Текст
Л.Г. ГРАНБЕРГ
'> . • I*. а* -л »i >г’-'Л'с*Д \;' '''•'•• '.’ч;ку’\- " ' ’••“s' '•у V "Ч»*" 1 . *' */ '
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ .,
/МОДЕЛИ .
КвЬвЖЖЙ11й|
Л.Г.ГРАНБЕРГ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ
ЭКОНОМИКИ
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
И СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
вузов, обучающихся по специальности
«Экономическая кибернетика»
Москва «ЭКОНОМИКА»
1978
ББК 6.4.2.1.2
ззсз
Г77
10803—088
011(01)—78 30—78
© Издательство «Экономика», 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ _____________
Математическое моделирование экономических процессов стало
за последние двадцать лет одним из важнейших направлений раз-
вития экономической теории и совершенствования планирования
и управления народным хозяйством. Еще совсем недавно в этой
области в СССР работала лишь небольшая группа ученых-энтузиа-
стов, теперь же исследованиями по разработке и применению эко-
номико-математических методов занимаются сотни научных ин-
ститутов, статистических и плановых органов, вычислительных
центров, многие тысячи специалистов. Создана обширная литера-
тура по различным аспектам применения математики в экономике,
которая с каждым годом быстро умножается. Экономико-матема-
тические дисциплины стали изучаться во всех экономических ву-
зах и на всех экономических факультетах; более чем в 25 вузах
страны ведется подготовка студентов по специальности «Эконо-
мическая кибернетика».
Данное учебное пособие (в основу которого положен курс
лекций, читаемый автором на экономическом факультете Ново-
сибирского государственного университета с 1965 г.) адресовано
прежде всего тем, кто избрал применение математических мето-
дов в экономике своей профессией. Автор понимал ответствен-
ность стоявшей перед ним задачи. Насколько удалась наша
попытка подготовить пособие для будущих «профессионалов» —
судить читателю.
При выборе содержания и структуры учебного пособия о моде-
лировании социалистической экономики главным, на наш взгляд,
является позиция в отношении роли математического моделирова-
ния в экономической науке и хозяйственной практике, подход
к проблеме синтеза экономических и математических знаний.
Проще всего было бы построить учебное пособие как описание
приложений определенных разделов математики к решению раз-
личных экономических задач (линейная алгебра и балансовые мо-
дели экономики, математическое программирование и оптимиза-
ционные модели, теория дифференциальных уравнений, анализ эко-
номической динамики и т. п.). Такой подход был типичен для на-
чального’ этапа экономико-математического я образования, когда
преподавание математических и экономико-математических дис-
циплин почти не затрагивало основные традиционно сложившиеся
1*
3
экономические дисциплины. Современное состояние экономико-
математических и экономико-кибернетических исследований по-
зволяет, на наш взгляд, существенно перестроить процесс подго-
товки экономистов, ликвидировать в ближайшей перспективе став-
шее уже искусственным разделение дисциплин на «экономические
без математики», «экономические с математикой» и «математические
для экономики». Автор стремился по мере возможности следовать
именно этой тенденции.
Основная направленность предлагаемого учебного пособия —
анализ проблем социалистической экономики средствами матема-
тического моделирования. Поэтому значительное внимание в книге
уделяется методологии моделирования социалистической эконо-
мики, модельно-теоретическим представлениям о социалистическом
народном хозяйстве как целенаправленной, планомерно развиваю-
щейся системе, основным принципам оптимального планирования.
При этом автор стремился показать, что применение математиче-
ского моделирования существенно расширяет возможности эконо-
мического анализа, позволяет сформулировать качественно новые
проблемы, приводит к новым научным результатам и поэтому яв-
ляется необходимым условием успешного развития экономической
теории. Сами же математические методы в данной книге не являются
объектом изучения, а конкретные модели рассматриваются в связи
с определенными проблемами анализа и планирования народного
хозяйства.
Предлагаемое учебное пособие содержит три раздела, включаю-
щие 9 глав. В первом (вводном) разделе рассказывается об истории
применения математического моделирования в экономике. Второй
раздел посвящен теоретико-методологическим проблемам модели-
рования социалистической экономики. В третьем разделе анали-
зируются статические модели народного хозяйства — сначала под-
ходы к моделированию основных сфер народного хозяйства, а за-
тем комплексные народнохозяйственные модели.
Легко видеть, что содержание далеко не исчерпывает проблема-
тику народнохозяйственного моделирования. По сути дела — это
изложение первой части курса «Моделирование социалистической
экономики» (включенный в книгу материал на экономическом фа-
культете НГУ изучается в течение пятого семестра). Вторая часть
курса включает исследование динамических моделей экономики
и проблем системного моделирования народного хозяйства.
Теория и практика моделирования социалистической эко-
номики — быстро развивающаяся отрасль знаний. Здесь не так
уж много «отлежавшегося» научного материала. Поэтому при под-
готовке учебного пособия, отражающего современное состояние
исследований, в принципе невозможно было^избежать дискусси-
онных моментов. В большей степени это, по-видимому, относится
к тем главам, где нашли отражение исследования автора.
При отборе и изложении материала учитывалось содержание
других учебных пособий по специальности «экономическая кибер-
4
нетика», выпущенных в последние годы1. В тексте неоднократно
делаются ссылки на эти работы.
Данная книга обращена к экономистам, а не к математикам.
Однако ее чтение требует определенной математической подготовки,
особенно по математическому анализу, линейной алгебре, матема-
тическому программированию. Лишь в отдельных случаях даются
справки математического характера. К сожалению, сравнительно
мало использованы методы математической статистики. Это свя-
зано с тем, что курс теории вероятностей и математической ста-
тистики изучается с некоторым отставанием от курса «Моделиро-
вание социалистической экономики».
Хотя главная цель данной книги служить пособием для сту-
дентов по специальности «экономическая кибернетика», по крайней
мере отдельные ее главы могут использоваться как учебный ма-
териал для студентов других специальностей. Для этой категории
читателей рекомендуется приступить к главам 3 и 4 после изуче-
ния третьего раздела.
Можно надеяться, что книга окажется полезной также для на-
учных работников и аспирантов, занимающихся проблемами эконо-
мической теории, методологии экономических исследований, пла-
нирования народного хозяйства.
Автор благодарен рецензентам И. Г. Попову, М. Ш. Барбакадзе,
Л. Л. Терехову, предложения которых были учтены при работе
над рукописью. Много полезных замечаний по рукописи сделали
А. Г. Аганбегян, А. М. Алексеев, В. Н. Богачев, В. А. Волконский,
А. Б. Горстко, Д. М. Казакевич, В. Н. Крючков, В. Л. Макаров,
Б. Г. Миркин, С. Б. Перминов, В. М. Полтерович, В. В. Радченко,
И. П. Суслов, Е. Ю. Фаерман, которым автор приносит большую
благодарность. Автор особо признателен В. П. Бусыгину,
А. Г. Рубинштейну, В. Е. Селиверстову, В. И. Суслову за участие
в подготовке ряда глав.
Отзывы читателей, их предложения и замечания помогут ав-
тору в его последующей работе.
1 См. Р а й ц и н В. Я. Математические методы и модели планирования
уровня жизни. М., «Экономика», 1970; Математические методы в планиро-
вании отраслей и предприятий. Под ред. И. Г. Попова. М., «Экономика»,
1973; Моделирование народнохозяйственных процессов. Под ред. В. С. Да-
даяна. М., «Экономика», 1973; Кобринский Н. Е., Майли-
нас Е. 3., Смирнов А. Д. Введение в экономическую киберне-
тику. М., «Экономика», 1975.
Раздел первый
ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Глава 1 _______________________
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
§ 1. ПЕРВЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ.
«ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА» Ф. КЕНЭ
466
В хозяйственной практике человека математика используется
с момента своего зарождения. На протяжении тысячелетий ариф-
метика и геометрия применялись для разнообразных хозяйствен-
ных измерений и вычислений. Однако дальнейшее развитие мате-
матики долгое время определялось в основном потребностями ес-
тественных наук и внутренней логикой самой математики. В свою
очередь математика активно воздействовала на развитие астроно-
мии, физики, технических наук. Известно, например, какое рево-
люционное влияние оказало дифференциальное исчисление на тео-
ретическую механику в XVII—XVIII вв., а новые разделы мате-
матики — на создание современной физики (теории относительно-
сти, квантовой механики).
Когда говорят о применении математических методов в эконо-
мических исследованиях, то имеют в виду не просто проведение
различного рода экономических расчетов, а использование матема-
тики как особого средства изучения экономических закономерно-
стей и получения теоретических и практических экономических
выводов.
В широких масштабах математические методы в экономических
исследованиях стали использоваться сравнительно недавно, в по-
следние 20—30 лет. Поэтому довольно распространенным является
мнение, что применение математики и математического моделиро-
6
вания в экономике — новая страница в развитии экономической
науки, связанная с появлением электронной вычислительной тех-
ники. Такое мнение является глубоким заблуждением. Применение
математических методов в экономике имеет богатое прошлое. Заб-
вение этого прошлого серьезно искажа'ет историю экономической
мысли.
Изучение предшествующего опыта экономико-математических
исследований глубоко актуально. Оно дает ответы на важные ме-
тодологические и содержательные вопросы экономической науки,
позволяет избежать многочисленных ошибок в применении мате-
матических методов, помогает оценить возможности и перспективы
использования математического моделирования в экономике, вы-
брать наиболее эффективные направления дальнейшего развития
экономических исследований. Многие научные результаты исполь-
зования метода математического моделирования в экономике, по-
лученные несколько десятков и даже более ста лет назад, нисколько
не потеряли своего значения.
Стремление использовать математику в качестве инструмента
исследования отличало еще родоначальников экономической науки.
Так, В. Петти (1623—1687) — основатель классической полити-
ческой экономии — писал в предисловии к своей «Политической
арифметике»: «... вместо того чтобы употреблять слова только
в сравнительной и превосходной степени и прибегать к умозритель-
ным аргументам, я вступил на путь выражения своих мнений на
языке чисел, весов и мер . . -»1 Однако употребление «чисел, ве-
сов и мер» характеризует только начальную стадию использования
математики.
Главные преимущества математики как средства научного по-
знания раскрываются при построении математических моделей,
заменяющих в определенных отношениях исследуемые объекты.
Математические модели экономики, отражающие с помощью ма-
тематических соотношений основные свойства экономических про-
цессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент
исследования сложных экономических проблем.
Первая в мире модель народного хозяйства была создана фран-
цузским ученым Ф. Кенэ (1694—1774). В 1758 г. он опубликовал
первый вариант своей знаменитой «Экономической таблицы», по-
лучивший название «зигзаг»; второй вариант — «арифметическая
формула» — был опубликован в 1766 г. [8]. «Эта попытка,— писал
К. Маркс о таблице Ф. Кенэ,— сделанная во второй трети XVIII
века, в период детства политической экономии, была в высшей
степени гениальной идеей, бесспорно самой гениальной из всех,
какие только выдвинула до сего времени политическая эконо-
мия»2.
1 Петти В. Экономические и статистические работы. М., Соцэкгиз, 1940,
с. 156.
’Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 26, ч. I, с. 345.
7
«Экономическая таблица» Ф. Кенэ представляет собой схему
(графико-числовую модель) процесса общественного воспроиз-
водства. Она раскрывает основные стадии воспроизводства (произ-
водство, распределение, обращение, потребление и накопление),
движение составных частей общественного продукта (по стоимости
и материально-вещественному составу), взаимоотношения классов
(землевладельцев, фермеров, ремесленников и торговцев) по по-
воду производства и распределения продукции и доходов. Из мо-
дели Ф. Кенэ следует вывод, что нормальный ход общественного
воспроизводства может осуществляться только при соблюдении
определенных стоимостных и материально-вещественных пропор-
ций.
К. Маркс неоднократно обращался к анализу «Экономической
таблицы». Уже в наше время «Экономическая таблица» Ф. Кенэ
послужила основой для построения и развития многочисленных
математических моделей общественного воспроизводства1.
§ 2. К. МАРКС И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ
Труды К. Маркса оказали значительное влияние на развитие
методологии экономико-математических исследований. Опираясь
на опыт Ф. Кенэ, К. Маркс разработал значительно более содер-
жательные схемы воспроизводства2, вывел основные математиче-
ские условия простого и расширенного воспроизводства в виде
алгебраических уравнений и неравенств, исследовал сложные ко-
личественные взаимосвязи процесса общественного воспроизводства.
Основной экономический труд К. Маркса «Капитал» содержит не-
мало примеров плодотворного использования математического ме-
тода. Так, например, при изучении закона тенденции нормы при-
были к понижению К- Марксом дается обстоятельный параметри-
ческий анализ формулы средней нормы прибыли (при этом К. Маркс
пишет, что исследование сначала движется в чисто математической
области). В отделе о земельной ренте приводятся уравнения, свя-
зывающие абсолютную, дифференциальную и суммарную ренту.
Скрупулезно анализируются взаимозависимости прибавочной стои-
мости, цены рабочей силы, производительности труда, интенсивно-
сти труда и длины рабочего дня. Ряд важнейших политэкономаче-
ских положений формулируется К. Марксом математически: о со-
1 Подробный анализ модели Ф. Кенэ содержится в [11, гл. 5], в учебном
пособии [10, гл. I]. Там же приводятся новые математические интерпре-
тации «Экономической таблицы», предложенные В. С. Немчиновым,
Ж. Бенаром, А. Филлипсом, И. Хишиямой.
2 Первоначальный вариант схемы простого воспроизводства К. Маркс из-
ложил в письме к Ф. Энгельсу в 1863 г. В этом письме он проводил сравне-
ние своей схемы и «Экономической таблицы» Ф. Кенэ (Маркс К-, Э н -
г е л ь с Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 30, с. 299—300).
8
отношении стоимости и производительной силы труда («стоимость
прямо пропорциональна количеству затраченного труда и обратно
пропорциональна производительной силе труда»), законы массы
прибавочной стоимости и денежного обращения, условия форми-
рования цены производства и т. д.
К. Маркс высоко ценил математику как орудие научного позна-
ния. П. Лафарг в воспоминаниях о К. Марксе писал: «В высшей
математике он находил диалектическое движение в его наиболее
логичной и в то же время простейшей форме. Он считал также, что
наука только тогда достигает.совершенства, когда ей удается поль-
зоваться математикой»1.
Многие зрелые годы К- Маркс посвятил самостоятельному изу-
чению математики. Его наследие содержит обширные математиче-
ские рукописи, в том числе его собственные работы по дифферен-
циальному исчислению2.
С какой целью К. Маркс занимался математикой? Имеются исто-
рические свидетельства, что он вел подготовительную работу, стре-
мясь в полной мере использовать математические знания в полит-
экономических исследованиях. Об одном конкретном сбоем наме-
рении К. Маркс писал Ф. Энгельсу 31 мая 1873 г.: «. . . Ты знаешь
таблицы, в которых цены, учетный процент и т. д. и т. д. представ-
лены в их движении в течение года и т. д., в виде восходящих и нис-
ходящих зигзагообразных линий. Я неоднократно пытался —
для анализа кризисов — вычислить эти up and downs как непра-
вильные кривые и думал (да и теперь еще думаю, что с достаточно
проверенным материалом это возможно) математически вывести из
этого главные законы кризисов»3.
Эти планы К. Маркс не успел осуществить.
Однако несмотря на многочисленные примеры плодотворного
использования математического метода, последний все же не играл
ведущей роли в экономических исследованиях К- Маркса. В не-
малой степени это было обусловлено теми задачами качественного
изучения природы капиталистического способа производства, ко-
торые были главными и в «Капитале», и в других экономических
трудах К- Маркса. Сам предмет и общая логика проводимого иссле-
дования определяли вспомогательное значение количественного
анализа.
Сказанное отнюдь не умаляет заслуг К. Маркса в развитии эко-
номико-математических исследований. Но значение его трудов
прежде всего нужно видеть не в конкретных результатах использо-
вания математики, а в создании теоретического фундамента для
плодотворного развития экономической науки на основе примене-
1 Воспоминания о Марксе и Энгельсе. М., Госполитиздат, 1956, с. 66.
2 «Математические рукописи» К. Маркса впервые полностью опубликованы
(одновременно на русском и немецком языках) в 1968 г. издательством
«Наука». Кроме оригинальных работ К. Маркса, они содержат конспекты
и выписки из книг, которыми он пользовался.
’Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 33, с. 72.
9
ния всех эффективных методов исследования, включая и метод ма-
тематического моделирования.
Система теоретико-экономических положений К. Маркса слу-
жит отправным пунктом для создания многих математических мо-
делей капиталистической и социалистической экономики. Пожа-
луй, особенно ярко значение трудов К. Маркса проявляется при
моделировании процесса общественного воспроизводства.
Схемы расширенного воспроизводства К. Маркса были развиты
В. И. Лениным, который модифицировал их с учетом условия роста
органического строения капитала1. Позднее учеными-марксистами
были созданы многочисленные обобщения и математические интер-
претации схем воспроизводства2. Непосредственное влияние схем
К- Маркса прослеживается во многих макромоделях, построенных
буржуазными экономистами.
Дальнейшим развитием двухсекторных схем расширенного вос-
производства стали модели межотраслевого баланса. Первый меж-
отраслевой баланс народного хозяйства был разработан в СССР
в середине 20-х годов; затем межотраслевые исследования (метод
input—output) получили большое развитие на Западе. Практиче-
ские работы по межотраслевому балансу вынудили буржуазных
экономистов и статистиков принять ряд теоретических принципов
К- Маркса, его систему категорий общественного воспроизводства.
В частности, ими стал использоваться введенный К- Марксом по-
казатель валового (совокупного) общественного продукта, вклю-
чающий оборот потребленных средств производства.
Использование теоретического наследия К- Маркса в экономико-
математических исследованиях не ограничивается, разумеется,
только построением макроэкономических и межотраслевых моделей
воспроизводства. Разработанные К. Марксом положения теории
трудовой стоимости, прибавочной стоимости, средней прибыли
и цены производства, земельной ренты и другие находят примене-
ние в моделях общественно необходимых затрат, ценообразования,
формирования и распределения доходов и т. д. Большое влияние
экономической теории К. Маркса на развитие экономико-матема-
тических исследований признается и современными буржуазными
учеными.
1 См. Ленин В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 1, с. 67—122. Институт
марксизма-ленинизма при ЦК КПСС подготавливает к печати рукописи
В. И. Ленина, содержащие варианты схем воспроизводства для социали-
стического общества и докапиталистических формаций.
2 См. Боярский А. Я. Математико-экономические очерки. М., Гос-
статиздат ЦСУ СССР, 1962, гл. I—III; Математический анализ расширен-
ного воспроизводства. М., Изд-во АН СССР, 1962; Ланге О. Введение
в экономическую кибернетику. М., «Прогресс», 1968,'гл. 2; [10, гл. II —
III]; [11, гл. 6].
10
§ 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В БУРЖУАЗНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКЕ
В рамках буржуазной экономической науки XIX—XX вв.
можно выделить три основных этапа развития экономико-матема-
тических исследований: математическая школа в политэкономии,
статистическое направление, эконометрика.
Математическая школа в политэкономии
Математической школой в политэкономии принято называть
особое методологическое направление в буржуазной экономической
науке XIX в., один из наиболее интересных этапов в развитии бур-
жуазной экономической мысли. Родоначальником математической
школы считается французский ученый О. Курно (1801—1877), вы-
пустивший в 1838 г. книгу «Исследование математических принци-
пов теории богатства»1. Виднейшими представителями математиче-
ской школы были Г. Госсен (1810—1858), Л. Вальрас (1834—1910),
У. Джевонс (1835—1882), Ф. Эджворт (1845—1926), В. Парето
(1848—1923), В. Дмитриев (1868—1913).
Математическая школа объединяла теоретиков-экономистов раз-
ных стран. В целом эта школа относится к субъективистскому на-
правлению буржуазной политэкономии, идеологические и мето-
дологические принципы которого неоднократно подвергались кри-
тике' со стороны ученых-марксистов2.
Представители математической школы предприняли смелую по-
пытку исследовать на основе математического метода важные про-
блемы экономической теории. При этом они исходили из того, что
обосновать положения экономической теории можно только мате-
матически, а все выводы, получаемые иными способами, могут при-
ниматься в лучшем случае в качестве научных гипотез. И хотя
этот замысел выполнить (и даже приблизиться к его выполнению)
не удалось, математическая школа продемонстрировала большие
возможности и перспективы применения математического модели-
рования.
Математическая школа внесла заметный вклад в разработку
количественного аспекта многих экономических проблем. Здесь
в первую очередь можно отметить: исследования условий сбаланси-
1 О. Курно был выдающимся математиком, философом, историком, эконо-
мистом. В 1970 г. в СССР издана его книга о математико-философских осно-
вах теории вероятностей, написанная в 1843 г. Авторы предисловия отме-
чают, что «идеи Курно в области теории вероятностей обогнали на много
десятков лет его эпоху и только теперь . . . становятся общепризнанными
и кладутся в основу логики и философии этой дисциплины» (Курно О.
Основы теории шансов и вероятностей. М., «Наука», 1970, с. 6).
2 Наиболее полный критический анализ математической школы дается в
[6, гл. 1].
11
рованности народного хозяйства с учетом взаимодействия разных
классов; анализ зависимостей покупательского спроса, цен и до-
ходов; изучение механизма спроса и предложения и факторов,
определяющих издержки производства. Представители математи-
ческой школы выдвинули и пытались развивать ряд важных теоре-
тических подходов и принципов: понятие экономического опти-
мума; применение показателей предельных затрат и предельных
эффектов в рациональном хозяйствовании; взаимосвязанность про-
блем ценообразования и общей пропорциональности народного
хозяйства. В современную экономическую науку вошли и широко
используются понятия кривых безразличия и ядра экономической
системы Ф. Эджворта, понятие многоцелевого оптимума В. Парето,
модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, формула
исчисления полных затрат труда и других ресурсов В. Дми-
триева.
Однако значение исследований первых экономистов-математи-
ков серьезно ограничивалось субъективистско-психологической
трактовкой многих политэкономических категорий, статическим
характером анализа экономических процессов, отказом от исследо-
вания системы производственных отношений в их исторической
определенности. Важно и то, что труды математической школы не
имели практических приложений и, следовательно, не могли до-
казать преимущества математического моделирования для хозяйст-
венной практики. Все это не только ослабляло позиции самой ма-
тематической школы, но и способствовало скептическому и даже
враждебному отношению к использованию математических методов
в экономике вообще.
Статистическое направление
Возникшее на пороге XX в. статистическое направление ста-
вило главной своей задачей изучение экономических циклов и про-
гнозирование хозяйственной конъюнктуры на основе методов ма-
тематической статистики. Это направление нередко именуется «ста-
тистической экономией».
С точки зрения методологии исследования (соотношение аб-
страктно-теоретического и эмпирического анализа, дедуктивного
и индуктивного методов) статистическое направление представляло
прямую противоположность математической школе. Стремление
к широкому использованию эмпирического материала, изучению
конкретных экономических фактов было, несомненно, прогрессив-
ным явлением. Но идеологи статистической экономии, провозгла-
сив тезис: «наука — есть измерение», впадали в другую крайность,
пренебрегая теоретическим анализом. Некоторые из них даже ут-
верждали, что при изучении фактов вообще не следует исходить
из какой-либо теории, последняя сама должна «выявиться» в ре-
зультате статистического анализа.
12
В рамках статистического направления было разработано боль-
шое количество математико-статистических моделей экономиче-
ских явлений, используемых в основном для краткосрочного про-
гнозирования. Типичным примером может служить «Гарвардский
барометр» — модель прогнозирования хозяйственной конъюнк-
туры (предсказания «экономической погоды»), разработанная уче-
ными Гарвардского университета (США) под руководством У. Пер-
сонса.
Гарвардский барометр представлял собой совокупность трех
кривых: А — кривая фондового рынка, В — кривая товарного
рынка, С — кривая денежного рынка (сами кривые рассчитыва-
лись по специальным индексам). «Действие» барометра основыва-
лось на том наблюдении, что все три кривые имеют примерно оди-
наковые колебания, но сдвинутые во времени так, что кривая А
в среднем на 8 месяцев опережает кривую В, которая в свою оче-
редь в среднем на 4 месяца опережает кривую С. Отсюда и идея
предсказания поведения, например, товарного рынка па основе
наблюдения состояния фондового рынка и т. п.1
Гарвардский и другие подобные барометры, построенные во
многих капиталистических странах, на протяжении ряда лет после
первой мировой войны довольно хорошо предсказывали «экономи-
ческую погоду», но «не заметили» приближения крупнейшего в исто-
рии капитализма экономического кризиса 1929—1932 гг. Крах на
Нью-Йоркской бирже осенью 1929 г. означал одновременно и за-
кат статистического направления.
Причины этой неудачи очевидны. Модели, разрабатывавшиеся
представителями статистического направления, не вскрывали глу-
бинных факторов экономического цикла, носили экстраполяцион-
ный характер. Они довольно хорошо «работали» в период экономи-
ческой стабилизации и постепенных изменений, но оказывались
совершенно непригодными в период «экономических бурь», т. е.
резких структурных сдвигов в народном хозяйстве.
Заслугой статистического направления является разработка
методических вопросов обработки экономических данных, стати-
стических обобщений и статистического анализа (выравнивание
динамических рядов и их экстраполяция, выделение сезонных и цик-
лических колебаний, факторный анализ, корреляционный и рег-
рессионный анализ, проверка статистических гипотез и т. д.). Эти
научные результаты нашли применение и получили дальнейшее
развитие при разработке математических моделей для экономиче-
ского анализа и прогнозирования.
1 См. [9, гл. I ]; Т и и т н е р Г. Введение в эконометрию. М., «Статистика»,
1965, предисловие Альб. Л. Вайнштейна. Там же дается краткий анализ
работ статистического направления в целом.
13
Эконометрика
Термин «эконометрика» (или «эконометрия») для обозначения
нового направления в экономической науке ввел норвежский уче-
ный Р. Фриш (1895—1973), провозгласивший, что эконометрика
есть синтез экономической теории, математики и статистики1.
Официальной датой рождения нового направления считается 1931 г.,
когда было создано Международное эконометрическое общество
(полное название: «Международное общество развития экономиче-
ской теории в ее связи со статистикой и математикой»). С 1933 г.
это общество издает журнал «Эконометрика»2.
Эконометрика пыталась соединить достоинства своих предшест-
венниц — математической школы и статистической экономии, прео-
долев одновременно их односторонность. И на первых порах эко-
нометрики старались следовать триединой формуле Р. Фриша,
чрезвычайно высоко оценивая идею обязательного сочетания в эко-
номическом исследовании теоретического анализа, использования
эмпирических данных и применения методов математики. Следует,
однако, подчеркнуть, что эконометрика никогда не представляла
собой единого течения с точки зрения теоретических воззрений ее
приверженцев. В теоретическом отношении эконометрика эклек-
тична.
Первоначальное понятие эконометрики было общепринятым
только в период ее становления. В дальнейшем стали быстро раз-
виваться тенденции расслоения эконометрики. Этот процесс осу-
ществлялся в трех направлениях: наряду с теоретическими иссле-
дованиями на основе применения математики и статистики все
большее значения приобретали прикладные разработки, не имею-
щие непосредственного отношения к политэкономическим пробле-
мам; обособлялись абстрактно-теоретические исследования мате-
матических моделей экойомики, не использующие эмпирические
данные; получали развитие работы сугубо эмпирико-статистиче-
ского характера.
Следствием этих центробежных тенденций стала расплывча-
тость самого понятия «эконометрика»3.
Под эконометрикой в широком смысле понимается совокупность
различного рода экономических исследований, проводимых с ис-
пользованием математических методов. При такой трактовке эко-
1 Р. Фриш не был изобретателем этого термина. Еще в 1910 г. П. Чомпа
опубликовал во Львове книгу «Очерк эконометрии и естественной теории
бухгалтерии, основанной на политической экономии».
2 О структуре и деятельности Международного экономического общества
и содержании журнала «Эконометрика» см. в кн.: Экономико-математиче-
ские методы в зарубежной статистике. М., «Статистика», 1974, с. 239—309.
3 Подробный анализ различных толкований этого термина дан В. Э. Шля-
пентохом в работах «Очерки об эконометрике» (в сб.: Некоторые проблемы
политической экономии. «Научные труды Новосибирского государствен-
ного университета. Серия экономическая». Вып. 6. Новосибирск, 1965
с. 283—311) и [14, с. 3—15].
14
нометрика представляет собой довольно расплывчатое методоло-
гическое направление с большим разнообразием объектов иссле-
дования, не имеющее своей собственной экономической теории.
Наряду с экономико-математическими исследованиями народно-
хозяйственных проблем она включает также и все области при-
менения математических методов, для решения разнообразных
конкретно-экономических вопросов. Общеэкономическую ветвь
эконометрики иногда рассматривают как собственно эконо-
метрику — особое течение в современной буржуазной политэко-
номии. "
Эконометрика в узком смысле занимается главным образом при-
ложением статистических методов в экономических исследованиях:
построением математико-статистических моделей экономических
явлений, оценкой параметров в моделях любого типа и т. п. В со-
ответствии с этим пониманием, наиболее распространенным в на-
стоящее время, эконометрика включает сравнительно небольшую
часть всего разнообразия экономико-математических исследований
(исключаются не только работы, вообще не использующие число-
вые данные, но и работы, в которых используемая числовая инфор-
мация носит нормативный характер)1.
Другим полюсом эконометрики является математическая эко-
номия. Этим термином обычно обозначают математические иссле-
дования теоретических моделей народного хозяйства. Возникнове-
ние математической экономии есть естественный результат услож-
нения применяемого в экономике математического аппарата, созда-
ния новых разделов математического анализа идеальных экономи-
ческих объектов2. Математическая экономия в системе наук тяго-
теет к математике, хотя и сохраняет с экономической наукой тес-
ные связи.
Эконометрика (в широком смысле) является, безусловно, наи-
более быстро развивающейся областью буржуазной экономической
1 Из «узкого» понимания эконометрики исходит большинство зарубежных
учебников, в том числе изданные в СССР книги [9] и Г. Тинтнера «Введе-
ние в эконометрию».
О. Ланге дает такое определение: «. . . Эконометрия —это наука, занимаю-
щаяся определением при помощи статистических методов конкретных ко-
личественных закономерностей, наблюдаемых в экономической жизни»
[9, с. 17]. Правда, О. Ланге включает в свою книгу «теорию программиро-
вания» (балансовые и оптимизационные межотраслевые модели), не входя-
щие в предмет «узкой» эконометрики.
2 Выдающимся представителем математической экономии был Дж. фон
Нейман (1903—1957). Ему принадлежит целый ряд фундаментальных ре-
зультатов в математических теориях оптимального экономического роста,
экономического равновесия, в теории игр и т. д.
Среди изданных в СССР зарубежных работ по математической экономии
можно отметить следующие: Карлин С. Математические методы в тео-
рии игр, программировании и экономике. М., «Мир», 1964; Л а н к а с-
тер К. Математическая экономика. М., «Советское радио», 1972; Н и -
кай до X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.,
«Мир», 1972.
15
науки. Трудно указать такие теоретические и практические про-
блемы^ капиталистической экономики, в решении которых в настоя-
щее время не применялись бы математические методы. Математиче-
ское моделирование стало наиболее престижным направлением
в экономической науке Запада. Не случайно с момента учреждения
Нобелевских премий по экономике (1969 г.) они присуждаются,
как правило, за экономико-математические исследования. Среди
Нобелевских лауреатов — виднейшие эконометрики: Р. Фриш,
Я- Тинберген, П. Самуэльсон, Д. Хикс, К. Эрроу, В. Леонтьев,
Т. Купманс.
Чем объясняется быстрое развитие исследований по математи-
ческому моделированию экономики в капиталистических странах?
Положение марксистско-ленинской теории о существовании двух
функций буржуазной экономической науки — идеологической и
практической — дает основу для ответа на этот вопрос.
Эконометрика расширила арсенал приемов апологетики капи-
талистического строя. На основе математических моделей оптими-
зации, равновесия, теории игр модернизируются старые и создаются
новые экономические теории. Буржуазные экономисты исполь-
зуют авторитет математики, наивную веру многих людей в абсо-
лютную истинность математических формул для того, чтобы вну-
шить доверие к своим теоретическим выводам о возможности
гармоничного и эффективного развития капиталистической эко-
номики при взаимной заинтересованности всех социальных слоев
общества.
Однако распространение экономико-математических исследо-
ваний в капиталистических странах все же связано главным об-
разом с практической функцией экономической науки.
Капиталистическое государство и частный капитал возлагают
на экономическую науку задачи изучения объективных экономи-
ческих процессов и нахождения эффективных средств практического
воздействия на развитие хозяйства. Современная эконометрика
уже не может рассматриваться только как теория; она преврати-
лась в активное средство экономической политики капиталистиче-
ских предприятий, монополий,, государства.
С развитием государственно-монополистического капитализма,
усилением экономической роли государства центр тяжести при-
кладных исследований эконометрики постепенно перемещается
из микроэкономики в макроэкономику. В ведущих капиталистиче-
ских странах регулярно стали разрабатываться общенациональные
прогнозы и государственные экономические программы. В связи
с этим эконометрика получила социальный заказ на создание при-
кладных народнохозяйственных моделей. Примерно с 50-х годов
в капиталистическом прогнозировании применяются различные
виды макромоделей роста, межотраслевых балансовых моделей,
статистических моделей прогнозирования. Однако реальное воздей-
ствие этих моделей на экономическое развитие капиталистических
стран принципиально ограничено. И дело вовсе не в качестве самих
16
моделей. Сохранение частной собственности на средства произ-
водства приводит к тому, что общенациональные «планы» (про-
граммы) вне государственного сектора имеют лишь рекомендатель-
ный и ориентирующий («индикативный») характер. Эти «планы»
(а следовательно, и модели, используемые для их разработки) не
могут быть также обеспечены всей необходимой информацией о
развитии частного сектора.
Таким образом, капиталистическая система хозяйства, воздви-
гая непреодолимые преграды для общенационального управления
и эффективного использования всех ресурсов общества, не позво-
ляет в полной мере реализовать научные достижения в области ма-
тематического моделирования экономики.
§ 4. ЭКОНОМИСТЫ-МАТЕМАТИКИ
ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ РОССИИ
Особо следует сказать о вкладе ученых России в развитие эко-
номико-математических исследований.
В России идеи математической школы вызвали большой инте-
рес. Так, еще в 1867 г. в журнале «Отечественные записки» была
опубликована заметка об эффективности приложения математиче-
ских методов к изучению экономических явлений (непосредственным
поводом для заметки были работы немецкого статистика Энгеля).
В русских изданиях критически анализировались работы Курно,
Вальраса, Парето и других западных экономистов-математиков1.
С конца XIX в. появляются оригинальные экономико-матема-
тические исследования русских ученых — В. К. Дмитриева,
В. И. Борткевича, В. С. Войтинского, Р. М. Оржнецкого, В. В. Сам-
сонова, Н. А. Столярова, Н. Н. Шапошникова. Русские буржуаз-
ные экономисты, использовавшие в своих работах математические
методы, не были едины по своим теоретическим и политическим воз-
зрениям, но большинство из них находилось под сильным влиянием
психологической школы, рассматривавшей экономические явления
как результаты психологических реакций хозяйствующих субъектов.
Относительно самостоятельным направлением в русской эко-
номической науке конца XIX — начала XX вв. были исследования
по применению методов математической статистики. Это направ-
ление опиралось на богатые традиции русской статистики. Веду-
щую роль здесь играл А. А. Чупров (1874—1926), под руководством
которого выполнялись интересные работы по корреляционному
анализу экономических явлений2.
1 О пропаганде достижений математической школы говорит, например, факт
публикации в 1912 г. в Воронеже работы В. Парето «Чистая экономия».
2 См. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. О стати-
стическом исследовании связи между явлениями (1926). М., Госстатиздат
ЦСУ СССР, 1960.
17
Наиболее крупным экономистом-математиком дореволюционной
России был В. К. Дмитриев (1868—1913). Его первая известная
работа «Теория ценности Д. Рикардо. Опыт органического синтеза
трудовой ценности и теории предельной полезности» была опубли-
кована в 1898 г. Основной научный труд В. К. Дмитриева «Эконо-
мические очерки» вышел в 1904 г.
В своих политэкономических исследованиях В. К. Дмитриев
старался примирить теорию трудовой стоимости и теорию предель-
ной полезности. (Аналогичные попытки в русской литературе пред-
принимали М. И. Туган-Барановский и Н. А. Столяров, причем
последний использовал для этого математическое доказательство1.)
Позитивный же научный вклад В. К. Дмитриева состоял в том, что
в процессе своего исследования он построил модель полных затрат
труда и сбалансированных цен в виде системы линейных уравне-
ний с технологическими коэффициентами. «Формула В. К- Дмит-
риева» спустя несколько десятков лет нашла широкое применение
В моделировании межотраслевых связей и в СССР, и за рубежом
(см. § 3 главы 7).
Анализируя проблему формирования общественно необходи-
мых затрат, В. К. Дмитриев пришел к выводу, что величина этих
затрат регулируется затратами предприятий, работающих при
худших условиях, но выпускающих продукцию, необходимую для
удовлетворения общественного спроса. Этот вывод В. К. Дмит-
риева близок представлениям современной теории оптимального
планирования. В отличие от теоретиков западной математической
школы В. К. Дмитриев занимался и прикладными статистическими
исследованиями. Однако какой-либо законченной экономической
теории В. К. Дмитриев не создал2.
В истории экономико-математических исследований особое место
принадлежит Е. Е. Слуцкому (1880—1948). Широко известный
своими работами по теории вероятностей и математической ста-
тистике (уже в советское время), он в 1915 г. опубликовал в италь-
янском журнале «Giornale degli economisti е rivista di statistica»,
№ 1, статью «К теории сбалансированности бюджета потребителя»,
оказавшую большое влияние на экономико-математическую тео-
1 «Рациональное зерно» этой проблемы — в определении соотношения об-
щественно необходимых затрат труда на производство продукции и общест-
венной полезности продукции. Такая постановка проблемы, не имеющая
ничего общего с синтезом трудовой теории стоимости и субъективистской
теории предельной полезности, анализируется в главе 4.
2 Современные буржуазные экономисты А. Ноув и А. Цауберман, превоз-
нося достижения В. К. Дмитриева, всячески противопоставляют его
К. Марксу в области методологии исследования и полученных теоретиче-
ских выводов. (Nove A. and Zauberman A. A resurrected Rus-
sian economist of 1900.— «Soviet Studies».’Oxford, 1961, № 1). Эта пози-
ция, занятая по отношению к В. К. Дмитриеву, типична для некоторых
западных советологов, старающихся всеми силами доказать несовмести-
мость марксистской экономической теории с использованием математиче-
ских методов экономического исследования. (См. также § 3 главы 2.)
18
рию1. Спустя двадцать лет эта статья получила мировое признание.
Лауреат Нобелевской премии Д. Хикс в книге «Стоимость и ка-
питал» (1939) писал, что Слуцкий был первым экономистом, сде-
лавшим значительный шаг вперед по сравнению с классиками ма-
тематической школы, и оценивал свою работу как «первое систе-
матическое исследование той теории, которую открыл Слуцкий»2.
Английский экономист-математик Р. Аллен, автор известной книги
«Математическая экономия», отмечал в журнале «Эконометрика»,
что работы Слуцкого оказали «великое и прочное влияние» на раз-
витие эконометрики3.
Е. Е. Слуцкий весьма критически относился к субъективист-
ско-психологическим основам школы предельной полезности.
«Если мы хотим подвести под экономику надежную базу, то мы
должны сделать ее совершенно независимой от психологических
утверждений ...» — писал он в упомянутой статье. Специальную
работу Е. Е. Слуцкий посвятил критике положений Бем-Баверка
об измеримости субъективности ценности4.
Е. Е. Слуцкий является одним из родоначальников праксеоло-
гии — науки о принципах рациональной деятельности людей.
Крупнейший польский экономист-математик О. Ланге считает боль-
шой заслугой Е. Е. Слуцкого, что тот ввел праксеологию в эконо-
мическую науку5. Е. Е. Слуцкий оставил также ряд работ по при-
ложениям математической статистики к анализу экономических
явлений (влияние случайных причин на циклические колебания)®.
К сожалению, после 1915 г. Е. Е. Слуцкий не возвращался уже
к проблемам экономико-математического анализа покупательского
- спроса. Он писал: «Когда рушилось капиталистическое общество
и стали обрисовываться контуры планового социалистического
хозяйственного строя, исчезла база для тех проблем, которые за-
' 1 В 1963 г, статья была издана на русском языке в сборнике «Экономико-
• математические методы». Вып. 1, М., Изд-во АН СССР. Статья сопровож-
дается комментарием советских экономистов-математиков В. А. Волкон-
ского и А. А. Конюса, в котором они отмечают, что «работа Е. Е. Слуцкого
имеет не только историческое значение или представляет интерес как ут-
верждение приоритета русского ученого. Она не потеряла своей актуаль-
ности до настоящего времени . . .» (с. 276).
2 Н i с k s I. R. Value and capital. Oxford, 1946, p. 10.
2 См. Allen R. G. D. The work of Eugen Slutsky.—«Econometrica»,
vol. 18, № 3, 1950, p. 209.
4 Cm. Slutsky Eugen. Zur Kritik des Bohm-Bawerk’ schen Wertbeg-
riffs und seiner Lehre von der Messbarkeit des Wertes. «Schomoller’s Jahr-
buch ftir Gesetzgebung, Verwaltung und Volkswirtschaft im Deutschen
Reich», Jahrgang 51, H. 4, 1927.
5 Как самостоятельная область социологических исследований праксеоло-
гия получила наибольшее развитие в Польше. О. Ланге рассматривает
< оптимальное планирование как часть праксеологии (Ланге О. Опти-
мальные решения. Основы программирования. М., «Прогресс», 1967,
с. 9-15).
6 См. Слуцкий Е. Е. Сложение случайных причин как источник цик-
лических процессов.— В кн.: Избранные труды. Теория вероятностей и
математическая статистика. М., Изд-во АН СССР, 1960.
19
нимали меня как экономиста-математика»1. Это было, конечно, за-
блуждением. Социалистическое планирование вовсе не исключает
использование товарно-денежных отношений, особенно в сфере
распределения потребительских благ. Идеи Е. Е. Слуцкого по ана-
лизу целевой функции потребления, функциям покупательского
спроса, взаимозаменяемости и взаимодополняемости товаров, ко-
эффициентам эластичности спроса развиваются советскими эконо-
мистами-математиками.
§ 5. РАЗВИТИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЙ В СССР
Создание первого в мире социалистического государства выдви-
нуло перед экономической наукой принципиально новые задачи.
И уже в годы гражданской войны и восстановления народного хо-
зяйства закладывались основы повой методологии и организации
экономических исследований. Огромное значение в становлении
экономической науки, создании общегосударственной системы
учета, планирования и управления имели научные труды и практи-
ческая деятельность В. И. Ленина. Работы В. И. Ленина опреде-
лили и главные принципы, и проблемы исследований по моделиро-
ванию социалистической экономики.
В 20-е годы экономико-математические исследования в СССР
проводились в основном по двум направлениям: моделирование
процесса расширенного воспроизводства и применение методов
математической статистики в изучении хозяйственной конъюнк-
туры и в прогнозировании.
На развитие в СССР синтетических статистических работ по
анализу процесса социалистического воспроизводства и построе-
ние балансовых моделей народного хозяйства большое влияние
оказывали ленинские указания о необходимости систематизиро-
ванного учета массовых данных в масштабе всей страны, собирае-
мых по одной определенной программе и сводимых вместе специа-
листами-статистиками, о принципах построения сбалансирован-
ного народнохозяйственного плана, в частности о том, что «все
планы отдельных отраслей производства должны быть строго ко-
ординированы, связаны и вместе составлять тот единый хозяйст-
венный план, в котором мы так нуждаемся»2. Уже в первом совет-
ском хозяйственном плане — плане ГОЭЛРО, разработанном при
участии и под руководством В. И. Ленина,— содержались важные
предпосылки для построения народнохозяйственных моделей (фор-
мулировка целей и ограничений, использование балансового ме-
тода, единство материально-вещественного и стоимостного аспек-
1 Цит. по кн.: Четвериков Н. С. Жизнь и научная деятельность
Е. Е. Слуцкого («Ученые записки по статистике», 1959, т. 5, с. 259).
2 Л е н и н В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 42, с. 154.
20
тов плана и т. д.)1. Выдающимся достижением советской статистики
явилась разработка первого в мире баланса народного хозяйства
СССР за 1923/24 хозяйственный год.
Баланс народного хозяйства СССР был построен ЦСУ СССР
под руководством П. И. Попова3. Этот баланс включал наряду со
сводными показателями воспроизводства (в материально-вещест-
венном и стоимостном разрезах) также и таблицы межотраслевых
потоков предметов труда и средств труда. Работа ЦСУ СССР на
много лет опередила зарубежные статистические исследования как
по сводным балансовым таблицам (национальным счетам), так и по
межотраслевым балансам (методу input — output)3.
Во второй половине двадцатых годов проводились работы по
совершенствованию статистических основ межотраслевого баланса
(в частности, М. Баренгольцем, развивавшим идею «технических»
коэффициентов затрат) и по математическому моделированию меж-
отраслевых связей. В 1926 г. Я. Шатуновский прочитал в Комму-
нистической Академии доклад «Математический опыт учета элемен-
тов народного хозяйства посредством системы линейных уравне-
ний» (как известно, ранее система уравнений межотраслевых свя-
зей рассматривалась В. К. Дмитриевым). Интересные попытки
применить математические методы для изучения структуры и обра-
зования народнохозяйственных затрат предпринял Л. Лубны-
1 По мнению польского экономиста В. И. Пшелясковского, план ГОЭЛРО
удовлетворяет условиям модели экономического роста, однако эта модель
не оформлена математически (Пшелясковский В. И. Элементы
теории роста в ленинском плане электрификации России. (К 50-летию
плана ГОЭЛРО).— «Экономика и математические методы», 1969, т. V,
вып. 2). В. И. Пшелясковский выявил целевую функцию и ограничения
модели, проанализировал законы изменения параметров, заложенных
в плане ГОЭЛРО. Он получил также функцию роста валовой продукции
промышленности, используемую в плане:
р рое0,0518 *+0.00176 г
2 Баланс народного хозяйства Союза ССР 1923—1924 гг. Труды ЦСУ СССР.
Т. XXIX. М., 1926. Основные авторы работы: П. И. Попов, Л. Н. Лито-
шенко, О. А. Квиткин, Ф. Г. Дубовиков, Н. О. Дубенецкий, И. А. Моро-
зова.
В предисловии к публикации П. И. Попов писал: «Общие теоретике-мето-
дологические предпосылки мы находим в положениях, которые были раз-
работаны К. Марксом, подведшим итог исследованиям Ф. Кенэ и давшим
законченную схему как простого, так и расширенного воспроизводства
общественного хозяйства».
3 В. Леонтьев, считающийся на Западе родоначальником метода межотрас-
левого баланса, до конца 20-х годов проживал в СССР, был хорошо знаком
с балансом народного хозяйства СССР за 1923—1924 гг. и даже опублико-
вал на эту работу рецензию в журнале «Плановое хозяйство» (1925, № 12).
Свои же работы по анализу межотраслевых связей США В. Леонтьев на-
чал в 1931 г., а первые его публикации межотраслевых балансов США за
1919 и 1929 гг. относятся к 1936 г. Хорошо известны его большие заслуги
в развитии, математическом.оформлении и популяризации идей межотрас-
левого баланса и организации работ по межотраслевым балансам во мно-
гих странах мира.
21
Герцык1. Таким образом, к концу 20-х годов в СССР уже были раз-
работаны многие экономические и математические проблемы меж-
отраслевых моделей народного хозяйства.
Большое внимание уделялось советскими экономистами разви-
тию схем воспроизводства К. Маркса и В. И. Ленина, их усложне-
нию и математической формализации. Л. Крицман обобщил анализ
схем воспроизводства на случай трех, четырех и, наконец, п под-
разделений общественного воспроизводства2. В работах В. Поздня-
кова, В. Старовского, А. Орлеанского проводились математические
преобразования схем и параметрический анализ важнейших со-
отношений3 *.
Значительной вехой в истории экономико-математических ис-
следований явилась разработка Г. А. Фельдманом (1884—1958)
математических моделей экономического роста. Один из авторов
плана ГОЭЛРО, работник первого состава Госплана СССР, свои
основные идеи по моделированию социалистической экономики он
изложил в двух статьях, опубликованных в журнале «Плановое
хозяйство» в 1928—1929 гг.1 Математические модели роста
Г. А. Фельдман базировал на марксовых схемах расширенного
воспроизводства и ставил перед собой задачу «приспособить схему
Маркса к условиям строительства социализма в капиталистическом
окружении»5. Он предложил свой оригинальный вариант схемы
расширенного воспроизводства, причем не только в алгебраической
форме, но и графической.
Основная модель роста Г. А. Фельдмана выражала взаимосвязи
темпа роста национального дохода, изменения фондоотдачи и про-
изводительности труда, структуры использования национального
дохода. Эта модель имела не только теоретическое значение, она
использовалась в разработке первого генерального плана разви-
тия народного хозяйства СССР на 15—20 лет, которая проводи-
лась в конце 20-х — начале 30-х годов. (Первая из указанных ста-
1 Л у б н ы - Ге р цы к Л. О переводе,капитал а в трудовые эквиваленты.
М., 1922.
2 К р и ц м а н Л. Об условиях равновесия капиталистического произ-
водства.— «Народное хозяйство», 1920, ноябрь.
а Поздняков В. Формула схемы простого воспроизводства.— «Под
знаменем марксизма», 1923, № 4—5; Старовский В. Опыт матема-
тической интерпретации схемы расширенного воспроизводства.— «Социа-
листическое хозяйство», 1923, кн. 5—6; Орлеанский А. Формулы
схем простого и расширенного воспроизводства.— «Проблемы экономики»,
1930, № 6. Анализ этих работ см. в [10, с. 86—91].
‘Фельдман Г. А. К теории темпов народного дохода (Под углом
зрения народного хозяйства СССР).—«Плановое хозяйство», 1928, № 11 —
12; Аналитический метод построения перспективных планов.— «Плановое
хозяйство», 1929, № 12.
О жизни и деятельности Г. А. Фельдмана см. статью Альб. Л. Вайнштейна
и Г. И. Ханина в журнале «Экономика и математические методы», 1968,
т. IV, вып. 2, с. 296—299. Довольно подробный анализ его основных ра-
бот дается в [5, с. 131—172].
5 «Плановое хозяйство», 1930, № 3, с. 175.
22
тей Фельдмана представляет изложение его доклада в комиссии
Госплана СССР по составлению генерального плана, во второй
приводятся рассчитанные по модели темпы роста национального
дохода вплоть до 1950 г.)
Статьи Г. А. Фельдмана намного опередили работы Д. Кейнса,
Р. Харрода, Е. Домара и других западных экономистов по макро-
экономическим динамическим моделям и в еще большей степени —
исследования по двухсекторным моделям экономического роста
(с выделением двух подразделений)1. Но за рубежом научные ре-
зультаты Г. А. Фельдмана долгое время оставались незамеченными.
Они были «открыты» там только после Великой Отечественной войны
и вызвали огромный интерес. Обе статьи были полностью опубли-
кованы в США в 1964 г. и детально проанализированы. Е. Домар
в своей книге по теории роста один из разделов целиком посвятил
изложению статей Г. А. Фельдмана, назвав их замечательными,
началом создания математической теории роста. Он признал, что
«эти советские попытки были более разработаны, чем аналогичные
попытки, сделанные на Западе»2.
Работы Г. А. Фельдмана имеют и общеметодологическое значе-
ние для моделирования социалистической экономики. В них со-
держится четкая (и удивительно современная) аргументация не-
обходимости использования математических методов в народно-
хозяйственном планировании: «Нельзя представить несложного
метода проектирования такого сложного аппарата, каким является
народное хозяйство. С другой стороны, мы не знаем более совер-
шенной формы анализа, чем математика . . . Мы убеждены, что
более или менее совершенное планирование народного хозяйства
может быть осуществлено лишь на основе четкой, математически
сформулированной теории; только тогда споры по планам могут
быть сведены к принципиальным установкам и целевым заданиям
при полной уверенности в безошибочности расчетов»3. Изучение
экономико-математических работ Г. А. Фельдмана остается акту-
альным и в наше время.
Другое направление экономико-математических исследований
20-х годов было представлено многочисленными работами по ана-
лизу хозяйственной конъюнктуры, анализу временных рядов и се-
зонных колебаний, краткосрочным экономическим прогнозам на
основе математико-статистических моделей. Для проведения этих
работ в широких масштабах в 1922 г. был создан Конъюнктурный
институт. Советские ученые выполняли указание В. И. Ленина
о необходимости построения index-number (числа-показателя),
который в обобщенном виде характеризовал бы состояние и дина-
1 Первая модель роста Е. Домара; близкая односекторной модели Фельд-
мана, была опубликована только в 1938 г. В современной литературе она
более известна как модель Харрода—Домара.
2 D о т a г Е. Essays on the Theory of Economic Growth. N. Y., 1957, p. 17.
3 «Плановое хозяйство», 1928, № 12, с. 177—178.
23
мику экономики. В математико-статистических исследованиях эко-
номических явлений нашли свое развитие традиции русской школы
статистиков. Наряду с указанными исследованиями были начаты
также работы по демографическому анализу, изучению спроса и
предложения, моделированию сферы личного потребления. Можно
отметить, в частности, ряд теоретических работ С. С. Бюшгенса
и А. А. Конюса по моделям потребления, индексам цен и покупа-
тельной способности денег, перекликающихся в проблемном отно-
шении с более ранней работой Е. Е. Слуцкого1.
Исследования по моделированию социалистической экономики,
успешно начатые советскими учеными, к сожалению, не получили
дальнейшего развития в 30-е годы. И лишь в конце 30-х годов прои-
зошли события, оказавшие впоследствии огромное влияние на эко-
номя ко-математи чески е исследов ани я.
В 1938—1939 гг. ленинградский математик Л. В. Канторович
(р. 1912) в результате анализа ряда проблем организации и плани-
рования производства сформулировал новый класс условно-экстре-
мальных задач с ограничениями в виде неравенств и предложил
методы их решения. Эта новая область прикладной математики
позже получила название «.линейное программирование». В США
линейное программирование было переоткрыто Дж. Данцигом
в конце 40-х годов. Ныне приоритет Л. В. Канторовича признан
во всем мире. В 1975 г. Л. В. Канторовичу совместно с американ-
ским ученым Т. Купмансом за исследования по оптимальному ис-
пользованию ресурсов была присуждена Нобелевская премия.
В книге «Математические методы организации и планирования
производства» (1939) Л. В. Канторович изложил опыт применения
линейного программирования для решения разнообразных эконо-
мических задач: распределение работ между видами оборудования,
использование комплексного сырья, раскрой материалов, распре-
деление посевных площадей между культурами, составление плана
перевозок и т. д. В этой же книге автор ввел понятие разрешаю-
щих множителей (впоследствии названных им объективно обуслов-
ленными оценками) и установил их связь с оптимальным планом2.
В более поздних работах Л. В. Канторович расширил сферу при-
менения линейного программирования в социалистической эконо-
мике, сформулировав задачи отраслевого и народнохозяйственного
оптимального планирования. Спустя два десятилетия после своего
1 Б ю ш г е н с С. С. и Ко н юс А. А. К проблеме покупательной силы
денег.— «Вопросы конъюнктуры», 1926, т. II; Бюш ген с С. С. Об
одном классе гиперповерхностей.— «Математический сборник». XXXII,
1925, № 4.
А. А. Конюс (р. 1895) — старейшина советской экономико-математиче-
ской школы — и до настоящего времени активно продолжает исследова-
ния в области моделирования покупательского спроса и потребления.
2 Эта работа полностью вошла в сборник «Применение математики в эконо-
мических исследованиях». Под ред. В. С. Немчинова. М., Соцэкгиз, 1959,
с. 251—309.
24
возникновения линейное программирование стало основным инстру-
ментом планово-экономических решений на всех уровнях социали-
стического хозяйства.
В 1939 г. почти одновременно с Л. В. Канторовичем ленинград-
ский экономист В. В. Новожилов (1892—1970) опубликовал свою
крупную экономико-математическую работу «Методы соизмерения
народнохозяйственной эффективности плановых и проектных ва-
риантов»1. В ней содержались важные теоретические положения,
ставшие потом органической частью теории оптимального плани-
рования социалистической экономики. В. В. Новожилов сформу-
лировал задачу оптимального народнохозяйственного плана (на
минимум трудовых затрат), принципы соизмерения затрат и ре-
зультатов при оптимальном планировании.
Экономико-математические исследования в 30—40-е годы не
ограничивались только работами Л. В. Канторовича (и его учени-
ков) и В. В. Новожилова по оптимальному планированию. В этот
же период выполнялись исследования по рационализации транс-
портных перевозок (А. Л. Лурье, В. Н. Толстой), по методам от-
бора вариантов капиталовложений (особенно в энергетике и транс-
портном строительстве), применению математико-статистических
методов в анализе производственных процессов. Среди исследова-
ний общеэкономического характера следует выделить разработку
С. Г. Струмилиным числовых моделей эффективности живого труда
и баланса народного хозяйства. Однако достижения в области эко-
номико-математических методов были мало знакомы экономистам
и слабо использовались в хозяйственной практике.
Новый этап в развитии экономико-математических исследова-
ний в СССР начался во второй половине 50-х годов.
Резко возросший в то время интерес к применению математики
в экономике был вызван потребностями в совершенствовании мето-
дов планового руководства социалистической экономикой и прин-
ципиально новыми возможностями проведения экономических рас-
четов и обработки экономической информации, возникшими бла-
годаря появлению ЭВМ.
В 1957—1958 гг. создаются первые специализированные эконо-
мико-математические подразделения: Лаборатория по применению
математических и статистических методов в составе Академии наук
СССР, лаборатория в Институте электронных управляющих ма-
шин, Вычислительный центр при Госплане СССР, несколько
позже — отдельные группы в научно-исследовательских институ-
тах Госплана СССР, Госстроя СССР, Госкомитета Совета Министров
СССР по труду и социальным вопросам и т. д. Разрабатывается сеть
учебных курсов по совершенствованию математической подготовки
экономистов. В вузах открываются первые отделения для подго-
товки специалистов по применению в экономике математических
методов и электронной вычислительной техники. Для разработки
1 Труды Ленинградского индустриального института. 1939, № 4.
25
новых проблем, возникших на стыке экономики, математики, ки-
бернетики, были привлечены крупные творческие силы — специа-
листы по различным отраслям знаний. Из отдельных, разрознен-
ных экономико-математических исследований начало формиро-
ваться новое научное направление.
Выдающуюся роль в организации и пропаганде экономико-
математических исследований, в создании советской эконо-
мико-математической школы сыграл академик В. С. Немчинов
(1894—1964).
В апреле 1960 г. состоялось Научное совещание о применении
математических методов в экономических исследованиях и плани-
ровании, созванное Президиумом АН СССР. Оно подвело первые
итоги нового этапа экономико-математических исследований: на
пленарном заседании и в шести секциях было заслушано около
60 докладов по широкому кругу проблем1. Совещание определило
наиболее важные направления дальнейшего развития экономико-
математических исследований и утвердило соответствующий коор-
динационный план.
Для объединения экономико-математических исследований на
единой методологической основе большое значение имели фунда-
ментальные работы Л. В. Канторовича «Экономический расчет наи-
лучшего использования ресурсов» (1959), В. В. Новожилова «Из-
мерение затрат и их результатов в социалистическом хозяйстве»
(1959), В. С. Немчинова «Экономико-математические методы и мо-
дели» (1962). За этот цикл работ их авторам в 1964 г. была присуж-
дена Ленинская премия.
Быстрому распространению новых идей и опыта экономико-
математических исследований во многом способствовали всесоюз-
ные конференции: по опыту и перспективам применения математи-
ческих методов и ЭВМ в планировании (Новосибирск, 1962), по
экономической кибернетике (Батуми, 1966 и Ужгород, 1968), по
оптимальному планированию и управлению народным хозяйством
(Москва, 1971), а также конференции, совещания, симпозиумы по
специальным проблемам. Благодаря неутомимой творческой, пе-
дагогической, организационной, издательской деятельности вы-
дающихся ученых старшего поколения Альб. Л. Вайнштейна,
А. Л. Лурье, А. А. Конюса, Е. Л. Минца и других сохранялись
и крепли лучшие традиции советской экономико-математической
школы. Большое значение имело сотрудничество с учеными социа-
листических стран.
1 На совещании работали секции: математический анализ расширенного
воспроизводства, межотраслевой баланс производства и распределения
продукции, линейное программирование, применение математических ме-
тодов в планировании и эксплуатации на транспорте, применение матема-
тических' методов в технико-экономических расчетах, математическая
статистика.
Труды совещания в семи томах опубликованы издательством АН СССР
в 1961—1962 гг.
26
E, К середине 60-х годов в СССР уже была создана развитая си-
< стема организации экономико-математических исследований. В со-
| ставе Академии наук СССР были образованы Центральный эконо-
мико-математический институт (ЦЭМИ), а также центры экономико-
математических исследований в Новосибирске (Институт экономики
и организации промышленного производства и Институт матема-
тики), Киеве (Институт кибернетики), Ленинграде (отделение
ЦЭМИ). Организованы Главный вычислительный центр Госплана
-1 СССР, оснащаемый новейшей техникой, и вычислительные центры
’• Госпланов союзных республик. Экономико-математические разра-
ботки заняли важное место в тематике научных экономических орга-
низаций Госплана СССР (НИЭИ, НИИПИН, СОПС, ИКТП), Ин-
ститута проблем управления и Вычислительного центра АН СССР,
отраслевых научно-исследовательских и проектных институтов, ка-
федр экономических вузов и факультетов. Специализированные
научные подразделения возникли во всех союзных республиках
(в системе республиканских академий наук и Госпланов). Исследо-
вания, проводимые этими многочисленными организациями, ко-
ординируются Научным советом АН СССР по комплексной про-
блеме «Оптимальное планирование и управление народным хозяйст-
вом» (председатель — академик Н. П. Федоренко). С 1965 г. из-
дается журнал «Экономика и математические методы». Создана
также развернутая сеть экономико-математического образования:
более двух десятков университетов и экономических вузов ведут
подготовку по специальности «экономическая кибернетика».
В 60-х годах были разработаны важные теоретические положе-
ния, обобщившие результаты отдельных экономико-математиче-
ских исследований. Ключевыми теоретическими проблемами, раз-
’ рабатываемыми с использованием экономико-математических ме-
? тодов, являются проблемы народнохозяйственного оптимума, со-
1 измерения затрат и результатов, закономерностей расширенного
воспроизводства, структурного анализа экономической системы,
применения механизма товарно-денежных отношений в управле-
нии хозяйством. В принятом в 1967 г. постановлении ЦК КПСС
«О мерах по дальнейшему развитию общественных наук и повыше-
нию их роли в коммунистическом строительстве» отмечалось, что
развитие теории оптимального планирования и функционирования
социалистической экономики является одной из первоочередных
задач советской экономической науки.
Проводившиеся в нашей стране экономико-математические ис-
следования были ориентированы на решение важных экономиче-
ских проблем. Были созданы основные типы математических мо-
делей для народнохозяйственного, отраслевого, регионального,
внутризаводского планирования1.
1 Обзор проводившихся в этот период исследований дан в статье Е. 3. Май-
минаса «К истории и перспективам развития экономико-математических
исследований в СССР» [12, с. 7—34].
27
В области народнохозяйственного моделирования работы велись
как по синтетическим моделям, характеризующим процесс вос-
производства в целом (макромодели и межотраслевые модели), так
и по моделям отдельных сторон воспроизводственного процесса
(комплекс моделей уровня жизни, модели ценообразования, кре-
дитно-финансового механизма, внешнеэкономических связей и т. д.).
Наибольшее развитие получили работы по межотраслевому ба-
лансу. ЦСУ СССР были построены отчетные межотраслевые ба-
лансы за 1959, 1966, 1972 гг.; регулярно (с 1962 г.) разрабатываются
плановые межотраслевые балансы. Эти исследования в 1968 г.
были удостоены Государственной премии СССР. Применение меж-
отраслевых моделей дало возможность проводить многовариантные
плановые расчеты и повысить степень сбалансированности народ-
нохозяйственных планов.
В области моделирования отраслей производства удалось до-
стичь, пожалуй, наиболее существенных практических результа-
тов. От решения простейших задач транспортировки продуктов
вскоре перешли к задачам размещения производства однопродук-
товых отраслей, затем — к многопродуктовым моделям, в которых
комплексно рассматривалась оптимизация развития, размещения,
специализации, кооперирования, транспортировки, и, наконец,—
к моделям многоуровневых отраслевых систем и многоотраслевых
(программных) комплексов. В настоящее время свыше 70 отраслей
производства регулярно используют в своей практике результаты
оптимизационных расчетов; это дает возможность экономить по
сравнению с традиционными расчетными методами до 10—15%
общего объема затрат.
Интенсивно развивается моделирование территориальных си-
стем. Для прогнозирования развития хозяйства союзных респуб-
лик созданы и нашли практическое применение макроэкономиче-
ские и межотраслевые модели. Проходят экспериментальную про-
верку межрегиональные межотраслевые модели. Разработана
группа моделей внутрирегионального развития: модели террито-
риально-производственных комплексов и их сочетаний, промыш-
ленных узлов, систем расселения и т. д. Такие модели используются
в предплановых научных обоснованиях, при построении генераль-
ных схем размещения производительных сил и схем районных пла-
нировок.
Большим разнообразием отличаются модели планирования и уп-
равления на предприятиях. Сюда относятся модели оптимального
использования производственных мощностей (оборудования), опе-
ративно-календарного планирования, выбора технологических спо-
собов, составления смесей и рационального раскроя, управления
запасами, технико-экономической подготовки производства и т. д.
Эти модели составляют экономико-математическую основу авто-
матизированных систем управления предприятиями (АСУП),
которые в нашей стране стали создаваться во второй половине
60-х годов.
28
Наряду с расширением сферы применения математических мо-
делей в экономике и планировании осуществляется процесс усо-
вершенствования моделей и применения более адекватного матема-
тического аппарата: переход от статических моделей к динамиче-
ским, от жестко детерминистских моделей к учитывающим стоха-
стику и неопределенность экономических процессов; применение
нелинейного и целочисленного программирования, методов стати-
стического моделирования; создание новых алгоритмов, позволяю-
щих решать задачи большой размерности, и т. д.
Однако было бы неправильно представлять развитие экономико-
математических исследований как путь непрерывных побед. В на-
чале 60-х годов энтузиасты надеялись буквально за считанные годы
полностью математизировать весь процесс планирования и управ-
ления народным хозяйством. В действительности все оказалось
сложнее. Пришлось преодолевать огромные трудности при решении
теоретических, информационных, вычислительных проблем и осо-
бенно проблем «встраивания» математических моделей в сущест-
вующую систему планирования и управления.
С развитием работ по применению математического моделиро-
вания для решения разнообразных, но недостаточно связанных
между собой экономических задач созревала необходимость пере-
хода к новому этапу — системному использованию математиче-
ских методов и моделей в планировании и управлении народным хо-
зяйством.
Осуществление этого этапа требует решения двух основных
проблем. Во-первых, необходимо объединить отдельные модели
экономических процессов и явлений, построить общую систему
моделей народного хозяйства, которая позволила бы в комплексе
решать главные проблемы планирования и управления. Варианты
систем моделей в настоящее время разрабатываются и эксперимен-
тально опробываются. Во-вторых, необходимо органически вклю-
чить использование математических моделей в процесс планиро-
вания народного хозяйства, создать новую технологию планиро-
вания, базирующуюся на системном использовании математиче-
ских методов и ЭВМ. Важным шагом решения этой проблемы
является разработка автоматизированной системы плановых расче-
тов (АСПР) в Госплане СССР и Госпланах союзных республик.
Первые очереди АСПР были приняты в эксплуатацию в 1976—
1977 гг.
Высокая оценка проведенных в нашей стране экономико-мате-
матических исследований была дана на XXIV съезде КПСС. «Наука
серьезно обогатила теоретический арсенал планирования, разра-
ботав методы экономико-математического моделирования, систем-
ного анализа и другие»,— говорил на съезде Генеральный секретарь
ЦК КПСС Л. И. Брежнев1. «Совершенствование системы планиро-
'Брежнев Л. И. Ленинским курсом. Речи и статьи. Т. 3. М., Полит-
издат, 1972, с. 269.
29
вания и управления народным хозяйством в современных усло-
виях,— отмечалось на XXIV съезде КПСС,— требует широкого
применения экономико-математических методов и использования
электронно-вычислительной техники, оргтехники, технически пе-
редовых средств связи» [3, с. 174].
В докладе Л. И. Брежнева на XXV съезде КПСС вновь была
подчеркнута важная роль новых научных методов и технических
средств для совершенствования планирования народного хозяй-
ства: «Здесь — широкое поле для приложения усилий экономи-
ческой науки, для внедрения современных научных методов, в том
числе экономико-математических, для использования автоматизи-
рованных систем управления» [4, с. 59].
ЛИТЕ РАТУ РА к разделу первому
1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е. Т. 24.
2. Л е н и н В. И. По поводу так называемого вопроса о рынках.
Поли. собр. соч. Изд. 5-е. Т. 1.
3. Материалы XXIV съезда КПСС. М., Политиздат, 1972.
4. Материалы XXV съезда КПСС. М., Политиздат, 1976.
5. Б е л я п о в а А. М. О темпах экономического развития СССР (по
материалам дискуссий 20-х годов). М., «Экономика», 1974.
6. Б л ю м и н И. Г. Критика буржуазной политической экономии. Т. I.
М„ Изд-во АН СССР, 1962.
7. Буржуазные экономические теории и экономическая политика империа-
листических стран. М., «Мысль», 1971.
8. К е н э Ф. Избранные экономические произведения. М., Соцэкгиз,
1960.
9. Л а н г е О. Введение в эконометрику. М., «Прогресс», 1964.
10. Моделирование народнохозяйственных процессов. Под ред. В. С. Да-
даяна. М., «Экономика», 1973.
11. Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. М.,
«Мысль», 1965.
12. Проблемы планирования и прогнозирования. М., «Наука», 1974.
13. С е л и г м е н Б. Основные течения современной экономической мысли.
М., «Прогресс», 1968.
14. III л я п е н т о х В. Э. Эконометрика и проблемы экономического
роста. М., «Мысль», 1966.
Раздел второй
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
Глава 2 _________________________
МЕТОД
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В ЭКОНОМИКЕ
§ 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО
ПОЗНАНИЯ
Моделирование в научных исследованиях стало применяться
еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые об-
ласти научных знаний: техническое конструирование, строитель-
ство и архитектуру, астрономию, классическую физику, химию
и биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и
признание практически во всех отраслях современной науки при-
нес методу моделирования XX век.
Однако методология моделирования долгое время развивалась
независимо в недрах отдельных наук. Отсутствовала единая си-
стема понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осоз-
наваться роль моделирования как универсального метода научного
познания, как важной гносеологической категории.
Теперь же приходится сталкиваться уже с трудностями совер-
шенно другого рода. Понятия «модель» и «моделирование» стали
настолько употребительными, что зачастую сложно разобраться,
где же кончается «мир» моделей и что в процессах познания не яв-
ляется моделированием.
31
Понятия «модель» и «моделирование». Сущность
процесса моделирования
Термин «модель» широко используется в различных областях
человеческой деятельности. Мы будем рассматривать только мо-
дели, применяемые в научных исследованиях.
Модель — это такой материально или мысленно представляе-
мый объект, который в процессе исследования замещает объект-
оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания
об объекте-оригинале1.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения
и применения моделей. Оно тесно связано с такими гносеологиче-
скими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др.
Процесс моделирования обязательно включает и построение аб-
стракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование на-
учных гипотез. Поэтому естественно задать вопрос: является ли
моделирование особым методом научного познания, не является
ли оно синонимом процесса теоретического исследования или про-
цесса познавательной деятельности вообще?
Главная особенность моделирования в том, что это метод опо-
средованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель
выступает как своеобразный инструмент для познания, который
исследователь ставит между собой и объектом и с помощью кото-
рого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность
метода моделирования определяет специфические формы исполь-
зования абстракций, аналогий, гипотез и способы построения тео-
рий. Смешение, отождествление понятий «модель» и «моделирова-
ние» с другими категориями и методами познания имеет ряд отри-
цательных последствий: создается путаница в научной терминоло-
гии, затушевываются специфические именно для моделирования
проблемы, создается иллюзия, что моделирование может полностью
заменить или поглотить другие методы исследования.
Необходимость использования метода моделирования опреде-
ляется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим
объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно
(когда объект недосягаем, как, например, ядро Земли и глубины
Вселенной, либо еще реально не существует: будущее состояние
экономики, будущие потребности общества и т. п.), или это иссле-
дование требует много времени и средств.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (ис-
следователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую
отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Сущность
процесса моделирования схематически отображена на рис. 2.1.
1 Литература по методологии научных исследований содержит немало су-
щественно различных определений понятия «модель». Приводимое опреде-
ление ближе к определениям, содержащимся в работах [21, с. 42], [29,
с. 19], [18, с. 40].
32
Пусть имеется некоторый объект А, который необходимо ис-
следовать. Мы конструируем или находим в реальном мире другой
объект В — модель объекта А. Этап построения модели предпола-
гает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познаватель-
ные возможности модели обусловливаются тем, что модель отобра-
жает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты
объекта-оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере
сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Оче-
видно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с ори-
гиналом (тогда опа перестает быть моделью), так и в случае чрез-
мерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.
Этап 1
построение
модели
Модель
В
Объект
исследодания
А
Этапе/.
Этап Ш.
перенос знаний
с модели на
оригинал
Знания
об объекте-
оригинале
продерка и
применение
знаний
РИС. 2.1.
„ 771 изучение
J/77^/7/71
Знания
о модели
R
Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта
осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Поэ-
тому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограничен-
ном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть
построено несколько «специализированных» моделей, концентри-
рующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта
или же характеризующих объект с разной степенью детализации.
На втором этапе процесса моделирования модель выступает
как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого
исследования является проведение «модельных» экспериментов,
при которых сознатедьно изменяются условия функционирования
модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным
результатом этого этапа является множество (совокупность) зна-
ний о модели jR.
На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на
оригинал—формирование множества знаний S. Одновременно
мы переходим с «языка» модели на «язык» оригинала. Этот процесс
знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели
должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-ори-
гинала, которые не нашли отражения или были изменены при по-
строении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить
2 А. Г. Гранберг
33
какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат
необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели.
Если же определенный результат модельного исследования связан
с отличием модели от оригинала (неадекватностью), то этот резуль-
тат переносить неправомерно.
Четвертый этап — практическая проверка получаемых с по-
мощью моделей знаний и их использование для построения обоб-
щающей теории объекта, его преобразования или управления им.
В итоге мы снова возвращаемся к проблематике реального объекта.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из
виду, что моделирование — не единственный источник знаний об
объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий про-
цесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе
построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит
объединение и обобщение результатов исследования, получаемых
па основе многообразных средств познания.
Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за
первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий
и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и
уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Не-
достатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обус-
ловленные малым знанием объекта и ошибками в построении мо-
дели, можно исправить в последующих циклах.
В методологии моделирования, таким образом, заложены боль-
шие возможности самосовершенствования.
О формах моделирования
Метод моделирования^может применяться для исследования
объектов любой природы, и в свою очередь любой объект в прин-
ципе может стать средством моделирования. При этом природа
выбранного объекта-модели оказывает большое влияние на мето-
дику познавательного процесса.
Все множество моделей делится на два больших класса: модели
материальные (предметные) и модели идеальные (мысленные).
Первые воплощены в каких-либо материальных объектах, имеющих
естественное или искусственное происхождение (отобранные в при-
роде или созданные человеком для целей исследования); вторые —
являются продуктом человеческого мышления, операции с такими
моделями осуществляются в сознании человека.
В классе материальных (предметных) моделей можно выделить
две основные группы: модели физические и модели предметно-
математические.
. Физические модели представляют собой материальные объекты
той же природы, что и объект-оригинал. Подобие оригинала и мо-
дели в данном случае заключается в подчинении одним и тем же
законам соответствующей области явлений. Физическое моделиро-
34
вание особенно распространено в технических науках. В эконо-
мике физическому моделированию близко соответствует понятие
реального (полевого) экономического эксперимента, хотя здесь
аналогия далеко не полная. Например, результаты эксперименти-
рования на одном предприятии (системы учета, планирования,
оплаты труда, хозрасчета) переносятся на всю отрасль, т. е. сово-
купность объектов близкой экономической природы. Но в эконо-
мике возможности физического моделирования (экспериментиро-
вания на реальных объектах) принципиально ограничены. Это
объясняется целым рядом причин: изучение отдельных частей на-
родного хозяйства не может дать полного и правильного представ-
ления об экономической системе в целом, трудно элиминировать
внешние воздействия на экономический объект и учесть влияние
субъективных факторов (квалификация кадров управления, от-
ношения руководителей и подчиненных). Наконец, проведение
крупных реальных экспериментов требует больших затрат (ресур-
сов и времени) и связано с существенным риском.
Предметно-математические модели являются разновидностью
математических моделей. Предметно-математическое моделирова-
ние основано на том, что характерные черты каких-либо процессов
или явлений, принципиально различных По своей физической при-
роде, могут выражаться одинаковыми математическими зависимо-
стями. На эту особенность объективного мира обращал внимание
В. И. Ленин в своей работе «Материализм и эмпириокритицизм»:
«Единство природы обнаруживается в „поразительной аналогич-
пости“ дифференциальных уравнений, относящихся к разным об-
ластям явлений»1. Если установлен факт математического подобия
двух объектов разной природы, то соответствующие физические
особенности одного объекта (модели) могут быть использованы для
математического исследования другого объекта (оригинала).
Класс идеальных (мысленных) моделей объединяет довольно
разнообразные модели, различающиеся прежде всего по степени
формализации реальной действительности. В научном познании
основным видом идеальных моделей являются знаковые модели,
использующие определенный формализованный язык. В свою оче-
редь важнейшим видом знаковых моделей являются логико-мате-
матические модели, которые выражаются на языке математики и
логики. Логико-математическая модель представляет собой опреде-
ленную систему математических отношений и логических выраже-
ний (функций, уравнений, неравенств, алгоритмов и т. д.), отра-
жающих существенные свойства исследуемого объекта2.
1 Л е н и н В. И. Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 18, с. 306.
2 Мы не будем рассматривать математические модели, используемые и изу-
чаемые внутри самой математики. Такие «модели» охватывают абстракт-
ные (символические) математические объекты и отношения между этими
объектами. Теория математических моделей данного типа является частью
современной (абстрактной) алгебры.
2*
35
Математическое моделирование
Предметно-математическое и логико-математическое моделиро-
вание образуют математическое моделирование в широком смысле—
метод исследования, основанный на аналогии процессов и явлений,
различных по своей природе, но описываемых одинаковыми мате-
матическими зависимостями. В современных научных исследова-
ниях математическое моделирование является, безусловно, важ-
нейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях—
доминирующей формой. Математическое моделирование есть вы-
ражение процесса математизации научного знания. Математика,
проникая в существо самых разнообразных наук, приносит с собой
точность и универсальность языка, строгость и доказательность
научных построений.
Роли двух разновидностей математических моделей неодина-
ковы. Предметно-математические модели служат средствами тех-
нической реализации логико-математических моделей и, следова-
тельно, предполагают существование последних.
Известно немало примеров построения наглядных и эффективно
действующих предметно-математических моделей для решения
разнообразных экономических задач. Еще в XIX в. немецкий эко-
номист-географ В. Лаунхардт предложил механическую модель
для решения простейших задач размещения хозяйства; впоследст-
вии эту модель обобщил А. Вебер, и в историю экономико-геогра-
фической науки данная модель вошла как «штандортный треуголь-
ник А. Вебера». Для выбора рациональных маршрутов смешанных
перевозок «море — суша» предложена оптическая модель, исполь-
зующая формулу преломления светового луча при переходе из
одной прозрачной среды в другую1. Для решения задач межотрас-
левого баланса применяются гидравлические модели, представ-
ляющие собой систему из заполняемых жидкостью резервуаров
и сообщающихся сосудов2. Большое число электрических и элек-
тронных моделей построено для изучения проблем регулирования
экономического роста, циркуляции денежных потоков, товарного
обращения и т. д.3
Упомянутые выше предметно-математические модели экономи-
ческих процессов являются по существу специализированными
вычислительными устройствами, реализующими определенные ло-
гико-математические модели. Универсальные вычислительные уст-
ройства (машины) являются предметными математическими моде-
1 Описание этой модели и анализ ее решения см. в кн.: Боярский А. Я.
Математика для экономистов. М., Госстатиздат, 1957, с. 136—138.
2 Описание гидравлического аппарата, приспособленного для решения за-
дач межотраслевого баланса, см. в кн.: Ланге О. Теория воспроиз-
водства и накопления. М., Изд-во иностр, лит., 1963, с. 128—140.
3 См.; например, Процессы регулирования в моделях экономических систем.
Сборник статей. М., Изд-во иностр, лит., 1961; Электронное моделирование
и машинное управление в экономике. М., «Мир», 1965.
36
лями для широкого множества объектов. Современная электрон-
ная вычислительная техника включает два основных типа вычисли-
тельных машин — аналоговые и цифровые.
Аналоговые вычислительные машины (АВМ) воспроизводят определен-
ные соотношения между непрерывно изменяющимися физическими величи-
нами. Основными достоинствами АВМ являются большая наглядность ко-
личественного анализа, значительное быстродействие, возможность решения
задач в реальном времени, простота диалога между машиной и человеком,
способность решать целые классы задач неалгоритмическим путем1. Однако
современные АВМ имеют и существенные недостатки: максимальная раз-
мерность решаемых математических задач лимитируется числом узлов АВМ,
а точность расчетов ограничивается точностью изготовления этих узлов.
Электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ) — главный
тип современной вычислительной техники и основная техническая база мо-
делирования в большинстве отраслей науки, в том числе в экономике. Ло-
гика устройства и управления ЭЦВМ дает возможность воспроизводить
весьма разнообразные математические структуры с огромным количеством
переменных и параметров. Перспективным является совместное использова-
ние АВМ и ЭЦВМ (конструирование гибридных вычислительных систем),
позволяющее объединить достоинства обоих типов вычислительных машин.
Далее мы будем изучать только логико-математические модели.
(В дальнейшем модели этого класса будем называть просто мате-
матическими моделями.)
Математическое моделирование полностью укладывается в рас-
смотренную выше общую схему процесса моделирования. Однако
это не исключает большого разнообразия конструкций математиче-
ских моделей, способов их анализа и использования в познаватель-
ной деятельности. С развитием математики, электронной вычисли-
тельной техники, общеметодологических и предметных наук разно-
образие математических моделей непрерывно возрастает, рождаются
все новые формы математического моделирования.
Математическая модель любого объекта (процесса, явления)
включает три группы элементов: 1) характеристики объекта, ко-
торые нужно определить (неизвестные величины),— вектор,
У = (t/j); 2) характеристики внешних (по отношению к моделируе-
мому объекту) изменяющихся условий — X = (х(); 3) совокуп-
ность внутренних параметров объекта — А. Множество условий
и параметров X и А могут рассматриваться как экзогенные величины
(т. е. определяемые вне модели), а величины, входящие в вектор
Y,— как эндогенные (т. е. определяемые с помощью модели).
Математическую модель можно интерпретировать как особый
преобразователь внешних условий объекта («входа») X в искомые
характеристики объекта («выхода») Y. По способам выражения со-
отношений между внешними условиями, внутренними параметрами
и искомыми характеристиками математические модели делятся на
два основных типа: структурные и функциональные.
1 В СССР для решения экономических задач изготовляются машины «Опти-
мум-2» (транспортные задачи линейного программирования с максималь-
ной размерностью 20 X 60), «АСОР-1» (задачи сетевого планирования и уп-
равления) и др.
37
Структурные модели отражают внутреннюю организацию
объекта: его составные части, внутренние параметры, их связи
с «входом» и «выходом» и т. д.
Возможны три вида структурной модели:
все неизвестные выражаются в виде явных функций от внеш-
них условий и внутренних параметров объекта:
И, X); (2.1)
неизвестные определяются совместно из системы известных со-
отношений г’-го вида (уравнений, неравенств и т. д.):
Ф1.(Д, X, УНО; (2.2)
модель включает соотношения типа (2.2), по конкретный вид
этих соотношений неизвестен (модель как бы недостроена, опреде-
лен только ее каркас); в дальнейшем такого типа модель будем
обозначать (2.3).
Модели типа (2.1) — (2.2) — это вполне определенные матема-
тические задачи, которые можно решить по формульным или чис-
ленным алгоритмам. Модель (2.1) дает аналитическое решение.
Очевидно, что получить решение в таком виде очень заманчиво
и с практической точки зрения (простота расчетов по формулам),
и главным образом для создания наглядной теории соответствую-
щей области явлений. Однако возможности построения таких мо-
делей принципиально ограничены. Для многих математических
задач решения не могут быть выражены в формульном, аналити-
ческом виде1. Для решения задачи (2.2), не сводящейся к задаче
(2.1), требуется найти алгоритм2. Однако анализ такой задачи мо-
жет не только давать алгоритм для нахождения частных решений
(для заданной совокупности внешних и внутренних параметров),
но и обнаруживать общие (качественные) свойства решений, от-
носительно независящие от конкретных значений параметров.
Модели типа (2.3) не сводятся к четко определенным математи-
ческим задачам и требуют нахождения особых средств для получе-
ния решений. Такие модели возникают при попытках математиче-
ского описания особо сложных объектов (сложных систем). Для
исследования этих объектов (систем) используются новые матема-
тические дисциплины: теория случайных процессов, теория игр
и статистических решений, теория автоматов, алгоритмическое
описание процессов функционирования сложных систем и т. д.
Активную роль в процессе моделирования (в том числе при по-
1 Например, решения алгебраических уравнений пятой и более высоких
степеней не могут быть выражены формулой; многие дифференциальные
уравнения не имеют решений, которые можно было бы выразить в «конеч-
ном» виде через аналитические функции, алгебраические операции и опе-
рации интегрирования.
2 Вычисление по формуле представляет собой частный случай алгоритма
(формульный алгоритм). Но не каждый алгоритм можно выразить в виде
формулы.
38
строении модели) играет ЭВМ. Совокупность подходов и методов
к исследованию моделей рассматриваемого типа часто объединяется
термином имитационное моделирование.
В моделировании сложных систем довольно широко исполь-
зуется следующий подход. Для исследуемого процесса строится
некоторый моделирующий алгоритм для ЭЦВМ, имитирующий
взаимодействие элементов-процесса и позволяющий при заданных
А и X определять Y. При этом для описания отдельных частей
всего процесса и их взаимодействий могут использоваться «обыч-
ные» математические модели. Вполне вероятно, что в будущем
удастся создать универсальные моделирующие алгоритмы, которые
станут более общей формой математического исследования, чем
формульные и численные алгоритмы.
Модель (2.3) дает неотчетливое описание внутренней организа-
ции (структуры) объекта и поэтому занимает промежуточное место
между структурными и функциональными моделями. Основная
идея функциональных моделей — познание сущности объекта через
важнейшие проявления этой сущности: деятельность, функциони-
рование, поведение. Внутренняя структура объекта при этом не
изучается, а информация о структуре не используется. Абстракт-
ным образом объекта, изучаемого посредством функциональной
модели, является «черный ящик» — объект, внутренняя структура
которого совершенно не видна. Функциональная модель имитирует
поведение объекта так, что задавая значения «входа» X, можно по-
лучать значения «выхода» Y (без участия информации об А):
Y = D(X). (2.4)
Построить функциональную модель — это значит отыскать опе-
ратор D, связывающий X и Y.
Противопоставление структурных и функциональных моделей
носит относительный характер. Изучение структурных моделей
дает одновременно ценную информацию о поведении объекта,
о том, как он реагирует на изменение внешних условий. С другой
стороны, при изучении функциональных моделей возникают гипо-
тезы о внутренней структуре объекта (как причины определенного
поведения); тем самым открывается путь для структурного анализа.
§ 2. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКЕ
Проникновение математики в экономическую науку связано
с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была
«повинна» математика, структура которой на протяжении несколь-
ких веков приспосабливалась в основном к нуждам физики и тех-
нического развития. Но главные причины лежат все же в природе
экономических процессов, в специфике экономической науки.
39
Рассмотрим особенности социалистической экономики как
объекта моделирования, т. е. с точки зрения возможностей приме-
нения этого метода в теоретических и прикладных экономических
исследованиях.
Сложность экономических процессов и явлений
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, мо-
жет быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная
система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности
элементов, находящихся во взаимодействии и образующих неко-
торую целостность, единство. Важным качеством любой системы
является эмерджентность — наличие таких свойств, которые не-
присущи ни одному из элементов, входящих в систему (эмерджент-
ные свойства). Поэтому при изучении систем недостаточно (а иногда
и невозможно) пользоваться методом их расчленения на элементы
с последующим изучением этих элементов в отдельности. Очевидно,
объект как элемент системы нетождествен аналогичному объекту,
взятому изолированно. Одна из трудностей экономических иссле-
дований в том, что почти не существует экономических объектов,
которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистем-
ные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее
элементов, связями между этими элементами, а также взаимоот-
ношениями между системой и средой. В различных науках исполь-
зуются существенно разные классификации систем по их сложно-
сти. К наиболее сложным типам систем (или очень сложным систе-
мам) относят, например, целенаправленные системы, развитие ко-
торых подчинено достижению определенных целей, и самооргани-
зующиеся системы, способные в процессе функционирования из-
менять свою структуру и организацию.
Общие экономические системы — народное хозяйство страны
и его крупнейшие подсистемы (экономические регионы, отрасле-
вые и межотраслевые комплексы и т. п.) — обладают всеми при-
знаками очень сложных систем. Они объединяют огромное число
элементов, отличаются многообразием внутренних связей и связей
с другими общими системами (социальными, технологическими,
природными). Современное народное хозяйство СССР, например,
включает сотни тысяч хозяйственных организаций, производит
свыше 20 миллионов наименований продукции, объединяет трудо-
вые усилия и творческую деятельность более 150 миллионов лю-
дей. В народном хозяйстве взаимодействуют процессы технологи-
ческие, биологические и социальные, управляемые и стихийные;
все эти процессы носят динамичный характер. Особенностью внут-
ренней организации народного хозяйства является полиструктур-
ность — взаимопереплетение разнокачественных подсистем, об-
разующих несколько связанных между собой иерархических струк-
40
тур (производственно-технологических, территориальных, инсти-
туциональных, социальных и др.).
Трудности изучения экономических систем (и в частности, ме-
тодами моделирования) определяются не только их объективными
свойствами, но и особенностями взаимодействия объектов и субъек-
тов исследования.
Задачей экономической науки в социалистическом обществе
является не только познание (объяснение) объективных экономи-
ческих законов, но и разработка методов преобразования эконо-
мики посредством сознательного управления ее развитием. Поэтому
экономическая теория (включающая методологию планирования
и управления) является, с одной стороны, отображением объектив-
ных свойств экономической системы социализма, а с другой сто-
роны, орудием ее сознательного преобразования.
Действие объективных и субъективных факторов в развитии
экономической системы социализма тесно взаимосвязано и взаимо-
обусловлено. Человек является одновременно и важнейшим эле-
ментом производительных сил (трудовые ресурсы), и носителем
производственных отношений. Экономическое развитие целена-
правленно, однако цели этого развития непрерывно конкретизи-
руются и модифицируются под влиянием изменений объективных
экономических условий, и прежде всего развития общественного
производства.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование
невозможности ее моделирования, изучения средствами матема-
тики. Но такая точка зрения неверна. В принципе можно модели-
ровать объект любой природы и любой сложности (тезис о принци-
пиальной невозможности моделирования объекта равносилен ут-
верждению о его принципиальной непознаваемости). И как раз
сложные объекты представляют наибольший интерес для модели-
рования; именно здесь моделирование может дать результаты, ко-
торые нельзя получить другими способами исследования.
Математическое моделирование становится существенно важным
методом экономических исследований только при достижении опре-
деленной зрелости научных представлений о качественных особен-
ностях, природе экономических процессов. Другим необходимым
условием является глубокое овладение математическими знаниями.
При этом часто обнаруживается, что имеющиеся математические
структуры дают слишком грубое описание сущности экономических
проблем. Поэтому возможности математического моделирования
экономики тесно связаны с прогрессом математики, с созданием
новых математических структур. Потребности экономической науки
и практики в середине XX в. способствовали развитию математиче-
ского программирования, теории игр, функционального анализа,
многих разделов вычислительной математики. Вполне вероятно,
что в ближайшем будущем экономическая и другие социальные
науки станут основным стимулом для создания новых разделов
математики.
41
Особенности экономических наблюдений
и измерений
В настоящее время главной проблемой практического примене-
ния математического моделирования в экономике является напол-
нение разработанных моделей конкретной и качественной информа-
цией. Точность и полнота первичной информации, реальные воз-
можности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов
моделей, которые могут получить практическое применение. С дру-
гой стороны, исследования по моделированию социалистической
экономики выдвигают новые требования к системе информа-
ции.
В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей
исходная информация имеет существенно различный характер
и происхождение. Она может быть разделена на две категории:
информацию о прошлом развитии и современном состоянии объек-
тов (экономические наблюдения и их обработка) и информацию
о будущем развитии объектов, включающую данные об ожидаемых
изменениях их внутренних параметров и внешних условий (про-
гнозы). Вторая категория информации является результатом само-
стоятельных исследований, которые также могут выполняться по-
средством моделирования.
Методы экономических наблюдений и использования результа-
тов этих наблюдений разрабатываются экономической статисти-
кой. Поэтому ограничимся тем, что отметим две специфические про-
блемы экономических наблюдений в связи с моделированием эко-
номических процессов.
В экономике многие процессы являются массовыми; они харак-
теризуются закономерностями, которые нс обнаруживаются на
основании лишь одного или нескольких наблюдений. Поэтому мо-
делирование в экономике должно опираться па массовые наблюде-
ния.
Другая проблема порождается динамичностью экономических
процессов, изменчивостью их параметров и структурных отноше-
ний. Вследствие этого экономические процессы приходится по-
стоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый
поток новых данных. Поскольку наблюдения за экономическими
процессами и обработка эмпирических данных обычно занимают
довольно много времени, то при построении математических мо-
делей экономики требуется корректировать исходную информа- -
цию с учетом ее запаздывания.
Познание качественных отношений экономических процессов
и явлений опирается на экономические измерения. Точность из-
мерений в значительной степени предопределяет и точность конеч-
ных результатов количественного анализа посредством моделиро-
вания. Поэтому необходимым условием эффективного использова-
ния математического моделирования является совершенствование
экономических измерителей. Применение математического модели-
42
рования заострило проблему экономических измерений, выдвинуло
перед экономической статистикой новые задачи.
В. И. Ленин отмечал, что для успешного применения матема-
тики наука должна дойти до такой ступени, на которой ей удается
выделить достаточно однородные и простые элементы, могущие
быть сделанными объектом счета. В экономике эта задача сущест-
венно затруднена. Здесь практически нет полностью однородных
элементов (одинаковых предприятий, одинаковых по своим потреб-
ностям и вкусам потребителей и т. д.), и установление относитель-
ной однородности (по некоторым признакам) требует серьезного
исследования.
Рассмотрим очень простую задачу экономического измерения:
установить объем произведенного в стране чугуна определенного
качества. Проблемы выбора единицы измерения здесь нет — тонна.
Но какой чугун при этом учитывать: выданный с доменных печей,
находящийся в чушках или отгруженный с металлургических пред-
приятий? Иными словами, что следует считать продуктом? Как
видим, даже в простейшем случае выбор экономического показа-
теля — измерителя объема производства — не сводится лишь к на-
хождению физической единицы измерения. Проблема усложняется,
когда нужно измерять неоднородную по назначению и качеству
продукцию. Возможности использования физических мер (единиц
количества, веса, длины, площади и т. д.) при этом постоянно со-
кращаются. Требуются специальные экономические измерители,
выражающие общественные затраты и результаты. Например, об-
щие объемы произведенной продукции можно измерять в оптовых
цепах промышленности, или в оптовых ценах предприятия, или
в розничных ценах, в ценах разных лет (текущих или сопостави-
мых), в ценах производителей или ценах потребителей и т. д. Го-
раздо сложнее измерить общественную полезность продукции, по-
требности населения, влияние окружающей среды на качество
жизни и т. п.
Многие явления в экономике вообще не могут быть измерены
непосредственно.
В процессе моделирования, особенно на народнохозяйственном
уровне, возникает взаимодействие «первичных» и «вторичных» эко-
номических измерителей. Любая модель народного хозяйства опи-
рается на определенную систему экономических измерителей (про-
дукции, ресурсов, элементов затрат и т. д.). В то же время одним
из важных результатов народнохозяйственного моделирования яв-
ляется получение новых (вторичных) экономических измерителей—
экономически обоснованных цен на продукцию различных отрас-
лей, оценок эффективности разнокачественных природных ресур-
сов, измерителей общественной полезности продукции. Однако
эти измерители могут испытывать влияние недостаточно обосно-
ванных первичных измерителей, что вынуждает разрабатывать осо-
бую методику корректировки первичных измерителей для народно-
. хозяйственных моделей.
43
Случайность и неопределенность в экономическом
развитии
Диалектический детерминизм утверждает объективный характер
причинности экономического развития, но не отождествляет пол-
ностью причинность с необходимостью и не отрицает роли случай-
ности. Вследствие огромного количества факторов, воздействую-
щих на экономические процессы, необходимые и существенные
связи не проявляются в чистом виде в каждом отдельном случае.
В плановом социалистическом хозяйстве экономические процессы
перестают быть стихийными, но сохраняют характер массовых про-
цессов, обязательно включающих случайные (стохастические) ком-
поненты. Непредвидимые случайности могут быть вызваны при-
родными явлениями, изменениями в международной обстановке,
научно-техническими открытиями, различными субъективными фак-
торами. Таким образом, экономические закономерности имеют сто-
хастический характер.
Такое понимание детерминизма противостоит как индетерми-
низму, отрицающему объективный характер причинности и абсо-
лютизирующему действие случайности, так и механистическому
(лапласовскому) детерминизму, в соответствии с которым реальные
экономические связи должны рассматриваться как строго одно-
значные, а будущее развитие — как полностью предопределенное.
Для методологии планирования социалистической экономики
важное значение имеет понятие неопределенности экономического
развития. Наиболее общий смысл этого понятия — отсутствие
однозначности. В исследованиях по экономическому прогнозиро-
ванию и планированию различают два типа неопределенности: ис-
тинную, обусловленную свойствами экономических процессов, и ин-
формационную, связанную с неполнотой и неточностью имеющейся
информации об этих процессах.
Истинную неопределенность нельзя смешивать с объективным
существованием различных вариантов экономического развития
и возможностью сознательного выбора среди них эффективных ва-
риантов. Речь идет о принципиальной невозможности точного вы-
бора единственного (оптимального) варианта.
Неопределенность в развитии социалистического хозяйства вы-
зывается двумя основными причинами. Во-первых, ход планируе-
мых и управляемых процессов, а также внешние воздействия на
эти процессы не могут быть точно предсказуемы из-за действия
случайных факторов и ограниченности человеческого познания
в каждый данный момент. Особенно характерно это для прогнози-
рования научно-технического прогресса и потребностей общества.
Во-вторых, общегосударственное планирование и управление охва-
тывают не все стороны общественной жизни (кооперативный сек-
тор, личные хозяйства, потребительский спрос, демографические
процессы и т. п.). Вследствие этого не исключаются возможности
несогласованных решений и действий. Неполнота и неточность ин-
44
формации об объективных процессах усиливает истинную неопре-
деленность.
На первых этапах исследований по моделированию социалисти-
ческой экономики применялись в основном модели жестко детерми-
нистского типа. В этих моделях все параметры (например, коэффи-
циенты и свободные члены уравнений) предполагаются точно из-
вестными. Однако детерминистские модели неправильно понимать
в механистическом духе и отождествлять их с моделями, которые
лишены всех «степеней свободы» (возможностей выбора) и имеют
единственное допустимое решение. Классическим представителем
жестко детерминистских моделей является оптимизационная мо-
дель народного хозяйства, применяемая для определения наилуч-
шего варианта экономического развития среди множества допу-
стимых вариантов.
В результате накопления опыта использования жестко детерми-
нистских моделей были созданы реальные возможности успешного
применения более совершенной методологии моделирования эко-
номических процессов, учитывающей стохастику и неопределен-
ность. Здесь можно выделить два основных направления исследо-
ваний. Во-первых, усовершенствуется методика использования
моделей жестко детерминистского типа: проведение многовариант-
ных расчетов с вариацией исходных данных, изучение устойчиво-
сти и надежности получаемых решений, выделение зоны неопреде-
ленности, включение в модель резервов, применение приемов,
повышающих приспособляемость (адаптивность) экономических
решений к непредвидимым ситуациям. Во-вторых, получают рас-
пространение модели, непосредственно отражающие стохастику
и неопределенность экономических процессов и использующие
адекватный математический аппарат: теорию вероятностей и ма-
тематическую статистику, теорию игр и статистических решений,
теорию массового обслуживания, стохастическое программирова-
ние, теорию случайных процессов.
Трудности проверки правильности моделей
Сложность экономических процессов и явлений и другие от-
меченные выше особенности экономических систем затрудняют не
только построение математических моделей, но и проверку их пра-
вильности, адекватности. Верификация моделей экономики, т. е.
проверка истинности, установление их достоверности, является
серьезной методологической проблемой.
Марксистско-ленинская философия учит, что единственным
критерием истинности познания является практика. Однако само
понятие «практика» может трактоваться неоднозначно. Его содер-
жание существенно обогащается при переходе от анализа естест-
венных явлений (независящих от воли людей) к общественным яв-
лениям, протекающим под влиянием сознательной деятельности.
45
В естественных науках достаточным (но не всегда необходимым)
условием правильности моделирования и любых других форм по-
знания является совпадение результатов исследования с наблюдае-
мыми фактами. Категория «практика» совпадает здесь с катего-
рией «действительность». В экономике и других общественных нау-
ках понимаемый таким образом принцип «практика — критерий
истины» в большей степени применим к так называемым дескрип-
тивным моделям, используемым для пассивного описания и объяс-
нения действительности (анализа прошлого развития, прогнози-
рования неуправляемых экономических процессов и т. п.).
Однако в социалистическом обществе главная задача экономи-
ческой науки конструктивна: разработка научных методов плани-
рования и управления экономикой. Поэтому основной тип мате-
матических моделей социалистической экономики — это модели
управляемых и регулируемых экономических процессов, исполь-
зуемые для преобразования экономической действительности. Та-
кие модели называются нормативными. Если ориентировать нор-
мативные модели только па подтверждение действительности, то
они не смогут служить инструментом решения качественно новых
социально-экономических задач.
Специфика верификации нормативных моделей экономики со-
стоит в том, что они, как правило, «конкурируют» с другими, уже
нашедшими практическое применение методами планирования и уп-
равления. При этом далеко пе всегда можно поставить чистый экс-
перимент по верификации модели, устранив влияние других уп-
равляющих воздействий па моделируемый объект. Допустим, мы
построили модель для расчета годового народнохозяйственного
плана. Для проверки ее правильности можно было бы поставить
такой эксперимент: составить план по модели и через год сравнить
итоги развития народного хозяйства с прогнозом по вашей модели
и с утвержденным государственным планом. Что может дать та-
кой эксперимент? Даже если наша модель очень совершенна, а
план был составлен далеко не лучшим образом, итоги экономиче-
ского развития страны будут, по-видимому, ближе к утвержденному
народнохозяйственному плану, чем к прогнозу по модели. Это объ-
ясняется тем, что государственный план включает директивные
задания и их ресурсное обеспечение, опирается на систему контроля
за выполнением плановых заданий и экономический механизм,
стимулирующий выполнение плановых заданий и регулирующий
явления, непосредственно не охватываемые директивным планиро-
ванием.
Ситуация еще более усложняется, когда ставится вопрос о ве-
рификации моделей долгосрочного прогнозирования и планиро-
вания (как дескриптивных, так и нормативных). Ведь нельзя же
10—15 лет и более пассивно ожидать наступления событий, чтобы
проверить правильность предпосылок модели.
Но и тогда, когда обнаруживается близость получаемых с по-
мощью модели прогнозов к плановым заданиям, это не является
46
достаточным подтверждением истинности модели, ибо принятый
план может быть недостаточно сбалансированным и эффективным.
Несмотря на отмеченные выше усложняющие обстоятельства,
критерий практики остается важнейшим критерием, определяющим
направление совершенствования моделей. Модель должна объяс-
нять массовые факты и закономерности экономического развития.
Всесторонний анализ выявленных расхождений между действи-
тельностью и моделью, сопоставление результатов по модели с ре-
зультатами, полученными иными методами, помогают выработать
пути коррекции моделей. ’
Приведенные соображения о верификации моделей социалисти-
ческой экономики носят в основном негативный характер. Исполь-
зуемые в настоящее время формализованные приемы верификации
моделей (например, доказательство существования решения в мо-
дели, проверка истинности статистических гипотез о связях между
параметрами и переменными модели и т. п.) позволяют сузить класс
потенциально «правильных» моделей, по далеко не всегда дают
возможность установить, какие модели из этого класса являются
наиболее приемлемыми. Разработка конструктивной методики ве-
рификации моделей социалистической экономики, учитывающей
как объективные особенности моделируемых объектов, так и осо-
бенности познания экономических явлений, является одной из
наиболее актуальных задач экономико-математических исследова-
ний.
Об использовании результатов буржуазной
экономической науки при моделировании
социалистической экономики
В § 3 главы'1 отмечалось широкое распространение метода ма-
тематического моделирования в исследованиях буржуазных эко-
номистов. Естественно возникает вопрос о возможностях использо-
вания опыта буржуазной науки при моделировании социалистиче-
ской экономики. Для ответа на этот вопрос требуется выяснить два
важных момента: а) существование общих (или сходных) черт и сто-
рон капиталистической и социалистической экономики как объек-
тов моделирования (с этим связана возможность построения и приме-
нения одинаковых или сходных моделей); б) существование таких
элементов методологии и методики математического моделиро-
вания, которые относительно не зависят от социально-экономиче-
ской сущности моделируемых объектов (такие элементы могут ис-
пользоваться при моделировании качественно различных объек-
тов).
Высокоразвитые капиталистические и социалистические страны
имеют некоторые сходные проблемы экономического развития, обу-
словленные материально-техническими факторами производства,
взаимоотношениями производства и окружающей среды, материаль-
ными потребностями людей. Отсюда вытекают и сходные аспекты
47
задач организации производства и повышения его эффективности,
распределения производственных ресурсов и лучшего их исполь-
зования, достижения сбалансированности потребностей и произ-
водственных возможностей, ускорения научно-технического про-
гресса и т. д. Математические модели для решения таких задач,
применяемые в капиталистических странах, могут находить при-
менение и в социалистической экономике. (Примерами могут слу-
жить модели производственных процессов и модели межотрасле-
вых связей, рассматриваемые в последующих главах.) Ряд сходных
проблем функционирования разных социально-экономических си-
стем связан с использованием товарно-денежных форм. Этим объяс-
няется целесообразность изучения зарубежного опыта моделиро-
вания покупательского спроса, финансовых связей, денежного об-
ращения и т. д.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что содержание и использо-
вание даже одинаковых (сходных) математических моделей имеют
существенные особенности в капиталистическом и социалистиче-
ском хозяйстве. Эти особенности обусловлены качественными раз-
личиями социально-экономических целей, принципиальными раз-
личиями между плановым руководством социалистической эконо-
микой и государственно-монополистическим регулированием капи-
талистической экономики и т. д.
Оценивая возможности использования народнохозяйственных моделей,
разрабатываемых буржуазными учеными, следует принимать во внимание
и такое обстоятельство. Многие теоретические модели буржуазных ученых
не учитывают родовые признаки капиталистической системы хозяйства,
базируются па таких качественных предположениях, которые никогда не
могут быть осуществлены при.капитализме и более адекватны социалистиче-
скому способу производства (централизованное планирование, подчинение
единой цели, наличие полной информации о функционировании всех звеньев
экономики, возможность разработки и аккумуляции всей необходимой ин-
формации о будущем экономическом развитии и т. п.). С точки зрения реаль-
ной капиталистической действительности такие модели — это математизи-
рованные экономические утопии, не имеющие практического значения. Но
элементы подобных моделей могут в принципе использоваться при построе-
нии моделей социалистической экономики (например, фрагменты моделей
оптимизации и экономического равновесия и математические результаты
анализа этих моделей).
Остановимся теперь на возможностях использования отдельных
элементов методологии и методики математического моделирования,
разрабатываемой буржуазными учеными.
В процессе моделирования очень важную роль играет использо-
вание математического аппарата (определенных математических
структур). Этот аппарат, как правило, применим для построения
существенно разных моделей экономики, т. е. он более универса-
лен, чем сами экономические модели. Поэтому опыт применения,
допустим, математического программирования, теории игр или
математической статистики в исследованиях одной области эконо-
мических явлений оказывается полезным при моделировании дру-
гих экономических явлений (способы формализации, методы ана-
48
лиза моделей, алгоритмы и машинные программы для проведения
расчетов).
Например, существенно разные экономические проблемы сво-
дятся к экстремальным (оптимизационным) задачам, т. е. к задачам
нахождения максимума или минимума некоторых функций или
функционалов. Из математического анализа этих задач необходимо
следует, что экстремум (оптимум) достигается при определенных
соотношениях предельных величин. Поэтому во всех экономиче-
ских задачах на оптимум поиск лучших решений связан с анали-
зом и сопоставлением предельных экономических величин (пре-
дельных затрат, предельных эффектов). Методика оперирования
предельными (или маржинальными) показателями, широко пред-
ставленная в буржуазных экономических теориях, имеет в основ-
ном математическую природу. Она может быть отделена от тенден-
циозных буржуазных трактовок и применима в решении широкого
класса практических экономических задач1.
Другой важной областью экономико-математических исследо-
ваний, в которой проблемы, стоящие перед специалистами разных
стран, во многом совпадают, является информационное обеспечение
моделей. Применение математического моделирования в экономике
требует серьезных изменений в системе экономической информации.
Поэтому применяемые в капиталистических странах методы по-
иска, хранения, обработки и выдачи больших массивов информации
на базе современных ЭВМ представляют значительный интерес при
организации работ по моделированию социалистической экономики.
Прогресс в области методов и средств управления экономиче-
скими процессами — неотъемлемая часть современной научно-
технической революции. Поэтому выдвинутая XXIV съездом КПСС
исторически важная задача органически соединить достижения
научно-технической революции с преимуществами социалистиче-
ской системы хозяйства в полной мере относится и к использова-
нию достижений мировой науки в области экономико-математиче-
ского моделирования2.
1 Не следует брать на веру заявления о неразрывной связи математических
методов анализа с основами буржуазной экономической науки. Глубоко
ошибочно полагать, что применение математических понятий (например,
производной, дифференциала), использовавшихся ранее в буржуазных
экономических теориях (например, в субъективистской теории предельной
полезности), означает привнесение в теорию социалистической экономики
элементов самой сущности буржуазных теорий (теоретических и идеоло-
гических принципов). Такую позицию занимают западные советологи
(М. Борнштейн, Р. Кемпбелл, А. Ноув, А. Цауберман и другие), выступив-
шие в начале 60-х годов с сенсационными утверждениями о том, что совет-
ские экономисты, вступив на путь применения математических методов,
отходят тем самым от марксизма и воспринимают буржуазную экономиче-
скую теорию. Главная цель этих выступлений — попытаться скомпроме-
тировать советских экономистов-математиков, задержать развитие марк-
систско-ленинской экономической науки и процесс совершенствования
планирования и управления социалистическим народным хозяйством.
2 См. Материалы XXIV съезда КПСС, с. 57.
49
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Математические модели экономических процессов и явлений более
кратко можно называть экономико-математическими моделями.
Для классификации этих моделей используют разные основания.
По целевому назначению экономико-математические модели
делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследова-
ниях общих свойств и закономерностей экономических процессов,
и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических
задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управ-
ления).
Экономико-математические модели могут предназначаться для
исследования разных сторон народного хозяйства (в частности,
его производственно-технологической, социальной, территориаль-
ной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей
по исследуемым экономическим процессам и содержательной про-
блематике можно выделить модели народного хозяйства в целом
и его отдельных подсистем — отраслей, регионов и т. д., комплексы
моделей производства, потребления, формирования и распределе-
ния доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых
связей и т. д. Различия между этими типами моделей очевидны и не
требуют особых пояснений.
Остановимся более подробно на характеристике таких классов
экономико-математических моделей, с которыми связаны наиболь-
шие особенности методологии и техники моделирования.
В соответствии с общей классификацией математических мо-
делей (см. § 1) они подразделяются на структурные и функцио-
нальные, а также включают промежуточные формы (структурно-
функциональные). В исследованиях социалистической экономики
чаще применяются структурные (и структурно-функциональные)
модели, поскольку для планирования и управления большое зна-
чение имеет знание внутренней организации объектов и взаимо-
связей подсистем. Типичными структурными моделями являются
модели межотраслевых связей (см. главы 7—9). Функциональные
модели применяются в экономическом регулировании, когда на
поведение объекта («выход») воздействуют путем изменения «входа».
Примером может служить модель поведения потребителей в усло-
виях товарно-денежных отношений (см. главу 6). Один и тот же
объект может описываться одновременно и структурной и функ-
циональной моделью. Так, например, для планирования отдельной
отраслевой системы используется структурная модель, а на народно-
хозяйственном уровне каждая отрасль представляется функцио-
нальной моделью. Для синтеза народнохозяйственного плана цен-
тральному органу достаточно бывает знать зависимости между
«входами» и «выходами» отраслевых систем.
В § 2 уже обсуждались различия между моделями дескриптив-
ными и нормативными. Дескриптивные модели отвечают на во-
50
прос: как это происходит? или как это может дальше развиваться?,
т. е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают пассив-
ный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это
должно быть?, т. е. предполагают целенаправленную деятельность.
Таким образом, дескриптивные и нормативные модели характери-
зуют принципиально разные подходы к экономическому исследова-
нию и экономической практике. Социалистическая система хозяй-
ства объективно требует активного вмешательства в течение эконо-
мических процессов — это и определяет ведущую роль норматив-
ных моделей, анализ которых занимает основную часть данной
книги. Типичным примером нормативных моделей являются мо-
дели оптимального планирования, формализующие тем или иным
способом цели экономического развития, возможности и средства
их достижения (см. главы 4, 9).
Применение дескриптивного подхода в моделировании социали-
стической экономики объясняется необходимостью эмпирического
выявления различных зависимостей в экономике, количественного
анализа взаимодействия разных факторов, установления статисти-
ческих закономерностей, изучения вероятных путей развития ка-
ких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекаю-
щих без внешних воздействий. В тех случаях, когда имеющихся
знаний явно недостаточно для того, чтобы решительным образом
изменять «естественное» течение процессов, целесообразно огра-
ничиться умением искусственно воспроизводить (имитировать) эти
процессы. Примерами дескриптивных моделей являются некоторые
виды производственных функций и функции покупательского спроса
(см. главы 5, 6).
Является ли экономико-математическая модель дескриптивной
или нормативной, зависит не только от ее математической струк-
туры, но и от характера использования этой модели. Например,
модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она исполь-
зуется для анализа пропорций прошлого периода или же для пас-
сивного прогноза (при статистической экстраполяции коэффици-
ентов затрат и конечной продукции). Но эта же математическая
модель становится нормативной, когда она применяется для рас-
четов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства,
удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых
нормативах (коэффициентах) производственных затрат.
Многие экономико-математические модели (особенно на народно-
хозяйственном уровне) сочетают признаки дескриптивных и нор-
мативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель
сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются
частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая
модель (балансовая или оптимизационная) может включать функ-
ции покупательского спроса, описывающие поведение потребите-
лей при изменении доходов (см. главу 8). Подобные примеры ха-
рактеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного
и нормативного подходов к моделированию экономических процес-
51
сов. Элементы дескриптивного подхода находят отражение и в ими-
тационном моделировании — сравнительно новом и быстро разви-
вающемся методе изучения сложных систем.
По характеру отражения причинно-следственных связей раз-
личают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие
случайные и неопределенные факторы. Применяемое часто деление
экономико-математических моделей на детерминистские и вероят-
ностные не совсем точно, оно расходится с терминологией, принятой
в марксистско-ленинской философии: во-первых, не следует про-
тивопоставлять детерминистский и вероятностный подходы, ибо
последний находится в рамках детерминизма, во-вторых, неверно
отождествлять вероятностность со всеми проявлениями случайно-
сти и неопределенности. Более строго под вероятностными следует
понимать модели, базирующиеся на теории вероятностей. Необ-
ходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными
законами, и неопределенность, для описания которой законы тео-
рии вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности
гораздо более сложен для моделирования.
По способам отражения фактора времени экономико-математи-
ческие модели делятся на статические и динамические. В статиче-
ских моделях все зависимости относятся к одному моменту или
периоду времени (например, году). Динамические модели характе-
ризуют изменения экономических процессов во времени. Имеется
большое разнообразие способов упрощенного описания динамики;
это позволяет строить модели, занимающие промежуточное поло-
жение между «полностью статическими» и «полностью динамиче-
скими» (квазистатические, квазидипамичсские, полудинамические).
По длительности рассматриваемого периода времени различаются
модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долго-
срочного (10—15 и более лет) прогнозирования и планирования.
Само время в экономико-математических моделях может изменяться
либо непрерывно, либо дискретно (например, с шагом в один год).
В зависимости от этого используется различный математический
аппарат: дифференциальное и интегральное исчисление при не-
прерывном времени, конечно-разностные уравнения при дискрет-
ном времени и т. п.
Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны
по форме математических зависимостей. Особо можно выделить
класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычис-
лений и получивших вследствие этого большое распространение.
Различия между линейными и нелинейными моделями существенны
не только с математической точки зрения, но и в теоретико-эконо-
мическом отношении. Известно, что многие зависимости в эконо-
мике носят принципиально нелинейный характер: эффективность
использования ресурсов при увеличении производства, изменение
спроса и потребления населения при росте доходов и т. п. Когда
в целях упрощения количественного анализа нелинейные соотно-
шения заменяются (или аппроксимируются) линейными, может слу-
52
читься, что при этом экономическим процессам вменяются
несвойственные им качества. Теория «линейной экономики» су-
щественно отличается от теории «нелинейной экономики». Напри-
мер, от того, являются ли множества производственных возмож-
ностей подсистем (отраслей, предприятий) строго выпуклыми,
нестрого выпуклыми или же имеют более сложную форму, сущест-
венно зависят возможности рационального сочетания централизо-
ванного планирования и хозяйственной самостоятельности эконо-
мических подсистем.
По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, вклю-
чаемых в модели, они могут разделяться на открытые и закрытые.
Полностью открытых моделей не существует; модель должна со-
держать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закры-
тые экономико-математические модели, т. е. не включающие экзо-
генных переменных, исключительно редки; их построение требует
полного абстрагирования от «среды», т. е. серьезного огрубления
реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи1.
Подавляющее большинство экономико-математических моделей за-
нимают промежуточное положение и различаются по степени от-
крытости (закрытости). Вопрос о преимуществах более открытой
или более закрытой модели решается по-разному в зависимости
от того, используется ли модель автономно или она входит в не-
которую систему моделей. В первом случае предпочтение следует
отдать более закрытой модели, так как она дает более полное ре-
шение и меньше зависит от априорных суждений. Во втором слу-
чае ответ неоднозначен: необходимо анализировать не только дан-
ную модель, но и эффективность «разделения труда» между моде-
лями, входящими в систему.
Классификация экономико-математических моделей может про-
водиться и по ряду других признаков. Например, по типу исполь-
зуемых переменных различаются модели с непрерывными перемен-
ными, дискретными переменными и со смешанным составом пере-
менных. Среди народнохозяйственных моделей могут быть модели
агрегированные и детализированные (межотраслевые, межпродук-
товые и т. п.)2. В зависимости от того, включают ли народнохозяйст-
венные модели пространственные (территориальные) факторы, раз-
личают модели точечные и пространственные.
Таким образом, общая классификация экономико-математиче-
ских моделей включает более десяти основных признаков. С раз-
витием экономико-математических исследований проблема класси-
1 К экзогенным переменным наряду с условно зафиксированными «внут-
ренними» переменными обычно относят также характеристики внешних
связей, но не включают сюда параметры внутренней структуры моделируе-
мого объекта (например, технологические параметры).
2 В дальнейшем для народнохозяйственных моделей с очень высокой сте-
пенью детализации моделируемых процессов используется краткий тер-
мин микромодель, а для агрегированных народнохозяйственных моделей—,
термин макромодель.
53
фикации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением
новых типов моделей и новых признаков их классификации осу-
ществляется процесс интеграции моделей разного типа.
§ 4. ЭТАПЫ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Процесс моделирования носит циклический характер, и в каж-
дом цикле выделяется несколько этапов. Основные этапы модели-
рования уже рассматривались в § 1 (см. рис. 2.1). Но поскольку
в каждой отрасли знаний применение метода моделирования имеет
существенные особенности, целесообразно более внимательно про-
анализировать последовательность и содержание этапов экономико-
математичес кого модели ровани я.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный ана-
лиз. Главное здесь — четко сформулировать сущность проблемы,
принимаемые допущения (предпосылки) и те вопросы, на которые
требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важней-
ших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от
второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависи-
мостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя
бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это — этап формали-
зации экономической проблемы (ситуации), выражения ее в виде
конкретных математических зависимостей и отношений (функций,
уравнений, неравенств и т. и.). Обычно сначала определяется ос-
новная конструкция (тип) математической модели и изучаются
возможности ее применения, а затем уточняются детали этой кон-
струкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма
связей). Таким образом, построение модели подразделяется, в свою
очередь, на несколько стадий.
Модель должна включать только основные факторы и условия,
характеризующие объект. Неправильно полагать, что чем больше
факторов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает луч-
шие результаты. То же самое можно сказать о таких характери-
стиках сложности модели, как используемые формы математиче-
ских зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов слу-
чайности и неопределенности и т. д. Сложность модели должна
быть в известном смысле оптимальной. Излишняя сложность и гро-
моздкость модели затрудняет процесс исследования. Нужно учи-
тывать не только реальные возможности информационного и ма-
тематического обеспечения, но и сопоставлять затраты на модели-
рование с получаемым эффектом (при возрастании сложности мо-
дели прирост затрат может превысить прирост эффекта).
Одна из важных особенностей математических моделей — по-
тенциальная возможность их использования для решения разно-
качественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой эконо-
54
мической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель.
Вначале необходимо попытаться применить для решения этой за-
дачи уже известные модели. В связи с расширением сферы исполь-
зования экономико-математических моделей становится целесооб-
разным типизировать экономические задачи и, составив для каж-
дого типа задачи стандартизованную модель, использовать ее
затем многократно. С другой стороны, практика экономико-матема-
тического моделирования пришла к выводу, что для некоторых
сложных объектов (народное хозяйство, отрасль, район) целесо-
образно строить несколько разноаспектных моделей. При этом
каждая модель выделяет особо только некоторые стороны объекта,
а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно,
определяя лишь фон для правильного применения модели.
В процессе построения модели осуществляется взаимоприспо-
собление двух систем научных знаний — экономических и мате-
матических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить мо-
дель, принадлежащую хорошо изученному классу математических
задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения ис-
ходных предпосылок модели, не искажающего существенных черт
моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда
формализация экономической проблемы приводит к неизвестной
ранее математической структуре — тем самым стимулируется раз-
витие математики.
3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является
выяснение общих свойств модели (ее решений). Здесь применяются
чисто математические приемы исследования. Наиболее важный
момент — доказательство существования решений в сформулиро-
ванной модели (теорема существования). Если удастся доказать,
что математическая задача не имеет решения, то необходимость
в последующей работе по первоначальному варианту модели от-
падает; следует скорректировать либо постановку экономической
задачи, либо способы ее математической формализации. При ана-
литическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как,
например, единственно ли решение, какие переменные (неизвест-
ные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между
ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных усло-
вий они изменяются, каковы тенденции их изменения (асимптоти-
ческие свойства) и т. д. Преимущество аналитического исследова-
ния по сравнению с эмпирическим (численным) в том, что получае-
мые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных зна-
чениях внешних и внутренних параметров модели.
Знание общих (качественных) свойств модели имеет столь важ-
ное значение, что часто ради доказательства подобных свойств ис-
следователи сознательно идут на упрощение (идеализацию) перво-
начальной модели. И все же модели сложных экономических объек-
тов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию.
В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяс-
нить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к не-
55
допустимым результатам, переходят к численным методам исследо-
вания.
4. Подготовка исходной информации. Это, .пожалуй, наиболее
трудоемкий этап моделирования, отнюдь не сводящийся к пассив-
ному сбору исходных данных. Моделирование предъявляет жесткие
требования к системе информации. В то же время реальные воз-
можности получения информации ограничивают выбор моделей,
предназначаемых для практического использования. При этом
принимается во внимание не только принципиальная возможность
подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на
подготовку соответствующих информационных массивов. Эти за-
траты не должны превышать эффект от использования дополни-
тельной информации.
В процессе подготовки информации широко используются ме-
тоды теории вероятностей, теоретической и математической ста-
тистики (организация выборочных обследований, оценка досто-
верности данных, определение вероятных значений параметров
и т. п.). При системном экономико-математическом моделировании
исходная информация, используемая в одних моделях, является
результатом функционирования других моделей.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгорит-
мов (вычислительных схем) для численного решения задачи, со-
ставление программ на ЭВМ и непосредственное проведение рас-
четов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой
размерностью экономических задач, необходимостью обработки
значительных массивов информации.
Обычно расчеты по экономико-математической модели носят
многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию
современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные»
эксперименты, изучая «поведение» модели при различных измене-
ниях некоторых условий. Исследование, проводимое численными
методами, может существенно дополнить результаты аналитиче-
ского исследования, а для многих моделей оно является единст-
венно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно
решать численными методами, значительно шире, чем класс за-
дач, доступных аналитическому исследованию.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом
заключительном этапе цикла встает труднейший вопрос о правиль-
ности и полноте результатов моделирования, о степени практиче-
ской применимости последних.
Пока еще не создано строгой теории проверки правильности
экономико-математических моделей. Математические методы про-
верки могут выявлять некорректные построения моделей (доказы-
вается неразрешимость модели или не подтверждаются принятые
статистические гипотезы) и тем самым сужать класс потенциально
правильных моделей. Неформальный анализ теоретических вы-
водов и численных результатов, получаемых посредством модели,
сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действитель-
56
ности также позволяют обнаруживать недостатки постановки эко-
номической задачи, сконструированной математической модели,
использовавшейся информации. Однако не существует универсаль-
ных рецептов относительно того, каким именно образом должна
усовершенствоваться модель и ее информационное обеспечение.
Решение этих вопросов всегда конкретно.
Взаимосвязи этапов. На рис. 2.2 изображены связи между эта-
пами цикла экономико-математического моделирования. Первые
пять этапов более дифференцированно характеризуют процесс эко-
номико-математического моделирования, чем общая схема модели-
Условные обозначения:
------*- Последовательные связи этапов
------>. Возвратные связи этапов
(корректировка)
РИС. 2.2.
Связи этапов экономико-математического
моделирования
рования, изображенная на рис. 2.1: этапы 1 и 2 соответствуют этапу
I общей схемы, а этапы 3, 4, 5 — этапу II общей схемы. Наоборот,
заключительный этап 6 включает этапы III и IV общей схемы (пе-
ренос знаний о модели на объект-оригинал, проверку и применение
этих знаний).
Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие
вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются
недостатки решений, принятых на предшествующих этапах, или
невозможность практической реализации этих решений.
Уже на этапе построения модели может выясниться, что поста-
новка задачи противоречива или приводит к слишком сложной
математической модели. В соответствии с этим исходная постановка
задачи корректируется. Далее математический анализ модели
(этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки
задачи или ее формализации дает интересный аналитический ре-
зультат.
Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим
этапам моделирования возникает при подготовке исходной инфор-
57
мации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информа-
ция отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики.
Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и’ее форма-
лизации, изменять их так, чтобы приспособиться к имеющейся
информации.
Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны
по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается,
что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют ре-
шить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий
срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную поста-
новку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия,
уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют
линейными, усиливают детерминизм модели и т. д.
Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных
этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но
результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное зна-
чение. Начав исследование с построения простой модели, можно
быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию
более совершенной (и более сложной) модели, дополняемой новыми
условиями, включающей уточненные математические зависимости.
По мере развития и усложнения экономико-математического
моделирования его отдельные этапы обособляются в специализиро-
ванные области исследований, усиливаются различия между тео-
ретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит диф-
ференциация моделей по уровням абстракции и идеализации
(потенциальная осуществимость моделирования, реальная осущест-
вимость, практическая целесообразность).
Теория математического анализа моделей экономики развилась
в особую ветвь современной математики — математическую эко-
номию. Модели, изучаемые в рамках математической экономии,
теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они
имеют дело с исключительно идеализированными экономическими
объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным
принципом является не столько приближение к реальности, сколько
получение возможно большего числа аналитических результатов
посредством математических доказательств. Ценность этих моделей
для экономической теории и практики состоит в том, что они слу-
жат теоретической базой для моделей прикладного типа (других
уровней абстракции и идеализации).
Довольно самостоятельными областями исследований становятся
подготовка и обработка экономической информации и разработка
математического обеспечения экономических задач. На этапе прак-
тического использования моделей ведущую роль должны играть
специалисты в соответствующей области экономического анализа,
планирования, управления. Главным участком работы экономистов-
математиков (специалистов по экономической кибернетике) остается
постановка и формализация экономических задач и синтез про-
цесса экономико-математического моделирования.
58
§ 5. МЕСТО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКЕ
Исследования по моделированию социалистической экономики
подразделяются на три основные группы: 1) теоретические (раз-
работка проблем политэкономии социализма и теоретико-методоло-
гических проблем планового управления социалистической эко-
номикой с использованием математического моделирования);
2) прикладные (решение практических задач планирования и управ-
ления народным хозяйством); 3) инструментальные (создание но-
вых инструментов для экономических исследований). Инструмен-
тальные исследования не являются самоцелью, в конечном счете
они находят применение в теоретических и прикладных экономи-
ческих исследованиях.
Математическое моделирование и развитие
экономической теории
Вопрос о роли математики и математического моделирования
в развитии экономической теории весьма сложен и часто является
предметом острых дискуссий. Можно выделить две крайние пози-
ции по этому вопросу. С одной стороны, это трактовка экономико-
математического моделирования как единственно возможного спо-
соба создания и углубления строгой экономической теории. С дру-
гой стороны, отрицание каких-либо возможностей математического
моделирования в достижении новых теоретических результатов.
Обе эти позиции не соответствуют ни историческим фактам, ни со-
временному положению в экономической науке.
Переоценка роли математики в теоретико-экономических ис-
следованиях была свойственна некоторым представителям мате-
матической школы и эконометрии. Л. Вальрас и У. Джевонс,
например, утверждали, что политическая экономия есть наука
математическая, а ряд современных экономистов-математиков ха-
рактеризуют экономическую теорию как систему выводов, сделан-
ных из математических моделей, или же настолько широко трак-
туют понятие «модель», что оно, по существу, отождествляется
с понятием «теория».
Нигилистическая или сугубо скептическая оценка возможно-
стей математики в развитии экономической теории, как правило,
связана с превратными представлениями о самой сущности мате-
матики и математических методов исследования.
Так, довольно распространено мнение, что математика якобы
не может изучать качественную сторону явлений природы и об-
щества. На самом же деле предметом математики является как
количественный анализ отношений качества, так и качественный
анализ количественных отношений. Эти черты современной ма-
59
тематики находят отражение в построении и использовании эко-
номико-математических моделей1. Любая экономико-математиче-
ская модель характеризует не только количественную, но и качест-
венную определенность экономических процессов; она всегда пред-
ставляет собой качественно-количественное построение. Даже если
модель акцентирует внимание на количественных взаимосвязях
какого-либо экономического объекта, она способствует более глу-
бокому пониманию его качественной природы2.
Влияние математического моделирования (и математики вообще)
на экономическую теорию носит многосторонний характер и поэ-
тому требует дифференцированной оценки.
Наиболее наглядно математизация экономической науки про-
является в изменении и обогащении языка последней. Нередко
простой «перевод» какой-либо экономической проблемы на форма-
лизованный язык значительно проясняет существо (структуру)
этой проблемы, позволяет избежать двусмысленности суждений,
более ярко иллюстрирует теоретические выводы. При этом дело
отнюдь не сводится к использованию математических символов
и формул. Более важно, что применение математического языка
способствует уточнению многих экономических категорий (поня-
тий), лучшей систематизации теоретических знаний, обогащению
понятийного аппарата экономической науки.
Однако математика -— это не только особый язык, который
легко переводится на другие языки. Сердцевину математики со-
ставляет совокупность приемов математических доказательств —
особая форма логических рассуждений. Математические доказа-
1 Современная математика содержит такие области, которые занимаются
в основном проблемами качественных отношений (теория множеств, ал-
гебра, топология,, математическая логика, теория алгоритмов и др.). Кроме
того, проблемы качественного анализа присутствует во всех традиционных
«количественных» областях математики (проблемы разрешимости, пове-
дения семейства решений, единственности, устойчивости и т. и.)..
2 Правильной оценке роли математики в теоретических 'исследованиях ме-
шают широко распространенные сравнения ее с жерновами, мясорубкой
и другими чисто механическими системами. Отождествлять математическое
исследование с механической обработкой — это значит существенно обед-
нять эвристические способности современной математики.
Английскому философу, логику, экономисту Дж. Ст. Миллю (1806—1873)
и английскому естествоиспытателю Т. Г. Гексли (1825—1895) принадле-
жит аналогия между математикой и мельничными жерновами. Так,
Т. Г. Гексли говорил: «Математика, подобно жернову, перемалывает то,
что под него засыпают, и как, засыпав лебеду, вы не получите муки, так,
исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных пред-
посылок». (Цит. по кн.: Крылов А. Н.; Мои воспоминания. М., Изд-во
АН СССР, 1945, с. 111). Данная аналогия хорошо подчеркивает важность
правильных предпосылок для математического исследования. Однако она
неполно характеризует отличие математического результата от исходного
научного материала. Математическое доказательство более уместно срав-
нить, например, с действием атомного реактора, изменяющего одновременно
физико-химические свойства, молекулярную и атомную структуру исход-
ного вещества.
60
тельства, как правило, невозможно выразить нематематическим
языком, «переводу» поддаются лишь исходные предположения
и получаемые выводы1. Очевидно, более глубокая математизация
любой науки (и в том числе экономической) заключается в исполь-
зовании самой математической техники (т. е. методов математиче-
ских доказательств), а не только ее языка.
Важнейшей областью применения математического моделиро-
вания в теоретико-экономических исследованиях является анализ
структуры и закономерностей экономических процессов.
Некоторое представление о методологии получения новых тео-
ретических знаний на основе математического моделирования было
дано в § 4 (этапы 3 и 5 экономико-математического моделирования).
При этом выделялись два возможных методологических подхода:
а) аналитическое исследование модели и б) обобщение численных
«модельных» экспериментов. Получаемые теоретические резуль-
таты выражаются в виде общих (качественных) свойств решений
соответствующих моделей. Естественно, степень общности этих
теоретических результатов зависит от назначения и особенностей
изучаемых моделей.
Для экономической теории социализма и общей методологии
планирования народного хозяйства большое значение имеют ана-
лизируемые в главах 3 и 4 принципы оптимизации экономических
решений, методы соизмерения затрат и результатов в социалисти-
ческом хозяйстве, доказательства эквивалентности решений задач
на максимум общественного благосостояния и минимум затрат
труда, условия и правила согласования глобального (народнохо-
зяйственного) оптимума с локальными оптимумами хозяйственных
подсистем и т. д.
В последующих главах изучаются также модели народного хо-
зяйства, анализ которых приводит к более частным теоретическим
выводам, справедливым только при определенных условиях. Так,
в результате изучения модели межотраслевого баланса (см. главу 7)
формулируется понятие продуктивности системы межотраслевых
связей и доказывается, что производство конечной продукции воз-
можно только при определенных производственно-технологических
условиях в народном хозяйстве. Для теории перспективного пла-
нирования важное значение имеет установление строгих зависи-
мостей между темпами роста экономики, структурой используе-
мого национального дохода и показателями эффективности исполь-
зования ресурсов. Подобных примеров можно привести очень много.
Без результатов, полученных на основе экономико-математиче-
ского моделирования, невозможно себе представить современные
концепции народнохозяйственного оптимума, соизмерения за-
1 Математический язык в теоретико-экономическом исследовании может
применяться как своего рода «строительные леса». Когда сооружение на-
учного «здания» заканчивается, эти леса можно убрать. Но без предвари-
тельного возведения лесов построить здание зачастую невозможно.
61
трат и результатов, экономического роста и т. д. Вне математики
нельзя даже сформулировать некоторые важные экономические
понятия и тем более исследовать закономерные связи между этими
понятиями. В экономическую науку органически вошли такие
фундаментальные математические понятия, как «функция», «мно-
жество», «информация», «вероятность». Ряд важных экономических
показателей является результатом экономической интерпретации
абстрактных математических понятий. Например, показатели эф-
фективности производственных ресурсов и полезных эффектов по-
требительских благ опираются на понятия частных производных
и множителей Лагранжа, коэффициенты полных затрат продукции
соответствуют элементам обратной матрицы, определение траекто-
рий максимального экономического роста связано с понятиями
собственных значений и собственных векторов и т. д. Математиче-
ский анализ моделей заставляет искать содержательные экономи-
ческие аналогии тем или иным абстрактным математическим ве-
личинам и отношениям, привлекает внимание исследователя к та-
ким особенностям реальных экономических процессов, которые
открываются благодаря математической формализации.
Математическое моделирование существенно обогащает и де-
лает более интенсивным процесс теоретико-экономического иссле-
дования. Расширяются границы мысленного (идеального) экспе-
римента, появляется возможность «проигрывать» па ЭВМ различ-
ные теоретические гипотезы, изучая последствия их практического
применения (например, разные принципы ценообразования, фи-
нансирования, распределения доходов). Математический анализ
моделей становится одной из важных форм экономического иссле-
дования. Математика настолько глубоко проникает в ткань эконо-
мической науки, что нередко бывает сложно отделить экономиче-
ские знания от математических. Поэтому более правильно говорить
не просто о применении математики в экономической науке, а
о процессе взаимодействия экономической и математической наук,
поднимающем экономическую теорию на качественно новый уровень.
Математика воздействует на экономическую науку и общей
логикой своих научных построений. Это выражается прежде всего
в распространении принципов математических доказательств на
исследования экономических процессов.
Известно, что основным методом математического исследования
является аксиоматический метод. Суть его состоит в следующем.
На первой стадии исследования формулируется система аксиом —
исходных положений, принимаемых без доказательства. Далее на
основе аксиом проводится математическое рассуждение. И если
система аксиом непротиворечива и достаточно полна, то можно
получить некоторые выводы (например, в виде теорем), заключаю-
щие в себе новые знания. Ценность математического исследования
заключается как раз в том, чтобы из небольшого числа аксиом по-
лучить возможно больше следствий. Этим же аксиоматический ме-
тод привлекателен для всех естественных и общественных наук.
62
При ближайшем рассмотрении, однако, обнаруживается, что
критерии доказательности (истинности) теорий и характер приме-
нения аксиоматического метода в чистой математике и в экономи-
ческой науке существенно различаются. В математике нет проблемы
истинности аксиом и результатов в смысле соответствия их объек-
тивной реальности. Для достижения математических результатов
достаточно, чтобы система аксиом была полной и внутренне непро-
тиворечивой. Поэтому для математики могут быть одинаково при-
емлемы разные системы аксиом, ведущие к разным выводам (на-
пример, геометрия Евклида и геометрия Лобачевского—Римана);
подтверждение же каких-либо выводов фактами не является до-
казательством в математическом смысле. Иное дело в экономиче-
ской науке. Аксиоматически построенная экономическая теория
обязательно должна найти подтверждение в экономической прак-
тике. Если какие-либо исходные предпосылки экономико-матема-
тической модели неверны, то безупречное математическое доказа-
тельство все равно даст ложные результаты. Не менее важно пра-
вильно интерпретировать результаты, полученные посредством
математических доказательств. Большую опасность представляют
попытки использовать строгие результаты за рамками тех предпо-
сылок, при которых результаты доказательны1.
Таким образом, начальный и конечный пункты экономико-ма-
тематического моделирования лежат вне математики. Поэтому не-
обходимы другие средства познания, обеспечивающие выбор пра-
вильных предпосылок и правильную экономическую интерпрета-
цию формальных результатов. Чисто математически вывести (до-
казать) экономическую теорию невозможно.
Математическое моделирование экономических процессов —
комплексный метод исследования, не ограничивающийся только
применением математики. Но и он не может претендовать на роль
единственного научного метода развития экономической теории,
так как, во-первых, не все стороны экономической жизни пол-
ностью формализуемы, а во-вторых, при достигнутом уровне зна-
ний математическое моделирование далеко не всегда является луч-
1 Еще одна особенность применения аксиоматического метода в экономике
связана с цикличностью процесса экономико-математического моделиро-
вания. Как уже отмечалось в § 2 и 4, при моделировании не ограничиваются
формулированием единственной системы предпосылок для последующего
математического анализа. В рамках циклического процесса моделирования
используется гипотетико-дедуктивный метод, при котором первоначаль-
ные предпосылки выступают не как аксиомы (по определению не требую-
щие доказательства), а как гипотезы, истинность которых проверяется на
каждом цикле моделирования. При этом математика не остается нейтраль-
ной к проверке истинности предпосылок: с ее помощью обнаруживается
противоречивость предпосылок или их неполнота, что стимулирует созда-
ние более совершенной системы предпосылок. Тождество между исход-
ными предпосылками модели и аксиомами сохраняется только в пределах
одного цикла моделирования. В этом смысле аксиоматический метод яв-
ляется частным случаем гипотетико-дедуктивного.
63
шим из возможных методов исследования. По-видимому, невоз-
можно установить какие-либо жесткие границы эффективного ис-
пользования математического моделирования в экономической тео-
рии. Эти границы неизбежно изменяются по мере расширения и
уточнения экономических знаний, прогресса в области математики,
кибернетики, вычислительной техники. И поэтому правомерен вы-
вод о том, что применение математического моделирования яв-
ляется необходимым, по недостаточным условием развития эконо-
мической теории. Отсюда вытекает требование рационального со-
четания различных методов теоретико-экономических исследований.
Роль прикладных экономико-математических
исследований. Математическое моделирование
в системах планирования и управления
народным хозяйством
При решении практических экономических проблем использо-
вание математических методов дает значительные преимущества.
Во-первых, математические методы позволяют упорядочить си-
стему экономической информации, выявлять недостатки в имею-
щейся информации и вырабатывать требования для подготовки
новой информации или ее корректировки. Как уже отмечалось
в § 2 и 4, разработка и применение экономико-математических мо-
делей указывают пути совершенствования экономической инфор-
мации, ориентированной на решение определенной системы задач
планирования и управления.
Во-вторых, формализация экономических задач и применение
ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повы-
шают их точность и сокращают трудоемкость, позволяют прово-
дить мпоговариантные экономические обоснования сложных ме-
роприятий. Ранее, при господстве «ручной» технологии, приходи-
лось сознательно упрощать и огрублять разного рода расчеты,
ограничиваться количественным обоснованием только одного ва-
рианта планово-экономического решения и т. д.
В-третьих, благодаря применению метода моделирования зна-
чительно усиливаются возможности конкретного количественного
анализа: изучение взаимодействия многих факторов, оказывающих
влияние на экономические процессы, количественная оценка по-
следствий изменения условий развития экономических объектов
и т. п.
В-четвертых, посредством математического моделирования
удается решать такие экономические задачи, которые иными сред-
ствами решить практически невозможно, например: нахождение
оптимального варианта народнохозяйственного плана (использо-
вание математического программирования), имитация крупных на-
роднохозяйственных мероприятий (модельные эксперименты на
ЭВМ) и т. п.
64
Таким образом, можно выделить по крайней мере четыре ас-
пекта применения математических методов в прикладных эконо-
мических исследованиях: совершенствование системы экономиче-
ской информации; интенсификация экономических расчетов (вклю-
чая их алгоритмизацию); углубление количественного анализа
экономических проблем; расширение области количественных эко-
номических исследований (решение принципиально новых экономи-
ческих задач).
В'процессе разработки и осуществления разнообразных эконо-
мических мероприятий математическое моделирование применяется
главным образом на стадии поиска наилучших способов решения
соответствующей проблемы. Поэтому необходимо рассмотреть во-
прос о месте экономико-математических моделей в общей методо-
логии поиска хозяйственных решений.
Сфера практического применения метода моделирования огра-
ничивается возможностями и эффективностью формализации эко-
номических проблем и ситуаций. Стремление во что бы то ни стало
применить математическую модель может не дать хороших резуль-
татов, поскольку многие экономические проблемы (ситуации) плохо
формализуемы. Среди них в первую очередь можно отметить про-
блемы принятия решений в условиях неопределенности, выбора
целей социального развития, прогнозирования экономического
поведения и научно-технических открытий и т. п.
В соответствии с современными научными представлениями си-
стемы разработки и принятия хозяйственных решений должны
сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие
и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются
главным образом средством научно обоснованной подготовки ма-
териала для действий человека в процессах управления. Это по-
зволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека,
его способности решать плохо формализуемые задачи1.
В последние годы интенсивно разрабатываются комплексные
методологические подходы к планированию и управлению слож-
1 По классификации американских ученых Г. Саймона и А. Ньюэлла, все
множество проблем, требующих принятия решений, делится на четыре
группы: 1) стандартные; 2) хорошо структуризированные; 3) плохо струк-
туризированные; 4) неструктуризированные. Проблемы первой группы,
отличающиеся наибольшей ясностью, решаются посредством стандартных
приемов и алгоритмов (примером могут служить задачи «прямого счета»).
Вторая группа проблем в настоящее время является основным объектом
применения экономико-математического моделирования. Решение третьей
группы проблем возможно путем сочетания формализованных и неформа-
лизованных методов и процедур (системный анализ, имитационное моде-
лирование и т. п.). Наконец, четвертая группа проблем непосредственно не
поддается строгому научному анализу; это — область применения эмпи-
рических и эвристических приемов. Развитие знаний изменяет распределе-
ние проблем между указанными группами. Неструктуризированные про-
блемы могут превращаться в слабоструктуризированные, а те — в хорошо
структуризированные. По мере развития этого процесса возможности при-
менения математического моделирования расширяются.
3 А. Г. Гранберг 65
ными системами: системный анализ, имитационное моделирование,
программно-целевое планирование. Важной особенностью этих под-
ходов является использование математического моделирования как
составной части более общей методологии решения проблем плани-
рования и управления.
Для того чтобы поднять плановое управление на качественно
более высокий уровень, недостаточно только создания хороших
моделей экономических объектов. Необходима глубокая пере-
стройка всей системы планирования и управления, включая ее
методические, информационные, технические, кадровые, органи-
зационно-правовые аспекты. Это вызывает необходимость модели-
рования самой сферы планирования и управления (планово-управ-
ленческой деятельности). В частности, разрабатываемые модели
процесса планирования отображают организационную структуру
планирования, процессы сбора, хранения и передачи информации,
последовательность плановых задач, этапы принятия плановых
решений и контроля за их выполнением и т. д.
Эффективность использования экономико-математических мо-
делей в значительной степени зависит от того, насколько удачно
они вписываются в общую технологию планирования и управле-
ния.
На первых этапах развития экономико-математических иссле-
дований использовавшиеся модели являлись «пристройкой» к функ-
ционирующей системе планирования и управления; выполняв-
шиеся экономико-математические расчеты не заменяли традицион-
ных методов экономических обоснований. В настоящее время осу-
ществляется процесс постепенного «встраивания» экономико-ма-
тематических моделей в процесс разработки планов, совмещения
моделей планируемых объектов с моделями процесса планирования.
Создание автоматизированной системы плановых расчетов
(АСПР) Госплана СССР и Госпланов союзных республик означает
переход к новой (человеко-машинной) технологии планирования,
основанной на комплексном применении математических методов
и современных технических средств (ЭВМ, оргтехники, техники
связи). АСПР станет одной из главных функциональных подси-
стем ОГАС — разрабатываемой в соответствии с решениями
XXIV съезда КПСС общегосударственной автоматизированной си-
стемы сбора и обработки информации для учета, планирования
и управления народным хозяйством.
66
Глава 3_________________________
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОДЕЛЕЙ
ПЛАНИРОВАНИЯ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ
ЭКОНОМИКИ
§ 1. МОДЕЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
Анализ особенностей методологии экономико-математического
моделирования приводит к выводу о том, что в исследованиях со-
циалистического народного хозяйства правомерно использовать
несколько типов моделей, отражающих главные черты социалисти-
ческого способа производства, но акцентирующих внимание на
разных сторонах и свойствах экономической системы.
Принципиальное отличие социалистической системы хозяйства
от капиталистической заключается в планомерном, целенаправлен-
ном развитии. Поэтому среди моделей социалистической эконо-
мики важнейшая роль принадлежит моделям планирования эконо-
мических процессов (плановых экономических решений).
В наиболее общем виде задача планирования состоит в нахожде-
нии лучших плановых решений среди множества допустимых реше-
ний. Формально задача может быть представлена парой векторов
<А~, Н >, где А — множество допустимых планов, —правила
выбора (порядок предпочтения) вариантов плана на множестве А.
Общая задача планирования является динамической. Это озна-
чает, что: 1) любой допустимый план X £ X представляет собой
вектор показателей, различающихся по моментам времени (напри-
мер, объемы производства одноименной продукции в разные мо-
менты рассматриваются как разные компоненты вектора X); 2) мно-
жество X характеризует возможности развития народного хозяй-
ства в различные моменты времени и изменяется в самом процессе
планирования; 3) совокупность правил отбора плановых вариан-
тов включает также правила сопоставления вариантов, разли-
чающихся динамическими характеристиками, и эти правила в про-
цессе планирования могут изменяться.
Различные модели планирования можно рассматривать как осо-
бые конкретизации сформулированной выше общей задачи.
3* 67
В основу типологии моделей планирования социалистической
экономики положим два признака: способ формализации целей
социалистической экономики и отражение организационно-хозяйст:
венной и социальной структуры народного хозяйства. Это позво-
ляет выделить четыре основных типа моделей: балансовую модель
народного хозяйства, оптимизационную одноуровневую микро-
модель народного хозяйства с глобальным критерием оптимально-
сти, многоуровневую оптимизационную модель (или систему мо-
делей) с глобальным критерием оптимальности, модель экономи-
ческого 'г взаимодействия подсистем с локальными критериями оп-
тимальности (модель социально-экономического взаимодействия).
Рассмотрим принципиальные черты этих типовых моделей.
Балансовая модель народного хозяйства
Данная модель позволяет находить допустимые'варианты пла-
нов X £ Зс, в которых соблюдаются условия ограниченности ре-
сурсов, балансовые соотношения производства и использования
продукции, необходимые технологические условия и т. д. Но мо-
дель не содержит какого-либо механизма сравнения вариантов
плана по их предпочтительности, т. е. проблема поиска и выбора
лучших плановых решений остается за рамками модели.
Возможность нахождения определенного (единственного) ре-
шения посредством модели достигается за счет включения боль-
шого числа экзогенных переменных. Это означает, что данная мо-
дель обязательно предполагает использование других инструмен-
тов поиска плановых решений (в том числе других моделей), су-
жающих область Зс. В этом смысле балансовая модель не является
полной (законченной) моделью. Но многие элементы балансовой
модели (описание множества ЗЕ) включаются в более общие модели
народного хозяйства.
Формально балансовая модель может отражать воспроизвод-
ство с любой степенью детализации. Однако практическое примене-
ние имеют только макроэкономические (агрегированные) балансо-
вые модели. Примером моделей данного типа являются межотрас-
левые балансы народного хозяйства, оперирующие с такими эконо-
мическими агрегатами, как отрасли производственной и непроиз-
водственной сферы, социальные группы, агрегированные виды
продукции, ресурсов и потребностей.
Оптимизационная одноуровневая микромоделъ
народного хозяйства с глобальным критерием
оптимальности
В основе этой модели лежат три предпосылки: 1) существование
критерия оптимальности и возможность его математической фор-
мализации; 2) существование хотя бы нескольких допустимых ва-
68
риантов плана; 3) ограниченность области производственных воз-
можностей народного хозяйства в каждый момент и любой проме-
жуток времени.
Наиболее развитыми (но не единственно возможными) матема-
тическими моделями глобального критерия оптимальности являются
скалярная функция f (X) и векторная функция F (X). Функция
f (X), называемая целевой функцией, интегрирует все многообра-
зие целеустремлений общества. Функция F (X) = (X)] пред-
ставляет собой набор частичных целевых функций fl (X), выра-
жающих более однородные, непосредственно несводимые цели.
Модель скалярной оптимизации представляет собой задачу ма-
тематического программирования
X С X, f (X) >max. (3.1)
Она позволяет определить такой вариант развития народного
хозяйства X* £ J, называемый оптимальным, при котором1
f (X*) — max f (X).
X с S
Модель векторной оптимизации
Х^Х, F(X)-*max (3.2)
определяет некоторое множество «разумных» вариантов с точки
зрения нескольких критериев. Каждый из этих вариантов не мо-
жет быть улучшен во всех отношениях. Последующий выбор пла-
новых вариантов из множества разумных осуществляется с по-
мощью дополнительных условий (критериев).
Анализируемые модели (3.1) и (3.2) оперируют только с мате-
риально-вещественными («натуральными») величинами и являются
одноуровневыми. Множество X характеризует ресурсно-техноло-
гические возможности народного хозяйства на основе первичной
(микро) информации о всем разнообразии производств, ресурсов,
потребностей, технологических процессов. При этом не учиты-
ваются ограничения, связанные с организацией, управлением, раз-
личными экономическими механизмами и социальными факторами.
Очевидно, что попытка практической реализации всеобъемлю-
щей микромодели народного хозяйства приводит к задаче фантасти-
ческой размерности. Современное состояние вычислительной тех-
ники и техники связи исключает возможность централизации всей
необходимой информации для подобной задачи и ее регулярного
решения; такая возможность вряд ли появится и в ближайшем
будущем. Поэтому естественно возникает вопрос об актуальности
исследований модели данного типа.
Оптимизационная микромодель народного хозяйства имеет
прежде всего теоретико-методологическое значение. Она исполь-
1 Задача минимизации целевой функции на множестве X формально не от-
личается от (3.1), так как min f (X) = max [— f (X)].
зуется для изучения общих свойств оптимальных планов развития
социалистической экономики и механизмов ее оптимального функ-
ционирования. Прикладное значение оптимизационной микромо-
дели состоит в том, что ее принципиальная структура и основные
свойства используются при построении оптимизационных макро-
моделей в рамках многоуровневой оптимизационной модели с гло-
бальным критерием оптимальности.
Многоуровневая оптимизационная модель
(система моделей)
с глобальным критерием
оптимальности
Данный тип модели отражает многоуровневую организацию
планирования и управления. Единая задача нахождения опти-
мального народнохозяйственного плана расчленяется на ряд взаимо-
связанных оптимизационных задач меньшей размерности: макро-
модель с глобальным (но агрегированным) критерием оптимально-
сти, модели подсистем с локальными критериями оптимальности.
Каждая из задач (моделей) соответствует определенному уровню
или звену хозяйственной организации: народное хозяйство в це-
лом, межотраслевой производственный комплекс, отрасль, регион,
территориально-производственный комплекс, производственное
объединение, предприятие и т. и. Построение единого плана пред-
ставляет собой итерационный процесс согласования решений от-
дельных задач (согласование локальных оптимумов подсистем с гло-
бальным оптимумом системы). Такой принцип синтеза народно-
хозяйственного плана называется декомпозиционным.
Если связи между моделями хозяйственных звеньев опреде-
лены жестко и процесс согласования решений полностью формали-
зован и алгоритмизирован, то можно говорить об определенных
декомпозиционных методах решения единой оптимизационной мо-
дели народного хозяйства. Однако в реальном процессе планиро-
вания и управления народным хозяйством и в моделировании этого
процесса имеет место другая ситуация. Согласование решений от-
дельных моделей включает неформальные процедуры, требует вме-
шательства человека в процесс расчетов. Поэтому практически
речь может идти о построении системы моделей как органической
части автоматизированной (человеко-машинной) системы опти-
мального планирования народного хозяйства.
Большинство теоретических схем декомпозиционного оптималь-
ного планирования включает использование механизма товарно-
денежных отношений. В процессе получения согласованного плана
подсистем уточняются не только материально-вещественные про-
порции, но и цены, нормативы эффективности ресурсов, показатели
материального стимулирования, распределительных и финансово-
кредитных отношений.
70
Таким образом, рассматриваемый подход к моделированию со-
циалистической экономики объединяет исследования производст-
венно-технологических, социально-экономических, организационно-
хозяйственных проблем.
Модель экономического взаимодействия
подсистем с локальными критериями
оптимальности (модель социально-
экономического взаимодействия)
В модели данного типа народное хозяйство рассматривается
как социально-экономическая система, в которой оптимум дости-
гается в результате согласования интересов социалистического
государства (выражающего интересы общества как единой системы)
и отдельных хозяйственных подсистем (в том числе и социальных
групп) посредством экономического механизма. Такая модель вы-
ражает композиционный принцип построения народнохозяйствен-
ного плана; она в большей степени, чем оптимизационные модели,
отражает свойства народного хозяйства как самоорганизующейся
системы.
Главные отличия данной модели от оптимизационных (и одно-
уровневых, и многоуровневых) моделей народного хозяйства со-
стоят в том, что, во-первых, локальные критерии оптимальности
отражают внутренние (имманентные) интересы подсистем, а пе
выводятся (редуцируются) из глобального критерия, а во-вторых,
эти локальные критерии априорно не сводятся в глобальный кри-
терий оптимальности.
Модель включает три типа условий: 1) модели подсистем; 2) об-
щесистемные ресурсно-технологические ограничения; 3) правила
экономических взаимоотношений подсистем. Модель может опреде-
лять пе только общий «материально-вещественный» план, являю-
щийся композицией планов подсистем, но и согласованную систему
ценностных показателей.
Общий план системы должен быть не только допустимым с точки
зрения обычных ресурсно-технологических ограничений и вклю-
чать только допустимые планы подсистем, но и удовлетворять до-
полнительным требованиям социально-экономического характера,
например: ни одна из подсистем не может улучшить свое положе-
ние, не ухудшая положения хотя бы одной другой подсистемы.
Ценностные же показатели обеспечивают совмещение в общем плане
системы оптимальных планов подсистем.
Общие черты основных типов моделей
Рассмотренные модельно-теоретические конструкции имеют не
только свои особые преимущества и недостатки, но и много общих
признаков и свойств.
71
Все они принадлежат классу нормативных моделей, но вклю-
чают, как правило, в виде отдельных блоков более частные модели
дескриптивного типа. Разные модели используют одинаковые (стан-
дартные) математические описания элементов экономической си-
стемы, например, множеств допустимых состояний хозяйственных
ячеек, зависимостей между факторами процессов производства
и потребления и т. п. Существенно различаясь по способам форма-
лизации общественных целеустремлений, все рассмотренные типы
моделей обеспечивают выбор допустимых, удовлетворительных со-
стояний и траекторий развития социалистической экономики.
Каждая типовая модель отражает (хотя и по-разному) требо-
вание адаптивности, позволяя даже при существенных изменениях
внешних и внутренних условий сохранять необходимую пропор-
циональность в развитии экономики. Важно также отметить, что
совершенствование каждого типа моделей идет в направлении вклю-
чения механизмов не только пассивной адаптации (реагирование
системы па изменение среды), но и активной адаптации (воздейст-
вие системы на среду).
Среди рассмотренных типов моделей наиболее простую кон-
струкцию имеет балансовая модель, не включающая механизм от-
бора лучших вариантов развития народного хозяйства. Однако
па практике балансовая модель используется для многовариант-
ных расчетов, т. е. как инструмент вариантных приближений к оп-
тимуму, с другой стороны, при использовании моделей оптимиза-
ции и взаимодействия никогда не ограничиваются получением един-
ственного оптимального плана при строго фиксированных усло-
виях; типичной является ситуация, когда рассчитывается несколько
вариантов при изменяемых условиях, а также для разных модифи-
каций модели. Таким образом, многовариантность обоснований
плановых решений является общим признаком практически при-
меняемых основных типов моделей.
Сходные, но более специальные свойства имеют также оптими-
зационные (одноуровневые и многоуровневые) модели и модели
социально-экономического взаимодействия. Как уже говорилось,
конструктивные элементы оптимизационной микромодели входят
в оптимизационную макромодель — верхнее звено системы моделей
(построение критерия, ресурсных ограничений и т. д.), сохраняются
и многие результаты теоретического анализа (свойства оптималь-
ных планов и оптимальных оценок). Модель с глобальным крите-
рием оптимальности и модель социально-экономического взаимо-
действия являются не просто разными формализованными пред-
ставлениями оптимизируемой социально-экономической системы.
Для этих моделей доказаны теоремы об эквивалентности результа-
тов при определенных условиях.
Наиболее развитыми из рассмотренных типов моделей являются
многоуровневая оптимизационная модель с глобальным критерием
оптимальности и модель экономического взаимодействия подсистем
с локальными критериями оптимальности. Эти модели более полно
72
охватывают проблемы планирования социалистической экономики,
причем не только производственно-технологического характера, но
и социально-экономические, организационные. Они включают в
себя также элементы моделей процессов планирования, в частно-
сти описание информационных связей между подсистемами.
Математическое моделирование глубоко проникло в теорию
и методологию экономических исследований. Однако это не при-
вело к созданию законченной теории и методологии планового уп-
равления социалистической экономикой на базе какого-либо еди-
ного модельно-теоретического представления. В настоящее время
достаточно хорошо разработаны только некоторые проблемы на
основе использования разных типов моделей.
Вполне возможно, что фундаментом теории и методологии пла-
нового управления станут принципиально новые типы моделей
социалистической экономики. Однако из этого отнюдь не следует
вывод о преждевременности использования уже имеющихся тео-
ретических и прикладных результатов моделирования. К- Маркс
писал, что «в отличие от других архитекторов, наука не только
рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи
здания, прежде чем заложить его фундамент»1. Ближайшей задачей
является не только «заселение» уже возведенных этажей здания
экономической науки, но и гибкое системное использование эффек-
тивной строительной техники (основных типов современных эко-
номико-математических моделей) в дальнейшем строительстве этого
здания.
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПЛАНА
КАК ОПТИМИЗАЦИОННАЯ ЗАДАЧА
Планирование является целенаправленной деятельностью и ха-
рактеризуется стремлением к оптимальным решениям. При социа-
листическом способе производства создаются объективные предпо-
сылки для оптимизации экономических решений, в масштабе всего
народного хозяйства. Однако для реализации этой объективной
возможности требуется ряд условий, в частности необходимо раз-
работать методы нахождения оптимальных решений.
Задача математического программирования
и оптимальное планирование
В современной математике принципы оптимизации получили
глубокое и разностороннее развитие: математический анализ, ва-
риационное исчисление, математическое программирование, тео-
рия оптимальных процессов, теория игр и т. д. Эти принципы на-
шли широкое применение в различных науках, в том числе и в
1 М а р к с К., Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 13, с. 43.
73
экономике. Наибольшее воздействие на развитие современных тео-
ретико-экономических представлений оказало математическое про-
граммирование — сложившаяся в последние 40 лет область мате-
матики, разрабатывающая теорию и численные методы решения
многомерных экстремальных задач с ограничениями.
Математическое программирование явилось очень удобным аппа-
ратом для решения многих частных экономических задач, связан-
ных с нахождением оптимальных решений. Но в социалистическом
обществе существует объективная необходимость оптимизации ре-
шений в масштабе всего народного хозяйства. Поэтому понятно
стремление применить аппарат математического программирова-
ния для решения широкого класса социально-экономических про-
блем, включая построение оптимального народнохозяйственного
плана.
Рассмотрим структуру задачи математического программирова-
ния с точки зрения соответствия ее проблеме централизованного
построения народнохозяйственного плана.
Всякая задача математического программирования включает
две группы условий: 1) критерий оптимальности в виде аналити-
ческой функции (максимизируемой или минимизируемой); 2) усло-
вия, определяющие множество допустимых решений. При этом
задача поиска экстремума имеет смысл, если множество допустимых
решений непусто, не сводится к одной точке, а целевая функция
на этом множестве ограничена («сверху» — при максимизации,
«снизу» — при минимизации). Важно также отметить, что множе-
ство допустимых решений и критерий оптимальности формули-
руются независимо друг от друга.
Построение народнохозяйственного плана имеет общие черты
с задачей математического программирования.
Во-первых, социалистическое общество характеризуется един-
ством цели, выраженной в основном экономическом законе форма-
ции: обеспечение полного благосостояния и свободного всесторон-
него развития всех членов общества. В процессе построения на-
роднохозяйственного плана центральный планирующий орган дол-
жен разрабатывать такие решения, которые в наибольшей (макси-
мальной) степени отвечают сформулированной общей цели.
Во-вторых, в народном хозяйстве существует большая свобода
выбора вариантов развития. Это объективное свойство экономики
имеет принципиальное значение для планирования как осознанной
целенаправленной деятельности, ведь отсутствие возможности вы-
бора означало бы бессмысленность каких-либо усилий по планиро-
ванию. Основными факторами, порождающими многовариантность
экономического развития, являются: 1) взаимозаменяемость про-
изводственных ресурсов, технологических процессов, потребностей
общества и способов их удовлетворения; 2) научно-технический
прогресс, создающий новые возможности развития общественного
производства и порождающий новые потребности; 3) объективная
возможность разнообразного распределения и использования ре-
74
сурсов общества во времени и пространстве. Следует заметить, что
область выбора плановых решений резко расширяется с увеличе-
нием временного горизонта; эту область можно приближенно пред-
ставить в виде бесконечно расширяющегося конуса, вершиной
которого является исходное состояние экономики.
В-третьих, потребности общества в каждый данный момент
и в любой промежуток времени превышают возможности их пол-
ного удовлетворения вследствие ограниченности ресурсов народ-
ного хозяйства и ограниченности роста эффективности их исполь-
зования. Целесообразно различать два рода ограниченности ре-
сурсов: абсолютную ограниченность невоспроизводимых ресурсов
(некоторые виды природных ресурсов, трудовые ресурсы в преде-
лах примерно 15-летнего планового периода) и относительную огра-
ниченность воспроизводимых ресурсов, обусловленную тем, что в мо-
мент разработки любого плана (в исходном состоянии экономики)
имеются строго определенные количества этих ресурсов и темпы
их расширенного воспроизводства ограничены. Кроме того (но
это не менее важно), ограничены темпы роста научно-технических
знаний, интенсифицирующих использование традиционных ресур-
сов (как невоспроизводимых, так и воспроизводимых) и создающих
новые виды ресурсов1.
Многовариантность плановых решений и ограниченность воз-
можностей удовлетворения потребностей общества в любом про-
межутке времени формально выражаются в том, что множество
допустимых вариантов развития народного хозяйства дс непусто,
не сводится к одной точке и ограничено сверху.
Множество £ задается системой многих уравнений и нера-
венств, отражающих разнообразные необходимые условия разви-
тия экономики: балансы поступления и использования продукции
1 Значение этих факторов, объективно сдерживающих максимально воз-
можный уровень удовлетворения потребностей общества, меняется на раз-
ных этапах развития социалистического народного хозяйства. На совре-
менном этапе перехода к интенсивному типу экономического развития ре-
шающее значение имеет качественный рост воспроизводимых, ресурсов на
основе научно-технического прогресса, повышающего эффективность ис-
пользования всех видов ресурсов и ослабляющего их абсолютную и отно-
сительную ограниченность (дефицитность).
При анализе предпосылок оптимального планирования обычно обра-
щается внимание только на ограниченность невоспроизводимых ресурсов.
Однако этого недостаточно для доказательства ограниченности возможно-
стей максимального удовлетворения потребностей общества в любом про-
межутке времени.
Теоретически возможен неограниченный рост эффективности народ-
ного хозяйства (с точки зрения главной цели) и при ограниченности
невоспроизводимых ресурсов, если неограниченными являются темпы
роста производительности труда и уменьшения удельных затрат при-
родных ресурсов. Поэтому для доказательства ограниченных возмож-
ностей удовлетворения непрерывно растущих потребностей общества
необходимо обосновать ограниченность (в рамках каждого периода)
возможностей роста воспроизводимых ресурсов и повышения эффек-
тивности всех видов ресурсов.
75
и ресурсов, соотношения затрат и результатов, технологические
условия, ограничения возможностей производства и т. п. В общем
виде каждое такое условие можно записать как
где s — номер условия;
X — n-мерный вектор, характеризующий значения пока-
зателей развития народного хозяйства;
Ss (X) — функция вектора X;
bs — параметр, ограничивающий значение s-й функции.
Допустим, что общее число условий (ограничений) составляет т,
т. е. s £ М, где М = {1, . . ., т}. Кроме того, будем полагать,
что все компоненты векторов X — неотрицательные величины (в об-
щем это соответствует смыслу «экономических» переменных). Тогда
вместо введенного в § 1 абстрактного обозначения X можем
дать более.конкретное описание области выбора допустимых ва-
риантов развития народного хозяйства:
ps(X) <x
( Х>0.
Или
( X > о,
где g (X) [Д (X)] —m-мерная векторная функция от X;
= (bs) — /п-мерный вектор-столбец.
Условия (3.3) или (3.4), являющиеся формальной записью
жества допустимых вариантов развития народного хозяйства,
ностью соответствуют описанию множества допустимых решений
в общей задаче математического программирования.
Сложнее обстоит дело с идентификацией общей цели развития
социалистической экономики и критерия оптимальности (целевой
функции) задачи математического программирования. Из единства
цели социалистического общества еще не следует, что эту цель
можно выразить в виде некоторой максимизируемой (или миними-
зируемой) функции. Этот вопрос будет подробнее рассматриваться
в § 1 главы 4. Пока же примем гипотезу: общая цель развития со-
циалистической экономики может быть выражена (хотя бы при-
ближенно) в виде функции f (X) таким образом, что максимизация
этой функции будет соответствовать максимизации уровня удов-
летворения потребностей общества.
Теперь задача нахождения наилучшего варианта народнохозяй-
ственного плана полностью совпадает со структурой общей задачи
м атем ати чес кого программирования:
f (X)->inax,
g(X)<6,
X > 0. (3.5)
(3.3)
(3-4)
ь =
мно-
пол-
76
Решением задачи (3.5) являются такие векторы X*, для кото-
рых / (X*) f (X) (несколько оптимальных планов) или
f (X*) (X) (единственный оптимальный план) при
X £ {Х:^(Х)<&, Х>0}.
Поскольку допустимых вариантов развития народного хозяй-
ства бесконечно много и каждый вариант должен удовлетворять
очень многим условиям, то абсолютпо невозможно рассчитать оп-
тимальный народнохозяйственный план путем конструирования
каждого варианта в отдельности и последующего сравнения всех
вариантов. Нахождение оптимального варианта развития народ-
ного хозяйства в принципе возможно только при помощи матема-
тического программирования.
Однако реализовать эту принципиальную возможность далеко
не просто. Прежде всего следует учитывать поистине фантастиче-
скую размерность единой задачи построения народнохозяйствен-
ного плана (астрономическое число всех переменных и ограниче-
ний). Необходимо принять во внимание и сложный характер
взаимосвязей, которые приводят к труднорешаемым типам опти-
мизационных задач (нелинейным, мпогоэкстремальным, стохастиче-
ским). Принципиальные сложности возникают и при формализа-
ции критерия народнохозяйственного оптимума.
Представление проблемы построения народнохозяйственного
плана в виде единой задачи математического программирования
имеет прежде всего теоретико-методологическое значение1. Разра-
ботка принципов построения оптимизационных моделей народного
хозяйства, выявляющих общие признаки и свойства оптимальных
планов и экономических механизмов их осуществления, явилась
крупнейшим достижением экономико-математической школы.
Данное направление исследований имеет и важное прикладное
значение. Оптимизационная микромодель как теоретическая кон-
струкция является основой для построения оптимизационных мак-
ромоделей в рамках многоуровневой системы моделей народнохо-
зяйственного планирования.
1 Один из виднейших теоретиков оптимального планирования А. Л. Лурье
(1903—1970) писал: «Вытекает ли из практической неосуществимости по-
строения и решения такой экстремальной задачи, которая позволяла бы
непосредственно рассчитать показатели оптимального народнохозяйствен-
ного плана, что и теоретическое рассмотрение подобного рода математиче-
ских моделей не имеет смысла? По нашему мнению, такой вывод противо-
речил бы правильному пониманию роли математики в экономических ис-
следованиях и в планировании как не только расчетного средства, но и как
метода теоретического анализа экономической действительности. Чем от-
четливее и яснее С помощью точных математических формулировок мы
представим себе те требования и условия, которым должен отвечать опти-
мальный план народнохозяйственного развития, хотя эти требования и ус-
ловия й не могли бы полностью быть осуществлены на практике, тем пло-
дотворнее будет работа по дальнейшему совершенствованию методов пла-
нирования и руководства хозяйством» [13, с. 39—40].
77
Недостатки математического
программирования как математической основы
оптимального планирования
Выше было показано, что структура задачи математического
программирования отражает существенные черты проблемы по-
строения оптимального народнохозяйственного плана. И все же
математическое программирование не дает адекватного математи-
ческого описания этой проблемы1. Наиболее серьезный недостаток
задачи математического программирования как математической
основы модели народнохозяйственного оптимума заключается
в отсутствии связей между целями системы и ее допустимыми
состояниями, в том, что критерий оптимальности (целевая функ-
ция) формулируется априорно по отношению к области допу-
стимых решений.
В реальной социально-экономической системе имеет место взаи-
модействие общественных потребностей (целей) и общественного
производства — материальной основы удовлетворения этих по-
требностей. С одной стороны, общественное производство служит
удовлетворению сложившихся общественных потребностей и в этой
своей функции является ограничителем степени удовлетворения
потребностей общества. Но, с другой стороны, развивающееся про-
изводство непрерывно порождает новые потребности, создавая
материальные носители этих потребностей — новые виды продук-
ции, изменяя условия жизни и труда. Кроме того, от степени удов-
летворения потребностей и развития способностей членов общества
зависит общественная производительность труда, т. е. сама область
допустимых вариантов развития народного хозяйства.
Таким образом, цели, которые ставятся обществом, не могут
быть априорными по отношению к возможностям развития народ-
ного хозяйства, и, наоборот, возможности развития народного
хозяйства зависят от уровня реализации общей цели — удовлет-
ворения потребностей общества. Поэтому для адекватного матема-
тического описания процесса построения оптимального народно-
хозяйственного плана требуется более сложная математическая
структура, нежели математическое программирование.
Но из сказанного вовсе не следует, что для решения проблем
народнохозяйственного оптимума использовать математическое
программирование нельзя или нецелесообразно. Такой вывод был
бы поспешным, тем более что другого достаточно разработанного
математического аппарата оптимального планирования пока не
существует. Математическое программирование обладает многими
достоинствами и еще далеко не исчерпанными возможностями.
Построение оптимального народнохозяйственного плана можно
1 Напомним, что пока мы проводим рассуждения в рамках подхода к по-
строению полностью централизованного плана, в максимально возмож-
ной степени удовлетворяющего потребности общества в целом.
78
рассматривать как многошаговый итерационный процесс взаимного
уточнения целей народного хозяйства и возможностей их осущест-
вления; на каждом шаге этого процесса можно использовать
модель математического программирования. Для отражения про-
цесса активной адаптации целей и возможностей народного хозяй-
ства математическое программирование может также найти при-
менение в сочетании со специальными методами системного
анализа (методы «сценариев», ситуационного анализа, машинной
имитации, деловых игр и т. д.).
§ 3. МОДЕЛЬ
МНОГОЦЕЛЕВОЙ (ВЕКТОРНОЙ) ОПТИМИЗАЦИИ
Одной из наиболее сложных проблем разработки народнохо-
зяйственных моделей с глобальным критерием оптимальности яв-
ляется обобщение разнокачественных целей развития социалисти-
ческой экономики. В соответствии со структурой задачи математи-
ческого программирования такое обобщение, т. е. построение еди-
ной целевой функции, формально осуществляется независимо от
возможностей достижения отдельных целей и их сочетаний. Од-
нако построение глобального критерия оптимальности (единой
целевой функции) не является необходимым условием поиска опти-
мальных народнохозяйственных решений. Более общей моделью
народного хозяйства является модель векторной оптимизации,
или оптимизационная модель с векторной целевой функцией (3.2).
Векторная целевая функция F (X) = [f (X) ] включает такие
частичные целевые функции (X), которые не сводятся (по край-
ней мере, на первом этапе моделирования) в единую (скалярную)
целевую функцию и выражают степени удовлетворения различных
потребностей общества: повышение материального благосостояния,
удовлетворение социальных запросов членов общества, упрочение
и развитие систем общественных отношений, обеспечение безопас-
ности развития и т. п. Благодаря этому обходятся трудности не-
посредственного сопоставления наиболее разнокачественных целей.
Будем исходить из того, что рост каждой частичной целевой
функции соответствует увеличению степени удовлетворения опре-
деленных групп потребностей. Очевидно, общий уровень удовлет-
ворения потребностей безусловно возрастает, когда значение хотя
бы одной целевой функции возрастает, а значения остальных не
убывают.
Решение, оптимальное по одной из частичных целевых функций,
называется субоптимальньТм. Обозначим множество субопти-
мальных решений по r-й функции. В общем случае множества Я?
для разных частичных целевых функций не совпадают. Отсюда
вытекает необходимость выбора таких решений, которые являются
наилучшими с точки зрения совокупности частичных целевых
функций.
79
Вариант X будем называть эффективным, если не существует
какого-либо другого варианта X, для которого значения всех
функций f (X) не меньше f (X), а значение хотя бы од-
ной функции строго больше1. Иначе говоря, не существует
такого X, что F (X) > F (X).
Множество эффективных вариантов обозначим X*. Такое мно-
жество часто называют множеством Парето, а элемент этого мно-
жества X — оптимумом по Парето (по имени известного итальян-
ского экономиста-математика конца XIX — начала XX вв.).
/Ц
Q' ~ f'(x)
РИС. 3.1.
Любое из решений X £ X* С X нс может быть улучшено ни
по одной частичной целевой функции fl (X) без ухудшения по ка-
кой-либо другой из них. Например, если из множества X* возьмем
два таких варианта ХА и Хв, что/1’(Хл)>/11 (Хв), то обязательно
найдется какая-нибудь t2-я функция, по которой [f11 (XA)<Zfl'i (Хв).
Множество эффективных решений включает и все субоптимальные
решения.
На рис. 3.1 изображено множество всех значений целевых функ-
ций f1 (X) и /2 (X) при X £ Часть границы этого множества —
ломаная abed является множеством значений функций, соответст-
вующих оптимальным по Парето вариантам. Точка d — субопти-
мальное значение f1 (X), точка а — субоптимальное значение /2 (X).
Все значения целевых функций, не принадлежащие ломаной abed,
могут быть либо увеличены одновременно, либо изменены так,
1 В дальнейшем следует различать знаки > и >. Знак > допускает, что
все нестрогие неравенства могут выполняться строго как равенства.
Знак > показывает, что хотя бы одно неравенство обязательно выпол-
няется как строгое неравенство. В частности, соотношение X >• 0 означает,
что все компоненты вектора X не только неотрицательны (X > 0), но и
хотя бы одна компонента строго положительна.
80
что значение одной целевой функции увеличивается, а значение
другой не уменьшается. Допустим, значения функций для какого-
то произвольно выбранного варианта определяются точкой А.
Тогда траектории монотонных изменений f1 (X) и f2 (X), заклю-
ченные в секторе aAd, приведут к границе эффективных значе-
ний этих целевых функций.
Суть общей задачи векторной оптимизации — определение
множества X*. Решить эту задачу в полном виде, как правило,
довольно трудно. Если множество Ж замкнуто и выпукло, а макси-
мизируемые функции fc (X) вогнутые (т. е. задачи субоптимизации
есть задачи выпуклого программирования), то справедливы сле-
дующие утверждения:
для любого X £ 35* существует такой полуположительный
вектор Л = (Xz) с компонентами, удовлетворяющими равенству
k
V Х/=1,что шах [ЛЕ (X)] достигается для X = X;
£1 хе*
k
если задан вектор Л = (Xz) > 0, где у %г=1, то зада-
<=1
ча шах [ЛЕ (X)] дает эффективные варианты (один или несколь-
ко) X £ 35*.
Иначе говоря, любое решение задачи векторной оптимизации
является (при выпуклости множества решений и вогнутости це-
левых функций) решением задачи скалярной оптимизации с целе-
вой функцией k
i=l
которая представляет собой взвешенную (или средневзвешенную)
сумму частичных целевых функций. Второе утверждение указы-
вает конструктивный метод определения эффективных вариантов
X £ 35*: необходимо решать задачу скалярной оптимиза-
ции с целевой функцией $4 (X), рассматривая как меняющиеся
А
параметры, на которые наложены условия Х,ХГи 1- В слу-
f=i
чаях, когда Л — орт (имеет только одну положительную компо-
ненту, равную единице), получаем субоптимальные решения.
Если множество 35 невыпукло и не все fl (X) вогнутые, то на*
хождение эффективных вариантов усложняется.
Определение множества эффективных решений значительно су-
жает область выбора наилучших решений. Следующий этап вы-
бора решений представляет собой поиск компромисса между не-
совпадающими и противоречивыми целями. Требуется определить
принципиальную схему разумного компромисса, которая позво-
лила бы выделить в некотором смысле наилучшее решение или ми-
нимальное множество, внутри которого решения неразличимы по
своей ^предпочтительности. Основные схемы компромисса будут
рассматриваться в § 4 главы 4.
81
§ 4. МНОГОУРОВНЕВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
(СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ОПТИМАЛЬНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ)
Принцип демократического централизма
и система моделей оптимального планирования .
Основным принципом организации планирования и управления
социалистическим народным хозяйством является демократиче-
ский централизм. В соответствии с этим принципом деятельность
центральных хозяйственных органов сочетается с самостоятель-
ностью различных хозяйственных единиц, в процессах планиро-
вания и управления участвуют широкие массы трудящихся. Суть
важнейших мероприятий по совершенствованию планирования
и управления, проводимых в СССР и других социалистических
странах, заключается как раз в том, чтобы, совершенствуя центра-
лизованное планирование, поднять инициативу и заинтересован-
ность всех хозяйственных звеньев в повышении эффективности
общественного производства, чтобы с помощью экономических и мо-
ральных стимулов объединить интересы каждого хозяйственного
звена и народного хозяйства в целом. Именно с этих позиций рас-
сматриваются проблемы более рационального распределения хо-
зяйственных прав и ответственности между различными уровнями
руководства народным хозяйством, сочетания различных методов
и организационных форм планирования и управления, в частно-
сти директивных плановых заданий и экономических рычагов воз-
действия на производство.
Принцип демократического централизма является теоретиче-
ской основой моделирования народного хозяйства как оптимизи-
руемой системы. С позиций полного централизма идеалом является
построение и применение одной всеобъемлющей модели народ-
ного хозяйства. Такой подход к оптимизации социалистической
экономики не только практически неосуществим в настоящее время,
но и неприемлем теоретически и неэффективен с точки зрения воз-
можностей метода моделирования. Среди советских экономистов-
математиков общепризнанным является представление о том, что
оптимизация народного хозяйства должна осуществляться на ос-
нове системы моделей, отражающей многоуровневую организацию
планирования и управления.
Идея построения всеобъемлющей оптимизационной модели
для полностью централизованного (предельно детализированного)
планирования неосуществима прежде всего технически: из-за фан-
тастической размерности такой модели, необходимости аккумули-
рования и быстрой переработки в одном центре гигантских объемов
разнообразной информации для принятия всех планово-экономиче-
ских решений и доведения их до конкретных исполнителей. Благо-
даря прогрессу математики, вычислительной техники и техники
82
связи непрерывно расширяются возможности решения задач боль-
шой размерности, передачи, хранения и обработки больших мас-
сивов информации. Но одновременно возрастает сложность народ-
ного хозяйства и соответственно трудности централизованного уп-
равления. Даже при появлении технических возможностей полной
централизации процессов обработки информации и принятия хо-
зяйственных решений такая централизация требовала бы всевоз-
растающих затрат и была бы (по крайней мере, длительное время)
экономически неэффективной. В этом отношении многоуровневая
система планирования и управления является более экономной:
на верхние уровни подается только обобщенная (сжатая) информа-
ция, центральные органы решают только наиболее крупные за-
дачи и т. п.
Целесообразность построения и применения системы взаимо-
связанных моделей, а не единственной супермодели с жесткими
внутренними связями объясняется также особенностями функцио-
нирования народного хозяйства как сложной системы, не поддаю-
щейся точному математическому описанию во всех деталях.
В рамках одной модели практически невозможно добиться бо-
лее или менее адекватного отражения всех важных аспектов на-
родного хозяйства. Методика многоуровневого и многоаспектного
моделирования народного хозяйства обладает гораздо большей
гибкостью и надежностью, особенно при попытках учесть влияние
факторов, плохо формализуемых и не поддающихся точному пред-
видению. Для того чтобы уменьшить отрицательные последствия
неполноты и неточности информации, стохастики и неопределен-
ности, используют метод расчленения единой задачи управления
на относительно самостоятельные блоки. Это позволяет локализо-
вать и погашать погрешности и возмущения, вызываемые указан-
ными факторами в основном на нижнем уровне управления. Тем
самым повышается степень определенности условий развития выс-
ших уровней системы и связей между разными уровнями.
Наиболее глубокие причины, вынуждающие отказываться от
идеи единой супермодели в пользу системы моделей, имеют со-
циальную природу. Моделирование народного хозяйства должно
не только облегчать централизованное руководство при имеющейся
информации, но и содействовать возникновению новой информа-
ции, выявляющей дополнительные возможности народнохозяйст-
венной эффективности (научно-технические открытия и изобрете-
ния, рационализация, организационные усовершенствования
и т. п.). Такого рода информация возникает в результате творче-
ской активности масс, в процессе функционирования хозяйствен-
ных ячеек, обладающих известной самостоятельностью в принятии
решений и заинтересованных в улучшении своей деятельности.
Поэтому нельзя ограничиваться построением модели для народного
хозяйства в целом, а необходимо разрабатывать модели всех хо-
зяйственных звеньев и методы их увязки в общую систему, учиты-
вающие механизмы реальных социальных отношений.
83
Основные проблемы разработки
системы моделей
Для построения и использования системы моделей оптималь-
ного планирования народного хозяйства требуется решить три
основные проблемы: 1) структуризировать народное хозяйство,
т. е. выделить хозяйственные звенья разных уровней (подсистемы
народного хозяйства), которые должны стать объектами модели-
рования, и описать связи между ними; 2) разработать оптими-
зационные модели для хозяйственных звеньев; 3) разработать ме-
тоды согласования решений различных хозяйственных звеньев
и синтеза общего народнохозяйственного плана.
Структуризация народного хозяйства. В практике социалисти-
ческого планирования и управления народное хозяйство всегда
рассматривается как многоуровневая система. Отличительной осо-
бенностью народного хозяйства СССР является сочетание и взаимо-
переплетение нескольких организационных иерархий, среди ко-
торых важнейшими являются иерархии отраслевого и территори-
ального планирования и управления. Организация по отрасле-
вому принципу включает следующие основные уровни: высшие
хозяйственные органы — союзные и союзно-республиканские ми-
нистерства и ведомства — промышленные (всесоюзные) объедине-
ния — производственные объединения — отдельные предприятия.
Организация народного хозяйства по территориальному принципу
включает такие уровни: высшие хозяйственные органы — органы
союзных республик — органы административно-территориальных
единиц (автономных республик, краев и областей, административ-
ных районов, городов и т. д.) — предприятия и учреждения. Выс-
шие и низшие звенья разных хозяйственных иерархий совпадают.
Многоуровневая систёма народного хозяйства включает как
вертикальные, так и горизонтальные связи внутри каждой hepap-
хии планирования и управления, а также связи между различными
иерархическими структурами. Например, производственные объе-
динения и предприятия связаны не только с вышестоящими орга-
нами отраслевого управления, но и вступают в хозяйственные от-
ношения друг с другом; кроме того, они подчиняются (хотя бы в не-
которых аспектах своей деятельности) территориальным органам.
Народное хозяйство является системой полицентрической: одно
хозяйственное звено может одновременно координироваться не-
сколькими центрами.
Значение структуризации народного хозяйства для разработки
системы моделей определяется тем, что выделение хозяйственных
подсистем и самостоятельных звеньев означает необходимость по-
строения соответствующих экономико-математических моделей и
установления зависимости между ними. Трудность решения про-
блемы структуризации обусловлена тем, что в народном хозяйстве
все элементы взаимосвязаны и при выделении любой подсистемы
как объекта моделирования обязательно разрываются какие-ни-
84
будь общесистемные связи. Наиболее общим критерием для опреде-
ления границ подсистем (звеньев) служит теснота связей составляю-
щих ее элементов внутри данной подсистемы и с элементами дру-
гих подсистем. Обособление подсистемы как самостоятельного эко-
номического объекта (и объекта моделирования) является тем оп-
равданнее, чем теснее ее внутренние и чем слабее ее внешние связи.
Экспериментальные исследования по системе моделей оптималь-
ного планирования опираются в основном на существующую орга-
низационную структуру народного хозяйства. Вместе с тем из ана-
лиза народного хозяйства с позиций системного моделирования
могут следовать предложения по совершенствованию существую-
щей .организационной структуры. Такие предложения преследуют
цели более полной оптимизации отдельных подсистем, более эф-
фективного согласования оптимумов подсистем с глобальным оп-
тимумом народного хозяйства и т. п. Так, например, экономико-
математические исследования по оптимальному отраслевому пла-
нированию и анализу структуры межотраслевых связей приводят
к выводу о целесообразности интеграции отраслевых подсистем,
образования новых объектов планирования и управления — меж-
отраслевых программно-целевых комплексов, обеспечивающих вы-
полнение крупных народнохозяйственных задач (топливно-энерге-
тический, аграрно-промышленный и другие комплексы).
Разработка моделей подсистем и отдельных звеньев. После раз-
биения народного хозяйства на подсистемы для каждой из них не-
обходимо разработать экономико-математическую модель или
группу связанных моделей. Модель подсистемы включает описа-
ние внутренних условий ее развития (собственные ограничения,
определяющие область допустимых планов), внешних связей («вход»
и «выход») и критерий оптимальности. При конструировании ло-
кальных оптимизационных задач вопросы определения ограниче-
ний и критерия оптимальности следует решать совместно. Нельзя
корректно сформулировать ограничения, пригодные для любых
критериев, так же как нельзя корректно сформулировать крите-
рий, одинаково приемлемый при различных ограничениях.
Среди моделей подсистем особо важную роль играют модели
верхнего уровня с глобальным критерием оптимальности, выра-
жающим цели развития экономической системы. Критерии опти-
мальности подсистем более низкого уровня (локальные критерии)
выводятся из глобального критерия с учетом вертикальных и го-
ризонтальных связей подсистем.
При разработке отдельных моделей в рамках общей системы
моделей необходимо определять круг тех вопросов, которые должны
решаться с помощью той или иной модели. Например, при оптими-
зации производственной программы народного хозяйства требуется
установить, по какой номенклатуре продукции объемы производ-
ства должны рассчитываться в модели верхнего уровня (укрупнен-
ной модели народного хозяйства), по какой — в моделях межотрас-
левых комплексов, в моделях отдельных отраслей и т. д.; необхо-
85
димо также установить, какие плановые производственные задания
должны даваться нижестоящим звеньям и поступать от вышестоя-
щих звеньев. Аналогичная проблема «разделения труда» между
разными моделями возникает при оптимизации пространственной
структуры народного хозяйства: распределение круга плановых
задач между моделями сводного территориального планирова-
ния, моделями крупных регионов, моделями территориально-про-
изводственных комплексов, промышленных узлов и т. п.
Согласование решений в системе моделей. Оптимальные решения,
получаемые изолированно для отдельных подсистем (локальные
оптимумы), как правило, несовместимы. Это выражается в несо-
ответствии «входов» и «выходов» взаимосвязанных моделей, в не-
выполнении общесистемных ограничений при объединении реше-
ний подсистем. Но даже если решения подсистем в совокупности
образуют допустимый план, то крайне маловероятно, что получен-
ный таким путем народнохозяйственный план будет оптимальным.
Сущность проблемы согласования моделей состоит в том, чтобы
путем изменения «входов» и «выходов» моделей подсистем получить
сочетание (композицию) решений подсистем, дающее оптимальный
план всей системы (хотя бы в укрупненных показателях).
В реальном процессе функционирования социалистической эко-
номики согласование ее отдельных частей осуществляется двумя
основными способами: 1) непосредственным планированием хо-
зяйственной деятельности (установление плановых заданий по
объемам производства, объемам выделяемых ресурсов, объемам
сбыта продукции и т. д.); 2) экономическим регулированием на ос-
нове планомерного использования товарно-денежных отношений
(материальное стимулирование, финансово-кредитные отношения,
ценообразование и т. д.). Схемы согласования решений в системе
моделей, как правило, имитируют важнейшие черты реальных ме-
ханизмов управления экономической системой.
Пусть народное хозяйство разбивается на т подсистем (k =
= 1, . . ., m). Для каждой подсистемы строится оптимизационная
модель. Если Xk обозначает допустимый план k-й. подсистемы,
3tk (й/г) — множество допустимых планов k-м. подсистемы, завися-
щее от внешних связей подсистемы qk (для производственных под-
систем множество допустимых планов определяется в основном
ресурсно-технологическими условиями, а величины qk представ-
ляют собой производственные задания, объемы выделенных ре-
сурсов и т. д.), fk (Xk, ck) обозначает целевую функцию k-n под-
системы, зависящую от вектора внешних параметров ск (для про-
изводственных подсистем локальный критерий оптимальности
обычно выражает результат хозяйственной деятельности в денеж-
ном выражении и зависит от действующих цен; в частности, в функ-
ции fk (Xk, ck) вектор ck может означать меняющиеся цены), то
оптимизационная модель k-й подсистемы имеет вид:
Xk£Xk(qk), fk(Xk, cA)->max. (3.6)
86
Вектор Xk называется оптимальным планом k-й подсистемы,
если fk (Xk, = max fk (Xk, ck) при заданных qk и ck.
xk^k'(qk)
Согласование планов подсистем и построение общего плана
осуществляются посредством корректировки условий модели (3.6):
ограничений (величин и локальных критериев (параметров q).
При этом используются три основных метода координации реше-
ний: 1) «лимитный» — когда регулирование планов подсистем осу-
ществляется «центром» путем изменения плановых заданий по объ-
емным показателям (корректировка qky, 2) «ценностной» — когда
регулирование планов подсистем осуществляется «центром» пу-
тем изменения ценностных показателей, входящих в локальные
критерии оптимальности (корректировка q); 3) «лимитно-ценност-
ной» — когда в процессе координации планов подсистем «центр»
корректирует одновременно и объемные и ценностные показатели.
Некоторые принципиальные схемы согласования
решений в системе моделей
Схемы получения согласованных решений в многоуровневых
системах оптимального планирования определяются прежде всего
общей концепцией разработки народнохозяйственного плана. Осо-
бое значение при этом имеет определение круга проблем, решаемых
на верхнем уровне планирования. Рассмотрим несколько теорети-
чески возможных подходов.
Построение детализированного оптимального плана (принцип
декомпозиции). Данная схема охватывает только вертикальные
связи «центр — подсистема». Структура детализированного на-
роднохозяйственного плана такова, что он может быть представлен
в виде вектора (композиции) планов подсистем: X = (Х1; . . ., Хт).
Теоретически оптимальный народнохозяйственный план может быть
найден в результате решения глобальной оптимизационной задачи.
Но такой план можно получить путем расчленения глобальной
задачи на ряд более простых и согласования решений этих задач
(принцип декомпозиции).
Основные математические результаты построения системы мо-
делей оптимального планирования на основе принципа декомпо-
зиции получены для задач следующего вида:
т
k=i
hk(XkXbk, k=l, . . m,
tn
У fk(Xk)->max. (3.7)
k=i
87
Задача (3.7) имеет блочную структуру:, ограничения
т
2 Sk (Xk) Ь являются глобальными (общими хотя бы для не-
fe^i
скольких подсисте.м), а ограничения hk (Xk) bk являются ло-
кальными (относящимися только к каждой подсистеме в отдельно-
сти). Декомпозиционные методы решения задачи (3.7) включают
два основных этапа: разбиение исходной задачи на ряд более част-
ных задач (не менее т) и координацию (согласование) частных за-
дач.
При использовании «лимитных» методов декомпозиции задачи
народнохозяйственного планирования для каждой подсистемы
строится задача вида:
gk(Xk)^Uk,
hk(Xk)<bk,
Xk>Q,
/*(**)-> max. (3.8)
Координация локальных задач (3.8) осуществляется путем кор-
ректировки параметров ограничений uk. Допустимость общего
т
плана достигается тем, что у, uk <; b. Целью процесса координации
fe=i
tn
- является определение таких лимитов u*k (при условии у и* Ь) ,
чтобы получить оптимальные планы подсистем X*k, максимизирую-
щие глобальную целевую функцию1.
При использовании «ценностных» методов декомпозиции за-
дача для каждой подсистемы имеет вид:
ГАа(Хл)С&л,
хк>о,
<Pk(Xk, с) ->max. (3.9)
Задача k-ft. подсистемы (3.9) включает только локальные огра-
ничения, но критерий оптимальности не является просто частью
глобального критерия оптимальности, а выводится определенным
способом из глобального критерия. Функция <pft (X.k, с) акку-
мулирует информацию о глобальных ограничениях (в частности,
учитывает затраты общих ресурсов). Локальным критерием про-
изводственных подсистем может быть, например, прибыль или
другой показатель хозяйственной деятельности подсистемы в де-
нежном выражении (разность между суммарным хозяйственным ре-
зультатом и суммарными затратами). Вектор с содержит ценност-
1 Такая постановка задачи была предложена венгерскими учеными Я. Кор-
най и Т. Липтаком.
88
ные показатели, устанавливаемые «центром» (цены, нормативы
эффективности, процентные ставки и т. п.).
Существуют ли такие локальные критерии, которые содержат
необходимую и достаточную информацию для того, чтобы каждая
подсистема, максимизируя этот критерий и учитывая только собст-
венные ограничения, могла бы получить план Xk, являющийся
частью глобального оптимального плана? Положительный ответ
на этот вопрос означал бы, что оптимальный народнохозяйственный
план можно построить, указывая подсистемам только показатели
типа цен, а в остальном предоставляя им полную свободу в выборе
плановых решений. Из математического анализа данного вопроса
следует, что такая возможность теоретически осуществима, когда
модели подсистем (3.9) являются только такими задачами выпук-
лого программирования, в которых либо множества допустимых
планов подсистем строго выпуклы, либо целевые функции
подсистем строго 'вогнуты. Уже для случая линейных задач
такая возможность неосуществима, т. е. централизованное уста-
новление только показателей типа цен (с) недостаточно для согла-
сования локальных оптимумов с глобальным; требуется более силь-
ное вмешательство «центра» в процесс построения локальных пла-
нов1.
Известен и другой, более универсальный подход к использова-
нию локальных оптимизационных моделей типа (3.9) для получения
глобального оптимального плана. Такой подход реализуется, в ча-
стности, в алгоритме Данцига—Вулфа2. Этот алгоритм, относя-
щийся к группе «ценностных», позволяет получить глобальный оп-
тимальный план за конечное число итераций, в процессе которых
уточняются условия задач «центра» и подсистем. Однако глобаль-
ный оптимум невозможно получить просто путем задания подси-
стемам «правильных» цен. Даже при «правильных» ценах компо-
зиция оптимальных планов подсистем, как правило, не дает гло-
бальный оптимальный план. Получая от подсистем их планы при
разных ценах, «центр» строит общий план как комбинацию ряда
промежуточных планов. Поэтому данный алгоритм можно интер-
претировать как модель централизованного планирования без ис-
пользования в «центре» полной информации о развитии подсистем.
. ' Построение агрегированного народнохозяйственного плана, со-
гласованного с детализированными локально-оптимальными пла-
нами. В рассмотренных выше постановках задачи согласования
плановых решений для верхнего и нижнего уровней планирования
степень детализации плановых показателей остается неизменной,
т. е. количество основных переменных сохраняется. Для практиче-
ской реализации гораздо более доступен другой подход, когда при
переходе с нижних на верхние уровни системы осуществляется
последовательно сжатие информации (уменьшается и число ограни-
1 См. [2, гл. IV].
2 См. [6].
89 .
чений, и число переменных). При этом сводный народнохозяйст-
венный план разрабатывается только в агрегированных (укруп-
ненных) показателях, а балансировка детализированных показа-
телей должна достигаться в процессе горизонтального взаимодейст-
вия подсистем (например, путем хозяйственных договоров между
производственными, снабженческими, сбытовыми, торговыми ор-
ганизациями).
Пусть X — агрегированный вариант развития народного хо-
зяйства, Ж — множество всех допустимых агрегированных вариан-
тов (35 9 X), f (X) — агрегированный народнохозяйственный кри-
терий оптимальности.
Множество 35 получается в результате агрегирования детали-
зированных условий развития народного хозяйства. Например,
агрегированные нормативы расхода ресурсов являются средневзве-
шенными величинами и зависят от структуры выпуска продукции
(«весов»), объединяемой в один агрегат; агрегированные произ-
водственные мощности есть взвешенные суммы мощностей по кон-
кретным видам продукции, т. е. также зависят от структуры вы-
пуска, и т. п. Поэтому множество X определенным образом зависит
от детализированных пропорций народного хозяйства: X. =
= £(Хх, .... XJ.
Общая модель оптимизации народнохозяйственного плана в аг-
регированных показателях (оптимизационная модель верхнего
уровня) может быть записана в следующем виде:
f (X) -+ шах,
Х€*(Х1....... XJ. (3.10)
Построение сводного (агрегированного) народнохозяйственного
плана не исчерпывает, однако, всей проблематики народнохозяйст-
венного планирования. Для каждой подсистемы должен разраба-
тываться более детализированный план. Разработка планов под-
систем может осуществляться на основе локально-оптимизацион-
ной модели (3.6).
Запишем эту модель в несколько ином виде:
fk(Xk, (?*)-> max,
Х*№(Х, qk). (3.11)
Выражение (X, qk) означает, что множество допустимых
планов й-й подсистемы зависит от заданий по сводному народно-
хозяйственному плану (вектор X) и горизонтальных связей ме-
жду подсистемами (вектор qk).
Имея варианты развития всех подсистем (векторы Хх, . . ., Хт),
можно путем агрегирования получить сводный вариант по народ-
ному хозяйству (вектор X). Оператор агрегирования планов под-
90
систем, сводящий детализированные показатели планов подсистем
в показатели сводного народнохозяйственного плана (например,
объемы выпуска различных видов станков сводятся в общий объем
валовой продукции станкостроительной промышленности и т. п.),
обозначим G (Л\, . . ., Хт).
Сформулируем теперь понятие согласованных решений (планов).
Сводный народнохозяйственный план, полученный на основе мо-
дели (3.10), будем называть согласованным с планами подсистем,
рассчитанным и по моделям (3.11), если выполняются два условия.
Первое условие заключается в том, что «входы» и «выходы» свод-
ного и локальных планов должны совпадать: множество допусти-
мых сводных планов J (Хх, . . ., Хт) учитывает локально-опти-
мальные планы Xk = Xk', множества допустимых планов подси-
стем Xk (X, qk) учитывают показатели сводного оптимального
плана (X = X*). Второе условие согласования выражается в том,
что при агрегировании локально-оптимальных планов (X*, . . .,
Хт) должен получаться вариант, совпадающий с оптимальным
сводным планом X*, т. е. G (X*, . . ., Х*т) = Х*.
Сформулированные требования к согласованным сводным и ло-
кальным планам являются довольно жесткими; добиться их точ-
ного выполнения — задача трудная. Поэтому при реализации из-
ложенных принципов в практической плановой работе необходи-
мые условия согласования могут выступать в более ослабленном
виде (например, согласование в заданных интервалах точности или
только по важнейшим показателям и т. д.).
Экспериментальная разработка системы
моделей оптимального планирования в СССР
Исследования принципиальных схем и методов согласования
решений различных хозяйственных звеньев в процессе оптимиза-
ции народнохозяйственного плана представляют собой основу для
экспериментальной разработки системы моделей, приспособлен-
ной к реальным методическим, информационным, техническим,
организационно-правовым условиям планирования народного хо-
зяйства СССР.
В ходе этой разработки сочетаются два подхода: с одной сто-
роны, предпринимаются попытки конкретизировать теоретические
схемы и методы, довести их до работающих алгоритмов на ЭВМ.
С другой стороны, осуществляется объединение отдельных практи-
чески применяемых моделей в модельные комплексы всевозрастаю-
щей сложности.
Система моделей оптимального планирования народного хо-
зяйства включает четыре основных блока: А — блок моделей верх-
него уровня (народнохозяйственные модели и модели отдельных
функциональных подсистем народного хозяйства), В — блок мо-
91
делей отраслевых систем (межотраслевых и многоотраслевых ком-
плексов, отраслей, подотраслей), С — блок региональных моделей
(союзных республик и экономических районов, административных
территориальных единиц, территориально-производственных ком-
плексов и т. п.), D — блок моделей предприятий и объединений.
Общая структура системы моделей с основными информационными
связями («входами» и «выходами») представлена на рис. 3.2.
РИС. 3.2.
Структура системы моделей
Каждый блок системы может включать не только модели раз-
ных объектов (например, определенной отраслевой системы или
определенного региона), но и разные модели для одного и того же
объекта. Особо сложную структуру имеет блок А, объединяющий
разноаспектные народнохозяйственные модели (точечные и про-
странственные, агрегированные и детализированные, для различ-
ных сроков планирования и т. д.) и специальные модели
функциональных подсистем народнохозяйственного планирования
и прогнозирования (научно-технический прогресс, воспроизводство
населения и трудовых ресурсов, уровень жизни и т. п.). Таким
образом, верхний уровень народного хозяйства и его сложные
части описываются комплексами (подсистемами) моделей.
Блоки и отдельные элементы системы моделей связаны двусто-
ронними информационными потоками. Здесь можно выделить 6 ти-
пов связей: 1) вертикальные производственные связи ABD (народ-
ное хозяйство — многоуровневые отраслевые системы — пред-
приятия и объединения), 2) вертикальные территориальные связи
ACD (народное хозяйство — многоуровневые региональные си-
стемы — предприятия и объединения), 3) вертикально-горизонталь-
ные связи между отраслевыми системами (внутри блока В), 4) вер-
тикально-горизонтальные Связи между региональными системами
(внутри блока С), 5) горизонтальные связи между отраслевыми
92
и региональными системами ВС (сочетание отраслевых и террито-
риальных планов), 6) горизонтальные связи между предприятиями
и объединениями (внутри блока D).
Практически реализуемая система моделей является «откры-
той»: она не исчерпывает всех задач планирования (особенно на
первых этапах реализации) и требует внешнего информационного
дополнения. Поэтому каждое звено системы моделей не только
связано с другими звеньями системы, но и имеет дополнительные
«входы». В то же время каждое звено системы может, хотя бы ча-
стично, функционировать в автономном режиме, т. е. иметь само-
стоятельные «выходы».
Обмен информацией между моделями, входящими в систему,
организуется таким образом, чтобы в результате итеративных пе-
ресчетов найти вариант народного хозяйства в укрупненных по-
казателях, увязанный с проектировками хозяйственных подсистем
разного уровня. Идеалом является построение оптимального свод-
ного плана, полностью согласованного с локально-оптимальными
планами. Однако этот идеал может достигаться только при-
ближенно: практически реализуемая система моделей всегда будет
отличаться от теоретических схем согласования оптимальных ре-
шений, рассматривавшихся выше. Практически реализуемая си-
стема моделей неизбежно будет включать не полностью формализо-
ванные связи между отдельными моделями, приближенные алго-
ритмы согласования. И чем сложнее практически реализуемая
система моделей, тем меньше возможностей для строгого математиче-
ского согласования решения отдельных моделей, тем существеннее
роль неформальных процедур, применяемых в процессе практиче-
ского использования системы моделей.
В настоящее время экспериментальная разработка системы мо-
делей оптимального планирования ведется в ряде научных орга-
низаций: в ЦЭМИ АН СССР, ИЭ и ОПП СО АН СССР, Совете по
изучению производительных сил при Госплане СССР и др. Разра-
батываемые варианты системы моделей отличаются своей «специа-
лизацией», составом отдельных звеньев и внешними связями, ме-
тодами получения согласованных решений. Начаты работы по вклю-
чению системы моделей в автоматизированную систему плановых
расчетов (АСПР).
§ 5. МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО
взаимодействия подсистем
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
Общая структура модели
Термин «модель оптимального экономического взаимодействия
подсистем с локальными критериями оптимальности» характери-
зует вполне определенную совокупность принципов планирования
и управления социалистическим народным хозяйством: народное
93
хозяйство рассматривается как сложная система, имеющая ряд
подсистем; каждая Подсистема обладает собственным критерием
оптимальности, отражающим ее внутренние (имманентные) инте-
ресы; функционирование народного хозяйства есть процесс взаимо-
действия различных подсистем, а планирование народного хозяй-
ства обязательно включает процесс согласования планов подсистем;
взаимодействие подсистем (в том числе и при составлении народно-
хозяйственного плана) осуществляется посредством экономиче-
ского механизма, т. е. является экономическим взаимодействием;
целью процесса экономического взаимодействия является наилуч-
шее сочетание интересов отдельных подсистем и системы в целом.
В социалистическом обществе процесс экономического взаимо-
действия подсистем не носит антагонистического характера. Обоб-
ществление средств производства, ликвидация классовых антаго-
низмов, высокая социальная мобильность создают благоприятные
предпосылки для сочетания общественных, коллективных и ин-
дивидуальных интересов. При этом для моделирования социали-
стической экономики принципиально важно выделение «централь-
ной» подсистемы (подсистемы централизованного планирования
и управления), выражающей интересы социалистического общества
как единого целого.
Модель оптимального экономического взаимодействия подси-
стем с локальными критериями оптимальности представляет со-
бой более общую и более сложную конструкцию по сравнению с оп-
тимизационной одноуровневой моделью народного хозяйства. Это—
модель не только планирования, но и функционирования экономи-
ческой системы, сочетающей централизованное управление с хо-
зяйственной самостоятельностью и использованием товарно-де-
нежных отношений. Посредством данной модели оптимизация на-
родного хозяйства исследуется как процесс взаимодействия про-
изводственно-технологических, социальных и организационных
структур. В дальнейшем для обозначения модели данного типа
будем использовать более краткий термин — «модель экономиче-
ского взаимодействия»1.
1 Часто модели данного типа называются моделями экономического равнове-
сия. Это'название представляется нам неудачным, особенно применительно
к социалистической экономике.
Термин «равновесие» имеет статический оттенок и обычно используется
для характеристики состояний. При характеристике процессов обычно при-
меняется расширенное понятие «динамическое равновесие». Но и оно харак-
теризует не столько сам процесс, сколько его конечный результат или тен-
денцию. Понятие «экономическое взаимодействие» является более общим;
оно включает определение равновесия (статического и динамического) как
особых состояний экономического процесса.
Термин «равновесие» широко распространен в экономической литера-
туре, особенно в буржуазной. Заимствованный из физики, он сам по себе
не несет какой-либо идеологической нагрузки. К. Маркс употреблял термин
«равновесие» как синоним терминов «пропорциональность» и «сбалансиро-
' ванность», подчеркивал, что в капиталистическом хозяйстве «постоянная
тенденция различных сфер производства к равновесию является лишь реак-
94
Любая народнохозяйственная модель экономического взаимо-
действия объединяет модели отдельных подсистем (включая модель
«центральной» подсистемы) и общие для всех подсистем условия
развития народного хозяйства. При этом модель каждой подси-
стемы содержит локальный критерий оптимальности (целевую
функцию), описание множества допустимых решений, определяе-
мого внутренними условиями развития подсистемы, и баланс эко-
номических взаимоотношений с другими подсистемами. Вторая же
часть модели (общие ресурсно-технологические ограничения) вы-
ступает в качестве координатора хозяйственных решений подси-
стем.
Основные понятия: оптимум по Парето,
ядро, равновесие
Пусть в народном хозяйстве выделяется пг подсистем.
Введем следующие обозначения:
Xk — план k-й подсистемы;
Ck == fk (Xk) — целевая функция k-й подсистемы;
X = (Xk) — план системы как композиция планов подси-
стем;
** m
X = 2 ХА — план системы как сумма планов подсистем
fe=i
(вектор, каждая t-я компонента которого опре-
пг
деляется по правилу xt- = 2 xik)'<
k=i
С = (Ck) — вектор значений целевых функций подсистем.
Из совокупности моделей подсистем можно составить задачу
векторной оптимизации на множестве допустимых вариантов раз-
вития подсистем и системы в целом с целевой функцией F (X) =
= [fk (X) ]. Решение этой задачи позволяет, как известно, нахо-
цией против постоянного нарушения этого равновесия» (Маркс К.,
Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 23, с. 368). Однако термин «равнове-
сие» в названии экономико-математической модели ассоциируется с раз-
личными общефилософскими, экономическими, политическими «теориями
равновесия», враждебными марксизму-ленинизму. Известно, например, что
«теорией равновесия» называлось философское обоснование гармонии
классовых интересов, «мирного врастания» капитализма в социализм,
использовавшееся правым оппортунизмом в период строительства социа-
лизма в СССР (см. Теория равновесия.— Философский словарь. М.,
Политиздат, 1975, с. 412—413).
Следует заметить также, что и в специальной зарубежной экономико-
математической литературе понятие «равновесие» многозначно и поэтому
может порождать двусмысленности. Так, теоремы линейного програм-
мирования часто называют «теоремами равновесия», а иногда весь класс
балансовых моделей объединяют понятием «равновесие в экономике».
Исходя из приведенных соображений, понятие «модель равновесия со-
циалистической экономики» использовать нежелательно.
95
дить эффективные варианты (оптимальные по Парето). Но по срав-
нению с общей задачей векторной оптимизации (см. § 3) понятие
«эффективный вариант» приобретает здесь социально-экономиче-
ское содержание.
Эффективный план совокупности подсистем X f X — это такой
допустимый план системы, когда ни одна из подсистем, действуя
самостоятельно или совместно с другими подсистемами, не Может
улучшить свое положение, не ухудшая положения хотя бы одной
другой подсистемы. Иначе говоря, не существует такого плана
X = (Xk), что F(X) >F(X).
Множество может включать планы, различающиеся не
только своими частями (планами подсистем Х^), но и суммарными
(т \
планами X— 2 Xk ) •
fe=l /
Очевидно, что принадлежность к множеству эффективных пла-
нов является разумным требованием к выбору согласованного пла-
нового решения в системе из нескольких экономически самостоя-
тельных участников. В стремлении построить план, оптимальный
по Парето, выражается единство интересов различных подсистем1.
Но разные, оптимальные по Парето планы неодинаково выгодны
для разных подсистем. При этом не исключена возможность, что
если какая-либо подсистема (или группа подсистем) будет действо-
вать самостоятельно, то она (они) сможет достигнуть лучшего для
себя результата.
Для анализа процесса экономического взаимодействия с пере-
менным составом участников важное значение имеет понятие «ядро
экономической системы».
План X = (ХА) принадлежит ядру X* экономической системы,
если любая выделившаяся из системы группа подсистем (или коали-
ция) не может добиться улучшения своего положения в смысле оп-
тимума по Парето. Иными словами, участники коалиции R из т'
подсистем (1 < т' < т) не могут получить значения целевых функ-
ций Д (Хк) > fk (Xk) для всех k £ R и хотя бы для одной /г0-й
подсистемы fko .
Ядро — понятие более узкое, чем множество Парето. Каждый
плай системы, принадлежащий ядру, является оптимальным по
Парето: X* С X*. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Если же ядро совпадает с множеством Парето ' (X* = X*), то это
означает, что у отдельных подсистем (и любых их коалиций)
нет экономических мотивов против реализации любого варианта,
1 Ограниченность данного подхода_ к определению эффективных планов со-
стоит в tonT, что недоучитывается" эффект совместного использования благ,
взаимовлияние удовлетворения потребностей разных подсистем (использо-
вание средств информации, сферы обслуживания, улучшения окружающей
среды и т. п.).
96
эффективного для системы в целом. Существование (непустоту)
ядра можно интерпретировать как наличие заинтересованности
всех подсистем в совместной деятельности. Чем теснее взаимо-
зависимость подсистем, тем меньше различия между множеством
эффективных вариантов (оптимумом по Парето) и ядром системы.
Рассмотрим пример для системы, состоящей из двух подсистем
(рис. 3.3). Линия АВ есть отображение множества Парето на мно-
жество значений целевых функций. Величины CL и С2— значения
целевых функций подсистем при их изолированном функциониро-
вании. Подсистемы будут заинтересованы в объединении (совмест-
ной деятельности), если оно позволит получить значения целевых
функций не меньше чем Сх и С2. От-
сюда следует, что ядру экономичес-
кой системы соответствует линия DE.
Линии AD и BE соответствуют опти-
мальным по Парето планам, не при-
надлежащим ядру. Для первой подси-
стемы неприемлемы все точки, лежа-
щие левее Сх£>; для второй подсистемы
неприемлемы все точки, лежащие
ниже С2Е.
Дополнение модели векторной
оптимизации народного хозяйства
определенным экономическим меха-
низмом позволяет перейти к задаче
выбора на множестве эффективных
планов (ядре экономической системы). «Устройство» экономиче-
ского механизма зависит от конкретных особенностей моделируе-
мых процессов экономического взаимодействия. Но общей чертой
всякого экономического механизма является использование цен
как измерителей затрат и результатов деятельности каждой под-
системы и взаимоотношений подсистем.
При заданных ценах (векторе Р°) подсистемы находят свои оп-
тимальные решения. Однако при произвольном векторе Р° полу-
чаемые локальные решения Х°ь могут не удовлетворять общим для
всех подсистем условиям, т. е.
где Зс — множество планов системы.
Система цен Р* называется балансирующей (или равновесной),
если среди оптимальных планов подсистем, рассчитанных при этих
ценах, найдутся такие, которые образуют допустимый план системы
в целом, т. е. план, удовлетворяющий общим условиям для всех
подсистем.
Пусть ЗЕ* (Р*) — множество оптимальных планов k-й. подси-
стемы при векторе Р*. Тогда в соответствии с определением балан-
4 А. Г. Гранберг 97
сирующих цен множества (Р*) содержат планы X*k, из которых
можно составить такую композицию
x’=(xL ..x'k), что Г ex.
План X*, как правило, принадлежит множеству эффективных
планов (множеству Парето). Такой план характеризует некоторое
равновесие экономических интересов подсистем (по аналогии с рав-
новесием механической системы взаимодействующих сил).
Пара (X*, Р*) называется состоянием (траекторией) равнове-
сия, если
Xk£X'(P*),k=l........tn,
и
X’ = (xL . . ., х;)ех. (3.12)
Полученное состояние (траекторию) равновесия не следует по-
нимать как абсолютно наилучшее решение проблемы согласования
интересов всех подсистем. Равновесие (X*, Р*) достигается в рам-
ках установленных принципов экономических отношений, в том
числе принципов распределения благ и доходов. При изменении
этих принципов могут, получаться иные состояния (траектории)
равновесия.
Существование равновесия как решения модели экономиче-
ского взаимодействия обычно удается доказывать при весьма жест-
ких предпосылках. Среди них можно отметить предположения
выпуклости множеств допустимых решений и вогнутости целевых
функций (эти предпосылки соответствуют условиям выпуклого
программирования). Часто используется также предпосылка о не-
насыщаемости. спроса (потребностей) хотя бы в реально достижи-
мой области планов. Как правило, удается сформулировать сово-
купность достаточных условий, из которых не все могут быть не-
обходимыми1 2.
Модели народного хозяйства, описывающие взаимодействие подсистем
и отдельных участников с особыми интересами, впервые исследовались пред-
ставителями математической школы в буржуазной политэкономии. Первая
модель такого типа, получившая название «модель общего экономического
равновесия», была предложена Л. Вальрасом в 70-х’годах XIX в. Однако
доказательство существования решения для упрощенного варианта этой мо-
дели было получено А. Вальдом только в 1935—1937 гг. Важным этапом в раз-
витии математической теории моделей экономического равновесия следует
считать работы 50-х годов К. Эрроу, Г. Дебре, Л. Мак-Кензи. Наибольшую
известность получила модель конкурентного экономического равновесия
Эрроу—Дебре, предложенная для описания процесса функционирования
капиталистического хозяйства*.
1 См. [17], а также Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. М.,
«Наука», 1974, гл. 5; П о л т е р о в и ч В. М. Экономическое равновесие
и оптимум.— «Экономика и математические методы», 1973, т. IX, вып. 5.
2 См. [7, гл. 10], [8, с. 328—333], [20, гл. V].
98
Модели равновесия, разрабатываемые буржуазными учеными, относятся,
как правило, к'моделям дескриптивного типа, т. е, представляют собой по-
пытки объяснения процесса функционирования капиталистического хозяй-
ства, но не управления им. Ряд предпосылок, используемых в моделях рав-
новесия капиталистической экономики, далек от реальности (например,
предположение о совершенной конкуренции). Нередко модели равновесия
использовались в идеологических целях как доказательство эффективности
и социальной справедливости свободного предпринимательства (рыночной
экономики) по сравнению с плановой социалистической экономикой. В мо-
делях буржуазных экономистов отношения эксплуатации тщательно вуали-
руются, а равновесие безосновательно интерпретируется как состояние гар-
монии классовых интересов и справедливого распределения благ. На самом
же деле «гармония» и «справедливость» в моделях конкурентного равновесия
капиталистического хозяйства (в частности, в модели Эрроу—Дебре) зави-
сит от начального распределения собственности и априорных коэффициентов
распределения чистого дохода на прибыль, заработную плату и т. п. Таким
образом, решение важнейших классовых конфликтов вынесено за рамки
модели как нечто второстепенное.
Для моделирования социалистической экономики существенный интерес
представляют не столько конкретные модели равновесия буржуазных эко-
номистов, сколько математическая теория моделей данного типа, имеющая
более универсальное применение1. Неправомерно отождествлять конкретные
признаки моделей равновесия буржуазных экономистов с общими принци-
пами построения моделей экономического взаимодействия для оптимального
планирования и управления социалистической экономикой.
Пример модели экономического
» взаимодействия
В основе рассматриваемой ниже модели лежит следующая идеа-
лизированная схема организации планирования и управления
народным хозяйством.
Планирование и управление производством централизовано,
т. е. осуществляется государством, владеющим и распоряжаю-
щимся всеми средствами производства и природными ресурсами.
Привлечение членов общества в сферу производства (понимаемую
в широком смысле)^осуществляется посредством материального
стимулирования, а распределение производимых благ между тру-
дящимися — в соответствии с количеством и эффективностью их
труда. Члены общества имеют свободу выбора при удовлетворении
своих потребностей в рамках получаемых доходов.
В народном хозяйстве выделяются (m + 1) подсистем: централь-
ная подсистема (государство) и т групп населения (по социаль-
ному положению, профессионально-квалификационному составу,
типу семей и т. п.). Экономические -взаимоотношения подсистем
заключаются в следующем: а) государство выплачивает заработ-
ную плату группам населения за использование рабочей силы;
б) государство взимает налоги, предоставляет денежные пособия
и распределяет общественные фонды потребления; в) население
1 Из работ, переведенных в СССР, можно отметить [8, 19, 20].
4*
99
приобретает на свои денежные доходы потребительские товары —
продукты сферы производства.
Каждая подсистема стремится максимизировать свою целевую
функцию. При этом целевая функция государства отражает общие
интересы развития социалистического народного хозяйства (ук-
репление общественного строя и обороноспособности, научно-
технический прогресс, охрана природной среды, решение корен-
ных проблем повышения уровня жизни, обеспечение условий бу-
дущего развития и т. д.), а целевые функции групп населения —
стремление к повышению уровня благосостояния соответствующей
группы.
Обозначения:
X — вектор-столбец объемов производства конечной про-
дукции (производственный план народного хозяй-
ства) ;
Z — вектор-столбец объемов продукции, используемой
для общегосударственных нужд;
Yk — вектор-столбец продукции, потребляемой /г-й груп-
пой населения;
1к — затраты труда k-й группы населения;
lk — использование труда k-й группы населения в сфере
производства;
Р — вектор-строка цен на продукцию; •
рк — оплата единицы труда k-u группы населения;
U (Z, X) — целевая функция центральной подсистемы (в упро-
щенном варианте U = U (Z));
uk Xk) — целевая функция /г-й группы населения;
Lk — ресурс труда Л-й группы населения,
9k — сальдо финансовых отношений государства с &-й
группой населения (налоги—со знаком «минус»,
денежные пособия и другие выплаты — со знаком
«плюс»).
Общая модель состоит из трех частей: модели центральной под-
системы, моделей групп населения и общих условий для всех под-
систем.
Модель центральной подсистемы:
U (Z, Х)->тах, (3.13)
U (3.14)
/п ~ т
P(x-z)>2p^+2^ <3-15)
Л=1 й=1
Z>0, (3.16)
Zft>0, £=1....... т. (3.17)
Условие (3.14) означает, что возможности производства зависят
не только от имеющихся у государства средств производства и при-
родных ресурсов, но и от величин используемых трудовых ресур-
100
F
сов. При этом включает только неотрицательные векторы X.
Условие (3.15) выражает баланс доходов и расходов государства.
Модель &-й группы населения:
uk(Yk)-+max, (3.18)
lk<Lk, (3.19)
+ PYk> (3.20)
/*>0, (3.21)
УА>0. (3.22)
Условие (3.20) означает баланс доходов и расходов fe-й группы
населения. В качестве одного из благ может быть выделено сво-
бодное время.
Общие условия для всех подсистем:
т
X>Z+^Yk, (3.23)
fc=i
lk = lk, k=\, . . ., т. (3.24)
Условие (3.23) представляет систему балансов производства
и распределения продукции. План производства X определяется
исходя из производственных возможностей и потребностей обще-
ства, выраженных в целевых функциях государства и населения.
Распределение произведенной продукции происходит на ос-
нове сочетания общегосударственных интересов и интересов групп
населения, с использованием социалистического принципа распре-
деления по труду и товарно-денежных отношений в сфере потреб-
ления. Условия (3.24) выражают требование равенства затрачи-
ваемого и используемого труда.
Роль цен и ставок заработной платы состоит в том, чтобы вы-
равнивать спрос и предложение по различным видам товаров и ка-
тегориям трудовых ресурсов. Система балансирующих цен и ста-
вок заработной платы (Р , pi, . . ., рт) гарантирует (при некото-
рых предположениях), что балансы доходов и расходов (3.15), (3.20)
будут выполняться как равенства. Но в балансах производства
и распределения продукции (3.23) равенства необязательно долж-
ны выполняться по всем продуктам.
Условия существования равновесия в модели (3.13) —(3.24) формули-
руются в виде требований к множеству $ (/х, . . ., 1т) и целевым функциям
U (Z, X) и Uk (Yk). Для существования равновесия достаточно, чтобы вы-
полнялись следующие условия:
1) $ (/1... /«) $ 0, где 0 — нулевой вектор (X = 0);
2) множество J (/х... 1т) выпукло, ограничено и замкнуто;
3) не существует видов деятельности, в которых продукция получается
без каких-либо затрат;
4) технологические процессы производства необратимы;
5) функции U (Z, X) u^Uk(Yk) вогнуты;
6) существует X £ ЗЕ (/х, . . ., /т) такой, что k = 1.....т,
и Х>0.
101
Важным требованием к организации общественного производ-
ства при социализме является обеспечение полной занятости тру-
доспособного населения. В § 2 главы 4 аргументируется положение
о том, что полное использование трудовых ресурсов является не-
обходимым условием эффективных планов 'развития народного
хозяйства. Исходя из этого, можем принять lk = Lk, k = 1, . . ., т.
Тогда условия (3.19) и (3.26) исключаются, вместо (3.20) следует
записать pkLk + % > PYk, а вместо (3.24) lk = Lk, k =
= 1, . . ., т.
Особенностью модели (3.13) — (3.24) и ее упрощенной модифи-
кации (с полным использованием трудовых ресурсов) является
то, что ставки заработной платы pk определяются эндогенно, в за-
висимости от эффективности труда и соотношений спроса и пред-
ложения на рабочую силу соответствующей категории. В действи-
тельности же при формировании заработной платы учитываются
и другие факторы. Регулируя ее, государство активно влияет на
формирование денежных доходов и покупательского спроса раз-
личных групп населения.
Пусть Dk — централизованно планируемая величина доходов
А’-й группы населения (включая заработную плату и другие денежные
поступления). Учитывая заданное использование рабочей силы, по-
лучаем следующий вариант модели экономического взаимодействия.
Модель центральной подсистемы:
U (Z, Х)->тгх, (3.25)
Х£Х, (3.26)
т
P(X-Z)>^Dk, (3.27)
ft=i
Z>0. (3.28)
Модель k-й группы населения:
uk(Yk) шах, (3.29)
РУь<Ок, (3.30)
Yk>0. (3.31)
Общие условия для всех подсистем:
т
(3.32)
Второй вариант модели (3.25) — (3.32) в еще большей степени
акцентирует внимание на проблеме распределения потребитель-
ских благ с использованием товарно-денежных отношений.
Основные направления развития рассмотренных вариантов мо-
дели экономического взаимодействия — конкретизация множества
допустимых планов производства, выделение производственных
подсистем и включение механизма эконбмических взаимоотноше-
ний в сфере производства.
Глава 4_________________,_______
ПРОБЛЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО
ПЛАНИРОВАНИЯ
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
§ 1. О ПОСТРОЕНИИ
НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННОГО КРИТЕРИЯ
ОПТИМАЛЬНОСТИ
Развитие социалистического народного хозяйства подчинено
общей цели. В. И. Ленин сформулировал эту цель как «обеспечение
полного благосостояния и свободного всестороннего развития всех
членов общества» [1, с. 232]. В новой Конституции СССР (статья 15)
говорится: «Высшая цель общественного производства при социа-
лизме — наиболее полное удовлетворение растущих материальных
и духовных потребностей людей».
Формализация общей цели социалистического общества является
одной из важнейших проблем моделирования. Главное требование
к любой модели, формализующей цели развития социалистической
экономики,— это ее применимость для сравнения и упорядочения
(ранжирования) различных вариантов плановых решений. Ника-
кое разумное планирование было бы невозможно, если бы плано-
вый орган не обладал умением сопоставлять варианты плановых
решений и выбирать лучшие из них.
Между двумя вариантами А и В возможны три типа отношений
предпочтения: либо вариант А лучше варианта В (А >- В), либо
вариант В лучше варианта А (В >- А), либо варианты А и В рав-
ноценны (А — В). Однако, если проводить только попарные срав-
нения вариантов, процесс перебора может стать практически беско-
нечным. Поэтому целесообразно разработать формализованные
процедуры сравнения и выбора на всем множестве допустимых ва-
риантов.
Данная задача в принципе может быть формализована различ-
ными способами, в том числе и в виде задачи нахождения экстре-
мума функции, упорядочивающей множество плановых вариантов
по их предпочтительности. Такой способ формализации критерия
выбора обладает многими удобствами, позволяя использовать хо-
103
рошо разработанные математические методы оптимизации. При
этом необходимо подчеркнуть, что постановка вопроса о принци-
пиальной осуществимости построения критерия выбора в виде
некоторой функции вытекает из умения общества (или его предста-
вительного органа) сопоставлять различные варианты. Противо-
положная точка зрения, объясняющая способность (или неспособ-
ность) выбора лучших вариантов знанием (или незнанием) соот-
ветствующей математической функции, является неверной, идеа-
листической.
В теории оптимального планирования наиболее разработаны
две основные постановки народнохозяйственных задач: максими-
зация целевой функции общественного благосостояния и миними-
зация срока достижения определенных целей. Критерии оптималь-
ности, используемые в этих задачах, могут рассматриваться как
первичные глобальные критерии, из которых могут выводиться
вторичные (производные) и упрощенные критерии оптимальности.
Целевая функция общественного
благосостояния
Понятие «целевая функция общественного благосостояния»
(ЦФБ) является кратким обозначением наиболее общего критерия
оптимальности в виде аналитической функции и (X). Эта функция
в принципе должна определяться на всем множестве количествен-
ных показателей (компонент вектора X), характеризующих в ди-
намике разнообразные условия жизни общества: удовлетворение
материальных и духовных потребностей, условия труда и возмож-
ности выбора сферы трудовой деятельности, экологические условия,
сохранение здоровья и т. д. и т. п. Для экономических исследова-
ний область определения и (X) может быть ограничена множеством
«экономических» благ (потребляемые продукты и услуги, возмож-
ности использования свободного времени и т. д.).
ЦФБ и (X) прежде всего отражает факт сопоставимости различ-
ных вариантов развития народного хозяйства с точки зрения удов-
летворения общественных потребностей. Ее величина возрастает
при переходе от менее предпочтительных вариантов к более пред-
почтительным.
Пусть, например, вариант А (вектор Хл) лучше варианта В
(вектора Хв), т. е. ХА >- Хв. Тогда значения функции и (X) в точ-
ках ХА и Хв должны удовлетворять условию: и (ХА)>и (Хв).
И наоборот, если Хв >- ХА, то и (Хв)>и (ХА). При равноцен-
ности вариантов А и В должно выполняться равенство и (Хл) =
= и (Хв). Определенное значение функции и (X) = с соответст-
вует некоторому множеству равноценных (или безразличных) ва-
риантов.
Существование функции и (X), обладающей указанными об-
щими свойствами, может быть формально выведено из системы ак-
104
сиом. Аксиоматика ЦФБ отражает закономерности роста благо-
состояния, типичные правила выбора вариантов (альтернатив),
выполняемые в практической деятельности, а также необходимые
условия измерения.
Среди этих аксиом отметим две, имеющие наиболее очевидную
интерпретацию.
Аксиома сравнимости. Для любых ХА и Хв имеет место одно
из соотношений: либо ХА У- Хв, либо Хв У- ХА, либо ХА — Хв
(эта аксиома уже формулировалась выше).
Аксиома транзитивности. Если ХА У- Хв п Хв У- Хс, то
ХА ~У~ Хс. Если бы не выполнялось условие ХА У- Хс, то функ-
цию и (X) нельзя было бы построить, так как не могут одновре-
менно выполняться условия и (ХА)>и (Хв), и (Хв)>и (Хс),
и (Хл) < и (*с)-
Если к ЦФБ предъявляется только одно требование — упоря-
дочение различных вариантов по их предпочтительности, то от-
сюда следует важный вывод: любые функции, одинаковым образом
упорядочивающие варианты, являются равноправными ЦФБ.
Иными словами, ЦФБ определяется неоднозначно.
Если и (X) — ЦФБ, то и (X) = ср [и (X)] (суперпозиция функ-
ций ср и и) также является ЦФБ, когда <р (и) — монотонно возрас-
тающая функция (т. е. ф' (м)>0). Одинаковая применимость мно-
гих целевых функций объясняется тем, что имеет смысл не числен-
ное значение функции и (X), зависящее от выбранной шкалы из-
мерений, а способ упорядочения различных вариантов X по их
предпочтительности.
Однако если к ЦФБ предъявлять более жесткие требования,
нежели простое упорядочение вариантов (т. е. сопоставление
в терминах «лучше», «хуже», «равноценно»), например, умение’
отвечать на вопрос, насколько лучше или хуже какой-либо ва-
риант по сравнению с другим, то класс допустимых ЦФБ резко
сужается.
Построение ЦФБ предполагает решение многих фундаменталь-
ных проблем науки о человеке и обществе (физиологии, медицины,
психологии, социологии, эстетики и др.), систематизацию обшир-
ной и разнообразной информации.
Теоретически возможны два полярных подхода к построению
ЦФБ: нормативный и дескриптивный. Нормативный подход пред-
полагает возможным строить целевую функцию исключительно
по данным науки о наиболее рациональных условиях человеческой
жизни («как надо жить»). Дескриптивный подход основан на обоб-
щении фактически наблюдаемого поведения общества (посредством
обработки статистических данных, материалов социологических
обследований и т. п.). Недостатком чисто нормативного подхода
является слабый учет сложившихся предпочтений и потребностей
общественных групп, опыта общественного поведения. Этот под-
ход «скрывает» тракты нерациональных потребностей, Ограничи-
105
вает возможности учета будущих потребностей развивающегося
общества. Методика построения ЦФБ должна сочетать норматив-
ный и дескриптивный подходы1.
Построение ЦФБ не является единственным полезным выходом
исследований по ЦФБ. Не меньшее значение имеют теоретические
выводы, полученные из анализа свойств целевой функции. Эти
выводы используются в практической работе по оптимальному
планированию, в том числе при построении упрощенных критериев
оптимальности (см. главу 6).
Очень важными являются социологические аспекты ЦФБ. Функ-
ция и (X) может быть признана в качестве целевой функции об-
щества, если вся совокупность членов общества в процессе при-
нятия индивидуальных и коллективных решений действительно
стремится к максимуму этой функции. Известно, что, несмотря
на единство главной цели развития, в социалистическом обществе
сохраняются особые групповые и индивидуальные интересы. Поэ-
тому ЦФБ и (X) можно рассматривать как некоторое объединение
целевых функций для однородных социальных групп и целевой
функции центрального органа, выражающей интересы государства
и общества в целом. Один из возможных способов такого объеди-
нения — суммирование этих целевых функций с определенными
весами: u (X) = SA,fewft (X), где коэффициенты Xй выражают уча-
стие (или долю) каждой группы в повышении общественного благо-
состояния2.
Минимизация срока достижения заданных
целей
Такая постановка задачи построения оптимального плана пред-
полагает, что известно некоторое «идеальное» состояние Xv, к до-
стижению которого следует стремиться. «Идеальным» состоянием
можно считать набор (вектор) благ, полностью удовлетворяющих
потребности общества по современным научным представлениям.
Это, разумеется, не исключает Того, что по мере продвижения к на-
меченному «идеальному» состоянию последнее будет корректи-
роваться.
Если период планирования неограничен, то необходимо опреде-
лить такую траекторию развития народного хозяйства, при кото-
1 Примером такого сочетания является разработка различного рода норма-
тивов удовлетворения потребностей населения на основе требований фи-
зиологии, медицины и т. д. и обобщения опыта общественного поведения
ведущих в экономическом и культурном отношении слоев населения (ра-
циональные нормы потребления продуктов питания, рациональный гар-
дероб, рациональный набор предметов длительного пользования, рацио-
нальная обеспеченность услугами и т. д.).
2 Более строгая аргументация в пользу такой формы согласования интере-
сов в оптимизируемой социально-экономической системе дается в § 5 дан-
ной главы.
106
рой вектор Xv достигается за минимальное время (задача опти-
мального быстродействия). Если же длительность планового пе-
риода фиксирована, то ставится задача максимального приближе-
ния к уровню удовлетворения общественных потребностей, задан-
ному вектором Xv (при этом предполагается, что состояние Xv не-
достижимо в течение планового периода).
При использовании рассматриваемого критерия главным яв-
ляется обоснование системы рациональных нормативов, характе-
ризующих отдаленную цель развития народного хозяйства. Но
открытым остается вопрос об удовлетворении общественных по-
требностей на этапах продвижения к данной цели. И поэтому вполне
возможно, что подчинение развития народного хозяйства только
одной конечной цели может давать такие траектории, при которых
неудовлетворительно решаются проблемы повышения благосостоя-
ния на отдельных этапах планового периода. Таким образом, дан-
ный критерий оптимальности является более частным по срав-
нению с ЦФБ (в динамической постановке). Его необходимо
дополнить условиями, налагаемыми на, траектории движения
к идеальному состоянию.
Другим общим критерием является минимизация потерь благо-
состояния общества при движении к идеальному состоянию:
W = J[uv — u(t)]dt.
о
Данный критерий совмещает теоретические представления о
ЦФБ и основную идею критерия минимизации срока достижения
107
заданной цели: и (/) — значение ЦФБ в момент t, и* = и (Xv) —
значение ЦФБ приходном удовлетворении рациональных потреб-
ностей; при этом предполагается, что и (I) uv. В отличие от
обобщенной (динамической) ЦФБ, в которой вектор X включает
использование благ в разные моменты времени, функция и (/) =
= и [X (t) ] определяется для каждого момента времени в зависи-
мости от количеств используемых в этот же момент благ.
На рис. 4.1 показано, что траектория и^а, оптимальная по кри-
терию минимизации срока достижения Xv (и соответственно uv),
не является лучшей с точки зрения минимизации потерь благосо-
стояния (или максимизации интегрального благосостояния) в пе-
реходном периоде. В последнем отношении лучшей является тра-
ектория и0Ь (величина потерь равна площади заштрихованного
пространства).
Формализация целей в методике программно-
целевого планирования
В последние годы для планирования и управления сложными
системами все шире начинает использоваться программно-целевое
планирование (ПЦП). Методика ПЦП содержит ряд интересных
идей формализации целей. Важной составной частью этой мето-
дики является построение дерева целей.
Дерево целей систематизирует иерархию целей развития слож-
ной системы. Каждая цель верхнего уровня представляется в виде
подцелей следующего уровня таким образом, что объединение под-
целей полностью определяет исходную цель. Все цели доводятся
до конкретных целевых нормативов. Так, например, цель «пита-
ние» в конечном счете конкретизируется в виде научно обоснован-
ных норм потребления продуктов питания на душу населения,
цель «одежда» — в виде норм потребления товаров, рассчитанных
исходя из условий жизни и на основе изучения спроса групп на-
селения с высшим доходом, и т. п. Посредством целевых нормативов
можно установить связь дерева целей с рассмотренным выше кри-
терием минимизации срока достижения заданных целей.
Фрагмент дерева целей социалистического общества, разрабо-
танного в ЦЭМИ АН СССР [10], изображен на рис. 4.2.
Взаимосвязь и соподчиненность различных целей оцениваются
с помощью специальных коэффициентов. Здесь используется два
подхода: порядковый (ранжирование) и количественный (норми-
рование). Ранжирование целей состоит в том, что каждой цели при-
писывается порядковый номер, устанавливающий ее относительную
важность для достижения цели более высокого уровня. При нор-
мировании целей для каждой из них устанавливаются коэффици-
енты значимости.
Ранжирование или нормирование целей осуществляется на ос-
нове специальных методик экспертных оценок, среди которых
наибольшую известность получил «Дельфийский метод».
108
Составной частью методики ПЦП является разработка, сцена-
риев будущего. Они позволяют дать общую оценку возможностей
удовлетворения потребностей народного хозяйства в исследуемом
периоде и уточнить систему целей. В целом методика ПЦП может
S-й Ярус
1-й ярус
1-й ярус
Ъ-й ярус
й-йярус
РИС. 4.2.
Фрагмент дерева целей
Номерами обозначены цели: >
о — упрочение и развитие социалистического общества; 1 — повышение
благосостояния членов социалистического общества; 2 — упрочение и раз-
витие системы общественных отношений; 3 — обеспечение безопасности
развития; 4 — развитие потенциала для будущего; 1.1 — удовлетворение
материальных потребностей членов общества (материальное благосостоя-
ние); 1.2— удовлетворение социальных запросов членов общества (со-
циальное благосостояние); 1.3— обеспечение доступа к материальным
и социальным благам и услугам; 1.1.1 — экология (природно-биологиче-
ская среда); 1.1.2— питание; 1.1.3 — жилой комплекс; 1.1.4— одежда;
1.1.5 — средства коммуникации; 1.1.3.3 — жилое помещение; 1.1.3.2 — са-
нитарно-техническое оборудование; 1.1.3.3 — мебель; 1.1.3.4 — бытовая
техника
существенно дополнить методы построения критериев оптималь-
ности, особенно в отношении таких трудноформализуемых аспек-
тов целенаправленной деятельности общества, как наука, образо-
вание, оборона, охрана окружающей среды.
Проблема критерия оптимальности с позиций
общей методологии экономико-математического
моделирования
В проблеме построения народнохозяйственного критерия опти-
мальности фокусируются все основные трудности моделирования
социально-экономических процессов: переплетение многих факто-
ров различной природы, сложности наблюдений и измерений,
109
сочетание самоорганизуемости и управляемости, взаимодействие
субъекта и объекта моделирования, стохастичность и неопределен-
ность развития и т. д. ч
Иногда высказывается соображение, что применение оптимиза- .
ционных моделей в планировании народного хозяйства невозможно,
так как еще не построен правильный критерий оптимальности.
Это соображение основано на иллюзиях, что формула «истинного»
критерия может быть определена вне практической деятельности
по оптимизации социально-экономических решений, что эта фор-
мула «объективно существует» вне активной общественной прак-
тики и вне общественного сознания и наука должна только отыскать
эту формулу.
Известно, что в процессах планирования и управления цели
обычно уточняются и модифицируются; в окончательном виде они
формируются в процессе реального функционирования объектов.
Абсурдно было бы отказываться от планирования народного хо-
зяйства только по той причине, что какие-то принимаемые в данный
момент цели в последующем могут измениться. Плановое развитие
всегда осуществляется на основе определенных целевых установок;
в то же время оно обязательно включает механизм корректировки
первоначальных целей и генерирования новых целей по мере до-
стижения более высокого уровня экономического развития и удов-
летворения материальных и духовных потребностей. При этом
учитывается положительное воздействие более полного удовлетво-
рения потребностей и развития способностей трудящихся на эф-
фективность общественного производства.
В § 2 главы 3 уже отмечалась принципиальная условность на-
роднохозяйственных моделей, в которых критерий оптимальности
(целевая функция) задается априорно. Напрашивается вывод, что
процесс нахождения реального (а не только формального матема-
тического) оптимума с помощью математических’моделей должен
включать процедуры уточнения и корректировки критериев опти-
мальности.
Вопрос о возможностях построения и применения критерия оп-
тимальности следует рассматривать с позиций общей методологии
применения математического моделирования в научных исследова-
ниях и практике. Математическое моделирование, как известно,
предполагает абстрагирование от некоторых сторон реальной дей-
ствительности. Это абстрагирование особенно существенно в при-
кладных моделях, приспосабливаемых к достигнутому уровню
конкретных знаний, источникам информации, возможностям вычис-
лительной техники. Однако такие модели часто становятся полез-
ным инструментом научного познания и создают благоприятные
предпосылки для последующего совершенствования моделей со-
ответствующих объектов.
Критерий оптимальности в народнохозяйственной задаче есть
особая математическая модель общественных целеустремлений.
И когда ставится вопрос о практическом построении такой модели,
ПО
г
I
. то на первых порах речь может идти лишь об упрощенном, схема-
тизированном представлении системы общественных целеустрем-
лений. Если же руководствоваться чересчур строгйми требова-
ниями к начальной формулировке критерия оптимальности, то
практические разработки в области оптимального планирования
никогда не смогут выйти из начальной стадии, и поэтому не смогут
быть реализованы даже те возможности оптимизационных моделей,
которые не зависят от конкретного вида критерия оптимальности.
Реалистический подход состоит в такой организации оптималь-
ного планирования, когда наряду с приближенной оптимизацией
народного хозяйства на основе упрощенных моделей и практиче-
ского использования получаемых результатов расширяется фронт
фундаментальных исследований.
§ 2. ВЗАИМНЫЕ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
Понятие о взаимных задачах и теорема
взаимности
Вернемся к рассмотрению общей оптимизационной модели на-
родного хозяйства, записанной в форме (3.1), (3.5). Среди условий,
образующих множество допустимых вариантов X, важную роль
играют ограничения по ресурсам. Если s — индекс ресурса, то
gs (X) — функция общих затрат этого ресурса, a bs — общее ко-
личество (запас) ресурса в народном хозяйстве1.
Из множества видов ресурсов всегда можно выделить дефицит-
ные ресурсы (один или несколько). Ресурс называется дефицитным.,
если изменение его количества приводит к изменению оптималь-
ного значения целевой функции. Всякий дефицитный ресурс s0 в
оптимальном плане X* используется полностью, т. е. вектор X*
обращает неравенство (X) b строго в равенство. Но понятие
«дефицитность ресурса» более жесткое, нежели понятие «полное
использование ресурса», так как последнее не означает, что увели-
чение ресурса обязательно изменит оптимальный план.
Выделим из всех ограничивающих условий для специального
рассмотрения ограничение по одному дефицитному ресурсу и обо-
значим его q (X) < Q, где q (X) — функция общих затрат особого
ресурса, Q — общее количество данного ресурса. Все варианты
X должны удовлетворять этому ограничению, и хотя бы для
одного варианта оно будет выполняться строго как равенство.
Множество допустимых вариантов, образованное в результате ис-
ключения из множества условия q (X) Q, обозначим X.
I
1 Напомним, что все рассуждения могут относиться к задачам в динамиче-
ской постановке. Ресурс, используемый в разные моменты времени, рас-
сматривается как несколько разных ресурсов.
111
Количество ресурса Q можно рассматривать как параметр,
определяющий множество допустимых вариантов Ж (Q). При этом
X (Q) есть общая часть (пересечение) множества X и множества
таких вариантов, для которых выполняется условие q (X) Q, -
а именно:
Я (Q) = [X :<?(*)< Q1-
Теперь -сформулируем другую задачу.
Пусть G — параметр, характеризующий определенный уровень
(значение) максимизируемой целевой функции f (X). Обозначим
X (G) множество допустимых вариантов, которое является пере-
сечением множества Я и множества таких вариантов, для которых
выполняется условие f (X) > G:
Я(С) = ЯП[Х)>0].
На множестве Ж (G) будем минимизировать функцию затрат
выделенного ресурса q (X).
Таким образом, имеем пару оптимизационных задач:
Л) f(X) -> max, Х£Я(<2); (4.1)
В) q (X) -> min, X£X(G). (4.2)
Задачи А и В называются взаимными. Как было показано, эти
задачи имеют общую часть множества допустимых решений X, а
различия между ними сводятся к следующему: функция f (X), мак-
симизируемая в задаче А, образует ограничивающее условие в за-
даче В, и наоборот, функция q (X), ограниченная в задаче А, яв-
ляется минимизируемой в задаче В.
Вариант X задачи А является оптимальным, если / (X) =
= max / (X). Таких оптимальных планов может быть несколько.
X€J(Q)
Обозначив множество оптимальных планов как X (Q), можем за-
писать
X£Xf(Q).
Вариант X задачи В является оптимальным, если q (X) =
= min q (X). Обозначив множество оптимальных планов как
X€^(G) ’
тцч (G). получим
X£3t’(G).
Попытаемся теперь выяснить, при каких условиях решения
задач Л и В могут совпадать. Ответ дает общая теорема взаимно-
сти1.
1 Сформулирована и доказана А. Г. Аганбегяном и К. А. Багриновским.
Ранее доказательство теоремы для более частного случая было выполнено
А. Л. Лурье (см. Абстрактная модель оптимального хозяйственного
процесса и о. о. оценки.—«Экономика и математические метод»», 1966,
т. II, вып. 1).
СП
112
г - '
Теорема.
Если для каждого решения X £ ЭЕ^ (Q) задачи А выполняется условие
q (X) = Q, а в задаче В задано G = f (X) = G, то решения задач А и В
(т. е. множества Zf (Q) и ЭЕ’ (G)) совпадают.
Доказательство. _
; Предварительно заметим, что если X £ $ (Q), то X £ ЭЕ, и если
X О’ (G), то П I _
1. Всякое решение X £ ЗЕ* (Q) принадлежит множеству ЗЕ (G). Дейст-
вительно, X £ ЭЕ и f (X) = G. Следовательно, X £ ЗЕ (G). Вследствие
минимальности решений X имеем q (X) sc q (X).
2. Из последнего неравенства вытекает, что все решения X £ (G)
I принадлежат также множеству ЗЕ (Q), так как q (X) q (X) = Q и X £ ЭЕ.
Вследствие максимальности решений X имеем f (X) sj: f (X) = G.
3. Из полученного неравенства f (X) sg: G и заданного условия взаим-
ной задачи f (X) > G следует: f (X) = f (X) = G (тем самым доказано, что
ограничение f (X) > 6 во взаимной задаче выполняется как строгое равен-
ство).
4. Последнее означает, что всякое решение X принадлежит множеству
3? (Q) или ЗЕ’ (G) С 3Ef (Q). Отсюда вытекает, что q (X) = Q для всех
X £ ЭЕ’ (G), или иначе:
min q (X) = Q.
X£s(G)
5. Поскольку (см. п. 1) всякое решение X £ %? (Q) принадлежит ЭЕ (G)
~ • 'и q (X) — min q (X) = Q, то X £ ЗЕ’(G). Таким образом,
Х€зе(С)
3Ef(Q)czF(G).
6. Из пп. 4 и 5 следует, что множества ЭЕ^ (Q) и ЭЕ’ (G) совпадают.
Теорема доказана.
Экономическая интерпретация теоремы
взаимности. Минимизация затрат труда как
критерий оптимальности
Понятие взаимных оптимизационных задач и теорема взаимно-
сти имеют важное теоретическое значение. Они устанавливают
«равноправие» и условия эквивалентности двух основных модифи-
каций оптимизационных моделей народного хозяйства.
При решении задачи на максимум целевой функции обществен-
ного благосостояния получаем и (X*) = С*. Общая теорема вза-
имности указывает, что в качестве народнохозяйственного крите-
рия оптимальности может быть выбрана также функция затрат
любого дефицитного ресурса. Использование этого критерия будет
давать то же решение (те же оптимальные планы), если соблюдается
условие и (X) > С*.
В народном хозяйстве в отдельные моменты времени могут быть
дефицитными различные виды ресурсов (число видов таких ресур-
113
сов может быть достаточно велико). Однако до построения народно-
хозяйственного плана нельзя с уверенностью назвать, какие именно
ресурсы окажутся дефицитными. Поэтому для применения резуль-
татов теории взаимных задач нужно из всего множества ресурсов
выделить хотя бы один ресурс,, который благодаря своим специфи-
ческим свойствам мог бы рассматриваться как устойчиво дефицит-
ный ресурс.
Таким особым ресурсом является труд. Его исключительное
положение среди всех других видов ресурсов (с интересующей
нас точки Прения) объясняется рядом причин. Во-первых, коли-
чество трудовых ресурсов в каждый данный момент ограничено,
и их увеличение сравнительно мало зависит от развития экономики
(почти не зависит в пределах 15-летнего планового периода). Во-
вторых, трудовые ресурсы являются наиболее универсальным ре-
сурсом; относительный избыток трудовых ресурсов в одной ка-
кой-нибудь сфере деятельности может быть направлен в другие
сферы деятельности (материального производства, отраслей ус-
луг, образования и культуры и т. д.). В-третьих, в социалистиче-
ском обществе одним из важнейших факторов повышения благо-
состояния и всестороннего развития членов общества является
увеличение свободного времени трудящихся за счет сокращения
рабочего времени (свободное время является компонентой вектора,
на котором определяется ЦФБ). Поэтому экономия труда (в от-
личие от экономии других производственных ресурсов) не только
создает предпосылки для ускорения развития народного хозяйства
за счет расширения сферы труда, но и может непосредственно уве-
личивать уровень удовлетворения общественных потребностей:
абсолютное сокращение затрат труда в народном хозяйстве создает
возможности дополнительного сокращения рабочего дня, увели-
чения свободного времени и создания более благоприятных усло-
вий для всестороннего развития личности1.
Таким образом, можно сделать вывод, что в задаче на макси-
мум ЦФБ трудовые ресурсы общества будут использованы пол-
ностью. Отсюда следует, что во взаимной задаче можно миними-
зировать функциях общих затрат труда.
Необходимо уточнить, что речь идет о минимизации именно
общих затрат труда без какого-либо приведения различных видов
труда к одинаковому уровню сложности, квалификации и т. п.
Как известно, ресурсы и затраты труда дифференцируются по про-
фессионально-квалификационному и половозрастному составу. Но
абсолютной ограниченностью и устойчивой дефицитностью харак-
теризуются только трудовые ресурсы в целом. Отдельные же виды
трудовых ресурсов воспроизводимы в широких границах и под-
1 К этому следует добавить, что развитие способностей трудящихся благо-
даря увеличению свободного времени является важным источником роста
производительности труда. Эта обратная связь усиливает взаимозависимость
процессов экономии труда и роста благосостояния.
114
| даются трансформации. Условия трансформации трудовых ресур-
сов (перемещение Из одной группы в другую) и затраты на транс-
! формацию (образование, переквалификацию) должны включаться
в общую модель народного хозяйства как особые ограничения и пе-
ременные. Следует также заметить, что при динамической поста-
новке задачи для каждого отрезка времени (например, года) вво-
•? дится особое ограничение по трудовым ресурсам и поэтому в со-
f ответствии со смыслом теоремы взаимности минимизироваться мо-
гут трудовые затраты любого отрезка планового периода.
* Конкретизируем теперь основные положения теории взаимных
задач применительно к народнохозяйственным оптимизационным
") моделям;
* Пусть t (X) — функция общих затрат труда за какой-либо пе-
риод времени, L — общее количество трудовых ресурсов в среднем
за тот же период (в соответствующих единицах измерения).
Тогда задача А будет иметь вид:
ы(Х)->тах, X£3t(L),
X (L) = XП [X : t (X) < L] (4.3)
или в более подробной записи:
и (X) -+ max,
: gs(X)^bs, s^M,
t(X)-<L,
i- - , X>0. (4.4)
Множество всех решений (оптимальных вариантов) обозначим
Xй (L), а максимальное значение целевой функции — С*.
Тогда задача В (взаимная) будет иметь вид:
/(X)->min, Х£Х(С),
J(C) = XD[X:u(X)>C] (4.5)
или в более подробной записи:
t (X) -> min,
gs(X)<bs, s^M,
и (X) > С,
Х>0. ' (4.6)
Пусть X1 (С) — множество всех решений задачи В.
Из теоремы взаимности следует, что решения обеих задач (мно-
жества ЗЕ“ (L) и Х‘ (С)) совпадают, если во второй задаче принято
С = С*. Условия и решения взаимных оптимизационных задач
народного хозяйства изображены на рис. 4.3 и 4.4.
115
Множество X (L) допустимых вариантов задачи на максимум
и (X) (см. рис. 4.3) есть фигура Oabcd; это множество представ-
ляет собой совместную область условий 1, 2, 3. При этом условие
3 — это ограничение по трудовым ресурсам t (X) < L. Максимум
и (X) достигается в точке М.
Множество X (С) допустимых вариантов задачи на минимум
t (X) (см. рис. 4.4) ограничено точками р, г, s и представляет со-
бой совместную область условий 1, 2, 4, причем условию 4 соот-
ветствует и (X) С*. Минимум t (X) достигается также в точке М.
РИС. 4.3,
Решение задачи на максимум п(Х)
Отметим две характерные особенности графических иллюстра-
ций взаимных задач: 1) оптимум достигается на границе множеств
допустимых решений, что соответствует в первом случае полному
использованию ресурса, а во втором случае — точному достиже-
нию заданного уровня благосостояния (без превышения); 2) опти-
мальные планы единственны.
Таким образом, критерий минимизации затрат труда не проти-
воречит главной цели развития социалистического народного хо-
зяйства и при определенных условиях выступает эквивалентом
критерия максимизации удовлетворения потребностей общества.
Преимущества критерия минимизации трудовых затрат состоят
в ясности экономического смысла и простоте количественного выра-
жения. Очевидно, измерение затрат на производство различных
продуктов и услуг является гораздо более легкой задачей, чем си-
116
стематизация наборов благ по их общественному полезному эф-
фекту. Решение народнохозяйственных задач с рассматриваемым
критерием позволяет оценивать эффективность тех или иных хо-
зяйственных мероприятий величиной сэкономленных затрат, т. е.
оперировать привычными показателями, широко используемыми
в локальных экономических расчетах1.
Оптимизация народнохозяйственного плана по критерию тру-
довых затрат не избавляет от необходимости сопоставлять различ-
ные допустимые варианты по степени удовлетворения обществен-
РИС. 4.4.
Решение задачи на минимум t(X)
ных потребностей. Общая -формулировка взаимной оптимизацион-
ной задачи (4.5) или (4.6) предполагает знание не только ЦФБ,
но и ее максимально достижимого уровня. Однако теория взаим-
ных задач открывает дорогу различным приближенным методам
поиска народнохозяйственного плана, обеспечивающего макси-
мально возможное удовлетворение потребностей общества. Крите-
1 При решении многих локальных оптимизационных задач применяется
критерий минимизации совокупных затрат. Возникает вопрос, является
ли такой критерий правомерным, учитывая, что в социалистической эко-
номике все локальные решения должны быть направлены на максимальное
удовлетворение общественных потребностей. Теория взаимных задач не
дает положительного ответа на'этот вопрос. Но она показывает, что при
определенных условиях постановка задачи на минимум затрат может быть
корректной с точки зрения реализации главной цели социалистического
общества.
117
рий минимизации трудовых затрат следует рассматривать в первую
очередь как инструмент итеративного процесса нахождения опти-
мального народнохозяйственного плана1.
Пусть считается заданным определенный вариант удовлетворе-
ния потребностей или некоторое множество вариантов, обеспечи-
вающих примерно равный уровень удовлетворения потребностей.
При этих условиях решается задача на минимум затрат труда и на-
ходится оптимальный вариант. Но этот оптимальный вариант не
будет окончательным. Предположим, трудовые ресурсы народного
хозяйства равны 150 млн. человек, а в результате решения задачи
оказалось, что потребность народного хозяйства составляет только
120 млн. человек, т. е. имеющиеся трудовые ресурсы могут обес-
печить более высокий уровень производства и, следовательно, бо-
лее высокий уровень потребления2. Поэтому можно установить
более высокое задание по уровню удовлетворения потребностей
и снова решать задачу на минимум трудовых затрат и т. д. Итера-
тивный процесс нахождения оптимального плана можно считать
законченным, если мы достигнем максимально возможного уровня
удовлетворения потребностей при имеющихся трудовых ресурсах.
Постановка задачи на достижение определенного уровня удов-
летворения потребностей, а не определенного набора (вектора) по-
требительских благ является более совершенной, так как вклю-
чает и поиск эффективной структуры удовлетворения потребностей
(с учетом взаимозаменяемости потребительских благ). В идеале
это выражается в том, что задаются уровни ЦФБ и (X) = С и ре-
шается задача параметрического программирования относительно
возрастающего параметра С. Оптимальным будет любой из планов
X* £ Эс‘ (С*), для которого t (X*) = L и значение С = С* яв-
ляется максимально допустимым (при С>С* решений не сущест-
вует). Иными словами, план, полученный на последней итерации,
соответствует плану, в котором ЦФБ достигает максимума при
ограниченных трудовых ресурсах. Но построение ЦФБ весьма
сложная проблема. Поэтому применяются приближенные описания
множеств равноценных вариантов удовлетворения общественных
потребностей, которые уточняются в процессе итеративных оптими-
зационных расчетов.
Взаимные оптимизационные задачи замечательны не только
тем, что их конкретные решения при определенных условиях сов-
падают. Общими являются и многие качественные свойства взаим-
ных задач. Это обстоятельство используется при математическом
1 Такая трактовка критерия минимума трудовых затрат в социалистиче-
ском хозяйстве была впервые обоснована В. В. Новожиловым (1892—1970).
См. [22, гл. 5, 8, 9].
2 Заметим, что в минимизации затрат труда общество на каждом конкретном
этапе своего развития заинтересовано лишь до того предела, пока увели-
чение свободного времени не оказывается предпочтительнее тех количеств
материальных благ, которые теряются в результате сокращения рабочего
времени.
118
анализе народнохозяйственных моделей (см., например, главу 9).
Теорема взаимности используется также и для построения эффек-
тивных вычислительных методов. Нередко оказывается, что за-
дачи, являющиеся взаимными, принадлежат разным классам задач
математического программирования (например, А — задача квад-
ратического программирования, а В — задача линейного програм-
мирования). Это позволяет решение математически более сложной
задачи сводить к решению серии задач более простой математиче-
ской структуры. Таким образом, теория взаимных оптимизацион-
ных задач имеет разнообразное применение в экономико-математи-
ческом моделировании.
§ 3. ПРИНЦИПЫ СОИЗМЕРЕНИЯ ЗАТРАТ
И РЕЗУЛЬТАТОВ: ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
И ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Постановка проблемы
В социалистической экономике все локальные решения должны
подчиняться общей цели — максимально возможному удовлетво-
рению потребностей общества. Но этот главный принцип социали-
стического хозяйствования может быть реализован только в том
случае, когда применяемые отдельными хозяйственными ячейками
измерители затрат и результатов деятельности соответствуют прин-
ципам народнохозяйственного оптимума. Система измерителей
затрат и результатов должна приводить в соответствие понятия
глобальной и локальной экономической эффективности так, чтобы
решения, эффективные с народнохозяйственных позиций, были бы
эффективными для каждой хозяйственной ячейки, и наоборот.
Один из важнейших выводов теории оптимального планирова-
ния состоит в том, что принципы измерения затрат и результатов
тесно связаны с задачей построения и реализации оптимального
народнохозяйственного плана: проблемы построения плановых
цен, нормативов эффективности капиталовложений, оценок При-
родных ^ресурсов и т. п. не являются вполне самостоятельными
проблемами, а представляют собой определенные аспекты общей
теории оптимального планирования народного хозяйства.
Анализ моделей оптимального планирования позволяет наме-
тить некоторые подходы к проблеме соизмерения затрат и резуль-
татов. Рассмотрим сначала, какого рода измерения можно выпол-
нять с помощью народнохозяйственных критериев оптимальности.
Опираясь на теорию взаимных оптимизационных задач, будем
в дальнейшем использовать два народнохозяйственных критерия:
ЦФБ и (X) и функцию общих трудовых затрат t (X).
До сих пор функции и (X) и t (X) записывались так, как будто
они определяются на одинаковых множествах переменных. Дела-
119
лось это только для большей компактности записи. В действитель-
ности же функция и (X) определяется на множестве показателей,
непосредственно характеризующих уровень общественного благо-
состояния; будем далее называть эти показатели «благами». Функ-
ция t (X) определяется на множестве показателей, характеризую-
щих интенсивности различных видов деятельности.
Пусть X/ — объем использования блага i, х, — интенсивность
вида деятельности /.
Будем предполагать, что функции и (X) и t (X) непрерывно
дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные1.
Частная производная ЦФБ и, =ди - характеризует пре-
dxi
дельный полезный эффект от использования блага i, т. е. прирост
ЦФБ при увеличении использования блага i на «малую единицу»2,
тт д. dt(X)
Частная производная функции трудовых затрат тха-
дх/
рактеризует предельные трудовые затраты вида деятельности j,
т. е. прирост затрат труда в народном хозяйстве при увеличении
интенсивности вида деятельности j на «малую единицу».
Частные производные щ и к} несут важную информацию о со-
отношениях народнохозяйственных результатов и затрат при ис-
пользовании разнообразных видов общественных благ и деятель-
ности. Однако рассматриваемые сами по себе они не могут служить
универсальными измерителями народнохозяйственных затрат и ре-
зультатов.
Во-первых, и{ и ту — переменные величины, численные значе-
ния которых определяются народнохозяйственным планом-векто-
ром X. Поэтому вне народнохозяйственного плана значения пре-
дельных полезных эффектов и предельных трудовых затрат опреде-
лить невозможно и, следовательно, невозможно применить пока-
затели Щ И Ту.
Во-вторых, показатели ut и ту, рассматриваемые независимо
от других условий развития народного хозяйства, не соизмеряют
затраты с результатами. Величины щ характеризуют только за-
висимость непосредственного полезного эффекта от использования
благ без учета того, какие затраты' должно нести общество для
удовлетворения потребностей в этих благах. Наоборот, величины
Ту показывают только зависимости трудовых затрат в народном
хозяйстве от увеличения интенсивностей соответствующих видов
1 Одним из условий непрерывной дифференцируемости функций и (X) и
t (X) является то, что аргументы xi и ху могут принимать непрерывные
значения. Хотя количества некоторых благ не могут дробиться до беско-
нечности (количество автомобилей, телевизоров и т. п.), но в масштабах
народного хозяйства неделимость такого-рода несущественна. Это верно
и в отношении измерения интенсивностей видов деятельности, производя-
щих различные виды продукции и услуг.
2 Термин «единица» применительно к анализу бесконечно малых величин
является условным.
120
деятельности вне всякой связи с тем, каков полезный эффект от
этих видов деятельности.
В-третьих, поскольку продукция многих видов деятельности
непосредственно не используется в качестве благ (например,
«чистые» средства производства: руда, чугун, нефть, технологи-
ческое оборудование), то эта продукция не получает оценок
полезного эффекта типа ut. Наоборот, так называемые «даровые
блага природы», оказывающие существенное влияние на уровень
общественного благосостояния, не находят отражения в показа-
телях Ту.
Из сказанного можно сделать вывод, что необходимо сконструи-
ровать систему таких экономических показателей, которые, со-
храняя свойства показателей предельных полезных эффектов и пре-
дельных трудовых затрат, были бы способны соизмерять все част-
ные виды затрат и результатов с позиций народнохозяйственного
оптимума. Для этого необходимо выяснить более глубокие свойства
модели оптимального народнохозяйственного плана.
Абстрактная модель оптимального планирования
и оптимальные оценки
Для анализа принципов и методов соизмерения затрат и резуль-
татов будем рассматривать достаточно общую модель народного
хозяйства, которая укладывается в схему нелинейного программи-
рования1.
’ Пусть народное хозяйство есть объединение двух сфер: сферы
производства (материального и нематериального)-, включающей
различные виды деятельности / £ Nlt и сферы потребления, вклю-
чающей использование различных видов благ i £ N2 непосредст-
венно для удовлетворения потребностей общества. В число видов
деятельности включаются процессы производства разнообразной
продукции, и услуг и процессы доведения производимой продукции
до конечного использования (т. е. сфера обращения, обмена). При
этом каждый технологический и организационно-хозяйственный
способ изготовления продукции и услуг рассматривается как осо-
бый вид деятельности. Интенсивности видов деятельности характе-
ризуются вектором = (ху), а объемы использования благ —
вектором Х2 = (xz). Общий же вектор переменных модели имеет
вид
Гх11
х2
1 Подавляющее большинство моделей оптимального планирования (в жестко
детерминистской постановке) представляют собой частные случаи рассмат-
риваемой модели. Это позволяет надеяться на большую степень общности
получаемых из данной модели теоретических выводов.
Все ограничивающие условия модели разделяются на две I
группы: балансы производства и использования видов продукции
(средства производства и блага, в том числе нематериальные) и ог-
раничения по невоспроизводимым ресурсам. Общий индекс про-
дукции — sx £ Л4Х, причем Х2 С Мг. Общий индекс ресурсов —
s2 £ Л4а. При этом Л4Х U Мг = М. Из принятых предположений
следует, что функции производства и затрат определяются на век- г
торе Хх, а ЦФБ — на векторе Х2. !
Введем новые обозначения: 1
gt (XJ = [gSi (Хх)] — вектор-функция конечной продукции
сферы производства (т. е. разностей между произведенной и ис-
пользованной продукцией в сфере производства);
g2 (Xj) = [gSj (Xj)] — вектор-функция затрат ресурсов;
Q (<7S ) — вектор фиксированных объемов исполь-
зования продукции в сфере потребления (допускается Q = 0);
R = (rsJ — вектор объемов имеющихся ресурсов.
Балансы производства и использования продукции представ-
ляют собой неравенства gx (Хх) Х2 + Q, т. е. конечной про-
дукции должно быть достаточно для удовлетворения потребностей
(фиксированных и переменных) сферы потребления. Вектор-функ-
ция gx (Хх) должна удовлетворять условию: существуют такие
векторы Хх > 0, что gx (Хх) > 0. Это условие может быть названо
условием продуктивности экономической системы. Если данное
условие не выполняется, то в замкнутой экономической системе
не может осуществляться даже простое воспроизводство1.
Модель в целом имеет вид: “
* и (Х2) -> шах,
gx(Xx)-X2>Q,
Хх > о, )
Х2>0. (4.7)
Модель (4.7) в общем случае должна трактоваться как динами-
ческая. Допустимость и необходимость такой трактовки следует
подчеркнут^, чтобы исключить возможность противопоставления
статического и динамического оптимумов. Из динамического ха-
рактера модели следуют определенные выводы о ее структуре,
составе переменных и ограничений. Если время учитывается ди-
скретно, то все условия модели имеют дополнительные координаты '
t = 1, 2, . . ., Т, где Т — длительность планового периода. Это
- означает, что векторы Хх и Х2 имеют компоненты вида xlt и x[t,
причем N = Nl (J . . . (J NT, а ограничения имеют индексы •
1 Понятие продуктивности экономической системы подробнее расссматри-
вается в главах 7 и 8 на примере линейных межотраслевых моделей.
122
и s2t, М = М1 U • • • UMr. Множество невоспроизводимых ре-
сурсов М2 включает главным образом невоспроизводимые природ-
ные ресурсы, число видов которых со временем сокращается; они
становятся воспроизводимыми и переходят в множество (на-
пример, трудовые ресурсы, ресурсы чистой воды, биологические
ресурсы океана). Множество Nt динамической модели включает
наряду с другими виды деятельности по воспроизводству мате-
риально-технических, природных, трудовых ресурсов, а также
отрасли научно-технических знаний, приводящие к созданию но-
вых видов деятельности и продукции (благ) и изменяющие функ-
ции производства, затрат и ЦФБ.
Из теории нелинейного программирования (см. приложение
к данной главе) следует, что каждому ограничению модели соот-
ветствует свой множитель Лагранжа. Обозначим векторы-строки
множителей Лагранжа для первой группы неравенств V=(os')
и для второй группы неравенств W =
Всоотвегствии с (П. 11) 1 имеем:
ди (X*) » ди(Х*) - п оч
V* =—-—-.->0 или v —5—->0; (4.8)
-dQ ' s‘ -dqSi V '
ди (X*) n , ди(Х*) m
W* = —5—- О или w = —10. (4.9)
dR s* dr V ’
Sa
Соотношения (4.8) почти для всех X* означают, что при уве-
личении задания по конечному использованию продукции sx на
«малую единицу» оптимальное значение ЦФБ’уменьшается на вели-
чину о*. Если же в систему поступит (как внешний ресурс)
«малая единица» этой продукции, то оптимальное значение ЦФБ
увеличится на а*. Соотношения (4.9) означают, что при увели-
чении ресурса s2 на «малую единицу» оптимальное значение
ЦФБ увеличивается на а£.
Величины V* и да‘а имеют разнообразные названия: двойствен-
ные переменные, оценки оптимального плана, объективно обуслов-
ленные оценки, теневые цены, цены оптимального плана и т. д.
Мы будем использовать название оптимальные оценки.
Оптимальные оценки обладают важными свойствами соизмери-
телей затрат и результатов в оптимизируемой социалистической
экономике.
Во-первых, оптимальные оценки являются характеристиками
дефицитности продукции л ресурсов в народном хозяйстве. Сте-
пени дефицитности определяются формулами (4.8), (4.9). Поло-
жительные оценки означают, что любое увеличение расхода соот-
ветствующей продукции или уменьшение соответствующего ресурса
уменьшает оптимальное значение ЦФБ. Если же оценки продук-
1 См. приложение к главе 4.
123
ции или ресурса равны нулю, это означает, что они не являются
дефицитными: увеличение расхода продукции или уменьшение
ресурса не влияет на значение ЦФБ.
Типичной можно считать ситуацию, когда хотя бы одна опти-
мальная оценка продукции и хотя бы одна оптимальная оценка
ресурсов строго положительна. В § 2 аргументировалось положе-
ние о том, что при рациональном ведении хозяйства, по крайней
мере, один вид ресурсов — ресурсы труда — должен быть дефи-
цитным. Что касается оптимальных оценок продукции, то здесь
типичной является положительность оценок всех или почти всех
видов продукции.
Одна из сфер использования оптимальных оценок — определе-
ние эквивалентной взаимозаменяемости продукции и ресурсов. Из
(4.8), (4.9) следует, что полный дифференциал ЦФБ в окрестности
максимума равен
</«=- 2 2 «•
S, С М J S2 £ М а
Оптимальное значение ЦФБ остается неизменным, если
2 <4= 2 (4Л°)
S, с М, s2 £ М а
Формула (4.10) определяет коэффициенты эквивалентной взаи-
мозаменяемости продукции и ресурсов в оптимальном плане. На-
пример, требуется найти соотношения эквивалентной взаимоза-
мены продуктов k и I и ресурсов h и р. Из (4.10) получаем:
^==„1l<o- Шр < Q-
Vfe drP w*h
dq. W*h ' „ dr. v*b
-'' = --*->0 ит.д
drh vk dqk w*h
Из условий дополняющей нежесткости (П. 9) вытекают соотно-
шения между оптимальными оценками и балансами продукции
и ресурсов в оптимальном плане X*:
SSl = если < >°» (4-11)
т. е. если оптимальная оценка продукции положительна, то излиш-
ков продукции не производится;
if =0, если (4.12)
т. е. оптимальная оценка продукции нулевая, если производятся
излишки продукции;
если <>0; - (4ЛЗ>
124
т. е. если оптимальная оценка ресурса положительна, то ресурс
используется полностью;
< = если
(4.14)
т. е. оптимальная оценка ресурса нулевая, если ресурс недоисполь-
зуется.
Итак, соотношения (4.8) — (4.14) характеризуют оптимальные
оценки как показатели сбалансированности продукции и ресурсов
в народном хозяйстве и универсальные измерители экономической
эффективности всех внешних по отношению к моделируемой системе
источников и потребителей продукции и ресурсов.
Рассмотрим теперь свойства оптимальных оценок как измери-
телей затрат и результатов производственной деятельности. Для
этого воспользуемся условиями Куна—Таккера для оптимального
плана. Из (П. 4) следует
(*;)
dXi dXi
или в развернутом виде
(4.15)
Матрица частных
/ £ объединяет
и предельных затрат
матрицы показывает,
производных —-1 ; sr£Mt,
дХг [ dxj
показатели предельной производительности
видов деятельности1. Каждый элемент этой
насколько изменится объем конечной про-
дукции эг при увеличении интенсивности /-го вида деятельности
на «малую единицу». Этот элемент может быть любого знака, так
йак любой вид деятельности одни виды продукции производит
(и тогда частная производная имеет знак плюс), а некоторые дру-
гие — затрачивает (и тогда частная производная имеет знак ми-
нус). Но должны быть положительными хотя бы по одному эле-
менту для каждого вида деятельности (столбца матрицы) и для
каждого вида продукции (строки матрицы). Если бы эти условия
не соблюдались, то это означало бы, что имеются такие виды дея-
1 Предельные экономические величины следует отличать от средних вели-
чин. Эти отличия легко уяснить на примере исчисления затрат на произ-
водство определенного вида продукции. Пусть х — объем производства,
У = f W — функция общих затрат на производство (допустим, что она
f (х)
непрерывно дифференцируема). Средние затраты есть функция г = ,
х
, . df(x) .. Д/ (х) -
а предельные затраты есть функция h = ' v = lim -' Соотношения
dx Ах + о Дх
между средними и предельными затратами подробно анализируются в
главе 5.
125
L*1!. ( s2 £ Л12> j £ jV1( характери-
дх.
тельности, которые не выпускают, а только затрачивают продук-
цию (их использование абсурдно), и имеются такие виды исполь-
зуемой в народном хозяйстве продукции, которые не производятся
ни одним видом деятельности (это невозможно в замкнутой эконо-
мической системе)1.
Матрица ——
зует предельные затраты ресурсов видами деятельности. Каждая
dg. (X..) „
из величин — 0 показывает, насколько увеличатся народно-
дх.
хозяйственные затраты ресурса s2 при увеличении интенсивности
/-го вида деятельности на «малую единицу».
Обозначим символом <ру суммарную оценку предельного выпуска
всех видов конечной продукции /-м видом деятельности и тру —
суммарную оценку предельных затрат всех ресурсов этим же ви-
дом деятельности:
уъад).
Zj ах. ’
sa dxi
$2 £ Af 2
(4-16)
(4.17)
Эти суммарные оценки затрат и результатов видов деятельности
образуют векторы
Ф‘ = (Фр; ^ = (фр,
Теперь вместо (4.15) можем более кратко записать:
или
(4.18)
Экономический смысл условий (4.18) состоит в следующем:
в оптимальном, плане по каждому виду деятельности суммарная
оценка предельного выпуска продукции не превышает суммарной
оценки предельных затрат.
Из условий дополняющей нежесткости (П. 8) вытекает, что
если /-й вид деятельности включается в оптимальный план (х*>0),
то по этому виду деятельности имеет место строгое равенство сум-
марных оптимальных оценок предельного выпуска и предельных
затрат:
ф‘ = ^’ для х*>0. (4.19)
1 Очевидно, что в открытой экономической системе (с внешними экономиче-
скими связями) такие случаи вполне допустимы — так называемый «не-
конкурирующий» импорт.
126
Равенство (4.19) может быть представлено и в таком виде:
♦ '
— = 1 для х*>0,
т. е. отношение суммарного предельного выпуска на единицу сум-
марных предельных затрат одинаково для всех используемых в оп-
тимальном плане видов деятельности. Иначе говоря, все эти виды
деятельности являются равноэффективными.'
Из (П. 8) также следует, что если по какому-либо виду деятель-
ности суммарная оценка предельных затрат выше суммарной оценки
предельного выпуска продукции, то этот вид деятельности не вклю-
чается в оптимальный план:
х* = 0, если <р*<ф*. (4.20)
Таким образом, оптимальные оценки продукции и ресурсов
в определенном смысле приводят в соответствие народнохозяйст-
венную и локальную эффективность различных видов деятельности.
Допустим, что построен оптимальный план X*, определены оп-
тимальные оценки V* и W* и вычислены суммарные оценки Ф*
и Чг*. Возникает вопрос, выгодно ли отдельным хозяйственным ячей-
кам, представляющим определенные виды деятельности, уклоняться
от выполнения плана при заданных оценках затрат и результатов.
Из (4.19), (4.20) следует, что это нецелесообразно, так как только
при соблюдении плана гарантируется безубыточность производства.
С другой стороны, неэффективные с народнохозяйственных, пози-
ций виды деятельности (или их интенсивности) являются, как пра-
вило, убыточными для хозяйственных единиц. Поэтому можно
сделать вывод, что система оптимальных оценок является средст-
вом реализации оптимального народнохозяйственного плана: те,
кто не выполняет план, оказываются в худшем положении по срав-
нению с теми, кто его выполняет.
• ‘ В то же время использование оптимальных оценок при соизме-
рении затрат и результатов может стимулировать повышение эф-
фективности работы хозяйственных ячеек: выявившиеся в процессе
осуществления плана дополнительные возможности экономии за-
трат, расширения производственных мощностей, привлечения ре-
сурсов, использования научно-технических достижений могут стать
дополнительными источниками материального поощрения хозяйст-
венных ячеек.
Оптимальные оценки являются также важным ориентиром при
построении народнохозяйственного плана «снизу». Поскольку со-
отношения (4.18) — (4.20) являются признаками народнохозяйст-
венного оптимума, то, зная оптимальные оценки, можно так вы-
бирать интенсивности различных видов производственной деятель-
ности, чтобы, по крайней мере, приблизиться к выполнению ус-
ловий (4.18) — (4.20). Пусть, например, по какому-нибудь /г-му
виду деятельности имеем (V*, Х)>фй (W*, X). Это означает,
127
что целесообразно увеличить xk, так как этот вид деятельности
приносит доход. Если же, наоборот, оказывается, что (V*, X) <
<ф4 (IF*, X), то k-м. вид деятельности либо вообще неэффективен,
либо применяется в неэффективных масштабах.
Возможности использования оптимальных оценок не только
для анализа и частичных корректировок народнохозяйственного
плана, но и для его синтеза существенно зависят от свойств функ-
ций gi (Хх) и g% (Хх). Поскольку в рамках абстрактной модели
народного хозяйства свойства этих функций не конкретизируются,
это не позволяет делать каких-либо сильных утверждений о воз-
можностях синтеза народнохозяйственного плана на основе опти-
мальных оценок. Не следует, конечно, забывать и о том, что сама
проблема нахождения системы оптимальных оценок не менее слож-
на, чем решение задачи построения оптимального народнохозяй-
ственного плана.
Вернемся теперь к анализу содержания оптимальных оценок
продукции. Исходя из соотношений (4.8), (4.11), (4.12), эти оценки
интерпретировались как показатели сбалансированности произ-
водства и использования продукции, ее дефицитности, эффектив-
ности внешних источников и потребителей продукции. Но такая
интерпретация является неполной. Она может создавать иллюзию,
что оптимальные оценки продукции не связаны с общественно не-
обходимыми затратами на производство и не имеют отношения
к экономическим оценкам воспроизводства продукции.
Чтобы более ясно показать зависимость оптимальных оценок
продукции от производственных затрат в оптимальном плане, сде-
лаем дополнительное предположение. Известно, что существует
много видов деятельности, выпускающих по одному виду про-
дукции (добыча руды, нефти, оказание транспортных услуг,
производство кинофильмов и т. п.). Поэтому правомерно до-
пустить, что в каком-либо виде деятельности /0 изготавливается
только один вид продукции s0. Естественно принять за единицу
интенсивности /0 выпуск единицы продукции s0 (за вычетом внутри-
производственных затрат этой же продукции). Тогда формула
(4.19) примет вид
°; = V при х1>°’ <4-21>
/о
(мм!)
причем %=
/с
Формула (4.21) по своей структуре аналогична формуле цены
или полной калькуляции производственных затрат. Оценка и*
равна сумме всех материальных затрат, соизмеренных также по
128
оптимальным оценкам продукции, и всех затрат ресурсов, соизме-
ренных по оптимальным оценкам ресурсов. Связь с оптимальным
планом выражается в том, что элементы материальных затрат и за-
трат ресурсов определяются как приросты общественно необходи-
мых затрат в народном хозяйстве, обусловленные дополнительным
включением в оптимальный план рассматриваемого вида деятель-
ности с единичной интенсивностью.
Таким образом, оптимальные оценки продукции являются из-
мерителями общественно необходимых затрат на производство
продукции. В этом отношении оценки продукции (т. е. экономи-
чески воспроизводимых ресурсов) принципиально отличаются от
оценок невоспроизводимых или естественно воспроизводимых ре-
сурсов. Но, как известно, многие виды ресурсов, раньше представ-
лявшие собой исключительно «дары природы», становятся резуль-
татами деятельности человека (искусственное разведение лесов,
культивирование диких растений, искусственное воспроизводство
рыбных запасов, создание новых строительных материалов, про-
изводство чистой воды и т. п.). И если такие виды деятельности
включаются в оптимальный план, то оптимальные оценки соот-
ветствующих ресурсов начинают регулироваться затратами вос-
производства. В результате. устанавливается полное соответствие
(равенство) оценок воспроизводства ресурсов и_оценок дефицитно-
сти внешних источников этих ресурсов.
Из (4.21) следует, что 0^ = 0 только в том случае, когда каж-
дое слагаемое в правой части равно нулю. Очевидно, это крайне
маловероятно. Происхождение нулевых оценок продукции объяс-
няется как раз тем, что некоторые виды продукции производятся
в оптимальном плане только совместно с другими видами продук-
ции и для них уравнения типа (4.21) не могут быть построены.
Рассмотрим теперь, какое отношение имеют оптимальные оценки
продукции к измерению полезных эффектов благ. Из первых ус-
ловий Куна — Таккера (П. 5) следует:
или
дХ2
(4.22)
предельного полезного эффекта благ, измеряемого приростом ЦФБ.
Вектор \и (Х2) = , i £ есть градиент ЦФБ,
0Л» 0X1
указывающий направление ее наибольшего роста.
Условия (4.22) показывают, что в оптимальном плане предель-
ные полезные эффекты благ не превышают значения оптимальных
оценок продукции. Из условий дополняющей нежесткости (П. 8)
5 А. Г. Гранберг 129
следует более сильный вывод: для благ, используемых в'Ъптималь-
ном плане, предельные полезные эффекты равны оптимальным оцен-
кам продукции:
и* —о* при х*>0. (4.23)
Равенство оптимальных оценок продукции и предельных по-
лезных эффектов является важным признаком оптимального плана
сферы потребления. Построение этого плана можно представить
как процесс выбора такой структуры потребления (использования
благ), при которой значения предельных полезных эффектов и оп-
тимальных оценок продукции уравновешиваются.
В соответствии с условиями анализируемой модели народного
хозяйства используемые блага являются результатами сферы про-
изводства и находят отражение в балансах производства и распреде-
ления продукции. Поэтому оценки продукции, используемой для
увеличения благосостояния, должны одновременно удовлетворять
формулам (4.8), (4.11), (4.12), (4.19), (4.21). Все эти соотношения
раскрывают отдельные стороны оптимальных оценок продукции.
Если формулы (4.8), (4.11), (4.12) характеризуют оценки как из-
мерители дефицитности продукции, сбалансированности поступ-
лений и потребностей в этой продукции, то формулы (4.19), (4.21)
раскрывают содержание оптимальных оценок как измерителей об-
щественно необходимых производственных затрат в оптимальном
плане; формула же (4.23) говорит о том, что оптимальные оценки
продукции являются измерителями полезных эффектов использо-
вания продукции.
Таким образом, оптимальные оценки продукции являются одно-
временно измерителями дефицитности (сбалансированности) про-
дукции, общественно необходимых затрат_на ее производство и об-
щественной полезности ее использования.
Значения оптимальных оценок продукции определяются сов-
местно с оптимальным народнохозяйственным планом и поэтому
зависят от всех условий развития народного хозяйства. Анализ
оптимальных оценок подчеркивает важность известных положений
марксистской политической экономии о взаимозависимости общест-
венно необходимых затрат, общественной полезности продукции,
обеспеченности народного хозяйства ресурсами, размеров общест-
венных потребностей и масштабов развития общественного произ-
водства.
Очевидно, что выводы, полученные из анализа общей модели
народного хозяйства как задачи нелинейного программирования,
сохраняют свою силу и для моделей с более простой математиче-
ской структурой.
Наиболее удобным и разработанным аппаратом для решения
оптимизационных задач является линейное , программирование.
Использование линейного программирования привлекательно и для
теоретико-экономического анализа. Это объясняется тем, что в та-
ких моделях многие зависимости существенно упрощаются и по-
130 4
являются новые свойства. Например, частные производные целе-
вых функций и функций ограничений становятся постоянными
коэффициентами, не зависящими от интенсивностей видов деятель-
ности, включаемых в оптимальный план. В последующих главах
(начиная с главы 7) будет показано, что подавляющее большинство
практически применяемых моделей народного хозяйства являются
линейными. Но поскольку возможность представления модели
народного хозяйства в виде задачи линейного программирования
не является очевидной, исследование теоретических проблем со-
циалистической экономики необходимо проводить на основе ма-
тематических моделей общего вида. Правомерность сведения мо-
дели народного хозяйства к задаче линейного программирования
требует тщательного обоснования.
Соотношения оптимальных оценок во взаимных
задачах
Вернемся к рассмотрению пары взаимных оптимизационных за-
дач (4.4) и (4.6). Каждой задаче соответствуют системы оптималь-
ных оценок. Обозначим оценки (как двойственные переменные)
одинаковых ограничений gs (X) < bs для задачи А вектором Y =
= (ys) и для задачи В — вектором У = (t/s). Пусть го — оценка
трудовых ресурсов задачи Дир — оценка ограничения по уровню
благосостояния в задаче В. Оценки задачи А измеряются в едини-
цах ЦФБ (ys — ед. ЦФБ/ед. s-го ограничения, и — ед. ЦФБ/ед.
труда), а оценки задачи В — в единицах трудовых затрат (ys —
ед. труда/ед. s-ro ограничения, р — ед. труда/ед. ЦФБ).
Доказана следующая теорема о соотношении оптимальных
оценок во взаимных задачах1: если Y* и го* есть оптимальные оценки
задачи А и го*>0, то для оптимальных оценок задачи В выпол-
няются соотношения:
,.| -6 I
(4.24)
(4.25)
Как уже отмечалось в §2, выполнение условия го*>0 является
следствием рационального ведения социалистического народного
хозяйства. Поэтому оптимальные оценки одинаковых ограничений
взаимных задач соответственно пропорциональны, причем коэффи-
циентом пропорциональности является обратная величина опти-
1 См. [2, с. 131 —134]. Аналогичный результат впервые был по-
лучен А. Л. Лурье.
5* 131
мальной оценки трудовых ресурсов. Этот результат имеет важное
теоретическое и практическое значение. Он доказывает одинако-
вую применимость в экономических измерениях оптимальных
оценок, выраженных в единицах ЦФБ и в единицах трудовых за-
трат.
Действительно, оптимальные оценки одинаковых ограничений
равны с точностью до положительного множителя, и поэтому со-
отношения оценок не изменяются при переходе от задачи на мак-
симум удовлетворения потребностей к задаче на минимум трудо-
вых затрат.
Оптимальные оценки трудовых ресурсов со* и уровня благосо-
стояния ц* являются обратными величинами. Если оценка о* =
ди (X*)
= —т—- показывает, насколько увеличится оптимальное значение
ЦФБ при увеличении трудовых ресурсов на «малую единицу» (или,
иначе, характеризует предельный полезный эффект труда), то
. dt(X*} л
оценка р — —, наоборот, показывает, насколько возрастут
затраты труда при увеличении уровня благосостояния на «малую
единицу».
Соизмерение затрат и результатов при
максимизации удовлетворения общественных
потребностей и минимизации затрат
общественного труда
Анализ взаимных оптимизационных задач позволяет выявить
некоторые новые аспекты соизмерения затрат и результатов.
Рассмотрим вначале пару упрощенных взаимных задач, в ко-
торых отсутствуют ограничения вида gs (X) bs. Такое упроще-
ние формально соответствует гипотезе, что труд является единст- ъ
венным дефицитным ресурсом и условия его использования пол-
ностью определяют область допустимых планов. Иллюстрацией
такой возможности могут служить рис. 4.3 и 4.4. Другая возмож-
ная интерпретация состоит в том, что рассматриваемые задачи яв-
ляются инструментами анализа условно-оптимальных планов.
Задача A0: u(X)->max, f(X)’<L, Х>0.
Задача В°: t (X) ->'min, 'u (X) > С , X > 0.
Будем пользоваться ранее введенными обозначениями и*{ —
ди(Х*} , „ „ ,. , дцх*) .
— —5—- (предельный полезный эффект) и т. = —г-— (предель-
dxt dxi
ные трудовые затраты). При этом допускается, что функции и (X)
и t (X) имеют общую область определения, i£N°.
132
Для оптимальных планов выполняется ряд условий (они яв-
ляются частными случаями условий Куна — Таккера и дополняю-
щей нежесткости):
для задачи Л°
iQN°-
u* = co’t*, если х,;>0;
х* = 0, если
для задачи В°
< т’, i £ №;
р*ц* = т*, если х*>0;
Х; = 0, если
(4.26)
(4-27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4-31)
Эквивалентные равенства (4.27) и (4.30) говорят о том, что для
всех включенных в оптимальный план видов продукции предельные
полезные эффекты пропорциональны предельным трудовым за-
тратам:
* *
ui Ti
—— = или —,г- = р* для всех Х;>0. (4.32)
\ “i '
Если же предельные трудовые затраты на производство про-
дукции превышают предельный полезный эффект этой продукции
более чем в ц* =—— раз, то такие виды продукции не включаются
со*
в оптимальный план.
Условия (4.27), (4.30), (4.32) также можно выразить как ра-
венства отношения предельных полезных эффектов и предельных
трудовых затрат для любых производимых и используемых в опти-
мальном плане видов продукции k и I: —= —На рис. 4.3
“z Tz
и 4.4 соотношения предельных полезных эффектов и предельных
трудовых затрат в точке оптимума характеризуются угловыми ко-
эффициентами касательной ef.
К- Маркс писал в «Нищеге философии»: «В будущем обществе.. .
количество времени, которое будут посвящать производству того
или другого предмета, будет определяться степенью общественной
полезности этого предмета»1. Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» прямо
указывал, что при социализме «план будет определяться в конеч-
ном счете взвешиванием и сопоставлением полезных эффектов раз-
личных предметов потребления друг с другом и с необходимыми для
’Маркс К-, Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 4, с. 97.
133
их производства количествами труда»1. Рассмотренные выше усло-
вия оптимального плана являются математически выраженной
конкретизацией теоретических положений классиков марксизма.
Перейдем теперь к анализу взаимных задач на основе общей
модели народного хозяйства. Для этого из множества видов ре-
сурсов Л42 выделим общие трудовые ресурсы. Очевидно, от этого
модель не изменится по существу. Поэтому сохранят свою силу
и все соотношения оптимального плана, оптимальных оценок,
затрат и результатов. Формальные отличия будут состоять лишь
в том, что, помимо выделения особого баланса трудовых ресурсов
(условия использования которых будут удовлетворять соотноше-
ниям (4.9), (4.13), (4.14)), в качестве особого элемента затрат всюду
выделяются трудовые затраты (это касается соотношений (4.10),
(4.15), (4.17), (4.21)). Поэтому все внимание можно сосредоточить
на анализе задачи на минимум трудовых затрат:
t (Х\) -+ min,
g1(X1)-X2>Q,
ёъ (^i)
«(Xa)>C*,
хх>о, x2>;o.
(4.33)
Этой задаче соответствуют оптимальные оценки трех типов:
оценка продукции V* = (vs‘), оценки ресурсов U7* = (&у*),
оценка уровня благосостояния ц*. Все эти оценки могут интерпре-
тироваться как измерители влияния ограничений задачи на мини-
мальную величину трудовых затрат в народном хозяйстве:
_ д/(х‘) * Я(х*)
у* = .. Л.W* =—ц* =—
dQ ’ — dR г де*
Особый интерес представляет экономическая интерпретация
оптимальных оценок ресурсов. В рамках динамической модели
невоспроизводимые ресурсы не являются результатами труда (ни
живого, ни овеществленного). В чем же экономический смыел тру-
довых оценок этих ресурсов?
Увеличение различных ресурсов есть фактор повышения на-
роднохозяйственной производительности труда. Оно может давать
такой же эффект, как и непосредственное сокращение затрат труда.
В системе общественного производства различные ресурсы ча-
стично заменяют труд и выступают как средство экономии труда.
Это и объясняет правомерность вменения трудовых оценок даже
тем ресурсам, которые не содержат никакой трудовой субстанции.
1 Маркс Энгельс Ф. Соч. Изд. 2-е, т. 20, с. 321.
134
По каждому виду деятельности в модели (4.33) выполняется
соотношение
причем для х*>0 оно выполняется как строгое равенство.
Правая часть соотношения (4.34) характеризует сумму предель-
ных затрат всех ресурсов в их трудовой оценке. При этом —
есть прямые (непосредственные) предельные затраты труда /-го вида
V dgs (хП
деятельности, а ?}wS1 —-----------косвенные предельные трудовые
Sa С
затраты /-го’вида деятельности1. Последние представляют собой
реальный прирост трудовых затрат во всем народном хозяйстве,
вызванный увеличением интенсивности /-го вида деятельности.
Поскольку использование какого-либо дефицитного ресурса h дает
экономию труда (в размере Wh единиц труда на каждую «малую
единицу» ресурса), то привлечение этого ресурса для /-го вида
деятельности уменьшает возможности его эффективного применения
в других видах деятельности и тем самым увеличивает непосред-
ственные затраты труда во всем народном хозяйстве на величину
dxt
Правая часть соотношения (4.34) не включает косвенные тру-
довые затраты, овеществленные в материальных затратах (затра-
тах продукции других видов деятельности), которые содержатся
VI dg (Х*)
в сумме >.uS1—Эту часть затрат удается выделять по
1
тем видам деятельности (/0), результатом которых является только
один вид продукции (s0):
дХ;
к /о
(4.35)
1 В. В. Новожилов для обозначения общей суммы предельных затрат в оп-
тимальных оценках ввел понятие дифференциальные затраты, а для обо-
значения косвенных предельных затрат — понятие затраты обратной
связи.
135
Правая часть неравенства (4.35) представляет собой весь при-
рост затрат труда в народном хозяйстве при выпуске единицы про-
дукции s0 видом деятельности j0. Сюда включаются непосредствен-
ные трудовые затраты, трудовые затраты, овеществленные в по-
требляемых видах продукции, и трудовые затраты, обусловленные
использованием невоспроизводимых ресурсов.
Предположим, что наряду с /0 имеются и другие виды деятель-
ности, результатом которых является только продукт s0. В опти-
мальный план будет включен только тот вид деятельности (или
несколько видов), у которого сумма предельных трудовых затрат
минимальна. Следовательно, благодаря использованию оптималь-
ных оценок локальные минимумы затрат труда на производство
продукции совмещаются с требованиями глобального минимума
трудовых затрат.
Обращение в равенство неравенства (4.35) для х*>0 говорит
о том, что оптимальная оценка продукции равна общественно не-
обходимым затратам труда на прирост производства этой про-
дукции.
JAjia тех видов продукции, которые используются непосредст-
венно для удовлетворения потребностей общества, по аналогии
с формулами (4.22), (4.23) получаем:
(4-36)
p,*u* = t>* для х*>0. (4.37)
На основе (4.37) можем записать также
—* *
—4- = ц* или -=|- = йу* для всех х)>0, (4.38)
Ul vi
а для любых двух производимых и используемых в оптимальном
♦ —♦
Uk Vk
плане видов продукции: ——
ui vi
Полученные соотношения имеют более общий характер по срав-
нению с формулами (4.27), (4.30), (4.32), выделенными из анализа
упрощенной модели. Существенное отличие заключается в степени
охвата трудовых затрат. В упрощенных формулах учитывались
только непосредственные предельные трудовые затраты на произ-
водство продукции, а формулы (4.36) — (4.38) учитывают предель-
ные общественно необходимые затраты труда, включающие при-
росты затрат на всех участках народного хозяйства.
Таким образом, для производимых и используемых для удовле-
творения потребностей общества видов продукции предельные об-
щественно необходимые затраты труда пропорциональны предель-
ным полезным эффектам. Это соотношение выражает одно из важ-
нейших свойств оптимальных оценок как соизмерителей затрат
и результатов при оптимальном планировании народного хозяй-
ства.
136
Оптимальные оценки и цены
В социалистической экономике цена выполняет разнообразные
функции. В полной мере функции цены проявляются в товарно-
денежных отношениях между различными хозяйственными ячей-
ками.
Оптимальные оценки, тесно связанные с определением опти-
мального народнохозяйственного плана, строго говоря, выступают
соизмерителями затрат и результатов только внутри модели цен-
трализованного планирования. Но данная модель не отражает
организационно-хозяйственную структуру, локальные экономиче-
ские интересы, экономические механизмы взаимодействия отдель-
ных ячеек народного хозяйства. Уже поэтому нельзя отождест-
влять экономическое содержание понятий «оптимальная оценка»
и «цена».
Свойства оптимальных оценок выводятся на основе четких
предпосылок оптимизационной одноуровневой микромодели. Трак-
товка оптимальных оценок как плановых цен, регулирующих ре-
альные экономические отношения, означает уже интерпретацию
оптимальных оценок за рамками первоначально принятых предпо-
сылок. Нет также достаточных оснований полагать, что численные
значения или пропорции оптимальных оценок и научно обоснован-
ных цен обязательно должны совпадать. Весьма сложные про-
блемы возникают и в связи с устойчивостью оптимальных оценок,
их неединственностью, недоучетом внемодельных факторов и т. п.
Определение плановых цен в принципе должно осуществляться
в рамках более сложных моделей народного хозяйства: многоуров-
невой оптимизационной модели (системы моделей) или модели эко-
номического взаимодействия подсистем. Модели данного типа, как
известно, объединяют производственно-технологические, соци-
ально-экономические, организационно-хозяйственные аспекты
функционирования социалистической экономики.
Однако оптимальные оценки обладают такими свойствами, ко-
торые, безусловно, должны быть присущи плановым ценам социа-
листического хозяйства. Выше было показано, что оптимальные
оценки измеряют общественно необходимые затраты на производ-
ство продукции, общественную полезность продукции, учитывают
спрос и предложение, обеспечивают безубыточность всех произ-
водств, эффективных с позиций всего народного хозяйства, ориен-
тируют на выбор таких локальных решений, которые оптимальны
в народнохозяйственном масштабе. Поэтому теория оптимальных
оценок и практическое исчисление оптимальных оценок имеют важ-
ное значение для совершенствования ценообразования.
Важно отметить, что многие изменения, происшедшие в прак-
тике ценообразования в СССР и других социалистических странах
за последние 10—15 лет, объективно отразили принципиальные
свойства оптимальных оценок продукции и ресурсов. Среди этих
изменений можно, например, назвать введение платы за произ-
137
водственные фонды, введение платы за природные ресурсы и учет
дифференциальной ренты в некоторых, отраслях добывающей про-
мышленности, в лесной промышленности и сельском хозяйстве
(в форме рентных платежей, попенной платы, дифференциации
зональных цен, учитывающей естественные различия условий про-
изводства), ликвидацию большинства планово-убыточных произ-
водств (продукция которых необходима народному хозяйству),
учет в ценах качества продукции и полезного эффекта у потре-
бителей для взаимозаменяемых видов продукции, частичный
учет спроса и предложения в ценах на товары народного потреб-
ления.
. Приближение плановых цен к оптимальным оценкам является
важным средством повышения эффективности планового управле-
ния народным хозяйством. При этом первоочередное значение имеет
приближение к оптимальным оценкам цен, используемых в пла-
ново-экономических расчетах.
§ 4. СООТНОШЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ
И СКАЛЯРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.
КВАЗИОПТИМИЗАЦИЯ
В предыдущих параграфах рассматривались проблемы по-
строения и анализа оптимизационных моделей с глобальным кри-
терием, выражаемым в виде скалярной функции. Модели такого
типа позволяют находить оптимальный вариант экономического
развития (как правило, такой вариант оказывается единственным).
Однако возможность выбора наилучшего варианта появляется
благодаря тому, что разнокачественные цели развития народного
хозяйства взаимно сопоставляются и сводятся в единый критерий
априорно, т. е. до того, как выявятся реальные возможности до-
стижения этих целей.
Более общей моделью планирования народного хозяйства яв-
ляется модель многоцелевой (векторной) оптимизации, в которой
система целей выражается в виде векторной целевой функции.
Краткая характеристика структуры такой модели была дана в § 3
главы 3. Эта модель определяет множество эффективных вариан-
тов. Но она не решает проблем^ окончательного выбора планового
решения, открытым остается вопрос о его выборе из множества
эффективных планов. Для решения этого вопроса требуется, оче-
видно, умение сопоставлять положительные и отрицательные свой-
ства различных эффективных вариантов, т. е. находить компромис-
сные решения с точки зрения частичных целевых функций.
Наиболее разработаны две схемы компромисса между частич-
ными целевыми функциями: условная субоптимизация, т. е. опти-
мизация по одному критерию при ограничениях на значения
других критериев, и скаляризация векторного критерия оптими-
зации.
138
У слоеная субоптимизация
По существу, все прикладные оптимизационные модели являются
моделями условной субоптимизации. Например, непосредственно
максимизируется величина национального дохода или фонда по-
требления, а уровни достижения других целей народного хозяй-
ства (удовлетворение духовных потребностей, улучшение условий
труда, повышение обороноспособности и т. п.) фиксируются в огра-
ничениях модели.
Пронумеруем частичные целевые функции так, что «главная»
(непосредственно максимизируемая) целевая функция получает
первый номер. Векторную функцию без первой частичной функции
обозначим F (X), а вектор фиксированных значений функций — Q.
Имеем задачу:
/ЧХ)-тах, Х£$П[Х :F(X)>Q]. (4.39)
Одновременно с решением задачи (4.39) находится вектор оп-
тимальных оценок Z* = (z*), которые характеризуют влияние на
оптимальное значение первой целевой функции изменений уровней
—* 0*1* —
других (i-x) целевых функций: Z; =—Оценки 2‘ содержат
Wei
важную информацию о взаимовлиянии частичных целевых функ-
k
ций. Из уравнения полного дифференциала df'* = Sz*dQ(=0 по-
i=2
лучаем соотношения эквивалентных изменений уровней любых
частичных целевых функций, например и i2, сохраняющих?опти-
dQ, г*
мальное значение первой целевой функции: —=£-. Эти
ц zi{
соотношения могут использоваться для корректировки первона-
чально заданных уровней частичных целевых функций.
В качестве максимизируемой в принципе может быть выбрана
любая из частичных целевых функций и любая из них может быть
ограничиваемой функцией. Таким образом, можно сформулировать
и решить k задач условной субоптимизации. В результате анализа
субоптимальных решений, включающего корректировку уровней
частичных целевых функций и уточнение формы и параметров це-
левых функций, область поиска вариантов решений еще более су-
жается, и тем самым облегчается неформальный выбор окончатель-
ного решения.
Выбор компромиссного решения на основе условной субоптими-
зацйи может быть формализован. Пусть Q* = (Q-) — вектор суб-
оптимальных значений ’истинных целевых функций, А — (AJ —
вектор отклонений от Q*;A°=(A?)— максимально допустимые
отклонения от Q;. Можно сформулировать такие задачи скаляр ной
оптимизации:
139
максимизация одной, частичной целевой функции при макси-
мально допустимых отклонениях от оптимальных значений других
целевых функций —
Р(Х)-+тах, Х^ХЩХ :F(X)>Q*-A0]; (4.40)
максимизация разности одной частичной целевой функции и
штрафной функции отклонений от субоптимальных значений дру-
гих целевых функций —
max, Х£Х,
1=2
(4-41)
где <р‘ — монотонно возрастающая функция.
Легко видеть, что полная формализация выбора компромис-
сного решения требует принятия дополнительных допущений (о зна-
чениях А? и вида функций <р (Az)). Этот путь не всегда себя оправ-
дывает.
Методика условной субоптимизации хорошо отражает специ-
фику многоэтапного процесса построения народнохозяйственного
плана, в котором трудно проводить грани между критериями оп-
тимальности и ограничениями, а параметры всех условий после-
довательно уточняются по мере накопления необходимой инфор-
мации и сужения области выбора оптимальных решений.
Скаляризация векторного критерия
оптимальности
Основными вопросами, возникающими при реализации данного
подхода, являются учет приоритета (различной степени важности)
частичных критериев оптимальности, нахождение разумных ком-
промиссов между ними, сопоставление масштабов измерений раз-
личных критериев.
Рассмотрим некоторые приемы построения скалярной целевой
функции на основе частичных Целевых функций.
В § 3 главы 3 отмечалась возможность использования функции
k
<&(Х) = У A/f (X) при выборе эффективных вариантов. Преимущест-
вом такого скалярного критерия является возможность наглядной
имитации влияния коэффициентов приоритета Xz на выбор опти-
мальных решений. Для обоснования коэффициентов обычно ис-
пользуются экспертные оценки. Как будет показано в § 5, коэффи-
циенты могут также определяться из анализа моделей экономиче-
ского взаимодействия подсистем, обладающих своими имманент-
ными критериями оптимальности.
Формальным недостатком данного критерия является то, что
он допускает резкую дифференциацию значений частичных крите-
риев; например, возможно, что только одна функция fl (X) будет
положительной. Поэтому модель оптимизации со скалярной функ-
k
цией (X) — 2 (X) должна дополняться условиями, ограни-
1=1
чивающими дифференциацию уровней частичных критериев. При
обосновании коэффициентов X/ необходимо также учитывать мас-
штабы измерений частичных критериев.
Принцип «справедливого» компромисса при объединении не-
скольких критериев можно математически выразить в более силь-
ной форме. Мы можем, в частности, считать справедливым такой
компромисс, когда при сравнении вариантов плановых решений
относительное снижение по одним критериям не превосходит от-
носительного повышения по другим. Такому условию отвечает
функция
k
(4.42)
* i=l
Например, варианты ХА и Хв являются эквивалентными с точки
зрения двух критериев fl (X) и /2 (X), если ' ^Ри
использовании функции (4.42) допускается, что все частичные кри-
терии одинаково важны. Различную степень важности частичных
критериев можно учитывать в функции вида
k
$3 (X) = П [/z (Х)]%‘. (4.43)
1=1
Достоинством скалярных функций (4.42) и (4.43) является то,
что ни одна из частичных функций не может принимать нулевого
значения1. В более развитом виде принцип справедливого компро-
мисса учитывается посредством взаимного сопоставления уступок
от субоптимальных значений частичных целевых функций.
В практике моделирования довольно распространен принцип
равномерной оптимизации. Идея его заключается в стремлении
равномерно увеличивать степень достижения всех разнокачествен-
ных целей. При этом общей целью оптимизации является макси-
мальное приближение к «идеальному» состоянию, задаваемому
1 Если скаляризованная целевая функция определяется с точностью до мо-
нотонно возрастающего преобразования (см. § 1), то функции (4.42) и (4.43)
могут быть заменены более удобными в вычислительном отношении линей-
k
ными логарифмическими функциями §2 (X) = 2 log/‘(X) и &,(%) =
i=i
k
= 2 Xf log/£ (X). Эти функции «не работают» только в тех случаях, когда
f=l
log fl (X) = 0, поскольку [log р (X) ]' > 0 для всех значений logf‘(X),
кроме нулевого. Это исключение как раз соответствует важному свойству
функций (4.42) и (4.43): значение ни одной частичной целевой функции
не может быть равно нулю.
141
вектором Fv = (/lv). Для определения F7 используется два ос-
новных подхода: вычисление значений fl (X) при полном (рацио-
нальном) удовлетворении потребностей общества и субоптимиза-
ция по функциям fl (X) (в этом случае требуется решить k задач
субоптимизации).
Степень достижения «идеального» состояния по каждой частич-
ной целевой функции определяется как 0, = Общая скаля-
ризованная целевая функция имеет вид
\У4 (X) = min 0Z. (4.44)
i
Определение max min 0Z можно интерпретировать как «подтя-
i
гивание» наиболее «отстающего» из критериев (степени удовлетво-
рения какой-то группы потребностей) до уровня других критериев
(степени удовлетворения других групп потребностей). Поскольку
в функции (4.44) сопоставляются только относительные величины,
трудности соизмерения различных критериев целевых функций
обходятся. Этим во многом объясняется широкое использование
принципа максимина в прикладных оптимизационных моделях
(см. главы 6, 9).
Обозначим min 0Z = 0. Отсюда следует, что 0
i
< fl(X)
ИЛИ
же /г (X) > f70, k. Поэтому задача нахождения
max min 0Z может быть представлена в виде максимизации числа
0 с дополнительными ограничениями по частичным целевым функ-
циям:
0 -> max,
Х££Г)[Х : F(X) > Fve].
(4.45)
Рассмотренные приемы скаляризации векторного критерия оп-
тимальности показывают, что между моделями скалярной и век-
торной оптимизации много общего. Векторная оптимизация не
есть только отрицание принципов оптимального планирования
с глобальным (скалярным) критерием оптимальности. Использова-
ние методов скаляризации векторного критерия снова приводит
нас к оптимизационной модели с единым критерием (т. е. здесь про-
исходит «отрицание отрицания»). Но возвращение к модели с еди-
ным критерием оптимальности осуществляется на качественно но-
вой основе.
Если в ранее анализировавшихся моделях народного хозяйства
принципы сочетания разнокачественных целей постулировались
и глобальный критерий вводился априорно, то в моделях векторной
оптимизации единый критерий в определенном смысле генерируется.
Выбору единого критерия оптимальности предшествует исследо-
вание множества эффективных вариантов и обсуждение возможных
схем компромисса между частичными критериями.
142
Квазиоптимизация
Суть"задачи квазиоптимизации состоит в том, что находится
не строго оптимальное решение, а некоторое множество решений,
близких к оптимальному. Такое множество X С X называется
квазиопшимальным множеством.
Рассмотрим типичную постановку квазиоптимизационной за-
дачи. Необходимо найти множество вариантов из X £ X, для ко-
торых значение максимизируемой целевой функции f (X) уступает
максимальному значению этой функции не более заданной вели-
чины А/:
J = f (X) > max/(X)—- А/]. (4.46)
хе-Е
Величина допустимого отклонения от оптимума А/ может опре-
деляться, в частности, по такому правилу:
А/ = ршах/(Х), 0<р<1.
хех
При этом р задается с учетом точности исходных данных задачи
и других соображений.
Большой интерес представляет соединение принципов квазиоп-
тимизации и векторной оптимизации.
Задачу квазиоптимизации можно трактовать как определение
множества решений, вполне удовлетворительных с точки зрения
главного критерия оптимальности. Тогда на множестве X можно
выбирать решения, удовлетворяющие требованиям других, менее
важных критериев оптимальности, например max/2 (X). Действи-
хезе
тельно, если скалярный критерий /х (X) не учитывает всего много-
образия целей развития народного хозяйства (является одной из
частичных целевых функций, пусть даже наиболее важной), то,
вероятно, имеет смысл ценой некоторого отступления от максимума
f1 (X) попытаться учесть требования других критериев.
Ценность такого подхода усиливается благодаря следующему
типичному свойству множеств допустимых решений в моделях
сложных экономических систем: окрестность оптимума чаще всего
бывает «пологой» по отношению к целевой функции; вследствие
этого существует достаточно обширное множество плановых ва-
риантов, для которых значение целевой функции совсем немного
уступает максимальному.
Если на множестве X максимизировать вторую по важности
целевую функцию, т. е. решать задачу тах/2(Х), то весьма веро-
ятно, что будет получено единственное оптимальное решение и тогда
другие критерии оптимальности можно будет учитывать только
неформальным образом. Учет всей совокупности критериев опти-
мальности, упорядоченных по степени важности (приоритету), воз-
143
можен при использовании метода последовательной квазиоптими-
зации.
Пусть все критерии оптимальности (частичные целевые функ-
ции) пронумерованы в соответствии со своей важностью: f1 (X),
/2 (X), /3 (X), . . . Последовательная квазиоптимизация представ-
ляет собой многоэтапный процесс решения квазиоптимизационных
задач на последовательно сужающемся множестве допустимых ва-
риантов. На первом этапе определяется квазиоптимальное множе-
ство = X П [X : f1 (X) > max f1 (X) — А/1]. На втором этапе —
РИС. 4.5.
Последовательная квазиоптимизация
квазиоптимальное множество Х2 = Л'хП [X : /2 (X) шах /2 (X) —
— А/2] и т. д. На рис. 4.5 изображено то же множество значений
частичных целевых функций f1 (X) и /2 (X), что и на рис. 3.1. Пусть
Z1 (X) является главной целевой функцией. Точка d есть тах/1(Х).
хех
Прямая АВ отсекает многоугольник gcde — множество значений
целевых функций, являющееся отображением квазиоптимального
множества Точкам есть тах/2(Х), а прямая^?/) отсекает мно-
гоугольник gchk — отображение квазиоптимального множества Х2.
Процесс квазиоптимизации по векторному критерию можно
остановить после любого q-ro этапа, q <' k, получив решение X*:
X*k^XkdXk^ С . . . сДс X.
Очевидно, что на этапах последовательной квазиоптимизации
можно применять все рассматривавшиеся выше методы векторной
оптимизации.
.144
§ 5. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
И ГЛОБАЛЬНЫЙ ОПТИМУМ
Соотношение между равновесием и глобальным
оптимумом
В § 5 главы 3 было показано, что модель экономического взаимо-
действия представляет собой определенное сочетание модели век-
торной оптимизации и модели экономического механизма, позво-
ляющей осуществлять выбор на множестве эффективных планов.
Связь между моделью векторной оптимизации и оптимизационной
моделью с глобальным критерием анализировалась в § 4. Рассмот-
рим теперь вопрос о соотношении решений модели экономического
взаимодействия и оптимизационной одноуровневой модели народ-
ного хозяйства с глобальным критерием оптимальности.
Пусть X* = (X*k) является решением модели экономического
взаимодействия, fk = fk(X*k)—соответствующие этому решению
значения целевых функций подсистем, [fk (Xk) I = F*. Будем
предполагать также, что множества допустимых планов выпуклы,
а целевые функции вогнуты.
Важное теоретическое значение имеет существование эквива-
лентных решений двух моделей (оптимизационной модели с гло-
бальным критерием и модели экономического взаимодействия),
имеющих одинаковые множества допустимых по ресурсно-техноло-
гическим факторам народнохозяйственных планов. При достаточно
слабых условиях верно следующее утверждение1: существует та-
пг
кой вектор-строка А* = (Х*), где О, S 1, что скалярная
_ k=i
целевая функция 'J = A*F (X) достигает своего максимума в точ-
ке X*.
Целевая функция <5 = A* F (X), используемая в оптими-
зационной модели, есть взвешенная сумма целевых функций
благосостояния социальных групп (см. § 1). Вектор X* явля-
ется также глобальным максимумом при некотором задан-
ном векторе взвешивающих коэффициентов А* = (Х*). Коэф-
фициенты %k характеризуют относительную важность каждой со-
циальной группы в увеличении общего уровня благосостояния:
Хй = -^-. Очевидно, что при фиксированном числе социальных
dfk
групп оптимизируемой системы каждая группа должна иметь по-
ложительный. «вес» в глобальной целевой функции, т. е. все X*
должны быть строго положительны.
1 Доказательство этого утверждения для одного из вариантов модели эко-
номического взаимодействия см., например, в [17, с. 289—291].
145
В принципе возможно получить народнохозяйственный план,
отвечающий условиям равновесия, путем решения оптимизацион-
т
ной модели с глобальной целевой функцией *5=2 ^Л(^)-Од-
fe=i
нако для этого нужно «угадать» правильные коэффициенты Х*.
Обратимся к рис. 4.3. Глобальная целевая функция имеет вид
‘J = + W2, или, проще, <5 = А/i + (1—h- Линии уровня
этой функции линейны относительно и /2. Величина коэффици-
ента X определяет наклон линии уровня к осям. Меняя X от 0 до 1,
можно получить все точки множества Парето. При X = макси-
мум достигается в точке D (линия /), а при X = Х£ в точке Е (ли-
ния 3). Если kD sg Х<Х£, максимум 'j достигается в одной из то-
чек ядра. Например, точка М есть максимум 'J при X = (ли-
ния 2). Если Х>Х£или X<XD, то решения оптимизационной за-
дачи не принадлежат ядру экономической системы.
При произвольно взятых коэффициентах удовлетворяющих
т
условиям ^>0и 2^а=1, совпадение глобального максимума
и вектора X* из модели экономического взаимодействия может
быть получено только случайно. Они совпадут, если коэффи-
циенты равны обратным величинам оптимальных оценок дохода
. .» 1
соответствующих социальных групп: — где р,* =
Ий
du. (хП
= ———Возможно вычислять коэффициенты X* в итеративном
d<}k
процессе последовательного уточнения оптимальных оценок до-
хода социальных групп, получаемых при решении соответствую-
щих локальных задач.
В рассмотренной выше модели %* есть обратная величина мно-
жителя Лагранжа, соответствующего ограничению p*kLk +
+ qk^> P*Yk, а другой коэффициент есть обратная величина
множителя Лагранжа, соответствующего ограничению Р* (X—Z)
т т
2 Pklk-Y 2 qk. Если коэффициенты и
k=i k=i
известны, то оптимизационная народнохозяйственная модель
<5= &J(Z, Х)+2^(еа)
(Ьх,..., Lm),‘
т
X>^Yk + Z,
Й=1
У>0, Z>0,
max,
(4-47)
дает решение (X*, Y*k, Z*), соответствующее хотя бы одному из
решений модели экономического взаимодействия (3.13) — (3.24).
146
Таким образом, модель экономического взаимодействия никоим
образом не противоречит принципам народнохозяйственной опти-
мизации. Более того, на основе модели экономического взаимодейст-
вия можно получить теоретические результаты, существенно до-
полняющие анализ оптимизационных моделей народного хозяйства.
В частности, выше указывалась принципиальная возможность
максимизации глобальной целевой функции посредством децентра-
лизованных действий отдельных подсистем в рамках определен-
ного экономического механизма.
Балансирующие цены модели экономического взаимодействия
обладают свойствами, во многом идентичными свойствам оптималь-
ных оценок продукции и ресурсов, получаемых в результате ре-
шения оптимизационной модели с глобальным критерием опти-
мальности. Они также характеризуют дефицитность продукции
и ресурсов и сбалансированность пропорций между производством
и потреблением, потребностями и возможностями их удовлетворе-
ния, являются измерителями общественно необходимых затрат
и общественной полезности продукции. В частности, если произ-
веденная продукция или имеющийся ресурс в любой подсистеме
(и системе в целом) недоиспользуется, то соответствующая баланси-
рующая цена должна быть равна нулю. Если при расчетах по ба-
лансирующим ценам суммарные затраты оказываются выше сум-
марного эффекта, то это свидетельствует о том, что соответствую-
щий вид деятельности не войдет в оптимальный план.
О применении моделей экономического взаимо-
действия в планировании народного хозяйства
Модели экономического взаимодействия могут использоваться
для изучения широкого класса проблем планирования и управле-
ния социалистической экономики: экономической интеграции стран
социалистического лагеря, экономических взаимоотношений го-
сударства и хозрасчетных звеньев, межхозяйственной кооперации
колхозов и совхозов и агропромышленной интеграции и т. п. Ана-
лиз общих моделей экономического взаимодействия указывает на
принципиальную возможность некоторой децентрализации плано-
вых решений и использования товарно-денежных отношений между
хозяйственными подсистемами для разработки народнохозяйст-
венного плана. Такая возможность открывается благодаря разбие-
нию народного хозяйства на ряд хозрасчетных звеньев (подсистем)
и согласованию планов этих звеньев с помощью цен, балансирую-
щих спрос и предложение разных видов продукции и ресурсов1.
1 Стремление выравнивать спрос и предложение в народном хозяйстве це-
лесообразно по ряду причин. Сильные несоответствия между спросом и
предложением порождают в экономике много отрицательных явлений:
хронический дефицит и спекуляцию, затоваривание, подрыв материаль-
147
Общая модель экономического взаимодействия оставляет от-
крытым вопрос, каким образом могут быть получены балансирую-
щие цены, которыми должны руководствоваться хозрасчетные
звенья. Здесь имеются две принципиальные возможности: либо
эти цены устанавливаются централизованно, либо они вырабаты-
ваются в процессе функционирования народного хозяйства и яв-
ляются результатом соглашения между подсистемами. В первом
случае предполагается существование некоторой глобальной на-
роднохозяйственной модели, посредством которой находятся ба-
лансирующие цены. Во втором случае модель экономического взаи-
модействия должна характеризовать построение народнохозяйст-
венного плана не как единичный акт (соответствующий однократ-
ному решению математической задачи), а как итеративный процесс
принятия и согласования плановых решений народнохозяйствен-
ных подсистем разного уровня. В § 5 главы 3 приводился пример
модели экономического взаимодействия для планирования социали-
стического народного хозяйства. Советскими экономистами-мате-
матиками разработан ряд моделей более общего вида.
В. А. Волконским сформулирована модель в терминах бескоалиционной
игры с тремя группами участников: производителями, потребителями и ор-
ганизациями, ответственными за ценообразование, снабжение и сбыт [4].
В качестве производителей выступают хозрасчетные организации, максими-
зирующие доход или прибыль. Потребителями являются определенные ка-
тегории населения, которые максимизируют свое благосостояние в зависимо-
сти от доходов, получаемых в сфере производства. Третья группа участни-
ков обеспечивает сбыт производимой продукции и снабжение производителей
и потребителей средствами производства и предметами потребления по на-
значенным ценам. Эти участники стремятся к установлению балансирующих
(равновесных) цен. Существенным моментом планирования является система
заключения долгосрочных договоров о производстве и поставках продукции
при согласованной динамике цен па весь период действия договоров.
Особенностью модели Ю. Н. Гаврильца является детальное отражение
воспроизводства и использования трудовых ресурсов (по профессионально-
квалификационному составу и социально-демографическим группам) и влия-
ния свободного времени трудящихся на занятость, структуру потребления
и уровень благосостояния [5Г? В качестве подсистем выделяются социально-
демографические группы, производственные подсистемы и «центральный
регулятор». Важным новым моментом в модели IO. Н. Гаврильца является
учет обратной связи от потребления и свободного времени к производству
(т. е. учет зависимости производственных возможностей от удовлетворения
потребностей групп трудящихся).
Для планирования народного хозяйства важно, чтобы модель
экономического взаимодействия позволяла изучать не только от-
дельные состояния равновесия, но и сам процесс функционирования
экономической системы, основной тенденцией которого должно
ной заинтересованности в результатах труда и фактическое нарушение
принципа распределения по труДу, нерациональное использование ресур-
сов и т. д. Некоторое несоответствие между спросом и предложением в
принципе является допустимым. Главным является не столько точное со-
блюдение равновесия между спросом и предложением, сколько устойчи-
вая тенденция к этому равновесию.
148
быть стремление к достижению устойчивой траектории равновесия.
Поэтому общая модель экономического взаимодействия подсистем
народного хозяйства должна быть динамической и включать опи-
сание механизмов перехода от неравновесных состояний к равно-
весным и выхода из равновесных состояний при структурных пе-
рестройках народного хозяйства.
В динамической модели отражается изменение всех условий
во времени, в том числе эволюция критериев оптимальности под-
систем в процессе их взаимодействия и развития системы в целом.
Продукты и ресурсы, производимые и используемые в разные мо-
менты времени, считаются разными продуктами и ресурсами. Ре-
шением модели являются траектории развития каждой подсистемы
и системы в целом. Наряду с ценами появляются такие экономиче-
ские регуляторы, как банковский процент, норматив эффективно-
сти капитальных вложений, соизмерители полезного эффекта от
потребления в разные моменты времени. Основные понятия модели
экономического взаимодействия (оптимум по Парето, ядро, равно-
весие) получают динамическую трактовку как определенные мно-
жества эффективных траекторий развития экономической системы.
Для динамических моделей экономического взаимодействия до-
казывается существование траекторий равновесия и устанавли-
ваются соотношения между равновесными и оптимальными траек-
ториями1.
В рассматривавшихся и упоминавшихся моделях экономиче-
ского взаимодействия согласование оптимальных решений подси-
стем осуществлялось путем выбора системы цен. Имеются и другие
типы моделей взаимодействия подсистем, в которых цены предпо-
лагаются заданными, могут быть «неравновесными» или вообще не
участвуют в процессах взаимодействия. Согласование решений
подсистем в этом случае осуществляется центральным планирую-
щим органом путем распределения лимитов на общие для разных
подсистем ресурсы или установления заданий по выпуску продук-
ции. Модели такого типа предполагают более высокую централи-
зацию плановых решений. Они ближе к моделям многоуровневой
оптимизации народного хозяйства с глобальным критерием опти-
мальности.
Основными проблемами математического анализа моделей эко-
номического взаимодействия являются доказательство существова-
ния и нахождение равновесия, его единственность и устойчивость.
Для исследования моделей используется ряд новых разделов мате-
матики: выпуклый анализ, топология, теория неподвижных то-
чек, теория двойственных пространств и т. д.
1 Математические свойства динамических моделей экономического взаимо-
действия на конечном и бесконечном интервалах времени исследуются
в работе [17, с. 314—323]. Краткое изложение основных понятий и свойств
динамической модели общего вида см. в [7, с. 347—350]. Динамическая
модель для социалистической экономики анализируется в работе [4, с. 130—
139].
149 .
Об условиях существования решений в моделях экономиче-
ского взаимодействия было сказано выше. Разработанная матема-
тическая теория не дает ответа о необходимых условиях равнове-
сия в моделях достаточно общего вида, а позволяет, как правило,
установить некоторую совокупность достаточных условий.
Проблема единственности и неединственности равновесия имеет
важное значение для использования моделей в реальных процессах
планирования и управления народным хозяйством. Если сущест-
вует несколько систем балансирующих цен, то для разных под-
систем далеко не безразлично, какая именно система будет выб-
рана, так как от этого зависят максимальные значения целевых
функций подсистем. Определенные затруднения возникают и в слу-
чае неединственности оптимальных планов подсистем при заданной
системе цен: далеко не всякое сочетание локальных оптимальных
планов дает допустимый народнохозяйственный план даже при
использовании балансирующих цен.
Очевидно, в случае неединственности локальных оптимальных
планов и балансирующих цен в системе планирования должны быть
предусмотрены правила выбора согласованных решений, допол-
няющие чисто экономический механизм. Возможность такой нее-
динственности усиливает при прочих равных условиях роль цен-
трализованного народнохозяйственного планирования.
Устойчивость или неустойчивость равновесия являются важ-
ными характеристиками модели экономического взаимодействия,
во многом определяющими возможности ее практического приме-
нения. Известно, что условия развития экономики постоянно из-
меняются, причем эти изменения зачастую точно непредсказуемы
вследствие стохастичности и неопределенности экономических
процессов. Состояния (траектории) равновесия только тогда могут
быть положены в основу народнохозяйственного плана, когда они
устойчивы (хотя бы относительно) по отношению к разного рода
«возмущениям».
Использование моделей экономического взаимодействия в пла-
новых расчетах серьезно затрудняется из-за отсутствия достаточно
разработанных численных методов решения. В этом отношении
модели экономического взаимодействия уступают оптимизацион-
ным моделям. Сложность математических проблем намного воз-
растает, если использовать модели экономического взаимодействия
не только для нахождения состояний (траекторий) равновесия, но
и для имитации всего процесса функционирования народного хо-
зяйства, включая переход от начального состояния экономической
системы к равновесной траектории ее развития и непрерывное вос-
становление нарушаемого равновесия. Такой процесс моделируется
посредством итеративных алгоритмов математического программи-
рования и теории игр.
Практическое применение моделей экономического взаимодейст-
вия тесно связано с разработкой общей системы планирования и уп-
равления народным хозяйством на основе принципа демократиче-
150
ского централизма. В последующих главах модели экономического
взаимодействия используются в анализе оптимального распределе-
ния производственной программы и производственных ресурсов
(глава 5) и при моделировании поведения потребителей в условиях
товарно-денежных отношений (глава 6).
i
rtf
(§ 6. ОПТИМИЗАЦИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
v
н В предыдущих параграфах анализировались модели жестко
* детерминистского типа, в основе которых лежит допущение о воз-
можности точного задания всей исходной информации о множестве
допустимых решений и критериях оптимальности. Однако в раз-
витии экономической системы имеются элементы неопределенности.
/ Вследствие этого принципиально невозможно точно определять
единственное оптимальное решение. Развитие естественных и об-
щественных наук уменьшает степень неопределенности будущего,
.? но не может полностью ее устранить. Поэтому проблема планового
Т управления обязательно должна включать поиск наилучших пер-
| спективных решений в условиях неопределенности.
| В общей модели оптимального планирования народного хозяй-
J' ства фактор неопределенности выражается в том, что множество
1 допустимых решений X и критерий оптимальности (векторный либо
I скалярный) F (X) включают некоторую совокупность неизвестных
г параметров и условий Z, т. е. X = -Т (Z) и F = F (X, Z). При этом
ж методы оптимизации существенно зависят от того, какими знаниями
|' мы располагаем о совокупности Z.
К Исходная информация, которую необходимо принимать во вни-
К мание при выработке хозяйственных решений, может быть трех
| типов: определенная — когда соответствующие условия и пара-
I метры известны точно; вероятностная — когда условия и пара-
f метры выражаются случайными величинами (случайными функциями)
• с известными законами распределения их вероятностей; неопреде-
¥ ленная — когда исчерпывающая характеристика условий и пара-
I метров отсутствует и законы распределения случайных величин
1 не могут быть получены.
Первому типу исходной информации адекватны жестко детер-
л министские модели. Второй тип информации позволяет применять
5 соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей
и математическую статистику, стохастическое программирование,
' теорию статистических решений, теорию массового обслужи-
вания и т. д. Трудности математической формализации проблемы
, нахождения наилучших решений в масштабе народного хозяйства
® в значительной мере обусловлены именно тем, что существенная
часть информации о народнохозяйственных процессах сводится
। к третьему типу.
151
1
Характеристики случайных величин (закон распределения,
математическое ожидание, дисперсия и т. п.) можно, как правило,
получить лишь посредством статистической обработки кассовых
данных о развитии экономических процессов. Для многих же слу-
чайных величин, относящихся к будущему, нельзя получить удов-
летворительных статистических оценок, поэтому их приходится
рассматривать как неопределенные. Неопределенность, в свою
очередь, имеет широкий диапазон: от полного неведения до такого
положения, когда относительно точно можно указать верхние и
нижние пределы значений случайных величин и даже определить
интервалы наиболее вероятных их значений.
Теория и методология оптимального планирования в условиях
неопределенности развиваются двумя путями: усовершенствование
моделей жестко детерминистского типа и создание гибкой мето-
дики их использования и разработка математических методов и мо-
делей, учитывающих в явном виде стохастичность и неопределен-
ность экономических процессов.
Применение специальных математических
методов
Второй путь во многих отношениях более привлекателен. Но
большинство специальных математических методов применимы
в ситуациях, когда известно вероятностное описание случайных
величин. Для многих же задач народнохозяйственного планиро-
вания, особенно долгосрочного, полное вероятностное описание
получить це удается. Это обстоятельство объясняет тот факт, что
специальный математический аппарат применяется главным об-
разом на нижних уровнях экономической системы.
С точки зрения проблем оптимизации народного хозяйства осо-
бый интерес представляет стохастическое программирование —
сравнительно новый раздел математического программирования,
изучающий теорию и методы решения экстремальных задач в ус-
ловиях неопределенности.
Существуют различные постановки задач стохастического про-
граммирования, отличающиеся определениями понятий плана за-
дачи и решения задачи. При так называемой жесткой (или одно-
этапной) постановке задачи стохастического программирования
план — это детерминированный вектор X, а целевая функция и
множество допустимых решений включают случайные компоненты.
Например, часто используется жесткая постановка задачи на мак-
симум математического ожидания целевой функции:
М [f(X, у) ] -> max,
g(X, т)СЬ(т),
Х>0,
(4.48)
152
f
где M — символ математического ожидания;
у — набор случайных параметров;
Г — множество значений у, проявляющихся с положитель-
ной вероятностью.
При так называемой нежесткой постановке (или двухэтапной
задаче) на первом этапе выбирается некоторый вектор X 0, а на
втором этапе находится вектор В, корректирующий решение пер-
вого этапа1. Вычислительные проблемы стохастического программи-
рования разработаны пока недостаточно и в основном только для
линейных задач. Это создает серьезные препятствия для широкого
использования стохастического программирования в моделирова-
нии народного хозяйства.
Для исследования экономических процессов с начальной не-
определенностью исходной информации и изменяющимися внеш-
ними условиями получают распространение адаптивные матема-
тические модели. Примером использования адаптивного подхода
в моделировании являются модели с переменными структурными
коэффициентами, значения которых последовательно уточняются
в процессе функционирования модели [12].
Специальные математические методы и модели все шире исполь-
зуются длй исследования экономических задач с элементами
неопределенности. Однако следует признать, что процесс выра-
ботки и принятия плановых решений в условиях неопределенности
в принципе не может и не должен быть полностью формализован.
Комплексный подход к оптимизации в условиях
неопределенности
Мы рассмотрим методические основы комплексного подхода
к оптимизации экономических систем, сочетающего гибкое исполь-
зование моделей жестко детерминистского типа со специальными
методами учета случайных факторов и неформальными приемами
поиска лучших решений.
В этом подходе можно выделить четыре основных этапа: 1) фор-
мирование множества сочетаний условий, характеризующих изу-
чаемый объект; 2) решение оптимизационных задач для каждого
сочетания условий и определение зоны неопределенности оптималь-
ных решений; 3) изучение приспособляемости (адаптации) каждого
варианта из зоны неопределенности к различным сочетаниям ис-
ходных данных; 4) выбор решений в зоне неопределенности.
Рассмотрим содержание этих этапов применительно к задачам
оптимизации народного хозяйства2.
1 Наиболее полное изложение задач и методов стохастического программи-
рования дается в работе [30].
2 В СССР наиболее значительные исследования по оптимизации в условиях
неопределенности выполнены для энергетического хозяйства (см. [16]).
Этап 1. Целью первого этапа является формирование до-
статочно представительного множества сочетания условий (исход-
ных данных) развития народного хозяйства. Для этого прежде
всего систематизируются основные ситуации, осуществление ко-
торых в определенные сроки и в определенных масштабах нельзя
точно предвидеть (например, открытие новых месторождений по-
лезных ископаемых с определенными запасами, освоение термоя-
дерной энергии, создание принципиально новых машин и техноло-
гических процессов, изменения международной обстановки). Дан-
ный этап, следовательно, тесно связан с методами ситуационного
анализа и сценариев. Для формирования сочетаний возможных
условий используется также метод статистических испытаний (ме-
тод Монте-Карло).
Рассматривается как можно более широкий диапазон возмож-
ных значений неопределенных условий и параметров. Далее
устанавливаются приближенные вероятностные характеристики
соответствующих данных: экспертные оценки крайних значений ин-
тервала изменения случайной величины, закон распределения вну-
три этого интервала и т. д. При этом целесообразно дифференциро-
ванно подходить к исходной информации, концентрируя внимание
главным образом на усовершенствовании той части информации,
которая может оказывать существенное влияние на плановые ре-
шения. Так, вероятностное описание имеет смысл задавать только
для «существенных» исходных данных, а «несущественные» данные
можно считать точными числами.
Этап 2. Число возможных сочетаний условий развития на-
родного хозяйства исключительно велико. Для практических целей
достаточно рассматривать обобщенные (генерализованные) соче-
тания. Каждому такому s-му сочетанию условий соответствует своя
оптимизационная задача. Если имеется N сочетаний условий, то
решается N оптимизационных задач и находятся соответствующие
множества оптимальных вариантов ЗЕ* — практически число N
может измеряться несколькими сотнями и даже тысячами. Для
облегчения вычислительных трудностей используются параметри-
ческое программирование (с помощью которого определяются се-
мейства оптимальных решений, зависящих от изменения одного
или нескольких параметров) и методы ускоренного пересчета оп-
тимизационных задач (корректировки оптимальных вариантов)
при изменении некоторых исходных данных.
Объединение множеств оптимальных вариантов определяет
зону неопределенности — множество вариантов ЗЕ = U 3t2 U - • -
. . . U каждый из которых является оптимальным хотя
бы при одном реально возможном сочетании исходных данных
(т. е. Зс—это множество потенциально оптимальных вариантов,
а «обычный» оптимальный вариант X* является одним из многих
вариантов этого множества: X* £ Зс^ С ЗЕ С ЗЕ).
154
При анализе зоны неопределенности обнаруживается, что мно-
гие допустимые варианты не-входят в X и многие ограничивающие
условия также не влияют на формирование X. Эти варианты и ус-
ловия исключаются из дальнейшего рассмотрения. Зона неопреде-
ленности тем обширнее, чем больше интервалы изменения пара-
метров исходных условий и чем более пологой является целевая
функция в окрестностях потенциально оптимальных планов.
Этап 3. На данном этапе осуществляется имитация процесса
приспособления (адаптации) экономической системы к меняющимся
условиям. Исследуется приспособляемость каждого варианта из
зоны неопределенности к различным сочетаниям исходных данных.
Прежде всего разрабатываются специальные мероприятия, ко-
торые обеспечивают осуществление основных вариантов при раз-
ных сочетаниях условий (такие мероприятия называют «подстроеч-
ными»), После этого дополнительно решается (S—1) У оптимиза-
ционных задач (S — число основных вариантов), в результате
чего определяется матрица оптимальных значений целевой функ-
ции f (X), имеющая S строк и N столбцов. Элемент матрицы fsn
показывает оптимальное значение целевой функции для s-ro ва-
рианта, реализуемого при n-м сочетании условий (в теории игр
такая матрица называется платежной).
Исследования данного этапа эффективно проводить на базе
специальной адаптивной модели, включающей набор «подстроечных»
мероприятий и определяющей результаты оптимизации народного
хозяйства при возможных сочетаниях исходных данных.
Этап 4. Ддя того чтобы найти лучший из вариантов, входя-
щих в зону неопределенности, нельзя воспользоваться скалярными
критериями оптимальности, применяемыми в жестко детерминист-
ских моделях (поскольку зона йеопределенности — это множество
вариантов, наилучших с точки зрения выбранного критерия оп-
тимальности). Более пригодны методы векторной оптимизации
и квазиоптимизации, но и они недостаточны. Приходится исполь-
зовать более сложные принципы отбора плановых решений.
Предпочтение должно отдаваться решениям, устойчивым по
отношению к широкому диапазону изменения исходных условий,
т. е. реализуемым при возможно большем числе сочетаний исход-
ных данных.
В условиях неопределенности различные варианты плановых
решений должны оцениваться также с точки зрения приспособляе-
мости к изменениям условий, возможности заблаговременной под-
готовки к новым условиям и скорости осуществления такой подго-
товки. Эти дополнительные требования к потенциально оптималь-
ным вариантам характеризуются следующими взаимосвязанными
понятиями: маневренность — возможная скорость перестройки пла-
нов в зависимости от изменения условий; эластичность — способ-
ность плана к перестройке внутренней структуры без существенных
потерь в уровнях достижения конечных целей; надежность —
155
потенциальная вероятность осуществления планового варианта;
адаптивность — способность плана приспосабливаться к возни-
кающим новым (ранее не предусмотренным) условиям (см. [25]).
. Важное значение для выбора плановых решений имеет сопо-
ставление затрат или потерь эффекта, связанных с реализацией
определенного варианта в иных условиях по сравнению с теми,
при которых он является оптимальным '(эти затраты или потери
эффекта будем называть экономическим риском). Величины эконо-
мического риска rin 0, показывающие потерю эффективности
(уменьшение значения целевой функции) при реализации s-ro ва-
рианта в ситуации п, вычисляются по формуле
Сп. ~fn fsn>
где fn — максимальное значение f (X) по л-му сочетанию исходных
данных.
Для выбора лучших вариантов, входящих в зону неопределен-
ности и реализуемых при разных сочетаниях исходных данных,
используется ряд формальных критериев из теории игр и статисти-
ческих решений. В основе этих критериев — сопоставление вели-
чин и rsn.
Отметим сначала простейший случай, когда по какому-либо
варианту s0 при любых сочетаниях исходных данных выполняются
соотношения > fsn или rSoll < rsn, s=l, . . ., S; s s0;
n = 1, . . ., N. Очевидно, что вариант s0, безусловно, предпочти-
тельнее других. Но такой случай является чрезвычайно редким.
Типичной является задача сопоставления вариантов, имеющих
как лучшие, так и худшие характеристики по сравнению с другими
вариантами. Это и вынуждает использовать специальные критерии.
Критерий Вальда рекомендует выбирать такой вариант, при
котором в худших условиях достигается наибольший эффект:
O1 = maxmin/sn. (4.49)
S п
Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать вариант, при кото-
ром величина риска минимальна в самой неблагоприятной ситуа-
ции (т. е. минимальны отрицательные последствия, если выбор ока-
жется ошибочным):
Ф2 = min max rsn. (4.50)
п
Эти сходные критерии выражают предельную осторожность
(крайний пессимизм) в оценке возможных последствий изменения
условий развития народного хозяйства.
Критерий Гурвица представляет собой компромиссное правило
выбора и занимает промежуточное положение между позициями
крайнего пессимизма и крайнего оптимизма. При сравнении ве-
личин эффектов он имеет вид
Ф3 = тах [aminfs„4-(l— а)тах/от], 0<а<1. (4.51)
п п
156
При а = 1 критерий Гурвица превращается в пессимистический
критерий (4.49), а при а = 0 — в критерий крайнего оптимизма,
рекомендующий выбирать тот вариант, при котором значение це-
левой функции максимально в наилучших условиях.
При сравнении величин экономического риска критерий Гур-
вица приобретает форму
Ф4 = min [Р maxrsn-|-(l — P) min rsra], O<0<1. (4.52)
s n n
При p = 1 этот критерий превращается в пессимистический кри-
терий (4.50), а при р = 0 — в крайне оптимистический критерий,
рекомендующий выбирать тот вариант, для которого в наихудших
условиях отрицательные последствия минимальны.
При установлении коэффициентов а или р используется сле-
дующее соображение: чем опаснее ошибочный выбор, тем выше
должна быть мера «страховки» и поэтому тем ближе к единице дол-
жен быть коэффициент а (или р). Понятно, что жизненно важно
застраховаться от наиболее неблагоприятных ситуаций и очень
больших потерь на приспособление экономической системы к кри-
тическим условиям (война, неурожай, энергетический кризис
и т. п.).
Приведем еще один специальный критерий — максимум сред-
него значения (математического ожидания) эффекта или минимум
среднего значения (математического ожидания) экономического
риска:
N
max ^ifsnPn (4.53)
s п=1
ИЛИ
н
min 2 rsnPn, (4.54)
s n»l
где Pn — вероятность n-го сочетания условий.
Данный критерий (в двух модификациях) предполагает знание
вероятностей осуществления разных ситуаций, что, в свою очередь,
требует многократной повторяемости решений. При использовании
этого критерия задача о выборе при неопределенности превра-
щается в задачу выбора в условиях определенности, но получае-
мое решение является оптимальным не для каждой конкретной
ситуации, а только в среднем. Если вероятности ситуаций совер-
шенно неизвестны, то может применяться «принцип недостаточного
основания», в соответствии с которым разные ситуации рассматри-
ваются как равновероятные (этот принцип впервые сформулиро-
вал Я. Бернулли). Тогда формулы (4.53), (4.54) упрощаются:
1 N
max—2 Ал: (4.55)
s N п—1
м
min-J-2rs„. (4.56)
N п-1
157
Формальные критерии (4.49) — (4.56) не гарантйруют одно-
значного выбора плановых решений в условиях неопределенности,
но они позволяют сузить множество потенциально оптимальных
вариантов (зону неопределенности). Варианты, не отвергнутые
по формальным критериям оптимальности, называют равноэффек-
тивными (равноэкономичными). Обозначим множество равноэффек-
тивных вариантов X*, тогда в соответствии с принятыми ранее
обозначениями J*cXcX.
Окончательный выбор планового решения на множестве X*
осуществляется уже неформальным образом путем сопоставления
сильных и слабых сторон вариантов X £ 3£* в разных ситуациях
и учета дополнительных факторов, не нашедших отражения в оп-
тимизационной модели. Необходимо подчеркнуть, что конечной
целью исследования необязательно должно быть нахождение един-
ственного наилучшего решения. Не менее важным является обо-
снование рекомендаций о стратегии и тактике плановой деятель-
ности в условиях неопределенности.
Рассмотренные вопросы оптимизации народного хозяйства при-
водят к выводу, что фактор неопределенности должен приниматься
во внимание не только при использовании экономико-математиче-
ских моделей определенного типа в плановых расчетах, но и в про-
цессе построения моделей, и в теоретическом анализе, проводимом
на основе модели.
Оптимизационные модели и модели экономического взаимодейст-
вия должны включать резервы и запасы, специальные виды дея-
тельности, повышающие маневренность, эластичность, надежность,
адаптивность развивающегося народного хозяйства, информацию
о корректирующих вариантах («подстроечных» мероприятиях) и за-
тратах на адаптацию в непредвиденных ситуациях и т. д. Более
сложные требования предъявляют и к моделированию экономиче-
ского механизма, и к оптимальным оценкам, соизмеряющим за-
траты и результаты. Модели экономического взаимодействия
должны включать стабилизирующие механизмы, способствующие
восстановлению случайно нарушаемого равновесия в народном хо-
зяйстве. Для того чтобы принимаемые на основе оптимальных оце-
нок плановые решения были лучшими в условиях неопределенно-
сти, эти оценки должны отражать не случайную и кратковремен-
ную, а относительно устойчивую ситуацию в народном хозяйстве.
Приложение. Математические основы
соизмерения затрат и результатов в оптимальном
планировании
Общая теория математического программирования, исследующая экстре-
мальные задачи без какой-либо конкретизации свойств целевой функции
и области допустимых решений, сравнительно бедна результатами. Гораздо
более содержательны теории определенных классов задач математического
158
программирования. Вначале рассмотрим некоторые положения теории не-
линейного программирования, которые используются для анализа проблемы
соизмерения затрат и результатов в социалистическом хозяйстве в §3 гла-
вы 41.
Пусть задача нахождения максимума f (X) при условиях g (X) b
и Х^О является задачей нелинейного программирования. Функции Ц (Х)^0 и
g (X) = [gs (X) ], s £ М, непрерывно дифференцируемы и не содержат слу-
чайных элементов, а вектор Ь состоит из заданных вещественных чисел.
С задачей нелинейного программирования связывается функция Лаг-
ранжа L (X, У) = f (X)У [6 —g (X)], (П.1)
рассматриваемая на множестве пар векторов X >= 0 и У 0. Компоненты
m-мерного вектора-строки У = (ys) называют множителями Лагранжа.
Векторы частных производных первого порядка функции Лагранжа
имеют вид
dL(X,Y) df(X) ydg(X)
дХ дХ дХ ’
(П.2)
dL (X, У)
дУ
^b-g(X).
(П.З)
В классической задаче оптимизации все ограничения имеют вид ра-
венств, отсутствуют условия неотрицательности переменных и т<^п. Не-
обходимым условием максимума f (X) в такой задаче является равенство
нулю всех частных производных (П. 2), (П. 3) при некоторых дополнитель-
ных, обычно выполняемых условиях. В результате образуется система из
(n + т) уравнений с (п + т) неизвестными — векторы X и У. Классиче-
ская задача оптимизации и основной метод ее решения (метод неопределен-
ных множителей Лагранжа) использовались в теоретико-экономических
исследованиях еще более 100 лет назад. Однако присутствие неравенств и ог-
раничений на неотрицательность переменных в экономико-математических
моделях имеет принципиальное значение. Поэтому интересующие нас про-
блемы вынуждают анализировать свойства именно общей задачи нелиней-
ного программирования.
Точка X* является точкой максимума только тогда'(необходимое усло-
вие), когда существует вектор У* и пара (X*, У*) удовлетворяет следующей
системе уравнений ц неравенств:
dL (X*, У*) = df(X») y. dg(X*) <0
дХ дХ dX ’
dL (X*, У*) = Г<У(Х*) y,ag(X*)1 у» р
дХ L дХ дХ J
X*2s0;
2L(y..n = b-g(x^o,
дУ
Al IX* У*1
У* { 1 — У* [b — g (X*)] = 0,
У*2й0.
(П.4)
1 Для изучения теории нелинейного - программирования рекомендуются
книги: Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.
IM., «Мир», 1967; Зангвилл В. Нелинейное программирование. М.,
«Советское радио», 1973, а также упоминавшаяся работа [7].
159
Совокупность условий (П. 4) называют обычно условиями Куна—Таккера.
Запишем развернуто (покомпонентно) первое, второе и пятое условия
Куна—Таккера:
(П5)
дх. дх. S£M дх.
VI dL (X*, К*) ? = /df(X*)
dxi ' \ dxi
KN “KN
(П.6)
s^M s^M
Из (П. 5) и X :> 0 следует, что в (П. 6) каждое слагаемое должно рав-
няться нулю:
I дх,. 2j дх. ) 1
зем
Это возможно, когда либо
стности оба эти равенства
df(X*) VI •dgs(X*) п Л * n.
-Ci—L----Ж ’ ys —i=0, либо x,= 0 (в ча-
дх. dxj
s^M
могут .выполняться одновременно). Поэтому
df(X*)
дх^
dgs(X*)__
дХ]
О, если Xj> О,
* п df(X*) V y»dgs(X*)
Л/= °, если у /S
i^N.
(П.8)
Из условий b—g (X) 0 и Y 0 аналогичным образом выводится,
что в (П. 7) каждое из слагаемых также равно нулю. Поэтому
gs(X*) = bs, если ^*>0,
у’ = 0, если gs(X*)<6s,
(П.9)
160
Условия (П. 8) и (П. 9) называют условиями дополняющей нежесткости1.
Для анализа решений оптимизационных задач важное значение имеет
следующий вопрос: кацое влияние оказывает изменение параметров вектора
b на изменение оптимального значения целевой функции f (X)?
В отношении тех ограничений, которые в оптимальном плане выпол-
няются как строгие неравенства Ss(X*)<£bs, ответ очевиден: малые изме-
нения bs не изменяют равенства f (X) = f (X*).
Предположим, что известно, какие ограничения выполняются как ра-
венства и какие как неравенства, а также известно, какие именно перемен-
ные в оптимальном плане равны нулю и какие положительны. Пронумеруем
ограничения и переменные следующим образом: первые ограничений
выполняются как равенства, а остальные (т—mt) — как не-
равенства; первые «1 переменных положительны, 0 п, а остальные
(п—«1) — равны нулю. Тогда
ГХЧ гпЧХ)} Г&Н
44 Г2); g(X) = t(X)]: 44
Неравенства и нулевые переменные можно исключить из задачи (пред-
полагается, что нулевые переменные останутся нулевыми и при некоторых
изменениях исходных данных). В результате получаем классическую за-
дачу математического программирования:
f(X»)->max,
g»(X») = 6». (П.10)
Как уже говорилось, необходимым условием максимума f (X) в задаче
типа (П. 10) является равенство нулю всех частнкх производных функции
Лагранжа (П. 2), (П. 3).
В соответствии с поставленным вопросом представим векторы X1 и У1
в виде функций от параметров b1: X1 — X1 (&*); Y1 = У1 (Ь1). Функцию
Лагранжа также будем рассматривать как дифференцируемую функцию
от Ь1:
L (61) = f [Xi (б*)] + У* (&») {Z>1 - gi [X» (61)]}.
Дифференцирование по Ьг дает
dL df дХ1 .3X1 [Z.i-gi(Xi)]X
дЬ1 ЙХ1 дЬ1 дХ1 дЬ^
X - l(*2L + ri = yi°SL' \дХ1
дЬ1 bxi 3X1 / дЬ1
+ U>1- gi(X1)]' + У1-
дЬ1
1 Из (П. 8) — (П. 9) не следуют обратные утверждения (хотя они и могут
оказаться справедливыми во многих случаях), а именно:
3f(X*) если ———- дх^ s^M
если x*j — 0, то энхч Sxj дх. s£M
и т. д. J
6 А. Г, Гранберг 161 -
В точке максимума (X*, У*) первые два члена обращаются в нуль. Поэ-
тому = yi*. но L (X1*, У1*) = f (X1*) = f (X1*). Следова-
db1
тельно:
Гц = Ж.)>0
db1
Как было установлено, последние (т—ограничений в точке X*
выполняются как строгие неравенства и поэтому малые приращения пара-
метров 62 не изменяют соотношения f (X) — f (X*). В соответствии с (П. 9)
У2* = 0. Следовательно:
yw = ® = 0
а*2
Итак, в точке оптимума всегда выполняются соотношения
У* = >о (р.п)
db
ИЛИ
.‘=№^0, s^M.
s dbs
Для теоретико-экономического анализа и прикладных экономических
задач особый интерес представляют частные случаи нелинейного программи-
рования: выпуклое программирование (целевая функция вогнута, множество
допустимых решений выпукло) и линейное программирование (целевая функция
и функции ограничений линейны). Естественно, что задачи выпуклого и ли-
нейного программирования сохраняют все свойства нелинейного программи-
рования. Но они обладают и некоторыми дополнительными свойствами, на-
пример, совпадение локальных и глобальных оптимумов, которые могут
использоваться в экономико-математическом моделировании. Отметим ос-
новные результаты теории линейного программирования (ЛП).
Задача ЛП может быть представлена в следующем виде (задача I):
сХ—>тах,
АХ<Ь,
Х>0, (П.12)
где с = (с/) — n-мерный вектор-строка, А = (as/) — матрица порядка
т X п.
В развернутом виде:
У с/х/->тах,
itN
У asjXj a bs, s£M,
KN
Xj>Q, j£N. ' . (П.13)
Особенности решений задачи ЛП состоят в том, что локальные и гло-
бальные максимумы совпадают и, кроме того, максимум обязательно достига-
ется на границе множества допустимых решений (и среди решений обязательно
есть вершина многогранника условий). Для решения задачи ЛП справедливы
условия Куна — Таккера и вытекающие из них условия дополняющей неже-
сткости. Однако теория ЛП содержит и более сильные результаты, вытека-
ющие из анализа двойственных задач.
162
Задаче 1 соответствует другая задача ЛП, называемая двойственной
(задача II):
Уб—>min,
YA>C,
Y>0, ' (П.14)
где Y = (ys) — вектор-строка множителей Лагранжа.
В развернутом виде
У, Ms-*min;
s£M
2 asiys>ch j£N,
s£M
ys>0, s£M. (П.15)
Перечислим те положения теории ЛП, которые имеют наибольшее зна-
чение для анализа линейных оптимизационных моделей экономики.
Теорема двойственности. Если задача I имеет решение X*,
то и задача II имеет решение У*. При этом сХ* = Y*b.
Заметим, что для неоптимальных (но допустимых) векторов X и Y всегда
выполняется соотношение сХ < Yb.
Теорема существования. Если задачи I и II имеют хотя
бы по одному допустимому вектору, то обе задачи имеют решение.
Следствие. Если X и Y — допустимые векторы и сХ = Yb, то
векторы X и Y образуют пару решений.
Теорема дополняющей нежесткости (вторая тео-
рема двойственности).
Если у\>0, то У as/-x*i = fes;
KN
если 2 asix*j < bs’ T0 y*s — °!
KN
если x*->0, то asiy*~cf,
K.M
если 2asX>c/-T0 x*i = °" (П.16)
s£M
Теория ЛП по сравнению с нелинейным программированием содержит
гораздо больше результатов о чувствительности решений к изменениям раз-
личных параметров и условий задачи. Эти результаты рассматриваются
в § 6 главы бив главе 9 в связи с анализом линейных оптимизационных
моделей.
ЛИТЕРАТУРА к разделу второму
1. Л е н и н В. И. Замечания на второй проект программы Плеханова.—
Поли. собр. соч. Изд. 5-е. Т. 6.
2. Аганбегян А. Г., Багриновский К. А., Гран-
берг А. Г. Система моделей народнохозяйственного планирования.
М., «Мысль», 1972.
3. Борисов В. И. Проблемы векторной оптимизации.— В сб.: Иссле-
дование операций. М., «Наука», 1972.
4. Вол конский В. А. Принципы оптимального планирования. М.,
«Экономика», 1973.
5. Г а в р и л е ц Ю. Н. Социально-экономическое планирование (си-
стемы и модели). М., «Экономика», 1974.
6*
163
6. Данциг Дж. Линейное программирование, его применение и обоб-
щения. М., «Прогресс», 1966.
7. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и эко-
номическая теория. М., «Прогресс», 1975.
8. К а р л и н С. Математические методы в теории игр, программирова-
нии и экономике. М., «Мир», 1964.
9. Кобринский Н. Е., М а й м и н а с Е. 3., С м и р н о в А. Д.
Введение в экономическую кибернетику. М., «Экономика», 1975.
10. Комплексное народнохозяйственное планирование. (Постановка про-
блемы и подход к ее решению). Под ред. Н. П. Федоренко. М., «Эконо-
мика», 1974.
11. Ланге О. Оптимальные решения. (Основы программирования). М.,
«Прогресс», 1967.
12. Л е в и ц к и й Е. М. Адаптация в моделировании экономических си-
стем. Новосибирск, «Наука», 1977.
13. Л у р ь е А. Л. Экономический анализ моделей планирования социа-
листического хозяйства. М., «Наука», 1973.
14. Л у р ь е А. Л., Н и т И. В. Экономико-математическое моделиро-
вание социалистического хозяйства. М., Изд-во МГУ, 1973.
15. М а й м и п а с Е. 3. Процессы планирования в экономике: информа-
ционный аспект. М., «Экономика», 1971.
16. Макаров А. А., Мелентьев Л. А. Методы исследования
и оптимизации топливно-энергетического хозяйства. Новосибирск,
«Наука», 1973.
17. М а к а р о в В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория эко-
номической динамики и равновесия. М., «Наука», 1973.
18. М о р о з о в К. Е. Математическое моделирование в научном позна-
нии. М., «Мысль», 1969.
19. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое
поведение. М., «Наука», 1970.
20. Н и к а й д о X. Выпуклые структуры и математическая экономика.
М., «Мир», 1972.
21. Н о в и к И. Б. О моделировании сложных систем. М., «Мысль», 1965.
22. Н о в о ж и л о в В. В. Проблемы измерения затрат и результатов
при оптимальном планировании. М., «Экономика», 1967.
23. Проблемы оптимального функционирования социалистической эконо-
мики. М., «Наука», 1972.
24. П у г а ч е в В. Ф. Оптимизация планирования (теоретические про-
блемы). М., «Экономика», 1968.
25. См и р н о в В. А., Герчиков С. А., Соколов В. Г. Оценка
надежности и маневренных качеств плана. Новосибирск, «Наука», 1978.
26. Система моделей оптимального планирования. М., «Наука», 1975.
27. Т е р е х о в Л. Л. Оценки в оптимальном плане. М., «Экономика»,
1967.
28. Ф а е р м а н Е. Ю. Проблемы долгосрочного планирования. М.,
«Наука», 1971.
29. Ш т о ф ф В. А. Моделирование и философия. М,-Л., «Наука», 1966.'
30. Ю д и н Д. Б. Математические методы управления в условиях непол-
ной информации. М., «Советское радио», 1974.
164
Раздел третий
СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАРОДНОГО
ХОЗЯЙСТВА
Статические и динамические модели социалистического народ-
ного хозяйства отражают определенные, связанные друг с другом
стадии экономического исследования.
Основными задачами экономической статики являются опти-’
мальное распределение разнообразных ресурсов между возмож-
ными направлениями их использования, максимальное удовлетво-
рение сложившихся общественных потребностей, анализ структуры
и взаимосвязей народного хозяйства, достижение общей пропор-
циональности и сбалансированности экономики. Эти задачи за-
нимают важное место в планово-экономической деятельности. Но
они далеко не исчерпывают проблем планирования народного хо-
зяйства как развивающейся, динамической системы.
Статические модели характеризуют состояние народного хо-
зяйства и его частей за один момент или краткий промежуток вре-
мени, они дают как бы его моментный снимок'(причем это может
быть снимок будущего состояния). При этом допускается, что в те-
чение рассматриваемого временного интервала ресурсно-техноло-
гические возможности и общественные потребности не изменяются.
В рамках статических моделей не могут, следовательно, изучаться
.такие проблемы, как воспроизводство основных фондов, научно-
технический прогресс, развитие системы общественных потребно-
стей и т. п. Однако изучение статических моделей — прямой путь
к более сложным динамическим моделям экономики, включающим
статические модели как свои конструктивные элементы. Не надо
только забывать, что выводы, полученные из статических моделей,
нельзя переносить на ситуации, не укладывающиеся в рамки пред-
посылок статического анализа.
Данный раздел включает пять глав. Сначала рассматриваются
узловые проблемы моделирования- отдельно сферы производства
и отдельно сферы потребления (главы 5 и 6). Полученные знания
затем используются для построения и анализа комплексных на-
роднохозяйственных моделей (главы 7, 8, 9), в первую очередь ба-
лансовых и оптимизационных межотраслевые моделей, получив-
ших широкое применение в экономических исследованиях и пла-
нировании.
165
Глава 5 _________________________
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ПРОЦЕССОВ
§ 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
И ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАТРАТ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Производственные возможности народного хозяйства в любой
момент времени определяются двумя группами факторов: а) техно-
логическими условиями производства, которые выражаются за-
висимостями между затратами различных ресурсов (воспроизво-
димых и невоспроизводимых) и выпуском продукции; б) объемами
и качеством имеющихся ресурсов. Соотношения между производст-
венными затратами и выпуском продукции являются основными
элементами большинства моделей народного хозяйства. В самом
общем виде они уже использовались в главах 3 (§ 2)'и 4 (§ 3). Здесь
мы введем понятия, конкретизирующие данные соотношения.
Пусть X = (xz) обозначает вектор затрат ресурсов, i £ М,
М = {1, . . ., mj; Y = (у,) — вектор объемов производства,
j £ N, N = (1, . . ., п]. Совокупность технологических условий
народного хозяйства может быть формально описана как множество
Z пар (X, У) в неотрицательном ортанте пространства Rn+m.
Нас, естественно, будут интересовать наиболее экономные пре-
образования ресурсов в продукты. Технология (X*,Y*) эффективна,
если она обладает следующим свойством: из условий (X, Y) £ Z,
X X* и Y Y* следует, что (X, Y) = (X*, Y*), т. е. не сущест-
вует других технологий, позволяющих получить те же (или боль-
шие) количества продукции при меньших (или тех же) затратах.
Множество всех эффективных технологий обозначим Z*.
Воспроизводимые средства производства одновременно являются
и продуктами и ресурсами. Поэтому все виды ресурсов можно раз-
бить на два подмножества: Мг — воспроизводимые ресурсы (они
же продукты), £ М1г с N; М2 — невоспроизводимые ре-
сурсы, i2 £- М2. При этом объемы невоспроизводимых ресурсов
в каждый данный момент ограничены: Х2 'Кроме того, не-
обходимо учитывать различия в расходовании предметов труда
166
(5-1)
и основных фондов. Первые полностью расходуются в одном про-
изводственном цикле (затраты имеют размерность потока); вторые
используются многократно (объемы использования в каждом про-
изводственном цикле имеют размерность запаса). При исследовании
народнохозяйственных процессов затраты и выпуск так называе-
мых промежуточных продуктов (полностью потребляемых в сфере
производства) допустимо исключать из непосредственного рассмот-
рения. Тогда вектор X будет включать затраты только первичных
(невоспроизводимых) ресурсов, а вектор Y — выпуск только ко-
нечной продукции.
Множество производственных возможностей народного хозяй-
ства может быть представлено в виде:
| (X, Y)^Z,
I Х2<Д.
При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определен-
ный промежуток времени может быть произведено ограниченное
количество продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариан-
тов производства продукции и использования ресурсов будет осу-
ществляться на множестве Z*.
Социалистическое общество заинтересовано в получении наи-
больших количеств конечной продукции, но проблема выбора ме-
жду различными эффективными (оптимальными по Парето) вариан-
тами конечной продукции не может решаться только с позиций
производства. Поэтому общая модель производственного планиро-
вания формулируется как задача векторной оптимизации:
(X, У)£2*,
Х2 < R,
Y -► max. ' (5.2)
Множество Z* можно описать с помощью многозначного отобра-
жения F (X) — общей производственной функции народного хо-
зяйства, характеризующей максимально возможные объемы про-
изводства продуктов при определенных затратах ресурсов. Эти
объемы производства являются максимальными в том смысле, что
при данных затратах ресурсов нельзя увеличить производство
ни одного продукта, не уменьшив при этом производство хотя бы
одного другого продукта. Общая производственная функция —
.это своеобразная математическая модель сферы производства, об-
ладающая внутренними экстремальными свойствами. По данным
о «входе» X она позволяет определять эффективный «выход» Y.
В отличие от структурных оптимизационных моделей, в которых
условия оптимизации задаются в явном виде, общая производст-
венная функция народного хозяйства является функциональной
моделью объекта с непосредственно не наблюдаемым^ оптимизи-
рующими способностями. Это — своего рода «оптимизирующий
черный ящик» (см.- § 1 главы 2).
167
Построение и анализ общей производственной функции народ-
ного хозяйства представляет исключительно трудную задачу. По-
этому в прикладных исследованиях основное внимание уделяется
частным видам общей производственной функции.
Производственная функция
= = ....хт}), (5.3)
характеризует максимально возможный объем выпуска продукта
j в зависимости от затрат всех ресурсов. Каждой точке X/ соот-
ветствует единственный максимальный выпуск Если бы не су-
ществовало комплексных технологических процессов, выпускающих
одновременно несколько продуктов, то множество производствен-
ных возможностей народного хозяйства можно было бы предста-
вить в виде
%,*»<'<} Wr М
Наличие технологических процессов, выпускающих некоторые
виды продуктов комплексно, не позволяет выразить множество
производственных возможностей в виде (5.4), но не препятствует
использованию функций (5.3) для однопродуктовых технологиче-
ских процессов.
Различают два основных типа производственных функций: про-
изводственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами и произ-
водственные функции с взаимодополняемыми ресурсами.
Наряду с производственными функциями в исследованиях про-
изводственных возможностей народного хозяйства широко приме-
няются функции производственных затрат. Функция
х.^фДУ) (5.5)
называется функцией производственных затрат ресурса i от объе-
мов выпуска всех продуктов. Такие функции уже использовались
в теоретическом анализе моделей народного хозяйства (см., напри-
мер, § 3 главы 4).
В экономическом анализе часто применяются функции затрат
производства одного продукта
= <5-6)
Если ресурс i це используется в комплексных технологических
процессах, то функция затрат (5.5) аддитивна:
*/= 2*//= (5-7)
l£N j£N
Ниже будет показано, что функции производственных затрат
могут интерпретироваться как функции, обратные производствен-
ным функциям с взаимодополняемыми ресурсами.
168
Существуют два основных подхода к построению производствен-
ных функций и функций производственных затрат. Первый из
них — дескриптивный (статистический). Суть его состоит в том,
что производственная функция (функция производственных за-
трат) строится путем обработки наблюдений о соотношениях за-
трат и выпуска продукции. Второй подход — оптимизационный.
Вид и параметры функций определяются в результате обобщения
решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах (за-
дач параметрического программирования). Например, производст-
венная функция отрасли получается в результате решения серии
задач оптимального развития отрасли при меняющихся объемах
внешних ресурсов.
Процесс построения производственной функции (функции за-
трат) включает все этапы экономико-математического моделирова-
ния (см. § 4 главы 2), в том числе выделение существенных факто-
ров, включаемых в модель, выбор вида функции (математической
модели), нахождение числовых значений параметров при помощи
корреляционного и регрессионного анализа1.
При моделировании народного хозяйства производственные
функции и функции затрат применяются двояким образом: как
самостоятельные математические модели производственных объек-
тов и как элементы более сложных моделей народного хозяйства.
Примеры самостоятельного использования производственных функ-
ций и функций затрат рассматриваются в настоящей главе. При-
менение же производственных функций и функций затрат в каче-
стве составных частей более общих народнохозяйственных моде-
лей освещается в главах 7—9.
§ 2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
С ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫМИ РЕСУРСАМИ.
ПОКАЗАТЕЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ
Общие свойства функций
Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производст-
венной функции yj — fj (X/) означает, что один и тот же объем
выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях
ресурсов, отличающихся тем, что затраты одних ресурсов больше,
1 Последний из указанных этапов занимает очень важное место в исследо-
ваниях по производственным функциям и функциям затрат. Эти функции
рассматриваются как регрессионные уравнения с неизвестными парамет-
рами. Методы определения (оценки) параметров функций излагаются во
многих работах по математической статистике. В данной же главе основное
внимание уделяется анализу свойств производственных функций и функ-
ций производственных затрат.
169
а других — меньше. Ниже мы будем опускать индекс /, если речь
идет о функциях производства одного продукта.
Сформулируем некоторые свойства производственных функций
с взаимозаменяемыми ресурсами:
а) если X = 0, то у = 0;
б) если ХА Хв, то f (хл) > / (Хв), причем если ХА>ХВ,
то (Хв) ; из этого, в частности, следует, что у>0 при
Х>0. В том случае, когда увеличение производственных затрат
какого-либо ресурса s сверх величины х' приводит к уменьшению
объема производства, надо непосредственно использовать х', а
излишек х .—х';.>0 оставить в резерве. Если у = 0 при положи-
тельных затратах многих ресурсов, но при xs = 0, то это означает,
что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в ма-
лых количествах (например, труд, электроэнергия и т. п.).
Отмеченные свойства отражают ряд реальных условий произ-
водства и правил разумного хозяйствования.
Производственные функции могут задаваться не только в ана-
литической'форме, но и в виде таблиц. В качестве примера 1 при-
ведем таблицу выпуска продукции в зависимости от затрат двух
видов ресурсов — рабочей силы и средств производства (см.
табл. 5.1).
Таблица 5.1
ПРИМЕР ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ с двумя
ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫМИ РЕСУРСАМИ
Затраты средств производства Затраты труда 10 20 30 40 so 60
50 44 55 63 69 75 80
60 69 88 100 ПО 119 126
70 91 115 132 145 156 166
80 ПО 139 159 174 188 200
90 128 162 185 203 218 232
100 145 183 209 230 247 263
НО 160 202 231 254 273 291
120 175 221 253 277 299 318
130 189 239 273 300 323 344
140 203 256 293 322 347 369
150 216 273 313 343 370 393
160 229 290 332 364 392 417
1 Пример заимствован из деловой игры «Экономическая система» (авторы
Д. Колеман и Т. Харрис, США). На экономическом факультете Новоси-
бирского университета эта игра используется в курсе экономики совре-
менного капитализма. Некоторые технические элементы этой игры, в том
числе приводимая производственная функция, включены в игру «Плано-
вая экономика» (автор Ф. М. Бородкин).
170
Множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного
выпуска f (X) = Q, называется изоквантой. На рис. 5.1 изобра-
жено семейство изоквант — кривых в пространстве двух ресурсов;
эти изокванты соответствуют объемам выпуска продукции Q1(
Q2, Q3. В общем случае изокванты :— это поверхности в /тг-мерном
пространстве ресурсов. Поскольку X О, то все изокванты на-
ходятся в неотрицательном ортанте.
В табл. 5.1 можно указать точки, принадлежащие определен-
ным изоквантам, например: точки (60, 10) и (50, 40) дают Q ~ 69;
точки (80, 10) и (60, 40) дают Q = ПО; точки (100, 10) и (70, 40)
дают Q = 145; точки (150, 20), (130, 30) и (110, 50) дают Q = 273 и т. д.
РИС. 5.1.
Изокванты производственной функции и изо-
клинали
Из общих свойств производственных функций вытекает ряд
свойств изоквант:
изокванты никогда не пересекаются друг с другом;
большему выпуску продукции соответствует более удаленная
от начала координат изокванта;
если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то
изокванты не имеют общих точек с осями координат.
Далее будут обсуждаться свойства изоквант, соответствующих
более узким классам производственных функций.
Средняя и предельная эффективность
использования ресурсов
Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя
основными показателями.
Средняя эффективность ресурса есть функция
171
Предельная эффективность ресурса есть частная производная
производственной функции
dxt
(5-9)
РИС. 5.2.
Функций абсолютной (I), средней (II)
и предельной (III) эффективности ре-
сурса
Величина vz (X) показывает предельный прирост выпуска про-
дукта при увеличении затрат ресурса i на «малую единицу». Из
свойства (б) производственных функций с взаимозаменяемыми ре-
сурсами следует, что v; > 0. Как правило, vz>0. При этом важен
характер изменения эффек-
тивности дополнительных ко-
личеств используемого ре-
сурса.
Если v17=-^^-<0, это
дх]
означает, что предельная эф-
фективность ресурса ^падает.
Такая ситуация вполне объ-
яснима. Например, если в
производстве какого-либо
продукта увличивать затра-
ты труда, сохраняя неизмен-
ными объемы других ресур-
сов, то предельная произ-
водительность труда будет
снижаться из-за уменьше-
ния вооруженности единицы
труда средствами производ-
ства. Условие v,£ —< 0
дх]
в зарубежной литературе
часто называют «законом
убывающей предельной эффективности ресурсов». Необходимо
четко представлять, что это условие типично только при неизмен-
ном научно-техническом уровне и неизменном качестве используе-
мых ресурсов. Уменьшение предельной эффективности перестает
быть «законом», как только мы начинаем учитывать научно-тех-
нический прогресс1.
На рис. 5.2 приведены три типичных графика, характеризую-
щие влияние увеличения затрат ресурса i при неизменных объемах
других ресурсов: I — изменение выпуска продукции у; II — из-
менение средней эффективности ресурса р£; III — изменение пре-
дельной эффективности ресурса vz. Как видим, функция I растет,
1 Сущность данного «закона» проанализирована В. И. Лениным в статье
«Аграрный вопрос и „критики Маркса"».— Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 5,
с. 100—103.
172
но ее рост замедляется. Функции II и III убывают, причем пре-
/ дельная эффективность ниже средней эффективности. Такие со-
отношения между тремя функциями выполняются при монотонном
уменьшении pz на всем множестве значений xz>0.
Обратимся вновь к табл. 5.1. За исходную точку возьмем со-
четание ресурсов (80, 30), дающее 159 ед. продукции. Будем те-
перь последовательно добавлять по 10 ед. труда. Приросты произ-
водства будут составлять соответственно: 26; 24; 22; 20 ед. и т. д.
Предельные производительности также будут снижаться: 2,6; 2,4;
2,2 и т. д. Средняя же производительность труда (на 10 ед.) в ис-
ходной точке равна 19,9; затем она возрастает: 20,9; 21,0; 21,1
и только после этого начинает убывать: 21,0; 20,9 и т. д. Такое по-
ведение средней объясняется тем, что в исходной точке данного
ряда производственной функции производительность очень низка—
12,6 ед. продукта на 10 ед. труда.
Иначе изменяется средняя и предельная эффективность опреде-
ленного (i-ro) ресурса при увеличении затрат других ресурсов.
Как правило, выполняются соотношения:
__ df(X)
dxk xidxk
>0, i =/= k,
vik
l + k.
дх. dx.dx.
k I k
(5.10)
(5.П)
Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса k улучшает
условия применения ресурса i. Например, производительность
труда зависит не только от качества самого труда, но и от условий
приложения труда. В частности, производительность труда увели-
чивается при росте фондовооруженности.
Если в табл. 5.1 переходить от точки (80, 30) к сочетаниям
с большими затратами средств производства (сдвигаясь по строке
вправо), то средняя производительность труда (в расчете на 10 ед.)
с 19,9 будет увеличиваться: 21,7; 23,5; 25,0. Если же добавить
10 ед. труда, то прирост производства при прежних затратах средств
производства составит 26 ед., а при последовательно возрастающих
затратах второго ресурса — 44; 59; 73 ед.
Эквивалентная заменяемость ресурсов
Изменение выпуска продукции при небольших изменениях за-
трат нескольких ресурсов может быть приближенно выражено
полным дифференциалом dy= 2 vzdxz. Условия эквивалентной
взаимозаменяемости ресурсов в точке выводятся из фор-
мулы
2 vz(X°)dxz = 0. (5.12)
«ем
173
В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости ка-
ких-либо двух ресурсов k и I определяется формулой
Ум
dxk
dxl
\(х°) <0
v*(X«)
(5.13)
Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими
соответствует движение вдоль изокванты. Если затраты ресурса k
увеличиваются, то для сохранения объема производства на преж-
нем уровне затраты ресурса I, как правило, можно уменьшить.
Отсюда следует такое свойство изоквант: изокванты — есть убы-
вающие функции по отношению к каждой оси координат (т. е. они
имеют отрицательный наклон). Геометрически предельные нормы
эквивалентной заменяемости определяются положением плоско-
стей, касательных к изоквантам. В пространстве двух ресурсов
норма эквивалентной заменяемости — это тангенс угла между ка-
сательной к изокванте и соответствующей осью координат. На
рис. 5.1 нормы эквивалентной заменяемости второго ресурса по
отношению к первому в точках Alt Blt Сг равны тангенсам углов
Тл. У в, Ус-
Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквива-
лентной замены одинаковы, образуют в пространстве ресурсов
кривые, называемые изоклиналями. На рис. 5.1 изоклиналь I сое-
диняет точки Blt В2, Ва, а изоклиналь II — точки С2, С3.
Анализ закономерностей изменения предельных норм эквива-
лентной замены позволяет еще более конкретизировать форму изо-
квант. Для случая двух ресурсов это сделать достаточно просто.
Рассмотрим, к примеру, три сочетания затрат из табл. 5.1, при-
надлежащие одной изокванте Q = 273: А = (НО; 50), В = (130;
30), С = (150; 20). Первое увеличение затрат труда, на 20 ед.
высвобождает 20 ед. средств производства, второе увеличение
1 затрат труда на 20 ед. высвобождает только 10 ед. средств произ-
водства.
При увеличении использования ресурса I его предельная эф-
фективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ре-
сурса высвобождают все меньшее количество ресурса k. Таким
образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух
ресурсов уменьшается
ЛУм d / dxk \
dX[ dxt dx{ у
(5.14)
Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являются
графиками вогнутых функций (одной переменной относительно
другой).- Если эта особенность предельных норм эквивалентной за-
меняемости распространяется на множество всех т ресурсов, то
174
изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: множества
{X: / (X) > Q) выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадаю-
щие с осями координат1.
Эластичности производства
и взаимозаменяемости ресурсов
Для характеристики влияния каждого ресурса на рост произ-
водства, помимо показателей средней и предельной эффективности,
। используется также понятие эластичности выпуска от затрат раз-
личных ресурсов. Коэффициент эластичности 6, показывает отноше-
ние относительного прироста производства к относительному при-
1 росту затрат ресурса к
Ду
6(= Нт = (5:15)
Дх,->о Дх, ох, у •
В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная
функция от Х°. Например, если в точке Х° имеем 6,- = 0,02, то
I это значит, что при увеличении х, на k процентов у возрастает на 2k
процентов. Это утверждение будет справедливо, если k достаточно
( мало.
На рис. 5.3 изображены изокванты трех производственных функ-
ций, проходящие через одну точку (с координатами = и от-
личающиеся коэффициентами эластичности в этой точке. Изокванта
II с равными коэффициентами эластичности симметрична относи-
[ тельно биссектрисы положительногоортанта. Изокванта I (61>62)
имеет относительно меньший наклон к оси xlt а изокванта III (6х<
<62), наоборот, больший наклон к^рси xv
1 Множество называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми своими
* точками Х° и X1 целиком содержит и соединяющий их отрезок, т. е.
{X : X = (1—X) Х° + XX1, X-f [0, 1]}. Функция f (X), определенная
на выпуклом множестве, называется вогнутой, если для любых точек Х° и
X1 и для любого числа X £ [0, 1 ] справедливо неравенство: / [(1—X) Х° 4-
+ XX1] (1-X) f (Х») + X/ (X1).
В случае если f (X) дважды непрерывно дифференцируема, то необходимым
и достаточным условием ее вогнутости является отрицательная полуопре-
_ Р2Ж)1
деленность матрицы Гессе: п(Х)= ——- , т. е. квадра-
Ldxkdxi\kt 1=1...
тичная форма h (X) = хкХ[ 0. Одним из необходимых условий
dxkdxi
отрицательной полуопределенности.матрицы Н (X) для производственной
функции является выполнение неравенств V,,<0.
175
В экономических расчетах часто используются средние коэффициенты
эластичности, определяемые не для каждой точки №, а для некоторых ин-
тервалов изменения компонент вектора №. Такие коэффициенты соответст-
вуют формуле
(5.16)
У х
Например, по данным табл. 5.1 коэффициент эластичности по труду на от-
резке между точками (100; 20) и (ПО; 20) равен = 1,038; на отрезке
23 10
между точками (120; 40) и (130; 40) он равен ' j20 = 0,996.
РИС. 5.3.
Изокванты и коэффициенты эластичности
Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат
ресурсов в теории производственных функций применяется поня-
тие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эла-
стичности замены ресурсов характеризует отношение относи-
тельного изменения соотношения затрат ресурсов k и I к относи-
тельному изменению
мости этих ресурсов
предельной нормы эквивалентной заменяе-
xi . dhi xi .. xi
xi
176
Например, = 0,05 говорит о том, что для увеличения нормы
предельной заменяемости ресурсов ум на 1% необходимо увели-
чить соотношение затрат ресурсов k и I на 5%. Чем выше эластич-
ность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут
заменять друг друга. При бесконечной эластичности (ctw = + со)
не существует границ взаимозаменяемости ресурсов. Наоборот,
при нулевой эластичности (ст^ — 0) возможность замены отсутст-
вует. В этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обяза-
тельно должны использоваться в определенном комплекте (см. § 4).
РИС. 5.4.
Эластичность взаимозаменяемости ресурсов
На рис. 5.4 изображены изокванты с различными коэффициен-
тами эластичности замены двух ресурсов в интервале 0 ст оо.
Прямоугольная ломаная АВС является изоквантой , при ст = 0.
Сокращение одного ресурса нельзя компенсировать сколь угодно
большим увеличением другого ресурса. Три изокванты имеют по-
ложительные эластичности стх, ст2, ст3. При этом более выпуклые
к началу координат изокванты соответствуют меньшим коэффи-
циентам эластичности: стх<ст2<;ст3. Наконец, прямая АС пред-
ставляет собой изокванту с бесконечной эластичностью замены
ресурсов. Она выражается формулой аххх + а2х2 = Q, где ах
и а2 — положительные числа. Предельная норма замены ресурсов
на этой изокванте не меняется:
177
Некоторые задачи оптимального использования
взаимозаменяемых ресурсов
Рассмотрим несколько типовых задач планирования производ-
ства и распределения ресурсов, для решения которых применяются
производственные функции и связанные с ними экономические по-
казатели. При этом главной целью нашего анализа будет опреде-
ление свойств оптимальных решений и принципов рационального
хозяйствования.
Математический анализ рассматриваемых ниже задач опирается
в основном на теорему Куна — Таккера для нелинейного про-
граммирования (см. приложение к главе 4). Для экономической
интерпретации математических свойств используются результаты
§ 3 главы 4.
Максимизация прибыли при заданных ценах на продукцию и ре-
сурсы. Производится один продукт, имеющйй цену р0. Задан век-
тор цен затрачиваемых ресурсов Р = (р^. Условия задачи;
л = [р0/ (X) —РХ] -> max;
Х>0. (5.18)
Максимум прибыли ограничен, ‘если объем производства растет
медленнее затрат. (В § 3 будет показано, что такому условию от-
вечают однородные функции, имеющие показатель степени меньше
единицы.) В частности, необходимо (но недостаточно), чтобы пре-
дельная эффективность ресурса уменьшалась при увеличении ис-
пользования этого же ресурса (vzi<0).
Необходимыми условиями максимума л являются:
p0Vi (X*) < pc, i£M;
= Д ПРИ <>°- . (5.19)
В точке оптимума X* предельная эффективность каждого ис-
пользуемого ресурса в ценностном выражении обязательно
равна цене данного ресурса.
Условия (5.19) можно записать иначе:
р, , V, (X*) р,
—-i— = p0 = const или -±—- = -Д (5.20)
\(Х*) vA(X*) Pk ’
т. е. в точке оптимума для всех используемых ресурсов отношение
цены к предельной эффективности одинаково, а соотношения пре-
дельных эффективностей ресурсов (или нормы их эквивалентной
заменяемости) равны соотношениям цен этих "ресурсов.
Следует подчеркнуть, что выведенные свойства оптимального
плана не имеют универсального значения. Они применимы только
тогда, когда эффективность использования ресурсов при увеличе-
нии масштаба производства уменьшается. Но если ситуация именно
такова, то нахождение оптимального плана использования ресур-
178
сов X* и производства у* можно интерпретировать как процесс
выравнивания соотношений цен и предельных эффективностей по
всем ресурсам.
Минимизация общих затрат (максимизация прибыли) на про-
изводство заданных объемов продукции. Рассмотрим сначала про-
стейший случай,' когда производится один продукт:
Х>0;
РХ -> min. (5.21)
Очевидно, решение сформулированной задачи всегда сущест-
вует. В соответствии с теоремой Куна—Таккера в точке оптимума
(X*, v*) должны выполняться условия:
Pi>v*Vi(X*)-,
p. = v*v.(X*) при х*>0. (5.22)
Если / (X) Q — выпуклое множество, то приведенные усло-
вия оптимума являются и достаточными.
Величина о* есть оптимальная оценка продукта. Она характе-
ризует минимальный прирост общих затрат при увеличении про-
изводства на «малую единицу». В силу рассмотренных выше свойств
производственных функций (и изоквант) и*>0 и f (X*) = Q.
Вместо (5.22) можем записать
Pi * vi Pi
v.(X*) vA(X*) Pk
т. e. при оптимальных объемах использования ресурсов отношения
цен к предельным эффективностям являются равными для всех
ресурсов, а -нормы эквивалентной заменяемости ресурсов равны
отношению цен на эти ресурсы.
Изменим постановку задачи: вместо минимизации общих за-
трат будем стремиться к максимизации прибыли: л =
== (p0Q—РХ) -> max. Так как p0Q = const, a max (— РХ) =
— min РХ, то изменение критерия не оказывает на решение ни-
какого влияния.
Перейдем к анализу общего случая, когда производится не-
сколько видов продукции:
fy(X)>Q/; /£ЛГ;
Ху>0;
Р(2 ХЛ->тш. (5.23)
/
Дополнительные обозначения! xit — затраты ресурса i на про-
изводство продукта /, X; = S xiy О/ —оценка продукта /; vl} —
i^N
предельная эффективность ресурса i по производству продукта /.
179
Необходимые условия оптимума:
Pi^tyuw) ПРИ </>°- (5.24)
Если fj (Xj) Qj — выпуклые множества, то необходимые ус-
ловия являются одновременно и достаточными.
Равенства (5.24) говорят о том, что при оптимальном распреде-
лении ресурсов между различными производствами предельная
эффективность ресурса в ценностном выражении по каждому про-
дукту равна цене этого ресурса.
Из (5.24) следует также, что ——г ~v* т. е. по каждому про-
дукту отношения цены и предельной эффективности должны быть
равны для всех используемых ресурсов. Кроме того, поскольку
v*v*. = const, отношения предельных эффективностей одноимен-
ного ресурса по разным продуктам обратно пропорциональны оп-
тимальным оценкам этих продуктов:
Максимизация общего выпуска Продукции при ограниченных
ресурсах. Требуется максимизировать валовой выпуск продукции
в фиксированных ценах Р при имеющихся ресурсах rz:
KN
(5.25)
2 PjfjiXj) max.
KN
Обозначим оценки ресурсов ш,-. Тогда необходимыми условиями
оптимума будут
Plvy<wr i£N’
PjVy = ™* при Ху>0. (5.26)
Если функции fj (Xj) являются вогнутыми, то необходимые ус-
ловия оптимума будут одновременно и достаточными.
При оптимальном распределении ресурсов предельные эффек-
тивности ресурсов в ценностном выражении для всех производи-
мых продуктов равны оптимальным оценкам ресурсов. Из (5.26)
вытекает также, что для всех используемых ресурсов отношение
оптимальной оценки ресурса к его предельной эффективности равно
wi
цене соответствующего продукта: -г- = р>. Кроме того, отноше-
VU
180
ния предельных эффективностей одного и того же ресурса равны
обратному соотношению цен продуктов, например,
Минимизация затрат труда на производство заданных объемов
продукции. Из множества ресурсов М выделим ресурсы труда и
обозначим их t. Модель формулируется следующим образом:
i£M;
KN
Kj > 0;
2^,- —min. (5.27)
KN
Модель (5.27) близка общей модели народного хозяйства (4.33).
В отличие от рассматривавшихся выше задач с производственными
функциями здесь не вводятся априорные цены продуктов и ресур-
сов. Из модели (5.27) определяются оптимальные оценки всех ре-
сурсов (кроме труда) и продуктов. Оценки w{ характеризуют эко-
номию затрат труда при увеличении ресурса i на «малую единицу»;
оценки продуктов Vj характеризуют увеличение затрат труда при
увеличении производства продукта / на «малую единицу».
Необходимыми условиями оптимума являются:
^*<1; (5.28)
vj;.v* = 1 при х*у>0;
i^M-, j£N; (5.29)
= при x*.>0.
Если функции fj (Ху) вогнуты, то эти необходимые условия
являются й достаточными.
Из (5.28) следует, что по каждому производимому продукту
предельная эффективность труда должна быть обратно пропор-
циональна оптимальной оценке продукта:
Из (5.29) следует вывод о необходимости такого распределения
ресурсов между разными производствами, чтобы предельные эф-
фективности ресурсов были равны отношениям оптимальных оце-
нок ресурсов и продуктов:
181
Из рассмотренных задач можно сделать общий вывод о том, что
предельные эффективности ресурсов могут служить полезным ин-
струментом рационального хозяйствования. При решении ряда
задач распределения взаимозаменяемых ресурсов достижение оп-
тимума возможно путем сопоставления и выравнивания предель-
ных эффективностей ресурсов по отношению к заданным ценам или
оптимальным оценкам ресурсов и продуктов.
§ 3. АНАЛИЗ ТИПОВЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ С ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫМИ РЕСУРСАМИ
Однородные производственные функции
В теоретических и прикладных экономических исследованиях
чаще всего используют однородные функции, удобные для содержа-
тельной интерпретации и вычислений. Функция у = f (X) назы-
вается однородной n-й степени, если выполняется следующее
соотношение:
(5.30)
Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в А раз
объем производства возрастает в Кп раз. Показатель степени одно-
родности п характеризует изменение эффективности производства
с увеличением производственных затрат (влияние масштаба про-
изводства).
Теоретически возможны три случая: 1) эффективность остается
постоянной (п = 1); 2) эффективность снижается (п<1); 3) эффек-
тивность возрастает (п>1). В условиях неизменной технологии
производства (при данном научно-техническом уровне) в различ-
ных отраслях народного хозяйства имеют место все три ситуации.
Как это ни парадоксально, снижение эффективности производ-
ства при увеличении его объема есть следствие рационального ве-
дения хозяйства. Для производства в первую очередь используются
наиболее благоприятные возможности. По мере же увеличения
производства приходится использовать все менее эффективные
ресурсы и технологические процессы (бедные месторождения, ста-
рое оборудование и т. п.). Однако в некоторых отраслях, особенно
в обрабатывающей промышленности, увеличение производства
(точнее, его концентрация на определенных предприятиях) позво-
ляет увеличить эффективность использования ресурсов за счет
экономии на общих расходах, мало зависящих от объема произ-
водства, более полного использования основных фондов.и т. п.
В целом по народному хозяйству положительные и отрицательные
влияния роста производства на эффективность использования ре-
сурсов при неизменном научно-техническом уровне в значительной
мере погашают Друг друга. Поэтому в пределах краткого времени
величина п для народного хозяйства в целом близка единице.
182
Если однородные производственные функции f\ и /2 удовлетво-
ряют соотношению (X) = [f2 (X)], то они имеют одно и то же
семейство изоквант, но для функций с большим показателем степени
п изокванты сдвинуты к началу координат.
Для однородных функций справедлива формула Эйлера
= . (5.31)
Разделив обе части уравнения (5.31) на у, получим
S'sr'v-'-- <5-32>
м
Выражение -у- есть коэффициент эластичности 6,
(см. 5.15). Поэтому п равно сумме коэффициентов эластичности
выпуска по затрачиваемым ресурсам.
Проанализируем подробнее экономический смысл формул (5.31)
и (5.32) при п = 1:
<5'33)
i ем
(5.34)
i ем
.. ди , .
Поскольку —-------это предельная эффективность единицы ре-
дх^
ди ' „
сурса I, то можно интерпретировать как общий объем про-
дукции, произведенной за счет ресурса i. Весь объем производства
у как бы складывается из частей (или разлагается на части), про-
изведенных за счет использования каждого ресурса в отдельности.
Выражение (5.34) показывает, что каждая единица произведенной
продукции как бы складывается из частей (или разлагается на ча-
сти), произведенных каждым ресурсом в отдельности. Оно пока-
зывает также, что сумма коэффициентов эластичности однород-
ной производственной функции первой степени равна единице. Из
этого, в свою очередь, следует, что если все коэффициенты эластич-
ности неотрицательны (<5(- > 0), то ни один из них не может быть
больше единицы (<5Z < 1).
Изложенные экономические интерпретации выражений (5.33)
и (5.34) имеют сугубо условный характер. Нельзя забывать, что
на самом деле продукция может создаваться только путем сочета-
ния ресурсов. И если какой-либо ресурс s абсолютно необходим
для производства (из xs = 0 следует у = 0), то никакие затраты
других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Кон-
183
структивное значение показателей предельной эффективности за-
ключается не в том, что они определяют роль каждого ресурса,
а в том, что они позволяют изучать влияние изменения затрат раз-
личных ресурсов на изменение объемов производства.
Однако в буржуазной экономической науке интерпретациям
формул (5.33) и (5.34) придается исключительно большое значение.
Эти формулы используются в теории «трех факторов производства»
и теории «вменения» для объяснения процесса создания стоимости
(вменение капиталу, труду, земле соответствующих частей стои-
мости) и теоретического обоснования принципа распределения
создаваемой стоимости на заработную плату, прибыль, ренту (в со-
ответствии с предельными продуктами труда, капитала, земли).
Необходимо поэтому отделять анализ, производственных функций
как инструмента изучения технико-экономических условий про-
изводства от попыток использования производственных функций
в теориях стоимости и распределения доходов.
Степенная производственная функция
Широкое применение в теоретических и прикладных экономиче-
ских исследованиях имеет функция вида
у = а П х^. (5.35)
I
Такая функция обладает многими достоинствами: включает не-
большое число имеющих явный экономический смысл параметров,
имеет производные высших порядков, в большинстве случаев удов-
летворительно выравнивает эмпирические данные, весьма удобна
для оценки параметров (в частности благодаря тому, что является
линейной относительно логарифмов: log с/= log а + S aJogxA.
Эта функция включает только, безусловно, необходимые ресурсы.
Если какой-либо xs = 0, то у — 0.
Параметр а интерпретируется как показатель общей эффектив-
ности ресурсов. Основные показатели использования ресурсов,
соответствующие этой функции, имеют аналитическую форму:
^~ах13~ П xai — средняя эффективность ресурса s;
I
vs = aasxss П xi‘— “s^s — предельная эффективность ресурса s;
СС/Хь „
ykl — ——----предельная норма эквивалентной за-
сад
мены ресурсов;
= а(— коэффициенты эластичности производ-
ства по ресурсу i;
<ты = 1 — коэффициент эластичности замены
ресурсов.
184
Из уравнения нормы эквивалентной замены следует, что изо-
клиналь степенной производственной функции — линейная функ-
ция: при vki = — Сь, = const имеем =сы или —
akxt xi at
Вторые частные -производные по ресурсам, характеризующие
изменение предельной эффективности ресурсов в зависимости от
объемов затрат, определяются по формулам:
v = аа, (а — 1) х®« 2 П х“<;
SS S \ S ) S . - I ’
vkl
dxk dxi
aakalxkk xi‘ .^Xl‘-
i + k, l
Очевидно, vss<0, когда as (as—1)<0 (в частности, когда
0<as<l). Величины vkt положительны при положительных зна-
чениях ak и az.
Частным случаем (5.35) является функция первой степени (для
которой У; 0^=1 и аг>0). Коэффициенты эластичности такой
степенной функции 6t — at определяют условное разложение
объема производства на части, создаваемые за счет использования
каждого ресурса в отдельности.
В макроэкономических исследованиях производственная функ-
ция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом (США)
в 20-х годах XX в. для изучения связей между общим объемом об-
щественного продукта (национального дохода) и двумя важней-
шими факторами, производства — рабочей силой и основными про-
изводственными фондами. Построенная ими производственная функ-
ция, получившая впоследствии название функции Кобба—Дугласа,
имела вид
y = aLaLCac, (5.36)
где L — затраты труда (labor), С — затраты производственных
фондов или «капитала» (capital); при этом aL + ас = 1.
Данные о соотношениях между выпуском продукции и затра-
тами труда и средств производства, приведенные в табл. 5.1, удов-
летворяют формуле, очень близкой к (5.36):
у = 4,595L0,330(C—4О)0,660—0,075.
При этом слагаемое 0,075 объясняется ошибками округления1.
Макроэкономические производственные функции применяются
как инструмент прогнозирования объемов валового общественного
продукта, конечного продукта и национального дохода, для ана-
лиза сравнительной эффективности основных факторов экономи-
ческого роста.
Оценка параметров функции проведена В. И. Сусловым. .
185
На современном этапе важнейшим условием роста произ-
водства и производительности труда является увеличение фон-
довооруженности труда. Так, при условии aL + ас = 1 из
(5.36) получаем следующее соотношение между производитель-
(5.37)
Поскольку имеем 0<ас<1, то производительность труда ра-
стет медленнее фондовооруженности. Этот вывод (как и многие
результаты анализа, проводимого на основе рассматриваемых про-
изводственных функций) всегда справедлив только для статиче-
ского случая, т. е. в рамках существующих технических условий
и качественных характеристик используемых ресурсов.
Параметры макроэкономических производственных функций
обычно определяются путем обработки динамических рядов и по-
этому отражают влияние научно-технического прогресса и других
факторов интенсификации общественного производства. По этой
причине сумма коэффициентов эластичности (степень однородности)
в построенных производственных функциях, как правило, больше
единицы.
Одна из первых макроэкономических функций для народного
хозяйства СССР была построена Б. Н. Михалевским и Ю. П. Со-
ловьевым1. Приведем эту функцию в логарифмической форме:
= -0,5242194-1,11111 (0,54118 lgZ.f +
+ 0,33398 lg Ct + 0,12484 1g Rt + 0,005179/). (5.38)
Здесь у — конечный продукт в сопоставимых ценах; L—число
отработанных человеко-часов с учетом квалификации; С—про-
изводственные фонды в постоянных ценах с учетом материализо-
ванного технического прогресса; R — стоимость используемой
земли; t—год.
Функция (5.38) определяет зависимость конечного продукта
от затрат трех видов агрегированных ресурсов. Она включает также
временную компоненту, что формально позволяет использовать
ее для среднесрочных и долгосрочных прогнозов. Сумма показа-
телей степеней при L, С, R равна 1. Коэффициент п — 1,11111 ин-
терпретируется как средний показатель эффективности увеличе-
ния масштаба производства.
Двухфакторная функция производимого конечного продукта
построена А. И. Анчишкиным по данным за 1951—1970 гг.2
z/z — l,052L/1,2228C°’6431 .
(5.39)
1 См. Михалевский Б. Н., Соловьев Ю. П. Производственная
функция народного хозяйства СССР в 1951 —1963 гг.— «Экономика и ма-
тематические методы», 1966, т. II, вып. 6.
2 См. Анчишкин А. И. Прогнозирование роста социалистической
экономики. М., «Экономика», 1973, глава X.
186
Данная функция отражает не только условия взаимозаменяе-
мости ресурсов для производства конечного продукта в определен-
ном году, но и долговременные тенденции роста эффективности
использования труда и основных фондов. Если отделить влияние
среднегодовых темпов прироста эффективности затрат труда (XL =
,= 0,5674) и основных фондов (Хс = 0,2985), то коэффициенты эла-
стичности конечного продукта по труду и основным фондам соста-
вят соответственно 0,6553 и 0,3447.
Функции с постоянной эластичностью замены
В последние годы во многих исследованиях стала широко при-
меняться производственная функция с постоянной эластичностью
замены ресурсов (функция ПЭЗ). Ее общий вид
п
* * /
(5.40)
Функция (5.40) является однородной функцией степени п. Она
получается решением дифференциального уравнения о = const,
где ст определяется формулой (5.18). В функции ПЭЗ все эластич-
ности замены ресурсов <jkl равны между собой: аы = о, при этом
1 1 — ст
о = ----- или р =-------.
1 + р о
Если р>0, it) 0<о<1; если же — 1<р<0, то ст>1. При
ст == 1 (или р = 0) функция ПЭЗ преобразуется в степенную про-
изводственную функцию (5.35). Иными словами, рассматривавшиеся
выше степенные производственные функции (в том числе макро-
экономическая функция Кобба—Дугласа) являются частным слу-
чаем функции ПЭЗ.
В § 2 уже отмечалось, что величина о определяет форму изо-
квант. Если ст -» + оо (р — 1), то форма изоквант приближа-
ется к линейной. Если жест -> 0 (р -> + со), то форма изоквант
приближается к прямоугольной (см. рис. 5.4).
Рассмотрим макроэкономическую двухфакторную функцию ПЭЗ
п
у= a0(a,iL, V-YacC р) е • (5.41)
Экспериментальные исследования показывают, что для народ-
ного хозяйства характерны значения р>0 и, следовательно,
0<ст<1. Функцию (5.41) можно представить в виде
(5.42)
/ Г , 1 \р
лр + ас ср J
187
Из анализа этой функции при р>0 следует, что она имеет ряд об-
щих свойств с функцией Кобба — Дугласа. В частности, limу = 0
L-0
и lim у = 0, изокванты имеют асимптоты в положительном ортанте.
с^о
Однако в отличие от функции Кобба—Дугласа функция ПЭЗ имеет
предел при неограниченном увеличении L или С.
Американским экономистом М. Вейтцманом на основе статисти-
ческих данных о развитии промышленности СССР получена сле-
дующая функция ПЭЗ1:
yt= 0,7876e°'0205Z (0,36£Г1Л812 + 0,64СГи812)-1:4812.
Это — функция первой степени, о = 0,403. Коэффициент 0,0205
характеризует рост эффективности производства в единицу вре-
мени («автономный» рост, не зависящий от увеличения затрат труда
и фондов), за счет этого среднегодовой прирост производства со-
ставляет около 2%.
Наряду с функциями, обладающими специфическими свойст-
вами (постоянные коэффициенты эластичности, постоянная эластич-
ность замены ресурсов и т. п.), в экономическом анализе и прогно-
зировании применяются и функции более общего вида. В качестве
примера приведем макроэкономическую функцию национального
дохода, предложенную Б. Г. Серебряковым и Н. Л. Эфросом:
y^y^2CaLl~a.
Эта функция отличается от функции Кобба—Дугласа множи-
телем е112, где г — фондовооруженность труда = Она имеет
переменные коэффициенты эластичности национального дохода по
факторам: рс= а + pz, 6L = 1—бс. По статистическим данным за
1959—1968 гг. для СССР получены следующие значения парамет-
ров2: i/o == 43,71, р, = 0,0045, а = 0,0847. Отсюда бс = 0,0847 +
+ 0,0045 г, бд = 0,9153—0,0045 г.
§ 4. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
С~ВЗАИМОДОПОЛНЯЕМЫМИ РЕСУРСАМИ
И ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАТРАТ
В современном производстве реальные возможности замещения
ресурсов могут быть ограничены жесткими технологическими свя-
зями. Наблюдаемые же изменения в структуре используемых ре-
1 The American Economic Review, 1970, v. 60, № 4.
’Серебряков Б. Г., Эфрос Н. Л. Народнохозяйственные про-
изводственные функции и некоторые вопросы экономической динамики.—
В сб.: Применение математики в экономике. Вып. 7. Л., Изд-во ЛГУ,
1972.
188
сурсов могут объясняться не столько замещением ресурсов в рам-
ках одной и той же технологии производства, сколько изменением
самих технологий или сочетанием различных жестких технологий.
В предельном случае при нулевой эластичности замены ресурсов
> мы получаем, производственную функцию с взаимодополняемыми
i; ресурсами. <
Основные понятия
(ЬАЗ)
РИС. 5.5.
Изокванты взаимодополняе-
мых ресурсов (постоянные
соотношения затрат)
Производственная функция с взаимодополняемыми ресурсами
может быть выражена следующим образом:
z/ = min/s(xs).
sfA-I
Здесь fs (xs) — объем производства, который может быть получен
при использовании ресурса s в количестве xs при условии, что дру-
гие ресурсы имеются в достаточном
количестве. Максимальный объем про-
изводства определяется узким местом,
. т. е. количеством такого ресурса,
который обеспечивает наименьший
объем производства.
Изокванты функции (5.43) в про-
странстве двух ресурсов представ-
; ляют собой прямые углы (см. рис.
F 5.5, 5.6). Их расположение опреде-
ляется тем, при каких минимальных
затратах ресурсов достигаются опре-
р деленные объемы производства. Кри-
>• -вые ОЛ^АаДд характеризуют мини-
I мальные затраты ресурсов, обеспечи-
f вающие различные объемы произ-
? водства. Эти кривые отображают
векторные функции X — Ф (у). Все
точки изоквант, не лежащие на кри-
вых ОД^аДз, являются неэффективными комбинациями затрачи-
Г ваемых ресурсов при любых разумных критериях эффективности.
От функций (5.43) можно перейти к семейству «обратных» функ-
ций, характеризующих зависимости затрат от объемов производ-
ства, т. е. к функциям производственных затрат:
= Ш (5.44)
<ps (у) — это минимальное количество ресурса s, .которое нужно
затратить для выпуска продукта в количестве у.
Для анализа функций производственных затрат (5.44) введем
новые понятия: gs — средние затраты ресурса s, hs — предельные
затраты ресурса s. Средние затраты рассчитываются по формуле
gs — —. Предельные затраты hs характеризуют прирост затрат
У '
189
ресурса s при увеличении выпуска продукции на «малую единицу»
dy
Величины общих, средних и предельных затрат могут вычис-
ляться в стоимостном выражении (калькуляции затрат) с исполь-
зованием постоянных или переменных цен. Обозначим эти затраты
соответственно и, g, h. При этом и = <р(//); g = —; h=-^~. Со-
У dy
отношения различных показателей затрат будем анализировать
РИС. 5.6.
Изокванты взаимодополняемых ресурсов (изменяющиеся соотношения
затрат)
в стоимостном выражении. Получаемые выводы полностью приме-
нимы и для анализа затрат отдельных видов ресурсов.
При у = 1 общие затраты всегда равны средним: и (1) — g (1).
Общие затраты являются суммой всех предельных затрат: и (у) =
и
— \h.(y)dy. Соотношения между средними и предельными за-
о
тратами зависят от свойств функции и = <р (у).
Функцию и можно представить в виде и = gy. Тогда h = =
, dy
= g-[--^~. При этом знак производной характеризует изме-
ну dy -
нение средних затрат. Если -^->0, то средние затраты возрас-
ту
тают; если -^-<0, то они снижаются; если -^- = 0, то средние
dy dy ,
затраты остаются постоянными. Отсюда вытекают следующие со-
отношения:'
190
средние затраты возрастают, когда предельные затраты выше
средних ,
dy
средние затраты снижаются, когда предельные затраты ниже
средних
-®- = А_г<0;
dy
средние затраты остаются постоянными, если они равны пре-
дельным затратам
= g = 0.
dy
Пусть р — цена рассматриваемого вида продукции. Тогда
г = ру — валовая продукция (объем произведенной продукции
в стоимостном выражении), а л = (г—и) — прибыль. Отметим два
соотношения. При у = 1 всегда z = р. Равенство z и и (или л = 0)
достигается тогда, когда g = р1.
Главная задача хозрасчета в сфере производства состоит в со-
поставлении величин z и и. Такая задача возникает на любом уровне
народного хозяйства (см. § 3 главы 4). Отдельные хозяйственные
звенья заинтересованы устанавливать такие объемы производства,
чтобы увеличить прибыль.
Здесь возможны две основные ситуации: 1) максимум л ограни-
чен и существует оптимальный объем производства у*', 2) максимум
л неограничен и у* не существует (при увеличении производства
прибыль неограниченно возрастает).
Если максимум функции л = [z (у) — и (у) ] существует, то
необходимым условием его достижения является равенство нулю
„ dz(y*) duly*) п
производной, т. е. —---------= 0. Отсюда следует, что опти-
di/ dy
мальный объем производства достигается только при равенстве
dz (w *)
предельных затрат предельной валовой продукции: h (w*)= —.
dy
При заданных ценах необходимое условие оптимума
dy
упрощается: h (у*) = р°.
Анализ типовых функций производственных
затрат
Наиболее простой функцией затрат является линейная однород-
ная функция, характеризующая производственные процессы с по-
стоянной эффективностью затрат:
и = ау, а>0. (5.45)
1 Так как г — ру, а и = gy, то г = и возможно только при g = р.
191
Средние и предельные затраты постоянны и равны между со-
бой: g — h = а. При фиксированной цене р>а каждая единица
продукции обеспечивает постоянную доходность: л = (р—а) у.
Поэтому оптимальный объем производства неограничен сверху
(см. рис. 5.7).
Линейная неоднородная функция включает две части затрат —
пропорционально зависящие от объема производства и не завися-
щие от объема производства:
и = ау 4- Ь,
(5.46)
где а>0 и 6>01.
Средние затраты g = a-f- — являются убывающей нелиней-
ной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к
РИС. 5.7.
постоянным предельным затратам k = а.
Необходимым условием рентабель-
ности является pZ>a. Из уравнения л =
= (р—а) у—b следует, что прибыль
„ b
становится нулевой при у —-----и да-
р —а
лее неограниченно возрастает при увели-
чении у. На рис. 5.8 видно, что значе-
ь
нию у =-----соответствуют две харак-
Р — а
терные точки: А х — пересечение функций
г и и; Л 2 — пересечение gup.
Нелинейная функция возрастающей
эффективности затрат отражает поло-
жительный экономический эффект кон-
центрации производства во многих от-
раслях:
Линейная однородная
Функция (постоянная эф-
ективность затрат)
н = ф1(г/),
(5-47)
d2<Pi
где ——
Ф/2
Рассмотрим рис. 5.9. Средние и предельные затраты — убываю-
щие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних.
С ростом объема производства (от у = 0) общие затраты сначала
превышают выручку. При у = ув средние затраты уменьшаются
до уровня цены (точка В2) и достигается равенство функций z и и
(точка Вх). Обратим внимание на точку А, в которой (при у = уА)
уменьшающиеся предельные затраты уравниваются с ценой. Каж-
дая последующая производимая единица продукции дает прибыль.
Поэтому если продукция в количестве уА уже произведена, то вы-
годно увеличить объем производства. Убыток на отрезке [0, уА ]
равен получаемой прибыли на отрезке [уА, ув].
1 Соотношение &<0 имеет смысл, когда (5.46) является линейной аппрокси-
мацией более сложной нелинейной функции.
192 '
Отметим некоторые общие свойства функций затрат (5.45)’
(5.46); (5.47) с точки зрения принципов хозрасчета и планирования
производства.
. Хозрасчетные производственные звенья, максимизирующие при-
быль, не могут установить оптимальные объемы производства, если
они ориентируются только на централизованно устанавливаемые
цены. Требуется, помимо плановых цен, применять другие сред-
ства планомерного регулирования (устанавливать Прямые задания
по объемам производства, лимиты используемых ресурсов и т. д.).
РИС. 5.8.
Линейная неоднородная функция затрат
Действительно, если затраты хозрасчетного звена описываются
функцией (5.45), то при р>а оно будет стремиться максимально _
увеличивать объем производства. Если же р = а, то с точки зрения
прибыльности ему будет безразлично, какой выбрать объем произ-
водства.
Имея функции затрат (5.46) или (5.47), хозрасчетное звено
будет стремиться как можно больше производить продукции сверх
ь
того критического минимума (точка = на рис. 5.8 и точка
У~Ув на рис. 5.9), когда средние затраты уравниваются с це-
ной. Чтобы экономически заинтересовать хозяйственное звено
7 А. Г. Гранберг 193
РИС. 5.9.
Нелинейная функция возрастающей
эффективности затрат
производить ниже критического объема (если это соответствует пот-
ребностям народного хозяйства), необходимо вводить дотации. В
частности, для предприятий (объединений) с функцией (5.46) раз-
мер дотации может быть равен Ь, а для хозрасчетного звена с функ-
цией (5.47) дотация должна возместить убыток на отрезке [0, уА].
Нелинейная функция падающей эффективности затрат харак-
терна для ряда отраслей и предприятий, деятельность которых тесно
связана с использованием
природных ресурсов:
и = Ч>г(.У), (5-48)
где -^>0.
dy2
Для увеличения добычи
минерального сырья, напри-
мер, часто приходится пере-
ходить к эксплуатации место-
рождений, шахт, рудников
с более сложными гор но-гео-
логическими условиями или
с более бедным содержанием
полезных компонентов.
Проанализируем рис. 5.10.
Общие затраты растут бы-
стрее общей выручки. Сред-
ние и предельные затраты
увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. При
у = уА предельные затраты сравниваются с ценой (точка Д)
и дальнейшее увеличение производства становится невыгодным,
так как каждая последующая единица продукции дает всевозра-
стающий убыток. При у = ув общая прибыль становится равной
нулю.
Таким образом, оптимальный для хозрасчетного звена план
производства у* = уА определяется путем сопоставления предель-
ных затрат и цены. Меняя цену, планирующий орган может одно-
значно влиять на выбор объема производства.
Функции переменной эффективности затрат отражают часто
встречающиеся в хозяйственной практике такие'зависимости ме-
жду затратами и выпуском продукции, которые объединяют при-
знаки рассмотренных выше функций (5.45) — (5.48). Например,
довольно типична такая ситуация: при увеличении производства
эффективность затрат вначале возрастает (положительный эффект
концентрации производства), но по достижении некоторого уровня
производства эффективность начинает снижаться (из-за сложности
управления, ухудшения условий производства, роста транспортных
затрат и т. д.).-
194
Нелинейная функция падающей эффективности
затрат
РПС. 5.11,
Функция переменной эффективности затрат
7*
Функция, изображенная на рис. 5.11, имеет два качественно
различных участка. На отрезке [0, ус ] она ведет себя так же, как
(5.47), а при дальнейшем увеличении у она сходна с (5.48).
Сх — точка перегиба.
Средние и предельные затраты сначала уменьшаются (средние
выше предельных), а затем увеличиваются (сначала предельные,
а затем средние). Минимум предельных затрат Сг и точка перегиба
Сх функции и соответствуют одному и тому же объему производ-
ства ус. Пересечение кривых g и h соответствует минимуму сред-
них затрат (точка D).
Производство вначале убыточно. При у = уА предельные за-
траты уравниваются с ценой (точка Л) и последующий прирост
производства в интервале (уА, уЕ) дает прибыль. При у = ув
достигается равенство общих затрат и выручки (точка Вх).
На интервале (ув, yF) весь объем производимой продукции
обеспечивает положительную прибыль. При у = уЕ растущие
предельные затраты снова уравниваются с ценой; уЕ — опти-
мальный объем производства.
§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ
ФУНКЦИЯМИ С ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫМИ РЕСУРСАМИ
И ФУНКЦИЯМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАТРАТ
В § 4 было показано, что функции производственных затрат
являются обратными по отношению к производственным функ-
циям с взаимодополняемыми ресурсами. Производственные функ-
ции с взаимозаменяемыми ресурсами и функции производственных
затрат отражают, следовательно, противоположные принципы
сочетания ресурсов в производственных процессах;, они порож-
дают существенно разные системы экономических показателей.
Поэтому может 'создаться впечатление, что между производ-
ственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функ-
циями производственных затрат нет ничего общего. Однако это
не так.
Из анализа производственных функций с взаимозаменяемыми
ресурсами (см. § 2)-было выведено понятие изоклинали (кривой
в пространстве ресурсов с одинаковыми нормами эквивалентной
замены yw). Каждая изоклиналь ф задается уравнением, описыва-
ющим условия постоянства соотношений предельной эффектив-
ности каждой пары ресурсов. Поэтому взаимозаменяемость ресур-
сов в производстве можно представить как переход от одной изо-
клинали к другой.
Сначала рассмотрим это на примере макроэкономической про-
изводственной функции Кобба—Дугласа (5.36).
Изоклиналь данной производственной функции определяется
. ду ду
уравнением —— = ¥$, где — значение нормы эквивалент-
QL дС *
196
ной замены двух ресурсов. Поскольку =aaLaL 'сас и
-Z- = aacL С , то получаем
дС
(5-«>
Таким образом, геометрически изоклиналь функции Кобба—
Дугласа — это луч, исходящий из начала координат. В каждой
точке этого луча соотношение используемых ресурсов одинаково.
Разным соотношениям используемых ресурсов при меняющихся
объемах производства соответствуют разные лучи. Изоклинали
определяются линейными уравнениями (5.49). с разными коэффи-
циентами уф. На рис. 5.12 изображены изоклинали 0Др42, ОВХВ2
и т. д., пересекающие изокванты и Q2.
Обозначим как уф, £ф, Сф объемы производства и затрат, соот-
ветствующие соотношению ресурсов (изоклинали) ф. Вместо (5.49)
можем записать:
(5.50)
“Л
= (5.51)
ь
Л!' .'ч-нн г 5 •* • «! ’ ,г
Подставим выражения (5.50) и (5.51) в основное уравнение про-
изводственной функции (5.36). Если узким местом является труд,
то
z/ф = aLa<- ( —Гс = а (.
\ «L ) V “Ь /
Если же объем производства лимитируется только основными фон-
дами, то
у*. —а = а
ф \ «<Л У ) -
При сбалансированности ресурсов оба эти равенства должны вы-
полняться одновременно.
Пусть \
1 1
--- —;--г-----= Одл И — --------------— аС11).
а / «М» Ус 1₽ /
\ aL ) \ Mt У
Учитывая, что aL + ас = п (степень однородности производствен-
ной функции), получаем производственную функцию с взаимодо-
полняемыми ресурсами, соответствующую ф-му соотношению ре-
сурсов:
^ = т1п(-У-4; -i-ay (5.52)
\ UL^ °Сф I
197
От (5.52) можем теперь перейти к функциям производственных
затрат:
1 1
Г п п ij п <
" и1лр »
1 1
. = ас\У^‘ (5.53)
Если некоторые количества продукции у^ производятся при
разных соотношениях затрат уф, то общий объем производства
О
РИС. 5.12.
составит, очевидно, у —
k
"'= Уф- Меняя уф, полу-
Ф=1
чаем различные соотноше-
ния затрачиваемых ресур-
сов. Общие объемы затра-
чиваемых ресурсов при
различных у.ф приближенно
равны суммам:
k 1 1
J — У, пп ип
к
И £ = аСф^ф" •
ф = 1
При ’этом, чем больше
чисдо k,'тем точнее полу-
чается результат. Поясним
это с помощью рис. 5.12.
Точки Alt Bi, Ci, Di
характеризуют количества
затрачиваемых ресурсов для получения одного и тогсГ же объема
производства. Соединив эти точки прямыми, получаем ломаную
AiBiCiDi- Эта ломаная аппроксимирует соответствующую изо-
кванту функции Кобба—Дугласа. Чем больше проведено изокли-
налей (базовых соотношений затрачиваемых ресурсов), тем лучше
ломаная аппроксимирует изокванту. При /г = оо ломаная слива-
ется с изоквантой.
Наибольший интерес для последующего анализа представляют
однородные производственные функции первой степени с я = 1.
Тогда вместо (5.53) имеем:
Сф = ^СфУф'
198
(5.54)
Общие затраты ресурсов приближенно выражаются также ли-
нейными функциями от объемов производства.
k
ф=1
k
с — 2 асфУл|>-
\|) — 1
(5.55)
Результаты анализа макроэкономических (двухресурсных) про-
изводственных функций справедливы и для функций со многими
ресурсами:
k 1 1
= s^A4. (5.56)
Ф=1
При1 п ~ 1 получаем систему линейных функций производст-
венных затрат
k
(5.57)
-ф=i
где — затраты ресурса s на производство единицы продукции
при ф-й комбинации ресурсов.
Таким образом, взаимозаменяемость ресурсов в процессе про-
изводства можно учитывать посредством сочетания фиксирован-
ных комбинаций взаимодополняемых ресурсов. Необходимым ус-
ловием перехода от производственных функций с взаимозаменяе-
мыми ресурсами к функциям производственных затрат является
линейность уравнений изоклиналей.
§ 6. АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СПОСОБОВ
Производственные способы и их сочетания
Понятие «производственный способ» является, с одной стороны,
конкретизацией понятия «вид деятельности», введенного в главе 4
при . анализе общей модели народного хозяйства; с другой — это
обобщение линейных однородных функций затрат.
Производственный способ характеризует определенные постоян-
ные пропорции между различными затрачиваемыми ресурсами
и выпускаемой продукцией. В § 5 рассматривались частные случаи
производственных способов, отличающихся различными соотноше-
ниями затрат взаимозаменяемых ресурсов для выпуска только
одного продукта.
Интенсивность применения способа ф будем обозначать как
эта интенсивность может измеряться объемом какого-либо выпу-
199
скаемого продукта, какого-либо затрачиваемого-ресурса и т. п.
Каждому способу лр соответствует вектор Лф = (as^), компонен-
тами которого являются коэффициенты выпуска продукции (со
знаком плюс) и затрат различных видов продукции и ресурсов (со
знаком минуб). Очевидно, невозможно произвести какой-либо про-
дукт, не затратив других ресурсов или продуктов. С другой стороны,
способы, в которых продукция вообще не выпускается, не могут
найти применения. Поэтому в каждом векторе — используемом
в народном хозяйстве производственном способе — обязательно
содержатся как положительные, так и отрицательные компоненты.
Выбор единицы измерения интенсивности влияет на абсолютные
значения коэффициентов а^, но не влияет на их соотношения.
Совокупность производственных способов образует матрицу
A—as$> s£M-, Как правило, в производстве может
одновременно применяться несколько способов — свойство аддитив-
ности. При этом обычно предполагается, что характеристики (коэф-
фициенты) одного способа не зависят от применения других спо-
собов — свойство автономности. Из этих двух свойств следует, что
выпуклые комбинации базовых способов образуют новые способы.
k
Например, если Ль Л2, .... ЛА— базовые способы, то 2
Ф=1
> 0; 1 Дает новый способ.. Однако способы, явля-
ющиеся выпуклыми комбинациями базовых способов, не имеет
смысла непосредственно включать в условия задачи, так как они
формируются автоматически в процессе решения.
Общие результаты функционирования всех способов по каж-
дому ингредиенту s выражаются суммой 2 Разобьем мно-
жество всех ингредиентов на два подмножества: продукты и вое- .
производимые ресурсы sx £ Мг и невоспроизводимые ресурсы
s2£M2. Тогда 2 “s.itS означает выпуск конечной продукции вида
ф g N
(т. е. разность произведенной и использованной продукции в
сфере производства), а 2 — общие затраты невоспроизво-
димого ресурса s2 (при этом поменяем знаки коэффициентов так,
чтобы as^ > 0).
Обозначив как ySi объем конечной продукции вида sp —
наличные ресурсы вида s2, получаем основные ограничения линей-
ной модели производства:
>
2%>V<A; s^Mr • ' (5.58)
200
Система уравнений и неравенств (5.58) является конкретиза-
цией соответствующих условий абстрактной модели оптимального
планирования (ем. § 3 главы 4). Любая линейная статическая мо-
дель народного хозяйства включает условия типа (5.58) и, кроме
того, условия выбора объемов и структуры конечной продукции
и критерии оптимизации (см. главы 7—9).
Анализ однопродуктовых производственных
способов
Рассмотрим особенности таких производственных способов,
в каждом из которых производится только один продукт. Интен-
сивности применения таких способов естественно измерять объемом
выпуска продукта. Вектор в этом случае включает только одну
положительную компоненту (единицу выпускаемого продукта);
все остальные компоненты — отрицательные и нулевые.
Поскольку способы производства аккумулируют самые разно-
образные признаки дифференциации производственных условий
(по технологии, организации, взаимозаменяемости ресурсов и т. п.),
то число способов (даже для одного продукта) может быть очень
велико. Поэтому актуальной является задача отбора только
эффективных способов.
Введем понятие абсолютно неэффективного способа. Пусть в
сравниваемых способах производится продукт s0. Коэффициенты
затрат as^ будем рассматривать по абсолютной величине (со зна-
ком плюс). Способ <р производства продукта $0 абсолютно неэффек-
тивен, если существует какой-либо другой способ или выпуклая
комбинация других способов, при которых равный выпуск про-
дукта осуществляется при меньшем потреблении хотя бы одного
ресурса и не большем потреблении других ресурсов, т. е. выпол-
няются условия (одно из неравенств выполняется как. строгое):
SZM'> s^so> (5-59)
('|>*Ф)
где 2 1ф=1.
(Ф+ф)
И наоборот, способ можно называть эффективным, если не су-
ществует другого способа (базового или выпуклой комбинации
базовых), в'котором всех видов ресурсов затрачивается не больше
и хотя бы одного ресурса затрачивается больше. Абсолютно не-
эффективные способы не могут войти в оптимальный план произ-
водства, если возможности применения другие способов не огра-
ничены.
Для выявления только одного абсолютно неэффективного спо-
соба в соответствии с (5.59) в общем случае нужно доказать сов-
201
местность системы из т неравенств и уравнений, содержащих
(N—1) основных переменных. Эта задача по своей трудности прак-
тически эквивалентна задаче линейного программирования такой
же размерности. Поэтому нужны правила, которые хотя и не га-
рантируют отбора всех абсолютно неэффективных способов, но
зато просты в применении.
Правило 1. Абсолютно неэффективным является всякий способ
Ф, в котором все коэффициенты затрат не меньше, чем соответствующие ко-
эффициенты какого-либо другого способа со, и хотя бы один коэффициент
больше, т. е. as<pbasco, s£М; s ф s0 (одно из неравенств выполняется
как строгое).
Правило 2. Способ ф является абсолютно неэффективным в том
случае, если найдутся хотя бы два других способа соt и <о2, комбинация ко-
торых дает более эффективный способ: as(p S; asft)1Xi + as(02A,2, s s()
Xt г 0, X2>0, kj + X2 == 1 (одно из неравенств выполняется как строгое).
Легко видеть, что при Xj ~ 1, Х2 = 0 или Xj = О, Х2 = 1 приходим
к правилу 1. Таким образом, правило 2 является более общим. Осуществить
проверку по правилу 2 можно графическим методом.
Вернемся к рис. 5.12. В пространстве затрат двух ресурсов, изображены
способы производства А, В, С, D, Е и две выпуклые изокванты, соответст-
вующие равным объемам производства. Как видим, изокванты не проходят
через точки и Е2. Это означает, что комбинации способов С и D
позволяют произвести то же количество продукции с меньшими затратами
обоих ресурсов. Следовательно, способ Е абсолютно неэффективен.
При любом числе ресурсов для нахождения абсолютно неэффективного
способа требуется доказать совместность хотя бы одной системы из (т—1)
неравенств и одного уравнения, содержащей две неотрицательные перемен-
ные ?.г и к2.
Поскольку число основных переменных равно двум, решение может
быть найдено графически.
Применим правила 1 и 2 для анализа способов, содержащихся в табл. 5.2.
Таблица 5.2
. Затрачиваемые Затраты на единицу продукта по способам
продукты и ресурсы а ь с d е 1
1 1,2 ,1,0 1,6 0,8 0,6 0,6.
2 0,8 0,7 0,6 1,4 1,6 1,6
3 1,4 1,4 1,8 1,5 1,5 1,6
4 2,2 2,0 1,6 2,0 1,8 1,8
По правилу 1- абсолютно неэффективными являются способ а (он хуже Ь)
и способ f (он хуже е). По правилу 2 находим, что комбинация способов Ь
и е дает лучший способ, чем d. Например, при = 0,3 и к, = 0,7 получаем
вектор затрат (0,72; 1,23; 1,47; 1,86).
Таким образом, из шести исходных только способы Ь, с, е могут рас-
сматриваться как эффективные.
202
Пример задачи оптимального сочетания
производственных способов
Пусть один продукт производится несколькими способами. Каж-
дый вид затрачиваемых ресурсов ограничен. Требуется максими-
зировать общий выпуск продукта.
Имеем задачу линейного программирования:
2 as^<bs-, s£M;
> 0;
2 -> шах. (5.60)
Попытаемся выявить свойства решений этой задачи, опираясь
на теорию линейного программирования и теоретические положе-
ния о соизмерении затрат и результатов в оптимальном планиро-
вании (см. § 3 главы 4).
Во-первых, очевидно, что решение задачи (5.60) всегда сущест-
вует. При этом оптимальный план может быть единственным или
же число оптимальных планов бесконечно. В случае единственно-
сти оптимального плана число используемых производственных
способов (имеющих £^>0) не может превосходить числа ресурсов
(т). Поэтому чем больше ресурсов учитывается в задаче, тем больше
способов может войти в оптимальный план.
Следует уточнить, что максимальное число положительных ве-
личин Хф>0 не может превышать числа полностью используемых
ресурсов. Это уточнение важно, поскольку в оптимальном плане
задачи (5.60) не все ресурсы могут использоваться полностью.
Экономически это объясняется тем, что в имеющихся способах
производства взаимозаменяемость ресурсов недостаточна. Поэтому
чем разнообразнее способы по соотношениям коэффициентов as^,
тем больше число полностью используемых ресурсов. Таким обра-
зом, имеется определенная зависимость между числом входящих
в оптимальный план способов, числом учитываемых в задаче ре-
сурсов, числом и дифференциацией способов.
Пусть X* — оптимальный план, включающий определенный
набор производственных способов. При увеличении всех ресурсов
в X раз набор производственных способов не изменится, а интен-
сивность применения каждого способа (и всего объема производ-
ства увеличится в X раз. Таким образом, модель (5.60)
можно интерпретировать как особую форму однородной произ-
водственной функции первой степени. Эта форма записи производст-
венной функции наглядно демонстрирует ее экстремальную при-
роду (на это обращалось внимание в § 1).
203
Запишем задачу, двойственную к (5.60):
s£M
u>s^-0; s £ M;
У, bsws -г min. (5.61)
sf м
Решение задачи (5.61) всегда существует: lF* = (a>*). Как было
показано в § 3 главы 4, w*s — оптимальная оценка ресурса s, ха-
рактеризующая максимальный прирост производства при увели-
чении ресурса s на «малую единицу»: &у‘ =----. Иными словами,
w*s — предельная эффективность ресурса s. Из теории линейного
программирования следует, что по мере увеличения bs величина
ау* снижается (кусочно-линейным образом), т. е. предельная эф-
фективность ресурса уменьшается.
Нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в опти-
мальном плане равны обратным соотношениям оптимальных оце-
ДйА w"l п
нок этих ресурсов: —- = -----Для используемых в оптималь-
Д6/ wk
ном плане способов выполняется равенство У = 1 • Если же
способ не входит в оптимальный план, то aslJ)tia* > 1. Разность
s£M
Д. = V а ау*— 1 показывает, насколько уменьшится объем вы-
sgM
пуска, если в оптимальный план принудительно ввести единицу
продукта, производимого способом ф.
Глава 6____'___________________
МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРЫ
ПОТРЕБЛЕНИЯ
В разделе втором был сформулирован ряд важнейших проблем
моделирования потребления в общей системе планирования и уп-
равления народным хозяйством: обоснование и построение- крите-
риев, обеспечивающих выбор наилучших вариантов удовлетворе-
ния потребностей общества в рамках оптимизационных моделей
народного хозяйства (§ 2 главы 3, § 1 главы 4), принципы соизме-
рения общественной полезности потребительских благ и общест-
венных затрат на производство продукции (§ 3 главы 4), распреде-
ление потребительских благ между группами населения в усло-
виях действия товарно-денежных отношений (§ 5 главы 3). В дан-
ной главе эти проблемы рассматриваются более подробно.
Как было показано выше, в качестве основных (первичных) на-
роднохозяйственных критериев оптимальности могут быть при-
няты: целевая функция общественного благосостояния (ЦФБ) и срок
достижения определенного комплекса целей развития народного
хозяйства. В § 1 данной главы анализируется частный вид ЦФБ
применительно к «материальному благосостоянию» (или потребле-
нию в узком смысле) и более подробно рассматривается вопрос
о соизмерении и взаимозаменяемости потребительских благ. В § 4
обсуждаются возможности и особенности применения в народно-
хозяйственных моделях оптимального планирования упрощенных
критериев, выводимых из основных критериев оптимальности.
Вопросы моделирования поведения потребителей в условиях то-
варно-денежных отношений (модели платежеспособного потреби-
тельского спроса и распределения товаров) рассматриваются в § 2
и 3.
В главу не включен материал о моделях нормирования потреб-
ления, математико-статистических моделях распределения зара-
ботной платы и доходов. Соответствующие вопросы изложены в
учебном пособии [17]. ''
205
§ 1. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ.
СОИЗМЕРИМОСТЬ И ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ
ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ БЛАГ
Целевая функция потребления (ЦФП) и = и (У) является ча-
стичной ЦФБ, выражающей уровень удовлетворения материаль-
ных потребностей общества (уровень потребления). Она опреде-
ляется на более узком множестве благ по сравнению с ЦФБ. Век-
тор переменных У > О включает разнообразные виды продукции
и услуг, используемых в сфере потребления. Но в этот перечень
не входит ряд социальных, экологических и других условий
жизни общества. Такое ограничение области определения целевой
функции позволяет, однако, более тщательно исследовать с ее по-
мощью проблемы роста материального благосостояния.
Общие свойства ЦФП
Являясь частным случаем ЦФБ, функция и (У) сохраняет ее
общие свойства как инструмента упорядочения различных набо-
ров (вариантов) потребительских благ с точки зрения удовлетворе-
ния потребностей общества. Существование и (У) предполагает вы-
полнение ряда аксиом относительно упорядочения наборов потре-
бительских благ; эта функция определяется неоднозначно, с точ-
ностью до монотонно возрастающего преобразования <р (и) (см. § 1
главы 4).
Ряд свойств ЦФП удобно изучать, используя геометрическую
интерпретацию уравнений и (У) = с, где с — меняющийся пара-
метр, характеризующий значение (уровень) ЦФП.
В пространстве п потребительских благ каждому уравнению 4
и (У) = с соответствует определенная поверхность равноценных
(или безразличных) наборов благ. В теории потребления такие
поверхности получили название поверхностей безразличия1. На
множестве допустимых значений У можно построить семейство
(карту) поверхностей безразличия. При этом ражно отметить, что,
хотя ЦФП определяется неоднозначно, семейство поверхностей
безразличия единственно, т. е. не зависит от выбора монотонно
возрастающего преобразования.
Рассмотрим пространство двух благ (см. рис. 6.1). Такая гео-
метрическая интерпретация возможна, если разнообразные блага
агрегировать в две группы (например, продукты питания и непро-
довольственные товары, включая услуги), либо рассматривать
различные комбинации двух конкретных благ при фиксированных
значениях всех других благ. Уровни ЦФП изображаются на пло-
1 Впервые пбнятие поверхностей безразличия использовал английский эко-
номист-математик Ф. Эджворт в 80-х годах XIX в.
206
скости в виде кривых безразличия. На рис. 6.1 приведены три кри-
вые безразличия, соответствующие значениям ЦФП clt с2, с3.
Разумно для начала допустить, что функция и (У) является
строго возрастающей по всем своим аргументам, т. е. увеличение
потребления любого блага при сохранении уровней потребления
всех других благ увеличивает значенйе ЦФП. Если YA > YB, то
и и (Ya)>u (Yb). Поэтому более удаленная от начала координат
поверхность безразличия соответствует большему значению ЦФП
РИС. 6.1.
Кривые безразличия в потреблении
(с1<С2<с3), а сам процесс максимизации ЦФП на некотором огра-
ниченном множестве можно интерпретировать как нахождение до-
пустимых точек, принадлежащих кривой (поверхности) безразли-
чия, максимально удаленной от начала координат.
Поверхности безразличия не могут пересекаться. Или иначе:
через одну точку пространства благ можно провести только одну
поверхность безразличия. В противном случае получалось бы, что
один и тот же набор благ одновременно соответствует нескольким
разным уровням материального благосостояния.
Поверхности безразличия имеют отрицательный наклон к каж-
дой оси координат. Поскольку и (У) функция, возрастающая по
всем аргументам, то наборы Ул и YB не могут быть равноценны,
рели Уд > Ув (и тем более если УЛ>УВ). При движении по по-
верхности безразличия в любом направлении какие-то значения yt
207
будут, возрастать, но какие-то другие должны обязательно умень-
шаться1.
Возьмем произвольную точку А (см. рис. 6.1) и проведем через
нее прямоугольную систему координат. Следствием принятого
предположения является то, что в построенной системе координат
в квадранте 1 располагаются комбинации, безусловно, более пред-
почтительные, чем А; в квадранте 3 — варианты, безусловно, худ-
шие по сравнению с Л; в квадрантах 2 и 4 находятся комбинации
благ с различными отношениями предпочтения к набору А, в том
числе и равноценные (кривая безразличия содержащая набор А,
РИС. 6.2. / •
Недопустимые положения и формы кривых без-
различия
обязательно проходит через квадранты 2 и 4). Очевидно, кривые
(поверхности) безразличия должны удовлетворять условию: если
YB > YА и YB >- YB, то на отрезке AD всегда найдется точка (Q),
лежащая на одной кривой безразличия с точкой В.
Поясним, почему различным ЦФП, отличающимся монотонно возра-
стающими преобразованиями ср, соответствует одно и то же семейство кривых
безразличия. Пусть имеетсй четыре набора благ. Наборы Уг — (2, 3) и Уа =
— (3, 2) равноценны между собой. Наборы У3 = (3, 4) и У4 — (4, 3) также
равноценны между собой, но предпочтительнее, чем наборы Уг и У2. Функ-
ция и =г угу2 упорядочивает эти наборы по их предпочтительности, так как
и (У4) = и (Уа) = 6 и и (У3) = и (У4) = 12. Рассматриваемые наборы при-
надлежат двум кривым безразличия, причем наборы У3 и У4 находятся на
кривой, более удаленной от начала координат.
Возьмем и — (У1Уа)2, имеющую <р' (и) — 2>0. Получаем и(У4) =
= и (Уа) = 36, и (У3) = и (У4) = 144. Следовательно, функция и (У) та-
ким же образом упорядочивает четыре набора, как и функция и (У). Урав-
I
1 Легко видеть аналогию между свойствами поверхностей безразличия и
изоквантами производственных функций.
208
нения и (У) — 6 и и (У) = 36 соответствуют, кривой безразличия, более
близкой к началу координат, а ‘уравнения и (У) = 12 и и (У) = 144 соот-
ветствуют кривой безразличия, более удаленной от начала координат.
Попробуем теперь применить функцию и = (ууУгУ"1, имеющую <р' (и) =
= —- 1. Получаем и (УД = и (У2) = — , и (К3) = и (У4) = — . Условия
6 12
равноценности наборов и У2, а также У3 и У4 по-прежнему соблюдаются.
Однако не выполняются исходные условия о предпочтительности наборов
У3, У4 по сравнению с У4, У2. Это выражается в том, что и(У3)=и(У4) =
= J-<^(y1) = u(y2) = ’
12 6 У д
а кривая безразличия, на кото- 2
рой находятся У3 и У4, ближе
к началу координат, чем кри-
вая, на которой находятся на-
боры У4 и У2.
Недопустимые положе-
ния и формы кривых без-
различия изображены на
рис. 6.2. Недопустимость
случаев а) и б) объяснялась
выше. Недопустимость бо-
лее сложного случая
в) аргументируется ниже
в связи с анализом зако-
номерностей взаимозаме-
, няемости потребительских
благ.
Если блага совершенно
не взаимозаменяют друг
друга в процессе роста
благосостояния, то кривые
безразличия имеют вид пря-
мых углов (см. рис. 6.3).
Соответствующие блага на-
у'А, •
/ 4/ Cf
РИС. 6.3.
Кривые безразличия потребления взаимо-'
дополняемых (комплементарных) благ
зываются взаимодополняемыми или комплементарными. Вершины
углов (Лъ А 2, Л3) — это минимальные точки, т. е. наборы, обес-
печивающие определенный уровень потребления при минимальных
затратах обоих благ. Увеличение потребления одного или несколь-
ких благ без увеличения потребления дополняемых благ не приво-
дит к росту общего уровня потребления (значения ЦФП). В связи
с этим следует ослабить сделанное выше допущение, что ЦФП
является функцией, строго возрастающей по всем своим аргумен-
там. Если YA^.YB, то и (УА) > и (Ув); но если YA>YB,
то u(Ya)>u(Yb).
До сих пор мы не вводили никаких ограничений -На область
определения’*'ЦФП и поверхностей безразличия, кроме условий
неотрицательности переменных. Однако для более адекватного
отражения закономерностей изменения потребления .и облегчения
209
практического построения ЦФП (ограничение области ее определе-
ния только реально достижимыми структурами потребления) целе-
сообразно ввести дополнительные ограничения, хотя бы по части
потребительских благ. Следует учитывать, что потребление ряда
благ безусловно необходимо или не может существенно снижаться
по сравнению с ранее достигнутым уровнем. Верхние же границы
потребления отражают полное удовлетворение (насыщение) соот-
ветствующих потребностей, превышение которых не увеличивает
благосостояния.
Обозначим минимальные и максимальные значения объемов
потребления соответственно z/pin и у™ах- При этом у™‘п О,
(допускается, что потребление некоторых видов благ
не ограничено хотя бы в одну сторону). Тогда множество допусти-
мых наборов потребительских благ,- на котором определяется ЦФП,
есть
у__(у упНп y ^утах]
Введение верхних границ сближает задачи максимизации ЦФП
и минимизации срока достижения заданных целей. «Идеальное»
состояние yv, на достижение которого направляется развитие на-
родного хозяйства, может быть выбрано в качестве вектора Утах.
Соизмеримость и взаимозаменяемость
потребительских благ
Основные свойства ЦФП тесно связаны с особенностями соизме-
рения и взаимозаменяемости потребительских благ. Анализ этих
особенностей позволяет конкретизировать требования, которым
должна удовлетворять ЦФП.
Общие принципы соизмерения различных потребительских благ
по их общественной полезности рассматривались в § 3 главы 4.
Возможность такого рода соизмерений вытекает их сопоставимости
различных вариантов (наборов) потребительских благ с точки зре-
ния удовлетворения потребностей общества. Именно общественное
благосостояние является при социализме той общественной мерой
«для количественной стороны полезных вещей», о которой писал
К. Маркс1.
Разнообразные по своему назначению потребительские блага
непосредственно количественно несравнимы между собой в силу
качественных различий и количественной несопоставимости их
естественных свойств. (Непосредственные сравнения по естествен-
ным свойствам возможны только в рамках узких групп потреби-
тельских благ, например, уравнение продуктов питания по их ка-
лорийности.) Однако самые разнообразные потребительские блага
1 М а р к с К., Энгельс Ф. Соч. Изд, '2-е, т. 23, с. 44.
210
однородны и сопоставимы в том смысле, что их потребление увели-
I чивает общественное благосостояние1 2.
Показатели общественной полезности благ выводятся из ЦФП.
Частные производные ЦФП ц,- = — характеризуют прирост
dyt
общего уровня потребления в результате увеличения потребления
блага i на «малую единицу», т. е. предельный полезный эффект
(или предельную полезность) i-ro блага3. Таким образом, коли-
чественные оценки полезности отдельных благ являются результа-
том построения ЦФП. В конечном счете соизмеримость отдельных
благ по общественной полезности есть следствие сопоставимости
I различных наборов потребительских благ по их предпочтительно-
сти с точки зрения удовлетворения общественных потребностей.
Неоднозначность определения ЦФП имеет своим следствием
' неоднозначность частных производных. Однако соотношения ме-
жду частными производными остаются неизменными для любой
ЦФП, определенной с точностью до монотонно возрастающего пре-
образования. Если и (Y) — ср [и (У) ], то по правилу дифференци-
рования сложных функций
d~u(Y) , а»(У) г
dyi dyt
ИЛИ
= (6.1)
Видно, что ср' (и)>0 является общим множителем для всех част-
ных производных.
Из формулы предельных полезностей следует, что и, (У) —
функции, зависящие от объемов потребления всех благ (вектора У).
1 Но в окрестности определенного вектора потребления У0 =
1 = .... предельные полезности благ допустимо измерять
числами «ЦУ°). Например, если потребление благ несколько из-
менится (Дг/£ — достаточно малые числа), то приращение функции
1 Принцип соизмерения полезных эффектов потребительских благ в опреде-
ленном смысле аналогичен соизмерению продуктов по трудовым затратам.
Различные продукты едины между собой в том, что на их производство
затрачивается труд. Но это лишь одна сторона единства различных про-
1 дуктов. Вторая сторона единства продуктов состоит в том, что в резуль-
тате их использования в сфере потребления возрастает общественное бла-
госостояние.
В § 3 главы 4 уже приводились высказывания классиков марксизма о
роли общественной полезности в социалистической экономике. Подробный
анализ взглядов К. Маркса и Ф. Энгельса на эту проблему см. в работе [3,
с. 45—53].
2 Признание предельного характера общественных полезностей и категории
предельной полезности ни в коей мере не означает перехода на позиции
субъективистско-психологической теории предельной полезности как оп-
ределенного направления буржуазной экономической науки.
211
п
2 «i (Y°) Nji приближенно покажет изменение общего уровня по-
1=1
требления по сравнению с и (У0). Поэтому ЦФП и (Y) может быть
заменена (аппроксимировала) линейной целевой функцией 2 «»Уг>
i
если известно хорошее приближение к оптимальному. плану (У)
и для этого приближения вычислены значения частных производ-
ных uz = w((y).
Поскольку ЦФП является функцией, неубывающей по всем
своим аргументам, то величины ut (У) всегда неотрицательны.
Они могут принимать нулевые значения при достижении предела
насыщения потребности в соответствующем благе.
Изменение значения ЦФП при малом изменении ее аргументов
п
приближенно выражается полным дифференциалом du (У) =
1=1
Очевидно, что одинаковый прирост ЦФП может быть до-
стигнут различным образом. В этом — основа взаимозаменяе-
мости потребительских благ. Отрицание свойства взаимозаменя-
емости равносильно утверждению, что рост благосостояния (уров-
ня потребления) Может происходить только при единственно воз-
можном направлении изменения вектора потребления независимо
от возможностей удовлетворения потребностей в различных благах
и затрат на их производство.
п
Если уровень благосостояния не изменяется, то = 0.
i=i
Из последней формулы выводятся соотношения эквивалентной
взаимозаменяемости благ. Допустим, что количества всех благ,
кроме благ k и не изменяются. Тогда и^уь + Ujdy/ — 0, откуда
dyi _ uk
dyk ui
(6.2)
82 i
Таким образом,"коэффициент (норма) эквивалентной заменяемости
благ обратно пропорционален соотношению предельных полезно-
стей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку все uk 0,
то обязательным свойством является 0 (причем хотя бы
’ dyk
для некоторых k и j эти отношения строго отрицательны).
Для изучения закономерностей потребления и конкретизации
свойств ЦФП важно проанализировать изменение коэффициентов
эквивалентной заменяемости одних благ другими. Практика пока-
зывает, что если потребность в определенном благе удовлетворяется
в незначительной степени, то относительная полезность этого блага
по отношению к другим благам высока, т. е. коэффициенты заме-
няемости (вытеснения) другими, благами для сохранения опреде-
ленного уровня потребления высоки. Но при увеличении потребле-
212
ния этого блага коэффициенты эквивалентной заменяемости дру-
гими благами неуклонно уменьшаются. Это явление объясняется
тем, что при возрастании использования какого-нибудь блага по-
средством его удовлетворяются все менее насущные потребности,
а на определенном этапе может наступить полное насыщение. Поэ-
тому увеличивающееся -количество данного блага при сохранении
прежнего уровня благосостояния может замещать все меньшее
количество других благ, удовлетворяющих более насущные пот-
ребности.
В изменении коэффициентов эквивалентной заменяемости про-
является определенная очередность удовлетворения отдельных
потребностей. На низких уровнях благосостояния удовлетворяются
прежде всего самые насущные, естественные потребности (напри-
мер, потребности в пище). Даже очень большой прирост благ, обес-
печивающий потребности более «высокого» порядка (например,
музыкальное образование), не может компенсировать отказ от благ,
удовлетворяющих эти, более насущные в данных условиях потреб-
ности. Но по мере насыщения первоочередных потребностей блага,
удовлетворяющие потребности более высокого ранга, получают
все более высокую общественную оценку. Так, с ростом благосо-
стояния увеличивается относительная ценность свободного вре-
мени как предпосылки гармоничного развития личности, а от-
носительная ценность материальных благ первой необходимости
-уменьшается.
Рассмотрим условный пример. Потребление сахара на душу населения
составляет 50 г в сутки, а потребление мяса — 250 г в сутки. Допустим, что
общий уровень потребления остается прежним, если количество сахара уве-
личится до 80 г, а количество мяса уменьшится до 220 г (коэффициент эквива-
лентной замены 1 : 1). Очевидно, что если теперь потребление сахара воз-
растает еще на 100 г, то уменьшение мяса также на 100 г уже не будет экви-
валентным, а приведет к снижению общего уровня потребления. При неко-
тором очень высоком уровне потребления сахара (состояние предельного
насыщения, превышение которого вредно для здоровья) он совсем не может
замещать даже сколь угодно малое количество мяса.
Вернемся теперь к анализу формы поверхностей (кривых) без-
различия. На рис. 6.4 изображена кривая безразличия, которой
соответствуют непрерывно уменьшающиеся нормы эквивалентной
замены. При последовательном увеличении потребления первого
блага на единицу потребление второго блага сокращается, но ве-
личина этого сокращения убывает (на оси ординат АВ>ВС>
>CD Вследствие этого кривая безразличия есть график
вогнутой функции одной переменной по отношению к другой.
(Форма кривой на рис. 6.4 совпадает с формой кривой на рис. 6.1.
Приведенные соображения объясняют, почему форма кривой на
рис. 6.2, в является недопустимой.)
Итак, по мере увеличения потребления определенного блага
величины эквивалентного замещения его другими благами умень-
шаются. При этом следует обратить внимание на особые случаи,
213
вызванные существованием пределов потребления отдельных благ.
По достижении предела насыщения потребности в благе k нормы
эквивалентной замены других благ становятся равными нулю:
dy,
—<- = 0 при Щ = г/?ах. С другой стороны, если потребность в
dyk
благе k удовлетворяется на минимальном уровне, то никакое уве-
личение потребления других благ не может компенсировать умень-
ГИС. 6.4.
Кривая безразличия и изменение нормы экви-
валентной взаимозаменяемости
Отмеченные особенности изменения норм эквивалентной замены
носят типичный характер и распространяются на самые разнооб-
разные блага. Поэтому можем сделать вывод, что множества Qc —
= {Y : и (У) с} являются выпуклыми для всех допустимых
значений Y, а функция и (У) является квазивогнутой. Поэтому
если и. (Ул) = и (Ув) = с, то и [ХУЛ + (1 — %) YB ] > с при
X £ [0, 1 ]. Это говорит о том, что выпуклая комбинация двух рав-
ноценных наборов имеет не меньшую полезность, чем каждый из
них в отдельности (см. рис. 6.4)1.
г, Эщ(У)
Вторые частные производные иц =------характеризуют из-
dyj
менение предельных полезностей uit в частности изменение пре-
Г д2и (У) 1
1 Функция и (У) строго вогнута, если матрица Гессе H(Y)= -----------—-
L dytdyi J
отрицательно полуопределена для всех Y. Здесь можно увидеть анало-
гию со свойствами производственных функций с взаимозаменяемыми ре-
сурсами (см. § 2 главы 5). Однако, как далее будет показано, имеется одна
существенная особенность, связанная с неоднозначным определением ЦФП.
214
дельной полезности блага i при увеличении потребления этого же
блага. Так, если w17<0, то это говорит об уменьшении предельной
полезности блага i при увеличении его потребления. Но можно ли
экономически интерпретировать величины ц(7, оставаясь в рамках
аксиом и гипотез, принятых при определении ЦФП? Для ответа на
этот вопрос необходимо выяснить влияние преобразования ф (и)
dyi
в частности,
на значение н(/.
Из и (У) = ф [и (У)] следует, . что ? [ф Ul (*9) —
dtJj dVj
|- ф" (и) щи/ или
иц = ф' («) U/j 4- ф" (и) UiUj, (6.3)
«ii = ф' (и) + ф" («) (6.4)
Таким образом, преобразование ф (и) оказывает влияние и на
абсолютные величины н(у-, и’ на их соотношение, и на их знаки.
Для разных преобразований ф (и), выбор которых ограничен только
условием ф' (и)>0, получаем системы вторых частных производ-
ных, различающиеся абсолютными значениями и знаками. Напри-
мер, функции и^~у\/2у'2/2 и и<2) = у2у2 имеют одинаковые кри-
вые безразличия и удовлетворяют основным сформулированным
.выше требованиям к ЦФП. Но если вторые производные первой
функции отрицательны (например, =----------—УС^У'^ , то вто-
рые производные второй функции положительны (например, иц’ =
= 2z/2j. Это обстоятельство затрудняет экономическую интерпрета-
цию свойств вторых частных производных ЦФП1 2.
О построении ЦФП
Методы построения ЦФП основываются на обобщении ощята
поведения совокупностей потребителей, тенденций покупательского
спроса, закономерностей изменения структуры потребления по мере
роста благосостояния.
Первая в СССР попытка построения ЦФП была предпринята
В. А. Волконским2. В качестве модели ЦФП была отобрана квад-
1 Одним из краеугольных камней субъективистско-психологической теории
предельной полезности является закон «убывающей предельной полезно-
сти» (или закон Госсена). Математически этот закон можно было бы выра-
зить в виде требований: иц<^0. Однако выше было показано, что эти тре-
бования вовсе не являются необходимыми, они не вытекают из анализа
закономерностей развития потребления и потребительского выбора.
2 См. Волконский В. А. Об объективной математической характе-
ристике народного потребления.— В сб.: Экономико-математические ме-
тоды. Вып. 1. М., Изд-во АН СССР, 1963.
215
ратичная функция вида и
РИС. 6.5.
Кривые безразличия в огра-
ниченной области
п
М + а пара-
метры этой функции находились путем обработки данных бюджет-
ной статистики1. ЦФП была построена только для трех агрегиро-
ванных групп товаров:
и (У) = (1 -1,841а) уг + (1 -2,054а) у2 +
+ (1—2,116а) д/3Н-0,668-I0-4z/4+ 1,230- 10~4^г/2 +
+ 1,243- Ю-4^ + 0,506- 10“4г/|+ 1,104- 10~4ед +
+ 0,492-10-44
Все параметры и переменные данной ЦФП относятся к средней
семье; параметр а означает число детей в семье, yt — потребление
продуктов питания, у2 — потребление
промышленных товаров, у3 — потреб-
ление платных услуг (все — в цен-
ностном выражении).
К. К. Вальтухом предложена ЦФП,
в основе которой лежат две гипотезы:
1) существование минимальных и мак-
симальных уровней различных по-
требностей; 2) монотонное снижение
норм эквивалентного замещения уров-
ней удовлетворения потребностей2 *.
В проводившихся эксперименталь-
ных разработках этой ЦФП потреб-
ности измерялись объемами потребле-
ния агрегированных групп благ (про-
дукции соответствующих отраслей).
Поэтому дальнейшее изложение мы
по-прежнему будем вести в терминах
использования потребительских благ,
имея в виду крупные агрегаты благ.
Область существования рассматриваемой ЦФП — это множе-
ство §) = {У : ymin <У < УтахЬ На рис. 6.5 изображено се-
мейство кривых безразличия, удовлетворяющих указанным выше
гипотезам.
Вводится показатель степени удовлетворения определенной по-
у<—уГп
требности по сравнению с минимальным уровнем: 0,= —-----------.
' „max „min
*7 ~ У<
1 Принципы построения ЦФП на основе данных о приобретении товаров
излагаются в § 2.
. 2 См. работу [3]. Математическое исследование этой ЦФП проведено
И. А. Ицковичем.
216
Очевидно, что 0у [0, 1 ]. Тогда —- будет показывать изменение
степени удовлетворения потребности в группе благ / относительно
изменения степени удовлетворения потребности в группе благ k.
гт ла dyi м dyk dQi
Поскольку ад, = ———_ и ddk = ——— mi„, то =—пропор-
J 1 yf™-yfn k у™ — у™ dQk F F
dyj r
ционально . Следовательно, характер изменения при
увеличении Qk соответствует поведению нормы эквивалентной за-
dy,
меняемое™ —при увеличении yk.
dyk
Принятым исходным гипотезам удовлетворяет, в частности,
dQ,
такая формула —4:
d0, 0,. (1-0.)
= (6.5)
dQk 0ft(i-0y)
Из (6.5) выводится:
-—^-d0z = —^М0А;
0. ' Qk
С сЮ; = — [ ddk;
J 0/ J
In 0,— 0; = — In ek + 0£ + со,
откуда
0,0.
= С с = (6.6)
e0/+0fc
Выражение (6.6) есть формула семейства кривых безразличия
для двух групп благ. Семейство кривых безразличия для всего
множества благ выражается, формулой
- Таким образом, получаем ЦФП, выраженную в величинах сте-
пеней удовлетворения потребностей:
п
п - 2 0£
и [0 (У)] = П 0ze <=> . (6.7)
i=i
ЦФП (6.7) определена в n-мерном единичном кубе и является
строго возрастающей функцией всех своих аргументов > 0
У d0i
для всех значений 0£, кроме 0£ = 1). При этом- и — 0, если хотя
217
бы одно 9,- = 0. Отметим также, что вариантам Y с одинаковой
степенью удовлетворения потребностей во всех группах благ со-
ответствует прямая, соединяющая точки Ут1П и утах (диагональ
многогранника допустимых значений Y).
В качестве ЦФП может использоваться также любая другая
функция и = {и [0 (У)]}, монотонно возрастающая по и.
Параметры ЦФП (6.7) определены для 16 агрегатов потреби-
тельских благ: продукции 12 отраслей промышленности (бытовое
машиностроение, электроэнергетика, легкая и пищевая промыш-
ленность и т. п.), сельского хозяйства, непроизводственного строи-
тельства, капитального ремонта зданий, прочих отраслей мате-
риального производства. В качестве z/£min принимались объемы
потребления, достигнутые за два-три года до начала планового пе-
риода. Величины у™ах определялись на основе фактического по-
требления продукции, достигнутого в группе семей рабочих и слу-
жащих с месячным среднедушевым доходом 150 руб. и выше (по
данным бюджетных обследований за 1968 г.). По жилью в качестве
максимальной была принята величина 20 м2 общей (полезной)
площади на одного человека. Рассмотренная ЦФП используется
в расчетах по оптимизационной межотраслевой модели народного
хозяйства (см. работу [5, глава 8]).
Применение ЦФП, построенных на основе некоторых теорети-
ческих гипотез, предполагает, что в результате проведения опти-
мизационных плановых расчетов и их сопоставления с реальным
социально-экономическим развитием будут обнаруживаться но-
вые закономерности роста материального благосостояния, которые
дадут возможность уточнить и расширить исходные гипотезы, скор-
ректировать формулу и параметры первоначальной ЦФП.
§ 2. МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
В УСЛОВИЯХ ТОВАРНО-ДЕНЕЖНЫХ ОТНОШЕНИЙ •
В настоящее время в СССР основная часть потребительских благ
распределяется между членами общества через торговлю и общест-
венное питание. Поэтому исследование закономерностей поведения
потребителей на рынке товаров имеет первостепенное значение
для планирования сферы потребления.
В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что
потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах
и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удов-
летворения своих потребностей.
— /
Анализ модёли
Пусть имеется п видов товаров. Исследуется поведение всей
совокупности потребителей или какой-либо одной группы. Спрос
потребителей — это вектор Y = (t/z). При известных ценах на раз-
218
РИС. 6.6.
Выбор потребителей при задан-
ных ценах и доходе
личные товары Р = (рг) и величине дохода D потребители могут
выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетво-
п
ряют условию у, (бюджетному ограничению). Предпола-
i=i
гается, что предпочтение потребителей на множестве товаров вы-
ражается целевой функцией и (У). (Эта функция должна удовле-
творять ряду свойств, рассматривавшихся в § 1, однако ее не
обязательно отождествлять с ЦФП.)
Простейшая модель поведения
потребителей имеет вид
и (У) -> шах;
PY /9;
У>0. (6.8)
Модель (6.8) рассматривалась
ранее (см. § 5 главы 3) как состав-
ная часть модели экономического
взаимодействия центральной под-
системы народного хозяйства (сфе-
ры производства) и групп насе-
ления.
Постулированный принцип опти-
мального поведения потребителей,
разумеется, не следует понимать
так, что потребитель перед тем,
как купить какие-либо товары, проводит скрупулезные вычисле-
ния с помощью своей целевой функции на основе информации
о полезных свойствах и ценах для всего множества товаров.
Этот принцип отражает только генеральную тенденцию многочис-
ленных актов потребительского выбора, а модель (6.8) — одно из
возможных математических описаний этой тенденции.
В модели (6.8) допускается, что выбор потребителей ограничен
только величиной дохода. В действительности же на покупатель-
ский спрос существенное влияние может оказывать недостаточное
предложение (дефицитность) некоторых товаров. Это обстоятель-
ство легко учесть в модели для всей совокупности потребителей,
введя ограничения на множество значений векторов У. Для мо-
делей отдельных групп потребителей это сделать сложнее, так как
необходимо устанавливать принципы распределения дефицитных
товаров между группами потребителей.
Особый вопрос — учет в модели денежных сбережений насе-
ления. Здесь можно использовать два подхода: считать денежные
сбережения особым благом, имеющим полезность (его увеличение
приводит к росту целейой функции), и'определять размер сбереже-
ний вне модели, рассматривая D как сумму расходов на приобрете-
ние товаров.
219
Геометрическая интерпретация модели Для двух товаров пред-
ставлена на рис. 6.6. Линия АВ соответствует бюджетному огра-
ничению. Таким образом, выбор потребителей ограничен треуголь-
ником 40В. Набор М. (точка касания прямой АВ с наиболее отда-
ленной кривой безразличия) является оптимальным решением.
Выясним условия оптимальности решений для модели (6.8),
опираясь на теорию нелинейного программирования (см. прило-
жение к главе 4). Экономическая трактовка математических ре-
зультатов будет даваться на основе результатов § 3 главы>4.
Функция Лагранжа задачи (6.8) имеет вид
L(Y, K) = u(Y)+%(D—PY).
Множитель Лагранжа % есть оптимальная оценка дохода. Част-
du (Y) , с 1
ные производные ы(=—будем, как и в § 1, интерпретировать
дус
как предельные полезные эффекты (предельные полезности) со-
ответствующих потребительских благ.
Необходимыми условиями оптимума Y* (условиями Куна—
Таккера) являются
и£(У*) ^*Pi Для всех 1, •.п. (6.9)
При этом
«ДУ*) = Х*р, при z/£‘>0. (6.10)
Если же Ui(Y*)<K*pit то соответствующий товар i не прио-
бретается (^ = 0).
Очевидно, дохода: Х*>0, что соответствует полному использованию
РУ*=О. (6.И)
Равенство или же (6.10) можно записать так: если у*.>о‘ Pi 1 - (6.12)
uk (Y*) pk . n u/(F*) PI ’ и y*!>0. (6.13)
Это означает, что потребители должны выбирать товары таким
образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара
было одинаковым для всех товаров. Или, что равносильно, предель-
ные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны
ценам. <
Направления использования модели •
Модель (6.8) занимает важное место в теории покупательского
спроса и потребления. В меньшей степени она применима для не-
посредственного решения практических задач ввиду абстрагирова-
ния от ряда существенных факторов;
220
Основными направлениями использования модели являются:
прогнозирование покупательского спроса в зависимости от цен
и доходов, построение ЦФП, регулирование цен и доходов для до-
стижения сбалансированности спроса и товарного предложения.
При известной целевой функции потребителей с помощью мо-
дели можно прогнозировать покупательский спрос (вектор Y).
Однако главная ценность модели в том, что она может служить
основой для теоретического анализа взаимозависимостей спроса,
доходов, цен и построенйя более простых инструментов прогнози-
рования — функций спроса от доходов и цен (см. § 3). '
Целевая функция потребителей не может, очевидно, наблю-
даться непосредственно. Но она может быть выявлена при анализе
поведения потребителей, если это поведение достаточно хорошо
описывается моделью (6.8). Пример ЦФП, построенной таким об-
разом, приводился в § 1.
Методика «восстановления» целевой функции потребителей вклю-
чает несколько этапов.
Сначала выбирается одна или несколько математических моде-
лей (формул) целевой функции, удовлетворяющих некоторым
теоретическим гипотезам (например, квадратичная функция
п п
U (У) = 4- или логарифмическая функция
1Г/=1
п
У?), где а{>0, х,>х°>Ои т. п.).
Из анализа модели (6.8) известно, что для разнообразных то-
варов, приобретаемых при различных ценах и доходах, теорети-
чески должны выполняться условия (6.10). Поэтому каждому со-
четанию s наблюдаемых величин покупок и цен соответствует П/
уравнений ‘ (У*) — = где е® — погрешность. Далее ста-
вится стандартная задача математической статистики: оценка па-
раметров системы регрессионных уравнений, в частности, по кри-
терию минимизации суммы квадратов отклонений от теоретиче-
ских зависимостей. При этом требуется, чтобы число уравнений
существенно превышало число неизвестных параметров. В заклю-
чение проводится сравнение первоначально выбранных математи-
ческих моделей и в конечном счете принимается та из них, которая
наилучшим образом аппроксимирует статистические наблюдения.
Пусть в качестве модели целевой функции избрана квадратичная функ-
ция. Она удобна тем, что ее первые частные производные — линейные функ-
ции. Поэтому мы получаем для каждого наблюдения систему уравнений ли-
П Л (fl | J \
нейной регрессии: Ь{ + У, Ь{,^—к3р^ = е-. Требуется определить п-|- ——--
/=1 2
параметров bi и бу (матрица коэффициентов В = (Ьц) — симметрична).
Каждое статистическое наблюдение прибавляет п уравнений и одну неиз-
вестную Xs. Поэтому необходимо провести столько наблюдений N, чтобы
221
,, , , п (П + 1) , .. „
число nN стало существенно больше, чем п -|-N. Например, если
п = 50, то N должно быть существенно больше 25. Это показывает, что за-
дача построения целевой функции предъявляет большие требования к регу-
лярности статистических наблюдений о приобретении товаров1.
Изложенная методика построения ЦФП включает ряд сущест-
венных упрощений. Так, не учитывается то важное обстоятельство,
что при недостаточном предложении одних товаров спрос «пере-
ключается» на другие товары, в результате чего наблюдаемая струк-
тура приобретения товаров может заметно отличаться от той, ко-
торая была бы при полном товарном обеспечении. Более тонкая
методика-необходима для учета товаров длительного пользования
(в рамках одного промежутка времени величины приобретения
и использования этих товаров, как правило, не совпадают). Необ-
ходимо также принимать во внимание, что на покупательский спрос
активное воздействие оказывают не только розничные цены и до-
ходы, но п такие факторы общественной среды: удовлетворение
духовных запросов, научная пропаганда, реклама товаров и т. д.
Прямое использование модели (6.8) для всей совокупности по-
требителей определяет вектор покупательского спроса Y при фик-
сированных ценах и доходах. При этом предполагается, что сфера
производства должна обеспечить выпуск потребительских товаров
в соответствии с предъявляемым спросом.
Однако возможна и другая постановка задачи: известен вектор
Y° товаров, которые могут быть реализованы, и требуется уста-
новить такие цены и общий доход, чтобы спрос потребителей со-
ответствовал товарному предложению. Опираясь на выведенные
выше условия оптимального выбора (6.10) — (6.11), сформули-
руем задачу нахождения значений цен и доходов, балансирующих
спрос и предложение:
щ (^°) = г — 1, • • •, «f,
s P^-D, (6.14)
i=l
nt— число реализуемых товаров.
Имеем (п1 + 1) уравнений и (пх + 2) неизвестных рг, D, X.
Зафиксируем значение одной неизвестной, например дохода или
цены какого-либо товара. В результате приходим к системе, имею-
щей одинаковое число неизвестных и уравнений. При соблюдении
некоторых формальных требований система имеет решение (оно
может быть и неединственным), которое дает такие значения цен
и доходов, которые балансируют спрос и предложение по всем ви-
дам реализуемых товаров.
1 Различные методы построения ЦФП на основе информации о спросе и по-
треблении предлагались Е. Е. Слуцким, А. А. Конюсом и С. С. Бюшген-
сом, а также рядом зарубежных экономистов-математиков.
222
Распределение потребительских благ между
группами потребителей
Рассмотрим модель экономического взаимодействия, являю-
щуюся частным случаем модели из § 5 главы 3.
Требуется распределить посредством торговли между m груп-
пами потребителей вектор товаров Y0. Решая свои задачи (6.8)
при фиксированных ценах и доходах, группы потребителей
предъявят совокупный спрос, который лишь случайно может сов-
пасть с У0. Это означает, что если планирование товарного пред-
ложения отрывается от планирования цен и распределения дохо-
дов, то неизбежны несоответствия спроса и предложения; в ре-
зультате общество не может достичь максимального при данных
производственных возможностях уровня благосостояния. Поэ-
тому распределение потребительских благ предполагает активное
регулирование цен и доходов.
Общая модель объединяет m моделей групп потребителей и ус-
ловие m
^Yk=Y<>. (6.15)
*=1
Неизвестными в модели являются векторы Yk и вектор цен Р.
Состояние равновесия характеризуется тем, что при соответствую-
щих ценах Р* доходы всех групп населения используются пол-
ностью и группы потребителей предъявляют суммарный спрос,
/и
совпадающий с предложением: ^Y*k~Y°. Необходимыми усло-
виями равновесия, в частности, являются:
uib {^*ь\ для i= 1, • • n; k= 1, ..., m;
К у tv1 I
(6.16)
при этом
если //*/г>0, то uik (У^) = (6.17)
Из условий (6.17) для любых распределенных товаров i и j
любых групп населения k и I следует
uik __ utk (yfe) lg,
«// (И) ’ ’ ии ’
т. е. для различных групп потребителей отношения предельных
полезностей должны быть одинаковыми по каждому распределен-
ному товару, а также
, 19)
«// (И) ’
т. е. отношения предельных полезностей (и соответственно нормы
эквивалентной заменяемости) должны быть равны для всех распре-
деленных товаров.
223
Свойства (6.16)'— (6.18) указывают правила распределения по-
требительских благ. Однако получаемые с помощью модели решения
требуют критического анализа, особенно если они характеризуются
существенными изменениями прежних соотношений цен. .Напри-
мер, возможно, что найденные балансирующие цены Р* приводят
к серьезному изменению соотношений реальных доходов групп
населения. В условиях социализма являются неприемлемыми та-
кие изменения цен, которые ущемляют интересы различных групп
трудящихся. Поэтому, планируя изменения цен на различные виды
товаров, необходимо совместно с этим рассматривать вопрос о кор-
ректировке общего объема и распределения денежных доходов.
' Общей чертой анализировавшихся в данном параграфе моделей
является то, что в- них предусматривается активная роль цен и до-
ходов в формировании структуры спроса и распределения потреби-
тельских благ. Рассмотрим теперь задачу, для решения которой
применимы принципы ресурсно-технологической оптимизации.
Требуется обеспечить заданные уровни удовлетворения потреб-
ностей различных групп населения при минимальных объемах
затрачиваемой для этого продукции (товарных фондов).
Пусть ск — заданный уровень целевой функции потребителей
группы k; Y — вектор объемов продукции, затрачиваемой для
удовлетворения потребностей всех групп потребителей. Приходим
к следующей задаче векторной оптимизации:
k= 1, ..., m;
tn
2 У*-min.
Й=1
(6.20)
Решением модели (6.20) определяются эффективные векторы Y
(оптимальные по Парето), распределяемые между группами по-
(tn ' \
Y — Yk . В соответствии с введенным в § 3 главы 3
4=1 /
понятием эффективного вектора (варианта) не существует других
векторов Y, удовлетворяющих условиям задачи (6.20), таких,
что Y Y.
- При этом необходимым условием оптимального распределения
благ между группами потребителей является равенство отношения
предельных полезных эффектов (норм эквивалентной заменяемо-
сти) благ для всех потребителей:
const для всех k=l, т
uik (Yk)
(если yik>Q, ylk>0), (6.21)
что аналогично условиям (6.19).
224
Множества эффективных вариантов в n-мерном пространстве
благ изображается поверхностью безразличия, общей для всех
групп потребителей. Она строится как векторная сумма заданных
поверхностей безразличия групп потребителей по следующему
правилу: каждая точка общей поверхности безразличия, имеющая
определенные нормы эквивалентной заменяемости, есть сумма то-
чек поверхностей безразличия групп потребителей с такими же
нормами эквивалентной заменяемости1. В свою очередь, каждая
точка, принадлежащая общей поверхности безразличия (т. е. опре-
деленный эффективный вариант У), может обеспечить заданные
уровни удовлетворения потребностей групп потребителей только
при таком распределении благ, когда нормы эквивалентной заме-
няемости благ будут одинаковы для всех групп потребителей,
т. е. когда выполняются условия (6.21).
§ 3. ФУНКЦИИ ПОКУПАТЕЛЬСКОГО СПРОСА
Связь модели поведения потребителей и
, функций спроса .
Пусть в модели (6.8) цены и доход рассматриваются как меняю-
щиеся параметры. (Для удобства переменную дохода будем обозна-
чать в дальнейшем z.) Тогда решением параметрической оптимиза-
ционной задачи (6.8) будет вектор-
функция Y* = У* (Р, г). Она
может быть выведена аналитически
либо путем статистического обобще-
ния оптимальных решений при
различных значениях Риг. Ком-
понентами вектор-функции У* (Р, г)
являются функции покупатель-
ского спроса на определенный товар
от цен и дохода: у* = ^(Р, г).
Рассмотрим частный случай,
когда изменяется только доход,
а вектор цен остается неизменным
(Р = Р°). Рис. 6.7 показывает: при
увеличении дохода бюджетная ли-
ния перемещается параллельно са-
мой себе и точками оптимума —
спроса потребителей — будут точ-
ки Mlt М2, М3. (При нулевом доходе спрос на оба товара
будет нулевым.) Кривая, соединяющая точки 0, Ми М2, является
отображением вектор-функции покупательского спроса от дохода
при заданном векторе цен.
1 Подробнее о геометрической интерпретации данной задачи см.
А. А. Смертин. Предпочтительный план и целевая функция текущего
производства.— «Экономика и математические методы», 1975, т. XI, вып. 6.
® А. Г. Гранберг 225
РИС. 6.7.
Изменение спроса при росте до-
хода
Приведем простой пример построения функций спроса от дохода на ос-
нове модели (6,8).
Допустим, для двух товаров и (Y) = у^; р±= 1; р2 = 2. Тогда
ul = i/g! «2 = ^У[У2- Необходимые условия оптимума дают систему уравнений:
У2 =
Зу^2 ~ 2Х;
. У1 + 2«/2 = 2.
В результате подстановки первого уравнения во, второе получаем
ЪУ[У2 = 2У2- Подставим сюда выражение у± из третьего уравнения:
3 (г— 2у2} у2 = 2у2, откуда Зг=8у2. Ё результате получаем две функции
1 3
спроса от дохода: у± = - г, у2 = --г.
4 8
Между целевой функцией потребителей и функциями покупа-
тельского спроса существует взаимная связь. Выше было показано,
что функции спроса выводятся из целевой функции потребителей.
Доказывается также, что из вектор-функции спроса, удовлетворяю-
щей ряду, естественных допущений, могут быть выведены целевые
функции, которым соответствует вектор-функция спроса. По-ви-
димому, нелогично признавать возможность и целесообразность
построения и применения функций спроса и одновременно отри-
цать правомерность понятия «целевая' функция потребителей», а
также все теоретические выводы, вытекающие из ее существования.
Функции покупательского спроса характеризуют зависимости,
которые легко обнаруживаются и проверяются эмпирически (в от-
личие от целевой функции потребителей). Поэтому функции спроса,
хорошо подтверждаемые статистическими данными, могут помочь
в выборе модели (формулы) целевой функции и ее параметров.
Например, из того что спрос на многие товары с увеличением до-
хода изменяется нелинейно, следует вывод, что те модели целевой
функции, которые индуцируют линейные функции спроса, яв-
ляются неадекватными. (Кстати, в эту группу попадают квадра-
тичные и логарифмические функции.)
Анализ влияния на покупательский спрос изменения цен и до-
ходов удобно проводить на основе необходимых условий оптимума
(6.10), (6.11).
Если дифференцировать равенства (6.10) и (6.11) по доходу и це-
нам, то будем получать системы из (п + 1) уравнений для
дУ* д>* ду*{ дХ* u ,
частных производных —- и ----------; —- и ------. Например, диф-
дг dz dpj др;
ференцирование равенства (6.11) по доходу и цене pk дает соот-
ветственно уравнения:
226
Анализ уравнений в частных производных выявляет ряд коли*
чественных зависимостей о совместном влиянии изменения цен
и дохода на покупательский спрос. В частности, уравнение Слуц-
кого
*0*1) (6.22)
дрь \dpkJ comp дг
показывает, что общее изменение спроса под влиянием изменения
определенной цены складывается из двух частей: влияния замены,
т. е. переключения спроса на другие товары («компенсированного»
изменения цены), и влияния изменения дохода (изменения реаль-
ной возможности приобретать данный товар вследствие изменения
цены)1 2.
о дУ* дУ*
Знаки частных производных ------- и ----- характеризуют важ-
дг др}
ные свойства товаров как объектов покупательского спроса.
ду* ду*.
Для большинства товаров —->0 и ---------<0. Исключение со-
дг dpt
ставляют «малоценные» товары, спрос на которые при увеличении
дохода снижается (среди продуктов питания это — хлеб, карто-
фель, низкокачественные жиры и т. п., среди промышленных то-
варов — обувь и одежда устаревших моделей и фасонов и т. п.).
„ ду*,
В свою очередь, среди товаров с ----<0 могут встречаться и та-
дг
2 дУ* „
кие товары , которые имеют —->0.
dpi
Функции спроса являются однородными нулевой степени от-
носительно всех цен и дохода
z/ДаР; az)—yt(P, г) при а>0.
Действительно, пропорциональное изменение цен и дохода не
влияет ни на положение бюджетного ограничения (определяющего
область выбора потребителей), ни на целевую функцию. Покупа-
тельная способность (реальный доход) и соотношения цен остаются
неизменными, меняется только масштаб цен.
1 Об этом направлении анализа подробнее см. в [2, с. 544—560], [4, с. 212—
222], [10, с. 133—137].
2 Парадоксальное увеличение спроса на товар при увеличении цены на этот
же товар впервые было обнаружено в конце XIX в. в Ирландии. Таким
товаром оказался картофель, составлявший основную часть рациона пи-
тания бедных слоев населения. Товары, имеющие «У/ 0. в теории по-
« дР,
требления принято называть товарами Гиффина. К товарам Гиффина могут
относиться только товары, расходы на которые занимают значительный
удельный вес в бюджете потребителей.
8* 227
В соответствии с формулой Эйлера для однородных функций
п
имеем р,- + z = 0; » = 1, ..'., п. Разделив почленно
dpi дг
обе части равенства на yit получим
VI tyi Pj , ду{ г
jbJ др, yt дг Vi
i=i
(6.23)
Выражение Ezt = ——г—
дг Vi
спроса на товар i от дохода,
есть коэффициент эластичности
характеризующий относительное из-
менение спроса по отношению к относительному изменению дохода.
Выражение Ец = ~---^- есть коэффициент эластичности
спроса на товар i от цены на товар /, характеризующий относитель-
ное изменение спроса по отношению к относительному изменению
цены.
Из (6.23) следует
-1^/.
/=1
(6.24)
г- ду- , Д,
Если —->0, то £?>0, откуда 2 $/<0 (т- е- хотя бы один
02 /=1
коэффициент эластичности от цены должен быть отрицательным).
ду* "
Если же —-<0 (малоценный товар), то Е7<0 и 2 £f/>0 (т. е.
дг /=1
хотя бы один коэффициент эластичности от цены должен быть по-
ложительным).
Функции и коэффициенты эластичности
спроса от дохода
На практике функции покупательского спроса строятся и при-
меняются главным образом для отдельных групп товаров. При
этом выбираются такие типы функций, которые отражают устойчи-
вые тенденции (эмпирические закономерности) изменения спроса
и потребления при увеличении дохода.
Анализ статистических данных по СССР показывает, что с ро-
стом дохода снижается доля расхода на питание и увеличивается
доля расхода на непродовольственные товары (в особенности на
предметы длительного пользования) и услуги. Например, в струк-
туре расходов семей промышленных рабочих доля продуктов пи-
тания с 1940 по 1972 г. уменьшилась с 54 до 35%, доля тканей,
228
одежды, обуви возросла с 11 до 15%, мебели, предметов культуры
и быта — с 1,6 до 6%, услуг — с 17 до 23%. Существенные изме-
нения спроса с увеличением дохода происходят и внутри товарных
групп. Так, например, спрос населения переключается с тканей
на готовую одежДу и особенно — на трикотажные изделия.
В конце XIX в. немецкий статистик Э. Энгель сформулировал
эмпирические законы потребления и построил кривые, в соответст-
вии с которыми с ростом дохода доля расхода на питание умень-
шается, доля расхода на одежду и жилье остается стабильной
спрос
РИС. 6.8.
Функции спроса от дохода (кривые Торн-
квиста)
и т. п. (Функции спроса от дохода часто поэтому называют кривыми
Энгеля.) Этот же принцип разграничения групп товаров по типам
функций спроса (потребления) от дохода использовал шведский
экономист Л. Торнквист. Он предложил специальные виды функ-
ций (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необ-
ходимости (I), второй необходимости (II), предметов роскоши (III).
Графики этих функций приводятся на рис. 6.8.
Функция для предметов первой необходимости имеет вид
Она отражает тот факт, что рост спроса (потребления) на мно-
гие товары, удовлетворяющие самые насущные потребности, по-
степенно замедляется (так, что •^'<01 и имеет предел аг (кривая
асимптотически приближается к линии aj.
229
Функция спроса на предметы второй необходимости имеет вид
а2(г —Z>2) .
у г + с2 ’
z>&2.
Эта функция также имеет предел (а2), но более высокого уровня.
Спрос-на эту группу товаров появляется только после того, как до-
ход достигает величины Ь2-
Наконец, функция спроса на предметы роскоши выражается
формулой
а3г(г — Ь3) . д
У _..... —, z о3.
2
Эта функция не имеет предела. Спрос возникает только после
того, как доход превысит величину Ь3 и далее быстро возрастает
/ dPy п\
так, что ——> 0 .
\ dz2 /
Функции Торнквиста, однако, не дают полного описания зако-
номерностей изменения спроса при увеличении доходов. Они не-
достаточно отражают специфику различных групп товаров. В ча-
стности, они описывают только монотонное изменение спроса,
хотя для некоторых товаров существуют точки максимума (для
малоценных товаров, спрос на которые сначала возрастает, а за-
тем — снижается) и точки перегиба (когда с возрастанием дохода
сРу
сначала положительна, а затем становится отрицательной,
что улавливается S-образной кривой).
Исследования по данным бюджетной статистики СССР показы-
вают, что в большинстве случаев зависимости расхода населения
на определенные товары при изменении дохода хорошо аппрокси-
мируются линейной функцией у = а + bz или степенной функцией
у = aza (являющейся линейной относительно логарифмов log у —
= log а -|- a log z).
Широкое применение в анализе изменения спроса при неболь-
ших изменениях дохода находят коэффициенты эластичности Е*.
В зависимости от величины Е* все товары делятся на четыре группы:
малоценные товары (£1<0);
товары с малой эластичностью (0<Е;<1);
товары со средней эластичностью (значения Е* близки единице);
товары с высокой эластичностью (Е*>1).
По результатам проводившихся в СССР обследований коэффи-
циенты эластичности по продуктам питания находятся в интер-
вале 0,4—0,8, по одежде, тканям, обуви — в интервале 1,1—1,3
и т. д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров
первой и второй групп на товары четвертой группы, причем потреб-
ление товаров первой групцы сокращается абсолютно.
230
Для большинства видов функций спроса у = f (z) коэффици-
df (z) z ,
енты эластичности E = v-----------также являются функциями,
dz f (z)
зависящими от z. Поэтому в общем случае ими можно пользоваться
как числами только в окрестности определенной величины дохода.
С этой точки зрения большим удобством обладает степенная функ-
ция у = az“, имеющая постоянный коэффициент Ег = а.
Расход потребителей на определенную группу товаров (у) за-
висит от количества приобретаемых товаров (<?) и от среднегруппо-
вой цены (р). Если цены на конкретные товары не меняются, то
увеличение среднегрупповой цены достаточно точно выражает рост
качества приобретаемых товаров. Коэффициент эластичности де-
нежного расхода от дохода можно представить в виде суммы ко-
эффициентов эластичности количества и качества:
При прогнозировании совокупного покупательского спроса
важное значение имеет учет особенностей социальных, экономиче-
ских, демографических групп населения, поскольку структурные
изменения совокупности потребителей могут приводить к значи-
тельным колебаниям совокупного спроса.
В СССР дифференцированный подход к моделированию потреб-
ления получил значительное развитие (труды Ю. И. Писарева,
А. X. Карапетяна, В. Ф. Майера и др.). В последние годы в СССР
разрабатывается модель дифференцированного баланса доходов
и потребления населения, включающая модели формирования до-
ходов и потребления по основным социальным группам и группам
семей с разным уровнем обеспеченности. Составной частью модели
дифференцированного баланса являются функции спроса (потреб-
ления) от дохода по группам населения. Например, для 1965 г.
были определены следующие зависимости потребления от дохода
(на душу населения в год в руб.)1:
Продукты питания
рабочие и служащие 1g у = 0,3729 + 0,73361g г
колхозники , 1g у = 0,2338 + 0,7933 lg z.
Непродовольственные товары
рабочие и служащие lgy=— 0,8128 +1,0820 Igz
колхозники lg z/ = —0,9999+ 1,1976 Igz.
Таким образом, все функции являются степенными: у — ага-
Имея функции для групп населения и зная распределение населе-
ния по группам, легко определить функции совокупного спроса
(потребления) для каждой группы товаров.
1 Дифференцированный баланс доходов и потребления населения и его ис-
пользование в планировании. Под ред. В. Ф. Майера и Э. Б. Ершова. М.,
НИЭИ при Госплане СССР, 1971', с. 12.
231
Функции спроса и коэффициенты эластичности
от цен
Из модели поведения потребителей следует, что спрос на каж-
дый товар в общем случае зависит от цен на все товары. Однако
получить достаточную информацию для построения функций об-
щего вида yt = <р; (Р) очень сложно, тем более, что в СССР роз-
ничные цены меняются довольно редко. Поэтому в практических
исследованиях ограничиваются, как правило, построением и ана-
лизом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от
изменения цены на этот же товар или на группу взаимозаменяемых
товаров.
В настоящее время в СССР малоценные товары (имеющие
< 0^ не занимают сколько-нибудь значительной доли в бюдже-
дг /
тах населения, и поэтому товары Гиффина (имеющие o')
\ dpi /
отсутствуют, т. е. все товары имеют отрицательные коэффициенты
эластичности Ец.
Однако по абсолютным значениям коэффициентов товары
различаются существенно. Их можно разделить на три категории:
товары с неэластичным спросом в отношении цены (£»>—1);
товары со средней эластичностью спроса в отношении цен (Eft
по модулю близки единице);
товары с высокой эластичностью (Е«<—1).
С ростом цены расход на приобретение товаров этих трех кате-
горий соответственно увеличивается, сохраняется на прежнем
уровне, уменьшается.
Коэффициенты Eii называются коэффициентами перекрестной
эластичности, если i ф j. По знаку этих коэффициентов товары
можно разделять на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если
для товаров I и j имеем Е^>0, это означает, что товар заменяет
в потреблении товар / (на товар i переключается спрос при увели-
чении цены на товар /). Примером могут служить многие продукты
питания (мясо и рыба, сливочное масло и маргарин, овощи и
фрукты). Если же Е^<0, это служит признаком того, что товар i
дополняет товар j в процессе потребления (увеличение цены на
товар / приводит к уменьшению спроса не только на этот товар,
но и на товар t), например автомобили и бензин.
На основании данных табл. 6.1 можно сделать вывод, что про-
дукты питания в целом являются малоэластичными по отношению
к цене, вторая группа товаров (одежда, ткани, обувь) имеют сред-
нюю эластичность, а остальные две группы представляют товары
высокоэластичные по отношению к ценам. Все промышленные то-
вары (группы вторая, третья и четвертая) образуют множество
взаимозаменяемых товаров. И, наконец, обращает на себя внимание
различие знаков коэффициёнтов, находящихся в строке и столбце
232
Таблица 6.1
ПРЯМЫЕ И ПЕРЕКРЕСТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ
ПОТРЕБЛЕНИЯ ОТ ЦЕНЫ ДЛЯ СЕМЕЙ РАБОЧИХ ЗА 1959 г.1
Продукты питания Одежда, ткани, обувь Мебель, хозяйст- венные товары Культто- вары
Продукты питания Одежда, ткани, обувь Мебель, хозяйственные —0,7296 —0,1991 —0,2458 0,0012 —1,0000 0,0024 0,0043 0,0071 —1,2368 0,0045 0,0074 0,0092
Культтовары —0,2494 0,0024 0,0089 —1,2542
1 Опыт применения математических методов математическом моделировании потребления, с. 207. и ЭВМ в экономико- М., «Наука», 1968,
«Продукты питания». Так, при увеличении цены на мебель и хо-
зяйственные товары спрос на продукты питания увеличивается
(средства, высвободившиеся от уменьшения расходов на мебель
и хозяйственные товары, переключаются на питание). Но при росте
цены на продукты питания спрос на мебель и хозяйственные то-
вары сокращается. Последнее объясняется тем, что повышение
цен на продукты питания уменьшает размер средств, остающихся
на приобретение всех других товаров.
§ 4. КРИТЕРИИ И УСЛОВИЯ ОПТИМИЗАЦИИ
ПОТРЕБЛЕНИЯ В ПРИКЛАДНЫХ
НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННЫХ МОДЕЛЯХ
В практике народнохозяйственного моделирования находят
применение, как правило, относительно простые критерии опти-
мальности. Использование упрощенных критериев, как уже под-
черкивалось в § 1 главы 4, не противоречит теоретическим принци-
пам оптимального планирования, поскольку процесс оптимизации
народного хозяйства должен включать процедуры уточнения кри-
териев по мере накопления необходимой информации и опыта оп-
тимизационных расчетов.
Однако упрощенные критерии оптимальности должны научно
обосновываться с позиций более общих моделей общественных целе-
устремлений, в частности с позиций существования ЦФБ (а для
сферы потребления — с позиций ЦФП). При построении упрощен-
ных критериев и их корректировке важно опираться на теорети-
ческие выводы, полученные из анализа ЦФП, а результаты оптими-
зационных расчетов использовать для уточнения модели и пара-
метров ЦФП.
233
Рассмотрим несколько критериев оптимальности, выражающих
стремление к достижению максимально возможного уровня удов-
летворения материальных потребностей населения (уровня потреб-
ления) при выборе вариантов развития народного хозяйства.
Максимизация фонда потребления
в фиксированных ценах
Наиболее общими экономическими показателями, используе-
мыми в статистике и планировании для оценки масштабов, темпов,
эффективности развития народйого хозяйства, являются показа-
тели физических объемов валового общественного продукта, ко-
нечного продукта, национального дохода, фонда потребления. Це-
лям экономического развития в социалистическом обществе не-
посредственно соответствует максимизация фонда потребления1.
Увеличение валового продукта, конечного продукта, националь-
ного дохода — это средства для роста фонда потребления. Однако
то обстоятельство, что стремление к увеличению фонда потребле-
ния находится в принципиальном соответствии с главной целью
социалистического производства, не является еще достаточным
основанием для принятия этого экономического показателя в ка-
честве критерия оптимальности. Все дело в методике соизмерения
различных видов благ, образующих в совокупности фонд потреб-
ления.
По принятой методике отдельные блага, входящие в матери-
ально-вещественный состав фонда потребления, соизмеряются по-
средством так называемых неизменных цен прошлого периода (р°).
Поэтому максимизация общего фонда потребления означает, строго
говоря, не максимизацию потребительского эффекта, а макси-
мизацию некоего суррогата стоимости произведенных предметов
потребления с позиций условий воспроизводства прошлого периода.
Очевидно, неизменные цены (цены прошлых лет) мало пригодны
для соизмерения полезных эффектов благ в оптимальных планах
развития хозяйства будущих лет. Недостатки неизменных цен
как экономических измерителей особенно проявляются при зна-
чительных изменениях материально-вещественной структуры фонда
потребления, при появлении новых видов продукции.
Другого рода возражение против применения рассматриваемого
показателя в качестве критерия оптимальности обусловлено ли-
нейностью соответствующей ему функции
п
R{Y)^^pP.yi.
1=1
1 Совместно с фондом потребления следует рассматривать движение потре-
бительского имущества: предметы потребления длительного и многократ-
ного пользования.
234
Из линейности функции R (У) следует, что нормы эквивалент-
ной заменяемости благ определяются соотношениями фиксирован-
Дц; P°i тт
ных цен и поэтому являются постоянными: —— =----------. Но
р°{
это противоречит закономерностям роста потребления (изменение
норм эквивалентной заменяемости). Линейность функции потреб-
ления не объясняет также основные тенденции изменения покупа-
тельского спроса1. Включение линейной функции R (У) в народно-
хозяйственную модель приводит также к чрезвычайно «бедному»
решению, т. е. в оптимальный план входит лишь незначительное
число наиболее «выгодных» потребительских благ, для которых
отношение установленных в прошлом цен к затратам ресурсов опти-
мизируемого периода является наибольшим. Такого рода «оптими-
зация», по-видимому, лишена смысла2.
Можно сделать отрицательный вывод о целесообразности не-
посредственного применения традиционного показателя физиче-
ского объема фонда потребления в качестве критерия оптимально-
сти для народнохозяйственных моделей.
Однако совершенствование методики оценки продукции может
расширить область применения данного показателя. В § 1 было
показано, что ЦФП и (У) в окрестности оптимума У* может быть
и
заменена линейной функцией у щ где соизмеряющими
1=1
«ценами» являются частные производные щ (У*). Применение та-
кой линейной функции предполагает уточнение значений коэффи-
циентов м, (У*) в процессе итеративных оптимизационных расче-
тов.
Некоторые улучшения методики исчисления физического объема
фонда потребления доступны и на базе существующих цен. Цены,
реально складывающиеся в народном хозяйстве, учитывают раз-
личия общественной полезности продуктов, очевидно, лучше, чем
цены прошлых лет. Общепризнана необходимость более полного
учета этого ценообразующего фактора. Напрашивается вывод
о том, что при расчетах физических объемов в качестве весов раз-
личных благ лучше использовать цены настоящего периода.
1 Интересно обратить внимание на следующий результат анализа модели
(6.8). Если бы целевые функции потребителей были линейными, то спрос
каждой группы потребителей, как правило, включал бы только один то-
вар (товарную группу). В действительности ничего подобного не проис-
ходит.
2 Недостатки линейного критерия можно смягчить, вводя в условия модели
дополнительные ограничения на значения отдельных продуктов или их
групп. Решение в этих случаях будет получаться более «богатым». Однако
это улучшение решения (в смысле приближения к реальности) будет до-
стигаться не за счет критерия оптимальности, а наоборот, в результате
недоверия к нему.
235
Максимизация потребления в заданном
ассортименте
Этот подход к оптимизации потребления формализуется
в виде простых соотношений, что дает несомненные преимущества
при проведении оптимизационных расчетов и экономико-математи-
ческого анализа оптимальных вариантов.
Введем необходимые обозначения.
Пусть 2 — количество комплектов (наборов) потребительских
благ, а,- — коэффициент, характеризующий количество продукции
в комплекте (ассортиментный коэффициент).
Структура потребления продукции выражается условием
I yt\
z — min — ,
i \a‘ J
которое приводится к системе линейных неравенств у, az2;
i = 1, ..., п. Допускается, что при решении задачи на максимум
комплектов некоторые виды продукции могут получаться в излишке
(сверх комплектов). Такие случаи в народнохозяйственных задачах
возможны при наличии комплексных производств (когда в одном
технологическом процессе получается несколько видов продукции).
Таким образом, задача максимизации потребления в заданном
ассортименте включает условия:
2 -> max,
z/z>az2, i=l........п.
(6.25)
п
Коэффициенты az удобно нормировать так, чтобы
ы
п
Если 2 — общий объем фонда потребления и у az = 1, то коэффи-
z=i
циенты а,- означают удельные веса продукции в фонде потребле-
ния.
Остановимся на вопросе экономического обоснования ассорти-
ментных коэффициентов.
Широкое применение имеет подход к определению структуры
потребления, базирующийся на системе норм рационального по-
требления продуктов питания, промышленных товаров, жилья,
различных услуг. Принимается, что коэффициенты az пропорцио-
нальны соответствующим нормам рационального потребления.
Тогда максимизация потребления в заданном ассортименте будет
обозначать равномерное приближение к рациональным нормам.
Возникающую задачу можно интерпретировать как максими-
зацию степени равного удовлетворения рациональных потребно-
стей. Действительно, если Yv = {у?} — вектор рациональных по-
236
требностей, 0 — степень удовлетворения рациональных потребно-
стей, 0 [0, 1 ], то имеем:
I 0 -> max,
. , (6.26)
[ t==I’ •••’ ”•
Очевидно, что если а. = kyV, где k — коэффициент пропорцио-
нальности, &>0, то условия ‘(6.25) и (6.26) эквивалентны.
На рис. 6.9, а точка А характеризует вектор рациональных
потребностей. Все наборы благ, удовлетворяющие заданйому ас-
РИС. 6.9.
сортименту, находятся на луче ОЛ. Точка В — пересечение луча
с границей множества производственных возможностей — яв-
ляется оптимальным решением.
Существенный недостаток условий оптимизации (6.25), (6.26)
заключается в том, что допускаются неоправданно резкие измене-
ния сложившейся структуры потребления. Известно, что различ-
ные рациональные потребности удовлетворяются в настоящее время
не в одинаковой степени. В этой ситуации мгновенная перестройка
фактической структуры потребления йа «рациональную» неизбежно
должна привести к уменьшению потребления многих видов благ,
которое не может быть компенсировано ростом потребления других
видов благ.
Поясним это на примере. В настоящее время фактические размеры по-
требления хлеба и картофеля на душу населения немного выше рациональ-
ных норм. В то же время по ряду высококачественных продуктов питания
они ниже в 1,5—2 раза. Поскольку в течение одного года можно увеличить
производство этих продуктов максимум на 10—20%, то при установлении
для всех продуктов одинаковой степени приближения к рациональным нор-
мам потребление хлеба и картофеля должно уменьшиться сразу более чем
в 2 раза. Несостоятельность такого «оптимального» решения очевидна.
237
Поэтому целесообразно изменить условия оптимизации таким
образом, чтобы обеспечить плавность изменения структуры потреб-
ления. Для этого следует перейти к задаче максимизации прироста
потребления в заданном ассортименте.
Обозначим: z/9 — потребление продукции i в базисном году;
Ау(- — прирост потребления продукции i по сравнению с базисным;
щ — ассортиментный коэффициент прироста потребления про-
п
дукции i (удобно, чтобы 2 ai = 1); г — число комплектов прироста
1=1
потребления. При этом у^у0.-]- Ау., условия же максимиза-
ции формулируются следующим образом:
[ z -+ max,
\yi>yOi + ^, i=l, •••, п. (6.27)
Соответственно меняется и постановка задачи максимизации
степени удовлетворения рациональных потребностей:
( 0 -> шах,
[У1>У°с + {У7—У°^’ .....п> (6‘28)
где 0 — степень удовлетворения потребностей по сравнению с до-
стигнутым уровнем, 0 £ [0, 1 ].
Условия (6.27), (6.28), характеризующие оптимизацию потреб-
ления «по кратчайшему пути», близки сформулированной в § 1
главы 4 задаче минимизации срока достижения заданных целей.
На рис. 6.9, а показано, что потребление обоих благ увеличивается
от исходной точки У0 прямолинейно в направлении к точке А. При
этом структура потребления постепенно приближается к рацио-
нальной. Оптимальным решением будет точка D.
Формулировка условий максимизаций потребления (прироста
потребления) и равной степени удовлетворения рациональных по-
требностей может быть обобщена для совокупности потребителей,
разбитых на группы. Пусть Y°k = (^) —.вектор фактического пот-
ребления группы k, Y°k— У0; У^ = (t/jQ — вектор рациональных
т
потребностей группы k, 2 Yk = У7 • Тогда условия оптимизации
потребления примут вид:
0 -> max,
t>=1....«;
k— 1.....tn,
2 yik=yi> г‘ = 1>
л=1
0£[О, 1]. (6.29)
238 ’ ’ • .
Рассмотрим теперь иной подход к определению структуры по-
требления, тесно связанный с ЦФП.
Первоначально устанавливаемые ассортиментные соотношения
потребления (коэффициенты аг- или а/) должны соответствовать
представлениям о наилучшем из достижимых вариантов потребле-
ния (с учетом всех условий развития народного хозяйства). Най-
денный с помощью этих коэффициентов вариант будет, вероятно,
эффективным, но вовсе не обязательно, что он будет оптимальным
с позиций ЦФП.
Поиск лучших вариантов может быть продолжен путем измене-
ния ассортиментных коэффициентов.
Вместе с решением задачи на максимум потребления в заданном
ассортименте получаются оптимальные оценки каждого вида про-
дукции V = (ц4), показывающие, насколько уменьшится в опти-
мальном плане число комплектов при увеличении сверхассорти-
ментного потребления продукции i на «малую единицу» (см. § 3
главы 4). Соотношения оценок характеризуют возможности заме-
няемости продукции в окрестности найденного оптимального плана
при сохранении числа комплектов. Допустим, при сопоставлении
оценок продуктов i и / обнаруживается, что
VI
= 3. Это означает,
Vj
что при существующих производственных возможностях увеличе-
ние потребления единицы продукта i вынуждает сократить потреб-
ление продукта / на три единицы. Но с точки зрения полезного
эффекта потребления такая замена нецелесообразна: за единицу
продукта i можно «пожертвовать» максимум две единицы продукта /.
Таким образом, продукт / имеет большую относительную потреби-
тельскую ценность, чем это следует из первоначальных условий
задачи. Поэтому необходимо увеличить ассортиментный коэффи-
циент по продукту /. Подобные изменения ассортиментных коэф-
фициентов могут производиться неоднократно. Целью этих изме-
нений является достижение равенства отношений оптимальных
оценок продуктов и коэффициентов эквивалентной заменяемости
продуктов в потреблении, т. е. выполнение необходимых усло-
вий максимума ЦФП на множестве производственных возмож-
ностей.
На рис. 6.9, б показано, что векторы ассортиментных коэф-
фициентов а(- и аг должны привести в точку М — точку мак-
симума ЦФП1.
1 Теоретически, разумеется, проще применить ЦФП, которая избавит от
необходимости многократных пересчетов оптимизационной задачи. Но
построение ЦФП требует предварительного упорядочения множества до-
пустимых вариантов потребления. В то же время известно, что значительно
проще «узнать», какой из двух-трех конкретных вариантов лучше, чем
умозрительно проранжировать все допустимые варианты по их предпочти-
тельности.
239
Максимизация уровня потребления
при заданных функциях потребления
Функция потребления yt — (z) характеризует изменение
потребления определенного блага в зависимости от изменения об-
щего уровня потребления z. При этом величина z может характе-
ризовать уровень ЦФП, общий объем фонда потребления, степень
удовлетворения рациональных потребностей, величину денежных
доходов населения и т. п. Рассматривавшиеся выше условия yt =
= арг и yt = у°. + a;z представляют собой линейные функции
потребления. Однако законам роста потребления в большей сте-
пени соответствуют нелинейные функции.
Рассмотрим более общую по сравнению с (6.28) формулировку
условий, максимизации степени удовлетворения рациональных по-
требностей:
0 -> шах,
Vi >'/? + ’₽; (9)> i = 1..............(6.30)
§ею, ц.
Для различных благ необходимо построить функции потребле-
ния yt = + <р( (0), у которых ф. (0) = 0 при 0 = 0 и ф; (0) =
—у?—y°i, при 0=1. Совокупность таких функций должна отра-
жать целесообразное изменение структуры потребления по мере
увеличения степени удовлетворения потребностей.
Основное отличие данных условий оптимизации потребления от
ЦФП заключается в том, что заранее выбирается (хотя бы предва-
рительно) траектория перехода от одного уровня удовлетворения
потребностей к другим, более высоким уровням. На рис. 6.10, а
намеченная траектория, соединяющая точки У0 и Л, пересекает
границу множества производственных возможностей в точке Е,
которая при заданных условиях будет оптимальным решением.
Очевидно, для всех благ, по которым у\<.уУ, необходимо, чтобы
фД0)>О и ф\ (0)>О. Скорость увеличения потребления различ-
ных благ должна, по-видимому, зависеть от достигнутой степени
удовлетворения соответствующей потребности и насущности этой
потребности. Для тех благ, по которым фактическое потребление
значительно уступает рациональной норме, нужно выбирать функ-
ции ускоренного роста, имеющие ф"(0)>О. Наоборот, если фак-
тическое потребление близко к рациональным нормам, то даль-
нейший рост потребления может быть замедляющимся: ф"(0)<О.
Б. М. Смеховым и Я. М. Уринсоном 1 в расчетах по оптимизацион-
1 См. [18; гл. III].
240
ной межотраслевой модели в ГВЦ Госплана СССР использовались
функции потребления вида y£ = z/° + ^9‘, где k^U'i—i/® и
с£>0. При С[ — 1 имеем линейные функций, при ct >1 — функции
с возрастающей скоростью роста, при cz<l — функции с замед-
ляющейся скоростью роста потребления.
В качестве особых функций потребления можно использовать
функции покупательского спроса от дохода и максимизировать ве-
личину денежного дохода:
z -> шах,
i=l, ..., п.
(6.31)
Как было показано в § 3, максимизация дохода населения при
фиксированных розничных ценах строго связана с задачей макси-
мизации ЦФП. Однако, если цены, для которых рассчитаны функ-
ции спроса yt = fi (г), берутся не из оптимального народнохозяйст-
венного плана, то нет гарантии, что вариант потребления, наилуч-
ший по критерию дохода, является наилучшим по значению ЦФП.
На рис. 6.10, б показано, что розничным ценам соответствуют
такие функции покупательского спроса, которые приводят к раз-
ным оптимальным решениям S, L, М. Теоретически необходимо
применять такие цены, при которых функции спроса потребителей
приводят в точку максимума ЦФП (в точку М). Пересчет цен мо-
жет осуществляться на основе информации об оптимальных оцен-
ках продукции и целесообразной заменяемости продукции в окрест-
ности оптимума так же, как и при уточнении ассортиментных ко-
эффициентов. Точка максимума дохода совпадет с точкой макси-
мума ЦФП только в том случае, когда соотношения цен (прямая
FG на рис. 6.10, б) станут' пропорциональны оптимальным оцен- (
кам продукции и обратно пропорциональны коэффициентам экви-
валентной заменяемости благ.
Э
Глава 7__________________________
МОДЕЛИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
§ 1. МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС
ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОДУКТА.
СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Межотраслевой материальный баланс
Для отражения системы материально-вещественных связей про-
цесса воспроизводства общественного продукта разрабатывается
межотраслевой материальный баланс, объединяющий показатели
производства и использования разнообразных видов продукции
и услуг. Межотраслевой материальный баланс может разрабаты-
ваться в различных единицах измерения. Баланс, в котором ис-
пользуются по преимуществу физические (натуральные) измери-
тели, называют межотраслевым балансом в натуральном выраже-
нии.
Сводная таблица межотраслевого материального баланса объе-
диняет материальные балансы отдельных видов продукции
г, / £ /, / = {1, ..., п). При этом каждый материальный баланс
строится по схеме «поступление ресурсов — использование ре-
сурсов»:
xz + sz= S xz/ + ^z> (7-1)
to
где Xi — объем производства продукции i; — внепроизводствен-
ные ресурсы продукции i (импорт, запасы и резервы на начало пе-
риода и т. д.); Хц — затраты продукции i на производство продук-
ции /; kt — конечное использование продукции i (непроизводст-
венное потребление, возмещение выбытия и расширение основных
фондов, экспорт, возмещение потерь, запасы и резервы на конец
периода).
Схема (7.1) обычно используется для межотраслевого баланса
в натуральном выражении. При использовании же ценностных
242
измерителей чаще применяется сокращенная схема «производство
продукции — распределение продукции»:
= .2 (7.2)
Конечная продукция каждого вида yt = kt—st включает ко-
нечное использование продукции за вычетом поступления внепро-
изводственных ресурсов.
В СССР отчетные межотраслевые материальные балансы в натуральном
выражении были построены за 1959, 1966, 1972 гг. Они включали соответст-
венно 157, 237 и 247 важнейших видов продукции. Плановые межотраслевые
материальные балансы регулярно разрабатываются с 1962 г. Первый такой
баланс включал 346 видов продукции; впоследствии число наименований
продукции было доведено до 600. Во всех указанных балансах часть видов
продукции и услуг выражается в неизменных ценах, которые служат изме-
рителями физических объемов агрегированной продукции.
Специфика межотраслевых балансов в натуральном выражении
состоит в том, что они не охватывают весь валовой общественный
продукт. Поэтому они не могут полностью (и конкретно) расшифро-
вывать расход продукции на производственные нужды. Особой
статьей в этих балансах является «прочее производственное по-
требление», включаемое в kt или yt. В последние годы стал разра-
батываться межотраслевой баланс смешанного типа («натурально-
стоимостной»), охватывающий весь общественный продукт (см.
главу 8).
Межотраслевые материальные балансы могут быть построены
в единых измерителях для всех видов продукции (ценностных,
трудовых). Такие балансы целесообразно рассматривать как со-
ставную часть более общих балансовых построений, охватывающих
одновременно и материально-вещественные взаимосвязи по линии
общественных затрат.
Межотраслевой баланс общественного продукта
Построение межотраслевого баланса общественного продукта
основано на принципах деления валового общественного продукта
по материально-вещественному и стоимостному составу. Сводная
таблица межотраслевого баланса общественного продукта состоит
из четырех основных разделов-квадрантов (табл. 7.1):
I квадрант — межотраслевые взаимосвязи по использованию
продукции на текущее производственное потребление (возмещение
потребленных в производстве предметов труда и производственных
услуг);
II квадрант — материально-вещественный состав конечной про-
дукции народного хозяйства (используемый национальный доход
и затраты на возмещение основных фондов);
243
Таблица 7.1
244
СХЕМА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОДУКТА
Распределение продукции Затраты на производство Текущее производственное потребление в отраслях Конечная продукция (по элемен- там) Валовой продукт
1 2 п итого
Материальные затраты отраслей 1 2 п Х11 Х21 ХП1 Х12 Х22 ХП2 квадрант I х1п Х2П хпп ’7? ’и 5? «Ни с /1 и сНн У1 У2 квадрант II Уп Х1 х2 хп
Итого- - и £ 2 Х‘'2 i = 1 . . . Н - еНи п п 2 2 хи i=i /=1 п 2 yt i = I п 2 х( i = I
Условно-чистая продукция (по элементам) 21 квадрант III zn п 2 г/ / = 1 квадрант , IV
Валовой продукт Х1 Х2 %п II
Ill квадрант — стоимостный состав конечной продукции на-
родного хозяйства (созданный национальный доход и амортизация
основных фондов);
IV квадрант — перераспределение конечной продукции.
Главную связующую роль в системе показателей межотрасле-
вого баланса общественного продукта играет I квадрант. Он со-
держит основной массив информации, используемой для анализа
межотраслевых связей1.
В общей таблице межотраслевого баланса общественного про-
дукта ортогонально совмещаются два частных межотраслевых ба-
ланса— материальный (квадранты I—II) и баланс затрат (квад-
ранты I—III).
В I и II квадрантах отражаются важнейшие материально-ве-
щественные взаимосвязи и пропорции народного хозяйства, вы-
раженные в стоимостных измерителях: отраслевая и материально-
вещественная структура фонда текущего производственного по-
требления; отраслевая и материально-вещественная структура
использования фонда конечной продукции народного хозяйства
и национального дохода; взаимосвязи между валовым обществен-
ным продуктом, фондом текущего производственного потребления
и используемой конечной продукцией народного хозяйства. По каж-
дой отрасли соотношения показателей выражаются уравнением (7.2),
а в целом по народному хозяйству выполняется равенство
2 ^=,2 2^+2^- (7.3)
KI KI KI
В I и III квадрантах находят отражение важнейшие стоимост-
ные соотношения и пропорции общественных затрат: стоимостной
состав продукции каждой отрасли; отраслевая и материально-ве-
щественная структура фонда возмещения (текущего производст-
венного потребления и амортизации); отраслевая структура соз-
данного национального дохода и его первичное распределение
на оплату труда и чистый доход; стоимостная структура валового
общественного продукта. По каждой отрасли объем произведенной
продукции равен суммарным затратам:
xi = 2 j £ /, (7.4)
Ki
1 В I квадрант не включаются показатели простого воспроизводства основ-
ных фондов. Это объясняется, во-первых, требованиями основной модели,
в соответствии с которыми требуется строго выделять затраты, непосредст-
венно зависящие от объемов производства (затраты на простое воспроиз-
водство основных фондов к этой категории затрат не относятся); во-вторых,
трудностями статистического учета взаимного соответствия возмещения
основных фондов в натуре (возмещение выбытия фондов и затраты на ка-
питальный ремонт) и по стоимости (амортизационные отчисления).
245
где Zj — условно-чистая продукция отрасли /, включающая амор-
тизацию, оплату труда и прибавочной продукт. В целом же по на-
родному хозяйству выполняется равенство
2*/ = s 2*г/ + 2 Zj. (7.5)
/6/ /е/ге/ /а
Единство материально-вещественного и стоимостного состава
валового общественного продукта, конечного продукта и нацио-
нального дохода проявляется в сбалансированности итогов межот-
раслевого баланса по строкам и столбцам:
итоги одноименных строк и столбцов (по одним и тем же отрас-
лям) равны, а поэтому равны объемы распределяемой продукции
и объемы производственных затрат:
2 xlj + Vi = 2 xki + z<> 1 C
/£/ k^I
объем валового общественного продукта как сумма распреде-
ленной продукции отраслей равен объему валового общественного
продукта как сумме всех производственных затрат:
xt = 2 хь
ОУ ОУ
2 2 2 У[ = S 2 хц-\- 2 Zj. (7.6)
/£//6/ OI OI OI ‘ j^I ‘
Поскольку №=2 .2 Хц (это равенство выполняется ав-
/€//£/ О' О'
тематически), то из (7.6) непосредственно следует, что объемы ко-
нечного общественного продукта по материально-вещественному
и стоимостному составу всегда равны:
2 yt = 2 Zj. (7.7)
О' О'
В IV квадранте межотраслевого баланса общественного про-
дукта дается подробная характеристика процессов перераспреде-
ления национального дохода. Здесь показывается, как получен-
ные в сфере материального производства первичные доходы насе-
ления (заработная плата рабочих и служащих, личные доходы
колхозников и членов кооперативов и т. д.), государства (прибыль,
налог с оборота, лесной доход и т. д.) и колхозно-кооперативных
предприятий перераспределяются через различные каналы (фи-
нансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-
политические организации), в результате чего образуются конеч-
ные доходы населения, государства, колхозно-кооперативных пред-
приятий, которым противостоят определенные фонды материаль-
ных благ (фонды потребления, капиталовложений и т. д.).
Детализированная информация, содержащаяся в межотрасле-
вом балансе, позволяет анализировать и общеэкономические про-
246
Таблица 7.2
247
СХЕМА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОДУКТА СССР ЗА 1972 г. В РАЗРЕЗЕ ДВУХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ
ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА В СООТВЕТСТВИИ С МАРКСОВОЙ СХЕМОЙ РАСШИРЕННОГО ВОСПРОИЗВОДСТВА
(ПОКАЗАТЕЛИ ОКРУГЛЕНЫ ДО ЦЕЛЫХ МЛРД, руб.)1
Фонд возмещения Используемый национальный доход Итого валовой продукт
I подразде- ление 11 подразде- ление всего в том числе
фонд потребления фонд накопления и прочий расход
I подразделение II подразделение 271CJ 133c2 5Iyx 262у2 2251/2 51у« 37у2н 45574 2627%
Произведенный националь- ный доход Б том числе: оплата труда прибавочный продукт 184 (Pj + nh) 101^ 83 m, 129 (o2 + m2) 57v2 72m2 313 (у -f- т) 158р 155т
Итого валовой продукт 455/4 262 P2 313У 225ГП 88УН 717Р
1 Рассчитано по данным: Народное хозяйство СССР в 1973 г., с. 57. 116. 122 , 604. 605.
порции, выражающие основные результаты и тенденции расширен-
ного воспроизводства. Характерным примером такого использова-
ния межотраслевого баланса является исчисление пропорций в раз-
резе подразделений общественного производства. После соответст-
вующей счетной обработки межотраслевой баланс трансформи-
руется в схему расширенного воспроизводства (табл. 7.2). Следует
подчеркнуть, что данные о стоимостной и вещественной структуре
общественного продукта в разрезе двух подразделений достаточно
точно могут быть рассчитаны только на основе межотраслевых ба-
лансов.
Сопоставление трех межотраслевых балансов СССР показывает,
что доля I подразделения в производстве валового общественного
продукта неуклонно возрастает: 1959 г.— 59%, 1966 г.—62, 1972 г.—
63%. Как известно из анализа схем воспроизводства К. Маркса,
необходимое условие расширенного воспроизводства может быть
выражено неравенством u1 + m1>c2. Положительная разность
(vt + Шх) — с2 характеризует потенциал расширенного воспро-
изводства1. Эта величина, составлявшая в 1959 г. 22,7 млрд. руб.
и в 1966_г.— 35,5 млрд, руб., возросла в 1972 г. до 51 млрд. руб.
Некоторые методические вопросы построения
межотраслевого баланса общественного
продукта 2
Межотраслевой баланс представляет собой единство определен-
ной системы экономических показателей и математической модели.
Поэтому проблемы построения экономических показателей межот-
раслевых балансов и применение межотраслевых моделей тесней-
шим образом взаимообусловлены. Использование тех или иных
статистических' и плановых показателей во многом предрешает
результаты моделирования.
Классификация отраслей и продукции. Отличительной особен-
ностью методики межотраслевого баланса является принцип «чи-
стой» отр.асли. Под «чистой» отраслью (в отличие от обычного по-
нимания отрасли как совокупности родственных предприятий)
понимается производство определенного вида продукции или группы
однородных видов продукции. Обычные показатели валовой про-
дукции отраслей промышленности включают довольно значитель-
ную часть продукции неотраслевого профиля и в то же время не-
доучитывают профилирующую продукцию отрасли, которая произ-
водится в качестве «побочной» на предприятиях, отнесенных к дру-
гим отраслям. Построение межотраслевого баланса в разрезе
1 Термин принадлежит В. С. Немчинову.
а В соответствии с общей направленностью данной книги мы ограничиваемся
только кратким перечнем основных методических проблем межотраслевого
баланса. Более подробно они освещены в работах .[1], [9], [14], [20].
248
«чистых» отраслей обеспечивает большую однородность продукции
и затрат.
Межотраслевые балансы общественного продукта в принципе
могут разрабатываться при любой степени детализации отраслей.
Однако существует стремление к усилению детализации. Межот-
раслевой баланс СССР за 1959 г. был построен по 83 отраслям, за
1966 г.— по ПО отраслям, за 1972 г.— по 112 отраслям. Совер-
шенствование системы сбора и обработки информации расширяет
возможности детализированного анализа межотраслевых взаимо-
связей в рамках единой модели, однако в каждый данный момент
эти возможности небезграничны. Благодаря агрегированию число
позиций межотраслевого баланса уменьшается, соответственно
снижается порядок системы уравнений его математической модели
и, безусловно, облегчается практическое осуществление расчетов.
Однако достигается это ценой потери определенной части инфор-
мации о межотраслевых взаимосвязях. Проблема рационального
агрегирования является одной из наиболее сложных методологи-
ческих проблем межотраслевого баланса.
Методы учета продукции. Для учета продукции в народном хо-
зяйстве СССР используются два основных метода: метод валовой
продукции и метод валового оборота. В межотраслевом балансе,
построенном по методу валовой продукции (без внутризаводского
оборота), учитывается выпуск и использование (затраты) только
той продукции, которая выходит за пределы предприятий или по-
ступает со стороны. Производственно-технические и технико-эко-
номические связи получают свое выражение только посредством
торгово-распределительных отношений. В балансе, построенном
по методу валового оборота (с включением внутризаводского обо-
рота), учитывается вся производимая и потребляемая в стране
продукция независимо от того, где она производится и потреб-
ляется. До настоящего времени по методу валовой продукции в
СССР разрабатываются межотраслевые балансы в ценностном вы-
ражении, по методу валового оборота — балансы в натуральном
выражении.
Показатели межотраслевого баланса, построенного по методу
валовой продукции, зависят от организационной структуры про-
изводства. Например, объемы производства и затрат изменяются
при образовании новых комбинатов или, наоборот, при делении
комбинатов на самостоятельные предприятия. С этой точки зрения
межотраслевой баланс, построенный по методу валового оборота,
обладает преимуществом: содержащиеся в нем показатели произ-
водства и затрат зависят только от производственно-технических
факторов и поэтому являются более стабильными.
Оценивание продукции. Существует два основных способа оце-
нивания продукции в межотраслевом балансе: по ценам произво-
дителей и по ценам конечного потребления. Основное различие
между этими типами цен заключается в том, что цена производи-
теля включает только затраты на производство, а цена конечного
249
потребления, кроме того, учитывает также все затраты, связанные
с реализацией продукции и ее доставкой потребителю (оплату тор-
гово-транспортных расходов).
В СССР до сих пор межотраслевые балансы общественного про-
дукта разрабатывались только в ценах конечного потребления.
Особенностью межотраслевого баланса в ценах конечного потреб-
ления является то, что продукция отраслей производственных услуг
(транспорта, торговли, материально-технического снабжения и др.)
учитывается дважды: в затратах потребляемых средств производ-
ства (в балансах продукции промышленности, сельского хозяйства)
и в балансах распределения продукции отраслей услуг. Вследствие
этого объем валового общественного продукта по методике межот-
раслевого баланса примерно на 10% превышает реальный объем
валового общественного продукта. Необходимость двойного учета
продукции отраслей услуг (если применяются цены конечного
потребления) вытекает из принципа шахматного построения меж-
отраслевого баланса.
При оценивании продукции в межотраслевом балансе следует
стремиться к тому, чтобы для одного и того же вида продукции
(по строке межотраслевого баланса) применялась одинаковая цена
независимо от способа производства и направления использования
этой продукции. Использование в межотраслевом балансе различ-
ных цен на одноименную продукцию создает трудности для ана-
лиза и планирования межотраслевых материально-вещественных
связей.
Цены конечного потребления в принципе не могут быть одина-
ковыми для всей распределяемой продукции (из-за дифференциа-
ции условий снабжения и транспортировки). Они дифференци-
руются также в зависимости от направления использования
продукции, например тарифы на электроэнергию и цены сельскохо-
зяйственных продуктов (закупочные и сдаточные цены, цены кол-
хозной и комиссионной торговли, розничные цены). Важнейшим
фактором дифференциации цен для значительной массы продукции
является налог с оборота, который взимается по-разному с разных
потребителей. Цены производителей существенно дифференци-
руются в добывающей промышленности, металлургии, промышлен-
ности строительных материалов, сельском хозяйстве.
Взаимосвязь межотраслевых балансов в натуральном и ценност-
ном выражении. Необходимость тесной взаимоувязки межотрасле-
вых балансов в натуральном и ценностном выражении теоретически
неоспорима и общепризнана. Но практически этот принцип соблю-
дается недостаточно. Важнейшими направлениями сближения по-
казателей балансов в натуральном и ценностном выражении яв-
ляются:
разработка балансов по взаимно сопоставимой классификации
отраслей и продукции (для этого необходимо дополнять «натураль-
ный» баланс особыми позициями «прочая продукция отрасли»);
принятие одинаковых методов учета продукции;
250
усовершенствование методов оценивания продукции в межот-
раслевом балансе (прежде всего уменьшение дифференциации цен
на одноименную продукцию);
разработка натурально-ценностных и- ценностно-натуральных
балансов.
Условием взаимно однозначного соответствия межотраслевых
балансов, использующих различные измерители, является неиз-
менность соотношений масштабов измерителей по каждому виду
продукции. Например, если в одном межотраслевом балансе (в на-
туральном выражении) электроэнергия измеряется в киловатт-
часах, а в другом балансе (в ценностном выражении) — в рублях,
то каждому рублю электроэнергии, используемой в самых различ-
ных направлениях, всегда должно соответствовать одинаковое
количество киловатт-часов. Такое взаимно однозначное соответст-
вие предполагает не только единственность цены (тарифа), но и
единство методов учета продукции.
Показатели межотраслевого материального баланса в ценност-
ном выражении, удовлетворяющие указанным условиям, обозна-
чим xz, yt, Хф а для межотраслевого баланса в натуральном вы-
ражении оставим прежние обозначения х{, yt, Хц. Тогда хг =
— HjXii + yi, а вместо (7.4) имеем
/€/
Если pi — единая цена г-го вида продукции, то xz = /?(Xi, у{ =
= Xu=PiXl}.
В последующем анализе межотраслевых моделей предполагается,
что применяемые методы учета и измерения продукции в ценност-
ном выражении удовлетворяют основным требованиям правиль-
ного отражения материально-вещественных связей.
§ 2. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО
БАЛАНСА
Модель межотраслевых материально-
вещественных связей
Соотношения I и II квадрантов межотраслевого баланса общест-
венного продукта (7.2) характеризуют зависимости между (2п + п2)
величинами xlt yit Хц. Но они носят слишком общий характер.
Для построения математической модели решающее значение имеет
предположение о том, что Хц есть функция от объема производства
этой продукции: Хц = ср(-у (%/), i, j £ 7. Подставив значения х^
в (7.2), получим систему из п уравнений:
Xi = 1j Ф<7(xj) + yt, i£I. (7.9)
25!
В простейшей модели используется предположение о пропор-
циональной .зависимости между затратами и объемами производ-
ства:
Xu^a^Xj. (7.10)
Коэффициент пропорциональности alt называют коэффициентом
прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j.
Эти коэффициенты в совокупности образуют квадратную матрицу
Л = (а/,), i, i^I.
В качестве иллюстрации в табл. 7.3 приводятся коэффициенты
прямых материальных затрат укрупненных отраслей производства
за 1972 г. Подставив значения xit из (7.10) в (7.11), получаем си-
стему из и линейных алгебраических уравнений с 2п переменными
Xt и ур
xi = 2 ацХ) -\-yt (7.11)
Ki
или
2(6z/-az/)x/ = z/z, (7.12)
/€ I
где
g ( 1 при i = /
l> I 0 при i Ф j
— элемент единичной матрицы.
В векторно-матричной форме имеем
Х = ЛХ + У или (Е—A)X = Y, (7.13)
где X = (xz) — вектор-столбец объемов производства; Y = (у£) —
вектор-столбец конечной продукции; Е — единичная матрица по-
рядка п.
Таблица 7.3
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЗАТРАТ МЕЖОТРАСЛЕВОГО
БАЛАНСА СССР ЗА 1972 г.
Тяжелая промышлен- ность Легкая промышлен- ность Строитель- ство Сельское и лесное хозяйство
Тяжелая промышлен- ность Легкая промышлен- ность Строительство Сельское и лесное хо- зяйство Транспорт и связь Торговля, заготовки и материально-техниче- ское снабжение 0,4339 0,0185 0,0088 0,0760 0,0202 0,0397 0,3166 0,2586 0,0140 0,0599 0,4917 0,0097 0,0006 0,0012 0,1145 0,0396 0,2020 0,0116 0,0384 \
252
Данная система может иметь единственное решение, если из
общего количества переменных величин xt и yt число неизвестных
не превышает числа уравнений (это условие является необходи-
мым, но не достаточным). Принятие одних величин за известные,
а других — за неизвестные определяется постановкой конкретной
экономической задачи. Типовыми являются следующие задачи: оп-
ределение объемов производства по данным об объемах конечной
продукции; определение конечной продукции по данным об объемах
производства; определение объемов производства по одним видам
продукции и конечной продукции по другим видам.
Соотношения переменных и параметров модели при разных си-
стемах измерения. Выше было показано, что при использовании
единой цены на каждый вид продукции и одинаковых методах учета
показатели межотраслевых балансов в натуральном и ценностном
выражении связаны формулами х^ррс^, у( = р^, xij = pix(i.
Но так как xti — аиХ: и х., = а:!х,-, то
IJ J IJ I] JТ
X.»
ац = ~^-
X.
Pjxij Piaiixj „ pi
Pixi pixi 11 Pi '
В векторно-матричной форме имеем
Х = РХ, Y = PY, А--=РАР~\ (7.15)
где Р -= (pj — диагональная матрица цен; Р 1
— диа-
гональная матрица величин, обратных ценам.
Полученные формулы могут иметь более широкую интерпрета-
цию. В частности, они характеризуют соотношения между величи-
нами межотраслевой модели при изменении цен (переоценке про-
дукции); в этом случае рг — индексы изменения прежних цен.
Проблема агрегирования продукции. При теоретическом анализе
межотраслевых связей допустимо исходить из предположения о
принципиальной возможности охвата в одной модели всего мно-
жества однородных видов продукции, производимых в народном
хозяйстве. Однако практически в модели межотраслевых связей
'можно представить лишь ограниченное число продуктов или от-
раслей. Поэтому проблема агрегирования (укрупнения) продукции
и отраслей приобретает первостепенное значение.
В результате агрегирования облегчается практическое осущест-
вление расчетов. Отрицательные же последствия агрегирования
выражаются, во-первых, в том, что расчеты по агрегированным
моделям не исчерпывают задач анализа и планирования (по сте-
пени конкретизации, адресности), а во-вторых, расчеты на основе
агрегированной информации приводят к ошибкам в определении
значений даже укрупненных величин. Последнее объясняется тем,
что при расчете на основе агрегированных данных исходят из до-
пущения о их неизменной внутренней структуре, которая в дейст-
вительности может изменяться.
253
Алгоритм агрегирования состоит из совокупности, вычислитель-
ных операций, преобразующих исходную задачу (Е—А) X = Y
размерности п в задачу (Е*—А*) X* = Y* размерности т. При
этом каждый k-й агрегированный вид продукции объединяет sk
исходных видов продукции у, sft = nj. Агрегирование вы-
\ fe=i /
полняется с помощью агрегирующей матрицы G (размерности
т X п) и взвешивающей матрицы W (размерности п х т):
~ дор 0 . . . О “
"1 ... 1 0. . .0
0...01...1 ...0...0
до(‘> о ... о
S1
О дор... 0
0 до<2> ... о
$2
0...00...0 ...1...1
0 0 . . . дор'
0 0 . . .
&т-
где — удельный вес z-й продукции в k-й агрегированной группе
/0 < 1 > У кА*) — 1 У
\ i С J
Соотношения исходных и агрегированных величин устанавли-
ваются с помощью формул
X*=GX, У*=ОУ, A* = GAW.
Введем понятие ошибок агрегирования. Под ошибками агрегиро-
вания понимаются расхождения между агрегированными резуль-
татами исходной задачи и результатами агрегированной задачи.
Пусть при решении систем (Е—А) X = Y и (Е*—А*) X* = Y*
(при заданных векторах Y и Y* = GY) найдены X и X*. В этом
случае ошибки агрегирования — это вектор ДХ* = GX — X*.
Если же системы уравнений решаются при заданных векторах X
и X* = GX, то ошибки агрегирования определяются вектором
ДУ* = GY—Y*.
Выполнение равенств GX = X* или GY = Y* означает, что
процесс агрегирования не искажает результаты расчетов укрупнен-
ных объемов производства и конечной продукции. В частности
254
ошибки агрегирования отсутствуют при последовательном укруп-
нении уже построенных межотраслевых балансов (отчетных или
плановых). При осуществлении плановых расчетов на основе агре-
гированных исходных данных ошибки практически неизбежны.
Речь может идти лишь о большей или меньшей величине этих оши-
бок, поскольку нельзя полностью исключить причину их возник-
новения — изменение элементов взвешивающей матрицы W, ко-
торые в сущности являются вторичными результатами решения
«идеальной» модели (Е—А) X — Y.
Необходимым и достаточным условием безошибочного агрегиро-
вания является выполнение равенства
GA = A*G. (7.16)
Условие (7.16) впервые вывел М. Хатанака. Оно означает, что
суммы коэффициентов каждого столбца в каждой агрегированной
подматрице равны. Только в этом случае матрица А* не зависит
от матрицы W, и поэтому любые изменения в соотношениях агре-
гируемых объемов производства совершенно не влияют на резуль-
таты агрегирования.
Пусть, например, матрица 4-го порядка агрегируется в мат-
рицу 2-го порядка (первый продукт объединяется со вторым, тре-
тий — с четвертым). Тогда
«11= («11 + «21)^1 + («12 + а22)^2>
а12 = («13 + «23 ) + («14 + «24) W2’
«21 = («31 + «41) + («32 + «42 ) ®2’
«22 = («33 «43) ^1 + («34 “Ь «44) W2'
Необходимыми и достаточными условиями безошибочного агреги-
рования будут: а1Х + а21 = #12 + «22. #13 + а23 = а14 + а24,
#зх #41 — #32 “Т #42, о33 + й43 — #34 -Г а44.
Вероятность точного выполнения условия (7.16) крайне незна-
чительна. Поэтому возникает необходимость использования та-
ких конструктивных и реалистичных правил агрегирования, ко-
торые давали бы наименьшие ошибки. На практике агрегирование
продукции чаще всего осуществляется по двум признакам: сход-
ство структуры затрат и устойчивость пропорций производства1.
Дополнение модели ограничениями по производственным ресур-
сам. Возможности роста производства в каждом промежутке вре-
мени ограничены имеющимися невоспроизводимыми ресурсами.
В условиях экономической статики к невоспроизводимым произ-
водственным ресурсам относятся природные и трудовые ресурсы,
а также элементы основных фондов. Распространив предположе-
ние о пропорциональности затрат и объемов производства на мно-
1 Подробный анализ способов агрегирования дается в работе [9, гл. VI].
255
жество ограниченных ресурсов, получим дополнительную систему
линейных неравенств
SC^2- <7Л7>
/е/
где fsi — прямые затраты ресурса з на производство единицы про-
дукции /.
Частным видом ресурсов (узкого назначения) являются налич-
ные производственные мощности по каждому виду продукции N/,
характеризующие максимально возможные выпуски продукции
в единицу времени (например, год):
(7.18)
К производственным ресурсам формально могут быть отнесены
элементы чистой и условно-чистой продукции (амортизация, оп-
лата труда, прибавочный продукт). Это объединение имеет смысл
лишь постольку, поскольку изменения условно-чистой продукции
в зависимости от изменения объемов производства могут рассчиты-
ваться по левой части формулы (7.17).
Модель межотраслевых зависимостей цен
Уравнения цен могут быть выведены из соотношений I и III
квадрантов межотраслевого баланса общественного продукта. При-
мем, что Zj — г}хр где /у — коэффициент условно-чистой продук-
ции на единицу объема производства продукции /. Тогда из (7.8)
следует
Pl^^PfluXj + rfy,
iei
Pi^^anPi + rP (7Д9)
В векторно-матричной форме имеем
Р = или Р (Е—А) = г, (7.20)
где Р = (pf)— вектор-строка цен, г —[(rj) — вектор-строка ко-
эффициентов условно-чистой продукции.
В том случае, если коэффициенты а{! и Гу рассчитаны на еди-
ницу продукции в ценностном выражении (на 1 руб.), то р; — ин-
дексы изменения (корректировки) исходных цен.
Модель межотраслевых зависимостей цен (7.19) можно интер-
претировать как двойственную задачу по отношению к модели меж-
отраслевых материально-вещественных связей (7.11). Действи-
тельно, соотношения уравнений этих моделей аналогичны соотно-
шениям условий двойственных задач линейного программирования
(см. приложение к главе 4). Кроме того, обязательно выполняется
равенство 2г/х/ = ^РМь т- е- объем созданной в народном хозяй-
/с/ «е/
256
стве конечной продукции (по стоимостному составу) равен суммар-
ной оценке используемой конечной продукции. Данное соотноше-
ние эквивалентно условию равенства функционалов прямой и
двойственной задач линейного программирования.
Модель (7.19) является инструментом экономической политики
в области ценообразования. С ее помощью можно изучать (и пред-
видеть) влияние изменения цен в одних отраслях на уровни цен
и рентабельности в других отраслях, влияние на всю систему цен
увеличения оплаты труда в некоторых отраслях, выравнивания
рентабельности, перераспределения налога с оборота, изменения
платы за фонды и т. п. Главное преимущество модели — в возмож-
ности взаимной сбалансированности цен на продукцию всех от-
раслей.
Система уравнений (7.19) выражает межотраслевые зависимости
цен в наиболее общем виде. Более конкретные формулы исчисле-
ния сбалансированной системы цен различаются способами опреде-
ления КОЭффИЦИеНТОВ уСЛОВНО-ЧИСТОЙ ПРОДУКЦИИ /j = Sj + Vj +nij,
где Sj — амортизация, Vj — оплата труда, ihj — прибавочный про-
дукт. Рассмотрим, каким образом модифицируются уравнения цен
при конкретизации способов исчисления условно-чистой продук-
ции.
Формула «стоимости» (прибавочный продукт пропорционален
оплате труда). Если т' — единая по народному хозяйству норма
прибавочного продукта, то
Pj = + -Vtn')Vj, (7-21)
«е/ -
Все цены определяются с точностью до положительного множителя
(1 + т'). Изменение этого множителя не влияет на соотношения
цен, но изменяет их абсолютный уровень. Чтобы однозначно опре-
делить систему цен, следует ввести нормирующее условие. Это мо-
жет быть, например, условие неизменности общей суммы покупок
товаров, приобретаемых населением:^ p.j/J1 = Уп (здесь у"— объем
приобретения населением продукций i; Уп— общая сумма поку-
пок населения).
Цены по формуле (7.21) тесно связаны с трудоемкостью произ-
водства. Если tj — затраты усредненного труда на единицу про-
дукции j, k — оплата единицы усредненного труда, то с,- = ktj.
Тогда Pj = 2 aijPi + (1 + т') ktj.
Формула «усредненной стоимости» (прибавочный продукт про-
порционален себестоимости продукции). Пусть р' — единая по
народному хозяйству норма прибавочного продукта на единицу
себестоимости. Тогда
Pj — (2> az/Pz + s/ + y/l О+РЛ)> /6^- (7.22)
V6/ /
9 А. Г. Гранберг 257
Система (7.22) дополняется нормирующим уравнением, позво-
ляющим однозначно определить все р; и р'.
Формула цены производства (прибавочный продукт пропорцио-
нален сумме используемых производственных фондов). Отличи-
тельная особенность ценообразования по этой формуле состоит
в том, что одновременно с исчислением цен требуется переоцени-
вать производственные фонды и амортизационные отчисления.
Пусть дц — величина производственных фондов z-ro вида (про-
дукция машиностроения, строительства и т. д.), используемых
в производстве единицы продукции j (в натуральном выражении);
эта величина есть сумма основных и оборотных фондов: du- =
= d^ + d^\ klt— норма амортизации t-го вида основных фон-
дов, используемых в производстве единицы продукции j (доля го-
дового износа); р’—единая по народному хозяйству норма при-
бавочного продукта на единицу используемых производственных
фондов.
Общая сумма производственных фондов (в ценностном выраже-
нии), используемых в производстве единицы продукции j, равна
У dijpi, а общая сумма амортизации —соответственно у X 4(°с)рР
‘Л1 „ “
Система уравнении цен принимает вид
Pi = 2 Ф1Р1 + 2 М/С)Pi +-Р' (% ^рД . (7.23)
Эта система также дополняется нормирующим уравнением.
Таким образом, модель (7.19) может использоваться для расче-
тов сбалансированных цен, учитывающих разные факторы и усло-
вия ценообразования. На основе модели межотраслевых зависи-
мостей цен и ее конкретных модификаций в СССР неоднократно
проводились расчеты индексов изменения цен. Результаты этих
расчетов использовались при подготовке реформы оптовых цен и
обосновании мероприятий по частичному изменению цен на продук-
цию некоторых отраслей.
Анализ основных допущений модели
Модель межотраслевого баланса связана с принятием ряда
упрощающих предположений, которые зачастую даже выходят
за рамки применяемых в практике народнохозяйственного плани-
рования допущений. Это обстоятельство само по себе не может
служить доводом против использования данной модели, но оно
требует разработки практических и гибких приемов согласования
формальных свойств модели с реальной действительностью. Пере-
ход й более совершенным и сложным моделям осуществляется либо
путем отказа от некоторых предположений исходной модели, либо
путем ее дополнения новыми зависимостями.
258
Область существования решений. Модели (7.11) и (7.12) имеют
неограниченные области решений. Задавая произвольные значения
используемой конечной продукции у(, можно получить сколь угодно
большие значения объемов производства xt. Точно так же, если
будем произвольно устанавливать коэффициенты условно-чистой
продукции Г/, то можем получать неограниченно большие, но тем
не менее удовлетворяющие условиям модели значения цен pj. Един-
ственное условие, которое накладывается на эндогенные перемен-
ные моделей — их неотрицательность (х; > 0, р;- > 0). Дополне-
ние модели материально-вещественных связей условиями ресурсов
(7.17), (7.18) ограничивает область допустимых значений величин
Х[ и yh Такую же роль играют нормирующие условия в модели
цен.
Пропорциональность затрат и объемов производства. В основе
коэффициентов а^ планового межотраслевого баланса лежат нор-
мативы расхода материальных ресурсов на единицу продукции
или объема работ, широко применяемые в практике народнохозяйст-
венного планирования. Однако в целом ряде отраслей производ-
ства (особенно в сельском хозяйстве, добывающей промышленно-
сти, на транспорте), а также и для некоторых видов потребляемых
ресурсов (топлива, вспомогательных материалов и т. д.) предполо-
жение о пропорциональности затрат и выпуска продукции является
слишком грубым; к нему приходится прибегать только ввиду не-
достатка более точных знаний. Включение в модель ограничений
по ресурсам, а также применение модели цен распространяет ис-
ходную гипотезу прямой пропорциональности также на функции
затрат труда, фондов, условно-чистой продукции.
Производство продукции только одним способом. Формально
все расчеты на основе модели исходят из допущения, что каждый
вид продукции может производиться не более чем одним способом.
Реальный смысл вводимого в модель единственного производствен-
ного способа для каждого вида продукции состоит в том, что этот
способ является комбинацией разных способов, т. е. усредненным
производственным способом. Это «усреднение» различных способов
(расчет средневзвешенных отраслевых коэффициентов прямых зат-
рат) осуществляется на стадии формирования исходных данных
для модели межотраслевого баланса, на основе изучения и про-
гнозирования прогрессивных технико-экономических тенденций
и перспектив развития отраслей.
Производство только одного вида продукции в каждом способе.
В модели предполагается, что в каждом производственном процессе
получается лишь один вид продукции. Поскольку же каждый вид
продукции производится только одним способом, то общее число
способов всегда равно числу видов продукции (отраслей). В ряде
отраслей промышленности (особенно в химии, цветной металлургии)
и в сельском хозяйстве часто встречаются процессы производства
сопряженной (комплексной) продукции: извлечение нескольких
металлов при переработке одной руды, совместное получение не-
9*
259
скольких химических продуктов, получение нескольких продуктов
при убое скота и т. д. В межотраслевой модели отражение этих
процессов осуществляется путем применения различных приемов
распределения затрат между отдельными видами продукции. Про-
изводство сопряженной продукции рассматривается как несколько
самостоятельных производств, в которых получается только по
одному виду продукции. Из данного свойства модели непосредст-
венно следует неотрицательность всех элементов затрат: О,
“ц > О, А/ > 0.
Открытость модели. Возможность и эффективность использо-
вания народнохозяйственных’ моделей во многом определяется
соотношениями эндогенных и экзогенных величин. С этой точки
зрения модель межотраслевого баланса может быть отнесена к
классу «широко открытых» моделей. При решении основных задач
по модели межотраслевого баланса (нахождение эндогенных ве-
личин Xi и р/) допускается, что элементы используемой конечной
продукции (pj и условно-чистой продукции (г/) не связаны между
собой и могут определяться независимо от объемов производства
и цен. В действительности это не так. Например, такая часть ко-
нечной продукции, как производственное накопление, не может
быть задана независимо от объемов производства, поскольку яв-
ляется условием роста последнего. Размеры личного потребления
во многом зависят от оплаты труда в сфере производства, т'. е. от
объемов производства. Потребности в экспорте и импорте продук-
ции связаны с производственными возможностями народного хо-
зяйства (обеспеченностью ресурсами) и т. д. Введение «известных»
величин в плановые расчеты по межотраслевой модели означает
лишь то, что эти величины рассчитываются за рамками модели и
вследствие этого не могут быть точно сбалансированы между собой.
Чем больший «вес» имеют экзогенные величины, тем меньше само-
стоятельное значение расчетов на основе додели. Поэтому законо-
мерно, что совершенствование моделей межотраслевых связей идет
в направлении снижения их «открытости».
§ 3. КОЭФФИЦИЕНТЫ
ПОЛНЫХ НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННЫХ
ЗАТРАТ
Взаимозависимости отраслей в процессе общественного произ-
водства количественно могут быть выражены системой коэффици-
ентов прямых, косвенных и полных затрат продукции и ресурсов.
Каждый коэффициент полных затрат представляет сумму прямых
и косвенных затрат, обусловленных выпуском единицы определён-
ного. вида продукции. Принципиальное (качественное) их отличие
от коэффициентов прямых затрат состоит в том, что они являются
не отраслевыми или внутрипроизводственными, а народнохозяйст-
венными показателями.
260
Полные затраты на производство определенной
продукции
Поставим перед собой такую задачу: определить сумму каж-
дого вида затрат, прямо и косвенно необходимых для производства
единицы- продукции.
Образование полных затрат наглядно демонстрируется с по-
мощью схемы процесса последовательного наслоения прямых и
РИС. 7.1.
Образование коэффициентов полных затрат продукции и ресур-
сов на производство единицы продукции j
косвенных затрат, имеющей вид бесконечно ветвящегося «дерева»
(рис. 7.1). Как явствует из схемы, в образовании коэффициентов
полных затрат участвуют все коэффициенты прямых затрат1, а
сам процесс имеет бесконечный характер. Схема отражает особен-
ности образования полных Затрат невоспроизводимых («внешних»)
ресурсов: цепочки прямых и косвенных затрат обрываются в ячей-
ках затрат ресурсов, так как эти затраты не участвуют в процессе
образования других косвенных затрат.
1 Это строго справедливо для так называемых неразложимых матриц (см.
с. 272).
261
Введем дополнительные обозначения: aW, — косвенные
затраты цикла т соответственно продукции t и ресурса s; сц ,
ЩИ)
/Ч/ — суммы прямых и косвенных затрат до цикла т включи-
тельно соответственно продукции i и ресурса s; с,7, Fsj — полные
затраты соответственно продукции i и ресурса s.
Количественное выражение коэффициентов косвенных и полные
затрат может быть получено из приведенной схемы.
Косвенные затраты первого цикла — это прямые затраты на
производство того количества средств производства, которое по-
требляется при изготовлении единицы продукции. Они опреде-
ляются следующим образом:
~ aiialj ai2a2j 'Yainani=='^iaikak!^
k£I
fsj’ = fsialj + f S2a2j + ••• Jcfsnani~ fskaki-
Косвенные затраты второго цикла выражаются уже более слож-
ными зависимостями. Суммируются элементы косвенных затрат вто-
рого цикла по первым индексам и каждый элемент является про-
изведением трех коэффициентов прямых затрат. При этом каждый
коэффициент косвенных затрат второго цикла образуется из п2
слагаемых, например:
а<12 — а11а11а1/+ • • • + alrflnXali + •
• • • 4“ 4“ • • • 4~ ^Inflntflnr
Если продолжим цепи взаимосвязей, то получим косвенные затраты
третьего, четвертого цикла и т. д. Последовательно учитывая кос-
венные затраты все более высокого цикла, т. е. дальше отстоящего
от данного процесса производства, в пределе должны получить ко-
эффициенты полных затрат. Однако поэлементные вычисления кос-
венных затрат становятся все более громоздкими. И осуществлять
их становится практически невозможно, если не прибегнуть к обоб-
щению расчетов в виде математических формул.
Коэффициенту косвенных затрат первого цикла имеют наиболее
простую структуру: они слагаются из произведений коэффициентов
прямых затрат. При определении косвенных затрат второго цикла
соответствующие коэффициенты прямых затрат умножатся на от-
дельные слагаемые косвенных затрат первого цикла. Если пред-
варительно суммировать слагаемые косвенных затрат первого
цикла, то получим компактные формулы косвенных затрат вто-
рого цикла:
«ММ?. 8$м-
kfi k^i
262
Применив метод индукции, выведем общие формулы косвенных
затрат для любого цикла
(7-24)
№ = 2 fska^\ (7.25)
k^i
где m — любое целое положительное число (при этом а^) = ak^.
Практические расчеты показывают, что с учетом косвенных за-
трат до третьего-четвертого циклов для большинства видов про-
дукции и ресурсов получается близкое приближение к полным за-
тратам. Об этом, например, говорят расчеты коэффициентов пол-
ных затрат по данным межотраслевого баланса СССР (табл. 7.4).
Таблица 7.4
ПРЯМЫЕ, КОСВЕННЫЕ И ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ПРОДУКЦИИ
ТЯЖЕЛОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА 1000 РУБ. ПРОДУКЦИИ
ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ В 1972 г.
Затраты соответству- ющего цикла на 1000 руб. Сумма прямых и косвенных затрат
на 1000 руб. в % к полным затратам
Прямые затраты Косвенные затраты: 39,71 39,71 16,88
1-го цикла 66,24 105,95 45,04
2-го цикла 53,01 158,96 67,58
3-го цикла 34,00 192,96 • 82,03
4-го цикла 19,69 212,65 90,40
8-го цикла 1,53 233,66 99,33
14-го цикла 0,03 235,21 99,99
Полные затраты * — 235,23 100,00
Выведем общие формулы коэффициентов полных затрат.
По определению экономического содержания коэффициентов
полных материальных затрат как суммы прямых и всех .косвенных
затрат (при т. со) имеем
' ^ = «7/ + ^’ + ^’+ ••• ••• <7'26>
Подставив в (7.26) выражения (7.24) для различных циклов,
получим
f(/=ai/+2flA/+2M/,+ •••
k£I k£I
• + WF"+ • • • =%+2 aik (%+“$+
k£l k£l
...+C-1)+ ...)•
Очевидно, что при m-+ 00 aki + a<k\)+ ••• +C~J)+ ••• =c...
* R] R] Rj R]
263
В итоге получаем
СЦ — aii + 2 anfiki-
(7-27)
Коэффициенты полных материальных затрат по укрупненным
отраслям производства, рассчитанные по данным межотраслевого
баланса СССР за 1972 г., приводятся в табл. 7.6. В зависимости
от характера используемых средств производства и места произ-
водимой продукции в системе общественного разделения труда
коэффициенты полных затрат могут в разной степени превышать
соответствующие коэффициенты прямых затрат. В отдельных слу-
чаях это превышение может достигать десятков, сотен раз1.
Для определения коэффициентов полных материальных_затрат
на производство единицы продукции / требуется решить систему
из п уравнений (7.27) с фиксированным j и i — 1.п. Для оп-
ределения всей матрицы коэффициентов полных затрат Сц необхо-
димо решить п таких систем уравнений.
Формула коэффициентов полных затрат ресурсов выводится
аналогично:
Psi = fsl+ % № = tsj + 22 =
tn—1 m—1 k£J
— fSifsk S
k£I m—l
Таким образом,
Psj-fsi+^fskCkj. (7.28)
По формуле (7.28) исчисляются полные затраты труда, основ-
ных фондов и других производственных ресурсов, а также коэффи-
циенты полных затрат элементов условно-чистой продукции2. По-
сле того как определены коэффициенты ckI, вычисление коэффи-
циентов Fsl не представляет какой-либо трудности. В табл. 7.5
приводятся данные о коэффициентах прямых и полных затрат
труда, прямой и полной фондоемкости продукции, полученные на
основе межотраслевого баланса СССР за 1966 г.
Отметим некоторые особенности экономического содержания
коэффициентов полных трудовых затрат. Известно, что при общест-
венном разделении труда любой продукт является совокупным
результатом труда множества отраслей производства. Коэффици-
1 Многочисленные примеры соотношений коэффициентов прямых и полных
материальных затрат приводятся в статистическом ежегоднике «Народное
хозяйство СССР в 1973 г.», с. 117—121.
2 О полных затратах элементов условно-чистой продукции см. с. 269.
264
Таблица 7.5
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРЯМОЙ И ПОЛНОЙ ТРУДОЕМКОСТИ И ФОНДОЕМКОСТИ
ПРОИЗВОДСТВА ПО ДАННЫМ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА СССР ЗА 1966 г.
(НА 1000 РУБ. ПРОДУКЦИИ В ЦЕНАХ 1971 г.)
Отрасли Трудоемкость, годовых работников Доля затрат живого труда в полных затратах. % Фондоемкость, руб.
прямая полная прямая полная
Черная металлургия 0,0559 0,2097 26,65 661,3 2059,6
Топливная промышлен- ность 0,0596 0,1909 31,22 763,7 1872,0
Электроэнергетика 0,0718 0,1579 45,47 2757,1 3576,7
Машиностроение и метал- лообработка 0,1688 0,3353 50,34 581,6 1691,4
Пищевая промышленность 0,0290 0,3735 7,76 146,8 1109,1
Сельское и лесное хозяй- ство 0,3976 0,5568 71,40 792,1 1287,6
Транспорт и связь 0,2335 0,2875 81,27 2103,7 2564,1
I
енты полных затрат на производство продукции охватывают как
непосредственные затраты живого труда на заключительной ста-
дии изготовления продукции, так и все затраты труда на предшест-
вующих стадиях производства данной продукции, овеществленные
в потребленных средствах производства. Таким образом, в струк-
туре полных трудовых затрат выделяются прежде всего затраты
живого труда (прямые трудовые затраты) и затраты прошлого, или
овеществленного труда (косвенные трудовые затраты). Как видно
из-табл. 7.5, доля затрат живого труда в общей сумме затрат жи-
вого и овеществленного труда значительно дифференцируется даже
по крупным отраслям: от 7,8% в пищевой промышленности до 81,3%
на транспорте и связи.
Экономическая сущность коэффициентов полных затрат может
исследоваться также с иных позиций. Для этого можно рассмотреть
процесс образования полных затрат определенного вида продукции
(или ресурса) на. производство всех видов продукции1. Такой под-
ход приводит к следующим формулам коэффициентов полных за-
трат:
с1} = ац+ 2 с'^кР (7-29)
*е/
Fsj = fsj+ ^Fskaki. . (7.30)2
1 См. [1, с. 146—150].
2 Именно такая формула для исчисления полных трудовых затрат была
предложена русским экономистом-математиком В. К. Дмитриевым (см.
§ 4 главы 1).
265
Соотношения матриц коэффициентов прямых,
косвенных и полных затрат
Пусть А(т) — матрица коэффициентов косвенных материальных
затрат цикла т; /(т) — матрица косвенных затрат ресурсов цикла
m; С — матрица коэффициентов полных материальных затрат;
F — матрица коэффициентов полных затрат ресурсов. Тогда фор-
мулы (7.24), (7.25), (7.27), (7.28) в матричном виде записываются
так:
А{т^А-А{т-1\ (7.31)
= . (7 32)
С = А + АС, (7.33)
F = f + fC. (7.34)
В соответствии с (7.31) А(1) = А-А = А2, А(2) = А-А(1) = А3
и т. д. В общем же случае матрица косвенных материальных за-
трат цикла т равна (т + 1)-й степени матрицы А:
A(m) = Am+i. (7.35)
Из определения полных материальных затрат следует
С = А+ 2 ^т)= 2 Ат. (7.36)
т— 1 т=1
В линейной алгебре известно аналогичное разложение в сте-
пенной ряд матриц (Е—А)-1 = Е + А + А2 + . . . + Ат + ...
(если Ат -> 0 при m со). Очевидно, что если существует (Е—А)-1
и А" -> 0 (при т со), то
С = (Е—А)-1—Е. (7.37)
Формула (7.37) получается также из (7.33), если допустить су-
ществование (Е—А)-1:
С + Е = A (E + Q + E,
(Е—А) (С + Е) = Е,
(Е—А)-1(Е—А) (С + Е) = (Е —А)-1,
С + Е = (Е-АГ’.
266
Пользуясь матричными обозначениями, легко показать, что
формулы (7.27) и (7.29), (7.28) и (7.30) абсолютно тождественны1.
Коэффициенты полных затрат как показатели
потребностей в продукции и ресурсах
для обеспечения конечной продукции
Систему уравнений межотраслевого материального баланса
удобно представить в виде
Х = (Е —ДГ'У. - (7.38)
Такой вид системы создает большие преимущества для анализа
межотраслевых пропорций и многовариантных плановых расчетов.
Экономический смысл коэффициентов Ьц, образующих матрицу
В (Е— Л)-1, состоит в том, что они выражают потребности
в выпуске продукции i для получения единицы конечной продук-
ции вида /. Коэффициенты матрицы В = (Е—Л)~' межотраслевого
баланса СССР за 1972 г. приводятся в табл. 7.6.
Таблица 7.6
КОЭФФИЦИЕНТЫ МАТРИЦЫ (Е - .4)"' МЕЖОТРАСЛЕ ВОГО БАЛАНСА СССР
ЗА 1972 г.
Тяжелая промышлен- ность Легкая промышлен- ность Строитель- ство Сельское и лесное хозяйство
Тяжелая промышлен- ность 1,8351 0,2352 0,9061 0,2873
Легкая промышлен- ность 0,0561 1,5050 0,0423 0,0861
Строительство — — 1,0000 —
Сельское и лесное хо- зяйство 0,0391 0,4918 0,0249 1,2850
Транспорт и связь 0,1416 0,0458 0,0716 0,0387
Торговля, заготовки и материально-техниче- ское снабжение 0,0428 0,1141 0,0225 0,0607
1 Вместо (7.29) можем записать С = А + СА. Сделаем тождественные пре-
образования:
С + Е = (£ + С) А + Е,
(С + Е)(Е~ А) = Е,
(С + Е)(Е — Д) (£-ДГ1 = (£ —Д)”1,
С + Е = (Е — Др1,
откуда С = (£—Д)-1~—Е, т. е. получаем тот же вывод, что из формулы (7.33).
Вместо (7.30) запишем F = f + FA. Отсюда следует F (Е—Д) = f,
F — f (Е—ДГ1. Такой же результат получается из (7.34): F = f (Е + С),
F = f (Е-А)-'-
267
Между коэффициентами сг/- и Ьц имеется качественное и коли-
чественное соответствие. При выводе формул для Сц суммирова-
лись все материальные затраты, прямо и косвенно связанные с вы-
пуском единицы продукции /. При этом получение единицы про-
дукции / рассматривалось как конечная цель всего общественного
производства, но эта единица продукции не включалась в затраты.
Коэффициент же Ьц отвечает на вопрос: каковы полные потребно-
сти в выпуске продукции i, необходимые для получения продукции
вида j. Он включает полные производственные затраты clf и саму
единицу конечной продукции (если i = /), которую также нужйо
произвести, но которая не является затратами производства в уз-
ком смысле: = Сц + 6(7 или В = С + Е. Таким образом, эко-
номическое различие между коэффициентами сц и Ьц заключается
в том, что первые выражают взаимосвязи промежуточного и ко-
нечного продукта, а вторые — взаимосвязи валового и конечного
продукта.
Коэффициенты потребностей в ресурсах для получения еди-
ницы конечной продукции в точности совпадают с коэффициентами
полных затрат ресурсов на производство единицы продукции. При
этом коэффициенты прямых и полных затрат ресурсов обладают
важным свойством: сумма прямых затрат на производство вало-
вого общественного продукта равна сумме полных затрат, отне-
сенных на конечную продукцию:
(7.39)
/€/ /6/
Полные затраты ресурсов на производство валового продукта
также имеют реальный экономический смысл. Например, выраже-
ние TjXf означает полную трудоемкость всей произведенной про-
дукции j как выражение стоимости продукции, а означает
/6/
совокупные затраты труда, овеществленные во всем общественном
продукте. Поэтому коэффициенты полных трудовых затрат имеют
двойственное экономическое содержание: во-первых, они выра-
жают совокупные затраты труда для производства валового об-
щественного продукта и его элементов; во-вторых, они являются
показателями взаимосвязи затрат живого труда и конечного об-
щественного продукта.
Покажем теперь, каким образом коэффициенты полных затрат
зависят от выбора единиц измерения. Система уравнений мате-
риального баланса в «новых» единицах измерения, отличающихся
от базовых, может быть записана так: Х=(Е— А)-1У. Исполь-
зуя (7.15), получаем Р (Е—A)~lY — (Е—A)~lPY, откуда
(Е-ЛГ^Р^-Д)"1?-1. (7.40)
Аналогично доказывается, что
р^ррр-\ (7.41)
268
Коэффициенты полных затрат и стоимостные
пропорции
Метод, который применяется при исчислении коэффициентов
полных затрат продукции и ресурсов, состоит в том, что непосредст-
венные затраты до бесконечности разлагаются на свои первичные
элементы. Так, при исчислении полных трудовых затрат после-
довательно выкристаллизовывается труд, заключенный в потреб-
ленных средствах производства, труд, овеществленный в тех
средствах, которые израсходованы на эти потребленные средства
производства, и т. д. Такой метод может применяться и в анализе
стоимостной структуры производства.
Величина совокупного общественного продукта и стоимость
(цена) любого вида продукции непосредственно распадается на
три основных элемента: Р = с + v + tn. Величина с, в свою оче-
редь, может рассматриваться как стоимость определенной массы
продукции, которая также распадается на свои основные элементы.
Продолжая этот процесс разложения перенесенной стоимости, по-
лучим в пределе, что стоимость (цена) продукции целиком разла-
гается в конечном счете на оплату труда V и прибавочный продукт
М, но таким образом, что V-\-M = c+ v-pm.
Примем, что амортизационные отчисления (s;-) распределены
между элементами материальных затрат (добавлены к коэффици-
ентам ац). Тогда система уравнений цен будет иметь вид
P = PA+v + m, (7-42)
откуда
Р — v (Е—Л)-1 + m (Е—Л)-1,
P;=V + M, (7.43)
где V = v (E—A)~l — вектор-строка коэффициентов полных за-
трат на оплату труда (Vz); М ~ m (Е—Л)-1 — вектор-строка ко-
эффициентов полных «затрат» прибавочного продукта (Л4у).
Таким образом, цена единицы продукции равна сумме коэффи-
циентов полных затрат оплаты труда и прибавочного продукта.
Если же анализируются соотношения межотраслевого баланса в
ценностном выражении, _то цена единицы продукции равна, естест-
венно, единице и Ру + Л1;=1, /^7.
При существующей методике построения межотраслевого ба-
ланса амортизация, как известно, отделена от материальных затрат
и рассматривается вместе с чистой продукцией. Поэтому Р = S +
+ V.4- М, где S = s (Е—Л) 1 — вектор-строка коэффициентов
полных затрат амортизации. Коэффициенты полных затрат Sf,
VpMj по укрупненным отраслям за 1972 г. приводятся в табл. 7.7.
Коэффициенты Sj, VJt Mj характеризуют также влияние, ко-
торое оказывает изменение используемой конечной продукции на
формирование фондов амортизации, оплаты труда, прибавочного
269
Таблица 7.7
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ 'АМОРТИЗАЦИИ, ОПЛАТЫ ТРУДА
И ПРИБАВОЧНОГО ПРОДУКТА ПО ДАННЫМ МЕЖОТРАСЛЕВОГО
БАЛАНСА ЗА 1972 г.
Тяжелая промышлен- ность Легкая промышлен- ность Строитель- ство Сельское и лесное хозяйство
Амортизация 0,1309 0,0728 0,1116 0,1029
Оплата труда 0,3400 0,2888 0,5040 0,3940
Прибавочный продукт 0,5291 0,6384 0,3844 0,5031
продукта. Например, коэффициент полных затрат оплаты труда
в тяжелой промышленности показывает, что при увеличении про-
дукции тяжелой промышленности на 1000 руб. необходимый при-
рост фонда оплаты труда в народном хозяйстве составит 340 руб.;
коэффициент полных затрат прибавочного продукта в легкой про-
мышленности говорит о том, что при увеличении на 1000 руб. ко-
нечного использования продукции этой отрасли фонд прибавочного
продукта в народном хозяйстве возрастет на 638,4 руб., и т. п.
Коэффициенты полных затрат оплаты труда можно интерпрети-
ровать также как особого рода цены, не учитывающие прибавоч-
ного продукта. Действительно, V = v (Е—Л)-1 соответствует це-
нам по формуле Р = РА + v (где амортизация входит в мат-
рицу Л). В свою очередь, такие цены пропорциональны ценам по
формуле «стоимости»: Р = РА + (1 + tn') v. Поэтому коэффи-
циенты полных затрат оплаты труда одновременно показывают,
насколько соотношения цен по формуле «стоимости» отклоняются
от соотношений действующих цен. Из табл. 7.7 следует, что если
среднюю цену продукции тяжелой промышленности принять за
единицу, то индексы изменения цен в других отраслях должны
составить: в легкой промышленности — 85%, строительстве — 148,
сельском и лесном хозяйстве— 119%.
В § 2 формула ценообразования по «стоимости» была выражена
через коэффициенты прямых затрат труда (7.21). В несколько уп-
рощенном виде: Р = РА + (1 + т') kt. Поскольку коэффици-
енты полных трудовых затрат (вектор Т) удовлетворяют условию
Т = ТА + t, то, очевидно, Р = (1 + т') kT. Это означает, что
цены по формуле «стоимости» пропорциональны коэффициентам
полных трудовых затрат (при соблюдении условия v = kt). Если
бы на практике соблюдался такой принцип ценообразования, то
коэффициенты полных трудовых затрат на 1 руб. продукции были
бы равны между собой (т. е. во всех отраслях соблюдалось бы оди-
наковое соотношение полных трудовых затрат и цен). Однако,
как показывает табл. 7.5, в экономике СССР коэффициенты полной
трудоемкости на 1 руб. продукции разных отраслей существенно
дифференцируются.
270
§ 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Свойства матрицы А
Матрица коэффициентов прямых материальных затрат содер-
жит только неотрицательные элементы, т. е. Д > 0. Она относится
к хорошо изученному классу неотрицательных матриц1. Но коэффи-
циенты матрицы А не могут принимать и произвольные положи-
тельные значения. Рассмотрим некоторые ограничительные усло-
вия, которым должны удовлетворять отдельные коэффициенты.
Во-первых, диагональные элементы матрицы А должны быть
меньше единицы. В противном случае производство лишается вся-
кого смысла в отдельных отраслях и неосуществимо в масштабе
всего народного хозяйства: если а(7> 1, то х17>х(-.
Во-вторых, произведения коэффициентов а£/-, симметричных
относительно главной диагонали, должны быть по крайней мере
меньше единицы: alkak[<:. 1. Для того чтобы пояснить необходи-
мость этого условия, рассмотрим следующий пример. Пусть про-
изводственная система, изготовляет только два продукта: уголь
и металл. При этом на производство 1 m металла расходуется 2 пг
угля, на 1 tn угля — 1 m металла (внутрипроизводственное потреб-
ление отсутствует). При таких коэффициентах затрат производство
невозможно (а12а21 2), оно превращается в особый способ унич-
тожения ранее созданных ресурсов, так как для изготовления ме-
талла в конечном счете требуется еще большее количество металла,
а для добычи угля — еще большее количество угля. «Производство»
не только не может дать конечной продукции, а непрерывно должно
субсидироваться извне ресурсами угля и металла. Коэффициенты
косвенных затрат с увеличением номера цикла непрерывно воз-
растают, а степенной ряд матрицы А расходится. Коэффициенты
матрицы (Д — Л)~‘
тиворечит соотношениям «нормальной» экономики.
Указанные ограничения на значения отдельных коэффициентов
— 1 —2
— 1 —2
отрицательны, что также про-
не зависят от применяемых единиц измерения, так как ан = а££;
aikaki=~ aikaki- Однако в общем случае выбор единиц измерения
существенно влияет на анализ свойств матриц межотраслевого ба-
ланса.
Особенности матриц А в ценностном и натуральном выраже-
нии. Для матриц межотраслевого баланса в ценностном выражении
обычно выполняются условия У j С I. Если же для неко-
му
торой Л-й отрасли У atb> 1, то экономически это означает, что
1 См. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967, с. 358—
405; [8, с. 289—300]; [10, с. 348—358].
271
данная отрасль настолько убыточна (/пА<0), что ее убытки пере-
крывают расходы на амортизацию и оплату труда, т. е.
— tnk>sk + vk.
Из линейной алгебры известно, что одна из норм матрицы А
определяется как || А 1| = max 2 fyi- Следовательно, IIА II < 1, когда
/ Ш
2а(7<1, jbl. Например, для матрицы укрупненного баланса
zg/
СССР за 1972 г. ||Л 1| = 0,6897.
Пусть || Л ||= <7<1. Тогда из (7.24) следует
2 = 22 alkakj = 2 (2 я«) «й/«72-
ig/ ig/fcg/ ftg/ZgZ
Тем более Далее таким же образом можно показать,
что Но поскольку lim’<7m = 0, то и lima(7l> = 0.
m->co m->co 1
Поэтому из того, что || Л ||<1, вытекают важные для экономи-
ческого анализа следствия:
1) НтЛ'" = 0;
/П-*оо
2) Е + А + А2+ • +Дт+ • • . =(Е-Л)-1;
3) (Е — Л)-1^0. (7.44)
Кроме того, .доказывается, что все собственные значения мат-
рицы А по модулю меньше единицы (|XJ<1), а все главные ми-
норы матрицы (Е—А) — положительны.
В матрицах межотраслевого баланса в натуральном выражении
условия 2а»<1, практически никогда не выполняются.
Более того, многйе коэффициенты этих матриц больше единицы.
Однако можно попытаться подобрать такие новые измерители (мат-
рицу Р), что для матрицы А = РАР~1 будут выполняться условие
ЦЛ ||<1 и следствия (7.44).
Из линейной алгебры известно, что матрицы А и А называются
подобными, если А = РАР~1. Подобные матрицы имеют равные
по величине собственные значения и главные миноры. Матрицы
(Е—Л) и (Е—Л) также яв^йются подобными, так'как
Р(Е—Л)Р-1 = Е—РЛР-1 = Е—Л.
Понятие о разложимых и неразложимых матрицах. В Теории
матриц разложимыми называются такие матрицы Л, которые одно-
временной перестановкой строк и столбцов приводятся к виду
/4 7 * \
л -I 11 I
0 Лг2 / ’
272
где Allt А22 — квадратные блоки, включающие ненулевые эле-
менты; 0 — блок, состоящий только из нулей;* — блок, элементы
которого могут принимать любые значения (нулевые и ненулевые).
Матрица А неразложима, если для нее не существует таких
одновременных перестановок строк и столбцов, которые приводили
бы ее к разложимой форме (даже несмотря на наличие большого
числа нулевых элементов). Если матрица А неразложима, то каж-
дая отрасль непосредственно или косвенно использует продукцию
всех других отраслей, а ее продукция непосредственно или кос-
венно расходуется также при производстве продукции всех других
отраслей, т. е. все пары отраслей находятся в двусторонней взаимо-
связи1.
Продуктивность матрицы А. Реальной экономической системе,
характеризующейся способностью к непрерывному воспроизводству,
соответствует такая матрица коэффициентов А, которая обеспечи-
вает возможность получения конечной продукции при соответст-
вующих пропорциях развития производства.
Матрица А называется продуктивной, если существует такой
неотрицательный вектор Х>0, что (Е—А) X = У>0. Для нераз-
ложимых матриц определение продуктивности имеет более общий
вид. Неразложимая матрица А продуктивна, если существует та-
кой вектор Х>0, что (Е—А) X = /5:0.
Для отчетного межотраслевого баланса (в котором всегда Х>0)
свойство продуктивности проверяется очень просто. Если У >0,
то система продуктивна. Однако если некоторые z/z<0, то из этого
еще нельзя сделать вывод о непродуктивности матрицы А. Можно,
взяв вместо неположительных компонент вектора Y положительные
значения, рассчитать новые значения X. И если при этом ока-
жется, что X > 0, то матрица А продуктивна.
Продуктивность матрицы А можно определять и по отношению
к модели межотраслевых зависимостей цен. Матрица А продук-
тивна, если существует такой вектор Р>0, что Р (Е—А) = г>0.
Неразложимая матрица А продуктивна, если существует такой
вектор Р>0, что Р (Е—А) = г>0.
Это означает, что можно подобрать цены, обеспечивающие по-
лучение неотрицательной чистой продукции во всех отраслях,
и хотя бы в некоторых отраслях — положительной чистой про-
дукции. Для отчетных межотраслевых балансов в ценностном вы-
ражении убедиться в том, что матрица А продуктивна, как правило,
очень просто: достаточно, чтобы гу > 0, / £ / й хотя бы для од-
ного j было Z/>0. Однако если эти условия не выполняются, то
нельзя утверждать, что матрица А непродуктивна:
Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно,'чтобы
выполнялось хотя бы одно из нижеследующих условий,
1 Подробнее о свойствах разложимых матриц и об использовании этих свойств
в экономическом анализе и плановых расчетах см. в [1, с. 194—2141 и
[6, с. 25—40].
273
1. Все главные миноры матрицы (Е—А) положительны. Напри-
мер, для главного минора первого порядка 1—а/г>0, откуда
a(7d. Для главного минора второго порядка
1— агг
~asr
^rs
1 —ass
откуда <W*£r<(l— «гг)(1— ass)<l.
Матрицы, соответствующие главным минорам, также являются
продуктивными. Поэтому все основные свойства матрицы А рас-
пространяются на матрицы блоков отраслей и комплексов отрас-
лей. Главный минор n-го порядка D, т. е. определитель матрицы
(Е—Л), также заключен в пределах 0<Е)<1. Отсюда вытекает
существование матрицы (Е—Л)-*1.
2. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше
единицы.
3. Матрица (Е—Л)~'1 полуположительна. В свою очередь,
(Е—Л)'"1 > 0 является одним из важнейших следствий продуктив-
ности матрицы Л. Если матрица Л неразложима, то матрица
(Е—Л)”1 строго положительна.
Для продуктивности матрицы Л достаточно, чтобы У,
Z- ' i£/
j I. Вытекающие отсюда следствия рассматривались выше.
Если матрица Л продуктивна, но достаточное условие продук-
тивности не выполняется, то всегда можно подобрать такие новые
измерители продукции (вектор Р), что это условие будет выпол-
няться. Если же матрица Л непродуктивна, то никакая система
измерителей не исправит дефекта. Например, в рассмотренной
выше производственной системе «уголь—металл» не существует
таких положительных цен и р2, чтобы одновременно удовлетво-
рялись неравенства а12 = 2 — <1 (или 2px<p2) и а21 = — <" 1
Рг Pi
(или р2 < рД.
Существование решений модели
межотраслевого баланса
Сформулируем две основные теоремы для модели межотрасле-
вых материально-вещественных связей и модели межотраслевых
зависимостей цен.
1. Если матрица Л продуктивна, то для любого полуположи-
тельного вектора Y > 0 система (Е—Л) X = Y имеет единствен-
ное полуположительное решение X >0. Иными словами, каждому
вектору конечной продукции (У > 0) соответствует только один
вектор объемов производства (Х>0). Для неразложимой мат-
рицы Л любому Y > 0 соответствует единственный строго поло-
жительный X >0.
274
2. Если матрица А продуктивна, то для любого полуположи-
тельного вектора чистой (условно-чистой) продукции г > 0 сущест-
вует единственный полу положительный вектор цен Р > 0. Иначе
говоря, если взять любой вектор чистой (условно-чистой) продук-
ции (г > 0), то ему соответствует только одна система цен (Р> 0).
При условии неразложимости А любому г > 0 соответствует един-
ственный строго положительный Р>0.
Наглядное геометрическое истолкование условий существова-
ния решений системы уравнений межотраслевых связей и допусти-
мых значений коэффициентов прямых затрат может быть дано на
примере двухотраслевой моде-
ли (см. рис. 7.2). Точка А (ре-
шение системы) есть пересече-
ние двух прямых (1—а11)х1—
^12*^2 “ У1 И ^21*^1 "Т
+ (1— а22) х2 = у2. Для того
чтобы точка пересечения этих
прямых находилась в поло-
жительном квадранте, необхо-
димо, чтобы:
прямые имели положитель-
ный наклон по отношению
к осям координат, т. е.
tga = 1-011 >0
012
и tg₽ = —— >0,
ff21
РИС. 7.2.
Решение задачи для двух отраслей
откуда следует ап<1 и
a22<Zl (при а12 = 0 или
а21 = 0 прямые параллельны
осям);
сумма углов наклона была больше прямого (только тогда пря-
мые будут пересекаться в положительном квадранте); т. е.
tg (а + ₽)
tg«+ tg р
1 — tg a tg Р
(1 — аи) (1 — а22) — а12а21
а21 ( I а11) а12 (1 — а2г)
<0,
так как при а1Х<;1 или а22<1 знаменатель отрицателен, то чис-
литель должен быть положителен, или а12а21<; (1—а1Х) (1—а22).
Решение системы уравнений, кроме того, должно удовлетворять
ограничениям по ресурсам. Эти ограничения (по трудовым ресур-
сам — L, по производственным мощностям — А\ и N2) образуют
область допустимых неотрицательных решений. Точка А нахо-
дится внутри этой области. Однако если уменьшить трудовые за-
275
траты, то найденное решение системы уравнений станет недопу-
стимым1. Покажем, что для существования единственного X > О
при любом У>0 необходимо и достаточно, чтобы В=(Е—Л)-1>0
(заметим, что в этой матрице строго положительными являются
хотя бы диагональные элементы).
Достаточность принятого условия очевидна. При > О и
У) О, I, / £ / (и хотя бы один из элементов Ьц и один из эле-
ментов yt положительны), ^все произведения Ьцу,- неотрицательны
и хотя бы одно произведение строго положительно: например, bkkyk
ПРИ Потому х;= '^ЪцУ/^- 0, i£7, и хотя бы одна xz>0.
Необходимость принятого условия обнаруживается при следующем
рассуждении. Если хотя бы один элемент < О, то найдется
такой вектор У > 0, в котором только k-я компонента положи-
тельна, а остальные —нулевые. Тогда получится xt = bikyk < 0.
Обычно свойства модели межотраслевого баланса анализируются
в предположении, что У>0. Известно, однако, что отдельные
компоненты вектора конечной продукции могут устойчиво при-
нимать отрицательные значения, например, по импортируемой
продукции. Это ни в коей мере не является признаком непродук-
тивности системы межотраслевых связей. Свойства, доказанные
в предположении У>0, нужно понимать так, что в продуктивной
системе всегда могут быть получены наборы конечной продукции,
не имеющие отрицательных компонент (например, если народное
хозяйство откажется от импорта). Вместе с тем отрицательные зна-
чения отдельных элементов конечной продукции не могут быть
чрезмерно большими по абсолютной величине. Если, например,
величины одной группы конечной продукции (г) неотрицательны,
а величины другой группы конечной продукции (s) отрицательны,
то должны выполняться условия
S ^irUr 2 1С •
Г S
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
В АНАЛИЗЕ НАРОДНОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРОПОРЦИЙ
Межотраслевой баланс является ценным инструментом иссле-
дования системы взаимосвязей и пропорций народного хозяйства.
В применении межотраслевого баланса для экономического ана-
лиза можно различать два подхода: анализ информации, непосредст-
1 Подробный анализ проблем существования решений в модели межотрасле-
вого баланса см. в работах: Гейл Д. Теория линейных экономических
моделей. М., Изд-во иностр, лит., 1963, с; 367—373; [8, с. 300—303]; [10,
с. 91 — 1011; [15, с. 124—163].
276
венно содержащейся в таблицах межотраслевого баланса (анали-
тическая обработка таблиц), и анализ на основе моделей межотрас-
левых связей. При первом подходе используются в основном тра-
диционные приемы экономико-статистического анализа. Мы бу-
дем рассматривать такие направления анализа, которые базируются
на применении математических моделей.
Структурный анализ взаимосвязей валового
и конечного общественного продукта
Коэффициенты матрицы В = (Е—Л)-1 выражают соотношения
между отраслевой структурой конечного продукта и отраслевой
структурой валового продукта. При наличии единых измерите-
лей различных видов продукции для анализа можно использовать
суммы коэффициентов матрицы В = (Е—Л)-1 по каждой отрасли
(по столбцу). Коэффициент bj— У, bif определяет потребность в ва-
*€/
ловом общественном продукте для получения единицы конечной
Таблица 7.8
ПОТРЕБНОСТИ В ВАЛОВОМ ПРОДУКТЕ НА 1000 РУБ.
ИСПОЛЬЗУЕМОЙ КОНЕЧНОЙ ПРОДУКЦИИ ОТРАСЛЕЙ
ПО ДАННЫМ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ БАЛАНСОВ СССР»
(В руб.)
1959 г. 1966 г. 1972 г.
Промышленность в среднем В том числе: 2163 2354 2258
черная металлургия 2653 2489 2438
топливная 1881 1909 1865
электр оэнер гети ка 1784 1885 1824
машиностроение и металло- обработка 2124 ** 2331 2133
химическая 2457 2507 2184
легкая 2239 2557 2276
пищевая 2203 2400 2454
Строительство 2071 2131 2083
Сельское и лесное хозяйство 1735 *** 1598 1755
Транспорт и связь 1628 1479 1411
Торговля, заготовки, материаль- но-техническое снабжение 1430 1315 1259
♦ В этой и во всех последующих таблицах данные за 1959 и
1972 гг. —в ценах конечного потребления соответствующих лет, данные
за 1966 г. — в ценах конечного потребления 1971 г
Без абразивной, слюдяной, углеграфитовой промышленности. *** Без лесного хозяйства.
277
продукции из отрасли j1. Как видно из табл. 7.8, значения коэф-
фициентов потребностей в валовом общественном продукте для по-
лучения конечной продукции различаются почти в 2 раза даже при
укрупненной отраслевой классификации. Поэтому изменения от-
раслевой структуры конечного продукта (при сохранении его об-
щего объема) могут ощутимо сказываться на объеме валового
общественного продукта. Это 'обстоятельство должно приниматься
во внимание при обосновании таких макроэкономических пропор-
ций, как соотношения валового продукта, конечного продукта
и национального дохода.
Коэффициенты bj используются в расчетах валового общест-
венного продукта в зависимости от отраслевого состава конечного
продукта. Можно вычислить также коэффициенты, характеризую-
щие объемы производства всех отраслей в зависимости от общего
объема конечного продукта при неизменной его отраслевой струк-
туре. Пусть у — общий объем конечного продукта, а ~ (аг) —
вектор-столбец отраслевой структуры конечного продукта, У а(- = 1.
Тогда
X = (Е — А)~'ау=$у,
где Р = (£—Л)-1а — вектор коэффициентов потребностей в про-
дукции разных отраслей для получения единицы общего объема
конечного продукта фиксированной структуры. В табл. 7.9 при-
водятся коэффициенты р;, рассчитанные по данным трех межот-
раслевых балансов СССР.
Таблица 7.9
ОБЪЕМЫ ПРОИЗВОДСТВА ОТРАСЛЕЙ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
СССР НА 1000 РУБ. КОНЕЧНОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ПРОДУКТА
1959 г. 1966 г. 1972 г.
Промышленность В том числе: 1325 1446 1490
тяжелая 648 815 868
легкая 677 ' 631 622
Строительство 205 221 210
Сельское и лесное хозяйство 368 364 321
Транспорт и связь 79 ' 84 80
Торговля, заготовки, снабжение 78 72 69
Прочие отрасли материального производства 21 16 13
Итого валовой обще- ственный продукт 2076 2203 2183
1 Коэффициенты с, = bj— 1 характеризуют полную народнохозяйственную
материалоемкость единицы конечной продукции отрасли j.
278
При стабильной структуре конечного продукта отраслевая струк-
тура валового общественного продукта определяется коэффициен-
Рс
тами .
2 Р/
Определение полных народнохозяйственных
затрат на фонды конечного продукта
Применение модели межотраслевого баланса позволяет полу-
чить принципиально новую информацию о народнохозяйственных
пропорциях. Можно, в частности, рассчитать объемы производства
средств производства для производства средств производства и про-
изводства средств производства для производства предметов по-
требления. Это сделать невозможно, опираясь только на стати-
стические данные.
Так, например, крайне трудно распределить между двумя подотделами
производства средств производства объем произведенной железной руды.
Железная руда почти целиком направляется на выплавку чугуна, из кото-
рого производится сталь, а далее — прокат. Прокат потребляется в машино-
строении и строительстве. Та часть руды, которая в конечном счете требуется
для производства машиностроительной продукции производственного назна-
чения и производственного строительства, относится к первому подотделу
I подразделения, а объем руды, используемой в конечном счете для произ-
водства машиностроительной продукции непроизводственного назначения
и непроизводственного строительства, входит во второй подотдел I подразде-
ления. Но разделить всю руду на эти две части можно лишь посредством
решения соответствующих уравнений межотраслевого баланса или примене-
ния коэффициентов полных затрат.
С распределением производства средств производства между
двумя подотделами тесно связан расчет потребностей в валовом
продукте для обеспечения фондов потребления и накопления.
Как известно, конечный общественный продукт состоит из ряда
фондов использования продукции: потребления, накопления, воз-
мещения выбытия основных фондов, сальдо экспорта — импорта
и т. д. Пусть q — номер фонда конечного продукта. Тогда
Х = (Е — А)-1^УЧ^(Е — А)-' Y4.
q q
Здесь Хч = (£—Л)-'У"7— вектор объемов-производства, обеспе-
чивающих q-й фонд конечного продукта.
По данным межотраслевого баланса за 1972 г. на долю фондов
потребления и накопления непосредственно приходится 35,1% ва-
лового общественного продукта. Полные же потребности этих фон-
дов составляют 77,5% валового общественного продукта, причем
58,7% падает на фонд потребления и 18,8% — на фонд накоп-
ления.
'Табл. 7.10 отчетливо показывает народнохозяйственную спе-
циализацию отраслей: легкая промышленность и сельское хозяй-
ство в основном обслуживают фонд потребления; продукции тя-
279
желой промышленности на единицу фонда накопления расходуется
в 2 раза больше, чем на единицу фонда потребления; продукция
строительства на фонд потребления вообще не расходуется.
Таблица 7.10
ПОТРЕБНОСТИ в ПРОДУКЦИИ ОТРАСЛЕЙ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ФОНДОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ
(ПО ДАННЫМ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА СССР ЗА 1972 г.)
Тяжелая промышлен- ность Легкая промышлен- ность Строительство Сельское и лесное хо- зяйство Транспорт и связь Торговля, заготовки, , снабжение Прочие отрасли Производство продукции на 1000 руб. Во сколько раз полный расход продукции больше прямого
фонда потребления, руб. фонда накопления, руб. на фонд потребления на фонд накопления
545,0 1017,8 510,7 63,4 93,3 16,4 1125,6 100,8 665,4 69,9 89,4 32,4 -8,4 2,89 1,54 3,69 * * 1,34 4,07 2,74 1,0 3,69 * * 4,08
Итого валовой общественный про- дукт * Прямой расход отсутс , 2246,6 твует. 2091,9 2,25 2,09 t
Еще большие различия в структуре конечного использования
продукции обнаруживаются при детализации классификации от-
раслей. Например, продукция металлургии, электроэнергетики,
топливной, химической промышленности и промышленности строи-
тельных материалов непосредственно на фонды потребления и на-
копления почти не используется. Значение этих отраслей для обе-
спечения фондов потребления и накопления проявляется косвенно—
через систему межотраслевых взаимосвязей по производственному
потреблению. При этом продукция металлургии и промышленности
строительных материалов используется в конечном счете преиму-
щественно для фонда накопления; продукция же топливной, элек-
троэнергетической, химической, лесной промышленности в боль-
шей части используется для фонда потребления, однако на каждую
единицу фонда накопления этой продукции расходуется сущест-
венно больше, чем на единицу фонда потребления.
В целом на 1000 руб. фонда потребления в 1972 г. требовалось
2246,6 руб. валового общественного продукта, а на 1000 руб. фонда
280
накопления — 2091,9 руб., т. е. на 6,9% меньше. Поэтому при из-
менении в используемом национальном доходе соотношения ме-
жду потреблением и накоплением изменяются объемы валового
общественного продукта и продукции большинства отраслей. На-
пример, при увеличении доли накопления (и сохранении прежнего
объема национального дохода) сокращается объем необходимого
валового общественного продукта и должно уменьшиться произ-
водство в отраслях промышленности группы Б и сельском хозяй-
стве, но зато должно увеличиться производство в отраслях промыш-
ленности группы А и строительстве.
Общие потребности народного хозяйства в производственных
ресурсах также могут быть распределены между фондами конеч-
ного продукта (по формуле Rq = FqYq). В табл. 7.11 приводятся
коэффициенты полных затрат основных фондов и труда на 1000 руб.
фондов потребления и накопления.
Таблица 7.11
ПОТРЕБНОСТИ В ОСНОВНЫХ ФОНДАХ И ТРУДОВЫХ РЕСУРСАХ
НА 1000 РУБ. ФОНДОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ (ПО ДАННЫМ
МЕЖОТРАСЛЕВЫХ БАЛАНСОВ СССР ЗА 1959 И 1966 гг.)
Основные фонды, руб. Трудовые затраты, годо- вых работников На фонд потребления На фонд накопления
1959 г. 1966 г. 1959 г. 1966 г.
1057,8 0,5388 1178,6 0,3762 1226,6 0,4561 1310,6 0,3618
Для характеристики возможностей роста, народного хозяйства
принципиально важное значение имеет тот факт, что на 1000 руб.
прироста фонда накопления потребность в дополнительных основ-
ных фондах превышает 1000 .руб. Это означает, что увеличение
накопления основных фондов с позиций данного года неэффективно,
а абсолютные масштабы накопления ограничиваются созданными
ранее основными фондами1. Более высокая фондоемкость накопле-
ния по сравнению с потреблением является дополнительным фак-
тором, сдерживающим рост доли накопления в используемом на-
циональном доходе. Если пытаться повышать долю накопления, то
потребность в основных фондах будет при этом возрастать; а по-
скольку имеющиеся основные фонды ограничены, то придется
уменьшить общий объем национального дохода и вследствие этого
в еще большей степени снизить объем фонда потребления.
1 Если бы фондоемкость накопления была меньше 1000 руб., а срок созда-
ния основных фондов — меньше одного года, то расширенное воспроиз-
водство основных фондов осуществлялось бы за счет основных фондов,
создаваемых в этом же году; это был бы принципиально иной тип расширен-
ного воспроизводства.
281
Различный характер условий воспроизводства фондов потреб-
ления и накопления находит также отражение в коэффициентах
полных затрат элементов условно-чистой продукции. Приводимые
в табл. 7.12 коэффициенты характеризуют одновременно и «разло-
жение» стоимости фондов потребления и накопления на первичные
элементы затрат (см. с. 269—270).
Таблица 7.12
ПОТРЕБНОСТИ в ЭЛЕМЕНТАХ УСЛОВНО-ЧИСТОЙ ПРОДУКЦИИ
НА 1000 РУБ. ФОНДОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ И НАКОПЛЕНИЯ (ПО ДАННЫМ
МЕЖОТРАСЛЕВЫХ БАЛАНСОВ СССР ЗА 1959, 19G6 И 1972 гг.)
(в руб.)
На фонд потребления На фонд накопления
1959 г. 1966 г. 1972 г. 1959 г. 1966 г. 1972 г.
Амортизация 51,4 82,9 87,6 67,6 108,1 115,2
Оплата труда 298,2 340,1 313,7 503,8 475,7 448,3
Прибавочный продукт 650,4 577,0 598,6 428,6 428,6 416,2
При сложившейся в народном хозяйстве СССР системе цеп н
оплате труда рост накопления в большей степени увеличивает фонд
оплаты труда в производственной сфере, нежели рост фонда по-
требления. Так, в 1972 г. прирост фонда потребления на 1000 руб.
требовал увеличения оплаты труда на 313,7 руб., а такой же при-
рост накопления — на 448,3 руб. Вследствие этого при изменении
доли накопления и потребления могут возникать несоответствия
между платежеспособным спросом и товарным предложением. Это
еще не означает неизбежности диспропорций, поскольку спрос
и предложение можно регулировать за счет перераспределения
прибавочного продукта. Однако выявленное соотношение подчер-
кивает важность планомерной взаимоувязки материально-вещест-
венных и стоимостных межотраслевых пропорций.
Различие коэффициентов прибавочного продукта на единицу
фондов потребления и накопления также может создавать напря-
женность между материально-вещественными и стоимостными про-
порциями национального дохода. Известно, что прибавочный про-
дукт является главным источником финансирования накопления.
Однако, как следует из табл. 7.12, увеличение доли накопления
в используемом национальном доходе относительно уменьшает ре-
сурсы прибавочного продукта.
За последние годы в народном хозяйстве СССР были проведены
крупные мероприятия по совершенствованию системы цен, увели-
чению и упорядочению заработной платы в различных отраслях.
Эффект от этих мероприятий нашел отражение в существенном
сглаживании различий между коэффициентами оплаты труда и
282
прибавочного продукта на потребление и накопление, что, несом-
ненно, облегчает проблемы согласования материально-веществен-
ных и стоимостных пропорций национального дохода.
Анализ динамики валового и конечного
общественного продукта
Соотношение валового и конечного продукта (национального
дохода) относится к числу фундаментальных пропорций расширен-
ного воспроизводства. Применение модели межотраслевого баланса
позволяет изучать количественное влияние факторов, определяю-
щих динамику этого соотношения.
Отношение валового продукта к конечному продукту (0) есть
средний по народному хозяйству коэффициент потребностей в ва-
ловом продукте на единицу конечного продукта; соизмерителями
различных видов продукции служат цены (вектор Р):
„ РХ Р (Е — /1)- ' Y
Р PY ““ PY
Сравнение показателей 0 будем проводить за два года: базис-
ный (индекс 0) и текущий (индекс 1). Не исключается, что «текущим»
может быть любой плановый год. В соответствии с принятой ме-
тодикой динамических сопоставлений объемы валового и конеч-
ного продукта измеряются в ценах базисного года:
ft — р°л° _ р° (Е ~ л°)~‘ Y°
~ рох1 ~ ро _ л1)-1 Г1
pOyi P^Y1
Динамика соотношения физических объемов валового и конеч-
ного продукта характеризуется индексом
Р°(£ — А1)-1 уСрОуО
₽0 “ Р° (Е — Ао)“‘ /«.рОу1
Если — Х>1, это значит, что валовой продукт растет быстрее ко-
₽° 0
печного продукта. Если же —<1, то рост конечного продукта
00
обгоняет рост валового продукта. Разумеется, для народного хо-
зяйства предпочтителен второй случай. Очевидно, что прй заданной
системе цен на изменение этого индекса влияют только коэффици-
енты материальных затрат и отраслевая структура конечного про-
дукта.
Рассмотрим частные случаи динамики валового и конечного
продукта.
283
Допустим, что конечный продукт увеличивается в неизменной
отраслевой структуре темпом о. Тогда
о Р° (Е — Л1)"1 <jY° Р°(Е — Л1)-1 Y°
Pi ~~ рОу-о
и
Р° (£ - Л1)"1 У0
Ро ~ Р° (£ - Л0)-1 У0 ‘
В этом случае изменение пропорции между валовым и конечным
продуктом целиком определяется динамикой коэффициентов мат-
рицы (Е—Л)-1. Если, например, сумма коэффициентов хотя бы
по одной отрасли уменьшилась, а по другим — не увеличилась,
то конечный продукт увеличивается быстрее валового продукта.
Допустим теперь, что конечный продукт изменяется в любых
соотношениях, но матрица (Е—А)-1 остается неизменной. В дан-
ном случае индекс — зависит исключительно от структурных
Ро
сдвигов в конечном продукте. Если в составе конечного продукта
увеличивается удельный вес отраслей, имеющих высокие коэффи-
циенты Ь/ (металлургии, химической промышленности, легкой
и пищевой промышленности), то это способствует опережающему
росту валового продукта; если же увеличивается удельный вес
конечной продукции электроэнергетики, сельского хозяйства и т. п.,
это создает возможности для опережающего роста конечного про-
дукта. •
В итоге соотношение валового и конечного продукта изменяется
в результате взаимодействия динамики материалоемкости произ-
водства и динамики отраслевой структуры конечного продукта.
Анализ статистических данных говорит о том, что за последние
10—15 лет значение индекса 0 в народном хозяйстве СССР стабили-
зировалось.
Рассмотрим особенности динамики валрвого и конечного про-
дукта в текущих ценах. При этом
х Р1Х1 Рх (Е — Л1)-1 У1 .
Pl plj/1 plyl ’
_ р^г — л1)-1 у1-?0/0
р0 ~ Р°(£ —л0)-1 у’ р^1 ’
При сравнительном анализе индексов ф- и-^1- интересно выя-
Ро Ро -
вить возможности противоположных изменений рх и pv
Предположим, что отраслевая структура конечного продукта
неизменна, а матрица (Е—А)-1 изменяется так, что bj<Zbj для
В её
всех / £ I. Тогда —<1. Однако вполне возможно, что —1->1.
Ро Ро ,
Это может происходить при увеличении цен на продукцию с боль-
284
шими коэффициентами bj. В другом крайнем случае, когда матрица
(Е—Л)-1'неизменна, а изменяется только’структура конечной про-
дукции, также возможны противоположные изменения и
Например, удельный вес конечной продукции отраслей с мень-
шими значениями bj увеличивается (и в результате этого
но это влияние перекрывается ростом цен на продукцию
Ро /
отраслей с большими коэффициентами Ь/.
В реальной действительности, когда одновременно изменяются
и коэффициенты материальных затрат (одни повышаются, другие
понижаются), и структура конечной продукции, неравномерное
изменение цен может приводить к значительным расхождениям
индексов — и —. Рост индекса — за последние 15 лет объяс-
Ро Ро Ро
няется прежде всего тем, что в анализируемом периоде существенно
повышались цены на предметы труда (оптовые цены на продукцию
тяжелой промышленности, закупочные и сдаточные цены на сель-
скохозяйственную продукцию), в то время как в отраслях, форми-
рующих основную часть конечного продукта, цены в среднем из-
менялись незначительно.
Анализ динамики затрат живого
и овеществленного труда
Применение модели межотраслевого баланса позволяет уточ-
нить теоретические представления о закономерностях изменения
соотношения затрат живого и овеществленного труда.
Широко распространена точка зрения, что доля затрат живого
труда в совокупных трудовых затратах должна уменьшаться вслед-
ствие того, что затраты живого труда на производство единицы
продукции снижаются быстрее, чем могут уменьшаться удельные
материальные затраты (тем более, что последние могут и увеличи-
ваться). Такое рассуждение некорректно. Дело в том, что эконо-
мия живого труда «обесценивает» труд, овеществленный в потреб-
ляемых средствах производства. Если же при этом уменьшаются
и удельные материальные затраты (хотя бы незначительно), то
полные трудовые затраты уменьшаются в большей мере, чем за-
траты живого труда, а доля затрат живого труда в полных (сово-
купных) трудовых затратах соответственно снижается1.
Затраты живого труда на производство валового продукта равны
tX, полные (совокупные) трудовые затраты на производство вало-
1 В советской литературе на это впервые обратил внимание С. С. Шаталин
в статье «О соотношении темпов роста валового общественного продукта
и национального дохода» («Вопросы экономики», 1966, Xs 1).
'285
вого продукта равны t (Е—Л) 1Х. Пусть р — доля затрат живого
tx
труда в полных трудовых затратах: р=—--------------।. Тогда
t (Е — Л) X
изменение доли затрат живого труда характеризуется индексом
R„ * X (5 — Л )—X— Если -^>1, то доля затрат жи-
Ро У°Х0-? (Е — 41)-1 X1 ’ Во
вого труда возрастает, если -^-<1, эта доля уменьшается.
Мо
Предположим, что коэффициенты затрат живого труда во всех
отраслях уменьшаются одинаково в / раз (/ — сколь угодно боль-
шое положительное число), а отраслевая структура валового про-
дукта остается неизменной, т. е. У1/ == /°, Х'Х’Х", /г>0. Тогда
_L*1_ z" (l- — Х°
11,1 Iя (Е — /I1) 1 X0
Полученный результат говорит о том, что доля затрат живого
труда в полных трудовых затратах остается неизменной при лю-
бом пропорциональном снижении коэффициентов затрат живого
труда. Этот парадокс объясняется достаточно просто. Пропорцио-
нальное уменьшение затрат живого труда во столько же раз обес-
ценивает затраты овеществленного труда и во столько же раз
снижает полные трудовые затраты:
Т'х' /ЧЕ —Л'^'Х1- Ч-[Ч(Е- Л')^1] ХЧ_- 4_(/°X')-i-
+ у (/'’с’х1).
В допущенных предположениях динамика индекса опреде-
Р-0
ляется исключительно изменением коэффициентов матрицы
(Е—Л)-1. Если уменьшается хотя бы один коэффициент этой мат-
рицы (а другие остаются неизменными), то доля затрат живого
труда увеличивается: Таким образом, увеличение доли за-
трат живого труда является прямым следствием роста эффектив-
ности использования материальных ресурсов.
В реальной экономике динамика соотношения затрат живого
и овеществленного труда складывается под влиянием различных
изменений коэффициентов материальных затрат, структуры вало-
вого продукта и неравномерного снижения затрат живого труда
в разных отраслях. Если в народном хозяйстве материалоемкость
производства в целом снижается, то это создает устойчивую тен-
денцию увеличения доли живого труда. Если же материалоемкость
в целом возрастает, то преобладающей становится тенденция умень-
шения доли затрат живого труда в полных трудовых затратах на
производство валового общественного продукта.
286
§ 6. ПЛАНОВЫЕ РАСЧЕТЫ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
ft-*'
Расчеты сбалансированных уровней производства
исходя из вариантов конечной продукции
Модель межотраслевого баланса позволяет проводить в крат-
чайшие сроки расчеты многих вариантов производственной про-
граммы отраслей, обеспечивающих задания по удовлетворению
конечных потребностей народного хозяйства. Для этого решается
система уравнений X = АХ + Y при различных векторах Y. На
основе сравнительного анализа рассчитанных вариантов плана
производства из них отбираются наиболее приемлемые для после-
дующего уточнения и более глубокого обоснования. Такой поря-
док плановых расчетов ориентирует на достижение определенных
конечных результатов (повышение уровня жизни населения, рас-
ширение производственных мощностей, создание заделов капи-
тального строительства для будущего развития производства
и т. п.).
Аналогичные задачи взаимоувязки объемов производства и ко-
нечного использования продукции решаются при корректировке
планов в процессе их выполнения. Расчеты значительно упро-
щаются, если предварительно находится матрица полных затрат
(Е—А)-1» Тогда при корректировке заданий по конечной продук-
ции легко определять необходимые изменения в планах производ-
ства: ДХ = (Е—А)- ДУ.
Главная проблема плановых расчетов по модели межотрасле-
вого баланса — подготовка исходной информации, т. е. плановых
коэффициентов затрат и вариантов конечной продукции.
Определение плановых коэффициентов затрат. Коэффициенты
затрат на производство продукции изменяются во времени. Поэ-
тому в плановых расчетах нельзя ограничиваться только использо-
ванием коэффициентов, полученных из отчетных межотраслевых
балансов и любых других статистических источников. Существует
три основных подхода к определению плановых коэффициентов
затрат:
статистическое прогнозирование;
аналитический подход;
использование информации из других моделей, входящих в си-
стему моделей планирования народного хозяйства.
Методы статистического прогнозирования предполагают на-
личие достаточно длинных динамических рядов коэффициентов.
Поэтому наибольшее развитие они получили прежде всего в тех
странах, где отчетные межотраслевые балансы составляются си-
стематически в течение ряда лет. Однако для прогнозирования
отдельных коэффициентов затрат (а не всей матрицы) могут исполь-
зоваться и другие статистические источники о затратах на произ-
287
водство. Простейшая форма статистического прогноза — экстра-
поляция коэффициентов затрат, т. е. представление этих коэффи-
циентов в виде функций от времени. Болёе совершенным методом
статистического прогнозирования является построение уравнений
регрессии, в которых в качестве аргументов выступает не только
время, но также экономические, технологические, организацион-
ные факторы, определяющие изменение коэффициентов затрат.
Этот метод уже содержит черты аналитического подхода. Если фак-
торы-аргументы являются экзогенными величинами (по отношению
к модели межотраслевого баланса), то прогноз коэффициентов за-
трат делается на основе предварительного определения этих ве-
личин. Если же некоторые из этих факторов-аргументов относятся
к переменным и параметрам модели межотраслевого баланса, то,
по сути дела, это означает отказ от гипотезы независимости отдель-
ных коэффициентов затрат и переход к более сложным межотрасле-
вым моделям (см. § 1 главы 8).
В СССР основным методом определения плановых коэффициен-
тов затрат является технико-экономическое проектирование. Пла-
новые коэффициенты затрат разрабатывают отраслевые научно-
исследовательские и проектные институты. При этом учитываются:
прогрессивные изменения структуры производимой продукции,
изменения в технологии производства и структуре потребления
взаимозаменяемых ресурсов, использование новых видов материа-
лов и оборудования, территориальные сдвиги в производстве и по-
треблении продукции, изменения в специализации и кооперирова-
нии' производства, распространение новых форм организации и уп-
равления производством и т. д.1
Наряду с этим аналитическим методом используются методы,
в которых коэффициенты затрат определяются совместно на ос-
нове соотношений межотраслевого баланса. Наибольшую извест-
ность получил так называемый метод RAS, предложенный англий-
ским исследователем Р. Стоуном. Название данного метода свя-
зано с формулой расчета коэффициентов на плановый период А1 =
— RA°S, где А° — матрица базисного года, А1 — матрица плано-
вого года, 7? — диагональная матрица из коэффициентов г(, ха-
рактеризующих среднее изменение коэффициентов затрат продук-
ции I (по строке), S — диагональная матрица коэффициентов st,
характеризующих общее изменение материалоемкости продукции
j (по столбцу). Таким образом, коэффициенты матриц R и S
(их число равно 2п) выражают общие гипотезы об изменении ма-
териалоемкости производства, на основе которых определяются
все коэффициенты матрицы А1 (максимальное их число равно п2).
Метод RAS может использоваться при проведении ориентировочных
плановых расчетов2.
1 См. [13, с. 637—645].
8 Более подробное изложение метода RAS дается в учебном пособии [14,
с. 178—181]. В идейном отношении к методу RAS близок метод прогнози-
v 288
Важной особенностью методики определения плановых коэффи-
циентов затрат является дифференцированный подход к различным
коэффициентам. Исследования матриц межотраслевых балансов
приводят к выводу, что только незначительная доля всех коэффи-
циентов оказывает существенное влияние на объемы производства
и межотраслевого оборота. К числу существенных можно, напри-
мер, отнести такие коэффициенты alt, изменение которых на 100%
изменяет объем производства какой-либо отрасли более чем па 1%.
Аналитические методы имеет смысл применять для определения
только важнейших коэффициентов; для несущественных же ко-
эффициентов вполне достаточно использовать более простые и ме-
нее трудоемкие методы (статистическую экстраполяцию, метод RAS,
экспертные оценки) либо вообще исключать эти коэффициенты из
матрицы А, фиксируя общий расход продукции соответствующих
отраслей и ресурсов на «второстепенные» нужды в правых частях
уравнений межотраслевого баланса.
Теоретически наиболее правильным и последовательным яв-
•ляется такой подход к определению коэффициентов затрат, кото-
рый основывается на взаимодействии экрномико-математических
моделей,, объединенных в одну систему. При использовании такого
подхода коэффициенты затрат для межотраслевой модели форми-
руются главным образом в моделях оптимального отраслевого пла-
нирования и корректируются при получении из межотраслевой
и региональных моделей соответствующих сигналов.
Обоснование вариантов конечной продукции. В математической
модели межотраслевого баланса различные функциональные эле-
менты конечного продукта не различаются: модель «воспринимает»
только суммарные значения конечной продукции каждого вида (z/z).
Но поскольку конечная продукция разнородна по своему экономи-
ческому назначению, то ее планирование осуществляется отдельно
по каждому фонду (личное и общественное потребление, произ-
водственное и непроизводственное накопление, 'экспорт и импорт
и т. п.). При подготовке вариантов конечной продукции широко
используются предплановые обоснования и информационные ма-
териалы ко многим разделам государственных планов развития
народного хозяйства («Уровень жизни», «Торговля», «Внешнеэко-
номические связи», «Образование, культура и здравоохранение»
и др.).
Для планирования конечной продукции все шире используются
экономико-математические модели. Здесь можно выделить два ос-
новных направления:
рования коэффициентов на основе задачи линейного программирования,
в которой заданными являются общие материальные затраты и объемы про-
изводственного потребления продукции каждой отрасли. Изложение этого
метода и его применение на основе данных по СССР см. в работе: Про-
ценко О. Д. и Симакова Г. П. Межотраслевая структура
основных фондов. М., «Статистика», 1968, с. 126—134. '
0 А. Г. Гранберг 289
использование макроэкономических моделей для определения
общих объемов конечного продукта, фондов потребления, накоп-
ления и т. д. с последующей детализацией их отраслевой структуры;
использование структурных моделей отдельных функциональ-
ных элементов (фондов) конечного продукта.
Второй подход наиболее широко применяется при обосновании
вариантов непроизводственного потребления (см. главу 6). Для
определения объемов продукции для накопления оборотных фон-
дов, экспорта, возмещения потерь и т. д. часто принимаются
известными не абсолютные величины, а коэффициенты, характери-
зующие долю расхода продукции на эти нужды от объема произ-
водства; эти коэффициенты добавляются к диагональным коэффи-
циентам материальных затрат.
Более совершенным способом отражения взаимосвязей между
производством и конечным использованием продукции является
построение расширенных моделей межотраслевого баланса, в кото-
рых некоторые элементы конечного продукта становятся эндоген-
ными переменными. Примером может служить модель, рассматри-
ваемая в § 2 главы 8.
В рамках статической модели наибольшие трудности возникают
при определении плановых объемов капитальных вложений, по-
скольку потребности в капиталовложениях мало связаны с усло-
виями развития народного хозяйства только в одном рассматривае-
мом году. Эти трудности усугубляются, когда модель используется
в расчетах не на ближайший год, а на последний год перспектив-
ного периода (конец пятилетки). Введение в статическую модель
капиталовложений как экзогенных величин позволяет решить
только одну задачу: определить влияние того или иного вектора
капиталовложений на изменение объемов производства и потреб-
ностей в ресурсах. Для решения более широкого круга задач ба-
лансовой увязки объемов производства, капиталовложений и ко-
нечного потребления требуется дополнять статическую модель не-
которыми динамическими соотношениями (например, балансами
капиталовложений за весь плановый период).
Обоснование производственной программы
со стороны производственных ресурсов
Модель межотраслевого баланса для плановых расчетов вклю-
чает ограничения по общим ресурсам (7.17) и производственным
мощностям (7.18). При краткосрочном планировании производст-
венные возможности ограничены в основном сложившимся распре-
делением трудовых ресурсов и основных фондов. В течение года
лишь в малой степени можно перераспределить рабочую силу ме-
жду различными отраслями. Поэтому общее ограничение по трудо-
вым ресурсам является слишком слабым; необходимо еще учиты-
вать ограничения по отдельным отраслям. Аналогично обстоит
290
дело с основными производственными фондами. Ввод мощностей,
предопределяемый в основном заделами незавершенного строи-
тельства и запасами свободного и монтируемого оборудования, мо-
жет. колебаться лишь в небольших пределах. Таким образом, при
использовании модели межотраслевого баланса для краткосроч-
ного планирования главными ограниченными ресурсами являются
производственные мощности, понимаемые как максимально воз-
можные объемы производства соответствующих видов продукции
(X; < AQ.
На основе данных о производственных мощностях проводятся
расчеты сбалансированных вариантов производства и конечной
продукции. Например, можно рассчитать размеры конечной про-
дукции при максимально возможном использовании производ-
ственных мощностей по всем отраслям (т. е. когда = Nj):
iQI.
i£I
Анализ соотношений мощностей и объемов производства в на-
родном хозяйстве СССР показывает, что полное использование
всех производственных мощностей не всегда целесообразно по двум
причинам: во-первых, вследствие несбалансированности мощно-
стей по отдельным отраслям, а во-вторых, из-за чрезмерно высоких
издержек на некоторых предприятиях или уменьшения потребно-
стей в соответствующих видах продукции. Поэтому возникает про-
блема оптимального использования (или оптимального недоисполь-
зования) производственных мощностей с целью получения желае-
мых объемов конечной продукции. Для этого необходимо сравни-
вать множество плановых вариантов. Решение данной проблемы
значительно упрощается при переходе к оптимизационным межот-
раслевым моделям (см. § 3 главы 9).
Составлением плана процесс планирования не заканчивается.
В ходе выполнения плана, как правило, обнаруживаются несоот-
ветствия в развитии отдельных отраслей производства. При этом
те величины, которые при составлении плана принимались задан-
ными и неизменными (коэффициенты затрат, структура агрегиро-
ванной продукции, ввод новых мощностей и выбытие изношенного
и морально устаревшего оборудования, экспорт и импорт продук-
ции и т. п.), могут принимать другие значения. Возможные откло-
нения в ходе осуществления народнохозяйственного плана могут
быть учтены заранее путем разработки нескольких плановых ва-
риантов, рассчитанных на различный уровень трудно поддающихся
точному предвидению факторов (урожайность сельскохозяйствен-
ной продукции, импорт и т. д.) или на различный уровень дости-
жения качественных показателей (снижение норм расхода, рост
производительности труда и т. п.).
При использовании модели межотраслевого баланса в перспек-
тивном (среднесрочном и долгосрочном) планировании методика
Ю*
291
обоснования производственных возможностей народного хозяйства
значительно усложняется. Основные производственные фонды и
производственные мощности, необходимые в последнем году плано-
вого периода, в значительной мере создаются в течение планового
периода. Поэтому статическая модель может использоваться только
как составная часть динамической модели (иметь «входы» и «вы-
ходы», соединяющие ее со статическими моделями для других лет
планового периода) либо дополняться динамическими соотноше-
- ниями.
Плановые расчеты со смешанным составом
неизвестных
В реальной плановой работе нет резкой грани между двумя ста-
диями обоснования народнохозяйственного плана: со стороны об-
щественных потребностей и со стороны производственных возмож-
ностей.
В результате анализа фактического состояния и динамики на-
роднохозяйственных пропорций известно, что по некоторым ви-
дам продукции имеющиеся производственные возможности должны
использоваться максимально (они лимитируют удовлетворение
потребностей), а по другим — объемы производства должны быть
рассчитаны в зависимости от потребностей в конечной продукции.
Поэтому при расчетах плана производства по ряду лимитирующих
средств производства (например, по электроэнергии, синтетиче-
ским материалам) вначале могут устанавливаться задания по объе-
мам производства и находиться объемы конечной продукции, а по
остальным видам продукции — задаваться объемы конечной про-
дукции и вычисляться объемы производства.
Целесообразность фиксации некоторых объемов производства-
в плановых расчетах по модели межотраслевого баланса вытекает
также из технологических и социально-экономических особенно-
стей-отраслей, например, из предопределенности выпуска продук-
ции затратами прошлых лет (сельское хозяйство, строительство,
некоторые машиностроительные отрасли) или невозможности пла-
нового управления производством (личное подсобное хозяйство тру-
дящихся). К задаче со смешанным составом неизвестных сводятся
также корректировочные расчеты в процессе выполнения плана,
когда требуется выйти на плановые задания по некоторым объе-
мам производства и некоторые видам конечной продукции. При
этом, в частности, учитывается, что к диспропорции в народном
хозяйстве может приводить не только недовыполнение, но и пере-
выполнение планов но отдельным отраслям и видам продукции,
особенно при напряженном положении с ресурсами.
Сформулируем задачу плановых расчетов по4 модели межотрас-
левого баланса со смешанным составом неизвестных.
Пусть все виды продукции (отрасли) разбиваются на две
группы: ' - х
292
продукты (т видов), по которым искомыми являются объемы
производства — вектор Хх, а задаются объемы конечной продук-
ции — вектор Y1 = Ct (оба вектора порядка т);
продукты (п—т видов), по которым задаются объемы произ-
водства (например, в соответствии с максимальным использованием
мощностей или в соответствии с заданиями перспективных пла-
нов) — вектор Х2 — Фг. а искомыми являются показатели конеч-
ной продукции — вектор У2 (оба вектора порядка п—т).
Тогда решение системы относительно Х± и У2 возможно сле-
дующим образом. Вначале решается подсистема порядка т
(Е—Ахх) Хг — Сх-|- AX2Q2
и находится вектор Хх. Затем вектор Хх подставляется в подси-
стему порядка п—т
Y2 = (Е А22) Q.2 ^21^1’
каждое уравнение которой содержит по одному неизвестному и ре-
шается независимо.
Аналогично решается задача корректировки плана, когда тре-
буется учесть влияние отклонений от плана выпуска продукции
второй группы продуктов (АХ2 = AQ2) на валовые выпуски пер-
вой группы продуктов (АХх) и конечную продукцию второй группы
(АУ2) при условии выполнения заданий по конечной продукции
первой группы (AYх = 0).
Глава 8______________________
РАЗВИТИЕ МОДЕЛИ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Рассмотрим возможности совершенствования межотраслевых
моделей в следующих двух направлениях:
пересмотр некоторых специфических предпосылок исходной
модели межотраслевого баланса и построение моделей более об-
щего вида;
расширение модели за счет включения в систему межотрасле-
вых связей новых факторов.
Анализируемые модификации межотраслевых моделей будут
по-прежнему принадлежать классу балансовых статических мо-
делей.
§ 1. УТОЧНЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ
ЗАТРАТАМИ И ВЫПУСКОМ ПРОДУКЦИИ
Наиболее простой способ уточнения зависимостей между про-
изводственными затратами и выпуском продукции — переход от
линейных однородных функций (7.10) и (7.17) к линейным неод-
нородным функциям материальных затрат и затрат ресурсов:
Xij^jXj+dij, (8.1)
Xsj^fsjXj+dsj. (8.2)
Возможны два подхода к построению функций (8.1) и (8.2):
разделение производственных затрат на переменные и постоянные
и линейная аппроксимация теоретических или эмпирических за-
висимостей между затратами и выпуском продукции.
При первом подходе параметры функций (8.1) и (8.2) получают
следующий смысл: и fsj — затраты продукции I (ресурса s)
на единицу прироста производства продукции /, и dsj — по-
стоянные затраты продукции i (ресурса s) на все производство про-
дукции /. Свойства таких функций были рассмотрены в § 4 главы 5.
Коэффициенты alf и fsi, не учитывающие в явном виде разделение
затрат на переменные и постоянные, являются переменными ве-
личинами и зависят от того, насколько правильно спрогнозиро-
294
ваны объемы производства. Поэтому переход к непосредственному
использованию предельных коэффициентов затрат повышает точ-
ность расчетов.
Определение постоянных затрат возможно по данным статисти-
ческого учета. Доля условно постоянных затрат в таких отраслях,
как электроэнергетика, машиностроение, промышленность строи-
тельных материалов, составляет 25—30%. Следует отметить, что
выделение постоянных затрат труда и основных фондов имеет бо-
лее существенное значение, чем выделение постоянных материаль-
ных затрат. Это объясняется тем, что на действующих предприятиях
имеется довольно значительная часть персонала и основных фон-
дов, потребность в которых не меняется даже при существенных
изменениях выпуска продукции. Проблема выделения постоянных
затрат получила практическое решение при разработке межотрас-
левых балансов по некоторым республикам и экономическим райо-
нам СССР.
Второй подход к построению функций (8.1) и (8.2) состоит в ли-
неаризации более сложных зависимостей между затратами и вы-
пуском продукции. При этом экономический смысл параметров ли-
нейных функций изменяется. В частности, не всегда можно тракто-
вать dij и ds]- как постоянные затраты, ибо допускается d(;<0 и
(в этом случае fsJ>fJ;).
Модели межотраслевого баланса могут включать также нели-
нейные функции затрат и производственные функции с взаимоза-
меняемыми ресурсами наподобие тех, которые рассматривались
в главе 5. Однако, оценивая целесообразность построения нели-
нейных межотраслевых моделей, необходимо учитывать возрастаю-
щие информационные и вычислительные трудности.
Модель межотраслевого материального баланса с функциями
затрат общего вида (линейными и нелинейными)
*« = 2 + (8-3)
обладает иными свойствами, нежели линейная. Существование ре-
шений в такой модели (при заданных у() зависит от вида функций
Уи (Xj). Типична неединственность решений при заданных г/,-. Зна-
чительно усложняются методы нахождения решений. Однако глав-
ным препятствием в построении нелинейных моделей являются
трудности в информационном обеспечении. Межотраслевая модель,
оперирующая с агрегированными группами продукции (отраслями)
и объединяющая показатели по всем производственным способам,
непосредственно не улавливает основные технико-экономические
факторы, обусловливающие нелинейность затрат от выпуска про-
дукции: падение предельных затрат с ростом концентрации произ-
водства в обрабатывающей промышленности, возрастание предель-
ных затрат с переходом к более бедным месторождениям полезных
ископаемых и т. п. Для построения нелинейных функций материаль-
ных затрат и затрат ресурсов требуется обобщение информации об
295
изменении эффективности развития отдельных отраслей при из-
менении объемов производства. Теоретически наиболее правильно
получать такую информацию в результате решения задач оптималь-
ного отраслевого планирования.
Модель межотраслевого баланса в принципе может включать
условия взаимозаменяемости ресурсов в виде производственных
функций (см. §2,3 главы 5). Но тогда число уравнений в модели
увеличивается на п и появляются новые неизвестные — затраты
продукции и ресурсов (xih xsl):
x,j),
xi = 2X;/ + У1>
idi
^xsj<rt, s£M. (8.4)
Более доступно применять межотраслевую модель смешанного
типа: балансы продукции оставить без изменений (с линейными
функциями затрат), а взаимозаменяемость учитывать только для
внешних ресурсов:
х, = 2 aijXj + у!,
Ki
2 xsl<rs,
i, j£I; s£M. (8.5)
Главной проблемой, возникающей при попытках практического
применения моделей типа (8.4) и (8.5), является определение пара-
метров производственных функций. Наиболее радикальный путь
ее решения — обобщение информации об оптимальном поведении
отраслей производства при изменении внешних условий их функ-
ционирования.
Как было показано в § 5 главы 5, однородная производственная
функция первой степени может заменяться набором производст-
венных способов с разными соотношениями затрат взаимозаменяе-
мых ресурсов. Поэтому, если производственные функции, входя-
щие в (8.4) и (8.5), удовлетворяют этим условиям, можно перейти
к эквивалентным линейным межотраслевым моделям с избыточным
числом переменных х^, характеризующих объемы производства
продукции при разных сочетаниях взаимозаменяемых ресурсов:
2 xt^ = 2 + Уб i
2fs/^<G> S^M. (8.6)
/>Ф
296
Для получения единственного решения модель (8.6) должна
быть дополнена критерием выбора наиболее эффективных комбина-
ций производственных способов; в результате этого модель меж-
отраслевых связей переводится в класс оптимизационных моделей
(см; главу 9).
В последнее время развивается новый подход к определению
элементов затрат в рамках общей модели межотраслевого баланса —
построение многофакторных зависимостей для отдельных элемен-
тов затрат. Основными факторами, включаемыми в уравнения по-
токов материальных затрат (х;/), являются объемы производства,
непосредственно связанных отраслей (t и /), величины смежных
потоков по затратам (xkj) и по распределению продукции (ха).
Определение набора факторов и параметров уравнений требует
привлечения значительной информации за ряд лет. Поэтому целе-
сообразно составлять подобные уравнения только для наиболее
важных потоков Хц.
Приведем несколько примеров уравнений межотраслевых по-
токов (в млн. руб.), полученных на основе данных по СССР за
1950—1973 гг.1 * * (индексами обозначены отрасли: 1 — черная ме-
таллургия, 2 — угольная промышленность, 3 — газовая промыш-
ленность, 4 — электроэнергетика, 5 — машиностроение, 6 — хи-
мическая промышленность, 7 — легкая промышленность, 8 — сель-
ское хозяйство, 9 — строительство):
а) электроэнергетика на строительство
9122 1
х48 = 208,5——’ - + 0,0221х4 + 0,00014х9;
t +10 4
б) сельское хозяйство на легкую промышленность
х87 = 3685,4---— 62,6 +0,0141х8 + 0,0138х7;
.87 > . z_|_ 10 8 ”
в) черная металлургия на строительство
х18 = — 958,5 + 0,26х4 + 0,0043х8 — 0,31 х15;
г) угольная промышленность на черную металлургию
х21 = 373,8 + (0,02242--х2 +
4- 0,086хх— 1,93х31.
Поток (а) слабо зависит от объема производства потребляющей
отрасли, гораздо большее влияние на него оказывает рост произ-
водства электроэнергии. На поток (б) увеличение производства
в отрасли-производителе и отрасли-потребителе оказывает при-
мерно одинаковое влияние. Особенность потока (в) — в том, что
1 Яременко Ю. В., Ершов Э. Б., Смышляев А. С. Модель
межотраслевых взаимодействий.— «Экономика и математические методы»,
1975, т. XI, вып. 3.
297
его величина зависит от интенсивности распределяемой продукции
в другой отрасли. На величину потока (г) существенно влияет по-
требление замещающей продукции.
Учет производства сопряженной продукции и использования
комплексного сырья. В основной модели межотраслевого баланса
используется допущение, что в каждом производственном процессе
создается только по одному виду продукции. Но в ряде отраслей
промышленности и сельского хозяйства распространены процессы
производства сопряженной (комплексной) продукции, и это вы-
нуждает условно распределять общие (технологически нераздели-
мые) затраты между отдельными видами сопряженной продукции.
В результате возникают ошибки в расчетах объемов производства
и потребностей в ресурсах, а также в расчетах цен на сопряжен-
ную продукцию.
Отмеченных недостатков позволяет избежать метод отрица-
тельных коэффициентов. Модель межотраслевого баланса строится
в разрезе «основных» продуктов, выделяемых в каждом комплекс-
ном технологическом способе. На каждый основной вид продукции
рассчитываются коэффициенты затрат (со знаком плюс) и коэффи-
циенты выпуска «побочной» продукции (со знаком минус), т. е.
на «основной» продукт относятся все затраты, связанные с выпус-
ком всей сопряженной продукции, но зато выход «побочной» про-
дукции рассматривается как результат производства «основного»
продукта.
Например, в коксохимическом производстве из тонны шихты .'(обога-
щенный уголь) получается 785 кг кокса, 370 jh3 газа, 10 кг сырого бензола,
33 кг каменноугольной смолы. Если считать кокс основным продуктом кок-
сования, то получим, что на тонну кокса затрачивается около 1,3 т шихты
и при этом получается 450 м3 газа, 12,8 кг сырого бензола, 43 кг смолы. В по-
следующем процессе переработки для получения тонны чистого бензола за-
трачивается более 1,4 кг сырого бензола и одновременно получается около
200 кг толуола, 22 кг тяжелого бензола и т. д.
В агрегированной модели межотраслевых связей, предполагаю-
щей единственность решения, число «народнохозяйственных» спо-
собов производства не больше общего числа видов продукции и
равно числу «основных» видов продукции1.
Пусть Xj — объем производства «основной» продукции вида /,
ац — коэффициент затрат — выпуска продукции i на единицу
«основной» продукции /. Тогда
xt = 1^X1 +Ун (8-7)
1 Если какой-либо вид продукции ни в одном из «народнохозяйственных»
способов не производится как «основной» продукт, то в матрице коэффи-
циентов этому виду продукции будет соответствовать нулевой столбец.
Поэтому данный вид продукции целесообразно вывести из основной си-
стемы производственных связей и рассматривать его как особый внешний
ресурс. Конечный продукт здесь не задается, а определяется как сальдо
выпуска и производственного расхода.
298
При ЭТОМ XL = Xt — 2j aikXk > ГДе — множество видов «ОС -
feCK;
новной» продукции, при производстве которой получается (как
«побочная») продукция I.
В векторно-матричной форме имеем:
Х = ЛХ + ¥ или Х = (Е — Л)“*Г.
Матрица (Е—Л)-1 может содержать отрицательные элементы.
Если коэффициент матрицы &1;<0 (чаще всего ему соответствует
ац< Ф> эт0 означает, что при увеличении конечного использова-
ния продукции / объем производства «основной» продукции i дол-
жен уменьшаться, поскольку возрастает производство этой же про-
дукции в качестве «побочной».
Особенностью модели межотраслевых зависимостей цен с со-
пряженной продукцией является то, что в системе
Р/ = ^aiiPi + rj, jQI'-, I'dl, (8.8)
могут быть неизвестные «свободные» цены рг на те продукты, ко-
торые производятся только в качестве «побочных». В этом случае
единственная система цен на основные продукты может быть вы-
брана после анализа различных вариантов «свободных» цен на «по-
бочную» продукцию.
Рассматриваемый метод учета сопряженной продукции и ком-
плексных затрат может быть применен и для решения проблемы
получения и использования в народном хозяйстве ценных отходов
производства. Особенно важное значение это имеет для правиль-
ного учета потребностей и ресурсов металлолома (известно, что
в СССР за счет лома черных металлов выплавляется примерно по-
ловина всей стали). При введении в модель межотраслевого баланса
уравнения баланса металлолома в соответствующем столбце мат-
рицы А показываются все виды затрат на заготовку тонны лома,
а в строке — коэффициенты выхода лома при производстве еди-
ницы различных «побочных» продуктов (со знаком минус) и коэффи-
циенты затрат лома на изготовление единиц различных видов «ос-
новных» продуктов (со знаком плюс).
§ 2. ВКЛЮЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОТРЕБЛЕНИЯ
И ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ В СИСТЕМУ,
МЕЖОТРАСЛЕВЫХ СВЯЗЕЙ
Основная модель межотраслевого баланса и ее модификации,
рассматривавшиеся в § 1, акцентируют внимание на производст-
венно-технических пропорциях народного хозяйства и оставляют
в стороне многие социально-экономические зависимости межотрас-
левого характера. В частности, в этих моделях недостаточно взаи-
299
мосвязаны производство, занятость, потребление и доходы насе-
ления: показывается, как потребление воздействует на производ-
ство (Уп -> X), а объемы производства влияют на формирование
доходов населения (X -> г); но при этом допускается возможность
независимых изменений объемов и структуры потребления и ус-
ловий оплаты труда.
Естественно стремление замкнуть контур связей производства,
потребления и доходов, построить более общую модель для комп-
РИС. 8.1.
Взаимосвязи производства, потребления и доходов
в расширенной модели межотраслевого баланса
лексного исследования межотраслевых зависимостей. Структура
взаимосвязей такой модели (и ее отличие от исходной модели) по-
казывается на рис. 8.1.
Рассматриваемая ниже расширенная модель межотраслевого
баланса имеет следующие особенности:
в составе продукции, направляемой для конечного использо-
вания (z/J, выделяется часть, реализуемая за счет доходов населе-
ния (yi (г)), и «прочая.» конечная продукция (z/J:
f/z = y<(z) + ^, (8.9)
где z равен той части совокупного дохода населения, которая рас-
ходуется на приобретение товаров и услуг;
300
в модель включается баланс доходов населения, в котором вы-
деляются доходы, получаемые в сфере производства (г;-), и «прочие»
доходы (г):
2z/(x/) + z = ~z, (8.10)
Ki r
где у — доля потребительских расходов в совокупном доходе на-
селения;
вводится условие баланса расходов населения:
2йй(г) = г. ' (8.11)
/е/
Общая модель включает условия (8.10), (8.11) и систему урав-
нений производства и использования продукции:
*г = 2ф/ (г)+У1- (8.12)
Ki
Основная задача плановых расчетов по модели (8.10) — (8.12)
это определение объемов производства (х,) и доходов населения (z)
при заданных объемах «прочей» конечной продукции и «прочих»
доходов населения. Мы ограничимся анализом модели с простей-
шими функциями материальных затрат (хг/- — ПцХ/).
Типовые функции покупательского спроса yt (z) рассматрива-
лись в главе 6. Некоторые из них носят ярко выраженный нели-
нейный характер. Однако кусочцо-линейная аппроксимация функ-
ций потребления позволяет сохранить линейность общей модели
межотраслевых связей и приемы ее структурного анализа. Линей-
ная аппроксимация функций потребления дает тем лучшие резуль-
таты, чем в меньших интервалах изменяется доход. Именно такая
ситуация имеет место при использовании расширенной модели в
краткосрочном прогнозировании и планировании. Это дает возмож-
ность с успехом применять линейные функции yt (z) = aizz -ф bt
при ожидаемых интервалах изменения дохода а z < р. Линей-
ные функции потребления обладают еще тем преимуществом, что
избавляют от необходимости включать в общую межотраслевую
модель условие (8.11). Если все показатели межотраслевого ба-
ланса продукции даются в ценностном выражении, то равенство
2 (atzz+ bt) = z выполняется автоматически при построении
Ki
линейных уравнений регрессии способом наименьших квадратов
(в этом случае 2ai= 1; 2 = 0)-
В условиях действующей системы оплаты труда величина до-
хода, получаемого в каждой отрасли производства, также может
быть представлена в виде линейной функции z, = аг/х;-+ z,-, где
azj — коэффициент пропорциональности оплаты труда и объема
производства, zy- — величина дохода, не зависящая от производ-
ства.
301
Введем векторно-матричные обозначения^ расширенной модели:
/6/
Получим следующую систему уравнений межотраслевых зависимо-
, стей производства, потребления и доходов:
X = AX + aj + Y,
^-г^а'гХ+2.- (8.13)
V
Система (8.13) обладает свойствами, во многом аналогичными
свойствам основной модели межотраслевого баланса (см. § 4 главы 7).
Матрицу этой системы А =
'Д az
-аг О
можно называть продуктив-
ной, если существует такой неотрицательный вектор
>0, что
0.
Будем исходить из того, что в системе (8.13) продукция изме-
рена в ценах и матрицах удовлетворяет достаточным условиям про-
дуктивности неразложимых матриц модели межотраслевого баланса
(т. е. У, 1 для всех j(-I и 2аг,-<1 хотя бы для одного /).
Для того чтобы матрица А была продуктивна, должны выпол-
няться формальные условия, аналогичные тем, которые были сфор-
мулированы для матрицы А. Но по существу эти условия носят
более жесткий характер, так как система межотраслевых связей
получает дополнительную нагрузку в виде' затрат на личное по-
требление и «затрат» дохода.
В соответствии с правилами построения линеаризованных функ-
ций потребления % d{z=l. Поэтому для продуктивности матрицы
А достаточно, чтобы У аг/4-аг/< 1 для j £ I и У ап + аг/<1
хотя бы для одного /. Но поскольку при преобразовании уравнения
дохода (8.13) получаем z = уа'гХ + уг, то для преобразование
системы уравнений достаточные условия продуктивности формули-
руются, как 2 ац+уаг1-<1.
Необходимым и достаточным условием продуктивности является
полуположительность матрицы
302
Основное свойство расширенной модели межотраслевого ба-
ланса состоит в следующем. Если матрица этой модели продуктивна,
то любому полуположительному вектору
соответствует един-
ственный полуположительный вектор
z
Рассмотрим особенности матрицы В. Элементы этой матрицы
являются коэффициентами полных затрат в межотраслевой системе,
охватывающей взаимосвязи производственного потребления, оп-
латы труда, структуры личного потребления. В соответствии с фор-
мулами обращения блочных матриц имеем:
рп = (Е - ДГ1 + (Е- Д)-1 аХ (Е- Ар1 R,
Р12 = (Е-ДГ1а2Р,
р^ЕаИЕ-ДГ1,
Рзз — - - — = R
1 — az (Е — Д) агу
В образовании всех коэффициентов полных затрат принимает
| участие множитель R ==--------------—-------. Он определяет знаки
f l-a'z(E- Д)~Чт
всех элементов обратной матрицы и их порядковые соотношения
с коэффициентами полных затрат основной модели межотрасле-
вого баланса.
Коэффициент р22 = -R характеризует прирост расходной ча-
i сти доходов населения на единицу прироста фиксированного до-
dz
г хода R = . Для всей расширенной системы межотраслевых
5г
связей решающее значение имеют знак и абсолютная величина
этого коэффициента. Можно утверждать, что моделируемая эконо-
мическая система продуктивна и стабильна только в том случае,
когда R>0.
Величина R зависит от двух коэффициентов: аг(Е— Д)-1 а2
и у. Покажем, что в нормальных экономических условиях
аг (Е — Д)-1 аг 1.
Исходим из того, что У, ац - | azj С 1, j £ I, т. е. выполняется
i^i
(в ослабленной форме) достаточное условие продуктивности рас-
ширенной системы. В векторно-матричной форме это выражается
как е (Е—А) а'г, где е= (1, 1, . . . , 1). Умножим обе части
неравенства на (Е — А)^аг. Получим е (Е — А) (Е — Д)-1 аг
> аг(Е~А)~х а2, откуда eaz>az(E—Д)~' аг. Но так как еа2=1,
то аг(Е—Д)-1а2<;1, что и требовалось доказать.
303
Обозначим аг(Е — А) ' аг= с. Тогда . По данным
1 — су
межотраслевого баланса СССР за 1972 г., с = 0,312. Значение у
в экономике с относительно сбалансированным спросом и предло-
жением колеблется вокруг единицы. Поскольку же с существенно
меньше единицы, то /?>1.
Перейдем к анализу других блоков матрицы В. Для иллюстра-
ции мы будем приводить коэффициенты, рассчитанные по данным
межотраслевого баланса СССР за 1972 г. при следующих упрощаю-
щих предположениях: у = 1; у( (г) и z7 (х;) — линейные однород-
ные функции.
Коэффициенты блока характеризуют полные потребности
в продукции отраслей для получения «прочей» конечной продук-
ции. Эти коэффициенты в дополнение к коэффициентам матрицы
(Е—Д)“‘ включают затраты, возникающие вследствие взаимодей-
ствия производства, потребления, доходов. Приводимые в табл. 8.1
сопоставления некоторых элементов матриц А, В = (Е—Д)-1 и ри
показывают, что многие коэффициенты затрат расширенной мо-
дели превышают в десятки раз соответствующие коэффициенты
полных и прямых затрат основной модели межотраслевого баланса.
При этом в наибольшей степени возрастают затраты отраслей, фор-
мирующих основную часть фонда личного потребления (легкой
промышленности и сельского хозяйства). В табл. 8.2 (графа 1)
приводятся суммарные коэффициенты матрицы ри по каждому
, столбцу: Они намного превышают коэффициенты Ь, =
х полученные из матрицы В — (Е—Д)-1.
Таблица 8.1
СРАВНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МАТРИЦ А. В И ₽„
ПО ДАННЫМ МЕЖОТРАСЛЕВОГО'БАЛА-НСА СССР ЗА 1972 г.
Коэффициенты матриц
А в ₽п
Тяжелая промышленность на лег- 0,0397 0,2352 0,4293
кую промышленность Легкая промышленность на тяже- 0,0185 0,0561 0,5885
лую промышленность ,. Легкая промышленность на строи- 0,0097 0,0423 0,8317
тельство Сельское хозяйство^ на тяжелую 0,0088 0,0391 0,3076
промышленность Сельское хозяйство на строительство 0,0006 0,0249 0,4230
I
।
1
)
I
I
I
I
I
II
Коэффициенты блока р12 показывают полные затраты отраслей
на прирост доходов, не зависящих от объемов производства. Век-
тор р12 может быть представлен в виде трех векторов: прямых за-
304
трат продукции на единицу дохода аг; затрат, обусловленных взаи-
мосвязями по производственному потреблению [(Е—Л)"-1 — Е] az,
и затрат, обусловленных взаимосвязями с доходами населения
[(Е—Л)-1 п2(/?— 1)] . Коэффициенты вектора р12 приводятся
в табл. 8.2 (графа 3). Все они в несколько раз превышают соответ-
ствующие коэффициенты вектора а2.
Коэффициенты блока р21 показывают полные затраты дохода
на «прочую» конечную продукцию. Они включают: прямые до-
ходы аг, доходы, обусловленные производственными связями
^[(Е-ЛГ'-Е] (т. е. косвенные затраты оплаты труда основной
модели межотраслевого баланса), и «вторичный эффект дохода»
(R— l)az(E—Л)-1. Коэффициенты полных затрат дохода (оплаты
труда) расширенной модели больше коэффициентов полных затрат
основной модели в 7? раз (/? = 1,454); они приводятся в табл. 8.2
(графа 5). Эти коэффициенты позволяют проследить влияние из-
менения объемов и структуры «прочей» конечной продукции на
изменение доходов населения. Оказывается, что в народном хо-
зяйстве СССР наибольшее влияние на рост доходов оказывает уве-
личение конечной продукции строительства.
Таким образом, включение в общую модель функций потребле-
ния и доходов значительно усиливает-возможности анализа и пла-
нирования межотраслевых связей. Дальнейшим шагом в развитии
модели межотраслевого баланса может стать введение функций
потребления и доходов по группам населения, дифференцированным
по уровню дохода и структуре потребительских расходов.
§ 3. МЕЖОТРАСЛЕВАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЭКОНОМИКИ И ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
На современном этапе развития общества огромное значение
имеет охрана окружающей среды (воздушного и водного бассейнов,
почвенного покрова, животного мира и т. д.) от отрицательных
антропогенных воздействий. Борьба с загрязнением среды требует
всевозрастающих затрат, приводит к созданию новых производств
по уничтожению вредных отходов. В результате расширяется сама
сфера общественного производства: она включает не только созда-
ние материальных благ, но и разнообразные виды деятельности по
уменьшению загрязнения окружающей среды, восстановлению
природных ресурсов.
Первая межотраслевая модель, охватывающая взаимосвязи
экономики и окружающей среды, была предложена В. Леонтьевым
и Д. Фордом1. Она включает две группы отраслей (производств):
1 См. Леонтьев В. и Форд Д. Межотраслевой анализ воздействия
структуры экономики на окружающую среду.— «Экономика и математи-
ческие методы», 1972, т. VIII, вып. 3.
i
305'
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ РАСШИРЕННОЙ МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
(ДАННЫЕ ЗА 1972 г.)
Таблица 8.2
Полные затраты валового общест- венного продукта на 1000 руб. «прочей» конечной продукции отраслей Полные затраты продукции отраслей на 1000 руб. «прочих» доходов Полные затраты дохода на 1000 руб. «прочей» конечной продукции
(руб.) ₽/= У₽»7 * е/ отношение ₽/ к bj (руб.) отношение ₽,г ?>iz к aiz ’ (руб.) ₽z/ отношение ₽2/ к azj
Тяжелая промышлен- ность 3236,2 1,52 671,9 6,94 \ 494,3 3,44
Легкая промышлен- 3341,7 1,39 1566,1 2,23 420,0 8,82
ность
Сельское и лесное хозяй- 3051,6 1,73 789,8 5,28 572,8 2,38
ство
Транспорт и связь 2681,8 1,86 84,8 * 550,1 1,79
Торговля, заготовки и материально-техниче- ское снабжение 2840,3 2,25 140,2 * 699,5 1,59
* Продукция этих отраслс Й непосредственно на личное потребл ение не расходуется.
отрасли материального производства и отрасли, уничтожающие
вредные отходы. Основные условия модели выражаются системой
уравнений:
Xi ^11
_ ^2 . _ ^21
Л12 Xj
Л22 _ _ Х2
1
2 _
(8-14)
В системе (8.14)’векторы Xlt Yt и матрица Ли соответствуют
величинам основной модели межотраслевого баланса обществен-
ного продукта (см. главу 7), Х2 — вектор объемов уничтожения
загрязнителей, Y2 — вектор объемов неуничтоженных загрязни-
телей, А12 — матрица затрат продукции на единицу уничтожаемых
загрязнителей, Л21 — матрица выпуска загрязнителей на единицу
производимой продукции, Л22 — матрица выпуска загрязнителей
на единицу уничтожения загрязнителей.
Если на все виды деятельности по уничтожению загрязнителей
среды распространить предположения основной модели межотрас-
левого баланса (число способов равно числу видов продукции и
в каждом способе производится только один вид продукции), то
матрицы Л12 и Л22 будут содержать только неотрицательные эле-
менты, причем Л22 будет квадратной матрицей. Очевидно также,
что Л21 > 0.
В прикладных моделях перечень уничтожаемых загрязнителей
меньше перечня существующих загрязнителей. Расширение пер-
вого перечня осуществляется по мере того, как концентрация опре-
деленных загрязнителей становится существенной с точки зрения
условий жизнедеятельности или производства и по мере создания
технических и экономических возможностей для борьбы с загряз-
нителями среды.
Рассмотрим второе матричное уравнение из (8.14):
X2 “ ^21^1 Н- ^22X3 1^2. Сумма Л2^Х^ ~Ь ЛггХ2 показывает
объемы загрязнения от всех видов производственной деятельности.
Вектор Х2 зависит не только от этой суммы, но и от допускаемых
(по каким-либо соображениям) размеров неуничтожаемых загряз-
нителей У2. По смыслу У2^Л21ХГ+Л22Х2; только при этом
условии деятельность по уничтожению загрязнителей вообще не-
обходима.
В экономической системе, включающей оба типа производства,
должна обладать свойством продуктов-
Л11 Л12
Л21 Л22
матрица А —
ности. _
Матрица Л продуктивна, если существует такой вектор
что (Ех—Лц) Хх—Л12Х2 = Ух>0 и
0,
^21X1+ (Е2 — Л22) Х2 =
= -У2<0.
Известно, что матрица Л основной модели межотраслевого ба-
ланса (ей соответствует Ли) имеет большой «запас» продуктивности
(см. данные межотраслевого баланса СССР, приводимые в главе 7)
307
и поэтому изучение условий продуктивности матрицы А имеет глав-
ным образом теоретическое значение. Иное дело матрица А. При
современном научно-техническом уровне экономическая система
не в состоянии полностью избежать загрязнения среды. Во-первых,
еще не разработана технология полного устранения некоторых
загрязнителей; во-вторых, некоторые имеющиеся способы уничто-
жения загрязнителей требуют столь высоких материальных затрат,
что это может приводить к непродуктивности всей системы меж-
отраслевых связей.
Отсюда следует, что понятие продуктивности матрицы А имеет
конструктивное значение: в экономическую систему могут вклю-
чаться только те процессы устранения загрязнителей, которые
позволяют сохранять продуктивность матрицы А.
Вероятность выполнения достаточного условия продуктивности
матрицы А (сумма коэффициентов по каждому столбцу нс больше
единицы) крайне мала, поскольку для измерения загрязнителей
применяются физические меры. Необходимым и достаточным, ус-
ловием продуктивности матрицы-А является полуположителыюсть
В '= (Е—А)-1.
Матрица В =
Вц В12
_ Е21 ^22 _
является обобщением матрицы коэффи-
циентов полных затрат продукции. Элементы, входящие в блоки
этой матрицы, имеют следующее экономическое содержание: Вп —
коэффициенты полных затрат производимой продукции на единицу
конечной продукции, В12 — коэффициенты полных затрат про-
дукции на единицу уменьшения неуиичтоженпых загрязнителей,
В21 — коэффициенты необходимого уничтожения загрязнителей на
единицу конечной продукции, В22 — коэффициенты необходимого
уничтожения загрязнителей на единицу уменьшения неуничтожен-
ных загрязнителей.
Если матрица А продуктивна, то при любом полуположитель-
ном векторе
вектор Отличие от свойств межотраслевых моделей, рассмот-
ренных в § 4 главы 7 и § 2 главы 8, состоит в том, что при У2 > О
существование допустимого_решения не гарантируется. (Возможно,
что тогда Xi = B^Yi — Bl2Y 2 или Х2 = B21Y1—B22Y2 будут
содержать отрицательные элементы).
Система (8.14) может быть использована также для решения
задачи со смешанным составом неизвестных: найти и Y2
при заданных и Х2. При этом вначале решается система
Х1 = (Е1—Ап)-' (А12Х24-У1), а затем находится вектор неуни-
чтоженных загрязнителей: У2 = A2i^i — (Е2—А22) Х2.
11
О
существует единственный полуположительный
308
Модель (8.14) в настоящее время начинает использоваться
в ряде стран для прогнозирования воздействий структуры эконо-
мики на окружающую среду. Однако имеются большие трудности
в информационном обеспечении модели (блоки Л12, Л21, А22). От-
носительно проще определить коэффициенты блока Л21. Это по-
зволяет использовать модель в следующем сокращенном варианте:
Х^Л^ + Л,
Х2 = Ла1Х1-У2. (8.15)
В этой системе выпуск и уничтожение загрязнителей не оказы-
вают влияния на производство традиционных видов продукции
и их конечное использование. Система (8.15) позволяет учитывать
влияние материального производства и конечного использования
продукции на уровни загрязнения1. Увеличение загрязнения
вследствие роста конечной продукции характеризуется матрицей
Лп^х-Лн)"1.
На основе модели (8.14) могут быть построены более общие мо-
дели взаимодействия экономики и среды. В частности, можно учи-
тывать загрязнение среды в сфере потребления (загрязнение атмос-
феры выхлопными газами автомобилей, водных бассейнов бытовыми
стоками и т. п.). Обозначив матрицу коэффициентов загрязнения
на единицу конечной продукции как А2у, получим:
Х2 = Л21Х14* А22Х2 + Л2уУх— ^2- (8.16)
В модели могут также найти отражение процессы утилизации
отходов производства. Для этого в матрицу А12 наряду с коэффи-
циентами затрат продукции на уничтожение загрязнителей вклю-
чаются коэффициенты выхода побочной продукции со знаком ми-
нус (например, утилизация сернистого ангидрида, летучих угле-
водородов и угольной пыли и т. д.).
Дополнением модели (8.14) служат ограничения по ресурсам
+ /2^2 R- Эти же ограничения выражаются через коэффи-
циенты полных затрат ресурсов как
F1Y1—F2Y2^CR, (8.17)
где Fr — /1Вц + /2^21 — матрица коэффициентов полных за-
трат ресурсов на единицу конечной продукции, F2 = fiB12 -f-
+ /2^22 — матрица коэффициентов полных затрат ресурсов на
1 Коэффициенты прямых и полных затрат Л21 и ^21 (Е—Ац) по пяти за-
грязнителям воздуха (твердые частицы, окиси .серы, углерода и азота,
углеводороды) и 90 отраслям производства США приводятся в указанной
статье В. Леонтьева и Д. Форда.
309
единицу уменьшения неуничтоженных загрязнителей. Всякое
уменьшение компонент вектора У2 увеличивает потребности на-
родного хозяйства в ресурсах (которые направляются на борьбу
с загрязнением среды). Анализ условий (8.17) позволяет опреде-
лить варианты минимально возможных (с точки зрения народно-
хозяйственных ресурсов) объемов неуничтоженных загрязнителей.
§ 4. МЕЖОТРАСЛЕВАЯ МОДЕЛЬ,
УЧИТЫВАЮЩАЯ ОРГАНИЗАЦИОННУЮ
СТРУКТУРУ НАРОДНОГО
ХОЗЯЙСТВА (МЕЖОТРАСЛЕВОЙ
НАТУРАЛЬНО-СТОИМОСТНОЙ БАЛАНС)
Анализировавшиеся до сих пор модели межотраслевого баланса
строились по принципу «чистых отраслей», т. е. отрасль рассмат-
ривалась как объединение производств, выпускающих однородную
продукцию. Методика учета продукции и затрат по «чистым» от-
раслям имеет ряд преимуществ с точки зрения правильного отра-
жения производственно-технических (материально-вещественных)
связей в народном хозяйстве, но при этом теряется адресность пла-
новых расчетов, ибо реальное планирование и управление осущест-
вляется не по «чистым», а по «хозяйственным» отраслям, представ-
ляющим собой совокупности предприятий и объединений, подчи-
ненных различным министерствам и ведомствам.
С различиями между «чистыми» и «хозяйственными» отраслями
тесно связана проблема согласования плановых показателей в на-
туральном и стоимостном выражении. В то время как планирова-
ние производства в натуральном выражении ведется по полному
народнохозяйственному кругу и основным профилирующим мини-
стерствам и ведомствам, планирование производства в стоимост-
ном -выражении (валовая и товарная продукция) осуществляется
только в разрезе министерств и ведомств.
Для более успешного применения модели межотраслевого ба-
ланса в практике планирования и управления целесообразно ввести
в модель показатели организационной структуры народного хо-
зяйства и отразить взаимосвязи между «чистыми» и «хозяйствен- 1
ными» отраслями. Модель такого типа разработана в НИЭИ Гос-
плана СССР. Она получила название «развернутый натурально- ,
стоимостной межотраслевой баланс».
Модель натурально-стоимостного баланса общественного про-
дукта включает три группы условий:
уравнения производства и распределения продукции в нату-
ральном выражении; (
структура производства продукции в натуральном выражении
по отраслям, министерствам и ведомствам;
уравнения производства продукции отраслей в стоимостном
выражении.
310 ’
Уравнения производства и распределения продукции в нату-
ральном выражении имеют вид:
Xi== 2 aaxi i^I, (8.18)
где xt — общий объем производства продукции i, х\ — объем про-
изводства продукции i в хозяйственной отрасли (ведомстве) I, xt —
объем валовой продукции отрасли /, а1ц — затраты продукции i на
производство единицы продукции j в отрасли I, аа — коэффициент
не нормируемого по отдельным продуктам расхода продукции i на
валовую продукцию отрасли /, yt — объем конечной продукции
вида i.
В уравнениях (8.18) используются два типа коэффициентов
затрат: а1ц и ац. Необходимость использования двух типов коэф-
фициентов определяется спецификой существующей нормативной
информации. Нормы расхода a[j разрабатываются только для ос-
новных потребителей продукции, а для прочих потребителей по-
требность определяется обобщенно — на 1 млн. руб. валовой про-
дукции отрасли (а.ц); при этом учитывается, что часть потребностей
данной отрасли уже определена по конкретным нормативам.
Организационная структура производства продукции в нату-
ральном выражении характеризуется соотношениями
Xi = PjXh (8.19)
где |3/ — удельный вес отрасли (ведомства) / в общем объеме про-
изводства продукции /, ₽/>о-
/£<2
Совокупность коэффициентов 0/ определяет специализацию
хозяйственных отраслей (министерств и ведомств), соотношения
профильных и непрофильных видов продукции и т. д.1 Очевидно,
определение этих коэффициентов на плановый период является
достаточно трудной задачей. Вариантные плановые расчеты при
разных значениях коэффициентов 0/ позволяют прослеживать
влияние связанных с изменением этих коэффициентов организа-
ционно-хозяйственных мероприятий на экономическую эффектив-
ность производства.
1 Коэффициенты pj характеризуют также концентрацию производства опре-
деленной продукции в рамках соответствующих ведомств. По ряду видов
продукции производство сконцентрировано в одном ведомстве, например,
85,7% производства электроэнергии — в Министерстве энергетики и элек-
трификации. В то же время производством пиломатериалов занималось
(в 1971 г.) 65 министерств и ведомств, причем на долю Министерства лес-
ной и деревообрабатывающей промышленности приходился только 51%
.объема производства (см. [9, с. 276]).
311
Уравнения валовой продукции отрасли (ведомства) I имеют
вид:
2 ₽'₽/*/
(8-20)
где р/ — оптовая цена единицы продукции вырабатываемой на
предприятиях отрасли (ведомства) I, yt — удельный вес продукции
(не выделенной в качестве самостоятельных позиций натурально-4
стоимостного баланса) в объеме валовой продукции отрасли (ве-
домства) I.
В дополнение к (8.18) — (8.20) модель может включать ограни-
чения по ресурсам
2 + (8.21)
где коэффициенты затрат ресурсов fsj и fsi имеют тот же смысл,
что и коэффициенты а1ц и ац. Кроме того, модель может дополняться
уравнениями элементов чистой (условно-чистой) продукции.
Приведенная модель межотраслевого натурально-стоимостного
баланса применяется на стадии разработки основных направлений
и проекта народнохозяйственного плана СССР1. При этом номен-
клатура баланса охватывает важнейшие виды промышленной и
сельскохозяйственной продукции (до 800 — для годовых планов,
до 300 — для среднесрочных и долгосрочных планов). Разработан-
ный в НИЭИ Госплана СССР баланс на 1976—1990 гг. включает
136 видов продукции и 20 отраслей и охватывает 26 министерств
и ведомств.
1 См. [13, с. 630—632].
I
Глава 9 ______________________
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА
§ 1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИОННАЯ
МОДЕЛЬ
Линейная оптимизационная модель общего вида впервые была
сформулирована и исследована Л. В. Канторовичем. Она получила
название основной задачи производственного планирования (см.
[7, с. 280—286]).
Данная модель является частным случаем абстрактной модели
оптимального планирования народного хозяйства (см. § 3 главы 4),
в которой целевая функция и все ограничения являются линей-
ными. Все составные элементы модели уже изучались выше:
это производственные способы (§ 6 главы 5), условия максими-
зации потребленця в заданном ассортименте (§ 4 главы 6),
балансы производства и использования продукции и ресурсов
(§ 6 главы 5, § 2 главы 7).
Построение модели
Воспользуемся понятиями и обозначениями, введенными в § 6
главы 5.
В народном хозяйстве имеется множество производственных спо-
собов ф N; — интенсивность применения способа ф; =
= (Оуф).— вектор производственного способа ф, компоненты ко-
торого означают выпуск продукции и затраты ресурсов при еди-
ничной интенсивности его применения. Все множество ингредиен-
тов s f М разбивается на два подмножества:
продукты и воспроизводимые ресурсы (продукты для промежу-
точного и конечного использования) Мх;
невоспроизводимые ресурсы s2 £ М}.
Основные ограничения линейной модели производства (5.58)
необходимо конкретизировать лишь в отношении структуры ко-
нечной продукции.
В составе конечной продукции выделим постоянную и перемен-
ную части: yS1 = qSl + ySl • Постоянная часть включает мини-
313
мальнр необходимые объемы продукции для непроизводственного
потребления (это могут быть объемы, достигнутые в прошедшем
периоде), накопления, возмещения выбытия основных фондов,
внешнеторгового обмена и т. д. Переменная часть конечной про-
дукции максимизируется в заданном ассортименте в соответствии
с условиями (6.27), (6.28):
z -> max, ySl aSiz, Si g M,
где z — число комплектов переменной части конечной продукции,
aS1 — количество продукции в одном комплекте.
Общая модель имеет следующий вид:
1. aS1z><7Sl, si € Afi-
iHw
2. VS2 £ Л1з.
3. x^ 0,
4. z>0.
5. z -> max. (9.1)
Условия (1) из модели (9.1) означают балансы производства
и распределения продукции, условия (2) — балансы невоспроизво-
димых ресурсов.
Для того чтобы задача (9.1) имела решение, необходимо, чтобы,
во-первых, матрица выпуска и материальных затрат производст-
венных способов А = (aSlit>) обладала свойством, аналогичным свой-
ству продуктивности матрицы (£—Л) межотраслевого баланса
(т. е. обеспечивала бы возможность получения положительной ко--
нечной продукции) и, во-вторых, чтобы значения qSl не были че-
ресчур большими, т. е. такими, чтобы при z=0 выполнялись огра-
ничения (2).
Важной качественной характеристикой оптимального плана
модели (9.1) является число применяемых производственных спо-
собов (переменных
Из теории линейного программирования известно, что оптималь-
ный план задачи в случае его единственности и невырожденности
содержит столько положительных основных и дополнительных
(приводящих неравенства к равенствам) переменных, сколько
имеется огранйчений. При этом число положительных основных
переменных равно числу ограничений, которые в оптимальном
плане обращаются в равенства.
Единственность и невырожденность оптимального плана можно
рассматривать как типичное свойство модели (9.1). Очевидно также,
можно принять допущение, что в оптимальный план включается
переменная г* > 0. Отсюда следует, что если п — число видов про-
дукции и т — число невоспроизводимых ресурсов, то -максималь-
ное число применяемых производственных способов равно п + т—1
314
(из общего числа N). В действительности же число применяемых
способов будет равно п1 + mi—1, где и иц — число видов про-
дукции и ресурсов, по которым в оптимальном плане неравенства
превращаются в равенства (пг п, тг т).
Оптимальные оценки и анализ оптимального
плана
Модели (9.1) соответствуют оптимальные оценки всех видов
продукции (и*) и невоспроизводимых ресурсов Их экономи-
ческая интерпретация вытекает из анализа общих свойств опти-
мальных оценок народнохозяйственной модели (см. § 3 главы 4).
dz^
Оценка v* =------- характеризует уменьшение максимального
~
числа комплектов конечной продукции при увеличении постоянной
части конечной продукции вида sx на «малую единицу». Оценка
= —— показывает прирост максимального числа комплек-
тов при увеличении ресурса $2 на «малую единицу».
Соотношения, определяющие значения оптимальных оценок,
выводятся из условий двойственной задачи (см. Приложение к
главе 4).
Все оценки неотрицательны. При этом оценки хотя бы одного
вида продукции и хотя бы одного вида ресурсов должны быть по-
ложительны (в противном случае план, относительно^’которого
рассчитаны оценки, может быть улучшен).'
Для каждого производственного способа'выполняются 'соотно-
шения „ , Л /п
2ЗД- 5 аЛ<0’ <9-2)
s,GMi Sg£jWa
означающие, что суммарная оценка выпускаемой продукции не
превышает суммарной оценки всех затрачиваемых ресурсов.
Из условий дополняющей нежесткости следует:
если х;>0, то 2 2 Йй<’ (9-3)
S.GM, SaGMa
если 2 2 aSaX’ то ^=0’ (9-4)
Si £ М I S^ £ М- 2
если 2 as^-as?>^’ Т0 < = 0’ <9-5)
ipGW
если и‘>0,' то 2 aSl^—«sX = <7Si, (9.6)
v|>GW
если 2w*<fs,- то <=0’ (9-7)
ф G N
если ю*>0, то У, a.x*h = r. (9.8)
Sa ’ s2ty Ip s2 v '
M>G#
315
Кроме того, при z* > Q выполняется равенство
Если ассортиментные коэффициенты пронормированы так, что
2 а =1, то значенйя оценок продукции колеблются вокруг еди-
ницы (если оценки некоторых видов продукции меньше единицы,
то оценки каких-нибудь других видов продукции больше единицы).
При использовании оптимизационных моделей в планировании
никогда не ограничиваются расчетом только одного оптимального
варианта. Необходимо анализировать, какие изменения произой-
дут в оптимальном плане, если изменяются некоторые исходные
данные. Такой анализ особенно важен потому, что исходная ин-
формация для народнохозяйственных моделей не может опреде-
ляться строго однозначно. Анализ оптимального плана должен
показывать пути корректировки и дополнения исходной инфор-
мации.
Рассмотрим некоторые направления анализа оптимального
плана.
Влияние изменения ограничений. Зависимости максимального
значения целевой функции (максимума числа комплектов конечной
продукции) от изменения параметров ограничений q и (каж-
дого в отдельности) непосредственно характеризуются значениями
оптимальных оценок продукции и ресурсов. Пропорциональное
изменение (увеличение или уменьшение) всех параметров ограни-
чений не меняет значений оценок. При увеличении qs оценки ра-
стут (до тех пор, пока существует решение задачи). При увеличе-
нии оценки снижаются (до нуля).
Возможности эквивалентной взаимозаменяемости конечной про-
дукции и ресурсов в ограничениях модели определяются уравне-
нием
(9-9)
S.CM, S,6M.2
Следует заметить, что количественные соотношения эквивалент-
ной взаимозаменяемости, вытекающие из уравнения (9.9), справед-
ливы только при таких значениях и Дг , которые не изме-
няют значений оптимальных оценок.
Для того чтобы проанализировать влияние изменения ограни-
чений на интенсивность применения различных производственных
способов, осуществим упорядочение условий задачи..
Будем исходить из того, что для оптимального плана (пх + тх)
ограничений выполняются как равенства, а остальные (и—пх) +
+ (т—т-х) ограничений выполняются как строгие неравенства.
Перенумеруем все исходные ограничения так, чтобы первые
(пх + Шх).ограничений выполнялись как равенства, а остальные —
как неравенства.
316
Выше мы пришли к выводу, что в оптимальном плане положи-
тельными будут переменные”(яt —1) производственных спо-
собов и переменная z. Изменим нумерацию переменных так, чтобы
положительные переменные способов заняли первые места (век-
тор Xj), а за ними — переменная z.
Тогда матрица модели может быть представлена в виде следую-
щей блочной матрицы:
-Дц, а1 | Л12
^21, а2 | ^22
(n, Lm.) N—1)
Введем новое обозначение для вектора ограничений: Ь =
Ь.
Перенумеруем компоненты этого вектора в соответствии с
нумерацией ограничений: Ь =
L °2 _
Для оптимального плана справедливо уравнение:
’ Q ' .
. R .
новой
откуда
(9.10)
Обозначим первые (п1 + т1—1) строк матрицы (Д11; —а2) 1
через Вп, а последнюю строку — через |Зи. Тогда
= (9И)
Z =Mr (9Л2>
Формулы (9.11) и (9.12) характеризуют зависимости оптималь-
ных интенсивностей производственных способов и максимального
числа комплектов от «жестких» ограничений задачи. Коэффици-
енты матрицы Вп являются аналогами коэффициентов полных
потребностей в продукции модели межотраслевого баланса. Од-
нако эти коэффициенты могут иметь различные знаки, также как
и коэффициенты вектора ри.
Из (9.11) и (9.12) выводятся формулы корректировки интенсив-
ностей применяемых способов и числа комплектов конечной про-
дукции при изменении ограничений:
AA'?=B1IAh1, (9-13)
Az’ = P11A&1. (9-14)
317
Однако формулы (9.13) и (9.14) верны только при сохранении
базиса оптимального плана задачи (набора векторов, соответст-
вующих положительным переменным). Из линейного программи-
рования известно, что базис оптимального плана не изменяется,
пока переменные, вошедшие в оптимальный план, будут неотрица-
тельны. Это означает, что в анализируемой модели условиями со-
хранения базиса оптимального плана являются
(Дхх,—ах)-1(6 + А&)>0 (9.15)
или
Ви(6 + А&)>0, (9.16)
Рп(й + А&)>0. (9.17)
Из этих условий находятся границы допустимых изменений
каждой компоненты вектора b и области допустимых изменений
одновременно нескольких компонент вектора Ь. Сохранение ба-
зиса оптимального плана является также условием неизменности
оптимальных оценок.
Включение в оптимальный план дополнительных производствен-
ных способов. Как уже отмечалось, типичным свойством оптималь-
ного плана модели является использование (п1 + т1—1) произ-
водственных способов. Может оказаться, что большая часть имею-
щихся производственных способов (из общего числа -|-
+ т1—1) пе будет использоваться и преобладающая часть про-
дукции будет производиться небольшим числом способов. Такая
ситуация является нежелательной с точки зрения маневренности,
надежности, адаптивности плана (см. § 6 главы 4). В связи с этим
интересно изучить, к каким последствиям приводит включение
в оптимальный план дополнительных способов.
Эффективность производственных способов ф измеряется оцен-
ками производственных способов:
2 аМ<°- <9-18)
s3£Afa
Для способов, вошедших в оптимальный план, Аф = 0. Для
способов, не вошедших в оптимальный план, Аф <0 (а в случае
единственности оптимального плана Аф строго отрицательны).
Оценки Аф показывают, насколько уменьшится значение целевой
функции при включении в оптимальный план ранее не входившего
в него способа с единичной интенсивностью. Если же интенсивность
вводимого способа равна Хф, то значение целевой функции умень-
шится на АфХф.
Рассмотрим, как повлияет включение дополнительных способов
(вектора Х2) на интенсивности применения оптимальных (базис-
ных) способов (вектор Хх). Добавив к вектору 6Х произведение
— ДХ2Х2, получим на основе (9Л1)
Х\ = Вц (bi — А12Х2),
откуда
АХ1=- ВцАаХ2. . (9.19)
318
Заметим также, что формула изменения максимального числа
комплектов конечной продукции при включении вектора Х2 имеет
вид:
Аг* = -₽иЛ12Х2. (9.20)
Формулы (9.19) и (9.20) справедливы при сохранении базиса
оптимального плана, т. е. при условиях /
•®и (^i ^12-^2) Ри (^i А12Х2) 0.
С помощью оценок способов (9.18) можно изучать целесообраз-
ность включения в условия народнохозяйственной задачи новых
способов. Новый способ q> будет эффективным (т. е. может войти
в оптимальный план), если А,|; 0. Это условие может быть ис-
пользовано для проектирования новых эффективных производст-
венных способов.
Рассмотренные направления и методы анализа оптимального
плана являются универсальными для всех линейных оптимиза-
ционных моделей. Однако в более частных моделях экономико-
математический анализ может выявлять и специфические свойства
оптимальных решений.
§ 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Общая линейная оптимизационная модель построена на основе
матрицы таких производственных способов, что каждый из них мо-
жет выпускать несколько видов продукции, каждый вид продукции
может выпускаться несколькими способами.
Далее мы рассмотрим более частные оптимизационные модели,
сохраняющие некоторые специфические допущения модели межот-
раслевого баланса (см. § 2 главы 7): сначала — модели, в которых
каждый способ выпускает только один продукт и каждый продукт
выпускается только одним способом (§ 2), а затем — модели, в ко-
торых сохраняется только первое из указанных допущений (§ 3, 4).
Такая последовательность анализа моделей выбрана для того,
чтобы «перекинуть мост» между моделями межотраслевого баланса
и оптимизационными моделями народного хозяйства и проследить
изменение свойств решений (сбалансированных и оптимальных)
при изменении предпосылок модели и включении в нее новых ус-
ловий. х
Модель межотраслевого баланса как частный
случай оптимизационных моделей
Оптимизационные модели по сравнению с балансовыми пред-
ставляют собой более совершенный тип моделей социалистической
экономики. Однако было бы неправильно противопоставлять их
319
друг другу. Во-первых, основные условия балансовых моделей
обязательно включаются в оптимизационные модели. Во-вторых,
балансовые'модели могут интерпретироваться и исследоваться как
частной случай оптимизационных моделей.
ч Попытаемся сформулировать модель межотраслевого баланса на
языке оптимизационных задач.. Рассмотрим систему уравнений
межотраслевого баланса производства и распределения продукции
совместно с ограничением по трудовым ресурсам производствен-
ной сферы:
| 2(817—ац)ху = г/?,
Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели
состоит в том, чтобы при заданном векторе У° = (#?) и имеющихся
трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов произ-
водства X = (х/). Покажем, что эту задачу можно представить
в виде задачи линейного программирования:
/6/
X/ О,
2 tiXi -> min.
/€/
(9.22)
Эта задача отличается от (9.21) только тем, что допускается полу-
чение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов,
а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что ре-
альным экономическим условиям отвечают только такие решения
Х* = (х*), при которых
Задаче (9.22) соответствует двойственная задача, с помощью
которой находятся оптимальные оценки продукции и*:
2 (fy/—ati) Vi < tj, I,
itj
u£>0, ig/,
2^ -> max.
(9.23)
Оптимальный план X* задачи (9.22) характеризуется следую-
щими свойствами:
он единственный;
если У°>0 (или У0 > 0 и А — неразложимая матрица), то
Х*>0;
320
балансы производства и распределения продукции выполняются
строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не про-
изводятся;
оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой
функции //>0.
На рис. 9.1 видно, что оптимальный план всегда является вер-
шиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции.
Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное
решение, если матрица А продуктивна и Y° > 0. При этом реше-
ние прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы
уравнений У а^х;. = !/°и по-
этому оно не зависит от значений М /
коэффициентов минимизируемой । /
функции. Решение двойственной /
задачи находится из системы урав-
нений 2(6//—= tf и поэтому I /
оно не зависит от коэффициентов _
минимизируемой функции. При
этом оптимальные оценки продук- " /
ции равны коэффициентам полных /
трудовых затрат (в соответствии /_________________
с (7.30)). 7
Равенство функционалов пря-
мой и двойственной задачи у tx. = рис- 9,1>
имеет место при любых положительных значениях tf
и у°(. Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции
равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.
Оптимизационная модель межотраслевого
баланса продукции и производственных
мощностей
При анализе возможностей использования модели межотрасле-
вого баланса в планировании (§ 6 главы 7) отмечалось, что при крат-
косрочном планировании наиболее существенными ограничениями
роста производства являются наличные производственные мощ-
ности.
Решение модели должно удовлетворять условиям X/ < Nt, где
М/ — максимально возможный выход продукции / с производст-
венных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, вклю-
чим в модель условия оптимизации конечной продукции (6.27),
обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конеч-
ной продукции а = (а£), а вектор заданных объемов конечной про-
дукции Q = (qt).
И А. Г. Гранберг 321
В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:
(Е—А)Х — az^Q,
z> О,
z -+ шах.
(9.24)
Решение модели существует, если значения компонент вектора
Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает пер-
вую группу условий строго в равенства (невыгодно производить
сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в даль-
нейшем анализе исходим из того, что (Е—А) X—az = Q, откуда
X = (E—A)-1az + (E-A)-lQ. (9.25)
Поскольку (Е—А)-1 ^>0, а>0, Q 0, то при z^>0 условие
всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:
(Е— A)-1az<N — (Е—A)~'Q,
z -> max.
Вектор 0 = (Е — А) 1а представляет собой коэффициенты пол-
ных потребностей в продукции для получения одного комплекта
конечной продукции; N — N — (Е— A)-1Q есть вектор макси-
мально возможных объемов продукции для получения перемен-
ной части конечной продукции. Очевидно, что
z* = maxz=min-^-- (9.26)
Определив z*. находим X* = 0z*H-(E—A) *Q.
Таким образом, z* определяется «узким» местом в системе про-
изводственных мощностей. Как правило, мощность только одного
вида продукции будет использована полностью. Оптимальная
оценка мощности по этому виду продукции (k) равна w*k = 1
рй Л
Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее мак-
симального расширения в планируемом году за счет концентрации
строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок
оборудования, изменения специализации соответствующих пред-
приятий и режима их работы (сменности) и т. д.
Для определения программы первоочередных мероприятий по
расширению производственных мощностей целесообразно упорядо-
чить мощности по их дефицитности.
Для каждого вида мощности рассчитаем показатель
N/
характеризующий максимальное число комплектов конечной про-
дукции, которое можно получить с мощности вида j при^условии
неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел ' Z/,
322
начиная с z* = min z,, получим последовательность мощностей,
i
упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумера-
ции разности (Zfe+i—г*) покажут прирост числа комплектов ко-
нечной продукции после «расшивки» k-ro «узкого» места в системе
производственных мощностей.
По модели (9.24) можно проводить многовариантные расчеты,
показывающие влияние изменения параметров ai{, Nj нй объемы
производства и конечной продукции. В результате таких расчетов
выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расши-
рение которых ресурсы должны направляться в первую очередь.
Важным направлением развития модели является непосредствен-
ный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разра-
ботана и экспериментально апробирована модель, в которой про-
изводственные мощности Nj рассматриваются как случайные не-
зависимые величины1.
Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции
и производственных мощностей применяется Госпланом СССР в рас-
четах годовых народнохозяйственных-планов [12]. При этом ис-
пользуется та же номенклатура продукции, что и в натурально-
стоимостном межотраслевом балансе (см. § 3 главы 8).
Модели с ограничениями по общим ресурсам
Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распре-
деления продукции дополняются ограничениями по общим невос-
производимым ресурсам:
(Е— Л)Х— ctzTQ,
fX^K,
X > О,
z>0,
z^max. (9-27)
Подставляя (9.25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
ЦЕ-А)~' <R-f(E-А)~ ’Q
или _ _
(рг Г (9.28)
где <p = (<ps) = /:(E—Л)~’а—вектор полных затрат ресурсов на один
комплект прироста конечной продукции, R = (rs) = R —
—ЦЕ — Л)~’<2—вектор ресурсов, которые могут использоваться
для получения переменной части конечной продукции.
1 См. Лавровский Б. Л. К вопросу о вероятностных межотраслевых
моделях.— В сб.: Укрупненные и межотраслевые модели народного хо-
зяйства. Новосибирск, «Наука», 1976.
И* 323
Из (9.28) следует:
/ z* = maxz = min—.
s£M2 4Ps
(9.29)
Максимальное число комплектов достигается, как правило, при
полном использовании только одного ресурса (А). Тогда только
оценка этого ресурса будет положительна:
, 1
wb = —,
k
а оптималь-
ные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффи-
циентам полных затрат дефицитного ресурса: = Если же
в оптимальном плане используются полностью несколько ресур-
сов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет
неединственной.
Полное использование только одного вида ресурсов (или нали-
чие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптималь-
ного решения не обязательно связано с условиями максимизации
конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рас-
смотрим модель, в которой условия максимизации переменной ча-
сти конечной продукции заданы в виде ЦФП:
(Е-Л)Х-У>(?,
Х>0,
У>0,
и (У) -> шах.
Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
FY^R,
У>0,
и (У)-* max,
(9.30)
(9.31)
где F = f (E—Л) 1 — матрица коэффициентов полных затрат ре-
сурсов, R = R —f(E—A)~[Q.
Оптимальное решение этой модели всегда существует и является
единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наибо-
лее удаленной от начала координат поверхности безразличия и вы-
пуклого многогранника, образованного условиями FY R. Если
эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то
это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно,
что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой опти-
мума будет вершина многогранника, выше, чем в случае приме-
нения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что
максимум и (У) достигается на одной из граней многогранника,
т. е. при полном использовании толцко одного ресурса.
Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом пара-
графе моделей является то, что оптимальный план чаще всего до-
324
стирается при полном использовании только одного ресурса. А это
означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование
оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономиче-
ской реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
В моделях (9.24), (9.27), (9.30) почти отсутствуют возможности
маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность.
По каждому виду продукции задается только один производствен-
ный способ, а поэтому технология производства не реагирует на
выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ре-
сурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных
данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток
можно преодолевать лишь отчасти.
Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели на-
родного хозяйства должны включать условия выбора между раз-
личными способами производства одноименной продукции.
§ 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ
МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Первый вариант модели (минимизация затрат
труда на производство заданной конечной
продукции)
Построим модель, представляющую собой непосредственное
обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме
(9.22). В модели предусматривается возможность выбора между
различными производственными способами. Пусть каждый вид
продукции j £ / производится несколькими способами фу £ Ту,
где Tj= {1, ..., S/). При этом каждым способом выпускается
только один продукт. Введем новые обозначения; х^. — объем
производства продукции j способом фу; а(^. — коэффициент пря-
мых затрат продукции i на производство единицы продукции j
способом фу; —затраты труда на единицу продукции /, произ-
водимой способом фу.
Модель имеет вид:
/€/. Фу€?'/
2 min>
/САфуСГу (9.32)
Модель (9.32) всегда имеет решение, если выполняются усло-
вия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициен-
тов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса.
Например, одно допустимое решение может быть получено, если
325
включить в план по одному способу для каждого вида продукции,
а все остальные переменные считать равными нулю. Так может
быть составлено п Sj систем уравнений межотраслевого баланса
производства и распределения продукции, каждая из которых имеет
решение, если матрица продуктивна.
Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфи-
ческих свойств.
Теорема 1. При положительном векторе конечной про-
дукции У°>0 производятся все продукты и каждый продукт про-
изводится только одним способом.
Доказательство. Напомним, что мы исходим из пред-
положения, что оптимальный план — единственный. Введем в ус-
ловия дополнительные переменные (излишки конечной про-
дукции сверх минимально необходимых объемов г/?), превращающие
неравенства в равенства.
В каждом i-м уравнении
положительными являются только коэффициенты при переменных
. Но поскольку все г/°>0, то и все i£I, т. е.
в оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.
Максимальное число положительных переменных в оптимальном
плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме
переменных положительной может быть только одна пере-
менная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт про-
изводится только одним способом.
Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число воз-
можных положительных переменных исчерпывается переменными
способов производства, то все Дг/£ в оптимальном плане равны нулю.
Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравен-
ства строго в равенства.
Введем дополнительные обозначения: X* — оптимальный план
модели (каждая его компонента есть интенсивность применения
какого-то «лучшего» способа производства); А* — матрица коэффи-
циентов материальных затрат, составленная из способов, которые
вошли в оптимальный план.
Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса
с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов
из разных способов в ней представлены коэффициенты только «луч-
ших» способов. Матрицы А* и (Е—А*) обладают теми же экономико-
математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого ба-
ланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование
матрицы (Е—А*)-1 0. Элементы матрицы (Е—А*)-1 являются
326
коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для
получения единицы конечной продукции в оптимальном плане.
Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
(Е—А*)Х* = У° или X* = (E—A*)~'Y°.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно,
и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых из-
менениях положительного вектора Y0.
Доказательство. Для того чтобы базис оптимального
плана оставался неизменным при переменном векторе У0, доста-
точно — в соответствии с (9.15),— чтобы выполнялось условие
(Е —А*)-1 У°>0.
Поскольку матрица (Е—А*)-1 > О, условие (Е—4*)~V° < 0
выполняется всегда при любом У° '> О w- тем более при У°>0.
Пусть для некоторого У°>0 получено решение X*. Базис по-
лученного решения (Е—А*) остается неизменным и тогда, когда
вектор Ya будет изменяться любым образом в положительной об-
ласти (0<У°< + со). Если базис оптимального плана — не-
разложимая матрица, то теорема распространяется на случай
У» >0.
Это означает, что вычислив матрицу (Е—А*)-1 для одного ва-
рианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее
для расчета производственной программы при других вариантах
конечной продукции.
Из задачи, двойственной к (9.32), следует, что для способов,
вошедших в оптимальный план выполняются условия
2 [^Ч vi ~
tei 1
Поэтому вектор оптимальных оценок продукции ,
характеризующих минимально необходимый прирост трудовых
затрат в народном хозяйстве при увеличении конечной продукции,
определяется решением системы уравнений
у* = у*_д* /*
или
Г = /*(Е-ЛТ‘- '
Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой
модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчислен-
ным по лучшим производственным способам для каждого вида про-
дукции.
Следствие. Оптимальные оценки v* не изменяются при
любых изменениях положительного вектора У0.
327 \
При неизменных коэффициентах производственных способов
оптимальные оценки меняются только при изменении базиса оп-
тимального плана. Теорема 2 доказывает, что в модели (9.32) базис
оптимального плана остается постоянным при любых изменениях
вектора Y° в положительной области, следовательно, не изме-
няются и оптимальные оценки1.
Постоянство оценок v*t облегчает их использование в различных
планово-экономических расчетах, в частности, при корректировке
вектора У0.
Второй вариант модели (максимизация
конечной продукции в заданном ассортименте
при ограниченных трудовых ресурсах)
Рассмотрим другую возможную постановку межотраслевой мо-
дели с производственными способами: произвести максимальное
число комплектов конечной продукции при ограниченных трудо-
вых ресурсах: „ ,s . . п . г ,
2 б//—«ЦФ/ azz>0,
2 L,
IV.
z>0,
z->max. (9.33)
Нетрудно установить, что модели (9.32) и (9.33) являются вза-
имными (см. § 2 главы 4). В первой модели фиксируются
и минимизируются затраты труда, а во второй модели максимизи-
руются z при фиксированном ресурсе труда. Отсюда следует, что
. если z® = max z или L = min 2 то в соответствии с теоре-
мой взаимности оптимальные планы задач совпадают, трудовые ре-
сурсы используются полностью, а оптимальные оценки продукции
пропорциональны. Сохраняются и все свойства оптимального
плана и оптимальных оценок модели (9.32):
в оптимальном плане производятся все продукты и каждый про-
дукт производится только одним способом (для этого должно вы-
полняться одно из условий: либо матрица способов неразло-
жима, либо все а(>0);
выбор лучших способов и оптимальные оценки не зависят от
заданий по конечной продукции (ассортиментных коэффициентов);
не производится «излишков» конечной продукции.
1 Задача исчисления оптимальных оценок в рамках рассматриваемой модели
относится к тому редкому классу экстремальных задач, оптимальный план
которых не зависит от коэффициентов целевой функции.
328
Отметим важное новое свойство: набор производственных спо-
собов в оптимальном плане и значения оптимальных оценок не
зависят от величины имеющегося ресурса. Действительно, по-
скольку L есть единственная отличная от нуля компонента вектора
ограничений задачи, то изменение L означает растяжение или сжа-
тие вектора ограничений. Но такое преобразование не влияет на
базис оптимального плана.
Вектор объемов производства выражается через матрицы ко-
эффициентов полных затрат, сформированных из «лучших» спосо-
бов:
Х = (Е—4*r'«z=₽*z, (9.34)
где р* = (Е—А*)~1а — вектор потребностей в выпуске продукции
для получения одного комплекта конечной продукции.
Максимальное число комплектов г* находится из равенства
t*(E—Д*)-1аг = x*z = L, откуда
Z* = V’ (9-35)
где т* = t* (Е—Л*)— а — полные трудовые затраты для получе-
ния одного комплекта конечной продукции.
Подстановка (9.35) в (9.34) дает
Х*=А-Р*Л, (9.36)
т. е. максимальное число комплектов и объемы производства прямо
пропорциональны количеству имеющихся трудовых ресурсов. Оп-
тимальная оценка трудовых ресурсов w*
ной величиной.
1
=— является постоян-
т*
В рассматриваемой модели условия максимизации конечной
продукции могут быть сформулированы так же, как в моделях
(9.1), (9.24), (9.27). С учетом данного уточнения приходим к модели:
2
xi^i Q, / 6 А Я5/ 6 T/>
z>0,
z -> max.
(9.37)
Отмеченные выше свойства оптимального пл ана и оптимальных
оценок полностью сохраняются. Однако решение задачи (9.37) су-
ществует не всегда, так как наличных трудовых ресурсов может
быть недостаточно для выполнения чрезмерно высоких заданий qL.
329
Варианты модели с различными условиями
максимизации конечной продукции
Из теоремы 2 следует, что изменение объемов и структуры ко-
нечной продукции (при сохранении Y > 0) не оказывает никакого
влияния на выбор лучших производственных способов. Это позво-
ляет расчленить процесс оптимизационных расчетов и анализа
оптимальных решений на три стадии:
нахождение лучших производственных способов и минималь-
ных затрат труда при заданном векторе конечной продукции на
основе модели (9.32);
определение объемов и структуры переменной части конечной
продукции (можно использовать различные критерии и условия
максимизации);
расчет сбалансированного плана производства, обеспечиваю-
щего выпуск всей конечной продукции при ограниченных трудовых
ресурсах.
В качестве примера рассмотрим модель, включающую условия
максимизации переменной части конечной продукции в виде ЦФП:
Y = Y + Q, и (У) -> max.
Решив задачу (9.32) с У0 = Q, определим матрицу А*, а также
вектор оптимальных оценок продукции, равных коэффициентам
полных затрат, исчисленным по лучшим производственным спосо-
бам, V* = Т*, а также потребности в трудовых ресурсах для обес-
печения постоянной части конечной продукции T*Q и остаток тру-
довых ресурсов для выпуска переменной части конечной продукции
L = L —T*Q>0.
На второй стадии решается задача максимизации ЦФП при
ограниченных трудовых ресурсах:
и (У) -> max
T*Y < L
(9.38)
Решение задачи (9.38) дает вектор У*.
Следует обратить внимание на интересный результат, характе-
ризующий соотношения предельных полезных эффектов продукции
и затрат труда на ее производство. В соответствии с условиями
Куна—Таккера
ul[Y)-<CwTi,
ut (У >= w Тi при г/,>0
Ui (Y*) » » Л
или ———- — w при г/г >0.
Т’г (9.39)
330
Таким образом, в оптимальном плане рассматриваемой модели
предельные полезные эффекты используемой конечной продукции
пропорциональны общественно необходимым затратам труда на
производство продукции. Отличие от общего вывода, полученного
в § 3 главы 4, состоит в следующем. Оптимальные оценки продукции
в модели (9.32) равны коэффициентам полных трудовых затрат,
исчисленным по лучшим производственным способам, и являются
постоянными величинами. Они оказывают влияние на выбор оп-
тимальной структуры конечной продукции (вектора Y ); эта струк-
тура «подбирается» так, чтобы отношения (9.39) выравнялись по
всем используемым видам конечной продукции. Но выбор струк-
туры конечной продукции не оказывает никакого влияния на зна-
чения оптимальных оценок продукции.
На третьей стадии расчетов по модели находим вектор объемов
производства X* = А*Х* + Q + У*; он будет сбалансирован
с имеющимися трудовыми ресурсами.
Аналогичным образом проводятся расчеты по модели, вклю-
чающей другие возможные критерии и условия максимизации ко-
нечной продукции (см. § 4 главы 6).
Таким образом, анализировавшиеся в данном параграфе опти-
мизационные межотраслевые модели характеризуются двумя спе-
цифическими свойствами. Во-первых, в оптимальный план вклю-
чается только по одному способу для каждого производимого вида
продукции независимо от того, какое количество способов вводится
в условия задачи. Во-вгорых, объемы и структура используемой
конечной продукции не оказывают никакого влияния на выбор
производственных способов и определение общественно необходи-
мых затрат на производство продукции.
Хотя выявленные свойства создают значительные удобства при
проведении оптимизационных расчетов и анализе оптимальных
решений, они не являются адекватным отражением свойств реаль-
ной экономики. Данные свойства моделей обусловлены тем, что
выбор производственных способов осуществляется с позиций наи-
более эффективного использования только одного ограниченного
ресурса — труда. Решения, получаемые с помощью рассматривае-
мых моделей, должны интерпретироваться как условно-оптималь-
ные, т. е. получаемые в предположении, что трудовые ресурсы яв-
ляются единственным дефицитным ресурсом в народном хозяйстве.
Эти условно-оптимальные решения должны затем корректироваться
с учетом использования других ограниченных ресурсов.
§ 4. РАСШИРЕННЫЕ
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ
Проведенный й §2, 3 анализ упрощенных оптимизационных меж-
отраслевых моделей позволяет сделать важный вывод о правилах
построения оптимизационных моделей народного хозяйства. Одно-
331
стороннее развитие модели (например, только увеличение числа’
учитываемых ресурсов или только увеличение числа включаемых
в модель производственных способов) оказывается малорезульта-
тивным, так как значительная часть вводимой в модель информации
не оказывает влияния на оптимальное решение. Очевидно, кон-
струкция модели должна быть «сбалансирована».
С учетом этого вывода дополним условия моделей с производст-
венными способами (9.32), (9.37) ограничениями по ряду невос-
производимых ресурсов, обозначая fs№— затраты ресурса s на
производство единицы продукции / способом %. Получим пару
взаимных оптимизационных моделей.
Первая из них (минимизация затрат труда на производство за-
данной конечной продукции) является развитием модели (9.32):
2 (^'7 ai№j) y°i’ С
2 sCM2,
> о, /С'Ф/€Т/,
2 W/*/ min-
г 1 (9.40)
Вторая модель (максимизация конечной продукции при ограни-
ченных ресурсах) является обобщением модели (9.27) (с ограниче-
ниями по ресурсам, но только с одним производственным способом
по каждому продукту) и модели (9.37) (с несколькими производст-
венными способами, но только с одним ограниченным ресурсом):
У (б,7—
xj^i > o> / С Ф/ С
z>0,
z max. (9.41)
Модель (9.41) отличается от общей линейной оптимизационной
модели (9.1) только структурой производственных способов: в каж-
дом способе выпускается по одному виду продукции.
Из специфических свойств простейших моделей с производст-
венными способами в моделях (9.40) и (9.41) сохраняется только
одно: в оптимальном плане все соотношения производства и рас-
пределения продукции выполняются как строгие равенства, т. ё.
излишки конечной продукции' не производятся.
В оптимальный план моделей (9.40) и (9.41) могут входить не-
сколько способов по каждому продукту. Если оптимальный план
332
- единственный, то число дополнительно используемых способов
(сверх п) не может превышать числа учитываемых ресурсов (кроме
трудовых ресурсов). Например, если в условия задачи дополни-
тельно включается ограничение по одному ресурсу, то лишь один
продукт может производиться двумя способами, а в производстве
всех остальных продуктов может применяться только по одному
способу. Если же в задачу включается несколько видов ресурсов,
то возможности их полного использования зависят от разнообра-
зия производственных способов, т. е. от дифференциации коэффи-
циентов затрат на различные ресурсы (должны быть способы, раз-
личающиеся соотношениями коэффициентов трудоемкости, фондо-
емкости и т. д.).
Набор способов, используемых в оптимальном плане, зависит
от величин rs. При этом можно выявить связь с оптимальным пла-
ном простейшей модели. Увеличение имеющихся ресурсов (кроме
трудовых) повышает эффективность тех способов, которые являются
«Лучшими» в условиях простейшей модели.
В отличие от простейших моделей из § 3 набор производствен-
ных способов в оптимальных планах моделей (9.40) и (9.41) зависит
от условий по конечной продукции. С изменением величин у°, a,h
qs, а также при введении в модель других критериев и условий
максимизации конечной продукции одни производственные способы
заменяются в оптимальном плане другими; изменяются также и зна-
чения оптимальных оценок продукции и ресурсов. Это означает,
что в расширенных оптимизационных межотраслевых моделях
достаточно полно отражаются прямые й обратные связи сферы про-
изводства и сферы потребления.
Основное прикладное назначение оптимизационных межотрасле-
вых моделей типа (9.40), (9.41) — расчеты и анализ вариантов крат-
косрочных (годовых) планов развития народного хозяйства. При-
менение для этой цели статических моделей оправдано прежде
всего потому, что для ближайшего планового года производствен-
ные мощности (обеспечение основными производственными фон-
дами) почти полностью предопределяются мощностями на начало
года и состоянием заделов капитального строительства.
Иное дело в перспективном планировании. Уже при расчетах
на пятилетний период необходимо учитывать, что производствен-
ные мощности (основные производственные фонды) последнего года
в значительной мере зависят от ввода мощностей (основных фондов)
в плановом периоде. Поэтому просто фиксировать размеры мощ-
ностей (или основных фондов) для пятого года так же, как для бли-
жайшего планового года, невозможно.
Однако статическая модель может быть приспособлена для рас-
четов вариантов перспективного плана. Для этого к условиям мо-
дели (9.40) или (9.41) для последнего года планового периода не-
обходимо добавить ограничения по капиталовложениям, расходуе-
мым на прирост продукции за весь плановый период, а множество
производственных способов разделить на две группы: способы про-
333
изводства на мощностях, действовавших на начало планового пе-
риода, и способы производства на мощностях, введенных в плановом
периоде.
Пусть Xjq. — объем производства продукции / способом фу, по-
лучаемый в последнем году с производственных мощностей, дейст-
вовавших на начало планового периода;
х^ — объем производства продукции / способом -ф/, получае-
мый в последнем году с производственных мощностей, введенных
в плановом периоде;
— максимально возможный объем производства продук-
ции / способом тру, который может быть получен в последнем году
с производственных мощностей, действовавших на начало плано-
вого периода;
Н — лимит производственных капиталовложений на весь пла-
нируемый период;
, fsi^j — коэффициенты затрат на производство продукции
в последнем году на мощностях, действовавших к началу планового
периода;
f s№f — коэффициенты затрат на производство продукции
в последнем году на мощностях, введенных в плановом периоде;
— затраты капиталовложений на прирост единицы про-
дукции j способом фу на новых мощностях.
Тогда условия статической модели для последнего года плано-
вого периода запишутся следующим образом:
X
/€/. фуСГ;
XXy^y —azz>^-,
/ел’Фует,
s £ М2,
iei-^ег/
О <1 х^
Xyi|>y >0, j £ I, фу C Tlt
z>0, 1
z -> max. (9.42)
Данная модель представляет собой некоторое усложнение мо-
дели (9.41). Она может использоваться на предварительных эта-
334
пах разработки- перспективного плана и при этом должна подкреп-
ляться обоснованиями лимита производственных капиталовложе-
ний Н и расчетами динамики развития народного хозяйства по
промежуточным годам планового периода, и
Значение статических оптимизационных межотраслевых моде-
лей не ограничивается тем, что они могут использоваться как са-
мостоятельный инструмент плановых расчетов.
Статические модели для отдельных временных отрезков являются
составными частями моделей, объединяющих условия развития
народного хозяйства за ряд лет. Поэтому построение и анализ ста-
тических моделей — это неизбежный этап разработки более слож-
ных динамических моделей народного хозяйства.
ЛИТЕРАТУРА к разделу третьему
1. Аганбегян А. Г., Гранберг А. Г. Экономико-математиче-
ский анализ межотраслевого баланса СССР. М., «Мысль», 1968.
2. А л л е н Р. Математическая экономия. М., Изд-во иностр, лит., 1963.
3. В а л ь т у х К- К. Удовлетворение потребностей общества и модели-
рование народного хозяйства. Новосибирск, «Наука», 1973.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и эко-
номическая теория. М., «Прогресс», 1975.
5. Использование народнохозяйственных моделей в планировании. Под
ред. А. Г. Аганбегяна, К. К. Вальтуха. М., «Экономика», 1975.
6. И ц к о в и ч И. А. Анализ линейных экономико-математических
моделей. Новосибирск, «Наука», 1976.
7. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использо-
вания ресурсов. М., Изд-во АН СССР, 1959.
8. К а р л и н С. Математические методы в теории игр, программирова-
нии и экономике. М., «Мир», 1964.
9. К о с с о в В. В. Межотраслевые модели (теория и практика использо-
вания). М., «Экономика», 1973.
10. Л а н к а с т е р К. Математическая экономика. М., «Советское радио»,
1972.
11. Межотраслевой баланс и пропорции народного хозяйства. Под ред.
А. И. Ефимова. М., «Экономика», 1969.
12. Межотраслевой баланс производственных мощностей. Под ред.
К. К. Вальтуха. М., «Экономика», 1972.
13. Методические указания к разработке государственных планов развития
народного хозяйства СССР. М., «Экономика», 1974.
14. Моделирование народнохозяйственных процессов. Под ред. В. С. Да-
даяна. М., «Экономика», 1973.
15. Ни кай до X. Выпуклые структуры и математическая экономика.
М., «Мир», 1972.
16. Проблемы народнохозяйственного оптимума. Под ред. А. Г. Аганбегяна,
К. К. Вальтуха. М., «Экономика», 1969.
17. Р а й ц и н В. Я. Математические методы и модели планирования
уровня жизни. М., «Экономика», 1970.
18. С м е х о в Б. М., Уринсон Я- М. Методы оптимизации народно-
хозяйственного плана. М., «Экономика», 1976.
19. Т е р е х о в Л. Л. Производственные функции. М., «Статистика», 1974.
20. Э й д е л ь м а н М. Р. Межотраслевой баланс общественного продукта.
М., «Статистика», 1966.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоматизированная система плано-
вых расчетов (АСПР) 29, 66
Автоматизированные системы управ-
ления (АСУ) 28—30
Автономность производственных спо-
собов 200
Агрегирование продукции 249, 253—
255
Адаптация:
активная 72
вариантов (плановых решений) 153,
155, 156, 158
пассивная 72
Аддитивность производственных спо-
собов 200
Аксиома:
сравнимости (сопоставимости) ва-
риантов (наборов) 104, 105
транзитивности 105
Аксиоматика целевой функции бла-
госостояния 105
Аксиоматический метод 62—63
Аксиомы упорядочения наборов по-
требительских благ 206
Алгоритм 38, 56, 58-
— агрегирования 254
— моделирующий 39
Анализ:
модели математический 55, 57, 62
оптимального плана 316—319
Аппроксимация линейная 192, 212
Ассортиментный коэффициент по-
требления 236, 238, 239
Баланс: /
в натуральном выражении 242,
249, 250
в ценностном выражении 249, 251
дифференцированный доходов и
потребления населения^231
доходов и расходов государства
101
доходов и расходов населения в
модели межотраслевого баланса
301
затрат 245
материальный 242, 243, 245
• 336
межотраслевой 21, 28, .68
натурально-стоимостной 243, 310—
312
общественного продукта 242, 243,
245, 246, 248, 250
отчетный 243
плановый 243
экономических взаимоотношений
подсистемы 95
Балансы производства и распределе-
ния продукции 101, 122
«Бедные» решения оптимальных за-
дач 235
Блоки:
матрицы 273, 274
системы моделей оптимального пла-
нирования 91, 92
Бюджетная статистика 216, 217, 230
Бюджетное ограничение 219, 220,
225, 227
Векторная (многоцелевая) оптимиза-
ция 79, 81, 95, 97, 138, 142, 145, 167
— целевая функция (критерий оп-
тимизации) 139, 142
Верификация моделей 45—47, 56
Взаимодействие:
объектов и субъектов моделирова-
ния 41
подсистем 98
экономическое 145
экономической науки и матема-
тики 62
Взаимодополняемость (комплемен-
тарность) потребительских благ 209,
232
Вза имоза меняемость:
потребительских благ 206, 209,
210, 212, 232
-эквивалентная 212
продукции и ресурсов эквивалент-
ная 124, 311
ресурсов эквивалентная 173
Вид деятельности 121,® 123, 199
Включение в оптимальный^план до-
полнительных производственных спо-
собов 318, 319
k
Влияние изменений параметров огра-
ничений на оптимальный план 316,
318
«Гарвардский барометр» 13
Гепотетико-дедуктивный метод 63
Границы использования математиче-
ского моделирования 64: 65
Дерево целей 108, 109
Дескриптивный подход к построе-
нию целевой функции общественного
благосостояния 105, 106
Дефицитность продукции и ресурсов
75, 111, 123, 128, 130, 132, 135, 325
Динамика:
валового и конечного продукта
283, 285
затрат живого и овеществленного
труда 285, 286
экономическая 165
Дифференциал целевой функции по-
требления полный 212
Допущения модели межотраслевого
баланса 258—260
Единство интересов подсистем 96,
97
Зависимость выбора производствен-
ных способов от трудовых ресурсов
323.
Задача:
двойственная линейного програм-
мирования 162, 163, 256, 315, 320,
321, 327
выпуклого программирования 81,
89, 161
линейного программирования 24,
130, 131, 162
математического программирова-
ния 73, 74, 76, 78, 161
оптимального народнохозяйствен-
ного плана 25
оптимизационная 73
параметрического программирова-
ния 154
производственного планирования
Л. В. Канторовича основная 313—
315
стохастического программирова-
ния 152
— в жесткой постановке 152
— в нежесткой постановке 153
Задачи:
взаимные оптимизационные 111 —
113, 115—119, 131, 132, 134, 328,
332
экстремальные 49
Закон:
основной экономический социа-
лизма 74
«убывающей предельной полезно-
сти» (закон Госсена) 215
Затраты:
дифференциальные 135
на производство общественно не-
"обходимые 18, 129, 130, 136
обратной связи 135
общие 190, 194
овеществленного труда 265
предельные 12, 125—127, 189—
192, 194, 196
средние 189, 194, 196
«Идеальное» состояние 106, 141, 210
Изменение предельной полезности
214, 215
Измерения экономические 42, 43
Измерители:
вторичные 43
первичные 43
экономические 43
Изокванты производственных функ-
ций 171, 174, 183, 189, 197 198, 202,
208
Изоклиналь 174, 185, 196—199
Интенсивность:
вида деятельности 123
применения производственного
способа 199, 201
Интерпретация математических по-
нятий 62
Информационное обеспечение 49, 64
Информационные потоки в системе
моделей 92, 93
Исходная информация 42, 56—58
Качественный анализ 59, 60
Квадранты межотраслевого баланса
243, 245
Квадратичная форма 175
Квазиоптимизация 143—144
— последовательная 144
Классификация отраслей и продук-
ции 248, 312
Коалиция 96
Количественный анализ 59, 60
Комбинация:
выпуклая базовых производствен-
ных способов 200, 201
наборов потребительских благ 214
Компенсированное изменение цены
227
Компромисс между целями 81
Конечная продукция в межотрасле-
вом балансе 243
Коэффициент:
косвенных затрат ресурса 260—
263
материальных затрат 260—264
полных затрат амортизации 269, 270
—,— дохода на «прочую» конеч-
ную продукцию 305, 306
----оплаты труда 269,. 270
337
-----продукции на прирост еди-
ницы дохода, не зависящего
от объемов производства 304,
306
-----ресурса 252, 260, 261, 264,
265
-----ресурса для получения ком-
плекта конечной продукции
323
-----прибавочного продукта 269,
270
-----труда 264, 265, 268
— материальных затрат 260, 261,
263—265
— потребностей в валовом общест-
венном продукте на единицу
конечной продукции 277—278
----- в продукции для получения
комплекта конечной продук-
ции 304, 306, 322, 329
-------на единицу конечной про-
дукции 267
-------на единицу конечной про-
дукции в модели, учиты-
вающей производство со-
пряженной продукции и
использование комплекс-
ного сырья 299
-----— на единицу «прочей» ко-
нечной продукции 304,
306
прироста расходной части доходов
населения на единицу прироста фик-
сированного дохода 303
прямых материальных затрат 252
прямого (полного) выпуска загрязни-
телей 307, 308
-------на единицу уничтожаемых
загрязнителей 307—308
прямых (полных) затрат продукции
на уничтожение загрязнителей 307,
308
прямой (полной) фондоемкости про-
дукции 265
эластичности взаимозаменяемости ре-
сурсов 176, 177, 184, 187
— выпуска 175, 183—185
— качества 231
— количества 231
— перекрестной 232, 233
— спроса (потребления) от дохода
228, 230, 231
-------от цены 228, 232, 233
Кривые Торнквиста 229, 230
— Энгеля 229
Критерий:
Вальда 156
Гурвица 156, 157
оптимальности глобальный 68, ,70,
71, 79, 85, 138, 142, 146, 147
338
— локальный 68, 71, 85—89, 93—
95
— упрощенный 233
Сэвиджа 156
Лимитно-ценностной метод коорди-
нации решений 87
Лимитный метод координации ре-
шений 87, 88
Максимизация:
доходов населения 241
конечной продукции в заданном
ассортименте 314, 322, 324, 328,
329, 332
общего выпуска продукции 180,
203
потребления в фиксированных це-
нах 234, 235
прибыли 178, 179, 191 —193
прироста потребления в заданном
ассортименте 238
степени удовлетворения потребно-
стей 236, 240
уровня потребления при заданных
функциях потребления 240
— удовлетворения потребностей
218
фонда потребления в фиксирован-
ных ценах 234—235
целевой функции потребления
(ЦФП) 207, 210
Максимум:
глобальный 146, 162
локальный 162
Макромодель 53, 70, 72, 77
Маневренность (плана) 155, 158
Математика как средство научного
познания 7, 9, 11, 23, 36, 41, 59—
64, 77
Математическая школа в политэко-
номии И, 12, 98
Математическая экономия 15, 59
Математическое доказательство 60,
61
Матрица:
агрегирующая 254
взвешивающая 254
в натуральном выражении 271
в ценностном выражении 271
Гессе 175, 214
коэффициентов косвенных затрат
266
— полных затрат 266, 267
----потребностей в продукции
267, 274
— прямых материальных затрат
252, 266, 267, 271
модели межотраслевого баланса
с включением функций потребле-
ния и доходов 302
неотрицательная 271
неразложимая 261, 272—275
платежная 155
подобная 272
продуктивная 273—276, 302, 303,
307, 308, 314, 321
производственных способов 200
разложимая 272—275
Метод:
балансовый 20
валового оборота 249
валовой продукции 249
межотраслевого баланса 10, 21
Монте-Карло 154
определения коэффициентов затрат
при системном моделировании 289
«отрицательных коэффициентов» в
модели межотраслевого баланса
298, 299
прогнозирования коэффициентов
затрат на основе задачи линейного
программирования 288, 289
статистического прогнозирования
коэффициентов затрат 287, 288
технико-экономического проекти-
рования 288
RAS 288
Методы оптимизации в условиях
неопределенности 152
Микромодель:
оптимизационная 77
— одноуровневая 137, 145
Минимизация:
затрат труда 113, 114, 116—120,
131,. 132, 134, 181
— на производство заданной ко-
нечной продукции 325, 326, 332
общих затрат 179
потерь благосостояния общества
107, 108
срока достижения заданных це-
лей 104, 106—108, 205, 210, 238
Многовариантность:
экономического развития 74
плановых решений 72, 75
Множество:
выпуклое 175, 214
допустимых вариантов 75, 76, 78,
95, 111 — 113, 115
— планов подсистем 86
квазиоптимальное 142, 143
оптимальных планов 77
Парето 80
субоптимальных решений 79
эффективных вариантов 80, 81,
96—98
Множитель Лагранжа 123, 146, 159,
163, 220
Модели:
агрегированные 92
адаптивные 72, 153
дескриптивные 46, 50, 51, 72, 99
детализированные 92
детерминистские 52
динамические 52
жестко детерминистские 45, 52
закрытые 53
знаковые 35
идеальные (мысленные) 34
конечной продукции 290
линейные 52
логико-математические 35, 36
математические 7, 36, 37
математико-статистические 13, 23
материальные (предметные) 34
межотраслевого баланса с линей-
ными неоднородными функциями
затрат 294, 295
----с нелинейными функциями
производственных затрат 295
----со смешанным составом не-
известных 292, 293
----с условиями взаимозаменяе-
мости ресурсов 296
----расширенные 290, 294
межотраслевые 16
народнохозяйственные 92
нелинейные 52
нормативные 46, 50, 51, 72
оптимизационные межотраслевые
с производственными способами
325—331
-------первый вариант 325—328
-------второй вариант 328—329
-------вариант с условиями оп-
тимизации конечной про-
дукции 330, 331
— на основе матрицы межотрас-
левого баланса 319—325
открытые 53, 260
планирования 67
планирования и управления на
предприятиях 27
подсистем 85, 86, 90, 95
потребления 24
предметно-математические 34—36
прикладные 50
пространствённые 53, 92
разноаспектные 55
распределения заработной платы
и доходов 205
расширенные оптимизационные
331—335
с дискретными переменными 53
с непрерывными переменными 53
статические 52
структурно-функциональные 39,
50
структурные 37—39, 50
теоретико-аналитические 50
точечные 53, 92
339
учитывающие стохастику и неоп-
ределенность 45, 52
физические 34
функциональные 37, 39, 50
Моделирование:
имитационное 39, 66
как метод исследования 7, 9, 11,
23, 31—39, 41, 59—64
математическое 36, 59—64
народнохозяйственное 27
отраслей производства 27
производственных процессов 166
процессов планирования и управ-
ления 66
сферы потребления 205
территориальных систем 27
Модель 31—33
— абстрактная оптимального пла-
нирования 121, 123, 134, 201
— балансовая народного хозяйства
68, 72
— векторной оптимизации 69
— динамическая 149, 165, 292
— жестко детерминистского типа
151 — 153
— как частный случай оптимиза-
ционных моделей 319—321
— линейная производства 200
— межотраслевая взаимодействия
экономики и окружающей среды
305—310
— межотраслевого баланса 21
— с избыточным числом перемен-
ных 296
— статическая народного хозяй-
ства 201
— учитывающая организацион-
ную структуру 310—312
-----основная 245, 251, 252
----продукции и производствен-
ных мощностей 321—323
----с включением функций по-
требления и доходов 299—
301
----с учетом производства.сопря-
женной продукции и исполь-
зования комплексного сырья
298—299
— межотраслевых взаимодействий
297
----зависимостей цен 256, 257
----материально-вещественных
связей 251
— многоуровневая оптимизацион-
ная 68, 70, 72
— многоцелевой (векторной) опти-
мизации 79, 97
— нормирования потребления 205
— общая линейная оптимизацион-
ная 313—315
----производственного планиро-
вания 167
— общественных целеустремлений
ПО
— оптимизационная межотрасле-
вая 241
.--------с ограничениями по об-
щим ресурсам 323—325
----одноуровневая народного хо-
зяйства 68, 72, 94
----с «клювом» 321
— поведения потребителей 218, 219
225
— подсистемы 71
— скалярной оптимизации 69
— социально-экономического
взаимодействия 68, 71, 72, 93—
95, 98, 99, 102, 145, 146, 148—
151, 219, 223
— статическая для последнего года
планового периода 334
— народного хозяйства 165
— функциональная 167
— экономического равновесия 94,
98, 99
----роста 21—23
— Эрроу—Дебре 98', 99
— эффективности живого труда 25
Модельный эксперимент 33, 56, 61,
64
Наблюдения экономические 42
Надежность плана 155, 158
Неединственность оптимальных пла-
нов 150
Неоднозначность определения целе-
вой функции благосостояния 105
Неопределенность 44, 45, 151 — 155
Норма:
матрицы 272
эквивалентной взаимозаменяемо-
сти потребительских благ 124,
212—217, 223, 225, 235, 236, 239,
241
----ресурсов 124, 174, 184, 196,
204
Нормативный подход к построению
целевой функции общественного бла-
госостояния 105, 106
Нормы рационального потребления
(удовлетворения потребностей) 107,
236, 237, 240
Область:
определения целевой функции по-
требления (ЦФП) 206, 209, 210,
216
производственных возможностей
69
существования решений модели
межотраслевого баланса 259
340
Обоснование:
1 вариантов конечной продукции
289, 290
производственной программы со
стороны производственных воз-
можностей 290—291
Общегосударственная автоматизиро-
ванная система управления (ОГАС)
66
Общесистемные ограничения 86, 88,
95
Объект-заместитель 32, 33
Ограниченность ресурсов 75
Определение объемов капиталовло-
жений в статической модели 290,
292
Оптимальная оценка:
дохода 220
мощности 322
продукции 124, 130, 134, 136,
179, 181, 239, 241, 315, 324, 330
ресурса 124, 125, 127, 129, 134,
180, 181, 204, 315, 324
трудовых ресурсов 131, 132, 329
уровня благосостояния 131, 132,
134
Оптимальное использование произ-
водственных мощностей 291
----- ресурсов 24
— сочетание производственных
способов 203
Оптимальные оценки 123, 137, 139,
147, 158
-----во взаимных задачах 131,
132
----- продукции и коэффициенты
полных трудовых затрат 321,
. 327
Оптимальный объем производства
191, 1.93, 194, 204
— план 77, 87
Оптимизационный подход 169
Оптимизация:
в условиях неопределенности 151,
152
многоуровневая 82—84
Оптимум:
глобальный 145
народнохозяйственный 27
по Парето 12, 80, 95, 98, 167
Организация планирования и управ-
ления многоуровневая 82—84
Отношения предпочтения 103, 104,
208
Отрасли производственных услуг в
межотраслевом балансе 250
Оценивание продукции 249
Ошибки агрегирования 254
Перераспределение национального
дохода 246
План:
ГОЭЛРО 20, 21
допустимый 67, 68
локально-оптимальный 89, 91
народнохозяйственный агрегиро-
ванный 89, 90
Плановые расчеты сбалансирован-
ных уровней производства 287
Поверхность (кривая) безразличия
12, 206, 207, 209, 212, 214, 217, 220,
225, 324
«Подстроечные» мероприятия 155,
158
Полезность общественная 130, 133,
210, 211
Полезный эффект предельный (пре-
дельная полезность) потребитель-
ских благ 120, 121, 129, 130, 132,
136, 211, 212, 214, 220, 223
Полиструктурность 40
Полные затраты продукции на фонды
конечного продукта 279, 280
----ресурсов на фонды конеч-
ного продукта 281, 282
Покупательная способность 227
Покупательский спрос 218—223,
227, 231, 235
Постановка экономической проблемы
54
Построение математической модели
54
— народнохозяйственного плана
73, 76—78
— целевой функции потребления
210, 215, 221, 222
Потенциал расширенного воспроиз-
водства 248 f
Потребности общества 75, 78
— рациональные 107, 237
Правила:
выбора вариантов плана 67
экономических взаимоотношений
71
Праксеология 19
Пределы потребления (насыщения)
210, 212—214
Предпочтения потребителей 219
Преобразование функции монотонно
возрастающее 105, 206, 208, 211, 215
Применение статической модели в
перспективном планировании 333—
335
Принцип:
декомпозиции 70, 87, 88
демократического централизма 82,
150
недостаточного основания 157
оптимальности поведения потре-
бителей 219
341
построения плана композицион-
ный 71
«практика — критерий истины» 45,
46
«чистой» отрасли 248, 310
равномерной оптимизации 141,
236—238
Принципы:
моделирования 31
оптимизации 73
соизмерения затрат и результатов
25, 27, 119, 203
Приоритеты частичных целевых фу-
нкций 140
Прогнозирование коэффициентов за-
трат 287—289
Программно-целевое планирование
66, 108, 109
Производительность:
предельная вида деятельности
125—127
труда предельная 172
Производственная мощность 256,
291, 321
Производственные возможности на-
родного хозяйства 166—168
Производственный способ 199—204
---абсолютно неэффективный
201, 202
---в модели межотраслевого
баланса 259—260
--однопродуктовый 201
Промежуточные продукты 167
Процесс моделирования 32—39
Процессы массовые 42
Равновесие 94 , 95, 145—150 , 223
— динамическое 94, 105, 106
Равноэффективные (равноэкономич-
ные) варианты 158
Ранжирование целей 108
Ресурс:
абсолютно необходимый 170, 183
дефицитный 111, 113
Ресурсно-технологические возмож-
ности 69, 71
Ресурсы:
воспроизводимые 75, 166, 200
невоспроизводимые 75, 122, 166,
200, 261
Решение аналитическое 37
Риск экономический 156, 157
Система моделей народнохозяйст-
венного планирования 29, ' 68, 70,
82, 83, 85, 91—93
— полицентрическая 84
— самоорганизующаяся 40
— сложная 40, 41
целенаправленная 40
Системный анализ 29, 66, 79
Скаляризация векторного критерия
138, 140, 142
Скалярная оптимизация 81
Случайность 44
Собственное значение матрицы 272,
274
Совмещение локальных и глобаль-
ного минимумов трудовых затрат
136
Согласование:
интересов 71
плановых решений 84—87, 148
Согласованное решение 91
Соизмерение затрат и результатов
158
Соизмеримость потребительских благ
206, 210, 211
Соотношение:
валового и конечного продукта
277, 278, 283, 284
затрат живого и овеществленного
труда 285, 286
затрат и результатов в оптималь-
ных оценках 126, 315
оптимальных оценок продукции
и общественно необходимых за-
трат па производство 126, 129,
136, 331
------ — и предельных полезных
эффектов 129, 130
предельных полезных эффектов и
предельных трудовых затрат 133,
136, 330, 331
Соотношения переменных и парамет-
ров при разных измерителях 253,
268
Сочетание интересов 94, 98, 101
Статика экономическая 165
Статистическое направление («стати-
стическая экономия») 12
Степенной ряд матрицы 266
Степень:
удовлетворения потребностей 78,
79, 117, 142, 216—218, 237, 238,
240
матрицы коэффициентов прямых
*\ материальных затрат 266
Структуризация 84
Субоптимизация (субоптимальное ре-
шение) 79—81, 139, 140
Супермодель 83
Существование:
равновесия 98, 101, 149, 150
решения 203
— модели межотраслевого баланса
274—276
целевой функции благосостояния
104
---- потребления 206
Сфера:
342
потребления 121
производства 121
Схема:
воспроизводства 8, 10, 22, 247,
248
-----«поступление ресурсов — ис-
пользование ресурсов» 242
-----«производство продукции —
распределение продукции»
243
образования полных затрат 261
Схемы согласования решений 87, 93
Таблица:
межотраслевого баланса общест-
венного продукта 243
— материального баланса 242
Теорема:
взаимности 111 —113, 115, 119,
328
о постоянстве базиса оптимального
плана и оптимальных оценок про-
дукции 327, 328
о производстве всех видов продук-
ции только одним способом 326
о соотношении оптимальных оце-
нок во взаимных задачах 131
существования 55
Теоремы двойственности 163
Теория:
«вменения» 184
«предельной полезности» 18, 19,
49, 211, 215
линейного программирования 162,
203
нелинейного программирования
159, 220
покупательского спроса 220
«трех факторов производства» 184
«Теории равновесия» 95
Товары:
Гиффина 227, 232
малоценные 227, 230, 232
Траектория равновесия 149, 150
Трансформация трудовых ресурсов
115
Трудовой ресурс 114
Трудовые затраты:
предельные 120, 121, 132, 133
— косвенные 135, 136
— прямые (непосредственные) 135,
136
Удовлетворение потребностей рацио-
нальное 142, 236
Уравнение Слуцкого 227
Уравнения:
межотраслевых потоков 297
организационной структуры про-
изводства 311
производства и распределения про-
дукции межотраслевого нату-
343
рально-стоимостного баланса 311
Уровень удовлетворения потребно-
стей 107
Условие безошибочного агрегирова-
ния (условие М. Хатанака) 255
Условия:
дополняющей нежесткости 124,
161, 163, 315
Куна—Таккера 125, 129,'133,“ 160,
162, 178, 179, 220, 330
оптимума достаточные 180,г 181
— необходимые 178, 180, 181, 191
продуктивности экономики 122
ресурсно-технологические 95
сохранения базиса оптимального
плана линейной модели 318
технологические 166
Условная субоптимизация 139, 140
Устойчивость (неустойчивость) рав-
новесия 149, 150
Фондовооруженность труда 186
Формализация:
целей 103, 104, 108, НО
экономических проблем 64, 65
Формула:
Дмитриева 12, 18
ценообразования по «стоимости»
257, 270
— по «усредненной стоимости»
257
цепы производства 258
Эйлера 183, 228
Формулы корректировки оптималь-
ного плана 317, 318
Функция:
вогнутая 175, 214
затрат .возрастающей эффективно-
сти 192
— линейная неоднородная 192,
193
----однородная 191, 192, 199,
252, 259
— падающей эффективности 194,
195-
— переменной эффективности 194,
195
— производственных 166, 168, 188,
189, 196, 198, 199
---- типовая 191
----ресурса 112, 122
квадратичная 216, 221
квазивогнутая 214
конечной продукции 122
Лагранжа 159, 161, 220
логарифмическая 141, 221
потребления 240, 241
— в модели межотраслевого ба-
ланса 300, 301
производственная 166, 168
— Кобба—Дугласа 185, 187, 188,
196—198
— макроэкономическая 186—188,
199
— народнохозяйственная общая
167, 168
— однородная 182, 187, 198, 203,
296
— с взаимодополняемыми ресур-
сами 168, 188, 189, 197
— с взаимозаменяемыми ресурсами
168—170, 196, 199, 214, 296
------типовая 182
— с постоянной эластичностью за-
мены 187
— степенная 184
спроса от дохода 221, 225—229,
231, 241, 301
— от цен 221, 225, 227, 232
целевая 69
— благосостояния (ЦФБ) 104—
108, 113, 115—117, 119, 120,
123, 124, 129, 132,' 205, 206,
233
— группы населения 100, 106,
145
— потребления (ЦФП) 20, 206,
207, 209, 210—212, 214—219,
221—223, 225, 233, 235, 239—
241, 324, 330
— центральной подсистемы 100
— частичная 79—81, 138—141
штрафная 140
Характеристики случайных величин
152, 154
«Хозяйственная» отрасль 310
Цели развития социалистической
экономики 68, 76, 78, 79, 103, 109,
ПО, 119
Цена:
. в социалистической экономике 137
конечного потребления 249—250
производителей 249, 250
Централизованное планирование по-
средством, ценностных показателей
89
Централизм полный 82, 83
Центральная подсистема 94, 99, 102
Цены:
.балансирующие (равновесные) 97,
101, 147—150, 224
неравновесные 149
Ценностный метод координации ре-
шений 87—89
Цикл экономико-математического
моделирования 57, 58
«Черный ящик» 39, 167
Число применяемых производствен-
ных способов в оптимальном плани-
ровании 314, 315, 326, 332, 333
«Штандортный треугольник А. Ве-
бера» 36
Эквивалентные решения оптимиза-
ционной модели (с глобальным кри-
терием) и модели экономического
взаимодействия 145
Экзогенные величины 37, 53, 260
Эконометрика (эконометрия) 14
— в узком смысле 15
— в широком смысле 14
Экономическая таблица Ф. Кенэ
6—8
Экономические величины предель-
ные 40
Экономическое взаимодействие 94
Экономико-математические исследо-
вания:
инструментальные 59
прикладные 64
теоретические 59—64
Эластичность:
взаимозаменяемости ресурсов 176,
177
плана (планового варианта) 155,
158
производства 175
Эмерджентность 40
Эндогенные величины 37, 53, 260
Этапы:
моделирования 33, 57
экономико-математического моде-
лирования 169
Эффективность:
ресурса предельная 171 — 173,
178—185, 204
затрат постоянная 192
производства 182
ресурса средняя 171, 173, 184
Эффективная технология 166
Эффективный вариант (оптимальный
по Парето) 80, 81, 95—97, 102, 167,
138, 140, 145, 224, 225
.------совокупности подсистем 96
— производственный способ 201,
202
Ядро экономической системы 12,
95—97, 146, 149
Язык:
математики 60, 61
модели 33
/
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аганбегян А. Г. 112, 163, 335
Аллен Р. 19, 335
Анчишкин А. И. 186
Багриновский К. А. 112, 163
Баренгольц М. 21
Белякова А. М. 30
Бекар Ж. 8
Бернулли Я. 157
Блюмин И. Г. 30
Борисов В. И. 163
Бородкин Ф. М. 170
Борнштейн М. 49
Борткевич В. И. 17
Боярский А. Я. Ю, 36
Бюшгенс С. С. 24, 222
Вайнштейн Альб. Л. 13, 22, 26
Вальд А. 98, 156
Вальтух К. К. 216, 335
Вальрас Л. 11, 12, 17, 59, 98
Вебер А. 36
Вейтцман М. 188
Войтинский В. С. 17
Волконский В. А. 19, 148, 163, 215
Ершов Э. Б. 231, 297
Ефимов А. Н. 335
Зангвилл В. 159
Интрилигатор М. 164, 335
Ицкович И. А. 216, 335
Канторович Л. В. 24, 26, 313, 335
Карапетян А. X. 231
Карлин С. 15, 164, 335
Квиткин О. А. 21
Кейнс Д. 23
Кемпбелл Р. 49
Кенэ Ф. 6, 7, 8, 21, 30
Кобб К. 185
Кобринский Н. Е. 164
Конюс А. А. 19, 24, 26, 222
Колеман Д. 170
Корнай Я. 88
Коссов В. В. 335
Крицман Л. 22
Крылов А. Н. 60
Купманс Т. 16, 24
Курно О. 11, 17
Гаврилец Ю. Н. 148, 163
Гантмахер Ф. Р. 271
Гейл Д. 276
Гексли Т. Г. 60
Герчиков С. А. 164
Госсен Г. 11
Дадаян В. С. 30, 335
Данциг Дж. 24, 164
Дебре Г. 98 ' .
Джевонс У. 11, 59
Дмитриев В. К. 11, 12, 17, 18, 21,
265
Домар Е. 23
Дубенецкий Н. О. 21
Дубовиков Ф. Г. 21
Дуглас П. 185
Лавровский Б. Л. 323
Ланге О. 10, 15, 19,- 30, 36, 164
Ланкастер К- 15, 335
Лаунхардт В. 36
Левицкий Е. М. 164
Леонтьев В. 16, 21, 305, 309
Липтак Т. 88
Литошенко Л. Н. 21
Лубны-Герцык Л. 21, 22
Лурье А. Л. 25, 26, 77, 112, 131, 164
Майер В. Ф. 231
Майминас Е. 3. 27, 164
Макаров А. А. 164
Макаров В. Л. 164
Мак-Кензи Л. 98
345
Мелентьев Л. А. 164
Милль Дж. Ст. 60
Минц Е. Л. 26
Миркин Б. Г. 98
Михалевский Б. Н. 186
Моргенштерн О. 164
Морозов К- Е. 164
Морозова И. А. 21
Нейман Дж. 15, 164
Немчинов В. С. 8, 24, 2i
Никайдо X. 15, 164, 335
Нит И. В. 164
Новик И. Б. 164
Новожилов В. В. 25, 26,
164
Ноув А. 18, 49
Ньюэлл А. 65
Оржнецкий Р. М. 17
Орлеанский А. 22
Парето В. 11, 12, 17, 80
Персонс У. 13
Петти В. 7
Писарев Ю. И. 231
Поздняков В. 22
Полтерович В. М. 98
Попов П. И. 21
Проценко О. Д. 289
Пугачев В. Ф. 164
Пшелясковский В. И. 21
Райцин В. Я. 335
Рикардо Д. 18
Рубинов А. М. 164
Саймон Г. 65
Самуэльсон П. 16
Самсонов В. В. 17
Серебряков Б. Г. 188
Селигмен Б. 30
Симакова Г. П. 289
Слуцкий Е. Е. 18, 20, 24, -222, 227
Смертин А. А. 225
Смехов Б. М. 240, 335
Смышляев А. С- 297
Смирнов А. Д. 164
Смирнов В. А. 164
Соколов В. Г. 164
Соловьев Ю. П. 186
Старовский В. 22
Столяров Н. А. 17, 18
Стоун Р. 288
Струмилин С. Г. 25
Суслов В. И. 185
Терехов Л. Л. 164, 335
Толстой В. Н. 25
Торнквист Л. 229
Тинберген Я. 16
30, 248 Тинтнер Г. 13, 15
Уринсон Я. М. 240, 335
Фаерман Е. Ю. 164
Федоренко Н. П. 27, 164
Фельдман Г. А. 22, 23
Филлипс А. 8
Форд Д. 305, 309
Фриш Р. 14, 16
Ханин Г. И. 22
Хатанака М. 255
Харрис Т. 170
Харрод Р. 23
Хедли Дж. 159
Хикс Д. 16, 19
Хишияма И. 8
Цауберман А. 18, 49
Четвериков Н. С.' 20
Чомпа П. 14
Чупров А. А. 17
Шапошников Н. Н. 17
Шаталин С. С. 285
Шатуновский Я- 21
Шляпентох В. Э. 14, 30
Штофф В. А. 164
Эйдельман М. Р. 335
Энгель Э. 229
Эрроу К. 16, 98
Эджворт Ф. 11, 12, 206
Эфрос Н. Л. 188
Юдин Д. Б. 164
Яременко Ю. В. 297
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................ 3
Раздел первый. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ..................... 6
Глава 1. Исторический очерк применения математического модели-
рования в экономике............................................. 6
§ 1. Первые модели экономики. «Экономическая таблица» Ф. Кенэ . 6
§ 2. К. Маркс и математическое моделирование экономики .... 8
§ 3. Математическое моделирование в буржуазной экономической
науке ......................................................11
Математическая школа в политэкономии — 11. Статистическое на-
правление — 12. Эконометрика — 14.
§ 4. Экономисты-математики дореволюционной России...............17
§ 5. Развитие экономико-математических исследований в СССР . . 20
Литература к разделу первому.................................30
Раздел второй. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ . . 31
Глава 2. Метод математического моделирования в экономике ... 31
§ 1. Моделирование как метод научного познания..................31
Понятия «модель» и «моделирование». Сущность процесса модели-
рования — 32. О формах моделирования ,— 34. Математическое
моделирование — 36:
§ 2. Особенности применения метода математического моделирова-
ния в социалистической экономике......................... 39
Сложность экономических процессов и явлений — 40. Особенно-
сти экономических наблюдений и измерений — 42. Случайность
и неопределенность в экономическом развитии — 44. Трудности
проверки правильности моделей — 45. Об использовании ре-
зультатов буржуазной экономической науки при моделировании
социалистической экономики — 47.
§ 3. Классификация экономико-математических моделей.50
§ 4. Этапы экономико-математического моделирования..............54
§ 5. Место математического моделирования в экономической
науке..................................................59
Математическое моделирование и развитие экономической тео-
рии — 59. Роль прикладных экономико-математических иссле-
дований. Математическое моделирование в системах планирования
' и управления народным хозяйством — 64.
Глава 3. Основные типы моделей планирования социалистической эко-
номики . ...................................67
§ 1. Модельно-теоретические представления социалистической эко-
номики .............................................. < . . 67
347
Балансовая модель народного хозяйства — 68. Оптимизацион-
ная одноуровневая микромодель народного хозяйства с глобаль-
ным критерием оптимальности — 68. Многоуровневая оптими-
зационная модель (система моделей) с глобальным критерием оп-
тимальности — 70. Модель экономического взаимодействия подси-
стем с локальными критериями оптимальности (модель социально-
экономического взаимодействия) — 71. Общие черты основных
типов моделей — 71.
§ 2. Построение народнохозяйственного плана как оптимизацион-
ная задача . . .............................................. 73
Задача математического программирования и оптимального пла-
нирования — 73. Недостатки математического программиро-
вания как математической основы оптимального планирова-
ния — 78.
§ 3. Модель многоцелевой (векторной) оптимизации ..............79
§ 4. Многоуровневая оптимизация народного хозяйства (система мо-
делей оптимального планирования)..........................82
Принцип демократического централизма и система моделей опти-
мального планирования — 82. Основные проблемы разработки
системы моделей—84. Некоторые принципиальные схемы со-
гласования решений в системе моделей — 87. Эксперименталь-
ная разработка системы моделей оптимального планирования
в СССР — 91.
§ 5. Модель оптимального экономического взаимодействия подси-
, стем народного хозяйства ............................ ...... 93
/ Об щая структура модели — 93. Основные понятия: оптимум по
1 Парето, ядро, равновесие — 95. Пример модели экономического
V взаимодействия -4- 99.
Глава 4. Проблемы оптимального планирования народного хозяй-
ства ............................................................103
§ 1. О построении народнохозяйственного критерия оптимальности 103
Целевая функция общественного благосостояния — 104. Мини-
мизация срока достижения заданных целей — 106. Формализа-
' ция целей в методике программно-целевого планирования — 108.
Проблема критерия оптимальности с позиций общей методологии
экономико-математического моделирования — 109.
§ 2. Взаимные задачи оптимизации народного хозяйства..........111
Понятие о взаимных задачах и теорема взаимности — 111. Эконо-
мическая интерпретация теоремы взаимности. Минимизация зат-
рат труда как критерий оптимальности — 113.
§ 3. Принципы соизмерения затрат и результатов: оптимальное пла-
нирование и оптимальные'оценки...............................119
Постановка проблемы — 119. * Абстрактная модель оптимального
планирования и оптимальные’оценки — 121. Соотношения опти-
мальных оценок во взаимных задачах — 131. Соизмерение затрат
и результатов при максимизации удовлетворения общественных
потребностей и минимизации затрат общественного труда — 132.
Оптимальные оценки и цены — 137.
§ 4. Соотношение векторной и скалярной оптимизации. Квазиопти-
Г мизация ...................................................138
1 Условная субоптимизация — 139. Скаляризация векторного кри-
V терия оптимальности — 140. Квазиоптимизация — 143.
§ 5. Экономическое взаимодействие и глобальный оптимум .... 145
Соотношение между равновесием и глобальным оптимумом — 145.
О применении моделей экономического взаимодействия в планиро-
вании народного хозяйства — 147. ,
4
348
§ 6. Оптимизация народного хозяйства в условиях неопределенно-
сти ....................................................... 151
Применение специальных математических методов — 152.
Комплексный подход к оптимизации в условиях неопределен-
ности — 153.
Приложение. Математические основы соизмерения затрат и ре-
зультатов в оптимальном планировании ................... 158
Литература к разделу второму.............................163
Раздел третий. СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАРОДНОГО
ХОЗЯЙСТВА .................................................... 165
Глава 5. Моделирование производственных процессов...............166
§ 1. Производственные функции и функции производственных зат-
рат. Основные понятия.......................................166
§ 2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами.
Показатели использования ресурсов . ;.......................169
Общие свойства функций — 169. Средняя и предельная эффектив-
ность использования ресурсов — 171. Эквивалентная заменяе-
мость ресурсов — 173. Эластичности производства и взаимозаме-
няемости ресурсов — 175. Некоторые задачи оптимального ис-
пользования взаимозаменяемых ресурсов — 178.
§ 3. Анализ типовых производственных функций с взаимозаменяе-
мыми ресурсами..............................................182
Однородные производственные функции — 182. Степенная про-
изводственная функция — 184. Функции с постоянной эластич-
ностью замены — 187.
§ 4. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами
и функции производственных затрат...........................188
Основные понятия — 189. Анализ типовых функций производст-
венных затрат —191.
§ 5. Связь между производственными функциями с взаимозаменяе-
мыми ресурсами и функциями производственных затрат . . . 196
§ 6. Анализ производственных способов.......................199
Производственные способы и их сочетания — 199. Анализ одно-
продуктовых производственных способов — 201. Пример задачи
оптимального сочетания производственных способов — 203.
Глава 6. Моделирование сферы потребления........................205
§ 1. Целевая функция потребления. Соизмеримость и взаимозаме-
няемость потребительских благ...............................206
Общие свойства ЦФП — 206. Соизмеримость и взаимозаменяемость
потребительских благ — 210. О построении ЦФП — 215.
§ 2. Модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных
отношений ..................................................218
Анализ модели — 218. Направления использования модели — 220.
Распределение потребительских благ между группами потребите-
лей — 223.
§ 3. Функции покупательского спроса.........................225
Связь модели поведения потребителей и функций спроса — 225.
Функции и коэффициенты эластичности спроса от дохода — 228.
Функции спроса и коэффициенты эластичности от цен — 232.
§ 4. Критерии и условия оптимизации потребления в прикладных
народнохозяйственных моделях ...............................233
Максимизация фонда потребления в фиксированных ценах — 234.
Максимизация потребления в заданном ассортименте — 236. Мак-
симизация уровня потребления при заданных функциях потребле-
ния — 240.
349
Глава 7. Модели межотраслевого баланса...........................242
; § 1. Межотраслевой баланс общественного продукта. Система пока-
зателей ......................................................242
Межотраслевой материальный баланс — 242. Межотраслевой ба-
ланс общественного продукта — 243. Некоторые методические
вопросы построения межотраслевого баланса общественного про-
дукта — 248.
§ 2. Основная модель межотраслевого баланса..................251
Модель межотраслевых материально-вещественных связей — 251.
Модель межотраслевых зависимостей цен — 256. Анализ основ-
ных допущений модели — 258.
§ 3. Коэффициенты полных народнохозяйственных затрат .... 260
Полные затраты на производство определенной продукции—261.
Соотношения матриц коэффициентов прямых, косвенных и полных
затрат — 266. Коэффициенты полных затрат как показатели по-
требностей в продукции и ресурсах для обеспечения конечной про-
дукции — 267. Коэффициенты полных затрат и стоимостные про-
порции — 269.
§ 4. Математический анализ модели межотраслевого баланса . . . 271
Свойства матрицы А —271. Существование решений модели меж-
отраслевого баланса — 274.
§ 5. Применение межотраслевого баланса в анализе народнохозяй-
ственных пропорций...........................................276
Структурный анализ взаимосвязей валового и конечного общест-
венного продукта — 277. Определение полных народнохозяйст-
венных затрат на фонды конечного продукта — 279. Диализ ди-
намики валового и конечного общественного продукта — 283.
Анализ динамики затрат живого и овеществленного труда — 285.
§ 6. Плановые расчеты на основе модели межотраслевого ба-
ланса ........................................................287
Расчеты сбалансированных уровней производства исходя из ва-
риантов конечной продукции — 287. Обоснование производствен-
ной программы со стороны производственных ресурсов — 290.
Плановые расчеты со смешанным составом неизвестных — 292.
Глава 8. Развитие модели межотраслевого баланса...................294
§ 1. Уточнение зависимостей между затратами и выпуском продук-
ции ..........................................................294
§ 2. Включение функций потребления и доходов населения в систему
межотраслевых связей..........................................299
§ 3. Межотраслевая модель взаимодействия экономики и окружаю-
щей среды.....................................................305
§ 4. Межотраслевая модель, учитывающая организационную струк-
туру народного хозяйства (межотраслевой натурально-стойме-
стной баланс).................................................310
Глава 9.. Оптимизационные модели народного хозяйства..........313
§ 1. Общая линейная оптимизационная модель................313
Построение модели — 313. Оптимальные оценки и анализ опти-
мального плана — 315.
§ 2. Оптимизационные модели на основе матрицы межотраслевого
баланса ..................................................319
Модель межотраслевого баланса как частный случай оптимизаци-
онных моделей — 319. Оптимизационная модель межотраслевого
баланса продукции и производственных мощностей — 321. Мо-
дели с ограничениями по общим ресурсам — 323.
350
§ 3. Оптимизационные межотраслевые модели с производственными
способами ................................................. 325
Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производ-
ство заданной конечной продукции) — 325. Второй вариант мо-
дели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте
при ограниченных трудовых ресурсах) — 328. Варианты модели
с различными условиями максимизации конечной проду-
кции — 330.
§ 4. Расширенные оптимизационные межотраслевые модели . . . 331
Литература к разделу третьему...............................335
Предметный указатель........................................336
Именной указатель...........................................345
Г77 Гранберг А. Г.
Математические модели социалистической эко-
номики: Учеб, пособие для экон, вузов и фак.—
М.: Экономика, 1978. — 351 с.
В учебном пособии рассматриваются методологические ос-
новы математического моделирования экономических процессов»
раскрываются основные положения современной теории оптималь*
ного планирования и управления народным хозяйством, анали-
зируются народнохозяйственные модели. В основу пособия поло-
жен курс лекций, прочитанных автором на экономическом факуль-
тете Новосибирского университета.
Книга предназначена для студентов экономических вузов
и факультетов. Она может быть также полезна специалистам в об-
ласти планирования и управления народным хозяйством*
г 10803—088
Г 011(01)—78 30—78
ББК6.4.2.1.2
ЗЗСЗ
Александр Григорьевич ГРАНБЕРГ
Математические модели социалистической вкономики.
(Общие принципы моделирования и статические модели
народного хозяйства)
Зав. редакцией А. С. ЛЯПИН
Редактор Т. С. РЕПИНА
Мл. редакторы Н.^И. БАГАЕВА,
А. Т. КИРЬЯНОВА
Худож. редактор А. Н. МИХАЙЛОВ
Техн, редактор М. М. МАТВЕЕВА
Корректор Л. В. ОДИНЦОВА
Оформление худож. В. П. РАФ АЛ ЬСКОГО
И. Б. № 828
Сдано в набор 23.12.77. Подписано в печать 25.04.78. А08845. Формат
60X90’/ie. Бумага тип. № 3. Лат. гарн. Высокая печать. Усл. печ.
л. 22,0. Уч.-изд. л 20,79. Тираж 25 000 экз. Зак. № 3509. Цена
1 р. 10 к. Изд. № 3814.
Издательство «Экономика» 121864. Москва, Г-59,
Бережковская наб., 6
Ленинградская типография Хе 4 Союзполиграфпрома при Государ-
ственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли, 196126, Ленинград, Ф-126, Социа-
листическая ул., 14.