Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ, Н. А. КОЛМОГОРОВ,
Ф. Ф. НАГИБИН, Р. С. ЧЕРКАСОВ
СБОРНИК
ЗАДАЧ И ВОПРОСОВ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1962
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое второе издание «Сборника задач и вопро-
сов по геометрии» Е. С. Березанской, Н. А. Колмогорова,
Ф Ф. Нагибина и Р. С. Черкасова подверглось серьезной
переработке и предназначено в качестве учебного пособия для
учителей математики восьмилетней школы.
Содержание сборника приведено в соответствие с новой
программой по геометрии для VI—VIII классов. В связи с
этим значительные изменения внесены во все главы, а главы,
посвященные вопросам стереометрии, написаны заново.
При составлении сборника авторы стремились дать учи-
телю необходимый материал, отвечающий требованиям новой
программы восьмилетней _ школы.
Особое внимание в сборнике уделено подбору устных
упражнений. Вместе с тем в новом издании сборника значи-
тельно расширены упражнения, связанные с выполнением раз-
нообразных практических работ. Во многих из этих работ
предусмотрено применение изученных в курсе алгебры при-
емов приближенных вычислений. Начиная с VIII класса вво-
дятся упражнения, требующие использования счетной линейки.
Упражнения и задачи данного сборника могут быть ис-
пользованы учителем как на уроках при изучении курса гео-
метрии VI—VIII классов, так и для дополнительных занятий.
Главы I—III написаны Ф. Ф. Нагибиным, глава IV—
Н. А. Колмогоровым, главы VI, VIII, XI и XII — Е. С. Бере-
занской, главы V, IX, X — Р. С. Черкасовым, и глава VII—
Е. С. Березанской и Н. А. Колмогоровым.
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
Прямая линия. Плоскость
1.	Привести примеры тел, поверхностей и линий из
классной обстановки.
2.	На моделях куба, прямоугольного параллелепипе-
да, пирамиды, цилиндра, конуса и других тел показать
поверхности, плоские фигуры, линии, точки.
3.	Практическая работа. Через две дан-
ные точки провести прямую линию. Как это сделать, если:
1) точки даны на листе бумаги; 2) на классной доске;
3) на полу класса; 4) точки даны на местности?
4.	Как проводят прямые линии плотники и камен-
щики?
5.	Практическая работа. Продолжить на
местности провешиваемую прямую. Найти на местности
точку пересечения двух прямых.
6.	Даны три точки, не лежащие на одной прямой.
Можно ли провести через них кривую линию? А прямую
линию? Сколько кривых линий можно провести через две
данные точки?
7.	1) Как проверить линейку? 2) Как проверить, яв-
ляется ли данная линия прямой?
8.	Как, не пользуясь линейкой, можно проверить по
прямой ли линии обрезан лист бумаги, фанеры, жести?
1Надо посмотреть вдоль разреза. ]
9.	1) Сколько прямых линий можно провести через
одну точку? 2) Каким свойством прямая линия отличается
от всех других линий? 3) Сколько окружностей можно
провести через две данные точки?
10.	На листе тетради взять три точки (не лежащие на
одной прямой) и через каждые две из них провести пря-
мую линию. Сколько прямых получится?
з
11.	Сколько общих точек имеют две пересекающиеся
прямые?
12.	1) Как проверить, являемся ли прямая линия вер-
тикальной? 2) Можно ли на листе бумаги, лежащем на
столе, начертить вертикальную прямую линию? [1) С по-
мощью отвеса; 2) нельзя. ]
13.	Подсчитать число точек пересечения: 1)3, 2) 4, 3) 5
прямых, если каждая из данных прямых пересекает все
остальные и в одной точке пересекаются не более чем две
прямые. 11) 3; 2) 6; 3) 10.1
14.	Каким свойством плоскость отличается от других
поверхностей?
15.	Сколько всего плоскостей можно провести через:
1) одну данную точку; 2) две точки; 3) три точки, не лежа-
щие на одной прямой; 4) три точки, лежащие на одной
прямой; 5) две пересекающиеся прямые? [1)2) и 4) — бес-
конечно много; 3) и 5) — одну. ]
16.	Как проверить с помощью выверенной (провероч-
ной) линейки, является ли данная поверхность плоскостью?
17.	На сколько частей делят плоскость: 1) одна пря-
мая; 2) две пересекающиеся прямые?
Отрезок. Действия над отрезками
18.	Три прямые пересекаются в одной точке. Сколько
получается лучей?
19.	Если на прямой линии взять одну точку, то она
определяет два луча. Сколько лучей определяют взятые
на прямой: 1) 2 точки, 2) 3, 3) 4? [1) 4; 2) 6; 3) 8.]
20.	Чем отличаются
Л В	С 4 В С В
।	। »—<-----1——।
Черт. 1 Черт 2
концами эти точки. Провести
линию.
друг от друга прямая, луч
и отрезок?
21. Даны две точки.
Сколько можно построить
отрезков, имеющих своими
через данные точки прямую
22. Разбивается ли отрезком плоскость на две области?
1 ^2? Сколько всего отрезков на каждом из чертежей
24.	Как для сравнения двух отрезков следует нак-
ладывать их друг на друга? Какие при этом возможны
случаи?
4
25.	Можно ли для сравнения двух отрезков наклады-
вать их друг на друга так, чтобы совместились их середи-
ны? Какие при этом возможны случаи? Почему этот спо-
соб сравнения отрезков практически менее удобен, чем
обычный? [Для сравнения отрезков указанным способом
надо находить середины их. ]
26.	Даны три отрезка а, Ь. с. Оказалось, что а = b и
Ъ = с. Какой вывод можно сделать об отрезках а и с?
27.	Даны два отрезка АВ и CD. Объяснить, как по-
строить сумму и разность этих отрезков.
Выполнить построение.	АВ CD
28.	Отрезок АВ равен отрезку CD	1—'-----«
(черт. 3). 1) Какие другие отрезки этого
чертежа равны между собой? 2) Суммой ка- ЧеРт- 3
ких двух отрезков является отрезок AD?
3)	Разностью каких двух отрезков является отрезок ВС?
29.	Что называется расстоянием между двумя точка-
ми? Как измерить расстояние между двумя точками?
30.	Практические работы. 1) Начертить с
помощью линейки без делений отрезок, длина которого
на глаз была бы равна: 1 см. 1 мм. 1 дм. Проверить мас-
штабной линейкой. 2) Начертить на классной доске и в
тетрадях несколько отрезков, найти на глаз длины их и
проверить с помощью масштабной линейки. 3) Показать
расстояние в 1 м (рукой от пола, на парте). Проверить
измерением.
31.	Практическая работа. Найти длину
своего шага. Для этого нужно отмерить на местности
100 м. пройти это расстояние ровным шагом 3—4 раза,
сосчитать каждый раз число шагов и найти среднее ариф-
метическое. Что останется сделать для вычисления сред-
ней длины шага? Заполнить таблицу:
Как следует пользоваться ею?
32.	Практическая работа. Измерить не-
которое расстояние на местности: 1) на глаз; 2) шагами;
3) полевым циркулем; 4) рулеткой; 5) стальной лентой.
5
Сравнить получившиеся длины с длиной, найденной из-
мерением стальной лентой. Отклонения выразить в про-
центах .
33.	Практическая работа. Дюйм равен
25,4 мм. Построить отрезок длиной в 1 дюйм. Вершок
равен 44,5 мм. Построить отрезок длиной в 1 вершок.
(По одному краю полоски плотной бумаги нанести деле-
ния в сантиметрах и миллиметрах, а по другому — в дюй-
мах и восьмых частях дюйма.)
34.	Взять две точки, соединить их отрезком прямой
линии и< какой-нибудь ломаной линией. Измерить длины
отрезка и ломаной. Сравнить их.
35.	Начертить отрезок, равный сумме двух отрезков
а и b (разности их), если а = 25 мм и b = 15 мм.
36.	Начертить треугольник и квадрат. Построить пе-
риметры их.
37.	Ребро куба равно 5 см. Вычислить сумму длин всех
ребер этого куба. [60 см. ]
38.	Начертить в тетради замкнутую ломаную линию и
с помощью масштабной линейки измерить ее длину.
39.	Как данный отрезок (с помощью масштабной ли-
нейки) разделить на 3, 4, 6 равных частей? Начертить три
разных отрезка и каждый из них разделить на глаз на
две равные части. Проверить измерением масштабной ли-
нейкой.
40.	Как полоску бумаги или кусок ленты разрезать на
2, 3, 4, 6, 8 равных частей?
41.	Даны два отрезка а и Ь. Как построить отрезки:
1)	4а; 2) 2а + Ь, 3) —(а + 26)? Выполнить построения.
4
42.	Построить геометрическую фигуру, состоящую из
трех отрезков, имеющих только одну общую точку.
43.	На прямой линии по разные стороны от точки О
отложены два отрезка: ОА = 12 см и ОВ = 16 см. 1) Най-
ти расстояние между серединами отрезков О А и ОВ. 2) Най-
ти расстояние между серединами этих отрезков, если их
отложить в одну сторону от точки О. [1) 14 см\ 2) 2 см. ]
44.	От центра совхоза до центра отделения проклады-
вается телефонная линия. Для навешивания провода че-
рез каждые 50 м нужно поставить столб. Сколько нужно
заготовить столбов, если длина линии 4 км? [81.]
45.	От районного центра до центра колхоза по шоссе
14,4 км, а от центра колхоза до бригады (по такому же
6
шоссе) — 6,8 км. Вычислить расстояние от райцентра до
бригады. Сколько решений имеет эта задача? Пояснить их
чертежами. [Два решения: 7,6 км или 21,2 км. ]
46.	Бревно, длина которого 6 м, нужно распилить на
метровые чурки. Сколько проходов (резов) пилой придется
сделать? [5. ]
Черт. 4
47.	По чертежу 4 найти: 1) длину АВ; 2) толщину
стенки детали на участке АВ; 3) толщину стенки на уча-
стке CD.
48.	На чертеже 5 изображен контур земельного участ-
ка школы в масштабе 1 : 10000. Найти длину забора,
которым обнесен этот участок.
49.	На листе бумаги были начерчены прямая, лома-
ная и кривая линии, но по неосторожности чертеж залили
чернилами (черт. 6). Остались видными только кончики
этих линий. Можно ли восстановить эти линии?
7
Угол. Действия над углами
50.	Построить: 1) развернутый угол с вершиной в
данной точке; 2) полный угол с вершиной в данной
точке.
51.	Как нужно накладывать один угол на другой, если
требуется сравнить их?
52.	Любые ли два угла можно сравнивать? Какие слу-
чаи могут быть при сравнении двух углов? Как сравнить
три угла?
53.	Каким прибором обычно пользуются столяры для
построения угла, равного данному?
54.	На чертеже 7 угол ВАС равен углу DAE. 1) Какие
другие углы этого чертежа равны?
&	2) Суммой каких углов является угол
ВАЕ? 3) Разностью каких углов яв-
-------- ляется угол CAD?
2?	Вырезать из бумаги два нерав-
ных угла и сравнить их наложением.
Построить в тетради сумму и раз-
ность этих углов. Найти биссектрису
ерт* * 1 большего из них.
56. Какой угол образуют минут-
ная и часовая стрелки, когда часы показывают: 1) 6 часов;
2) 12 часов?
57. Как проверить, является ли данный угол развер-
нутым?
58. На какой угол нужно повернуть луч, чтобы конеч-
ное положение его и начальное образовали: 1) одну пря-
мую линию; 2) один луч?
59. Каким должен быть угол, чтобы стороны его:
1) лежали на одной прямой; 2) составляли одну прямую
линию?
60. Из бумаги вырезан угол. Как без всяких инстру-
ментов найти биссектрису его?
61. Из бумаги вырезан угол. Найти половину его.
Найти одну четверть его.
62. Можно ли сравнивать два угла наложением их
друг на друга так, чтобы совпали вершины и биссек-
трисы? Какие случаи возможны при этом? Какие выво-
ды о величине углов должны делаться в каждом из
этих случаев? Чем этот способ сравнения углов не-
удобен?
8
Смежные углы. Прямой, острый и тупой углы
63. Чем отличается развернутый угол от прямой линии?
64. Какие из углов 1 и 2, изображенных на чертежах
8—11, являются смежными? Почему нельзя назвать смеж-
ными эти углы в остальных случаях?
Черт. 11
Черт. 10
Черт. 9
Можно ли назвать углы 1, 2 и 3 (черт. 12) смежными?
65.	Начертить от руки (без применения чертежных
инструментов) два угла: 1) имеющих общую вершину, но
несмежных; 2) имеющих общую сторону, но несмежных.
66.	Дан угол. Сколько можно по-
строить смежных с ним углов? Вы-
полнить чертеж.
67.	На чертеже 9 построены смеж-
ные углы 1 и 2. Показать на чертеже
сумму этих углов. Какой угол образу-
ют несовпадающие стороны смежных
углов?
68.	Сколько пар смежных углов образуют две пе-
ресекающиеся прямые?
69.	Один из четырех углов, образующихся при пере-
сечении двух прямых линий, оказался прямым. Какими
углами являются три остальных угла?
70.	Даны два равных угла. Сравнить два смежных с
ними угла.
71.	О двух углах известно, что сумма их равна раз-
вернутому углу. Можно ли утверждать, что эти углы
смежные? [Углы могут и не быть смежными.]
72.	Разделить развернутый угол на две равные части
(на глаз и перегибанием).
73.	Могут ли быть два смежных угла: 1) оба острыми;
2) оба тупыми; 3) оба прямыми?
74.	Как перегибанием листа бумаги получить прямой
угол?
9
75.	Начертить прямой угол в разных положениях. На-
чертить несколько прямых углов так, чтобы вершиной
всех их служила данная точка. Сколько прямых углов
можно построить с вершиной в данной точке?
76.	Угол АВС — прямой. С помощью одной линейки
начертить другой прямой угол, имеющий своей вершиной
ту же самую точку В. [Достаточ-
но продолжить луч ВС или Л В за В
точку В. 1
77.	Начертить следующие углы:
1) острый; 2) прямой; 3) тупой;
4)	развернутый; 5) больше раз-
Черт. 14
Черт. 13
вернутого, но меньше полного; 6) полный (с одной и той
же начальной стороной).
78.	На чертеже 13 изображен лапчатый шип, исполь-
зуемый для соединения частей в изделиях из дерева. Наз-
вать прямые, острые и тупые углы.
79.	На чертеже 14 изображена рамка для фотографии.
Показать прямые, ост-
рые и тупые углы.
80.	На какой угол по-
ворачиваются по коман-
де: 1) «Направо!»; 2)«На-
лево!»; 3) «Кругом!»?
81.	Об угле АВС
известно, что он равен
2d (d — прямой угол).
Какой это угол?
82.	Как проверить, является ли данный угол прямым?
83.	Как проверить чертежный треугольник? Как про-
верить угольник, применяемый в мастерских по дереву
(а также по металлу)?
10
84.	Какой прибор применяется для построения прямых
углов на местности? Как им пользуются?
85.	Как проверить эккер?
86.	Сколько острых углов на чертеже 15?
87.	Сколько всего острых и тупых углов на черте-
же 16?
88.	Сколько всего углов (меньших полного) на черте-
же 15?
89.	Какой угол образуют биссектрисы смежных
углов?
90.	Построить биссектрису: 1) развернутого угла и
2) полного угла.
Вертикальные углы
91.	Какие углы на чертежах 17, 18 и 19 являются вер-
тикальными? Сколько пар вертикальных углов на черте-
жах 17 и 18?
92.	Какими углами являются (черт. 17): 1 и 3; 1 и 2;
3 и 2; 3 и 4; 1 и 4; 2 и 4?
Черт. 17
Черт. 18
Черт. 19
93.	Можно ли о каком-нибудь одном угле сказать,
что он вертикальный (смежный)?
94.	Как с помощью одной линейки начертить угол,
равный данному? [Достаточно продолжить стороны дан-
ного угла за вершину его. 1
95.	Какой угол составляют один из вертикальных уг-
лов и смежный с ним?
96.	Могут ли быть вертикальные углы: 1) прямыми;
2) тупыми; 3) один острым, другой тупым?
97.	Верно ли утверждение, что если два угла равны,
то они вертикальные? Для подтверждения ответа выпол-
нить чертеж.
и
98.	Три прямые пересекаются в одной точке (черт. 20).
Какой угол получится при сложении углов 1 , 2 и 3?
99.	Развернутый угол разделен на 3 равные части.
Как с помощью чертежного тре-
угольника построить биссектрису
к	у среднего из этих углов?
n. /	100. Из точки, взятой на дай-
__________________ ной прямой, по разные стороны
,_________________от эт°й пРям°й проведены два лу-
ча. Найти сумму получившихся че-
//	тырех углов.
101.	Какой угол образуют бис-
Черт. 20	сектрисы вертикальных углов?
Перпендикуляр к прямой
102.	Луч ОС (черт. 21) поворачивается вокруг точки
О в плоскости чертежа в указанном стрелкой направле-
нии. 1) Как изменяются углы ВОС и СОЛ? 2) Какая су-
ществует между ними зависи-
мость? 3) Какое положение зай-	£
мет луч ОС (относительно Л В),
когда эти углы окажутся рав-	s'
ными?
103.	Какой угол образуют j-q	~q
минутная и часовая стрелки ча-	церт> 21
сов: 1) в 3 часа? 2) в 9 часов?
Как можно назвать взаимное положение стрелок в этих
случаях?
104.	Начертить прямую АВ и на ней взять точки С, D
и Е, Провести: 1) через точку С прямую линию, перпенди-
кулярную к АВ\ 2) через точку D луч DF, перпендикуляр-
ный к АВ; 3) через точку Е отрезок ЕК, перпендикуляр-
ный к АВ и равный 30 мм,
105.	Через вершину данного угла А провести два
луча, соответственно перпендикулярных сторонам это-
го угла. Показать на получившемся чертеже прямые
углы.
106.	Можно ли какую-нибудь одну прямую линию на-
звать перпендикуляром?
107.	Дана прямая линия. ’) Сколько всего перпенди-
куляров можно провести к ней? 2) Сколько перпендикуля-
12
ров можно провести к этой прямой через данную точку,
лежащую на ней (или вне ее)?
108.	Через точку Е прямой АВ проведен перпендику-
ляр CD к этой прямой. Построить перпендикуляр к CD,
проходящий через точку Е.
109.	Какими простейшими инструментами пользуются
для построения перпендикуляров: 1) на листе бумаги;
2) в столярном и слесарном деле; 3) на местности?
110.	Начертить произволь-
ный острый угол АВС. На сто- С
роне АВ взять произвольную	$
точку и из нее опустить перпен-	-*
дикуляр на сторону ВС и вос-
ставить перпендикуляр к АВ. ----------------------*
111.	Даны прямая АВ и не- *	s
пересекающий ее отрезок CD	Черт. 22
(черт. 22): 1) через концы отре-
зка провести прямые, перпендикулярные данной прямой;
2) через концы отрезка провести прямые, перпендикуляр-
ные ему.
112.	П р а к т и ч е с к а я работа. 1) Построить
на местности с помощью эккера прямой угол с вершиной
в данной точке: 2) Восставить перпендикуляр к прове-
шенной прямой. 3) Опустить перпендикуляр на провешен-
ную прямую.
113.	Как проверить вертикально ли установлены веха,
столб, мачта и т. д.?
114.	1) Какая линия называется горизонтальной?
2) Как проверить горизонтальность прямой линии? 3) Вся-
кий ли перпендикуляр к горизонтальной прямой будет
вертикальной линией? [1) Прямая, перпендикулярная
вертикальной прямой.]
115.	Как должна располагаться плоскость, чтобы на
ней можно было провести горизонтальные и вертикаль-
ные линии? [Плоскость должна проходить через какую-
нибудь вертикальную прямую линию. ]
116.	Какая плоскость называется: 1) горизонтальной и
2) вертикальной? Как проверить горизонтальность пло-
скости? Как проверить вертикальность плоскости?
117.	Как должна располагаться плоскость, чтобы на
ней: 1) можно было провести горизонтальную, но нельзя
было бы провести вертикальную прямую и 2) можно бы-
13
ло бы провести только вертикальные прямые? 11) Пло-
скость не должна быть вертикальной. 2) Такая плоскость
невозможна. ]
Окружность. Центральный угол
118.	Ученик на вопрос: «Что называется окружностью?»
дал такой ответ: «Это замкнутая кривая линия, все точки
которой одинаково удалены от одной точки». Верно ли
ответил ученик? Привести пример, разъясняющий ошиб-
ку ученика.
119.	Сравнить понятия окружности и круга.
120.	Построить (с помощью циркуля) окружность, ра-
диус которой был бы равен 2 см и которая проходила бы
через данную точку.
121.	1) Как начертить в тетради окружность данного
радиуса, если нет циркуля?
£	2) Как начертить окружность для
уу	устройства круглой клумбы в
f /	^У\у	саду? И) Можно воспользовать-
I	/	ся полоск°й бумаги, иголкой
I	/у\	и карандашом?]
\1< у /	122. Отрезок А В длиной 20лш
х.	/у	поворачивается вокруг точки А
(в.плоскости чертежа) на 360*.
1) Какую фигуру опишет этот от-
резок? 2) Какую линию опи-
Черт' 23	шет точка В? 3) Какой диаметр
имеет эта окружность?
123.	Сколько радиусов можно провести в окружности?
Сколько диаметров? Сколько хорд? Показать на чертеже.
124.	На окружности берется точка. Сколько диамет-
ров можно провести через эту точку? Сколько хорд? Вы-
полнить чертеж.
125.	Рассмотреть чертеж 23. Найти, назвать и записать
все центральные углы и соответствующие им дуги, все
хорды, радиусы, диаметры.
126.	Измерить диаметры монет в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20,
50 коп.
127.	Диаметр окружности на 10 см больше радиуса.
Найти диаметр. [20 см. ]
128.	Какую длину могут иметь хорды окружности,
радиус которой равен 24 мм? [Не больше 48 мм. ]
14
129.	Вычислить глубину резания на токарном станке,
если диаметр заготовки детали равен 36 мм, а диаметр
детали после прохода резца — 34 мм. [1 мм. J
130.	Начертить окружность, радиус которой был бы
равен 25 мм. Взять на этой окружности произвольную точ-
ку Л и построить две хорды: АВ = 40 мм и АС = 30 мм.
Измерить хорду ВС.
131.	Сколько общих точек могут иметь две окружно-
сти: 1) одного и того же радиуса и 2) разных радиусов?
Изобразить возможные случаи на чертеже.
132.	Ученик начертил окружность, но забыл отметить
центр ее. Как найти центр этой окружности, если ученик
запомнил, что радиус был равен 30 мм?
133.	Какие две окружности могут быть наложены од-
на на другую так, что совпадут всеми своими точками?
134.	Диаметр разбивает круг на два полукруга. Ка-
кими движениями одного полукруга относительно дру-
гого можно совместить их? Показать эти движения на
модели. Объяснить, почему полукруги совместятся.
135.	Окружность, начерченную в тетради, разделить
с помощью циркуля на 2, 4, 6, 3 равные дуги (и приближен-
но способом проб на 5 равных дуг).
136.	Построить две равные дуги (одной и разных окруж-
ностей).
137.	1) Могут ли быть равными дуги окружностей с
разными радиусами? 2) Могут ли две равные дуги иметь
неравные радиусы? (А две неравные дуги?)
138.	В тетради начерчена окружность. Построить цент-
ральные углы: острый, прямой, тупой, развернутый, пол-
ный. Показать соответствующие им дуги.
Черт. 26
139.	Сколько всего дуг (меньших окружности) на каж-
дом из чертежей 24 и 25? [На черт. 24—2 дуги, на черт.
25—6.]
15
140.	Дуги АВ и CD (черт. 26) равны между собой. Ка-
кие еще дуги данной окружности равны? Суммой каких
дуг является дуга Л В? Разностью каких дуг является
дуга Л С?
Градусное измерение дуг и углов
141.	От чего зависит длина дугового градуса? При ка-
ком условии дуговой градус одной окружности равен ду-
говому градусу другой?
142.	Как следует понимать такое выражение «централь-
ный угол измеряется соответ-
/	ствующей ему дугой»?
х. /	143. Можно ли говорить о
/ длине углового градуса? Могут
____________	/ ли быть угловые градусы нерав-
Z/ ными друг другу? А дуговые?
*	144. Оценить на глаз углы
Черт. 27	(черт. 27) и для проверки из-
мерить их с помощью транспор-
тира.
145.	Начертить на глаз углы в 45е, 30е, 60е, 75е, 20е,
15°, 10е, измерить их транспортиром.
146.	Начертить тупой угол и разделить его с помощью
транспортира на 5 равных частей.
147.	Заполнить таблицу:
Величина угла в гра- дусах	90°	45°	180е	135°	30°	60°	15°	20°	1°	0,1°	0,6°
В частях прямого угла											
148.	Сколько градусов содержит угол между двумя
соседними спицами колеса, если всего спиц 12?
149.	На какой угол повернется часовая стрелка в те-
чение: 1) 1 часа; 2) 1 минуты? [1) На 30е; 2) На 0,5е. ]
150.	На какой угол повернется минутная стрелка в
течение: 1) 1 часа; 2) 1 минуты; 3) 1 секунды? [1) на 360е;
2) на 6Э; 3) на 0,1е.]
16
151.	Какой угол образуют минутная и часовая стрел-
ки: 1) в 4 часа; 2) в 5 часов; 3) в 9 часов; 4) в 4 часа 30
минут?
152. Какое время показывают часы, если часовая и
минутная стрелки образуют угол в 45*,
а минутная стрелка указывает на
6 часов? 14 часа 30 минут или 7 ча-
сов 30 минут. ]
153.	Какие углы можно построить
на местности с помощью эккера?
154.	Как с помощью транспо-
ртира построить угол, равный дан-
ному?
155.	Построить с помощью транс-
портира углы: в 90*, 135*, 270°, 210°,
300*.
156.	Начертить произвольный тре-
угольник, измерить его углы и вычи- Черт. 28
слить их сумму.
157.	Измерить острые углы лапчатого шипа (черт. 13,
стр. 10).
158.	Измерить углы земельного участка (черт. 5, стр. 7).
Вычислить их сумму.
159,	Можно ли с помощью транспортира находить,
сколько дуговых градусов содержит данная дуга? Как
это можно делать?
Для продольного
пиления
для смешанного Для поперечного
пиления	пиления
Черт. 29
160.	Сравнить углы САВ и	(черт. 28). Почему
они равны? [Углы САВ и	можно наложить друг
на друга так, что они совместятся—дуги СВ и C\Bt
равны.]
161.	С помощью циркуля и линейки построить угол,
равный данному.
162.	Начертить в тетради по 3 зуба пил для резания
дерева (черт. 29).
2 Заказ 1346
17
163.	Угол заострения (заточки) рубаночной железки
делают равным 20*, 25®, 30®, 35®, 45® (черт. 30). Сделать из
бумаги выкройку шаблона для проверки угла заточки
рубаночной железки.
164.	В столярном деле часто приходится чертить углы
		в 45*. Придумать приспо-
)	собление для вычерчива-
'	ния таких углов (ярунок).
Черт. 30	165. Столяру нужно об-
резать доску под углом в
35* к краю ее. Как начертить этот угол на доске?
166.	У пластмассового треугольника отбит один угол.
Как можно найти величину его (с помощью транспортира,
линейки и бумаги)?
167.	Изготовить (с помощью транспортира): 1) процент-
ный транспортир; 2) циферблат
168.	Найти зависимость
между углами резания, заост-
рения и наклона резца руба-
ночной железки (черт. 31). Вы-
числить угол наклона, если
угол резания должен быть
равен 50°, а угол заострения
35®.
169.	Один из четырех уг-
лов, получающихся при пере-
сечении двух прямых линий,
равен 35®. Найти остальные
углы.
170.	Найти величину каждого из двух смежных углов,
если: 1) один из них в 4 раза больше другого; 2) один из
них на 20“ больше другого; 3) один из них в 3 раза мень-
ше другого; 4) один из них на 30® меньше другого.
[1)144® и 36е; 2) 100® и 80®; 3) 45® и 135’; 4) 75’ и 105®.]
171.	Как измерить угол, образованный забором (не
влезая на забор и не перелезая через него)?
172.	Один из вертикальных углов равен 120*. Найти
второй и смежные с ним углы.
173.	(Черт. 32.) 1) ВО±ВС; ВЕ±ЛВ; ^DBE = 30®.
Найти ^АВС. 2) BOX ВС; ВЕ±ЛВ; ^ABD = 60®. Най-
ти ^АВС. 3) BD±BC; ВЕ±ЛВ; ^АВС = 150’. Найти
^DBE. [1) 150’; 2) 150®; 3) 30®.]
174.	1) Разность смежных углов равна 74*. Вычислить
часов.
Угол резаний
Угол заострения
(заточка)
Угол наклона
Черт. 31
18
каждый из этих углов. 2) Отношение смежных углов рав-
но 0,6. Вычислить их. 11) 53е и 127е; 2) 67,5* и 112,5’.]
175.	При пересечении двух прямых линий получаются
две пары вертикальных углов. Сумма углов одной из этих
2
пар составляет — суммы углов другой.
3
Вычислить эти углы. (72*; 72’; 108* и /
108’.]	/
176.	Румбом называется — часть /
32	/	О
окружности. Сколько градусов в одном
румбе? 111,25’.]	V -------—
177.	Практическая работа. \
Азимутом (магнитным) определенного	I
направления на местности называется	\
угол, отсчитываемый от северного кон-	V*
ца магнитной стрелки до заданного на-
правления по ходу часовой стрелки.	черт. 32
1) Найти азимуты нескольких направле-
ний на местности. 2) Наметить (прове-
шить) на местности несколько направлений по заданным
азимутам их.
Задачи для повторения
178.	Почему две различные прямые не могут иметь
двух общих точек?
179.	Треугольник АВС поворачивается (в его плоско-
сти) вокруг точки А так, что сторона АВ описывает угол
в 360’. 1) Какую фигуру опишет сторона ВС? 2) Какими
линиями ограничена эта фигура?
180.	Привести пример замкнутой кривой линии, все
точки которой находились бы на одном и том же расстоя-
нии от одной точки, но которая не была бы окружностью.
(Достаточно взять замкнутую линию на поверхности ша-
ра, не лежащую в одной плоскости.]
181.	На плоскости даны 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. точек (из
которых никакие 3 не лежат на одной прямой). Соединить
эти точки отрезками, подсчитать число их и заполнить
таблицу:
Число точек	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отрезков									
2*
19
182.	Три школы расположены по одной прямой линии.
Расстояние между школами № 1 и № 2 — 5 км, а между
школами № 1 и № 3 — 4 км. Каким может быть расстоя-
ние между школами № 2 и № 3? [1 км или 9 км. 1
183.	Сумма двух отрезков 8 см, а их разность 2 см.
Построить эти отрезки.
184.	Установить с помощью построений, выполняют-
ся ли для отрезков переместительный и сочетательный
з+коны сложения, [а + Ъ = Ь + а-, (а + Ь) + с = а + (Ь + с)]
185.	Даны точки А и В. Расстояние между ними рав-
но 30 мм. Построить точку: 1) удаленную от каждой дан-
ной точки на расстояние в 15 мм; 2) удаленную от каждой
данной точки на расстояние в 25 мм; 3) удаленную от А
на 23 мм и от В на 40 мм; 4) удаленную от А на 12 мм и
ст В на 10 мм.
186.	Вычислить внутренний диаметр трубы, если из-
вестно, что внешний диаметр ее равен 40 мм, а толщина
стенок 3 мм. [34 мм. ]
187.	На чертежах деталей машин, станков и приспо-
соблений указываются размеры их. Обычно рядом с чис-
лом, указывающим размер, пишут еще два числа, указы-
вающие допустимые отклонения. Если, например, у чер-
___+0.02
тежа вала стоит 0бО_оо8,то это значит, что действи-
тельный диаметр вала должен быть больше 50—0,08 (juju),
но меньше 50 + 0,02 (мм). Числа 50 + 0,02 = 50,02 и
50—0,08 = 49,92 называются допустимыми наибольшим
и наименьшим предельными размерами, а разность их —
допуском. Найти предельные размеры и допуски по сле-
дующим указаниям: 30 п, ; 60п ; 25^...; 25 п,.
188.	Начертить произвольный треугольник. Измерить
его углы. Стороны этого треугольника разделить пополам
и точки деления соединить отрезками. Измерить углы по-
лучившегося внутреннего треугольника и сравнить их с
углами первоначального.
189.	Вырезать из бумаги два угла, сумма которых бы-
ла бы равна: 1) прямому углу; 2) развернутому; 3) полно-
му; 4) углу в 270®.
190.	Два угла имеют общую вершину, общую сторо-
ну и не налегают друг на друга (прилежащие углы). 1) Ка-
кими должны быть эти углы, чтобы: а) две другие сторо-
20
ны их составили одну прямую линию; б) были бы перпен-
дикулярны; в) слились бы в один луч? 2) При каком усло-
вии два прилежащих угла будут смежными?
191.	Два зубчатых колеса сцеплены друг с другом.
Первое колесо имеет 34 зуба, а второе — 54 зуба. На какой
угол повернется второе колесо,
если первое: 1) сделает полный
оборот; 2) повернется на 60*;
3) повернется на 210е? [Прибли-
женно: 1) 227*; 2) 38*; 3) 132*. 1
192.	Два зубчатых колеса сцеплены друг с другом.
Диаметр первого колеса относится к диаметру второго,
как 3:8. На какой угол повернется второе колесо, если
первое повернется: 1) на полный оборот; 2) на 90°; 3) на
30°; 4) на 270°? (1) 135*; 2) приближенно 34°; 3) прибли-
женно 11*. ]
193.	(Черт. 33.) Записать равенствами зависимость
между углами 1, 2, 3, 4. Вычислить -^3, если -=<1 = 5*, а
= 74*. Вычислить -с2, если -<4 = 16*. [-cl + -=<3 +
+ -с4 = 90е; ^1 + ^3 = -^2; -=<2+ ^4 = 90*; [^3 =
= 69*; ^2 = 74*. ]
194.	Практическая работа. Изготовить из
картона прибор для деления окружности на равные дуги
(черт. 34). Как этим прибором пользоваться?
195.	Практическая работа. Сделать из
плотной бумаги выкройку шаблона для проверки правиль-
ности заточки зубила. Углы заточки обычно бывают та-
кими: 35* — для рубки цинка и алюминия, 45’ — для ла-
туни и меди, 60’ — для стали, 70—75’ — для чугуна и
бронзы.
21
196.	Практическая работа. Сделать из
чертежной бумаги шаблон пятиконечной звезды (черт. 35).
Радиус окружности можно взять равным 20 мм, Для де-
ления окружности на 5 равных частей можно воспользо-
ваться транспортиром или прибором, о котором говори-
лось в задаче 194.
197.	Практическая работа. Изготовить из
деревянных планок малку, угольник и ярунок (приспо-
собление для вычерчивания углов в 45®). Предварительно
продумать, как их сделать так, чтобы ими удобно было
пользоваться.
198.	Практическая работа. На школьном
дворе предполагается устроить клумбы для цветов. Со-
ставлен проект (черт. 36) в масштабе 1 : 100. Какие изме-
рения нужно будет выполнить по чертежу для разбивки
клумбы? Произвести необходимые измерения по чертежу
и вычислить все необходимые для планировки клумбы дей-
ствительные размеры ее. Произ-
#	 & вести планировку клумбы на
/\7	/ местности.
/	/ Геометрические доказательства
О	199. Сравнить наглазотрез-
Черт. 37	ки О А и О В (черт. 37). Вы-
вод проверить измерением.
200.	Сравнить по величине внутренние кружочки (черт.
38). Проверить измерением.
201.	Сравнить на глаз отрезки АВ и CD (черт. 39). Про-
верить измерением.
22
Черт. 38	Черт. 39
202.	Прямыми или кривыми являются линии АВ и CD
(черт. 40)? Проверить с помощью линейки.
Черт. 40
203. Прямую EF требуется продолжить с другой сто-
роны прямоугольника ABCD (черт. 41). Сделать это от ру-
ки, а затем проверить с помощью линейки.
204.	Какой вывод о глазомерной
оценке геометрических величин мож-
но сделать на основании приведен-
ных зрительных обманов?
205.	Почему нельзя обосновывать
геометрические утверждения (общего
характера) с помощью инструмен-
тальных измерений?
206.	Какое значение имеют чер-
тежи, глазомерные и инструменталь-
ные измерения для разрешения во-
просов геометрии?
Черт. 41
23
207.	(Черт. 42.) Дано: АВ = ВС; CD — ВС. Д о -
казать: АВ — CD.
208.	(Черт. 43.) Дано: АВ = CD. Доказать:
АС = BD.
209.	(Черт. 43.) Дано: АС = BD. Доказать:
АВ = CD.
210.	Дано: OB1.OD; ОА1ОС (черт. 44). Дока-
зать: ^АОВ = ^COD.
/?
Черт. 42
Черт. 43
211. (Черт.
45.)
Дано:
А В СП
45.)
Дано:
До
а
а т
к
з
212. (Черт.
^5 = ^6.
Черт. 45
Черт. 46
Черт. 47
ь:
ь:
ь:
в
С
Л
214.	Дано: ОА ± OB; OD ± ОС (черт. 47). Дока-
зать: ^СОВ + ^DOA = 180е.
215.	(Черт. 48.) Дано: CDJ_AB: -^1 — ^4. До-
казать:	2 — ^3.
216.	(Черт. 48.) Дано:
Доказать: ^1 = ^4.
^2 = ^3; .'ACD = 90*.
24
217.	(Черт. 48.) Дано:	= ^4; ^2 = ^3. До-
казать: CD I АВ.
218.	(Черт. 49.) Дано: OC.LOD; ^АОВ— разверну-
тый. Доказать:	+ ^3 = 90*.
219.	(Черт. 49.) Дано: ^1 + ^3 = 90*; ^АОВ —
развернутый. Доказать: CO_LOD.
Черт. 48
220.	(Черт. 50). Дано: АВ = DE\ ВС — EF. До-
казать: АС = DF.
221.	(Черт. 50.) Дан о: АС = DF; АВ = DE. До-
казать ВС = EF.
BCD
Черт. 50
Е F
222.	(Черт. 51.) Д а н о: ^ВАС =	^CAD—
=	Доказать:
^.BAD = ^BlA1D1.
223.	Доказать, что биссектрисы вертикальных углов
образуют одну прямую линию.
224.	Какие из следующих утверждений верны и ка-
кие ошибочны: 1) Поверхность классной доски толще по-
верхности стола. 2) Через точку можно провести только
одну прямую линию. 3) Ребро куба — прямая линия.
4) Любая хорда окружности короче диаметра ее. [Все
утверждения — ошибочны. ]
25
ГЛАВА II
ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник и его элементы
1.	Назвать в окружающей обстановке предметы, имею-
щие форму треугольника.
2.	Какое наименьшее число точек опоры о землю дол-
жен иметь предмет, чтобы он стоял достаточно устойчиво.
Привести примеры.
3.	Сколько нужно гвоздей и как их следует забивать,
чтобы достаточно прочно скрепить ими две доски?
4.	Найти на чертеже 1 равносторонний треугольник,
равнобедренный, разносторонний, остроугольный, пря-
моугольный, тупоугольный.
Черт, з
5.	Сколько всего треугольников на каждом из черте-
жей 2 и 3? [На чертеже 2—9, на чертеже 3—5. ]
6.	Построить равнобедренный треугольник, у которо-
го угол при вершине был бы равен 40°.
7.	Начертить равнобедренный треугольник, не являю-
щийся равносторонним. Можно ли начертить равносторон-
ний треугольник, не являющийся равнобедренным?
8.	Практические работы. 1) Начертить
прямоугольный и тупоугольный треугольники. Построить
все высоты их. Рассмотреть, как проходят эти высоты. От-
метить точку пересечения их (или продолжений).
2) В произвольном треугольнике из какой-нибудь вер-
шины его провести высоту, медиану и биссектрису.
3) Начертить три равнобедренных треугольника: остро-
угольный, прямоугольный, тупоугольный.
9.	Чем отличается биссектриса треугольника от биссек-
трисы угла? [Биссектриса треугольника — отрезок, а бис-
сектриса угла — луч. ]
26
10.	Сколько высот имеет прямоугольный треугольник
(тупоугольный)?
11.	Может ли высота треугольника равняться: 1) ос-
нованию его; 2) боковой сто-
роне? [1) Может. 2) Может,	6
в прямоугольном треуголь-
нике].	/ \
12.	У какого треугольни-	/	\
ка все высоты сходятся в од-	/	\
ной вершине? [У прямоуголь- /	\
ного. ]	Л-________________\
13.	1) Какие линии тре-
угольника (биссектрисы, ме-	ерт 4
дианы, высоты) лежат всегда
внутри треугольника? 2) Какая линия треугольника мо-
жет совпасть со стороной треугольника? 3) Какая линия
треугольника может лежать вне его?
14.	Рассмотреть треугольник АВС (черт. 4). Указать
и назвать: 1) углы его, прилежащие к стороне АС', 2) про-
тиволежащий этой стороне угол; 3) угол, заключенный
между сторонами АВ и АС. Между какими сторонами за-
ключен угол В? Против какого угла лежит сторона А С?
Сторона ВС? К каким сторонам прилежит угол Л? К ка-
ким углам прилежит сторона Л В? Сторона СВ?
Симметрия относительно прямой
15.	Лист бумаги перегнуть по прямой линии MN и
проколоть булавкой. На листе получается два маленьких
отверстия (точки) Л и В. Затем лист расправить и начер-
тить отрезок АВ. Точку пересечения этого отрезка с пря-
мой MN обозначить буквой О. Измерить АО и О В и сравнить
их длины. Измерить угол АОМ. Какое положение зани-
мает отрезок Л В по отношению к прямой MN?
16.	Практические работы. 1) Построить:
а) точку, симметричную данной точке относительно дан-
ной прямой; б) отрезок, симметричный данному отрезку
относительно данной прямой; в) треугольник, симметрич-
ный данному треугольнику относительно данной прямой.
2) Построить оси симметрии: а) двух данных точек;
б) двух равных отрезков, лежащих на одной прямой;
в) двух равных окружностей (непересекающихся). 3) При-
27
думать и изготовить приспособление для построения сим-
метричных относительно прямой точек.
17.	Даны две точки и прямая линия. Как проверить,
симметричны ли эти точки относительно данной прямой?
18.	Точка А симметрична точке В относительно оси М.
Какая точка будет симметрична точке В относительно той
же оси?
19.	Какая точка будет симметрична точке Д, лежащей
на оси симметрии ММ?
20.	Практическая работа. Построить два
треугольника, симметричные друг другу относительно
прямой линии и окрасить их в один цвет (или заштрихо-
вать). Вырезать эти треугольники. Наложить их друг
на друга так, чтобы они совместились. Какими сторонами
они совместятся? Сделать вывод.
21.	Какая линия будет симметрична относительно дан-
ной оси ММ: 1) окружности, не пересекающей оси ММ;
2) окружности с центром на оси ММ?
22.	Точка А лежит на окружности, центр которой нахо-
дится на прямой ММ. Где будет находиться точка, сим-
метричная А относительно ММ?
23.	Центры двух пересекающихся окружностей лежат
на оси симметрии ММ. Какая точка будет симметрична
одной из точек пересечения этих окружностей относитель-
но оси ММ?
24.	Построить точку, симметричную данной точке А
относительно данной прямой ММ, с помощью одного цир-
куля.
25.	Две фигуры — симметричны друг другу относитель-
но прямой ММ. Что произойдет с ними при перегибании
чертежа по прямой ММ? Сделать вывод.
Свойства равнобедренного треугольника
26.	Периметр равнобедренного треугольника равен
20 см, а основание этого треугольника 5 см. Найти длину бо-
ковой стороны.
27.	Из куска проволоки нужно согнуть равнобедрен-
ный треугольник. Основание этого треугольника должно
быть равно 150 мм, а боковая сторона 100 мм. Какой дли-
ны нужно взять кусок проволоки?
28.	На основании равнобедренного треугольника, пе-
риметр которого равен 36 см, построен равносторонний
28
треугольник с периметром в 30 см. Найти стороны равно-
бедренного треугольника. [10 с.и; 13 см и 13 си. ]
29.	Даны два равных угла АВС и Угол A1BiCl
наложили на угол АВС так, что совместились вершины
В. и В и сторона BiA пошла по стороне В А. Как распо-
ложатся стороны ВС и BtCJ
30.	Даны два равных отрезка АВ и АдВр Отрезок ЛхВ,
наложили на отрезок АВ так, что совместились точки
и Л и отрезок AjB, пошел по отрезку
Л В. Как расположатся точки В, и В?	В
31.	Отрезок Л1В1 наложили на отре- /\
зок АВ так, что концы их совпали. / \
Что произойдет с самими отрезками? По-
чему они совпадут?	/J \
32.	Практические рабо- че т 5
т ы. 1) Начертить произвольный пря-	ерт’
моугольный треугольник ЛВС и по-
строить симметричный ёму треугольник относительно пря-
мой АС (катета). Какой треугольник образуют данный и
симметричный ему треугольники (по сторонам и углам)?
2) Вырезать из бумаги равнобедренный треугольник и
разрезать его на два равных треугольника.
33.	Обладает ли биссектриса угла при основании рав-
нобедренного треугольника такими же свойствами, как и
биссектриса угла при вершине этого треугольника.
34.	Какими свойствами обладает биссектриса любого
угла равностороннего треугольника?
35.	Какими свойствами обладает медиана угла при вер-
шине равнобедренного треугольника?
36.	Перечислить свойства высоты, проведенной из вер-
шины любого угла равностороннего треугольника.
37.	Дан о: АВ = ВС (черт. 5). Доказать: л1 = ^2;
^3 = ^А.
38.	Сделать чертеж клина, применяемого при колке
дров, если высота его 200 мм, а основание обуха 80 мм.
Измерить угол клина.
39.	Восстановить равнобедренный треугольник по
трем точкам его: точке, лежащей на боковой стороне, кон-
цу основания и середине его.
Равенство треугольников
40.	Какие три отрезка не могут быть сторонами тре-
угольника?
29
41.	Может ли равнобедренный треугольник иметь та-
кие стороны: 1) 6 см; 6 см; 14 см; 2) 6 см; 6 см; 12 см;
3) 6 см; 6 см; 8 см? 11) и 2) нет; 3) да. 1
42.	Может ли боковая сторона равнобедренного тре-
угольника быть меньше половины основания его? [Не мо-
жет. ]
43.	Могут ли стороны треугольника относиться, как
числа: 1) 1, 2, 3; 2) 3, 4, 5; 3) 3, 5, 9? [1) и 3) не могут; 2) мо-
гут. 1
44.	Расстояния между тремя точками А, В и С тако-
вы: 1) АВ — 10 см; АС—8 см; ВС=2 см; 2) АВ=15см;
АС — 20 см; ВС = 8 см. Как в каждом из этих двух
случаев располагаются точки А, В и С? [1) Точки А, В
и С лежат на одной прямой. 2) Являются вершинами
треугольника. ]
45.	Расстояние между магазинами № 1 и № 2 равно
4 км, а между магазинами №2 и № 3 — 5 км. Каким
может быть расстояние между магазинами № 1 и № 3?
Выполнить чертежи. [Не больше 9 км. J
Черт. 6
П
46.	Практические работы. 1) Вырезать из
бумаги (картона): а) две равные фигуры; б) две неравные
фигуры; в) два равных круга; г) два равных квадрата.
2) Квадрат разрезать на 4 равных прямоугольных тре-
угольника (черт. 6). Из одной пары получившихся тре-
угольников сложить фигуру I, а из другой — фигуру II.
Равны ли получившиеся фигуры? 3) Построить треуголь-
ник АВС по двум углам: ^.А — 50°; ^-В = 80е. Сколько
решений имеет эта задача? Измерить третий угол полу-
чившегося треугольника. 4) Построить треугольник АВС
по двум сторонам его: АВ = 30 мм; ВС = 20 мм. Сколько
решений имеет эта задача? 5) Построить треугольник АВС
по стороне АВ — 25 мм и углу А, равному 40е. Сколько
решений имеет эта задача? 6) Построить треугольник АВС
по трем сторонам его: АВ = 2см; ВС = 3 см иСА =4см.
30
47.	Имеются две окружности, радиусы которых равны.
Что произойдет с этими окружностями, если одну из них
наложить на другую так, чтобы центры их совместились?
48.	Стороны квадратов A BCD и	равны. Квад-
рат AiBiCiD^ наложили на квадрат ABCD так, что вер-
шины А и А у совместились и сторона ЛхВл пошла по сто-
роне АВ. Что произойдет с этими квадратами?
Черт. 7
49.	Всегда ли практически можно установить, равны
ли данные треугольники наложением их друг на друга?
50.	Чем отличаются друг от друга треугольники
(черт. 7)? Равны ли они? Как их нужно накладывать друг
на друга, чтобы убедиться в равенстве?
Черт. 9
51.	В чем состоит свойство жесткости треугольника?
Обладает ли свойством жесткости четырехугольник? Как
четырехугольник можно превратить в жесткую фигуру?
Где и как применяется свойство жесткости треугольника?
52.	(Черт. 8.) Дано: АВ — DC; ВС — AD. Что можно
доказать? Доказать.
53.	(Черт. 9.) Дано АВ — ВС; AD = DC. Что можно
доказать? Доказать.
54.	Построить треугольник АВС по двум сторонам
АВ = 32 мм, ВС = 40 мм и заключенному между ними
углу В, равному 70*.
31
55.	(Черт. 10.) Дано: AED и ВЕС — прямые линии;
BE = ЕС; АЕ = ED. Что можно доказать? Доказать.
56.	(Черт. II.) Дано: ВС = AD; = ^.2. Доказать:
дАСВ = дСАР.
57.	(Черт. 12.) Дано: AD — биссектриса угла ВАС;
АВ = АС. Доказать: DC = DB.
58.	(Черт. 11.) Дано:	= ^2; AD = ВС. Дока-
зать: АВ = CD.
59.	(Черт. 8.) Дано: ВС = AD; ^DAC = ^ВСА. До-
казать: АВ = CD.
60.	Сравнить треугольники АВС и ADC (черт. 13).
Какие элементы их соответственно равны? Сделать вывод.
61.	Построить треугольник АВС по стороне АВ =
= 30 мм и двум прилежащим к ней углам: ^А = 36е;
^В = 75°.
62.	(Черт. 10.) Дано: ^AED = 180е; ^ВЕС = 180е;
АЕ = ED; ^-А — ^D. Что можно доказать? Доказать.
63.	(Черт. 11.) Дано: ^1 = ^2; ^3 = Доказать:
ДАВС = дАРС.
64.	(Черт. 8.) Дано: ^ВАС = ЛВС A;	^DAC =
= ^ВСА. Доказать: дАВС = дАРС.
65.	(Черт. 14.) Дано: АВ = ВС; АР = ЕС. Что мож-
но доказать? Доказать.
32
66.	(Черт. 15.) Дано: = -^3; -^2 = ^4. Что мож-
но доказать?
67.	(Черт. 16.) Дано: -^1 = ^2; ^3 = -<4; ED —
продолжение АЕ; BDC — отрезок прямой линии. Что
можно доказать?
Черт. 14	Черт. 15
Черт. 16
Равенство прямоугольных треугольников
68.	(Черт. 17.) Дано: AD = DC; BD I АС. Доказать:
&ADB = &CDB.
69.	(Черт. 18.) Дано: АСВ и А1СВ1 — прямые линии;
ЛЛ^ЛВ; ВС = СА. Доказать: &.СВВ. —
= ДСЛЛ,.
70.	Доказать теорему о равенстве прямоугольных тре-
8
Черт. 17
угольников по гипотенузе и катету приложением одного
треугольника к другому.
71.	(Черт. 18.) Дано: ЛЛ,±ЛВ; BBt±AB; АА. = BBt;
А,СВ1 — прямая линия. Доказать: АС = СВ. Как вос-
пользоваться доказанным утверждением для деления дан-
ного отрезка пополам?
72.	Доказать, что прямая, пересекающая стороны уг-
ла и перпендикулярная биссектрисе его, отсекает на сторо-
нах угла от вершины его равные отрезки.
3 Заказ 1346
33
73.	Доказать, что если два угла треугольника равны,
то такой треугольник — равнобедренный.
74.	Из листового железа необходимо вырубить пласти-
ну в форме прямоугольного треугольника. Какие размеры
достаточно знать для разметки этой пластины?
Задачи на применение признаков равенства
треугольников
75.	Доказать, что медианы, проведенные к боковым
сторонам равнобедренного треугольника, равны. Сформу-
лировать и доказать аналогичные теоремы о высотах и
биссектрисах, проведенных к боковым сторонам равно-
бедренного треугольника.
76.	Как можно иначе доказать утверждение о свой-
ствах равнобедренного треугольника?
77.	Боковая сторона и основание одного равнобедрен-
Черт. 19
Черт. 20
ного треугольника соответственно равны боковой стороне
и основанию другого равнобедренного треугольника. До-
казать, что эти треугольники равны.
78.	Для измерения длины озера на местности выполни-
ли показанное на чертеже 19 построение (AC_LBD; CD =
= ВС). Какое расстояние нужно измерить на местности,
чтобы узнать длину озера? [ЛВ. ]
79.	Как можно измерить расстояние от пункта А до
пункта В, если между ними находится препятствие (зда-
ние, озеро и т. д.)?
80.	Как измерить расстояние между двумя пунктами
А и В, если к пункту В нельзя подойти?
81.	Как данный на местности угол можно разделить
на две равные части, не пользуясь никаким угломером?
34
82.	Угол АВС на местности требуется разделить попо-
лам. Для этого на сторонах угла от вершины его отложи-
ли равные отрезки BE и В/7 так,
чтобы расстояние EF было мень-
ше длины рулетки. Затем за-	q
крепили концы ленты рулетки в
точках Е и F, натянули ее за се-	/ \
редину О и отметили положение	/	\
точки О на местности (черт. 20).	/	\ ,
Прямая ОВ и будет биссектри- д ------------1—Л— Q
сой угла АВС. Обосновать это	С
построение. [Достаточно дока-	qe 21
зать равенство треугольников	ерт<
ВОЕ и BOF. ]
83. Для того чтобы на местности из точки С прямой АВ
провести к ней перпендикулярную прямую, поступили
так: по разные стороны от точки С на прямой АВ отложи-
ли равные отрезки СЕ и CF (длины этих отрезков взяли
меньше половины длины ленты рулетки), а затем закрепи-
ли концы ленты в точках Е и F и, натянув отведенную в
сторону ленту рулетки за ее середину О, отметили положе-
ние точки О на земле (черт. 21). Прямая ОС и является
искомым перпендикуляром. Обосновать правильность по-
строения. [Достаточно доказать равенство треугольни-
ков OFC и ОЕС. ]
Внешние углы треугольника
84. Сколько внешних углов можно построить при каж-
дой вершине треугольника? Какие это углы? Сколько счи-
тается внешних углов у треугольника?
85. Начертить треугольник,
£	D имеющий: 1) острый внешний
/\гугол; 2) прямой внешний угол;
/	/	3) тупой внешний угол.
л	F 86. Построить треугольник,
* два угла которого были бы
Черт. 22	равны 30э и 60э. Измерить тре-
тий угол его, построить внеш-
ние углы и вычислить их. Найти сумму внешних углов
этого треугольника.
87.	(Черт. 22) Дано: АЕ — медиана треугольника АВС;
ED — продолжение АЕ; ED = АЕ; CF — продолжение
АС. Доказать: ^АВС = ^BCD.
з*
35
88.	Сколько прямых (тупых) углов может иметь тре-
угольник? [Не более одного. Если бы какой-нибудь внут-
ренний угол треугольника был прямым или тупым, то
смежный с ним внешний угол треугольника должен быть
прямым или острым. Поэтому два внутренних угла тре-
угольника, не смежные с этим внешним углом, должны
быть меньше его, а значит — они острые. ]
89.	Могут ли два внешних угла треугольника (при двух
вершинах его) быть прямыми (острыми)? [Если бы два
внешних угла треугольника были прямыми или острыми,
то смежные с ними внутренние углы треугольника были бы
прямыми или тупыми, но этого быть не может. ]
Соотношения между сторонами и углами
треугольника
90.	Стороны треугольника АВС таковы: АВ = 15 см,
ВС = 10 см\ С А = 8 см. Какой из углов этого треуголь-
ника наименьший и какой наибольший? 1^С — наиболь-
ший; ^.В — наименьший. ]
91.	В треугольниках АВС и AJifii АВ = А,5,. Мож-
но ли утверждать, что <^С = х^С,? Почему нельзя?
92.	Какая сторона треугольника (по длине) лежит:
1) против прямого угла; 2) против тупого угла?
93.	Может ли против острого угла треугольника ле-
жать бблыиая сторона этого треугольника? [Может. В
остроугольном треугольнике. ]
94.	Все углы треугольника АВС равны друг другу.
Какой это треугольник? ( [Равносторонний. ]
Перпендикуляр и наклонные. Проекция
отрезка на прямую
95.	Сколько наклонных можно провести к данной пря-
мой из данной точки, не лежащей на этой прямой?
96.	Взять несколько отрезков (в разных положени-
ях) и прямую. Построить проекции этих отрезков на эту
прямую.
97.	Построить три неравных отрезка, проходящих
через одну и ту же точку и имеющих одну и ту же проек-
цию на данную прямую. Как располагаются концы этих
отрезков?
36
98.	1) Когда проекцией отрезка на прямую служит
точка? 2) Может ли проекция отрезка на прямую быть
больше этого отрезка?
99.	Придумать несколько доказательств теоремы о дли-
не наклонных, имеющих равные проекции.
100.	Могут ли неравные наклонные иметь равные про-
екции, а равные наклонные — неравные проекции? По-
яснить ответ чертежами.
101.	Сравнить медиану и высоту треугольника, про-
веденные из одной вершины его.
102.	Построить равносторонний треугольник, внутри
его отметить точку. Найти расстояния этой точки от сто-
рон треугольника. Сумму этих расстояний сравнить с
длиной высоты.
103.	Доказать следующие теоремы: 1) Если прямая
АЕ пересекает отрезок ВС в его середине, то концы отрез-
ка ВС равноудалены от прямой АЕ. 2) Любые две верши-
ны треугольника равноудалены от медианы, проведенной
из третьей вершины.
Задачи на построение
104.	Придумать несколько способов построения бис-
сектрисы данного угла.
105.	Построить (с помощью циркуля и линейки) углы
в: 1) 45°; 2) 22°30'; 3) 135°; 4) 225е; 5) 315е.
106.	На данной прямой построить отрезок, равный
данному отрезку так, чтобы: 1) серединой отрезка была
данная точка прямой; 2) одним из концов отрезка была
данная точка. Сколько решений имеет задача в каждом
из этих случаев?
107.	Как на данной прямой АВ найти точку,
отстоящую от данной точки О на данном расстоянии а.
Рассмотреть различные возможные случаи и выяс-
нить сколько решений имеет задача в каждом из этих
случаев.
108.	Построить равнобедренный прямоугольный тре-
угольник по его катету.
109.	Построить: 1) прямоугольный треугольник по
двум катетам; 2) равнобедренный треугольник по осно-
ванию и высоте, проведенной к основанию; 3) прямоуголь-
ный треугольник по гипотенузе и катету; 4) равнобед-
ренный треугольник по боковой стороне и высоте, прове-
37
денной к основанию; 5) равнобедренный треугольник по
основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.
НО. Требуется решить задачу на построение: из дан-
ной точки С прямой АВ восставить к этой прямой пер-
пендикуляр. Можно ли рассматривать эту задачу, как
задачу на деление угла пополам?
111. Построить окружность данного радиуса г, прохо-
дящую через две данные точки Ан В. Сколько таких ок-
ружностей можно построить?
112.	Построить два таких неравных треугольника, что-
бы две стороны и угол одного
были бы соответственно равны
yr	двум сторонам и углу другого
У (см., например, чертеж 13).
113.	Участок земли был об-
Черт 2з	несен забором, имевшим форму
равнобедренного треугольника.
Со временем забор разрушился и от него остались лишь
три столба: два в концах основания и один на боковой
стороне. Как восстановить забор?
114.	От пластмассового равнобедренного треугольника
отломились два угла при основании. Осмотр оставшейся
части (черт. 23) показал, что точка D ее принадлежала
основанию треугольника. Восстановить этот треугольник.
[Нужно построить биссектрису известного угла при вер-
шине, а затем через заданную точку основания провести
перпендикуляр к этой биссектрисе. ]
115.	Нужно разметить прямоугольный равнобедрен-
ный треугольник по трем точкам его: одна из этих точек
должна служить вершиной острого угла, а две другие точ-
ки должны лежать по одной на каждом катете. Как это
сделать?
116.	Восстановить равнобедренный треугольник по его
боковой стороне и основанию проведенной к ней высоты.
[Следует построить перпендикуляр к боковой стороне,
проходящий через заданное основание высоты, затем надо
найти второй конец основания, как точку пересечения по-
строенного перпендикуляра и окружности, проведенной
из вершины треугольника радиусом, равным боковой сто-
роне. ]
117.	Восстановить прямоугольный треугольник по вы-
соте, проведенной из вершины прямого угла и точке, при-
надлежащей одному из катетов.
38
118.	Как построить перпендикуляр к отрезку, прохо-
дящий через середину отрезка (середина отрезка недоступ-
на)? [Построение иллюстрирует чертеж. 24].
119.	Как найти расстояние В А до недоступной точ-
ки А, пользуясь только рулеткой (и провешиванием пря-
мых)? [Построение иллюстрирует чертеж 25.]
Черт. 24
120.	На чертеже 26 изоб-
ражена часть треугольника
А ВС, вершина С которого ока-
залась вне чертежа. Требуется
Черт. 27
построить умещающуюся на чертеже часть высоты этого
треугольника, проведенной из вершины С. [Построение
иллюстрирует чертеж 27.)
Графическое решение геометрических задач*
121.	Найти гипотенузу прямоугольного треугольни-
ка, катеты которого равны 3 см и 4 см. [ 5 см. ]
* Графическое решение геометрической задачи на вычисление
состоит в том, что по известным элементам (в некотором мас-
штабе) выполняют чертеж фигуры, а затем по получившемуся чер-
тежу измерением и вычислениями (с учетом масштаба) находят ис-
комые величины. При использовании этого приема- решения задач
важно тщательно выполнять построения и возможно точней проводить
измерения.
39
122.	Найти наибольший из углов треугольника со сто-
ронами 3 см; 4 см и 5 см. [90°. ]
123.	На веревке последовательно отмечены длины 3 м,
4 .и и 5 ж? Как воспользоваться ею для построения на
местности прямого угла? [Если построить на местности
треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м, то наибольший
угол его будет прямым. ]
124.	Вычислить площадь равнобедренного треугольни-
ка, если основание этого треугольника равно 5,4 см, а
боковая сторона 6,3 см. [Построить этот треугольник, из-
мерить его высоту и произвести вычисления.]
125.	Найти площадь равностороннего треугольника,
сторона которого равна 4,5 см.
126.	Катет прямоугольного треугольника равен 8 см,
а прилежащий к нему острый угол 42*. Найти гипотенузу
этого треугольника.
127.	Найти катет треугольника, противолежащий углу
в 35*, если прилежащий к этому углу катет равен 45 мм.
128.	Найти расстояние между двумя точками, нахо-
дящимися на разных сторонах угла в 110*, если одна из
них удалена от вершины угла
на 6 см, а другая — на 8 см.
_____________— "|	129. Как на листе бума-
  с :— _ _------------1 ги построить угол, равный
~ - -»	данному на местности углу,
„	28	не измеряя его. Придумать
ерт’	несколько способов.
130.	Под каким углом ви-
ден отрезок в 1 см с расстояния в 5 см? (Черт. 28.)
131.	Под каким углом видна спичка с расстояния в
10 см?
132.	Телеграфный столб, высота которого 8 м, виден
под углом в 10°. Найти расстояние до столба.
133.	Человек, рост которого 1,7 м, виден под углом в
10*. Найти расстояние до человека.
134.	Для определения высоты холма (черт. 29) измери-
ли АС, xd и -с2 (треугольник АСВ лежит в вертикальной
плоскости, АС — горизонтальна). Найти высоту холма,
если АС = 100 м, = 32’; ^2 = 40*.
135.	Требуется измерить высоту дерева (черт. 30). Для
этого измерили AC, AD и ^.САВ. Найти высоту дерева,
если АС = 10 м, AD = 1,2 м и ^САВ — 35°.
40
136.	Вычислить площадь участка земли, если на пла-
не, с масштабом этот участок изображается тре-
угольником со сторонами 5,5 см, 4 см и 6,2 см. [Прибли-
женно 110 кв. м. ]
137.	Практичес-
кая работа. Угол
заострения рубаночной же-
лезки, долота и стамески
можно находить по отно-
шению ширины фаски а
к толщине резца в (черт. 31).
Построением и последую-
щим измерением транспортиром
точки для указанных в таблице
нить эту таблицу.
Черт. 31
найти величину угла за-
отношений а к в. Запол-
а в	1,2	1,5	1,8	2	2,2	2,5	2,7	3
угол заточки								
Задачи для повторения
138.	Периметр треугольника равен 63 мм. Стороны
этого треугольника относятся, как числа 2, 3, и 4. Вычис-
лить стороны [14 мм, 21 мм и 28 мм. ]
139.	Две стороны треугольника равны 20 мм и 40 мм.
Какую длину может иметь третья сторона? [Больше
20 мм, но меньше 60 мм. ]
41
140.	Верны ли утверждения: 1) если к двум равным фи-
гурам прибавить равные фигуры, то получатся равные
фигуры; 2) равные фигуры имеют равные площади; 3) фи-
гуры, имеющие равные площади, равны. [1) и 3) неверны;
2) верно.]
141.	Перечислить свойства равнобедренного треуголь-
ника.
142.	Какими свойствами обладает равносторонний тре-
угольник?
Черт. 33
143.	Доказать теорему о свойствах равнобедренного
треугольника с помощью признаков равенства треуголь-
ников.
144.	Сравнить расстояния от точки пересечения бис-
сектрис углов при основании равнобедренного треуголь-
ника до вершин этих углов. Сформулировать и доказать
теорему об этих расстояниях.
145.	Доказать, что медиана треугольника меньше по-
лусуммы сторон, исходящих из той же вершины. [См.
чертеж 32. ]
146.	Доказать, что треугольник, в котором высота и
медиана совпадают, — равнобедренный.
147.	Сформулировать несколько признаков: 1) равно-
бедренного треугольника и 2) равностороннего.
148.	С помощью масштабной линейки разделить дан-
ный угол на две равные части. [См. чертеж 33. ]
149.	С помощью масштабной линейки и чертежного
42
lOAF-l FAO
lEAF=2^OAL
Черт. 34
треугольника удвоить данный угол. [Построение иллю-
стрирует чертеж 34. ]
150.	Восстановить рав-
нобедренный треугольник
по медиане его, проведен-
ной к основанию, и точке,
принадлежащей одной из
боковых сторон.
151.	Можно ли восста-
новить равносторонний
треугольник по одной из
вершин его и двум точ-
кам, лежащим: 1) на при-
лежащих к этой вершине
сторонах; 2) на прилежа-
щей и противолежащей сторонах. [1) Бесконечно много ре-
шений. 2) Можно.]
ГЛАВА III
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Параллельные прямые
1.	Как могут располагаться на плоскости две прямые
линии — одна по отношению к другой? Что из предметов
классной обстановки дает представление о параллельных
прямых?
2.	Могут ли три, четыре и больше прямых линий быть
параллельными? Какие два отрезка следует называть па-
раллельными?
3.	Можно ли на основании определения параллельных
прямых линий практически устанавливать параллельность
отрезков, заданных на чертеже, или провешенных на ме-
стности?
4.	1) Как строят параллельные прямые с помощью ли-
нейки и чертежного треугольника? Обосновать. 2) Как
строят параллельные прямые с помощью рейсшины? Дать
обоснование. 3) Как строят параллельные прямые с по-
мощью циркуля и линейки? Обосновать.
5.	Построить три параллельные прямые линии с по-
мощью одного чертежного треугольника.
43
6.	С помощью двух чертежных треугольников построить
прямую, параллельную данной прямой и проходящую че-
рез данную точку.
7.	1) Начертить две прямые, которые: а) были бы па-
раллельны нижнему краю листа тетради; б) были бы па-
раллельны левому краю; в) не были бы параллельны краям
листа. 2) В каждом из этих
6	случаев измерить расстояние
между параллельными прямы-
ми.
q	8. Для чего и как приме-
няется рейсмус?
Черт. 1	9. На местности через точ-
ку О требуется провешить
прямую, параллельную данной прямой АВ (точка О
не лежит на ЛВ). Как это можно сделать с помощью
эккера?
10.	Как на местности провешить прямую, параллель-
ную данной прямой АВ и отстоящую от нее на расстоянии
5 и? Сколько таких прямых можно провешить?
11.	(Черт. 1.) Дано: АЕ = ED\ BE = ЕС\ AED и
ВЕС — прямые линии. Доказать: АВ = CD\ АВ || CD.
12.	Как практически проверить параллельны ли две
данные прямые: 1) начерченные на бумаге и 2) провешен-
ные на местности?
Свойства углов, образованных параллельными
прямыми и секущей
13.	Один из углов, получающихся при пересечении двух
параллельных прямых третьей прямой, равен 40®. Найти
остальные углы.
14.	1) Могут ли быть равными внутренние односторон-
ние углы, образующиеся при пересечении двух параллель-
ных прямых третьей прямой? 2) Как должна проходить
секущая, чтобы все 8 углов, получающиеся при пересечении
двух параллельных прямых этой секущей, были равны?
fl) Могут. 2) Секущая должна быть перпендикулярна па-
раллельным прямым. ]
15.	Сумма трех внутренних углов из восьми углов, об-
разовавшихся при пересечении двух параллельных пря-
мых третьей прямой, оказалась равной 280®. Найти каж-
дый из этих восьми углов.
44
16.	(Черт. 2.) Дано: ВС || AD\ АО = OD\ О —точка
пересечения АС и BD. Доказать: £\ABD = дЛС£>.
17.	На стороне АВ треугольника АВС взяли произ-
вольную точку D (между Л и В) и
через нее провели прямую, паралле-	в ?
льную стороне АС. Эта прямая
отсекает треугольник DBE. Срав- /	\
нить углы треугольников АВС и / X \ \
РВ£.	ЛХ
18.	При каком положении секу- д ------------д
щей отрезок ее, отсекаемый парал-
лельными прямыми, будет наимень-	Черт’ 2
шим по длине?
19.	Построить прямую, равноудаленную от вершин
данного треугольника. [Искомая прямая должна быть па-
раллельна стороне треугольника и должна делить соот-
ветствующую высоту пополам. 3 решения. ]
20.	Доказать, что биссектрисы соответственных уг-
лов, получающихся при пересечении двух параллельных
прямых третьей прямой, параллельны между собой.
21.	Доказать, что биссектрисы двух внутренних на-
крест лежащих углов, получающихся при пересечении
двух параллельных прямых третьей прямой, параллель-
ны между собой.
Внутренние и внешние углы треугольника
22.	С помощью транспортира построить сумму углов
данного треугольника.
23.	Придумать иное, чем в учебнике, доказательство
теоремы о сумме внутренних углов треугольника.
24.	От прямоугольного треугольника, сделанного из
пластмассы, нечаянно отломили два угла. Остался угол
в 30°. Сколько градусов содержал каждый из отломивших-
ся углов?
25.	Могут ли углы треугольника относиться, как чис-
ла: 1) 1; 2; 3; 2) 3; 7; 8? Вычислить углы этих треуголь-
ников. [1) 30е; 60е; 90е; 2) 30е; 70е; 80е. ]
26.	1) Могут ли две стороны треугольника быть парал-
лельными? 2) Могут ли две стороны треугольника быть
перпендикулярными к третьей стороне его?
45
27.	(Черт. 3.) Дано? .гЛ — ^2; ^3 = ^4. Доказать:
^г5 = ^6.
28.	В треугольнике АВС^А = 25е,	= 68е. Через
вершины А, В и С проведены прямые, параллельные про-
тиволежащим сторонам. Найти углы
треугольника, образованного этими
.x'z’s\ прямыми. [25е, 68е и 87®. 1
\	29. Установить вид треугольника
-------77 (по углам), если один из внутренних
/ углов его: 1) равен сумме двух дру-
гих углов; 2) больше ее; 3) меньше
ее. [1) Прямоугольный. 2) Тупо-
ерт'	угольный. 3) Вид треугольника в этом
случае установить нельзя. ]
30.	Какие углы образуются при пересечении двух бис-
сектрис равностороннего треугольника? [60е; 120°; 60е;
120°. ]
31.	1) О треугольнике АВС известно, что сумма двух
углов его равна 90е. Какой это треугольник? 2) Какой вы-
вод можно сделать о виде треугольника, если сумма двух
углов его равна: а) 70е; б) 120°? 11) Прямоугольный. 2) а)
Тупоугольный, б) Вид треугольника в этом случае уста-
новить нельзя.]
32.	Доказать, что биссектрисы двух внутренних одно-
сторонних углов, получающихся при пересечении двух
параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны
между собой.
33.	Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на
два остроугольных треугольника? [Нельзя. ]
34.	К боковой стороне равнобедренного треугольника
проведена высота. Вычислить угол между этой высотой и
второй боковой стороной, если угол при основании равен:
1) 40°; 2) 70е. [1) 105; 2) 50е. ]
35.	Каким по величине может быть угол при основа-
нии равнобедренного треугольника?
36.	В равнобедренном треугольнике, угол при верши-
не которого равен 36е, построили биссектрису угла при ос-
новании. Рассмотреть получившиеся два треугольника.
Какого они вида (по сторонам и углам)? [Оба треугольни-
ка — равнобедренные, один из них тупоугольный, другой
остроугольный. ]
46
37.	(Черт. 4.) Дано: ^А = 40е;	= 30е; CD || Л 5;
СЕ — продолжение АС. Найти 1; ^2;	1 + ^2 +
+^АСВ..
38.	1) Найти внешний угол равностороннего треуголь-
ника. 2) Найти внешние углы равнобедренного прямо-
угольного треугольника.
39.	Внешний угол при вершине равнобедренного тре-
угольника равен 100е. Найти все
углы этого треугольника. [50е;	В
50°; 80°. ]	А
40.	С помощью одной линейки	у' /	>
построить сумму двух (внутренних)	/ / .Z
углов данного треугольника. [Дос- /	 /
таточно построить внешний угол, д	------
не смежный с данными внутренни-	С £
ми углами. ]	т 4
41.	Практическая ра-
бота. Воспользоваться свойст-
вами равнобедренного прямоугольного треугольника для
нахождения: 1) расстояния между двумя точками, из ко-
торых одна недоступна; 2) высоты дерева.
42. Придумать иные доказательства (отличные от дан-
ного в учебнике) теоремы, выражаю-
щей свойство катета, лежащего против
угла в 30°.
43. Практическая работа.
Воспользоваться теоремой, выража-
ющей свойство катета, лежащего про-
тив угла в 30°, для измерения расстоя-
ния между двумя пунктами на местно-
сти, если между этими пунктами име-
ется препятствие, но к каждому из них
можно подойти?
Черт. 5
44.	Доказать, что если в треугольнике медиана равна
половине той стороны, к которой она проведена, то этот
треугольник — прямоугольный. Как можно воспользо-
ваться этой теоремой для построения перпендикуляра к
отрезку, проходящего через конец его? [Пусть в треуголь-
нике АВС (черт. 5) CD = BD = AD. Треугольники CBD
и ACD — равнобедренные. -^5 = 2 ^2; -^6 = 2-^1; -^5+
4- ^6 = 2d == 2^2 4-2^1. Следовательно, + ^2 =
= d.\
47
Углы с соответственно параллельными
или перпендикулярными сторонами
45.	1) Какие углы (черт. 6) являются углами с соот-
ветственно параллельными сторонами? 2) Рассмотреть рам-
ку для фотографии (черт. 16, стр. 83). Найти углы с
соответственно параллельными сторонами.
46.	Через заданную точку Л, не лежащую на сторо-
нах данного угла BCD, провести
две прямые, соответственно парал-
лельные сторонам этого угла. На-
звать углы, стороны которых соот-
ветственно параллельны. Рассмот-
реть различные случаи расположе-
ния точки А относительно сторон
угла BCD.
47. Можно ли построить угол с
вершиной, лежащей на одной из
сторон данного угла и со сторона-
ми, соответственно параллельными сторонам данного угла?
(Нельзя.)
48.	Стороны угла DEL соответственно параллельны
сторонам угла АВС (черт. 7). Вычислить углы DEL и
и FEL, если ^.АВС = 50е.
49.	(Черт. 8). Дано: АВ || DC\ AD || ВС; = 60*.
Найти: ^2 и ^3.
50.	Через точку, взятую внутри угла в 45*, проведены
прямые, параллельные сторонам этого угла. Найти все
четыре угла, образованные этими прямыми.
51.	Как с помощью угломера, например астролябии,
измерить угол, образованный двумя прямыми на местно-
сти, если точка пересечения этих прямых недоступна?
.48
52.	При обработке металлических изделий часто поль-
зуются транспортирным угломером (черт. 9). Как поль-
зуются этим инструментом? На какой теореме основано
его устройство?
53.	Стороны одного треугольника соответственно па-
раллельны сторонам другого. Доказать, что углы этих
треугольников соответственно равны. [Воспользоваться
теоремой об углах с соответственно параллельными сторо-
нами и теоремой о сумме внутренних углов треугольника. 1
54.	Через заданную точку А, не лежащую на сторонах
данного угла BCD, провести две прямые, соответственно
Черт. 10.
перпендикулярные сторонам этого угла. Найти углы с
соответственно перпендикулярными сторонами, измерить
их и сравнить с углом BCD.
55.	(Черт. 10.) Дано: АВ1.СК; AD 1СЕ-, ^ЕСК =
= 40’. Найти: ^.DAB и ^BAF.
56.	Через точку, взятую внутри угла в 45*, проведены
две прямые, перпендикулярные сторонам этого угла. Най-
ти все четыре угла, образованные этими прямыми.
57.	Стороны тупого и острого углов взаимно перпен-
дикулярны. Найти эти углы, если разность их равна 32’20'.
[73°50' и 106’10'. 1
58.	Начертить треугольник, построить высоты его. Рас-
смотреть углы, образованные высотами, сравнить их с
углами треугольника.
59.	Чертежники перпендикуляры к заданной прямой
обычно строят с помощью «перекидки» чертежного тре-
угольника. (На чертеже 11 штриховыми линиями изобра-
жено положение чертежного треугольника после «пере-
кидки». 4В_|_СВ.) Обосновать это построение.
4 Заказ 1346
49
60.	С помощью одного чертежного треугольника по-
строить угол, равный данному и имеющий своей верши-
ной данную точку.
61.	Для измерения углов в вертикальной плоскости
при проведении измеритель-
ных работ на местности поль-
зуются эклиметром (черт. 12).
На каком свойстве углов основано устройство эклимет-
ра? Как пользуются эклиметром?
62.	Прямоугольный напильник, применяемый для опи-
ливания твердых металлов, имеет двойную насечку (черт. 13).
а — угол нижней (глубокой) насеч-
ки; 0 — угол верхней (неглубокой)
насечки; у — угол захвата. Выра-
зить формулой зависимость между
этими углами. Вычислить угол за-
хвата, если а = 43°; 0 = 75е. [у = а 4*
4-0; 118e.J
Симметрия фигур относительно
прямой
63.	Даны две точки А и Ви пря-
мая MN. Будут ли точки А и В сим-
метричными относительно прямой MN,
если: 1) Л и В удалены от прямой MN
на разные расстояния; 2) на равные
расстояния? (2) Могут и не быть симметричными относи-
тельно данной прямой.]
64.	Какая линия называется симметричной данной
прямой относительно данной оси MN?
65.	Какая прямая линия будет симметрична относи-
60
тельно данной оси MN: 1) прямой, параллельной оси MN;
2) прямой, перпендикулярной оси MN?
66.	Где лежит точка пересечения двух прямых, сим-
метричных относительно данной оси MN (если эти прямые
пересекаются)? [На оси A1W.]
67.	Какие два многоугольника называются симметрич-
ными относительно данной оси? Какие две фигуры назы-
ваются симметричными относительно данной оси?
68.	Как построить дугу окружности, симметричную
данной дуге относительно оси MN [Надо построить точки,
симметричные относительно данной оси концам заданной
дуги и ее центру. Построенные три точки определяют дугу,
симметричную данной.]
69.	Какой треугольник будет симметричен данному
равнобедренному треугольнику относительно биссектри-
сы угла при вершине? [Сам этот треугольник.]
70.	Построить ось симметрии для двух пересекающих-
ся прямых. Сколько таких осей можно построить?
71.	Привести примеры фигур, имеющих ось сим-
метрии.
72.	Практическая работа. Построить оси
симметрии: 1) двух взаимно перпендикулярных прямых;
2) двух параллельных прямых; 3) чертежа рамки для
фотографии (см. черт. 16, стр. 83); 4) равнобедренного тре-
угольника; 5) равностороннего треугольника; 6) окружно-
сти; 7) квадрата; 8) прямоугольника.
73.	Сколько осей симметрии	в
и какие имеют: 1) круг; 2) рав- А	®
посторонний треугольник; 3) пря- ®
моугольник, не являющийся
квадратом; 4) пятиконечная звез-
да?	----------------
74.	Какие печатные буквы на- п	N
шего алфавита имеют оси симмет-	Черт. 14
рии и сколько?
75.	Даны прямая MN и две точки А и В, лежащие по
одну сторону от нее (черт. 14). Требуется найти на пря-
мой MN такую точку С, чтобы отрезки АС и ВС составля-
ли с MN равные углы.
76.	Упругий шарик, катящийся прямолинейно по го-
ризонтальной плоскости, ударившись о стенку, отражается
от нее под углом 2, равным углу падения 1. (Черт. 15.)
Как нужно направить шарик, находящийся в точке А,
чтобы он, отскочив от стенки ВС, прошел через точку D?
[Решение иллюстрируется чертежом 16. ]
Геометрические места точек
77* Построить несколько точек, удаленных от данной
точки А на 3 см. Как располагаются эти точки?
78.	Построить несколько точек, удаленных на 4 см от
данной прямой АВ. Как располагаются эти точки?
79.	Построить несколько точек, равноудаленных от
концов данного отрезка. Как они располагаются?
80.	Сколько можно построить точек, равноудаленных
от сторон данного угла? Как они располагаются?
81.	Найти геометрическое место точек, равноудален-
ных от двух пересекающихся прямых АВ и CD.
82.	Найти геометрическое место точек, равноудален-
ных от двух данных параллельных прямых.
83.	Круг, диаметр которого равен 12 мм, катится по
прямой АВ. Какую линию опишет центр этого круга?
84.	Круг, диаметр которого 12 мм, катится по окруж-
ности, имеющей радиус 20 мм (в определяемой его пло-
скости). Какую линию опишет центр катящегося круга?
[Окружность с тем же центром, что и у данной окружно-
сти, и радиусом, равным 26 мм (или 14 мм.)]
85.	Найти геометрическое место точек, удаленных от
всех точек окружности на одно и то же расстояние.
86.	Какую линию опишет вершина В треугольника
АВС, если основание АС его — неподвижно, высота остает-
ся все время равной 2 см, а ^САВ будет увеличиваться
от 45 до 180®? [Луч, параллельный основанию треугольни-
ка и отстоящий от него на расстоянии 2 см. Началом луча
служит начальное положение вершины В. ]
87* Даны две взаимно перпендикулярные прямые А В и
CD. Найти геометрическое место точек, отстоящих от пря-
Е2
мой АВ на расстоянии 3 см и от прямой CD на расстоя-
нии 2 см. [Четыре точки, отстоящие от прямой АВ на
3 см и от прямой CD на 2 см. J
88.	Найти геометрическое место точек: 1) удаленных
от данной точки О на расстояние, меньшее 2 см; 2) удален-
ных от точки О на расстояние, большее 3 см; 3) удален-
ных от данной точки О на расстояние, большее 2 см, но
меньшее 3 см; 4) удаленных от О на расстояние, меньшее
2 см, но большее 3 см. [1) Все	д
внутренние точки по отноше-	(•)	F
нию к окружности с центром
в точке О, радиус которой	\	\
2 см. 2) Все внешние точки по
отношению к окружности с А	с®
центром в точке О, радиус ко-
торой Зсм. 3) Все точки, со-	Черт 17
держащиеся между двумя ок-
ружностями с центролМ в точке О, радиусы которых 2 см и
3 см. 4) Таких точек нет.]
89. Три села А, В и С не лежат на одной прямой линии.
Показать на чертеже, как надо провести прямую дорогу
из А так, чтобы села В и С отстояли от нее на одном и том
же расстоянии. [См. черт. 17.]
90. Даны три точки Л, В и С, не лежащие на одной
прямой. Через точку А требуется провести прямую линию
так, чтобы точки В и С располагались по одну сторону от
этой прямой и были бы равноудалены от этой прямой.
Как это сделать?
91.	На данной прямой MN найти точку, равноудален-
ную от двух данных точек Л и В, не лежащих на данной
прямой. Рассмотреть различные случаи.
92.	На прямой MN, пересекающей стороны данного
угла АВС, найти точку, одинаково удаленную от сторон
этого угла. [Надо найти точку пересечения данной пря-
мой MN и биссектрисы угла АВС. ]
Геометрические понятия и утверждения
93.	Найти лишние слова в следующих формулиров-
ках: 1) Треугольник, у которого две стороны равны и
два угла равны, называется равнобедренным. 2) Если при
пересечении двух параллельных прямых третьей прямой
накрест лежащие углы будут равны, то эти две прямые
53
параллельны. 3) Если стороны двух углов соответствен-
но параллельны, одинаково направлены и оба угла ост-
рые или оба тупые, то эти углы равны. 4) Вертикальные
углы, образованные двумя пересекающимися прямыми,
равны. 5) Сумма двух острых углов прямоугольного тре-
угольника, прилежащих к гипотенузе, равна 90*. [1) И
два угла равны; 2) параллельных; 3) из двух условий —
а) одинаково направлены и б) оба острые или оба ту-
пые — достаточно взять одно; 4) образованные двумя пе-
ресекающимися прямыми; 5) двух; прилежащих к ги-
потенузе. ]
94.	Найти ошибки в следующих формулировках:
1) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутрен-
них углов его. 2) Углы с соответственно параллельными
сторонами равны. 3) Если две прямые пересечены третьей
прямой, то соответственные углы равны. 4) Биссектриса
угла равнобедренного треугольника одновременно являет-
ся медианой и высотой. 5) Если центральные углы равны,
то равны и соответствующие им дуги. 6) Если хорды равны,
то равны и стягиваемые ими дуги. 7) В одном и том же
круге хорда меньше диаметра. 8) Три высоты треуголь-
ника пересекаются в одной точке. 9) В треугольниках
против равных сторон лежат и равные углы. 10) Медиа-
на — это линия, делящая сторону треугольника пополам.
11) Добавить — не смежных с ним. 2) Добавить — если
они оба острые или оба тупые. 3) Вставить — параллель-
ные. 4) Вставить — при вершине. 5) Вставить — одной и
той же окружности или равных окружностей. 6) Необходи-
мо такое же дополнение, как и в 5. 7) Нужно указать, что
имеется в виду хорда, отличная от диаметра. 8) Добавить —
или продолжения их (высот). 9) Нужно — в равных тре-
угольниках. 10) Медиана — это отрезок, соединяющий вер-
шину треугольника с серединой противолежащей сторо-
ны. ]
95.	Какое из двух понятий является более общим:
1) Вертикальные углы, равные углы. 2) Смежные углы,
прилежащие углы. 3) Равнобедренный треугольник, рав-
носторонний треугольник. 4) Хорда, диаметр. 5) Высота,
перпендикуляр. 6) Равные треугольники, треугольники,
имеющие одну и ту же площадь.
96.	Какие из приведенных ниже предложений являют-
ся определениями: 1) Две прямые, лежащие в одной пло-
скости и не имеющие общей точки, называются параллель-
54
ними. 2) Через точку, взятую вне данной прямой,
можно провести только одну прямую, параллельную этой
прямой. 3) Хорда — это отрезок прямой линии, соеди-
няющий две точки окружности. 4) Часть плоскости,
ограниченная окружностью, называется кругом. 5) Сум-
ма внутренних углов треугольника равна 180*. [Опреде-
ления — 1), 3) и 4). ]
97.	Можно ли одному и тому же понятию дать различ-
ные определения? Привести примеры.
98.	Дать два различных определения понятию: 1) пря-
мого угла; 2) равнобедренного треугольника; 3) равно-
стороннего треугольника.
Теоремы и аксиомы
99.	Почему утверждение, выражаемое доказанной гео-
метрической теоремой, верно для любой фигуры, удовле-
творяющей условию этой теоремы? [При доказательстве
теоремы рассматривается произвольная фигура, лишь бы
она удовлетворяла условиям этой теоремы. ]
100.	Выделить условие и заключение в следующих
теоремах: 1) Если в окружности две дуги равны, то равны
и соответствующие им центральные углы. 2) Если внутрен-
ние накрест лежащие углы, получающиеся при пересече-
нии двух прямых линий третьей, равны, то эти две пря-
мые параллельны. 3) Если катеты одного треугольника со-
ответственно равны катетам другого, то такие треуголь-
ники равны. 4) Хорда, не проходящая через центр окруж-
ности, меньше диаметра этой окружности. 5) Соответст-
венные углы, получающиеся при пересечении двух парал-
лельных прямых третьей прямой, равны. 6) Углы с соот-
ветственно перпендикулярными сторонами равны между
собой, если они оба острые или оба тупые.
101.	Сформулировать, пользуясь словами «если..., то»,
следующие теоремы: 1) Смежные углы в сумме составляют
180°. 2) Вертикальные углы равны. 3) В одной окружнос-
ти равные дуги стягиваются равными хордами. 4) Углы
при основании равнобедренного треугольника равны.
5) Против большего угла в треугольнике лежит большая
сторона.
102.	Имеет ли аксиома условие и заключение? Выде-
лить условие и заключение в каждой из следующих аксиом:
55
1) Через любые две точки можно провести прямую линию
и притом только одну. 2) Отрезок прямой линии короче
всякой другой линии, соединяющей его концы. 3) Через
точку, взятую вне данной прямой, можно провести только
одну прямую, параллельную данной прямой. 4) Если
а = Ь и b = с, то а = с. 5) Если а = b, тоа + с = Ь + в,
103.	Какими аксиомами и теоремами приходится поль-
зоваться при доказательстве каждой из следующих тео-
рем: 1) о равенстве вертикальных углов; 2) выражающей
зависимость между углами, образованными двумя парал-
лельными прямыми и секущей; 3) о сумме внутренних
углов треугольника; 4) о равенстве треугольников по
двум сторонам и углу между ними; 5) о равенстве тре-
угольников по трем сторонам.
104.	Вспомнить несколько теорем, в доказательствах
которых используется аксиома: через любые две точ-
ки можно провести прямую линию и притом только одну.
В доказательствах каких теорем явно используется аксио-
ма параллельных линий?
27 В
2\4
С D
Черт. 18
3/7
Черт. 19
105.	Для следующих теорем сформулировать обрат-
ные теоремы и установить, верны ли они: 1) если АС = BD
(черт. 18), то АВ = CD. 2) Если = ^2 (черт. 19),
то х^З = х^4. 3) Если в окружности центральные углы
равны, то соответственные им дуги также равны. 4) Вер-
тикальные углы равны. 5) Сумма смежных углов равна
180°. 6) Развернутые углы равны. 7) В равнобедренном
треугольнике углы при основании равны. 8) Против боль-
шей стороны в треугольнике лежит и больший угол. 9) Ес-
ли катеты одного треугольника соответственно равны ка-
тетам другого, то такие треугольники равны.
106.	Как для данной теоремы составляется противо-
положная ей? Для следующих теорем составить противо-
положные им и установить, какие из них верны: 1) Если два
данных угла равны, то равны и смежные с ними углы.
56
2) Вертикальные углы равны между собой. 3) Если один
из углов треугольника равен сумме двух других, то тре-
угольник — прямоугольный.
Задачи для повторения
107.	Выполняются ли для отрезков, дуг и углов сле-
дующие свойства равенств: 1) если а = Ьу то а + с = 6 +
+ с (и при с < а а — с = Ь — с); 2) если а = Ь и с = d,
то а + с = b + d (и при с < а а — с = Ь — d)? Выпол-
няются ли эти свойства для треугольников?
108.	Одна сторона равнобедренного треугольника 4 см,
другая — 10 см. Какую длину имеет третья сторона этого
треугольника? [10 см. 1
109.	Угол при основании равнобедренного треуголь-
ника меньше 60®. Какая из сто-
рон этого треугольника явля-
ется наибольшей? [Основание.]
В
Черт. 20
ПО. Вычислить углы, образованные биссектрисами ост-
рых углов прямоугольного треугольника. [45*, 135*.]
111.	Стропильные ноги АВ и СВ крыши (черт. 20) об-
разуют угол в 130°. Под каким углом наклонена к гори-
зонту крыша? [25*.]
112.	Угол при основании равнобедренного треуголь-
ника равен 70°. Биссектриса этого угла делит треугольник
на два треугольника. Найти углы этих треугольников.
[35*, 40*, 105* и 35*, 70*, 75*.]
113.	На берегу речки нужно установить бак и насос
для обеспечения водой двух ферм № 1 и № 2. Как вы-
брать площадку для бака и насоса так, чтобы общая длина
двух линий труб, идущих от бака до ферм, была наимень-
шей? [Решение иллюстрируется чертежом 21.]
114.	Из металлического прутка нужно согнуть треуголь-
ник, одна сторона которого имела бы длину 250 мм. Ка-
кой должна быть длина прутка, чтобы это можно было
сделать? [Больше 500 мм.]
57
115.	Как расположены отрезки, соединяющие соответст-
венные точки симметричных относительно прямой фигур?
116.	Как восстановить равносторонний треугольник по
одному из углов его и точке противолежащей стороны?
117.	Построить прямоугольный равнобедренный тре-
угольник по его гипотенузе.
118.	Как с помощью одной масштабной линейки по-
строить прямой угол? [Решение иллюстрируется черте-
жом 22.]
119.	С помощью циркуля и линейки: 1) разделить пря-
мой угол на три равные части и 2) построить угол в 15°.
120.	Можно ли восстановить равносторонний треуголь-
ник по трем точкам, лежащим на сторонах его (по одной
на каждой стороне)? [Задача имеет бесконечно много ре-
шений.]
121.	Дан угол в 54*. С помощью циркуля и линейки
разделить его на три равные части. [Нужно построить
угол, дополняющий данный угол до 90* (90* — 54* = 36°).
Половина этого угла (36*: 2 = 18°) и будет равна третьей
части данного угла.]
122.	(Черт. 23.) Дано: АВ = AD; АС = АЕ; ВОЕ и
COD — отрезки прямых линий. Доказать: АО — биссек-
триса ^САЕ. Как можно воспользоваться этой теоремой
для деления данного угла пополам на местности? [ВС =
= DE; &ADC = ДЛВЕ; ^.АСО = ^АЕО; ЛЮЕ =
= Л) ВС; ^ОВС = ДОРЕ; ВО = ОР; ДЛВО = ДЛРО;
^OAD = ^ОЛВ.]
123.	(Черт. 24.) Дано: АВ = ВС = CD = DE = EF;
ВК1_АЕ; DM .LAE; CL ± AF\ EN ± ЛЕ. Доказать:
^CBD =2^Л; ^PCE—3 ^A\ ^EDF = 4^-A.
58
124.	(Черт. 25.) Дано: ЛС = Л1С1; ^Л = z/li; ^В
= ^B\. Доказать: ДЛВС = ДЛ1В1С1.
125.	Доказать, что никакой разносторонний треуголь-
ник нельзя разрезать на два равных треугольника. [Сле-
дует воспользоваться способом приведения к противоре-
чию. Если бы получились равные треугольники, то углы
Черт. 24
Черт. 25
их, лежащие против разреза, были бы равны, как углы
равных треугольников, лежащие против равных сторон.
Но тогда были бы равны и две стороны исходного треуголь-
ника, лежащие против этих углов. Между тем данный тре-
угольник — разносторонний.]
126.	Для верного утверждения — фигуры, симметрич-
ные относительно прямой, равны — сформулировать об-
ратное. Верно ли оно?
127.	Для теоремы — если один угол треугольника — ту-
пой, то два других — острые — сформулировать обрат-
ную и установить, верна ли она.
ГЛАВА IV
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Сумма внутренних углов выпуклого
четырехугольника
1.	Могут ли все четыре внутренних угла четырехуголь-
ника быть: 1) тупыми; 2) острыми? [1) Нет; 2) нет. ]
2.	Если четырехугольник имеет два прямых угла, то
чему равна сумма остальных углов?
3.	В четырехугольнике каждый из его углов в 2 раза
59
больше последующего. Определить углы
14. 8. 16. 32. 1
ника- [15d’ 15d' 15d’ 15d’ I
4. Углы четырехугольника,
ном порядке, пропорциональны
делить углы четырехугольника.
5. Если сумма двух противоположных углов четырех-
угольника равна 2d, то чему равна сумма остальных уг-
лов четырехугольника?
четырех угол ь-
последователь-
3, 4 и 1. Опре-
взятые в
числам 2,
[72е; 108’; 144е; 36’. J
6. Чему равна сумма всех внешних углов четырех-
угольника (взятых по одному при каждой его вершине)?
4 d.]
7.	Сумма двух внутренних углов четырехугольника,
прилежащих к одной из сторон его, равна 2d. Определить
угол между биссектрисами этих углов, [d. J
8.	В выпуклом четырехугольнике A BCD диагональ АС
образует с противоположными сторонами АВ и CD этого
четырехугольника углы, соответственно равные 40’ и 30°,
а диагональ BD образует с другой парой противополож-
ных сторон его ВС и AD углы, соответственно равные 50*
и 36’. Определить углы четырехугольника ABCD, если
один из тупых углов между его диагоналями равен 120°.
[64°; 130’; 40’; 126’.]
9.	В выпуклом четырехугольнике A BCD биссектрисы
углов А и В пересекаются в точке М, а биссектрисы углов
С и D пересекаются в точке Доказать, что сумма углов
АМВ и CND равна 2d.
10. Сумма двух внешних углов четырехугольника, при-
лежащих к одной из сторон его, равна 2d. Определить
угол между биссектрисами этих углов, [d. ]
11.	Три угла четырехугольника, взятые в последова-
тельном порядке, относятся, как 1:2:3. Сумма меньше-
го и большего из этих углов равна 2d. Определить все
углы этого четырехугольника.
—d; d; —d; d.
2	2
12.	Возможно ли построить выпуклый четырехуголь-
ник, у которого: 1) Все четыре угла острые? 2) Все
четыре угла прямые? 3) Все четыре угла тупые? 4) Три
угла острые? 5) Два угла острые, а два угла пря-
мые? [1)Нет; 2) можно; 3) нет; 4) можно, но не всегда;
5) нет. ]
60
13.	В выпуклом четырехугольнике A BCD имеем: ^.А —
=	^-В — ^-С. Доказать, что сторона AD будет па-
раллельна ВС.
Параллелограмм
к
14.	Один из углов параллелограмма равен — d. On-
8
ределить остальные углы.
15.	Определить углы параллелограмма, если один из
них больше другого на 45®. [67°30', 112®30'.]
16.	Две стороны параллелограмма относятся, как 3 : 5,
а периметр его равен 48 см. Определить стороны парал-
лелограмма. [9 см, 15 ел.]
17.	Одна из сторон параллелограмма равна 8 см. Мо-
гут ли его диагонали выражаться следующими числами:
1) 6 см и 10 см; 2) 12 см и 10 см; 3) 6 ел и 8 см. [1) Нет;
2) дЬ; 3) нет.]
18.	Может ли диагональ параллелограмма равняться
его стороне? [Да.]
19.	Построить параллелограмм по двум неравным сто-
ронам и одной диагонали.
20.	Построить параллелограмм по двум диагоналям и
углу между ними.
21.	Определить стороны параллелограмма, если одна
из них равна 72 см и составляет — его периметра. [24 см,
72 см.]
22.	Доказать, что сумма расстояний любой точки,
лежащей внутри параллелограмма, от всех сторон, есть
величина постоянная, равная сумме высот параллело-
грамма.
23.	Доказать, что отрезок прямой, проходящей через
точку пересечения диагоналей параллелограмма, отсекае-
мый сторонами его, делится этой точкой пополам.
24.	Параллелограмм, периметр которого равен 50 см,
разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность
между периметрами двух смежных из этих треугольников
равна 5 см. Определить стороны параллелограмма. [10 см,
15 см. ]
25.	Угол между двумя высотами параллелограмма, вы-
ходящими из вершины одного из тупых углов, равен 60°.
Определить углы параллелограмма. [60® и 120®.]
26.	Доказать, что биссектрисы двух углов параллело-
61
грамма, прилежащих к одной из его сторон, взаимно пер-
пендикулярны.
27.	Доказать, что биссектрисы двух противоположных
углов параллелограмма параллельны.
28.	Доказать, что биссектрисы всех четырех внутрен-
них углов параллелограмма, пересекаясь, образуют пря-
моугольник.
29.	Доказать, что биссектрисы внешних углов парал-
лелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.
30.	Если в выпуклом четырехугольнике противопо-
ложные углы попарно равны между собой, то такой четы-
рехугольник — параллелограмм. Доказать.
31.	Как доказать, не разбивая параллелограмма на
треугольники, что противоположные углы его равны?
[Следует повернуть параллелограмм вокруг точки пере-
сечения его диагоналей.]
32.	Даны три параллельные прямые. Сколько всего
получится различных параллелограммов, если пересечь
данные прямые: 1) двумя параллельными прямыми; 2) тре-
мя; 3) четырьмя? (1) 3; 2) 9; 3) 18.]
33.	Сколько различных параллелограммов можно об-
разовать из двух равных: 1) разносторонних треугольни-
ков; 2) равнобедренных треугольников; 3) равносторон-
них треугольников? [1) 3; 2) 2; 3) 1.]
34.	Параллелограмм делится одной из его диагоналей
на два треугольника, из которых каждый имеет периметр
в 30 см. Периметр параллелограмма равен 44 см. Опреде-
лить длину диагонали. [8 см.]
35.	На чем основано устройство чертежного прибора,
называемого «параллельными линейками» и используемо-
го для вычерчивания параллельных прямых (черт. 1)?
Как им пользуются?
36.	Какую фигуру образуют прямые, соединяющие
середины последовательных сторон параллелограмма?
[ Параллелограмм.]
62
37.	В треугольнике АВС проведена медиана BD из
вершины В и продолжена на расстояние DE, равное ме-
диане BD. Точка Е соединена с двумя другими вершина-
ми Я и С треугольника АВС. Доказать, что четырехуголь-
ник А ВСЕ — параллелограмм.
38.	Биссектриса острого угла параллелограмма делит
одну из сторон противоположного угла на отрезки в 20 см
и 30 см. Определить стороны параллелограмма. Рассмот-
реть два случая. [1) 50 см и 30 см-, 2) 50 см и 20 см.]
39.	Прямые, соединяющие середины последовательных
сторон параллелограмма, образуют параллелограмм. Оп-
ределить углы этого параллелограмма, если один из уг-
лов между диагоналями данного параллелограмма равен
60°. [60° и 120°.]
40.	В параллелограмме A BCD на двух противополож-
ных сторонах АВ и CD отложены равные отрезки ABi =
= CDi и проведены прямые Bfi, BtD, AD, и BD,. Дока-
зать, что четырехугольник, образовавшийся от пересе-
чения проведенных прямых, есть параллелограмм.
41.	В параллелограмме A BCD каждая из двух проти-
воположных сторон АВ и CD разделена пополам в точках
М и N и эти точки соединены отрезками с концами сторон
CD и АВ. Доказать, что образовавшийся от пересечения
проведенных отрезков четырехугольник есть параллело-
грамм .
42.	Доказать, что если одна диагональ параллелограм-
ма делит два его противоположных угла пополам, то и
другая его диагональ тоже делит остальные два противо-
положных угла этого параллелограмма пополам.
43.	Биссектриса острого угла параллелограмма пересе-
кает большую сторону параллелограмма под углом в 30°.
Определить углы параллелограмма. [60° и 120°.]
44.	В параллелограмме A BCD из вершины В прове-
дена высота BE, которая продолжена до пересечения с
продолжением стороны CD в точке F. Определить углы
параллелограмма, если BFC = 60°. [30° и 150°.]
Задачи на построение параллелограмма
45.	Построить параллелограмм по его стороне, рав-
ной 8 см, диагонали, равной 6 см, и углу между ними,
равному 110°.
46.	Построить параллелограмм по стороне, равной
63
10 см, и двум диагоналям, соответственно равным 16 см и
8 см.
47.	Построить параллелограмм по стороне, равной
10 см, углу, равному 120°, и диагонали, равной 15 см и
лежащей против этого угла.
48.	Построить параллелограмм по двум его неравным
сторонам и высоте.
49.	Построить параллелограмм по стороне, сумме его
диагоналей и углу между диагоналями, обращенному к
данной стороне.
50.	Построить параллелограмм по стороне, разности
его диагоналей и углу между диагоналями, обращенному
к данной стороне.
51.	Построить параллелограмм по его периметру, од-
ной из его диагоналей и по углу между стороной и данной
диагональю.
52.	Построить параллелограмм по его острому углу и
по двум его высотам.
53.	Построить параллелограмм по его высоте и двум
диагоналям.
54.	Восстановить чертеж параллелограмма, если от
него сохранились сторона АВ и точка О пересечения его
диагоналей. [Вначале следует построить диагонали.]
55.	Восстановить чертеж параллелограмма, если от
него сохранились сторона АВ и вершина С. [Вначале
построить ВС. 1
56.	Восстановить чертеж параллелограмма, если от
него сохранились сторона АВ и середина М противопо-
ложной стороны CD. [Сначала построить сторону CD.)
57.	Восстановить чертеж параллелограмма, если от
него сохранились середины трех сторон. [Вначале следует
построить отрезок, соединяющий середины двух проти-
воположных сторон (среднюю линию).]
Прямоугольник
58.	Существует ли внутри прямоугольника точка,
равноудаленная от всех его сторон; от всех его вершин?
IВообще нет, в равностороннем да; да. ]
59.	Как найти на данной прямой точку, которая нахо-
дилась бы на расстоянии, равном 10 см, от другой данной
прямой. Рассмотреть различные возможные случаи.
64
60.	Внутри угла найти точку, находящуюся на рас-
стояниях 5 см от одной стороны его и 3 см от другой.
61.	Доказать, что всякий параллелограмм, у которого
диагонали равны, есть прямоугольник.
62.	В прямоугольнике угол между диагональю и од-
ной из осей симметрии равен 30°. Найти величину угла
между той же диагональю и большей стороной прямо-
угольника . [30°. ]
63.	В четырехугольнике три угла прямые. Доказать,
что такой четырехугольник есть прямоугольник.
64.	В центре площадки, имеющей прямоугольную фор-
му и огороженной забором, стоит столб, расстояние от кото-
рого до большей стороны забора равно 15 м, а до мень-
шей — 18 м. Вычислить длину забора. [132 м.]
65.	Доказать, что биссектрисы всех четырех внутрен-
них углов прямоугольника, пересекаясь, образуют квад-
рат*.
66.	Доказать, что биссектрисы всех внешних углов
прямоугольника, пересекаясь, образуют квадрат, описан-
ный около прямоугольника.
67.	Доказать, что диагонали прямоугольника, об-
разованного биссектрисами всех четырех углов паралле-
лограмма, соответственно параллельны двум парам про-
тивоположных сторон параллелограмма и делят каждую
из этих сторон пополам.
68.	В прямоугольнике проведена биссектриса одного
из его углов, которая делит сторону прямоугольника,
пересекаемую ею, на отрезки в 10 см и 15 см: Найти пе-
риметр прямоугольника. [70 см или 80 см. ]
69.	Стороны прямоугольника равны 15 см и 25 см.
На какие части делит большую сторону биссектриса од-
ного из углов прямоугольника? [10 см и 15 см. ]
70.	Доказать, что перпендикуляры, опущенные из
вершин прямоугольника на его диагонали, равны между
собой.
71.	Какими дополнительными свойствами обладает
прямоугольник по сравнению с параллелограммом?
72.	Справедливо ли утверждение: «Если в выпуклом
четырехугольнике диагонали равны и один угол прямой,
то этот четырехугольник будет прямоугольником»? [Нет. 1
* Здесь и в двух последующих задачах предполагается, что бис-
сектрисы попарно пересекаются в различных точках.
5 Заказ 1346
65
73.	Прямоугольный участок земли зарос по границам
кустарником так, что свободны только одна его сторона и
вершина не прилежащего к ней угла. Как найти внутри
этого участка точку одинаково удаленную от всех его
вершин? [Нужно найти середину той диагонали, которая
может быть построена. ]
74.	В чем сходство и в чем различие между паралле-
лограммом и прямоугольником?
75.	Провешиваемая на местности прямая упирается в
здание. Как продолжить прямую за здание? (Черт. 2).
76.---------------Желая проверить,
все ли углы вырезанного
--------------------------------------------------------------------из	папки четырехугольни-
------------------------------------  ка	прямые, переплетчик
убеждается в равенстве
его диагоналей. Достаточ-
ЧеРт- 2	на	ли такая проверка?
Что еще следовало бы из-
мерить в четырехугольнике, если не измерять ни сторон
его, ни углов? [Необходимо убедиться в том, что диа-
гонали делят друг друга пополам. 1
77.	Середины последовательных сторон прямоуголь-
ника, диагональ которого равна 20 см, соединены отрез-
ками прямых. Определить периметр образовавшегося
четырехугольника. [40 см. ]
Задачи на построение прямоугольника
78.	Построить прямоугольник по его стороне и диаго-
нали.
79.	Построить прямоугольник по стороне и сумме диа-
гоналей. [Задача сводится к построению прямоугольного
треугольника по катету и гипотенузе. ]
80.	Построить прямоугольник по диагонали и сумме
двух неравных сторон. [Задача сводится к построению
прямоугольного треугольника по гипотенузе и сумме ка-
тетов. J
81.	Построить прямоугольник по диагонали и разно-
сти двух неравных сторон.
82.	Построить прямоугольник по стороне и разности
между диагональю и другой стороной прямоугольника.
66
83.	Восстановить прямоугольник, если от него сохра-
нились сторона и точка на противоположной стороне.
84.	Восстановить прямоугольник, если от него сохра-
нились диагональ и угол между диагоналями. [Вначале
построить вторую диагональ. ]
Ромб
85.	В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Опре-
делить углы ромба. [60° и 120°. 1
86.	Углы, образованные одной из сторон ромба с его
диагоналями, относятся, как 2 : 7. Определить углы ром-
ба. [40° и 140°. ]
87.	Периметр ромба равен 24 см, а высота 3 см. Найти
углы ромба. [30° и 150°. 1
88.	Доказать, что отрезки, соединяющие середины
последовательных сторон прямоугольника, образуют ромб.
89.	Доказать, что отрезки, соединяющие середины по-
следовательных сторон ромба, образуют прямоугольник.
90.	Высота ромба, проведенная из вершины тупого
угла, делит сторону ромба пополам. Определить углы
ромба. [60° и 120°. ]
91.	В выпуклом четырехугольнике все стороны (равны.
Доказать, что такой четырехугольник ромб.
92.	Высота ромба образует с одной из его сторон угол
в 30°. Определить углы ромба. [60° и 120°. ]
93.	Доказать, что диагональ ромба делит пополам
угол, образованный двумя высотами ромба, выходящими
из одной вершины.
94.	Всякий ли четырехугольник, диагонали которого
взаимно перпендикулярны, будет ромбом? [Не всякий.1
95.	Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике
обе диагонали являются биссектрисами его углов, то
такой четырехугольник есть ромб.
96.	В ромбе проведена одна диагональ. Не проводя
другую диагональ, доказать, что первая является биссек-
трисой двух противоположных углов ромба.
97.	Какими дополнительными свойствами обладает
ромб по сравнению с параллелограммом?
98.	Доказать, что точка пересечения диагоналей ром-
ба одинаково удалена от всех сторон ромба.
99.	Доказать, что в ромбе обе его высоты равны между
собой.
б*	67
100.	Могут ли различные ромбы иметь равные перимет-
ры? [Могут. ]
101.	Может ли сторона ромба равняться половине
его диагонали? [Не может. 1
Задачи на построение ромба
102.	Построить ромб по стороне и одному из его углов.
103.	Построить ромб по двум диагоналям.
104.	Построить ромб по высоте и одному из его углов.
105.	Построить ромб по стороне и сумме его диаго-
налей.
106.	Построить ромб по стороне и разности диаго-
налей.
107.	Построить ромб по его высоте и диагонали.
108.	Построить ромб по углу и диагонали, проходя-
щей через вершину этого угла.
109.	Построить ромб по диагонали и противолежащему
углу.
Квадрат
ПО. Доказать, что если в выпуклом четырехугольни-
ке диагонали равны между собой и являются биссектриса-
ми углов четырехугольника, то этот четырехугольник есть
квадрат.
111.	В чем сходство и в чем различие между: 1) квад-
ратом и параллелограммом; 2) квадратом и прямоуголь-
ником; 3) квадратом и ромбом?
112.	Дать два определения квадрата.
113.	Справедливы ли утверждения: 1) Если в выпук-
лом четырехугольнике диагонали взаимно перпендику-
лярны и равны между собой, то этот четырехугольник
есть квадрат. 2) Если в выпуклом четырехугольнике диа-
гонали взаимно перпендикулярны и точкой их пересече-
ния делятся пополам, то такой четырехугольник есть
квадрат. [1) Нет; 2) нет.]
114.	Построить квадрат по его стороне.
115.	Построить квадрат по его диагонали.
116.	Из каких треугольников можно составить квад-
рат?
117.	В прямоугольный равнобедренный треугольник
вписать квадрат так, чтобы одна сторона его совпадала с
частью гипотенузы, а несмежные с этой стороной верши-
68
ны лежали бы на катетах. [Сторона квадрата, противо-
положная лежащей на гипотенузе, разделяет высоту,
проведенную из вершины прямого угла, в отношении
1:2.]
118.	Желая проверить, имеет ли салфетка в точности
форму квадрата, перегибают ее по диагонали и убеждают-
ся, что края обеих половин салфетки совпадают. Доста-
точна ли такая проверка? Достаточна ли была бы она,
если бы края совпадали при перегибании по обеим диаго-
налям? [В обоих случаях недостаточна.]
119.	Середины последовательных сторон квадрата сое-
динены отрезками прямых; доказать, что получившийся
четырехугольник будет тоже квадратом.
120.	Доказать, что если на сторонах квадрата A BCD
отложить последовательно от его вершины Л, В, С, D че-
тыре равных отрезка и концы этих _______
отрезков соединить, то получится ква-
драт.	---------------------------------------------
121.	Сколько квадратов различных ______________
размеров начерчено на чертеже 3?
Сколько на нем прямоугольников (не —-----------------
квадратов) различных размеров? [ 4; 6.]
122.	Могут ли прямоугольник и
квадрат иметь равные периметры?	Черт, з
123.	Точка пересечения диагоналей
квадрата удалена от его стороны на 16 см. Определить
периметр квадрата.[ 128 см.]
124.	Середины последовательных сторон квадрата сое-
динены отрезками прямых, середины сторон образовав-
шегося четырехугольника также соединены отрезками
прямых. Во сколько раз периметр последнего четырех-
угольника меньше периметра первоначального квадрата?
[В два раза.]
Осевая и центральная симметрия
125.	Сколько осей симметрии имеет: I) прямоуголь-
ник; 2) ромб; 3) квадрат? [I) 2; 2) 2? 3) 4.]
126.	Имеет ли параллелограмм, не являющийся пря-
моугольником или ромбом, оси симметрии? [Не имеет.]
127.	Как построить: 1) точку, симметричную данной
точке относительно данного центра; 2) отрезок, симметрич-
ный данному отрезку относительно данного центра; 3) тре-
69
угольник, центрально симметричный данному; 4) четырех-
угольник, центрально симметричный данному?
128.	Какая линия будет симметрична данной пря-
мой относительно точки, лежащей: 1) на этой прямой;
2) вне ее?
129.	Какая фигура центрально симметрична данной
окружности? Как ее построить?
130.	Какая точка является центром симметрии: 1) двух
параллельных прямых; 2) двух равных окружностей?
131.	Как нужно повернуть лист бумаги, на котором на-
черчены данная фигура и центрально симметричная ей,
чтобы эти фигуры поменялись местами (данная фигура точ-
но заняла бы место симметричной ей и обратно).
132.	Какими свойствами обладают центрально симмет-
ричные фигуры?
133.	Доказать, что всякий выпуклый четырехугольник,
имеющий центр симметрии, есть параллелограмм.
134.	Привести несколько примеров фигур, имеющих
центр симметрии, и фигур, не имеющих его.
135.	Доказать, что треугольник, симметричный данному
относительно середины его основания, вместе с данным тре-
угольником образует параллелограмм.
136.	Построить треугольник, симметричный данному
относительно точки пересечения его медиан.
137.	Построить треугольник, симметричный данному
относительно точки пересечения его высот.
138.	Доказать, что две параллельные прямые, прохо-
дящие через две центрально симметричные точки, симмет-
ричны (относительно того же центра симметрии).
139.	Доказать, что центральную симметрию можно осу-
ществить при помощи двух осевых симметрий относительно
любых двух взаимно перпендикулярных прямых, проходя-
щих через центр симметрии.
Свойство отрезков, отсекаемых параллельными
прямыми на сторонах угла
140.	Данный отрезок разделить на 5 равных частей.
141.	Данный отрезок разделить на две части так, чтобы
одна часть была в 3 раза больше другой.
142.	Через данную точку внутри угла провести прямую
так, чтобы отрезок ее между сторонами данного угла делил-
ся в данной точке пополам.
7Q
143.	Через данную точку внутри угла провести прямую
так, чтобы ее отрезок между сторонами данного угла делил-
ся в данной точке на части, из которых одна в два раза боль-
ше другой.
144.	Середины Е и F противоположных сторон AD и ВС
параллелограмма A BCD соединены отрезками прямых с
вершинами В и D (черт. 4). До-	f ?
казать, что эти отрезки делят	——я
диагональ Л С на три равные /\
части.	/	/
Средняя линия треугольника A i
145.	Стороны треугольника	Черт' 4
равны 8 см, 10 см, 12 см. Най-
ти стороны треугольника, вершинами которого слу-
жат середины сторон данного треугольника. [4 см\ 5 см\
6 см. ]
146.	Периметр треугольника равен 12 см. Середины его
сторон последовательно соединены отрезками прямых. Най-
ти периметр полученного треугольника. [6 см. ]
147.	Стороны треугольника относятся, как 3:5:6.
Если соединить середины всех сторон его отрезками пря-
мых, то получится треугольник с периметром 35 см. Опре-
делить стороны данного треугольника. [15 см\ 25 см\ 30 см. ]
148.	Периметр равностороннего треугольника, равен
48 см. Определить среднюю линию этого треугольника.
[8 см. ]
149.	Верна или нет теорема: «Если прямая проходит
через середину боковой стороны треугольника и отрезок
ее, заключенный между боковыми сторонами, равен поло-
вине основания треугольника, то этот отрезок есть средняя
линия треугольника»? [Нет. ]
150.	Как построить треугольник, если даны середины
его сторон?
Трапеция
151.	В равнобедренной трапеции верхнее основание рав-
но боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боко-
вой стороне. Определить углы этой трапеции. [60° и 120°. 1
152.	Определить углы равнобедренной трапеции, если
одно из ее оснований в два раза больше другого, а боковые
стороны равны меньшему основанию. [60° и 120°. J
71
153.	В равнобедренной трапеции с острым углом в 60°
сумма оснований равна 74 см. Определить боковую сторону,
если большее основание трапеции равно 47 см.
154.	В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание на отрез-
ки в 5 см и 20 см. Определить основания трапеции. [25 см;
15 см. ]
155.	Доказать, что в равнобедренной трапеции биссект-
рисы двух углов, прилежащих к боковой стороне, взаимно
перпендикулярны.
156.	Доказать, что в равнобедренной трапеции биссект-
рисы всех внутренних углов, пересекаясь, образуют четы-
рехугольник, у которого: а) два противоположных угла
прямые; б) диагонали взаимно перпендикулярны; в) одна
из этих диагоналей параллельна основаниям трапеции;
г) другая диагональ (или ее продолжение) делит основа-
ния пополам.
157.	Доказать, что биссектрисы четырех внешних углов
равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют четырех-
угольник с двумя прямыми углами, одна из диагоналей ко-
торого параллельна основаниям трапеции, а другая пер-
пендикулярна к основаниям трапеции и делит каждое из
них пополам.
158.	Доказать, что отрезки прямых, соединяющие сере-
дины последовательных сторон равнобедренной трапеции,
образуют ромб.
159.	Доказать, что в равнобедренной трапеции прямые,
соединяющие середины противоположных сторон ее, взаим-
но перпендикулярны.
160.	При каком условии одна из диагоналей трапеции
будет биссектрисой угла при большем основании трапеции?
161.	При каком условии одна из диагоналей трапеции
будет биссектрисой угла при меньшем основании трапеции?
[При условии, если меньшее основание трапеции равно
боковой стороне ее. ]
162.	Высота равнобедренной трапеции вдвое меньше ее
боковой стороны. Чему равны углы трапеции? [30° и 150°.]
163.	В какой трапеции имеется ось симметрии?
164.	Может ли высота трапеции быть равной ее боковой
стороне?
165.	Доказать, что если в трапеции сумма противопо-
ложных углов равна 2d, то такая трапеция равнобедренная.
72
Средняя линия трапеции
166.	Основания трапеции относятся, как 5 : 2, а раз-
ность этих оснований равна 18 см. Найти длину средней
линии. [21 см.]
167.	Основания трапеции равны 12 см и 16 см. Внутри
этой трапеции проведен отрезок, параллельный основани-
ям, концы которого лежат на боковых сторонах. Длина это-
го отрезка равна 15 см. Одинаково ли удален этот отрезок
от обоих оснований и если нет, то к какому из оснований он
ближе? [Ближе к большему основанию.]
(68. Средняя линия трапеции равна 16 см и делится диа-
гональю на два отрезка, разность между которыми равна
4 см. Определить основания трапеции. [20 см и 12 см. ]
169.	Периметр трапеции равен 40 см, а сумма ее непа-
раллельных сторон равна 16 см. Определить длину сред-
ней линии. [12 см. ]
170.	Средняя линия трапеции равна 30 см, а меньшее
основание равно 20 см. Определить большее основание тра-
пеции. [40 см. ]
171.	Периметр равнобедренной трапеции равен 80 см, а
боковая сторона ее равна средней линии. Определить боко-
вую сторону этой трапеции. [20 см. ]
172.	Средняя линия равнобедренной трапеции делится
диагональю на части длиной в 12 см и 30 см. Боковая сто-
рона трапеции равна 36 см. Определить углы трапеции.
[60° и 120°. ]
173.	Уточнить следующее определение трапеции:
«Трапецией называется такой выпуклый четырехуголь-
ник, у которого две противоположные стороны парал-
лельны».
174.	Доказать, что отрезок прямой, соединяющий какую-
нибудь точку нижнего основания трапеции с какой-нибудь
точкой верхнего основания, делится средней линией по-
полам.
175.	Может ли средняя линия трапеции пройти через
точку пересечения диагоналей этой трапеции? [Нет, тогда
трапеция выродилась бы в параллелограмм. ]
176.	В какой точке средняя линия трапеции пересекает
высоту ее?
177.	Доказать, что если диагонали равнобедренной тра-
пеции взаимно перпендикулярны, то средняя линия тра-
пеции равна ее высоте.
73
178.	Периметр трапеции равен 60 см, а средняя линия
трапеции равна 18 см. Вычислить сумму оснований этой
трапеции и сумму ее боковых сторон. [36 см и 24 см. ]
Задачи на построение трапеции
179.	Построить трапецию по двум диагоналям, одному
из оснований и высоте.
180.	Построить трапецию по двум диагоналям, углу
между ними и боковой стороне.
181.	Построить трапецию по двум ее основаниям и двум
диагоналям.
182.	Построить трапецию по двум основаниям, боковой
стороне и диагонали.
183.	Построить трапецию по двум основаниям, боковой
стороне и высоте этой трапеции.
184.	Построить трапецию по нижнему основанию, высо-
те и двум углам при нижнем основании.
185.	Построить трапецию по разности оснований, двум
боковым сторонам и одной диагонали.
186.	Восстановить чертеж трапеции, если от нее остались
нижнее основание, одна из диагоналей и точка пересечения
диагоналей этой трапеции.
187.	Восстановить чертеж равнобедренной трапеции,
если от нее остались нижнее основание и боковая сторона.
188.	Восстановить чертеж трапеции, если от нее оста-
лись три ее вершины и точка пересечения ее диагоналей.
189.	Восстановить чертеж трапеции по серединам ее
четырех сторон.
Задачи для повторения
190.	Высота параллелограмма, опущенная из вершины
тупого угла, образует с боковой стороной угол в 68°. Оп-
ределить углы параллелограмма. [22° и 158°.]
191.	Разность противоположных углов равнобедренной
трапеции равна 45°. Определить углы этой трапеции.
167°30' и 112°30'].
192.	Каждая диагональ прямоугольника образует с его
большей стороной угол, равный 36°. Определить угол меж-
ду диагоналями прямоугольника, обращенный к большей
стороне. [108°.]
193.	Острый угол между диагоналями прямоугольника
равен 60°. Определить углы, образованные сторонами пря-
моугольника с его диагоналями. [30° и 60°. 1
74
194.	В прямоугольнике A BCD середины двух его про-
тивоположных сторон АВ и CD соединены отрезками с
противолежащими вершинами. Доказать, что получивший-
ся от пересечения отрезков четырехугольник есть ромб.
195.	Из точки пересечения диагоналей ромба опущены
на все его стороны перпендикуляры, и основания этих пер-
пендикуляров соединены отрезками. Доказать, что полу-
чившийся четырехугольник будет прямоугольником.
196.	Построить прямоугольник по диагонали и углу
между диагоналями.
197.	Построить трапецию по одному ее углу, двум диа-
гоналям и средней линии.
198.	На каждой стороне параллелограмма вне его пост-
роен квадрат. Доказать, что центры этих квадратов являют-
ся вершинами квадрата.
199.	Доказать, что отрезок, соединяющий середины диа-
гоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их
полуразности.
200.	Построить треугольник по двум сторонам и медиа-
не третьей стороны.
201.	В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой
угол пополам; большее основание трапеции на 50 м мень-
ше ее периметра, а средняя линия трапеции равна 15 м.
Определить меньшее основание. [10 м. ]
ГЛАВА V
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
1.	Дан квадрат, разрезанный по своей диагонали на
два треугольника. Сколько выпуклых многоугольников,
отличных от квадрата, можно составить из этих треуголь-
ников? [См. черт. 1 а, б, в. ]
а
75
2.	Квадрат разрезан по своим диагоналям. Сколько вы-
пуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно
составить из четырех образовавшихся треугольников?
1См. черт. 2 а, б, в, г, д. ]
Черт. 2
3.	Разрежьте по диагонали: 1) произвольный прямо-
угольник; 2) произвольный параллелограмм, и в каждом
из этих случаев из двух полученных треугольников сос-
тавьте наибольшее возможное число выпуклых мно-
гоугольников; 3) разрежьте равнобедренный треуголь-
ник по оси симметрии, и из полученных двух треугольни-
ков составьте всевозможные выпуклые многоугольники.
4.	Следует ли из равносоставленности двух прямоуголь-
ников: 1) равенство этих прямоугольников; 2) их равнове-
ликость? 11) Нет; 2) да.]
5.	Назовите известные вам многоугольники, из равно-
составленности которых следует их равенство. [Квадраты,
равносторонние треугольники, равнобедренные прямо-
угольные треугольники).
6.	Как изменится площадь квадрата, если каждую его
сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в п раз?
7.	Дан прямоугольник. Что можно сказать о площади
другого прямоугольника, у которого: а) основание в 2 раза
больше, чем у данного прямоугольника (при той же высо-
те); б) основание в 3 раза меньше, чем у данного (при той
же высоте); в) высота в 4 раза меньше (в 4 раза больше),
чем у данного (при том же основании)?
76
8.	Известно, что периметр прямоугольника должен
быть равен 12 см. 1) Какой длины могут быть его стороны,
если они все выражаются целыми числами? 2) Вычислить
площадь каждого из таких прямоугольников. 3) У какого
из этих прямоугольников наибольшая площадь? [1) 1 см и
5 см; 2 см и 4 см; 3 см и 3 см; 2) 5 кв. см; 8 кв. см; 9 кв. см;
3) у квадрата. ]
9.	Периметр квадрата 76 см, таков же периметр прямо-
угольника, у которого длина на 8 см больше ширины. У
какой из этих фигур площадь больше и на сколько? (Пло-
щадь квадрата больше на 16 кв. см.]
10.	Вычислить площадь поля в гектарах, если размеры
поля таковы: 1) 1 км X 1 км; 2) 500 м X 500 м; 3) 2 км X
X 800 м; 4) 100 м X 50 м. [1) 100 га; 2) 25 га; 3) 160 га;
4) 0,5 га. ]
11.	Практическая работа. При помощи па-
летки измерить площадь поверхности листка какого-ли-
бо растения.
12.	Практическая работа. Произвести необ-
ходимые измерения и вычислить площадь участка, занима-
емого школьным зданием.
13.	На гипотенузе равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС построен квадрат BDBVC. Используя
чертеж 3, показать, что, разрезав квадрат BDBfi на несколь-
ко частей, можно составить из этих частей два равных квад-
рата, стороны которых равны катетам данного треуголь-
ника АВС.
14.	На гипотенузе прямоугольного треугольника АВС
построен квадрат BDJSC. Используя чертеж 4, показать,
что квадрат BDBXC можно разрезать на части так, что из
77
этих частей можно составить два других квадрата, стороны
которых соответственно равны катетам АВ и АС данного
треугольника АВС.
15.	Щит, имеющий форму: 1) равнобедренной трапеции
с основаниями 2 м и 6 м и высотой 1 м; 2) равнобедренного
прямоугольного треугольника с гипотен узой в 3 м, требует-
ся обшить фанерой. Определить, какое наименьшее количе-
ствоодинаковых квадратных листов фанеры потребуется для
этого и каких размеров, учитывая, что при возможном раз-
резании листов не должно оставаться отходов. [1) 1 лист
размером 2 мх2 м\ 2) 1 лист
размером 1,5 м X 1,5 ж.]
16.	Показать, что сущест-
вует сколь угодно много тре-
угольников, равновеликих
данному и имеющих с ним
одно и то же основание [См.
черт. 5.]
17.	Показать на чертеже,
что два неравных параллелограмма, имеющих по общей
стороне, могут быть равновелики.
18.	Могут ли быть равновеликими: 1)два неравных пря-
моугольника, имеющих по равной стороне; 2) два нерав-
ных треугольника, которые имеют по две соответственно
равные стороны? (Ответ подтвердите примерами.) [1) Нет;
2) могут.]
19.	Через каждую из вершин данного треугольника
проведена прямая, параллельная противоположной стороне.
Отрезки проведенных прямых образуют треугольник.
Какую часть площади этого треугольника составляет пло-
щадь данного треугольника?
78
20.	Как построить квадрат, площадь которого в два
раза больше площади данного квадрата? [За сторону иско»
мого квадрата следует принять диагональ данного квад-
рата. 1
21.	Как изменится площадь данного треугольника,
если: 1) каждая из его сторон будет увеличена в два раза;
2) основание увеличится в два раза, а высота, опущенная
на это основание, увеличится в 3 раза; 3) высота увеличит-
ся в п раз, а основание, на которое опущена эта высота,
уменьшится во столько же раз? [1) увеличится в 4 раза;
2) увеличится в 6 раз; 3) не изменится. ]
22.	Показать, как можно построить: I) прямоугольник,
равновеликий данному треугольнику; 2) параллелограмм,
равновеликий данному треугольнику; 3) треугольник, рав-
новеликий данной трапеции; 4) параллелограмм, равнове-
ликий данной трапеции; 5) прямоугольник, равновеликий
данной трапеции.
23.	Даны квадрат и произвольный прямоугольник, диа-
гонали которого равны диагоналям квадрата. Площадь
какой из этих фигур больше? Почему? [Площадь квадра-
та больше, так как равняется половине произведения диа-
гоналей. Если прямоугольник не квадрат, то его площадь
меньше половины этого произведения. ]
24.	Может ли площадь параллелограмма равняться од-
ному квадратному метру, если длина каждой из его
сторон меньше метра? [Нет. 1
25.	Периметр четырех-	м
угольника равен 100 м. Мо- --------------------------
жет ли его площадь быть мень-	I/ \
ше 1 кв. м? Рассмотреть раз- Z______________J.-------
личные четырехугольники (па-	А	\
раллелограмм; ромб; прямо- //_______________!_\______.
угольник; квадрат; трапеция). к, к	Nt N
[В случае квадрата — не мо-	Че т 6
жет. В остальных случаях мо-	ерт'
жет, так как высота фигуры
может быть сколь угодно малой. 1
26.	Показать, что существует бесконечное множество
неравных, но равновеликих трапеций, имеющих общую
среднюю линию и одинаковую высоту. (Черт. 6.)
27.	Даны три треугольника: остроугольный, прямоуголь-
ный и тупоугольный. Какой из этих треугольников имеет
79
наибольшую площадь, если известно, что они имеют по
две соответственно равные стороны, образующие острый
угол (в остроугольном треугольнике), прямой (в прямо-
угольном треугольнике) и тупой (в тупоугольном треуголь-
нике). [Наибольшую площадь имеет прямоугольный тре-
угольник (черт. 7).]
28.	Указать границы возможных
Ад	значений: 1) для площади трапе-
ции, большее основание которой
а = 3,2 м, высота h = 0,4 м; 2) для
I	Nl—-	площади треугольника, две сторо-
у. U J	ны которого а = 1жи6 = 10 см.
[1)	0<S<ah; 2) 0<S<^.'
q 7	29. Доказать, что диагонали
параллелограмма делят его на че-
тыре равновеликих треугольника.
30. В трапеции проведены две диагонали. Сколько пар
равновеликих треугольников образовалось при этом? До-
казать справедливость своего утверждения. [Три пары
равновеликих треугольников. Равновеликими будут тре-
угольники, имеющие общим основанием одно из оснований
трапеции и вершинами — противоположные концы дру-
гого основания; основаниями которых являются боковые
стороны трапеции и общей вершиной — точка пересечения
диагоналей трапеции. ]
31.	Участок прямоугольной формы дан на плане в мас-
штабе 1 : 100 и имеет стороны 20 см и 45 см. Какова пло-
щадь этого участка? [0,09 га. ]
32.	1) Какова будет площадь участка, если на плане
(черт. 8) ЕАХ = 15 мм; Д1В1 = 25 мм; В£ = 20 хи; AAt =
= 20 мм; BBY = 30 мм; DDt = 40 мм (масштаб 1 : 1000)?
2) Дан план участка в масштабе 1 : 1000 (черт. 9). Как най-
ти по плану площадь этого участка?
33.	Какую часть площади данного треугольника состав-
ляет площадь треугольника, отсекаемого его средней ли-
нией? |д-.]
34.	Найти геометрическое место вершин треугольников,
равновеликих данному треугольнику и имеющих с ним од-
ну общую сторону. [Шесть прямых, три из них проходят
через вершины данного треугольника параллельно проти-
80
воположным сторонам, а три других симметричны этим
прямым относительно параллельных им сторон треуголь-
ника (черт. 10).]
35.	Найти геометрическое
место вершин параллелограм-
мов, равновеликих данному и
Черт. 8	Черт. 9
имеющих с ним одну общую сторону. [Восемь прямых,
см. черт. 11, стр. 82.]
36.	1) Данный параллелограмм разделить на две равно-
великие части прямой, проходящей через данную точку.
2) Как через точку М, данную на стороне треугольника А ВС,
провести прямую, делящую этот треугольник на две равно-
6 Заказ 1346	81
великие части? 3) Через точку, лежащую на меньшем осно-
вании трапеции, провести прямую, делящую трапецию
Черт. 11
на две равновеликие части. [1) Прямая должна проходить
через центр симметрии параллелограмма. 2) М — данная
точка; MN — искомая прямая; BD — медиана; DN || МВ
(АМ^МС) (черт. 12). 3) Прямая должна проходить через
середину средней линии трапеции.]
37.	Как через одну из вершин данного треугольника про-
вести две прямые так, чтобы площадь треугольника разде-
лилась на три части, про-
В	порционально числам/и;	п;р?
/ук	[Предварительно нужно	раз-
/ \ \Aj	делить противоположную сто-
/ j	\ 7ч.	рону треугольника на	три
/	I	д I	^'ч	части, пропорционально	чис-
/ / /\ ч. лам т; п; р.]
„1 у V______________х с 38. Как через одну из вер-
7нD	шин данного параллелограм-
ма провести две прямые, де-
Черт. 12	лящие этот параллелограмм
на три равновеликие части?
[Стороны параллелограмма, не проходящие через дан-
ную вершину, нужно разделить на 3 равные части. За-
тем через данную вершину и точки деления (взятые через
одну) провести прямые.]
39.	Дан квадрат, периметр которого 24 см. Какой пери-
метр будет иметь равновеликий этому квадрату прямоуголь-
ник е отношением сторон 1 :2? [18]/2 см. ]
«2
40.	Указать наиболее целесообразные способы (требую-
щие наименьшего числа измерений и вычислений) для на-
хождения площадей следующих фигур: 1) каждая сторона
квадрата разделена на 3 равные части, и углы квадрата сре-
заны, как показано на чертеже 13; 2) каждая из сторон
квадрата разделена на три равные части, и углы квадрата
вырезаны, как показано на чертеже 14; 3) каждая из сто-
рон квадрата разделена на три равные части, и из квадрата
вырезана фигура, показанная на чертеже 15; 4) рамка име-
ет форму ромба с вырезом такой
же формы (черт. 16); 5) фигура
имеет форму шестиугольника с
равными сторонами, из которого
сделана квадратная вырезка
(черт. 17). [1) 5=-^ а2, где а
сторона квадрата. Из площади боль-
Черт. 17
шего квадрата вычитается учетверенная площадь срезанного
прямоугольного треугольника; 2) S = — а2, где а — сто-
рона квадрата; 8)5 =-у—а2, где а — сторона ква-
6*
83
., ab" cd	_	.
драта; 4) S = —-— , где a, b, с и d — диагонали
большого и малого ромбов; 5) S = а2 (31^3 — 1), где а —
сторона шестиугольника. ]
41.	Дать несколько различных доказательств теоремы
о вычислении площади: 1) треугольника и 2) трапеции.
42.	Как известно, площадь ромба равна половине про-
изведения его диагоналей. Будет ли справедливо такое же
правило для нахождения площадей следующих фигур:
1) трапеции, диагонали которой взаимно перпендикуляр-
ны; 2) дельтоида; 3) произвольного выпуклого четырех-
угольника, диагонали которого взаимно перпендикуляр-
ны. [Это правило будет справедливо во всех указанных
случаях.]
43.	Прямоугольник со сторонами а и 6 (а<&) повернут
около своего центра симметрии (в той же плоскости) на угол
в 90°. Какова площадь фигуры, составляющей общую часть
рассматриваемых прямоугольников? [а2.1
44.	Квадрат со стороной а повернут около своего цент-
ра симметрии (в той же плоскости) на угол в 45°. Какова
площадь фигуры, составляющей общую часть рассматри-
ваемых квадратов?
[а2 — а2(/2 — I)2 = 2а2(уТ— 1) 0,82 а2. ]
45.	Равносторонний треугольник со стороной b повер-
нут около своего центра симметрии (в той же плоскости)
на угол в 30°. Какова площадь фигуры, составляющей об-
щую часть этих треугольников?
Га2КЗ
L 4
з(-„
-All-=	~ 0,29 а21.
4	6	J
48. В данной плоскости вращаются вокруг своего цент-
ра симметрии: а) квадрат, б) равносторонний треугольник.
Сколько раз происходит самосовмещение каждой из этих
фигур при повороте на 360°? IB случае квадрата — четы-
ре самосовмещения. Для равностороннего треугольника —
три самосовмещения.)
84
ГЛАВА VI
ПРЯМАЯ ПРИЗМА
Прямоугольный параллелепипед, куб
1. Покажите в окружающей обстановке тела, имеющие
форму куба; прямоугольного бруса. Какие известные вам
тела имеют такую же форму? Какое другое название дает-
ся прямоугольному брусу? [Прямоугольный параллеле-
пипед. ]
2.	Сколько граней у тела, имеющего форму прямоуголь-
ного параллелепипеда; куба? Обведите их ладонью (на мо-
делях). Сколько ребер у каждого из этих тел? Проведите
по ним пальцем. Сколько вершин? Укажите их пальцем.
[6 граней; 12 ребер; 8 вершин. ]
3.	1) Какую форму имеют грани прямоугольного парал-
лелепипеда; куба? 2) Сколько равных между собой боко-
вых граней может иметь прямоугольный параллелепипед?
4.	Сколько проволоки понадобится ученику для изго-
товления проволочной модели куба с ребром в 1 дм; 1,5 дм;
а дм? [12 дм; 18 дм; 12 а дм. ]
5.	Вычислить площадь ка-
кой-либо грани предмета, име-
ющего форму прямоугольно-
го параллелепипеда. Предва-
рительно сделать необходи-
мые измерения.
6.	На чертеже 1 изобра-
жен прямоугольный паралле-
лепипед: длина его 4 см, ши-
рина 2 см, высота 3 см. Как
можно подсчитать кубиче-
ские сантиметры, составляю-
щие этот параллелепипед?
7.	Деревянный куб с ребром
в 1 дм распилен на кубики
с ребром, равным 1 см; 2 см. Сколько получится маленьких
кубиков? [1000; 125.]
8.	1) В каких мерах выражаются длины ребер; площади
граней; объем прямоугольного параллелепипеда; куба?
2) обозначьтедлины трех ребер прямоугольного параллеле-
пипеда (длину, ширину и высоту) буквами а, Ь, с; объем —
буквой V. По какой формуле вычисляется объем прямо-
угольного параллелепипеда? [V = a-b-с. ]
85
9.	Ребро куба обозначается буквой а. Как записать его
объем? la3.1
10. Заполните таблицу:
Прямоугольный параллелепипед				Куб	
а |	6 1	с 1	V	а 1	V
6 дм	8 дм	4 дм	?	5 см	?
1 м	8 дм	?	480 куб. дм	1 см	?
?	60 см	45 см	54 куб. дм	10 см	?
11.	Во сколько раз увеличится объем куба, если ребро
его увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 5 раз? Проверьте ответ
на любых целых числах.
12.	1) Во сколько раз куб с ребром в 15 см весит больше,
чем куб, изготовленный из того же материала, с ребром в
5 см? 2) Какую часть объема куба с ребром в б см составля-
ет объем куба с ребром в 4 см? £1) в 27 раз; 2) \ j
13.	Сколько весит вода, наполняющая бак, размеры ко-
торого 5 дм X 3 м X 2 м? (1 куб. см воды весит 1 г.) (3 т. 1
14.	Размеры деревянного бруса 1 м X 3 дм X 2 дм.
Определить его вес, зная, что 1 куб. дм дерева весит 600 г.
[36 кг. ]
15.	Выполнить необходимые измерения и вычислить объ-
емы некоторых тел окружающей вас обстановки, имеющих
форму прямоугольного параллелепипеда.
16.	Какой сосуд имеет большую вместимость: формы
прямоугольного параллелепипеда с размерами 10 см,
15 см, 20 см или формы куба с ребрами в 15 см? [Ку-
бической формы. ]
17.	Выполнить необходимые измерения и вычислить
объем классной комнаты, где вы занимаетесь.
18.	Какой высоты прямоугольный параллелепипед,
если его объем равен 84 куб. дм, а площадь основания —
28 кв. дм? [3 дм. ]
19.	1) Вычислить объем комнаты, имеющей форму пря-
моугольного параллелепипеда, если известно, что площадь
пола комнаты 40 кв. м и высота 2у м. 2) Объем бруса
175 куб. см, высота 7 см. Узнать площадь квадратного осно-
вания этого бруса и сторону этого основания. 11) 100 куб. м;
2) 25 кв. см', 5 см.]
86
20.	Как велик объем куба, если: 1) площадь одной из его
граней 64 кв. см; 2) площадь всех его граней 294 кв. см?
11) 512 куб. см; 2) 343 куб. см.]
21.	Как велико ребро куба, вмещающего 343 куб. см?
[7 см. 1
22.	Сколько кубиков с ребром в 1 см может быть выре-
зано из куба с ребром в 3 см? [27. ]
23.	Сколько раз куб с ребром в 2 см содержится в кубе,
ребро которого в 10 раз больше? [1000.}
24.	Объем прямоугольного параллелепипеда равен про-
изведению трех его измерений. Почему можно сказать,
что объем прямоугольного параллелепипеда равен произ-
ведению его основания на высоту?
25.	1) Коробка для спичек имеет размеры 54 мм, 32 мм,
16 мм. Найти ее объем и полную поверхность. Узнать, сколь-
ко спичек может уложиться в такой коробке, если длина
спичек 51 мм, а ширина и толщина по 2 мм. 2) Выполните
необходимые измерения в имеющейся у вас коробке спи-
чек и ответьте на вопросы задачи 1.
Поверхность прямоугольного параллелепипеда и куба
26.	Практическая работа. На чертеже 2 да-
ны развертки поверхности (полной) прямоугольного па-
раллелепипеда. Выполнить необходимые измерения с ио-
мощью циркуля и масштабной линейки (с точностью до 1 мм)
и вычислить: 1) площади четырех боковых граней и их сум-
му (площадь боковой поверхности этого параллелепипеда);
87
2) площадь его полной поверхности (иногда говорят коро-
че: полную поверхность).
27.	Вычислить площади боковых граней и полную по-
верхность прямоугольного параллелепипеда, если его длина
8 см, ширина 6 см, высота 10 см
[376 кв. см. ]
28.	Надо изготовить из фанеры
10 ящиков кубической формы с
крышками; ребро каждого ящика
50 см. Сколько квадратных метров
фанеры надо иметь для выполне-
ния заказа? [15 кв. м. ]
29.	Практическая ра-
бота. Изготовить из бумаги куб,
ребро которого 6 см. Предвари-
тельно сделать выкройку, как
показано на чертеже 3.
30.	1) Ребро куба равно 4,0 см.
Вычислить площадь каждой гра-
ни и полной поверхности этого куба. Обозначить полную
поверхность куба буквой S, ребро куба—буквой а и
записать формулой решение задачи. [96 кв. см; S = 6 as.]
2) Заполнить таблицу:
а	1 см
S	
5,0 см	5 сч
	
31.	Выполнить необходимые измерения и вычислить
площадь полной поверхности и объем шкафа, стоящего в
вашей квартире.
32.	Размеры ребер прямоугольного параллелепипеда
обозначьте буквами а, Ь, с; его полную поверхность — бук-
вой S. Напишите формулу для вычисления полной поверх-
ности прямоугольного параллелепипеда.
[S = (ab + Ьс + ас) -2. ]
Призма
33.	На чертеже 4 изображены призмы. Какую фигуру
представляют собой основания каждой из этих призм
и как называется каждая из этих призм? [Треугольная,
четырехугольная, шестиугольная. ]
88
34.	Можно ли треугольную призму назвать трехгранной
призмой? Сколько граней имеет треугольная призма; че-
тырехугольная? [Нет; 5 граней; 6 граней. ]
35.	Какое наименьшее число граней может иметь приз-
ма? [5.1
36.	Сделайте чертеж развертки: 1) куба; 2) прямоуголь-
ного параллелепипеда. Единственным ли способом можно
это сделать? [Нет. ]
Черт. 4
37.	Можно ли назвать параллелепипед четырехуголь-
ной призмой? Почему? [Можно, потому что в основании
четырехугольник ]
38.	У какого параллелепипеда все грани прямоуголь-
ники? [У прямоугольного. ]
39.	Рассмотрите модели нескольких призм. Покажите
ладонью их грани, проведите пальцем по ребрам, укажите
пальцем вершины. Пересчитайте их.
40.	Какие фигуры служат боковыми гранями любой
прямой призмы? [Прямоугольники. ]
41.	Что можно сказать об основаниях любой призмы?
Как можно убедиться в их равенстве? [Основания равны.
Можно приложить к доске основания какой-либо мо-
дели призмы и мелом очертить их контур, или другим
путем. ]
42.	Сосчитайте число двугранных углов у куба, парал-
лелепипеда, у треугольной призмы. Какая зависимость
существует между числом двугранных углов и числом ре-
бер в многограннике? [Эти числа равны. ]
89
43.	Покажите вершины трехгранных углов в кубе, в па-
раллелепипеде, в треугольной призме. Сколько трехгран-
ных углов в каждом из названных геометрических тел?
[Столько, сколько вершин у геометрических тел.]
44.	Сосчитайте число всех граней, ребер, вершин, дву-
гранных и трехгранных углов шестиугольной призмы.
45.	Возьмите любой кристалл и ответьте на вопросы:
сколько у него граней; ребер; вершин? Покажите их
(черт. 5).
46.	Можно ли куб или параллелепипед назвать много-
гранником? Почему? [Можно; у них много граней.]
47.	Как найти: 1) площадь боковой поверхности приз-
мы, 2) полной поверхности призмы? [ 2) Сложить площадь
всех боковых граней призмы и прибавить две площади
оснований призмы. ]
48.	Выполните чертеж развертки боковой поверхности
прямой треугольной призмы (черт. 6).
49.	Объясните по чертежу вывод правила: сПлощадь
боковой поверхности (3) прямой призмы равна периметру
(Р) основания этой призмы, умноженному на ее высо-
ту (Я).
50.	Как получить формулу для вычисления площади
полной поверхности (S) прямой призмы? [К площади бо-
ковой поверхности призмы прибавить площади двух ее
оснований: 3 = Зб0к. + 230сн.
51.	Вычислить по формуле площадь полной поверхнос-
ти прямой четырехугольной призмы с квадратным основа-
нием, сторона которого а — 5 см и высота И = 10 см.
[250 кв. см. ]
90
Объем куба, прямоугольного параллелепипеда и призмы
52.	На чертеже 7 в прямоугольном параллелепипеде
проведена диагональная плоскость, которая разбивает его
на две равные прямые треугольные призмы. Как выразить
формулой объем V прямой треугольной призмы, если пло-
щадь ее основания обозначить через S и высоту — через Н.
Объяснить.
53. В каких единицах выражают площадь поверхности
призмы? Объем призмы?
54. Сколько весит 1 кв. м латунного листа толщиной в
1	3
1 — мм, если удельный вес латуни 8,5? [12— кг. ]
55.	Сколько весит воздух в классной
комнате, длина которой 10 м, ширина 6 м,
высота 5 м, если 1 куб. м воздуха весит
1,29 кг? [390 кг.]
56.	Сколько весит цинковый лист раз-
мерами (1,5 мх! м), толщиной в 0,25 мм,
если удельный вес цинка 6,9. [2,6 кг. ]
57.	Высота прямой призмы с прямо-
угольным основанием И = 2,5 м, объем V
этой призмы 192 куб. дм. Найти площадь
основания. Можно ли по этим данным
найти линейные размеры призмы? Если
нет, дополните данные и решите задачу.
58.	Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Вы-
сота призмы 10 см. Сделайте развертку этой призмы.
Вычислите ее объем и площадь полной поверхности.
[60 куб.см; 132 кв. см. ]
59.	Бак имеет форму прямоугольной призмы, длина его
1,5 м, ширина 80 см. Емкость бака 1,5 л<3. Какова высота
бака? [1,25 м.]
60.	Поперечное сечение дамбы — равнобедренная трапе-
ция с основанием 38 м и 12 м. Высота дамбы 7,2 м. Сколь-
ко потребуется кубометров защитного материала для 1 /си
дамбы? [180 000 куб. м. 1
61.	Экскаватор зачерпывает ковшом 2 куб. м земли.
Время между двумя последовательными ссыпаниями зем-
ли составляет 2 минуты. Сколько часов работы экскава-
тора понадобится’ на прорытие двухкилометрового кана-
ла глубиной 1,5 м и шириной 1,2 м [60 часов. ]
91
62.	Вычислить вес одного погонного метра железа с квад-
ратным сечением размерами в 20 мм. Удельный вес желе-
за 7,8. [3,12 кг. ]
63.	Выполните необходимые измерения и вычислите
площади поверхности стен (не считая окон и дверей) вашей
комнаты и объем комнаты.
64.	Надо изготовить закрытые небольшие ящики: один
формы прямоугольного параллелепипеда длиной 250 см,
шириной 10 см и высотой 4 см и другой ящик кубической
формы того же объема. На обшивку какого ящика пойдет
больше материала? [На ящик формы параллелепипеда. ]
65.	Сколько вынули земли, когда рыли канаву дли-
ной 15 м с сечением в форме трапеции, верхнее и нижнее
основание которой 1,2 м и 2,0 м, причем глубина канавы
1,0 м? [24 куб. м ]
66.	Сколько земли вынули при рытье канавы длиной
100 м, глубиной 1,4 м, если разрез канавы — равнобоч-
ная трапеция, верхнее основание которой 2,5 м? Дли-
на дна канавы на 40% меньше верхнего основания.
[280 куб м. ]
67.	На фрезерном станке установлена плита размера-
ми (8 X 13) кв. см. Фреза снимает в 1 минуту слой в 1,5 мм
толщиной (по всей плите). Сколько материала снимается
в 1 минуту? [15,6 куб. см. ]
68.	Габариты* станка-автомата, предназначенного для
резания металла, следующие (в миллиметрах): длина
2100, ширина 2600, высота 1710. Каков объем этого
станка?
69.	Найти емкость сарая с двускатной крышей (черт. 8)
и прямым углом между стропилами, если длина сарая
12,0 м, ширина 7,50 м и высота стен 3,50 м.
70.	Из листа картона с размерами (100 X 60) кв. см
вырезаны по углам равные квадраты со стороной в 10 см.
Загнув края, получим коробку. Вычислить ее объем (черт. 9).
[32 куб. Ли.]
71.	Из алюминиевого листа 400 мм шириной и 600 мм
длиной надо изготовить куб по возможности наибольшего
размера. Какого объема куб можно изготрвить? [8 куб. дм.]
72.	Рассчитайте, сколько надо купить кусков обоев для
оклейки стен вашей комнаты (без дверей и окон) и сколько
это будет стоить.
Наибольшие внешние размеры.
92
73.	Каков вес кирпича, размер которого
(25 X 12 X 6,5) см3; удельный вес 1,7? [ 3,3 кг.]
74.	Сколько килограммов керосина вмещает железный
бидон прямоугольной формы, если наружные его разме-
ры (10 X 10 х 30) см3 и толщина дна и стенок сосуда
1,0 мм? Удельный вес керосина 0,8.
75.	Надо забетонировать прямоугольный участок дли-
ной в 0,6 км, шириной 5 м слоем бетона толщиной в 1,0 дм.
Сколько потребуется цемента, если на 1 м3 бетона требует-
ся 130 кг цемента? [39 т.]
Черт. 9
76.	Для кладки стены в 2,5 л<3 надо заготовить 1000
кирпичей размером (25 X 12 X 6,5) см3. Каков объем свя-
зующего материала? [0,55 куб. м. ]
77.	Практическая работа. Проведите не-
обходимые измерения размеров вашей классной комнаты
и вычислите, сколько воздуха приходится на каждого
ученика в классе во время занятий. На одного ученика
полагается примерно 6 куб. м воздуха. Удовлетворяют ли
условия работы в вашем классе этому требованию и если
нет, то на сколько процентов отличаются?
78.	Длина класса 10,0 м, ширина 7,0 м, высота 3,5 м.
Можно ли поместить в этом классе 35 учащихся, считая по
норме 6 куб. м воздуха на одного ученика? Объяснить
свой ответ. [Можно, 245 > 210. ]
79.	Какой высоты бак прямоугольной формы, если дли-
1	3
на его 1 — м, ширина — м, вместимость 2,25 куб. м. [2 м.]
80.	Найти объем ямы для хранения овощей по следующим
данным: длина ямы 12лс; глубина 0,8 м, ширина дна 1,0 м,
ширина верхнего отверстия ямы 1,4 м. [11,5 куб. м. J
93
81.	Вычислить объем сеновала под двускатной крышей,
размеры которого даны на чертеже 10. [12 куб. .и.]
82.	Из листового железа надо изготовить открытый
куб вместимостью в 15 л. Какой длины должно быть ребро
куба и сколько жести необходимо для его изготовле-
ния, если на швы уходит до 3% материала? [2,47 дм;
31,4 кв. cUt.]
83.	Вычислить вес и площадь полной поверхности де-
тали из бронзы (удельный вес 8,6), размеры которой (в
миллиметрах) даны на чертеже 11.
ГЛАВА VII
ОКРУЖНОСТЬ. КРУГ И ЕГО ЧАСТИ
Положение окружности. Диаметр, хорда
и ее расстояние от центра
1.	Сколько окружностей можно провести: 1) через од-
ну точку; 2) через две точки; 3) через три точки, не лежа-
щие на одной прямой? [1), 2) бесчисленное множество;
3) одну. ]
2.	Как расположены центры окружностей одного и
того же данного радиуса, проходящих через данную точ-
ку? [Центры лежат на окружности данного радиуса с цент-
ром в данной точке. ]
94
3.	Как расположены центры окружностей, проходящих
через две данные точки? [Центры лежат на перпендикуля-
ре, проведенном к отрезку, соединяющему две данные точ-
ки, через его середину.]
4.	Провести окружность через две данные точки так,
чтобы центр ее находился на данной прямой.
5.	Из данной точки на окружности проведены диаметр
и хорда, равная радиусу окружности. Определить угол
между диаметром и хордой. [60°.]
6.	Как найти центр окружности, если он неизвестен?
7.	Дана дуга. Как дополнить ее до окружности?
8.	Как разделить дугу пополам, не находя ее центра?
9.	Какую линию описывает центр круга, катящегося
по прямой линии?
10.	Построить окружность данного радиуса, проходя-
щую через две данные точки.
11.	Через точку, данную внутри круга, провести хор-
ду так, чтобы она в этой точке делилась пополам.
12.	Из данной точки на окружности проведены две хор-
ды, каждая из которых равна радиусу окружности. Опре-
делить угол между ними [120°.]
13.	Хорда удалена от центра на 15 см. Найти расстоя-
ние этой хорды от параллельной и равной ей хорды.
[30 см. ]
14.	Из данной точки окружности проведены две взаим-
но перпендикулярные хорды, из которых первая удалена
от центра на 30 см, а вторая — на 10 см. Найти их длины.
[20 см и 60 см. ]
15.	Доказать, что любые две параллельные хорды
окружности, проведенные через концы одного диаметра, рав-
ны между собой, а прямая, соединяющая две другие конеч-
ные точки этих хорд, проходит через центр окружности.
16.	В данном круге проведены два диаметра, и концы
их попарно соединены хордами. Доказать, что эти хорды
попарно равны и параллельны.
17.	Из точки, лежащей на окружности или внутри ее,
проведены две равные хорды. Доказать, что диаметр, про-
ходящий через эту точку, делит угол между хордами по-
полам.
18.	В окружности проведены три равные хорды, одна
из них удалена от центра на 5 см. На каком расстоянии
отстоят от центра остальные две хорды?
19.	В окружности проведены две хорды АВ и CD. Хор-
95
да АВ отстоит от центра на 12 см, a CD на 8 см. Сравнить
длины этих хорд.
20.	Доказать, что если опустить перпендикуляры из
концов произвольного диаметра на любую хорду или на
ее продолжение, то основания этих перпендикуляров оди-
наково отстоят от соответствующих концов хорды.
21.	Доказать, что перпендикуляры к хорде, восстав-
ленные в ее концах, пересекают произвольный диаметр в
точках, которые одинаково удалены от центра.
22.	В окружности проведены две параллельные и не-
равные хорды. Концы их соединены отрезками прямых
(левый с левым, правый с правым). Доказать, что получен-
ный четырехугольник будет равнобедренной трапецией.
23.	Радиус окружности равен 24 см. Данная точка уда-
лена от центра окружности на 40 см. Определить наиболь-
шее и наименьшее расстояния этой точки от окружности.
[64 см; 16 см. ]
24.	Наибольшее расстояние данной точки А от окруж-
ности равно 50 см, а наименьшее равно 20 см. Найти ра-
диус этой окружности. [15 см, ]
25.	В данном круге проведены три параллельные хор-
ды. Доказать, что середины их лежат на диаметре этого
круга.
26.	Доказать, что отрезки двух равных пересекающих-
ся хорд соответственно равны между собой.
Взаимное расположение прямой и окружности.
Взаимное расположение двух окружностей
27.	Как расположена прямая относительно окружно-
сти, если диаметр окружности равен 12 см, а расстояние
прямой от центра равно: 1) 5 см; 2) 6 см; 3) 7 см>
28.	Концы диаметра удалены от касательной на 18 см
и 12 см. Определить длину диаметра. [30 см. ]
29.	Доказать, что если две касательные к окружности
параллельны, то хорда, соединяющая точки касания, яв-
ляется диаметром окружности.
30.	Как расположены две окружности, у которых:
1) радиусы соответственно равны 5 см и 17 см, а расстоя-
ние между их центрами равно 22 см; 2) радиусы соответ-
ственно равны 10 см и 14 см, а расстояние между их цент-
рами равно 9 см; 3) радиусы соответственно равны 6 см и
8 см, а расстояние между их центрами равно 20 см;
96
Черт. 1
4) радиусы равны 10 см и 4 см, а расстояние между цент-
рами равно 3 см; 5) радиусы равны 12 см и 8 см, а расстоя-
ние между центрами равно 4 см; 6) радиусы равны 15 см
и 12 см, а расстояние между центрами равно нулю?
[1)Касаются внешним образом; 2) пересекаются; 3) одна
окружность лежит вне другой; 4) одна окружность лежит
внутри другой; 5) касаются внутренним образом; 6) яв-
ляются концентрическими. ]
31.	Определить радиусы двух концентрических окруж-
ностей, если наибольшее расстояние между ними равно
36 см, а наименьшее равно
6 см. [15 см и 21 см.]
32.	Как расположены
центры окружностей дан-
ного радиуса, касающих-
ся данной прямой?
33.	Из точки М, взятой
вне окружности с центром
в точке О, проведены к
ней две касательные МА
и МВ, где А и В — точ-
ки касания. Через точку В проведен диаметр ВС (черт. 1).
Доказать, что прямые АС и МО параллельны.
34.	Две окружности касаются. В их общей точке вос-
ставлен перпендикуляр к линии центров. Доказать, что
касательные к данным окружностям, проведенные из лю-
бой точки перпендикуляра, равны между собой. [Рас-
смотреть случай внешнего и внутреннего касания.]
35.	Через точку касания двух окружностей проведе-
на произвольная секущая, пересекающая данные окруж-
ности еще в двух точках. Доказать, что радиусы данных
окружностей, проведенные в две указанные точки, парал-
лельны. [Рассмотреть случай внешнего и внутреннего
касания.]
36.	Доказать, что если прямая пересекает две концен-
трические окружности, то отрезки секущей, лежащие
между этими окружностями, равны между собой.
37.	Две окружности касаются одна другой. Через точ-
ку их касания проведена секущая. Доказать, что касатель-
ные к окружностям в точках их встречи с секущей парал-
лельны между собой.
38.	К данной окружности провести касательную парал-
лельно данной прямой.
’/27 Заказ 1346
97
Свойства касательных, проведенных к окружности
из одной точки
39.	АВ и АС — касательные к одной окружности;
длина ломаной линии ВАС равна 30 см. Определить рас-
стояние между точками касания В и С, если один из смеж-
ных углов между касательной и хордой ВС равен 120°.
[15 см,]
40. Определить величину описанного угла, если рас-
стояние от его вершины до окружности
41. АВ — диаметр, ВС — касательная
равно радиусу.
(черт. 2). Секу-
щая Л С делится окружностью
в точке D пополам. Опреде-
лить угол CBD. [45°.]
42. Найти геометрическое
место точек, из которых дан-
ная окружность видна под
данным углом.
43. Даны две окружности
радиусов 4 см и 6 см, рас-
стояние между их центрами
равно 20 см. Определить угол
между их общими внутренни-
ми касательными. [60°.]
44.	Внешние общие касательные к двум данным окруж-
ностям с радиусами, равными 15 см и 40 см, взаимно
перпендикулярны. Найти длины отрезков этих касатель-
ных, заключенных между точками касания. [25 см.]
Вписанные и другие связанные с окружностью, углы
45.	Выразить в градусах следующие части окружности;
JL- 1- I- 2_- 2_- JL- 1- 2- JL
2* 5’ б’ 18* 15* 90 ’ 4* 4* 8*
[180°; 72°; 60°; 20°; 24°; 4°; 90°; 270°; 45°.]
46.	Узнать, какую часть окружности составляют дуги
в 30°, 120°, 72°, 90°, 45°, 15°, 60°, 150°, 180°, 270°, 135°.
_i_.	£.	_L- _L-	£• JL-	_!_•	А-	2
12*	З’ б’ 4’	8’ 24’	б’ 12’	2*	4*	8
98
47.	Вписанный угол равен 22°30'. Определить величи-
ну дуги, на которую он опирается. [45°.]
48.	Найти величину вписанных углов, опирающихся
на хорду, которая делит окружность в отношении 3 : 5.
[67°30'; 112°30'.]
49.	Две параллельные хорды, расположенные по раз-
ные стороны от центра окружности, стягивают дуги в 60° и
120°. Определить величину каждой дуги, заключенной
между этими хордами. [90° и 90°.]
50.	Каждая из дуг, заключенных между данной хордой
„	2
и параллельным ей диаметром, составляет — всей окруж-
15
ности. Определить величину дуги, стягиваемой дан-
ной хордой. [84°.]
51.	Окружность разделена в отношении 1:2:3, и
точки деления соединены между собой отрезками прямой.
Определить углы полученного треугольника. [30°, 60°, 90°.]
52.	Через конец хорды, делящей окружность в отно-
шении 1 : 3, проведена касательная. Определить острый
угол между хордой и касательной. [45°.]
53.	Из концов дуги в 240° проведены касательные до
взаимного пересечения. Определить угол между ними
[6°М
54.	Окружность разделена на 3 части, которые отно-
сятся между собой, как 5:6:7, и через точки деления
проведены касательные. Определить углы полученного
треугольника. [40°, 60°, 80°.]
55.	Угол между двумя радиусами равен 150°. Опреде-
лить угол между касательными, проведенными через кон-
цы этих радиусов. [30°.]
56.	Найти дуги, заключенные между сторонами описан-
ного угла, равного 75°. [105° и 255°.]
57.	Угол между двумя касательными к окружности
равен углу между радиусами, проведенными в точки ка-
сания. Найти этот угол. [90°.]
58.	Две окружности имеют внутреннее касание, при-
чем меньшая проходит через центр большей. Доказать,
что всякая хорда большей окружности, проходящая че-
рез точку касания, делится меньшей окружностью попо-
лам.
59.	На окружности взяты четыре точки. Доказать, что
прямые, соединяющие середины противолежащих дуг,
взаимно перпендикулярны.
60.	Хорда делит окружность на две дуги, одна из кото-
рых вчетверо больше другой. Вычислить вписанные углы,
опирающиеся на эту хорду. [36°, 144°.]
61.	На диаметре круга построен равносторонний тре-
угольник. Вычислить дуги, на которые окружность рас-
секается сторонами этого треугольника. [60°, 60°, 60°.]
Сегмент круга.
62.	Сколько градусов содержит дуга сегмента, вме-
щающего угол в 36°; в 15°; в 48°; в 120°? [288°; 330°; 264°;
120°.]
63.	Дуга содержит 120°. Под каким углом из точек
этой дуги видна ее хорда? [Под углом в 120°.]
64.	Через точку касания двух окружностей проведена
секущая, на которой обеими окружностями отсекаются
две хорды. Доказать, что эти хорды видны из центров
каждой из окружностей под равными углами. (Рассмотреть
случаи внешнего и внутреннего касания).
65.	Как найти в треугольнике точку, из которой его
стороны были бы видны под равными углами? [На каж-
дой стороне построить дугу, вмещающую угол в 120°.]
66.	Круг разделен на два сегмента хордой, делящей
окружность на части в отношении 3:5. Вычислить углы,
которые вмещаются в этих сегментах. [112°30' и 67°30'.|
Задачи для повторения
67.	На окружности взяты три точки Л, В, С так, что
угол АВС — прямой. Доказать, что центр окружности
лежит на отрезке АС в его середине.
68.	Доказать, что через четыре вершины прямоуголь-
ника можно всегда провести окружность и притом только
одну.
69.	Доказать, что через четыре вершины ромба, если
он не является квадратом, нельзя провести окружности.
70.	Пусть Л и В, а также С и D—две пары точек, сим-
метричных относительно одной и той же прямой а. Дока-
зать, что через точки Л, В, С, D можно провести окруж-
ность.
71.	Через точку, взятую вне данной прямой, провести
окружность, делящую данную окружность пополам.
100
72.	Через две точки А и В провести окружность так,
чтобы центр ее находился на данной прямой.
73.	Провести касательную к данной окружности па-
раллельно данной прямой.
74.	К окружности проведены касательная и параллель-
ная ей хорда. Доказать, что точки касания и середина хор-
ды лежат на диаметре данной окружности.
75.	Угол между двумя касательными к окружности
равен 60°. Доказать, что расстояние от вершины угла до
центра окружности равно диаметру окружности.
76.	Дан угол и точка А на одной из его сторон. Описать
окружность, которая бы касалась сторон этого угла, при-
чем одной из них — в данной точке А.
77.	Начертить выпуклую фигуру из двух параллель-
ных прямых, сопрягаемых полуокружностью. [Центр со-
прягаемой полуокружности лежит в середине отрезка,
перпендикулярного к этим параллельным прямым.]
78.	Соединить две непараллельные прямые сопрягаю-
щей их дугой. Рассмотреть 3 случая: 1) когда точки соеди-
нения (точки касания) и радиус дуги не даны; 2) когда
дан только радиус дуги; 3) когда дана точка соединения,
а радиус не дан (примеры такого соединения прямых ду-
гами представляют «закругления» железнодорожного пу-
ти). [Во всех случаях центр сопрягающей дуги лежит на
биссектрисе угла между данными прямыми.]
79.	Концы хорды удалены от касательной к окружно-
сти на 36 см и 14 см. Вычислить расстояние от середины
хорды до касательной [25 см.]
80.	Из точки А вне окружности проведены к ней ка-
сательные, образующие угол в 90°. Определить длину хор-
ды, соединяющей точки касания, если расстояние этой
хорды от центра равно 12,8 см. [25,6 см.]
81.	АВ и АС — касательные к одной окружности;
^ВАС = 60°. Определить радиус круга, если расстоя-
ние от точки А до центра равно 72 см. [36 см.]
82.	Вписанный угол опирается на дугу, которая со-
ставляет 0,24 всей окружности. Определить этот угол.
[43*12'.]
83.	Одна из двух хорд, образующих тупой вписанный
угол, делит окружность в отношении 3 : 7, а другая в от-
ношении 1 : 5. Определить этот угол. [132*. ]
84.	Две хорды, стягивающие дуги в 118’30' и 104’15',
пересекаются внутри круга и образуют угол в 72’45'.
7 Заказ 1346
Определить дуги, заключающиеся между его сторонами.
[65°37'30" и 79°52'30".]
85.	Две хорды, пересекающиеся внутри круга, обра-
зуют угол в 72°18', а одна из дуг, содержащаяся между
сторонами угла, на 15®24'больше другой. Определить эти
дуги. [64°36' и 80°.]
86.	Угол, составленный двумя касательными, равен
42°15'. Определить меньшую часть окружности, содержа-
щуюся между двумя точками касания. [137°45'.]
87.	Угол, составленный касательной и секущей, ра-
вен 56°24', а дуга, отсеченная секущей, делится точкой
касания на две части в отношении 1 : 4. Определить эти
части. [37°36' и 158°24'.]
88.	Одна из хорд делит окружность в отношении 1 : 5,
а другая ей параллельная хорда делит окружность в от-
ношении 2 : 3. Определить дуги, содержащиеся между
этими хордами. [12° или 288°, в зависимости от того, как
будут расположены хорды, по одну сторону от центра,
или по разные.]
89.	Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг,
есть равнобедренная трапеция.
90.	Доказать, что если две окружности касаются внеш-
ним образом, то всякая секущая, проведенная через точ-
ку касания, делит каждую окружность в одном и том же
отношении.
91.	Две окружности касаются извне в точке А; к этим
окружностям проведена общая касательная ВС (точки В
и С — точки касания). Доказать, что ^ВАС — прямой.
92.	Доказать, что отрезок касательной к окружности,
заключенный между двумя параллельными касательными
к той же окружности, виден из центра под прямым углом.
Задачи на построение
93.	Разделить данную дугу на 4, 8, 16, ... частей.
94.	Через данную внутри круга точку провести хорду,
которая делилась бы в данной точке пополам.
95.	Даны окружность и прямая а. Провести касатель-
ную к данной окружности параллельно данной прямой.
96.	Из точки, лежащей вне данного круга, провести к
нему секущую так, чтобы ее внутренняя часть равнялась
данному отрезку.
102
97.	Описать окружность данным радиусом так, чтобы
она касалась данной прямой и данного круга.
98.	Из точки, данной вне круга, провести секущую так,
чтобы внешняя часть ее равнялась внутренней.
99.	Построить треугольник по основанию, противоле-
жащему углу и высоте, опущенной на основание.
100.	Построить треугольник по основанию, углу при
вершине и разности двух других сторон.
101.	Построить треугольник по стороне, противолежа-
щему углу и медиане, проведенной к этой стороне.
102.	Через данную точку провести прямую так, чтобы
ее отрезок, заключенный между данными окружностями,
делился в этой точке пополам.
103.	Через точку пересечения двух окружностей про-
вести прямую так, чтобы данные окружности отсекали от
нее равные хорды.
104.	Построить общую касательную к двум данным
окружностям.
105.	Построить окружность, проходящую через дан-
ную точку и касающуюся двух данных параллельных
прямых.
Геометрические места точек на плоскости
106.	Найти геометрическое место вершин равнобедрен-
ных треугольников с заданным основанием.
107.	Найти геометрическое место вершин треугольни-
ков с заданным основанием и с данным углом при осно-
вании.
108.	Найти геометрическое место точек, равноудален-
ных от двух данных пересекающихся прямых.
109.	Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся двух пересекающихся прямых.
ПО. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся двух параллельных прямых.
111.	Найти геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, касающихся данной окружности.
112.	Найти геометрическое место середин радиусов
данной окружности.
113.	Найти геометрическое место середин всех хорд
данной длины а, проведенных в данной окружности.
114.	Найти геометрическое место вершин углов, рав-
ных данному, если стороны всех углов проходят через
7*
103
две данные точки, а вершины их лежат по одну сторону
от прямой, соединяющей данные точки.
115.	Найти геометрическое место вершин прямых уг-
лов, стороны которых проходят через две данные точки.
116.	Найти геометрическое место середин хорд данной
окружности, параллельных данной прямой.
117.	Найти геометрическое место вершин С треуголь-
ников, имеющих общее основание АВ и сторону АС, рав-
ную данному отрезку.
118.	Найти геометрическое место центров окружностей,
проходящих через две данные точки.
119.	Найти геометрическое место центров окружностей
данного радиуса, касающихся данной прямой.
120.	Найти геометрическое место середин хорд дан-
ной окружности, выходящих из данной точки окружности.
Длина окружности
121.	Выполните следующую работу: узкой полоской
бумаги (желательно миллиметровой) обтяните, круглый
предмет, чтобы концы находили один на другой. Одним
уколом булавки проколите оба конца бумажной полоски,
получаются 2 метки. Выпрямив полоску, измерьте расстоя-
ние между этими метками. Получится длина окружности.
122.	Практическая работа. Измерьте дли-
ну окружности пятикопеечной монеты и ее диаметр
(поперечник). Найдите отношение длины окружности моне-
ты к ее диаметру.
123.	Измерьте длину окружности и диаметр несколь-
ких круглых предметов и заполните таблицу*:
	Длина окружности С	Длина Диаметра D	п с' Отношение
1 предмет 2	» 3	»			
124.	Почему можно записать, что длина окружности
С = л • D, т. е. числу л, умноженному на длину диаметра?
* В таблицу вписывать среднее арифметическое нескольких из-
мерений.
104
125.	Начертить окружность, измерить ее радиус и вьь
числить длину окружности.
126.	Найти длину окружности, если ее диаметр равен:
1) Зу см; 2) 5 дм. [1) 11 см; л яа ~; 2) 15,7 см; л я» 3,14.]
127.	1) Доказать, что приближенные значения числа л,
равные 3— и 3,14, дают одинаковую точность, если брать
их с двумя десятичными знаками (с точностью до сотых
долей). 2) Какую часть длины окружности составляет ев
диаметр? [2) -~.]
128.	1) Проверьте таблицу для вычисления длины ок-
ружности С в зависимости от длины ее диаметра D. [У к а-
з а н и е. С = 3,14 D.]
D I 1 I 2 I 3 I 4
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
С 13,1416,28 ] 9,42112,6 15,7118,81 22,0 1 25,1128,31 31,4
2) Продолжите составление таблицы для значений D
от 11 до 20.
129.	Найти длину окружности, пользуясь таблицей,
если длина ее радиуса 2 см; 3 см*. [12,6 см; 18,8 см.]
130.	Найти длину окружности, пользуясь таблицей,
если длина ее диаметра: 1) 0,5 см; 2) 0,8 см. [1) 1,6 см;
2) 2,5 см.]
131.	Найти, пользуясь таблицей, длину диаметра, ес-
ли длина окружности, имеющей этот диаметр, равна
25,1 дм; 9,4 м; 1,26 см. [8 дм; 3 м; 0,4 см.]
132.	Длина большой стрелки Кремлевских курантов
3,3 м, а малой — 3,0 м. Во сколько раз" путь, проходимый
концом большой стрелки за сутки, больше пути, проходи-
мого концом малой стрелки? [Приближенно в 13 раз. ]
133.	Известно, что, когда вводились метрические меры,
А 1
за метр была принята длина ------------- части четверти
10000000
земного меридиана. Сколько километров в длине всего
меридиана? [40 000 км.]
* В этой и последующих задачах числовые значения длин и пло-
щадей — приближенные числа. Знак » опускается.
105
134.	Как вычислить длину Г земного меридиана? За-
помнить ответ. [111 км.}
135.	Во сколько раз увеличится длина окружности,
если: 1) радиус ее увеличить в 2 раза? 2) диаметр ее уве-
личить в 3 раза? Проверить ответ на любых числах (поль-
зуясь таблицей для вычисления длины окружности).
136.	Диаметр вала ворота колодца 30 см. Вал должен
сделать 10 оборотов, чтобы ведро воды поднялось на по-
верхность земли. Какой глубины этот колодец? [9,4 м.]
137. Сколько оборотов должен делать вал ворота, диа-
з
метр которого 1— дм, чтобы ведро воды поднималось с
Принять л =
22
7
глубины в 11 м? [Указание.
20 оборотов.]
138.	Человек стоит на ровном месте и видит вдаль на
3 км. Какова длина окружности, ограничивающей его
горизонт? [19 км. ]
139.	Какой путь пройдет за один оборот конец часовой
стрелки, если длина ее 2у см? [15,7 сж.]
140.	1) Найти длины нескольких окружностей, при-
няв длины их диаметров равными 1 см; 2 см; 3 см; 4 см;
5 см (использовать таблицу задачи 128). 2) Начертить диа-
грамму изменения длины окружности при изменении дли-
ны ее диаметра, построив на клетчатой бумаге отрезки,
выражающие длины окружностей. 3) Во сколько раз
увеличится длина окружности, если ее диаметр увеличить
в 2, 3, 4 раза?
141.	По таблице (задача 128) для вычисления длины
окружности решить обратную задачу: найти приближен-
ное значение диаметра окружности, если длина окружно-
сти равна: 1) 6,28 см; 22 см; 40,8 дм; 69,1 м; 2) 251 мм;
0,188 см; 0,314 см; 4,712 м; 5655 см. 11) 2 см; 7 см; 13 дм;
22 м; 2) 80 мм; 0,06 см; 0,10 см; 1,5 м; 18 я.]
142.	Сколько оборотов в минуту сделает паровозное
колесо, если его диаметр равен 1,75 м, а скорость равна
60 км в час? [182 оборота.]
143.	Два шкива, диаметры которых равны 800 мм и
500 мм, соединены приводным ремнем. Расстояние между
центрами шкивов равно 3 м. Найти длину ремня, если пе-.
редача открытая. [8 м 4 см.]
106
144. Какой путь в километрах пройдет автомобиль за
45 минут, если его ведущее колесо диаметром 0,7 м делает
500 оборотов в минуту? [50 км.]
145. На сколько увеличится диаметр окружности, если
длину окружности увеличивать на 1 ж? [На — м. ]
тс
146. Построить окружность, длина которой равна сум-
ме или разности длин двух данных окружностей.
147. Сравните периметры
двух фигур, изображенных
на чертеже 3. [Периметры
равны.]
148. Земля делает полный
оборот вокруг своей оси
приблизительно за 24 часа.
Найти скорость точки эква-
Черт. 3
тора, принимая диаметр Зем-
ли равным 12 800 км*.
149. Найти зависимость между окружной скоростью v
движения, диаметром D и числом оборотов шкива в 1 ми-
нуту п. [ v = JtDn. ]
150. Сколько оборотов в минуту должен делать шпин-
дель станка, если надо обточить шкив диаметром 300 мм
со скоростью резания 300 м в мин? [318 оборотов.]
151. Практическая работа. Узнать в ма-
стерской диаметр любого шкива станка (токарного или
фрезерного) и число оборотов, которое он делает за еди-
ницу времени. Вычислить окружную скорость этого
шкива.
152. Зная, что окружные скорости вращения двух
шкивов, соединенных ременной передачей, равны, дока-
зать, что числа делаемых ими оборотов пг и за один и
тот же промежуток времени обратно пропорциональны их
диаметрам Dr и О2.
* При решении задач, в которых требуется находить длину ок-
ружности С, а также площадь круга S по данному диаметру D и
обратно, следует: а) использовать таблицы для вычисления С и S
(см. В. М. Брадис «(Четырехзначные математические таблицы», таб-
лица XIV); б) в дальнейшем вычислять с помощью логарифмической
линейки, использовав при вычислении хи —; С « xD; С = D i JL ;
X	X
в ответах знак « опускается.
107
153.	Два обруча прокатились на одно и то же расстоя-
ние. Числа сделанных ими оборотов относятся, как 5: 6.
Каково отношение диаметров этих обручей?
— 1
5 J
154.	Диаметр зубчатого колеса 660 мм, расстояние
между серединами двух его зубцов (по дуге) 34,5 мм.
Сколько зубцов имеет это колесо? [60 зубцов.]
155.	С помощью центроискателя
(черт. 4) (изготовить, если его
нет) найти центры начерченных
окружностей.
156. 1) Как найти центр окруж-
ности? Центр дуги? 2) На основа-
нии какого свойства линий в кру-
ге решаются эти задачи? Сколько
точек дуги (или окружности) до-
статочно иметь для нахождения ее
Черт. 4	центра? 4) Выполните практичес-
кую работу на нахождение цент-
ров и диаметров кругов (черт. 5).
157. В токарном деле часто приходится намечать центры
оснований стержней цилиндрической формы для обточки
Черт, 5
этих стержней. Как найти центр основания стержня при
помощи центроискателя, изображенного на чертеже 4?
Площадь круга
158. Практическая работа. 1) Вырежьте
из плотной бумаги (или картона) круг с радиусом Ц = 8 см.
Перегните этот круг пополам, затем перегните еще раз по-
полам и т. д. (всего 4 раза). Разрежьте круг по сгибам
2) Расположите получившиеся части круга (секторы), как
показано на чертеже 6. Полученная фигура мало отличает-
108
ся от прямоугольника, основание которого имеет длину,
равную длине полуокружности, а высотой служит радиус
круга — половина диаметра круга. Сделайте вывод, как
можно вычислить площадь круга. [Площадь круга равна
произведению половины его окружности на радиус.)
Черт. 6
159. Заполнить таблицу (использовав таблицу зада-
чи 128).
	Диаметр круга D	Длина ок- ружности G	Площадь круга S
I 2 3 4	8,0 см 6,6 см ? ?	? ? 12,6 см 31,42 см	? ? ? ?
160.	Вычислить площадь поверхности бумажного змея
по данным чертежа 7. [1,5 кв. м.]
161.	Вырезать из плотной бумаги или картона круг,
выполнить необходимые измерения и вычислить длину ок-
ружности этого круга и его площадь.
162.	Проверьте таблицу для вычисления площади круга
в зависимости от длины его диаметра D:
D	1	2	3	4	5	6	7	1 8	9	10
S	0,785	3,14	7,06	12,6	19,6	28,3	38,51	[50,3	63,6	78,5
163.	На высотном здании Московского государствен-
ного университета установлены часы. Диаметр цифербла-
та этих часов приближенно равен 8,8 м. Вычислить пло-
щадь циферблата этих часов и сравнить ее с площадью
класса, в котором вы занимаетесь [60,8 мй ].
164.	Проверить тождественность формул для вычисле-
Da	С	С2	1
ния площади круга: л/?2 = к— = —R = — . —
4	2	4	я
109
те = 3,142; — = 0,785; 1 = 0,3183.
4	я
165.	Найти радиус круга, у которого площадь (в квадрат-
ных единицах) и длина окружности (в соответствующих ли-
нейных единицах) имеют одно и то же числовое значение.
[Радиус равен 2 линейным единицам. ]
166.	Вычислить радиус и площадь круга, длина окруж-
ности которого равна 2 единицам. Г— ед.; кв. ед.1
[я я	J
167.	Площадь квадрата равна площади круга. Доказать,
что периметр этого квадрата больше длины окружности.
168.	Имеются две пла-
стинки (черт. 8). Срав-
нить периметры, а также
площади этих пластинок.
[Периметры пластинок рав-
ны; площади пластинок
отличаются одна от дру-
гой на удвоенную площадь
круга радиуса а. ]
169.	Во сколько раз
Черт. 8	площадь полукруга радиу-
са R больше суммы пло-
п
щадей двух полукругов с радиусом — ? [В 2 раза.]
170.	Определить площадь сечения круглого напильни-
ка, диаметр которого равен 12 мм. [113 кв. мм.]
171.	Найти площадь сечения вала, если длина окружнос-
ти вала равна 157 мм. [1960 кв. мм.]
172.	Найти площадь сечения провода, диаметр которого
равен 5 мм. [20 кв. мм.]
173.	Как изменится площадь круга, если диаметр его
увеличится в два; три раза?
174.	Из квадратного медного листа вырезали круг наи-
большего диаметра. Определить размеры медного листа,
если площадь вырезанного круга равна 176,63 кв. мм.
[15 мм х 15 мм.]
175.	Внутренний диаметр кругового кольца равен 60 мм,
а внешний 80мм. Определить площадь кольца. [2200 кв. мм.]
176.	Внешний диаметр кругового кольца равен 100 мм,
а площадь кольца равна 5024 мм2. Определить внутрен-
ний диаметр кольца. [60 мм.]
110
177.	Вычислить часть площади! кругового кольца в 60°,
если внутренний диаметр кольца равен 42 мм, а внешний
диаметр равен 72 мм. [450 кв. мм.]
178.	Обхват дерева равен 150 см. Определить площадь
его сечения. [1800 кв. см.]
179.	В цилиндре паровой машины пар давит на поршень
с силой в 6,5 кг на каждый квадратный сантиметр его пло-
щади. Вычислить полное давление на поршень, если диа-
метр поршня равен 360 мм. [6600 кг.]
180.	Диаметр заклепки для небольших отверстий берет-
ся на 0,5 мм меньше диаметра отверстия. Каких диаметров
нужно просверлить отверстия под заклепки, имеющие пло-
щади сечений: 1) 28,26 мм2\ 2) 50,24 мм2. [1) 6,5 мм\
2) 8,5 мм.]
181.	Сколько надо семян для засева клумбы диаметром
в 4 ж, если на 1 кв. м идет 2,5 г? [32 г.]
182.	Для устройства круглой клумбы привязали один
конец веревки длиной 2 ж к колу, вбитому в землю. К дру-
гому концу веревки привязали заостренный колышек и,
натягивая веревку, прочертили окружность на земле. Ка-
кова ее длина? Какова площадь клумбы? [12,6 ж; 12,6 кв. ж.]
183.	Надо посыпать песком дорожку вокруг круглой
клумбы. Поперечник клумбы 2 ж; ширина дорожки вокруг
клумбы 1 ж. Сколько надо песка, если на 1 кв. ж дорожки
требуется 1-^- куб. дм песку? [14 куб. дм.]
184.	В старинных русских руководствах рекомендова-
лось вычислять площадь круга как площадь квадрата, у
которого сторона равна — диаметра круга. Какое значе-
ние числа л использовалось в этом случае? [3,06. ]
185.	Выполнить необходимое измерение и вычислить
периметр и площадь классного (и своего) транспортира.
186.	Диаметр полукруга разделен на две равные части,
и на одной из них построен новый полукруг. Найти отно-
шение площадей вновь построенного полукруга и данного.
Г J_ I
L 4 J
187.	Какую часть составляет площадь сектора от площа-
ди круга, если угол его содержит 45°; 30°; 60°; 120°; 135°;
210°; 240°?
Г 1	1	1	1	3	7	2	1
8 ’ 126 ’ 3’ 8’ 12* 3* J
111
ГЛАВА VIII
ЦИЛИНДР
Цилиндр и поверхность цилиндра
1.	Укажите в окружающей обстановке предметы, имею-
щие форму цилиндра (трубы, банки, монеты, неграненые
стаканы, ведра, кастрюли, столбы, валы, оси колес). Ка-
кую форму имеет основание цилиндра? Сколько основа-
ний у цилиндра? Покажите их.
2.	Что можно сказать об основаниях цилиндра? [Два ос-
нования цилиндра параллельны и равны между собой. ]
3.	На модели цилиндра покажите его высоту, приложив
ребро линейки к его поверхности* .Что показывает высота
цилиндра (черт. 1). Убедитесь, что боковая поверхность
Черт. 2
цилиндра — кривая поверхность, а основания—плоские
поверхности. Как вы это сделали? [Высота показывает
расстояние между основаниями цилиндра.]
4.	В каких мерах выражается высота цилиндра? Обве-
дите ладонью поверхность цилиндра — боковую и полную.
Из каких частей состоит полная поверхность цилиндра?
В каких мерах выражается площадь боковой поверхности
цилиндра, площадь основания цилиндра? [Высота выражает-
ся в линейных мерах; площадь поверхности в квадратных;
* По этому единственному направлению прямая линия (ребро ли-
нейки) совпадает со всеми точками боковой поверхности цилиндра.
112
объем цилиндра — в кубических мерах; полная поверхность
цилиндра состоит из боковой поверхности цилиндра и двух
оснований. ]
5.	На чертеже 2 показано, как можно получить цилиндр
вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Про-
делайте такой опыте помощью центробежной машины, ко-
торая имеется в кабинете физики.
6.	Какую форму имеет осевое сечение цилиндра? Сколь-
ко таких сечений можно провести в цилиндре и что можно
сказать о них? [Осевое сечение — прямоугольник; бес-
численное множество осевых сечений, равных между собой. ]
Поверхность цилиндра
7.	Практическая работа. 1) Плотно оберните
боковую поверхность предмета, имеющего форму цилиндра,
листом бумаги; ножом по линейке обрежьте оставшуюся
бумагу, снимите бумагу, которой была обернута боковая
поверхность цилиндра, и разверните ее на столе. Какую
форму имеет получившаяся развертка боковой поверхности
цилиндра? Выполните необходимые измерения и вычислите
площадь развертки (боковой поверхности цилиндра).*
8.	Развертка боковой поверхности цилиндра представляет
собой прямоугольник, основание которого 1,5 дм, а высо-
та 1,2 дм. Вычислите площадь боковой поверхности этого
цилиндра. [1,8 кв. дм. ]
9.	На чертеже 3 даны развертка и выкройка полной по-
верхности цилиндра. Из каких фигур она состоит? Какие
* Длина окружности и площадь круга вычисляется по соответ-
ствующим таблицам.
113
отрезки надо измерить, чтобы вычислить площадь полной
поверхности цилиндра? [Стороны прямоугольника и радиус
или диаметр круга. ]
10.	Практическая работа. Изготовьте из
картона модель цилиндра и на ней постройте ось цилиндра.
[Указание. Сначала сделайте выкройку цилиндричес-
кой поверхности, а именно: к развертке сделайте припуск
на загибы, затем склейте модель. Проколите спицей модель
так, чтобы спица прошла через центры оснований. ]
11.	Диаметр основания цилиндра 10 см, его высота
20 см. Вычислите площадь боковой и полной поверхности
этого цилиндра. [Длина окружности С = nD = 10л (см);
боковая поверхность цилиндра 10 л • 20 = 200 к
^628 (кв. см); площадь круга 25 л ^78,5 (кв. см); площадь
полной поверхности цилиндра 785 кв. см. ]
12.	Объясните формулу, по которой вычисляется пло-
щадь боковой поверхности цилиндра S, а именно:
S= 2лТ?- Н, или tiDH, где R—радиус и D—диаметр осно-
вания цилиндра, Н — его высота.
13.	Как вычисляется площадь полной поверхности ци-
линдра S?. Запишите формулы. [К площади боковой поверх-
ности прибавляют площади двух оснований. S = itDH +
+~, или S = 2aR • Н + 2aR2 = 2л, R(H + /?). ]
14.	Сколько листового железа требуется для изготовле-
ния трубы длиной 2 ж и диаметром 14 см (без припуска)?
[88 кв. м. ]
15.	Сколько железа потребуется для изготовления ци-
линдра с крышками, если высота его и диаметр должны
быть равны 1 дм? [4,7 кв. дм. ]
16.	Вычислить боковую поверхность цилиндра, длина
окружности основания которого равна 3,5 дм, а высота
1 дм. [3,5 кв. дм].
17.	Во сколько раз увеличится площадь боковой поверх-
ности цилиндра, если и радиус основания и высоту его
увеличить вдвое? Во сколько раз увеличится площадь
полной поверхности цилиндра при тех же условиях? [В
4 раза; в 4 раза. ]
18.	Диаметр цилиндра равен его высоте. Во сколько раз
площадь его полной поверхности больше площади боковой?
[В 1,5 раза].
114
19.	При какой длине высоты (77) площадь боковой по-
верхности цилиндра равна сумме площадей обоих его осно-
ваний. [При Н = 7?, где R — радиус основания. ]
20.	Консервная банка имеет в диаметре 10 см, а в высоту
Б см. Сколько жести идет на ее изготовление? [314 кв. см. ]
21.	Нужно окрасить боковую поверхность круглой печи
диаметра 1,5 м, высотой 3,0 м. Хватит ли 4 кг олифы, ес-
ли на покраску 1 кв. м идет 250 г олифы? [Да.]
22.	Узнать площадь поверхности нагрева 100 дымогар-
ных трубок котла паровоза, если диаметр каждой 50 мм,
длина 5 м.
23.	Сколько квадратных метров железа требуется для
изготовления 10 ведер цилиндрической формы, если высо-
та ведра Н = 0,4 ж, диаметр основания D = 0,3 м. [4,5 кв. м.}
24.	Надо забетонировать круглую шахту (цилиндричес-
кой формы) диаметра 5,5 м и глубиной в 100 ж. Толщина
бетона должна быть в 1 ж. Сколько для этого потребуется
бетона?
Объем цилиндра
25.	Как вычисляют объем цилиндра 7? [Перемножают
числа, которые показывают площадь основания цилиндра
(S) и его высоту (77): V = S-77. Объем выражается
в кубических метрах.]
26.	Вычислить объем цилиндра, площадь основания ко-
торого равна 12 кв. дм, а высота 2— дм. [33 куб. дм. ]
27. Практическая
работа. Возьмите мо-
дель цилиндра из дерева
(егли нет такой, вообрази-
те), основания которого
разбиты на секторы и весь
цилиндр соответственно
разбит на клинья (черт. 4).
Составьте из этих частей те-
ло, мало отличающееся
Черт. 4
от прямоугольного бруса.
Что делается с основанием этого бруса? Его высотой?
Представьте себе, что вы увеличите число секторов и со-
ответствующее число клиньев. Какой вывод вы можете сде-
115
лать относительно объема цилиндра по его модели? Как
определить объем цилиндра?
28.	Сколько весит 1 м стальной проволоки диаметром в
4 мм, если 1 куб. см ее весит приблизительной а (точнее,
7,9 а)? [100 а.]
29.	В цилиндрический сосуд с дном в 25 кв. см налито
—л воды. Какова высота части сосуда, заполненного во-
дой? [30 см.]
30.	Площадь донышка консервной банки равна 80 кв. см.
Какова высота банки, если вместимость ее равна 1 л?
[12,5 см.]
31.	Выполните необходимые измерения и вычислите:
1) емкость имеющейся у вас консервной банки; 2) коли-
чество жести (по площади), которое требуется для изго-
товления этой банки (с верхним и нижним донышком).
32.	Выполните необходимые измерения и узнайте, сколь-
ко литров вмещает кастрюля цилиндрической формы, ко-
торая у вас имеется.
33.	Найти емкость цилиндрической банки (в литрах),
диаметр которой 2,0 дм, высота 1,0 дм. [3,14 л.]
34.	Сколько литров воды вмещает цилиндрический сосуд,
высота которого 1 дм и диаметр основания 1 дм? [0,785 мм.]
35.	Сколько литров воды проходит в 1 сек. через попе-
речное сечение трубы, внутренний диаметр которой 200 мм?
Скорость течения 1 м в сек. [31,4 л.]
36.	Какой высоты должна быть цилиндрическая банка,
чтобы емкость ее была 1,57 л, а внутренний диаметр осно-
вания 1 дм? [Указание. Чтобы найти площадь осно-
вания, надо л разделить на 4; 2 дм. ]
37.	В цилиндрический сосуд с водой опущен кусок же-
леза, при этом вода поднялась на 3 см. Диаметр дна сосу-
да 10 см. Каков вес железа? Удельный вес железа 7,8.
[1,9 ка. ]
38.	Сколько тонн бензина можно хранить в цистерне
цилиндрической формы, если ее диаметр 5,0 м, длина 3,0м?
Удельный вес бензина 0,7. [41 т.]
39.	Из цилиндрического сосуда, диаметр которого 20 см,
перелита жидкость в более узкий сосуд с диаметром 10 см.
Как изменится уровень жидкости в новом сосуде по срав-
нению с прежним? [Повысится в 4 раза. ]
40.	Через водопроводную трубу диаметром 20 см вли-
вают воду в трубу диаметром 30 см. Как при этом изменит-
116
ся скорость течения воды? [Скорость уменьшится в отно-
шении 4:9.]
41.	Силосная башня имеет форму цилиндра, высота 7 м,
а внутренний диаметр основания 10 м, Какова ее емкость?
[550 куб. м. ]
42.	Сделать необходимые измерения и узнать, какова
емкость стакана*, имеющего цилиндрическую форму. Сколь-
ко стаканов в одном литре?
43.	Каков объем стального цилиндра с высотой в 2,0 дм,
если диаметр основания 4,0 дм? [25 куб, Злг]
44.	Из одного и того же материала одинаковой длины
изготовлены один большой цилиндр с диаметром в 40 см и
два меньших цилиндра с диаметром
в 20 см каждый. На одну чашку ве-
сов положили большой цилиндр, на
другую—два меньших. Какая чашка
перетянет? [Чашка с большим ци-
линдром. ]
45. В сосуде цилиндрической формы
с внутренним диаметром в 100 мм
стоит вода на уровне 250 мм. Эту
воду перелили в более широкий со-
суд с диаметром в 150 мм. На ка-
ком уровне будет вода во втором со-
суде? [111 мм, ]
46. Из куба, ребро которого 6 дм, надо выточить ци-
линдр наибольшего объема (черт. 5). Какой объем будет
иметь этот цилиндр? [Указание. Диаметр цилиндра
равен ребру куба; 170 куб. дм.]
47. Каков должен быть диаметр цилиндрической цис-
терны глубиной в 2,0 м, если она должна вместить 100 гл**
воды?
48. Какая высота должна быть у кипятильника цилин-
дрической формы, диаметром 40 см, чтобы вместить 20 л
воды? [16 см.]
49. Объем равностороннего цилиндра содержит столько
же кубических сантиметров, сколько квадратных санти-
метров содержит его полная поверхность. Каков диаметр
цилиндра? [6 см. ]
* Мера емкости для жидких и сыпучих тел: 1 литр—1 куб. дм,
или объем 1 кг чистой воды (при 4° С); 1 гектолитр — 100 литров.
** По таблицам площади круга находят соответствующий диаметр.
117
50.	Проверить, что моток медной проволоки длиной в
100 м и толщиной в 2 о весит менее 3 кг; 1 куб, см меди
весит примерно 9 г, [Принять л равным 3,14. ]
51.	Какой сосуд большей емкости: формы цилиндра,
диаметр основания которого 12 см и высота 15 см, или фор-
мы прямоугольного параллелепипеда, размеры которого
(8 X 10 X 20) куб. см?
52.	Найти вес 100 м двухмиллиметровой проволоки,
если удельный вес материала 8,0. [2,5 кг. ]
53.	Точильный камень диаметром 1600 мм имеет тол-
щину 200 мм. Вычислить его объем, если в центре его име-
ется круглое отверстие диаметром 300. мм. [388 куб. дм. ]
54.	Лист размером 400 мм X 200 мм свернули в труб-
ку двумя способами: 1) по длине листа и 2) по ширине лис-
та (впритык краями). Сравнить площади поверхностей и объ-
емы этих труб. Записать решение в общем виде, обозна-
чив длину листа а, ширину Ь, если а>Ь.
[Площади поверхности одинаковы (ab); объем во вто-
ром случае больше I — b > —а \.
Задачи для повторения*
55.	Вся граница прямоугольного поля 3,2 км; ширина
3	w
поля составляет его длины. Узнать размеры поля и
5
вычислить его площадь (ответ выразить в гектарах).
56.	Рисунок, сделанный на листе бумаги, ширина кото-
рого 2,5 дм, а длина в 1,2 раза больше ширины, наклеили
на картон так, что со всех сторон получились поля шириной
0,5 дм. Сделать чертеж (в масштабе 1 : 10) и найти разме-
ры взятого картона и его площадь.
57.	Как изменятся периметр и площадь квадрата, если
каждую сторону уменьшить в 2— раза?
58.	Найти вес песка в ящике, имеющем форму куба с
ребром 1— м. Вес 1 куб. дм песка в среднем 2 кг.
59.	В классе занимаются 30 учеников. На каждого уче-
ника в среднем должно приходиться 6 куб. м воздуха. Ка-
кая должна быть высота класса, если известно, что пло-
щадь его пола 50 кв. м?
* По курсу геометрии VII класса.
118
60.	Кубик из мрамора в 20 куб. см весит 54 г. Сколько
весит 1 куб. см мрамора? Сколько весит мраморная плита
объемом в 1 куб. м?
61.	Аквариум имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда; длина его 70 см, шириа 40 см, высота 20 см. Во
сколько времени выльется вода из аквариума через кран
на дне его, если аквариум наполнен только наполовину
и за 1 сек. выливается из него в среднем 2 л воды?
62.	Найти объем бруса, если известно, что сторона его
квадратного основания 20 см, а высота бруса на 50% боль-
ше стороны основания.
63.	От железного листа прямоугольной формы длиной
в 14 дм и шириной 8 дм отрезали по углам равные квадра-
ты со сторонами по 2 дм и из оставшейся части сделали от-
крытую коробку. Каков объем этой коробки?
64.	Бассейн для плавания в форме прямоугольного па-
раллелепипеда имеет следующие размеры: длина 40 м, ши-
рина составляет — длины, глубина 3 м. Хватит ли 100000
5
квадратных плиток со стороной в 10 см, чтобы облицевать
дно и стены бассейна? Плитки можно дробить.
65.	Определить скорость автомобиля в час, если веду-
щее колесо его диаметром в 0,7 м делает 500 оборотов в ми-
нуту (принять л = — .
66.	Какой путь пройдет конец минутной стрелки часов
в течение получаса, если длина стрелки 14 мм?
67.	Длина окружности равна 33 см. Вычислить длину
22 \
ее диаметра и радиуса (принять л = —).
68.	Окружность колеса равна 4,7 ти. Проверить, что его
поперечник (с точностью до 0,1 м) равен 1 ,5jw.
69.	Лесоруб заметил, что дерево, которое он срубил,
примерно в «один обхват». Какова толщина (диаметр) де-
рева?
70.	Вычислить площадь круга, радиус которого равен
3,5 дм-
71.	Окно имеет форму прямоугольника. Ширина окна
120 см, высота 250 см. Сколько квадратных дециметров сос-
тавляет световая площадь окна, если переплет рамы зани-
мает 4% всей площади?
119
72.	1) В каком отношении находятся радиусы двух кру-
гов, из которых один вписан в правильный треугольник,
другой — описан вокруг него? 2) В каком отношении на-
ходятся длины соответствующих окружностей и площадей
кругов? [1) 2 : 1; 2) 2 : 1, 4 : 1.]
73.	Площадь круга, описанного около правильного треу-
гольника, больше площади круга, вписанного в него, на
12,6 кв. см. Найти площадь каждого из этих кругов.
(16,8 кв. см; 4,2 кв. см.]
74.	Сторона квадрата, описанного вокруг круга, рав-
на 14 см. Найти длину окружности и площадь этого круга.
[44 см; 154 кв. см.]
75.	Найти отношение площади круга к площади вписан-
ного в него квадрата.
76.	Площадь фигуры, заключенной между двумя квад-
ратами, из которых один описан, а другой вписан вкруг,
равна 8 кв. гд. Найти площадь этого круга. [4 кв. ед. ]
77.	Какой длины должен быть радиус окружности, что-
бы длина одного ее дугового градуса равнялась 2 мм? 10 мм?
[^115 см; 573 см. ]
78.	Размер кирпича 250 мм X 120 мм X 65 мм.
Сколько надо кирпичей для кладки размерами
(2,6 X 1,5 X 0,25) куб. м? [500.]
79.	Сколько килограммов снега пришлось собрать при
очистке прямолинейной дорожки длиной 100 м, шириной
0,8 м, при толщине снега 30 см? Средняя плотность снега
0,125 г в 1 куб. см. [3000 кг. ]
80.	Бидон (без крышки) имеет форму прямоугольного
параллелепипеда. Измерьте длины сторон основания бидо-
на и его высоту. Вычислите давление воздуха на всю его
поверхность, если на 1 кв. см давление воздуха составляет
1,03 кг?
81.	Кусок меди в 2,5 куб. дм весит 17,6 кг. Удельный
вес меди 8,8. Сплошной ли это кусок или в нем есть пустота?
[Есть пустота. ]
82.	С помощью центроискателя найти центры основа-
ний нескольких предметов цилиндрической формы и дли-
ны их диаметров.
83.	Определить площадь боковой поверхности цилиндра,
если радиус его основания равен 10 мм, а высота равна
120 мм. [7540 мм. ]
120
84.	Боковая поверхность цилиндра равна 39,25 см*9
диаметр основания равен 25 мм. Определить высоту цилин-
дра. [0,5 дм. ]
85.	Цилиндрическая колонна имеет следующие размеры:
диаметр ее основания равен 0,72 м, высота равна 6 м.
Сколько пойдет олифы на ее покраску, если на 1 м2 идет
250 з олифы? [3,4 кг. ]
86.	На сколько уменьшится наружная (цилиндрическая)
поверхность шлифовального круга диаметром 380 мм и тол-
щиной 64 мм; если за время работы этот круг уменьшится
в диаметре на 4,2 мм? [18 кв. мм. ]
87.	Определить объем цилиндра, если диаметр его осно-
ния равен 48 мм, а высота 180 мм. [326 куб. см. ]
88.	Объем цилиндра равен 502,4 см3, а диаметр основа-
ния равен 80 мм. Определить его высоту. [10 см. ]
89.	Определить вес стальной трубы длиной в 5 м, если
внутренний диаметр ее равен 600 мм, а внешний 610 мм.
Удельный вес стали 7,8. [370 кг. ]
90.	Медная проволока длиной в 10 м и диаметром в 2,5 мм
вытягивается в более тонкую проволоку длиной в 100 м.
Найти диаметр этой проволоки. [0,78 мм. ]
91.	Сколько воды протекает через водопроводную трубу
в секунду, если диаметр трубы равен 20 см, а скорость те-
чения воды равна 1 м в секунду? [31,4 кг. ]
Практические работы (№ 92—97)
92.	Определите на глаз некоторые расстояния и линей-
ные размеры отдельных предметов е последующей провер-
кой рулеткой. Вычислите процент допущенной вами ошибки.
93.	Определите длину своего шага. Заполните таблицу:
№ измерения	Расстояние		
	в метрах	в шагах	длина шага в сантиметрах
1	100		
2	100		
3	100		
94.	Определите в шагах: 1) расстояние от вашего дома
до школы; 2) длину квартала, в котором вы живете. Пере-
ведите полученные числа шагов в метры.
8 Заказ 1345
121
95.	1) В банку, имеющую форму прямоугольного паралле-
лепипеда, длина основания которого 8 см, а ширина 5 см,
налили воду и погрузили в нее кусочек меди. Вода в бан-
ке поднялась на 2 см. Вес 1 куб. см меди около 9 в. Каков
вес взятого куска меди? 2) Взять сосуд цилиндрической
формы с делениями (по высоте его) и определить указан-
ным способом вес металлической модели, вес какого-
нибудь небольшого стального предмета. (Вес 1 куб. см
стали 7,9 г. ]
96.	Выполните с помощью землемерных инструментов
(эккера, вех, рулетки) съемку плана двора и дома, в ко-
тором вы живете; вычертите его, предварительно выбрав
удобный масштаб. Найдите по плану площадь, занимаемую
домом и двором, используя при этом палетку. Вычислите
действительную площадь двора и площадь, занимаемую
домом.
97.	На экскурсии определите скорость движения воды
в речке (работу проводят двое). [Указание. 1) Дву-
мя вехами отмерьте вдоль речки небольшое расстояние,
например 16 м; 2) заметьте время, за которое поплавок,
например бутылка, проплыл 16 м (наблюдения проверя-
ются 2—3 раза, взять среднее ^оказалось в среднем 2у мин;
3) вычислите скорость движения воды. ]
ГЛАВА IX
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР
Пропорциональные отрезки
1*.	Начертить треугольник ЛВС, измерить его стороны
и определить отношение сторон А В: ВС; ВС : СА; С А : А В.
2.	Начертить прямоугольник, измерить его стороны
и диагональ. Определить отношение оснований прямоуголь-
ника к его высоте, отношение основания к диагонали пря-
моугольника и отношение высоты к диагонали. *
* В задачах 1—3 приближенное вычисление искомых отношений
рекомендуется выполнять с помощью логарифмической линейки.
122
3.	Начертить квадрат и определить отношение диагона-
ли квадрата к его стороне: а) точно, используя теорему
Пифагора; б) приближенно,
предварительно измерив соот-
ветствующие отрезки.
4. На чертеже 1 показано,
как можно разделить ширину
доски на равные части при по-
мощи линейки с произвольны-
ми, но равными делениями.
Объясните, на чем основан
этот способ.
5. На чертежах 2 и 3 пока-
зано, как можно разделить
данный отрезок АВ в данном
отношении т : п внутренним
и внешним образом. Объясните по этим чертежам, на чем
основаны применяемые здесь способы.
4	с в	с,
Черт. 2
Черт. 3
6.	Разделить данный отрезок АВ в отношении т: п
внутренним и внешним образом, [т: п = 1 : 3; 2 : 3.1
8*	123
Подобие фигур
7.	Могут ли стороны двух подобных треугольников иметь
следующую длину: 1) 1,2 м; 1,6 л; 2,4 м и 3 см; 4 см; 6 см;
2) 0,4 дм; 0,6 дм; 1 м и 8 см; 12 см; 20 см; 3) 4 см; 40 м; 40 м
и 4 си; 40 см; 40 см? [1) Могут; 2) по данным отрезкам
вообще нельзя построить треугольник; 3) не могут. 1
8.	Какие из приведенных ниже предложений истинны
и какие ложны: 1) два треугольника, стороны которых соот-
ветственно перпендикулярны, подобны. 2) Два треуголь-
ника, стороны которых соответственно параллельны, подоб-
ны. 3) Два равнобедренных треугольника подобны, если
равны их углы при вершинах. 4) Два равнобедренных тре-
угольника подобны, если они имеют по равному углу при
основании. 5) Два равнобедренных треугольника подобны,
если они имеют по одному равному углу. 6) Два прямоуголь-
ных равнобедренных треугольника подобны. 7) Два ту-
поугольных равнобедренных треугольника подобны. 8)
Два тупоугольных равнобедренных треугольника подоб-
ны, если они имеют по равному острому углу. [Предло-
жения 1), 2), 3), 4), 6), 8)—справедливы, остальные —
ложны. ]
9.	Два подобных треугольника имеют по равной высо-
те. Почему нельзя утверждать, что взятые треугольники
равны? [Равные высоты могут не быть соответственными. I
10.	Будет ли достаточно для подобия двух прямоуголь-
ных треугольников выполнение следующих требований:
1) отношение гипотенуз этих треугольников равно отноше-
нию радиусов описанных окружностей; 2) отношение двух
катетов этих треугольников равно отношению радиусов
описанных окружностей; 3) отношение гипотенуз этих тре-
угольников равно отношению радиусов вписанных окруж-
ностей? [1) Недостаточно; 2) достаточно; 3) достаточно. ]
11.	Доказать, что два треугольника АВС и Л^С^ по-
добны, если углы Л, В и С — пропорциональны углам
ЛрВ^Ср. [Указание. Доказать равенство двух пар
углов в данных треугольниках. ]
12.	Отношение двух углов одного треугольника равно
отношению двух углов другого треугольника. Почему нель-
зя на основании этого условия утверждать, что данные тре-
угольники подобны? [Потому что из равенства данных от-
ношений не следует равенство углов треугольников. 1
13.	Построить два подобных, но неравных разносторон-
124
них треугольника; два равнобедренных треугольника; два
прямоугольных треугольника; два равносторонних тре-
угольника.
14.	Показать на примерах, что остроугольные и тупо-
угольные треугольники, не имеющие равных сторон, нель-
зя рассечь прямой, проходящей через их вершину, на два
подобных треугольника. [При поставленных условиях об-
разовавшиеся два треугольника не могут иметь больше,
чем по одному равному углу. ]
15.	В прямоугольном треугольнике (черт. 4) из верши-
ны прямого угла опущена на гипотенузу высота CD. 1) Сколь-
ко пар подобных треугольников образовалось на чертеже?
2) Какую пару имеющихся на чертеже отрезков достаточ-
но знать, чтобы вычислить проведенную высоту CD; ка-
тет ВС? [1) Три пары; 2) AD и BD; АВ и BD; АВ и AD. 1
16.	Из вершины С прямоугольного треугольника АВС
опущена высота CD на гипотенузу Л В (черт. 5). Доказать,
что № = mn, где т и п—отрезки, на которые высота де-
лит гипотенузу треугольника. [Из подобия треугольников
BCD и ACD следует: — = —, откуда А2 = тп. ]
tn h
17.	Определить высоты прямоугольных треугольников,
если известны отрезки т и п, на которые делятся этими
высотами гипотенузы соответствующих треугольников.
Вычисление произвести при помощи логарифмической ли-
нейки. [2,45; 1,45; 4,28; 3,84; 7,97.]
h	tn	п
	3,00 2.3 8.4 10,2 7,72	2,00 0,92 2,1 1,45 8,25
125
18.	Из произвольной точки Р данной окружности (черт.
6)	опущен перпендикуляр PQ на ее диаметр. Доказать, что
PQ2 = MQ . QN.
19.	В окружности проведены две пересекающиеся хор-
ды АВ и CD (черт. 7). 1) Показать, что, соединив отрезками
концы этих хорд, всегда получим две пары подобных тре-
угольников. 2) Найти зависимость между отрезками хорд
АВ и CD. [AM . MB = CM . MD. ]
20. Из точки M, лежащей вне данной окружности (черт.
8), проведены к этой окружности касательная MD и се-
кущая МВС. 1) Соединив точ-
ки С и D, Ви D отрезками,
найти образовавшиеся на чер-
теже подобные треугольники.
2) Доказать, что MD2 —
— МС'МВ.
21. Построить два подоб-
ных, но неравных: 1) парал-
лелограмма; 2) прямоуголь-
ника; 3) дельтоида.
22. Прямая, параллель-
ная основанию треугольника,
делит его на две равновеликие части. Каково отношение бо-
ковой стороны данного треугольника^ к ее образовавшим-
ся отрезкам (считая от вершины)? []/2 : 1; V2 : (У"2— 1). ]
23. Площадь данного многоугольника равна 12 кв. ед.
Определить площадь подобного ему многоугольника, ес-
ли сходственные стороны этих многоугольников относят-
ся, как 1: 0,5. [3 кв. ед. 1
126
24. Площадь данного многоугольника а кв. ед. Опреде-
лить площадь подобного ему многоугольника, если отно-
шение одной из сторон этого многоугольника к сходствен-
ной стороне данного многоугольника равно р: Л	кв. ед. j
25. Площади двух квадратов относятся, как 1 : 4. Пери-
метр первого из этих квадратов 8 см. Каков периметр вто-
рого квадрата? [16 см.
26. Площади двух подобных многоугольников относят-
ся, как т: п. Периметр первого из этих многоугольни-
ков равен а сантиметров. Каков пе-
риметр второго многоугольника?
с*.]
27. На чертеже 9 изображен
делительный циркуль. Объяснить
устройство этого циркуля и расска-
зать, как пользуясь таким циркулем,
можно снимать копии отдельных пла-
нов, чертежей деталей, уменьшая или
увеличивая при этом оригинал в со-
ответствии с заданным коэффициен-
том подобия.
Черт. 9
28. На чертеже 10 изображен
дальномер (ДВ—линейка со шкалой,
PQ — подвижная планка). Пояснить
по чертежу, как можно при помощи такого дальномера оп-
ределять на местности расстояние AF, зная расстояние
KL (расстояние KL может
быть, например, расстоя-
нием между телеграфными
столбами, длиной товар-
ного вагона и т. п,).
|ДГ_ KL'AC 1
L	PQ	J
29. На чертеже 11 изоб-
ражен поперечный масш-
таб. Назвать величину от-
резков A В, CD и MN, обо-
значенных на этом чер-
теже.
127
Черт. 11
30.	На чертеже 12 изображен измерительный прибор,
позволяющий определять с точностью до десятых долей
миллиметра толщину отдельных деталей. Разъяснить, на
чем основано устройство такого прибора.
Черт. 12
Черт. 13
31.	На чертеже 13 изображен
измерительный прибор, позволяю-
щий определить с точностью до
десятых долей миллиметра вели-
чину зазора между двумя деталя-
ми, внутренний диаметр трубок
128
и т. д. Разъяснить, на чем основано устройство такого
прибора.
32.	На чертеже 14 показано, как можно определить
хорду (2 а) и стрелку (Л) сегмента детали, имеющей форму
круга, используя для этого угольник с делениями. Пока-
зать, что диаметр соответствующего круга (d) может быть
33.	На чертеже 15 дано схематическое изображение вы-
сотомера лесовода. Показать, что высота измеряемого пред-
мета (Н) может быть определена при помощи такого высо-
St
томера по формуле: Н = —\-h (обозначения указаны на
а
чертеже).
34.	Практическая работа. Начертить на
листке бумаги (без линеек) прямоугольник. Измерить сто-
роны этого прямоугольника при помощи масштабной ли-
нейки и вычислить его площадь. После этого измерить
те же стороны, используя поперечный масштаб, и вновь
вычислить площадь. Сравнить полученные ответы. Ес-
ли изображенный вами прямоугольник принять за план
земельного участка, построенного в масштабе 1 : 1000, то
на сколько квадратных метров будет допущена ошибка в
определении площади, если не пользоваться поперечным
масштабом?
35.	Практическая работа. Измерить площадь
участка, ограниченного криволинейным контуром, по его
плану с помощью палетки.
129
36.	Практическая работа. Начертить круг
и вычислить его площадь. Измерить затем площадь этого
круга при помощи палетки. Определить абсолютную и от-
носительную погрешности измерения.
Задачи на повторение
37. Отрезки, равные а и Ь, служат сторонами треуголь-
ника	треугольника АСВ и треугольника Л2СВ
(черт. 16). Поставить знаки «равенства», «больше» или «мень-
ше между следующими выра-
жениями: а2 + Ь2 и AtB2;
а2+Ь2 и АВ2; а2+Ь2 и А2В2.
38. Две стороны данного
треугольника соответственно
равны тип. Чему будет равна
третья сторона этого треуголь-
ника, если она лежит против
угла: 1) в 60°; 2) в 120°?
[1) т2 + п2 — тп;
2)	т2 + п2 + тп. ]
39. 1) В окружности проведено несколько параллель-
ных хорд. Будут ли длины этих хорд обратно пропорцио-
нальны расстояниям их от центра окружности? 2) Выра-
зить длину хорды а в зависимости от расстояния ее Ь до цент-
ра и радиуса г. [1) Нет. 2) а = 2J/72 — Ь2.]
40. Из одной и той же точки окружности проведены по-
парно равные хорды и концы, равных хорд соединены от-
резками. Могут ли среди образовавшихся вписанных тре-
угольников оказаться подобные треугольники? Сделать
чертеж. [Нет. Все образовавшиеся треугольники равно-
бедренные с различными углами при вершинах. ]
41.	Можно ли в одну и ту же окружность вписать два по-
добных, но неравных прямоугольника? [Нельзя.]
42.	Можно ли в одну и ту же полуокружность вписать
две подобные трапеции? Обосновать свой ответ. [Нельзя,
так как углы вписанных трапеций не будут соответственно
равны. ]
43.	В одну и ту же окружность вписаны два подобных
треугольника. Будут ли эти треугольники обязательно рав-
ными? Ответ обосновать. [Будут, так как построенные
треугольники имеют равные соответствующие элементы —
радиусы описанных окружностей. ]
130
44.	Будут ли подобны два прямоугольных треугольни-
ка, если они вписаны в одну и ту же окружность и имеют:
1) по равному катету; 2) по равной высоте, опущенной
на гипотенузу. [1), 2) Треугольники будут равны и, сле-
довательно, подобны. ]
45.	Как вписать в данную окружность треугольник,
подобный данному треугольнику? [Можно, например, пред-
варительно построить 3 центральных угла, соответствен-
но равных удвоенным углам данного треугольника
(черт. 17). ]
46.	В данной окружности взята хорда. В каком случае
окажется возможным вписать в эту окружность треуголь-
ник, подобный данному и имеющий одной из своих сторон
Черт. 17

взятую хорду? [Построение возможно, если вписанный
угол, опирающийся на эту хорду, равен одному из углов
данного треугольника.]
47.	На чертеже 18 дано: АВ = AF = a; AFJ_A В;
О — центр окружности, построенный на отрезке АВ, как
на диаметре; С — середина дуги BD. Определить: 1) в ка-
ком отношении делится отрезок BF точкой D; 2) в каком
отношении отрезок BD разделится прямой АС. [ 1) BD: DF =
= 1, так как AD — высота равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника AFB\ 2) отрезок разделится прямой АС
в отношении AD : АВ = а: а = 1 : [Л2; так как
АС — биссектриса ^cDAB. ]
48.	Диаметр окружности разделен точкой F на две час-
ти: 4 см и 6 см. Можно ли через точку F провести хорду,
131
одна из частей которой будет 3 см? [Нельзя, так как дру-
гая часть хорды должна равняться 8 см и длина всей хор-
ды будет больше длины диаметра. ]
49.	Диаметр окружности разделен точкой F на два от-
резка а и Ь (а>Ь). Через точку F проведена хорда, одна из
частей которой равна х. Какие значения может принимать
отрезок Хг (черт. 19)? [а<х<&. ]
50.	Показать, что через вершину большего угла разно-
стороннего треугольника всегда можно провести прямую
так, чтобы она отсекала от данно-
го треугольника другой треуголь-
ник, подобный данному. [У к а-
з а н и е. Один из углов, образо-
ванных этой прямой и противопо-
ложной стороной, должен равнять-
ся большему углу данного тре-
угольника.]
51.	Как известно, прямая, па-
раллельная одной из сторон тре-
угольника и пересекающая две
его другие стороны, отсекает от взятого треугольника дру-
гой треугольник, ему подобный. Найдите в плоскости
данного треугольника такие точки, через которые: 1) нель-
зя провести ни одной такой прямой; 2) можно провести
только одну такую прямую; 3) можно провести только две
такие прямые; 4) можно провести три такие прямые. [См.
черт. 20, где цифрами показано, сколько таких прямых
проходит через точки каждой области. 1
132
52.	Показать, что всегда можно провести прямую, рас-
секающую данный параллелограмм на две подобные фигу-
ры. [Прямая должна проходить через центр симметрии
параллелограмма. ]
53.	Можно ли провести прямую, рассекающую данную
трапецию на две подобные трапеции? [Искомая прямая
параллельна основаниям трапеции и делит ее боковые сто-
роны в отношении, равном отношению оснований. ]
54.	Назовите известные вам геометрические фигуры, ко-
торые всегда подобны. (Квадраты, равносторонние тре-
угольники, окружности. ]
55.	Через произвольную точку, взятую на диагонали
параллелограмма, проведены две прямые, параллельные
сторонам этого параллелограмма. Сколько параллелограм-
мов, подобных данному, может при этом образоваться?
[Наибольшее число параллелограммов, подобных данному,
четыре — в случае, если точка взята в центре симметрии
параллелограмма. Во всех остальных случаях — два. ]
56.	1) Будут ли подобны любые два четырехугольника
с соответственно равными углами? Ответ подтвердите при-
мером. 2) Будут ли подобны все четырехугольники с соот-
ветственно пропорциональными сторонами?* Ответ под-
твердите примером. [1) Не будут, например, все прямоуголь-
ники имеют равные углы, но стороны их не обязательно
пропорциональны. 2) Не будут, например, у все ромбов
стороны пропорциональны, но углы ромбов могут быть
различны. ]
57.	Могут ли два неравных подобных многоугольника
иметь по равной стороне? Подтвердите ответ примером.
[Могут, если равные стороны не будут сходственными,
например треугольники со сторонами 2 см, 3 см, 4 см и
4 см, 6 см, 8 см. ].
58.	Сформулировать некоторые признаки подобия для
следующих фигур: 1) прямоугольников; 2) равнобедрен-
ных трапеций; 3) параллелограммов; 4) ромбов; 5) трапе-
ций. (1) Прямоугольники подобны, если их стороны соот-
ветственно пропорциональны; 2) равнобедренные трапе-
ции подобны, если они имеют по равному углу и их осно-
вания соответственно пропорциональны; 3) параллело-
граммы подобны, если они имеют по равному углу и их
♦ Каждое из условий 1) и 2), взятое в отдельности, необходимо,
но не достаточно для подобия четырехугольников.
133
стороны соответственно пропорциональны; 4) ромбы подоб-
ны, если имеют по равному углу; 5) трапеции подобны, ес-
ли углы при их основаниях соответственно равны и осно-
вания пропорциональны. ]
59.	В электротехнике проводимость двух проводников
при их параллельном соединении находится из формулы:
— = —	—, где и /?2 — сопротивления взятых про-
/?	R%
водников. Величинагра-
фически находится следую-
щим образом: 1) к прямой
(черт.
21) проводят пер-
Черт. 22.
4
а
Черт. 21.
пендикуляры ЛЛХ и ВВг, на которых откладываются (в выб-
ранном масштабе) сопротивления и/?а (ЛЛХ = 7?х; ВВХ =
— /?2); 2) проводятся прямые Лх В и ЛВХ; 3) из точки С пере-
сечения указанных прямых опускается перпендикуляр
СХС на прямую а; 4) отрезок СС, дает величину искомо-
го сопротивления (в соответствии с избранным мас-
штабом.)
Доказать справедливость такого способа нахождения
величины R.
60.	На чертеже 22 (номограмме) показано, как можно
с помощью геометрического чертежа находить среднее
арифметическое двух чисел. Прикладывая край линейки
134
к соответствующим числам на шкалах А. и В, на шкале
С получают искомый ответ. На каких теоремах геометрии
основан способ такого решения задачи?
61.	Практическая раб о та. Вычислить площади
фигур указанной формы, предварительно выполнив необ-
ходимые измерения (черт. 23). [Площади данных фигур
Черт. 23
могут быть вычислены по следующим формулам: 1) S =
= ао-------, где а и о—измерения прямоугольника; а —
4
„ „	«г2 г2 У 3
диаметр вырезанных полукругов; 2) S = —%--------— —
г2	__
= —(к — уз ), где г — сторона равностороннего треуголь-
ника, вершины которого лежат в точках пересечения дуг
о «2 УТ	71 f2
того же радиуса; 3) S = —4--------- , где а — сторона
4 л
равностороннего треугольника, г — радиусы дуг, центры
которых лежат в вершинах этого треугольника; 4) S =
п «Mi)2	j	j
= ——где а—диаметр большего полукруга и —
16
диаметр среднего полукруга].
62.	Практическая работа. Особые значки на
шкале логарифмической линейки дают возможность упрос-
тить те вычисления, в которых приходится оперировать
135
с числом к. Так, например, значок с— j/-^-asl,128
(и с, = j/"позволяет вычислять площадь круга по
nd* 8 d2	/ d \2
формуле S = — = -j- = I — j , возвышая в квадрат
d	к
числа — •
о
Вычислить площади данных ниже фигур (черт. 24),
используя при этом логарифмическую линейку. (Необхо-
Черт. 24.
димые вспомогательные вычисления можно выполнять на
счетах или письменно). Перед проведением вычислений
произвести необходимые измерения *.
• Для проведения таких работ целесообразно изготовить модели
указанных фигур (из твердого картона или другого материала).
В качестве образцов для моделей могут быть также использованы
отдельные виды деталей, изготавливаемых в мастерской и фигуры,
предложенные учащимися класса.
136
ГЛАВА X
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОСТРОГО УГЛА
функций
1.	Построить прямоугольный треугольник АВС так,
чтобы для угла А этого треугольника выполнялось бы
2	11
равенство: 1) sin Л == —; 2) cos Л = —; 3) tg Л = — ;
4) tgЛ = 3; 5) с1§Л = 0,6; 6) ctgЛ = I.
2.	Построить произвольный прямоугольный треуголь-
ник. Измерив катеты и гипотенузу построенного треуголь-
ника, определить значение тригонометрических
его острых углов*.
3.	Дан острый угол а ® 40°. Как можно, не
лиц, определить значения тригонометрических
этого угла? [Предварительно следует построить прямо-
угольный треугольник, один из острых углов которого
равен 40°.]
4.	В прямоугольном треугольнике ЛВС угол G — пря-
мой. Что можно сказать о катетах этого треугольника,
если: 1) sin Л = sin В; 2) 1§Л=^В; 3) sin Л < sin В;
4) sin Л > sin В; 5) cos Л > cos В? [1), 2) АС = ВС\
3) ЛС>ВС; 4) ЛС<ВС; 5) АС> ВС.]
5.	Дан прямоугольный тре-
угольник ЛВС (^С = 90°), из
вершины С которого проведены
медиана CD и высота CF. Кро-
ме того, проведена высота DE
треугольника ADC (черт. 1).
Известно, что АС = а и
^Л = а. Выразить все отрез-
ки данные на чертеже, через
катет а и тригонометрические функции
[SG = atga; = —; CD----------—;
COS a	2cos a
имея таб-
функпий
Черт, i
угла A.
2
CF = asina; AF = a cos a; BF = DF = a tg a sin a;
AE = CE — — .1
2 J
• Отношение измеренных отрезков целесообразно находить
с помощью логарифмической линейки.
9 Заказ 1346
137
6.	Не прибегая к таблицам, сравнить по величине сле-
дующие пары значений тригонометрических функций:
sin 1° и cos 1°; tg 1° и sin 1°; tg Г и ctg 1°. [sin Г <cos 1°;
sin l’< tgl°; tg 1°< ctg I0].
7.	По чертежу 2 объяснить, как можно, пользуясь
таблицей значений тригонометрических функций, опреде-
лить расстояние от точки А до недоступной точки В,
если: удалось построить на местности AC .L AB и изме-
рить отрезок АС и Z АСВ = а. [АВ = AC tg«j.
8.	Какую величину может
иметь острый угол А, если
известно, что 1) sin А < 0,5?
2) cos Л <0,5; 3) tgЛ> 1;
4) tg Л < 1? [1) Л< 30°,
2) Л >60°, 3) Л >45°,
4) Л <450.]
9.	Как изменятся три-
гонометрические функции
острого угла а, если угол а увеличится в 2 раза (например,
с 30° до 60°)? [Синус и тангенс угла а возрастут, косинус
и котангенс этого угла уменьшатся. При этом изменение
угла и его тригонометрических функций не находится
в пропорциональной зависимости.]
10.	Груз, подвешенный на нити длиной в 1 м (черт. 3),
отклонен от вертикального положения на угол в 12°.
На сколько сантиметров сместился при этом груз от вер-
138
тикали, проходящей через точку подвеса?
[х = 100 см • sin 12° ^20,8 см].
11.	На выравненной площадке установлена мачта АВ
(черт. 4). Объяснить, почему, взяв на площадке произ-
вольные точки Afj, Af2, М3 и т. д., мы всегда можем
рассматривать треугольники ABMlt ABMlt АВМ3 как
прямоугольные? Укажите на чертеже прямые углы этих
треугольников. [Прямая АВ перпендикулярна ко всем
прямым, лежащим в плоскости, определяемой площадкой.]
12.	Поясните, как можно вычислить высоту предмета,
используя высотомер лесовода, изображенный на чер-
теже 5.
Черт, 5
13.	Поясните, как можно определить угол подъема
дороги АВ относительно горизонтального направления АС
(черт. 6). Г sina = -j-j-l.
14.	Показать, что площадь прямоугольного треуголь-
ника АВС (черт. 7) может быть найдена по формуле:
S — — &csinА = —ocsinB. [s = — АВ • h; h — &sinЛ =
2	2	L 2
= a sin B.
9
139
15.	Показать, что площадь любого треугольника АВС
(черт. 8) может быть найдена по формуле:
S = — be sin А = — ас sin В = — ab sin С.
Черт. 8
16.	Показать, что площадь ромба, прямоугольника,
параллелограмма равна половине произведения их диаго-
налей на синус угла между этими диагоналями.
17.	Показать, что площадь любого выпуклого четы-
рехугольника равна половине произведения его диагона-
лей на синус угла между ними.
18.	Под каким углом к горизонту будет виден чело-
век ростом 170 см, находящийся на расстоянии 1 км от
наблюдателя? [Приблизительно 6".]
19.	Наибольший допустимый подъем железнодорожной
линии равен 10 м на расстоянии 1 км по горизонтали. Как
найти наибольший допустимый угол подъема железнодо-
рожной линии? [По тангенсу угла, равному 0,01, нахо-
дим: а ^34'.]
20.	Определить угол подъема грунтовой дороги, если
известно, что на расстоянии в 1 км высота подъема дороги
составила 61 м. [По синусу угла, равному 0,061, находим:
а^З°ЗГ.1
21*	Основания трапеции а и Ь, боковая сторона с, при-
лежащий к ней острый угол а. Написать формулу для вы-
числения площади S этой трапеции. |s — —с'sina
22.	Найти площадь ромба S по его стороне а = 7,5 см
и по острому углу а = 22°. [S = аа . sin а^21 cjh2. ]
23.	Зная выражение площади S треугольника в зависи-
мости от двух его сторон а и Ь и углу между ними а, найти,
140
при каком значении а площадь треугольника будет наи-
большей (длины сторон а и b постоянные).
5 = —~, при а = 90 .
24.	Вычислить неизвестные стороны, углы и площади
прямоугольных треугольников по данным, взятым из сле-
дующей таблицы (при вычислении использовать таблицы
натуральных значений тригонометрических функций и
логарифмическую линейку)*:
№	а 1	1 ь	1 с	1 А	1 в	S
1	4,00	3,00	5,00	53°08'	36*52'	6,00
2	6,50	4,03	12,3	31*52'	58°08'	13,1
3	3,12	8,30	8,86	20°36'	69*24'	13,0
4	23,7	21,3	31,8	48°02'	4Г58'	25,2
5	15,4	42,8	45,6	19*48'	70°12'	32,9
25.	Практическая работа. Начертить в тет-
радях прямоугольный треугольник. Измерить одну из сто-
рон этого треугольника и один из его острых углов. Путем
вычислений найти другие линейные элементы этого тре-
угольника. Полученные ответы в порядке контроля прове-
рить непосредственным измерением отрезков на чертеже.
ГЛАВА XI
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Правильные многоугольники. Треугольник.
Четырехугольник
1.	Перечислить признаки правильного многоугольника.
Привести пример неправильного многоугольника: 1) все
углы которого были бы равны между собой; 2) все стороны
которого были бы равны между собой. [1) Прямоуголь-
ник; 2) ромб (отличный от квадрата). ]
* В таблице данные значения напечатаны обычным шрифтом,
ответы даны курсивом.
141
2.	1) Около какого треугольника и около какого четы-
рехугольника можно описать окружность? 2) В какой тре-
угольник можно вписать окружность? 3) При каком усло-
вии можно вписать окружность в четырехугольник? 4) На-
звать некоторые четырехугольники: а) около которых
можно описать окружность; б) в которые можно вписать
окружность. 5) Около какого многоугольника всегда мож-
но описать окружность? 6) В какой многоугольник всегда
можно вписать окружность?
3.	Определить радиус окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, гипотенуза которого 4,0 см.
Где находится центр этой окружности? [2,0 см; центр в
середине гипотенузы. 1
4.	Начертить тупоугольный треугольник и найти:
центры окружностей: 1) описанной около него и 2) вписанной
в него.
5. Доказать, что радиус окружности, описанной около
правильного треугольника, в 2 раза больше радиуса окруж-
ности, вписанной в него. Найти выражение для каждого
из этих радиусов в зависимости от стороны
треугольника а.
6. Доказать, что трапеция, вписанная в
правильного
окружность,
з
6
всегда равнобедренная.
7.	Один из углов трапеции, вписанной в окружность,
равен 70°. Как объяснить, что остальные углы этой трапеции
равны 70°; 110°; 110°?
8.	Начертить ромб и вписать в него и описать около него
окружность.
9.	Доказать, что центры окружностей, описанной около
правильного многоугольника и вписанной в него, совпа-
дают.
10.	Какая точка называется центром правильного мно-
гоугольника? [Центр вписанной и описанной окружности. ]
11.	В металлической пластинке просверлены три круг-
лых отверстия, центры которых не лежат на одной прямой
линии. Где следует просверлить круглое отверстие для
закрепления на стержне, чтобы оно находилось на оди-
наковом расстоянии от трех данных отверстий? [В центре
окружности, описанной около треугольника, вершинами
которого являются центры данных отверстий. ]
12.	1) Сколько всего диагоналей можно провести из каж-
дой вершины 5-угольника, 6-угольника, 8-угольника,
142
л-угольника*? 2) Почему число диагоналей, которые мож-
но провести в многоугольнике из каждой его вершины, на
три Меньше числа вершин? 3) В каком многоугольнике нель-
зя провести ни одной диагонали? [1) 2; 3; 5; п — 3; 3) в
треугольнике. ]
13.	1) На сколько треугольников разобьется 6-уголь-
ник диагоналями, проведенными из одной его вершины;
10-угольник; 12-угольник; л-угольник **? 2) Почему чис-
ло треугольников, на которые разобьется многоугольник
всеми диагоналями, проведенными из одной его вершины,
на два меньше числа его вершин? [1) 4; 8; 10; п — 2 ].
14.	1) Сколько всего различных диагоналей можно про-
вести в 4-угольнике, 5-угольнике, 6-угольнике, 8-уголь-
нике из всех его вершин? Проверить ответ по чертежу.
2) Сколько всего различных диагоналей можно провести из
всех вершин л-угольника? 11) 2; 5; 9; 20; 2)	~ j
15.	1) Заполните таблицу:
п|з|4|5[б|7|8|9|10
п — число вершин данного многоугольника, N — число
различных диагоналей, проведенных из всех его вершин.
2)	По данным составленной таблицы покажите нагляд-
но (графиком) зависимость между числом всех диагона-
лей многоугольника и числом его сторон. 3) Почему по-
строенные вами точки графика не лежат на одной прямой
линии? [3) -—= AZ, N — квадратная функция для
натуральных значений л, не меньших 3 ].
16.	1) Сколько сторон л в многоугольнике, если число его
диагоналей равно числу сторон? 2) При каком условии чис-
ло диагоналей: а) меньше числа его сторон; б) больше чис-
ла его сторон? 11) При л = 5; 2) а) при л<5; б) при л >5. ].
17.	1) Какое уравнение надо решить, чтобы узнать,
сколько сторон л в многоугольнике, если известно, что
число различных диагоналей Af, проведенных из всех его
* Буква п здесь и в последующих задачах обозначает число сто-
рон или число вершин многоугольника, N—число всех диагоналей.
** Жесткость конструкции в строительной механике обеспечи-
вается составлением многоугольных форм из треугольных.
143
вершин, равно 35; 90? 2) Какое число может быть от-
ветом на вопрос задачи? [1) л2—Зл—70 = 0; л2 — Зл —
—180 = 0; 2) целое положительное.]
18.	По каким формулам вычисляются сумма внутрен-
них и сумма внешних углов (выпуклого) л-угольника?
19.	Вычислите внутренние углы выпуклого пяти-
угольника, если известно, что они пропорциональны чи-
слам 1; 3; 4; 4; 6. [30°; 90°; 120°; 120°; 180°.]
20.	Можно ли построить пятиугольник, углы которого
были бы равны 110°; 110°; 103°; 116°; 100°? [Нет.]
21.	Почему нельзя построить многоугольник (за исклю-
чением треугольника), все углы которого были бы
острыми?
22.	Убедиться, что сумма всех внутренних и внешних
углов л-угольника пропорциональна числу его сторон.
[2 dn.]
23.	1) Вычислить сумму внутренних углов правильного
пяти-, шести-, десятиугольника. 2) Что можно сказать о
сумме внешних углов этих многоугольников? [1)540°, 720°,
1440°; 2) постоянное число.]
24.	Сколько сторон в правильном многоугольнике,
если сумма всех его внутренних углов 1080°; 1620°; 22d?
[8; 11; 13.]
25.	1) Сколько градусов содержит внутренний угол
правильного многоугольника, имеющего 5; 6; 10 сторон?
2) По какой формуле можно вычислить любой угол пра-
вильного л-угольника?
[1) 108°, 120°, 144°; 2) -d(/t~2), или 2d-- 1
L	п	л J
26.	Сколько сторон в правильном многоугольнике, если
каждый его внутренний угол равен 144°; 150°; 170°; 1,8 d?
[10; 12; 36; 20.]
27.	По какой формуле вычисляются: 1) внешний угол
правильного л-угольника; 2) угол, образованный двумя
радиусами, проведенными в концы одной из его сторон
[4d 1
1), 2) — .
п
28.	Сколько сторон в многоугольнике, если каждый
его внешний (или центральный) угол равен 40°; — d?
[9; 18.J
144
29.	1) Найти отношение величины внутреннего угла
правильного n-угольника к величине его внешнего угла.
2) Во сколько раз внутренний угол правильного десяти-
угольника больше его внешнего угла?
1) ----1; 2) в 4 раза-j
30.	Показать, что диагонали правильного пятиуголь-
ника при взаимном пересечении в свою очередь образуют
правильный пятиугольник.
31.	Выразить: 1) диагональ квадрата d через его сто-
рону а4; 2) площадь квадрата S через его диагональ d.
1)	d = a4/T; 2) S = -р ]
32.	В правильном n-угольнике последовательно соеди-
нены середины двух смежных сторон. Что можно сказать
о сумме внутренних углов полученного многоугольника?
[Она также равна 2d(n— 2).]
33.	Выразить диагонали правильного шестиугольника
через его сторону аа • [2ав; ав И 3 .]
34.	В правильном шестиугольнике со стороной ав со-
единены отрезками прямой линии середины несмежных сто-
рон. Найти эти отрезки 3 ав; ав. ]
35.	Сколько сторон в правильном многоугольнике, ес-
ли его внутренний угол: 1) равен внешнему; 2) в 2 и в 3 ра-
за больше внешнего; 3) если отношение его внутреннего
угла к внешнему равно 5 : 2? [2) 6; 8; 3) 7.]
36.	Какие (по величине) углы получаются при пересе-
чении продолжений любых двух несоседних сторон пра-
вильного пятиугольника? [36°; 144°.]
37.	Угол между стороной правильного многоугольника
и проведенным в один из концов ее радиусом описанной
окружности равен 70°. Сколько сторон в этом многоуголь-
нике? [9.]
38.	Пользуясь формулами для вычисления: 1) внутрен-
него и 2) внешнего углов правильного n-угольника, уста-
новить, является ли зависимость между величиной каждо-
го из этих углов и числом п пропорциональной. [1) Зави-
симость не является пропорциональной; 2) имеется обрат-
но пропорциональная зависимость. [
145
39.	Доказать, что в правильном многоугольнике при
п>4 внутренний угол больше внешнего угла.
40.	1) Из каких равных правильных многоугольников
и как можно составить паркет? Поясните ответ и сделайте
рисунки. 2) Можно ли составить паркет из равных парал-
лелограммов? Сделайте рисунок.
41.	Можно ли составить паркет из правильных восьми-
угольников и квадратов? При каком условии? Сделайте
рисунок. [Стороны фигур должны быть равны.]
Симметрия
42.	В каком случае: 1) треугольник; 2) параллелограмм
имеют оси симметрии и сколько?
43.	Доказать, что в правильном многоугольнике с чет-
ным числом сторон каждые две противоположные стороны
параллельны.
44.	Доказать, что осями симметрии правильного мно-
гоугольника с четным числом сторон служат прямые, сов-
падающие с диаметрами описанной около него окружности
и проходящие через вершины многоугольника, а также сов-
падающие с диаметрами вписанной окружности и прохо-
дящие через точки касания.
45.	Сколько осей симметрии имеет правильный много-
угольник с числом сторон 2п; 2п + 1?
46.	Показать, что точка пересечения диагоналей пря-
моугольника есть центр его симметрии.
47.	Показать, что правильный многоугольник с четным
числом сторон обладает центром симметрии.
48.	Показать, что правильный многоугольник с нечет-
ным числом сторон не имеет центра симметрии.
49.	1) На какой угол надо повернуть правильный тре-
угольник в его плоскости вокруг центра (против движения
часовой стрелки), чтобы треугольник совместился сам с
собой? 2) Сколько будет таких самосовмещений, если тре-
угольник сделает полный оборот? [1) На угол в 120°,
2) 3, поэтому центр правильного треугольника называется
центром вращения 3-го порядка. ]
50.	Какого порядка центр вращения имеют: квадрат,
правильный пятиугольник, правильный шестиугольник,
правильный десятиугольник, правильный п-угольник?
Объяснить ответ. [4-го, 5-го, 6-го, 10-го, п-го. ]
51.	Назвать фигуру, которая: 1) имеет оси симметрии,
146
центр симметрии, центр вращения; 2) имеет оси симметрии
и центр вращения, но не имеет центра симметрии. IНапри-
мер, 1) квадрат; 2) правильный треугольник. ]
52.	Будет ли иметь: 1) ось симметрии и 2) центр симмет-
рии фигура, которая получится, если два равных равно-
сторонних треугольника приложить один к другому так,
чтобы одна сторона у них была общей? [1) Да; 2) да. ]
53.	Две окружности равного радиуса расположены так,
что каждая их них проходит через центр другой. Имеет
ли получившаяся фигура центр и оси симметрии? Сделай-
те чертеж.
54.	Укажите в окружающей вас обстановке плоские фи-
гуры, имеющие ось или центр симметрии (плоские поверх-
ности различной формы, чертежи, картины).
Выражение сторон правильных многоугольников
через радиус
55.	Периметр правильного вписанного в круг шести-
угольника равен 7,8 дм. Найти диаметр этого круга.
[2,6 Jm.J
56.	Выразить радиус окружности: 1) описанной
около данного правильного треугольника через сторону
этого правильного треугольника а3; 2) описанной около
данного правильного четырехугольника через его сто-
рону а4.
Г1) Я =	2) Я =	1
L Кз /2 J
57.	Зная выражение сторон правильного треугольника,
четырехугольника, шестиугольника, ап через радиус R
описанной окружности, найти выражение их периметров
Рп в зависимости от R.
[Р3 = ЗЯ /Т; Р4 = 4Я /Т; Рв = 6Я. ]
58.	1) Какая имеется зависимость между стороной ап
правильного многоугольника, радиусом описанной около
него окружности Я и его апофемой г„? 2) По какой фор-
муле можно вычислить сторону правильного вписанного
многоугольника ап, зная Я (радиус описанной около него
окружности и гп — радиус вписанной в него окружности)?
[° (М+г"=/?2; 2)	]
147
59.	Выразить апофему г„ правильного треугольника,
четырехугольника, шестиугольника через радиус /? окруж-
ности, описанной около каждого из этих многоугольни-
ков. L=а. г _ Гл=*0. 1
[/3	2 ’ г* 2 ’ г® 2 J
60.	Для какого правильного многоугольника радиус
описанной около него окружности вдвое больше его апо-
фемы? [Для правильного треугольника.]
61.	Выразить радиус г4 окружности, вписанной в дан-
ный правильный треугольник (четырехугольник, шести-
угольник), в зависимости от стороны каждого из назван-
ных многоугольников.
г —	-г — °* • г — а»^ 3
3	2 /3 ’ 4	2 ’ 9	2
62.	Вокруг окружности с радиусом /? описан правиль-
ный треугольник, четырехугольник, шестиугольник. Вы-
разить сторону Ьп и периметр Р'п каждого из этих много-
угольников через радиус/?. [Указание. Можно исполь-
зовать формулу для вычисления стороны правильного
описанного многоугольника. Ь3 = 2/?[^ 3 ; Ь4 = 2/?;
A 3 ; /% = 6/? /3; Р; = 8/?; /% = 4/?Кз.
□
63.	Во сколько раз периметр правильного описанного
треугольника больше периметра правильного треугольника,
вписанного в ту же окружность? [В 2 раза.]
64.	Во сколько раз сторона правильного шестиуголь-
ника, вписанного в круг, меньше стороны квадрата, опи-
санного вокруг того же круга? |В 2 раза].
65.	Около правильного многоугольника со стороной а
описана окружность и в него вписана окружность. Дока-
зать, что разность квадратов диаметров этих окружно-
стей равна квадрату стороны данного многоугольника.
66.	Из одной точки окружности проведены по разные
стороны от центра две хорды, соответственно равные а3
и ав. Доказать, что отрезок, соединяющий их концы—
диаметр.
67.	Основанием равнобедренного треугольника служит
диаметр круга, а боковые стороны равны стороне пра-
вильного вписанного в тот же круг треугольника. Дока-
зать, что высота такого треугольника будет равна сто-
роне квадрата, вписанного в этот круг.
148
68.	1) Доказать, что в правильном шестиугольнике
сумма перпендикуляров, проведенных из любой внутрен-
ней его точки ко всем сторонам, равна его апофеме,
умноженной на 6. 2) Показать, что такое же свойство
справедливо для любого правильного многоугольника.
69.	Доказать, что сумма катетов прямоугольного тре-
угольника равна сумме диаметров описанной и вписанной
в него окружностей.
70.	Доказать, что сторона квадрата, вписанного в по-
лукруг радиуса г так, что две вершины его лежат на
диаметре, а две другие — на полуокружности, равна
2г1ЛТ
5 '
71.	Показать, что сторона правильного вписанного
2п-угольника больше половины стороны правильного впи-
санного в ту же окружность п-угольника.
72.	Найти выражение стороны правильного п-угольника;
1) вписанного в окружность радиуса /?: 2) описанного
вокруг окружности радиуса г. p)a„=#sin-^ ;
2) ап = г tg —.
л J
73.	Вычислить по формулам 1)и2) предыдущей задачи
сторону правильного восьмиугольника, если он 1) вписан
в окружность с радиусом R — 40 мм; 2) если он описан
вокруг окружности радиуса г = 20 мм. [1)^15 мм;
2) 8,3 мм.]
Построение правильных многоугольников
74.	Построить треугольник по трем его сторонам, со-
ответственно равным сторонам правильных треугольника,
четырехугольника, шестиугольника (а3, а4, ав), вписанных
в данную окружность. Доказать, что этот треугольник
прямоугольный [а* =	+ а4 .]
75.	Как надо срезать: 1) углы квадрата, чтобы полу-
чить правильный восьмиугольник; 2) углы правильного
треугольника, чтобы получить правильный шестиугольник?
Показать на чертеже.
76.	1) Доказать, что сторона правильного вписанного
треугольника делит перпендикулярный к ней диаметр
в отношении 3:1. 2) Сформулировать обратную теорему
149
и воспользоваться ею для построения правильного впи-
санного треугольника. Выполнить чертеж.
77.	Нередко на практике строят правильный много-
угольник с помощью транспортира (по центральному углу).
Построить этим способом правильный пятиугольник; про-
должить его стороны до их взаимного пересечения. Опре-
делить углы получившейся пятиконечной звезды (черт. 1).
[36°].
78.	Построить правильный треугольник, как показано
на чертеже 2. Отрезок АВ—диаметр, АО — радиус,
о COD—описана радиусом АО из точки А, как из центра.
Доказать, что Л CBD — правильный.
79.	На чертеже 3 дана окружность с центром в точке О.
Из концов диаметра АВ радиусом ОА проведены две пе-
ресекающие ее дуги. Хордами по-
следовательно соединены точки,
А, С, D, В, F, Е, А. Доказать,
что полученная фигура—правиль-
ный шестиугольник.
80. Построить правильный ше-
стиугольник, подобный данному.
150
81.	Как построить многоугольник, равный данному,
воспользовавшись разбиением последнего на треугольники?
82.	Дан правильный многоугольник. Соединить после-
довательно середины его сторон отрезками. Доказать, что
полученный многоугольник подобен данному.
83.	Построить правильный вписанный восьмиугольник
методом удвоения числа сторон.
84.	1) На занятиях по черчению рассматривается такой
способ приближенного построения правильного вписанного
в окружность семиугольника: строится окружность дан-
ного радиуса (черт. 4). Произвольный диаметр ее АВ
делится на 7 равных частей. Из точек А и В радиусом,
равным диаметру АВ, проводятся дуги, которые пересе-
каются в точках М и N. Точки М и N соединяются от-
резками прямых или только с «четными» точками диаметра,
или только с «нечетными», и эти отрезки продолжаются
до пересечения с окружностью. Точки пересечения и дают
приближенно 7 вершин правильного семиугольника.
2) Построить этим способом правильные пятиугольник
и девятиугольник.
Площади правильных многоугольников
85.	Вывести формулы для вычисления площадей S„
правильного треугольника, четырехугольника, шестиуголь-
ника через их стороны (а3, а4, ав).
[S3=fLpl; S< = fl3 ; 5(( = Ла2/-3 .
86.	Показать на чертеже 5, что площадь правильного
шестиугольника в 2 раза больше площади правильного
треугольника, вписанного в ту же окружность.
87.	Зная выражение сторон ап пра-
вильных треугольника, четырехуголь-
ника, шестиугольника через радиус R
описанной окружности, найти формулы
для вычисления площади Sn каждого
из названных многоугольников в зависи-
мости от /?. S3 = — R2 К 3 ;
4
<S4 —2/?2; Se = -|-/?2/'3. '
151
88.	Около круга, радиус которого /?, описаны пра-
вильные треугольник, четырехугольник и шестиугольник.
Выразить площадь S'n каждого из названных многоуголь-
ников через радиус /?.
[S' = 3R* S; = 4/?2; S'6 = 2/?2КЗ.]
89.	Какой наибольший груз может удержать железный
стержень шестигранной формы, если ширина его грани
2 см, а предельная нагрузка 800 кг на 1 кв. см?
90» Выполнить необходимые измерения и вычислить
площадь поперечного сечения квадратной и шестиуголь-
ной гаек.
91.	Во сколько раз площадь правильного описанного
треугольника (четырехугольника) больше площади пра-
вильного треугольника (четырехугольника), вписанного
в ту же окружность (черт. 6)? [В 4 раза; в 2 раза.]
92.	Известен периметр Р правильного шестиугольника.
Как выражается его площадь S в зависимости от Р?
Г2 _ Р2 / 3 1
Г “	24 ’ ]
93.	Середины двух смежных сторон правильного шести-
угольника соединены между собой и с центром шестиуголь-
ника. Как выражаются периметр и площадь получивше-
гося треугольника в зависимости от его апофемы г?
94.	Каждый из периметров правильного треугольника,
четырехугольника, шестиугольника равен 1. Вычислить
152
площадь каждой из этих фигур (с точностью до 0,001).
[0,048; 0,062; 0,072.]
95.	Как выражаются стороны правильных вписанных
треугольника и четырехугольника, если известна площадь
Sn каждого из них?
96.	Доказать, что площадь равнобедренного треуголь-
ника, основание которого равно стороне правильного впи-
санного четырехугольника, а боковая сторона — стороне
правильного треугольника, вписанного в окружность того
же радиуса, равна квадрату радиуса, умноженному на
КН
2
97.	Доказать, что площадь правильного вписанного
в окружность шестиугольника равна — площади пра-
вильного шестиугольника, описанного около той же ок-
ружности.
98.	Определить сторону правильного шестиугольника,
вписанного в окружность, радиус которой /? = 5.
99.	По какой формуле можно вычислить сторону пра-
вильного и-угольника, вписанного в окружность радиуса /??
on : 180*
2/? sin------ .
п
100.	Найти отношение сторон двух правильных п-
угольников, из которых один вписан в окружность ра-
диуса другой вписан в окружность радиуса /?2.
Г_*1_ 1
1*2 J
101.	Как выражаются периметр и площадь правильного
n-угольника, вписанного в окружность радиуса /??
пп • 180°	1	о2 . 360°
2R п sin----; —nR* sin------ .
п	2	п
Ю Заказ 1346
153
ГЛАВА XII
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Геометрические тела.
1.	На чертеже 1 даны изображения трех тел. Какие плос-
кие фигуры составляют поверхность каждого из этих тел?
Сколько их? [4 треугольника, 6 ^квадратов, 8 треуголь-
ников.]* **
Черт. 1
2.	Могут ли быть помещены на одной плоскости тела,
изображенные на чертеже 1?
3.	Назовите 3 предмета, имеющих форму шара, форму
цилиндра, форму параллелепипеда.
4.	Приведите примеры плоских и неплоских поверхностей.
5.	Какая часть поверхности стакана всегда является
плоской поверх ностью?
6.	Рассмотрите модель плоскости (кусок картона, по-
верхность стола), модель цилиндра и шара. Выясните, с
поверхностью какого взятого вами тела ребро линейки:
1) совпадает всеми своими точками при любом своем поло-
жении; 2) совпадает всеми своими точками лишь в отдель-
ных случаях; 3) не совпадает ни при каком своем положе-
нии (имеет только одну общую точку. 11) С плоской по-
верхностью; 2) е поверхностью цилиндра; 3) с поверхностью
шара. ]*♦
* Тетраэдр, куб, октаэдр.
** На чертеже чаще всего плоскость изображается параллелограм-
мом и обозначается большой буквой латинского алфавита: Р, Q, N.
Прямые на плоскости обычно обозначаются одной малой буквой
а, Ь, с.
154
7.	На модели параллелепипеда покажите: 1) прямые,
которые всеми своими точками помещаются на какой-либо
плоскости его поверхности (совпадают с плоскостью);
2) прямые, которые с какой-либо плоскостью имеют только
одну общую точку (или, как говорят, прямые пересекают-
ся с плоскостью)*; 3) прямые, которые не имеют о какой-
либо плоскостью ни одной общей точки сколько бы их не
продолжали (прямые, параллельные
плоскости).
8.	Рассмотрите чертеж 2, на ко-
тором изображен куб, и укажите,
какое положение относительно одной
из граней куба занимает каждое его
ребро, например относительно гра-
ни ADD'А'.
9.	1) Укажите в классной комна-
те 2—3 прямые линии, которые: а) пе-
ресекают плоскость пола; б) совпада-
ют с этой плоскостью; с) параллель-
ны ей. 2) Те же вопросы по отношению к стене ком-
наты.
10.	Покажите на имеющихся у вас моделях геометри-
ческих тел и на чертеже 2 плоскости, параллельные друг
другу, и пересекающиеся плоскости. Укажите линии пе-
ресечения этих плоскостей.
11.	Укажите на модели пятиугольной призмы плоскос-
ти, которые не параллельны и не пересекаются.
12.	Покажите на имеющейся у вас модели и на чертеже
2 ребра куба, параллельные друг другу и пересекающиеся.
13.	Покажите в классной комнате прямые, которые не
параллельны друг другу, но и не пересекаются (например,
на противоположных стенах горизонтальная и вертикаль-
ная прямые).
14.	Покажите на модели треугольной призмы ребра,
которые не параллельны и не пересекаются.
15.	Назовите скрещивающиеся прямые (ребра) на чер-
теже куба.
16.	Существуют ли на плоскости прямые, которые не
параллельны и не пересекаются? Шет. ]
* Точка, в которой прямая пересекает плоскость, называется
основанием прямой на плоскости.
Ю*	155
Правильная призма*
17.	Чем отличается правильная призма от прямой?
[Основанием правильной призмы служит правильный
многоугольник. ]
18.	Какое наименьшее число граней необходимо для
образования многогранника? [4. ]
19.	Пересчитайте на модели треугольной призмы, сколь-
ко она имеет: 1) двугранных углов; 2) трехгранных
углов? [9; 6. ]
20.	В каком случае прямоугольный параллелепипед
можно назвать правильной призмой? [Когда в основании
параллелепипеда — квадрат. ]
21.	Чем отличается правильный параллелепипед от
прямоугольного? [У правильного параллелепипеда в ос-
новании квадрат. ]
22.	На модели куба покажите двугранные углы. Сколь-
ко таких углов? Сравните число двугранных углов куба
с числом его ребер.
23.	На чертеже куба назовите ребро одного из двугран-
ных его углов и назовите плоскости (грани куба), которые
образуют этот двугранный угол.
24.	Сколько двугранных углов у параллелепипеда?
25.	Сколько трехгранных углов (образованных тремя
плоскостями, пересекающимися в одной точке) у куба; у
параллелепипеда? Покажите трехгранные углы на моделях
куба и параллелепипеда. Сравните число их с числом вершин
у каждого из этих тел.
26.	Сосчитайте, сколько двугранных и трехгранных уг-
лов в комнате, где вы живете, в классной комнате. Ука-
жите двугранные и трехгранные углы.
27.	Сколько граней, ребер, вершин, двугранных и трех-
гранных углов в треугольной призме?
28.	Что можно сказать об основаниях любой призмы?
[Их плоскости параллельны; основания равны. ]
29.	Имеются ли параллельные боковые грани у тре-
угольной призмы? [Нет.]
30.	На модели куба покажите его попарно параллель-
ные грани (плоскости).
* См. упражнения гл. VI, «Прямая призма» и «Задачи для по-
вторения».
156
31.	Начертите куб и параллелепипед; обозначьте их
вершины; назовите параллельные грани указанных тел.
32.	Что можно сказать о числе сторон основания пря-
мой призмы, если у этой призмы все грани попарно па-
раллельны? [Число сторон основания четное. ]
33.	Сторона правильной треугольной призмы а, бо-
ковое ребро этой призмы &. 1) Как выражается (5) площадь
боковой поверхности этой призмы? 2) Вычислить устно
результат при: а) а = 7,6 см; b = 5,0 см; б)а= 8,5 мм; b =
= 1,1 см. [S = 3 ab; а) 114 кв. см; б) 280 кв. мм. ]
34.	Вычислить площадь боковой поверхности правиль-
ной треугольной призмы, у которой каждая сторона ос-
нования 1,5 дм и ребро равно 10 см. [450 см2. ]
35.	Вычислить площадь боковой поверхности правиль-
ной шестиугольной призмы, у которой сторона основания
5 см, высота 10 см. [300 см2. ]
36.	Вычислить площадь боковой поверхности: 1) пра-
вильной треугольной призмы, если высота ее 11 см, а сто-
рона основания 5 см; 2) шестиугольной призмы с теми же
размерами. [165 кв. см; 330 кв. см.]
37.	Как изменится объем прямого параллелепипеда,
если: 1) одно из его измерений увеличить в 2 раза; в 3 ра-
за; в п раз; 2) если два его измерения увеличить, причем
каждое из них в 2; 3; л раз; 3) если все три его измерения
увеличить в 2; 3; л раз? [1) В 2; 3; п раз; 2) в 4, 9, п2 раз;
3) в 8, 27, и3 раз. ]
38.	Практическая работа. 1) Изготовьте
модель выкройки открытого ящика, внутренние размеры
которого (5,0 X 7,0 X 12) куб. дм. (Выберите масштаб.)
Вычислите S — площадь полной поверхности и V — объем
ящика и найдите отношение площади полной поверхности
ящика к соответствующей площади изготовленной вами
модели. Узнайте, во сколько раз емкость ящика больше
емкости модели. 2) Сделайте вывод относительно зависи-
мости между выведенными отношениями и имеющимся
масштабом.
39.	1) В мастерской изготовлена модель вала в масшта-
бе 1:5. Во сколько раз действительная площадь поверх-
ности вала больше площади поверхности модели? Во сколь-
ко раз действительный объем больше объема модели?
2) Ответьте на те же вопросы в случае, когда масштаб
равен 1 : п. [1) В 25 раз; в 125 раз; 2) в п2 и п3 раз. ]
157
Черт. 3
40.	Основанием прямой треугольной призмы служит
прямоугольный треугольник с катетами а и Ь; высота приз-
мы Н. Найти объем V и площадь полной поверхности этой
призмы S.
41.	Найти площадь поверхности и объем правильной че-
тырехугольной призмы, сторона основания которой 5 см
и высота 8 см. [210 кв. см; 200 куб. см. ]
42.	Какой высоты правильная четырехугольная приз-
ма, если сторона ее основания 20 см и 1) площадь боковой
поверхности 1200 см2; 2) площадь пол-
ной поверхности 1600 см2; 3) объем
4800 куб. см. 11) 15 см; 2) 10 см;
3)	12 см.]
43.	Объем бруса с квадратным осно-
ванием равен V м3, сторона основания
а метров. Какова высота Н (длина) этого
бруса?
44.	Имеется ящик в форме куба,
внешняя длина ребра которого 35 см,
толщина стены 0,5 см, вес ящика
2,6 кг. Каков удельный вес материа-
ла, из которого изготовлен куб7* На-
зовите его.
45.	Из сплошного бруса длиной в 50 см с квадратным
поперечным сечением, сторона которого 6,0 см, отлиты
3 одинаковых зубчатых колеса. Угар при этом составил
7% веса бруса. Сколько весит каждое колесо, если удель-
ный вес стали 7,8?*
46.	Металлическая пластинка формы правильной тре-
угольной призмы весит 36 г. Сторона основания призмы
40 мм, высота 60 мм. Каков удельный вес металла, из ко-
торого изготовлена пластинка? [0,87.]
47.	Из медного листа толщиной 4 мм вырезали квад-
рат, равносторонний треугольник, правильный шестиуголь-
ник, каждый со стороной в 10 см. Какова форма и каков
объем полученных тел? [Правильны© призмы; 40 куб. см;
Ю^з" и 60 у"3 см3. ]
48.	Вычислить площадь полной поверхности и объем
правильной призмы (черт. 3). Масштаб 1:1.
* Вычисления выполните на счетной линейке.
158
49.	Хватит ли у вас сил поднять куб: 1) из меди; 2) из
пробки, ребро которого 1 дм? 1У к а з а н и е. Узнайте
удельный вес меди и удельный вес пробки.]
Правильная пирамида
50.	Рассмотрите модели нескольких пирамид и чертеж 4.
Можно ли призму и пирамиду назвать многогранниками?
Почему? 1Можно; они ограничены многоугольниками. ]
51.	Какие фигуры служат боковыми гранями любой
пирамиды?
Черт. 4
52.	Какие фигуры служат основаниями пирамид на чер-
теже 4? Дайте названия пирамидам, изображенным на чер-
теже.
53.	Можно ли пирамиду, в основании которой лежит
четырехугольник, назвать четырехгранной? Сколько гра-
ней у этой пирамиды и как она называется? По какому
признаку дается название пирамиде? Шет; 5 граней;
4-угольная пирамида, по числу сторон в многоугольнике. ]
54.	Что можно сказать об основании любой правильной
пирамиды? [Основанием правильной пирамиды служит
правильный многоугольник. ]
55.	Какая фигура лежит в основании правильных тре-
угольной, четырехугольной, шестиугольной и и-угольной
пирамид? [Правильный треугольник, четырехугольник,
шестиугольник, и-угольник. ]
56.	Имеется пирамида, все грани которой равные тре-
угольники. Сколько граней у такой пирамиды? Как назы-
вается такая пирамида? [4; правильный тетраэдр.]
159
57.	Что можно сказать о боковых ребрах правильной
пирамиды? Юни равны между собой. ]
58.	Начертите треугольную правильную пирамиду и
найдите центр ее основания . [Центр окружности, вписан-
ной или описанной около треугольника.]
59.	Что можно сказать о высоте правильной пирамиды
и о ее длине? [Высота проходит через вершину пирамиды
и центр основания; длина высоты — расстояние между эти-
ми двумя точками.1
60.	Что называется апофемой пирамиды? Сколько апо-
фем можно построить в треугольной, в пятиугольной пи-
рамидах? [Высота боковой грани; 3; 5.1
61.	На какие части делит сторону основания пирамиды
апофема правильной пирамиды? [На две равные части.]
Черт. 6
Черт. 7
62.	На чертеже 5 дано изображение правильной треуголь-
ной пирамиды. Какая точка является ее вершиной? Ка-
кой треугольник является ее основанием? Можно ли при-
нять за вершину этой пирамиды точку С? Какой треуголь-
ник в этом случае будет служить ее основанием? Назовите
треугольники, которые в этом случае будут служить боко-
выми гранями данной пирамиды?
63.	Начертите (черт. 6) правильную шестиугольную
пирамиду. Проведите ее высоту ОС и апофемы ОМ. ON.
Сколько всего апофем можно провести в этой пирамиде?
Докажите, что боковые ребра этой пирамиды равны меж-
ду собой, что апофемы и боковые грани также равны меж-
ду собой.
160
64.	Какое различие между двумя геометрическими те-
лами: одно из них — правильная треугольная пирамида,
а другое — правильный тетраэдр? [У правильной тре-
угольной пирамиды основание не равно боковой грани.]
65.	Могут ли оказаться равными все боковые ребра пи-
рамиды, основанием которой служит параллелограмм (не
являющийся прямоугольником)? [Нет;]
66.	Какая зависимость (черт. 7) существует между апо-
фемой правильной пирамиды (Л), высотой ее (//) и ради-
усом окружности, вписанной в ее основание (г)? [А2 =
= Н2 + г2.]
67.	На модели треугольной пирамиды покажите ее вер-
шину, ее ребра (сколько их); двугранные углы между реб-
рами (сколько их) и трехгранный угол у вершины.
68.	Как определить длину стороны основания а пра-
вильной четырехугольной пирамиды, если известны боко-
[•S 1
а = — .
2Д J
69.	Как определить высоту Н правильной четырехуголь-
ной пирамиды, если известны длина стороны основания а
и апофема А пирамиды? Г/7 =	— (yV !•
Поверхность пирамиды
70.	Рассмотрите развертку правильной четырехуголь-
ной пирамиды (черт. 8). Сделайте другую форму разверт-
ки этой пирамиды.
71.	Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?
Площадь ее полной поверхности?
72.	По какой формуле вычислять площадь боковой по-
верхности S правильной n-угольной пирамиды в зависи-
мости от длины стороны ее основания а и апофемы Л?
[о	аА I
S = —п.
2 J
73.	Какие из фигур чертежа 9 являются развертками
тетраэдра? [Фигуры 1 и 2.]
74.	Докажите, что площадь боковой поверхности пра-
вильной пирамиды S равна половине произведения пери-
метра ее основания (Р) на апофему (Л).
161
75.	Можно ли пользоваться формулами предыдущей
задачи в случае неправильной пирамиды? Объясните свой
ответ.
О
Черт. 8	Черт. 9
76.	Выполните необходимые измерения на развертке
правильной пирамиды по чертежу 8,6 и вычислите площадь
полной поверхности этой пирамиды. Масштаб 1 : 10.
77.	Вычислите площадь боковой поверхности правиль-
ной: 1) четырехугольной пирамиды, сторона основания ко-
торой 6 см, а высота 4 см; 2) треугольной пирамиды со сто-
роной 6 см, высотой 1 см; 3) шестиугольной пирамиды со
стороной в 4 см, высотой 2 см. [1) 60 кв. см; 2) 18 кв. см;
3) 48 кв. см.]
78.	Вычислите площадь полной поверхности правиль-
ного тетраэдра, ребро которого a. [а2у1}.]
79.	Сколько листов железа нужно для покрытия кры-
ши, имеющей форму правильной четырехугольной пира-
миды со стороной основания 2,5 м, при длине ската 4,25 м,
если площадь поверхности железного листа 2 кв. м?
[11 листов.]
80.	Палатка имеет форму правильной шестиугольной
пирамиды со стороной основания 12 м и боковыми ребрами
в 10 м. Сколько метров брезента шириной в 1,5 м надо иметь
для покрытия палатки, если на заделку швов уходит 8%
материи по ее длине? [208 м.]
162
Объем пирамиды
81.	Что можно сказать об отношении объемов правиль-
ной треугольной пирамиды и правильной треугольной приз-
мы, если и основания и высоты у них равны? [1 : 3.]
82.	Каким опытом можно иллюстрировать высказанное
выше утверждение?
83.	Какие измерения надо провести для вычисления объ-
ема правильной четырехугольной пирамиды? Правиль-
ной треугольной и шестиугольной пирамиды?
84.	Выполните необходимые измерения на развертке
пирамиды (черт. 8) и вычислите объем этой пирамиды.
Масштаб 1 : 10.
85.	Найти объем правильного тетраэдра. °3	2 .
86.	Как относятся между собой объемы двух правиль-
ных пирамид с равными основаниями, но разными высотами
Н, и Я2? [Нг: Я,.]
87.	Найти объем четырехугольной правильной пирами-
ды, боковая грань которой — равносторонний треугольник
со стороной а. Высота пирамиды Н.
88.	Вычислите площадь полной поверхности и объем пра-
вильной треугольной пирамиды, все четыре грани которой
правильные равные треугольники со стороной 3 см.
[15,6 кв. см; 3,2 куб. см.]
89.	На чертежах 10 и 11 даны по 2 прямоугольные проек-
ции тела. Укажите, проекции каких тел даны на этих чер-
тежах. Выполните необходимые измерения и рассчитайте
площадь полной поверхности и объем каждого из них. Мас-
штаб 1 : 50.
90.	Найти объем четырехугольной правильной пирами-
ды, если известно, что сторона ее основания равна а санти-
метров, образующая наклонена к плоскости основания:
1) под углом 30°; 2) 60°; 3) 45°. [Указание. Углом
прямой с плоскостью называется угол, который данная
прямая образует со своей проекцией на эту плоскость. ]
91.	Найти площадь полной поверхности и объем пра-
вильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро кото-
рой имеет длину 1 дм.
92.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды,
длина которого: 1) 4 см; 2) 8 см, наклонено к плоскости ос-
163
6
ооъем
нования под углом
60°. Вычислите пло-
щадь боковой поверх-
ности этой пирамиды:
11) ^18,7 см2; 2)
75 кв. см.]
Черт. 11
эавновеликих пирамид
6. 1а2 . - = а3.1
3	2 I
93. Проверьте, что
(черт. 12) составляет объем куба..
94. По каким формулам можно определить V—объем и
S —площадь боковой поверхности
угольной пирамиды, если даны:
1) сторона основания а и высота
//; 2) сторона основания а и апофе-
ма Л; 3) сторона основания а и бо-
ковое ребро L; 4) апофема А и
боковое ребро £? П) V==y а2Я;
S = 2a]/^Tgy; 2) V =
s"2a-*
правильной четырех-
Черт. 12
95. По каким формулам можно определить площадь
боковой, площадь полной поверхности и объем правиль-
ной шестиугольной пирамиды по высоте Н и стороне ос-
нования а?
Конус
96. Назовите несколько предметов, имеющих форму
конуса или частично форму конуса (черт. 13). [Очинен-
ный карандаш; воронка, наконечник для лейки и др. ]
164
97.	Какая фигура лежит в основании прямого кругового
конуса?
98.	Рассмотрите модель конуса и проверьте, что его
основание представляет собой плоскую поверхность.
99.	Покажите на модели конуса ладонью руки его бо-
ковую поверхность; его полную поверхность.
100.	Приложите ребро линейки к боковой поверхности
конуса в различных направлениях и убедитесь, что ребро
линейки совпадает с боковой поверх-
ностью конуса лишь в одном направ-	?
лении.	А
101.	С помощью центробежной маши-
ны и укрепленного на ней прямоуголь- III
ного треугольника покажите, как путем	У/ 1|1\
вращения этого треугольника вокруг III Ж\
одного из его катетов можно получить ! / / Ж \
круглый конус (черт. 13).	1/1 И \
102.	Почему цилиндр и конус назы- // /1 -|1|| \
ваются телами вращения, а их поверх-	/// /	А
ности цилиндрическая и коническая
называются поверхностями вращения?
103.	Укажите на чертеже 13 вер-
шину и ось конуса, высоту его, обра- Черт. 13
зующую и радиус основания конуса.
104.	Как надо пересечь конус плоскостью, чтобы в се-
чении получить: 1) равнобедренный треугольник; 2) круг?
105.	Сколько осевых сечений можно провести в конусе?
Какую фигуру представляет собой осевое сечение конуса?
106.	В каком случае осевое сечение конуса представ-
ляет собой равносторонний треугольник? [В случае, ког-
да диаметр основания конуса равен его образующей. ]
107.	Почему образующая конуса всегда больше его вы-
соты и больше его радиуса? [Образующая — гипотенуза,
высота и радиус основания — катеты прямоугольного
треугольника. ]
108.	Почему нельзя построить прямой конус по следую-
щим данным: радиус основания 7? = 3 см, высота конуса
Н = 4 см, а длина образующей L = 6 см? [З2 + 42 =£ 62.]
109.	Сколько градусов содержит угол при вершине ко-
нуса (т. е. угол между двумя образующими конуса) в случае:
1) когда радиус основания конуса равен высоте конуса;
2) когда диаметр основания равен образующей конуса?
[90°; 60°.]
165
Поверхность конуса
110.	Практические работы. Изготовьте
развертку боковой поверхности конуса следующим обра-
зом: бумажную модель конуса разрежьте вдоль одной из
образующих, распрямите и положите на плоскость (стола).
Что представляет собой развертка боковой поверхности
конуса (черт. 14, а)? [Круговой сектор с радиусом, рав-
ным образующей конуса L, и дугой, равной окружности
основания конуса 2nR. ]
111.	На чертеже 14, б показана выкройка полной по-
верхности конуса. Объясните, чем в конусе являются изоб-
раженные на чертеже элементы сектора Д5Дего вершина
S, длина его радиуса L, длина дуги АА', [S —вер-
шина конуса, L — его образующая, длина дуги АА'—
длина окружности основания конуса, т. е. 2л7?, где R —
а 7? 1
радиус основания; а — угол развертки конуса;	.
112.	Практическая работа. Начертите и
изготовьте выкройку полной поверхности конуса, если
угол развертки а — 120°, длина образующей 4 см и радиус
основания 1,5 см.
113.	Конус, который вы рассматриваете, называется
прямым круговым конусом. Объясните этот термин. [В
основании конуса — круг; конус прямой, так как высота
конуса проходит через его вершину и центр основания. ]
114.	Может ли — угол развертки (сектора) состав-
лять 360°? [Нет; — = А. 1
3609 L J
166
115.	По какой формуле вычисляется площадь боковой
поверхности конуса 3? Скажите это правило.
3 =---- -L =« nRL, где /? радиус основания, L —образую-
щая конуса. ]*
116.	Практическая работа. На чертеже 14, б
показана выкройка полной поверхности конуса; указаны
необходимые размеры. Изготовьте такую же выкройку и
склейте конус.
117.	Объясните получение формулы для вычисления
площади полной поверхности конуса: 3 = л/?£ + л/?2 (1)
или 3 =	—	(2) [Сумма площади боковой по-
2	4
верхности и площади основания конуса, выраженная в за-
висимости от радиуса (1) и от диаметра (2). ]
118.	Сравните между собой формулы боковой поверх-
ности конуса и площади его основания. Объясните, поче-
му площадь боковой поверхности конуса всегда больше
площади его основания. [л/?£ > л/?/?, так как £>/?.]
119.	Чему равно отношение боковых поверхностей двух
конусов, имеющих одинаковые радиусы оснований и раз-
ные по длине образующие? [Отношению длин образующих. ]
120.	Радиус основания конуса, а также его высота со-
держат по 10 см. Вычислите площадь осевого сечения этого
конуса. [100 кв. см. ]
121.	Какая зависимость существует между образующей
конуса L, его высотой Н и радиусом основания R7 U?2 +
4- № = £2. ]
122.	Записать формулу для вычисления площади пол-
ной поверхности конуса 3 в виде произведения, вынося
общий множитель слагаемых за скобки. [3 = nR(L + R). ]
123.	Вычислить площадь основания конуса и площадь
его осевого сечения, если радиус основания R = 1,5 дм и
высота Н — 2,4 дм. [7,07 кв. дм; 3,6 кв. дм. ]
124.	Вычислить площадь основания конуса, если пло-
щадь его осевого сечения равна 17,6 кв. см, а высота его —
5,5 см. [32,2 кв. см. ]
* Замечание. Отношение площади сектора 8 к площади кру-
га радиуса £(кЛ2) равно отношению соответствующей дуги сектора
8 2kR „
(2к7?) ко всей окружности (2itL), т. е. —— =» т~г; 8 =~RL.
167
125.	Осевое сечение конуса представляет собой равно-
сторонний треугольник со стороной а = 2 дм. Найти отно-
шение чисел, выражающих площадь полной поверхности
и объем этого конуса. [9 : ]/3. ]
126. Определить, какую площадь занимает конусная
куча щебня, если ее образующая L = 4,2 дм и угол ко-
нуса при вершине L равен 120°.
127. Дана развертка боковой поверхности конуса. Об-
разующая конуса L = 120 мм, радиус R основания ко-
0,4л? _
Черт. 15
нуса 30 мм. Проверьте, что угол L раз-
вертки конуса (угол сектора) равен 90°.
128.	Полная поверхность конуса в
1-i- раза больше его боковой поверхности.
Чему равно отношение образующей к
радиусу? [2:1.]
129.	Полная поверхность конуса в
3 раза больше площади его основания.
Радиус основания этого конуса 0,7.
Найти длину его образующей.
130.	Доказать, что полная поверх-
ность конуса превышает его боковую
поверхность менее чем в 2 раза.
£
L
['+р
<1.
131.	Отряд разместился в 15 палат-
ках конической формы. Сколько метров
брезента шириной в 1,5 м потребовалось для изготовле-
ния палаток, если высота палатки 3,0 м, диаметр основа-
ния 3,2 м, причем на швы пошло подлине 8%? [^185 Л1.]
132.	Резервуар имеет форму цилиндра, а крышка его —
форму конуса. Диаметр цилиндра 0,4 м, его высота 1,0 м,
а высота конуса — 0,3 м. Найти площадь поверхности
резервуара (черт. 15).
Объем конуса
133.	По какой формуле вычисляется объем конуса?
Дать выражение объема V конуса через радиус R и через
диаметр D основания конуса при высоте конуса, равной Н.
V = ~^2Н; V = —Н.
3	12
168
134.	Как относятся между собой объемы двух конусов,
если у них: 1) равные основания; 2) равные высоты? 11) Как
их высоты; 2) как квадраты площадей оснований. ]
135.	Во сколько раз увеличится объем конуса, если:
1) радиус его основания увеличить в 3 раза; 2) высоту его
увеличить в 3 раза? 11) В 9 раз; в 3 раза. ]
136.	Радиус основания конуса увеличен в 2 раза. Во
сколько раз надо уменьшить его высоту, чтобы объем ко-
нуса не изменился? [В 4 раза. ]
137.	Сколько литров воды вмещает сосуд конической
формы, высота которого 30 см, а диаметр основания 20 см.
[3,14 л.]
138.	Практическая работа. На имеющихся
у вас моделях конуса выполните необходимые измерения
в вычислите полную поверхность и объем каждой из них.
139.	Имеются два тела: полый цилиндр и полый конус
одинаковой высоты и с равными основаниями. Сколько раз
надо наполнить полый конус песком (или водой) и пересы-
пать или перелить его содержимое в цилиндр, чтобы на-
полнить цилиндр? Проделайте такой опыт. [3 раза.]
140.	Два конуса имеют равные высоты, диаметр осно-
вания одного из них 0,47 м, другого 0,94 м. Как относят-
ся между собой их объемы? [1:4.]
141.	Два конуса имеют равные основания. Найти от-
ношение их объемов, если высота одного из них 0,57, а дру-
гого 0,76? [3:4.]
142.	Дерево конической формы имеет в обхвате у кор-
ня 1,6 м, Как велик объем его ствола, если высота его 15 м?
1,0 куб, м, У к а з а н и е. По таблицам найти диаметр,
зная длину окружности.]
143.	Узнать, сколько литров бензина можно вместить
в цилиндрическую часть бидона, имеющего форму и раз-
меры, указанные на чертеже 15. Каков вес этого бензина
(удельный вес бензина 0,7)?
144.	Бревно в форме конуса распилили посредине его
высоты. 1) Каково отношение объемов полученных частей
бревна? 2) Найти объем частей конуса в случае, ког-
да объем всего конуса составляет 1,2 куб, м. [1) 1:7;
2) 0,15 куб, м и 1,05 куб, м, ]
145.	Что можно сказать об отношении объема цилиндра
к объему конуса, если у цилиндра и конуса равные радиусы
основания и равные высоты? [3 : 1.]
J J Заказ 1346	IfiQ
146.	Дано изображение цилиндра и конуса, имеющих
равные основания и равные высоты. 1) Какую форму имеет
осевое сечение цилиндра? Осевое сечение конуса? Во сколь-
ко раз площадь первого больше площади второго? 2) Во
сколько раз объем того же цилиндра больше объема того
же конуса (черт. 16)? [1) В 2 раза; 2) в 3 раза. ]
Черт. 16
147.	Цилиндр и конус имеют равные основания. Во
сколько раз высота цилиндра должна быть больше высоты
конуса, чтобы оба эти тела имели равные объемы?
[В 3 раза. ]
148.	Жидкость из сосуда конической формы, высота
которого 3,0 дм, а диаметр основания 2,5 дм, перелита
в сосуд цилиндрической формы: 1) диаметр основания
которого таков же; 2) диаметр основания которого 1 дм.
Какого уровня достигнет жидкость в цилиндре в 1) и 2)
случаях? (1) 1 дм; 2)6-^- дм. ]
149.	Стог сена имеет форму цилиндра с коническим вер-
хом. Узнать вес стога, если у его цилиндрической части вы-
сота 2,2 м, радиус основания стога 2,5 м, а вся высота
стога 4,6 м. Удельный вес сена 0,03. [1,8 тонн.]
150.	Практическая работа. Рассмотрите
основные части обычной лейки; какая часть ее поверхнос-
ти имеет цилиндрическую форму, какая — коническую
форму? Выполните необходимые измерения и вычислите
площадь той и другой поверхности.
151.	Найти площадь полной поверхности и объем конуса,
радиус основания которого 10 см и угол наклона образую-
щей к плоскости основания равен 30°; 40°; 60°; 70°.
170
Шар
152-	Назвать несколько предметов, имеющих форму
шара. [Мяч, глобус, шариковый подшипник, головки вин-
тов и заклепок.]
153.	Проверить, есть ли на поверхности шара какие-ли-
бо направления, с которыми может совпадать ребро
линейки. [Нет. ]
154.	Можно ли развернуть на плоскости поверхность
шара, не разорвав ее? [Нет. ]
155.	Если укрепить полукруг (или круг) на центробеж-
ной машине, то путем быстрого вращения этого полукруга
вокруг его диаметра можно пока-	___. 
зать образование шара. Причем
полуокружность опишет поверх-	1
ность шара (сферическую поверх- X —ч------------ X
ность). Проведите такой опыт.
156.	Что называется радиу-	•+--------1--------4-
сом шара; диаметром шара?
Сколько диаметров можно про- у4**---------j----/
вести в шаре? Каким свойством X. j у
обладают все точки поверхнос-	‘
ти шара?
157.	Какая фигура получится	Черт. 17
в сечении шара плоскостью?
Проделайте опыт, рассекая шар: 1) любой плоскостью, по-
степенно приближая ее к центру шара, 2) плоскостью, про-
ходящей через центр шара (черт. 17). [Круг.]
158.	Какое сечение шара плоскостью называется боль-
шим кругом? Каков радиус большого круга? Сколько боль-
ших кругов можно провести в одном шаре? [Большой
круг— сечение, проходящее через центр шара; его ра-
диус равен радиусу шара; больших кругов в одном шаре
можно провести бесчисленное множество. ]
159.	Указать свойства большого круга. [Большой круг
делит шар и его поверхность на две равные части. ]
160.	Что представляет собой на поверхности земного
шара меридиан? Сколько меридианов можно провести?
Где находятся центры этих кругов? Чему равен радиус
этих кругов? [Большой круг, проходящий через полюсы
Земли; через два полюса можно провести бесконечное мно-
жество меридианов; в центре земного шара; радиус их ра-
вен радиусу Земли.]
11*
171
Поверхность шара
161. По какой формуле вычисляется площадь поверх-
ности шара (£шара)
; площадь большого круга шара (/С)?
Сравните по величине эти пло-
щади. [S = 4л/?2; # = л/?2, где
/?—радиус шара; S = 4/С]
162.	Как выразить формулу
поверхности шара (S) через его диа-
метр (£>)? [5=лО2.]
163.	Убедиться, что формула
для вычисления поверхности шара
та же, что и для вычисления бо-
ковой поверхности цилиндра, опи-
санного вокруг этого шара
(черт. 18). [л£)2 = TtDD.]
164.	На чертеже 19 изображен
полу шар, его поверхность состо-
Черт. 18	ит из двух частей: кривой и
плоской. Что представляют собой
та и другая поверхности? Чему
равна площадь каждой из них? [Полусфера и площадь
большого круга; 2л/?2 и л/?2.]
Черт. 20
в
165.	На чертеже 20 изображена у часть шара. Убе-
дитесь, что площадь ее кривой поверхности равна сумме
площадей ее плоских поверхностей, т. е. площади боль-
шого круга.
166.	Дайте иную формулировку для вычисления пло-
щади поверхности шара, если переписать формулу 4л/?2
172
в виде 2z7?-27?. Выполнить чертеж. [Площадь поверхно-
сти шара равна площади боковой поверхности цилиндра,
диаметр основания и высота которого равны диаметру
шара].
167.	Как относятся между собой поверхности двух
шаров, если радиусы их равны 5 см и 3 см\ 5 см и 10 см?
[25:9; 1:4.]
168.	Вычислить поверхность шара, радиус которого
равен 3,0 см', 0,1 см\ диаметр которого 3,0 см*.
[^110 кв. см\ 0,13 кв. см\ 28 кв. см.]
169.	Вычислить поверхность полушара радиуса 7? =
= 5,0 см. [157 кв. см. ]
170.	Во сколько раз увеличится поверхность шара,
если его радиус увеличится в 2; в 3 ~; в п раз? [В 4;
в 12-|-; в и2 раз.]
171.	Площадь поверхности одного шара больше пло-
щади поверхности другого шара в 9 раз; в 2 раза; в
п раз? Каково отношение радиусов и диаметров этих ша-
ров? [3:1; /Г: 1; //Г: 1.]
172.	Сравнить поверхность шара радиуса R с полной
поверхностью цилиндра, у которого радиус основания 7?
и высота также равна 7?. [Равны.]
173.	У какого тела больше поверхность: у куба сре-
бром, равным 3,0 дм, или у шара с диаметром в 3,0 дм,
и на сколько больше? [У куба; приближенно на 26 о. дм.]
174.	Проверить, что боковая поверхность цилиндра,
описанного около шара, равна поверхности этого шара.
175.	Найти отношение площади поверхности шара к
площади боковой поверхности цилиндра, если известно,
что диаметр шара, диаметр основания цилиндра и высо-
та цилиндра равны между собой. [1.]
176.	Хватит ли 20 г краски для окраски 10 мячей диа-
метром в 40 см, если на 1 кв. дм требуется 0,01 г кра-
ски? [Хватит.]
177.	Сколько нужно взять материи, чтобы изготовить
обложку воздушного шара диаметром 10 м, если на швы
нужно добавить 4% материала? [327 кв. м.]
178.	Площадь поверхности шара (S) равна kD2, где
тт^3,14. Для устных расчетов пользуются формулой
* Пользуясь таблицами.
173
S^3D* (утроенному квадрату его диаметра). Какой
процент ошибки допускается в этом случае? ^Меньше
4 — %. 1
2 J	Объем шара
179.	Как получить формулы для вычисления объема
(V) шара, зная площадь его поверхности (S) и ра-
диус (2?), а именно, как получить формулы:
^шара = ‘-'шара ’ —^шара=—7-л 7?3?
U	О
Указание. Представим себе, что поверхность шара
с радиусом, равным 7?, состоит из очень большого числа
Черт. 21
очень малых треугольников (по их
малым размерам будем считать их
плоскими с площадью 5Д) и что
вершины этих треугольников со-
единены с центром шара (черт. 21).
1) Что представит собой сумма пло-
щадей всех этих треугольников?
2) Какое геометрическое тело в
этом случае заполнит весь шар?
3) Какой высоты будет каждая
из этих небольших пирамид? 4) Как
вычислить объем каждой из этих
небольших пирамид? 5) Как вычислить сумму объ*
емов всех этих пирамид или объем шара? [1) Площадь
поверхности шара; 2) пирамиды; 3) высота каждой пира-
миды будет 7?; 4) Ц-7? .	; б) 7? . £шара = УшаРа. ]
о	и
180.	Составить формулу для вычисления объема шара
в зависимости от его диаметра (заменить в формуле
V = — тгТ?3, радиус шара 7? его диаметром D). 1-2- D3. 1
з	L б J
181.	Вычислить объем шара, радиус которого 7? равен
1,0 дм-, -±- дм. [4,2 куб. дм.', 0,52 куб. Зле.]
182.	Чему равно отношение объемов двух шаров, ра-
диусы которых 7?а и 7?2? [/?? : Я* •]
183.	Найти отношение объемов двух шаров, радиусы
которых 1 дм и 2 дм. [1 : 8.]
174
184.	Как изменится объем шара, если радиус его уве-
личить в 2 раза; в раза; в п раз? [Увеличится в 8 раз;
в 3-|- раза; в п3 раз.]
185.	Как надо изменить радиус шара (/?), чтобы полу-
чить шар, объем которого в 8 раз больше объема данного;
в 27 раз больше; в 2 раза; в 10 раз; в п раз больше
данного? [Увеличить в 2 раза; в 3 раза; взять радиус,
равный Ryf2;	10; 7? JZи.]
186.	Известно, что радиус Солнца в 109 раз больше
радиуса Земли. Во сколько раз площадь поверхности
Солнца и его объем больше площади поверхности и объе-
ма Земли?* [В 109а раз и в 1093, или приблизительно в 11 800
и 1 300000 раз.]
187.	Вычислить вес 100 стальных шариков с диамет-
ром в 2 см. Удельный вес стали принять приближенно
8,0. [3,4 кг.]
188.	Сколько весит полый шар из меди, если внеш-
ний диаметр его равен 10 см, а толщина стенок 1 см?
Удельный вес этого сорта меди 9,0. [103 — 83 = 2 . (100 +
+ 80-1-64); 2,3 кг.]
189.	Вычислить, на сколько кубических сантиметров
и во сколько раз увеличится или уменьшится объем шара,
если его диаметр D = 3 см удлинить на 1 см\ увеличить
вдвое; уменьшить втрое? [Увеличится приближенно на
20 см‘, увеличится в 8 раз; уменьшится в 27 раз.]
190.	Доказать, что объем шара (Ушара) в 1-j раза меньше
объема описанного вокруг него цилиндра (Уцил.) (черт. 18),
а поверхность шара (5шара) в 1-i- раза меньше полной по-
верхности (5п0л. цил.) того же цилиндра (теорема Архимеда).
Гу ~ — v г s = —s	]
к шара g Дил. ’ шара	Дил.
191.	Известно, что S = л Л?2 = 1,0. Найти Я.
* При вычислении использовать таблицы умножения и счетную
линейку.
175
192.	Зная, что объем шара V выражается формулой
V = — к/?3, где 7? — радиус шара, найти длину радиуса
3
этого шара, если объем шара V = 64 куб. см.	= у/1?.
193.	Вычислить отношение поверхностей и объемов двух
Л	Q Г 1	1	1
шаров, радиусы которых 4 см и о см. —\ —.
194.	Шар с диаметром 10 си надо перелить в цилиндр,
высота которого также 10 см. Найти диаметр основания
Г10/6- 1
этого цилиндра. ——
195.	Два шара, диаметры которых Dr и D2 D2),
изготовлены из одного и того же материала. Во сколько
раз первый шар тяжелее второго? Вычислить при условии,
что = 4 см, D2 = 2 см. [В 8 раз.]
196.	Чугунный шар регулятора весит 14,4 кг. Чему
равен его диаметр, если удельный вес чугуна 7,2?
2/J а».]
197.	Диаметр парового котла, имеющего форму полу-
шара, равен 6,0 м. Найти объем этого котла. [18 к куб. м.]
198.	Имеются 3 куба, ребро каждого из них а. Из
одного куба выточен шар наибольшего размера, из дру-
гого — конус, из третьего — цилиндр. В каком случае
останется меньше отходов?
199.	Написать числовую формулу для вычисления по-
верхности и объема земного шара, приняв его радиус
равным 6400 км. ^4тг • 64002 кв. км\ -у-тг.64003 куб. км.
200.	Диаметр одного шара 3,6 м, диаметр другого 1,2 м.
Во сколько раз поверхность и объем одного шара больше
поверхности и объема другого шара? [В 9 раз; в 27 раз.]
201.	1) Во сколько раз увеличится поверхность шара,
если его радиус увеличить в 4 раза; 2) во сколько раз
увеличится объем шара при тех же условиях? [1) В 16 раз;
2) в 64 раза.]
202.	По какой формуле вычислить поверхность и объем
глобуса, диаметр которого 30,0 см7
Гтс£)2 = 900тг; — = 4500тг. 1
I	6	I
176
203.	Проверить, что объем куба, описанного около
шара, почти в 2 раза больше объема этого шара.
[Указание. Искомое отношение равно —. ]
L	1
204.	Проверить, что полная поверхность цилиндра,
описанного около шара, в 6 раз больше площади боль-
шого круга этого шара, а объем этого цилиндра в 1-р
раза больше объема шара (см. черт. 18).
205.	Каков диаметр шара, объем которого вдвое
меньше объема шара с диаметром в 1 м?
206.	Найти радиус шара, если известно, что площадь
его поверхности равна: 1) 12,56 кв. дм\ 2) 6,28 кв. дм.
[1)	1 дм; 2)^- д*.]
207. Найти отношение объемов шара, цилиндра и ко-
нуса, если у цилиндра и конуса равные высоты и равные
диаметры оснований и каждый из них равен диаметру
шара. [УЦ.:УШ:УК. =3:2:1.]
208.	На сколько поднимется вода в цилиндрической
мензурке при погружении шара радиусом г =3,0 см, если
радиус основания мензурки /? = 4,0 см? [На 2,3 см.]
209.	В коробку кубической формы, ребро которой
5 см, надо насыпать доверху дробинки, причем диаметр
каждой 2 мм. Сколько примерно дробинок можно на-
сыпать в эту коробку (принять тс^З)? [Более 30 000.]
210.	Отношение поперечников Земли и Венеры 1:0,97.
Найти отношение их объемов. [1 : 0,92.]
211.	Сколько весит шар диаметром 20 см, если при
погружении в воду на — своего объема он плавает в во-
де; если он плавает, погрузившись
на — своего объема *
4
(принять тс^З)? [2 кг\ 1 кг.]
212.	Из куба с ребром 10 см надо выточить шар
с наименьшей потерей материала. Какая получится при
этом потеря материала? [0,48 куб. сЬи.]
* У плавающего тела вес воды, вытесненной погруженной
частью тела, равен весу тела.
177
213.	Купол имеет форму полушара (черт. 19) с диа-
метром 6,0 м. Что можно сказать о числах, выражающих
поверхность и объем этого купола? [Числа равны.]
Задачи для повторения
214.	На сколько объем цилиндра больше объема кону-
са, имеющего с ним равное основание и одинаковую
высоту?
На-?-лЯ2Я. ]
215.	Чугунный лот имеет форму, показанную на черте-
же 22. Сколько <
он весит, если удельный вес чугуна 8,1?
216.	К стальному прутку с диамет-
ром 74 мм и длиной 158 мм приварили
острие конической формы. Общая дли-
на изделия 178 мм. Чему равны вес (Р)
детали и площадь (S) ее полной повер-
хности? Удельный вес материала 7,8.
217.	Начертить прямую призму высо-
той 4 см, в основании которой непра-
вильный четырехугольник. Сделайте не-
обходимые измерения (в миллиметрах) и
вычислите объем этой призмы.
218.	Начертить прямую призму, в
основании которой неправильный мно-
гоугольник. Выполнить необходимые
измерения и вычислить объем этой
призмы. [Указание. Площадь не-
правильного многоугольника вычислить
на треугольники и четырехугольники.
разбиением
Полученный
его
результат проверить с помощью палетки.]
219. 1) Вычислить емкость бака, имеющего вид прямой
призмы с овальным основанием, высота которого 300 мм.
Контур овала представляет собой две полуокружности и
соединяющие их отрезки прямых (черт. 23). Диаметр каж-
дой окружности 200 мм\ длина соединяющего отрезка
220 мм. 2) Сколько надо жести для изготовления указан-
ного бака, если на швы и закраины надо добавить до 10%
материала.
220.	Что можно сказать о боковых гранях правильной
усеченной пирамиды? Как вычислить площадь боковой и
176
полной поверхностей правиль-
ной усеченной пирамиды? Что
можно сказать о высотах боко-
вых граней (об апофемах) пра-
вильной усеченной пирамиды?
Вычислите площадь боковой по-
верхности правильной усеченной
пирамиды, имеющей апофему
(Л), равную 6 см, и основания:
1) квадраты со сторонами 8 см
и 5 см; 2) правильные треуголь-
ники со сторонами 1 дм и 1,5 дм.
11) 156 кв. см.]
221.	По какой формуле мож-
но вычислить площадь (8) бо-
Черт. 23
ковой поверхности любой правильной усеченной пира-
миды, если стороны основания ее а и Ь, число сторон п?
[ р ь р	3
8 = -^-2-— А, где Р и Pi — периметры оснований.
222.	Сколько потребуется жести на изготовление во-
ронки в форме конуса, образующая которого £ = 15 см,
а ширина верхнего отверстия 10 см, если на заделку шва
пойдет 5% материала?
223.	Сколько железа надо для изготовления детали в
форме усеченного конуса, верхний диаметр которого 800 мм,
нижний 200 мм и высота 400 мм, если припуск составит
2,5 кв. дм? [81 кв. дм. ]
Черт. 24
224.	Узнать вместимость ведра
(имеющего форму усеченного конуса),
если диаметр его нижнего основа-
ния 20см, верхнего 30 см (черт. 24);
расстояние между основаниями 30 см.
[Указание. Приближенно объем
V усеченного конуса вычисляется
по формуле V«Scp. Н, где 8ср. есть
сечение усеченного конуса, диаметр
которого есть среднее арифметическое
между диаметрами верхнего и нижне-
го оснований конуса и О2. При-
нять, что
1
— к
4
Vyc. кон.
I D, -ф- D2 \ I 2 и 1/
( - Y~- I ИЛИ Vyc. КОН.
// / \ 2
\ 2	}'
179
где /?х и Т?2 радиусы верхнего и нижнего оснований усе-
ченного конуса; Dt и Ь2 — соответствующие диаметры;
[^14,7 куб. дм.]
225.	Сколько кубометров песка в куче, имеющей фор-
му усеченного конуса, если длина окружности верхнего
основания этого конуса 12 м, нижнего основания 18 м,
высота ее 1,5 м? [Указание. По длине окружности
найти диаметр основания.]
226.	Стальной конус, высота которого 25 см и диаметр
основания 20 см, обтачивается так, что диаметр основания
уменьшается на 4 см, высота не изменяется. На сколько
уменьшится вес конуса, если удельный вес стали 7,9?
[^7,4кг. ]
227.	Сколько осевых сечений можно провести в усечен-
ном конусе? Что представляет собой каждое такое сечение?
[Бесчисленное множество сечений; равнобедренные тра-
пеции, равные между собой. ]
Черт. 25
Черт. 26
228.	Практическая работа. Рассмотрите
обычную воронку (черт. 25). Из каких поверхностей состоит
вся поверхность воронки? Что представляют собой линии
пересечения этих частей поверхности воронки? Выполни-
те необходимые измерения и вычислите площадь полной
поверхности воронки.
229.	Ведро (черт. 26) имеет размеры: длина верхнего
обода 95 см, длина обода дна 70 см, высота ведра 28 см.
Узнать емкость ведра [16 л.]
230.	Надо окрасить наружную часть 10 столбов, имею-
щих форму усеченных конусов. Диаметры верхних и ниж-
них оснований столбов соответственно равны 2 дм и 4 дм,
высота каждого столба 10 м. Столбы зарываются в землю
180
на глубину 2 м. Какую поверхность надо окрасить? Най-
ти ее площадь.
231.	Сколько литров воды вмещает бочонок длиной в
8,0 дм, если диаметр каждого из его оснований 5,5 дм,
диаметр сечения в наиболее широком месте 6,5 дм? [У к а-
з а н и е. Объем бочонка можно принять равным объему
двух равных усеченных конусов; приближенно 227 л.}
232.	Курган имеет форму усеченного конуса. Окруж-
ность его нижнего основания 60,4 м\ окружность верхнего
основания 20,6 м. Образующая этого конуса 30,0 м. Каков
размер боковой поверхности этого кургана? [1215 кв. м. ]
233.	Вычислить объем бочки, если высота ее 26 дм, внут-
ренний диаметр верхнего и нижнего оснований 16 дм, а
диаметр среднего сечения 20 дм.
234.	Сколько весит масло, которым наполнена бочка,
высота которой 80 см, диаметр дна 60 см, диаметр сечения
в наиболее широком месте 70 см? Удельный вес масла 0,9.
[238 кг.]
235.	На чертежах 27; 28, 29, 30 даны прямоугольные
(вертикальная и горизонтальная) проекции тел. Какова
форма каждого из этих тел и чему равны площади их по-
верхностей и их объемов?
Черт. 27
ЮОмм
Черт. 28
181
Черт. 30
236.	Кристалл имеет фор-
му многогранника, представ-
ляющего собой две правиль-
ные четырехугольные пирами-
ды, приложенные друг к дру-
гу своими квадратными ос-
Черт. 31
кованиями (октаэдр) (черт. 31). Каждое ребро октаэдра рав-
но 1 см. Чему равна площадь его поверхности? [2J/3 см2.)
237.	Кристалл алмаза имеет форму октаэдра, каждое
ребро которого 2 мм; удельный вес алмаза 3,5. Сколько
весит этот алмаз? Обычно вес алмаза дается в каратдх;
(1 карат—0,2 г).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Основные понятия геометрии, . ..................
Глава II. Треугольник....................................
Глава III. Параллельные прямые ..........................
Глава IV. Четырехугольники...............................
Глава V. Площади многоугольников ........................
Глава VI. Прямая призма . . ....... .....................
Глава VII. Окружность. Круг и его части .................
Глава VIII. Цилиндр.....................,	,.............
Глава IX	Пропорциональные отрезки. Подобие фигур . .
Глава X.	Тригонометрические функции острого угла . . .
Глава XI. Вписанные и описанные многоугольники...........
Глава XII. Вычисление площадей и объемов геометрических тел
3
26
43
59
75
85
94
112
122
137
141
154
Елизавета Савельевна Березанская,
Николай Андреевич Колмогоров,
Федор Федорович Нагибин,
Ростислав Семёнович Черкасов
СБОРНИК
ЗАДАЧ И ВОПРОСОВ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Редактор Н. И, Лепешкина
Художественный редактор А. В. Максаев
Технический редактор И. Г. Крейс
Корректор М. В. Голубева
♦ ♦ ♦
Сдано в набор 15/XII 1962 г. Подписано
к печати 9/V 1962 г. 84Х1О81/32
Печ. л. 11,5 (9,43) Уч-изд л. 9-
Тираж 78 000 экз.
* * *
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Отпечатано с матриц полиграфкомбинатом
им. Я. Коласа Главиздата Министерства
культуры БССР, г. Минск, Красная, 23.
Заказ 1346. Цена без переплета 24 коп.
Переплет 8 коп.