядоченному по
включению. Поэтому Е имеет максимальный элемент. Обозна-
Обозначим его через fc и покажем, что ft — простой идеал. Пусть
Кольца и идеалы 15
х, у ф fe. Тогда идеалы и + (х) и jj + (г/) строго содержат и и,
значит, не принадлежат 2. Поэтому
для некоторых ffi, я. Отсюда следует, что fm+n s Jj + (¦*#). Та-
Таким образом, идеал i> + (xz/) не принадлежит 2, так что ху ф
ф)}. Тем самым мы построили простой идеал \>, не содержа-
содержащий f; поэтому f ^ -3ft'. ¦
Радикалом Джекобсона 9? кольца А называется пересече-
пересечение всех его максимальных идеалов. Он допускает следующее
описание:
Предложение 1.9. хе!К?ф1—ху является единицей
в А для всех у е А.
Доказательство. ==>: если 1—ху — не единица, то
в силу A.5) этот элемент принадлежит некоторому макси-
максимальному идеалу т. Но «б1?т, поэтому хг/е т, так что
lei- противоречие.
4=: предположим, что хфт, где m — некоторый макси-
максимальный идеал. Тогда тих вместе порождают идеал A). По-
Поэтому и + ху = 1 для некоторых и е m и ^еД. Значит,
1 —ху^т, так что этот элемент не является единицей. ¦
Операции над идеалами
Пусть а, Ь — идеалы в кольце А. Их суммой а + Ь назы-
называется множество всех сумм х-\-у, где хеа, #eb. Это —
наименьший идеал, содержащий а и Ь. Можно определить так-
также сумму 2 а* любого семейства (необязательно конечного)
is/
идеалов в кольце А, Элементами этой суммы являются всевоз-
всевозможные суммы вида Ex*, где я,-е а* для всех Je/н почти все
(все, кроме конечного числа) элементы xt нулевые. По-преж-
По-прежнему сумма идеалов есть наименьший идеал, содержащий
все сц.
Пересечение любого семейства идеалов снова является
идеалом. Таким образом, идеалы А образуют полную струк-
структуру относительно включения.
Произведением двух идеалов а, Ь в кольце А называется
идеал, порожденный всевозможными произведениями ху, где
^е«,уе6. Иначе говоря, это множество всех конечных сумм
2хгг//, где все ^ец и все ^еб. Аналогично определяется
произведение любого конечного семейства идеалов. В частно-
частности, определены степени а" (п > 0) любого идеала а. По опре-
определению, а° = A). Идеал а" (п > 0) порожден всевозмож-
всевозможными произведениями Х\Х2 ... хп, где х(еа для всех /.
16 Глава I
Примеры. 1) Если A = Z, a = (tn), b = (n), то идеал
а -{- Ь порожден наибольшим общим делителем тип; а(]Ъ
порожден их наименьшим общим кратным, а аЪ = (тп).
В этом случае, таким образом, ub = a.f\b^m, п взаимно
просты.
2) А = k [*,, .... хп], а = (Х|, .... хп) = идеал, поро-
порожденный элементами Х\ хп. Тогда ат — множество всех
многочленов, не содержащих членов степени <Ст.
Все три определенные выше операции (сумма, пересече-
пересечение, произведение) коммутативны и ассоциативны. Справед-
Справедлив также дистрибутивный закон:
В кольце Z операции Г), + дистрибутивны друг относи-
относительно друга. В общем случае это неверно; самое сильное, что
можно доказать, — модулярный закон:
аП(Ь —f— с) = аПb + аЛс» если а^Ь или а^с.
В кольце Z имеем (а + Ь) (а П Ц = аЪ, но в общем случае
верно лишь включение (а + Ь) (а П Ь) s йЬ, потому что
Очевидно, absaflb, поэтому
af]b=ab, если а + Ь = A).
Если а + Ь = A), идеалы а, Ь называются взаимно про-
простыми. Для взаимно простых идеалов а, Ъ имеем а(]Ъ = аЪ.
Очевидно, взаимная простота а и Ъ равносильна существо-
существованию таких элементов хек, j/Gb, что х-\-у=\.
Пусть i4, Ап — некоторые кольца. Их прямым про-
произведением
называется множество всех последовательностей х = (хи..
...,хп), где Xi^Af (l^t^tt), с покомпонентным сложе-
сложением и умножением. Это — коммутативное кольцо с единицей
A, 1, .... 1). Проекции pi-. A-*-Au pt(x) = xu являются го-
гомоморфизмами колец.
Пусть А — некоторое кольцо, cti, ..., а„ — его идеалы.
Определим гомоморфизм
формулой
Кольца и идеалы 17
Предложение 1.10. (I)Если при 1ф\ идеалы alt at
взаимно просты, то Ц ai = П at-
(II) Гомоморфизм ф сюръективен €$ с^, а; взаимно просты
при 1ф\.
(III) Гомоморфизм ф инъективен4Ф П аг== @)«
Доказательство. (I) устанавливается индукцией поп.
Случай п = 2 уже разобран. Пусть п > 2; предположим, что
л-1 п-1
для аи ..., а„_! результат верен, и положим Ь= Г1аг= П а'-
'=' i=i
Так как а* + ап = О) A^г^л— 1), имеем ^ + г/г=1
, у^Лп), так что
ПП
Следовательно, ftn + b = (l), так что
(II) =#: Покажем, что а1( а2 взаимно просты. Существует
такой элемент хеЛ, что ф(х)==A, 0, ..., 0). Поэтому
хs= I (moda,), x = 0(moda2), так что
^=: Достаточно показать, например, что существует эле-
элемент леЛ, для которого ф(х) = A, 0, ..., 0). Так как
fti + ai = 0) (i > 1)> имеем Mj-f о<= 1 (и^еа,, и^еа,). По-
ложим * = Прг Тогда х = ЦA — ut)=s I (mod a,) и xsO
(moda,), i>\. Поэтому ф(х) = A, 0,..., 0), что н требо-
ралось.
(III) Утверждение очевидно, нбо Л<4 есть ядро ф. ¦
Объединение идеалов a (J Ь, вообще говоря, не является
идеалом.
Предложение 1.11. (I) Пусть ри ..., р„ — простые
п
идеалы, a — идеал, содержащийся в (J р?. Тогда агр, для
некоторого i.
(И) Пусть а„ ..., а„ — некоторые идеалы, р —простой
п
идеал, содержащий f\ at. Тогда p^at для некоторого L Если
Р= П ai> то Р == ai для некоторого i.
18 Глава 1
Доказательство. (I) доказывается индукцией по к в
следующей форме:
а $ Ml <*'<«)=#«$ (J »<•
i—i
Это очевидно при «= 1. Если «>1 и для п—1 результат
верен, то для каждого / существует такой элемент ^еа,
что xt&pj при / ф L Если еще xt ф.%ц для некоторого i, все
доказано. В противном случае х* е fa при всех и Рассмотрим
элемент
п
2 • • Xi-iXt+lXH 2 • • • хп-
Имеем ysa и уФ'Рь A<^/«^«). Поэтому а
(II) Предположим, что р5Ёа? при всех /. Тогда суще-
существуют элементы л,еа(, х{фр (l^i^n), так что П^?е
еПаг^Пог» но Il^i^P (потому что р прост). Следова-
Следовательно, р Ш П Я|. Наконец, если р = Паг> то psa^, и, значит,
р ^ аг для некоторого L ¦
Пусть а, Ь — идеалы в кольце А. Их частным называется
множество
(a:b) = {x<=4|xbsa},
которое само является идеалом. В частности, @ : Ь) называет-
называется аннулятором идеала Ь и обозначается Апп(Ь); это множе-
множество всех элементов хеД, для которых л:Ь ^= 0. Множество
всех делителей нуля в А можно представить в виде
D=\J Ann(x).
хфО
Если Ъ = (х) — главный идеал, мы будем писать (а : х) вместо
(а: (х)).
Пример. Пусть A = Z, a = (m), b = (n), где т = Пр'Ч
р
п = П pVp- Тогда (а : Ь) = (q), где q = П Р1" и
р р
YP = max (цр — vp, 0) = цр — min (^p) vp).
Следовательно, <7 = m/(m, к), где (т, п) — наибольший общий
делитель тик.
Упражнение 1.12. (I) as(crb);
(II) (a:b)bsa;
(III) ((a:b):c) = (a:k) = ((a:c):b);
Кольца и идеалы 19
(IV)
(V)
Пусть а — любой идеал в А. Его радикалом называется
множество
г (а) = {хе А\ х'еа для некоторого п>0).
Если ф: А-*-Л/а — стандартный гомоморфизм, то г(а) =
= ф~1(^л/а), так что г (а) —идеал в силу A.7).
Упражнение 1.13. (I) г(а)^а;
(II) г (г (а)) = г (а);
(III) г(аЬ) = ,
(IV)
(V) г (а + Ь) = г (г (а) + г (Ь));
(VI) если р — простой идеал, то г (рп) = г (р) для всех
п>0.
Предложение 1.14. Радикал идеала а совпадает с пере-
пересечением всех простых идеалов, содержащих а.
Доказательство. Применить A.8) к А/а. ш
Более общим образом, можно определить радикал г(Е)
любого подмножества Е в кольце Л. Вообще говоря, он не
будет идеалом. Для любого семейства Еа подмножеств Л
имеем r(\jEa) = \Jr(Ea).
\ a I a
Предложение 1.15. D = [множество делителей нуля
в А\ — U r (Ann (*))•
ХфО
Доказательство. D = г (D) = г ([J Ann (x)\ =
\хфо 1
= У г (Ann (x)). ш
ХфО
Пример. Если А = 2, а = (ш), обозначим через pt
(l^i^r) разные простые делители т. Тогда г(а) =
Предложение 1.16. Если радикалы г (а), г (Ъ) идеалов
а, Ь в кольце А взаимно просты, то а и Ъ взаимно просты.
Доказательство, г (а + Ь) = г (г (а) + г (Ь)) = г A) = A),
поэтому а + Ь = A) в силу A.13). ¦
20 Глава 1
Расширение и сужение
Пусть /: А-*В — некоторый гомоморфизм колец. Если acz
а А— идеал, множество /(а) не обязано быть идеалом в В
(пример: / — вложение ZbQ, a — любой ненулевой идеал в Z).
Назовем расширением ае идеала а идеал Bf (а), порожденный
образом /(а) в В. Тем самым ае совпадает с множеством все-
всевозможных сумм 2 yd (хд, где хг е а, г/, е В.
Пусть теперь b — некоторый идеал в 5. Тогда /~4(Ь) —
идеал в А, который называется сужением Ьс идеала Ь. Если Ь
прост, то и Ьс прост. Если а прост, ае не обязательно прост (при-
(пример: f: Z—>-Q, a ф 0; тогда ae = Q — это не простой идеал).
Гомоморфизм f можно разложить в композицию
где р сюръективен, а / инъективен. Связь между идеалами
f(A) и А очень простая: р индуцирует взаимно однозначное со-
соответствие между идеалами f (А) и теми идеалами А, которые
содержат Кег(/). При этом простые идеалы отвечают простым.
Напротив, для гомоморфизма / положение в общем случае
очень сложное. Классический пример доставляет теория алгеб-
алгебраических чисел.
Пример. Рассмотрим вложение Z->Z[i], где i=Y^l.
Расширение простого идеала (р) в Z может остаться простым
в Z[i], а может и не остаться. Кольцо Z[i] является областью
главных идеалов (потому что в нем есть алгоритм Евклида),
и положение дел следующее:
(I) B)е = (A + IJ) — квадрат простого идеала в Z[{\.
(II) Если pssl(mod4), T0 (р)е есть произведение двух
разных простых идеалов (например, E)е«= B + 0 B — i)).
(Ill) Если р = 3(mod4), то (р)е прост в Щ.
Из этих утверждений нетривиально второе. Оно равносиль-
равносильно теореме Ферма о том, что всякое простое число р =
= 1 (mod 4) представляется, по существу однозначно, в виде
суммы двух квадратов целых чисел E = 22+12, 97 = 92 +
+ 42 и т. п.).
Вопрос о поведении простых идеалов при расширениях та-
такого рода — один из центральных в теории алгебраических
чисел.
Пусть /: Л—>В — гомоморфизм, а, Ь — идеалы в А, В.
Предложение 1.17. (I) asaee, ЬэЬсг.
(II) ьс = Ъсес, ае = аесе.
(III) Пусть С — множество идеалов в А, которые являют-
являются сужениями, а Е — множество идеалов в В, которые являют-
являются расширениями. Тогда
Кольца и идеалы 21
и ai—9- a? — биективное отображение С на Е, обратное к кото-
которому имеет вид Ь ¦—> Ьс.
Доказательство. (I) тривиально, (II) следует из (I).
(III) Если аеС, то а = Ьс = Ьсес==аес. Наоборот, если
а = аес, то а —сужение йе. Рассуждение относительно Е ана-
аналогично. ¦
Упражнение 1.18. Пусть аи а2 — идеалы в А, Ьи Ь2 —
идеалы в В. Тогда
(а, + а2)е = а? + <& (Ь. + hf эЬ?+ Ц,
(а, п а2)е s а? П «Й, (h П Ь2)с = bf П Ьс2,
(a,a2)e = ataL (Ь,Ь2)С = Ъ%,
(а,: а2)е s (af: а^), (b,: Ь2)с s (bf: Ы),
r(a)ec=r(ae), r(b)c = r(bc).
Множество Е замкнуто относительно сумм и произведений, а С
замкнуто относительно остальных трех операций.
Упражнения
1 Пусть х — ннльпотент в кольце А. Показать, что 1 + х — единица.
Вывести отсюда, что сумма иильпотента и единицы является единицей.
2. Пусть А — некоторое кольцо, а А [х] — кольцо многочленов с коэф-
коэффициентами в Л от переменной х. Пусть
f=-ao + a,*+ ... +апхя<=А[х].
Доказать следующие утверждения:
(I) / — единица в А[х]4$а0 — единица в А, а аи ..., ап — нилыто-
теиты. [Пусть Ьц + Ъ\Х + ... 4- bmxm — обратный к f многочлен. Индук-
Индукцией по г доказать, что a^+l6m_r = 0. Вывести отсюда, что ап — ниль-
пот^нт, затем воспользоваться упражнением 1.]
(II) f нильпотент фф ao, fli, • ¦ •". ап нильпотенты.
(III) f — делитель нуля фф существует ненулевой элемент а кольца А,
такой, что af = 0. [Рассмотреть многочлен g = bo + Ьух +... + bmxm
наименьшей степени, для которого fg = 0. Тогда anbm = 0, поэтому
ang = 0 (иначе ang был бы многочленом степени <т, аннулирующим /).
Индукцией по г показать затем, что an-rg = 0 @ < г <: п).]
(IV) Многочлен f называется примитивным, если (а0, аь ..., ап) = I.
Показать, что если /, g e А [х], то примитивность fg равносильна прими-
примитивности / и g.
3. Обобщить результаты упражнения 2 на кольцо многочленов
А\х\, ..., хг] от нескольких переменных.
4. В кольце А [х] радикал Джекобсона совпадает с нильрадикалом.
5. Пусть А — некоторое кольцо, А [[к]] — кольцо формальных степен-
оо
ных рядов / = 2 апх" с коэффициентами в А. Доказать следующие
утверждения:
(I) / — единица в А [[х]] фф а0 — единица в А.
22 Глава 1
(II) Если / — нильпотент, то ап — нильпотенты при всех п ^ 0. Вер-
Верно ли обратное? (См. гл. 7, упражнение 2.)
(III) / принадлежит радикалу Джекобсона кольца Л[М]4фао при-
принадлежит радикалу Джекобсона кольца А.
(IV) Сужение всякого максимального идеала m кольца А [[х]] яв-
является максимальным идеалом в А, и ш порожден тс и х.
(V) Любой простой идеал в А является сужением некоторого про-
простого идеала в А [[х]].
6. Предположим, что в кольце А любой идеал, не содержащийся
в нильрадикале, содержит идемпотент (т. е. такой элемент е, что е2 = е ф
ф 0). Доказать, что нильрадикал А совпадает с радикалом Джекобсона.
7. Пусть в кольце А любой элемент х удовлетворяет уравнению
х" — х для некоторого я > 1 (зависящего от х). Показать, что любой
простой идеал в А максимален.
8. Пусть А — ненулевое кольцо. Показать, что множество простых
идеалов А содержит минимальные (по включению) элементы.
9 Пусть а ф A)—идеал в кольце А. Показать, что а = г(а)^а
есть пересечение простых идеалов.
10 Пусть А — кольцо, S!t — его нильрадикал. Показать, что следую-
следующие утверждения равносильны:
(I) А имеет ровно один простой идеал.
(II) Любой элемент А является либо единицей, либо нильпотеитом.
(III) А№ есть поле.
11. Кольцо А называется булевым, если х2 = х для всех х е А. По-
Показать, что в булевом кольце справедливы следующие утверждения:
(I) 2х = 0 для всех ieA
(II) Любой простой идеал р максимален, и Л/р—поле из двух эле-
элементов.
(III) Любой идеал А с конечным числом образующих—главный.
12. В локальном кольце иет идемпотентов, кроме 0, 1.
Конструкция алгебраического замыкания поля (Э. Артин)
13. Пусть К — некоторое поле, 2 — множество всех неприводимых мно-
многочленов / от одной переменной со старшим коэффициентом 1 и коэффи-
коэффициентами в К. Обозначим через А кольцо многочленов над К, порожден-
порожденное переменными Xf, по одному для каждого [sS, Обозначим через а
идеал в А, порожденный многочленами f(Xf) для всех /eS. Показать,
что аф A).
Пусть m—некоторый максимальный идеал в А, содержащий а, и пусть
/С, = А/их. Тогда К\ — расширение К, в котором каждый многочлен feS
имеет корень. Повторив построение для Ki вместо К, получим поле Kt
00
и т. д. Положим L = \j Кп- Тогда L — поле, в котором каждый многочлен.
feZ разлагается на линейные множители. Обозначим через К множество
элементов L, алгебраичиых над К. Тогда К—алгебраическое замыка-
нне К-
14. Обозначим через S множество всех идеалов кольца А, состоящих
целиком из делителей нуля. Показать, что в S есть максимальные эле-
элементы и что всякий максимальный элемент в S прост. Поэтому множество
делителей нуля в А является объединением простых идеалов.
Простой спектр кольца
15. Пусть А — некоторое кольцо, X — множество всех его простых
идеалов. Для всякого подмножества Е с А обозначим через V(E) mho-
Кольца и идеалы 23
жество всех простых идеалов, содержащих Е. Доказать следующие
утверждения:
(I) Если а — идеал, порожденный Е, то V (Е) = V (а) = V (г (а)).
(II) V@) =X, V(l) = 0.
(III) Пусть (Ei)i^j — любое семейство подмножеств А. Тогда
(IV
V( )
\ie=I I is/
(IV) V(af\b)='V(ab) = V(a){)V(b) для любых идеалов a, b в А.
Эти результаты показывают, что множества V(E) удовлетворяют
аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Со-
Соответствующая топология иа X называется топологией Зарисского. Топо-
Топологическое пространство X называется простым спектром кольца А и
обозначается Spec (A).
16. Нарисовать пространства Spec(Z), 4 Spec (R), Spec(C[x]),
Spec(RM), Spec(ZM).
17. Для всякого элемента f e А обозначим через Xf дополнение к V(f)
в X = Spec (А), Множества Xf открыты. Показать, что они образуют ба-
базис открытых множеств в топологии Зарисского и обладают следующими
свойствами:
(I) XfPiXg = Xfg;
(II) Xf = 0 фф f — нильпотент;
(III) Xf = X 4ф f - единица;
(IV) Xf=Xg&r((f))-r((g));
(V) X квазикомпактио (т. е. у всякого открытого покрытия X есть ко-
конечное подпокрытие);
(VI) более общо, множества Xf квазикомпактны;
(VII) открытое подмножество в X квазикомпактно тогда и только то-
тогда, когда оно является конечным объединением множеств вида Xf.
Множества Xf называются главными открытыми множествами про-
пространства X = Spec (A)..
[Для доказательства (V) заметить, что достаточно рассматривать по-
покрытие X главными открытыми множествами Xf (f'e/). Показать, что /,•
порождают идеал A), так что существует равенство вида
1 = 2 8tft> Si s A'
где / — некоторое конечное подмножество в /. Тогда X* (i e /) покры-
покрывают X.]
18. По психологическим причинам бывает удобно обозначать простые
идеалы кольца А как точки пространства X = Spec (А) буквами вроде х, у.
Если же х рассматривается как идеал в1 А, то мы пишем (э* (логически, ко-
конечно, х и (За: — одно и то же). Доказать следующие утверждения:
(I) Множество {х} замкнуто в Spec (А) <?ф идеал ?* максимален. Мы
говорим в_этом случае, что х — «замкнутая точка».
(Н) Щш-vpx).
(III) yefrj^fcrsiv
(IV) X есть 7"о-простраиство (это означает, что для любых двух раз-
разных точек х, у пространства X по крайней мере у одной из них есть
окрестность, не содержащая другую).
19. Топологическое пространство X называется неприводимым, если
X Ф 0 и всякая пара непустых открытых подмножеств в X пересекается.
Эквивалентное условие: любое непустое открытое множество плотно в X.
Показать, что л = Spec (А) неприводиад в том и только в том случае,
Когда нильрадикал в Л — простой идеал,
24 Глава 1
20. Пусть X — топологическое пространство.
(I) Если У — неприводимое подпространство в X, то замыкание У
в X неприводнмо.
(II) Любое неприводимое подпространство X содержится в некотором
максимальном неприводимом подпространстве.
(III) Максимальные неприводимые подпространства X замкнуты и
покрывают X. Они называются неприводимыми компонентами X. Каковы
неприводимые компоненты хаусдорфова пространства?
(IV) Пусть А—кольцо и X = Spec (А). Неприводимые компонен-
компоненты л — это замкнутые множества вида У(р), где р— минимальный про-
простой идеал в А (упражнение 8).
21. Пусть <р: А -» В — некоторый гомоморфизм колец. Положим
X = Spec (А) и К = Spec (8). Пусть qeF. Тогда ф-'(<*) — простой идеал
в А, т. е. некоторая точка из X. Таким образом, ф индуцирует отобра-
отображение ф*: Y-+X. Доказать следующие утверждения:
(I) Пусть f e А; тогда ф*~' (Xf) =Y^ (f), так что отображение ф* не-
непрерывно.
(И) Пусть а — идеал в А; тогда ф*-'(У(<0) = V (ае).
(III) Пусть б-идеал в В; тогда <p*(V (Ь)) = V (Ьс).
(IV) Если ф сюръективен, то ф* — гомеоморфизм Y иа замкнутое
подмножество V (Кег (ф)) с: X. (В частности, Spec (Л) естественно гомео-
морфен Spec(/4/!K), где Щ. — нильрадикал А.)
(V) Если ф инъективен то множество Ф*(К) плотно в X. Точнее,
Ф*(П плотно в ЛГфф Кег (ф) = ЭД.
(VI) Пусть ф: В -> С — другой гомоморфизм колец. Тогда ('фоф)* =
= Ф*0г|Л
(VII) Пусть А — область целостности с единственным ненулевым про-
простым идеалом р, и пусть К — поле частных А. Положим В = (Л/р) X К.
Определим ф: А -> В формулой ф (д:) = (х, х), где х — образ х в Л/р. По-
Показать, что ф* — биективное отображение, но не гомеоморфизм.
п
22. Пусть А = JJ At — прямое произведение колец At. Показать,
что Spec (А) есть объединение непересекающихся открытых (и замкну-
замкнутых) подпространств Xt, канонически гомеоморфных Spec (At).
Наоборот, пусть А—любое кольцо. Доказать равносильность сле-
следующих условий:
(I) Пространство Spec (А) несвязно.
(II) A as Ах X А% где оба кольца А\, А2 ненулевые.
(III) А содержит идемпотент, не равный 0, 1.
В частности, спектр локального кольца всегда связен (упражнение 12).
23. Пусть А — булево кольцо (упражнение 11) н "X = Spec (A).
(I) Для всякого / е А множество X/ (упражнение 17) открыто и
замкнуто в X.
(II) Пусть fb .... fn s А. Показать, что Af, (J ... (J Xfn = Xf для не-
некоторого / е А.
(III) Всякое подмножество X, одновременно открытое я замкнутое,
имеет внд Xf. [Пусть Y ? X открыто и замкнуто. Так как У открыто, оно
представляется в виде объединения главных открытых множеств Xf. Так
как Y замкнуто, а X квазикомпактно (упражнение 17), Y тоже квази-
компактио. Поэтому Y — конечное объединение главных открытых мно-
множеств. Теперь применить (И).]
(IV) X — компактное хаусдорфово пространство.
24. Пусть L — структура, в которой операции sup и inf обозначаются
соответственно аV Ь и а/\Ь. Она называется булевой алгеброй, если вы-
выполняются следующие условия:
(I) В L есть наибольший и наименьший элементы (они обозначаются
Соответственно 0, 1).
Кольца и идеалы 25
(II) Каждая из операций V, Л дистрибутивна относительно другой.
(III) Для каждого элемента aeL существует единственное «допол-
«дополнение» a'eL со свойствами а V »' = I, в Л «' = 0. (Пример: все под-
подмножества данного множества, упорядоченные по включению, образуют
булеву алгебру.)
Пусть L — булева алгебра. Введем на ней сложение и умножение
формулами
а + Ь = (аЛ Ь') V (а'Л Ь), аЬ = аЛЬ.
Проверить, что L превращается в булево кольцо. Обозначим его' че-
через A(L).
Наоборот, пусть А — некоторое булево кольцо. Введем на нем отно-
отношение порядка: а ^ Ь равносильно тому, что а = ab. Показать, что А
превращается в булеву алгебру. [Операции sup и inf задаются формулами
aVo==a + b + ab и af\b = ab соответственно, а дополнение — форму-
формулой а' = 1 — а.] Так устанавливается взаимно однозначное соответствие
между классами булевых колец и классами булевых алгебр с точностью
до изоморфизма.
25. Вывести из двух последних упражнений теорему Стоуна, согласно
которой любая булева алгебра изоморфна алгебре открыто-замкиутых
подмножеств некоторого компактного хаусдорфова топологического про-
пространства.
26. Пусть А — некоторое кольцо. Подпространство в Spec (Л), состоя-
состоящее из максимальных идеалов А с индуцированной топологией, назы-
называется максимальным спектром А и обозначается Мах (А). Оно не обла-
обладает хорошими функториальными свойствами в отличие от Spec (A)
(см. упражнение 21), потому что прообраз максимального идеала отно-
относительно гомоморфизма колец может не быть максимальным.
Пусть X— компактное хаусдорфово пространство, С(Х)—кольцо
всех вещественных непрерывных функций иа X (они складываются и умно-
умножаются поточечно). Для каждой точки х&Х обозначим через ш* мно-
множество всех f^C(X), для которых f(x)=O. Идеал ш« максимален, по-
потому что ои является ядром сюръективного гомоморфизма С(Х) -*¦ R, пере-
переводящего / в }(х). Будем писать X вместо Мах(С(х)); мы определили
отображение ц: Х^>-Х, xt—s-ш*.
Покажем, что ц — гомеоморфизм X на X.
(I) Пусть m — некоторый максимальный идеал в С (X), и пусть
V = V (ш) — множество общих нулей функций из т:
V—{x(sX\f(x) = 0 для всех fern}.
Предположим, что V пусто. Тогда для каждой точки х е X существует
такой элемент fx em, что fx(x) Ф 0. Так как fx непрерывны, fx не обра-
обращается в нуль в некоторой открытой окрестности Ux точки х. Поскольку X
компактно, конечное число таких окрестностей, скажем Ur Ur , по-
*i хп
крывают X. Положим
Тогда f не обращается в нуль на X и, значит, является единицей в С(Х).
Но это противоречит тому, что /еш. Следовательно, V непусто.
Пусть х — некоторая точка V. Тогда ш Е nt^, так что ш = хлх, ибо
Ш максимален. Поэтому ц сюръективио.
(II) По лемме Урысоиа (это единственный нетривиальный факт,
которым приходится пользоваться в доказательстве) непрерывные функ-
функции разделяют точки X. Поэтому х ф у =^ \\\х ф п\у, так что отображе-
отображение ц инъективно.
26 Глава 1
(III) Пусть / t= С(Х). Положим
Показать, что ii(Ut)—Of. Открытые множества Uf (соответствен-
(соответственно Dj) образуют базнс топологии X (соответственно X). Поэтому ц —
гомеоморфизм. Таким образом, X можно восстановить по С(Х).
Аффинные алгебраические многообразия
27. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, и пусть
— некоторое множество полиномиальных уравнений от п переменных
с коэффициентами в k. Множество X всех точек к — (х\ хп)е?",
удовлетворяющих этим уравнениям, называется аффинным алгебраическим
многообразием.
Рассмотрим множество всех многочленов gei [t\, ..., tn\ для ко-
которых g(x) = 0 для всех *е! Это множество является идеалом ЦХ)
в кольце многочленов; оно называется идеалом многообразия X. Фактор-
кольцо
есть кольцо полиномиальных функций на X, потому что два многочле-
многочлена g, h определяют одну и ту же функцию на X в том и только том
случае, когда g — h обращается в нуль в любой точке X, т. е. g — ft e
<=/(*).
Обозначим через ?> образ tt в Р(Х). Это — координатные функции
на X: если х & X, то %i(x) есть «-я координата точки х; А-алгебра Р(Х)
порождена этими координатными функциями; она называется координат-
координатным кольцом (или аффинной алгеброй) многообразия X.
Как в упражнении 26, для любой точки х е X обозначим через тх
идеал всех функций f^P(X), для которых /(*)=0. Это — максималь-
максимальный идеал в Р(Х). Следовательно, полагая X = Мах (Р(Х)), мы можем
определить отображение ц: X -*¦ X, х i—>шх.
Нетрудно показать, что ц ииъективно: если х ф у, то Xi ф yi для
некоторого i (lsgisgn), так что 1< — Xi принадлежит ш^-, но не при-
принадлежит п\у, и т.* Ф \\\у. Менее очевидно (но верно), что ц сюръективно.
Это 'одна из форм теоремы Гильберта о нулях (см. главу 7).
28. Пусть fi fm — элементы k[t\, ..., tn]. Они определяют поли-
полиномиальное отображение ер: kn -+km; если «et", координаты точки q>(x)
равны /i(x) fm(x).
Пусть X, Y— аффиииые алгебраические многообразия в kn, km соот-
ветствеиио. Отображение ср: X -*¦ Y называется регулярным, если <р совпа-
совпадает с ограничением иа X некоторого полиномиального отображения kn
в km.
Для любой полиномиальной функции т| на Y композиция т| »ф яв-
является полиномиальной функцией иа X. Поэтому ф индуцирует гомо-
гомоморфизм А-алгебр P(Y) -*¦ Р(Х): T|t—>т|°ф. Показать, что тем самым
определяется взаимно одиозиачиое соответствие между регулярными ото-
отображениями X-*Y и гомоморфизмами А-алгебр P(Y)->-P(X),
Глава 2
МОДУЛИ
Современный подход к коммутативной алгебре отличается,
в частности, тем, что подчеркивается роль модулей, а не толь-
только идеалов. Большая ясность и простота изложения дости-
достигаются благодаря дополнительной свободе действий. Напри-
Например, модулями над А являются и идеал а, и факторкольцо
А/а, поэтому до известной степени их можно исследовать оди-
одинаковыми средствами. В этой главе дано определение и изу-
изучены элементарные свойства модулей. Кроме того, вкратце об-
обсуждаются тензорные произведения и их поведение в точных
последовательностях.
Модули и гомоморфизмы модулей
Пусть А — некоторое кольцо (как всегда, коммутативное);
А-модулем называется абелева группа М (записываемая ад-
аддитивно), на которой А действует линейно. Точнее говоря, мо-
модуль есть пара (М, ц), где М — абелева группа, а ц, — отобра-
отображение А У(М-*-М, причем выполняются следующие аксиомы,
в которых мы вместо ц(а,х) (а^А, х^М) пишем ах:
а{х + у) = ах-\- ау,
(а + Ь) х = ах + Ьх,
(ab)x = a(bx),
\х = х (а, Ь&А; х, у^М).
(Равносильное определение: М есть абелева группа вместе
с гомоморфизмом колец А-*-Е(М), где Е(М) — кольцо эндо-
эндоморфизмов М как абелевой группы.)
Понятие модуля обобщает несколько хорошо известных по-
понятий, как показывают следующие примеры.
Примеры. 1) Любой идеал а кольца А является Л-моду-
лем; в частности, А есть Л-модуль.
2) Если А является полем k, то Л-модуль — то же самое,
что векторное пространство над k.
3) Л = Z; Z-модули — это абелевы группы (пх есть х + ,.,
...+*).
28 Глава 2
4) Л = k[x]. Задать Л-модуль — то же, что задать вектор-
векторное пространство над k и линейный оператор на нем.
5) G — конечная группа, А = k[G] — групповая алгебра О
над полем k (это кольцо коммутативно, только если группа G
абелева); Л-модули— то же, что представления группы G
над k.
Пусть М, N — некоторые Л-модули. Отображение f: М-*-
-*-N называется гомоморфизмом А-модулей (или А-линейным
отображением), если
f(ax) = af(x)
для всех as Л и х, у&М. Таким образом, f — гомоморфизм
абелевых групп, перестановочный с действием всех йеД
Если Л — поле, гомоморфизмы Л-модулей — это линейные ото-
отображения векторных пространств.
Композиция гомоморфизмов Л-модулей снова является та-
таким гомоморфизмом.
Множество всех гомоморфизмов Л-модулей М в N можно
превратить в Л-модуль, определив f + g и af формулами
(af)(x) = af(x)
для всех jg! Проверка аксиом тривиальна. Этот Л-модуль
обозначается Honu(Af, N) (или просто Hom(Af, N), если нет
сомнений, какое кольцо Л имеется в виду).
Гомоморфизмы и: М'-*-М и v: N-*~N" индуцируют ото-
отображения
п: Hom(Af, N) -> Нот (М1, N), g: Hom(M, JV)-*Hom(Af, N"),
Эти отображения являются гомоморфизмами Л-модулей.
Для любого Л-модуля М имеется естественный изоморфизм
Нот(Л,Л1)^Л1: каждый гомоморфизм Л-модулей /: А-*-М
однозначно определяется элементом f(l), который можно вы-
выбирать произвольно.
Подмодули и фактормодули
Подмодулем М' модуля М называется всякая подгруппа,
замкнутая относительно умножения на элементы из Л. Тогда
на факторгруппу М/М' переносится структура Л-модуля, если
умножение определить формулой
а {х + М') = ах + М'\
Модули 29
Л-модуль М/М' называется фактормодулем М по М'. Естест-
Естественное отображение М на М/М' является гомоморфизмом
Л-модулей. Существует взаимно однозначное и сохраняющее
включение соответствие между подмодулями М, содержащими
М', и подмодулями М/М' (отсюда следует, как частный слу-
случай, соответствующее утверждение для идеалов).
Пусть f: M-+N— гомоморфизм Л-модулей. Его ядром на-
называется множество
которое является подмодулем М. Его образ — это множество
являющееся подмодулем в N. Его коядром называется мно-
множество
являющееся фактормодулем N.
Пусть М' — произвольный подмодуль М, содержащийся
в Ker(f). Тогда f индуцирует гомоморфизм /: M/M'->N, опре-
определенный так: если х еМ/М' есть образ элемента j;eAf, то
f(x) =f(x). Ядро / равно Ker(f)/Af'. Говорят, что гомомор-
гомоморфизм / индуцирован гомоморфизмом f. Полагая, в частности,
Af = Ker(f), получаем изоморфизм Л-модулей
Операции над подмодулями
Большинство операций над идеалами, рассмотренных в
главе 1, обобщается иа модули. Пусть М — некоторый Л-мо-
дуль, (Mi)l^/ — семейство его подмодулей. Их суммой 2М*
называется множество всех (конечных) сумм 2*г> где хл е
е.М{ для всех ig/и почти все (все, кроме конечного числа)
%i равны нулю; ^jMt совпадает с наименьшим подмодулем
в М, содержащим все М{. Пересечение f\Mt также является
подмодулем в М. Таким образом, подмодули М образуют пол-
полную структуру относительно включения.
Предложение 2.1.A) Пусть L^tM^tN — некоторые
А-модули. Тогда
(L/N)/(M/N)~L/M.
(II) Пусть Ми Мг — подмодули в М. Тогда
30 Глава 2
Доказательство. (I) Определим отображение
6: L/N -> L[M формулой 6 (х + N) = х + М. Определение кор-
корректно, и б является гомоморфизмом Л-модулей L/N на L/M
с ядром M/N, откуда и следует (I).
(II) Композиция гомоморфизмов
М2-+ Мх + Af2-> (M, + М2)/М1
сюръективна, а ее ядро равно Mi f) М2. Отсюда следует (II). ¦
Произведение двух подмодулей в общем случае определить
невозможно, но можно рассмотреть произведение. аМ, где а —
некоторый идеал, а М — некоторый Л-модуль. Оно состоит из
всевозможных конечных сумм 2#Л> гДе o^sa, л(еМ, и яв-
является подмодулем в М.
Для двух подмодулей N, Р в М множество (N : Р) по опре-
определению состоит из тех as Л, для которых aP^N. Это —
идеал в Л. В частности, идеал @ : М) — множество тех а^А,
для которых аМ = 0, — называется аннулятором М и обозна-
обозначается Апп(М).
Если as Ann(М), то М можно рассматривать как Л/ -мо-
-модуль: пусть х^А/а представлен элементом яеЛ; тогда xtn
определяется как xm (meAf), От выбора представителя х
класса х этот элемент не зависит, потому чтойМ = 0.
Л-модуль М называется строгим, если Апп(М) = 0. Если
Апп(М) = а, то М как Л/а-модуль является строгим.
Упражнение 2.2. (I) Ann(M + N)=Arm(M) Л Апп(ЛГ).
(II) (N : Р) = Ann((N + P)/N).
Пусть х — любой элемент М; множество всех его кратных
ах (а^А) является подмодулем в М, который мы обозначим
через Ах или (х). Если М — 2 Ах{, семейство хг называется
is/
системой образующих М. Это означает, что всякий элемент из
М можно представить в виде конечной линейной комбинации
элементов х{ с коэффициентами из Л; Л-модуль М называется
конечно порожденным, если у него существует конечная си-
система образующих.
Прямая сумма и прямое произведение
Прямой суммой M(?)N Л-модулей М, N называется множе-
множество всех пар (х,у), где хеМ, y^N. Оно превращается
в Л-модуль, если определить сложение и умножение покоор-
покоординатно:
(*!• У\) + (*2> У2> = (*1 + Х2,
а (х, у) = (ах, ау).
Модули 31
Более общо, пусть (Мг)ге/ —любое семейство Л-модулей.
Прямая сумма ф Mi состоит из семейств вида (xi), ., где
Xt e М{ при всех is/ и почти все х{ равны нулю. Если
отбросить это последнее ограничение на количество ненулевых
х, получится прямое произведение J\Mt. Таким образом,
прямая сумма совпадает с прямым произведением, если мно-
множество / конечно, но в общем случае отличается от него.
Предположим, что кольцо Л является прямым произведе-
п
нием Д At (глава 1). Тогда множество всех элементов вида
(О, ...,0, а„ 0 0)е=Л,
где ai e Аи является идеалом at в А (но не подкольцом, кро-
кроме тривиальных случаев, потому что оно не содержит единич-
единичного элемента из Л). Кольцо Л, рассматриваемое как Л-мо-
Л-модуль, является прямой суммой идеалов аи ..., ап. Наоборот,
если дано разложение кольца Л
Л = fli® ... фй„
как Л-модуля в прямую сумму идеалов, то
где Ь» = ф л,. Каждый из идеалов л{ является кольцом (изо-
морфным A/bt). Единичный элемент et в at является идем-
потентом в Л, и аг = (е^).
Конечно порожденные модули
Свободный Л-модуль, по определению, изоморфен Л-моду-
лю вида ф Mt, где все М{ изоморфны Л (как Л-модулю).
Такой модуль иногда обозначается Л<7'. Конечно порожденный
свободный Л-модуль поэтому изоморфен Лф ... фЛ (и сла-
слагаемых) и обозначается Л" (Л° по определению есть нулевой
модуль 0).
Предложение 2.3. А-модуль М конечно порожден в том
и только том случае, когда он изоморфен фактормодулю мо-
модуля Ап для некоторого целого и > 0.
Доказательство. =#•: Пусть хи .,., хп порождают М.
Определим отображение <р: Ап-*-М, положив у(аи ...,ап) =
= п\Х\ + ...'+ апхп. Это — сюръективный гомоморфизм
Л-модулей, поэтому М = Лп/Кег(ф).
32 Глава 2
Ф=: Существует сюръективный гомоморфизм Л-модулей
ф: Ап -> М. Положим е, = @,..., 0,1,0,..., 0) A на i-ы мес-
месте). Тогда в{ A ^ t ^ п) порождают Ап и, значит, ф(е*) по-
порождают М. ¦
Предложение 2.4. Пусть М — конечно порожденный
А-модуль, а — некоторый идеал в А, ф — такой эндоморфизм
А-модуля М, что ф(М)еаМ. Тогда ф удовлетворяет некото-
некоторому уравнению вида
где все а, принадлежат а.
Доказательство. Пусть Xi, ..., хп — некоторая систе-
система образующих в М. Тогда ф(^)еаА1 для всех i, так что
га
Ф{xt) = 2 Qf/Jf/ A<г<п;а(/еа), или
га
2 (ЬцЦ> — аг/) */ = 0,
/1
где б»,- — символы Кронекера. Умножив эту систему слева на
матрицу, присоединенную к (б^Ф — ац), мы получим, что
det (Sf3-ф — ац) аннулирует все дс, и потому является нулевым
эндоморфизмом М. Разлагая этот определитель, получаем для
Ф уравнение требуемого вида. ¦
Следствие 2.5. Пусть М — конечно порожденный А-мо-
А-модуль, а — такой идеал А, что аМ = М. Тогда существует эле-
элемент х = 1 (mod а), для которого хМ = 0.
Доказательство. В B.4) положить: ф = тождествен-
тождественное отображение, х = 1 + ai -f-... -f- an. ¦
Предложение 2.6 (лемма Накаямы). Пусть М — конеч-
конечно порожденный А-модуль, а а. — идеал А, содержащийся в ра-
радикале Джекобсона Ш кольца А, Если аМ = М, то М = 0.
Первое доказательство. В силу B.5), хМ = 0 для
некоторого х = l(mod 31). Из A.9) следует, что х — единица
в А. Поэтому М = х~1хМ = 0. ¦
Второе доказательство. Предположим, что М ф 0.
Пусть «1, ..., ип — некоторая минимальная система образую-
образующих. Тогда Мп^аМ, поэтому имеет место равенство вида ып =
= diU\-\- ... -\-апип, где щ е а. Отсюда получаем
A—а„)ыя = а1«1+ ... +ая-,«л_1.
Поскольку йцЕЙ, из A.9) следует, что 1—ап — единица в А.
Следовательно, ип принадлежит подмодулю М, порожденному
«1 un-i, и мы получили противоречие. ¦
Модули 33
Следствие 2.7. Пусть М — конечно порожденный А-мо-
дуль, N — некоторый его подмодуль, a s Ш — идеал. Тогда
Доказательство. Применить B.6) к M/N и учесть, что
a (M/N) = (Ш + N)/N. ¦
Пусть А —локальное кольцо, m — его максимальный идеал,
k = A/m — поле вычетов, М — некоторый конечно порожден-
порожденный Л-модуль. Так как тп аннулирует М/тМ, последний есте-
естественно рассматривать как Л/щ-модуль, т. е. ^-векторное про-
пространство. Оно конечномерно.
Предложение 2.8. Пусть хг A ^ i ^ п) — элементы М,
образы которых в М/тМ составляют базис этого векторного
пространства. Тогда Х\ порождают М.
Доказательство. Пусть N — подмодуль М, порожден-
порожденный элементами xt. Тогда композиция А/-> М-> М/тМ отоб-
отображает N на М/тМ. Поэтому N + тМ = М и N = М в силу
B.7). ¦
Точные последовательности
Последовательность Л-модулей и гомоморфизмов
... -> мг_, -<> м, -!*±± мш - ... @)
называется точной в члене Mit если Im(fi)= Ker(fi+1). Она
называется точной, если она точна во всех своих членах. Ча-
Частные случаи:
0—>М'—*¦ М точна 4Ф / инъективен; A)
М—»-М"->0 точна 4Ф g сюръективен; B)
0->М'-^-»-М—>М"-+0 точна ^/инъективен,
g сюръективен, и g индуцирует изоморфизм C)
Coker(f) =M/f(M') на М".
Последовательность вида C) называется короткой точной
последовательностью. Любую длинную точную последователь-
последовательность @) можно разбить на короткие следующим способом:
положим Ni = Im(/i) = Ker(/i+t). Тогда получаются короткие
точные последовательности 0 -*¦ Nt -*¦ М* -»• Ni+i -*¦ 0 для всех L
Предложение 2.9. (I) Пусть
М'-^М^>М"->0 D)
2 Зак. 1238
34 Глава 2
— последовательность А-модулей и гомоморфизмов. Она точна
тогда и только тогда, когда для всех А-модулей N точна после-
последовательность
О -> Нот (ЛГ, N) -1* Нот (М, N) -^ Нот {М', N). D')
(И) Пусть
O-t-N'-^N-^N" E)
— последовательность А-модулей и гомоморфизмов. Она точна
тогда и только тогда, когда для всех А-модулей М точна по-
последовательность
О -> Нот (М, N') -1* Нот (М, N) -^ Нот (М, Л/"). E')
Все четыре части этого предложения — легкие упражнения.
Например, предположим, что D') точна для всех N. Прежде
всего, v инъектнвно для всех N, поэтому v сюръективно. Да-
Далее, йог? = 0, т.е. оои°/ = 0 дЛЯ всех f- M"—*N. Взяв М"
в качестве N и тождественное отображение в качестве f, на-
находим уоы = 0; поэтому 1т(ы)= Кег(у). Пусть теперь N =
= М/1тп(и) и q>: M-*-N — естественное отображение. Тогда
феКег(м). Поэтому существует такое отображение t|j: M"-*N,
что <p = t|)°y. Следовательно, 1т(ы)= Кег(ф)= Кег(у). Ш
Предложение 2.10. Пусть дана коммутативная диаг-
диаграмма А-модулей и гомоморфизмов, строки которой точны*.
Тогда существует точная последовательность
О _> Кег (/') -^ Ker (f) ^> Кег (/") ^>
-> Coker (/') -^ Coker (/) -^ Coker (/") -> 0, F)
в которой п, v являются ограничениями и, v, а п', v' индуци-
индуцированы гомоморфизмами и', и'.
Граничный гомоморфизм d определен следующим образом.
Если х" е Ker (f"), то x" = v{x) для некоторого хеМ, и
v'(f(x)) = f"(v(x)) = O. Поэтому /(x)eKer(o') ^Im^.TaK
что f(x) = и'(у') для некоторого if^N'. По определению,
d(x") есть образ у' в Coker (f). Проверка корректности этого
определения и точности последовательности F) проводится
непосредственно, и мы оставляем ее читателю в качестве
упражнения. ¦
Модули 35
Замечание. Последовательность F) — это частный слу-
случай точной последовательности гомологии в гомологической
алгебре.
Пусть теперь С — некоторый класс Л-модулей, а Я — функ-
функция на С со значениями в Z (или, более общо, в некоторой
абелевой группе G). Функция X называется аддитивной, если
для любой короткой точной последовательности C), все члены
которой принадлежат С, имеем
ЧМО - Я (М) + ММ") = 0.
Пример. Пусть Л — поле k, а С — класс всех конечномер-
конечномерных ^-векторных пространств V. Тогда V*->dim V—аддитив-
V—аддитивная функция на С.
Предложение 2.11. Пусть 0-*¦ Мо-*¦ Mi->-,,.->-Мп-*¦
-»-0—точная последовательность А-модулей, в которой все
модули Mi и ядра всех гомоморфизмов принадлежат С. Тогда
для любой аддитивной функции к на С имеем
Доказательство. Разобьем нашу последовательность
на короткие отрезки:
0-+Nt-+Mt-*-Nt+l-+0
(No = Nn+i = Q). Тогда X(M*)«=X(JV«) + X(JV1+i). Построим
теперь альтернированную сумму: все члены справа сократят-
сократятся. ¦
Тензорное произведение модулей
Пусть М, N, Р — три Л-модуля. Отображение f: M Х^->-
-*¦ Р называется А-билинейным, если для каждого элемента
хеМ отображение N в Р, y^-^f(x,y), Л-линейно, и для каж-
каждого y&N отображение М в Р, x>—*f(x,y), Л-линейно.
Мы построим Л-модуль Т, называемый тензорным произве-
произведением М и N и обладающий следующим свойством: Л-били-
нейные отображения My^N-*-P находятся в естественном
Взаимно однозначном соответствии с Л-линейными отображе-
отображениями Т-+-Р, каков бы ни был Л-модуль Р.
Точнее говоря, имеет место
Предложение 2.12. Пусть М, N — некоторые А-модули.
Тогда существует пара (T,g), состоящая из А-модуля Т и
А-билинейного отображения g: M\N -> 7\ со следующим
свойством:
для любого А-модуля Р и А-билинейного отображения f:
MXN-+P существует единственное А-линейное отображение
2*
36 Глава 2
f: Т-*Р, такое, что f = f'°g (иными словами, любое би-
билинейное отображение My^N можно пропустить через Т).
Если (T,g), (T',gr)—две пары с таким свойством, то су-
существует единственный изоморфизм ]: Т-*-Т', для которого
j°g = gr-
Доказательство. (I) Единственность. Заменив (Р, f)
на (T',g')t мы получим единственное отображение /: Г->Г',
для которого g' = j°g. Поменяв местами Т и Т', найдем ото-
отображение /': Г'-*-Г, для которого g = i'°g'. Обе композиции
/°/'> i'°l Должны быть тождественными отображениями; по-
поэтому / — изоморфизм.
(II) Существование. Обозначим через С свободный Л-мо-
дуль A<MXN\ Элементы С — это формальные линейные комби-
комбинации элементов MXJVc коэффициентами из Л, т. е. выраже-
п
ния вида 2 at (xh yt) (a* ei, xt e M, y{ s N).
Пусть D — подмодуль С, порожденный всеми элементами
вида
(х + х', у) — (х, у) — (*', у),
(х, У + У')- (х, у) - (х, у'),
(ах, у) —а- (х, у),
(х, ау)-а- (х, у).
Положим Т = C/D. Для каждого базисного элемента (х, у)
из С обозначим через х®у его образ в Т. Модуль Т порожден
элементами вида х<8)у, и из определения ясно, что они удо-
удовлетворяют соотношениям
(дс + х') <8> у = х <8> у + х' <8> у, х®(у + у') = х®у-{-х®у'
(ах) ® у = х ® (ау) = а (х ® у).
Иными словами, отображение g: My^N-*-T, определенное
формулой g(x, у) = х®у, Л-билинейно.
Любое отображение f произведения М у, N в Л-*модуль Р
продолжается по линейности до гомоморфизма Л-модулей
/: С-+Р. Если f, сверх того, Л-билинейно, то J обращается
в нуль на образующих D и, значит, на всем D. Поэтому / ин-
индуцирует однозначно определенный Л-гомоморфизм f модуля
T = C/t) в Р, для которого f (x<S>y) = f(x, у). Поэтому пара
(Т, g) обладает сформулированным свойством. ¦
Замечания. (I) Построенный выше модуль Т называет-
называется тензорным произведением модулей М, N и обозначается
M®N или просто М®Л/, если ясно, какое кольцо А имеется в
А
виду. Как Л-модуль, MQN порожден «произведениями» х®у.
Модули 37
Если заданы два семейства образующих (xi)ie.,, /
модулей М, N соответственно, то элементы Xi<S>yj порождают
M&N. В частности, если М, N конечно порождены, то же вер-
верно относительно M<S)N.
(II) Произведение х®у по существу не определено одно-
однозначно, если не указано тензорное произведение, к которому
этот элемент принадлежит. Пусть, скажем, М', N' — подмоду-
подмодули М, N соответственно нхеМ', уеN'. Тогда может слу-
случиться, что х<8)у как элемент M<8>N равен нулю, а как элемент
M'<S>N' отличен от нуля. Возьмем, например, А = Z, М = Z,
N = Z/2Z и пусть М' = 2Z с= Z, Л/' = Л/. Обозначим через х
ненулевой элемент из N и рассмотрим произведение 2<8х. Оно
равно нулю в M<S>N, потому что 2<8>х = 1 <8>2х = 1 <8>0 = 0. Но
в M'®N' оно не равно нулю: см. пример после B.18).
Однако верен такой результат:
Следствие 2.13. Пусть ^еМ, j(eJV — такие э.:е-
менты, что 2 Х{ ® Уь = 0 в М <8> N. Тогда существуют ко-
конечно порожденные подмодули МоаМ и Nocz N, такие, что
2 xt ® yi = 0 s Мо® No.
Доказательство. Пусть 2*<®#< = 0 в М®Л/. В обо-
обозначениях доказательства B.12) тогда имеем 2(*t>#0 ^D,
так что 2 (xt, yd есть конечная линейная комбинация обра-
образующих подмодуля D. Обозначим через Мо подмодуль в М, по-
порожденный всеми Х\ и всеми первыми координатами пар из
М X N, участвующих в упомянутых образующих. Аналогично
определим М). Тогда 2 xi <8> yi = 0 в Мо ® Л/о. ¦
(III) Конструкция тензорного произведения, данная
в B.12), нам никогда больше не понадобится, и читатель при
желании может о ней благополучно забыть. По-настоящему
важно помнить определяющее свойство универсальности тен-
тензорного произведения.
(IV) Вместо того чтобы исходить из билинейных отображе-
отображений, мы могли бы начать с рассмотрения полилинейных ото-
отображений f: MiX • • • Х.Мг-*-Р, определенных аналогично (ли-
(линейных по каждой переменной). Повторяя доказательство
B.12), мы придем к конструкции «кратного тензорного произ-
произведения» Т = Mi® ... ®МГ, порожденного всевозможными
произведениями вида Xi<S> ... <8>xr (Xi^M{, l^i^r). Вос-
Восполнение деталей можно оставить читателю; результат, соот-
соответствующий B.12), звучит так:
Предложение 2.12*. Пусть Ми ..., Мг—некоторые
А-модули. Существует пара (T,g), состоящая из А-модуля Т
и А-полилинейного отображения g: М4 X • • • X Мг —> Т, со
следующим свойством:
38 Глава 2
для которых соответственно
(а)
(Ь)
(с)
(d)
х €
(х<
[х,
а €
)у*->у<8>
Э г/) ® г н-
</) ® 2 1—>
5 лт ь-*• алт.
X,
¦* х (
(хв
8 (У в
)г,у{
) г)ь
Эг),
для любого А-модуля Р и А-полилинейного отображения
f: Mi X • •. X ^r -* Т существует единственный А-гомомор-
физм \'\ Т -* Р, для которого f °g = f.
Если (T,g), (T',gr)—две пары с таким свойством, то
существует единственный изоморфизм у. Т —»• Г', для которого
Тензорные произведения связаны разными так называе-
называемыми «каноническими изоморфизмами», часть которых мы
сейчас перечислим:
Предложение 2.14. Пусть М, N, Р — некоторые
А-модули. Существуют однозначно определенные изоморфизмы
(I) М ® N-> N <8> М,
(II) (M®N)<8>P->M®(N<8>P)-*M<8>N®P,
(III) (M®N)®P->(M®P)®(N®P),
(IV) А®М-+М,
у ® г,
Доказательство. В каждом случае главное — прове-
проверить, что описанные отображения существуют и определены
однозначно. Для этого нужно построить соответствующие би-
билинейные или полилинейные отображения и воспользоваться
свойством 2.12 или 2.12*, чтобы удостовериться в существе^
вании гомоморфизмов тензорных произведений. Мы докажем
для иллюстрации часть утверждения (II), а остальное пре-
предоставим читателю.
Построим гомоморфизмы
для которых
f((x<8> #)®z) = *® у® г,
g {х ® у ® г) = (дг ® у) ® г
при всех х еМ, у eiV, геЯ
Чтобы Построить /, фиксируем элемент геР. Отображе-
Отображение (х, у) I—> х ® «/ ® г (xEM,yeJV) билинейно по х и у
и, значит, индуцирует некоторый гомоморфизм
/г: М® N-* М ® N ® Р,
для которого fz{x ® у) = лг ® # ® г. Теперь рассмотрим ото-
отображение {t,z)^->fz{t) из (МФ.ЛОХЯ BM®iV®P. Оио
Модули 39
билинейно по t и z и, следовательно, индуцирует гомоморфизм
/: {М ® N) ® Р -* М ® N ® Р,
для которого f((x ® у) ® г) = х ® # ® г.
Чтобы построить g, рассмотрим отображение (х, у, z) ь->
н->. (х ® у) ® 2 из Л1 X N X Р в (Л! ® Л?) ® Р. Оно линейно
по каждому аргументу и потому индуцирует гомоморфизм
g: M®N ® Р->(М ® JV) ® Р,
для которого g(x ® у ® г) = (х <8) у) ®2.
Ясно, что f°g н g°f — тождественные отображения;
поэтому fug — изоморфизмы. ¦
Упражнение 2.15. Пусть А, В— кольца, М — некото-
некоторый А-модуль, Р — некоторый В-модуль, а N — некоторый
(А,В)-бимодуль (т. е. N снабжен одновременно структурами
А-модуля и В-модуля, которые согласованы: a(xb) = (ах)Ь
для всех а^А, b е В, xeiV). Тогда М ® N имеет естест-
А
венную структуру В-модуля, а N ® Р структуру А-модуля,
в
и в этих условиях
(М ® N) ® Р =ё М ® (N ® Р).
А В А В
Пусть f: M-+ М' и g: N -*¦ N' — гомоморфизмы Л-моду-
лей. Определим отображение h; М X N —»• М' ® N', положив
h(x,y) =f{x)®g{y). Легко проверить, что h Л-билинейно
и, следовательно, индуцирует гомоморфизм ^-модулей
f ® g: M®N-*M'® N',
для которого
(f®g)(x®y) = f(x)®g(y) (x <== М, у е N).
Пусть еще даны гомоморфизмы Л-модулей f: M'-+M"
и g': N' -*¦ N". Очевидно, композиции (f of)® (gf o g) и
(Г ® g') ° (f ® g) совпадают на всех элементах вида х ® у
в М ® N. Так как такие элементы порождают М ® N, отсю-
отсюда следует, что
(Р °f)®(g'°g) = (f'®g')°(f®g)-
Ограничение и расширение скаляров
Пусть f: А -*¦ В — гомоморфизм колец, N — некоторый
В-модуль. Тогда N имеет структуру Л-модуля, определенную
следующим образом: пусть а е Л и х е N; ах есть f{a)x.
Мы говорим, что этот Л-модуль получился из N ограниче-
ограничением (кольца) скаляров. В частности, f определяет таким
способом структуру Л-модуля на В.
40 Глава 2
Предложение 2.16. Предположим, что N конечно по-
порожден как В-модуль, а кольцо В конечно порождено как
А-модуль. Тогда N конечно порожден как А-модуль.
Доказательство. Пусть уи ..., уп порождают N над
В, a Xi, ..., xm порождают В как Л-модуль. Тогда пгп произ-
произведений Xj«/j порождают N над А. щ
Пусть теперь М — некоторый Л-модуль. Как мы только
что убедились, В можно рассматривать как Л-модуль и по-
построить Л-модуль Мв — В ® М. На Мв имеется структура
А
В-модуля, в которой b(b'® х) = ЬЪ' <8> х при всех b, b'^B
и х s М. Мы говорим, что В-модуль Мв получился из М рас-
расширением скаляров.
Предложение 2.17. Если М конечно порожден как
А-модуль, то Мв конечно порожден как В-модуль.
Доказательство. Если Хи ..., хт порождают М над
А, то 1 <8> xt порождают Мв над В.
Свойства точности тензорного произведения
Пусть f: М X ^ —*• Р есть Л-билинейное отображение. Для
каждого х е М отображение N в Р, y*-*-f(x,y), Л-линейно.
Поэтому f индуцирует отображение М —*¦ Hom(iV,P), которое
Л-линейно, так как f линейно по х. Наоборот, любой Л-гомо-
морфизм ф: М -> Нотл (N, Р) определяет некоторое билиней-
билинейное отображение: (х, у) к-*-ф(х) (у). Поэтому множество S
Л-билинейных отображений М X ^ -*-Р находится в естествен-
естественном взаимно однозначном соответствии с Hom(M, Hom(iV,P)).
С другой стороны, S находится во взаимно однозначном со-
соответствии с Hom(M ® N,P) в силу основного свойства тен-
тензорного произведения. Поэтому существует канонический
изоморфизм
Нот (М ®N,P)s* Нот (М, Нот (N, Р)). A)
Предложение 2.18. Пусть дана точная последователь-
ность А-модулей и гомоморфизмов
а N — произвольный А-модуль. Тогда последовательность
М'<8» nJ®1+m®N-^>M"®N-»Q C)
(где 1 — тождественное отображение N) точна.
Доказательство. Обозначим последовательность B)
через Е, а C)—через Е <8> N. Пусть Р — любой Л-модуль.
Из точности B) следует точность последовательности
Модули 41
Hom(?, Hom(JV, P)) в силу B.9). В силу A), точна после-
последовательность Hom(?®W, Р). Снова применяя B.9), полу-
получаем, что Е ® jV точна. ¦
Замечания. (I) Пусть T(M)=*M®N и U(P) =
— Нот(N,P). Тогда A) принимает вид Нот(Т(М),Р) =
= Hom(Af, U(P)) для всех Л-модулей М и Р. На языке тео-
теории категорий4) это означает, что функтор Т присоединен
слева к U, a U присоединен справа к Т. Доказательство
B.18) показывает, что любой функтор, присоединенный к ка-
какому-нибудь функтору слева, точен справа. Точно так же
любой функтор, присоединенный справа, точен слева.
(II) В общем случае последовательность M'®N-*-
-*¦ М ® N —> М" ® N, полученная из точной последователь-
последовательности М' —> М —> М" тензорным умножением на произволь-
произвольный Л-модуль W, может утратить точность.
Пример. Положим А = Z и рассмотрим точную после-
последовательность О—*-Z—>Z, где f(x)=2x для всех х е Z
Умножив ее тензорно на W = Z/2Z, мы получим последова-
последовательность 0 -> Z ® Л^ -?^-U Z ® N, которая не точна, потому
что для любых x®«/eZ®yVMbi имеем
(/® 1)(х® у) = 2х® у — х®2у=^х® 0 = 0,
так что f ® 1 — нулевое отображение, тогда как TL ® N Ф 0.
Поэтому функтор ТN: Мь—^-МфЫ на категории Л-моду-
лей и гомоморфизмов, вообще говоря, не является точным.
Если 7V точен, т. е. если тензорное умножение на W перево-
переводит точные последовательности в точные, то N называется
плоским Л-модулем.
Предложение 2.19. Следующие свойства А-модуля N
равносильны:
(I) N — плоский модуль.
(II) Для любой точной последовательности А-модулей
0-*¦ М' -*¦ М-*¦ М" -*¦ 0 последовательность 0—*-M'®N~*
->М<8>М-*М"®Л/-*0 точна.
(III) Если гомоморфизм f: M'-+M инъективен, то и f®l:
М' <8> N -> М ® jV инъективен.
(IV) Если гомоморфизм f: М' -*¦ М инъективен и М, М'
конечно порождены, то и f®l: MftS>N-*-M®N инъективен.
Доказательство. ALФ (II) проверяется разбиением
длинной точной последовательности на короткие.
') В оригинале — «In the language of abstract nonsense...». — Приц.
перец.
42 Глава 2
(II) 4Ф (HI) следует из B.18).
A11)=» (IV) очевидно.
(IV)=#(III). Предположим, что f: M'-*M инъективен, и
пусть ы = 2*< ® ^ieKer(/ ® 1), так что 2/(*9®#* = 0
в Л! ® W. Обозначим через Мо подмодуль в Мг, порожден-
порожденный элементами х\, а через щ сумму 2*< ® !Ji как элемент
Л1о® Л^. В силу B.14) в М существует конечно порожденный
подмодуль Мо, содержащий f{Mf0) и такой, что 2/W) ® #* = 0
как элемент Мо ® iV. Обозначим через f0: AfJ->M0 ограни-
ограничение f. Тогда (/0® 1)(мо) = О. Поскольку Л10 и М'о конечно
порождены, }0<8>1 инъективен, так что ыо = О и, значит,
и = 0. ¦
Упражнение 2.20. Яусгь f: A-+ В — гомоморфизм ко-
колец, М — плоский А-модуль. Тогда Мв ==В ® М — плоский
А
В-модуль. (Воспользоваться каноническими изоморфизмами
B.14), B.15).)
Алгебры
Пусть f: Л —> В — гомоморфизм колец. Определим произ-
произведение элементов а е А и b e В формулой
Это определение превращает кольцо В в Л-модуль (частный
случай ограничения скаляров). Таким образом, В имеет од-
одновременно структуру /4-модуля и кольца, и они согласова-
согласованы, в каком смысле — читатель сформулирует сам. Всякое
кольцо В, снабженное структурой Л-модуля, называется
А-алгеброй. Таким образом, Л-алгебра — это пара, состоящая
из кольца В и гомоморфизма колец f: Л->Б.
Замечания. (I) Если Л — поле К (и В Ф 0), то/
инъективен в силу A.2) и, значит, К канонически отождест-
отождествляется со своим образом в В. Поэтому /(-алгебра (К — по-
поле) это по существу кольцо, содержащее /С в качестве под-
кольца.
(II) Пусть А —любое кольцо. Поскольку Л содержит еди-
единичный элемент, существует единственный гомоморфизм
кольца целых чисел Z в Л, а именно /и—»-я*1. Поэтому вся-
всякое кольцо автоматически является Z-алгеброй.
Пусть f: A -* В, g: A-+ С — два гомоморфизма колец.
Гомоморфизмом А-алгебр п: В-*-С называется всякий го-
гомоморфизм колец, одновременно являющийся гомоморфиз-
ыом Л-модулей. Читателю следует проверить, что h является
Модула 43
гомоморфизмом Л-алгебр в том и только том случае, когда
hof = g.
Гомоморфизм колец f: A-* В называется конечным, а В —
конечной Л-алгеброй, если В конечно порожден как Л-мо-
дуль; f называется гомоморфизмом конечного типа, а В —
конечно порожденной А-алгеброй, если существует конечное
число таких элементов Xi xn в Л-алгебре В, что каж-
каждый элемент В можно записать в виде многочлена от
Xi, ..., хп с коэффициентами из Л. Равносильное условие:
существует сюръективный гомоморфизм Л-алгебры A[tu...,tn]
на В.
Кольцо Л называется конечно порожденным, если оно ко-
конечно порождено как Z-алгебра. Это означает, что в Л суще-
существует конечное число таких элементов хи ..., хп, что лю-
любой элемент Л может быть записан в виде многочлена от Xi
с целыми рациональными коэффициентами.
Тензорное произведение алгебр
Пусть В, С — две Л-алгебры, /: А-+В, g: А-*-С — соот-
соответствующие гомоморфизмы. Поскольку В а С являются
Л-модулями, можно построить их тензорное произведение
D = В ® С, которое является Л-модулем. Определим теперь
А
умножение на D.
Рассмотрим отображение Ву^Су^Ву^С -+D, определен-
определенное формулой
(Ь, с, V, с') ^* ЬЪ' ® ее'.
Оно Л-линейно по каждому аргументу и, стало быть, в силу
B.12*), индуцирует гомоморфизм Л-модулей
В <8>С ® B®C-»D,
т.е., согласно B.14), гомоморфизм Л-модулей
D&D-+D,
который, согласно B.11), отвечает Л-билинейному отображе-
отображению
ц: DXD-+D
со следующим свойством:
ц(Ь<8)с, V ® с') = ЪЪ' ® ее'.
Конечно, мы могли бы сразу определить умножение этой
формулой, но какое-нибудь рассуждение типа приведенного
выше необходимо, чтобы удостовериться в корректности оп-
определения (Л.
44 Глава 2
Итак, мы ввели умножение на тензорном произведении
D — В ® С. На элементах вида Ь ® с оно задается форму-
А
ЛОЙ
(Ь ® с) (bf ® сО = W ® ее',
а в общем случае — формулой
Читателю следует проверить, что D с этим умножением пре-
превращается в коммутативное кольцо с единичным элементом
1 ® 1. Кроме того, D есть Л-алгебра: отображение а*—*¦
|—> f(a) ® g(a) является гомоморфизмом колец A-*D.
Ha самом деле существует коммутативная диаграмма го-
гомоморфизмов колец
В
f/ \«
A D
\ /
С
в которой и, например, определяется формулой и(Ь) = Ь <В) 1,
Упражнения
1. Показать, что (Z/mZ) ® (Z//iZ) = 0; если /п, л взаимно просты.
Z
2. Пусть А — некоторое кольцо, а — идеал, М — некоторый Л-модуль.
Показать, что модуль (А/а) ® М изоморфен М/аМ.
А
[Умножить точную последовательность 0 -> а -> Л -> Л/а -> 0 тензорно
на М.]
3. Пусть Л — локальное кольцо, Af и W — конечно порожденные
Л-модули. Доказать, что если М ®JV = O, то либо М = 0, либо N = 0.
[Пусть m — максимальный идеал, й==Л/ш — поле вычетов. Пусть
А4а = й® Ms* М/мМ (по упражнению 2). Из леммы Накаямы следует,
что МА = 0=фМ = 0. Но M<g)N = 0^(M®N\ =0=фЛ1А ® Nk = 0=ф
л \ л Л ft
=фМ^ = 0 или Wa = 0, потому что Afft, JVfe — векторные пространства
над полем.]
4. Пусть Mi (i e /) — произвольное семейство Л-модулей; М — их
прямая сумма. Показать, что М является плоским в том и только том
случае, когда все Mi плоские.
5. Пусть Л [х] — кольцо многочлевов от одной переменной над коль-
кольцом Л. Доказать, что А[х] — плоская Л-алгебра. [Воспользоваться упраж-
упражнением 4.]
6. Для любого Л-модуля М обозначим через М[х] множество всех
многочленов от х с коэффициентами в М, т. е. выражений вида
tnQ + тхх + ... + mfxr [mt s M).
Модули 45
Определив умножение элемента нз А [х] на элемент из М [х] очевидным
образом, показать, что М [х] превращается в Л [х]-модуль.
Показать, что М [х] et А [х] ® М.
А
7. Пусть J)—простой идеал в А. Показать, чтор[х] — простой идеал
в А[х]. Если m—максимальный идеал в А, верно ли, что ill [x] — макси-
максимальный идеал в А [х]?
8. (I) Если М, N — плоские Л-модули, то М ® N тоже плоский.
А
(II) Если В — плоская Л-алгебра, а N— плоский В-модуль, то N—
плоский Л-модуль.
9. Пусть 0 -v М' -*¦ М -*¦ М"->- 0 — точная последовательность Л-моду-
лей. Если М' и М" конечно порождены, то и М. конечно порожден.
10. Пусть Л—кольцо, а — идеал, содержащийся в радикале Джекоб-
сона кольца А, М — некоторый Л-модуль, N — конечно порожденный
Л-модуль, и: М -*¦ N — некоторый гомоморфизм. Если индуцированный
гомоморфизм M/aM^-N/aN сюръективен, то и сюръектнвен.
11. Пусть Л — ненулевое кольцо. Показать, что Ат эй Ап=фт = я.
[Пусть ш — максимальный идеал в Л, <р: Ат -> А" — некоторый изомор-
изоморфизм. Тогда 1 ® <р: (Л/ui) ® Ат -> (Л/т) ® А" — изоморфизм векторных
пространств размерностей от и и соответственно над полем й = Л/ш.
Поэтому от = и.] (Ср. гл. 3, упражнение 15.)
Если гомоморфизм <р: Ат -*¦ Ап сюръективен, то от ^ п.
Если гомоморфизм <р: Лт->-Л" инъектнвен, всегда ли верно, что
т ^ и?
12. Пусть Af — конечно порожденный Л-модуль, <р: М->ЛП — сюръек-
тивный гомоморфизм. Показать, что Кег (ф) конечно порождено.
[Пусть ей ..., еп — некоторый базнс Л". Выберем такие u.sAf, что
<p(Ui) = е,- A <: i ^ п). Показать, что М—прямая сумма Кег (<р) и под-
подмодуля, порожденного щ, ..., и„.]
13. Пусть f: А ->- В — некоторый гомоморфизм колец, а N — некото-
некоторый В-модуль. Рассмотрим N как Л-модуль, полученный путем ограниче-
ограничения скаляров, н построим В-модуль Nb = В ® N. Показать, что гомо-
л I
морфизм g: N-+NB, отображающий у в 1®(/, инъективен и g{N) яв-
является примым слагаемым в Nb-
[Определить проекцию р: WB -»- N формулой р (b<g)y) = by и показать,
W I()Q3K()]
Индуктивные пределы
14. Частично упорядоченное множество / называется направленным,
если дли любой пары г, / из / существует такой элемент ке/, что i <: re,
К к.
Пусть Л — некоторое кольцо, / — направленное множество, (Mi)i s ; —
семейство Л-модулей, перенумерованное множеством /. Пусть для всякой
пары I, j из /, такой, что i <: у, задан Л-гомоморфизм (xi3-: Af,- ->- Mj. Пред-
Предположим, что эти гомоморфизмы удовлетворяют следующим аксиомам:
A) Щг — тождественное отображение Af* для всех ?е/;
B) ц1к = \ь1к°Рц, если i < /' < к.
В этом случае говорят, что модули Mt и гомоморфизмы \hj образуют
индуктивную систему М = (Mt, fj-ij) с множеством индексов /.
Мы построим Л-модуль М, который называется индуктивным (ала
прямым) пределом индуктивной системы М. Обозначим через С прямую
сумму модулей Mi и отождествим каждый модуль Mi с его канониче-
каноническим образом в С. Обозначим через D подмодуль С, порожденный всеми
элементами вида х{ — ^tj(xt), где i ^ у и x<eAf;. Положим М = C/D;
пусть ц: C->-Af — проекции, |ii — ограничение ц на Mt.
Модуль М или, точнее, пара, состоящая из М и семейства гомомор-
гомоморфизмов щ: Afj->-Af, называется индуктивным пределом системы М и
46 Глава 2
обозначается lim Afj. Из конструкции ясно, что ц* = р} ° (д,,5 при всех
i < /. -*
15. В обозначениях упражнения 14 показать, что любой элемент из М
можно представить в виде \ц(х^ для некоторого is/ и xt еM<.
Показать, кроме того, что если [а* (*0 = 0, то существует такой ин-
индекс / ^ i, что (J-«i (-*¦») = 0.
16. Показать, что индуктивный предел (с точностью до изоморфизма)
можно охарактеризовать следующим свойством. Пусть N — некоторый
Л-модуль, и пусть для каждого i е / задан такой Л-гомоморфизм
<х<: Mi -*¦ N, что си = as о (iij при всех i < /. Тогда существует единствен-
единственный гомоморфизм a: M-+N, для которого а< = а ° щ при всех is/,
17. Пусть (Af,-)/ <=/ — семейство подмодулей некоторого Л-модуля,
причем для каждой пары индексов I, /еУ существует кеУ со свой-
свойством Af^ + Afy г AfK. Условимся писать г</, если Мг г Afy, и обозна-
обозначим через ц^: М{-+М, вложение Л(г в М^. Показать, что
В частности, любой Л-модуль является индуктивным пределом своих ко-
конечно порожденных подмодулей.
18. Пусть М= (Af,-, (Xi,), N= (Nj, v<j)—индуктивные системы
Л-модулей с общим направленным множеством индексов. Обозначим через
М, N их индуктивные пределы, а через \ii: Mi-*-M и v<: Ni-^N — соот-
соответствующие гомоморфизмы.
Гомоморфизмом <р: M->-N называется семейство гомоморфизмов Л-мо-
Л-модулей ф*: Mi->Ni, для которого <р,- ° fx*j = v*j ° ф< при всех г ^ /. По-
Показать, что <р однозначно определяет гомоморфизм ф=Пт<р<: M->N,
для которого <р » (it = Vi ° ф< при всех t e /.
19. Последовательность индуктивных систем и гомоморфизмов
называется точной, если для каждого t e / соответствующая последова-
последовательность модулей и гомоморфизмов точна. Показать, что тогда последо-
последовательность индуктиииых пределов M-*-N-*-P точна. [Использовать уп-
упражнение 15.]
Тензорные произведения перестановочны с индуктивными пределами
20. Сохраним обозначения упражнения 14, и пусть N — некоторый
Л-модуль. Тогда (Mi ® N, ц^ ® 1) есть индуктивная система; пусть
Р = lim (Afy® N) — ее индуктивный предел. Для каждого индекса ie/.
определен гомоморфизм н^® 1: Mt ® N -> М (g>W и, следовательно, со-
согласно результату упражнения 16, гомоморфизм ч|з: P-»-Af®JV. Показать,
что -ф яиляется изоморфизмом, так что
lim (Mt <g)N)m (lim Af j) ® N.
[Для каждого ie/ обозначим через go Mi X.N-+Mi®N каноническое
билинейное отображение. Переходя к пределу, получаем отображение
g: MX.N-+-P, Показать, что g Л-билинейно и, значит, определяет неко-
некоторый гомоморфизм ф: M<g)N-+P. Проверить, что f°ij и ч|э ° ф — тожде-
тождественные отображения.]
21. Пусть (Ai)t s j~ семейство колец, перенумерованное направ-
направленным множеством /, и пусть для всех пар индексов f < / заданы гомо-
гомоморфизмы колец aij, удовлетворяющие условиям A) и B) упражнения 14.
Рассматривая каждое кольцо Л< как Z-модуль, мы можем построить
Модули 47
тогда индуктивный предел Л = Пт А{. Показать, что А наследует коль-
кольцевую структуру от колец Ai, так что канонические отображения Ai-*-A
являются гомоморфизмами колец. Кольцо А называется индуктивным пре-
пределом, системы (л,, а,,).
Показать, что если А = О, то At = 0 для некоторого i e/. [Учесть,
что все кольца содержат единичный элемент!]
22. Пусть (Л,, а,-,)—индуктивная система колец и Sfli — нильради-
нильрадикал Ai. Показать, что limSf,- — нильрадикал кольца lim Аи
Если каждое из колец Ai — область целостности, то lim Л; является
областью целостности.
23. Пусть (Bji);j,(=a— некоторое семейство Л-алгебр. Для каждого
конечного подмножества У с Л обозначим через Bj тензорное произ-
произведение (над Л) алгебр Вх для Я е/. Если /' — другое конечное подмно-
подмножество в Л и /е/', то существует канонический гомоморфизм Л-алгебр
Bj -> By. Обозначим через В индуктивный предел колец Bj по системе
всех конечных подмножеств Л. Кольцо В обладает естественной структу-
структурой Л-алгебры, относительно которой гомоморфизмы Bj -*¦ В являются го-
гомоморфизмами Л-алгебр; Л-алгебра В называется тензорным произведе-
произведением семейства (В)
Плоские модули и функторы Тог
Эти упражнения предлагаются читателю, знакомому с определением
и основными свойствами функторов Тог.
24. Пусть М — некоторый Л-модуль. Следующие его свойства равно-
равносильны:
(I) Af— плоский модуль;
(II) Tor^1 (Af, N) = 0 для всех и>0 и всех Л-модулей N;
(III) Torf (Af, N)=0 для всех Л-модулей N.
[Для доказательства импликации (I) =ф (II) рассмотрите свободную
резольвенту модуля N и умножьте ее тензорно на Af. Так как Af— пло-
плоский модуль, получившаяся последовательность точна. Поэтому ее гомо-
гомологии, т. е. Tor^1 (Af, N) тривиальны при п > 0. Для доказательства им-
импликации (Ш)вфA) рассмотрите некоторую точную последовательность
0 -> N' -> N -> N" -> 0.
Отрезок точной последовательности функторов Тог
Tor, (Af, N") -> М ® N' -> М ® N -> Af ® N" -> 0
показывает, что Af — плоский модуль, ибо Tori (M, N") = 0.]
25. Пусть Q-*-N'-*-N-*-N"-*-Q — некоторая точная последователь-
последовательность и N" — плоский модуль. Тогда N' — плоский модуль фф# — плоский
модуль. [Использовать упражнение 24 и точную последовательность функ-
функторов Тог.]
26. Пусть N—некоторый Л-модуль. Тогда N плоский 4Ф
^Ф Tori (A/<x,N) = 0 для всех конечно порожденных идеалов а кольца А.
[Покажите сначала, используя B.19), что N—плоский модуль, если
Tori (Af, N) = 0 для всех конечно порожденных Л-модулей Af. Если Af
конечно порожден, пусть х\, ..., х„ — некоторая система образующих Af.
Обозначим через Af * подмодуль, порожденный элементами х\, ..., хи Рас-
Рассматривая последовательные фактормодули Atj/Afj-i и используя резуль-
результат упражнения 25, покажите, что N — плоский модуль, если Tori (Af, N) =
= 0 для всех циклических Л-модулей Af, т. е. модулей, порожденных од-
одним элементом, и потому изоморфных А/а, где а— некоторый идеал. Еще
48 Глава 2
раз используйте B.19), чтобы свести ситуацию к случаю конечно порож-
порожденных идеалов а.]
27. Кольцо А называется абсолютно плоским, если все Л-модули пло-
плоские. Показать, что следующие утверждения равносильны:
(I) А — абсолютно плоское кольцо.
(II) Любой главный идеал кольца А идемпотентен.
(III) Любой конечно порожденный идеал является прямым слагае-
слагаемым в А.
[A)=Ф(П). Пусть хеЛ. Тогда А/(х) — плоский Л-модуль. Поэтому
в диаграмме
(х)®А-+(х)®
I I.
>А/(х)
отображение а инъективно. Следовательно, Im (р) =0 и, значит,
(х) = (х2). A1)=^ (III). Пусть xei Тогда х = ах2 для некоторого а&А,
так что е = ах — идемпотент и (е) = (х). Пусть теперь е, f — идемпо-
тенты. Тогда (е, f) = (е + f — ef). Следовательно, любой конечно порож-
порожденный идеал в кольце главный и порожден идемпотентом е. Стало быть,
он выделяется прямым слагаемым, потому что Л= (е)фA—е).
(Ш) =ф (I). Используйте критерий упражнения 26.]
28. Всякое булево кольцо является абсолютно плоским. Кольцо, опи-
описанное в упражнении 7 главы 1, — тоже. Любой гомоморфный образ аб-
абсолютно плоского кольца сохраняет это свойство. Локальное абсолютно
плоское кольцо является полем.
Если кольцо А абсолютно плоское, то любой элемент в А является
либо единицей, либо делителем нуля.
Г л ав а 3
КОЛЬЦА И МОДУЛИ ЧАСТНЫХ
Кольца частных и процесс локализации, связанный с их
конструкцией, являются, вероятно, важнейшими техническими
средствами коммутативной алгебры. В алгебро-геометриче-
ской картине локализация означает переход к открытому
подмножеству или к окрестности некоторой точки; важность
такого рода приемов очевидна. В этой главе собраны опреде-
определения и простейшие свойства колец частных.
Способ, которым строится поле рациональных чисел Q,
исходя из кольца целых чисел Z (при этом Z вкладывается
в Q), без труда обобщается на любые области целостности
А и доставляет поле частных кольца А.. Эта конструкция со-
состоит в том, что берется множество всех упорядоченных пар
вида (a, s), где a, s е А и s Ф О, и на нем вводится отноше-
отношение эквивалентности
При проверке транзитивности этого отношения приходит-
приходится делать сокращения, т. е. пользоваться отсутствием нену-
ненулевых делителей нуля в А; поэтому нужно считать, что А —
область целостности. Однако можно обобщить конструкцию
и избавиться от этого ограничения.
Пусть Л — любое кольцо. Мультипликативно замкнутым
подмножеством в А называется всякое подмножество 5 с А,
содержащее 1 и замкнутое относительно умножения. Иными
словами, S — подполугруппа мультипликативной полугруппы
в А. Определим отношение = на Л X 5 следующим спосо-
способом:
(a, s) = F, i)€$(at — bs) и = 0 для некоторого u&S.
Очевидно, оно рефлексивно и симметрично. Для проверки
транзитивности предположим, что (a, s) = (b, t) и (b, t) =э
= (с,и). Тогда в S существуют такие элементы v, w, что
(at — bs)v = О, (bu — ct)w = 0. Исключив b из этих урав-
уравнений, найдем (аи — cs)tvw = 0. Так как S замкнуто отно-
относительно умножения , имеем tvw e S, и, следовательно,
(a,s) з= (с, и). Стало быть, мы определили отношение экви-
эквивалентности. Обозначим через a/s класс эквивалентности
50 Глава 3
пары (a, s), и пусть S~]A — множество всех классов эквива-
эквивалентности. Введем на S-'Л структуру кольца, определив сло-
сложение и умножение «дробей» a/s формулами элементарной
алгебры:
(a/s)(b/t) =
Упражнение. Проверьте, что эти определения не за-
зависят от выбора представителей (a,s), (b,t) и что S^A
удовлетворяет аксиомам коммутативного кольца с единицей.
Формула f(x) = х/l определяет гомоморфизм колец
f: A ->S-M. Вообще говоря, он не инъективен.
Замечание. Если А — область целостности и S =
= А — {0}, то S~lA — поле частных кольца А.
Кольцо S~lA называется кольцом частных А относительно
S. Оно обладает следующим свойством универсальности:
Предложение 3.1. Пусть g: A -*¦ В — некоторый го-
гомоморфизм колец, для которого все g(s), s^S, являются
единицами в В. Тогда существует единственный гомомор-
гомоморфизм колец h: S~lA —>• В со свойством g = h of.
Доказательство. (I) Единственность. Если такой го-
гомоморфизм h существует, то h(a/l) = hf(a) = g(a) для
всех а е А. Поэтому если seS, то
h (Ms) = h ((s/1)-1) = h (sfl)-] = g (s)~],
откуда h(a/s) = h(a/l)h(l/s) = g(a)g(s)~l, так что h одно-
однозначно восстанавливается по g.
(II) Существование. Положим h(a/s) = gf(a)gr(s). Тог-
Тогда h, очевидно, является гомоморфизмом колец, если только
он определен корректно. Для проверки этого предположим,
что ajs = a'js'. Тогда существует элемент /eS со свойством
(as' — a's)t = 0; поэтому
(g(a)g(s')-g(a')g(s))g(t) = O.
Но g(t) —единица в В, следовательно, ()
(')(/I
ёГ()^()
Кольцо S'{A и гомоморфизм /: A->S~lA обладают сле-
следующими свойствами:
1) s e S ф f(s) — единица в S~lA;
2) f(a) = 0 =^ as = 0 для некоторого s e S;
3) любой элемент из S~lA имеет вид f(a)f(s)'1 для неко«
торых а е А и s e S,
Кольца и мод ум частных 51
Наоборот, эти три свойства характеризуют кольцо S^A
однозначно с точностью до изоморфизма. Точнее говоря,
имеет место:
Следствие 3.2. Пусть g: A -*¦ В — такой гомоморфизм
колец, что
(I) s e S =ф g(s) — единица в В;
(II) g{a) = 0 =^ as = 0 для некоторого s e S;
(III) любой элемент из В имеет вид ^(a)gf(s)-1.
Тогда существует единственный изоморфизм h: S^A -»- В, для
которого g — h°f.
Доказательство. В силу C.1) мы должны пока-
показать, что гомоморфизм h: 8~1А-*В, определенный формулой
является изоморфизмом (h существует в силу (I)). Дей-
Действительно, из (III) следует, что h сюръективен. Чтобы до-
доказать инъективность h, вычислим его ядро: если h(a/s) =
= 0, то g(a) = 0 и, значит, в силу (II) имеем at = 0 для
некоторого /gS, так что (a,s)==@,1), т. e. ajs = 0
в S^A. Ш
Примеры. 1) Пусть fc — простой идеал в А. Тогда до*
полнение S = А — fc мультипликативно замкнуто (более то-
того, мультипликативная замкнутость А — 1ц равносильна про-
простоте идеала ft). Будем в этом случае писать Ар вместо
S~lA. Элементы вида a/s, где ast, образуют в Ар некото-
некоторый идеал т. Если ЬЦф.хл, то btfcb, поэтому 6eS и, значит,
bit является единицей в Af. Отсюда следует, что всякий
идеал а в Ар, не содержащийся в тп, содержит единицу и по-
потому совпадает со всем кольцом. Таким образом, m — един-
единственный максимальный идеал в А$; иными словами, Ар —
локальное кольцо.
Процесс перехода от А к Лр называется локализацией от-
относительно 1ц.
2) S^A — нулевое кольцо 4Ф 0 е 5.
3) Пусть f еЛ и S = {fn}n>o< В этом случае мы пишем Л/
вместо S~lA.
4) Пусть a — любой идеал в Л, и пусть S = 1 +а — мно-
множество всех элементов вида 1 + х, где хеа, Очевидно, S
мультипликативно замкнуто.
5) Частные случаи примеров 1) и 3):
(I) Л = Z, ft = (р), р — простое число. Здесь Лр —мно-
—множество всех рациональных чисел вида т/п, где п взаимно
просто с р. Если f s Z, f Ф 0, то Л/ — множество всех ра-
рациональных чисел со знаменателями — степенями f.
52 Глава 3
(II) Л = k [ti, ..., ^п], где k — поле, a U — независимые
переменные; fc — простой идеал в Л. Тогда А$ — множество
всех рациональных функций вида f/g, где g^b- Пусть V —
многообразие, определенное идеалом }>, т. е. множество всех
точек х = (хи ..., Хп) е kn, для которых f (x) = О при всех
f e t). Тогда (при условии, что поле k бесконечно) Ли можно
отождествить с кольцом всех рациональных функций на kn,
определенных почти во всех точках V. Это локальное коль-
кольцо kn вдоль многообразия V, прототип локальных колец, ко-
которые вводятся в алгебраической геометрии.
Конструкцию S~lA можно провести, заменив кольцо А
произвольным Л-модулем М. Определим на М X S отноше-
отношение = , положив
(т, s) =s (tnr, s') 441 {stn' — s'tri) = 0 для некоторого fsS.
Как выше, проверяется, что это — отношение эквивалент-
эквивалентности. Пусть mis — класс эквивалентности пары (т, s),
S~{M — множество этих классов. Введем на S~lM структуру
5Л-модуля очевидными формулами для сложения и умно-
умножения на скаляры. Как в приведенных выше примерах 1) и
3), будем писать М$ вместо S-Ш, если S = Л—fc (fe —
простой идеал), и М/ вместо S~lM, если S = {fn}n>0.
Пусть и: М-*¦ N — некоторый гомоморфизм Л-модулей.
Он индуцирует гомоморфизм 5"*Л-модулей S~lu: S^M —>
-i-S^N, отображающий tn/s в u(m)/s. Имеем 5"*(t;ou) =
(S4) (Sl)
Предложение 3.3. Операция S~l точна. Иначе говоря,
если последовательность М' —-> М—-> М" точна в члене М,
то последовательность S~lM'——f-+S~xM——-> S~lM" точна
в члене S'lM.
Доказательство. Имеем g°f]=O, поэтому
S-igoS-lf = S-i@)—0,TaK что ImE-7) ^КегE-^). Для
доказательства обратного включения рассмотрим элемент
tn/s е Кег(S~lg). Так как g(m)/s = 0 в S-Ш", существует
/eS, для которого tg(tn) —0 в М". Но tg(tn) = g(tm),
поскольку g—гомоморфизм Л-модулей. Стало быть,
tee Ker(g) = Im(/), так что ttn-f(tn') для некоторого
/n'ef, Поэтому в S~lM имеем tn/s = f(mf)/st =
= (S-if)(tn'/st) eilm (S-tf), так что Ker (S^g) ? Im (S-tf). ¦
В частности, из C.3) следует, что для любого подмодуля
Mfc:M отображение S~lM' -* S^M инъективно и, значит,
S~lM' можно рассматривать как подмодуль в S^M. Прини-
Принимая это соглашение, мы можем сформулировать
Кольца и модули частных 53
Следствие 3.4. Переход к модулю частных перестано-
перестановочен с операциями конечных сумм, конечных пересечений и
с переходом к фактормодулю. Точнее, пусть N, Р — подмоду-
подмодули А-модуля М. Тогда
(I) S-l(N + P) =S'4N) +S-4P);
(II) S-HNOP) =S-*(N) П5-»(Р);
(III) S-^A-модули S-^M/N) и S^M/S^N изоморфны.
Доказательство. (I) немедленно следует из опреде-
определений, а (II) проверяется без труда: если y/s = z/t
(у е N, 2ё Р, s, teS), то и(ty — sz) = 0 для некоторого не5,
так что w = uty = usz eN Г) Р и, значит, y/s = w/stu s
е= S-1 (N П P). Следовательно, S~W П S~lP s S-1 (N ft P),
а обратное включение очевидно. (III) Применить 5 к точ-
точной последовательности 0 -*¦ N -> М -> M/N —*¦ 0. ¦
Предложение 3.5. Пусть М — некоторый А-модуль.
Тогда Б-^А-модули S~lM и S~lA ® М изоморфны. Точнее го-
А
воря, существует единственный изоморфизм
f: 5Л®М->5"'М,
л
<5ля которого
f({als)<S>m)~amfs при всех seA mGJH, seS. (I)
Доказательство. Определим отображение 5"М X
X М -*¦ S~lM формулой
(a/s, tri) i—»- amis.
Оно Л-билинейно и, значит, согласно свойству универсально-
универсальности B.12) тензорного произведения, индуцирует некоторый
Л-гомоморфизм
f: S~lA®M->S-lM,
А
удовлетворяющий условию A). Ясно, что он сюръективен и
однозначно определен формулой A).
Пусть 2 («t/sj) ® mt — любой элемент из S~lA ® М. По-
i
ложим s = JIsfe5 и tt= П si. Тогда
i 1Ф1
так что всякий элемент из S~lA ® М имеет вид A/s) ® m-
Предположим, что f((l/s) ® m) = 0. Тогда m/s = 0, так что
54 Глава 3
tut —0 для некоторого /eSh, следовательно,
1 t 1 1л
s st st st
Таким образом, / инъектнвеи и, значит, является изомор-
изоморфизмом. ¦
Следствие 3.6. S А — плоский А-модуль.
Доказательство. Это вытекает из C.3), C.5). ¦
Предложение 3.7. Для любых А-модулей М, N суще-
существует единственный изоморфизм S~lА-модулей
f: S~lM ® S^N-^S'^Mi^N),
s-'д л
для которого
f {{mis) ® (я/0) = (ш ® n)/st.
В частности, пусть р — любой простой идеал. Тогда
Мр ® Np z
как Ар-модули.
Доказательство. Использовать C.5) и канонические
изоморфизмы главы 2. ¦
Локальные свойства
Свойство Р кольца А (илн Л-модуля М) называется ло-
локальным, если справедливо следующее утверждение:
А (или М) обладает свойством Р 4Ф А$ (или М?) обла-
обладает свойством Р для всех простых идеалов ? кольца А.
Следующие предложения доставляют примеры локаль-
локальных свойств:
Предложение 3.8. Пусть М — некоторый А-модуль.
Следующие утверждения равносильны:
(I) М = 0;
(II) Мр = 0 для всех простых идеалов $ кольца А;
(III) Mm = 0 для всех максимальных идеалов m коль-
кольца А.
Доказательство. Очевидно, что (I) Ф (II) ф (III).
Предположим, что (III) справедливо, но М Ф 0. Пусть х —
ненулевой элемент из М. Идеал a = Ann(jc) отличен от A)
и, значит, в силу A.4) содержится в некотором максималь-
максимальном идеале т. Рассмотрим элемент х/\ е Мш. Так как
Мт = 0, имеем х/1 = 0, так что х аннулируется некоторым
Кольца и модули частных 55
элементом из А — т. Но это невозможно, потому что
Ann (л:) s тп. ¦
Предложение 3.9. Пусть <р: M-+N — некоторый го-
гомоморфизм А-модулей. Следующие утверждения равносиль-
равносильны,'.
(I) ф инъективен;
(II) <р„: Mp-*-Nf инъективны для всех простых идеалов }з;
(III) фт: Mm->Nm инъективны для всех максимальных
идеалов т.
Если во всех утверждениях заменить инъективность на
сюръективность, они останутся равносильными.
Доказательство. (I) =т> (II). Последовательность
О —> М -* N точна, поэтому 0 -¦ М^ -*¦ Nf точны, так что фр
инъективны.
(II) =$> (III), потому что всякий максимальный идеал
прост.
(III) =#> (I). Положим М' = Кег(ф). Тогда последователь-
последовательность Q-+ М' -*М-+ N точна, так что все последовательности
0->Mrm->Mm->Nm точны в силу C.3). Поэтому Mfm ?ё
зё Кег (фто) = 0, так как фт инъективны. Из C.8) тогда сле-
следует, что ЛГ = 0, так что ф инъективен.
Последнее утверждение получается обращением стрелок. ¦
Свойство модуля быть плоским — также локальное свой-
свойство:
Предложение 3.10. Для любого А-модуля М следую-
следующие утверждения равносильны:
(I) M — плоский А-модуль]
(II) Мц — плоский А»-модуль для всех простых идеалов fc
(III) Mm — плоский Ащ-модуль для всех максимальных
идеалов га.
Доказательство. (I) =5 (II) следует из C.5) и
B.20).
(II) =$> (III) очевидно.
(III) =ф (I). Пусть N-* Р — гомоморфизм Л-модулей,
m — любой максимальный идеал в А. Имеем:
N -*Р инъективеи =$> Nm -> Pm инъективен по C.9) =$>
® Mm -*• Лп ® Мщ инъективен по B.19) =#>
<8)М\ ->(Р®М\ инъективен по C.7) =^
А /щ \ А /т
=Ф N ® М -*• Р ® М инъективен по C.9).
А А
Значит, М — плоский модуль по B.19). ¦
56 Глава 3
Расширение и сужение идеалов в кольцах частных
Пусть А — некоторое кольцо, S — мультипликативно за-
замкнутое подмножество в нем, f: А —*¦ S~lA — естественный го-
гомоморфизм, определенный формулой f(а) — а/1. Обозначим
через С множество идеалов А, являющихся сужениями идеа-
идеалов из S~lA, а через Е — множество идеалов в S^A, яв-
являющихся расширениями идеалов из А (см. A.17)). Для
любого идеала а с А его расширение ае в S~lA совпадает
с S~la (потому что всякий элемент у е 0е имеет вид 2 ai/sh
где пг g a, s; e S; теперь приведите эту сумму к общему зна-
знаменателю) .
Предложение 3.11. (I) Любой идеал в S~lA принад-
принадлежит Е.
(II) Пусть а — идеал в А. Тогда аес= (J (a. is). Поэтому
ае__ A) фф пересечение uf]S непусто.
(III) а е С<=Ф никакой элемент из S не является делите-
делителем нуля в А/а.
(IV) Простые идеалы в S~lA находятся во взаимно од-
однозначном соответствии (# -*->¦ S^) с теми простыми идеа-
идеалами в А, которые не пересекаются с S.
(V) Операция S перестановочна с прямыми суммами,
произведениями, пересечениями и радикалами.
Доказательство. (I) Пусть b —некоторый идеал
в S~lA и x/seb. Тогда je/leb, так что х^Ьс и, значит,
x/s^bce. Так как Ь~З.Ьсе всегда (см. A.17)), отсюда следует,
что b ^ b .
(II) х ^аес = (S~l<xf €$x/l =a/s для некоторых set,
s e SО(jcs — а) ^ — 0 для некоторых t ^ S^xst i
(III) а^С?$аесsa44(sxea для некоторых s <^ S =$¦
=фл;еаL4 никакой элемент sgS не является делителем
нуля в А/а.
(IV) Если t) — простой идеал в S~lA, то fcc — простой идеал
в А (это верно для любого гомоморфизма колец). Наоборот,
если ?—простой идеал в А, то А/% — область целостности.
Обозначив через S образ S в А/%, получаем, что S-M/S-'t) ^
^S^iA/ip). Последнее кольцо либо нулевое, либо является
областью целостности, потому что оно содержится в поле ча-
частных кольца А/$. Следовательно, идеал S~J? либо прост, либо
Кольца и модули частных 57
совпадает с A). Из (I) следует, что последнее равносильно
тому, что пересечение ft с S непусто.
(V) Утверждение для сумм и произведений следует из
A.18); для пересечений — из C.4). Что касается радикалов,
из A.18) следует, что S~lr(u) ^r(S~la). Проверка обратного
включения выполняется стандартным путем, и мы оставляем
ее читателю. ¦
Замечания. 1) Пусть й, Ь — идеалы в А. Формула
S~l(a:b) = (S~la: S~lb)
верна, если идеал b конечно порожден: см. C.15).
2) В A.8) было доказано, что всякий не нильпотентный
элемент f e А лежит вне некоторого простого идеала. На язы-
языке колец частных это доказательство можно сделать более ла-
лаконичным. Так как множество 5 = (^га)„^0 не содержит нуля,
кольцо S~lA = Af ненулевое. В силу A.3) оно имеет макси-
максимальный идеал, сужение которого в А является простым идеа-
идеалом ft, который не пересекается с 5 в силу C.11). Поэтому
1
Следствие 3.12. Пусть 91— нильрадикал А. Тогда S~l9l—
нильрадикал S~lA. Ш
Следствие 3.13. Для всякого простого идеала ft кольца
А простые идеалы локального кольца Ар находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами А, содер-
содержащимися в ft.
Доказательство. Положить S = А — ft в C.11), (IV).
Замечание. Переход от А к Д$ «вырезает» все про-
простые идеалы, кроме тех, которые содержатся в ft. С другой сто-
стороны, переход от Л к Л/ft «вырезает» все простые идеалы, кро-
кроме тех, которые содержат ft. Пусть теперь ft^q— пара простых
идеалов. Тогда, локализуя по ft и факторизуя по q (в любом
порядке: согласно C.4), эти операции перестановочны), мы
можем сосредоточить внимание лишь на идеалах, промежуточ-
промежуточных между ft и q. В частности, если ft = q, мы придем к полю,
которое называется полем вычетов идеала ft. Оно совпадает
с полем частных области целостности Л/ft и с полем вычетов
локального кольца А9.
Предложение 3.14. Пусть М — конечно порожденный
А-модуль, S — мультипликативно замкнутое подмножество
в А, Тогда S-»(Ann(Af)) =. Ann(S-»Af).
58 Глава 3
Доказательство. Если это-верно для двух Л-модулей
Af, N, то верно и для М -\- N:
S'1 (Ann (Af + АО) = 5 (Ann (Af) П Ann (N)) = по B.2)
= S~l (Ann (Af)) П S~l (Ann (Л0) = no C.4)
= Ann (S~lM) П Ann (S~lN) = по предположению
= Ann (V'Af + S~lN) = Ann (S~l (Af + N)).
Поэтому достаточно доказать C.14) для модуля Af, порожден-
порожденного одним элементом. Тогда Af ^ А/а, (как Л-модуль), где а =
== Ann(Af). Далее, S~lM ^ (S~V1) / (S-«a) в силу C.4), так что
Ann E Af) = S~la = 5-i (Ann (Af)). ¦
Следствие 3.15. Пусть N, P — подмодули А-модуля М
и Р конечно порожден. Тогда S-l(N : Р) — (S~lN : S~lP).
Доказательство. (N : Р)= Ann((N-\-P)/N) в силу
B.2); теперь примените C.14). ¦
Предложение 3.16. Пусть А-+В — гомоморфизм ко-
колец, ? — простой идеал в А. Он является сужением некоторого
простого идеала из В в том и только в том случае, когда ?ес=}>.
Доказательство. Если ft = qc, то ftec= ft в силу A.17).
Наоборот, пусть ftec = ft, и пусть 5 — образ А—ft в Б. Тогда
fte не пересекается с 5 и, значит, по C.11), его расширение
в S~lB является собственным идеалом. Поэтому он содержит-
содержится в некотором максимальном идеале m кольца S-Jfi. Обозна-
Обозначим через q сужение m в В. Это — простой идеал, q э fte,
q П S = 0. Поэтому qc = ft. ¦
Упражнения
1. Пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество кольца А,
и пусть М — конечно порожденный А -модуль. Доказать, что S'XM = О
в том н только в том случае, когда существует такой элемент s eS, что
sM = 0.
2. Пусть a—идеал в кольце А, н пусть S = 1 + о. Показать, что
S о содержится в радикале Джекобсона кольца S~'/4.
Применяя этот результат и лемму Накаямы, докажите следствие 2.5,
не используя определителей. [Если М= аМ, то S"'M = (S <X)(S-lM), так
что по лемме Накаямы S~lM = 0. Теперь воспользуйтесь упражнением 1.]
3. Пусть А — кольцо, S и Т — мультипликативно замкнутые подмно-
подмножества в Л, и пусть U — образ Т в S~XA. Покажите, что кольца (ST)-^A
и L/ E~'Л) изоморфны.
4. Пусть f: Л->-В — гомоморфизм колец, S — мультипликативно за-
замкнутое подмножество в А. Положим Т = f(S). Покажите, что S~lB и
Т~]В изоморфны как 5~'Л-модулн.
5. Пусть А — некоторое кольцо. Предположим, что для любого про-
простого идеала р локальное кольцо Ар не содержит ненулевых ннльпотен-
тов. Покажите, что то же верно для А. Если все А^ ~ области целостно-
целостности, обязательно ли это так для Л?
Кольца и модули частных 59
6. Пусть А — ненулевое кольцо и пусть 2 — множество всех мульти-
мультипликативно замкнутых подмножеств SczA, не содержащих нуля. Пока-
Показать, что в 2 есть максимальные элементы, и что S е 2 максимально
в том и только том случае, когда А — S — минимальный простой идеал в А.
7. Мультипликативно замкнутое подмножество S кольца А называется
насыщенным, если
Докажите следующие утверждения:
(I) S насыщенно 4ф А—S есть объединение простых идеалов.
(II) Для любого мультипликативно замкнутого подмножества S в А
существует единственное^ наименьшее насыщенное мультипликативно за-
замкнутое подмножество S, содержащее S. Дополнение к нему совпадает
с объединением всех простых идеалов, не пересекающихся с S (S назы-
называется насыщением S), _
Пусть S = 1 + а, где ааА — некоторый идеал. Опишите S.
8. Пусть S, Т — мультипликативно замкнутые подмножества в Л и
5 = 7". Обозначим через <р: S~lA -*¦ Т~1А гомоморфизм, переводящий каж-
каждое частное a/s s S~lA в элемент из Т~1А с тем же обозначением. Пока-
Показать, что следующие утверждения равносильны:
(I) ф биективен.
fit) Дли любого элемента / е Т частное t/l в S~lA является единицей.
(III) Для любого элемента /е7 существует такой хеА, что xteS.
(IV) Т содержится в насыщении S (упражнение 7).
(V) Любой простой идеал, пересекающийся с Т, пересекается н с S.
9. Множество So всех элементов, не являющихся делителями нуля
в А, мультипликативно замкнуто и насыщенно. Поэтому множество D
делителей нуля есть объединение простых идеалов (см. глава 1, упражне-
упражнение 14). Показать, что любой минимальный простой идеал из А содер-
содержится в D. [Воспользоваться упражнением 6.]
Кольцо S^lA называется полным кольцом частных кольца А. Дока-
Докажите следующие утверждения:
(I) So — наибольшее мультипликативно замкнутое подмножество в А,
для которого гомоморфизм A->S~lA ниъектнвен.
(II) Любой элемент в S^lA является либо делителем нуля, либо
единицей.
(III) Любое кольцо, в котором всякий элемент является либо делите-
делителем нуля, либо единицей, совпадает со своим полным кольцом частных
(т. е. отображение A->S^lA биективно).
10. Пусть А —некоторое кольцо.
(I) Если, А абсолютно плоское (глава 2, упражнение 27), то для
любого мультипликативно замкнутого подмножества кольцо S~lA абсо-
абсолютно плоское.
(II) Кольцо А абсолютно плоское 4Ф Дл явлиется полем для лю-
любого максимального идеала т.
П. Пусть А — некоторое кольцо. Докажите, что следующие утверж-
утверждения равносильны:
(I) /4/9J — абсолютно плоское кольцо (9J — нильрадикал А).
(II) Любой простой идеал А максимален.
(III) Spec (А) есть Ti-пространство (т. е. все одноточечные подмно-
подмножества замкнуты).
АIV) Spec (A) —хаусдорфово пространство,
окажите, что если эти условия выполнены, то пространство Spec (A)
компактно и вполне несвязно (т. е. всякое связное подмножество Spec (A)
состоит из одной точки).
60 Глава 3
12. Пусть Л—область целостности, М — некоторый Л-модуль. Эле-
Элемент х е М называется периодическим (или элементом кручения) в М,
если Ann (я) ф 0, т. е. х обращается в нуль при умножении на некото-
некоторый ненулевой элемент из Л. Показать, что периодические элементы об-
образуют подмодуль в М. Он называется подмодулем кручения и обозна-
обозначается Т(М). Если Т(М)=0, говорят, что М — модуль без кручения. До-
Докажите следующие утверждения:
(I) Для любого Л-модуля М фактормодуль М/Т(М) не имеет кру-
кручения.
(II) Для любого гомоморфизма модулей /: M-+N имеем f(T(M))s
&T(N).
(III) Для любой точной последовательности 0-+• М' ->- М -*¦ М" по-
последовательность 0-+Т(М') -» Г(М)->- Т(М") точна.
(IV) Для любого Л-модуля М модуль Т(М) совпадает с ядром ото-
отображения х\—> 1 ® х: М -> К ® М, где К — поле частных кольца А.
А
[Чтобы доказать (IV), установите, что К является индуктивным пре-
пределом своих подмодулей А% (g es /f). Пользуясь упражнениями 15 и .20
главы 1, покажите, что если 1®х = 0 в К®М, то 1®* = 0 в A%^M для
некоторого | ф 0. Выведите отсюда, что %~1х = 0.]
13. Пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество области це-
целостности А. В обозначениях упражнения 12 покажите, что T(S~]M) =
— S~l(T(M)). Выведите отсюда равносильность следующих утверждений:
П) М не имеет кручения;
(II) М„ не имеет кручения для всех простых идеалов });
(III) Mm не имеет кручения для всех максимальных идеалов ш.
14. Пусть М — некоторый Л-модуль, а — некоторый идеал в Л. Пред-
Предположим, что Мт = 0 для всех максимальных идеалов ш э о. Докажите,
что М = аМ. [Перейдите к Л/л-модулю М[аМ и воспользуйтесь C.8).]
15. Пусть Л — некоторое кольцо; через F обозначим Л-модуль Лп.
Покажите, что любая система п образующих F является базисом. [Пусть
Х\, ..., хп — некоторая система образующих, а еи ..., е„ — канонический
базнс в F. Определим гомоморфизм ер: F-»-/7, положив ер(е*) = Хи Он
сюръективен; нужно показать, что он является изоморфизмом. Согласно
C.9), достаточно сделать это в случае локального кольца Л. Пусть N —
ядро ф, и пусть k = А/т— поле вычетов. Так как F — плоский Л-модуль,
точная последовательность 0-*-N-*-F-*-F-*-0 дает точную последователь-
последовательность 0->А® W->ft® F-^-^-> k <S) F -> 0. Hok<g)F = kn есть n-мерное
векторное пространство над k, а гомоморфизм 1 ® ф сюръектнвен н, сле-
следовательно, биективен, так что k$$N = 0.
Модуль N конечно порожден в силу упражнения 12 главы 2, по-
поэтому N = 0 по лемме Накаямы. Тем самым ф — изоморфизм.]
Вывести отсюда, что любая система образующих F содержит не мень-
меньше п элементов.
16. Пусть В — плоская Л-алгебра. Тогда следующие утверждения рав-
равносильны:
(I) а.ес = о для всех идеалов о в Л.
(II) Отображение Spec (В) ->-Spec (А) сюръективно.
(III) Для любого максимального идеала ш в А имеем \пе Ф A),
(IV) Для любого ненулевого Л-модуля М имеем Мв Ф 0.
(V) Для любого Л-модуля М отображение ян->1®*: М^-Мв ннъек-
тивно.
[Чтобы доказать импликацию (I) =^> (II), используйте C.16). Импли-
Импликация (II) =#> (III) очевидна.
(III) =^> (IV). Пусть х s М — ненулевой элемент; положим М' = Ах.
Так как В — плоская алгебра над Л, достаточно показать, что M's Ф 0.
Кольца и модули частных 61
Имеем М'е* А/а для некоторого идеала а Ф A), поэтому М'в^В/ае. Но
asm, где lit — некоторый максимальный идеал, поэтому ае s 111е Ф A).
Следовательно, Мв ф 0.
(IV) =^> (V). Пусть М' — ядро гомоморфизма М->МВ. Так как
В— плоская Л-алгебра, последовательность 0-> Мв -> Мв -> (МЛ„
точна. Согласно упражнению 13 главы 2(М=МВ), отображение М„ ->
->(М„)В инъективно, поэтому А1В = 0 и, значит, АГ = 0.
(V) =ф (I). Положить М = А/а.]
При выполнении этих условий кольцо В называется строго плоским
над А.
17. Пусть А -?> В -?> С — гомоморфизмы колец. Если С плоское
над А и строго плоское над В, то В — плоское над А.
18. Пусть f: Л ->В — плоский гомоморфизм колец, g — простой идеал
в В, р = q . Тогда отображение f: Spec (Bq) -> Spec (Лр) сюръективно.
[Действительно, тогда кольцо Bj,— плоское над Ар по C.10),
a Bq — локализация В^ поэтому оно плоское над В р. Следовательно, Sq
плоское над Av и удовлетворяет условию (III) упражнения 16.]
19. Пусть А—кольцо, М — некоторый Л-модуль. Носителем М назы-
называется множество Supp (M) тех простых идеалов "фа А, для которых
Мр ф 0. Докажите следующие результаты:
(I) МфО<*$8ирр(М)Ф0.
(Н) F(a)==SuPP(^/a).
(III) Для всякой точной последовательности 0->- М' -*¦ М -*-М" -*¦ 0
имеем Supp (М) = Supp (Af')U Supp (M").
(IV) Если М = 2 Ми то Supp (М) = U Supp (Mt).
(V) Если М конечно порожден, то Supp (М) = ^(Апп (М)) (поэтому
носитель замкнут в Spec (A)).
(VI) Если М, N конечно порождены, то Supp (M®N) = Supp (M) Г)
П Supp (N) (воспользуйтесь упражнением 3 главы 2).
(VII) Если модуль М конечно порожден, a—любой идеал в А, то
Supp (M/aM) = V(a + Ann (Af)).
(VIII) Для всякого гомоморфизма колец f: А-*-В и конечно порож-
порожденного Л-модуля М имеем Supp (В ® М) = f*-1 (Supp (M)).
А
20. Пусть f: Л-»-? — некоторый гомоморфизм колец, f*: Spec (S)->¦
->¦ Spec (л)—соответствующее отображение. Покажите, что
(I) Всякий простой идеал в Л является сужением идеала из Вфф ото-
отображение f* сюръективно.
(II) Всякий простой идеал в В является расширением некоторого
идеала из А =^> f* инъективно.
Верно ли утверждение, обратное к (II)?
21. (I) Пусть Л—некоторое кольцо, S — мультипликативно замкнутое
подмножество в А, ср: A^-S-'A—канонический гомоморфизм. Покажите,
что отображение ср*: Spec (S~lA) -*¦ Spec (Л) является гомеоморфизмом
пространства Spec (S) на его образ в Х = Spec (А). Обозначим этот
образ через S~'X.
В частности, для всякого элемента f s Л образ Spec (Л/) в X яв-
является главным открытым множеством Xf (глава 1, упражнение 17).
(II) Пусть f: Л -»- В — гомоморфизм колец. Положим ^ = 8рес(Л),
Y = Spec (В), f*: Y-*¦ X — отображение, соответствующее f. Отождествив
Spec (о"М) с его каноническим образом S^X в X, а Spec (S^B) ==
= Spec (f (S)'lB) с его каноническим образом S~lY в У, покажите, что
62 Глава 3
отображение S~lf*: Spec (S~'B)-»-Spec (S~'/4) совпадает с ограниче-
ограничением f* на S~lY и что S~lY = f*-l(S~lX).
(III) Пусть о — некоторый идеал в А, Ъ = ае — его расширение в В.
Обозначим через /: А/а-+В/Ъ гомоморфизм, индуцированный /. Ото-
Отождествив Spec (А/а) с его каноническим образом V (а) вХ, a Spec (Bfb) —
с его образом V (Б) в Y, покажите, что f* совпадает с ограничением f*
иа V(b).
(IV) Пусть р —простой идеал в А. Положите S = A— р в (II) и
затем профакторнзуйте по идеалу S~'p, как в (III).
Выведите, что подпространство /*~' (р) с: Y естественно гомеоморфно
Spec (в^/рв^,) = Spec (k (p) ® В), где k (p) — поле вычетов локального
кольца Ар.
Спектр Spec (k (р) ® В) называется слоем f * над р.
А
22. Пусть /4 — некоторое кольцо, р — простой идеал в А. Тогда кано-
канонический образ Spec (Лр) в Spec (А) равен пересечению всех открытых
окрестностей р в SpecD).
23. Пусть А— кольцо, X = Spec (A), U — главное открытое множе-
множество в X (т. е. U = Xf для некоторого /еЛ: см. упражнение 17 гла-
главы 1).
(I) Если U = Xf, покажите, что кольцо A (U) = А/ зависит только
от U, а не от /.
(II) Пусть U'= Xg — другое главное открытое множество и У'с(/.
Покажите, что тогда gn = uf для некоторого целого п > 0 и некоторого
UEi4. Используйте это для построения гомоморфизма р: A(U) -*-A(U')
(т. е. A)~*-Ag), переводящего alfm в aum/gmn. Покажите, что р зависит
только от U н U'. Он называется гомоморфизмом ограничения.
(III) Если U = U', то р — тождественное отображение.
(IV) Для всякой тройки Уэ(/'э U" главных открытых множеств
в X диаграмма
A (U) -> А (У")
\ /
A{U')
коммутативна (стрелки — гомоморфизмы ограничения)
(V) Пусть *( = Р) —точка в л. Покажите, что
Mm A(U)s*Av
(Fix
Этот набор колец A(U), сопоставленных каждому главному откры-
открытому множеству U в X, и гомоморфизмов ограничения р, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям (III) и (IV), составляет предпучок колец над базой откры-
открытых множеств №)^ед- Свойство (V) означает, что слой этого пред-
пучка в точке х^Х есть соответствующее локальное кольцо А^.
24. Покажите, что предпучок, построенный в упражнении 23, обла-
обладает следующим свойством. Пусть (t/,-)Je/— некоторое покрытие X глав-
главными открытыми множествами. Пусть для каждого ie/ выбран такой
элемент Sje Л (?/,-), что для каждой пары индексов (, / образы St, S)
в A(Ui П U)) совпадают. Тогда существует единственный элемент s е А =
= А(Х), образ которого в A(Ut) совпадает с Si для всех ie/, (По су-
существу это означает, что наш предпучок является пучком.)
25. Пусть f: А-*- В, g: A -*¦ С — гомоморфизмы колец, и пусть гомо-
гомоморфизм h:A-+B(g)C определен формулой h{x) = f(x)®g(x), Обозна^
Кольца и модули частных 63
чим через X, Y, Z, Т спектры колец А, В, С, В ® С соответственно. Тогда
Л»(Г)-/*УПвфг.
[Пусть »е X, и пусть k = k (p) — поле вычетов для J). Согласно
упражнению 21, слой А* (») изоморфен спектру кольца (В®
Л
« (В ® А) ® (С ® Л). Поэтому
Л ft А
»<= ft* (Г) фф (б ® А) ® (С ® А) =И= 0 фф В ® А =?«= О
A ft Л А
26. Пусть (Sa, gap) — индуктивная система колец, В — ее индуктив-
индуктивный предел. Для всякого а обозначим через f a: A -*¦ Ва некоторый гомо-
гомоморфизм колец. Предположим, что выполнены условия gap°fa = /p при
a < р, т. е. Ва образуют индуктивную систему /4-алгебр. Гомоморфиз-
Гомоморфизмы fa индуцируют отображение jf: А-*-В. Покажите, что
[Пусть ре Spec (А). Тогда слой /*"'(») изоморфен спектру кольца
В ® А (») ss lim (Во ® * (»)).
Л —> А
так как тензорное умножение перестановочно с индуктивным пределом
в силу упражнения 20 главы 2. Из упражнения 21 главы 2 следует, что
/*-1(р)= 0 в том и только в том случае, когда Sa® А(р) = О для неко-
А
торого а, т. е. /„"' (р) «• 0.]
27. (I) Пусть fa: A-*Ba — любое семейство /4-алгебр, и пусть
/: А-*-В—их тензорное произведение над А (глава 2, упражнение 23).
Тогда
f (Spec (В))-р)? (Spec (Sa)).
[Воспользоваться упражнениями 25 и 26.]
(II) Пусть fa: /4->Ba—любое конечное семейство /4-алгебр, и пусть
В •=• JJ Sa. Определим гомоморфизм f:A-*-B, положив /(дс) = (/a(*))i
Тогда f (Spec (в)) - [J /^ (Spec (Ba)).
a
(III) Из предыдущего следует, что те подмножества в X = Spec (A),
которые можно представить в виде {* (Spec (В)), где f: А^-В — некото-
некоторый гомоморфизм колец, удовлетворяют всем аксиомам для системы за-
замкнутых множеств топологического пространства. Соответствующая топо-
топология на X называется конструктивной. Оиа сильнее топологии Зарисского
(т. е. в ней больше открытых множеств и замкнутых множеств).
(IV) Пусть Хс — множество X, снабженное конструктивной тополо-
топологией. Показать, что Хс квазикомпактно.
28. (Продолжение упражнения 27.)
(I) Для каждого элемента f еД множество Xg (глава 1, упражне-
упражнение 17) одновременно открыто и замкнуто в конструктивной топологии,
64 Глава 3
(II) Пусть С — слабейшая топология иа X, в которой все множе-
множества Xg одновременно открыты и замкнуты, и пусть Хс, — множество X,
снабженное этой топологией. Показать, что Хс,— хаусдорфово простран-
пространство.
(III) Вывести отсюда, что тождественное отображение Хс-*-Хс, яв-
является гомеоморфизмом. В частности, подмножество Е в X имеет вид
/* (Spec (В)) для некоторого гомоморфизма /: А -*¦ В в том и только
в том случае, когда оно замкнуто в топологии С.
(IV) Топологическое пространство Хс компактно, хаусдорфово и
вполне несвязно.
29. Пусть /: А -*¦ В — гомоморфизм колец. Покажите, что/*: Spec(B)->-
-> Spec (A) — непрерывное и замкнутое отображение в конструктивной то-
топологии (т. е. образ любого замкнутого множества замкнут).
30. Покажите, что топология Зарисского совпадает с конструктивной
топологией Spec (А) в том и только том случае, когда кольцо А/Ш, где
У1 — нильрадикал, абсолютно плоское. [Воспользоваться упражнением П.]
Глава 4
ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Разложение идеала в пересечение примарных компонент
по традиции считается одним из краеугольных камней теории
идеалов. Эта процедура составляет алгебраический фунда-
фундамент разложения алгебраического многообразия в объедине-
объединение неприводимых компонент, хотя справедливости ради сле-
следует указать, что алгебраическая картина сложнее, чем под-
подсказывает наивная геометрическая интуиция. С другой точки
зрения, примерное разложение обобщает разложение целых
чисел в произведение степеней простых. В современных курсах
больший упор делается на локализацию, и примарное разло-
разложение перестало быть основным инструментом теории. Оно,
однако, по-прежнему интересно само по себе, и эта глава бу-
будет посвящена классическим теоремам единственности разло-
разложения.
Первые примеры коммутативных колец — Z и кольцо мно-
многочленов над полем k[xit..., хп] — области с однозначным раз-
разложением на множители. В общем случае это уже неверно,
даже для областей целостности (классический пример — коль-
кольцо Z[l/—5], в котором 6 разлагается двумя существенно
разными способами: 2-3 и (l + ]/— 5)(l — У—5)). Однако
в широком классе (нётеровых) колец можно установить суще-
существование и единственность разложений некоторого более об-
общего типа, относящихся к идеалам, а не к элементам.
Простой идеал в кольце А можно рассматривать как обоб-
обобщение понятия простого числа. Соответствующим обобщением
степеней, простых чисел являются примарные идеалы. Идеал q
в кольце А называется примарным, если (\фАиху^(\=$> ли-
либо ^Е(|, либо уп е q для некоторого п >• 0. Иными словами,
q примарен 4Ф А/<\ Ф 0 и любой делитель нуля
в Л/q нильпотентен.
Очевидно, всякий простой идеал примарен. Сужение при-
марного идеала также примарно. Действительно, пусть \: А -*¦
-*-В — гомоморфизм колец, q — примарный идеал в В; тогда
факторкольцо /4/qc изоморфно подкольцу в Bj<\,
3 Зак, 1233
66 Глава 4
Предложение 4.1. Пусть q — примарный идеал в коль-
кольце А. Тогда г (а)— наименьший простой идеал, содержащий q.
Доказательство. В силу A.8) достаточно проверить,
что идеал р = г(а) прост. Пусть xy^r(q). Тогда (xy)m&q
для некоторого m > О, поэтому либо xm e q, либо г/" е q для
некоторого п > 0, т. е. либо не r(q), либо 2/er(q). ¦
Если fc = r(q), идеал q называется р-примарным.
Примеры. 1) В Z примарные идеалы имеют вид @) или
(рп), где р — простое число. Действительно, это — все идеалы
в Z, радикал которых прост; нетрудно проверить, что они при-
примарные.
2) Пусть А = Цх,у], а=(х,у*). Тогда А/а ~ %]/(*/2).
В этом кольце все делители нуля кратны у и, значит, нильпо-
тентны. Поэтому q — примерный идеал, радикал которого ft
совпадает с (х, у). Но tfczqcp (включения строгие), так
что примарный идеал не обязан быть степенью простого.
3) Обратное тоже неверно: степень рп может не быть при-
марным идеалом, хотя его радикал — простой идеал р. Пусть,
например, А = k[x, у, z]/(ху — zz), и пусть х, у, г — образы
х, у, z соответственно в А. Тогда идеал i> = (х, г) прост (по-
(потому что Л/fc зё k[y] — область целостности). Имеем ху = г2 е
eft2, но i^fc2 и у ^V(ij2) = ft. Поэтому t>2 не примарен. Од-
Однако, справедливо следующее
Предложение 4.2. Если радикал г (а) максимален, то
идеал а примарен. В частности, степени максимального идеала
тп всегда ха-примарны.
Доказательство. Пусть г (а) = т. Образ т в А/а сов-
совпадает с нильрадикалом в А/а, так что А/а по A.8) содержит
только один простой идеал. Поэтому любой элемент в А/а яв-
является либо единицей, либо нильпотентом, так что каждый
делитель нуля в А/а нильпотентен. ¦
Изучим представления идеала в виде пересечения примар-
ных идеалов. Начнем с двух лемм.
Лемма 4.3. Если идеалы q^ A<л<[«) р-примарны, то
n
идеал q = P) q« тоже р-примарен.
In \
Доказательство. r(q) = r if) <\t)= (\r(<\t) = p. Пусть
щец, Уфй. Тогда для некоторого / имеем xyeq{ ny*fcqt;
поэтому х^р, так как <\г примарен. ¦
Лемма 4.4. Пусть а — некоторый р-примарный идеал,
х — некоторый элемент из А. Тогда
(I) если хе(|, то (q:x) = (l);
Примарное разложение 67
(II) если x^q, то идеал (q: х) р-примарен, так что
r(q:x) = fc
(III) если хфр, то (q:x) = q.
Доказательство. Утверждения (I) и (III) немедленно
следуют из определений.
(II) Если #e(q:x), то хг/eq, так что у е р (ибо x^eq).
Следовательно, qs(q:x)s)). Переходя к радикалам, нахо-
находим r(q:x) = p. Пусть yz e (q : х), где г/ ^ р. Тогда хг/г е (),
так что xz e q и, следовательно, z s (q : jc). ¦
Примарным разложением идеала а в Л называется всякое
представление а в виде пересечения конечного числа примар-
ных идеалов
(Вообще говоря, такое разложение может не существовать, но
в этой главе мы рассматриваем только идеалы, имеющие при-
примарное разложение.) Если, сверх того, выполнены условия:
(I) все r((\t) различны;
то примарное разложение A) называется минимальным.
Пользуясь D.3), можно сгруппировать члены любого дан-
данного примарного разложения так, чтобы новое разложение
стало удовлетворять условию (I); после этого останется лишь
изъять лишние идеалы, чтобы и условие (II) стало выполнять-
выполняться. Тем самым любое примарное разложение можно превра-
превратить в минимальное. Назовем идеал а. разложимым, если для
него существует примарное разложение.
Теорема 4.5 (первая теорема единственности). Пусть
п
а—разложимый идеал, а= f\(\i—некоторое его мини-
минимальное примарное разложение. Положим to = r(q<) A ^
^ i' ^ п). Тогда множество простых идеалов to совпадает
с множеством тех простых идеалов, которые содержатся в се-
семействе идеалов вида г (л: х), х е А. Следовательно, от выбора
минимального примарного разложения множество идеалов ви-
вида to we зависит.
Доказательство. Для любого х&А имеем (а:х) =
и
= (П <\i '• х) = C\(<\t'- х), поэтому г (а: х) = f] r (c\t: х) = f\ p{
в силу D.4). Допустим, что г (а: х) — простой идеал. Из A.11)
тогда следует, что г (а: х) = ру при некотором /. Поэтому
3*
68 Глава 4
любой простой идеал вида г(а:х) совпадает с одним из pt.
Наоборот, для любого I существует такой элемент xi ф. <\i,
что xt e f\ <\j (в силу минимальности разложения). Тогда
r{a:xt) = pt. U
Замечания. 1) Это доказательство я последнее утверж-
утверждение D.4) вместе показывают, что для любого i существует
такой элемент х{ е А, что идеал (а : х^ #,-примарен.
2) Рассмотрим Л-модуль А/а.. Теорема 4.5 утверждает, что
pt — это в точности простые идеалы, являющиеся радикалами
аннуляторов элементов этого модуля.
Пример. Рассмотрим идеал а = (х2, ху) в кольце
А = k [х, у). Тогда а =)), П $, где *>, = (х), р2 = (х, у). Идеал р\
примарен в силу D.2). Следовательно, интересующее нас
множество состоит из простых идеалов pt и р2. В этом при-
примере piczp2- Очевидно, г (а) = ^i П ^2=== Pi> но а не является
примерным идеалом.
Простые идеалы р{, описанные в D.5), называются принад-
принадлежащими а, или ассоциированными с а. Идеал а примарен
в том и только том случае, когда с ним ассоциирован един-
единственный простой идеал. Минимальные элементы множества
{t>i, • • •. tin) называются минимальными, или изолированными,
простыми идеалами, ассоциированными с а. Остальные эле-
элементы называются вложенными. В рассмотренном примере
jJ = (х, у) — вложенный идеал.
Предложение 4.6. Пусть а — некоторый разложимый
идеал. Тогда любой простой идеал # = а содержит некоторый
минимальный простой идеал, ассоциированный с а. Следова-
Следовательно, минимальные простые идеалы для а совпадают с ми-
минимальными элементами множества всех простых идеаловг, со-
содержащих а.
п
Доказательство. Пусть р = а = f\c\t,тогдар—r(р)э
i—l
s Л г (c\t) = П Pi- Из A.11) следует, что рэр{ для некото-
некоторого I, так что р содержит один из минимальных простых
идеалов для а. ¦
Замечания. 1) Термины изолированный и вложенный
связаны с геометрическими представлениями. Например, пусть
А = k[xu ..., хп], где А; — поле. Идеал а определяет некоторое
многообразие X s kn (см. упражнение 25 главы 1). Минималь-
Минимальные простые идеалы pi соответствуют неприводимым компо-
компонентам X, а вложенные идеалы — некоторым подмногообра-
подмногообразиям, вложенным в эти неприводимые компоненты. Так, в при-
Примарное разложение
мере перед D.6) идеал а отвечает прямой х = 0, а вложенный
идеал te = (х, у) отвечает началу координат @,0).
2) Сами примерные компоненты могут зависеть от разло-
разложения. Например, (хг, ху) = (х) (] (х, у)г= (х) Л (хг, у) — эти
два примерные разложения минимельны, но не совпадают.
Тем не менее, некоторые свойства единственности имеют ме-
место: см. ниже D.10).
Предложение 4.7. Пусть ft — разложимый идеал,
п
а = П ^' ~~ его минимальное примарное разложение, г (q<) = ty.
Тогда
В частности, если нулевой идеал разложим, то множество D
всех делителей нуля в А совпадает с объединением простых
идеалов, принадлежащих 0.
Доказательство. Если идеал ft разложим, то 0 раз-
разложим в Л/а: 0= ГИ*> гДе <Ь — о'браз q? в /4/а (эти идеалы
примарны). Поэтому достаточно доказать последнее утвер-
утверждение D.7). Согласно A.15), D= (J г@:х). Из доказатель-
ства D.5) видно, что r@:x)= f] Pi^Pi для некоторого /,
п
так что D = {J р^ Пользуясь вновь D.5), находим, что любой
из идеалов pt имеет вид г@:х) для некоторого же Л, по-
поэтому UffED. ¦
Таким образом, если нулевой идеал разложим, то
D = множество делителей нуля =
= объединение всех простых идеалов, принадлежащих
нулевому идеалу;
Ш = множество нильпотентов = пересечение минимальных
простых идеалов, принадлежащих нулевому идеалу..
Теперь мы исследуем поведение примерных идеалов относи-
относительно локализации.
Предложение 4.8. Пусть S — мультипликативно за-
мкнутое подмножество в А, и пусть q — некоторый ^примар-
ный идеал.
(I) Если 8{\рф 0, то S~\ — S~lA.
70 Глава 4
(II) Если S[)p=0, то идеал S~'q является S~lp-npuMap-
ным, и его сужение в А совпадает с ц.
Таким образом, при соответствии между идеалами в S~lA
и суженными идеалами в А, которое описано в C.11), при-
марные идеалы отвечают примарным идеалам.
Доказательство. (I) Если seSf])). то s"eSfl4
для некоторого п > 0. Поэтому S~'q содержит sn/l, а этот
элемент является единицей в S~ A.
(II) Если Snt>=0> то из включений se|S и asE(| сле-
следует, что aeq, Поэтому <\ес = <\ в силу C.11). По-прежнему
из C.11) вытекает, что r(c\e) = r{S~lc\) = S~lr (q) = S~lp. Про-
Проверка примарности идеала S~\] проводится непосредственно.
Наконец, сужение примарного идеала примерно. ¦
Для всякого идеала а и любого мультипликативно зам-
замкнутого подмножества S в А символом S{cl) будет обозна-
обозначаться сужение в А идеала S~1cl.
Предложение 4.9. Пусть S — мультипликативно зам-
замкнутое подмножество в А, и пусть a — разложимый идеал.
Рассмотрим некоторое минимальное примарное разложение
п
<* = Р) <\i> положим Pi = r(<\i) и предположим, что <\t nepe-
нумерованы таким образом, что S пересекается с pm+l рп,
но не пересекается с ри ..., рт. Тогда
и эти разложения являются минимальными примарными
разложениями.
п m
Доказательство. Имеем S~'a = f"] S~4i = n ^~1Aг
(первое равенство следует из C.11), второе из D.8)). Идеал
S~\]i при г=1 m является S~ )ЗгпРимарным. Так как
— попарно разные идеалы, идеалы S~'pj (I ^i^m) также
С
р р )
попарно разные. Следовательно, это примарное разложение
минимально. Рассматривая сужение левой и правой части,
находим, вновь пользуясь D.8):
Множество 2 простых идеалов, ассоциированных с а, назы-
называется изолированным, если оно удовлетворяет следующему
Примарное разложение 71
условию: пусть р' — простой идеал, ассоциированный с а, и
пусть р' s р для некоторого )jeE; тогда ji'eS.
Рассмотрим некоторое изолированное множество 2 простых
идеалов, принадлежащих а, и положим S = А — (J P- Множе-
Множество S мультипликативно замкнуто. Для всякого простого
идеала р', принадлежащего а, имеем
т [J р (в силу (l.ll))=#J>'nS#0.
Поэтому из D.9) следует
Теорема 4.10 (вторая теорема единственности). Пусть
п
а — разложимый идеал, ft —f") <h—некоторое минимальное
примарное разложение, \pio ..., p<m] — изолированное множе-
множество простых идеалов, принадлежащих а. Тогда идеал
Ч«, П • • • П <№„ «е зависит от выбора разложения.
В частности, справедливо
Следствие 4.11. Изолированные примарные компонеН'
ты Ц{ (отвечающие минимальным простым идеалам %ц) одно'
значно определяются идеалом а.
Доказательство D.10). Имеем (\1г{] ... f] 4im — 5 (ft),
где S = A — pii\] ... [)ptm- Следовательно, это пересечение
зависит только от а, потому что идеалы р{ зависят только
от а. ¦
Замечание. Вложенные примарные компоненты, вооб-
вообще говоря, зависят от выбора разложения. Если А — нётерово
кольцо, вложенные примарные компоненты всегда можно
варьировать бесконечным числом способов (см. упражнение 1
главы 8).
Упражнения
1. Если идеал а допускает примарное разложение, то число непрнво»
димых компонент пространства Spec (A/a) конечно.
2. Если л=г(Л), то в прнмарном разложении а нет вложенных при-
марных компонент.
3. Если А — абсолютно плоское кольцо, то всякий прнмарныи идеал
максимален.
4. В кольце многочленов Z [t] идеал m = B, t) максимален, а идеал
Ч = D, 0 вд-примарен, но ие явлиетсн степенью ш.
72 Глава 4
5. В кольце многочленов К[х, у, г], где К — поле, х, у, г — независи-
независимые переменные, рассмотрим идеалы х>\ = (*> </). Х>2 — (х, г)> ni = (x, у, г).
Первые два — простые, а третий максимален. Положим а = pifo. Пока-
Покажите, что а = р, Л Рг П in2 — минимальное примерное разложение идеала а.
Какие компоненты изолированы, а какие-вложены?
6. Пусть X — бесконечное компактное хаусдорфово пространство,
С(Х)—кольцо вещественных непрерывных функций на X (упражнение 26
Ма'вы 1)'. Разложим лн нулевой идеал этого кольца?
7. Пусть Л — некоторое кольцо, А [х] — кольцо многочленов от одной
переменной с коэффициентами нз А. Для любого идеала а с: А обозначим
через й[х] множество все? многочленов из А [х] с коэффициентами из а.
(I) а [х] — расширение идеала а в Л [х].
(II) Если идеал р прост в А, то $ [х] прост в А [х].
(III) Если идеал Cf р-примарен в Л, то q[x] р[х]-прнмарен в А[х].
[Используйте упражнение 2 главы 1.]
п
(IV) Пусть й = |) Cfj — минимальное прнмарное разложение в А.
i—\
п
Тогда а [х] = || с^ [х] — минимальное примерное разложение в Л [х],
(V) Пусть D — минимальный простой идеал, ассоциированный с а.
Тогда D [х] — минимальный простой идеал, ассоциированный с а [х].
8. Пусть k — некоторое поле. Покажите, что в кольце многочленов
k[xi хп\ идеалы Р^С*!- •¦•> *г) С^'^«) простые, а нх степени
примарны. [Используйте упражнение 7.]
9. Обозначим через D(A) множество тех простых идеалов $ в коль-
кольце Л, которые удовлетворяют следующему условию: существует такой эле-
элемент а^А, что X) минимален в множестве простых идеалов, содержащих
(О : а). Покажите, что «еД является делителем нуля и том н только том
елучае, когда хер, где реВ(Л).
Пусть S — некоторое мультипликативно замкнутое подмножество в А.
Отождествим пространство Spec (S-'Л) с его образом в Spec (Л) (упраж-
(упражнение 21 .главы 3). Покажите, что
D (S~lA) = ?>(Л) Л Spec (S~lЛ).
Покажите, что если нулевой идеал допускает прнмарное разложение, то
D(A) совпадает с множеством простых идеалов, ассоциированных с ну-
нулевым.
10. Для любого простого идеала р в кольце Л обозначим через 5^,@)
ядро гомоморфизма Л -> Л„. Докажите, что
(I) Sf @) Е ».
(II) r(Sb{0)) = рФФ р~ минимальный простой идеал в А.
(III) Если »=>?', то S,, @) s Sp, @).
(IV) f| Sj, @) = 0, где множество D(A) определено в упраж-
A
иении 9.
11. Покажите, что если р — минимальный простой идеал кольца А,
то идеал S«@) (упражнение 10) является наименьшим !р-примарным
идеалом.
Пусть а—пересечеиие идеалов S?@), когда $ пробегает множество мн-
ннмальных простых идеалов в А. Покажите, что идеал а содержится в ниль-
нильрадикале А,
Примерное разложение 73
Предположим, что нулевой идеал разложим. Покажите, что а = О
в том и только том случае, когда любой простой идеал, принадлежащий
нулевому, изолирован.
12. Пусть А — некоторое кольцо S — мультипликативно замкнутое
подмножество в нем. Для любого идеала а обозначим через S{a) сужение
S~'a в А. Идеал S(a) называется насыщением а относительно S. Дока-
Докажите, что
(I) S(a)nSF) = S(an6);
(И) S (г (a)) = r (S (а));
(HI) S(a) = (l)^a имеет непустое пересечение с S;
(IV) S, (S, (а)) = (SJt) (а).
Докажите, что если а допускает примерное разложение, то множество
идеалов вида S(a) (где S пробегает все мультипликативно замкнутые
подмножества А) конечно.
13. Пусть А — кольцо, X) — его простой идеал. В обозначениях упраж-
упражнения 12 определим n-ю символическую степень $:
где Sp = А — р. Докажите, что
(I) Идеал Ю*"' Ю-прнмарен.
(И) Если р" допускает примерное разложение, то р*п) является его
р-прнмарной компонентой.
(III) Если р<(ПУп) допускает прнмарное разложение, то p(m+n) является
его ^-примерной компонентой.
(IV) р((г) = х>п Фф идеал р(п) • р-примарен.
14. Пусть a—разложимый идеал в кольце А, н пусть # — некоторый
максимальный элемент множества идеалов вида (а: х), где х е А, хфй.
Докажите, что р — простой идеал, ассоциированный^ с а.
15. Пусть о — разложимый идеал в кольце A; S — некоторое изолиро-
изолированное множество простых идеалов, принадлежащих а; (}2 — пересечение
соответствующих примерных компонент. Пусть f —такой элемент в Л,
что для любого простого идеала р, ассоциированного с а, имеем f e p <?ф
ФФ D ф 2, н пусть Sf — множество всех степеней f- Покажите, что
qs = S, (a) = (a : fn) для всех достаточно больших п.
16. Докажите, что если любой идеал кольца А допускает прнмарное
разложение, то же верно для любого кольца частных S~lA.
17. Пусть А — кольцо со следующим свойством:
(L1) Для любого идеала аФ A) в А н любого простого идеала $
существует такой элемент х §?:р, что S,, (a) = (о: х), где Sp = А — р.
Тогда любой идеал в А является пересечением (возможно, бесконеч-
бесконечного числа) примерных идеалов.
[Пусть а. Ф A) — идеел в А, $\ — минимельный элемент множестве
простых идеалов, содержащих а. Тогде идеал c|1 = S^i(a) fy-примерен
(упражнение 11) и Cf, = (a: x) для некоторого хфух. Покажите, что
n( ())
)
Далее, пусть а, — максимельный элемент множестве текнх идеалов
В Э а, что 4ifN = a. Выберем а, тек, чтобы х е а, и, знечнт, a,3=p,.
Повторите эту конструкцию, нечинея с аь и т. д. Не га-м шаге имеем
a = cti П - • • П <?п П лп, где fy — прнмарные идеелы, е ап мекснмален в мно-
множестве тех идеалов Ь, которые содержат йп-\ =а(гПЧ(г и удовлетворяют
условиям a = q, П ... ПЧпП'' и а„^р„. Если на очередном шаге мы
получим ап = A), процесс заканчивается. В противном случае примените
тренсфнннтную индукцию, земетнв, что идеал %. строго содержит %-i-J
74 Глава 4
18. Предположим, что кольцо А удовлетворяет следующему условию:
(L2) Для всякого идеала а н убывающей цепочки Si э S2 э ...
... a Sn a ... мультипликативно замкнутых подмножеств в А существует
такое целое число га, что Sn (a) = Sn+i (a) = ... . Докажите, что следую-
следующие утверждения равносильны:
(I) Любой идеал в А допускает прнмарное разложение.
(II) А удовлетворяет условиям (L1) н (L2).
[Для доказательства импликации (I) =ф (II) воспользуйтесь упраж-
упражнениями 12 и 15. Для доказательства импликации (II) =ф (I) покажите,
в обозначениях упражнения 17, что множество Sn = S^ Л • • • Л S^ пе-
пересекается с ап. Поэтому 5п(<1п) = A) и, значит, 5«(а) = q, П ••• П Цп-
Теперь используйте (L2), чтобы показать, что эта конструкция должна
закончиться после конечного числа шагов.]
19. Пусть А — некоторое кольцо, В — простой идеал. Покажите, что
любой В-прнмарный идеал содержит 5^,@)—ядро канонического гомомор-
гомоморфизма А -*-Л^.
Предположим, что А удовлетворяет следующему условию: для вся-
всякого простого идеала^ пересечение всех В-прнмарных идеалов в А равно
Sy @). (Для нётеровых колец это так: см. главу 10.) Пусть в, в« —
разные простые идеалы, нн один из которых не минимален в А. Тогда
в А существует идеал а, с которым ассоциированы в точности идеалы
Pi. ..-. »n-
[Примените нндукцню по га. Случай га=1 тривиален (положите
а = ^,). Пусть га>1, н пусть рп максимален в множестве {в, »п}-
По предположению индукции существует идеал 6 н его минимальное
прнмарное разложение 6 = cfi П ••• ГИп-i. в котором каждый идеал Cf(.
Вг-прнмарен. Покажем, что oSS-Sp @). Если это не так, пусть р — мини-
минимальный простой идеал кольца А, содержащийся в $п- Тогда S,, @) S
S S^ @), так что DS 5^,@). Переходя к радикалам и пользуясь упраж-
упражнением 10, находим ($, П fH)n-i) S}), так что Dj — V Для некоторого i
н, значит, |); = р в силу минимальности р. Но этого не может быть, по-
потому что среди в. нет минимальных идеалов. Итак, 6^5,, @), поэтому
существует рп-прнмарный идеал цп, для которого bc?cfn. Покажите, что
разложение a=cfi(] ••• П Цп обладает требуемыми свойствами.]
Примарное разложение модулей
Практически все результаты этой главы можно перенести на модули
над кольцом А. Следующие упражнения показывают, как это делается.
20. Пусть М — некоторый Л-модуль, N — его подмодуль. Радика-
Радикалом N в М называется множество
ГМ (^) = {х ^ А\ хчМ s N для некоторых q >0}.
Покажите, что rM(N) = r(N : M) = r(Ann(M/N)). В частности, rM(N)
является идеалом.
Сформулируйте и докажите для гм утверждения, параллельные A.13).
21. Всякий элемент х е А определяет эндоморфизм ф* модуля
М: т\—>хт. Элемент х называется делителем нуля (соотв. нильпотентом)
относительно М, если ф* не инъективен (соотв. нильпотентен). Подмодуль
Q cz М называется примарным в М, если Q ф М н любой делитель нуля
относительно M/Q нильпотентен.
Покажите, что если Q примарен в М, то (Q : М) — примерный идеал,
и, значит, гм (Q) — простой идеал В. Подмодуль Q в этом случае назы-
называется ^-примарным в М.
Примарное разложение 75
Докажите аналоги утверждений D.3) и D.4).
22. Примарным разложением подмодуля N в М называется всякое
представление N в виде пересечения
примерных подмодулей в М. Это разложение называется минимальным,
если все идеалы р,- = rM(Qi) различны и ни одну из компонент нельзя
изъять, т. е. Q.-2 Л Q/ С <
Докажите утверждение, аналогичное D.5): простые идеалы pi зависят
только от N (и М). Они называются простыми идеалами, принадлежа-
принадлежащими N в М. Покажите, что они совпадают с простыми идеалами, при-
принадлежащими 0 в M/N.
23. Сформулируйте и докажите утверждения, параллельные D.6)—«
D.11). (Без ограничения общности можно считать, что N = 0.)
Глава 5
ЦЕЛАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
И НОРМИРОВАНИЯ
В классической алгебраической геометрии для изучения
кривых зачастую пользовались методом проекции на прямую.
Кривая тогда превращается в (разветвленное) накрытие пря-
прямой. С алгебраической точки зрения эта ситуация похожа на
связь, существующую между полем рациональных чисел и его
конечным расширением — или, точнее, между кольцами целых
чисел в этих полях. Общую алгебраическую основу для иссле-
исследования обоих случаев доставляет понятие целой зависимости.
В этой главе мы установим ряд свойств этого понятия. В част-
частности, мы докажем теоремы Коэна — Зайденберга «о подъеме»
и «спуске» простых идеалов при целых расширениях. В упраж-
упражнениях в конце главы рассмотрена алгебро-геометрическая
картина, в частности, лемма о нормализации.
Кроме того, кратко обсуждаются нормирования.
Целая зависимость
Пусть В — некоторое кольцо, А — его подкольцо (содержа-
(содержащее 1). Элемент х кольца В называется целым над А, если
он является корнем многочлена с коэффициентами из Л и
старшим коэффициентом 1,т. е. удовлетворяет уравнению вида
хп + а^" + ... +а„ = 0, A)
где щ — элементы А. Очевидно, все элементы из А целы над Л.
Пример 5.0. А = Z, В = Q. Если рациональное число
х = r/s цело над Z (r,s взаимно просты), то из A) следует,
что
rn-\-axrn-ls-\- ... -\-ansn = 0,
где т — целые рациональные числа. Поэтому гп делится на s,
значит, s = ±1, так что ieZ.
Предложение 5.1. Следующие утверждения равно'
сильны:
(I) элемент леВ цел над А;
(II) кольцо А[х] конечно порождено как А-модуль;
Целая зависимость и нормирования 77
(III) кольцо А[х] содержится в некотором подкольце Сс
с: В, которое конечно порождено как А-модуль;
(IV) существует строгий А[х]-модуль М, конечно порожден-
порожденный как А-модуль.
Доказательство. A)=#>(П). Из A) находим
+ ... +апхг)
для всех г ^ 0. Индукция показывает, что все положительные
степени х лежат в Л-модуле, порожденном элементами 1,х,...
..., хп~{. Следовательно, эти элементы порождают А[х] как
Л-модуль.
(Н)=И1Н). Положить С = Л[4
(III) =#>(IV). Положить М = С (это строгий А [лфмодуль,
ибо уС = 0=$у-1 =0).
(IV)=#>(I). Это следует из B.4). Возьмем в качестве ф
умножение на х и положим а = А (при этом хМ s M, потому
что М есть А [х]-модуль). Так как элемент, индуцирующий ну-
нулевой эндоморфизм М, равен нулю, B.4) доставляет уравне-
уравнение вида хп + аххп~х + ... + ап = 0 для некоторых а{^А.ш
Следствие 5.2. Пусть Х\ A ^ i ^ п) — некоторые эле-
элементы кольца В, целые над А. Тогда кольцо А[хи ..., хп] ко-
конечно порождено как А-модуль.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Случай
п = 1 разобран в E.1). Пусть а > 1 и Ar= A[xit... ,хг]. Тогда
An-i конечно порождено как Л-модуль по предположению ин-
индукции; Лд-гмодуль Ап = Л„_1[л:п] также конечно порожден
согласно случаю п = 1, ибо хп цел над Лп_1. Из B.16) тогда
следует, что Л„ конечно порождено как Л-модуль. ¦
Следствие 5.3. Множество С элементов кольца В, целых
над А, составляет подкольцо в В, содержащее А.
Доказательство. Пусть х,у^С. Тогда Л-модуль
А[х, у] конечно порожден в силу E.2). Следовательно, элемен-
элементы х ± у и ху целы над Л в силу E.1), (III). ¦
Кольцо С, введенное в E.3), называется целым замыка-
замыканием кольца Л в Б. Если С = А, кольцо Л называется цело-
замкнутым внутри В. Если С = В, кольцо В называется це-
целым над А.
Замечание. Пусть f: А-*-В — некоторый гомоморфизм
колец, превращающий В в Л-алгебру. Гомоморфизм f назы-
называется целым, а В — целой А-алгеброй, если В цело над под-
кольцом f(A). В этой терминологии доказанные результаты
означают, что целые гомоморфизмы конечного типа — это
в точности конечные гомоморфизмы.
78 Рлава 5
Следствие 5.4. Пусть А^В^С— некоторые кольца.
Если В цело над А, а С цело над В, то С цело над А (транзи-
(транзитивность целой зависимости).
Доказательство. Пусть хеС; тогда справедливо
уравнение вида
xn+blXn~l+ ...+&„ = О (&,«=В).
Кольцо В' = А[Ь{,..., bn] конечно порождено как Л-модуль
в силу E.2), а кольцо В'[х] конечно порождено как Б'-модуль
(так как х цел над В'). Следовательно, В'[х] — конечно порож-
порожденный Л-модуль в силу B.16). Поэтому элемент х цел над А
по E.1), (III). ¦
Следствие 5.5. Пусть А^В — кольца, С — целое за-
замыкание А в В. Тогда С целозамкнуто в В.
Доказательство. Пусть Je5 цел над С. Из E.4)
следует, что х цел над А. Значит, леС.1
Следующее предложение показывает, что целая зависи-
зависимость сохраняется при переходе к факторкольцам и кольцам
частных:
Предложение 5.6. Пусть А^В — некоторые кольца,
В цело над А.
(I) Для любого идеала bczB положим л=Ъс = А(]Ъ.
Тогда кольцо В/Ь цело над А/а.
(II) Для любого мультипликативно замкнутого подмноже-
подмножества S в А кольцо S~'fi цело над Б~1А.
Доказательство. (I) Пусть хбВи^ + а^хп~^ +1 •..
... + ап = 0, где о;еЛ. Приведите это уравнение по моду-
модулю Ь.
(II) Пусть x/s^S~lB (j:eB, s^S). Написанное выше
уравнение дает
(x/s)a + (ajs) (x/sI1-1 + ... + ajs" = 0.
Поэтому элемент x/s цел над S^A. ¦
Теорема о подъеме
Предложение 5.7. Пусть A s В — области целостности,
и пусть В цело над А. В этих предположениях В является по-
полем тогда и только тогда, когда А является полем.
Доказательство. Предположим, что А — поле, у е В,
у =? 0, Рассмотрим уравнение целой зависимости для у
Целая зависимость и нормирования 79
наименьшей возможной степени. Поскольку В — область цело-
целостности, имеем ап Ф- 0, так чтоу~1 — —<*~1 (у"~1 + а{уп~2 + ...
... + are_i) е В. Следовательно, В — поле.
Наоборот, предположим, что В — поле. Пусть х ^А, х =ФО.
Тогда г'еВ, следовательно, этот элемент цел над Л, так что
существует уравнение
х~т - а''х—rn~^^ -4- ... -4- аг — 0 (аг €= Л^.
Отсюда следует, что лг' = — (а[ + а'2х + ... + а'тхт~*) <= Л.
Поэтому Л — поле. ¦
Следствие 5.8. Пусть А<=В — кольца, В цело над А.
Пусть q с- В — некоторый простой идеал и b = qc = q П Л.
В этих предположениях q максимален тогда и только тогда,
когда ? максимален.
Доказательство. Согласно E.6), B/q цело над A ftp и
оба кольца являются областями целостности. Остается приме-
применить E.7). ¦
Следствие 5.9. Пусть А еВ — некоторые кольца, В це-
цело над A, q, q'— такие простые идеалы в В, что q s q' и, ска-
скажем, qc = q'c = ip. Тогда q = q'.
Доказательство. Согласно E.6), кольцо Вр цело
над ЛР. Пусть m — расширение р в Л„, a n, tt' — расшире-
расширения q, q' в В„ соответственно. Тогда т —максимальный
идеал в Лу, nstt', nc = n"; = m. Из E.8.) следует, что п, п'
максимальны; поэтому п = п', значит, q = q' в силу C.11),
(IV). ¦
Теорема 5.10. Пусть А^В — кольца, В цело над А,
!р — простой идеал в А. Тогда существует такой простой идеал
q в В, что q П Л = $.
Доказательство. Согласно E.6), кольцо Bv цело
над Л)>. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Л ->В
в которой горизонтальные стрелки — вложения. Обозначим
через п максимальный идеал в В$. Тогда идеал m = n П А$
максимален в силу E.8) и, значит, является единственным
максимальным идеалом локального кольца Л„. Положим
q = р-1 (п); идеал q прост, и q П Л = a (m) = !р. Ш
Теорема 5.11 («теорема о подъеме»). Пусть А^В —
кольца, В цело над А. Рассмотрим некоторую цепочку
80 Глава 5
простых идеалов fci S ... ? $>п кольца А и некоторую цепочку
простых идеалов сц = ... Е qm (т < п) кольца В с условием
(j,- [} А = & (i ;g; i ^ m). Тогда вторую цепочку можно про-
продолжить до цепочки qi ? ... ё= qn, 0 которой q* П Л = ^ яра
еселс 1 ^ i <g; и.
Доказательство. Индукция позволяет немедленно
?вести вопрос к случаю_т= 1, /г=_2. Положим А = А/ри
5 = 5/4,. Тогда As В и_В цело над А в силу E.6). Из E.10)
следует, что в кольце В существует простой идеал q2> для
которого q2fl А = р2 — образ р2 в А. Подняв q2 в В, мы и
получим простой идеал q2 c требуемыми свойствами. ¦
Целозамкнутые области целостности. Теорема о спуске
Предложение 5.6, (II) можно усилить:
Предложение 5.12. Пусть А^В — кольца, С — целое
замыкание А в В. Пусть S — некоторое мультипликативно
замкнутое подмножество в А. Тогда S^C является целым за-
замыканием S-*A в S~fB.
Доказательство. Согласно E.6), кольцо S^C цело
над S-'Л. Наоборот, пусть элемент ft/seS-'B цел над S^A.
Это означает, что существует уравнение вида
(b/s)n+(al/sl){b/s)n-1+ ... +an/sn = 0,
где ai e Л, Si e5 (I ^ i see л). Положим t == Si ... sn и умно-
умножим это уравнение на (st)n. Оно превратится в уравнение це-
целой зависимости для Ы над А. Следовательно, Ы еС и, зна-
значит, bis = bt/st e S-«C. ¦
Область целостности называется целозамкнутой (без ука-
указания, в каком кольце), если она целозамкнута в своем поле
частных. Например, кольцо Z целозамкнуто (см. E.0)). То же
рассуждение устанавливает целозамкнутость любой области
с однозначным разложением на множители. В частности, коль-
кольцо многочленов над полем k[xit..., хп] целозамкнуто.
Свойство целозамкнутости локально:
Предложение 5.13. Пусть А — область целостности.
Следующие утверждения равносильны:
(I) кольцо А целозамкнуто;
(II) для любого простого идеала ьаА кольцо Лр цело-
замкнуто;
(III) для любого максимального идеала то с А кольцо Ащ
целозамкнуто.
Целая зависимость и нормирования 81
Доказательство. Пусть К — поле частных кольца А,
С — целое замыкание А в К, f: A-*C — тождественное вло-
вложение. Целозамкнутость А равносильна сюръективности f. Из
E.12) следует, что целозамкнутость А$ (соответственно Ат)
равносильна сюръективности /> (соответственно fm). Остается
применить C.9). ¦
Пусть Лей — кольца, а — идеал в А. Элемент из В назы-
называется целым над а, если он удовлетворяет некоторому урав-
уравнению целой зависимости, все коэффициенты которого при-
принадлежат а. Целым замыканием а в В называется множество
всех элементов из В, целых над а.
Лемма 5.14. Пусть С —целое замыкание А в В, и пусть
ае — расширение а в С. Тогда целое замыкание ав В совпадает
с радикалом идеала ае (и, следовательно, замкнуто относи-
относительно сложения и умножения).
Доказательство. Если элемент хеВ цел над а, спра-
справедливо уравнение вида
где все аи ..., ап лежат в а. Следовательно, х е С и
так что х^г(ае). Наоборот, пусть х^г(ае). Тогда x"=ii
для некоторого п > 0, где а, лежат в а, а я, — в С. Поскольку
все Xi целы над А, из E.2) следует, что Л-модуль М =
= А[хи ..., хп] конечно порожден. Кроме того, хпМ ^аМ. Те-
Теперь применим B.4), взяв умножение на хп в качестве q>. Мы
получим, что хп цел над а; значит, и х цел над а. ¦
Предложение 5.15. Пусть А^В — области целостно-
целостности, А целозамкнута, хеВ — элемент, целый над некоторым
идеалом ас: Л. Тогда х алгебраичен над полем частных К
кольца А, а коэффициенты ait ..., ап его минимального мно-
многочлена tn + а^™-1 + ... +а„ над К принадлежат г (а).
Доказательство. Очевидно, х алгебраичен над К.
Пусть L — поле, расширение К, содержащее все сопряженные
хи ..., хп к элементу х. Любой из Xi удовлетворяет тому же
уравнению целой зависимости, что и х, поэтому все они целы
над а. Коэффициенты минимального многочлена для х над К
являются многочленами от Хг. Из E.14) следует, что они целы
над а. Поскольку А целозамкнуто, применяя снова E.14), на-
находим, что эти коэффициенты принадлежат г (а). ¦
Теорема 5.16 («теорема о спуске»). Пусть А^В — об-
области целостности, А целозамкнуто, В цело над А. Пусть
}цЭ ... Sjii, — цепочка простых идеалов в А, и пусть
qi = ... Э qm (m < п)— такая цепочка простых идеалов в В,
Что (\if[A = jpi (I ^t^ffi). Тогда вторую цепочку можно
82 Глава 5
продолжить до такой цепочки qi э ... э qn простых идеалов,
что qi(]A = & A <t^n).
Доказательство. Как в E.11), достаточно разобрать
случай m = 1, п = 2. Нужно показать, что fc2 является суже-
сужением некоторого простого идеала из кольца Д,,. Согласно
C.16), это равносильно условию В^р2 П А = р2.
Любой элемент хеД,,р2 имеет вид y/s, где г/ <= Вр2 и
seB — q,. По E.14), г/ цел над р2. Из E.15) следует, что
минимальное уравнение для у над полем частных К кольца А
имеет вид
/ + «,/-'+ ... +иг = 0, A)
где щ, ..., иг<=р2.
Предположим теперь, что xefl^feO^ Тогда s = yxri,
где д^1 е /С, так что минимальное уравнение для s над К по-
получится, если A) разделить на хг. Результат имеет вид
s'-fy.s'-'-f ... +рг = 0, B)
где Vi = ujx'. Следовательно,
xivi = ui<=p2 A<г<г). C)
Но s цел над А. Из E.15) (с а = A)) следует, что все vt
лежат в А. Предположим, что х ф р2. Тогда из C) следует,
что все Vi лежат в р2, а B) показывает, что s'sB^sB^sq,.
Поэтому s^^i — противоречие. Следовательно, х <=р2 и,
значит, ВцЛр2[\А = р2, что и требовалось проверить. ¦
В доказательстве следующего предложения используются
некоторые стандартные факты теории полей.
Предложение 5.17. Пусть А — целозамкнутая область,
К — ее поле частных, L — конечное сепарабельное алгебраиче-
алгебраическое расширение К, В — целое замыкание А в L. Тогда суще-
п
ствует такой базис Vu ..., vn поля L над К, что Bs2 Аи/.
Доказательство. Любой элемент v из L алгебраичен
над К и, следовательно, удовлетворяет уравнению вида
aovr-\- a{vr~x-\- ... -f an = 0 (a, s A).
Умножив это уравнение на ат0~х, получаем, что элемент aov =
= и цел над А и, значит, принадлежит В. Таким образом, вы-
выбрав любой базис L над д, мы можем затем умножить эле-
элементы этого базиса на подходящие элементы из Л с тем, чтобы
новый базис «1, ..., ип содержался в В.
Обозначим через Т отображение следа из L в К. Поскольку
расширение L/K сепарабельно, билинейная форма (х,у)*—>
Целая зависимость и нормирования 83
>->Т(ху) на /(-пространстве L невырожденна. Это позволяет
построить базис vu...,vn для L над К,двойственный к щ, ...
..., ип, т. е. удовлетворяющий условию Т(щу,) = Ьц. Пусть
х е В, скажем х = 2 XjVj (х/ <= К)- Поскольку щ е В, имеем
хщ е 5 и, значит, Г(хиг)еЛ в силу E.15) (ибо след элемента
кратен одному из коэффициентов минимального многочлена).
Но
Т (хщ) = 2 Т (XjtiiVj) = 2 XjT (UiV,) = 2 х^ц = x{.
i 1 i
Поэтому xt^A и, следовательно, BsS^»;. ¦
Кольца нормирования
Пусть В — область целостности, К — ее поле частных; В называется
кольцом нормирования (поля К), если для любого элемента х Ф 0 в К
либо хе8, либо г'еВ (допускаются оба включения).
Предложение 5.18. (I) В — локальное кольцо.
(II) Всякое промежуточное кольцо В', В s В' s К, является кольцом
нормирования.
(III) В целозамкнуто (в К).
Доказательство. (I) Обозначим через ш множество не являю-
являющихся единицами элементов из В. Имеем х е m Фф либо х = 0, либо
х~1 ф. В. Пусть оеВ и х е т. Тогда ахеш: в противном случае
(ах)" еВи, значит, д;" = a(ax)~l e В. Пусть теперь х, у — ненулевые
элементы из т. Тогда либо ху~] е В, либо *""'(/ е В. Если *(/-' е В, то
х + (/ = A + ху~х) у е But = m. Аналогично можно рассуждать, если
х~1у е В. Следовательно, tu — идеал; из A.6) тогда следует, что В — ло-
локальное кольцо.
(II) следует из определений.
(III) Пусть х — целый над В элемент из К. Тогда
xn+blXn-i+ #-> +6„ = 0,
где bi е В. Если х е В, доказывать нечего. В противном случае дг1 е В,
а тогда дс = —Fi + 62^' + • • • + bnxl~n) e В.
Пусть /(— некоторое поле, Q — алгебраически замкнутое поле. Обо-
Обозначим через S множество всех пар (A,f), где А — подкольцо в К, а f —
некоторый гомоморфизм А в Q. Частично упорядочим множество S с по-
помощью отношения
(A,f)*HA',n&AsA' и f'\A=*f.
Очевидно, условия леммы Цорна выполнены, так что 2 содержит по край-
крайней мере один максимальный элемент.
Обозначим через (В, g) некоторый максимальный элемент из S. Мы
хотим доказать, что В является кольцом нормирования в К- Первый шаг
доказательства доставляет
Лемма 5.19. В — локальное кольцо, ш = Кег (g) — его максималь-
ный идеал.
Доказательство. Так как g(B) лежит в поле К и, значит, яв-
является областью целостности, идеал ш = Кег (g) прост, Мы можем про«
84 Глава 5
должить g до гомоморфизма g:Bm-*-Q, положив g (b/s) = g(b)/g(s) для
всех 6еВ и всех seB—ш, потому что g{s) не равен нулю. Из макси-
максимальности пары (В, g) следует, что В = Вт. Значит, В — локальное коль-
кольцо, a in — его максимальный идеал. ¦
Лемма 5.20. Пусть х — ненулевой элемент в К,; В [х] — подкольцо
в К, порожденное х над В; m [x] — расширение m в В [х]. Тогда либо
ш [х] ?= В[х], либо in [*-'] Ф В [х-'].
Доказательств-о. Предположим, что ш[х] = В[х] и ш[л;-1] =
= В [лг1]. Тогда существуют уравнения вида
uo + «i*+ •¦• +umxm=l (u;<=in), A)
tio + Oix-'+ ... +Vnx-n=l (о/ em). B)
Можно считать, что степени пг, п этих уравнений — наименьшие возмож-
возможные. Пусть, скажем, от ^ п. Умножим B) на хп:
(l-vo)xn = vlxn-i+ ... +vn. C)
Поскольку о0 eui, из E.19) следует, что 1 — о0 — единица в В. Поэтому
C) можно записать в виде
x"=wlxn-1 + ... +wn (wj e ш).
Значит, в уравнении A) можно заменить хт на да^™-' + ... + wnxm~n,
что противоречит минимальности степени от. ¦
Теорема 5.21. Пусть (B,g)—максимальный элемент в S. Тогда
В — кольцо нормирования поля К.
Доказательство. Нужно показать, что для любого ненулевого
элемента х из К либо «еВ, либо x~l e В. В силу E.20) мы можем сразу
считать, что m [х] не является единичным идеалом кольца В' = В [х]. По-
Поэтому ш [х] содержится в некотором максимальном идеале т' кольца В', и
m'OB — m (потому что ш'П В — собственный идеал в В, содержащий ni).
Следовательно, вложение В в В' индуцирует вложение поля k = В/ш в
поле й' = В7пГ. Кроме того, k' — k[x], где х — образ х в k'\ значит, эле-
элемент х алгебраичен над k, так что k' — конечное алгебраическое расши-
расширение поля k.
С другой стороны, гомоморфизм g индуцирует некоторое вложение g
поля k в Q, потому что в силу E.19) идеал m является ядром g. По-
Поскольку поле Q алгебраически замкнуто, g можно продолжить до вложе-
вложения g' поля k' в Q. Композиция g' с естественным гомоморфизмом
B'-*-k' доставляет гомоморфизм g': B'-»-Q, продолжающий g. Поскольку
пара (В, g) максимальна, имеем В' = В н, следовательно, х е В. щ
Следствне_5.22. Пусть А — некоторое подкольцо поля К. Тогда
целое замыкание А кольца А в поле К совпадает с пересечением всех ко-
колец нормирования поля К, содержащих А.
Доказательство. Пусть В — кольцо нормирования поля К, со-
содержащее А. Поскольку В целозамкнуто, нз E.18), (III) следует, что
1= В.
Наоборот, пусть х$=А. Тогда х не лежит в кольце А' = А [*-']. По-
Поэтому х-1 не является единицей в А' в, значит, содержится в некотором
максимальном идеале ш' с А'. Обозначим через Q алгебраическое замы-
замыкание поля k' = А'/ш'. Тогда ограничение на А естественного гомоморфизма
Целая зависимость и нормирования 85
A'-*-k' определяет некоторый гомоморфизм Л-»-Я. Из E.21) следует, что
этот гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма кольца норми-
нормирования В = Л. Поскольку *-' переходит в нуль, отсюда следует, что
х#В. ¦
Предложеняе 5.23. Пусть A sВ — области целостности и В ко-
конечно порождено над А: Пусть о — некоторый ненулевой элемент из В.
Тогда в А существует ненулевой элемент и со следующим свойством: лю-
любой гомоморфизм f кольца А в алгебраически замкнутое поле Я, для
которого f(u)#O, можно продолжить до гомоморфизма g кольца В в Q,
для которого ё{х>)ф 0.
Доказательство. Индукция по числу образующих В над А не-
немедленно сводит дело к случаю, когда В порождено над А единствен-
единственным элементом х.
(I) Предположим сначала, что х трансцендентен над А, т. е. не нв-
ляется корнем никакого ненулевого многочлена с коэффициентами из А.
Пусть v = аохп + aix"-1 + ... + an; положим и = оо. Если гомоморфизм
/: .4-»-Я таков, что ((и)Ф0, то существует элемент ?еЯ, для которого
/()? + f ()! + + f() ф 0 Я б
/ , (()Ф, ущу ?, д р
/(до)?" + f (ai)!" + ... + f(an) ф 0, потому что поле Я бесконечно.
Продолжим гомоморфизм / до g: B-+Q, положив g(x) = |. Тогда
g(v)Ф 0, что н требовалось.
(II) Теперь рассмотрим случай, когда х алгебраичен над А (т. е. над
полем частных А). Тогда алгебраичен и элемент о, потому что о —
многочлен от х. Следовательно, имеются уравнения вида
аохт + а,хт^+ ... , + am = 0 (a/ e А), A)
а'<р-п + a[vl-n + ... +< = 0 (ajsyl). B)
Положим и = aQar0 и рассмотрим такой гомоморфизм /: А -*¦ Q, для ко-
которого /(и)#0. Тогда / можно продолжить сначала до гомоморфизма
U- Л [«г1]-* Я (где /i(tr') =/(«)"'). затем, в силу E.21), до гомомор-
гомоморфизма h: С -*¦ Я, где С — некоторое кольцо нормирования, содержащее
А [и~1]. Из A) следует, что х цел над A[irl]. Согласно E.22), ieC. По-
Поэтому С содержит В; в частности, о е С. С другой стороны, из B) сле-
следует, что о цел над А [«"'], поэтому, опять по E.22), v~l e С. Таким об-
образом, v является единицей в С н, значит, к(о)Ф0. Теперь в качестве g
можно взять ограничение h па. В. щ
Следствие 5.24. Пусть k — некоторое поле, В — конечно порожден-
порожденная k-алгебра. Если В — пом, то оно является конечным алгебраическим
расширением k.
Доказательство. Положите А = k, v =¦ 1, Я = алгебраическое
замыкание k. щ
Следствие 5.24 — одна из форм теоремы Гильберта о нулях. Другое
доказательство дано в G.9).
Упражнения
1. Пусть f: А -*¦ В — некоторый целый гомоморфизм колец. Покажите,
что f*: Spec (В)-»-Spec (Л)—замкнутое отображение, т. е. оно перево-
переводит замкнутые множества в замкнутые. (Это — геометрический эквивалент
теоремы 5.10.)
2. Пусть А—такое подкольцо кольца В, что В цело над А, и пусть
/: А -*¦ Q — некоторый гомоморфизм А в алгебраически замкнутое поле Я.
Покажите, что / можно продолжить до гомоморфизма В в Q. [Исполь*
зуйте E.10).]
86 Глава 5
3. Пусть f: В-*-В' — некоторый гомоморфизм Л-алгебр, С — еще одна
Л-алгебра. Докажите, что если / цел, то и гомоморфизм f ® 1 : В ® С ->
А
->В'®Сцел (E.6), (II) содержится в этом утверждении как частный
А
случай).
4. Пусть Л — такое подкольцо кольца В, что В цело иад Л. Пусть
п—некоторый максимальный идеал в В, а ш = tt П Л — соответствующий
максимальный идеал в Л. Обязательно ли кольцо Вп цело над Лт?
[Рассмотрите подкольцо k [х2 — 1] в k [х], где k — поле, и положите
п= (х— 1). Может ли элемент 1/(х + 1) быть целым?]
5. Пусть А = В, кольцо В цело над А.
(I) Если х е А — единица в В, то это единица и в Л.
(II) Радикал Джекобсоиа кольца Л является сужением радикала
Джекобсона кольца В.
п
6. Пусть Вь ..., Вп — целые Л-алгебры, Покажите, что Jj[ Bi яв-
ляется целой Л-алгеброй.
7. Пусть Л — такое подкольцо кольца В, что множество В — А за-
замкнуто относительно умножения. Покажите, что Л целозамкнуто в В.
8. (I) Пусть Л — подкольцо области целостности В, а С — целое за-
замыкание Л в В. Пусть f, g— такие многочлены в В [х] со старшим коэф-
коэффициентом единица, что fg e С [х]. Тогда f, g лежат в С [х]. [Постройте
поле, содержащее В, в котором многочлены f, g разлагаются на линейные
множители: { = JJ (х —|г), g = JI(*—Л/)- Все |< и все rjj являются
корнями fg н, значит, целы над С. Следовательно, коэффициенты f и g
целы над С.]
(И) Докажите тот же результат, не предполагая, что В (нлн Л)
является областью целостности.
9. Пусть А — подкольцо кольца В, С — целое замыкание Л в В. Дока-
Докажите, что С [х] — целое замыкание кольца Л [х] в В [*]. [Если элемент
f е В [*] цел над Л [4 то Г + g.f" + ... + gm = 0 (g, <= Л [*]). Пусть
г — некоторое целое число, большее, чем т и степени многочленов
gu ..., gm. Положим d = f — xr. Тогда
(fi + xr)m + gi(f + xr)m~l + ¦¦
или
где hm = (xr)m + gi (xr)m~l + ... +?теЛ[х]. Теперь примените ре-
результат упражнения 8 к многочленам — ({ и /j"~! + hj™~2 + ...
V1]
10. Будем говорить, что гомоморфизм колец f: A -*¦ В обладает свой-
свойством подъема (соответственно свойством спуска), если для пары, состоя-
состоящей из В и его подкольца f(A), выполняется утверждение теоремы
о подъеме E.11) (соответственно теоремы о спуске E.16)).
Пусть /*: Spec (В) -*¦ Spec (Л)—отображение, отвечающее f.
(I) Рассмотрите следующие три утверждения:
(a) /* — замкнутое отображение.
(b) f обладает свойством подъема.
(c) Пусть q — любой простой идеал в В и J) = <f. Тогда отображе-
отображение f*: Spec (B/q) ->- Spec (A/f) сюръектнвно.
Докажите импликации (а)±^(Ь) 4Ф (с) (см. также упражнение 11
главы 6).
(II) Рассмотрите следующие трн утверждения:
(а') /* — открытое отображение.
Целая зависимость и нормирования 87
(Ъ') f обладает свойством спуска.
(с') Пусть q — любой простой идеал в В и р = qc. Тогда отображе-
отображение /*: Spec (Bq)-> Spec (Л^) сюръективно.
Докажите импликации (а')=^(Ь') фф (с') (см. также упражнение 23
главы 7).
[Для доказательства (а')=^(с') примите во внимание, что В„ — индук-
индуктивный предел колец В(, где /eS-i). Упражнение 26 главы 3 тогда
показывает, что f* (Spec (В„)) =f)f* (Spec (Bt)) = fV* (y')- Так как Yt~
t t
открытая окрестность q в Y, г f* открыто, отсюда следует, что f*(Yt) —
открытая окрестность р в X, значит, она содержит Spec (¦dp).]
11. Пусть /: А->В — плоский гомоморфизм колец. Тогда / обладает
свойством спуска [глава 3, упражнение 18].
12. Пусть G — конечная группа автоморфизмов кольца А, и пусть
Ав — подкольцо G-инварнантов, т. е. всех элементов яеЛ, для которых
о(х) = х при всех а ей. Докажите, что А цело над А0. [Любой элемент
х е А является корнем многочлена JJ (/'— о(х)).]
ое О
13. В ситуации упражнения 12 пусть р— простой идеал в Аа, а Р —
множество тех простых идеалов в А, сужение которых совпадает с р. По-
Покажите, что G транзитивно действует на Р. В частности, множество Р
конечно.
[Пусть р1? »2 е Р и х s D,. Тогда || ст (л;) s j)i П А° — j) s »2. значит
а
а (х) е р2 для некоторого ueG. Выведите отсюда, что $)] содержится
в (J ff(Ds), после чего примените A.11) н E.9).]
14. Пусть А — целозамкнутая область, К — ее поле частных, L —
конечное нормальное сепарабельное расширение поля К. Пусть G — груп-
группа Галуа L над К, и пусть В — целое замыкание А в L. Покажите, что
а (В) = В для всех о е 6 и что А = В°.
15. Пусть А, К — те же, что в упражнении 14, L — любое конечное
расширение поля К, В — целое замыкание А в L. Покажите, что для
любого простого идеала р в А множество тех простых идеалов q в В, су-
сужение которых совпадает с J), конечно (иными словами, Spec (В) -*-
->-Spec (A) —отображение с конечными слоями).
[Сведите задачу к рассмотрению двух случаев: a) L сепарабельно
над К; b) L чисто иесепарабельно над К. В случае а) вложите L в неко-
некоторое конечное нормальное сепарабельное расширение поля К и восполь-
воспользуйтесь упражнениями 13 н 14. В случае Ь) покажите, что простой идеал
р в В, для которого С[ П А = р, состоит из всех элементов х е В со
свойством хр ej) прн некотором от ^ 0, где р — характеристика поля К-
Стало быть, в этом случае отображение Spec (S)-*- Spec (А) биективно.]
Лемма Нётера о нормализации
16. Пусть k—некоторое поле, АфО — конечно порожденная fe-ал-
гебра. Тогда существуют элементы у\, ..., (/геЛ, алгебраически незави-
независимые над k и такие, что А цело над k \t/\, ..., уг].
Мы будем предполагать, что поле k бесконечно. (Результат верен и
для конечного k, но доказывать его нужно иначе.) Пусть х\, ..., хп по-
порождают А как fe-алгебру. Элементы *,¦ можно перенумеровать так, чтобы
Х\, ..., хг были алгебраически независимы над fe, а каждый из хг+1, ...
..., хп алгебраически зависел от них. Теперь применим индукцию по п.
Если п = г, доказывать нечего. Пусть п> г и для п—1 образующих
результат верен.Образующий х„ алгебраичеи над k[xu ..., jcn_i], поэтому
существует многочлен f ф 0 от п переменных со свойством
f{xu ..., *„_,, xn)=Q.
88 Глава 5
Пусть F — однородная компонента высшей степени этого многочлена.
Так как поле k бесконечно, существуют такие элементы Хь ..., Xn-i e k,
что F(XU ..., А.п-1, 1) =5*= 0. Положим х'{ = xt — Ktxn (l<i<n—1).
Покажите, что хп цел над кольцом A' = &[*;, ..., *^_,], и, следова-
следовательно, кольцо Л цело над А'. Затем примените к А' предположение ин-
индукции для завершения доказательства.
Из доказательства следует, что уь ..., ут можно выбрать из ли-
линейных комбинаций элементов хи ..., хп. Это обстоятельство допускает
следующую геометрическую интерпретацию. Пусть k алгебраически за-
замкнуто, X—аффинное алгебраическое многообразие в kn с координатным
кольцом А ф 0. Тогда в kn существует линейное подпространство L раз-
размерности г и линейное отображение kn иа L, которое отображает X на L.
[Воспользуйтесь упражнением 2.]
Теорема о нулях (слабая форма)
17. Пусть X—аффинное алгебраическое многообразие в kn, где k —
алгебраически замкнутое поле, и пусть 1(Х) — идеал X в кольце много-
многочленов k[t\, ..., tn] (глава 1, упражнение 27). Если 1(Х) Ф A), то X
непусто. [Пусть А = k[tu .... tn]/I(X) —координатное кольцо для X. То-
Тогда А Ф 0. Следовательно, согласно упражнению 16, существуют линей-
линейное пространство L размерности ^0 в kn и отображение X на L. По-
Поэтому X Ф 0.]
Выведите отсюда, что любой максимальный идеал в кольце
k [tu .. , tn] имеет вид (t\ — аи ..., tn—an), где а,- е к.
18. Пусть k — некоторое поле, В — конечно порожденная fe-алгебра.
Предположим, что В — поле. Тогда В — конечное алгебраическое расши-
расширение поля k. (Это — еще один вариант теоремы Гильберта о нулях. Сле-
Следующее доказательство принадлежит Зарисскому, другие доказательства
даны в E.24) и G.9).)
Пусть хи ..., х„ порождают В как fe-алгебру. Проведем доказатель-
доказательство индукцией по п. Если п = 1, результат очевиден. Пусть п > 1,
А = k [*i] и К. = k(x\)—поле частных А. По предположению индук-
индукции, В — конечное алгебраическое расширение К. Следовательно, каждый
из элементов х2 х„ является корнем некоторого многочлена с коэф-
коэффициентами из К и старшим коэффициентом единица. Обозначим через /
произведение знаменателей всех коэффициентов. Тогда элементы х2 х„
целы над Af. Поэтому кольцо В, а вместе с ним поле К цело иад Л/.
Предположим, что Х\ трансцендентен иад к. Тогда А целозамнкуто,
потому что это кольцо с однозначным разложением на множители. Сле-
Следовательно, Af целозамкнуто E.12), откуда должно следовать равенство
Af = К, невозможность которого очевидна. Поэтому х{ алгебраичен над k,
так что К (а, значит, и В) является конечным расширением поля k.
19. Выведите результат упражнения 17 из упражнения 18.
20. Пусть А — такое подкольцо области целостности В, над кото-
которым В конечно порождено. Покажите, что в А существует такой элемент
s Ф 0, а в В — такие элементы у\ у„, алгебраически независимые
над А, что кольцо В, цело над B's, где В'— Afyu ..., уп]. [Пусть S =
= А— {0}, К = S'lA — поле частных А. Тогда S~lB — конечно порожден-
порожденная /(-алгебра. Из леммы о нормализации (упражнение 16) следует, что
в 5"'В существуют элементы х{ х„, алгебраически независимые над/(
и такие, что 5"'В цело над К[х\, ..., хп]. Предположим, что zu ..., zm
порождают В как Л-алгебру. Тогда любой элемент Zj (в 5"'В) цел над
К [Х\ хп]. Записав для каждого zj уравнение целой зависимости, до-
докажите существование такого элемента se5, что *; = </,-/« A ^t^n),
где \)i eB, а все элементы sz,- целы иад В'. Выведите отсюда, что этот
Элемент обладает иужиым свойством.]1
Целая зависимость а нормирования 89
21. Пусть А, В— те же, что в упражнении 20. Покажите, что в А
существует ненулевой элемент s со следующим свойством. Пусть Q — лю-
любое алгебраически замкнутое поле; f: А -*¦ Q — гомоморфизм, для кото-
которого f(s)=7*=0. Тогда f можно продолжить до гомоморфизма В->-?2.
[В обозначениях упражнения 20, f можно сначала продолжить иа В', —
например, отобразив все yt в 0; затем иа B's (потому что f{s) Ф 0) и,
наконец, на В, (в силу упражнения 20, потому что В, цело над В^).
22. Пусть А, В — те же, что в упражнении 20. Если радикал Джекоб-
сона кольца А нулевой, то же верно для кольца В.
[Пусть v Ф 0 — некоторый элемент В. Следует показать, что в В есть
максимальный идеал, не содержащий о. Применив результат упражне-
упражнения 21 к кольцу В„ и его подкольцу А, отыщем подходящий элемент s=#=0
в А. Пусть гн — максимальный идеал в А, не содержащий s, и пусть
k = Д/ut. Тогда каноническое отображение А -*¦ k продолжается до гомо-
гомоморфизма g кольца В„ в алгебраическое замыкание Q поля k. Покажите,
что g(v) Ф 0 и что Ker(g)fl В является максимальным идеалом кольца В.]
. 23. Пусть А — некоторое кольцо. Покажите, что следующие утвер-
утверждения равносильны:
(I) Любой простой идеал в А является пересечением максимальных
идеалов.
(II) Нильрадикал любого гомоморфного образа кольца А совпадает
с радикалом Джекобсона.
(III) Любой немаксимальный простой идеал кольца А совпадает с пе-
пересечением тех простых идеалов, которые его строго содержат.
[Только доказательство импликации (III) =$ (II) представляет некото-
некоторые трудности. Пусть (II) неверно. Тогда существует простой идеал, не
являющийся пересечением максимальных идеалов. Переходя к фактор-
кольцу, можно считать, что А — область целостности с ненулевым радика-
радикалом Джекобсона 91. Пусть / — некоторый ненулевой элемент из 91. Тогда
Af ф 0. Поэтому в Л/ есть максимальный идеал, сужение которого в А
является простым идеалом р, не содержащим f и максимальным среди
простых идеалов с таким свойством. Идеал ft ие максимален и не совпа-
совпадает с пересечением тех простых идеалов, которые его строго содержат.]
Кольцо А, удовлетворяющее этим трем равносильным условиям, назы-
называется кольцом Джекобсона.
24. Пусть А — кольцо Джекобсона (упражнение 23), В — некоторая
Д-алгебра. Покажите, что В также является кольцом Джекобсоиа в сле-
следующих двух случаях: (I) В цело над Л; (II) В конечно порождено как
Л-алгебра. [Во втором случае используйте результат упражнения 22.]
В частности, любое конечно порожденное кольцо и любая конечно
порожденная алгебра над полем являются кольцами Джекобсона.
25. Пусть А — некоторое кольцо. Покажите, что следующие утвержде-
утверждения равносильны:
(I) А — кольцо Джекобсона.
(II) Любая конечно порожденная Л-алгебра В, являющаяся полем,
конечна над А.
[A)=^(П). Сведите задачу к случаю, когда А является подкольцом В,
и воспользуйтесь упражнением 21. Пусть sed выбран, как в упражне-
упражнении 21. Тогда в А существует максимальный идеал ш, не содержащий s,
и гомоморфизм Л-*-Л/1Ц= k продолжается до некоторого гомоморфизма g
кольца В в алгебраическое замыкание поля k. Поскольку В — поле, g яв-
является вложением. Образ g(B) алгебраичен над k и, следовательно, ко-
конечно алгебр аичен над k.
(Н)=ФA). Воспользуйтесь критерием (III) упражнения 23. Пусть р —
не максимальный простой идеал в А и В = ДД). Пусть / — ненулевой эле-
элемент в В. Тогда Bf — конечно порожденная Л-алгебра. Если она ивляетея
полем, она конечна над В, следовательно, цела над В, так что В должно
быть полем в силу E.7). Это не так, поэтому Bf ие поле. Значит, в Bf
90 Глава 5
имеется ненулевой простой идеал, сужение которого в В является ненуле-
ненулевым идеалом р', не содержащим f.]
26. Пусть X— топологическое пространство. Его подмножество назы-
называется локально замкнутым, если оно является пересечением открытого и
замкнутого множеств, нли, что то же самое, если оно открыто в своем
замыкании.
Следующие утверждения относительно подмножества Хо в X равно-
равносильны:
A) любое непустое локально замкнутое подмножество X пересекает-
пересекается с Хо\ .
B) для любого замкнутого множества Е в X имеем ? П Хо = Е;
C) отображение U i—> U Л Хо множества открытых подмножеств в X
на множество открытых подмножеств в Х9 биективно.
Подмножество Хо с этими свойствами называется очень плотным в X.
Покажите, что для любого кольца Л следующие утверждения равно-
равносильны:
(I) Л— кольцо Джекобсоиа;
(II) множество максимальных идеалов А очень плотно в Spec (Л);
(III) любое локально замкнутое подмножество в Spec (Л), состоящее
из одной точки, замкнуто [(II) н (III)—это геометрические формулиров-
формулировки утверждений (II) и (III) упражнения 23].
Кольца нормирований и нормирования
27. Пусть Л, В — локальные кольца. Предположим, что Л содержится
в В и максимальный идеал ш кольца Л содержится в максимальном идеа-
идеале it кольца В (или, что то же самое, m = п Л Л). В этом случае говорят,
что В доминирует над А. Пусть К — некоторое поле, 2 — множество всех
локальных подколец в К- Упорядочим 2 по отношению доминирования.
Покажите, что в 2 существуют максимальные элементы и что кольцо
Ле2 максимально в Z тогда и только тогда, когда Л—кольцо нормиро-
нормирования поля К- [Воспользуйтесь E.21).]
28. Пусть Л — область целостности, К — ее поле частных. Покажите,
что следующие утверждения равносильны:
A) Л—кольцо нормирования поля К.
B) Пусть а, Ъ — любые два идеала в Л. Тогда либо asb, либо Б s a.
Выведите отсюда, что для любого кольца нормирования Л н для лю-
любого простого идеала $ cz А кольца Ар и Л/р являются кольцами нор-
нормирований своих полей частных.
29. Пусть Л — кольцо нормирования поля К. Покажите, что любое
подкольцо в К, содержащее А, является локальным кольцом для Л.
30. Пусть Л — кольцо нормирования поля К. Группа U единиц в Л
является подгруппой мультипликативной группы К* поля /С Положим
Г = K*/U. Пусть |, r\ e Г представлены элементами х,у^К. Будем пи-
писать | ^ г], если ху~х е А. Покажите, что это условие вполне упорядочи-
упорядочивает множество Г и что получающееся отношение порядка совместимо со
структурой группы (т. е. | ^ ri =^ |ш ^ т)ш для всех шеГ). Иными сло-
словами, Г — вполне упорядоченная абелева группа. Она называется группой
{значений) нормирования кольца Л.
Пусть о: /(*-»-Г — канонический гомоморфизм. Покажите, что
v(x + y) ^smm{v(x),v(y)) для всех х, у е К*.
31. Наоборот, пусть Г — некоторая вполне упорядоченная абелева
группа (в аддитивной записи), К — поле. Нормированием поля К со зна-
значениями в группе Г называется отображение о: К* -*• Г со следующими
свойствами:
A) v(xy)=v(x)+v(y),
B) v(x + y)>mm(v(x), v (у))
для всех х, у е К*. Покажите, что множество всех элементов х е К*, для
которых v(x) 5* 0, является кольцом нормирования поля К. Оно назы-
Целая зависимость и нормирования 91
вается кольцом нормирования о, а подгруппа о (К*) в Г совпадает с груп-
группой значений этого нормирования.
Тем самым понятие нормирования по существу равносильно понятию
кольца нормирования.
32. Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа. Подгруппа Д
называется изолированной в Г, если для любых элементов 0 ^ р ^ а из
а s Д следует, что р е Д. Пусть А —кольцо нормирования поля К с груп-
группой значений Г (упражнение 31). Покажите, что для любого простого
идеала $ в А множество v (А — р) является множеством неотрицательных
элементов в некоторой изолированной подгруппе Д а Г. Определенное та-
таким способом отображение множества Spec (А) в множество изолирован-
изолированных подгрупп в Г биективно.
Пусть J)—простой идеал в А. Каковы группы значений колец норми-
нормирований А/у н Л??
33. Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа. Покажем, как
построить некоторое поле К и его нормирование v, для которого Г яв-
является группой значений. Пусть k — любое поле, и пусть А = k [Г] — груп-
групповая алгебра группы Г над k. По определению, А как векторное про-
пространство свободно порождена элементами *а(аеГ) с законом умноже-
умножения хах$ = *а+р- Покажите, что А является областью целостности.
Пусть и = Я[Д;а + •. • + 2*пха — любой ненулевой элемент в А.
Если все Хг отличны от нуля и ои < ... < а„, положим vq(u) = at.
Покажите, что отображение v0: А—{0}-»-Г удовлетворяет условиям A)
и B) упражнения 31.
Пусть К — поле частных кольца А. Покажите, что vQ однозначно про-
продолжается до некоторого нормирования о поля К и что группа значений о
совпадает с Г.
34. Пусть А — кольцо нормирования, К — его поле частных. Пусть
f: /4-*- В — такой гомоморфизм колец, что {*: Spec(B)-»- Spec(/4)— замк-
замкнутое отображение. Тогда для любого гомоморфизма Л-алгебр g: В-+К,
(это означает, что g ° f вкладывает А в К) имеем g(B) = A.
[Положим С = g(B); очевядно, С =t А. Пусть п — максимальный
идеал в С. Поскольку отображение f* замкнуто, m = п Л А является ма-
максимальным идеалом в А, так что Am = А. Кроме того, локальное коль-
кольцо Сп доминирует над Ат. Из упражнения 27 тогда следует, что СП=Л
и, стало быть, С = А.]
35. Из упражнений 1 и 3 следует, что для любого целого гомомор-
гомоморфизма f: A-+B и произвольной Л-алгебры С отображение (/ ® 1)*:
Spec {В (g) С) -> Spec (С) замкнуто.
А
Наоборот, пусть f: A-+ В обладает таким свойством, и пусть известно,
что В — область целостности. Покажите, что f — целый морфизм. [Заме-
[Заменив А его образом в В, сведите задачу к случаю, когда А г В и f — вло-
вложение. Пусть К—поле частных В, А —некоторое подкольцо нормирова-
нормирования в ием, содержащее А. Согласно E.22), достаточно проверить, что А'
содержит В. По предположению, отображение Spec (В (g) A')-> Spec (A')
А
замкнуто. Применим результат упражнения 34 к гомоморфизму В ® А' ->
А
->/(, при котором ftlgm'i—>ba'. Получим Ьа' е А' для всех ieB и всех
а' е А'; при а' = 1 получается требуемое.]
Покажите, что доказанный результат остается верным, если В — коль-
кольцо с конечным числом минимальных простых идеалов (например, нётеро-
во). [Пусть J)^ — все минимальные простые идеалы. Тогда все сквозные
гомоморфизмы А -*¦ В -*¦ В/р/ являются целыми, поэтому и/4->JJ (S/j),) —
целый гомоморфизм. Обозначив через 5R нильрадикал В, получаем, что
А-*-В1%1—целый гомоморфизм, откуда, наконец,следует, что и гомомор-
гомоморфизм А -*¦ В цел.]
Глава 6
УСЛОВИЯ ОБРЫВА ЦЕПОЧЕК
До сих пор мы занимались совершенно произвольными
коммутативными кольцами (с единицей). Однако, чтобы дви-
двигаться дальше и доказывать более глубокие теоремы, нам при-
придется наложить некоторые условия конечности. Удобнее всего
формулировать такие условия в терминах «обрыва цепочек».
В таком виде их можно применять и к кольцам, и к модулям;
эта глава посвящена случаю модулей. Большая часть рассуж-
рассуждений носит довольно формальный характер, что приводит к
определенной симметрии между убывающими и возрастающи-
возрастающими цепочками. Как мы увидим в последующих главах, эта
симметрия утрачивается при переходе к кольцам.
Пусть 2 — множество, частично упорядоченное отношением
^ (иными словами, это отношение рефлексивно и транзитив?
но, а из х sj; у и у ^ х вместе следует, что х = у).
Предложение 6.1. Следующие свойства2равносильны:
(I) Любая возрастающая последовательность Xi sj: х2 ^ ...
в 2 стационарна (иными словами, существует такое п, что
хп — хп+\ = ...).
(II) Любое непустое подмножество в 2 содержит макси-
максимальный элемент.
Доказательство. A)=#>(Н). Если (II) неверно, то в 2
существует непустое подмножество Т без максимального эле-
элемента, что позволяет строить по индукции строго возрастаю-
возрастающую бесконечную последовательность в Т.
(Н)=#>A), Множество (*m)m>i обладает максимальным
элементом; если это хп, цепочка после него стабилизируется. ¦
Пусть 2 — множество всех подмодулей модуля М, упоря-
упорядоченное отношением Е. Тогда свойство (I) называется усло-
условием обрыва возрастающих цепочек (сокращенно о. в. ц.), а
(II) —условием максимальности. Модуль М, удовлетворяю-
удовлетворяющий этим двум равносильным условиям, называется нётеро-
вым (в честь Эмми Нётер).
Если же 2 упорядочено отношением э, то (I) называется
условием обрыва убывающих цепочек (сокращенно о. у. ц.),
а (II) — условием минимальности. Модуль М, удовлетворяю-
удовлетворяющий этим двум условиям, называется артиновым (в честь
Эмиля Артина).
Условия обрыва цепочек 93
Примеры. 1) Любая конечная абелева группа (как Z-
модуль) удовлетворяет одновременно условиям о. в. ц. и о.у.ц.
2) Кольцо Z как Z-модуль удовлетворяет условию о. в. ц.,
но не удовлетворяет о. у. ц. Действительно, пусть a^Z ш аф
фО, 1; тогда (а) =э (а2) :э ... о(ап)з ... (включения стро-
строгие).
3) Пусть G — подгруппа в Q/Z, состоящая из всех элемен-
элементов, порядок которых является степенью фиксированного про-
простого числа р. Тогда G содержит в точности одну подгруппу
Gn порядка рп для каждого п ^ О, причем GocGicz..'.
...cGnC.., так что G не удовлетворяет условию о. в. ц.
С другой стороны, все собственные подгруппы в G исчерпы-
исчерпываются группами Gn; поэтому G удовлетворяет условию о. у. ц.
4) Группа Н всех рациональных чисел вида т/рп (т, п е
eZ, п ^ 0) не удовлетворяет ни одному из двух условий.
Действительно, существует точная последовательность вида
0-*-Z-> H -*-G-+0; поэтому Н не удовлетворяет условию
о. у. ц. вместе с Z, а условию о. в. ц. — вместе с G.
5) Кольцо k[x] (k — поле, х—переменная) удовлетворяет
для идеалов условию о. в. ц., но не удовлетворяет о. у. ц.
6) Кольцо многочленов k[xu x2,...] от бесконечного множе-
множества переменных не удовлетворяет ни одному из двух условий
для идеалов: последовательность (xi) с (х{, хг) cz (xi, хг, x$)cz...
строго возрастает, а (х{) :э (дс|) гэ (jcf) гэ ... строго убывает.
7) Ниже мы убедимся, что кольцо с условием о. у. ц. для
идеалов обязательно удовлетворяет условию о. в. ц. для идеа-
идеалов. (Для модулей общего вида это неверно: см. примеры 2,3
выше.)
Предложение 6.2. А-модуль М является нётеровым
в том и только том случае, когда любой подмодуль в М ко-
конечно порожден.
Доказательство. =#>: Пусть N — некоторый подмо-
подмодуль в М, Е — множество всех конечно порожденных подмо-
подмодулей в N. Тогда 2 непусто (ибо 0е2) и, следовательно, со-
содержит максимальный элемент, скажем iV0. Если iV0 ф N, рас-
рассмотрим подмодуль М) + Ах, где x<=N, x ф. No. Он конечно
порожден и строго содержит М> — противоречие. Следователь-
Следовательно, iV = iV0, так что W конечно порожден.
Ф=: Пусть Mi s Mi s ...— возрастающая цепочка подмо-
дулей в М. Тогда N= \}Мп— некоторый подмодуль в М.
Поэтому он конечно порожден,скажем,элементамиJti, ..., хг
Пусть j,gM,. и n = maxj=1«r Тогда все х\ содержатся в М„,
так что цепочка обрывается.
94 Глава 6
Нётеровы модули оказываются важнее артиновых именно
из-за этого свойства: нётеровость — как раз удачное условие
конечности, позволяющее доказать массу результатов. Однако
многие элементарные формальные утверждения в равной мере
применимы и к нётеровым и артиновым модулям.
Предложение 6.3. Пусть 0->Ш — ->М-^+М"->0 —
точная последовательность А-модулей. Тогда
(I) Если М нётеров, то М' и М" нётеровы, и наоборот.
(II) Если М артинов, то М' и М" артиновы, и наоборот.
Доказательство. Докажем (I); (II) устанавливается
аналогично, ф: Любая возрастающая цепочка подмодулей
в М' (или в М") порождает аналогичную цепочку в М и, сле-
следовательно, стабилизируется.
Ф=: Пусть {Ln)n>l —возрастающая цепочка подмодулей
в М. Тогда (а-1 AП))—аналогичная цепочка в М\ a (p(Ln))—
в М". Для достаточно больших п обе эти цепочки стабилизи-
стабилизируются, поэтому то же верно для цепочки (Ln). Ш
Следствие 6.4. Если А-модули М{ A ^ i sj; n) нётеровы
п
(соотв. артиновы), то же верно для
Доказательство. Провести индукцию по п и приме-
применить F.3) к точной последовательности
Кольцо Л называется нётеровым (соотв. артиновым), если
оно обладает этим свойством как Л-модуль, т. е. удовлетво-
удовлетворяет условию о. в. ц. (соотв. о. у. ц.) для идеалов.
Примеры. 1) Всякое поле одновременно артиново и нё-
терово, кольцо Z/(n) — тоже (пфО). Кольцо Z нётерово, но
не артиново (пример 2 перед F.2)).
2) Любая область главных идеалов нётерова (в силу F.2):
всякий идеал конечно порожден).
3) Кольцо k[xy,..., хп] не является нётеровым (см. выше,
пример 6). Но оно является областью целостности и, значит,
вкладывается в свое поле частных. Это показывает, что под-
кольцо нётерова кольца само не обязано быть нётеровым.
4) Пусть X — бесконечное компактное хаусдорфово про-
пространство, С (X)—кольцо вещественных непрерывных функций
на X. Рассмотрим строго убывающую последовательность FiZD
zdF2^> ... замкнутых множеств в X и положим ап =
= {/е С(Х) \f(Fn) = 0}. Тогда а„ образуют строго возрастаю-
возрастающую последовательность идеалов в С(Х), поэтому С(Х) не
является нётеровым кольцом.
Условия обрыва цепочек 9Й
Предложение 6.5. Пусть А — нётерово (соотв. артино-
артиново) кольцо, М — конечно порожденный А-модуль. Тогда М
нётеров (соотв. артинов).
Доказательство. Можно представить М в виде фак-
тормодуля Ап для некоторого п > 0 и применить F.4) и
F.3). ¦
Предложение 6.6. Пусть А — нётерово (соотв. артино-
артиново) кольцо, aczA — идеал. Тогда кольцо А/а нётерово (соотв.
артиново).
Доказательство. Из F.3) следует, что А/а является
нётеровым (соотв. артиновым) Л-модулем, поэтому то же вер-
верно, если А/а рассматривать как модуль над Л/а. ¦
Цепочкой подмодулей модуля М назовем последователь-
последовательность (Mi) @ ^ i ^ п) подмодулей (включения строгие)
Длиной этой цепочки называется число п (количество
«звеньев»). Композиционным рядом модуля М называется вся-
всякая максимальная цепочка, т. е. такая, которую нельзя допол-
дополнить еще одним подмодулем. Равносильное условие: все фак-
тормодули Mi-i/Mi (l-^i^Cn) просты, т. е. не содержат под-
подмодулей, кроме 0 и самих себя.
Предложение 6.7. Предположим, что М обладает ком-
композиционным рядом длины, п. Тогда любой композиционный
ряд в М имеет длину п и любую цепочку можно дополнить до
композиционного ряда.
Доказательство. Пусть/(М)—длина самого коротко-
короткого композиционного ряда модуля М (если в М вообще нет
композиционных рядов, положим /(М) = +°°).
(I) JVcM=)l(iV)<l(M). Действительно, пусть (Де-
(Декомпозиционный ряд наименьшей длины в М; положим Ni =
= N П М{. Это — подмодули N. Поскольку Ni-i/Ni ЕМ*_1/Мг-,
а последний модуль прост, обязательно либо Ni-i/Ni=Mi-i/Mi,
либо Ni-i = Ni. Поэтому, изъяв повторяющиеся подмодули^-,
мы получим композиционный ряд для N, так что l(N) <j; l(M).
Если l(N) = l(M) — n, то N^Ni = M^i/Mi для всех i ==
= 1, 2, ..., п. Следовательно, Mn-i — Wn-i, так что М„_2 =
•= Nn-2, ... и, наконец, М = N.
(II) Длина любой цепочки в М не превосходит 1(М). Дей-
Действительно, пусть М = Мо zd Mi zd ...— цепочка длины k. Из
(I) тогда следует, что l(M) > /(Mi) > ... > l(Mh) = 0, откуда
1(М) > k.
(III) Рассмотрим теперь любой композиционный ряд в М.
Пусть k — его длина; тогда k^.l(M) в силу (II), откуда
96 Глава 6
следует равенство k=l(M) в силу определения /(М). Поэтому
все композиционные ряды имеют одну и ту же длину. Нако-
Наконец, рассмотрим какую-нибудь цепочку. Если ее длина равна
1(М), она должна быть композиционным рядом в силу (II).
Если ее длина меньше, чем 1(М), то она не может быть ком-
композиционным рядом; следовательно, она не максимальна, так
что ее можно дополнять, пока ее длина не достигнет 1(М). ш
Предложение 6.8. М обладает композиционным рядом
в том и только том случае, когда М удовлетворяет обоим усло-
условиям обрыва.
Доказательство. =#>: Все цепочки в М имеют ограни-
ограниченную длину, поэтому справедливы оба условия обрыва.
Ф=: Построим композиционный ряд модуля М следующим
способом. Положим М = Мо. Из F.1) следует, что в Мо есть
максимальный подмодуль Mi cz Мо. Аналогично, в Mi сущест-
существует максимальный подмодуль М2 и т. д. Таким образом, мы
получаем строго убывающую цепочку Мо zd M4 id ... , которая
стабилизируется в силу условия о. у.ц. Получившаяся конеч-
конечная цепочка является композиционным рядом. ¦
Модуль, удовлетворяющий обоим условиям обрыва, назы-
называется поэтому модулем конечной длины. Согласно F.7), дли-
ны всех композиционных рядов М одинаковы; это общее число
1(М) называется длиной модуля М. Теорема Жор дана — Гёль-
дера применима к модулям конечной длины: для любых двух
композиционных рядов (MtH<{<n и (М{H<(<п модуля М
между двумя семействами фактормодулей (^i-i/M{)l<(<n и
{M'i-\IM'i)l<i<n можно установить такое взаимно однозначное
соответствие, что друг другу будут отвечать изоморфные мо-
модули. Доказательство для конечных групп автоматически пе-
переносится на этот случай.
Предложение 6.9. Длина 1{М) является аддитивной
функцией в классе всех А-модулей конечной длины.
Доказательство. Мы должны проверить, что если по*
следовательность 0-> М' -^> М — ¦> М"-> 0 точна, то 1(М) =
= 1(М')-\- 1(М"). Рассмотрим а-образ в М любого композици-
композиционного ряда М' и р-прообраз в М любого композиционного
ряда М". Их можно объединить в композиционный ряд мо-
модуля М. Отсюда следует требуемое. ¦
Рассмотрим частный случай модулей над некоторым по-
полем k, т. е. ^-векторных пространств:
Предложение 6.10. Следующие свойства векторных
пространств V над полем k равносильны:
(I) конечномерность;
Условия обрыва цепочек 97
(II) конечная длина;
(III) о. в. ц.;
(IV) о. у. ц.
Кроме того, длина совпадает с размерностью, если одно из
этих чисел определено.
Доказательство. A)Ф(П) очевидно; (П)Ф(Ш) и
(П)ФAУ) следуют из F.8). Остается проверить импликации
(III) фA) и (IV)=#>(I). Предположим, что (I) неверно. Тогда
существует бесконечная последовательность (хп)п>1 линейно
независимых элементов V. Пусть Un (соотв. У„) —векторное
пространство, натянутое на xit ..., хп (соотв. хп+и хп+2, ...).
Тогда цепочка (Un)n>l (соотв. (Vn)n>l) бесконечна и строго
возрастает (соотв. строго убывает).
Следствие 6.11. Пусть А — некоторое кольцо, в котором
нулевой идеал является произведением ttii ... т„ (не обяза-
обязательно разных) максимальных идеалов. Тогда нётердвость
кольца А равносильна его артиновости.
Доказательство. Рассмотрим цепочку идеалов
А гэ т, э m<m2 э ... = т, ... т„ = 0.
Любое факторкольцо mi ... nti-i/nii ... пц является векторным
пространством над полем Л/т,. Следовательно, для него свой-
свойства нётеровости и артиновости равносильны. С другой сто-
стороны, применяя повторно F.3), убеждаемся, что нётеровость
(соотв. артиновость) всех факторов равносильна нётеровости
(соотв. артиновости) кольца А. Отсюда следует требуемое. ¦
Упражнения
1. (I) Пусть М — некоторый нётеров Л-модуль, и: М-*- М — гомомор-
гомоморфизм модулей. Если и сюръективен, то и — изоморфизм.
(II) Если М артинов, а и инъективен, то и — изоморфизм.
[Для доказательства (I) рассмотрите подмодули Ker(u"), а для до-
доказательства (II) —фактормодули Coker (и").]
2. Пусть М — некоторый Л-модуль. Если любое непустое множество
конечно порожденных подмодулей в М обладает максимальным элементом,
то модуль М нётеров.
3. Пусть М — некоторый Л-модуль, Nj и N2 — подмодули в М. Если
MINi и MjN2 нётеровы, то же верно относительно Mj(Nx (]Ni). Аналогич-
Аналогичное утверждение верно для свойства артиновости.
4. Пусть М — иётеров Л-модуль, а—аннулятор М в Л. Докажите, что
кольцо Л/й нётерово.
Если в этом утверждении заменить иётеровость артиновостью, оста-
останется ли результат верен?
5. Топологическое пространство X называется нётеровым, если его от-
открытые подмножества удовлетворяют условию о. в. ц. (или, что равносиль-
равносильно, условию максимальности). Поскольку замкнутые множества суть до-
дополнения к открытым, можно вместо этого потребовать выполнения усло-
условия о. у. ц. (или минимальности) для замкнутых подмножеств. Покажите,
4 Зак. 1238
98 Глава 6
что если X нётерово, то любое подпространство в X нётерово, а X квази-
компактно.
6. Докажите, что следующие условия равносильны:
(I) X иётерово.
(II) "
(II) Любое открытое подпространство в X квазикомпактио.
(III) Любое подпространство в X квазикомпактио.
7. Всякое иётерово пространство является объединением конечного
числа неприводимых замкнутых подпространств. [Рассмотрите множество
2 тех замкнутых подмножеств в X, которые не являются конечными объ-
объединениями неприводимых замкнутых подпространств.] Следовательно, мно-
множество неприводимых компонент иётерова пространства конечно.
8. Если кольцо А нётерово, то Spec (А)—нётерово топологическое
пространство. Верно лн обратное?
9. Выведите из упражнения 8, что множество минимальных простых
идеалов нётерова кольца конечно.
10. Пусть М — нётеров модуль (над произвольным кольцом А). Тогда
Supp (M)—замкнутое нётерово подпространство в Spec (Л).
11. Пусть f :А-+ В — некоторый гомоморфизм колец, Spec (В) — иё-
иётерово пространство (упражнение 5). Докажите, что отображение
f* : Spec (В) -*¦ Spec (А) замкнуто в том и только том случае, когда / об-
обладает свойством подъема (глава 5, упражнение 10).
12. Пусть А — такое кольцо, что пространство Spec (Л) нётерово. По-
Покажите, что множество простых идеалов А удовлетворяет условию обрыиа
возрастающих цепочек. Верно лн обратное утверждение?
Глава 7
НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА
Напомним, что кольцо А называется нётеровым, если оно
удовлетворяет следующим трем равносильным условиям:
1) Любое непустое подмножество идеалов в А обладает
максимальным элементом.
2) Любая возрастающая цепочка идеалов в А стабилизи-
стабилизируется.
3) Любой идеал в А конечно порожден.
(Равносильность этих условий доказана в F.1) и F.2).)
Нётеровы кольца, безусловно, образуют важнейший класс
колец в коммутативной алгебре: некоторые примеры тому мы
уже видели в главе 6. В этой главе мы сначала покажем, что
свойство нётеровости сохраняется при некоторых обычных опе-
операциях, и, в частности, докажем знаменитую теорему Гиль-
Гильберта о базисе. После этого мы покажем, что из нётеровости
можно вывести ряд важных утверждений, в том числе сущест-
существование примерных разложений.
Предложение 7.1. Пусть А—нётерово кольцо, В —
образ А при некотором гомоморфизме ф. Тогда В — нётерово
кольцо.
Доказательство. Это следует из F.6), потому что
В&А/а, где а = Кегф. ¦
Предложение 7.2. Пусть А — подкольцо в В. Предпо-
Предположим, что А нётерово, а В конечно порождено как А-модуль.
Тогда В — нётерово кольцо.
Доказательство. Из F.5) следует, что кольцо В нё-
нётерово как Л-модуль, следовательно, оно нётерово и как В-мо-
дуль. ¦
Пример. В = Z[t] — кольцо целых гауссовых чисел. Оно
нётерово в силу G.2). Более общо, кольцо целых в любом поле
алгебраических чисел конечной степени нётерово.
Предложение 7.3. Пусть А — нётерово кольцо, S — лю-
любое мультипликативно замкнутое подмножество в А. Тогда
кольцо S-'Л нётерово,
100 Глава 7
Доказательство. Согласно C.11), (I) и A.17), (III),
идеалы кольца S~M находятся во взаимно однозначном (и
сохраняющем включения) соответствии со своими сужениями
в А. Поэтому множество таких идеалов удовлетворяет усло-
условию максимальности. (Другое доказательство: любой идеал л
в А порожден конечным числом образующих, скажемХ\,...,х„.
Тогда идеал S~la порожден элементами xrfl, ..., хп/1.) Ш
Следствие 7.4. Если кольцо А нётерово, a i> — простой
идеал в А, то кольцо Ар нётерово. Ш
Т е op e м а 7.5 (теорема Гильберта о базисе). Если кольцо
А нётерово, то кольцо многочленов А[х] тоже нётерово.
Доказательство. Пусть а — некоторый идеал в А[х].
Старшие коэффициенты всех многочленов из а образуют идеал
t в А. Из нётеровости А следует, что I конечно порожден, ска-
скажем, элементами аи ..., ап. Для каждого i = 1, ..., п суще-
существует многочлен fi^A[x] вида /,- = агяг' + (члены низших
степеней). Положим г —max?=1rr Многочлены /* порождают
в А[х] идеал a's л.
Пусть { = ахт + (члены низших степеней)—любой эле-
элемент из а. По определению, о el. Если т^г, положим
п
а=2ы*а!> гДе Щ^-А; тогда многочлен f —'SiUifixm~rt
t=i
принадлежит а и его степень <т. Продолжая действовать
так же, мы можем вычитать из / элементы, принадлежащие а',
до тех пор, пока не получится многочлен g степени меньше г:
f = g + К где h (= a'.
Обозначим через М модуль, порожденный элементами 1,
х, ..., хг~1. Мы доказали, что а = (а Г) М) + а'. Но М — ко-
конечно порожденный Л-модуль. Следовательно, он нётеров в си-
силу F.5), так что Л-модуль a f\ M конечно порожден согласно
F.2). Пусть gu ..., gm порождают а Л М. Тогда, очевидно, ft
и gj порождают а. Следовательно, идеал а конечно порожден,
и кольцо А[х] нётерово. ¦
Замечание. Из нётеровости А следует также нётеровость
кольца формальных степенных рядов А[[я]]. Доказательство
почти параллельно приведенному выше, только начать нужно
с идеала, порожденного младшими коэффициентами рядов,
принадлежащих а. См. также A0.27).
Следствие 7.6. Если кольцо А нётерово, то кольцо
А[хи ..., хп] тоже нётерово.
Доказательство. Это получается из G.5) индукцией
по п, Ш
Нётеровы кольца 101
Следствие 7.7. Пусть В — конечно порожденная А-ал-
гебра. Если кольцо А нётерово, то же верно для В.
В частности, любое конечно порожденное кольцо и любая
конечно порожденная алгебра над полем являются нётеро-
выми.
Доказательство. Кольцо В является гомоморфным
образом кольца многочленов А[хи ..., хп], которое нётерово
в силу G.6). ¦
Предложение 7.8. Пусть A s В s С — некоторые коль-
кольца. Предположим, что А нётерово, С конечно порождено как
А-алгебра и, сверх того, С либо (I) конечно порождено как
В-модуль, либо (II) цело над В. Тогда В конечно порождено
как А-алгебра.
Доказательство. Из E.1) и E.2) следует, что усло-
условия (I) и (II) в сделанных предположениях равносильны. По-
Поэтому можно считать, что выполнено условие (I).
Пусть Xi, ..., xm порождают С как Л-алгебру, а у\, ..., уп
порождают С как В-модуль. Тогда существуют выражения
вида
xt=Iibuy, Fwefl), A)
тук (bUk<=B). B)
k
Обозначим через Во алгебру, порожденную над А коэффи-
коэффициентами Ъц и bijk. Из G.7) следует, что Во нётерова, потому
что А нётерова и A s Во S В.
Любой элемент из С можно представить в виде многочлена
от Xi с коэффициентами из А. Подставив в этот многочлен A)
и последовательно пользуясь B), мы получаем, что всякий
элемент из С является линейной комбинацией у-} с коэффици-
коэффициентами из Во. Следовательно, С конечно порождено как В0-мо-
дуль. Поскольку кольцо Во нётерово, а В — подмодуль С, из
F.5) и F.2) вытекает, что В конечно порождено как В0-мо-
дуль. Но Во конечно порождено как Л-алгебра. Отсюда сле-
следует, что и В конечно порождено как Л-алгебра. ¦
Предложение 7.9. Пусть k — некоторое поле, Е — ко-
конечно порожденная k-алгебра. Если Е — тоже поле, то оно
является конечным алгебраическим расширением k.
Доказательство. Пусть E=k[xu ..., хп]. Если Е не
алгебраично над k, то элементы xt можно перенумеровать
так, чтобы хх, ..., хт (г^1) были алгебраически незави-
независимы над k, а каждый из элементов хг+\, ..., х„ — алгебраи-
чен над полем F=k(xu ..., хг). Тогда Е будет конечным
алгебраическим расширением поля F и, следовательно,
102 Глава 7
конечномерным пространством над F. Применив G.8) к тройке
Asfс?, получим, что F является конечно порожденной
й-алгеброй, скажем F—k[yu ..., ys]. Каждый из элементову$
имеет вид fj/gj, где fj, gj — многочлены от Xi, ..., хт. Но
в кольце k[xu ..., хг] имеется бесконечно много неприводи-
неприводимых многочленов (доказательство бесконечности множества
простых чисел по Евклиду легко переносится на этот случай).
Следовательно, существует такой неприводимый многочлен h,
который взаимно прост со всеми gj (например, годится дели-
делитель многочлена gig2... gs + 1). Тогда обратный к нему эле-
элемент /г1 поля F не может быть многочленом от у}; это приво-
приводит к противоречию. Тем самым Е — алгебраическое расши-
расширение поля k; его конечность очевидна. ¦
Следствие 7.10. Пусть k — некоторое поле, А—конеч-
А—конечно порожденная k-алгебра. Пусть m — максимальный идеал
в А. Тогда поле А/хп является конечным алгебраическим рас-
расширением k. В частности, если k алгебраически замкнуто, то
A/m s k.
Доказательство. Положите ?=Л/т в G.9). ¦
Утверждение 7.10 — это так называемый «слабый» ва-
вариант теоремы Гильберта о нулях. Данное здесь доказатель-
доказательство принадлежит Артину и Тэйту. Геометрический смысл тео-
теоремы и ее «сильная» форма даны в упражнениях в конце
главы.
Примарное разложение в нётеровых кольцах
Следующие две леммы показывают, что любой идеал
ф{\) в нётеровом кольце имеет примарное разложение.
Идеал а называется неприводимым, если
а = b Пс =#¦ (а = Ь или а = с).
Лемма 7.11. В нётеровом кольце А любой идеал являет-
является пересечением конечного числа неприводимых идеалов.
Доказательство. Пусть это не так. Тогда множество
тех идеалов в А, для которых лемма неверна, непусто и, сле-
следовательно, содержит максимальный элемент а. Поскольку а
приводим, имеем а = Ь(]с, где Ъ=эа и с =э а. Следовательно,
каждый из идеалов Ь, с можно представить в виде пересе-
пересечения конечного числа неприводимых идеалов; поэтому то же
верно для а — противоречие. ¦
Лемма 7.12. В нётеровом кольце любой неприводимый
идеал примарен.
Доказательство. Переходя к факторкольцу, легко
убедиться, что достаточно проверить следующее cbqhctbq;
Нётеровы кбльца 103
гели нулевой идеал неприводим, то он примарен. Предпо-
Предположим, что ху=0, уфО. Рассмотрим цепочку идеалов
Апп(*) =Ann(*2) S... . Из условия о. в. ц. следует, что эта
цепочка стабилизируется, т.е. Ann(*n) =Ann(^n+1)= ... для
некоторого п. Отсюда вытекает, что (хп) П (у)=0; действи-
действительно, из ое (у) следует, что ш:=0, а изйе (хп) следует,
что а=Ьхп и, значит, Ьхп+1 = 0, откуда b ^Апп(хп+1) =
=Ann(x"), так что frx"=0, т.е. а = 0. Поскольку идеал @)
неприводим и (у) Ф0, обязательно хп=0, что и доказывает
примарность @). ¦
Из этих двух лемм немедленно вытекает
Теорема 7.13. Любой идеал нётерова кольца А допу-
допускает примарное разложение. ¦
Следовательно, все результаты главы 4 применимы к нё-
теровым кольцам.
Предложение 7.14. В нётеровом кольце А любой идеал
й содержит некоторую степень своего радикала.
Доказательство. Пусть хи ..., хк порождают г (а)
к
И, скажем, /'еа A <J i ^ к). Положим m = 2 («г — 1) + Ь
Тогда идеал r(a)m порожден произведениями х\1 ... хгкк, для
которых 2о = т' Из определения m ясно, что г^щ по
крайней мере для одного /. Значит, всякий такой одночлен
лежит в а, так что г (a)m ga. i
Следствие 7.15. В нётеровом кольце нильрадикал ниль-
патентен.
Доказательство. Положить а=@) в G.14). ¦
Следствие 7.16. Пусть А — нётерово кольцо, m — мак-
максимальный идеал в A, q — любой идеал в А. Следующие
утверждения равносильны:
(I) q m-примарен;
(II) r(q) = m;
(III) tn" s q E m для некоторого п> 0.
Доказательство. Импликация (I) =ф (П) Очевидна;
(II) =ф (I) следует из D.2); (II) =Ф (III) —из G.14); (III) =?>
5ф (II) получается переходом к радикалам: m = r(m")E r(q) s
Ef(ni) = m, ¦
Предложение 7.17. Яг/сгь аф(\)—идеал в нётеро-
9Ом кольце. Тогда множество простых идеалов, ассоцииро-
ассоциированных с а, совпадает с множеством тех простых идеалов,
которые имеют вид (а : х) для какого-нибудь элемента х е А.
104 Глава ?
Доказательство. Перейдя к А/а, мы можем свести
п
задачу к случаю а = 0. Пусть Р)Чг = 0— минимальное при-
марное разложение нулевого идеала, и пусть pt — ради-
радикал qt. Положим ai= P|q,- Ф 0. Тогда из доказательства D.5)
видно, что г (Лпп (х)) = pi для любого элемента х ф 0 в at.
Поэтому Ann (х) ? р{.
Поскольку идеал qt ргпримарен, из G.14) следует суще-
существование такого целого числа т, что р? s q*, откуда aipf s
S a* fl.^fs biO<\i = 0. Пусть m ^ 1 — такое наименьшее це-
целое число, что а{р? = 0, и пусть * — ненулевой элемент из
atp7~l- Тогда рг* = 0. Поэтому аннулятор такого элемента
содержит pi и, значит, совпадает с р(.
Наоборот, пусть Ann(x) является простым идеалом р. То-
Тогда r(Ann(;e)) =р, так что, в силу D.5), ^ — простой идеал,
ассоциированный с 0. ¦
Упражнения
1. Пусть А — некоторое кольцо, не являющееся нётеровым; 2 — мно-
множество идеалов в А, не имеющих конечной системы образующих. Пока-
Покажите, что в S есть максимальные элементы и что эти максимальные эле-
элементы являются простыми идеалами.
[Пусть а — некоторый максимальный элемент в S. Предположим, что
существуют элементы х, у е А, для которых х ф. а, у ф. а и ijej, По-
кагките, что тогда существует конечно порожденный идеал а0 ^ а, для
которого а0 + (х) = а + (х) и а = Оо + х (а: х). Так как идеал (а: х) строго
содержит а, он конечно порожден; поэтому и а конечно порожден.]
Отсюда следует, что всякое кольцо, в котором любой простой идеал
конечно порожден, является нётеровым (И. С. Коэн).
оо
2. Пусть А — нётерово кольцо, /= 2 <*n*"s A [[*]]. Докажите,
в=о
что элемент / ннльпотентен тогда и только тогда, когда все его коэффи-
коэффициенты ап нильпотентны.
3. Пусть а — неприводимый идеал в кольце А. Следующие утвержде-
утверждения равносильны:
(I) а прнмарен.
(II) Для любого мультипликативно замкнутого подмножества 5 в Л
существует такой элемент х е S, что (S~ 1<х)с — (а: х).
(III) Для любого элемента хеЛ последовательность идеалов (а;хп)
стабилизируется.
4. Какие из следующих колец нётеровы?
(I) Кольцо рациональных функций от г, не имеющих полюсов на
окружйости |z| = 1.
(II) Кольцо степенных рядов от 2 с положительным радиусом сходн-
мостн (зависящим от ряда).
(III) Кольцо степенных рядов от 2 с бесконечным радиусом сходи-
сходимости.
(IV) Кольцо многочленов от г, у которых первые к производных об*
ращаются в нуль в начале (к — фиксированное целое число).
Нётеровы кольца 105
(V) Кольцо многочленов от г, w, все частные производные которых
по w обращаются в нуль при г = 0.
Коэффициенты во всех случаях комплексные.
6. Пусть Л — нётерово кольцо, В — конечно порожденная Л-алгебра,
G — конечная группа Л-автоморфизмов кольца В, В6 — множество всех
элементов В, инвариантных относительно действия G. Покажите, что
Л-алгебра Ва конечно порождена.
в. Если конечно порожденное кольцо К является полем, то это — ко-
конечное поле.
[Если бы характеристика К была нулевой, мы имели бы Z с Q S К.
Поскольку К конечно порождено над Z, оно конечно порождено иад Q;
из G.9) следует, что тогда К конечномерно над Q. Применив G.8), при-
приходим к противоречию. Следовательно, характеристика К равна р > 0,
так что К является конечно порожденной Г(р)-алгеброй. Теперь для за-
завершения доказательства используйте G.9).]
7. Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие, заданное семей-
семейством уравнений /u(^i, ..., tn) = 0 (а е/) (глава 1, упражнение 27).
Покажите, что существует такое конечное подмножество /о с I, что много-
многообразие X определяется уравнениями fa(tu .... in) =0 для а е/0.
8. Если кольцо А[х] нётерово, обязательно ли Л нётерово?
9. Пусть Л — такое кольцо, что
A) локальные кольца Лтдля всех максимальных идеалов ш иётеровы;
B) множество максимальных идеалов в Л, содержащих любой дан-
данный элемент х Ф 0, конечно.
Покажите, что Л нётерово.
[Пусть аФО — некоторый идеал в Л. Обозначим через аи, ..., шг
все максимальные идеалы, содержащие а. Выберем в а элемент х0 Ф 0,
н пусть uii uir+i — все максимальные идеалы, содержащие х0. Так
как nir+u .... mr+s не содержит а, существует такой элемент лг/еа,
что xi^xar+i (l<!y'<s). Поскольку все кольца Лш (!<!^<r) нёте-
нётеровы, расширение а в Лга конечно порождено. Следовательно, в а суще-
существуют элементы xs+\, .... xt, образы которых в Ат порождают идеалы
Ат а для всех i = 1, ,.., г. Положим а0 = (л:о. •••• xt). Покажите, что
для любого максимального идеала m расширения do и а в Лш совпа-
совпадают. Выведите из C.9), что тогда о0 = а.]
10. Пусть М — нётеров Л-модуль. Покажите, что М[х] (глава 2,
упражнение 6) — нётеров Л М-модуль.
11. Пусть Л—кольцо, любое локальное кольцо которого Л„ нётерово.
Обязательно ли Л нётерово?
12. Пусть Л — кольцо, В — строго плоская Л-алгебра (глава 3, упраж-
упражнение 16). Покажите, что если кольцо В нётерово, то и л нётерово. [Ис-
[Используйте условие о. в. ц.]
13. Пусть f : А -*¦ В — гомоморфизм конечного типа, /* : Spec (В) ->¦
-*¦ Spec (Л) — соответствующее ему отображение. Покажите, что слои /*
являются нётеровыми подпространствами в В.
Сильная форма теоремы о нулях
14. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, Л — кольцо многочле-
многочленов k[ti, .... tn], я—идеал в А. Пусть V—многообразие в й", опреде-
определенное идеалом а. Иными словами, V— множество всех точек х — (хи ...
..., хп) ей™, для которых f(x) =0 при всех fsa. Пусть I(V)—идеал
многообразия V, т. е. множество всех многочленов gsA, для которых
g(x) = 0 при всех х sV. Покажите, что I(V) = г (а).
[Очевидно, r(a)s/(K). Наоборот, пусть ft?r(a). Тогда существует
Такой простой идеал р, содержащий а, что / ф. р. Обозначим через f
106 Глава 7
образ / в кольце В = А/$, положим С = Bf = B[\/f], и пусть м — неко-
некоторый максимальный идеал в С. Так как fe-алгебра С конечно порождена,
из G.9) следует, что С/т s* k. Поэтому образы xi образующих ^ алгебры А
в С/т определяют некоторую точку * = (*[ хп) е ft". Это построе-
построение показывает, что x&V н f (х) Ф 0.]
15. Пусть А — нётерово локальное кольцо, nt — его максимальный
идеал, ft—поле вычетов, М — конечно порожденный Л-модуль. Следую-
Следующие утверждения равносильны:
I) M — свободный модуль.
¦ плоский модуль.
(III) Отображение m <8> М. в А ® М ииъективио.
(IV) Torf (k, M) = 0.
[Чтобы доказать импликацию (IV) =#¦ (I), рассмотрим элементы
Х\ хп в М, образы которых в М/тМ составляют ft-базнс этого вектор-
векторного пространства. В силу B.8), элементы xi порождают М. Пусть F —
свободный Л-модуль с базисом еи ..., еп. Определим гомоморфизм
(f:F-+M, положив ф(е^) — Xi. Положим ? = Кег(ф). Тогда точная по-
последовательность 0-*-E~*-F-*-M-*-0 индуцирует точную последователь-
последовательность
Так как k(j$F и kf&M — векторные пространства одной и той же раз-
размерности над k, отсюда следует, что 1 ® ф — изоморфизм. Следовательно,
k ® Е = 0, так что Е = 0 в силу леммы Накаямы (Е конечно порожден
как подмодуль нётерова модуля F над нётеровым кольцом А).]
16. Пусть А — нётерово кольцо, М — конечно порожденный Л-модуль.
Следующие утверждения равносильны:
(I) M — плоский Л-модуль.
(II) Мр — свободный Лр-модуль для всех простых идеалов J).
(III) Мт — свободный Лт-модуль для всех максимальных идеалов аи
Иными словами, класс нётеровых плоских модулей совпадает с клас-
классом нётеровых локально свободных модулей. [Используйте упражнение 15.]
17. Пусть Л — кольцо, М — нётеров Л-модуль. Покажите, что длн лю-
любого подмодуля N в М существует примерное разложение (определения
содержатся в упражнениях 20—23 главы 4; приспособьте доказательства
G.11) и G.12) к этому случаю).
18. Пусть Л — нётерово кольцо, J)— простой идеал в А, М — конечно по-
порожденный Л-модуль. Покажите, что следующие утверждения равносильны:
(I) $ ассоциирован с нулевым подмодулем в М;
П1) существует такой элемент х s M, что Ann (x) =
(III) существует подмодуль в М, изоморфный Л/j).
Выведите отсюда существование такой цепочки подмодулей
0 = Мо с: Ali с: ... с: Мг — М, что каждый фактормодуль Mi/Mi-i изо-
изоморфен А/щ, где $i — некоторые простые идеалы в Л.
19. Пусть п — некоторый идеал нётерова кольца Л. Рассмотрим два
минимальных разложения а в пересечение неприводимых идеалов:
Докажите, что г — s и что г (bi) == г (сг) для всех i (возможно, после со-
соответствующего изменения нумерации С/). [Покажите, что для всякого
i = I, ..., г существует такой /, что
а = б, П ¦•¦ flbi-iflc/flbi+ifl ••• ПЫ
Сформулируйте и докажите аналогичный результат для модулей.
Нётеровы кольца 107
20. Пусть X— топологическое пространство, ^"—наименьшая система
подмножеств в X, содержащая все открытые подмножества в X и замкну-
замкнутая относительно операций образования конечных пересечений и перехода
к дополнению.
(I) Покажите, что подмножество Е в X принадлежит &" в том и
только том случае, когда Е является конечным объединением множеств
вида U П С, где U открыто, С замкнуто.
(II) Пусть X неприводимо, ? s ?Г. Покажите, что F плотно в X
(т. е Е = X) тогда н только тогда, когда Е содержит непустое открытое
подмножество в X.
21. Пусть X—нётерово топологическое пространство (упражнение 5
главы 6), ?sl. Покажите, что Ее&~ в том и только том случае, когда
для любого неприводимого замкнутого подмножества Ха^ X либо
Е П Хо Ф Хо, либо Е(]Х0 содержит непустое открытое подмножество а Хо.
[Пусть Ефд~. Тогда система замкнутых множеств Х'^Х, для которых
Е(]Х'ф&, непуста и, следовательно содержит минимальный элемент Хо.
Покажите, что Ло неприводим, и затем что в любом из двух описанных
случаев Е(]Х0& <!Г.] Множества, принадлежащие 9Г, называются кон-
структивными подмножествами пространства X.
22. Пусть X — нётерово топологическое пространство, Е — некоторое
подмножество в X. Покажите, что Е открыто в X в том и только том слу-
случае, когда для любого неприводимого замкнутого подмножества Хо в X
либо Е П Хо = 0, либо Е П Ха содержит непустое открытое подмножество
в Ха. [Доказательство аналогично упражнению 21.]
23. Пусть А — нётерово кольцо, / : А ->• В — гомоморфизм конечного
типа (так что В также нётерово). Положим X = Spec (А), У = Spec (В),
и пусть /* : У -*¦ X — отображение, отвечающее /. Тогда /*-образ любого
конструктивного подмножества ? в У является конструктивным подмноже-
подмножеством в X. [Согласно упражнению 20, достаточно положить Е = U ОС,
где U открыто, а С замкнуто в У. Заменив затем кольцо В подходящим
гомоморфным образом, можно свести задачу к случаю, когда Е открыто
в У. Из нётеровости У следует, что Е квазикомпактно и, следовательно,
покрывается конечным числом открытых подмножеств вида Spec (Bg).
Поэтому все сводится к случаю Е = Y. Чтобы доказать конструктивность
f*(Y), используйте критерий упражнения 21. Пусть Хо—неприводимое
замкнутое подмножество в X, такое, что пересечение /*(У) ПЛо плотно
в Яо. Имеем
Г (У) П *о = Г (Г №,)). Г"' (*о) = Spec ((ЛД>) ® В),
А
где ЛГ0 = Spec (A/$). Это позволяет свести задачу к случаю, когда А —
область целостности, а / инъективно. Пусть У[, ..., Уп — неприводимые
компоненты У. Достаточно доказать, что для некоторого t образ /*(У<)
содержит непустое открытое подмножество в X. Таким образом, мы, на-
наконец, свели дело к случаю, когда А, В — области целостности, а /—вло-
/—вложение (по-прежнему конечного типа). Теперь используйте упражнение 21
главы 5 для завершения доказательства.]
24. В обозначениях и предположениях упражнения 23 покажите, что
отображение /* открыто тогда и только тогда, когда f обладает свой-
свойством спуска (упражнение 10 главы 5). [Предположим, что f обладает
свойством спуска. Как в упражнении 23, сведите задачу к доказательству
того, что множество ? = /*(У) открыто в X. Свойство спуска означает,
что если )) s? и J)'sp, то р s?; иными словами, если Хо—неприводи-
Хо—неприводимое замкнутое подмножество в X, пересекающееся с Е, то Е П -#о плотно
в Хо. Из упражнений 20 и 22 следует, что Е открыто в X.]
25. Пусть А — нётерово кольцо, /: А -»- В — плоский гомоморфизм ко-
конечного типа (т. е. В плоское как А -модуль). Тогда отображение
/* : Spec (В) ->• Spec (А) открыто. [Упражнение 24 и упражнение 11
главы 5.]
108 Глава 1
Группы Гротендика
26. Пусть А— нётерово кольцо, F(A)—множество всех классов ко-
конечно порожденных А-модулей с точностью до изоморфизма. Обозначим
через С свободную абелеву группу, порожденную множеством F(A). Ка-
Каждой короткой точной последовательности конечно порожденных Л-моду-
лей 0 -»¦ М' -* М -*¦ М" -*¦ 0 поставим в соответствие элемент (ЛГ) — (М) +
+ (М") группы С, где (М) — класс модуля М и т. д. Обозначим через D
подгруппу в С, порожденную такими элементами для всех коротких точ-
точных последовательностей. Факторгруппа C/D называется группой Гротен-
Гротендика кольца А и обозначается К(А). Для всякого конечно порожденного
модуля М образ его класса (М) в группе К(А) обозначим через у(М)
или \а(М).
(I) Покажите, что группа К (А) обладает следующим свойством уни-
универсальности: для любой аддитивной функции % на классе конечно поро-
порожденных А-модулей, принимающей значения в абелевой группе G, суще-
существует единственный гомоморфизм A0:K(A)->-G, удовлетворяющий усло-
условию К(М) = 1о(у(М)) для всех М.
(II) Покажите, что группа К(А) порождена элементами у (А/р), где $
пробегает простые идеалы кольца А. [Воспользуйтесь упражнением 18.]
(III) Покажите, что если А — поле или область главных идеалов, то
K(A)aiZ.
(IV) Пусть f : А ->- В — конечный гомоморфизм колец. Покажите, что
операция ограничения скаляров позволяет определить гомоморфизм
fi: К(В) ->-К(А) со свойством f, (ув(М)) — ул(Щ для любого В-моду-
ля N. Пусть g : B-+C — еще один конечный гомоморфизм; покажите, что
тогда (g °f)l — ff°gl-
27. Пусть А — нётерово кольцо, Fi(A)—множество всех классов ко-
конечно порожденных плоских А-модулей с точностью до изоморфизма. При-
Применяя к нему конструкцию упражнения 26, построим группу /Ci(A). Обо-
Обозначим через yi{M) образ класса (Л1) модуля М в группе Ki(A).
(I) Покажите, что операция тензорного произведения модулей над А
индуцирует на Ki(A) структуру коммутативного кольца, если положить
yi(M)yi(N) = yi(M <&N). Единичным элементом этого кольца служит
класс Yi(^)-
(II) Покажите, что тензорное умножение индуцирует на группе К(А)
структуру Ki(А)-модуля, если положить Yi(^)y(^) = y(M<&N).
(III) Если А—(нётерово) локальное кольцо, то К\(А) =Ъ.
(IV) Пусть f: A ->- В — гомоморфизм нётеровых колец. Покажите, что
операция расширения кольца скаляров индуцирует гомоморфизм колец
/': Ki (А) -> К, (В), если положить f' (vi (M)) = yi (в ® м)- [Учесть, что
А
если М — плоский и конечно порожденный А-модуль, то же верно для В-мо-
дуля В ® М.\ Пусть g: B-+C'—еще один гомоморфизм нётеровых колец;
А
тогда (f°?)' = /.'<> г1.
(V) Пусть /: А-*- В — конечный гомоморфизм колец. Тогда
fl(fl(X)y) = Xfl(y)
для всех JteKi(A), y<sK(B). Иными словами, если рассматривать К(В)
как Ki (А)-модуль посредством ограничения кольца скаляров, то /! ста-
становится гомоморфизмом К\ (А)-модулей.
Замечание. Так как А (А) является подмножеством в F(A), опре-
определен гомоморфизм групп е : К,(А) ->-К(А), при котором е(у,(М)) =
= у(М). Можно показать, что это — изоморфизм, если кольцо А конечно-
конечномерно и регулярно (т. е. все его локальные кольца А^ регулярны: см.
главу 11).
Глава 8
АРТИНОВЫ КОЛЬЦА
Кольцо называется артиновым, если оно удовлетворяет
условию о. у. ц. (или, что равносильно, условию минималь-
минимальности) для идеалов.
Внешняя симметрия определений артиновых и нётеровых
колец, однако, не должна вводить в заблуждение. Мы пока-
покажем, что на самом деле любое артиново кольцо является нё-
теровым, и притом очень частного вида. В определенном
смысле артиновы кольца принадлежат к простейшему типу
колец после полей, и они достойны изучения не из-за своей
общности, а из-за простоты.
Предложение 8.1. В артиновом кольце А любой про-
простой идеал максимален.
Доказательство. Пусть $ — простой идеал в А. То-
Тогда В=А/% — артинова область целостности. Пусть х е В,
хфО. Из условия о. у. ц. следует, что (*") = (*"+') для неко-
некоторого п, т.е. хп—хп+1у для некоторого i/еВ, Из того что
В — область целостности, а хфО, следует, что на хп можно
сократить. Поэтому ху=\. Значит, элемент х обратим в В,
так что В является полем. Таким образом, идеал $ макси-
максимален. ¦
Следствие 8.2. В артиновом кольце нильрадикал сов-
совпадает с радикалом Джекобсона. Ш
Предложение 8.3. 5 артиновом кольце множество
максимальных идеалов конечно.
Доказательство. Рассмотрим множество всевозмож-
всевозможных конечных пересечений максимальных идеалов т, П ••• П mr-
В этом множестве есть минимальный элемент; пусть это
будет mi f|.-.. П тп„. Для любого максимального идеала m имеем
л1Пт,П ••• П тп„== ntj П ••• Пт„, так что тп э тп, П ••• П тп„.
Из A.11) следует, что majii для некоторого /; так как mt
максимален, ш = тпг. ¦
Предложение 8.4. В артиновом кольце нильрадикал 31
нильпотентен.
НО Глава $
Доказательство. Из условия о. у. ц. следует, что
Щк — Щк+\ __ _ _ а для некоторого к > 0. Предположим, что
афО, и обозначим через 2 множество всех таких идеалов Ъ,
что аЬфО. Так как aeS, множество 2 непусто. Обозначим
через с некоторый его минимальный элемент. Существует та-
такой элемент хес, что ха ф 0. Поскольку (х) Sс, из мини-
минимальности с следует, что (*) = с. Но {ха) а = ха2 — ха Ф 0
и ха^(х), поэтому ха—(х) (снова в силу минимальности).
Следовательно, х=ху для некоторого 1/е4, так что х—
= ху=ху2= . ..—хуп= ... .Но реа = ?1'1э?!; поэтому
элемент у нильпотентен и, значит, х=хуп—0. Это противо-
противоречит выбору х. Стало быть, а=0. ¦
Цепочкой простых идеалов кольца А мы называем конеч-
конечную строго возрастающую последовательность fco cr fci cr
с: ... cfcn; число п — ее длина. Назовем размерностью
кольца А верхнюю грань длин всех цепочек простых идеалов
в А. Это либо целое число ^==0, либо +00 (предполагается,
что АФО). Размерность любого поля равна 0, размерность Z
равна 1.
Теорема 8.5. Класс артиновых колец совпадает с клас-
классом нульмерных нётеровых колец.
Доказательство. Пусть А — артиново кольцо. Из
(8.1) следует, что dim A=0. Пусть m* (I ^ t ^ п) — все раз-
разные максимальные идеалы в А (8.3). Тогда
П
Из F.11) следует, что А нётерово.
Наоборот, пусть А — нульмерное нётерово кольцо. По-
Поскольку его нулевой идеал обладает примарным разложением
G-13), число минимальных простых идеалов в А конечно. Они
же являются максимальными идеалами, так как (НтЛ=0.
п
Пусть, скажем, W= Г\ Щ', из G.15) следует, что !йк = 0;
п
поэтому И mf = 0, как в предыдущей части доказательства.
Из F.11) следует, что А — артиново кольцо. ¦
Пусть теперь А — артиново локальное кольцо с макси-
максимальным идеалом т. Тогда т — единственный простой идеал
в А, поэтому он совпадает с нильрадикалом. Следовательно,
любой элемент из m нильпотентен, и сам идеал m нильпо-
нильпотентен. Любой элемент из А, таким образом, либо является
единицей, либо нильпотентен. Пример такого кольца: Z/(pn),
где р — простое, п ^ 1.
Артиновы кольца 111
Предложение 8.6. Пусть А— нётерово локальное
кольцо, m — его максимальный идеал. Тогда справедливо
ровно одно из следующих двух утверждений:
(I) m" Ф mn+1 для всех п;
(II) т" = 0 для некоторого п. В этом случае А—арти-
ново локальное кольцо.
Доказательство. Предположим, что mn = mn+1 для
некоторого п. Из леммы Накаямы B 6) следует, что mn=0.
Пусть fc — любой простой идеал в А. Тогда mn s fc. Пере-
Переходя к радикалам, получаем отсюда m=fc. Следовательно,
m — единственный простой идеал в А, так что А артиново. ¦
Теорема 8.7 (о структуре артиновых колец). Всякое ар-
артиново кольцо А однозначно {с точностью до изоморфизма)
разлагается в конечное прямое произведение артиновых ло-
локальных колец.
Доказательство. Пусть mt A<л<1п) — все разные
максимальные идеалы в А. Согласно доказательству (8.5),
я
Дт? = 0 для некоторого к>0. Из A.16) следует, что
идеалы tnj попарно взаимно просты; поэтому Пт"=Д1П«;
в силу A.10). Снова пользуясь A.10), находим, что есте-
п
ственное отображение А -*¦ П (Л/m*) является изоморфизмом.
Каждое из колец Л/mjf артиново и локально; следовательно,
А разлагается в прямое произведение артиновых локаль-
локальных колец.
m
Наоборот, пусть дано разложение А ^ Ц At, где Л,- — ар-
тиновы локальные кольца. Тогда для каждого i определен
естественный сюръективный гомоморфизм (ft: A -*¦ А{ (проек-
(проекция на t-й множитель). Положим а,==Кег(фг). Согласно
A.10), идеалы а* попарно взаимно просты и Паг=О. Пусть
<ц — единственный простой идеал в Л,-, fo — его сужение
Ф^ (q,). Идеал р{ прост и, следовательно, максимален в
силу (8.1). Из нильпотентности q* вытекает, что сц &-прима-
рен. Следовательно, [\сц= @)— примерное разложение нулево-
нулевого идеала в А. Поскольку идеалы аг- попарно взаимно просты,
то же верно для fci, так что все они изолированы. Следова-
Следовательно, все простые компоненты примарного разложения
нуля изолированы и, значит, однозначно определены коль-
112 Глава 8
цом А в силу второй теоремы единственности D.11). Поэтому
и кольца Ai s A/ui однозначно определены кольцом А. Ш
Пример. Кольцо с единственным простым идеалом мо-
может не быть нётеровым (и тем более артиновым). Пусть Л =
= k[xi, X2, ...] — кольцо многочленов от счетного множе-
множества переменных хп над полем k. Обозначим через а идеал
[xv х\, ..., хпп, ...). В кольце В=А/а есть лишь один про-
простой идеал (образ идеала (Xi, X2, ..., хп, ...)). Поэтому В яв-
является нульмерным локальным кольцом. Но оно не нётерово:
в самом деле, нетрудно убедиться, что его простой идеал не
имеет конечного числа образующих.
Пусть А — некоторое локальное кольцо, m — его макси-
максимальный идеал, k=A/m — поле дычетов; Л-модуль m/m2 ан-
аннулируется идеалом m и, следовательно, имеет структуру век-
векторного пространства над k. Если m конечно порожден (это
так, например, если кольцо А нётерово), то образы любой
системы образующих идеала m порождают m/m2 как вектор-
векторное пространство, так что размерность dimA(m/m2) конечна
(см. B.8)).
Предложение 8.8. Пусть А — локальное артиново
кольцо. Следующие утверждения равносильны:
(I) Любой идеал в кольце А главный.
(II) Максимальный идеал m кольца А главный.
(III) dimft(m/m2) < 1.
Доказательство. Импликации A)=^(Н) =ф(Ш) оче-
очевидны.
(III) =^A). Если dimfe(m/m2) = 0, то m = m2, так что ш = 0
по лемме Накаямы. Следовательно, А — поле, и доказы-
доказывать нечего.
Если dimfe (m/m2) == 1, то m — главный идеал (положите
М=т в B.8)). Пусть т=(х). Рассмотрим идеал а кольца А,
отличный от @) и A). Имеем m = 5ft; из (8.4) следует, что m
нильпотентен; поэтому существует такое целое число г, что
asm', <xstmr+1. Следовательно, существует такой элемент
у е а, что у—ахг, у ф (хг+!). Таким образом, аф. (х) па яв-
является единицей в А. Отсюда вытекает, что xr e а, так что
mr=(xr) s а и, значит, <х = тг—(хг). Стало быть, а — глав-
главный идеал, ш
Пример. Кольца Z/(pn) (p — простое число) и k[x]/(fr)
(f — неприводимый многочлен) удовлетворяют условиям
(8.7). С другой стороны, артиново локальное кольцо
k[x2, хъ]/(х4) не удовлетворяет этим условиям: идеал m поро-
порожден классами х2 и x3(mod х4), так что т2=0 и dim (т/т2) = 2.
Артиновы кольца 113
Упражнении
1. Пусть qrj П • • • П Цп = 0 — минимальное примерное разложение нуле-
нулевого идеала в нётеровом кольце; пусть идеал (\i р^-примарен. Обозначим
через $р г-ю символическую степень идеала рг (упражнение 13 главы 4).
Покажите, что для каждого i = 1, ..., п существует такое целое число г{,
что ру" s q,-.
Предположим, что примарная компонента qr^ изолирована. Тогда
•"V — артииово локальное кольцо. Поэтому его максимальный идеал т{
удовлетворяет условию mj = 0 для всех достаточно больших г, так что
Ц1 — р^' для таких г.
Если ty — вложенная примарная компонента, то кольцо А^ не яв-
является артииовым. Следовательно, все степени mrt разные и, значит, все
идеалы р|- различны. Поэтому в любом данном примарном разложении
можно заменить qi любым из бесконечного множества р(--примарных идеа-
идеалов р^', где г ^ Гг. Таким образом, существует бесконечно много мини-
минимальных примарных разложений 0, отличающихся друг от друга лишь
Р/-компонентой.
2. Пусть А — нётерово кольцо. Докажите, что следующие утверждения
равносильны:
(I) A — артиново кольцо.
(II) Пространство Spec (А) конечно и дискретно.
(III) Пространство Spec (А) дискретно.
3. Пусть k — некоторое поле, А — конечно порожденная й-алгебра.
Докажите, что следующие утверждения равносильны:
(I) A — артиново кольцо.
(II) А — конечная ^-алгебра.
[Чтобы установить импликацию A)=^(Н), сведите с помощью (8.7)
задачу к случаю, когда А—локальное артиново кольцо. По теореме о ну-
нулях, поле вычетов кольца А является конечным расширением поля k. Те-
Теперь воспользуйтесь тем, что А как й-модуль имеет конечную длину. Для
доказательства импликации (II) =^A) обратите внимание на то, что идеа-
идеалы в кольце А являются ^-векторными подпространствами и, значит, удо-
удовлетворяют условию о. у. ц.]
4. Пусть f:A-*-B — гомоморфизм конечного типа (колец). Рассмотрим
следующие утверждения:
(I) / —конечный гомоморфизм.
(II) Слои f* являются дискретными подпространствами в Spec (В).
(III) Для любого простого идеала р кольца А кольцо В ® k (p) яв-
А
ляется конечной k (р)-алгеброй (здесь k (p) — поле вычетов кольца А^).
(IV) Слои f* конечны.
Докажите импликации A)=ф(Н) 4Ф(П1) =ф (IV). [Используйте упраж-
упражнения 2 и 3.]
Если гомоморфизм f цел, а слои f* конечны, обязательно ли f конечен?
5. В условиях упражнения 16 главы 5 покажите, что X является ко-
конечным накрытием L (т. е. над каждой точкой пространства L лежит ко-
конечное и равномерно ограниченное число точек из X).
6. Пусть А — нётерово кольцо, Cf—некоторый р-прим арный идеал в А.
Рассмотрите цепочки примарных идеалов, соединяющие Чир. Покажите,
что длины всех таких цепочек конечны и равномерно ограничены, а все
максимальные цепочки имеют одну и ту же длину,
Глава 9
ДИСКРЕТНО НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА
И ДЕДЕКИНДОВЫ ОБЛАСТИ
Как мы уже указывали, теория алгебраических чисел
исторически была одной из предшественниц коммутативной
алгебры. В этой главе мы займемся изучением класса колец,
представляющих особый интерес для теории чисел, а именно,
дедекиндовых областей. Теорему об однозначном разложе-
разложении идеалов в дедекиидовой области мы выведем из общих
теорем о примарном разложении. Хотя, разумеется, этот ре-
результат можно было бы получить непосредственно, наш под-
подход позволяет лучше представить себе точное место теории
чисел в коммутативной алгебре. Другой важный класс деде-
дедекиндовых областей возникает в связи с изучением неособых
алгебраических кривых. Можно сказать, что одномерность и
отсутствие особенностей — это описание свойства дедекиндо-
дедекиндовости на геометрическом языке.
Нульмерные нётеровы кольца были изучены в предыду-
предыдущей главе. Здесь мы начнем с изучения следующего простей-
простейшего случая: нётеровы области целостности размерности 1,
т.е. нётеровы области, в которых любой ненулевой простой
идеал максимален. Первый результат — теорема об однознач-
однозначности разложения идеалов в таких кольцах.
Предложение 9.1. Пусть А — одномерная нётерова об-
область. Любой ненулевой идеал в. в А можно однозначно пред-
представить в виде произведения примарных идеалов с попарно
разными радикалами.
Доказательство. Из нётеровости А следует G.13),
что а обладает минимальным примарным разложением
п
а= Р) (\{; пусть идеал q4 fci-примарен. Так как (НтЛ = 1,
а Л — область целостности, любой ненулевой простой идеал
в кольце А максимален. Следовательно, & — разные макси-
максимальные идеалы (поскольку ^э^^эа^О); отсюда выте-
вытекает, что они попарно взаимно просты. Из A.16) тогда сле-
следует, что идеалы q* попарно взаимно просты, после чего из
A.10) можно заключить, что Щ( = П<1«- Поэтому <х = Щг.
Наоборот, если а = Щ„ то же рассуждение показывает,
4tq a = n<fy. Это — минимальное примерное разложение
Дискретно нормированные кольца и дедекиндовы области 115
идеала а, в котором все примарные компоненты <j,- изолиро-
изолированы. Его единственность следует тогда из D.11). ¦
Пусть А — одномерная нётерова область, в которой любой
примарный идеал является степенью простого идеала. Со-
Согласно (9.1), в таком кольце любой ненулевой идеал одно-
однозначно разлагается в произведение простых идеалов. Если
локализовать А относительно любого ненулевого простого
идеала fc, мы получим локальное кольцо Ау, удовлетворяю-
удовлетворяющее тому же условию, что и А. Следовательно, в Ар любой
ненулевой идеал является степенью максимального. Такие
локальные кольца можно охарактеризовать и другими свой-
свойствами.
Дискретно нормированные кольца
Пусть К — некоторое поле. Дискретным нормированием
поля К называется отображение v группы К* на Z (здесь
К*=К— {0}— мультипликативная группа поля К) со сле-
следующими свойствами:
1) v(ху) = v(х) + v(у), т.е. v — гомоморфизм групп;
2) v( + )i(()())
)
2) ( )(()())
Множество, состоящее из 0 и тех элементов х е К*, для
которых v(x) ^ 0, образует кольцо, называемое кольцом нор-
нормирования v. Оно является кольцом нормирования поля К
в смысле главы 5. Иногда удобно доопределить v на всем К,
положив v @) = +оо.
Примеры. Вот два стандартных примера:
1) K=Q. Выберем простое число р; любой ненулевой эле-
элемент х & Q можно однозначно записать в виде рау, где а е
gZ, а числитель и знаменатель у взаимно просты с р. Поло-
Положим vp(x)=a. Кольцом нормирования vp является локаль-
локальное КОЛЬЦО Z(p).
2) K=k(x), где k — некоторое поле, х — переменная. Вы-
Выберем неприводимый многочлен f e k[x] и определим и/ в точ-
точности так же, как в предыдущем примере. Кольцо нормиро-
нормирования vf совпадает с локализацией k[x] относительно про-
простого идеала (f).
Область целостности А называется дискретно нормирован-
нормированным кольцом, если существует такое дискретное нормирова-
нормирование v его поля частных К, для которого А является кольцом
нормирования. В силу E.18), А — локальное кольцо, а его
максимальный идеал m совпадает с множеством тех элемен-
элементов х е К, для которых v (х) > 0.
Если v(x)=v(y) для х,у^А, то v(xtfl)=0, так что и=
=ху~х является единицей в А, следовательно, (х) = (у).
Пусть а Ф 0 — идеал в А, к-1—наименьшее число, для кото-
которого существует элемент х е а с v (х) = к. Из вышесказанного
116 Глава 9
вытекает, что а содержит любой элемент г/еЛ с v(y) ^ к.
Поэтому любой ненулевой идеал в Л имеет вид тк =
= {у е A \v(y) 155 к). Они образуют единственную цепочку
ntj э шг з т3 з ..., откуда следует нётеровость А.
Далее, из сюръективности отображения v. К*—>Ъ выте-
вытекает существование такого элемента х е тп, что v(x) = l. То-
Тогда т—(х) и тк = (хк) (к Гз= 1). Следовательно, m является
нётеровой локальной областью размерности единица, в кото-
которой любой ненулевой идеал есть степень максимального. Мно-
Многие из этих свойств оказываются характерными для дискрет-
дискретно нормированных колец.
Предложение 9.2. Пусть А — нётерова локальная об-
область размерности единица, m — ее максимальный идеал,
k=A/m — поле вычетов. Тогда следующие утверждения рав-
равносильны:
(I) A — дискретно нормированное кольцо;
(II) А целозамкнуто;
(III) m — главный идеал;
(IV) dimfe(m/m2) = l;
(V) всякий ненулевой идеал является степенью ш;
(VI) существует такой элемент х е А, что всякий ненуле-
ненулевой идеал в А имеет вид (хк), к ^ 0.
Доказательство. Сделаем два замечания, прежде
чем отправляться в обход:
(A) Любой идеал а =5^0,A) является m-примарным, и
иэш" для некоторого п. Действительно, m — единственный
ненулевой простой идеал, поэтому r(<x)—m; теперь исполь-
используйте G.16).
(B) т"^=тге+1 при всех я^О. Это следует из (8.6).
A)==>(П) вытекает из E.18).
(И)=ФAН). Пусть a em, а Ф 0. Согласно замечанию (А),
существует такое целое число п, что m" s (a), in" gt (а).
Выберем элемент бет", Ьф(а) и положим х — а/Ь^К,
где К — поле частных кольца Л. Имеем х~х ф А (поскольку
Ьф (а)). Поэтому элемент х~1 не является целым над Л.
Из E.1) тогда следует, что .x^'mgtm (если бы x"'isi,
то m был бы строгим А [х~']-модулем, конечно порожденным
над Л). Но по построению х, x~xm s Л; следовательно,
х~'т = Л и, наконец, т = Ах = (х).
(III)=#(IV). В силу B.8), dimfe(m/m2)<l, а из замеча-
замечания (В) следует, что m/m2 Ф 0.
(IV) =ф (V). Пусть а Ф @), A) — некоторый идеал. Согласно
замечанию (А), для некоторого п имеем а э т". Применив (8.8)
к Л/ш", найдем, что а является степенью т.
Дискретно нормированные кольца и дедекиндовы области 117
(V)=#>(VI). Согласно замечанию (В), m Ф ш2, так что
существует элемент j;era, х ф. т2. Но (x) = mr по предпо-
предположению. Следовательно, r—\, (x) = m, (хк) — тк.
(VI) =^> (I). Очевидно, (х)=т, поэтому (хк) Ф (xK+l)
в силу замечания (В). Поэтому для любого ненулевого эле-
элемента а е А существует ровно одно значение к со свойством
(а)~(хк). Положим v(cl)=k и продолжим v на К* форму-
формулой v(ab~x) =v(a) — v(b). Проверьте, что это определение
корректно, и что А является кольцом нормирования v. ш
Дедекиидовы области
Теорема 9.3. Пусть А — нётерова одномерная область.
Тогда следующие утверждения равносильны:
(I) А целозамкнуто;
(II) любой примарный идеал в А является степенью про-
простого идеала;
(III) любое локальное кольцо А$ (t>=?^0) дискретно нор-
нормировано.
Доказательство. (I) 4Ф (П1) следует из (9.2) и
E.13).
(II) ^Ф (III). Воспользуйтесь (9.2) и тем обстоятельством,
что примарные идеалы и степени идеалов хорошо ведут себя
при локализации: см. D.8), C.11). ¦
Кольцо, удовлетворяющее условиям (9.3), называется де-
декиндовой областью.
Следствие 9.4. Любой ненулевой идеал дедекиндовой
области однозначно разлагается в произведение простых
идеалов.
Доказательство. Это вытекает из (9.1) и (9.3). ¦
Примеры. 1) Любая область главных идеалов А деде-
киндова. Действительно, кольцо А нётерово (потому что вся-
всякий идеал конечно порожден) и одномерно (пример 3 после
A.6)). Далее, любое локальное кольцо Л)), fc> ф 0, тоже яв-
является областью главных идеалов, поэтому оно дискретно
нормировано в силу (9.2). Из (9.3) тогда следует, что А —
дедекиндова область.
2) Пусть К — поле алгебраических чисел (т.е. конечное
алгебраическое расширение ноля Q). Его кольцом целых чи-
чисел А называется целое замыкание Z в К.. (Например, если
/C=Q(t), то А = 2Щ — кольцо гауссовых целых чисел.)
Те'орема 9.5. Кольцо целых чисел в поле алгебраиче-
алгебраических чисел К является дедекиндовой областью*
118 Глава 9
Доказательство. Поле К — сепарабельное расшире-
расширение Q (потому что характеристика Q равна нулю). Из E.17)
тогда следует, что существует такой базис vx vn поля AC
над Q, что А = ^Zv,. Следовательно, кольцо Л как Z-модуль
конечно порождено и потому нётерово. Согласно E.5), оно
целозамкнуто. Теперь для завершения доказательства нужно
убедиться, что любой ненулевой простой идеал ? в А макси-
максимален, а это следует из E.8) и E.9). Действительно, ? Л Ъф
ФО в силу E.9), поэтому <р f) Z максимален в Z, а тогда fc
максимален в Л в силу E.8). ¦
Замечание. Теорема 9.4 об однозначном разложении
вначале была доказана для колец целых алгебраических чи-
чисел. Теоремы единственности главы 4 можно рассматривать
как обобщения этого результата: степени простых идеалов
заменяются примарными идеалами, а произведения — пере-
пересечениями.
Дробные идеалы
Пусть А — область целостности, К — ее поле частных;
Л-подмодуль М сг К называется дробным идеалом кольца А,
если хМ^А для некоторого ненулевого элемента хеА
В частности, «обычные» идеалы (которые теперь следует на-
называть целыми) являются частным случаем дробных (можно
взять х=1). Любой элемент и^К порождает дробный
идеал, обозначаемый (и) или Аи; такие идеалы называются
главными. Для любого дробного идеала М множество эле-
элементов х е К со свойством хМ Е А обозначается символом
(А:М).
Любой конечно порожденный Л-подмодуль М поля /( яв-
является дробным идеалом. Действительно, пусть М порожден
элементами хи ..., хп^.К. Тогда можно положить Xi=
= tjiZr1 (I ^ i ^ п), где 1/(И2 лежат в Л и, очевидно, zM s
S М. Наоборот, если кольцо Л нётерово, любой дробный
идеал конечно порожден, потому что его можно представить
в виде х~1<х, где а — некоторый целый идеал.
Л-подмодуль М поля К называется обратимым идеалом,
если существует такой подмодуль N поля К, что MN=A.
В этом случае N определяется однозначно и совпадает
с (Л : М), потому что
N = (A:M) = (A: M) MN'=AN = N.
Отсюда следует, что М конечно порожден и, следовательно,
является дробным идеалом. Действительно, поскольку
М(А : М)—А, существуют такие элементы Xi^M и ^е
е (Л : М) A ^ i ^ /г), что 2*<#г= Ь так что для всякого
Дискретно нормированные кольца и дедекиндовы области 119
х е М имеем х = 2 (ytx) х{. Но все угх принадлежат Л, так
что М порожден элементами хи ..., хп.
Очевидно, любой ненулевой главный дробный идеал (и)
обратим: обратный к нему идеал равен («"')• Обратимые
идеалы образуют группу по умножению с единичным элемен-
элементом А= A).
Обратимость является локальным свойством.
Предложение 9.6. Следующие свойства дробного
идеала М равносильны:
(I) M обратим;
(II) М конечно порожден, и М$ обратим для любого про-
простого идеала fc>;
(III) M конечно порожден, и Мт обратим для любого
максимального идеала т.
Доказательство. (I) =ф (II):
АР = {М-{А: А0)„ = М» • (Ар: Af»)
в силу (З.П) и C.15) (этими утверждениями можно пользо-
пользоваться, потому что М обратим и, следовательно, конечно по-
порожден) .
(П)=Ф(Ш) очевидно.
(III) =4> (I). Положим <х = М • (А: М); это — целый идеал.
Для любого максимального идеала m имеем <хт = Мт-(Ат 1Мт)
(в силу C.11) н C.15)) =Ат, потому что Мт обратим. Сле-
Следовательно, а*?т, так что а = А и, значит, М обратим. ¦
Предложение 9.7. Пусть А—локальная область; А
является дискретно нормированным кольцом в том и только
том случае, когда каждый ненулевой дробный идеал в А об-
обратим.
Доказательство. =ф: Пусть х — образующий элемент
максимального идеала m кольца А, и пусть М^=0 — некото-
некоторый дробный идеал. Тогда существует элемент у е А со свой-
свойством уМ = А, Поэтому уМ — целый идеал. Пусть он равен,
скажем, (хг). Тогда М=(хг-*), где s=v(y).
4=: Любой ненулевой целый идеал обратим и, следова-
следовательно, конечно порожден, поэтому кольцо А нётерово. Сле-
Следовательно, достаточно доказать, что всякий ненулевой це-
целый идеал является степенью т. Допустим, что это не так.
Обозначим через 2 множество тех ненулевых идеалов, кото-
которые не являются степенями ш, и пусть а — некоторый макси-
максимальный элемент этого множества. Тогда а Ф т, так что
а с= т, откуда следует, что идеал т~'а с: т~'т = А является
целым; кроме того, т~'аэа. Если т~'а = а, то а = та, так
что а=0 по лемме Накаямы B.6). Следовательно, nr'ft :э а
120 Глава 9
и из максимальности а вытекает, что т~1а является степенью
т. Но тогда и а является степенью m — противоречие. ¦
«Глобальный» вариант утверждения (9.7) формулируется
так:
Теорема 9.8. Пусть А — область целостности; А являет-
является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда любой
ненулевой дробный идеал кольца А обратим.
Доказательство. =ф: Пусть М^=0 — некоторый дроб-
дробный идеал. Из нётеровости А следует, что М конечно поро-
порожден. Для любого простого идеала fc=?^0 локализация МР яв-
является ненулевым дробным идеалом дискретно нормирован-
нормированного кольца Ар. Из (9.7) следует, что он обратим. Из (9.6)
тогда вытекает, что и М обратим.
4=: Любой ненулевой целый идеал обратим и, следова-
следовательно, конечно порожден; поэтому А — нётерово кольцо. По-
Покажем, что любое кольцо Ар (*)?=0) дискретно нормировано.
Для этого достаточно показать, что всякий ненулевой целый
идеал в А$ обратим, а затем использовать (9.7). Пусть Ь^=0 —
некоторый (целый) идеал в Ар, и пусть а = $>° = b П А.
Тогда а обратим, значит, Ъ=а$ обратим в силу (9.7). ¦
Следствие 9.9. Ненулевые дробные идеалы дедекиндо-
дедекиндовой области А образуют группу по умножению. Ш
Эта группа называется группой идеалов кольца Л; обозна-
обозначим ее /. Следствие 9.4 показывает, что /—свободная (абе-
лева) группа, порожденная ненулевыми простыми идеалами
кольца А.
Обозначим через К* мультипликативную группу поля част-
частных К кольца А. Каждый элемент ие К* определяет некото-
некоторый дробный идеал (и), а отображение «•—»¦(«) является го-
гомоморфизмом ф: /(*—»/. Образ Р этого гомоморфизма назы-
называется группой главных дробных идеалов, а факторгруппа
Н=1/Р называется группой классов идеалов кольца А. Ядро
U гомоморфизма ф состоит из всех и е К*, для которых
(ы) = A), и, следовательно, совпадает с группой единиц коль-
кольца А. Имеет место точная последовательность
1->?/->/(*->/-> Я->1.
Замечание. Для дедекиндовых областей, возникающих
в теории чисел, о группах Н и U доказаны классические тео-
теоремы. Пусть К — поле алгебраических чисел, А — его кольцо
целых чисел; оно является дедекиндовой областью по тео-
теореме 9.5.
Известно, что в этом случае
1) Группа Н конечна. Ее порядок h называется числом
классов поля К. Следующие утверждения равносильны;
Дискретно нормированные кольца и дедекиндовы области \й\
(I) Л=1; (II) I=P; (III) А— область главных идеалов;
(IV) А — область с однозначным разложением на множи-
множители.
2) Абелева группа U конечно порождена. Можно указать
и число ее образующих. Прежде всего, элементы конечного
порядка в U—это в точности корни из единицы, лежащие
в К; они образуют конечную циклическую группу W; фактор-
факторгруппа U/W свободна. Число ее образующих вычисляется так.
Пусть (K:Q)~n; тогда имеется п разных вложений К—*С
(поле комплексных чисел). Пусть гх из них отображают К
в R, а остальные образуют г2 пар (а объединяется с со°а,
где со—автоморфизм комплексного сопряжения поля С). То-
Тогда г\ + 2г2=я, а число образующих группы U/W равно г\ +
Доказательства этих результатов относятся к теории ал-
алгебраических чисел, а не к коммутативной алгебре; в них ис-
используется совсем другая техника.
Примеры. 1) K = Q(V—i}> я = 2, /-, = 0, г2=1, г, +
-j- r2 — 1 = 0. Всех единиц в кольце Z[i]=A четыре: ±1, ±/.
Все это— корни из 1.
2) /C = Q(/2); и = 2, г, =-2, / = 0, г, + г2-1 = 1,
W = {±1). Группа U/W — бесконечная циклическая. Все еди-
единицы в кольце Л = Z [|/2] имеют вид ± (l + У2) > где я—
любое целое рациональное число.
Упражнения
1. Пусть А — дедекиндова область, S — мультипликативно замкнутое
подмножество в А. Покажите, что S'^A либо является дедекиндовой об-
областью, либо совпадает с полем частных А.
Предположим, что S Ф А — {0}, и обозначим через Я, Н' группы клас-
классов идеалов колец А и S~lA соответственно. Покажите, что расширение
идеалов индуцирует сюръективный гомоморфизм Н-+Н'.
2. Пусть А — дедекиндова область. Содержанием многочлена / =
=Оо + щх + ... + апхп с коэффициентами из А называется идеал
с({) = (яо, .... йп) в Л. Докажите лемму Гаусса: c(fg) = c(f)c(g).
[Локализуйте по каждому максимальному идеалу.]
3. Кольцо нормирования (не являющееся полем) тогда н только тогда
нётерово, когда оно дискретно нормировано.
4. Пусть А—локальная область, не являющаяся полем, максимальный
00
идеал Ш которой является полем и удовлетворяет условию jj tun=s0.
Покажите, что А дискретно нормировано.
5. Пусть М — конечно порожденный модуль иад дедекиндовой об-
областью. Докажите, что М — плоский модуль тогда и только тогда, когда ои
не имеет кручения.
[Используйте упражнение 13 главы 3 и упражнение 16 главы 7.]
6. Пусть М — конечно порожденный периодический модуль (Г(М) —М)
над дедекиндовой областью А. Докажите, что М однозначно представ^
122 Глава
ляется в виде конечной прямой суммы модулей вида A/$t'", где pi —
ненулевые простые идеалы кольца А. [Для любого простого идеала фф О
модуль Mj, периодичен над Af. Воспользуйтесь теперь теоремой о струк-
структуре модулей над областью главных идеалов.]
7. Пусть А — дедекиндова область, афО— идеал в А. Докажите, что
любой идеал в кольце А\а главный.
Выведите отсюда, что любой идеал в А порожден не более чем двумя
элементами.
8. Пусть а, Ъ, С — три идеала в дедекиндовой области. Покажите,
что
[Локализуйте.]
9. (Китайская теорема об остатках.) Пусть аь ..., а„ — идеалы,
a *i хп — элементы дедекиндовой области А. Для того чтобы система
сравнений х = */ (mod п{) (l<i^n) имела решение х в А, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия .
Xi^x/ (mod <i{ + ay) для всех i Ф \.
[Это утверждение равносильно точности последовательности Л-модулей
А —¦> ф А!аг — > ф А/(а, + ay),
в которой гомоморфизмы ф и i|) определяются следующим образом:
Ф (х) = (х + а, х + а„);
(i, /) -компонента элемента чр (jci + ai хп + an) равна дс< — дсу + a^ +
+ «/• Для доказательства точности, в свою очередь, достаточно проверить
точность любой локализации этой последовательности по простому идеалу
р Ф 0. Иными словами, можно считать, что А — дискретно нормированное
кольцо, а в этом случае задача становится легкой.]
Глава 10
ПОПОЛНЕНИЯ
В классической алгебраической геометрии (над полем
комплексных чисел) можно пользоваться трансцендентными
методами. Это означает, что мы рассматриваем любую ра-
рациональную функцию как аналитическую функцию (от одной
или многих комплексных переменных) и можем изучать ее
разложение в степенной ряд в окрестности некоторой точки.
Лучшее, что мы можем сделать в абстрактном случае, — по-
построить соответствующий формальный степенной ряд. Хотя
этот подход и не дает таких сильных результатов, как в го-
голоморфном случае, он может оказаться очень полезным. За-
Замена многочленов формальными степенными рядами — при-
пример общего приема, который называется пополнением. Дру-
Другой важный пример пополнения доставляет теория чисел: это
конструкция /з-адических чисел. Пусть р — некоторое простое
число из Z. Мы можем строить фактор кольца Z/pnZ и, в част-
частности, исследовать и решать сравнения по модулю рп для все
больших значений п. Этот процесс аналогичен построению по-
последовательных приближений функции посредством началь-
начальных отрезков ее разложения Тейлора. В функциональном
случае удобно рассматривать сразу весь степенной ряд; ана-
аналогично в теории чисел полезно ввести р-адические числа,
которые в известном смысле принадлежат пределу колец
Z/pnZ при п-+оо. Однако группу Z/pnZ нельзя вложить в Z,
тогда как многочлены степени п можно естественно рассма-
рассматривать как степенные, ряды. Хотя целое р-адическое число и
можно записать в виде степенного ряда 2 о-прп @^ап<р),
коэффициенты в таком представлении плохо ведут себя отно-
относительно сложения и умножения.
В этой главе мы опишем общий процесс «адического» по-
пополнения— вместо простого числа можно рассматривать
любой идеал. Этот процесс удобнее всего описывать в тополо-
топологических терминах, но читатель должен остерегаться интуи-
интуитивных представлений, основанных на топологии веществен-
вещественной прямой. Лучшей моделью является топология в кольце
степенных рядов, в которой ряд «мал», если он начинается
с членов большой степени, Другая модель — р-адическдя
124 Глава 10
топология в Z: целое число «мало», если оно делится на боль-
большую степень р.
Пополнение, как и локализация, — это средство упростить
рассмотрение ситуации, сосредоточив внимание на окрестно-
окрестности точки (или простого идеала). Однако при этом утрачи-
утрачивается гораздо больше, чем при локализации. Например,
в алгебраической геометрии локальное кольцо неособой точ-
точки на п-мерном многообразии всегда имеет в качестве попол-
пополнения кольцо формальных степенных рядов от п переменных
(это будет доказано в главе 11). С другой стороны, локаль-
локальные кольца двух таких точек могут быть изоморфны лишь
в том случае, когда многообразия, на которых они лежат,
бирационально эквивалентны (т.е. поля частных этих двух
локальных колец изоморфны).
Два важнейших свойства локализации состоят в том, что
она сохраняет нётеровость и точность последовательностей.
То же верно для пополнения, — если ограничиться конечно
порожденными модулями. Доказательства, однако, гораздо
сложнее; они занимают большую часть этой главы. Еще один
важный результат — теорема Крулля, описывающая ту часть
кольца, которая обращается в нуль при пополнении. Грубо
говоря, теорема Крулля аналогична утверждению о том, что
аналитическая функция определена коэффициентами своего
ряда Тейлора. Эта аналогия яснее всего видна в случае нё-
теровых локальных колец, для которых теорема Крулля ут-
утверждает просто, что Птп=0, где m — максимальный идеал.
Как теорема Крулля, так и свойство сохранения точности
легко следует из хорошо известной «леммы Артина — Риса»,
которой принадлежит центральное место в нашем изложении.
Для изучения пополнений нам придется ввести градуиро-
градуированные кольца. Исходным примером здесь служит кольцо
многочленов k[xi, ..., хп] с обычной градуировкой, в которой
степень каждой образующей равна 1. Градуированные коль-
кольца лежат в основе проективной алгебраической геометрии,
точно так же как кольца без градуировки — в основе аффин-
аффинной алгебраической геометрии. Поэтому они очень важны
с геометрической точки зрения. В частности, конструкция ас-
ассоциированного градуированного кольца Ga(A), связанного
с идеалом а в кольце А, имеет вполне определенную геомет-
геометрическую интерпретацию. Например, в случае, когда А —
локальное кольцо точки Р на многообразии V, а а — его мак-
максимальный идеал, кольцо Ga(A) описывает проективный ка-
касательный конус в точке Р, т. е. совокупность прямых, прохо-
проходящих через Р и касающихся V в этой точке. Эта геометриче-
геометрическая интерпретация должна помочь уяснению смысла кольца
Ga (А) и его связи со свойствами многообразия V вблизи
точки Р и, в частности, со свойствами пополнения Л,
Пополнения 125
Топологии и пополнения
Пусть G — топологическая абелева группа (в аддитивной
записи), не обязательно хаусдорфова. Это означает, что G —
одновременно топологическое пространство и абелева группа,
и эти две структуры согласованы в том смысле, что отобра-
отображения G X&-+G- (х, У)*->х-\~У и G —*G:x<—>—х непре-
непрерывны. Если множество {0} замкнуто в G, то диагональ зам-
замкнута в G X G (потому что она совпадает с прообразом {0}
при отображении (х, у) \—-*¦ х — у). Отсюда следует, что G
в этом случае хаусдорфова. Пусть а — некоторый элемент G.
Сдвиг на него Та, определяемый как отображение Та(х) =
=х + а, является гомеоморфизмом G на G (ибо Та непреры-
непрерывен, а Т.а — обратный к нему сдвиг). Следовательно, для лю-
любой окрестности нуля U в G множество U -\- а является
окрестностью точки а. Наоборот, любая окрестность точки а
имеет такой вид. Поэтому топология на G однозначно опре-
определяется системой окрестностей нуля.
Лемма 10.1. Обозначим через Н пересечение всех окрест-
окрестностей нуля в G. Тогда
(I) И является подгруппой;
(II) Н совпадает с замыканием {0};
(III) факторгруппа G/H хаусдорфова;
(IV) группа G хаусдорфова в том и только том случае,
когда #=0.
Доказательство. (I) следует из непрерывности груп-
групповых операций. (II) устанавливается так:
дгеЯффОел; — U для всех окрестностей нуля U^x^{0}.
Из (II) следует, что все смежные классы по модулю Н зам-
замкнуты. Поэтому в G/H все точки замкнуты, так что простран-
пространство G/H хаусдорфово. Следовательно, из #=0 вытекает
хаусдорфовость G. Обратное утверждение тривиально. ¦
Предположим для простоты, что OsG обладает счетной
базой окрестностей. Тогда пополнение G группы G можно
определить обычным способом при помощи последовательно-
последовательностей Коши. Последовательность (xv) элементов группы G на-
называется последовательностью Коши, если для любой окрест-
окрестности нуля U существует такое целое число s(U), что
Хр — xv^U для всех ц, v^s(U).
Две последовательности Коши называются эквивалентными,
если xv — i/v-»0b G. Множество классов эквивалентности всех
последовательностей Коши обозначается через G. Если (xv),
{yv) — последовательности Коши, то же верно относительно
126 Глава 10
(xv-\-yv), и класс суммы в G зависит только от клас-
классов слагаемых (xv) и (yv). Следовательно, в G определено
сложение, превращающее G в абелеву группу. Для любого
элемента х е G класс постоянной последовательности (х)
обозначается через <р(лс) в G. Отображение q>: G -> G яв-
является гомоморфизмом абелевых групп. Заметим, что в об-
общем случае ср не инъективен. В самом деле,
где U пробегает все окрестности нуля в G. Следовательно,
в силу A0.1) инъективность фравносильна хаусдорфовости G.
Пусть Н — другая абелева топологическая группа,
f: G-+H— непрерывный гомоморфизм. Тогда f переводит лю-
любую последовательность Коши из G в последовательность
Коши в Н. Поэтому f индуцирует некоторый непрерывный
гомоморфизм f: G—>#. В ситуации G—>#-^>К. имеем g°f=
= e°f-
До сих пор наши определения были очень общими. В ка-
качестве G мы могли бы взять, например, аддитивную группу
рациональных чисел с обычной топологией; тогда G изоморф-
изоморфна группе вещественных чисел. Начиная с этого места, одна-
однако, мы будем рассматривать лишь топологии специального
вида, встречающиеся в коммутативной алгебре. Именно, мы
предположим, что OgG имеет базу окрестностей, состоящую
из подгрупп. Таким образом, существует последовательность
подгрупп
со следующим свойством: множество U^G является окрест-
окрестностью нуля в том и только том случае, когда оно содержит
одну из групп Gn. Типичный пример доставляет р-адическая
топология на Z, где можно положить Gn=pnZ. Заметим, что
в таких топологиях подгруппы Gncz G одновременно откры-
открыты н замкнуты. В самом деле, пусть g e Gn; тогда g + Gn —
окрестность g; из включения g-i-GnEGn тогда следует, что
Gn открыта. Значит, для любого элемента h смежный класс
h + Gn открыт. Поэтому открыто и нх объединение
JJ (ft + Gn); но дополнение к нему совпадает с Gn. Отсюда
h(On
следует, что Gn замкнута.
Если топология определена последовательностью под-
подгрупп, пополнение можно определить чисто алгебраически,
что часто оказывается полезным. Рассмотрим некоторую по-
последовательность Коши (a'v) в G. Тогда образы хч в G/Gn
стабилизируются. Обозначим этот общий образ через |п. При
Пополнения 12?
переходе от п + 1 к л, очевидно, |n+i отображается в |„ при
проекции
Таким образом, последовательность Коши (xv) в G опреде-
определяет согласованную последовательность (|„) в Том смысле,
что
0! i всех л.
Далее, эквивалентные последовательности Коши, очевидно,
определяют одну и ту же последовательность (|п)- Наконец,
для всякой согласованной последовательности (|„) можно
построить некоторую последовательность Коши (хп), опреде-
определяющую (in). Для этого достаточно в качестве хп взять лю-
любой элемент из смежного класса |„ (тогда хп+\ — j;,eG«).
Таким образом, G можно с равным успехом определить как
множество согласованных последовательностей (?п) с оче-
очевидной групповой структурой.
Тем самым мы пришли к частному случаю конструкции
проективного предела. Рассмотрим более общую ситуацию:
пусть дана любая последовательность групп {Ап} и гомомор-
гомоморфизмов
Назовем ее проективной системой. Группу всех согласован-
согласованных последовательностей (ап) (это означает, что ап е Ап и
8n+ia«+i=an) назовем проективным пределом этой системы.
Обычно он записывается в виде НтЛ„; гомоморфизмы 0П
явно не указываются. В этих обозначениях имеем
G е& lim G/Gn.
Определение G как проективного предела имеет много
преимуществ. Его основной недостаток — заранее определен-
определенный выбор подгрупп Gn. Дело в том, что разные последова-
последовательности Gn могут определять одну и ту же топологию и,
значит, одно и то же пополнение. Разумеется, можно было бы
ввести понятие «эквивалентности» проективных систем, но до-
достоинство топологического языка как раз в том и состоит,
что такого рода понятия «встроены» в него.
Свойства точности при пополнении удобнее всего изучать
на языке проективных систем. Заметим сначала, что система
{G/Gn} обладает специальным свойством: все гомоморфизмы
0n+i сюръективны. Любую проективную систему с таким
свойством мы будем называть сюръективной. Предположим
Теперь, что даны три проективные системы {Ап}, {Вп}, {(?}
Глава 10
связанные коммутативными диаграммами точных последова-
последовательностей
О ->¦ Ап+1 -* Вп+1 -*• СЛ+, -» О
I 4 I
Мы будем говорить, что эти данные образуют точную после-
последовательность проективных систем. По ним естественно
строится последовательность
О -> lim An -> lim Вп -> lim Cn -> О,
которая, однако, не всегда является точной. Тем не менее
справедливо
Предложение 10.2. Для любой точной последователь-
последовательности проективных систем 0 —> {Ап} —> {Вп\ -> {Сп\ -* 0 после-
последовательность
0 -> lim An->limBn-+ lim Cn
всегда точна. Если, кроме того, система {Ап} сюръективна, то
точна вся последовательность
0 -> lim Ап -»¦ lim Bn -> lim Cn -> 0.
оо
Доказательство. Положим Л = П 4 и определим
п=1
гомоморфизм ??А: А—*А формулой dA((an)) = (а„ —
— 8n+i(On+0). Тогда KerdA ^ lim Лп. Аналогично определим
группы 5, С и гомоморфизмы аР, dc. Тогда точная последо-
последовательность проективных систем индуцирует коммутативную
диаграмму точных последовательностей
В силу B.10), по ней можно построить точную последова-
последовательность
О -* Ker dA -* Ker dB -* Ker dc -> Coker dA ->
-»¦ Coker rfB -^ Coker dc -> 0.
Для завершения доказательства остается лишь проверить, что
{Ап} сюръективна =^ dA сюръективен.
Но это очевидно, потому что для доказательства сюръектив-
ности dA приходится решать систему уравнений
Пополнения 129
относительно неизвестных хп е Ап по данным ап е Ап; а это
можно сделать индукцией по п. Ш
Замечание. Группу Cokerd-4 естественно обозначить
lim1 An> потому что она является производным функтором
в смысле гомологической алгебры.
Следствие 10.3. Пусть 0-> G'-> G -?> G"->0— точ-
точная последовательность групп. Предположим, что на G зада-
задана топология, определяемая последовательностью подгрупп
{Gn}. Снабдим G', G" индуцированными топологиями; они
определяются последовательностями подгрупп {С Л GnJ,
{pGn} соответственно. Тогда последовательность
0->G'->G->G"->0
точна.
Доказательство. Применить A0.2) к точным после-
последовательностям
В частности, положим G'=Gn в A0.3). Тогда топология
на G"=G/Gn дискретна, так что G"—G". Отсюда вытекает
Следствие 10.4. 6п является подгруппой в 6 и
G/Gn at GIGn. Ш
Переходя к проективному пределу в A0.4), получаем
Предложение 10.5. GszG.m
Если каноническое отображение ц>: G-+6 является изо-
изоморфизмом, группа G называется полной. Предложение 10.5
означает, что пополнение G является полной группой. Заме-
Заметим, что наше определение полноты включает хаусдорфовость
в силу A0.1).
Важнейшие для нас примеры топологических групп полу-
получаются, если положить G=A, Gn=ani где а — некоторый
идеал в кольце А. Топология в А, определенная этими под-
подгруппами, называется а-адической, или просто а-топологией.
Поскольку ап— идеалы, нетрудно проверить, что А является
топологическим кольцом в этой топологии. Иными словами,
все кольцевые операции непрерывны. Согласно A0.1), эта то-
топология хаусдорфова в том и только том случае, когда (]а.п=
*=@). Пополнение А кольца А снова является топологиче-
топологическим кольцом; гомоморфизм ф: А —> А — это непрерывный го-
гомоморфизм колец, ядро которого совпадает с Пап.
Пусть теперь М — некоторый Л-модуль. Положим G=M,
Gn=anM. Это определяет ь-топологию на М, и пополнение Й
5 Зак, 1233
130 Глава 10
модуля М в ней является топологическим Л-модулем (т. е.
отображение А X М -* М непрерывно). Для любого гомомор-
гомоморфизма Л-модулей /: M-+N имеем f(a"M) =anf(M) s anN.
Поэтому / непрерывен (относительно а-топологий на М и N)
и, значит, индуцирует гомоморфизм f: М-+ N.
Примеры. 1) Л==/г[х], где k — поле, х— переменная;
а—(х). Тогда Л=й[ЭД]— кольцо формальных степенных
рядов.
2) /4=Z, а=(р), р— простое число. Тогда А—кольцо
целых р-адических чисел. Его элементами являются беско-
00
нечные ряды вида 2 &пРп> 0 ^ ап ^ Р — 1- При этом рп —> О,
/1=0
когда п —*¦ оо.
Фильтрации
Мы ввели а-топологию на модуле М с помощью подмоду*
лей апМ, образующих базу окрестностей нуля. Ее, однако,
можно определить и другими способами. Бесконечная цепоч-
цепочка М = М0 эМ] э¦... э М„ = ..., где Мп являются под-
подмодулями в М, называется фильтрацией в М и обозначается
символом (Мп). Она называется а-фильтрацией, если &Мп =
s Мп+1 для всех п, и стабильной а-фильтрацией, если <хМп=я
=Mn+i для всех достаточно больших п. Например, (апМ) —
стабильная а-фильтрация.
Лемма 10.6. Две стабильные а-фильтрации (Мп), (м$
модуля М имеют ограниченную разность. Иными словами,
существует такое целое числощ, что Мп+Щ^М'пи M'n+ntsMn
для всех п ^ 0. Следовательно, все стабильные л-филь-
трации определяют на М одну и ту же топологию, а именно,
а-топологию.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
М'п=апМ. Поскольку а.Мп s Mn+1 при всех п, имеем а"М sAfn.
Кроме того, aMn = Mn+i, скажем, при п^щ. Тогда М„+По =
= а"М„, е апМ. ш
Градуированные кольца и модула
Градуированным кольцом называется пара, состоящая из
кольца А и семейства (Ап)„>о подгрупп аддитивной группы
этого кольца, удовлетворяющая следующим условиям:
со
А— ф Ап и АтА„ с: Ат+п для всех т, п ^ 0. В частности,
Пополнения 131
Ло является подкольцом в Л, а каждая подгруппа Ап снаб-
снабжена структурой Л0-модуля.
Пример. А = k[x\, ..., хг], Ап — множество всех одно-
однородных многочленов степени п.
Пусть А — градуированное кольцо. Градуированным
А-модулем называется пара, состоящая из Л-модуля М и се-
семейства (Мп)п>0 подгрупп в М, удовлетворяющая условиям:
00
М = ф Мп, АтМп = Мт+п для всех т, п ^ 0. В частности,
все подгруппы Мп являются Л0-модулями. Элемент хеМ
называется однородным, если х е М„ для некоторого п (то-
(тогда л называется степенью х). Всякий элемент у е М можно
единственным способом представить в виде конечной суммы
2 уп> гДе Уп ^ Мп для всех я>0и все уп, кроме конечного
п
числа, равны 0. Ненулевые слагаемые уп называются одно-
однородными компонентами элемента у.
Пусть М, N — градуированные Л-модули. Гомоморфизмом
градуированных модулей называется всякий гомоморфизм
Л-модулей f: М—* N, удовлетворяющий дополнительному ус-
условию: f(Mn) s Nn при всех п ^ 0.
Для любого градуированного кольца А положим А+ —
«= ф Ап. Это — идеал в А.
п>о
Предложение 10.7. Пусть А — градуированное коль-
кольцо. Следующие его свойства равносильны:
(I) Л — нётерово кольцо;
(II) Ао — нётерово кольцо, А конечно порождено над Ао.
Доказательство. (I) =$¦ (II). А0^А1А+, поэтому Ло
нётерово. Идеал Л+ в нётеровом кольце конечно порожден.
Пусть хи ..., xs — система его образующих. Можно считать,
что она состоит из однородных элементов в Л, скажем, поло-
положительных степеней К\, ..., ks. Обозначим через Л' подколь-
цо в А, порожденное элементами хи ..., xs над Ло. Индук-
Индукцией по п покажем, что Ап Е А' при всех п ^ 0. Для п=0
утверждение верно. Пусть п > 0, и пусть у е Л„. Так как
у е Л+, г/ является линейной комбинацией элементов х%.
Пусть У=2а*х*, где at s Л„_к (условимся считать, что
Лт=0 при m < 0). Поскольку все к* > 0, предположение ин-
индукции показывает, что каждый коэффициент а{ является
многочленом от х3 с коэффициентами из Ло. Поэтому то же
самое верно для у, так что у е Л'. Следовательно, Ап с= Л' и,
значит, Л=Л'.
132 Глава 10
(II) ==>A) следует из теоремы Гильберта G.6). ¦
Пусть А — некоторое кольцо (не градуированное), а —
идеал в Л. По этой паре можно построить градуированное
оо
кольцо Л*=ф а". Аналогично, по Л-модулю М с а-филь-
трацией (Мп) можно построить градуированный Л*-модуль
М* = ф Мп, потому что атМп е Мт+п.
п
Если кольцо А нётерово, то идеал а порожден конечным
числом элементов, скажем х\, ..., хТ, Тогда кольцо А*=
=Л [х\, ..., хг]') нётерово в силу G.6).
Лемма 10.8. Пусть А — нётерово кольцо, М — конечно
порожденный А-модуль, (Мп) — некоторая его а-фильтрация.
Следующие утверждения равносильны:
(I) M* — конечно порожденный А*-модуль.
(II) Фильтрация (Мп) стабильна.
Доказательство. Так как каждый Л-модуль Мп ко-
конечно порожден, то же верно относительно модулей Qn —
п
= ф Мг. Это — подгруппы в М*, но, вообще говоря, не
А*-подмодули. Однако каждая такая подгруппа порождает
Л*-подмодуль
Поскольку Л-модуль Qn конечно порожден, Л*-модуль М*
конечно порожден. Эти подмодули образуют возрастающую
цепочку, а их объединение совпадает с М*. Из нётеровости
Л* следует, что М* конечно порожден как Л*-модуль в том и
только том случае, когда эта цепочка стабилизируется, т. е.
M* = M*IU) для некоторого п0. Это условие равносильно тому,
что Mm+r — 1ГМП11 для всех г ^ 0, т. е. стабильности филь-
фильтрации.!
Предложение 10.9 (лемма Артина — Риса). Пусть
А — нётерово кольцо, а сг Л — некоторый идеал, М — конечно
порожденный А-модуль, (Мп) — его стабильная а-фильтра-
а-фильтрация. Тогда для любого подмодуля М' cz M его фильтрация
(М' П Afn) является стабильной а-фильтрацией.
Доказательство. Имеем
а (АГ Л Мп) s аМ' П Мп s М' Л Мп+\,
') Здесь Лг — образ Xi при естественном отождествлении Л = Л]. Ме-
Между элементами Хг, конечно, могут существовать соотношения с коэффи-
коэффициентами в А. — Прим. перев.
Пополнения 133
откуда следует, что (ЛГ П Мп) является а-фильтрацией.
Определенный ею градуированный Л*-модуль можно вложить
в М*; поэтому он конечно порожден (ибо кольцо Л* нётеро-
во). Теперь остается применить A0.8). ¦
Полагая Мп=апМ, получаем традиционный вариант лем-
леммы Артина — Риса:
Следствие 10.10. Существует такое целое число к, что
(<хпМ) (\М' = а"-к ((а«М) Л М')
для всех п ^ к. ш
С другой стороны, предложение 10.9 в сочетании с эле-
элементарной леммой 10.6 приводит к самой важной формули-
формулировке:
Теорема 10.11. Пусть А — нётерово кольцо, a cr A — не-
некоторый идеал, М — конечно порожденный А-модуль, Ш cz
сМ — некоторый подмодуль. Тогда фильтрации а.пМ' и
(а"М) П ЛР имеют ограниченную разность. В частности,
й-топология на М' совпадает с топологией, которая индуци-
индуцирована а-топологией на М. ш
Замечание. В этой главе мы используем только утвер-
утверждение о совпадении топологий. Однако в последней главе
нам понадобится более сильное утверждение об ограниченной
разности.
В качестве первого приложения установим сохранение
точности при пополнениях. Это важное свойство доказывает-
доказывается применением теоремы 10.11 в сочетании со следствием 10.3.
Предложение 10.12. Пусть
— точная последовательность конечно порожденных модулей
над нётеровым кольцом А. Тогда для любого идеала acz A
последовательность а-адических пополнений
точна, ш
Естественный гомоморфизм А —*¦ А превращает А в Л-ал-
гебру. Поэтому для любого Л-модуля М можно построить
Л-модуль Л<8>М. Естественно сравнить его с Л-модулем М.
Прежде всего гомоморфизм Л-модулей М -> М после замены
кольца определяет гомоморфизм Л-модулей
134 Глава 10
В общем случае он не обязан быть ни инъективным, ни сюръ-
ективным. Тем не менее, справедливо
Предложение 10.13. Если модуль М (над любым
кольцом А) конечно порожден, то гомоморфизм А&М-+М
сюръективен. Если, кроме того, кольцо А нётерово, то это
изоморфизм.
Доказательство. Ясно, что а-адическое пополнение
перестановочно с образованием конечных прямых сумм: это
получается из A0.3) или непосредственно. Поэтому в случае
F ^ Ап имеем A<S>F^F. Теперь предположим, что М ко-
А
нечно порожден. Тогда существует точная последователь-
последовательность вида
приводящая к коммутативной диаграмме
A&N-* A® F—> А®М —>0
А А А
v F
0-*N -» F -¦> М -»0
первая строчка которой точна в силу B.18). Из A0.3) сле-
следует сюръективность гомоморфизма б. Поскольку р — изо-
изоморфизм, а сюръективен. Это доказывает первую часть пред-
предложения. Предположим теперь, что А — нётерово кольцо. То-
Тогда и N конечно порожден, так что гомоморфизм у сюръек-
сюръективен. Из A0.12) следует точность второй строчки. Неслож-
Несложный диаграммный поиск показывает, что в этих условиях а
инъективен и, стало быть, является изоморфизмом. ¦
Предложения 10.12 и 10.13 вместе означают, что функтор
Mi—>Л®М точен на категории конечно порожденных Л-мо-
А
дулей (над нётеровым кольцом А). В главе 2 было показано,
что отсюда следует
Предложение 10.14. Пусть А — нётерово кольцо, а —
некоторый его идеал, А — его а-адическое пополнение. Тогда
А — плоская А-алгебра. в
Замечание. На категории всех модулей функтор М >—*
|—>М не точен. Подходящей заменой ему служит точный
функтор Mi—э-Л <g> M, который совпадает с пополнением на
А
категории конечно порожденных модулей,
Пополнения 135
Теперь мы подробнее изучим кольцо А. Начнем с несколь-
нескольких простых замечаний.
Предложение 10.15. Пусть А — нётерово кольцо,А —
его й-адическое пополнение. Тогда
(I) 5=Ла^ А ® а;
А
(II) (а"Г = (а)";
(III) anjan+l c*a.njan+u,
(IV) а содержится в радикале Джекобсона кольца А.
Доказательство. Из нётеровости А следует, что
идеал а конечно порожден; A0.13) показывает тогда, что
отображение
А ® a->ft
л
является изоморфизмом; но его образ совпадает с Ла. Это^о
казывает (I). Применив теперь (I) к ап, находим, что(а")~ =
= Ла"=(Ла)" в силу A.18), и затем (а"Г=(а)" в силу (I).
Из A0.4) следует тогда, что
Л/а" ~ Л/а",
Откуда можно вывести (III) с помощью факторизации. Из
(II) и A0.5) видно, что кольцо А полно в своей а-топологии.
Следовательно, для любого элемента ^еа ряд
сходится в Л. Поэтому 1 — х является единицей. Согласно
A.9), это означает, что а содержится в радикале Джекобсо-
Джекобсона кольца А. Ш
Предложение 10.16. Пусть А — нётерово локальное
кольцо, m —' его максимальный идеал. Тогда ха-адическое по-
пополнение А. кольца А является локальным кольцом с макси-
максимальным идеалом т.
Д ок аз ате л ьств о. Согласно A0.15), (III), A/ms^A/m.
Поэтому А/т является полем, так что идеал т макси-
максимален. Из A0.15), (IV) тогда следует, что m совпадает с ра-
радикалом Джекобсона кольца А и, значит, является его един-
единственным максимальным идеалом. Таким образом, А — ло-
локальное кольцо. ¦
На важный вопрос о том, каково ядро пополнения, отве-
отвечает теорема Крулля:
136 Глава 1д
Теорема 10.17. Пусть А — нётерово кольцо, а —его
идеал, М — конечно порожденный А-модуль, М — его попол-
оо
некие относительно а. Тогда ядро Е= ("| а.пМ гомоморфиз-
ма М —*¦ М состоит из всех элементов х е М, аннулируемых
некоторым элементом из 1 + а.
Доказательство. Поскольку Е совпадает с пересече-
пересечением всех окрестностей нуля в М, индуцированная топология
на Е тривиальна в том смысле, что единственной окрестно-
окрестностью нуля в Е является все Е. Но, согласно A0.11), индуци-
индуцированная топология на Е совпадает с его а-топологией. Так
как в а-топологии <хЕ является окрестностью нуля, получаем
а.Е=Е. Но модуль М конечно порожден, а А — нётерово
кольцо. Поэтому Е тоже конечно порожден, и мы можем при-
применить B.5), чтобы из равенства а.Е==Е вывести равенство
A — а)?=0 для некоторого а?и. Обратное включение оче-
очевидно: если A — а)х=0, то
№=1
Замечания. 1) Обозначим через 5 мультипликативно
замкнутое подмножество 1 + а. Тогда теорема 10.17 означает,
что ядра гомоморфизмов
А->А и A->S~XA
совпадают. Кроме того, для любого элемента met ряд
сходится в А, так что все элементы из 5 становятся едини-
единицами в Л. В силу свойства универсальности кольца S~XA это
означает, что существует естественный гомоморфизм S~lA —>¦
-*А. Его инъективность вытекает из A0.17). Тем самым
S~lA можно отождествить с подкольцом в А.
2) Теорема Крулля A0.17) может быть неверной, если
кольцо А не предполагать нётеровым. Пусть, например, А —
кольцо всех бесконечно дифференцируемых функций на ве-
вещественной прямой, и пусть а — идеал всех таких функций /,
равных нулю в начале координат (этот идеал максимален,
потому что А/а s R). Идеал а порожден координатной функ-
оо
цией х, а пересечение |") а" совпадает с множеством функ-
ций, все производные которых в начале координат обращают-
Пополнения 137
ся в нуль. С другой стороны, всякий элемент вида 1 + а, где
аеа, может аннулировать лишь те функции, которые в не-
некоторой окрестности начала координат обращаются в нуль
тождественно. Хорошо известный пример функции е~11*', кото-
которая не равна тождественно нулю в окрестности начала, хотя
в начале обращаются в нуль все ее производные, доказы-
доказывает несовпадение ядер гомоморфизмов
А-+А и A-*S~'A (S = l+a).
Следовательно, А не является нётеровым кольцом.
Из теоремы Крулля можно вывести ряд полезных след-
следствий.
Следствие 10.18. Пусть А — нётерова область, а?*
фA) — некоторый идеал в ней. Тогда Лап==0.
Доказательство. В 1 + а нет делителей нуля. ¦
Следствие 10.19. Пусть А — нётерово кольцо, а —
идеал в А, содержащийся в радикале Джекобсона, М — ко-
конечно порожденный А-модуль. Тогда а-топология модуля М
хаусдорфова, т. е. []апМ=0.
Доказательство. Согласно A.9), любой элемент из
1 + а является единицей. ¦
Вот особенно важный частный случай этого следствия:
Следствие 10.20. Пусть А — нётерово локальное коль-
кольцо, m — его максимальный идеал, М — некоторый конечно по-
порожденный А-модуль. Тогда m-топология модуля М хаусдор-
хаусдорфова. В частности, m-топология кольца А хаусдорфова. Ш
Это утверждение можно сформулировать немного иначе.
Напомним, что m-примарные идеалы в Л — это в точности те
идеалы, которые содержатся между m и некоторой его сте-
степенью mn (используйте D.2) и G.14)). Таким образом, из
A0.20) следует, что пересечение всех m-примарных идеалов
кольца А равно нулю. Теперь, начав с любого нётерова коль-
кольца Л и его простого идеала fc, мы можем применить этот ва-
вариант следствия 10.20 к локальному кольцу ЛР. Возвра-
Возвращаясь затем к Л и используя взаимно однозначное соответ-
соответствие D.8) между }?-примарными идеалами кольца Л и т-при-
марными идеалами кольца Ар (здесь m=ipAf), получаем:
Следствие 10.21. Пусть А — нётерово кольцо, b — не-
некоторый простой идеал. Тогда пересечение всех ъ-примарных
идеалов совпадает с ядром гомоморфизма А —*¦ А р. Ш
138 Глава 10
Ассоциированное градуированное кольцо
Пусть А — некоторое кольцо, а — его идеал. Положим
G (А) = Ga (А) = ф а»/а»+' (а0 — Л).
л«=0
Это — градуированное кольцо, умножение в котором опреде-
определяется следующим способом. Для всякого элемента х„ е а™
обозначим через Хп его образ в aft/aB+1. Определим хтхп как
хтхп, т. е. образ ХтХп в aTO+n/aTO+n+1. Проверьте, что хтхпне за-
зависит от выбора представителей.
Аналогично, для любого Л-модуля М с а-фильтрацией
(М„) положим
С(М)=фМ„/М„+1.
На этой группе есть естественная структура градуированного
б(Л)-модуля. Положим Gn(M)=Mn/Mn+i.
Предложение 10.22. Пусть А — нётерово кольцо, a —
его идеал. Тогда
(I) Кольцо Ga (А) нётерово.
(II) Градуированные кольца Ga(A) и G~{A) изоморфны.
(III) Если М — конечно порожденный А-модуль,а (М„) —
его стабильная а-фильтрация, то G(M) —конечно порожден-
порожденный градуированный Ga (А)-модуль.
Доказательство. (I) Из нётеровости Л следует, что
идеал а конечно порожден. Пусть х\, ..., ха — некоторая си-
система его образующих. Обозначим через х% образ xt в a/a2.
Тогда О(Л) = (Л/а) [jci, ..., JcJ. Из нётеровости Л/а по тео-
теореме Гильберта о базисе следует нётеровость кольца G{A).
(И) an/an+l^an/an+l в силу A0.15), (III).
(III) Существует такое целое число /го. что М^+r =агМ„,
для всех г ^ 0. Поэтому модуль G(M) порожден подмоду-
подмодулем ф Gn(M). Каждый модуль Gn(M) = Mn/Mn+1 нётеров.
<
<
Идеал а его аннулирует, поэтому Gn(M) конечно порожден
как Л/а-модуль. То же верно относительно ф Gn (M), сле-
довательно, G(M) конечно порожден над G(A).m
Последний важный результат этой главы состоит в том,
что пополнение нётерова кольца остается нётеровым. Пре-
Прежде чем переходить к доказательству, установим простую
лемму, которая связывает пополнение группы, наделенной
фильтрацией, с ассоциированной градуированной группой.
Пополнений.
Лемма 10.23. Пусть qp: A -> В — некоторый гомоморфизм
групп с фильтрацией, т. е. ф(Лп) ?бп, и пусть G(<p) : G(A)-+
-+G(B), ф: А—*В — индуцированные гомоморфизмы градуи-
градуированных и пополненных групп. Справедливы следующие
утверждения:
(I) О(ф) инъективен =т> ф инъективен.
(II) О(ф) сюръективен =^>ф сюръективен.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму точных последовательностей
0 -» Л„/Л„+1 -> А/Ап+1 -* А/Ап -* 0
<*_
*
По ней строится точная последовательность
0 -> Кег Gn (ф) -> Кег <х„+1 -> Кег <х„ -> Coker Gn (ф) ->
-> Coker а„+1 ->¦ Coker а„ -> 0.
Индукция по п показывает, что в случае (I) Кега„=0,
а в случае (II) Coker а„=0. Кроме того, в случае (II) отоб-
отображение Кег an+i -> Кег а„ сюръективно. Перейдем к проек-
проективному пределу относительно гомоморфизмов ап и приме-
применим A0.2). Лемма доказана. ¦
Мы можем теперь сформулировать частичное обращение
утверждения A0.22), (III). Это — главный шаг в доказатель-
доказательстве нётеровости кольца А.
Предложение 10.24. Пусть А — некоторое кольцо,л —
идеал в А, М — некоторый А-модуль, снабженный а-фильтра-
цией (Мп). Предположим, что кольцо А полно в а-топологии
и что модуль М хаусдорфов в своей топологии, индуцирован-
ной фильтрацией (т.е. f\Mn=0). Предположим, кроме того,
что G(А)-модуль G(M) конечно порожден. Тогда А-модуль
М конечно порожден.
Доказательство. Выберем конечную систему обра-
образующих модуля G(M) и разобьем их на однородные компо-
компоненты li (I ^t'^v). Обозначим через n(i) степень g^;пусть
gi — класс элемента лс,- е Afn(j). Обозначим через F* модуль А,
снабженный стабильной а-фильтрацией FcK — AK+nV\ и поло-
г
жим F—QF1. Отображение, которое каждой образующей
1 eF' ставит в соответствие элемент х,-, продолжается до го-
гомоморфизма
Ф: F-»M
140 Глава 10
фильтрованных групп, который индуцирует гомоморфизм
(Р(Л)-модулей б(ф): G(F)-*G(M). По построению он сюръ-
ективен. Из A0.23), (II) тогда следует, что ф сюръективен.
Рассмотрим теперь диаграмму
Поскольку F свободен и А—А, а является изоморфизмом. Из
хаусдорфовости М следует инъективность р. Поэтому из
сюръективности ф можно вывести сюръективность ф, а это
означает, что элементы xh ..., хт порождают Л-модуль М. Ш
Следствие 10.25. В предположениях A0.24) из того,
что G(M) —нётеров G(А)-модуль, следует, что М — нётеров
А-модуль.
Доказательство. Нужно проверить, что любой под-
подмодуль М' модуля М конечно порожден F.2). Положим
М'п = М' [\Мп. Тогда (Af») есть а-фильтрация модуля АР,
а вложение М'п->Мп индуцирует инъективный гомомор-
гомоморфизм Мп1м'п+1^>-Мп/Мп+1 и, следовательно, вложение
G (М') -* G (М). Поскольку G (М) нётеров, из F.2) следует,
что G(M') конечно порожден. Кроме того, М' хаусдорфбв,
потому что nMn?f]M,i = 0. Согласно A0.24), М' конечно
порожден. ¦
Теперь мы можем доказать обещанный результат.
Теорема 10.26. Пусть А —нётерово кольцо, а — некото-
некоторый идеал. Тогда а-пополнение А кольца А нётерово.
Доказательство. Согласно A0.22), кольцо
нётерово. Теперь применим A0.25) к полному кольцу А, по-
положив М=А (фильтрация (ап) хаусдорфова). ¦
Следствие 10.27. Если кольцо А нётерово, то кольцо
степенных рядов В = A[[xit ..., хп]] нётерово. В частности,
кольцо k[[xi лсп]] (где k — поле) нётерово.
Доказательство. Нётеровость кольца А[х\, ...,хп]
следует из теоремы Гильберта о базисе, а В совпадает с по-
пополнением этого кольца в (хи ..., д:п)-адической топологии. ¦
Упражнения
1. Пусть ап: Z/pZ-*-ZlpnZ — вложение абелевых групп, для которого
а„A) = рп~\ н пусть а: А-*-В — прямая сумма всех гомоморфизмов а„
(здесь Л — счетная прямая сумма групп Z/pZ, а В — прямая сумма групп
Пополнения 141
Z/pnZ). Покажите, что р-адическое пополнение группы А совпадает с А,
по пополнение А в топологии, индуцированной р-адической топологией В,
совпадает с прямым произведением групп Z/pZ. Выведите отсюда, что
/?-адическое пополнение не является точным справа функтором на катего-
категории всех Z-модулей.
2. В обозначениях упражнения 1 положим Ап = ог^(рпВ) и рассмот-
рассмотрим точную последовательность
О -> Ап -> А -> А/Ап -> 0.
Покажите, что lim не точен справа, и вычислите lim1 Ап-
3. Пусть А — нётерово кольцо, Л — идеал, М — конечно порожденный
Л-модуль. Пользуясь теоремой Крулля и упражнением 14 главы 3, дока-
докажите, что
оо
f|a"Af= fj Ker(M-*Mm),
п=1 та»
где tn пробегает все максимальные идеалы, содержащие а. Выведите от-
отсюда, что
[Читателю следует представить себе, что М есть «разложение Тейло-
Тейлора» модуля М в направлениях, трансверсальных к замкнутому подмноже-
подмножеству V(a). Сформулированный результат означает тогда, что в некоторой
окрестности V(a) модуль М однозначно определяется своим разложением
Тейлора.] ^
4. Пусть А — нётерово кольцо, a — его идеал, А — его a-адическое
пополнение. Для любого элемента хе/1 обозначим через % его образ в А.
Покажите, что
х не является делителем нуля в А=^% не является делителем нули в А.
Можно ли вывести отсюда импликацию
А — область целостности =ф А — область целостности?
[Примените теорему о точности пополнения к последовательности
0-+A-Z+A.]
5. Пусть А — нётерово кольцо, а, Ъ — идеалы н А. Для любого Л-мо-
дуля М обозначим через Ма, Мъ его a-адическое и Б-адическое попол-
пополнения соответственно. Докажите, что если М конечно порожден, то
(Ма) m Мй+6. [Постройте a-адическое пополнение точной последователь-
последовательности
0 -> ЪтМ -> Af -> М[ЬтМ -> 0
н примените предложение 10,13. Затем используйте изоморфизм
lim /lim M/(a"M + ЬтМ)\ ~ lim М/(апМ + ЪпМ)
т \ п /и
и включения
(а + ЪJп s а" + Ьп s (а + Б)".]
6. Пусть А — нётерово кольцо, а—идеал в А. Докажите, что а содер-
содержится в радикале Джекобсона кольца А в том и только том случае, когда
любой максимальный идеал в А замкнут в a-топологии. (Нётерово тополо-
топологическое кольцо, топология которого определяется степенями идеала, со-
содержащегося в радикале Джекобсона, называется кольцом Зарисского.
Таковы все локальные кольца, а также, в силу A0.15), (IV), а-адическне
пополнения.)
142 Глава 10
7. Пусть А — нётерово кольцо, а — его идеал, А — его а-адическое по-
пополнение. Докажите, что кольцо А строго плоское над А (глава 3, упраж-
упражнение 16) в том и только том случае, когда А — кольцо Зарисского (отно-
(относительно а-топологии).
[Так как кольцо А всегда плоское над А, достаточно доказать следую-
следующее утверждение:
для всех конечно порожденных модулей М отображение
М -> М инъективно Фф А — кольцо Зарнсского.
Воспользуйтесь A0.19) н упражнением 6.]
8. Пусть А —локальное кольцо начала координат в Сп, т. е. кольцо
всевозможных рациональных функций f/g e С (zi, ..., zn), для которых
g@) Ф 0. Обозначим через В кольцо степенных рядов от zu ..., zn, ка-
каждый из которых сходится в некоторой окрестности начала. Наконец,
пусть С — кольцо формальных степенных рядов от Z\, ..., гп; тогда
А а В с С. Покажите, что В — локальное кольцо, а его пополнение в то-
топологии, порожденной степенями максимального идеала, совпадает с С.
Предположив, что В — нётерово кольцо, докажите, что оно плоское над А.
[Воспользуйтесь упражнением 17 главы 3 и упражнением 7.]
9. Пусть А—локальное кольцо, т— его максимальный идеал. Пред-
Предположим, что А полно в Ш-аднческой топологии. Для любого многочлена
f(x)eA[x] обозначим через f (х) s (А/т)[х] его редукцию по модулю т.
Докажите следующую лемму Гензеля: если {(х) — многочлен степени п
со старшим коэффициентом 1 и если f (x) разлагается в произведение двух
взаимно простых многочленов g(x), h(x) s (Д/т)[*] со старшими коэффи-
коэффициентами 1 степеней г, п — г, то g(x), h(x) можно поднять до многочленов
g{x), h(x) eA[x] со старшим коэффициентом 1 так, что f(x) = g(x)h(x).
[Примените индукцию, предположив, что уже построены многочлены
gK{x), hK(x)e.A[x\ для которых gK(x) hK (x)— f(x) ет«Л [х]. Затем вос-
воспользуйтесь тем, что g(x) и h(x) взаимно просты н, следовательно, можно
найти представления вида хр = ар (х) gK (х) + Ър (х) hK (x) для всех це-
целых чисел р, 1 sj р ^ п, где степень аР sj п — г, а степень bv sj г. На-
Наконец, используйте полноту кольца А для доказательства сходимости по-
последовательностей gK(x), hK(x) к пределам g(x), h(x) с нужными свой-
свойствами.]
10. (I) В обозначениях упражнения 9 выведите из леммы Гензеля, что
если у f(x) есть простой корень а е Л/ш, то у f(x) есть простой корень
о s А, для которого а = а mod ш.
(II) Докажите, что в кольце 7-адических целых чисел 2 является пол-
полным квадратом.
(III) Пусть f(x,y)sk[x,y], где k — некоторое Поле, и пусть у — а0
является простым корнем многочлена f@,у). Докажите, что существует
оо
формальный степенной ряд у (х) — 2 ап*п, Для которого f (x,y(x)) =0.
(Этот ряд определяет «аналитическую ветвь» кривой f = 0, проходящую
через точку @,аа).)
11. Докажите, что утверждение, обратное к A0.26), неверно, даже
если предполагать, что А — локальное кольцо, а Л — конечно порожден-
порожденный Л-модуль.
[В качестве А рассмотрите кольцо ростков С°°-функций от х в окрест-
окрестности х = 0 и воспользуйтесь теоремой Борели о том, что любой фор-
формальный степенной ряд является ридом Тейлора некоторой С°°-функцин.]
12. Если кольцо А нётерово, то А \Цхи ..., *„]] — строго плоская
Л-алгебра. [Представьте расширение Л-*-Л[[*ь ..., хп]] как последова-
последовательность плоских расширений н примените упражнение 5 (V) главы 1.]
Глава 11
ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ
Размерность многообразия принадлежит к числу фунда-
фундаментальных алгебро-геометрических понятий. Этот инвариант
по существу локален; в этой главе мы покажем, что вполне
удовлетворительную теорию размерности можно построить
для общих нётеровых локальных колец. Основная теорема
устанавливает совпадение трех различных определений раз-
размерности. Геометрический смысл двух из них вполне прозра-
прозрачен. Третье, использующее многочлен Гильберта, более фор-
формально. Однако оно обладает рядом технических преиму-
преимуществ, и вся теория упрощается, если ввести его на ранней
стадии.
Изучив размерность, мы вкратце опишем структуру регу-
регулярных локальных колец, которые отвечают неособым точкам
в алгебраической геометрии. Мы установим эквивалентность
трех определений регулярности.
Наконец, мы покажем, что в теории алгебраических мно-
многообразий над полем введенная нами локальная размерность
совпадает со степенью трансцендентности поля функций.
Функции Гильберта
оо
Пусть А = ф Ап — градуированное нётерово кольцо.
ге=0
В силу A0.7), кольцо Ао нётерово, и Л0-алгебра А порождена
однородными элементами х\, ..., х3 положительных степеней
К\, . . ., К3.
Пусть М — конечно порожденный градуированный Л-мо-
дуль. Он порожден конечным числом однородных элементов,
скажем т$ A ^/^0'. пусть г^-=Ащт^. Любой элемент из
МП) однородной компоненты степени п модуля М, можно по-
поэтому представить в виде 2 // (х) mj, где коэффициент
fj(x)^A однороден степени n — ri (и, стало быть, равен
нулю, если п < г,). Поэтому Л0-модуль Мп порожден конеч-
конечным числом элементов вида gj{x)mh где gj(x) —любой одно-
одночлен от Xi полной степени п — г;\
Пусть К—некоторая аддитивная функция (со значениями
в 1), определенная на классе всех конечнр порожденных
144 Глава 11
Ло-модулей (глава 2). Рядом Пуанкаре модуля М (относитель-
(относительно X) называется производящая функция последовательности
К(Мп), т. е. степенной ряд
оо
Р(М, *)= 2 М^») *" е Z [[*]].
п=0
Теорема 11.1 (Гильберт, Серр). P(M,t) является ра-
i s
циональной функцией от t вида f (t)/Jl(l — tKt), где f(t) e
sZW.
Доказательство. Применим индукцию по числу s об-
образующих А над Ао. Начнем с s=0. В этом случае Ап=0
для всех п > О, так что А=А0, и М — конечно порожденный
Ло-модуль. Следовательно, Мп=0 для всех достаточно боль-
больших п, так что Р(М, I) является многочленом.
Пусть теперь s > 0, и пусть теорема уже доказана для
s—1. Умножение на xs является гомоморфизмом Л0-модулей
Мп-*Мп+к , что позволяет написать точную последователь-
ность
0-+Kn-+Mn-!^>Ma+Ka-+Ln+Ka-*0. A)
Положим К= (В Кп> L= 0 Ln; К и L конечно порожде-
п п
ны (потому что К — подмодуль М, a L — фактормодуль).
Кроме того, оба они аннулируются умножением на xs и, зна-
значит, являются /4o[xi, ..., Jts-ij-модулями. Применив А, к A) и
воспользовавшись B.11), находим
Я (Кп) - Я. (М„) + Я. (Mn+Ks) - К (Ln+Ks) = 0.
Умножив это равенство на tn+Ks и просуммировав по п,
получим
A - fs) P (M, f) = P (L, f) - f*P (К, f) + g (t), B)
где g(i) — некоторый многочлен. Отсюда следует требуемое
в силу предположения индукции. ¦
Обозначим через d(M) порядок полюса P(M,t) в точке
t=\. Он доставляет некоторую меру «величины» М (по отно-
отношению к X). В частности, определено число d(A). Особенно
прост случай, когда все к* равны 1:
Следствие 11.2. Если все кг равны 1, го для всех до-
достаточно больших п число К(Мп) является многочленом от п
(с рациональными коэффициентами) степени d—\.
(Мы условимся считать, что степень нулевого многочлена
равна —1, а биномиальный коэффициент (_"] равен 0 при
п ^ 0 и 1 при п=—1.)
Теория размерности 145
Доказательство. Из A1.1) следует, что Х(Мп) рав-
равно коэффициенту при tn ряда f (t) (I —1)~*. Сокращая на
лишнюю степень 1 —t, мы можем считать, что s=d и f(l)?=
N
ФО. Пусть f (t) — 2 aJK; поскольку
имеем
X(М„) = 2 о.к\ . , ) при всех
к=о \ "~' /
и сумма справа является многочленом от п со старшим коэф-
коэффициентом B aK)nd~l/(d— I)! ^= 0. ¦
Замечания. 1) Если многочлен f(x) принимает целые
значения во всех целых точках, его коэффициенты не обяза-
обязательно целы. Контрпример: -~х(х-\- 1).
2) Многочлен, введенный в A1.2), обычно называется
функцией (или многочленом) Гильберта модуля М (относи-
(относительно К).
Вернемся теперь к последовательности A). Заменим xs
любым элементом х ^ Лк, который не является делителем
нуля относительно М (т.е. из равенства хпг=0, где теЛ1,
следует, что т=0). Тогда /С=0, и уравнение B) показывает,
что
Таким образом, мы доказали
Предложение 11.3. Если элемент х ^ Ак не является
делителем нуля относительно М, то d(M/xM)=d(M) — 1. ¦
Мы будем пользоваться теоремой 11.1 в случае, когда
А0 — артиново кольцо (например, поле), а Х(М)—длина
1(М) конечно порожденного /40-модуля М. В силу F.9), дли-
длина аддитивна.
Пример. Пусть А—Ай[х\, ..., xs], где Ао — артиново
кольцо, а х{ — независимые переменные. Тогда Ап — свобод-
свободный /40-модуль, порожденный одночленами х™1 ... x™s, где
„ fs + п — Л
2jrn. = n. Всего имеется . таких одночленов;
\ s 1 j
поэтому Р(А, t) = (l — trs.
Теперь рассмотрим функции Гильберта, которые можно
связать с локальным кольцом, если, как в главе 10, перейти
к ассоциированному градуированному кольцу.
146 Глава 11
Предложение 11.4. Пусть А — нётерово локальное
кольцо, m — его максимальный идеал, q — некоторый ха-при-
марный идеал, М — конечно порожденный А-модуль, (Мп) —
стабильная q-фильтрация в М. Тогда
(I) для всех п ^ 0 модули М/Мп имеют конечную длину;
(II) для всех достаточно больших п эта длина выражает-
выражается многочленом g(n) степени t^s no п, где s — наименьшее
число образующих идеала q;
(III) степень и старший коэффициент многочлена g(n)
зависят только от М и q, но не от выбора фильтрации.
Доказательство. (I) Положим
G(A)=@ q"/q"+1, G(M)=® MJMn+1.
n n
Здесь G0(A)=A/q — артиново локальное- кольцо, например,
в силу (8.5); кольцо G(A) нётерово, a G(M) —конечно поро-
порожденный градуированный б(Л)-модуль, согласно A0.22). Все
фактормодули Gn(M)—MJMn+i нётеровы над А и аннули-
аннулируются умножением на q, поэтому их можно считать нётеро-
выми /l/q-модулями, и длины их конечны, так как Л/q — ар-
артиново кольцо. Следовательно, М/Мп имеет конечную длину,
причем
п
- /М). A)
г—1
(II) Если элементы Х\, ..., xs порождают идеал q, то их
образы xi в q/q2 порождают G(A) как /l/q-алгебру, и степень
каждого из Xi равна 1. Согласно A1.2), для всех достаточно
больших п находим
где f(n) —многочлен от п степени ^s—1. Так как из A)
видно, что ln+i — ln=f(n), отсюда следует, что /„ выражает-
выражается для достаточно больших п в виде многочлена g(n) сте-
степени sgs.
(Ill) Пусть (Йп) —другая стабильная q-фильтрация мо-
модуля М, и пустьg(n) =1(М/Яп). В силу A0.6), эти две филь-
фильтрации имеют ограниченную разность. Иными словами, су-
существует такое целое число п0, что М„+„о ? Мп, Мп+щ ? Мп
для всех п ^ 0. Следовательно,
g(n-\- щ) >g(n), g (n + По) > g (п).
Поскольку для всех достаточно больших п функции g и g
являются многочленами, имеем lim g (n)/g (и) = 1, так что
П->оо
степени и старшие коэффициенты этих многочленов совпа-
совпадают. ¦
Теория размерности 147
Многочлен g(n), соответствующий фильтрации (q"Af),
обозначается символом у? (л):
Х^(п) = 1(М/с\пМ) для всех достаточно больших п.
В случае М=А мы пишем х, (") вместо %* (л) и назы-
называем эту функцию характеристическим многочленом т-при-
марного идеала q. В этом случае из предложения 11.4 вы-
вытекает
Следствие 11.5. Для всех достаточно больших л длина
1(А/<\п) представляется в виде многочлена xq (") степени ^s,
где s — наименьшее число образующих идеала q. ¦
При разных выборах m-примарного идеала q степень мно-
многочлена хя (") не меняется:
Предложение 11.6. Пусть A, m, q имеют тот же смысл,
что и выше. Тогда
Доказательство. Согласно следствию 7.16, m Э q э
Э тг для некоторого г. Поэтому mn Э qn Э mrn, откуда
ЗСга (п) ^ Хл (п) ^ Хш (гп) для всех достаточно больших п.
Устремив п к бесконечности и учитывая, что х — многочлены
от п, получим требуемое. ¦
Обозначим через d(A) общую степень всех многочленов
Х,(п). Согласно A1.2), d (A) = d (G« (Л)), где d(G«(/4))
— введенный выше порядок полюса в t = 1 функции Гиль-
Гильберта кольца Gm (A).
Теория размерности нётеровых локальных колец
Пусть А — нётерово локальное кольцо, m — его макси-
максимальный идеал.
Обозначим через б (Л) наименьшее число элементов, поро-
порождающих какой-нибудь m-примарный идеал в А. Мы наме-
намерены доказать, что б(Л) =й?(Л) =dim Л. С этой целью мы по-
последовательно докажем неравенства 6 (А) ^ d(A) ^ dim A ^
^6(/4). Первое из них получается из A1.5) в сочетании
с A1.6):
Предложение 11.7. 6(А) > d(A). Ш
Теперь докажем аналог A1.3) для локальных колец. Об-
Обратите внимание на то, что в доказательстве используется
лемма Артина — Риса в самой сильной формулировке (чисто
топологический вариант недостаточен).
148 Глава 11
Предложение 11.8. Пусть A, m, q имеют тот же смысл,
что и выше. Обозначим через М конечно порожденный А-мо-
дуль. Пусть х ^ А — элемент, не являющийся делителем нуля
относительно М, и пусть М'=М1хМ. Тогда
Доказательство. Положим N=xM. Тогда Л-модули
N, М изоморфны в силу предположения относительно х.
Пусть Nn = N П с\пМ. Рассмотрим точные последовательности
О -> N/Nn -+ М/с\пМ -* M'/fM' -> 0.
Если g(n)=l(N/Nn), то для всех достаточно больших п
имеем
Теперь учтем, что, согласно лемме Артина — Риса A0.9),
фильтрация (Nn) модуля N является стабильной q-фильтра-
цией. Поскольку N^M, из A1.4) следует, что старшие чле-
члены многочленов g(n) и х?* («) совпадают. Отсюда следует
требуемое. ¦
Следствие 11.9. Пусть А — нётерово локальное кольцо,
х — элемент из А, не являющийся делителем нуля. Тогда
d(A/(x)) l
Доказательство. Положите М=А в A1.8).!
Теперь мы можем доказать самое существенное неравен-
неравенство:
Предложение 11.10. d(A) > dim A.
Доказательство. Проведем индукцию по d—d{A).
Если d=0, то для всех достаточно больших п длина 1(А/хпп)
постоянна, так что mn = mn+1 для некоторого п; но тогда
tn«=O в силу леммы Накаямы B.6). Значит, А — артиново
кольцо, так что dim Л = 0.
Предположим теперь, что d > 0, и рассмотрим любую це-
цепочку простых идеалов fco ^ fci cr ... сг #г в кольце А. Пусть
x^ipi, х ф #0; положим Л'=Л/}H и обозначим через х' об-
образ х в А'. Тогда х'ФО, и А' — область целостности. Из
A1.9) следует, что
С другой стороны, пусть т' — максимальный идеал в А'. То-
Тогда А'/т'п является гомоморфным образом кольца А/тп.
Следовательно, l(Ajmn) > 1{A7m'n), откуда d(A)^sd(A').
Поэтому
Теория размерности 149
Согласно предположению индукции, отсюда вытекает, что
длина любой цепочки простых идеалов в кольце А'1(х') не
превосходит d— 1. Но образы идеалов #ь ..., #г в А 1(хг) со-
составляют цепочку длины г—1. Следовательно, г—1 ^
^ d — 1, так что г ^ d, и, значит, dim A < d. ш
Следствие 11.11. Пусть А — нётерово локальное коль-
кольцо. Тогда dim А конечна. ¦
Пусть А — некоторое кольцо, # — его простой идеал. На-
Назовем его высотой верхнюю грань длин цепочек простых
идеалов с концом fc. В силу C.13), высота b — dimA}. Из
A1.11) получаем
Следствие 11.12. В нётеровом кольце любой простой
идеал имеет конечную высоту. Поэтому множество всех про-
простых идеалов нётерова кольца удовлетворяет условию обры-
обрыва убывающих цепочек.
Замечание. Рассматривая цепочки простых идеалов
с началом fc, мы можем подобным же образом ввести глу-
глубину fe. Очевидно, глубина fe равна dimA/ip. Однако глубина
простого идеала даже в нётеровом кольце может быть беско-
бесконечной, если только кольцо не локально: см. упражнение 4.
Предложение 11.13. Пусть А — нётерово локальное
кольцо размерности d. Тогда в А существует т-примарный
идеал, порожденный d элементами хи ..., ха, так что
dim/1 > б(Л).
Доказательство. Мы будем строить хи ..., Xd по-
последовательно, так, чтобы для каждого i любой простой
идеал, содержащий (хи ..., xt), имел высоту ~^i. Пусть i >0
и предположим, что Х\, ..., дс*_1 уже построены. Обозначим
через fyj A ^ / ^ s) все минимальные простые идеалы, ас-
ассоциированные с (хи ..., Xi-\) и'имеющие высоту в точно-
точности i — 1 (таких идеалов может и не быть). Поскольку
i — \<d = dim A — высота га,
S
имеем тфЪ} A</<s), так что т Ф \J p} в силу A.11).
Выберем элемент xt e га, xt ф. U pj, и обозначим через q лю-
любой простой идеал, содержащий (хи ..., хг). Тогда q содер-
содержит некоторый минимальный простой идеал !р, ассоциирован-
ассоциированный с (*i, ..., jc*-i). Если $=$3 для какого-нибудь /', то
Xi G(), Xi ф. $. В этом случае q гэ jj и, значит, высота q не
меньше, чем i. Если же ЬФЬ) A ^/' ^s), то высота $ не
меньше i и, следовательно, высота q не меньше i. Поэтому
любой простой идеал, содержащий (хи ..., хг), имеет высоту
150 Глава 11
Теперь рассмотрим идеал {xh ..., х&). Пусть \> — какой-
нибудь простой идеал, ассоциированный с ним. Тогда высота
i> не меньше d. Следовательно, to = m, потому что
р а т =Ф высота р< высота m = d.
Отсюда вытекает, что идеал (хи ..., xj) m-примарен. ¦
Теорема 11.14 (теорема о размерности). Для любого
нётерова локального кольца А следующие три целых числа
совпадают:
(I) наибольшая из длин цепочек простых идеалов в А;
(II) степень характеристического многочлена %га(п) =
(III) наименьшее число элементов, порождающих какой-
нибудь m-примарный идеал в А.
Доказательство. Объединить (П-7), A1.10) и
A1.13). ¦
Пример. Пусть А — локализация кольца многочленов
k[x\, ..., хп] относительно максимального идеала т =
= (х\, ..., хп). Тогда Gm(A) —кольцо многочленов от п пе-
переменных, так что его ряд Пуанкаре совпадает с A — t)~n.
Отсюда, используя совпадение чисел (I) и (II) в A1.14), вы-
выводим, что dim Am—n.
Следствие 11.15. dim A ^ dimft(m/m2).
Доказательство. Пусть образы в m/m2 элементов
xt e m (I ^ i ^ s) составляют базис этого векторного про-
пространства. Из B.8) следует, что дс* порождают т. Поэтому
dimfc(m/m2) =s ^ dim Л в силу A1.13). ¦
Следствие 11.16. Пусть А — нётерово кольцо, х\, ...
..., хг^А. Тогда любой минимальный идеал Ь, ассоцииро-
ассоциированный с {х\, ..., хг), имеет высоту ^г.
Доказательство. Идеал (хи ..., хг) в Ар становится
Ье-примарным. Поэтому г ^ dim Л)> = высота р. Ш
Следствие 11.17 (теорема Крулля о главных идеалах).
Пусть А — нётерово кольцо, х — элемент в А, не являющийся
ни единицей, ни делителем нуля. Тогда высота любого мини-
минимального простого идеала #, ассоциированного с (х), равна 1.
Доказательство. Согласно A1.16), высотам ^ 1.
Если бы высота р равнялась 0, то j> был бы ассоциирован
с нулевым идеалом. Поэтому любой элемент из fc был бы де-
делителем нуля в силу D.7), что противоречит предположению
х е to. ¦
Теория размерности 151
Следствие 11.18. Пусть А — нётерово локальное коль-
кольцо, х — элемент из максимального идеала хп, не являющийся
делителем нуля. Тогда dim А/ (х) = dim А — 1.
Доказательство. Положим d=dimA/(x). Из A1.9)
и A1.14) следует, что d^dim/1 — 1. С другой стороны,
пусть х{ (ls^is^d)—элементы из т, образы которых
в А/(х) порождают некоторый т/(*)-примарный идеал. То-
Тогда идеал (х, х\, ..., xd) в А т-примарен. Поэтому d -\- 1 ^
> dim А. Ш
Следствие 11.19. Пусть А есть m-адическое пополнение
кольца А. Тогда dim A = dim A.
Доказательство. Согласно A0.15), Л/m" s l/mft.
Поэтому %ш(я)=х-(я). ¦
Предположим, что элементы хи ..., xd порождают т-при-
марный идеал, где d=dimA. В этом случае мы назовем
хи ..., xd системой параметров. Такие системы обладают
свойством типа «независимости», которое описано в следую-
следующем предложении.
Предложение 11.20. Пусть хи ..., xd — некоторая си-
система параметров кольца А, порождающая т-примарный
идеал Ц= (хи • • •. *<0- Пусть f(tu ..., td) — такой однород-
однородный многочлен степени s с коэффициентами из А, что
f{xu ..., *d)e=qs+1.
Тогда все коэффициенты f лежат в т.
Доказательство. Рассмотрим эпиморфизм градуиро-
градуированных колец
а: (Л/Ч)[*1, .... td]-+G<{A),
который переводит U в хи где tj — свободные переменные,
a Xi — класс xt mod q. Предположение относительно / озна-
означает, что J(ti, ..., td) (редукция f modq) принадлежит ядру
гомоморфизма а. Если какой-нибудь из коэффициентов f яв-
является единицей в А, то / не является делителем нуля (ср,
упражнение 3 главы 1). Тогда
потому что /еКег(а). Пользуясь предложением 11.3 и по-
последующим примером, получаем
Но d(Gq (A))=d в силу основной теоремы A1.14). Это при?
ВОДит к требуемому противоречию. ¦
152 Глава 11
Особенно простую форму этот результат принимает в слу-
случае, когда А содержит поле, изоморфно отображающееся на
поле классов вычетов А/га:
Следствие 11.21. Пусть k a А — поле, изоморфно отоб-
отображающееся на Aim, и пусть Х\, ..., Xd — некоторая система
параметров. Тогда элементы Х\, ..., Хц алгебраически незави-
независимы над k.
Доказательство. Предположим, что f(x\, ..., Xd) =0,
где f — некоторый многочлен с коэффициентами из k. Если
f ф 0, мы можем представить / в виде fs + члены старшей
степени, где fs однороден степени s и fs Ф 0. Применив
A1.20) к fs, находим, что все коэффициенты fs лежат в т. Так
как на самом деле они принадлежат k, отсюда следует, что
fs = 0 — противоречие. Следовательно, элементы хи ..., Xd
алгебраически независимы над k. Ш
Регулярные локальные кольца
В алгебраической геометрии вводится важное разделение
точек на два типа: особые и неособые точки (см. упражне-
упражнение 1). Локальные кольца неособых точек принадлежат
к классу так называемых регулярных локальных колец. Этот
класс можно охарактеризовать любым из трех равносильных
условий, сформулированных ниже и доставляющих обобще-
обобщение свойства «неособости», которое выходит за рамки гео-
геометрического случая.
Теорема 11.22. Пусть А есть d-мерное нётерово локаль-
локальное кольцо, m — его максимальный идеал, k—A/m. Тогда сле-
следующие свойства равносильны:
(I) Gm(A) ?ik[ti, .... td], где t{ — независимые перемен-
переменные;
(II) dimft(m/m2)=d;
(III) существует система образующих идеала т, состоя-
состоящая из d элементов.
Доказательство. Импликация (I) =ф- (II) очевидна.
(II) =ф> (III) следует из B.8), ср. доказательство A1.15). Для
доказательства (III) =Ф (I) положим m=(xi, ..., ха)- Тогда
из A1.20) следует, что отображение a: k [xu ..., хц]-* Gm(A)
является изоморфизмом градуированных колец. ¦
Всякое регулярное локальное кольцо является областью
целостности. Это вытекает из следующего более общего ре-
результата,
Теория размерности 153
Лемма 11.23. Пусть А — некоторое кольцо, а с: Л — та-
такой идеал, что Г)ап=О. Если Ga (А) является областью це-
п
лостности, то же верно относительно А.
Доказательство. Пусть х, у — ненулевые элементы
из А. Так как [\ап=0, существуют такие целые числа r.s^O,
что х ^ar, x фаг+\ у еи', уф.as+1. Обозначим через х, у об-
образы х, у_в Gr(A), GS(A) соответственно. Тогда хфО, уфО,
так что ху=х-уфО, и, следовательно, хуФО. Ш
Из (9.2) видно, что класс одномерных регулярных локальных
колец совпадает с классом дискретно нормированных колец.
Можно показать, что если для локального кольца А коль-
кольцо Gm(A) является целозамкнутой областью целостности, то
и А целозамкнуто. Отсюда вытекает, что всякое регулярное
локальное кольцо целозамкнуто. Однако в размерности боль-
больше 1 существуют нерегулярные целозамкнутые локальные об-
области.
Предложение 11.24. Пусть А — нётерово локальное
кольцо. Оно регулярно в том и только том случае, когда
кольцо А регулярно.
Доказательство. Согласно A0.16), A0.26) и A1.19),
А — нётерово локальное кольцо той же размерности, что и А,
а m — его максимальный идеал. В силу A0.22), Gm(A) о*
— @Я (^) • ОТС1°Да следует требуемое. ¦
Замечания. 1) Из вышесказанного следует, что Л так-
также является областью целостности. На геометрическом языке
это означает, что в неособой точке многообразие аналитиче-
аналитически неприводимо (локально), т.е. имеет только одну анали-
аналитическую «ветвь».
2) Предположим, что Л содержит поле k, которое изо-
изоморфно отображается на Л/m (геометрический случай). То-
Тогда-из A1.22) следует, что Л — кольцо формальных степен-
степенных рядов от d переменных над k. Поэтому пополнения ло-
локальных колец неособых точек на d-мерных многообразиях
над k все изоморфны между собой.
Пример. Пусть A=k[xu ..., хп] (k — любое поле, х{ —
независимые переменные). Положим m=(jfi, ..., хп). Тогда
локальное кольцо Ат аффинного пространства kn в начале
координат регулярно. Действительно, Gm(A) —кольцо много»
членов от п переменных.
1S4 Глава 11
Трансцендентная размерность
Мы закончим это краткое обсуждение теории размерно-
размерности, связав размерность локальных колец с размерностью
многообразий, которая классически определяется через сте-
степень трансцендентности поля функций.
Пусть для простоты k — алгебраически замкнутое поле, и
пусть V—неприводимое аффинное многообразие над k. Его
координатное кольцо A(V) имеет вид
A(V) = k[xu .... хп]/р,
где р — простой идеал. Поле частных области целостности
A(V) называется полем рациональных функций на V и обо-
обозначается k(V). Оно конечно порождено над k и, следова-
следовательно, имеет над k конечную степень трансцендентности —
максимальное число алгебраически независимых элементов.
Это число называется размерностью многообразия V. Напо-
Напомним теперь, что, согласно теореме о нулях, точки V нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с максимальны-
максимальными идеалами кольца A(V). Если точке Р отвечает максималь-
максимальный идеал т, мы будем называть число dim A (V)^ локаль-
локальной размерностью многообразия V в точке Р.
Теорема 11.25. Локальная размерность неприводимого
многообразия V над полем k в любой точке равна dim V.
Замечание. Из A1.21) уже известно, что
для всех т. Поэтому нужно лишь доказать противо-
противоположное неравенство. Основная лемма, нужная для этой
цели, такова:
Лемма 11.26. Пусть В <= А — области целостности, В це-
лозамкнуто, а А цело над В. Пусть m — некоторый макси-
максимальный идеал в кольце А, и пусть n=m Г) В. Тогда п макси-
максимален, и dim Am = dim Bn.
Доказательство. Это без труда следует из результа-
результатов главы 5. Прежде всего, п максимален в силу E.8). Далее,
рассмотрим строго убывающую цепочку простых идеалов в Л:
ш=>(|,=эя2=э ... =><\d. A)
Согласно E.9), ее пересечение с В является строго убываю-
убывающей цепочкой простых идеалов
n => Pt =з & => ... => pd. B)
Это показывает, что dimfin ^dim Лт. Наоборот, любую це-
цепочку B) можно в силу E.16) поднять до некоторой цепочки
Теория размерности 155
A), которая будет строго убывающей вместе с B). По-
Поэтому dim Лт ^ dim Вп. ¦
Теперь мы можем завершить
Доказательство теоремы 11.25. Согласно лемме
о нормализации (упражнение 16 главы 5), можно найти
кольцо многочленов B=k[x\, ..., Xd], содержащееся в A(V)
и такое, что d=dim V и А (V) цело над В. Поскольку В цело-
замкнуто (замечание после E.12)), можно применить лем-
лемму 11.26. Она сводит задачу к доказательству A1.25) для
кольца В, т. е. для аффинного пространства. Но в аффинном
пространстве любая точка может служить началом коорди-
координат, а мы уже проверили, что локальное кольцо в начале
имеет размерность й.ш
Следствие 11.27. Для любого максимального идеала m
кольца А (V) имеем
dim А (V) = dim А (У)л.
Доказательство. По определению, dim А (V) =
= sup dimA(V)m. Согласно A1.25), размерности всех колец
m
A(V)m совпадают. ¦
Упражнения
1. Пусть / е k [xi хп] — неприводимый многочлен над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем k. Точка Р на многообразии f(x) = 0 называется
особой, если все частные производные df/dxi обращаются в нуль в Р. По-
Положим А = k[xu ..., *„]/(/) и обозначим через m максимальный идеал
кольца А, соответствующий точке Р. Докажите, что Р неособа в том и
только том случае, когда Ат— регулярное локальное кольцо.
[Из A1.18) следует, что dim/lm= я — 1. С другой стороны,
ni/ni*as (х„ .... *„)/(*,,.... хп? + (f).
Размерность этого пространства равна л — 1 тогда и только тогда, когда
2. В условиях A1.21) пусть А — полное кольцо. Докажите, что гомо-
гомоморфизм k[[tu ..., td]]-*-A, при котором tit—>xi(l ^i^d), ииъектнвен,
и что он превращает А в конечно порожденный k[[tlt ..., ^]]-модуль. [Вос-
[Воспользуйтесь A0.24).]
3. Распространите теорему 11.25 на случай, когда поле k ие обяза-
обязательно алгебраически замкнуто. [Воспользуйтесь тем, что если % — алгеб-
алгебраическое замыкание поля k, то кольцо k[X\, ..., хп] цело над k[хи ...
.... *»].]
4. Пример бесконечномерной иётеровой области (Нагата). Пусть k —
некоторое поле, А = k[X\, xit ..., хп, ...] — кольцо многочленов над k
от счетного множества независимых переменных. Пусть т\, тг, ... — воз-
возрастающая последовательность целых положительных чисел со свойством
nt{+i — пц> Ш{ — mt-i для всех i > 1. Положим »; = (хт ,, хт \
1 V mvv> t+u
И обозначим через о дополнение к объединению всех идеалов ty в А.
156 Глава 11
Каждый из идеалов ))i прост; поэтому множество S мультипликативно
замкнуто. Нётеровость кольца S^A следует из упражнения 9 главы 7.
Высота простого идеала S'^i равна mj+i — "if. Поэтому dim S~lA = оо.
5. Сформулируйте теорему 11.1 иа языке группы Гротенднка К(А0)
(упражнение 26 главы 7).
6. Пусть Л— кольцо (не обязательно нётерово). Докажите, что
1 + dim A < dim А [х] < 1 + 2 dim A.
[Пусть f:A-*-A[x] — каноническое вложение. Рассмотрим слой ото-
отображения /* : Spec (А [х]) -»- Spec (Л) над простым идеалом р кольца А.
Этот слой можно отождествить со спектром кольца k ® A \x] s* k [x],
А
где k — поле классов вычетов идеала j) (упражнение 21 главы 3). Кроме
того, dimfc[jc]=l. Теперь воспользуйтесь упражнением 7 (II) главы 4.]
7. Пусть А — нётерово кольцо. Тогда
dim А [х] = 1 + dim Л.
Отсюда индукцией по п находим
dim Л [xit ..., jcn] = я + dim A.
[Пусть р — простой идеал высоты т в кольце А. Тогда существуют
такие элементы аи .... иш€( что }) является минимальным простым
идеалом, ассоциированным с а= (аь .... ат). В силу упражнения. 7
главы 4, р [лс] — минимальный простой идеал, ассоциированный с а [х]. По-
Поэтому высота р[л;] не превосходит т. С другой стороны, по каждой цепоч-
цепочке простых идеалов $H cr J), с: ... cr j)m = j) можно построить цепочку
5Jo[*Jcz ••• с: j)m [х] =K [jc]. Поэтому высота ))[*] не меньше т. Следова-
Следовательно, высота $[х] равна высоте^. Теперь воспользуйтесь тем же рассу-
рассуждением, что и в упражнении 6.]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивная функция 35
Аднческая топология 129
Алгебра 42
— конечная 43
— конечно порожденная 43
Аннулятор 18, 30
Артина—Риса лемма 132
Аффинное алгебраическое многооб-
многообразие 26
Высота ндела 150
Гензеля лемма 142
Гильберта теорема о базисе 100
нулях 85, 88, 102, 105
— функция (многочлен) 145
Глубина идеала 150
Гомоморфизм алгебр 42
— граничный 35
— колец 10
— — конечного типа 43
— — конечный 43
— модулей 28
Гротенднка группа 108
Дедекиндова область 117
Делитель нуля 10
Дискретно нормированное
115
Длина 95, 96, ПО
Единица 11
Единичный элемент 9
Зарисского топология 23
Идеалы 10
— взаимно простые 16
— главные 11
— дробные 118
— максимальные 12
— неприводимые 102
— обратимые 118
•— примерные 65
кольцо
— простые 11
ассоциированные 68
вложенные 68
изолированные 68
— разложимые 67
Индуктивный предел 45
Кольцо 9
— абсолютно плоское 48
— артиново 94, 109
— булево 22
— градуированное 130
— Зарисского 142
— конечно порожденное 43
— локальное 13
— нётерово 94, 99
— нормирования 83
— полулокальное 13
— строго плоское 61
— частных 50
Композиционный ряд 95
Конструктивная топология 63
Коядро 29
Лемма о нормализации 87
— Цориа 12
Локализация 51
Минимальное примарное разложе-
разложение 67
Модуль 26
— артинов 92
— градуированный 131
— конечной длины 96
— конечно порожденный 30
— нётеров 92
— плоский 41
— свободный 31
— строгий 30
Модулярный закон 16
Мультипликативно замкнутое под-
подмножество 49
Накаямы лемма 32
Насыщение 73
Нильпотеит 11
158
Предметный указатель
Нильрадикал 14
Носитель 61
Область главных идеалов 14
— целостности 11
Образ 10, 29
Ограничение скаляров 39
Подкольцо 10
Подмодуль 28
— кручення 60
Поле 11
— вычетов 13
идеала 57
Пополнение 123, 129
Примерное разложение 67
Проективный предел 127
Произведение идеалов 15
Прямая сумма модулей 30
Прямое произведение колец 16
Пуанкаре ряд 144
Радикал Джекобсона 15
— идеала 19
Размерность ПО
— локальная 154
Расширение идеала 20
— скаляров 40
Регулярное локальное кольцо 15
Символическая степень 73
Система образующих 30
— параметров 151
Спектр максимальный 25
— простой 23
Сужение 20
Сумма идеалов 15
— модулей 29
Тензорное произведение алгебр 43
модулей 36
Точная последовательность 33
Условия обрыва цепочек 92
Факторкольцо 10
Фактор модуль 29
Фильтрация 130
Характеристический многочлен 147
Частное идеалов 18
Целая Л-алгебра 77
Целое замыкание 77, 81
Целозамкиутая область 77
Целый элемент 76, 81
Цепочка идеалов 12, 110
— подмодулей 95
Элемент кручения 60
Ядро 10, 29
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ , 5
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНЫ 7
Глава 1. КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ 9
Кольца и гомоморфизмы колец 9
Идеалы. Факторкольца 10
Делители нуля. Нилытотенты. Единицы 10
Простые идеалы и максимальные идеалы 11
Нильрадикал и радикал Джекобсона 14
Операции над идеалами 15
Расширение и сужение 20
Упражнения 21
Глава 2. МОДУЛИ 27
Модули и гомоморфизмы модулей 27
Подмодули и фактормодули 28
Операции иад подмодулями 29
Прямая сумма и прямое произведение 30
Конечно порожденные модули 31
Точные последоиательности 33
Тензорное произведение модулей 35
Ограничение и расширение скаляров 39
Свойстиа точности тензорного произведения 40
Алгебры 42
Тензорное произведение алгебр 43
Упражнения 44
Глава 3. КОЛЬЦА И МОДУЛИ ЧАСТНЫХ 49
Локальные свойства 54
Расширение и сужение идеалов в кольцах частных .... 56
Упражнения 58
Глава 4. ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 65
Упражнения 71
Глава 5. ЦЕЛАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НОРМИРОВАНИЯ . . 76
Целая зависимость 76
Теорема о подъеме 78
160 Оглавление
Целозамкнутые области целостности. Теорема о спуске . . 80
Кольца нормирования 83
Упражнения 85
Глава 6. УСЛОВИЯ ОБРЫВА ЦЕПОЧЕК 92
Упражнения 97
Глава 7. НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА 99
Прнмарное разложение в нётеровых кольцах 102
Упражнения 104
Глава 8. АРТИНОВЫ КОЛЬЦА 109
Упражнения ИЗ
Глава 9. ДИСКРЕТНО НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА И
ДЕДЕКИНДОВЫ ОБЛАСТИ 114
Дискретно нормированные кольца 115
Дедекиидовы области 117
Дробные идеалы 118
Упражнения 121
Глава 10. ПОПОЛНЕНИЯ 123
Топологии н пополнения 125
Фильтрации 130
Градуированные кольца н модули 130
Ассоциированное градуированное кольцо 138
Упражнения 140
Глава И. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ 143
Функция Гильберта 143
Теория размерности нётеровых локальных колец 147
Регулярные локальные кольца 152
Трансцендентная размерность 154
Упражнения 155
Предметный указатель 157
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги,
ее оформлении, качестве перевода и дру-
другие просим присылать по адресу: 129820,
Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».