И. А. ПАРНЫЙ
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ
ДВИЖЕНИЕ
РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В ТРУБАХ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1951 ЛЕНИНГРАД

12-5-4

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие 7
Глава I. Дифференциальные уравнения и граничные
условия неустановившегося движения в трубах
вязкой сжимаемой жидкости и газа с
дозвуковой скоростью 11
§ 1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой
жидкости в трубах с учётом гидравлических сопротивлении . , 11
§ 2. Уравнения движения капельной жидкости в длинных
трубопроводах с дозвуковой скоростью 17
§ 3. Уравнения движения газа с дозвуковой скоростью в
длинных трубопроводах 21
§ 4. Безразмерные уравнения движения сжимаемой жидкости
в трубах • 24
§ 5. Аналогия между движением сжимаемой жидкости в
трубах и распространением электрического тока по кабелю . 27
§ 6. Методы определения приведённого коэффициента
линейного трения в уравнениях неустановившегося движения
при квадратичном и линейном законах трения ...... 28
§ 7. Граничные и начальные условия 30
§ 8. Граничные условия при движении жидкости в
трубопроводе с камерой, служащей для .уменьшения колебаний
давления 31
§ 9. Учёт совместного эффекта упругости воздуха,
сжимаемости жидкости в колпаке и упругости стенок колпака . 34
Глава II. Интегрирование уравнений неустановившегося
движения жидкости в трубопроводах с
буферной камерой и без неё 37
S 1. О методах интегрирования 37
§ 2. Решения для скорости и давления в виде контурных
интегралов • 38
§ 3. Вычисление интегралов для скорости и давления .... 48
§ 4. Скачкообразные изменения скорости и давления в
начальном и конечном сечениях трубы 55
5 5. Переход от скачкообразных изменений скорости и
давления к произвольным функциям времени 59
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Случай большого затухания вследствие вязкости и
гидравлических сопротивлений 63
§ 7. Волновая форма решения при отсутствии затухания в
трубопроводе без камеры 66
§ 8. Распространение скачка давления в бесконечно длинном
трубопроводе 72
§ 9. Давления и скорости на фронте упругой волны,
распространяющейся внутри сжимаемой жидкости в
трубопроводе 74
Глава III. Некоторые случаи неустановившегося
движения жидкости и газа в длинных
трубопроводах • • 78
§ 1. Гидравлический удар вязкой жидкости в простом
трубопроводе 78
§ 2. Решение задачи о гидравлическом ударе вязкой жидкости
в простом трубопроводе методом Фурье 92
§ 3. Распространение скачка давления в простом
трубопроводе - . . 100
§ 4. Неустановившееся движение в длинном трубопроводе
с большим'затуханием ПО
§ 5. Неустановившееся движение газа в длинном газопроводе 112
§ 6. Распространение скачка давления в сложном
трубопроводе к • 116
§ 7. Неустановившееся движение жидкости в трубопроводе
с малым затуханием. Переход к случаю несжимаемой
жидкости • 118
§ 8. Пусковой режим насосных и компрессорных установок
в трубопроводе с небольшим затуханием 120
§ 9. Последовательное соединение двух трубопроводов
различных диаметров. Нагнетательная линия 126
§ 10. Пусковое давление, развиваемое насосом с воздушным
колпаком 132
§ 11. Колебания давления в камере при внезапном изменении
расхода 136
Глава IV. Колебания давления в трубопроводе с камерой
и без неё при периодическом изменении
расхода 143
§ 1. Связь между вынужденными колебаниями давления и
расхода 143
§ 2. Колебания давления при отсутствии камеры 147
§ 3. Вынужденные колебания в трубопроводе с камерой ... 150
§ 4. Расчёт воздушных колпаков поршневых насосов и
буферных ресиверов поршневых компрессоров 154
§ 5. Одновременная перекачка жидкости несколькими насосами
с воздушными колпаками в одну линию. Батарейный
колпак 160

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 6. Акустический наддув поршневых компрессоров и
двигателей внутреннего сгорания при помощи резонаторов
переменного объёма 171
§ 7. Определение колебаний давления при совместной работе
центробежного и поршневого насосов, соединённых
последовательно 177
§ 8. Влияние подводящей трубки на точность показаний
манометра для регистрации пульсаций давления 184
Глава V. Колебания давления в водопроводных
шлюзовых галереях и вибрации щитовых затворов . 191
§ 1. Пульсации давления при истечении из-под щита в
шлюзовых галереях 191
§ 2. Пульсации давления при стационарном расходе в случае
несжимаемой жидкости 193
§ 3. Граничные и начальные условия при неподвижном щите . 194
§ 4. Определение давления при заданном напоре и
неподвижном щите 196
§ 5, Решение для несжимаемой жидкости . . 204
§ 6. Сопоставление с экспериментальными данными . . . ! . 208
§ 7. Колебания давления в шлюзовой галерее и вибрации
щитового затвора. Устойчивость вибраций 210
§ 8. Влияние сжимаемости жидкости на устойчивость колебаний
щита 219
Дополнение 221

Посвящается памяти
академика
ЛЕОНИДА САМУИЛОВИЧА
ЛЕЙБЕНЗОНА
ПРЕДИСЛОВИЕ.
В своей классической работе о гидравлическом ударе
в водопроводных трубах Н. Е. Жуковский создал теорию
напорного неустановившегося движения жидкости, до сих пор
лежащую в основе всех исследований названной области. Эта
работа послужила началом огромного количества исследований
(более двухсот названий) по напорному неустановившемуся
движению жидкости. Регулирование расхода высоконапорных
гидростанций и предотвращение поломки турбин от
гидравлического удара с помощью уравнительных башен и других
буферных устройств, колебания давления в трубопроводах
насосных установок и ряд других задач напорного
неустановившегося движения привлекали и продолжают привлекать
внимание многих исследователей.
Гигантский размах гидротехнического строительства в
нашей стране, сооружение огромной сети магистральных аодо-
нефте-газопроводов высокого давления, трубопроводов ряда
специальных агрегатов и т. п. — явились толчком к постановке
многих задач неустановившегося движения, в которых
приходится учитывать одновременно вязкость и сжимаемость
жидкости.
Как известно, наиболее полной и законченной является
созданная впервые Н. Е. Жуковским теория напорного
неустановившегося движения идеальной упругой жидкости. Влияние
же вязкости или, что то же, гидравлических сопротивлений
на г^пебания давления при неустановившемся течении в
трубах исследовано, вообще говоря, значительно менее подробно.
Первые указания о влиянии потери напора на рост
давления при гидравлическом ударе капельной сжимаемой жидкости
были даны Н. Е. Жуковским и развивались в дальнейшем
более поздними исследователями.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Большинство этих методов основано на интегрировании
уравнений гидравлического удара Н. Е. Жуковского для
идеальной упругой жидкости с последующей приближённой
оценкой эффекта потери напора на трение, которую разные
авторы предлагали производить различным образом.
Относительно меньшее число исследований посвящено решению
задач, где трение учитывается в исходных дифференциальных
уравнениях. Первым исследованием такого рода является
выдающаяся работа И. С. Громеки, в которой жидкость считается
несжимаемой, но учитывается инерция стенок трубы и трение
жидкости *).
В литературе по неустановившемуся движению имеется ряд
статей и монографий, в которых тем или иным образом
учитываются оба эти фактора — вязкость и сжимаемость.
Укажем книги А. А. Сурина**), М. А. Мосткова ***) по
гидравлическому удару. В этих книгах содержится весьма
подробная библиография советских и иностранных работ по
напорному неустановившемуся движению одновременно с
историческим очерком развития этой теорир. Периодические
колебания давления в длинных трубопроводах поршневых насосных
установок впервые были рассмотрены с учётом сжимаемости
жидкости акад. Л. С. Лейбензоном ****).
В настоящее время существует хорошо разработанная,
главным образом трудами советских учёных, теория
напорного и безнапорного неустановившегося движения жидкости,
принципиально позволяющая решать рее задачи одноразмерного
движения реальной жидкости методом характеристик *****).
*) Г р о м е к а И. С, О скорости распространения
волнообразного движения жидкостей в упругих трубах, Казань, 1883 г.
**) С у р и н А. А., Гидравлический удар в водопроводах
и борьба с ним, Трансжелдориздат, 1946 г.
***) Мостков М. А., Гидравлический удар в
гидроэлектрических станциях, ГОНТИ, Москва, 1938 г., его*же: Основы теории
гидроэнергетического проектирования, Госэнергоиздат, 1948 г.
****) Л е й б е н з о н Л. С, Дополнение к книге: Г. Берг,
Поршневые, крыльчатые и ротационные насосы. Гос. научно-техн. нефт.
изд-во, 1933 г.
Лейбе нзон Л. С, Статьи о глубоких насосах в сборниках
«Труды Гос. иссл. нефт. ин-та (ГИНИ)» за 1930—-1932 гг.
#****) Христианович С. А., Неустановившееся движение
в каналах и реках, сб, АН СССР, Некоторые новые вопросы меха-

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
Однако для квадратичного закона трения сетку характеристик
приходится строить численным путём, что является весьма
трудоёмким делом. Теория же периодических решений задач
неустановившегося движения с нелинейным законом трения
ещё отсутствует. Поэтому в настоящей работе, преследующей
главным образом практические цели, рассмотрены задачи
движения с дозвуковой скоростью при линейном или
линеаризованном законе трения. При этом используется обычный
математический аппарат линейных уравнений, позволяющий
применить принцип суперпозиции и получить аналитическое
решение в замкнутой форме с отделением свободных и
вынужденных колебаний.
Предполагается, что трубопровод достаточно длинный
и что изменением скоростного напора по длине и даже самим
скоростным напором можно пренебречь. При этом оказывается
возможным вести расчёты неустановившегося движения по
средним в сечении скоростям.
Линеаризованные дифференциальные уравнения
неустановившегося движения с дозвуковой скоростью совпадают с
известными «телеграфными» уравнениями распространения
электрического тока вдоль кабеля с распределёнными
постоянными — ёмкостью, самоиндукцией и омическим
сопротивлением. Это позволяет использовать ряд решений, полученных
электриками, для наших задач.
Все рассмотренные в настоящей книге задачи могут быть
решены операционным методом. Однако в целях наибольшей
доступности и последовательности изложения, автор предпочёл
пользоваться методом контурного интегрирования в плоскости
комплексной частоты ш, исходя из обычного, хорошо
известного решения для «вынужденных» колебаний в форме
бегущей волны е{ (»*—**) # Поскольку при решении операционным
методом всё равно пришлось бы прибегнуть к формуле обра-
ники сплошной среды, Москва, 1938 г. Приложения метода
характеристик вк задачам гидравлического удара даны в работах
Н. Т. Мелещенко (Изв. Научно-иссл. ин-та Гидротехники,
№ 29, 1941) и К. Г. А сатур а, Гидравлический удар в
трубопроводах с диаметром и толщиной стенки, непрерывно меняющимися
по длине, Изв. Акад. наук Армянской ССР, т. III, № 4, 1950 г.,
а также в указанной выше книге М. А. Мосткова: Основы теории
гидроэнергетического проектирования.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
щения Римана-Меллина и окончательный результат находить
с помощью вычетов, оба метода практически эквивалентны.
Разница только в том, что обычно в операционном методе
интегрирование совершается в плоскости оператора -т-- = р
по прямой, параллельной мнимой оси, лежащей в правой
полуплоскости. Здесь же интегрирование выполняется в
плоскости комплексной частоты со по прямой, лежащей в нижней
полуплоскости и параллельной действительной оси.
Настоящая работа не является систематическим
руководством по теории напорного неустановившегося движения. Она
посвящена изложению круга задач, которые до сего времени
оставались недостаточно освещенными. В ней обобщены
исследования автора, связанные с практическими задачами
и частично опубликованные ранее в периодической печати.
Основное внимание уделено задачам одномерного
неустановившегося движения в трубах, когда в качестве граничных
условий фигурируют расходы, напоры или их линейная
комбинация, полагаемые известными функциями времени.
Случаи, когда на концах трубопровода установлены
агрегаты с заданными характеристиками Q — Н или с заданной
мощностью, в работе почти не рассматриваются. Эти задачи,
если иметь в виду учёт вязкости и сжимаемости жидкости,
ещё не имеют достаточно эффективного решения. Метод
характеристик, которым они принципиально могут быть решены,
требует громоздкого численного или графоаналитического
интегрирования, а потому изложение этих вопросов далеко
вывело бы нас за рамки настоящей книги.
Автор рассматривает эту работу как развитие
исследований своего учителя Л. С. Лейбензона в области
неустановившегося движения упругой капельной жидкости, которые,
в свою очередь, неразрывно связаны с именем великого
русского учёного Н. Е. Жуковского.

ГЛАВА I.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
ДВИЖЕНИЯ В ТРУБАХ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА С ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ.
§ 1. Дифференциальные уравнения движения
сжимаемой жидкости в трубах с учётом
гидравлических сопротивлений.
Дифференциальные уравнения движения капельной
сжимаемой жидкости впервые были составлены и для некоторых
случаев проинтегрированы Н. Е. Жуковским в его
классической работе о гидравлическом ударе*). Метод Н. Е.
Жуковского можно применить для общего случая движения жидкости
или газа в трубе с неравномерным распределением скоростей
в сечении трубы таким образом, чтобы в окончательные
уравнения движения входили средние в сечениях скорости и
давления. Здесь и везде ниже движение считается
изотермическим.
Проведём в любом месте потока в трубе два поперечных
сечения с расстоянием dx между ними. Введём обозначения:
р—плотность жидкости или газа, р — среднее давление
в сечении, / — площадь поперечного сечения, v — продольная
скорость в элементе поперечного сечения (местная скорость),
t—время, т — проекция касательного напряжения на стенке
трубы на ось х — направление потока — средняя по
смоченному периметру, ^—смоченный периметр.
*) Жуковский Н. Е., О гидравлическом ударе в
водопроводных трубах. Избранные сочинения, т. II, ОГИЗ, Гос. изд-во технико-
теор. литературы, 1948 г.

12 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Предполагая, для общности, поток нестационарным, из
теоремы импульсов получим (фиг. 1) *):
— ТХ dx — tfdx sin ос,
A.1)
где y г— вес единицы объёма жидкости, а — угол возвышения
оси элемента dx над горизонтом.
Сокращая A.1) на с?лг, получим:
дМ , д! __
dt ¦ дх ~~
A.2)
где
М
j pvdf A.3)
(f)
Фиг. 1.
— массовый расход,
/= J
(П
A.4)
— проекция на ось х количества движения массы М.
Уравнение A.2) является вполне общим, справедливым для любого
потока жидкости или газа в трубе.
Рассматривая далее баланс массы, втекающей и
вытекающей в элемент dx, получим обычным путём уравнение
неразрывности для целого потока в виде
*) На фиг. 1 для отчётливости чертежа показаны только силы
fP>fP+-*-(fp) dx vip-~ dx. Остальные силы подразумеваются.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 13
В общем случае величину / можно представить в виде
, A.6)
if)
где w — средняя в сечении скорость, J3 — поправка Корио-
лиса на неравномерное распределение скоростей в выражении
количества движения потока через среднюю скорость и
среднюю в сечении плотность. Как известно, при установившемся
движении для обычного распределения скоростей в
турбулентном потоке р » 0, при параболическом распределении
Р = у. При неустановившемся движении, естественно, [3 будет
переменной величиной, зависящей от характера распределения
скоростей в сечениях трубы.
Далее, воспользуемся известной формулой гидравлики для
касательного напряжения т
т = ^-р^, A.7)
где л — коэффициент сопротивления в формуле Дарси-Вейс-
баха для потери напора на трение в трубе. Величину или
порядок величины \ всегда можно установить, зная
шероховатость трубы и режим течения.
Как известно, при установившемся движении X зависит от
шероховатости трубы и числа Рейнольдса. Естественно
предположить, как это обычно принято при изучении
нестационарных гидродинамических процессов, что характеристики
сопротивлений, установленные для стационарных движений,
сохраняются и для нестационарных. Строгое обоснование этого
допущения весьма затруднительно и оправдывается оно,
в общем, удовлетворительным согласием теории и опыта.
Например, в теории неустановившегося течения в открытых
руслах коэффициент Шези С берётся таким же, как и при
установившемся течении, что даёт хорошее согласие с опытом *).
Учитывая сделанные выше замечания, уравнение A.2) можно
написать так:
*) Архангельский В. А., Расчёты неустановившегося
течения в открытых водотоках, Изд. АН СССР, 1947 г.

14 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
или, замечая, что pfw = M,
дМ a dp M.^w
^^ ], A.8)
где
8=Y A<9)
— гидравлический радиус сечения.
Вернёмся к уравнению неразрывности A.5). Для
сжимаемой жидкости или газа должна быть задана связь между
плотностью и давлением. Рассмотрим сначала случай
капельной сжимаемой жидкости. Следуя Н. Е. Жуковскому, учтём
здесь упругость стенок трубы.
Примем жидкость следующей закону Гука:
р = |
где р0 — плотность при давлении pQ, Кж — модуль объёмного
сжатия жидкости. Предположим, что площадь трубы /
зависит от давления также согласно закону Гука:
где /0 — площадь при давлении р0, Е— модуль упругости
1-го рода материала трубы, а — некоторый безразмерный
коэффициент, зависящий от формы сечения и толщины
стенок. Разность давлений р—р0 будег считать малой по
сравнению с Е и Кж, выражающимися, как известно, числами
порядка Е = 2 • 106 кг/см2 (сталь) и Кж = 2 • 104 кг/'см2 (вода).
Пренебрегая членом J~g , получим:
A.12)
Тогда
UP /1 1О\

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 15
где
К= ^jt- A.14)
! + «•?
приведённый модуль объёмного сжатия, учитывающий
упругость стенок трубы. Н. Е. Жуковским показано, что для
тонкостенных труб
« = ? A.15)
где d—внутренний диаметр трубы, 80—толщина стенки трубы.
Ряд других формул для а приведён в указанных выше
монографиях Сурина и Мосткова по гидравлическому удару.
В случае некруглых труб — овальных, прямоугольных и т. д. —
Г. И. Двухшерстовым показано, что величина приведённого
модуля К значительно снижается, так как площадь сечения
трубы некругового сечения увеличивается при ударе главным
образом вследствие изгиба её контура*).
Обозначим
Vf* =l
— скорость звука в капельной упругой жидкости, текущей
в трубе с упругими стенками. Тогда уравнение A.13) можно
представить в виде
Для газа можно принять /= const и воспользоваться
известной формулой
где с — скорость звука в газе, откуда получаем, раскрывая
полные дифференциалы dp и dp:
r
*) Д в у х ш е р с то в Г. И., Гидравлический удар в трубах не-
кругового сечения и потоке жидкости между упругими стенками.
Учёные записки Моск. Гос. университета им, Ломоносова, вып. 122,
Механика, т. II, 1948 г.

16 ГЛ. Т. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В силу произвольности приращений dt и dx необходимо,
чтобы
др 1 dp
dt ~~ с2 dt #
A.18)
Отсюда немедленно следует тот же результат, что и для
жидкости
dt
dt
с* dt *
A.19)
Таким образом, окончательно уравнения движения A.2) и
неразрывности A.5) можно представить в виде
*ЪЦ —
J dt ~
A.20)
Уравнения A.20) представляют собой систему двух
дифференциальных уравнений первого порядка в частных
производных гиперболического типа, в общем случае нелинейных. Из
них мы в дальнейшем получим дифференциальные уравнения
всех рассматриваемых ниже задач. При этом А и р в каждой
конкретной задаче, конечно, подлежат определению.
Мы будем изучать движение в длинных трубопроводах
с дозвуковой скоростью, когда скоростным напором и тем
более его изменением по длине трубы можно пренебречь.
Ниже показано, как можно упростить уравнения A.20) для
движения жидкости или газа с дозвуковой скоростью в
длинных трубопроводах.
Ещё Н. Е. Жуковским, рассматривавштгдвижение
идеальной жидкости с равномерным распределением скоростей
в сечении, было установлено, что для малых дозвуковых
скоростей в уравнениях движения можно пренебречь конвек-
dv dp r-r
тивными членами ^з— и v-^-* Покажем, что такое
пренебрежение тем более возможно для движения реальной жидкости
и в уравнениях A.2) и A.20) при движении с дозвуковой
скоростью можно пренебречь членом ^— = — [A -{- fj) Mw].

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 17
Будем рассматривать, для простоты, трубопровод постоянного
сечения /. Тогда, разделив обе части системы A.20) на /,
получим:
Рассмотрим отдельно движение капельной жидкости и
движение газа.
§ 2. Уравнения движения капельной жидкости
в длинных трубопроводах с дозвуковой скоростью.
Связь между плотностью р и давлением р в случае
капельной жидкости определена уравнением A.10), которое вместе
с уравнениями A.21) образует систему трёх уравнений для
трёх неизвестных функций /?, w, р.
Обозначим sin а = -?-, где ^—превышение центра тяжести
сечения трубы над произвольной горизонтальной плоскостью.
Заметим далее, что в членах fsina и _р^ согласно A.10),
можно без практической погрешности считать р = const,
Y = const, так как р—Ро<^ Кж* Тогда мы можем
проинтегрировать первое из уравнений A.21) по х от х1 до х2 при
фиксированном t и представить результат в таком виде
При движении капельной жидкости в длинных
трубопроводах с дозвуковыми скоростями обычно оказывается
возможным пренебречь изменением давления, соответствующим
изменению скоростного напора, так как изменение скоростного
напора вследствие сжимаемости капельной жидкости
практически ничтожно. Отсюда следует, что а A-.22) последняя
разность [A + Р) ряу2]2 — [A + Р) Р^2] J может быть опущена, что,
2 Зак. 2518. И. А. Чарный.

18 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
в свою очередь, эквивалентно отбрасыванию в A.21) члена
Заметим, что член A-}~P)p?<y2 имеет следующий
физический смысл. Вообразим, что струя с тем же распределением
скоростей, что и в данном сечении, выходит из
цилиндрического насадка в атмосферу и ударяет в перпендикулярно
поставленную преграду. Тогда легко показать, что среднее
динамическое давление на эту преграду, т. е. сила, делённая
на площадь струи, равна A -|-{3)ргЛ При равномерном
распределении скоростей р = О и это среднее давление, как
хорошо известно из гидравлики, равно давлению,
соответствующему удвоенному скоростному напору. В дальнейшем,
под давлением р мы будем подразумевать сумму p-\-^z и
опускать в A.21) член fsina.
Рассмотрим интегралы, входящие в A.22). Интеграл
J dt
dx
определяет собой изменение давления от нестационарности
потока; интеграл
— потерю давления от трения.
Н. Е. Жуковским было показано, что в случае идеальной
жидкости, движущейся с дозвуковой скоростью в длинном
трубопроводе, когда отсутствуют отражённые от концов
упругие волны, изменение давления от нестационарности
следует изменению скорости по закону: Ар = cpw — классическая
формула Н. Е. Жуковского.
Мы увидим в дальнейшем, что если длина трубопровода
достаточно велика и потеря давления от трения превосходит
ударное давление по формуле Н. Е. Жуковского не менее
чем в 3,5—4 раза, интеграл \^-(^w)dx в A.22) может

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 19
быть опущен, что, в свою очередь, соответствует
пренебрежению в A.21) членом jf
Уравнения A.21) содержат нелинейный член -^-.
Интегрирование нелинейных уравнений в частных производных
является вполне выполнимой*), но довольно трудоёмкой
задачей, особенно, если требуется проследить процесс на
значительном интервале времени. Для нелинейных уравнений
указанного выше типа приходится выполнять численное
интегрирование. Поэтому желательно упростить каким-либо
образом эти уравнения, например линеаризуя, когда возможно,
член rQSt ¦ и принимая множитель -^г- постоянным, равным
оО оо
его среднему значению по длине и времени**):
Ж~(ж) ==2a = const- С1-23)
Заметим, что при ламинарном режиме величину -^ можно
вычислить вполне точно, так как X обратно пропорциональна
числу Рейнольдса R =
где А — постоянное число, v — кинематический коэффициент
вязкости. Отсюда
Будем считать, что X для неустановившегося движения
является той же функцией числа Рейнольдса, что и для
установившегося. Для круглой трубы диаметра d, как известно,
*) См. X р и с т и а н 6 в и ч С. А., Неустановившееся движение
в каналах и реках, сб. АН СССР, Некоторые новые вопросы
механики сплошной среды, Москва, 1938 г.
**) Такой способ линеаризации отнюдь не является единственно
возможным. Можно, например, при небольших колебаниях скорости
представить скорость в виде w = Wq + wft где Wq — скорость при
стационарном режиме, af — поправка, квадратом которой можно
пренебречь. См. также § 6 настоящей главы.
2*

20 ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
А = 64, 8 = -jd. В этом случае
\w 64v 32v о (л осч
=2а С126)
»(т/ "
Для капельной жидкости без практической погрешности
можно считать, что v не зависит от давления и условие
J?L = 2а — const оказывается, таким образом, вполне точным
для ламинарного потока. При турбулентном же течении, как
указывалось, условимся осреднять член -~- согласно
формуле A.23).
Таким образом, для дозвуковых скоростей, когда можно
пренебречь изменением скоростных напоров, вместо
системы A.21) получается линеаризованная система для
функций р-гг/, р — массовой скорости и давления
dt ~ Ox '
Уравнения A.27) называются телеграфными, так как они
встречаются в задачах распространения электрического тока вдоль
кабеля. Более подробно эта электрогидродинамическая
аналогия будет рассмотрена в § 5.
Для капельной жидкости в уравнениях A.27) можно
принять без практической погрешности р = const и заменить эти
уравнения следующими:
др о dw j* dw
При а==0 уравнения A.28) совпадают с классическими
уравнениями Н. Е. Жуковского для задачи о гидравлическом
ударе.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 21
§ 3. Уравнения движения газа с дозвуковой скоростью
в длинных трубопроводах.
В этом случае к уравнениям A.21) добавляется уравнение
состояния Клапейрона (газ считается идеальным)
f-tf*T, A.29)
где /j — газовая постоянная, Т—абсолютная температура.
В длинных газопроводах режим можно считать изотермическим:
Г = const.
При движении газа с дозвуковой скоростью в длинном
газопроводе обычно всегда можно пренебречь динамическим
давлением, соответствующим скоростному напору, а также
пренебречь гидростатическим давлением газа ввиду его малой
плотности. Тогда, рассуждая как в § 2, мы получим
возможность опустить члены ^sina и — [A -j-P) pw2] в
уравнениях A.21), после чего эти уравнения примут вид
djp_ д (pw) j^ Ipw2 ]
dx dt l 8b ' I ,. _ ч
\ A.30)
при этом для турбулентного режима коэффициент X можно
считать постоянным. Уравнения A.30) вместе с уравнением
состояния A.29) при Т = const образуют систему трёх уравнений
для трёх неизвестных функций: /?, (pw) и р.
При ламинарном режиме вид уравнений меняется, так как
коэффициент X не постоянен, а зависит от скорости по закону
} Ар /1 on
где р. — абсолютный коэффициент вязкости газа, который
можно считать не зависящим от давления, А — постоянный
коэффициент. В этом случае вместо первого из уравнений A.30)
получим:
__др d(pw) , Ay< pifl2 d(pw) \
_
w>

22 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
или, учитывая A.29),
При квадратичном законе трения X = const и первое из
уравнений A.30) можно представить в виде
др d(pw) | _Х_
A.33)
Таким образом, при ламинарном движении газа получается
система уравнений A.32) совместно со вторым уравнением
A.30). При турбулентном движении мы получаем систему:
уравнение A.33) и второе уравнение A.30). Обе эти системы
являются нелинейными системами двух уравнений первого
порядка в частных производных, которые решаются в общем
случае весьма громоздкими и трудоёмкими численными
методами.
Как выше указывалось, мы рассматриваем движение, в
котором можно пренебречь динамическим давлением,
соответствующим скоростному напору газа. В этом случае можно
предложить несколько способов линеаризации.
Первый способ формально не отличается от применённого
для капельной жидкости и заключается в замене множителя -&г
его средним по длине и времени значением
Только система A.30) переходит в систему A.27) для
капельной жидкости
2
дР _ .2
Такая линеаризация является более грубой, нежели для
капельной жидкости, так как в магистральных газопроводах
высокого давления скорость по длине может заметно меняться,
что не имеет места в случае капельной жидкости.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 23
Чтобы указать второй способ, представим систему A.30),
учитывая A.18), в виде
/1 О
dp d(pw) _лдх0 , д? ¦
Подставим в первое из уравнений A.36) значение -^ из
второго и заменим во втором уравнении A.36) -J- его значением
согласно A.29)
др 1 dp
дх~ gRTlx'
Тогда получим для первого из уравнений A.36):
dp dw ( dw
ИЛИ
l w*\dp dw d (w*\ ХРщ2 n „.
(L87)
Как известно, при изотермическом процессе g*/?7=c3,
где с — скорость звука в газе. Так как мы условились
рассматривать дозвуковые скорости и пренебрегать скоростным
напором (а также его производными), то вместо A.37) получим:
<>L~o 4
9
Аналогично второе из уравнений A.36) можно представить
в виде
dp dw | w dp dw * w dp dw /л ork4
Умножая обе части уравнения A.39) на gRT, вместо
второго уравнения A.36), получим:

24 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Из A.38) и A.40) будем иметь:
д Inр 1 (dw , lw^\
д\пр dw
A.41)
Эти уравнения совпадают с уравнениями A.28) для
капельной жидкости, причём вместо давления р в жидкости
подставляется в случае газа 1пр, вместо плотности жидкости
р — величина —pf, вместо К—единица. Член -~ будем
попрежнему представлять в виде
где
2а==(ж) •
§ 4. Безразмерные уравнения движения
сжимаемой жидкости в трубах.
Во многих случаях безразмерная форма уравнений
облегчает их анализ.
Рассмотрим общие уравнения A.21), справедливые для
капельной жидкости и газа
it
дх
д? ,
W
dt
1 dp
"Г"
Введём безразмерные переменные
w .
W
= -т; *:
A.42)
A.43)
A.44)
где р0, ^0, р0 — характерные давление, скорость и плотность
в нашем потоке, /—какая-нибудь характерная длина,
например длина трубопровода.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 25
Пользуясь формулами преобразования
_д _d_i*l с д
Tt~~dx dt~ I dt '
д _ д d% _ 1 d
получим вместо A.42) и (U43) уравнения в безразмерной
форме
др* _ сРоШ,„ g(PV) Apo«ft
], A.45)
За масштаб давлений р0 выберем
A-48)
—ударное давление по формуле Н. Е. Жуковского в
упругой идеальной жидкости плотности р0, текущей со
скоростью w0. Тогда вместо A.45), A.46) и A.47) будем иметь:
A.49)
Из этих уравнений следует вывод, к которому мы пришли
выше, — для дозвуковых скоростей с небольшим
отношением —^ можно в A.49) пренебречь последним слагаемым

26 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Покажем, что для длинных линий можно пренебречь также
первым слагаемым w w \ для этого формально
проинтегрируем уравнение A.49) по т при фиксированной 5, в
пределах т = Tj и т = т2 и сравним интегралы от двух первых
слагаемых
IWq С
Очевидно, если -^- -^ ^> 1 и т2 — тх >. 1, второй интеграл /а
будет намного больше первого Д. Таким образом, при
достаточно большом значении коэффициента о§-— первый член
правой части в A.49) можно отбросить и заменить систему
A.42) и A.43) следующей:
др
= 1 др
Для капельной жидкости под величиной р будем
подразумевать, как и раньше, сумму р -|- ^z.
Уравнения A.52) совместно с уравнением состояния
образуют систему трёх нелинейных уравнений уже параболического
типа, которую мы линеаризуем, как и раньше.
Для капельной жидкости, когда можно считать р = const,
эта система сводится к системе A.28) без слагаемого -^:
л л . } A.53)
дР _ Lrdw 2 dw » v J
где коэффициент 2а определён формулами A.23) и A.26).
Для газа в качестве неизвестной функции вводим массовую

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 27
скорость pw и вместо A.52), получим:
д? ±др d(Pw)
dt e с2 dt~~ дх #
Коэффициент 2а в A.54) определён для ламинарного режима,
согласно A.32), формулой
*« = (Ь55)
а для турбулентного при X = const
^ A.56)
§ 5. Аналогия между движением сжимаемой жидкости
в трубах и распространением электрического тока
по кабелю.
Напомним хорошо известную связь между
распространением электрического тока вдоль кабеля с распределёнными
постоянными — ёмкостью, самоиндукцией и омическим
сопротивлением— и движением сжимаемой жидкости в трубах.
Дифференциальные уравнения для распространения
электричества в длинной линии имеют следующий вид (при этом
мы пренебрегаем утечкой через изоляцию) *):
A.57)
Здесь V — напряжение в рассматриваемом сечении линии,
/ — сила тока, L, /?Эл, С—соответственно самоиндукция,
омическое сопротивление и ёмкость единицы длины провода.
Сопоставляя уравнения A.57) с уравнениями A.27), A.28)
для капельной жидкости и с уравнениями A.35) и A.41) для
dV
dx
dV
dt
___ г
1
С
- + R*J,
dt
dx'
*) К о в а л е н к о в В. И., Устанавливающиеся электромагнитные
процессы вдоль проводных линий, Изд-во АН СССР, 1945 г.

28 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
газа, убеждаемся в их полном сходстве. Физические величины,
входящие в эти уравнения и аналогичные друг другу,
сведены в следующую табл. 1.
Таблица 1
Капельная жидкость
уравнения
A.27)
pw
р
с*
2а
1
уравнения
A.28)
W
Р
К
2ар
?
Газ (изотерм, поток)
уравнения
A.35)
pw
Р
С*
2а
1
уравнения
A.41)
w
gRT
2а
gRT
1
gRT
Электрическая
линия
[уравнения A.57)]
1
V
1
LC
#эл
L
При одинаковом виде граничных и начальных условий для
всех трёх задач получаются одинаковые решения.
§ 6. Методы определения
приведённого коэффициента линейного трения
в уравнениях неустановившегося движения
при квадратичном и линейном законах трения.
В линеаризованных уравнениях неустановившегося
движения под р, р и w можно подразумевать как их абсолютные
значения, так и избыточные значения над стационарными,
существовавшими в начальный момент времени ? = 0. Если
изменения этих величин в процессе неустановившегося
движения незначительны, то при квадратичном законе трения
определение коэффициента 2а из условия A.23)
можно уточнить следующим образом.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 29
Рассмотрим квадратичный член в уравнениях
движения A.21) пйг отдельно для капельной жидкости и для газа.
Для капельной жидкости будем считать р = const. Линеари-
зация члена -^ эквивалентна замене отрезка графика кривой
у = -gg- =y (w) в некотором интервале wQ < w < wv
надлежаще подобранным отрезком прямой (фиг. 2). Условимся эту
прямую проводить так, чтобы площади, ограниченные осью
абсцисс и отрезками кривой АВ и прямой АВ\ были равны.
Тогда для коэффициента 2а получим уравнение
Jlw2 С P*wl
—— dw = —-
ИЛИ
2a = -
A.58)
При ламинарном режиме движения капельной жидкости можно
пользоваться формулой A.26)
2а =
3252*
A.59)
При движении газа с квадратичным законом
сопротивления можно пользоваться также формулой A.58). При движении

30 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
газа с линейным законом трения, когда колебания
давления невелики по сравнению со стационарным, коэффициент 2а
можно определять из формулы A.32)
где /7ор — среднее давление. Случай длинного газопровода,
когда такое осреднение давления становится слишком грубым,
рассмотрен в § 4 гл. III.
§ 7. Граничные и начальные условия.
В дальнейшем мы будем рассматривать задачи о
неустановившемся движении в трубах, сводящиеся к интегрированию
системы A.28) для капельной жидкости:
при различных граничных условиях. Граничные условия,
естественно, зависят от характера возмущений на границах.
При этом мы будем предполагать, что до момента
времени ?=0 движение отсутствовало или было стационарным,
т. е. р и w для t^O не зависели от времени. При /^-0
движение, в силу каких-либо причин, стало неустановившимся
и мы, в силу линейности системы A.61), можем под р и w
в A.61) для t^>0 подразумевать их избыточные значения над
стационарными, существовавшими в момент t^O. Таким
образом, начальные условия будут:
t=Q9 w = 0, р = 0 при любом х. A.62)
Ряд рассматриваемых ниже задач формулируется
следующим образом: к одному концу трубопровода присоединён
какой-либо агрегат, изменяющий расход жидкости по
известному закону в зависимости от времени, например поршневой
насос, задвижка, турбина, компрессор и т. п. Агрегат
присоединён к трубопроводу или непосредственно, или отделён
от него камерой, служащей для регулирования расхода или

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 31
уменьшения колебаний давления (например, воздушный колпак,
уравнительная шахта, буферный резервуар компрессора и т. п.).
На другом конце трубопровода предполагается известным
давление в функции от времени. В частности, это давление
может быть и постоянным, например атмосферным.
Для этого рода задач граничные условия могут быть
сформулированы в таком виде
где <р@,/@ — известные функции, h — положительная
постоянная, характеризующая тип камеры, если таковая имеется.
При отсутствии камеры h = 0. Значения h для разных видов
камер будут указаны ниже при рассмотрении конкретных
задач.
Так как мы условились под р и w подразумевать их
избыточные значения над стационарными, существовавшими
при /<0, ср (/) = 0 и f(t) — O для *<0.
Таким образом, уравнения A.61) должны быть
проинтегрированы при начальных условиях A.62) и граничных
условиях A.63).
§ 8. Граничные условия при движении жидкости
в трубопроводе с камерой,
служащей для уменьшения колебаний давления.
Как уже указывалось, у агрегата, создающего или
регулирующего расход жидкости и присоединённого к одному концу
трубопровода, устанавливается обычно камера, имеющая своим
назначением уменьшать колебания давления.
Мы будем рассматривать движение жидкости в
трубопроводе с 3 типами камер: 1) воздушный колпак,
устанавливаемый обычно у поршневых насосов, а за последнее время
часто и у центробежных. 2) Уравнительная башня
(призматическая), устанавливаемая в конце напорного трубопровода
перед турбиной гидростанции. 3) Ресивер {буферный резер-
вУаР)> устанавливаемый у поршневого компрессора,
перекачивающего газ.

32 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Начало координат помещаем у конца трубопровода, где
поддерживается известное давление. Тогда
при л==0: р = у(?)
— первое граничное условие.
Второе граничное условие при х = 1—у агрегата —
получим из баланса расхода жидкости, втекающей и вытекающей
из камеры,
Заметим, что при выбранном направлении оси х
положительными будут скорости и расходы, направленные от
открытого конца трубопровода к агрегату и, наоборот,
отрицательными— от агрегата к открытому концу.
Выведем второе граничное условие для вышеуказанных
трёх типов камер.
/. Воздушный колпак.
Пусть VQ, р0 — средние объём и абсолютное давление
воздуха в колпаке и у обозначает увеличение объёма жидкости
(или уменьшение объёма воздуха) в колпаке. Прирост объёма
жидкости в колпаке в единицу времени есть
g = O)a,=I_Q, A.64)
где /—площадь поперечного сечения трубопровода, {fw)Xisl —
расход жидкости, втекшей в колпак, Q — расход жидкости,
вытекшей из колпака.
Расход Q создаётся или регулируется агрегатом и
является известной функцией времени Q = Q (f).
С другой стороны, предполагая, что воздух сжимается
изотермически, получим:
PoVo = P(Vo— у),
откуда
или, так как в нормально работающем колпаке у мало по
сравнению с Vo
(^) A.65)

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 33
Из A.65) и A.61):
dy _ Vodp_ KVodw^
W~ po dt~~ ро дх • ^'0D)
Подставляя в A.64), получим второе граничное условие:
2. Уравнительная башня.
Прирост объёма жидкости в башне в единицу времени
есть
-? = (fw)x=i-Q(t), A.68)
где Q(t) — известный расход. Повышение уровня жидкости
в башне равно
где F — площадь поперечного сечения башни.
Соответствующее повышение давления:
Р— Ро = ^ = Т7-
Отсюда
^1 — LdJL
dt~ t dt
и из A.68) и A.61) получаем второе условие в виде
3. Ресивер поршневого компрессора.
За время dt в ресивер поступает масса газа pfwdt, а
забирается компрессором: pQdt, где Q — заданный объёмный
расход. Увеличение плотности газа в ресивере равно
3 Зак. 2518. И. А. Чарный.

34 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
где Vo — объём ресивера, или
д?_ fw-Q nm
Tt~p Ко ' A-70)
Из A.70), A.29) и уравнения неразрывности A.40) получаем:
д\пр _(fw)Xzsl — Q{t) _ dw
dt ~ Vo ~ dx>
откуда находим второе граничное условие в виде
*=/, *,+у? = Ш. A.71)
Уравнения A.67), A.69) и A.71) являются частными
случаями второго уравнения A.63), в котором
Ш, A.72)
Q(f) — заданный расход, /—площадь поперечного сечения
трубы, причём: для воздушного колпака
для уравнительной башни
А=7у. 0-74)
для ресивера компрессора
А = -^. A.75)
Везде расход Q (t) отсчитывается от стационарного расхода,
соответствующего моментам времени t^.0 и /(/)== Щ-*- —
известная функция времени, равная нулю для / ^ 0.
§ 9. Учёт совместного эффекта упругости воздуха,
сжимаемости жидкости в колпаке
и упругости стенок колпака.
Представляет интерес исследование явлений, происходящих
при весьма малом количестве воздуха в колпаке или при
полном отсутствии воздуха. Опыты показывают, что колпак
больших размеров, почти лишённый воздуха, всё же способен до
некоторой степени уменьшать колебания давления.

ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 35
Исследование этого случая важно, в частности, для работы
грязевых насосов высокого давления, применяемых в бурении,
которые не всегда снабжены компрессорными установками
для питания воздушных колпаков воздухом.
Выше учитывалась упругость жидкости только в
трубопроводе. Упругостью жидкости в самом колпаке мы
пренебрегали, полагая, как обычно, что избыток жидкости,
поступающей в колпак, целиком расходуется на сжатие воздуха.
На самом же деле правильнее считать, что избыток жидкости,
поступающей в колпак, расходуется, с одной стороны, на
сжатие воздуха, с другой, — на сжатие жидкости в самом
колпаке и на растяжение стенок колпака.
Последние два фактора могут быть объединены путём
введения кажущегося модуля объёмного сжатия жидкости К\
учитывающего упругость стенок колпака так же, как это
делается для труб. Пусть полное увеличение объёма жидкости
в колпаке за время dt равно dy> а повышение давления dp.
Средние объёмы воздуха и жидкости обозначены через 1/в, Уж.
Очевидно, dy складывается из двух частей: 1) увеличения
объёма dyl9 которое происходило бы без учёта сжатия
жидкости в самом колпаке; согласно A.65)
2) увеличения объёма dy2, происходящего от совместного
действия сжимаемости жидкости и упругости стенок колпака
Тогда
и, согласно второму уравнению A.61),
dt Л/го "i" К1) dt \pQ "Г Kf) ^ дх '
где К—модуль объёмного сжатия жидкости в упругом
трубопроводе.
3*

36 ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Последнее уравнение можно представить ещё так:
dy KV*
p У
что отличается множителем ^~\misr'xr от правой части
формулы A.66).
Таким образом, в предыдущих формулах для воздушных
колпаков вместо объёма воздуха Vo = VB следует подставить
значение
т. е. объём воздуха как бы увеличивается.
Уравнение A.76) можно преобразовать ещё так:
dy /К KVB \ dm
Во многих случаях можно считать Кя&К'°
Сравнивая формулы A.77) и A.66), видим, что в этом
случае следует заменить объём воздуха Vo= VB через
к
Постоянная h определяется формулой

ГЛАВА II.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В ТРУБОПРОВОДАХ С БУФЕРНОЙ КАМЕРОЙ
И БЕЗ НЕЁ.
§ 1. О методах интегрирования.
Телеграфные уравнения A.61) принадлежат к числу
хорошо изученных линейных уравнений математической физики
и методам их интегрирования посвящена обширная литература.
Они рассматриваются во множестве руководств по акустике,
электротехнике, гидродинамике и т. д., а также в любом
современном курсе математической физики *).
Ряд работ посвящен методам интегрирования, являющимся
модификациями классического метода Фурье-Бернулли —
разделения переменных, когда вначале определяются частные
решения и общее решение находится суммированием частных
решений таким образом, чтобы удовлетворялись начальные и
граничные условия. Хотя этот метод **) является несколько
громоздким, он позволяет сравнительно простым образом
получить решение в тех случаях, когда система
фундаментальных функций, из которых составляется общее решение,
ортогональна, что, в свою очередь, зависит от характера
граничных условий. Если же система фундаментальных функций
оказывается неортогональной, то решение весьма усложняется
*) Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ГТТИ,
1931 г., т. IV, ГТТИ, 1941 г.
Коваленков В. И., сноска на стр. 27.
К р ы л о в А. Н., О некоторых дифференциальных уравнениях
математической физики, имеющих приложение в технических
вопросах, Изд-во АН СССР, 1933 г.
**) См. предыдущую сноску.

38 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
и требует обычно специальных приёмов. Широкое
распространение за последнее время, примерно 15—20 лет, получил
операционный метод*), позволяющий довольно быстрым путём
получать решения ряда задач в тех случаях, когда
получаемые «изображения» находятся среди табличных изображений,
приводимых в большинстве руководств и монографий по
операционному исчислению и его приложениям. В случае, когда
«изображения», получаемые в процессе решения, не находятся
в числе табличных, переход от «изображения» к
«оригиналу» может оказаться довольно сложным и операционный
метод тогда не будет иметь особых преимуществ.
Простым и довольно быстрым методом, очень близким
к операционному, является метод контурного интегрирования
в плоскости комплексной частоты со, когда общее решение
ищется не в виде ряда, а в виде интеграла, взятого по
надлежаще проведённому контуру в плоскости комплексного
переменного, за которое принимается частота колебаний со.
В следующем параграфе мы изложим этот последний метод
для решения дифференциальных уравнений
неустановившегося движения при граничных условиях, заданных формулами
A.63) ••).
§ 2. Решения для скорости и давления
в виде контурных интегралов.
Будем искать решение системы A.61) для капельной
жидкости
i B.1)
dp 2 &w ts^1®
dt ^ дх дх
*) Эфрос А. М. и Данилевский А. М., Операционное
исчисление и контурные интегралы, ДНТВУ, 1937 г.
Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения
к задачам механики, 2-е изд. Гос. изд-во технико-теоретической
литературы, 1950 г.
Конторович М. Н., Операционное исчисление и
нестационарные явления в электрических цепях, Гос. изд-во^технико-теоре-
тической литературы, 1949.
**) Ч а р н ы й И. А., К теории одноразмерного
неустановившегося движения жидкости в трубах и расчёту воздушных колпаков
и уравнительных башен, Изв. ОТН АН СССР, № 6, 1938 г.

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 39
при начальных условиях A.62)
?<;0, w = 0, р = 0 B.2)
и граничных условиях A.63)
* = 0, /> = ?(/)> B-3)
B.4)
где ср (t) и / (t) — известные функции времени, равные нулю
при if<0.
Предположим сначала, что <р@ и f(t) удовлетворяют
условиям Дирихле и могут быть представлены интегралами
ср (/) = Г Ф (со) еш й(л,
—оо
сю
f{f)= J Z7 (О)) ^<^ rf(O,
B.5)
где Ф(о>) и F((o) — так называемые частотные спектры
функций ср(*) и /(/). Иногда Ф(со) и F(a)) называют спектральными
функциями.
Представляя <р(/) и /(^) интегралами Фурье в комплексной
форме
СО ОО
1 Г Г
:^J<faJ?(«)*.e->,fa,
— со —оо
— оо —оо
и, учитывая, что ср (/) ===== 0 и f(t) = O для
, получим,

40 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
сравнивая с B.5), формальные выражения для Ф(ш) и F((u)
B.6)
Если функции <р (/) и / (/) не удовлетворяют одному из условий
Дирихле, а именно не интегрируемы в интервале 0 < t < оо,
то интегралы B.6) будут расходящимися. Это затруднение
можно преодолеть для довольно широкого класса функций
ср(/) и f(f) переходом от интегрирования в вещественной
области к интегрированию в комплексной области с помощью
слегка видоизменённой формулы Римана-Меллина.
Предположим, что <р (О И / @ не удовлетворяют условию
Дирихле интегрируемости в пределах —оо, оо, но равны
нулю при /^0 и при ?->оо возрастают медленнее
экспоненциальной функции:
K
где М, о0 — некоторые положительные постоянные.
Тогда функции f(f)e-ot, <р(?)е~°*, где а > а0,
удовлетворяют всем условиям чДирихле, так как интегралы
J |/@| e-*dt и
О О
конечны:
со оо
со
J

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ, ДВИЖЕНИЯ 41
Представим теперь функции /(/) e~ot и <р (/) e~9t посредством
интеграла Фурье
ОО ОО
f{t) е-* = ~ [ dm J /(«) в-«в*» (*-«> da,
cp (t)e~9t
или, разделив на
—оо
оо
— 00
оо оо
0
00
= JL J rf<o J / (a) e»*e-««e^ (*
—оо О
оо со
=¦ J [-^ J /(«) e-('+iu)) ¦ da]
—оо О
оо оо
= -i-. I rfa> Гф (а) е«*е-**е** (#
—оо О
оо со
= I [-^ Г ср (а) е-С«+<«>) «
B.8)
Обозначим внутренние интегралы по а, по предположению
абсолютно сходящиеся, через /^со, о), Ф(ш, о):
оо
i J / (а) е- (•+*«> « da = Т7 (ш, о),
О
оо
-J-- I <p (a) «-(•+<">)« da =Ф(», о)
B.9)
и введём обозначение
о+ №> =
B.10)
Заметим, что обычно в операционном исчислении при выводе
формулы Римана-Меллина обозначают <з -|- ш = р — без множи-

42 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
теля и Мы вводим множитель /, чтобы в дальнейшем
сохранить в решениях форму вынужденных колебаний,
содержащих, как будет видно из дальнейшего, множитель ei(ot.
Тогда наши функции ср (t) и / (t) можно представить в виде
ф (/) = Г Ф (со, о) eiw
— оо
со
f(f)=j F(<o,o)e*
B.11)
Перейдём теперь от интегрирования по переменной <о,
которая до сих пор считалась вещественной, к интегрированию
по новой переменной (л1 — уже комплексной. Из B.10):
¦ т- r"—> (О •
•и.
B.12)
Интегрированию вдоль действительной оси в плоскости ш
соответствует интегрирование в плоскости a>j по прямой,
параллельной действительной оси и отстоящей от неё на
расстоянии — io. Таким образом, пределы интегрирования по
coj будут —оо—/о и оо —/а:
СО — %9
Ф (ю, <з)
F (л, о)
— со — га
B.13)
В дальнейшем индекс «1» мы опускаем, функции Ф(о>, о)
и F (ш, о) обозначаем просто через Ф (со) и F (со).
Подразумевая под о комплексное переменное, формулы B.13) можно
представить в виде
СО—%9
ср (/) == Г ф (о>) еш rf«),
— ОО— %9
«JU — 49
f(t)= J F (ш) е*<°* du.
— ОО —19
B.14)

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 43
Расстояние о должно быть выбрано таким, чтобы все особые
точки функций Ф (о, о) и F (со, а) лежали сверху над прямой
— оо — io9 оо — /о.
Интегралы B.14) представляют собой простое следствие
известной формулы «обращения» Римана-Меллина,
получаемое при перемене местами в этой формуле действительной
и мнимой осей *).
Итак, предположим, что частотные спектры F (со) и Ф (ш)
в B.14) известны, согласно формулам B.9). Будем искать
частные решения системы B.1) в виде бегущих волн
(вынужденных колебаний)
то) — (Г* rnQ h v т \ ¦ Г* Qin hv\ pi&t \
p = (Cbcoskx+CAslnkx)eM, ] ^2Л5^
где Cl9 C2, Q, C4, k — постоянные, подлежащие определению.
Относительно k будем предполагать, что его вещественная
часть положительна. Из B.15) получим:
.?- = — /со (С3 cos kx + С4 sin kx) еш,
UtS) * . I 1 \. X 4.
~. — Ю 1 ~^^ v-» < Olll /VA I wn V*v/O АСЛ I t/ a
f/JC
откуда, согласно второму уравнению системы B.1)
— шС3 = kKC2i
B.16)
или
k
(О
Подставляя B.15) в первое уравнение системы B.1) и
учитывая B.16), получим:
_ k А /С ( — С2 si n & v — Сг с о s kx) e* <»* =
=» р (Cj cos &л: + С2 sin Ал:) (/со -f 2a) еш,
*) См. первую сноску на стр. 38.

44 ГЛ. II, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
ИЛИ
откуда, так как K =
Отделим в k, определённом из B.17), вещественную и
мнимую части
/e = i(a>' —ш')> B.18)
причём будем считать вещественную часть k, как уже
указывалось ранее, положительной. После простых вычислений
получим:
2
B.19)
Если а мало по сравнению с со, то приближённо
и'ж®, а'я&а. B.20)
Таким образом, задача свелась к нахождению всего двух
постоянных Ct и С2, и частные решения для w, p можно
искать в виде
w = (Q cos kx + С2 sin fee) e<u)*, B.21)
p = / A A: (C2 cos ?* — Cx sin to) *<»'. B.22)
Постараемся найти общие решения w и р, умножая B.21)
и B.22) на ^ш и интегрируя по частоте со в тех же
пределах, что и в интегралах B.14). При этом Сх и С2 будем

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 45
считать неизвестными функциями ш
оо—га
= J (CiCOsbr + CaSinAAOe'""^, B.23)
— со—ia
ОО—19
= iK J ¦^{C2coskx — C1$inkx)eMd<a. B.24)
— оо—ia
Выразим с помощью формул B.23) и B.24) граничные
условия B.3) и B.4), учитывая B.14):
д: = 0, р = <р (t) = f Ф (ш) ем d<a =
— оо—ia
оо—ia
= iK J ^C^d% B.25)
—oo—ia
оо—ia
oo—ia
= j [Ct(coskl—Msin
—oo—ia
-f C2 (sin ^/ + kh cos ft/)] e*">* rfa). B.26)
Контуры интегрирования в правых и левых частях B.25) и
B.26) одинаковы. Отсюда получаем, сравнивая подинтеграль-
ные выражения
Ф(ш) = //С — С2, ]
}B.27)
F (со) = Ct (cos й/— &Л sin kl) + C2 (sin kl + М cos A/). J
Решая B.27) относительно Сг и С2, будем иметь:
г _ F И , / со Ф (со) (sin А?/ 4- М cos A;/) .Q „v
1"^cosA;/—^sinAr/"»~ AT Д? cos kl — kh s*n kl ' ^ }
Ca —— -™Ф(«). B.29)

46 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Подставляя Сг и С2 из B.28) и B.29) в формулы B.23) и
B.24) для w и р9 получим:
W
oo —
s
i u>_ Ф (о) (sin kl -f- ^ cos &/)"[ ,
IT coskl — khsinkl JCOSAJA;
f
— oo—io
^/<-/fevw coskl — khsinkl
oo—ia
-is Г ^ Г i w л/ \ «. Z7(o>)sinЛл:
= iK — — — — Ф (ш) cos Ал: .;
L C khsinkt
—oo—i
_ 4«Ф („) Sin ^sin
oo—ia
-is Г k F(<o) sin Ъ:
iK .;
i
...
kh sin
—oo—i<x
T
—oo—io
Интегралы B.30) и B.31) дают формальное решение задачи,
так как они удовлетворяют граничным и начальным условиям.
Первое — удовлетворение граничным условиям — очевидно,
второе — требует доказательства и более подробного
исследования, к которому мы и переходим.
Очевидно, подинтегральные функции сами по себе в B.30)
и B.31) определяют вынужденные колебания, когда
граничные функции <?(?) и /(/) являются периодическими
ср (t) = Ф (ш) ***, f(f) = F («) *«»*.
При таком периодическом виде граничных функций, когда
ставится задача об удовлетворении только граничных уело-

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 47
вий, т. е. задача определения одних только вынужденных
колебаний, нет никакой необходимости в интегрировании по
частоте а). В этом случае непосредственно подинтегральные
выражения в B.30) и B.31) определяют вынужденные
колебания. Если же схавится общая задача — удовлетворить не
только граничным, но и начальным значениям, т. е. найти
также и свободные колебания или, если граничные
функции 9@ и /@ не являются периодическими, мы можем
пытаться найти нужное нам общее решение, предстабляя как
граничные условия, так и частные решения, в виде
интегралов по некоторым контурам.
Выясним некоторые свойства частотных спектров Ф (<о) и
F(&) функций <р@ и/@> представленных формулами B.9)
и B.14).
Как выше указывалось, <р (t) = О, f(f) = 0 при t ^ 0.
Кроме того, по условию <p(t) и f{t) не превосходят по
модулю некоторой экспоненциальной функции
1/@1< ЖеЧ
где М, о0 — положительные постоянные.
Докажем, что Ф (со) -* 0, F (ш) -> 0 при | <о | -> со,
arga>>0, когда ?> 0. Для этого рассмотрим
скачкообразную функцию W(f), равную нулю при /^0 и равную Me9»*
при />0,
*<0, W@ = 0 \
B#32)
Такую функцию Ч? (t) можно представить контурным
интегралом
оо—ia
ооi
33- J ¦?&**> °>°о> B.33)
где единственный полюс подинтегральной функции <о = — /о0
остаётся над прямой интегрирования, лежащей в нижней
полуплоскости. Легко видеть, что при ?>0 подинтегральное
выражение в B.33) стремится к нулю при | ш. | —>• оо,

48 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
arg <*> ;> 0 *). Отсюда следует, что при t > О мы можем
замкнуть прямую, вдоль которой проводится интегрирование
полуокружностью Г, расположенной в верхней полуплоскости ш,
причём на этой полуокружности подинтегральная функция B.33)
обращается в нуль. Тогда интеграл B.33) обратится в
интеграл по замкнутому контуру, внутри которого будет
единственный простой полюс со = — /з0. Вычисляя его по правилам
теории вычетов, получим:
ЧГ(О « Urn I"*? ? + **] = MS*.
При t < 0 мы замыкаем .контур интегрирования
полуокружностью Г', симметричной с полуокружностью Г, лежащей
в нижней полуплоскости. На этой полуокружности
подинтегральная функция B.33) опять обращается в нуль.
Получаемый при этом замкнутый контур не содержит ника
ких особенностей подинтегральной функции и интеграл B.33)
по теореме Коши обращается в нуль. Таким образом, при
/<0 W(t)~O, при *>0 4F(t) = Me9»*. Можно показать,
что при t=0 интеграл B.33) даёт значение W(f) = -nM9
т. е. среднее арифметическое значений в точке разрыва.
Сопоставляя формулы B.33) и B.14), а также, учитывая,
что W(f)>\<f(f)\, ЧГ(/)>|/@|, получаем:
Наше утверждение, что F (со) -> 0 и Ф (<о) -> 0 при | ш | -> оо>
таким образом, доказано.
§ 3. Вычисление интегралов для скорости и давления.
Вернёмся к интегралам B.30) и B.31) для скорости и
давления. Покажем, что эти интегралы дают решение,
удовлетворяющее также начальным условиям B.2), для
чего рассмотрим более подробно подинтегральные функции.
*) Лемма Жордана.

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 49
Полюсами этих функций будут, во-первых, полюсы щ
частотных спектров Ф (ш) и F(<q) и, во-вторых, полюсы <og,
соответствующие корням знаменателя
cos cps — P<pssin<ps = O, B.34)
где
Р = 4 B.35)
и, согласно B.17),
ср = ы = -j Y*fi—i2an. B.36)
Других полюсов подинтегральные функции B.30) и B.31) не
имеют.
Как известно, при действительном р корни B.34)
действительны. Из B.36) получаем:
со = ia ± ]/-— — а2 = la =Ь УкЧ* — а\ B.37)
Таким образом, имеем:
^ а2,
т. е. все cos лежат в верхней полуплоскости. Выше указывалось,
что Ф (<о) и F (со) не имеют корней в нижней полуплоскости
ниже прямой со == — /о и что на полуокружности Г бесконечно
большого радиуса Ф (ш) -> 0, F (a>) -> 0, когда t > 0, а при
t < О Ф (со) —> О, Т7 (о) —> 0 на симметричной
полуокружности Г7, лежащей в нижней полуплоскости.
Обозначим
cos kx 7 , ч
Z{(* X)
B.38)
i a) sin k(l — x) + kh cos k(l — x) _ y ( v
AT Л coskl — khsinkl —*2\ш> *h
coskl-khsinkl
cos ^ (/ — л:) — khsmk(l — л:) „ .
4 Зак. 2518. И. А* Чарыыи.

50 ГЛ. Н. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Тогда, согласно B.30) и B.31),
oo—ia
w= J [F (ш) Z, (со, x) -f- Ф (ш) Z2 (ш, д:)] eto< rfe»,
-оо-*0 B.39)
(a>)Z4(«, x
Нетрудно видеть, что подинтегральные выражения в B.31)
стремятся к нулю на полуокружности Г при ?> 0 и на
полуокружности Г' при t < 0. Замыкая контур интегрирования со
полуокружностью Г7 и учитывая, что в нижней полуплоскости
ниже прямой со = — fa полюсы отсутствуют, мы по теореме
Коши получаем нуль для интегралов B.39) при /<^0.
Таким образом, интегралы B.39) удовлетворяют всем
условиям — граничным и начальным.
При ^>0, замыкая действительную ось <о
полуокружностью Г, на которой подинтегральные функции в B.39)
стремятся к нулю, мы получаем возможность вычислить
интегралы B.39) при помощи теории вычетов:
M) B.40)
B.41)
к к 8 8
где R%\ Rk\ R$\ R$ — вычеты подинтегральных функций,
соответствующие полюсам сод. частотных спектров ^(со) и Ф (<о),
R{s\ R^sK R{s\ M4)—вычеты, соответствующие полюсам ф8
функций Z^o), л:), Z2((o, *), Z3(co, x), Z4(co, л:), т. е.
корням <ps уравнения B.34).
Мы будем рассматривать случаи, когда полюсы <ак
частотных спектров находятся на действительной оси. Тогда,
согласно B.37), при афО в B.39) кратных полюсов не будет
и все полюсы подинтегральных функций будут простые.
В этом случае в B.39) можно положить о = 0 и условиться,
что полюсы, расположенные на действительной оси со,
обходятся по бесконечно малым полуокружностям, расположенным
в нижней полуплоскости.

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 51
Согласно правилам теории вычетов, получим:
= 2 Um
к
B.42)
ft ft 0) -» U)^
S #14) = S Ит [Ф (ш) ((o
ft ft to -> U)fc
Для вычетов /?8 будем иметь:
<2-43)
' {2М)
X

52 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Вычисляем производную ^;(ctg<p — Р<р)ц>«и> :
или, учитывая B.34), B.36) и B.37)
К <
где
Найдём теперь входящие в B.44) и B.45) отношения —
т S
и Jt:
Те '
^3
Таким образом, для вычетов Rs получим после
вычислений, согласно B.43), B.44), B.45) и B.46),
Х
X [F(to + Ь) в'га*- F(/a — У e-V ], B.49)

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 53
S#<2> = *L V ф (la + ? ^ ia ~
X {Ф (to+У ^s' + * (to — 5.) e-H.* +
+1 [Ф (te + У ei5«* - Ф (te - У *"V]}, B.50)
V { =i^e-at\ - X
sin <pe zp 6, №?l+ p+1) /» ' ^ (p»pj + P + 1) sin fe ^
X { F (to + ?8) Л* + F (ia — у e~V —
? *V -^(to-ye"*.']}, B.51)
(to±w—v %in?—^—
8 = 1
X
8 = 1
X [Ф (to + У «*•* - Ф (to - у е-'Щ. B.52)

54 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Подставляя найденные значения вычетов в формулы B.40)
и B.41), получаем для скорости и давления
w
= 2я/ { V Urn [F (ю) (да — «»)] Zj (eto *) «'"** +
1 *»¦»"•*
-f- У Нт [Ф («•) (« — «*)] Z2 («», *) в*"^*
. X И/я + У *"8* - ^О'« — У efV] _
sin ЬI'1 - 7) + рЬ cos Ч1 ~т
X
X [Ф (to + У е**г 4- Ф (la — У «"*•* +
^-Ф(ш-у,-^)]\, B.53)
= 2ic/ {У Hm [F («) (ш - «»)] Z8 («», х) eia>kt
1 * ф+°>к
sin tps
X [F (to + У е*°* 4- ^ (to — У <
/3 ^
X [Ф(й + уЛ*—Ф(й —5,)в Й8*]}. B.54)

ГЛ. П. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 55
Первые два члена в B.53) и B.54), где вычеты берутся
относительно полюсов частотных спектров, определяют
вынужденные колебания; последние два члена — собственные.
Резонанс можно трактовать как случай, когда полюсы частотных
спектров и один из корней <os уравнения ctgcps — |3<pg = 0,
определяющего спектр собственных частот, совпадают или
имеют одинаковые по величине действительные части.
Формулы B.53) и B.54) дают решение нашей задачи,
если известны частотные спектры. Для расчётов, естественно,
необходимо отделить в них действительные и мнимые части.
Для сколь-либо сложных граничных функций <р(/) и f{f) и
соответствующих им частотных спектров Ф (а>) и F (а>)
вычисления, простые по существу, могут оказаться весьма
громоздкими. Поэтому мы вначале рассмотрим наиболее простой
случай скачкообразных возмущений <р (/) и / (t), а затем при
помощи интеграла Дюамеля обобщим результат на случай
произвольных функций ср(^) и /(/).
§ 4. Скачкообразные изменения скорости и давления
в начальном и конечном сечениях трубы.
Рассмотрим случай, когда / (f) и <р (t) имеют следующий
вид:
/@ = 0,
/<0, 1 B'55)
?(') = * = const, />0, 1
ср@ = о, ;<о. I B-56)
А — скачок скорости, В — скачок давления.
Согласно B.9) и B.33), частотные спектры определяются
формулами
р^ = 4ы' С2-57)
При этом в B.33) полагаем о0 = 0, о=з0 и единственный
полюс а) = 0 обходится при интегрировании вдоль бесконечно
малой полуокружности, расположенной в нижней
полуплоскости.

56 ГЛ. П. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Найдём для этих условий w и р из уравнений B.53)
и B.54). Частотные спектры F (со) и Ф (<о) имеют
единственный полюс <&к = coj, = 0. Определим сначала вынужденные
колебания. Согласно формулам B.38) и B.17), имеем:
о) -> 0, & -> О,
sin fe (/ — х) + 6ft cos k (/ — л)
COS kl-kh Sin kl —
^
o)-»0
B.59)
k ,y k7X
u>-»0 ш
_______ =i.
Из формул B.53) и B.54) находим вынужденные
составляющие скорости и давления:
I B.61)
Заметим, что слагаемое — 2архЛ в B.61) имеет простой
смысл—оно представляет собой потерю давления на трение
на длине х при установившемся движении со скоростью Л.
Переходим к свободным колебаниям. Найдём F(ia±i8)
и Ф(ш±53) для частотных спектров F(<t>) и Ф(со), пред-

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 57
ставленных формулами B.57) и B.58):
Г"» / • I «• \ л*- 1 •*» *¦
Ш =t SB *Ы -f- i/-j: i 2
или, учитывая B.48),
= и = 1^^«ТЙ'. B-62)
где
# ^=. B.63)
Аналогично получим:
Ф (to =t L) «= #4 — е^ i9s- B.64)
Теперь находим свободные колебания:
00 sin <f>e fl — ^ + P<pg cos cps A — ^
X V il) Л
= _2Л У —5-; cos (U—Ъ.) + 2B-— X
8«1

58 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
где
а
al
1
B.66)
sin?**
.¦iiKe-atAJ-Y Z_i X
sinM
= — 2pc Лг - «* V г-; sin (U—26.)—
2B
Окончательно получаем, суммируя свободные и вынужденные
колебания
W = (w)Bhh +(^)овоб =
= Л — 2 Л
^, B.68)

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 59
Р = (р)вын + (р)овоб = — 2архА + В —
sin
8 = 1
cos<
ъ (l - f) - N* sin т. (l - -f
X
XCOS&*—6в). B.69)
§ 5. Переход от скачкообразных изменений скорости
и давления к произвольным функциям времени.
В § 3 было дано решение задачи для функций <р (?), /(/),
возрастающих не быстрее некоторой экспоненциальной
функции, равных нулю при /< 0, когда известны выражения B.14)
для их частотных спектров Ф (со) и F (о>)
со—ia
Г
— оо—ic
оо—го
f(t)
J
—оо—ia
B.70)
Для ограниченных
положить здесь о =
ственной оси а) с
там, по бесконечно
плоскости. Отметим
пользоваться также
грала Фурье
функций |<p(t) |<M, |/(t) |<M можно
0 и условиться брать интегралы по
вещеобходом полюсов, если таковые имеются
малым полуокружностям в нижней
полупопутно, что при этом формально можно
формулами B.6), вытекающими из
интеi J
О
B.71)

60 ГЛ. И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
даже для функций ср (t) и /@> не удовлетворяющих одному
из условий Дирихле — условию интегрируемости в пределах
от —оо до оо, но ограниченных.
Например, рассмотренные ранее в § 4 функции f(t) и
<р(/), заданные в виде скачков формулами B.55) и B.56),
не удовлетворяют, очевидно, указанному условию Дирихле.
Тем не менее, из формул B.71) для них можно получить
правильные выражения Ф(ш) и F(<о), если условиться считать
lim g-*a-> 0; для <р@ и/@? заданных формулами B.55)
а -> оо
и B.56) из B.71), получим:
CO
=-^ J
-lime
oc->oo
Если мы будем считать
lim e'^-^O,
ос -> оо
ТО
¦ж- / \ 3
т. е. получаются правильные выражения частотного спектра,
если мы будем при интегрировании в B.70) считать а = 0 и
обходить полюс (о = О указанным выше образом.
Для периодических функций
B.72)
f(t) = АеШ,
/@ = 0,
г>о,
/<о,
^>о,

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 61
(при этом qt и q2— вещественны) 'формальное применение
формул B.71) даёт также правильные результаты:
==g I Aei^<xe"i^doi = -~ I e~* («>-«i)« da =
о
[1 -lim e~* (•>-*>«] = н-тт^-r B.73)
и аналогично для Ф (<о)
ф (ш) = ?^ . B.74)
Подставляя B.73) и B.74) в B.70), полагая о = 0 и
обходя полюсы со = qt и о) = ^2, как выше указывалось, мы
убедимся, что формулы B.73) и B.74) дают правильные
выражения частотных спектров периодических функций,
представленных уравнениями B.72).
Интегралы B.9) и B.71) позволяют всегда получить
выражения Ф(ш) и F(a)), правильность которых может быть
установлена подстановкой в формулы B.70), где
интегрирование выполняется в комплексной области. Таким образом,
задачу о нахождении частотных спектров Ф (со) и F (a>) можно
считать принципиально решённой, а тем самым, согласно
результатам § 3 настоящей главы, — решённой и задачу о
нахождении скорости и давления.
Другой возможный способ решения задачи состоит в том,
что исходят из формул скорости и давления B.68) и B.69)
§ 4 для скачкообразных изменений функций f(t), <p@>
заданных формулами B.55) и B.56). Для произвольных /(/) и
9 (/), равных нулю при t ^ 0, применяется интеграл Дюамеля.
В уравнения B.68) и B.69) входят слагаемые,
содержащие множителем скачки Л и В
B.75)

62 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
где wA, wB, pA и рв являются слагаемыми, определяемыми
скачками Л и В:
cos
e,)J,
_
— 2архА —
оо
-2рсЛе-««2
X
cosf8
0-т)-
B.76)
—es).
Пусть теперь вместо условий /(/) = Л и <р (*) = ?, /(/)
и ср(/) стали произвольными функциями времени, равными
нулю для tf<;0. Тогда, в силу линейности как исходных
дифференциальных уравнений, так и граничных условий, можно
применить интеграл Дюамеля, позволяющий совершить
переход от скачкообразного вида граничных уеловий к
произвольным функциям времени следующим образом: в B.76)
полагаем Л = 1 и В = 1. Тогда
t
t
J

ГЛ. IT. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 63
t
t
+ J «pСО
0
(*• '—х>1dx> B-78)
— значения wA
pA, рв в B.76)
где %, $, pj,
при Л=1, В=\.
Мы будем рассматривать только скачкообразные и
периодические граничные условия. Поэтому в дальнейшем для
простоты исследования за исходные берутся формы решения
B.53), B.54), B.68) и B.69), где предполагаются известными
частотные спектры F (о) и Ф (со), выражающиеся в этих
случаях весьма простыми формулами.
§ 6. Случай большого затухания
вследствие вязкости и гидравлических
сопротивлений.
В предыдущих формулах предполагалось, что величина 5в,
согласно B.48), действительна, т. е. параметр затухания а
невелик. При большой величине параметра а первые
значения Ев могут обратиться в нуль или даже стать мнимыми.
Преобразуем для этого случая соответствующие члены сумм
B.68) и B.69). Согласно B.48) и B.63):
B.79)
При S8 = 0, а
после раскрытия неопределённости,
соответствующие члены сумм B.68) и B.69), если учесть B.66),

64 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
примут вид:
Г e-at <i 0* cos If "I
Hm _2Л — =-= cos(y—6S) =
B.80)
, B.82)
s
Г 2
X
cos<pe(l—г — p?ssintp8(l — т
B.83)
При a > —y~ 58 станет мнимым, но заметим кстати, что и
при мнимом ?8 все корни ю8, согласно B.37), лежат в верхней
полуплоскости ш. Таким образом, выведенные выше формулы
для скорости и давления остаются в силе. При мнимом %а
соответствующие члены сумм B.68) и B.69) принимают вид
«8 = «;, B.84)

ГЛ. И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 65
где
B.85)
l/ • **
В этом случае проще всего исходить из общих формул B.49)—
B.52) и выражений B.57) и B.58) для частотных спектров:
2roi(a + g
A 1
2я a— ?„
B.86)
Соответствующие члены сумм B.49)—B.52) или, что то же
самое, сумм B.68) и B.69) примут вид при а > -^:
2
cos-
: — 2Ae-at ¦
B.87)
sln taA — t
cos
¦o-f:
X
X
Г— (-
L2it \а
— i -I
а/
..
B.88)
5 Зак. 2518. И. А* Чарный.

66 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
Мы вычислили вычеты, отвечающие скорости. Вычеты для
давления равны:
• ЧзХ
о •** nt Sm~ f А ( -1 гб> , -1 <
2ki — e~at — I — f , в * н , e
i4 a / — 1 ,-p -1 J>\)
— —--r(——-,e * -re8 )}==
I*
B.89)
— т) — P^sin^gfl — т)
^iL C-C* -
cos «ps A —у) — pcps sin «ps A —г )
B.90)
Таким образом, когда a>-^-, соответствующие члены
в суммах B.68) и.B.69) заменяются формулами настоящего
параграфа.
§ 7. Волновая форма решения при отсутствии затухания
в трубопроводе без камеры.
Решения, полученные выше, выражаются в рядах, которые
довольно быстро сходятся при р:?0,— когда трубопровод
снабжён камерой достаточного объёма. При отсутствии камеры
и движении с затуханием, т. е. когда [3 = 0 и афО, сходи-

ГЛ. И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 67
мость рядов ухудшается и её приходится специально
улучшать, как показано ниже в задаче о гидравлическом ударе
вязкой жидкости (§ 1 гл. III).
В случае, когда затухание отсутствует, а = 0, для
трубопровода без камеры можно простым путём получить
прежние результаты не в виде рядов, а в виде прямых и
обратных волн, аналогично тому как решение классической задачи
о колебаниях струн и стержней может быть дано методом
Фурье и методом Даламбера. При решении операционным
методом это будет эквивалентно применению так называемой
теоремы запаздывания.
Случай а = 0, [3 = 0 может быть получен непосредственно
из предыдущих общих решений. Тогда результаты попреж-
нему будут иметь форму бесконечных рядов.
Можно поступить несколько иначе; вернувшись к
исходным формулам B.30) и B.31), положить в них а = 0, /г = 0,
и, следовательно, согласно уравнению B.18)
со
С
B.91)
Скорость и давление, согласно формулам B.30) и B.31),
примут следующий вид:
B.92)
J COST
—со — i<5
со A-Х)
COS * -
При а = 0 интегралы в этих формулах попрежнему
рассматриваются как контурные с обходом полюсов, лежащих

68 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
на вещественной оси, по бесконечно малым полуокружностям,
расположенным в нижней полуплоскости ш, и всё, сказанное
о поведении подинтегральных функций на плоскости ш,
остаётся полностью в силе.
Множитель j- в последних формулах можно пред-
О)
COS —
С
ставить в таком виде:
1 2 2е~
о)/ iuil (ml . 2<
COS "™~~~ С I л С 11 <
= 2^""* "с [1 — ё~Ъ ~* + *"
Тогда формулы B.92) и B.93) можно преобразовать
следующим образом, замечая, что К = рс2:
ОО—~^в ^ «»*«/ , wt*/
t^ =
— oo—iv
X[l—? c +^ c —...]e<u)
— ж) ги)(?—x)
5 —g~ c
2/
— • 2ц>* . 4u>l
X [1—e c -\-e c — ...] ei
J
— oo — го
Г^ V С С / l_ q \ С G /

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 69
—оо—га
. / х Ы\ . (. 21 — х 21\
tioit I twit I, ,
_ [*> v cC;_^v с c '] -f-
]— ...}dm; B.94)
F(«)i JL 2e - X
—oo—ia
l—a?) . u)(Z— a;)
: —» :
—oo
oo—ia
Г ' (
с с )
—oo — i
1-х 2l\ . /. l+a? 2Z
с с
-oo—ia
. /\ X 2l\ . /\ 21—X
». B.95)

70 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
В правые части формул B.94) и B.95) входят интегралы вида
оо—i
U = J
— оо—ia
оо—ia
/2= f ф(ш)в'ц)<*
—оо—га
где t0 — постоянная. Вспомним, что интегралы
B.96)
оо—i<3
оо—{о
Г
Г
согласно формулам B.14), равны граничным функциям f(t)
и <р (Л, обращающимся в нуль при / < 0. Нетрудно видеть, что
интегралы B.96) равны тем же самым функциям f(t) и 9 (*),
но для времени / — ^0. Для моментов времени t<t0
интегралы Г2.96) обращаются в нуль. Таким образом, множитель e~iuit°
в подинтегральных выражениях B.96) определяет сдвиг
графиков функций / @ и <р @ вправо по оси t на величину t0.
Возвращаясь теперь к формулам B.94) и B.95) для
скорости и давления, мы получаем возможность представить их
в виде ряда бегущих волн — прямых и обратных.
О,
с '
l+x
2/

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 71
о, о<;<?;
+
С ' С
2/ —
д: , 2/ 2/ —дг . 2/
B.97)
/7= С
О, 0<*<Ц?;
fit. l~x\ fit l+x\ tit l~x У)
1-х t 2/ . 1 + х , 2/
/('-^)-/('-^)-
2/
1 i 7)>
-х 4/.

72 ГЛ. П. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
О, 0</<±-;
.21 — .
^
B.98)
Мы ограничиваемся волновой формой решения только для
случая я = 0, Л = 0, так как при аф.0 и кфО данные
выше решения в форме бесконечных рядов оказываются более
простыми для расчётов.
Заметим, что формулы B.97) и B.98) могут быть
получены также из решения Даламбера, как будет показано' в § 8
гл. III.
§ 8. Распространение скачка давления
в бесконечно длинном трубопроводе.
Предыдущие формулы дают волновую картину
неустановившегося движения в трубопроводе конечной длины.
Представляет интерес рассметреть случай бесконечного
трубопровода, так как движение в конечном трубопроводе может
рассматриваться как совокупность прямых и отражённых
волн. Распространение же отдельной волны проще всего
изучить для бесконечно длинного трубопровода. В
электротехнике этот случай эквивалентен хорошо известной задаче
о распространении электрического тока в полубесконечном
кабеле при изменении напряжения в сечении х = 0.

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 73
Пусть р = О, w = О, когда t = 0, а при х = О, р = р0,
когда ? > 0. Тогда, пользуясь решением указанной выше
электротехнической задачи *) и табл. I, получим:
«f
B.99)
+
pc
'/-
*(-A-5)
dt
B.100)
; B.Ю1)
<2Л02)
/0, /j — бесселевы функции нулевого и первого порядков
первого рода от мнимого аргумента.
Для моментов / > — численные расчёты по этим форму-
лам, как видно, весьма сложны. Нам в дальнейшем
потребуются только значения в момент t = так называемые
головные значения волны давления и скорости.
Отметим то важнбе обстоятельство, что головные
значения скорости и давления, как видно из уравнения B.100),
связаны друг с другом согласно формуле Н. Е. Жуковского
р = cpw.
Для давления, меняющегося в сечении х = 0 по закону
<?>(*), 9(/) = 0 при *<О, вместо формул B.99) —B.102)
получим более общие формулы:
при /<?
W
'4
0; I
B.103)
*) См. первую сноску на стр. 38, а также, например, К а р-
с л о у X. и Е г е р Д., Операционные методы в прикладной
математике, Изд-во иностр. литер., 1948 г.

74 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
• rfx, B.104)
-а/0(а |/> _*)] л}. B.105)
§ 9. Давления и скорости на фронте упругой волны,
распространяющейся внутри сжимаемой жидкости
в трубопроводе.
ах
Головные значения волн давления и скорости рое с и
PAe-at^ согласно уравнениям B.100), могут быть найдены из
элементарных соображений даже при нелинейном трении.
Предположим, что вначале движение было установившимся
и какое-либо скачкообразное возмущение скорости и
давления начало распространяться в трубопроводе. Как и выше,
будем считать давление равномерно распределённым в
поперечных сечениях трубы. Величины, относящиеся к начальному
установившемуся движению, будем обозначать индексом «0».
Пусть возмущение достигло' сечения х (фронт волны) и за
время dt распространилось на длину cdt, где с — скорость
фронта волны. Рассмотрим приращение количества движения
массы жидкости, захваченной возмущением за это время dt.
Масса жидкости, захваченная возмущением, равна cpfdt,
где р — плотность. При этом мы предполагаем, что скоростью

ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 75
частиц жидкости можно пренебречь по сравнению со
скоростью с. Приращение проекции количества движения на ось
трубы за это время равно
dJ = рс dt J (v — v0) df=cp dt(w — wo)f, B.106)
(ft
где v, v0 — продольные скорости элемента площади df после
и до возмущения, w, w0—средние в сечении скорости после
и до возмущения. Приравнивая dJ проекции импульса сил,
получим:
dt, B.107)
где р, р0 — давления после и до возмущения, х — среднее по
периметру ^ за время dt касательное напряжение на стенке
трубы вдоль длины cdt
Из уравнения B.107) видно, что импульс сил трения
является бесконечно малой второго порядка и может быть
отброшен по сравнению с импульсом сил давления. Отсюда
получаем вновь формулу Н. Е. Жуковского
Р— Ро = Рс(™ — Ы B-108)
справедливую, таким образом, для дозвуковых скоростей
течения при любом законе трения. При этом следует
отметить, что полученная формула содержит только средние
в сечениях скорости w, w0.
Независимость ударного давления от распределения
скоростей будет более подробно обсуждена в § 1 гл. III. Мы
установили, таким образом, правильность формулы Н. Е.
Жуковского B.108) для каждого сечения, в котором после
возмущения средняя скорость изменилась на величину w — w0.
Рассмотрим теперь более подробно процесс прохождения
фронтом возмущения пути с dt. В начальный момент на фронте
возникло ударное давление cp(w—w0). Когда фронт пройдёт
расстояние cdt, вследствие сил трения ударное давление на
фронте снизится на величину — cd(pw). Приравнивая
уменьшение продольной ударной силы избытку сил трения над их
стационарным значением, получим:
1. B.109)

76 ГЛ. II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ
В уравнении B.109) х0 — касательное напряжение до
возмущения при стационарном движении, т — после возмущения.
Множитель 1/2 введён потому, что избыточная сила трения
на длине с dt нарастает по линейному закону от нуля до
значения (т — т0) ус dt и её среднее значение на этой длине в два
раза меньше конечного значения. Выражая т по формуле
т = — Хряу2, получим из формулы B.109):
-cd (9w),= 1 (Xpw* — koPowl
или
-cd(pw) = ±(\pw*-\oPowl)dx, B.110)
где 8 = у — гидравлический радиус,
dx = cdt. B.111)
Уравнение B.110) является исходным для нахождения
значений скорости и давления на распространяющемся фронте
возмущения.
Ограничимся рассмотрением случая капельной жидкости,
когда плотность р можно считать постоянной. Тогда
уравнение B.110) принимает вид
>lw*o4dx. B.112)
Если положить
то при линейном законе трения для круглой трубы диаметра d
вместо B.112) получим
^(w-w0)dx=l-^(w-w0)dx. B.113)
Или, учитывая A.26)*.
— cdw — a(w — w0) dx. B.114)
Для квадратичного закона трения полагаем А == const и
из уравнения B.112) будем иметь:
dw X dx

ГЛ. И. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕУСТАНОВИВШ. ДВИЖЕНИЯ 77
откуда после интегрирования получим:
(w 4- w0) (Wj — w0) _\xw0 (C> 11 -,
где wt — значение скорости в сечении х = 0, в месте
возмущения. Из B.115) получим для избыточной скорости
w — w0:
B.П6)
"*T]
Р— Ро = *РО — w0). B.117)
При линейном законе трения из формулы B.114)
w — w0 == (t^j — wo)e % B.118)
что совпадает с «головными» значениями скорости в
формуле B.100). При квадратичном законе трения Х = const
и <доо = О из B.115) после раскрытия неопределённости
получим:
3 BЛ19)
t3e
р = cpw.
То же самое получается из B.112) при ?г>0 = 0.
Случай газа может быть также принципиально исследован,
исходя из основного уравнения B.110), к которому должны
быть добавлены уравнения сохранения массы, состояния и
уравнения, выражающие первое и второе начало
термодинамики в применении к элементу, захваченному возмущением
за время dt9 как обычно делается в теории ударных волн. Эту
задачу мы не будем рассматривать.

ГЛАВА III.
НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
В ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДАХ.
§ 1. Гидравлический удар вязкой жидкости
в простом трубопроводе *).
При решении дифференциальных уравнений
неустановившегося движения отсчёты скоростей и давлений
производились от соответствующих стационарных значений этих
величин, существовавших в момент времени ? = 0. Поэтому
гидравлический удар, т. е. внезапное закрытие задвижки
в каком-либо сечении трубопровода, в котором скорость
жидкости была равна w9 можно рассматривать как
наложение потока со скоростью — w в том же сечении на
первоначальный стационарный.
Ввиду большого интереса этой задачи мы приведём её
решение двумя способами: первым — из общих формул гл. II,
где гидравлический удар может рассматриваться как частный
случай, и вторым — без контурного интегрирования, следуя
изложению акад. А. Н. Крылова при решении задачи о
распространении электрического тока вдоль кабеля с
распределёнными постоянными ёмкостью и омическим сопротивлением **).
Пусть жидкость движется в трубопроводе длиной /,
причём в сечении х = 0 давление постоянно. В сечении х = 1
происходит мгновенное закрытие задвижки. Найдём
повышение давления у задвижки в последующие моменты времени.
*) Ч а р н ы й И. А., см. сноску на стр. 38.
**) Крылов А. Нм см. сноску на стр. 37.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 79
Решение этой задачи является частным случаем решения,
выражаемого формулой B.69), в которой следует положить
? = О, р = 0, так как камера отсутствует, А = —wQ, где
w0 — скорость у задвижки до удара при стационарном
движении. Из формулы B.69), где полагаем х = 1, получаем:
Согласно B.34), B.48) и B.63), когда р = 0, будем иметь:
cos<ps=0; ?s==?illl1t,5=l, 2, ...,
—\ \2 с2
Тогда формула C.1) примет вид
C.2)
I 4
+ -
sin
^— 2в«)
8 = 1
B,-1)cose, •
Заметим, что при а = 0 — случае идеальной жидкости —
уравнение C.3) переходит в классическую формулу Н. Е.
Жуковского
2s-~XKCt
Г
sin
Бесконечный ряд, стоящий в правой части этого равенства,
является разложением в ряд Фурье функции
21
р = pcw0 в интервале 0 < t < —,
2/ 4/
р = —pcw0 в интервале —</<—.

80 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Для недлинных трубопроводов и не очень вязких жидкостей
величина а2 будет очень мала по сравнению с \^т) • Тогда в
формуле C.2) приближённо можно положить
«. 2s — 1 пс л л
s '—' 2 / ' s '—
При этом ряды в формулах C.3) и C.4) будут отличаться
только экспонентом ег~аЬ9 а для начального момента времени
ударное повышение давления в случаях вязкой и идеальной
жидкости оказывается одинаковым.
То же самое следует из уравнений B.100) и B.108),
согласно которым головные значения скорости и давления
связаны формулой Н. Е. Жуковского. Это обстоятельство
подтверждается опытами по гидравлическому удару вязкой
жидкости, проводившимися в МГУ под руководством Д. С. Виль-
кера и Ю. С. Иванова в 1934—1935 гг., которые
подтвердили формулу Н. Е. Жуковского C.5).
В экспериментальной установке МГУ параметр затуха-
^ tic
ния а был весьма мал по сравнению с ^ и разницу между
повышением давления при ударе идеальной и вязкой жидкости
уловить не удалось. Это обстоятельство представляет большой
принципиальный интерес по следующим причинам. Как известно,
формула C.5) Н. Е. Жуковского может быть получена вполне
элементарным путём, если приравнять .кинетическую
энергию столба идеальной жидкости, движущегося с равномерным
распределением скоростей по сечению, потенциальной энергии
упругой деформации. При движении вязкой жидкости с
распределением скоростей заведомо неравномерным, движущейся
с той же средней скоростью, кинетическая энергия столба
вязкой жидкости с учётом известной поправки Кориолиса
будет больше, чем у идеальной. Поэтому на первый взгляд
можно было ожидать, что ударное давление в случае вязкой
жидкости будет больше, чем при идеальной *).
Приравнивая кинетическую энергию потока в трубе,
движущегося с неравномерным распределением скоростей в сече-
*) Лейбе нзон Л. С, Яблонский В. С, Шумилов П. П.,
В и л ь к е р Д. С, Гидравлика, ОНТИ, 1934 г.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 81
нии, потенциальной энергии упругой деформации, Л. С. Лей-
бензон получил формулу для ударного давления
где i\— поправка на неравномерное распределение скоростей
в сечении. Для ламинарного режима 7] = 0,333, для
турбулентного движения в гладких трубах r\tt 0,015, в
шероховатых Y) ?^0,035. При этом Л. С. Лейбензон не учитывал
потери энергии на трение, возникающие от выравнивания
скоростей при остановке потока вследствие мгновенного
закрытия задвижки.
Эти потери были учтены И. Ф. Ливурдовым путём
введения эмпирического коэффициента С, указывающего, какая
часть кинетической энергии потока, - вычисленная по средней
скорости, тратится на трение при выравнивании скоростей *).
Формула И. Ф. Ливурдова имеет вид
Таким образом, на потенциальную энергию упругой
деформации тратится не вся кинетическая энергия столба жидкости,
а только часть её за вычетом работы трения, С физической
стороны это объяснение вполне правильно. Необходимо только
определить величину поправки С Опыты, дополнительно
поставленные в МГУ в 1937 — 1938 гг., как указано в статье
И. Ф. Ливурдова, дали для удара при ламинарном режиме
среднее значение на 7,7% меньше, чем по формуле Н. Е.
Жуковского, а при турбулентном на 0,4°/0. Предельные
отклонения наблюдались от- —13,7°/0 до 3,4°/0 от формулы Н. Е.
Жуковского, причём оба эти значения отмечены при ламинар-
ром режиме.
Скоростной напор в опытах МГУ был ничтожно мал
(предельная скорость 84,1 см/сек), и условия опытов, таким
образом, соответствовали предпосылке развитой выше теории,
в которой мы пренебрегали скоростным напором и его
изменением по длине.
*) Ливурдов И. Ф., О влиянии на гидравлический удар
распределения скоростей по сечению трубы, Учёные записки МГУ
им. Ломоносова, вып. 117, 1946 г.
6 Зак. 2518. И. А. Чарный.

82 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Указанные выше отклонения от формулы Н. Е.
Жуковского должны быть отнесены за счёт неизбежных
погрешностей опытов, а также за счёт того обстоятельства, что
время закрытия крана было не мгновенным, а составляло
около т? времени полного пробега ударной волны.
Мгновенное закрытие крана, естественно, невозможно. На основании
своих опытов И. Ф. Ливурдов заключил, что поправка на
трение С несколько превосходит величину ц, так как давление
получалось меньше, чем по формуле Н. Е. Жуковского.
В действительности же при пренебрежении скоростным
напором должно быть
Для получения заметной разницы между ударом идеальной
и вязкой жидкости необходимо, чтобы а% было бы того же
/тсс \^ тсс
порядка, что и(н/] . Пусть, например, а = -щ. Согласно C.2),
Учитывая формулу B.82), вместо C.3), получим:
[$
Если а ещё больше, например, ~- > а > ~- вместо
формулы C.3), учитывая B.89), получим:
где согласно B.85)

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАЙ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 83
Введём безразмерные параметры х и а
т—1, 70 = ^, (ЗЛО)
C.11)
Заметим, что величина а имеет простой физический смысл:
она равна отношению потери давления от трения на длине /
при установившемся течении со скоростью w0 к ударному
давлению идеальной жидкости, текущей с той же скоростью w0
(ударное давление определяется согласно формуле Н. Е.
Жуковского). Тогда предыдущие формулы можно представить
в безразмерном виде
^1-1)^-(^J==^, C.12)
где
/—1)*]«—а» C.13)
(ЗЛ4)
C.17)
—1) cos
ic<a<-2w, C.19)
где
|х;==Уа2 — тЛ C.20)
6*

84 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Для малых значений а и т эти ряды сходятся плохо.
Улучшить их сходимость можно, следуя методу акад. А. Н.
Крылова улучшения сходимости рядов Фурье, вычисляя разность
между рядом, который нужно суммировать и другим рядом,
близко подходящим к данному, сумма которого известна.
Например, возьмём ряд
4 увШBд-1)ят _/ 1,0<т<1, 2<т<3, ...
4 (
Составим разность
Ф(а, г, so) =
Д1У ' LBi-i)CT-^^-2e,)jA
являющуюся более быстро сходящимся рядом. Тогда
Bs-l)cos68 ~
1— Ф(а, х, 1), 0<х<1, 2<т<3, ...
00
4 V4
г—I)cos6e
1— slrntx—Ф(а, т, 2), 0<х<1, 2<х<3,...
-Ф(а,т,2), 1<т<2, 3<х<4,...
C.23)
Ряды C.23) сходятся уже гораздо лучше.
К. А. Семендяев показал, как можно ещё усилить
сходимость рядов C.23). Обозначим

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 85
Выделим в общем члене сумм C.23) члены, содержащие е и
е2, предполагая е малым. Тогда получим:
cos 68 = "|Л — е2^ 1 — ^;
cos 2в8 = cos2 Ь8 — sin2 6S =з 1 — 2s2.
Далее,
= sin [Bs-1) itx У1 — •«! те sin [Bs—1) ire—^ Bs—1) тст1=
— sin [Bs — 1) ire] — j Bs — 1) их cos [Bs— 1) itx]+ ... =
= sin [Bs — 1) itt] — !jp cos [Bs— 1) «t] + ..., C.25)
Bs — 1) ТГТ y\ ^^
»cos [Bs — l)ircj +^ sin [Bs— 1)«1 + ... C.26)
Теперь можно вычислить общий член ряда
sin (fyt—2Qe) _ sin [ус. cos 28g cos ^8т ¦ sin 2% ^
Bs— 1) cos 8S ~ B5 — 1) cos 6S B5 — 1) cos 68 ~
sin fxsT • A — 2e2) we 2 COS fx8x • e?it
5-1) 7ГХ— ^COS B5—1) TTxl —
•• — sin B5 — 1) ice — ^ cos B5 — 1) m —
cos Bs— 1)
¦ 2a\cosBs-I)nx

86 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
где через О L ) обозначены члены, содержащие в
знаменателе Bs — 1) в степени выше второй. Окончательно
получаем:
оо
4 \ч sin руг — 2%) __ 4 yi Г sin (^т — 28а) sin Bs — 1) кт ,
Bs— I)cos6s ~ п 2d[ Bs— I)cos6s 2s —1 -
s=l
, /Л , 2a \ cos Bs — 1) tit ] ? y sin Bs — 1)
«42л ~ «У t2s — IP - J"T"icij 2s—1
i
2a
J Bs—:
8=1
В первой сумме члены убывают, как т^ тто, и вся сумма
(ZS—1)°
может быть без особого труда вычислена. Остальные суммы
вычисляются точно:
[ 1, 0<т<1, ...
IV sinBs-l)*T I -lf 1<т<2, ... C.29)
%А 25-1 0, т = 0, 1,2,...
\i cosBs—1):
2u Bs —1J
C.30)
С помощью улучшенных таким образом рядов по формулам
C.17) —C.19) М. Д. Тохтамышеврй и Н. М. Квитко были
построены графики функции z (т, а) = -?— для а = 0; 6,25;
CpWQ
0,5; 1,2; тг; 5 (фиг. 3 — 9) в интервале 0<х<2. Из
приведённых формул видно, что z (x, a)-^a при т->оо.
Из этих графиков следует, что уже при ая^тс вследствие
затухания волновой характер явления перестаёт быть явно
выраженным, хотя в точке х = 1 даже при a = тс и a == 5
отчётливо видно по излому кривой влияние отражённой от
открытого конца волньь

ГЛ. HI. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 87
.ос=0
Z
z
-0
Z
21
1
0,8
0,6
0,4
-Of
-OS
Фиг. 3.
OtZ S? Ц6 0,8
<х~0,25
г-Ш
12 1,ч it6 id
Фиг. 4.

88 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
о.г w us о,д- /,о w /j/ и
Фиг. 5.
arf
J L
i — i.
0,1 qv 0,6 0,8 to и 19 и id zs t
1 6.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 89
а=2
0,2 ОЛ 0,6 ОМ Iff 1,2 1Л 1,6 1,5 2.0 I
Фиг. 7.
0,1 ОЛ 0,6 0,8 1,0 1,2 1Л 1,6 1,д 2,0 I
Фиг. 8.

90 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
аг ом is h Ь it /м (б id io V
Фиг. 9.
Фиг. 10.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 91
На фиг. 10 построен график зависимости гтял — а=/(а),
откуда видно, что уже при а >- 2,7 волновой характер
практически исчезает. График фиг. 10 построен, с помощью
графиков фиг. 3 — 9. Таким образом, давление при
гидравлическом ударе или вообще при резком изменении расхода в трубе
существенно зависит от её длины,.. Для магистральных
нефтепроводов и газопроводов потеря давления на трение значительно
превосходит ударное давление по формуле Н. Е. Жуковского.
Например, в нефтепроводах, где жидкость движется со
скоростью 1 м/сек, ударное дайление по Н. Е. Жуковскому
составит около 13 атм, в то время как насосы на головной
станции развивают давление около 50 атм. Следовательно,
если удар произошёл в конце трубопровода, то а > тс и
давление будет плавно повышаться до статического, не переходя
его значение.
При а ^ тс, т ^ 1 для приближённых расчётов можно
ограничиваться в формуле C.19) первыми членами и вести
расчёт,, изменения давления по уравнениям-:
а) «г 7
* 1 /V! а \ г 
• + Z/sh ^lT I' - C.3i)
а as ic, x ;> 1, 2 (т, а) ^ а — ^ e~«x B -f- ax).
При а>тс и х> 1 формулу C.31) для 2(z, а) можно ещ€
упростить:
H°+w C'32)
Иногда может представить интерес время, в течение которого
давление дойдёт до заданной части 8 нового установившегося
давления после удара, когда а > тс, т > 1; из C.32) получаем:

92 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
откуда
При а^>тг эту формулу можно ещё упростить:
,/—5 о" / *2\ **
а
тогда
ИЛИ
§ 2. Решение задачи о гидравлическом ударе
вязкой жидкости в простом трубопроводе
методом Фурье.
Выше были приведены решения задачи о гидравлическом
ударе вязкой жидкости, получаемые методом контурного
интегрирования. Более длинным путём те же решения могут
быть получены, если решать задачу обычным методом
разделения переменных Бернулли-Фурье.
Исходные дифференциальные уравнения B.1) имеют вид
( '
Найдём решение этой системы при условиях
/ = 0, ад = О, р = 0, C.37)
х = 0, р — 0, \
* = /, w = >l = const. j C-38)
Исключая из C.36) давление, получим уравнение 2-го порядка

ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 93
относительно скорости w
которое надлежит проинтегрировать при условиях
C.40)
C.41)
Прежде всего сделаем граничные условия однородными, для
чего введём новую функцию V(x, t), связанную с w
зависимостью
^- C.42)
Тогда граничные и начальные условия для V{x, t) будут
иметь вид
jc = o', !? = 0, C.43)
C.44)
C.45)
), V(x, 0=— ^-,
dV n
Новая функция V(jc, t) удовлетворяет уравнению
Ищем V— V(x, t) в виде суммы двух функций
К- V(*, 0- V, (аг, I) + V,(х, 0. C.47)

94 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
которые удовлетворяют следующим условиям:
C.48)
), Vt(x, 0)=-^, ^3-0, C.49)
C.50)
C.51)
C.52)
Очевидно, введённые таким образом функции V, Vv K2
удовлетворяют всем условиям задачи.
Применяя обычный метод разделения переменных, ищем
сначала V, в виде, удовлетворяющем граничным условиям C.50)
C.54)
Подставляя в дифференциальное уравнение C.48), получим:
.-0, C.55)
откуда находим 7^:
Т» (*) = в -в* (С, cos у + Dn sin \J), C.56)
/(^^_a2; (з.57)
Согласно C.54),
sin %nt) sin [2-^ ^=^]. C.58)

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 95
Постоянные Сп и Dn находятся из начальных условий C.49):
л*2 V^> - Г2/г —1 *(/ —лгI
~ A~W = Zd с"sln L  /J' C-59)
w = 0. C.60)
Коэффициенты Сп определяются обычным путём —
разложением левой части уравнения C.59) в ряд Фурье по синусам
в интервале 0 — 2/.
Для упрощения обозначим
п <1, |>?>0. C.61)
Тогда
и уравнение C.59) можно записать в виде
со
- А {Х - ?)' = 2 С» sin Bл - !) ?• C.62)
Умножаем обе части равенства C.62) на sin my и
интегрируем по ^ в пределах от нуля до тс. Прит:?2л—1 будут
получаться нули, а при //t == 2/г—1
тс
~ А J (l —itJ sin [Bй -
Выполняя интегрирование, после вычислений получим:
С« " ~те B/г— 1) [ ! ~«*Bл—l)aJ # C#
Из C.60) находим Dn:
п _JLr = а 4Л h §_ 1 /о

96 ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Таким образом, для Vt имеем:
Переходим к определению функции V2, которую ищем
в той же форме, что и Vx:
V, = S Я. (О sin ]^1 «?р41. C.66)
Представим уравнение C.51) для V2 в виде
Подставляя V2 из C.66), получим:
n==1
C.67)
Правую часть этого уравнения разложим в ряд Фурье по
синусам аргумента <р:
*(/ — *).
Ч~ 2/ '
имеем:
Для Qw получим:
ИЛИ

Гл. in. некоторые случаи неустановившегося движения 97
Для Hn(f) получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение
или
Интегрируем C.69):
49 А
ип = лЯBд-1)8+ e'at (Fncos tnt+ Gnsinlnt), C.70)
где in определяется из формулы C.57).
Согласно C.66), имеем теперь
lii^]. C.71)
Коэффициенты Fn и О„ определяются из начальных
условий C.52)
C.72)
-аРй + 5„Оп = 0, J
откуда
р |
F — 32А
Q __ a 32A
Таким образом,
32Л 32Л
Г 32Л 32Л . / t
[пЦ2п-1Г-пЦ2п-1)^-а (C0S ^
я — 1 те (/ — х) 1
2—/—J*
7 Зак. 2518. И. А. Чарыьж.

98 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Теперь, согласно формулам C.42), C.47), C.65) и C.74)
получаем для скорости w:
а . t Л . Г2л—1 я(/—
_Лл:2 32^yi
Bя—
I)
8 [
2п — I)» "•
oo • |2n—1 тс(/ — л:)]
^Ax* 32Л у Sin I ~T~~ / J
2^1
. C.75)
Первую сумму в C.75) можно, учитывая C.61), C.62)
и C.63), представить ещё таким образом:
4Л

ГЛ. HI. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 99
откуда
s л Y
B/г—1K ~ Л\1 W + я Zrf 2/г —
l
32А у sinB/E — 1)ср л / 2ср\2 4Л Y sin B/г —
З ^ 213 ~ Л\1 W + я Z 2 1
так как последняя сумма в интервале 0 < <р < тг равна Л.
Таким образом, согласно C.75),
Ах* Ах* .
, л АА ,$""* + ?
| л*. С 7 . л м O111
Г2г-1 ^г «_Л11
. C.76)
Зная w, теперь можно найти давление р в сечении х = / из
уравнений C.36):
г
Подставляя в C.77) значение w из C.76), получим:
» ~ г)Sin & ~ 2й CGS *»* \9„ 1 п (I
Sln
2п —
7*
1 п (I гЛЛ

100 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
4рМ ^1 О» ~ г) Sf" 5"' ~ & C°S *»'
Bn-l)cos6re'
Учитывая, что по условию (р)а,=о==^> согласно
формуле C.77), получаем:
4! 2?^ф C.78)
Формула C.78) совпадает с ранее выведенной другим путём
формулой C.3), в которой следует положить w0 = — А. Таким
образом, вообще говоря, можно получить решения ряда
других задач неустановившегося движения. Однако техническая
сложность и громоздкость классического метода заставляют
отдать предпочтение другим методам, позволяющим быстрее
получить результат,— методу контурного интегрирования или
операционному.
§ 3. Распространение скачка давления
в простом трубопроводе.
Рассмотрим теперь задачу о распространении импульса
давления в трубопроводе. Пусть в сечении лг = О произошло
мгновенное изменение давления. Сечение х = / закрыто, и там
скорость равна нулю. Требуется определить изменение
давления в сечении х = 1 у закрытого конца.
Такая задача встречается при расчёте гидравлических
регуляторов или передач, снабжённых трубопроводом, заполнен-

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 101
ным вязкой жидкостью. Сечение х = 0 сообщено с
источником давления, а сечение х = 1—с каким-либо прибором,
например, регулятором расхода, регулятором давления и т. п.,
действие которого начинается только тогда, когда давление
достигнет определённой величины, зависящей от конструкции
и чувствительности прибора. Если трубопровод достаточно
длинен, запаздывание импульса и характер нарастания давления
могут представить практический интерес *).
Эта задача эквивалентна задаче о распространении скачка
напряжения, приложенного к одному концу электрической
линии, другой конец которой изолирован. Решение этой задачи
дано во многих руководствах и монографиях по
электротехнике, либо в виде ряда волн, каждая из которых заключает
интеграл B.105) от бесселевой функции мнимого аргумента
первого рода, который приходится вычислять приближённо,
как делает, например, В. И. Коваленков **), либо в виде плохо
сводящихся бесконечных тригонометрических рядов. Мы
получим решение задачи из общих формул II главы и улучшим
сходимость получаемых бесконечных рядов, подобно тому
как было сделано выше в задаче о гидравлическом ударе.
Обратимся к формуле B.69), в которой положим Л=0
(отсутствие скорости в сечении х = /), р = 0 (отсутствие
камеры), В—р0. Тогда, согласно B.34):
cos?s = 0, 9,в ?*=!*, sincp8 = (-l)s-i. C.79)
Формула B.69) при этих условиях принимает вид
V4rar=
*) Ч а р н ы й И. А., О времени устанавливания стационарной
кривой давления при регулировании расхода 9 газопроводе, Изв.
ОТН АН СССР, № 5-6, Й42 г. *
¦*) См. сноску на стр. 27,

102 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
где согласно C.11)
«~^. (8.81)
При расчётах по этим и следующим формулам следует иметь
в виду, что до прихода волны давление в сечении д: = /
остаётся постоянным.
В момент прихода волны, как было показано в § 8 гл. И,
давление в сечении х = I достигло бы величины рое с = рое 2,
если бы труба продолжалась дальше в бесконечность. В
действительности сечение х = 1 закрыто, и там скорость равна
нулю. Нулевую скорость можно получить, если мысленно
продолжить трубу ещё на длину / (фиг. 11) и представить,
Фиг, 11.
что в концах продолженной трубы х = 0 и х = 2/ произошло
скачкообразное повышение давления. Тогда, в силу симметрии,
в средней части х = / скорость будет равна нулю, а
давление там в момент прихода волны будет равно сумме
«головных» давлений.
Таким образом, при ?< —, (/0а7-& = 0, а в момент ?== —
Таким образом, расчёты по формуле C.80) .следует
производить для <>—, г>'
При a = it, согласно B.83), вместо C.80) будет:

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 103
При 2я > а > тг, согласно 2.90, вместо C.80) получим:
(р)ля1 =Ро — ~Poe~at (у sh &+ ch &) +
. C.83)
При а = 0, когда вязкостью пренебрегаем, формула C.80)
принимает вид
. _. /25 — 1 net \
(p)x=i — Po-\--^r2j (—!)в ¦
8= 1
2s— 1
C.84)
или, согласно формуле (ЗЛО),
~~lOtx'| /о
^1 J" ^3'
Нетрудно видеть, что сумма, стоящая в C.85), представляет
разложение по косинусам разрывной функции
*у COS B5 —
-1, —1
^ 2"
\)пх
<,
1
< 2 '
<!•
3
2
C.86)
2 ,...
Проще всего это показать следующим образом: воспользуемся
разложением C.21)

104 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Разложение C.86) представим в таком виде
cos Bs—1)пт
2s -1 ~
^ Х(—1Г(—i)s
— sin fBs—
^~ us
!
2s—1
2s —
C.88)
Сопоставляя правые части формул C.87) и C.88), убеждаемся
в правильности разложения C.86). Нетрудно видеть, что из
волновой формы B.98) получается тот же результат.
Согласно C.85) и C.86), находим {p)x-i
1,
C.89)
1 3 /
Уд&оение давления в интервале -о" ^ т ^ Т' ~<- -
происходит по вполне ясной причине: скачок давления р0
распространяется по трубопроводу со скоростью с и
одновременно жидкость на участке, пройденном скачком, приходит
в движение. Дойдя к закрытому концу д: = /, скачок
давления повышает сам по себе у закрытого конца давление на
величину /?0, кроме того, от остановки пришедшего в движение
столба жидкости давление повышается вследствие гидравличе^
ского удара на такую же величину.
При афО ряд C.80) сходится плохо. Его сходимость
можно улучшить таким же способом, как было сделано в за-?

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 105
даче о гидравлическом ударе вязкой жидкости. Возьмём
ряды C.86) и C.80) и представим ряд C.80) в виде
(,)
Ро
= 1 I ^
2s — 1
Г Г а
У '-[мз^гу]
s-.;»"- <з-9о)
где, согласно предыдущему, т, a, [xs, Qs определены
формулами (ЗЛО) —C.15).
Тогда ряд C.90) можно представить ещё так:
оо
S/ 1 xs cos (№ — е8) _
1 } Bs — l)cos0s ~
оо
S, i\sf cos (р.6.т — 66.) cos [Bs — 1)ят]
(~1) \ Bs— I)cos6&. 2s=l
Последняя сумма вычисляется точно согласно формуле C.86),
Можно ещё более усилить сходимость ряда, выделив
суммируемые части, как было сделано выше в § 1 настоящей
главы. Согласно C.24) — C.27), общий член ряда можно
представить в виде
cos (fAax — 8g) cos p.gT . sinpigT s .
Bs—I)cos6s~ 2s — 1 ' 2s—1 езТ
cos [Bs — 1)kt] , sat sin [Bs — 1)
~ +~~
2 2s^~l /4 +">/+
~ 2s—1 +~2~ 2s —1
sin[Bs-l)KT] sax c
_Г1 ^ I
~L 2«2Bs —1J J
cos [Bs-
2s —1 "Г
—l)icx|

106 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда получим:
1 чe cos (p8z — 8в)
— 1 v
l) B5 — l)coses~"
з = 1
— Vr ns /cos(^x — 6s> i~i aH ]cos[By—
~ Za) MBs - 1) cos 6S L 2ic2 B5—1 JJ
8 = 1
2s — 1
sin fBs—
cos[Bs--1)kt]
——
8 = 1
Предпоследняя сумма правой части C.92) вычисляется точно:
~ТТ' ~~2
sin [B5---
C.93)
4 v '' 2 ^ ^ 2'
причём далее продолжается периодически с периодом х = 2.
Интегрируя по т в пределах от т = — -^ до т, т = -~- до т,
3 г z
т = -^ до т, ... последнее равенство, получим выражение для
последней суммы правой части C.92)
cos [B5—1) кт|
B5—1
Т К~2
т(Т- Т— 8")' 
 '
C.94)

ГЛ. Ш* -НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 107
По этим формулам можно без особых затруднений
вычислить 8 (т, а), так как сходимость основного ряда будет
выше порядка —. Когда. а>ти, т>1, можно ограничиться
первым членом в ряде C.83):
8(т, а) ^ 1 е~*х(--r
2
4 -?
На фиг. 12 — 16 показаны кривые 8(х, а), вычисленные по
формуле C.90) М. Л. Бурштёйн с помощью улучшенных
выше рядов для а = 0; 0,25; 1; тс; 5. Затухающий характер
нарастания давления при большой величине а указывает, что
силы инерции в этом случае могут быть отброшены, как
малые, по сравнению с силами сопротивлений.
Дифференциальные уравнения движения- при этом переходят в уравнения
теплопроводности. В следующем параграфе этот случай
рассмотрен более подробно.
Располагая опытными данными о зависимости 8 = 8 (т, а),
можно построить в логарифмических координатах график
зависимости C.96). Из! этой зависимости по Прямолинейному
участку графика можно будет найти of.
Нетрудно видеть, что рассмотренная выше задача о
распространении скачка давления математически; эквивалентна
задаче о гидращшче.ском ударе, когда в однодо из сечений
давление постоянно: действительно, при ^распространении скачка
давления мы, в сущности, ищем решение уравнения
при условиях р = 0, -^ = 0, / < 0; р = р0 = const, х =

108 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
6'
V-
Ifi
if
w
а
w
bjb
OS
0,4
0,2
a°0
иг w ojs 0,6 w a t» и
Фиг. 12.
г %
Иг W (№ 0.8 Ifi 12 1Л U 18 ZflT
Фиг. 13,

ГЛ. ill. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 10$
он
о ог w us m ut a jv if is
Фиг. 14.
в
V
B.S
ОН
0.2
us
ив
т
а цг оу us u to a /,v is ц г.о г
Фиг. 15.
a-5
W 0.5 0,6 W 1,2 1M iS l,t 2Л Г
Фиг. 16.

ПО ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
J??- == 0, х = /. Но эти условия и уравнение совпадают с
уравнениями C.39), C.40) и C.41) #ля случая гидравлического
удара. Таким образом, графики фиг. 12—Щ,§(х, а) одног
временно дают закон относительного-изменения расхода в
сечении х == 0 в случае гидравлического удара.
§ 4. Неустановившееся движение
в длинном трубопроводе с большим затуханием.
Предположим, что а ^> тс, т. е. длина настолько велика,
что потеря давления от трения в несколько раз больше ударг
ного давления по формуле Н. Е. Жуковского: Тогда
уравнения движения A.27), в которых отбрасываем инерционный
член, будут иметь вид
C.97)
Это есть система уравнений параболического типа, сводящаяся
к уравнениям теплопроводности
C.98)
C.99)
где
C.100)
Решим эти уравнения для случая распространения скачка
давления при условиях
г = О, р=р0,
= l, w = О,
дР
C.101)

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 111
Чтобы свести эту задачу к задачам уже решённым,
рассмотрим ту же задачу со следующими граничными условиями:
C.102)
т. е. мысленно удвоим длину трубы и в сечениях х = 0 и
л; = 2/ создадим скачки давления р=р0 (фиг. 5). Тогда
в середине воображаемой удвоенной трубы в силу симметрии
скорость равна нулю, и условия C.101) выполняются. Решение
задачи имеет вид*)
или, замечая, что
4/2 ~~ 2а 4/2 -~ 2« '
V4 \ 2 / / 2а
При т>—^- в C.104) можно ограничиться первым членом.
В сечении х = / получим:
что совпадает с C.95).
Таким образом, в достаточно длинных трубопроводах при
а^>тг и х^-—|- неустановившееся движение можно
рассматривать, пренебрегая инерционным членом j- (p^), и исходить
из уравнений теплопроводности C.98) или C.99).
*) Карслоу X., Теория теплопроводности, ОГИЗ, Гостех-
издат, 1947.

Ц2 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 5. Неустановившееся движение газа
в длинном газопроводе.
Выше мы рассматривали уравнения, в которых
квадратичный член был линеаризован по одному из способов,
изложенных в § 6 гл. I. Для магистральных газопроводов можно
поступить ещё таким образом. Уравнения движения газа
в длинном газопроводе при отбрасывании инерционного члена
имеют вид [см. A.52)]
C.105)
~W
дх ~
др_ д (pw)
dt~dx'
Эти уравнения при ламинарном и турбулентном режимах
можно представить ещё так: при ламинарном [см. A.32)]
д? Ay. pw
дх ~ 3252 — >
а при турбулентном
_
dt
' дх
d(pw)
: дх '¦
85 p
C.106)
др_ d(pw)
dt ~~ дх *
C.107)
Усредняя множитель -^- аналогично способу, изложенному
в § 6 гл. I, мы можем объединить случаи ламинарного и
турбулентного режима одной парой уравнений
др , pw
jty_ д (pw)
dt дх
C.108)
где коэффициент b имеет значения: для ламинарного режима
»»¦afrs (З.Ю9)

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 113
для турбулентного режима
При ламинарном режиме коэффициент b строго постоянен,
при турбулентном может быть заменён средним значением
в пределах изменения массовой скорости pw. Усреднение же
массовой скорости pw производится даже при значительных
изменениях режима в меньших пределах, нежели усреднение
действительной линейной скорости w. Поэтому для длинных
газопроводов, когда в уравнениях движения газа можно
пренебречь инерционными членами, предпочтительнее
пользоваться этим способом усреднения.
Уравнения C.107) можно преобразовать следующим
образом. Следуя методу Л. С. Лейбензона, применённому им в
теории фильтрации газа *), введем новую функцию Р:
р
р= J pdp. C.111)
о
Тогда
dP — pdp
или
откуда, сравнивая коэффициенты при дифференциалах dt
и dx
дР лдр дР др (чл. ол
Уравнения C.108) можно представить теперь в виде
dt
или
дР~ а / \ дР dP д (pw) /Q « - оч
*) Л е й б е н з о н Л. С, Движение природных жидкостей и газов
в пористой среде, Гостехиздат, 1947 г.
8 Зак. 2518. И. А. Чарыый.

114 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Эти уравнения образуют линейную систему, когда
-т-= const.
dp
Посмотрим, насколько искажается уравнение состояния,
если положить
^ //*. C.114)
Из C.111) получим:
dP _ dp _
откуда
р—
Ро
Р— Ро
C.115)
Таким образом, условие -т- = const означает замену
уравнения состояния Бойля-Мариотта экспоненциальной функцией
C.115), что является допустимым даже для довольно
значительных диапазонов изменения давления*). На графике фиг. 17
показана кривая вида C.115), проведённая так, чтобы
наименьшим образом отличаться от прямой Бойля-Мариотта.
За расчётное уравнение состояния при этом берётся
формула
р = Cрое га 9 C.116)
где постоянные т и р определены равенствами
3 _ 1 ?i+?o ,n ?i
2 /?i —/?q /7q '
ln-^L
Po
*) Заметим, что уравнение состояния реальных газов приближается
к виду формулы C.115) ближе, чем к уравнению прямой.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 115
здесь р0, plf p0, Pi — пределы изменения давления и плотности.
Для отношений — ^ 5 такая замена даёт погрешность в вели-
Ро
чине расхода не свыше 5%. Для больших отношений —
?о
этот способ становится, естественно, слишком грубым.
Р t
Фиг. 17.
Полагая -т- = const = m, уравнения C.113) сейчас же
можно привести к линейному уравнению теплопроводности
откуда
где
дР
" dt
дР
It''
*-2 *
т
у
C.117)
C.118)

116 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
§ в. Распространение скачка давления
в сложном трубопроводе.
Неустановившееся движение в сложном трубопроводе
может быть исследовано приведёнными выше методами.
В общем случае неизвестных функций w, p будет столько,
сколько ветвей в сложном трубопроводе. Дополнительными
условиями являются равенство давлений в узловых точках
Фиг. 18.
и соблюдение баланса расходов, втекающих в узел и
вытекающих из него. Эта задача не связана с какими-либо
принципиальными затруднениями, но требует весьма громоздких
вычислений. Мы ограничимся, для простоты, рассмотрением
только ближайших моментов времени, следующих после
прихода волны к какому-либо узлу, для случаев
последовательного и параллельного соединений труб.
Начнём с последовательного соединения двух труб
(фиг. 18). Пусть соединены последовательно две трубы
с площадями сечений ft и /2. В начальном сечении первой
трубы сечения /2 длиной 1Х создаётся скачок давления р0.
Требуется узнать давление в конце трубы в месте
соединения труб /г и /2 к началу прихода волны.
Воспользуемся формулами B.99) — B.102) для
бесконечного трубопровода. Если бы первая труба была
бесконечно длинной, то на расстоянии lt от начала, согласно
B.100), давление и скорость равнялись бы (головные
значения)
(/jssiQ. В действительности, в узловом сечении В второй
трубы (фиг. 18) давление будет не такое, как в случае
бесконечно длинной трубы, а другое. Обозначим это
неизвестное давление в узле В в момент прихода волны через р.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 117
Тогда разность р — (р)оо вызовет уменьшение скорости t^oo
в первой трубе на величину -———, а во второй трубе
появится скорость, пока неизвестная
Выражая расход в сечении В через первую и вторую
скорости, получим:
у
Рое с Р—Рое с
откуда
ЛТ/2
Очевидно, вполне аналогичный результат получается, если
Фиг. 19.
из узла В выходят несколько труб (фиг. 19)
где 2 /— общая площадь труб, выходящих после первой
трубы из узла В.
Последующее распространение волн может быть
исследовано, если рассматривать каждую трубу в отдельности
в предположении, что в её сечении В создан известный
скачок давления. Предыдущие формулы сохраняются в силе
до прихода какой-либо одной из отражённых волн в узел В.

118 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Дальнейший процесс не рассматривается, так как он требует
обращения к общим уравнениям и сопряжён с громоздкими
вычислениями. Следует заметить также, что наибольший
практический интерес представляют именно ближайшие
моменты после прихода волны, так как с течением времени
колебания давления вследствие вязкости быстро гаснут.
§ 7. Неустановившееся движение жидкости
в трубопроводе с малым затуханием.
Переход к случаю несжимаемой жидкости.
В случае малого затухания (ос < 0,2), как видно из
графиков фиг. 3—9, волновой характер движения полностью
сохраняется. Из графика фиг. 5 видно, что при
гидравлическом ударе даже при а = 0,5, максимальное повышение
давления сверх статического приближается к ударному
давлению по формуле Н. Е. Жуковского. Поэтому, без большой
погрешности, при небольшом затухании можно в основных
дифференциальных уравнениях A.27) опустить член с
затуханием и рассматривать более простую систему
C.121)
а поправку на трение производить, пользуясь формулой
Дарси-Вейсбаха для установившегося движения, если
скорость в каком-либо сечении известна.
Уравнения C.121) сводятся к уравнению малых
поперечных колебаний струны
ф*?1 (З.Ш)
общее решение которого в форме Даламбера можно
представить в виде суммы двух волн — прямой и обратной
Для наших задач сначала рассмотрим безразмерные
уравнения A.45) и A.46), в которых удерживаем только ло-

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 119
кальную производную по времени
dp* _cpowod(p*w*)
di ~ Ро дч '
др^ cpow0 д (p*w*)
дг ~ ро di *
откуда
причём S, т, р*, w*, р* определены формулами A.44),
Интеграл Даламбера уравнения C.123) имеет вид
C.124)
где Д, /2 — произвольные функции аргументов х — 5и|
Нетрудно видеть, что р* может быть выражено через f1 и /2
формулой
?efib (ЗЛ25)
Действительно, из формулы C.125)
в согласии с уравнением C.123).
Предположим, что ft(z—5) и /а (х
разложены в ряд Тэйлора по степеням ?:
могут быть

120 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Предположим, что в сечении х = 0 Давление постоянно. Так
как под р и w везде подразумеваются избыточные значения
над стационарными, существовавшими в момент *= 0, то будем
считать р* = 0 при Е = 0.
Согласно C.125), при этом
/iW-/iW-/W. (ЗЛ27)
Тогда формулы C.126) обращаются в следующие:
C.128)
C.129)
Если б мало, то приближённо
Переходя от безразмерных величин к размерным, согласно
A.44), получим вместо (ЗЛ29)
Ц^ C.130)
что по виду совпадает с обычной формулой инерционного
изменения давления для несжимаемой жидкости.
§ 8. Пусковой режим насосных
и компрессорных установок в трубопроводе
с небольшим затуханием*).
Предположим, что к трубопроводу присоединена насосная
установка, причём закон изменения расхода, а следовательно,
и скорости в месте присоединения, известен. Пусть другой
конец трубопровода открыт и давление на нём постоянное,
принимаемое за нуль (фиг. 20). Требуется определить
колебания давления, возникающие при изменении расхода.
*) Ч а р н ы й И. А., О колебаниях давления при переменном
движении жидкости в трубах, Труды Московского нефтяного
института им. Губкина, 1939 г. -

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 121
Наибольший практический интерес представляет случай
нагнетательной линии, который мы и рассмотрим. Будем
исходить из интеграла Даламбера C.125), справедливого для
движения без затухания, с поправкой на трение указанным
в § 7 способом. Начало координат поместим у открытого
Точна, где изЗестна
снорясть з/сидности
' трубопроводе
Открытый'
конец
Фиг. 20,
конца и ось х направим против течения^ При этом в
уравнениях C.121) изменится знак, так как теперь положительной
будет считаться скорость, направленная против оси х и
формулы для pw и р примут вид
<3'Ш)
При АГе=0 /> = 0, ОТКуда /j(/)=/9(/)- C.132)
стен закон изменения массовой
Ф(*)=0 при /<0 C.133)
Пусть в сечении х = / известен закон изменения массовой
скорости
Обозначим
/t(' + 4)-*W. C.134)
Тогда, согласно C.131) и C.132), в сечении х = 1
pw = Ф @ = <р (/) + ?(<— То), C.135)
где
То = Ц-- C.136)

122 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Давление в сечении д; = /, согласно (ЗЛ 31), есть разность
тех же волн <р(^ и <p(t—Го)
p = c[<?(t)-<?(t-T0)]. (ЗЛ37)
Согласно (ЗЛ32), <p(t—T0) = О при 0</<Г0. Это
обстоятельство с помощью формулы (ЗЛ37) позволяет аналитически
или графически построить функции <f(f) и ф {t—То) по
известной величине (>w у насоса для последующих моментов
времени по схеме, указанной в табл^ 2.
Таблица 2
№JSfe
интервалов
1
2
3
п
Интервалы времени
с начала пуска
0<*<Г0
7о</<2Го
2Г0</<ЗГ0
(« — 1) Г0</</гГ0
Значения функций
<р@ и ср(/~ Го),
выраженные через
массовую скорость у
насоса
<pi @ = (Р^)г
^(/-Г0) = 0
= <pi W ^= (p^)i
92W = (P^J —(P^)l
^8(^—^0) = ?2(О =
= (Р^J —(P^)l
?з@ = (Р^)з—-
— (pw)e + (pw)i
?п('-7о) =
= ?я-1@=(рЮ)м-1—
— (р^)п_2+...;
Vn@ = (pw)f» —
— (pw)n-i+...
Давление
у насоса
Pi = с (p«0i
— 2 (р^)Л
PR = cl(pw)B —
-U(9wJ + 2(PwI]
+ 2(pt»)^2~...]
Здесь обозначено: (pw)l9 (pwJ, ..., (pw)n — значения массовой
скорости у насоса в моменты времени /, /+ То, t-\-2T0, ...,
t-\-{n— 1) Го, <?и <р2, ..., срп — значения волн ф в те

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 123
же моменты pv р2> • • •» Рп — значения давления в те же
моменты.
Пример графического построения кривой давления по
заданной кривой массовой скорости у насоса показан на фиг. 21.
Выясним, как должна нарастать скорость в начале
трубопровода, чтобы не происходило чрезмерного повышения
давления.
Пусть заданное максимальное повышение давления есть р
и сверх р давление не должно повышаться. Для этого
необходимо (фиг. 22), чтобы в конце времени То от начала пуска
скорость была бы равна (p-o^ss^-, в конце 2Г0 (р1й;J = 3 —,
в конце ЗГ0 (pxe;)s = 5— и т. д., т. е. скорости в моменты
с
времени То, 2Г0, ЗГ0 должны относиться друг к другу как
ряд нечётных чисел. При этом функции <f(t) и y(t— То)
графически выражаются двумя параллельными прямыми линиями.
Если конечная постоянная скорость есть (pw) (фиг. 22), то
отсюда
Время нарастания скорости равно
ибо, как видно из фиг. 22, функция <р(/) возрастает
пропорционально времени. Таким образом, для избежания
гидравлических ударов при пуске к концу интервала То должна
быть достигнута скорость
затем, начиная с этого момента, скорость должна
увеличиваться по закону
Of) (ЗЛ38)
до достижения заданного значения.

124 ГЛ. II!. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
р
0
/
/
ч
ч,
/
1
1
\
3
\
\
\
/
/
V
1
\
чп
4-
+
t
\
рю
а
/
—"
/
\
\
X
Y
}\
j
/
j
ч-
S
f
Ipl
У
ш
t)
12 3
Фиг. 21.
i
р
п
рш
п
**+
***
i
f
s
t
s
-*'
***
**¦
i
4^
f
4
\>
у
<r
|
рш
ч
7
1 I 3 T
Фиг. 22.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 125
На фиг. 22, 23, 24 показаны колебания давления при
разных способах достижения одной и той же конечной
скорости в одно и то же время. На фиг. 22 нарастание скорости
совершается по закону, определяемому формулой C.138),
причём после достижения заданного значения остаются коле-
/
/
\
\
\
[/
V
/
1
у
1
/
/
pw
^0*
100»
г.
}
/
\
1
\
у
X
/ '
1
V
у
ош
X
ч
11 5 Н
Фиг. 23.
бания давления, не превышающие р. На фиг. 23 график
нарастания скорости лежит ниже прямой C.138) при этом
получаются колебания давления больше р. На фиг. 24
график нарастания скорости лежит выше прямой C.138), причём
до достижения предельной скорости получается повышение
давления, большее р, а затем, по её достижении остаются
колебания, не превышающие р.
Остаточные колебания практически гаснут из-за
вязкости жидкости, однако, если вязкость жидкости невелика,
процесс гашения протекает не очень быстро, примерно по
закону e~at.
Полученные выше уравнения, согласно
гидроэлектрической аналогии (табл. 1), пригодны для расчёта переходного
режима электрической линии с распределёнными постоянными
(ёмкостью, самоиндукцией и омическим сопротивлением, пре-

126 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
небрегая током утечки), заземлённой на одном конце. Для
этого случая имеют место уравнения, аналогичные C.131)
и C.137), если не учитывать омического сопротивления. Если
учесть омическое
сопротивление, то для получения
весьма точного результата
(совершенно точно для так
называемой линии без
искажения) правые части
уравнений C.131) и C.137)
нужно умножить на экспонент
ч
t
1
—«.
/-
>l,
Фиг. 24.
а для трубопровода,
согласно табл/1, на e~at.
Таким образом,
увеличение пусковой скорости
следует производить не
непрерывно, а с интервалами, в
течение которых скорость
постоянна и должны успокоиться остаточные свободные
колебания давления. Таким образом, можно достигнуть
нужной скорости без гидравлических ударов.
§ 9. Последовательное соединение двух трубопроводов
различных диаметров *). Нагнетательная линия.
Для этого случая (фиг. 25) для первого и второго участков:
C.139)
где срц <р2, <!>2 — прямые и обратные волны, причём для пер-
*) См. сноску на стр. 120. М. А. Мостковым предложен другой
способ расчёта неустановившегося движения в сложной сети труб,
основанный на последовательном определении прямой и обратной
волн для каждого участка сети в (моменты прохождения узловых
точек (см. сноску на стр. 9).

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 127
вой трубы эти волны выражаются в виде <pj u+—) и
<pt (t——J, так как открытый конец с постоянным
давлением принадлежит первому участку.
Функции ?2 и ф2 могут быть выражены через функцию <рг
следующим путём. Обозначая через fv /9 площади сечений
1
Точна, где известна
скорость жидкости
д трубопроводе
-ь
¦^—\п
Открытый
конец
Фиг. 25.
участков для х = 1г на стыке двух труб, получим:
(р
и из формулы C.131)
C.140)
так как сечение х — 1г принадлежит обоим трубопроводам.
Таким образом,
C.142)

128 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда
C.143)
Обозначая через
L = lt-{-l2 C.144)
расстояние от начала трубопровода до открытого конца,
а через р-ш, р —массовую скорость и давление в начале
трубопровода сейчас же после насоса в сечении L, получим,
согласно формулам C.143), заменяя t на t-{-— в формуле C,143)
для <р2 и t на (t—-J в той же формуле для ф9:
(ЗЛ45)

ГЛ. Ш. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 129
Обозначим, далее,
1 о — ~ >
2L \
с
Т —^2.
1 2 — Т>
C.147)
где
C.148)
C.149)
и заменим в формуле C.146) t-\ на t.
L 2L
Замечая, что / теперь заменяется через t «
/.
/
будем
рад
•г*
1 с
h-h
с
иметь:
¦через /—
L i
с 1
Z.
с
к-к
с
к —к
с
lit--
(т, ~ ОI?1 (/~ Tl)""
или, согласно C.148) и C.149),
— г,)],
C.150)
9 Зак. 2518. И. А. Чарный.

130 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Формулы C.150) являются искомыми, так как дают
возможность, зная скорость pw в начале составного
трубопровода, определить там же изменение давления р. Как видно,
для этого случая, в отличие от трубы постоянного сечения
скорость и давление складываются из четырёх волн: двух
р
0
рю
п
/
/
/
/
/
\
\
/
j
ъ
ft
lbs
...J
~i
/
/
я
s
s
/
?
\
\
\
T
V
\
\
\
\
\
у
\
ft
у
\
not
/
-r, •
1
\
\
t
1
\
/
c-
I
1
f
\
1
T
у—
ip[t)
рю
V
-\^
*-^
Фиг. 26.
основных cp(Q, <f(t—Го) и двух других — Cu(t—Tj) —
преломлённой через стык волны, и (ф('—^2) — отражённой от
стыка волны. Из C.149) видно, что всегда |С|<1.
Величина С может быть названа коэффициентом отражения. Если
скорость рш известна, причём в начальный момент, /= 0, pw = 0,
то р можно определить аналитически или графически, так

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 131
как в течение одного из интервалов 0 < /< Ти 0 < / < Т2
величины pw и ~ совпадают.
г с
Пример графического определения — показан на фиг. 26,
где принято
1±
г О 95 1± = (\ а
<• — —ьи,^о, ^- — -=- = — , — = и,ь.
Из фиг. 26 видно, что при С < 0 в интервале Т2 < / < Го,
л.
0
7 /
h- ft
fz ffi *
Q~O,ZS
pw
0
I
1
1
I
1
-
pR
\
I
/
7
7
w
It
у
4
m
WL
IV
1
Tfiff
\
It'
s"
1
\
\
1
\
\
\
\
l\
\
Pit
\
\
m
\
/
i
I
/
'a.
\
\
л
\
\
?
U
I
Pit
/
I 1
/
/
i
\
I
f
/
-J
7
/
1
1
X
\
\
T
V
\
.
/
r./
Л
\\
\
\
i
I
\
\
\
1
У
\
\
/
z
filO-
X
Д
tp(t-JJ
Q,25tp(t~
i
t
ft)
t
Фиг. 27.
~ > pw, достигая максимума при t = To. При С> О, Д >/2
в интервале 72 < / < Го, ~ < р©;.
9*

132 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Это показано на фиг. 27, где
Кривые фиг. 26, 27 дают картину скорости и давления
у насоса при одних и тех же расходах и трубах, но участки
№№ 1, 2 обменены местами. Как видно, кривые давлений
различны, т. е. порядок соединений играет роль.
§ 10. Пусковое давление, развиваемое насосом
с воздушным колпаком*).
Для простоты рассмотрим случай нагнетательного
трубопровода постоянного диаметра. Пусть начальное абсолютное
давление воздуха (статическое в колпаке) равно р0, а
соответствующий ему объём воздуха Vo. Уменьшение объёма
воздуха в колпаке обозначим через у. Очевидно, секундное
уменьшение объёма воздуха в колпаке при пуске равно
разности между секундной подачей насоса Q и расходом в
нагнетательной линии fw, т. е.
g = Q-M C.151)
Обозначим повышение давления сверх начального через р.
Тогда, предполагая, что воздух сжимается изометрически,
имеем:
откуда
Ро+Р '
dp C-152)
Из C.151) и C.152) имеем:
г?тЭ7в«-М (З-153)
¦) Ч а р н ы й И. А., см. сноску на стр. 120.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 133
Как было показано выше, в течение периода времени
2/
0</< Го, Го = —, от начала пуска, где /—длина
нагнетательной линии, инерционное повышение давления рш
определяется формулой Жуковского
Рш = ср<ш. C.154)
Учтём приближённо потери на трение по формуле Дарси-
Вейсбаха, тогда получим:
или
p = pw(\-gr w-\-c\. C.155)
Приближение будет заключаться в осреднении члена
рассчитываемого по средней во времени пусковой скорости
в трубопроводе. Тогда получим:
pttkpw, C.156)
где
D) • C.157)
Следует отметить, что при ламинарном режиме в круглой
трубе вместо приближённой формулы C.157) получаем вполне
точно
k = c-\-~. C.158)
Потери на местные сопротивления также могут бкть
включены в потери на трение.
В период времени 0 < / < То давление будет изменяться,
согласно формуле C.156), после же момента То в связи с
приходом обратной волны давление растёт медленнее, нежели по
формуле C.156). Если после этого момента То скорость
значительно не возрастёт, 'максимум давления получается в
момент 70, а затем давление начинает уменьшаться; насос
вступает в период устанавливающего режима, в течение которого

134 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
существуют свободные колебания давления, постепенно гаснущие
из-за вязкости, и, наконец, наступает установившийся режим.
Интегрирование выполняется следующим образом. Из
формулы C.156)
и вместо C.153) получим:
PqVq dp q jf
(Po+PJ dt ~ v kpP
или
kp /?qKq dp kpQ (
It—7 p' (
Это уравнение может быть проинтегрировано, если известна
зависимость Q = Q(f). Для простоты примем Q = const и
равным средней подаче насоса. Обозначим:
^ = />*р+Руд, (ЗЛ60)
где /7тр — потери на трение при установившемся режиме,
Руд — ударное инерционное изменение давления по формуле
Н. Е. Жуковского C.154), которое было бы, если бы
скорость в трубопроводе внезапно изменилась от нуля до w = у,
yPovo = — -qT (Ртр + Руд) -Q- = я- (o.lbl)
Тогда
Разделяя переменные и интегрируя C.162), получим, замечая,
что р = 0 при ?=0:
PoVO
-X
In v'u '/'у rp**\ _p*+f**+Pj* p\ *)a (ЗЛ63)
n (n _L_« „p) PO(PO+P) Fj V ^
*) В нашей работе 1939 г., указанной в сноске на стр. 120, при
интегрировании уравнения C.162) допущена ошибка в знаке в
квадратной скобке формулы C.163). Здесь эта ошибка устранена и
формула C.163) правильна.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 135
Заметим, что наше решение справедливо только до момента
2/
t=a— = T0, так как в дальнейшем формула C.154) теряет
силу в связи с приходом обратной волны.
Отсюда, полагая t=T0, получим:
° ° , . А< (Ро+Р)(Ртр+Р7Д) Ро+Р^ + Руд У
C.164)
Формула C.164) даёт возможность рассчитать объём
воздуха Vo при начальном давлении /?0, если задано допускаемое
повышение давления /?. Очевидно колпак целесообразен при
Если р =/?тр -|-руд, то 1/0=оо, т. е. колпак бесполезен.
Формулу C.164) можно представить и иначе. Обозначая:
получим:
5= Ь, C.166)
%, 6), C.167)
где
Установка пусковых воздушных колпаков целесообразна
там, где по каким-либо причинам или по недосмотру насос
может быть быстро пущен, так как, вообще говоря, объём Vo
обычно весьма велик. Там же, где пуск насоса может быть
произведён постепенно, можно обойтись без пусковых
колпаков; регулируя нарастание скорости в нагнетательной линии
в период пуска, всегда можно избежать резких гидравлических
ударов. Регулировку можно производить постепенным увели-

136 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
чением числа оборотов, а также применением перепускной
трубы из нагнетательной линии во всасывающую (фиг. 28).
Как видно из фиг. 28, регулировка в период пуска
производится манипуляциями с задвижками А и В. Сначала
задвижка А закрыта, а В открыта, и насос начинает работать
«сам на себя», т. е. жидкость поступает в перепускную трубу.
Перепуснная труба
Нагнетательная
zxa l ,i / линия
\л
Воздушный ПаршнеЗой Воздушный
Нол па и насос мал пан
Фиг. 28.
Затем постепенно открывают задвижку А и закрывают
задвижку В, следя за показаниями манометра на нагнетательной
линии. Время пуска определяется формулой C.138)
C.169)
где w0 — скорость в трубе при установившемся режиме,
р — допускаемое инерционное повышение давления, сверх
давления, соответствующего установившемуся режиму.
§ 11. Колебания давления в камере
при внезапном изменении расхода.
Здесь мы будем исходить из общей формулы B.69), в
которой полагаем 5 = 0, х = 1. Вынужденные колебания
определяются формулой B.61), а свободные — формулой B.67):
где, согласно B.34), <р8 — корень уравнения

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 137
Р» %> К — определены формулами B.35), B.63) и B.48):
а. параметр а определён формулой A.23), A.26) или A.58).
При этом предположено \х > 0.
Ряд C.170), очевидно, сходится и вполне допускает
производство технических расчётов. Однако для боль-
Фиг. 29.
ших значений р, часто имеющих место в
действительности, его можно упростить и ограничиться только первым
членом: при большом р первый корень уравнения B.34) —
<Pj мал, и приближённо можно считать, пользуясь
графическим решением, показанным на фиг. 29 (на этой фигуре
нанесены кривые y=ztg<p и гипербола у = ^г, пересечение
которых даёт <pg):

138 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
откуда
<?«<?s^(s—iO1» когда 5 > 1. C.171)
У Р
Из фиг. 29 видно, что, вообще говоря, <р8 > (s—1) тс,
а ?1<
Положим далее в формуле C.170)
4 <3-Ш)
где е(C)— сумма остальных членов ряда в формуле C.170).
Из формулы (ЗД71) и фиг. 29 следует, что |cos68-11 <
<|cos 6S | и
?
8=2 г Ja
_ 1,2020$
Заменяя в C.172) «pj, согласно C.171), получим:
откуда
, 1,20206
cos
г j^0206_ 2LM jx.se.i (ЗЛ74)
L я3 р2 VI i cos в21 J v '
Когда Р велико, e(j3) составляет очень малую часть
амплитуды первой гармоники и может быт& отброшено. Таким

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 139
образом, из формулы C.172) получаем приближённо:
Sin (^— 28,) =
C.175)
Для движения газа переменные в C.175) нужно заменить
согласно табл. 1.
Преобразуем формулу C.175) для случаев, когда камерой
является воздушный колпак или уравнительная башня, для
чего введём обозначение
h = cj, C.176)
где, согласно A.73) и A.74), для воздушного колпака:
а _ c2ppf _ pof {n 177ч
для уравнительной башни:
*-Hf-F* (ЗЛ78)
Параметр «6», очевидно, имеет размерность ускорения и от
упругости жидкости не зависит. Из формулы C.176)
Подставляя это значение |3 в формулу C.175), получим:
причём, согласно B.48), C.171) и C.179)
где
/*- C-182)

140 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
Величина q0 является частотой собственных колебаний
столба идеальной несжимаемой жидкости в трубопроводе,
обусловленных наличием воздушного колпака или
уравнительной башни.
Для воздушного колпака, согласно C.177),
что совпадает с формулой Берга*). Для уравнительной
башни, согласно C.178),
Заменяя в C.180) —тг, получим:
COS Ui
cos (
C.183)
Таким образом, импульсивное изменение расхода вызывает
в камере затухающее гармоническое колебание давления
с периодом Г=г-.
Максимальную амплитуду колебания можно найти из
приближённой формулы
C.184)
*) Берг Г., Поршневые, крыльчатые и ротационные насосы,
Гос. научно-техн. нефт. изд-во, 1933 г.

ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 141
Максимальное изменение пьезометрической высоты
Л)воб '
A
(ЗЛ85)
Если go мало по сравнению с единицей, то формулы C.180),
C.183) и C.184) обращаются в формулы для несжимаемой
жидкости.
Заметим попутно, что, пренебрегая сжимаемостью и
вязким трением, т. е. полагая а = 0, получим вместо C.184)
и C.185) формулы, которые легко получаются из закона
сохранения энергии. Для простоты ограничимся
рассмотрением только уравнительной башни. При мгновенном изменении
скорости жидкости в напорном трубопроводе на величину А
кинетическая энергия жидкости в трубе изменится на величину
А 2 1Т ТТ
p/l-*» Работа силы тяжести будет равна ^FH-^-y где •=- —
перемещение центра тяжести объёма FH. Приравнивая,
получим:
-. Л2 еи Н
tfl1FH
откуда
что, согласно C.178), совпадает с формулой C.185) при
р = 0 а = 0 для идеальной несжимаемой жидкости. Этот
упрощённый метод расчёта может быть распространён и для случая
непризматических башен, а также позволяет приближённо
учесть вязкость жидкости и местные сопротивления. Мы на
этом, однако, останавливаться не будем.
Сжимаемость жидкости, как видно, несколько уменьшает
амплитуду колебаний давления, причём поправка выражается
коэффициентом г или, что то же, заменой tgcpj »«ple Для

142 ГЛ. III. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
уравнительных башен эта поправка будет равна
1__ 1
1+1" 1 + 1^ '
^2р ^ 2 F с»
C.187)
Если взять, например, следующие данные: —- = 1; 1 = 2 • \0ъм,
с = 1200 м/сек, то получим:
1 1 1 9,81.2-103
2 1 1200*
= 6,82-Ю-3
и поправка на сжимаемость жидкости в данном случае
выражается величиной порядка 0,5%. Для более коротких линий
и отношений 4<1, она будет ещё меньше. Таким образом,
уравнительные башни, для которых эти условия обычно
соблюдаются, могут рассчитываться в предположении, что жидкость
несжимаема. Для воздушных колпаков поправка на
сжимаемость жидкости может оказаться иногда более ощутимой,
так как для них {3 может быть небольшой.
Предыдущие формулы были даны для случая ^ > 0, т. е.
qo>a.
При qo^a, свободные колебания станут апериодическими.
Этот случай может быть рассмотрен при помощи приведённых
выше общих формул, но мы на нём останавливаться не
будем, так как особого практического значения он не имеет.

ГЛАВА IV.
КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
С КАМЕРОЙ И БЕЗ НЕЁ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИЗМЕНЕНИИ РАСХОДА*).
§ 1. Связь между вынужденными колебаниями давления
и расхода**).
Здесь мы ограничимся рассмотрением только вынужденных
колебаний давления в сечении х = /, так как после
переходного режима свободные колебания затухают по закону e-at
и особого практического интереса не представляют.
Обратимся к формулам B,53) и B.54). Пусть
/>0 и /@ = 0, когда /< 0, ?@ = 0. D.1)
Согласно B.73), частотный спектр для D.1) имеет вид
откуда
<»к = щ = д. D.3)
Из B.54) и B.38):
^1^ Zb (д, I) eW =AZb{g, l)*#. D.4)
*) Ч а р н ы й И. А., см. сноски на стр. 38 и 120.
**) Вынужденные колебания скорости и давления могут быть
найдены также импедансным методом, развитым Ю. Н. Гризодубом
в статье: Применение теории пассивных четырёхполюсников к
расчёту распространения колебаний давления в разветвлённых
гидравлических системах авиадвигателей, Автоматика и телемеханика,
т. XI, вып. 2, 1950 г., АН СССР.

144
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Отметим, что при определении вынужденных колебаний, мы
могли бы в уравнениях B.38) и B.39) сразу положить m = q
и искать решение в виде одночлена, что дало бы, конечно,
для (/?)ВЫн тот же результат.
Из B.38) имеем:
/ sin kl k
cos kl — kh sin kl q
I
X
. D.5)
Отделяя в D.5) действительную и мнимую части, будем иметь,
предполагая q > 0, Re k > 0:
^S/=?_(.t( D.6)
где
Тогда
• ~ с
т с
=
К cq [Qtg (^ — fyj — fJ (^ -
LOAAA 4bf | i Oil ^*J
"ch2<}>-cos2?
sin2?
—cos2<?
sh2t|<
— cos2?
D.7)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 145
причём
Отсюда,
8 =
tg
согласно
в2=-
D.4),
\ —
ch2
ch2
sh2<J>
ф — cos 2?
sin 2<f
ф — cos 2<p
D.9)
=—pcAr (9) /?(?)e<(«*+8), D.10)
где
1
sin2cp
D.11)
> — cos 2f
Амплитуда колебаний определяется формулой
I (р)вын | == pcAr (q) R (q). D.12)
Размах колебания
\{Ч). D.13)
Если /(/) есть сумма периодических функций D.1) — ряд
Фурье, то (р)вын находятся суперпозицией решений D.12),
причём постоянная составляющая определяется по формуле
Дарси-Вейсбаха и вычисляется по постоянной составляющей
функции /(/)• В большинстве случаев достаточно
ограничиться рассмотрением одной-двух первых гармоник.
Предыдущие формулы определяют значение рвын в точке
х = /. Представляет интерес проследить, как изменяется
амплитуда колебаний на длине 0 < х < /. Это можно сделать
следующим образом.
Ю Зак. 2518. И. А. Чарный.

146 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Из B.38) следует, что при f(f) =
Р (*> 0 ^ ^з (Я, х)
P(!>t) Zz(q,l)
где, согласно B.17), B.38) и D.7),
Р (*> 0 ^ ^з (Я, х) _ sin kx
P(!>t) Zz(q,l) sin*/'
— /ф
Таким образом,
р — /ф
р (/, t) sin('f — /ф) sin^ch-ф — /совфвпф '
откуда
р(х, t)
P (I, t)
sin2 cp ch2 ф -|- cos2 <p sh2 ф
у sina / ch2 /
г sin2 ф ch2 Ф
?
sin2 <р + sn2 Ф '
Отсюда получаем неравенство
~-
ch
p {*> О
a о
D.14)
D.15)
Для удобства введём величину л^»/—х\ тогда
спф
Р (*.
ship
или
h ф ch -2-fi— ch ф sh -^ , А
• f__ ^ Р \х* ч ^
-. D.16)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 147
1, th^^-icth^^^ 1 и неравен-
Для больших значений ф ф
ство обращается в равенство
р (/, t)
[ р I
D.17)
Отсюда ясно, что с увеличением хх — расстояния до источника
колебаний — амплитуда колебаний уменьшается.
§ 2. Колебания давления при отсутствии камеры.
Обычно частота q вынужденных колебаний значительно
превосходит параметр затухания а. Тогда ряд формул может
быть упрощён: при q ^> а из формул D.11) и D.7):
D.18)
При отсутствии камеры [3 = 0. Из D.11) получаем:
ch 2ф — cos 2ср cos2ф — cos 2cp
откуда
cos 2<p 9
R(q) = R (я)тшк ПРИ cos 2ср = — 1,
?--^«, п=\у 2, ...
= ^(?)min ПРИ COs2<p=l,
<р = Я1с, я = 1, 2, ...
D.19)
Таким образом,
D.20)
10*

148 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Далее, в D.13), согласно D.1), 2А = kw = wmuX — wmin
есть разность между наибольшей и наименьшей скоростью
жидкости у агрегата. Тогда
bp = cpLwr(q)R(q)
и, согласно D.11), полагая r(q)tt\9 имеем:
ср kw th ф < Др < ср Lw cth ф. D.21)
Как уже указывалось, практически можно считать, что
ф « —, иначе говоря, ф от q не зависит, если считать а <^ q.
При этом, очевидно, неравенство D.21) останется в силе и
тогда, когда f(t) есть сумма нескольких периодических
функций, т. е. задана рядом Фурье.
Наблюдения Д. 3. Лозинского *) над колебаниями давления
у нефтепроводных поршневых насосов, работавших без
воздушного колпака, с длинной напорной линией (порядка
нескольких десятков километров), подтверждают неравенство D.21) **).
При достаточно большой величине ф « —, ф >- 2 (случай
с
весьма длинной линии) сШф^Шф^! и D.21) переходит
в формулу Н. Е. Жуковского для давления при
гидравлическом ударе:
Др = ср Lw. D.22)
Формула D.22) экспериментально подтверждена
наблюдениями над колебаниями давления у поршневых насосов с
длинной напорной линией, работавших без воздушного колпака.
При малой величине ф (случай недлинных трубопроводов),
согласно D.20), могут иметь место как весьма значительная
амплитуда колебаний давления при <рда — = ЯГ" тс, так и
ql
весьма малая при <р^*-1- = #тг, что также хорошо подтвер-
с
*) Лозинский Д. 3., О работе воздушных колпаков на
насосах перекачечных станций нефтепроводов. Журнал «Нефтяное
хозяйство», № 5, 1933.
**) Ч а р н ы й И. А., см. сноску на стр. 120.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 149
ждается опытами Дидерихса и Помроя *). Описание опытов
Д. 3. Лозинского, Дидерихса и Помроя и сопоставление их
результатов с изложенной выше теорией приведены в одной
из работ автора**). Параметр срда— имеет очень простой
физический смысл: представим <р в виде
где
X=i?. D.23)
Легко видеть, что X в формуле D.23) есть длина волны
давления.
Такое представление ер, как отношения 2тс -j-, даёт
возможность следующей физической интерпретации формулы D.22):
при большой величине отношения у, т. е. ПРИ малой длине
волны по сравнению с длиной' линии, импульсы давления,
возбуждённые у агрегата, гаснут вследствие вязкости на
сравнительно небольшом расстоянии от источника колебаний.
Отсюда можно заключить, что обратная волна практически
отсутствует, а существует только прямая волна. Если при
этом считать, что на протяжении первой длины волны вязкость
не слишком искажает картину колебаний, которая имела бы
место для идеальной жидкости, то легко видеть, что мы опять
придём к формуле Жуковского D.22). Таким образом,
физический смысл формулы D.22), полученной, как
предельное значение неравенства D.21), становится совершенно
понятным.
При движении маловязкой жидкости в коротком
трубопроводе, когда можно принять а = 0, из формул D.7)—D.13)
*) Р о m е г о у W. D., Air Chambers for Reciprocating Pumps, Oil
and Gas Journal, т. 27, № 15, 30 VIII, 1928 г.
Diederichs and P о m e г о у, The Occurence and Elimination
of Surge or oscillating pressures in discharge lines from reciprocating
Pumps, Frans ASME, т. 51, 1929.
**) См. сноску на стр. 120.

150 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
получим:
Рвьш ifcAig3Le*4*. D.24)
При малом — можно приближённо считать tg —tt —
и из D.24) получим:
^ (?гI' D-25)
так как, согласно D.1), величина iqAei($ определяется
равенством
т. е. равна производной по времени от скорости жидкости
у агрегата.
Формула D.25) является общеизвестной формулой для
инерционного изменения давления в предположении, что
жидкость несжимаема. Таким образом, для малых значений
параметра — = 2тс-г-, где X — длина волны, жидкость можно счи-
С А
тать несжимаемой.
§ 3. Вынужденные колебания в трубопроводе
с камерой *).
При исследовании вынужденных колебаний в
трубопроводе с камерой мы ограничимся случаем идеальной жидкости,
так как вязкость вносит только уточнение решения в сторону
уменьшения колебаний давления. Исследование общего
решения, где учтена вязкость, принципиальных трудностей не
встречает, но ввиду ограниченного практического интереса
мы его здесь не приводим. Поэтому рассмотрим случай
а = 0, р ф 0.
*) Ч а р н ы й И. А., см. сноски на стр. 120 и 38.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
151
Из D.7) и D.11) получим:
1;
1 — cos 2ср р*
Из формулы D.13) получим:
ё с с
D.27)
6 с с
Формула D.27) может служить для практических расчётов.
Условием резонанса будет ctg — = $— . При большом значе-
с с
ah
нии -— зона резонанса невелика и практически резонанс возмо-
с
жен при весьма «острой» настройке. При малом значении
—
зона резонанса увеличивается и резонанс может иметь место.
Графики фиг. 30—33 наглядно иллюстрируют это положение.
На них показано значение функции у = -= = ~^г для
TJ y ah 2рсА
ah .
<L-_ctg<p
2рсА
четырёх значений -±— : —— = 2; 20; 50; 100 (ср =— дано в
ее \ с
градусах). Как видно при большом значении -— зона резонан-
са узка и система не успевает «настроиться» на резонанс.
Повидимому, этим объясняется тот факт, что поршневые
насосы с воздушными колпаками при большом объёме
воздуха работают спокойно, почти без колебаний давления (для
воздушных колпаков, согласно A.73), величина ^—
пропорциональна объёму воздуха Vo).
Тем не менее, для малых значений — практическая
возможность резонанса не исключается даже при большой
величине ^—\ чтобы показать это, преобразуем несколько
с

152
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
0
w
4,0
3,0
1.0
L
-1,0
-2/1
-зл
-40
У
2,0
1,8
1,6
1,4
кг
W
0.8
0.6
ОМ
0.2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-Ц8
-W
-12
-1,6
-1,8
-2,0
-
7 4
-
"Г
,2^
^ 2,0 Ш
\
>
\
\
\
\
и
|
1
1
\
\
\
\
\
\
\2,б 32 3.6
]~
i
[
4,0 Щ
Фиг. 30.
¦— -
\
1
1
1
V
\
II
'f7
1
Ч
h
4
—»».
5
6 (р°
¦ 1-
i
Фиг. 31.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
153
-
f
/
f
i
1
1
и
!
h
ц
о
Фиг. 32.
I/
W
un
0,5
W
0.1
n
и
nz
06
08
w
j ^
-¦^=100
1 1
/
7
f
L
i
1 If
0
Фиг. 33.

154 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
формулу D.27), имея в виду C.176) и C.182):
1 2РсМ 1
Др =з 2рсЛ
х tf/ qh
6 с с
qh
1 —
qh
с
2pAb
1- Н^-
D.28)
где <р == -2-
Для малых значений <р, cpctg<p«l и D.28) обращается
в формулу для несжимаемой жидкости:
D.29)
1 —(JN-
Формула D.29) подтверждается наблюдениями над
колебаниями давления при работе поршневых насосов с
воздушными колпаками и короткими трубопроводами (чем короче
трубопровод, тем меньше, очевидно, —) *). Резонанс наблю-
дается в случае ^ = ^0, как и должно быть при <pctgcp»l.
При движении газа в предыдущих формулах следует
сделать замену величин согласно табл. 1 на стр. 28.
§ 4. Расчёт воздушных колпаков поршневых насосов
и буферных ресиверов поршневых компрессоров.
Остановимся несколько более подробно на формуле D.28)
для случая работы насоса с колпаком. В общем случае скорость
в трубопроводе в непосредственной близости к насосу любого
типа может быть выражена рядом
w = Ао A 4- 2 ат cos m vt-\- pw sin m vf). D.30)
*) Берг Г., сноска на стр. 140.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 155
Здесь (о — угловая скорость вала насоса, Ло — средняя
скорость жидкости в трубе, которая может быть представлена
в виде
Л0 = ^е, D.31)
причём /0 — площадь поршня насоса, г — радиус кривошипа,
8> ат> $т — коэффициенты, значения которых приведены в
дополнении Л. С. Лейбензона к книге Берга *):
1) насос простого действия (одноцилиндровый насос с двумя
клапанами):
е = 1; 0^=--^; т = 2, 4, 6, ... ;
Pi = ~o"> $m — Q при тф\\
2) насос двойного действия (одноцилиндровый насос с
четырьмя клапанами):
е = ~; «т = —^21ГТ (при m = 2, 4, 6,...); рж = 0;
3) насос тройного действия (три насоса простого
действия с кривошипами, расположенными под углом в 120°):
s = ^; «и* = -з^-Т (при w = 6,12,18,...); pw = 0;
4) насос четверного действия (два насоса двойного
действия с кривошипами, расположенными под углом в 90°):
4 2 ч г,
е = —; «m== — -za—Т (ПРИ ^ = 4, 8, 12, 16, ...); рт==0.
7w ill "¦"— 1
В этих формулах длина шатуна принята бесконечно большой.
Толщиной штока пренебрежено.
Амплитуду ближайшей гармоники в D.30) можно
представить в виде
А„ = &г~Ч, D.32)
*) См. сноску на стр. 140.

156
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
где х зависит от типа насоса. Тогда, согласно формуле D.29),
для Ар, ограничиваясь первым членом ряда D.30), получим,
полагая q = m(s> (m — номер ближайшей гармоники) и
учитывая D.32),
t
или
где
Ро :
1_JLB°
т
D.33)
D.34)
Обычная теория поршневых насосов даёт для степени
неравномерности давления
-^ формулу
Ро
D.35)
где
а'= 0,55 для насоса простого действия
а'= 0,21 » » двойного »
о! = 0,009 » » тройного »
а'= 0,042» » четверного »
Из D.34) получим:
для насоса простого действия a=^r
1С 1
» двойного »
» тройного »
» четверного »
а = ^=-?-. —4- = 0,212;
а = 2=~11 = 0,0091;
~11
а = 2f = 111 = 0,0425.
D.36)
Значения а из D.36) весьма мало отличаются от значений,
даваемых формулой D.35).
Для малых значений <р величину cpctgcp в D.33) можно
опустить. Тогда формулу D.33) можно представить ещё

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
в таком виде
г = Ч*™> /о
1 —-
B*
Берг обозначает
Л
157
D.37)
D.38)
при этом он даёт таблицу значений kt для насоса двойного
действия в зависимости от отношения —, составленную путём
довольно сложных графоаналитических расчётов.
Из D.37) и D.38) видно, что
D.39)
и для насоса двойного действия:
2 2 2
k1 = 2-j
16
I-
1 —
D.40)
Проверочные подсчёты &j по D.40) и сравнение их с
таблицей Берга дают следующие результаты (табл. 3).
Таблица 3
0)
0.1
0.25
0.50
1.00
1.80
1.90
1.95
2.50
3.00
kt из D.40)
0.00426
0.0270
0.113
0.566
7.23
15.5
32.7
4.72
3.07
ki по Бергу
0.00420
0.0280
0.114
0.556
7.32
15.78
32.65
4.88
3.43

158
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Расхождение невелико. Наибольшее расхождение
наблюдается при — = 3 и объясняется близостью к резонансу со
второй гармоникой т = 4, которая (в 4.40) не учтена.
При ^ = /я имеет место резонанс, что и
подтверждается опытом на коротких линиях. На длинных линиях,
когда <pctgcp^fcl, при достаточном объёме воздуха в
колпаке, как уже говорилось выше, резонанс практически не
наблюдается.
Заметим, что для насосов тройного и четверного
действия, в отличие от насосов простого и двойного действия,
у
/
s
—i
Чу
ч,
у
в—1
ч
/^
ч
-
bsh
у
ч
\
s
В 30 60 30 110 150 180 Z10 2W ?70 300 330 360
График ппдачи насоса четверного действия с yvemoM конечной длинь/ шатуна
* \
\
\
/
i
/tm
' \
\
\
*ч,
\/
\
\
С 30 60 30 1Z0 № 180 Z10 2Ш Z70 300 330
Графин nodaw насоса тройного йенстдая с учетом Конечной длины шатуна
Фиг. 34.
конечность длины шатуна заметно сказывается на кривой
подачи насоса, нарушая её симметричность (см. фиг. 34).
Обычно длина шатуна в 5—б раз больше длины
кривошипа. Если это учесть, то значения е, а следовательно, и
значения а в D.34) должны быть несколько изменены:
для насосов тройного действия а = 0,028,
» » четверного » а = 0,142.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ U ТРУБОПРОВОДЕ 159
Формула D.33) может служить для практических
подсчётов, если
1
может быть вычислен достаточно точно. Если же <р настолько
велико, что неизбежная ошибка при вычислении с в 1—5% из-
за неточного знания физических констант превосходит тг,
практические расчёты становятся невозможными, так как тогда
ctgcp невозможно вычислить. Для этого случая можно
предложить следующий метод расчёта. Под зоной резонанса Дер
будем понимать тот интервал изменения <р, в котором
значение 8 из формулы D.33) превосходит в 2 раза величину 8,
определённую из формулы D.35). При этом, согласно D.33),
<р должно удовлетворять неравенству
или, вспоминая, что <р = ^- = ^- и учитывая C.182):
с с
откуда
Zb 2 Ь
Для малых значений из D.41) получим:
3
D.42)
Отношение W=— можно назвать вероятностью
резонанса. Таким образом, вероятность того, что 8 будет превос-
ходитгь в 2 раза значения, даваемые формулой D.35), не
будет превосходить W=—. Угловая скорость ш всегда имеет

160
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
некоторые колебания Да>, и для практических расчётов следует
стремиться, чтобы имело место неравенство: W < —, что
будет гарантировать установку от резонанса.
Колебания давления при работе поршневого компрессора
без ресивера и с ресивером можно определять по предыдущим
формулам, заменив величины, согласно табл. 1.
§ 5. Одновременная перекачка жидкости
несколькими насосами с воздушными колпаками
в одну линию. Батарейный колпак*).
Рассмотрим, как будут происходить колебания давления
при одновременной работе нескольких одинаковых поршневых
насосных установок, качающих жидкость в одну линию, как
показано на фиг. 35. Предположим, что каждый насос имеет
свои индивидуальные колпаки на всасывающей и нагнетатель-
Поршнедой
Всасывающая насос Нагнетательная
линия , /, линия
О
Батарейный
колпак
Воздушные
колпаки у насоса
Фиг. 35.
Г
батарейный
колпак
ной линиях, а в узловых точках А и В стоят общие колпаки
(так называемые батарейные колпаки).
Расчёт произведём для наихудшего случая, когда графики
расходов всех насосов одинаковы. Для простоты будем
считать трубопроводы достаточно короткими, а = — < 0,5, и
с
гидравлическими сопротивлениями пренебрежём. Длины и
сечения параллельно соединённых трубопроводов предполагаются
одинаковыми. Обозначим (фиг. 35): длину каждой
параллельной ветви /2, площадь сечения параллельной ветви /2, длину
основной линии lv площадь сечения основной линии fl9 pac-
*) Ч а р н ы й И. А., см. сноску на стр. 120.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 161
стояние от открытого конца линии до каждого насоса /«jj
объём воздуха и среднее давление в батарейном колпаке Vo,
р0, объём воздуха и среднее давление в колпаке каждого
насоса Vu pu число работающих насосов п, скорость в
основной линии wv скорость в параллельных ветвях w%*).
Начало координат совпадает с открытым концом линии
и ось х направлена к насосу для обеих линий, всасывающей
и нагнетательной. Полагая а = О, будем иметь:
^Е1
дх*
с
дх*'
Начальные условия вследствие периодичности процесса
отсутствуют. Граничные условия имеют следующий вид:
0, ?г-0, D.44)
Аналогично A.67), уравнение D.45) является уравнением
баланса расходов, поступающих в батарейный колпак и
выходящих из него. Оно имеет одинаковый вид для всасывающей
и нагнетательной линий. Кроме того, для узловой точки —
батарейного колпака, выполняется условие:
Наконец, у каждого из насосов аналогично A.67)
Скорость у насоса сразу берётся в комплексном виде. АОу ^т
зависят от типа насоса и определяются после разложения
в ряд Фурье кривой подачи насоса. Для нагнетательной
линии Ао в D.47) отрицательно, для всасывающей—положительно.
*) На фиг. 35 индексы «в» и «н» означают, чтоТ буквы с этими
индексами выражают величины, относящиеся соответственно к
всасывающей и нагнетательной линиям.
И Зак. 2518. И. А. Чарный.

162 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Общие решения уравнений D.43) имеют вид:
<wt = А01 -J- 2 &К cos kiXeiklGty D.48)
^2 = А>2 + 2 (Аъ cos k2 x + Bh sin V) *^c'> D.49)
где коэффициенты подлежат определению.
Сопоставляя с граничными условиями, получим:
• _ - ты
^02 = ^о> D.50)
Составляем уравнения для определения коэффициентов
Ак^ Afo Bfy.
Согласно D.47),
Ah (cos kj, —jj^ *a sln V) +
+ 5^ (sin A2/+ ^y *2 cos V) = ^oTm- D*51)
Согласно D.45),
— л А (ЛЛа cos ftg/j + Bjc, sin A2^). D.52)
Согласно D.46),
— kx Ajcx sin kxlx = — й2Лла sin k2lx -{- Аа^л9 cos ОД
или, учитывая D.50):
ЛЛ1 sin ftj/j = ЛЛа sin k2lt — B^ cos Vi- D.53)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
163
Уравнения D.51) — D.53) служат для определения
коэффициентов Aict, А]сй, Bjcu. Обозначим временно для краткости
/72@ KV\
cos
, /720)/ /7!w ж\ v и
sin = а: ^ ••
> V.
sin l^l = S;
С
Тогда получим:
(Р — «?)^а + (? + «рMЛа =
(Г р5) Л^4 vMfta V5Sfc3 = О,
sA ъх — sAu% + r^h = 0.
Решения системы D.55) имеют следующий вид:
ps2 + 4rs — rs
где
(p — aq)
( — vr) ( — vs)
(—s) r
D.54)
D.55)
D.56)
D.57)
Приравнивая определитель Dm нулю, получим уравнение
для определения резонансных частот нашей колебательной
системы. Раскрывая определитель D.57), получим:
s + vrs) — (p — aq) (r2 — Pr5 + vs2) =
• (qrr—р«I + |3s (^s+pr) +
(ps — qr) + vs (?r —/?5) — r (pr + 95)
a [v5 (pr

164 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
или, согласно D.54) и так как /2 = /—1Х:
)
D = а (
vS cos ¦= + r sin = + $s cos=—
с с / с
л . /Я СО/о • . //Z СО/о //ZCo/o /л f-r»\
— aps sm - -J- V5 sin - — г cos —-. D.58)
с ее
При помощи этих формул можно исследовать ряд
возможных случаев одновременной работы нескольких насосов
в одну линию.
Чаще всего батарейный колпак ставится недалеко от
насосной установки, т. е. /2 весьма мало. С другой стороны, при
обычных объёмах воздуха аир весьма значительны по своей
величине. Поэтому в D.58) можно положить cos ^-^ ?& 1 и
пренебречь sin-^-^, если г, 5 не равны нулю. Тогда
получим приближённо:
Dm « s (av + р — ap sin ^^) — г D.59)
или
Dm« р$ (~- v+ 1 — a sin ^\ — г. D.60)
Давление (р)х-г у насоса найдём из уравнений A.61).
Добавляя среднее во времени давление pov, рассчитываемое
по среднему расходу — постоянной составляющей, получим:
D.61)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 165
Согласно D.56) и D.54), в каждом члене второй суммы
содержится величина
фг$ — г2 — vs2) (q — s) — (vrs -f Р*9—rs) (p — r) =
= № — r)(rq—sp) —
(ps — r) sin =¦ — vs cos —- -f- vs.
Учитывая D.55), будем иметь:
sin
или, так как, согласно D.54), sin—-=s,
где
? — г) sin - — v5 со?
« ?_. D.63)
Раскрывая Dw, согласно формуле D.58), получим:
\ . WC0/o
— г) sin — v5 cos
с с
_[« (p,-r) - w] sin
г " . рд~ \ j- . D.64)
1 + тг^ COS — (a — )sin
Необходимо отметить, что при значительной длине 1г из-
за отсутствия вполне точных данных о величине К всегда
может быть допущена ошибка при вычислении s, r, могущая
повлиять на результат.

166 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Рассмотрим частные случаи.
1. s=0; r = l. Из формулы D.64) получаем:
sin
cos — a sin
с
Из сравнения с D.26) видно, что это соответствует случаю
работы одного насоса с линией длины /2, что имеет место,
в частности, при короткой 1и когда более или менее
справедливо s?& О, г«1.
2. р — весьма большое число (р 1Э> 20), что обычно бывает
при достаточном объёме воздуха. В этом случае при szjbO
можно считать, что $s — rtt$s, так как 0<г < 1.
Согласно D.64),
sin — ~ cos
с Р
. D.66)
Л i Pq V\\ mvbL ( v\ . mo),
A + n — -*y-) cos 2. — (a — — ) sin —
\ PiVol с \ p/ с
Если Vo весьма велико по сравнению с nVi9 то
8Ш~" • D.67)
cos
— a sin
с с
При малом /2 эти формулы переходят в формулы для
несжимаемой жидкости, где вместо / нужно подставить /2.
Этот случай был исследован Грамбергом*), формулы кото-
*) G г а m b е г g A., Wirkungsweise und Berechnung der Windkes-
sel von Kolbenpumpen, Mitt, iiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete
des Ingenierwesens, H. 129, 1912 r.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 167
рого для резонанса являются, по существу, формулами Берга,
где вместо / подставлено /2. При малом /2 можно считать
для ближайших гармоник
с се
и, согласно D.54),
D.68)
D.69)
Резонанс наступает при ~ = т.
Если /2 состоит из нескольких последовательно
соединённых участков труб с длинами lf^ /J, /Г, ... и площадями
поперечных сечений f'2, /2, /Г, то, как это обычно делается
для несжимаемой жидкости, под /2 в предыдущих формулах
следует понимать длину, приведённую к площади /2:
/2 /2 /2
Опыты Грамберга подтверждают указанное выше условие
резонанса *).
Преимущество установки батарейного воздушного колпака
надлежащих размеров при большой величине р заключается,
таким образом, в том, что колебания давления зависят только
от длины /2 и не зависят от длины lv
3. При незначительной величине {3 предыдущие формулы
верны только при s = 0, г=1. Если szfzO, то колебания
*) См. сноску на стр. 166.

168 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
давления зависят от lv Резонанс наступает тогда, когда
знаменатель D.64) обращается в нуль:
sin *¦ + a cos
с
а Sin —— — COS
с "с
или
$-L^A ?__: i_L, D.71)
с с
Замечая, согласно D.54), что — = ctg^—Ц получим из D.71)
о С
условие резонанса в виде
т<*> U . mo) /2 \
?¦ + a COS )
' I. D.72)
Таким образом, в этом случае резонанс может иметь место
и при несоблюдении формулы D.67), т. е. зависеть от lv
Определим порядок величины р для всасывающей и
нагнетательной линий, причём для простоты положим т=1.
Из D.54) имеем:
3 = Ji^L = AJi_. D.73)
(О
Предположим, что имеются следующие данные:
1) Для всасывания, /С= 15000 кг/см2; /?0 == 1 а
/1 = 500 cjKe(d1«10/7); с = 1300 ^/^л:; со =5
(~ 50 об/мин). Тогда
1300-100
5-1000
15000 Ко
Г3ббо
где 1/0 выражено в литрах.
Для исключения влияния 119 т. е. чтобы j3 ^> 20,
достаточно положить Vo> 18 л.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 169
2) Пусть при нагнетании имеем те же данные, но
р0 = 50 кг/см2. Тогда
о15000 Уо
чтобы р^>20, нужно взять 1/0>880л.
Таким образом, в этом случае батарейный колпак
получается весьма больших размеров/
3) В опытах Грамберга /, = 78 см2 (d = 4"); ро=^,Ъкг\см2\
12=7,5м; ш^5 \\сек\ Уо^93Ол. Тогда
- с 1300 • 100 __ fi 15000 930
Таким образом, в опытах Грамберга влияние 11 было
почти абсолютно исключено.
4) р = 0 — батарейный колпак отсутствует. В этом случае
из D.64) получаем:
1— 1— D.74)
/ /72CO /о . . /ИФ /2\ . /Тгсо/n ШШл v у
в[ V5COS -+ rsln ) + v5Sin -— Г COS ^
или
1
. тсо /о
Sin — Г COS
с
Г C
. с с
' гпЫо . . /тгсо/о
V5 COS S -L. r sin f
/Wco/o V5 .
cos sin
с г
D.75)
in
с г с
sin ^^ + —cos
г
cos
г с
Обозначая miSi{
V = tg-T1, D.76)
где /i — вспомогательная величина, имеющая размерность
длины, получим:
г-. D.77)
та)(/2 + /)
«-ctg

170 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Следовательно, в этом случае можно пользоваться
формулами, выведенными для работы одного насоса, но вместо
ma)/
параметра следует-пользоваться параметром
с с
согласно D.76).
5. а = 0 — отсутствуют воздушные колпаки на насосах.
Из D.64) для этого случая:
— Г) Sin — V5 COS
— г) cos - -(- vs sin
с
( vs sin
с с
При р > 20, sz?0, или 5=0, из формулы D.78)
приближённо имеем:
* D.79)
Это соответствует случаю работы одного насоса без
воздушного колпака при длине линии /2. При р > 20 и малой /8
из D.78):
($s — г) sin
—- г) cos 2- -f vssin
f ssin
vscoe
— r) cos 2- +
С Bs —Г С л /И(о/« Ч У
Р — ctg —^~
Замечая, что, согласно D.47) и D.54),
L r0)S . ^2 = п?- rcos D.81)
/2 /1 /1
есть средняя скорость в основной линии fi9 а замена
то)/2 /wco/л -
sin ^я^ означает, что жидкость на участке /2 можно
считать несжимаемой, приходим к выводу, что в этом случае
можно пользоваться формулами для случая одного насоса,

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 171
определяя Ао из D.81) с добавлением инерционного
изменения давления на участке /2, определяемого по обычной
формуле для несжимаемой жидкости C.130).
Из вышеизложенного можно сделать следующие выводы.
Установка батарейного колпака достаточных размеров ф > 20)
исключает влияние 1г на колебания давления, которые в этом
случае зависят только от /2 — расстояния от насоса до
воздушного колпака. Батарейный колпак в этом случае может
рассматриваться как точка с постоянным давлением. При
малой длине /2 колебания давления могут быть учтены
достаточно точно по предыдущим формулам для одного насоса,
где вместо длины линии / следует подставить /2.
Установка батарейного колпака целесообразна на
всасывающих линиях, где р имеет достаточно большое значение.
На нагнетательной линии установка батарейного колпака
целесообразна только для насосов низкого давления, не
снабжённых компрессорными установками для питания воздухом
воздушных колпаков. При этом исполнительные размеры
батарейных колпаков должны быть в р0 раз больше объёма Vo,
т. е. весьма значительны.
Там же, где имеются компрессорные установки, вполне
достаточно ограничиться воздушными колпаками на самих
насосах без дополнительной установки батарейного колпака,
так как регулировкой объёма воздуха всегда можно добиться
спокойной работы насоса.
§ 6. Акустический наддув поршневых компрессоров
и двигателей внутреннего сгорания
, при помощи резонаторов переменного объёма *).
Известно, что при резонансе во всасывающих трубах
воздушных поршневых машин объёмный коэффициент машины
резко возрастает при том же числе оборотов. Так, например,
мощность дизеля за счёт повышения избытка воздуха
вследствие резонанса во всасывающей воздушной трубе удавалось
•) Ч а р н ы й И. А., Акустический наддув поршневых
компрессоров и двигателей внутреннего сгорания при помощи резонаторов
переменного объёма, бюлл. нефтян. машиностроения, № 3, 1943 г.

172 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
повысить на 47% сверх нормальной без увеличения числа
оборотов *).
Обычно резонанс достигается путём надлежащего
изменения длины всасывающей трубы так, чтобы данное число
оборотов машины стало резонансным. Это в практике сопряжено
с большими неудобствами, так как при изменении числа
оборотов приходится менять длины всасывающей трубы.
Можно предложить метод настройки всасывающих линий
поршневых машин в резонанс, свободный от этого неудобства
Поршневой
компрессор
Фиг. 36.
и позволяющий достигать резонанса без изменения длины
трубы: к одной или двум точкам всасывающего трубопровода
присоединяются резонаторы переменного объёма,
представляющие собой обычные цилиндрические ёмкости переменного
объёма (с выдвижными поршнями) (фиг. 36). Изменяя объём
резонаторов, можно добиться резонанса во всасывающей трубе
при неизменной её длине. Ниже мы даём теорию и расчёт
этих резонаторов.
Всасывающая линия с резонаторами, по которой движется
газ, представляет собой колебательную систему с вполне
определённым спектром собственных частот. Для наилучшего
резонанса необходимо, чтобы основная частота машины
совпала с основной собственной частотой колебаний газа в
трубопроводе. Обычно всасывающие линии не бывают очень
длинными и скорости течения в них гораздо меньше звуковых.
В этих условиях гидравлические сопротивления очень мало
влияют на спектр собственных частот, что даёт основание
при решении задачи считать жидкость идеальной.
*) См. ряд статей Боднера в журнале «Дизелестроение» за
1939-1940 гг.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 173
Следует заметить, что обычно в акустике уравнение
состояния принимается адиабатическим и для скорости звука
в этом случае получается выражение
(формула Лапласа), где х — показатель адиабаты, R —
газовая постоянная, Т—абсолютная температура, g — земное
ускорение. В рассматриваемой задаче, как уже упоминалось,
процесс должен приближаться к изотермическому, т. е.
происходить по политропе, показатель которой близок к единице.
Во всяком случае, следует ожидать, что
Граничные условия у резонаторов получаются следующим
образом. Рассмотрим сначала резонатор Vv В единицу
времени в него поступает масса pf1wi (фиг. 36), а уходит масса
p/gWs* Таким образом, повышение плотности в единицу
времени будет равно:
или, учитывая A.40),
din р д\пр dwi
dt ~ dt ~ дх ~ Vx
откуда
Очевидно, для резонатора V2 будет справедливо
аналогичное уравнений, только расход Д^ должен быть заменён
расходом Q (f) — заданной объёмной производительностью
машины. Q(t) является периодической функцией времени.
Таким образом,
Далее, при х = 0 давление предполагается постоянным,
откуда
Иг = 0. D.84)

174
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Из равенства давлений в точке x = lt получаем третье
условие
дх
дх
где wv w2 — скорости в первой и второй трубах.
Для определения собственных частот воспользуемся
обычными методами. Частные решения уравнений A.41) для
первого и второго участков ищем в виде
cos — еш,
D.86)
где о — частота, Аи А2, В2 — неизвестные пока
коэффициенты. Трением для простоты пренебрегаем.
Подставляя D.86) в граничные условия D.85), D.82) и
D.83), получим:
sin^-— ^2sin^--f-B2cos^~- = 0,
h
2—
D.87)
где Qw — гармоника функции Q(/), соответствующая
частоте (О,
Ух
D.88)
Приравнивая нулю определитель из коэффициентов
системы D.87), получим после упрощений и приведений уело-

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 175
вие резонанса:
ЧЬ&йп^ cos^ + cos^sin^-^sin^sin^
с \fi с с ' с с с с с
О)/* О)/* /л . to/i . (о/о <0fl± . ш/i 0)/o /j r»/\\
= cos —- cos — — ~ sin —- sin — - sin — cos—. D.89)
С С /i С С С С С v '
В частности при/1=/2—.линии постоянного сечения:
О)/ 0)^1 . 0)/i 0)/o /у| ллч
= cos— ^ sin -^ cos -~. D.90)
Практическое значение имеют несколько первых корней
(наименьшей частоты), которые, понятно, нужно искать
графическим путём, что является весьма кропотливым и
утомительным делом. Поэтому мы ограничимся рассмотрением
различных частных случаев:
1. /1==/2; 1^=1/2 = 0 — линия постоянного сечения без
резонаторов. Из D.88) следует
и уравнение D.90) обращается в
cos^=cos^±« = 0, D.91)
где /—длина всей трубы (фиг. 36), откуда
^ = -^=1*, я = 1, 2, ... D.92)
Уравнение D.92) можно ещё представить в виде
. 2л — 1 пс 2л—1 2%с глс\о\
/===—2—^ = —4 ^Г' 1 #У '
Пусть основная частота поршневой машины есть о>. Тогда
?^ = ^0 = Х, D.94)
где X — длина волны, t0 = ~ — период.
Таким образом, резонанс будет иметь место, когда
длина трубы будет равна нечётному числу, умноженному на

176 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
четверть длины волны. Этот результат хорошо известен из
акустики.
2. 1Х = О, VX = 0 — линия постоянного сечения с одним
резонатором в непосредственной близости от машины. Из D.88)
hx = 0 и из D.90) следует:
~s[n(~ — cos ^ = 0. D.95)
Обозначая
?-*, ?~p.-j&. D-96)
получим
ctg ft — ?2?2 ™ 0» D.97)
Если р2 большое число, C2 > 10, то уравнение D.97)
имеет следующие приближённые корни:
?2 » -L?, (cp2)^ = те/f, и = 2, 3, ... D.98)
У h
Первое уравнение D.98) является известным соотношением
для резонатора Гельмгольца. Чем больше |32, тем острее будет
резонанс. Резонансный объём V2 для заданной частоты можно
ещё найти прямо из D.95) или D.97)
D.99)
Величина р2 представляет собой отношение объёма
резонатора к объёму всасывающей трубы. Из D.99) следует, что
при некоторых частотах (когда ctg<p2 = ctg— < 0)резонанс
невозможен.
3. Vt ^> V29 причём Vx весьма велико, так что
•^ » Ю. D.100)
Из формулы D.89) следует, что этот случай с некоторым
приближением сводится к второму, т. е. резонатор V^
достаточного объёма является точкой трубопровода, где давление
постоянно и влияние длины 1Х почти парализуется.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 177
4. Общий случай. Здесь следует исходить из
уравнения D.89), причём объёмы резонаторов и длины 1Х и /2
следует выбирать так, чтобы все размеры были достаточно
конструктивными. Следует стараться выбрать /2 = —-, —-',
¦j, •.. и объём Vx делать возможно больше. Второй
резонатор V2 при этом "будет незначительного объёма, регулируя
который, можно будет получить резонанс.
§ 7* Определение колебаний давления при совместной
работе центробежного и поршневого насосов,
соединённых последовательно *).
Для увеличения числа ходов поршневых насосов может
служить установка, в которой во всасывающую линию
поршневого насоса помещён центробежный или пропеллерный
насос. Назначение последнего — создавать необходимый подпор
для безотрывного от поршня течения жидкости во
всасывающей линии поршневого насоса*
Фиг. 37.
Ниже приводится расчёт пульсаций давления на
всасывающей стороне поршня для двух вариантов соединения
центробежной машины с поршневой: 1) непосредственное
соединение трубопроводом, 2) соединение через воздушный колпак,
1. Соединение без воздушного колпака. На фиг. 37
длина / означает длину струйки, начинающейся у диска цен-
*) Ч а р н ы й И. А., Определение колебаний давления при
совместной работе центробежного и поршневого насосов, соединённых
последовательно, Изв. ОТН АН СССР, № 6, 1945 г.
12 Зак. 2518. И. А. Чарный.

178
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
тробежного или пропеллерного насоса А и заканчивающейся
у наиболее удалённого всасывающего клапана поршневого
насоса В. Исходными данными для расчёта являются: 1)
график подачи поршневого насоса Q = Q (<р) (фиг. 38), где <р =
Фиг. 38.
s=so)?—угол поворота кривошипа, а>—угловая скорость
кривошипа, Q — расход, t—время; 2) характеристика Q — Н
центробежного насоса (фиг. 39) при заданном числе оборотов,
где Н—напор, развиваемый центробежным насосом в метрах
столба перекачиваемой жидкости.
На фиг. 38 и 39 Qo, Qmin, Qmax означают соответственно
средний во времени, минимальный и максимальный расходы,
Яо — средний во времени
напор центробежного
насоса.
Характеристика Q—Н
снимается, разумеется, при
установившемся течении.
Однако, как обычно
принимается в подобных случаях,
¦* мы будем считать, что эта
т характеристика сохраняется
и для нестационарных
течений. Тогда расчёт
пульсаций давления производится следующим образом.
Сначала находим колебания на выкиде центробежного насоса из
графиков фиг. 38 и 39, что возможно сделать, так как
расход Q, определяемый из фиг. 38, в каждый момент известен
и, следовательно, известно также (из фиг. 39)
соответствующее давление, развиваемое центробежным насосом.
Рт
Фиг. 39.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
179
График колебаний напора центробежного насоса будет иметь
примерно вид, показанный на фиг. 40. Разность Нг— Я2,
где Нх и Н2— напоры при Qmin и Qmax, будет равна
максимальной пульсации (размаху) напора центробежного насоса.
Теперь можно перейти к определению давления на
всасывающей стороне поршня поршневого насоса. Обозначим на-
Фиг» 40.
пор в каждый момент на выкиде центробежного насоса
через На (фиг. 39). Зависимость На от <р или t известна.
Тогда напор Нв на всасывающей стороне поршня будет равен
в каждый момент
.« «iufi I dw
HB=HA—^-jW, D.101)
где w — скорость в соединительном трубопроводе длиной /
(фиг. 37); С — приведённый суммарный коэффициент всех
гидравлических сопротивлений на длине /—трения и
местных, — включая сопротивление щели клапана; -т- — ускорение
жидкости в соединительном трубопроводе. Жидкость ввиду
небольшой длины / считается несжимаемой. Так как График
подачи Q = Q(<p) известен, то все величины, входящие в
правую часть уравнения D.101), могут быть вычислены для
каждого момента времени и, таким образом, можно построить
график Нв = Нв(<?)9 откуда можно будет найти
минимальный напор (Нв)Ш1П и сравнить его с допускаемым.
2. Соединение через воздушный колпак. Если расчёт
(#в)пш, указанным выше образом даёт недопустимо низкое
значение, следует повысить величину (На ) • , что может быть
12*

180
ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
достигнуто увеличением числа оборотов центробежного
насоса или установкой воздушного колпака (фиг. 41).
Расчёт колебаний давления в системе с воздушным
колпаком производится следующим образом. Обозначим через QA
и Qb расходы, создаваемые центробежным и поршневым
насосами в данный момент времени. Пусть Vo есть средний
объём воздуха в колпаке, а р0—его среднее давление, у—
Фиг. 41.
уменьшение объёма воздуха в данный момент времени L
Предполагая, что воздух в колпаке сжимается и расширяется
изотермически, получим:
Povo = (Ро+Ро) (VQ —у), D.102)
где р0 — избыток давления в колпаке над средним. Из D.102),
предполагая, как обычно, у малым по сравнению с Ко, а рс
малым по сравнению с р0, получим:
/V
откуда
dy =Vo(jP1_. D.103)
dt р0 dt
Но -~ есть разность расходов Qa и Qb, т. е. расход
жидкости, втекшей в колпак. Таким образом,
V л То /^ л-к
D.104)
Будем считать колебания расхода Qa и давления рд. малым
по сравнению с их средними значениями (QaH и (рдH«
Пусть, как обычно, рабочая зона характеристики Q — Р рас-

ГЛ* IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
181
положена в её ниспадающей части (фиг. 42). Тогда можно
считать, что рабочая зона характеристики вокруг точки (Q^)o>
(Ра)о совпадает с касательной к кривой в этой точке MN.
Пусть уравнение касательной будет
PA —
— QA).
D.105)
В уравнении D.105) k > 0 соответствует ниспадающей части
характеристики, k < 0 —
восходящей. Из уравнения
D.105) следует, что
Ра — (Рл)о
Далее, очевидно,
DЛ06)
Фиг. 42.
где /х — расстояние между диском центробежного насоса
и колпаком (фиг. 41); ft — площадь сечения трубопровода;
Y — удельный вес жидкости. Гидравлическими сопротивлениями
на участке 1г пренебрегаем.
Для нахождения рл поступим теперь следующим образом:
из D.104) и D.107) напишем:
L —Q^.
A> V dt gft dt
В D.108) подставим значение Qa из D.106); тогда
Vq / dpA ^ й?рд\ рд — (Ра)п
Обозначая
D.108)
{4.109)

182 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
получим
V* ( dp
уравнения D.110) следует такой важный вывод: для
устойчивой работы агрегата необходимо, чтобы рабочая зона
была расположена на ниспадающей части характеристики,
так как только в этом случае коэффициенты при р и его
производных положительны. Если же рабочая зона
расположена на восходящей части характеристики Q — Н, то
коэффициент k, как указывалось выше, отрицателен и решение
уравнения D.110) даёт для р неограниченно возрастающую
функцию времени, т. е. режим будет неустойчивым и
колебания давления будут возрастать.
При устойчивой работе агрегата практическое значение
будут иметь, конечно, только вынужденные колебания, к
расчёту которых мы и переходим. Правая часть уравнения D.110)
является известной функцией времени. Для краткости записи
выразим расход Qb поршневого насоса, являющийся
периодической функцией времени, рядом Фурье в комплексной
форме
2 D.111)
коэффициенты которого всегда могут быть найдены из
графика подачи. Тогда, имея в виду, что (Qb)o = (Qa)o>
нение D.110) можно представить в виде
ИЛИ
Интегрируя D.112), выразим вынужденные колебания в таком
виде
Р=2ртеЦтш<-Ч D.113)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
где для рт и Ьт получаются следующие формулы:
р
183
-,/Ti /1(та>J V«f I2 I f
VI g fiPol +l
HmmV0\*
D.114)
Для практических расчётов будет достаточно одной-двух
первых гармоник.
После того как р и Р^ = (РдH + Р определены,
дальнейшие расчёты ро и рв не вызывают затруднений. Давление р0
определяется следующим образом: из D.108) и D.109)
D.115)
dt #
Далее, так как QB — известная функция времени, рв может
быть определено из уравнения
7*2 dQB _
gh dt ~
Все размеры и параметры установки должны быть выбраны
так, чтобы (рп) . не было меньше допускаемого. Из D.114),
D.113), DЛ09)°иП DЛ16) получим:
(*"*+т

184 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
где (рвH — среднее во времени давление на всасывающей
стороне поршня, вычисляемое обычным путём с учётом всех
гидравлических сопротивлений, которые следует определять
по среднему во времени расходу Qo. Обозначение Y означает
сокращённую запись радикала в знаменателе D.114).
Ограничиваясь ближайшей гармоникой, величину (рв) .
можно для запаса рассчитывать из следующего неравенства:
<4Л18>
Для поршневых насосов наиболее употребительных типов
при бесконечно длинном шатуне вместо Qm и т в D.114)
и D.117) следует подставить*):
1) насос простого действия
1. о = Frt» Г 4 и? 1,7
» Vm те Г 9 ' 4 л
2) насос двойного действия
3) насос тройного действия
4) насос четверного действия
где F — площадь поршня.
Если график подачи QB отличается от указанных выше,
коэффициенты Qm следует определять после гармонического
анализа.
§ 8. Влияние подводящей трубки на точность показаний
манометра для регистрации пульсаций давления **).
В ряде случаев для регистрации быстропеременных
колебаний давления применяются манометры мембранного типа
(датчики), включённые в цепь электрического тока, в
которых прогиб мембраны при изменении давления вызывает из-
*) См. § 4 настоящей главы.
**) Ч а р н ы й И. А., Влияние подводящей трубки на точность

ГЛ. IV, КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 185
менение какой-либо электрической характеристики прибора —
обычно ёмкости или самоиндукции. Электрическая часть
прибора рассчитывается таким образом, чтобы колебания давления
трансформировались в пропорциональные изменения силы тока,
соответствующим образом усиленного, с последующей записью
на осциллографе.
Обычно невозможно присоединять мембрану
непосредственно к тому месту потока, где требуется измерить пуль-
Фиг. 43.
сацию давления. Поэтому практически прибор присоединяется
к месту, где измеряются колебания давления, через
подводящую трубку, которая заполняется жидкостью. Таким образом,
передача колебаний давления от точки отбора давления к
мембране происходит через жидкость, заполняющую
соединительную трубку.
Ниже приведён расчёт амплитудных и фазовых искажений
прибора, обусловленных некоторыми механическими
параметрами датчика и влиянием подводящей трубки, заполненной
жидкостью. Схема трубки с датчиком показана на фиг. 43.
Связь между скоростью w жидкости в трубке в каком-либо
сечении и давлением р в .этом же сечении может быть
представлена уравнениями BЛ)
DЛ20)
показаний манометра для регистрации пульсаций давления, Изв.
ОТН АН СССР, № 3, 1946 г.

186 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
где Ко — истинный модуль упругости жидкости, Е — модуль
упругости при растяжении для материала трубки, 80 —
толщина стенок трубки, d — её внутренний диаметр, v —
кинематический коэффициент вязкости жидкости, р — плотность
жидкости.
Если вдоль трубки имеются местные сопротивления, то их
эффект приближённо может быть учтён заменой 2а из D.120)
следующей формулой:
•( *) D.12.)
где /ЭКв — длина, гидравлически эквивалентная всем местным
сопротивлениям, /—длина всей трубки.
Так как скорости в трубке должны быть очень малы
вследствие обычно значительной упругости мембраны, то
потеря напора может быть принята линейно зависящей от
скорости. Под р будем подразумевать избыток давления над его
стационарным значением.
Граничные условия сформулируем следующим образом:
д: = 0 (в точке, где требуется измерять давление)
р=роем D.122)
х и / (камера датчика)
"/«-Q-тйГ, DЛ23)
где / — сечение трубки, принимаемое для простоты везде
постоянным, V—объём жидкости в камере датчика в данный
момент, Q — объёмный расход, втекающий в, камеру датчика.
Можно принять, что ч
V=VQ + cFy, D.124)
где Vo — средний объём, F—площадь мембраны, у— прогиб
мембраны, предполагаемый весьма малым, с — коэффициент.
Ввиду малости у можно принять
с » 0,5.
Далее,
y-*p9 D.125)
где х — константа, зависящая от упругих свойств мембраны
и условий её заделки.

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ 187
Прирост объёма dV жидкости в мембране составится из
двух частей dVx-\-dV<^ Первая часть dVt зависит от
сжимаемости жидкости в камере и упругости стенок датчика:
где К' — модуль, учитывающий совместный эффект
сжимаемости жидкости в камере и упругости стенок камеры.
Вторая часть dV2 представляет собой объём,
освобождающийся при прогибе мембраны на dy
Учитывая D.125), получим:
откуда, согласно D.123), получаем граничное условие при
# = / в окончательном виде
^ ] = Ж|, D.126)
где
Mei(JpL-f xc/7). DЛ27)
Таким образом, задача сводится к интегрированию
системы D.119) при граничных условиях D.122) и D.127).
Мы будем искать, как это обычно принято в такого рода
задачах, только вынужденные колебания в виде
р = (A cos kx-\-B sin i
Из дифференциальных уравнений D.119) и граничных
условий D.122) и D.127) получим после вычислений, вполне
аналогичных приведённым в § 2 гл. II:
D — — — A- С= — В-
D.129)
r fcKM cos kl + sin kl

188 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Для давления, регистрируемого датчиком, получим, полагая
D.131)
Обозначая
= Рое™
F*=l cos kl — kKM sin kl'
КМ
—
D.132)
и разделяя в D.131) действительную и мнимую части, будем
иметь:
Рх=г = W* ы~ь\ D.133)
где
1 D.134)
аЧ
—
а'1
0)
D.135)
D.136)
D.137)
ш'^ш, я'да а. D.138)
Коэффициент X определяет искажение амплитуды, 8-фазы
Если а мало по сравнению с ш и если —'мало, то
приближённо
,_/
—(О2
Если «а» мало по сравнению с ш, то приближённо
ml о Г ш/ . со/ / al \2 со/ 1
— -^—sm-^ (—) cos— |,
)
D.139)

ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
189
Если к тому же — мало, т. е. длина звуковой волны
велика по сравнению с длиной трубки, то формулы D.139)
обращаются в формулы несжимаемой жидкости. Учитывая
D.132), получим, замечая, что -у = р:
» р
J
= Р "тг- =
Величина
D.140)
D.141)
представляет собой квадрат частоты собственных колебаний
20ff 400 600 600
Фиг. 44.
столба несжимаемой жидкости в трубке, обусловленных
упругостью мембраны. Таким образом3 из D.140) и {4.141)
D.142)

190 ГЛ. IV. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ТРУБОПРОВОДЕ
Формулы D.142) могут быть без затруднений выведены
непосредственно для случая несжимаемой жидкости, на чём
мы останавливаться не будем.
На графиках фиг. 44 показаны кривые зависимости
коэффициента К в функции частоты п в герцах, причём а> = 2и/г,
для следующего примера: х = 0,1 ел*/кг; х = 0,01 см*\кг\
х = 0,001 см*\кг\ /= 5 см\Ъ0 = 0,05 см; KQ = 2- 104 кг/см2;
Е = 2 • 10е кг\сл\ d = 0,6 сл\ Vo = 1 смь\ v = 0,01 ел*/сек;
D=l,5 см (диаметр мембраны); /С/ = ЛГО. Сплошные линии
вычислены по формулам D.134) и D.135). Пунктиром
показаны кривые, вычисленные по формулам D.142),
соответствующим случаю несжимаемой жидкости.
В этих кривых следует, что при высоких частотах учёт
сжимаемости становится необходимым. Коэффициент х
должен быть достаточно мал, т. е. мембрана должна быть жёсткой
во избежание больших ошибок при высоких частотах
регистрируемых колебаний *).
*) Вычисления производились научным сотрудником Института
механики АН СССР М. М. Семчиновой.

ГЛАВА V.
КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ВОДОПРОВОДНЫХ
ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ И ВИБРАЦИИ
ЩИТОВЫХ ЗАТВОРОВ.
§ 1. Пульсации давления при истечении из-под щита
в шлюзовых галереях *).
В этой главе приведены краткие данные о теоретических
и экспериментальных исследованиях вибраций щитовых затворов
и пульсаций давления в шлюзовых галереях. Исследования
выполнялись в 1940—1941 гг. в лаборатории физической
гидродинамики Энергетического института им. Г. М.
Кржижановского АН СССР совместно с Сейсмологическим
институтом АН СССР. Наблюдения производились на реальных
объектах и на моделях и заключались в осциллографирова-
нии пульсаций давления и вибраций. Была применена также
высокочастотная киносъёмка.
Осцилограммы пульсаций давления, полученные в
различных точках модели шлюзовой галереи с шахтой, играющей
роль гасителя пульсаций, и без неё (фиг. 45), показывают,
что наибольшие пульсации имеют место в зоне затопленного
прыжка, приблизительно в средней части расширяющейся
струи, вытекающей из-под щита. Наибольший
зарегистрированный размах колебаний давления доходил до трёхкратного
скоростного напора, вычисленного по скорости в галерее.
Пульсации носили, в общем, неупорядоченный характер,
хотя частоты с преобладающими амплитудами (приблизительно
*) Ч а р н ы й И. А., О колебаниях давления на щитовые затворы
шлюзовых галерей с шахтой в нижнем бьефе. Изв. ОТН АН СССР,
К2 8, 1947 г.

192 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
30—50 Hz) можно было выделить довольно отчётливо.
В связи с этим и возникла рассмотренная ниже задача о связи
пульсаций давлений в галерее с пульсациями давления на щит
и о роли шахты как их гасителя.
Наблюдения над поведением щита в реальных шлюзовых
галереях создали впечатление, что в зоне затопленного прыжка
возникают мощные импульсы давления, носящие характер
^ Верхний бьеф
Ни эк ний'бьеф
х-0
Фиг. 45.
гидравлического удара. Поэтому представлялось целесообраз--
ным рассматривать явление с учётом сжимаемости жидкости
как в обычной теории гидравлического удара.
Результаты опытов позволяют предположить, что при
постоянном напоре поток в шлюзовой галерее может
рассматриваться как стационарный, на который наложены
пульсации сравнительно высокой частоты и малой амплитуды.
В таких условиях естественно исходить из основных
уравнений Н. Е. Жуковского, подразумевая под р и w избыточные
значения над стационарными.
Прежде чем выводить граничные и начальные условия,
рассмотрим отдельно случай стационарного расхода, когда
пульсации давления могут вызываться неустойчивостью
распределения скоростей.

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 193
§ 2. Пульсации давления при стационарном расходе
в случае несжимаемой жидкости.
Полагая объёмный расход Q = const и р== const из A.1)
и A.2), получим только одно уравнение
Предположим, что нам известно во всех деталях скоростное
поле потока и интеграл /= Г pv2df может быть вычислен и
if)
представлен в виде известной функции I=I(xt f).
Предположим также, что т = т (х, f) известно. Тогда
откуда
Р = — tI/(*>0+ I Чах\ + С№- E-2)
Пусть в каком-нибудь сечении, скажем, при л: = 0,
известна пульсация давления. Тогда
X
р (*, t)-p(O, *) = —1 [/(*, 0-/@, 0+ / Ч**]. E.3)
Уравнение E.3) указывает на физическую возможность
возникновения пульсаций давления, обусловленных
нестационарностью распределения скоростей по сечению, что возможно
и при стационарном расходе. Можно принять, что инте-
X
грал Г11 dx, выражающий потерю давления от трения, почти
о
не будет зависеть от времени при Q = const, или будет
очень малым, если ограничиться зоной расхождения струи
(фиг, 45). Если сечение л: = О выбрать там, где
распределение скоростей и давлений не зависит от времени (опыт
показывает, что такие сечения существуют), то из E.3) мы
получим:
^p(x,t) Шрй, E.4)
13 Зак. 2318. И. А. Чарный.

194 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
т. е. пульсации давления Ар определяются пульсацией
количества движения секундного расхода Д/, которая, в свою
очередь, зависит от пульсаций скоростей в данном
поперечном сечении.
§ 3. Граничные и начальные условия
при неподвижном щите.
Располагая ось ху как на фиг. 45, получим из баланса
расходов жидкости
Q-(fw)xs0 = F§, E.5)
где Q — объёмный расход жидкости, вытекающей из-под щита,
(fw)x=0—объёмный расход в галерее сейчас же после
шахты, /—площадь поперечного сечения галереи,
F—площадь поперечного сечения шахты, z — уровень жидкости
в шахте. Далее,
^ E.6)
где Но — напор в верхнем бьефе, Ь — ширина галереи,
А — высота открытия щита, С — коэффициент местного
сопротивления.
Пусть г = го + *', Q = Q0 + qt w = wo-\-w', где го> Qo,
w0 — стационарные напор в шахте, расход и скорость в
галерее, а г', #, wr— малые приращения. Щит предположен
не вибрирующим, т. е. h = const. Тогда из E.5) получим
(так как Q0=fw0):
q-(fw%=0=F*?, E.7)
т. е. равенство того же вида для q, w\ г\ что и E.5) для
Q, w, z. Из E.6)

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 195
так как (-^-j можно пренебречь. Замечая, что Но — zo =
из E.8), получаем:
Ql
откуда
Подставляя это значение # в E.7), будем иметь:
Или, обозначая г/= —, где f — удельный вес жидкости,
а р — повышение давления в шахте сверх стационарного,
и опуская штрихи, т. е. подразумевая под w избыток
скорости в галерее в данный момент над стационарной, получим:
Второе граничное условие запишем в виде
/>*=, = ?@- E.10)
При этом мы будем считать, что <р (t) = 0 для /<0 и по
модулю меньше некоторой экспоненциальной функции
времени. Скорости и давления условимся отсчитывать, как уже
указывалось, от своих стационарных значений,
существовавших в момент времени / = 0. Таким образом, начальные
условия будут:
г=0, <а> = 0, р = 0 при 0<л:</. E.11)
Под длиной / будем подразумевать расстояние от щита до
сечения, в котором известна пульсация давления cp(tf).
Интегрирование уравнений B.1) при граничных условиях
E.9), E.10) и начальных условиях E.11) даст нам решение
задачи о связи пульсаций давления на щит с пульсациями
давления в галерее.
13*

196 ГЛ. V* КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
§ 4. Определение давления при заданном напоре
и неподвижном щите.
Общие решения уравнений B.1) можно, согласно B.23)
и B.24), искать в виде
со—га
С Г
—00—ia
00 — i0
E.12)
— oo—ia
Гидравлическими сопротивлениями для простоты
пренебрегаем и в уравнениях B.1) полагаем 2а = 0.
Граничное условие E.10) представим следующим образом:
oo—ia
x = l, p = <p(f)= Г Ф (и) е*">* d<a9 E.13)
—oo—га
где Ф (ш)—частотный спектр ср(/), определяемый
формулой B.9).
Подставляя E.12) в граничные условия E.9) и E.10),
получим для определения Ах((л) и Л2(а>) следующую систему
уравнений:
E.14)
tpc [л9 (ш) cos -у- — Ах («) sin ^-] = Ф (ш).
Решения системы E.14) имеют вид
cos —
/pel
L
где обозначено
РСО(\ ( jPcD / \ . О)/ '
__ ' ^ и I 1 С1П
Ф@))
cos г у ~я -о— ) sin —
E.15)
E.16)

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 197
Нас интересует величина пульсаций давления в шахте,
т. е. при лг = О, которую мы найдём из E.12) и E.15):
оо—ъа
Ф (ш) et*t
Ы pcQ0 ( /Ъ / \ . W~
cos j—?Ч —^ "о—)sm —
_оо-*г с f VtQo 2/70; с
fifco
ИЛИ
где
ОО — 1
Ф
?:
(ctg <р — ?ср -f- ^) sin
to/
E.17)
E.18)
Легко видеть, что k, <? и b безразмерны.
Можно показать, что интеграл EЛ 7) удовлетворяет лемме
Жордана, обращается в нуль для КО и определяется при
помощи вычетов. Ограничимся случаем, когда Ф(ш) имеет
только простые полюсы шй на действительной оси. Тогда
вычеты, соответствующие <ак (вынужденные колебания), будут
„<">**
E.19)
Вычеты подинтегрального выражения, соответствующие
остальным полюсам E.17), будут
Ь' х=
, E.20)

198 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
где o)s — корень уравнения
ctg?e —fcpe + # = 0. E.21)
После дифференцирования с учётом E.21) и E.18) получим:
I
С ' 8
откуда
С ж ^ ф (о) ^ б
^ово«^=о / Л(^?а b2_mk» +*+l)eln 9а К '
Можно представить (ровоб)Шв0 ещё таким образом:
Некоторые затруднения встречаются при определении <ps,
которое, очевидно, должно быть комплексным. Для
нахождения <р8 полагаем <ps = a8 + /p8, где as и |3S действительны.
Из E.21) получим:
ctg («s + ip.) -*(«. + «.) + /* = О
ИЛИ
откуда для а8 и ps получим после отделения действительной и
мнимой частей следующие выражения:
sin
Так как k и д положительны, то из E.24) следует, что
Cs>0. Таким образом, подинтегральное выражение E.17)
не имеет полюсов^в нижней полуплоскости. Очевидно, все Ps

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 199
весьма малы, так как из E.24)
а -г, согласно E.18), обычно очень мало.
Заметим, что при FzjbO, k и b, согласно E.18), очень
велики, особенно k, содержащее множителем с2. Величина же
о = о есть отношение давления, которое получилось бы
при гидравлическом ударе в галерее, к двойному напору на
щит. Эта величина также весьма велика, но гораздо меньше k,
так что -г ничтожно мало. Эти соображения показывают, что
для определения at и $t в E.24) можно синусы заменить
углами и искать ах и ^ как решения системы
*«-0
Из первого уравнения E.25) получим:
откуда
Далее, из второго уравнения E.25)
откуда
E-26)
Что касается корней as и р8, при 5>1, то из E.24)
следует, что ф8 < -р- весьма малы. Исследование же корней as

200 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
можно для наглядности произвести графически следующим
образом. Представим уравнения E.24) в следующем виде:
sin 2a8 sh2ft8
и построим графики функций
sin 2а
sh2p
E.28)
E.29)
Во втором графике (фиг. 46) нас будет интересовать ветвь
-ЦДДУ* а.В
Фиг. 46.
кривой, заключённая между осью ординат и асимптотой
Проведём теперь какую-либо прямую MN, параллельную оси
абсцисс. Пусть точки пересечения С, Аи А[, Bl9 B[, .,.,
этой прямой с кривыми ух и у2 удовлетворяют первому из
уравнений E.28). Так как k весьма велико, k ^> 1, то для
удовлетворения второму уравнению E.28) следует искать
корни а8 в окрестностях точек Ви в[, В2, В%, , лежащих
около точек
=ь(,_1)«, 5 = 2, 3, ...
Из графиков фиг. 46 видно, что во всяком случае
— 1)*,
2, 3, ...

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 201
Ниже будет показано, что в сумме E.22) или E.23)
основную роль играет корень cpt уравнения E.21) и члены,
соответствующие s>l, могут быть опущены с очень малой
погрешностью.
При отсутствии шахты F = 0 и k = 0. Из E.24) для
fe = 0 получим:
откуда возможные значения будут
Из второго уравнения E.24) при (s — 1) нечётном
^0 или th{3«=*-
Так как 6^Э>1, то последнее уравнение невозможно. При
(s — 1) чётном второе уравнение E.24) обращается в cth $8 = Ь
и при b > 1 имеем единственный корень рх = arcth ft. Таким
образом, окончательно при & = 0 корни E.21) имеют
следующие значения:
ср1== /arcth д, E.30)
?8 = (s—1)-J + /arcth ^ s> 1. E.31)
Рассмотрим частные случаи.
1. Найти пульсацию давления на щит при внезапном
изменении давления в галерее
t<0.\ <5'32>
Для этого случая
Из E.18), E.19) и E.33) получим:
«й = ®1 = 0, р Вын = В. E.34)

202 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Из E.33) и E.23)
t
Учитывая E.22), представим E.35) следующим образом:
sin v\el{*lt ,
Ровоб = — # \ -
-J [(*•„-
S = 2
}. E.36)
Оценим величину суммы E.36). Учитывая E.21), получим:
8 = 2
-s
Замечая, что |as|>E—1)тг,
1, будем иметь:
2 ti2\
8 = 2
Так как k содержит квадрат скорости звука, то
очень
мало, так как -г- тоже очень мало. Таким образом, в E.36)
оо
сумма 2 может быть опущена при практических подсчётах,
для которых достаточно ограничиться только первым членом.
Из E.26) и E.27) следует, что сих и ${ весьма малы и
отношение У1 можно заменить единицей. Тогда для /7ОВОб
?1

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 203
из E.36) получим, замечая, что
E.38)
E.39)
2k — V k 4k*
е mi е-. г г к
bet
m
Ч-V x~iF*
I V к
2a-k *¦-я»
l
Ak
E.40)
Вводя обозначения
-i/Ti
]~ V F I >
_ Qo
E.41)
из E.40), E.18) и E.24), получим после всех упрощений
где
tg8 = -
\— п
п
-n*t--b)]f E.42)
E.43)

204 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Формула E.42) не содержит скорости звука с и отвечает
гипотезе о несжимаемости жидкости. В следующем параграфе
мы её выведем непосредственно, считая жидкость несжимаемой.
2. То же, что и в первом примере, но F = 0 (шахта
отсутствует). Решение получается из формул E.19) и E.22),
в которых, согласно E.18), следует положить
? = 0.
Очевидно, как и в первом примере, рвын = В. Далее, coj =
= i$ij и из E.30) и E.31) получим для E.22)
-Pi-
о . с В I e l l
i-
Как выше уже упоминалось, д = ^^ — обычно очень боль-
шое число. Тогда из E.30)
и из E.44) получим:
(рсвоб)о*=о = — Ве ы.
Так как, согласно E.18),
ct ct 2/70
Ы I cpw0 wqI '
TO
2g(H0-z0) t
Рх=о=Рвык}-РсвобжВ11—е ™oi ], E.45)
что, так же как и E.42), соответствует случаю несжимаемой
жидкости.
§ 5. Решение для несжимаемой жидкости.
Покажем, что формулы E.42) и E.45) можно получить
непосредственно, считая жидкость несжимаемой. Для
несжимаемой жидкости повышение давления p = pXs0 в шахте сверх
стационарного вследствие всякого рода возмущений связано

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 205
с повышением давления px=i в галерее соотношением
Pa!=o=P*=l+pld-?, E.46)
где w — повышение скорости в галерее сверх стационарной^
Поправкой на скоростные напоры пренебрегаем.
Граничное условие E.9), очевидно, остаётся без
изменений, т. е.
Дифференцируя E.47) по / и принимая во внимание E.46),
получим (подразумевая под р величину рх=*оУ.
f dw F d*p . 1 dp / P-Px=i
Qo dt YQo^2'2(tfo — *o)Y dt Qo pi
откуда
Если шахты нет, то F = 0 и вместо E.48) будет
Пусть
E-50)
Тогда, вводя обозначения E.41)
k —
k —лГ& п — —2——
"о— У гг n — 4(H0—z0)F>
получим для E.48)
Общее решение E.51) при йо>я имеет следующий вид:
р = г-я* [С, cos (Yk* — n*t) + C2 sin (yh* — n*
t
k2 Г
^—i ? W ^w(^x)sin [У^П? (*—t)] Л, E.52)
о
где С2 и С2 определяются из начальных условий.

206 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Нетрудно также получить решение уравнения E.49) для
случая F = 0, т. е. при отсутствии шахты
dp , 2 (Hq — Zq) fg 2 (Hq — ;
*#' W P ~ T~
или, полагая
2(Ho-zo)fg_
Qol "
получим
E.55)
откуда
t
р = me-w* Г 9 (т) ewlT ^/т. E.56)
о
Зная <p(t), из E.52) и E.56) можно найти решение как
для галереи с шахтой, так и без шахты.
Рассмотрим теперь те же случаи, что и в § 4.
1. <p(t) = B для />0. Начальные условия при / = 0
,-*. %=о.
Из E.52) получим для этих начальных условий
E.57)
Формулы E.57) и E.42) совпадают.
При отсутствии шахты из E.56) получим:
t
р = Bme-mt J ew« dx = В A — ^-«»*), E.58)
о
что также совпадает с E.45).

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 207
2. Импульсивное изменение давления в галерее: <р (f)=B
при 0<*<Д/, <р(/) = 0 при /<0, t>At.
Для t>At из E.57), рассматривая импульс как
наложения скачков <р(t) = В в момент t=0 и <p(f) = — В в момент
/=Д/, получим:
-*-»' [cos (j/*iF
— в (l — «-»(*-«)| cos
откуда при Д*->0 получим:
р= lim {ВAt) *-»' ["J/*; — ла sin (УЩ — л2/) —
— /г cos (Vkl—пЧ)]. E.59)
Из E.59) находим ртах:
Нт (В ДО V 2 "^ft?-n2. E.60)
дго
Из E.58) при отсутствии шахты — для ? > At
р = A —e'mi) — В [1 — e-nb-**)] = Be'** (e™ Lt — 1).
При Д?—>0 отсюда получим:
р = lim (Б ДО we"m*, pmax = /w lim E Af). E.61)
Af0 Д^0
Подставляя значения k0, n, m из E.41) и E.54) в E.60)
и E.61), получим:
дг->о
К Л L4(//0-z0)J
E.63)

208 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Из E.62) следует, как отмечалось выше, что шахта
с достаточной величиной F может значительно смягчить
пульсации давления на щит, в то время как из E.63)
следует, что при её отсутствии импульсы давления на щит при
wo = const возрастают пропорционально напору.
§ 6. Сопоставление с экспериментальными данными.
На модели установки (см. фиг. 47) *) в точке 16 были
получены осциллограммы давления, снятые при различных
режимах, одна из которых
показана на фиг. 48.
щ /р Найдём по формуле E.62)
-3 '—' Т1Г1 immml пульсации давления в
шахте, считая известными
пульсации давления в точке 16,
отстоящей от середины шахты
на расстоянии 0,824 м, при
следующих данных: Qo =
= 60 л/сек => 0,060 м*\сек\
Но—гож6 м\ /=/7=17 • 8=
La
Фиг. 47.
Обращаясь к формуле E.62), мы видим, что туда входит
множитель lim (В Д/), который можно рассматривать как пло-
л*>о
• П I I I Г11 н I и и м I | » | 11 11 | | | | | ,
Фиг. 48.
щадь, ограниченную кривой давления и осью времён. Выбрав
*) На фиг. 47 цифрами отмечены места установки
конденсаторных манометров для регистрации пульсации давления.

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 209
пик ABC осциллограммы фиг. 48 — одну из максимальных
пульсаций, мы можем определить порядок величины lim {В Д?)>
как площадь треугольника ABC, что даёт для принятых выше
данных
^ 180 мм водяного столбаХ сек.
Вычисляем из E.41) величины kQ, n, входящие в E.62):
*0 = /~f = /^^3,45^,
п = Qo
«ью- 0131 *
4(tf0 — zo)F 4.6-136-10-4
' 0,184-3,14
Из E.62) получаем:
ртах = 180 X 3,45 X °>92 == 570 мм вод. ст.
В зоне шахты (точки 1, 8, 9, 3) максимальные пульсации
имели следующие значения:
точка 1—260 мм вод. ст.
» з—346 » » »
» 9—406 » » »
» 3—236 » » »
Если учесть условность подобного определения lim E At)
в E.62) из осциллограммы для процесса, состоящего из
множества беспорядочных пульсаций давления, то результаты
расчёта следует признать известным подтверждением нашего
анализа, по крайней мере, с качественной стороны, поскольку
порядок экспериментальных данных и данных расчёта
одинаков.
14 Зак. 2518. И. А. Чарный.

210 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Следует отметить также, что расчёт по E.62) даёт
несколько преувеличенную величину пульсации. При отсутствии
шахты мы получили бы из E.63) гораздо большую величину.
Порядок преобладающих частот можно грубо приближённо
оценить следующим образом. Пульсации давления зависят,
повидимому, в значительной степени от срыва пограничного
слоя со щита. Если глубину погружения щита обозначить
через //, то средняя скорость вдоль кромки щита может быть
грубо оценена величиной -—-, где w07R — скорость в сжатом
сечении, так как в точке соприкосновения щита с потолком
галереи скорость равна нулю. Время Г, затрачиваемое на
прохождение длины Н, равно
г-52.
Это время можно отождествить с периодом колебаний.
Тогда д/1я частоты в герцах получим:
что, в общем, согласуется с наблюдаемым порядком величин
частот в галерее.
§ 7. Колебания давления в шлюзовой галерее
и вибрации щитового затвора.
Устойчивость вибраций *).
До сих пор мы предполагали, что щит неподвижен.
Известно, что в некоторых случаях начинается
самопроизвольная интенсивная вибрация щитового устройства, вредно
действующая на сооружение. Рассмотрим теперь движение
жидкости в предположении, что щит, подвешенный на
упругих цепях (фиг. 45), может вибрировать. Исходными
дифференциальными уравнениями для распределения скорости и
*) Ч а р н ы й И. А., Об устойчивости движения щита шлюзовой
галереи, подвешенного на упругих цепях и могущего колебаться
в вертикальной плоскости, Докл. АН СССР, 1941 г., XXXI, № 4.

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 211
давления в галерее будут уравнения B.1), в которых
полагаем а = 0:
др dw др_ is<tO!L (Ъ 9>4\
Граничные условия получаются следующим образом:
при лг = О (у щита) Q—fw = F~di> E.65)
где Q — расход, вытекающий в единицу времени из-под
щита, /—площадь поперечного сечения галереи,
F—площадь сечения шахты, z — высота уровня в шахте;
при х = 1 (у выхода в нижний бьеф) р = const. E.66)
Далее, при * = 0 (фиг. 45)
«_- «С-^- №67)
где С — коэффициент местного сопротивления, b — ширина
галереи (прямоугольной), h — открытие щита в данный
момент времени.
Пусть Q = Qq -4- q, w = Wq -|- w', z = Zq -{- z'9 h = hQ -\-y,
где Qo, w09 z0, h0 — стационарные значения, q, w', zr, у — их
малые приращения. Тогда
q—fw^^F^L. E.68)
Пренебрегая квадратами приращений, из E.67) получим
аналогично уравнению E.8), но с учётом изменения h:
E.69)
К этим уравнениям нужно добавить уравнение движения щита
как твёрдого тела:
My -j- t\y -f- ay = sp\ E.70)
где М—масса щита, а — сила, необходимая для удлинения
цепей, на которых подвешен щит, на единицу длины, i\y —
14*

212 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
сила трения, принимаемая пропорциональной первой степени
скорости, s — площадь поперечного сечения щита (s = bd, d—
толщина щита), р' — повышение давления в шахте сверх
стационарного
Из уравнений E.65), E.67), E.68) и E.70) получим
после простых вычислений граничное условие при х = О
в следующем виде:
где
р(Ш) = ^2 , G — вес щита, # = 9,81 м/сек2. Точки сверху
означают, как обычно, дифференцирование по времени, а под
р к w подразумеваются здесь и везде ниже только
переменные составляющие давления и скорости.
Определение устойчивости движения будем производить,
как обычно, следующим образом: найдём спектр
собственных частот системы поток — щит, предполагая эти частоты
комплексными. Если все частоты будут иметь
положительную мнимую часть — движение будет устойчивым,
если же окажутся частоты с отрицательной мнимой частью,
то движение будет неустойчивым. Для этого обратимся
к уравнениям E.64). Частные решения для w и р можно
искать в виде
w = \ах («) cos — + А2 (со) sin —1 №,
С E.72)
р = ipc [А2 (ш) cos ^ - Аг (со) sin =?] «*«*,
где с = у — — скорость звука в жидкости, At (w), A2 (<») —
функции комплексной частоты ш.

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 213
Из граничных условий E.66) и E.71) получаем:
(ш) cos Aj (<o) sin — = О,
с с
Приравнивая нулю определитель из коэффициентов при
Л2(о>) и Аг (<о), получим после приведения к
безразмерному виду следующее уравнение для собственных частот
системы:
ш0) sin ср —
— b0) cos cp = 0, E.73)
где
О)/
Ро g
Fc*
-T'> ao =
cpw0 2
E.74)
причём w0 = y — средняя скорость течения в галерее,
В тех случаях, когда все корни E.73) лежат в верхней
полуплоскости, движение устойчиво. Если же некоторые
корни попадают в нижнюю полуплоскость, то движение,
вообще говоря, неустойчиво.
Общим, но довольно трудоёмким методом является
отделение в формуле E.73) вещественной и мнимой частей с по-

214 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
следующим аналитическим или графическим решением
получаемой пары уравнений
аь р_
Аналитическое исследование расположения корней
уравнений, подобных E.73), является весьма сложной задачей *).
Поэтому, повидимому, практически пригодными будут чисто
вычислительные методы, позволяющие для заданных значений
параметров а0, аи а2, я3, b0, bx констатировать устойчивость
или неустойчивость. В качестве одного из таких методов,
близкого к методу Найквиста, можно предложить
следующий: вводим новую функцию С, связанную с <р соотношением
ср = /~-~у. Нижней полуплоскости <р соответствует на
плоскости С окружность единичного радиуса с центром в начале
координат. При этом вместо уравнения E.73) получится
уравнение
( ^) W=u + iv. E.75)
По уравнению E.75) на плоскости W можно построить
контур, соответствующий окружности единичного радиуса на
плоскости С. По расположению точки W=0 относительно
построенного контура можно судить об отсутствии или нали-
*) Чеботарёв Н. Г. иМейман Н. Н„ Проблема Рауса-Гур-
вица для полиномов и целых функций, труды Матем. ин-та им. Сте-
клова, т. XXVI, Изд-во АН СССР, 1949 г.

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 215
чии корней внутри круга плоскости С или, что то же, в
нижней полуплоскости ср. Этот способ пригоден для любых
значений параметров а0, аи а2, а3, д0, bv
Практическая необходимость в таком расчёте возникает,
однако, только тогда, когда эти параметры являются
величинами одного порядка. В действительности для существующих
напоров и размеров в шлюзовых галереях параметры а3 и а2
гораздо больше всех остальных. Отсюда можно заключить,
что корни уравнения E.73) будут располагаться вблизи точек
<р = /пг, я = 0, 1, 2,,.. В этом случае можно положить
9» mz + 8, E.76)
где п = О, 1, 2, ..., а 8 — очень малое число, вещественное
или комплексное. Тогда из E.74), E.72) и E.71) приближённо
получим:
_ ~ EJ7)
откуда
Учитывая E.77), уравнение E.78) можно представить в виде
Рш-о » Р1 {~dr)Xst0-~ in^c (w)*-o- E-79)
Для наиниашей частоты (/г = 0) мы получили известную
формулу для несжимаемой жидкости.
Подставляя теперь E.79) в граничное условие E.71),
получим, после отделения вещественной и мнимой частей, два
обыкновенных дифференциальных уравнения четвёртого и
третьего порядков с постоянными коэффициентами, устойчивость
решений которых можно легко найти из определителей Гур-
вица.

216 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
Для наинизшей частоты (я = 0) из E.71) получим после
упрощений:
Г К Ки&1 75/1 . Лпа>п
Л. 2v-^- + 7г-т^!—г —V w Н — w= 0, E.80)
где (IV), (III) — знаки порядка производной, например
(IV) _
Раскрывая детерминанты Гурвица*), получим следующие
критерии устойчивости движения, определяемого E.80):
g 2(Я0
-г0) G J
I
2 Г*
^ j
/ Ts/1
-z0) G\
E.82)
Нетрудно видеть, что при F=0 и v = 0 движение щита
всегда неустойчиво, так как условие E.82) не может быть
выполнено. При малой величине v, как следует из
неравенства E.81), неустойчивость увеличивается с увеличением
напора и уменьшением открытия щита Ло.
Для большего удобства выразим w0 и г0 через
напоры верхнего и нижнего бьефа Яо, Нх и открытие h0. Пусть
*) См., например, Крылов А. Н., О некоторых
дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в
технических вопросах, Изд. Академии наук СССР,

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 217
высота галереи есть hv (фиг. 45). Тогда расход Qo найдётся
из соотношения
Qo = wobhr = pbh0 Y2g(H0 — //,), E.83)
где |х — коэффициент расхода, являющийсй известной
функцией высоты открытия или отношения -г^-, Но — Нг — раз-
ность уровней верхнего и нижнего бьефов (фиг. 45).
Зависимость {а = |1У-?Л известна по опытам Вейсбаха и др.,
приведённым во многих курсах гидравлики.
Обозначим теперь через wGSR скорость струи, вытекающей
из-под щита в сжатом сечении; тогда можно написать:
^ож = ^1/2^(Я0 — г0),
где ф — коэффициент скорости.
Далее, уравнение Бернулли для участка между сжатым
сечением струи и сечением, где выходящая струя достигла
галереи, имеет вид
Здесь —^~ — потеря напора, которую мы оцениваем
по теореме Борда-Карно.
Величины w0 и wGm связаны соотношением неразрывности
woma,h0 = wokr, E.85)
где а — коэффициент сжатия струи, вытекающей из-под щита.
Из уравнений E.83) — E.85) получаем:
w0

218 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
ИЛИ
где
— zo = ^ Со —
E.86)
E.87)
Далее,
w0 = [х-^- Y2g (#0 — Нх),
откуда, учитывая E.86):
«о
«о *о V2g(A/0-//t) Гб .
С помощью этих формул могут быть найдены и исключены
из условий устойчивости E.81) и E.82) величины w0 и //0—г0.
Рассмотрим случай F=0 (шахта отсутствует), v^fcO.
Подставляя E.88) и E.87) в E.82) и полагая F=0,
получим после упрощений:
g 2{Щ-Н1)
2/v
1, E.89)
где
Л= Т~Г 2{Щ-Н1) O~f
iq = — относительное открытие щита. Из E.89) можно
найти значение v, при котором движение будет устойчиво.
Обозначая
•В;
т
2/
'Ко
1 /04—2* , 1
E.90)

ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 219
получим:
v> Yq*~\-B — q E.91)
или, если
Таким образом, может быть исследован вопрос об
устойчивости движения для любого открытия щита, если только
известно [1. Для ориентировочных расчётов можно положить
§ 8. Влияние сжимаемости жидкости
на устойчивость колебаний щита.
Для учёта сжимаемости жидкости — более высоких
собственных частот — обратимся теперь к уравнениям E.79) и
E.71). Подставляя E.79) в E.71) и отделяя действительную
и мнимые части, получим следующие результаты:
действительная часть даст нам исследованное выше уравнение E.80).
Мнимая часть E.71) после подстановки в него E.79) будет
иметь следующий вид, если обозначить wee0==w:
mi)
Критерии Гурвица для E.92) будут:
или

220 ГЛ. V. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ
т. е. то же, что и E.81) для v = 0. При очень малых h0,
движение щита, таким образом, всегда неустойчиво.
U + T
Очевидно, E.94) удовлетворяется всегда (как при F = 0,
так и' при F^fcO).
Таким образом, учёт сжимаемости при обычных размерах
галерей и напоров, т. е. когда справедливо уравнение E.76),
не даёт новых критериев устойчивости.

ДОПОЛНЕНИЕ.
В § 5 гл. III был указан метод линеаризации нелинейной
системы уравнений C.113) для движения газа в длинном
газопроводе, основанный на замене уравнения состояния
идеального газа экспоненциальной зависимостью C.116).
Другой возможный метод линеаризации заключается в
следующем. Из уравнений C.113) для Р получается нелинейное
уравнение второго порядка параболического типа, впервые
выведенное Л. С. Лейбензоном в теории фильтрации газов:
dt~ Ь dp дх* • A)
Л. С. Лейбензон интегрировал это уравнение методом
последовательных приближений.
При изотермическом режиме для идеального газа,
следующего уравнению р = р0 —, из A) получим:
дР_ 1 1уЛ270 Л д*Р _ р
~dt~TV ЙГ ~Ш — Т
Уравнение B) встречается также в теории безнапорного
движения грунтовых вод. Введением нового переменного с -т=.
где с — надлежаще выбранный коэффициент, оно приводится
к обыкновенному нелинейному уравнению второго порядка,
которое можно численно проинтегрировать. Это было сделано
П. Я. Кочиной для одномерного движения грунтовых вод
в полубесконечном пласте при начальных и граничных условиях
Н(х, 0) = #! = const, Н @, t) = #а = const, 0 < х < оо,
где Н—глубина грунтового потока *).
*)Полубаринова-Кочина П. Я., Об одном нелинейном
уравнении в частных производных, встречающемся в теории
фильтрации. Докл. АН СССР, т. LXIII, № 6, 1948 г.

222 ДОПОЛНЕНИЕ
Для нашей задачи это соответствует движению газа в газо-*
проводе при условиях р (х, 0) = pt = const — постоянному
начальному давлению — и р @, t) = р2 = const — внезапному
скачку давления в сечении д: = 0. П. Я. Кочина получила
выражение для расхода в сечении х = 0 при Яа = 0, кото-*
рое после пересчёта коэффициентов для движения газа
принимает вид
_з
C)
Если теперь усреднить коэффициент -^ в уравнении B) и
принять его постоянным
то из известного решения уравнения теплопроводности для
этих начальных и граничных условий
A P2 = P = P1erf$, D)
где
V* J
о
получим, согласно C.113)
_3
Из сопоставления C) и E) получаем:
0,332 = -
21/тГ

ДОПОЛНЕНИЕ 223
откуда
^ = 0,722.
Отсюда получаем условие линеаризации уравнения B)
хо = 0,722^-. F)
Распределение давления в газопроводе, получаемое из
решения уравнения теплопроводности, определяется после
вычислений формулой
где
- = Verf @,588 Q ,
г xYJ
G)
(8)
Результаты расчётов по формуле G) близко совпадают с
расчётами по решению П. Я. Кочиной, что видно из следующей
таблицы
0
0,5
1
2
_Р_
Р\
по формуле G)
0
0,566
0,77
0,95
из решения
П. Я. Кочиной
0
0,556
0,752
0,931
В только что рассмотренной задаче изменение
нелинейного коэффициента 1~ в уравнении B) было максимально
возможным — от нуля до значения -^-, где рх — наибольшее
давление в газопроводе. Отсюда Можно сделать вывод, что
и при других граничных условиях, усредняя коэффициент -?
Р
по формуле хо = О,722-^, где р^^ — наибольшее
давление в газопроводе, мы будем получать, во всяком случае,
не ббльшую ошибку, т. е. допускать погрешность порядка 3%.

Редактор С. Я. Шустов
Техн. редактор С. С. Гаврилов
Подписано к печати 22/VI 1951 г.
Бумага 84 х 108/з2. 3,5 бум. л. 11,48 печ. л.
11,87 уч.-изд. л. 41 080 тип. Зн. в печ. л.
Т-05210. Тираж 3 000 экз. Заказ № 2518.
Цена книги 7 руб. 10 коп,
4-я типография им. Евг. Соколовой
Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР,
Ленинград, Измайловский пр., 29.