/
Автор: Андреева Л.Е.
Теги: инженерное дело техника в целом приборостроение машиностроение конструирование упругость теория упругости
Год: 1981
Текст
УПРУГИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
ПРИБОРОВ
.Андреева
УПРУГИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
ПРИБОРОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ЛИ о 7 ЕД^Х
Новочер^сс .ого
штехническосо института
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1981
15BKf3d.O
Л б 11
УДК 62.27
Рецензент проф. С. В. Бояршинов
Андреева Л. Е.
Л(',.г> Упругие элементы приборов.—2-е изд., перераб. и доп.—
М.: Машиностроение, 1981. — 392 с., ил.
В пер.: 1 р. 70 к. С
В книге изложены методы расчета и проектирования упругих элементов при-
боров: плоских, винтовых, термобиметаллических пружин, плоских и гофриро-
ванных мембран, бесшовных и сварных сильфонов и манометрических трубчатых
пружин различных сечений. Рассмотрены свойства упругих элементов, их кон-
струкции и области применения.
Книга предназначена для инженерно-технических работников, деятель-
ность которых связана с расчетом, эксплуатацией и изготовлением упругих эле-
ментов приборов, а также может быть использована студентами старших курсов
вузов приборостроительных специальностей.
Л»-даг2Ю-“- 27»м»»“
ББК 34.9
6П5.8
© Издательство «Машиностроение», 1981 г.
0 1 Л Л В Л ЕН И Е
Предисловие.......................................................... 5
Введение............................................................. 7
Глава I. Основные свойства упругих элементов........................ 12
1. Рабочие характеристики упругих элементов..................... 12
2. Материалы, применяемые для изготовления упругих элементов 23
Глава II. Плоские пружины .......................................... 45
1 Конструкция и применение плоских пружин...................... 45
2. Расчет плоских пружин в области малых перемещений......... 51
3. Большие перемещения плоских пружин .......................... 62
Глава III. Винтовые пружины ........................................ 71
1. Разновидности винтовых пружин, способы изготовления, при-
менение........................................................ 71
2. Конструкция винтовых цилиндрических пружин растяжения-
сжатия ........................................................ 74
3. Геометрия винтовой цилиндрической пружины......... 76
4. Расчет на жесткость по линейной теории...................... 79
5. Определение нелинейности упругой характеристики...... 84
6. Влияние геометрии и способов крепления пружины на форму
ее упругой характеристики................................. 88
7. Напряжения в винтовой цилиндрической пружине растяже-
ния-сжатия .................................................... 91
8. Изгиб винтовых цилиндрических пружин.................. 92
9. Устойчивость винтовых цилиндрических пружин сжатия. . . 96
10. Винтовые цилиндрические пружины с начальным натяжением 100
11. Проектирование винтовых цилиндрических пружин растяжения-
сжатия ........................................................ 106
12. Фасонные витые пружины..................................... 113
13. Пружины кручения........................................... 119
Глава IV. Термобиметаллические пружины............................. 124
1. Основные свойства и применение.............................. 124
2. Расчет термобиметаллических пружин.......................... 129
Глава V. Дифференциальные уравнения тонкостенной оболочки враще-
ния в больших перемещениях......................................... 139
1. Вывод нелинейных уравнений тонкостенной оболочки вращения 139
2 Определение напряжений и перемещений......................... 147
Глава VI. Мембраны................................................. 149
1. Общие сведения ............................................ 149
2. Плоские мембраны........................................... 150
3. Гофрированные мембраны; применение, конструкции, способы
изготовления.................................................. 170
4. Влияние геометрии профиля на характеристику гофрированной
мембраны 4.................................................... 175
5. Расчет гофрированной мембраны как анизотропной пластинки 178
6. Результаты численного^решения.............................. 193
1*
3
7. Влияние геометрии и способа нагружения на свойства гофриро-
ванной мембраны................................................ 203
8. Устоичивосгь мембран ....................................... 223
9. Свовсгва гофрированных мембран в условиях силовой компен-
сации ......................................................... 229
10. Методика проектирования мембранных упругих элементов. . 234
II. Ползучесть мембранных упругих элементов ..................... 253
12. Упругие элементы из монокристаллов........................... 256
Z VII. Сильфоны...................................................... 260
1. Общие сведения .............................................. 260
2. Оеновиьн задачи расчета сильфонов........................... 263
3. Обзор меюдов расчета бесшовных сильфонов.................... 264
4. Определение жесткости и напряжений в бесшовных сильфонах
численным методом.............................................. 267
5. Расчет и проектирование бесшовных сильфонов по номограм-
мам ........................................................... 276
(1. Нелинейность характеристики сильфона ....................... 290
7. .'Эффективная площадь и ее свойства......................... 292
8. 11згпб сильфонов............................................ 297
9. Устойчивость сильфона....................................... 301
10. Сварные сильфоны............................................. 303
II Циклическая прочность сильфонов.............................. 318
Глава VIII. Манометрические трубчатые пружины.................. 324
I. Основные свойства, конструкция, способы изготовления. . . . 324
2. Расчет манометрической пружины, нагруженной давлением, . . 330
3. Изгиб пружины Бурдона внешними силами................... 340
4. 11ерсстаиовочные (тяговые) усилия....................... 343
5. Напряжения в манометрической пружине.................... 349
(>. Результаты численного решения........................... 353
7. Расчет и проектирование манометрических трубчатых пружин
с помощью номограмм ........................................... 365
Приложение. Численное решение нелинейных дифференциальных урав-
нений тонкостенной оболочки вращения ............................... 373
1. Решение системы нелинейных уравнений методом последователь-
ных приближений................................................ 373
2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений .................. 376
3. Решение системы алгебраических уравнений методом прогонки . , 377
Список литературы.................................................... 382
Предметный указатель................................................. 388
Посвящается 150-летию
Московского ордена Ленина,
ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного
Знамени высшего технического
училища им. Н. Э. Баумана
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкая автоматизация различных отраслей народного хо-
зяйства, повышение эффективности производственных процессов
связаны с ростом технических требований к первичным измери-
тельным приборам и датчикам, которые являются неотъемлемой
частью информационных систем и систем управления. Датчики
принимают информацию об' объекте управления и преобразуют
ее для передачи по каналу связи к управляющему устройству.
Ответственную роль выполняют при этом упругие чувствительные
элементы, воспринимающие измеряемую величину. Если рабочие
характеристики упругих чувствительных элементов, а следова-
тельно, и датчиков, неудовлетворительны, то и вся система управ-
ления, несмотря на высокое качество других звеньев (преобразо-
вателей, вычислительных устройств), будет работать также не-
удовлетвор ительно.
Повышение требований к датчикам и другим приборам, и
в первую очередь к их метрологическим характеристикам и пока-
зателям надежности, привело к необходимости повышения ка-
чества упругих чувствительных элементов, что в свою очередь
потребовало постановки и решения ряда новых задач.
Упругие элементы используют в приборах и в различных
устройствах не только в качестве чувствительных элементов,
но и для аккумулирования механической энергии, создания на-
тяга между деталями, в конструкциях упругих опор и выводов
перемещений, амортизаторов, кинематических элементов меха-
низмов и т. д. х—
Расчетам упругих элементов посвящено первое издание на-
стоящей книги, опубликованное в 196$ г. За прошедшее время
появились новые задачи, возникшие в связи с повышением тре-
бований к качеству упругих элементов, и новые более точные
методы их решения. На основании этих решений созданы номо-
граммы для определения рабочих характеристик и для проектиро-
вания мембран, сильфонов и манометрических трубчатых пружин.
Разработана методика расчета манометрических упругих элемен-
тов, работающих в условиях силовой компенсации, широко исполь-
зуемой при создании приборов высоких классов точности.
В связи с'этим в настоящем, втором издании существенно
изменены главы, посвященные расчетам манометрических упругих
5
элементов. Введена новая глава V, где дан вывод нелинейных
дифференциальных уравнении тонкостенных незамкнутых обо-
лочек вращения. К схеме оболочки вращения может быть сведено
большинство конструкций манометрических упругих элементов,
и это обстоятельство позволило создать единый алгоритм для
расчета на ЭВМ плоских и гофрированных мембран, бесшовных
и сварных сильфонов, манометрических трубчатых пружин про-
извольного профиля. Численный метод решения уравнений, полу-
ченных в главе V, изложен в приложении.
По сравнению с первым изданием значительно сокращена
глава II за счет разделов, посвященных большим перемещениям
плоских пружин и заводным пружинам. Эти темы освещены в ра-
боте [68]. Более лаконично изложены и приближенные методы
расчета упругих элементов.
Поскольку книга посвящена в основном теории и расчету упру-
гих элементов и лишь частично затрагивает их конструкцию,
технологию изготовления и применяемые материалы, она, есте-
ственно, не может дать исчерпывающие ответы на все вопросы,
связанные с конструированием и производством упругих элемен-
тов. Эти вопросы рассматриваются в специальной литературе.
Автор выражает глубокую благодарность Юлии Александровне
Богдановой и Сергею Владимировичу Бояршинову за помощь
в работе над рукописью и ценные советы.
ВВЕДЕНИЕ
В процессе работы прибора его детали могут деформироваться.
В большинстве случаев деформации деталей нежелательны, так
как они могут нарушить правильность работы прибора. Например,
деформация корпуса и рычагов механизма может привести к изме-
нению передаточного отношения, увеличению трения или люфтов
в подвижной системе, к искажениям в оптических системах и пр.
Поэтому детали прибора должны быть как можно более жесткими.
Вместе с тем существует обширная группа деталей, деформации
которых полезны и используются в работе прибора. Такие детали
называют упругими элементами или пружинами. Обладая доста-
точной гибкостью, упругие элементы способны заметно изменять
свои размеры и форму под нагрузкой, и это является их основным
рабочим свойством.
Упругие элементы приборов применяют для различных целей.
Весьма ответственную роль выполняют в приборах измеритель-
ные пружины. В большинстве механических и электрических
приборов процесс измерения сопровождается рядом преобразова-
ний измеряемой величины. Эти преобразования часто заканчи-
ваются перемещением конечного элемента, например, стрелки,
передвигающейся по шкале показывающего прибора, управля-
ющего элемента дистанционной передачи и т. п. При этом во
многих случаях измеряемая величина преобразуется в усилие,
которое деформирует измерительную пружину и уравновеши-
вается возникающими в ней упругими силами. По деформации
пружины можно судить о значении вызвавшей ее силы, следова-
тельно, и о измеряемой величине
Так, например, в магнитоэлектрических измерительных при-
борах момент сил, возникающих при взаимодействии тока в про-
воднике с магнитным полем, уравновешивается упругим моментом
спиральной пружины — волоска (рис. 1, а). С увеличением
момента деформация волоска возрастает и соответственно увели-
чивается перемещение связанной с ним стрелки прибора.
В ряде случаев измерительная пружина непосредственно
воспринимает и преобразует измеряемую величину. В этом случае
ее называют чувствительным упругим элементом прибора. Так,
например, измерение давления жидкостей или газов часто произ-
7
Рис. 1. Применение упругих элементов
водят с помощью упругого чувствительного элемента в виде
тонкостенной оболочки, способной деформироваться под действием
давления (рис. 1, б).
Точность работы приборов во многом зависит от качества
измерительных пружин. При одном и том же значении измеряемой
величины (силы тока или давления в рассмотренных примерах)
показания прибора будут меняться, если упругие свойства пру-
жины непостоянны (например, вследствие изменения температуры
окружающей среды или ползучести материала). Поэтому к рабо-
чим качествам измерительной пружины, в особенности к стабиль-
ности ее упругих свойств, предъявляются высокие требования.
Если в приборе установлена измерительная пружина низкого
качества, то улучшением других деталей нельзя существенно
повысить точность работы прибора.
В качестве источника энергии многих приборов (например,
часов) используют пружинные двигатели, главной деталью кото-
рых обычно является спиральная заводная пружина. Заводная
пружина по форме похожа на измерительную спиральную пру-
жину, однако требования, предъявляемые к ней, — другие.
Основным свойством пружины, определяющим ее качество, яв-
ляется способность создавать постоянный момент требуемой вели-
чины при достаточно большом угле поворота рабочей оси прибора.
Упругие элементы применяют также в качестве кинематиче-
ских устройств: упругих опор, направляющих, гибких связей.
Отсутствие трения и люфтов в этих элементах позволяет значи-
тельно улучшить качество приборов.
Почти в каждом приборе имеются натяжные пружины разно-
образных форм, предназначенные для осуществления силового
контакта между деталями прибора, для выбора люфтов в кинема-
тической цепи, для удержания детали в заданном положении
8
и т. д. Упругие элементы применяют и в других целях, например,
в амортизаторах, в фрикционных и храповых муфтах, а также
в качестве разделителей различных сред, упругих выводов пере-
мещений и пр.
Геометрическая форма упругих элементов разнообразна и за-
висит от их назначения и конструкции прибора. При этом одина-
ковым требованиям могут удовлетворять упругие элементы разных
форм, и, наоборот, упругие элементы одинаковой формы могут
выполнять в приборе различные функции. Так, например, спи-
ральную пружину применяют в качестве измерительной, заводной
или натяжной пружины.
Упругие элементы различных конструктивных форм по основ-
ным геометрическим признакам можно подразделить на стержне-
вые упругие элементы, изготовляемые из проволоки или лент,
и упругие элементы в виде пластин и оболочек, которые выпол-
няют из листового материала или трубок. Стержневые пружины
воспринимают главным образом сосредоточенные силы и моменты;
упругие элементы в форме пластин и оболочек при работе обычно
нагружаются гидростатическим давлением.
Стержневые пружины имеют две основные конструктивные
формы: винтовую и плоскую. Винтовые пружины (рис. 2, а)
способны получать большие осевые перемещения под действием
растягивающих или сжимающих сил или взаимный поворот тор-
цов под действием моментов. Плоские пружины могут иметь
самые различные очертания (рис. 2, б, в). Их общий признак —
ось пружины располагается в одной плоскости.
Упругие элементы в виде оболочек, реагирующих на измене-
ние давления, называются манометрическими. К ним относятся
мембраны, сильфоны и трубчатые пружины.
9
Мембраны (рис. 2, <’) представляют собой гибкие пластины,
прогибы которых определяются величинами действующих дав-
лений.
Сильфоны (рис. 2, ()) гофрированные трубки, способные под
нагрузкой получаль большие осевые или угловые перемещения.
Манометрические трубчатые пружины (рис. 2, е) представляют
собой топкое(спные кривые трубки; под действием давления
пружпш( разгнбаютея.
Mnoi не из пружин перечисленных форм выполняют биметал-
лическими двухслойными. Если материалы слоев биметалли-
ческих пружин имеют разные по величине коэффициенты линей-
ного рас шнреиня, то при изменении температуры пружина будет
изгибаться В термобиметаллических элементах это свойство
используют для преобразования температуры в перемещение.
Выбор метода расчета упругого элемента определяется его
геометрической формой, назначением и условиями работы, вели-
чиной перемещений и желаемой точностью расчета.
Если при работе упругого элемента его геометрия изменяется
незначительно, напряжения и перемещения возрастают прямо-
пропорционально нагрузке, то для расчета такого упругого эле-
мента можно использовать линейную теорию и применять прин-
ципы неизменности начальных размеров и независимости действия
сил, значительно упрощающие расчет.
Линейная теория применима по отношению к любому упру-
гому элементу на начальной стадии нагружения, когда перемеще-
ния малы. В то же время гибкий упругий элемент может значи-
тельно изменять свои размеры и форму под нагрузкой. Так, пло-
ская мембрана, изгибаясь под действием давления, приобретает
форму пологой оболочки, жесткость которой существенно больше
жесткости плоской мембраны в начале нагружения. В этом случае
зависимость между перемещениями и нагрузкой становится не-
линейной, и расчет упругого элемента будет более сложным, так
как он должен основываться на нелинейной теории.
Границы применения линейной и нелинейной теорий уста-
навливают в каждом конкретном случае в зависимости от кон-
струкции и назначения упругого элемента, от величины переме-
щений и от той точности, которую требуется получить при расчете.
Теории, экспериментальным исследованиям и методам расчета
упругих элементов посвящено много работ. Конструкциям и
расчету винтовых цилиндрических пружин посвящены работы
С. Д. Пономарева 169]. Нелинейная теория винтовых цилиндри-
ческих пружин произвольного угла подъема изложена в трудах
Н. А. Чернышева [111, 112]. Фундаментальная работа по нели-
нейной теории изгиба гибких стержней принадлежит Е. П. По-
пову [72]. Конструкции, теории и расчету пружинных двигателей
посвящена книга Т. А. Гевондяна [41 ]. Вопросы расчета и при-
менения термобиметаллических элементов изложены в монографии
Ф. Кашпара [55]. Основы теории манометрических упругих
10
Элементов: трубчатых пружин, сильфонов и мембран — разра-
ботаны в трудах В. И. Феодосьева [97—99].
Использование ЭВМ открыло новые возможности в разработке
методов исследования упругих элементов. Появились работы
с более точными решениями задач определения жесткости и напря-
жений в трубчатых пружинах, сильфонах, гофрированных мем-
бранах. Кроме этого появилась возможность формулирования
и решения новых задач, которые прежде считались недоступными
инженерам из-за их сложности. К ним относятся задачи расчета
упругих элементов сложной геометрической формы (например,
сварных сильфонов, манометрических трубчатых пружин про-
извольной формы поперечного сечения и переменной толщины,
гофрированных мембран произвольного профиля и т. д.), а также
задачи, связанные с учетом малых нелинейных эффектов поведе-
ния упругих элементов (например, изменение эффективной пло-
щади сильфонов и мембран под нагрузкой, расчеты микропол-
зучести мембранных упругих элементов и т. д.).
Мембраны (рис. 2, <’) представляют собой гибкие пластины,
прогибы которых определяются величинами действующих дав-
лений.
Сильфоны (рис. 2, ()) гофрированные трубки, способные под
нагрузкой получин. большие осевые или угловые перемещения.
Манометрические трубчатые пружины (рис. 2, е) представляют
собой топкое генные кривые трубки; под действием давления
пружпш( разгнбаются.
Mnoi не из пружин перечисленных форм выполняют биметал-
лическими двухслойными. Если материалы слоев биметалли-
ческих пружин имеют разные по величине коэффициенты линей-
ного рас шнреиня, то при изменении температуры пружина будет
изгибаться В термобиметаллических элементах это свойство
используют для преобразования температуры в перемещение.
Выбор метода расчета упругого элемента определяется его
геометрической формой, назначением и условиями работы, вели-
чиной перемещений и желаемой точностью расчета.
Если при работе упругого элемента его геометрия изменяется
незначительно, напряжения и перемещения возрастают прямо-
пропорционально нагрузке, то для расчета такого упругого эле-
мента можно использовать линейную теорию и применять прин-
ципы неизменности начальных размеров и независимости действия
сил, значительно упрощающие расчет.
Линейная теория применима по отношению к любому упру-
гому элементу на начальной стадии нагружения, когда перемеще-
ния малы. В то же время гибкий упругий элемент может значи-
тельно изменять свои размеры и форму под нагрузкой. Так, пло-
ская мембрана, изгибаясь под действием давления, приобретает
форму пологой оболочки, жесткость которой существенно больше
жесткости плоской мембраны в начале нагружения. В этом случае
зависимость между перемещениями и нагрузкой становится не-
линейной, и расчет упругого элемента будет более сложным, так
как он должен основываться на нелинейной теории.
Границы применения линейной и нелинейной теорий уста-
навливают в каждом конкретном случае в зависимости от кон-
струкции и назначения упругого элемента, от величины переме-
щений и от той точности, которую требуется получить при расчете.
Теории, экспериментальным исследованиям и методам расчета
упругих элементов посвящено много работ. Конструкциям и
расчету винтовых цилиндрических пружин посвящены работы
С. Д. Пономарева 169]. Нелинейная теория винтовых цилиндри-
ческих пружин произвольного угла подъема изложена в трудах
Н. А. Чернышева [111, 112]. Фундаментальная работа по нели-
нейной теории изгиба гибких стержней принадлежит Е. П. По-
пову [72]. Конструкции, теории и расчету пружинных двигателей
посвящена книга Т. А. Гевондяна [41 ]. Вопросы расчета и при-
менения термобиметаллических элементов изложены в монографии
Ф. Кашпара [55]. Основы теории манометрических упругих
10
Элементов: трубчатых пружин, сильфонов и мембран — разра-
ботаны в трудах В. И. Феодосьева [97—99].
Использование ЭВМ открыло новые возможности в разработке
методов исследования упругих элементов. Появились работы
с более точными решениями задач определения жесткости и напря-
жений в трубчатых пружинах, сильфонах, гофрированных мем-
бранах. Кроме этого появилась возможность формулирования
и решения новых задач, которые прежде считались недоступными
инженерам из-за их сложности. К ним относятся задачи расчета
упругих элементов сложной геометрической формы (например,
сварных сильфонов, манометрических трубчатых пружин про-
извольной формы поперечного сечения и переменной толщины,
гофрированных мембран произвольного профиля и т. д.), а также
задачи, связанные с учетом малых нелинейных эффектов поведе-
ния упругих элементов (например, изменение эффективной пло-
щади сильфонов и мембран под нагрузкой, расчеты микропол-
зучести мембранных упругих элементов и т. д.).
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
I. РАБОЧИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Упругая характеристика, жесткость, чувствительность. Упру-
гой характеристикой называется зависимость между перемещением
X определенной точки упругого элемента и величиной нагрузки р.
Характеристика упругого элемента может быть представлена в виде
уравнения, в табличной или графической форме.
В зависимости от конструкции и способа нагружения упругого
элемента его упругая характеристика (рис. 3) может быть линей-
ной или нелинейной, возрастающей или затухающей. Упругая
характеристика является одним из основных показателей свойств
упругих элементов. Она особенно важна для измерительных
элементов. Если упругий элемент служит для измерения не-
которой величины, связанной определенной зависимостью с дей-
ствующей на него силовой нагрузкой, то по упругой характери-
стике может быть построена характеристика элемента по измеряе-
мой величине: расходу, температуре, высоте или скорости полета
самолета и т. д.
Обычно при проектировании измерительного упругого эле-
мента стремятся к тому, чтобы характеристика его по измеряемой
величине была линейной, так как в этом случае можно получить
линейную шкалу прибора при несложном передаточно-множи-
тельном механизме. Отклонение упругой характеристики от ли-
нейной зависимости между нагрузкой и перемещением опреде-
ляет ее нелинейность.
О величине нелинейности можно судить по разностям между
перемещениями, соответствующими линейной зависимости и упру-
гой характеристике, отнесенным к наибольшему перемещению
на рассматриваемом участке характеристики. Иногда нелиней-
ность определяют величиной
г] = ^2 100%,
max
где Дшах — наибольшее отклонение, Атах = Хл — %; %л и X — пере-
мещения, соответствующие линейной зависимости и упругой харак-
теристике; 7.тах — наибольшее рабочее перемещение (рис. 4, а).
Нелинейность возрастающей характеристики положительна,
затухающей — отрицательна. Величина и знак т] не отражают
12
форму упругой характеристики полностью.
Так, например, показанные на рис. 4, б
п в упругие характеристики имеют одина-
ковую величину т), в то время как форма их
существенно различна.
Важными параметрами, характеризу-
ющими свойства упругого элемента, явля-
ются его жесткость и чувствительность —
величина, обратная жесткости. Если ха-
рактеристика упругого элемента линейна,
то жесткость представляет собой отноше-
ние нагрузки р к соответствующему пе-
ремещению X:
(1)
Рис. 3. Упругие характери-
стики:
1 — линейная; 2 — затуха-
ющая; 3 — возрастающая
а чувствительность — отношение перемещения к вызвавшей его
нагрузке: Л
о = —
Р
(2)
Жесткость численно равна нагрузке, которую следует при-
ложить к упругому элементу, чтобы вызвать перемещение, равное
единице; чувствительность численно равна перемещению под
действием единичной нагрузки.
Размерность жесткости может быть: Н/мм, МПа/мм, Н-мм/рад
и др. — в зависимости от того, нагружен ли элемент силой, давле-
нием или моментом, и какое перемещение упругого элемента изме-
ряется: линейное или угловое. Размерность чувствительности
обратна размерности жесткости. Понятие «жесткость» чаще исполь-
зуют по отношению к натяжным пружинам, которые должны при
работе обеспечивать определенную силу, а понятие «чувствитель-
ность» — по отношению к упругим чувствительным элементам,
которые должны давать определенное перемещение под действием
рабочей нагрузки.
При нелинейной характеристике жесткость и чувствитель-
ность упругого элемента изменяются по мере возрастания прогиба
и определяются как производные: К = dpIdK и 6 = dk/dp.
Рис. 4. Нелинейные характеристики
13
Рис. Л. )Ki4'iiu>cib и чувстви-
тельность упругою элемента
с нелинейной характеристикой
На рис. 5 жесткость пропорцио-
нальна tg а, а чувствительность — tg (3.
Для всех упругих элементов вели-
чина жесткости или чувствительности
определяет рабочие качества упругого
элемента. Обычно желательно, чтобы
измерительные пружины имели воз-
можно большую чувствительность. К за-
водным пружинам предъявляется тре-
бование постоянства усилия при спуске
пружины, т. е. идеальная заводная
пружина на рабочем участке характе-
ристики должна иметь нулевую жест-
кость. Жесткость натяжной пружины должна быть достаточной
для обеспечения требуемой силы натяжения при данном пере-
мещении упругого элемента. Высокая податливость весьма же-
лательна для пружин, работающих в качестве кинематических
элементов механизма прибора.
Перестановочные усилия и эффективная площадь. Деформи-
руясь под действием рабочей нагрузки, упругий элемент обычно
встречает сопротивление со стороны механизма прибора, вызы-
ваемое., например, силами трения, противодействием различных
пружин механизма и пр. В этом случае правильность работы при-
бора будет во многом определяться способностью упругого эле-
мента преодолевать это сопротивление. Такое свойство упругого
элемента удобно оценивать величиной перестановочного, или
тягового усилия, с которым упругий элемент будет воздейство-
вать на упор, ограничивающий его перемещение.
Величина перестановочной силы зависит от рабочей нагрузки,
размеров упругого элемента и расположения упора. С увеличе-
нием расстояния между упором и упругим элементом величина
перестановочной силы, уменьшается. Если это расстояние так
велико, что при работе элемент не достает упора, то перестановоч-
ная сила будет равна нулю.
Перестановочная сила относится к числу важных характери-
стик упругого элемента. От ее величины зависит порог чувстви-
тельности прибора, а следовательно, и возможность применения
упругого чувствительного элемента в том или ином конкретном
приборе.
Особенно часто используют понятие перестановочного усилия
по отношению к манометрическим упругим элементам, для кото-
рых рабочей нагрузкой является давление.
В тех приборах, где манометрический упругий элемент пре-
образует давление в перемещение, он должен развивать пере-
становочную силу, превышающую силу сопротивления механизма
прибора.
В других случаях манометрические упругие элементы исполь-
зуют для преобразования давления не в перемещение, а в усилие,
14
Рис. 6. Схемы нагружения мем
браны
пропорциональное давлению (в таких
условиях работают, например, чув-
ствительные элементы приборов, по-
строенных по принципу силовой ком-
пенсации). Тогда основной рабочей ха-
рактеристикой манометрического эле-
мента, определяющей качество прибора,
будет зависимость между давлением и
тяговым усилием.
Способность манометрического эле-
мента развивать перестановочную силу
удобно характеризовать отношением
перестановочной силы к соответству-
ющему давлению. Так как это отноше-
ние имеет размерность площади, то
принято представлять его в виде так
называемой эффективной площади.
Поясним понятие эффективной пло-
щади на примере мембраны (рис. 6).
Предположим, что при давлении р мем-
брана коснется упора, имея при этом прогиб w (рис. 6, а). Для того
чтобы определить величину ее эффективной площади при этом про-
гибе, мысленно уберем упор и увеличим давление на малую вели-
чину Ар (рис. 6, б). Тогда прогиб мембраны увеличится на Ада. При-
ложив теперь с противоположной стороны сосредоточенную в центре
силу AQ, вернем центр мембраны в первоначальное положение,
соответствующее прогибу w (рис. 6, в). Эффективную площадь
при данном прогибе упругого элемента определим как отношение
приращения перестановочного усилия к соответствующему при-
ращению давления, т. е.
Лф =
AQ
Др •
(3)
Переходя к пределу, получим
_
э* — dp '
(4)
Величина эффективной площади зависит от размеров мано-
метрического упругого элемента и характера его деформаций под
нагрузкой. Если манометрический элемент имеет упругую ха-
рактеристику, близкую к линейной по давлению (сильфон, мано-
метрическая трубчатая пружина, мембрана с глубокой гофри-
ровкой), то его эффективная площадь практически остается по-
стоянной на всем участке рабочего хода. В этом случае ее можно
определить как отношение конечного приращения силы к соответ-
ствующему приращению давления при условии постоянства
прогиба.
15
Рис. 7. С хемы нагружения манометрического элемента
Обозначая Кц и Кр жесткости упругого элемента по силе и по <>
давлению, получим приращения силы и давления AQ и Др, соот-
ветствующие изменению прогиба на Дю в виде
Д<2 = KQ Дю и Др = К;)Аю.
Согласно выражению (3) эффективная площадь
/?эф (5)
При неподвижном жестком упоре, установленном на нулевое
расстояние от ненагруженного упругого элемента, величина пере- 5$
становочной силы
Q = рРэф. (6)
Если жесткий упор установлен на расстояние а от ненагружен-
ного упругого элемента, то при давлении р перестановочная сила
Q = (Р — Ро)
где ро — давление, при котором упругий элемент коснется упора
(р0 = КРа).
Если упругая характеристика манометрического элемента не-
линейна, то его эффективная площадь меняется с изменением
нагрузки.
Понятие эффективной площади удобно также при вычислении
изменения объема манометрических упругих элементов под дей-
ствием нагрузки. В качестве примера рассмотрим мембрану и
предположим, что ее характеристика линейна. Под действием
давления р центр мембраны совершит перемещение wp (рис. 7, а),
под действием силы Q — перемещение wQ (рис. 7, б). Если сила
Q = pF3$, то wQ — wp = w. Обозначим объем между начальной
и упругой (деформированной) поверхностями мембраны во втором
случае нагружения через AVq.
На основании принципа взаимности работы [101] работа сил
давления на соответствующих перемещениях, вызываемых си-
лой Q, т. е. р ДУд, равна работе силы Q на перемещении wp, (
вызванном давлением р:
pAVQ = Qwp.
Отсюда изменение объема ДУд мембраны, нагруженной сосре-
доточенной силой Q = рГЭф, будет равно произведению эффек-
тивной площади на перемещение центра:
A’Hq = ~wp = Fa^w. (7)
г
16
л
Рис. 8. Гистерезис упругого элемента
Погрешности чувствительного упругого элемента. Чувстви-
тельный упругий элемент должен иметь достаточную прочность
и требуемую жесткость. Однако основным критерием его качества
является точность, с которой производится преобразование изме-
ряемой величины в перемещение или усилие.
Одним из источников погрешностей упругого элемента является
несовершенство его упругих свойств, которое проявляется в виде
гистерезиса, упругого последействия, релаксации напряжений
и ползучести. Эти погрешности связаны с появлением в материале
нагруженного упругого элемента микропластических деформаций.
Микропластические деформации, а следовательно, и погрешности
упругого элемента увеличиваются с ростом напряжений, но они
могут иметь место и при сравнительно небольших напряжениях
(меньших, например, предела упругости материала). С увеличе-
нием предела упругости сопротивление материала микропласти-
ческим деформациям возрастает.
Гистерезис упругого элемента проявляется в несовпадении
величин перемещений при прямом и обратном ходе упругого эле-
мента (рис. 8, а). Величина гистерезиса определяется как наи-
большая разность Г между перемещениями при одинаковой на-
грузке при прямом и обратном ходе, отнесенная к наибольшему
перемещению Атах упругого элемента. Обычно гистерезис выра-
жается в процентах:
Для упругих чувствительных элементов гистерезис относится
к числу важнейших характеристик, поскольку он целиком входит
в погрешность прибора, определяя разницу в его показаниях при
прямом и обратном ходе..
Разность между перемещениями при прямом и обратном ходе
зависит также от величины упругого последействия, которое про-
является в запаздывании перемещений упругого элемента по от-
ношению к приложенной нагрузке. Так, например, упругое по-
следействие является одной из причин того, что стрелка прибора
после сброса нагрузки не сразу возвращается на нуль. Упругое
последействие, складываясь с «чистым» гистерезисом, дает уве-
17
личение петли гистерезиса (рис. 8, б). Так как обычно имеет
место одновременное проявление гистерезиса и упругого последей-
ствия, то па практике, как правило, их не разделяют, и резуль-
тат их совместного действия называют «практическим гистерези-
сом» или просто гистерезисом.
Развитие во времени микропластических деформаций приводит
к ползучести упругого элемента.
Задача исследования ползучести упругих элементов приборов
должна ставиться совершенно иначе, чем соответствующая задача
в области, например, машино- или турбостроения. Как правило,
явление ползучести деталей машин проявляется при высоких
температурах и напряжениях и может привести к значительным
искажениям формы детали, а иногда и к ее разрушению. Но если
металлическая деталь машины работает при нормальной тем-
пературе и невысоких напряжениях, то ее ползучесть мала и не
принимается во внимание. В то же время такая же незначительная
ползучесть измерительного упругого элемента в условиях невы-
соких напряжений и температур, которую следует называть
«микроползучестью» [76], может существенно влиять на точность
его работы. Естественно, с ростом напряжений и температур
мпкроползучесть упругого элемента, как и любой детали, усили-
вается и может принять форму обычного явления ползучести
вплоть до разрушения.
Микроползучесть материала упругого элемента приводит к не-
стабильности показаний упругого чувствительного элемента во
времени, к релаксации (ослаблению) напряжений в натяжных
и заводных пружинах и является одной из главных причин метро-
логических погрешностей приборов.
Погрешности измерительного упругого элемента, связанные
с несовершенством упругих свойств материала, зависят от соот-
ношения между рабочим напряжением ст и пределом упругости <ту
материала. Чем больше коэффициент запаса п = тем меньше
величина неупругих эффектов.
В условиях переменной температуры изменение модуля упру-
гости материала и колебания линейных размеров упругого эле-
мента приводят к температурным погрешностям элемента.
Зависимость модуля упругости от температуры выражается
формулой
Et = Ео (1 - уЕ /), (8)
где Ео — модуль упругости при растяжении в условиях нормаль-
ной температуры /0; Et — модуль упругости при температуре
i0 +1\ Уе — температурный коэффициент изменения модуля
упругости.
Относительная температурная погрешность упругого элемента
т], = где — температурное изменение перемещения
упругого элемента.
18
Для упругого элемента постоянной жесткости
П/ = Y^-
В тех случаях, когда важно уменьшить температурную по-
грешность гр, упругие элементы изготовляют из специальных
сплавов с малым коэффициентом у£ (см. табл. 3).
Температурная погрешность может возникнуть также в ре-
зультате изменения линейных размеров при нагреве или охлажде-
нии упругого элемента. Если обозначить через I размер упругого
элемента в направлении, рабочего перемещения, то изменение
температуры вызовет дополнительное перемещение, равное alt,
где а — коэффициент линейного расширения. Кроме того, тем-
пературные изменения линейных размеров влияют на жесткость
упругого элемента. Однако изменение линейных размеров упру-
гого элемента оказывает значительно меньшее влияние на тем-
пературную погрешность, чем изменение модуля упругости.
В то же время, если в упругом элементе возникают темпера-
турные напряжения, то это может существенно изменить его
жесткость. Например, при нагреве бронзовой мембраны, закреп-
ленной в стальном корпусе, возникает сжатие мембраны в ее
плоскости, при этом прогибы от действия давления возрастают.
Для исключения этого материалы упругого элемента и корпуса
следует подбирать с одинаковыми коэффициентами линейного
расширения.
Для уменьшения температурной погрешности используются
различные компенсаторы, например термобиметаллические
(гл. IV).
Прочность, надежность и коэффициент запаса упругих эле-
ментов. Как и всякая деталь прибора, упругий элемент должен
при работе иметь некоторый коэффициент запаса по отношению
к предельному состоянию, когда он полностью или частично те-
ряет свои рабочие свойства.
Коэффициент запаса можно определить как отношение
гдеРпр и Р — предельная и рабочая нагрузки на упругий элемент.
Под величиной Р не следует понимать обязательно только
силовую нагрузку. Это, вообще говоря, параметр, определяющий
состояние системы: давление на манометрический элемент, пере-
мещение кинематического йли натяжного элемента, скорость
вращения центробежного регулятора с упругими элементами
в виде плоских или винтовых пружин, температура термобиме-
таллического элемента и т. д. Для измерительных упругих эле-
ментов за величину Р обычно принимают входной сигнал. Отно-
шение параметра, соответствующего предельному состоянию си-
стемы, к его рабочему значению представляет собой коэффициент
запаса.
19
Необходимая величина коэффициента запаса обусловливается
мши ими соображениями: ответственностью и требуемой надеж-
но! |ыо упругою элемента, условиями и длительностью его ра-
бон,|, достоверностью данных о механических свойствах материала,
вероятной точностью расчета напряжений и т. д. Величина коэф-
фициента запаса зависит также от того, по какому из предельных
состояний он определяется.
В зависимости от конкретных условий работы и назначения
упругого элемента предельными могут быть различные состояния.
При оценке коэффициента запаса деталей машин и приборов
за предельное состояние обычно принимают такое, при котором
в опасной точке детали происходит переход из одного механиче-
ского состояния материала в другое, например из упругой об-
ласти в область упругопластических деформаций или из упруго-
пластической области в состояние разрушения.
Предельное механическое состояние каждого материала ха-
рактеризуется определенным уровнем напряжений (например,
наступление пластических деформаций при одноосном напряжен-
ном состоянии характеризуется величиной предела текучести,
начало разрушения хрупкого материала — пределом прочности).
Соответственно предельной нагрузкой в этих случаях будет та,
при которой напряжение в опасной точке достигает значения пре-
дела текучести (или предела прочности).
Если при работе упругий элемент нагружается циклически
и напряжения в нем переменны во времени, то коэффициент за-
паса выбирается с учетом усталостных характеристик материала
и требуемой долговечности упругого элемента.
В некоторых случаях опасность представляет потеря устой-
чивости упругого элемента, которая может произойти при напря-
жениях, меньших предела текучести и предела упругости. Оче-
видно, рабочая нагрузка не должна превосходить критической
Ркр, при которой наступает потеря устойчивости. В этом случае
критическую нагрузку можно рассматривать как предельную.
Оценка коэффициента запаса по прочностным характеристикам
материала для измерительного упругого элемента часто бывает
недостаточной. При работе чувствительного упругого элемента
недопустимо не только его механическое разрушение или искаже-
ние формы вследствие наступления массовых пластических де-
формаций или потери устойчивости, но и нарушение точности
выполняемого измерительным элементом преобразования. Как
указывалось выше, источником погрешности измерительного упру-
гого элемента является несовершенство упругих свойств мате-
риала, которое приводит к гистерезису и нестабильности упругих
свойств во времени. Эти погрешности упругого элемента зависят
от способности материала сопротивляться малым пластическим
деформациям, которая характеризуется величиной предела упру-
гости. Поэтому для нормальной работы измерительного упругого
элемента необходимо, чтобы напряжения в опасной точке остава-
20
лисп меньше предела упругости, и тогда коэффициент запаса опре-
делятся как отношение предела упругости к наибольшему рабо-
чему напряжению. Однако ввиду недостаточности сведений о ве-
личинах предела упругости для некоторых материалов прихо-
дится исходить из величины предела текучести. Для того чтобы
гарантировать работу упругого элемента в пределах упругих
деформаций, коэффициент запаса по текучести соответственно
увеличивают.
Если упругий элемент имеет линейную упругую характери-
стику и напряжения в нем пропорциональны нагрузке, то коэф-
фициент запаса можно определять как по напряжениям:
,, _____ апр (9)
/ I ГТ -- ч
о 0-
так и по нагрузкам:
(10)
где Рпр и (тпр — нагрузка и напряжение, соответствующие пре-
дельному состоянию; Р ио — то же, в рабочем состоянии.
При расчете машиностроительных деталей принята методика
оценки коэффициента запаса по напряжениям, однако при расчете
упругих элементов она не всегда целесообразна.
Для элемента с линейной зависимостью <3 — f (Р) коэффи-
циент па = пр. Однако гибкие упругие элементы могут обладать
существенной нелинейностью, и тогда коэффициенты запаса
и Пр будут различны. Например, плоская мембрана при больших
перемещениях имеет нелинейную зависимость напряжения o'
в опасной точке от давления р (рис. 9). Рабочее состояние мем-
браны отмечено точкой А, предельное, когда напряжение дости-
гает величины предела упругости оу, — точкой В. Bzданном слу-
чае коэффициент запаса по напряжениям па = будет суще-
ственно меньше коэффициента запаса по давлению пр~-^-.
Поскольку параметром, определяющим состояние мембраны, яв-
21
ляется давление, коэффициент запаса пр более полно Отражает это
состояние; он показывает, во сколько раз может быть повышено
рабочее давление, чтобы мембрана достигла предельного состо-
яния.
Рассмотрим также определение коэффициента запаса пружины
центробежного регулятора (рис. 10). Напряжение изгиба в пло-
ской пружине будет возрастать по мере увеличения центробежной
силы /’ /пы'г, где т — масса груза; <о — частота вращения;
г рассчояппе от центра груза до оси валика. В данном случае
параметром системы является со. Напряжение о связано с вели-
чиной <о нелинейной зависимостью, так как сила Р зависит от и2
н, кроме того, от расстояния г, которое возрастает с увеличением со.
В этом случае напряжение в пружине будет возрастать быстрее,
чем частота вращения со (см. рис. 10). Поэтому па = > пр =
. Здесь также оценка коэффициента запаса по параметру
системы дает наглядное представление о близости рабочего состо-
яния к предельному.
Различие в требованиях к измерительным и другим упругим
элементам предопределяет и разный подход к вопросам надеж-
ности упругих элементов. Различают понятия прочностной и
метрологической надежности упругих элементов [8, 22].
Прочностная надежность характеризуется полным отказом,
koi да нарушается механическая прочность элемента. Для обеспе-
чения прочностной надежности напряжения в упругом элементе
должны оставаться меньше пределов прочности, выносливости
и текучести, поскольку не только разрушение, но и искажение
формы упругого элемента из-за пластических деформаций при-
водит, как правило, к потере его работоспособности.
Понятие прочностной надежности недостаточно для упругого
элемента, если он выполняет измерительные функции в приборе.
В этом случае помимо прочности важнейшим свойством упругого
элемента является точность, с которой он преобразует входной
сигнал в выходной, и к элементу предъявляются требования
высокой упругости и стабильности упругих свойств во времени.
В связи с этим для измерительных упругих элементов вводят
понятие метрологической надежности.
Метрологическая надежность связана с частичным отказом,
который выражается в том, что работоспособность упругого эле-
мента нарушается вследствие «ухода» рабочих характеристик
за допустимые пределы из-за нестабильности во времени упругих
свойств материала. Исследование метрологической надежности
тесно связано с изучением микропластических деформаций упру-
гого элемента.
Качество упругого элемента во многом определяется техноло-
гическим процессом. Режимы некоторых технологических опера-
ций (например, механическая или термическая обработка упругого
22
элсмеит.ч) оказывают прямое влияние на упругие и прочностные
свойства материала, а следовательно, и на рабочие характеристики
упругого элемента.
Технология изготовления упругих элементов разнообразна
и определяется конструкцией, назначением и материалом упругого
элемента, а также техническими требованиями, предъявляемыми
к его основным рабочим характеристикам. Часто только повыше-
ние требования к точности и надежности упругого элемента ведет
к существенной перестройке технологического процесса. Техно-
логии изготовления упругих элементов посвящена специальная
литература [95, 103].
2. МАТЕРИАЛЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Требования, предъявляемые к материалу упругих элементов.
Материал упругого элемента должен удовлетворять многим тре-
бованиям, зависящим от его назначения и условий работы. Прежде
всего материал должен обеспечивать требуемую прочностную
надежность упругого элемента, а для этого он должен обладать
высокой упругостью и достаточной прочностью в условиях как
постоянных, так и переменных нагрузок. Для обеспечения высо-
кой метрологической надежности — сохранения постоянства ра-
бочих характеристик чувствительного элемента во времени в усло-
виях нормальной и повышенной температуры — материал упру-
гого элемента должен обладать значительным сопротивлением
малым пластическим деформациям. Чем выше способность мате-
риала сопротивляться ми кроп ласти чески м деформациям, тем
в меньшей степени проявляются гистерезис, релаксация, ползу-
честь, которые являются основным источником погрешностей
упругих чувствительных элементов. Высокое сопротивление мик-
ропластическим деформациям — одно из важнейших и в то же
время специфическое требование к материалам упругих элементов.
Если упругий элемент работает при высоких температурах,
его материал должен быть достаточно термостойким. В тех слу-
чаях, когда упругий элемент соприкасается с агрессивной средой,
он должен иметь достаточную коррозионную стойкость. Иногда
существенно требование высокой или, наоборот, низкой электро-
проводности.
Упругие элементы электроизмерительных приборов в боль-
шинстве случаев изготовляют из немагнитных материалов. Однако,
если упругий элемент является частью магнитопровода, то его
материал должен иметь достаточную магнитную проницаемость.
Упругие элементы обычно выполняют из листов трубок, лент
или проволоки, прокатка или протяжка которых связана с боль-
шими пластическими деформациями. Изготовление самих упругих
элементов, особенно манометрических, также сопровождается
значительными пластическими деформациями. Поэтому в исход-
83'
Рис. II. Диаграмма растяжения
ской промышленностью [76].
бованиям. предъявляемым к
ном состоянии материал упру-
гого элемента должен обладать
высокой пластичностью.
Во многих случаях при из-
готовлении упругого элемента
возникает необходимость в свар-
ке или пайке, поэтому его ма-
териал должен обладать соот-
ветствующими свойствами.
Повышение требований к уп-
ругим чувствительным элемен-
там определило необходимость
разработки новых специальных
сплавов для упругих элемен-
тов, которые в настоящее время
освоены нашей металлургиче-
Однако удовлетворить всем тре-
материалу упругого элемента,
достаточно сложно, поэтому выбор наиболее подходящего
материала часто связан с определенными трудностями. Так,
очень немногие материалы, обладая высокими упругими и проч-
ностными характеристиками, имеют в то же время достаточную
пластичность. Еще меньше материалов, способных сохранять свои
упругие свойства в условиях высоких температур (порядка не-
скольких сотен градусов) и в условиях агрессивных сред. Жаро-
прочные сплавы применяют в машиностроении при температурах до
800—1000° С, однако они непригодны для изготовления упругих эле-
ментов, так как их пластические и упругие свойства недостаточны.
При выборе материала упругого элемента приходится ограни-
чиваться удовлетворением лишь наиболее важных требований.
Так, например, противоречивыми оказываются требования термо-
стойкости и высокой электропроводности, предъявляемые к упру-
гим элементам некоторых электроизмерительных приборов. Тер-
мостойкость материала можно повысить легированием, но это
снижает его электропроводность. Чистые металлы или слабо-
легированные сплавы обладают достаточной электропроводностью,
по в то же время имеют низкую термостойкость. В большинстве
случаев требование высокой термостойкости оказывается более
важным, поскольку электропроводность можно повысить не
только соответствующим выбором материала упругого элемента,
но и другими путями. Поэтому обычно приходится выбирать
высоколегированный термостойкий материал, хотя его электро-
проводность и невелика.
Механические свойства и неупругие эффекты материалов.
Механические свойства материала наглядно характеризуются
диаграммой, получаемой при испытании на растяжение (рис. II).
По осп ординат диаграммы отложено напряжение о = -р~,
* о
24
где J' растягивающая сила; Ро — площадь поперечного сечения
образца до его нагружения, а по оси абсцисс — деформация
к 4^-, здесь А/ — удлинение образца; /0 — его первоначаль-
И)
пая длина.
При приложении к образцу растягивающих сил он удли-
няется вначале прямопропорционально силе, что соответствует
на графике прямой ОА. Линейная зависимость между напряже-
ниями о и деформациями 8, известная под названием закона Гука,
при одноосном напряженном состоянии может быть записана
в виде
(У = Ее., (11)
где Е — модуль упругости материала.
Наибольшее напряжение <тпц, до которого справедлив закон
Гука, называется пределом пропорциональности материала. Пре-
дел пропорциональности — условная величина, зависящая
от принятого допуска на отклонение характеристики материала
от прямолинейной. Обычно считают предел пропорциональности
достигнутым, если тангенс угла между касательной к кривой
и осью С больше тангенса угла на линейном участке ОД в 1,5 раза.
При дальнейшем растяжении в образце возникают пластиче-
ские деформации, при этом жесткость материала резко снижается,
т. е. деформации растут более интенсивно, чем на начальном
участке ОА. Затем на образце появляется местное сужение
(шейка), и при достижении деформацией предельного значения
еразр образец разрушается. /
Наивысшая точка диаграммы растяжения соответствует пре-
делу прочности оп материала, который определяется как отноше-
ние максимальной силы, растягивающей образец, к первоначаль-
ной площади его поперечного сечения.
Если образец нагрузить так, чтобы в нем появились пласти-
ческие деформации, а затем полностью снять нагрузку, то ока-
жется, что при разгрузке изменение напряжений и деформаций
подчиняется закону Гука, т. е. линия разгрузки СВ представляет
собой прямую, параллельную начальному участку ОА.
Деформацию 8 в произвольной точке С характеристики можно
представить как сумму упругой и пластической деформаций
8 8у 8ПЛ.
После разгрузки образца упругая деформация 8у исчезает,
а пластическая 8ПЛ остается.
Важной характеристикой механических свойств материала
является также предел текучести сгт — напряжение, при. котором
в образце возникают массовые пластические деформации. Вели-
чина предела текучести условна. Обычно под пределом текучести
понимают напряжение, при котором пластическая деформация
составляет 0,2%; в этом случае его обозначают cfOl2.
25
11апряжения, возникающие й упру-
гом элементе при его работе, не долж-
ны превышать предела текучести, по-
скольку появление заметных пластиче-
ских деформаций искажает формул уп-
ругого элемента, что сопровождается
нарушением правильности его работы.
Величина предела текучести повы-
шается при наклепе материала. Если
нагрузить материал за пределом упру-
гих деформаций, разгрузить и 'вновь
Рнс. |2. Эффект Баушингера НЭГруЗИТЬ, ТО ЛИНИЯ ВТОрИЧНОГО Нагру-
ження будет совпадать с линией раз-
грузки, и характеристика изобразится линией BCD (см. рис. 11).
При вторичном нагружении в том же направлении, что и перво-
начальное, упругий участок характеристики возрастает, поэтому
говорят, что материал получает «упрочнение» и, наоборот, если
предварительное нагружение за пределом упругих деформаций
противоположно по знаку последующему нагружению, то оно
снижает предел текучести материала. Так, растяжение образца
за пределом упругих деформаций вызывает снижение предела
текучести материала при сжатии от величины <тТсж до оТсж
(рис. 12). Это явление известно под названием эффекта Баушин-
гера. Повышение упругих свойств путем нагружения за пределом
упругих деформаций достигается только тогда, когда знак после-
дующих рабочих нагрузок совпадает со знаком первичного
нагружения.
Чем меньше напряжения по сравнению с пределом текучести,
тем меньше величина пластических деформаций, и они охватывают
лишь микрообъемы. Однако именно с этими микропластическими
деформациями связаны те погрешности упругого чувствительного
элемента, которые определяют нестабильность его рабочих харак-
теристик во времени, наличие гистерезиса и т. п.
Если сопротивление макропластическим деформациям харак-
теризуется величиной предела текучести, то в качестве характе-
ристики сопротивления микропластическим деформациям ис-
пользуется величина предела упругости. Как и предел текучести,
предел упругости оу является условной характеристикой и опре-
деляется по допуску на величину остаточной деформации АбпЛ
(см. рис. 11), но для предела упругости допуск значительно
меньше, например 10"3, 10~4, 10"6.
Если при расчете большинства деталей машин и приборов
следует располагать двумя характеристиками прочности мате-
риала: ов и от, то для правильного проектирования упругих
элементов нужно знать величину предела упругости сгу, чтобы
гарантировать работу в области упругих деформаций при мини-
мальных несовершенствах упругих свойств.
26
Упруше элементы, как правило, работают в условиях цикли-
ческою н.п ружения. В этом случае разрушение может наступить
при напряжениях меньших, чем предел упругости. При пере-
м( ши lx циклически изменяющихся напряжениях прочность мате-
ри,тиа характеризуют пределом выносливости — наибольшим
напряжением, при котором образец не разрушается при любом
большом числе циклов изменения напряжений во времени.
Величина предела выносливости <тг (предела усталости) зави-
сит не только от свойств материала, но и в большой степени от
характера изменения напряжений во времени, от состояния по-
верхности детали и наличия в ней концентраторов напряжений.
Наиболее опасный — симметричный цикл изменения напряже-
ний (рис. 13, а). Упругие элементы часто работают в режиме
«нагружение — раш рузка», такой цикл называется пульса-
ционным (рис. 13, б). Если упругий элемент предварительно под-
жат, то при изменении рабочей нагрузки напряжения в нем ме-
няются по некоторому асимметричному циклу (рис. 13, в).
Если поверхностные слои детали нагартованы, а сама поверх-
ность — гладкая, не имеет трещин, царапин, рисок и следов
механической обработки, то выносливость такой детали более
высокая. Наоборот, плохое состояние поверхностных слоев,
особенно при наличии коррозии, резко уменьшает прочность
детали при переменных напряжениях. Усталостная прочность
снижается также вследствие концентрации напряжений, возни-
кающей в местах резких изменений формы детали.
Жесткость упругого элемента пропорциональна величине мо-
дуля упругости при растяжении Е или при сдвиге G. Если проч-
ность материала существенно зависит от его механической и тер-
мической обработки, то характеристика жесткости материала —
модуль упругости — почти не зависит от этих факторов. Так,,
например, если предел текучести от для сталей различных марок
в зависимости от вида термомеханической обработки может отли-
чаться в несколько раз, то разница в величине модуля упругости
не превышает 3—5% [69].
Для измерительных упругих элементов существенным яв-
ляется изменение жесткости материала, т. е. величины его модуля
упругости с изменением температуры. Это обстоятельство, как
указывалось выше является основной причиной температурной
погрешности упругого элемента.
а) 5) S)
Рнс. 13. Циклы изменения напряжений
27
Рис. 14. Неупругие эффекты материала:
а — петля гистерезиса; б — изменение деформаций во вре-
мени
В некотором интервале изменения температур зависимость
модуля упругости Е от температуры можно выразить формулой (8).
Модуль упругости при сдвиге G связан с температурой аналогич-
ной зависимостью:
Gt = Go (1 - yGt),
где yG — температурный коэффициент модуля упругости при
сдвиге.
Так как в действительности зависимость модуля упругости
от температуры нелинейна, значения коэффициентов уЕ и ув
различны в разных интервалах изменения температуры.
Упругие и прочностные свойства материала упругого элемента
должны быть не только достаточно высокими, но также и посто-
янными во времени. С этой точки зрения качество упругого чув-
ствительного элемента, его параметрическая надежность в первую
очередь зависят от неупругих эффектов материала, которые
проявляются в виде гистерезиса, релаксации, ползучести и г. п.
Именно эти погрешности, являясь причиной нестабильности
показаний прибора во времени, часто ограничивают его точность.
Точные измерения показывают, что даже при напряжениях,
меньших предела упругости, реальные материалы не имеют той
строго линейной и однозначной зависимости между напряжениями
и деформациями, которая выражается законом Гука в соответ-
ствии с выражением (11). Кривые нагружения и разгрузки ма-
териала в пределах упругих деформаций в действительности не
совпадают, образуя петлю гистерезиса (рис. 14, а). С увеличением
напряжений петля гистерезиса увеличивается; при достаточно
малых напряжениях она не обнаруживается даже при измерениях
самой высокой точности.
Отклонение от законов идеальной упругости материала выра-
жается также в том, что при постоянной нагрузке возможно изме-
нение деформаций во времени. При нагружении в момент времени
основная часть деформации s происходит практически мгно-
венно; затем деформации продолжают нарастать по затухающему
во времени t закону (кривая ОД на рис. 14, б). При снятии нагрузки
в момент деформации исчезают также с некоторым запаздыва-
2S
нием во времени (кривая АВ). аП
Явлппк в iMvneiiBH деформаций
во времени при постоянной на- „
груни называется последействием.
In ли после снятия нагрузки по
ш luiiiiiin некоторого времени . j
и формации исчезают полностью, ]
io такое последействие называ-____________________________
ется упругим. О ’ Т
Являясь причиной запаздыва- Рис. в. Кривая ползучести
пня деформаций при нагружении
п при разгрузке упругого элемента, последействие, складываясь
с гистерезисом, увеличивает разницу в показаниях прибора при
прямом и обратном ходе (см. рис. 8, б).
Чем медленнее изменяется измеряемая величина (соответ-
ственно и напряжения в упругом элементе), гем меньше прояв-
ляется упругое последействие: разница между деформациями при
нагружении и при разгрузке уменьшается, а петля стремится
к петле «чистого» гистерезиса (рис. 8, а, 14, а). При измерении
переменных быстро изменяющиеся величин упругое последей-
ствие также мало сказывается, т(ак как за короткие промежутки
времени процесс упругого последействия не успевает развиться.
Наиболее сильно проявляется упругое последействие при некото-
рых средних скоростях.
Рабочие свойства упругого элемента могут нарушиться во
времени вследствие ползучести материала, которая протекает
особенно интенсивно при больших напряжениях и высоких
температурах.
Зависимость деформации е образца от времени t можно изобра-
зить с помощью кривой ползучести ABCD (рис. 15). Участок ОА
соответствует начальной деформации при нагружении образца.
При постоянных значениях напряжения и температуры деформа-
ция нарастает вначале быстро (Z стадия ползучести), затем с по-
стоянной скоростью (II стадия установившейся ползучести) и
далее ускоренно вплоть до разрушения (/// стадия).
Такая интенсивная ползучесть, когда существенно нарастают
пластические необратимые деформации, конечно, совершенно не-
допустима для любого упругого элемента. Однако ползучесть
может возникать и при напряжениях, меньших предела упругости
в условиях нормальных или слегка повышенных температур. Пол-
зучесть упругого элемента в этом случае обычно не выходит за
пределы / стадии ползучести и может быть обнаружена только
при достаточно точных измерениях. Такая «микроползучесть»
существенна только для упругих чувствительных элементов изме-
рительных приборов высоких классов точности, так как может
нарушить их метрологические функции. Накопление в результате
процесса ползучести необратимых деформаций, изменение вслед-
ствие этого геометрии элемента приводят к появлению остаточного
29
прогиба ii отклонению упругой характеристики от первоначальной.
Ползучесть материала упругого элемента может проявляться
и в форме релаксации напряжений. Если в испытуемом образце
создать некоторую деформацию и оставить ее неизменной во
времени, то ока чивается, что в результате пластического течения
напряжения будут уменьшаться. Это связано с тем, что пласти-
ческая деформация с течением времени нарастает. Так как полная
деформация, состоящая из упругой и пластической, — постоянна,
увеличение пластической деформации приводит к уменьшению
упругой деформации, соответственно и напряжения в материале
образца также уменьшаются. Ослабление напряжений с течением
времени при условии постоянной деформации и есть релаксация
напряжений.
Интенсивная релаксация напряжений в упругом элементе
может быть причиной нарушения работы прибора. Например, при
длительном хранении прибора с заведенным пружинным двига-
телем напряжения в пружине в результате релаксации могут
снизиться настолько, что энергии пружины будет недостаточно для
приведения в движение механизма прибора. Точно так же вслед-
ствие релаксации ослабевает со временем действие натяжных
и контактных пружин.
Механизм возникновения пластических деформаций и неупру-
гих эффектов можно объяснить, используя теорию дислокаций
[101, 106]. Атомы в кристаллах металла, располагаясь в опре-
деленном порядке, образуют пространственную решетку. В об-
ласти чисто упругих деформаций атомы получают взаимные сме-
щения, существенно меньшие, чем межатомные расстояния. После
снятия нагрузки атомы возвращаются в прежнее положение.
Отклонение свойств поликристаллических материалов от со-
вершенной упругости связано с наличием в кристаллах местных
искажений структуры, так называемых «дислокаций» [59].
На рис. 16, а приведена модель краевой дислокации, которая со-
ответствует «лишней» кристаллической полуплоскости аЪ. Вблизи
дислокации структура кристаллической решетки искажена.
На рис. 16, б показана модель винтовой дислокации. Ее можно
представить, если мысленно разрезать решетку по полуплоскости
и сдвинуть части решетки по обе стороны от разреза.
Механизм пластической деформации связан с движением дисло-
каций. На рис. 16, в показано движение слева направо краевой
дислокации. После прохождения дислокации форма кристалла
изменится, т. е. произойдет необратимая пластическая дефор-
мация.
При напряжениях, близких к пределу текучести, движение
дислокаций становится массовым, необратимые сдвиги происхо-
дят в большинстве кристаллов материала по плоскостям скольже-
ния. Однако движение дислокаций в отдельных неблагоприятно
расположенных или предварительно напряженных кристаллах
может возникнуть и при сравнительно малых напряжениях. При
30
(1
д* * А Л! • « 0
,г»«*<Ч«»яау
Q в«*^вэея
е ч R © Э • ® «
®е^е>а**®
А •» эд ® «а в © в
в • • ® « » * ©
(I)
Рис. 16. Модели дислокаций:
а — краевой; б — винтовой; в — схема
движения краевой дислокации
напряжениях, меньших предела упругости, движение дислокаций
имеет обратимый характер: при нагружении дислокации двигаются
в одну' сторону, а при разгрузке — в обратную, возвращаясь
в первоначальное положение. Такое обратимое движение дислока-
ций соответствует явлению гистерезиса; в этом случае гистерезис-
ная петля будет замкнута. Снижение напряжений уменьшает
петлю гистерезиса, и если они меньше порога упругости, то
гистерезис не обнаруживают сколь угодно точные измерения.
В данном случае под порогом упругости понимают напряжение,
при котором начинается движение дислокаций, причем послед-
нее — полностью обратимо.
Явление упругого последействия, протекающее при постоян-
ном напряжении, связано с обратимым движением тех же дисло-
каций, которые приводят к гистерезису. Однако причиной их
движения является не увеличение напряжения, как в случае
гистерезиса, а перераспределение энергии между микрообъемами,
которое происходит с течением времени.
Обратимая микропластическая деформация имеет место при
напряжениях, меньших предела упругости. Когда напряжения
достигают величины предела упругости, возникают необратимые
изменения дислокационной структуры, в результате петля ги-
стерезиса становится незамкнутой. Появляется остаточная микро-
пластическая деформация. Современная техника измерений позво-
ляет определить предел упругости при допуске на остаточную
деформацию, например, порядка 1СГв. Дальнейшее увеличение на-
пряжений до величины предела текучести характеризуется нара-
станием движения дислокаций, которое охватывает большинство
кристаллов; макропластическая деформация достигает значитель-
ных величин.
31
Ползучесть, релаксации напряжений, протекающие во времени,
связаны со способностью дислокаций к движению за счет пере-
распределения энергии между микрообъемами в условиях по-
стоянных (при последействии) или уменьшающихся (при релакса-
ции) напряжении. С ростом температуры подвижность дислокаций
возрастает, и скорость необратимых пластических деформаций
увеличивается.
Предел текучести характеризует сопротивление материала
массовым пластическим деформациям, когда в движении нахо-
дятся большинство дислокаций. Сопротивление материала микро-
пластическим деформациям, связанным с движением отдельных
дислокаций в микрообъемах, характеризуется величиной предела
упругости, который иногда называют пределом микротекучести
[76].
К числу основных требований к материалам для упругих
чувствительных элементов относится требование минимума не-
упругих эффектов, влияющих на погрешность измерений. С этой
точки зрения предел упругости следует считать важнейшей ха-
рактеристикой материала.
Повышение требований к точности и надежности приборов
привело к необходимости разработки новых прецизионных спла-
вов с высоким сопротивлением микропластическим деформациям.
Это обеспечивается созданием в материале препятствий для дви-
жения дислокаций. Наиболее эффективным здесь оказался способ
сочетания различных методов упрочнения материала; деформа-
ционного наклепа, термической обработки, легирования и т. д.
Эти методы упрочнения воздействуют на весь объем металла.
Известно, что большое влияние на свойства изделия оказывает
состояние поверхностных слоев. Этот фактор имеет особенное
значение для упругих элементов с малым поперечным сечением.
С целью упрочнения поверхностных слоев и повышения качества
упругих элементов разработаны специальные методы термоэлек-
трохимической обработки [46].
Значительным вкладом в область металловедения пружинных
сплавов явилась работа А. Г. Рахштадта [76], в которой вопросы
создания и обработки сплавов рассмотрены с точки зрения полу-
чения высокого сопротивления микропластическим деформациям.
Другое решение задачи получения упругих чувствительных
элементов с минимальными метрологическими погрешностями
состоит в применении в качестве материала упругого элемента
монокристаллов кремния, сапфира и др. При искусственном
выращивании монокристалла удается получить структуру с малым
числом дефектов. Упругие элементы из таких материалов обла-
дают практически идеальными и стабильными во времени упругими
свойствами [51, 77]. Измерительная техника, в которой в ка-
честве чувствительных элементов используются монокристаллы,
видимо, будет быстро развиваться, несмотря на сложность тех-
нологии изготовления последних (гл. VI, п. 12).
32
Материалы для упругих элементов. Упругие элементы в про-
цичс изготовления подвергаются той или иной механической об-
работке: штамповке, гибке, навивке и пр. При этом в материале
упругого элемента возникают значительные пластические дефор-
мации. Кроме того, полуфабрикаты — листы, ленты, проволока,
тонкостенные трубки, из которых изготовляют упругие элементы,
также подвергаются пластической деформации при прокатке,
волочении, протяжке и т. д. Являясь обязательной операцией
технологического процесса изготовления упругих элементов, пла-
стическое деформирование оказывает большое влияние на свойства
материала. При механической обработке создается деформацион-
ный наклеп, который ведет к увеличению плотности дислокаций.
Однако при этом дислокации распределяются неравномерно,
в материале сохраняются большие остаточные напряжения, и со-
противление малым пластическим деформациям возрастает не-
достаточно. Поэтому обычно наклеп сопровождается последу-
ющей термической обработкой, в процессе которой снижаются
остаточные напряжения и происходит перераспределение дисло-
каций к более устойчивым состояниям.
Физико-механические свойства и химический состав некоторых
цветных металлов, в упрочнении которых основную роль играет
деформационный наклеп, приведены в табл. 1 [87, 89]. При об-
работке материала обычно совмещается несколько методов упроч-
нения, поэтому приведенная классификация по способу упроч-
нения несколько условна [76].
К. материалам, упрочняемым главным образом за счет наклепа,
относятся латуни — медно-цпнковые сплавы. Пластичность ла-
туней в мягком состоянии так велика, что, например, из латуни
Л80 легко формуются сильфоны, процесс изготовления которых
связан с весьма глубокой вытяжкой. Однако упругие свойства
латуней невысоки, а гистерезис, последействие, ползучесть зна-
чительны. Иногда большие остаточные напряжения, которые воз-
никают при изготовлении латунных упругих элементов, по исте-
чении некоторого времени приводят к растрескиванию материала.
Такое самопроизвольное разрушение свойственно холоднодефор-
мированной латуни, содержащей более 15% цинка, при хранении
в условиях влажной атмосферы. Во избежание этого^явления и для
уменьшения остаточных напряжений упругие элементы и полу-
фабрикаты из латуни рекомендуется отжигать при t « 270° С.
Хотя латунь обладает хорошими технологическими свойствами,
она не перспективна для использования при изготовлении измери-
тельных упругих элементов приборов высоких классов точности.
Лучшие упругие свойства по сравнению с латунными имеют
упругие элементы из нейзильбера или из кремнемарганцовой,
оловянно-цинковой и оловянно-фосфорной бронзы. Эти материалы,
как и латуни, немагнитны, хорошо свариваются и паяются.
Они стойки на воздухе, в пресной и морской воде. Упрочнение
этих сплавов достигается холодной пластической деформацией
2 Андреева Л. Е. 33
Сил ивы Марка, ГОСТ Темпе- р атур а отжига (перед накле- пом), °C Состоя- ние сплава Предел прочно- сти Предел теку- чести
МПа
°в ° 0,2
Латунь Л68 ГОСТ 15527-70 550—650 Мягкое 330 100
Твердое 660—740 520
Полутомпак Л80 ГОСТ 15527-70 500—650 Мягкое 310 120
Твердое 610—680 520
Томпак Л90 ГОСТ 15527-70 450—600 Мягкое 260 130
Твердое 440—520 400
Нейзильбер МНЦ 15—20 ГОСТ 492—73 700—750 Мягкое 400—450 140
Твердое 800 600
Бронза кремние- вомарганцовая Бр.КМц 3—1 ГОСТ 18175—78 700—750 Мягкое 400 160
Твердое 750 420
Бронза оловянно- цинковая Бр.ОЦ 4—3 ГОСТ 5017—74 550—650 Мягкое 350
Т вердое 550
Бронза оловянно- фосфорная Бр.ОФ 6,5—0,4 ГОСТ 5017—74 600—650 Мягкое 350—450 200—250
Твердое 700-800 590—650
Бр.ОФ 4—0,25 ГОСТ 5017—74 500—650 Мягкое 340
Твердое 600 540
34
Таблица 1
Предел упру- гости Предел вынос- ливости Относи- тельное удлине- ние, % Относи- тельное сужение, “ % Модуль упругости, МПа Темпера- турный коэффи- циент модуля упруго- сти, 1/°С Коэффи- циент линейно- го рас- ширения, 1/°С Плот- ность, г/см*
°0,005 °-1 6 ф Т о сц 7 о сз
?£ I04 a- J0® V
40 120 56 70 11 3,9 4,8 20 8,6
500 150 12 52 11,5
80 105 52 70 10,6 4,2 18,8 8,66
420 154 10 40 П,2
70 85 45—55 80 9,15 18,4 8,8
370 126 2—4 60 10,5
100 130 35—45 32 12,6 4,0 16,6 8,7
2—4 5,2 14
120 100 60 75 10,5 3,9 18 8,4
360 210 13 11,5
40 8,5 18 8,8
3-4 10
60—70 4,8 17,1 8,8
7,5—12 11,2
154 52 4,0 17,6 8,9
248 8 10
2*
35
и ши ,;n ;u 1'iiu.n । иггмн'ом, однако релаксационная стойкость
осыпем пн (hull, что является их существенным недостатком.
I I.IIK1O,пыпая рабочая температура упругих элементов из цвет-
иых сп । (нов, упрочняемых наклепом, невысока (100—200° С).
11рп формировании элементов из сплавов, приведенных
в габл I, наблюдается упругая отдача, величина которой зависит
от размеров элемента, от величины деформации и от исходного
сот юяпня материала. В результате нестабильной отдачи упругие
элементы одной партии могут иметь значительный разброс гео-
метрических параметров и соответственно рабочих характеристик.
Упругие элементы обычно изготавливают из полуфабрикатов;
листов, лент, проволоки, трубок. На полуфабрикаты из цветных
сплавов, упрочняемых наклепом, разработаны ГОСТ 2208—75,
ГОСТ 11383—75, ГОСТ 5220—78.
Углеродистые и легированные стали упрочняются закалкой
на мартенсит или пластической деформацией: часто совмещают
оба вида упрочнения. При закалке возникает мелкозернистая
структура с высокой плотностью дислокаций. Проводимый затем
отпуск снижает остаточные напряжения. Сочетание деформацион-
ного наклепа с последующей термообработкой повышает прочность
и сопротивление малым пластическим деформациям.
Стали, упрочняемые в основном закалкой на мартенсит, исполь-
зуют для изготовления упругих элементов сравнительно простых
форм, например винтовых и плоских пружин круглого или пря-
моугольного сечения. Недостаточная пластичность этих материа-
лов в закаленном состоянии, а также неизбежное коробление
изделия при термообработке препятствуют изготовлению из этих
материалов упругих элементов сложных форм.
Стали аустенитного класса (например, нержавеющая сталь
08Х18Н10Т) упрочняются в основном деформационным наклепом;
в мягком состоянии они обладают высокой пластичностью. Из этих
сталей могут быть выполнены упругие элементы сложной формы,
например, сильфоны. При изготовлении таких элементов возни-
кают большие пластические деформации, в процессе которых и
происходит упрочнение материала.
Физико-механические свойства некоторых пружинных сталей
приведены в табл. 2 [89, 105]. Для изготовления упругих элемен-
тов применяют углеродистые стали, а также стали, легированные
кремнием, марганцем, никелем, хромом, ванадием и др.
Углеродистые стали обладают невысокой релаксационной
стойкостью, низкой прокаливаемостью и непригодны для работы
при повышенных температурах.
Легирование повышает прочность и релаксационную стойкость
стали. Марганцовые стали дешевы по сравнению с другими леги-
рованными сталями, но они склонны к хрупкости при перегревах
во время закалки. Достаточно дешевые кремнистые стали, как
и углеродистые, обладают небольшой прокаливаемостью. Поэтому
их применяют для изготовления пружин малого сечения. Высо-
36
ромомарган- 50ХГА ГОСТ 14959—69 840 440 1300 1200 640
37
Продолжение табл.
Плот- ность, г/см3 7,8
Коэф- фицн- . « р t (U 1- ? В О я ® ч расши- рения, 1/ С с 11,8
Модуль упругости ,-01 -D 8,3 1
,-01'3 21,2
6 X н о £ i > во S ?J о « 5 = > я и CJ |иие. % 0 СО
Отно- ситель- ное удли- нение, 0s «о 00
Пре- дел НЫМОС- о я ёа - о1 520 !
и Ч С 4 > ® И* <-> Щ 4> я с м О О О
6 ч (1 о с 4 проч- ности И О 1300
и я ’ CJ.X • о О в 520
Темпер ату термообработ} Закалка 850
-69
J Э я м е. £ 50ХФА ГОСТ 14959-
•
1-0 СП
00 о
г* 00
со
СП СП
см
см
0
10
о t0 00 1
см
о
0-
со
0 О м*
0
со
о О о 1
о 1.0 со 140 о о со см —< см
о о О
о СП о 00 00 О о о io 00
10
о 1 о
см О 10 О 10
о со о со
со со
о о о
10 о
о о
о 1 —-ч
10 1
00 о о о
о о 0
о о о
*—1 ’—1
см см
СП со 1 см 1 см см
со со
СП ю 10 S Н см
10 СП н н 28
о о
Юн о Си р ®н
74 и йр <0 Um со X со X 08Х ГОС
о о
со
Хромоваиадие- вая Вол ьфр а мокрем- нистая к й S о 0, X Хромоникель- титановая
12Х18Н9Т 1050—1100 450— 160— 35—43 40—55
ГОСТ 5632—72 580 220
38
ними механическими свойствами, особенно в отношении усталост-
ной прочности, обладают хромомарганцовые, хромованадиевые
н хромомарганцовокремнистые стали. Благодаря высоким каче-
ствам их применяют для изготовления пружин ответственного
назначения, работающих в условиях переменных напряжений.
Недостаток этих сталей — плохая свариваемость и низкие корро-
зионные свойства (например, они нестойки в пресной и морской
воде и в кислотах). Исключение представляют высокохромистые
стали 30X13 и 40X13, обладающие высокой коррозионной стой-
костью во влажной атмосфере, в пресной воде, в паре, в слабых
растворах кислот, солей и щелочей. Эти стали удовлетворительно
свариваются в отожженном или нагартованном состоянии. Хромо-
ванадиевая сталь 50ХФА хорошо сваривается дуговой сваркой
и удовлетворительно — другими видами сварки. Она может ра-
ботать при повышенных (до 400° С) температурах.
Высокой коррозионной стойкостью обладают стали 08Х18Н10Т
и 12Х18Н9Т, которые применяют для изготовления упругих эле-
ментов, работающих в агрессивных средах (например, в морской
воде, окислительных средах, слабых щелочах) и при повышенных
температурах (до 400° С). Эти стали немагнитны и хорошо свари-
ваются. Поскольку последние упрочняются деформационным на-
клепом, они имеют те же основные недостатки, что и цветные
сплавы (табл. 1).
Для изготовления винтовых и плоских пружин широко при-
меняют высокоуглеродистую стальную пружинную проволоку
(ГОСТ 9389—75), которая подвергается специальной термообра-
ботке (патентированию) и последующему сильному наклепу.
В результате этого металл приобретает высокую прочность и
в то же время сохраняет пластичность, достаточную для дальней-
шей механической обработки. Пружины, изготовленные из этой
проволоки, подвергают низкотемпературному отпуску для снятия
остаточных напряжений. При этом существенно повышаются
предел упругости и соответственно — сопротивление микропласти-
ческим деформациям.
Основные механические свойства стальной пружинной ленты
указаны в ГОСТ 2283—69*. Пружинная лента имеет высокуюточ-
ность размеров, ее поверхность подвергают шлифованию и полиро-
ванию, что повышает ее усталостную прочность. Из нее изготовляют
упругие элементы простой формы (например, плоские пружины).
Высокими эксплуатационными и технологическими свойствами
обладают сплавы, которые упрочняют дисперсионным твердением
в процессе отпуска (табл. 3) [40, 74, 75, 87, 89]. Высокое сопро-
тивление микропластическим деформациям таких материалов
достигается за счет изменений в тонкой структуре и блокиро-
вания дислокаций частицами избыточной фазы, возникающих в
результате дисперсионного твердения материала. Дополнитель-
ное упрочнение может быть достигнуто сочетанием термообра-
ботки с пластическим деформированием материала.
39
( ИЛИНЫ Марка, ГОСТ Температура тер- мообработки, °C Состояние сплава
Закалка Отпуск
Бронза бериллие- вая Бр.Б 2 ГОСТ 18175—78 790 320 (2 ч) Закалка
Закалка 4- старение
Закалка 4- нагар- товка старение
Бр.БНТ 1,9 ГОСТ 18175—78 780 320 (2 ч) Закалка
Закалка — старение
Закалка -|- нагар- товка + отпуск
Бр.БНТ 1,7 ГОСТ 18175—78 Закалка
Закалка 4- отпуск
Закалка 4- нагар- товка отпуск
Железо- никель- титановый 36НХТЮ ГОСТ 10994—74 920 675 (4 ч) Закалка
Закалка 4- отпуск
36НХТЮ5М ГОСТ 10994 —74 * 950 750 (4 ч) Закалка
Закалка 4- отпуск
36НХТЮ8М ГОСТ 10994—74 * 980-1000 750 (4 ч) Закалка
Закалка 4- отпуск
42НХТЮ ГОСТ 10994—74 * 950 700 (3 ч) Закалка
Закалка 4- отпуск
44НХТЮ ГОСТ 10994—74 * 950 700 (3 ч) Закалка 4- отпуск
40
Таблица 3
> Преде и Проч Hot 1 И 11 редел 1 еку- чести Предел упруго- сти Относ ii- тел ьи ое удлине- ние, % Модуль упругости, МПа Темпера- турный коэффи- циент модуля упруго- сти, 1/°С Коэффи- циент линей- ного расши- рения, 1/°С Плот- ность, г/см8
МПа
<’в ” 0,2 ”0,005 6 Т о ц О 6 V£.10* а 10е V
—— 400—600 250—350 62 40 11,7 4,5 16,6 8,2
600—950 850—900 770 3 13,1 5,1 3,1
1350 1280 960 13,5
400—600 30—50 16,5 8,3
600—900 770 6 12,8
— 1350 960 3 13,0
— 400—500 50 17,0 8,2
— 600—900 700 7 12,8
1250 910
600—700 300—350 34-36 18,0 13,0 7,9
i' 1200— 1300 800—1000 650—750 14-18 19—20 7,9 2—3
— 850—900 500—600 25-30 12—13 8
1400— 1450 1000— 1100 750—850 8-10 21,1 8,13 2-3
— 900-950 600—650 20—25 12-13 8,3
1450— 1480 1100— 1150 850—950 6—7 21 8,15 2—3
— 650—700 300—350 35—40 16,8 7,0 9,5 8,0
»* >' 1200— 1250 800—1000 600-700 10-15 18—19 0,2—3
1200 800 600—650 20 18 0,15 8 8,0
41
Высокая пластичность дисперсионно-твердеющих сплавов в за-
каленном состоянии позволяет прокатывать материал до толщин
в сотые доли миллиметра. Эти сплавы хорошо обрабатываются
давлением, и из них изготовляют упругие элементы самой слож-
ной формы.
При этом процесс формования элемента не сопрово-
ждается заметной упругой отдачей, и пружины получают одина-
ковую форму и размеры. В процессе отпуска или старения ма-
териал приобретает высокие упругие и прочностные свойства,
которые могут быть выше, чем для сталей, закаливаемых на
мартенсит.
Преимущества дисперсионно-твердеющих материалов — малые
несовершенства упругих свойств, высокая релаксационная стой-
кость. Рабочие температуры этих сплавов ниже температуры от-
пуска (старения) и для некоторых сплавов могут достигать зна-
чений 350—400° С. Эти материалы немагнитны, обладают доста-
точно высокой коррозионной стойкостью, хорошо паяются и сва-
риваются.
К дисперсионно-твердеющим сплавам относится бериллиевая
бронза БрБ2. По прочности и упругим свойствам в условиях
нормальной температуры она превосходит многие высококаче-
ственные стали. Гистерезис, упругое последействие, ползучесть
упругих элементов из бериллиевой бронзы БрБ2 невелики. Бе-
риллиевая бронза обладает высокой электропроводностью, стой-
костью к коррозионным воздействиям на воздухе, в пресной и мор-
ской воде и может быть использована до температур 100—150° С.
Бронзы БрБНТ 1,9 и БрБНТ 1,7 отличаются от БрБ2 до-
полнительным введением титана и близки к ней по своим
свойствам, но они дешевле из-за меньшего содержания бе-
риллия.
Сведения о механических свойствах проволоки, полос и лент
из бериллиевых бронз приведены в ГОСТ 15834—77 и
ГОСТ 1789—70.
Достаточную пластичность в закаленном состоянии и высокие
механические свойства после термомеханической обработки, вклю-
чающей закалку, деформирование и старение, имеют дисперсионно-
твердеющие сплавы на железоникельхромовой основе, типичным
представителем которых является сплав 36НХТЮ. Эти сплавы
превосходят бериллиевую бронзу в отношении коррозионной
и термической стойкости.
Сплав 36НХТЮ имеет высокий предел упругости и находит
применение для изготовления многих упругих элементов сложной
формы, работающих при высоких напряжениях, в довольно
агрессивных средах и при повышенных температурах (до
250° С).
Добавление к сплаву 36НХТЮ молибдена превышает его тер-
мостойкость. Чувствительные элементы из сплавов 36НХТЮ5М
и 36НХТЮ8М могут быть использованы соответственно до тем-
42
nrp.riyр 350 и 400° С. Благодаря хорошей коррозионной и терми-
ческой стойкости и высоким упругим свойствам эти сплавы осо-
бенно ценны для изготовления чувствительных упругих элементов
точных приборов, предназначенных для работы в условиях повы-
шенных температур и агрессивных сред.
К группе сплавов на железоникельхромовой основе, упроч-
няемых в результате термомеханической обработки, принадлежат
ферромагнитные сплавы 42НХТЮ и 44НХТЮ, особенностью кото-
рых является постоянство модуля упругости при нагреве соответ-
ственно до 100 и 200° С. Применение этих сплавов для чув-
ствительных элементов упрощает конструкцию прибора, так как
отпадает необходимость компенсации температурной погреш-
ности.
Механические свойства полуфабрикатов из сплавов 36НХТЮ,
36НХТЮ5М и 42НХТЮ приведены в ГОСТ 14117—69* и
ГОСТ 14118—69*.
В некоторых случаях упругие элементы изготовляют из не-
металлических материалов — кварца, кремния, резины, пластмасс.
Кварцевое стекло отличается высокими упругими свойствами,
исключительно малым гистерезисом, постоянством модуля упру-
гости при переменной температуре и коррозионной стойкостью.
Из кварца могут быть изготовлены упругие элементы различных
форм: плоские и винтовые пружины, мембраны и манометрические
трубчатые пружины. Однако хрупкость этого материала ограни-
чивает его применение.
Практически совершенной упругостью обладают элементы,
выполненные из монокристаллов кремния или сапфира. Особен-
ностью свойств монокристаллов является существенная анизо-
тропия.
Для изготовления манометрических упругих элементов широ-
кое применение нашли различные сорта резины. Ее применяют
в качестве герметизирующего материала в сетчатых конструкциях
упругих элементов [35]. Резина имеет очень малую жесткость,
и ее относительное удлинение может доходить до сотен процентов
при малых остаточных деформациях.
Основным недостатком резины как материала для упругих
элементов является ее значительная ползучесть, в результате
которой упругие свойства с течением времени существенно изме-
няются [88].
Исключительно высокой коррозионной и термической стой-
костью обладают фторопласты [88, 89]. Фторопласт-3
(ГОСТ 13744—76) и фторопласт-4 (ГОСТ 10007—72) находят при-
менение для изготовления эластичных мембран и даже сильфонов.
Фторопласт-4 — наиболее химически стойкое вещество из всех
известных пластиков. Он не растворяется и не разрушается под
действием кислот, щелочей, окислителей, паров ртути и других
агрессивных сред. Фторопласт-3 несколько уступает фторопласту-4
по коррозионной стойкости, но имеет большую механическую
43
прочти 11., и hi licit) могут быть изготовлены изделия сложной
формы npi-i сованием или литьем под давлением.
< ijii.iiaii ползучесть и заметное изменение модуля упругости
с изменением температуры препятствуют широкому исполь-
зованию фторопластов в качестве материала для упругих эле-
ментов.
Вследствие склонности к ползучести и больших упругих
несовершенств упругие элементы из резины и пластмасс приме-
няют главным образом как разделители, к которым не предъяв-
ляют высоких требований в отношении упругих свойств. Функцию
упругого элемента в таких случаях выполняет плоская или вин-
товая металлическая пружина, работающая совместно с неметал-
лическим разделителем.
ГЛАВА II
ПЛОСКИЕ пружины
1. КОНСТРУКЦИЯ и ПРИМЕНЕНИЕ плоских. ПРУЖИН
В приборостроении широко применяют прямые и кривые пру-
жины различных геометрических форм. Их называют плоскими,
если оси пружин — плоские кривые.
При изготовлении плоской пружине почти всегда можно при-
дать форму, удобную для ее размещения в корпусе прибора. При
этом она может занимать немного места. Плоская пружина может
иметь малые размеры в направлении перемещения. В этом отно-
шении такие пружины более удобны, чем винтовые, однако, как
правило, максимально допустимые перемещения плоской пружины
значительно меньше, чем винтовой.
Плоские пружины могут быть очень жесткими или очень по-
датливыми в зависимости от формы и размеров. Особенностью
ленточной плоской пружины является то, что она податлива на
изгиб только в одном направлении — в плоскости минимальной
жесткости — и имеет большую жесткость на растяжение и на
изгиб в другом направлении. Поэтому плоские пружины успешно
используют как измерительные упругие элементы, направляющие
перемещений, упругие подвесы подвижных частей приборов и пр.
Плоскую пружину можно изготовить практически из любого
пружинного материала (см. табл. 1, 2 и 3). Выбор материала опре-
деляется только назначением и условиями работы пружины.
Плоские пружины иногда изготовляют из круглой проволоки,
но чаще их штампуют из ленты. Простота изготовления плоских
пружин является их существенным достоинством.
Плоские пружины широко применяют в различных электро-
контактных устройствах. Наибольшее распространение получила
одна из самых простых форм плоской пружины в виде прямого
стержня, защемленного одним концом. В качестве примера на
рис. 17, а изображена контактная группа реле. Контактные пла-
стинки должны иметь малое электрическое сопротивление, по-
этому их изготовляют из фосфористой, кремнемарганцевой, алю-
миниевой, бериллиевой бронз, латуней, нейзильбера и значительно
реже — из пружинных сталей. Благодаря плоской форме контакт-
ные пружины можно собирать в пакет, имеющий небольшие габа-
ритные размеры.
С помощью плоской пружины может быть выполнена перекид-
ная упругая система микровыключателя, обеспечивающая доста-
45
Рис. 17. Контактные пружины:
а — контактная группа электромагнитного реле; б — перекидной контакт; в — сколь-
зящие контактные пружины
точно высокую скорость срабатывания. Контактную и пере-
кидную пружины обычно штампуют из одного куска ленты
(рис. 17, б). Перекидную пружину устанавливают с начальным
натяжением, поэтому среднее положение контактной пластины
неустойчиво, и при ее переходе из одного крайнего положения
в другое контакты быстро срабатывают [60].
Плоские пружины применяют также в электроконтактных
устройствах в качестве скользящих контактов (рис. 17, в). Большая
жесткость контактной пружины в направлении перемещения опре-
деляет достаточно точное положение контактов. Для хорошего
прилегания при перекосах такие контакты часто выполняют в виде
набора пружин или же на конце одной пружины делают несколько
продольных надрезов.
Плоские пружины широко применяют в качестве кинемати-
ческих элементов приборов; упругих опор и направляющих,
гибких связей и деталей передаточно-множительных механизмов
[108].
Упругие опоры и направляющие, изготовленные из плоских
пружин, практически не имеют трения и люфтов, не нуждаются
в уходе, смазке, не боятся загрязнений и надежны. Недостаток
упругих опор и направляющих — ограниченность линейных и
угловых перемещений.
В качестве опор для вращательного движения иногда приме-
няют наиболее простую конструкцию в виде плоской пружины,
один конец которой закреплен на неподвижной части прибора,
а другой — на подвижной. Например, на такой опоре подвеши-
вают маятник часов, подвижные элементы весоизмерительных
приборов. Эти опоры выполняют из стальной пружинной ленты,
к которой присоединяют накладки для крепления (рис. 18, а),
или фрезеруют из сплошного куска в виде пластинки с утолще-
ниями по концам (рис. 18, б). Фрезерованием можно получить
опору с двумя степенями свободы (рис. 18, в).
Точность работы механизмов приборов обычно связана с по-
стоянством положения центра поворота подвижных частей.
Однако с увеличением нагрузки в поведении упругой опоры прояв-
ляется геометрическая нелинейность, и положение центра пово-
рота несколько изменяется. Зависимость положения центра пово-
рота от нагрузки является недостатком плоской упругой опоры.
46
Рис. 18. Упругие опоры
Этот недостаток меньше проявляется в крестообразной конструк-
ции упругой опоры (рис. 18, г). Такие опоры применяют в весоиз-
мерительных и контрольно-измерительных приборах, автоматах
для измерения линейных и угловых размеров деталей, теплоэнер-
гетических, сейсмометрических приборах и пр. [49, 1081. Кресто-
образные опоры собирают из 3—4 пластин. Это придает высокую
жесткость опоре в поперечном направлении.
Радиальная упругая опора (рис. 18, 5) конструктивно более
сложная. Она имеет практически постоянный центр поворота
и воспринимает радиальные усилия в любом направлении. Недо-
статок такой опоры в том, что она работает при весьма ограничен-
ных углах поворота и имеет жесткость, возрастающую при уве-
личении поворота.
Ленточные пружины применяют также в качестве направля-
ющих деталей приборов. Упругие направляющие имеют разно-
образные конструкции, определяемые особенностями каждого
конкретного механизма прибора. Некоторые типы упругих на-
правляющих даны на рис. 19. Строго поступательное движение
обеспечивает конструкция из двух одинаковых, параллельных
друг другу плоских пружин (рис. 19, а). Однако помимо рабочего
перемещения в продольном направлении деталь будет получать
небольшие перемещения в поперечном направлении. Этого не-
достатка не имеет конструкция упругой направляющей, изобра-
женная на рис. 19, г. Перемещение по некоторой криволинейной
траектории дает упругая направляющая, показанная на рис. 19, б.
Рис. 10. Упругие направляющие
47
Направляющая в виде криволинейной пружины (рис. 19, в)
обеспечивает осевое перемещение стержня, допуская в то же время
некоторый его перекос. Для направления движения катушек,
якорей и других подвижных деталей электромеханических при-
боров применяют упругие направляющие в виде прорезных шайб
(рис. 19, д).
Очень тонкие ленточные пружины используют также в каче-
стве подвесов высокочувствительных элементов измерительных
приборов (рис. 20). Эти подвесы обеспечивают жесткость подвиж-
ной системы в осевом направлении и в то же время оказывают
малое сопротивление повороту подвижной системы при почти
полном отсутствии трения. В отличие от рассмотренных выше
примеров, подвесы и прорезные шайбы (рис. 19, 5) не находятся
в условиях плоского изгиба, поскольку они работают также на
кручение.
Передача движения с помощью гибкой связи в виде плоской
ленточной пружины (рис. 21) имеет некоторые преимущества по
сравнению с другими типами передач, например зубчатой или
шарнирно-рычажной. Эти преимущества заключаются в значи-
тельно меньшем трении, отсутствии люфтов и в плавности работы.
На рис. 21, а показана ленточная связь между двумя рычагами.
Такая конструкция обеспечивает хорошую передачу движения
при малых углах качания рычагов. Гибкие связи могут быть
использованы для передачи вращательного движения. Для этого
один конец ленточной пружины закрепляют на секторе, дру-
гой — на колесе (рис. 21, б). Вторая пружина несколько смещена
вдоль оси колеса и плотно обвивает колесо и сектор в противопо-
ложном направлении. Такая передача заменяет зубчатую. Ана-
логично устроена гибкая связь для преобразования вращатель-
ного движения в поступательное (рис 21, б).
Рис. 20. Ленточные под-
Рис. 21. Гибкие свя-
зи в механизмах
Рнс. 22. Пружинные передаточ-
но-множительные механизмы
весы
48
Рис. 23« Плоские измерительные пружины
С помощью плоских пружин можно осуществить простые и
надежные передаточно-множительные механизмы. На рис. 22, а
показан пружинный передаточный механизм, применяемый в ми-
ниметрах. При поступательном перемещении измерительного
стержня верхний конец пружины 1, скрепленный перемычкой 3
с пружиной 2, вследствие изгиба пружин поворачивается и пере-
мещается в поперечном направлении. При этом конец стрелки 4,
жестко соединенной с перемычкой 3, получает перемещение, во
много раз превышающее измеряемое перемещение X. Изменением
расстояния между пружинами можно регулировать чувствитель-
ность механизма.
Увеличение перемещений может быть получено за счет выпу-
чивания плоской пружины при осевом сжатии (рис. 22, б). Не-
большие продольные перемещения пружин /, закрепленных на
мембранной манометрической коробке 2, преобразуются со зна-
чительным увеличением в поперечные перемещения средних
участков пружин, на которых закреплены контакты 3. Такую
схему передаточного механизма применяют в различных электро-
контактных устройствах.
Плоские пружины применяют в качестве измерительных упру-
гих элементов в вибрографах, акселерографах, тахометрах, мано-
метрах, тягомерах и в других приборах [2, 62]. Их обычно исполь-
зуют, когда необходимы сравнительно небольшие перемещения.
При значительных перемещениях упругая характеристика пло-
ской пружины может быть существенно нелинейна, в этом случае
предпочитают применять винтовые пружины.
В некоторых приборах, например в тягомерах, плоскую пру-
жину используют для выпрямления характеристики прибора с тем,
чтобы его шкала стала линейной. Требуемую упругую характери-
стику пружины получают за счет ее посадки на неподвижные упоры
(рис. 23, а) или на лекало определенного профиля: при этом
изменяется рабочая длина пружины, а следовательно, и ее
жесткость.
Плоские пружины применяют так же, как элементы настройки
нуля прибора; в этом случае натяжение пружины регулируют
с помощью винта (рис. 23, б).
49
Рис. 24. Плоские натяжные пружины
Значительные угловые перемещения допускает измерительная
пружина спиральной формы — волосок (рис. 23, в). Волоски ши-
роко применяют во многих показывающих электроизмерительных
приборах. Если измерительная спиральная пружина служит
одновременно для подвода тока, ее выполняют из материала
с малым электрическим сопротивлением.
Волоски используют в большинстве спусковых регуляторов
часовых механизмов в качестве упругого элемента колебательной
системы. Для правильной работы часового механизма важно,
чтобы центр тяжести пружины при ее деформации не перемещался.
В этом случае концу волоска придается специальная форма (по
так называемым кривым Филлипса).
Угол закручивания волоска ограничивают не только по сооб-
ражениям прочности, но и в связи с возможностью потери
устойчивости плоской формы изгиба волоска при доста
точно больших углах закручивания («спутывание» волос-
ка) [48 ].
Во многих приборах волоски используют и как натяжные пру-
жины, предназначенные для выбора люфтов передаточного ме-
ханизма прибора.
Спиральную форму имеют заводные пружины, которые выпол-
няют роль двигателя. Вопросы, связанные с конструкцией и расче-
том этой обширной группы пружин, рассмотрены в работах [5,
41, 54, 66, 68].
Плоские пружины применяют в качестве натяжных пружин,
например в храповом механизме (рис. 24, а), фиксаторе (рис. 24, б),
регулируемой шаровой опоре (рис. 24, в) и кольцевой пружинной
шайбе (рис. 24, г).
Если перемещения плоской пружины малы по сравнению с ее
размерами, то при расчете можно воспользоваться обычной линей-
ной теорией изгиба стержней. Обычно такой расчет не предста-
вляет большого труда. Если же пружина работает в области
больших перемещений, то ее расчет сложнее и может быть выпол-
нен с помощью нелинейной теории изгиба гибких стержней, раз-
работанной Е. П. Поповым [72].
50
2. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ПРУЖИН
В ОБЛАСТИ МАЛЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Теория изгиба стержней основана на зависимости, связыва-
ющей изменение кривизны Дх оси стержня с изгибающим момен-
том М [101 ]:
Дх = 4-, (12)
где В = EJх — изгибная жесткость стержня; Е — модуль упру-
гости материала; Jx — момент инерции поперечного сечения отно-
сительно нейтральной оси х.
Если поперечное сечение стержня вытянуто вдоль оси х, то
вместо модуля упругости Е следует пользоваться величи-
ной Е/1 — р2 (it — коэффициент Пуассона).
Выражение (12) справедливо как при малых, так и при больших
перемещениях в пределах упругих деформаций.
Наибольшее напряжение при изгибе
где Afmax — наибольший изгибающий момент; Wx— момент сопро-
тивления сечения.
Для прямоугольного сечения
bhz bh2
Jx — -рг’ = ~б- — ширина, h — высота сечения); для
круглого сечения Jx — (d — диаметр); вообще
Wx = где ут&х = 4- (или -т) •
t/max - \ 2 /
Для определения прогибов стержня в области малых перемеще-
ний удобно пользоваться интегралом Мора или правилом Вере-
щагина, если ось стержня прямолинейна [101 1.
Пример 1. Определить перемещение конца А и наибольшее напряжение
в плоской пружине при нагружении ее силой Р (рис. 25, а), если размеры и
материал пружины заданы.
Решение. Для определения перемещения точки А воспользу-
емся правилом Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающего
момента Мр от заданных сил (рис.
25, б) и АД от единичной силы, приложенной
в точке А в направлении искомого переме-
щения (рис. 25, в, г). Прогиб точки А опре-
делим, перемножая эпюры Мр и по пра-
вилу Верещагина:
--рАДс
А ~ Li в '
где Пр — площадь эпюры Мр: А!1е — ордината
на эпюре Мъ расположенная под центром тя-
жести с площади эпюры Мр.
Рис. 25. Расчетная схема пружины
51
Рис. 2G. Расчетная схема криволинейной пружины
В данном случае £2р=(^— Ра) а; /И1С — I-— а, следовательно, прогиб
в точке А
Ра? (1-4-}
=(13)
Если в выражении (13) положить I = а, то
иА=~зв~-
Это весьма распространенный случай нагружения пружины силой на конце.
По такой схеме работают, например, пружина фиксатора (рис. 24, б) и кон-
тактная пружина (см. рис. 17, а).
Наибольший изгибающий момент возникает в сечении у заделки Мр = Ра
и соответственно наибольшее напряжение
Ра
Стах—"р—• (15)
Очень часто по условиям работы пружины бывает известна не нагрузка,
а перемещение. Тогда для определения напряжения можно исключить силу
Р из выражений (13) н (15). Например, в данном случае
„ Зс'дЕ Jx _
CTmax - — j—у - —- р—
аА1-—а) а{1~—а)
Пример 2. Определить угол поворота 0л конца криволинейной плоской
пружины, закрепленной и нагруженной так, как показано на рис. 26, а.
Решение. Для определения угла поворота прикладываем на конце пру-
жины единичный момент (рис. 26, б). Найдем изгибающие моменты Мр и Мх
в произвольном сечении пружины.
Участок Z: Мр = Рх; М± — 1 (0 < х < я).
Участок IP Мр = Р (а-р R sin ф); М± = 1 ^0 < <р < -^-} .
Угол поворота определим с помощью интеграла Мора [101]:
Ал = V j ds, ' (16)
где ds — длина элемента пружины; ds= Ах па участке Z и ds = R d<p на участке 11.
52
Подставляя значения моментов
Мр и и интегрируя в пределах
каждого участка, получим величину
угла поворота Фд:
г п
а 2
Ол=4" р(а+
Lo о
Рис. 27. Расчетная схема кольцевой пру*
жины
4- R sin <р) R dtp
Часто пружина бывает за-
креплена так, что для опреде-
ления ее упругой характери-
стики необходимо сначала рас-
крыть статическую неопреде-
лимость.
Пример 3. Определить жесткость
плоской кольцевой пружины, нагру-
женной силами Р (рис. 27, а).
Решение. Для раскрытия статической неопределимости этой рамы
разрежем ее по сечению А. Взамен отброшенных связей приложим внутренние
силовые факторы: изгибающий момент Хг и нормальную силу, равную Р/2.
Поперечная сила по условию симметрии кольца равна нулю (рис. 27, б).
Изгибающий момент Х± определим из условия равенства нулю взаимного
угла поворота сечений А, которое обычно записывают в форме канонического
уравнения [101]:
Xi6n + 61р = 0,
где б1р — взаимный угол поворота сечений А под действием заданных сил;
Х16ц — угол поворота под действием моментов бп — взаимный угол пово-
рота под действием единичных моментов (рис. 27, в, г). Коэффициенты 61р и
6П можно найти с помощью интеграла Мора (16):
(17)
Изгибающие моменты Мр и Мр согласно рис. 27, в, г, будут равны:
Мр = -у PR (1 — cos qp); = —1 (о < qp <
Изгибающий момент будем считать положительным, если он увеличивает
кривизну.
53
11<к iio.4i.ny кольцо iimk'i ч<-1ыре одинаковых участка, интегрирование вы-
ражений (17) можно ироподи11. в пределах четверти окружности. Тогда
и
i | | ‘-/’«(l-cos<p) (-1)/?d<p= —1);
и
_л__
2
с 4 f 2л/?
611 = в- J я dT = —.
о
Из канонического уравнения находим неизвестный момент
*-—5Г-™(т~тН18»
Суммарный изгибающий момент М в произвольном сечении
М = Мр + PR (0,318 — 0,5 cos ф). (18)
В соответствии с полученным выражением построена эпюра изгибающего
момента М (рис. 27, д).
р
Для определения жесткости кольцевой пружины: 7< — —, найдем взаим-
ное перемещение v точек В. Для этого приложим к кольцу единичные силы
(рис. 27, е). Поскольку в рассматриваемом случае условия нагружения отлича-
ются от заданных только величиной сил, изгибающий момент М[ в произволь-
ном сечении рамы прн Р = 1 будет определяться выражением (18)
Л4{ = R (0,318 — 0,5 cos ф).
Вычислив интеграл Мора (16), получим
л
2
V = V j ds = 4 j (0,318 — 0,5 cos ф)2 4ф « 0,148 .
о
В В
Следовательно, жесткость Кх~, 6,75.
0,148 R3 R3
Пример 4. Определить коэффициент запаса контактной пружины при Р =
= 0,56 Н (рис. 28, а). Размеры пружины: I = За = 21 мм, b = 2 мм, h =
= 0,2 мм; материал — оловянно-фосфорная бронза БрОФ 4—0,25, предел те-
кучести <гт — 540 МПа, модуль упругости Е = 1-105 МПа. Начальное рассто-
яние (при Р = 0) между контактами А = 2,2 мм.
Решение. Задача статически неопределима. Уравнение перемещений
в данном случае
4" ®ip ~ —А,
где Хг — реакция правой опоры (рис. 28, б); знак «минус» в правой части
уравнения объясняется тем, что направления силы и перемещения точки А
противоположны.
Перемножая эпюры Мр н М1 (рис. 28, в) по способу Верещагина, полу-
14 Ра3 9а3 bh3
чим 61р =---х— и 6и = — —. Момент инерции сечения Jx = =
О tj х х 12
= 0,00133 мм4.
Из уравнения перемещений следует
v И n bEJx
=_27~Р----9^'
54
Определим силу Ра, при которой пружина коснется контакта, из условия
Хх = 0:
р _ 3 &EJX _
го — q3 — 0,18о Н.
Выражение для контактного усилия с учетом последнего соотношения
представим в виде
14
Х^—(Р-.Р0). (19)
При Р= 0,56# и Ро = 0,183 Н усилие Хг = 0,195 Н.
Суммарная эпюра изгибающего момента Мх показана на рис. 28, г. Наи-
большее напряжение
"max = = 0 0133 = 282 МПа.
Момент сопротивления Wx — ——— = 0,0133 мм3.
Ртах 0,1
Коэффициент запаса по напряжениям в соответствии с формулой (9)
„ _ стт _ 540 , 0
а "max 282 ,9>
При замыкании контактов, когда сила Р — Рд, жесткость упругого эле-
мента меняется, а зависимость между напряжением и нагрузкой отображается
ломаной, которую строим по координатам: при Р=Р0= 0,183 Н "max =
= ~ 193 МПа; при Р = 0,56 Н отах = 282 МПа (рис. 28, д). Для по-
добного случая, когда между напряжением н нагрузкой нет прямой пропорцио-
нальности, представляет интерес определение коэффициента запаса по нагрузкам
55
Рис. 29. Расчетная
1
схема пружинного механизма
в соответствии с выражением (10). С этой целью найдем предельную нагрузку
РПр» при которой в опасной точке напряжение достигает величины предела
текучести.
Изгибающий момент в сечении у заделки, с учетом (19),
2
Мх = Р2а — Xj3a = -i- (2Р + 7Р0) а.
Из равенства отах = 4^- = от получим Рпр=-5- JZlE*------1 р0= 1,67 Н.
™ х 1 4 а 2
Тогда коэффициент запаса по нагрузкам определим по формуле (10):
„ _ Рпо _ 1,67 ,
р Р 0,56
В данном случае коэффициент пр оказался в 1,6 раза больше коэффи-
циента п0.
р
Пример 5. Определить величины жесткости К — —т— и передаточного отио-
Л
S
шеиия i — -j- пружинного множительного механизма, схема которого дана на
рис. 29, а.
Решение. Выберем расчетную схему пружинного механизма в виде
рамы, закрепленной как показано на рнс. 29, б. Поскольку рама обратносим-
метрична, горизонтальные реакции Х2 = 0; момент Xj находится непосредствен-
Pct
но из условия равновесия: Таким образом, уравнение перемещений
в данном случае составлять не требуется.
Для определения начальной жесткости X = найдем перемещение X.
Для этого в точке А приложим силу, равную единице, и построим эпюру изги-
56
Рис. 30. Стержни прн продольно-поперечном изгибе
бающего момента Mv Последняя будет иметь такой же вид, как и эпюра Мр
от силы Р. Перемножив эпюры но правилу Верещагина, получим
л _ 2 / Pal а \ _ РаЧ
В \ 2 2 ) ~ 2В 1
ОтсЮда
rr S
Для определения передаточного отношения i = -г— следует определить
Л
перемещение s конца стрелки. На рис. 29, в показана эпюра моментов М{ от
единичной силы, приложенной к концу стрелки в направлении перемещения S.
Перемножив эпюры Мр и MJ, найдем
Pal (2L + I)
5 - 4В
Тогда
s 2L + I
' ~ X ~ 2а
Таким образом, чувствительность механизма возрастает с увеличением
длины стрелки и пружин и с уменьшением расстояния а между пружинами-
Если помимо поперечных сил на стержень действует продоль-
ная сжимающая сила, то его прогибы увеличиваются; при дей-
ствии растягивающей силы они уменьшаются (рис. 30, а).
Прогиб уп-п при продольно-поперечном изгибе приближенно
можно определять по формуле Тимошенко 1101 ]:
гп-п=-----2"—, (20)
1 ±
где vn — прогиб под действием одних только поперечных сил;
S — продольная сила (если сила S — растягивающая, то в фор-
муле берется знак «-|~», при сжатии знак «—»). Критическая эйле-
рова сила S3 определяется по формуле
о ___ tfPEJx
(v/)2 ‘
(21)
Здесь v — коэффициент, зависящий от способа крепления концов
пружины; его значения приведены в табл. 4.
57
Таблица 4
Коэффициент
При желании найти более точные значения перемещений в слу-
чае продольно-поперечного изгиба следует прибегать к интегри-
рованию дифференциального уравнения изогнутой оси стержня,
которое может быть получено из выражения (12). При малых
перемещениях Ах = -|- « у" (_гдс-^---кривизна первоначально
прямого стержня под нагрузкой, у — прогиб произвольной точки
стержня), и тогда
By" = М. (2 2)
Пример 6. Определить центр поворота плоской упругой опоры, нагруженной
и закрепленной по схеме рис. 30, б.
Решение. Для опоры в виде плоской пружины расстояние от конца
пружины до центра поворота при малых перемещениях опоры можно прибли-
женно определить как
1> _ V
tg -о <Г ’
ц. п.
(23)
где v и О — прогиб н угол поворота конца пружины.
Рассмотрим положение стержня после деформации. Проведем оси коорди-
нат yOz, совместив точку О с подвижным концом стержня. Изгибающий момент
в произвольном сечении
М = -(Мо + Sy).
Знак момента определяем по знаку кривизны упругой линии стержня;
в данном случае кривизна стержня отрицательна.
Подставим выражение момента в дифференциальное уравнение (22):
Ву"=-(М0+ Sy).
58
Таблица 5
Обозначив
А = а2,
в а ’
напишем последнее уравнение в виде
у" + а2у=_^.
Общий интеграл этого уравнения
у = a sin az + b cos az —• (24)
59
I liiiKiiiiiiii.ir и и iei |>ii|>i ni.iiiioi ti 11 b найдем из граничных условий. При г =
— О пе ц|чн||,| I/ 0, ,1 при ? / угол поворота & — у' = 0. В этом случае
, Mq
а = и Ь = -^ ,
a ypaiiiiciuu' (24) упругой линии принимает следующий вид:
у — (tga/ sin az -J- cos az — 1).
о
Прогиб и угол поворота конца пружины:
о = Уг-i = ^r-(tg at sin al + cos al — 1) =
_ MQ 1 — cos a/.
~ S cos al ’
„ , Mna,, , Mn .
О — Уг=0 — ~ё~ a‘ cos аг — cos аг)г=0 ~ “c2- « tg al.
Следовательно, положение центра поворота в соответствии с выражением (23)
_ 1 — cos al
2ц' п- “ a Sin al '
Формулы для расчета положения центра поворота плоской
упругой опоры при других схемах нагружения приведены
в табл. 5, где a = 1/"B = EJX.
Пример 7. Определить контактное усилие микровыключателя (рис. 31, а).
Размеры плоской контактной пружины 1 и U-образной перебрасывающей пру-
жины 2 заданы; пружина 7: длина I — 10 мм, сечение й, X ft, = 2 X 0,08 мм2;
пружина 2: радиус г = 1,0 мм, ft2 X Л2 = 4,0 X 0,12 мм2. Перебрасывающая
пружина 2 имеет начальное поджатие А, = 0,5 мм. Полный ход контакта w =
= 0,4 мм. Материал пружин — оловянно-фосфорная бронза БрОФ 4—0,25
(см. табл. 1), модуль упругости Е = ЫО6 МПа.
а)
Рис. 31. Расчетная схема контактной пружины
60
I’ < ill e и и e. Определим усилие начального натяжения перебрасывающей
пружины 2. С помощью интеграла Мора (16) находим взаимное перемещение
Koiiiioii U-образной пружины
vAA==^-(-T k3 + nk2 + 4/г + Т~) ’
В данном случае k = = 2, и тогда
.,.4/1 _ Р-"3 / 40 9л \
В, \ 3 2 )
~27’54г’
откуда
Р В2уаа
27,5г3
Найдем изгибную жесткость В2 пружины 2. В данном случае обе пружины
имеют вытянутое прямоугольное сечение (b/h > 20), поэтому в выражение из-
гибной жесткости вместо Е подставим £' =
гибкая жесткость
Е
1 — р’
где [л = 0,3. При этом из-
В2 = £
Mi
ТГ
1-10М-0,12s
0,91-12
= 63,3 Н• мм2.
Следовательно, сила
Р =
63,3-0,5
27,5-1
= 1,15 Н.
Сила Р направлена по линии АА (рис. 31, б). Разложим ее на составляющие
по вертикальному и горизонтальному направлениям. Поскольку точка А пру-
жины расположена близко к контакту, примем ее перемещение равным w. То-
гда
угол а можно приближенно определить как
W °’2 О 1
2-2г ~ 2 -°’
Составляющие силы Р:
Р„ =. Р sin а «=> Ра = 1,15-0,1 = 0,115 Н;
Рх = Р cos а Р = 1,15 Н.
Конец контактной пружины 1 нагружен продольной силой Рх и попереч-
ной силой Рп, равной разности между составляющей Ру и реакцией упора Рк.
Последняя и является искомым контактным давлением:
РК = РУ-РП. (25)
Определим силу Рп, необходимую для сообщения концу пружины про-
гиба ау/2. Поскольку пружина находится в условиях продольно-поперечного
изгиба, воспользуемся формулой (20). В рассматриваемом примере прогиб под
действием продольной силы S = Р и поперечной Рп равен оП-п — w/2 =
— 0,2 мм. Прогиб под действием одной поперечной силы Рп определим по
формуле (14), где Р = Рп и изгибная жесткость
п „ Mi 1•105-2-0,083
В=В1=Е — =-----------5702----
= 9,38 Н-мм2.
61
Величину эйлеровой силы находим по выражению (21):
л2 Bj.
(vZ)2
л2-9,38
4 • 10s
= 0,231 Н,
где коэффициент v находим по табл. 4: v — 2. Затем с помощью формул (20)
и (14) вычислим силу Рп «а 0,0336 Н. Следовательно, искомая контактная сила
в соответствии с выражением (25) Рк = Ру— Рп = 0,115 — 0,034 «^0,081 Н.
3. БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПЛОСКИХ ПРУЖИН
Пружина из тонкой проволоки или ленты может при изгибе
получать большие перемещения, соизмеримые, например, с дли-
ной пружины. Большие перемещения сопровождаются значитель-
ным изменением кривизны оси пружины. В то же время, если
толщина h пружины достаточно мала, то ее деформации могут
оставаться малыми и упругими:
_____ h ___
emax — "2(7^
где emax — наибольшая деформация в изогнутом стержне; еу —
деформация, соответствующая пределу упругости материала; 1/р—
изменение кривизны оси.
При больших перемещениях, в отличие от малых, принципы
неизменности начальных размеров и независимости действия сил
неприменимы; направление действия сил и место их приложения
могут существенно изменяться в процессе изгиба.
Дифференциальное уравнение (22) упругой линии первона-
чально прямого стержня в области больших перемещений теряет
силу, так как оно основано на приближенном представлении кри-
визны как второй производной прогиба « у". Точное выраже-
ние кривизны имеет вид
1 _ у”
Р .L
и + та 2
Все это значительно осложняет расчет пружин в области
больших перемещений.
Общий метод решения задач об упругом изгибе стержня в боль-
ших перемещениях разработан Е. П. Поповым [72]. Краткое из-
ложение сущности этого метода и его применение к решению
некоторых задач даны также в работах [5, 68, 69].
Рассмотрим стержень АВ, изгибаемый силами Р так, как по-
казано на рис. 32, а. Из этого стержня можно выделить бесчислен-
ное множество отрезков разной длины; они будут нагружены
по концам одинаковыми силами Р и различными по величине мо-
ментами М. Форму упругой линии каждого из этих отрезков можно
легко найти, если известны форма упругой линии стержня АВ,
62
.i i.iiwuu положение начальниц и конечной точек отрезка на стержне
АВ. Иначе юворя, решение задачи об изгибе стержня АВ вклю-
чает в себя решения бесконечного множества задач об изгибе
других стержней, отличающихся по своим размерам и по вели-
чинам нагрузок, поскольку изогнутые оси всех этих стержней
являются частями упругой линии стержня АВ.
Изменяя величины сил Р, получим новые очертания изогнутой
оси стержня АВ (рис. 32, б). Упругую линию стержня АВ можно
представить как часть некоторой бесконечной периодической
кривой, форма которой меняется с изменением нагрузки.
Упругая линия любого стержня при изгибе его произволь-
ными силами и моментами, приложенными по концам, оказывается
подобной какому-то участку одной из периодических упругих
кривых. Геометрическое подобие форм упругих линий опреде-
ляется тем, что в соответственных точках рассматриваемого
стержня и периодической упругой кривой угловые размеры оди-
наковы, а линейные — пропорциональны. Условия подобия
упруго изогнутых стержней выражаются в определенных соотно-
шениях размеров стержней и величин нагрузок.
Если известно решение для всего семейства периодических
упругих кривых, т. е. известны их формы, то для отыскания
упругой линии любого конкретного стержня надо найти лишь
тот участок периодической кривой, которому подобна упругая
линия рассматриваемого стержня.
Уравнения семейства периодических упругих кривых полу-
чены в безразмерных координатах, удобных для применения усло-
вий подобия стержней. Конечные формулы включают эллипти-
ческие интегралы, и в каждом конкретном случае решение можно
провести с помощью таблиц эллиптических интегралов, что не-
сколько неудобно для практического пользования. С целью
упрощения Е. П. Попов составил таблицы и построил диаграммы
так называемых упругих параметров, которые представляют собой
выраженные в безразмерной форме линейные и угловые коорди-
наты и кривизну в каждой точке периодической упругой кривой.
Рнс. 32. Формы осн нагибаемого стержня
63
Рис. 33. Примеры стержней основного класса
Упругие параметры полностью характеризуют периодическую кри-
вую, следовательно, и изогнутую линию любого конкретного
стержня. Используя условия подобия изогнутых стержней, можно
от безразмерных координат (упругих параметров) перейти к раз-
мерным координатам нагруженного стержня, и наоборот.
При решении любой задачи о плоском изгибе стержня по изве-
стным данным всегда можно найти некоторые из упругих параме-
тров в начальной и концевой точках изогнутой оси рассматрива-
емого стержня. По значениям этих параметров находится отобра-
жение упругой линии стержня на диаграмме упругих параметров,
после чего определение значений всех остальных упругих пара-
метров в любой точке стержня не представляет труда. По величи-
нам упругих параметров с помощью простых формул перехода
можно найти все искомые величины: перемещение, кривизну,
напряжения в любой точке стержня, его упругую характеристику,
потенциальную энергию деформаций стержня и т. д.
Рассматриваемый метод может быть применен к любым задачам
о плоском изгибе гибких стержней, но диаграммы упругих пара-
метров составлены только для задач основного класса:
1) стержень нагружается только по концам сосредоточенными
силами и моментами;
2) начальная форма стержня представляет собой прямую
или дугу;
3) жесткость стержня постоянна по длине.
На рис. 33, а—е приведены примеры стержней основного класса.
64
К основному классу можно привести также задачи изгиба
стержня, каждый участок которого находится в условиях основ-
ного класса. Например, к основному классу можно привести
стержень, если он нагружен сосредоточенными силами Р и мо-
ментами М в промежуточных точках (рис. 33, ж, з, к, м), а также
если начальная кривизна или поперечное сечение стержня изме-
няются ступенчато (рис. 33, и, д). При решении задач, сводя-
щихся к основному классу, каждый участок рассматривается как
отдельный стержень основного класса, а на границах участки
связываются силовыми и геометрическими условиями.
Таким образом, основной класс задач (включая задачи, кото-
рые могут быть сведены к основному классу) весьма обширен
и охватывает большинство практических случаев изгиба гибких
стержней
В работе [72 ] дано также решение задач, не сводящихся
к основному классу. К ним относятся задачи изгиба стержней,
плавно изменяющейся кривизны или жесткости или нагруженных
распределенными силами. При решении этих задач стержень
разбивается на бесчисленное множество малых участков, каждый
из которых находится в условиях основного класса.
Дальнейшее развитие эта теория получила в работе [78],
где приведено численное решение на ЭВМ задачи о больших пере-
мещениях гибких стержней. В статье [109] предлагается метод
аппроксимации найденных Е. П. Поповым нелинейных зависи-
мостей алгебраическими выражениями.
Вопросам статики и динамики гибких стержней и нитей посвя-
щена фундаментальная работа В. А. Светлицкого [83].
Ниже приводятся некоторые результаты решения задач гиб-
ких стержней по методу Е. П. Попова для стержней, находящихся
в простейших условиях поперечного и продольного изгиба. Ре-
зультаты решений даны на номограммах (рис. 34), с помощью
которых можно значительно упростить решение многих задач.
Пример 1. Для стальной пружины, размеры и первоначальная форма кото-
рой указаны на рис. 35, а, определить перемещение конца и наибольшее напря-
жение при силе Р— 1 Н. Оценить погрешность расчета по линейной теории.
Модуль упругости материала Е = 2,1 • 105 МПа.
Решение. Стержень нагружен по схеме, соответствующей рис. 34, а.
6'0 З3
Определим изгибную жесткость пружины В = Е —= 2,1-105 —— =
PZ2 1*80
= 2840 Н-мм2 и безразмерную нагрузку —g— = = 2,25. По графику
Pl2
рис. 34, а находим при —g- = 2,25 безразмерныежоординаты конца стержня:
х±И = 0,53 и yjl = 0,81. При I = 80 мм получим хг = 42,4 мм и уг = 64,8 мм.'
Следовательно, вертикальное перемещение ов = Xj = 42,4 мм, горизонтальное
перемещение ty = I — у± = 80 — 64,8 = 15,2 мм. -а
Если подсчитать перемещения балки по линейной теории, то получим пг = О
и, в соответствии с формулой (14), vB = = яЦ.80., = 60 мм; ошибка
линейной теории составляет в этом случае соответственно 100% и 41%.
3 Андреева Л. Е. 65
Рис. 34. Номограммы для расчета перемещений конца стержня:
а — в условиях поперечного изгиба; б — в условиях продольно-
го изгиба
W------и^"720 ™’'
линейной теории дает
Напряжение отах возникает в заделке, где изгибающий момент имеет наи-
большее значение Afmax = Ру — 1'64,8= 64,8 Н'мм. Следовательно, напря-
ги Мтах ______________Л4тах
жение O'max —
Расчет по
Pl 1-80-6
Отах - — 6,0>32
= 890 МПа,
что составляет расхождение с точным решением около 24%.
Рис. 35. Расчетная схема пружины
66
Пример 2. Определить силу Р и перемещение v, при котором произойдет
замыкание контактов пружинного механизма (рис, 36, а). Материал пружин —
бериллиевая бронза БрБ2, Е = 1,35-10® МПа (см. табл. 3). Расстояние а =
= 12 мм.
Решение. Каждая пружина механизма работает по схеме, указанной
па рнс. 36, б. Две точки перегиба (Т.П.) делят верхнюю н нижнюю половины
пружины на две равные части. Рассмотрим нижнюю четверть пружины
(рис. 36, в). Поскольку момент в точке перегиба равен нулю, конец этого участка
пружины нагружен только продольной силой Рх = Р/2, что соответствует схеме,
приведенной на рис. 34, б. Длина этой части пружины I = 10 мм, а горизонталь-
ное перемещение, которое получит ее конец 1 при замыкании контактов =
12
= а/4 = =3 мм.
4
— Pt2,
По графику рис. 34, б при y-Jl — 0,3 находим —Д— 2,53 и хг/1 = 0,95.
£>
Определим изгнбную жесткость пружины
В = Е^- = 1,35-10» 4,°1’°68, = 9,72 Н-мм2.
Искомая сила
5Д^ 5,06-9,72 =
г -Г1 t„ — 100 и,ЧУ^ и.
Перемещение точки 1 пружины в вертикальном направлении при замыкании
контактов
=1 (1—« 10(1-0,95) = 0,5 мм.
Следовательно, перемещение v= 4-0,5= 2 мм.
Пример 3. Определить силу Р, удерживающую первоначально прямую
пружину в положении, указанном на рис. 37.
Решение. Указанному на рис. 37 положению соответствует координата
точки 1 0. По графику, приведенному на рис. 34, б, находим при =
Р12 5 4В
= 0 —g- = 5,4, откуда сила Р =
Пример 4. Плоские пружины центробежного тахометра (рис. 38, а) служат
для преобразования частоты вращения N валика в линейное перемещение v
втулки. Определить коэффициент запаса пружины и перемещение v при рабочей
частоте вращения Л/= 1800 об/мин. Масса груза т = 3 г. Материал пру-
жин— бериллиевая бронза БрБ2;_£модуль упругости Е = 1,35-10® МПа,
Рис. 33. Расчетная схема пружинного механизма
3*
Рис. 37. Расчетная схема пря-
мой пружины
67
Рнс. 38. Расчетная схема пружины тахометра
предел упругости оу = 960 МПа. Размеры пружины: L = 50 мм, сечение b X
X h = 5 X 0,2 мм. Расстояние а = 8 мм.
Решение. Возникающая при вращении груза центробежная сила равна
о nN .
т&г, где угловая скорость (о = радиус вращения г = а + х2; х2 —
координата точки 2 (рис. 38, а). Из условия симметрии на каждую пружину
действует сила Р = m<s?r.
Если не учитывать силу трения между втулкой и валиком и массу пру-
жин, то условия нагружения участка 01 (рис. 38, б) пружины будут соответ-
ствовать схеме, показанной на рис. 34, а.
Точка перегиба 1 делит пружину на два участка: 01 и 21, которые нахо-
дятся в одинаковых условиях, поэтому координата х2 = 2хг.
С учетом этого выражение для центробежной силы принимает вид
Р = 4- т (а + 2х^ •
z \ ои /
(26)
Pl2
Задаваясь рядом значений находим по графику рис. 34, а безразмерные
О
координаты уг/1 и xjl. Искомое перемещение v определится как v = 4 (I — у^),
где длина участка 01 I = L/2. По параметру PINB, зная I и изгибную жесткость
Е bh3
В = ~1У~' 0ПРеДелим силу Р, а затем с помощью выражения (26) — ча-
стоту вращения N.
Наибольшее изгибное напряжение в сечении 0 или 2
„ _ 44|Пах 6Р//у
итах 1у/ ^2 •
Результаты расчета показаны в виде кривых на рис. 38, в. При рабочей
частоте вращения М = 1800 об/мин напряжение отах = 350 МПа. Коэффи-
циент запаса по напряжениям в соответствии с формулой (9)
<уи 960
«о = — = озК =
•^тах 350
Поскольку эта задача существенно нелинейна, определим также коэффициент
запаса по нагрузкам с помощью выражения (10). В данном случае параметром,
68
определяющим состояние системы, является частота вращения N, поэтому коэф-
фициент запаса по нагрузкам пр определится как пр — Ny/N, где Ny —пре-
дельная частота вращения, при которой напряжение в опасной точке достигает
значения предела упругости оу. По графику рис. 38, в при о = оу = 960 МПа
находим Л’у = 2380 об/мин. Тогда
__Л^___2380__
₽- N — 1800
Коэффициент запаса, определяемый по частоте вращения, оказался вдвое
меньше коэффициента запаса по напряжениям.
Результаты решения задачи о больших перемещениях стержня,
свободно лежащего на двух опорах, приведены в виде кри-
вых на рис. 39, а [69, 109].
В отличие от рассмотренных выше случаев в данной задаче
рабочая длина I стержня является переменной величиной.
Если не учитывать силы трения в опорах, то реакции R будут
направлены ио нормали к упругой линии стержня (рис. 39, б).
По мере увеличения прогиба угол 9 увеличивается, а при 9 = -у-
реакции направлены горизонтально. При этом сила Р = 0. При
дальнейшем прогибе пружины знак силы Р меняется.
На рис. 39, а дан график зависимости безразмерных величин
силы Р1д/В'(гце /0 — половина расстояния между опорами) и
напряжения в опасной точке alJEh в зависимости от безразмер-
ного прогиба ///0. Функция — f (у-) имеет максимум
~ 1,66 при f/l0 — 0,46. Пои прогибе / = 1,67/0 кривая
\ £> / max
пересекает ось абсцисс, и знак силы Р меняется.
Рнс. 39. Стержень на дпух опорах
69
Поведение стержня зависит от способа его нагружения. Если
сила Р создастся подвешенным грузом (рис. 39, с), то при дости-
жении грузом величины, соответствующей (Р/„/В)тах, пружина
проскользнет между опорами. Если же нагружать пружину с по-
мощью винта (рис. 39, г), т. е. задавать перемещение /, то при
прогибах f пэ О,46/о контактное усилие между винтом и пружиной
будет уменьшаться, и при Р = 0 произойдет проскок пружины
между опорами при значительно большем прогибе, чем в первом
случае нагружения.
Кривые на рис. 39 могут быть использованы при расчетах
двухопорных стержней на жесткость и прочность в области боль-
ших перемещений.
ГЛАВА Ilf
ВИНТОВЫЕ ПРУЖИНЫ
1. РАЗНОВИДНОСТИ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН,
СПОСОБЫ ИЗГОТОВЛЕНИЯ, ПРИМЕНЕНИЕ
Винтовые пружины, используемые в приборостроении, обычно
навивают из проволоки в виде пространственной спирали. Наи-
большее применение имеют винтовые цилиндрические пружины
(рис. 40, а), как самые простые в изготовлении. К винтовым пру-
жинам относятся также и спиральные фасонные пружины: кони-
ческие, параболоидные (рис. 40, б, в).
Для пружин характерны значительные взаимные перемещения
торцов при малых упругих деформациях проволоки. Винтовые
пружины компактны. Их обычно легко разместить в механизме
прибора. Простога изготовления винтовых пружин определяет
их низкую стоимость как в крупносерийном, так и в единичном
производстве. Пружину можно навивать на оправке на обычном
или специально приспособленном токарном станке. Значительно
производительнее навивка пружин на специальных пружинно-
навивальных автоматах, где проволока подается на штифты,
которые придают ей форму винтовой линии. Процесс навивки
может производиться непрерывно с оформлением концевых витков
и периодической отрубкой готовых пружин. Навивка фасонных
пружин и пружин с начальным натяжением на пружинно-нави-
вальных автоматах проще, чем навивка на оправке.
Пружины из тонкой, достаточно пластичной проволоки нави-
вают в холоднбм состоянии. Если диаметр проволоки превышает
10—12 мм, или отношение диаметра пружины к диаметру про-
волоки меньше 5—6, а также если материал проволоки имеет
низкие пластические свойства, то пружины навивают с нагревом
проволоки.
В некоторых случаях применяют пружины с прямоугольным
сечением витка (рис. 40, г), изготавливаемые из трубки токарно-
фрезерной обработкой. Таким способом могут быть изготовлены
пружины из материала с высокими упругими и прочностными
свойствами, если вследствие его низкой пластичности невозможно
получить пружины навивкой. Трудоемкость изготовления таких
пружин оправдывается в том случае, когда к качеству пружины
предъявляются особенно высокие требования.
Для изготовления пружин широко применяют термообработан-
ную стальную пружинную проволоку (например, проволоку
71
по ГОСТ 9389—75). Технология изготовления пружин из такой
проволоки проста, так как нет надобности в термической обра-
ботке навитой пружины. Иногда такие пружины проходят опера-
цию низкотемпературного отпуска с целью уменьшения остаточ-
ных напряжений, возникших при навивке.
Для пружин ответственного назначения, которые должны
обладать более высокими упругими свойствами, применяют за-
каливаемые стали (см. табл. 2) и дисперсионно-твердеющие сплавы
(см. табл. 3). Пружины, навитые из этих материалов, проходят
термообработку, в результате чего материал получает высокие
упругие и прочностные свойства.
Жесткость винтовой пружины определяется упругими свой-
ствами материала, а также следующими геометрическими пара-
метрами: средним диаметром пружины D, размерами поперечного
сечения проволоки и числом рабочих витков I (рис. 40, а). Отно-
шение среднего диаметра пружины к диаметру проволоки с —
— D/d называется индексом пружины. При некруглом сечении
проволоки с определяется как отношение диаметра D к толщине а
проволоки в направлении радиуса витка (рис. 40, а). Варьируя
этими параметрами, можно изменять жесткость пружины в очень
широких пределах. Поэтому сравнительно легко спроектировать
пружину требуемой жесткости в пределах заданных габаритных
размеров. При необходимости можно получить ряд пружин разных
жесткостей при одних и тех же габаритных размерах. Это поз-
воляет настраивать прибор для работы в различных диапазонах,
используя сменные пружины.
По условиям нагружения винтовые пружины подразделяют на
пружины растяжения, сжатия, кручения и изгиба (рис. 41).
Благодаря простой и компактной конструкции, хорошим ра-
бочим качествам, простоте изготовления винтовые пружины на-
ходят широкое и разнообразное применение в приборах.
Высокие упругие свойства обусловливают успешное приме-
нение винтовых пружин в качестве измерительных, преобразу-
ющих измеряемое усилие в перемещение. Измерительные винто-
вые пружины 2 широко применяют в манометрических приборах
совместно с разделительными элементами в виде сильфонов 1
Рис. 40. Разновидности винтовых пружин
72
Рис. 41. Винтовые пружины:
а — растяжения; б — сжатия; в — кручеиия; г — нзгнба
или эластичных мембран (рис. 42, а), в качестве силового элемента
узла настройки нижнего или верхнего предела измерения, на-
пример в манометре с безнулевой шкалой (рис. 42, б). Нижний
предел измерения такого прибора определяется давлением, при
котором тяговая сила манометрической пружины 1 превысит силу
натяжения винтовой пружины 3 и оторвет ее от упора 2.
В некоторых приборах винтовые пружины служат для пре-
образования линейного перемещения в угловое. Они представляют
собой тонкую металлическую ленту, обе половины которой на-
Рис» 42. Примеры применения винтовых пружин
73
вин,I n ii|n>iinioiitHiiuhiii.ix направлениях по винтовой линии боль-
шою угла пиды'ма При осевой деформации такой пружины ее
средни сечение получает значительные угловые перемещения
(до 7 1(1 оборотов). Такие пружины 1 могут быть использованы
в высокочувствительных весах, в приборах для измерения линей-
ных размеров, в микроманометрах и барометрах (рис. 42, в) и
в других чувствительных приборах.
Винтовые пружины используют особенно часто в качестве
натяжных для обеспечения необходимой силы натяга между
деталями прибора. Иногда их применяют как пружинные двига-
тели, например в фотозатворах, в механизмах привода различных
счетных и регистрирующих приборов и пр.
Винтовые пружины используют и в других более специальных
целях. В качестве равночастотных амортизаторов часто применяют
конические пружины. Пружины кручения 1 применяют как муфты
одностороннего вращения (рис. 42, г) и др.
Расчеты винтовых пружин рассмотрены во многих работах [68,
69, 73, 111, 112 и др.]. Динамике винтовых пружин посвящена
работа М. В. Хвингия [104].
2. КОНСТРУКЦИЯ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ
Различия в условиях работы и в конструкции пружин растя-
жения и сжатия связаны с направлением осевой силы.
В ненагруженном состоянии пружины сжатия должны иметь
зазор между витками, достаточный для получения рабочей осадки
пружины. У пружин растяжения межвитковый зазор либо мал,
либо вовсе отсутствует. Кроме этого пружины растяжения отли-
чаются от пружин сжатия оформлением концевых витков, через
которые передается нагрузка на пружину.
Для предотвращения изгиба пружины сжатия (рис. 43, а)
концевые витки подгибают и затем сошлифовывают по плоскости,
перпендикулярной оси пружины на длине от 3/4 до 1 витка
(рис. 43, б). Пружины сжатия легко центрируют буртиком или
выточкой в опорной плоскости (рис. 43, в).
Рис. 44. Концевые витки и зацепы винтовых цилиндрических пружин
74
Концы пружины растяжения оформляют в виде зацепов.
Наиболее часто применяемые формы зацепов показаны на
рис. 43, г—з. Зацеп, получаемый отгибом последнего витка
(рис. 43, а), технологически наиболее прост. Однако такой зацеп
при работе деформируется и создает эксцентриситет нагрузки, что
приводит к искажению упругой характеристики пружины. Изго-
товление зацепов по рис. 43, д сложнее, но они обеспечивают
большую точность передачи усилия по оси пружины. Зацепы часто
являются слабым местом пружины. Прочность зацепов повы-
шается при постепенном уменьшении диаметров последних витков
пружины (рис. 43, е). Зацеп, показанный на рис. 43, ж, хорошо
фиксирует место приложения растягивающего усилия. В этом
отношении еще лучше крепление приваркой проволоки, отогну-
той по направлению оси пружины (рис. 43, з).
Добиться высокой точности работы измерительных пружин
сжатия сложнее, чем для пружин растяжения, поскольку здесь
нагрузка прикладывается не в точке, а по плоскости, что затруд-
няет передачу усилия точно по оси. Кроме того, упругая харак-
теристика пружин сжатия дополнительно искажается вследствие
изменения рабочей длины проволоки при посадке концевых
витков.
Для повышения точности работы пружин сжатия иногда
приваривают перемычку между последним рабочим и опорным
витками (рис. 43, и). Этим уменьшается деформация концевых
витков при сжатии пружины. С такой же целью применяют фикса-
тор винтовой формы (рис. 43, к), который твердым припоем впа-
ивается между концевыми витками. В условиях, близких к иде-
альным, работают концевые и опорные витки прорезных пружин,
изготовляемых из трубки (см. рис. 40, г).
Во многих случаях желательна регулировка жесткости пру-
жины путем изменения числа рабочих витков. Для этого обычно
применяют крепление концов пружин (как растяжения, так и
сжатия) на резьбовых пробках (рис. 43, л). Недостатком такого
крепления является его сложность. Кроме того, между пробкой
и прилегающей к ней проволокой возникают силы трения; в слу-
чае жесткого крепления пробки осевая сила может передаваться
на пружину нецентрально.
Более простую конструкцию по сравнению с резьбовой проб-
кой имеет пластина с отверстиями, применяемая для пружин
растяжения (рис. 43, л/). Однако она хуже обеспечивает передачу
усилия по оси пружины, чем резьбовая пробка.
Пружина сжатия практически нечувствительна к перегрузкам,
если она сконструирована так, что при предельной нагрузке витки
пружины смыкаются. В этом случае пружина принимает форму
жесткого цилиндра, работающего на сжатие. У пружин большого
индекса возможна потеря устойчивости при полном сжатии,
проявляющаяся в выскальзывании отдельных витков в боковом
направлении.
75
Для защиты от перегрузок пружин растяжения применяют
специальные упоры и ограничители.
Пружины сжатия по сравнению с пружинами растяжения
конструктивно проще, дешевле в изготовлении и надежнее в ра-
боте. Однако при требовании малой жесткости пружины растя-
жения имеют преимущество перед пружинами сжатия. Уменьше-
ние жесткости пружины может быть достигнуто за счет увеличе-
ния числа витков, что приводит к росту габаритных размеров
пружины. С увеличением высоты пружины сжатия увеличивается
вероятность потери устойчивости. Увеличение же числа витков
пружины растяжения ограничивается только размерами уст-
ройства.
Очень часто пружины растяжения выполняют с начальным
натяжением (межвитковым давлением). Они отличаются от обыч-
ных пружин тем, что до тех пор, пока растягивающая сила не
достигнет определенной величины, удлинение пружины не про-
изойдет. Вопросы изготовления и расчета пружин с начальным
натяжением изложены в п. 10.
3. ГЕОМЕТРИЯ КВИНТОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЫ
На рис. 44 показаны винтовая линия пружины и ее развертка
на плоскость, где Н — высота рабочей части пружины; D — сред-
ний диаметр; / — рабочая длина проволоки, из которой навита
пружина; гр — центральный угол пружины, i — число рабочих
витков; а — угол подъема винтовой линии.
Зная высоту Н, диаметр D и число витков I, можно легко вы-
числить и остальные размеры пружины. Угол подъема а опре-
деляется из соотношения
(27)
Длина проволоки
1 = -^—=^-. (28)
sin a cos a v '
Центральный угол пружины
9/
гр = 2ni = -^-соза. (29)
Прежде чем перейти к расчету на жесткость винтовой пру-
жины, напомним некоторые понятия, связанные с геометрией
винтовой линии как пространственной кривой.
На рис. 45, а показаны три взаимно перпендикулярные пря-
мые, проведенные в точке А винтовой линии: касательная t,
главная нормаль п и бинормаль Ь.
Касательная t и бинормаль b расположены в плоскости bAt,
касательной к поверхности цилиндра, на котором находится
76
Рис. 44. Развертка винтовой линии
винтовая линия. Эта плоскость касается цилиндра по образу-
ющей АВ.
. Касательная t и главная нормаль п лежат в соприкасающейся
плоскости nAt винтовой линии. Соприкасающуюся плоскость
можно представить как плоскость, проходящую через три бес-
конечно близкие точки линии. Главная нормаль перпендикулярна
касательной плоскости и пересекает ось цилиндра 00 под прямым
углом.
Бинормаль b и главная нормаль п лежат в плоскости, нор-
мальной к винтовой линии. Угол между бинормалью и образу-
ющей АВ цилиндра равен углу подъема винтовой линии а, т. е.
углу между касательной t и плоскостью, перпендикулярной
к оси 00.
В частном случае плоской кривой главная нормаль распола-
гается в плоскости кривой и называется просто нормалью. Би-
нормаль же перпендикулярна плоскости кривой (рис. 45, б).
Геометрия пространственной линии характеризуется кривиз-
ной и кручением. Кривизна характеризует изменение направле-
ния кривой линии при перемещении вдоль этой линии. Проведем
в двух близко расположенных точках М и N касательные t и t'
(рис. 45, в). Через точку М проведем прямую р, параллельную
касательной f. Обозначим угол между t и р через dtp, а дугу
Рис. 4с. Геометрия винтовой линии
77
MN ils I in д,'i K|iiiiiinii;i z определится как предел отношения
yuii меж ц k.u .in ii.iii.iMii i и t' к соответствующей дуге, т. е.
</ir
z щ '
Понятие кручеиия аналогично понятию кривизны. Если кри-
визна характеризует отклонение кривой линии от прямой, то кру-
чение определяет отклонение пространственной кривой от пло-
ской. Па рис. 45, в показаны бинормали b и Ь' в точках М и N
кривой. Через точку М проведем прямую q, параллельную бинор-
мали Ь', угол между этой прямой и бинормалью b обозначим
через dp. За меру кручения принимают предел отношения угла
между бинормалями b и Ь' к соответствующей дуге: ® =
Бинормали в каждой точке плоской кривой параллельны
между собой (рис. 45, б), и кручение плоской кривой равно нулю.
Кривизну и кручение винтовой линии можно выразить через
ее параметры по формулам (69 ]
2cos2 а.
D ’
sin 2а
(30)
(31)
При растяжении пружины ее высота Н и угол подъема а уве-
личиваются, при этом кручение винтовой линии возрастает,
кривизна уменьшается, а торцы пружины получают взаимные
линейные и угловые перемещения.
Согласно соотношению (28), высота пружины Н = I sin а.
В области малых перемещений изменение высоты пружины Л/Г
может быть получено как дифференциал высоты Н. Поскольку
длина I проволоки практически остается неизменной, то
АН = I cos a Act. (32)
Изменение Аф центрального угла ф получим, дифференцируя
выражение (29). Учитывая, что при деформации пружины может
изменяться как угол подъема а, так и диаметр D, получим
Аф == — ^-(Act sinct + ^y-cosa) . (33)
Изменения угла наклона и диаметра пружины (Act и АО)
можно связать с изменениями кривизны и кручения; продиффе-
ренцируем выражения (30) и (31) по ос и по D:
. 2 sin 2а д 2 cos2 а . „
Az =------5— Да-------— ДО;
D L)z
А 2 cos 2а Л sin 2а А ~
Д(0 = D Аа — —- АО.
78
Решив эти уравнения относительно Да и ДП, подставим полу-
ченные выражения в равенства (32), (33), тогда
АН = -у- nD2i (Да> — Дх tg а);
(34)
Д^ = nDi (Дх + Д (о tg а).
Из анализа выражений (34) следует, что если пружина имеет
малый угол подъема а, то изменение ее высоты будет в основном
зависеть от приращения кручения Дсо винтовой линии, а измене-
ние центрального угла Дгр — от приращения кривизны Дх.
4. РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ПО ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Жесткость пружины зависит не только от ее размеров и мате-
риала, но и от способа закрепления концов. При расчете будем
рассматривать два типа крепления торцов пружины:
1) свободное крепление, при котором торцы пружины могут
свободно поворачиваться вокруг ее оси, и поэтому при нагру-
жении пружины число ее витков может изменяться;
2) глухое крепление, при котором торцы не могут поворачи-
ваться; при таком креплении число витков пружины в процессе
ее нагружения остается постоянным, в заделке появляется реак-
тивный момент, препятствующий повороту торцов пружины во-
круг ее оси.
Креплением, близким к свободному, обладают пружины растя-
жения с зацепами и пружины сжатия, если опорные плоскости
могут поворачиваться друг относительно друга (например, если
один из торцов пружины упирается на подпятник, как показано
на рис. 46, а). К этому же типу следует отнести пружины с про-
тивоположной навивкой на обеих ее половинах (рис. 46, б).
При растяжении или сжатии такой пружины ее торцы вследствие
симметрии не поворачиваются друг относительно друга, поэтому
в опорах силы трения не возникают. При этом среднее сечение
поворачивается относительно концевых.
Глухое крепление осуществляется у пружин растяжения
и сжатия при жестком креплении резьбовых пробок по торцам,
а также у большинства пружин сжатия за счет сил трения, воз-
никающих между пружиной и опорными
плоскостями (см. рис. 43, б, в, к, л).
Следует отметить, что реальные кон-
струкции крепления концов пружин не
вполне соответствуют свободному или глу-
хому креплению, а являются промежуточ-
ными, более или менее приближающимися
к тому или иному типу.
и) £)<
Рис. 46. Пружины со свободным креплением торцов
79
Рис. 4 7. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении витка
ф
Осадка пружины X, т. е. взаимное перемещение ее торцов
вдоль оси пружины, равна изменению А// высоты пружины. Угол
поворота 0 одного торца пружины относительно другого вокруг
ее оси равен изменению Аф центрального угла пружины. Осадка %
и угол поворота 0 зависят от изменений кручения Ат и кривизны
Ах винтовой линии в соответствии с выражениями (34):
/. = -у- л£>2г(А(о — Axtga);
(35)
0 — nDi (Ах + Аи tg а).
В свою очередь, Аю и Ах связаны с изгибающим и крутящим
моментами в поперечном сечении витков уравнениями, основан-
ными на законе Гука [1011:
Асо=^_ и Ах = ^-,
С D
(36)
где Ах, А® — соответственно изменения кривизны и кручения
винтовой оси пружины при ее деформации; В = EJb и С = GJK —
соответственно жесткости проволоки при изгибе и при кручении;
Е и G — модули упругости первого и второго рода; Jb — осевой
момент инерции поперечного сечения проволоки относительно
бинормали b; JK — геометрическая характеристика, определя-
ющая жесткость сечения при кручении.
Крутящий и изгибающий моменты могут быть выражены через
внешние силы, действующие на пружину, с помощью метода се-
чений.
В пружинах растяжения — сжатия с глухим закреплением
торцов, помимо осевой силы Р, возникает реактивный момент 9J?
в плоскости, перпендикулярной оси пружины (рис. 47, а).
80
Рассмотрим общий случай нагружения пружины осевой си-
лой Р и моментом ЭЯ. Из условия равновесия части пружины,
отсеченной плоскостью, нормальной к винтовой линии, следует,
что момент внутренних сил в осевой плоскости пружины будет
равен PDI^ (рис. 47, б), а момент в плоскости, перпендикулярной
оси пружины, равен ЭЯ. Кроме того, в сечении действует сила Р,
направленная вдоль оси пружины. Для нахождения крутящего
и изгибающего моментов рассмотрим рис. 47, в, где показаны про-
екции моментов PDI2 и ЭЯ на нормальную плоскость и на пло-
скость, соприкасающуюся к винтовой линии.
Крутящий момент представляет собой момент внутренних сил
относительно касательной t к винтовой линии и равен сумме
проекций моментов PD/2 и ЭЯ на плоскость поперечного сечения
витка, т. е. на нормальную плоскость:
cos а + ЗЯ sin а. (37)
Изгибающий момент — сумма моментов внутренних сил отно-
сительно бинормали b (рис. 47, в) — определяется как сумма
проекций моментов PDI2 и ЭЯ на соприкасающуюся плоскость:
Мь = ЭЯ cos а — sin а. (38)
Сила Р может быть разложена на нормальную силу (проекция
на касательную f) и на поперечную силу (проекция на бинор-
маль Ь), однако эти силы мало влияют на осадку пружины по срав-
нению с изгибающим и крутящим моментами, поэтому исключим
их из дальнейшего рассмотрения.
При сжатии или растяжении пружины ее диаметр D и угол
подъема а изменяются. Поэтому крутящий и изгибающий моменты
в соответствии с выражениями (37) и (38) нелинейно зависят от
нагрузки. Следовательно, и деформация проволоки пружины,
пропорциональная в пределах закона Гука изгибающему и кру-
тящему моментам, будет нелинейно связана с нагрузкой. Этим
объясняется то, что упругая характеристика винтовой пружины,
вообще говоря, нелинейна. Если при выводе не учитывать эту
геометрическую нелинейность, то получим линейную зависимость
между осадкой пружины и нагрузкой. Нелинейность упругой
характеристики может быть определена при решении задачи
с помощью теории, учитывающей^изменение размеров пружины
под нагрузкой (п. 5).
Рассмотрим сначала линейную теорию расчета пружин растя-
жения-сжатия. Для этого примем в уравнениях (37) и (38) а = а0
81
и D = Do. Индексом «О» отмечены начальные значения угла
подъема и диаметра пружины.
Л4К = ЗЛ sin сс0 + cos а0;
М/, = 9Hcosa0 —sina0.
(39)
(40)
Заменяя в уравнениях (35) изменения кривизны и кручения
Ах и Асо их выражениями через изгибающий Мь и крутящий Мк
моменты (36), а последние согласно равенствам (39)—(40) через
внешнюю нагрузку Р и ЗЛ, получим следующие зависимости
осадки X и угла поворота 0 от нагрузки:
x = [₽o.(^-cos"a,+ sin«c<0) +
+ — 1) sin2au] ;
0==_Wo_ рф)/_В +
Bcosa0 [ 4 \ C / u 1
ЭИ sin2 a0 + cos2 аЛ J .
(41)
(42)
Определим перемещения пружины растяжения-сжатия при
двух указанных выше способах закрепления торцов пружины.
1. Свободное крепление. В этом случае реактив-
ный момент ЭИ = 0. Тогда по формуле (41) получим уравнение
упругой характеристики пружины
4С cos a0
(cos2au + -|-sin2o'0
(43)
и по формуле (42) — взаимный угол поворота торцов пружины:
4В cos a0
(-£---1) Sin 2a0
2. Глухое крепление. При глухом креплении угол
взаимного поворота торцов 0 равен нулю. Тогда, согласно выра-
жению (42), реактивный момент ЭИ в заделке:
PPQ (с 9 sin2a°
4 В . , „
~ q Sill OJ,q —COS Обр
(44)
82
Таблица 6
Форма сечения <z=A Ч а а
а
d>h
a/h 3 2 1,5 1
hi а 1 1,5 2 3
С/В 0,77 0,135 0,264 0,403 0,651 0,906 1,058 1,215
В результате подстановки выражения (44) в уравнение (41)
получим упругую характеристику пружины растяжения-сжатия
при глухом креплении концов:
____________1_________
4Ccosa0 В , „„
— sin- au + cosi 2 a0
(45)
Значения отношения жесткостей проволоки при кручении и
при изгибе С/В для различных форм поперечного сечения при-
ведены в табл. 6. При этом принято отношение модулей упругости
материала [1011 = 2 (1 + р) = 2,6, что соответствует коэф-
фициенту Пуассона р = 0,3.
При небольших углах подъема винтовой линии (а0 < 104-15°)
и приближенном расчете принимают а0 = 0, и тогда уравнения
(43) и (45) имеют следующий вид, одинаковый для обоих типов
крепления пружины:
« _ nPD$i0
(46)
Если сечение проволоки круглое, то жесткость при кручении
С — GJр = 6^-, и тогда при а0 = 0 получим известную фор-
мулу
i ____
0 GcP
(47)
83
Жесткость при кручении С проволоки прямоугольного сечения
определяется как С = GJK, где JK — геометрическая характери-
стика жесткости сечения при кручении (см. рис. 40, г)
./к = |3а% при а < h
или
J, = |3a/i3 при а > h.
Коэффициент р определяется в зависимости от отношения
сторон прямоугольного сечения:
~ или — . . 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6
h а
р.............. 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299
Если отношение сторон прямоугольного сечения достаточно
велико, как, например, у ленточной винтовой пружины (см.
рис. 42, в), то выведенные выше формулы дают большую погреш-
ность [23]. Дело в том, что такая пружина представляет собой
по существу тонкостенную цилиндрическую оболочку с винтовой
прорезью, и, соответственно, ее расчет должен производиться не
по теории бруса, на которой основана обычная методика расчета
винтовых пружин, а по теории тонкостенных оболочек [23-, 24, 25 ].
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Осадка пружины с витками круглого поперечного сечения
определяется в основном скручиванием проволоки, которое зави-
сит от крутящего момента. Для пружины со свободным крепле-
нием торцов, согласно (37),
PD
Мк = —g- cos а.
Как указывалось выше, геометрическая нелинейность винтовой
пружины связана с изменением ее диаметра D и угла подъема а
при нагружении. Так, при сжатии пружины ее диаметр увеличи-
вается, а угол а уменьшается, поэтому осадка нелинейно растет
с нагрузкой. В результате упругая характеристика пружины сжа-
тия из проволоки круглого сечения будет возрастающей (рис. 48).
При растяжении пружины крутя-
щий момент увеличивается медленнее,
чем нагрузка, так как диаметр пружины
будет уменьшаться, а угол подъема
витков — возрастать. Поэтому упругая
характеристика пружины растяже-
ния — затухающая.
Рис. 48. Упругие характеристики пружины:
/ — сжатия: 2 — растяжения
84
Величина нелинейности упругой характеристики зависит от
геометрических параметров пружины, от формы поперечного
сечения проволоки и величины рабочей осадки пружины. Обычно
нелинейность у винтовых цилиндрических пружин невелика,
поэтому уточненный расчет упругой характеристики с учетом
нелинейности требуется в основном только при проектировании
измерительных пружин точных приборов.
Нелинейность упругой характеристики может быть определена
с помощью теории больших перемещений винтовой цилиндри-
ческой пружины, разработанной И. А. Чернышевым [111, 112].
Отличие этой теории от линейной состоит прежде всего в том, что
уравнения равновесия составляются не для начального, а для
деформированного состояния пружины. Поэтому в уравнениях
равновесия (37) и (38) величины а и D означают угол подъема
и диаметр пружины в нагруженном состоянии.
Далее, поскольку задача решается с учетом больших пере-
мещений, осадку /. и угол 0 взаимного поворота торцов следует
считать конечными величинами, поэтому их нельзя определять
как бесконечно малые приращения высоты Н и центрального
угла ф, т. е. путем дифференцирования выражений (28) и (29),
как это делалось в линейной теории. Осадку % определяют в этом
случае как разность между конечным и начальным значениями
высоты пружины. В соответствии с выражением (28) получим
/. = Н — И0 = I (sin а — sin а0)- (48)
Угол 0 взаимного поворота торцов по выражению (29)
0 = ф-фс = 2/(^---»\ (49)
X U ^0 /
где / — длина проволоки пружины; индексом «О» отмечены на-
чальные параметры пружины.
Изменения кривизны и кручения Дх и Ли также определяют
как разность между конечными и начальными значениями. Ис-
пользуя выражения (30) и (31), получим
Л 2 cos2 а 2 cos2 а0 .
Дх = х — х(| = —g----------------------------~
А sin 2а
Ди = и — соо = ——
Do
sin 2а0
’ Da
(50)
Рассматривая только упругие деформации пружины, уравне-
ния (36), связывающие изменения кручения и кривизны с крутя-
щим и изгибающим моментами, оставим без изменения.
85
11|>11|>.11111ивая правые части выражений (50) и (36) и заменяя
М/, и Л1 через внешнюю нагрузку с помощью уравнений (37)
н (38), получим
1);. / е<>№ a cos2 а,,\ PD . , ™
2'Ч“-------от) =-----^s^a + ^cosa;
С ( siu 2a 2!^) = cos а + sin а.
(51)
Уравнения (48), (49) и (51) позволяют получить упругую
характеристику пружины. Также как и в случае линейной теории,
определим уравнения характеристики пружины при двух спосо-
бах крепления торцов: свободном и глухом.
1 .Свободное крепление. Полагая момент ЗЯ = 0,
исключим из уравнений (51) диаметр D. Используя полученное
уравнение и выражение (48), запишем характеристику пружины
в параметрической форме:
В , . .
. „ „ cos a cos а0 + sm a sm а0
г> \ cos- ОСп с
Р = —й- Sin (а — а0)--------—
п2 v и/ cos а
Lо
sin2 а
X = I (sin а — sin а0).
Длина проволоки / может быть найдена по уравнению (28):
Яр ЗТРр^о
sin а0 cosa0
(53)
2 . Глухое крепление. В этом случае угол 0 поворота
торцов равен нулю, следовательно, в соответствии с выражением
(49) D = Do CjgИсключив из уравнений (51) реактивный
момент ЗЯ, получим характеристику пружины растяжения-сжатия
при глухой заделке торцов:
р___4С cos2 a0
7 Б5
ио
(sin а — sin a0) —sin a (J —
cos 1 .
cos a ) J ’
(54)
X = I (sin a — sin a0).
Для того чтобы построить характеристику пружины, следует
задаться рядом значений угла а и подсчитать соответствующие
значения прогиба X и нагрузки Р по формулам (52) или (54). Если
пружина испытывает растяжение, то X и Р положительны, и на-
оборот.
86
Рис. 49. Кривые нелинейности для пружин из круглой проволоки:
а — со свободным; б — с глухим креплением торцов
С помощью формул (52) и (54) построены графики зависимости
нелинейности упругой характеристики пружин из проволоки
круглого сечения от величины относительной осадки:
к
(55)
при разных начальных углах подъема а0 винтовой линии (рис. 49).
Пример. Определить силу Р при сжатии пружины до соприкосновения вит-
ков, если средний диаметр пружины £>0 = 16,5 мм, диаметр проволоки d = 2 мм,
число рабочих витков i = 5, высота рабочей части пружины /Д, = 55 мм, модуль
упругости G=8' 104 МПа. Крепление концов пружины — глухое.
Решение. Осадка пружины
X = Но — dig — 55 — 2- 5 = 45 мм.
Начальный угол подъема, по формуле (27),
а0 = arctg " = arctg 0,212 = 12°; sin а0 -- 0,208.
Длина проволоки I, по выражению (53),
, _ Но
Sin сс0
55
0,208
= 264
мм.
87
Ук>л Ц||Д1.см.1 iniiironoii линии при максимальном сжатии определим из
второй формулы (54), учитывая, что при сжатии X <5.0,
sin а -- sin а0 + -у = 0,208 — = 0,038.
11од||цы по нерпой формуле (54) при С/В = 0,77 (см. табл. 6) н С =
= 6л41/32 да-г Р -302 Н.
Для нахождения нелинейности вычислим относительную осадку по фор-
муле (55)
и по кривым т] = f (6) для случая сжатия (рис. 49, б) при а0 = 12° определим
нелинейность т] = 1,2%.
6. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ И СПОСОБОВ КРЕПЛЕНИЯ ПРУЖИНЫ
НА ФОРМУ ЕЕ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Форма упругой характеристики пружины и величина нелиней-
ности в большей степени зависят от отношения жесткостей про-
волоки С/В при кручении и изгибе, т. е. от формы поперечного
сечения проволоки. На рис. 50 даны упругие характеристики
б = f (<?) и кривые нелинейности г) = / (о), рассчитанные по
формулам (52) и (54), для пружин растяжения и сжатия при
одинаковых прогибах. При этом принято, что пружины растя-
жения деформируются от начального угла подъема а0 = 0 до
а = 30°, а пружины сжатия — от а0 = 30° до а = 0. Пусть
также проволока пружин имеет одинаковую жесткость С при кру-
чении и разные значения жесткости В при изгибе относительно
бинормали (см. рис. 45, а). Формы сечений показаны на рис. 50.
PD2
Характеристики построены в безразмерных координатах q = -~
и б согласно выражению (55).
При одинаковой нагрузке пружина из проволоки с сечением,
вытянутым вдоль оси пружцны, получит больший прогиб, и, на-
оборот, если сечение вытянуто вдоль радиуса, то прогиб будет
меньше (рис. 50, а, б). Это можно легко объяснить, представив
себе характер деформаций пружины. Если сечение проволоки
вытянуто вдоль радиуса пружины (жесткость В при изгибе про-
волоки относительно бинормали значительно больше жесткости С
при кручении), то кривизна проволоки изменится незначительно
и осадка пружины будет определяться в основном изменением
кручения. При малой изгибной жесткости (сечение вытянуто
вдоль оси пружины) пружина получит дополнительные прогибы
за счет изменения кривизны проволоки под действием изгиба-
ющего момента. Поэтому при одинаковой нагрузке прогибы второй
пружины (В < С) будут больше, чем первой (В > С).
Упругая характеристика пружины с сечением, вытянутым
вдоль радиуса пружины, имеет наибольшую нелинейность
(рис. 50, в, г).
88
6) г)
Рис/50. Упругие характеристики и кривые нелинейности пружин из проволоки круглого
и прямоугольного сечения:
а — характеристики пружин сжатия; б — характеристики пружин растяжения; в —
кривые нелинейности пружин сжатия; г — кривые нелинейности пружин растяжения;
сплошные линии соответствуют свободной заделке, штриховые — глухой заделке
Следует отметить, что при полной осадке пружин сжатия
до а = 0 * величина нагрузки зависит только от жесткости про-
волоки при кручении, так как при а = 0 изгибающий момент Мь
равен нулю. Поэтому в пружинах, навитых из проволок с одина-
ковыми жесткостями при кручении и разными изгибными жестко-
стями, осевые усилия при полном сжатии (а = 0) одинаковы
(рис. 50, а).
Рассмотрим влияние формы сечения на нелинейность упругих
характеристик пружин растяжения (рис. 50, б). Пружины растя-
жения с большой изгибной жесткостью В в начале нагружения
(пока углы малы) имеют линейную характеристику. Затем по
мере увеличения угла а характеристика пружины растяжения
* В действительности угол подъема полностью сжатой винтовой цилин-
дрической пружины всегда больше нуля. Если высота сечения проволоки равна h,
то при полном сжатии пружины алг/i/nD.
89
Рис. 51. Характеристика пружины сжатия
И1 проволоки прямоугольного сечения
становится затухающей, по-
скольку величина крутящего
момента Мк, в соответствии
с выражением (37), будет расти
медленнее, чем сила Р.
Пружины, навитые из про-
волок с разными изгибными
жесткостями В, но с одинако-
выми жесткостями С при кру-
чении, на начальном участке
упругой характеристики имеют
одинаковые прогибы, так как
здесь деформация пружины
определяется в основном величиной скручивания проволоки.
При увеличении угла а появляется изгибающий момент, ко-
торый в соответствии с выражением (38) будет расти бы-
стрее, чем нагрузка. Изменение кривизны вызывает допол-
нительный прогиб, который может компенсировать (если
проволока пружины достаточно податлива на изгиб) умень-
шение прогиба из-за падения роста крутящего момента с уве-
личением угла а. Чем меньше жесткость В проволоки при
изгибе относительно бинормали, тем меньше затухание харак-
теристики. При В = С (прямоугольное сечение с отношением сто-
рон — w 1,7) характеристика свободно закрепленной пружины
растяжения с начальным углом подъема а0 = 0 будет линейной.
При В < С характеристика пружины растяжения становится
возрастающей (рис. 50, б, г).
Расчет пружины с сильно вытянутым вдоль ее оси сечением
проводят с использованием теории цилиндрических оболочек
[24, 25].
При глухом креплении торцов пружины форма сечения витков
особенно влияет на упругую характеристику пружин сжатия.
Пружины с сечением, вытянутым вдоль радиуса, имеют круто
возрастающую характеристику (см. рис. 50, а).
Пружины сжатия с жестко защемленными торцами при доста-
точно большой величине отношения В/С могут терять устойчи-
вость, что выражается в потере несущей способности пружины
при некотором критическом значении нагрузки [1111. В момент
потери устойчивости пружина скачкообразно изменяет свой про-
гиб, складываясь до соприкосновения витков. При такой форме
потери устойчивости ось пружины остается прямолинейной.
На рис. 51 показана характеристика пружины прямоугольного
сечения с отношением сторон -2- = 6. В точке А нагрузка дости-
гает наибольшего значения qKp. При дальнейшем увеличении
прогибов нагрузка падает. При испытании пружина в момент
потери устойчивости изменит свой прогиб скачком. При разгрузке
90
пружина вернется на началь-
ную ветвь также скачком (от-
резок CD).
7. НАПРЯЖЕНИЯ В ВИНТОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЕ
РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ
При осевом нагружении в
пружине круглого сечения и
малого угла подъема а наи-
большее касательное напряже-
ние ттах возникает в точке А,
расположенной на внутренней
стороне витка (рис. 52, а). Его
величина может быть опреде-
лена по формуле
ТтаХ = Х-^-, (56)
где коэффициент х, зависящий
D
от индекса пружины с =
Рис. 52. Напряжения в пружине растяже-
ния-сжатия:
а — эпюра касательных напряжений т в
поперечном сечении пружины из проволоки
круглого сечения; б — коэффициент %' для
пружины из проволоки прямоугольного се-
чения
показывает, во сколько раз на-
пряжение во внутренней точке
витка А больше, чем напряжение MK/WP, вычисленное по теории
кручения прямого бруса. Величина х возрастает с уменьшением
индекса с пружины. Если с > 10, то пружину можно рассматри-
вать как брус малой кривизны, и тогда X « 1.
Для пружин с малым углом подъема (а « 0) крутящий момент
PD
Мк = -g—; полярный момент сопротивления круглого сечения
1Е(, = -q^-, и формула (56) принимает вид
тпах = Х-^- (57)
Коэффициент х приближенно можно вычислить по формуле [69 ]
4с + 2
^ = 47^3-
(58)
Если витки пружины имеют прямоугольное сечение, то макси-
мальное напряжение в точке А или В (рис. 52) определяют по
формуле [69]
— ' PD
''max — X ’
Значения коэффициента х' в зависимости от индекса с — D/a
пружины и отношения сторон сечения h/a можно определить по
кривым, приведенным на рис, 52, б.
91
«.1431 III. IllIIIIOlH.IK ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Величину п и iiuiioii жесткости винтовых цилиндрических пру-
жин нс обходимо знать при изучении устойчивости пружин сжа-
тия, при pacuei.ix поперечных колебаний пружин, а также в тех
случаях, когда пружина при работе нагружена поперечными си-
лами Например, в некоторых высокочувствительных тензометрах
пружина шкреплена и нагружена по схеме консольной балки
(см. рис. 41, г).
Определим перемещения пружины, изгибаемой поперечной
па!рузкой в осевой плоскости (рис. 53, а). Для этого рассмотрим
деформации витка, выделенного из пружины сечениями, совпа-
дающими с плоскостью действия нагрузки. В концевых сечениях
витка возникают момент Л4 и сила Q, показанные на рис. 53, б.
Их величину можно определить из условий равновесия части
пружины, расположенной по одну сторону от рассматриваемого
витка. Ограничимся изучением изгиба пружины с малым углом
подъема винтовой линии и при определении деформаций будем
считать каждый виток пружины плоским.
Моменты М вызывают скручивание и изгиб проволоки относи-
тельно оси п, совпадающей с радиусом витка, вследствие чего
концевые сечения витка поворачиваются друг относительно друга
на величину й в осевой плоскости пружины (рис. 53, в).
Силы Q изгибают виток в его плоскости, в результате чего
концевые сечения смещаются друг относительно друга по радиусу
на величину w (рис. 53, г).
Рис. 53. Винтовая цилиндрическая пружина в условиях изгиба и определение деформа-
ций ее витка
92
Перемещения '0 и w могут быть определены с помощью интег-
рала Мора [1011:
2Л 2л 2л
f МКМК Rdtp Р МпМп Rdtp , f MhMbRdtp
»-.)------г----+ .1 ----ei-----”"=J---------Й—’ <59>
0 0 о
где Л4К — крутящий момент; Мп и Мь — изгибающие моменты
относительно главной нормали п и бинормали b (рис. 53, б)
в произвольном сечении ср под действием нагрузки М и Q; Л4к1,
Мп1 и Л461 — крутящий и изгибающие моменты от единичных
нагрузок (рис. 53, 5); С, Вп и Вь — жесткость проволоки при кру-
чении и изгибе относительно главной нормали и бинормали соот-
ветственно.
Интеграл Мора, определяющий угол поворота ft, состоит из
двух слагаемых, соответствующих скручиванию проволоки и ее
изгибу относительно главной нормали п. Перемещение w опре-
деляется только изгибом проволоки относительно бинормали Ь,
поэтому интеграл Мора имеет одно слагаемое.
Из условия равновесия части витка, отсеченной под углом <р
к плоскости разреза (рис. 53, б), определим внутренние силовые
факторы:
Мк — М cos tp; Мп = М sin ф; Mb — QR sin ф. (60)
При определении угла поворота ft в концевых сечениях витка
прикладываем единичные моменты; при определении перемеще-
ния — единичные силы (рис. 53, д'). Внутренние силовые факторы,
соответствующие этим единичным состояниям:
Л4К1 = 1 cos ф; Мп1 = 1 sin ф; = 17? sin ф. (61)
Подставив выражения (60) и (61) в интеграл Мора (59) и вы-
полнив вычисления, получим взаимный угол поворота концевых
сечений витка
« = (62)
и взаимное смещение их по радиусу
При чистом изгибе, когда поперечная сила Q равна нулю,
все витки пружины находятся в одинаковых условиях, поскольку
момент М одинаков для любого витка. В соответствии с пред-
положением о малости угла подъема представим пружину как
набор плоских витков, расстояние между которыми равно шагу h
пружины (рис. 54, а). В результате поворота витков друг отно-
сительно друга на угол 4 ось пружины принимает форму дуги
93
Рис. 54. Определение жест-
костей пружины при изгибе
и сдвиге
г)
окружности (рис. 54, б), радиус р которой в соответствии с выра-
жением (62) будет равен
___h _ h 2С
р fl “ MnD С '
+ Вп
Пружину можно уподобить некоторому прямолинейному
стержню, длина которого равна высоте пружины Н, а изгибная
жесткость — жесткости пружины. Кривизна этого эквивалент-
ного стержня в условиях чистого изгиба, в соответствии с изве-
стной формулой (12) теории изгиба бруса,
где Ли3 — изгибная жесткость эквивалентного стержня.
Из сопоставления двух последних выражений определим вели-
чину этой жесткости
^из = ДДТ , , с ‘ (65)
1 вп
Здесь I = И/1г — число рабочих витков.
Для пружины, изготовленной из проволоки круглого сечения,
С ~ GJP, Вп — EJn, Jp = 2Jn = Подставляя эти значения
94
в выражение (65) с учетом
гости HOU: G = 1у,
соотношения между модулями упру-
получим
л
Hd* Е
изо 32Di 2 + р. '
(65')
При достаточно большом изгибающем моменте витки пружины
на одной стороне сомкнутся. Дальнейший изгиб пружины сопро-
вождается поворотом витков вокруг нижних точек, где произо-
шло их соприкосновение. При этом изгибная жесткость пружины
изменяется, и поэтому формулы (65) и (65') становятся недей-
ствительными.
При поперечном изгибе пружины кроме изгибающего
момента М действует поперечная сила Q. В этом случае помимо
поворота на угол й, определяемый выражением (62), появляется
сдвиг витков друг относительно друга вследствие изгиба про-
волоки витка в его плоскости (см. рис. 53, б, г). Это смещение вы-
зывает дополнительный прогиб оси пружины При изгибе стержня
сплошного поперечного сечения влияние поперечных сил на про-
гиб мало, и им обычно пренебрегают. Винтовая пружина подат-
ливее при сдвиге в поперечном направлении, чем сплошной брус,
и это обстоятельство необходимо учитывать в расчете.
Представим снова пружину как набор плоских витков
(рис. 54, а). Взаимное смещение двух соседних витков в вертикаль-
ном направлении на величину w вызывает дополнительный по-
ворот оси пружины на угол Лй — -у (рис. 54, в), где /г —шаг
пружины. Используя выражение (63) для замены w и учитывая,
что h = H/i, получим
Ай = QnD4
8НВЬ ’
При замене пружины эквивалентным прямолинейным стержнем
в случае поперечного изгиба необходимо, чтобы этот стержень
был равноценен пружине не только по изгибной жесткости (как
при чистом изгибе), но и по жесткости при сдвиге. Для эквивалент-
ного стержня дополнительный угол поворота оси, вызываемый
деформациями сдвига, может быть определен по формуле
Дй =
Q
^СДЯ
(66)
где Дсдв — жесткость стержня при сдвиге.
Из сопоставления двух последних выражений следует
л . 8НВЬ
сдп - nD3i ‘
(67)
95
Для пружины, ин отпиленной из проволоки круглого попереч-
ного сечения, жесткость при сдвиге
ена*
д ______________
c«Bo 8D3i '
(68)
Пользуясь схемой эквивалентного прямолинейного стержня,
можно определить перемещения пружины при любых поперечных
нагрузках. Для этого удобно использовать интеграл Мора, кото-
рый в данном случае будет состоять из двух слагаемых, соответ-
ствующих изгибу и сдвигу эквивалентного стержня:
н и
С MpMt dz Г QpQj dz
J <4 из J АСДв
О О
(69)
где Мр и Qp, Мг и Qj — изгибающие моменты и поперечные силы
в произвольном сечении эквивалентного стержня в заданном
и в единичных состояниях.
Жесткости эквивалентного стержня при изгибе Лиз и сдвиге
А сдв находим по формулам (65) и (67) j
В качестве примера определим вертикальное перемещение конца пружины,
нагруженной и закрепленной как показано на рис. 54, г,
Значение интеграла Мора (69) найдем, перемножив эпюры в заданном и
в единичном состояниях по правилу Верещагина. Тогда искомое перемещение:
1 / PH3 2 , 1 ,л„, PH3 , PH
Диз \ 2 3 4СДВ (РИ}~ ЗАЮ + Асдв •
9. УСТОЙЧИВОСТЬ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПРУЖИН СЖАТИЯ
Сжатие винтовой пружины достаточно большой высоты может
сопровождаться потерей устойчивости так же, как и сжатие гиб-
кого стержня, и при некоторой критической нагрузке прямо-
линейная форма оси становится неустойчивой. Для нормальной
работы пружины потеря устойчивости недопустима, так как при
этом ее упругая характеристика искажается, запас прочности
уменьшается, а если пружина установлена в направляющих,
то появляются нежелательные силы трения.
Для определения критической нагрузки воспользуемся расчет-
ной схемой пружины в виде прямого стержня, эквивалентного
пружине в отношении жесткостей при сжатии, изгибе и сдвиге.
Угол подъема винтовой линии будем считать равным нулю. Пре-
жде чем достигнуть критического состояния, пружина получит
осадку Хкр. При критической силе Ркр пружина сохраняет равно-
весие в отклоненном положении, мало отличающемся от прямо-
линейного (рис. 55, а). Поперечный прогиб оси пружины можно
представить суммой двух слагаемых
v = ииз + ^сдв,
где пиз и усдв — составляющие прогиба, связанные с деформа-
циями соответственно изгиба и сдвига эквивалентного бруса.
96
Рис. 55. Потеря устойчивости винтовой цилиндрической пружины сжатия
Поскольку прогиб v мал, то вторая производная от него по
координате z (рис. 55, б) представляет собой кривизну оси пру-
жины; ее также можно представить суммой
у" = ^з + УсДв. (70)
Составляющая кривизны Пиз» связанная с деформациями чи-
стого изгиба, определяется по формуле (64):
1 М
^ИЗ —- д
р ^из
где Лиз — жесткость при изгибе эквивалентного бруса.
Изгибающий момент в произвольном сечении М — —Pv (знак
«—» соответствует отрицательной кривизне оси при указанном
направлении осей координат). Подставляя последнее выражение
в предыдущую формулу, получим
^ИЗ — 7 • (71)
Лиз
Составляющая кривизны, связанная с деформациями сдвига,
Псдв равна первой производной угла поворота
Усдв = Л'Й = -
Лсдв
Следовательно, соответствующая составляющая кривизны
rfQ (72)
" — 1
Усдв Лсдв dz
Поперечная сила в произвольном сечении z изогнутого стержня
Q = Р$ (рис. 55, в), где ft — угол поворота сечения эквивалент-
4 Андреева Л. Е. 97
iioio бруса Гак юн при сдвиге поперечные сечения смещаются
ияраллс .ni.iio дру) другу, не поворачиваясь (см. рис 54, в), угол й
связан io п,ко с нагибными деформациями бруса и поэтому 'ft =
у,', То|да поперечную силу можно представить как
Q = Pv'M, (73)
а составляющую кривизны у'сДВ, связанную с деформациями сдвига,
с учетом выражений (71), (72) и (73), записать
,, _ PV"^ ПК
^СДВ ~д —-----д д (7 4)
ЛСДВ ^ИЗ^СДВ
Заменив в уравнении (70) yB3 и у'сДВ формулами (71) и (74),
получим дифференциальное уравнение изогнутой оси пружины
^из \ ЛСДВ /
Введем обозначение
‘’ЧО + хФ <75>
Тогда дифференциальное уравнение примет вид
у" + k2v = 0.
Решение этого уравнения будет иметь вид
и — a sin kz + b cos kz.
Постоянные интегрирования а и b определим из граничных
условий. Если пружина закреплена так, что ее торцовые сечения
могут свободно поворачиваться в осевой плоскости (шарнирное
крепление), то граничные условия будут: при г = 0 или г = Н
прогиб у = 0. Из первого условия следует b — 0, а из второго
условия — равенство a sin kH = 0. Поскольку для изогнутого
стержня а 0, то для выполнения последнего равенства должно
быть kH = л. Отсюда, с учетом формулы (75), получим уравнение
pi। л р _ д д ni ________________________о
2 Г Л1СДВ^ Л1ИЗЛ1СДВ
Здесь Н — Но — лкр — высота пружины в момент потери устой-
чивости. Решив уравнение с учетом формул (65), (67) и (46), найдем
критическую осадку _______________________
Bb L + Вп J
где Но и Do — высота и диаметр пружины в начальном состоянии;
С, Вп и Вь — жесткости проволоки при кручении и при изгибе
относительно главной нормали и бинормали (см. рис. 45, а) соот-
ветственно; v — коэффициент, зависящий от способа крепления
концов пружины; его значения приведены в табл. 12.
98
Если пружина изготовлена
из проволоки круглого сечения,
то Вп = Вь; С/Вп = С1Вь—^,77
(см. табл. 6). Тогда выражение
(76) примет вид
4е = 0,813 [1 —
Ло L
Чем выше пружина, тем
меньше относительный прогиб,
при котором происходит потеря
устойчивости. Эта зависимость
иллюстрируется кривыми, при-
веденными на рис. 56, где дана
относительная критическая
осадка Ккр/Н0 как функция от-
носительной высоты H0/D0 при
различных креплениях концов
пружины из проволоки круг-
Рис. 56. Критическая осадка и пре*
дельная высота (Я0//)0)Пр при разных спо
собак крепления торцов пружины
лого сечения.
Если отношение высоты пружины к ее диаметру (Яо/По) доста-
точно мало, то пружина устойчива при любой величине прогиба.
В этом случае вычисление по формуле (76) дает мнимое значение
критической осадки. Предельная высота (7/0/О0)пр пружины, при
которой потеря устойчивости еще не происходит, определяется
из условия равенства нулю подкоренного выражения в фор-
муле (76):
Г 2____—
/ \ ==Д.1/ Bb (77)
\ -Do / пр v I/ С
Г + вп
Для пружин из проволоки круглого сечения
( \ 2,62 .
\ О,-, /пр V
Значения предельной высоты (H0/D0)v,p при различных усло-
виях закрепления торцов пружины указаны на рис. 56.
Для того чтобы оценить устойчивость пружины, следует под-
считать относительную высоту Ho/Do и сравнить ее с предельным
значением (H0/D0)pp, определяемым по формуле (77). Если <
< , пружина устойчива при любом прогибе. Если >
/ Hq \ „
> пружина может потерять устойчивость при проги-
бах, достигающих критического значения %кр.
4*
90
Использование кривых на рис. 56 позволяет быстро оценивать
устойчивость пружин из круглой проволоки.
Пример. Оцепить устойчивость винтовой цилиндрической пружины разме-
рами: Dn — 18 мм, d = 2,2 мм, i =* 10, Но — 46 мм при двух вариантах креп-
ления торцов: а) один торец закреплен на плоскости, другой — на шарнире;
б) один торец закреплен на плоскости, другой — свободен.
Решение. Определим отношение высоты пружины к ее диаметру:
= 2,56. Для первого варианта крепления пружины коэффициент
18
заделки v = 0,7, а предельная относительная высота
Так как -^5-
Do
— 3,74 (см. рис. 56).
пр
, то эта пружина устойчива при любой осадке.
Г‘Р
'о
Для второго варианта крепления торцов коэффициент v = 2 и
н
= 1,31 (см. рис. 56). В этом случае -=г11-
жина при критическом прогибе потеряет устойчивость. По кривой, соответст-
н
вующей v = 2, находим при ° = 2,56 относительную критическую осадку
^о
-Лр- = 0,11. При высоте пружины Но = 46 мм критический прогиб лкр =
по
— 0,11-46 = 5,06 мм. Полная осадка пружины X = Нв — di = 46 — 2,2 X
X 10 = 24 мм.
Таким образом, при прогибе, равном 0,2 от полного прогиба, пружина
потеряет устойчивость.
'о
’о
пр
, и, следовательно, пру-
пр „
10. ВИНТОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРУЖИНЫ
С НАЧАЛЬНЫМ НАТЯЖЕНИЕМ
Пружины с начальным натяжением навивают плотно, без за-
зоров и с межвитковым давлением. Растягивающая сила, при-
ложенная к такой пружине, не вызывает ее деформации до тех
пор, пока нагрузка не достигнет некоторой определенной вели-
чины, которую называют силой начального натяжения. Если
растягивающая сила продолжает увеличиваться, то между вит-
ками пружины появляются зазоры. Дальнейшая деформация
пружины с начальным натяжением будет происходить так же, как
и у обычной пружины. В сечении проволоки возникнет крутящий
PD
момент Мк = —- и поперечная сила Q = Р (рис. 57, о). При
этом угол подъема витков учитывать не будем, так как у пружин
с начальным натяжением он достаточно мал. При разгрузке пру-
жины зазор между витками будет уменьшаться, и витки со-
мкнутся, когда сила Р будет равна силе начального натяжения Рй.
В этот момент внутренние силовые факторы в поперечном сечении
проволоки будут иметь значения Мк = и Q = Ро (рис. 57, б)
При дальнейшем уменьшении растягивающей силы Р витки
пружины начнут давить друг на друга. Пренебрегая смятием
в местах соприкосновения витков, можно считать, что в проволоке
100
сохранятся те деформации и внутренние силовые факторы, которые
были в момент соприкосновения витков, т. е. при Р = Ро
(рис. 57, в).
При полном снятии внешней нагрузки в пружине с начальным
Р D
натяжением остаются крутящий момент Л4К = —и поперечная
сила Q = Ро (рис. 57, г).
Сила начального натяжения Рн определяется величиной оста-
точного крутящего момента, получаемого проволокой при на-
вивке. Пружины с начальным натяжением изготовляют навивкой
со скручиванием проволоки или навивкой с отгибом. При навивке
со скручиванием проволоку, поступающую на оправку, закручи-
вают в сторону навитой части пружины, как показано на рис. 58, а.
При навивке в проволоке сохраняется приложенный к ней момент,
большая часть которого остается и после снятия навитой пружины
с оправки. Такой способ навивки применяют лишь при изготовле-
нии коротких пружин из тонкой проволоки с небольшим началь-
ным натяжением, когда скручивание может быть произведено
вручную без применения сложных приспособлений. Существен-
ным недостатком такой навивки является большой разброс по
длине пружины силы начального натяжения.
Навивка с отгибом проволоки более проста и надежна, и ее
выполняют с помощью несложных приспособлений. При навивке
с отгибом проволоку, подаваемую на оправку, отгибают в сторону
навитой части пружины на некоторый угол а (рис. 58, б). Если
проволока не была бы связана с уже навитой частью пружины,
то винтовая линия (штриховая кривая) имела бы угол подъема а.
Рис. 57. Внутренние силовые факторы в
пружине с начальным натяжением
Рис. 58. Схемы навивки пружин с началь-
ным натяжением:
а — иавивка со скручиванием; б — навив-
ка с отгибом; в — навивка на штифтах
101
Рис. г>9. Характеристики обычной пружины Рис. 60. Пассик
растяжения и пружины с начальным
натяжением (ОаЬ)
Вместо этого проволока подтягивается навитой частью пружины
и скручивается, поскольку изменяется ее кручение, как про-
странственной кривой. В проволоке возникает крутящий момент,
который частично сохраняется в готовой пружине и создает необ-
ходимый натяг между витками. Пружины, изготовленные этим
способом, имеют достаточно постоянное и большое межвитковое
давление.
Навивку пружин с начальным натяжением часто производят
на штифтах (рис. 58, в). Выходя из направляющей втулки, про-
волока попадает на два штифта, которые придают ей форму винто-
вой линии (штриховая кривая). После образования первого витка
(по направлению штриховой линии) его конец заводят за прово-
локу, подаваемую на штифты, и тогда последующие витки будут
навиваться с межвитковым давлением.
Навивка на штифтах может быть автоматизирована; такой
способ навивки наиболее производителен.
Пружины с начальным натяжением изготовляют только из
термообработанной проволоки. После навивки термообработка
недопустима, так как она приведет к снятию остаточных напря-
жений, а следовательно, и начального натяжения. Измерительные
пружины могут подвергаться обычной стабилизации при невысо-
ких температурах нагрева.
Анализ способов навивки [501 показывает, что величина
наибольшего остаточного напряжения, как правило, не превышает
0,4—0,5 от предела текучести при сдвиге тт материала проволоки.
На рис. 59 показаны характеристики пружин с начальным
натяжением и обычной. Первая изображается ломаной ОаЬ,
вторая — прямой ОгаЬ. Сила начального натяжения обозначена Ро-
Если нужно, чтобы на рабочем участке ab характеристики пру-
жина незначительно меняла свое усилие, обычную пружину
подвергают большому предварительному растяжению Хо, которое
в несколько раз может превышать рабочий ход Храб. В этом случае
пружина с начальным натяжением дает существенную экономию
занимаемого места: в рабочем состоянии ее длина будет меньше
по сравнению с длиной обычной пружины на величину Хо.
Пружины с начальным натяжением широко используют в”при-
боростроении в качестве натяжных, измерительных и заводных
102
пружин. Можно считать, что большинство пружин растяжения
изготовляют с начальным натяжением.
Пружины с начальным натяжением удобно использовать в при-
борах с безнулевой шкалой, например в манометре, схема кото-
рого указана на рис. 42, б.
Известно применение пружины с начальным натяжением
в качестве гибкой связи — пассика, передающего движение
(рис. 60). Особенностью такой передачи является то, что она
одновременно выполняет роль муфты трения. Пружину уста-
навливают с некоторым натягом. При появлении момента сопро-
тивления на ведомом шкиве ведущая ветвь передачи натягивается
сильнее, а ведомая — ослабляется, и на ведомый шкив передается
момент, пропорциональный разности натяжения ветвей. При до-
статочно большом моменте пружина проскальзывает, и дальней-
шее увеличение передаваемого момента прекращается.
Пружины с переменным по длине межвитковым давлением
имеют нелинейную упругую характеристику. При растяжении
такой пружины число рабочих витков увеличивается (рис. 61),
поэтому ее жесткость будет падать. Такие пружины могут быть
использованы для исправления шкалы прибора, имеющего не-
линейную характеристику механизма. Пружину, навитую с пере-
менным начальным натяжением из проволоки с высоким электри-
ческим сопротивлением, можно использовать как датчик сопро-
тивления при измерении усилий или перемещений.
Характеристику 1, состоящую из двух отрезков прямой
(рис. 62), имеет только «идеальная» пружина с начальным на-
тяжением. Под «идеальной» понимается такая пружина, которая
Рис. 61. Пружина с перемен-
ным по длине межвитковым
давлением
Рис. 62. Характеристики
пржуины с начальным натя-
жением
103
напита ( inn HHiniii.iM ini длине межвитковым давлением, конце-
вые BiriMi п «.пи пы которой не деформируются, а растягивающая
сила при ною на гочио по оси. Реальная пружина будет иметь
плавную характеристику 2. Для того чтобы рабочий^участок
характерце шкп попал на прямую АВ, пружину при установке
в прибор растягивают на величину Хм. Величина монтажного
натяжения Хм зависит от размеров пружины, точности ее изгото-
вления, условий работы и составляет несколько процентов от на-
чальной длины пружины [50].
Расчет на жесткость и прочность пружин с начальным натя-
жением не отличается от расчета пружин с зазором между вит-
ками. Для пружин с начальным натяжением угол подъема а
можно считать равным нулю, что упрощает расчет.
Жесткость пружин с начальным натяжением в соответствии
с выражениями (I) и (47)
Характеристика пружины при Р Ро
у - р-ро
.
Наибольшее касательное напряжение определяется по фор-
муле (57).
Пружины, навитые с начальным натяжением, в отличие от
обычных пружин растяжения при некоторых условиях могут
терять устойчивость [50], что проявляется во внезапном перекосе
витков при растяжении пружины. На рис. 63 показана пружина,
потерявшая устойчивость на среднем участке, где она была на-
вита с большей силой начального натяжения, чем на верхнем
и нижнем участках.
Потеря устойчивости возможна у пружин большого индекса,
навитых с достаточно большим начальным натяжением. Если
начальное натяжение невелико, то при силе, меньшей критиче-
ской, между витками пружины появятся зазоры, после чего потеря
устойчивости вообще становится невозможной.
Для нахождения критической силы заменим пружину прямо-
линейным эквивалентным стержнем. Поскольку при потере устой-
чивости происходит только сдвиг витков друг относительно друга,
стержень должен быть эквивалентен пружине по жесткости на
сдвиг Лсдв, которая определяется формулой (68). В данном случае
при сдвиге ось пружины остается прямолинейной, а витки повора-
чиваются относительно оси на некоторый угол Aft. Поперечная
по отношению к витку сила Q — Р sin АО. Учитывая, что угол Ай1
может быть как угодно мал, Q « .РА’й. Кроме того, поперечная
сила Q связана с углом АО зависимостью (66). Подставляя в нее
значение поперечной силы Q — Р№ и учитывая выражения
104
(68), получим формулу для определения критической силы, при
которой происходит перекос витков
р = А = EHd*_
Ю Л1СДВ 8D3i '
Принимая во внимание, что для пружины с межвитковым
давлением высота Н = di, получаем
_ Ed*
к” — 8D3 ’
Оценку устойчивости иногда удобнее производить, сравнивая
8Р„о:
начальное напряжение т0 = - с критической величиной
касательных напряжений ткр. Напряжение ткр можно выразить
через силу Ркр с помощью формулы (57), где коэффициент % при
индексах с > 10 можно считать равным единице:
_ 8PKpD _ Е,р _ е
Ткр nd3 яО2 лса
Из этого выражения следует, что потеря устойчивости опасна
для пружин больших индексов. Для таких пружин предельная
величина начального напряжения (т0)пр ограничивается возмож-
ностью потери устойчивости и равна критическому напряжению
ткр, которое уменьшается с увеличением, индекса (рис. 64).
Для пружин малых индексов (с<Г 8 ч-10) величина предель-
ного начального напряжения (т0)пр определяется возможностями
Рис. 63. Потеря устойчивости пру-
жины растяжения с начальным на-
тяжением
Рис. 64. Предельная величина начального
напряжения в зависимости от индекса пру-
жины
105
навивки и составляет, как показали исследования [50], 0,4—0,5
предела текучести тг. Кривая изменения предельного начального
напряжения для пружин малых индексов также показана на
рис. 64.
11. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН
РАСТЯЖЕНИЯ—СЖАТИЯ
Характер задач, решаемых при проектировании, зависит от
назначения пружин. Наиболее трудоемко проектирование изме-
рительных пружин, к которым предъявляют более высокие тре-
бования, чем к натяжным и заводным пружинам, а также пру-
жинам-амортизаторам и пр.
При проектировании измерительной пружины основным тре-
бованием является обеспечение заданных величин жесткости
и наибольшего рабочего усилия (или перемещения). При этом
желательны минимальные значения гистерезиса и нелинейности
характеристики, которые должны во всяком случае быть меньше
заданных допустимых значений. Необходимо также обеспечить
определенные коэффициенты запаса по текучести, усталости и
устойчивости. Для измерительных пружин следует определять
коэффициент запаса по пределу упругости, который характери-
зует сопротивление материала микропластическим деформациям
(гл. I, п. 1). Кроме того, к пружинам нередко предъявляют до-
полнительные требования, например требование одинаковых га-
баритных размеров у нескольких сменных пружин при различной
жесткости, требование минимальной массы, определенной частоты
собственных колебаний и т. д.
Процесс проектирования измерительной пружины обычно со-
стоит из нескольких этапов. Сначала размеры пружины ориенти-
ровочно определяют с помощью приближенных формул или по
номограммам. Затем эти размеры уточняют при последующих
поверочных расчетах.
При проектировании обычно исходят из заданных величин
жесткости, максимальной нагрузки и рабочего хода пружины.
Сначала в соответствии с требованиями, предъявляемыми к пру-
жине, и условиями эксплуатации выбирают для нее материал.
Затем в зависимости от механических свойств материала и усло-
вий работы пружины назначают величину коэффициента запаса п
и определяют допускаемое напряжение как [т] = где ту —
предел упругости при сдвиге. Поскольку величина ту для многих
пружинных материалов в справочниках не приводится, при оп-
ределении допускаемого напряжения исходят из величины пре-
дела текучести при сдвиге т.г*. В этом случае коэффициент за-
* В справочной литературе для пружинных материалов приводятся, как
правило, значения пределов текучести при растяжении <гт. Предел текучести
при сдвиге приближенно можно определить по соотношению тт = (0,5 -г 0,6) сгт
[101].
106
паса п следует увеличить, чтобы обеспечить работу пружины в об-
ласти упругих деформаций. После этого определяют размеры пру-
жины, начиная с выбора индекса пружины с, величина которого
редко бывает меньше 4 и больше 20. Пружины меньших индексов
обычно не применяют по следующим причинам. Процесс навивки
пружин малых индексов связан с возникновением больших пла-
стических деформаций в материале пружины. Кроме того, при за-
данной жесткости с уменьшением индекса приходится увеличи-
вать число витков пружины. При этом возрастает высота пружины
и появляется опасность потери устойчивости для пружины
сжатия.
Однако и чрезмерное увеличение индекса пружины нежела-
тельно, так как это приводит к возрастанию диаметра пружины,
что может быть недопустимо. Кроме того, при увеличении индекса
падает жесткость пружины на сдвиг. Последнее может вызвать
потерю устойчивости пружины растяжения, навитой с начальным
натяжением (см. п. 10), а у пружин сжатия — потерю устойчи-
вости, выражающуюся в боковом выскальзывании витков при пол-
ном сжатии пружины. Навивка пружин больших индексов также
встречает технологические трудности, поскольку при больших
значениях индекса отклонения в режиме навивки могут вызывать
значительную неравномерность упругой отдачи пружины и, сле-
довательно, разброс по диаметру витков готовых пружин.
Выбрав материал пружины, величину допускаемого напряже-
ния и индекс пружины, из расчета на прочность и на жесткость
определяют диаметр пружины D, размеры поперечного сечения
проволоки и число витков i. В качестве первого приближения при
определении размеров пружины можно воспользоваться форму-
лами (57) и (47) линейной теории, в которых угол подъема витков
принят равным нулю. Для пружины, навитой из проволоки круг-
лого поперечного сечения, эти формулы можно записать в виде
Тшах = X < М; (78)
zz Рmax — T’min Grf4 _ Cd (7G\
' Храб ~ 8D8t — 8c*i ’ ' >
i где Pmln и Pmax — наименьшее и наибольшее значения рабочего
усилия; %раб — рабочая осадка пружины; D — средний диаметр
пружины; d—диаметр проволоки; I—число рабочих витков;
с — Did — индекс пружины; Д — жесткость пружины; ттах —
наибольшее рабочее напряжение; [т] — допускаемое напряжение;
G — модуль упругости материала при сдвиге; % — коэффициент,
учитывающий увеличение напряжения во внутренней точке вслед-
ствие кривизны витка (см. рис. 52, а).
107
Из выражении (78) п (79) определим диаметр проволоки и число
витков пружины:
(80)
В правые части формул (80) и (81) входят заданные и уже вы-
бранные величины Ртах, К, [т ], G, с.
Расчеты можно упростить, используя номограмму [5] (рис. 65),
верхняя часть которой построена на основании соотношения
(80). По ней можно определить значение диаметра d проволоки
в зависимости от индекса с при различных значениях отношения
допускаемого напряжения материала к наибольшей рабочей на-
грузке [т]/Ртах в соответствии с выражением (80). Нижняя поло-
вина номограммы описывается формулой (81). По этому участку
можно определить отношения числа рабочих витков к диаметру
проволоки Ud в зависимости от индекса с и величины GIK..
Расположение кривых в верхней части номограммы показы-
вает, что при данном отношении [т]/Ршах диаметр проволоки d
с увеличением индекса пружины возрастает медленно, так что в ин-
тервале индексов с от 4 до 20 этому отношению удовлетворяют
4—7 стандартных значений диаметра d проволоки.
Подбор числа витков и индекса пружины легко осуществить
из условия жесткости с помощью нижней половины номограммы.
Задаваясь каким-либо значением индекса с, соответствующим
(по кривой [т]/Ртах) стандартному диаметру проволоки, опреде-
ляют (по кривой GIK) отношение i/d, по которому находят число
витков Л При этом нужно иметь в виду, что жесткость пружины
зависит от индекса в большей степени, чем от числа витков [см.
выражение (79)]. Поэтому для получения заданной жесткости при
проектировании пружины удобнее изменять индекс с, а не число
витков i. Число витков для пружины растяжения ограничивается
габаритными размерами пружины по длине, а для пружины сжа-
тия, кроме того, возможностью потери устойчивости. Но и слишком
малое число витков нежелательно, так как при этом увеличивается
нелинейность характеристики пружины вследствие большого
влияния посадки концевых витков. Варьируя индексом с пружины,
всегда можно подобрать подходящее число витков i.
Полная высота пружины сжатия
нп = di + Чах + А, (82)
где /.тах — наибольшая осадка пружины; А — величина, завися-
щая от высоты концевых витков и учитывающая необходимость
зазора между витками при наибольшей осадке пружины; этот
зазор нужен для того, чтобы на рабочем участке характеристики
108
Рис. 65. Номограмма для проектирования винтовых цилиндрических
пружин растяжеиия-сжатия
109
Рис. 66. Характеристика пружины
Рис. 67. Пружина динамометра
не происходила преждевременная посадка отдельных витков. Ве-
личина зазора зависит от допуска на шаг пружины. Таким образом,
величину А можно представить в виде суммы:
А = diK + £ di,
где diK — высота концевых витков; число концевых витков iK =
= 1,5 4- 3 (бдльшие значения соответствуют пружинам с повы-
шенными требованиями к точности характеристики).
Коэффициент зависящий от допуска на шаг пружины, вы-
бирают в зависимости от режимов технологии в пределах £ =
= 0,14-0,5.
В результате выражение (82) принимает вид
Hn==d[i(l+B) + ij + ^max- (83)
Высота пружины растяжения, навитой без зазора между вит-
ками,
Нп = di + А,
где А — высота концевых витков.
В результате такого предварительного проектирования можно
получить ряд пружин различного индекса, удовлетворяющих за-
данным требованиям по жесткости и прочности. Из этого ряда
выбирают пружину, наиболее подходящую к разрабатываемой
конструкции прибора. Выбранную пружину следует оценить по
жесткости с учетом угла подъема витка, нелинейности и устойчи-
вости. При необходимости проверяют прочность пружины при
перегрузках, усталостную прочность и пр. В результате проведе-
ния этих расчетов уточняют выбранные размеры пружины.
Расчет при проектировании натяжных пружин более простой,
так как для них имеет значение только величина силы натяжения
при обеспечении достаточной прочности пружины. Обычно жела-
тельно, чтобы сила натяжения, по возможности, меньше изменя-
лась в пределах рабочего хода. Поэтому жесткость пружин натя-
жения выбирают достаточно малой, а требуемое усилие обеспечи-
ло
вают предварительным растяжением или сжатием пружины.
Таким требованиям хорошо удовлетворяют пружины растяжения
с начальным натяжением.
При проектировании заводных пружин необходимо исходить
из величины энергии, которую должна отдавать пружина при ра-
боте. Энергия U деформации пружины может быть определена,
как работа, совершаемая силой Р на перемещении Храб; она равна
площади аАВЬ (рис. 66), где АВ—рабочий участок упругой
характеристики:
U = ~ (-^тах Ч~ ^mln) ^раб-
Учитывая, что Р = /(X, получим
U = -у- (^тах — ^min) — "гуду (-^тах — Рmin)-
Пример. Спроектировать пружину динамометра на 20 Н (рис. 67). Осадка
пружины должна быть не менее 20 мм. Габаритные размеры пружины: высота —
не более 40 мм, диаметр — 16 мм. Пружина должна обладать коэффициентом
запаса по текучести «т^2. Материал — стальная пружинная проволока: пре-
дел текучести тт = 1000 МПа, предел прочности тв = 1300 МПа, модуль уп-
ругости G = 8,1-104 МПа. Сечение проволоки — круглое.
Определить нелинейность характеристики пружины и оценить ее устойчи-
вость .
п л г 1 тт 1000
Решение. Определим допускаемое напряжение [т! — — — —=
Мт 2,
= 500 МПа.
Жесткость пружины
K--L 1
X 20 мм ’
л , . [т] 500
Отношение допускаемого напряжения к наибольшей силе -=J—!— = — =
" шах 2U
МПа [т] МПа
= 25 —п—. По кривой -=—— =25—5— верхней части номограммы
п "max п
(рис. 65) устанавливаем, что значениям индекса с от 4 до 20 соответствуют
диаметры проволоки d от 0,8 до 1,5 мм. Задаваясь в этом интервале несколь-
кими значениями индекса с, определим по номограмме диаметры d, округляя их
до ближайшего большего значения по ГОСТ 9389—75.
Определим средний диаметр пружины D = de и наружный Da — D + d
Результаты вычислений сведены в табл. 7.
Таблица 7
Номер вариан- та С d, мм D, мм £>н, мм i Нп, мм G, г
1 4 0,8 3,2 4 120 138 5,2
2 6 0,9 5,4 6,3 33,3 58,7 3,55
3 8 1,0 8 9 20 47 3,5
4 10 1,1 11 12,1 11 37,8 3,6
5 12 1,2 14,4 15,6 7 33,7 4,0
6 16 1,4 22,4 23,8 3,4 29.8 5,4
7 20 1,5 30 31,5 1,8 27,7 6,5
111
.. - G
11од<ми।.li-м oiikiiiiciiih' модуля упругости G к жесткости пружины —гг =
Л
о 1 Ml 1«1
= 8,1-10* II мм " "° соответствУЮ1Цей кривой иижиеи части номограммы
(рис. 65) найдем величины Ud, затем—числа рабочих витков Z.
Высоту пружины определим по формуле (83). Принимая /к = 3, |= 0,2,
найдем
Wn = d(l,2i-|-3)+20.
Массу G пружины подсчитываем по приближенной формуле
тг2
С = т4-Ш2(/4-/к)-
ч-
где у — плотность (у=7,8-10'3 г/мм3). Результаты вычислений приведены
в табл. 7.
Наглядное представление о габаритных размерах равнопрочных пружин
одинаковой жесткости дает рис. 68, на котором по оси абсцисс отложены наруж-
ные диаметры, а по оси ординат — в том же масштабе— длины пружин [116].
Заданным условиям в отношении габаритных размеров удовлетворяют то-
лько пружины № 4 и 5. «>
Отметим, что пружины малых и больших индексов’имеют увеличенную’массу
(см. табл. 7).
Дальнейшие вычисления проведем для пружины №’4. Оценим нелиней-
ность ее упругой характеристики. Для этого определим угол а0 подъема витков.
н
Согласно зависимости (27) tg ап — Высота Нв рабочей части пружины
равна полной высоте Нп, за исключением высоты концевых витков: Яо = Дп —
— diK = 37,8—1,1-3 = 34,5 мм. Тогда tg а0 = -к~; jt1?- ,-г = 0,091 и ао = 5,2°.
О} 1 Ч • II* II
Для оценки нелинейности характеристики пру-
жины сначала подсчитаем относительную осадку б по
выражению (55):
б = —= „л2.0. .. = 0,0525.
tcDi 3,14-11-11
20
Нелинейность г] упругой характеристики при сжа-
тии пружины определим с помощью рис. 49, а: при
а0 = 5,2° и б = 0,053 т] 0,1%.
Оценка устойчивости пружины может быть произ-
ведена по графику, приведенному на рис. 56. Для этой
цели подсчитаем относительную высоту пружины:
Но 34,5 „ ..
= —г-— = 3,14. Крепление торцов пружины не
допускает поворота их в осевой плоскости (рис. 67),
следовательно, в этом случае коэффициент приведенной
длины v = 0,5. Рассматриваемая пружина устойчива
при любом прогибе, так как потеря устойчивости при
таком креплении возможна только при -5,24 (см.
‘-'а
рис. 56).
Рис. 68. Габаритные размеры равнопрочных пружин одинаковой
жесткости
112
12. ФАСОННЫЕ ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ
Фасонные пружины, например конические или параболиче-
ские (см. рис. 40, б, в), применяют, если необходимо иметь нели-
нейную упругую характеристику. Такие пружины могут быть
получены на пружинно-навивальных автоматах с перемещающи-
мися в процессе навивки штифтами или навивкой на специальных
оправках.
Фасонная пружина может иметь такую форму, что при сжатии
витки пружины постепенно соприкасаются друг с другом или с
опорной поверхностью и выключаются из работы. В этом случае
упругая характеристика пружины будет затухающей.
Применение пружин позволило создать ряд конструкций равно-
частотных амортизаторов, в которых с увеличением нагрузки же-
сткость пружины возрастает так, что в широких интервалах изме-
нения нагрузки удается поддерживать постоянной частоту соб-
ственных колебаний амортизируемого объекта.
Если форма пружины такова, что при полном сжатии пружины
ее витки располагаются на опорной плоскости, то высота пружины
будет равна диаметру проволоки. При жестких требованиях к га-
баритным размерам такая пружина предпочтительнее цилиндри-
ческой.
I* Упругая характеристика фасонной пружины сжатия с посте-
пенной посадкой витков имеет вид, показанный на рис. 69. На
участке О А деформируются все рабочие витки пружины; характе-
ристика линейна. В точке А характеристики начинается посадка
витков, в точке В — заканчивается. При дальнейшем увеличении
сжимающей силы Р осадка пружины X = Хк не изменяется. На
рис. 69 приняты обозначения: Р.А и Хи — сила и осевое перемеще-
ние пружины, соответствующие началу посадки витков, Рк
и Хк — то же, в конце посадки. Если витки располагаются на плос-
кости, то"Хк = Но. Приведем вывод уравнения упругой характе-
ристики фасонной пружины при посадке на опорную плоскость
Рис. 69. Характеристика фасонной пружины
а)
Рис. 70. Геометрия фасонной пружины
113
[73]. При этом ограничимся рассмотрением пружины с малым уг-
лом подъема. Вопросы расчета пружин при посадке на опорную
поверхность н проектирования фасонных пружин по заданной
упругой характеристике изложены в работе [73], где также рас-
смотрены цилиндрические пружины переменного шага как част-
ный случай фасонных пружин.
Геометрия фасонной пружины определяется формой образую-
щей поверхности вращения и формой спирали, которая получается
при проектировании витков пружины на плоскость, перпендику-
лярную ее оси (рис. 70, о).
Уравнение образующей ненагруженной пружины можно за-
писать в виде
?о = z0 (г), (84)
где (0 < z0 < Яо), (гх < г < r2); 20 и г — координаты в осевом и
радиальном направлениях произвольной точки оси проволоки;
Яо — высота ненагруженной пружины; щи г2 — наименьший и
наибольший радиусы витков пружины.
Для нагруженной пружины уравнение образующей
2 = 2 (г), (0 < 2 < Я),
но здесь И и 2 — высота и осевая координата пружины после на-
грузки.
Уравнение спирали в плане запишем в виде
г = г (ср), (0 < гр < 2ш), (85)
где ф — угловая координата, отсчитываемая от наименьшего
радиуса гг до текущего радиуса г; i — число рабочих витков.
При осевом нагружении пружины малого угла подъема витков
ее проекция в плане остается неизменной, поэтому уравнение (85)
спирали в плане остается справедливым и в нагруженном со-
стоянии пружины.
В качестве примера напишем уравнение образующей и уравнение спирали
в плане для конической пружины постоянного шага (рис. 70, б). Образующая
такой пружины является прямой, уравнение которой можно представить в виде
Ъ = (86)
Г2 —Щ
Проекция на опорную плоскость представляет собой’’Архимедову спираль:
+ (87)
, Г2~~ О
где t = -£——- — шаг спирали в плане.
Пусть шаг t спирали в плане больше ширины поперечного се-
чения проволоки (или диаметра проволоки d, если сечение круг-
лое). В этом случае при сжатии пружины ее витки, не задевая
друг друга, будут садиться на опорную плоскость. В результате
полностью сжатая пружина будет представлять собой плоскую
спираль.
114
Обычно посадка витков начинается с витка наибольшего ра-
диуса, поскольку он наиболее податлив. Затем посадка постепенно
распространяется на витки меньшего радиуса и заканчивается
посадкой витка радиуса гх. Случай, когда посадка начинается
с витка наименьшего радиуса, возможен, если шаг витков малых
радиусов достаточно мал по сравнению с шагом витков больших
радиусов. Такие пружины здесь рассматривать не будем.
Сначала найдем уравнение упругой характеристики пружины
на линейном участке ОА, когда сила Р < Рп (см. рис. 69).
Осадка пружины может быть определена с помощью интеграла
Мора
С/ИкгМк ds
р с1 , (88)
i
где Л4кр = Рг и МК1 = 1г — крутящие моменты в произвольном
поперечном сечении витков от заданной силы Р и от единичной
силы; С — жесткость проволоки при кручении; ds = г dtp —длина
элемента проволоки.
Так как при Р < Рк работают все витки пружины, то интеграл
(88) следует брать по всей длине I проволоки или по радиусу г
в пределах от до г2. Связь между переменными г и <р устанавли-
вается уравнением (85) спирали в плане.
Выведем уравнение линейного участка упругой характеристики конической
пружины с постоянным.шагом (рис. 70, б). Дифференцируя уравнение (87) спи-
рали в плане, получим
, 2л ,
dtp = -J- dr.
Интегрирование выражения (88) дает
* = ] r* dr = $ + (Г2 + (89'
Если пружина изготовлена из проволоки круглого сечения, то жесткость
при кручении
C = G7p
г ndi
= с-зГ’
и уравнение характеристики на линейном участке
х = + (г2 + Г1)‘
Найдем теперь уравнение упругой характеристики пружины
на нелинейном участке АВ, где происходит посадка витков, т. е.
при Р„ < Р < Рк.
На рис. 71,а линия LM изображает образующую z0 = z0 (И
поверхности вращения, на которой располагаются витки пружины
до нагружения. В результате сжатия пружины некоторой силой
115
Р > Рн точка К образующей перейдет в положение /(', точка М
в положение М'; образующая z — z (г), займет положение ЛД”/И',
показанное штриховой линией. Отрезки /(/(' и ММ' = л изобра-
жают перемещения точек К и М пружины, параллельные оси пру-
жины, поскольку угол а подъема оси проволоки предполагается
малым.
Радиус до точки К, в которой происходит посадка пружины,
обозначим гп и назовем «посадочным» радиусом.
Для определения силы Р рассмотрим развертку оси проволоки
пружины в начальном (кривая LM на рис. 71, б) и нагруженном
(кривая LK'M’) состояниях.
Угол наклона оси проволоки в точке К в начальном состоянии
равен а, при сжатии пружины этот угол уменьшается и становится
равным нулю, когда происходит посадка витка в точке /С'. Соот-
ветственно этому изменяется и кручение оси проволоки в этой точке.
В начальном состоянии кручение в точке К, находящейся на ра-
диусе гп от оси пружины, в соответствии с формулой (31)
sin 2а
“° ~ “S7"*
а при малом угле а ®0 = —.
г п
Кручение в точке К’ нагруженной пружины а = 0, поскольку
эта точка принадлежит плоской кривой LK'.
Таким образом, при нагружении пружины силой Р кручение
в точке К изменилось на
* а
Д(О = (и — tt>0 = ---------•
гп
Из рис. 71, б следует, что угол а
представить как
ввиду его малости можно
dzB 1 dzB
ds т dtp
116
Производную dzjdq можно определить, если известны уравне-
ния (84) и (85) образующей и спирали в плане. Из двух последних
выражений следует, что изменение кручения в точке К, располо-
женной на радиусе г = гп,
д10 = 14ф.| .
I ra rf<p |г=Лп
Кроме того, изменение кручения связано с крутящим момен-
том Мк уравнением (36)
Ли = 2^-.
Приравнивая два последних выражения и учитывая, что в точ-
ке К момент Мк = Ргп, получим
р=с\ 4-Ф-1 • (9°)
| г3 dtp |г-гп ' '
Уравнение (90), называемое уравнением посадки, устанавли-
вает связь между силой Р и радиусом гп той точки пружины, в ко-
торой происходит посадка. Посадка витков начинается в точке L
пружины на радиусе г — г2 при силе Р — Ри, которую можно
найти из уравнения посадки (90):
Заканчивается посадка витков при силе Р = Рк в точке М
пружины на радиусе г = гг:
р = 4 | 1 . (92)
К г® I |г=о
Для определения полной осадки % представим ее состоящей из
двух частей: к = /VI/И" + М"М’. Первая связана с деформацией
участка KL, который полностью садится на плоскость, вторая —
с деформацией участка КМ. Первая часть осадки (рис. 71, б)
ММ" = КК' = H0-zQ (гп), (93)
где х0 (гп) — ордината точки К в начальном состоянии.
Вторую часть осадки М"М' = X' можно найти с помощью ин-
теграла Мора (88), который следует взять в пределах участка КМ
пружины, т. е. от /у до гп:
гп
V = (94)
117
Поскольку осадка пружины % — К К' + X', то в соответствии
с выражениями (93) и (94) получим
гп
= ду j г3 dtp + Но - Го (гп).
(95)
С помощью уравнений (90) и (95) можно построить упругую
характеристику пружины на нелинейном участке АВ (см. рис. 69).
Если из этих уравнений исключить посадочный радиус гп, то
полученное выражение будет давать непосредственную зависимость
между силой Р и осадкой X. Выполним это для конической пружины
постоянного шага.
Для того чтобы найти величину производной dzoldq, входя-
щей в уравнение посадки (90), исключим из геометрических
уравнений (86) и (87) переменную г; в результате получим осевую
координату 20 произвольной точки пружины как функцию угловой
координаты ср: zQ = отсюда ~ =-^-- Уравнение посадки
(90) примет вид
СН0 1
2ni rs
' п
(96)
кв конце
(97)
Определим величины сжимающих сил Рн .в начале и Р
посадки в соответствии^ выражениями (91) и (92):
п ___________________ СНр р _____ СНр
п 2лЦ ’ к 2л^ ’
Осадку к определим по зависимости (95):
X = (d + г?) (гп + rt) + Но^^~.
Г2 — '1
Подставив в нее выражение для радиуса гп, найденное из фор-
мулы (96), получим с учетом соотношений (97) уравнение упругой
характеристики конической пружины:
Как и следовало ожидать, зависимость между к и Р при посадке
пружины нелинейная. Отметим, что уравнение (98) справедливо
только при Ра < Р < РК. При Р < Ря характеристика кониче-
ской пружины описывается линейным уравнением (89). При Р =
= Рк осадка к = Но и остается неизменной при Р > РК.
Оценку прочности фасонной пружины из проволоки круглого
сечения производят по формуле (57).
118
В отличие от цилиндрической винтовой пружины, у которой
при осевом нагружении все сечения витков равноопасны, в фасон-
ной пружине положение опасного сечения зависит от формы пру-
жины и может изменяться с нагрузкой.
При Р <С Ри, когда посадка витков еще не началась, наиболь-
ший крутящий момент Мк появляется в сечении витка наиболь-
шего радиуса г2, и тогда
Т'тах — %
16Рг3
nrf8
где коэффициент х определяют по формуле (58) в зависимости от
2г,
индекса с =
После того, как началась посадка витков (Ри < Р < Рк),
часть из них выключилась из работы; напряжения в этих витках
при дальнейшем увеличении нагрузки остаются неизменными.
В этом случае наибольшие напряжения возникают в сечении К',
расположенном на посадочном радиусе гп (см. рис. 71).
Например, для рассмотренной выше конической пружины при
Р > Р,, максимальное касательное напряжение в соответствии
с формулой (96) определим по формуле
_ 16Ргп _ 8C/7(i 1 _ GHad
max nd3 n2d3i r2 — % '
Отсюда следует, что с уменьшением посадочного радиуса гп
напряжение т1пах возрастает и достигает наибольшего значения,
когда гп = гх, т. е. когда посадка закончилась:
’'-max — X
GHBd
4п1г^
13. ПРУЖИНЫ КРУЧЕНИЯ
Конструкция и применение. По внешнему виду пружины кру-
чения отличаются от пружин растяжения-сжатия только конструк-
цией концевых витков и зацепов, которые должны обеспечивать
возможность нагружения пружины крутящим моментом. Жесткие
пружины, работающие при небольших углах закручивания, на-
гружаются силами, приложенными к отогнутым концам
(рис. 72, а, б). Однако эти силы не только скручивают, но и из-
гибают пружину, и при больших углах закручивания такое на-
гружение пружины может привести к ее перекашиванию, в ре-
зультате чего появляется трение между витками пружины и ва-
ликом. Пружина сохраняет свою цилиндрическую форму, если
к ее зацепам приложены пары сил, которые лишь скручивают
пружину. Такое нагружение можно осуществить, жестко закрепив
концы пружины в поворачивающихся деталях так, чтобы ось пру-
жины совпадала с осью вращения деталей (рис. 72, в). В некоторых
119
Рис. 72. Пружины кручения
случаях для уменьшения перекоса пружину изготовляют с двой-
ной навивкой (рис. 72, г).
Пружины кручения большой длины иногда имеют переменный
диаметр для того, чтобы обеспечить достаточные зазоры между
пружиной, валиком и втулкой, как, например, у пружины штор-
ного фотозатвора (рис. 72, 5). В приборах пружины кручения ис-
пользуют в качестве заводных, натяжных и муфт одностороннего
вращения (см. рис. 42, г).
Расчет пружин кручения на жесткость и прочность. Расчет
пружины на жесткость проводят для установления зависимости
между углом 0 поворота ее торцов и приложенным моментом ПК.
Решение этой задачи было дано выше (см. п. 4), когда рассматри-
валось нагружение винтовой цилиндрической пружины осевой
силой Р и торцовым моментом ЭД. Для угла закручивания 0
было получено выражение (42). Так как у пружин кручения осе-
вая сила отсутствует, формула (42) принимает вид
9 — -5---— (т sin2 а0 4- cos2 а0),
В cos а0 V С “ ' и ’
где£)0 и г0 — средний диаметр и число рабочих витков ненагружен-
ной пружины; В и С — жесткости проволоки при изгибе и при кру-
чении; а0 — начальный угол подъема витков пружины.
Пружины кручения обычно навивают из проволоки круглого
сечения с небольшим зазором между витками, поэтому угол подъема
а0 можно считать’'равным нулю. Подставив в предыдущую фор-
мулу а0 — 0 и значение жесткости при изгибе круглой проволоки
В = Е , получим
0 = 64у 0. (99)
Если при работе пружина не должна касаться валика, то его
диаметр £)в должен оставаться меньше внутреннего диаметра
нагруженной! пружины: DB < D—d. Определим диаметр D
пружины при ее закручивании моментом ЭД. Из условия неизмен-
120
Рис. 73. Напряжения в пружине
кручения
пости длины I проволоки пружины
в процессе нагружения следует
/=4^=4-^^+°)’ <10°)
где£> —средний диаметр пружины по-
сле нагружения; ф — 2ш0 —централь-
ный угол ненагруженной пружины;
(Ф + 9) — центральный угол пружины
после нагружения; 9 — угол закручи-
вания пружины.
Из выражения (100) следует
Г) ___ Рр ______ Рр
1 + А ~1 + _±/
' ф ' 2л(0
Угол закручивания 0 определяют
по формуле (99).
Витки^пружины кручения малого угла подъема работают на
изгиб в их плоскости. При этом в поперечном сечении витков воз-
никают нормальные напряжения, распределение которых по се-
чению показано на рис. 73. Эпюра о нелинейна; опасные точки
располагаются на внутреннем волокне а—а. Это связано с тем,
что пружина представляет собой брус большой кривизны, и де-
формации волокна а—а при изгибе больше, чем наружного во-
локна б—б. С увеличением индекса пружины кривизна витка
уменьшается, и эпюра приближается к линейной.
Напряжения в опасной точке а могут быть определены по
формуле, полученной на основе теории изгиба бруса большой
кривизны:
Миз _ 329JI
^tnax - X |риз - X nd3 •
Коэффициент х можно определить [69] по приближенной формуле
4с— 1
4 (с — 1)
Расчет пружинной муфты одностороннего вращения. Если
надеть пружину на валик с некоторым натягом, то силы трения
между валиком и пружиной при вращении в направлении, указан-
ном на рис. 74, а стрелкой, несколько раскручивают пружину и
ослабляют ее давление на валик. Благодаря этому момент тре-
ния /VI тр, препятствующий вращению валика в этом направлении,
невелик. При вращении валика в обратном направлении силы тре-
ния «затягивают» пружину, еще сильнее прижимают ее к валику,
и момент сопротивления вращению валика Мобр резко возрастает.
При определенной величине натяга валик сможет вращаться только
в одну сторону (по сплошной стрелке), и тогда это устройство мо-
жет выполнять функцию храпового механизма. Этот же эффект
121
Рис. 74. Пружинный тормоз
используют в пружинной муфте одностороннего действия (см.
рис. 42, г). Пружина надета с натягом на ведущий и ведомый
участки вала, осуществляя передачу крутящего момента одного
знака — соответствующего затягиванию пружины вокруг валика.
Подобные пружинные муфты применяют в механизмах периоди-
ческого кратковременного действия.
В результате расчета пружинной муфты устанавливают зна-
чения моментов Л4тр и Л40бр. Эти моменты зависят от натяга пру-
жины:
А = D — Do,
где Do — диаметр свободной пружины; D — диаметр пружины,
надетой на валик.
Определим изгибающий момент Мо в пружине, надетой на ва-
лик. В соответствии с формулой (12), известной из теории изгиба,
момент
MQ = EJxbn,
г mt*
где Jx = ---осевой момент инерции поперечного сечения витка.
Изменение кривизны проволоки
Тогда
Мо=-^-. (101)
Пружина плотно охватывает валик по всей длине, за исключе-
нием концевых участков, где между пружиной и валиком остается
122
зазор на дуге с центральным
углом ф (рис. 74, б). Из усло-
вий равновесия элемента (рис.
74, в), выделенного из приле-
гающей к валику части пру-
жины, можно получить соот-
ношение между равномерно
распределенными силами q и
нормальной силой N:N = qR.
Силы Qlt Q3, возникающие в ме-
Рис. 75. Кривые коэффициентов Kv и Ki
стах контакта пружины с ва-
ликом, нормальная сила N и угол ф находят из трех уравнений
равновесия, которые можно составить для участка АВ пружины,
а также из условия: взаимное перемещение диаметрально противо-
положных точек А и D равно величине натяга А.
Аналогично решается задача, если учитывать силы трения,
возникающие при вращении валика. Так, если вращение происхо-
дит по стрелке (рис. 74, г), то силы трения p-QJ, p-Qo и будут
раскручивать пружину, в результате чего контактные силы умень-
шатся до величин Qi, Qo и q'. Момент трения для этого случая мо-
жет быть определен по формуле Л4тр = кгМ0. Здесь Л40 опреде-
ляется выражением (101), а коэффициент кг зависит от числа i
витков пружины и коэффициента трения р. (рис. 75).
При изменении направления вращения валика силы трения
меняют свой знак, затягивая пружину вокруг валика. Возникаю-
щий при этом момент сопротивления Л4о6р определяется выраже-
нием Л40бр = k2Mee2niv. При коэффициенте трения р = 0,1 т-0,2
и числе витков пружины i > 3-ь4 можно принимать kx w 1
и k2 « 1.
Значения моментов, рассчитанных по этим формулам, следует
рассматривать как ориентировочные. Отклонения размеров пру-
жины и валика от номинальных при изготовлении и вследствие
износа, непрямолинейность оси пружины, изменения коэффициента
трения — все это сказывается на величинах Л4тр и Л40бр.
В работе [271 приведен уточненный расчет пружинной муфты
одностороннего действия.
ГЛАВА IV
ТЕРМОБИМЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ПРУЖИНЫ
1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЕ
Термобиметаллическая пружина состоит из двух металличе-
ских полосок, материал которых имеет различные коэффициенты
линейного расширения (рис. 76, а). Полоски соединяют между
собой сваркой или пайкой. Слой металла, обладающего большим
коэффициентом линейного расширения, называется активным,
а слой с меньшим коэффициентом линейного расширения — инерт-
ным. При нагреве биметаллическая полоса изгибается в сторону
инертного компонента (рис. 76, б). Благодаря этому свойству
термобиметаллы используют для преобразования изменений тем-
пературы в перемещения. Простота конструкции, надежность
в работе, невысокая стоимость обеспечили широкое применение
термобиметаллических элементов в различных приборах и устрой-
ствах.
Термобиметаллические пружины часто используют, например,
как чувствительные элементы термометров. Для повышения чув-
ствительности термобиметаллическому элементу термометра обычно
придают спиральную или винтовую форму, что обеспечивает до-
статочную длину элемента при его небольших габаритных раз-
мерах.
Применение термобиметаллов не ограничивается задачей из-
мерения температур. Часто их используют для измерения других
параметров, преобразуемых в температуру. Так, например, для
измерения силы и мощности тока используют биметаллические
амперметры и ваттметры. Измерительная система биметаллического
амперметра показана на рис. 77, а. Чувствительный элемент
представляет собой биметаллическую спираль 1, которая нагре-
вается током. С увеличением тока деформация спирали возрастает,
что вызывает поворот стрелки. Монометаллический волосок 2
служит для подвода тока к биметаллической спирали; дополни-
а)
О
Рис. 76. Биметаллическая пружина
124
гельная биметаллическая пружина 3 необходима для компенса-
ции погрешности при изменении температуры окружающей среды
Волосок 2 и пружина 3 отделены от основной спирали 1 экраном 4,
который защищает их от нагрева со стороны спирали 1.
Известно применение термобиметаллов в качестве чувстви-
ельных элементов теплоэнергетических приборов, измеряющих
расход, давление, плотность газов [2, 551
Большое распространение получили системы дистанционных
передач перемещений с использованием биметаллических элемен-
тов (рис. 77, б). Перемещение X стержня 1 датчика пропорциональ-
но дистанционно передаваемому параметру. При замыкании кон-
тактов 2 по цепи проходит ток, нагревающий одновременно и оди-
наково термобиметаллические элементы датчика 3 и вторичного
прибора 4. Эти элементы получают одинаковые перемещения.
Температура нагрева, а следовательно, и перемещение биметалли-
ческих элементов 3 и 4 зависят от положения стержня 1. Чув-
ствительный элемент 3 датчика будет периодически замыкать и
размыкать контакты 2, поддерживая температуру около некоторого
значения, определяемого положением стержня 1.
Термобиметаллические пружины широко используют в различ-
ных релейных устройствах, предназначенных для защиты электри-
ческих цепей и аппаратов от перегрева, а также в элементах про-
стейших регуляторов температуры. Биметаллические защитные
реле и регуляторы температуры широко применяют и в бытовых
аппаратах (в холодильниках, утюгах, стиральных машинах),
и в промышленных системах (реле защиты электродвигателей,
регуляторы температуры в электропечах небольшой мощности).
Рис. 77. Применение термобиметаллических пружин
125
Ila риг. 77, н iinh.i laiio биметаллическое реле, реагирующее на
iriMuieiiiii' окружающей температуры. Биметаллическая пла-
стина /, нажимая па контактную пружину 2, разрывает контакт
между пружинок 2 и винтом 3. Изменяя положение этого винта,
можно у<1япавлнвать температуру срабатывания реле.
Недостатком термобиметаллических контактных устройств яв-
ляетгя медленное замыкание (или размыкание) контактов. Для
устранения этого недостатка применяют пружинные или магнит-
ные перекидывающие устройства, конструкции которых подобны
перекидывающим устройствам в обычных контактных механиз-
мах. Тот же результат может быть достигнут применением биметал-
лических элементов специальной конструкции, которые способны
производить скачкообразные перемещения в результате потери
устойчивости при нагреве. Такие элементы выполняют в виде би-
металлических выпуклых мембран [44, 551 или биметаллической
полоски в форме пологой арки (рис. 77, г).
Биметаллические пластинки могут быть использованы не только
в релейных устройствах, управляющих электрическими цепями,
но и для непосредственного управления регулирующими органами,
например дроссельными заслонками трубопроводов. В этих слу-
чаях применяют достаточно мощные биметаллические пластины.
Весьма широкое применение получили биметаллы в качестве
температурных компенсаторов самых различных приборов. В не-
которых манометрических приборах с изменением температуры
меняется чувствительность прибора вследствие изменения модуля
упругости материала манометрического упругого элемента. В этом
случае одним из наиболее простых средств уменьшения темпера-
турной погрешности является термобиметаллическая компенса-
ция кинематического и силового типа.
Кинематическая компенсация (рис. 78, а) состоит в том, что
с помощью биметаллической пружины 1, входящей в состав кине-
матической цепи механизма, при изменении температуры изме-
няется должным образом и передаточное отношение. При силовой
компенсации (рис. 78, б) биметаллические элементы 1 создают
дополнительное усилие на манометрический элемент 2, зависящее
как от изменения температуры, так и от перемещения элемента.
От биметаллических компенсаторов не требуется больших пере-
мещений или усилий, поэтому пружины компенсаторов имеют не-
большие размеры и обычно прямолинейную или U-образную форму.
Регулировку чувствительности термобиметаллической пружины
производят изменением ее рабочей длины или положения натяж-
ного винта (рис. 78, в), а также поворотом пружины вокруг ее
оси; это изменяет составляющую в заданном направлении х
полного перемещения % (рис. 78, г).
Термобиметаллические компенсаторы в виде биметаллических
изогнутых или спиральных пружин используют в электроизмери-
тельных приборах (например, биметаллическая пружина 3 в ам-
перметре, рис. 77, а). Биметаллические компенсаторы используют
126
также в электролитических датчиках для изменения Взаимного
по южения электродов при изменении температуры (рис. 78, 5).
Одним из наиболее известных и давних применений термоби-
металлов является компенсация изменения упругости волоска
в спусковом регуляторе «баланс—спираль» часовых механизмов
при нагреве.
Нагрев термобиметалла осуществляется либо путем теплооб-
мена между элементом и окружающей средой, либо при прохож-
дении электрического тока. В последнем случае целесообразно вы-
бирать металлы слоев с большим электросопротивлением. Если же
термобиметалл должен реагировать на изменение температуры ок-
ружающей среды, а влияние тока на еготемпературу нежелательно,
то иногда между активным и пассивным компонентами распола-
гают промежуточный слой с высокой электропроводностью.
Материалы слоев термобиметалла должны обладать большой
разницей значений коэффициентов линейного расширения для
обеспечения достаточной чувствительности. Для получения ли-
нейной характеристики термобиметалла желательно, чтобы коэф-
фициенты линейного расширения его компонентов не изменялись
с температурой или же изменялись одинаково.
Материал термобиметалла должен иметь высокий предел упру-
гости для того, чтобы при работе не возникали остаточные де-
формации. Кроме того, желательна высокая пластичность мате-
риала, позволяющая прокатывать биметаллические полосы до
малых толщин и изготавливать элементы требуемой формы. Ком-
поненты биметалла должны хорошо свариваться или спаиваться.
Если биметалл работает в условиях высоких температур, то
материал его должен быть достаточно термостойким.
Рис. 78. Термобиметаллические компенсаторы
127
Таблица 8
X * * О О О О О О 00 оо е СЧ
1. р © р 7 ©
•sfi* 1 Д д J) 1Л ,1
Преяе очное 10-1 © © © 8 .© го со со со 8 1 1Л ©
ж © о о о о о © © © © 8 00 © ©
в-в 7 7 1 7 1 *у 7 ’Т4 7 сч 1 7
О 1 сч 1 СЧ © © © 1А 1О 1Г> 1 ю> Л\ 1 ©
СО © О) © © © ©
ль ЭСТ И -4 а * * * © © © LO 5,5 6,5 ©
ч tsc О Й .g © © © с L0 1Л ID 1—'' LQ С.О
*"-1 ^“Ч © © •—с © •—< •—< •—< ю ♦—<
>1 сч сч СТ) •—< О) р О СТ) СТ) •—< oi © © СЧ 19;
©
* « ©
* © © © © © L0 ю 00 LO ©
я о =г а £ 7 оо 7 7 © *у ’у •—( LO 1 10 *у
fla°“ гаг а Я « m Я У . 1 © со со о СТ) 1 оо 1 о5 СТ) СТ) 1 тг © 4* оо ©" оо" ©
X 0-8 7 сч 7 ^у 7 © 1 -у 7 7 © 7
тГ 00 со о оо со Tf ©
сч G4 •—« сч —1 —< I—* •—<
ф S 00 сч тЬ 00 о । < 00 оо 00 о о
О 8 K’s а о 22 i л aS s н ® д сч оо 00 оо сч © сч ©
*7 7 о | 7 о 7 © | 7 © 1 7 7 © 7 7
S<5® оо оо S- со ф © on LO on © ©
£‘°° о С'-* t4*1 О 00 со © 00 ©
Л О’ я й О. —• •“Ч о © о о О О © © © © © ©
i Л Я Е о. « О-4 я я £ о о © о о о О О О © © © © ©
8 сч ф Ф ф сч ’’f сч 4 8 ’ф ф
4 Н 0.1-
о о о © о о о О © © о О о ©
о 2 о о 2 Ф 2 © СЧ сч сч о ©
РЪ М а Я Ч § я О X я и я и з s а«» + .1. ++++++++ .1. .L .1. X .1. .1. J. J. .1. + + Г + .1. +
s £5 .. ё S га я Ф й йч -60- О © 8 о © г 8 © © 1 Q © -50-- т о U0 т © ю -60- т 8 т 8 т © ©
а, з 1 1 1 1 1 1 1 1
р ©
Ч’Я г ►г? Л я (Si О © ©
о О О о о о О О © © © © © ©
и • о « СИ
ч я га и 5 го к О’ в о га ° ° 6Н X л Ш ГС X я X X X X н X © X
г ё о X С- со *5 *Ф со .СО © СО © 00 X со X со со со со оо § й н © © ©
я л' X X ОО оо X X X X X X
&g га X X £ сч о я X X X X Е X
Xя © © 20 24 СТ) § § 24 СЧ 24 © 28 X 24
га *
« 5 * *
0 ч со СО СО со 00 Ф со 00 СЧ сч ©
р, я ёХ га Q.S сч сч сч © © LO оо оо сч © со
g 2 я ° »—< 8 © ©
ко из га га га га га га га га га га га га ад
н н н н н н н н н н н н Е- Е-
ТБ с промежуточным слоем марки НП2.
То же, марки Ml.
Данные для активного слоя приведены в числителе дроби, для пассивного — в знаменателе.
*
* *
* *
128
Сплавы на медной основе имеют большой коэффициент линей-
ного расширения. Их применяют в качестве активного компонента
в небольшом интервале температур.
Высокими упругими свойствами обладают биметаллы, состоя-
щие из инвара 36Н и хромоникелевых сталей. Малый коэффициент
линейного расширения инвара обеспечивает достаточную чувстви-
тельность таких биметаллов, а высокая прочность и хорошая тер-
мостойкость позволяют использовать их при высоких напряже-
ниях и повышенных температурах (до 200—400° С).
Физико-механические свойства основных марок термобиметал-
лов по ГОСТ 10533—63 даны в табл. 8, где указаны также неко-
торые нормируемые эксплуатационные характеристики термоби-
металлов.
1. Удельный изгиб А, который характеризует чувствительность
термобиметалла в интервале t = 0 ч- 200° С. Эту величину опре-
деляют по результатам измерения перемещения X конца консольно
закрепленного термобиметаллического стержня длиной I и тол-
щиной h при изменении температуры на А/ градусов, ее подсчиты-
вают по формуле
А = ~ 10*-
2. Рекомендуемый температурный интервал t (при отсутствии
силового нагружения), в пределах которого чувствительность
термобиметалла практически постоянна.
3. Предельная температура при которой еще не возни-
кают остаточные деформации.
Основные свойства термобиметаллов условно разделены
на пять групп: высокие, повышенные, средние, пониженные и
низкие.
Марка термобиметалла по ГОСТ 10533—63 отражает вели-
чину А и номера групп по электропроводности и максимальной ра-
бочей температуре. '.ч
Повышение прочностных и упругих свойств термобиметаллов
достигается нагартовкой при холодной прокатке. Обычно степень
деформации составляет 40—60%. При работе в условиях повышен-
ных температур происходит релаксация напряжений. Стабили-
зирующая обработка пружин, проводимая при температуре на
50—100° С выше рабочей, снимает или уменьшает остаточные на-
пряжения. Термобиметаллы выпускают в виде холоднокатаных
лент и полос толщиной 0,1—2,5 мм. Толщина соответствует
ГОСТ 503—71 с допусками по повышенному классу точности.
2. РАСЧЕТ ТЕРМОБИМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРУЖИН
Определение перемещений термобиметалла при нагреве. Рас-
смотрим элемент, выделенный двумя поперечными сечениями из
узкой биметаллической пружины (рис. 79), свободной от внешних
5 Андреева Л. Е. 129
Рис. 79. Элемент биметалла до и после на-
грева
е = ez + е
силовых нагрузок. Обозначим
/ц, ехх, £?i и /г2, а2, Е2 — тол-
щину, коэффициент линейного
расширения и модуль упруго-
сти соответственно активного
и пассивного слоев биметалла.
Деформацию е произволь-
ного слоя биметалла при на-
греве можно представить как
сумму температурной ez и уп-
ругой еудеформаций:
(Ю2)
При изменении температуры на величину t биметаллическая
полоса искривляется; сечения элемента, оставаясь плоскими,
поворачиваются друг относительно друга на угол d&, полное от-
носительное удлинение е произвольного волокна АВ, находяще-
гося на расстоянии у от слоя спая
е = + У-^- = е0 + У Ах,
(ЮЗ)
где е0 — деформация слоя спая; Ах = ---изменение его кри-
визны.
Упругая деформация волокна в соответствии с выражениями
(102) и (103)
еу = е0 + г/Ах — ez,
где et = ait — температурная деформация,
тогда
еу = е0 + у Ах — arf.
Напряжение связано с упругой деформацией законом Гука:
(Ji — Ei (е0 + у Ах — att), • (104)
где i — индекс слоя: для активного слоя (0 < у < /ь) i = 1,
для инертного слоя (—/i2 < у < 0) i = 2.
Величины е0 и Ах найдем из условий равенства нулю нормаль-
ной силы и изгибающего момента в поперечном сечении термо-
биметалла, подверженного только тепловому воздействию,
N — j Ci dF j о2 dF = 0;
Fi F,
M = j <jxy dF J (j2y dF = 0,
Fi F,
(Ю5)
где F-l — bhx и F2 = bh2 — площади сечения слоев: b — ширина
пружины.
130
В результате интегрирования и совместного решения двух
уравнений находим изменение кривизны термобиметалла при на-
греве:
Ах =
6 (at — <z2) t
E1Eih1h2 (/ц + h2)
4 (/it -j- /i2)
(106)
Знаменатель выражения (106) будет минимальным, если
Е^ = E2hl или А = . (Ю7)
В этом случае термобиметалл обладает наибольшей чувстви-
тельностью. Термобиметалл, удовлетворяющий условию (107),
называют нормальным. В соответствии с выражениями (106) и
(107) изменение кривизны нормального биметалла
Ах = -у («j — а2) , (108)
где толщина биметалла h = hr + h2.
По изменению Ах кривизны, можно определить перемещения
биметалла с помощью интеграла Мора (16), который с учетом вы-
ражений (12) и (108) примет вид
X = j Ах Мг ds = -|- («! — а2) j Мг ds, (109)
i i
где Мг — изгибающий момент от единичной нагрузки, приложен-
ной в направлении искомого перемещения; I — длина биметалла.
Пример 1. Определить прогиб конца термобиметалла (рис. 80, а) при его
нагреве на f С, если материал и размеры термобиметалла известны.
Решение. Приложим к концу биметалла единичную силу. Изгибающий
момент в произвольном сечении Мг = lz. Тогда, согласно выражению (109),
прогиб конца биметалла равен
I
, 3 . . t С , 3 , , t /2 ......
7 = —(ai~a2)-y J zdz = — ('7.1 —(110)
о
Пример 2. Найти угол поворота концевого сечения U-образной биметалли-
ческой пружины (рис. 80, б) при ее нагреве.
Рис» 80. Определение перемещений биметал-
лических пружин
5*
Рис. 81. Элемеитбиметаллической пружины,
находящейся в условиях чистого изгиба
131
Р е ш е II 11 (. Для определения угла поворота прикладываем к концу пру-
жины единичный момент, тогда в произвольном сечении Мг — 1, н в соответствии
с выражением (109) искомый угол поворота
L
1 3 , . t г л 3 . . t .
о л —«Д—j ds= — (с^ —а2)—
о
где длина пружины L = 21 Д- лг.
Изгиб биметаллической пружины внешними силами. Рассмо-
трим чистый изгиб внешними моментами /И пружины из нормаль-
ного термобиметалла в условиях постоянной температуры.
Предположим, что нейтральный слой смещен на величину е
по отношению к слою спая (рис. 81). Тогда на основании гипотезы
плоских сечений относительная деформация волокна АВ, отстоя-
щего от слоя спая на расстояние у, будет равна
е = -^±^- = (у Д- е) Лк,
где Ах = —кривизна нейтрального слоя.
Напряжения в слоях биметалла, согласно закону Гука,
<т,- = Ei (у Д- е) Ах (г = 1, 2). (111)
Положение нейтрального слоя найдем из условия равенства
нулю нормальной силы N в поперечном сечении:
и, о
N = f Ci dF Д- j <т2 dF = О,
О -Л,
откуда
Е\ (^1 “Г 2б/1]) Д- Ег (—^2 + 2е/1г) = О
или
Ег _ М ~
F-z h\-\-2eh{
Так как для нормального термобиметалла справедливо условие
Е
(107): -7Л = —следовательно, е — 0. Это означает, что нейтраль-
на
ный слой при изгибе нормального термобиметалла внешними си
лами совпадает со слоем спая.
Изгибающий момент в сечении
о
‘^1
M = b j с\у д.у Д- j о.2у dy = 4 Ах (Е}$ Д- Е^.
.0
Отсюда изменение кривизны
л ЗМ 1
Ах - -т— —-т---------------=- .
b Е^+Е^
(Н2)
132
При определении перемещений при силовом воздействии би-
металлическую пружину удобно заменить эквивалентной полос-
кой тех же размеров, но с некоторым так называемым «приведен-
ным» модулем упругости, одинаковым для обоих слоев. Изменение
кривизны этой полоски (12)
Лх = -^-, (113)
L. v
где Е — приведенный модуль упругости материала эквивалентной
г bh3
пружины: J — -р----осевой момент инерции ее сечения.
Приведенный модуль упругости Е определяют из условия ра-
венства изменения кривизны у эквивалентной полоски и биметал-
лической пружины, нагруженных одинаковыми моментами М.
Приравнивая правые части выражений (112) и (113), после преоб-
разований получим
Е = ±(Е^+Ы%).
Отсюда, учитывая соотношение (107) для нормального биме-
талла, имеем
(П4)
Таким образом, задача определения перемещений биметалли-
ческой пружины под действием внешних сил приводится к простой
задаче нахождения перемещений эквивалентной пружины из
однородного материала.
Если биметаллическая пружина одновременно нагревается
и нагружается внешними силами, то действие температуры удобно
заменить эквивалентным изгибающим моментом Mt, величина
которого находится из равенства изменений кривизны пружины
под действием температуры и момента М(. В соответствии с выра-
жениями (108) и (113), можно записать
3 , . t Mt
_(а1-о,з)т = —,
откуда
Mt = 4 («I - «а) 4 EJ, (115)
где EJ — изгибная жесткость эквивалентного стержня, приве-
денный модуль упругости Е определяется выражением (114).
Пример 3. Определить расстояние а до упора А (рис. 82, а) исходя из
величины чувствительности 6 = — = 0,005 мм/°С нормальной биметалличе-
ской пружины (X — перемещение концевой точки В пружины при нагреве на
/°C). Компоненты термобиметалла ТБ 1353: инвар ЗОН—латунь Л62, разность
133
Рис. 82. Расчетная схема биметаллической пружины
коэффициентов линейного расширения аг— а2=18‘10'6 1/°С (табл. 8). Га-
баритные размеры пружины: I — 30 мм; h = 1 мм; b = 6 мм. Пружина под-
жата винтом А так, что в рабочем интервале температур она не отрывается от
упора.
Решение. Заменим действие температуры эквивалентным изгибающим
моментом Mt (рис. 82, б) соответственно выражению (115) н определим пере-
мещение конца пружины под действием момента Mt. Раскроем статическую
неопределимость задачи из условия равенства нулю прогиба в точке А. Это усло-
вие запишем в форме канонического уравнения:
бц-^т + &1р = 0-
На рис. 82, в, г построены эпюры изгибающих моментов Мр от момента
Mt и М-i — от единичной силы. Перемножая эпюры по правилу Верещагина,
^3 М
найдем коэффициенты 6и = _ - . ; 61р =----. Из уравнения пере-
ОС J J
„ v $ip 3 Л4/ ~
мещении определим реакцию упора лх -------== ----------. Эпюра суммар-
Оц а
кого изгибающего момента М показана на рис. 82, д.
Для определения прогиба в точке В приложим к основной системе единич-
ную силу и построим эпюру М[ (рнс. 82, е). Перемножив ее на эпюру М, найдем
. _ Mtr- ( 3 а , а2 \
2EJ \ 2 I 1 2Н )
или, заменив момент Mt выражением (115),
, 3 , , t ,п /, 3 а .а2 \
Х- —(а1-“г) h Z V~~ I + 214'
Подставив в последнее уравнение заданные числовые значения и приняв
во внимание, что по условию задачи — = б = 0,005 мм/° С, получим квадрат-
ное уравнение относительно искомого расстояния а:
а2 — 90а + 1060 = 0,
откуда а = 14 мм (второй корень уравнения а ^76 мм не имеет смысла).
134
Температурные напряжения в нормальном термобиметалле.
Если биметалл мысленно разрезать по спаю и нагреть, то слои
получат неодинаковые температурные деформации; еп- = а,7
(рис. 83). При совместном изгибе, вызванном нагревом, деформа-
ции инертного и активного слоев биметалла в поверхности спая
будут одинаковы и равны е0, а по высоте термобиметалла дефор-
мации е будут изменяться по линейному закону в соответствии
с гипотезой плоских сечений: е = е0 + г/Дх. Если из полной де-
формации е вычесть температурную ez, то получим чисто упругую
деформацию еу, эпюра которой имеет вид, показанный на рис. 83.
По этой деформации на основании закона Гука определяют на-
пряжения <т,:, возникающие в биметалле при его нагреве. Выраже-
ние (104) для напряжения az приведено выше. Для биметалла
(рис. 83) толщина /г2 <" hlt поэтому в соответствии с условием
(107) для нормального термобиметалла модуль упругости Е2 >
> Ег. Следовательно, наклон на эпюре а для второго слоя будет
больше, чем для первого (рис. 83).
Знакопеременный характер распределения напряжений о по
сечению определяется условиями равенства нулю нормальной силы
и изгибающего момента, что имеет место при нагреве термоби-
металла, не нагруженного внешними силами. Из условия равен-
ства нулю изгибающего момента можно показать, что точки попе-
речного сечения, где а = 0, расположены на расстояниях г/х =
2 2
= y/h и у2 = —g-/i2 от слоя спая.
Деформация е0 поверхности спая при нагреве может быть най-
дена из первого уравнения (105) с учетом выражения (108) для
нормального биметалла:
е0 = (ath2 + аД) у.
Подставив выражения изменения кривизны Дх (108) и дефор-
мации е0 поверхности спая в уравнение (104), получим значения
температурных напряжений в биметаллическом элементе:
01 = 4 (“1 ~ “г) (4 у ~ :
I /3 <116)
(т3 — Е2 — («1 — а2) у + h2) •
135
Рис. 84. Биметаллический термометр
Наибольшие температурные
напряжения возникают в точ-
ках, расположенных вблизи
слоя спая, при у = 0:
max----------^-1 (®1 1 ,
max = (®j — ®г) •
(И7)
Пример 4. Определить толщину
и напряжения в двойной биметалли-
ческой винтовой пружине термометра
(рнс. 84), измеряющего температуру
в интервале от 0 до 100° С. Угло-
вая шкала прибора равна 270° Ком-
поненты термобиметалла ТБ 1254:
латунь Л90 — инвар Н36 (табл. 8).
Для латуни: «1= 18- 10"6 1/°С;
Ег = 1,1-Ю5 МПа; для инвара: а2 =
= 1,5-10-° 1/°С; Е2= 1,5- 10s МПа.
Диаметр и число витков наружной пружины: Dj = 8 мм и пг = 10; для вну-
тренней пружины: D2 = 6 мм, п2 = 8.
Решение. Угол поворота концевого сечения пружины
О = Дх/,
где I — суммарная длина наружной и внутренней пружины; пренебрегая углом
подъема винтовой линии, можно записать
л + Р2п2).
Изменение кривизны Дх пружины при ее нагреве определяется выраже-
нием (108). По условию задачи угол поворота О' при t= 100° С должен быть
з
равен 270° или О,— тогда из формулы (108) толщина
h = (а1 — а2) t = 16,5-10-° (8-10+ 6-8) 100= 0,211 мм.
Для нормальной термобиметаллической пружины должно выполняться
условие (107), поэтому ~^= i ^ i^- — 1,17. Так как й =
= 4- й2 = (1,17 + 1) й2 = 2,17/i2, толщина инварного слоя й2 = »
« 0,097 мм, а толщина латунного слоя 0,114 мм.
Наибольшие напряжения, возникающие при нагреве биметаллической
пружины на 100° С в точках слоя спая, определяют по формулам (117). Для
латуни
СТ1 тах = _£х (И1 - а2) t = -1,1 • 10». 16,5- 10-е-100 = _98 МПа.
Для инвара
max = Е2 (csj — а2) t -j- = 113 МПа.
Напряжения при изгибе биметалла внешними силами. При
внешнем силовом воздействии напряжения в биметаллической
136
пружины
пружине определяются выражениями (111). Выше было доказано,
что для нормальной термобиметаллической пружины нейтраль-
ный слой совпадает со слоем спая, т. е. е = 0. Тогда выражения
(111) принимают вид
Oj = Е^Ах, (0 < у < hj):
о2 = Е2уАх, (—h2 < у < 0).
Изменение кривизны Ах при изгибе биметаллической пружины
связано с моментом М зависимостью (112). Учитывая также соот-
ношение (107) для нормального термобиметалла, получим
ЗЛ4» . _ ЗМу
bh\h ’ 2 bi'i^h
(118)
На рис. 85 показан характер распределения деформаций е
и напряжений о при изгибе биметаллической нормальной пружины
внешними силами. Наибольшие напряжения возникают в край-
них волокнах при у = h2 и у = —h2:
ЗМ ЗМ
<71 max — bhhx , °2 max
Если биметалл находится при одновременном воздействии
температурной и силовой нагрузок, то полные напряжения можно
определить путем алгебраического суммирования температурных
напряжений и напряжений, вызываемых внешними силами.
Пример 5. Определить напряжения в нормальной термобиметаллической
пружине при нагреве на t — 60° С. Марка ТБ 1254 (см. условие примера 4).
Размеры пружины: 1 = 30 мм; h = 0,2 мм; b = 3 мм (рис. 86).
Рис. 87. Эпюры напряжений
137
Решение. Данная задача статически — неопределима. Реакцию X
определим из условия Хд? = Хдх, где Хд/ — перемещение точки А свободной
пружины при ii.'irpene определяемое по формуле (110),
. 3 . . t 1А
Л At--2" • 1 — а2' 2~ ’
М/—перемещение под действием силы X, определяемое по формуле (14),
. X/»
лх 3EJ ‘
Вычисление приведенного модуля упругости по формуле (114) дает Е =
Ыг1 3-0 28
— 1,27- 10г> МПа; момент инерции сечения J = —уу = —у— = 0,002 мм’.
Раскрывая равенство А,д< = Хдх, получим
о / г г
X = -р (ах — а2) —---— , откуда X = 0,094 Н.
Толщины компонентов биметалла определяются из соотношения (107):
2^ = ]/5= 1/ '-5-105 = ( 17
Л2 V Е± V 1,1 по5
и из условия h± + /г2 = h = 0,2 мм; толщина h± = 0,108 мм и Л2 = 0,092 мм.
Температурные напряжения в поперечном сечении пружины по формуле
(116) равны
olz = Ei (aj — а2) ~ (у у - 0. IDs) = 544 (1,5с/ — 0,108), (0 < у < ЛД;
аа/=742 (1,5с/+ 0,092), (- Л2<с/<0).
Наибольший изгибающий момент от силы X возникает в заделке Л1 =
= /YZ= 0,094-30 = 2,82 Н-мм. Максимальные изгибные напряжения по фор-
мулам (118) равны сг1И = —130 МПа; о2и — 153 МПа (знак «минус» соответствует
напряжениям сжатия в верхнем слое биметалла).
Эпюры напряжений о(, аи и суммарных напряжений ст показаны на рис. 87.
ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТОНКОСТЕННОЙ
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ В БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
1. ВЫВОД НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОНКОСТЕННОЙ
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
Последующие главы книги посвящены расчетам манометриче-
ских упругих элементов: мембран, сильфонов, трубчатых пружин.
Геометрическая форма этих элементов, как правило, представляет
собой тонкостенную оболочку вращения. Манометрические упру-
гие элементы при работе могут совершать большие перемещения,
при которых характеристики становятся существенно нелинейными.
Прежде чем перейти к рассмотрению особенностей расчета каж-
дой разновидности манометрического элемента, приведем вывод
дифференциальных уравнений тонкостенной оболочки вращения
в больших перемещениях [24, 32, 123]. Эти уравнения являются
основой для создания методов расчета манометрических упругих
элементов.
Рассмотрим геометрию оболочки вращения. Ее срединная по-
верхность, равноотстоящая от наружных поверхностей, может
быть получена вращением некоторой линии вокруг оси оболочки.
Для манометрических упругих элементов эта меридиональная ли-
ния называется профилем. Форма профиля может быть задана пара-
метрически радиальной и осевой координатами (рис. 88):
г — г (s); г = z (s).
Оболочки вращения могут быть замкнутые и незамкнутые
в окружном направлении. Замкнутые оболочки имеют централь-
ный угол Фо == 2л (рис. 88. а), их параллели являются замкну-
тыми линиями. К замкнутым оболочкам относятся мембраны и
сильфоны.
У незамкнутой оболочки (рис. 88, б) центральный угол Фо
меньше 2л, и окружные линии являются незамкнутыми. Примером
такой оболочки служит манометрическая трубчатая пружина.
При нагружении незамкнутой оболочки ее центральный угол
Фп может измениться на ДФ. Относительное изменение централь-
ного угла оболочки обозначим
ДФ
х— Фо ‘
Для замкнутой в окружном направлении оболочки % = 0.
Соответственно дифференциальные уравнения замкнутой оболочки
(Н9)
139
Рис. 88. Оболочки вращения
возникающие в ней напряжения и
могут быть получёны как
частный случай (при % = 0)
из уравнений незамкнутой
в окружном направлении
оболочки.
Форма меридиана (про-
филя) также может быть зам-
кнутой или открытой, однако
это не отражается на виде
дифференциальных уравне-
ний, хотя и предопределяет
некоторую разницу в мето-
дике их решения.
При осесимметричном на-
гружении оболочки вращения
деформации также осесиммет-
ричны, т. е. они являются функциями только координаты s
(рис. 88, а). Для незамкнутой оболочки (рис. 88, б) наличие осе-
вой симметрии напряженно-деформированного состояния зависит
также от условий нагружения и закрепления поторцовым сечениям.
Торцовые сечения манометрической трубчатой пружины соеди-
няются с жесткими деталями и не деформируются. В результате
напряженное состояние оболочки в сечениях, близких к торцам,
и в сечениях, достаточно удаленных от торцов, будет различным.
Следовательно, напряженное состояние трубчатой пружины не
является, строго говоря, осесимметричным, и точное решение
этой задачи должно проводиться в частных производных. Од-
нако размеры поперечного сечения манометрической трубчатой
пружины малы по сравнению с длиной центральной оси пружины,
поэтому влияние условий на торцах распространяется на сравни-
тельно узкую область пружины и мало отражается на поведении
пружины в целом. Это позволяет считать, что у пружины, нагру-
женной давлением или моментом, изгибающим пружину в плос-
кости ее центральной оси, все сечения находятся в одинаковых
условиях, и к ее решению можно применять теорию осесимме-
тричной оболочки вращения.
При выводе дифференциальных уравнений будем исходить из
обычных гипотез теории тонкостенных оболочек: предположения
о малости толщины h по сравнению с наименьшим главным радиу-
сом кривизны R (h неизменности нормали и малости нор-
мального напряжения, перпендикулярного срединной поверх-
ности оболочки, по сравнению с двумя другими главными напря-
жениями.
Толщину h примем переменной вдоль меридиана, поскольку это
имеет место в некоторых манометрических упругих элементах,
например в бесшовных сильфонах.
Тонкостенные манометрические упругие элементы являются
гибкими и при работе могут существенно изменять свою геометри-
140
Рис. 89. Схемы нагружения и деформации оболочки вращения
ческую форму, поэтому их расчет основывается на нелинейной
теории, учитывающей большие перемещения. В отличие от ли-
нейной теории, при составлении уравнений равновесия бесконечно
малого элемента оболочки нельзя использовать принцип неизмен-
ности начальных размеров, и элемент следует выделять из дефор-
мированной оболочки (рис. 89, а, б). В области больших пере-
мещений угол ft поворота нормали может быть соизмерим с уг-
лом 6 между нормалью и осью z оболочки.
В то же время, ограничивая задачу областью упругих дефор-
маций, будем считать деформации с малыми, т. е.
с « 1.
(120)
Рассмотрим уравнения деформаций осесимметричных тонко-
стенных оболочек вращения в больших перемещениях.
Деформация срединной поверхности в меридиональном на-
правлении
ds — ds0
rfs0
(121)
Здесь ds — длина дуги срединной поверхности деформированного
элемента; индексом «0» будем отмечать величины, соответствую-
щие начальному ненагруженному состоянию оболочки.
141
Учитывая, что
получим
d.Sl) = ; ds = ; (122)
и cos 60 cos 6 v '
г — г0 + и, (123)
-Д = EjCosS + cos 0 — cos 0О, (124)
USq
где г — расстояние от оси z до текущей точки срединной поверх-
ности; 0 — угол между нормалью к срединной поверхности и
осью г; и — радиальное перемещение.
Деформация е2 срединной поверхности в окружном направле-
нии зависит от изменения центрального угла оболочки ДФ и от
радиального перемещения и (рис. 89, в):
„ _ (го + и) (Фо + ДФ) — г0®0
82 “
Здесь и в дальнейшем индексы «1» и «2» соответствуют компо-
нентам напряженно-деформированного состояния оболочки в ме-
ридиональном и окружном направлениях.
Используя соотношение (119), можно записать
s2 = % + ^-(l+x). (125)
"о
Исключив из выражений (124) и (125) перемещение и, получим
уравнение совместности деформаций:
-^-(e2ro) = (l +х)(1 4-e1)cos0-cos0o. (126)
Определим изменение кривизны срединной поверхности
в меридиональном направлении:
где Д10 и — радиус кривизны меридиана срединной поверх-
ности до и после деформации. Слагаемое rJRi учитывает поворот
нормали при удлинении координатной линии и соответствующее
изменение кривизны.
Учитывая, что
d — ds • D ______ ^0
И
ds = (1 + 8j) ds0,
найдем
где тЭ1 = 0 — 0о — угол поворота нормали.
142
Изменение кривизны в окружном направлении определяется
аналогично;
1 -р г2 1
^2 р D ‘
К2 К20
Второй главный радиус кривизны срединной поверхности до
и после деформации соответственно равен
р __ г0 . г> _ г
К‘10 sin 0о ’ К‘2 sin 0
Тогда, с учетом выражения (125), получим
Xa = l+XSinO—(128)
го ги
Рассмотрим уравнения равновесия элемента оболочки. Пред-
положим, что оболочка нагружена равномерно распределенным
гидростатическим давлением р и осевой силой Q (рис. 89, а).
На рис. 89, г, д показаны внутренние усилия, возникающие в обо-
лочке. Проектируя силы, приложенные к элементу на оси гиг,
получим [123]
4(^)-^-p/sin0 = O; (129)
(V7j + prcos0 = 0, (130)
где Н и V — интенсивность соответственно радиальной и осевой
составляющих меридионального усилия; Л^2 — интенсивность ок-
ружного усилия.
Дифференциальное уравнение (130) можно заменить алгебраи-
ческим, вытекающим из условия равновесия центральной части
оболочки. Если оболочка замкнута в вершине (рис. 89, е), то,
проектируя силы на ось вращения, получим
V—(-S7 + -T)' <131>
Если же меридиан является замкнутой кривой (например,
для манометрических трубчатых пружин), то условие равновесия
(рис. 89, ж) можно записать
г2 —г2
V = Va-^--p—
а г 2г
где Va — интенсивность осевого усилия по некоторому произволь-
ному окружному контуру разреза а.
В отличие от предыдущего случая, где осевую составляющую V
меридионального усилия можно найти из уравнения (131) равно-
весия центральной части оболочки, данная задача является стати-
чески неопределимой, и усилие Va находят из уравнения переме-
щений.
143
11<и'Л1'/|,||гм\ iii.ip.ukt'iiiiK) можно придать форму (131), если при-
нял |.
у - _ (-Я- а.
а \2лг„^ 2 )
Осевое Г и радиальное И усилия связаны с меридиональным
усилием Л/1 и поперечной силой Q1 следующими соотношениями
(см. рис. 89, ,?);
ЛЛ — V sin 0 4- 77 cos 0; 1
(132)
qa = v cos 9 -77 sin 0. I ( ’
Равенство нулю суммы моментов сил относительно оси, пер-
пендикулярной меридиональной плоскости элемента, представляет
собой третье уравнение равновесия;
-М2 cos 0-^ = 0, (133)
где Mi и Л12 — изгибающие моменты соответственно в меридио-
нальном и окружном направлениях.
Считая относительные деформации материала малыми, можно
на основании равенства (121) в уравнениях равновесия принять
ds = &0 (1 + er) « ds0. Кроме того, ограничение (120) позволяет
текущий радиус г, равный в соответствии с выражениями (123)
и (125)
представить в виде
(134)
Отметим, что, приняв приближенное равенство (134), связы-
вающее между собой функции г и г0, нельзя считать, что это ра-
венство распространяется на производные по дуге, т. е. г' =у-
=£ 4 . поскольку в области больших перемещений не равны
между собой координатные углы Оо и 0, связанные с г'о и г' равен-
ствами (122).
Запишем уравнения упругости. Выражения деформаций сре-
динной поверхности через усилия, согласно обобщенному закону
Гука, имеют следующий вид [24, 26]:
8i = -^-M); (135)
62 — (Л^2 — ЦЛ^1),
(136)
где Е и ц — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала:
h — толщина оболочки.
144
Изгибающие моменты связаны с изменениями кривизны сре-
динной поверхности следующими зависимостями:
Mj = —Д(х4 ( цх2); )
Ма = —Г>(х3-| цх,), |
где
D=_____
12(1-B2)
(137)
(138)
Для получения системы разрешающих уравнений преобразуем
уравнения совместности деформаций (126) и уравнения равно-
весия (133).
Заменим в уравнении совместности деформаций (126) величины
в, и б2 их выражениями через усилия (135), (136), учитывая при
этом соотношения (129)—(132); преобразуем также уравнения рав-
новесия (133) с учетом выражений (137), (127), (128), (132). При
этом тригонометрические функции разложим в ряды. Поскольку
6 — 0О + тЕ> (рис. 89, б),
sin 0 « sin 0О -|- ft cos 0О-ft2 sin 0O;
cos 0« cos 0O — ft sin 0O—^-ft2cos0o.
В результате ряда преобразований, в процессе которых осу-
ществляется переход к безразмерным величинам, исключение ма-
лых высших порядков, получим систему разрешающих дифферен-
циальных уравнений незамкнутой оболочки вращения в больших
перемещениях:
Ф" djlj/ бгф “Ь ^4 ~Г + с£(;'ф'О,/ =
= Н” Рр^2
ft" 4- Cift' ~Ь 4- с3Ф + с4фА + c5ft2 + c6ftft' = (13")
= qmx + ща.
Здесь неизвестными являются ft — угол поворота нормали и
ф — функция радиального усилия Н\
HR?
Eh2a(A+fi ’
(140)
где ha и R — некоторые характерные размеры (например, толщина
оболочки в каком-либо месте и рабочий радиус мембранного уп-
ругого элемента или радиус центральной оси трубчатой пружины).
145
В правые части уравнений (139) входят безразмерные
метры нагрузки в виде давления р и осевой силы Q;
пара-
Ро
(Hl)
где
7 = Q + 4
Q
q = —;
2лЕЛ’
PR2 2
Л"Ъ1Р‘
р — текущий безразмерный радиус;
р- R '
(142)
Штрихами отмечены производные ( )' = —
безразмерная дуга меридиана оболочки;
где
s
R-'
(143)
(144)
(145)
Коэффициенты уравнений (139) зависят от геометрии оболочки,
которая характеризуется следующими функциями:
ai = 4cos0o; а2 = ~ 66sin %; ct3 = ~jph'\
Й4 = 4 sln 0(ь аз = -~Q'o cos 0О;
к _ ю/i Rh^ • к - Rh
Al — 12 (1 — R ) Л2-----72" •
па
Значения коэффициентов d-t vict (i — 1, 2, 6) соответственно
будут
di = (1 + цх)— a3; d2 = Ц (а2 + а^з) - (1 + х) аь
d3 = (1 + X) a-iK2; d4 = ц (a5 — а3а4) + [2 (1 + х) — ц] а^,
do = у (1 + G1^2’ de =
Ci = 3a3 + (1 + px) ai‘>
Аг = (1 + X) (3|xaia3 — l^a2 - a?) + x (1 - H) a4i
c3 = — К1Й4; c4 = —Kifli;
= 4~(! + X) (3ai«4 — 3pa3fl4 - pa6) — p^l+-|-
ce = — (1 +HX)fl4-
(146)
х) а^,
146
Правые части уравнений (139) содержат функции
/1 =+М — ,Wri'; /2 = М" + арЭД /3 = %а1/<2;
m-L = —Q + Ф, т2 = — % | |i (Зя3«4 + а5) — а^];
Ьг =х р, (а3а4 — — (1 | х)«А;
= (1 + X — И) «4 + Ц (а2 -1- а{ил) — (1 + х) «ь
ь3 = (2 + их) aiai Н- а5 — W
&4 — (2 -j- цх) а1 — (1 + их) а4 — ^2 — й1а3-
В выражениях (145)—(147) х = -ж~ — относительный угол
UJ0
поворота торцов незамкнутой оболочки (119); р — коэффициент
Пуассона.
Для оболочки, замкнутой в окружном направлении, изменение
центрального угла х = 0, и система (139) совпадает с уравнениями
Рейсснера [1231 для оболочек вращения переменной толщины при
больших перемещениях*.
Система дифференциальных уравнений (139) дополняется гра-
ничными условиями, которые сформулированы для мембранных,
сильфонных и трубчатых упругих элементов (см. гл. 6, п. 6 и гл. 7,
п.4).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Для решения системы (139) используют какой-либо численный
метод [19]. Один из вариантов решения, основанный на методе
Ньютона—Канторовича [64, 67], приведен в приложении в конце
книги. По найденным в результате решения функциям ф и ft
вычисляют напряжения и перемещения манометрического упругого
элемента.
Мембранные меридиональное и окружное напряжения связаны
с соответствующими усилиями и М2:
^о = 41; = (148>
Используя соотношения (129), (132) и (140), получим
Eh2
<ho = (1 + X) ['I’Oi - Qai ~ ^(M + ?ai)]; (149)
ff20 = ----[ЛТД (a4 + (^°)
UL, 1 T Д -
* За исключением той разницы, которая вносится в работе [124] ошибоч-
ным допущением равенства г'о = г'.
147
Изгибпыс напряжения в точках наружной (+) и внутренней
(—) поверхности
н/п 6Mj . н/в , 6Л43 । г ..
<Т1И=±-^-, о2и==±-дг-, (151)
где изгибающие моменты связаны с функцией & выражениями
(137), (127), (128). Учитывая формулу (138), запишем
/4И2) {< + м [(! + х) - % И + ж]}; 15л
°2п = 2/? (I — ц2) [(* + X) (^1 — + Н ДГ + •
В формулах (149)—(152) подчеркнуты нелинейные слагаемые,
которые отбрасывают при выполнении линейного решения.
Главные напряжения в точках наружной и внутренней поверх-
ностей
О11/а — П|о ± (Tin! СГ2/В = С?20 ± °2и- (153)
Для определения эквивалентных напряжений можно использо-
вать теорию энергии формоизменения [1011;
<7экв — <71 4* °2 — <7]<72. (154)
С помощью выражений (125), (136) для каждой точки оболочки
можно найти радиальное перемещение
« = ! + у [4* (О20 - р,ои) - %] . (155)
Для определения осевого перемещения w установим изменение
размера вдоль оси z бесконечно малого элемента при его деформации
(см. рис. 89, б);
dw = ds sin 0 — dsn sin 0O.
Учитывая выражения (121), (122), (135) и (148), получим
w= j W ds + C, (156)
£
где
IF = /?р — -tM2 + 4* (oJ0 — poM) (a4 4- g^)] ,
C—постоянная, определяемая из граничных условий; подчерк-
нуты нелинейные слагаемые.
Г Л AfB А VI
МЕМБРАНЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Во многих манометрических приборах в качестве упругого
элемента применяют мембрану — гибкую круглую пластину,
получающую значительные упругие прогибы wQ под действием дав-
ления р (рис. 90). Мембраны могут быть плоскими или гофриро-
ванными. Их широко применяют в качестве чувствительных эле-
ментов манометрических приборов высоких классов точности.
При помощи мембран можно измерять давления от сотен атмосфер
до нескольких миллиметров водяного столба. Кроме того, мембраны
используют в качестве разделителей двух сред и гибких уплотни-
телей для передачи перемещений из области давления или раз-
ряжения.
Рабочий диаметр, т. е. диаметр мембраны по контуру креп-
ления, определяется заданными габаритными размерами, требуе-
мой величиной эффективной площади, необходимым прогибом
центра, запасом прочности и другими техническими требованиями,
предъявляемыми к мембране. Диаметры мембран обычно бывают
не менее 10—15 мм и не более 200—300 мм.
Мембраны изготовляют из высококачественных пружинных
сталей и бронз, а иногда из неметаллических материалов; резины
и пластмасс, армированных в некоторых случаях тканью из
капроновых, стеклянных или металлических нитей [351.
Толщину мембраны выбирают в зависимости от требуемой
чувствительности и прочности мембраны;
обычно она составляет около 0,06—1,5 мм для металлических
и 0,1—5 мм для неметаллических мембран;
В зависимости от геометрии мембраны могут иметь по давле-
нию как линейную, так и нелинейную упругую характеристику.
Эта особенность позволяет успешно использовать мембраны в при-
борах, измеряющих величины, нелинейно связанные с давлением.
Металлические мембраны изготовляют штамповкой из листо-
вого материала. Такой способ изготовления позволяет выдержи-
вать узкие допуски на толщину материала и на размеры мембраны.
Поэтому мембраны одной партии могут иметь сравнительно не-
большой разброс по характеристике.
Наиболее просты по форме плоские мембраны, характеристики
которых затухают по давлению в области больших прогибов
149
применение имеют гофриро-
ванные мембраны (рис. 91, б).
Нанесение кольцевых волн
увеличивает рабочие про-
гибы мембраны. Появляется
возможность, изменяя форму
и размеры гофрировки, под-
бирать должным образом уп-
ругую характеристику мембраны. В реле и сигнальных устрой-
ствах применяют выпуклые (сферические или конические) мем-
браны (рис. 91, в). При нагружении такой мембраны с выпуклой
стороны она скачком изменяет свой прогиб (прощелкивает)
вследствие потери устойчивости первоначальной формы. Это ис-
пользуют, например, для включения или выключения контактов.
Неметаллические мембраны имеют весьма малую жесткость,
поэтому их широко применяют в качестве разделительных мембран.
Как правило, их используют совместно с измерительной винто-
вой пружиной для преобразования давления в усилие, восприни-
маемое упругим элементом — пружиной (рис. 91, г).
2. ПЛОСКИЕ МЕМБРАНЫ
Применение и свойства плоских мембран. Плоские мембраны
имеют затухающую упругую характеристику, поэтому в качестве
рабочего прогиба обычно используют лишь небольшую часть
возможного перемещения мембраны. В показывающих и регистри-
рующих приборах металлические плоские мембраны применяют
редко. Плоские мембраны используют там, где требуется неболь-
шой ход, причем сама мембрана нагружается только рабочим дав-
лением, не испытывая противодействия со стороны механизма при-
бора (например, в емкостных, индуктивных, тензометрических
150
Рис. 92. Частотный датчик давления
Рис. 93. Плоская мембрана, натягиваемая
при установке в прибор
датчиках [2, 94]). Мембраны датчиков благодаря высокой чув-
ствительности преобразователя работают как упругие элементы
с относительно большой жесткостью, совершая незначительные
перемещения. Они нередко представляют собой довольно толстые
пластины, конструктивно выполненные за одно целое с корпусом
преобразователя.
На рис. 92 дана схема частотного датчика давления. Деформа-
ция мембраны 2 под действием давления вызывает поворот крон-
штейнов 4, вследствие чего изменяется натяжение вибрирующей
плоской пружины 1. Частота колебаний пружины зависит от ее
натяжения, а следовательно, и от давления. Возбуждение коле-
баний осуществляется электромагнитной системой 3 с частотой,
равной собственной частоте пружины 1. Катушка 5 служит для
съема выходного частотного сигнала. Пружина 1, кронштейны 4
и мембрана 2 выполнены как одно целое.
Плоские мембраны используют также в качестве преобразо-
вателей давления в усилие, которое затем воспринимается раз-
личными датчиками (электросопротивления, пьезоэлектрическими,
магнитострикционными и др.), имеющими достаточно высокую же-
сткость. В этих случаях мембрану можно считать практически
неподвижной. Здесь находят применение тонкие металлические
и неметаллические мембраны. Высокая частота собственных ко-
лебаний подобных датчиков позволяет использовать их для из-
мерения давлений, изменяющихся с частотой до нескольких сотен
и тысяч герц.
Изготовить идеально плоскую мембрану из тонкого листового
материала сложно, так как в процессе изготовления мембрана
может получить некоторое коробление. Нагружение такой мем-
браны давлением будет сопровождаться «хлопками», возникающими
в покоробленных местах. В этом случае упругая характеристика
мембраны нестабильна. Для улучшения характеристики мембрану
при закреплении в корпусе прибора обычно натягивают по контуру
(рис. 93). Иногда предварительное натяжение мембраны произво-
дят для изменения ее упругой характеристики, поскольку, меняя
величину начального натяжения, можно в больших пределах
изменять жесткость мембраны.
151
Рис. 94. Упругая характеристика плоской мембраны и возникающие в ней напря-
жения
Рассмотрим плоскую мембрану, закрепленную по контуру и
нагруженную давлением (рис. 94). Характер деформации мембраны
зависит от величины прогибов, которые она получает под на-
грузкой.
При малых прогибах перемещения мембраны связаны в основ-
ном с изгибом материала. Срединная плоскость, равноотстоящая
от поверхностей мембраны, почти не удлиняется. В области малых
перемещений мембрана имеет характеристику, близкую к линей-
ной; для ее расчета можно воспользоваться линейной теорией из-
гиба круглых пластинок [101 ].
При увеличении нагрузки прогибы мембраны становятся соиз-
меримыми с толщиной. Срединная плоскость мембраны удлиняется,
что приводит к появлению напряжений растяжения сг0, соизмери-
мых с изгибными напряжениями сги. Прогибы мембраны при этом
увеличиваются медленнее, чем нагрузка, и упругая характеристика
становится затухающей. Расчет мембраны в области больших
перемещений должен быть основан на нелинейной теории, учиты-
вающей как изгиб, так и растяжение мембраны в срединной по-
верхности.
Дальнейшее увеличение прогибов происходит в основном в ре-
зультате растяжения мембраны. В этом случае расчет можно про-
изводить по теории абсолютно гибкой мембраны без учета жест-
кости на изгиб.
Если мембрана достаточно тонка, она может получать большие
прогибы при упругих деформациях материала. В мембранах же
большой толщины пластические деформации могут возникнуть
и в области малых перемещений.
152
Форма упругой поверхности мембраны по мере увеличения
прогиба изменяется [99], как показано на рис. 94. С увеличением
прогиба точки перегиба (Т. П.) па линии осевого сечения мембраны
смещаются к контуру, и форма упругой поверхности прибли-
жается к сферической.
Поскольку получить точное аналитическое решение нелиней-
ной задачи о больших перемещениях i ибкой мембраны в замкнутой
форме не удается, то многочисленные исследователи идут или по
пути получения приближенною аналитического решения [37, 45,
65, 97, 99], или точного численною с помощью ЭВМ 124, 30, 31,
32, 57, 61, 100, 107].
Результаты аналитического и численного решения нелинейной
задачи о больших перемещениях плоской мембраны как измери-
тельного упругого элемента изложены ниже.
Отметим, что для оценки любого эффекта, связанного с нели-
нейностью поведения мембраны, следует использовать нелиней-
ную теорию независимо от величины прогиба мембраны. Например,
если мембрана работает в условиях силовой компенсации, то пере-
мещение ее центра практически равно нулю. Нелинейность пове-
дения такого упругого элемента проявляется в том, что величина
эффективной площади мембраны изменяется вместе с давлением,
что приводит к нелинейной зависимости компенсирующей силы от
давления. Оценка этой погрешности может быть проведена только
с помощью нелинейной теории.
Плоская мембрана в области малых перемещений. Плоская
мембрана может быть представлена как круглая пластинка ра-
диуса /?, толщиной h, защемленная по контуру и нагруженная
давлением р (рис. 95, а).
При решении задачи об изгибе круглой пластинки исполь-
зуют гипотезы о прямолинейности нормали и малости нормаль-
ных напряжений в направлении оси z (рис. 95, а).
Ограничивая пока задачу областью малых перемещений,
будем считать, что пластинка работает только на изгиб, а растя-
жение срединной поверхности отсутствует. Если двумя осевыми
Рис. 95. Внутренние усилия в пластинке
153
л цилиндрическими сечениями выделить элемент, то по его гра-
ням возникнуi .IIHIII, изгибающие моменты интенсивностью Мг
и Л1/ п поперечная сила Qr (рис. 95, б). Так как пластинка имеет
полярную ciiMMcipino, силовые факторы, напряжения и дефор-
мации постоянны вдоль окружности, но могут изменяться по
радиусу плаггппкп.
Деформация пластинки определяется углами поворота О
нормален (рис. 95, а). Если функция О = & (г) найдена, то опре-
делеппе прогибов и напряжений не представляет трудностей.
На основании уравнений равновесия и совместности дефор-
маций, а также уравнений закона Гука для двухосного напря-
женного состояния может быть получено дифференциальное урав-
нение круглой пластинки в области малых перемещений [101]:
гО" + fl' __ ± = г< (157)
где D —цилиндрическая жесткость (138).
Поперечную силу Qr находим из условия равновесия централь-
ной части пластинки (рис. 95, в):
Интегрируя уравнение (157) при граничных условиях 0,г=а = 0
и = 0, получим
й = О58)
Как и в теории изгиба стержней, прогиб w пластинки связан
с углом поворота ft нормали соотношением
0 = ^
dr
Интегрируя выражение (159) при граничном условий w=«=0,
найдем
<160)
Полученное уравнение упругой поверхности плоской мембраны
при малых прогибах можно представить также в следующем
виде:
w = w0 (1 — р2)2, (161)
где ш0 — прогиб в центре мембраны (при г = 0),
р = -н— безразмерный текущий радиус.
154
Подставив в последнее равен-
ство величину цилиндрической
жесткости D по формуле (138) и
приняв ц = 0,3, получим в без-
размерной форме уравнение уп-
ругой характеристики плоской
мембраны, нагруженной давле-
нием р, в области малых пере-
мещений:
pR* _ 16 шр _ г рГ wc
EhE ~~ 3 (1 - р.2) h ’ h ‘
(162)
Эта характеристика линейна.
Плоские мембраны часто ис-
пользуют для преобразования да-
вления в деформацию, которая
с помощью тензоэлементов, раз-
мещенных на поверхности мем-
браны, преобразуется в выходной
электрический сигнал.
Определим деформации плас-
тинки. Для этого рассмотрим эле-
Рис. 96. Деформации и напряжения
в круглой пластинке
мент пластинки до и после нагружения (рис. 96, а). Первона-
чальная длина произвольного радиального волокна CD, распо-
ложенного на расстоянии z от срединной поверхности, равна dr.
Удлинение этого волокна равного, следовательно, относитель-
ная деформация в радиальном направлении
d&
r dr
(163)
Окружную деформацию ez в точке D определим путем сравне-
ния длины окружностей, проходящих через точку D до и после
нагружения пластинки. До нагружения окружность имела ра-
диус г, после нагружения точка D переходит в положение.О',
и радиус окружности становится равным г + г®. Увеличение
радиуса равно zfr. При этом относительное удлинение в окружном
направлении
ft
В/ = z —.
1 г
(164)
Подставив в равенства (163) и (164) функцию угла поворота О
h
(158) с учетом (138) и положив 2 = ± -к-, получим выражения
155
Рис. 97. Чнюры деформаций ег и Et
Рнс. 98. Напряжения в круглой пла-
стинке при малых перемещениях
деформации в точках наружной поверхности через давление р,
а также через прогиб w0 в центре мембраны:
гг = ± -g- (зр2 - 1) = ± JgL (3р* _ 1);
(165)
^ = ±^Ц^^(рЕ 2-1) = ± -^(р2-1).
Знак плюс соответствует верхней, нагруженной давлением по-
верхности мембраны (рис. 98, б); знак минус — нижней по-
верхности.
Графики распределения вдоль радиуса деформаций еЛ и et
в точках наружной поверхности (г = h/2) (рис. 97) показывают,
что радиальные деформации ег изменяют свой знак при р ж 0,6.
Наибольшая деформация sr возникает у наружного контура,
где она вдвое больше деформации в центре. Окружная деформа-
ция st имеет наибольшую величину в центре мембраны.
Изгибные напряжения <~>г и crz (рис. 96, б) в радиальном и
окружном направлениях связаны с деформациями уравнениями
закона Гука [1011:
Е Е
°г — J (sr + = 1 2 (е< + Нег)'
156
Подставив выражения деформаций (165), получим формулы
для напряжений в точках, расположенных у поверхности мем-
браны (^при г = ± -Й:
На рис. 98, а показаны эпюры распределения напряжений по
h
радиусу при z — — и напряженное состояние двух точек
(рис. 98, б). Эквивалентное напряжение а,кв в этих точках можно
определить, пользуясь теорией энергии формоизменения [101].
Для плоского напряженного состояния
^экв = °! + ст2 — 01^2,
где Oj и о2 — главные напряжения.
В центре мембраны главные напряжения
следовательно,
==2.(.1 + и)^^0 488-^..
°экв 8 h2 ’ h?
На краю мембраны
3 pR" . 3 pR2
C1 — ° г — 4 № ’ а2 — ct — Н 4 h2 ’
и при р, = 0,3
Пэкв = Й-н + н2« 0,666
Таким образом, опасной будет точка у заделки мембраны.
Величину допускаемого давления можно определить из усло-
вия прочности
Оэкв = 0,666 с [ст],
где [ст] —допускаемое напряжение; отсюда допускаемое давление
/?2
Рдоп= l,5[O]-£j-. (166)
Поскольку при малых прогибах напряжения в пластинке свя-
заны с прогибом линейно, то, исключив из выражений (162) и (166)
157
Рис. 99. Пластинка с жестким центром
давление р, можно найти величину допускаемого прогиба (по
условию прочности)
(®о)доп = 0,256 [о] .
При расчетах некоторых манометрических приборов необхо-
димо знать изменение объема внутренней полости упругого эле-
мента. Определим его для плоской мембраны в области малых
перемещений. Объем элементарного кольца (см. рис. 97)
dV — 2nrdrw.
Полный объем между начальной плоскостью мембраны и ее
упругой поверхностью
л
V = 2л j wr dr.
о
Подставив в последнее выражение формулу (160) для про-
гиба w, после интегрирования получим
V = nR-w0.
О
Расчет пластинки с жестким центром радиуса г0, нагруженной
давлением (рис. 99, а), также может быть выполнен с помощью
уравнения (157). Постоянные интегрирования Сх и С2 в этом слу-
чае имеют другие значения и определяются в соответствии с но-
выми граничными условиями:
»м = 0и^ = 0. (167)
В остальном решение проводится аналогично изложенному
выше. В результате перемещение wa жесткого центра мембраны
-о = Лр-^. (168)
Коэффициент Ар зависит от отношения k рабочего (наружного)
радиуса R к радиусу г0 жесткого центра: k = -у— :
д __ 3 (1 — р,2) — 1 — W in £ ° ,1Rcn
~ 16 А4 '
158
Радиальные напряжения в точках у поверхности на наружном
и внутреннем контурах
Огв —- (ТГП
Ehwt
где
R 4
Р — 1 — k* — I — 4k2 In k ’
В области малых перемещений так же просто проводят расчет
плоской мембраны, нагруженной сосредоточенной в центре силой Q
(рис. 99, б). В этом случае в дифференциальное уравнение (157)
следует подставить Q, = . Если мембрана имеет жесткий
центр, то, как и в случае действия давления, граничные усло-
вия выражаются зависимостями (167). Произведя интегрирова-
ние уравнения (157), получим перемещение жесткого центра
мембраны в виде
^0 = ^45-. (170)
где
л = 3(1-^)
ч л
k2 — 1 In2/г 1
4k2 k2 — 1J '
(171)
Наибольшие напряжения в точках наружного и внутреннего
контуров определяются выражениями
, г, Ehw0 . г, EhwB
оУн ~^Qn и гтгв
Коэффициенты Во„ и Bq„ соответственно равны:
R _ .2 k2 (k2 — 1 — 2 In k).
Q" 1 — — I)2—4A2ln2Z>’
p 2 k2(2k2\nk — k2+ 1)
1— p.2 (£2_ l)2—4^1nSA ’
Полагая в области малых перемещений упругую характери-
стику мембраны линейной и учитывая выражения (6), (168) и (170),
получим значение эффективной площади
/Э А
<172>
где коэффициенты Ар и определяют по формулам (169) и (171).
Следует иметь в виду, что выражение (172) дает лишь началь-
ное значение эффективной площади, когда давление и прогибы
мембраны сколь угодно малы. С увеличением нагрузки упругая
159
Рис. 100. Плоская мембрана, изгибаемая
внешним моментом
характеристика плоской мем-
браны отклоняется от ли-
нейной, и ее эффективная
площадь меняется. Этот во-
прос будет рассмотрен ниже.
Мембрана не всегда бы-
вает нагружена осесиммет-
рично. Например, если мем-
брана служит упругим вы-
водом углового перемещения
[131 (рис. 100, а), то силы,
действующие на нее, можно
привести к изгибающему
моменту, приложенному к жесткому центру (рис. 100, б).
Угол поворота жесткого центра мембраны [93], изгибаемой
внешним моментом,
Ф = (173)
где
(174)
Наибольшие напряжения в точках наружного и внутреннего
контуров
_ г, ф£Л D q>Eh
&ги ГЗгрн р Г! Orn — Д|-в р >
где
п _______________________ 3 k" — 11 р п 1
«>н — V ДГ 11 — Д#
Абсолютно гибкая мембрана. Тонкую мембрану, работающую
при весьма больших прогибах w0 h, можно рассматривать как
абсолютно гибкую. В такой мембране напряжения растяжения
будут значительно больше изгибных, и при расчете изгибной
жесткостью можно пренебречь. Дифференциальные уравнения
абсолютно гибкой мембраны имеют вид [99]
рф" + Ф'--^=4^; ^ = -fi-P2, (175)
где б1 — угол поворота нормали; ф = — --функция мем-
бранного радиального усилия Nr; р — безразмерный текущий
радиус. Штрихами отмечены производные ( )' =—.
I Приближенное решение этих нелинейных уравнений можно
получить методом Бубнова—Валеркина [47, 64, 67]. Под дей-
ствием давления абсолютно гибкая мембрана принимает форму,
близкую к сферической (см. рис. 94), поэтому закон изменения по
радиусу угла поворота нормали можно задать в виде О = Ср,
160
где С — постоянная, подлежа-
щая определению. Решение этой
задачи приводит к следующему
уравнению упругой характери-
стики абсолютно гибкой мем-
браны [99]:
Ей4 3(1 — р.) Л3 "
При ц = 0,3
-^- = 3 19 —
Eh* °’ J h3
Точное решение этой задачи
приводит к выражению [5]
7-р.
^ = 3,58^. (176)
Из формулы (176) видно, что
в области весьма больших про-
гибов, когда мембрана работает в основном на растяжение, сопро-
тивление мембраны внешней нагрузке возрастает с увеличением
прогиба по кубическому закону.
[- Если абсолютно гибкая мембрана имеет жесткий центр, то
ее упругая характеристика может быть получена аналогичным
путем. Различие в решении будет определяться только разницей
в граничных условиях. Для мембраны с жестким центром
радиуса г0 радиальное смещение, а следовательно, и окружная
деформация на наружном (р = 1) и внутреннем (р = р0 = -^-')
контуре равны нулю. Уравнение характеристики абсолютно гиб-
кой мембраны с жестким центром имеет вид
_ п 21
ЕЛ4 р h3 ’
где
(1 + Ро + pg) + (3; pg
(1-Ю (1 - pg) (‘-pg)2
(177)
(178)
Если абсолютно гибкая мембрана при установке в прибор на-
тягивается, например, как показано на рис. 93, то ее прогибы
также могут быть определены на основании уравнений (175).
.Предположим, что при натяжении мембраны точки ее наруж-
ного контура получили радиальное смещение их (рис. 101). За-
тем мембрану закрепляют так, чтобы при ее нагружении величина
радиального смещения на контуре оставалась неизменной. Упру-
6 Андреева Л. Е. 16]
гия хи|1.1гK'piu ины мембраны с начальным натяжением может
бып> получеп.т, как н для мембраны без натяжения. Разными
будуз лишь 1раничные условия. Для мембраны с начальным
натяжением при г = R окружная деформация et = Урав-
нение упругой характеристики абсолютно гибкой мембраны с на-
чальным натяжением будет иметь вид
_ 7 — р. то , 4 аи0 ulR
Eh11 ~ 3(1 — р) h3 1 1 —р h h2 '
На рис. 101 приведено семейство упругих характеристик мем-
бран при различных величинах начального натяжения. С его
увеличением мембрана становится более жесткой, а нелинейность
характеристики уменьшается.
Определение характеристики плоской мембраны методом «нало-
жения» . Выше были приведены результаты решения задачи
о прогибах плоской мембраны для двух предельных условий ее
работы: в области малых перемещений, когда прогибы значительно
меньше ее толщины, и в области больших прогибов, превосходя-
щих толщину мембраны в 10 и более раз, когда мембрана работает
почти как абсолютно гибкая.
Дифференциальные уравнения плоской мембраны при боль-
ших прогибах имеют вид [99]
.. . фа
ft D2 Г пР 1 (^9)
рд + ^-| = 4- [-£/г# + ^-р3] .
Они могут быть получены также из уравнений (139) оболочки
вращения, вывод которых дан в гл. V как частный случай, когда
угол между нормалью к поверхности оболочки и осью враще-
ния 0О = 0.
Для абсолютно гибкой мембраны изгибная жесткость D (138)
стремится к нулю, и тогда уравнения (179) принимают вид (175).
Аналитическое решение нелинейных уравнений (179), охватываю-
щее любые прогибы плоской мембраны, представляет известные
трудности. Впервые оно было получено В. И. Феодосьевым [97]
с помощью метода Бубнова—Галеркина. При решении уравне-
ний (179) в первом приближении форма упругой поверхности за-
давалась в виде
О = С (р3 — р), (180)
что соответствует уравнению (158) малых прогибов (здесь С —
искомый параметр).
Однако с увеличением прогиба форма упругой поверхности
мембраны изменяется. Как упоминалось выше, для мембраны,
нагруженной равномерно распределенным давлением и защем-
ленной по контуру, форма упругой поверхности приближается
162
к сферической (см. рис. 94). Поскольку выражение (180) этого
не учитывает, решение в первом приближении приводит к удов-
летворительным результатам только для прогибов w0 < (2ч-2,5) h.
На практике, однако, прогибы топких упругих мембран могут
в десятки раз превышать ее толщину1.
Аналитическое решение, учитывающее изменение формы упру-
гой поверхности и применимое при больших прогибах, также при-
надлежит В. И. Феодосьеву [70 I. В нем уравнение упругой по-
верхности выбрано в виде
О = С(р*-р), (181)
где z — параметр, зависящий от прогиба мембраны и определяю-
щий форму упругой поверхности. При 2 = 3 выражение (181)
совпадает с уравнением (180) малых прогибов. С увеличением
параметра z окружность точек перегиба, где = 0, смещается
к контуру защемления мембраны, и упругая поверхность стре-
мится к сферической.
Параметры z и С находят по методу Бубнова — Валерки-
на [70, 99].
Нелинейные дифференциальные уравнения (179) плоской мем-
браны можно также решить на ЭВМ численным методом и полу-
чить достаточно точное решение [32, 57, 100). Но прежде, чем
перейти к изложению результатов численного метода решения,
остановимся еще на одном приближенном методе.
Уравнение упругой характеристики мембраны в аналитиче-
ской форме можно получить с помощью простейшего приема,
который получил название метода «наложения» [93]. Примене-
ние этого метода к определению прогибов плоской мембраны при-
водит к результатам, достаточно близко совпадающим с точным
решением.
Основная идея метода «наложения» заключается в том, что
сопротивление мембраны внешней нагрузке рассматривают как
сумму сопротивлений изгибу и растяжению. Сопротивление мем-
браны изгибу определяют по линейной теории, а сопротивление
растяжению — из расчета абсолютно гибкой мембраны, которая
имеет исчезающе малую пзгибную жесткость и работает только на
растяжение. Искомое решение при произвольной величине про-
гиба находят «наложением» этих двух решений, т. е. приравни-
ванием суммы сопротивлений мембраны изгибу и растяжению
величине внешней нагрузки:
Р = Ри + Ро,
где р— безразмерный параметр давления (р = ^-4-); рп ха-
рактеризует сопротивление мембраны изгибу; р0 — сопротивле-
ние растяжению.
1 При достаточно больших прогибах возможна потеря устойчивости мем-
браны, выражающаяся в появлении радиальных складок [99]
6* 163
Рнс. 102. Упругие характеристики плоской мем-
браны
Из решения круглой
пластинки в малых пере-
мещениях сопротивление
мембраны изгибу опреде-
ляют в соответствии с вы-
ражением (162) при и =
= 0,3 по формуле
ри = L6 - Д’ = 5,86 .
,и 3(1— р2) h ’ h
Сопротивление мембра-
ны растяжению находят
из решения абсолютно
гибкой мембраны (176).
При ц = 0,3
Ро = 3,58^.
Суммируя два предыду-
щих выражения, получают
= 5,86 +3,58^2-.
Eh4 ’ h 1 ’ №
(182)
Следует иметь в виду, что при использовании метода «нало-
жения» граничные условия выполняются не полностью. Так,
например, у мембраны, защемленной по наружному кон-
туру, Угол поворота на контуре равен нулю при любом
прогибе. Однако решение мембраны, как абсолютно гибкой, пред-
полагает наличие угла поворота на контуре.
На рис. 102 кривая 5 соответствует уравнению (182). Для
сравнения здесь же показаны линейная характеристика (162)
(прямая 7) и кривая прогибов абсолютно гибкой мембраны (176)
(кривая 2). В области малых перемещений, когда мембрана ра-
ботает в основном на изгиб, характеристика 5 касается прямой 7.
При больших перемещениях кривая 5 близка по форме харак-
теристике 2 абсолютно гибкой мембраны. Наиболее близко кри-
вая 5, полученная методом «наложения», совпадает с кривой 4,
соответствующей численному решению. На графике рис. 102
дана также кривая 5, построенная по результатам решения этой
задачи методом Бубнова—Галеркина в первом приближении [99].
Это решение дает большее отклонение от точного (кривая 4),
чем метод «наложения» (кривая 5).
Также просто методом наложения можно получить характе-
ристику плоской мембраны с жестким центром, поскольку эта
задача была предварительно решена и по линейной теории (168),
и по теории абсолютно гибкой мембраны (177). В результате полу-
164
чится следующее уравнение плоской мембраны, охватывающее
области малых и больших перемещений:
pR* _ 1 п wo
EhA Ap~h 1 >' Л3
Здесь коэффициенты Ап и Вг определяют по формулам (169)
и (178).
Если метод «наложения» можно использовать для приближен-
ного построения упругой характеристики мембраны, то для
оценки напряжений он не годится, так как дает, как и любой при-
ближенный метод, значительно большую погрешность при опре-
делении напряжений, чем при определении прогибов.
Результаты численного решения. Как упоминалось выше,
численное решение нелинейных дифференциальных уравне-
ний (179) плоской мембраны может быть выполнено различными
методами. Ниже приводятся результаты решения, основанного
на методе Ньютона—Канторовича и изложенного в приложении.
Численное решение позволяет с заданной точностью опреде-
лить прогиб w и напряжения в произвольной точке мембраны,
ее эффективную площадь КЭф и объем V между начальной и упру-
гой поверхностью мембраны.
При определении эффективной площади предполагалось, что
мембрана помимо давления нагружена осевой силой Q. При за-
данном давлении р величину силы Q определяют в процессе чис-
ленного решения из условия равенства нулю прогиба центра
мембраны. Начальное значение эффективной площади КЭф„, соот-
Рис. 104. Семейство упругих характеристик
Рис. 103. Номограмма для расчета плоской
мембраны без жесткого центра
165
Рис. 105. Кривые безразмерного напряже*
нил 7т = / (р)
задачи как отношение: Р^ =
= у-, где Кр и K.Q — жестко-
сти мембраны по давлению и
силе.
Результаты численного ре-
шения для плоской мембраны,
защемленной по наружному кон-
туру и нагруженной осесиммет-
рично давлением или сосредо-
точенной силой Q, показаны
в виде графиков на рис. ЮЗ-
107, где w — относительный
прогиб в центре мембраны; р и
q — безразмерные параметры на-
грузки по давлению и силе; о —
относительное эквивалентное
напряжение в опасной точке.
Эти величины определяют
по формулам
л=-^- q-^^L-
h ' р Eh> ' 4 лЕМ ’
=. _ Пэкв^2
Eh" " '
(183)
(184)
Опасная точка для мембраны, нагруженной давлением, нахо-
дится у наружного контура (г = R), а для мембраны, нагруженной
сосредоточенной силой, — у внутреннего контура (г = г0).
Рне. 10G. Кривые эффектив-
ной площади:
а — начальная отиоситель- д
ная эффективная площадь f0;
б — относительное изменение
эффективной площади
при прогибе @ 0в зависи-
мости от давления р
16G
и ооъем,вы-
тесняемый мембраной
у — ъ2д' • (185)
! Относительная эффектив-
ная площадь
Безразмерный радиус
жесткого центра р0 = .
Начальное (при р -> 0)
значение относительной эф-
фективной площади /0 в за-
висимости от безразмерного
радиуса^ро жесткого центра
дано на|рис. 106, а.
На рис. 103 приведены ре-
зультаты численного решения
Рис. 107. Кривые относительного напряже-
ния -2- = f (р) при прогибе w — 0
Р
для мембраны без жесткого центра; на рис. 104 — 107—для мембран
с различными размерами жесткого центра. Кривые (рис. 104, 105)
соответствуют случаю, когда мембрана совершает свободный
ход под действием сосредоточенной силы Q. Кривые (рис. 106, б,
107) построены для мембраны, нагруженной давлением р, когда
ее центр опирается на неподвижный упор и перемещение ш0 = 0.
В таких условиях работают упругие элементы, преобразующие
давление в усилие, например, в приборах силовой компенсации
или в других случаях, когда следующий за упругим элементом
преобразователь обладает достаточно большой жесткостью. Для
мембран, используемых в подобных условиях, одной из основных
является погрешность, вызываемая изменением эффективной пло-
щади с давлением, которое вносит нелинейность в преобразова-
ние давления в усилие:
Q = рРЭф-
На рис. 106, б приведены кривые зависимости относительного
изменения эффективной площади
ЧГ = Ч^100%
СЭф0
(187)
от величины параметра давления р для плоской мембраны с жест-
ким центром. Для мембраны без жесткого центра функция гр =
= [ (р) показана на рис. 103.
Пример 1. Определить давление, изменение объема и коэффициента запаса
плоской мембраны без жесткого центра при заданном рабочем прогибе ta0 =
= 2 мм. Материал мембраны — сплав 36НХТЮ8М, модуль упругости Е =
= 2,1-105 МПа; предел упругости <гу=900 МПа; рабочий радиус R = 100 мм;
о лщина материала h = 0,4 мм.
Л
167
1’ <• m i’ и и c Lun данного случая й> = = 5; по рис. 103 на-
/)/>"
ходим /1 ! ЬОО, отсюда давление
500£М 500.2,1 • 105-0,044 ПАПСП,.„
Р = —^4— =--------------цр-------------- 0,0269 МПа.
Параметру давления р = 500 соответствуют величины относительного
объема V— 2,32 и безразмерного эквивалентного напряжения в опасной точке
а = 99 (см. рис. 103). Тогда объем V между упругой поверхностью и начальной
плоскостью согласно формуле (185)
И = vaR2h = 2,32-3,14.1002-0,4 = 29200 мм3.
Наибольшее эквивалентное напряжение по выражению (184)
-Eh2 nn 2,1.10s-0,4= _оо
Оэкв — ° ^2 — 99-----юо2----— 333 МПа.
Коэффициент запаса па, определяемый как отношение предела упругости
материала к максимальному напряжению, будет
__Оу__900_
П°-(тэкв 333 ,
Одиако у рассматриваемой мембраны зависимость между напряжениями н
давлением нелинейна, и коэффициенты запаса по напряжениям и по нагрузкам
могут существенно отличаться друг от друга (см. гл. I, п. 1). Определим коэф-
фициент запаса как отношение давления ру, при котором в материале мембраны
возникнут первые пластические деформации, к рабочему давлению р\
Р Р
Величину ру находим из условия равенства эквивалентного напряжения
в опасной точке пределу упругости, т. е, Оэкв = «Ту. Безразмерный предел уп-
ругости
д 900.100^
у Eh2 2,1 105-0,42 ~ ’
По этому значению с помощью кривой (см. рис. 103) находим параметр
давления ру = 2100. Следовательно, согласно равенству (183)
Fh4
ру = 2100 ^=0,113 МПа.
Коэффициент запаса, определяемый по нагрузкам,
„ Ру 0>ЧЗ jo
р р 0,0269 “ 4’2,
В данном случае коэффициент запаса по нагрузкам существенно превышает
коэффициент запаса по напряжениям.
Пример 2. Плоская мембрана упругого вывода совершает при работе пере-
мещение ш0 = ±0,8 мм. Размеры мембраны: R = 30 мм, г0 = 6 мм, h = 0,16 мм.
Материал: бронза БрБ 2, модуль упругости Е = 135 000 МПа, предел упру-
гости «Ту = 960 МПа. Определить коэффициент запаса мембраны.
Решение. В данном случае мембрана нагружена некоторой сосредо-
точенной в центре силой Q. По кривой р0 — = 0,2 на рис. 104 при
/\ зи
8
w = =o"ig= 5 определяем параметр нагрузки q = 235. Затем по кривой
168
Ро = 0,2 (рис. 105) находим а = 170. Наибольшее эквивалентное напряжение
согласно формуле (184)
.„ 1,35-1ОГ’0,16s .....
оэкв = 170 = 170---------------= 653 МПа.
Коэффициент запаса по напряжениям, определяемый в данном случае как
отношение предела упругости к наибольшему эквивалентному напряжению:
ov 960 _
° оэкв 653 11 7-
Однако в данном случае параметром, определяющим работу упругого эле-
мента, является прогиб, поэтому более логично под коэффициентом запаса по-
нимать отношение
п - Шу
(188)
где кр — прогиб, при котором в мембране возникают первые пластические де-
формации; w — наибольший рабочий прогиб.
Если бы упругий элемент имел лннейиую характеристику, то оба коэффи-
циента запаса совпали бы. Одиако характеристика данной плоской мембраны су-
щественно нелинейна (см. рис. 104). Определим nw. Величину шу находим из
того условия, что в опасной точке Стэка = Оу- Вычислим безразмерный предел
упругости
_ М2 __ 960.302 _
у E7i2 1,35-105-0,16= ’
а по кривым (рис. 105) — найдем соответствующую величину параметра нагрузки.
При ро = 0,2 и бу = 250 получим q = 400. Возвращаясь к рнс. 104, определим
соответствующий относительный прогиб wy = - = 6,6, откуда Wy = wji =
= 6,6-0,16 = 1,056 мм.
Коэффициент запаса по текучести, найденной по отношению прогибов (188),
1.056 ,
п о— — 1,32.
0,8
Пример 3. Определить начальную эффективную площадь, ее изменение при
рабочем давлении р = 0,01 МПа и коэффициент запаса по напряжениям для
плоской мембраны прибора силовой компенсации. Размеры мембраны: R = 30 мм,
h = 0,1 мм, г0 = 9 мм. Материал — бронза БрБНТ 1,9; предел упругости о,, =
= 960 МПа, 5= 1,315 105 МПа.
Решение. По кривой (рис. 106, а) при относительном радиусе жест-
кого центра р0=-§-=0,3 находим безразмерную начальную эффективную
площадь /0 = 0,42. В соответствии с выражением (186) эффективная площадь
?эфп = 0,42л£2 = 1187 мм2.
Относительное изменение эффективной площади гр определим по кривым,
показанным рис. 106, б. При параметре давления р = — 616 и р0 = 0,3
С fl
величина гр = 1,13%.
Наибольшее безразмерное напряжение при р = 616 определим по кривой
р0 = 0,3 (рис. 107): =
подсчитаем эквивалентное
= 171 МПа. Коэффициент
0,19. Отсюда о = 0,19 р — 117. По формуле (184)
- Eh-
иапряжение в опасной точке: аэ.кв ~ О' ~
Оу г с
запаса п = —-— = о,о ,
О.эк?,
169
3. Г()ФРИ1,()»Л11111.|1 Ml М1.РА11Ы; ПРИМЕНЕНИЕ, КОНСТРУКЦИИ,
СНОСОЬЫ II И OIOB.III ПИЯ
В отличие о г плоских гофрированные мембраны имеют волно-
образный профиль, под которым понимают образующую средин-
поп поверхности.
Гофрированные мембраны применяют чаще плоских. Они
могут работать при значительно больших прогибах. В зависи-
мости от формы профиля упругая характеристика мембраны
может быть линейной, затухающей или возрастающей по давле-
нию. В этом отношении гофрированные мембраны имеют преиму-
щество перед другими типами манометрических упругих эле-
ментов (сильфонов, трубчатых пружин), характеристики которых
близки к линейным. С помощью гофрированных мембран можно
легко решать задачи измерения величин, нелинейно связанных
с давлением (например, расхода жидкости или газа, проходящего
по трубопроводу, воздушной скорости полета самолета, высоты
его подъема и пр.). Подбирая должным образом геометрические
параметры мембраны, можно получить характеристику, линей-
ную по измеряемой величине, и тогда линейность шкалы при-
бора достигается при простейшей кинематике механизма.
На рис. 108 даны схемы некоторых приборов, в которых ис-
пользованы гофрированные мембраны.
Рис. 108. Примеры применения гофри-
рованных мембран в приборах:
а — авиационный высотомер; б —мембран-
ный дифференциальный манометр; в —
манометр с одиночной мембраной; г — ре-
гистрирующий прибор с дисковой диаграм-
мой
170
К центральной плоской ча-
сти мембраны прикрепляют
жесткий центр 1 (рис. 109),
штифт которого служит для
передачи перемещения или уси-
лия от мембраны к механизму
прибора.
На рис. 109 показаны часто
встречающиеся формы профи-
лей 2 гофрированных мембран:
трапецеидальная, пильчатая и
Рис. 104, ги гофрированном мем-
браны
синусоидальная.
Наиболее удаленная от центра мембраны волна гофрировки
часто имеет форму, отличную от остальных волн. Ее называют
краевым гофром 3. На рис. 109 изображен тороидальный и
цилиндрический краевые гофры. Наличие краевого гофра необ-
ходимо при соединении двух мембран в коробку. Краевой гофр
переходит в плоский 4 или цилиндрический 5 буртик, который
имеет небольшую длину и служит для закрепления мембраны.
Одиночные мембраны, закрепленные по буртику в корпусе,
применяют сравнительно редко. Чтобы осуществить надежное
крепление мембраны, крепежные детали достаточно сильно затя-
гивают (рис. ПО, а), при этом в корпусе могут возникнуть зна-
чительные усилия. В некоторых случаях мембрану крепят к жест-
кому основанию пайкой или сваркой (рис. ПО, б). Такой способ
крепления освобождает корпус от усилий затяжки, но и при пайке
или сварке мембрана и основание прогреваются неравномерно.
Это приводит к возникновению остаточных температурных на-
пряжений, которые могут повлиять на упругую характеристику.
Температурные напряжения будут меньше, если материалы
Рис. ПО. Конструкции мембран
171
пспонаппя и мсморапы имеют одинаковый коэффициент тепло*
вого расширения
При креплении одиночной мембраны большое значение имеют
конструкция и точность изготовления крепежных колец или осно-
вания, а также правильность формы буртика. Если буртик или
посадочная кольцевая площадка на основании или крепежном
кольце не параллельны друг другу, то при закреплении мембраны
любым способом буртик будет поворачиваться, что приведет к де-
формации мембраны и искажению ее упругой характеристики.
Несовершенства краевого крепления мембраны проявляются тем
больше, чем меньше ее жесткость.
Конструкция мембранного узла значительно упрощается, если
две одинаковые мембраны соединены по буртику в мембранную
коробку. По сравнению с одиночной мембраной коробка имеет
преимущество вдвое большего хода. Кроме того, установка мем-
бранной коробки в прибор значительно проще, чем одиночной мем-
браны. К одной из мембран прикрепляется жесткий центр, а к дру-
гой— штуцер, который служит для подвода во внутреннюю
полость коробки измеряемого давления и одновременно для креп-
ления коробки в корпусе прибора (рис. НО, в).
Мембраны соединяют в коробку пайкой или сваркой по бур-
тику. Так как при этом обе мембраны находятся в одинаковых
условиях, пайка (или сварка) не вызывает заметных температур-
ных напряжений, как это имеет место при сварке одиночной мем-
браны с основанием.
Для увеличения прочности соединения мембран их иногда
сваривают друг с другом по грибковой схеме (рис. 110, г). Так как
диаметр сварного шва в этом случае можно выдержать в меньшем
поле допуска, чем при сварке по плоскому буртику, то и разброс
в партии мембран по эффективной площади будет меньше.
Если необходимо иметь минимальный объем внутренней по-
лости, применяют складывающиеся мембранные коробки
(рис. НО, д). Они не теряют своих свойств в случае перегрузки
наружным давлением. Чтобы обеспечить идеальное прилегание
мембран друг к другу при перегрузках, обе мембраны обычно
штампуют вместе. При измерении абсолютного давления (мано-
метрами абсолютного давления, барометрами, высотомерами и др.)
внутри коробки создается вакуум. Такие коробки называют ане-
роидными в отличие от манометрических, внутренняя полость
которых соединена с измеряемым давлением. Иногда для увели-
чения перемещения несколько коробок соединяют в блок (110, е).
С целью защиты мембранной коробки от перегрузки давлением
применяют специальные упоры, ограничивающие деформацию
мембран. При небольшой перегрузке достаточно ограничить упо-
ром перемещение верхнего центра коробки (рис. 111, а). Если же
перегрузочное давление велико, то необходимо ограничить дефор-
мации во всех точках мембран. Однако при этом может встретиться
ряд трудностей. Дело в том, что при увеличении давления во вну-
172
трснней полости коробки, закрепленной по нижнему центру,
все точки как верхней, так и нижней мембраны получают пере-
мещение вверх (рис. 111, б). Ограничить при этом перемещения
верхней мембраны сравнительно легко, поставив на ее пути не-
подвижный упор; защитить же нижнюю мембрану в таких усло-
виях трудно.
Если мембранный чувствительный элемент при работе может
испытывать перегрузку давлением рх или р2 (например, в дифма-
нометре), то для защиты от перегрузок применяют блок двух
мембранных коробок, заполненный жидкостью (рис. 111, в). В этом
случае каждую мембранную коробку выполняют в форме «скла-
дывающейся» (см. рис. 110, 5). Такие коробки могут выдержать
перепад в сотни и тысячи раз больше рабочего. Наличие жидкост-
ного заполнителя позволяет применять чувствительные коробки
при больших статических давлениях, значительно превышающих
рабочие перепады. Однако такие системы чувствительны к коле-
баниям температуры вследствие расширения рабочей жидкости.
Этим недостатком не обладает конструкция в виде одиночной мемб-
раны, защищенной с обеих сторон профилированными упорами
(рис. 111, г). Однако она работает надежно только в чистой ра-
бочей среде, когда пространство между мембраной и упорами не
загрязняется.
Для изготовления мембран используют тонколистовой мате-
риал, из которого вырубают кружки — заготовки для мембран.
Рифление мембран (нанесение гофрировки) производят механи-
ческим способом между жесткими пуансоном и матрицей. Для
обеспечения лучших условий вытяжки материала пуансон и мат-
рицу конструируют так, чтобы соприкосновение их с мембраной
осуществлялось не по всей поверхности, а только по контактным
площадкам (рис. 112, а).
173
При изготовлении мембран необходимо особенно тщательно
выдерживать требуемую глубину гофрировки и форму начальной
поверхности, г. е. поверхности, равноотстоящей от вершин и впа-
дин мембраны. Для упругих элементов с характеристикой, близ-
кой к линейной, отклонение в размерах вызывает лишь изменение
жесткости, которое можно скомпенсировать при настройке при-
бора. Для чувствительной мембраны с заданной нелинейной
характеристикой отклонения от требуемой геометрии могут
существенно изменить форму упругой характеристики, т. е. вели-
чину нелинейности, что скомпенсировать настройкой прибора
значительно труднее. Поэтому в качестве основных материалов для
изготовления мембран точных приборов используют такие, которые
имеют наименьшую упругую отдачу при рифлении, например
дисперсионно-твердеющие сплавы (см. табл. 3). Для предотвра-
щения коробления и искажения профиля термообработку мембран
проводят в специальных прокладках (рис. 112,6).
Высокие упругие свойства имеют мембраны из бериллиевой
БрБ 2 и никельтитановой БрБНТ 1,9 бронзы, а также из бронзы
с добавлением магния — БрБНТ 1,9 Мг1.
Для мембран, соприкасающихся с различными агрессивными
средами, широко используют дисперсионно-твердеющие сплавы
36НХТЮ, 36НХТЮ5М, 36НХТЮ8М (см. табл. 3), которые обла-
дают хорошей коррозионной стойкостью и имеют достаточно высо-
кие упругие свойства. Мембраны из этих сплавов могут работать
соответственно при температурах от 250, 350 и 400° С.
Соединение мембран в коробку в последнее время осуществляют
почти исключительно сваркой. Наиболее прогрессивный вид
сварки мембран—электронно-лучевой. Вакуумирование ане-
роидных коробок производят через отверстие, запаиваемое затем
1 Пастухова Ж- П., Каплун Ю.
из бериллиевой бронзы. — Приборы
с. 47—48.
L. Режимы термостабилизации деталей
и системы управления, 1977, № 2,
174
каплей мягкого припоя. Отверстие должно располагаться в наи-
менее напряженном месте мембраны во избежание потери герме-
тичности анероида. Более качественно операцию герметизации
анероида можно выполнить с помощью электронного луча.
4. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПРОФИЛЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКУ
ГОФРИРОВАННОЙ МЕМБРАНЫ
При малых прогибах начальная плоскость гофрированной
мембраны, равноотстоящая от вершин и впадин гофров, деформи-
руется без удлинений так же, как срединная плоскость плоской
мембраны в начале нагружения. При этом она искривляется как
в радиальном, так и в окружном направлении. Мысленно выде-
лив часть гофрированной мембраны осевыми и окружными сече-
ниями (рис. 113), легко представить себе, что изгиб в окружном
направлении встречает значительно большее сопротивление, чем
в радиальном. Поэтому на начальной стадии нагружения про-
гибы мембраны зависят в основном от величины жесткости при
изгибе в окружном направлении, последняя, в свою очередь,
определяется величиной момента инерции осевого сечения мем-
браны относительно радиальной оси в начальной плоскости, т. е.
глубиной гофров и толщиной материала. При одной и той же
толщине материала жесткость мембраны в большой степени зави-
сит от глубины гофрировки: с увеличением глубины жесткость
мембраны быстро возрастает.
До тех пор, пока изменение длины волны гофрировки доста-
точно мало, упругая характеристика гофрированной мембраны
будет оставаться близкой к линейной. При дальнейшем росте
прогибов начальная плоскость мембраны будет удлиняться, т. е.
шаг гофрировки будет увеличиваться, и характеристика мембраны
будет затухать. У мембраны с мелкой гофрировкой растяжение
гофров, следовательно, и нелинейность упругой характеристики
проявляются при меньших прогибах, чем у мембраны с глубокой
гофрировкой. Плоская мембрана имеет самую малую начальную
жесткость и наиболее сильно затухающую характеристику.
Влияние глубины гофрировки Н на упругую характеристику
мембраны при небольшом числе п глубоких гофров показано на
рис. 114, а; для мембраны с мелкой частой гофрировкой —на
Рис. 113. Элемент гофрированной мембраны и его нагружение
175
Рис. 114. Упругие характеристики мембран
рис. 114, б. В первом случае с увеличением глубины гофрировки
мембрана становится более жесткой, а характеристика—более
линейной. Во втором случае увеличение глубины гофрировки
также вызывает уменьшение прогибов, но только на начальном
участке характеристики. При больших прогибах влияние глубины
гофрировки оказывается обратным.
Таким образом, в зависимости от геометрии мембраны и ве-
личины нагрузки увеличение глубины гофрировки может при-
вести либо к уменьшению, либо к увеличению прогибов. Однако
в любом случае начальная жесткость мембраны с ростом глубины
гофрировки увеличивается, а упругая характеристика имеет
меньшую нелинейность.
Большое влияние на характеристику гофрированной мембраны
оказывает и ее толщина h, особенно в области малых толщин
(рис. 114, в). Изменение же числа волн п при условии сохранения
глубины гофрировки мало меняет характеристику гофрирован-
ной мембраны (рис. 114, г).
Форма профиля оказывает значительно меньшее влияние на
характеристику, чем его глубина. Если сравнить упругие харак-
теристики мембран пильчатого, трапецеидального и синусоидаль-
ного профилей при одинаковых глубинах Н гофрировки и числе
волн п (рис. 115), то оказывается, что наименьшей начальной
жесткостью обладает мембрана пильчатого профиля, наибольшей —
мембрана трапецеидального профиля с достаточно большой шири-
176
пой а плоского участка. В последнем случае характеристика наибо-
лее близка к линейной. Однако влияние формы профиля на упру-
гую характеристику невелико. Поэтому необходимую характе-
ристику мембраны получают подбором толщины материала или
глубины гофрировки. Форму профиля и число волн обычно вы-
бирают с учетом конструктивных или технологических особен-
ностей.
Мембраны мелкого пильчатого профиля (рис. 116, а) просты
в изготовлении, устойчивы к небольшим перегрузкам. Их широко
применяют в приборах, где требуется затухающая по давлению
упругая характеристика чувствительного элемента (расходомеры,
высотомеры, указатели скорости). Изготовление мембран глу-
бокого пильчатого профиля (рис. 116, б) встречает некоторые
трудности вследствие возможности появления разрывов по вер-
шинам и впадинам. Поэтому мембраны с глубокой гофрировкой
обычно имеют трапецеидальный или синусоидальный профиль
(рис. 116, в, г).
Тонкая плоская мембрана с небольшими тороидальными гоф-
рами (рис. 116, б) весьма чувствительна и находит применение при
измерении низких давлений, например в вариометрах. После
посадки мембраны на плоскость она способна выдержать значи-
тельные перегрузки давлением с выпуклой стороны гофр.
Иногда профиль мембраны выполняют переменным по глубине
(рис. 116, е). Это может улучшить рабочие характеристики мемб-
раны и в некоторых случаях упрощает конструкцию упоров, при-
меняемых при перегрузках.
Выше было показано, какое большое влияние оказывает пред-
варительное натяжение на работу плоской мембраны (см. рис. 101).
Гофрированные мембраны также очень чувствительны к такому
натяжению, особенно мембраны малой жесткости. Если сжать
мембрану в начальной плоскости, то ее жесткость падает, и уп-
ругая характеристика может стать возрастающей. Наоборот,
при натяжении мембраны жесткость увеличивается. Это влияние
Рис. 115. Упругие характеристики мембран
синусоидального, пильчатого и трапеце-
идального профилей
177
будет тем сильнее, чем меньше начальная жесткость мембраны,
т. е. чем тоньше материал и мельче гофрировка. Так, например,
мембранная коробка мелкого пильчатого профиля с цилиндриче-
ским краевым гофром при подаче давления во внутреннюю полость
имеет менынпп прогиб, чем под действием того же давления, но
приложенного извне. Это может быть объяснено тем, что силы
давления на цилиндрический гофр в первом случае вызывают на-
тяжение мембраны, увеличивающее ее жесткость, а во втором
случае — сжатие, уменьшающее жесткость.
Очень резко меняется характеристика мембраны, если послед-
ней придать начальную выпуклость, сделав ее пологой сфериче-
ской или конической (см. рис. 91, в). При подаче давления с вы-
пуклой стороны жесткость мембраны падает, и характеристика
становится возрастающей на начальном участке. Это тем замет-
нее, чем больше величина начальной выпуклости, т. е. чем больше
высота А (см. рис. 91, в). При достаточно большой высоте А
мембрана будет изменять свой прогиб скачком —«прохлопывать».
Такие «хлопающие» мембраны применяют в сигнальных устрой-
ствах (см. п. 8). Гофрированным мембранам, используемым в изме-
рительных приборах, придают небольшую выпуклость в тех
случаях, когда необходимо уменьшить жесткость на начальном
участке характеристики (например, в мембранах анероидной ко-
робки высотомера, чувствительность которой должна быть доста-
точной при измерении больших высот, где давление меняется
очень мало с изменением высоты).
5. РАСЧЕТ ГОФРИРОВАННОЙ МЕМБРАНЫ
КАК АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
Гофрированную мембрану можно рассматривать как конструк-
тивно-ортотропную пластинку, имеющую неодинаковую жест-
кость в радиальном и окружном направлениях. Такая расчет-
ная схема позволяет получить расчетные зависимости для гофри-
рованных мембран в наиболее простой аналитической форме.
Ниже приведены полученные на основе такой расчетной схемы
приближенные формулы для определения упругой характери-
стики и эффективной площади гофрированных мембран периоди-
ческого профиля [5]. Пределы применимости полученных расчет-
ных зависимостей будут рассмотрены в п. 6, где приведены ре-
зультаты точного численного решения задачи.
Определение приведенных коэффициентов анизотропии. Рас-
смотрим гофрированную мембрану периодического профиля про-
извольной формы, нагруженную равномерно распределенным
давлением (рис. 117, о). Вырежем из мембраны элемент конечных
размеров (рис. 117, б) и сравним его с элементом плоской мемб-
раны (рис. 117, t?). При нагружении эти элементы изгибаются и
растягиваются в радиальном и окружном направлениях. Если
жесткость плоского элемента в радиальном и окружном направ-
178
г)
лениях одинакова, то жесткость гофрированного элемента в этих
двух направлениях различна: в радиальном направлении эле-
мент оказывает значительно меньшее сопротивление изгибу и
растяжению, чем в окружном. Таким образом, гофрированная
мембрана обладает свойствами анизотропии, которые обусловлены
особенностями ее геометрической формы. Это позволяет выбрать
расчетную схему гофрированной мембраны в виде плоской ани-
зотропной мембраны.
Упругие коэффициенты эквивалентной анизотропной пластинки
определяют из условия равенства жесткостей при растяжении
и при изгибе анизотропной пластинки соответствующим жестко-
стям гофрированной мембраны. Примем толщину анизотропной
мембраны равной толщине гофрированной мембраны. Обозначим
через £10 и £20 упругие коэффициенты, характеризующие жест-
кость материала анизотропной мембраны при растяжении в ра-
диальном и окружном направлениях; £1И и £2и — упругие коэф-
фициенты, характеризующие' изгибную жесткость анизотропной
мембраны в тех же направлениях.
Модули упругости анизотропного материала эквивалентной
мембраны можно представить в виде
Е
Е
^10 —
Е^ — kiUE\ £1и
Е%п — k2iiE,
где коэффициенты kq > 1. Их можно определить приравниванием
соответствующих жесткостей полосок, выделенных из гофриро-
ванной мембраны и из анизотропной пластинки. Приведенные
коэффициенты оказываются попарно равными [51:
= /с1и = &1‘, /^0 — ^211 — k-i-
При этом
С
/^1 = -^; (189)
S S
/?2 = ТЕГ f y2^s + _r* [ cos20ds, (190)
fl I J I J
0 0
179
Таблица 9
где S —длина дуги одной волны профиля; / —длина волны;
у — расстояние от бесконечно малого элемента ds до оси г, h —
толщина мембраны; 0 — угол между касательной v и осью г
(рис. 117, г).
Отметим, что коэффициенты kr и k2 зависят только от геоме-
трии профиля гофрированной мембраны и ее толщины, причем
коэффициент kr немного больше единицы. Коэффициент /?2, рав-
ный отношению моментов инерции осевого сечения гофрированной
и плоской мембран относительно оси г, быстро возрастает с уве-
личением глубины гофрировки и может быть значительно больше
единицы.
Формулы для коэффициентов 1гЛ и k2 для наиболее
распространенных типов профилей мембран приведены в
табл. 9.
Дифференциальные уравнения плоской анизотропной мем-
браны при больших перемещениях. Уравнения для анизотропной
мембраны выводятся аналогично уравнениям плоской изотроп-
ной мембраны. Различие будет только лишь в выражениях, свя-
зывающих деформации с напряжениями.
180
Нелинейные дифференциальные уравнения плоской анизо*
тропной мембраны, эквивалентной заданной гофрированной, имеют
следующий вид [51:
РФ + Ф - «2 у = 4" 'f>2;
рё + ё - а2^- = -^1 [— Ehk^ + 4- рЯр2] ,
(191)
где О—угол поворота нормали; ф —функция радиального уси-
лия Nr (ф = —F^k у, р —безразмерный радиус мембраны
/ r \ / £/j3
( р = ); D — изгибная жесткость / D == —------к—, здесь Е
и р—упругие постоянные материала).
Безразмерный параметр а связан с геометрическими коэф-
фициентами kr и /г2 следующей зависимостью:
а2 = М2. (192)
Коэффициенты kr и k2 определяют с помощью выражений (189)
и (190). Символ ( )' означает производную d ( )/dp.
Если гофрировка на мембране отсутствует, то коэффициенты
приведения kx — k2 =1, следовательно, согласно зависимо-
сти (192) а = 1, и уравнения (191) совпадают с известными урав-
нениями плоской изотропной мембраны в больших перемеще-
ниях (179).
Построение характеристики гофрированной мембраны с по-
мощью метода «наложения» . Нелинейные уравнения (191) можно
решить каким-либо численным методом, но при этом не будут
получены формулы для расчета гофрированных мембран в анали-
тической форме.
Достаточно простое решение можно получить, применяя ме-
тод «наложения» (гл. VI, п. 2). Он дает хорошие результаты при
нахождении упругой характеристики плоской изотропной мемб-
раны, поэтому можно ожидать, что этот метод также даст хорошие
результаты и при определении характеристики гофрированной
мембраны.
Предположим, что упругая характеристика гофрированной
мембраны, как и плоской, описывается [в обозначениях выраже-
ний (183)] кубическим уравнением
р — aw + bws,
где первый (линейный) член соответствует сопротивлению экви-
валентной анизотропной мембраны изгибу и может быть найден
из решения линейной задачи. Кубический член характеризует
сопротивление мембраны растяжению. Для его определения нужно
рассмотреть задачу о деформациях абсолютно гибкой анизотроп-
ной мембраны.
181
Уравнения mi Miip.iiiu при малых прогибах и уравнения абсо-
лютно । ii6koii мембраны можно получить как предельные случаи,
in дифференциальных уравнений (191) плоской анизотропной
мембраны в больших перемещениях.
Нолашя при малых пр н ибах функцию растягивающего уси-
лия i| 0, получим линейное уравнение изгиба плоской анизо-
тропной мембраны
р4 17 — а2 — = Х„р2,
.I р pi ।
где параметр нагрузки ..
Решение этого уравнения при граничных условиях &р„ц = О
и #р_) =0 имеет вид
& == _2е_ (р3 - <>«),
9 — а2 " 1 '
(193)
где а — параметр, зависящий от формы гофрировки и определя-
емый выражением (192).
Относительный прогиб центра мембраны, защемленной по на-
ружному контуру, определим как интеграл (159):
о
?=r&dp-
Подставив выражение угла поворота (193) и. выполнив инте-
грирование, получим параметр давления р„, который характери-
зует сопротивление мембраны изгибу:
Ри
/ pR'\
к С/г1 )
2 (3 ос) (1 4- ct) а^о
/, U2 \ h ‘
(194)
Кубический член характеристики зависит от сопротивления
мембраны растяжению, возникающему при весьма больших про-
гибах. В этом случае поведение гофрированной мембраны может
быть описано уравнениями абсолютно гибкой анизотропной
пластинки, которые получают из системы (191), если положить
в ней изгибную жесткость D = 0,
7 । ; 2 Ф №
Р1₽ + Ф-а2^ = -2-;
182
В результате решения этих уравнений, аналогичного изложен-
ному выше для плоской изотропной мембраны, определим куби-
ческий член характеристики:
„ __( pR*\ 32k! г_1___________з — g I
Ро \Eh*)o 9—аЧ 6 (а + 3)(а — (л)J h3 ' 1 ’
Суммируя выражения (194) и (195) в соответствии с методом
«наложения», получим уравнение упругой характеристики гоф-
рированной мембраны
Р'Е' _ „ »»о । /,
Eh* h ’
где
а =
«2—9
2(3+ «) (1 + «) .
»('-•&)
I _ ; 3 —р
6 («+3)(а —р)
(196)
(197)
Коэффициенты а и b можно определить по кривым
(рис. 118, а, б), построенным по выражениям (197) в зависимости
от относительной глубины H/h гофрировки и угла наклона 0о
для пильчатого профиля или в зависимости от относительного
параметра НИ для синусоидального профиля”(где —глубина
гофрировки, I—длина волны, h—толщина материала).
183
Рис. 119. Упругие характеристики
Из расположения кривых а = а и b = b (~у видно,
что основными факторами,, определяющими форму характери-
стики мембраны, являются глубина гофрировки Н и толщина
материала h, так как коэффициенты а и b зависят главным обра-
зом от параметра H/h. Форма гофрировки и число волн (длина
волны I или угол наклона 0О) при одинаковой глубине Н влияют
на характеристику значительно меньше.
Объем V, вытесняемый гофрированной мембраной под давле-
нием, можно определить так же, как и в случае плоской мемб-
раны (гл. VI, п. 2). Для мембраны с линейной характеристикой
V
.2(1 +а)
3(3+а)
л7?2ау0
Пример 1. Построить характеристику мембраны синусоидального профиля
(рнс. 119, а). Размеры мембраны 7? = 25 мм; Н— 0,75 мм; й = 0,22 мм: 1 =
= 6,6 мм. Модуль упругости Е = 1-105 МПа.
п гт н 0,75 . л, Н
Решение. Подсчитываем параметры — = = и ~ ~
0 75
= jr-jy = 0,1135 н по кривым на рис. 118, б находим коэффициенты а= 25,9
н b = 0,249. Подставив коэффициенты а и Ь и числовые данные в формулу (196),
получим уравнение характеристики мембраны
Ph 1105•0 99
Р = + Н) = 254 (25,9.0,22=^0 + 0,249-3) =
= 0,07О6юо + 0,014о>;{,
здесь р в МПа н w0 в мм.
Дальнейшую запись удобно вести в табличной форме (табл. 10).
На рис. 119, а приведены расчетная характеристика и характеристика,
полученная в результате испытаний.
184
Таблица 10
ЬУ0> мм 0,0706 иУо 0,0I40®jj р, МПа
0,2 0,0141 0,0001 0,0142
0,4 0,0282 0,0009 0,0291
0,6 0,0424 0,0030 0,0454
0,8 0,0565 0,0072 0,0637
Пример 2. Построить характеристику мембраны пильчатого профиля
(рис. 119, б). Материал мембраны — бериллиевая бронза БрБ2; Е= 1,35 X
X 105 МПа. Размеры мембраны: Р = 24 мм; Н = 0,141 мм; h = 0,101 мм;
60= 8°45'.
Решение. По графикам на рис. 118, б для пильчатого профиля при
w 0 414
—— = »’= 4,1 и 0О = 8°45' находим коэффициенты а — 25,43 н b = 0,257.
ti О > 11) 1
Уравнение (196) характеристики после подстановки числовых величин
принимает вид
р = 0,01О6ио + 0,0Ю55йУд,
здесь размерность р в МПа и в мм.
Теоретическая и опытная характеристики приведены на рис. 119, б. При
а>0 = 1,8 мм, когда отношение прогиба к толщине —г-= 17,8, расхождение
составляет —9% . “
Более подробное сопоставление результатов расчета по фор-
муле (196) с экспериментом и с результатами численного решения
приведено в п. 6, где установлены пределы применимости фор-
мулы (196).
Влияние жесткого центра на характеристику гофрированной
мембраны. Большинство гофрированных мембран имеет припаян-
ный или приваренный в центре плоский металлический диск,
называемый жестким центром (см. рис. 109). Если размеры жест-
кого центра невелики, то его влиянием на прогибы мембраны можно
пренебречь. В этом случае при расчете можно использовать фор-
мулу (196), выведенную для мембраны без жесткого центра.
Однако, если центр имеет большие размеры, его влияние необ-
ходимо учитывать.
Уравнение упругой характеристики гофрированной мембраны
с жестким центром может быть получено, как и для мембраны
без жесткого центра. Различие заключается лишь в граничных
условиях, которые в этом случае имеют следующий смысл. При
решении линейной задачи об изгибе мембраны угол поворота Ф
на наружном (р = 1) и внутреннем (р = р0) контурах равен нулю.
При решении задачи о растяжении абсолютно гибкой мембраны
радиальное смещение равно нулю на тех же контурах (ро = —
относительный радиус жесткого центра).
185
Таблица 11
PR* „ w« _L Г U QRZ IV/,
Eh1 rp / 1 P a3 яЕ1г* \ао h ' Q h>
а ’Ip no
Ро
0,2 0,4 0,6 0,8 0.2 0,4 0,6 0,8
2 1,10 1,68 4,25 28,3 1,32 2,72 9,04 76,2
4 1,01 1,22 2,33 12,8 1,12 1,69 4,17 29,0
6 1,01 1,H 1,75 7,77 1,08 1,45 2,89 16,2
8 1,00 1,08 1,52 5,53 1,07 1,36 2,39 10,9
10 1,00 1,06 1,40 4,34 1,06 1,31 2,15 8,31
12 1,00 1,05 1,34 3,64 1,06 1,29 2,01 6,81
16 1,00 1,04 1,27 2,90 1,05 1,26 1,86 5,25
£o
2 1,14 1,89 5,21 36,7 2,36 6,69 26,2 237
4 1,13 1,75 4,46 30,6 2,35 6,52 25,3 229
6 1,13 1,73 4,28 28,7 2,34 6,49 25,1 227
8 1,13 1,73 4,22 27,9 2,34 6,49 25,0 226
10 1,13 1,72 4,20 27,4 2,34 6,48 25,0 226
12 1.13 1,72 4,20 27,2 2,34 6,48 25,0 225
16 1,13 1,72 4,18 27,0 2,34 6,48 25,0 225
Используя метод «наложения», получим уравнение гофриро-
ванной мембраны с жестким центром в обозначениях выраже-
ния (183):
з
(198)
здесь коэффициенты ар и Ьр определяют по формулам (197); коэф-
фициенты г)р и зависят от геометрии гофрировки и от радиуса р0
жесткого центра5 [5]; они приведены в табл. 11.
На рис. 120, а и б даны построенные с помощью формулы (198)
семейства кривых для мембран двух типов: с мелкой (Я//г = 2)
и глубокой (H/h = 10) гофрировкой при различных размерах
жесткого центра. При этом видно, что для мембран с мелкой
гофрировкой жесткий центр слабо влияет на упругую характе-
ре
О 200 400 ООО д
г/
Рис. 120. Влияние жесткого центра на характеристику мембраны мелкой и глубокой гоф-
рировки
ристику, если р0 = 0,2 -4-0,3. В этом случае при расчете можно
пользоваться формулой (196), выведенной для мембраны без
жесткого центра. Для мембран с глубокой гофрировкой жесткий
центр слабо влияет на характеристику до р0 = 0,4 4-0,5. Даль-
нейшее увеличение р0 приводит в обоих случаях к резкому воз-
растанию жесткости мембраны, и тогда расчет по формуле (196)
дает большую погрешность. Чем глубже гофрировка, тем меньшее
влияние оказывает жесткий центр на характеристику мембраны.
Это можно объяснить тем, что центральные волны деформируются
меньше краевых, поэтому замена их жестким центром мало из-
меняет упругую характеристику мембраны, если глубина гофр
достаточно велика.
Расчет гофрированной мембраны, нагруженной осевой силой.
При работе в приборах гофрированные мембраны помимо дав-
ления часто нагружаются осевой силон Q (см. табл. 11), напри-
мер силой трения в механизме прибора, силой упругости вин-
товой или плоской пружины, компенсирующей силой в приборах
силовой компенсации и т. д.
Уравнение упругой характеристики мембраны, нагруженной
осевой силой, может быть получено так же, как и в случае нагру-
жения мембраны давлением, и в обозначениях (183) имеет вид 15]
+ (199)
“« “ , Н Д ’ ь° = [т - (а-н)(1+ 1> ] <200>
(Остальные обозначения даны выше).
В табл. 11 приведены значения коэффициентов т|о и в за-
висимости от относительного радиуса р0 жесткого центра и пара-
метра а, характеризующего глубину гофрировки мембраны 15].
Семейства кривых по силе Q для мембран с мелкой (H/h — 2)
и глубокой (H/h = 10) гофрировкой при различных размерах
жесткого центра приведены на рис. 120, в и г.
187
Эффективная площадь мембран. Размеры мембраны обычно
выбирают с учетом требуемой чувствительности, прочности и га-
баритных размеров прибора.
Не менее важно требование достаточно большой эффективной
площади мембраны. В этом случае для правильного проектиро-
вания упругого элемента необходимо знать, какие параметры
мембраны влияют на величину эффективной площади, как она
изменяется в зависимости от перемещения и нагрузки.
§Если манометрический упругий элемент имеет линейную ха-
рактеристику, то его эффективная площадь остается постоянной
при любом прогибе. Практически постоянную эффективную пло-
щадь имеют мембраны с достаточно глубокой гофрировкой, харак-
теристика которых линейна по давлению. Расчет эффективной
площади таких мембран может быть произведен с помощью фор-
мул (4) или (5):
<201)
Величины жесткостей KQ и Кр по силе Q и по давлению р
можно найти с помощью формул (198) и (199), в которых для
мембраны с линейной характеристикой кубический член будет
отсутствовать и, следовательно,
Q nEh3 „ р Eh3
Kq— w0 ~~ R2 и Kp — —— -рг•
Подставив значения KQ и К,, в выражение (201), получим
формулу для относительной эффективной площади гофрирован-
ной мембраны с линейной характеристикой:
= <202)
Величина относительной эффективной площади показывает,
, , , ^эф
какую часть от полной площади составляет эффективная f0 = .
Формула (202) позволяет проанализировать влияние гофри-
ровки и размеров жесткого центра на величину эффективной пло-
щади. Следует иметь в виду, что эти зависимости справедливы
только на линейном участке характеристики: для мембран с глу-
бокой гофрировкой — практически на всем участке рабочего
хода, а для мембран с мелкой гофрировкой пли для плоских мемб-
ран — на начальном участке, где нелинейность характеристики
мала.
Используя табл. И и формулы (197) и (200), с помощью выра-
жения (202) построим кривые зависимости относительной эффек-
тивной площади f0 от относительного радиуса р0 жесткого центра
и от параметра а. Последний связан с геометрией гофрировки
выражением (192) и в основном зависит от относительной глубины
138
гофрировки H/h. На рис. 121
помимо значений параметра а
в скобках указаны соответ-
ствующие значения относитель-
ной глубины гофрировки H/h
для мембран пильчатого про-
филя с углом наклона гофри-
ровки 0О = 30°.
Из кривых рис. 121 сле-
дует, что при одинаковом ра
бочем диаметре эффективная
площадь растет с увеличе-
нием радиуса жесткого центра
и глубины гофрировки Н и
уменьшается с ростом толщины
h материала.
На рис. 121 приведены
также кривые эффективной
Рис. 121. Кривые относительной эффектив-
ной площади
площади, построенные по приближенным формулам, широко
применяемым на практике:
/’3ф = л/?с2р = ^(7? + г0)2 (203)
и
/7Эф = -^(/?2+^о + гб)- (204)
Относительная эффективная площадь f0 соответственно выра-
жениям (203) и (204) равна
/о=4(1 + р^2 W)
/о — “з-0 + Ро + Ро)- (206)
Формула (203) —эмпирическая; формула (204) может быть
выведена приближенным способом, если предположить, что мемб-
рана может свободно поворачиваться в местах крепления по на-
ружному и внутреннему контурам и что окружные изгибающие
моменты и усилия пренебрежимо малы.
Построенная по формуле (205) кривая 1 (см. рис. 121) почти
полностью сливается с линией, соответствующей плоской мемб-
ране (Я = 0). Следовательно, для плоской мембраны в области
малых перемещений, где характеристика линейна, можно приб-
лиженно определять эффективную площадь по формуле (203).
Кривая 2, построенная по формуле (206), проходит примерно
посредине семейства кривых. Для мембран с различной глубиной
гофрировки погрешность формулы (206) не превосходит ±30%
при р0 = 0 и ±6% при р0 ~ 0,5. Этим, и объясняется широкое
189
применение формулы (204) для приближенного расчета эффек-
тивной площади i офрированных мембран.
Проектирование гофрированной мембраны по заданной харак-
теристике. Решение задачи о проектировании мембранного чув-
ствительною элемента в более широкой постановке изложено
в н. К). .Чдесь же рассмотрена методика проектирования мембраны
по заданной упругой характеристике с использованием лишь тех
возможностей, которые дает изложенный выше метод расчета
мембраны по схеме конструктивно-анизотропной пластинки. Такое
решение, естественно, носит приближенный характер, однако оно
может быть полезным в качестве первого приближения при рас-
чете конструируемой мембраны.
В соответствии с уравнением (196) упругой характеристики
гофрированной мембраны аппроксимируем заданную характери-
стику М10 = f (р) кубическим уравнением
р — Aw0 Bo-'q. (207)
Коэффициенты А и В подберем таким образом, чтобы харак-
теристика, построенная по уравнению (207), лежала в поле до-
пуска заданной характеристики.
Сопоставляя выражения (196) и (207), устанавливаем
ношения между коэффициентами этих уравнений:
Д = B^-^hb.
Исключив из выражений (208) толщину h, получим
д______________________А / Е\>
Ь3 ~ В3 \R* ) '
Выбрав в соответствии с условиями работы материал мембраны,
устанавливают значение модуля упругости Е. Диаметром мемб-
раны 27? задаются в соответствии с требуемыми габаритными раз-
мерами. Таким образом, в правой части равенства (209) все ве-
личины известны.
Коэффициенты а и Ъ, связанные с геометрией профиля мемб-
раны уравнениями (197), определяют по кривым, приведенным
на рис. 118. Пользуясь ими, можно построить кривые зависи-
мости отношения а/b3 от параметра относительной глубины гоф-
рировки H/h. Кривые a/b3 = f (H/h) для пильчатого и синусои-
дального профилей даны на рис. 122 в полулогарифмической
сетке.
Определив по формуле (209) отношение а/b3, находим отно-
сительную глубину гофрировки H/h проектируемой мембраны
(рис. 122), а затем коэффициенты а и b (см. рцс. 118).
Далее по одной из формул (208) вычислим толщину мембраны h,
после чего построение формы профиля мембраны не представ-
ляет трудности. Следует иметь в виду, что спроектированная
190
соот-
(208)
(209)
таким образом мембрана удовлетворяет Только требованиям
заданной жесткости. Напряжения п эффективная площадь должны
быть определены при поверочном расчете.
Если мембранный чувствительный элемент предназначен для
измерения величины, связанной нелинейно с давлением, то при
проектировании необходимо прежде всего построить упругую
характеристику по давлению. Это удобно сделать с помощью гра-
фического построения (рис. 123, о). В координатах w0—X строят
характеристику по измеряемой величине А (кривая /). Предпо
ложим, что зависимость между величиной А и давлением р изобра-
жена кривой 2. Для ее построения можно использовать аэроди-
намическую таблицу пли таблицу стандартной атмосферы, если
величина А является воздушной скоростью или высотой над уров-
нем моря. При измерении температуры манометрическим паро-
жидкостным термометром кривую 2 определяют по термодинами-
ческим таблицам. При измерении расхода дроссельным методом
построение кривой 2 основано на уравнении, связывающем рас-
ход G с перепадом давления на дроссельном устройстве: G = cl/р,
где с — постоянная, зависящая от размеров трубопровода и
дроссельного устройства, плотности среды и т. д.
Упругая характеристика чувствительного элемента по давле-
нию (кривая 3) может быть легко построена по кривым 1 и 2,
как показано на рис. 123, а. Если чувствительный элемент со-
Рис. 122. Кривые отношения а/Ь*
191
Рис. 123. Построение упругих характеристик
стоит из N мембран, то прогиб ау0 одной мембраны находим деле-
нием полного прогиба W на число мембран: ау0 .
Пример. Спроектировать мембранную коробку манометра на 0,1 МПа по
заданной характеристике w0 = f (р) (кривая /, рис. 123, б), форма которой оп-
ределена из расчета кинематики механизма и обеспечивает линейность шкалы
манометра.
Рабочий диаметр мембраны должен быть не больше 50 мм, материал — берил-
лиевая бронза БрБ2 (Е = 1,33-103 МПа),
Решение. Так как прогиб мембраны в’два раза меньше прогиба мем-
бранной коробки, характеристика мембраны будет изображаться той же кривой
(рис. 123, о), если масштаб по оси ординат увеличить вдвое (шкала ffi'o).
Проведем касательную 2 к характеристике в начале координат. Ее наклон
определяет величину линейного члена характеристики, описываемой уравнением
(207),£рл = Аи>л, где рл и — координаты произвольной точки прямой. 2.
Например, для конечной точки D шл=2,92 мм и рл=0,1 МПа. Тогда
коэффициент А прн линейном члене характеристики А = =
= 0,0342 МПа/мм.
Для определения кубического члена подставим в уравнение (207) коорди-
наты произвольной точки характеристики мембраны, например точки С: р =
= 0,1 МПа и w0 = 2,5 мм. Тогда
f Ч Н 0,1 = 0,0342- 2,5 4- В-2,53,
откуда ДВ =,0,000928 МПа/мм3.
Для проверки следует построить характеристику мембраны по уравнению
(207), подставив в него найденные значения коэффициентов А и В, и сравнить ее
с заданной. При недопустимом расхождении полученной и заданной'характери-
стики нужно повторить расчет, изменив положение произвольной точки С при
определении коэффициента‘кубического члена уравнения. Для этого следует
сдвинуть точку к тому месту кривой, где получилось наибольшее расхождение.
В рассматриваемом примере уравнение (207) при найденных значениях коэффи-
циентов А и В достаточно хорошо совпадает с заданной характеристикой.
192
Задавшись рабочим радиусом R ~ 25 мм, определим по формуле (209)
соотношение между коэффициентами а и Ь:
/7
Выберем синусоидальный профиль мембраны с отношением — = 0,3.
По кривой (рис. 122, 0 находим при = 4,97-108 отношение
глубины гофрировки к толщине материала - = 10,1. Затем по кривым а =
\ и b= b (-у ) (см. рис. 118, б) определим коэффициенты а = 146 и
Ь— 0,031. Толщину /г материала мембраны находим пз равенства (208): h —
В Rb
= -г----=-, откуда Л = 0,088 мм.
О Е.
Глубина гофрировки И = 10,1Л= 0,89 мм. При принятом соотношений
Н/l — 0,3 длина волны равна I = т-у- = ’ ^-=2,96 мм. Если принять радиус
и>о (Лэ
плоской центральной части мембраны г0 — 7 мм, то число волн гофрировки будет
w = ^, = 25-7
I 2,96
6. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
В данном параграфе приведены результаты численного реше-
ния задач расчета гофрированных мембран. При численном реше-
нии ограничения на форму профиля не накладываются. Резуль-
таты численного решения сопоставляют с результатами экспери-
мента и расчета по приближенной теории. Численный метод
дает возможность получить достоверную картину распределения
напряжений в мембране и позволяет исследовать влияние геомет-
рии мембраны, способов ее закрепления и нагружения на величину
и характер распределения напряжений.
Гофрированная мембрана является замкнутой оболочкой вра-
щения, поэтому в дифференциальных уравнениях (139) тонко-
стенной оболочки вращения при больших перемещениях следует
положить относительное изменение центрального угла оболочки
% = = 0. Система (139) дополняется граничными условиями.
Ц-*0
Граничные условия для гофрированных мембран. Как пра-
вило, мембраны, по внутреннему контуру крепят к жесткому
центру, поэтому при £ = 0 угол поворота нормали & и радиаль-
ное перемещение и равны нулю
= 0, Mj=0 — 0. (210)
Здесь £—безразмерная дуга меридиана = -у), за на-
чало отсчета которой примем точку О (рис. 124, а).
7 Андреева Л. Е. 193
а) б)
Рис. 124. Схемы закрепления:
а мембраны; б — мембранной коробки
Радиальное перемещение можно выразить через окружную^
деформацию е2 с помощью формулы (125); при % = 0 имеем
и = 82Г0. (211)1'
Здесь г0 —радиус от оси вращения до текущей точки йена-
груженной оболочки. Поскольку для замкнутой оболочки % = О,,
то в соответствии с выражением (134) радиус для нагруженной,
оболочки г « г0. В дальнейшем текущий радиус будем обозна-
чать г.
Деформация е2 связана с усилиями Л\ и N2 выражением (136)/
Учитывая (129)—(131) и (140), представим е2 в виде
Л2
= (212)
где
F = ф' — (рр — м) (а4 + a-fl) — рф («! — #а4). (213)
Условия на наружном контуре I (рис. 124, а) зависят от типа
чувствительного элемента. Крепление одиночной мембраны (см.
рис. НО, а, б) по наружному контуру близко к глухой заделке.
В этом случае граничные условия будут соответствовать выра-
жениям (210) при 'С, = 5 '
Если две одинаковые мембраны соединены между собой по
плоскому буртику в мембранную коробку, симметричную относи-
тельно плоскости буртика (см. рис. ПО, в), то граничные условия
для каждой мембраны на наружном контуре близки к условиям
скользящей заделки. Тогда радиальное усилие в плоскости сим-
метрии Н = 0, и на основании соотношения (140) граничные
условия на наружном контуре
= °-
Шарнирное крепление наружного контура мембраны можно
рассматривать как предельный случай упругого крепления. Непод-
вижной в радиальном направлении шарнирной опоре соответствуют
условия
= 0 и = 0.
Для подвижной шарнирной опоры
= 0 и = °>
где Мх — меридиональный изгибающий момент.
194
Если же мембраны коробки неодинаковы или соединены по
грибковой схеме (см. рис. НО, г, 0), то упругий элемент следует
рассматривать как оболочку вращения, состоящую из участков,
сопряженных по границе 7< (С = £„) и жестко закрепленных по
контурам О (С = 0) и 7 (£ = Ci) в верхнем и нижнем жестком
центре (рис. 124, б). В этом случае граничные условия (210)
дополняются аналогичными условиями при £ =
Число участков зависит также от формы профиля упругого
элемента. В общем случае манометрический упругий элемент яв-
ляется составной оболочкой вращения, и границы между участ-
ками соответствуют точкам разрыва кривизны меридиана. Так,
например, для мембраны пильчатого профиля такими точками
являются вершины и впадины воли; для профиля, состоящего из
сопряженных дуг окружностей, —точки сопряжения и т. д.
Условия сопряжения двух смежных участков, отмеченных
индексами п—1 и п, сводятся к равенству соответствующих сило-
вых и геометрических факторов в точках К контура сопряжения:
Min_, = 77„_)==77„; On_,=itln; un_i = ип, (214)
где М1—меридиональный изгибающий момент; Н —радиаль-
ная сила; и —радиальное перемещение, которые с помощью выра-
жений (127), (128), (137), (140) и (211) можно выразить через
функции & и ф.
Численное решение системы (139) совместно с граничными
условиями дает значения функций О и ф, с помощью которых под-
считывают по формулам (149)—(156) величины напряжении и
перемещений в любых точках мембраны.
Определение геометрических функций. Геометрические пара-
метры оболочки вращения вводят в уравнения (139) функциями а;,
которые в соответствии с выражениями (144) зависят от угла Оо
между нормалью и осью вращения оболочки (см. рис. 89), без-
размерного радиуса р = -у (142) и толщины оболочки h. Неза-
висимой переменной является дуга меридиана £ = у (143).
Для гофрированной мембраны функции р = р (£) и 0о — 0 (£)
определяются формой профиля. В качестве примера определим
эти функции для мембраны пильчатого профиля с цилиндрическим
гофром (рис. 125, а). Профиль задан размерами R, r0, Н и 77ц
(здесь г0 —радиус жесткого центра). Он имеет три одинаковые
волны длиной I = Точками перелома А, В, ..., F профиль
делится на 7 участков. В пределах каждого участка угол 0О ост ается
2Н
постоянным: 0О == ±arctg -у. Знак плюс относится к участ-
7*
195
Ри<5. 125. Пильчатый и сину-
соидальный профили мемб-
ран
кам 2, 4 и 6', знак минус — к участкам 1, 3 и 5. Для участка 7
0О =-у. Текущий радиус
г = г0 4- s cos 90, (215)
или в безразмерных величинах
Р = Ро + £ cos 0О,
где $ — длина дуги 01, р0 = -^----безразмерный радиус жест-
кого центра.
Зависимость (215) справедлива для всех участков, кроме
последнего, для которого г = R и, следовательно, р = 1.
В качестве другого примера определим геометрические функ-
ции для мембраны, профиль которой состоит из одинаковых сопря-
женных дуг окружностей радиуса а. Краевой тороидальный гофр
имеет радиус b (рис. 125, б). Заданы следующие размеры: R, г0,
I, а и Ь. Данный профиль состоит из пяти участков. Для участка 1
длина дуги s связана с углом 0ft зависимостью s = а (0О 4- Ф),
где угол Ф = arcsin Искомая функция 0О = ----Ф =
= £ -у — Ф. Текущий радиус г — ra 4- a (sin 0 + sin Ф), сле-
довательно, р = ро + (sin 0 sin Ф).
Для участков 2—4 функции 0О и р можно определить анало-
гичным путем.
Для последнего участка текущая дуга
s = sd + b (Ф 4- 0О), (216)
где sD = 8аФ — длина дуги 0D.
Текущий радиус
г = rD 4- b (sin 0О 4- sin Ф), (217)
где rD = г0 4- 4/.
Из выражений (216) и (217) с учетом соотношений (142) и (143)
можно определить функции 0О — 0 (£) и р = р (С).
196
Сопоставление расчетных и экспериментальных упругих харак-
теристик гофрированных мембран. Рассмотрим результаты иссле-
дования мембран и мембранных коробок самой различной геоме-
трии: с синусоидальной, пильчатой пли трапецеидальной фор-
мой профиля, с равномерной или неравномерной глубиной гофри-
ровки, нанесенной на плоской или на выпуклой начальной по-
верхности, при цилиндрической или тороидальной форме крае-
вого гофра и при отсутствии последнего. Чувствительные элементы
нагружались равномерно распределенным давлением или сосре-
доточенной силой в центре. Исследуемые упругие элементы имели
различные характеристики: линейные, затухающие и возрастаю-
щие по давлению1.
Таблица 12
Номер вариан- та R/ h H/h Чч. % Па. %
1 48 1 2,3 -3,9 +6,1
2 236 3,6 8,9 +2,8 —0,85
3 114 3,4 3,4 -5,0 +9,8
4 129 6,6 6,2 -3,4 —12,3
5 130 6,5 13,9 -8,3 —
6 133 6,0 7,2 —13,8 —
7 978 33,2 44,6 -1,2 —
8 294 9,3 23,0 —0,8 —5,7
9 277 7,9 22,5/23,1 * —3,3/—1,5* —7,6/+9,3 *
10 294 8,2 24.0 +5,8 менее 0,5
11 277 8,4 24,0 -8,8 —8,0
12 218 7,1 13,5 +3,4 —12,9
13 320 2,4 23,4 1,85 —
14 159 1,2 8,5 —2,7 —
15 196 3,2 31/30,0 * 2,4/5,1 * —
16 183 3,0 11,0 10,7 —
17 161 2,1 10,0 +2,3 —
18 160 1,9 17,9 менее 0,5 —
19 234 — 6,8 менее 0,5 —
20 160 1,8 20 —4,8 -—
21 195 9,1 17,2 менее 0,5 —
22 195 9,2 18,3 -6,8 —
23 102 2,6 3,1 +2,9 —
24 97 4,5 4,6 -1,3 —
* В числителе данные при давлении
р > 0, в знаменателе — при р < 0.
В табл. 12 приведены основные безразмерные геометрические
параметры мембран: относительный рабочий радиус кото-
•п
рый для данной группы мембран колеблется в пределах =
= бОн-980; относительная глубина гофрировки -у- = 1-4-33.
1 Эксперимент проводился под руководством к. т. и. Ю. А. Богдановой.
197
w0 мм
Wn, мм
Рис. 126. Расчетные и экспериментальные характеристики мембран:
At, A3i Л3 — амплитуды волн: Е — модуль упругости
Диапазон изменения геометрических параметров исследован-
ных мембран достаточно широк. Относительный прогиб при наи-
большей рабочей нагрузке = 1,7-1-45; это свидетельствует
о том, что мембраны работали в области больших перемещений.
В табл. 12 приведены расхождения т]ч и т)а между расчетными
и экспериментальными значениями, которые определялись по
Формулам 10Qo/o. g w3~w3 iQ0%,
198
где — прогиб, полученный численным методом; йуа — прогиб,
рассчитанный по схеме анизотропной пластинки (п. 5); — про-
гиб, полученный экспериментально при наибольшем давлении рт^.
Результаты численного решения для нескольких чувстви-
тельных элементов приведены па рис. 126 и 127 в виде сплош-
ных кривых; упругие характеристики, полученные по формулам
(196)—(199) приближенной теории, изображены штриховыми
кривыми; результаты эксперимента отмечены точками.
В рассмотренных примерах результаты численного решения
хорошо совпадают с экспериментом, расхождение цч в большин-
стве случаев не превышает 10%. Расчет по схеме анизотропной
пластинки дает малое расхождение там, где геометрическая
форма мембраны близко соответствует расчетной схеме, принятой
при выводе формул п. 5. Если же мембрана имеет неравномерную
гофрировку, выпуклую начальную поверхность или краевой гофр,
то в этих случаях формулы (196)—(199) не могут быть использо-
ваны. При численном расчете подобные ограничения на геоме-
трическую форму мембраны не накладываются.
Сопоставление результатов расчета и эксперимента по напря-
жениям. Экспериментальное определение напряжений в гофри-
рованных мембранах связано со значительными трудностями ввиду
их тонкостенности, волнообразной формы профиля, высокого
градиента изменения напряжений. Этим объясняется малое число
работ, посвященных данному вопросу. Исследование напряжений
в мембранах методом тензометрирования проведено в работах 1
[16]. Малобазные. тензодатчики наклеивали по спирали на наруж-
ную и внутреннюю поверхности макета мембраны (диаметром
180 мм) в радиальном и в окружном направлениях. Измеренные
напряжения пересчитывали затем на изгибные <т1и и о2и и мемб-
ранные ог0 и о20 напряжения в радиальном и окружном направ-
лениях. Ь1а рис. 128—130 точками отмечены результаты экспе-
риментального определения напряжений в мембранах синусои-
дального профиля при различных схемах нагружения. Сплошные
линии соответствуют расчету численным методом.
Экспериментальные и расчетные величины напряжений изоб-
ражены на рис. 128. В целом расчетные и экспериментальные кри-
вые сходятся удовлетворительно, за исключением мембранных ра-
диальных напряжений сг10, значения которых малы и поэтому со-
измеримы с погрешностью эксперимента.
На рис. 129 даны результаты измерения и расчета численным
методом напряжений при нагружении мембраны сосредоточенной
силой Q; на рис. 130 — при работе мембраны в условиях силовой
компенсации, когда мембрана нагружается с противоположных
сторон силой Q и давлением р так, что прогиб центра wQ — 0.
1 Жибарева И. Н. Экспериментальное исследование напряжений в гофри-
рованных мембранах. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение,
Вып. 13, 1968, с. 297—315.
199
Рис. 127. Расчетные и экспериментальные характеристики
200
Рис. 128. Напряжения в мембране, нагруженной давлением
Рис. 129. Напряжения в мембране,, нагруженной осевой силой
201
Рис. 130. Напряжения в мембране, нагрз^женной давлением и силой при непо-
движном центре
В обоих случаях совпадение расчета и эксперимента удовлетвори-
тельное.
Сопоставление результатов расчета гофрированной мембраны
численным методом и по схеме анизотропной пластинки. Исполь-
зование расчетной схемы гофрированной мембраны в виде анизо-
тропной пластинки приводит к простым аналитическим зависи-
мостям, удобным для проведения инженерных расчетов. Поэтому
формулы, приведенные в п. 5, нашли широкое применение на прак-
тике; кроме того, этот метод используют для расчета мембран более
сложных геометрических форм. В то же время область применимо-
сти метода расчета гофрированной мембраны как анизотропной
Рис. 131. Сопоставление численного и приближенного решений
202
пластинки изучена недостаточно. Сопоставим результаты расчета
этим методом с результатами численного решения.
На рис. 131, «даны кривые безразмерной начальной (при р -» 0)
жесткости К = p/w, где безразмерные величины давления р и про-
гиба w определяются по формулам (183). Значения К получены
при линейном решении задачи численным (сплошные линии) и
приближенным (штриховые липин) методами для мембран синусо-
идального и пильчатого профиля в зависимости от относительной
глубины H/h. На рис. 131, б показаны кривые расхождения &KJK
результатов расчета. Наибольшее расхождение наблюдается в об-
ласти = 2-н8 и достигает 8%. Решение нелинейной задачи
в области больших прогибов показывает, что расхождение по про-
гибам может достигать 30% для мембран с глубиной H/h = 2-г-4.
7. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ И СПОСОБА НАГРУЖЕНИЯ
НА СВОЙСТВА ГОФРИРОВАННОЙ МЕМБРАНЫ
Влияние параметра глубины гофрировки. Отношение глубины Н
гофрировки к толщине h является одним из основных геометриче-
ских параметров мембраны, определяющим во многом ее свойства.
На рис. 132 изображено семейство упругих характеристик
w = / (р) мембран синусоидального профиля, где в соответствии
с формулами (183) w = ~ и Р=-^Г’ Характеристики мембран
с мелкой гофрировкой являются затухающими. С увеличением
относительной глубины гофрировки H/h начальная жесткость мем-
бран растет. При H/h = 10-4-14 кривые w = f (р) имеют перегиб.
Затем они монотонно возрастают, приближаясь с ростом отноше-
ния H/h к линейным.
Таким образом, изме-
няя только один пара-
метр-глубину гофриров-
ки, — можно получить
мембраны, значительно
различающиеся по жест-
кости и по форме упругой
характеристики.
Рассмотрим более по-
дробно поведение мембра-
ны с характеристикой,
близкой к линейной (на-
пример, при параметре
-^-=18^ и мембраны с
Рис. 132. Семейство упругих харак-
теристик
203
Рис. 133. Деформация волны гофрировки
большой нелинейностью характеристики (например, при — — 6 j.
При осесимметричном нагружении мембраны каждая волна
гофрировки поворачивается (рис. 133). При малых перемещениях
длина волны почти не меняется, и точки А, В и С начальной пло-
скости, равноотстоящей от вершин и впадин гофр, перемещаются
в направлении оси мембраны. Однако точки/) и Е, расположенные
на вершинах и во впадинах волн, получают помимо осевых ради-
альные перемещения и. При действии давления снизу точки, рас-
положенные на вершинах волн, перемещаются от центра мем-
браны, а точки, расположенные во впадинах, — к центру (см.
рис. 133, б, где для наглядности точки В и В' рис. 133, а совме-
щены).
На рис. 134 показаны относительные осевые w/wn и радиальные
u/w0 перемещения мембраны синусоидального профиля в области
линейных перемещений, замеренные с помощью универсального
микроскопа (отмечены точками), а также рассчитанные на ЭВМ
(сплошные линии). Перемещения и знакопеременны, причем наи-
большие величины соответствуют вершинам и впадинам гофр.
Радиальные перемещения и связаны с окружными деформациями
„ U
срединной поверхности е20 = — и соответствующими окружными
мембранными напряжениями о20.
204
Используя известную ана-
логию между поведением обо-
лочки и арки на упругом ос-
новании \ рассмотрим дефор-
мации волны гофрированной
полоски при ее повороте на
угол в некоторой упругой
среде, сопротивление которой
пропорционально радиальным
перемещениям мембраны. Ок-
ружные напряжения о20, ока-
зывающие сопротивление ради-
альным перемещениям, эквива-
лентны распределенным силам
сопротивления упругой среды
q, направленным навстречу ра-
диальным перемещениям (рис.
133, в). Эти силы вызывают
дополнительный изгиб полоски,
вследствие чего угол поворота
нормали в точках D и Е на
вершине и во впадине увели-
чивается на и А'&д, а в точ-
ках А, В и С — уменьшается
на АФЛ, АФВ, А^с (рис. 133, г). Отсюда следует, что угол поворота
нормали гофрированной полоски в упругой среде будет изменяться
по радиусу волнообразно с частотой вдвое большей, чем частота
гофрировки.
Аналогичная картина имеет место и при деформации гофриро-
ванной мембраны. Результаты численного решения этой задачи
приведены на рис. 135, а, б, где построены графики функций ср =
п
= О -у- (& — угол поворота нормали к срединной поверхности)
и относительного прогиба w/w0 (w — осевое перемещение теку-
щей точки мембраны, wn — перемещение жесткого центра) вдоль
радиуса при различных величинах давления р. Давление р = Ар/,
где Ар — ступень увеличения нагрузки; / —параметр; / = 1, 2,...,
..., 6. В данном случае Ар = 0,07 МПа. Для первой (/ = 1) и для
последней (/ = 6) ступеней нагружения приведены результаты
нелинейного решения. Штриховая кривая — результат линей-
ного решения для первой ступени давления, отмеченный условно
/ = 0. Кривая, отмеченная точками, соответствует результатам
расчета упругой поверхности мембраны по теории анизотропной
пластинки; как видно из рис. 135, она не отражает особенностей
деформации каждой волны.
1 Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек М.: Высшая школа,
1972. 296 с.
205
Для жесткой мембраны (Я/Л = 18) на первой ступени нагру-
жения результаты линейного (/ = 0) и нелинейного (/ = 1) реше-
ния совпали (рис. 135, а, б). Кривые осевых перемещений w/wa
имеют слабую волнообразность; при увеличении нагрузки в 6 раз
форма упругой поверхности изменяется мало.
Как и следовало ожидать, частота функции ср угла поворота
вдвое больше частоты гофрировки как при малых (/ = 0), так и при
больших (/ = 6) прогибах (см. рис. 135, а). Максимальные значе-
ния ф соответствуют вершинам и впадинам гофр.
Рассмотрим мембрану с мелкой гофрировкой (H/h = 6). В от-
личие от предыдущего случая форма упругой поверхности такой
мембраны значительно изменяется с прогибом (рис. 135, г). Нели-
нейное решение задачи даже на первой ступени нагружения (/ = 1)
дает заметное отклонение от линейного. Это видно из графика
функции ф (рис. 135, в). Если в области малых перемещений
(/ = 0) частота функции ф, как и для мембраны с H/h = 18, вдвое
больше частоты гофрировки, то с увеличением нагрузки частота
уменьшается также вдвое. Экстремальные значения функции ф
в этом случае соответствуют точкам, расположенным посредине
между вершинами и впадинами волн гофрировки. Такое изменение,
характера деформации можно объяснить растяжением волн при
больших перемещениях мембраны. Если растянуть гофрированную
полоску силами Т (рис. 133, е), то получим наибольшие повороты
сечений в тех местах, которые находятся между вершинами и впа-
динами. Знаки углов поворота в последовательных точках пере-
сечения профиля с прямой АС будут чередоваться. Сечения по вер-
шинам и впадинам гофрированной полоски не поворачиваются.
Таким образом, угол поворота й будет иметь частоту, равную ча-
стоте волн полоски (рис. 133, ж).
206
Аналогичное явление имеет место и в мембране с неглубокой
гофрировкой в области больших перемещений. На основную кри-
вую функции ср, соответствующую деформации в области малых
перемещений, накладывается волнообразная линия, период кото-
рой совпадает с периодом гофрировки мембраны. В отличие от
гофрированной полоски растяжение волн мембраны будет неравно-
мерным (см. рис. 135, в).
В центральной области мембраны волны гофрировки растяги-
ваются меньше, чем на периферии, так как они имеют большую
кривизну в окружном направлении и, следовательно, большую
жесткость.
Проследим теперь, как деформация упругой поверхности влияет
на распределение напряжений в гофрированной мембране. Рас-
смотрим сначала распределение напряжений в мембране в области
малых перемещений на примере жесткой мембраны с относитель-
ной глубиной гофрировки H/h — 18 (рис. 136).
В соответствии с распределением радиальных перемещений
и (см. рис. 134) окружные мембранные напряжения <т20 достигают
экстремальных значений в точках вершин и впадин гофр, причем
в рассматриваемом случае (рис. 136) эти напряжения положительны
Рис, 136. Напряжения в мембране с глубокой гофрировкой
207
в Bcpiiiiiii.i.x и <>iрипптельны во впадинах. Частота функции о20
равна часкиг iофрнровки.
Меридиональные мембранные напряжения о10 на порядок
меньше окружных напряжений <т20.
При ап мине изгибных меридиональных напряжений о1и снова
ж. рвемся к аналогии между деформацией оболочки и полоски
в yupyioil среде. Изгибные напряжения в полоске пропорцио-
нальны изгибающему моменту, а следовательно, — изменению
кривизны (12). Изменение кривизны центральной оси полоски и =
= </07ds, где й — угол поворота нормали к оси. Выше было пока-
зано, что при деформации полоски в упругой среде график угла
поворота нормали вдоль полоски имеет волнообразный характер
(рис. 133, г). Поэтому кривая изгибного напряжения о', пропор-
ционального изменению кривизны dft/ds, соответствует произ-
водной функции & (ср. рис. 133, г и 3).
Примерно так же распределяются радиальные изгибные на-
пряжения о1и в гофрированной мембране (см,, рис. 136), работаю-
щей в области малых перемещений.
Изгибные напряжения в окружном направлении о2и прибли-
зительно в три раза меньше радиальных напряжений о1и. Это
объясняется тем, что при деформации мембраны ее кривизна в ме-
ридиональном направлении меняется более существенно, чем
в окружном, т. е. х2, и тогда в соответствии с выражениями
(137) и (151) о1и » цо2н, где коэффициент Пуассона pi = 0,3.
На графиках, показанных на рис. 136, напряжения отнесены
к давлению р. Штриховая кривая соответствует линейному реше-
нию (/ = 0), сплошная — нелинейному (/ — 6). Для жесткой мем-
браны {H/h = 18) эти решения близки.
Для мембраны с относительной глубиной гофрировки H/h = 6
(рис. 137) нелинейность проявляется при прогибах меньших, чем
у мембраны с параметром H/h = 18 (см. рис. 132). При этом су-
щественно меняется характер распределения напряжений, что
связано с растяжением волн гофрировки в области больших пере-
мещений мембраны. Особенно значительно меняется вид эпюры
радиальных изгибных напряжений <тХи.
В области малых перемещений (см. штриховую кривую на
рис. 137) изгибные напряжения г>1и распределяются вдоль радиуса
мембраны примерно по такому же закону, что и для жесткой мем-
браны {H/h = 18). Частота функции <л1и вдвое превышает частоту
гофрировки. Последнее связано с особенностями деформации вол-
ны гофрировки при ее повороте (см. рис. 133, в, д). В области
больших перемещений появляется растяжение гофров (см.
рис. 133, е), которое вызывает дополнительные изгибные напряже-
ния о" с частотой, равной частоте гофрировки (рис. 133, ж, в).
Если эти напряжения достаточно велики, как в рассматриваемом
случае, то и суммарная эпюра напряжений о1и приобретает ча-
стоту, вдвое меньшую по сравнению с областью малых перемеще-
ний (см. рис. 137). Такие же изменения претерпевает и эпюра
208
Рис. 137. Напряжения в мембране с мелкой гофрировкой
окружных изгибных напряжений о2н, поскольку соотношение
сг2и « рсг1и остается в силе.
На рис. 138 приведены эпюры эквивалентных напряжений (154)
для мембран с параметром H/h = 6 и H/h — 18, в точках наружной
(оэкв) и внутренней (сг|кв) поверхностей (рис. 138). Штриховая кри-
вая соответствует линейному решению, сплошная — нелинейному
при давлении р = Apj, где Ар = 0,07 МПа, / = 6. По оси ординат
отложены величины отношения эквивалентного напряжения
к давлению р.
Для мембраны с характеристикой, близкой к линейной (H/h —
= 18), результаты линейного и нелинейного решения отличаются
незначительно. Положение опасной точки, где <тэкв достигает наи-
большего значения, при изменении нагрузки не изменяется. В дан-
ном случае опасная точка находится вблизи вершины крайней
волны на наружной поверхности мембраны.
Для мембраны с большой нелинейностью (H/h = 6) с ростом
давления эпюра бэкъ/р существенно меняется. С увеличением
209
Рис. 138. Эпюры эквивалентных напряжений
нагрузки распределение напряжений по гофрам становится более
равномерным. Положение опасной точки зависит от нагрузки.
В начале нагружения опасная точка находится у заделки на на-
ружной поверхности мембраны. С ростом давления опасная точка
скачкообразно смещается. В рассматриваемом случае при / — 6
опасная точка оказалась на внутренней поверхности впадины
между второй и третьей волнами гофрировки.
Зависимость прогибов и напряжений от знака нагрузки.
На рис. 139 и рис. 140 в безразмерных координатах показаны
семейства упругих характеристик и эквивалентных напряжений
в опасной точке для мембраны синусоидального профиля. Согласно
формулам (183) и (184) имеемр = w — а = •
Сплошные кривые соответствуют нагружению давлением сверху
210
Рис. 139. Упругие характеристики в зависимости от знака давления:
а — при относительной глубине = 0 + 8; б — при = 6 + 20
(р > 0), т. е. со стороны вершин волн, а штриховые (р < 0) — на-
гружению со стороны впадин. Наличие переломов на некоторых
кривых 5 = f (р) связано с перескоками опасной точки, которые
могут иметь место в нелинейной области работы мембраны.
Если гофрировка на мембране отсутствует (H/h = 0) или,
наоборот, она настолько глубока, что характеристика мембраны
близка к линейной, изменение знака давления оказывает малое
влияние на прогибы и напряжения. Знак давления оказывает наи-
большее влияние на характеристику и на напряжения при отно-
сительной глубине гофрировки H/h = 2-4-6 (рис. 139, а и рис. 140),
т. е. в той области, где больше всего проявляется растяжение волн
при больших перемещениях.
Особенно значительно знак давления влияет на величину на-
пряжений. Так, например, для мембраны с H/h = 2 при р = 3000
изменение знака давления изменяет абсолютную величину про-
гиба на 25%, а эквивалентное напряжение в опасной точке —
на 45%.
211
Если мембрана имеет характеристику, близкую к линейной,
то изменение знака нагрузки приводит лишь к изменению знака
прогибов и напряжений.
Рассмотрим влияние знака давления на напряжения в мем-
бране с неглубокой гофрировкой (H/h = 3), характеристика кото-
рой существенно нелинейна. На рис. 141 приведены кривые,
построенные по результатам расчета численным методом функции
ср угла поворота, относительных прогибов w/w0, окружных мем-
бранных напряжений сс30, меридиональных изгибных напряжений
OjH и эквивалентных напряжений о"кв и ofKB в точках наружной и
внутренней поверхности. Сплошные кривые соответствуют нагру-
жению мембраны давлением р > 0, штриховые — р < 0. -Резуль-
таты линейного решения при р = 0,02 МПа отмечены индексом / —
— 0, результаты нелинейного решения при р = 0,1 МПа соответ-
ствуют / = 5.
В линейной области (j = 0) функции угла поворота ср, вели-
чины перемещений w/w0, напряжений о20 и ст1и при смене знака
давления по абсолютной величине не изменяются. При больших
перемещениях (/ = 5) линии ср при р > 0 и р < 0 становятся не-
симметричными относительно оси абсцисс, заметно меняется форма
212
упругой поверхности (см. график w/w„ на рис. 141), особенно
в краевой области.
При / = 5 существенно изменяется эпюра изгибных напряже-
ний <тги. Как говорилось выше, растяжение гофр, которое возни-
кает при больших перемещениях (см. рис. 133, е, з), уменьшает
вдвое частоту волн на эпюре оги. Напряжения, связанные с растя-
р>0
Рис. 141. Влияние знака давления на перемещения и напряжения в мембране
213
/копнем кн]||(, слабо завися!' of направления давления, и поэтому
сплошные п штриховые кривые (/ = 5) не противоположны друг
Д|»у| у, как и линейном решении (/ = 0), а имеют одинаковый знак
и примерно одинаковые величины за исключением краевой обла-
ет и)
Рассмотрим распределение напряжений в краевой зоне, на-
пример в точке г = R наружной поверхности. При растяжении
гофр в этой точке возникает положительное напряжение (растя-
жение). Изгиб мембраны давлением р > 0 также вызывает напря-
жение растяжения, поэтому суммарные напряжения о1и вблизи
заделки оказываются самыми высокими. При изгибе мембраны
давлением р < 0 напряжение в рассматриваемой точке будет отри-
цательным (сжатие); складываясь с положительными напряже-
ниями при растяжении гофров, они дают суммарные напряжения
(штриховая кривая), в несколько раз меньшие, чем при р > 0.
В зависимости от знака давления эквивалентные напряжения
в краевой зоне также отличаются в несколько раз. В рассматривае-
мом случае при нагружении мембраны давлением р > 0 эквива-
лентное напряжение в опасной точке, расположенной на наружной
поверхности вблизи заделки, равно 1050 МПа. При нагружении
давлением р < 0 опасная точка оказывается на наружной по-
верхности во впадине между второй и третьей (от центра) волнами,
и эквивалентное напряжение сгэкв « 500 МПа.
Следовательно, в области H/h = 2-4-6 изменение направления
действия давления приводит к существенному изменению макси-
мального напряжения, что важно учитывать при проектировании
мембранных чувствительных элементов. Для уменьшения напря-
жений целесообразно располагать мембрану по отношению к об-
ласти избыточного давления так, чтобы в соответствии со схемой
нагружения, показанной на рис. 141, давление было отрица-
тельным.
Влияние сдвига по радиусу волн гофрировки. Рассмотрим ряд
мембран, которые отличаются друг от друга только величиной
сдвига волн 6 (рис. 142). Если наружный и внутренний контуры
мембраны, по которым она закреплена в заделке и жестком центре,
соответствуют точкам 1 профиля (при этом сдвиг примем равным
нулю), то получим мембрану «смещенного» профиля, у которой
плоскость впадин совпадает с плоскостью заделки. Сдвиг -между
Рнс. 142. Различные позиции закрепления мембран, отличающихся*
сдвигом по фазе
214
о
Рис. 143. Семейства характеристик = / (р) и
(Тэкв = ср (/>) для мембран:
а, б — при
-jj- = 18; f. г — при
3
смежными положениями, отмеченными на рис. 142, равен Ч81,
где I — длина волны. Если 6 = V4Z (мембрана закреплена по
окружности точек 3), то такую мембрану будем называть «ней-
тральной», ее вершины и впадины отстоят на одинаковых расстоя-
ниях от плоскости заделки.
Изменение сдвига на Чй1 можно рассматривать, как изменение
знака давления на мембрану (варианты 1 и 5; 3 и 7 и т. п.). Как
указывалось выше, изменение знака давления для мембраны сме-
щенного профиля приводит к существенной разнице в поведении
мембраны. В некоторых же случаях, например для чувствитель-
ных элементов дифманометров, желательно иметь рабочую харак-
теристику мембраны, не зависящую от знака давления.
Рассмотрим влияние сдвига волн гофрировки на жесткость и
напряжения мембраны.
На рис. 143, а, б показаны семейства кривых w„ = / (р) и
°экв = Ф (р), полученные расчетным путем для мембран с характе-
ристикой, близкой к линейной (H/h = 18), и для мембран мелкой
гофрировки (H/h = 3) с большой нелинейностью характеристик
(рис. 143, в, г). Цифрами 1—8 отмечены кривые, соответствующие
позициям 1—8 на рис. 142. Основные геометрические размеры
мембран были приняты одинаковыми для всех вариантов: R =
215
•Л) мм, /„ l,i мм; h = 0,45 мм; модуль упругости Е = 1,35 X
X IOn Mil l
(. цмп ви iii существенно влияет на прогиб мембраны, особенно
при мелкой iофрпровке (H/h ~ 3), и еще более сильно — на вели-
чину напряжений, которые могут изменяться в несколько раз.
Для мембран с глубокой гофрировкой наименьшие напряжения
con i веге тнуют вариантам 1 и 5, т. е. мембранам «смещенного» про-
филя I кшбольшие напряжения возникают в мембранах «нейтраль-
ного» профиля (варианты 3—7).
Среди мембран с относительной глубиной H/h = 3 в области
больших перемещений (/ = 5) наименее опасным оказался ва-
риант 1, т. е. мембрана «смещенного» профиля, нагруженная отри-
цательным давлением (см. рис. 141). Вариант 5, когда мембрана
смещенного профиля нагружена положительным давлением, ока-
зался более опасным.
Для выяснения возможности получения мембраны с упругой
характеристикой, не зависящей от знака давления, рассмотрим
кривые w0 = f (р) на рис. 143, а, в. Как было показано выше, из-
менение знака давления на обратный соответствует изменению
сдвига 6 на V2/ и, следовательно, увеличению номера варианта на 4.
Для мембраны H/h — 18 прогибы и характеристики, соответству-
ющие вариантам 4 и 8 со сдвигами 6 — я/8 и 7/s, практически сов-
пали (рис. 143, й). Среди мембран с H/h = 3 наиболее близкими по
прогибам оказались варианты 2 и 6 (6 = % и 5/g ). наиболее да-
лекими — варианты 4 и 8 (рис. 143, в). Мембраны «нейтрального»
профиля (варианты 3 и 7), у которых расположение вершин и впа-
дин волн относительно плоскости заделки одинаково, оказались
в числе тех, для которых разница в прогибах оказалась существен-
ной.
Влияние неравномерности глубины гофрировки. Изучение
картины распределения напряжений в мембранах периодического
профиля при нагружении давлением показывает, что наибольшей
деформации подвергаются волны, наиболее удаленные от центра.
Это объясняется тем, что краевые волны имеют меньшую кривизну
в окружном направлении, чем центральные волны, и их изгибная
жесткость меньше. Поэтому можно ожидать, что создание перемен-
ной гофрировки, уменьшающейся к центру, приведет к более рав-
номерному распределению напряжений в мембране, а следова-
тельно, и к повышению коэффициента запаса.
Переменность глубины гофрировки можно характеризовать
коэффициентом неравномерности а. Например, для мембран с тре-
Рис. 144, Профиль мембраны неравномерной глубины
216
МЯ волнами в качестве коэффициента неравномерности удобно
принять
и = Н^'- , (218)
где Hlt Н2 и Я3 — глубины волн гофрировки (рис. 144), начиная
от центра.
Для равномерной гофрировки а = 0, если же волны увеличи-
ваются по глубине от центра к краю, то а > 1. При линейном за-
коне изменения глубины
Д1 = Д2(1 Я3 = Я2(1+-^).
Неравномерность глубины гофрировки существенно влияет на
упругую характеристику мембраны и на картину распределения
напряжений.
На рис. 145 показаны эпюры функции угла поворота ф, отно-
сительных прогибов w/wn и напряжений сг20, о1и и сгэкв для мембран
с коэффициентом неравномерности а = 0 (сплошные); а — 1,2
(штриховые); а = —1,2 (штрихпунктирные кривые). Размеры
всех трех мембран совпадают, кроме высоты Нг и Н3 первой от
центра и третьей волн. Высота средней волны, одинаковая для
всех трех мембран, обозначена через Н = Н2.
Кривая относительного угла поворота ф показывает, что умень-
шение глубины гофрировки к центру (а = 1,2) приводит к выравни-
ванию деформаций центральной и краевой волн. Если же а = —1,2
(волны увеличиваются к центру), то это резко ухудшает работу
мембраны, поскольку деформации крайней волны увеличиваются.
Форма упругой линии (w/wn) также свидетельствует о более
равномерной деформации волн в случае а — 1,2. Соответственно
и эпюры напряжений получаются более равномерными, а вели-
чина эквивалентного напряжения в опасной точке — наименьшей.
Наихудшее распределение деформаций и напряжений соответ-
ствует случаю а = —1,2, когда первая от центра волна глубже
последней.
На рис. 146 приведены характеристики w0 = / (р) и стэкв =
= ф (р) для этих же трех мембран при H/h = 6 и H/h^=\ 12.гХа-
рактеристики мембран с а = 1,2 близки к линейным.
Влияние граничных условий на прогибы и напряжения в гоф-
рированной мембране. При использовании гофрированной мем-
браны в качестве упругого элемента возможны различные способы
ее крепления в узле прибора. Если мембрана работает как одиноч-
ная, то обычно ее припаивают или приваривают к жесткому осно-
ванию (см. рис. 110). Такое крепление близко к условиям жесткой
заделки, исключающей линейные и угловые перемещения. Если
две мембраны соединены друг с друго.м в мембранную коробку,
то краевые условия для каждой из мембран (если они одинаковы и
симметрично расположены относительно плоскости соединения)
217
Рис. 145. Перемещения и напряжения в мембранах с равномерной в неравно»
мерной гофрировкой
218
Рнс. 14 6. Характеристики w0 = f (р) и <ГЭКВ= ф (р) для мембран с равномерной
и неравномерной гофрировкой
будут близки к условиям скользящей заделки, которая допускает
радиальные линейные перемещения точек контура.
Рассмотрим распределение напряжений в мембране при четы-
рех типах крепления наружного контура: заделка — глухая и
скользящая, шарнирная опора — неподвижная и подвижная.
Шарнирная опора допускает угловые перемещения на контуре,
при этом изгибающий момент Л/1И = 0. Подвижная шарнирная
опора, кроме того, допускает радиальные перемещения.
На рис. 147 приведены полученные расчетным путем эпюры
функции угла поворота <р, вертикальных перемещений и на-
пряжений сг20, о'1и, пэкв для четырех одинаковых по размерам мем-
бран при различных вариантах закрепления. Из графиков следует,
что граничные условия влияют на напряженно-деформированное
состояние мембраны только в краевой области, захватывающей
0,5—1 волну гофрировки. Чем глубже гофрировка, тем уже эта
краевая область.
Характер эпюр углов поворота <р и меридиональных изгибных
напряжений <т3и показывает, что для мембраны «смещенного»
профиля угловая связь на наружном контуре мало влияет на на-
пряженное состояние мембраны. На это указывает близость кри-
219
faoo; р^о,о7$маа
Рис. 147. Эпюры перемещений и напряжений в мембране при различных
условиях закрепления:
1 — глухая; 2 — скользящая заделки; 3 — неподвижная и 4 — подвиж-
ная шарнирная опора
вых для случаев глухой заделки и неподвижной шарнирной опоры.
При этих способах крепления распределение эквивалентных
напряжений сгэхв наиболее равномерное.
Более существенное влияние на напряженное состояние мем-
браны оказывают радиальные перемещения на наружном контуре,
которые возникают при скользящей заделке и подвижной шарнир-
ной опоре. При этих вариантах крепления в краевой зоне значи-
тельно возрастают окружные мембранные напряжения сг20 и соот-
ветственно увеличиваются эквивалентные напряжения, достигая
в опасных точках величин, в 2,5 раза больших, чем при неподвиж-
ном шарнирном креплении и глухой задел те.
Сопоставление характеристик (рис. 148) показывает, что наи-
большие прогибы, как и следовало ожидать, имеет мембрана
с подвижной шарнирной опорой. Прогибы мембран с глухой задел-
220
кой и неподвижной шарнирной 011(4 он примерно в 1,6 раза меньше.
С увеличением высоты гофрировки влияние граничных усло-
вий уменьшается. Так при относительной высоте H/h = 18 экви-
валентное напряжение оькв в опасных точках при разных гранич-
ных условиях изменяется на 10—20%, а прогиб на 20—-30%.
Влияние краевого гофра на прогибы и напряжения мембраны.
Мембраны, соединенные в коробку, имеют, как правило, цилин-
дрический или тороидальный краевой гофр (ем. рис. 109). По отно-
шению к центральной равномерно гофрированной части мембраны
краевой гофр можно рассматривать как упругую опору. При изу-
чении влияния заделок было установлено, что напряженно-дефор
мированное состояние мембраны существенно зависит от податли-
вости опоры в радиальном направлении.
Цилиндрический краевой гофр допускает незначительные ра-
диальные перемещения, и его влияние на поведение мембраны мало.
На рис. 149 показано семейство кривых для мембран с различной
высотой I цилиндрического гофра. При изменении Z от 0 до 4 мм
прогиб центра мембраны увеличивается на 15%. Изгиб цилиндри-
ческого гофра имеет местный характер и быстро затухает по мере
удаления от линии сопряжения с.гофрированной частью мембраны,
поэтому дальнейшее увеличение высоты цилиндрического гофра
практически не изменяет упругую характеристику мембраны.
Большее влияние оказывает краевой гофр тороидальной формы
(рис. 150, а). При некоторых соотношениях его геометрических
размеров окружность сопряжения краевого юфра с централь-
ной частью мембраны может получать существенные перемещения
в радиальном направлении, а это, как указывалось выше, может
личных условиях закрепления:
1 и 2 — для глухой и скользящей заделки;
3 и 4 — для неподвижной и подвижной
шарнирной опоры
Рис. 149. Характеристики мембран с ЦИЛИН’
дрическим краевым гофром
221
о Ofi 0,8 1,1 1,6 р,мпа -60°-40° -20° О Z0°' 60° 8
г)
гоИфра150' Прогибы и напряжения в мембране в зависимости от угла 0О краевого
На рис. 150, б даны характеристики w0 = f (р) в зависимости от
угла 0(1 тороидального гофра. Изменение этого угла может привести
к значительному изменению прогибов мембраны (для вариантов
«0 и и н0-------45 -в 2 раза). Существенно изменяется также
форма характеристики, ее нелинейность, напряжения, которые
могут изменяться в 1,5—2 раза. Кривая начальной (при р 0)
податливости А = / (0О) (рис. 150, в) показывает, что при.угле
0о = —40°-т 50° чувствительность мембраны максимальна. Ши-
роко используемые мембраны профиля I [5] имеют угол 0„ близ-
кий к этому значению.
На рис. 150, г показаны кривые = / (Оо) наибольших эк-
вивалентных напряжений в центральной части мембраны (кривая
гти в ™Роидальной (кривая 2). Оба участка примерно равнопрочны
Расчет показывает, что с увеличением радиуса гт тороидального
гофра прогибы мембраны уменьшаются.
222
8. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕМБРАН
При действии давления на выпуклую поверхность сферической
или конической мембраны ее срединная поверхность испытывает
сжатие. При некоторой критической нагрузке мембрана теряет
устойчивость и скачком изменяет свой прогиб. Явление потери
устойчивости выпуклых мембран используют в различных реле,
где необходимо быстрое замыкание и размыкание контактов.
В измерительных приборах потеря устойчивости мембраны
обычно недопустима. Если мембране придают небольшую вы-
пуклость, то при этом преследуют лишь одну цель — уменьшить
жесткость на некотором участке характеристики. Так, небольшая
конусность анероидов высотомеров уменьшает жесткость на
больших высотах, где с изменением высоты давление меняется
незначительно.
Вопросам устойчивости тонких оболочек посвящены многие
работы [4, 32, 38, 92]. Одним из наиболее распространенных
объектов для исследования устойчивости является пологая глад-
кая сферическая оболочка, как наиболее простая по геометриче-
ской форме.
Задача о пологой сферической оболочке в области больших
перемещений относится к нелинейным краевым задачам. Хотя
дифференциальные уравнения для пологой оболочки имеют
сравнительно простой вид, их аналитическое решение представ-
ляет значительные трудности.
Задача расчета на устойчивость пологой сферической обо-
лочки была решена В. И. Феодосьевым [97, 99], который первым
применил к решению нелинейной задачи метод Валеркина. Од-
нако решения задачи устойчивости тонкостенной оболочки вариа-
ционным методом в первом и даже во втором приближении [99]
позволяют лишь оценить явление потери устойчивости главным
образом с качественной стороны.
С помощью метода Галеркина В. И. Феодосьевым была впервые
решена задача об устойчивости гофрированной мембраны синусо-
идального профиля — оболочки, геометрическая форма которой
значительно сложнее пологой сферической мембраны [99]. Ре-
зультаты показали существование различных форм равновесия;
качественная картина была подтверждена экспериментально.
В работе [99] указано, что это решение применимо в области про-
гибов, не превышающих пяти толщин мембраны.
Позднее метод Галеркина был применен для решения задачи об
•устойчивости выпуклой гофрированной мембраны синусоидаль-
ного и пильчатого профиля [5]. Было показано, что наличие гоф-
рировки на выпуклой мембране увеличивает ее устойчивость.
Использование ЭВМ в расчетной практике позволило решить
задачи устойчивости оболочек в более точной постановке, а также
изучить новые проблемы в этой области [4, 32, 38, 100, 107].
223
Рис. 151. Пологие сферические мембраны:
а — упругие характеристики; б — кривые напряжения
На рис. 151, а дано семейство характеристик сферических мем-
бран, защемленных по наружному контуру и нагруженных давле-
нием р [6]. Кривые получены численным интегрированием диффе-
ренциальных уравнений [100].
Рассмотрим явление потери устойчивости на примере мем-
браны с относительной высотой Aih = 4. На начальном участке
ОА кривой прогиб wn возрастает монотонно. Далее на характери-
стике имеется участок АВ отрицательной жесткости, где прогибы
возрастают при падении давления. Равновесие мембраны на этом
участке неустойчиво, и при критическом давлении ркр1 (параметр
давления Р=еьг) прогиб изменяется скачком на величину АС.
При дальнейшем увеличении давления прогибы мембраны снова
нарастают плавно. Разгрузка мембраны сопровождается скачко-
образным изменением прогиба на величину BD при критическом
давлении ркр2.
На рис. 151, б даны кривые относительных меридиональных
напряжений й = . Кривые соответствуют напряжениям <тв
у наружного контура мембраны и напряжениям стс в центре.
В центре мембраны окружные напряжения равны радиальным,
т. е. о3 = 01, У контура о2 = (р, — коэффициент Пуассона).
Тонкие линии на рис. 151 соответствуют участкам отрицательной
жесткости.
224
Если наибольшие напряжения в мембране при критическом
давлении не превышают предела упругости материала, то потеря
устойчивости тонкостенной мембраны происходит в области чисто
упругих деформаций. В противном случае потеря устойчивости
сопровождается пластическими деформациями, о чем можно су-
дить по остаточному прогибу, который сохранится после раз-
грузки мембраны.
Потеря устойчивости выпуклой мембраны сопровождается су-
щественным изменением ее геометрической формы по всей поверх-
ности, т. е. происходит «общая» потеря устойчивости. У гофриро-
ванных мембран возможна также «местная» потеря устойчивости,
когда существенно изменяется форма какого-либо одного гофра.
При дальнейшем увеличении давления может «прохлопнуть» сле-
дующий гофр и т. д. В этом случае характеристика упругого
элемента будет иметь несколько «скачков». Такая форма потери
устойчивости возможна у мембран с небольшим числом пологих
волн, даже при отсутствии выпуклости начальной поверхности
(4 = 0).
Ниже приведены результаты теоретического и эксперимен-
тального исследования устойчивости гофрированных мембран х.
Поскольку в задачах устойчивости нагрузка связана с функ-
цией перемещения & немонотонной зависимостью, целесообразно
в процессе решения следить за ростом этой функции и нагрузки
и принимать за параметр системы на каждом этапе тот, скорость
возрастания которого больше [32]. При численном решении этой
нелинейной задачи применялся метод итераций. На начальном
этапе за параметр системы выбиралось давление. Величина шага
по нагрузке зависела от числа необходимых итераций п. Если число
итераций превышало 8, то шаг по нагрузке уменьшался вдвое. При
п < 2 шаг увеличивался в 2 раза.
В области критического давления дробление шага по давлению
стремилось к бесконечности. После того, как шаг становился
меньше некоторой выбранной величины Дрт1п, совершался пере-
ход на другой параметр системы. В качестве такого параметра
в описываемом алгоритме было принято безразмерное изменение
ф _______________________________________________________ф
кривизны меридиана в точке наружного контура х, = ^^д^-/~1-.
давление же определялось в процессе решения. В этой области
за главную часть давления р принималось давление предыдущего
шага нагружения.
Расчет показал, что явление потери устойчивости мембран си-
нусоидального «смещенного» профиля с тремя волнами прояв-
ляется при относительной глубине гофрировки H/h > 13. На
рис. 152 приведена характеристика мембраны с параметром H/h =
— 14, полученная путем расчета. На характеристике имеются
1 Исследования проводились инж, М. А. Макаровой и В. А. Шуваевым.
8 Андреева Л. Е. 225
участки отрицательной жесткости АЬ и Cd, которым соответствуют
неустойчивые формы равновесия мембраны. При увеличении
давления до ркр, реальная мембрана скачком изменяет свой про-
гиб на величину Аа'. При втором критическом давлении ркрг
мембрана вновь теряет устойчивость и увеличивает прогиб на ве-
личину Сс'. Разгрузка мембраны также сопровождается двумя
скачками dd' и bb', которым соответствуют «нижние» критические
давления ркРя и рКР4.
На рис. 153 показаны формы образующих упругой поверхности
мембраны в различные моменты нагружения (точки А, В, С и D
на рис. 152). Кривые свидетельствуют о том, что сначала «прохло-
пывает» средний гофр (участок Аа'), а затем — крайний гофр
(участок Сс').
При изменении формы упругой поверхности мембраны при по-
тере устойчивости резко изменяется картина распределения на-
пряжений. На рис. 154 даны эпюры радиальных изгибных сг1и на-
пряжений, которые являются определяющими для гофрированной
мембраны.
Рис. 153. Кривые упругой поверхности y/h и прогибов w/h мембраны
226
В результате прохлопывания средней волны значительно воз-
растают изгибные напряжения а1н в этой области мембраны. По-
теря устойчивости крайней волны значительно увеличивает на-
пряжения а1и у края мембраны (рис. 154). Вследствие растяжения
волн гофрировки при потере устойчивости частота изменения по
радиусу изгибных напряжений сг1и вдвое уменьшается по сравнению
с имевшимися в докритическом состоянии (рис. 154, А и D). Ча-
стота изменения напряжений <т1и в первой волне гофрировки (около
жесткого центра) на всех этапах нагружения остается вдвое больше
частоты гофрировки.
Результаты исследования устойчивости мембраны хорошо
согласуются с экспериментом. На рис. 155 приведена расчетная
характеристика мембраны «нейтрального» синусоидального про-
филя (сплошная кривая) и точками показаны результаты экспери-
мента.
Потеря устойчивости мембранных чувствительных элементов
измерительных приборов недопустима. Для оценки коэффициента
запаса устойчивости достаточно знать критическое давление pKPt,
при котором происходит первое прохлопывание. Коэффициент
о Ркр1 z
запаса по устойчивости определяется как муст = у— (Ртах —
наибольшее рабочее давление).
S* 227
Рис. 155. Расчетная и
экспериментальная ха-
рактеристики
Рис. 156. Кривые критического давления
для мембран смещенного профиля (сплош-
ные линии) и нейтрального (штриховые
линии)
Рис. 157. Кривые критического давления
для конических гофрированных мембран
при rD = 0,27?
228
Используя закон подобия 19, 671, результаты, полученные
при исследовании конкретных мембран, можно обобщить на дру-
гие случаи. Согласно закону подобия для мембран одинаковой
пологой формы профиля (например, синусоидальной) при одинако-
вом числе волн и одинаковом относительном размере жесткого цен-
тра р0 = r0/R величина безразмерною критического давления
Ркр^4 , “ sr и/г.
ркр — -будет зависеть лишь от относительной глубины Н/п
гофрировки. На рис. 156 даны кривые/\р = / (////г) для мембран
смещенного и нейтрального синусоидальною профиля при числе
волн п = 2 и 3. Для мембран этого профиля с увеличением H/h
критическое давление растет. С уменьшением, числа волн п обо-
лочка становится более пологой и критическое давление умень-
шается. Из сопоставления кривых следует, что мембраны смещен-
ного профиля более устойчивы по сравнению с мембранами ней-
трального профиля.
Влияние конусности начальной поверхности на устойчивость
синусоидальных шестиволновых мембран мелкого нейтрального
профиля (H/h = 0-т-5) показано на рис. 157, где даны кривые
Ркр ~ / (H/h) при углах конуса 0 = 3°-ь6° (0 — угол между
образующей «начальной» поверхности и плоскостью наружного
контура мембраны). С увеличением угла 0 критическое давление
возрастает.
9. СВОЙСТВА ГОФРИРОВАННЫХ МЕМБРАН В УСЛОВИЯХ
СИЛОВОЙ КОМПЕНСАЦИИ
Во многих приборах упругий элемент осуществляет преобра-
зование давления р в усилие Q, при этом перемещение точки
приложения силы Q практически равно нулю. Так работает, на-
пример, упругий элемент в приборе, построенном по схеме силовой
компенсации, или в тех случаях, когда последующий преобразо-
ватель является достаточно жестким (некоторые типы тензометри-
ческих преобразователей, струнных частотных, магнитострик-
ционных и др.).
Развиваемая упругим элементом сила Q связана с давлением р
зависимостью Q = pF3$' В этом случае точность преобразования
во многом определяется свойствами эффективной площади Рэф,
которая зависит от геометрических параметров чувствительного
элемента, его жесткости, условий нагружения и может меняться
при работе прибора.
На основании приближенной расчетной схемы, где гофрирован-
ная' мембрана рассматривалась как конструктивно-ортотропная
(п. 5), были получены формулы для определения эффективной
площади гофрированных мембран с учетом параметров гофрировки.
Эти формулы определяют начальную эффективную площадь, когда
нагрузка сколь угодно мала, а также качественно отражают изме-
нение эффективной площади в условиях переменного прогиба [5].
229
R=36 ' , R’-216,25
На рис. 158 показано изменение эффективной площади мем-
бранных чувствительных элементов различной геометрии в зави-
симости от давления при переменном прогибе и при = О,
т. е. в условиях силовой компенсации. В последнем случае эффек-
тивная площадь меняется с давлением значительно меньше, чем
при переменном прогибе. Это можно объяснить тем, что геометри-
ческая нелинейность, связанная с изменением формы, для упру-
гого элемента с неподвижным жестким центром проявляется в мень-
шей степени, чем в случае свободного перемещения.
Поскольку изменение эффективной площади в условиях сило-
вой компенсации мало, то для ее расчета требуется значительно
более точный метод, чем рассмотренный в п. 5. При решении этой
задачи численным методом мембрану рассматривают как оболочку,
нагруженную силой Q и давлением р. При заданном давлении р
величину силы Q находят из условия равенства нулю перемещения
we жесткого центра, и эффективную площадь определяют по фор-
муле
Экспериментальные и теоретические исследования [11] пока-
зали наличие связи между видом упругой характеристики и>0 =
= f (р),и законом изменения эффективной площади Рэф — ср (р),
В качестве примера на рис. 159 приведены расчетные и эксперимен-
тальные данные для трех чувствительных элементов. Для упругих
элементов с нелинейной характеристикой (рис. 159, а, б) эффек-
тивная площадь в условиях силовой компенсации с ростом давле-
ния заметно изменяется. В то же время для упругого элемента
с характеристикой, близкой к линейной, изменение эффективной
площади мало (рис. 159, в).
Выше было отмечено, что основным параметром, определяю-
щим жесткость и нелинейность упругой характеристики, является
отношение глубины гофрировки Н к толщине h мембраны. Рас-
смотрим влияние параметра H/h на величину и изменение эффек-
тивной площади.
На рис. 160 дана семейство кривых относительной эффективной
г ^Эф , ,
площади j = для мембран синусоидального профиля, за-
крепленных по наружному контуру, с жестким центром радиуса
г0 = 0,27? в зависимости от параметра давления р = Для
мембран с неглубокой гофрировкой (-у < 6 ) эффективная пло-
щадь существенно зависит от давления, а для мембран с относитель-
ной глубиной -у > 6 она изменяется меньше.
Величина эффективной площади существенно зависит от знака
нагрузки. При нагружении мембраны положительным давлением
эффективная площадь изменяется меньше, чем при отрицательном
231
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 300Ц р' i
Рис. 160. Кривые f — <р (р) при различных значениях отношения H/h
для мембран синусоидального профиля
давлении. С увеличением отношения H/hsw разница уменьшается.
При этом с ростом положительного давления величина эффектив-
ной площади возрастает, а с ростом отрицательного — падает.
Это свойство эффективной площади можно использовать при кон-
струировании упругих элементов. Для получения чувствительных
элементов с наименьшим изменением эффективной площади можно
изготовлять мембранные коробки, соединяя мембраны не симме-
трично относительно плоскости буртика, а по «грибковой» схеме
(рис. 161). В этом случае одна мембрана будет работать при поло-
жительном давлении, а другая — при отрицательном, поэтому
изменение эффективных площадей мембран будет частично ком-
пенсироваться. В результате эффективная площадь с ростом давле-
ния будет изменяться меньше (кривая 2), чем при симметричном
расположении мембран (кривая /). На рис. 161 показаны кривые
относительного изменения т)/
эффективной площади мембран-
ных коробок, определяемого»
по формуле (187).
Кривые на рис. 160 могут
быть использованы для рас-
чета эффективной площади
Рис. 161. Кривые tu — Ч> (р):
1 — для симметричной коробки; 2 для
грибковой коробки
232
Рис. 162, Распределение функций перемещений и напряжений в мембранах;
а — при нагружении силой Q; б — в условиях силовой компенсации
мембраны синусоидального профиля, находящейся в условиях
силовой компенсации, если известны ее геометрические па-
раметры, материал и диапазон нагружения. Подсчитав по этим
данным относительную глубину Hlh и параметр давления
р = по кривым находим относительную величину /, а затем
и эффективную площадь F3$ = fnR2.
Следует иметь в виду, что кривые на рис. 160 построены для
осесимметричных мембран, нагруженных силой Q точно в центре.
В действительности вследствие допусков на геометрические пара-
метры мембраны при ее изготовлении и при сборке прибора неиз-
бежны отклонения от номинала, которые в большей или меньшей
степени могут повлиять на величину эффективной площади. Так,
например, при экспериментальных и теоретических 1 [91 исследо-
ваниях мембран было обнаружено значительное влияние смеще-
ния точки приложения сосредоточенной силы Q на величину эф-
фективной площади. Это обстоятельство может явиться одной из
причин разброса эффективной площади мембран в партии.
1 М. А. Макарова. Изгиб гофрированной мембраны сосредоточенным мо-
ментом и его влияние на эффективную площадь. — Приборы и системы управ-
ления, 1969, № 9, с. 28—30.
233
Прежде чем перейти к исследованию напряжений в мембране,
находящейся в условиях силовой компенсации, рассмотрим нагру-
жение мембраны сосредоточенной силой Q. В этом случае наиболее
напряженными оказываются не краевые волны, как в случае
действия давления (см. рис. 138), а центральные. На рис. 162, а
показаны кривые функций <р и w/w0 и эпюры напряжений для мем-
браны с мелкой гофрировкой ^-^- = 3), полученные на осно-
вании линейного решения (штриховые кривые) и нелинейного
(сплошные кривые). Как и при нагружении давлением, при малых
перемещениях частота изменения окружных мембранных напря-
жений <т20 совпадает с частотой гофрировки, а частота изгибных
меридиональных напряжений в 2 раза больше. В области больших
перемещений проявляется растяжение гофров и частота напряже-
ний сг1н вдвое уменьшается.
В условиях силовой компенсации, когда мембрана одновре-
менно нагружена силой Q и давлением р так. что жесткий центр не
перемещается, форма упругой поверхности w/wm!K такова, что наи-
большие осевые перемещения получает средняя волна, и угол
поворота ср в точке ее вершины мал (рис. 162, б). Соответственно
эта точка получает малые радиальные перемещения и, и поэтому
окружные мембранные напряжения <т20 в области вершины средней
волны малы. Более напряженными оказываются первая от центра
и краевая волны, опасная точка в данном случае находится вблизи
жесткого центра.
Экспериментальное исследование напряжений в гофрированной
мембране при нагружении силой Q, а также в условиях силовой
компенсации показало хорошее совпадение их с расчетными (см.
рис. 129 и 130).
10. МЕТОДИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕМБРАННЫХ УПРУГИХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Постановка задачи. Методика проектирования чувствительных
элементов во многом определяется заданными техническими тре-
бованиями. Например, упругая характеристика может быть задана
графически^ или'аналитически'^ виде некоторой кривой, причем
в техническом^задании указывается поле допусков на величину
прогиба и форму характеристики. В другом случае упругая ха-
рактеристика задается величинами прогиба и давления в нижней
и в верхней точках диапазона измерения, при этом указывается
допустимая величина нелинейности. В отдельных случаях форма
характеристики не имеет значения (например, в сигнальных уст-
ройствах), тогда заданием определяются только начальная и ко-
нечная точки характеристики.
Для приборов, работающих по принципу силовой компенса-
ции, в требованиях на чувствительный элемент’основной заданной
величиной является эффективная площадь; допуском ограничи-
234
вается ее изменение при работе в заином ддаиапазоне. Вместо
упругой характеристики в техническом задании указывается тре-
буемая чувствительность мембранного элемента.
В зависимости от условий работы чувствительного элемента
его прочность оценивают величиной предельного статического
давления, числом циклов изменения нагрузки до разрушения или
каким-нибудь другим параметром. Внедрение методов расчета на-
пряжений в практику конструирования чувствительных элементов
позволяет оценивать коэффициент запаса по предельным напряже-
ниям, вести проектирование чувствительного элемента по заданным
допускаемым напряжениям и, наконец, вплотную подойти к задаче
нахождения оптимального варианта.
Одним и тем же требованиям в отношении жесткости и нели-
нейности характеристики могут удовлетворять чувствительные
упругие элементы различных геометрических размеров. Среди них
оптимальным будет вариант с наименьшими рабочими напряже-
ниями, так как при уменьшении напряжений увеличивается запас
прочности, возрастает точность и надежность упругого элемента
вследствие уменьшения несовершенств упругих свойств материа-
лов; гистерезиса, микроползучести, релаксации.
Очевидно, создание единой методики проектирования мем-
бранных чувствительных элементов, пригодной для всех вариан-
тов технических заданий, не представляется возможным. Ниже мы
ограничимся вопросами проектирования чувствительных эле-
ментов с линейной и нелинейной упругой характеристи-
кой [9 ].
В п. 4, 7 было показано, что форма волн гофрировки и число
их оказывают второстепенное влияние на рабочие характери-
стики мембраны.
Основными геометрическими параметрами следует считать
рабочий радиус, толщину материала, глубину гофрировки.
Существенное влияние на упругую характеристику может оказы-
вать неравномерность глубины волн, начальная выпуклость (кони-
ческой или сферической формы), а также размеры краевого гофра.
Другие геометрические параметры выбирают с учетом конструк-
тивных или технологических особенностей. Основные геометриче-
ские параметры подлежат определению в процессе проектиро-
вания.
Проектирование гофрированных мембран длительное время
велось чисто экспериментальным путем, что привело к излишнему
многообразию профилей мембран, в то время как, меняя геоме-
трические размеры мембраны одного вида профиля, можно удов-
летворить требованиям в широком диапазоне задаваемых рабочих
параметров.
Результаты анализа гофрированных мембран, полученные на
основе решения уравнений (139) численным методом, могут слу-
жить основой при построении методики проектирования чувстви-
тельных элементов мембранного типа.
235
Рис. 163. Семейство упругих характеристик (сплошные линии • При положительном
давлении; штриховые — при отрицательном)
-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 .1500 2000 р
Рис. 164. Семейство безразмерных эквивалентных напряжений
236
Проектирование мембран с малой нелинейностью упругой
характеристики. Семейства кривых w — f (р), построенные в без-
размерных координатах:
” = = <219>
охватывают характеристики мембран, имеющих различные рабо-
чие диаметры и толщины, и выполненные из разных материалов.
В качестве примера на рис. 163 дано семейство характеристик
w = f (р) для трехволновых мембран периодического синусоидаль-
ного профиля. Сплошные линии соответствуют нагружению дав-
лением с верхней стороны мембраны, штриховые — с нижней
стороны.
Угол наклона касательной к характеристике да = / (р) в на-
чале координат соответствует безразмерной начальной жесткости
= (22°)
w Ew0 X h / 7
величина которой не зависит от знака давления и определяется
из линейного решения. Для каждого семейства характеристик без-
размерная начальная жесткость зависит только от параметра
H/h.
На рис. 164 приведены семейства кривых безразмерных экви-
валентных напряжений
й = (221)
в опасной точке мембраны при положительном и отрицательном
давлении (см. рис. 163). Тангенс угла наклона касательной к кри-
вой ст = f (р) в начале координат
g __ ЩкгЛ"
? ' PR2
Эта величина, определяемая при линейном решении задачи,
также зависит только от параметра H/h.
Кривые p/w, д/р, а также относительная эффективная площадь
= (223)
(222)
в зависимости от глубины гофрировки H/h для мембран равномер-
ного (а = 0) и неравномерного (а =р 0) профилей показаны на
рис. 165. Здесь в соответствии с выражением (218) а = > где
H-l, Н2 и Н3 — глубины гофров (см. рис. 144). На рис. 165 и на
последующих Н — глубина средней волны (Н = /72).
Номограмма, приведенная на рис. 165, построена на основе ли-
нейного решения и поэтому отражает поведение мембран с харак-
теристиками, близкими к линейным. С увеличением прогиба про-
237
Рис. 165. Номограмма для проектирования мембран с постоянной (а => 0)
и переменной (а 0) глубиной гофрировки
является нелинейность в зависимостях прогиба, напряжений и
эффективной площади от нагрузки. Уточнение этих величин мо-
жет быть произведено по кривым (рис. 163, 164), полученным^по
результатам нелинейного решения.
Нелинейность упругой характеристики обычно оценивается
величиной
П =-^— юо%,
' “'«’max
где Л — наибольшая разность по прогибам между прямой, соеди-
няющей начало координат с конечной точкой рабочего участка
характеристики и нелинейной характеристикой (см. рис. 4).
Кривые нелинейности, изображенные на рис. 166, могут ис-
пользоваться при расчете и проектировании мембран: нелиней-
ность г) > 0 соответствует возрастающей характеристике: ц < 0 —
затухающей.
Приведенный здесь графический материал может быть использо-
ван при решении «прямой» задачи, когда размеры мембраны
238
,1
заданы и требуется определить ее рабочие характеристики. В этом
случае по кривым рис. 165 для данного параметра H/h определяют
величины plw и 67р. Затем из формул (220)—(222) находят прогиб
w0 и наибольшее эквивалентное напряжение <тэкв.
Пример I. Определить прогиб, напряжения и эффективную площадь мем-
браны, размеры которой указаны на рис. 167, при давлении р = 0,25 МПа;
модуль упругости £= 1,315-106 МПа.
уу
Решение. Вычислив параметр глубины —
вым рис. 165 при а==0 (равномерная гофрировка) определим безразмерные
величины жесткости = 84,
w
щади f0 = 0,427.
С помощью формул (220),
напряжения
(222) и (223)
0,25-90
I,
4’5
0^28" = 7’2, П0 кри'
-=- = 0,16 и эффективной пло-
Р
находим перемещение центра
,25-90 / 90 \3 !
315- 10е \ 0,628 ) 84
О»о =
= 6 мм.
наибольшее эквивалентное напряжение
2
90
0.628
\2
) = 820 МПа
о
Оэкв — Р ~~
Р
и эффективную площадь
лэф== 0,427-3,14-902 = 10 860 мм5.
Затем определим нелинейность упругой характеристики. Для этого подсчи-
таем параметр давления р по формуле (219):
- pR* 0,25-904
~Е№ 1,315-105-0,628*
н
Нелинейность т] оценим по графику на рис. 166, а: прн р = 796 и — —
= 7,2 нелинейность ч = —0,5% .
На рис. 167 штриховая прямая соответствует приведенному выше расчету
прогиба с помощью номограммы на рис. 165, сплошная — расчету по нели-
нейной теории численным методом на
w нм ЭВМ; точками отмечены результаты
6°’ __________________________ эксперимента.
Таким образом, с помощью
номограммы (см. рис. 165) ре-
шение «прямой» задачи осуще-
ствить достаточно просто. Те-
перь рассмотрим «обратную»
задачу, когда по заданным тех-
ническим требованиям необхо-
димо найти геометрические раз-
меры упругого элемента. Обычно
бывают заданы рабочее давле-
ние р, соответствующий ему
Рис. 167. Расчетные и экспериментальная
характеристики мембраны
240
Таблица 13
H/h р/Й> о/Р Л, мм II, мм °ЭКВ’ МПа р в. % (Р > 0)
4 35 0,282 0,224 0,896 282 125 —1,8
5 48 0,230 0,202 1,0) 284 190 —0,9
6 64 0,190 0,182 1,09 287 285 —0,5
8 102 0,148 0,157 1,26 302 520 —0,1
10 148 0,128 0,138 1,38 332 844 0
12 200 0,110 0,125 1,50 352 1280 0
прогиб w0 и рабочий радиус /?. Материал мембраны выбирают ис-
ходя из условий работы мембраны, поэтому модуль упругости Е
также можно считать известным. Во многих случаях указывается
допускаемая нелинейность q характеристики. Требуется опреде-
лить геометрию чувствительного элемента, обеспечивающую мини-
мальный уровень рабочих напряжений.
При проектировании целесообразно, задавшись рядом значений
параметра H/h, рассчитать несколько вариантов мембран, которые
будут иметь одинаковые габаритные размеры и жесткость. Напря-
жения и нелинейность q этих мембран могут, естественно, отли-
чаться. Затем выбирают вариант, в наибольшей степени соответ-
ствующий заданным требованиям.
Рассмотрим порядок проектирования мембранного чувстви-
тельного элемента.
Пример 2. Спроектировать мембрану по заданным величинам: р = 0,08 МПа;
= 0,8 мм; R = 25 мм; Е = 1-10“ МПа; q < 1%; ат = 500 МПа.
Решение. Сначала выберем мембрану простейшей геометрии, напри-
мер синусоидального периодического профиля. Задаваясь рядом значений па-
раметра глубины H/h, по кривым (рис. 165), находим соответствующие величины
p/w и д/р (см. табл. 13). Затем с помощью выражения (220) определим толщину
У Е р
для каждого значения H/h.
Зная безразмерные напряжения д/р, по формуле (222) вычислим эквивалент-
. <7 pR2
ные напряжения в опасной точке аэкв = —
р "
После этого определим по формуле (219) соответствующие значения без-
размерного параметра давления р — . По рис. 166, а находим по пара-
метрам р и H/h величины нелинейности q. В данном случае мембрану следует на-
гружать положительным давлением (см. рис. 163), так как прн этом нелинейность
меньше, чем при отрицательном давлении. Результаты вычислений сводим
в табл. 13.
Полученный ряд мембран удовлетворяет заданным требованиям по жест-
кости и габаритным размерам. С уменьшением относительной глубины гофри-
ровки H/h величина напряжений уменьшается, однако нелинейность увеличива-
ется. При требуемой нелинейности q < ±1% можно выбрать мембрану с пара-
241
Таблица 14
H/h P/IJI а/р h, мм Н, мм °экв> МПа р П, % (р < 0)
4 40 0,200 0,214 0,856 218 147 0,8
5 55 0,170 0,193 0,963 230 228 1,5
6 72,5 0,147 0,176 1,05 238 328 1
8 115 0,115 0,150 1,21 233 604 0,3
10 165 0,096 0,133 1,34 269 980 —0,1
12 223 0,084 0,121 1,45 289 1480 —0,3
PJ
метром = 5. При этом <Тэкв= 284 МПа, что обеспечит коэффициент запаса
по текучести
„ _ °т _ 500
Г?Т — ————— .— , . — 1, / о,
эки -284
Если такой коэффициент запаса недостаточен, то можно перейти к мембране
другого профиля. В п. 7 было показано, что существенное снижение напряже-
ний может дать применение мембраны неравномерного профиля. По изложенной
методике спроектируем мембрану неравномерного профиля, задаваясь, например,
коэффициентом неравномерности а= 1,2. Результаты вычислений приведены
в табл. 14.
н
Мембрана с параметром — = 4 имеет нелинейность т] < 1%, при этом на-
ибольшее эквивалентное ^'напряжение оэкп = 218 МПа. Таким образом, при
переходе к другому типу профиля в данном случае удалось снизить напряжения
на 30% и повысить коэффициент запаса до
„ _ 50 9 ,
Т~“2Ё8 ~2,3,
На рис. 168 приведены кривые эквивалентных напряжений в точках наруж-
ной и внутренней поверхностей мембраны в двух спроектированных вариантах.
Рис. 168. Кривые эквивален-
тных напряжений
242
В мембране с неравномерной гофрировкой (а = 1,2) эквивалентные напряжения
распределяются более равномерно, чем в мембране с постоянной гофрировкой
(а = 0), при этом максимальное напряжение существенно ниже.
Свойства реальных чувствительных элементов не совпадают
полностью с расчетными, поэтому необходима экспериментальная
проверка полученных результатов и соответствующая корректи-
ровка геометрических размеров чувствительного элемента. На
этом этапе процесса проектирования приведенный графический
материал также может быть полезен, так как дает возможность
проследить влияние геометрии на прогибы, напряжения и нелиней-
ность характеристики мембраны.
Приведенную выше методику проектирования трехволновых
мембран с постоянной и переменной глубиной гофр можно рас-
пространить на мембраны иной геометрии. Для этого нужно пред-
варительно провести необходимые расчеты на ЭВМ и построить
номограммы.
Проектирование мембранных чувствительных элементов по
заданной нелинейной характеристике. При проектировании мем-
бран с характеристикой, близкой к линейной, последнюю задавали
величинами жесткости и нелинейности. Теперь рассмотрим более
сложный случай, когда известны упругая характеристика в виде
некоторой функции w0 = f (р) и ее поле допуска (рис. 169, а).
Необходимо определить геометрию мембраны, которая удовлетво-
ряла бы заданным требованиям по характеристике, допускаемым
напряжениям и габаритным размерам чувствительного элемента.
Перестроим заданную характеристику и кривые, ограничиваю-
щие поле допуска, в безразмерных координатах ®о^отах и р/ртах
(рис. 169, б). Кроме этого построим кривую нелинейности 11 = / (р),
(рис. 169, в), где т]тах — нелинейность, соответствующая наиболь-
шему рабочему давлению ртах.
Теперь обратимся к семейству характеристик мембран какого-
либо вида профиля (см. рис. 132, 139, 163), построенному в безраз-
— К.’о — рР4
мерных координатах: -у и р = .
В зависимости от вида заданной характеристики выделяем из
семейства группу характеристик, наиболее подходящих по форме
к заданным. Если, например, заданная характеристика является
затухающей, то следует остановиться на мембранах с относитель-
ной глубиной < 6ч-8 (см. рис. 132).
Для выбранной группы характеристик (рис. 169, г) строим
кривые нелинейности р в зависимости от относительного параметра
давления р (рис. 169, д). По этим кривым для каждого варианта
H/h выбранной группы характеристик находим наибольшие пара-
метры давления ргаах, соответствующие заданной величине нели-
нейности Т]тах-
Зная конечные точки характеристик ртах, соответствующие
наибольшему рабочему давлению ртах, перестраиваем упругие
243
ж) р J)
Рис. 169. Этапы проектирования мембраны по заданной характеристике
характеристики (рис. 169, г) в безразмерные координаты
(рис. 169, ё)
W — и £ — Р
—---- = ---- и —----- z= ---.
И'шах ^Ощах Ртах Ртах
На этот же график наносим заданную характеристику и ее поле
допуска. Варианты, не попавшие в поле допуска, исключаем из
дальнейшего рассмотрения. Для остальных по известным величи-
нам ртах и Hl h находим относительный прогиб w =
(рис. 169, г). Так как величина наибольшего рабочего прогиба ау0
задана, определим толщину h = а из отношения H/h — глу-
бину гофрировки Н. Зная величину ршах= и модуль упру-
гости Е, находим рабочий радиус R. Подобным образом рассмо-
трим все варианты, безразмерные характеристики которых попали
в поле допуска (рис. 169, е).
По кривым напряжений б = f (р) (рис. 169, ж) находим безраз-
мерное напряжение б в опасной точке, соответствующее найден-
ным величинам ртах и H/h для каждого исследуемого варианта.
Максимальное эквивалентное напряжение определим по зависи-
Gh2E
мости (221): оэкв =
244
По полученным Данным
строим кривые рабочего ра-
диуса R, толщины h, глубины
гофрировки Н и напряжения
стэкв в зависимости от параметра
H/h (рис. 169, з).
Окончательный выбор ва-
рианта зависит от условий кон-
кретной задачи. Если, напри-
мер, величина рабочего ра-
диуса R указана в техническом
задании, то по кривым рис.
169, з находим параметр H/h,
а также остальные искомые
геометрические размеры чув-
ствительного элемента, соответ-
ствующие данному значению R.
По этому же Графику Опре- Рис. 170. Построение упругой характери-
делим напряжение оэкй и оце- стики
ним коэффициент запаса. Если
он оказывается достаточным, то предварительный поиск варианта
на этом заканчивается. Окончательную отработку конструкции
чувствительного элемента проводят экспериментально.
Если величина <тэкв не дает необходимого коэффициента запаса,
то изменяют габаритные размеры упругого элемента или повторяют
решение на чувствительном элементе другого, более сложного
профиля с меньшим уровнем напряжений, например апериоди-
ческого.
Пример 3. Спроектировать мембранную коробку расходомера с характери-
стикой, линейной по расходу G на участке 2—8 т/ч. Расход G связан с перепадом
давлений р уравнением
G = с Кр,
(224)
где с =34,1 т/ч МПа-1; материал коробки — сплав 36НХТЮ; £ = 2,15Х
X 106 МПа, предел упругости оу = 700 МПа. Рабочий диаметр коробки не дол-
жен превышать 2R = 100 мм. Наибольший прогиб а>тах = 4,65 мм. Начальный
прогиб, соответствующий расходу Go = 2 т/ч, не должен превышать 0,6 мм. Поле
допуска на рабочем диапазоне определяется величиной ±4% от Шщах-
Решение. В соответствии с методикой, изложенной выше, проводим
следующее графическое построение (рнс. 170). По известным координатам на-
чальной и конечной точек проводим заданную характеристику, линейную по
расходу (прямая /), а также штриховые линии, ограничивающие поле допуска.
При этом учитываем, что для одной мембраны прогиб we вдвое меньше, чем про-
гиб коробки. Начальный прогиб мембраны принимаем равным 0,3 мм. Затем с
помощью заданной зависимости (224) строим кривую 2, связывающую расход G
с перепадом давлений р. По кривым 1 и 2 находим характеристику мембраны по
давлению (кривая 5) и кривые, ограничивающие поле допуска.
На рис. 171, а приведена заданная характеристика по давлению; эта харак-
теристика построена в безразмерных координатах иа рис. 171, б. Кривая нели-
нейности т] исходной характеристики дана на рис. 171, в. По ней находим наи-
большую нелинейность т]тах =—0,160.
245
Данную задачу можно решить, используя гофрированные мембраны различ-
ного профиля. Заданная характеристика имеет большую нелинейность. Этим
свойством обладают мембраны с мелкой гофрировкой.
Для повышения стабильности характеристики следует число волн гофри-
ровки выбрать достаточно большим. Остановимся, например, на шестиволновых
мембранах синусоидального профиля. Примем радиус жесткого центра г0= 0,27?.
Его величина не оказывает существенного влияния на свойства мембраны, если
он значительно меньше рабочего радиуса. Профиль мембраны выбранной формы
изображен на рис. 172, где пред-
ставлено семейство упругих харак-
теристик мембран.
Выше было показано, что при на-
гружении таких мембран с нижней
Рисй 172. Семейство упругих характери-
стик
Рис. 173. Кривые нелинейности г) упругой
характеристики
246
Риг. 174. Кривые эквивалентных напря-
жений в опасной точке мембраны
Рис. 175. Сопоставление заданной и расчет-
ных характеристик
стороны возникают меньшие напряжения, поэтому в дальнейшем примем на-
правление давления таким, как показано на рис. 172, На рис. 173 изображены
кривые нелинейности, а на рис. 174 — семейство кривых безразмерных на-
пряжений ст в рассматриваемой области давлений.
Проведя на рис. 173 прямую т]тах = —0,16, найдем точки пересечения этой
прямой с кривыми нелинейности, определяющие значения параметра давления
Ртах в зависимости от относительной {глубины H/h. По полученным значениям
Ртах и кривым прогибов (рис. 172) находим 'соответствующие величины датах-
После{этого перестраиваем упругие характеристики^для каждого варианта H/h
_ Wn W Р Р ,
в безразмерные координаты ——»= —--------- и ——=-г---------- (рис. 175).
®omax датах Ртах Ртах
На этот же график наносим заданную характеристику (сплошная кривая) и ее
поле допуска (штриховые линии). В данном случае безразмерные характери-
уу
стики всех выбранных вариантов -у = 2-*-6 расположены близко друг к другу
и находятся в поле допуска.
После этого проводим необходимые вычисления для определения геометри-
ческих размеров мембран в каждом из вариантов.
Зная относительный прогиб датах = М1°™х и требуемый наибольший
прогиб мембраны
... _ датах 4,65 ___0 qoc.
max----2 2-----мм>
определим толщину мембраны
датах
Из отношения H/h находим глубину гофрировки Н.
247
Таблица 15
я/* Р 1)1 (1X ютах h, мм Я, мм (У ^ЭКВ’ МПа
2 НО 4 0.581 83,7 36 373
3 275 6,5 0,358 64,8 68 446
4 610 10 0,232 51,2 130 572
5 1220 14 0,160 42,0 220 685
6 2150 20 0,116 35,1 340 797
Рабочий радиус определим с помощью выражения (219):
R =/11/
I/ Ртах
Здесь наибольшее рабочее давление ртах вычислим по формуле (224):
Ртах = (^Г*)2 = = 0,055 МПа.
Безразмерные параметры давления Ртах для каждого варианта были найдены
ранее по кривым нелинейности (см. рис. 173).
Эквивалентное напряжение в опасной точке находим по формуле (221):
o£/i2
Оэкв — •
где безразмерное напряжение о определим по кривым рис. 174.
Результаты вычислений приведены в табл. 15 и на рис. 176. По кривым
((рис. 176) достаточно просто выбрать нужный вариант. В рассматриваемом
примере ограничена величина рабочего радиуса R < 50 мм. Этому условию
н
(соответствуют варианты с параметром — = 4,2-5-6. Однако нз них приходится
уу
(отбросить варианты — > 5,2, так как напряжения в этих мембранах превы-
шают предел упругости оу = 700 МПа (рис. 176). Из оставшихся вариантов
— = 4,24-5,2 наименьшие напряжения будут возникать в мембране с относи-
н
тельной глубиной — = 4,2. Остановимся на этом варианте. По кривым (рис. 176)
уу
при =4,2 и радиусе R = 50 мм определим толщину h = 0,221 мм, глубина
И = 4,2-0,221 = 0,928 мм; напряжение <тэкв = 570 МПа; коэффициент запаса
ау 700
по напряжениям пв =-------= _к™ = 1,23. Поскольку характеристика про-
°экв О/О
ектируемого упругого элемента существенно нелинейна, находим также коэф-
фициент запаса по измеряемому параметру — расходу:
Gy
nG~ g ’
где Gy — предельный расход, при котором напряжение в опасной точке мем-
браны достигает значения предела упругости оу = 700 МПа; G — наибольший,
рабочий расход.
248
Согласно зависимости (224)
(225)
Где ру — давление, при котором
°экв ~ ^у’> Р — 0,055 МПа — наи-
большее рабочее давление. Опре-
делим предельное давление ру,
Для этого подсчитаем безразмер
ный предел упругости
z cyR2
<Jy=‘~EhT==
700-502
~ 2,15-105-0,221а
По кривым о = / (р) (рис.
Рис. 176. Кривые параметров геометрии R, h
и наибольших эквивалентных напряжений;
Сэк в
уу
176) найдем для -у = 4,2 соот-
ветствующее безразмерное давле-
ние ру — 870. Используя соотношение (219), подсчитаем предельное давление
- Eh* олг> 2,15-105-0,2214 п „„
Ру = Ру = 870-------------5Q4------= 0-0713 МПа.
(225)
В этом случае коэффициент запаса по расходу в соответствии с формулой
«С= У
0,0713
0,055
= 1,14.
При необходимости коэффициент запаса можно увеличить, если взять мем-
брану большего радиуса R. Кривые на рис. 176 дают наглядное представление,
о взаимосвязи геометрических параметров н напряжений в опасной точке.
Расчет и проектирование мембран, работающих в условиях
силовой компенсации. Для расчета мембран в условиях силовой
компенсации на основе численного решения уравнений (139), по-
строены номограммы. На рис. 177 показаны кривые начальной от-
носительной эффективной площади /0> определяемой по формуле
(223), безразмерной величины начальной жесткости по силе Q
(226)
и напряжения в опасной точке б7р в зависимости от относительной
глубины H/h для мембран синусоидального профиля с тремя вол-
нами, жестко закрепленных по наружному контуру, при относи-
тельном радиусе жесткого центра р0 = -у = 0,2. Здесь KQ =
= -Q----жесткость по силе; аир — безразмерные параметры
напряжения и давления, определяемые по формулам (221), (219)
и (222).
249
Рис« 177. Номограмма для расчета мембран в условиях силовой ком-
пенсации
На рис. 178 для этих же мембран приведены кривые изме-
нения эффективной площади, рассчитанные по формуле (187),
в зависимости от безразмерного параметра давления р.
Следует отметить, что с увеличением давления изменяется не
только эффективная площадь, но и жесткость Kq'. зависимость
между напряжениями и давлением становится нелинейной. Кри-
вые, приведенные на рис. 178, соответствуют линейному решению,
и поэтому точность расчета по этой номограмме будет тем выше,
чем меньше нелинейность характеристики упругого элемента.
Сначала рассмотрим пример решения «прямой» задачи, когда
геометрические параметры и материал мембраны известны и
нужно найти ее рабочие характеристики.
Пример 4. Мембрана синусоидального трехволнового профиля имеет размеры:
R = 36 мм; г0 = 7,2 мм; Н = 0,8 мм; h = 0,1 мм; материал — БрБНТ 1,9;
250
Рис. 178. Кривые изменения г\? эффективной площади; штриховые линии
соответствуют верхней шкале р, сплошные — нижней шкале р
модуль упругости Е = 1,315-105 МПа; предел упругости оу = 960 МПа. Мем-
брана нагружена положительным давлением и силой Q, при этом перемещение
центра w0 = 0 (см. рис. 178). Необходимо определить начальное значение эф-
фективной площади и ее изменение в диапазоне рабочего давления р от
0 до 0,01 МПа, а также начальную жесткость Ко и коэффициент запаса nv.
Н 0 8
Решение. Подсчитаем относительную глубину — = ур = 8 и по
кривым (см. рис. 177) найдем величины fB = 0,4284, К = 137 и — 0,0934.
После этого вычислим начальные значения эффективной площади
Рэфо = /Ол^2= 0,4284-3,14-362 = 1744 мм2,
жесткости
v ъ Eh* 137-1,315-106-0,13
KQ = К~& -------------362--------= 13.9H/MM,
наибольшего напряжения
д pR* 0.0934-0,01-363 1О1
Пэкв = у ~~ = -------------------=191 МПя.
коэффициент запаса
Оу
~ оэкв - 12! ~
0,12
960
251
Чтобы Ш1Й1П и iMeiH'iiue эффективной площади, вычислим параметр давления
pR* _ 0,01 -364 _
1 ~ Eh* ~ 1,315-10».0,14 -
н
По pin, 178 находим, что при у=8ир = 1275 относительное измене-
ние «|м|м-ктинной площади Щ = —0,21%. Следовательно, в рабочем диапазоне
с увеличением давления эффективная площадь уменьшится на 0,21% по срав-
нению с ее начальным значением.
Методика проектирования определяется техническими требо-
ваниями, предъявляемыми к мембранному чувствительному эле-
менту. Предположим, известны наибольшее рабочее давление р,
рабочий радиус 7? мембраны (или величина начальной эффектив-
ной площади), допускаемое изменение эффективной площади
начальная жесткость по силе Eq- Согласно заданным условиям
работы чувствительного элемента выбирают материал. Поэтому
модуль упругости Е и предел упругости <ту известны. Необходимо
определить геометрические размеры мембраны и коэффициент
запаса.
Для выбора наилучшего варианта следует сначала спроекти-
ровать ряд мембран. Например, задаваясь несколькими значе-
ниями параметра H/h, по номограмме (см. рис. 177) определим со-
ответствующие безразмерные величины жесткости К- Далее с по-
мощью выражения (226) для каждого варианта находим толщину
мембраны
h == I - , (227)
а по соотношению H/h — глубину гофрировки И. Полученные
мембраны имеют одинаковую жесткость. Далее их следует сравнить
по уровню рабочих напряжений и по эффективной площади. Для
этого по номограмме (см. рис. 177) определим безразмерные на-
пряжения ст/р, а по выражению (222) — эквивалентное напряже-
ние в опасной точке;
оэкв=р4^-. (228)
Изменения г];- эффективной площади оценим по кривым на
рис. 178. Из полученного ряда мембран останавливаемся на той,
которая наиболее близко удовлетворяет заданным требованиям.
Пример 5. Спроектировать мембрану, если заданы: наибольшее рабочее дав-
ление р = 0,01 МПа; начальная жесткость по силе Ко = 15 Н/мм; допуска-
емое изменение эффективной площади = 0,3%; рабочий радиус R = 30 мм;
материал — бериллиевая бронза БрБНТ 1,9, для которой Е = 1,315-105 МПа,
предел упругости <ту= 960 МПа.
Решение. Задаваясь значениями H/h, по номограмме (см. рис. 177) опреде-
лим величины К и по формуле (227) — соответствующие толщины h (табл. 16).
По кривой 5/р находим безразмерные напряжения, а по формуле (228) — экви-
252
Таблица 16
H/h К 1г, мм о/р (,ЭКВ» МПа р t}f, %
2 20 0,146 0,333 140 83 > 0,3
4 44 0,113 0,151 106 231 > 0,3
6 83 0,0911 0,109 118 547 > 0,3
8 138 0,0769 0,095 145 1077 —0,01
10 199 0,0681 0,084 163 1751 4-0,175
валентные напряжения оэкв (табл. 16). Коэффициент запаса для всех вариантов
оказался достаточно высоким; пу = —у = 6-<-9. Определив параметр дав-
О чкп
ления р (219), по кривым (см. рис. 178) находим относительное изменение Щ
эффективной площади. Принимая схему нагружения мембраны давлением р < О,
получим значения Щ, указанные в табл. 16. Наименьшее значение т)/ соответствует
варианту = 8, на котором можно остановиться. Для этого варианта
h «w 0,077 мм; Н = 8*0,077= 0,616 мм.
Приведенный выше графический метод решения задач о мем-
бранах, работающих в условиях силовой компенсации, может быть
применен к мембранам любого профиля, если предварительно
построить номограммы, подобные изображенным на рис. 177 и 178.
1 1. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕМБРАННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Упругие элементы, как правило, работают при высоких напря-
жениях, когда заметным становится проявление микропластиче-
ских деформаций (гл. I, п. 2). Явление ползучести во многих слу-
чаях нарушает метрологические функции упругих элементов.
Накопление в результате процесса ползучести необратимых де-
формаций и изменение вследствие этого геометрической формы
упругого элемента приводят к появлению остаточного прогиба и
отклонению упругой характеристики от первоначальной, вследст-
вие чего возникают погрешности смещения нуля и вариация при-
бора.
При наличии характеристик ползучести материала можно
расчетным путем оценить ее влияние на погрешности упругого
элемента. Решение этой задачи выполнено С. В. Осиповым [12]
на основе теории течения [63]. При этом в качестве исходных
приняты уравнения тонкостенной оболочки вращения, аналогич-
ные уравнениям (139), но дополненные членами, учитывающими
компоненты неупругой деформации.
В рамках теории течения при степенной зависимости скорости
деформации от напряжений для элемента тонкой оболочки имеют
место прямые соотношения между скоростями деформации и из-
гиба, с одной стороны, и действующими усилиями и моментами —
с другой. Практически эти соотношения позволяют определить
253
Рис. 179. Изменение ДА высоты чувстви-
тельного элемента в зависимости от времени
на достаточно малом отрезке
времени остаточные эффекты
деформации и изгиба средин-
ной поверхности исследуемой
мембраны в зависимости от ее
состояния в исходный момент.
Решая систему уравнений типа
(139) с учетом неупругих дефор-
маций, можно найти малые из-
менения исходных функций ф
и fl- на рассматриваемом вре-
менном интервале, после чего
цикл может быть повторен для
следующего по времени этапа
и т. д. В результате ряда последовательных приближений получим
решение, на основании которого можно построить кривую ползу-
чести упругого элемента, характеризующую перемещение его цен-
тра как функцию времени при некотором постоянном давлении.
На основе приведенного в работе [121 решения было проанали-
зировано влияние ползучести на метрологические свойства чув-
ствительного элемента: исследовалось смещение центра с течением
времени под постоянной нагрузкой, а также изменение упругой
характеристики.
Для анализа был выбран чувствительный элемент мелкого
синусоидального профиля с большим числом гофров. Решение
получено для мембраны со скользящей заделкой внешнего кон-
тура, что соответствует краевым условиям мембран, соединенных
в коробку. Все приведенные ниже зависимости относятся к сплаву
БрБНТ 1,9 при температуре 100° С.
На рис. 179 показаны кривые перемещения жесткого центра
АД чувствительного элемента в процессе ползучести при статиче-
ской нагрузке р =0,1 МПа. Кривые построены для нескольких
значений толщины h мембраны.
Влияние процесса ползучести на упругую характеристику
определялось разностью величин упругого хода, соответствую-
щего одному и тому же давлению до и после исследуемого периода
ползучести. Анализ расчетных данных показал, что в результате
ползучести под давлением р =0,1 ЛШа характеристика рассма-
триваемой мембраны становится более пологой, т. е. ординаты
новой характеристики в системе осей р, (давление — упругий
прогиб) располагаются ниже соответствующих ординат начальной
характеристики. На рис. 180 приведены характеристики для раз-
личных значений толщины (рис. 180, а), а также разности Ада ор-
динат начальной и конечной характеристик после первых 3000 ч
ползучести (рис. 180, б).
Изменение формы упругой характеристики происходит вслед-
ствие появления остаточных деформаций и перераспределения
напряжений и деформаций при ползучести. Расчет показывает,
254
Рис. 180. Упругие характеристики и их изменение вследствие ползу-
чести
например, что изгибные напряжения чувствительного элемента
в процессе ползучести возрастают, тогда как мембранные не-
сколько падают. В результате после полной разгрузки элемента
в нем сохраняются остаточные напряжения.
По аналогии с упругой характеристикой чувствительного эле-
мента может быть введена и характеристика ползучести как зави-
симость между действующим давлением р и соответствующим
перемещением АЛ жесткого центра вследствие ползучести за
определенный период времени. Следует заметить, что необрати-
мость процесса ползучести исключает возможность опытного по-
строения такого рода характеристик на одном и том же чувстви-
тельном элементе (в отличие от упругих характеристик).
На рис. 181 показана расчетная характеристика ползучести
чувствительного элемента рассматриваемого типа при толщине h =
= 0,15 мм для периода времени Т = 3000 ч. Анализ расчетной
зависимости АЛ = f (р) показывает, что она хорошо аппроксими-
руется степенной функцией.
Для сопоставления численных результатов изложенной выше
методики с экспериментальными данными был осуществлен расчет
на ползучесть анероидного чувствительного элемента.
На рис. 182, а показаны
экспериментальные точки и рас-
четная упругая характеристика
(сплошная кривая), определя-
емые при разгрузке чувстви-
тельного элемента от давления
р = 0,1 МПа до р =0. Расчет
Рис. 181. Характеристика ползучести
255
Рис. 182. Экспериментальная и расчетная кривые:
а — упругая характеристика; б — кривая ползучести
на ползучесть был выполнен при рабочем давлении р =
= 0,1 МПа. Кривая ползучести изображена на'рис. 182, б, где
точками нанесены результаты измерения высоты анероидного
чувствительного элемента при температуре 100° С. Приведенные
кривые показывают хорошее совпадение теоретических и экспери-
ментальных данных.
Разработанная методика [12], позволяет рассчитывать как
изменение формы упругой характеристики чувствительного эле-
мента, так и смещение этой характеристики, определяемое изме-
нением положения жесткого центра вследствие ползучести за кон-
тролируемый период времени. Кроме того, она дает возможность
проследить изменение рабочих напряжений в процессе ползучести
и определить остаточные напряжения, приобретаемые чувствитель-
ным элементом в результате ползучести при разгрузке.
Эффективность применения этой методики с целью прогнози-
рования стабильности метрологических свойств чувствительных
элементов целиком зависит от наличия опытных данных о ползу-
чести материалов упругих элементов.
12. УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ИЗ МОНОКРИСТАЛЛОВ
Развитие новой отрасли приборостроения — микроэлектро-
ники — привело к широкому использованию полупроводников и
диэлектриков (германий, кремний, сапфир, кварц и др.). Для
изготовления различных элементов электронных устройств и
схем используют пластины этих материалов, вырезанные из моно-
кристаллов высокой степени чистоты.
Благодаря высоким упругим свойствам монокристаллов их
применяют для создания упругих опор и главным образом пла-
стинок или мембран для преобразования усилий или давлений
в электрический сигнал.
Одна из известных конструктивных схем так называемого
полупроводникового интегрального тензорезисторного мембран-
ного преобразователя давления [51] показана на рис. 183, а.
256
На лицевой стороне пластппкп / формируются тензорезисторы
2, которые токоведущими дорожками ,'У соединены с контактными
площадками 4. Выводные проводники .5 соединяют резисторы с
внешней схемой преобразователя. Мембрана 6, деформируемая
измеряемым давлением р, образуется за счет углубления в пла-
стинке. Тензорезисторы обычно размещают па мембране в зонах
наибольших деформаций и располагают так, чтобы образованный
из них мост с четырьмя активными плечами имел наибольшую
чувствительность. Последняя по абсолютному значению может
быть на два порядка выше тензочувствительпости приборов с ме-
таллическими проволочными или фольговыми тепзорезисторами.
Поскольку выходным сигналом упругого преобразователя
(мембраны) является не перемещение и не усилие, как у большин-
ства известных мембранных приборов, а деформация ее поверх-
ности, воспринимаемая резисторами весьма малых размеров (в не-
сколько десятков мкм), то и мембраны могут иметь малые размеры
(1—2 мм). Малые размеры мембраны и отсутствие дополнительных
элементов, увеличивающих ее массу, определяют хорошие дина-
мические характеристики преобразователя. Такие преобразова-
тели отличаются практически полным отсутствием ползучести
и гистерезиса при нормальных и повышенных температурах. Так,
при температуре 300° С у кремния отмечен гистерезис порядка
1 10~9. Это очень ценное для измерительных приборов свойство
полупроводниковых преобразователей предопределяется прежде
всего тем, что упругий элемент является монокристаллическим.
Большое значение имеют также практически идеальные усло-
вия закрепления мембраны, которая составляет одно целое с мас-
сивным опорным кольцом (рис. 183, а). Кроме того, в отличие от
тензорёзисторных датчиков, наклеиваемых на металлическую мем-
брану, тензорезисторы, полученные диффузионным способом или
ионной имплантацией (рис. 183,- б), а также эпитаксиальные
(рис. 183, в) представляют собой часть монокристаллической
мембраны.
Рис. 183. Схема полупроводникового мембранного тензорезисторного преобразователя:
а — монокристаллическая мембрана; б — тензорезистор, полученный диффузией или
ионной имплантацией; в — эпитаксиальный тензорезистор (1 — металл; 2 — окись
кремния; 3 — кремний; 4 — сапфир: 5 — р—п-переход)
9 Андреева Л. Е. 257
Риг. |М. Схема мембранного преобразо-
нагепя давления на поверхностных акустн-
чсч'кнх волнах
Возможность применения
групповой технологии изго-
товления преобразователей
на пластинах определяет
их относительно невысокую
стоимость в серийном про-
изводстве.
К недостаткам подобных
полупроводниковых преоб-
разователей следует отнести
значительную зависимость
сопротивления тензорези-
сторов и их тензочувствительности от температуры, что за-
ставляет усложнять приборы введением элементов термоком-
пенсации. Кроме того, монокристаллические материалы хрупки и
чувствительны к концентрации напряжений. Поэтому, например,
кремниевые мембранные и балочные преобразователи, образуемые
химическим травлением, выдерживают четырех-пяти кратную на-
грузку по сравнению с элементами, изготовляемыми резанием,
ультразвуковой обработкой, электроэрозией и другими способами,
при которых возможно появление микротрещин и различных де-
фектов. Хрупкость материала заставляет существенно повышать
запас прочности упругих элементов. Несмотря на это, достоинства,
определяемые положительными свойствами монокристалличе-
ских материалов, столь значительны, что разработчики приборов
пытаются использовать самые различные пути создания измери-
тельных преобразователей из монокристаллов.
Перспективными представляются разработки преобразовате-
лей с использованием зависимости частоты и скорости распростра-
нения поверхностных акустических волн (ПАВ) от деформации
поверхности упругого элемента [77]. Схема подобного преобра-
зователя давления в изменение частоты ПАВ показана на рис. 184.
Мембрана 4 выполнена заодно с относительно жестким опорным
кольцом 3 из монокристалла — пьезоэлектрика (кварц, ниобат
лития и др.).
Материал, не обладающий пьезоэлектрическими свой-
ствами (кремний, сапфир и др.), покрывают тонкой пленкой пьезо-
электрика (окись цинка, сульфид кадмия). Напылением металла
(алюминия) сформированы так называемые встречно-штыревые
преобразователи 2 и 1. Преобразователь 2 возбуждает, а преобра-
зователь 1 принимает ПАВ.
Размещенные на поверхности мембраны в местах с различ-
ными деформациями два автогенератора ПАВ генерируют частоты
/х и /2, разность которых А/ прямо пропорциональна измеряемому
давлению р. На мембране размером в несколько миллиметров
и начальной частоте ПАВ (на ненагруженной мембране) порядка
сотен мегагерц возможно изменение выходной частоты А/ до не-
скольких десятков килогерц [77].
258
r /(.v)
Рис. 185. Вибрационно-часгогпый преобразователь
Описываемые преобразователи отличаются долговременной
стабильностью характеристик.
Сочетание высоких упругих свойств монокристаллов и воз-
можностей микроэлектроники иногда даст существенное упроще-
ние конструкции преобразователей и улучшение их качества по
сравнению с традиционными решениями. Примером может слу-
жить частотный преобразователь усилий (рис. 185) [39]. Резонатор
представляет собой пластинку 3 из монокристаллического крем-
ния, изготовленную заодно с относительно массивными головками
2. Последние соединяют пластинку с упругим элементом и пере-
дают пластинке его деформации. Частота собственных поперечных
колебаний пластинки зависит от усилия N ее натяжения.
В отличие от обычных струнных или вибрационно-частотных
резонаторов, для возбуждения колебаний которых необходимы
дополнительные элементы, создающие магнитное поле, в рас-
сматриваемой монокристаллической пластинке осуществляется
термовозбуждение колебаний. Для этого у поверхности пластинки
вблизи головок образуют резисторы 4. Переменное напряжение,
снимаемое при колебаниях пластинки с тензопреобразователя 5,
сформированного в средней части пластинки, воздействует на уси-
литель-преобразователь 1. Усилитель выдает выходной сигнал
в виде переменного напряжения с частотой колебания пластинки
и посылает импульсный ток в резисторы 4. Периодическое изме-
нение их температуры создает усилия, раскачивающие пластинку.
Используя микроэлектронную технологию, можно изготовить
резонаторы длиной 1—2 мм, шириной 0,1—0,4 мм и толщиной
15—40 мкм с начальной частотой колебаний от десятков до сотен
килогерц. Отсутствие потерь на гистерезис материала и практи-
чески идеальное крепление концов вибрирующей пластинки обес-
печивают высокую добротность резонатора (в особенности при его
работе в вакууме) и хорошие метрологические характеристики
всего преобразователя.
Элементы из монокристаллов просты по форме и работают
в области малых перемещений. При расчетах следует учитывать,
что монокристаллы анизотропны, т. е. их физические свойства
по различным направлениям в монокристалле неодинаковы.
9*
Г Л Л в Л 17/
СИЛЬФОНЫ
I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Сильфоны представляют собой осесимметричную трубчатую
1 офрпрованную оболочку (рис. 186). Благодаря особенностям
геометрической формы сильфоны могут совершать значительные
перемещения под действием давления, осевой или поперечной
силы и изгибающего момента. При осесимметричном нагружении
сильфона его характеристика близка к линейной, а эффективная
площадь практически постоянна. Эти свойства обеспечивают
сильфонам широкое распространение в разных областях техники.
Конструктивное выполнение сильфонов может быть различным.
Однако наибольшее распространение получили бесшовные силь-
фоны, изготовленные из однослойных тонкостенных трубок
(рис. 186, а). В целях увеличения прочности, а также для защиты
от агрессивных сред применяют многослойные сильфоны. В при-
боростроении используют также сварные сильфоны, изготовлен-
ные из штампованных кольцевых мембран (рис. 186, б).
Сильфоны могут выполнять разнообразные функции. Их часто
применяют в качестве манометрических чувствительных эле-
ментов в манометрах, манометрических термометрах, диффе-
ренциальных манометрах, в пневматической регулирующей аппа-
ратуре и пр.
На рис. 187, а показана схема манометрического парожидкост-
ного термометра; в нем сильфон использован для преобразования
давления пара в перемещение измерительного штока.
Если сильфон является чувствительным элементом прибора,
построенного по принципу силовой компенсации, то он преоб-
разует давление в усилие. В качестве примера на рис. 187, б
показана схема пневматического датчика давления. Измеряемое
давление преобразуется сильфоном 1 в усилие, которое через
рычаги 2 и 3 передаточного механизма уравновешивается компен-
сирующим усилием со стороны сильфона 6 обратной связи. На
конце рычага 3 установлен индикатор рассогласования 4 (сопло-
заслонка), который управляет величиной давления рг на выходе
из пневмореле 5 (р0 — давление питания). Давление ру воздей-
ствует на сильфон 6 и является одновременно выходным сигналом
датчика. Индикатор рассогласования обладает столь высокой
чувствительностью, что система рычагов 2 и 3 и сильфоны 1 и 6
при работе прибора остаются практически неподвижными.
260
Сильфоны могут развивать
значительные усилия, что обе-
спечивает малый порог чув
ствительности приборов и по-
зволяет использовать сильфоны
в качестве элементов, силовых
приводов.
Сильфоны часто применяют
в различных приборах в ка-
честве компенсаторов тепло-
вого расширения жидкости
Последнее можно объяснить
их высокой податливостью и способностью значительно изменять
объем. На рис. 187, в показана схема поплавкового гироско-
пического прибора, где в качестве компенсатора использован
сварной сильфон.
Возможность изготовления сильфонов малой осевой и изгиб-
ной жесткости позволяет успешно применять их в качестве разде
лителей сред, а также упругих выводов осевых и угловых пере-
мещений (рис. 187, г) [79].
Сильфоны широко применяют также в качестве компенсаторов
теплового расширения трубопроводов, элементов гидравлических
дистанционных передач, в которых использована возможность
сильфонов значительно изменять свой объем.
Исходной заготовкой для получения металлических бесшов-
ных сильфонов является тонкостенная трубка, изготовление кото-
рой при малых допусках на толщину связано со значительными
технологическими трудностями.
Рис. 187. Примеры применения сильфонов:
а — манометрический парожидкостный термометр (7 — термобаллон; 2 — сильфон);
б — пневматический датчик давления: в — компенсатор теплового расширения жидкости
s — поплавковом гироскопическом приборе (7 — поплавок; 2 — ротор; 3 — сильфон);
г — сильфонный вывод в вакуумноплотной муфте
261
Рис. 188. Изготовление бесшовного сильфона:
а. б — гидравлическое формование гофров; в — предварительная подкатка роликом
При формировании гофров трубку закрепляют в зажимах спе-
циального гидроформовочного станка (рис. 188, а). На опреде-
ленном расстоянии друг от друга вдоль трубки устанавливают
разъемные матрицы. В нее под давлением р подается жидкость,
под действием которой стенка трубки выпучивается в промежутках
между матрицами. Затем заготовку сжимают в осевом направле-
нии. При этом матрицы складываются, а заготовка принимает
форму сильфона (рис. 188, б).
При механо-гидравлическом способе осуществляется гидро-
формование трубок с предварительно накатанными кольцевыми
канавками. В этом случае часть гофра (впадина) образуется на-
каткой (рис. 188, в). Завершается формообразование гофра гид-
равлическим выдавливанием. При такой технологии утонение
стенки в вершине гофра получается меньше, чем при гидравли-
ческом способе, а толщина — более равномерной.
В настоящее время для крупносерийного производства сильфо-
нов различных типоразмеров разработаны специальные перенала-
живаемые полуавтоматические станки и установки, а для
массового выпуска сильфонов холодильной техники создано
комплексно-автоматизированное производство большой мощ-
ности.
Для изготовления измерительных сильфонов используют
в основном дисперсионно-твердеющие сплавы (36НХТЮ, БрБ 2),
нержавеющие стали (12Х18Н10Т и 08Х18Н10Т) и полутом-
пак (Л80) [см. табл. 1 и 31.
На бесшовные измерительные сильфоны установлен
ГОСТ 21482—76.
Сложность изготовления тонкостенных бесшовных трубок
высокой точности является одной из причин появления сварных
сильфонов [8]. При изготовлении сварных сильфонов заготовка
не подвергается таким большим пластическим деформациям, по-
скольку она” состоит из отдельно отштампованных кольцевых
мембран. На^'сварные сильфоны утвержден ГОСТ 21754—76.
262
2. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА СИЛЬФОНОВ
Сильфоны, применяемые в качестве чувствительных элемен-
тов, независимо от схем приборов, должны обладать постоянной,
обычно малой жесткостью. Измерительные сильфоны работают
при упругих деформациях, поэтому напряжения, возникающие
в сильфонах под нагрузкой, не должны превышать предела упру-
гости материала.
Основной целью расчета измерительного сильфона является
определение его жесткости и возникающих в нем рабочих напря-
жений. Метод расчета этих параметров изложен в п. 5.
При выборе измерительного сильфона во многих случаях
необходимо знать зависимость хода сильфона от нагрузки. До не-
давнего времени считали, что упругая характеристика сильфона
линейна. Повышение требований к точности измерительных при-
боров заставило отказаться от такой точки зрения. В действи-
тельности характеристика любого сильфона в большей или мень-
шей степени нелинейна. Это связано с изменением геометрии силь-
фона в процессе нагружения (так называемая «геометрическая
нелинейность»). Нелинейность в наибольшей степени проявляется
в функциональной зависимости между перемещением сильфона
и величиной нагрузки. С увеличением перемещения нелинейность
упругой ^характеристики возрастает и, как показывают экс-
перимент и расчет, может достигать в некоторых случаях
20—30 %. §
Если влтехнических требованиях дан допуск на нелинейность
характеристики измерительного сильфона, расчет следует прово-
дить с учетом нелинейности. Такой расчет может быть построен
на основе нелинейной теории тонких оболочек (см. гл. V).
Во многих случаях применения сильфонов важно знать ве-
личину эффективной площади ГЭф, которая характеризует спо-
собность сильфона преобразовывать давление в силу. Особенно
. полная информация о свойствах эффективной площади сильфона
необходима при- его использовании в качестве чувствительного
элемента прибора высокого класса точности, построенного по
принципу силовой компенсации. Вследствие геометрической нели-
нейности сильфона его эффективная площадь с увеличением дав-
ления несколько изменяется, что является одной из причин по-
грешности приборов силовой компенсации. Для оценки послед-
ней необходимо знать не только начальное значение ЕЭф0, но
< также ее изменение в зависимости от давления. Решение этой
задачи, выполненное на основе нелинейной теории, приведено
ниже (п. 7).
Если достаточно гибкий сильфон нагружен внутренним дав-
лением, а перемещение его дна ограничено упором, то сильфон
может потерять устойчивость и изогнуться. Методика определе-
ния критического давления, при котором происходит потеря
устойчивости первоначальной формы, рассмотрена в п. 9.
263
При работе сильфона в условиях переменных нагрузок при
достаточно высоких напряжениях может произойти.его усталост-
ное разрушение Поэтому в технических требованиях обычно
указываемся величина циклической прочности. Ниже (п. 11)
приведена методика расчета сильфона на циклическую прочность
для общего случая асимметричного цикла нагружения.
Во многих случаях сильфоны работают в условиях вибрации
(в авиации, судостроении и др.). В связи с этим возникает необ-
ходимость рассчитывать амплитудно-частотные характеристики
сильфонов 18].
Если к сильфону не предъявляют высоких требований в от-
ношении точности, в частности, когда сильфон используют в ка-
честве упругого вывода, разделителя, температурного компен-
сатора, то, как правило, основной целью расчета является опре-
деление осевой или изгибной жесткости (п. 8), эффективной пло-
щади и запаса прочности. Вопросы, связанные с нелинейностью
характеристики сильфона, в этих случаях обычно не рассматри-
ваются. В то же время требования высокой циклической проч-
ности и надежности для большинства случаев применения силь-
фонов сохраняют свою силу.
Сварные сильфоны, обладая некоторыми специфическими свой-
ствами, могут выполнять те же функции, что и бесшовные силь-
фоны, поэтому задачи их расчета остаются теми же. Различие
в геометрической форме этих двух видов сильфонов предопреде-
ляет некоторое отличие в методике расчета. Сварным сильфонам
посвящен п. 10.
3. ОБЗОР МЕТОДОВ РАСЧЕТА БЕСШОВНЫХ СИЛЬФОНОВ
Как объект расчета сильфон можно представить в виде обо-
лочки вращения, состоящей из сопряженных торообразных и
конических участков (рис. 189).
В ранних работах [58, 70] расчетную схему сильфона пред-
ставляли как ряд кольцевых пластин, последовательно скреплен-
ных по наружным и внутренним контурам жесткими кольцами
(рис. 190, а). Расчет сильфона по этой схеме основан на теории
изгиба круглых пластин. На рис. 190, б показана схема закреп-
ления и нагружения каждой пластинки при осевом сжатии силь-
фона силой Q. Подобная задача в линейной постановке была
рассмотрена в гл. 6, п. 2. Прогиб каждой пластинки может быть
определен с помощью формулы (170); перемещение дна сильфона w,
равное сумме прогибов всех пластин, будет в 2п раз больше,
где п — число рабочих гофр сильфона. В этом случае жесткость
сильфона по силе
где Ао — коэффициент, зависящий от относительной глубины
D
гофра k = -~ w определяемый по формуле (171).
264
Применение расчета сильфона по схеме круглой пластины
(рис. 190, а) ограничено, так как здесь не учитывается дефор-
мация тороидальных участков.
Более перспективным оказалось применение энергетического
метода. Определение чувствительности сильфона с учетом осо-
бенностей геометрии гофра выполнено Феодосьевым В. И. [991
методом Ритца. При этом характер искривления меридиана
сильфона был принят таким же, как для криволинейного стержня
переменного сечения (рис. 190, в), условия закрепления и нагру-
жения которого соответствуют таковым для элемента полуволны
сильфона, вырезанного двумя близкими осевыми сечениями.
Конечная формула имеет вид
= n /r-'W Ио - + В^-\ (230)
Здесь До, Д1; Д2, Во — коэффициенты, зависящие от безраз-
мерных параметров (см. рис. 189):
= 6 = А. (231)
Лв /\в
Радиусы закругления волн г„ = гв, как и другие размеры
сильфона, следует определять по среднему контуру осевого се-
чения.
В отличие от выражения (229) формула (230) учитывает дефор-
мации торовых участков и величину угла уплотнения гофров а,
который можно выразить через параметры сильфона (см. рис. 189)
по формуле
4гн — t
а 2(Ra — RB — 2rn) ’
где t — шаг волны гофрировки.
Расчет по формуле (230) дает результаты, хорошо совпадаю-
щие с экспериментом. Энергетический метод был использован
также и в других работах [14, 125],
265
Привлечение теории тонких упругих оболочек к расчету силь-
фонов имело целью дать более строгое и точное решение задачи,
по возможности, свободное от упрощений. В работе [98] сильфон
рассчитывается по схеме сопряжения конической и тороидальных
оболочек ни основе уравнений Л4ейсснера [110].
Введение в расчетную практику ЭВМ позволило отказаться от
многих упрощений при выборе расчетной схемы, а также сформу-
лировать и решить ряд новых задач. Численное решение задач
расчета сильфонов было выполнено в работах [28, 90, 117, 119,
121 и др.]. Исходную систему уравнений обычно принимают об-
щей для тороидальных и конических участков (кольцевых пла-
стин), а толщину стенки — постоянной или изменяющейся по
гиперболическому закону [28, 90].
Во всех упомянутых работах расчет сильфонов дается в ли-
нейной постановке. Такой расчет может характеризовать с опре-
деленной точностью (в зависимости от выбранной расчетной схемы)
поведение сильфонов в начале нагружения, когда изменение формы
срединной поверхности невелико. С увеличением нагрузки пер-
воначальная форма сильфона существенно изменяется, что вызы-
вает перераспределение внутренних усилий в сильфоне и приво-
дит к нелинейным зависимостям между нагрузкой, напряжениями
и перемещениями.
Расчет сильфона в нелинейной постановке выполнен в рабо-
тах [81 ], где получено решение в тригонометрических рядах для
произвольной формы полуволны гофра сильфона. На основе
системы нелинейных уравнений, предложенной в работе [123],
численное решение сильфонов было выполнено рядом авторов
[8, 15, 119, 124 и др. 1.
Почти во всех работах по расчету сильфонов толщина стенки
гофра принималась постоянной либо изменяющейся ступенчато
от кольцевого (конусного) участка к торовым. В работе [99]
было принято гиперболическое изменение толщины стенки гофра
вдоль радиуса:
h = h0 , (232)
где г и /?в — текущий и внутренний радиусы сильфона; h и h0—
толщина стенки на текущем и на внутреннем радиусе.
В работах [81] была использована более общая связь
= (233)
В работе [901 предложено аппроксимировать изменение тол-
щины полиномом, степень которого подбирается по заданным зна-
чениям толщины в отдельных точках меридиана в соответствии
с числом интерполяционных узлов. В работе [14] функция тол-
щины принята в виде тригонометрического ряда.
266
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ И НАПРЯЖЕНИЙ
В БЕСШОВНЫХ СИЛЬФОНАХ ЧИСЛ1 ИНЫМ МЕТОДОМ
Граничные условия для бесшовно!о сильфона. Сильфон яв-
ляется тонкостенной оболочкой вращения, и для решения задачи
об определении напряженно-деформирошншого состояния в ус-
ловиях осесимметричного нагружения могут быть использованы
уравнения (139), полученные в гл. V. Поскольку сильфон пред-
ставляет собой замкнутую в окружном направлении оболочку,
в уравнениях (139) следует положить, как и для гофрированной
мембраны (см. гл. 6, п. 6), относительное изменение централь-
ного угла % = 0.
Для бесшовного сильфона с достаточно большим числом оди-
наковых гофров можно предположить, что все волны, кроме
краевых, находятся в одинаковых условиях, и тогда для одной
полуволны 01, выделенной экстремальными сечениями (рис. 191),
в силу симметрии напряженно-деформированного состояния обо-
лочки относительно этих сечений получим
0Е=о = 0; ф£=о = О;
1^=^ = 0; ф^; = 0.
(234)
Здесь Ф — угол поворота нормали; ф — функция радиального
усилия Н; t, — безразмерная координата текущей точки, отсчи-
тываемая от внутреннего контура полуволны 0; С/ — безразмер-
ная дуга 01.
Если же сильфон имеет небольшое число волн (п < 3) или
целью исследования является изучение напряжений в крайних
волнах сильфона, закрепленного по верхнему контуру 0 (£ = 0)
и нижнему контуру. 1 (С = С/) в жесткой арматуре, то, рассма-
тривая весь сильфон как единую оболочку вращения, получим
граничные условия в виде выражений (210):
о^=о = °; us=o == 0;
где и — радиальное перемещение, которое связано с искомыми
функциями ф и •& зависимостями (211)—(213).
Если профиль сильфона ап-
проксимировать дугами окруж-
ностей и прямыми, то в местах
сопряжения участков следует
выполнять условия сопряжения,
которые можно записать в
том же виде, как и для гофри-
рованной мембраны [см. выра-
жения (214)].
Рис. 191. Полуволна сильфона
267
В рсчуjii.um численного решения системы (139), дополненной
граничными условиями (234), вычисляются функции 6 и ф. С по-
мощью этих функций по формулам (149)—(156) определяются
величины напряжений и перемещений в текущей точке сильфона.
Определение геометрических функций. Геометрия оболочки
задается в уравнениях (139) функциями 0О = 0 (£) и р = р (£),
где ()„ — угол между нормалью и осью вращения; р и ? — без-
размерные величины радиуса и дуги до текущей точки. Если
в качестве характерного размера выбрать радиус сильфона R,t
по вершинам гофров (см. рис. 189), то согласно формулам (142)
и (143) получим
P=f и £=-£-. (235)
Определим геометрические функции 0о и р для бесшовного
сильфона, полуволна которого задана размерами 7?н, RB, г„,
гв и а (см. рис. 191).
Точки сопряжения А и В делят полуволну на три участка.
Для участка 1
00 = -у - & р =. 4- + М1 - Sin 0О)].
* г R z
Для участка 2 угол 0О = —а. Расстояние г от оси вращения
до произвольной точки i можно представить как г = гА + (Ai) cos а,
где радиус до точки А гА = Ли + rB (1 + sin а); дуга (Лг) =
= s — гв (у ф-а); текущая координата s равна дуге (0/).
Используя эти соотношения, а также выражения (235), получим
функцию
Р = £ + [#n + (1 + sin а — у — а) ] .
Для участка 3 функции 0О и р могут быть найдены аналогично.
Геометрия сильфона характеризуется не только величинами 0О
и р, но также и толщиной стенки h. При формообразовании гоф-
ров сильфона вследствие пластического деформирования мате-
риала толщина стенки изменяется вдоль профиля. Как правило,
наибольшее утонение получают точки в вершине гофров.
Экспериментальные исследования [8, 14] показали, что харак-
тер изменения толщины стенки вдоль профиля сильфона опреде-
ляется технологией его изготовления. На рис. 192, а показаны
графики изменения относительной толщины ц = h/h0 вдоль без-
размерной дуги полуволны гофра t, для сильфонов, изготовлен-
ных гидравлическим (кривая 2) и механогидравлическим (кривая 3)
способами. Соотношение (232), принятое в работе [99] (кри-
вая /), более подходит для сильфонов, изготовленных гидравли-
ческим способом, хотя оно несколько завышает величину уто-
нения в вершине и не отражает небольшого утонения во впадине
гофра. Для сильфонов, изготовленных механогидравлическим
268
Рис. 192. Кривые изменении относительной голщины q вдоль безразмерной дуги £ по-
луволны
способом (кривая 5), наибольшая толщина соответствует области
перехода внутреннего закругления к прямому участку.
Закон изменения толщины определяется также конкретными
режимами технологического процесса. Так, утонение стенки силь-
фона зависит от отношения глубин подкатки Нп и формования
а также от изменения расстояния между матрицами при гидрофор-
мовании. Глубина подкатки Нп = 7?т — Т?Б, а глубина формо-
вания Нф = 7?н — RT, где 7?т — радиус трубки-заготовки, 7?н
И' 7?в — наружный и внутренний радиусы сильфонов. На
рис. 192, б показан характер изменения толщины в зависимости
от отношения Утонение стенок у этих сильфонов колеб-
лется от 5 до 22%. Из графика видно, что возможны случаи, когда
утонение во впадине больше, чем в вершине, т. е. технологически
возможно получение самых разных законов изменения толщины.
Чтобы охватить расчетом сильфоны с толщиной, изменяющейся
по любому закону, симметричному относительно вершины и впа-
дины гофра, примем следующую функцию толщины h = т]/г0,
где 1] — относительная толщина, которая определяется рядом
п
т] = a,j cos . (236)
/=о '
Коэффициенты Оу находят путем аппроксимации кривой отно-
сительной толщины, соответствующей данному технологическому
процессу, выражением (236) [14].
Исследование жесткости и напряжений в сильфонах. Решение
дифференциальных уравнений (139) численным методом на ЭВМ
позволяет получить перемещения и напряжения в бесшовном
однослойном сильфоне произвольного профиля при любом законе
изменения толщины вдоль меридиана в условиях осесимметрич-
ного нагружения. На основании этого решения построены номо-
граммы (см. п. 5), связывающие напряжения и жесткость силь-
фона с его геометрическими параметрами и упругими характери-
стиками материала.
269
В качество примера на рис. 193 показаны результаты расчета
жесткости численным методом для сильфонов с параметром
k = — 1,8 при законе изменения толщины, определяемом
выражением (236), и при следующих значениях коэффициентов:
«о = О,8581; ^ = 0,0633; а2 = 0,0038; 1
«3 = 0,0041; «4=—0,0007; ав = 0,0031. ) ^237^
Эти значения получены для сильфонов, изготовленных механо-
гидравлическим способом.
Кривые (рис. 193) иллюстрируют зависимость безразмерной
жесткости „ п2
~гг _
— nEh^
(238)
от относительной толщины 6=/i0//?B и параметра m=rH/7?B=rB/7?B.
Радиусы торовых участков гп и гЕ приняты одинаковыми.
Если гофры не уплотнены, то rH = rB = Z/4, где t — шаг гоф-
рировки.
Для сильфонов с глубокими гофрами жесткость Kq мало за-
висит от параметра т, характеризующего радиус закругления
гофров. Безразмерная жесткость /(<? также мало изменяется в за-
висимости от относительной толщины 6. Так, например, при
k = 1,8 величина Kq в указанных на рис. 193 интервалах изме-
нения 6 и т колеблется в пределах от Kq = 4,3 до Kq = 4,8.
Следовательно, при k = 1,8 жесткость в соответствии с выра-
жением (238)
KQ = (4,3 = 4,8)^Ji-.
#и,г
С уменьшением глубины гофров влияние радиуса торовых
участков становится значитель-
ным. В области малых толщин
с увеличением параметра т
Рис. 193. Кривые безразмерной жестко-
сти к0
Рис. 194. Влияние отношения радиусов за-
кругления ги/гв на жесткость и напряжения
в сильфоне при k = 1,4 и 6 = 0,02
270
Рис. 195. Кривые напряжений в сильфоне k = 1,5; т = 0,1; 7?в=3,2 мм; Е=
«2,Ь 10ЕМПа:
а — нагруженном силой Q (б = 0,02); б — нагруженном давлением р (6 = 0,005)
V
жесткость возрастает. Отношение радиусов наружного и внутрен-
него закругления гофра гн/гв также оказывает влияние на жест-
кость, причем при некотором соотношении (гн/гв)* наблюдается
минимум жесткости (рис. 194). Значения (гн/гв)* зависят от глу-
бины и шага гофрировки и толщины сильфона. Кривые на рис.
194 построены для относительного шага = 0,2.
Сильфоны могут работать в различных режимах: совершать
перемещение под действием наружного или внутреннего давления;
воспринимать давление при неподвижных торцах и передавать
усилие на упор; совершать заданное перемещение до упора и
затем работать при больших давлениях.
Для расчета сильфона на прочность необходимо знать, как
распределяются напряжения в стенке сильфона при различных
условиях нагружения. Приведенные ниже результаты получены
численным решением уравнений (139). При этом закон изменения
толщины стенки описывается выражением (236) с коэффициен-
тами <7/, определяемыми равенствами (237).
Распределение напряжений в полуволне гофра сильфона
при свободном ходе под действием осевой силы показано на
рис. 195, а, где сго и <щ0 — мембранные напряжения в меридио-
271
6f мпа
с параметрами k — 1,5, т — 0,10 в усло-
виях силовой компенсации
1
I
i
нальном и окружном направлении; а1и и о2и — напряжения из-
гиба в тех же направлениях. ’
Такой же характер распределения напряжений имеет сильфон,
совершающий свободное перемещение под действием давления [8 ].
В обоих случаях определяющими являются меридиональные
изгибные напряжения ст1и. Окружные изгибные напряжения сг2и
распределяются аналогично, но величина их примерно в три раза
меньше. Для экстремальных сечений (в точках а и d) справедливо
соотношение <т3и = (ц — коэффициент Пуассона). Наиболь-
шие напряжения стги и сг2и возникают в торовых участках, а для
тонкостенных сильфонов — в зоне сопряжения тороидальных
участков с плоскими (рис. 195, б).
Мембранные меридиональные напряжения о10, равномерно
распределенные по толщине стенки, малы во всех точках полу- (
волны; окружные мембранные напряжения а20, как правило,
достигают наибольших значений в экстремальных сечениях гофра.
Приведенные выше закономерности справедливы не только
при свободном ходе, но и в большинстве других схем осесимме-
тричного нагружения сильфона. <
При растяжении сильфона силой или давлением профиль гофра
деформируется примерно так, как показано на рис. 196, а. Умень-
шение кривизны профиля на обоих торовых участках приводит
272
к появлению изгибных меридиональных напряжений о1и, знаки
которых для точек внутренне!! и наружной поверхностей пока-
заны на рис. 196, а. Эпюры crtlI и о2|| на рис. 195 и последующих
рисунках построены для внутренней поверхности.
Точки во впадине получают радиальные перемещения от
центра (рис. 196, а), в этой области возникают окружные растя-
гивающие напряжения сг20; точки на вершине перемещаются
к центру, здесь сг20 < 0.
При нагружении сильфона внутренним давлением р и сжимаю-
щей сосредоточенной силой, равной Q = /?/'\ф (F ,ф—эффектив-
ная площадь), перемещение дна сильфона равно нулю: w = 0
(условие силовой компенсации). 11 этом случае максимальные
меридиональные изгибные напряжения возникают в тороидаль-
ных участках, а также посредине плоского участка (рис. 197).
Вид упругой линии профиля для этой схемы нагружения показан
на рис. 196, б. Кривизна внутреннего закругления увеличивается,
а наружного уменьшается; знаки изгибных напряжений пока-
заны на рис. 196, б. В точках плоского и торовых участков знаки
изгибных напряжений противоположны.
Как и в предыдущем случае нагружения, с уменьшением тол-
щины стенки точка, где изгибное напряжение <т1и достигает мак-
симума, смещается к месту сопряжения плоского и торового
участков [8].
При изгибе тороидальных участков точки на обоих закругле-
ниях получают радиальные перемещения по направлению к оси
сильфона (см. рис. 196, б). Соответственно окружные мембранные
напряжения <т2о на этих участках — отрицательные (рис. 197).
Сопоставление результатов расчета напряжений в сильфоне
с экспериментом, полученным в работе [125], показало хорошее
соответствие их при нагружении сильфона осевой силой
(рис. 198, а), а также при нагружении давлением при неподвиж-
ных торцах^(рис. 198, б).
Для оценки запаса прочности следует определить эквивалент-
ное напряжение в опасной точке сильфона. На рис. 199 показано
распределение эквивалентных напряжений в сильфоне, нагру-
273
женном давлением р = 1 МПа и сжимающей силой Q различной
величины. Если сила Q = 0, то удлинение сильфона под дей-
ствием давления равно wp\ при Q = -у- рЕэф сильфон удлиняется
на величину, равную | wp, если Q = то перемещение wp = О
(условия силовой компенсации); при Q — -%- pF3^ сильфон уко-
рачивается на 1/2wp.
274
Сплошные кривые соответствуют напряжениям о"кв в точках
внутренней поверхности сильфона, штриховые — напряже-
ниям ст"кв в точках наружной поверхности. Эквивалентные напря-
жения определялись по теории энергии формоизменения [101]:
<т9кв = У + (Т2 — П1(Т2, (239)
где сгг, сг2 — главные напряжения и точках внутренней ов или
наружной сгн поверхности:
oFB = Q10 ± nz„ (i=l, 2). (240)
Сопоставление величин напряжений, возникающих в силь-
фоне в условиях силовой компенсации (Q = рРзф) и при свобод-
ном ходе под действием давления р (при этом Q = 0), показы-
вает, что наибольшие напряжения в условиях силовой компен-
сации могут быть на порядок меньше, чем при свободном ходе.
Как правило, наиболее напряженным местом является вер-
шина или впадина гофра. Анализ эпюр сгэкв для рассмотренных
сильфонов, а также для многих других сильфонов при различных
условиях нагружения [8 ] показывает, что положение опасной
точки не является определенным. В зависимости от геометрии
сильфона (особенно от его толщины) и от условий нагружения
опасная точка может находиться на наружной или на внутренней
поверхности, на вершине или впадине гофра, а иногда и на пло,
ском участке. Установить строгую зависимость положения опас-
ной точки от геометрии и условия нагружения пока не представ-
ляется возможным. Однако можно сказать, что при нагружении
внутренним давлением р и сжимающей силой Q < pF3$, когда
сильфон растягивается, опасная точка находится на внутренней
поверхности вершины гофра. При сжатии сильфона (Q > pF-ф)
опасная точка, как правило, находится на наружной поверхности
впадины. Одновременная смена знака Q и р не изменяет положения
опасной точки. В условиях силовой компенсации опасная точка
может быть как на тороидальном, так и на прямолинейном участке.
Уменьшение толщины стенки приводит к смещению положе-
ния опасной точки к месту сопряжения плоского участка с торо-
идальными (рис. 199, б, где 6 = 0,005).
Существенное влияние на величину напряжений оказывает
закон изменения толщины h = На рис. 200 показаны кривые
эквивалентного напряжения в точках наружной поверхности
сильфона для двух случаев: при растяжении силой Q =1 Н
(рис. 200, а) и в условиях силовой компенсации при р = 1 МПа
(рис. 200, б).
Наименьшие эквивалентные напряжения возникают при по-
стоянной толщине (т] = 1, кривая /), наибольшие—при т] =
= — (кривая 2). Кривая 3, соответствующая уравнению (236)
при значениях (237), занимает промежуточное положение.
275
1
Рис. 200. Влияние закона толщины на распределение напряжений в сильфоне с пара-
метрами:
k = 1,71; fi = 0,07; т = 0,13
Отношение радиусов торовых участков ги/гв (см. рис. 194)
также оказывает влияние на величину напряжений. В рассмо-
тренном случае (см. с. 271) при нагружении сильфона осевой
силой наименьшая величина эквивалентного напряжения <тэкв
в опасной точке, а также наименьшая жесткость Ко соответствуют
отношению (у1-) « 1. Однако с изменением геометрических
параметров сильфона величина отношения (гп/г„)*, при которой
напряжения минимальны, изменяется.
5. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ БЕСШОВНЫХ СИЛЬФОНОВ
ПО НОМОГРАММАМ
На основе численного решения уравнений (139) с помощью ЭВМ
можно с заданной точностью рассчитать упругие напряжения и
перемещения бесшовного однослойного сильфона любого профиля
при различных схемах нагружения. В настоящем параграфе
изложен инженерный метод расчета, с помощью которого можно
по простым формулам и номограммам определять напряжения и
жесткость сильфона, если известна его геометрия [8]. При проек-
тировании сильфона с помощью номограмм можно определить
его геометрические параметры.
Номограммы для расчета бесшовных однослойных сильфонов,
полученные на основе численного метода, приведены на рис. 201 —
212. Номограммы построены для сильфонов, у которых тол-
щина изменяется по зависимостям (236), (237); тороидальные за-
кругления соединены плоскими участками (а = 0, рис. 189);
t
радиусы тороидальных участков одинаковы: гв = гн = где
t — шаг сильфона. Номограммы охватывают сильфоны с различ-
р
ными относительными величинами глубины гофров k = ,
АВ
276
ю
S
Е
М
О
Я
О
•&
=
ей
К
Я —
й +
аз
од-
о Д
S
277
to
00
Рис. 205. Номограмма для расчета сильфоиов при k = 1,6;
г = #в; р = 0; w О
Рис. 207. Номограмма для расчета сильфонов при k = 1,6;
Г — 7?в; р #= 0; w = 0
Рис. 208. Номограмма для расчета сильфонов при k — 1,6;
г = RH; р Ф 0: w = 0
Рис. 210. Номограмма для расчета сильфонов при k = 1,7;
г = т?н; р = 0; W + 0
Ю0(6щ)р
282
толщин 6 =и радиусов закругления —
для двух основных случаев нагружения: при растяжении или
сжатии сильфона осевой силой (условно свободного хода: w О,
р = 0); сильфон нагружен давлением при неподвижных торцах
(условие силовой компенсации: w = 0, р =j= 0).
При более сложной схеме нагружения напряжения могут быть
определены по номограммам па основании принципа независи-
мости действия сил, который применим при решении линейных
задач. Например, если сильфон совершает ход w до упора под
действием давления р > (Ро —давление при посадке на упор),
то суммарное напряжение
п = <Т«, + Ор, (241)
где ow — напряжение при свободном ходе w под действием осе-
вой силы; (Ур —напряжение в условии силовой компенсации при
действии давления р.
Номограммы получены на основе линейного решения и не
отражают геометрической и физической нелинейности сильфона.
Более полные характеристики свойств сильфона с учетом геоме-
трической нелинейности можно получить в результате решения
на ЭВМ нелинейных уравнений (139). Номограммы справедливы
лишь в области упругих деформаций, пока <ттах < <ту (<ту — пре-
дел упругости материала).
На рис. 201—212 приведены безразмерные величины жест-
кости Kq (штриховые кривые), определяемые формулой (238),
и напряжений (сплошные кривые) при свободном ходе:
EhBw
и в условии силовой компенсации
(243)
в точках г = или г = У?Е, т. е. в экстремальных сечениях
сильфона.
На номограммах не отображены мембранные меридиональные
напряжения сг10, поскольку они на порядок меньше изгибных
напряжений (см. п. 4). Напряжение <т10 в экстремальных сечениях
можно определить из условия равновесия
(2«)
При определении напряжения о10 в вершине или во впадине
нужно подставить соответственно г = или г = 7?в, а также
толщину h в данной точке, которую можно найти с помощью
283
Таблица 17
выражения (236), Осевая растягивающая сила
Q находится в общем случае по формуле
Q = Kow - pF^,
где Kq — жесткость сильфона по силе; р —
внутреннее давление.
Окружные изгибные напряжения в экс-
тремальных сечениях можно определить,
используя зависимость
о2и = цсгщ, (245)
где р — коэффициент Пуассона.
На номограммах нанесены кривые меридиональных изгибных
напряжений <т1ы, которые, как показано в п. 4, являются опре-
деляющими, и кривые окружных мембранных напряжений о20.
В целях упрощения расчета на номограммах приведены мак-
симальные значения напряжений <т1н независимо от того, где они
возникают: в экстремальном сечении или вблизи от него. Это
вносит некоторую погрешность в величины главных и эквива-
лентных напряжений, однако, как показали многочисленные
сопоставления с результатами точного решения на ЭВМ, в боль-
шинстве случаев напряжения, рассчитанные по номограммам,
лишь на 5—10% больше точных. В тех же случаях, когда опас-
ная точка остается в экстремальном сечении, расчет по номограм-
мам (с учетом <710) практически совпадает с точным.
Если размеры однослойного сильфона известны, то с помощью
номограмм можно легко провести поверочный расчет на проч-
ность. По входным параметрам k, т, 6 отыскивают точку, отоб-
ражающую данный сильфон на номограмме. По формулам (242),
(243), (245) и (240) подсчитывают напряжения ст1и, сг2и, <т20 и глав-
ные напряжения в меридиональном (oj и окружном (<т2) направ-
лениях.
Знаки составляющих напряжений в точках Л, В, C,D (рис. 213)
в зависимости от схемы нагружения указаны в табл. 17. При-
нято следующее правило знаков: перемещение w и сила Q счи-
таются положительными при растяжении сильфона; давление,
нагружающее сильфон изнутри, также считается положитель-
ным. Следует обратить внимание на то, что при р > 0 и w — 0
напряжения <т20 во всех четырех точках сильфона отрицательны.
Соответствующие кривые безразмерных напряжений (б,20)р на
номограммах располагаются почти целиком в отрицательной
области.
По главным напряжениям и <т2 с помощью формулы (239)
подсчитывают эквивалентные напряжения и находят положение
опасной точки, где оэкв = (<тэкв)тах. По <тЭкв оценивают коэф-
фициент запаса.
Рис. 213. Опасные точки
сильфона
Напряжение Знаки напряжений нтонких (рис. 213) Условия нагружения
А в с /> Давление Перемещение
fflH, °2Н — + — -1 Д>0 (внутреннее) w = 0
°10 — — + 1
— — — —
-1- — — + Р =о w > 0 (растяжение силой)
ст10 + + + +
°20 + + — —
= 37,8 мм; £>в = 2Rb = 25,2 мм; До = 0,252 мм; гн = гЕ = 1,26 мм; п = 5;
материал — сплав 36НХТЮ, £'=2,1-10° МПа.
Напомним, что при расчете все размеры сильфона должны быть взяты по
средней линии профиля.
Решение. Определим безразмерные параметры по формулам (231):
Rr.
18,9 _ , 5. б._
12Д ~1’5’ °- Rn
0,252
12,6
= 0,02: -0,10.
Далее, используя номограммы (рис. 201 и 202), находим значения относи-
тельных напряжений (ст1И)ш» н (S2_o)® во впадине (г = RB) и в вершине (г = RH):
при г = RB (Sih)w= 7,60; (Нго)» = 3,33;
при г = RH (01и)аи — 6,54; (<Т20)ю — 2,83.
Точки наружного закругления (г = 7%) напряжены меньше, поэтому в даль-
нейшем рассматривать их не будем.
По формуле (242) подсчитываем меридиональные и окружные напряжения
прн г ~ Rb'> О]и = 675 МПа; О20 = 296 МПа.
Окружное изгибное напряжение при г = RB о2И = 0,3-675 = 202 МПа.
Знаки составляющих напряжений в точках А и В впадины определим по
табл. 17 при w > 0, а по формуле (240) вычислим главные напряжения. При
этом напряжение о10 можно не учитывать, так как Ощ оЦи-
Для точки А <у1а> <г1н = 675 МПа;
о2 = а20 + о2И = 296 + 202 = 498 МПа.
Для точки В » — о1Н = —675 МПа;
ог2 = ог20 — <т2И = 296 — 202 = 94 МПа.
По зависимости (239) определим эквивалентное напряжение для точек А и В:
Дв = /(675)s 4- (498)2 — 675-498 = 606 МПа;
Пример 1. Определить жесткость и наибольшее эквивалентное напряжение
в сильфоне при растяжении силой Q на аа = 3 мм. Размеры сильфона: Dn = 2RV=
284
< = 726 МПа.
285
Волее (чин ниП in..11.1 >1,111, точка В (рис. 213). Итак, (аЭКв)тах = 726 МПа.
Жесткое iii 1 и|ц.||и>||.| может быть определена по номограмме, приведенной
па рис. 201 Пн нирпкопой кривой, характеризующей относительную жесткость,
находим Ло 12 1 Пользуясь зависимостью (238), вычисляем жесткость
сильфона
. .. nEh^ л 3,14-2,1-105-0,2523
М ZV> - „ = 12,4----------,Q г------- =73,ЗН/мм.
Rfri 18,9-Ь
Пример 2. Определить напряжение в сильфоне при нагружении внутренним
дапленпем р = 1 МПа и силой Q при ходе г4>=0 (условия силовой компенса-
ции) Размеры сильфона те же, что и в примере 1.
Решение. Относительные напряжения’dn'* находим по номограммам
(рис. 203 и 204):
при г = RB (й1и)р = 0,044; (d20)n = —0,0115;
при г = RH (б’1И)р= 0,042; (ам)р = —0.0082.
Точки, расположенные на внутренних закруглениях (г = RB), напря-
жены больше.
По формулам (243) вычислим напряжения при г = RB: а1и = 248 МПа;
o20 = 64,7 МПа. Знаки составляющих напряжений установим по табл. 17.
По формуле (240) определим главные напряжения в точках А и В (рис. 213):
в точке А о- == —248 МПа; о2 = —139 МПа,
в точке В оу =248 МПа; а2 = 9,7 МПа.
По формуле (239) находим эквивалентные напряжения
cdB = 215 МПа; afKB = 243 МПа.
Пример 3. Под действием внутреннего давления р = 5 МПа сильфон со-
вершает ход w = 2,5 мм и соприкасается с упором. Требуется определить коэф-
фициент запаса по текучести пт. Размеры сильфона: Г>н = 11 мм; DR = 6,4 мм;
Ло = 0,15 мм; п — 15; гн = гв = 0,5 мм; Е = 1,35-105 МПа; пт = 1200 МПа.
Решение. Пользуясь принципом независимости действия енл, по мето-
дике, изложенной выше, определим главные напряжения отдельно при ходе ш =
= 2,5 мм под действием силы Q и при w = 0 и давлении р = 5 МПа. Знаки на-
пряжений установим в соответствии с направлением нагрузки по табл. 17. Сум-
марные главные напряжения для заданных условий нагружения определим
по зависимости (241).
Входные параметры вычисляем по формулам (231): k = l,7;^m = 0,156;
6 = 0,047.
Значения относительных напряжений (при ходе пу), найденные по номо-
граммам на рис. 209 и 210, и напряжений 5р при действии давления (рис. 211
и 212), а также напряжений а1И и о20 вычисленные по формулам (242) и (243),
приведены в табл. 18.
Таблица 18
Контур (®2о)да (®1и)р (®2о)р да = 2,5 мм р = 5 МП а
<Ии °20 ст1н 020
МПа
11 Н X и 4,85 4,0 2,18 1,65 0,07 0,063 —0,0139 —0,0069 541 446 243 184 470 424 —93.4 —46,4
286
Таблица 19
Точка (<11и)и> (°1н)р °1и °2В (".J» (°>?.о)/> С^20 01 ^ЭКВ
Ml 1.1
А 541 —470 71 21 243 —93 150 71 171 149
В —541 470 -71 —21 243 —93 150 —71 129 175
С —446 -424 —870 —261 —184 —46 230 —870 —491 755
D 446 424 870 261 — 184 —46 230 870 31 855
Дальнейшие вычисления проводим для точек A, li, С и D (см. рис. 213),
определяя знаки напряжений ио табл. 17 для случая р > 0, w > 0. Результаты
вычислений суммарных напряжений о1И и оа(| по формуле (241), окружных из-
гибных напряжений а2" — 110 формуле (245), главных напряжений и о2
по формуле (240) и эквивалентного напряжения Оэкв — по формуле (239) при-
ведены в табл. 19.
Опасной оказалась точка D, где оба напряжения: (<т1И)ю и (сг1и)р — поло-
жительны.
Коэффициент запаса
от 1200
ит = 7----т---= = 1,4.
(Дэкн)тах 855
Рассмотренная задача относится к числу тех, в которых коэффициент за-
паса п0, определенный по напряжениям, не совпадает с коэффициентом запа-
са пр, найденным по нагрузкам (см. гл. I, п. 1). Это связано с тем, что упругий
элемент при нагружении давлением садится на упор, и поэтому зависимость
между напряжением и давлением не будет линейной. Давлению р0, при котором
сильфон касается упора, на графике оЭкп = / (Р) соответствует точка перелома
(рис. 214).
Определим давление р0 в соответствии с формулой (1):
Ро — КрШ, (246)
где Дп — жесткость по давлению, связанная с жесткостью по силе выраже.
нием (5):
(247)
Г Эф
Здесь Кэф — эффективная пло-
щадь сильфона; по эмпирической
формуле (п. 7) Кэф = л/?ср, где
R ср = ~2 ~ 4,35 мм. Тогда
/эф = 59,4 мм2.
Зная параметры 6 и т по номо-
грамме (см. рис. 209) находим безраз-
мерную жесткость Ко = 6,1. По фор-
муле (238) определим жесткость по
силе Ко = 19,2 Н/мм.
Рис. 214. Зависимость сЭКЕ = / (р)
Используя пип..шипя (246) и (247), получим величину давления
Кою 19,2-2,5 „ „
/,0—‘Рэф — 59,4 — 0,808 МПа.
Для построения графика оЭкп = / (р) нужно подсчитать напряжения в опас-
ной точке D при нескольких значениях давления р р0 по той же методике
расчета, которая применялась выше для определения напряжения оэкв при
р = 5 МПа. Результаты расчета приведены на рис. 214. По кривой можно
найти предельное давление рпр = 9,5 МПа, при котором напряжение в опасной
точке равно пределу текучести от = 1200 МПа.
Тогда коэффициент запаса по нагрузкам
Коэффициент пр в данном случае оказался существенно выше значения
~ 1,4.
Рассмотрев решение «прямых» задач, когда геометрия сильфона
была известна и по номограммам определяли напряжения и
жесткость, перейдем к решению задач «обратных», когда по за-
данным величинам жесткости и прочности сильфона нужно опре-
делить его геометрические размеры.
Технические требования, которым должен удовлетворять про-
ектируемый сильфон, могут быть различными в зависимости от
его назначения. Соответственно по-разному должна строиться
и методика проектирования.
Для измерительных сильфонов основным, как правило, яв-
ляется требование заданной жесткости и прочности. Так как
форма сильфона определяется несколькими геометрическими па-
раметрами, то одним и тем же требованиям в отношении жест-
кости могут удовлетворять сильфоны разных размеров. В этих
сильфонах будут возникать различные по величине напряжения.
Вариант с наименьшими рабочими напряжениями во многих
случаях можно рассматривать как оптимальный. Уменьшение
напряжений не только повышает запас прочности сильфона, но
также снижает влияние упругих несовершенств материала, про-
являющихся в виде гистерезиса, последействия, ползучести и,
следовательно, увеличивает точность и надежность сильфона.
По приведеннымГвыше номограммам можно вести проекти-
рование сильфона по заданной жесткости и допускаемым напря-
жениям. Однако в зависимости от назначения сильфона про-
ектирование в большинстве случаев должно сопровождаться
некоторыми дополнительными расчетами, например расчетом
эффективной площади, критического давления, циклической проч-
ности и др. Рассмотрим пример расчетов измерительных силь-
фонов.
Пример 4. Спроектировать сильфон, работающий по схеме силовой компен-
сации. При этом дано: наибольшее давление р = 0,75 МПа, жесткость Kq <
С 18 Н/мм, наружный радиус Rn = 13,8 мм и длина рабочей части сильфона
288
Таблица 20
в й0, мм KQ (°1и)р
т — 0,06 т = 0,10 т 0,12 т = 0,06 т = 0,10 т = 0,12
0,012 0,1032 8,80 10,6 12,60 0,0726 0,0451 0,0372
0,014 0,1204 8,68 9,96 II,64 0,0761 0,0476 0,0387
0,018 0,1550 8,48 9,10 10,31 0,081 1 0,0535 0,0423
0,022 0,1895 8,38 8,53 9,45 0,0836 0,0599 0,0475
0,030 0,2580 8,30 7,92 8,32 0,0855 0,0687 0,0586
Таблица 21
6 п 1, мм
т — 0.06 т = 0,10 т = 0,12 т = 0,06 т = 0,10 т = 0,12
1 0,012 2 2 3 4,1 6,9 12,4
0,014 3 3 4 6,2 10,3 16,5
0,018 6 7 7 12,4 24,1 29,0
0,022 11 И 12 22,7 37,9 49,5
0,030 28 26 28 57,7 89,4 115,6
I < 30 мм; материал сильфона — сплав 36НХТЮ; Е= 2,1-106 МПа; предел
текучести, аг = 1000 МПа, допускаемое напряжение [о] = 600 МПа, что соот-
ветствует коэффициенту запаса 1,7.
Решение. Выберем параметр гофрировки k = 1,6, при этом радиус
Rv = 8,6 мм.
Для ряда значений 6 (и, следовательно, для ряда толщин = 6/?в) при не-
скольких значениях параметра т = по номограмме (см. рис. 205) опре-
Ав __
делим величину безразмерной жесткости Ко_ и напряжений о1И (табл. 20). При
работе сильфона в условиях силовой компенсации опасная точка находится во
впадине, поэтому напряжения находим по кривым (см. рис. 207), соответствую-
щим г = R-b.
Зная требуемую жесткость Kq по формуле (238), определим число гофров п
н длину сильфона I — tn = 4m7?Bn. Так как длина сильфона ограничена требо-
ванием I < 30 мм, некоторые варианты можно исключить из дальнейшего рас-
смотрения (табл. 21).
Оставшиеся варианты проверим по напряжениям. По формуле (243) находим
меридиональные изгибные напряжения о1И, которые, как указывалось в п. 4,
являются определяющими. Варианты, для которых напряжения а1И выше до-
пускаемого: [о] = 600 МПа, также можно исключить. В результате в табл. 22
оставлено 7 вариантов, удовлетворяющих техническим требованиям по жест-
кости, по напряжениям и габаритным размерам. Выбор окончательного вари-
анта зависит от назначения сильфона и предъявляемых к нему конкретных тре-
бований. Так, например, если необходимо получить сильфон с минимальной жест-
костью, то можно увеличить число гофров п (при этом величина напряжений не
изменится, так как ход сильфона w= 0). Снльфон с параметрами 6= 0,012
9
10 Андреева Л. Е. 28
Таблица 22
Л сг1н, МПа СЦИ, МПа
т = 0,06 т = 0,10 т = 0,12 т — 0,06 т = 0.10 т = 0,12
0,012 968 601 496 496
0,01 1 746 466 379 — 466 379
0,018 481 317 251 481 317 251
0,022 332 238 188 332 — —
0,030 182 146 86,2 — — —
и т = 0,124’можно увеличить по длине примерно в 2,5 раза за счет увеличения
числа п до 8 (см. табл. 21), Тогда его жесткость соответственно снизится до
Kq = 6-г7 Н/мм.
Если же к сильфону предъявляются высокие требования по циклической
прочности или надежности, то необходимо снизить уровень рабочих напряже-
ний. В этом случае можно остановиться на сильфоне, имеющем 6 = 0,018 и т =
= 0,12, для которого 250 МПа. Для уточнения коэффициента запаса оп-
ределим главные и эквивалентные напряжения в точках А и В внутреннего
закругления по формулам (240) и (239):
в точке А 0].= —251 МПа; а2 = —194,4 МПа; <тЭкв= 228 МПа;
в точке В Oj = 251 МПа; <т2 = —44 МПа; пЭкв = 275 МПа.
Опасной оказалась точка В на внутренней поверхности сильфона. Коэффи-
циент запаса
_ <тт___________100 _ „ -
Т (<Тэкв)тах 27,5
вместо 1,7, заданного по условию задачи.
Проектирование сильфона в более сложных случаях рассмотрено в работе
[8].
6. НЕЛИНЕЙНОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЬФОНА
Нелинейность упругой характеристики сильфона зависит от
его геометрических размеров и величины перемещений и, как
правило, невелика. Ее можно не учитывать при расчетах силь-
фонов — разделителей сред, компенсаторов и упругих выводов.
Если сильфон используют как упругий элемент, и он работает
совместно с пружиной, то при условии малой жесткости сильфона
по сравнению с жесткостью пружин, нелинейность такого изме-
рительного узла определяется в основном свойствами пружины.
Расчет нелинейности характеристики необходим при исполь-
зовании сильфонаХ’в качестве измерительного элемента, непо-
средственно преобразующего давление в перемещение.
Экспериментальные характеристики сильфонов по силе Q
или по давлению р уже в области средних перемещений
заметно отличаются от линейных характеристик. Поэтому линей-
ные характеристики (экспериментальные или расчетные) „отра-
жают только начальное состояние упругого элемента (при р^-+ 0),
290
а при значительной нагрузке они отражают поведение упругого
элемента с заметной погрепшос гыо,
В сильфонах, используемых в приборостроении, относитель-
ное осевое перемещение двух соседних экстремальных сечений (где
г = или г — Rw, см. рис. 18!)) может на порядок и более пре-
восходить толщину стенки. В этих случаях нелинейность-харак-
теристик становится существенной.
На рис. 215 приведены характеристики, полученные в резуль-
тате линейного (кривая /) и пели ней hoi о (кривая 2) решения
уравнений, приведенных в гл. V, а также нанесены экспери-
ментальные точки для сильфона размерами: /?„ = 19 мм; =
= 12,75 мм; г„ = гр =0,75 мм, /i0 0,12 мм; /? —8. Сильфон
изготовлен без уплотнения гофров механогидравлическим спосо-
бом, материал —бронза БрБ 2. Расхождение линейного и не-
линейного решений при р =0,05 МПа составляет 33%. Нели-
нейное решение и эксперимент расходятся незначительно.
Жесткость и нелинейность упругой характеристики сильфонов
в большой степени зависят от параметра уплотнения гофра %, =
— — -и i—соответственно шаг неуплотненного и уплот-
ненного гофров). Предварительное поджатие гофров (х< < 0)
может снизить начальную жесткость, которая пропорциональна
тангенсу угла, заключенного между касательной к характери-
стике в начале координат и осью ординат (рис. 216). Однако,
если поджатие велико, жесткость может даже возрасти. Пред-
варительно растянутый сильфон (xz > 0) при р > 0 имеет боль-
шую начальную жесткость, чем неуплотненный. При р < 0
жесткость предварительно растянутых сильфонов с ростом дав-
ления, как правило, умень-
шается. Объяснение ука-
занных свойств сильфонов
при нагружении их силой
Рис. 215. Расчетные и эксперимен-
тальная характеристики
Рис. 21В. Характеристики сильфонов
с уплотненным гофром при k — 1,8:
т = 0,1: Л = 0.015
10*
291
в линейной i>i’i.n;u in било дано В. И. Феодосьевым [99]. Оно
основано и । анализе радиальных перемещений и связанных
с ними окружных мембранных усилий (напряжений) в различных
точках кон।ура гофра и применимо к сильфонам практически
при любых перемещениях.
При X/ 0 удлинение сильфона сопровождается радиальными
перемещениями точек наружного и внутреннего торовых участ-
ков навстречу друг другу (см. рис. 196), что ведет к появлению
в этих точках соответственно сжимающих и растягивающих
окружных усилий.
Если гофры предварительно поджаты, то при растяжении силь-
фона конусная часть гофра поворачивается и появляются ради-
альные перемещения ее краев, противоположные по знаку упо-
мянутым выше перемещениям торовых участков. Вследствие этого
при том же ходе сильфона суммарные окружные силы, а следо-
вательно, и жесткость оказываются меньше. Это иллюстрируется,
например, характеристикамиX; = — 0,125hx, = —0,25 (рис. 216).
При прочих одинаковых размерах существует оптимальное зна-
чение параметра v.t — к*, при котором начальная жесткость
минимальна.
7. ЭФФЕКТИВНАЯ ПЛОЩАДЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
В большинстве случаев применения сильфонов перемещение
дна сильфона бывает ограничено жестким или упругим упором.
При этом помимо давления р на сильфон действует осевая сила Q.
Так, например, если сильфон работает совместно с винтовой
цилиндрической пружиной, то перемещение сильфона под дей-
ствием давления определяется суммарной жесткостью сильфона
и пружины. В этом случае сильфон нагружается давлением р
и силой Q, равной силе упругости пружины (рис. 217, а).
Перемещение дна сильфона может быть ничтожно малым, если
сильфон работает совместно с преобразователем, имеющим боль-
шую жесткость. Это, в частности, имеет место, когда преобразо-
вателем является пьезоэлектрический, струнный, частотный
(рис. 217, б) или магнитоупругий датчик, а также некоторые типы
Рис, 217«(Схемы применения сильфонов
292
полупроводниковых и проволочных тензодатчиков. В этих слу-
чаях сильфон преобразует давление /> в силу Q. Сильфоны, при-
меняемые в приборах силовой компенсации, работают в анало-
гичных условиях.
Сильфоны—компенсаторы осевых смещений трубопроводов
и сильфоны, используемые в качестве упругих уплотнений, также
при работе нагружаются давлением /> и сплои Q.
При расчете и проектировании сильфонов необходимо знать
величину силы Q. Связь между силой Q и давлением р осуще-
ствляется через эффективную площадь /*'Э(|,, которая является
одним из основных параметров сильфона.
Если сильфон преобразует давление р в усилие Q при отсут-
ствии прогиба (щ = 0), то Q = р1'аф.
Согласно понятию эффективной площади перемещение силь-
фона под действием давления р будет равно перемещению, вызы-
ваемому сосредоточенной силой Q = pF3^. Поэтому прогиб силь-
фона, нагруженного давлением,
где Kq —жесткость по силе, определяемая по номограммам
(рис. 201—212) или приближенно по формулам (229) и (230).
Величина эффективной площади связана с изменением объ-
ема ЛЕ внутренней полости сильфона и перемещением w следую-
щей зависимостью:
АЕ = Еэфщ
Определение величины ЛЕ требуется во многих случаях, в част-
ности, при применении сильфона в качестве компенсатора тепло-
вого расширения жидкости.
Рассмотрим методы расчета эффективной площади. Наиболее
известна эмпирическая формула [99], согласно которой эффек-
тивную площадь определяют по среднему радиусу:
Еэф = лР?р, (248)
где
= — (RB + FB).
В большинстве работ, посвященных расчетам сильфона, по-
следний рассматривают как элемент с линейной характеристикой,
и соответственно решение проводят в линейной постановке. В ре-
зультате эффективная площадь может быть определена как от-
ношение:
= (249)
где Kq — жесткость по силе; Кр — жесткость по давлению.
293
Рис. 218. Изменение эффективной площади
Формулы для эффективной площади на основе теории круглых
пластин постоянной толщины получены в работе [58]:
с Ар
1 э*" ~ ’
где Ар и Ао —коэффициенты, определяемые выражениями (169)
и (171).
Выражение (249) с достаточной точностью дает лишь началь-
ное значение эффективной площади Гэфо, т. е. ее значение при
сколь угодно малом давлении. С ростом нагрузки эффективная
площадь несколько изменяется вследствие свойственной сильфону
геометрической нелинейности.
На рис. 218, а показаны результаты эксперимента по опреде-
лению эффективной площади сильфона (7?н = 50 мм; й0 = 0,12 мм;
п = 8) в зависимости от давления в условиях переменного хода.
Относительное изменение т); эффективной площади, определяемое
по формуле (187), в рабочем диапазоне давлений составило 1,6%.
Свойства эффективной площади важно знать, когда сильфон
применяется для преобразования давления в усилие и работает
совместно с жестким преобразователем или же в приборе силовой
компенсации. В этом случае ход сильфона практически отсут-
ствует, но и здесь эффективная площадь изменяется вместе с дав-
лением (рис. 218, б). Величина этого изменения (кривая 1) зна-
чительно меньше, чем в условиях переменного хода (кривая 2).
Изменение эффективной площади сильфона даже на доли про-
цента может иметь существенное значение, поскольку она отно-
сится к числу основных составляющих погрешности приборов
силовой компенсации. Для оценки последней решение задачи
необходимо проводить в нелинейной постановке и с достаточно
высокой точностью.
Расчет сильфона численным методом на основе уравнений (139)
позволяет получить точное значение начальной эффективной пло-
щади Рэф„, установить зависимость между Вэфв и параметрами
294
гофрировки [8] и провести сопоставление точ-
ного решения с формулой (248). Эмпирическая
формула (248) дает небольшую погрешность
по сравнению с точным значением. Погреш-
ность этой формулы на начальном этапе на-
гружения при k < 1,8 не превышает 2,3%.
Однако эффективная площадь изменяется с да-
влением. Соответственно по мере иш руження
сильфона возрастает и погрешность эмпири-
ческой формулы (248).
Пример 1. Определить изменение давления Ар,
Рис. 2Ы. Схема силь-
фонного регулятора
давления
поддерживаемого сильфонным регулятором (рис. 219),
при перемещении клапана из одного* крайнего положе-
ния в другое. Полный ход клапана w = 8 мм. Сильфон
имеет размеры (см. рис. 189): = 24 мм; 2?в = 16 мм;
йо =0,25 мм; п = 10; гн гв 0,9 мм; материал — сплав 36НХТЮ, Е =
= 2,15.10s МПа. Размеры винтовой цилиндрической пружины, работающей
совместно с сильфоном: средний диаметр пружины D = 40 мм; диаметр про-
волоки d = 5 мм; число рабочих витков i = 8. Материал пружины — сталь
70; модуль упругости при сдвиге G = 7,95-104 МПа.
Решение. Перемещению клапана w соответствует изменение давления:
л %w
Р~ '
Здесь К — суммарная жесткость по силе сильфона и пружины, К — +
+ Кп-
Используя формулу (248), найдем ДЭф = 1256 мм2. По номограмме (см,
рис. 201) определим жесткость сильфона. При параметрах k — 1,5; т = 0,0562
и 6 = 0,01562, вычисляемых по формуле (231), находим безразмерную жесткость
Kq т= 12; по выражению (238) Kq = 22 Н/мм.
Жесткость пружины /<п определим по формуле (47):
„ - Gd' - 7’95-1°4-54 _ ,п , н,
Kn 8D3i 8-403'8 ~ 21 Н/ММ'
Суммарная жесткость
/С = /Сс + /Сп = 22 + 12,1 =34,1 Н/мм.
Следовательно, изменение давления Ар, соответствующее полному ходу
клапана w
Ар = = 3f;L8- = 0,217 МПа.
г эф 125Ь
Рассмотрим задачу об изменении эффективной площади при
изменении нагрузки. Как указывалось выше, этот вопрос важен
при оценке погрешности преобразования сильфоном давления
в усилие. Изменение эффективной площади с давлением приводит
к тому, что зависимость Q = рКЭф становится нелинейной.
Относительное изменение эффективной площади по давле-
нию в соответствии с выражением (187)
n 'W-fabo |о°%)
где Кэфо, КЭф — значения эффективной площади в начале нагру-
жения и при заданном давлении р.
295
Рнс. 220. Изменение относительной эффективной площади ц? =
= f (р) для сильфонов (А = 1,8; гп = 0,06) в условиях сило-
вой компенсации
Решение нелинейной задачи о расчете сильфона на основе
уравнений (139) численным методом дает возможность доста-
точно точно определить Fg$ в зависимости от давления р и, сле-
довательно, найти ее относительное изменение т]р Ниже пред-
ставлены результаты этого решения для сильфонов, изготовлен-
ных механогидравлическим способом, работающих в условиях
силовой компенсации, при w = 0.
Графики зависимости функции 1]^ от безразмерного давле-
ния р/Е для сильфона с параметром глубины гофрировки k =
= -^S- = 1,8, т = = 0,06 и при различных значениях 6 =
Лв /\В
приведены на рис. 220. С возрастанием внутреннего давления
эффективная площадь уменьшается, а при действии наружного —
увеличивается. В начале нагружения сильфона эффективная пло-
щадь всегда изменяется более интенсивно. Наибольшую склон-
ность к изменению эффективной площади проявляют тонкостен-
ные сильфоны (6 < 0,01). При наружном давлении (р < 0) изме-
нение эффективной площади больше, чем при внутреннем. С ро-
стом параметра т эффективная площадь по давлению изменяется
более интенсивно. Так, для тонкостенных сильфонов с параме-
трами б =0,005, т =0,08 и т =0,12 изменение давления
296
Рнс« 221 а Схемы нагружения и закрепления сильфона
в диапазоне 10е = ±5 приводит к изменению значений функ-
ции от —11% до 16% и от —15% до 22,8% [8].
Выше рассматривалась эффективная площадь сильфона осе-
симметричной геометрии при строго осевом нагружении. В дей-
ствительности геометрия сильфона, а также схема его нагружения
обычно отличаются от идеальных. Последнее выражается во
взаимном перекосе и сдвиге торцов сильфона при монтаже и не-
точности приложения осевого компенсирующего усилия
(рис. 221, а}. Кроме этого ось сильфона может иметь начальную
кривизну. С изменением давления искривление оси увеличивается,
что вносит дополнительную погрешность в преобразование дав-
ления р в силу Q.
Обычно в приборах силовой компенсации сильфон устанав-
ливают, совмещая центр дна с упором или жестко скрепляя дно
с рычагом. В пределах допусков на операции установки чувстви-
тельных элементов возможны следующие виды монтажных по-
грешностей. Упор эксцентрично смещен относительно центра дна
(смещение е) и вместе с дном сдвинут на А относительно другого
крайнего сечения сильфона (рис. 221, б). В этом случае под дей-
ствием момента, создаваемого силой реакции упора, дно пово-
рачивается вокруг оси, проходящей через точку приложения силы.
В другой схеме (рис. 221, в) дно сильфона скреплено с рычагом,
но сдвинуто относительно другого крайнего сечения в радиаль-
ном направлении на А и повернуто на угол &.
Оценка влияния монтажных неточностей на величину эффек-
тивной площади дана в работе [8].
8. ИЗГИБ СИЛЬФОНОВ
В случаях применения сильфона в качестве кинематического
элемента, уплотнителя, передающего угловые перемещения, ком-
пенсатора поперечных смещений трубопроводов, а также при
решении задач устойчивости и поперечных колебаний сильфона
297
Рис. 222. Сильфон в условиях
изгиба
необходимо знать его изгибную жест-
кость и напряжения, возникающие при
изгибе.
Наиболее простое решение задачи
об изгибе сильфона под действием
момента (рис. 222) предложено В. И. Ко-
ролевым [58, 70], который рассматри-
вает сильфон как набор кольцевых
пластин, жестко скрепленных между
собой по наружным или внутренним
контурам (см. рис. 190, а). При нагружении сильфона моментом
М в его осевой плоскости каждая кольцевая пластина будет
находиться в условиях закрепления и нагружения, показанных
на рис. 100, б.
Поскольку сильфон состоит из 2п кольцевых пластин (п —
число рабочих гофров сильфона), то в соответствии с выраже-
нием (173) угол поворота дна сильфона
Ф==
(250)
где Дф — коэффициент, определяемый по формуле (174).
При решении различных задач об изгибе сильфона под дей-
ствием поперечных сил сильфон удобно заменить стержнем, экви-
валентным в отношении изгибной жесткости. Угол поворота тор-
цового сечения стержня под действием приложенного на конце
момента
Ml
В ’
Ф
(251)
где В — жесткость стержня при изгибе.
Сравнивая выражения (250) и (251), получим изгибную жест-
кость сильфона
р Eh4
— 2пЛф ’
(252)
где I —длина рабочей гофрированной части сильфона.
Ниже приведены результаты решения [15], построенного на
основе уравнений типа Мейсснера для оболочки вращения с пере-
менной толщиной стенки при симметричной изгибающей нагрузке
[ПО]. Эти уравнения решаются для полуволны сильфона на ЭВМ
методом прогонки аналогично решению осесимметричной задачи.
На рис. 223 представлены кривые ft — f (б) [8 ] для сильфонов
с толщиной стенки, изменяющейся вдоль контура согласно соот-
ношению (236). По вертикали отложена безразмерная изгибная
податливость полуволны сильфона
-q- _ ______Ehy___
Мп 0,24 (1 —и2)’
где Ф — взаимный угол поворота торцовых сечений; h0 — тол-
щина стенки трубки-заготовки.
298
Рис. 223. Кривые безразмерной изгиб ной податлипости сильфона при параметре;
а — k = 1,3; б — k = 1,5; в — k = 1,8
Зная податливость •&, по зависимости (253) легко определить
угол поворота й, а также жесткость сильфона
к м
= ГдТ'
Принимая расчетную схему сильфона, работающего на изгиб,
в виде эквивалентного стержня, запишем формулу изгибной жест-
кости
В = КМ1 =
Eh?,l
0,24(1 -р)М}'
(254)
Для того чтобы найти, например, поперечное перемещение v
дна сильфона под действием силы Р, достаточно воспользоваться
известной формулой (14) для прогиба консольной балки, нагру-
женной на конце силой, т. е.
На рис. 224 в качестве при-
мера приведены эпюры наи-
больших изгибных ст1и и мем-
бранных сг30 напряжений в силь-
фоне размерами: Дн = 19 мм,
h0 =0,12 мм, п=8 при изгибе
моментом М — 100 Н-мм. Наи-
большие напряжения возника-
ют в местах сопряжения то-
роидальных участков с пло-
ским. В окружном направлении
компоненты напряжений меня-
ются по закону косинуса.
Рис. 224. Эпюры напряжений при изгибе
сильфона
299
Рис. 225. Кривые безразмерных напряжений <TjH при параметре:
а — k = 1,3; б — k = 1,5; а - ft = 1,8
На основе теоретического решения построены кривые зависи-
мости максимальных безразмерных меридиональных изгибных
напряжений 51и от параметров гофра k, т, б, соответствующих
формулам (231). Эти кривые приведены на рис. 225, где
°1И — ——
(255)
Пример. Определить напряжения в сильфоне герметизирующего вывода при
взаимном перемещении торцов v = 8 мм (рис. 226, о). Размеры сильфона:
/?н = 24 мм; = 16 мм; Ло =0,16 мм; длина рабочей части I = 70 мм;
число волн п = 16. Материал —бериллиевая бронза БрБ 2; Е = 1,35 X
X 10в МПа; р, = 0,3.
Решение. На расстоянии Z/2 от заделки ось сильфона имеет точку пе-
региба (рис. 226, а). В этом месте в поперечном сечении сильфона суммарный
изгибающий момент равен нулю. Если рассмотреть половину сильфона, то ее
можно представить в виде эквивалентного консольного стержня, нагруженного
на конце поперечной силой Р (рис. 226, б). Прогиб конца этого стержня согласно
формуле (14)
. О’
2 ЗВ ’
откуда
П .
- /з •
Наибольший изгибающий момент в сечении у заделки
М = = (256)
Изгибную жесткость сильфона В определим по формуле (254). Для этого
предварительно найдем безразмерные параметры сильфона по формулам (231):
k = 1,5; 6= 0,01. Полагая радиусы закруглений по вершинам и впадинам
I 70
гофров одинаковыми, получим rH = ra = ig~~ 1,095 мм. Тогда па-
раметр т = 0,0685.
300
Рис. 226. Расчетная схема сильфон»
По кривым (см. рис. 223 п 225) находим А = 0,3 и сг1И — 0,5. Подставляя
в формулу (254) и (256) числовые значения, найдем В — 37-10:* Н-мм2 и М =
= 362 Н-мм.
Наибольшее изгибное напряжение сг1И определим по формуле (255): ст1И =
= 440 МПа.
9. УСТОЙЧИВОСТЬ СИЛЬФОНА
При осевом сжатии силой Q достаточно гибкий сильфон так же,
как и сжатый стержень или винтовая цилиндрическая пружина,
может потерять устойчивость и изогнуться. Сильфон может по-
терять устойчивость, если его перемещение ограничено упором
(например, в приборах силовой компенсации) (рис. 227).
Обычно для оценки критической силы Q^p или критического
давления /7кр используют формулу Эйлера [101], заменяя силь-
фон эквивалентным по жесткости стержнем. В соответствии с этой
формулой осевая критическая сила QKp для. сильфона определяется
выражением
п 77 Л2В
Укр — Ркргэф — >
(257)
откуда критическое давление
л2В
Ркр ” Т'эф (v/)2 ’
где I—длина гофрированной части; В —изгибная жесткость,
РЭф —эффективная площадь; v — коэффициент приведения длины,
зависящей от способа крепления торцов сильфона; если концевые
сечения сильфона закреплены так, что не могут поворачиваться,
то v = 0,5.
Различие в определении критического давления разными ав-
торами [5, 8, 17, 36, 121 ] состоит главным образом в определении
изгибной жесткости В (см. п. 8).
Наименьшую погрешность при вычислении изгибной жест-
кости В, а следовательно, и критического давления ркр по фор-
муле (257) обеспечивает численный метод решения, прйведенный
в работах [8, 17]. Результаты могут быть улучшены за счет уточ-
нения величины Рэф, которая, как указывалось в п. 7, зависит
301
Рис. 227. Потеря ус-
тойчивости сильфона
в условиях силовой
компенсации
РкР1 —
от давления. В этом случае в формулу (257)
следует подставлять — величину эффек-
тивной площади при р — рур, которая
согласно (187) равна
где г]“р — относительное изменение Гэф при
р =Рк₽.
Пример. Определить критическое давление для
сильфона, жестко закрепленного по концам и нагру-
женного внутренним давлением. Размеры сильфона:
Ли = 19,7 мм; Лв = 13,3 мм; ги = гв = 0,75 мм;
h0 = 0,16 мм; I = 166 мм; п = 55; материал — ла-
тунь Л90; Е— 1,1-106 МПа.
Решение. Определим параметры гофра по
формулам (231): k= 1,48; пг = 0,056; 6=0,012.
По кривой (см. рис. 223) находим О = 0,33. Подстав-
ляя числовые значения в формулу (254), получим
В = 18 900 Н-мм2.
Критическое давление определим по методу последовательных приближе-
ний. При и заданных размерах сильфона имеем ГЭфо= 865 мм2.
Определим первое приближение критического давления ркр по формуле
(257);
В
/ VI \ -2~
'о”бб у - °-0315 МПа'
п )
Затем по кривым (см. рис. 220) или расчетом найдем относительное изме-
нение эффективной площади тфр = —0,15%. Ввиду малости т]/Р дальнейшее
уточнение величин F3$ и рКр не имеет смысла. Полученное значение критического
Таблица 23
Размеры сильфона, мм Критическое давле- ние ркр, МПа Погрешность расчета, %
Номер варианта 2/?н 2ЯВ 1 1 ЙО Опыт 152] работы [5] о w работы 3 [1211 £ g ПО ам ю 1121] (257)
1 22,45 14,27 19,00 1,842 0,094 1,2 0,87 1,5 1,24 —27 25 3,3
2 22,24 14,26 18,70 1,802 0,095 1,3 0,98 1,73 1,33 -25 33 2,3
3 22,25 14,24 19,00 1,840 0,120 2,2 2,12 2,9 2,32 —4 32 5,4
4 27,97 18,42 20,80 2,010 0,100 1,03 0,85 1,17 1,05 —18 4 1,9
5 28,02 18,34 20,90 2,013 0,095 1,0 0,8 1,01 0,99 -20 1 —1,0
6 27,74 18,44 26,88 2,593 0,168 3,4 2,9 4,3 3,68 —17 23 8,2
7 65,56 46,37 43,20 4,158 0,163 0,7 0,62 0,74 0,63 —11 6 —10,0
302
давления (ркр = 0,0315 МПа) лучше согласуется с экспериментом (рКр =
= 0,029 МПа, [121]), чем результаты других работ [5, 52, 121], так как в нем
более точно учтены особенности геометрии гофров.
В табл. 23 приведены значения критических давлений, полу-
ченные с помощью кривых на рис. 223 для ряда сильфонов. Ре-
зультаты расчета по изложенному методу сопоставлены с экспе-
риментом, приведенном в работе 152 I, а также с решениями, дан-
ными в работах [5] и [121].
10. СВАРНЫЕ СИЛЬФОНЫ
Общие сведения. В последние годы в промышленности полу-
чили широкое применение сварные сильфоны. Такие сильфоны
известны уже давно. Их изготовляют сваркой по внутреннему и
наружному контурам штампованных мембран. Мембраны могут
иметь самую разнообразную конфигурацию (рис. 228). Сварные
сильфоны разделяют на две основные группы: симметричного
профиля (рис. 228, а—з) и со складывающимися гофрами
(рис. 228, и—м). Последние обычно работают в условиях сжатия
и способны выдерживать большие перегрузки наружным давле-
нием.
При изготовлении сварных сильфонов металл не подвергается
таким большим пластическим деформациям, как при формовании
бесшовных сильфонов, поэтому выбор материала для сварных
сильфонов ограничен в меньшей степени. Для их изготовления
303
применяю! ,i\। к ииiiii.ie и мартенситные нержавеющие стали,
сплавы ил (>< тик хрома и никеля, а также титановые сплавы.
При этом <>(>!,Pino применяют листы толщиной от 0,05 до 1 мм.
Соотношение наружного R„ и внутреннего RB радиусов сильфона
п число ни ньев могут быть любыми. Сварные сильфоны могут
пbi отовля । ы я с очень малым шагом, который в сжатом состоянии
у «складывающихся» сильфонов равен двойной толщине листа.
По сравнению с бесшовными сильфонами сварные сильфоны
обладают рядом преимуществ: они более чувствительны, их упру-
гие свойства и эффективная площадь имеют меньший разброс.
Сварные сильфоны отличаются меньшей разнотолщинностыо и
большей однородностью свойств материала в разных точках
стенки.
Благодаря возможности более широкого выбора материала
для изготовления сварных сильфонов они находят применение
там, где использование бесшовных сильфонов невозможно. При-
менение сварных сильфонов позволило решить проблемы, свя-
занные с повышением их термической и коррозионной стойкости,
а также защиты от высоких перегрузок. Гистерезис сварных силь-
фонов может быть ниже, чем у бесшовных, а долговечность —
выше.
На сварные сильфоны со складывающимися гофрами
(рис. 228, л) разработан ГОСТ 21754—76.
Расчет и исследование сварных сильфонов. Работы, посвящен-
ные сварным сильфонам, в основном носят описательный харак-
тер [82]. Лишь незначительное число статей [119, 124] посвя-
щено расчету сварных сильфонов. Методика проектирования
некоторых типов сварных сильфонов изложена в работах [8, 10].
С помощью ЭВМ можно выполнить расчет сварного сильфона
практически любого профиля. Граничные условия для сварных
сильфонов симметричного профиля (рис. 228, а—з) ничем не от-
личаются от граничных условий для бесшовного сильфона (см.
п. 4). Для сильфонов со складывающимися гофрами
(рис. 228, и—м) вместо условий симметрии используется свой-
ство периодичности решения.
Представление результатов решения в виде номограмм позво-
ляет построить инженерную методику расчета и проектирования
сварных сильфонов. Ниже приведены результаты расчета свар-
ных сильфонов на основе уравнений (139). Результаты решения
хорошо совпадают с экспериментальными данными (рис. 229).
Проанализируем результаты численного решения для силь-
фонов двух профилей: I —мембраны сильфона имеют большой
плоский участок (рис. 228, а); II —сильфон состоит из пологих
конусных мембран (рис. 228, б). Сильфоны профиля III, состоя-
щие из мембран синусоидального профиля (рис. 228, в), рассмо-
трены в работах [8, 68].
Самыми мягкими являются сильфоны профиля I, мембраны
которых в основном работают на изгиб. При нанесении на плос-
304
Рис. 229. Расчетная (сплошная) и экспериментальная (точки) характеристики свар»
ного сильфона:
а — при числе гофр п=30; б — при п = 10
кую мембрану волн гофрировки жесткость ее возрастает, поэтому
сильфоны профиля III имеют большую жесткость, чем сильфоны
профиля I.
Расчеты показали [8], что для рассматриваемых сварных силь-
фонов основными геометрическими параметрами, существенно
п
влияющими на их жесткость, оказываются коэффициент k =
и относительная глубина гофрировки H/h.
Как и для гофрированных мембран (гл. VI, п. 7), с ростом
глубины гофрировки H/h начальная жесткость сильфона возра-
стает, а характеристика приближается к линейной. На нелиней-
ность характеристики мембраны большое влияние оказывает
п я
отношение k = -=£, с увеличением которого нелинейность харак-
теристики возрастает.
Естественно, что нелинейность характеристики т] также уве-
личивается с ростом давления. Как правило, при использовании
сварных сильфонов в приборах необходимо, чтобы их характери-
стика была близкой к линейной. Сведения о жесткости, эффек-
тивной площади, напряжениях, а также номограммы, приведен-
ные ниже, относятся к сильфонам с нелинейностью характери-
стики т] <5%. Чтобы определить пределы применимости ука-
занных зависимостей, в табл. 24 и 25 приведены значения отно-
сительного давления р = при нелинейности т] =5% для
сильфонов профилей I и II.
Теоретический анализ напряженного состояния в сварных
сильфонах [8] показал, что, как и в бесшовных сильфонах, опре-
деляющими являются изгибные меридиональные сг1и и окружные
мембранные о20 напряжения. Окружные изгибные напряжения о2и
примерно в три раза меньше напряжений <т1н. Мембранные мери-
диональные напряжения о10 на порядок меньше окружных о20.
305
Таблица 24
k
II/И 1.У I.3 1,4 1,5 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0
2 —1260 I 4140 —1160 + 1140 -490 +490 —265 +275 —169 + 165 —86 +86 —55 +54 -28 +27 —18,5 + 18,5
26 —4200 +4200 —1140 + 1150 —570 +460 —335 +330 —186 + 160 -96 +82 —61 +53 —30 +27 —20,5 + 18,0
Примечание. Внутреннее давление р >0; наружное давление р < 0.
Таблица 25
HJh k
1,2 1,3 1,4 1,5 1.6 1,8 2,0 2,5 3,0
2 —5000 +3650 —1470 +960 —675 + 390 -390 +210 —260 + 125 —150 +70 —105 +45 — 18 +22 —11 + 16
5 —6570 + 3275 —2130 +885 —320 +395 —155 +225 —105 + 158 —55 + 100 —40 +75 —28 +55 —25 +50
10 —2600 +3500 —700 + 1190 —365 +700 —250 +515 -205 +390 —150 +335 —135 +305 -112 +250 —96 +215
20 —3500 +6700 —1770 +3705 —1325 +2800 —1110 +2370 —960 +2100 -780 + 1780 —610 + 1460 —445 + 1144 —355 +870
Примечание. Внутреннее давление р > 0; наружное давление р < 0.
Характер распределения напряжений в бесшовных сильфонах
(см. п. 4) и в сильфонах профиля I почти одинаков. Распределе-
ние напряжений в сварных сильфонах профиля III такое же,
как для гофрированных мембран соответствующего профиля
(гл. VI, п. 7). При различных условиях нагружения наибольшие
напряжения возникают в точках вблизи наружного или внутрен-
него контура.
Номограммы для расчетам проектирования сварных сильфонов.
Если необходимо рассчитать сварной сильфон, работающий
в пределах линейного участка характеристики при нелиней-
ности т] <5%, то можно воспользоваться линейным решением
задачи, полученным с помощью ЭВМ и представленным в виде
номограмм на рис. 230—237, Последние позволяют определить
306
307
Рис. 232. Номограмма для определения при г— Нижняя
шкала й для (а1и)ж
Рис. 233. Номограмма для определения при г= Нижняя
шкала /г для (а^)^
Рис. 234. Номограмма для определения Kq и <У1И при г — R
Нижняя шкала k для (0^)^
Рис. 238. Положение точек
А, В, С и D
выражением
(258)
относительные величины жесткости силь-
фона Kq, меридиональных изгпбпых ст1и
и мембранных окружных й20 напряже-
ний, эффективной площади /0 для свар-
ных сильфонов профилей I и II в за-
висимости от параметра k = .
Безразмерная жесткость определяется
тт Wi/l
Л<2 ~ ’
где Ко—начальная жесткость сильфона при р -> 0; п —коли-
чество мембран сварного сильфона.
На номограммах даны значения напряжений в опасных точ-
ках наружного (г = К») и внутреннего (г = 7?в) контуров (здесь
г —текущий радиус мембраны). Напряжения определены для
двух случаев нагружения: при свободном ходе w под действием
осевой силы (а = 0; р =0) и в условиях силовой компенсации
(да =0; р =£ 0). Соответствующие безразмерные напряжения <5W
и йр связаны с размерными напряжениями выражениями (242)
и (243), откуда
<259>
р2
(260)
В общем случае нагружения сильфона можно пользоваться
принципом независимости действия сил (если характеристика
близка к линейной) и определять суммарное напряжение по фор-
муле (241).
Напряжения изгиба в окружном направлении сг2и в опасных
точках определяют по формуле (245): о2и & цо1и, где р, —коэф-
фициент Пуассона. Мембранные напряжения сг10 незначительны,
поэтому в расчете их можно не учитывать.
Знак напряжений о1и, <т2и, о20 зависит от условий нагружения.
Его устанавливают для сильфонов рассматриваемых форм так же,
как и для бесшовных сильфонов с помощью табл. 17 и рис. 238.
При определении эквивалентного напряжения по формуле (239)
главные напряжения следует принимать:
в меридиональном направлении
<Т1«о1и; (261)
в окружном направлении
cf2 = о20 о2и. (262)
Одной из основных характеристик сварных, как и бесшовных,
сильфонов является величина эффективной площади. Начальное
311
шачепне <>i ши и h-./iпион эффективной площади (при p -> 0)
f ^эф
получении» численным методом для сильфонов рассматриваемых
профилей, также приведено на номограммах. С помощью номе-
рами можно рассчитывать сварные сильфоны профилей I и II,
если нелинейность упругой характеристики г] < 5%. Значения
параметра давления р5 при нелинейности т] = 5% даны в табл. 24
и 25. Номограммы построены при р < р6, где р = При
больших значениях нелинейности численный расчет следует
вести на ЭВМ с использованием нелинейных уравнений (139).
Пример 1. Требуется определить жесткость и эффективную площадь сварного
сильфона профиля I, состоящего из 30 мембран, если Рн = 14 мм; 7?в = 8,5 мм,
h = 0,2 мм и Н= 0,8 мм. Сильфон изготовлен из стали 40X13, модуль упру-
гости Е = 2,3-105 МПа. Вычислить наибольшее эквивалентное напряжение
при работе сильфона по схеме силовой компенсации, если давление р — 1 МПа.
Решение. Определим параметры сильфона:
, 14 . «г И 0,8
-н2-=-от = 1>65; -г-=-к-гт = 4,
8,5 /1 0,2
и безразмерное давление
Р^
Р £'й4
При 0 = 1,6 и у = 2-5-26
1-144
_____L_____________ins
2,23 105-0,24 ”
по табл. 24 находим р6 «=> 170. Давление ръ
определено при свободном ходе; в условиях силовой компенсации нелинейность
будет меньше, и использование номограмм при расчете данного примера вполне
допустимо. Зная k, по номограмме (см. рис. 230) находим относительную жест-
кость Ко — 30 и относительную эффективную площадь fQ = 0,644. Далее с по-
мощью формулы (258) подсчитаем жесткость сильфона Ко = 29 Н/мм. Величина
эффективной' площади Р9ф = /0лД2 = 0,644-3.14-142 = 330 мм2.
Определим теперь наибольшие эквивалентные напряжения Щ при нагруже-
нии сильфона давлением р = 1 МПа в условиях силовой компенсации.
н
Для k = 1,65 и -=- = 4 находим по номограммам (см. рис. 230—233):
Л
при г = РБ (щфр = 0,0875; (520)р = 0,004;
при т— Ф1и)р = 0,070; (О2о)р ~ 0,0019.
Точки, расположенные на наружном контуре (г = Дн), менее опасны. По
формуле (260) рассчитаем напряжения для точек г = Рв:
/ 14 \2
(Щи)р = (Щи)р Р = 0,0875 -1 (^ ) = 429 МПа;
(Ч2о)р — (Ого)р Р — 19,6 МПа.
Окружное изгибное напряжение (245) сг2и = 128,5 МПа.
По табл. 17 установим знаки напряжений в точках А и В (рис. 238), а затем
по формулам (239), (261) и (262) вычислим главные и эквивалентные напря-
жения. Результаты расчета сведены в табл. 26.
312
Таблица 26
Точка °1и О 20 «2п °1 а2 °экв
Ml 1 и
А В —429 429 —19,6 —19,6 — 128,5 128,5 —429 | 429 — 148 109 375 384
Опасной оказалась точка /?, где стчк„ = 384 МПа.
При проектировании сварных сильфонов прежде всего в соот-
ветствии с требованиями, предъявляемыми к ним, выбирают мате-
риал. Величина наружного радиуса сильфона /?н обусловлена
габаритными размерами или требуемой величиной эффективной
площади Еэф.
При заданных величинах наружного радиуса 7?н и эффек-
тивной площади Еэф вычисляют относительную эффективную
площадь /0, а по номограммам (рис. 230, 234) находят значения
коэффициента k, относительной глубины H/h и относительной
жесткости Kq. Задавшись количеством мембран п сварного силь-
фона, с помощью формулы (258) вычисляют толщину:
V nEKq
Поскольку невозможно сразу выбрать оптимальное число
мембран п, целесообразно рассчитать несколько сильфонов,
задаваясь различными значениями п. При этом для каждого
сильфона вычисляют напряжения в опасной точке. Таким обра-
зом, получают ряд сильфонов с различным уровнем напряжений,
имеющих заданные наружный радиус, эффективную площадь и
жесткость и состоящих из разного количества мембран. Оконча-
тельный выбор сильфона проводят исходя из конкретных техни-
ческих требований.
Сильфоны часто применяют в качестве компенсаторов тепло-
вого расширения жидкости. Например, основное назначение силь-
фона в поплавковом гироскопическом приборе (см. рис. 187, в) —
создавать необходимое давление и поддерживать его с заданной
точностью при колебаниях температуры. Если не учитывать тем-
пературные изменения геометрических размеров прибора, то
изменение объема жидкости будет целиком восприниматься силь-
фоном:
ЛЕ = Еэф А®,
где Л® — изменение хода сильфона при температурной компен-
сации.
313
Таблица 27
H//I /« ко Гэф, мм8 А®, мм Kq, н/мм
2 0,652 39 524 0,764 6,87
? 5 0,656 56 527 0,759 6,95
10 0,664 ИЗ 533 0,751 7,04
20 0,667 318 536 0,747 7,20
При увеличении температуры на А/ объем жидкости увели-
чится на
AV = aV М,
где а —температурный коэффициент объемного расширения жид-
кости; V —объем жидкости.
Для того чтобы изменение давления жидкости не выходило
за пределы заданного допуска Ар, сильфон должен иметь доста-
точную податливость. Жесткость сильфона KQ определяют из
уравнений (1), (6):
TS \pF эф
- ~bw •
По величине жесткости /Со с учетом заданных габаритных раз-
меров и допускаемого напряжения можно спроектировать свар-
ной сильфон.
Пример 2. Спроектировать сильфон для компенсации объемного расширения
жидкости. При этом заданы: объем жидкости V = 800 мм3, температурный коэф-
фициент объемного расширения жидкости а = 10~3 1/°С, температурный ин-
тервал А/ = ±50°С, допуск на давление Ар = ±0,01 МПа.
Абсолютное давление жидкости при нормальной температуре р = 0,12 МПа.
Конструкция прибора предопределяет следующие размеры сильфона: 27?н <
< 32 мм, 2/?s 20 мм, I < 6 мм.
Решение. Выберем сильфон, состоящий из кольцевых конических
мембран (профиль II), складывающихся при перегрузках внешним давлением.
Для увеличения податливости примем /?н = 16 мм, Рв = 10 мм. При k = =
Лв
= 1,6 по номограмме (см. рис. 234) определим безразмерные величины
эффективной площади /0 и жесткости /(о для нескольких значений относительной
высоты мембраны H/h. Результаты сведем в табл. 27. Эффективную площадь
/эф, изменение прогиба Ао> сильфона при изменении температуры жидкости
на Kt и жесткость Kq определим по следующим формулам:
Лэф = /0<1: Аш = -^; К<? = ^-ф.
Результаты вычислений сведем в табл. 27.
В качестве материала сильфона выберем сталь 40X13, имеющую модуль
упругости Е = 2,23- 10s МПа. Пользуясь выражением (258), найдем соотноше-
ние между толщиной Л и числом мембран п:
п _ КолЕ
/г3 ~ KrJP
/'Ол-и
314
Таблица. 28
n/h\ l/мм’ /l, MM И. мм
H/h n = 4 n — G n " Я n = 4 n = 6 n — 8
2 5 10 20 7,08-IO3 11,03-IO3 21,00-IO3 60,50 • 103 0,0827 0,0714 0,0575 0,0405 0,0945 0,0816 0,0658 0,0464 0,1010 0,0899 0,0725 0,0509 0,165 0,375 0,575 1,650 0,189 0,408 0,658 1,890 0,208 0,450 0,725 2,080
n/h\ /, MM w, MM
H/h l/мм1 /7 = 4 n = 6 n = 8 MM n = 4 n = 6 П = я
2 7,08-IO3 0,99 1,705 2,50 2,29 0,572 0,382 0,286
5 11,03-IO3 1,71 2,94 4,32 2,28 0,570 0,380 0,285
10 21,00-IO3 2,56 4,34 6,39 2,26 0,565 0,377 —
20 60,50 IO3 6,75 11,6 17,0 2,24 — —
Отношение п/Л3 дано в табл. 28. Задавшись числом гофров сильфона =
= 2; 3; 4, найдем для каждого варианта толщину Л (табл. 28). Глубину гофри-
ровки Н определим по отношению H/h. Высоту сильфона вычислим по формуле
I = (И + Л) п.
Результаты вычисления Н и I сведены в табл. 28, откуда видно, что неко-
торые варианты не удовлетворяют заданному требованию I < 6 мм. Эти варианты
исключим из дальнейшего рассмотрения.
После заполнения прибора жидкостью возникает избыточное давление
ри = 0,02 МПа. При этом сильфон получит начальный ход
= Дш = 2 Aw.
1 Ар
Полный ход сильфона
w = Wi + Aw = 3Aw.
Если сильфон при заполнении прибора и нагреве жидкости работает на сжа-
тие, то для исключения преждевременной посадки гофров необходимо обеспе-
чить выполнение условия
w _ и
wo=~<H’
где ш0 — прогиб одной мембраны (см. табл. 28). Это условие также приводит
к исключению некоторых вариантов. Оставшиеся варианты проверяем по на-
пряжениям.
Поскольку определяющими в данном случае будут изгибные меридиональ-
ные напряжения (сг1п)и„ связанные с перемещением дна сильфона w при р — 0,
найдем их величины для каждого варианта в точках внутреннего контура с по-
мощью номограмм (рис. 236) и формулы (242) Результаты вычислений даны
в табл. 29.
315
Таблица 29
////« п (°1и)ш МПа
5 6 30 810
5 8 30 670
К) 4 38 1080
К) 6 38 820
Таблица 30
Точка (01и)ил (cih)p °1 « Ни °2н (° 20) W (С2о)р &2О о 2 °экв
МПа
А 670 —73 597 179 223 —6 217 396 530
В —670 73 —597 —179 223 -6 217 38 620
С —500 —60 —562 -168 —152 —4 —156 —324 490
D 500 60 562 168 —152 —4 —156 12 570
Наименьшие напряжения возникают в сильфоне, состоящем из л = 8
мембран с толщиной h = 0,09 мм и глубиной гофрировки И = 0,45 мм. Длина
его рабочей части I = 4,32 мм.
Определим для данного сильфона эквивалентные напряжения. Для этого
к напряжениям от хода см. следует добавить напряжения от давления о;, (при
w = 0). Вычисления проводим по методике, изложенной в предыдущих примерах,
а результаты сводим в табл. 30. Опасной оказалось точка В на внутреннем кон-
туре, где Оэкв = 620 МПа.
Расчет сварных сильфонов «несимметричного» профиля. Если
волна сварного сильфона несимметрична относительно плоскости
соединения мембраны (см. рис. 228, и—л), то, полагая напря-
женно-деформированные состояния всех волн одинаковыми, сле-
дует рассмотреть одну целую волну OKI (рис. 239). Для сварных
сильфонов «несимметричного» профиля нельзя использовать гра-
ничные условия (234), основанные на свойстве симметрии напря-
женно-деформированного состояния сильфонов. Вместо этого
используем условие периодичности. Поскольку точки 0 и I на-
ходятся в одинаковых усло-
виях,
До = u0 = uf,
Л410 = Мц‘, фо = Ф/- (263)
Здесь перемещение и и изги-
бающий момент Л4]. связаны
с функциями ф и ft выражениями
(127), (128), (137) и (211).
Рис. 239. Несимметричный профиль свар-
ного сильфона
Рис. 240. Кривые напряжений в сварном сильфоне несимметричного
профиля
Вдоль дуги меридиана напряженно-деформированное состоя-
ние изменяется по периодическому закону с периодом, равным
длине дуги одной волны профиля, поэтому условия периодичности
можно составить в виде выражений (263), выбрав в качестве то-
чек 0 и 7 любые две точки, расстояние между которыми вдоль
профиля равно длине дуги одной волны. Для численного решения
такой задачи на ЭВМ удобно использовать вариант циклической
прогонки [1, 80]. В точках контура соединения мембран, а также
по границам между участками должны выполняться условия со-
пряжения (214).
Результаты численного решения для сварного сильфона не-
симметричного'^профиля в виде дуг окружностей показаны на
рис. 240, где даны эпюры напряжений для верхней (7) и ниж-
ней (/7) мембраны волны сильфона при свободном ходе под дей-
ствием осевой силы Q. Как и для других видов сильфонов, наи-
большими являются меридиональные изгибные напряжения ст1н и
мембранные окружные напряжения ст20' Замкнутая форма эпюры ст1и
связана с выполнением условия сопряжения (214) в отношении
изгибающих моментов 7ИХ.
317
И. ЦИКЛПЧ) < КАЯ ПРОЧНОСТЬ СИЛЬФОНОВ
К Min му in ионных рабочих свойств сильфона относится цикли-
ческая прочноегь, под которой подразумевается число циклов,
выдерживаемое сильфоном при переменных нагрузках.
Исследование циклической прочности проводят в основ-
ном экспериментальным путем [29]. В ГОСТ 21482—76 и
ГОС Т 21754—76 приведены номограммы для определения числа
циклов до разрушения бесшовных и сварных сильфонов.
Традиционная оценка циклической прочности, принятая при
расчете деталей машин, основана на сопоставлении напряжений
цикла в опасной точке детали с пределом выносливости материала,
который определяют при испытании стандартных образцов. Од-
нако изучение усталостных характеристик материалов, применяе-
мых для изготовления сильфонов, на образцах практически не-
Рис. 241. Линии регрессии для бесшовных сильфонов:
а — нз сплавя 36НХТЮ; б —« иэ бронзы БрБ 2; (/ — доверительные
границы среднего значения циклической прочности для доверитель-
ной вероятности р — 0,90; 2, 3, 4 и 5 — линии минимальных зна-
чений циклической прочности при р = 0,90; 0,99; 0,995; и 0.999 со-
ответственно)
318
возможно из-за трудностей
точного воспроизведения в
образце механического со-
стояния материала сильфона.
Это связано с тем, что тех-
нология изготовления бес-
шовных сильфонов предоп-
ределяет существенный, раз-
брос величины пластической
деформации, а следователь-
Рис. 242. Диаграммы предельных циклов
для различных уроимей циклической прочности
но, и механических свойств
в разных точках сильфона.
Поэтому следует считать
целесообразным изучение
циклопрочности не на образцах материала, а на самих сильфонах,
которые испытывают при каком-нибудь определенном цикле на-
гружения (например, при пульсационном). В результате испыта-
ний сильфонов различных типоразмеров находят статистическую
связь между циклической прочностью и напряжением в опасной
точке сильфона. Наличие такой связи позволяет произвести оценку
усталостной прочности при любом другом цикле нагружения
сильфона [8, 53].
На рис. 241 показаны линии регрессии для бесшовных силь-
фонов, изготовленных из различных материалов [8]. Здесь o°KB
[МПа ] — эквивалентное напряжение в опасной точке, найденное
расчетным путем по методике, изложенной в п. 5; N —среднее
значение циклической прочности сильфонов при пульсационном
нагружении.
При расчете с помощью кривых (рис. 241) сильфонов,
работающих в произвольном цикле нагружения, необходи-
мо этот цикл привести к равнопрочному пульсационному
циклу.
Цикл изменения напряжений характеризуется коэффициентом
асимметрии г = , где omln и omax — минимальное и мак-
етах
симальное напряжения цикла. Для пульсационного цикла коэф-
фициент г = 0. Влияние коэффициента асимметрии цикла на
усталостную прочность обычно иллюстрируется с помощью
диаграммы предельных циклов оа = f (om), где ста и om —
амплитудное и среднее напряжения цикла (рис. 242)
[34, 71].
Заданный цикл (точка D на рис. 242) и пульсационный
(точка В) равнопрочны, если соответствующие им точки лежат на
одной и той же кривой предельных циклов. Чтобы получить ис-
комую связь между параметрами циклов с различными коэффи-
циентами асимметрии, можно воспользоваться предложенной Гер-
бером аппроксимацией диаграммы предельных циклов парабо-
лой, проходящей через точки А и С [102]. Тогда заданный асим-
319
метричпый цикл (/ / 0) приводят к равнопрочному пульсацион-
ному р ()) ( помощью следующего выражения 153]:
(264)
I Din ^t7
где b = ——; а = —-оЕ — предел прочности материала силь-
ев пв
фона; о0—максимальное напряжение равнопрочного пульса-
ционного цикла.
Формулу (264) можно применять только для тех циклов,
у которых па + от не превышает предела текучести пт (точнее—
предела пропорциональности опц) материала сильфона, поскольку
использованный метод расчета напряжений пригоден лишь в пре-
делах применимости закона Гука.
Расчет циклической прочности сильфонов осложняется тем,
что при нагружении сильфона в материале возникает двухосное
напряженное состояние. Вопрос о расчете на прочность при пере-
менных напряжениях в случае сложного напряженного состояния
еще нельзя считать полностью решенным. Существующие в на-
стоящее время гипотезы прочности при переменных напряжениях
в основном являются обобщением теорий предельных напряжен-
ных состояний при напряжениях, постоянных во времени [56,
85, 86]. В случае двухосного напряженного состояния при син-
хронном и синфазном изменении главных напряжений для нахож-
дения связи между напряжениями заданного и одноосного экви-
валентного циклов используют соотношение (239) теории энергии
формоизменения [71 ].
Применим эту методику к пульсационным циклам. Опреде-
лив сначала из условия нагружения сильфона параметры циклов
изменения главных напряжений ах и о2, приведем каждый из них,
используя соотношение (264), к равнопрочному пульсационному
циклу. Результирующее эквивалентное напряжение одноосного
пульсационного цикла, равнопрочного заданному, вычислим по
формуле (239):
Пэ°кв = ]Л(а?)2+«-« (265)
По величине эквивалентного напряжения ct°kb и приведенным
ранее линиям регрессии (рис. 241) пульсационных циклов нахо-
дим искомую циклическую прочность сильфонов.
В ГОСТ 21482—76 приведены 16 номограмм циклической проч-
ности сильфонов, полученные на основании экспериментальных
исследований. В качестве примера на рис. 243 и рис. 244 вос-
производятся номограммы (№ 1 и № 4) для сильфонов из сплава
36НХТЮ. Номограмма на рис. 243 построена для случая
нагружения сильфона переменным внутренним давлением, при
этом сильфон сжат на w — = const (или переменным наруж-
ным давлением и сильфон растянут на w — Лх = const). Штрихо-
320
Рис. 24Я. Номограмма циклической прочно-
сти для бесшовных сильфонов при р =
= var, А = const
Рис. 244. Номограмма циклической прочно-
сти для бесшовных сильфонов при р =
= var; А == var
вые кривые относятся к тем же сочетаниям нагрузок, но при этом
р = const, а Ах — var. Номограмма (рис. 244) соответствует
нагружению сильфонов переменным внутренним давлением и
переменным ходом на сжатие (при этом сильфон предварительно’
поджат на величину рабочего хода) или такими же нагрузками, но
противоположного знака.
На номограммах рраб и ргаах — рабочее и максимальное дав-
ление, при котором в сильфоне появляются пластические дефор-
мации; АХраб и АХтах — рабочий и максимальный ход одного
гофра сильфона под действием осевой силы. Величины ртах и
АХтах приводятсяв ГОСТ 21482—76.
По номограммам определяют у-процентный ресурс W?, кото-
рый имеет у % изделий [81; для рассматриваемого случая при-
нято у =98%. Среднюю циклическую прочность определяют
по формуле
1g ^ср = 1,25 1g ЛВ8. (266)
Пример 1. Определить ожидаемую циклическую прочность сильфона разме-
рами 48X 10X0,25 по ГОСТ 21482—76 (материал — сплав 36НХТЮ), на-
гружаемого переменным внутренним давлением от р=0 до р= 1,16 МПа
при ш = 0 (условие силовой компенсации).
Размеры сильфона: 7?н <=« 24 мм, Ря 16 мм, h0 = 0,25 мм; п= 10;
гн >=» гв 0,9 мм.
Решение. Используя формулы (231), подсчитаем геометричесткие пара-
метры сильфона:
А=-^=-^- = 1,5; т = -^- =-^-= 0,0562; 6 = А-=.-^-= 0,01562.
/\в Ав 1b
Vail Андреева Л. Е. 321
По поит piiMM.iM (рис. 203 и 204) находим безразмерные напряжения:
при г Л’,, (и10- = 6,25; (б20)р-102 = —0,87;
при f /\,ц ( *|г)Р* 10- — 5,90; (<т2о)р* Ю2 — —0,62.
Впадин.i 1ифра (/= /?и) нагружена более интенсивно. Определим напря-
жения при /> 1,16 МПа.
В нюня ц гпнп с формулой (243) и методикой решения, изложенной в п. 5,
находим напряжения в точках А и В сильфона (см. рис. 213):
„ _ (51и)Р^н 6,25 10-2 1,16-242 ... мп
п1и---------2----=--------------------= 668 МПа.
“о
Аналогично определим окружное мембранное напряжение о20 = —93 МПа.
Окружное изгибное напряжение находим, используя формулу (245):
<т2и « 0,3<т1и = 0,3-668 = 200 МПа.
С помощью табл. 17 установим знаки напряжений в точках А и В; по фор-
мулам (240) определим главные напряжения:
в точке А
«<т1и = —668 МПа;
<?2 — Изо -р ^зи = —93 —• 200 — —293 МПа;
в точке В
ох = 668 МПа;
<т2 = —93 + 200 = 107 МПа.
Так как цикл изменения главных напряжений в данном случае пульсацион-
ный, то о1} = <т1, сф = и эквивалентное напряжение согласно формуле (265):
в точке Аодкв = 580 МПа;
в точке Во^кв = 620 МПа.
Опасной оказалась точка В. Определим 1g <т°кв = 1g 620 = 2,792. Из
рис. 241, а находим lg N = 5,3, откуда ожидаемая циклическая прочность
N — 200 тыс. циклов.
Сопоставим данный результат с полученным по номограмме (рис. 243). Для
рассматриваемого сильфона по ГОСТ 21482—76 имеем ршах = 1,9 МПа. По
координатам ^раб = = 0,61 и Ах = 0 находим М98 = 25 000, Среднюю
Ртах 1 >9
циклическую прочность определим с помощью выражения (266): Л'ср = 316 000.
Пример 2. Определить ожидаемую циклическую прочность сильфона, рас-
смотренного в предыдущем примере, при других условиях нагружения: сильфон
предварительно поджат на 4,2 мм и нагружается переменным внутренним дав-
лением от р = 0 (при этом w = —4,2 мм) до р = 1,16 МПа (при этом w = 0).
Модуль упругости сплава 36НХТЮ Е = 2,1-10“ МПа; предел текучести от =
= 1300 МПа; предел прочности оЕ = 1450 МПа.
Решение._ По номограммам (рис. 201, 202) находим:
при г = R,. (a1H)aj= 9,28; (й2П)п, = 1,94;
при г = /?„ (<т1И)®= 8,52; (ст20)и, = 1,48.
По формуле (242) определим напряжения в сильфоне, если р = 0 и w =
= |4,2| мм:
при г = РЕ
Ы» = ((ДХ = 355 МПа;
(п2о)ш = (в2о)ш = 74’3 МПа;
при г = 7?н
(ОдХ = 326 МПа; (<т2о)а) = 56,6 МПа.
322
Таблица 31
Точка <т> 02 CTlm ° la °2т °2а со (Т° °экв
S S OJ 1 IIII р = 1,16 МПа; w = 0 Р = 0; ш == —4,2 мм w К to „'о IIII D. В
МПа
А —355 —668 -181 —293 —512 156 —237 56 356 118 314
В 355 668 32 107 512 156 69,5 37,5 356 72 326
С 326 —630 154 -255 -152 478 —50,5 204 870 409 750
D —326 630 -41 123 152 478 41 82 870 164 800
Напряжения в сильфоне под действием внутреннего давления р = 1,16 МПа,
когда ход w ~ 0, были определены в предыдущем примере:
при г — 7?в (<т1и)р = 668 МПа; (о20)р = 93 МПа;
при т = (^1н)р = 630 МПа; (ст2о)р — 66 МПа.
По методике, изложенной в п. 5, находим главные напряжения ог и <г2 для
двух случаев нагружения сильфона: 1) р = 0, ш = —4,2 мм и 2) р = 1,16 МПа;
w — 0.
Сопоставляя величины напряжений для двух случаев нагружения (ем.
табл. 31), отметим, что напряжения ot и а, в рассматриваемых точках сильфона
изменяются синфазно.
Определим амплитуду цикла
_ ___ max — Пппп
0(1---------я----
и среднее напряжение
От =
Отах + О min
2
Приводим циклы изменения напряжений Oj и о2 к равнопрочным пульсаци-
онным с помощью формулы (264). Значения максимальных напряжений о?
и пульсационных циклов и результирующее эквивалентное напряжение од-
ноосного цикла, определяемое по формуле (265), даны в табл. 31.
Опасной оказалась точка D, где а’кв = 800 МПа, 1g <г°кв = 2,903. Из
рис. 241 находим 1g N = 4,9, откуда ожидаемое значение циклической прочности
N = 85 000.
Определим циклическую прочность по номограмме (рис. 244). Для рассма-
триваемого сильфона по ГОСТу имеем Дшах = 1,05 мм и praax= 1,9 МПа. По
координатам -^2- =0,61 и ~Раб = = 0,4 находим М98 = 10 000.
Ртах Лтах Ьиэ
Используя выражение (266), находим МСр = 100 000.
Совпадение расчетных и экспериментальных значений циклической проч-
ности в обоих примерах оказалось удовлетворительным.
i/2H*
Г Л Л п Л I III
МАНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТРУБЧАТЫЕ ПРУЖИНЫ
1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА, конструкция,
СПОСОБЫ изготовления
В манометрических приборах используют свойство кривой
трубки деформироваться под действием давления. Обычно мано-
метрическая трубчатая пружина представляет собой тонкостен-
ную кривую трубку вытянутого поперечного сечения (рис. 245, а).
При подаче во внутреннюю полость давления поперечное сечение
трубки деформируется и принимает форму, показанную штрихо-
вой линией на рис. 245, б. При этом продольное волокно а—а
трубки переходит на дугу а'—а' большего радиуса, волокно
b—b — на дугу Ь'—Ь' меньшего радиуса. Поскольку волокна
стремятся сохранить свою первоначальную длину, попереч-
ные сечения трубки поворачиваются против часовой стрелки
(рис. 245, в), пружина разгибается, и ее конец получает некоторое
перемещение X. Последнее через передаточный механизм пере-
дается на стрелку прибора. В приборах силовой компенсации
пружина преобразует давление не в перемещение, а в усилие.
Манометрические трубчатые пружины чаще всего выполняют
в виде одновитковых пружин (пружин Бурдона), ось которых
представляет собой дугу окружности с центральным углом 200—
270° (рис. 246, а). Одновитковая пружина является наиболее
распространенным типом трубчатых пружин. Ее применяют
в показывающих, регистрирующих и регулирующих манометри-
ческих приборах.
По сравнению с сильфонами или мембранами трубчатые пру-
жины обладают малой тяговой силой. В большинстве случаев это
является недостатком трубчатых пружин, но иногда (например,
при измерении высоких давлений по схеме силовой компенсации)
слишком большая величина тяговой силы усложняет конструкцию
прибора. В этом случае вместо сильфона или мембраны целе-
сообразнее использовать трубчатую пружину.
В приборах, где требуются большие перемещения упругих
элементов, используют винтовые или спиральные многовитковые
трубчатые пружины (рис. 246, б и в). Технология изготовления
этих пружин сложнее, чем одновитковых, однако при их исполь-
зовании можно получить большие перемещения, что значительно
упрощает конструкцию передаточно-множительного механизма
прибора.
324
Спиральные пружи-
ны компактны и зани-
мают в механизме при-
бора почти столько же
места, сколько и одно-
витковые; их применя-
ют во многих промыш-
ленных приборах. Ши-
роко используют также
и винтовые пружины,
особенно там, где диа-
метр пружины ограни-
чен, например в глу-
бинных манометрах, из-
меряющих давление в
нефтяных скважинах.
Весь механизм такого
прибора должен быть
смонтирован в трубке
небольшого диаметра
при практически неог-
раниченной длине.
В некоторых случаях хорошее конструктивное решение прибора
может быть получено при применении так называемой S-образной
трубчатой пружины (рис. 246, г), конец которой перемещается
поступательно.
Пружины, изображенные на рис. 246, имеют сравнительно
низкую частоту собственных колебаний, что ограничивает их
применение в условиях пульсирующих давлений и вибраций.
Манометрические пружины замкнутой формы (рис. 247) более
виброустойчивы [42].
Интересно применение манометрических трубчатых пружин
в качестве кинематических элементов различных манипуляторов
и устройств для передачи движения в вакуум. На рис. 248 дана
схема вакуумного робота-манипулятора, осуществляющего пере-
мещения конечного звена по сложной траектории. В качестве
кинематических элементов здесь использованы пять манометри-
Рис. 246. Разновидности манометрических трубчатых пружин
Н Андреева Л. Е.
325
Рис. 248. Схема вакуумного робота-ма-
нипулятора
ческих трубчатых пружин: пружина 1 формирует движение в го-
ризонтальной плоскости; пружины 2 — в вертикальной; пру-
жины 3 служат захватами. Замена в подобных устройствах много-
звенных шарнирных механизмов и зубчатых зацеплений кинема-
тическими элементами в виде манометрических трубчатых пружин
позволяет существенно снизить трение, вес и увеличить надежность
устройства [3].
На рис. 249 изображены наиболее часто встречающиеся формы
поперечных сечений одно- и многовитковых трубчатых пружин.
Обычно поперечное сечение бывает плоскоовальным (рис. 249, а),
эллиптическим (рис. 249, б) или D-образным (рис. 249, в). Пружина
эллиптического сечения несколько сложнее в изготовлении, но
при одинаковых габаритных размерах обладает большей чувстви-
тельностью. Пружины D-образного сечения имеют меньшую
чувствительность, но более технологичны.
В тех приборах, где упругий элемент должен обладать мини-
мальным начальным объемом (например, в манометрических тер-
мометрах), используют трубки «гантелеобразной» формы сечения,
показанной на рис. 249, г.
Пружины с сечением в форме «восьмерки» (рис. 249, д) наиболее
прочные, их применяют для измерения повышенных давлений
(порядка сотен А4Па).
Для измерения высоких давлений (порядка тысяч МПа)
используют толстостенные пружины плоскоовального сечения
326
a)
Рис. 24 9. Поперечные сечения трубчатых пружин
(рис. 249, е). Принцип работы толстостенных пружин, как и тон-
костенных, основан на том, что под действием давления изме
няется форма поперечного сечения, что влечет за собой изменение
кривизны оси пружины. При этом в точках А и В сечения возни-
кают высокие напряжения, что ограничивает возможность исполь-
зования таких пружин для измерения более высоких давлений.
Для измерения давлений порядка десятков и сотен тысяч
мегапаскалей используют трубчатые пружины другой конструкции,
например пружины А. Г. Нагаткина. По внешнему виду эти пру-
жины мало отличаются от пружин Бурдона (рис. 250, а). Разница
состоит лишь в том, что внутреннее отверстие пружины Нагат-
кина имеет круглую форму, но расположено эксцентрично отно-
сительно наружного контура поперечного сечения (рис. 250, б).
Если пружина Бурдона изменяет свою кривизну из-за изменения
Рис. 250. Пружины с эксцентричным каналом '
11*
327
CD
Рис. 251. Витая труб-
чатая пружина и фор-
мы ее поперечных се-
чений
Рис. 253. Сечения трубчатых
пружин
Рис. 252. Навивка трубчатой
пружины с металлическим серде-
чником
формы поперечного сечения, то пружины Нагаткина разгибаются
потому, что под действием давления каждый элемент пружины
испытывает внецентренное растяжение, и, следовательно, в попе-
речном сечении возникает изгибающий момент. Упругая сила Р,
уравновешивающая давление р, приложенное к отсеченной части
пружины (рис. 250, в), равна Р — pF0 (Fo — площадь отверстия);
линия действия этой силы проходит через центр О отверстия.
Приведя ее к центру тяжести С поперечного сечения, получим из-
гибающий момент М = Ре и нормальную силу N = Р, здесь е —
расстояние между точками О и С (рис. 250, б и в). Изменение кри-
визны оси пружины будет пропорционально изгибающему мо-
менту /И, а следовательно, и величине давления р.
В манометрических приборах высокого давления нашли при-
менение так называемые «витые» трубчатые пружины, представ-
ляющие собой естественно закрученную трубку; ее внешний вид
и применяемые формы сечений показаны на рис. 251. Вследствие
деформации поперечного сечения под действием давления пружина
раскручивается вокруг центральной оси. Применение витых пру-
жин позволяет конструировать компактные приборы с простым
передаточным механизмом.
Для изготовления трубчатых пружин на низкое давление и при
отсутствии жестких требований по гистерезису применяют ла-
туни Л62, Л68 и оловянно-фосфорную бронзу БрОФ 4—0,25 (см.
табл. 1), а для пружин высокого давления — различные стали
(см. табл. 2).
Высокой прочностью, малым гистерезисом, стабильными во
времени свойствами обладают пружины, изготовленные из диспер-
сионно-твердеющих сплавов: бериллиевых бронз БрБ 2, БрБНТ 1,9
и др. (см. табл. 3). Применение этих материалов усложняет тех-
328
нологический процесс, поскольку вводится операция облагоражи-
вания, во время которой происходит дисперсионное твердение,
однако это окупается высоким качеством получаемых пружин.
Пружины из этих материалов работают при повышенных темпера-
турах (до 100—150° С). Для работы в условиях высоких темпера-
тур (до 200—300° С) и в агрессивных средах применяют пружины
из высококачественных сплавов 36I1XT1O, 42НХТЮ (см. табл. 3).
Наибольшее распространение имеет способ изготовления ма-
нометрических трубчатых пружин из цельнотянутых профилиро-
ванных трубок, получаемых волочением и прокаткой. Профиль
трубки-заготовки должен соответствовать форме поперечного се-
чения пружины. Для предотвращения искажения поперечного
сечения при формовке трубку заполняют, например, легкоплавким
металлом. После изгиба трубки на оправке заполнитель удаляют.
Более производителен способ навивки с металлическим сердеч-
ником (так называемой «шпагой») (рис. 252). При вращении
валика трубка, прижимаемая к валику роликом, изгибается по
дуге; при этом она стягивается с сердечника-.
Пружины с сечениями, показанными на рис. 249, ь, е, е, а также
толстостенные пружины на высокие давления (см. рис. 250) можно
выполнять без применения сердечника или наполнителя.
Изготовление цельнотянутой трубки-заготовки для .тонко-
стенных манометрических пружин весьма трудоемко. Вытяжка
тонкостенных трубок при малых допусках на толщину произво-
дится на сложном оборудовании при большом числе переходов
с промежуточными отжигами.
Иногда трубку-заготовку получают сваркой из листового ма-
териала (рис. 253, а и б). Разброс характеристик пружин одной
партии при этом может быть снижен, поскольку листовой мате-
риал имеет меньшие допуски на толщину по сравнению с’допу-
сками на цельнотянутые трубки.
Расположение сварных швов по концам большой оси сечения
(рис. 253, виг) упрощает технологию: получаемые штамповкой
профилированные полосы сваривают с последующей навивкой
пружины. Иногда для того, чтобы уменьшить искажение сечения,
производят сначала изгиб профилированных полос по отдель-
ности, а затем их сваривают в трубку. Экспериментальные иссле-
дования 182] показали, что пружины, сваренные по схеме рис. 253,
в и г, обладают более высокой чувствительностью, чем бесшовные
из цельнотянутых трубок.
Применение сварки позволило создать новые конструкции
манометрических трубчатых пружин [82 ]. При сварке трех и более
полос получают двухполостные и многополостные трубчатые пру-
жины (рис. 253, д). Перемещение конца такой пружины зависит
от соотношения давлений, подаваемых в каждую полость. С по-
мощью многополостных пружин можно решать задачи сложения.
Если же одну полость вакуумировать, то пружина будет измерять
абсолютное давление, подаваемое в другую полость-.
329
Среди многих работ, посвященных расчету манометрических
трубчатых пружин, следует прежде всего выделить работы
В. И. Феодш 1>ева [99], который, применив к решению этой задачи
метод Ритца, получил результаты в простой инженерной форме,
удовлетворительно совпадающие с экспериментом. Дальнейшее
развитие этот путь решения нашел в работах [18, 42, 114, 115].
Решения, в которых используется расчетная схема манометри-
ческой пружины плоскоовального сечения в виде двух жестко
соединенных друг с другом незамкнутых цилиндрических оболо-
чек, изложены в работах [69, 99, 127].
Б. Н. Васильев [33] исходит из уравнений тонкостенных
стержней, которые решает в тригонометрических рядах.
Исследование витых трубчатых пружин проводилось теорети-
ческим путем и экспериментально [20].
Расчет динамических характеристик одновитковых манометри-
ческих пружин дан в работах [18, 91, 128].
Ниже излагается решение манометрической трубчатой пру-
жины, методом Ритца [99]. Результаты численного решения за-
дачи о тонкостенной трубчатой пружине как незамкнутой обо-
лочки вращения, для которой в гл. V были получены дифферен-
циальные уравнения (139), изложены в п. 6 данной главы.
2. РАСЧЕТ МАНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЫ,
НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ
Определение деформаций трубчатой пружины. На рис. 254, а
изображены пружина Бурдона и ее сечение; в плоскости кривизны
оси пружины обычно располагается малая ось сечения.
Рассмотрим деформации, возникающие при работе пружины.
Под действием давления стенка пружины изменяет свою кривизну.
Если обозначить изменение кривизны средней линии поперечного
сечения в произвольной точке через А (1/р), то относительная
деформация в точке В волокна b—Ь, отстоящего на расстояние г
от средней линии (рис. 254, б),
S1 = ZA (-£-). (267)
При этом удлинение средней линии не учитывается. Деформа-
ция £г изменяется по толщине стенки по линейному закону. Рас-
пределение деформаций ег вдоль контура поперечного сечения
пружины можно представить, вырезав двумя близкими попереч-
ными сечениями участок пружины. Полученная замкнутая рама
будет искривляться под действием равномерно распределенной
нагрузки примерно по такому же закону, как и контур попереч-
ного сечения пружины Бурдона (рис. 254, б). На рис. 254, в по-
казан вид эпюры поперечных деформаций 8г во внутренних точках
поперечного сечения. Знаком «-]-» отмечены деформации удлине-
ния, знаком «—» — укорочения,
330
Рис. 254. Трубчатая пружина и ее деформации
Продольная деформация е2 также связана с изменением формы
поперечного сечения, которое под действием давления во внутрен-
ней полости пружины изменяется, приближаясь к окружности.
Если бы поперечные сечения пружины не поворачивались, то
произвольное волокно А В элемента пружины, выделенного двумя
близкими поперечными сечениями, перешло бы в положение A'D
(рис. 254, г). При этом радиус волокна увеличился бы с 7? + у
до 7? 4- у + w, где w — проекция перемещения точки А попереч-
ного сечения на ось у (рис. 254,5). Волокно АВ удлинилось бы
на величину отрезка CD.
В действительности, продольные волокна стремятся сохра-
нить свои первоначальные размеры, вследствие этого поперечные
сечения ОА и ОВ пружины получат относительный поворот на
угол d&, и волокно АВ займет положение А'В’. Деформация
волокна АВ
__ СВ1 __ CD — DB' __ w dQ — (у + ai) А1)
Е'2 — ~АВ ~ АВ ~ (R + </) de
331
Для б<) и.цини ina манометрических пружин радиус кривизны
центральной осн А? значительно больше малой полуоси b сечения,
поэтому и I/ А’. Полагая также w < у, получим
rfO
е2- ----•
Поскольку все участки пружины Бурдона находятся в одина-
ковых условиях (кроме узких областей вблизи мест креплений),
относительный угол поворота d^/dQ элемента пружины будет равен
относительному углу поворота Ау/у концевого сечения пружины
(рис. 254, а):
rfO _ Ду
dO — у
Поэтому выражение для продольной деформации е2 можно
представить в виде
Ду
еа=Г=£Г. (269)
Самые большие перемещения w получат окружные волокна /
(рис. 254, б), расположенные вблизи концов малой оси сечения.
Волокна II вблизи концов большой оси перемещаются в основном
в направлении оси х, и их длина при деформации сечения изме-
няется незначительно. Стремясь сократиться до первоначальных
размеров, волокна I встречают сопротивление волокон //; сжимая
их, волокна / сами остаются растянутыми. Распределение продоль-
ных деформаций е2 имеет в общем случае знакопеременный харак-
тер, как показано на рис. 254, б. Продольные напряжения ст2,
возникающие при работе пружины Бурдона, распределены по
сечению примерно по такому же закону, как и деформации е2.
Если сечение пружины симметрично относительно оси х
(рис. 254, б), то из условия равновесия части пружины, отсеченной
по некоторому поперечному сечению (рис. 254, д), следует, что
при нагружении пружины давлением в сечении возникает только
нормальная сила N = рРй (Го — площадь, ограниченная средним
контуром сечения), а изгибающий момент Мх отсутствует.
В пружине несимметричного сечения появляется изгибающий
момент Мх — pFoe, где е — расстояние от центра тяжести пло-
щади Го до центральной оси х поперечного сечения.
Итак, главным условием работы пружины Бурдона является
изменение формы контура поперечного сечения. Чем оно значи-
тельнее, тем больше угловое Ау и линейное X перемещения конца
пружины, тем больше ее чувствительность. Пружина круглого
сечения практически не чувствительна к давлению, так как кон-
тур ее поперечного сечения почти не деформируется под действием
давления. Чем больше вытянуто сечение, тем выше чувствитель-
ность пружины.
332
Большое влияние на чувстви-
тельность оказывает форма сечения
при одинаковых размерах осей 2» и
2Ь. Наивысшую чувствительность
имеет пружина с такой формой попе-
речного сечения, при которой дефор-
Рис. 2Б5. Формы поперечного сече-
нии пружины
мации в продольном направлении
одних волокон не будут стеснять де-
формации других. В этом случае все
продольные волокна, перемещаясь
вследствие искривления контура се-
чения под действием давления, смо-
гут сохранить свою первоначаль-
ную длину, и угол поворота Лу концевого сечения будет
наибольшим Для выполнения этого условия необходимо, чтобы
перемещения w были прямо пропорциональны расстояниям у
до оси х. Тогда в соответствии с выражением (269) и условием
отсутствия изгибающего момента в поперечном сечении пружины
продольная деформация в, = 0. При этом относительный угол
Av w tc'n
поворота концевого сечения пружины = — = —, где w„ —
увеличение малой полуоси b сечения.
Наибольшее приближение к этому условию можно получить
в конструкции сварной пружины, имеющей сечение формы 1
(рис, 255). Однако для большинства сварных и бесшовных пружин
условие пропорциональности перемещений w расстояниям у не
соблюдается, так как по концам большой оси сечения имеются
закругленные участки большего или меньшего радиуса, точки
которых получают небольшие перемещения w при значительных
величинах у.
Сечение эллиптической формы 2 имеет меньшие расстояния у
вблизи концов большой оси, чем плоскоовальное 5; этим объяс-
няется большая чувствительность пружин эллиптического сече-
ния. Пружины с формой сечения 4, с выпуклыми участками
по концам большой оси, обладают наименьшей чувствитель-
ностью.
Определение угла поворота пружины. При решении задачи
о нахождении перемещений манометрической пружины методом
Ритца [47, 991 исследуется на экстремум величина полной потен-
циальной энергии, которая зависит от деформаций Bj и еа, опреде-
ляемых выражениями (267) и (269), и работы сил давления на
возможных перемещениях, связанных с изменением объема вну-
тренней полости пружины. При этом функцию, определяющую
форму искривления среднего контура поперечного сечения пру-
жины, выбирают на основании предположения, что сечение пру-
жины Бурдона деформируется по такому же закону, как и сече-
ние прямолинейной трубки подобного профиля, находящейся
под действием давления,
333
Таблица 32
334
Рис. 256. Коэффициенты аир: сплошные
линии для плоскоовальиого сечения; штри-
ховые — для эллиптического
В решении [991 предполагается, что все участки пружины,
выделенные сечениями, нормальными к центральной оси, нахо-
дятся в одинаковых условиях и влияние концевых заделок пру-
жины не учитывается [82]. Считаются справедливыми обычные
в теории оболочек гипотезы о ненадавливании слоев и о неискрив-
ляемости нормали; предполагается, что линейная деформация
осевой линии трубки и средней линии контура поперечного сече-
ния отсутствует.
Далее в работе [99] считается, что толщина стенки пружины
незначительна по сравнению с малой полуосью сечения (й Ь)
а длина полуоси b мала по сравнению с радиусом кривизны цен-
тральной оси (й « /?) и что сечение пружины симметрично отно-
сительно осей х и у (см. рис. 254, б).
В результате решения, которое изложено подробно в работах
[5, 99], получена формула для относительного угла
конца пружины под действием давления:
Ау 1 — ц2 \ «
у р Е Ыг \ я3 / ₽ + -/? ’
где х — главный параметр пружины;
поворота
(270)
(271)
Параметры R, а, b и h показаны на рис. 254, а.
Для пружин эллиптического и плоскоовального сечений число-
вые значения коэффициентов а и р в зависимости от отношения
полуосей сечения alb даны в табл. 32 и на рис. 256.
Линейные перемещения конца пружины. Перемещения произ-
вольной точки криволинейного стержня удобно определить с по-
мощью интеграла Мора (16), который в соответствии с формулой
(12) можно представить в виде
х-[(тЬ-т)ладл
е
335
где Л‘ и Л', р.1 1и\с1.1 кривизны оси сУержйя до и после Дефор-
мации; </,s д. iiiii.i элемента оси (ds = R dO); Л1г — изгибающий
момент и произвольном сечении от единичной силы, приложенной
в направлении искомого перемещения.
Поскольку изменение кривизны есть отношение взаимного
угла поворота di) двух сечений к расстоянию ds между ними:
то выражение для X можно переписать в виде
X = jA41-^-d0. (273)
e
Изменение кривизны центральной оси пружины Бурдона,
нагруженной давлением, постоянно по ее длине, поэтому спра-
ведливо соотношение (268). С учетом данного соотношения выра-
жение (273) для перемещения X концевого сечения пружины Бур-
дона примет вид
I J
о
Относительный угол поворота Ау/у пружины под действием
давления находим по формуле (270).
Для определения радиальной составляющей перемещения
конца пружины приложим единичную силу в направлении ра-
диуса (рис. 257, а), тогда
Мг — \R sin 0;
v
л,. = R J sin 0 d0;
о
^ = ^-/?(l-cosy). (274)
Аналогично определим перемещение конца пружины в направ-
лении касательной:
^ = -^2?(у-sinу). (275)
Полное перемещение (рис. 257, б) находим как геометрическую
сумму:
X = J/XJ + XI = дг, „ (276)
где коэффициент
Г = |/ (1 — cos у)2 + (у — sin у)2.
Кривая изменения коэффициента Г в зависимости от величины
центрального угла у пружины показана на рис. 258.
336
Рис. 258. Кривые коэффициента Г и углов <р и ф
Заменяя в формуле (276) относительный угол поворота Ау/у
выражением (270), получим перемещение конца пружины в за-
висимости от давления:
, „ I — р2 Я3 1, &2 \ Га
Л р Е bh \ а2 ) р + х2 ‘
При проектировании прибора нужно знать положение центра
поворота конца пружины и направление полного перемещения.
Радиус поворота р можно определить как отношение полного
линейного перемещения X к углу поворота Ау конца пружины, т. е.
_____7 _ ЯГ,
Р Ду ~ у
Можно показать, что центр поворота находится в центре
тяжести дуги 7?у центральной оси пружины и, следовательно,
имеет координаты (рис. 257, в)
= л.„ = л(1-^-?)-
При деформации пружины положение центра поворота не-
сколько меняется.
Направление перемещения к перпендикулярно радиусу р.
Обозначим угол между направлением полного перемещения и ка-
сательной к оси пружины через ф (см. рис. 257, в). Тогда
<278)
Кривая изменения угла ф в зависимости от величины централь-
ного угла у пружины показана на рис. 258. У пружины с малым
337
Ряс. 259. Манометр с разделитель-
ным сильфоном
центральным углом у направление
полного перемещения близко к ра-
диальному. С увеличением угла у
направление перемещения конца
трубки приближается к касатель-
ному.
Пример 1. Определить перемещение кон-
ца пружины Бурдона плоскоовального се-
чения при давлении р = 0,7 МПа. Размеры
пружины: радиус центральной оси R =
— 52,3 мм; толщина стенки h — 0,66 мм;
полуоси поперечного сечения по среднему
контуру: а — 10,5 мм; b = 3,22 мм; цен-
тральный угол у = 240° (см. рис. 254, а).
Материал — латунь Л62; модуль упругости
Е = 1,16- 10s МПа; коэффициент Пуассона
р. = 0,3.
Необходимо [выяснить, как изменится
чувствительность этой пружины, если ее
сечению придать эллиптическую форму при
сохранении указанных выше размеров,
конца пружины найдем по формуле (277).
Решение. Перемещение
Для. этого сначала определим коэффициенты а, |3 и Г (рис. 256, 258). При
-у- = з gg = 3,26 Для плоскоовальной формы сечения а = 0,4б7 и (3 = 0,121;
при у = 240° Г= 5,3. Главный параметр трубки вычислим по формуле (271)
х =
Rh 52,30,66
а2 “ 10,52 —
Перемещение X в соответствии с выражением (277) X = 3,78 мм.
Для пружины эллиптического сечения коэффициенты а, и Р имеют следующие
значения (см. рис. 256): а= 0,481; Р= 0,045. Прогиб такой пружины в со-
ответствии с формулой (277) X = 5,96 мм.
Таким образом, чувствительность пружины эллиптического сечения в дан-
ном случае в 1,6 раза выше, чем у пружины плоскоовального сечения.
Изменение объема внутренней полости манометрической пру-
жины. Для расчета жидкостных манометрических приборов
нужно знать, на сколько изменяется объем внутренней полости
пружины Бурдона под действием давления. Изменение объема
АУ = А/7?у, где А/ — изменение площади, ограниченной средней
линией контура поперечного сечения, Ry — длина центральной
оси пружины. В результате преобразований этого выражения
получим [5, 99]
Значения коэффициента п даны в табл. 32.
С помощью формулы (276) изменение объема АУ можно выра-
зить через перемещение X конца пружины, т. е.
(280)
338
Пример 2. Измеряемое давление р передается в пружинный манометр через
разделительный сильфон (рис. 259). Определить ошибку в показаниях манометра,
которая будет иметь место, если предварительно не провести тарировки манометра
в комплекте с сильфоном.
Будем считать, что система заполнена несжимаемой жидкостью.
Размеры пружины Бурдона: R = 40 мм; а = 10 мм; b = 2 мм; h = 0,4 мм;
у= 270° (см. рис. 254, я); сечение — плоскоовальноо. Материал—бериллие-
вая бронза БрБ 2; Е = 1,35-10г’ МПа; )1 . = 0,3; Жесткость сильфона Кс =
= 5,20 Н/мм, эффективная площадь /' ,|, 800 мм2.
Решение. Из схемы (рис. 259) видно, что манометр измерит давление
жидкости pj, которое вследствие жесткости сильфона несколько меньше, чем
давление р измеряемой среды. Перепад давлений р— pt па сильфоне и явля-
ется искомой ошибкой. Относительная ошибка
г, = Р рР> 100%
(281)
Так как жидкость несжимаема, то объем, вытесненный сильфоном, будет
равен увеличению объема пружины Бурдона:
А1/С=ДИП. (282)
Изменение объема сильфона определяется в соответствии с формулой (7): .
АИС =/7эф^>
где ГЭф — его эффективная площадь.
Перемещение дна сильфона под действием разности давлений р — р1
, (Р — Pi) pst>
--------
Здесь Кс — жесткость сильфона по силе.
Изменение объема пружины Бурдона находим по формуле (279), которую
можно представить в виде
АИП = ^Pi,
где А — коэффициент, определяемый согласно формуле (279),
(283)
Тогда в соответствии с равенством (282) получим
(Р-Р1)^ф
Кс
Ари
откуда относительная погрешность согласно выражению (281)
(284)
Вычислим коэффициент А по формуле (283). Из табл. 32 при -у- = — = 5
находим п= 0,115; |3= 0,121. Главный параметр и подсчитаем по формуле
(271): % = 0,16. Следовательно, А = 440 м^/МПа.
Ошибка измерения будет равна в соответствии с выражением (284) т] =
= 0,36%.
339
3. И И ИВ IIPVJUIIII.I ЬУРДОНА ВНЕШНИМИ СИЛАМИ
Пружину Бурдона часто нагружают не только давлением р,
но и ин редоючепной силой или моментом, приложенными к ее
концу со стропы механизма прибора. Расчет пружины, находя-
щейся и таких условиях, можно произвести, пользуясь принци-
пом независимости действия сил. Например, перемещение конца
пружины Бурдона можно представить как сумму
X = \р 4- %q
где Zq и Хм — перемещения соответственно под действием
давления р, сосредоточенной силы Q и момента М.
Расчет пружины Бурдона, нагруженной давлением, изложен
в п. 2. Рассмотрим пружину Бурдона, изгибаемую сосредоточенной
силой Q и моментом М при давлении р, равном нулю.
Начнем с наиболее простого случая нагружения пружины
внешним изгибающим моментом М (рис. 260, а). Использование
в данном случае формулы (12), определяющей изменение кривизны
стержня при изгибе,
1____1_ _ _М_
Ri R ~ Е1Х ’
приводит к большому расхождению полученных значений с опыт-
ными. Расчет по формуле (285) дает заниженные результаты. Дело
в том, что поперечные сечения тонкостенной кривой трубки при
изгибе деформируются; это приводит к дополнительному увеличе-
нию кривизны трубки, не учитываемому формулой (285).
Если деформацию поперечного сечения исключить, вставив,
например, во внутреннюю полость трубки ряд жестких дисков,
и затем изогнуть трубку моментом М, то изменение кривизны
будет соответствовать величине, определяемой формулой (285).
Если из изогнутой трубки удалить диски, то поперечное сечение
сплющится (рис. 260, б, в). В результате волокна, расположенные
на наружной стороне трубки, переместятся на дуги меньших
радиусов (например, волокно А А перейдет в положение А'А'),
при этом волокна укоротятся, и напряжения растяжения в них
уменьшатся. Аналогично можно показать, что в волокнах, рac-
ai
Рис. 260. Изгиб пружины Бурдона внешним моментом
340
положенных ближе к центру кривизны трубки (например, в во-
локне ВВ), напряжения сжатия также уменьшатся. Таким обра-
зом, деформация поперечного сечения приводит к перераспределе-
нию внутренних сил. Чтобы момент внутренних сил оставался
равным внешнему изгибающему моменту, изменение кривизны
трубки должно быть больше, чем у трубки с недеформируемым
сечением.
Изменение кривизны оси тонкостенной трубки при изгибе ее
внешним моментом может быть найдено с помощью метода Ритца
так же, как и в случае действия давления. Решение этой задачи
при определенных допущениях было получено в работе [99],
где приведена следующая конечная формула х:
' 1 ___ 1 — И1 2 М
----KJ7- (286)
Здесь Jx — осевой момент инерции поперечного сечения пружины
Бурдона:
s
4
Jx = 4/i j у2 ds,
о
где S — длина средней линии контура поперечного сечения;
h — толщина стенки; у — текущее расстояние от оси х до беско-
нечно малого элемента дуги ds (рис. 254, б).
s
4
Вычисляя j у2 ds, получим для пружин плоскоовального
о
сечения
Jx = 4b*h(~- 1 +4)
х \ b '4 /
и эллиптического сечения
Jx = 4ab2h {Io — I2).
Значения разности эллиптических интегралов /0 — /3 при-
ведены в табл. 32.
Коэффициент К, связанный с увеличением изменения кривизны
пружины при деформации контура поперечного сечения
rz__ Р + к2
где [;
в табл.
При
кривизны
и £ — коэффициенты, величины которых приведены
32; к — — главный параметр пружины (271).
чистом изгибе пружины Бурдона моментом М изменение
1 1 „
------д- в каждой точке оси пружины одинаково;
1 Если опустить допущение о нерастяжимости среднего контура попереч-
ного сечения, то вместо I—и,2 в формуле (28G) будет I [33].
341
Рис. 261. Изгиб пружины Бурдона
внешней силой Q
относительный угол поворота кон-
цевого сечения определяют в соответ-
ствии с соотношениями (268) и (272):
или с учетом выражения (286):
= (287)
где В — жесткость пружины Бур-
дона при изгибе;
5 = (288)
Линейные перемещения конца пружины могут быть выражены
через относительный угол Ау/у поворота концевого сечения
с помощью тех же геометрических зависимостей (274)—(276),
как и в случае нагружения пружины давлением р.
Если изгиб пружины Бурдона происходит под действием
внешней силы Q, приложенной к ее концу (рис. 261), то изги-
бающий момент в произвольном сечении MQ = Qx, где х —
плечо силы Q. В этом случае изменение кривизны, пропорциональ-
ное изгибающему моменту, будет переменным по оси пружины.
Перемещение конца пружины в заданном направлении АА можно
найти с помощью интеграла Мора (273):
v
А, = j d®,
о
где Alj — момент от единичной силы, приложенной к концу пру-
жины Бурдона в направлении искомого перемещения. Угол пово-
рота в соответствии с выражениями (272) и (287)
\ /<1 к / D
Подставив в выражение для X, получим
т
% = 4 J dB. (289)
о
Разложим силу Q на составляющие Qr и Qz, направленные по
радиусу и по касательной к оси пружины в концевой точке.
Тогда изгибающий момент в произвольном сечении от сил Qr и
Мо_ = QrR sin 0 + QtR (1 — cos 0).
Для определения радиальной составляющей \г полного пере-
мещения конца пружины следует единичную силу направить
342
по радиусу. Изгибающий момент от этой силы в произвольном
сечении
Мг = )/? sin О
Подставив значения моментов 11 Л41 в выражение (289)
и проинтегрировав, получим
Xf = §-(Qr6rr | Qz6fZ) (290)
Аналогично можно определить составляющую перемещения
в направлении касательной:
Xz = ^(QAf-| QZSZZ). (291)
В выражениях (290) и (291) коэффициенты податливости
V
8rr = j sin50 d0 == -у- (у — sin у cos у);
о
v
= 8tr = j sin 0 (1 — cos 0) d0 = 1 — cos у---------y sin2y; . ^92)
о
v
6ZZ = j (1 — cos 0)2d0 = (Зу — 4 sin у + sin T cos ?)•
0
Полное перемещение
A, = + X?.
4. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ (ТЯГОВЫЕ) УСИЛИЯ
Важной характеристикой манометрической пружины является
величина перестановочных, или тяговых, усилий, которые раз-
вивает пружина под действием давления, когда перемещение
ее конца встречает сопротивление со стороны механизма прибора.
Если конец пружины Бурдона закрепить неподвижно и подать
в пружину давление, то кривизна центральной оси пружины не
изменится, а момент, с которым она будет воздействовать на
заделку, будет равен величине тягового момента. Поскольку тяго-
вый момент вызывает такое же изменение кривизны оси пружины,
как и давление, то он может быть найден из равенства
(J______L\ * __L\ .
\ R / р \ Ri R / мт
Здесь --------L-} — изменение кривизны пружины под дей-
\ Al J р
ствием давления р, а (-5-------о-)., —то же, под действием
\ К / Л1,г
внешнего момента Л4Т.
343
Рис. 262. Определение тягойой
силы при ограничении переме-
щения в одном направлении
Изменение кривизны ---------определяют из формул
\ «1 Л / р
(270) и (272):
/ 1 1 \ _ Ау ___ 1 — р.2 7? /. 62\ а
\ 7?! R)p~"Ry~P Е ~bh V ~ "а*"/ ₽ + '
Изменение кривизны от действия внешнего момента в соответ-
ствии с формулами (286) и (288)
/J_____1\ =Мт
\ 7?! R /Мт В
Приравнивая правые части этих .выражений, получим формулу
для тягового момента в виде
М, = 24pXab (1 • (293)
Коэффициенты £ и £ зависят от формы поперечного сечения;
их значения приведены в табл. 32.
Если конец пружины Бурдона может поворачиваться и пере-
мещаться в направлении оси 2, а перемещение в направлении оси 1
невозможно (рис. 262, а), то под действием давления пружина
Бурдона будет развивать тяговую силу направленную по
оси 1 (рис. 262, б).
Определим тяговую силу Q, на конце пружины в радиальном
направлении. Радиальное перемещение от действия давления р
по абсолютной величине должно быть равно перемещению в этом же
направлении от действия силы Qr:
I Кр I — I ^rQ |-
Перемещение X р от давления р определяют с помощью формул
(270) и (274):
Перемещение ErQ от силы Q, находят по выражению (290),
положив в нем Qt = 0, в этом случае
344
Приравняв величины \гР и X,fQ, после преобразований полу-
чим следующее значение тяговой силы Qr:
(294)
где Л1т — тяговый момент, определяемый выражением (293).
Аналогично находим тяговую силу Q(, развиваемую пружи-
ной, если запрещено линейное перемещение по касательной к осн
пружины:
О,^рл(1 --5-)-^= (295)
Коэффициенты ГЛ и Г; зависят от величины центрального
угла у пружины и определяются следующими выражениями:
р _ 48 (1 — cos у) . р _ 48 (у — sin у) _
' у — sin у cos у ’ г Зу — 4 sin у -|- sin у cos у '
Их числовые значения можно.определить по кривым (рис. 263)
Коэффициенты £ и | зависят от формы поперечного сечения
пружины и приведены в табл. 32.
Определим тяговую силу, которую будет развивать пружина,
если ее конец закреплен шарнирно, т. е. может поворачиваться,
но не может перемещаться в каком-либо направлении (рис. 264, о).
345
Рис. 264. Определение тяговой силы прн шарнирном креплении конца пружины
Если освободить пружину и нагрузить ее давлением, ее конец
получит некоторое перемещение '/.р (рис. 264, б). Сила QT, равная
тяговой силе и приложенная в противоположном направлении
к концу свободной пружины, вызовет перемещение Хд = \р
(рис. 264, в). Величину тяговой силы можно найти из условия
равенства перемещений Хр и XQ и соответственно их проекций
на направления радиуса и касательной.
Согласно выражению (274) проекция полного перемещения
на радиус пружины
КР = -^ 7?(1 -cosy).
Проекция перемещения XQ на это же направление в соответ-
ствии с выражением (290)
где QTr и — проекции тяговой силы QT на радиальное и каса-
тельное направления; и 6гг — коэффициенты податливости,
определяемые формулами (292).
Приравнивая выражения для ХгР и XrQ, получим уравнение
с двумя неизвестными QTf и QT<. Второе уравнение с теми же
неизвестными можно получить аналогично из условия равенства
проекций перемещений Хр и Xq на направление касательной.
Решая совместно эти уравнения, найдем проекции полной тяговой
силы QT на направления радиуса и касательной:
О =nabh-—} Zq' =
~ Рао\^ а2 ) g + z2 24/? ’
О --- nah (\ b2\
4.rt — pat) / g + — 247? ’
Полная величина тяговой силы
& = /$/ + <&• (296)
346
Угол ф между касательной к осп пружины и направлением
полной тяговой силы (рис. 264, в) определим из выражения
<297>
где
= (1 — cosy) 6<z - (у - sin у) Ciri 24.
_ (V— sin y) 6„ —(1 - cos y) dz,- 24
Кривые изменения этих коэффициентов показаны на рис. 263,
а угла ф — на рис. 258. Эти углы соответственно определяют
направление полной тяговой силы и направление перемещения
конца пружины при его свободном движении под действием
давления. Для пружин с небольшим центральным углом у угол ф
примерно вдвое больше угла ср. С увеличением у разница в направ-
лениях перемещения и тяговой силы уменьшается, и для трубки
с центральным углом у = 360° эти направления совпадают.
Если пружина Бурдона под действием давления сначала пере-
мещается свободно, а затем при некотором давлении рп встречает
упор, то возникающая при дальнейшем увеличении давления
тяговая сила может быть вычислена по формулам (294), (295)
или (296) в зависимости от того, в каком направлении ограничи-
вает упор дальнейшее перемещение конца пружины. В этом случае
вместо давления р в формулы следует подставлять разность
Р — Ро-
Если конец трубки Бурдона закреплен упруго (например, он
соединен с плоской или винтовой пружиной), тяговая сила,
с которой трубка Бурдона будет воздействовать на пружину,
зависит от жесткости и расположения пружины и может быть
определена из условия равенства перемещений трубки Бурдона
и пружины.
Пример 1. Определить величину начального натяжения винтовой цилиндри-
ческой пружины, необходимую для того, чтобы пружина манометра с безнуле-
вой шкалой начала работать'при давлении р0 = 3 МПа (см. рис. 42, б). Размеры
пружины Бурдона заданы: R = 35 мм; а = 7 мм; b = 1 мм; h = 0,5 мм;
7= 270°. Сечение плоскоовальиое. Материал — латунь Л62; Е = 1,16 X
X 1 О’’МПа, ц = 0,3. Жесткость винтовой пружины Кп — 1,3 Н/мм.
Определить перемещение конца трубки Бурдона по направлению касатель-
ной к ее оси при увеличении давления до р± = 4 МПа.
Реш (ни е. Начальное натяжение Qo винтовой цилиндрической пру-
жины должно быть выбрано так, чтобы при давлении р < р0 трубка Бурдона
оставалась неподвижной, т. е. чтобы тяговая сила QT, развиваемая трубкой
Бурдона, была меньше силы Qo начального натяжения винтовой пружины. Тог-
да конец трубки Бурдона будет прижат к неподвижному упору с силой, равной
Qn Qt*
При р = р0 величина тяговой силы равна силе предварительного натя-
жения цилиндрической пружины; при этом конец трубки'/Бурдона еще непод-
вижен, ио сила контакта'между трубкой и упором равна нулю: Qo — QT = 0.
347
Ill >тог<> ycjtiniiu и ibiMiiiiiM силу Qo предварительного натяжения цилиндриче-
ской ПППГОНОЙ Пру.I.ИНЫ
Qo= [Qt]p=Po.
При дин цини р > р0 тяговая сила становится больше силы натяжения пру-
жины, ।рубка Бурдона отрывается от упора и совершает ход.
Гик инк винтовая цилиндрическая пружина в данном случае ограничивает
перемещение конца трубки Бурдона только по направлению касательной к цен-
тральной оси трубки, для определения тяговой силы следует воспользоваться
выражением (295).
Коэффициенты £ и ? находим по табл. 32: для пружины плоскоовального
сечения при -у- = 7 g = 0,488 и £ = 0,0602. Коэффициент Г; определим по
кривой (см. рис. 263): при у= 270° Г/= 15,1.
Главный параметр и трубки Бурдона
х = ^=-^-= 0.357.
Подставляя в выражение (295) р = р0 = 3 МПа, находим величину началь-
ного натяжения винтовой цилиндрической пружины Qo = 30,4 Н.
Определим перемещение Kt конца пружины по направлению касательной при
увеличении давления до pv Винтовая пружина при этом растягивается также на
величину X/. В конечном положении на трубку Бурдоиа действуют давление р±
и сила натяжения винтовой пружины, которую можно представить в виде
Qi = Qo + КЛ, (298)
где Кп—жесткость винтовой пружины.
Величина КПХ; представляет собой увеличение упругой силы винтовой ци-
линдрической пружины при ее растяжении на Kt.
Перемещение трубки Бурдона
Xz=Xrp-X?Q, (299)
где Х;р — перемещение по касательной конца трубки Бурдона при изменении
давления от р0 До Pi, ^tQ — перемещение при изменении силы от Qo до
Если обозначить чувствительность по давлению трубки Бурдона в направле-
нии касательной через 6;р, а по силе 6^q, то перемещения А.;р и /.(о будут
^tp — 6/р (Pi р«) и X/q = 6/q (Qi — Qo).
Подставив выражения Х/р и Х/q в равенство (299), получим
= ^tp (Pi — Ро) — б/q (Qj — Qo).
Заменим Qj в соответствии с формулой (298):
= &tp (Pi — Ро) — &tQ•
Отсюда искомое перемещение
• <30°)
1 *г o^QAn
Чувствительность 6/р по давлению в направлении касательной определим
в соответствии с выражениями (2) и (275):
s 1 — ц2 R3 / Ь2 \ а (у — sin -у)
ip ~ Е bh \ а*) ₽ + х2
Коэффициенты а и Р находим по табл. 32: при -у- =7 а = 0,372 и Р =
= 0,120. В этом случае чувствительность по давлению 6/р = 5,64 мм/МПа-
348
Чувствительность 6,л трубки Бурдона по силе можно определить с помощью
выражения (291) при Qr = 0:
О X/ W!’6.T
°tQ =
____________
Qt ~ Ti •
Но чувствительность по силе можно определить и более простым путем.
При давлении р = р0 на трубку Бурдона действует сила Qo начального натя-
жения винтовой пружины, равная тяговой силе Qt. Так как при этом конец трубки
Бурдона остается неподвижным, то, следовательно, перемещения от давле-
ния Ро и от тяговой силы Qo равны, т. е.
откуда
Ti 5-,i4 Д7ГТ ’ °"™ мм/11.
Vo OU л
Подставляя найденные числовые значения в выражение (300), получим иско-
мое перемещение конца пружины Бурдона:
. (4 —3)-5,64
1 1+0,556-1,3
= 3,27 мм.
5. НАПРЯЖЕНИЯ В МАНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРУЖИНЕ
В соответствии с основными гипотезами теории оболочек
напряженное состояние манометрической трубчатой пружины
можно считать двухосным (рис. 265, а). Напряжения Од и о2
связаны с соответствующими деформациями Ej и зависимостями
закона Гука [101]:
аг = Т-р (S1 +
СТ2 = 1 _ ,,5 (Ё2 + Р®1)-
* г
Заменив в этих уравнениях величины и е2 в соответствии
с выражениями (2G7) и (269), получим после ряда преобразований
формулы для напряжений (jjH о2в произвольной точке наружного
и внутреннего контуров поперечного сечения [5]:
где р — рабочее давление; R — радиус центральной оси пружины;
, Rh
а и о — полуоси сечения; х = ----главный параметр пру-
Рис. 265. Напряжения в пружине Бурдоиа
349
живы; h — толщина стенки; Q и Ф — функции положения Точки
на контуре, определяемого координатами х и ф (рис. 265, б).
Кривые й л Ф показаны на рис. 266, а коэффициент |3 в табл. 32.
Знак « | » в выражениях (301) соответствует наружным z =
= +-|“), а знак «—» — внутренним (z =------точкам попереч-
ного сечения пружины (рис. 265, б).
Пример 1. Вычислить напряжения и о2 для пружины плоскоовального
сечения с размерами: R = 40 мм; а — 4 мм; b = 1 мм; h = 0,16 мм при дав-
лении р = 1 МПа. Коэффициент Пуассона материала р = 0,3.
п Rh 40 0,16
Решение. Определим главный параметр пружины и = ~
= 0,4. По табл. 32 находим коэффициент 3: при -у- = 4 (5= 0,121.
Подставив числовые значения в формулы (301), получим
о1 = 1000 (1,5Ф ± Q);
о2 = 1000 (5Ф ± 0,3Q).
Функции Q и Ф определяют по кривым (рис. 266). Результаты вычисле-
ний приведены в табл. 33. В ней, кроме того, даны величины напряжений Oj
и <т2 в наружных и внутренних точках сечения пружины, а также величины
эквивалентных напряжений, подсчитанных по формуле (154) энергетической
теории.
Опасными оказались точки А и В (см. рис. 265, б) по концам большой оси
сечения, где оЖв = 511 МПа.
Таблица 33
Координ аты точки х; (р Ф £2 Наружный контур Внутренний контур
01 с2 °экв 01 с2 °экв
МПа
х = 0 0,0491 0,425 499 373 449 —351 118 423
х = 1/4 (а—Ь) 0,0417 0,387 449 325 402 —324 92 379
х = 1/2 (а—Ь) 0,0210 0,275 306 188 268 —243 22 255
х = 3/4 (а—Ь) —0,0097 0,0875 73 —22 86 —102 —75 92
х = а—Ь; ф = 0 —0,0423 —0,175 —238 —246 252 111 —159 235
ф = 30° —0,0517 —0,375 —452 —371 418 297 — 146 391
ф = 60° —0,0348 —0,521 —573 —330 498 469 —18 478
ф = 90° 0 —0,575 —575 —172 511 575 172 511
ф = 120° 0,0348 —0,521 —469 18 478 573 330 498
<р = 150° 0,0517 —0,375 —297 146 392 452 371 417
ф = 180°; 0,0423 —0,175 —111 159 235 238 264 252
х — а—Ь х = 3/4 (а—Ь) 0,0097 0,0875 102 75 92 —73 22 86
х = 1/2 (а—Ь) —0,0210 0,275 243 —22 255 —306 —188 268
х = 1/4 (а—Ь) —0,0147 0,387 324 —92 379 —449 —325 402
х — 0 —0,0491 0,425 351 —118 423 —499 —373 449
350
Рис. 266. Кривые функции й (сплошные линии) и Ф (штриховые линии)
351
Рис. 267. Схема жидкостного маномет
рического термометра
Анализ эпюр распределения
напряжений и данные экспери-
мента для пружин различных ти-
поразмеров показывают, что поло-
жение опасных точек по концам
большой оси сечения является
наиболее распространенным. В
этих точках ср = 90° и соответ-
ственно Ф = 0. Тогда
*2 \ 3
Я3 / Р +
02 = РФ,
-=-Q;
X2
и напряжение пэкв в точках А и В
при ц = 0,3
2,66
Р+Х=
|Q|.
(302)
Значения коэффициента Q
овального сечения приведены
при ср = 90° для пружин плоско-
ниже:
а
Т.................
|Я|.................
а
~Ь~ •
IQI.................
1,5 2 3 4 5
0,446 0,494 0,547 0,575 0,593
6 7 8 9 10
0,605 0,613 0,620 0,625 0,629
Пример 2. Пружина Бурдона жидкостного манометрического термометра
(рнс. 267), измеряющего температуру в интервале от 0 до 300° С, имеет следую-
щие размеры: радиус кривизны оси пружины R= 19,2 мм, большая н малая
полуоси плоскоовального сечения а = 4,8 мм и b = 0,8 мм, центральный угол
пружины у = 270°, материал пружины — сплав 36НХТЮ, модуль упругости
Е = 2-106 МПа, предел упругости оу= 700 МПа. Коэффициент линейного
расширения материала термобаллона at = 11,7-10~6 1/°С. Объем термобаллона
V = 585 мм3. Жидкость, заполняющая систему, — ртуть, объемный коэффи-
циент расширения которой ф = 1,81-10~4 1/°С.
Определить полный ход пружины н подобрать толщины стенки из расчета на
прочность при коэффициенте запаса по пределу упругости не менее 1,7.
Решение. При нагреве термобаллоиа иа kt ртуть расширяется на
РЖА/, а термобаллон увеличивает свой объем на ЗаЖА/. Следовательно, объем
ртути, вытесненный при нагреве из термобаллона, составит
ду = (р, _ 3at)VM = 26,6 мм3.
На столько же увеличится объем внутренней полости пружины Бурдона.
При этом конец пружины совершит ход, величина которого связана с изменением
объема зависимостью (280):
ДИ» >2^(1-^.)^- .
352
При = 6. коэффициент а 0,388 и я = 0,126 (см, табл. 32).
U V ) о
По кривой (см. рис. 258) находим, что при у 270° коэффициент Г = 5,8 Сле-
довательно, ^перемещение конца пружины
, ЛУаГ 26,60.388'5,8 „
Л =--------------р---- --------------------------:---------= 2,25 мм.
12айу (,! —п 12-4,8 0,8' 1,5л (1 — 0.126
Для пружины плоскоовального сечения опасные точки расположены обычно
по концам большой оси сечения, где угол ф 90° (см. рис. 265). Эквивалентное
напряжение в этих точках можно найти по формуле (302). Давление р заполняю-
щей систему жидкости связано с перемещением Л соотношением (277). Исключив
из них давление р, получим равенство, из которою находим толщину h:
, 1 — р,2 <гЖ), Га
Е b к 2,66 |Q) ’
Примем коэффициент запаса ny = 1 75. Тогда допускаемое напряжение
[о] = .£у =2°° = 400 МПа. При-£-= 6 и ср = 90° имеем Q =0,605.
J Пу 1,75 г Ь
Подставляя числовые значения в последнюю формулу, получим Л = 0,62 мм.
Следует иметь в виду, что метод Ритца при определении напря-
жений дает значительно большие погрешности, чем при определе-
нии перемещений или тяговых усилий. Поэтому приведенные
здесь формулы (301), (302) могут быть использованы лишь для
приближенной оценки величин рабочих напряжений.
Более точный анализ напряженного состояния манометриче-
ской трубчатой пружины осуществляется на основе представле-
ния пружины как тонкостенной незамкнутой оболочки вращения,
для которой в гл. V были получены дифференциальные урав-
нения (139).
Определение напряжений в манометрических трубчатых пру-
жинах приведено также в'работах [33, 118, 128].
6. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Расчет манометрической трубчатой пружины как незамкнутой
оболочки вращения. Если не учитывать влияния концевых сече-
ний, то манометрическую трубчатую пружину можно рассматри-
вать как незамкнутую в окружном направлении оболочку враще-
ния (см. рис. 88, гл. V) и применять для ее анализа соответству-
ющие уравнения теории тонкостенных оболочек вращения.
В гл. V дан вывод уравнений (139) для тонкостенной оболочки
вращения. При выводе этих уравнений использовались только
обычные гипотезы теории тонкостенных оболочек, поэтому допу-
щения, принятые при решении данной задачи приближенным мето-
дом (п. 5), снимаются, кроме гипотез о неизменности нормали
и о ненадавливании слоев оболочки друг на друга.
Результаты численного решения уравнений (139) для трубчатых
пружин хорошо совпали с экспериментальными данными как по
прогибам, так и по напряжениям.
353
Рис. 268. Определение изгибающего
момента
Рис. 269. Расчетная схема
плоскоовального сечения
Уравнения (139) получены для оболочки переменной толщины
с произвольной формой меридиана. Поэтому в отличие от извест-
ных решений для трубчатых пружин, здесь по единому алгоритму
может быть решена задача о пружине с любой формой попереч-
ного сечения (см. рис. 249, а—о).
В уравнения (139) входит величина % — относительное изме-
нение центрального угла оболочки, определяемое выражением
(119). В зависимости от условий работы трубчатой пружины %
может быть задано или является искомой величиной. Если пру-
жина совершает свободное перемещение под действием давления,
то % — искомая величина. Для нахождения % систему (139) до-
полняют условием равенства нулю момента внутренних сил
в поперечном сечении относительно оси у, проходящей через
центр тяжести С площади Fo, ограниченной средней линией
контура сечения. Из условия равновесия части пружины следует,
что через точку С проходит равнодействующая сил давления,
а следовательно, и равнодействующая внутренних сил в попереч-
ном сечении. Поэтому при отсутствии внешнего изгибающего мо-
мента момент внутренних сил
М — (Л43 sin 0 -ф ЛДг) ds (303)
будет равен нулю. Здесь М2 и М2 — интенсивности изгибающего
момента и нормальной силы в окружном направлении; х — рас-
стояние от бесконечно малого элемента дуги ds до оси у (рис. 268).
Относительное изменение центрального угла X определяет
чувствительность пружины, нагруженной давлением. Зная вели-
чину х, можно определить линейные перемещения конца пружины
с помощью геометрических соотношений (274)—(276), в которые
вместо Ау/у следует подставить —%
Если пружина работает в условиях силовой компенсации,
когда ее торцовые сечения взаимно неподвижны, относительное
изменение центрального угла равно нулю и величина X = 0.
В этом случае обычно интересуются тяговым моментом Л4Т, вели-
354
чина которого равна реактивному изгибающему моменту, при-
ложенному к торцовым сечениям пружины (п. 4).
Величину тягового момента можно найти с помощью выраже-
ния (303), где внутренние силовые факторы /И2 и N2 определяются
из численного решения разрешающих уравнений (139) при % = 0.
Осевое усилие Va находим из условия равенства вертикальных
перемещений точек О и I, расположенных по краям разреза:
= Wj (рис. 268).
Манометрическая трубчатая пружина представляет собой обо-
лочку замкнутого профиля, для которой напряженно-деформиро-
ванное состояние обладает свойством периодичности. В этом слу-
чае при численном решении уравнений (139) удобно использовать
метод циклической прогонки.
В уравнения (139) входят геометрические функции: р = -----
безразмерный радиус и 0О — угол между нормалью к срединной
поверхности и осью вращения оболочки. Безразмерная дуга ме-
ридиана £ = -^- является независимой переменной.
В качестве примера определим эти функции для пружины плоскоовального
сечения (рис. 269). Пусть известны геометрические размеры:/?, а и Ь. Выберем
начальную точку О посредине прямолинейного участка. Точками сопряжения А,
В, С, D и точкой О профиль пружины делится на 5 участков.
, / „ „ п — b \ , Ь „ л
I участок (^0 CL < —р=1— —; 0О= ——.
т т /а — b а — Ь4- лЬ \ . , , Ь . .
11 участок < S <----р = 1 + -у sin 0О;
0о =-у-[^-(“-*)!-т-
т т т / а — b + nb v 3 (а — 6) -ф \ . , , b п л
III участок ---); Р=н-^-; 00 = J •
На остальных участках функции определяются аналогично.
Сопоставление результатов расчета и эксперимента. В табл. 34
приведены результаты расчета относительного углового перемеще-
ния х= —у по формулам (270) В. И. Феодосьева, Б. Н. Васильева
[33 ] и результаты расчета по предлагаемому в настоящей работе
численному методу. В большинстве случаев наименьшее расхо-
ждение с экспериментом, приведенным в работе [122 ], дает числен-
ный метод. Это же подтверждают и величины среднеквадратичных
отклонений расчета от эксперимента, которые соответственно
равны: при расчете по формуле (270) стф = 20,8, по формулам
работы [331 ств = 16,7, численным методом ст = 9,2.
На рис. 270 и 271 показаны расчетные кривые и эксперимен-
тальные значения напряжений для пружин плоскоовального
и ромбовидного сечений. Эпюры меридиональных стх и окружных ст2
напряжений в точках наружной поверхности пружины построены
вдоль развернутой дуги профиля так, что точки А, В ... С на оси
355
Таблица 34
00
сю т-^ b,
со" со" lo"
СО
D S СО
LO ~
СО LQ Г"-"
CM СМ
СМ
со *—< СМ со о CD ю СО СО О со CD СМ см О Tt4 LO
м <1 2 ем со 00 ю со ю 1 "Ф СМ ю см см «-Н 00 CD >—н 00 1 —* Ю CM CM CM
. е О CD СТ) со о со 00 СТ) со О о СО ю Ф 00 о CD 00 о
0 <1 см ь- 00 cd 28, о 1 у 00 7 г—. о —42, —52, —23, 7 СО СМ —23, о CM
о ,331 ,294 ,995 ,179 ,810 ,606 ,381 ,481 ,222 ,749 8 ,270 ,298 ,026 ,919 ,306 ,619 ,237 IS6' ,642
?М о 1 О 1 О 1 7 О О 1 СО 1 СМ LO у у у 00 у 1—Н су у CM CM 1 CM
sO I со со со ,319 о ’’f о ,270 ,940 ,665 ,330 ,420 ,590 ,885 ,650 ,920 ,800 ,430 ,165 ,225 ,790 ,535 о CD О о Q Ю ,020
Хв- о 1 О 1 7 7 О 1 О со 7 см 1 to 7 7 7 7 7 СМ СМ 7 7 CO 1 CO 1
10» со со ,302 ,992 со со 00 ,635 ю ,255 со ^7 ,465 ,712 .28 ,42 ,843 ,57 ю ,285 ,57 ,35 ,97
ФХ о о О 7 о 1 О со см LQ 7 7 1-Н 7 у О 1 7 7 7 у CM 7
10» CD со ,256 ,911 511' ,793 ,493 to со ю ,89 ,838 ,32 ,709 ,42 ,32 50' ,06 ,33 ,671 CD О (D 1 S9f
л ! г* о О 1 О 1 у О О 7 см 1 у 7 7 7 7 см 1 см у CM CM 7
С1 5* 1 5? о СМ ю о СМ со со ,656 ,773 794 о ’ф ,442 ,385 544 ,288 ,282 ,0917 ,0746 ,179 ,159 ,156 ,164 00 co ,130 434
II «-Н »-м о О О О о О О О О О О О О О О О о о О
X
л £ j 4. ,848 709 ,543 S ,920 ,630 ,368 00 см .625 ,485 ,698 ,833 ,405 ,260 ,444 ,523 ,687 CD ,356 ,533 ,453
о О О о О о О о О О О О О О О О О О О О О
»о .09 25 1 ,90 ,90 I ,06 ^7 со 68' ,28 ,32 61‘ 00 со ,66 ,56 ,68 ,97 ,09‘ ,24 ,33 ,72 CD
ю ю СО CD ю CD о оэ ю О CD CD CD oo"
СО см со 86 о ,94 о CD гН ,97 ,22 00 ф ,46 ,28 ,43 1-Н CD ,46 ,38 .42
0? со со ю со ю со LO со ю ю со со см СМ СМ СМ см CM CM CM CM
4* S со LQ ,56 00 со 00 со со ’ГГ со ,25 ,25 ,25 см СО ,60 09' ф со см см D- ,57 ,57 5 ,48 ,48 8f‘
S С О о о, о" о О О О о о О о о О О О о О О О
S СО со (D о CD кО 50 со 00 со 68' Q ,66 ,86 й ,84 'ф о ,62 ,09 СО 00 ,37 ,35 (D 90'
о о о о О о о О О о О о О о О 1—<
»s со со со со СО 00 СО ю ,48 со со г—( ю о ю ,95 ,90 ,20 ,69 о 00 ,55 ,55 Й ,65
СО СО со со со СО со со СО со со со’ 00 00 CD 00 00 00 00 co 00
' S см ю Ст) ,95 СТ) ,35 ю см ,95 ,55 ,45 со CD О 1 см ,05 о 00 CD
Е см 1“Н СМ ‘03 ‘02 20, '02 см см см 20, СМ см СМ СМ 1—н СМ см см CM CM '05 05
Номер в ар и- анта о 00 СМ 2802 3001 3002 3101 3102 3201 3202 3203 3302 3401 3402 3501 3601 3702 3801 3802 о 00 co 3901 3902 3905
356
Рис. 270. Расчетные и экспериментальные
напряжения в пружине плоскоовального
сечения
Рис. 271. Расчетные и экспериментальные
напряжения в пружине ромбовидного се-
чения
абсцисс соответствуют тем же точкам на профиле. Напряжения
измерялись с помощью малобазных тензодатчиков *. Совпадение
результатов расчета с экспериментом удовлетворительное.
Влияние геометрии пружины и способа нагружения на рас-
пределение напряжений. На рис. 272 показаны эпюры меридио-
нальных оу, окружных <т2 и эквивалентных аЭкв напряжений в точ-
ках наружной и внутренней поверхностей трубчатой пружины,
размеры которой указаны в примере! (с.350). Пружина нагружена
изнутри давлением р = 0,1 МПа; перемещение ее конца не огра-
ничено (условия «свободного хода»).
В данном случае эпюры распределения напряжений, получен-
ные численным методом на ЭВМ (сплошные кривые) и приближен-
ным методом по формулам (301) (штриховые кривые), оказались
близкими. Расхождение между значениями эквивалентных на-
пряжений сгэкв в опасных точках, расположенных на внутренней
поверхности по концам большой оси сечения, составило 23%.
Разница в величинах напряжений возрастает с увеличением
кривизны пружины (т. е. с уменьшением параметра х = — )>
так как при этом возрастает погрешность приближенного метода,
связанная с предположением об одинаковости формы искривле-
ния контура для пружины Бурдона и прямой трубки того же
сечения.
Распределение меридиональных напряжений оу зависит глав-
ным образом от деформации контура поперечного сечения. Под дей-
ствием давления малая ось сечения увеличивается, а большая —
уменьшается. При этом на закругленных участках по концам
* Эксперимент проводился под руководством кандидатов техн, наук
Е. Я. Чернышевой и Е. К. Куломзина.
357
Рис. 272. Эпюры напряжений с^, 0'2 и <УЭКВ для пружины в условиях свободного
хода
большой оси наружные слои будут испытывать сжатие (ох< 0),
а внутренние — растяжение (ст3 >0); по концам малой оси
внутренние слои будут сжаты, а наружные — растянуты
(рис. 272, а).
Характер распределения напряжений сг2, возникающих в по-
перечном сечении пружины, определяется главным образом де-
формациями е2 продольных волокон пружины. Распределение
этих деформаций было рассмотрено выше (см. рис. 254, б). Отме-
тим, что напряжения сг2 знакопеременны на каждой половине сече-
ния, разделенного большой осью (рис. 272, б). Это связано с тем,
что для пружины Бурдона, совершающей свободное перемещение
под действием давления, суммарный изгибающий момент в сечении
равен нулю.
Как уже отмечалось выше, опасные точки для рассматривае-
мой пружины находятся по концам большой оси сечения на вну-
358
Рис. 273. Эпюры напряжений о^, и о'экв для пружины в усло-
виях силовой компенсации
тренней поверхности (рис. 272, в). Такое расположение опасных
точек для пружин плоскоовального сечения в условиях свободного
хода является наиболее распространенным.
На рис. 273 показаны эпюры распределения напряжений,
определенных в результате расчета на ЭВМ, для пружины, нагру-
женной давлением при неподвижных концевых сечениях. По по-
добной схеме работают чувствительные элементы в приборах,
построенных по принципу силовой компенсации. Поскольку
в условиях силовой компенсации перемещения пружины огра-
ничены, уровень рабочих напряжений будет меньше, чем для
пружины в условиях свободного хода. Так, в данном примере
эквивалентное напряжение в опасной точке в 2,3 раза меньше,
чем при свободном ходе.
Эпюра распределения меридиональных напряжений сгх подобна
аналогичной картине для случая свободного хода (см. рис. 272, а
и 273, а).
На эпюре окружных напряжений о2 (рис. 273, б), возника-
ющих в поперечном сечении, преобладают положительные напря-
359
Рис. 274. Эпюры <тэкв в пружине
в зависимости от относительной
толщины h/a
жения в верхней половине сечения
и отрицательные — в нижней. Эти
напряжения могут быть приведены
к изгибающему моменту, численно
равному тяговому моменту Л4Т (см.
п. 4). Для рассматриваемой пружины
при р = 0,1 МПа момент Л4Т =
= 344 Н-мм.
В условиях силовой компенсации
пружины положение опасной точки
изменилось: теперь она находится
у конца малой оси в верхней поло-
вине сечения на наружной поверх-
ности (рис. 273, в).
Положение опасной точки мо-
жет изменяться в зависимости от
геометрических соотношений пру-
жины. На рис. 274, а построены
эпюры стэкв в наиболее ^напряжен-
ных точках наружного или вну-
треннего контура поперечного сечения пружины, находя-
щейся в условиях силовой компенсации. В зависимости от отно-
сительной толщины hla опасные точки могут располагаться по
концам большой, малой оси сечения или в некоторой промежуточ-
ной точке плоского участка.
Приближенное решение методом Ритца (см. п. 2), а также реше-
ние в тригонометрических рядах [33] основаны на предположении
о симметричности деформации контура сечения пружины относи-
тельно осей х и у (рис. 254, б). При точном решении обнаружи-
вается несимметрия упругой линии контура относительно большой
оси сечения. На рис. 275 совмещены кривые радиальных перемеще-
ний точек наружной СЕС и внутренней САС' дуг профиля пру-
жины плоскоовального сечения при — = 2, = 2, — = 0,08.
r а ’ Ь ’а .
Перемещения относительно большой оси сечения СС' отложены
на графике для удобства сравнения по абсолютной величине:
Рис. 275. Кривые радиальных перемещений
360
&и — | и — иСС' |. Пружина нагружалась давлением в условиях
свободного хода. В данном случае разница в перемещениях дости-
гает 25%. Расчеты показывают, что в условиях силовой компен-
сации несимметрия деформации контура поперечного сечения
проявляется в большей степени.
Используя метод циклической прогонки, изложенный в п. 3
приложения, можно создать единый алгоритм для расчета пружин
различных профилей. Результаты расчетов в виде эпюр эквива-
лентных напряжений приведены для пружин плоскоовального
(рис. 276), ромбовидного (рис. 277), гантелеобразного (рис. 278)
и D-образного (рис. 279) сечений, а также для сварной пружины
(рис. 280). Для удобства сравнения габаритные размеры пружин
R, а, b и толщина h приняты одинаковыми. Кривые оэк„ построены
при свободном ходе и в условиях силовой компенсации.
При одинаковом давлении самые высокие напряжения возни-
кают в пружинах ромбовидного сечения и сварной; наимень-
шие — в пружине гантелеобразного сечения. Эквивалентные на-
пряжения в пружине ромбовидного сечения в 1,8 раза выше, чем
в пружине плоскоовального сечения. В то же время пружина ром-
бовидного сечения обладает самой высокой податливостью, о ко-
торой можно судить по величине %, характеризующей изменение
кривизны оси пружины. По сравнению с пружиной плоскооваль-
ного сечения величина%для пружин ромбовидного сечения в данном
случае оказалась в 2,5 раза больше, а у самой жесткой пружины
гантелеобразного профиля — в 2,9 раза меньше.
В условиях силовой компенсации наибольший тяговый момент
Мт развивает пружина плоскоовального сечения, для которой
величина Л4Т в 1,7 раза больше, чем для пружины ромбовидного
сечения.
Таким образом, форма профиля оказывает сильное влияние
на свойства трубчатых пружин.
Для трубчатых пружин, используемых в измерительных це-
лях, желательна максимальная податливость % при наименьших
рабочих напряжениях а. Об этом свойстве пружин можно судить
по отношению а/%, которое для нашего примера оказалось наи-
меньшим для пружин ромбовидного и плоскоовального сечений,
а наибольшим — у пружин гантелеобразного профиля.
В условиях свободного хода опасные точки для всех пружин
располагаются по концам большой оси сечения. В условиях сило-
вой компенсации эквивалентные напряжения распределяются
более равномерно, и опасная точка в некоторых случаях распола-
гается по концам малой оси, например для плоскоовального
(рис. 276) и D-образного (рис. 279) сечений.
Исследование пружин переменной толщины. В процессе изго-
товления пружины толщина стенки изменяется. При гибке заго-
товки вокруг оправки наружные волокна трубки, пластически
деформируясь, удлиняются в направлении оси пружины, а вну-
тренние волокна, расположенные вблизи оправки, укорачиваются.
12 Андреева Л. Е. 361
to
Рис. 276. Эпюра аэкв для пружины плоскоовального сечения:
а — прИ свободном ходе; б — в условиях силовой компенсации
Рис. 277. Эпюра <ТЭкв для пружины ромбовидного сечения:
а — при свободном ходе; б — в условиях силовой компенсации
to
*
Рис. 278. Эпюра (?Экв для пружины гантелеобразного се-
чения:
« — при свободном ходе; б — в условиях силовой ком-
пенсации
Рис. 279. Эпюра о,Экв для пружины D-образного сечеиия:
а — при свободном ходе; б — в условиях силовой компенсации
Рис. 280. Эпюра аэкв для сварной пружины:
а — при свободном ходе; б — в условиях силовой ком-
пенсации
Рис. 281. Эпюра <т,„„ для пружины плоскоовального
эп-В
сечения постоянной и переменном толщины стенки
364
Рис. 282. Эпюра 03кв для пружины D-обраэного сечения постоянной и
переменной толщины стенки
Поскольку при пластическом деформировании объем материала
остается неизменным, наружная стенка трубки утоняется, а вну-
тренняя, расположенная ближе к центру кривизны, — стано-
вится толще.
Рассмотрим влияние переменности толщины на пружинах
плоскоовального и D-образного профилей.
На участках профиля, расположенных параллельно большой
оси сечения (АВ и DE) толщина была принята постоянной и равной
соответственно И и h (рис, 281, 282). По длине закругленных
участков BD принят линейный закон изменения толщины от h
до Н.
На рис. 281 и 282 построены эпюры сгэкв для пружин тех же
сечений, но постоянной толщины Ло. Величину h0 подбирали из
условия одинаковой чувствительности %/р пружин постоянной
и переменной толщины.
Сопоставляя эпюры оэкв, отметим, что для пружин переменной
толщины опасная точка смещается в сторону более тонкой части
сечения. Для пружины плоскоовального сечения переменной
толщины напряжения в опасной точке оказалось в данном случае
на 8% больше, чем для пружины постоянной толщины. Для пру-
жин D-образного сечения эта разница составила 13%.
7. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАНОМЕТРИЧЕСКИХ ТРУБЧАТЫХ
ПРУЖИН С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ
Результаты численного решения для пружин плоскоовального
сечения при различных геометрических соотношениях приведены
па рис. 283—286 в виде номограмм. Последние построены для
пружин относительно радиуса ~- = 2, 4, 6 и 8 в зависимости от
365
366
Рис. 283. Номограмма для расчета пружин плоскоовального сечения
а в условиях свободного хода; б — в условиях силовой компенс
6 100 90 \ \ и о,го 0,18
уд \\% di L 6 -
X \ V \Ж
30 10 0,030 о,ооо 0,16 0,16 0,1 г 0,10 0,03 0,06 0,06 о,о г Л
Уд 0,050 0,060 ',030
к У \v^ -0,080 0,100
60 50 W 30 го \ \ч sX ООО
-—— — X 0,0 0,0 0,10 о,15 7^= о~о |У| 60 > 10 0 0- 0 's'\L\L
10
о К _ а 2: 4 г 1 Г') 9 а/Ь 31
а — в условиях свободного хода; б — в условиях силовой компенсации
— в условиях свободного хода; б — в условиях силовой компенсации
.со
ю Рис. 28В. Номограмма для расчета пружин плоскоовального сечения при
а — в условиях свободного хода; б -* в условиях силовой компенсации
безразмерных параметров и По оси ординат отложены
безразмерные величины чувствительности
« = <304)
наибольших эквивалентных напряжений
(305)
Р
и тягового момента
М = (306)
относительное изменение кривизны оси
эдесь % =
пружины. Перемещение конца пружины связано с величиной
Ау/у геометрическими соотношениями (274)—(276). По величине
тягового момента Л4Т можно определить тяговые усилия QT с по-
мощью формул (294)—(296).
Если размеры пружины известны, то с помощью номограмм
рис. 283—286 можно провести поверочный расчет трубчатой пру-
жины с плоскоовальной формой поперечного сечения.
Пример 1. Определить угол поворота, тяговый момент и запас прочности
винтовой трубчатой пружины глубинного манометра на 8 МПа. Размеры пру-
жины R = 10 мм; а = 5 мм; b — 0,6 мм; h = 0,7 мм; число рабочих витков
I = 20. Сечение имеет плоскоовальную форму. Материал пружины — берилли-
евая бронза БрБ 2; Е = 1,35-105 МПа; <ту = 960 МПа.
Решение. Винтовую трубчатую пружину можно приближенно рассчи-
тывать по формулам, полученным для одновитковой пружины, если угол подъема
винтовой осн пружины достаточно мал (а < 10ч-15°). В рассматриваемом слу-
чае a ?=s> 0,16 рад или а«*9°. Такую пружину при расчете можно
заменить плоской с центральным углом у = 2л/.
Определим относительные размеры пружины:
-2-= -^- = 2; JL =-JL-= 8,3; — = = 0,14.
а 5 b 0,6 а 5
<Нкв —
Коэффициент запаса пружины
п =
При этих значениях находим по номограмме (рис. 283, a): S = 50; % =
= 400, М = 0,076. По формуле (305) определим максимальное напряжение
щ = 50-8 = 400 МПа.
gy _ J60_ _ о 4
<тэка 400
Изменение кривизны оси пружины % найдем по формуле (304):
_ хр(1-р3) _ 400.8-0,91
Х~ р “ 1,35 10®
Е
Угловое перемещение конца пружины
Ду = ху = х.2л1 = 0,0216- Ю3-2-3.14-20 = 2,71 рад = 156°.
Тяговый момент определим по формуле (306):
/Ит =Мр^3 = 0,076-8-103 = 608 Н-мм.
370
Таблица 3!>
Номер варианта h/a alb О (ТЭКВ. МПа м и
1 0,032 2,0 530 265
2 0,036 2,5 510 255 — —
3 0,040 3,1 480 240 — —
4 0,045 4,2 440 220 0,0166 8,13
5 0,030 5,5 400 200 0,0124 6,07
6 0,060 9,5 320 160 0,0065 3,18
Методика проектирования манометрических трубчатых пружин
может строиться аналогично рассмотренной выше методике для
мембран (гл. VI, п. 10) и сильфонов (гл. VII, п. 5). В поисках
наилучшего варианта целесообразно вести расчет ряда пружин,
чтобы иметь возможность выбора. С помощью номограмм может
быть достаточно просто произведен подбор размеров пружины
по заданным величинам чувствительности, коэффициента запаса,
тяговому усилию.
Пример 2. Подобрать размеры пружины Бурдона для манометра на давление
0,5 МПа, если по диаметру она должна быть не больше 100 мм, а по ширине —
18 мм. При наибольшем давлении р перемещение конца пружины должно быть
равно 5 мм. При ограничении радиального перемещения пружина должна раз-
вивать тяговую силу не менее 6,3 Н. Коэффициент запаса п = —— должен
tfmax
быть п^>3, Материал пружины — сплав 36НХТЮ, модуль упругости Е =
= 2-105 МПа, предел упругости <ту = 700 МПа.
Решение. По заданным габаритным размерам примем радиус осн пру-
жины R = 48 мм, длину большой полуоси сечения а = 8 мм и центральный
угол у = 270°.
По заданным условиям подсчитаем безразмерную величину чувствитель-
ности %. Для этого по величине полного перемещения конца пружины X = 5 мм
Av
и формуле (276) находим относительный угол поворота конца пружины —- =
X т
= где коэффициент Г определим по кривой (рис. 258): при у = 270° Г =
J к
Лу _ 5
у 5,8-48
= 5,80. Следовательно,
вительность
= 0,018, и тогда относительная чувст-
n R 48 с о ,
Вычислим — = -г- = Ь. Затем, задаваясь различными значениями п/а
(I о
по номограмме (рис. 285, я), находим ряд отношений alb осей сечения, соответ-
ствующих х = 7910 (см, табл. 35). Для этих вариантов по кривым о определим
безразмерные напряжения, а затем по формуле (305) вычислим пэкв. Так как
допускаемое напряжение [о] = = ___ = 233 МПа, то первые три
/Т о
варианта отбрасываем. Для оставшихся вариантов определим тяговую силу.
371
Тяговое усилие Qr выражается через тяговый момент с помощью формулы
(294):
О ^Г,
Уг ~ 24р ’
где при у= 270° коэффициент Гг = 10,2 (см. кривую на рис. 263).
В свою очередь, момент Л4Т связан с безразмерной величиной М выраже-
нием (306). В этом случае
о.= MP™' .
Величину М находим по номограмме (рис. 285, б). Результаты вычисления
силы Qr приведены в табл. 35. Требованию Qr >6,3 Н удовлетворяет4-й ва-
риант, для которого и определим все остальные геометрические параметры:
h= 0,045а = 0,045-8 = 0,36 мм; Ь = -~ёг — - & — 1,78 мм.
4,2 4,2
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ТОНКОСТЕННОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
Большинство манометрических упругих элементов могут рас
сматриваться как тонкостенные оболочки вращения, замкнутые
(мембраны, сильфоны) или незамкнутые (манометрические труб-
чатые пружины) в окружном направлении. Для таких оболочек
в гл. V получены нелинейные дифференциальные уравнения (139).
При интегрировании этих уравнений решается краевая задача,
когда искомые функции должны удовлетворять граничным усло-
виям по краям интервала изменения независимой переменной.
Методы решения краевых задач рассмотрены в работах [19, 24,
32, 64, 67, 113 и др. ].
В настоящей работе для решения нелинейных уравнений (139)
использовался метод Ньютона—Канторовича [24, 64, 67]. Полу-
чаемые при этом линеаризованные дифференциальные уравнения
аппроксимировались конечно-разностными. Решение соответству-
ющей системы алгебраических уравнений проводилось методом
прогонки [19, 21, 43, 80, 113].
Для решения краевых задач теории тонкостенных оболочек
широкое применение нашел метод прогонки в различных вариан-
тах [21, 24, 43, 80, 113] Одним из главных достоинств метода
прогонки является его вычислительная устойчивость, т. е. малая
чувствительность к погрешностям округления в процессе вы-
числений.
Если напряженно-деформированное состояние оболочек перио-
дично вдоль меридиана, то при решении удобно использовать
вариант циклической прогонки [1]. Этим методом решались за-
дачи манометрических трубчатых пружин, профиль которых —
замкнутая кривая, и сварных сильфонов «несимметричного»
профиля. При расчете мембран и бесшовных сильфонов использо-
вался метод прогонки в обычном варианте.
1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Рассмотрим решение некоторого нелинейного уравнения крае-
вой задачи
А (у, х) = 0 (307)
методом Ньютона—Канторовича.
373
Пели известна некоторая функция у (х), удовлетворяющая
граничным условиям и приближенно равная решению нелинейного
уравнения (307), то искомое решение у можно представить как
у = у + &у, (308)
где у — главная часть решения, которую считаем известной,
Аг/ — искомая малая поправка.
Для нахождения Аг/ система (307) заменяется линеаризован-
ной относительно малой поправки Аг/:
А (у, х) + А' (у, х) Аг/ = 0, (309)
где А' — линейный относительно поправки оператор, определяе-
мый как производная оператора А по функции у.
Решая линейное уравнение (309) относительно поправки Аг/,
уточним главную часть решения в соответствии с выражением
(308) и процедуру вычислений будем повторять до получения
требуемой точности решения.
Таким образом этот метод сводит решение нелинейной задачи
к решению ряда линейных.
Итак, решение системы (139) представим в виде суммы двух
слагаемых:
0 0
ф = ф4-й и fl = ftср, (ЗЮ)
первые из которых считаются известными и представляют найден-
ные каким-либо способом главные части решения, а вторые есть
о о
искомые малые поправки. Главные части ф и #, а также поправки со
и ср должны удовлетворять граничным условиям, которые для
манометрических элементов сформулированы в гл. VI, п. 6,
гл. VII, п. 4, гл. VIII, п. 6.
Линеаризованные относительно со и ср уравнения (139) имеют
вид
со" + Ащ/ + А2со 4- А3<р 4- А4<р' = Fj (ф) — D, (ф, $);
о 0 О (311)
ср -4 Вцр 4- В2ср -4 В3со = F, (Ф) — D3 (й, ф),
где
0 0
А.2 *4“ ,
Ag — cig 4- с^Ф 4~ — b2q — fo4pp;
Л = Д.ф 4- iig-щ — (312)
0 000
Bl = cx 4- сД B2 = c.2 4- с4ф 4- 2с5Й 4- — csq\
B3 = Cg 4“ с4й,
Fx и Fa — операторы правых частей, Dj и D, — операторы левых
частей уравнений (139).
О II
Если в линеаризованных уравнениях (311) функции й и ф и
слагаемые, подчеркнутые в выражениях коэффициентов (312),
положить равными нулю, то эти уравнения совпадут с линейными
при ф = со и й = ср. Это обстоятельство удобно использовать при
построении алгоритма решения на первом этапе нагружения,
когда в качестве первого приближения выбирается линейное
решение.
Итак, в начале процедуры последовательных приближений
о о
вводим в качестве главных частей ф и й результат линейного
решения.
Решение системы (311) совместно с граничными условиями
дает первую поправку ф<*> и cV’> к искомой функции. В соответ-
ствии с выражением (310) получим первое приближение:
о о
фО) == ф 4~ С0(1); fHD = й -4 ср11).
Принимая во втором приближении значения и ф^!) в ка-
о о
честве главных частей решения й и ф, повторим решение урав-
нений (311) и вновь уточняем значение искомой функции. Итера-
ционный процесс будем повторять до тех пор, пока поправки со
и ср не станут достаточно малыми по сравнению с функциями
Ф и й.
Поскольку целью расчета является нахождение прогибов
и напряжений в манометрическом упругом элементе как функции
от нагрузки, в качестве параметра системы примем величину
нагрузки. Предположим, что нагрузка на чувствительный эле-
мент изменяется по заданному закону, например, равными сту-
пенями:
р== Ар/; (/=1,2, ... L);
Q = AQm; (m= 1, 2, . . . М),
где Ар и AQ — приращения давления и осевой силы Q; Ар =
AQ = ^™ах ; L и М — число ступеней нагружения.
Если на первом этапе нагружения (/ = 1, т — 1) главные
0 0
части й и ф находят при решении линейных уравнений, то на
последующих этапах главные части можно определить путем
экстраполяции решений предыдущих шагов.
В качестве простейших можно использовать формулы линей-
ной экстраполяции
о ; о
xi = Г/-17=7Т или xi = 2х/-* ~ х1-^'
где
ж . (1 \
374
375
2. КОНЕЧНО-РЛ {ПОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
Для численного решения системы (311) обратимся к методу
сеток,
В общем случае упругий элемент разбивается на N участков;
индекс участка п принимает значения от 1 до N. Шаг сетки Д£„
в пределах каждого участка постоянный. На обоих концах участка
вводятся законтурные точки, что позволяет использовать едино-
образные формулы для производных во всех точках участка.
Для перехода к уравнениям в конечных разностях заменим
дифференциальные операции их приближенными представлениями
через разностные соотношения. Для этого используем трехто-
чечную аппроксимацию производных напряжениями симметрич-
ной структуры [21 ]:
(313)
Здесь Д£ — шаг сетки; i — номер узла: i = 0, 1,2, ..., I. Система
(311) в конечных разностях, записанная в матричной форме,
имеет вид
Wi + btXi + C/X(+J =
где X: — двухмерный вектор;
Матрицы а;, bt, и f( можно записать в виде
__ Г Тх/ —Pul , = Г Ya* Ы .
1 0 0-11 . ' 1 ,Р'21 a2i.
_Г?31 Р11
Ci~ . о ам]; \Д21-Л
Элементами матриц (316) являются выражения:
1—511 2 , о
“Ч - (ВД 2 AU ’ ®2г ~ (AU)3 + 2Р
Pli — 2 ’ Ps< ~ ^3iJ Рз/ = 213i;
1 ___ Лу [ 2 . д
Vij = (Д^ + 2Д-;7; V2/-—(Д£п)2
Ац = Л( Л-^й; &);
Д21' = ^А-^Л ф)-
(314)
(315)
(316)
(317)
376
Значения Аи, .... Л4,-; Ви, ..., Вя,-, Fu (О'), Dri (()•, ф) в i-ii
точке определим по выражениям (312), (141) — (147).
Граничные условия (210), (234) и условия сопряжения (214)
также представим в конечно-разностной форме. Для этого решения
в виде выражений (310) подставим в граничные условия и для
производных используем аппроксимацию (313).
Так, например, при жестком закреплении внутреннего кон-
тура (£ = 0; i = 0) граничные условия (210) для мембран и силь-
фонов = — = 0^ можно представить в виде
<Ро = 0; (318)
— (о ] 4- /сц/Оу (- /е20 = 0, (319)
При этом граничным условиям (210) также должны удовлетво-
рять и главные части решения. В уравнении (319) обозначено:
— —2а1()р Д^;
оо о г (320)
feo = Ф1 — Ф-i {- ^io4’o + &io (Р7о ~ /’в») 2 Ду. I
Коэффициенты «ю и а« и параметры нагрузки <?0 и рр„ опреде-
лим по выражениям (144) и (141) в точке i = 0.
Аналогично выглядят уравнения граничных условий на жестко
закрепленном наружном контуре (С = £/, i = !) Они могут быть
получены из уравнений (318), (319), если индексы 0, —1 и 1 заме-
нить на индексы 1,1 — 1 и I +1, шаг ДС1 на первом участке заме-
нить шагом Ду последнего М-го участка.
Условия скользящей заделки, а также условия симметрии (234)
приводят к равенствам
4г- = фг = 0; фг = = 0,
где I = 0 или i — I для внутреннего или наружного контура.
3, РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ПРОГОНКИ
Вариант обычной прогонки. Уравнения (314) совместно с гра-
ничными условиями типа (318), (319) образуют систему линейных
алгебраических уравнений для нахождения поправок х в точках
i = 0, 1, 2, ..., /. Матрица коэффициентов этой системы трех-
диагонального типа, и значения функции х в t-й точке связаны
только с ее значениями в соседних точках i — 1 и i + 1. Решение
таких систем целесообразно проводить методом прогонки, облада-
ющим устойчивым вычислительным алгоритмом [43, 801.
Представим решение системы (314) в виде
М = (321)
Используя аналогичное выражение для предыдущей точки:
М-i = Pi-iXt + Pi-v
377
исключим из системы (314) неизвестные Х;_г и запишем ее в форме
(321). Сопоставляя коэффициенты при неизвестных, получим ре-
куррентные формулы
Pi = ~DRc{-, Ri = DR (fi - aiR^), (322)
где Dt 4-
Матрицы ait bit cz и /z даны выражениями (316).
Для начала счета нужно знать значения матриц Ро и Ro в точке
i = 0. Для этого служат граничные условия на внутреннем
контуре (при i = 0). Придавая им с помощью уравнений (314)
при i = 0 форму (321): х0 = + Ro, получим начальные зна-
чения матриц Рп и Ro. Например, для случая глухой заделки,
которому соответствуют граничные условия (318), (319), получим
_ ГР11о Р12, . __ Г Но
^0 - 0 0 J , [ о J ’
где
Рпо = - 4- (Узо + Тю); Р12, = - 4Г (1 + ;
uq Up \ J
Но = — ( —Yio&io Н—20 + Дю) I
“0 \ “10 1
^0 = Y10&10 + ?20 + •
“10
Коэффициенты, входящие в эти выражения, определяют по
формулам (320) и (317) при i = 0.
В случае граничных условий (234), соответствующих схеме
скользящей заделки или условию симметрии напряженно-дефор-
мированного состояния сильфона относительно экстремального
сечения, получим Ро = 0, Ro = 0.
После определения начальных (в точке i — 0) значений Ро
и Ro по соотношениям (322) прямой прогонкой последовательно
находим значения матриц Ph R, в каждом узле сетки (i = 1,
2, ..., /).
Если оболочка имеет несколько участков, то связь между
матрицами Ph Rt в конце участка (i = k) и в начале следующего
(i = k + 3) (здесь учтены две законтурные точки) осуществляется
с помощью условий сопряжения (214).
Краевые условия на наружном контуре (t = /) и уравнения
(321) при i — I позволяют определить вектор х/+1 в законтурной
Точке:
Х1+1 =
®i+i
Ф/+1
Зная вектор х7+1, обратной прогонкой вычисляем с помощью
соотношений (321) вектор xz в каждой точке i, начиная с i = I
и кончая i = 0.
378
Найденные поправки w; и ф, суммируют с главными чашямп
о о
решения ф и &, и процесс последовательных приближений про-
должается, пока поправки не станут достаточно малыми.
Вариант циклической прогонки. Выше упоминалось, что при
построении решения для манометрических трубчатых пружин,
сильфонов с большим числом одинаковых гофр можно использо-
вать условие периодичности (263) решения.
Для нахождения периодического решения системы разностных
уравнений (314) удобно использовать метод циклической про-
гонки [1, 80]. Условие периодичности решения можно записать
в виде
Xi+I =Xi.
Тогда система алгебраических уравнений (314) при условии
периодичности ее коэффициентов: ai+l — at\ bi+I = b{ и т. д.
может быть представлена в виде
<М7 -j- bxxx -j- c’jX2 — fi’
atXi-j + b^ 4-сгхг+1 = /;(i = 2, 3, . . ., I— 1);
ttlxI-l + btXj + CjXx = fj.
Если записать систему (323) в виде
AjXi = fi,
(323)
(324)
(325)
то матрица коэффициентов
bl Cl 0 0 0
(Zo . 0 0 0
=
0 0 0 .a i-i bi-i Cl-l
_С/ 0 0 0 ai bi _
Поскольку матрица системы (324) отличается от трех-
диагональной наличием ненулевых членов ах и с, по углам ма-
трицы, то обычный, описанный выше метод прогонки здесь не-
применим.
При решении подобной задачи используется метод окаймления
[96]. Для этого систему (324) записывают в виде
+ 4i-\Xj — fi_x,
Vi-iXi-i + b/Xj = fi,
(326)
(327)
379
что соответ» гнус i разбиению матрицы А, (325) /-го порядка на
трехдиагональную матрицу А,_г порядка I — 1, строку v,_i =
= (с/, 0, .... О, а,), столбец
tt/_i —
О
Q-1
и элемент bh Подобное разбиение матрицы Ah показанное штри-
ховыми линиями [см. матрицу (325) ], называют окаймлением.
Решение системы (326) ищем в виде
xi-i — У1-1 + х
(328)
где yj_i и — решение систем
^1-1У1-1 — f/_1!
A,_iZ,_i = —Uj-i-
(329)
(330)
Здесь
У/-1 =
.Ui-i-
2,-i =
1Л-1J
Г/1 1
Поскольку матрица А,_г является трехдиагональной, решения
систем (329) и (330) могут быть проведены методом обычной про-
гонки;
zi= р izi+i+Pi-
rn
(332)
Реккурентные формулы для Рг, Rt можно записать в форме
(322). Для Т, получим
Т{ = -Dl'ciiTi-i (г = 2, 3, . . ., /)
Для нахождения начальных значений коэффициентов Plf
Ri, 7\ сопоставим уравнения (329) и (331) при i = 1:
откуда
Ь1У\ + С1У, = Л;
у, — Р1У1 + Ri,
Из сопоставления выражений (330) и (332) при i = 1 следует
т — — -Д-
А, ’
После определения прогоночных коэффициентов Р,, R, и Г,
перейдем к осуществлению обратной прогонки. Совместное реше-
380
и Не уравнений (329), (330) при i — I — 1 и уравнений (331),
(332) при i — I — 2 дает
У1-1 = Rl-l И Z/_x = Р+ Т/_х.
(333)
Теперь с помощью выражений (333) и (332) обратной прогон-
кой можно определить у{ и г; (i = I — 2, I — 3, 1).
Решение (328) системы (326), (327) будет найдено, если опреде-
лить X]. Из последнего уравнения (323) следует
xi = зу- (—- a,x1_i 4- Л),
Где Xi и заменяем согласно уравнениям (328) при i — 1 и
i=I—1. Проводя преобразования с учетом формул (333),
получим
Р1У1 + Ri
X-P^-Ti •
В соответствии с выражением (328) в каждой точке i находим
Xi = yt + X^t.
Найденные поправки х —
суммируем с главными ча-
стями ф и & согласно равенствам (310). В результате получим
функции ф и О, через которые могут быть выражены напряжения
и перемещения манометрического упругого элемента (гл. V, п. 2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов А. А., Андреев В. Б. О применении метода прогонки к нахо-
ждению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений. —
Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, № 2,
с. 377—381.
2. Агейкин Д. И., Костина Е. Н., Кузнецова Н. Н. Датчики контроля и
регулирования. М.: Машиностроение, 1965. 928 с.
3. Александрова А. Т. Новые способы передачи и формирования движе-
ния в вакууме. М.: Высшая школа, 1979. 70 с.
4. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.:
Машиностроение, 1978. 312 с.
5. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М., Машгиз, 1962. 455 с.
6. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. — В кн.: Приборостроение
и средства автоматики. Т. 2, кн. 1., М., Машиностроение, 1964, с. 168—207.
7. Андреева Л. Е. Численное решение задачи о больших прогибах гофриро-
ванной мембраны. — Механика твердого тела, 1967, № 3, с. 83—89.
8. Андреева Л. Е., Беседа А. И., Богданова Ю. А. и др. Сильфоны. Рас-
чет и проектирование. М.: Машиностроение, 1975. 156 с.
9. Андреева Л. Е., Богданова Ю. А. Методы проектирования мембранных
упругих элементов. М.: ЦНИИТЭИ Приборостроения, 1972. 38 с.
10. Андреева Л. Е-, Богданова Ю. А. Расчет и проектирование сварных
сильфонов. — Приборы и системы управления, 1974, № 10, с. 24—27.
11. Андреева Л. Е., Богданова Ю. А., Ольшевец Г. Л. Исследование эф-
фективной площади мембран, работающих в условиях силовой компенсации. -+•
Приборы и системы управления, 1970, № 10, с. 22—25.
12. Андреева Л. Е., Богданова Ю. А., Осипов С. В. Эффекты ползучести
в мембранах. — Приборы и системы управления, 1977, № 7, с. 21—24.
13. Андреева Л. Е., Богданова Ю. А., Рухадзе В. А. Расчет тороидальной
мембраны устройства вывода усилия и перемещения. ЦНИИТЭИ Приборостро-
ения, 1977, 19 с.
14. Андреева Л. Е., Горячева Л. Н. Уточненный расчет жесткости и на-
пряжений в сильфоне. — В кн.: Расчеты на прочность. М., Машиностроение,
1969, с. 17—35.
15. Андреева Л. Е., Горячева Л. Н., Петровский В. В. О расчете сильфо-
нов, работающих в приборах силовой компенсации. — Приборы и системы уп-
равления, 1972, № 7, с. 33—35.
16. Андреева Л. Е., Жибарева И. Н. Определение напряжений в гофри-
рованных мембранах. — Приборы и системы управления, 1967, № 3, с. 6—9.
17. Андреева Л. Е., Петровский В. В. К расчету сильфона на устойчивость. —
Известия вузов. Машиностроение, 1976, № 6, с. 10—14.
18. Афонин В. Г., Шумский М. П. Практический расчет манометрических
пружин с плоскоовальным сечением методом Ритца во втором приближении. —
Известия вузов. Приборостроение, 1973, № 4, с. 88—92; Собственные частоты
манометрических приборов с одновитковой манометрической пружиной. —
Известия вузов. Приборостроение, 1974, № 6, с. 79—82.
19. Бахвалов Н. С. Численные методы. T.I. М.: Наука, 1973. 632 с.
382
20. Бегун П. И. Расчет чувствительности и крутильной жесткости питой
манометрической пружины. — Известия вузов. Приборостроение, 1975, № 7,
с. 97—103.
21. Березин М. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. I. М.: Физмат, из,
1962. 464 с.
22. Беседа А. И. Надежность упругих чувствительных элементов. — В кн.:
Приборы и средства автоматизации, М.: ЦНИИТЭИ Приборостроения, 1968,
с. 14—17.
23. Бидерман В. Л. Винтовая пружина прямоугольного сечения как ци-
линдрическая оболочка. — Известия АН СССР. Механика и машиностроение,
19Q3, № 4, с. 67—75.
24. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машино-
строение, 1977, 488 с.
25. Бидерман В. Л., Шитиков В. Н. Растяжение и кручение ленточных
цилиндрических пружин при больших перемещениях. — Известия АН СССР.
Механика твердого тела. 1970, № 1, с. 137—141.
26. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. М.: Машино-
строение, 1973. 454 с.
27. БояршиновС. В., Сазонов Ю. К. К расчету пружинных муфт.— Вопросы
радиоэлектроники. Техника проводной связи. М.: 1974, вып. II, с. 92—102.
28. Булгаков В. Н. Напряжения и перемещения сильфонов. — В кн.: Чис-
ленные методы в прикладной теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1968,
с. 211—248.
29. Бурцев К- Н. Металлические сильфоны. М.: Машгиз, 1963. 163 с.
30. Валишвили Н. В. Об одном алгоритме решения нелинейных краевых
задач. —Прикладная математика и механика, 1968, т. 32. № 6, с. 1089—1091.
31. Валишвили Н. В. Несимметричное деформирование и устойчивость по-
логих оболочек вращения. — В кн.: Теория пластин и оболочек М.: Наука,
1971, с. 22—28.
32. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения иа ЭЦВМ. М.:
Машиностроение, 1976, с. 278.
33. Васильев Б. Н. Напряженно-деформированное состояние манометри-
ческой трубки. — Известия АН. Механика, 1965, № 4, с. 139—144.
34. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М.: Ма-
шиностроение, 1964. 275 с.
35. Водяник В. И. Эластичные мембраны. М.: Машиностроение, 1974, 136 с.
36. Волков А. Н. Устойчивость сильфонов. — В кн.: Труды Университета
дружбы народов им. Патриса Лумумбы. Серия «Строительство», вып. 7, 1970,
с. 107—113.
37. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат, 1956.
419 с.
38. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.
984 с.
39. Воробьев В. И. Интегральный вибрационно-частотный преобразова-
тель. — В сб.: Элементы приборных устройств. Труды МВТУ, 1977, № 247,
с. 62—74.
40. Габриэлян Д. И. Прецизионные сплавы. М.: Металлургия, 1972. 104 с.
41. Гевондян Т. А. Пружинные двигатели. М.: Обороигиз, 1956. 368 с.
42. Герасимов В. К-, Тыжнов Г. И. Трубчатые пружины замкнутого кон-
тура. -1- Приборы и системы управления, 1973, № 1, с. 44—47.
43. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.
400 с.
44. Григолюк Э. И. Тонкие биметаллические оболочки и пластины. —
Инженерный сборник АН СССР, 1953, т. XVII, с. 119—148.
45. Григолюк Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стер-
жней и оболочек. — Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение,
1955, № 3, с. 33—68.
к- 46. ГрилихесС. Я., РахштадтА. Г., Рябышев А/М. и др. Термоэлектро-
химическая обработка упругих элементов. М.: Машиностроение, 1978. 136 с.
47. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. 432 с.
383
18. Дятлов А В 5'сюйчивоеть спиральных пружин. — Известия вузов.
Машиностроение, № 2 с. 77—85.
49. Желудков В. II. Исследование симметричного перекрестного шарнира.—
Известия ну юн Приборостроение, 1973, № 6, с. 109—114; К, расчету симметрич-
ного трехлеи ючного шарнира. — Известия вузов. Приборостроение, 1975,
Ns 5, е. 102 107.
50. Заседателев С. М. Расчет пружин растяжения, навитых с начальным
натяжением (межвитковым давлением). — В кн.: Вопросы проектирования, изго-
товления и службы пружин. М.: Машгиз, 1956, с. 59—87.
51. Заседателев С. М., Беликов Л. В., Берников В. Б. и др. О проекти-
ровании датчиков давления с интегральными теизопреобразователями. — При-
боры н системы управления, 1971, Ns 11, с. 45—48.
52. Зверьков Г. Е., Беседа А. И., Евтеев В. С. К вопросу об устойчивости
сильфонов под действием внутреннего давления. — Труды НИИтеплоприбор,
1966, Ns 3, с. 79.
53. Зверьков Г. Е., Мартыненков Ю. Ф., Штейнбок Л. А. Циклическая
прочность сильфонов при различных нагрузках и схемах работы. — Приборы
и системы управления, 1973, № 7, с. 49—50.
54. Калягина В. И., Ковылин Ю. Я - Экспериментальная проверка некото-
рых параметров пружинного двигателя, получаемых на основе его геометрии.—
Известия Томского политехнического института, т. 263, 1975, с. 108—112.
55. Кашпар Ф. Термобиметаллы в электротехнике. М., Госэнергоиздат,
1961, 448 с.
56. Когаев В. П. Расчеты иа прочность при напряжениях, переменных во
времени. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.
57. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек
и методы их решения. М.: Наука, 1964, 192 с.
58. Королев В. И. Расчет сильфонов. — Вестник МГУ, 1954, Ns 9,
с. 81—90.
59. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.
204 с.
60. Лепин А. Г. Расчет упругой перекидной системы микровыключателя. —
В сб.: Элементы измерительной техники. Труды НИИметрологии вузов. Вып.
13, Изд-во стандартов, 1977, с. 105—112.
61. Липовцев Ю. В. Разностный метод решения задач устойчивости оболочек
вращения. — В ки.: Теория пластин и оболочек, М.: Наука, 1971, с. 166—172.
62. Маликов Г. Ф., Шнейдерман А. Л., Шулемович А. М. Расчеты упругих
тензометрических элементов. М.: Машиностроение, 1964. 191 с.
63. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.:
Машиностроение, 1975. 400 с.
64. Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения диф-
ференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. 383 с.
65. Муштари X. М., Галимов К- 3. Нелинейная теория упругих оболочек.
Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.
66. Никитин С. П. Исследование больших перемещений в плоских спираль-
ных пружинах. — В сб.: Расчеты на прочность. Вып. 10. М.: Машинострое-
ние, 1964, с. 5—30.
67. Огибалов П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. Изд-во МГУ,
1969. 695 с.
68. Пономарев С. Д., Андреева Л. Е. Расчеты упругих элементов машин
н приборов. М.: Машиностроение, 1980. 326 с.
69. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К. и др. Расчеты на проч-
ность в .машиностроении. Т. 1, М.: Машгиз, 1956. 884 с.
70. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К. Расчеты на прочность
в машиностроении. Т. 2, М.: Машгиз, 1958. 974 с.
71. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К. и др. Расчеты на проч-
ность в машиностроении. Т. 3, М.: Машгиз, 1959. 1118 с.
72. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.: Гостех-
издат, 1948. 170 с,.
384
73. Попов Е. П. Методы проектирования витых пружин с криволинейной
характеристикой. — В кн.: Динамика и прочность машин. М.: Изд-во ЛИ (.( СР,
1950, с. 149—187.
74. Прецизионные сплавы с особыми свойствами теплового расширения и
упругости. М.: Изд-во стандартов, 1972. 152 с.
75. Прецизионные сплавы, Справочник/Под рсд. Б. В. Молотилова. М.:
Металлургия, 1974. 447 с.
76. Рахштадт А. Г. Пружинные стали и сплавы. М.: Металлургия, 1971,
496 с.
77. Ридер Т. М., Каллен Д. Е. Датчики давления и температуры, исполь-
зующие поверхностные акустические волны. — ТИИЭР, т. 64, № 5, 1976,
с. 226—228.
78. Рублевский Н. Т. Численный метод исследований изгиба гибких дета-
лей. — В ки.: Цифровое моделирование задач математической физики. Киев:
Наукова Думка, 1975.
79. Рухадзе В. А. Устройства вывода перемещения и усилия из полости
рабочего давления первичных измерительных преобразователен (обзор функ-
циональных схем и конструкций). М.: ЦНИИТЭИПриборостроеиия. Измерения,
контроль, автоматизация, 1977, № 3 (11), с. 30—43.
80. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
552 с.
81. Савкин Н. М. К расчету сильфонов, нагруженных равномерным дав-
лением.— Известия вузов. Приборостроение, 1969, № 4, с. 97—100; Расчет
сильфонов на осесимметричную нагрузку. — Известия вузов. Машинострое-
ние, 1969, № 8, с. 56—61.
82. Сборник «Перспективы развития упругих чувствительных элементов»,
М.: Центральный институт научно-технической информации электротехнической
промышленности и приборостроения, 1961. 372 с.
83. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машино-
строение, 1978. 222 с.
84. Сепетоски В. К., Пирсон С. Е. и др. Программирование задач об осесим-
метричных тонкостенных оболочках. — Прикладная механика, 1962, Е. 29,
№ 4, с. 58—65.
85. Сервисен С. В. Сопротивление материалов усталостному и хрупкому
разрушению. М., Атомиздат, 1975. 192 с.
86. Сервисен С. В., Когаев В. П., Шиейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
87. Смирягин А. П., Смирягина Н. А., Белова А. В. Промышленные цвет-
ные металлы и сплавы. М.: Металлургия, 1974, 488.
88. Справочник по пластическим массам/Под ред. В. М. Катаева, В. А. По-
пова, Б. И. Сажина, Т. 1. М.: Химия, 1975. 443 с.
89. Справочник металлиста. Т. 2./Под ред. А. Г. Рахштадта, В. А. Бро-
стрема. М.: Машиностроение, 1976. 718, с.
90. Сухарев В. А. Расчет сильфонов. — В кн.: Численные методы в при-
кладной теории упругости. Киев: Наукова Думка, 1968, с. 176—210.
91. Сычев А. Д. Изменение показаний приборов (манометров) при вибра-
ции. — В кн.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1959. с. 375—394.
92. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. Из-
бранные работы. М.: Наука, 1971. 808 с.
93. Тимошенко С. П., Войиовский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Пер.
с англ./Под. ред. Г. С. Шапиро. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.
94. Туричин А. М. и др. Электрические измерения неэлектрических вели-
чин. М.: Энергия, 1975, 576 с.
95. Ушаков Н. Н. Упругие чувствительные элементы. — В ки.: Прибо-
ростроение и средства автоматизации/Под ред. А. Н. Гаврилова. Т. 3, М.,
Машиностроение, 1964, с. 202—232.
96. Фадеев Д. И., Фадеева В. И. Вычислительные методы линейной ал-
гебры. М., Физматгиз, 1963. 734 с,
97. Феодосьев В. И. К расчету хлопающей мембраны. — Прикладная ма-
тематика и механика, 1946, т. X, вып. 2, с. 295—301.
385
98. Феодосьев В. И. К расчету гофрированных коробок (сильфонов). —
Инженерный сборник, АН СССР, 1947, т. 4, вып. 1, с. 137—149.
99. Феодосьев В. И. Упругие элементы точного приборостроения. М.: Обо-
ронно, 1949. 344 с.
100. Феодосьев В. И. Об одном способе решения нелинейных задач устой-
чивости деформируемых систем.—Прикладная математика и механика, 1963,
т. XXVII, вып. 2, с. 265-275.
101. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979, 560 с.
102. Форрест П. Усталость металлов. М.: Машиностроение, 1968. 436 с.
103. Фролов Г. Н. Точность изготовления упругих элементов приборов. М.:
Машиностроение, 1966. 176 с.
104. Хвиигия М. В. Вибрация пружин. М.: Машиностроение, 1969. 287 с.
105. Химушин Ф. Ф. Нержавеющие стали. М.: Металлургия, 1967. 789 с.;
Специальные стали и сплавы. Справочник/Под ред. Ф. Ф. Химушина. Т. 3,
М., Машиностроение, 1968, с. 9—82.
106. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 599 с.
107. Хуан. Неосесимметричная потеря устойчивости тонких пологих
сферических оболочек. — Прикладная механика, 1964, № 3, с. 91—102.
108. Цейтлин Я. М. Упругие кинематические устройства. М.: Машино-
строение, 1972 . 296 с.
109. Цукерник Л. М. Приближенный расчет плоских пружин. — В кн.:
Расчеты на прочность, вып. 17. М.: Машиностроение, 1976, с. 157—182.
НО. Чериина В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения. М.: Наука,
1968. 455 с.
111. Чернышев Н. А. Сжатие и кручение пружин малой жесткости; Устой-
чивость пружин сжатия. — В ки.: Новые методы расчета пружин. М.: Машгиз,
1946, с. 46—56, с. 57—58.
112. Чернышев Н. А. Напряженное состояние и деформация цилиндриче-
ских пружин, свитых из круглого прутка. — В кн.: Динамика и прочность
пружин. М.: Изд-во АН СССР, 1950, с. 7—78.
113. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ.
Киев. АН УССР, 1963, Ч. I. 196 с.; 1966, Ч. II, 244 с.
114. Шумский М. П. Расчет манометрических пружин.—Известия вузов.
Приборостроение, т. VII, 1964, № 5, с. 164—170.
115. Шумский М. П. Расчет манометрических пружин с переменной тол-
щиной стенки. — Известия вузов. Приборостроение, 1966, Т. 9, № 1, с. 104—
108.
116. Элементы приборных устройств. Курсовое проектирование. Ч. II/
Под ред. О. Ф. Тищенко. М.: Высшая школа, 1978, 230 с.
117. Archer R. R. On the numerical solution of the non—linear equations
for shells of revolution. J. Math. and. Phys., 1962, 16, No. 3, pp. 165—178.
118. Hamada M., Fujita K., Asahina K. Deformation and stresses of flat—
oval Bourdon tubes. Bull. ISME, 1967, 10, No. 40, pp. 618—625.
119. Hamada M., Seguchi Y., Ito S. Numerical method for non-linear
axisymmctric bending of arbitrary shells of revolution and Targe deflection analy-
ses of corrugated diaphragm and bellows. Bull. ISME, 1968, 11, No. 43,
pp. 24—33.
120. Hamada M., Takezono S. and Kashima N. Strength of U—shaped
bellows (3rd report, case of loading of internal pressure). Bull. ISME, 1966, 9,
No. 35, pp. 513—523.
121. Haringx J. A. Instability of bellow subjected to internal pressure.
Philips research reports, 1952, 7, pp. 189—196.
122. Kardos G. Tests on deflections of flat—oval Bourdon tubes—Trans.
ASME, S. D„ 1959, V. 81, No. 4, pp. 645—650.
123. Reissner E., On axisymmetrical deformations of thin shells of revo-
lution. — Proc. symp. appl. math., 1950, 3, pp. 27— 52.
124. Shindo A., Seguchi Y. and Yokoto T., Stresses and deflections of
welded bellows.—Trans. ISME, 1970, 36, No. 283, pp. 345—355.
386
125. Turner C. E., Stress and deflection studies of flat—pl.iiv uul I..
expansion bellows, subjected to axial, eccentric or internal pressuic l<>. itliiic I
Meeh, Engn. Sci., 1959, 1, No. 2. pp. 130—143.
126. Wuest W., Der Einflufi der Querschnittsform das Verhalteu von Buin
donfedern,—Ingenieur—Archiv, Bd. 20, N. 2, 1952, S. 116—125.
127. Wuest W., Theorie der Hochdruckrohrenfeder.—Ingenieur Archiv,
Bd. 24, 1956, S. 92—110.
128. Wuest W., Die Berechnung von Bourdonfeder.—VDI—Forschimgs -
Heft, 1962, 28, No. 489, S. 1277—1278.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно гибкая мембрана 160—162
Анероидная мембранная коробка 172
Большие перемещения плоских пру-
жин 62—70
---- плоской анизотропной мембраны
180—184
---- плоской изотропной мембраны
162—167
----тонкостенной оболочки враще-
ния 139—148
Винтовые пружины с начальным на-
тяжением 100—106
Витая трубчатая пружина, 328, 330
Выпуклые гофрированные мембраны
223
Геометрические функции для бесшов-
ного сильфона 268
----гофрированной мембраны 195,
196
----манометрической трубчатой пру-
жины 355
Гибкая связь 48, 103
Гистерезис 17, 28, 31
Граничные условия для бесшовного
сильфона 267
----гофрированной мембраны 193—
194 , 217—221
Деформации манометрической пружи-
ны 330—332
— плоской мембраны 155—156
388
Дислокация 30
Дифференциальные уравнения незамк-
нутой оболочки вращения 145
---- плоской анизотропной мем-
браны 181
---- плоской изотропной мембраны
162
Жесткость 13
— бесшовного сильфона 264, 265, 270
— винтойой пружины при изгибе 94
------- кручения 120
------- при сдвиге 95
-------с начальным натяжением 104
—сварного сильфона 311
Заводная пружина 8, 50, 111
Защита мембранных элементов 172 —
173
Изгиб бесшовных сильфонов 297—300
— биметаллической пружины 132, 133
— винтовой пружины 92—96
— плоской мембраны моментом 160
— термобиметалла при нагреве 129—
131
— трубчатой пружины моментом 340—
342
-------силой 342, 343
Изготовление винтовых пружин 71
-------с начальным натяжением 101
— гофрированных мембран 173—175
— манометрических трубчатых пру-
жин 328—329
— сильфонов 261, 262
Изменение объема 16
----гофрированной мембраны 184
----манометрической трубчатой пру-
жины 338
----плоской мембраны 158, 167
----сильфона 293, 313
Изменение эффективной площади бес-
шовного сильфона 295, 296
-------гофрированной мембраны 231,
250, 251
------- плоской мембраны 167
Измерительные пружины 7, 49, 72
Кинематические упругие элементы 8,
46, 325
Концевые витки винтовых пружин 74—
76
Коэффициент запаса 19—22
Кривизна винтовой линии 77
Критическая осадка винтовой пру-
жины 98, 99
Критическое давление для гофриро-
ванной мембраны 229
---- для сильфона 301
Кручение винтовой линии 78
Малые перемещения плоских пру-
жин 51—58
----плоской мембраны 153—160
Манометрическая мембранная короб-
ка 172
• — трубчатая пружина замкнутой фор-
мы 326
------- многовитковая 325
------- одиовитковая 325
-------переменной толщины 361, 365
-------сварная 329, 361
Материалы для термобиметаллов 128,
129
— неметаллические 43, 44
Материалы, упрочняемые дисперсион-
ным твердением 39—43
----закалкой 36—39
----пластическим деформированием
33—36
Мембраны неравномерной глубины гоф-
рировки 216, 217
Метод «наложения» 162—165, 181—183
— прогонки 377—379
— циклической прогонки 379 381
Микровыключатель 45, 60
Микропластические деформации 17, 26,
30
Микроползучесть 18, 29
Монокристаллические упругие элемен-
ты 32, 43, 256—259
Надежность метрологическая 22
— прочностная 22
Напряжения в бесшовном сильфоне
271—276, 283
----винтовой пружине 91, 92
---- гофрированной мембране 207—
210, 236, 238
---- манометрической трубчатой пру-
жине 349, 350, 370
----оболочке вращения 147, 148
----плоской мембране 157, 159, 160,
166
----пружине кручения 121
---- сварном сильфоне 311
----термобиметалле 135—137
----фасонной витой пружине 119
Натяжные пружины 8, 50, 74
Начальная плоскость гофрированной
мембраны 175
Нелинейность упругой характеристи-
ки 12
-------бесшовного сильфона 290—
292
------- винтовой цилиндрической
пружины 84—90
------- гофрированной мембраны 243
------- сварного сильфона 305—306
Неметаллические мембраны 149
Номограммы для расчета бесшовных
сильфонов 277—282
-------винтовых цилиндрических
пружин 108
-------манометрических трубчатых
пружин 365—370
-------плоских мембран 165—167
-------сварных сильфонов 307—310
— циклической прочности бесшовных
сильфонов 321
Нормальный термобиметалл 131
389
Осадка винтовой цилиндрической пру-
жины 82, 83
— витой фасонной пружины 118
Перемещения манометрической труб-
чатой пружины 333—338
— оболочки вращения 148
Перестановочное усилие 14
----манометрической трубчатой пру-
жины 343—347
Периодическая упругая кривая 63
Плоская мембрана с жестким центром
158—160
Ползучесть 18, 29—30
— мембранных упругих элементов
253—256
Посадка витков фасонной витой пру-
жины 115—118
Предел упругости 26, 31—32
Предельная высота пружины сжатия 99
Предельное состояние 20—21
Приведенные коэффициенты анизотро-
пии 178—180
Приведенный модуль упругости би-
металла 133
Продольно-поперечный изгиб стержня
57
Проектирование бесшовных сильфо-
нов 288—290
— винтовых цилиндрических пружин
106—111
— гофрированных мембран в условиях
силовой компенсации 249, 250
-------с линейной характеристикой
237—240
-------с нелинейной характеристи-
кой 190-192 , 243—245
— манометрических трубчатых пру-
жин 365—370
— сварных сильфонов 306—314
Профиль гофрированной мембраны 171,
176, 177
— манометрического элемента 139
— манометрической трубчатой пру-
жины 327
Пружинная муфта 74, 121—123
Пружины кручеиня 119—123
Релаксация напряжений 30
390
Сварной сильфон несимметричного про-
филя 316, 317
----симметричного профиля 303
----со складывающимися гофрами
303
Семейство упругих характеристик гоф-
рированных мембран 203, 211, 236
------- плоских мембран 161, 165
Силовая компенсация. Бесшовные
сильфоны 260, 273, 283, 294, 296
---- Гофрированные мембраны 229—
234, 249, 250
----Манометрические трубчатые
пружины 354, 359, 361
----Плоские мембраны 167
---- Сварные сильфоны 311
Сильфонный компенсатор теплового
расширения жидкости 314—316
Спиральная пружина 50
Температурная погрешность 18
Температурный коэффициент модуля
упругости 18, 28
Термобиметаллический компенсатор
126
— регулятор температуры 125
— термометр 124, 136
Т ермоэлектрохимическая обработка
поверхности 32
Тяговая сила манометрической труб-
чатой пружины 343—346
Тяговое усилие 14
Тяговый момент 344, 370
Упругая опора 46, 47
— поверхность гофрированной мем-
браны 206
----плоской мембраны 152, 153, 162
Упругая характеристика 12
----абсолютно гибкой мембраны 161,
162
---- гофрированной мембраны 183
---------, нагруженной силой 187
---------с жестким центром 185—
186
----конической витой пружины 115,
118
----плоской мембраны 155, 164, 165
Упругие направляющие 47, 48
— передаточно-множительные меха-
низмы 49, 56, 67
Упругий вывод перемещения 160, 261
Упругое последействие 17, 28, 31
Условие периодичности 316
Устойчивость бесшовных сильфонов
301—303
— винтовых пружин растяжения 104,
105
-------сжатия 96—100
— гофрированных мембран 223—229
— пологих сферических мембран 224,
225
Фасонные витые пружины 113—119
Центр поворота манометрической ipy6
чатой пружины 337
----упругой опоры 46, 58—60
Циклическая прочность бесЩовных
сильфонов 318—321
Цилиндрическая ленточная пружина 84
Чувствительность 13
— манометрической трубчатой пру-
жины 333, 370
Эффект Баушингера 26
Эффективная площадь 14—16
----бесшовных сильфонов 292—297
----гофрированных мембран 188—
190, 229—233, 249, 250
---- плоских мембран 158, 167
---- сварного сильфона 311, 312