ГЛ. Н. Иовлев
i г.
и 45
ЛРЙКТИЧЕСНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
'МОСКВН □□:□□□□□□□□ 1922.
ГОС. НАУЧНАЯ
БИБЛИОТЕКА
ин.
К. Д. Уши некого
Гл^влит № 3121.
 -у 	 ==л\
КНИГИ НЛНЕЧАТАНА
издательством
.В. В. ДУМНОВ, ННСЛ.
БР. СИЛАЕВЫХ'”
ПО ЗЛКЛЗУ
ГОСУДАРСТВЕННОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВА.
у- -------- '
Тираж. W00 вкз.
20-я Государственная типография (б. Кушнерева), Пименовская.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
...
Книжка- „Практическая геометрия" составлена с целью
так расположить геометрический материал входящий в
программу Д1 ухкласснь’х училищ, чтобы у изучающих его
вырабатывалось уменье выполнять нужные в жизни изме-
рения и построения, развивалась наблюдательность, практи-
ческая сметка, ясность мысли и доверие к выводам ее.
Весь учебный материал в этой книжке группируется
около ряда работ, нужных в жизни земледельца, ремеслен-
ника и торговца. Каждая из этих работ начинается выра-
боткой техники, а затем уже выясняется логическое обосно-
вание ее и намечается материал для упражнении учащихся.
Эти упражнения подобраны так, что учащимся все время
приходится тьорить, оперируя над предметами окружающей
среды.
Логическое обоснование техники большинства работ
дается в виде обобщения результатов наблюдения и только
изредка оно предшествует наблюдению и предрешает ре-
зультаты его. В этих обобщениях мысль учащихся все время
идет от близкого к далекому, от известного к неизвестному
и преодолевает по одной трудности зараз. При усвоении
этого материала нет места для „зубрежки". Ее заменяет
творческая работа рук и ума.

Глава I.
ЛИНИИ.
1. Цель изучения геометрии.
Наука, с которой можно познакомиться по этой книжке,
называется геометрией. Геометрия--слово греческое. Оно
обозначает то же, что и русское слово землемерие, и показы-
вает, что цель этой науки--изучение приемов измерения
земли.
Кроме землемерия, геометрия изучает правила построе-
ния и измерения величины всех предметов, имеющихся в
мире. Вывод нужных правил геометрия обставляет так, что
изучающие ее невольно приучаются выбирать самый удоб-
ный путь для достижения разнообразных жизненных целей.
Они приучаются на основании видимого и известного до-
гадываться о невидимом и неизвестном
Изучая геометрию и вы можете научиться выполнять
нужные в жизни измерения и построения и подготовиться
к успешному выполнению всех работ, нужных для личного
благополучия и процветания родины.
2. Поверхность и линия
Каждый предмет, существующий в мире, имеет свои
границы. Ими он соприкасается с воздухом или с другими
предметами. Границы каждого поедмета называются поверхно-
стью его.
1.	Покажите поверхность мячика.
2.	Покажите поверхность линейки.
Вы видите, что поверхность мячика идет непрерывно, а
поверхность линейки состоит из отдельных чагтей
— 6 —
3.	Покажите предметы с прерывающеюся поверхностью.
Каждая часть поверхности предмета имеет свои границы.
Ими они отделяются от других частей поверхности того же
предмета.
Границы частей поверхности предмета называются линиями.
4.	Проведите рукой по линиям линейки.
5.	Проведите рукой по линиям монеты.
Линии монеты идут непрерывно, а линии линейки со-
стоят из отдел; дых частей.
6.	Покажи! ’ непрерывные линии.
7.	Покажите линии, состоящие из отдельных частей.
Части линий тоже называются яиниями.
3.	Разделение линий.
Каждая часть линии линейки идет прямо, а потому и на»
зывается прямой линией.
8.	Покажите прямые линии на окружающих предметах.
Вся граница части поверхности линейки называется
ломаной линией. Л"заной линией можно назвать каждую линию
которая состоит из прямых частей.
9.	Покажите ломаные линии на окружающих предметах.
У линий монеты нет прямых частей. Линии, у которых нет
прямых час1 ей, называются кривыми.
Рис. 1.
10.	Покажите кривые линии на окру-
жающих предметах
Линия доски у градусника на рис. 1
состоит из прямых и кривых частей.
Эта линия и все сходные с ней линии
называются смешанными.
11.	Покажите смешанные линии на
окружающих предметах,
У кривой линии монеты нет ни начала, ни конца. У
ломаной линии линейки тоже нет ни начала, ни конца.
Линии, концы которых сливаются, называются замкнутыми.
— 7 —
4.	Точка
Каждая прямая линия линейки имеет два конца. Кривая
часть линии доски на рис. 1 имеет два конца. Ломаная
линия этой же доски имеет два конца.
Концы или границы каждой линии называются точками.
12.	Покажите точки на линиях окружающих предметов.
5.	Свойство прямой линии.
Приложите прямую линию одной линейки к прямой
линии другой линейки так, чтобы концы меньшей линии
прикоснулись к большей линии. Тогда меньшая чиния как
бы сольется с большей.
Две прямых линии всегда сливаются, если они соприкасаются
в двух точнах. Если прямая линия двумя своим» точками и
соприкоснется с какой-нибудь кривой линией, то все-таки
она с ней не сольется. Между ними будет просвет.
Рис. 2.
Рис. 3.
Приложите ребро одной линейки к ребру другой линейки.
Если линии этих линеек прямые, то они сольются, как
на рис. 2, а если линии кривые, то линейки разойдутся,
как на рис. 3.
13.	Проверьте, прямые ли линии у ваших линеек.
Если какая-нибудь линия мало расходите^ с прямой
при совпадении их в двух точках, то эту линию тоже счи-
тают за прямую.
6.	Измерение прямых и ломаных линий
Прямые линии отличаются одна от другой только дли-
ной. У них нет ширины и толщины. Прямые линии линейки
меньше линий пола. Прямая линия линейки может не-
сколько раз уложиться на линии пола. Первая линия в
несколгко раз меньше другой.
Определение, во сколько раз одна прямая линия больше другой,
называется измерением ее.
Меньшая из двух сравниваемых линий называется мер-
ной. Меркою может служить каждая прямая линия, но обык-
новенно в каждом государстве пользуются особыми узако-
ненными мерками. Русскими узаконенными мерками являются
вершок, аршин, сажень и верста.
Рис. 4.
На рис. 4 представлен
вершок, разделенный на
восемь равных частей. Ве-
личина его равна ширине
трех пальцев.
Из 16 вершков составля-
ется аршин. Длина его равна шагу человека среднего роста.
Сажень содержит три аршина, а 500 саженей составляют
версту.
Приложите линию аршина к линии какого-нибудь пред-
мета, как показано нэ рис. 5. С каким числом вершков
соприкоснется линия предмета, столько вершков и будет
длина ее.
Рис. 5.
14.	Измерьте прямые линии пола в классе.
15.	Измерьте линии коридора.
В России иногда пользуются английскими мерами длины.
Основная английская мера называется футом. Длина фута
равна длине следа у человека среднего роста. Семь англий-
ских футов составляют русскую сажень.
Фут делится на 12 частей, которые наз. дюймами.
Рис. 6,
Каждый дюйм состоит
из 10 линий. На рис. 6 пред-
ставлен дюйм, разделен-
ный на линии.
— 9 —
16.	Измерьте английскими мерами линии линейки.
17.	Высчитайте, сколько дюймов в аршине.
В последнее время в России стали часто пользоваться
французскими мерами длины. Основной французской мерой
длины является метр. Он равняется 22*/2 вершкам.
Метр делится на 10 равных частей, которые называются
дециметрами. Длина дециметра представлена на рис. 7.
Каждый дециметр делится на 10 равнь к частей, которые
называются сантиметрами. Каждый сантиметр делится на 10
равных частей, которые; называются миллиметрами.
Дециметр, представленный на рис. 7, разделен на санти-
метры и миллиметры.
................1....................г Ч,ГДТТ11|,",1.'т"1
1 2 3 4 5	6 7 8 э 10|
Рис. 7.
10 метров наз. декаметром.
10 декаметров наз. гектометром
10 гектометров наз. километром.
Километр равен 469 саж.
18.	Измерьте линии класса французскими мерами длины.
Чтобы измерить длину ломаной линии, нужно измерить
длину каждой прямой части ее и полученные числа сло-
жить.
19.	Измерьте ломаную линию классного пола мерами
русскими, английскими и французскими.
7. Измерение кривых линий.
Обтяните бичевкой кривую линию
сколько пойдет бичевки, чтобы обтя-
нуть кривую линию в один ряд. Если
вы измерите отмеченную часть би-
чевки, то определите длину книвой
линии ведра.
Таким образом можно измерить
любую кривую линию.
Для измерения длины кривых линий
удобно пользоваться прибором, предст.
на рис. 8. Этот прибор наз. рулетной,
ведра и заметьте,
рис. 8.
— 10 —
Он состоит из прочной ленты, разделенной на линейные
единицы мер. Лента рулетки наматывается на особый валик,
помещающийся в круглой коробке, и может быть свернута
и быстро развернута.
Если кривую линию обтянуть лентой рулетки, то можно
будет определить, сколько линейных единиц содержится
в ней.
20.	Измерьте длину кривой линии ведра.
21.	Измерьте длину кривых линяй у колеса.
8.	Изображение точки.
Намажьте чернилами одну из точек линейки и прикос-
нитесь ею к листу белой бумаги. На бумаге получится
изображение точки. Поставьте на бумагу острие карандаша и
поверните его. На бумаге останется след прикосновения
карандаша. Этот след может служить изображением точки.
22.	Изобразите точку мелом.
23.	Изобразите точку карандашом.
Хотя точки не имеют длины, ширины и толщины, но
изображения их могут иметь длину, ширину и толщину.
Для краткости речи принято и изображения точек называть
точками. Если около одного места ставят
.	> Б несколько точек, то около каждой из них
Р	р ставят по букве, как на рис. 9. Каждая из
этих букв служит именем той точки, около
Рне. 9. которой она стоит.
24.	Поставьте несколько точек и назовите их.
9.	Изображение линий.
Положите на бумагу линейку и прочертите карандашом
вдоль одной линии нижней стороны ее. На бумаге полу-
Рис. ю.
чится такое же изображение линии, как на рис. 10. Поло-
жите на бума! у пятачок и прочертите карандашом вдоль
— 11 —
линии нижней стороны его. Fa бумаге получится такое же
изображение кривой линии, как на
рис. 11.
Путем обчерчивания моя'нэ получить
изображение какой угодно линии. Для
краткости речи изображение линий тоже
называют линиями.
Хотя каждая лин ия имеет только
длину, но изображения их могут иметь
Рис 11.
длину, ширину и толщину.
1О.	Способы изображения прямой линии.
Так как прямые линии отличаются одна от дрз гой только
длиною, то изображения их можно получать, не прибегая к
обчерчиванию.
Проведите карандашом по бумаге вдоль линии линейки,
на образовавшейся лилии отложите длину какой-нибудь
прямой линии от картинки, висящей на стене класса, и
излишек сотрите. Оставшаяся прямая будет точным изобра-
жением данной линии у картинки. В этом вы можете убе-
диться путем приложения линии к изображению ее.
25. На классной доске изобразите прямые линии стола.
Туго натянутая нитка или бичевка могут служить изо-
бражением прямых линий, и люди ими часто пользуются
для изображения больших прямых линий.
Возьмите бичевку, 1амаж1те ее углем или мелом, поло-
жите ее на ровную поверхность какого-нибудь большого
предмета, туго натяните, а потом немного приподнимите и
бистро отпустите. Бичевка ударит по предмету и оставит
след удара—прямую линию. На этой прямой вы можете
отложить прямую любой величины. Подобное изображение
прямой линии можно видеть на рис. 12.
Рис. 12.
26. С помощью бичевки изобразите на полу класса пря-
мую линию в сажень длины.
— 12 —
27. Изобразите на полу класса прямую линию от двери
масса.
Вдоль туго натянутой веревки или бичевки можно про-
черчивать прямые линии на земле.
2S. Прочертите прямую линию по земле.
Огородники и садовники прямые линии у своих грядок
делают с помощью шнурка, концы которого прикреплены к
колышкам. Колышки этого прибора они вбивают на концах
грядки и туго натягивают шнур, а потом землю уравнивают
так. чтобы линия грядки совпала со шнуром.
Иногда прямые линии на .->емл( не проводят, а только
намечают направление их. Делают это вот как: сначала ста-
вят по прямому колышку в те две точки, между которыми
желают провести прямую линию. Потом один человек ста-
новится к одному из установленных колышков, а другой
берет еще один колышек и отходит от товарища на неболь-
шое расстояние, в направлении к ранее поставленному
колышку. Первый че-
ловек прищуривает
один глаз и смотрит,
не покажутся ли ему
все три колышка
слившимися в один..
Если средний колы-
шек выходит в сто-
рону, то его подви-
гают в нужную сто-
Рвс. 13.	рону до тех пор, пока
он не покажется сли-
вшимся с остальными. Таким образом на протяжении всей
линии устанавливают еще несколько колышков. Работа эта
выполняется так, как показано на рис. 13. Колышки, кото-
рыми намечают направление линий, называются вехами, а
установка их называется провешиванием прямой линии.
29. Провешите прямую линию от угла школы до угла
соседнего дома.
30. Провешите прямую линии в версту длиною.
— 13 —
Для удобства в разговоре о прямых линиях каждую из
них называют двумя буквами,
ее, как на рис. 14. Здесь верхняя
линия назыв. АБ, а нижняя ВГ.
31. Начертите несколько пря-
мых линий и назовите
поставленными на концах
д---------—------- Б
В--------------Г
каждую из них
Рис. 14,
11.	Изображение ломаной линии.
Ломаные линии можно чертить с пимощью прибора,
представл. на рис. 15. Этот прибор наз. малкою. Если пла-
Рис. 15.
получится точное изображение
стинки малки приложить
к двум частям какой-
нибудь ломаной линии и
закрепить положение их,
а потом вдоль внутренних
линий этих пластинок
прочертить линии со-
ответствующей длины, то
двух частей ее. Таким же
способом можно получить изображение и остальных частей
данной ломаной линии.
32.	Зачертите на классной доске
ломаную линию стола.
Для удобства в разговоре о лома-
ной линии каждую часть ее называют
двумя буквами, поставленными при
концах, как на рис. 16.
Рис. 16.
12.	Измерение изображений прямых и лома
ных линий
Начертите прямую линию и приложите к вей линию
аршина.
С каким числом вершков соприкоснется данная прямая,
такова и будет длина ее.
Таким же способом можно измерить длину каждой части
ломаной линии. Сумма этих частей будет равна длине дан-
ной ломаной линии.
11 —
Длин? начерченных прямых и ломаных линий можно
и о мерять с помощью прибора, представл. на
6 5-д рис. 17- Этот прибор называется циркулем.
Если ножки циркуля поставить на концы
начерченной прямой линии, а потом, не сдвигая
р/ I ножек циркуля, поставить его на мерку, то по
и	, \	расстоянию	между концами ножек можно бу^ет
i/	V-4	определить	длину данной прямой линии.
I /	\	Прямые	линии, намеченные да земле, можно
/	\	измерять с помощью саженного циркуля, представл.
на рис. 18. Расстояние между концами ножек
\ этого циркуля равно сажени.
»	33. Измерьте стороны полосы земли с по-
'	мощью саженного циркуля.
Рис. 17.
Рис. 18.
13.	Расстояние между двумя точками.
Поставьте на бумаге две точки и с помощью проверен-
ной линейки проведите между ними прямую линию.
Попробуйте между этими же точками провести и вторую
прямую линию. Вы увидите, что вторая линия сольется с
первой.
Все прямые линии, проведенные .между двумя точками,
сливаются в одну, а потому и говорят, что между двумя
точками можно провести только одну прямую линию.
— 15 —
Вбейте в пол два гвоздика и между ними одну нитку
натяните, другую расположите в виде кривой линии и
третью в виде ломаной линии. Если эти нитки вы обрежете
около гвоздиков и сравните длину их, то увидите, что са-
мой короткой будет та, которая была натянута прямо.
Прямая линия показывает кратчайшее расстояние между
двумя точками.
Когда говорят о расстоянии между двумя точками, то
имеют в виду кратчайшее расстояние между ними.
34.	Поставьте две точки и измерьте расстояние между
ними.
14. Окружность.
На бумаге обчертите кривую линию какой-нибудь мо-
неты и бумагу обрежьте по начерченной линии. У вас полу-
чится такой же кружок, какой представлен на рис. 19.—Те-
Рис. 20.
перь перегните этот кружек пополам, а затем и половины
его перегните пополам. Когда вы разогнете кружок, то он
будет иметь такой ясе вид, как на рис. 20. Вы видите, что
линии сгиба пересекают одна другую. С помощью циркуля
вы можете убедиться, что все точки данной кривой линии
находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения
образовавшихся сгибов.
Таким же способом вы можете убедиться, что все точки
кривой линии дна ведра находятся на одинаковом расстоя-
нии от одной п той же точки, стоящей на средине дна. У
многих окружающих нас предметов имеются кривые линии,
обладающие этим ясе свойством. Все кривые замкнутые линии
— 16 —
ровной поверхности, у которых все точки одинакш о удалены от
одной и той же точки, наз. окружностями.
Точка, от которой все точки окруж-
ности находятся на одинаковом рас-
стоянии, называется центром.
35.	Покажите окружность и центр
ее у кружка на рис. 20.
Окружность на рис. 20 разделена
на части. Всякие части окружности
называются дугами.
Воткните острую ножку циркуля
па бумагу, а второй ножкой его про-
чертите, как показано на рис. 21. У
вас получится окружность.
36.	Покажите центр ее.
37.	Начертите на земле окружность, как показано на
рис. 22.
Часть ровной поверхности, ограниченная окружностью, назы-
вается кругом.
38.	Покажите круги на окружающих предметах.
Рис. 22.
Соедините прямой линией какую-нибудь точку окруж-
ности с центром ея, как на рис. 23.
Такие прямые линии,' которые соединяют точки окруж-
ности с центром ее, называются радиусами.
Вег радиусы одной и той же окружности равны между
собою.
16. Зависимость длины окружности от радиуса.
Начертите на бумаге две окружности с радиусом по
вершку и осторожно обрежьте бумагу по окружностям. У
вас получится два круга. Наложите один на другой.
Окружности их совпадут всеми своими точками. .Значит, от
равных радиусов получаются равные окружности. Теперь
начертите окружность с радиусом в дюйм и сравните ее с
окружностью ранее вырезанного круга. Вы увидите, что
окружности с разными радиусами имеют разную величину.
С увеличением радиуса увеличивается окружность. Вы-
режьте из картона круг с радиусом в 7 сантиметров и из-
мерьте окружность его.	,
Окружность этого круга приблизительно будет равна 44
сантиметрам. Вырежьте из картона круг с радиусом в 7
дюймов и измерьте окружность его. Она приблизительно
равна 44 дюймам. Если вы возьмете круг с радиусом в 7
вершков, то окружность его будет прпилизительно равна
44 вершкам. Замечено и доказано, что в окружности каждого круга
приблизительно содержится 44 таккх мерки, каких в радиусе со-
держится 7.
Значит, по длине радиуса можно определить длину
окружности.
Изображение жружносги на бумаге или на земле нельзя
обтянуть лентой рулетки и определить длину ее. Длину
изображения окружности можно определить по длине
радиуса.
39.	Начертите окружность и определите длину ее.
40.	На земле начертили окружность радиусом 14 вер-
шков. Определите длину ее.
41.	На бумаге начертили окружность с радиусом в 21
миллиметр. Определите длину ее.
42.	Начертите на земле окружность с радиусом в 28
дюймов и определите длину ее.
43.	Радиус круга 2 арш. 3 верш. Определите длину
окружности его.
'Гак как в окрзжности считается 44 таких мерки, ка-
ких в радиусе, находится 7, то по длине окружности можно
ГОС.лРАМЫЫАЯп [акт. геометрии.	2
БИБЛИОТЕКА
— 18 —
определить длину радиуса ее. Если окружность равна 44
сант., то радиус его равен 7 сантиметрам, если окружность
равна 44 ъершкал, то радиус ее равен 7 вершкам.
44.	Окружность дна бочки 88 вершков. Определите
длину радиуса ее.
45.	Окружность башни 14 саж. 2 арш. Определите дли-
ну радиуса ее.
Глава It.
УГЛЫ.
16. Плоская и кривая поверхность.
Рис. 24.
Проведите рукою по поверхности ведра. Вы видите, что
боковая поверхность ведра идет не так, как поверхность
дна. Через каждую точку на поверхности дна можно в лю-
бом направлении провести прямую лилию, а через каждую
точку на боковой поверхности ведра можно провести пря-
мую линию только в одном направлении, как показано на
рис. 24.
Через точку на поверхности яйца и одной
прямой линии провести нельзя.
Части поверхности, на которых через каж-
дую точку и в любом направлении можно
провести прямую линию, называются плоскими
или плоскостями. Поверхности, на которых че-
рез одну и ту же точку нельзя проводить
прямых линий в разных направлениях, назы-
ваются кривыми.
Чтобы убедиться, плоская ли данная часть
поверхности, к ней прикладывают в разных
направлениях прямую линию линейки/как на рис. 25. Если
прямая линия все время будет сливаться с данною поверх-
ностью, то эта поверхность будет плоская, а если они сли-
ваться не будут, то поверхность будет кривая.
46.	Покажите плоскую поверхность на окружающих
предметах
47.	Покажите кривую поверхность на окружающих
предметах.
2*
— 20 —
Если при наложении прямой линии ни поверхность бу-
дет заметно несколько маленьких просветов, то эту поверх-
ность тоже можно называть плоскою.
Поверхность участка земли считается плоскою, если на
нем нет большие ям и оврагов.
Наложите плоскую часть поверхности одного предмета
на плоскую часть поверхности другого предмета и вы уни
дите, что между ними просветов не будет. Они как бы
сольются между собою.
Плоские поверхности при наложении одной на другую
всегда сливаются.
Приложите плоскую поверхность предмета к кривой
поверхности другого предмета и вы увидите, что кривая
поверхность с плоскою слиться не может.
17. Грани,
Плоская часть поверхности каждого предмета назы-
вается гранью.
Большинство граней окружающих нас предметов огра-
ничены прямыми линиями. Линии, ограничивающие грани,
называются сторонами их. Неко-
торые стороны граней соприка-
саются одна с другой. Течка со-
прикосновения двух сторон грани
называется вершиною ее.
48.	Покажите стороны и вер-
шины граней ящика на
Рис- 25>	рис. 25.
Приложите грань одною пятачка к грани другого, и вы
увидите, что границы этих граней совпадут. Если грань
пятачка приложить к грани копейки, то границы этих гра-
ней совпасть не хргут.
Те грани, границы которых при наложении могут со-
впасть, называются равными, а те грани, границы которых
не могут совпасть, называются разными.
49. Найдите равныл грани на окружающих предметах.
— 21 —
18 Изображение граней
Ноложите на бумагу спичечную коробочку и прочертите
линии вдоль всех сторон
лучится такое же изобра-
жение грани, как на
рис. 26. Таким способом
можно получить изобра-
жение каждой грани.
Изображения граней
называются фигурами Ка-
ждая фигура представая
ет из себя часть, плоско-
нижней грани ее. На бумаге по-
Рис. 26.
сти, ограниченную со всех
сторон. Линии, образую-
щие фигуру, называют''я сторонами ее, а точки соприкосно-
вения их называются
Б
Рио. 27.
вершинами. Для удобства в разговоре
о фигурах каждую из них назы-
вают буквами, поставленными при
вершине, как на рис. 27.
Каждая грань считается равной
своему изображению. Они совпадают
при наложении их. Все грани тоже
можно называть фигурам!!.
19 Углы.
Прочертите линии вдоль двух сторон нижней грани ко-
робочки, выходящих из одной вершины. У вас получится
такое же изображение, как на рис. 28.
По этому изображению нельзя опре-
делить, какую форму и величину име-
ет данная грань. Линчи этого чертежа
ограничивают неопределенную часть
плоскости. Неопределенная часть плоско-
сти, заключенная между двумя прямыми
линиями, выходящими из одной точки,	Рпс‘ 2S*
называется углом.
30. Зачертите угол грани линейки.
— 22 —
Прикройте грань книжки бумагой так, чтобы видны
были только две стороны ее, выходящие из одной вершины.
В этом случае видимые стороны грани будут ограничивать
неопределенную часть плоскости и образуют угол. Таким
образом вы можете убедиться, что около каждой вершины
грани образуется угол. На рис. 29 есть граш с четырьмя
и тремя углами.
Рис. 29.
51.	Обчертите грань с тремя углами.
52.	Обчертите грань с четырьмя углами.
У каждой грани и изображения ее столько сторон,
сколько углов.
Линии, образующие угол, называются сторонами его, а
точка, из которой выходят стороны угла, называется вер-
шиною его.
53.	Зачертите угол и покажите сто-
роны и вершину его.
Для удобства в разговоре об изобра-
жениях углов каждое из них называют
буквой, поставленной при вершине его,
________ как на рис. 30.
Часто углы отмечают цифрами, по-
Рис. за ставленными так, как на рис. 31.
Иногда углы называют тремя буквами, поставленными так,
как на рис. 32.
Рис. 31.
Рис. 32.
— 23
Наименование таких углов читают так, что буква, стоя-
щая при вершине угла, произносится второю по порядку.
Угол, представл. на рис. 32, можно назвать БАБ и БАБ.
54.	Назовите все углы фигуры на рис. 27.
20.	Сравнение углов.
Покажите углы чертежного треугольника, представлен-
ного на рис. 33.	t	.
Приложите малку сначала к сторонам одного |\
угла чертежного треуголг ника, а потом к сторонам I X
другого угла его. Чтобы плотно приложить пла- I X
стинки к сторонам другого угла, вам придется I | \
изменить положение их. Если около второго угла KjLiillW
вам придется сблизить пластинки малки, то его IMiwiwillillfo
нужно считать меньше первого угла, а если при- рис 33
дется пластинки малки раздвинуть, то этот угол
нужно считать больше первого. Из двух углов всегда тот
считается больше, стороны которого расходятся шире.
55.	Покажите самый большой угол грани чертежного
треугольника.
56.	Покажите самый маленький угол грани чертежного
треу голышка.
Приложите пластинки малки к сторонам угла грани
стола, а потом попробуйте приложить их и к сторонам
другого угла этой же грани. Пластинки малки, не изменяя
своего положения, плотно прилягут к сторонам другого
угла. Такие углы, стороны которых расходятся одинаково
считаются равными.
57	Найдите равные углы на гранях книжки.
Наложите большой угол чертежного треугольника на
угол грани стола так, чтобы по одной стороне их и верши-
ны совпали. Вы увидите, что и другая сторона угла тре-
угольника совпадет с другою стороной данного угла грани
стола.
Если вы этот же угол чертежного треугольника нало-
жите на угол листа бумаги, то увидите, что стороны и вер-
шинк этих углов совпадут. Эти углы равны между собою.
— 24 —
58.	Найдите углы, равные большему углу чертежного
треугольника.
Наложите меньший угол чертежного треугольника на
угол грани доски так, чтобы по одной стороне и вершины
их совпали. Тогда другая сто-
рона данного угла треугольника
не совпадет с другою стороною
угла грани, но пойдет по пло-
скости ее, как показано на рис. 34.
В таком положении угол тре-
угольника будет составлять толь-
ко часть угла грани доски. Он
будет меньше угла грани ее.
Рис. 34.
21.	Углы смежные и прямые
Зачертите меньший угол чертежного треугольника и
продолжите одну сторону чертежа, как показано на рис. 35.
У вас образуется еще один угол. Этот угол, вместе с пер-
вым, образует пару смежных углов. У этих смежных углов
есть общая сторона, а две другие стороны их образуют пря-
мукГ линию.
Рчс. 36.
Углы, составляющие данную пару смежных углов, разной
величины: угол БАВ меньше угла ВЛГ. Теперь сделайте
изображение большого угла чертежного треугольника и при-
стройте к нему смежный угол, как показано на рис. 36.
Если на пристроенный угол вы наложите больший угол
треугольника, то увидите, что эти углы равны между собою.
В равенстве их вы можете убедиться и с помощью малки.
Когда два смежных угла равны между собою, то их называют
прямыми. Общая сторона двух прямых углов называется пер-
пендикуляром. Про нее говорят, что она идет перпенлпкулярно
к сторонам их, образующим прямую линию1. Больший угол
— 2а —
чертежного треугольника раьен каждому из образовавшихся
прямых углов., Значит, он тоже прямой. Прямым углом
можно назвать каждый угол, который равен прямому углу
чертежного треугольника.
59.	Покажите прямые углы на гранях окружающих пред-
метов.
22.	Построение прямых углов.
Прямые углы легко чертить с помощью чертежного тре-
угольника. У каждого чертежного треугольника две грани-
треугольники. Эти треугольники имеют по прямому углу,
а потому и называются прямоугольными треугольниками. Стороны
прямоугольного треугольника, образующие прямой угол,
называются катетами, а сторона, лежащая против прямого
угла, называется гипотенузой.
Положите чертежный треугольник на бумагу и прочер-
тите линии вдоль катетов нижней грани его, и у вас полу-
чится прямой угол.
Прочертите прямую линию, к ней	ip
приложите линейку, а к линейке при-	i1
ложите катет чертежного треуголь-	я
ника, как на рис. 37. Второй катет
этого треугольника пойдет перпенди-
кулярно к начерченной вами линии. s
Если вдоль этого катета прочертить
линию, то она будет перпендикулярна " рис. 37.
к первой.
60.	Начертите прямую линию и проведите перпендику-
ляры к ней через концы ее.
Начертите прямую линию и против нее наметьте точку,
а потом приложите линейку к данной линии, и к линейке
приложите катет чертежного треугольника так, чтобы дру-
гой катет соприкоснулся с намеченной вами точкой. Если
вдоль этого катета прочертить линию, то она пройдет через
данную точку и будет перпендикулярна к первой линии.
Начертите прямой угол и продолжите стороны его за
— 26 —
вершину, как на рис. 38. У вас получится четыре прямых
угла, расположенных вокруг одной точки. Линии БД и ГБ
будут перпендикулярны одна к другой.
Рис. 38.
Линии, прочер-
ченные по средине
каждой из пластинок
Ряс. 39.
прибора, изображенного на рис. 39, тоже пересекаются пер-
пендикулярно. Этот прибор называется зккером.
Им пользуются для построения прямых углов на земле.
Воткните эккер в землю и по шпилькам, вбитым в концы
линий, начерченных на пластин-
ках его, провешите две линии,
как показано на рис. 40. Эти ли-
нии пойдут перпендикулярно
одна к другой и при пересечении
образуют прямой угол.
Провешите прямую линию,
воткните эккер в одну из точек
ея, направьте шпильки эккера
по этой линии, а по шпилькам
другой пластинки провешите еще
одну линию. Вторая линия будет перпендикулярна к пер-
вой.
61.	Проведите перпендикуляры к прямой линии, наме-
ченной н? земле, через концы ее.
Провешите прямую линию и поставьте одну вешку про-
тив нее. Теперь поставьте эккер на линии так, чтобы шпиль-
ки одной пластинки слились с вешками линии, а шпильки
другой пластинки слились с вехою, стоящею против линии
— 27 —
Если по шпилькам втой пластинки провешить линию, то она
будет перпендикулярна к первой и пройдет через данную
точку вне первой линии.
23.	Свойство смежных углов.
Начертите два разных смежных угла и через вершину
их проведите перпендикуляр к сторонам их, образующим
прямую линию, как показано на рис. 41. Проведенный вами
перпендикуляр разделит один из
смежных углов на две части. Боль-
шая часть этого угла будет равна
прямому углу, а меньшая часть
вместе со вторым из данных углов
тоже составит прямой угол. Следо-
вательно, сумма данных смежных
углов равна двум прямым. Подоб-
ное построение применимо к каждой ларе смежных углов.
Значит, всякая пара смежных углов равна двум прямым углам.
Те углы, которые больше или меньше прямого, назыв.
косыми. Линии, образующие косые углы, называются наклон-
ными. Если косой угол больше прямого, то он называется
тупым, а если он меньше прямого, то называется острым.
24.	Свойство перпендикуляра.
Проведите перпендикуляр к прямой линии через какую-
нибудь точку ее. Если вы попробуете провести и второй
перпендикуляр к этой же линии, с этой же стороны и че-
рез одну и ту же точку ее, то увидите, что оба перпенди-
куляра сольются. Но предположим, что у кого-нибудь при
г	таком же построении второй перпен-
; дикуляр пойдет отдельно от первого
•	и пойдет так, как идет пунктирная
(точечная) линия на рис. 42. В непра-
:	вильности этого построения можно
________ /________ убедиться, при сравнении вновь обра-
А В Б зовавшихся углов АБД и ДВЕ с ра-
Рис. 42.	нее начерченным углом ЛЕГ. По чер-
— 28 —
тежу видно, что угол АВД больше, а yi ил ДВЕ меньше угла
АВГ. Значит, углы АВД и ДВЕ разной величины. Но так
как эти углы смежные н в то же время разной величины,
то они косые, а потому их общая сторона ВД не может быть
перпендикулярной к линии АБ. Значит, из каждой тачки пря-
мой линии, ло одну и ту же сторону от этой линии, можно провести
только один перпендикуляр к ней.
Для сокращения записи рассуждений об углах обыкно-
венно слово „угол" заменяют знаком:	а слова: „прямой
угол"—заменяют вот таким знаком: d.
25.	Свойства прямых углов.
1. Начертите две пары равных смежных углов, как по-
казано на рис. 43. С помощью малки вы можете убедиться,
что все эти углы
В
равны между собою.
В этом же можете
убедиться и таким спо-
собом: Вообразим, что
первую пару углов мы
наложили на вторую
так, что точка Б сов-
пала с точкой Е и ли-
ния АГ совпала с ли-
обязательно совпадает с ли-
перпендикулярно к одной и
ж
А
Е
Рис. 43.
Дз.
<Ж'Е,
Тогда линия
так как они
БВ
идут
проходят через одну и ту же-точку
нией
нией
той же прямой линии и
ее. Этим обнаружится, что все четыре угла равны между
собою и все прямые. Подобное рассуждение может быть
применено к каким угодно равным смежным углам. На ос-
новании этого можно сказать, что все прямые углы равны
между собою.	J.,
II.	Если два прямых угла приложить	Л Ml
идип к другому так, чтобы вершины их	и
и по одной стороне совпали, то две дру- а ; ш «
Чтобы убедиться в правильности этого д	" Б
вывода, мы сначала допустим, что не- ряс. и.
совпадающие стороны этих углов не образуют прямой ли-
нии, а пойдут так, как линии АГ п АБ на рнс, 44. В таком
— 2Й —
случае, при продолжении стороны АБ, как на рис. 44, по-
лучится еще прямой угол ДАВ. Он должен быть равен углу
ГАВ. Так как у этих углов вершины и по стороне совпали,
то и другие стороны их должны совпасть. Значит, линия
АГ должна совпасп с линией Д 4. А если АГ совпадает с
линией ДА, то будет служить продолжением линии АВ и
вместе с ней составит прямую линию.
III.	Наметьте против прямой линии точку и через нее
проведите перпендикуляр к данной линии. Если вы взду-
маете через эту же точку провести и другой перпендику-
ляр к этой же линии, то второй перпендикуляр сольется
с первь м.
Если кто будет утверждать, что он ухитрился провести
два отдельных перпендикуляра к линии из точки, лежащей
вне ее, то, для доказа гельства неправильности такого построе-
ния, вы прочертите чернилами линии егф, как показано на
рис. 45 и, пока не просохли	А
чернила, перегните чертеж по-
основной линии.
Рис. 45.	Ряс. 46.
Тогда по другую сторону данной линии отпечатается
точно такая же фигура, какая образовалась от мнимых пер-
пендикуляров ею. Когда вы разогнете чертеж, то увидите
такую же фигуру, какая представлена на рис. 46. Если до-
пустить, что у этой фигуры углы 1-й и 2-й прямые, то и
отпечатки их углы 3-й и 4-й тоже должны быть прямыми.
Но если углы 1-й и 3-й прямые, то при таком соприкосно-
вении стороны их АБ и БГ должны образовать прямую ли-
нию. Если допустить, что углы 2-й и 4-й прямые, то при
таком соприкосновении стороны их АВ и ВГ должны обра-
— 30 —
зовать прямую линию. Тогда получится, что между точками
А и Г проведено две прямых линии.
Вы знаете, что между двумя точками нельзя провести
двух отдельных прямых линий. Значит, из точки, взятой
вне прямой, нельзя опустить двух перпендикуляров к ней.
Глава III.
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ.
26.	Центральные углы.
1асть круга на рис. 47 покрыта штрихами. Эта часть
ограничена двумя радиусами и дугою. Часть круга, огра-
ниченная двумя радиусами и дугою, наа. сектором. Угол
сектора, образованный двумя радиусами, наз. центральным.
62.	Выделите на круге сектор и покажите центральный
угол его.
Начертите какой-нибудь угол, из вершины его как из
центра, прочертите дугу между сторонами его, как на рис.
48. Часть плоскости, ограниченная сторонами угла и ду-
гою, будет представлять сектор. Центральным углом этого
сектора будет служить начерченный вами угол.
63.	Начертите какой-нибудь угол и сделайте его цен-
тральным углом.
27-	Угловые градусы.
Через центр круга на рис. 49 проведена прямая линия,
соединяющая две точки окружности. Такие прямые линии,
— 32 —
которые соединяют две точки окружности и проходят через центр,
наз. диаметрами.
Если провести второй диаметр перпендикулярно к пер-
вому, как на рис. 50, то круг разделится на четыре сек-
тора с прямыми центральными углами. Если эти секторы
наложить один на другой так, чтобы центральные углы их
совпали, то дуги секторов должны будут совпасть, так как
все точки их находятся на одинаковом расстоянии от цен-
Рис. 5и.
Туа. Эти секторы должны быть равны. Если взять два раз-
ных круга и на каждом из них провести по два перпен-
дикулярных диаметра, то каждый из этих кругов разде-
лится на четыре равных сектора с прямыми центральными
углами.
Возьмите два разных круга и разделите пополам цен-
тральные углы у каждого из секторов их, составляющих
четверть круга, как на рис. 51. Каждый из двух данных
кругов разделится на 8 равных секторов. Центральные углы
всех 16 секторов будут равны между собою и каждый из
них будет равняться половине прямого угла.
Таким образом вы можете каждый из данных кругов
разделить на 16 равных секторов. Центральные углы всех
секторов из обоих кругов опять будут равны. Каждый из
них будет равен четверти прямого угла.
Вообще у секторов, сс ставляющих одинаковые части
кругов, центральные углы равны. Принято каждый круг
делить на 360 равных секторов и центральный угол каждо-
го из них называть угловым градусом.
Угловые градусы всех кругов равны между собою.
Каждый из них может служить меркою для углов
— 33 —
Из сектора, составляющего четверть круга, может выйти
90 секторов с центральным углом по градусу, а потому
центральный угол этого сектора считается равным 90 гра-
дусам.
Из сектора, составляющего восьмую часть круга, может
выйти 45 секторов с центральным углом по градусу, а питому
центральный угол этого сектора должен равняться 45 гра-
ду сам.
64.	Сколько градусов в центральном углу сектора, со-
ставляющего десятую часть круга?
28. Дуговые градусы.
Разделите круг на 4 равных сектора, как на рис. 50.
Окружность этого круга тоже разделите на 4 равных ду ги.
Если круг разделить на 8 равных секто-
ров, как на рис. 51, то и окружность его
разделится на 8 равных дуг. Вообще,
на сколько равных секторов делится
круг, на столько же равных дуг делится
окружность его.
Дугу сектора с центральным углом
в градус называют дуговым ьрадусом.
Дуговой градус каждой окружности
Рис. 51.
составляет триста шестидесятую часть
ее. Значит, каждая окружность содержит 360 градусов ду- .
говых.
65.	Сколько	дуговых	градусов	в	половине	окруж-
ности?
66.	Сколько	дуговых	градусов	в	четверти	окрул
ностп?
67.	Сколько дуговых градусов в восьмушке окружности.
29 Зависимость между дуговыми и угловыми
градусами
Центральный угол сектора, составляющего четверть
круга, содержит 9Q градусов угловых, и дугч. этого сек-
тора содержит 90 градусов дуговых.
Л1 Н Иовяен Практ leOMBipiM
— 34 —
Центральный угол сектора, составляющего восьмушку
круга, содержит 45 гра дусов угловых,’ а дуга этого сектора
содержит 45 градусов дуговых.
Каждый центральный угол содержит столько градусов угловых,
сколько градусов содержит дуга его.
68.	Сколько градусов содержит центральный'угол, опи-
рающийся ьа дугу в 20 градусов.
30. Дуги концентрических окружностей.
Из одного и того же центра, но разными радиусами, за-
чертите несколько окружностей, как на рис. 52. Такие
окружности, которые имеют общий центр, называются кон-
центрическими .
Проведите два перпендикулярных диаметра большей из
концентрических окружностей, как на рис. 53. Каждая
из данных: окружностей разделится на 4 равных дуги В
каждой из этих дуг будет по 90 градусов. Если провесть
радиусы большей окружности так, чтобы они разделили
пополам каждый из образовавшихся центральных углов, то
образовавшиеся дуги тоже будут содержать одинаковое
число дуговых градусов.
Дуги концентрических окружностей, выделенные двумя
радиусами большей окружности, всегда содержат одинако-
вое число дуговых градусов, потому что они являются
одинаковыми долями 360 дуговых градусов.
По градусам любой из дуг концентрических окружно-
стей можно определить число градусов центрального угла,
35 —
который опирается на эти дуги. Число градусов угла мож-
но определить по градусам любой окружности, центр кото-
рой совпадает с вершиною его.
31. Измерение углов.
Для измерения углов пользуются таким же прибором,
какой изображен на рис. 54. Этот прибор называется транс-
портиром.
У каждого транс-
портира есть кривые
линии, представляю-
щие из себя полуокру-
жности, разделенные
на градусы. Прямая
линия, на которую опи-
раются полуокружно-
сти, служит диаметром
их. Средина этого диа-
метра обыкновенно отмечается особой вырезкой. Она служит
центром полуокружностей транспортира. Чтобы измерить
величину какого-нибудь угла, на него накладывают тран-
спортир так, как показано на рис. 55, и отмечают, сколько
Рис. S4.
дуговых градусов заключается между сторонами данного
угла. Сколько дуговых градусов заключается между сторо-
нами данного угла, столько угловых градусов содержится
в нем. При наложении транспортира на угол на жно следить,
чтобы сторона угла плотно прилегла к диаметру транспор-
тира, а вершина угла совпала со срединой диаметра его.
з
— 36 —
69. Начертите угол и с помощью транспортира опре-
делите, сколько угловых градусов содержит он.
70. Определите, сколько градусов содержит каждый из
углов чертежного треугольника.
71.	Начертите угол в 45 градусов.
72.	Начертите угол в 60 градусов.
73.	Начертите угол в 90 градусов.
74.	Начертите угол в 120 градусов.
75.	Начертите угол в 320 градусов.
Для измерения углов у
земельных участков поль-
зуются таким же прибором,
какой изображен на рис. 56.
Этот прибор называется
астролябией.
Каждая астролябия име-
ет круг, окружность кото-
рого разделена на градусы.
Против нулевого и против
сто восьмидесятого градуса
этой окружности прикре-
плено по пластинке, в про-
резах которых натянуто по
волоску. Один из этих волосков
укрепляется как раз против нулевого деления окружности,
а другой против сто восьмидесятого. По кругу астролябии
вращается линейка, на концах которой укреплены точно
такие же пластинки, какие прикреплены к кругу
Чтобы измерить угол на земле, астролябию устанавли-
вают так, чтобы центр круга ее совпал с вершиною дан-
ного угла и волоски неподвижных пластинок показались
слившимися с вешками стороны угла, а затем подвижную
линейку устанавливают так, чтобы волоски пластинок ее
показались слившимися с вешками другой стороны угла.
Соответствующею установку астролябии в вершине угла
можно видеть на рис. 57.	\
Когда установят и закрепят положение пластинок астро-
лябии, то смотрят, сколько дуговых градусов заключается
между срединами концов их. Сколько дуговых градусов
заключается между срединами концов пластинок, "только
— 37 —
угловых градусов содержится в данном углу на участке
земли.
76.	Постройте на земле
угол и измерьте
его.
77.	Постройте на земле
угол в 60 градусов.
Каждый дуговой гра-
дус принято делить на
шестьдесят равных ча-
стей и каждую из них
наз. дуговою минутою.
Каждую дуговую ми-
нуту принято делить на
60 равных частей, назы-
ваемых yi левыми секундами.
Угловой градус тоже делится на 60 равных частей,
называемых углов >1ми минутами, а угловая минута делится на
60 равных частей, называемых yi левыми секундой.
В записи рассуждений об углах слово „градус4 часто
заменяют значком °, слово „минута“ .заменяют значком', а
слово „секунда" заменяют значком".
Сорок пять градусов, двадцать минут и тридцать секунд
можно записать так: 45* 20' 30".
78.	Запишите сокращенно 60 градусов, 45 минут и 30
секунд
Г Л Л В А IV.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
32. Виды треугольников.
Многие грани на рис. 29 имеют по три угла. Каждая
треугольная грань называется треугольником. Изображения
треугольных граней тоже •
называются треугольниками.	А
Каждый треугольник пред-
ставляет из себя часть пло-	\
скости, ограниченную зам / — \
кнутой ломаной линией с /-•	\
тремя углами. Прямые ли- к-
Рис. 58. нии> образующие треуголь- рис. 59.
ник, назыв. стеронами его.
Если у треугольника все стороны одинаковой длины, то он
называется равносторонним. На рис. 58 представлен равно-
сторонний треугольник.
Если у треугольника только две стороны
одинаковой длины, то он наз. равнобедренным.
На рис. 59 представлен
равнобедренный тре-
угольник. Когда у тре-
угольника все стороны
разной длины, то он на-
зывается разносторонним.
На рис. 60 представл.
разносторонний треугольник.
Треугольники, имеющие по прямому углу, назыв. прямо-
угольными, а треугольники, имеющие по тупому углу, наз.
— 39 —
тупоугольными. На рис. 61 представл. прямоугольный тре-
угольник, а на рис. 60 тупоугольный.
Треугольники, у которых все углы острые, назыв. остро-
yi >пьными. На рпс. 58 и 59 представл. остроугольные тре-
угольники.
Примечание'. Для сокращения записи рассуждений
о треугольниках, слово треугольник записывается вот
так: „тр-к“, или же заменяют вот таким значком: Д.
33. Важнейшие линии треугольника.
У каждого тр-ка одну какую-нибудь сторону назыв. осно-
ванием, а вершину противоположного угла наз. вершиною
тр-ка. Перпендикуляр, опущенный из вершины тр-ка на
основание, наз. высотою его. Высотою тр-ка АБВ на рис. 62
может служить линия БГ.
Если у Tynoyi ольного тр-ка за основание принять одну
из сторон тупого угла, то высотой его будет служить пер-
пендикуляр к продолжению основания, про- fty
веденный из вершины противоположного угла. руХ,
Высотой тр-ка АБВ на рпс. 63 может слу- /XxjX.
жить линия Б Г. Начертите треугольник и /	\
вершину одного угла его соедините прямой
линией со срединой противоположной сторо-
ны, как показано на рис. 64. Эта линия и всякая другая
прямая, соединяющая вершину угла треугольника со сре-
диной противоположной стороны, называется медианой.
62.	Проведите медиану к гипотенузе треугольника.
63.	Проведите медиану к катету треугольника.
— 40 —
Разделите какой-нибудь угол треугольника пополам,
как показано на рис. 65.
Таким образом можно каждый угол треугольника раз-
делить пополам. Прямая линия, делящая угол треуголь-
ника пополам и заключающаяся между вершиной этого
угла и противоположной стороной, называется биссектрис-
сой его.
64.	Построите биссектриссу прямого угла треугольника.
34.	Свойство сторон треугольника.
У треугольника ЛЕВ, представленного на рис. 65, сторо-
ны 177 и ЕВ представляют из себя ломаную линию, про-
ходящую между точками А и В. Между этими
Б	же точками расположена прямая линия АВ.
Значит, линия АВ должна быть меш иге ло-
маной линии АБВ. Так как линия АВ яв-
Е	ляется стороной данного треугольника, а ли-
\	нпя АБВ составляет сумму двух других
АГ р сторон его, то на основании вышеизложен-
Гис. 65. ного мы можем сказать, что сумма двух сторон
треугольника больше третьей стороны его.
Подобное рассуждение применимо к каждому треуголь-
нику. Значит, у каждого треугольника сумма двух сторон
больше третьей стороны его.
35.	Равнобедренные треугольники.
На окружающих нас предметах очень часто встречаются
грани, представляющие из себя равнобедренные треуголь-
ники.
Начертите прямой угол со сторонами одинаковой длины
и концы их соедините прямой линией. У вас получите !
прямоугольный равнобедренный треугольник. Начертите
острый угол со сторонами одинаковой длины и концы их
соедините прямой линией. У вас получится остроугольный
равнобедренный треугольник.
— 41 —
65. Построите ча земле остроугольный, тупоугольный и
прямоугольный равнобедренный треугольник.
Равные стороны всякого равнобедренного треугольника
называются ребрами, а третья сторона называется основанием
его.
Постройте бис.( ектрпссу угла при вершине равнобедрен-
ного треугольника, как показано на рис. бб. Теперь вообра-
зите, что данный треугольник вы перегнули по бггссектрчс-
се его. Так как \ ~_____2, то ребро !> В обязательно упа-
дет на ребро АБ, а так как эти ребра
одинаковой длины, то концы их обя-
зательно совпадут. При этом переги-
бании треугольника точка Г останется
неподвижной. Между точками А и V
должны будут пройти две прямых
линии: ЛГ и ГВ. Так как все прямые
линии, проводимые между двумя точ-
ками, сливаются, то и линии АГ и ГВ 1>ис- 66-
должны слиться. Значит, тр-к ЛТ>Г обязательно совпадет с
/\ БВГ и при этом обнаружится, что _•> = _/4, / 5 = _,/6,
линия ВГ—ГВ. Так как углы 5 и 6 смежные и равны
между собою, то они прямые.
Подобное построение и рассуждение применимо к лю-
бому равнобедренному треугольнику. Значит, у всякого равно-
бедренного треугольника углы при основании должны быть равны,
а биссентрисса угла при вершине его разделит треугольник попо-
лам, пойдет перпендикулярно к основанию и основание треугольника
разделит пополам.
36.	Признаки равенства косоугольных тре-
угольников.
I. Начертите какой-нибудь косоугольный треугольник и
рядом с ним начертите угол, равный одному из углов его.
Если стороны этого угла вы сделаете такой же длины, как
стороны равного ему угла треугольника и концы их соеди-
ните прямой линией, то у вас получится другой треуголь-
ник, равный первому. В равенстве этих треугольников
можно убедиться путем какого рассуждения.
— 42 —
Пусть у треугольников, изображенных на рис. 67,
z. 1 = „ 2-му, линия АБ = ГД и линия БВ — ДЕ. Вообра-
зим, что тр-к АБВ мы наложили на Д ГДЕ так, чтобы
точка Б упала на точку Д и линия АБ пошла по линии
ГД. Вследствие равенства этих сторон, точка А упадет на
точку I - Так как / 1 —Д_ 2 , то линия ГВ пойдет по ли-
нии ДЕ и, вследствие равенства их, точка В совпадет с
точкою Е. Тогда сторона ВА
Д	обязательно совпадет со сто-
роною ГЕ, потому что все
/ \	/ \ прямые линии, проходящие
Д- '.. \	/	\ между точками Г и Е, дол-
Д К /	\ жны сливаться. Следова-
рЬ—	\ гельно, данные треугольники
д	В Г	Е Равнк • Подобное рассужде-
рвс 67	ние применимо ко всякой
паре тр-ков, имеющих по
равному углу, заключенному между соответственно равными
сторонами. Значит, все треугольники, имеющие п равному углу
заключенному между соответственно равными сторонами, равны
между собою.
66. Наметьте на земле два косоугольных треугольника,
имеющих по равному углу, заключенному между со-
ответственно равными сторонами, и докажите, что
они равны.
II. Начертите какой-нибудь косоугольный треугольник и
рядом с ним проведите прямую линию такой же длины,
как основание треугольника. Если при концах этой линии
вы построите такие же углы, какие прилежат к основа-
нию данного треугольника и стороны этих углов продол-
жите до пересечения их, то у вас получится два равных
косоугольных треугольника. В этом вы можете убедиться
путем такого рассуждения: пусть у треугольников, изобра-
женных на рис. 68, сторона АВ = ГЕ_ 1 — Д 3 и= /_А
Вообразим, что тр-к АБВ мы наложили на Д ГДЕ так, что-
бы точка J совпала с точкою Г и сторона АВ пошла по
стороне ГЕ. Тогда точка В обязательно совпадает с Е, по-
тому что линия АВ—ГЕ. Линия БВ обязательно пойдет
по линии ДЕ. потому что ____2 = Линия А В обяза-
43 —
трльно пойдет по линии ГД, потому что / 1 = / 3. Нам
неизвестно, где упадут концы линии АБ и БВ, но известно,
что чти линии должны пересечься. Так как эти линии ле-
жат на линиях
ГД и ДЕ, то они
должны и пере-
сечься вместе с
ними. Точкой пе-
ресечения их бу-
дет точка Д.
Значит, дан-
ные треугольники
Рис. 68.
при наложении их
должны совместиться.- Они равны между собою.
Подобное рассуждение применимо к любой паре тре-
угольников, имеющих по равной стороне и по два соответ-
ственно равных угла, прилежащих к этой стороне.
Значит, все треугольники, имеющие по равной стороне и по два
соответственно равных угла, прилежащих к эт«й стороне равны между
собою.
67. Наметьте на земле два косоугольных треугольника
имеющих по равной стороне и по два соответственно
равных угла, прилежащих к ней, и докажите, что
они равны.
Ш. Начертите какой-нибудь косоугольный треугольник,
а потом проведите прямую линию, равную основанию тре-
угольника, и из концов ее, как из центров, опишите две
дуги, одну с радиусом равным одной стороне треугольника,
а другую с радиусом, равным другой стороне его. У вас
получится такая же фигура, какая представлена на рис. 69.
— 44 —
Соедините точку пересечения этих дуг с концами пря-
мой линии и у вас получится треугольник. Стороны этого
треугольника равны сторонам 1-го треугольника. Если оба
эти треугольника вырежете и наложите один на другой,
то увидите, что они равны. В этом же мы можем убедиться
и путем такого рассуждения: пусть у треугольников, изо-
браженных на рис. 70, сторона АБ—ГД, БВ—ДЕ и АВ =
ГЕ. Воооргзим, что тр-к АБВ мы приложили к треуголь-
нику ГДЕ так, чтобы сторона АВ совпала с равной ей сто-
роной ГЕ. Тогда треугольники расположатся так, как по-
казано на рис. 71. Если у этой фигуры вершину Б соеди-
нить прямой линиек? с вершиной
Д, то фигура разделится на два тре-
Z /	угольника: на Д ДЕГ и БГД. У тре-
/ х.	угольника ДЕ1 сторона ДЕ=.ЕБ.
/	Значит, этот треугольник равнобед-
f ____________ ренный. Углы 1-й и 2-й. лежащие
V	_ "Х	при основании этого треугольника,
Vll	X	равны между собою. Треугольник
/	БГД тоже равнобедренный. У него
линия ГД = ГБ. Углы 3-й и 4-й,
„	лежащие.при основании этого тре-
р	j тельника, тоже равны меяеду со-
1 ИС- 41.
бою. •
Если к равным углам 1-му и 2-му мы приоавим по
равному углу, должны получиться равные между собою
утлы. К углу 1-му мы прибавим угол 3-й, а ко 2-му—при-
бавим угол 4-й, равный углу 3, то получатся углы ГДЕ и
ГБЕ, равные между сорою.
— 45 —
На основании этого мы можем заключить, что данные
треугольники АБВ и ГДЕ имеют по равному углу, заклю-
ченному между соответственно равными сторонами. Эти
треугольники должны быть равны. Так как наше рассужде-
ние и построение может быть применено к любой паре
треугольников, стороны которых соответственно равны, то
можно сказать, что треугольники обязательно будут равны, если
все стороны их соответственно равны.
37. Признаки равенства прямоугольных
треугольников.
I.	Два прямоугольных треугольника обязательно будут
равны, если катеты одного соотв ’тственно равны катетам
другого.
В этом можно убедиться таким же путем, каким мы
убеждались в равенстве тр-ков, имеющих пи равному углу,
заключенному между соответственно равными сторонами.
II.	Два прямоугольных треугольника обязательно будут
равны, если имеют по равному острому углу, при равных
катетах. В этом можно убедиться таким же путем, каким
убеждались в равенстве косоугольных треугольников, у ко-
торых два угла и прилежащая сторона одного соответствен-
но равны двум углам и прилежащей к ним стороне дру-
гого треугольника.	*
III.	Два прямоугольных треуголь- \		17
ника обязательно будут равны, если \	•; У
гипотенуз? и катет одного соответ- \	у
ственно равны гипотенузе и катету \ „ -- у
другого треугольника. В этом вы убе- \== If
дитесь если вообразите, что эти тре-	If
угольники приложены один к другому	\ f
равными катетами, как на рис. 73. рис 70
При таком положении данные тре-
уюльникп образуют один равнобедренный треугольник. Ра-
вные катеты этих треугольников сольются и будут служить
биссектриссою, медианою и высотою образовавшегося равно-
бедренного треугольник?.
— 4fi —
Каждый из данных треугольников будет составлять по-
ловину образовавшегося треугольника, а поэтому они дол-
жны быть равны между собою.
38 Свойство прямоугольных треугольников.
При построении прямоугольных треугольников вы на-
верное заметили, что у каждого из них гипотенуза была
ботьпп любого катета его. Что такое же явление наблю-
дается у всех прямоугольных треугольников, можно убе-
диться путем следующего построения и рассуждения: если
начертить прямоугольный треугольник и один катет его
продолжить так, чтобы продолжение павнялось самому ка-
тету, а потом конец этой линии соединить с концом вто-
рого катета, то получится такая же фигура, какая пред-
ставлена на рис. 73. Эта фугура состоит из прямоуголь-
А	ного треугольника Л БВ и прямоугольного
к	треугольника Б В В. Катеты этих треуголь-
ников соответственно равны. Значит, и
треугольники равны. Линия АВ должна
НЖ быть равна линии В Г. Линия АВ Г пред-
А „ ставляет ломаную линию, проходящую
....	....между теми же двумя точками, между
/ которыми проходит прямая линия AI Зна-
/ чит, линия ABI больше линии АГ.
/	Так как половина более короткой линии
/	должна быть меньше половины более длин-
Г	ной линии, то можно утверяедать, что ли-
ния АБ короче линии АВ. Лини* АБ есть
Рис 73	г
катет данного прямоугольного треуголь-
ника, а линия АВ—гипотенуза его. Значит, катет данного
прямоугольного треугольника должен быть короче гипотенузы его
К какому бы прямоугольному треугольнику вы ни приме-
нили подобное построение и рассуждение, у вас всегда
будет получаться, что катет треугольника короче гипотенузы его.
Начертите прямую линию, наметьте против нее точку и
из этой точки проведите перпендикуляр и наклонную к
данной линии, как показан» на рис. 74. Часть плоскость,
ограниченная данными линиями, представляет из себя прямо-
— 47 —
угольный треугольник, при чем перпендикуляр к линии
служит катетом этого треугольника,
служит гипотенузой его. Гипотенуза
больше катета его. Значит, дан-
ная наклонная линия больше
перпендикуляра, проведенного из
одной точки с ней
Если из этой же точки вы про-
ведете еще несколько наклон-
ных к той же линии, то каждая
из них будет служить гипотену-
зой и будет больше катета А Б. ____
Значит, перпендикуляр, проведен-
ный к прямой линии из точки, лежа-
а наклонная линия
любого треугольника
щей вне ее, показывает кратчайшее
расстояние между ними. Длину такого перпендикуляра и счи
тают за расстояние между точкой и линией.
68.	Измерьте расстояние от точки до линии, намеченных
на земле.
69.	Измерьте расстояние от вершины прямого угла тре-
угольника до гипотенузы его.
70.	Измерьте расстояние от точки до линии, намеченной
на земле.
Начертите такой же прямоугольный треугольник, какой
представлен на рис. 75. Всматриваясь в этот чертеж, вы
заметите, что из вершины Б к катету АВ
Б	идут две линии. Из них линия АБ идет пер-
\	пендикулярно, а линия ВВ обязана итти
наклоннп. Так как линия Б В идет наклонно,
\	то  2—косой. Из вершины В в катету А Б
\	тоже идут две линии. Здесь тоже линия АВ
/_____X идет перпендикулярно, а линия ВБ обязана
А в итти наклонно, так как из одной точки не-
1'нс. 75. льзя провести двух перпендикуляров к од-
ной и той же линии. Так как линия ЬВ
идет наклонно, то /3—косой. Значит, в данном треуголь
нике только один угол прямой.. Это рассуждение можно
применить к любому прямоугольному треугольнику и всегда
— 48 —
будет получаться, что у прямоугольного треугольника только
один угол прямой
39. Деление прямой линии пополам.
Начертите прямую линию и из концов ее, как из центров,
зачертите по дуге с радиусом немного меньше данной ли-
нии, а потом из концов этой ясе линии, как из центров,
зачертите по дуге с радиусом немного меньше первого, как
показано на рис. 76. Если через точки пересечения дуг вы
проведете прямую линик до пересечения с первой прямой,
как на рис. 77, то новая линия разделит первую пополам и
будет перпендикулярна к ней. Это следует из того, что у
образовавшейся при этом фигуры линия АБ—БВ и линия
АД— ВД, как одинаковые радиусы. Тр-к АБД должен быть
равен тр-ку ДВЕ, так как все стороны этих треугольников
соответственно равны.
У равных треугольников против равных сторон лежат
равные углы. Значит, / 1 =_2, а в виду этого линия БГ
является биссектриссой угла при вершине равнобедренного
тр-ка АБВ. Биссектрисеа угла при вершине равнобедренного
тр-ка идет перпендикулярно к основанию и делит его по-
полам. Значит, линия Б Г идет перпендикулярно к линии
АВ и делит ее пополам.
Пользуясь этим, можно любую прямую линию разделить
пополам и к любок' прямой линии провести перпендикуляр
без помощи чертежного треугольника.
71.	Разделите прямую линию чертежа на четыре рав-
ные части.
— 49 —
40.	Деление угла пополам.
Начертите угол, на сторонах его отложите по равной
части, начиная от вершины его, и концы этих частей со-
едините прямой линией. У вас получится равнобедренный
треугольник. Если основание этого тр-ка разделить пополам и
провести медиану его, как на рис. 78, то медиана разделит
данный угол пополам. Она будет служить биссектриссой его.
Начертите угол и разделите его пополам
Постройте на земле угол и разделите его пополам.
41.	Вертикальные углы.
Продолжите две стороны одного и того же угла треуголь
ника, как показано на рис. 79. Образовавшиеся при этом
углы 1-ый и 2-ой составляют пару вертикальных углов. Углы
3-ий и 4-ый тоже наз. вертикальными.
Вертикальными углами называются такие два угла, у которых
продолжение сторон одкго служит сторонами для другого.
Рассматривая вертикальные углы на рис. 79, вы заметите,
что и /_3 смежные Значит, x_i-f-Z3=2rf.
Угол 3-й-и 2-й тоже смежные. Значит, Z3+Z2—2rt-
Если в равенстве 1 -]- /_ 3=2af вместо / поставить
равную им величину Z3 +_______2, то получится, что
Z1+’/3 = 3-|- Z2-
Если от частей этого равенства отнять по / 3, то остатки
будут равны. Получится, что i 1 =_2. Значит углы, соста-
вляющие первую пару вертикальных углов, равны между
''обою. Рассматривая этот же чертеж вы заметите, что
_2 + Z3 = 2d и Z2+. 4 = 2d
М. Н. Пошлев Прак|. гиоме1рия
— 50 —
Значит	_ 2	4. Отними!* от частей этого
равенства по / 2 и вы получите, что / 3 = / 4.
Значит, углы, составляющие и вторую пару вертикаль-
ных углов, равны между собою. Подобное рассуждение
применимо к каждой паре вертикальных углов. Значит
углы, составляющие любую пару вертикальных углов, равны
между собою.
42.	Внешний угол треугольника.
Продолжите одну сторону какого-нибудь треугольника,
как на рис. 80. У вас образуется угол, смежный с углом
треугольника. Образуйте угол, смежнпй с другим
углом этого же треугольника. Всякий угол, сменный с
Рис. 81.
внутренним углом треугольника, называется внешним углом
треугольника. Замечено, что внешний угол всякого треугольника
больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. В этом же
можно убедиться путем следующего построения и рассужде-
ния: если медиану треугольника АБВ, проведенную к сто-
роне БВ, продолжить и на продолжении отложить часть,
равную медиане, а конец этой линии соединить с точкою В,
то у вас получится такая же фигура, какая представлена на
рис. 81. У этой фигуры треугольники АБД и ВДЕ равны,
так как у них £ВДЕ = £АДБ, линия БД — ДВя линия
АД—ДЕ. Отсюда следует, что Д_БВЕ—Д_АБВ ^_БВЕ
меньше данного внешнего угла. Значит, и ДАБВ меньше
этого же внешнего угла. Если продолжить у данного тре-
угольника сторону БВ за точку В, то получим «торой внеш-
ний угол, равный первому. Если медиану из вершины Б
продолжить на такую же длину за сторону АВ и конец ее
— 51
соединить прямой линией с точкой В, то получится новая
фигура, рассматривая которую мы таким же путем, как и
в первом случае, придем к выводу, что второй внешний
угол больше 221МБ. Первый внешний угол тоже должен
быть больше Х.ВАБ. Отсюда следует, что внешний угол тр-ка
больше каждого внутреннего угла не смежного с ним.
4*
зр
ГЛАВА V.
ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКИ,
43.	Четыреугольник.
Каждая грань предмета на рис. 82 имеет четыре угла.
Такие части плоскости, ограниченные ломаными линиями с
четырьмя углами, назыв. четыреугольникам**.
Рис. 82.
Прямые линии, образующие четыреуголь-
ник, называются сторонами его. У каждого
четыреугольника четыре стороны. Некото-
рые четыреугольники имеют прямые углы,
а у некоторых четыреугольников прямых
углов нет.
72. Покажите четыреугольники с пря-
мыми углами.
73.	Покажите четыреугольники без прямых углов
74.	Начертите четыреугольник.
75.	Постройте четыреугольник на земле.
44.	Параллельные линии.
Начертите прямую линию и проведите два перпендикуля-
ра к ней, как на рис. 83. Эти пер-
пендикуляры не могут пересечься
при продолжении рх. Если бы они
пересеклись, то получился бы тре-
угольник с двумя прямыми углами,
а итого быть не может. Такие пря-
мые линии, которые лежат в одной
плоскости и не могут пересечься
при продолжении их, называются-----------I—.
параллельными. У четыреугольника	Рнс. 83.
— 53 —
на рис. 84 стороны БВ и АГ при пересечении со стороной
А Б образуют прямые углы. Значит, стороны БВ и АГ— па-
раллельны.
У четыреугольника на рис. 85 стороны БВ и А Г идут
перпендикулярно к стороне ЛБ. Значит, стороны БВ и АГ—
параллельны.
У этого же четыреугольника стороны АБ и БГ перпен-
дикулярны к стороне АГ. Значит, стороны АБ и ВГ тоже
параллельны.
77. Покажите параллельные линии на гранях окружаю-
щих предметов.
46. Углы, образующиеся при пересечении двух
прямых линий третьей.
Продолжите три стороны какого-нибудь четыреугольника,
как показано на рисунке 86. У вас образуется восемь углов.
Покажите образовавшиеся
при этом вертикальные углы.
Покажите образовавшиеся
при этом смежные углы.
Образовавшиеся при этом
углы 4-й и 6-й, а также
3-й и 5-й называются вну-
тренними накрест лежащими.
Углы 1-й и 7-й, а также 2-й
Рис. 86.
и 8-й называются внешними накрест лежащими.
Углы 2 и 6, 3 и 7, 1 и 5, а такж< 4 и 8 называются со-
ответственными.
Углы 3 и 6, а также 4 и 5 называются внутренними одно-
сторонними.
— 54 —
Рчс. 87.
Углы 1 и 8, а также 2 и 7
называются внешними односто-
ронними.
Точно такие же пары углов
образуются, если вы две пря-
мых линии пересечете третьей,
как показано на рис. 87.
46. Признаки параллельности линий.
1-й. Вы знаете, что если две прямых линии лгжат в одной
плоскости и при пересечении с третьей прямой образуют
прямые углы, то эти линии параллельны.
2-й. Если два внутренних накрест лежащих угла, образо-
вавшихся при пересечении двух прямых линий третьей, рав-
ны между собою, то первые две прямые—параллельны. В
. этом можно убедиться путем следующего рассуждения.
Пусть,/! и /_2 на рис. 88 равны между собою, но пред-
положим, что линии АБ и ВГ не параллельны. Тогда эти
линии при продолжении должны будут пересечься направо
или налево от секущей линии. Если они пересекутся на-
право от секущей в	.
точке Ж, то образуется	4______Д/ Б
треугольник ДЖЕ, у	у	ж
которого /У будет вне- 3	X
шним. Он должен быть	~
больше не смежного с	/
ним внутреннего	Рн1
Но^/1 не может быть больше^, так как они равны.
Значит, линии АБ и ВГ не могут пересечься направо от
секущей линии.
Если допустить, что да*нные линии пересекутся налево от
секущей в точке 3, то должен будет получиться треугольник
ЗДЕ, у которого /2 будет внешний. Он должен быть боль-
ше внутреннего не смежного с ним ^/1. Но ^/2 не может
быть больше ^/1. Значит, данные линии не могут пересечь-
ся и налево от секущей. Они должны быть параллельны
между собою.
— 55 —
Ж
Рже. 89.
бы треугольник ДЖЕ, у
3. Если два соответственных угла, образовавшихся при
пересечении двух прямых линий третьей, равны между со-
бою, то первые две линии параллельны. В этом можно убе-
диться путем такого paccj ждения: пусть углы 1-й и 2-й на
рис. 89 равны между собою. Предположим, что линии АБ
п ВГ, несмотря на равенство
/2 и Д\, идут наклонно. Тогда
эти линии при продолжении
должны будут пересечься на-
право или налево от секущей
линии. Если бы эти линии
пересеклись направо от секу-
щей в 'точке Ж, то образовался
которого Д\ был бы внешним и как таковой он был бы
больше внутреннего несмежного с ним ____2. Но Д\ не мо-
жет быть больше 2^2- Значит, линии АБ и ВТ не могут
пересечься направо от секущей. Если допустить, что эти
линии пересекутся налево от секущей в точке 3, то должен
будет получиться тр-к ДЗЕ, у которого _ 2 будет внешним,
и как таковой он должен быть больше внутреннего не
смежного с ним A?- Но/8=211, как вертикальные. Если в этом
равенстве Д\ заменить равным ему /2» то получится, что
^/3=222. Значит, ДЪ не может быть больше ДУ, и в виду
этого и линия АБ не может пересечься с ВГ. Эти линии
должны быть параллельны.
47 Построение параллельных линий.
I. Лровешите на земле пря-
мую линию и с помощью эккера
проведите два перпендикуляра
в к ней. как на рис. 90. Эти
перпендикуляры будут парал-
лельны.
П. Положите на бумагу ли-
нейку, приложите к ней катет
чертежного тр-ка и вдоль дру-
гого катета прочертите линию,
а потом подвиньте тр-к и
вдоль того же катета прочер-
Рис. 90.
— 56 —
тите вторую линию, как на рис. 91. Начерченные вами ли-
нии будут параллельны, так как они перпендикулярны к
одной и той же прямой.
III. На чертите прямую линию и наметьте точку против нее
Если через эту точку провести перпендикуляр к данной ли-
нии и перпендикуляр к перпендикуляру, как на рис. 92, то
последний перпендикуляр будет параллелен данной линии,
так как они идут перпендикулярно одной и той же линии ВГ.
Через точку В нельзя провести еще одного особого пер-
пендикуляра к линии ВБ, кроме проведенной линии ВД.
Значит, через точку В нельзя провести еще одну особую
линию, параллельную данной линии АБ. Принтго за пра-
вило, что через одну и ту же точку нельзя провести двух различ-
ных прямых, параллельных одной и той же прямой.
78. Провешите на земле линию, наметьте точку против нея
и через эту точку провешите линию параллельно данной
прямой.
IV. Положите линейку на бумагу, к ней приложите катет
Рис. 1)3.
чертежного тр-ка и прочертите
линию вдоль гипотенузы его,
а потом подвиньтетр-к по ли-
нейке и прочертите вторую
линию вдоль гипотенузы его,
как на рис. 93. Начерченные
вами линии будут параллель-
ны, так как при пересечении
с линией линейки они обра-
зуют равные соответ< гвеннне
углы.
— 57 —
79. Начертите две параллельных линии на классной
доске.
48. Свойство параллельных линий.
Если две прямых линии параллельны, то внутренние на-
крест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении этих
линий третьей, должны быть равны. В этом можно у( едиться
путем такого рассуждения:
Пусть линии АБ и ВГ на рис. 94 параллельны. Допустим,
что внутренние накрест лежащие
неравны и пусть /_ АЖЗ больше
^/.ГЗЖ. Если бы наше предполо-
жение было правильно, то на ^/АЖЗ,
при стороне ЗЖ, можно было бы
отложить часть, равную /_ГЗЖ.
В этом случае линия ДЕ должна
быть параллельна ВГ, так как
внутренние накрест лежащие углы
при них равны.
Если бы это построение было возможно, то через точку
Ж прошло бы две прямых, параллельных одной и топ же
прямой. Но через одну и ту же нельзя провести двух пря-
мых, параллельных одной и той же прямой. Значит, наше
построение невозможно. А^ЛЗЖ не может быть больше
/_ГЗЖ, да не может быть и меньше его. Они должны быть
равны.
Точно таким же путем можно убедиться, что если две
прямых линии параллельны, То (^ответственные углы, обра-
зовавшиеся при пересечении этих линий третьей, должны
быть равны.
Для обозначения параллельности двух линий употре-
бляется знак ||. Что линия АБ параллельна ВГ, можно
записать так: АБ || ВГ.
углы при этих линиях
49 Параллелограммы.
Начертите прямой угол и через конец каждой из сторон
его проведите линию, параллельную другой стороне. У вас
получится четыреугольник, у которого противоположные
— 58 —
стороны попарно параллельны. Такой четыреугольник пред-
ставл. на рис. 85.
Начертите косой угол и через конеп каждой из сторон
его проведите по линии параллельно другой стороне. У вас
опять получится четыреугольник, у которого противопо-
ложные стороны попарно парал-
z~—---------- ---------у лельны. Такой четыреугольник
/fl ~	пред, на рис. 95.
|	"	-f^/ Всякий четыреугольник, у ко-
/1~^===	/ торого противоположные стороны
J	/ попарно параллельны, наз. парал-
лелограммом.
Р₽с' 9а‘	У первого из этих параллело-
граммов есть прямые углы, а у второго прямых углов нет.
У каждого параллелограмма одну какую-нибудь сторону
называют основанием. Перепендикуляр к основанию паралле-
лограмма, опущенный из какой-нибудь точки противополож-
ной стороны, назыв. высотою его. Высотой параллелограмма
на рис. 95 может служить линия а высотою паралле-
лограмма на рис. 85 может служить линия
50. Свойства параллелограммов.
Начертите какой-нибудь параллелограмм и соедините
прямой линией вершины двух углов его, не прилежащих
к одной стороне, как на рис. 96. Такие линии, как прове-
денные вами, назыв. диагоналями четыре-
угольника. У параллелограмма нарис. 96
углы 1 и 2 должны быть равны (как
внутренние накрест лежащие при па-
раллельные Б В и АГ).
Углы 3 и 4 тоже должны быть равны,
так как они служат внутренними на-
крест лежащими при параллельных
АБ и ВГ. Образовавшиеся при этом тр-ки АБГ к БВГ тоже
должны быть равны, так как имеют по равной стороне БГ
и по два прилежащих к ней соответственно равных угла.
Значит, у этих тр-ков /А должен быть равен / В.
— 59 —
У равных тр-ков стороны, лежащие против равных углов,
равны. Значит, сторона АБ = ВГ, сторона АГ—БВ.
Отсюда следует, что у данного параллелограмма противо-
положные стороны и противоположные углы соотв< тственно
равны.
Подобное построение и рассуждение применимо ко вся-
кому параллелограмму. Значит диагональ всякого парал-
лелограмма делит его на два равных тр-ка и этим обнару-
живает равенство противоположных сторон параллелограмма
и противоположных углов его.
Начертите две параллельных линии и из двух точек
одной из них опустите перпендикуляры к другой, как на
рис. 97.
Приведенные вами перпенди- &	р
куляры должны быть одинако- -  . г - ----------•----
вой длины, так как они являются
противопож жными сторонами па-
раллелограмма.	д	£
Все перпендикуляры, опущен-	97
ные из точек первой из данных
линий ко второй, должны быть равны между собою Значит,
все точки одной из двух параллельных линий находятся
на одинаковом расстоянии от другой. Это расстояние можно
определить по любому из перпендикуляров, проведенных
от одной линии к другой.
51. Квадрат.
Начертите прямой угол со сторонами одинаковой длины
и через конец
2________
А	Г
Рис. 98.
Б В
2	/
каждой из них проведите по линии парал-
лельно другой стороне. У вас полупится та-
кой же параллелограмм, как на рис. 98.
У этого параллелограмма все стороны должны
быть одинаковой длины. При построении его
углы А, В и Г сделаны прямыми. Угол В
тоже должен быть прямой, так как лежит
против прямого угла А. Значит, у данного
параллелограмма все стороны одинаковой
длины и все углы прямые.
— 60 —
Такие параллелограммы, у которых все стороны одинако-
вой длины и все углы прямые, назыв. квадратами.
80.	Покажите квадраты на окружающих предметах и
постройте квадрат на земле.
Квадраты со сторонами по вершку наз. квадратными верш
ками, со сторонами по аршину, раз. квадратными аршинами,
со стеронами по сажени, назыв. квадратными саженями и т. д.
81.	Начертите квадратный вершок и квадратный дюйм.
52 Прямоугольник.
Начертите прямой угол со сторонами разной длины и
через конец каждой из них проведите по линии параллельно
Б	В в другой стороне, как на рис. 99. У вас по-
£71 лучится параллелограмм. У этого парал-
лелограмма углы Л, Б и Г вы сделали
/	jr 1рчмыми, а____В должен быть прямым, так
г как он лежит против прямого угла А.
Рис. 99. Противоположные стороны этого парал-
лелограмма тоже должны быть попарно
равны. Такие параллелограммы, у которых все углы прямые,
а стороны разной длины, назыв. прямоугольниками. Более
длинную сторону прямоугольника обыкновенно наз. длиною
его, а более короткую- шириною.
82.	Покажите прямоугольники на окружающих пред-
метах.
83.	Постройте прямоугольник на земле.
53. Ромб.
Начертите косой угол со сторонами одинаковой длины и
через конец каждой из них проведите
другой стороне, как на рис. 100.
У вас получится параллелограмм,
у которого все стороны одина-
ковой длины, а все углы косые.
Такие параллелограммы, у кото-
рых все стороны одинаковой дли-
ны и все углы косые назыв.
ромбами.
по линии параллельно
— 61 —
84.	Покажите ромб на окружающих предметах.
85.	Постройте ромб на земле.
54. Параллелограмм.
Начертите косой угол со сторонами разной длины и
через конец каждой из них проведите по линии парал-
лельно другой стороне этого угла. У вас получится парал-
лелограмм, у которого все утлы косые и стороны разной
длины. Такие параллелограмма особого названия не имеют.
Каждому из них присваивается название „параллелограмм".
Такой параллелограмм представлен на рис. 95
86.	Постройте параллелограмм на земле.
55. Равновеликие Фигуры.
Каждая плоская фигура ограничивает часть плоскости.
Часть плоскости заключенная внутри каждой фигуры, наз.
площадью ее.
Если две фигуры равны, то и площади их равны.
Если две фигуры при наложении и не совпадают, пло-
щади их все-таки могут быть одинаковой величины. Вы-
режьте из бумаги два равных прямоугольника и один из
них разрежьте по диагонали его. Он разделится на два
равных прямоугольных треугольника. Сумма площадей этих
треугольников равна площади целого прямоугольника.
Сложите эти треугольники катетами вместе, как показано
на рис. 101. У вас получится треугольник. Площадь его
равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников.
Она равна площади вырезанного вами целого прямоугольника.
Это ясно обнаруживг ется при
вленных на рис. 101. Если
вырезанный вами прямо-
угольник вы наложите на
образовавшийся косоуголь-
ный треугольник, то увиди-
те, что эти фигуры не сов-
падут.
<акие фигуры, которые име-
ют равные площади, но при
сопоставлении фигур, лредста-
Рис 101.
наложении “не совпадают, назые.
равновеликими.
— 62 —
56. Меры площадей.
У многих фигур площади разной величины. Площадь
квадратной сажени в несколько раз больше площади квад-
ратного вершка.
Определение, во сколько раз одна площадь иольше дру-
гой, называется измерением площади, при чем меньшая из
данных площадей считается мепою для большей.
Обычно мерами площадей служат квадраты, у которых
каждая сторона равняется какой-нибудь линейной мерке.
Русскими мерами площадей служат квадратные аршины,
квадратные вершки и квадратные сажени.
Английскими мерами площадей служат квадратные ли-
нии, квадратные дюймы и квадратные футы.
Французскими мерами площадей служат квадратные мил-
лиметры, сантиметры, дециметры, метры и т. д.
87.	Вырежьте из картона квадратный вершок, дюйм и
сантиметр.
57. Измерение площади прямоугольника и
квадрата.
Начертите прямоугольник длиною 5 верш, и шириною
3 верш. Наложите квадратный вершок на прямоугольник
так, как показано на рис. 102 и об-
чертите его. Накладывая таким обра-
зом квадратный вершок вдоль всей
длины прямоугольника, вы выделите
такую же полоску, какая представле-
на на рис. 103. Площадь ее равна 5
квадр. вершкам. Если остальную часть
площади прямоугольника разделить
на такие же полоски, как это показано на рис 104, то мож-
но определить величину площади прямоугольника. Так как
Рже 10J.
Рис. 104.
— 63 —
прямоугольник разделился на три полоски по 5 квадр. вер-
шков каждая, то площадь его равна 15 квадр. вершкам.
Площадь прямоугольника можно измерить и без наложения
на него квадратиков. Вы наверное заметили, что сколько
линейных мерок уложится по длине прямоугольника, столь-
ко и квадратиков с такой же стороной уложится в один
ряд, а сколько таких же мерок уложится на ширине прямо-
угольника, столько будет равных рядов. Если основание
прямоугольника 10 саженей, то в ряд вдоль него уложится
10 квадр. саженей, а если высота прямоугольника 5 саж.,
то на прямоугольнике уложится 5 рядов по 10 кв. саженей
каждый. Для определения площади .этого прямоугольника
нужно 10 кв. саж. X 5. Она будет равна 50 квадр. саженям.
Вообще, если измерить одной и той же меркой основание
и высоту прямоугольника и полученные числа перемножить,
то получится такое же число, сколько квадратиков со сто-
ронами равными данной мерке, уложится на площади прямо-
угольника. На основании этого говорят, что площадь прямо-
угольника равна такому числу, какое получится от умножения
длины его на ширину.
88.	Постройте на земле прямоугольник длиною 25 саж.,
а шириною 4 сажени, и определите величину пло-
щади его.
89.	Измерьте площадь пола в классе.
90.	Измерьте площадь верхней грани крышки стола.
91.	Измерьте площадь пола в школьном коридоре.
92.	Измерьте площадь стен класса. ?
93.	Измерьте площадь прямоугольной полосы земли.
94.	Измерьте площадь пола и стен в своем доме.
Площадь квадратов измеряется точно так же, как и пло-
щадь прямоугольников. Если измерить какой-нибудь мер-
кою сторону квадрата и полученное число умножить на
самого себя, то получится такое же число, сколько квадра-
тиков со сторонами, равными данной церке, уложится на
площади квадрата.
95.	Определите, сколько квадратных аршин можэт уло-
житься на квадратной сажени.
— 64 —
96.	Сколько квадратных футов уложится на квадратной
сажени?
97.	Сколько квадратных дециметров уложится на квад-
ратном метре?
98.	Сколько квадратных вершков уложится на квадрат-
ной сажеви?
99.	Постройте на земле квадрал и определите величину
площади его.
Площадь, на которой может уложиться 2400 кв. саженей,
называется десятиною. На прямоугольнике длиною 80 саж. и
шириною 30 саж может уложиться 2400 кв. саженей, сле-
довательно, он равен десятине. Прямоугольник длиною 60
саж., а шириною 40 саженей тоже равен десятине.
100.	Прямоугольный участок земли длиною 420 саж. и
шириною 160 саж. продают по 120 руб за десятину.
Сколько стоит этот участок?
101.	Длина прямоугольного участка земли 160 саж., а
ширина 120 саж. Этот участок засеяли пшеницею и
на каждую десятину высеяли по 1 чт и 2 чк
Сколько пшеницы посеяли на этом участке?
102.	Длина куска обоев равна 11 аршинам, а ширина
12 вершкам. Кавд ю площадь можно заклеить такими
обоями, если взять их 40 кусков?
Юз. В городе продается прямоугольный участок земли
длиною 24 саж. и шириною 21 сажеш по 6 руб. 50 коп.
за квадратную сажень. Сколько стоит этот участок?
59. Измерение площади параллелограмма и
ромба.
Начертите параллелограмм и из концов одной стороны
его опустите перпендикуляры на противоположную сторону
и на продолжение ее, как показано
на рис. 105. У образовавшихся дри
этом треугольников АБД и ГВЕ
гипотенуза АБ равна гипотенузе
RI, а катет БД равен катету BE.
Вы знаете, что если катет и гипо-
тенуза одного треугольника со-
ответственно равны катету и гипо-
Рис. 105.
— 65 —
1енузе другою тр-ка, то такие треугольник^ равны. Значит,
1_\АВД— ДЕВЕ. Теперь вообразите, что мы отрезали от
этого параллелограмма треугольник ЛБД и наложили его
на треугольник ГВЕ. Эти треугольники должны будут сов-
пасть, и тогда данный параллелограмм превратится в равно-
великий ему прямоугольник. Основание и высота этого
прямоугольника соответственно равны основанию и высоте
данного параллелограмма.
Площадь образовавшегося прямоугольника равна такому
числу, какое получится от умножения основания паралле-
лограмма на высоту его. Значит, и плошадг данного па
раллелограмма тоже равна такому числу, кагое получится
от умножения основания его на высоту.
Подобное построение и рассуждение применимо к любо-
му параллелограмму. Значит, площадь каждого параллелограмма
равна произведению основания его на высоту. Площадь ромба
тоже равна какому числу, какое получится от умножения
основания его на высоту.
104. Постройте на земле параллелограмм и измерьте
площадь его.
105. Постройте на земле ромб и измерьте площадь его.
106. Основание параллелограмма 300 саженей, а высота
16 саж. Этот участок земли продали по 150 руб. за
десятину. Сколько получили за него?
107. Площадь параллелограмма 2800 кв. саж., а высота
70 саж. Определите длину основания его.
108. Площадь параллелограмма 2400 кв саж., а основа-
ние равно 200 саж. Определите высоту его.
59. Превращение треугольника в равно-
великий параллелограмм.
Ныертите косоугольный треугольник к через средину
ребра его проведите линии, параллельную другому ребру,
а потом через вершину треугольника проведите линию,
параллельную основанию его. У вас получится такая же
фигура, какая представлена на рис. 106. У этой фигуры
ГДВ,=/\БГЕ, потому чтс у них сторонаБГ=ГВ, ДД =
М. Н- Иовлен. Практ. геометрии.
- 66 -
= /£2 и z_3=/4. Если отрезать Д ГДВ и наложить егд
на Д Б ГЕ, то у нас получится параллелограмм АБЕД рав-
новеликий треугольнику АБВ. Рассматривая образовав-
шуюся фигуру, вы увидите, что пиния ДВ — БЕ и линия
А Д= БЕ, а отсюда следует, что и линия
Ь__________В АД = ДВ. Значит, у образовавшегося
<- /^4	7 параллелограмма высота такая же, как
и у треугольнига, а основанием парал
__	лелограмма служит половина основания
треугольника. Площадь данного царал-
/	/—лелограмма, а также и площадь равно-
великого ему треугольника равняются
Рис. 106. такому числу, какое получится от умно-
жения половины основания данного треугольник на высоту
его.
Таким образом можн< каждый тр-к превратить в равно-
великий параллелограмм с такой же высотой и с основа-
нием, равным половине основания тр-ка Значит, площадь
всякого тр-на равна произведению половины основания его на вы-
соту.
109. Постройте на земле тр-к и определите величину
плоп’ади его.
ПО. Найдите треугольную грань и определите величину
площади ее.
111. Основание треугольного участка земли 80 с., а вы-
сота 40 саж. Определите величину площади его.
112. Площадь треугольного участка равна 1000 кв. саж.,
а основание его 200 саж. Определите высоту этого
тр-ка.
60. Трапеция
Начертите две прямых парал-
лельных линий разной длины и
концы их соедините прямыми ли-
ниями. как показано на рис. 107. У
угольник, у которого только одна пара
вас
Рис. 107.
получится четыре-
параллельных сто-
рон.
ИЗ. Вырежьте начерченную вами фигуру.
— 6f —
Такую же форму имеет грань крыши дома на рис. ЮЬ
и многие участки земли.
Все «етыреуголь-
нини, у которых име-
ется только одна пара
параллельных сторон,
называется трапециями.
114.	Покажите
трапецию на окру-
жающих предметах.
115.	Постройте
трапецию на земле.
Параллс^нпе сто-
Рие. 108.
роны всякой трапеции называются—основаниями ее, а не па-
раллельные стороны называются бонами или бедрами.
Перпендикуляр к одному из оснований трапеции, прове-
дённый из какой-нибудь точки другого основания назы-
вается высотою трапеции. Высотою тра-
пеции, представленной на рис. 109, бу-
дет служить линяя БД.
116.	Начертите трапецию с двумя
Рже. 109.	прямыми углами и покажите
Б
высоту ее.
117'. Постройте на земле трапецию и высоту ее.
61. Измерение площади трапеции
Начертите трапецию, один бок ее разделите пополам и
через точку деления проведите прямую, параллельную дру-
гому боку, а потом продолжите меньшее основание трапе-
ции, как показано на рис. 110. У
образовавшейся при этом фигу-
ры ДБДЖ будет равен Д ДЕГ, по-
тому что у лих линия БД = ДГ.
^_2 = 3, как вертикальные, S 1 =
/ 4, как внмтренние накрест лежа
щие. Теперь вообразите, что мы
отрезали Д ДЕГ и наложили его
на 1\ЕДЖ Эти треугольники дол-
5*
— 68 —
(Кяы будут совпасть. Данная трапеция Превратится в равнд-
великий ей параллелограмм АБЖЕ. Внес та этого парал-
лелограмма будет точно такая же, как и у данной тра-
пеции, а основания его составляются из двух оснований
трапеции. Основание параллелограмма будет равно половине
двух оснований трапеции. Значит, площадь этого паралле-
лограмма равна такому числу, какое получится от умноже-
ния половины двух оснований данной трапеции на высоту
ее. Плошадь данной трапеции тоже равна произведению
половины двух оснований ее на высоту. Подобное постро-
ение и рассуждение применимы к каждой трапеции. Зна-
чит, площадь всякой трапеции равна такому числу, какое полу-
чится от умножения половины двух гпнов^ний ее на высоту.
118.	Постройте на земле трапецию и измерьте площадь ее.
119.	Как\ измерить площадь грани крыши дома, име-
ющей вид трапеции.
02. Неправильный четыреугольник.
Четыреугольник, представленный на рис. 111, называется
неправильным.
120.	Покажите неправильный четыреугольник на окру-
жающих предметах.
121	Начертите неправильный четыреугольник.
Для измерения площади неправильного
В	четыреугольника, его делят на два тре
угольника как на рис. 111, и измеряют
плошадь каждого из них.
Сумма площадей этих треугольников
равна плошади чанного четыреугольника.
122.	Начертите неправильный четыре-
Рис ш	угольник и измерьте площадь его.
123.	Постройте на земле неправильный
четыреугольник и измерьте площадь его.
Глава VI.
МНОГОУГОЛЬНИКИ и КРУГ.
63. Многоугольники.
У некоторых граней предмета, представленного на рис.
112, имеется по шести углов. Каждая часть плоскости, огра-
ниченная замкнутой ломаной линией и имеющая больше
четырех углов, называется многоугольником. Значит, некото-
рые грани предмета, представленного на рис. 112—много-
Рис. 112.
Рис. 113.
угольники. На рис. 113 представлен многоугольник с ше-
стью углами.
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром его.
У многоугольника, представленного на рис. 113, все сто-
роны одинаковой длины и все углы
равны между собою. Такие многоуголь-
ники, у которых все стороны одинако-
вой длины и углы равны между собою,
называются правильными., Многоуголь-
ники, у которых стороны и углы разной
величины, называются неправильными. На
рис. 114 представлен неправильный
многоугольник.
— 70 —
У каждого многоугольника можно прямой линией соеди-
нить вершины двух углов, не прилегающих к одной сто-
роне его, как показано на рис. 115.
Эта линия будет называться диагональю ею Из каждой
вершины многоугольника можно провести диагонали к вер-
шинам всех углов его, за исключением двух ближайших
к ней. Это можно видеть на рис. 115. Диагонали, выходя-
Б	щие из одной вершины многоугольника,
е	делят его на несколько треугольников.
е Если измерить площадь каждого из обра-
зовавшихся треугольников и сложить пло-
Г щади их, то сумма будет равна площади
данного многоугольника.
д	124. Найдите многоугольную гран! и
Рис. 115.	определите величину площади ее.
125.	Найдите многоугольный участок и определите вели-
чину площади его.
126.	Постройте многоугольник и определите величину
площади его
При записи рассуждений о многоугольниках слово „много-
угольник" часто обозначают так: мн-н.
64.Построение правильных многоугольников
и
Рис. 116.
ЕЛ должны
Зачертите круг и с помощью транспортира разделите его
на несколько равных секторов. Если концы радиусов у
этих секторов соедините прямыми линиями, как на рис. 116,
то получится мн-к, вписанный в окруж-
ность. Начерченные вами радиусы'бу
дут делить мн-к на равнобедренные
тр-ки. Эти тр-ки имеют ио равному углу,
заключенному между соответственно
равными сторонами. Значит, они равны
между собою.
У равпыл тр-ков против равных углов
лежат равные стороны. Значит, у дан-
ного мн-ка стороны Л Б, ЕВ, BF и IД, ДЕ
быть равны между собою.
У равнобедренны^ тр-ков, составляющих данный мц-к.
— 71
углы при основании должны быть равны. Из пары таких
равных углов составляется каждый угол данного мн-ка.
Значит, у данногс мн-ка все углы равны.
А так как у этого многоугольника все углы равны, а
стороны одинаковой длины, то он—правильный.
127.	Разделите круг на восемь равны? секторов, соеди-
ните прямыми линиями концы радиусов их и дока-
жите, что образовавп ийся при этом вписанный в
окружность многоугольник будет правильный.
128.	Постройте правильны/ десятиугольник.
129.	Постройте правильный двадцатиугольник.
130.	Постройте правильный тридпатиугольник.
Центр окружности, в которую вписывается правильный
многоугольник называется центром этого
Радиус окружности, в которую вписан
радиусом мн-ка.
Перпендикуляр, опушенный из центра
правильного мн-ка на сторону его, как
на рис. 117, называется апофемою мн-ка.
Если провести апофемы ко всем сторо-
нам многоугольника, то все они будут
одинаковой длины, так как они будут
служить высотами равных тр-ков. Каж-
дую сторону мн-ка, вписанного в окру-
жность, можно назвать хордою. Хордою
многоугольника,
мн-к, называется
Рис. 117.
можно назвать каждую прямую линию, которая соединяет
две тс чки окружности и -идет мимо центра ее.
65. Определение центра правильного много-
угольника и круга
Рис. 118.
Начертите прямую линию и через
средину ее проведите перпендикуляр
к ней.
Если какую-нибудь точку этого
перпендикуляра вы соедините пря-
мыми линиями с концами данной пря-
мой, как на рис. 118, то у вас полу-
чится два прямоугольных тр-ка. Оба
— 72 —
катета у этих тр-ков соответственно равны. Значит, эти
треут ол аники должны быть равны. Гипотенузы их тоже дол
жны быть равны. Значит, взятая вами точка перпендику-
ляра находится на одинаковом расстоянии от концов дан-
ной прямой. Подобное рассуждение применимо к любой
точке перпендикуляра к прямой, проведенного через сере-
дину ее. Значит, гаждая точка перпендикуляра к прямой
линии, проведенного через средину ее, находится на оди-
наковом расстоянии от концов этой прямой. Теперь начер-
тите мн-к и проведите перпендикуляр к одной стороне его,
через средину ее. Каждая точка этою перпендикуляра на-
ходится на одинаковом расстоянии от концов данной сто-
роны мн-ка. Центр этого мн-ка тоже находится на одина-
ковом расстоянии от концов этой же стороны Зна тит, центр
этого мн-ка должен лежать на проведенном вами перпенди-
куляре. Им будет служить одна из точек данного перпен-
шкуляра.
Проведите перпендикуляр к другой
©стороне этого же мн-ка, через средину
ее, как пок. на рис. 119. Каждая точка
этого перпендикуляра будет находиться
на одинаковом расстоянии от концов
данной стороны мн-ка. Так как центр
мн-ка тоже должен находиться на оди-
наковом расстоянии от концов этой же
Рис. ыэ. стороны мн-ка, то он должен лежать на
этом перпендикуляре. Центр этого мн-ка
в одно и то же время должен быть на перпендикуляре к
первой стороне и на перпендикуляре ко втопой стороне
мн-ка. Значит, он должен находиться в точке пересечения
этих перпендикуляров.
Точка пересечения перпендикуляров к двум сторонам
мн-ка, проведенных через средины их, является центром
данногс мн-ка и той окружности, в которую он вписан.
Путем такого же рассуждения можно убедиться, что точка
пересечения перпендикуляров, проведенных к двум хордам
окружности, через средины их, служит центром окружности
и ограниченного ею круга.
— 73 —
131 Определите таким образом центр дна бсчкп или
ведра.
131.	Определите центр круга.
66. Площадь правильного многоугольника.
Начертите правильный шестиугольник и проведите ра-
диусы к вершинам углов его, как на рис. 117. Шестиуголь-
ник разделится на шесть равных треугольников. Площадь
каждого из этих треугольников равна произведению поло-
вины стороны многоугольника на апофему его. Если длину
стороны этого шестиугольника обозначить буквою О, поло-
вины ее а апофему обозначить буквою А, то площадь
Л/
.	X	О
каждого из образовавшихся треугольников будет равна —
4 пли О. —. Площадь всех треугольников, составляющих
данный шестиугольник, будет в 6 раз больше площади од-
ного треугольника. Площадь их будет равна (О.-,-). 6 или
(О. 6). —. Величина (О. 6) равна периметру данного шести-
угольника .
Значит, площадь всех трш гольников, составляющих дан-
ный многоугольник, р хвна такому числу, какое получится
от умножения периметра шестиугольника на половину апо-
фемы его. Площадь правильного шестиугольника тоже бу-
дет равна произведению периметра его на половину апо-
фемы. Путем такого же построения и рассуждения можно
убедиться, что площадь каждого правильного многоугольника
равна произведению периметра его на половину апофемы.
133.	Определите величину площади правильною шести-
угольника, начерченного вами.
134.	Начертите правильный пятиугольник и определите
величину площади его.
135.	Начертите правильный восьмиугольник и определите
величину площади его.
— 74 —
67 Площадь круга.
Вписывая в окружность правильные многоугольники, вы
наверное заметили, что чем больше сторон у вписанного
мн-ка, тем большую часть круга занимает он. Подобное же
явление можно заметить на рис. 120. На основании этого
можно заключить, что периметр пра-
• вильного вписанного мн-ка, с бесконечно
большим числом сторон, будет беско-
нечно мало отличаться от описывающей
его окружности. Площадь правильного
вписанного мн-ка, с безконечно боль-
шим числом сторон, будет оесконечно
мало отличаться от площади круга
Ряс. 120. ограниченного этой же окружностью
Значит, круг можно принять за правильный многоугольник
с оесконечно большим числом сторон. Периметром этого
многоугольника будет служить окружность, а апоеемою
будет радиус его.
Площадь такого правильного многоугольника должна
быть равна такому числу какое получится от умножения
окружности на полсвину радиуса ее.
На основании этого и считают., что площадь всякого круга
равна произведению окружности на половину радиуса ее.
136.	Определите площадь дна у ведра или бочки.
137.	Начертите круг и оппеделите величину площади его.
138.	Определите величину площади круга с радиусом
в 7 вершков.
139.	Определите площадь круга с окружностью в 44
дюйма.
68. Площадь сектора
Чтобы определить величину площади круга, нужно всю
окружность его умножить на половину радиуса.
Для определения площади сектора, составляющего какую-
нибудь часть круга, нужно взять соответствующую часть
окружности и умножить ее на половину радиуса.
Площад^ всякого сектора равна такому числу, какое получится
от умножения дуги его на половину радиуса.
140.	Начертите сектор и определите величину площади его.
Глава VII.
ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ.
69. Внутренние углы трехугольников.
равный 2 внутреннему
Образуйте внешний угол тр-ка, а потом при вершине
его и стороне тр-ка постройте угол,
углу тр-ка, как на рис. 121.
При таком построении /2и____4
будут внутренними накрест лежа-
щими при линиях А Б и ВД. Так
как „ 2 = /_ 4, то линии АБ и ВД
должны быть параллельны. ______1
должен быть равен / 5, так как они
являются соответственными при
параллельных АБ и ВД.
Углы 3, 4 и 5 вместе должны быть равны двум прямым
углам, так как лежат по одну сторону от прямой линии и
имеют общую вершину. Можно записать, что _____3-^_Д4-[-
4-<5 = 2d.
Если в этом равенстве А_4 заменить равным ему _____2,
а __5 равным ему _1, то получится, что ___________2-|-_
/1 — 2d, а это обозначает, что внутренние углы данного
тр-ка равны двум прямым углам. Подобное построение и
рассуждение применимо ко всякому тр-ку. Значит, сумма
внутренних углов всякого тр-ка равна двум прямым углам.
141.	Докажите, что сумма острых углов прямоугольного
тр-ка равна прямому углу.
142.	Докажите, что в тр-ке не может быть двух прямых
или двух тупых углов.
— 76 —
143.	Докажите, что когда у прямоугольных тр-ков
^имеется по равному острому углу, то все углы их
соответственно равны.
70. Подобные треугольники.
У тр-ков, представ, на рис. 122, все углы соответственно
равны. У них /1 = /4, /2 = ^5 и /?=/6.
Если у двух тр-ков все углы соответственно равны, то
стороны их, лежашие противлодинаковых углов, называются
Рис. 122.
сходственными. У тр-ков на рис. 122 сторона АБ сходственна
со стороной ГД, БВ с ДЕ и АВ с ГЕ.
Два тр-ка, у которых все углы соответственно равны, а
сходственные стороны одинаковой длины, называются рав-
ными. Такие тр-ки при наложении одного на другой совпа-
дут всеми своими частями.
Два тр-ка, у которых все углы соответственно равны, а
сходственные стороны разной длины, называются подобными.
На рис. 122 представл. два подобных тр-ка. Меньший из
двух подобных треугольников называется планом большого.
Если эти тр-ки наложить один на другой так, чтобы равные
утлы их 2 и 5 совпали, то Д ГДЕ займет такое же поло-
жение на тр-ке АБВ, как тр-к ГЕЕ на рис. 123. У образо-
вазшейся при этом фигуры должен быть равен ^4,
так как они являются одинаковыми углами подобных тр-ков.
— 7? —
Йо углы i-й и 4-й являются соответственными при линия!
АВ и ГЕ, и так как эти углы равны, то линии АВ и ГЕ
должны быть параллельны.
Такое наложение можно применить к любой паре подоб-
ных тр-ков и всегда две стороны меньшего будут сливаться со
сходственными сторонами большего, а 'третьи стороны их будут
параллельны.
Если по тр-ку провести линию параллельно какой-нибудь
стороне его, как на рис. 124, то на нем выделится другой
тр-к, как бы наложенный на первый.
У образовавшихся таким
образом тр-ков на рис. 124 углы
при вершине В сливаются, / 1
должен быть равен Z 4, а/3
должен быть равен ^/6, так
как они являются соответствен-
ным!. при параллельных АВ
и ГД. Значит, у Л АБВ все
углы соответственно равны уг-
лам Л ГВД. Эти тр-ки подобны
Б
А	Г	В
Рис. 124.
Таким образом на- любом тр-ке можно построить другой
тр-к, подобный первому.
144.	На прямоугольном тр-ке постройте другой, подоб-
ный ему
145.	На -тупоугольном тр-ке постройте другой, подоб-
ной ему.
146.	На равностороннем тр-ке постройте другой, подоб-
ный ему.
71.	Образование равных отрезков на сторонах
угла.
Начертите угол, на одной стороне его отложите несколько
равных частей и через концы их проведите параллельные
прямые до пересечения с другой стороной угла, как пока-
зано на рис. 125. На второй стороне этого угла выделится
столько же равных между собою частей
Чтобы убедиться в правильности этого вывода, вы через
точки деления первой стороны угла проведите линии,
— 78 —
параллельные Другой стороне его, как показано На рис. 12Ь.
Если образовавшийся при этом тр-к АЖГ сравните с тр-ком
ГЗД то найдете, что у них 2’Д=/1Л’по построению, _/1 =
= / 2 (каь соответственные при параллельных ГЖ и ИД],
а	(как соответственные при параллельных А Б и ГЗ.
Тр-ки А.ЖГ и ГЗД должны быть равны, так как имеют по
равной стороне и по два соответственно равных прилежа-
щих угла. В виду этого ГЗ~~-АЖ Но ГЗ—ЖП (как про-
тивоположная сторона параллелограмма). Значит, АЖ дол-
Рис. 126.
Рис. 125.
У тр-ков ГЗД и Д1 В сторона ГД = ДБ. 4 = ^6 и
Д_\ — Значит, эти тр-ки должны быть равны, а в виду
этого сторона ГЗ должна быть равна Д1. Сторона Д1 будет
равна ЖИ и ИВ. Значит, ЖИ и ИГ равны между собою.
Такой же величины и линия АЖ Следовательно, на сторо-
нам угла образовалось по равному числу равных частей
Пользуясь этим свойством параллельных линий, пересекаю-
щих стороны угла, можно прямые линии делить на какое
угодно число равных частей.
Начертите прямую линию, из конца ее проведите другую
прямую и на ней отложите несколько равных гастей. Если
конец последней части вы соедините прямой линией с кон-
цом первой прямой и параллельно ей проведете линии через
концы остальных частей, то первая линия разделится на
столько равных частей, сколько частей вы отложили на
линии наклонной к ней.
147. Начертите прямую линию и разделите ее на пять
равных частей.
72.	Свойство сторон подобных треугольников.
Вообразите, что вы наложили один на другой два подоб-
ных тр-ка так, что у нпх совпало по равному углу, как на
— 79 -
рис. 123. Теперь предположим, что вы нашли такую мерк/,
какая на линии ГБ уложится целое число раз а на линии
АБ уложится другое число раз, и пусть второе число в не-
сколько раз больше первого. Если линию АБ разделить на
части, равные найденной вами мерке, и через все точки де-
ления привести линии параллельно основанию тр-ка, как
на рис. 127, то и сторона БВ разделится на столько же
равных частей. На линии БД отло-
жится столько же равных частей,
сколько отложилось на пинии ГБ.
Значит, линия Б В будет во столько
же раз больше линии БД, во сколь-
ко раз АВ больше ГБ. На основа-
нии этого можно записать БВ-.БД=
=АБ:ГБ.Еыш через точки деления
-пинии АБ провести линии парал-
лельно другой стороне тр-ка, как
на рис. 127, то и линия АВ разде-
ляется на столько же равных ча-
стей, как и линия у!/7, при чем на
отложится столько же частей, как и
части этой линии ЕВ
на линии ГБ. Значит,
раз линия АВ во столько же раз больше линии ЕВ, во сколько
АБ больше ГБ, а это можно записать так: АВ:ЕВ=АБ:ГЪ.
Линия ЕВ=ГД (как гоотпвоположные стороны параллело-
грамма) Значит, АВ:ГД=АБ:ГБ. Отсюда следует, что каж-
дая из сторон Л АБВ в одно и то же число раз больше
сходственной ей стороны Л ГБД.
Так как подобное построение и рассуждение применимо к
каждой паре подобных треугольников, то и говорят, что у
подобных тр-ков сходственные стороны пропорциональны.
У них каждая сторона большего в одно и то же число
раз больше сходственней стороны меньшего.
73.	Применение свойств подобных тр-ков.
Ширину реки или озера трудно измерить так, как изме-
ряли расстояние между двумя параллельными линиями. Эту
работу можно выполнять так: на другом берегу реки или
озера намечается точка, например, куст или камень, а на
— 80 -
этом берегу намечается перпендикуляр к oepeiy гай, чтобь!
на продолжении его находился отмеченный вами куст или
камень. Через точку этого перпендикуляра, находящуюся
саженей за 10 от берега, проводят перпендикуляр к нему,
длиною саженей 20. Если через конец второго перпендику-
ляра прогести прямую линию так, чтобы на продолжении
ее оказался отмеченный вами камень или куст другого 'бе-
рега, то ваше построение будет иметь вид прямоугольного
тр-ка. Если сажени за 2 от вершины острого угла этого
тр-ка вы проведете перпендикуляр к катету его, то у вас
получится такая же фигура, как на рис. 128.
У ней ДВВ1’ подобен Д Г ДО У
них линия ВБ во столько раз боль-
ше ОД, во сколько раз ВГ больше
IД. Допустим, что при вашем постро-
ении линия ТВ будет равна 20 саж.,
РД=2 саж., а ОД= 10 саж. Б этом
случае линия РВ будет в 10 раз
больше линии ОД. Значит, линия
ВБ будет в 10 раз больше линии ДО.
Линия ВВбудет равна (10 саж.Х10)_,
т.-е. 100 саж. Чтобы определить ширину этой реки, нам при-
дется от 100 саж. отнять расстояние от точки Б до берега.
Пусть это расстояние равно 10 саж. В таком случае ширина
реки будет равна (100 с.— 10 саж.), т.-е. 90 саж.
Таким образом можно измерить ширину любой реки, озера,
болота или оврага.
148.	Измерьте ширину своей реки
149.	Измерьте ширину и длину какого-нибудь болота.
150.	Измерьте ширину оврага.
151.	Измерьте ширину пруда.
В солнечный день от каждою предмета падает тень. Тень
предмета не только стелется по земле, но держится и в
воздухе. Тень от палки, воткнутой отвесно в землю, будет
иметь вид такого же прямоугольного тр-ка, как на рис. 129.
Тень от другой отвесной палки тоже будет иметь вид прямо-
угольного тр-ка. Так как в одно и то же время угол паде-
ния солнечных лучей на землю один и тот же, то у теневых
прямоугольных тр-ков. образованных в одно и тоже время.
Рис. 128.
— ST —
должно быть по равному острому угл$. Когда у прямоуголь-
ных треугольников имеется по равному острому углу, то все
углы их соответственно равв ы. Значит, теневые прямое голь-
ные тр-ки, образующиеся в одно и то же время, должны быть
подобны, а сходственные стороны их пропорциональны. Если
поставить два разных отвесных шеста, то тень одного из них
будет во столько раз больше тени другого, во сколько раз
первый шест длиннее другого. Тень от палки на рис. 129
будет во столько раз меньше тени от дерева, во сколько раз
сама палка короче дерева.
Пользуясь этим, можно измерять высоту деревьев, башен
и домов.
152.	Определите высоту своего дома.
153.	Определите высоту дерева в саду.
154.	Определите высоту колокольни.
Высоту предметов можно измерять и другим способом.
Воткните отвесно в землю недалеко от дерева саженную
палк>, а потом воткните двух аршинную палку тоже отвес-
но, но так, чтобы концы обоих палок и верхушка дерева
показались слившимися в одну точку. Выполнение этой ра-
боты можно видеть на рис. 130. Теперь представьте, что
через концы этих палок и верхушку дерева проходит одна
прямая линия, а другая прямая идет параллельно земле, на
расстоянии двух аршин от нее, как показано на рис. 130.
Тогда полечится два подобных треугольника: большой СБб
и маленький КОб. У них линия СБ будет во столько раз
больше аршина, во сколько раз линия Ла больше линии 0«.
Величину линии Ла вы можете определить, измерив pac-
м. Н Иовлев. Ирак-1 геометрвв.	О
— 32 —
стояние от дерева до крайнего колышка, а величину линии
да можно определить по расстоянию между колышками.
Высота данного дерева при нашем измерении будет на 2
аршина больше линии АБ.
155.	Измерьте таким способом высоту колокольни.
156.	Измерьте высоту школы.
157.	Измерьте высоту какого-нибудь дерева.
74. Признаки подобия треугольников.
В подобии треугольников можно убедиться и не прибе-
гая к сравнению всех углов их.
Два треугольника будут подобны, если два угла одного
соответственно равны двум углам другого. В этом можно
убедиться путем такого рассуждения:
Пусть у тр-ков на рис. 131 ^/1=^4, а /_3-А‘).
Так как все внутренние углы каждого из тр-ков равны
двум прямым, то можно записать^ что___4-/2+z£3==Zl4+
-hZ/’+ZJ’- Если в левой части этого равенства ^/1 заменить
равным ему /Л а заменить равным ему ^6, то по-
лучится, что ^_4-|-_3-J-_6=__4-| -^/54-/6. Если от частей
этого равенства отнять
по Z4 и по __6, то по-
лучится, что
а отсюда следует, что
все углы данных тр-ков
соответственно равны.
Значит, два тр-ка, у
которых два угла одно-
го соответственно ра-
вны двум углам дру-
гого,—подобны.
Два тр-ка будут подобны, если две стороны одного из них
пропорциональны двум сторонам другого и углы, лежащие
между этими сторонами, равны. В правильности этого мож-
но убедиться путем такого построения и рассуждения:
Пусть у тр-ков на рис. 131 _2^,_5,
АБ_ БВ „
а/д д>Есл
на
стороне АБ отложить часть EJK, равную ГД и через конец
:
ее провести линию, параллельно основанию АВ, как на рис.
131, то получится тр. ЖБЗ, подобный тр-ку АБВ. Тогда
АБ БВ „
получится, что...Если в этой пропорции величину
ЖБ заменить равной ей величиной ГД, то получится, что
АБ БВ	АБ '
vA~Tq‘ Ьсли в этом равенстве величину ^заменить рав-
ьв
ной ей величиной из первой пропорции, то полу чится,
БВ БВ
ЧТ0ДЪ’ БЗ
Пользуясь тем, что в этой пропорции произведение край-
них равно произведению средних можно записать, что ЬВ.
Г>3=БВ.ЕД. Если обе части этого равенства разделить на
БВ, то получим, что БЗ !'.!.
Значит, у тр-ков ЖБЗ и ГДЕ имеется по jbc соответ-
ственно равных стороны и по равному углу, заключенному
между ними. Эти тр-ки должны быть равны. Так как тр-к
ЖБЗ подобен тр-ку АБВ, то и тр-ж ГДЕ будет подобен
тр-ку 1БВ.
Подобное построение и рассуждение применимо ко вся-
кой паре тр-ков, у которых имеется по равному углу, за-
ключенному между пропорциональными сторонами. Зна-
чит тр-ки, имеющие по равному углу, заключенному между
пропорциональными сторонами, должны быть подобны.
75 Планы треугольников
Постройте на земле тр-к с катетами в 4 и 5 саженей, а
потом начертите прямой угол и одну сторону его сделайте
равной 5 сайт., а другую 4 сайт.
Если концы сторон этого угла соедините прямой линией,
то получится прямо\ ’ ольный тр-к. Он будет подоб< н наме-
ченному вами участку земли, так как они имеют по рав-
ному углу, заключенному между пропорциональными
сторонами.
Начерченный вами тр-к можно назвать планом отмеченного
участка земли.
б*
— 84 —
Чтобы показать, что каждый сантиметр на сторонах плана
соответствует сажени на сходственных сторонах земельного
участка, вы проведите под планом прямую линию, отложите
на ней несколько сантиметров и подпишите, что длину
каждого из них нужно принимать за сажень, как это пока-
зано на рис. 132. Такая условная мерка при плане назы-
вается масштабом его.
168.	Определите длину гипотенузы прямоугольного тр-ка
на рис. 132 с помощью масштаба его.
159.	Постройте на земле прямоугольный тр-к и начер-
тите план его с масштабом вершок за сажень.
Постройте на зе-
мле косоугольный
треугольник, а по-
том начертите угол,
равный одному из
углов этого тр-ка, и
на сторонах его отло-
жите по стольку сан-
тиметров, по скольку
саженей уложится
по сторонам равного
ему угла данного
тр-ка.	Рис. 132.
Если концы сторон этого угла соединить прямой линией,
то получится тр-к, подобный намеченному участку земли.
Эти тр-ки будут иметь по равному углу, заключенному
между пропорциональными сторонами. Начерченный вами
тр-к может служить планом
данного участка земли.
160.	Постройте на земле косоугольный тр-к и начертите
план его с масштабом дюйм за сажень
76. Планы параллелограммов.
Постройте на земле прямоугольник длиною 10 саж. п
шириною 5 саж., а на бумаге начертите прямой угол так,
чтобы одна сторона была 10 сайт., а другая 5 сантиметров.
Если через концы каждой стороны этого угла провести по
линии параллельно другой стороне его так, чтобы эти линии
— 85 —
пересеклись, то у вас получится новый прямоугольник.
Две стороны этого прямоугольника будут по 10 сайт., а
две по 5 сайт. Каждая сторона начерченного вами четыре-
утольника в одно и то же число раз меньше сходственной
стороны данного участка земля. Два четыреугольника или
два многоугольника, у которых все углы соответственно
равны, а сходственные стороны пропорциональны, назы-
ваются подобными. Меньший из двух подобных четыреуголь-
ников или многоугольников наз. планем большою. Начер-
ченный вами прямоугольник мс жно назвать планом данного
участка земли. На масштабе этого плана взят сантиметр
за сажень.
На рис. 133 представлен план прямоугольника с масшта-
бом сантиметр за аршин.
6 ajbt+t.
Рис. 133.
161.	Начертите’план прямоугольной грани стола с мас-
штабом сантиметр за вершок.
Постройте на земле параллелограмм так, чтобы стороны
его, образующие один и тот же угол, равнялись 10 и 5 са-
женям, а потом начертите угол, равный данному углу парал-
— 86 —
лелограмма,, и одну сторону его сделайте в 10 сайт., а
другую в 5 сант.
Если через концы каждой стороны этого угла провести
по линии параллельно другой стороне его так, чтобы эти
линии пересеклись, то у вас получится новый параллело-
300	500	воо'
ч-----------------------н
30.	150 О
Мзсштабъ- 300 сяж*яъ въ дюйм-fc.
Рве. 134.
Ьгъ&епъ
Иланъ.
Рве. 135.
— 87 —
грамм. Все углы этого параллелограмма должны быть
соответственно равны углам данного участка земли. Сто-
роны этих параллелограммов пропорциональны Значит,
начерченный вами параллелограмм может служить планом
данного участка земли.
Таким образом можно начертить план любого прямо-
уголгника, квадрата, ромба и параллелограмма.
На планах иногда отмечаются не одни только границы
плоской фигуры, но зачерчиваются планы и всех предметов,
находящихся на ней. На рис. 134 представлен подробный
план земли целого села, на рис. 135 представлен подробный
план школы.
77. Планы разных чнтыреуго. гьников и много-
угольников
Начертите какой-нибудь четыреугольник и проведите
диагональ его. Четыреугольник разделится на два тр-ка.
Если по одному и тому же масштабу начертить планы этих
тр-ков так, чтсоы и на плане сливались линии, сходствен-
ные с диагональю четыреугольника. то могут получиться
такие же фигуры, как на рис. 136. У этих фигур тр-к АБГ
подобен тр-ку ДЕЗ. Значит, _1=__7,____2 —___8, а j_3 =
= _9. Тр-к ГБВ подобен тр-ку ЗЕ Ж Значит. _ 4 = . /Ю,
_5 —_д11 и ^/6 = ^12. Е таком случае _______4—/8-}~
+ZJ0 и ЛД АД = АД + Z. 12, а это значит, что Д^1ББ —
Рис. 136.	Рис. 137.
Отсюда следует, что у четыреугольников, представл. на
рис. 136, все углы соответственно равны и все стороны
пропорциональны. Зна шт, эти четыреугольники подобны
Таким образом можно построить план любого четырр-
У’ольника,
— 88 —
162.	Постройте на земле трапеции- и начертите план ее
с масштабом сантиметр за сажень.
Начертите многоугольник и проведите диагонали ею,
как на рис. 137. Мн-к разде тится на тр-ки. Если по одному
и тому же масштаб} начертить планы этих тр-ков так, чтобы
и на плане сливались все линии, сходственные с ели »ши-
мися линиями данного мн-ка, то получится мн-к, подобный
данному. В правильности этого построения и вывода можно
Убедиться таким же путем, каким пользовались при по-
строении подобных четыгеугольников.
163.	Постройте на земле мн-к и начертите план его
78 Расположение плана.
Все планы принято чертить так, чтоиы северная сторона
фигуры была изображена на верху листа. У плана села и
класса на рис. 134 и 135 особой стрелкой показаны север-
ные стороны их. -Чтобы определить северную сторону фи.
гуры, нужно стать или вообразить себя стоящим на середине
ее. Та сторона фигуры, которая окажется на север от вас,
и будет северной.
Рис. 138.
Чтобы точней определить север
обыкновенно пользуются таким же
прибором, какой представлен на рис.
138. Этот прибор называется компасом
Темный конец магнитной стрелки,
помещающейся в среди! е коробки
этого прибора, всегда показывает север.
164.	Начертите план своего класса
с соответствующим направле-
нием сторон его.
79. Поперечный масштаб.
Начертите такой прямоугольный треугольник, чтобы
один катет его равнялся сантиметру, а другой трем санти-
метрам. Больший катет этого треугольника разделите на
три равных части и проведите перпендикуляр к нему через
точку деления, ближайшую к вершине острого угла, как
— 89-т-
6
Рис. 139.
показано на рис. 139. У вас получится два подобных тре-
угольника: АБЕ и ГБД.
У этих треугольников линия ГБ в три раза
меньше линии АБ. Значит, и пиния ГД в три
раза меньше линии АВ. Она равна трети сан-
тиметра.
Если вы проведете перпендикуляр к боль-
шому катету данного треугольника, через вто-
рую точку деления его, то у вас образуется
треугольник ЕЕЖ, подобный треугольнику ГБД.
У этих тре; i ельников линия ЕБ в два раза
больше линии ГБ. Значит, и линия ЕЖ в два раза больше
линии ГД. дта линия должна быть равна двум третям (%)
сантиметра. Результатом нашего построения и рассуждения
можно воспользоваться при черчении планов. Предположим,
что мы решили при черчении какого-нибудь плана вместо
сажени брать сантиметр. В этом случае вместо аршина
придется брать */3 сайт, и вместо 2 арш. 2/3 сайт., а это
легко еде тать с помощью данного треугольника.
Начертите такой прямоугольный треугольник, чтобы один
катет его равнялся четырем сантиметрам, а другой одному
сантиметру. Больший катет этого треугольника разделите
на 16 равных частей и проведите перпендикуляр к нему
через точку деления, ближайшую к вершине ост-
рого угла, как показано на рис. 140. У вас полу-
чится два подобных треугольника: АБВ и ГБД.
У них линия ГБ в 16 раз меньше линии АБ.
Значит, и линия ГД в 16 раз меньше линии ЛВ.
Линия ГД равна ’/16 сан. Теперь проведите пер-
пендикуляр к большему катету треугольника, че-
рез второе деление еа>, кап показано на рис. 140.
У вас получится треугольник ЕБЖ, подобный тре-
угольнику ГБД. Так как у этих треугольников
Рис. 140. СТОрОна дув в два раза больше стороны ГБ, то и
сторона ЕЖ в два раза больше стороны ГД. Сторона ЕЖ
должна быть равна s/le сантиметра. Таким же образом вы
можете доказать, что перпендикуляр к большому катету,
проведенный через третью точку деления его, отделит тре-
угольник подобный треугольнику ГЬД и часть его, ?аклю-
— 90 —
чениая между катетом и ги-
потенузой, будет равна */1в
сант. Таким же образом вы
можете построить линию, ра-
вную */„ сант., s/16 сайт., 6/1в
сант. п т- д.
Если при черчении планов
мы сантиметр примем за ар-
шин, то линию ГД начерчен-
ною вами треугольника можно
будет принять за вершок, ли-
нию ЕЖ за два вершка, линию
ЗИ за три вершка и т. д. На
основании этою при черчении
планов часто пользуются при-
бором, изображенным на рис.
141. Этот прибор называется
поперечным масштабом С по-
мощью его можно откладывать
на плане сажени, аршины и
вершки, если принять санти-
метр за аршин.
Гл А В A VIII,
МНОГОГРАННИКИ.
80 Двугранные углы.
Поверхность предмета, представленного на рис. 142, со-
стоит только из граней. Такие предметы, поверхность кото-
рых состоит только из граней, назыв. многогранниками.
165.	Найдите много! рзнникп среди окружающих пред-
метов.
У каждого многогранника есть грани, которые как будто
пересекают одна другую, или как бы выходят из прямой
линии. Таковыми являются обращенные к нам грани много-
гранника на рис 142. гракое же явление вы заметите, если
откроете книжку так, как показано на рис. 143. В послед-
Рис. 142.
Рис. 143.
нем случае ясно видно, что между двумя частями поверх-
ности книжки находится неопределенная часть пространств*’
Неопределенная часть пространст ва, нах< дящаяся меягду
двумя гранями, выходящими из прямой линии, называется
двугранным углом.
Грани, образующие двугранный угол, наз. сторонами угла,
а линия, из которой выходят грани, назыв. реором его.
— 92 —
166.	Покажите стороны и ребро двугранного угла, обра-
зованного стенами класса.
167.	Покажите стороны ребра двугранных углов, обра-
зованных гранями ящика.
На сторонах двугранного угла бруска проведите по
перпендикуляру к ребру, через одну и ту же точку его,
как на рис. 144. Проведенные вами линии образуют угол.
Этот угол можно назвать линей-
ным углом двугранного угла. Ве-
личину. линейного угла данного
двугранного угла можно зачер-
тить с помощью малки и изме-
рить с помощью транспортира.
Если вы построите несколько
линейных углов одного и того
же двугранного угла и измерите их, то увидите, что они
равны между собою. Величину двухгранного угла можно
определить по линейному углу его.
168.	Измерьте двухгранные углы ящика.
Если у двухгранного утла линейный угол прямой, то
он наз. прямым, а если лиьейный угол косой, то и дву-
гранный угол наз. косым. ’
169.	Покажите прямые и косые двугранные углы на
окружающих предметах.
Если один двугранны:1 угол вложить в другой так,
чтобы ребра их слились, то может случиться, что и сто-
роны их сольются, но может служиться, что стороны не
сольются. Такие двугранные углы, у которых при вложе-
нии одного в другой стороны и ребра совпадают, называются
равными.
Все прямые двугранные углы равны между собою. Сто-
роны прямого двугранного угла наз. перпендикулярными.
Для определения перпендикулярно ли идут стороны
двугранного угла пользуются таким же прибором, какой
пред, на рис. 145. У этого прибора некоторые грани идут
перпендикулярно одна к другой. Пользуются им так, как
показано на рис. 146, а наз. он наугольником
— 93 —
170.	Найдите прямые двугранные углы на окружающих
предметах с помощью наугольника.
171.	Сбейте две дощечки так, чтобы грани их образо-
вали прямые двугранные углы.
81. Прямоугольный параллелепипед и куб.
В жизни встречаются предметы, у которых все двугран-
ные углы—прямые. Эти предметы имеют такую же форму,
как предмет, представленный на
рис. 147 или такую форму, как пред-
мет, представленный на рис. 148.
У предмета на рис. 147 ребра всех
Рис. 148.
Рпс. 147
двугранных углив одинаковой длины, а у предмета на
рис. 148 ребра двугранных углов разной длины. Те пред-
меты, у которых все двугранные углы прямые, а ребра их
одина> овой длины, наз. кубами. У куба все грани —квадраты.
172.	Покажите предметы, имеющие форму куба.
Те Предметы, у которых все двугранные углы прямые,
но ребра их разной длины, наз. прямоугольными параллелепи-
педами.
173.	Покажите предметы, имеющие форму прямоуголь-
ного параллелепипеда.
174.	Вырежьте из картона такую же фигуру, какая
представлена на рис. 149 и склейте куб.
175.	Вырежьте из картона такую же фигуру, какая
представлена на рис. 150 и склейте прямоугольны^
параллелепипед.
Замечание При склеивании многогранников нужно де-
лать неглубокие надрезы по пунктирным линиям начер-
ченных фигур и картон перегибать так, чтобы все надрезы
оказались снаружи.
У каждого прямоугольного параллелепипеда и куба ниж-
нюю грань называют основанием.
Куб с ребрами по вершку — наз. кубическим вершком, с
ребрами по аршину—наз. кубическим аршином, с ребрами по
дюйму—наз. кубическим дюймом и т. д.
176.	Склейте кубический вершок.
177.	Склейте кубический дюйм.
178.	Склейте кубический дециметр.
- 95 -
82. Вместимость предметов.
В бутылке воды поместится больше, чем- в стакане. На
основании этого можно сказать, что вместимость бутылки
больше вместимости стакана. В ведре воды поместится
больше, чем в бутылке; следовательно, вместимость ведра
больше вместимости бутылки. Сколько стаканов воды по-
местится в бутылке, во столько раз вместимость бутылки
меньше вместимости ведра.
179.	Определите, во сколько раз вместимость стакана
меньше вместимости горшка.
Определение, во сколько раз вместимость одного предмета больше
вместимости другого предмета, называется измерением вместимости
его. Если в какой-нибудь бочке поместится 20 ведер воды,
то говорят что вместимость ее равна 20-ти ведрам,
Вместимость бочек и бассейнов, наполненных водою,
всегда сравнивает со вместимостью ведра, величина кото-
рого утверждена правительством. Ведрами измеряют воду,
пиво, вино и спирт. Небольшие количества жидкостей из-
меряют бутылками, полубутылками и сотками. Вместимость
ведра равна 20 бутылкам, сорока полубутылкам и сотне
соток.
Вместимость предметов, наполненных зерном или каким-
нибудь другим сыпучим веществом, сравнивают со вмести-
— ’96 —
мостью четверти, меры и гарнца. Четверть, «ера и гарнц сло-
жат мерами сыпучих веществ. Вы наверное знаете, что
четверть равна 8 мерам, а мера равна 8 гарнцам. Мера
иногда называется четвериком.
180.	Измерьте гарнцем вместимость какого - нибудь
ящика.
181.	Измерьте гарнцем вместимость какиго - нибудь
мешке
83. Измерение вместимости прямоугольных
* ящиков.
Склейте" прямоугольную коробочку длиною 4 дюйма, пы
риною 3 дюйма и высотою 2 дюйма и наполните ее куби-
ческими дюймами, как показано на рис. 151. Вы увидите,
что в ней поместится 24 куб- дюйма.
Число кубических
дюймов, наполнивших
данную коробочку, мо-
жно было определить
и не наполняя ее ку-
биками. Так как длина
коробочки 4 дюйма, то
вдоль нее на дне коро-
бочки уставится только
как ширина коробочки 3
Так
Рис. 151.
четыре кубических дюйма,
дюйма, то на дне ее поместится 3 ряда по 4 куб. дюйма
в каждом.
Значит, на дно данной коробочки можно поставить 12
куб. дюймов. Так как высота коробочки два дюйма, то в
ней поместится еще один такой же слой кубиков, какой
уложен на дно ее. Значит, в коробочке может поместится
только 24 куб. дюйма.
Вместимость прямоугольной коробочки длиною 5 сант.,
шириною 3 сант. и высотою 4 сант. тоже можно определить
без наполнения ее кубиками.
Так как длина этой коробочки 5 сант., то вдоль нее в
один ряд можно поставить только 5 куб. сантиметров. Ши-
рина коробочки 3 сантиметра. Значит, на дне коробочки
&
— 97 —
можно уложить 3 ряда кубических сантиметров по 5 в каж-
дом. Всего на дне коробочки уложится. (5 куб. сант\3)
т.-е. 15 куб. сайт. Так как высота коробички 4 сантиметра,
то для наполнения коробочки придется уложить 4 слоя
кубиков по 15 штук в каждом. Всего в данной коробочке
должно поместится (5 куб. сайт. Х^)Х4 т-‘е- куб. сайт.
Путем, подобного рассуждения можно определить вмести-
мость любой коробочки с прямыми двугранными углами.
182.	Внутренние ребра прямоугольного ящика по сажени.
Сколько кубчч. аршин поместится в нем?
183.	Сколько куб. футов поместится в таком же ящике?
Вы наверное заметили, что в один слой на дне каждого,
прямоугольного ящика можно поставить столько кубиков,
сколько раз грань кубика может уложиться на дне ящика.
Значит для определения вместимости прямоугольного
ящика необходимо измерить площадь дна его гранью ку-
бика и полученное число умножить на высоту. На основа-
нии этого и говорят, что вместимость всякого прямоугольного
ящика равна такому числу, какое голучится от умножения площади
дна его на высоту.
184.	Измерьте вместимость своего класса.
185.	Измерьте вместимость какого-нибудь сундука.
186.	Землекопы вырыли прямоугольную яму длиною 45
арш., шириною 8 арш. и глубиною 3 аршина. За
кубический аршин вырытой земли они получили
по 25 коп. Сколько землекопы получили за ра-
боту?
84. Измерение объема прямоугольного парал-
лелепипеда и куба.
Возьмите коробочку длиною 4 дюйма, шириною 3 дюйма
и высотою 2 дюйма и приготовьте кирпичик с помощью
ее. Этот кирпичик будет походить на прямоугольный па-
раллелепипед.
Куда бы вы ни положили приготовленный вами кирпи-
чик, он везде будет занимать пространство. равное вместимо-
сти данной коробочки.
М, Н. Иовлев, Прчкт, гелметри»
- 98 —
Пространство, занятое этим кирпичиком, называется об'еИом
его.
Теперь наполните данную коробочку кубическими дюй-
мами, а потом »ти кубики сложите на сто.1 так, как они
лежали в коробочке. У вас получится такой же прямо-
угольный параллелепипед, какой представлен на рис. 152.
Об'ем этого парал-
лелепипеда равен вме-
стимости данной коро-
бочки и об'ему сле-
пленного вами кирпи-
чика. Об'ем каждого
из них равен 24 куб.
дюймам.
Возьмите обыкновен-
ный кирпич и опреде-
лите длину внутренних ребер станка, с помощью которого
приготовлен он, а потом определите вместимость этого
станка. Об'ем взятого вами кирпича будет равен вместимости
этого станка. Таким образом можно определить об'ем лю-
бого кирпича. Он будет равен такому числу, какое полу-
чится от умножения площади основания его на высоту.
Каждый прямоугольный параллелепипед и куб можно
рассматривать как кирпич, приготовленный с помощью со-
ответствующего станка. Значит, об'ем каждого прямоугольного
параллелепипеда и куба должен равняться такому числу, какое по-
лучится от умножения площади основания на высоту.
187.	Определите об'ем закрытого прямоугольного сун-
дука.
18R.	Определите об'ем какого-нибудь прямоугольного
бруска.
85-	Линии перпенидкулярные плоскости.
Воткните прямую проволоку в грань, как на рис. 153.
Эта проволока будет изображать прямую линию, соприка-
сающуюся с гранью в одной точке. Точка соприкосновения
Грани с линией наз. основанием линии.
Начертите на грани несколько прямых лпнпй. проходя-
— 99 —
Щйх через одн> точку ее, и в эту точку воткните прямую
проволоку так, чтобы она была перпендикулярна к каждой
из линий, начерченных вами на грани. Ваше построение
будет такого же вида, как на рис. 154, и проволока будет
Рис. 154.
Рис. 153.
изображать прямую линию, перпендикулярную грани. Пер-
пендикуляром к грани называют каждую прямую, которая
идет перпендикулярно ко всем прямым, проведенным на
грани через основание линии.
Замечено и доказано, что если прямая линия перпенди-
кулярна к двум прямым, проведенным через основание ее
на плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой другой
вается он двойным
прямой, проведенной через это же
основание на плоскости. Такая пря-
мая будет перпендикулярна пло-
скости. Перпендикуляры к плоско-
стям строят с помощью прибора,
представленного на рис. 155. У это-
го прибора есть линия, перпенди-
кулярная к двум другим прямым,
лежащим в одной плоскости. Назы-
наугольником, а пользуются им так, как
показано на рис. 155.
189. Вбейте в стену гвоздь
перпендикулярно поверх-
ности ее.
190.	Сделайте, чтобы линия линейки шла перпендику-
лярно к поверхности стола.
Вбейте в край стола гвоздик и от него проведите пер-
пендикулярную и наклонную нитку к поверхности пола,
— 100 —
как на рис. 156. Эти нитки будут напоминать прямоуголь-
ный тр-к, при чем наклонная нитка будет служить гипоте-
нузой, а перпендикулярная нитка будет служить катетом
Рис. 156.
его. В виду этого перпен-
дикулярная нитка должна
быть короче наклонной
Она будет короче всякой
наклонной, проведенной
от этого гвоздика к полу.
По ней можно измерить
расстояние от гвоздика
до пола Расстояние от
каждой точки до плоско-
сти измеряется по пер-
пендикуляру к плоско-
сти, проведенному из
данной точки.
191.	Измерьте расстояние от крючка в потолке до пола.
86. Линии, параллельные плоскости.
Измерьте расстояние от концов прямой линии
у крышки стола до пота. Это расстояние может
быть или одинаковой или разной длины. Если
расстояние от концов прямой линии до иола оди-
наковое, то эта линия не может пересечься с по-
верхностью пола и при продвижении их. Прямая
линия, которая не может пересечься с плоскостью
и при продолжении их, называется параллельной
плоскости.
192.	Найдите линии, параллельные поверхно-
сти пола.
193.	Найдите линии, параллельные поверхности
потолка.
I
87. Отвесные грани и пинии
Сделайте такой же прибор, какой представ ген
да рис. 157. Такие приборы называются отврсачи-
Рис, 1Ь7<
— 101 —
Поднимите отвес за свободный конец нитки его. Нитка
образует прямую линию и эта линия будет называться
отвесной. Если около нитки отвеса поставить линию линейки
так, чтобы они слились или шли параллельно, то и
линию линейки можно будет назвать отвесной.
194.	Найдите отвесные линии на окружающих предме-
тах.	•
Установите грань линейки так, чтобы она шла парал-
лельно линии отвеса. Грань, идущая параллельно линии
отвеса, называется отвесной.
195.	Найдите отвесные грани на окружающих предметах
196.	Виткните в землю прямой кол по отвесу.
Столбы и колья, поставленные по отвесу, держатся устой-
чивей наклонных.
Стены встких зданий, обыкновенно, строят по отвесу. .
88.	Горизонтальные грани и линии.
Если на какую-нибудь грань положить шарик, то он
будет или спокойно лежать на ней или же будет скаты-
ваться с нее. Такие грани, на которых могут лежать шаро-
образные предметы, называются горизонтальными.
197.	Найдите горизонтальные грани на окружающих
предметах.
Грани, которые не могут быть названы горизонтальными
или отвесными, называются наклонными.
198.	Покажите наклонные грани на окружающих ппед-
метах.
По горизонтальной плоскости переносить и перевозить
тяжесть легче, чем по отвесной и наклонной. Тяжести на
горизонтальной поверхности держатся устойчивей, чем на
отвесной и наклонной.
Чтобы точней дать грани горизонтальное положение,
польз} ются таким прибором, какой представлен на рис.
158. Этот прибор назыв. уровнем. Он состоит из линейки и
Рис. 158.
— 1<>2 —
прикрепленной к ней трубочки, с подкрашенной жидкостью
и небольшим пузырьком воздуха. Воздух в этой трубочке
всегда занимает самый высокий конец ее.
Если поднять правый конец трубочки, воздух в ней
бежит направо, если поднять левый конец ее, воздух бе-
жит налево, а если линейку прибора уложить горизон-
тально, то воздух остановится на средине трубочки. Зна-
чит, когда уровень лежит на грани и воздух в трубочке
находится на средине ее, то данная грапь горизонтальна.
Линии, проведенные на горизонтальной грани—гори-
зонтальны. »
199.	Найдите горизонтальные линии на окружающих
предметах.
Если над горизонтальной гранью спустить отвесную ли-
нию, то эта линия будет перпендикулярна грани.
200.	Опустите перпендикулярную линию к полу класса.
201.	Измерьте расстояние от угла с гола до пола.
89. Параллельные грани.
Все точки поверхности потолка обыкновенно находятся
на одинаковом расстоянт и от поверхности пола
Сколько бы мы ни продолжали пол и потолок, они не пе-
ресекутся между собою.
Такие плоскости, которые не могут пересечься при про-
должении их, называются карамельными.
Рис. 159,
Две плоскости обязательно
будут параллельны, если они
идут перпендикулярно к одной
и той же прямой линии В этом
можно убедиться путем такого
рассуждения:
Пусть две плоскости, пред-
ставленные на ргс. 159, идут
перпендикулярно к прямой ли-
нии АБ и пересекаются между
собою. Теперь вообразите, что
какую-нибудь точку пересече-
ния плоскостей вы соединили
прямой линией с концами
— 103 —
данной прямой АБ, как на рис. 169. В этом случае у вас
должен будет образоваться тр-к с двумя прямыми углами.
Но тр-ка с двумя прямыми углами быть не может. Значит,
и пересечения плоскостей, которые перпендикулярны к од-
ной и той же линии, быть не может.
202.	Найдите параллельные грани на окружающих пред-
метах.
90. Прямая призма.
Поверхность каждого из многогранников, представл. на
рис.. 160, состоит из нескольких прямоугольндкоь и еще
двух равных и параллельных граней. Такие многогранники
поверхность которых состоит из нескольких прямоугольни-
ков и еще двух равных и параллельных граней, назыв.
прямыми призмами. Две равных параллельных грани каждой
призмы наз. основаниями ее, а остальные грани наз. боковыми.
Границь оснований у каждой призмы наз. ребрами оснований,
а остальные ребра наз. боковыми. Все боковые ребра прямой
призмы идут перпендикулярно к основанию и имеют одина-
ковую длину. Длина каждого из боковых ребер прямой
призмы может быть принята за высоту ее.
Если основание прямой призмы тр-к, то она наз. тре-
угольной, если основание четыреугольник — она наз. четыре-
угольной, а если основание призмы — многоугольник, то она
наз. многоугольной.
На рис. 160 предст.
треугольная, четыре-
угольная и многоуголь-
ная призмы.
Прямоугольный па-
раллелепипед и куб
можно назыв. четыре-
угольными прямыми
Рис. 160.
призмами.
Прямая призма, поверхность которой состоит из четырех
прямоугольников и двух параллелограмов или ромбов, на»,
прямым параллелепипедом. Прямую четыреугольную призму
на рис. 160 можно назвать прямым параллелепипедом.
— 104 —
203.	Покажите предмет, имеющий форму прямого парал-
лелепипеда.
204.	Покажите предметы, имеющие форму прямой тре-
угольной или многоугольной призмы.
91.	Равенство призм.
Кирпичи, приготовленные с помощью одной и той же
формы, наз. равными. Все призмы, приготовленные с помо-
щью одной и той же формы, наз. равными. У равных призм
все части соответственно равны.
Если у двух призм все грани и двугранные углы соот-
ветственно равны, то они должны совместиться с одной и
той же формой. Они должны быть равны между собою.
92.	Равновеликие призмы.
Вы знаете, что об‘ем куба с ребром в 6 дюйм, равняется
(6 куб. дюйм. Х6)Х6» т.-е. 216 куб. дюйм. Об'ем прямо-
угольного параллелепипеда длиною 9 дюйм, шириною 6
дюйм, и высотою 4 дюйма будет равняться (9 куб. дюйм. X 6 Х
Х4, т.-е. 216 куб. дюйм. Значит, об'емы данного куба и
прямоугольного параллелепипеда равны, хотя они и не мо-
х'ут совместиться с одной и той же формой . Такие призмы,
которые не могу! совместиться с одной и той же формой,
но имеют равные об‘емы, называются вавновеликими.
93.	Об‘ем прямого параллелепипеда.
Рис. 161.
У прямого параллелепипеда на
рис. 161 ребра ЕЛ> и ИВ продолжены
за точки В и Ж и на них опущены
перпендикуляры ДИ, 31, ГЛ и АК.
Точка И соединена прямой линией с
точкой К, а точка I с точкой Л. При
этом построении как будто отделяется
от данного параллелепипеда призма
АЪКДЕИ и намечается остов призмы
ГВЛЖ13. Все граня призмы АБКДЕП
соответственно равны граням призмы
— 105 —
ГВЛЖТЗ. Двугранные углы этпх призм также соответствен-
но равны.
Значит, эти призмы должны быть равны.
Если бы мы отрезали призму АББ'ДЕИ и поставили ее
на место призмы ГВЛЖ13, то данный прямой параллелепи-
пед превратился бы в равновеликий ему прямоугольный
параллелепипед ЛКЛГДИ13 Основанье и высота образовав-
шегося параллелепипеда такой же величины, как и у дан-
ного параллелепипеда. Об’ем каждого из них равен такому
числу, какое получится от умножения площади основания
данного параллелепипеда на высоту его.
Так как подобное построение и рассуждение применимо
ко всякому прямому параллелепипеду, то и говорят, что
об'ем каждого прямого параллелепипеда равен такому числу, какое
получится от умножения площади основания его на высоту.
205.	Измерьте об'ем имеющегося у вас прямого паралле-
лепипеда.
94. Об'ем прямых призм.
У прямой треугольной призмы, представл. на рис. 162,
стороны АБ а ГД разделены пополам и через точки деле-
ния проведены линии, параллель-
ные ЛЕ и ГЕ. Через вершину этой
призмы Е проведена линия парал-
лельно ребру ГД, а через вершину
ее В проведена линия параллельно
ребрз Л Б. Образовавшаяся при
этом точка IL соединена прямой
линией с точкой I, точка К с точ-
кой J, а точка Ж соединена с 3.
При этом построении намечается
новая треугольная призма ВЛ1ЕКИ
и отделяется от дав ной призмы
треугольная призма ЗБЛЖДК. Сра
впивая треугольные приемы В. [IELH
Рис. 162.
и ЗБЛЖДК вы заметите, что все грани и двугранные углы
их соответственно равны. Значит, эти призмы должны быть
равны. Если отделить призму ЗБЛЖДК и поставить ее на
— 106 —
место призмы ВЛ1ЕЕИ то получится прямой параллелепипед
АЗГВГЛЛРЕ' равновеликий данной треугольной призме
АБВГДЕ. Основание этого параллелепипеда равновелико
основанию данной призмы, а высотой их служит одна и та
же величина. 06‘ем образовавшегося параллелепипеда равен
такому числу, какое получится от умножения площади
основания данной треугольной призмы на высоту ее. Та-
кому же числу должен равняться и об'ем данной треуголь-
ной призмы. Так как подобное построение и рассуждение
применимо ко всякой прямой треугольной призме, то на
основании этого и говорят, что об‘еи прямой треугольной призмы
равен такому числу, какое получится от умножения площади осно-
вания ее на высоту.
Любую четыреугольную прямую призму разрезом по
двум боковым ребрам можно разделить на две прямых тре-
угольных призмы, как показано на рис. 163. Если обозна-
чить площадь основания одной из обра
зовавшихся треугольных призм через 5,
площадь основания другой через Б, а
высоту каждой из них через В, то об'ем
первой будет равен (А. В), а об'ем вто-
рой (Б. В). 06‘ем обеих треугольных
призм равен (А. Б-]- ЕВ) или (А Б). В,
а это обозначает, что для оппеделения
суммы об'емов двух треугольных призм,
выделившихся из четыреугольной при-
змы, необходимо определить сумму пло-
щадей у оснований их и полученное
число умножить на высоту.
Сумма площадей оснований их равна
основанию данной четыреугольной призмы. Значит, об'ем
двух данных треугольных призм равен произведению пло-
щади основания данной четыреугольной призмы на высоту
ее. Таков же будет об'ем и четыреугольной призмы, разде-
ленной на треугольные.
206.	Определите об'ем прямой призмы с трапецией в
основании.
207	Определите об'ем прямой призмы с неправильным
чстыреугольником в основании.
— 107
Любую прямую многоугольную призму можно разделить
на прямые треугольные призмы, как показано на рис. 164.
06‘ем всех треугольных призм, вы, je. [иыпихся из много-
угольной, будет равен произведению суммы оснований их
на высоту. Сумма оснований их равна
основанию многоугольной призмы. Значит,
об'ем этих призм будет равен произведе-
нию площади основания многоугольной
призмы на высоту ее. Так как об‘ем этих
призм будет равен об'ему многоугольной
призмы, то можно сказать, что об'ем всякой
прямой многоугольной призмы равен произведе-
нию площади основания ее на высоту.
208.	Измерьте об'ем какой-нибудь пря-
мой многоугольной призмы.
Рис. 164.
95. Полная пирамида.
В жизни встречаются предметы, имеющие такую же
форму, какую имеют предметы, изображенные на рис. 165.
Предметы такой формы называются пирамидами. У каждой
Рис. 165.
пирамиды боковыя грани—треугольники, у которых по од-
ной вершине сходится в одной точке. Эта точка называется
вершиною пирамиды Сторона пирамиды, лежащая против
вершины ее, называется основанием пирамиды.
209.	Найдите пирамиду среди окружающих предметов и
измерьте поверхность ее.
— 108 —
210.	Слепите из глины пирамиду и измерьте поверх-
ность ее.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на
основание, наз. высотою ее. Высоту пирамиды можно изме-
Г-	рить с помощью прибора, изображенного на
рис. 166. Этот прибор называется рейкой. Для
Г_ _____ измерения высоты пирамиды около нее ста-
’ вят рейку так, чтобы большая пластинка
шла перпендикулярно к основанию пирамиды,
а меньшая легла на вершину ее.
Расстояние от меньшей пластинки до кон-
ца большей будет показывать высоту данной
пирамиды.
Одна из коробок, представленных на рис. 167,
р..	имеет вид прямой призмы, а другая коробка
имеет вид прямой пирамиды. Основание этой
призмы равно основанию пирамиды и высота призмы равна
высоте пирамиды.
Рис. 167.
Если вы возьмете две таких коробки и определите, во
сколько раз в призме поместится песку больше, чем в пи-
рамиде, то увидете, что вместимость призмы в три раза боль-
ше вместимости пирамиды. Это же явление вы подметите
если сыпучее тело замените водой. Замечено и доказано,
что вместимость всякой пирамиды в три раза меньше вме-
стимости призмы с таким же основанием и с такой же
высотой.
В таком же отношении находятся и об'емы их.
211.	Определите об'ем пирамиды, имеющейся в классе.
— 109 —
96. Усеченная пирамида.
Если полную пирамиду разрезать так, чтобы разрез шел
параллельно основанию, то пирамида разделится на две
части, из которых верхняя будет иметь
форму полной пирамиды, а нижняя
будет иметь такую же форму, какую
имеет предмет, изображенной на
рис. 168. Предметы такой формы на-
зываются усеченными пирамидами.
212 Покажите предметы, имеющие
формы усеченной пирамиды.
Рис. 168.
У усеченной пирамиды все боковые грани—трапеции.
213. Измерьте поверхность усеченных пирамид, имею-
щихся в классе.
Приложите к боковым ребрам усеченной пирамиды пря-
мые проволоки, как показано на рис. 169. Эти проволоки да-
дут вам представление о форме и величине полной пира-
миды, из которой получилась данная усеченная пирамида.
Рис. 169.
С помощью этих проволок вы мо-
жете определить высоту полной пира-
миды и высоту отсеченной части ее.
Пользуясь этими данными, вы можете
определить об'ем полной пирамиды и
об'ем отсеченной части ее.
Если от об'ема полной пирамиды
отнимите об'ем отсеченной части ее,
то у вас получится величина об'ема
данной усеченной пирамиды.
214. Определите таким способом
об'ем усеченной пирамид!:, имею-
щейся в классе.
ГЛАВА IX.
КРУГЛЫЕ ПРЕДМЕТЫ.
97. Цилиндр.
На рис. 170 представлен предмет, поверхность которого
состоит из двух равных параллельных кругов и кривой
части поверхности. Предметы с такой поверхностью назы-
ваются цилиндрами.
Рис. 170.
Оба круга цилиндра называются осно-
ваниями его, а кривая часть поверхности
называется боковой.
Прямая линия, проведенная на боко-
вой поверхности цилиндра, как на рис.170,
называется образующей линией
Если образующая линия цилиндра
идет перпендикулярно к основанию, то
цилиндр называется прямым, а если обра-
зующая линия идет наклонно к основа-
ниям, то цилиндр называется наклонным.
Все образующие линии одного и того же прямого цилин-
дра одинаковой длины. По образующей линии прямого ци-
линдра можно определить высоту его.
98 Боковая поверхность прямого цилиндра.
Обверните бумагою бока прямого цилиндра, как на рис.
171, бумагу склейте и обрежь-ге лишние части ее.
Если эту бумагу разрезать по образующей линии и раз-
вернуть, то она будет представлять прямоугольник. Осно-
вание этого прямоугольника будет равно окружности осно-
вания цилиндра, а высота будет равна образующей линии
— Ill —
его. Площадь этого прямоугольника будет равна такому
числу, какое получится от умножения окружности основа-
ния данного цилиндра на образу-
ющую его. Такому же чи< лу равна
и боковая поверхность данного ци-
линдра. Так как подобную обвертку
можно приготовить для любого
прямого цилиндра, го и говорят,
что боковая поверхность прямого ци-
линдра равна такому числу, какое полу-
чится от умножения окружности осно-
вания его на образующую линию.
216. Определите величину боко-
вой поверхности ведра.
Рис. 171.
99. Об'ем и вместимость прямого цилиндра.
Шестиугольная призма, представленная на рис. 164, по-
хожа на прямой цилиндр.
Двенадцатиугольная прямая призма на рис. 172 еще боль-
ше похожа на прямой цилиндр. Всякий прямой цилиндр
можно принять за прямою призму с бесчи-
сленным числом сторон у основания.
= ztt.- Д| Так как об'ем любой прямой призмы равен
II такому числу, какое получится от умножения
' hi 1	।	,	площади основания ее на высоту, то и об‘ем
'I1 I	'I	I'; Ш	прямого цилиндра должен быть равен такому
|	,	।	1|	числу, какое получится от умножения площади
"	основания его на высоту.
L ।  Г  |	217. Определите об'ем цилиндра, имею-
li j' I'lpiiill	щегося в классе.
218.	Определите об'ем круглой голланд-
Рис. 172.	СКОЙ печки.
219.	Определите вместимость своего ведра.
220.	Радиус дна ведра 7 дюймов, а высота 20 дюймов.
Определите вместимость его.
— 112 —
1ОО Конус.
На рис. 173 представлен предмет, поверхность которого
состоит из круга и кривое! части поверхности. Такие пред-
меты, поверхность кото-
рых состоит из круга и
кривой части, называются
конусами. Форму конуса
имеет морковь, редька
и другие корнеплоды.
Круг каждого конуса
называется основанием его,
а кривая часть поверх-
ности называется боковой.
Точка, из которой как бы
исходит боковая поверх-
ность конуса, называется
Л	вершиною его.
Рис. 173.
Прямая линия, прове-
денная из вершины конуса к основа шю по боковой поверх-
ности его, как на рис. 173, называется образующей линией.
Если у конуса все образующие линии одинаковой длины,
то он называется прямым, г если образующие линии разной
длины, то он называется наклонным.	*
Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на ос-
нование, называется высотою его.
Высоту конуса можно определить с помощью такой
же
рейки, какой определяли высоту пирамиды.
Высота прямого конуса проходит
через центр основания. Если прямой
конус пересечь плоскостью парал-
лельно основанию его, как на рис. 174,
то часть его, заключенная между
основанием и секущей плоскостью, ч'
будет называться усеченным конусом.
Рис. 174.
Параллельные круги, ограничиваю-
щие усеченный конус, называются основаниями его.
321. Покажите
конуса.
предметы, имеющие форму усеченного
— 113 —
Прямая линия, проведенная между основаниями усечен-
ного конуса по боковой поверхности его, как на рис. 174,
называется образующей линией.
1O1. Боковая поверхность прямого конуса.
Оберните бумагою боковую поверхность прямого конуса,
как на рис. 175, бумагу склеите и обрежьте лишние части
ее. Если эту обвертку разрезать по образующей линии и
разогнуть, то она будет иметь вид сектора, представл, на
рис. 176. Дуга этого сектора будет равна окружности ос-
нования конуса, а радиус его будет равен образующей
линии данного конуса.
Площадь этого сектора равна боковой поверхности дан-
ного конуса. Она будет равна такому числу, какое полу-
чится от умножения окружности основани i данного конуса
на половину образующей его. Таким образам можно при-
готовить обвертку для боковой поверхности любого прямого
конуса. Значит, боковая поверхность каждого прямого конуса равна
такому числу, какое получится от умножения окружности основания
его на половину образующей линии.
222. Определите величину боковой поверхности имею-
щегося у вас прямого конуса.
102. Об'ем прямого конуса.
Прямой конус можно принять за пирамиду с бесконечно
большим числом сторон у основания,
М. Н. Иовлев. Практ reoM°Tpii?,	8
— 114 —
Так как об'ем всякой пирамид» равен трети такого чи-
сла, какое получится от умножения площади основания ее
на высоту, то и за об'ем прямого конуса можно принять треть
такого числа, какое получится от умножения площади основания
его на высоту.
223. Определите об'ем имеющегося у вас конуса.
103. Усеченный конус.
У прямого усеченного конуса на рис. 177 проведен
диаметр основания, через концы диаметра проведены обра-
.	зующие линии и эти линии продолжены
/;\ до взаимного пересечения их.
/ ! \	При таком построении можно опреде-
/  \ лить высоту и величину образующих того
ZxsgpjjA прямого конуса, из какого мог получиться
данный усеченный конус. С помощью это-
/>в t >4	г0 же постРоеш1я можно определить высоту
ДиНита 11 образующие линии части, отсеченной от
данного конуса.
—Если определить боковую поверхность
Рис. 177. образовавшегося полного конуса и отнять
от. него боковую поверхность отсеченной части, то полу-
чится величина боковой поверхности данного усеченного
конуса. Если определить об'ем образовавшегося полного
конуса и отнять от него об'ем отсеченной части его, то
получится величина об'ема данного усеченного конуса.
Проведите диаметр основания усеченного конуса, через
концы его проведите образующие линии и к ним приложит*
по прямой проволоке У вас получится такое же построе-
ние, как на рис. 177. Пользуясь им вы можете найти нуж-
ные величины для определения об'ема и поверхности дан-
ного усеченною конуса.
224. Определите об'ем и поверхность цветочного горшка,
имеющего вид усеченною конуса.
104. Шар
Предмет, изображен, на рис. 178, называется шаром.
Форму шара имеют многие ягоды и арбузы. Шаром назы-
— 115 —
ьается каждый предмет, у которого все точки поверхности
одинаково удалены от одной внутренней точки, называемой
центром. Если полукруг быстро вращать около своего диа-
метра, то он будет казаться шаром. Диаметр этою полу-
круга будет служить диаметром шара, а центр полукруга
Рис. 178.
Рис. 179.
будет служить центром шара. Разрез шара по диаметру,
как на рис. 179, называется большим кругом шара. Диаметр
и радиус большого круга соответственно равны диаметру и
радиусу шара.
Длину радиуса шара можно определить с помощью при-
бора, изобр. на рис. 180. Если верхнюю пластинку этого
прибора отодвинуть так, чтобы между
нею и стороной прибора с трудом
прошел шар. то расстояние между л?	Я
пластинкой и стороной прибора будет	____у
равно диаметру шара, а половина ь? =
диаметра будет равна радиуса его.	Рис. 180.
По радиусу шара можно определить площадь большого
круга его.
Путем сложных вычислений люди убедились, что поверх-
ность каждого шара в четыре раза больше большого ноуга его.
225.	Радиус шара 7 сантиметров. Определите величину
поверхности его.
226.	Определите величину поверхности имеющегося у
вас шара.
Разрежьте шарообразное яблоко пополам, а затем ка-
ждую половину разрежьте на несколько частей так, чтобы
8*
— 116 —
разрезы проходили^через центр его. Образовавшиеся части
будут походить на пирамиды, пред, на рис. 181.
Об‘ем каждой из этих пирамид равен трети такого числа,
какое получится от умножения площади основания ее на
высоту. 06‘ем всех образовавшихся пирамид будет равен
Рис. 181.
трети такого числа, какое получится от умножения суммы
их оснований на высоту. Такой же будет и об'ем шара.
Так как за сумму оснований образовавшихся пирамид
можно принять поверхность шара, а за высоту каждой из
них радиус шара, то можно сказать, что об'ем каждого шара
равен трети произведения поверхности его на радиус.
227.	Определите об'ем шара с радиусом в 7 вершков.
228.	Определите об'ем мячика.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Стр.
Глава I. Линии . . ...................................	5
1.	Цель изучения геометрии. 2. Поверхность и
линия. 3. Разделение линий. 4. Точки. 5. Свойства пря-
мой линии. 6. Измерение прямых ломаных линий.
7. Измерение кривых линии. 8. Изображение точки.
9. Изображение линий. 10. Способы изображения пря-
мой линии. 11. Изображение ломаной линии. 12. Изме-
рение изображения прямых и ломаных линий. 13. Рас-
стояние между двумя точками. 14. Окружность. 15. За-
висимость длины окружности от радиуса.
Глава II. Углы........................................19
16. Плоская и кривая поверхность. 17. Грани.
18. Изображение граней. 19. Углы. 20. Сравнение
углов. 21. Углы смежные и прямые. 22. Построение
прямых углов. 23. Свойство смежных углов. 24. Свой-
ство перпендикуляра. 25. Свойство прямых углов.
Глава III. Измерение углов . .	.....................31
26. Центральные углы. 27. Угловые градусы. 28. Ду-
говые гра дусы. 29. Зависимость между угловыми и
дуговыми градусами. 30. Дуги концентрических окруж-
ностей. 31. Измерение углов.
Глава IV. Треугольники................................&S
32. Разделение треугольников. 33. Главнейшие ли-
нии тр-ка. 34. Свойство сторон тр-ка. 35. Равнобед-
ренные тр-ки. 36. Признаки равенства косоугольных
— 118 —
тр-ков. 37. Признаки равенства прямоугольных тр-ков.
38. Свойство прямоугольных тр-Кив. 39. Деление пря-
мой линии пополам 40. Деление угла пополам. 41. Вер-
тикальные углы. 42. Внешний угол тр-ка.
Глава V. Четыреугольники.......................... . . 52
43. Четыреугольник. 44. Параллельные линии.
45. Углы, образующиеся при пересечении двух пря-
мых линий третьей. 46 Признаки параллельности ли-
ний. 47. Построение параллельных линий. 48. Свой-
ство параллельных линий. 49. Параллелограммы.
50. Свойство параллелограммов. 51 Квадрат. 52. Прямо-
угольник. 53 Ромб. 54. Параллелограмм. 55. Ра-
вновеликие фигуры. 56. Меры площадей. 57. Измере-
ние площади прямоугольника и квадрата. 58. Измере-
ние площадь параллелограмма и ромба. 59. Превра-
щение треугольника в равновеликий параллелограмм.
60. Трапеция. 61. Измерение площацп трапеции.
62. Неправильный четыреугольник.
Глава VI. Многоугольники и круг..........................69
63. Многоугольники. 64. Построение правильных
мн-ков. 65. Определение центра правильного мн-ка.
66.	Площадь правильного мп-ка. 67. Площадь круга.
68.	Плошадь сектора.
Глава VII. Подобные фигуры...............................75
69.	Внутренние утлы тр-ков. 70. Подобные тр-ки.
71.	Образование равных отрезков на сторонах угла.
72.	Свойство сторон подобных тр-ков. 73. Применение
свойств подобных тр-ков. 74. Признаки подобия тр-ков.
75.	Планы тр-ков. 76. Планы параллелограммов. 77, Пла-
ны четыреугольников и многоугольников. 78. Располо-
жение плана. 79. Поперечный масштаб.
Глава VIU. Многогранники . ..............................91
80. Дзугпаннне углы. 81. Прямоугольный паралле-
лепипед и куб. 82. Вместимость предметов. 83. Изме-
рение вместимости прямоугольных ящиков. 84. Измере
119 —
ние объема пря1 юугольного параллелепипеда и куба.
85. Линии перпендикулярные плоскости. 86. Линии
параллельные плоскости. 87. Отвесные грани и линии.
88. Горизонтальные грани н линии. 89. Параллельные
грани. 90. Прямая призма. 91. Равенство призм.
' 92. Равновеликие призмы. 93. Об'ем прямого паралле-
лепипеда. 94. Об‘ем прямых призм. 95. Полная пира-
мида. 96. Усеченная пирамида.
Глава IX. Круглые предметы..............................
97. Цилиндр. 98. Боковая поверхность прямого
цилиндра. 99. Вместимость и об‘ем прямого цилиндра.
100. Конус. 101. Боковая поверхность прямого кону-
са. 102. Об‘ем прямого конуса. 103, Усеченный конус.
104. Шар.
110