/
Автор: Лойцянский Л.Г.
Теги: физика динамика механика жидкостей и газа кинематика движение жидкостей
Год: 1950
Текст
о
л. г. лойцянокий
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ и ГАЗА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1950 ЛЕНИНГРАД
12-5*2
Редактор А. И. Чекмарев Техн. редактор К. М. Волчок
Подписано к печати 24/XI 1950 г. Формат бумаги 60X92/,,. Бум. л. 21,25.
Печ. л. 42,25 + 1 вклейка. Уч.-изд. л. 48,07. Тип. зн. в печ. л. 45370. Т-09134. Тираж 5000 экз.
Цена 28 р. 75 к., переплет 2 р. Заказ № 1841.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполяграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Введение 13
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства
„макромодели" жидкости и газа: сплошность и подвижность .... 13
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа. Области
применения и главнейшие задачи 15
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости и
газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи 17
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика в XIX в. . . . 20
§ 5. Современный этап развития механики жидкости и газа ... 30
Глава I. Элементы теории поля. Кинематика сплошной среды
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки 39
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный
тензор векторного поля как меры неоднородности поля 43
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Линии
тока и траектории 50
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы иа
локальную и конвективную составляющие 53
§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки.
Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций и
его компоненты 56
§ II. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы 62
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки 71
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через
циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об
изменеини циркуляции скорости во времени 75
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II. Основные уравнения движения и равновесия сплошной
среды
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность и
удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его
симметричность 82
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях 90
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии 100
§ 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные
барометрические формулы. Стандартная атмосфера 104
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости 112
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела.
Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой
жидкости. Случай вращающейся жидкости 117
Глава III. Динамика идеальной жидкости и газа. Основные
уравнения н общие теоремы
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения движения 123
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости.
Адиабатическое движение. Сохранение энтропии 131
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения объемного
интеграла. Перенос величины сквозь контрольную
поверхность 136
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии,
теоремы количеств движения и момента количеств движения при
стационарном движении идеальной жидкости 139
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа и
мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения
кинетической энергии 143
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии
при стационарном баротропном движении идеальной жидкости
и газа 145
Глава IV. Одномерный поток идеальной жидкости
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризированные уравнения. Скорость распространения малых
возмущений в жидкости или газе 152
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений* при сверхзвуковом движении источника
возмущения. Число М и его связь с углом конуса возмущений .... 158
§ 28. Распространение непрерывных возмущений конечной
интенсивности. Характеристики. Образование разрывной ударной
волны 164
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок ушютнеаия. Ударная адиабата 173
§ 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь между
скоростями до и после скачка. Изменение давления, плотности
и температуры в скачке уплотнения 178
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное движение
газа за ударной волной • ... 182
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие газа.
Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых
потоках 186
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло 198
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа с
притоком тепла 205
Глава V. Безвихревое движение жидкости. Плоское движение
несжимаемой жидкости
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое
движение. Потенциал скоростей 211
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого
движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства
безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвяз-
ной области 218
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал и
сопряженная скорость 222
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической
функции. Простейшие плоские потоки и их наложение .... 229
§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого
цилиндра 239
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное н
циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и
пластинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин . 249
§ 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки и протекание жидкости сквозь отверстие 262
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной
несжимаемой жидкости. Применение метода конформных
отображений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании
задней кромки профиля. Формула циркуляции 269
§ 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы 277
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу
теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора
и момента сил давления потока на крыло . , 284
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 45. Выражение главного момента сил давления потока через
коэффициенты конформного отображения. Фокус крыла.
Независимость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола
устойчивости 289
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового
профиля на круг. Преобразование Жуковского — Чаплыгина.
Теоретические крыловые профили ""4
§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной
формы (теория тонкого крыла) '. 301
§ 48. Определение обтекания крылового профиля произвольной формы 308
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской решетки
с бесчисленным множеством профилей 317
Глава VI. Плоское безвихревое движение сжимаемого газа
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого
движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения . . 324
§ 51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль
волнистой стенки 327
§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потоках. Влияние сжимаемости газа на коэффициент
подъемной силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной
силы и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке . 334
§ 53. Нелинеарнзированные уравнения движения идеального
сжимаемого газа. Переход в плоскость годографа. Уравнения
Чаплыгина 340
§ 54. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета
влияния сжимаемости на распределение давления ...... 344
§ 55. Критическое число М и его определение по заданному
распределению давления в несжимаемом обтекании. Поведение
коэффициента подъемной силы н момента при около- и закри-
тических значениях числа М 356
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке
сжимаемого газа. Обобщение теоремы Жуковского . . • 360
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характеристики"
уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии
возмущения и их основные свойства 366
§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние
угла поворота струи на ее газодинамические элементы . . . 372
§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок
уплотнения. Связь между газодинамическими элементами до и за
косым скачком 377
Глава VII. Пространственное безвихревое движение
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве.
Основные дифференциальные операторы поля в
криволинейных координатах 387
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерывное
распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев . . . . • 392
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула
Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити.
Аналогия с потенциалом двойного слоя 399
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей.
Функции тока простейших течений 403
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока
идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело.
Парадокс Даламбера 407
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение
цилиндрических координат. Течение сквозь каналы 413
§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения.
Случай эллипсоида вращения 419
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида
вращения 425
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого
удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для ел едсления
коэффициентов Ап и Сп 430
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно
распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи
о продольном и поперечном обтекании тел вращения .... 433
§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей.
Главный вектор и главный момент сил давления потока на тело . 437
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение
„присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра,
шара и эллипсоида • 441
§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая
система крыла. Гипотеза плоских сечений. Геометрические и
действительные углы атаки. Подъемная сила н „индуктивное"
сопротивление • 449
§ 73. Основные формулы теории „несущей линии". „Индуктивная
скорость" и „индуктивный угол". Прямая задача определения
подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному
распределению циркуляции 455
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением.
Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между
коэффициентами индуктивного сопротивления н подъемной силы.
Основное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании 460
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Динамика вязкой жидкости и газа
§ 75. Внутреннее трение и теплопроводность в жидкостях и газах.
Законы Ньютона и Фурье. Влияние температуры на
коэффициенты вязкости и теплопроводности. Число о 467
§ 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного
движения среды. Закон линейной связи между тензорами
напряжений и скоростей деформации 471
§ 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические
уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия
движения жидкости с трением и теплопроводностью 475
§ 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений.
Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия
подобия 481
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по
цилиндрической трубе 487
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса.
Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобщения . . 496
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости.
Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости 503
§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого
газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине
скачка 510
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии
в движущейся вязкой среде 516
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях
числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного
пограничного слоя 519
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение 531
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании
скорости внешнего потока U = схт 540
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания
скорости внешнего потока. Применение уравнения импульсов для
приближенного расчета ламинарного пограничного слоя . . . 549
§ 88. Способы определения функций 1(f), #(/) и F(f).
Приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя . . . 556
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай
линейной зависимости коэффициента вязкости от
температуры (п = 1) 565
§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом
законе связи между вязкостью и температурой и при числе
5=1. Обтекание крылового профиля потоком больших
скоростей 575
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава IX. Турбулентное движение
§ 91. Переход ламинарного движения в турбулентное.
Критическое рейнольдсово число 581
§ 92. Область и „точка" перехода. Явление „кризиса обтекания" . 587
§ 93. Основные уравнения осредненного турбулентного движения.
Тензор турбулентных напряжений 594
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе.
Логарифмические формулы скоростей 602
§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном
движении жидкости. Ламинарный подслой 609
§ 96. Влияние шероховатости стенок трубы на ее сопротивление.
Предельные режимы течения. Режим установившейся
шероховатости 616
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой
пластине. Сопротивление пластины 621
§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле при
малом продольном перепаде давлений 629
§ 99. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле при
значительных продольных перепадах давления 634
§ 100. Профильное сопротивление крыла. Разложение профильного
сопротивления на сопротивление трения и сопротивление
давлений. Обратное влияние пограничного слоя на
распределение давлений по поверхности обтекаемого профиля . . . 638
§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления крыла
и крылового профиля в решетке 645
§ 102. Основные закономерности .свободной турбулентности".
Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном
той же жидкостью 654
§ 103. Турбулентный след за обтекаемым телом 664
§ 104. Рассеяние турбулентных возмущений в жидкости. Случай
изотропной и однородной турбулентности. Закон
сохранения момента возмущений 668
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего курса положены лекции, читанные автором
в Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина.
Название книги подчеркивает, что содержание этих лекций является
естественным продолжением общего курса теоретической механики и
не претендует на удовлетворение специализированных программ
авиационных, судостроительных, машиностроительных и других втузов.
В наше время техника каждый день выдвигает перед механикой
жидкости и газа новые и разнообразные задачи, требуя от инженера
умения самостоятельно и творчески применять самые
разнохарактерные как теоретические, так и экспериментальные приемы для их
решения.
Опыт многолетнего общения автора с лицами, занимающимися
практическими применениями гидродинамики, показывает, что главной
причиной встречающихся у них затруднений является по большей части
не столько отсутствие специальных знаний, сколько недостаточное
понимание общих физических основ.
Воспитание советского инженера, исследователя и рационализатора,
активного борца за новую технику, ставит перед преподаванием общего
курса гидро аэродинамики прежде всего задачу серьезного и четкого
изложения основных представлений механики жидкости и газа,
выяснения своеобразия ее методов и создания у учащегося правильного
понимания физической сущности используемых техникой
гидроаэродинамических процессов. Только такое, направленное вглубь, а не
вширь, изложение может дать в руки инженера способность легко
осваивать новое и самому это новое создавать.
Отсюда, с другой стороны, конечно, не следует, что общий курс
механики жидкости и газа должен содержать лишь теоретическое
изложение основных законов и быть оторванным от практических
применений. Приходится, однако, ввиду крайнего разнообразия
современных применений гидроаэродинамики, довольствоваться лишь
изложением отдельных, наиболее важных областей приложения теории. Так,
например, настоящий курс подчинен в этом смысле общей для
подавляющего большинства технических приложений гидроаэродинамики
проблеме взаимодействия жидкости или газа с движущимися в них
твердыми телами или со стенками труб и каналов, сквозь которые
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
жидкость и газ протекают. Это направление определило и все
содержание курса.
Первые три главы курса посвящены изложению общих положений
кинематики, статики и динамики жидкостей и газов, установлению
основных уравнений, формулировке главнейших законов и теорем.
Стремление к максимальному приближению к процессам,
происходящим при движениях с большими скоростями, заставляет тесно
связывать динамические явления с термодинамическим балансом энергии
в них.
В четвертой главе излагается простейшая задача одномерного
движения сжимаемого газа по трубе и распространение в газе возмущений
как малой, так и конечной интенсивности; здесь же даются
элементарные представления о скачке уплотнения, о явлениях в сверхзвуковом
сопле, о влиянии притока тепла на одномерное течение газа и др.
Пятая глава содержит изложение классических результатов теории
плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости,
в частности, элементов теории крылового профиля в
плоскопараллельном потоке.
Шестая глава дает элементарное представление о плоском
безвихревом потоке сжимаемого газа при больших до- и сверхзвуковых
скоростях. Содержание этой главы не может претендовать на полноту
изложения столь быстро развивающейся и сложной с теоретической
стороны области.
Седьмая глава содержит основные вопросы теории
пространственного потока идеальной несжимаемой жидкости. В качестве
практических приложений излагаются задачи о протекании жидкости сквозь
осесимметричный канал, о стационарном и не стационарном
пространственном обтекании тела и, наконец, элементы теории крыла
конечного размаха.
Восьмая глава посвящена выяснению влияния вязкости жидкости
и газа на взаимодействие их с движущимся твердым телом. Эта глава,
содержащая также изложение основ учения о пограничном слое,
является введением в теорию профильного сопротивления и подъемной
силы крыла.
Заключительная, девятая, глава курса содержит самые
необходимые сведения о турбулентном движении жидкости сквозь гладкие и
шероховатые трубы и полуэмпирическую теорию турбулентного
пограничного слоя, позволяющую решить вопрос о разыскании
профильного сопротивления отдельного профиля и профиля в решетке. Глава
заканчивается изложением близких к теории пограничного слоя
вопросов турбулентного движения в струях и следе за телом, а также
затухания возмущений в однородном изотропном турбулентном потоке.
С чувством законной гордости можем мы, советские механики,
выпускать курсы, почти целиком посвященные изложению замечательных
Достижений наших знаменитых ученых, основоположников
современной гидроаэродинамики. Цель помещенного во введении исторического
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
очерка заключается в том, чтобы показать, как на протяжении двух
веков, благодаря работам создателя гидродинамики, петербургского
академика Леонарда Эйлера и замечательным исследованиям
основоположника аэродинамики, по словам В. И. Ленина, „отца русской
авиации" Н. Е. Жуковского, его гениального соратника С. А. Чаплыгина
и славной плеяды их последователей — советских ученых, наша страна
заняла ведущее место в развитии современной гидроаэродинамики.
Автор выражает надежду, что его курс окажется полезным для
лиц, занимающихся техническими приложениями механики жидкости
и газа, а также сможет послужить введением для изучения
специальных разделов гидроаэродинамики, которые не нашли себе освещения
в настоящем курсе.
Ленинград.
29 апреля 1950 г.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства
„макромодели" жидкости и газа: сплошность
и подвижность
Успех научного исследования во многом зависит от удачного
выделения главной части явления и умелого отвлечения от деталей, быть
может и важных самих по себе, но с точки зрения целей данного
исследования играющих второстепенную роль. Так, инженер, изучающий
движение некоторого механизма, будет сначала рассматривать
отдельные звенья этого механизма как „абсолютно твердые" тела, определит
кинематическую картину движения механизма и действие сил в нем,
после этого, желая рассчитать механизм на прочность, откажется от
„абсолютной твердости" звеньев, учтет их упругость, а при некоторых
условиях, и пластичность. При этих расчетах ему придется
воспользоваться существующими схемами упругого и пластичного тела,
основанными на рассмотрении реальных твердых тел как сплошных,
непрерывных образований, подчиняющихся законам теории упругости
или пластичности. Основные элементарные законы „макромеханики"
твердого тела, принимаемые в классической теории как некоторые
фундаментальные допущения, могут быть с тем или другим
приближением выведены из законов „микромеханики" атомов.
В задачи механики твердого тела или системы твердых тел не
входит изучение внутренней микроструктуры тела; объектом
исследования являются лишь „внешние" движения, которые определяются
изменением взаимного расположения „макротел" или их деформациями.
Механика жидкости и газа, так же как и механика твердого тела,
является разделом общей механики, изучающим „ макродвижения"
жидких и газообразных сред и их взаимодействие с твердыми телами.
Оставляя в стороне вопрос о „микроструктуре" реальной жидкости
или газа, т. е. о том хаотическом тепловом движении дискретных
молекул, которое на самом деле происходит и служит предметом
изучения кинетической теории жидкости и газа, „макромеханика" жидкости
и газа использует в качестве основных своих допущений
закономерности, выведенные из статистических соображений кинетической
теории, а также некоторые опытные факты.
14
ВВЕДЕНИЕ
С точки зрения „ макромеханики" жидкость и газ, так же, как и
твердое тело, представляют собою некоторые сплошные среды с
непрерывным, как правило, распределением в них основных физических
величин.1 Наряду с понятием отдельной частицы жидкой или
газообразной среды, представляющим своеобразный аналог „материальной
точки" общей механики, в механике жидкости или газа могут
рассматриваться также совокупности этих частиц: „жидкие линии", „жидкие
поверхности" и „жидкие объемы". Следует особо пояснить понятие
„элементарного объема".
Под бесконечно малым, или элементарным, объемом жидкости
или газа следует понимать объем, ничтожно малый по сравнению
с размерами русла, в котором течет жидкость, или с размером
обтекаемых ею тел, но вместе с тем достаточно большой по сравнению
с длиной свободного пробега молекулы и содержащий настолько
большое число молекул, что к ним можно применять статистическое
осреднение, связанное с понятием „сплошности" среды. В ряде
случаев (тонкие пленки, области скачкообразного изменения
кинематических и динамических характеристик потока) приходится иметь дело
со столь малыми областями, что уже принципиально недопустимо
применять обычные законы механики сплошной среды; в этих
случаях необходимо обращаться непосредственно к кинетической теории
жидкости и газа.
Основное отличие макроскопического представления о жидкости
от соответствующего представления о твердом теле, которое также
схематизируется сплошной средой, заключается в легкой подвижности
жидкости и газа. В то время как твердое тело, двигаясь как угодно
в целом, претерпевает лишь сравнительно малые деформации, т. е.
малые смещения точек относительно их положений, соответствующих
поступательному и вращательному движениям тела, жидкость (газ),
наоборот, получает произвольно большие деформации, „течет" по
руслу, ограниченному твердыми стенками, или образует поверхности
раздела на границе с другой жидкостью или газом.
Как жидкость, так и газ оказывают значительное противодействие
всестороннему их сжатию и вместе с тем сравнительно слабо
сопротивляются относительному скольжению частиц, причем силы
противодействия этому скольжению (вернее, касательные напряжения)
исчезают вместе с относительной скоростью взаимного скольжения.
Таким образом, достаточно сколь угодно малой силы, чтобы
нарушить состояние взаимного покоя частиц жидкости.
В этом — принципиальное отличие жидкости или газа, например,
от сыпучего тела, между частицами которого образуются силы „сухого
трения". Для приведения сыпучей среды в движение необходимо
преодолеть некоторую конечную силу „трения покоя" между частицами:
1 Исключением могут служить лишь некоторые „особые" точки, линии
и поверхности.
§2]
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
15
только после этого начнутся взаимные смещения частиц сыпучего тела.
В жидкости и газе такая постоянная, независящая от относительной
скорости соседних частиц сила отсутствует.
Как вскоре будет выяснено, указанных двух основных свойств
макромодели" жидкости или газа — непрерывности и легкой
подвижности — достаточно, чтобы установить основные уравнения
равновесия и движения жидкости и газа.
Уточнение этих уравнений и приведение их к замкнутой форме
потребуют некоторых дальнейших качественных и количественных
допущений, соответствующих тем или другим более специфическим
физическим свойствам жидкости и газа.
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа.
Области применения и главнейшие задачи
Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика
применяют строгие математические приемы интегрирования основных
дифференциальных уравнений при установленной системе граничных
и начальных условий или другие эквивалентные им математические
методы (например, конформное отображение в задачах плоского
движения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик
используются такие общие теоремы механики, как теорема количества
и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая
сложность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают
механику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов
теоретической механики и математической физики, столь характерных,
например, для развития механики твердого тела, но и широко
пользоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так
называемых „полуэмпирических" теорий, в построении которых большую
роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто
дедуктивных методов классической „рациональной" механики
естественны для столь бурно развивающейся науки, как современная
механика жидкости и газа.
Даже в вопросах движения идеальной (без внутреннего трения)
несжимаемой жидкости, где классическая теория давно уже дала
совершенно строгую постановку задач и чрезвычайно глубокие и остроумные
методы их решения, современная гидроаэродинамика, отвечая на
неотложные запросы практики, применяет различные специфические
приближенные приемы, в частности, например, электрогидроаэродинамические
аналогии (ЭГДА), заменяющие вычисление скоростных полей в потоке
жидкости непосредственным замером разностей электрических
потенциалов в электролитической ванне. Аналогичный метод применяется
при изучении движения идеального сжимаемого газа при дозвуковых
скоростях.
При решении конкретных практических задач широко
используются графические и графоаналитические приемы (нелинейные задачи
16
ВВЕДЕНИЕ
газодинамики сверхзвуковых скоростей, обтекания систем тел —
решеток крыльев и др.).
Невозможность и бесполезность точного удовлетворения сложных
граничных и, по существу, случайных начальных условий, имеющих
место при так называемом „турбулентном" движении жидкости,
привели к замене строгой постановки задачи грубой моделью „осреднен-
ного" движения с простыми элементарными законами силовых
взаимодействий между слоями жидкости в этом „ осреднением" движении.
Такая грубая модель позволила, однако, уловить главную часть
явления и привела к исключительно важным практическим результатам.
Но, что особенно отличает с методической стороны современную
механику жидкости и газа от других разделов механики — это
исключительное развитие экспериментальных методов исследования.
Гидроаэродинамический эксперимент прочно вошел в повседневную
работу специальных лабораторий вузов, исследовательских институтов
и заводов. Стало привычным изучать теоретически лишь простейшие
схематизированные случаи движения жидкости или газа и обтекания
тел, на этих теоретических расчетах выяснять принципиальную
сущность явления, основные тенденции в развитии явления и влияние
важнейших факторов на это развитие, что же касается более сложных
случаев, ближе подходящих к реальным условиям движения, то здесь
на помощь приходит эксперимент, дающий искомые количественные
закономерности. При этом теория учит, как ставить эксперимент, как
проводить измерения и, что особенно важно, как обобщать
результаты отдельных экспериментов на целые классы явлений (теория
подобия гидроаэродинамических и тепловых явлений). В этом
непрерывном взаимодействии теории и эксперимента — необычайная мощь
современной механики жидкости и газа, причина ее блестящего
развития как науки, тесно связанной с практическими запросами, с техникой.
Трудно сейчас указать отрасль техники, развитие которой не
находилось бы в теснейшей связи с разрешением задач движения
жидкости или газа. Не говоря уже об авиации и кораблестроении,
основные проблемы которых — полет, устойчивость и управляемость
самолета, ходкость, остойчивость и управляемость судна — неразрывно
связаны с аэро-газодинамикой и гидродинамикой, а также смежных
с авиацией отраслей техники, отметим особо важное значение
гидроаэродинамики и газодинамики в турбостроении и, вообще,
энергомашиностроении. Рабочее колесо гидротурбины, паровой и газовой турбин,
компрессора или насоса представляет собою сложную конструкцию,
состоящую из ряда профилированных лопаток, иногда имеющих тот
же профиль, что и крыло самолета (компрессор, насос), иногда
значительно отличающуюся от него по своей форме. При вращении
рабочего колеса его лопатки обтекаются с большими относительными
скоростями водой, газом или паром. От правильного
гидроаэродинамического расчета формы профилей и общей конструкции рабочих
колес зависит получение достаточной мощности машины, высокого ее
^ ;i| краткий оЧ1-м< исторического рлзиитии 17
коэффициента полезного действия. Надо уметь также рассчитывать
с гидроаэродинамической стороны и лопастные аппараты, направляющие
водяной, воздушный или газовый поток на рабочие колеса,
анализировать и улучшать другие элементы проточной части турбомашины,
от гидроаэродинамического совершенства которых зависит ее высокое
качество.
Гидротехника и гидрология все более и более сближаются с такими
проблемами гидродинамики, как волновые и турбулентные движения
жидкости, а также фильтрационные движения воды в грунтах.
Последняя проблема представляет фундаментальное значение для
строительства гидротехнических сооружений и техники добычи нефти.
С вопросами этого рода граничат задачи подземной газификации и
получения естественных газов из-под земли. Передача газа на большие
расстояния по трубам выдвигает также ряд интересных задач перед
газовой динамикой.
Весьма актуальные вопросы ставит перед гидроаэродинамикой
химическая индустрия, которую интересует интенсификация процессов
турбулентного перемешивания газов, движущихся по трубам и в
специальных камерах, где производятся химические реакции. Металлургия
выдвигает проблемы создания наиболее рациональных печей и других
металлургических агрегатов; движение горячих газов в этих агрегатах
заслуживает серьезного внимания аэродинамиков. Движение
расплавленного металла, температура которого, а следовательно, и вязкость
быстро меняются при растекании по формам, также нуждаются в
гидродинамическом расчете, так как однородность и чистота металла
по многом зависят от его движения при остывании. Аналогичная
проблема стоит перед производством оптического стекла и многими
другими.
Современная метеорология видит свой прочный научный фундамент
в динамике атмосферы, изучающей турбулентное движение воздуха
па поверхности Земли при наличии различных физических факторов
(солнечная радиация, испарение и др.). К этим проблемам оказываются
близки требования современной вентиляционной техники, озабоченной
созданием наиболее гигиенических условий в промышленных
предприятиях и жилищах.
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости
и газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи
История развития механики жидкости и газа полностью
подтверждает известное материалистическое положение о глубокой взаимной
связи между наукой и запросами практики, между научной теорией
и бытием общества, условиями его материальной жизни.
Если античная механика твердого тела зародилась главным образом
в связи с грандиозными строительными работами древних и
необходимыми для этих работ подсобными механизмами, то созданию первых
2 Зйк. \8\\. Л. Г. Лойцяиекий.
18
ПВЬДИШЕ
идей механики жидкости и газа способствовали, естественно, вопросы,
возникающие при наблюдении и использовании движения твердых тел
в воде и воздухе, т. е. в первую очередь вопросы судостроения,
мореплавания и полета метательных снарядов.
Основной гидроаэродинамической проблемой того времени явилось
выяснение сущности взаимодействия между твердым телом и
окружающей его средой — воздухом или водой—'например, при полете или
плавании тела.
Замечательно, что первые высказывания древних философов на
этот счет относятся к движению тел, а не к равновесию их.
Сравнительная медленность движений, наблюдавшихся в то время, при полном
отсутствии правильных представлений об инертности тел и движении
по инерции (материя косна, всякое движение поддерживается силой
и прекращается после ее исчезновения), не позволили древним
обнаружить основное гидроаэродинамическое явление — сопротивление воды
и воздуха движущимся в них телам. Наоборот, практика
использования ветра для приведения в движение парусных кораблей, точно
так же как и применение весел для той же цели в безветрие,
наталкивали наблюдателя на мысль о движущей роли воздуха и воды. Не
удивительно поэтому, что в известном трактате „Физика" великого
античного философа Аристотеля (384—322 гг. до н. н. э.), где можно
найти первые в истории науки следы аэродинамических идей,
высказывается утверждение о пропульсивном, как мы сейчас говорим, т. е.
двигательном действии воздуха на метательный снаряд. По воззрениям
того времени снаряд не мог двигаться сам, без непрерывного
приложения к нему силы. Аристотель находит источник этой силы в
действии на снаряд воздуха, смыкающегося за снарядом и толкающего
его вперед. Вместе с тем Аристотель ничего не говорит о
направленном против движения действии воздуха на лобовую часть —
сопротивлении снаряда. Пройдет много веков и Ньютон создаст теорию
сопротивления, основанную на ударном действии частиц воздуха на
лобовую часть обтекаемого тела, но при этом не будет учитывать
указанную Аристотелем силу, действующую на кормовую часть тела,
и только в середине XVIII в. Даламбер соединит эти две силы и придет
к поразившему в свое время умы парадоксу об отсутствии сопротивления
в идеальной жидкости. В свете этого исторического факта можно
правильно оценить глубину идей Аристотеля, как бы они ни
казались нам в настоящее время односторонними и далекими от
действительности.
Общеизвестны заслуги Архимеда (287—212 гг. до н. н. э.) как
создателя теории равновесия жидкости и, в частности, плавания тел;
знаменитый его закон и по настоящее время служит основой
гидростатики.
Работы Архимеда послужили толчком к созданию ряда
замечательных гидравлических аппаратов. Наиболее известны: поршневой насос
Ктезибия, сифон Герона и мн. др.
§ м
КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ
19
Идеи Архимеда были возрождены и продолжены Стевином
/1548—1620), Галилеем (1564—1642) и Паскалем (1623 — 1662). Сте-
вин первый строго проформулировал известный в механике принцип
затвердевания, позволяющий в гидростатике применять обычные
приемы статики твердого тела. При пользовании этим принципом закон
Архимеда доказывается крайне просто. Галилей и Паскаль
использовали для решения задач гидростатики принцип возможных
перемещений.
Большое принципиальное значение для дальнейшего развития всей
механики жидкости и газа сыграл известный закон Паскаля о
независимости силы давления жидкости на расположенную внутри нее
площадку от ориентации этой площадки в данной точке покоящейся
жидкости. Этот закон был в дальнейшем обобщен и на случай
движения жидкости.
Под сильным влиянием Аристотеля долгое время находился
Леонардо да Винчи (1452—1519), первый установивший
существование сопротивления жидкой или газообразной среды движущемуся
в ней телу. Это сопротивление объяснялось им сжатием воздуха
в лобовой части тела.
Аналогичное объяснение давал Л. да Винчи и происхождению
подъемной силы, поддерживающей птицу в воздухе, считая, что воздух,
сжимаясь под крылом, становится как бы твердым и создает опору
для крыла. Изучая полет птиц, Леонардо да Винчи правильно
сформулировал два основных принципа их полета: машущий полет и парение
(планирование).
Вопрос о сущности сопротивления среды и, особенно, выяснение
количественных законов сопротивления представляли долгое время
непреодолимые затруднения. Даже основоположник экспериментальной
механики Галилей дал, по существу, лишь качественную оценку
сопротивления; поставив опыты с колебанием маятников, Галилей
вывел из этих опытов заключение о пропорциональности сопротивления
первой степени скорости движения тела.
Только Гюйгенс (1629—1695) на основании более точных опытов
указал более близкий к действительности (для тел плохо обтекаемой
формы) закон пропорциональности сопротивления квадрату скорости
движущегося тела.
Ньютон (1642—1727) в своих знаменитых „Началах" приводит
теоретический вывод квадратичного закона сопротивления. В этой
первой в истории механики попытке выяснения сущности явления
сопротивления уже можно найти зародыши идей, близких к нашим
современным представлениям.
Полное сопротивление тела, по Ньютону, складывается из
сопротивления, зависящего от инертности жидкости (это соответствует
современному представлению о сопротивлении давления), и
сопротивления, определяемого трением жидкости о поверхность обтекаемого
'1'ела (ныне называемого сопротивлением трения); наряду с этими
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
двумя основными составляющими сопротивления отмечается также более
слабое влияние упругости жидкости и сил сцепления в ней.
Исходя из представления об изменении количества движения
окружающей тело жидкости за счет действия на нее лобовой части тела,
Ньютон получает квадратичный закон зависимости первой составляющей
сопротивления от скорости. Что касается второй составляющей
сопротивления, зависящей от трения, то для ее определения Ньютон дал
уже ставшую классической формулу пропорциональности напряжения
трения между двумя слоями жидкости относительной скорости
скольжения этих слоев. Последняя формула носит имя Ньютона, обобщена
на любой случай движения как несжимаемой жидкости, так и
сжимаемого газа и служит основой всей современной механики вязкой
жидкости. Сопротивление трения, по Ньютону, оказывается
пропорциональным первой степени скорости, остальные составляющие
сопротивления (упругость газа, силы сцепления в нем) Ньютон оценивает
некоторой постоянной величиной, вследствие чего для полного
сопротивления получает трехчленную формулу, состоящую из квадратичного
члена, линейного члена и постоянного слагаемого. В настоящее время
эта формула уже не представляет особого интереса, но свою
историческую роль она несомненно сыграла. Следует отметить, что Ньютон
определил коэффициенты своей формулы на основании целого ряда
тщательно проведенных опытов.
Таким образом, Ньютон и его последователи связывали
происхождение квадратичной части сопротивления с ударом жидкости в
лобовую часть обтекаемого тела, совершенно не считаясь с давлением
жидкости на кормовую его часть. Наоборот, противники Ньютона,
ссылаясь на Аристотеля, указывали, что жидкость, смыкаясь за
кормовой частью тела, должна оказывать противоположное по
направлению действие, что может привести к ослаблению и даже
уничтожению сопротивления.
Этот, на первый взгляд парадоксальный, результат был в
дальнейшем доказан Даламбером. Дискуссия, возникшая вокруг этого вопроса,
много способствовала установлению правильного понимания природы
сопротивления, так как направила внимание ученых на изучение
влияния физических свойств жидкости и, в первую очередь, вязкости ее
на возникновение сопротивления.
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика
в XIX в.
Фундаментальные открытия Галилея, Гюйгенса и Ньютона,
приведшие к небывалому расцвету общей механики в конце XVII в.,
подготовили все предпосылки к мощному скачку в развитии механики
жидкости и газа. Особенное значение имело установление Ньютоном
основных законов и уравнений динамики. Отныне и гидродинамика
начинает переходить от рассмотрения отдельных, подчас не связанных
§ 41
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК
21
между собою, задач к систематическому изложению своих
специфических законов и методов, что превращает ее в самостоятельный раздел
механики.
Честь создания теоретической гидродинамики, как специальной науки
с широкими задачами и строгими методами их разрешения,
принадлежит Российской Академии наук в лице ее двух академиков —
Леонарда Эйлера (1707—1783) и Даниила Бернулли (1700—1783). За
краткостью очерка остановимся лишь на самых главных достижениях
этих двух основоположников
механики жидкости.
В своем трактате „Общие
принципы движения
жидкостей" (1755) Эйлер первый
вывел основную систему
уравнений движения идеальной
жидкости, положив начало
аналитической механике
сплошной среды. Эйлеру гидродина- ;
мика обязана введением
понятия давления и
противопоставлением этого понятия нью-
тонианским „ударам" частиц
жидкости о поверхность тела.
Следует заметить, что и в
настоящее время часто
приходится встречаться с
неправильными воззрениями на этот счет;
стоит поэтому вспомнить слова
Эйлера относительно того, что
жидкость „до достижения тела
изменяет свое направление и
скорость так, что, подходя
к телу, протекает мимо него вдоль его поверхности и не прилагает
к телу никакой другой силы, кроме давления, соответствующего
отдельным точкам соприкосновения" (курсив наш). Эйлеру принадлежит
первый вывод уравнения сплошности жидкости (в частном случае
Движения жидкости по трубе этот закон был дан задолго до Эйлера
в 1628 г. Кастелли — учеником Галилея), своеобразная и ныне
общепринятая формулировка теоремы об изменении количества движения
применительно к жидким и газообразным средам, вывод знаменитого
«турбинного уравнения", создание теории реактивного колеса Сегнера
и мн. др. Велика роль Эйлера в продолжающейся дискуссии о
происхождении сопротивления. Эйлер совершенно отчетливо показывает
-качение понятия давления и разъясняет парадокс Даламбера о
равенстве нулю равнодействующей сил давления идеальной жидкости на
"лавно обтекаемое тело, подчеркивая отличие действительной жидкости
Леонард Эйлер
(1707—1783)
22
ВВЕДЕНИЕ
с внутренним трением в ней от идеальной. „Если некоторые люди
увлекутся и будут думать, — говорит Эйлер, — что можно продвигать
тела через жидкость, не встречая сопротивления, так как сила, с
которою жидкость действует на переднюю часть тела, будет уничтожаться
действием такой же силы на зяднюю часть, что не имеет места при
течении действительных жидкостей, то такой вывод будет
неправилен" (курсив наш). В ряде своих работ Эйлер отмечает влияние трения
в действительных жидкостях на создание сопротивления — взгляд,
который лег в основу позднейших работ XIX в. и полностью оправдан
современной механикой жидкости и газа.
Роль Эйлера как основоположника теоретической гидродинамики,
предопределившего своими исследованиями развитие гидродинамики
более чем на столетие вперед, в настоящее время общепризнана.
Можно с удовлетворением отметить, что этот мощный скачок,
подготовленный накопленными теоретическими и экспериментальными
достижениями ньютоновского и посленьютоновского периодов, был
осуществлен выдающимся ученым, вся жизнь и научная деятельность
которого была тесно связана с Российской Академией наук, ныне
Академией наук СССР. Приехав в Россию в двадцатилетнем возрасте,
швейцарец Эйлер отдал Петербургской Академии всю силу молодого
таланта, способствуя гениальными исследованиями поднятию научного
авторитета тогда еще молодой Академии своей второй родины.
В мрачную эпоху „бироновщины", когда Академия засорилась
чужестранными авантюристами и лжеучеными, с которыми смело боролся
М. В. Ломоносов, Эйлер решил временно уехать из России. Однако
Эйлер не порывает с Петербургом, печатает в академических
изданиях свои фундаментальные сочинения по основам гидродинамики, по
теории реактивного сегнерова колеса и др., помогает М. В.
Ломоносову, другом и защитником которого он всегда был, бороться с
иностранной кликой и, наконец, в 1761 г. возвращается в Петербург,
где продолжает плодотворно работать до самой смерти1.
Забегая несколько вперед, отметим, что второй мощный скачок
в развитии механики жидкости и газа, приведший к созданию
теоретической аэродинамики, был столетие спустя произведен
великими нашими соотечественниками Н. Е. Жуковским и С. А.
Чаплыгиным.
Рядом с Эйлером должно быть поставлено имя другого
выдающегося механик!, петербургского академика Даниила Бернулли,
выходца из Голландии, сына знаменитого математика Иоганна
Бернулли.
Наибольшее значение для развития механики жидкости и газа имел
замечательный трактат Бернулли „Гидродинамика" — „академический
труд, выполненный автором во время работы в Петербурге", как
Могила Эйлера находится в Ленинграде на Смоленском кладбище.
§ 41
ЭПОХА ЭЙЛШ'Л И ВЫ'НУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ В1-К
23
значится на титульном листе этой книги, опубликованной в 1738 г.
С выходом этого трактата связано, между прочим, появление термина
гидродинамика".
Основываясь на законе сохранения „живой силы", открытом для
частного случая колебания маятника еще Гюйгенсом и получившем
широкое распространение в первой половине XVIII в., Бернулли
излагает в „Гидродинамике" свою знаменитую теорему, устанавливающую
общую связь между давлением, высотой и скоростью движения
жидкости. Теорема эта, частный
случай которой был
указан Торичелли (1608—1647)
в 1644 г., в настоящее
время является фундаментальной
теоремой гидродинамики,
обобщенной в XIX в. на
случай сжимаемого газа.
Согласно теореме
Бернулли, в тех точках потока,
где понижается скорость,
должно возрастать
давление— результат, который
вначале казался
парадоксальным. Действительно, в
это же время в связи как
с ньютоновскими
воззрениями на давление
жидкости на обтекаемое тело, так
и с исследованиями самого
Бернулли о давлении
жидкости на преграду, прочно
установился как будто
противоположный взгляд о
возрастании давления жидкости
с возрастанием ее скорости
Даниил Бернулли
(1700-1783)
Эйлер, которому, кстати говоря, мы
обязаны современной формулировкой теоремы Бернулли (напоминаем,
что Эйлер первый ввел в гидродинамику четкое понятие давления),
пояснил кажущуюся парадоксальность теоремы Бернулли следующими
словами: „вся сложность понимания этого предложения устраняется,
если считать, что здесь сравнение производится не между скоростями
двух разных течений, а между разными скоростями вдоль данной
струи, которая обтекает поверхность тела" (курсив наш) —
пояснение, заслуживающее быть приведенным в любом современном
руководстве по гидродинамике.
Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711 —1765),
современник Эйлера и Бернулли, еще в сороковых годах XVIII столетия
Сложил основы учения об упругости газов и теплоте, высказав
24
ВВЕДЕНИЕ
глубокие мысли о физической структуре газа и кинетической природа
происходящих в нем процессов. Вместе с тем М. В. Ломоносов много
сделал для развития изучения верхних слоев атмосферы, не только
самолично изобретая необходимые приборы (например, анемометр), но и
создавая смелые проекты летательных аппаратов для исследования
атмосферы.
В развитии аналитической механики жидкости и газа большую
роль сыграл также Даламбер (1717 — 1783), применивший к сплошным
средам свой знаменитый общий принцип, и поныне носящий его имя.
„Парадокс" Даламбера, о котором уже неоднократно была речь выше,
появился в свет в 1744 г. в „Трактате о равновесии и движении
жидкости". Сам Даламбер не дал удовлетворительного объяснения
обнаруженному им факту отсутствия сопротивления тел при
теоретическом его определении. „Странный парадокс, объяснение которого
предоставляю математикам",—пишет Даламбер.
Даламбер возглавлял обширные экспериментальные исследования
сопротивления тел, предпринятые им в связи с задачей о
сопротивлении кораблей в каналах. Эти опыты подтвердили квадратичную
зависимость сопротивления от скорости движения тела,
пропорциональность сопротивления тела площади его миделевого сечения,
малое влияние вязкости жидкости на сопротивление при больших
скоростях и мн. др.
Работы Эйлера, Бернулли и Даламбера завершили большой этап
развития гидродинамики идеальной жидкости, приведший к почти
законченному формированию этого основного раздела механики
жидкости и газа. Лагранж (1736 —1813) в своих гидродинамических
работах усовершенствовал методы Эйлера и Даламбера и дчл
дальнейшее развитие аналитическим методам гидродинамики.
Следующий этан истории механики жидкости и газа, относящийся
уже гла вным образом к XIX в., знаменуется, с одной стороны,
дальнейшей математической разработкой гидродинамики идеальной
жидкости, в частности, решением таких задач ее, как плоское и
пространственное безвихревое движение, струйное разрывное движение,
вихревое движение, волновое движение тяжелой жидкости, с другой —
зарождением двух новых разделов, имеющих особое значение для
современной гидроаэродинамики: динамики вязкой жидкости и
газовой динамики.
Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным случаем
интегрирования уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости является
так называемое безвихревое движение с потенциалом скоростей.
Понятие потенциала скоростей было введено самим Эйлером. Лагранж
в 1781 г. первый нашел те динамические условия, при выполнении
которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом
скоростей. Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории
безвихревого течения и оправдывающая практическое применение теории,
Пыла в 1815 г. более строго доказана Коши (1789—1857).
§ 41
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРИУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК
25
Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение,
дЛя которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция
тока, введенная впервые Лагранжем в 1781 г.; кинематическая
интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана
значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функ-
ций — потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих
в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение
гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции —
комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма
близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции
классических „Лекций по математической физике" (ч. 1, Механика)
Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока
решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г.
Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны
аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным
безвихревым движением были изучени некоторые простейшие задачи
нестационарного движения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.).
Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг
в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельм-
гольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета
плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения
достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах
ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди.
Пространственная задача о движении несжимаемой жидкости с
потенциалом скоростей исследовалась параллельно с плоской.
Отсутствие в пространстве комплексного переменного привело к
необходимости непосредственного решения уравнения Лапласа при заданных
граничных, а в случае нестационарного движения, и начальных
условиях. Пространственная задача развивалась в тесном контакте с
близкими ей задачами теории потенциала. Первая задача о
пространственном безвихревом обтекании тела (шара) была разрешена Пуассоном
в 1828 г. и затем обобщена и уточнена Стоксом в 1843 г. и Лежен —
Дирихле в 1852 г. Безвихревое течение несжимаемой жидкости
в эллипсоидальном сосуде и обтекание эллипсоида при
поступательном и вращательном его движении было изучено в период 1843—
1883 гг. целым рядом ученых, в числе которых можно отметить
Клебша, Бельтрами, Грина и др.
Продольное обтекание осесимметричных тел, для которого, как
показал Стоке еще в 1842 г., существует функция тока, допускает
приближенное исследование простым методом наложения однородного
поступательного потока на систему источников, стоков или диполей;
метод этот, иногда называемый „методом особенностей", был
предложен впервые Рэнкиным в 1868 г. и получил широкое
распространение.
Общая теория движения твердого тела в жидкости была дана
кирхгоффом в 1869 г. и изложена в его ранее уже упомянутых
26
ВВЕДЕНИЕ
„Лекциях". Теория эта является одним из наиболее изящных
разделов аналитической механики.
Фундаментальные результаты в этой области принадлежат русским
ученым, в числе которых такие всемирно известные имена, как
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин, А. М. Ляпунов и В. А. Стек-
лов; С. А. Чаплыгин дал движению твердого тела в жидкости
геометрическую интерпретацию, не уступающую по глубине и наглядности
классической интерпретации Пуансо движения твердого тела по
инерции в пустоте.
В разработке теории движения твердого тела в жидкости
принимали участие крупнейшие зарубежные ученые XIX в.: Томсон и Тэг,
Максвелл, Клебш и др.
Два новых существенных раздела гидродинамики идеальной
жидкости: волновое и вихревое движения—были созданы в
рассматриваемый период времени. Теория волнового движения развивалась
главным образом в связи с вопросами качки волнового сопротивления
корабля, а также теории приливных волн в каналах и реках.
Первые исследования, связанные с приближенной теорией
„длинных" волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лаграпжу
и относятся к 1781 г.; имя Лагранжа носит основное
дифференциальное уравнение распространения волн и первая формула скорости
их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую
теорию волн малой амплитуды, является появившийся в 1815 г.
мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн
малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса,
Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и,
независимо от него, несколько позднее — Н. Е. Жуковский.
Во второй половине XIX в. появилось учение о вихревом
движении жидкости, создателем которого справедливо считают Гельмгольца,
указавшего в 1858 г. основные свойства вихрей в идеальной
жидкости. Само понятие вихря и его интерпретация, как угловой скорости
вращения жидкого элемента в целом, были даны раньше: Коши
в 1815 г. и Стоксом в 1847 г.; возможность движения без
потенциала скоростей была указана Эйлером еще в 1775 г. Теория
вихрей имеет обширную литературу, в которой тесно переплетаются
вопросы гидродинамики с аналогияхми в области электричества и
магнетизма. Магнитные линии вокруг электрического проводника
эквивалентны линиям тока вокруг вихревой нити (теорема Био —
Савара служит основой как для расчета движения жидкости вокруг
вихревых линий, так и для расчета магнитного поля вокруг
электрического тока). Теория вихрей сыграла большую роль в развитии
динамики атмосферы, теории крыла самолета, теории пропеллера и
корабельного винта и др. Об этих приложениях, получивших
особенное развитие в работах русских ученых (Н.Е.Жуковского — по
вихревой теории винта и А. А. Фридмана — по вихрям в атмосфере), будет
упомянуто в следующем параграфе.
S 4] ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БНРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ККК 27
Особенно принципиальное значение для развития всей
современной гидроаэродинамики имело возникновение в начале XIX в.
механики вязкой жидкости и сжимаемого газа.
Теория движения вязкой жидкости в форме, весьма близкой
к современной, была опубликована в 1845 г. Стоксом (1819—1903),
который, выделив из общего перемещения элемента жидкости
деформационную часть, указал простую линейную зависимость возникающих
в жидкости напряжений от скоростей деформаций, т. е. дал
обобщение ранее уже упомянутого закона Ньютона. До Стокса, основываясь
па некоторых специальных молекулярных гипотезах относительно
свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили:
в 1826 г. Навье (1785—1836), в 1831 г. Пуассон (1781 — 1846) и
в 1843 г. Сен-Венан (1797—1886).
Развитие механики вязкой жидкости отвечало практическим
запросам со стороны энергично развивавшихся в XIX в. гидравлики и
гидротехники, учения о трении в машинах, физики и химии нефтяных
и других смазочных веществ. Первые опыты, показавшие
преобладающее влияние сил вязкости на сопротивление при малых скоростях,
принадлежали Кулону (1801), Дюбуа (1779) и Дюшемену (1829).
Основное значение имели теоретические и экспериментальные
исследования сопротивления в трубах и каналах при движении в них воды
и других вязких жидкостей. Теоретическое решение этой задачи было
дано самим Стоксом в 1846 г. и Стефаном к 1862 г. Обстоятельные
экспериментальные исследования движения вязкой жидкости в трубах
очень малого диаметра были проведены Ж. Пуазейлем в 1840—1842 гг.
и О. Рейнольдсом в период 1876 — 1883 гг. Более ранние опыты были
проведены Хагеном и опубликованы в 1839 г. Ко времени работ
Пуазейля и Рейнольдса относится открытие двух различных режимов
движения вязкой жидкости в трубах — ламинарного и
турбулентного. Работы Рейнольдса послужили началом создания теории
турбулентного движения, применение которой в вопросах гидравлики,
гидротехники, метеорологии, теории сопротивления и теплопередачи
оказалось весьма обширным и плодотворным.
Изучение движения вязкой жидкости между двумя вращающимися
цилиндрами привело в 1883 г. знаменитого русского инженера
Н. П. Петрова к созданию гидродинамической теории трения обильно
смазанных подшипников. Строгое решение той же задачи было
указано Н. Е. Жуковским в работах, опубликованных в 1886 и 1887 гг.
Уточнение и обобщение этой теории трения было проведено в работах
Рейнольдса, Зоммерфельда, Митчелла и др.
Рассмотрение движения вязкой жидкости по капиллярным трубкам
легло в основу создания теории фильтрации жидкости сквозь
песчаные грунты и трещиноватые породы. Первые шаги в этом
направлении были сделаны французским гидравликом Дарси в 1856 г.,
показавшим пропорциональность скорости фильтрации потере напора.
Практические задачи о фильтрационных движениях воды в грунтах под
28
ВВЕДЕНИЕ
гидротехническими сооружениями, нефти сквозь почву и другие
составили предмет огромного числа исследований; особенно надо отметить
замечательные работы Н. Е. Жуковского в 1889 и 1890 гг., а также
теорию плоского фильтрационного движения академика Н. Н.
Павловского, опубликованную в 1921 г.
О дальнейшем развитии этого направления в советских работах
речь будет еще впереди.
Параллельно с развитием гидродинамики вязкой жидкости
протекало и создание динамика сжимаемого газа. Первоначальные
исследования в этой области были тесно связаны с зарождением двух
основных разделов физики: термодинамики и акустики; первый из них
развивался в связи с появлением паровой техники, второй
стимулировался главным образом теорией музыкальных инструментов и
физиологией слуха.
Первое теоретическое определение скорости звука — скорости
распространения упругих волн малой амплитуды—дал Ньютон,
показавший, что скорость распространения звука в воздухе, если
рассматривать этот процесс как изотермический, пропорциональна корню
квадратному из отношения давления воздуха к его плотности. На
самом деле, как показал значительно позднее Лаплас, процесс
распространения звуковых колебаний приближается к адиабатическому, что
привело Лапласа к формуле, применяемой и в настоящее время.
Формула эта, данная Лапласом в первом десятилетии прошлого века,
отличается от формулы Ньютона коэффициентом под знаком корня,
равным отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном
объеме.
Основная система дифференциальных уравнений динамики
сжимаемого газа появилась примерно в середине прошлого века, после того
как к системе уравнений Эйлера и уравнения неразрывности было
присоединено уравнение баланса энергий, выведенное из первого начала
термодинамики, а также уравнение состояния газа. Несмотря на
строгую математическую постановку задачи и наличие к тому времени
развитых методов решения дифференциальных уравнений, решение
уравнений газодинамики представило, даже при простейших
предположениях об отсутствии вихрей, об адиабатичности потока и др.,
непреодолимые трудности. И в настоящее время имеется лишь
небольшое число случаев точного решения задач газодинамики, зато
значительную разработку получили приближенные методы, принадлежащие,
главным образом, советским ученым.
Принципиальные особенности движения газа со сверхзвуковыми
скоростями были отмечены впервые в середине прошлого века Дои-
плером.
Выдающийся геометр Риманн (1826—1866) в классическом
мемуаре, относящемся к 1860 г., теоретически доказал возможность
возникновения поверхностей разрыва в газовом потоке, вначале
непрерывном; эти разрывы были названы ударными волнами.
к 4] ЭИОХЛ ЭЙЛВРЛ И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК 29
Наибольшее развитие, в связи с задачами, вставшими перед
создателями паровых турбин, получила газовая гидравлика, предметом
изучения которой явились одномерные течения сжимаемого газа с
большими до- и сверхзвуковыми скоростями гто трубам и соплам, вопросы
истечения газа из резервуаров и тому подобные явления. Это
направление механики сжимаемого газа нашло опору в общих теоремах:
количеств движения, теореме Бернулли, баланса энергии, а также
в основных закономерностях термодинамики газа. Наиболее
популярным и важным результатом этого направления следует признать
классическую формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839), связывающую
скорость адиабатического истечения газа с давлением и плотностью газа
в резервуаре и с противодавлением.
Элементарная газогидравлическая теория скачка уплотнения,
установившая связь между давлением и плотностью до и после скачка,
была дана Рэнкиным в 1870 г. и Гюгонио в 1887 г.; явление
образования скачков уплотнения в сопле Лаваля было обнаружено и
изучено Стодола.
Полного своего расцвета газовая динамика достигла лишь в первой
половине нашего века в связи с вставшими перед нею запросами
авиации, турбостроения и техники реактивного движения. Об этом
этапе развития газовой динамики и особенно большом значении
советских исследователей в этом направлении будет сказано в следующем
параграфе.
Конец XIX в. ознаменовался высоким подъемом всеобщего интереса
к воздухоплаванию. Не преследуя в настоящем курсе цель изложени
специальных вопросов аэромеханики самолета, мы не будем
останавливаться и на истории авиации, неразрывно связанной с историей
развития аэродинамики. Упомянем лишь, что в первых рядах борцов за
создание авиации, наряду с Жуковским и Лилиенталем, должны быть
поставлены имена Д. И. Менделеева (1834-—1907) и К. Э.
Циолковского (1857—1935).
Широко известна роль Д. И. Менделеева в развитии учения о газах
при больших и малых давлениях, его теоретические и
экспериментальные заслуги в области метеорологии высоких слоев атмосферы.
Д. И. Менделееву принадлежит опубликованная в 1880 г.
фундаментальная монография „О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании",
в которой не только дается систематическое и критическое
изложение существовавших к тому времени работ по теории сопротивления,
по и приводятся оригинальные идеи Менделеева в этом направлении,
й частности, указывается на важное значение вязкости жидкости
при определении сопротивления трения хорошо обтекаемого тела.
Н. Е. Жуковский высоко ценил эту книгу.
Д. И. Менделеев, всегда служивший образцом ученого, тесно
связывающего все свои открытия с запросами народного хозяйства
своей родины, не отрывал научные интересы в области аэродинамики
°т задач воздухоплавания и не только сам лично создавал проекты
30
ВВЕДЕНИЕ
новых летательных аппаратов, но и всемерно помогал изобретателям,
работавшим в том же направлении. Так, в 1877 г. Д. И. Менделеев
помог известному конструктору первого самолета А. Ф. Можайскому,
в 1890 г. представил Русскому техническому обществу проект
цельнометаллического дирижабля К. Э. Циолковского.
Выдающийся русский ученый и изобретатель К. Э. Циолковский,
создал в 1896 г. первую аэродинамическую трубу, на которой
проводил опыты по определению сопротивления тел. Ему принадлежит целый
ряд смелых технических идей: возможность завоевания мирового
пространства при помощи ракет, первые проекты ракетопланов, проекты
цельнометаллических дирижаблей и др. К. Э. Циолковский установил
первые формулы реактивного движения снаряда с переменной массой.
§ 5. Современный этап развития механики жидкости
и газа
Первое место среди создателей современной механики жидкости
и газа принадлежит по праву советским ученым, которые не только
продвинули далеко вперед теорию, но и разработали замечательные
методы экспериментального исследования гидроаэродинамических
явлений.
Крупнейшим событием, обусловившим прогресс авиации и
турбостроения, было появление в начале нашего века теории крыла
самолета, созданной гением двух величайших русских ученых —
Н. Е. Жуковского (1847—1921) и С. А. Чаплыгина (1869—1942).
Н. Е. Жуковский является основоположником учения о подъемной
силе крыла в плоскопараллельном потоке. Знаменитая формула
Жуковского, выражающая подъемную силу крыла в виде произведения
плотности жидкости на скорость движения в ней крыла и на
напряжение „присоединенных вихрей" или „циркуляцию", опубликованная
в 1906 г., получила всеобщее признание как основа теории подъемной
силы крыла. Зарубежные историки аэродинамики пытаются без
достаточных к тому оснований поделить приоритет Жуковского на эту
формулу с немецким ученым Кутта, работа которого по вопросу о
подъемной силе частного вида крыла была опубликована несколько ранее
работы Жуковского. При этом затушевывается тот основной
исторический факт, что только Жуковский дал первую общую теорию
подъемной силы, основанную на смелой и оригинальной идее
„присоединенного вихря". Приоритет на циркуляционную теорию подъемной силы
великого русского ученого, далеко продвинувшего вперед разрешение
почти всех основных гидроаэродинамических проблем своего времени
и открывшего новые пути развития современной механики жидкости
и газа, совершенно неоспорим.
Способ определения величины циркуляции, входящей в формулу
Жуковского, долго занимал умы аэродинамиков всего мира, пока
в самом конце 1909 г. С. А. Чаплыгин, ученик и ближайший сотруд-
I -^
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИИ
SI
ник Н. Е. Жуковского, не предложил простой прием определения
циркуляции на основании дополнительного предположения о
безотрывном обтекании острой задней кромки крыла; этот прием в
настоящее время общепринят и носит обычно наименование „постулата
Жуковского —■ Чаплыгина".
В 1912 г. Н. Е. Жуковский начал опубликование серии статей,
в которых излагалась новая, созданная им вихревая теория гребного
винта. Дальнейшее
развитие методов аэродинами- . — .,.._. . _—„ _ - „ — ,
ческого расчета винтов ■ . .-.
идет по пути,
указанному Жуковским.
С именем Н. Е.
Жуковского связано
зарождение динамики полета.
Первой работой в этом
направлении является
знаменитый мемуар „О
парении птиц", относящийся
еще к 1892 г. В этом ме-
муаре приводится
исследование траектории
центра тяжести птицы при
свободном ее скольжении
в воздухе, здесь же дано
первое обоснование
„мертвой петли". Идеи этой
замечательной работы
были завершены Н. Е.
Жуковским в ряде статей и
монографий по динамике
аэроплана (1913—1916)—
новой в то время отрасли
аэромеханики, творцом
которой является Н. Е.
Жуковский.
Н. Е. Жуковский по праву может рассматриваться также как
создатель современной экспериментальной аэродинамики. Им был
организован ряд аэродинамических лабораторий: при Московском
университете, в Кучино под Москвой, и, наконец, он был основателем
Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ). Руководимые
Н. Е. Жуковским лаборатории сыграли громадную роль в создании
отечественной авиации, в развитии основных аэродинамических
воззрений. Наша страна свято хранит память о Н. Е. Жуковском —
гениальном основоположнике современной гидроаэродинамики, по словам
"• И. Ленина, „отце русской авиации". Именем Жуковского назван
Николай Егорович
Жуковский
(1847—1921)
Wl
вввднпик
центр советской авиационной мысли — ЦАГИ, его имя присвоено
Военно-воздушной академии в Москве.
После смерти Н. Е. Жуковского продолжение начатого им дела
создания передовой советской авиационной науки оказалось в
надежных руках его ученика и соратника С. А. Чаплыгина.
С именем С. А. Чаплыгина связано начало систематического
применения комплексных функций и конформных отображений в теории
плоского безвихревого движения
жидкости. В 1910 г. С. А.
Чаплыгин опубликовал первые формулы
силы и момента, действующих па
крыло со стороны жидкости,
выражающие их через контурные
интегралы, содержащие
производные от комплексного потенциала.
К тому же 1910 г. относится
создание Жуковским и Чаплыгиным
первых в мире теоретических
крыловых профилей с
закругленной передней кромкой, причем
ангоры дали способы построения
этих профилей, вычислили их
геометрические и аэродинамические
характеристики.
Наряду с созданием общей
теории крыла С. А. Чаплыгину
принадлежат первые теоретические
изыскания так называемого
„механизированного" крыла, т. е.
разрезного крыла, крыла с
предкрылком и с закрылком.
В 1914 г. С. А. Чаплыгин изложил новую теорию решетчатого крыла,
схематизирующего лопастной аппарат турбомашины.
Теоретические исследования С. А. Чаплыгина, появившиеся после
смертиН. Е. Жуковского, содержат продолжение работ по применению
метода комплексного неременного к теории крыла в
плоскопараллельном потоке; сюда относится установление теоремы о параболе
устойчивости крылового профиля, о приведении давления потока на крыло
к силе, приложенной в фокусе, и паре с независящим от угла атаки
моментом. К тому же периоду относятся новые исследования С. А.
Чаплыгина по разрезному крылу, в которых он показал, что
совокупность двух надлежащим образом раздвинутых дуг одного и
того же радиуса имеет большую подъемную силу, чем одна дуга
той же длины, дал характеристическую функцию обтекания любой
системы дуг одной и той же окружности или любого числа отрезков
прямой.
С
ергсн
Алексеевич
luuniii
(180!) —1042)
§ 5]
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ
33
В 1926 г. С. А. Чаплыгин обобщил свои замечательные формулы
силы и момента на случай нестационарного движения крыла при
постоянной во времени циркуляции, чем положил основу нового
направления теории крыла, в дальнейшем широко развитого и
углубленного его последователями.
Уже почти перед самой смертью С. А. Чаплыгин предложил новый
класс теоретических профилей, отвечающих современным требованиям,
предъявляемым к крылу скоростного самолета.
Известно, что еще в 1910 г. С. А. Чаплыгин пришел к вполне
законченным общим представлениям о вихревой системе крыла
конечного размаха, а в 1913 г. ему удалось преодолеть математические
трудности и дать основные формулы подъемной силы и
индуктивного сопротивления. Примерно в то же время (начиная с 1912 г.)
Н. Е. Жуковский создал свою вихревую теорию винта, содержавшую
как частный случай вихревую теорию крыла конечного размаха.
Однако ни Чаплыгин, ни Жуковский не выпустили специальных
публикаций по теории крыла конечного размаха; это дало возможность
зарубежным ученым приписать приоритет создания общей теории крыла
конечного размаха немецкому аэродинамику Л. Прандтлю,
опубликовавшему свою теорию значительно позднее.
Таков весьма краткий перечень наиболее важных результатов
Жуковского и Чаплыгина по теории крыла; их фундаментальные идеи
были в дальнейшем развиты учениками и последователями — молодыми
советскими аэродинамиками.
Значительное развитие и углубление получила гидродинамика
плоского безвихревого потока в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева,
Л. И. Седова и других, продолжавших с успехом применять в теории
крыла методы теории функций комплексного переменного, в свое
время выдвинутые Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным.
Исследования Жуковского по обтеканию тел с отрывом струй были обобщены
и получили новые применения в работах М. А. Лаврентьева,
А. И. Некрасова и др.
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев свели задачу о колеблющемся
профиле к определению обтекания крыла со скачком потенциала на
прямолинейном вихревом следе за крылом, обобщив, таким образом,
метод Чаплыгина на случай крыла с переменной циркуляцией. Л. И. Седов
дал общие формулы силы и момента, действующих на произвольно
движущееся крыло. В этой работе, а также в монографии,
относящейся к 1939 г., Л. И. Седов дал систематическое изложение
новых применений метода комплексного переменного к исследованию
Движения крыла, систем крыльев и бесконечных решеток их,
завершив этим большой исторический этап развития теории плоского
безвихревого движения, начатой работами Чаплыгина.
Н. Е. Кочин предложил строгое решение задачи об установившемся
Движении круглого в плане крыла и о его колебаниях. А. А. Дород-
"ицын разработал теорию расчета стреловидного крыла и крыла,
3 Зак, 1841. Л Г. Лойцянсккй.
:S4
введение
летящего со скольжением. В. В. Голубев создал теорию машущего
крыла и решил ряд задач теории крыла в плоском потоке. Задача
об обтекании „теоретических профилей", выдвинутая Н. Е. Жуковским
и С. А. Чаплыгиным, обогатилась новыми решениями и была
обобщена на случай обтекания изолированного профиля произвольной
формы и произвольной решетки профилей в работах Я. М. Сере-
брийского, Л. А. Симонова, Э. Л. Блоха и др.
Созданная Н. Е. Жуковским вихревая теория винта получила
в работах советских ученых (В. П. Ветчинкин, Н. Н. Поляхов и др).
дальнейшую глубокую разработку; М. В. Келдыш и Ф. И. Франкль
дали строгое обоснование вихревой теории Жуковского.
Теория волнового движения тяжелой жидкости, волнового
сопротивления, а также теория движения тела вблизи свободной поверхности
жидкости достигли своего подлинного расцвета в работах русских
ученых послереволюционного периода. Ряд фундаментальных
исследований по классической теории волн, по волнам в жидкости конечной
глубины, по теории волн конечной амплитуды и другим вопросам
принадлежит акад. Н. Е. Кочину и акад. А. И. Некрасову. Теория
волнового сопротивления получила развитие в исследованиях Л. Н.
Сретенского. Движение твердого тела вблизи свободной поверхности, в
частности, движение подводного крыла, составило предмет изысканий
М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева и др. Л. И. Седов
первый строго поставил и разрешил задачу о глиссировании тела по
поверхности тяжелой жидкости. Всемирную известность получили
ставшие уже классическими исследования выдающегося советского
механика и кораблестроителя акад. А. Н. Крылова — основоположника
теории качки корабля на волнении.
Явление удара тела о свободную поверхность тяжелой жидкости,
изученное впервые Н. Е. Жуковским еще в 1910 г., было с
исчерпывающей полнотой исследовано М. А. Лаврентьевым, М. В.
Келдышем, Л. И. Седовым и другими в период 1932—1934 гг.; работы
этих ученых показали всю силу метода теории комплексного
переменного в задачах гидродинамики.
В современной механике жидкости и газа центральное место как
по принципиальной глубине основных идей, так и по практической
значимости разрешаемых проблем занимает сравнительно молодой, но
бурно развивающийся отдел — газовая динамика. Подобно многим
другим отделам гидроаэродинамики, развитие газодинамики в
настоящее время находится почти целиком в руках советских ученых.
Фундаментальное значение для создания всей современной
газодинамики имеет исключительная по глубине идей работа С. А. Чаплыгина
„О газовых струях", написанная им в 1901 г. и представленная
к защите на соискание ученой степени доктора в 1902 г. Прошло
почти пятьдесят лет со дня появления диссертации С. А. Чаплыгина,
но и сейчас мы продолжаем быть свидетелями все возрастающего
интереса к этой работе со стороны советских и зарубежных ученых
§ 51
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ
35
Причина этого заключается в том, что применение изложенного
в работе метода годографа скоростей выходит далеко за рамки той
сравнительно узкой цели обобщения теории струйного обтекания тел
Кирхгоффа — Жуковского на случай сжимаемого газа, которую
поставил перед собой С. А. Чаплыгин. Метод этот получил дальнейшее
развитие в известных исследованиях акад. С. А. Христиановича,
относящихся к определению влияния сжимаемости газа на обтекание
крылового профиля при больших докритических скоростях потока.
В области теории дозвуковых течений серьезные достижения
принадлежат М. В. Келдышу и Ф. И. Франклю, давшим в 1934 г.
строгую постановку вопроса об обтекании крыла сжимаемым газом и
обобщившим на этот случай теорему Жуковского, Н. А. Слезкину,
в 1935 г. показавшему применение метода Чаплыгина к расчету
бесциркуляционного обтекания крыла. Академик А. И. Некрасов
предложил в 1946 г. новый метод непосредственного интегрирования
уравнений газовой динамики, превосходящий по эффективности старый
метод Янзена — Релея.
Велики заслуги советской науки в области теории сверхзвуковых
и смешанных течений. С. А. Христианович в 1941 г. дал общий
анализ сверхзвуковых течений вблизи линий перехода дозвукового
течения в сверхзвуковое и предложил систематическую
классификацию этих течений. Идеи С. А. Христиановича послужили основой
к плодотворным изысканиям в том же направлении его учеников
А. А. Никольского и Г. И. Таганова. С. А. Христианович создал
в 1947 г. новый метод приближенного расчета сверхзвуковых течений,
являющийся дальнейшим развитием его метода расчета дозвуковых
потоков. С. А. Христиановичу принадлежит также методика построения
„безударного" сопла Лаваля, метод расчета сверхзвуковых
эжекторов и много других важных теоретических и практических
результатов.
Графические методы (метод характеристик) расчета сверхзвуковых
плоских и осесимметричных обтеканий тел обязаны своим
развитием главным образом усилиям двух советских ученых — И. А. Ки-
беля и Ф. И. Франкля. Им, а также В. В. Татаренчику, удалось
построить ряд точных решений уравнений газодинамики. Ф. И. Франкль
добился значительных результатов в постановке и разрешении
„смешанной" задачи газодинамики о газовом потоке с до- и
сверхзвуковыми областями. Теория стационарного и нестационарного
движения крыла в сверхзвуковом потоке достигла своего расцвета
в исследованиях группы советских ученых: Л. А. Галина, М. И. Гуре-
вича, Е. А. Красилыциковой, С. В. Фальковича, Ф. И. Франкля и
М. Д. Хаскинда.
Вместе с газовой динамикой больших скоростей развивалась и
более старинная ее отрасль — динамика сжимаемого газа при малых
скоростях, служащая основой динамической метеорологии.
Общепризнанным основоположником этой области газовой динамики
L*
36
ВВЕДЕНИЕ
заслуженно считается безвременно погибший в 1925 г. талантливый
советский механик А. А. Фридман. В своей, ставшей классической,
диссертации „Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости", вышедшей
в свет в 1922 г., А. А. Фридман дал исчерпывающее систематическое
изложение основных законов движения сжимаемого газа и, в частности,
атмосферного воздуха при наличии дневного притока тепла от Солнца
и ночного излучения в мировое пространство. Этот, исключительный
по капитальности и идейному содержанию труд, стал на много лет
источником дальнейшего развития динамики атмосферы. Особого упоминания
заслуживают фундаментальные исследования учеников А. А. Фридмана:
акад. Н. Е. Кочина и чл.-корр. И. А. Кибеля.
Из наиболее важных работ в области, смежной между
гидродинамикой и гидравликой, отметим прежде всего фундаментальные
исследования акад. С. А. Христиановича по теории длинных волн
в каналах. Эти исследования, относящиеся к периоду 1933 —1936 гг.,
послужили основой создания целого ряда прикладных методов
расчета, сыгравших большую роль в практике строительства
гидросооружений.
Теория фильтрационного движения грунтовых вод и близкая к этой
проблеме теория подземного движения нефти далеко продвинулись
вперед в работах советских ученых. Пользуясь методом комплексного
переменного, еще в 1922 г. использованным акад. Н. Н. Павловским,
большое число конкретных практических задач решили Б. Б. Деви-
сон, П. Я. Кочина и др. Академик Л. С. Лейбензон создал теорию
движения газов в пористых средах и разрешил ряд других вопросов,
связанных с теорией и практикой нефтедобычи.
Теория движения вязкой жидкости за последние пятьдесят лет
стала разрабатываться главным образом в направлении изучения
движения жидкости в тонком „пограничном" слое, образующемся вблизи
поверхности тела при практически интересных скоростях и размерах
тел. Повидимому, Рэнкин первый ввел понятие о пограничном слое.
В своей записке, относящейся к 1864 г., Рэнкин в следующих
словах выражает происхождение сопротивления трения: „Это
сопротивление представляет сочетание прямых и косвенных действий
прилипания частиц воды к поверхности корабля, которую они обтекают;
прилипание вместе с взаимной вязкостью частиц и производит
бесчисленное множество мелких водоворотов в слое воды, непосредственно
прилегающем к бортам судна".
Первое систематическое руководство по вопросу о сопротивлении
жидкостей относится к 1880 г. и принадлежит нашему гениальному
соотечественнику Д. И. Менделееву. В этой, уже ранее
упоминавшейся монографии мы находим отчетливое разграничение трения
жидкости о гладкие и шероховатые стенки. Говоря о сопротивлении
трения гладких поверхностей, Д. И. Менделеев отмечает основную
роль „прилипшего" к твердому телу слоя жидкости, который „движется
и увлекает соседние".
§ 5]
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТЛП РАЗВИТИЯ
37
„Сопротивление же неровностей (шероховатостей!), — пишет
Д. И. Менделеев, — того же рода, как и сопротивление нормально
движущейся пластинки". Эти взгляды Менделеева вполне совпадают
с современными воззрениями в теории сопротивлений.
Особенно следует отметить критический анализ Менделеева
результатов экспериментальных определений сопротивлений жидкости с точки
зрения точности измерений — вопрос, в котором Менделеев,
основоположник метрологии, был непревзойденным специалистом.
Глубоко анализируя и критикуя „фрикционную" теорию соироти-
пления и, в частности, теорию Рэнкина, Д. И. Менделеев с
предельной ясностью устанавливает энергетическую сторону явления,
отсутствующую в весьма схематической и формальной теории Рэнкина.
Н. Е. Жуковский в докладе, сделанном 23 декабря 1907 г. на
Нервом Менделеевском съезде, высоко оценил монографию Менделеева,
назвав ее „капитальной монографией по сопротивлению жидкостей.
которая и теперь может служить основным руководством для лиц,
занимающихся кораблестроением, воздухоплаванием или баллистикой".
Н. Е. Жуковский в 1890 г. в своей работе „О форме судов"
дает первый пример учета влияния формы тела на сопротивление
трения, а в своих более поздних лекциях отмечает основные
свойства пограничного слоя. Однако ни Жуковский, ни его ближайшие
ученики не занялись разработкой приближенных уравнений движения
жидкости в пограничном слое, установленных Л. Прандтлем только
в 1904 г.
Не следует забывать, что еще в недалеком прошлом шла
дискуссия по вопросу о том, равняется ли нулю скорость реальной жидкости
на поверхности обтекаемого ею тела или нет. Жуковский и Прандтль
первые решительно встали на точку зрения прилипания жидкости
к стенке; правильность этого воззрения, лежащего в основе теории
пограничного слоя, в дальнейшем была подтверждена многочисленными
опытами. Работы советских ученых в области теории ламинарного и
турбулентного пограничного слоя, а также по общей теории
турбулентности представляют исключительный интерес; работы Л. Е. Калих-
мана, Л. Г. Лойцянского, А. П. Мельникова и К. К. Федяевского
по плоскому и пространственному, ламинарному и турбулентному
пограничному слою в несжимаемой жидкости, относящиеся к периоду
1930—1945 гг., замечательные исследования А. А. Дородницына
1939—1940 гг. по теории пограничного слоя в сжимаемом газе,
практические методы расчета турбулентных струй, указанные Г. Н.
Абрамовичем, и другие результаты советских ученых оставили далеко
позади зарубежные исследования в этой области. Все практические
расчеты пограничного слоя, необходимые для определения
профильного сопротивления крыла и фюзеляжа самолета, сопротивления
корпуса корабля, потерь энергии в лопастных аппаратах турбомашин,
а также расчеты различных струйных механизмов (эжекторов и др.)
ведутся у нас в Союзе по методам, принадлежащим советским ученым.
38
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория турбулентного движения и ее многочисленные
применения в гидравлике труб и каналов, динамической метеорологии,
теории взвешивания и осаждения наносов, горения и перемешивания
топлива к струях и во многих других практических вопросах техники
составили предмет глубоких изысканий советских ученых.
Останавливаясь лишь на главнейших принципиальных достижениях, заметим,
что после классических работ Рейнольдса наиболее важную роль
сыграли замечательные исследования А. А. Фридмана и Л. В. Келлера,
ныдвинувших в 1924 г. новый статистический метод изучения
турбулентного потока. Идеи А. А. Фридмана и Л. В. Келлера послужили
фундаментом для ряда теоретических исследований акад. А. Н.
Колмогорова, Л. Г. Лойцянского, М. Д. Миллионщикова, А. М. Обухова
и Л. И. Седова.
На этом, по необходимости, заканчивается краткий обзор
достижений советской науки в области механики жидкости и газа. Обзор
содержит только перечисление наиболее значительных работ наших
ученых. Многие из этих результатов еще настолько свежи, что не
могут найти себе место в историческом очерке. Но уже и из того
материала, который помещен в настоящем обзоре, отчетливо видно, что
советская гидроаэродинамика по праву занимает ведущее место в
мировой науке.
В настоящем, заключительном, параграфе очерка почти ничего
не говорилось об иностранных работах за рассматриваемый период
времени. Это объясняется не только краткостью очерка, но и тем
замечательным фактом, что в последнее время, за весьма немногими
исключениями, все основные проблемы механики жидкости и газа
самостоятельно выдвигались и разрешались советскими учеными,
поставившими нашу Родину в совершенно независимое положение от
зарубежной науки.
ГЛАВ Л I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки
Совокупность скалярных или векторных величин, заданных в
некоторой конечной или бесконечной области так, что каждой точке
области соответствует одно определенное значение скаляра или
вектора, образует поле скалярной или векторной величины, короче —
скалярное или векторное поле. 1 Таковы скалярные поля:
температурное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом
теле, и векторные поля: силовое поле, например, поле тяготения,
поле скоростей во вращающемся твердом теле и др.
Поле называется стационарным, если распределение физических
величин в пространстве не изменяется с течением времени. Так,
например, поле скоростей в равномерно вращающемся вокруг
неподвижной оси твердом теле будет стационарным; в противном случае
поле называется не стационарным.
Если во всех точках пространства, где задано поле физической
величины, значения этой величины равны между собою (соответственно
в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется
однородным, в противном случае — не однородным. Скалярное поле
плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно
Движущемся твердом теле векторное поле перемещений так же, как и
скоростей или ускорений,—однородно. Само собой разумеется, что
однородное поле может быть как стационарным, так и не
стационарным.
Аналитически поле некоторой скалярной величины о или вектор-
н°й а задается соответственно скалярной или векторной функцией
1 В настоящей главе, так же как и в других главах курса, напоминаются
'•«обходимые для дальнейшего элементы векторного и тензорного анализа;
"Ыло бы желательно предварительное ознакомление с этими элементами,
•апример, по прекрасной книге Н. Е. К о ч и н а, Векторное исчисление и
Начала тензорного исчисления, ОНТИ ГТТИ, 1934 или последующие издания.
40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
от каких-нибудь, в частности декартовых, координат и времени: ]
© = © (лг, у, г; t) — в (М; t),
а = а (л:, у, z; t) = а (М; /).
Условившись в этих простейших определениях, посмотрим теперь,
каким образом характеризовать пространственную изменчивость
величин ноля (изменение со временем величины в данной точке
пространства характеризуется, очевидно, частной производной от этой
величины по времени). Для этого следует упорядочить рассмотрение
бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив
эти величины сообразно некоторому признаку: численной их
величине — для скалярной функции, направлению —для векторной функции.
Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в
котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями,
вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое
значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.
Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции
© (х, у, z; t) в данный момент времени, если поле не стационарно, и
в любой момент, если поле стационарно, будет
w(x,y,z;t)=C, (2)
где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений.
Если задано значение величины © в некоторой точке М0 (х0, у0> г0)
и в данный момент времени t0, то уравнение поверхности уровня,
проходящей через точку М0 в момент t0, будет, очевидно,
?(х, у,г;*)=С0=<о (х0, у0, г0; /0) = ©(М0; Q. (3)
Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в
приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве
к более простому — изменению ее при переходе с одной поверхности
уровня на другую.
Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3).
Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю,
где
с? (лг, у, г; t) > С0,
и внутреннюю, где
'? (х, У, z; t) < С0.
Термины эти, конечно, условны, так как, например, если
поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале
координат, то при выборе функции
© (лг, у, г) = х^-\-у2 -\-z*— а2
1 Буква М символически представляет здесь совокупность координат
точки М; еслп поле стационарно, то время t в характеристике функции
отсутствует.
(0
§61
ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
41
внешняя область по только что введенному определению совпадает
с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же
положить
« (л:, у, г) — а2 — х2
-У
то предыдущее определение с геометрическим не совпадет.
Условимся положительное направление нормали, проведенной через
некоторую точку данной поверхности уровня, выбирать в сторону
внешней области и называть
такую ось внешней нормалью;
противоположно направленную
ось — внутренней нормалью.
Проведем (рис. 1) две
смежные поверхности уровня <в = С
и ? = С" и через точку М L
одной из них — внешнюю
нормаль с единичным
вектором-ортом п и какую-нибудь
наклонную ось с ортом 1;
отрезки ММ' и ММХ обозначим
через dn и dl. Напомним, что
„ d<? „ Рис. I.
производной —jj- от скалярной
функции » по какому-нибудь направлению 1 называют предел
отношения
нт
■^{М1)-ч(М)
мм.
dy
(4)
Замечая что, по определению поверхности уровня, b(/Wi)--== »(/И')
и что, кроме того,
dn = dl • cos(l, n),
будем иметь
с/гр (
iz, dn di ..-^ ^
а, — Т- ' -ТГ — ~J~ cos ('> П)-
dl dn dl dn v ' '
(5)
d?
Отсюда сразу следует, что, в силу положительности —Л- (веном
dn
пить определение внешней нормали):
d? da
~dn > ~df'
т. е. направление внешней нормали к поверхности уровня
представляет направление наибольшего изменения скалярной функции
по сравнению с любым другим направлением.
Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровня:
'? = С, ср = С', ер = С" и т. д. Проведем через точку М внешнюю
42 элементы теории поля, кинематика среды [гл. г
нормаль п, черен точку М' пересечения ее со смежной поверхностью
уровня — нормаль п', через точку М" пересечения этой нормали со
следующей поверхностью уровня — нормаль п" и т. д. В пределе
получим кривую LL, нормальную ко всем поверхностям уровня
в точках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной
величины вдоль такого рода линии, тем самым по формуле (5)
определим и общую картину изменения рассматриваемой величины в
пространстве. В существовании этих линий максимального изменения
заданной скалярной величины наряду с нормальными к ним
поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет
постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины
изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее
упоминалось. !
Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения
векторного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости
векторов поля как по величине, так и по направлению.
Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных
в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если
поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем
через выбранную точку М (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а,
отложим вдоль положительного направления этого вектора малый
отрезок ММ', затем в тот же момент времени, если поле не
стационарно, проведем через
у точку М' соответствую-
/ а' щий ей вектор а', точно
/ ^^^-^^ так же отметим вектор а"
/м'^-^-"""^ q" в точке М", расположен-
М^ *— ной на направлении век-
jtr^ тора а', и т. д. Если
Mf взять точки М, М', М"...
достаточно близкими друг
Рис. 2. к другу, то указанным
путем можно прочертить
в пространстве линию, обладающую тем свойством, что в каждой
ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая
линия называется векторной линией поля (вспомнить например,
силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых
направлен вектор напряжения поля).
Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь
одну векторную линию; исключением являются так называемые особые
^Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных
линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к дан-
пому семейству линий, верна лишь при выполнении некоторых условий. По
этому поводу см., например, Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье, Курс
теоретической механики, ч. II, 1940, изд. 3, стр. 164.
§7I
МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ
43
точки поля, через которые могут проходить несколько и даже
бесчисленное множество векторных линий. Так, например, из
„точечного заряда", образующего электростатическое иоле, выходит
бесчисленное множество силовых линий поля.
Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий
поля вектора а(х, у, г\ i). Обозначим через 8г направленный по
касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме
только что указанное свойство совпадения по направлению вектора
поля с касательной к векторной линии в данной точке:
аХ8г = 0. (6)
Здесь и далее символ „X" обозначает векторное умножение, точка
обозначает скалярное умножение.
В декартовой системе координат векторное равенство (6)
эквивалентно системе дифференциальных уравнений,
определяющих семейство векторных линий:
ох Ьу Ъг ,„
~ах (х, у, г; t) ~ ау (х, у, z; t) ~ as {х, у, г; () ' *•
при решении этой системы двух уравнений первого
порядка время t следует рассматривать как
заданный фиксированный параметр. Проинтегрировав
систему (7), получим конечное уравнение семейства
векторных линий с двумя произвольными
постоянными, которые можно найти из условия прохождения
векторной линии через заданную точку пространства.
Проведем в данный момент в части
пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- Рис. 3.
мкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого
контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная
поверхностью в, образованной векторными линиями, называется
векторной трубкой.
Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно,
векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее
увидим, представления о характере изменчивости векторов,
образующих данное поле.
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор
векторного поля как меры неоднородности поля
Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты
изменения) функции одной переменной при данном значении ее
аргумента является производная этой функции по аргументу, точно так
*е и в случае скалярного или векторного поля за меру
неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении
44 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. ^
в пространстве можно принять производные этих величин но
выбранному направлению, причем в общем случае пространственного
распределения производные эти зависят от направления
дифференцирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по напра-
нлению I можно принять величины:
dtp rfa
где первая представляет ранее определенную формулой (4)
производную от скалярной функции <р(М) по направлению 1, вторая
определяется аналогичным образом как предел
lim Jl^^m *; (8)
#, -> ЛГ MMi ш
подчеркнем, что в обеих частях равенства (8) в числителе стоит
векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); при
этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос,
rff da
ооразуют ли величины —ту- и —ту , соответственно, скалярные и
векторные поля.
Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное
множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства
будет соответствовать бесчисленное множество значений производных
скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда заключаем,
d<» da. ^ „
что скаляр -ту- и вектор —ту- не ооразуют полей, так как между их
значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное
соответствие; можно сказать, что эти производные являются
функциями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и
направления (вектора 1). Поставим вопрос о разыскании такой
образующей поле однозначной функции точек пространства, чтобы
рассматриваемые производные выражались через нее и орт 1,
определяющий направление дифференцирования. С физической стороны
разыскивается мера неоднородности поля в данной точке, не
зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что
неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через
нее и орт выбранного направления.
В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в
данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на
формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по
величине производной скалярной функции по направлению внешней
нормали к поверхности уровня в данной точке и направленный по
внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной
функции и обозначается символом grade; тогда, по определению,
grad* = -g-n, (9)
g 71 МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ
а формула (5) эквивалентна следующей (рис. 4):
dtp
Ж
= | grad с? | cos (1, п) = (grad tp)j = 1 • grad <в.
(10)
Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности
поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля
в данном направлении — производная скалярной функции по этому
направлению — является
проекцией градиента на
рассматриваемое направление.
Из формулы (10) сразу
вытекают выражения проекций
градиента на оси декартовых
координат:
(grad?)a) = |j,
(grad »), = !£, } (П)
(grad »)e = |j,
тик как частные производные <р рис. 4.
по х, у, г являются ни чем иным,
как производными от © по направлениям осей координат. Далее, по
обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента
и косинусы углов, образованных вектором градиента или, что все
равно, внешней нормалью к поверхности уровня с осями координат:
cos(n, х) =
cos(n, у) =
дх
cos(n, г) =
~дг_
(13)
46
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
ГЛ. t
Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения,
можем переписать (10) еще так:
ду , dtp
(14)
(15)
dl * dx ~ * dy ' ~s dz
где, по определению единичного вектора I,
1Я = cos (1, x), ly = cos (1, y), 4 = cos (1, z).
Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения
бесчисленное множество производных по всевозможным направлениям
в данной точке поля однозначно выражается через совокупность
значений трех величин -Д, -Д и -г- в этой точке. Само собой
разумеется, что совершенно безразлично называть ли мерой
неоднородности поля в данной точке вектор grad о
или эквивалентную ему совокупность
дц> д? df
величин Ш' ■&' ~ЬТ-
Несколько сложнее решается
аналогичный вопрос о мере неоднородности
векторного поля в данной точке.
Пусть в данный момент времени задано
иоле вектора а в функции декартовых
координат, т. е. вектор-функция а (х,у, г).
Приращение вектора а при каком-то
бесконечно малом изменении координат
точки М(х, у, z) найдем по формуле полного дифференциала:
Рис. 5.
, da , , da , , da ,
d*^Jx-dx+-dy-dy^^d2-
dz
(16)
Если точка M(x,y, z) переместилась в смежное положение (рис. 5)
М' (х -f- dx, у -f- dy, z -j- dz) по направлению 1 на расстояние dl, то
dx — dl- cos (1, x), dy — dl- cos (I, y), dz = dl ■ cos (1, z)
и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано
так:
da .
ИГ~~ х дх
или в проекциях
dax
~ТГ
day
~dT
да
— -L-1 ^а _1_ / ^а
"+* У dy "г г dz '
da„ , , да„
(17)
X
= /.
х dx
da
у
* dx
da„
daz .
~dT ~~ * ~dx
У dy
da
dy
da.
dy
dz
da
у
z dz
da.
dz
(18)
§ 71
МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ
4?
Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля,
где мерой неоднородности служит совокупность трех величин -^-,
сЬ да
—~, -г1-, мерой неоднородности в данной точке векторного поля
является совокупность девяти величин:
' да,- да„ да~
(19)
Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют
изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей,
а в своей совокупности эти девять величин определяют одну
физическую величину—меру неоднородности векторного поля в данной
точке.
Напомним,: что, вообще, всякая совокупность девяти величин
Тхх, Тху . .., линейно связывающая по формулам:
0"х == "х х<е I у у(е I "г' zx>
ау = ЬхТху + ЬуТууЛ- bzTzy, | (20)
az = ьхтхг + byTyz + bjzz,
проекции физическогоа вектора b с проекциями физического же
вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором
второго ранга; при этом правые части системы уравнений (20)
соответствуют операции умножения вектора на тензор, символически
представляемой так:
а=Ь7\ (21)
Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем
простой прием для их запоминания: составляя проекцию на некоторую
ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора
на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым
индексом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора на тензор не обладает, вообще
говоря, свойством переместительности, т. е. яТфТа. Обозначим
через Т* тензор, сопряженный с тензором Т, т. е. такой, у которого
1 См., например, Н. Е. К о чин, Векторное исчисление и начала
тензорного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304.
2 Вектор называется физическим, если его величина и направление в
пространстве не зависят от выбора системы координат; при этом отдельные его
проекции, конечно, зависят от выбора направления осей проектирования.
48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. I
индексы компонентов переставлены, например, Тху = Тух, Tzx = Twz
и т. д. Тензор самосопряженный, для которого Т* = Т и,
следовательно, Тху = Тух, Туг = Tzy, Tzx = Txz, называется симметричным,
так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные
относительно главной диагонали, равны между собой. Операция
умножения тензора на вектор эквивалентна операции (20) или (21) умножения
вектора на сопряженный тензор, т. е. Та = аГ*. Если тензор
симметричен, то Ta = aT, и формулы проекций произведения Га
совпадают с (20).
В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же
как это имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется
неоднократно иметь дело с примерами различных тензоров. Подчеркнем
важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19)
и зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где
задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он
характеризует определенное физическое свойство конкретного поля
величин.
Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он
состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по
координатам, дифференциальным тензором векторного поля.г Тогда,
согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности
(изменчивости) векторного поля служит дифференциальный тензор поля.
Обозначая дифференциальный тензор поля буквой D и, полагая
п — дах п — OfjL л _£fi ^
Uxx— дх > Uxy— дх > и!сг— дх
даг да,, да,
D = —— D = —- D = —"-
2/-с ду ' уу ду ' и* ду
да„ да,. да,
П =—_ D =—- D ——-
гз> dz ' z« dz ' zz dz
m
будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) и (21):
£=Ю. (23)
Последняя формула отчетливо показывает, что, независи.мо от
выбора той или другой системы координат, физическая величина —
производная физического вектора по определенному направлению
в пространстве — выражается как произведение физического вектора —
орта выбранного направления — на физический же тензор — меру
неоднородности поля в данной точке пространства.
Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих
параграфов можно предложить простой символический прием. Обо-
1 По аналогии градиент можно было бы назвать дифференциальным
вектором скалярного поля.
§ 7] МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ 49
значим через V некоторый условный вектор с проекциями:
*х дх> уу — ду' г~ dz ' ^
представляющий символически оператор дифференцирования.
Тогда градиент скалярной функции о можно рассматривать условно,
как произведение вектора-оператора V на скаляр о:
grad <э = V?, (25)
и формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по
правилам проектирования произведения вектора на скаляр:
(grad v)x = Vxo = -^ и др.
При этом равенство (10) по (25) можно представить в виде
§- = bV? (26)
и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как
символическое произведение
■зг = 1-*> (27)
вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную,
векторную или тензорную, за знак символического дифференцирования так:
5—0-V)?,
(28)
Принимая указанную символику, можно дифференциальный
тензор D изобразить как даадное произведение двух векторов:
символического V и дифференцируемого а:
D = Va, (29)
понимая под этой „диадой" тензор, составляющие которого легко
определяются по простому правилу:
дах дйу
(*а)хх === ^хах ~ $х ) (*я)ху — »afly == qx >
(Va)^ = Vxas = -j± и т. д.
Равенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может
быть еще написано так:
«(l-V)a = l(Va). (30)
4 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
50 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. 1
Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и
правила раскрытия скалярного произведения:
-± = (1 • V) а = (/eVe + /,V„ + Ш a =
дл
дг
~ Vх а* +'»б7+/г а?)а ~1* б7 + '* aj +'«
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей.
Линии тока и траектории
В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного
числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические
приемы задания движения.
Ближе всего к обычным способам задания движения подходит
способ, связанный с именем Лагранжа.
Пусть некоторая частица жидкости или газа М{х, у, г) в момент
времени t —10 занимала положение М0 (х0, у0, z0), тогда ее
координаты х, у, г в любой момент t можно рассматривать как функции
от времени t и параметров х0, у0, z0, определяющих выбор данной
индивидуальной частицы М. Более обще, вместо декартовых
координат точки М можно рассматривать любые ее криволинейные
координаты а, Ь, с, связанные с х0, у0, г0 соотношениями:
х0 = х0(а, Ь, с), у0=у0(а, Ь, с), z0 = z0(a, b, с).
Положение любой частицы М жидкости в момент времени t
задается выражениями ее декартовых координат через величины t, a, b, с,
называемые переменными Лагранжа:
х=МЬ х0, Уй, *o)=?i('» й> 6> с)>
y=f2(t; x0, y0, z0) = <p2(t, а, Ь, с),
z=fs{t; x0, y0, z0) = <pz{t, a, b, с). .
(31)
Задавая определенные значения параметрам а, Ь, с, получим
обычные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной
индивидуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения
траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости V
dV
У du_ сРх дЦу,
х~~~ dt ~ dfl ~~W
и ускорения V — -~гт-'-
., dx
V 11
v* u dt
v dy
у— v— dt
i/ dz
di\
dt
d?2
— dt
dt
V =i2.«=£!i! I (32)
vv dt dP ' ( W
z dt ~~ dP '
§ 8] ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 51
Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа
для индивидуально движущейся частицы жидкости, называют
индивидуальной или еще субстанциональной (относящейся к определенной
частице субстанции).
Другой, получивший более широкое применение прием задания
движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении
скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, z точек
пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин
t, х, у, г называют переменными Эйлера; движение среды, по Эйлеру,
задается так:
и = и(х, у, г; f),
v = v(x, у, z; t),
w = w (x, y, z; t).
(33)
В методе Лагранжа величины х, у, г являются переменными
координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе
Эйлера-—это координаты точек пространства, мимо которых
проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера,
которым, по преимуществу, и будем пользоваться.
Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой
точке которых скорость в данный момент направлена по касательной
к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст
наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на
поверхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок,
частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и
не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной
с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка
изобразится в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в
отчетливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент
производства снимка.
По самому определению, линия тока поля не совпадает с
траекторией частицы^ представляющей пространственный след
движущейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения
линии тока.
По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь
следующую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
Ъх = ЬУ = Ьг Ш)
и (х, у, z\ t) v (х, у, г; t) w (х, у, z; t) ' к >
причем разыскиваются конечные связи между переменными х, у, г,
а время t играет роль фиксированного параметра; величины же Ьх,
Ъу, Ьг представляют проекции произвольного бесконечно малого
отрезка 8г, направленного вдоль линии тока.
В противоположность этому, проекции направленного элемента dv
траектории dx, dy, dz представляют проекции перемещения частицы
4*
52 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ. I
жидкости за время dt, т. е.:
dx==u dt, dy = v dt, dz = w dt;
отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных
уравнений траектории:
. dx = dy dz 5)
и (х, у, z; t) v (х, у, z; t) w (х, у, z; t) ' '
причем в этой системе уравнений координаты х, у и z являются
неизвестными функциями одного аргумента — времени.
Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально
отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока и траектории
не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля,
т. е. случай, когда время t не входит явно в задание скоростного
поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35),
если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени dt, не
входящего явно при стационарном движении в остальные уравнения
системы (35). Отсюда следует, что при стационарном движении,
т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока
совпадают с траекториями.
К этому результату легко придти и из геометрических
соображений. На рис. 6 показаны построения линии тока ММХМ^МЪ. ..
и траектории ММ'М"М'"..., проходящих через одну и ту же точку М.
Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V
скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок ММХ,
через точку Мх проводим вектор скорости Vx, соответствующий
§ 9] ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ 53
тому же моменту времени, на векторе Vx откладываем отрезок Жх/И2
и скорость V2 точки М% и т. д., причем все это делаем в один и
тот же фиксированный момент времени. При построении траектории
вновь отмечаем скорость точки М и, пользуясь произволом в выборе
интервала времени, откладываем на ней отрезок ММ' = MMi; по
прошествии времени dt, если поле не стационарно, скорость V
точки М', несмотря на совпадение точки М' с точкой Мх, уже
не будет равна скорости Vj точки Мг в момент /. Следовательно,
траектория отклонится от линии тока, и кривые разойдутся в
пространстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время
изменилось на dt, скорости совпадающих точек М' и Мх будут
одинаковы, точки УИ2 и М", так же как их скорости, совпадут, и
траектория ничем не будет отличаться от линии тока.
Векторная трубка, образованная линиями тока, называется трубкой
тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц,
образующих в некоторый момент замкнутый контур, называется струей.
Из предыдущего следует, что при стационарном движении трубка
тока и струя, выходящие из одного и того же замкнутого контура,
совпадают.
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы
на локальную и конвективную составляющие
При лагранжевом представлении движения (31) ускорение
индивидуальной частицы легко находится повторным дифференцированиелМ
но времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти
распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е.
поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров
методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной
жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного
поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве,
в котором движется точка.
Рассмотрим изменение d\I скорости данной индивидуальной
частицы М за время dt, или, как иногда для краткости говорят,
индивидуальное изменение скорости частицы.
Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно
рассматривать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения,
происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие
нестационарности поля и равного
(<А0ли, = ^л, (36)
и 2) конвективного, являющегося следствием неоднородности поля
скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время dt
Рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через ds
54 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
дифференциал дуги траектории, будет равно:
№„=/>=£•£*« ^>, (37)
или по формулам (28) для производной вектора по направлению
(орт касательной к траектории, очевидно, равен V/V):
(rfV)K0HB = V (j? ■ V) V dt = (V • V) V dt.
Формула полного ускорения будет:
<*V (rfV)jI0K + (dV),
V dt "'
dt
av
= «+CV-v)v.
(38)
(39)
В проекциях на оси декартовых координат будем иметь:
,-, du du , ди . ди , ди
V*^7t = 7й+идИ+*Ту+'и>
vv =
V.=
dt
dv
It
dw
~dt
dt
dv
'"dt
dw
Ж
dz
i dv , dv , ml dv
dx
, dw , dw i
+ u-dx-+v-by+w
dz '
dw
~dz~
(40)
,_ du dv dw
Производные типа -т-, -n, —тт, вычисленные вдоль траектории
индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40),
называют, как уже ранее упоминалось, индивидуальными, или, иногда,
субстанциональными производными.
Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32)
и (33), вычисляя полные производные по времени от проекций
скорости:
К. = -гг
du
Ш
-f-
du
dy ,du dz_
dt _t~ dz ' dt ~'
du
+ \J 14- | VI* i OH
U^ r- V-x \-W д-
^v- i dv ' dz
и т. д.
du_ , du_ dx
bl^dx"di'' dy
du_ . du
~"Ш^иШ
По заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение
легко вычисляется.
Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального
тензора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного
поля, обозначение D, причем таблица (матрица) составляющих тензора
будет иметь вид:
du
dy'
dv
dy1
dw
w
D
1 dx'
dv
dx'
dw
\ Л
« 9] ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ 55
получим формулу ускорения в форме
V = ^ + VD, (390
подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании
конвективного ускорения.
Локальная часть ускорения равна нулю при стационарности
скоростного поля, конвективная часть равна нулю, если поле однородно.
Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое,
в ускоренном поступательном движении, при котором скорости всех
ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени;
в этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное
ускорение сводится к локальному.
Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости,
движущейся поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом
случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают
ускорения, как это имеет, например, место при явлениях удара тела о
поверхность жидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости
и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после
того, как от действия локальных ускорений возникнет
неоднородность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное
соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит
в основе теории удара.
Разложение ускорения на локальную и конвективную части может
быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной)
производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной
величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть,
например, каждому положению частицы жидкости или газа в
пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая
величина © (например, температура частицы, плотность), тогда
совокупность значений величины ср образует некоторое поле, и при
движении жидкой частицы величина со будет изменяться как в силу
нестационарности поля {локальное изменение ср), так и вследствие
перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля
в другой {конвективное изменение ср). Полная индивидуальная
производная по времени от величины ср будет складываться из локальной
производной dv'dt и конвективной производной, равной [ср. с (37)]:
g-S-^=^-gnidT)eV.grad?-(V.V)9.
Окончательно для индивидуальной производной от скалярной
функции ср будем иметь:
& = ^+V-grad, = |4-(V.V)cf. (41)
56 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
Для любой векторной или тензорной функции а или Т, связанной
с движущейся индивидуальной частицей, получим:
da = дЛ _!_ (v
dt
dT
dt
дТ
dt '
V)a,
f- (V • V) T.
(42)
§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной
точки. Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций
и его компоненты
Желая изучить скоростное иоле движущейся жидкости в деталях,
применим обычный прием математического анализа — рассмотрим
в данный момент времени иоле скоростей жидкости в окрестности
какой-нибудь точки Ж0 пространства, причем координаты и все
величины, определенные в этой точке, будем отмечать индексом
нуль.
Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся
в окрестности точки А10, в ряд, будем иметь с точностью до малых
высших порядков:
■№ (x-A0)4-(g)/v-^4-^
: Vn -4- I — !
{х-х,)Л-{д^)(у-Уо) +(ш) (z-*o>> } (43)
ia_v/0
= w° + (Ш\(х - 'о) 4- (^\(У -Уо) 4- ©^ -г0).
Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом
нуль являются постоянными величинами или функциями только от
времени, проекции же скорости и, ю, w рассматриваемой точки М
являются линейными функциями координат х— х0, у—у0, z—z0
точки М относительно точки М0.
Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным
нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением)
скоростей в общем случае движения твердого тела:
«п
[-со (г — z0) — ше(у— у0),
v = v0 4- «г (л- — х0) — шж (z — г0),
w = <w0-\-oj.j.(y —y0) — шу (х — х0), }
(44)
или в векторной форме
V=V0 + wx(r— r0),
(45)
S 10] СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОЧРЕСГНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ 57
где о)(">а;, ч>^, шг) — вектор угловой скорости тела в данный момент,
одинаковый для всех точек тела (рис. 7), т. е. не зависящий от
вектора-радиуса г(х, у, г) точек тела или от вектора-радиуса г0 (х0, у0,г0)
полюса О, a V0 (и0, •»„, w0) —
скорость полюса, так же как
и угловая скорость, зависящая
только от времени.
Пользуясь этим, составим
разности накрест взятых
производных от проекций скорости
по координатам и легко
найдем:
1 /dw dv^
Шх~1\ду~"дг/
/ди dw<
dz
dv
дх
дх,
djT
' ду,
(46)
ш = | rstV
Рис. 7.
после чего поле скоростей (44) примет вид:
, 1 /ди dw\ , л 1 /dv ди\ , ч
, 1 /dw dv\ , ч 1 /ди dw\ , ,
(47)
индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства
сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют
одинаковые значения во всех точках.
Сравнивая (43) и (47), видим, что поле скоростей в окрестности
данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую
равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле
(условимся называть эту часть квазитвердым движением), и 2)
деформационную часть, отличающую поле скоростей движущейся
жидкости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь:
U = «к.т "Ь Идеф,
•» = •»*.» "Т'Одеф,
™ = Щ)К.Т + ™деф.
(48)
Система равенств (48) заключает в себе проекции ик.т, fM, wx.T
скорости Vk.t в квазитвердом движении, определяемые формулами (47),
И Проекции Ядеф, Ядеф» "Идеф СКОРОСТИ ДефорМЭЦИОННОГО ДВИЖеНИЯ Удеф,
58 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
вычисляемые как разности и— ик.т, v — vR.r, w—wK-r и равные:
1 (ди . dw\
^деф
' 2 W^
-2 v^-+a3r)u(x-Xo)+ Tfe+eFJo0'-^4-VW*-*^)
(49)
Отсюда следует первая теорема Гель м гольца: всякое
движение жидкости или газа в окрестности «некоторой точки
(полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее
из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса, и деформационное движение.
Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части,
отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который
в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости
в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение
понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы
сохраним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.
Вектор Q с проекциями:
о о dw
9(В = 2шш=^г-
о о ди
*-*-.-£-
dv
"dz
dw
"д~х
ди
ду'
\
(50)
равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя
терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем" или „ротацией"
скоростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать
символом rotV (иногда пользуются еще символом curlV). В
рассмотренном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости
есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент
времени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет
изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую
дифференциальную операцию, произведенную над векторной функцией V;
аналогичную операцию можно производить над любой другой
векторной функцией, образующей поле. Так, например, в общей механике
условие потенциальности силового поля F (Fx, Fy, F^ сводилось к
выполнению равенств:
ду
д1«
' dz
dF„
dz
dFe df^
dx ' dx
v
Mb
- dy
т. е. к равенству нулю вихря силы.
10] СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧЧИ 59
Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Q
или проекции вектора угловой скорости w можно предложить
следующие простые символические формулы:
Q = rot V = V X V, )
(51)
составление проекции которых по правилам векторного произведения
сразу дает (50) и (46).
Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому
движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде:
VK.T = V0-f~(rotV)0X(r-r0),
(52)
где под (rotV)0 следует понимать значение вектора rotV в точке М0-
Что касается вектора скорости деформационного движения Удеф,
то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора
на тензор [§ 7, равенства (20) и (21)], можно представить в форме
Удеф = (Г — Г0)5,
где S — тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль):
(53)
дх
2 {дх > ду
~2 \1г |" 17)
Ту)'
2 {дх +
\ 2 \dT~i~Tx)'
до
Ту'
1 fdw . dv \
дг
1 i'dw
2 \Ту"
dv_
dz
dw
TF
(54)
/
называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей
определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" S,
если под и, v, w понимать не проекции скорости, а малые
перемещения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует
очевидное соотношение:
■ Sdt
(55)
где dt — элемент времени, в течение которого произошли малые
перемещения тела.
Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций,
симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в
таблице симметричны относительно главной диагонали, т. е. Sxy = Syx,
'zy> "гг — ^xsi из девяти компонент симметричного тензора
различны только шесть.
byz —■ Sstl, Szx — S.,
60 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
Отдельные компоненты тензора скоростей деформации имеют
простой физический смысл. Докажем, что диагональные компоненты
тензора:
ди a dv д dw
Sxx — дх >
Jvv
ду'
S™ — ~д7
(56)
представляют не что иное, как скорости относительных удлинений
бесконечно малых отрезков, расположенных соответственно по
направлению осей Ох, Оу и Ог, а диагональные компоненты:
ди"
ду)
dv
а _ л 1 (до
Ьху — Ъух— 2\дх
4-£),1
Syz — Szy '■
1 (dw i
2 {ду '' дг
л _ л _ J_ (ди_ , dw\
2 \dz
дх)
(57)
равны половинам скоростей сдвигов или половикам скоростей
сношений углов между этими
отрезками.
Действительно, рассмотрим в
данный момент времени t три
бесконечно малых „жидких", т. е.
образованных из частиц жидкости,
вектора: М0М1г М0М2 и М0М&,
расположенных по осям координат
(рис. 8) с началом в точке М0.
За время dt жидкие частицы
(концы этих векторов) Ми М2 и
Мь, следуя деформационному полю
скоростей, которое сейчас только
и рассматривается, перейдут в но-
вые положения М\, М3, М%;
точка /И0, поскольку исключены части
движения жидкости как твердого тела, останется на прежнем месте
(лг0 = лго=0, j;0 = ^o=0, z0 — z'j— 0). Начальные (к моменту i)
координаты точек Mv M2, Мъ будут:
Mt(Xl, 0, 0), Л*2(0, у2, 0), М8(0, 0, zs),
конечные координаты (к моменту t-\-dt), согласно равенствам (49),
примененным отдельно к точкам:
Mt(x — х0=хи у— J\, = 0, г — г0=0),
М2{х — л-0=0, у— у0=у2, г—г0 = 0),
М$(х — х0=0, у—уц^О, z — z0 = z3),
Рис. 8.
lOf
СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
61
будут:
а) для точки М]\
х[ = х1 + мдеф(*„ 0, 0)dt = xl-\-(|^)oxl dt = xx 1 -f (|£)0d*\,
.у1 = о + «деф(х„ о, 0)^=^(^-4--&)0х1а*>
z'i = 0 4- ™дгф (Jfj, 0, 0) Л = 2" (j£ + ^)o *i d/;
б) для точки Жа:
*2 = 0 + ИДеф (0, у2, 0) dt = j (■£ -j- ^)0Л rf'>
_у.; = Л -f- -Удеф (0, yit 0) Л = у2 + (|у)0У2 Л = Уо [ 1 -f (^7)0 dt\ '
г, = 0 + ^деф (0, у2, 0) d/ = I (^ -f ^-)o^2 Л;
в) для точки /W3:
х'з = 0 + Мдеф (О, 0, г8) tf/ = -g-(-gj-f- -^)o г3 d/,
_yi = 0 + г»деф (О, О, г3) Л = -J (-^J -f 37^ г3 dt,
г', = гъ + ™Деф(0, 0, г^ Л = гь + (^)0 гв Л = г3 1 + (^)0 #].
Составим теперь, например, скорость относительного удлинения
отрезка М§МХ; это будет, с точностью до малых высших порядков:
V*. _V/r^[1+fe)0d<T+-~jri .^"\ _
МЖ-dt
x-idt
dxJ0~S**'
аналогично будет и для других диагональных компонент.
В начальный момент t угол между осями Ох и Оу был равен 90°,
косинус его — нулю. Обозначим через fxy уменьшение (скошение)
этого угла к моменту t-\-dt; тогда получим, в силу бесконечной
малости угла •\ху:
cos (M0MU MQM2) = cos [^ — ixyj = sin чху = fxy,
или, используя известную связь косинуса угла между двумя
направлениями с их направляющими косинусами, в данном случае с точностью
До малых высшего порядка, равными:
62 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
а) для направления А\0М^.
х\ v[ 1 /dv ди\ г[ 1 /да .dw\
б) для направления М0М3:
1 /dv , ди\
получим
ж, 1 /dv ди\ v., z0 1 idw , dw\
-jL='-o(t- + -5-) *» — = 1» —= тг -5- + Т- ) *"»
j»2 2 \ d* ' dy /о ' _y2 Уч 2 V d_i' ' dz /о
1^-4-^^4-1^4-^
*« = ! ' 2 Ы+и)/^ 2 Ы + Щ," ' ! + ббСК- МаЛ" 2"Г0 П°Р-
Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости ^xy
сношения угла хОу:
7хи dv , ди . . 1 .
^xv dt дх ^ ду ~~ ^0»2/> ху ~~ 2 '"'г''
и аналогичные формулы для других направлений.
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы
Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной
важной величиной — скоростью относительного объемного
расширения в данной точке, которую можно определить как предел
Игл -г-^77(Дт).
где At—малый объем, в котором взята точка. Эта физическая
скалярная величина носит наименование дивергенции (расходимости)
скоростного поля и обозначается символом divV, так что можно
написать
Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве
с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может
повести к недоразумениям, обозначать пространственные
дифференциалы символом 8, временные — d. Тогда (58) дает
В дальнейшем часто придется находить производную по времени
от элементарного объема жидкости. По (59) имеем:
j^(8r)=dlvV-&c. (59')
I 11) СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ 63
Для определения величины divV воспользуемся приемом, идея
которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент
времени t элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными
сечениями (рис. 9) da{ и da2 выделим некоторый объем ABCD = 8т.
За время dt объем сместится в положение A'B'C'D' и, вообще
говоря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение
объема ABCD в этом случае будет равно:
d (§т) = объем А'В'CD' — объем ABCD ==
= объем DD'C'C —объем АА'В'В,
так как объем A'B'CD является общей частью объема трубки в
начальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению
к объему ABCD нормали П] и п2 и „
внутреннюю нормаль ni, а также
отметим векторы скоростей V, и V2 в
сечениях doj и da.2. Тогда будем иметь:
объем АА'В'В = do, • Л, =
= dat • Vjdt • cos (Vj, ni) =
= — Vjcos^j, iij) dt • d<iv
объем DD'C'C = do2 • h.2 =>
= V2 cos (V2, П2) dt • da2
и, следовательно,
(60)
Возьмем теперь в поле скоростей
любой конечный объем т, разобьем его
поверхностями трубок тока на
бесчисленное множество элементарных
объемов 8т; при этом входные и
выходные сечения do заполнят всю
поверхность о, ограничивающую объем т.
Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда,
очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема:
rfJ=J Vnda= J Vcos(vTti)da= J n-Vdo. (61)
Согласно (58), получим теперь следующее интегральное
представление дивергенца скорости:
divV= lim i- f Vndo= lim i- f n-Vrfo,
До 4,
(62)
64 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ. 1
где До — поверхность, ограничивающая малый объем Дт,
заключающий в себе точку, в которой определяется divV; при стремлении Дт
к нулю поверхность Да стягивается в эту точку.
Замечая, что выражение
/
Vndo
представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую
поверхность До, ограничивающую объем Дт, содержащий внутри себя
точку, в которой опре-
z
5ш.
делится дивергенция,
можем еще определить
величину div V как предел
отношения секундного
объемного расхода
жидкости сквозь замкнутую
поверхность к объему,
ограниченному этой
поверхностью, когда
поверхность стягивается к
точке, в которой
определяется дивергенция. Как
видно из хода
доказательства, объем Дт
совершенно произволен по
форме. Выберем за Дт
элементарный декартов
координатный параллелепипед (рис. 10); тогда, составляя
непосредственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения Vn
по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим:
1
Рис. 10.
divV= lim . . .
Дх -> о АХ Д-У Дг
dv
\( и -}- у- Дх) Ду Дг — и Ду Дг -f-
+ (v + -щ by) ^xAz — v Дх Д г +
~\- (w -f -г- Дг J Дл: Ду — w Дх Ду -\- б. м. вые. пор. ,
откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в
прямоугольных декартовых координатах:
да
дх ' ду ' дг
dv
dj
dw
(63)
По заданным уравнениям поля скоростей divV в данный момент
легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем
§ 11]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
65
ее символический вид
div V -= V • V. (64)
Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и
вспоминая (24), получим формулу (63).
Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая
общая дифференциальная операция, совершаемая над любой
векторной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо
вектора V надлежит вставить дифференцируемый вектор а. В этом
случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а
выражение
Г and<j= Г п • a da,
а а
где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой)
поверхности о, называют потоком вектора а через поверхность а.
Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а
совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность о
в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости
сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению
дивергенции скорости.
В общем случае дивергенция вектора определяется как предел
отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему,
ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается
к точке, в которой определяется дивергенция, т. е.
diva= lim -г- anda = lim — n-ado. (62')
hz Да
Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных
координатах будет, аналогично (63), иметь вид:
** — ■£+!? + £• (630
Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно
повторить для элемента объема в любой системе криволинейных
координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить,
таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в
криволинейной системе координат; это будет сделано далее в гл. VII.
Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего
интегральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским
академиком М. В. Остроградским (1801—1861).
Разобьем любой конечный объем т на большое число малых
объемов Дт; обозначим поверхность, ограничивающую т, через о,
а Дг — через До.
5 Змь 1841. Л. Г. Лойцянский.
66 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. 1
Тогда, согласно (62'), будем иметь для элементарного объема Дт:
Г п • a da = div a • Дт + г • А", (65)
д»
где s — малая величина, идущая к нулю с уменьшением Дт.
Просуммируем обе части равенства (65) по всем объемам Дт,
образующим конечный объем; получим:
2 J п ■ a do == 2 div а ■ Дт + 2 s • Дт-
Ди
В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы
интегралов, взятые по общим границам двух соседних малых объемов,
так как сама вектор-функция а в силу непрерывности имеет
одинаковое значение на границе со стороны какого объема не совершался
бы подход к граничащей поверхности, в то же время внешняя
нормаль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является
внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого
объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных
между собою по величине и противоположных по знаку, сократится.
Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним
частям поверхности о, окружающей объем т, т. е. поверхностный
интеграл по поверхности о. С правой стороны, если устремить к нулю
малые объемы Дт, останется объемный интеграл от div а, взятый по
объему 1, так как второй член справа, как сумма малых четвертого
порядка, обратится в нуль. Таким образом, получим интегральную
формулу:
Г п • ad<3= f divadx (66)
или
Г and<j = Jdivacfc. (66')
Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный
интеграл от дифференциального оператора div а векторного поля
через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по
поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд
кажется странным, что при любом виде векторной функции а
(подчиненной лишь ограничению непрерывности и существования первых
производных по координатам) объемный интеграл, вычисление
которого требует знания функции во всех точках внутри объема,
выражается общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый
значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь
в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция,
а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря
определенный интеграл от производной функции, получают разность
§ 111
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
67
значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был
непрерывный закон изменения функции внутри интервала.
Формула (66) в декартовой системе координат принимает
обычный вид формулы Остроградского:
J J **
,cos(n, x)-\- aycos(n,_y)-f- a3cos(n, z)] da =
-/ж-
да„ , да„ да,,
-я+Ъ + ъ)*- (66")
Если положить а = V, т. е. применить формулу (66') к
скоростному полю, то левая часть представит секундный объемный расход
жидкости сквозь замкнутую поверхность о, а правая часть определит
скорость увеличения объема т жидкости со временем; естественно,
что скорость увеличения объема равна секундному объемному
расходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.
Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим,
что равенство (66) можно представить символически так:
Г п • a da = Г V • a dx, (67)
(J -С
как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле
соответствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для
дальнейшего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному
векторному полю постоянного по величине и направлению вектора а.
Тогда получим
п • а й<з = о,
/■
или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла,
а • Г n da = О,
а
откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для
всякой замкнутой поверхности можно написать:
n da = 0. (68)
/
Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти,
например, в ранее указанном руководстве по векторному
исчислению Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке
формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве
нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади
граней замкнутого многогранника.
б*
68 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ. 1
Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных
дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести
интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные
только что выведенным формулам (62) и (66).
Рассмотрим в поле скалярной функции <р произвольный малый
объем Дт (рис. 11) с поверхностью До и рассечем его двумя
смежными поверхностями уровня о и <s-\--^-dn, находящимися друг
относительно друга на расстоянии dn,
i" отсчитанном по внешней нор-
f мали п, проведенной через точ-
/^^^-^^^^^—Г^ч ^^^1 ку М первой поверхности уровня.
/ "/"—f—-V-"" / Рассмотрим поверхностный
интеграл
Wo',
JVo
/ / ~---/i:_ -""И распространенный на поверхность,
/ \г J --.^ I окружающую объем й?т, заклю-
"V /^-^ / ——У ' I ченный между проведенными по-
^-v. ' / i J верхностями уровня и равный,
^^Г~^~^/ JL^*^^ в СИЛУ малости всех величин, про-
4а\ Г } изведению площади основания на
\ J высоту dn; под знаком интеграла
~""^ п' — внешняя нормаль к поверх-
Рис. 11. ности интегрирования, da' —
элемент площади поверхности.
Этот интеграл может быть представлен как сумма своих
элементов, рассчитанных по площадкам fuf-\-df, и, кроме того,
интеграла по боковой поверхности, являющейся частью (пояском)
поверхности До. Будем иметь:
Г nWo' = - n(?f ^п(<?-\-^dn\(f-{-df)-\- j n'<pufo' =
(бок)
(бок)
так как можно считать, что по боковой поверхности
рассматриваемого объема о сохраняется постоянным; с другой стороны, применяя
к той же поверхности формулу (68), получим
— n/+n(/+rf/)+ fn'da = 0,
(бок)
откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части
предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид:
Г n'cp da' = grad <af dn =* grad о di.
§ 11]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
69
Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых
объемов, образованных из объема Дт сечением его поверхностями уровня
функции <р> и просуммируем эти равенства по всему объему Дт; тогда
в сумме
2 J n'yda'
останутся лишь слагаемые, относящиеся к боковым пояскам поверх^
ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем Дт,
т. е. не что иное, как поверхностный интеграл
f n'odo'.
Д<т
Справа будем иметь объемный интеграл
Г grad ев di,
Дт
который в силу малости объема Дт будет равен
Г grad ф dz = grad <p • Дт -[- е Дт,
Дт
причем з —► 0, когда Дт -* 0.
Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих)
искомое интегральное
представление градиента
ffiado= lim -г n» do
' Дт-ЮДх-' '
(69)
и путем, совершенно аналогичным
примененному для операции
дивергенции, выведем вторую
интегральную формулу:
Г no do = Г grad cp dr. (70)
о т
Аналогичного типа формулы
можно установить и для операции
вихря. Рассмотрим в поле
квазитвердого вращения жидкости с
угловой скоростью to, равной по
предыдущему {формула (51) § 10]
~2 r°t V, малый цилиндр с осью, параллельной оси вращения,
радиусом г, высотой h, объемом и поверхностью, соответственно
равными Дт и До (рис. 12). Составим поверхностный интеграл от
70 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
векторного произведения орта внешней нормали п к поверхности
этого цилиндра на вектор вращательной скорости V. Тогда, выбирая,
как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра
полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии ds друг от
друга, а в плоскостях оснований—-симметричные элементы, убедимся,
что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему:
JnXV<b= J* (nyy)hds,
Ди (бок)
так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно
сократятся.
Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор
nXV параллелен вектору ш и равен по величине V=u>r, будем
иметь с точностью до малых высших порядков:
Г nXV da = шг Г hds = 2nr2hta = rot V Дх.
Д» (бок)
Отсюда следует точное равенство:
rotV= lim ~ f nXV*, (71)
At->.0aV
Да
обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и
произвольный закон стягивания поверхности До, окружающей
элементарный объем Дт, к данной точке пространства, получим следующее
интегральное определение вихря вектора:
rota= lim ^- \ пХа&. (72)
д»
Пользуясь этим определением, легко получить выражение вихря
в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же
приемом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах.
Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми
сторонами Длг, Ду, kz (рис. 13). Тогда, проводя непосредственное
интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу
малости граней:
f пХаЛ = [-(1Ха) + 1х(а + д|Д*)]ДуД* +
Аз
-b[-(JXa) + jx(a + 0Ay)]A*A* +
+ Г— (кХа) + кх(а +1| Дг)1д* Ду -f б. м. вые. пор. =
= [('x|)4-(iX|) + (kxS]A*A/A^...
§ 121
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
71
Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь
nt.-ixg+JXfS + kxg.
Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования
векторного произведения, найдем:
дае дау
(«>t >). = -35—j/,
даь дах
(rot a)
дх
ду '
(72')
Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих
формул при ах = и, ау = v, аг = чв.
Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе
интегральных формул для
дивергенции и градиента, из равенства (72)
получим
JnXarfo= frotarfT. (73)
Здесь, согласно правилу (51),
вновь оправдывается
символический прием для запоминания
интегральных формул: орт п в
поверхностном интеграле заменяется
оператором V в объемном
Г п X a d* = Г V X a fc. (74)
j*u 1
/
*
4z
1
1
л
х-"
1
1
i
—-4—,
лу
~i*a
т«
Интегральные формулы (66), Рис. 13.
(70) и (73) будут играть
важную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа,
а также и в некоторых кинематических вопросах.
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки
Как было ранее (§ 10) уже выяснено, элементарный объем
жидкости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве,
непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое,
вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем
скорости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине
величины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную
72 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ.
совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости,
введем в рассмотрение векторные линии поля угловых скоростей
вращения to или, что все равно, векторные линии ноля вихря
скорости rot V = 2to. Эти векторные линии назовем вихревыми линиями
или вихревыми нитями.
Напомним общий способ построения векторных линий, особо
поучительный в данном конкретном случае.
Рассмотрим в данный момент t вблизи точки М (рис. 14)
вращающийся элементарный объем 8т и отметим вектор угловой скорости to
его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый
отрезок ММ', проведем в тот же момент времени t вектор to' угловой
скорости вращения элементарного объема в точке М', затем вектор
угловой скорости to" в точке М" и
т. д. Полигон ММ'М"... в пределе
образует вихревую линию.
Элементарные жидкие объемы, расположенные
вдоль линии, вращаются вокруг
касательных к ней в соответствующих
точках. Вихревая линия играет роль
криволинейной оси вращения этих объемов.
Представим себе элементарные объемы
жидкости как „бусинки" с заранее
проделанными в них отверстиями для
продевания нитки. Непрерывность поля
скоростей в жидкости приводит к та-
Рис. 14. кой ориентации „бусинок", что нитка,
продетая в одну „бусинку", попадет
точно в отверстие следующей „бусинки" и т. д. Нитка, проходящая
через отверстия „бусинок" (рис. 14, справа), дает представление
о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок"
отражает лишь вращательное движение элементарных объемов
жидкости и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов.
Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя
рассматривать как некоторый длительный процесс во времени;
вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения.
Расположение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах
все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих
объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение.
Вектор to = у rot V представляет мгновенную угловую скорость
некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы
при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого
элементарного объема.
Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости
жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля
§ 12]
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
73
жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно
перпендикулярные оси (главные оси тензора скоростей деформаций),
скорости скошения которых равны нулю. Такой, для разных точек
пространства различный „жесткий скелет" будет в данный момент
времени иметь угловую скорость, как раз равнуюг
ft) == у rot V ^
т"-
Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного
контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным
приемом получим вихревые трубки конечного размера.
Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым
второй теоремой Гельмгольца: поток вихря вектора через
сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную
вихревую трубку = (рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от
rot a
п'--П
Рис. 15.
нее двумя произвольными сечениями ох и о2 некоторый конечный
объем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную
контурами этих сечений, обозначим через абок. Тогда, применяя к
выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66),
получим для вектора rota:
Г (rot a)„' dz -\- Г (rot a)ni da -\- I (rot л)п, dz = Г div rot a dz,
1 См. Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Аэродинамика пограничного слоя, ОГИЗ
"ГТИ, 1941, стр. 13.
74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
где п' — внешняя нормаль к поверхности интегрирования; заметим,
что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой
части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных
сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу,
третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки
нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать,
что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как
д /даг даул д ,дах daz\ д ,дау дах\
d,vrota = ^(^r--gF) + ?p(17-3J)-h^(>1F-1[7)S0.
Обозначим через п нормаль к поверхностям сечений <зг и о2,
направленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для
сечения а1 и наружу — для з2; тогда найдем
J (rot а)„ d3 = J (rot a)„ da, (75)
», a,
что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную
для любого векторного поля.
Полагая:
a = V, rot a = rot V = il, -jrotV = o>,
получим гидродинамическую форму равенства (75):
I Q„rfo= const или I (ondo = const. (76)
• з
Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая
формулировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки.
Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный
смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом
случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям
трубки, и, в силу малости площадей этих сечений d<sl и rfoa,
написать:
<alda1 = w2d<32 или ш da = const. (76')
Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки
угловая скорость вращения больше, и наоборот.
Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение
вихревой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности
§ 13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ 75
вихревой трубки и положить
I = Г (rot a)re rfa.
В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки
понимают поток вихря скорости
/= [(rotV)nrfo = jQnrfo. (77)
В некоторых курсах под интенсивностью
вихревой трубки скоростного поля жидко-
сти понимают поток вектора угловой
скорости
/'= Lwrfa=l/. (770
Важным следствием доказанной теоремы
Гельмгольца является невозможность
окончания вихревой трубки в жидкости, так как
при уменьшении площади сечения трубки до
превратилась
Рис. 16.
угловая скорость
в бесконечность
нуля
бы
(рис. 16). Как показывают опыты,
вихревые трубки либо образуют
замкнутые кольца, либо заканчиваются
на стенках сосудов или на
свободных поверхностях (рис. 17).
Подчеркнем еще раз, что
вторая теорема Гельмгольца говорит
об одинаковости потока вихря вдоль
трубки в данный момент времени;
о том, будет ли интенсивность
трубки постоянной во времени или
нет, можно судить лишь на
основании рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера
приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через
циркуляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема
об изменении циркуляции скорости во времени
Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается
непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить
скорости частиц жидкости. Естественно встает вопрос об
установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением
Скоростей в жидкости,
Рис. 17.
76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
Для решения этого вопроса введем характерную для поля
скоростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии;
понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных
понятий современной гидромеханики.
Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией
вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль
контура криволинейный интеграл от проекции вектора на
касательную к контуру. Примем обозначение (рис. 18):
в
Г a cos (a, dr)ds —
i
в в
Г asds = Г (ах dx ~\-ay dy -\-asdz). (78)
А А
Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому
в этом случае контуру будет обозначаться так:
Г (а) = ф а • dr = ф as ds и т. п. (79)
Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже
пользоваться в теоретической механике при вычислении работы, равной
циркуляции силы.
В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе
положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого
Рис. 18.
рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С
(рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность а,
опирающуюся на этот контур. Будем различать у поверхности о две стороны,
например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую,
выберем произвольно за положительную и условимся в ту же
сторону откладывать и положительное направление нормали к
поверхности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление
Tab(а)= Г а • dv =
S 13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ ??
гьп'=0
нормали к ней, примем за положительное направление обхода по
контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль
положительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева.
При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно
дать более простое правило: положительное направление обхода
плоского контура совпадает с
направлением вращения головки
винта, когда сам винт
перемещается в направлении
положительной нормали к
плоскости контура.
Чтобы установить связь
между интенсивностью
вихревой трубки в поле вихря
некоторого вектора и
циркуляцией этого вектора по контуру,
возьмем сначала плоский малый
контур ДС (рис. 19) с
площадью До и построим на нем
цилиндр, высота которого h
также мала. Применяя к этому
цилиндру интегральное
определение вихря (72), получим:
rot a = lim -г- I п' X a da,
Дг -» О йХ J
n«n'
Рис. 19.
причем поверхностный интеграл распространяется на полную
поверхность цилиндра.
Проектируя обе части этого равенства на нормаль п к элементу До,
получим:
(rota)„ = lim — п • (п' X a) da.
Дг -> 0 ат J
Согласно известному свойству тройного произведения
п • (п' X а) = а • (п X п'),
позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно
полученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде
(rota)„ = lim _L a ■ (n X n')do.
Дт->-ОаХ J
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком
предела, может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно.
"'8 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гл. 1
Заметим для этого, что вектор п X п не равен нулю только на
боковой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке
элемента этой поверхности будет:
(п X «О & = (nX n') hds = h dr;
[алая величина, стремящаяся к
(rota)„==^^a.rfr.A + e,
тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при
уменьшении До)
АС
откуда следует
(rot а)„ До = ф а • dr -j~ s До,
AC
(80)
т. е. с точностью до малых высших порядков поток вихря вектора
через площадку До равен циркуляции вектора вдоль контура,
ограничивающего эту площадку.
Из формулы (80) предельным переходом можно получить
следующее интегральное представление проекции вихря вектора на любое
направление
(rota)„= lim J- a • dr,
(81)
где До -
rot a
■ некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к
направлению п, а ДС—окружающий ее контур.
Пользуясь этим определением, легко
вывести формулы проекций вихря на оси
декартовых или криволинейных координат,
непосредственно вычисляя контурный
интеграл по сторонам координатных
элементарных прямоугольников и переходя затем
к пределу.
Возьмем теперь какой-нибудь себя не
пересекающий контур С конечной длины и
опирающуюся на него разомкнутую
поверхность о (рис. 20). Разобьем поверхность а
на большое число малых площадок Да
произвольной формы и, написав для каждой
такой площадки равенство (80), просуммируем обе части этих
равенств по всем площадкам. Будем иметь:
Рис. 20.
2 (rota)„ До = 2 J а • rfr -f 2 s Д°
АС
Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному
интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы,
подсчитанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные
к 13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ 79
площадки (рис. 21), при непрерывности вектора а будут иметь
одинаковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой
из площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки
несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное
направление обхода контуров вдоль
общей границы двух смежных
площадок).
Переходя к пределу при
бесконечно большом числе площадок,
образующих поверхность о, найдем:
J (rot a)„ do = J* а • dr. (82)
VDBiBQoJ'
Рис. 21.
Интегральное соотношение (82)
показывает, что поток вихря
вектора сквозь некоторую
разомкнутую поверхность равен
циркуляции вектора по контуру, ограничивающему эту поверхность. Этот
результат, представляющий содержание теоремы Стокса, позволяет
сводить определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря
скорости к вычислению циркуляции скорости по замкнутому контуру,
охватывающему вихревую трубку
(например по контуру Си
охватывающему вихревую трубку и
ограничивающему поверхность ох сечения
трубки на рис. 15).
Если в односвязном 1
пространстве заданы (рис. 22) несколько
изолированных вихревых трубок с ин-
тенсивностями il7 i2, ..., т. е. таких,
что повсюду в области вне трубок
(на поверхности о вне
заштрихованных площадок о1; оа, о3, ...) вихрь
вектора равен нулю, то циркуляция
вектора (в частности вектора
скорости) по контуру, опоясывающему
рассматриваемые вихревые трубки, равна сумме интенсивностей этих
трубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22:
Рис. 22.
| V-rfr = /1 + {'2-|-{3+ •
1 Т. е. таком, что любой замкнутый контур, расположенный в этом
пространстве, может быть непрерывной деформацией сведен в точку (подробнее
°б этом будет сказано в начале гл. V).
80 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематики
сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего
теорему об изменении во времени
А' ^-"^ \/в циркуляции скорости по
движущемуся вместе с жидкостью
контуру.
Рассмотрим некоторую
„жидкую" линию АВ (рис. 23),
направленный элемент которой
обозначим через 8г.
Циркуляция скорости по этой кривой,
равная
в
Гав(У)= Jv-ar,
будет изменяться во времени
как в силу перемещения и
деформации контура (конвек-
рис 23. тивное изменение), так и из-за
нестационарности поля
(локальное изменение). Определим индивидуальную производную по времени
от этой циркуляции. По определению интеграла, производная от него
будет складываться из двух частей:
в в
d_
df
i^BW-JS-.er+Jv.ler. <83)
А А
Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию
ускорения по контуру АВ:
в в
А А
Второй интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок
взятия операций производной по времени -р и дифференцирования
в пространстве 8 может быть изменен:
|8r = 8g- = 8V. (85)
Действительно, рассмотрим два последовательных положения
жидкого отрезка (рис. 23): 8г—в момент времени t и br-\-dbr—
в момент t-\-dt. Перемещения концов жидкого отрезка будут
соответственно: V dt (начало отрезка) и (V-\-bV)dt (конец отрезка).
^ 13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ 81
Из векторного четырехугольника ММ^М^М сразу следует
V dt-\- 8г -(- d §г = 8r -j- (V + 8V) dt,
или, после простых сокращений, искомое равенство (85).
Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85)
получим:
в в
~ Tab (V) = ГдВ (V) - j- f V • 8V = Тлв (V) + | 8 ^) =
А А
= r,t£(V) + Y(^—ИО-
Предположим теперь, что контур АВ замкнут, т. е. точки А и В
совпадают. Тогда предыдущая формула дает
r|r(V) = r(V). (86)
Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени
от циркуляции скорости по замкнутому контуру, движущемуся
вместе с жидкостью, равна циркуляции, ускорения, по тому же
контуру.
Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто
кинематической, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от
характера приложенных к жидкости сил. В динамике будут изложены
важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия,
при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во
времени; с кинематической точки зрения важна сама связь (86) между
циркуляциями скорости и ускорения.
Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы
настоящей главы основаны лишь на допущении о непрерывность',
поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых
производных от скоростей по времени и координатам; теоремы,
изложенные в этой главе, верны для любой сплошной среды.
6 Зак. 1841. Л. Г. ЛойцянскиЙ.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность
и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его
симметричность
В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике,
применяется общий прием замены значений физических величин,
относящихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением
этих величин в пространстве.
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа At,
содержащий внутри себя данную точку М пространства, и пусть ма.сса
этого объема будет Дт; скалярная величина, определяемая предельным
выражением
Р = Нт ТГ ' С1)
Дт->0 ДТ
причем предполагается, что при стремлении объема At к нулю точка М
все время остается внутри объема, называется плотностью
распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке М.
Обратную величину v = — называют удельным объемом. Плотность
?
движущейся или покоящейся жидкости (газа) зависит от различных
обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения
среды. В конечном счете плотность представляется некоторой
функцией координат и времени
р = р(х, у, г; О
и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как
стационарным, так и нестационарным.
В технических вопросах часто вместо плотности предпочитают
иметь дело с удельным весом, определяемым как предел отношения
веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен
7 = llm g-£r = gP> (2)
Дт->0
fi ]4j РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 83
где g — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным
9,81 м/сек^.
Из формул (1) и (2) следует:
dm = р dx — i d-z.
1 8
(3)
Поверхности или, в частном случае плоского распределения,
линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими
поверхностями или линиями, короче, изостерами (от греческого слова
steros, что означает плотный).
Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеряется
п технических единицах кг ■ ceK2JMi, удельный вес — в кг/л3.
Приводим несколько наиболее употребительных средних величин
плотностей и удельных весов жидкостей и газов.
Таблица 1
Удельный вес жидкостей
Жидкость 7 К2/-М3
Вода при:
0°С
20°С
100° С
Вода морская ....
1000
998
978
958
1024
Жидкость при 20° С
Бензин
Керосин ......
Смазочное масло . .
1 кг\мг
800
720
816
912
1248
Таблица 2
Плотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст.
Темп. °С
кг ■ сек1
9 м*
кг
—20
0,142
1,39
—10
0,137
1,34
0
0,132
1,29
10
0,127
1,24
20
0,123
1,20
40
0,114
1,12
60
0,108
1,06
80
0,101
0,99
100
0,096
0,94
При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение
плотности при 15° С:
р = 0,125 = Vs «г • сек2/**,
для воды при той же температуре:
? = 102 кг ■ сек^мК
6*
84
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[гл. н
Таблица 3
Удельные веса некоторых газов при 0°С и 760 мм рт. ст.
Название газа
Кислород
Водород
Воздух
Перегретый пар . . .
7 кг\м?
1,43
0,090
1,25
1,29
0,803
Название газа
Окись углерода . .
Углекислый газ . .
Y кг/ма
0,717
1,25
1,98
0,179
Согласно закону Авогадро, килограммолекулы всех газов при одинаковых
условиях (давление, температура) занимают один и тот же объем, иными
словами, каков бы ни был газ с молекулярным весом М кг, его удельный
вес 7 кг\мъ равен отношению молекулярного веса к объему
килограммолекулы, одинаковому для всех газов и при 0° С и 760 мм рт. ст. равному 22,4 я*,
т. е.
-(=—Кг1м*;
так, например, для водорода Н2 имеем М = 2 кг, следовательно, 7 = 2:22,4 =
= 0,09 кг/м3, для кислорода 02 будет М — 32 кг, следовательно, f = 32 : 22,4 =
= 1,43 kzjm;3 и т. д.
Плотность воды, так же как и других капельных жидкостей,
слабо зависит от температуры и почти не зависит от давления,
так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости
меняется сравнительно мало.
Так, например, относительное изменение объема воды при
увеличении давления на одну атмосферу и при сохранении
температуры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025. керосина —
0,000077, спирта—0,00011.
Наоборот, плотность газов сильно меняется с давлением и
температурой. Напомним, что по закону Бойля —■ Мариотта при
данной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению,
а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет
пропорционально его абсолютной температуре.
Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить
на два класса: 1) массовые или объемные силы и 2) поверхностные
силы.
К первому классу относятся силы, приложенные ко всем
частицам среды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса,
тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном
условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу — силы,
непосредственно действующие лишь на боковую поверхность
выделенного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на
обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.
§14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 85
Массовые силы будем задавать вектором F интенсивности^ или
плотности их распределения, который можно определить как
предел
AF' 1 AF'
F = lim ^- = - lim r* (4)
отношения главного вектора AF' массовых сил, приложенных к
частицам объема Az, к массе этого объема Am. Тогда массовая сила,
приложенная к элементу объема d~ в данной точке, будет равна pFd-z.
В случае, например, силы веса плотностью распределения массовых
сил будет служить вектор ускорения силы тяжести g.
Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью
своего распределения или напряжением
Р=Пт1^> (5)
где Ар' — главный вектор сил, приложенных к некоторой площадке До.
Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке do в данной
точке пространства, равен р do, т. е. произведению вектора
напряжения на величину элементарной площадки.
Отметим основное различие между векторами F и р: в то время
как вектор F является однозначной векторной функцией точек
пространства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор р
принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество
значений в зависимости от ориентировки плащадки, к которой
приложено напряжение. Можно сказать, что напряжение представляет
функцию двух векторов:
вектора-радиуса г точки и орта
нормали п к площадке в
выбранной точке.
Возьмем в точке М сплошной
среды площадку do, ориентация
которой в пространстве
определяется ортом п нормали к
площадке (рис. 24). Откинем мы- Рис. 24.
сленно часть жидкости с
положительной стороны площадки, куда направлен орт п, и заменим
действие откинутой части жидкости на площадку da некоторой
поверхностной силой р„ do, где значок п отмечает, что сила
приложена к площадке с ортом нормали п. Если бы, наоборот, была
откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то
эквивалентная действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке,
была бы, согласно закону действия и противодействия, равна—pndo.
Вектор напряжения р„, как уже упоминалось, зависит от
ориентации площадки в данной точке М. Попытаемся определить такую
величину, которая была бы однозначной функцией положения
86 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИИ [['Л, И
точки М, т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и
вместе с тем служила бы для определения напряжения рп в
зависимости от заданного орта п площадки.
Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале § 7
предыдущей главы. Скаляр •— и вектор ~~ зависели не только от
положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления
дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и
векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23)
как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или
дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины
были уже однозначными функциями и образовывали соответственно
векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно
выразить как произведения орта п нормали площадки и
некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек
пространства.
Рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр МАВС
(рис. 25), с вершиной в данной точке М,
основанием—треугольником ABC, образованным пересечением наклонной плоскости тремя
координатными плоскостями и имеющим площадь don, и боковыми
гранями в координатных плоскостях с площадями ds^, d?y, da?/.
§ 14J РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 87
Значок при элементарных площадках, так же как и при напряжениях,
приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е.
состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение
движения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых
пусть равна dm; будем иметь
Vc dm = F dm -\- pn don — px dox — py day — pz da,,, (6)
где Vc — вектор ускорения центра тяжести тетраэдра, F — плотность
распределения объемных сил в жидкости, рп, рх, ру, рг — векторы
напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок don,
dax, dny и doz, т. е. с той стороны, куда направлены векторы n, i,
j и к (на рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок i dsx,
jdnv, kdnz и п dan); в правой части уравнения (6) при последних
трех членах стоят знаки минус, так как внешние стороны площадок dax,
doу, da, при принятом направлении ортов осей оказываются
отрицательными.
В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины
третьего порядка малости, содержащие элемент массы,
пропорциональной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами,
пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь
Р п d*n = Рх dzx -+ Pv dzy -f p2 daz. (7)
Замечая, что:
dax = dancos (n, х) = пх dan
d3,/ = d3ncos(n,y) = nydan, \, (8)
daz = don cos (n, z) = ns dan, j
получим:
Рп^ПхРх + ПуРу+ПгРг, (9)
пли в проекциях на оси декартовых координат:
Рпх == пхРхх I пуРух ~Т~ nzPzx>
Pay = nxPxy 4- ПуРуу 4" nzpzy, \, (10)
Pnz = nxPx-z 4" ПуРуг 4" nepzz.
Припоминая определение напряжений рх, ру, р2, заметим, что при
принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р
обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка,
второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение;
так, например, pxz обозначает проекцию на ось z напряжения,
приложенного к площадке, перпендикулярной оси х.
88 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Величины рхх, руу, pss называют нормальными напряжениями,
Рху Рув' Ргх-• •—касательными напряжениями.
Система равенств (10) показывает, что проекции на оси
координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке,
выражаются простой линейной зависимостью через проекции
напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам,
лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти
величин:
(Р XXI Рух> Ргх\
Рву, Руу> Р*у\> 01)
Рх» Pyz> Ра /
причем зависимость эта совершенно аналогична системе равенств
(20) § 7.
Вспомним данное в § 7 гл. I общее определение тензора 2-го
ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены
на проекции физического вектора по формулам типа (20) § 7 гл. I
или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют
проекции также физического вектора.
Согласно этому определению, совокупность девяти
напряжений (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной
буквой Р и назовем тензором напряженности или тензором
напряжений.
Вектор напряжения рте, приложенный к любой наклонной площадке
с ортом п, определяется как произведение этого орта на тензор
напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме,
Рп = пР. (12)
Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное
множество векторов напряжений ри, зависящих от выбора наклона
площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий
напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные
к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10)
или (12) через значение тензора напряженности в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят
от выбора направлений осей координат, но тензор в целом
представляет физическую величину, выражающую определенное
состояние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно,
от выбора координат.
Применим теперь теорему моментов к движению жидкого
тетраэдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка,
члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент
массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая
через г, г,, г2 и г3 (рис. 25) векторы-радиусы по отношению
к точке М точек N, Ni, N3 и N3 приложения векторов напряжений
§14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 89
граней, будем иметь:
г X Pndon = rt X Рх dox + r2Xpsdoy-f r3X ps«*<»„
или по (8):
r X P« = rx X Pxnx + r2 X Py"?y + r3 X p^,
с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9),
получим:
г X р„ = г X рхпх + г х р»я„ + г X р,«8;
отсюда почленным вычитанием найдем:
(г — rj) X Р.и„ + (г — г2) X РуПу + (г — г3) X РЛ = 0.
С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно
считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и,
следовательно, главные векторы их приложены в центрах тяжести
граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников,
в точках N, Nt, N2 и YV3, причем точки Л^, N2 и N& будут
проекциями точки N на координатные плоскости; отсюда следует:
г —rj = A:i, r — r2=_yj, г —г3 = гк,
так что предыдущее равенство переписывается в виде:
xnJXPxJryny}Xpv + 2nzkXPll=^ (13)
Докажем, наконец, что
xiix=yny = zns;
для этого заметим, что плоскость jVjAyVg параллельна плоскости
N'iNzN's или, что все равно, плоскости ABC, так как по определению
точек пересечения медиан треугольников:
MNy: MN\ = MN-j,: MN'2 = MN3: MN^ = 2:3.
При этом нормаль п будет нормалью и для плоскости A/jNaW3, так
что
гг - п = г2 • п = г3 • п
или
_УЯ2/ -J- г«г = Xllx -j- Znz = ЛГЯа; -\~ Vlly,
а следовательно,
хла. = _уй2/=:гглг.
После этого равенство (13) переходит в соотношение
)XPa! + JXpj,4-kXP, = 0)
90 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
проектируя которое на оси координат, получим:
Рху^^ Рух> Руг:=: Ргу> Pzx^^Px;.- \* V
Система равенств (14) выражает теорему о взаимности
касательных напряжений: если в некоторой точке сплошной
среди провести две взаимно перпендикулярные элементарные
площадки, то проекции напряжений, приложенных к каждой из
площадок, на ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между
собою равны. Еще иначе эту теорему можно проформулировать так:
тензор напряженности симметричен.
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях
Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости
или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (сплошности).
Будем исходить из основного закона классической механики о
сохранении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной
производной, можем написать:
±Ът=±(рЪ)~*. (15)
Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа
(§ 8), перепишем (15) в виде
роЧ = Ро8т0, (15')
где р н St — текущие значения плотности и элемента объема и р0, оЧ0—
начальные их значения в момент времени t = tb. Представим себе элементарный
объем Вт как координатный параллелепипед в системе криволинейных
координат — переменных Лагранжа — а, Ь, с; тогда стороны этого параллелепипеда
будут определяться направленными элементами координатных линий: х Ьга,
orj, orc, равных частным дифференциалам вектора-радиуса г (х, у, г) по
координатам а, Ъ, с:
дг . „ дг „, дг _
и по известному свойству скалярно-векторного произведения, будем иметь:
о, = ± огв • (or, X orc) = - — • [-df) X Ж) ш ьЬ ос =
дх дх дх
~да ' db ' дс
- «и- -j- D{x,y,z) „ _
ов об ос = -г- -=-.—г—.- оа оо ос,
— D (а, Ь, с)
где использовано общепринятое обозначение для якобиана.
ду
да '
дг
да '
ду
дЬ '
дг
db '
ду
дс
dz
дс
1 Подробнее см. об этом гл. VII, § 60,
§ 15] ОБЩИН УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 91
Аналогично получим в момент времени t = tn:
. D <хп, уп, zn) „ ,. „
от0 = ± " -"I " ьа об ос
и D (а, Ь, с)
и, следовательно, но (15'):
. , . D (х, у, г) , .D On, уп, гл) ,, _.
-> (с, а, Ь, с) -~—~—~ = p0(tn; а, Ь, с) „. -;—^- . (16)
4 ' D (а, Ь, с) ™ч ' ' D (а, Ь, с) v '
Это н есть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных; его
было бы правильнее называть уравнением сохранения массы.
В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой
жидкости — р = рп и уравнение (16) принимает форму уравнения
несжимаемости в лагранжевых переменных:
D (х, у, г) D (хп, уп, гп)
D(a,b,c) D(a,b,c) y '
или, полагая хп — а, уп = Ь, zn = с,
^44=1. (170
D (а, Ь, с) '
В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно
получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя
представление о дивергенции скоростного поля как скорости
относительного расширения объема [вспомнить формулу (59') § 11]:
4т Ь~ 4- Р -п ^ = -71 ^ + Р div V 8т = 0,
at ' at at ' '
откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных
dp
dt
-f-pdivV=0. (18)
К тому же выводу можно было придти, записав закон сохранения
массы для конечного объема ~ в виде:
ij'f-^0; (19)
производя дифференцирование, получим по предыдущему:
т т ~
откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь
получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив
обе части последнего уравнения на объем т, содержащий внутри себя
заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю
v стягивании его к данной точке-
92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными
видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным,
выражающим связи между величинами в некоторых конечных объемах и
на ограничивающих их поверхностях, и 2) дифференциальным,
связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером
уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения
массы (19) и в дифференциальной форме — (18).
Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному
совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей
уравнения на величину объема с последующим стягиванием объема
к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному
объемному и приравниванием подинтегрального выражения нулю
вследствие произвольности объема. Оба эти приема были только что
применены при выводе уравнения (18).
Основной особенностью дифференциальной формы уравнений
динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины
представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных
сил и т. п., а не сами величины, относящиеся к элементарному или
конечному объему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной
совершается умножением на элемент объема и интегрированием по
конечному объему.
Интегральная форма имеет преимущество перед
дифференциальной, если входящие в уравнение величины претерпевают
внутри среды разрывы непрерывности. В этом случае
дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем
пространстве, заполненном жидкой средой, в то время как
интегральная форма с успехом используется.
Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени
от плотности известным ее выражением через локальную и
конвективную производные [§ 9, формула (41)], получим:
■^ + V-gradp + pdivV = 0, (20)
вспоминая затем формулу векторного анализа
div (pV) — V • grad p -f- p div V,
окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом
представлении в наиболее употребительном виде:
|f -f- div (PV) = 0 (21)
или в декартовых координатах:
§ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 93
В частном случае несжимаемой жидкости (р = const) уравнение
неразрывности переходит в уравнение несжимаемости:
дх ' ду ' dz
(23)
Для вывода основного динамического уравнения движения
жидкости или газа применим к объему х (рис. 26) теорему об изменении
количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что
главный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от
произведений их элементарных масс dm на
векторы скоростей частиц V:
Pnda,
К
/рул.
Приравнивая индивидуальную
производную главного вектора количеств движения
главному вектору внешних массовых и
поверхностных сил, получим:
rfK
dt
= § [?VrfT= JpFrft+ \Vnd*. (24)
Рис. 26.
Индивидуальная производная от главного вектора количеств
движения равна
s/'v*-/'S*+Jvi<p**-Jp^*.
(25)
так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл
пропадает.
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой
части (24), в объемный, спроектируем обе части интегральной
формулы (70) предыдущей главы на ось х и положим в ней <в равным
попеременно ах, ау, а.; тогда получим:
/ п*а* d0= j IF d^ \ "Л <*> = / Й ^
a z a
-J
nxa.z d<s
daz
dx
dx:
умножая после этого обе части первого равенства на i, второго •
на j, третьего — на к и складывая, будем иметь:
J4arfo= J|^t.
94
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
1V1. 11
Повторяя аналогичные выкладки с производными по у и г,
получим окончательно следующую группу интегральных формул:
да
дх
dx.
^nxada=, J1
j\arfa = jf^dx,
f "*й(Ь = ( Tzd~'
(26)
Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении (24)
в виде:
/ p„ do = J" ижрх. rfo -f J nypy da -f J нгРг rf3)
или, по (26), окончательно:
(27)
Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно
формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим
основное динамическое уравнение движения сплошной среды в
интегральной форме:
/(>
rfV_ дРх dpv дрг
dt р дх ду dz
dx
(27')
или, используя произвольность объема х и приравнивая подинтеграль-
ную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь
то же уравнение в дифференциальной форме:
dV , дрх дри
(28)
ду ] ' дг '
Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная
ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях:
du
"It
dv
"di
dw
'4i
?FX-
?Fv
dx
dp ту
дх
tyxz
дх
ух
др_
ду
дРуу
ду
dPyz
ду '
dz
дРгу
дг
дргг
дг '
„>
(29)
§ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 95
носит наименование уравнений динамики в напряжениях и играет
основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений
динамики жидкости и газа.
Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости
по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) § 9, то
уравнения (29) запишутся в развернутой форме:
/ди
дРхх . дрУх , dPzx
ди , ди
и- г v
дх
ду
ди\
дх
д\>
dz
dv . dv , dv . dv
dt ' дх ' dv ' dz
„ , <>Pcuy , dPyy , dPzy
дл-
dv
бг
(to
IT
+ «
'а7
■PF.
<tyc« , dPyz , <^гз
бх
<ъ-
az
(30)
Для дальнейшего существенно подробнее рассмотреть
механический смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора
^Рж , dp?/ , dp*
(Здг ~f~ й[у ' йг '
который, согласно (27), можно представить как предел
-г- pn rfa = lim — пР й?о
Urn
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к
боковой поверхности До произвольно выбранного в данной точке М
элементарного объема Дт, к самому объему А1;, при стягивании
поверхности Дз к точке М. Этот предел можно было бы назвать
главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице
объема в данной точке потока, а вектор
дрх , дру дрг
дх ' ду ' c*z
главным векторам поверхностных сил, приведенным к единице
массы, в данной точке потока.
В отличие от напряжений поверхностных сил pa-, p^, рг, величины
и направления которых зависели от выбора направления осей
координат в данной точке или направления наклонной площадки, главный
чектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема,
96 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. It
представляет однозначную векторную функцию координат данной точки
пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от
формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были
приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными
словами, приведенные к единице объема или массы главные векторы
поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами
поверхностные силы поля не образуют.
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует
на „единичное тело" (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.),
помещенное в поле, называют напряжением поля; произведение
напряжения поля на величину помещенного в поле „тела" (заряд, магнитная
масса и т. п.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей
со стороны поля на это „тело" (заряд, массу).
Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный
к единице массы или объема, представляет „напряжение", или, чтобы
не спутать с использованным ранее термином напряжения для
поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем,
интенсивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке.
Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью
объемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность
соответственно на элемент объема или массы, получим главный
вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу
объема или массы.
Могут быть случаи, когда при наличии поверхностных сил
объемное их действие во всем потоке равно нулю; это имеет место, как
в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении
вязкой жидкости.
Введем следующую дифференциальную операцию над тензором
напряженности Р в предельном интегральном представлении (при
стремлении Дт к нулю Да, как всегда, стягивается к данной точке
пространства):
DivP= lim -г- nPtfa (31)
Да
и назовем этот вектор дивергенцией тензора Р. Заглавная буква
в символе Div поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции Div
от операции div, производимой над векторной функцией.
Как было показано в предыдущем параграфе, тензор
напряженности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в
данной точке.
Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою
векторную меру неоднородности напряженного состояния среды.
Этой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к
единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности,
ограничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить
к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке
§15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 97
Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет
равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из
равенства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует
постоянство тензора в этой области.
Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что
дивергенция тензора напряженности определяет вектор интенсивности
объемного действия поверхностных сил в данной точке потока.
Произведение вектора Div/5 на элемент объема dx дает главный вектор
поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей
элемент dz, а интеграл
/
Div P d'
— главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой
поверхности а, ограничивающей конечный объем т, причем по (24) и (12):
Г Div P dx == Г рп do = Г пР do.
Отсюда вытекает формула
Г nPd-з^ Г DivPdx, (3ij
а 1
верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное
обобщение формулы Остроградского [(66) гл. I].
Задаваясь той или другой координатной формой э.чементарного
объема Дт, можно по формуле (31) найти координатное представление
вектора Div Р. Так, например, примем за Дт декартов прямоугольный
параллелепипед со сторонами Ах, Ду, Дг-, тогда, поступая аналогично
тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе
(например, в § 11), будем иметь:
fiP+^ip дr-ipl ьу&+... + IkP+^jP- Дг-kpj ЬхЬу
I )iv P =-.= lim -
^ dx * ду ' dz '
но по основному равенству (12), верному для любого наклона
площадки, и, в частности, при n = i, n=j и n = k:
следовательно, в декартовой системе координат:
дх ' ду ' дг ч '
i Заж. 1841. Л. Г. Лойиянский.
98
ОСНОИПЬШ УРЛК111Л1ИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАйНОВКСИЯ |ГЛ. Ц
или в проекциях:
(DivP) _£*2* ._££*? .£?!?
\и\\г)у— дх -г ду -Т dz
(DivP) =^L i ^f,^££
yuivr),— dx -f- dv -f- 0z
(33')
Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение
дивергенции вектора в декартовых координатах [формула (63') гл. I]:
дах дау да,
dlva = _ + _ + _^
однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле
дивергенции тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора
системы координат векторы рх, ру, ps напряжений, приложенных
к площадкам, перпендикулярным осям х, у, z, а сама величина DivP
представляет физический вектор; в формуле же дивергенции
вектора diva под знаком производных стоят алгебраические величины
проекций вектора a, a diva представляет физический скаляр.
Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для
запоминания; в связи с этим можно предложить простое символическое
их выражение, основанное на символическом равенстве:
Div Р = VP, (34)
где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора V
с проекциями ^—, ■$-, г- на тензор Р. Применяя формулы (20) гл. I
умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') DivP
на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34),
можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей
внешней аналогии с формулой дивергенции вектора.
Интегральная формула (32) допускает символическое представление:
jnPdo= fvPdt. (35)
Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем
представить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме
P^- = pF + DivP. (36)
Применение к объему х теоремы об изменении момента
количества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных
соотношений взаимности касательных напряжений или, что все
4; 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ W
равно, к симметричности тензора напряженности. Действительно,
теорема об изменении главного момента количеств движения может
быть записана так:
IJ г X pV</~ = J r X pF di -у J r X Р„Л, (37)
-: т а
где г—вектор-радиус центров элементарных объемов dx и площадок do,
к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних
сил и внешних напряжений.
Объемный интеграл, стоящий слева, равен
-. т т т
Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль,
так как -— = V, последний интеграл равен нулю по условию
сохранения массы элемента жидкости (15), так что будем иметь:
4frXpV<ft = J"rXp^r-<ft. (38)
Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37),
легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь:
/ (Г X Ри) da = J* Г X («.„Ра, + Пуру + «гРг) do =
а а
= f \пх (г X р*) + «j, (г X Р?/) -Ь пг (г X рЛI <'=>,
откуда по формулам (26) следует:
I r X P„ Л = J [—ar- + —^r~ + - -^ — | ^ -
a X
f ч. /ЙР.-В . <>Py . дрл
+ J'|(EXP,) + (gxp„) + gxp,)l^,
или, замечая еще, что
дт д , . , • , , ч
5^ = 51 (*«4-Я + Л)-1,
100 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ (|Л. 11
будем иметь:
J(,Xp.,*-J['X(&+§+$)]* +
а т
+ J 10 X Р..) + 0 X Ру) + (к X Р«М Л. (39)
t
Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные
формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение
моментов (37) в виде:
Г ^,( dV с дРа> дри дрА;
X
= J К» X p.) + (J X Vy) + (к X P*)l dx. (40)
Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно
нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда,
в силу произвольности объема интегрирования в правой части,
получим:
(i X Р.) + О* X Vy) -f (k X рг) = 0,
после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь
получить равенства (14), выражающие симметричность тензора
напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что
изложенное доказательство является не зависящим от приведенного
в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного
вида объема — элементарного тетраэдра. Если же принять предыдущее
доказательство и считать теорему о взаимности касательных
напряжений уже доказанной, то применение теоремы моментов к конечному
объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения
динамики не дает-
§16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии
Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях
представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную
связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны,
и приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми
силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости или газа этих
динамических уравнений оказывается недостаточно, так как
рассматриваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными
превращениями механической энергии в тепловую. Так, например,
§ 16]
УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
101
хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре
разогревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае
механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа
расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только
гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных
жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного
разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет
внутреннего трения. Снаряд, летящий с большой скоростью в воздушной
атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом
и температура воздуха вблизи поверхности снаряда.
Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо
присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости
или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который в
применении к движущемуся индивидуальному объему можно
формулировать так: изменение полной энергии объема жидкости или газа
за бесконечно малый промежуток времени равно сумме
элементарных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенных
к выделенному объему и его поверхности, сложенной с
элементарным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же
промежуток времени.
В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ
совершенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное
движение в них сводится к свободному соударению абсолютно
упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и
столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом
предположении можно считать внутреннюю энергию равной
произведению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости при
постоянном объеме с„ — для сжимаемого газа или на коэффициент
теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса
энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме х
с поверхностью о можно придать следующую интегральную форму:
A. J p (jCvT + ~) d-z = j PF • V Л + J pn • V do + JQ- (41)
x та
Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по
времени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа —
сумма мощностей массовых сил, приложенных к объему (первый
интеграл), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в
механических единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу
времени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводности
или лучеиспускания; множитель J в левой и правой частях обозначает
механический эквивалент тепла (J — 427 кг ■ м/кал), позволяющий
все члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических
единицах мощности.
102 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ II РАВНОВЕСИЯ [ЕЛ. II
Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части
уравнения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.
Левую часть уравнения (41), используя закон сохранения
элементарной массы (15), преобразуем так:
Поверхностный интеграл в правой части (41) можно на основании
формул (9) преобразовать к виду:
j рп • V dz -= J* \nxp,r • V -4- я,ур?/ • V i - /;..рг • VJ rfa —
я а
= J \«x{PV)*-\- n„(P4)it-V »z(рЮ*] 'h = J n (/>V) */-,
или, воспользовавшись формулой Осгроградского (66) гл. I,
f р„ • V dz ---- f div (/>V) Л. (43)
Введем обозначение:
Q = f М Л, (44)
где под <7 условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно
малому объему в данной точке, отнесенный к массе этого объема.
Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных
интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема -.,
получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:
о 4г (К Т ~г •?) = pF • V + div (PV) + Jpq. (45)
dt \ v > 1)
В декартовой системе координат, если выписать явно значения
индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет
вид:
= V ^Fx-VvFy-^ wFz) -j- -^{pxxu -f pxyv + pvzw) -f
+ J~V {P!>' U + W + Py*™) + й5 ^«" + P"-yV + ^W) + iW- (4 ^
§ J «I
yi'AHHhlllih цлл\ж:л эпыч ни
103
Величина q секундного притока тепла, отнесенного к единице
массы, может быть определена, если известен сам процесс притока
тепла.
Основным механизмом распространения текла в жидкости или
газе является теплопроводность. Замечая, что количество тепла (1Q,
проходящего и единицу времени через площадку dz. равно но
известной формуле Фурье
где л—-коэффициент теплопроводности, а производная берегся по
направлению нормали к площадке d~, будем иметь:
Q= J '^"'— J (>.£rail ЛЯЛ,
a J
откуда по 'формуле Остроградского (GG) гл. 1:
Q= J div (>. .irrad 7')</-, (17)
или, сравнивая с равенством (44), определяющим </■
pq = div ('/, grad 7"). (48)
Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры,
так что в общем случае величину X за знак дифференциального
оператора div выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. VIII.
Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно
в первом приближении положить л~ const; в этом случае будем
иметь
[Я] .-.^ л div £rad Т = л V2Т. (49)
г-? г- г- 5" . О"- , д* г,
где Vi ---= V • V -= 5-5 -4--т-5 -+- -г-5 —-символ oneninuna Лапласа.
дх- i ду1 ' dz° ' '
Приток (положительный или отрицательный) тепла может
происходить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов,
в металлургических печах, в атмосфере под влиянием солнечной
радиации и др.) и по другим физическим (конденсация,
парообразование и др.) и химическим (горение и др.) причинам.
Полученная система динамических — (22) и (30) — и
энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду,
крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на
много меньше числа неизвестных, так что система является
незамкнутой, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее
Упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений,
приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости
104 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. не обладающей
внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального
сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей
и мн. др. Основные из этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на
протяжении настоящего курса.
Остановимся сначала на одном практически важном и интересном
случае применения выведенных общих уравнений—на учении о
равновесии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано,
составленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной
среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным
во введении: непрерывности и легкой подвижности.
§ 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические
формулы. Стандартная атмосфера
Согласно основному свойству жидкостей и газов—легкой
подвижности,— при равновесии отсутствуют касательные силы
сопротивления взаимному скольжению жидких объемов друг по отношению
к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь
нормальные к этим площадкам силы.
Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы
напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним
площадке (§ 14), будут равны:
Vx = Pxrh Py = PyyU Р2 = Р«к, Р« = Р«П, С50)
а касательные компоненты напряжений равны нулю:
Рту = Рцх = Руг = Pzy ~= Pzx = Pxz = 0. (50')
Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10),
найдем:
рппх = пхрхх, рппу=пуруу, pnnz=nzpez,
откуда сразу следует
Pxx = Pyy = Pzz=^Pw (51)
Общее значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке
жидкости к площадке любого направления, назовем давлением в данной
точке жидкости или газа и обозначим через „—р" в знак того, что
вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к
площадке:
Р™ = — Рп> (52)
что соответствует сжатию выделенного объема. Давление р — такой
же физический скаляр, как плотность, температура и др.
§ 17| ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ 105
Тензор напряженности Р при равновесии среды имеет таблицу.
/ — Р, 0, 0\ /1, О, 0\
Р( 0, -/;, 0 )=-/7 0, 1, 0 ) = — /*. (5,4)
V о, о, —р) \о, о, 1/
Симметричный тензор S, компоненты которого отвечают условиям:
®хх " --г/г/ == fc zz == 1 > ^жг/ == ®уг == ^гж == ^>
называют единичным тензором или тензорной единицей. Последниа
равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора
системы координат, т. е. единичный тензор должен оставаться единичным
при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей
координат; это можно было бы показать и непосредственно на
основании формул преобразования компонент тензора при изменении
направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс
векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина).
Формула (12) вместе с (52) и (53) дает очевидную систему равенств:
Рп = пР = — /?п|= — рп, (54)
из которых, между прочим, видно, что
п§ = п, (55)
так что умножение орта п на тензорную единицу приводит к тому
же вектору, — общее свойство умножения любого вектора на
тензорную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения
по ранее установленному в гл. I правилу (20).
Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее
относительного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых
при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения
равновесия.
Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому
условию равновесия
т. е. к стационарности поля плотностей среды.
Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают
следующую систему основных уравнений равновесия среды:
oF =dJL
- х дх:
с- др
(56)
106 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ |ГЛ. II
называемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости ила газа.
Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению
pF = gradp, (57)
которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, что по (53),
(31), (55) и интегральной формуле (70) гл. I:
DivP = Div (—/?&)= lim ~ Г — n$pds =
дтн>о Дт J
а
— — lim -г— пр da = — gradp.
Дт->0 az •'
а
Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает тепловое условие
равновесия жидкости или газа
с,- "57 = ?> (58)
которое, при наличии голько теплопроводности приводится по (48)
к уравнению:
pCt.^ = div(Agrad7), (59)
а при возможности считать коэффициент теплопроводности
постоянным [см. формулу (49)]—к уравнению:
где постоянный коэффициент а называют коэффициентом
температуропроводности.
Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной
форме (57). Простыми операциями из него можно исключить плотность
и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного
равенства (57) операцию вихря rot, тогда р пропадет, так как
rot grad p = 0; будем иметь
rot(pF) = 0
или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа,
получаем
protF + gradpXF = 0. (61)
Умножим теперь обе части этого равенства скалярно на F; тогда,
заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение,
перпендикулярно своему сомножителю F, найдем следующее общее
ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно
равновесие жидкости или газа:
F . rot F = 0, (62)
§ 17J ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ 107
или, в проекциях па оси декартовых координат:
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся
прежде всего силы, имеющие потенциал И, так как для них
F = — grad II, rot F = 0.
В этом случае, как легко усмотреть из равенства (61),
grad р X grad П == 0, (63)
откуда следует, что силовые линии поля потенциальных объемных
сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности),
а также, что изостеры совпадают с изопотенциальными
поверхностями силового поля.
Из (57) следует еще, что при равновесии среды силовые линии
перпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления).
Таким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под
действием потенциального поля объемных сил изопотенциальные
поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами.
Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают
с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только
под действием потенциального поля объемных сил. Действительно,
по условию,
grad p X grad p = 0
или по (57)
FXgradp = 0,
отсюда, на основании (61), вытекает
rotF = 0, F=— grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является
функцией только давления, то такой процесс движения или
равновесия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баро-
тропное равновесие газа возможно при наличии только
потенциальных сил, так как при условии р = р (р) изобары и изостеры, очевидно,
совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое
поле должно быть потенциальным.
Более общее условие (62) имеет смысл требования существования
в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям,1
причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать
с изостерами.
1 См. Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Лурье, Курс теоретической
механики, ч. II. 1940, изд. 3, стр. 164.
108 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах,
представляет лишь одну связь между двумя неизвестными
величинами р и р, уравнение (59)—также одно уравнение с двумя
неизвестными \ и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесия
определенной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое
обычно уравнением Клапейрона:
£ = Я7\ (64)
и уравнение зависимости коэффициента теплопроводности от
температуры:
к = \(Т). (65)
Если равновесие баротропно, то
Р = Р(Р)- (66)
Это имеет место, например, в следующих случаях:
1) газ несжимаем, т. е. имеет повсюду одинаковую плотность
р = const;
2) равновесие изотермическое, при котором
Т = const = Т0,
а следовательно, по (64):
Р = -^ = const- P = fj\ (67)
3) равновесие адиабатическое (без притока тепла извне),
отвечающее известной из курса термодинамики адиабате:
р = const .p* = ^-p*, (68)
Ро
где k — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа
при постоянном давлении ср и постоянном объеме cv; для
воздуха k = 1,405. Значения величин р0, р0, 7"0 относятся к какой-нибудь
одной характерной точке покоящегося газа.
Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59)
при тех или иных дополнительных связях между термодинамическими
элементами р, р и Г.
Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа
в потенциальном, силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде:
— р grad П = grad p. (69)
Введем в рассмотрение функцию давления
р
,(P)=J
Р(р)
(70)
§ 17) ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ 109
градиент ее по (70) равен:
grad f = ?|-grad p = -I grad р. (70')
При баротропности равновесия газа функция давлений § играет
роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к
единице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в
случае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что
функция давлений представляет потенциальную энергию
интенсивности объемного действия поля давлений.
Действительно, в полном соответствии с обычной связью между
векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем
по (70'):
— — grad р = — grad §.
?
Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие
среды на выделенное в ней „единичное тело" (единицу объема или
массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим
только от характера баротропности процесса.
Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме
grad П + grad #== 0,
откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее
выполняется равенство
II-4-^ = const. (71)
В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения
равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае,
направляя ось г вертикально вверх и помещая начало координат
на уровне моря, будем иметь (z0 — некоторая высота над уровнем
моря):
n = g(e — z0).
Функция § для изотермического случая будет определяться на
основании (66) так:
g- = Г-Й_==£йГ.££.=я£!Ип.£-. (72)
J Р (Р) Ро J Р ро Ро
Ро Ра
Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами г1
и z2 по (71) можно написать в виде:
S(*8-*i)+^l*g = °, (73)
где ри р, и р%, р2 — значения давления и плотности на высотах г,
и г2 над уровнем моря. Формула (73) представляет простейшую
U() ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИИ [ГЛ. I!
барометрическую формулу, позволяющую приближенно определят!,
высоту z2 пункта над уровнем моря по измеренному барометром
давлению в этом пункте, если известны рх и р1 при г = гх.
Полагая гх = О, pi== pa, Pl == рв, г2 = г, р2 = р, р2 = р, можем
придать формуле (73) простой вид:
р=рае ра . (73')
Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью,
если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные
интервалы {г', г") и в начале каждого следующего интервала г = г"
пользоваться новым значением отношения р"1р", исправленным на
новую температуру Т" по формуле
и новым значением р", вычисленным по (73) из равенства
Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух близких
высот 2о — z1 через Дг, разность соответствующих им давлений рх—/??
через &р; тогда равенство (73), согласно (66), примет вид:
£Д* + яТш(1 + ^-) = о,
где под Т будем понимать среднюю температуру воздуха в интервале
(г„ zL + &z):
Т=1(7\+7У-
Отсюда найдем _
Д1==_*Г1п(1+А£Л
g \ pi;
или, пользуясь разложением логарифма в ряд,
. RT Ьр . RT Ар _ЦТ Ар
Дг =
g Н g Pl-^ЬР g y(Pl+P2)
Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле
и получить приближенную формулу:
g Pi-t-Рг У
§ 17] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ ]]]
Замечая, что для сухого воздуха
R = 29,27 g м?1секЧрад,
приведем формулу (74) к такому окончательному виду:
Дг =ь= 16 000 р1~р* (1 + а?) м, (75)
Pi + Pi '
удобному для практических измерений.
При технических расчетах пользуются обычно так называемой
стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях
атмосферы — в тропосфере (0 < z < 11 км) — температуру принимают
падающей от значения 15° С вблизи уровня моря на 6,5° С на
каждый километр, а давление на уровне моря—равным 760 мм рт. ст.
В стратосфере (z > 11 км) температура считается одинаковой и
равной—56,5° С.J
Формулы расчета для тропосферы получаются из следующей
системы уравнений:
iL^ — adz, £-=*RT, T=T0 — cz,
р р о >
где газовая постоянная R для сухого воздуха равна 29,27^ .и2 сек2град,
70 = 273°-г-15э = 288°, е = ^щ-= 0,0065 град/м.
Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда.
Имеем:
RT , . dp gdz
— dp = — gdz, -j--- ^
P ' ь ' P R(Tn-cz) '
z
p g С dz g / с •
111 — = 75— ™ = т§- In 1 ^r Z
Отсюда следует (ра — атмосферное давление на уровне моря,
фипимаемое равным 760 мм рт. ст.), что
р / г \«/Де
Рс
или, подставляя числа,
,5,250
-^ = (1
Ра V 44 300 J
Для стратосферы начальная температура принимается равной
— 56,5° С и интегрирование проводится так же, как и для
изотермического случая.
1 Таблицы международной атмосферы можно найти в специальных курсах
и справочниках.
112 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВРХИЯ [ГЛ. II
Не составляет труда получение барометрической формулы и для
адиабатического равновесия.
В этом случае, обозначая через ра и ра—давление и плотность
на уровне моря (z ~ 0), по (68) и (70) легко найдем
, nl/k / к—1 к — 1
# = —*_£»_(„-*"■ _р-]г
& *-1 Ра КР Ра
после чего но (71) получим барометрическую формулу:
ft—1
'-(£) * -*?■>■
В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера,
изменяющаяся вдоль оси z) тепловое условие равновесия в
предположении стационарности температурного поля примет вид
d"-T
что приводит к линейному распределению температуры, в частности,
к постоянству ее по высоте. Это условие выполняется как при
изотермическом равновесии, так и в случае „стандартной" атмосферы.
При адиабатичности процесса условие теплового равновесия не
выполняется.
Нетрудно построить барометрическую формулу изотермического
равновесия и с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом
случае потенциал массовых сил может быть принят равным
ь \а + г0 а + г /'
где а—радиус Земли, g—ускорение на уровне моря. По (71)
будем иметь
£"!„.£_ + а»-'- *
/'и ' V" + *0
тЫ-0- (76)
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости
Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (р = const) в
потенциальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет
— р grad П = grad p
или
p_j_pn = const. (77)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности pt и р2
находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела
§ 18] РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ
этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление р
и потенциал П непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения
независимо от того, со стороны какой жидкости подойти к данной
точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства
(77) по любому направлению s, лежащему в касательной плоскости
к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно
следующим двум равенствам:
dp , dU. n dp , rfn
-aJ + PiW-0' dJ + ^Ж^0'
откуда вычитанием получим
(pi—p2)-rfF = °;
последнее равенство при принятом условии рх фр2 приводит к
постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По (77)
при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль
поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмеши-
вающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в
потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет
одновременно изопотенциалъной поверхностью и изобарой.
Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось г
направить по вертикали вниз, равенство (77) дает
р — pgz = const
или, заменяя произведение pg на удельный вес f,
р — f2 = const.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости
(обычно, атмосферное), через ра; тогда, помещая начало координат
в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем
P=Po + Pg*:=sPa + 1Z- (78)
Давление в данной точке на глубине г, за вычетом
дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е.
давление р'=р—ра, будем называть давлением жидкости. Тогда, для
расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих,
пользоваться формулой
P=*V, (78')
понимая под р превышение давления в жидкости над атмосферным
давлением на свободной поверхности.
Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости —
служит горизонтальная плоскость z = const; на всей этой
плоскости р = const.
8 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
114 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной
угловой скоростью ш вокруг некоторой оси, сохраняющей в
пространстве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного
равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к
непосредственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще
отнесенную к единице массы центробежную силу F(4>, равную
р(Ц) _ шаг* (79)
П(ч>=— ^тЧ*\ (79')
и имеющую потенциал
где г* — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси
вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине
этому расстоянию; этот вектор г* не следует смешивать с вектор-
радиусом точки г относительно начала
координат. Если ось z совпадает с осью
вращения, то
/-* = уЛх2-(-уг,
в то время как вектор-радиус г по
величине равен
Уравнение относительного равновесия
вращающейся жидкости будет иметь по
(77) вид
/> + рП-
pcoV*'= const. (80)
Уравнение свободной
(р — const) будет
1
поверхности
Рис. 27.
рП ^ рю2г*" = const.
(81)
Так, например, .свободная поверхность тяжелой жидкости,
вращающейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси Ог, направленной вверх,
будет иметь уравнение
pgz — -j р»2 (х2 Л-У2) = const,
или, обозначая через z0 координату точки пересечения поверхности
с осью Ог (х = 0, у — 0),
Это — параболоид вращения с параметром gy'co2, зависящим от
угловой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости
§18] РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 115
вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном
сечении параболоида сближаются.
Легко найти связь между высотой воды k0 в сосуде при
отсутствии вращения и величинами Агаах и kmla при вращении с угловой
скоростью ш. Простое определение объемов дает (а-
дрического сосуда)
Am„„ = К
•радиус цилин-
Ч
К
К
Ч
Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней
поверхности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости
К
■А..
2£
можно определить угловую скорость врящения цилиндра, т. е.
использовать прибор, как тахометр.
В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия
равновесия, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращающегося объема
однородной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния до' центра.
Примем (рнс. 28) ось z за ось вращения и начало координат О за центр
притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости,
С\
)) где С — некоторая константа, г = У х2 -\- у2 -
будет равен
стояние частицы жидкости М
от центра тяготения — начала
координат О. Потенциал
центробежных сил, отнесенных к
единице массы жидкости,
будет по предыдущему равен
■ zi-—рас-
i*r"
где ш —угловая
скорость вращения жидкого
объема, г* = У' х2 + у" —
расстояние жидкой частицы от
оси вращения Oz. Условие
равновесия вращающейся
жидкости, если отвлечься от сил
взаимного тяготения между
частицами, будет по (80)
г
1
р<02/-* :
= const, (82)
а Уравнение свободной поверх- Рис. 28.
ности, ограничивающей
вращающий объем жидкости от окружающей его среды другой плотности, будет
С ш-г*2
7 + ~2~ = const • (83)
8*
116 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. П
Это уравнение н дает искомую форму поверхности фигуры равновесия,
тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной осн.
Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли,
представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость,
тяготеющую к центру, зададим ускорение g0 тяготения масс на полюсе,
находящемся на расстоянии г0 от центра Земли, тогда будем иметь:
С п 2
и уравнение поверхности фигуры равновесия будет
2 2 *2
——- Н »— = const,
причем const определяется из условия, что на полюсе: г = г0, г* — 0, откуда
следует
gQr0 = const.
Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид
gA
о
2 *2
ш Г*
или, вводя полярный угол 6,
Sorl
= goro (84)
■■ в/о- (85)
Если бы Земля не вращалась (ш = 0), уравнение свободной поверхности
свелось к равенству
г = г0
и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения,
совершаемого Землей (u> ^ VceK), фигурой равновесия служит тело
вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу —
сфероид, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости
безразмерной величины
и.У0 _/ 2тг у 4-10? 1 ^oorm
-&-=Ui.6o.6oJ • ~ъг -т~ ,0° '
приближенно представлено так:
r = r0(l+i^sin*6). (86)
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли
rmia 2 g0 600-
Геодезические измерения приводят к величине в два раза большей. Такое
расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого
приближения об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного
притяжения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА Ц7
этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы
относительного равновесия вращающейся жидкости, что делает строгое решение
задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных
фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих
фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в
действительности.
Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов
способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и
механики, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости
движений. Мировую известность приобрели работы в этом направлении
создателя современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова
(1857—1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия
вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г.
Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид).
А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся
неоднородной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии.
Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сделано
в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным
французским математиком А. Пуанкаре (1854—1912).
Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс
был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебыше-
вым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым.
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность
тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему
в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на
некоторую твердую поверхность о определяются интегралами (п — орт
нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости)
R = — J* ар da, L = — J г X n/7 rfo, (87)
а о
причем поверхность о, вообще говоря, незамкнута. В частном случае
тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим:
R = — т J* nz da, L == — f J" r X nz da. (88)
Если поверхность о представляет как угодно наклоненную
плоскую стенку, то n = const и первая из формул (88) дает
R= — iaze.a, R = lZc.a, (89)
где zc (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С
площади о. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил
давления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно
наклоненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба
жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой —
глубину центра тяжести площадки под свободной поверхностью
жидкости.
118 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. П
Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от
формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и
получил естественное для своего времени наименование
гидростатического парадокса.
Вектор-радиус гц и координаты центра давления Ц—так
называют точку приложения равнодействующей R системы параллельных
сил давления на площадку—можно найти по теореме о моменте
равнодействующей:
(90)
Гц X R = — 7 / Г X nz da.
Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую
систему координат: ось О у' проведем вдоль линии пересечения плоскости
Рис. 29.
со свободной поверхностью, ось Ох'—по перпендикуляру к оси О у'
вглубь жидкости, ось Oz'—по нормали к площадке вниз. Замечая, что
п = — к', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости:
x = .v'cos8, z = х' sin6, у—у',
получим, проектируя (90) на новые оси,
•УцЯ = t j У'г da' x'u.R — t j x'z а°> < = °>
или по (89):
|V?ds
f x'y' da
y«
Х„<У
г.. = 0.
(91)
Обращает на себя внимание факт независимости положения центра
давления от наклона площадки. Как показывают формулы (91),
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 1 19
задача об определении центра давления жидкости на наклонную
площадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и
центробежного момента площади.
Если поверхность с замкнута и ограничивает некоторый конечный
объем 1, то по (87) и интегральной формуле (70) гл. I получим:
R = — J np rfo = — J grad p d-z. (92)
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57),
grad/? = pg, (93)
где g — вектор ускорения силы тяжести, р— плотность жидкости.
Подставляя в (89), найдем
R = —Jpgrft=—О. (94)
Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления
жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по
величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону,
противоположную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу R
иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной
силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости,
заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость, „теряет"
в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.
Легко находится также и главный момент сил давления жидкости
на погруженное тело. Имеем по (87) и интегральной формуле (73) гл. I:
L = — Г г X пр da — Г п X /т da = Г rot (pr) dx
а а т
или, применяя известную формулу векторного анализа
rot (pr) = p rot r ~\~ grad p X г,
приводящую в данном конкретном случае к равенству
rot (pr) = — г X grad p,
так как
rot г =з 0,
получим
L = — J г X grad p d-z,
или, согласно (93),
L = -JrXpg^. (95)
120 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Замечая еще, что вектор-радиус гц центра тяжести Ц
вытесненного объема равен
Гц = a J rpgdx
и что, очевидно,
G g'
получим по (94):
(96)
Равновесие устойчивое
Полученная формула показывает, что линия действия главного
вектора R сил давления жидкости на погруженное в нее тело
проходит через центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом
объема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра
тяжести погруженного твердого тела С
с центром тяжести вытесненного
объема жидкости Ц. Погруженное
тело, например корабль, может
быть неоднородным, с переменным
размещением масс в нем; при этом
центр тяжести будет занимать
различные положения по
отношению к твердому телу, центр же
тяжести вытесненного жидкого
объема зависит от формы внешней
поверхности твердого тела и при
данной форме этой поверхности
будет занимать вполне
определенное положение. Если данное
твердое тело будет занимать
различные положения в жидкости
(например качка корабля), то
положение центра его тяжести по
отношению к телу не меняется,
центр же тяжести вытесненного
объема будет при этом
перемещаться.
По терминологии, установившейся в статике корабля, центр
тяжести вытесненного объема жидкости называют центром величины.
Твердое тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если
вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр
величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при
этом центр величины лежит выше центра тяжести, то такое
равновесие будет, очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр
величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое
С С
Равновесие неустойчивое
Рис. 30.
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 121
равновесие будет неустойчивым и пара сил (R, G) опрокинет тело
(рис. 30, внизу).
Отклоним плавающее тело на малый угол а от положения
равновесия, при котором точки С и Ц лежали на одной вертикальной
прямой LL. Через новое положение центра величины IX проведем
вертикаль до пересечения с отклоненным положением прямой L'L' в точке М,
называемой метацентром.1 Расстояние h между метацентром и центром
тяжести тела определяет метацентрическую высоту. Пара сил (R, G),
в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а
в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь
момент
L= Gh sin a.
Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение
равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного
вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное
в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с
погруженным в нее телом.
Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем
случае градиент давления по (80) будет равен:
grad р — — р grad П -f- рш2/-* grad г* = pg -j- рш2г*; (97)
тогда получим
R = — J pg d- — J* ри¥ dz = — G — po>8r* • г, (98)
где под г" подразумевается вектор, направленный по кратчайшему
расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема /_/
и равный по величине этому расстоянию
r;;^ljrrfx. (99)
Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости
с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на
поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы,
аналогичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще
дополнительной архимедовой силы,
R' = — p(o2r*x = _ м (oV, (100)
играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси
вращения и равной по величине произведению массы жидкости М
1 Предполагается, конечно, что в силу материальной симметрии
пересечение действительно осуществится.
122 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее
расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.
Полученный результат можно положить в основу объяснения
многих явлений и прежде всего описания процесса центрифугирования.
Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна р, причем тело
будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда,
прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу
центробежную силу, равную (М — масса тела)
F = Л?со2г* = p"c»2i:r*,
и учитывая вес этого тела G = Mg, можем судить об относительном
равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему
сил: веса G и центробежной силы F, с одной стороны, и архимедовых
подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:
G-G + (p—p)(o2xr;=(p —p)gx+(p —Р)ш2гг; =
==(р-р)(8Г+<"2грх.
Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если
плотность вращающихся вместе с жидкостью тел р больше плотности
жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости
и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше
плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться
к оси вращения. Так, например, в маслобойных центрифугах зерна
образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая
сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.
Как непосредственно следует из последней формулы, равновесие
возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и
погруженных в нее тел (р = р).
ГЛАВА III
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения
движения
Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так
называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются
от наличия внутреннего трения — вязкости, считая что по
площадкам соприкасания двух, друг относительно друга движущихся,
объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления и
полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки касательные
силы трения.
Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь
Pxy=Pyx = Pyz = P^=Pzx = PxS = Q\ (!)
то же допущение отсутствия касательных напряжений на наклонной
к координатным осям площадке дает
Рпх = Рп"х, Рщ, = Рппу> Pnz = Pn'h-
Отсюда, согласно системе равенств (10) гл. II, будем иметь:
Рях = Руу = Pzz = Pn- (2)
Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство
идеальной жидкости — независимо от выбора осей координат касательные
напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны
нулю, нормальные—равны между собой, иными словами, нормальное
напряжение в данной точке не зависит от направления площадки,
к которой оно приложено.
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной
точке потока через „—р". Скалярную величину р будем называть
давлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае
равновесия, выделяется специально, чтобы подчеркнуть противоположность
направления вектора нормального напряжения рга направлению орта
нормали к положительной стороне площадки. Таким образом, напряжение,
124 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной
элементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой
Рп = Рпп = — Рп- (3)
Вспоминая предыдущую главу, видим что полученные только что
формулы, верные лишь в случае движения идеальной жидкости или
газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой
реальной сплошной среды.
Совокупность, равенств (3) эквивалентна тензорному равенству
Р = —р$, (4)
которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. II для
находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды.
При отсутствии касательных сил трения, два параллельно
движущихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно
произвольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот
факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности
поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики
жидкости и газа. Можно было бы ожидать при этом, что схема
идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от
реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория
идеальной жидкости в большинстве случаев с достаточной для
практики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение
давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу
давления потока на тело и мн. др. Причиной достаточного совпадения
с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, „идеализированной"
схемы служит дополнительное допущение о сохранении и для
идеальной жидкости принципа непрерывности распределения механических
и термодинамических величин в движущейся среде. В этом
фундаментальном принципе механики сплошной среды заложена главная
качественная сторона физического механизма молекулярного обмена в
жидкостях и газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей
физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводности.
Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны
влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде
трения и теплопроводности, сохраняют в силе главную, качественную
сторону явления — непрерывность распределения физических величин.
Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать
лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных
жидкостей разной плотности (поверхности раздела), на поверхности
твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на
некоторых специальных поверхностях, где физические величины или их
производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности
разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается свободное
скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение
жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие
§ 20] УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 125
отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания
жидкости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Как далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях
эти нарушения основного принципа непрерывности обычно
сосредоточиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница струи, ударная
волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность
или, в случае плоского движения, за линию. Вне этих поверхностей
или линий все величины считаются непрерывными, что позволяет
применять обычные приемы составления и решения уравнений динамики
идеальной жидкости или газа.
Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности
элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его
с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут
скользить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые
граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы
„прилипает" к поверхности тела. Однако эта скорость резко возрастает
при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма тонкого,
по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает
значений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной
жидкости. В этом вторая причина возможности применения схемы
идеальной жидкости для расчета обтекания важных для практики тел
плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса
турбомашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный
слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину
обтекания тела идеальной жидкостью.
Основные дифференциальные уравнения движения идеальной
жидкости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3)
или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл. II.
Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений,
сохранит ту же форму: (16), (17) или (17') гл. II при лагранжевом
способе определения движения и (18), (21), (22) или (23) той же главы—
при эйлеровом представлении движения.
Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл. II также упростятся
и приведут к одному из следующих двух векторных уравнений:
dT:=F-7gradp' (5)
Jg- + (V.V)V = F-Jgradjt7, (б')
или в проекциях на оси декартовых прямоугольных координат:
du ди , ди , ди , ди с 1 др
dt dt ' дх 1 dy ' dz х р дх'
dv dv , dv i dv , dv „ 1 dp /c-,
dt dt ' dx ' dy ' dz у p dy' I v '
dw dw , dw , dw , dw - 1 dp
dt dt ' dx ' dy ' dz z p dz
126 ДИНАМИКЛ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы
уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.
Вектор ( gradpj, стоящий в правой части (5) и равный
Нт —г- — pnda,
Дт->0 -
Да
согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный
к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу
объемного действия давлений в данной точке. Вектор F дает, как обычно,
отнесенную к единице массы собственно объемную силу.
Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжевых
переменных /, а, Ь, с (§ 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение
на его лагранжево выражение:
-w = -wr(t;a,b>c),
du д2х
W~"W'
н перепишем уравнения так:
дР
д*у
дР
д*г
дР
Будем предполагать, что Fx, Fy, Fz, так же как и р, рассматриваются как
сложные функции t, а, Ь, с через х, у, г. Умножим обе части первого урав-
дх ду дг _,
нения на -j—, второго на -^- , третьего на -^— и сложим между собою. 1огда,
вводя обозначения:
Qa(t; а, Ь, с) = ^_ + ^~- + F2_,
к и и \ п дх , с дУ , с дг
Qb(f,a.b. ^^Fx-^ + Fy-^ + t-z-Qf,
Qe(t;a,b,c) = Fx^+Fy& + F^,
и замечая, что по формулам производной от сложной функции:
др дх , др ду . др_ дг_ _ др
дх' да ' ду ' да ~*~ дг да да '
др дх др_ ду_ . др_ дг_ _ dp
дх~"Ш + ду ' дЬ + дг ' дЬ ~ дЬ '
др дх др ду^, §Р_, дг _ др
дх дс ' ду дс дг дс дс '
dv д2у dw
~dt~~W' ~dt ~
_F I dp
x p дх '
-F LdP
~ v p dy>
_ 1 dp
2 P дг ■
дЧ
'' dfi
I 20] уравнения движения идеальной жидкости 127
получим, повторяя указанную операцию умножения уравнений Эйлера на
i—-, ... и -г— , ... с последующим сложением левых и правых частей урав-
дЬ ас
нений, уравнения динамики идеальной жидкости в лагранжевой форме:
д2х дх дгу ду . дъг дг _ 1 др
дР * да + дР ' да + дР ' "да ~ Qa ? да
д*х д±,д?У_ ^ , ^£ ^£_п _i^. I п\
дР ' дЪ + дР ' дЬ~т~ дР' дЬ ~ Уь ? дЬ ' ' ( '
дР ' дс + дР ' дс + дР " дс ~ Qc р дс ' )
Рассматривая переменные Лагранжа а, Ь, с, как криволинейные
координаты точки М(х, у, г), можем придать величинам Qa, Qb, Qc смысл
приведенных к единице массы обобщенных объемных сил, величинам —-,
Jr-> J- приведенных к единице массы обобщенных сил объем-
р db p дс
ного действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений,
<i д'Т
представят, с этой точки зрения, проекции ускорения V = -^- на осн
криволинейных координат а, Ъ, с в точке М (х, у, г), умноженные на
соответствующие параметры Ляме На = |/ (^) + (а£) + (jfo) И Др'
Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функции:
х {t; а, Ь, с), у {t; a, b, с), г {t\ a, b, с) и р (t; а, Ь, с),
то направления криволинейных осей наперед не известны, поэтому
дальнейшие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике
производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, не
представляют интереса. _
Отметим, что при наличии потенциала объемных сил И (t; x, у, г) =
= П (t; а, Ь, с) и функции давления § (t; a, b, с) уравнения (7) полезно еще
преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам
дх дх \_ Гд£ _д_(дх\
+ ■•■) [dt dt\d">+ "
dt \dt да ~ "'J dt dt \да
— A. {$£ if j. \ _ ["if A. fdx\ 4- 1 —
~~ dt\dt da+ •••) [dtda\dtj +"-J-
~~ dt[dt da + '") da 2 [\dt) + "'J
д ( дх , ду , dz\ д /V2\
и замечая, что:
п §JL а - ^ о --2Е
Qa~ да' Vb ~ дЬ ' Wc дс '
р да да' р дЬ дЬ' р дс дс '
128 Динамика идеальной жидкости и газа [гл. m
будем иметь:
д („дх i дУ , дг\ д (У _ п\ Ы \
Выражение Z, стоящее в скобках справа, представляет разность
приведенных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы
потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давления и
внешних объемных сил. Это выражение может быть названо приведенной
к единице массы лагранжевой. функцией или кинетическим потенциалом,
а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (t0, t)
t
Ldt
h
J
— приведенным к единице массы действием.
Уравнения (7'), после интегрирования их по времени в интервале (^0> t)
могут быть приведены к виду:
дх . ду , дг дх0 ду0 дгй дА
u^+v~£+w-dT-^-dT-^-u-w^:=-d4'
дх , ду , дг дх0 ду0 . дг0 дА
дх . ду . дг дха дуи дг0 дА
ulc-+vi + wiiF-^-df-Vu-dT-w^-dc-—dc--
СП
Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших
выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Гро-
мека (1851—1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой
части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения
потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую
формулу векторного анализа
grad (а • Ь) = (Ь • V) а 4-(а • V) b + b X гоt а + а X rot b
и положим в ней: а = b = V; тогда получим:
grad(-£) = (V • V) V + V X rot V.
Пользуясь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению
Эйлера (5') форму уравнения Громека
^-4-grad(-f) + rotVXV=F-|gradp. (8)
Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда
объемные силы имеют потенциал П и движение баротропно, т. е.
§ 20] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 129
существует функция давления
р
If (,)=/-
р
dp
Pa
при выполнении этих условий будем иметь:
—grad p = grad § (9)
г
и уравнение Громека (8) перейдет в следующее:
dV +grad(-^+^+n)+ratVXV = 0. (10)
dt ' & V 2
Введем обозначения:
K = -£+S? + II, (11)
Q = rotV. (12)
Величину Е, равную сумме приведенных к единице массы
кинетической энергии среды и потенциальных энергий силовых полей
объемного действия сил давлений и собственно объемных сил, можно было
бы назвать приведенной к единице массы полной механической
энергией. Величину Е не следует смешивать с ранее введенной лагранже-
вой функцией L.
Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме
так
f+gradE-j-QXV = 0, (13)
или r проекциях на декартовы оси:
dv , дЕ , „ i
а7 + а7 + д~-и-д"да==0'
dw . дЕ . п п _
■dT + dI + Q"v-Q*u = 0-
(14)
Уравнение (13) или его аналитическое представление (14)
связывает чисто кинематические величины V и Й = rot V с динамическими
характеристиками силовых полей П и §. Переписывая это уравнение
R форме
^- + SXV = -gradE!
видим, что при баротропном движении идеальной жидкости или газа,
независимо от характера и физической сущности действующих
9 з.
№. 1841. Л. Г. Лойшшский.
130
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. Ш
силовых полей объемных и поверхностных сил, левая, чисто
кинематическая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор.
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в баро-
тропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального
поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству
rot(g + flXv) = 0,
или, что все равно,
§ + rot(QXV) = 0.
Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного
произведения по правилу векторного анализа:
rot(SXV) = (V-V)Q — (QrV)V + 0divV — VdivQ
и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно
равный нулю, будем иметь
^ + (V • V) 2 = (Q • V) V — Q di v V.
Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по
времени, получим
g = (Q.?)V —QdivV. (15)
Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой
жидкости еще Гельмгольцем, было указано известным советским
механиком А. А. Фридманом и названо им уравнением
динамической возможности движения. Итак, при принятых ограничениях
оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие
уравнению (15). Само собой разумеется, что поля скоростей,
полученные в результате интегрирования уравнений движения, будут
удовлетворять уравнению динамической возможности (15); важно, что, не
решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать
общее условие, связывающее кинематические элементы движения.
Другой важный физический смысл уравнений динамической
возможности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой
вихревых движений.
Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости
равным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения
равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений
движения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только
для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.
В случае баротропного движения уравнения движения (13) или (14)
не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи
§ ы\
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
131
уравнения баротропного процесса. Этот факт не представляет
специфического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в
случае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной
форме:
^- + (V-V)V-=F — gradff
или, в проекциях, в виде системы уравнений:
ди
'Ж
dv
Ж
dw
Ж
1-
•f
+
ди
dx
dv
dx
dw
dx
+
+
i
du
dy
dv
dy
dw
dv
-\-w
-\~w
~\~w
du
Ж'
dv
Ж
dw
= PX-
= <V
= FS-
dx'
dy '
0®
d'z '
не зависящих явно от плотности.
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной
жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии
В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот
же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества
движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения
молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости,
как жидкости без трения, отказаться одновременно и от
теплопроводности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи
(например, лучеиспускания).
Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии
в применении к совершенному идеальному газу будет иметь
следующую интегральную форму:
^ J p (jcj + £) dz = JpF • V di - jpn ■ V rfa + J 9Jq A. (16)
•г ~ а т
Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу
связи между теплоемкостями газа ср, cv и газовой постоянной
J(cp — cv) = R. (17)
Формула (17) легко выводится из определения теплоемкости при
постоянном давлении ср, как отношения элементарного приращения
отнесенного к единице массы газа количества тепла q к приращению
температуры при сохранении постоянного давления
JCP \dTjp'
9
1 32 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. 111
если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала
термодинамики совершенного газа (v = удельный объем)
dq = Jcv dT-\-p dv,
по формуле
(s()p = Jc'+p{i!t)p
и применить уравнение Клапейрона
pv = RT,
согласно которому
Тогда будем иметь:
дт)р—Р ■
Jcp = Jcv-\-p-j
откуда и следует формула (17).
Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение
закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице
массы внутреннюю энергию JcvT газа через так называемое
теплосодержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую
функцию i — JcpT по (17) так:
JcJ = JcpT — RT=JcpT—£ = i-£. (17')
После этого уравнение (16) может быть записано в виде
Tt J Р (< + ТГ ) dx = J PF ■ V Л - J div (pV) Л +
Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и,
в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме
равны
J[-*,(,V) + ,|(*)]*_J[_dN(,V>+%_f£]*-
= J[-dlv(pV) + |& + V.gradp + pdivv]A=J^A.
§21]
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
133
Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона
сохранения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:
dt
j p(i -{- ¥p}dT = j PF ■ X dx + j ^ dx + J PJq ch, (18)
из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму
того же закона
i('+S)"F-V+fg + *- О»)
Предположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение
стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е.
будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения
энергии приведется к равенствам:
л/К' + тг)*-0' <18'>
Из (19') сразу следует, что вдоль траектории или линии тока
(для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться
равенство
1/2
/-f--y = const, (20)
выражающее известную теорему Б е р н у л л и для сжимаемого газа
(см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального
совершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных
к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет
постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.
Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно
уравнению Эйлера,
то можно получить равенство
b+v-£-v-£+}(£+v.«™.,)+*
или, после сокращения слева и справа на член V • -т-, следующее
не зависящее от характера поля объемных сил выражение того же
■закона сохранения энергии
di _ 1 dp , ,
134
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. Ш
Если движение баротропно, то по предыдущему
LdJL = dA.
Р dt dt '
после чего уравнение баланса энергии приобретает вид
^(i-$) = Jq. (21)
Из равенства (21) вытекает, что в случае блротропного движения,
а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в ртастоя-
щем курсе движений, приток тепла определяет измена.!, п гашсти
тепловой функции и функции давлений. При адиабатическое
движении } = 0 и уравнение (21) приводит к соотношению
i = §-\- const, (22)
справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом
поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что
уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из
курса термодинамики адиабаты
р = Ср* (23)
с показателем k, равным отношению теплоемкостей c.pjcv л
постоянной С, определяемой по заданным значениям: г -- /?,,, р = р0—в
некоторой точке адиабаты.
Действительно, переписывая (22) в вилс
v
J с г, Jcr. p Г dp
JcpT ^.RT=^..J^\jm + const (22')
p.,
и замечая, что но (17),
JCj, k
R k—l'
будем иметь, дифференцируя (22') по давлению /;:
k d fp\ k 1 k p dp
k — 1 dp \ p J k — 1 p k — 1 p« dp p '
откуда следует дифференциальное равенство
dp_ = kdj>_
Р Р '
которое после интегрирования и приводит к (23).
Наряду с функциями состояния i и § введем в рассмотрение еще
одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа
энтропию S, определяемую известным дифференциальным соотношением
dS = J^r, (24)
§ 21]
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
135
где, в общем случае, под бесконечно малой величиной dq будем
понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся
обратимым путем за время dt в элементарном объеме газа.
Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство
dS = 0, т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину,
то такое движение называется изэнтропическим.
Как известно, возрастание энтропии в изолированной
(адиабатической) системе показывает, что внутри этой системы происходят
необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло,
связанные с „потерями" механической энергии.
Примером образования таких механических потерь могут служить
потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.
Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтро-
пического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может
быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при
отсутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных
схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-
либо возникает необратимым образом тепло. Движение может быть,
наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если
тепловыделения, связанные с превращением механической энергии в тепло,
компенсируются путем теплопроводности или лучеиспускания. Само
собою разумеется, что реальные движения являются
неадиабатическими и неизэнтропическими и могут рассматриваться в качестве
адиабатических или изэнтропических лишь в известном приближении.
В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является
имеете с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего
трения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.
Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа,
если в правую часть равенства (24) подставить выражение J dq из
уравнения первого начала термодинамики
J dq — Jcv dT-\- p dv — Jcv dT -\-pd(—j = JcvdT — *-% dp
и разделить обе части таким образом полученного равенства па 7";
тогда получим
"■"i, замечая еще, что па основании (17)
Jcr 1
136 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения
энтропии
rf5 = l=T*lB(£)> (25)
откуда интегрированием получим
•*=уГГ11п(^)+const. (26)
Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь
дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее
значениями.
Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение
идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтро-
пическим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической
адиабатой или, короче, изэнтропой.
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения
объемного интеграла. Перенос величины сквозь
контрольную поверхность
Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого
объема т с поверхностью а. К такому объему, представляющему систему
материальных жидких частиц, можно применять общие законы
сохранения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения,
моментов количеств движения, кинетической энергии и др. При
составлении выражений изменения со временем соответствующих величин
приходится вычислять индивидуальную производную от объемного
интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему,
индивидуальная производная может быть представлена как сумма локальной
производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой
величины, и конвективной производной, характеризующей
неоднородность поля.
Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием
выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой
же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже
упоминалось в § 11).
Условимся в дальнейшем называть „контрольной поверхностью",
соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому
объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую
рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени.
Контрольная поверхность представляет зафиксированную мгновенную форму
поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в пространстве,
деформирующийся жидкий объем в каждый данный момент времени
протекает сквозь собственную контрольную поверхность,
соответствующую рассматриваемому моменту времени.
§22]
ЭЙЛЕРОВО ИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
137
Введем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую
или разомкнутую поверхность о. Возьмем в пространстве,
заполненном движущейся средой, элементарную площадку da с ортом нормали п,
направленным в положительную сторону площадки. Произведение
фУпйа физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной
или тензорной, на секундный расход среды сквозь площадку do
определяет перенос величины Ф сквозь площадку do, а интеграл ( Ф Vn do —
<j
перенос той же величины скозь поверхность а.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема
вектору количества движения pV, получим вектор переноса количества
движения сквозь поверхность а, равный интегралу I p\Vndo.
Протекающую сквозь поверхность а секундную массу среды j pVn do
можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность а;
Г V2
величину p-?rVndo—как перенос кинетической энергии и т. п.
Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от
некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно
переносу той же величины сквозь „контрольную" поверхность,
ограничивающую этот объем в данный момент времени.
Для доказательства поступим так же, как в § 11 при выводе
фор.мулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на
большое число элементарных трубок тока и для каждой из них (см. рис. 9)
подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от
рассматриваемой величины Ф. Для этого, отвлекаясь от локального
изменения ^- Ф dx, составим разность интегралов по смещенному
к моменту t-\-dt и первоначальному в момент t объемам:
J" Ф^— j ФеИ. (27)
A'D'C'B' ADC В
Эта разность интегралов, в силу непрерывности Ф, может быть с
точностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух
величин:
Ф2 • объем CC'D'D — Ф1 • объем АА'В'В, (28)
так как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься
"г нестационарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого
|[ вычитаемого в разности (27) объема A'DCB'. Искомое секундное
конвективное изменение интеграла, распространенного по объему
элементарной трубки, будет равно:
Ф2 Vm do2 — Фа Vln> d^ = Ф2 V2n do2 -f Ф1 Vln doy
138 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ill
Суммируя эти секундные конвективные изменения по всему объему т
с поверхностью а, получим полное секундное конвективное изменение
объемного интеграла в виде
т а
что и доказывает предложение.
Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только
что проведенном доказательстве определялась индивидуальная
конвективная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение
во времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся
объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или
газа. Это означает, что внутри объема не могло быть источников
притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие —
„особые"—точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их
следует дополнительно выделять контрольными поверхностями,
например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер
в общую совокупность поверхностей, ограничивающих объем
интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при
рассмотрении движения жидкости.
Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого
объемного интеграла может быть представлена следующей суммой:
ъ\ ф dx=mj ф dx+.[ ф V*da- (30)
■t га
Полагая в этой формуле последовательно:
Ф = р, р(лрГ+^)> PV, rXpV, p£,
получим выражения индивидуального изменения во времени: массы,
энергии, количества движения, момента количества движения и
кинетической энергии жидкости в рассматриваемом объеме.
Примечание. Непрерывность распределения в пространстве
величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь
в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока.
Что же касается объема трубки A'DCB', общего для начального
и смещенного положений движущегося объема ADCB и
выпадающего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри
этого объема величина Ф может изменяться произвольным,
непрерывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл
сохранял определенный смысл.
Предположим, что внутри объема, ограниченного
„контрольной" поверхностью, имеются поверхности разрыва непрерывности
интегрируемой величины, причем на этих поверхностях величина
§ 23]
ЭЙЛЕРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ
139
претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую
конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта
поверхность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной
поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход
жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть
контрольной поверхности совпадает с поверхностью тока).
Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29)
непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и
в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва.
Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при
рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе.
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии,
теоремы количеств движения и момента количеств движения
при стационарном движении идеальной жидкости
Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости,
можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной
производной (29), представить закон сохранения массы
т
в следующей интегральной форме:
fpVada--~0, (31)
имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный
массовый расход жидкости или газа через неподвижную
замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни
стоков, равен нулю.
Применим этот закон для элементарной трубки тока с двумя какими-
нибудь нормальными сечениями daJ? da2, в которых скорости
соответственно равны по величине V, и V2, а плотности: р1 и р2; тогда,
замечая, что на боковой поверхности трубки тока Vn = О, получим
вместо (31) равенство
р1^1<*°1 = Ра^°2- (32)
В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать
так: при стационарном движении жидкости или газа секундный
массовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока
одинаков вдоль всей трубки.
Если плотность жидкости повсюду одинакова, т. <л жидкость
'•есжимаема, то формула (32) переходит в более простую:
I/j d0l = V2 do2,
(32')
140
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. Ш
утверждающую сохранение объемного расхода вдоль элементарной
трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки тока
скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях —
убывает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью
сечения при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще
третий переменный фактор — плотность.
Формулы (32) и (32') легко обобщаются и на случай трубки любого
поперечного размера. Назовем через о, и о2 два каких-нибудь, вообще
говоря, неплоских поперечных сечения трубки; поверхности Oj и о2
в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того,
ортогональных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось,
может и не существовать. Производя суммирование обеих частей
равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем
трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим:
fpVnda=fPVnd°, (33)
в, а.г
т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении
справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль
ксей трубки. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое
сечение трубки о через М, будем иметь:
/И = J p Vn da = const. (34)
Величину /И, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое
сечение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, § 12),
можно было бы назвать интенсивностью трубки тока.
Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных
выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и
в случае неидеальной жидкости.
Закон сохранения энергии в случае стационарного,
адиабатического движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил,
согласно равенству (18') и принятому эйлерову представлению, можно
записать в интегральной форме так:
jp(jcpT+^Vnda=0. (35)
а
Применяя этот закон для элементарной трубки тока, так же как
и в случае закона сохранения массы, получим:
Pi Vl \JCpTt + Ц) <*». = Р* V2 \JCP T2 + T ) d°* (36)
§ 231
ЭЙЛЕРОВА ФОР.МА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ
Н1
или, учитывая равенство (32):
Jcpti + -J = JcpT2+ Y •
(37)
Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20).
Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже
применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения
динамики жидкости; равенство (24) гл. II в случае стационарного
движения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении
написано в форме
jpFdx — fpndc— §oVVndG=0. (38)
т а а
Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно
трактовать, как перенос количества движения через поверхность о,
направленный внутрь объема -:. Действительно, орт внешней нормали п
направлен наружу объема, так что, если
в некоторой точке поверхности вектор
скорости V направлен также наружу объема
(Vn > 0), то элемент интеграла —р VnV do
направлен внутрь объема; если же
вектор V направлен внутрь объема, то V„<0
и элемент интеграла направлен в ту же
сторону, что и вектор V, т. е. опять
внутрь объема.
Равенство (38) дает следующую
формулировку теоремы об изменении
количества движения: если в стационарном
потоке идеальной жидкости выделить
некоторый объем, то сумма главного
вектора объемных сил, приложенных к
выделенному объему, главного вектора
сил давления, приложенных к его
поверхности, и переноса количества
движения через эту поверхность,
направленного внутрь объема, равна нулю.
Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между
двумя ее ортогональными сечениями (рис. 31): 1) dau где скорость
равна \и плотность р1; давление ръ орт внешней нормали щ, и
2) da2, где, соответственно, скорость равна V2, плотность р2,
давление /?2 и орт внешней нормали п2. Тогда, выделяя из общего
поверхностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности
трубки обок и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую
поверхность трубки равен нулю, получим:
J pFdx— Г рп do—p^ d<31—p2n2dG2-^-pi V1\1dal~p.2V2M2da2=Q, (39)
бок
Рис. 31.
J 42 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ К ГАЗА |ГЛ. III
или, произведи замену:
Vj = —Vini, V2=K2n2, (40)
найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения
количеств движения для элементарной трубки тока при
стационарном движении идеальной жидкости (газа):
J pFrfT— j pnds — (pi-\-piVl)ntdoy — (р3-}-р2К2)П2^а2=0. (41)
бок
Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей,
ортогональных к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем
элементарным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины;
получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной
ширины:
JpFrft — J pnda — [ (р + р К2) П da — J(/;-|-pK2)nrfa=0, (42)
х a, a, c,
6oi:
где а1 и с2 — два ортогональных к линиям тока сечения трубки.
Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо,
так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение
(главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет
жидкость, и др.).
Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции
струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в
курсах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения
этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.
Принимая во внимание сделанное в конце § 22 примечание о
возможности применения эйлерова представления конвективной
производной в том случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной
поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины,
можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм
законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при
стационарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента
количеств движения:
J (г X pF) Л — f (r X np)do — J (r X рВД do = 0 (43)
too
и для элементарной трубки тока:
f (rXpF)dz— f (rXnp)da — (p1 + plVi)r1Xn1da1 —
бок
-(ps+p2I/*)r3Xn2rfos = 0, (44)
где векторы г( и г2 представляют векторы-радиусы центров тяжестей
нормальных сечений dai и dc2 трубки тока.
§ 241 ТЕОРЬМЛ ОГ. ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 143
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа
и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения
изменения кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального
жидкого объема должна, как известно из теоретической механики,
формулироваться так: „производная по времени от кинетической
энергии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних
(объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует
± J*P-£rfT= j'pF.Vrfx- jpn-Vdo+ jPNindx =
i т ст т
= Г pF • V dt — f div (pV) dx + f 9Nin dr, (45)
% x -
где Nin представляет отнесенную к единице массы мощность
внутренних сил давлений, равную отнесенной к единице массы секундной
работе расширения элементарного объема в данной точке.
Действительно, умножим обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно
на УЛ и проинтегрируем по объему т; получим:
JL
dt
p-7j-rfx= pF ■ Vdx— jV-grad/?.
Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45),
тогда найдем
j 9Nin dx = J [div (pV) — V • grad p] dz = J p div V dt. (46)
- 1 T
Отсюда в силу произвольности выбранного объема z следует:
A/i„ = £-divV, (47)
или по уравнению неразрывности (18) гл. II:
дг р dp d {1 \ dv 1лп1\
— выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы
и времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого
начала термодинамики (v — удельный объем):
J dq = Jcv dT-\-pdv = Jcv dT-\-pd(-\.
Результат этот можно было ожидать заранее, так как
уравнение (45) легко выводится как следствие уравнения сохранения
энергии (16) и уравнения первого начала. Действительно, переписав
144 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Щ
уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем
несколько преобразованном виде:
~ \9(jcvT-lr^>)di = fpF-VdT— |*div(pV)<fc + |V<7^,
~ х ^ ~
|- J pic,, T d, = J pj? rfx - J pp ^ (1) Л
и вычтя одно из другого, получим:
т. е., согласно (47'), ни что иное, как уравнение (45).
Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16)
из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не
основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом
смысле закон сохранения энергии представляет первое начало
термодинамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение
изменения кинетической энергии является простым следствием уравнений
динамики газа.
В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении
кинетической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В
случае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде
fpF-VrfT— fpn- Vafc-f- fpdivVd-c— Г р -у- Vn da = 0, (48)
Tat a
откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической
энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении
идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и
мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с
переносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна
нулю.
Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между
двумя произвольными ортогональными сечениями dot и da2. Будем иметь,
из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:
fpF-Vrfx+ fpdivVd-c+^Vj + p^jdoi —
•z х
— (PiV2 + Pi^jd<h = 0- (49)
В том случае, когда линии тока допускают проведение
ортогональных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной
§25]
ТЕОРЕМА БЕРИУЛЛИ
145
толщины:
pF • V dx -j- | p div V dx -f
+ J(p^+ p т)dc — f O^+pt) rf0 = °> (5°)
где Oj и o2 — два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех
своих точках линиям тока, х — ограниченный ими и боковой
поверхностью трубки объем трубки тока. Заметим, что, в отличие от
теоремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах
(49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений,
приложенных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как
сила давления на боковой поверхности направлена перпендикулярно
к скорости частиц.
Формулы типа (49) и (50) практически могут применяться лишь
в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом
интеграл, представляющий секундную работу (мощность) расширения,
обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем
случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для
применения.
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической
энергии при стационарном баротропном движении идеальной
жидкости и газа
Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием
потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает
стационарное баротропное движение с функцией давлений f. Тогда, опуская
в уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном
движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор
скорости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого
вектору V:
V-gradE = V(у- ■ gradEW 0,
или, что все равно (вспомнить определение конвективной части
индивидуальной производной в конце § 9 гл. I):
§-0, (51)
гДе символ djds означает производную, взятую вдоль траектории или
линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из
равенства (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока
величина Е сохраняет одно и то же значение:
Е = -п--\-& -j- П = const (вдоль линии тока). (52)
10 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
146 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Itf
Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к
единице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную
энергию поля объемного действия сил давления в данной точке
потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма Е
этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось,
отнесенную к единице массы полную механическую энергию потока в
данной точке. Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы
Бернулли: при стационарном, баротропном движении идеальной
жидкости или газа под действием потенциального поля объемных
сил приведенная к единице массы полная механическая энергия
потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории
или линии тока.
Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу
следует постоянство полной механической энергии Е также и вдоль
любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае
стационарного движения первый член и умножая обе части (13) скалярно
на Q, получим:
Q ■ grad Е = a(-g- • grad e) = Q Ц = О,
где dl — дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует,
что вдоль вихревой линии величина Е имеет одно и то же значение:
Е = -=--[-IP ~Н И = const (вдоль вихревой линии). (53)
При стационарном движении вектор, равный произведению Q X V,
образует потенциальное векторное поле, так как по (13)
rot (Q X V) = —rot grad E = 0;
при этом, как известно, через каждую точку пространства можно
провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей
через эту точку. Эти ортогональные
поверхности будут поверхностями
уровня полной механической энергии,
так как градиент энергии направлен
по нормали к ним. Иными словами,
полная механическая энергия
сохраняет одинаковые значения на всех
поверхностях, ортогональных к
вектору Q X V в данной точке, или, что
все равно, на поверхностях,
касательные плоскости к которым в любой
точке пространства содержат векторы
Q и V. Эти поверхности уровня полной механической энергии можно
получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через
все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую
§25)
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
147
поверхность—поверхность уровня энергии, проходящую через данную
линию тока.
Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и
через все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока
образуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию.
Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии
тока, или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут
поверхностями уровня приведенной к единице массы полной
механической энергии стационарного, баротропного потока идеальной
жидкости, находящейся под действием потенциального поля объемных сил.
Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баро-
тропном потоке идеальной жидкости, находящемся под действием
потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает
с вихревой поверхностью, то эта поверхность служит
поверхностью уровня приведенной к единице массы полной механической
энергии потока.
Таким образом, все пространство, заполненное стационарно
движущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на
поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая
энергия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе
от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52)
и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий
тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те
линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой
линии, или вихревые линии, проведенные через точки одной и той же
линии тока.
Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются
величиной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо
характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой
линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы эти
различны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и
той же поверхности тока, являющейся одновременно и вихревой
поверхностью.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
Q X V = 0, (54)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию
стационарности,
grad Е = 0, (55)
'• е. полная механическая энергия сохраняет одно и то же значение
в0 всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа.
Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях:
1) Q~ = 0—движение безвихревое; подробному рассмотрению этого
важнейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
10*
148 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. П1
2) Q |] V •— вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком
движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг
касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым.
С винтовым движением приходится иметь дело при рассмотрении так
называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла
конечного размаха.
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся
к отдельным, простейшим баротропическим процессам: 1) несжимаемому
движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому,
а следовательно, по предыдущему, и изэнтропическому движению.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем по (9):
g^P^ZIe^L , COnst>
Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только
сил веса и направляя вертикальную ось г вверх, получим:
__(Ш
дг ~ g'
П = §г-Г- const.
Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид
(символ const обозначает сохранение величины вдоль линии тока или
вихревой линии):
E = ±V*±£ + gz = const, (56)
или, переходя от плотности р к удельному весу f = og:
f==// = 5i + ^ + 2==const- (57)
Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и
V2 „ р
называются соответственно: 7 скоростной,- пьезометрической
и z—нивелирной высотами. Сумма этих высот Н называется
гидравлической высотой.
Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы
Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной
несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме
скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное
значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в
гидравлике открытых русел (каналов, водосливов и др.).
Предположим, что силы веса в рассматриваемом случае движения
имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково,
например, движение газа по трубе, при котором вес газового столба,
§ 25]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
149
определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц
газа, пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим
газ в движение.
В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и
уравнение Бернулли приобретает более простой вид:
р-\-Ц?-=> const. (58)
Первый член, представляющий давление, иногда называют
пьезометрическим напором, второй—скоростным или динамическим
напором, сумму их — полным напором.
В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при
стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в
отсутствии объемных сил полный напор, равный сумме скоростного и
пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии
тока или вихревой линии.
При изотермическом движении сжимаемого газа [7 = const,
— = const J, функция давлений § по (72) гл. II равна (индекс О
означает некоторую произвольную точку изотермы):
§=ES>\nL.
Ро Ро
Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим
уравнение Бернулли в виде:
Yl+2* in £. = const, (59)
2 Ро Ро v
или
Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического)
движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59)
или (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из
предположений р = const и Т = const по уравнению Клапейрона
следовало бы и /? = const, что привело бы к постоянству скорости
движения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, как было
показано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа
(5== const, pp-k = const). В этом важном для практики случае, если
отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет
к соотношению:
1/2
L. -fg' = const. (61)
150 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
Функцию давления § можно при желании заменить по формуле (22)
на тепловую функцию i = JcpT; тогда уравнение (61) перейдет в
следующее:
1/2 Т/3
L.+ i = L. + jCpT= constj (62)
аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии
уравнению (20).
Вычисляя, с другой стороны, функцию давления § по уравнению
изэнтропы
» Г dp pl'k Г _1 ft PlJk/ tzl 1Lzl\
k — 1 ?o L \Pn/
получим еще следующее выражение теоремы Бернулли:
'-)
&—i
Y1 !_£и
2 ft-Г ft, L
const.
(63)
(64)
Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии
тока, где давление, плотность и температура принимают значения р0,
р0 и Т0, скорость движения равна нулю (1/=0); если в действительно
происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии
такой точки нет, то всегда можно представить некоторое
воображаемое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в
состояние покоя, адиабатически его затормаживающее. Величины р0,
р0 и Т0 в этом случае называют соответственно давлением, плотностью
и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя
выбранные таким образом постоянные величины р0, р0 и Т0, можно
переписать уравнение (62) в виде:
или
-2+JcfiT==JcPTo
Т^То(1~Щт1)-
(65)
(66)
Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную
формулу Сен-Венана и Вантцеля:
к—1 -,
Чк Рп
V2--
ft — 1 р0
>-'#'
(67)
§25]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
151
Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе
формулы движения несжимаемой жидкости (р = const) нельзя
рассматривать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропи-
ческого движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может
происходить при постоянной температуре и энтропии. Условие
несжимаемости (р= const) при сопоставлении с условием изотермичности
( —= const ) или изэнтропичности (-^г= const J приводит к
одинаковости давления, а следовательно, температуры и скорости во всем
потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых
формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулам
движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования
общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как
ближайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число
такого рода примеров.
ГЛАВА IV
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризированные уравнения. Скорость распространения
малых возмущений в жидкости или газе
Если в потоке все динамические и термодинамические величины
являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной
координаты и времени, то такой поток называется одномерным.
Простейшими примерами одномерных потоков могут служить:
пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в
котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями
только этой координаты и времени, пространственный радиальный
поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и
температурой, представляющими функции только радиуса-вектора г и t, и др.
Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной
жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х,
а единственная составляющая скорости и, так же как давление р,
плотность р и температура Г, являются функциями х и t\ при этом
будем пренебрегать действием объемных сил.
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом
случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого
порядка в частных производных:
dti , ди_ 1_др_ |
dt ~т~ U Ш ~~ р дх' I
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему
определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р,
если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение
баланса энергии — в общем случае произвольного движения
идеального, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной
системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным
и граничным условиям.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 153
Задача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1)
даже для простейших баротропных процессов очень сложна.
Случай движения несжимаемой жидкости (о = const) исследуется
просто, но не представляет интереса, так как при р = const
уравнение неразрывности приводится к условию независимости скорости от
что соответствует квазитвердому поступатель-
координаты U-j = О
ному движению жидкости вдоль оси х.
Начнем с решения следующей математически не сложной, но
принципиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся
идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей,
давления и плотности так, что возникающее при этом движение является
одномерным, параллельным оси х баротропным движением, зависящим
лишь от координаты х и времени t; требуется разыскать элементы
возмущенного движения. Обозначим через и, р и р скорость, давление
и плотное 1Ъ возмущенного движения, через р0 и р0 — давление и
плотность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия
объемных сил; тогда, вводя еще обозначения и', р', р' для малых
возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь:
и = а', ]
Р=Ро + Р'> \
Ро-г.°'- )
(2)
" = Рп
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему
уравнении' (1) и откинем в них произведения малых величин и их
производных по координатам, как малые высших порядков. Тогда, замечая,
что в силу баротроппости движения
op dp dp
дх da ' дх '
!)0+ш>-ро)+..
WPVov
лтСро + р')-^
дх
(dp'- , /d*-p\ ,
<¥_ (d£\ d£
дх \dp )0 дх г
{- б. м. 2-ro nop.,
получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему
двух уравнений с двумя неизвестными и' и р':
да-
~Ы
г "г Ро {dp ;0 дх
%-
да' „
■Pofl7=°-
(3)
-ис1ема (6) может быть названа линеаризированной по сравнению
с нелинейной системой (1), так как она получена из нее путем
линеаризации, заключающейся в откидывании малых второго и высших
"орядков.
154 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная
система (1) стала определенной, хотя связь между р и р явно не задана.
Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений р и р от
невозмущенных, равновесных р0 и р0, любая аналитическая связь между р
и р вполне определяется заданием равновесного значения производной
от плотности газа по давлению или обратной величины (-г~) • Замечая,
что величина -^-всегда существенно положительна, введем обозначение
(4)
(5)
В системе уравнений (5) переменные и' и р' могут быть легко
разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5)
по времени t, а второго по х, умножая после этого обе части второго
уравнения на «5 и вычитая его почленно из первого, получим:
___«„_ = (). (6)
Аналогично найдем уравнение для определения р':
д2р' 2 dV „ /с,-.
и
перепишем
систему
(3)
в форме:
ди'
ди'
•1
= «0
2 dp'
др'
dt -
а замечая, что
Р'=Р—Ро = (^) (Р — Ро) = 4>',
найдем и уравнение для р'\
Одномерные волновые уравнения (6), (6') или (6") являются
классическими уравнениями математической физики. К такого рода
уравнениям приводит решение задачи о продольных и крутильных
колебаниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих
уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух
произвольных функций:
/i (* — аоО + /а (* + аоО>
вид которых зависит от начальных условий задачи.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 155
Введем новые координаты X' и X"', связанные со старыми при
помощи равенств:
X' = х — a0t,
X" = х + a0t.
Новая ось координат О'Х' движется поступательно в сторону
положительного направления старой оси Ох со скоростью аа, точно так
же ось 0"\" движется поступательно в сторону отрицательного
направления оси Ох с той же скоростью а0.
Функция /j (£') в подвижной системе О'Х' представляет некоторое,
не зависящее от времени распределение возмущений скорости,
плотности или давления. Эта фиксированная форма одномерного
возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная
кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового
уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной
оси Ох со скоростью а0. Аналогично этому, функция /а (;"),
характеризующая определенное, не зависящее от времени распределение
возмущений в подвижной системе 0"Х", представляет вторую
фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду
от первой и распространяющуюся также как одно целое в
отрицательную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью а0.
Общая для обеих форм скорость распространения одномерных
малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде а0
определяется, согласно (4), формулой
С такой скоростью будет, например, распространяться вдоль
цилиндрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим
двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления).
Перемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет
изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться
старое давление, как будто движение поршня не возникало.
С той же скоростью будут распространяться малые колебания
давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать
явление распространения звука баротропным; величина а0, заданная
равенством (7), называется поэтому скоростью распространения звука
или, короче, скоростью звука.
Согласно общему принципу классической механики, приведенное
Рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа,
равновесным состоянием которых является квазитвердое поступательное и
равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной
с этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики
сохраняют свой вид и все предыдущие выводы остаются
справедливыми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать
156 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному
пространству, в котором среда совершает свое движение.
Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому
поступательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же
термодинамические характеристики р0, р0 и Т0, то скорости
распространения звука по отношению к газу в том и другом случае будут
одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым
образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные
термодинамические состояния и разные скорости звука, которые
в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные
скорости звука, представляющие функции координат и времени.
Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой
волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой
среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению
к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью
порядка 330 м/сек), в то время как сам газ при этом остается почти
неподвижным.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения
скорости и' в форме „волны", бегущей в положительном направлении
оси Ох:
u' = f1(x — a0t),
получим уравнение
— РоЯцД (х — a0t) = — а\ -^,
где точкой над буквой /, обозначена производная по всему аргументу
(х — a0t). Интегрируя это уравнение по х, получим:
/i(* — V) = «' = -f a0, (8)
или в дифференциальной форме еще такое соотношение:
da = a0^. (80
Из условия баротропности процесса распространения малых
возмущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение
' г '
р = аор ,
вместе с (8), приводящее к следующему выражению скорости и':
и' =
или в дифференциальной форме
a' = M..PL (9)
du^I^EL. (90
Ро«о Ро к '
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 157
Из равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных
значениях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости
движения газа по отношению к неподвижной системе координат Ох
после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше
относительное уплотнение газа
Р' _ Р~Ро
Ро Ро
или относительное его сжатие
El =Р—Ро
Ро Ро '
т. е. чем больше интенсивность возмущения.
Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа,
то р' > 0 и и' > 0; следовательно, проходящая сквозь газ звуковая
волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью!) газ за собой,
звуковая волна разрежения (р' < 0), наоборот, дает дополнительную
малую скорость и' < 0, направленную в сторону, противоположную
распространению звуковой волны, т. е. звуковая волна разрежения
вызывает встречное малое движение газа. Это явление легко себе
представить, если вообразить поршень, имеющий возможность
двигаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы,
заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например,
слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит
звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется
слабое движение газа вместе с поршнем слева направо. Наоборот,
влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет
распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая газ
за поршнем вправо.
Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8),
(8'), (9) и (9'), относится лишь к случаю распространения слабых
возмущений в газе. Однако для дальнейшего не столько существенны
изложенные факты или формулы, как сама тенденция возрастания
абсолютной скорости потока газа при прохождении вниз по его
течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны
разрежения и, наоборот, убывания той же скорости при
прохождении вверх по течению волны сжатия или вниз по течению
волны разрежения.
Так, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются
попеременно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство
уходят как волны сжатия, так и разрежения. Распространяясь сквозь
окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают
колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в
состояние малых перемещений и сами частицы воздуха.
Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для
дальнейшего тенденцию. Пусть после прохождения звуковой волны вместо
158 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
равновесных значений давления и плотности р0 и р0 установились
значения р0-\-р' и РоН~р'> тогда изменится и скорость
распространения звука, которая станет равной
,dp\ '
Wp/0
dT-p'
Up/0
Отсюда следует, что приращение скорости распространения звука
в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет
малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение
газа в волне р', а именно:
1 . V <*рЧ ,
«о == -о ао ■
(*L\
Wp/0
Если предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе,
вместе с ранее сделанным естественным допущением -j- > 0, выпол-
няется еще неравенство —~-^ ^ 0 (это имеет место, например, для
изотермического и адиабатического процессов), то можно придти
к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции
к возрастанию скорости распространения звука после уплотнения
среды звуковой волной сжатия и, наоборот, убыванию скорости
распространения звука после прохождения волны разрежения.
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмущения.
Число М и его связь с углом конуса возмущений
Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баро-
тропности процесса.
Если предположить, что жидкость несжимаема, т. е. р = const,
то по (7) а0 = оо. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости,
с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело,
возмущения давления должны были бы распространяться с бесконечной
скоростью, т. е. всякое изменение в данном месте потока должно
мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое
отличающееся от действительности предположение может с достаточным
для практики приближением приниматься для расчетов, в других, как
далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться
§27]
СКОРОСТЬ ЗВУКА. ЧИСЛО М
159
схемами с конечной скоростью распространения малых возмущений
или, что все равно, с конечной скоростью распространения звука.
Принимая процесс распространения звука изотермическим и
вспоминая, что при изотермическом процессе (опускаем значок „нуль")
получим скорость звука, соответствующую изотермическому процессу,
или, короче, изотермическую скорость звука
a = V-u' (Ш)
р
Если предположить, что процесс распространения звука происходит
без отвода тепла, т. е. адиабатически, то будем иметь:
следовательно, адиабатическая скорость звука равна
= /**■ (»)
а =
Р
Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11) —
Лапласом. Многочисленные эксперименты подтвердили правильность
формулы Лапласа (11). Физически это означает, что слабое сжатие
газа звуковой волной происходит очень быстро и образовавшееся при
этом тепло не успевает перейти в соседние части газа, что и приводит
к адиабатичности процесса распространения звука. В настоящее время
пользуются именно этой адиабатической скоростью звука, в
дальнейшем для краткости называемой просто скоростью звука.
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в виде:
a = \kRT; (12)
отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном
газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических
свойств газа. Замечая, что газовая постоянная R может быть выражена
через молекулярный вес газа т и ускорение силы тяжести g по
формуле
^_ 848g м*
т секЧрад '
получим
а=Л/ -Т м/сек. (13)
Для воздуха к = 1,4, m = 28,86; g = 9,81 м/сек и, следовательно,
скорость распространения звука в воздухе равна
«=20,1/7 м/сек, (Н)
160
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
в частности, при Т = 273 (0°С) скорость звука достигает величины
332 м/сек. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой
над уровнем моря. Применяя „стандартную атмосферу", получим
табл. 4 „стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты над
уровнем моря.
Таблица 4
Н км
-1,0
0,0
1.0
2,0
3,0
4,0
7"°К
294,5
288,0
281,5
275,0
268,5
262,0
а м/сек
345
341
337
333
329
326
Н км
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
7° К
255,5
249,0
242,5
236,0
229,5
223,0
а м/сек
322
317
313
309
306
300
Н км
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
г°к
216,5
216,5
216,5
216,5
216,5
а м\сек
296
296
296
296
296
Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука
сравнительно с воздухом принимает весьма малые значения.
Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного,
параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе
происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных
оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного
радиального распространения круговых в плоскости или сферических в
пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения
несколько усложняются, но так же легко решаются.1 Существенно,
что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость
распространения их будет определяться той же формулой (9), что и
в случае распространения плоской звуковой волны.
Предположим, что в неподвижной сжимаемой среде движется
прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный
источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем
прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х,
выберем на ней начало координат О (рис. 33 а и б) и будем считать,
что точка А вышла из начала координат в момент времени t = 0.
Пусть в некоторый момент времени / = I точка А займет
положение А; определим в этот момент границы области газа, возмущенного
движущимся источником, вышедшим из точки О при t = 0.
Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей
скорости а распространения звука в данном газе при заданных
термодинамических его характеристиках, или, короче, с дозвуковой
скоростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая из начала координат
вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту t = t
1 См., например, Г. Л а м б, Гидродинамика. Гостехиздат, М. 1947, стр. 611.
§27]
скорость звука; число М
161
областью возмущенного газа будет являться, очевидно, вся внутренняя
часть сферы радиуса r=at (рис. 33 а).
Рассмотрим теперь случай сверхзвукового движения источника
возмущений (и > а). При движении со сверхзвуковой скоростью
точка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис. 33 б),
вышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет
непрерывно играть роль центра образования новых сферических волн. Чтобы
движение дозвуковое (at ■> at)
S)
движение сверхзвуковое (at«Л)
Рис. 33.
найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения
источника возмущений, напишем в момент времени t = I уравнение
поверхности сферической волны, вышедшей из точки А в момент
времени t, и найдем огибающую всех таких сфер к моменту t = t.
Замечая, что в момент t центр рассматриваемой сферы будет занимать
на оси х положение х = ut, а радиус сферы, как легко сообразить,
будет равен г = а (?—- f), получим уравнение сферы в виде
(* — и/)2+у + .г2 = а2(Г— О2. (15)
■тобы найти огибающую этого семейства сфер с параметром t, соста-
Вим частную производную от обеих частей (15) по t и исключим /
П Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
162 одномерный поток идеальной жидкости fnr. iv
из совокупности полученного таким образом уравнения
(x — ut)u = a?(t — f) (16)
и предыдущего уравнения (15). Из уравнения (16) получим:
их — а21
t =
ut
и' —а* '
a'-iut — х)
7 -_ U(tlt — X).
1 1 „2 гА >
и2 —а2
после подстановки этих величин в уравнение (15) найдем:
-7^("'-*)'+y,-f*e»0> (17)
или, перенося начало координат в точку х = х = ut,
^a+**=-p!b»*s' (,8)
где £— новая координата, заменяющая х по формуле
JC = ? —{— X = Z-\- Ut
Равенство (18) при и~>а представляет уравнение кругового конуса
с вершиной в точке А, осью симметрии Ох и углом раствора а,
удовлетворяющим равенству
_ ',2-
откуда следует
. 5 а2 — а"- /н \2 , nm
sma=—, а = arc sin—. (20)
и ' и х '
Условимся в дальнейшем обозначать символом М и называть
„числом М" отношение скорости движения тела сквозь неподвижный
газ к скорости распространения звука в нем, а также отношение
скорости движения газа в данной точке к местной скорости звука.1
1 Отношение это не имеет установившегося наименования. В
заграничной литературе его называют „числом Маха", иногда „числом Бэрстоу".
Согласно новым данным, имеются основания именовать это отношение „числом
Маиевского" в честь известного русского баллистика Н. В. Маиевского.
Аналогичное, по существу, отношение рассматривалось задолго до
перечисленных авторов Эйлером (см. по этому поводу нашу монографию «Аэродинамика
пограничного слоя", Гостехиздат, 1941, стр. 42—49, а также статью
Ф. И. Франкля в ДАН, т. LXX, № 1, 1950, стр. 39—42).
§27J
скорость звука; число М
Ш
Формулы (20) при принятом обозначении перепишу гея так:
sina = -^-, a = arcsin-^-, (21)
причем в рассматриваемом случае сверхзвукового движения источника
возмущения и > а, М>1.
Определяемый уравнением (18) конус будем называть конусом
возмущений, а угол а —углом возмущений. В случае плоского
движения газа роль „конуса возмущений" будут играть две
пересекающиеся прямые — линии возмущений.
Область вне конуса возмущений представляет область газа, куда
к моменту {t—i) прихода источника возмущений в точку А
распространяющиеся в газе возмущения еще не успеют дойти.
Если, например, источником возмущений служит самолет,
летящий в воздухе со сверхзвуковой скоростью, то в области вне конуса
возмущений звукоулавливатель 3 (рис. 33) не обнаружит самолета,
как бы близко к самолету ни был расположен звукоулавливатель.
В области вне конуса возмущений воздух будет иметь невозмущенные
давление и плотность.
Иная картина получится при движении самолета, если скорость его
еще не достигла скорости звука. В этом случае возмущения,
создаваемые самолетом, опережают движущийся самолет и создают
возмущенное поле скоростей, давлений и плотностей впереди самолета.
При принятии модели несжимаемого воздуха, возмущения, как было
ранее сказано, распространяются с бесконечно большой скоростью,
т. е. мгновенно; в этом случае возмущения, производимые полетом
самолета, передавались бы мгновенно в сколь угодно удаленные точки
воздуха, окружающего самолет.
Рассмотрим теперь обращенное движение: сообщим неподвижному
газу мысленно скорость и, равную по величине скорости движения
источника А и противоположную по направлению его движению. Тогда
источник А станет неподвижным, а газ будет набегать на него со
скоростью и.
Такого рода стационарные потоки наблюдаются в сверхзвуковых
аэродинамических трубах при продувке в них тел столь
небольшого размера по сравнению с полем трубы, что тела эти можно
рассматривать, как точечные источники возмущения.
Поверхность конуса возмущений представляет оптическую
неоднородность, хотя и слабую по интенсивности, но все же достаточно
заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта
оптическая неоднородность (изменение показателя преломления)
объясняется изменением плотности воздуха под действием сжатия или раз-
Режгния его в звуковой волне. Измеряя углы возмущений, по
фотоснимкам обтеканий можно определить соответствующие числа М,
а зная скорость распространения звука в среде, — и абсолютные
скорости потока.
11*
5 64 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
На рис. 34 и 35 показаны схематически конусы возмущения,
вызванные носиком и пояском летящего снаряда при двух различных числах М.
Рис. 34. Рис. 35.
Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах,
отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения.
§ 28. Распространение непрерывных возмущений конечной
интенсивности. Характеристики. Образование разрывной
ударной волны
В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые
возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными
отклонениями давления, плотности и температуры от их равновесного
значения и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука
возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных
элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квази-
твердо поступательно движущемся газе скорость распространения
звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от
физических констант k, R и абсолютной температуры газа. Как это следует
из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине
интенсивности возмущений того или другого знака (относительного сжатия
или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного
движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что
распространение возмущений конечной интенсивности вызовет в
покоящемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление
новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на
конечную величину. Такое конечное изменение поля скоростей, согласно
закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению
термодинамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой
скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить
указанную в конце § 27 тенденцию увеличения скорости
распространения звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны
§ 28] РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 165
сжатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении
волны разрежения, то можно себе представить, что последовательно
образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонять друг
друга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все
меньшие и меньшие скорости распространения, т. е. будут друг от
друга отставать.
Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет,
таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих
ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом
одномерном случае) волны конечной интенсивности,
распространяющейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем большей,
чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению
к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного
скачка скорости, давления, температуры и плотности газа —
называют ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения
ударной волны можно, следуя Риманну,1 подтвердить и с
количественной стороны.
Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1).
Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а,
равную по предыдущему величине местной скорости
распространения звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа
в рассматриваемой точке потока
«=/?• (22)
V dp v '
Пользуясь функцией давления §, которую можно рассматривать и как
функцию плотности по формуле
Ра Ро Ра
преобразуем второе уравнение системы (1)
dp . ди . Эр _
к виду
dp dp . ди . dp dp 1 д§ , ди , 1 д§ п
после чего система (1) перейдет в следующую:
ди_ , ди_ д§_
dt ~т" U дх ~ дх'
_1_Э|? _а_д£ = _ ади_
a dt ' а дх дх'
(24)
с j,1.8- Riemann, Ober die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
acnwinguiigsvvejte, Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gotttngen, 1860.
166
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IV
Введем теперь вместо функции давления § новую функцию §,
связанную с нею простым дифференциальным соотношением
d§ = ^d§. (25)
Тогда система (1) может быть переписана в форме:
ди
, ди
dt * U дх ~
дх'
ди
дх'
(26)
откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для
последующих выводов систему уравнений:
8 $+«) + (* + а)±
д
' + «) = <>, |
>
(27)
dt
■|(§-и) + (а-с)^(^-в) = 0. j
Левые части уравнений (27) представляют одномерные
индивидуальные производные: в первом уравнении от величины §-\~ и для
точки, движущейся со
скоростью и-\-а, и во втором
уравнении от величины § — и
для точки, движущейся со
скоростью и — а. Равенство
%=-чтао{и.*а) НУЛЮ этих индивидуальных
~ производных говорит о
сохранении величины § -\-и
в точке, движущейся со
скоростью и -f- a, и величины
§ — а в точке, движущейся
со скоростью и — а.
Полученный результат
имеет следующий
геометрический смысл. Рассмотрим
в плоскости аргументов (х, t)
вг=атд(и-а)
~t
семейство (С{)
уравнением
Рис. 36.
(рис. 36) кривых, определяемое дифференциальным
dx
dt
= tg&1=M + a»
(28)
и второе семейство (С3), отвечающее решениям дифференциального
уравнения
(29)
dx , и
_ = tg62 = «-a.
§28]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
167
Действительный вид этих кривых определится только после
решения системы (1), так как справа стоят неизвестные функции и(х, t)
и а(х, t); существенно, однако, что в каждой точке плоскости
(х, t) известно направление касательных к этим кривым, если
заданы значения и и р в этой точке.
Из уравнений (27) следует, что:
1) на кривых семейства (Cj)
§•-}-« = const, (30)
2) на кривых семейства (С2)
8—и = const. (31)
Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам (С,)
и (С2), существуют определенные соотношения (30) и (31) между
функциями и и §, а при заданном характере баротропного
процесса, и между основными неизвестными функциями аир.
Семейства (С,) и (С2), образующие в основной плоскости
аргументов (х, £) сетку кривых, обладающих тем замечательным
свойством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных
удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в
нашем частном случае уже проинтегрированным конечным
соотношениям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений
в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых,
определяемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические
направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных
уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства
прямых: х — at= const и x-\-at= const, вдоль которых сохраняют
одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические
величины.
Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротропного
процесса р=р(р), образуют в плоскости (а, р) также два семейства
кривых, которые можно рассматривать, как „изображения"
характеристик (С,) и (С2) в плоскости {и, р) или как характеристики
в плоскости (и, р).
Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1),
как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания
интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего
заданным начальным условиям, к простым графо-аналитическим
приемам, основанным на использовании системы дифференциальных
уравнений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).
Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений
скорости и плотности и (s) и р (s) вдоль некоторой кривой (S), не
совпадающей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической
168
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IV
сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих
величин в функции от х при t = 0, т. е. начальное возмущение
при t = 0, и = и0 (х), р = р0 (х).
Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой (Cj)
в точке А и кривой (Сд) в точке В по формулам:
dx\
dt)A
иА+аА=иА + а(РАУ>
\dt
= UR — aR = UB — С(Рв)>
проведем соответствующие характеристические направления и построим
треугольник АА1В.
X
0
/j
/5
(J)
(С)
7 */
-•—-* г" >
^~ te '
(f,>
Г IjS
\Вг
\
/Ю
/Г )
*^~
Рис. 37.
На отрезке ЛЛ, характеристики (CJ выполняется, согласно (30),
равенство
®(Pa) + ua1 = ®(Pa) + ua>
с другой стороны, на отрезке АгВ характеристики (С2), согласно (31),
будет:
^(S'a)~ua1=^{?b) — ub-
Из полученной сложением и вычитанием системы равенств:
Я(Р^ = ^[Я(Ра) + ва + *(РВ)-«В]>
вА, = у [Я (Рд) + "д - # (f>B) + вд],
легко находятся значения \>А и иА.
§ 28] РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 169
Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике ВВХС,
построенном по значениям угловых коэффициентов характеристики (С,)
в точке В и характеристики (С2) в точке С, найдем значения ив и
р в точке Bv Но по полученным значениям иА , рА и ив, pBi легко
наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким
образом, треугольник А1А1В1 и по предыдущему определить
значения и и р в точке А1ш Аналогичным приемом можно было найти
значения и и р в точках А2, В2 и т. д. Задаваясь достаточно густым
делением кривой (S) в точках А, В, С к т. д., найдем указанным
только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных
функций а и р в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, t),
что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи
характеристик построить полное решение системы уравнений,
удовлетворяющее некоторому заданному начальному распределению
неизвестных функций, и заключается важное принципиальное значение
идеи применения характеристик.J
В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа,
согласно уравнениям (1) или (27), характеристики (Сх) и (Сд) в
пространственно-временной плоскости (х, t) имеют простой физический
смысл. Это — движущиеся вдоль оси Ох со скоростью и-\-а или
и — а и перпендикулярные к этой оси плоскости, причем в плоскости,
движущейся вниз по течению со скоростью и-\-а, сохраняет свое
значение сумма § -f- и, а в плоскости, движущейся вверх по течению
со скоростью и — а, сохраняется разность §— и. Если вместо
абсолютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения
относительно газа, то эти движения представятся как распространение
в противоположные стороны двух волн со скоростями zt а, равными
по абсолютной величине местной скорости звука.
Чтобы составить себе общее впечатление о характере
рассматриваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого
частного решения системы (27).
Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи
между давлением и плотностью р = р(р) заданным; тогда, согласно (25)
1 Несколько подробнее метод характеристик в приложениях к
сверхзвуковым задачам будет изложен в гл. VI.
Строгое изложение теории характеристик и доказательство теоремы
единственности решения уравнений характеристик можно найти в
специальных курсах дифференциальных уравнений в частных производных. См.,
например, р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики,
т- U._Гостехиздат, 1945, стр. 66.
Приложение метода характеристик к нелинейным газодинамическим
Дачам достаточно подробно и полно изложено во втором томе курса
■, i еоретической гидромеханики" И. А. Кибеля, Н, Е. К о чин а и
и- В. р03е.
170 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
и (23), функция § определится как функция р из соотношения
#(Р)= «
dp
(32)
где по (22) а является также заданной функцией р. Примем, например,
рассматриваемое одномерное движение за адиабатическое и изэнтро-
пическое; тогда будем иметь
JL = (JL\k
Ро \ Ро/ '
а следовательно, по (22) получим:
У—1
-/*?(£)'"-*(*)"
(33)
а по (28)
о ft— 1 р/р0 R — 1
2йп
'*—i LV Ро
й-1
И3 -
АРо/
(34)
Построим частное решение системы (27), положив во всей
плоскости (х, t)
r ft—1
2«о
Я(р):
А—1
W -
Vpo/
(35)
где а0 и р0 — значения скорости звука и плотности в покоящемся
невозмущенном газе.
При р > Ро будем иметь сжатие газа и возмущенное движение
вдоль положительного направления оси*, при р<Ро — разрежение
газа и движение в противоположном направлении.
Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно
удовлетворяется, а первое переходит в следующее:
да , , , * ди п
dt
дх
(36)
Это уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие
сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности р в
перпендикулярной к оси Ох плоскости, движущейся с абсолютной
скоростью и -j- а, а по отношению к газу — с местной скоростью звука а.
По (33) и (35) местная скорость звука равна
ft—1
а==а°Ш 2 =ао + ^г". (37)
§ 28] РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 171
Полученное решение будем называть простой, волной. Скорость
и -\-а распространения простой волны в неподвижном пространстве,
которую, напоминаем, не следует смешивать с абсолютной скоростью и
самих частиц газа, будет равна по (37):
u-\-a = aQ-\ J- и- (38)
Как относительная скорость распространения простой волны по
отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения
простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением
сжатия газа (р > р0) и убывают при его разрежении (р < р0).
Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных
соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений
в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо
поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль
оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное
распределение возмущений определенной формы, то возмущения бблыией
интенсивности будут перемещаться быстрее, а менее
интенсивные — медленнее.
Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения
конечных по величине возмущений от линейного: при
распространении конечных возмущений форма их начального распределения
изменяется.
Если, например, неподвижный вначале поршень (рис. 38) придет
в движение и с некоторого момента времени будет двигаться
равномерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся
газу, заполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется
поршень, произойдет не мгновенно. Вызванные поршнем давление р и
плотность р будут распространяться в невозмущенном газе, имеющем
давление р0 и плотность р0. Процесс этого распространения показан
на рис. 38. Скорость поршня равна и, скорость точки С равна
скорости звука а0 в невозмущенном покоящемся газе, точка В имеет
скорость и-\-а, превышающую скорость звука а0, и нагоняет точку С.
Наклон кривой ВС при перемещении возмущения увеличивается
(рис. 38 б). При приближении этого уклона к вертикали
производные и, р, р по х становятся бесконечно большими, и предыдущие
формулы теряют свою силу. Можно, одначо, утверждать, что
тенденция к увеличению крутизны склона кривой возмущений имеет
место, а это приводит к образованию (рис. 38 в) малой по
протяженности движущейся области, на границах которой значения р, р и и
"УДут: слева — р, р, и, справа—р0, р0, и0. Эта область стремится
стать бесконечно тонкой и превратиться в плоскость разрыва давле-
ний, плотности и скорости. Такая движущаяся поверхность (плоскость)
Разрыва физических величин в газе называется, как уже упоминалось,
Ударной волной или, иногда, движущимся скачком уплотнения.
172 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Последнее наименование станет понятным, если вместо
абсолютного возмущенного движения газа рассмотреть его движение
относительно распространяющейся ударной волны.
Из графиков на рис. 38 легко сделать заключение, что газ,
проходя сквозь ударную волну, уплотняется. Действительно (рис. 38в),
невозмущенный, менее плотный газ (р0, р0) входит сквозь ударную
и+а
ю
Р-Рр
-я-Х
,
1
0
А'
V//.
у/А
Я:
>///
Р
б'
-й
\с
а0
5)
Р-Ро
Рис. 38.
волну В"С" в область возмущенного (р, р), более плотного газа;
вот почему ударная волна называется движущимся скачком
уплотнения.
Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева
направо с некоторой скоростью и и гнавший перед собой газ с
давлением р и плотностью р, мгновенно уменьшил свою скорость или
остановился. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение,
которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко
сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов
не может осуществиться и ударной волны разрежения не
образуется. В самом деле, в непосредственной близости от поршня (рис. 39)
ft 29] СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 173
плотность газа меньше, чем впереди от него, поэтому фронт области
возмущения (точка D) будет опережать распространение волны
разрежения, соответствующей участку кривой AD. При этом склон DA
(рис. 39 б, в) будет становиться все более и более пологим. Область
перехода газа от больших плотностей к меньшим будет растягиваться,
расплываться; разрыва непрерывности—„ударной волны разрежения"—
Рис. 39.
при этом не образуется. Невозможность образования ударной волны
разрежения будет далее подтверждена общими термодинамическими
соображениями. Перейдем к более детальному изучению явления
распространения ударной волны сжатия.
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения.
Ударная адиабата
Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, ударная
волна является некоторым предельным образованием, соответствующим
разрыву непрерывности основных физических величин,
характеризующих движущийся газ, и обращению в бесконечность производных
174 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
У/////,У/////////Ш/////Ж^^^
¥
«=0
c=V
Рис. 40.
от этих величин. По этой причине исследовать явления
распространения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений
динамики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую
очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в их
интегральном представлении.
Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу
бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень.
Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает
мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости V, продолжает
двигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как
произойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу.
Созданное
непосредственно перед поршнем
возмущение — сжатие газа —
начнет распространяться
влево, причем, в силу
внезапности перехода
поршня от покоя к движению
со скоростью V,
протяженность начального
участка возмущения по оси
трубы будет очень мала.
В результате известного уже нам явления обгона проходящими через
участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее
плотном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40
пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу
(на рис. 40 влево) с некоторой скоростью 0, оставляя за собою
(на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный из состояния
покоя и приведенный к скорости и — V, одинаковой со скоростью
поршня.
Замечая, что бегущая но газу ударная волна встречает перед собой
газ с одними и теми же значениями давления, плотности и
температуры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также
все время одними и теми же термодинамическими параметрами
возмущенного состояния газа, можем утверждать, что скорость
распространения ударной волны 9 будет величиной постоянной. Из приведенного
ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение
поршня, т. е. всегда
f)> V.
Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, так
как при прохождении ударной волны скорости и основные
термодинамические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего
расчета удобнее иметь дело со стационарным явлением. Поэтому обратим
рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целом,
вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение слева
I 29] стоячля ударная волна или скачок уплотнения 175
направо со скоростью 9. Иначе говоря, будем рассматривать
происходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы
координат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной
волной. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а
движение газа—стационарным. Такую „стоячую" ударную волну по
предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный
газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку
уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью V1 = f), а за скачком
движется со скоростью V2 = 6 — V. Давление, плотность и
температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения;
у//////////////, т////////////////////^^^
v,=e I vz=e-v
г-г, ! итг
I
I
Рис. 41.
условимся обозначать индексом „1" величины перед скачком,
индексом „2"— после скачка.
Чтобы найти связь межд> Vu pv pu Tt и V2, p2, р2, ^2>
воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы
сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно
соображениям, приведенным в конце § 23, эйлеровы формы этих
теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке
поверхностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать
„контрольную поверхность" так, чтобы те ее части, на которых
нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не
пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой
поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади
нормальных сечений в1 и о2 (рис. 41). Поверхность разрыва
пересекает только ту часть контрольной поверхности, где Vn = 0. В силу
принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях а1
и с2 поля скорости и других величин однородны.
Закон сохранения массы, согласно (32) гл. III, дает после
сокращения на о1 = о2:
Pi^ = Pa^a- (39)
Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. III
"ринодит, аналогично, к равенству
Pi + Pi^ft + Pa^ (4°)
176 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. III позволяет написать
третье соотношение:
'■1 ~г ~2~ — г2i 2~ ■
К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить
уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще
равенство (17) гл. III, можно написать:
Jcppx k рх
и, аналогично,
,- _ г - 7 — — — —
Pi
2 *-l p,'
после чего равенство (41) заменяется следующим:
k Pi V\ k p% V'l
Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40)
и (42) с тремя неизвестными величинами V2, ръ р2.
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за
скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости Vl и Vv
Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств
движения (40) в виде
Pi — />2 = Ря^з —Pi У*! = Pi^i {Уг — ^i)
и умножим обе части этого равенства справа на выражение
PiVi '
а слева на равную ему величину
Vi , 1 = 1 ■ ^2 ^ 1 , 1 .
Pi^i Pi Pi ' nvi Pi ' Рг'
тогда получим
С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует:
k — l \?l р57
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем:
§ 29]
СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
177
'рунпируя в этом равенстве члены с р1 и р2, будем иметь:
£* — (*+Dp«-(fe — I) Pi _ (*+l)Pi/Pi—(* —1)
Pi
(43)
(*+l)pl—(*— 1)P2 *+l-(*-l)Pl/Pl
Это важное соотношение, установленное впервые Гюгонио,
определяет связь между давлением и плотностью в газе после прохождения
им скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка.
Вспоминая связь между давлением и плотностью в непрерывном
адиабатическом движении
идеального газа»
определяемую изэнтропи-
ческой адиабатой
Ех
(44)
видим, что уравнение
Гюгонио (43)
представляет адиабату,
отличную от изэнтропиче-
ской; эту адиабату
обычно называют
ударной или еще адиабатой
Гюгонио в отличие от
изэнтропической
адиабаты Пуассона (44).
Полученный
результат на первый взгляд
противоречит
доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности
адиабатического движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что,
в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока
движения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение
с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока.
Отсюда следует только сделать естественное заключение, что
прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является
изэнтропическим процессом, а сопровождается переходом
механической энергии в тепловую. При этом должна возрастать отнесенная
к единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если
вспомнить, что по формуле (26) гл. III:
■%~st
~ ^Г ['■(#)-( f)
k — l
■In
El,
Pi
?t
(45)
На рис. 42 показаны для сравнения графики двух адиабат:
изэнтропической и неизэнтропической, ударной адиабаты. Как видно из
этого графика, при p2/pj > 1 ударная адиабата располагается выше
VJ
Ззк. ISII. Л Г. Л>.
]78 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИД1-ЛЛЫ10Й ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV
изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в
квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше
единицы, логарифм положителен, так что, действительно:
S2 > Sv
Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть
не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие
рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно
было бы получить те же самые формулы и при рх < р2, Pi < Рз- Но
при p2/pj < 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится
ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае
это означает, что при прохождении газом воображаемого „скачка
разрежения" отнесенная к единице .массы энтропия газа должна была
бы уменьшаться, что приводит к противоречию со вторым началом
термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических
соображений следует, что в рассматриваемом случае движения
совершенного газа „скачок разрежения" невозможен. При наличии в
движущемся газе химических процессов (горение, детонация) последний
вывод не имеет места.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
так как при этом отношении плотностей отношение давлений,
Согласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие
от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа,J как
бы ни была велика интенсивность ударной волны p2/Pi> созданное
ею уплотнение газа pjpt не может превзойти величины "** . Так,
например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может
повысить свою плотность более, чем в шесть раз.
§ 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь
между скоростями до и после скачка. Изменение давления,
плотности и температуры в скачке уплотнения
Введем в рассмотрение важное для последующего понятие кри~
тической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергии
идеального газа (37) гл. III при стационарном адиабатическом его
движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (42)
из (41), получим:
■%—гт~ + — = const, (46)
Например, в теплоизолированном цилиндре с поршнем.
!j 30] ИЗМЕНЕНИЕ V, p, 0, T В СКЛЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ 179
cm, вспомнив определение адиабатической скорости звука (11):
\-.— =т—.г 4-5- = const. (47)
k—I p ' 2
Формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости
звука в некотором сечении одномерного стационарного потока через
;корости частиц потока в этом сечении. Критической скоростью газа
шзывается такая его скорость а*, при которой скорость
распространения звука но отношению к движущемуся газу равна
абсолютной скорости самого потока. Полагая в равенстве (47)
V — a — a*, получим:
а2 . V- of- , a*- k+l +2 ....
т=\Л-2=т=х-г — =27*зт7а*- (48)
Критическая скорость я* представляет постоянную вдоль всего
потока величину, характеризующую данный одномерный поток в целом,
и может быть легко выражена через скорость звука а0 в
адиабатически и изэнтропически заторможенном газе. Для этого достаточно
в (48) положить V=0, a = а0; тогда получим:
«::;==/^Г% (49)
Значения давления, плотноеги и температуры в „критическом"
Сечении одномерного потока, т. е. в таком сечении, где скорость
равна критическому своему значению, назовем также критическими
и обозначим через р*, р* и 7"*. Из определения критической
скорости следует
я* = VkRT*. (50)
Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости звука
в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе
а0 = VkRT0,
и, принимая во внимание (49), получим:
а'*2 2
a* ft-I-1
Используя уравнение адиабаты и формулу Клапейрона, нетрудно
найти и остальные критические величины:
Р* = (т$ГтУ~гр» Р^ОгЫ^Ро- (52)
Сопоставляя равенство (42) с формулами (47) и (48), приходим
к важному результату
180
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |ГЛ. IV
или по (49)
т* . т*
' 1 ' 2>
т. е. лри прохождении газа сквозь скачок уплотнения критические
значения скорости и температуры потока сохраняются.
Сохраняются при этом и отношения критических давлений и плотностей,
но не критические давления и плотности, взятые в отдель*
ности.
Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок
уплотнения сохраняется также температура адиабатически и изэнтро-
пически заторможенного газа и отношение „заторможенных"
давления и плотности:
т т Л° Рм
1 ю — ' 20! 77 — ~ •
Рю Рго
Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39)
в виде
^1—^2 = 4- Чг- (53)
Уравнения энергии (47) и (48), примененные до и после скачка,
дают:
* Pi *-И .,., Vf
— а-1- —
k—1 Pl 2(ft —1) 2 '
* Pi k + l .... V\
■a'-'
k — 1 p2 2(ft—1) 2 '
Определяя из последних двух уравнений отношения —, — и
подставляя их значения в уравнение (53), получим после простых
преобразований равенство:
*+V1_vu(i-T£,H,
откуда в силу неравенства Vl ф V2 сразу следует:
V^^a*2. (54)
Из уравнения неразрывности (39) и условия р2 > рх вытекает, что
скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка
(Vj> V2). Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что
Vx > a*, a V2 < а*; иными словами, перед скачком уплотнения газ
движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше
критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется
со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью,
т. е., что имеют место неравенства:
V1>a1, 1/2<а2,
(55)
к 30] изменение V, p, p, T в скачке уплотнения 181
где а, и а2 — местные скорости распространения звука в газе до и
после скачка. Для этого используем равенство (48) и напишем по
предыдущему:
t/2 . й-2 2 2 | k— 1 ,,2
!>-з ^. *з 2 a i ft — 1 лй
V2<a* =1-fTa.i + J-FrV2.
Разрешая эти неравенства относительно VI и VI, докажем
требуемые неравенства (55).
Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40)
и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры
газа при прохождении его через скачок уплотнения
Д-Р—Pa —Pi. AP = po —Pi. ДГ=Г2— Т,
через начальные параметры газа и критическую скорость.
Имеем по (40) и (39):
дР=Рз — Pi=PiVi — ра V7! = Pi И — Pi^i
Кайли, пользуясь формулой (54):
Др = ?iVt — pifi*2 = pi V'i С1 — О. (56)
Аналогично найдем по (39) и (54):
Ap = p2_p1^„_p1___-~p1 = p^__lj, (57)
и по (41) и (54):
т/2 „*4
АГ-£('-^)- <58>
Используя ранее принятые обозначения числа М:
заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат
критической скорости а*2 через его выражение (48); тогда после
182 ОДНОМЕРНЫЙ НОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
простых выкладок получим выражения Ар, Др и AT через начальные
параметры газа (до скачка) и число Mj:
Ар:
Др:
АТ =
ft+1
:pi
1 +
Plv1(i_J_Y
Mjf/'
2ft
2
Mj
2ft (ft—1)
-i)(>
(A + l)2
^M^l
Mf-
ftMf .
14-
кЩ
(59)
J
Из неравенств (55) следует, что Mj > 1; при этом все
рассматриваемые изменения величин р, р и Т будут положительны.
Чем больше отличается от единицы число Mj, тем больше будут
разности Ар, Др и AT и тем интенсивнее будет скачок уплотнения.
Значения числа Mj перед скачком можно принять за меру его
интенсивности.
При очень больших интенсивностях (Mt ^> 1) формулы (59) могут
быть заменены следующими более простыми приближенными
(асимптотическими) выражениями:
л • 2 т/2
1
Др^.
AT:
ft + 1
2
Ik V'l
(*+1)«Л
P
2k (k -,- 1)
пщ.
(60)
Вторая из этих формул еще раз подтверждает известный уже нам
факт возможности сжатия газа при помощи скачка уплотнения не более
чем в -j~—7 раз (в шесть раз в случае воздуха, для которого k= 1,4).
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное
движение газа за ударной волной
Изучив основные соотношения в скачке уплотнения, вернемся
теперь к рассмотрению явления распространения ударной волны в
пространстве.
Задаваясь интенсивностью ударной волны, которую в случае
движущейся волны лучше всего характеризовать отношением
давления р2, устанавливаемого волной, к давлению рг в газе до прихода
§31] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 183
волны, определим прежде всего скорость 6 распространения ударной
волны в невозмущенном, в частности, покоящемся газе. Для этого
вернемся от стационарного движения газа по отношению к
„остановленной" ударной волне обратно к нестационарному явлению
распространения ударной волны в неподвижном газе. Вспомним принятые
в начале § 29 обозначения:
К, = 0, ^2-6— V, (61)
где 0 — скорость распространения ударной волны в покоящемся газе,
у—абсолютная скорость частиц газа, следующего заударной
волной; эту скорость естественно назвать скоростью спутного движения
газа за волной.
Воспользуемся первым равенством системы (59), которое
предварительно перепишем в виде
v., —p. 2k V\ { Ь 2k V: / Is 2k
-^~^= .——(1 -) = Hl r)= (Mi-1),
Pl k +1 ftpi/pj V Щ) k +1 a\ \ m[) k-j-1ч '
и заменим в нем, согласно (61),
1 а.1 а-!
тогда, разрешая предыдущее равенство относительно Mj, получим
искомую формулу скорости распространения ударной волны:
Из згой формулы вытекают два важные следствия:
1°. Скорость распространения ударной волны в невозмущенном
газе тем больше, чем интенсивнее волна, т. е. чем больше
устанавливаемое ею сжатие p2/pv
'2°. При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее
распространения стремится к скорости звука в невозмущенном газе:
Ь=-а1 при p2—pt.
Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как удар-
ную волну очень малой интенсивности. Отсюда следует, что удар-
чая волна всегда опережает распространение звука в невозмущенном
газе; так, ударная волна, образовавшаяся вследствие взрыва (ее
называют обычно взрывной волной), обгоняет звук взрыва.
Перейдем к определению скорости спутного движения V.
Воспользуемся для этого основным соотношением непрерывности (39), кото-
Р°е в силу (61) перепишется так:
?]0 = ,о?(0— V).
184 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Из этого равенства можно определить V в функции от известной
уже величины в и отношения плотностей до и за ударной волной:
К= 1
Pi/
1
Заменяя отношение р1/р2, согласно формуле
жением
Р2 (^+1)^2/Л+Й-
и используя для 6 равенство (62), получим:
Pi 1
V
ft_l + (A + l)£t
Р\
(63)
"югонио (43), выра-
(64)
(65)
Как легко заключить из полученного выражения скорости спутного
'Pi
движения, в звуковой волне ( — = 1 ] скорость спутного потока
ничтожна, что было показано и ранее. С ростом интенсивности ударной
волны скорость спутного потока возрастает (при очень больших интен-
сивностях, примерно, пропорционально корню квадратному из
сжатия /V>i)-
Приведем табл. 5 численных значений относительных сжатий и
уплотнений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном
воздухе (А =1,4) при 15°С (7'= 288°) и нормальном атмосферном
давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям
значения в, V и перепада температур.
Таблица 5
0
0,47
1,39
9,20
22,20
0
0,30
0,81
2,77
3,74
ДГ°С
0
33
87
465
1075
0 м/сек
340
400
500
1000
1500
V м/сек
0
93
224
734
1181
V/;'i
40,3
92,3
165
258
Др/'pi
4,20
4,58
4,72
4,78
ДГ°С
1925
5 940
7 750
12100
0 м/сек
2000
3000
4000
5000
V м/сек
1611
2880
3300
4135
Таблица составлена в предположении об адиабатичности (но не
изэнтропичпости!) процесса. В действительности, при столь высоких
температурах, как указанные в конце таблицы, станет заметным
рассеяние энергии, в частности теплоотдача путем лучеиспускания,
что в корне изменит всю картину явления. Кроме того, расчеты
сделаны для распространения плоской ударной волны; в сферической
ударной волне интенсивность будет падать еще в связи с увеличением
§ 31J СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 185
поверхности волны при удалении ее от центра образования. Все же
в тенденции указанные числа представляют интерес. Обратим
внимание, например, на то, что при отсутствии рассеяния энергии и при
относительном сжатии -i-=10 скорость распространения ударной
волны должна была бы примерно в три раза превзойти скорость звука,
при этом за ударной волной возникало бы мощное спутное движение
воздуха со скоростью, более чем вдвое превосходящей скорость рас-
пространения звука в невозмущенном воздухе. Надо заметить, что
даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха ударной волной
возникает сильный „звуковой ветер". Так, например, легко
подсчитать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая
относительное сжатие воздуха —=0,22, распространяясь со скоростью
370 м'.сек, .могла бы вызвать „звуковой ветер" со скоростью 50м/сек,
т. е. сильный ураган. Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия
воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не
смещающие частицы воздуха.
Образованием ударных волн, как движущихся в пространстве, так
и „стоячих" скачков уплотнения, сопровождаются многие важные
для техники процессы, связанные с большими около- и
сверхзвуковыми движениями газа или с распространением .местных сжатий
(повышений давления) в неподвижном газе.
При полете самолета или снаряда даже с дозвуковыми, но близкими
к звуковым, скоростями на поверхности крыла и фюзеляжа образуются
зоны сверхзвуковых скоростей, причем обратный переход этих
сверхзвуковых скоростей к дозвуковым сопровождается возникновением
скачков уплотнения. Сверхзвуковой поток, набегающий на лобовую
часть тела, движущегося со скоростью, большей скорости звука,
будет тормозиться до нулевой относительной скорости в точке
разветвления воздушной струи; переход от сверхзвуковой скорости к
дозвуковой будет сопровождаться образованием „головной волны" перед
лобовой частью летящего тела. Такого же рода скачки образуются
в соплах, когда сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой, и др.
Отметим громадную интенсивность ударных волн в тяжелых
жидкостях, например в воде. Примером может служить явление
гидравлического удара, появляющееся в трубопроводе, если мгновенно
остановить движущуюся по нему воду, закрыв кран. Возникающие
ЛРИ этом резкие повышения давления могут служить причиной
серьезных аварий в водопроводных сетях, в подводящих аппаратах
гидравлических турбин и др.
Гидравлический удар представляет по своей природе не что иное
Как результат возникновения и распространения ударной волны сжатия
в воде. Значительная эффективность гидравлического удара объясняется,
в°-нервых, значительной плотностью воды (в 800 раз превышающей
п-1отиость воздуха), а также большими скоростями распространения
186 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
возмущений (скорость звука в воде примерно в 4!/2 раза больше чем
в воздухе).
Теория гидравлического удара аналогична теории ударной волны
и газе, но имеет и некоторые специфические особенности, связанные
с существенной деформацией стенок трубы при тех громадных
давлениях, которые возникают при гидравлическом ударе.
Создателем современной теории гидравлического удара по праву
может быть назван наш великий ученый Н. Е. Жуковский, который
исследовал распространение ударных волн вдоль труб, наполненных
водой, и провел замечательные наблюдения гидравлического удара
в трубах по заданиям московского водопровода. ! Н. Е. Жуковским
предложена простая формула повышения давления Д/? при
гидравлическом ударе:
скорость распространения
■А
Здесь р0 и k — плотность и модуль упругости воды, R0 и е — радиус
и толщина стенки трубы, Е — модуль упругости материала трубы.
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие
газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых
потоках
Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение
идеального газа и предположим, что где-то вдоль трубки тока
или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения
или других причин для превращения механической энергии в тепло-
иую) торможение газа, приводящее газ к покою. Установим простые
формулы связи параметров изэнтропически заторможенного газа Т0, р0,
р0, aQ с текущими их значениями Т, р, р, а в сечениях
рассматриваемой трубки тока.
Возьмем основную формулу закона сохранения энергии
К2
-я- -\- JcpT = const
и определим константу из условия: при V = 0, T=T0; тогда
получим:
1 Н. Е. Ж у к о в с к и й, О гидравлическом ударе в водопроводных
трубах. Бюлл. Политехнпч. об-ва № 5, 1899, стр. 255—290. См. также
„Избранные сочинения", т. II, ОГИЗ, 1948.
где v0 — потерянная скорость воды, Х-
ударной волны, равная
к • еЕ
§ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 187
или, замечая, что по (17) гл. III и по определению местной
адиабатической скорости звука
J е., а1
р kR w " A— 1 '
найдем искомое выражение температуры изэнтропически
заторможенного газа:
T0 = r(i -|- k-~~) = r(\ -| AziL мз), (66)
а следовательно, и соответствующую скорость звука
a0=a(\ + Z=LlfP)h. (67)
Из уравнения изэнтропической адиабаты и уравнения Клапейрона
£-=,(.£-.)* JL = JL.JL
Ра ^ Ро ) ' Ри Рй То
сразу следует:
к 1
р / Т \*-1 о / Т \fe-l
.Ро Wo/ ' Ро
-ft) ■ W
откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров
изэнтропически заторможенного газа:
к
Ро-
:/,(l+A__iM2)ft \ (69)
^p^ + iz^M")*-1. (70)
Формулы (66), (69) и (70) являются основными во всех расчетах
одномерных течений газа.
Из формулы (70) следует, чш при значениях числа М, меньших
единицы, имеет место разложение в ряд:
77==1~-Т+ •••
Отсюда можно сделать вывод, что, полагая в модели несжимаемой
жидкости р = const = p0, делают тем меньшую ошибку, чем меньше
число М в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка
не превосходила 1°/0, число М должно быть меньше 0,14, а это
соответствует в случае воздуха при нормальных условиях верхней
границе допустимых скоростей 50 мсек. Следует заметить, что даже
пРи скорости в 100 м';сек ошибка не превосходит 4%.
Легко также видеть, что при малых значениях числа М формула (69)
"ереходит в обычную формулу Бернулли (58) гл. III для несжимаемого
188 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
газа. Действительно, разлагая при малых М правую часть (69) в ряд,
получим:
= р(1+|м2 + |-М'+ ...),
или, замечая еще, что по определению числа М и адиабатической
скорости звука
2 р v ~~ 2 и р ~ 2 я* ~ 2 '
я —
Р
получим
i^=l + JM2+ ...
При М = 01 будем иметь формулу (58) гл. III для несжимаемой
жидкости:
р г jРI"2 =/>о = const-
Ошибка, которую при этом делают, принимая газ несжимаемым,
имеет порядок -т-М2, т- е- в два Раза меньи1е ошибки в изменении
плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкости
в случае воздуха, движущегося при нормальных условиях со скоростью
100 м/сек, сделаем ошибку порядка 2%. Как известно, в
капельных жидкостях скорость звука больше, чем в газах. В воде,
например, скорость звука достигает значения 1500 м!сек, т. е. почти в 5 раз
превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно
рассматривать как несжимаемую жидкость при скоростях,
доходящих до 500 м'сек; такие скорости на практике еще не наблюдаются.
При переходе от сверхзвуковых скоростей (М, > 1) к дозвуковым
(М2 < 1), как было ранее показано, газ проходит через скачок
уплотнения. В этом случае величины р0, р0 и Т0 для заторможенного газа
уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69),
(70) и (66), так как процесс в целом не изэнтропичен; расчет
приходится вести иначе.
Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до
скачка имел параметры pv р,, Ти после скачка—р2, р2, Т2;
соответствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа
до и после скачка обозначим через р10, р10, 7]0, р20, р20, Т20.
1 Число М может равняться нулю в двух случаях: 1) когда скорость
движения газа равна нулю н 2) когда скорость звука равна бесконечности,
Ti е. газ несжимаем; полагая М = 0, подразумевают всегда второй случай,
§ 32j ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 189
Как было показано в § 30:
Рю Pao '
следовательно, по (68):
Р20 P2o Рч /■Т2и\к/ь
(I*
С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко
вывести следующие соотношения:
7^= 2fe J2 Т=Т> (72)
, , к — 1 ..■>
1 -1- —о— Ml
Намечая, что по формуле Клапейрона
Tj pi . _р_2_
т\ ~~ Pi ' Pi'
разделим почленно обе части равенств (72) и (73) друг на друга и
получим:
-£=U+1 *+ Л 2- ^- (74)
Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей изэн-
тропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения,
остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда
будем иметь:
к
* + ! мз \ й-1
2ft „з ft —1
PSO == £20. == ( 2« М2
\1+^-М?
• (75)
1 la рис. 43 представлен график этого соотношения для воздуха
\k — 1,4); на том же графике показано сжатие воздуха в скачке p2/Pi
'фи разных Мг Как видно из графика, чем больше число Mt
набегающего воздуха, тем меньшее давление можно получить за счет
Н)0 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок
уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше — в скачке
уплотнения имеет место необратимое превращение механической
энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия,
в заторможенном газе сводящаяся к энергии давлений, становится
меньше.
Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой
интенсивности, т. е. при числе М1? близком к единице, весьма незначи-
Р<° по
0,8
т
0,6
0,5
ОЛ
0,3
0,2
т
и,'
Q
\°/Р,о
1 г з *
Рис
43.
i/Ц
У 6 '/
■■-■-» м,
kO
?f
30
25
го
15
10
5
п
и
1'ельны. Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых
значениях разности Mi—1. Преобразуем равенство (75) следующим
образом:
Рчи _£2о_
Рю Но
2k
k+l k -L 1
*-'+тёг<«5-'>'
1
"fc — 1
V
X
JiJ-biL+lcMi-l) ^
Ь+щт^'-i
к--1
X
X
I-f(M*-l)
H-frrfcMbD
к
ft—1
§ 321 влияния интенсивности склчкл ял сжлтик глзл 191
Произведя разложение по стененя.м малой величины (М|—1),
убедимся, что коэффициенты при Mi—1 и (Mi—1)" обращаются
в пуль, а разложение величины ^- будет иметь вид:
Рю
7^ = 1-(*ТП*—з—+■■■ (75)
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности
не приводят к заметной потере давлений, так как при М1( близком
к единице, р20 совпадет с р10 с точностью до очень малой величины
2k (Ml— l)s
(k + \y-
Так, для воздуха (k — 1,4) эта величина имеет порядок 0,16 (Mi— I)8
и, например, при превышении скорости звука на 10% (Mj = 1,1)
будет равна 0,0015.
Можно показать, что такова же величина приращения в скачке
уплотнения энтропии, являющейся мерой превращения механической
энергии в тепло (потерь механической энергии). С этой целью
применим равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного
газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не должно
повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим:
Sa —S. 1
R
PlO VP20 /
но, но предыдущему, — = —, следовательно, по (75'):
Р20 Plu
R ~ k — l
1
In
Ргоs
^10 <
pw . 2k (Mi-1)"
1П = 77—7-Tv; 5 • (76)
Pit, (* + l)2 3 ^ >
Отсюда следует важный общий вывод: скачки малой
интенсивности приводят к ничтожным изменениям энтропии, так что
с достаточной степенью приближения околозвуковые явления можно
рассматривать как изэнтропические.
Из равенства (74) легко найти также соотношение между числами М,
и М2 до и за скачкол! уплотнения. Заметив, что Г, и Т2 связаны
простыми соотношениями (66) с температурами Г10 и 7"20
изэнтропически заторможенного газа, причем, как было еще показано в § 30,
ю ~ 'А0,
лучим:
1 Ji
- 2 ма -
* + 1м1-
2k 2 k-1
k+l iUi k + l
192 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
откуда следует
М'= , й_! • (77)
Из последней формулы видно, как убывает число М2 за скачком
с возрастанием числа М, перед скачком. Чем больше интенсивность
скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа
перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение
дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не
следует думать, что дозвуковое значение числа М2 за скачком будет
беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка Мх. Как
показывает формула (77), при беспредельном росте Mj величина М2
остается больше величины
(М2)я1=со==|/"^Г->
для воздуха (&—1,4) равной 0,378.
Приводим табл. 6 значений М2 и отношения давлений p2/Pi за
и перед скачком в интервале наиболее употребительных значений
чисел М, для воздуха.
Таблица 6
Mi
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
м2
1,000
0,912
0,842
0,779
0,739
0,701
Pi!Pi
1,000
1,246
1,520
1,824
2,120
2,455 ■
Mi
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
м.
0,668
0,640
0,616
0,595
0,577
PilPi
2,820
3,200
3,604
4,043
4,500
. Mi
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
M2
0,561
0,546
0,534
0,522
0,512
P-JPi
4,970
5,480
6,000
6,550
7,400
Рассмотрим в качестве примера простейшую схему воздушно'
реактивного двигателя (ВРД) без компрессора (рис. 44), установленного
на самолете, который летит на высоте Нi со сверхзвуковой скоростью
Vj > ах (а1 — скорость звука на высоте Ht). Обозначим давление
воздуха на высоте Н1 через рх; давление в камере горения (К. Г.) р'г
будет значительно превышать давление рх, так как в камере
горения скорость сравнительно невелика. Пренебрегая этой скоростью,
можем считать p'^—pw. Для улучшения сгорания горючего и
повышения к. п. д. двигателя важно иметь в камере горения, по возможности,
более высокое давление. Подсчитаем это давление сначала в
предположении изэнтропичности процесса входа внешнего воздуха внутрь ВРД<
^ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 193
Будем иметь:
pQO = PlO = Pl
Mi
л1
, к—1
или для воздуха:
Р20 = /^(1^Г°/2М1)""'-
Если число М, полета равно М1 = 2, то
ЕЖ = 1 83'5 = 7,9.
Pi
На высоте /^ = 10 000 м по таблице международной
стандартной атмосферы (МСА) находим р1 — 0,2606 ата и, следовательно,
Pw =^2,06 ата,
т. е., несмотря па большую высоту и разреженность атмосферы, за
счет скоростного напора набегающего воздуха в камере горения
должно было бы наблюдаться
сжатие воздуха
Ру>_
Pi '
8 к
давление в 2 ата.
На самом деле торможение
воздуха от сверхзвуковой
скорости У j при Я, = 10 000,
Mj — 2. но МСА равной Vx =
= ()Q0.и/сек, или 2160 км/час,
до почти нулевой скорости
в камере горения вызовет
появление скачка уплотнения,
показанного на рис. 44 жирным
пунктиром. Этот скачок всегда
садится впереди тупоносого
тела, движущегося со
сверхзвуковой скоростью, и
называется головной волной. Участок головной волны перед входом в ВРД
можно рассматривать приближенно как плоский скачок уплотнения
в одномерном течении и определять р^ по заданному р10 при
помощи графика рис. 43. Давление в изэнтропически заторможенном
газе Рю определится опять по формуле
р10 = PL (1 -f 0,2 Mj)3,5 = 7,9 Pj = 2,06 ата,
Давление в камере горения при Ма = 2 будет по графику равно:
р20 = 0,75 р10 = 0,75 • 2,06 = 1,55 ата,
г- е- на 25% меньше, чем то давление р20, которое установилось
бы при изэнтропическом (бесскачковом) торможении. При меньших
13 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
194 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
значениях числа Ма (малых интенсивностях скачка) этот эффект
был бы гораздо более слабым. Например, при Mt = 1,2, что на высоте
Wj = 10 000 м соответствует по МСА скорости 360 м/сек, т. е.
около 1300 км\час, по (75') разница между давлением изэнтропи-
чески заторможенного воздуха в камере горения и давлением воздуха,
прошедшего сквозь скачок уплотнения малой интенсивности, не
превзошла бы 1,5%.
Наоборот, при полете с большими значениями числа Ма вредное
влияние скачка уплотнения сильно увеличивается. Как это следует
Т
— 3d
8+ 10$ —
0)
А,Ч>а,
А
й
S
:Рг —
ю
ш
Рис. 45.
PZJ
к микроманометру
из графика, при M.t = 3 давление в камере сгорания будет равно 35%
от давления, соответствующего изэнтропическому, при Mj = 4 — уже
только 15%, при Мх = 5 — всего 5% и т. д.
Повышение давления за счет скоростного напора набегающей
струи при сравнительно небольших числах М полета оказывается
недостаточным, и в современных ВРД для сжатия воздуха в камере
горения используют дополнительный компрессор.
Для создания значительно повышенных давлений в
бескомпрессорных реактивных двигателях при движениях самолета с большими
числами М необходимо решительно бороться с образующимся перед
входом в двигатель скачком уплотнения. О мерах этой борьбы—-
замене плоского прямого скачка уплотнения, перпендикулярного
направлению движения, системой наклонных, косых скачков, будет
рассказано в гл. VI, посвященной плоскому движению сжимаемого
газа.
§ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 195
Для измерения скоростей движения газа или движения тела по
отношению к газу применяют особые измерительные трубки (их
называют обычно скоростными трубками), основная идея работы
которых заключается в следующем. Газ набегает на носик трубки,
где имеется так называемое динамическое отверстие D (рис. 45а),
и обтекает боковую поверхность трубки, с расположенным на ней
статическим отверстием (щелью) 5. При надлежащей конструкции
трубки — достаточном удалении ножки трубки F от статического
отверстия S и статического отверстия 5 от носика трубки D (обычно
принятые размеры показаны на рис. 45<5) можно считать, что вблизи
отверстия D давление равно (рис. 45 а) давлению заторможенной
жидкости или газа рао, а вблизи статической щели — давлению
проходящего мимо трубки газа. Последнее обстоятельство может
вызвать недоумение, так как в реальной жидкости или газе существует
трение, приводящее скорость частиц на стенке к нулю, т. е. также
тормозящее газ. Однако это торможение совершенно иное, чем
торможение набегающего потока в лобовой точке D измерительной трубки.
В конце курса при изложении теории вязкого движения жидкости
к пограничном слое на поверхности обтекаемого тела будет показано,
что при этом неизэнтропическом торможении давление в любой точке
поверхности совпадает с давлением в жидкости или газе в сечении
пограничного слоя, проведенном через эту точку. Таким образом,
действительно, если щель 5 располагается заподлицо к стенкам трубки
достаточно аккуратно для того, чтобы жидкость проходила мимо
щели, не подвергаясь подпору со стороны выступающих стенок этой
щели, то давление в щели будет равно давлению в невозмущенной
трубкой жидкости вдалеке от трубки.
Условимся в дальнейшем обозначать через pv р1} at и Vx давление,
плотность, скорость звука и скорость набегающего на трубку потока.
Если жидкость или газ движутся со столь малыми скоростями,
точнее говоря, с малыми значениями числа М, что можно их
движение рассматривать как несжимаемое, то по теореме Бернулли для
несжимаемой жидкости, выражаемой равенством (58) гл. III, можно
написать
Pi + -J Pi ^i — const — Рм = Рю>
откуда сразу следует ________
или, опуская индекс „1", так как скорость, плотность и давление
в этом случае повсюду вдалеке от трубки одинаковы, и заменяя еще
плотность р на удельный вес f = pg, будем окончательно иметь
основную формулу теории скоростной трубки:
у^^ИШЕЕЕ. (78)
13*
196 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Измеряя разность давлений р0—р при помощи дифференциального
манометра и зная удельный вес движущейся среды, можно найти
и ее скорость. На самом деле, при неточностях изготовления
отдельных измерительных трубок величины р0 и р могут несколько
отличаться от действительных своих значений; для учета этих поправок
на практике в формулу (78) вводят некоторый дополнительный,
близкий к единице коэффициент, который определяют тарировкой,
сравнивая в воздушной струе аэродинамической трубы данную трубку
с некоторой образцовой.
Предположим теперь, что газ движется с большими, но
дозвуковыми скоростями (М < 1). В этом случае „головной волны" перед
трубкой нет, и если нет скачков уплотнения на участке поверхности
трубки DS (смысл этой оговорки станет далее понятным), то можно
применять формулы изэнтропического движения. Таким образом найдем:
к
Pw = PlO = Pl(] -f-^p-M?) \\ (ущ
lh = Pv J
Регистрируя микроманометром отдельно давление р20 в
динамическом и давление /?, в статическом отверстии, определим число Mj
движущегося газа, а зная температуру газа, найдем скорость звука at
в движущемся газе, а следовательно, и саму скорость Vv
Измерение температуры можно производить, например, термопарой или
другим термометрическим элементом, помещенным в такое место
скоростной трубки или специального измерителя, где скорость равна
нулю и можно быть уверенным, что измеряется температура изэн-
тропически заторможенного газа Т0. Таким местом является точка
в лобовой части обтекаемого тела (например точка D на скоростной
трубке), где поток разветвляется, — так называемая критическая
точка потока. Замеряя непосредственно Т0, найдем Tj по ранее
выведенной формуле:
7,o=7,1(l+J^iM?). (80)
Определив М, по формуле (79) и Т0 — непосредственным замером,
получим по (80) Ти а следовательно, и скорость звука
и искомую скорость
71 = М]а1.
Показание давления р20 в динамическом отверстии D можно считать
надежным, что же касается работы статического отверстия, то
относительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших,
но меньших единицы значениях числа М на сферической поверхности
§ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА. СЖАТИЕ ГАЗА 197
носика и за нею могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых
скоростей. Последующее уменьшение скорости вызовет
возникновение на поверхности трубки перед статическим отверстием 5 скачков
уплотнения и местные искажения давления р2. Значение числа Mj < 1
набегающего потока, при котором на поверхности обтекаемого тела
(в данном случае измерительной трубки) возникают сверхзвуковые
зоны, называют критическим числом М и обозначают М,ф
Если число М, набегающего потока превосходит число М
К)>!
ТО
пользование статическим отверстием становится ненадежным и
необходимо каким-нибудь независимым путем определять давление рх в
движущемся газе, например, при движении р
газа по цилиндрической трубе измерять
давление на стенке трубы в сечении,
близком к носику скоростной трубки.
Применять статическое отверстие S
при измерении скоростей в сверхзвуковом
потоке также нельзя; и в этом случае
давление за головной волной может не
совпадать с показаниями микроманометра,
соединенного со статическим отверстием.
Скачки уплотнения, садящиеся на участок
поверхности трубки DS, искажают поле
давлений в газе и, кроме того, как в
дальнейшем будет объяснено, изменяют
движение в пограничном слое, что, в свою
очередь, оказывает влияние на характер
обтекания лобовой части трубки и распре- о ■—I J—i м
деления в ней давления.
Используя показание р20 динамического
отверстия D за скачком уплотнения
(головной волной), показанным на рис. 45а пунктиром, и измеряя каким-
нибудь другим путем ръ найдем их отношение р^ру Это
отношение в силу (75) и (79) связано с искомым числом Mj набегающего
потока формулой Релея:
21
го
18
IS
И*
12
10
в
6
k
2
О
......
/
L.
/
2 3
Рис. 46.
/>20
Pi
Pin
, PlQ
' Pi
(-,
(^
2k
-Щ-
1
k + l)
(81)
На рис. 46 приводится график функциональной связи (81) между
'20
Pi и Mj для воздуха (k = 1,4).
1 Об этом подробнее будет сказано в гл. VI.
198 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Определив величину pw по показанию динамического отверстия
измерительной трубки, ар,, например, при помощи отверстия в стенке
канала, по которому движется газ, найдем отношение pwlpx, а по
графику рис. 46 — и искомое значение Мг
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло
Для приближенного расчета движения жидкости или газа по тру*
бам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения
(об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольство-
ваться следующей упрощенной схемой. Примем поток за одномерный,
т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления
скорости, а также изменениями других элементов потока (давления,
плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси
потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям
величин и, р, р, Т и др. в зависимости от координаты х, определяющей
положение сечения вдоль оси трубы. Площадь сечения А будем
считать заданной функцией х. Отвлечемся от сил трения внутри
жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными
словами, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость
идеальной.
Начнем с простейшего случая — движения несжимаемой
жидкости.
В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует
иА ---- const = u0A0, (82)
где и0 — средняя скорость в некотором начальном сечении (х = 0)
с площадью А0; иными словами, средняя скорость движения жидкости
в любом сечении трубы обратно пропорциональна площади этого
сечения.
Отсюда вытекает общеизвестное свойство движения несжимаемой
жидкости по трубе переменного сечения: в сужающейся трубе
жидкость движется ускоренно, в расширяющейся — замедленно.
Это очевидное свойство одномерного движения теряет свою силу
при движении сжимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями,
в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного
стационарного движения газа:
а) уравнение Эйлера:
ndJL=-±?f- (83)
их р dx ~
б) уравнение неразрывности:
р«Л = const. (84)
§ 33] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 199
Вспоминая определение местной скорости звука
с, dp
ai = ——
и dp'
перепишем уравнение Эйлера (83) в виде:
arfe==_I^..dp==_ea^L. (85)
р dp ' р ч '
Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей
равенства (84), получим:
Исключая -£• из уравнений (85) и (86), найдем:
:ли,
Р
dA
А ~
вводя местное
dp du и du
р и «2
число М = —:
а
du 1
и М2 —
1
du
и
dA
А "
(87)
Из этого простого уравнения вытекают важные следствия:
1. Если М < 1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при
дозвуковом движении газа сохраняется то же свойство движения, что и
в случае несжимаемой жидкости: с возрастанием площади сечения
трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот,
при уменьшении сечения — скорость увеличивается.
2. Если М > 1, знак du одинаков со знаком dA, т. е. при
сверхзвуковом движении газа в сужающейся трубе движение
замедляется, в расширяющейся трубе—ускоряется. Этот
парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении
газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА
в равенстве (84), несмотря на увеличение площади А, все же
уменьшается и приводит к возрастанию скорости и.
3. Если M=l, dA — 0. Сечение трубы, в котором число М
достигает значения единицы, называется критическим сечением, так
как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а.
Из равенства (87) следует, что критическое сечение может быть
как максимальным, так и минимальным по сравнению со
смежными сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет
минимальным, так как при подходе к максимальному сечению
дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не
может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4- Если dA = 0 и сечение экстремально (максимально или
минимально), то по (87) либо М=1 и, следовательно, это сечение —
200 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
критическое, либо М zp. 1 и du = 0. В последнем случае, каково бы ни
было движение — дозвуковое или сверхзвуковое — скорость в
экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при
дозвуковом течении газа — минимальное в максимальном сечении и
максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот,
в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном —
минимальна.
Переходя к более детальному изучению одномерного
адиабатического и изэнтропического движения газа, заметим, что к нему
применимы все ранее выведенные соотношения, связывающие между
собою термодинамические параметры газа и скорость движения или
число М. Необходимо только установить связь между одним каким-
нибудь из этих параметров и сечением трубы А.
Примем за основную, например, связь между М и А. Чтобы вывести
уравнение этой связи возьмем уравнение
db\ du da ,ооч
получаемое логарифмическим дифференцированием равенства
М = —,
а '
и уравнение Бернулли в форме (47):
Ф , а2
const,
2 ' ft—1
которое после дифференцирования дает
2
и du -Л- -г—г о. da — О,
или, после деления обеих частей на а2 и замены а = тт
da k— 1 з du
а 2 и
Подставляя это значение — в (88), получим
2 J и
Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь:
М2 —1 ,м dA
M(l+*=±M^ А
§ 33] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 201
Уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое
уравнение связи между числом М и площадью сечения А:
к + 1
, __ k~l
А '"~
1
-М2
. 2 (fc—1)
i + ±=iw?
(89)
где А^ — произвольное начальное сечение трубы и Мг — число М
в этом сечении.
Предположим, что роль начального сечения играет критическое
сечение Ai = А*, т. е. такое сечение, в котором Mj = 1, тогда
равенство (89) приводится к более простому виду:
_А
А* — М
l + tz±M*^-1}
1+1
2
(90)
1,0
в
На рис. 47 приведен график этой важной зависимости для
воздуха (k — 1,4). График подтверждает ранее отмеченный факт: в
дозвуковом потоке (М < 1) для
увеличения числа М
сечение А следует уменьшать, я ш
в сверхзвуковом потоке
(М > 1), наоборот,
увеличивать; вместе с тем
график показывает
количественное соотношение между
изменениями чисел М и А.
Так, например, из рис. 47
следует, что для
повышения числа М от 0,2 до 0,8
газ должен пройти через
участок суживающейся
трубы— конфузора— с
сечением, уменьшающимся в три
раза; чтобы увеличить число 0 \ I 3 4
М от значения 1 в крити- *~М
ческом сечении до 3,2, не- Рис 47.
обходимо построить
расширяющуюся трубу — диффузор — с площадью на выходе, в пять раз
'Ф?вышающей площадь критического сечения.
Присоединим к формуле (90) известные уже по предыдущему фор-
-мУ.ты (69), (70), (66) изэнтропической связи давления, плотности
и температуры с числом М, которые, в силу (51) и (52) полезно
_!___ 1
и \ I
1 / \ ~у
_1 \Ж __
к %
1 ^v-Л -
1___„_^--— ч-
l__.ii :
0,6
ол
о,г
202 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
переписать в виде:
Р_
р*
k+1
2
1 +
М2
Л=Г
-[■2
(■
т_
7"*
* + 1
k—1
2
k— l
М2
М2)
(91)
Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение
задачи об одномерном стационарном адиабатическом и изэнтропиче-
ском движении газа по трубе переменного сечения; решение это
представлено в удобном параметрическом виде, причем роль параметра
играет число М. Задавшись законом изменения площади сечения
трубы А (х), определим М (х) по (90), а затем и искомые р (х), р (л:)
и Т{х) по (91).
Из уравнения неразрывности или сохранения массы (84) следует,
что при наличии в одномерном потоке критического сечения А* будет
существовать соотношение
Л__Р*и* 1_
в '
где величина
«^
А*'
ри
р*Ц*
р«
р-д-
(92)
Р"
Ykp
>;*ри
представляет огношение массового расхода газа через единицу
площади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный
массовый расход данного газа является функцией только числа М и,
согласно (90), равен:
к-\-\
k -f-1 \2(fr-l)
о А*
М
1-г
* -1
М2
(93)
График зависимости в от М для воздуха (k — 1,4) приведен на
том же рис. 47.
В качестве первого примера приложения выведенных формул
рассмотрим классическую задачу об изэнтропическом истечении газа из
резервуара (котла) очень большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит
истечение, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз по
потоку сечением. Обозначим через р0, р0, Т0 термодинамические
параметры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может
рассматриваться как покоящийся (и = 0, М = 0), через р, р, Т, М-—
соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого
S 33| ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 203
пусть будет А, и через р'—давление в среде, куда происходит
истечение; это давление р' в теории истечения называют
противодавлением.
Определим прежде всего основную характеристику одномерного
потока в целом —секундный массовый расход газа т, одинаковый
для всех сечений потока и равный
т = риА = р*и*Ав = р*а*Лв = Vkp*p*A&,
или, на основании формул (52):
« = (х|т)'<*~1)^*^оАв- (94)
При заданных параметрах газа в котле и геометрической форме
сопла секундный массовый расход газа т является функцией только
числа М в выходном сечении, определяемой выражением 9 (М) в
формуле (93). Что касается выходного числа М, то оно, в силу принятой
наперед адиабатичности и изэнтропичности потока, определяется
заданием давления на выходе р, согласно известной формуле (69):
1-0+^*)"^
Определяя отсюда М в функции от — и подставляя это значе-
_ Р"
ние М в выражение в, получим после простых приведений формулу:
представляющую, очевидно, простое приложение ранее указанной
формулы Сен-Венана и Ванцеля [(67) гл. III].
Пользуясь одновременно формулами (94) и (95), легко
исследовать изменение секундного массового расхода истечения т в функции
от противодавления р', которое при р'^р* совпадает практически
с р, или числа М в выходном сечении.
Составив логарифмическую производную
-1 dm — 1—М2
-чегко заключить, что величина т достигает своего максимального
значения при м=1, т. е. в тот момент, когда выходное сечение станет
критическим и давление примет свое критическое значение р' = р =/>*;
204 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
при любых других противодавлениях секундный расход не может
превзойти своего критического и вместе с тем максимального значения
к + 1
"^ = '«max = {т+тУ ^ ^ V kPoPoA® 0) =
k+l
fc + 1
a(ft-i)
VbPtfoA- (96)
Этот результат производит на первый взгляд несколько
парадоксальное впечатление. В самом деле, пусть вначале противодавление р'
было равно давлению в котле
m 1,0
0,8
0,6
ОМ
о,г
/
/
/
/
/
/
/
/
1
1
/
*\=i
\
m
о,г
0,k 0,5
р0, тогда, согласно (95) и
(69), ш = 0, М = 0; будем
теперь уменьшать
противодавление, тогда расход m
будет увеличиваться,
стремясь к своему
максимальному значению, число М при
этом будет стремиться к
единице, противодавление —
к критическому давлению р*.
Если давление будет
продолжать уменьшаться, то,
согласно (95), расход, перейдя
через свой максимум,
должен начать уменьшаться,
а число М продолжать
возрастать. Такое явление
физически невозможно;
совершенно очевидно, что с ростом разрежения на выходе и сохранении
давления в котле расход не может уменьшаться. На самом деле
расход т, число М и давление р в выходном сечении сохранят
свои критические значения т* =mmsa, М* = 1 и р=р*, хотя
противодавление р' в среде, куда происходит истечение, продолжает
убывать, становясь все меньше и меньше критического. Этот факт
имеет простое физическое объяснение: поскольку в выходном сечении
сопла установилась критическая скорость, равная местной скорости
звука, внешнее возмущение давления (возрастание разрежения!) не
может проникнуть сквозь критическое сечение, так как скорость
распространения разрежения не превосходит скорости движения,
газа в критическом сечении.
На рис. 48 приводится график отношения
, 1.0
Рис. 48.
§ Ml
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
205
в зависимости от безразмерного противодавления р'/р0. Из
предыдущего ясно, что физический смысл имеет лишь правая часть графика,
относящаяся к давлениям, большим критического, левая часть,
показанная пунктиром, при р' < р* должна быть заменена горизонтальным
отрезком прямой -^ = 1.
То же отношение /и/яг* в функции от М на выходе
характеризуется на рис. 47 отрезком кривой 9, в интервале 0<М<1, так
как, очевидно, что но (94)
in '«max
Заметим, что при работе конфузорного сопла в нерасчетном режиме,
т. е. в таком, что противодавление среды р' меньше критического
давления истечения, переход от давления /?* в выходном сечении
сопла к противодавлению //</?* будет происходить путем
расширения струи за выходным сечением сопла с переходом к сверхзвуковым
скоростям и последующим угасанием струи через систему скачков
уплотнения. Этот сложный процесс не может уже рассматриваться ни
как одномерный, ни как изэнтропический.
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа
с притоком тепла
Явление истечения газа в среду с заданным противодавлением р'
протекает несколько иначе, если сопло имеет как начальную
суживающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диф-
фузорную) части. В этом случае, при достаточно малом
противодавлении, в сечении, отграничивающем конфузорную часть от диффузорной.
скорость газа достигнет своего критического значения, равного местной
скорости звука, и при дальнейшем расширении газа в диффузорной
части сопла образуется сверхзвуковой поток. Такого рода сопла
называют соплами Лаваля.
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение
газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла
задан верхней кривой а на рис. 49, соответствующее изменение
числа М—на кривых б того же рисунка и, наконец, кривые
давления, отнесенного к критическому его значению, — в нижней части
графика в.
Кривые хода М и р'р* построены по ранее выведенным
формулам (90) и (91) изэнтропического течения.
Из хода кривых на рис. 49 можно сделать основные качественные
выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее
узком сечении сопла А = А* число М достигло значения М = 1,
то Дальнейшее развитие потока может идти по кривым как М>1,
так и М <[ 1 т. е. поток может или стать сверхзвуковым или остаться
206 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления
р' на выходе из сопла. Рассчитав величину р/р* по первой из
формул (91) и сверхзвуковой ветви (рис. 47) основного соотношения (90),
найдем такое „расчетное" противодавление р' =р', при осуществлении
которого на выходе из сопла поток преобразуется внутри сопла
в сверхзвуковой и достигает на выходе требуемого числа М'>1;
ш
А
J*"
^———'—]л
Рис. 49.
если же взять противодавление равным р' — р", соответствующим при
той же площади выходного сечения А дозвуковой ветви А/А* (рис. 47),
то поток останется дозвуковым и число М" на выходе будет
меньшим единицы.
Замечательно, что существует только одно, определенное для
каждого сопла, противодавление р' = р', которое может привести
к сверхзвуковому потоку в выходном сечении сопла. Это —
специфическое свойство сверхзвукового потока; в самом деле, как видно из
рис. 49 в, при р' > р" имеется бесчисленное множество дозвуковых
течений газа в сопле данной формы, в то время как сверхзвуковое
(изэнтропическое!) движение является единственным и соответствует
противодавлению р' = р'.
§ 34] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ 20?
Естественно возникает вопрос, что же будет с газом, если на выходе
из сопла создать противодавление р'г лежащее между расчетными
значениями р' и р". На этот вопрос может быть один лишь ответ: движение
газа не будет изэнтропическим. Как показано на графике рис. 49 в
пунктиром, в этом случае в расширяющейся части сопла появится
скачок уплотнения или система скачков, что приведет к неизэнтропи-
ческому процессу. Если, наконец, взять р' <//, то в выходном
сечении трубы давление примет свое расчетное значение р' и уже
затем сложным неизэнтропическим путем (система скачков уплотнения,
нарушающая одномерность потока) снизится до выходного
противодавления р'. *
Секундный массовый расход т через сопло Лаваля, так же как
и п случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего
максимального значения, равного тому расходу, который пройдет
сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении, на границе между
конфузорной и диффузорной частями, будет достигнута местная
скорость звука. Но в отличие от конфузорного сопла скорость на выходе
из сопла Лаваля превосходит соответствующую пыходу скорость звука
и может быть подбором длины сопла сделана тем больше, чем меньше
противодавление. Можно условно рассчитать такое „идеальное" сопло
Лаваля, что оно будет работать на расчетном режиме р = 0, т. е.
в полный вакуум. Найдем выходную скорость такого истечения.
Согласно формуле Сен-Венана и Ванцеля (67) гл. III, скорость
истечения возрастает с уменьшением давления, и при р = р = 0 скорость
истечения примет свое максимальное значение
зависящее лишь от начальных параметров газа в котле, из которого
происходит истечение. Вспоминая определения адиабатической скорости
звука в неподвижном газе и критической скорости, получим вместо (97)
следующие равенства:
<W= j/V=TT ao=]/~1~iRT0 = yri±\a*, (98)
из которых следует, что максимально возможная скорость истечения,
так же как и критическая скорость, зависят только от природы газа
и его температуры в котле, т. е. температуры изэнтропически
заторможенного газа.
Для воздуха (£ = 1,4), при ro = 2730-j-15°= 288°, игаах=757 м/сек.
При рассматриваемом „расчетном" истечении в вакуум давление,
лотность и температура в выходном сечении равны нулю, равна нулю
1 скорость звука в этом сечении, так что Mmai = оо.
Гя„„ Об этом подробнее будет сказано в конце гл. VI, посвященной плоским
газовым течениям.
208 ОДНОМЕРНЫЙ НОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ГЛ. IV
Все изложенное, конечно, верно лишь для идеального газа,
лишенного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности
процесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом
деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.
Во-первых, даже и для идеального газа, лишенного внутреннего
трения, движение в сопле не одномерно, а представляет на самом
деле сложное до- и сверхзвуковое пространственное течение.
Во-вторых, при наличии трения частицы газа, движущиеся около
стенок сопла, имеют меньшие скорости, чем частицы, удаленные от
стенок; образующийся вблизи стенок сопла пограничный слой
утолщается вниз по потоку, а иногда даже отрывается от стенок, искажая
тем самым всю картину потока и делая невозможным применение
гидравлической схемы одномерного потока; возникающие в потоке
скачки уплотнения вызывают появление отрывов пограничного слоя
и, наоборот, пограничный слой стимулирует зарождение скачков
уплотнения. Это взаимное влияние вязкости и сжимаемости газа также
искажает изэнтропичиость и превращает расчетный режим в
нерасчетный.
И, наконец, в-третьих, существенной причиной нарушения
адиабатичности потока является теплопередача через стенки сопла, что также
сильно усложняет расчеты. Вот почему даже в настоящее время, когда
многие из только что перечисленных обстоятельств хорошо изучены,
все же практически после расчета вновь спроектированного сопла
приходится его дополнительно исследовать на опытной установке
в лаборатории. Рассчитанное сопло может не дать желательного
увеличения числа М на выходе, кроме того, за счет неизэнтропичности
движения газа возникают дополнительные потери механической
энергии, коэффициент полезного действия при этом падает, что для
непрерывно действующих установок большой мощности, конечно,
недопустимо.
Оставляя пока в стороне вопросы, связанные с внутренним трением
в газе и образованием пограничного слоя на стенках сопла (об этом
будет еще идти речь в заключительных главах), остановимся вкратце
на оценке влияния внешнего подогрева или охлаждения потока
в сопле.
Рассмотрим опять одномерный стационарный поток идеального
газа, адиабатичность которого нарушается тем, что на некотором
весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это
вызывает изменение температуры газа 7\ или температуры изэнтропически
заторможенного газа Т0 до участка подогрева на величину ДГ= Г2— Tt
и, соответственно, ДГ0=Г20—Тю, причем за участком подогрева
вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами Т2 и Т^.
Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке
подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего
уже нетрудно будет найти по обычным изэнтропическим формулам я
изменения всех остальных величин.
§ 34] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ 209
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если
написать, что приток тепла не мог нарушить баланса массы и
количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева
остаются в силе следующие два равенства:
рк = const, \
i » ♦ I (">
р -|-ри- = const. J
Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости
звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также
определение числа М, будем иметь:
р« = k—— k^r — kpNi ■ .. .. . = pMl/ 7^. = const,
e
-pB* = p(l+£H!)=p(l+ftg)=-=/7(l + AM») = const.
(100)
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь
числа М с обычной температурой Т или температурой изэнтропически
заторможенного газа Т0:
Ц^УТ- const,)
i±^=1^-e=coiistJ (loi)
М j/^l+^M'
J
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим
участок подогрева, тогда будем иметь:
1+ftMf 1+*М? У Ti' J
M,/rT^bg _«./TT^nj лЕ } (,02)
1 + кЩ I -|- Ш* ' 'An" !
Зная отношения:
_ х 4- — Ш = 1 -I-'
¥=1
и число Mj до прохождения участка подогрева, по формулам (102)
найдем М2, а уже затем по второй из формул (100)—и отношение
Давлений
^- = —1 ! (103)
Pi !+**£
*4 Зак. 1841. л. г. Лойцянский.
210 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец,
зная число М2 и температуру Т2, легко найдем и скорость газа за
участком подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
М
/(М) =
/
ь 1
l+^-^M2
1 -f- ш*
(104)
входящую во вторую расчетную формулу (102).
Вычислив производную
/'(М)= l~m
М (1 + k№) 1
1
М2
видим, что функция /(М) имеет максимум при- М = 1, и этот
максимум равен
/(1)=—=J==-.
На рис. 50 приведен график функции/(М) для воздуха (k= 1,4).
Как видно из графика, подогрев газа при Mt < 1 вызывает возраста-
при
ние числа М.
{№
0,ь
а?
01
■■--\
/11_ _
— -
-----
0,1 0,1, 0,6 0,8 1,0 \,l i,if 1,6 1,8 2,0
и
Рис. 50.
2>
М!>1, наоборот,
убывание числа М2.
Следовательно, приток тепла
к дозвуковому потоку
ускоряет его, отвод
тепла— замедляет. В
случае сверхзвукового
потока, наоборот, приток
тепла замедляет поток,
отвод —ускоряет. Так,
например, при 7110=540ЭК
и Mj = 0,5 увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию
числа М до значения М2=0,6. При той же начальной температуре
и числе М, = 1,4 подогрев на 7°/0 приведет к уменьшению числа М
до М2 — 1, при этом давление увеличится более чем на 50%-
Одномерное течение газа в связи с многочисленными его
приложениями к расчету реактивных двигателей и других газовых аппаратов
представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный
раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма
обширна и разнообразна.
Г Л А В А V
БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое
движение. Потенциал скоростей
Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной
жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности
классам движений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское
движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее
пространственное движение. Исследование этих случаев представляет, по
сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности.
Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику
конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные
упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании
выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие
теоремы динамики идеальной жидкости.
Теорема Кельвина о сохранении циркуляции
скорости: при баротропном движении идеального газа под действием
потенциального поля объемных сил циркуляция скорости по
любому замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце § 13
кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции
скорости. Согласно этой теореме, индивид у алъния производная по
времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения:
A£(V.8r) = |(V.Sr).
Подставим в правую часть выражение ускорения по основному
Уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объем-
НЬ1х сил и баротропности движения может быть переписано в виде
V = -grad(H + %
тогДа получим
~ (j) (V • Sr) = — |> grad (П + §) ■ Ьт = — j 2 (П + #),
14*
212 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на
ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что
иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги
кривой.
При однозначности функций П и § контурный интеграл по
замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что
^|(V.8r)=0
и, следовательно,
(V • 8r) = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая-, что циркуляция
скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности
вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы
Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности
движения и потенциальности объемных сил сохраняются и
интенсивности вихревых трубок:
j (rotV)ndo=. const. (1)
a
Предположим теперь, что в данный момент времени во всех
точках некоторого жидкого объема отсутствует завихренность (rot V = 0),
т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь
поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и
в любой другой момент времени
J(rotV)„ do = 0. (2)
В силу произвольности выбора величины и ориентации
поверхности о из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени
в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет
выполняться условие отсутствия завихренности
rotV = 0. (3)
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвина приводит
ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении
безвихревого движения: если во всех точках некоторой баро-
тропно движущейся под действием объемных сил с однозначным
потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в данный момент
равен нулю, то и в любой другой момент движение будет
безвихревым.
Предположим, например, что твердое тело совершает движение
сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду»
§ 35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 213
или, что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том
и ДРУГ0М случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле
скоростей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со
скоростью, равной скорости движения тела по отношению к
неподвижной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю
и, следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения
и потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной
жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания
тела. Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение
повсюду будет безвихревым.
Из теоремы Лагранжа следует, что в идеальной жидкости,
находящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и
движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий
для их образования. Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем
нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной
жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою
вихревую структуру. В действительности приходится постоянно
наблюдать как образование, так и исчезновение вихревых движений.
Главной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие
в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически
интересующих нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в
тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в
„аэродинамическом следе" тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь
область пограничного слоя и образовала течение за кормой
обтекаемого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуется
завихренность жидкости. Иногда в следе за телом завихренность быстро
угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь
безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой
завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые
сносятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно
больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри,
наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками", или
пыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду. Внутреннее трение
не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в
свободной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают
непосредственно в воздухе грандиозные вихри — циклоны и антициклоны.
Причиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха
от баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от
Давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией,
0т количества водяных паров и других причин.
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих
существование безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих
практических случаях дает близкую к действительности картину. Эта
схема и положена в основу настоящей главы. Итак, сделаем допущение
отсутствии завихренности потока и обратимся к рассмотрению
основных свойств безвихревого потока,
214 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока
существует некоторая функция координат <г> (х, у, z) — при стационарном
движении или функция координат и времени ® (х, у, г; t) — при не
стационарном движении — такая, что
V = grad ?,
(4)
или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы
координат:
дх
*,= *?.
ду '
w =
д '•?
дг
(5)
Функцию ts назовем потенциалом скоростей и будем
предполагать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя
производными по времени и координатам.
Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал
скоростного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется
с точностью до аддитивной
постоянной, как это видно из
равенств (4) или (5).
Равным значениям потенциала
скоростей в различных точках
пространства соответствуют
поверхности уровня потенциала или
изопотенциальные поверхности.
Уравнение семейства изопотен-
циальных поверхностей будет
о (х, у, z; 0 = const,
причем время t рассматривается как
параметр в случае
нестационарного движения и отсутствует—при
стационарном движении. Из опре-
Рис. 51. деления потенциала скоростей (4)
следует, что линии, нормальные
к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями
тока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока
соответствуют нормальные поверхности — изопотенциальные поверхности.
Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его
потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах
(4) или (5).
В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвяз-
ной областиJ течения кривую линию С (рис. 51), выходящую из
точки М0 и оканчивающуюся в некоторой точке М. Умножив скалярно
1 О влиянии
параграфа.
„связности" области будет сказано в конце настоящего
§ 35]
СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ
215
обе части равенства (4) на ориентированный элемент дуги 8г кривой С
и проинтегрировав по этой кривой от точки М0 до Му будем иметь
ж м ж
J* V • Sr = [gradcp.8r=-J8ts = «(/M) —с?(Ж0), (6)
if, ж0 ж„
(С) (С) (С)
откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке М
через потенциал в некоторой начальной точке М0 и заданные
значения вектора скорости V или его проекций и, v.
ж ж
<р (Af) == о (М0) + \ V • §г = <? (Ж0) + [ (и 8* + v by). (7)
ir, if„
(С) (С)
Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке
пунктиром) кривую С при помощи кривой С так, чтобы точка М
совпала с М0, получим, согласно (7):
<р(М) = ?(М0), (8)
лг->лг0
так как циркуляция скорости по замкнутому контуру (С-\- С),
равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок,
в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается
в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия:
1°. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных,
изолированных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей
представляет однозначную функцию координат;
2°. Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой
интегрирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по
замкнутому контуру, состоящему (рис. 51) из участка М0СМ,
представленного на рисунке сплошной кривой, и МСМ0, нанесенного пунктиром,
следует:
ш ж0 лг лг
[" 4- j* = 0 или f = / •
ж„ ж ж0 ж0
(С) (С) (С) (С)
Иное получится, если в безвихревом движении имеется
изолированная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае
интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой
результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур Cv
охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой
части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (Q 4~ С\)
(замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из
теоремы Стокса (§ 13), будет равен интенсивности вихревой трубки
" V • or = Г
216 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
и, согласно (7), потенциал в точке М0 после обхода вихревой трубки
окажется равным
?(М0) + Т.
Выйдя из точки М0 и взяв за контур интегрирования
петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую
вихревую трубку, вернемся в точку М0 со значением потенциала,
отличающимся от первоначального на величину, кратную
интенсивности Г:
»(М0) + &-Г.
Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости
имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей,
выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как
многозначная функция точек поля. Значение потенциала скоростей в точке М
будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится
интегрирование:
ж ж
?W+ jv.8r:£<?(Af0)+ Jv-Sr.
(С,) (С)
К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с
изолированными трубками можно подойти и иначе. Выделим из области течения
жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая боковые поверхности
изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. При
таком рассмотрении движения в жидкости уже ие будет изолированных
вихревых трубок, но зато сама область течения станет многосвязной.
Действительно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (§ 12),
вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют
либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются на граничные
поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих
случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области
безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием
сведен в точку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого
движения при наличии изолированных вихревых трубок не односвязна. Для
многосвязных областей в ранее проформулированную (§ 13) теорему Стокса
должно быть внесено исправление. Как видно из только что приведенного на
примере вихревых трубок рассуждения, циркуляция скорости по
замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность,
нарушающую односвязность области течения, может быть отлична от
нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур
охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура
интегрирования. Значения циркуляции при однократном охвате поверхностей,
нарушающих связность области, называют циклическими постоянными
многосвязной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями
вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интен-
сивностями вихревых трубок.
В общем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом
потоке жидкости в многосвязной области теорема Стокса должна быть
сформулирована так: циркуляция скорости по замкнутому контуру,
проведенному произвольным образом в многосвязной области, отличается
от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на
сум чу целых кратных циклических постоянных области.
§ 35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 217
Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно
превратить многосвязную область в односвязную. Так, например (рис. 53а), дву-
связную область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если
дополнительно провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца. При наличии
г
иобовная \ \
поверхность\
Рис. 52.
поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо,
становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до
проведения а двусвязной области была отлична от нуля, то значение
потенциала скорости <f+ {№) на одной, скажем передней, стороне поверхности а
будет отличаться от значения ?_ {М) на задней стороне поверхности а на
величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной
и той же точке М (рис. 536"). В этом случае говорят, что потенциал
скоростей 9 (M) при прохождении
через поверхность а
претерпевает конечный скачок
f+—<р_, а поверхность а
называют поверхностью
разрыва потенциала.
Рассматривая поверхность о вместе
с поверхностью 5 как
границу области, можно
считать потенциал f
непрерывным во всей области.
Изложенные здесь
уточнения представлений об Рис. 53.
однозначности и
многозначности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют
сновную роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел
Деальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного
Размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной
лы крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в
ви°ГОсвя,зной области при помощи введения .присоединенной" изолированной
хРевон трубки или вихревой поверхности.
218 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого
движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства
безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости
в односвязной области
В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать
один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение
Эйлера в форме Громека (13) гл. III:
dV_
dt
■ + grad(-^i-f-S, + n) + rotVXV = 0 (9)
и положим в нем, согласно (4),
V = grade, rotV = 0.
Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного или
д "
локального дифференцирования по времени -^- и пространственного
„grad":
av д , ./dtp'
будем иметь вместо (9) равенство:
grad(^ + -£-fff + Jl) = 0, (10)
которое приводит к выражению первого интеграла уравнений
движения
-Й-Ь-зг + ^ + п^С), (ID
где F (t) — произвольная функция времени, определяемая из
граничных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом
Лагранжа — Коши.
Интеграл Лагранжа—Коши играет в теории нестационарного
движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли
при стационарном движении. В последнем случае
-^- = 0, F(t)~ const,
и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли
-£-)-# + П = const, (12)
причем, как уже указывалось в § 25 гл. III, при безвихревом
движении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и
то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только
вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня
механической энергии.
§36]
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
219
Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и
объемных сил нет, то уравнение (12) принимает простой вид:
р-у^~ = const. (12')
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12),
в случае безвихревого движения служит главным образом для
выражения давления р через кинематические элементы <в, V и координаты,
от которых зависит П. Выражая V через проекции grad <a на оси
декартовых координат, будем иметь:
В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии
объемных сил получим:
Ж+ту2 + 7 = /7(0; (13)
при наличии сил веса добавляется еще член П = gz:
Ift + T^ + J + ^-F®- (14)
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные
величины — проекции скорости и, v, w — выражаются через одну
неизвестную функцию — потенциал скоростей а (х, у, г; t). Принятое
допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баро-
тропности движения (р = р (п)) сводит решение задачи о движении
жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин <о и р.
Для этой цели достаточно двух уравнений.
В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы
-|-f div(pV) = 0,
которое по формуле
div (pV) = div (p grad <в) = pV2<? -\~ grad p • grad «,
где символ V2 означает оператор Лапласа
V дх* > ду* * dz*~ ' ^ь>
преобразуется к виду:
д?
dt
р V2» -f- grad p • grad з = 0. (16)
Совокупность уравнений (11) и (16) вместе с уравнением связи
Между плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую
220 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
систему уравнений движения; пользоваться непосредственно
уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.
Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение
несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции
разделяются: уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение
Лапласа для определения потенциала скоростей
' дх*^ ду* ^ дг* ' к >
а давление р найдется после этого из равенства (14), которое можно
переписать в виде:
'-'{'с*-$-да+($Г+(£Л-*4 (18)
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает
многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина:
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение
совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого
движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии
соответствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь
лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются
градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости
равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом
деле, условимся обозначать символом Д разность между соответствующими
элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь
следующее выражение для разницы кинетических энергий-.
Ar=-J [(V + AV)2— V"]dx = p I V-AVrfx + -| | Д V p rfx.
(19)
Первый интеграл справа равен
fv-AVrfx = Г grad f • ДVrfx
н по известной, неоднократно уже применявшейся формуле
div ('fa) = tf div a -f- grad <p • a (20)
может быть преобразован так:
f V•AVrfx = Г grad tp • AV rfx = Г div (?AV) rfx — Г <p div (AV) dx =
T T T T
= J tp (AV)n rfa - [" <pД (div V) rfx,
где a— поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция
разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих
функций. По условию теоремы, движения на поверхности и совпадают, т. е.
§ 36] ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 221
ду = 0 па о, кроме того, из условия несжимаемости div V = 0. Таким образом,
первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается
равенство
A7"==^-J |AV|2rfx>0,
т
из которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему
Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение
о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении
(на „прямом пути") по сравнению с любым другим вихревым движением
(.окольным путем"), если только эти движения совпадают на границе
области движения.
Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на
границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным
возможным безвихревым движением несжимаемой жидкости внутри области
является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное
(вихревое!) сколь угодно медленное движение, при котором на границах
скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет
как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме
Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей
другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю
во всей области. К тому же результату можно придти и непосредственно,
не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем общую формулу для
кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости,
движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей.
Имеем
r=-^j V4z = i. j grad 9 • grad tp dz.
T T
Применим вновь только что использованную формулу дивергенции
произведения скаляра на вектор (20), тогда получим:
Т — -я- div (ч* grad <p) dz —£■ ^ div grad tp dz —
T T
= -- \ I <p(grad<p)„rfo-i j yvi<fdz.
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной
формуле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали,
направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен
знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно
иметь
Р Г д?
T-~l)*Tn-d°- ^
Из этой формулы сразу следует, что, если на ограничивающей односвяз-
ныи объем жидкости поверхности о скорость равна нулю, то и Vn = -^- = 0,
откуда по (21) сразу будет следовать, что и Т — 0. Таким образом, вновь
приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.
222 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Невозможность существования безвихревого движения с однозначным
потенциалом в односвязной области, на границе которой скорости равны
нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В
дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются
и происходят за счет создания внутри объема некоторых „особенностей"
вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков
или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала
в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и
важность рассмотрения безвихревых потоков с „особенностями" для
приближения к действительно существующим движениям.
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал
и сопряженная скорость
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса
такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой
жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не
отличается от соответствующего определения кинематики твердого тела.
При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения,
параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу.
Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны,
будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая,
конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости,
бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения,
толщины. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная
в плоскости хОу, является на самом деле направляющей
цилиндрической поверхности с образующими, перпендикулярными к
плоскости хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией
в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание
цилиндрического тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных
к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины
в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении
оси Ог.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом
случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа,
которое для плоского случая имеет вид:
Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным
на бесконечности потоком со скоростью Vco будут состоять из
условия непроницаемости границ тела:
Vn = -Л- = 0 на контуре тела С (23)
§ 37]
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖКНИК
223
и условий на бесконечности:
— = Vaicosbai, г» = -^
" = -^ = Vco cos Осо, г; = ^- = Vco sin 0^, (24)
где Ооо — УГ0Л между вектором скорости Voo и осью Ох.
Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана,
и решению ее посвящены многочисленные математические
исследования. В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее
мощного метода решения этой задачи — метода теории функций
комплексного переменного.
Из уравнения неразрывности
вытекает, что всегда можно найти функцию ty(x, у), тождественно
удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями
скорости и и v равенствами:
—%■ •—& <26>
действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает
его в тождество. Функция & (х, у) имеет простой гидродинамический
смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий
тока [формула (34) гл. 1]
dx dy
и v
и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем
иметь:
dx dy
d'lfdy ~" — d^jdx
или
£'*+$*У = ** = <>•
Из последнего равенства следует, что функция <S/ сохраняет
постоянное значение вдоль линий тока, иными словами, семейство
линий уровня функции 6
*{*,У) = С (27)
представляет совокупность линий тока. Функция ^{х,у) в связи
с этим называется функцией тока.
Проведем в плоскости течения контур М0М1 (рис. 54) и вычислим
Секундный объемный расход Q (отнесенный, конечно, к единице длины
в направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это
224
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
сечение; будем иметь (пх, пу—-направляющие косинусы нормали ц
к элементу Zs):
ж, лгх ж,
Q= f Vn^ST= j ("«a» + Vny) 5* = f (" 8s • /Zr + 1) OA' • /7?/) ==
■Sf„ ЛГ, ЛГ.
или по (26):
\ду
- i
= I {ииу — v олг),
л/,
Ж„
I—%•
(28)
лг„
Следовательно, разность значений функции тока в двух каких-
нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь
сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими
через выбранные точки.
Напомним, что в плоском движении часть плоскости,
ограниченная двумя линиями тока, например, проходящими через точки М0 и Mi
Рис. 54.
на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную
двумя цилиндрическими поверхностями тока, имеющими в качестве
направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих —
перпендикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными
координатной плоскости хОу и отстоящими друг от друга на
расстоянии, равном единице длины.
§ 37) ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 225
Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-
нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая
чго можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26),
функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Если принять такое условие, то можно сказать, что значение
константы в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному
расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной этой
линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал
скоростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского
движения сводятся к системе двух равенств
«&. —&■ <29>
и выражения (26) тех же проекций через функцию тока Л; будем
иметь следующую систему соотношений:
дх ду'
___ д-р дб
ду дх
(30)
Функции 9 и ф не являются независимыми друг от друга
функциями, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно
называемыми условиями Коши—Риманна, при выполнении которых
комплексная величина
X = <Р + Ц = <Р {х, у) + *}>■(*, у) (31)
будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а
функцией одной комплексной переменной г = x-\-iy. Действительно, если
величина у есть функция только положения точки М с координатой г,
то- производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть
Функцией только положения точки, т. е. координаты z, и не зависеть
от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами,
можно, например, утверждать равенство производной по любому
направлению -~ производным по направлениям действительной и
мнимой осей:
*£ = |2.= *jL. (32)
dz dx d (iy) K J
Заме
шя, что:
dl _д(ч + I'y) _ d<f i ^dty
dx дх дх ' dx '
dt __.. t-d(t' + l4')_- d±__id±
d (iy) ду ду ду'
IS Зак. 1841. Л. Г. Лоашшский.
226 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
и приравнивая, согласно равенству (32), друг другу правые части
этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Риманна (30).
Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного
аргумента -/ (г) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим
потенциал скоростей <р (х, у) и функцию тока <J> (x, у) некоторого
плоского безвихревого движения:
<?(х,у)=я. ч. y_(z), *?(x,y) = u. ч. y{z).
Приравнивая функцию <?(х,у) различным постоянным значениям
<?(х,у) = с,
получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения
плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями);
аналогично совокупность равенств
4,(х,у) = С,
согласно (27), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока
взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для
этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами п
и п' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока:
п . п' = grad? . grad^
I grad <? | " | grad <\> | *
Вычисляя скалярное произведение градиентов и применяя
соотношения Коши — Риманна (30), получим:
gIad9.e,ad^|l.|i + i.f=|i(-|l)-|-|l.|i-0,
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий
и линий тока.
Совокупность равенств:
<? = <?(х,У), ф — ty (*> .У)
можно рассматривать как формулы перехода от декартовых
координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и <!*•
При этом изопотенциальные линии ю = С и линии тока ^ = С
представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные
координаты <р и ty, полученные путем отделения действительной и
мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут
всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи
между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским
безвихревым движением и ортогональными криволинейными
координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным.
§ 37] ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ 227
Если вместо функции у (г) рассмотреть функцию 1%(г), го в новом
движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока,
а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто
приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что
функция тока ty(x, у) всегда играет сопряженную роль с функцией
о (х, у) потенциала
скоростей: каждая из этих z
функций может быть
как функцией тока,
так и потенциалом
скоростей в двух
сопряженных между собою
безвихревых плоских
движениях идеальной
жидкости.
Заметим, что
функцию тока ф (х> У) в
плоском движении можно
рассматривать как
проекцию на
перпендикулярную к плоскости
движения ось Ог векторного
потенциала А,
связанного с вектором скорости V
равенством
V = rot A, (33)
если предположить, что
вектор А
перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при Ах
в полном согласии с формулой (26):
Рис. 55.
= А
: 0, Аг = у будем иметь
w ■■
дАг
ду
дАх
дг
дАу
дАу д^
dz ~ ду '
dAz д±
дх дх
дАх
х - л
дх
ду
(34)
В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно
определять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного
потенциала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть
определено заданием либо скалярного потенциала ср, либо проекцией на ось z
векторного потенциала А. Пользуясь представлением о векторном
потенциале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28).
Рассмотрим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение потока ч
(.рис. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур
MqM^m'^m'q, составленный из двух одинаковых контуров М0М1 и М'0М[,
расположенных в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров ЛГ0Ж0
15*
228 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. V
н MjAlj к плоскости хОу, равных по длине единице. Будем иметь по (33)
и формуле Стокса:
Q= ( Vndo = Г rot,, A da = Ф А • dr, (35)
а а
где контурный интеграл берется по замкнутому контуру М0М^МХМ0. Заметив,
что криволинейные интегралы по отрезкам контура М0М1 и MjAf0, по
определению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине
вдоль всего отрезка Л^0М0 будет Az = 60, а вдоль отрезка М-^М^,
соответственно, Az — ilj, получим по (35) при h = 1:
>/,
[А-
8z-j-
М0
fAzbz.
<
ж,
= J4
ж,
bz-
мо
-/
Щ
т. е. ту же самую формулу (28).
О своеобразной аналогии между магнитными и гидродинамическими
явлениями будет сказано в гл. VII в связи с решением задачи о поле скоростей
вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо
существенное значение.
Функцию y_(z), объединяющую, согласно (31), в один комплекс
оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию
векторного — функцию тока, называют комплексным потенциалом
или характеристической функцией течения.
Покажем как, зная комплексный потенциал у_ (г), определить
вектор скорости V или его проекции и и v. Как известно, каждому
комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с
проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям
этого комплексного числа. Условимся при изложении плоского
движения обозначать через V комплексную скорость
V = и -f- iv,
а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля
комплексного числа:
Наряду с комплексной скоростью V, введем в рассмотрение
Сопряженную скорость V, равную
V s= и — iv.
Если 6 —угол, образованный вектором (комплексной скоростью V
с действительной осью, то будем иметь:
V=a + fo = |V|(cosO + isin8)HV|e«, } m]
V = u — iv = \V\{cosb — islab) = \ V\e-*K J l
j; 38] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 229
Рассмотрим теперь производную '--• комплексного потенциала по
комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной
переменной
откуда, согласно (30), сразу следует:
*L=,u — iv=V = \V\e-«, (37)
т. е. производная от комплексного потенциала (характеристической
функции) по комплексной координате равна сопряженной скорости.
Проекции скорости и и v определятся,
соответственно, как действительная и с
обратным знаком мнимая части производной от
характеристической функции по комплексной
координате
и = д. ч.-g, *, = _м. ч.-g. (38)
Сопряженная скорость имеет ту же
величину (модуль), что и комплексная скорость,
но направлена по зеркальному отображению
комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56).
Обратная величина
dx V u — iv~~\ V\
имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная
скорость.
Совокупность комплексных координат частиц жидкости z образует
область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим
называют физической плоскостью или плоскостью течения.
Совокупность значений комплексной скорости V образует плоскость
годографа скорости или просто плоскость годографа; в этой
плоскости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места
проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц
жидкости.
8 38. Построение полей течения по заданной характеристической
функции. Простейшие плоские потоки и их наложение
Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для
комплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым
Дрижениям такое задание будет соответствовать.
1- Линейная функция / (г) = az-f-£, где а и b—комплекс-
ыс постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивная
Постоянная Ь без ущерба для дела может быть просто опущена,
230
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. v
Составляя сопряженную скорость
V = ~ = а = const = и0 — iv0 = | V0\ (cos Н0 — г sin H0),
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по
величине и направлению во всем потоке сопряженную скорость.
Одинаковой будет и комплексная скорость
v = v0 = «о 4-i4>0 = | ^1**4
Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал
однородного потока со скоростью | V01, наклоненного к
действительной оси физической плоскости
под углом 60 = а (рис. 57):
7=К— "»о)z=\ vo\e~" z =
= | V01 (cos а — г sin а) г. (40)
Отделяя действительную и
мнимую части, найдем
потенциал скоростей
9 = иох + ^о-У =
= | V01 (х cos a -j-_y sin ot)
и функцию тока
1» = — v0x-\-uQy =
= | V01 (— л; sin a +_y cos a).
В частных случаях а = 0 и а = •=■, получим:
при а = 0 ? = | ^0]дт, ф = [^0|>|,
при а :
? = 1^о1.У- Ф = —| VoU-
Это будут потенциалы скоростей и функции тока однородных
потоков, направленных вдоль осей хну.
2°. Степенная функция^ (г) = ягге (и —действительная
величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость
v dz
nazn-
будет стремиться к бесконечности при z->co, если я> 1, и к нулю
при я< 1; случай я—1 уже рассмотрен в 1°.
Введем полярные координаты, положив
■ rev
§ 381
тогда:
ПОСТРОЕНИЕ Ш'ОСТКЙШНХ ПОЛКИ ТКЧЕНИЯ
231
i. П=1, СС=Л
III 111
I i I ! , i .
1 1 i
! ' 1
I 1 i ''"
Ф-0 1 If"
Ji U I
1 1
1 i 1
i i 1
III*
^K\ i ' Г
4 ' ' >
it 1 *
-/_ (z) = atn (cos ns -)- г sin иг),
со (У, e) = arra cos nz, <^(r, г) =-_-. яг» sin «г.
Линии тока будут представляться седюйстном
/" sin ne — С.
11олагая здесь е—О,
s^--^ — = а, видим,
я
что при этом С—О,
т. е. роль нулевой
линии тока играет
совокупность лучей,
выходящих из начала
координат. Областью
течения являются части
плоскости,
заключенные в углах а = — .
Рассмотрим
простейшие случаи.
При я = 1, 2, 3
потоки будут иметь
вид, изображенный на
рис. 58. При
дальнейшем возрастании я угол
а будет уменьшаться,
количество ячеек
возрастать.
Изопотенциальные
линии имеют
уравнением
rn cos яе = С
или. что все равно,
<р=0
п = 2, x = f
/■"sin (яе-f-
С.
Это уравнение —
того же семейства
кривых, что и линии тока,
Рис. 58.
но повернутого на угол — = —-
Изопотенциальные линии показаны
на том же рис. 58 пунктиром. При п — 1 оба семейства — прямые,
при п = 2 — гиперболы,
232 ПЛОСКОЕ БКЗВИХРКВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ fi-Л. V
Больший интерес для дальнейшего представляет случай п.--
Уравнение линий тока будет
С.
sin s
Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходящих
iepe;s начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке
с осью Ох. Физический смысл
константы а в выражении комплексного
потенциала
а
и более глубокое представление о
самом движении будет дано в следующем
пункте. Скорость течения обращается
в бесконечность в начале координат и
в нуль при г —> со. Изопотенциаль-
ные линии, по предыдущему,
представятся той же сеткой окружностей (на
рис. 59 показанных пунктиром), но
повернутой по предыдущему на -=•. Оба
™ис- 5'- семейства окружностей взаимно
ортогональны.
Отметим еще случай п = т; с характеристической функцией
y. — Vz и углом а = 2тг. Чтобы найти линии тока, в этом случае
лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее
характеристическую функцию, в виде
г = лг-(-(у=х2 = ср2 — «У*-f-2iwJ>; "
тогда, сравнивая действительные и
мнимые части и полагая в полученных при
этом равенствах <]> = с, найдем уравне- ~
ние семейства линий тока в
параметрическом виде
х = о2 — с2,
У = 2от. Рис. 60
Исключая параметр со, получим семейство парабол
х==-4с*~У2 — <?
с вершинами на отрицательной части оси х, являющейся для парабол
осью симметрии (рис. 60),
§ 38] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 233
По общему свойству степенных комплексных потенциалов изопотен-
циалынле линии получатся поворотом линий тока на
ТС
или, что в данном случае все равно, зеркальным отображением
в оси Оу. Рассматривая положительную часть оси Ох как некоторую
твердую стенку, получим картину перетекания жидкости из верхней
части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Ох.
Заметим, что скорость течения в точке z = 0 равна бесконечности:
вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока.
3°. Логарифмическая функция y—Alnz.
Предположим сначала, что А — действительная величина. Полагая
г = reie, получим
у = ф _}_ fy = A In r -f- iAz,
откуда:
ср = A In r,
ф= Ае.
Линиями тока служат лучи е = const, выходящие из начала
координат; изопотенциальными линиями — ортогональные к ним окружности
г = const (рис. 61а). Картина линий тока соответствует плоскому
а) Источник В) Сток
Рис. 61.
истечению жидкости из точечного источника, находящегося в
начале координат (на самом же деле — из источников, непрерывно
распределенных по оси Oz). Чтобы найти гидродинамическое значение
к°эффициента А, введем в рассмотрение мощность или
интенсивность источника q, определив эту величину как секундный объемный
234 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЙ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в
перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем:
q = 2~r\ V\ = 2nr-
откуда следует
dy.
dz
— 2шА ■
2л
|i-|=2wv4
1 z 1
1
г
2кЛ,
Условимся наряду с источником рассматривать сток, отличающийся
лишь направлением стрелок на линиях тока (рис. 61(f). Тогда в общем
случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного
в начале координат источника или
стока мощности q в виде
У.(*) = :±^Г1п*.
(41)
Рис. 62.
причем верхний знак относится
к источнику, нижний — к стоку;
при желании знак можно включать
в определение величины q, считая q
положительным в случае источника
и отрицательным — в случае стока.
Пусть теперь А — чисто мнимая
величина, равная Bi, где В — уже
действительная величина.
Комплексному потенциалу
Х = ВЛпг,
как уже ранее было указано, будет
соответствовать та же сетка кривых
линий, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопо-
тенциальные линии поменяются местами (рис. 62). Картина линий
тока соответствует так называемому циркуляционному движению
жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного
в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити
совпадающей с осью Ог.
Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим
циркуляцию Г скорости по некоторой окружности радиуса г.
Будем иметь:
2гс 2ic
Y=§\V\ds = \\%\rds= \B-~-rdz = 2r.B,
откуда вытекает
§ 38] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 235
В зависимости от направления движения частиц будем иметь:
причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответствовать
вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению. Можно
;нак включить в определение величины Г и считать циркуляцию
положительной тогда, когда при обходе частицей жидкости
окружности площадь круга остается слева; этому соответствует комплексный
потенциал циркуляционного потока
у-=-Ц[пг = 4т1пг- (42)
Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае
кихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечает
формуле
т==м „ли т==ш,
т. е. величина скорости обратно пропорциональна расстоянию от
источника или вихря. В начале координат, где источник или вихрь
расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является
особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или
нихря называют гидродинамическими особенностями потока. В
дальнейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями" потока:
диполем, вихреисточником.
Рассмотренные только что течения являются безвихревыми
движениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения,
исключая начало координат, которое является особой точкой,
выполняются соотношения:
ди dv_ „ ди_ ,dv_ п
ду дх ' дх ' ду '
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. В па-
чале координат производные приобретают бесконечные значения.
Ьсли источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат,
а в некоторой точке М0 с комплексной координатой г0, то
выражения характеристических функций будут:
источник (сток):
У.(г) = &* (*-*<>)> (41')
вихрь
X (*) = "351п (г — г<>>- <42')
Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента при
Логарифме, а именно:
1(z) = (A + Bi)\nz,
236 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
где А и В — действительные величины. Такой комплексный
потенциал можно рассматривать как результат наложения друг на друга
двух потоков с комплексными потенциалами:
7.1 (г) = Alnz,
у_о(г) = Bilnz,
т. е. наложение на источник (сток) вихря. Сложное движение,
составленное из этих двух движений, представляет течение жидкости
вокруг вихреисточника (вихрестока) со спиралевидными линиями
тока (логарифмическими
спиралями), показанными
на рис. 64.
Если, вообще,
7.(*) = Xi(«)-r-7.a(*).
то в составном потоке
комплексный вектор
скорости будет равен сумме
комплексных векторов
скоростей слагаемых
потоков Vj и К2.
Действительно,
dz
dz "t" dz
= V\ + V*
Рис. 63.
а следовательно,
переходя от сопряженных
комплексов к основным,
получим:
На этом основан простой графический прием построения, линий
тока сложного потока по линиям тока слагаемых потоков.
Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух
слагаемых потоков: фц tyi + A^i и ^з> 'h + Afe пересекающихся под
некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока
проведены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были
одинаковы, т. е. Дф, = Д<1>2; отсюда, конечно, не следует, что
расстояния между линиями тока в каждой из двух пар должны быть
равны между собою. Можно лишь утверждать, что, если MMt J_ V%
и MN' X V9, то
тщ
■ MN' • | Vo
4j 38] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 237
С другой стороны, площадь малого параллелограмма ММ М^Мг
раина одному из следующих равных между собою выражений:
MN1 ■ ММ' = MN' • MMV
Деля обе части этого равенства соответственно на обе части
предыдущего, получим
ММ': | Vx | = ММ1: | К21,
откуда следует, что отрезки ММ' и ММХ в некотором масштабе
выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых
движений. Проведя диагональ ММг параллелограма MM M^Mi,
получим в том же масштабе величину и направление скорости V, или
элементарного перемещения сложного движения. Отрезок MMi вместе
с тем дает элемент дуги линии тока ^ = const сложного движения.
Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока
двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением
диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока
сложного движения. Единственную трудность представляет
выполнение построения сеток линий тока слагаемых движений,
удовлетворяющих условию одинаковости расхода.
На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихре-
источника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие
из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 10э,
расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны
так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями
были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя
смежными линиями тока источника.
Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь.
Возьмем на положительной части оси х источник мощности q,
находящийся на расстоянии h от начала координат, и эквивалентный ему
по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с
отрицательной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника
и стока будет, очевидно, равен
X = £l»(,-A)-£ln(, + A).
Если, сохраняя неизменным q, устремить h к нулю, то Сток
поглотит жидкость из источника и никакого движения не произойдет.
Поступим иначе: устремив h к нулю, одновременно будем
увеличивать q до бесконечности так, чтобы произведение мощности q на
Расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным
некоторое величине т:
lim q • 2h — /и.
Я. ->"о
238 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Тогда комплексный потенциал ^ приобретет следующее
предельное выражение:
Х=«?0[£,п <*-*)-£ И* + *)] =
g~>oo
: —g- lira q.2h- lim ^ ; '-
ft->0 ft->0
g->-oo g-> со
Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии
тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59.
Рис. 64.
Предельный образ двух бесконечно близких особых точек—источ-
ника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют
диполем, а величину т (она может быть как положительной, так и
отрицательной) — моментом диполя.
^ 39] обтекание круглого цилиндра '239
§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания
круглого цилиндра
Наложим плоский, параллельный оси х однородный поток со
скоростью Voo {Vco — действительная положительная величина) и
комплексным потенциалом
Xi = VmZ
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
т 1
и составим комплексный потенциал сложного движения
1 = Xi + Ъ. = ^ooZ — ^ —.
Чтобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию
тока
Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем
уравнение линий тока
1/- + ё"]?Ту)з' = const.
Нулевая линия тока
распадается на две кривые: 1) окружность:
и 2) ось х:
Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя
равной
2nVoo
т = ^~>
получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности
Радиуса а с центром в начале координат и оси Ох (рис. 65).
^стальные линии тока легко получить, задавая различные значения
,<0нстант б уравнении
(l--Fq^).v== const.
240 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри
круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого
цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на
бесконечности скорость Vaa] этот поток имеет комплексный потенциал
Х«1Ц*+7) 1*Н
(44)
Вторая область представляет картину течения, образуемого
находящимся в начале координат диполем с моментом т внутри круга
радиуса а; этому потоку соответствует комплексный потенциал
matt ,а\ . ,
Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем
распределение скоростей. Имеем, по предыдущему:
— *к —
V =
dz
Voo 1
По этой формуле можно найти сопряженную скорость V, а
следовательно, и комплексный вектор скорости V в любой точке потока
Рис. 65.
С комплексной координатой г. Определим, например, распределение
скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим
ф—угол между радиусом контура цилиндра и осью Ох)
z = aeib
§ 39]
ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
24 1
и будем иметь по предыдущей формуле:
(Р)|,1-а= V» (1 —е-*») = VaJ-"1 (e«« —e-«) = 2zVo,e-*esIn О,
откуда определим модуль скорости на контуре круга
\V\ = 2Vo,slnb. (45)
Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом
обтекании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его
поверхности распределяются по закону синуса. В точках А и В
разветвления потока 6 = тс и 6 = 0 скорость обращается в нуль. Точки
потока, где скорость движения обращается в нуль, называют
критическими точками потока. При направлении движения, указанном
на рис. 65, точка А называется „передней" критической точкой,
точка В — „задней".
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное
значение при Й=±-=- в точках С и D миделевого сечения
цилиндра; это максимальное значение скорости равно
т. е. удвоенной скорости набегающего потока (скорости на
бесконечности).
Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра
плоскопараллельным потоком, скорость которого V^, направлена под
некоторым углом &со к оси Ох.
Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал
обтекания будет иметь вид:
х = 7,^+^00^, (46)
где У,л является уже не действительной величиной, а комплексным
вектором, равным
Ныражение комплексного потенциала (46) легко получить из
равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную
плоское?!, г', действительная ось которой наклонена к действительной
оси плоскости г под углом Ьм. Тогда в плоскости г' скорость на
бесконечности будет представляться действительной величиной | V,»!,
и по (44) получим:
x^OHVook' + i^ig.
Подставляя сюда выражение г' через г:
г = ге ,х>,
Докажем правильность формулы (46):
_-«т _ , , ,, , м„ а-
,2
у.(г) = | К»|е~"°° • г + | Ум\е"*> ■ ^ = V^+ V^ g
И) Зак, 1841. Л. Г. Лойияпсккй.
242 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ \гх. V
Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45)
распределения давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним,
что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление р
связано с величиной скорости I VI формулой Бернулли [§ 36,
равенство (12')):
р-\- L-L2— = const.
Константу определим из условия на бесконечности [возвращаемся
к обозначению | V| = V]
Poo + P~<f = Const,
тогда будем иметь, вводя безразмерный коэффициент давления р:
— v —р„ { V \2
p=-T-^-^l-(T-)=l-4sin20. (47)
2 ' °°
Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра
безразмерного коэффициента давления р не зависит ни от размеров
цилиндра, ни от величины скорости и давления на бесконечности.
Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом при
изучении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью
цилиндра. В дальнейшем будет показано, как эти свойства коэффициента
давления распространяются и на тела других форм.
Вернемся к формуле (47) и условимся угол 0 отсчитывать от
передней критической точки А против часовой стрелки. Тогда график
теоретического распределения р, согласно (47), представится нижней
кривой на рис. 66. В лобовой критической точке А (Н = 0) имеем
р = 1; размерное давление р в этой точке равно полному напору
набегающего потока, т. е. сумме давления роо и скоростного напора
Tj-pVro набегающего потока. При 0 = г±г-я-, т. е. в миделевой
плоскости, коэффициент р приобретает максимальное по абсолютной
величине отрицательное значение рт = — 3. В этих точках на
поверхности цилиндра наблюдается максимальное разрежение. Давление
здесь меньше чем /?„, (например, атмосферное при продувке цилиндра
в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью) на три скоростных
напора. На участке tc/2^s0<=tt теоретическая кривая повторяет
кривую для Оё=9ёгтг/2.
Экспериментально замеренное распределение давления не
подтверждает эту теоретическую кривую. В зависимости от некоторых
условий, о которых будет идти речь в конце курса, на опыте
получаются две разных формы кривых распределения давления (/ и //
на рис. 66), но даже и более близкая к теоретической кривая /
$ з»1
ОЬТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
•243
нее же находится в резком расхождении с теорией. Причиной этого
расхождения служит отсутствие в действительности безотрывного
плавного обтекания цилиндра, подобного теоретическому обтеканию,
показанному на рис. 65. На самом деле цилиндр представляет собою
плохо обтекаемое тело. Набегающий поток, разветвившись в передней
критической точке А (рис. 66), омывает поверхность цилиндра лишь
до точек SS, находящихся примерно на 6 = zt 84°, т. е. до миде-
.чевой плоскости—в случае кривой давлении / и на 6=120 —
' 0° 3D" 60" 90° 120" 150° 180°
—в
Рис. 66.
в случае II, после чего ноток отрывается, уступая место жидкости,
подсасывающейся из кормовой области. И в том и в другом
случае получаются картины обтекания, далекие от безотрывного
обтекания всей поверхности от передней А до задней В критических
точек, предписываемого теорией безвихревого движения идеальной
жидкости.
Как будет показано в дальнейшем, образовавшийся из-за наличия
внутреннего трения в жидкости пограничный слой не выдерживает
резкого восстановления давления при 9 > 90°, отрывается и искажает
всю картину обтекания. Об этом подробно будет рассказано в главе
о движении вязкой жидкости.
Было бы, однако, неправильно сделать отсюда вывод, что теория
безвихревого движения идеальной жидкости вообще не может
применяться для описания действительных обтеканий. На рис. 67
приведены кривые распределения давления по поверхности двух „хорошо
обтекаемых" симметричных профилей Жуковского. Один профиль
имеет относительную толщину у =15%, другой у = 40%- Как
10*
244 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
показывают кривые, в этих случаях теория дает прекрасное совпадение
с опытом. Более или менее значительное расхождение наблюдается
только у толстого сорокапроцентного профиля, да и то главным
образом вблизи кормовой области, где пограничный слой не
удерживается на поверхности профиля и отрывается. Можно утверждать,
что теоретический расчет распределения давления вполне
удовлетворительно совпадает с опытом для хорошо обтекаемых тел
и тем более расходится с опытом, чем толще пограничный слой, чем
ближе обтекание подходит к отрывному. С этой оговоркой и следует
воспринимать все последующие теоретические расчеты распределения
скоростей или давлений по
поверхности обтекаемых тел.
Заметим, что
теоретическое распределение
давлений по цилиндру не дает
результирующей силы; это
прямо следует из симметрии
обтекания относительно двух
взаимно перпендикулярных
осей: оси потока и
перпендикулярной к ней оси
(рисунок 65). На самом деле,
"'" О 0,2 Ofi 0,6 0t8 1,0 в действительном обтека-
•- х/д нии, как это следует из
Рис. 67. кривых / и // (рис. 66),
главный вектор сил
давлений будет отличен от нуля и направлен по оси течения в сторону
движения набегающей жидкости. Эта равнодействующая нормальных
сил, сложенная еще с равнодействующей касательных сил трения
жидкости о поверхность цилиндра, даст полную силу сопротивления.
Теоретическое безотрывное обтекание силы сопротивления не дает и,
как в дальнейшем будет показано, принципиально дать не может.
Перейдем к рассмотрению несколько более сложного потока.
Возьмем только что изученное теоретическое обтекание круглого
цилиндра и наложим на него круговой циркуляционный поток вокруг
вихря (42), причем сам вихрь поместим в центр контура цилиндра.
Такое обтекание в отличие от предыдущего, „бесциркуляционного"»
будем называть циркуляционным обтеканием цилиндра. Подобный
поток будет наблюдаться в действительности, если обтекаемый цилиндр
вращать вокруг оси; тогда окружающая цилиндр жидкость,
увлекаемая внутренним трением, придет в круговое, циркуляционное
движение, которое сложится с бесциркуляционным обтеканием цилиндра
и даст картину, напоминающую рассматриваемое теоретическое
обтекание; основное отличие между теоретическим и действительным
обтеканием произойдет из-за отрыва жидкости от поверхности, а также
за счет возникновения поперечных, перпендикулярных к плоскости
§ 39] ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 245
теоретического течения вторичных потоков, сопровождающих в
действительности циркуляционное течение.
Комплексный потенциал циркуляционного обтекания цилиндра
напишем в виде
х(г)=Уа,(г + £) + £\пг, (48)
что при Г > 0 соответствует направлению циркуляционного движения
по часовой стрелке.
Определим сопряженную скорость
и найдем положение критических точек, решая уравнение
или, что то же, квадратное уравнение
и его будут:
z =
.8 1 L l - аъ — о
4*U - l' й itfV*
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа
обтекания:
1°. Циркуляция достаточно велика, а именно
Г > 4iraVOT.
В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная
величина, и можно написать
г = ( — -^— =±г у—V^- — a2) /.
IL
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного
больше радиуса цилиндра, другого — меньше; действительно, корень
*, = . ■ - ■-■ ■»
/т
имеет модуль
111 4^УОТ ^ К !6г.^0 4*1^
24G ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
второй корень
1л ,/ р
имеет модуль
I |— г ,/~ Г2
72 =
Г 16^1/
4nl/m ' 16л3 К;
меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в
знаменателе VA-Vrjo на меньшую величину а, т. е.
i i в2
1221<^-=а-
Первый корень z] дает критическую точку А (рис. 68а),
лежащую на отрицательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй —
критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра.
2\ Предельный случай
Г = 4^1/00
дает двойной корень
_ _ Г _
*,-*а——-щг;-—а>
в этом случае обе критические точки А и В попадают в одну,
расположенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с
мнимой осью (рис. 686).
Зэ. Наконец, в случае малой циркуляции
Г<4тшКоо
комплексные корни
=±jAr
г = г!г 1/ а^ — •—— 1
имеют общую ординату — мнимую часть:
Г
4-^со
и отличающиеся знаками абсциссы:
>— а
Y*-n&
также по модулю меньшие а.
Положение критических точек А и В показано на рис. 68s. При
дальнейшем уменьшении циркуляции Г точки А и В будут
раздвигаться, стремясь занять свои предельные положения на диаметре круга
при Г = 0.
§ 39]
ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
247
Неравенства
Г=4тта1/От,
ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют
простой физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения ми-
делевой плоскости с мнимой
осью скорости в
бесциркуляционном течении равны
удвоенной скорости на
бесконечности, т. е. 2 К»; с другой
стороны, при чисто
циркуляционном обтекании скорости
точек на контуре цилиндра
равны 7j—• Следовательно, при
выбранном направлении
циркуляционного движения по
часовой стрелке при
2т
>2Ка
частицы жидкости на
поверхности цилиндра и в
некоторой области ниже цилиндра
(рис. 68а) будут двигаться
вспять, а линии тока будут
замкнутыми кривыми вокруг
цилиндра. При (рис. 68<? и в)
L = 2V"
i~a<2V«
критические точки будут
находиться на контуре цилиндра.
Как видно из рис. 68,
при циркуляционном обтекании
круглого цилиндра сохраняется
симметрия относительно оси
Оу, но нарушается симметрия
относительно оси Ох. В связи
с этим главный вектор сил
давления жидкости на
поверхность цилиндра будет отличен Рис. 68.
0т нуля и направлен вдоль
оси Оу. Заметим, что в слоях жидкости над цилиндром скорости
°есциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционное
потока вокруг цилиндра складываются, а снизу от цилиндра —
248 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
вычитаются. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше
чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром
линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются.
При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине
цилиндра меньше, на нижней — больше, следоиательно, главный вектор
сил давления должен быть направлен по оси Оу вверх. Найдем
величину этой, перпендикулярной к направлению движения силы R. Имеем
R
= — ф pn ds, Rx= — Ф р cos г ds, Rv = — Ф р sin s ds,
где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу
окружности. По теореме Бернулли
Р^С-^1.
V= К»(1 -в"*') +^Г &-«•=»*-<• (2К»sins-f^l
На контуре круга, согласно (49):
г . _и
~2ъа1е '"""- Г"00"""1 Ям)'
откуда
Замечая, что интеграл по замкнутому контуру от постоянной
составляющей давления С, как архимедова сила в однородном поле
давлений, равен нулю, получим:
ЯХ = Щ f \V\*cosede=f j (27ooSine + ^)*coserfe,
О О
2т:
Ry =* ? J (2 v°°sin 3 + i/ sin 8 ds-
о
Интегралы легко вычисляются; имеем:
2гс
Rx = ^-Wl f sinSscoscrfe + f- 4Vm-^ J sinecossrfe +
o о
о
2 it 24
Я„ = р|-4V& JsinBsds + f • 4^-^- J sin^sda-T-
2rc
?jl л_ Г
2 ' 4и2д2 J
о
sin e ds.
ts 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 249
Из всех интегралов отличен от нуля лишь второй и выражении R
так что:
2л
Ry = -^-f sin2 s (k = pVoJ'. (50)
о
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при
циркуляционном обтекании сопротивления нет (Rx — 0), но зато
появилась поперечная сила Ry, равная, по (50), произведению плотности
жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию.
Формула (50) является частным случаем общей теоремы Жуковского,
относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой
теоремы будет дано ниже.
Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося
артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще
в середине XVIII в.
Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся
цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии
набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу,
движущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных
теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.
Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном
обтекании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут
сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и,
в частности, задача об обтекании крыла.
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и
циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки.
Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.
В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих
параграфах, случаях задача об определении комплексного
потенциала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости
z=> x-\-iy, а в плоскости другого вспомогательного переменного
-.=-%-\-щ, связанного с г некоторой аналитической зависимостью
г = 2 (С). (51)
Геометрически это можно трактовать как решение задачи
обтекания в криволинейной системе координат (£, yj), т. е. разыскание
комплексного потенциала в виде
Х = Х(0- (52)
Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь
между у и z в параметрическом виде, причем роль параметра играет
комплексная переменная С- Поясним это примером.
250
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
Уравнение (с — действительная постоянная)
z = cch С
(51')
дает переход от декартовых координат х, у к эллиптическим
координатам S, *|. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную
и мнимую части, будем иметь:
х -f iy — с ch (£ + ii\) = с ch I cos f] + /с sh £ sin r\,
x = cchlcosi\, \
у = с sh $ sin t\. J
Полагая здесь $ = a. = const, получим семейство эллипсов (рис. 69)
c2ch2<
.Л
с2 sh2 a
с полуосями a = c ch a, # = c sh at и фокусным расстоянием с=У^а?—ba ;
полагая tj = |3 = const, получим
семейство
У2
с2 cos2 f
с2 sin2 р
1
софокусных с предыдущими эл-
х липсами гипербол, имеющих
полуоси с cos p и с sin p.
Рассмотрим теперь комплексный
потенциал
Х = Л ch(C — if).
(52')
Рис. 69.
где А и f=a-|-j|3 —
действительная и комплексная
постоянные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме
» +/ф = Л ch [(Е —<*) + *" (Ч — ?)Ь
сразу видим, что
ф = 0, если £ = а или tj = |3,
т. с. нулевая линия тока состоит из эллипса £ = а и гиперболы yj = Р
(на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение
постоянной А, составим выражение сопряженной скорости
1/ — £L z=^L~ dz __^sh(E —?)
dz dZ ' dZ csh£
и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса !■ = а. Будем иметь
(^со — угол между вектором К*, и осью Ох):
V„
= V„
-<9„
= AUmsAfcl)=£
;-><м
shC
lim -
4-.-T,
§ 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 251
откуда получаем
Vex
с
Из последнего равенства вытекает:
причем постоянная а может быть, по предыдущему, выражена через
полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул:
а
а
с Уа?—Ь2'
гак что
sh а== — =
с
/Д2—63'
tha = —,
а
еа = ch a -\- sh a =
а + Ь
Л = (а + 6) | Vol-
Итак, совокупность равенств
х = (в + *Ж.»|с1](С--т),
г = с ch £,
(53)
где, напоминаем,
-r = a+^ = arth- + '
с—У a* — b2,
Х(*)
дает параметрическое выражение комплексного потенциала
обтекания эллиптического
цилиндра с полуосями а и Ъ
плоским безвихревым
потоком несжимаемой жидкости,
имеющим скорость на
бесконечности, равную по
величине | ^=о | и направленную под
углом bo, K большой оси
эллипса; угол $=*}&, принято
называть углом атаки.
Картина линий тока
показана на рис. 70.
Для построения линий
'ока и изопотенциальных
линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей,
которые получатся исключением \ и ц из системы уравнений:
<р = (а + Ь) | Ксо | ch (Р — a) cos ft — j3),
ф = (а + й)| Va,|sh(E — я) sin ft — p),
x = cch £cos7j,
.у = с sh $ sin t\.
Рис. 70.
252 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖКНИК ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Можно также исключить С непосредственно и'з уравнений (53). Для
этого перепишем первое из уравнений (53) в виде
%=(a-\-b)\VO0] (ch T ch г — sh T sh С),
а из второго найдем
chC = i-, shC = |/"J—l;
тогда будем иметь
■/^(fl + ^IVcol^cb-r —^-l shT). (54)
или, заменяя:
ch f == ch (a -f $) = J (е*и3 + e-'-*P),
sh f = sh (ot -f- ф) = -z- (e* и;(з — e-«-<P),
с =
2
e-«:
Я+&'
получим еще такое выражение для у:
7 = 4 (в + ъ) | ^ | [-^ ^ (г - у ^=^) +
1
е-
я+6
<Р(г + У> — с2)] =|^U-f J/V — с2)■
1 (я 4- 6)з
^«.(г— К *e —с"). (55)
Из последнего выражения легко вновь получить комплексный
потенциал обтекания круга (46). Для этого достаточно заметить, что
в случае круга a — b и с = О и что, кроме того,
г — У г* — с2
тогда (55) даст
1_.
Если положить в (55) b = 0, а = с, то получим потенциал
обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к
набегающему потоку под углом атаки (3 = 6M:
= -2-(V/M+ К»)г — -g- (Voo— V*,) Vz* — c* =
= аоог — ton Vl*~^, (55')
где и,», foe, ■— проекции Уот на оси координат,
4J 40j ОБТККАНИК ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 25Я
По составу выражения комплексного потенциала (55') можно
заключить, что косое обтекание пластинки складывается из двух
течений: 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со
скоростью «со; комплексный потенциал этого обтекания равен
7л (*) = "■<*>*;
и 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью iv^, направленной
вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен
Ха кг) ■
■ IV,
Уг* — <
(55")
в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока
по этой простой формуле.
Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо
набегающего на пластинку потока; будем иметь
dz
iv0
У £2 — С1-
(56)
Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических
точек Л к В (рис. 71):
z = х = ± ту—г = ± с cos р,
= -ff one крп-
где, напоминаем, с — половина длины пластинки; при
тические точки сходятся
в начале координат.
При г = ±с, т. е. на
передней и задней кромках
пластинки, скорость,
согласно (56), обращается
в бесконечность, что видно
и по сгущению линий тока
на концах пластинки. На
самом деле инертная жидкость
не может безотрывно
обтекать острые кромки
пластинки, так как при
образующихся бесконечно
больших скоростях должны
(согласно теореме Бернулли)
появляться бесконечно
большие разрежения, что
физически невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях
можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом
скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал
обтекания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости.
Рис. 71.
284 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. V
Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной
скоростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с
конечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим
приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен
(постулат Чаплыгина, § 42).
Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркуляционного
движения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем
равенство
z = с sin у = с sin (да -\- А])) = с (sin <р ch ф -(- i'cos <е sh ty).
Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51),
легко заключить, что софокусные эллипсы ф = const будут линиями
тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое
движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса
или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы
семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто
циркуляционного движения вокруг эллипса функцией
'/•==&arcsin7"' (57)
где постоянная Г пока не определена.
Выражение это совпадает с выражением комплексного
потенциала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить
к нулю. Действительно, по известным формулам теории
гиперболических функций от комплексного аргумента будем иметь:
-/=2-arcs.n7 = ^arsh(7j = ^ln(7+|/ I —J,
или, используя свободу в выборе аддитивной постоянной в
выражении комплексного потенциала,
Г , /Ус2 — z2 — iz
Переходя в этом выражении к пределу при с -» 0, получим,
применяя обычное правило раскрытия неопределенностей:
2с
hln
2я7
2 У>-
2с
-) 1
Г 1 Г
= —7T-:ln?r-r = ?r-7ln2,-4-COnst,
2w 2zi 2тн i '
т. е. равенство (42).
Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки (6 = 0, а = с)
будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический
цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием.
Й 40j ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. ,2[),!)
Сопряженная скорость оудет
па поверхности пластинки (у =
])ость действительна и равна:
и,
2п >
па верхней поверхности и
Гл.
равна
= _Г_ 1 .
О, — с < х < -|- с) сопряженная ско-
(при Г > 0, « < 0)
(при Г> 0, и_ > 0)
2п У"с2 - х2
на нижней.
Отвлечемся от того, что отрезок FF' представляет некоторую
твердую стенку—обтекаемую циркуляционным потоком пластинку —
и представим себе всю плоскость
хОу занятой жидкостью. Тогда
линия FF' представит линию
разрыва скоростей в потоке. В самом
деле, по только что доказанному,
при переходе через линию FF'
(рис. 72) по перпендикулярному
к этой линии бесконечно малому
отрезку М_М+, концы которого
расположены по обе стороны от
линии FF', скорость и
претерпевает конечный скачок
— Г
• и =
тс Ус2 —.
Рис. 72.
М
-4—
ds
Г
-•
И отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности
происходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем
случае разрыв происходит в ско-
^ ц+ рости, направленной вдоль линии
разрыва. Рассмотрим ближе
природу такого касательного скачка
скорости.
Окружим некоторую точку М
(рис. 73) на линии разрыва FF'
бесконечно малым прямоугольным
контуром, состоящим из
отрезков АВ = CD = ds, параллельных линии FF', и ~AD =~В~С,
перпендикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру
— Vds
В
и.
Рис. 73.
(яь — u_)ds
Y*
2Г)б ПЛОСКОЕ БЕЗВЙХ1'ЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва
скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой
циркуляции.
Обозначим через f плотность распределения вихрей, т. е.
интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу
длины отрезка FF'.
Тогда получим
'(ds = (u. —u+)ds
и, следовательно,
Ч^и_— и+= I (58)
п у с2—я2
Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при
плоском движении (в пространстве этому соответствует распределение
прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности)
образует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное
движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в
частности— пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым
слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса,
причем плотность распределения вихрей в слое определяется
формулой (58).
Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна
+ о +е
— с — с
что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким
образом, комплексный потенциал (57) является обобщением
комплексного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости
вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя
конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и
единичный вихрь.
Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено
обтекание круглого цилиндра с циркуляцией, так же можно найти и
обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого
достаточно сложить комплексные потенциалы бесциркуляционного
обтекания эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его
обтекания.
Так, например, в случае косого циркуляционного обтекания
пластинки будем иметь комплексный потенциал
/ = икг — iVa, У г2 — с2 -\- ^- arc sin —. (59)
§ 40| ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР* 25?
Составляя производную по г, найдем сопряженную скорость
Пользуясь произволом в выборе „наложенной" циркуляции Г,
можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению
обтекания) кромке пластинки F стала конечной. Для этого, очевидно,
достаточно положить
Г = — 2t:vo0c — — 2-кс \ Va> | sin Й^, (61)
где Ьоо — угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней
кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна:
V = Uaa — iv^^~. (60')
При этом скорость на задней кромке F пластины будет равна
(и) ~=с = и,*, — | Voo I cos ttoo. Картина циркуляционного обтекания
пластинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис. 74.
Сравнивая эту картину с
соответствующим
бесциркуляционным обтеканием пластинки на
рис. 71, видим, что при
выбранном значении циркуляции (61)
задняя критическая точка В
совместилась с задней кромкой F
пластинки; на передней кромке F'
скорость остается равной
бесконечности, что при действительном
обтекании приведет к отрыву
потока.
Как заметил впервые С. А. Ча- ц„
плыгин, задние острые кромки Рис. 74.
крыловых профилей обтекаются,
как правило, без отрыва, если только углы атаки не выходят за
пределы некоторого интервала. Иными словами, при действительном
обтекании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая
необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки
с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в § 42.
Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно;
обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок" профиля.
17 Зак. 1811. Л. Г. Лойцянгкий.
258 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть
обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2с
(рис. 75), расположенных вдоль оси х на равных друг от друга
расстояниях 2а.
,
н-« 2а
Рис. 75.
Н. Е. Жуковский! указывает следующие интегральные выражения для
комплексных потенциалов:
а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности
в положительную сторону мнимой оси (рис. 75):
Х,(*)
sin prdz
2а
_ / . „ ■КС . „ 712
у sm2 — — sm2 —
2а ""' 2а
б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рис. 76):
Ха (*) = Ч
cos ^-dz
2a
/'
. „ nc . . тез
Sffl225-Sln225
в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси:
Хз (г) = "оА
(62)
(63)
(64)
сложение которых приводит к общему косому циркуляционному обтеканию
указанной решетки пластин.
1 Н. Е. Жуковский, Вихревая теория гребного винта. Статья вторая.
Избр. соч., т. II, стр. 257.
§ 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 259
Применение символов неопределенных интегралов представляет то
удобство, что позволяет сразу найти скорости потоков:
f^srn
2й
1 dz
v«-dH—
dz
V3 = ^ =
J dz
-V Sm~Ta'^m-2a
KZ
qCoS2a-
г 2я 2rt
Hoo-
(65)
Перед корнями поставлены знаки ±, чтобы напомнить известную
особенность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки А
и В с координатами г=±с, в которых подкоренные величины обращаются
в нуль (а скорости в бесконечность), являются точками разветвления
Рис. 76.
М
м'
в плоскости комплексного аргумента. При обходе этих точек по окружностям
бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют свой знак, так
что двум бесконечно близким точкам М п AV, находящимся с ра.-шых сторон
действительной оси на
отрезке АВ, будут соответ- _____ . ^
ствовать одинаковые по
абсолютной величине, но
разные по знаку действи- I
тельные значения корня.
Отсюда следует, что на
отрезке АВ рассматриваемые
корни являются
двузначными функциями, а сам
отрезок—линией разрыва
функции. Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отрезок АВ, как
• разрез" в плоскости г. Тогда точки М и М' окажутся расположенными по
обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет
возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис. 77
показанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости г, как
Рис. 77.
17*
260
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. у
плоскости с бесконечной системой „разрезов" АВ, А'В' и т. д., позволяет
считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначной
функцией, но при этом сама плоскость г становится многосвязной, вернее
сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает
пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.
Формулы (65) позволяют составить полное впечатление о картине
обтекания рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что прн
замене z на zzt'lna, где л=1, 2,..., формулы (65) не изменяются. Это
говорит о периодичности картины обтекания, причем периодом служит
величина 1а, называемая шагом решетки.
При z = iy тригонометрические функции перейдут в гиперболические от
действительного аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь:
Ui — О, t»i = ■
"-shE
:/"-£ + .»2'
q ch
и2 =
Щ = «с
■ку
V*
■о,
'1а
+ sh2
1а
?з = 0.
(66)
При у -- — ос, согласно сделанному замечанию о знаках перед корнем:
''l«. = 0»
«2» = — <7>
"Зоо = »,»•
"1Л = °.
"аоо = + Ч.
"Зл = "со-
«loo = ^
"2»==0-
V> = 0;
»lco = ^
»2со = °.
^Зсо = 0.
при v =
При 2 = 0 в точке О первый поток имеет скорость, равную нулю
безотносительно к тому, с какой стороны разреза взята точка О; таким образом,
точки О, О', О" будут служить критическими для первого потока.
Критическими точками второю потока будут точки, абсциссы которых
являются корнями уравнения
cos -г— = 0.
2а
т. е. точки С, D п др.
На отрезке АВ действительной оси (— с <; х < + с), как можно
непосредственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скорости
будут направлены вдоль пластинки, но они будут иметь разное направление
сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76). Между пластинками (с<х<2а — с)
действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков
обращаются в пуль, скорости направлены перпендикулярно оси Ох.
Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга, можно получить
различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62)
и (64) получим бесциркуляционный поток (рис. 78), аналогичный ранее
рассмотренному обтеканию единичной пластинки (рис. 71). Складывая чнсЮ
циркуляционный поток (63) с параллельным осн Ох потоком (64), можно
получить поток, показанный на рнс. 79.
§ 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 261
Рис. 78.
Рис. 79.
Рис. 80.
2fi2 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Если сложить все три потока, то можно так подобрать скорость ?'2оо= ±^
чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения)
кромке пластинки скорость была конечной. Для этого, согласно (65),
достаточно удовлетворить условию
тсс . тес
при z = c q cos ^ = vLXJ sin2j.
При выполнении этого равенства, т. е. при
обтекание будет иметь вид, представленный па рис. 80. О силовом воздействии
потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку,
будет сказано далее в связи с применением теоремы Жуковского.
§ 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки и протекание жидкости сквозь отверстие
В предыдущем параграфе уже указывалось, что жидкость не может
обтекать острые кромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости
вызывают физически невозможные бесконечные отрицательные давления; на
самом деле жидкие струи отрываются с острых кромок, создавая сложные
вихревые движения. Простейшая схема безвихревого описания такого рода
движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы
непрерывности поля скоростей и введения в рассмотрение линий разрыва скоростей,
которыми служат сорвавшиеся с острых кромок линии тока.
Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической
монографии „О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г.,
заключается в допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока —
так называемые
свободные линии тока —
уходят на бесконечность,
ограничивая за телом
У-г бесконечную мертвую
' J зону покоящейся
жидкости. Если отвлечься от
влияния объемных сил, то
давление внутри
„мертвой зоны" будет повсюду
одинаковым. Как легко
сообразить, оно будет
одинаковым и на грани-
Ф-0 цах зоны, на „свободных*
линиях тока. Отсюда, по
теореме Бернулли,
примененной к свободным
Рис. 81. линиям тока со стороны
движущейся жидкости,
следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет
постоянную величину. Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О*
где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхности обте»
каемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии
тока (& = 0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока АК' и
ВК", вдоль которых давление равно давлению в „мертвой зоне", а скорости
постоянны. В этом отличие свободной линии тока от твердой стенки,
которая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, как
правило, давлением и скоростью.
§41] ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 263
Гельмгольц указал на простой класс примеров построения таких
отрывных обтеканий со „свободными" линиями тока и „мертвыми зонами".
Рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной
координатой z и комплексным потенциалом х"
|| = F(x)±y^(X)-b (67)
где F (х) — пока произвольная функция комплексного потенциала х-
Пользуясь независимостью производной от направления дифференцирования,
можем написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = const) в виде:
Щ+i^F^YWb^r. (68)
По предыдущему [равенство (39) § 37]:
rf£ _ дх . ду _ _1_
dy. дч д<р V '
откуда
На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться
условие
Предположим теперь, что функция F (у) при некоторых значениях <i=const,
иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительные
значения. Тогда в области значений <р, при которых F2(tf>)>l, правая часть
равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68)
приведется к системе:
^ = F(<f)±y>(<f)-l,
df
(70)
Из второго уравнения этой системы следует, что рассматриваемый
участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох (у = const).
Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не
удовлетворяет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются
„свободными".
Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой /^(^Xl. По (68) будем
иметь:
£ = Fb),
? \ (71)
Эта часть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно,
является свободной линией тока.
Различные функции F(y), удовлетворяющие только что указанным
условиям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Среди них можно выделить
некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод
решения задач нельзя назвать „прямым", так как он не дает возможности
264 ПЛОСКОЕ КЕЗВИХГЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой
метод требует применения метода конформных преобразований.'
Положим, например,
Ух
Эта функция действительна только при &> =- О и <% > 0; кроме того
^(<?) = 1 при 0s;<pg=;l и /^(9)^1 при tpis'l- TIpn <?<0 функция .P(tf)
принимает чисто мнимые значения.
Имеем по (68) при ф = 0 и <р < 0:
что дает х = const, или, в силу произвольности выбора начала отсчета, х = 0,
это — положительная часть оси Оу, в чем легко убедиться, проинтегрировав
второе уравнение при — со<<р<0.
Далее, на той же линии тока при 0<<р:=1, согласно (68), будем иметь:
Из этой системы равенств следует:
х = 2 yV + arc sin (уТ) + УТ М — <?, j' = 0, (72')
где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было:
х = 0, у = 0, ч> = 0.
Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0<ср = 1>4' = 0
представляет отрезок И.6 (рис. 82а) оси Ох между точками А и В с
абсциссами, соответствующими двум значениям корня "jAp при <р=1:
х = ± (2 + arc sin 1) = ± Г2 + -|У
Наконец, в области значений <р==1 будем иметь дифференциальные
уравнения свободных линий тока АК' и ВК":
5'f |Лр д<р ' <р
которые интегрируются в конечном виде и дают
y=JY 1—-i-rfc(, = -arch УТ+ /f Ул^=Т.
Уравнение свободной линии тока будет
_y=_arChT + - j/ Т— 1.
1 По этому поводу см., например, Н. Е. К о ч и п, И. А. К и б е л ь н
Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948,
стр. 312—345, а также монографию Л. И. Седова „Плоские задачи
гидродинамики и аэродинамики". Гостехиздат, 1950, стр. 200—230, где приводятся
и схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных.
§ 411
При
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
-\- оо, так же как и при <р -»• — со, имеем
265
'Ё£ ? + ^^ 1
df) \ду
WP
Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход
с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как
это имело место при безотрывном обтекании.
Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки
шириной 4 + гс набегающим на нее нормальным потоком, имеющим скорость на
а)
Рис. 82.
бесконечности, равную единице (рис. 82 а). Легко найти полную силу
давлений жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке
пластинки АВ действует давление р, которое по теореме Бернулли равно
(примем р = 1):
р = const g—=Рсо + -2 — >
со стороны „мертвой зоны" давление равно р0, причем
Ро
( i 1 1^12\
Разность давлений, действующих на элемент их с обеих сторон
пластинки, будет, согласно (72),
Р-Ра,^
1 \V\*
\Yv ' ч I
2 2 \ У> V у )
Элемент длины пластинки dx по (72) равен
266 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДНИЖКНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ.
так что элементарная результирующая сила давлений будет:
IT " »
' н /тг; _ - + /izti „ - /q „.
V'f r V V <t r <? J ■?
Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Оу, найдем
полную силу давления в виде
^2//"V^=;
Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме:
Я = С.Ц2?.6.1,
где С — коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, Коо — величина
скорости на бесконечности, Ь — характерный размер обтекаемого тела в
плоскости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае);
единица, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила
сопротивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном
к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы,
получим уравнение для определения С:
Я = я = С.Ц^.(4 + г.),
откуда найдем:
C = j^-=0,88,
так что в общем случае обтекания пластинки ширины 6 жидкостью с
плотностью р при скорости набегающего потока Va> будем иметь формулу
сопротивления
r.oV2 Ъ
* = -Гг|- = 0,44РО.
Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение
сопротивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления
по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта
лежит в неучете вихревых явлений в „мертвой зоне" (рис. 82 в),
уменьшающих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым
увеличивающих сопротивление.
Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинки
с непрерывным (55), имеющим комплексный потенциал
X (г) = < Уг2 — с"-,
то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей координат
непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях
пластинки (рис. 82 б) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределение
§ 41]
ПЛОСКОЕ ДНИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
267
давлений, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравненнс
картин обтекания (рис. 82 а и б) со схемой действительного обтекания
(рис. 82 в) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает
более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала.
Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с
кинематической стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид
линий тока и распределение скоростей вне .мертвой зоны" обычно
получаются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые же характеристики,
зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения,
получаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это заключение еще
одним характерным примером.
Рассмотрим функцию
F (х) = е-'/- = е-(? + '4<) = е~* (cos ф — i sin i),
сохраняющую действительное значение при ij/ = 0 н f = и н имеющую чисто
шшмое значение при <Ь = -=-.
Составляя вновь основное дифференциальное уравнение (68)
~ = d^ + i^- = e-f(cos <l> - i sin i) + Ve-^ (cos 26—/ sin 2ф),
будем иметь для линии тока ф =-—:
d<f d-f
эчо—линия х = const, которую выбором положения осей координат можно
принять за ось Оу (х = 0). Вдоль этой линии скорость не остается
постоянной: при <р = —со скорость равна нулю, при «р == 4~°°—-единице;
следовательно, линия тока ф = -я— не „свободная".
Линии тока ф = 0 соответствует дифференциальное уравнение
Если 9 = 0, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнение
(73) приводится к системе двух уравнений:
|£ = е-* -f Ve-f-l,
Of
Интегрируя, найдем:
х = — а — в—? — Уе~^ — 1 - arc tg Ye~^ — 1,
3» = const = 0,
где а неопределенная константа интегрирования, а линия тока у = const
выбрана за ось х. Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым
Участком линии тока ф = 0. Для этого заметим, что:
при sp = — со, х = — со;
при !f = 0, X = — а — 1
268
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Это означает, что отрезок линии тока ф = 0, соответствующий <р 1= О,
представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем пока
можно только утверждать, что —(а + 1)<0< так как в противном случае
тс
линия тока ф = 0 пересеклась бы с линией тока ф = -я- •
-•— в
ГЯк-оо ММНШНЯ^—
Рис. 83.
При <p=iO уравнение
свободной струи:
(73) дает систему дифференциальных уравнений
-2<р
Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода
предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем:
х = — а ■
\-V\-
,—2<р
>=У1_е-**+1 log
2 l + l^i-е-*»
Кривая ВК' выходит нз точки B[<f> = 0, х =— (а -)- 1)] по касательной
к оси Ох и опускается вниз, стремясь при ip = -foo к асимптоте х = —в,
причем по условию непересекаемости линий тока а > 0. Аналогично ведет
себя н свободная линия тока Ф = я, являющаяся зеркальным отображением
линии Ф = 0 в оси Оу (рис. 83 а).
§ 42] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 269
Чтобы найти положительную постоянную а, заметим, что расход через
полное сечение струи, по определению функции тока [формула (28), § 27],
будет равен л; с другой стороны, при удалении от выходного отверстия
в сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со
скоростью, равной единице; отсюда следует
я = 2а-1, а = -п •
Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание
жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ
ширины 2(a-f-I) = 2(-5- + lj. Как видно из рисунка, струя при выходе из
отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струн равен
1а л
2(а + 1) п + 2'
= 0,611.
Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым
значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струн в
воздух. На рис. 83 6 приведена для сравнения другая теоретическая картина
вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного
потенциала, который легко получить из (57), если поменять местами линии
тока и изопотенциальиые линии; для этого, как известно, достаточно
заменить х на iX-
Будем иметь для отверстия с полушириной, равной единице,
X = * arc sin z.
Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А и В,
в отличие от разрывного вытекания, скорости обращаются в бесконечность
а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно.
При одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество
разрывного течения, почти точно отражающего действительную картину истечения.
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной
несжимаемой жидкости. Применение метода конформных
отображений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней
кромки профиля. Формула циркуляции
В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача
плоского движения. По заданному комплексному потенциалу
определялась форма линий тока, часть которых принималась за контуры
обтекаемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец,
в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую
роль „свободных" линий тока, сорвавшихся с острых кромок
обтекаемых тел. Такая задача определения формы обтекаемого тела по
заданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа
«обратной" задачей.
Гораздо большее значение имеет прямая задача разыскания
плоского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной
задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений
Лапласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей и функция тока,
270 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
или заменяющих эти уравнения интегральных уравнений и 2)
применение методов конформных отображений. Второй метод, как
практически наиболее простой, получил в последнее время широкое
распространение. Основная идея метода заключается в следующем. Желая
определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы
в физической плоскости комплексного переменного z, производят
конформное отображение течения на вспомогательную плоскость
комплексного переменного С при помощи некоторой аналитической функции
*=/(С),
(74)
причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости С
проще, чем в плоскости z, и комплексный его потенциал х* (0 уже
известен.
Искомый комплексный потенциал у_{г) течения в физической
плоскости z находится как результат исключения вспомогательного
переменного С из системы равенств:
х = х[/(С)] = х*(9,
* = /(9,
(75)
причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда
и приводит к равенству
в других случаях
ш винтовой профиль
б) крылодои профиль
$) Турбинный, реактивный профит
г> Турбинный актидный профиль
оказывается проще пользоваться параметрическим
определением ■% (г) при помощи системы
(75). В последнем случае сопряженная
скорость V определится в результате
исключения С из системы равенств:
-_dx_<ty*_ й\ х«'(С> )
dz Л " dz f (С) ' [ (7б)
Наконец
Рис. 84.
колес в, г и направляющих
в некоторых особо
сложных случаях приходится для упрощения
решетки прибегать к нескольким
вспомогательным плоскостям.
Остановимся подробнее на наиболее
важной для дальнейшего задаче
внешнего обтекания замкнутого гладкого
контура с одной или двумя угловыми
точками. Такого типа контуры (рис. 84)
используются как профили винта а и
крыла б самолета, лопаток рабочих
аппаратов турбомашин и др.
Набегающий поток зададим вектором скорости на бесконечности.
§ 42] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 271
В этом конкретном случае будем предполагать, что аналитическая
функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению
к контуру С (рис. 85) части плоскости z, включая и „бесконечно
удаленную точку" z — оо, на внешнюю, по отношению к контуру С*
круга радиуса а, часть плоскости С также со включением точки С = оо.
Для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным,
необходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка
! с
— i»
0
Физическая плоскость
Рис. 85.
Вспомогательная плоскость
z = оо переходила в бесконечно удаленную точку С = оо и чтобы
в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например,
направление скорости на бесконечности Vm:
при С -> оо, z -> оо, arg vlo = arg V».
Замечая, что по первому равенству (76)
= № =(^ 1 ~* 1
V*
■== V«
W*^, WWo (dzldQa
где под комплексной величиной m здесь и в дальнейшем будем
понимать коэффициент конформного преобразования
dz_
заключим, что условие
С = arg vC = в» = arg Ум
эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного
преобразования в бесконечно удаленной точке т<х> был действительной и
положительной величиной
т.
и> следовательно,
= /' (оо) > О,
V»| = т,Л -\VM\,
т^=;
272 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости С известен
и будет равен, по (46) и (48):
X*(C) = KC+^f + £lnC =
-«„(VcoC+Kc^ + ^lnC, (77)
где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция;
одну из постоянных (коэффициент преобразования т^ или радиус
круга а) можно задавать совершенно произвольно, например,
полагать равной единице.
Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С
свелось к исключению параметра С из системы уравнений:
x = x*(0 = «»(v«+^) + ginc\ (?8)
*=/(£). |
Докажем, что циркуляция скорости Г по любому замкнутому
контуру Q (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему
крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга
в плоскости С циркуляции Г*. Для этого заметим, что по определению
циркуляции и по (78) можно написать (д. ч.—символ действительной
части):
Г = ф (н dx -\- v dy) = ф du = д. ч. ф d% =
Д. ч. ф -Jr dl = д. ч. ф й?х* = Г
f!» ?7*
5*
Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является
характерной для данного течения в двусвязной области и может (см. § 35)
рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области
плоскости z вне контура С. При конформном отображении этой
двусвязной области на плоскость С циклическая постоянная сохраняет
свое значение.
Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании
профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на
бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от
выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической
теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса.
Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности,
налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное
множество форм обтекания кругового цилиндра с различным
расположением критических точек (типичные обтекания показаны на рис. 68).
Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой
{^ 42] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 273
а)
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлении
скорости на бесконечности теоретически возможны три указанные на
рис. 86 типа обтекания. В случае а, так же как и в случае в,
жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на
другую: с верхней на нижнюю в случае вис нижней на верхнюю в
случае а. При этом на острой кромке должны образовываться либо
бесконечно большие скорости, что приводит к физически
невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить
срывы потока с поверхности профиля и
вихреобразования. Среди трех указанных
возможных форм обтекания только одна
форма „б" приводит к плавному
стенанию струй жидкости с задней острой
кромки крыла с конечной скоростью
в этой угловой точке В. Естественно,
встают вопросы: осуществляется ли такая
форма обтекания в действительности,
устойчива ли она и сохраняется ли при
достаточно широком диапазоне углов
атаки. На эти важные вопросы впервые
ответил С. А. Чаплыгин, выдвинувший
в конце 1909 г. в дискуссии по докладу
Н. Е. Жуковского новый постулат,
получивший широкое применение под именем
постулата Жуковского — Чаплыгина.
Согласно этому, в настоящее время
хорошо проверенному на опыте постулату,
для каждого крылового профиля с острой задней кромкой
существует более или менее широкий диапазон углов атака, при
котором профиль обтекается без отрыва струй, с конечной
скоростью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые, лопаточные
и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в
дальнейшем называть хорошо обтекаемыми, остальные — „плохо
обтекаемыми". Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто
геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что
на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но
и от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля
других тел и т. п. Профиль „хорошо обтекаемый" при одних условиях
может стать „плохо обтекаемым"—при других. В дальнейшем, говоря
об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это
обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках
поверхности тела.
Принятие постулата Жуковского—Чаплыгина позволяет однозначно
"Определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к
безотрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой
кромке.
Рис. 86.
18 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
274 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению
конформного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87)
области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу С*
часть вспомогательной плоскости С Пусть угловой точке В на
профиле С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С*.
Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них
нарушается основное свойство конформного
преобразования—сохранение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на
задней кромке, равный 2тг — 8, где 8—острый угол задней кромки,
переходит в плоскости С в неравный ему угол тг с вершиной в точке В*.
Рис. 87.
Легко составить аналитическое выражение функции, совершающей такое
отображение, в областях, близких к особым точкам В и В* в
плоскостях z и С. Покажем, что это будет функция
z-zB = M(<,— Св,)~ (79)
где zB и Св* — комплексные координаты точек В и В*,
М—некоторое действительное число.
Для этого проведем вокруг точек В и В* окружности
произвольных малых радиусов г и г* и обозначим через р и |3* углы,
образованные этими радиусами с осями х и %. Тогда предыдущее равенство
перейдет в такое:
гег$ — Mr* к с к
Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что,
действительно, изменению ,3* на к соответствует изменение р на
2тс — 8.
§ 42] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 275
Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить
связь между скоростями в точках В и В*. По ранее выведенным
формулам получим:
*В* " В "~^Д* ^~"\В*
или, вычисляя производную по (79),
V* = Vb ■ ^^ М • (С - Св.), _ "г •
Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость VB должна быть конечна,
последний же сомножитель, поскольку 8<7г, обращается в нуль;
следовательно, исе произведение равно нулю. Отсюда вытекает
важное заключение: если задняя острая кромка является точкой
плавного стекания струй с конечной скоростью, то соответствующая
задней кромке точка круга во вспомогательной плоскости должна
быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (77),
напишем, что скорость в точке В* равна нулю:
17 fdy*\ 17 mooV Г 1
Полагая здесь:
Св* = аеи«,
где s0—полярный угол точки В*, а — радиус круга С*, бо, — угол,
образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или 0*1,
получим
откуда найдем
Г = — 4таш
I (9со—е0) __ — i Фоа — Щ
со , 2.
иди, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г = 4шт^ | Ко | sin (e0 — вю). (80)
Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. 87,
^оа > s0, так как направление скорости на бесконечности параллельно
линии, соединяющей критические точки А* и В*; в этом случае
^0, т. е. наложенная циркуляция должна соответствовать вихрю,
18*
'276 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. у
вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя,
смотрящего на чертеж.
Введем обозначение
боо — е0 — а
и перепишем формулу (80) в виде:
Г =— 47Г07ЙСО | Voo | sin a. (81)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы
и без наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка оказалась точкой
плавного схода струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой
прямой КК (рис. 88а) направление скорости на бесконечности,
соответствующее этому бесциркуляционному безотрывному обтеканию.
Жестко связанную с профилем
—^S— ^T7-/////////////v//77T~^ я прямую КК будем называть на-
_ К J,f^^^M^^^^P7Trrnm правлением бесциркуляционного
щш^^ & обтекания, а соответствующее
«^1^ значение угла 800 = 80—углом
Ф бвшиттиоте оВтенаше бесциркуляционного обтекания
профиля.
Повернув профиль на угол а
(рис. 88 б), получим вновь
безотрывное, но уже циркуляционное
обтекание с циркуляцией,
определяемой равенством (81).
6) циошяционное обтекание " 0стрЬ1Й УГ0Л а "еждУ напРа*
влением скорости набегающего по-
Рис. 88. тока и направлением
бесциркуляционного обтекания КК будем
в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от
других общепринятых практических углов атаки, определяемых как
углы между направлением скорости на бесконечности и „хордами"
крыла, задаваемыми разнообразными способами.
Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая
давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того,
чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы
эти станут тождественными, если заметить, что направление
бесциркуляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой
пластинки, а теоретический угол атаки а равен углу Ьт скорости
на бесконечности с осью Ох. В этом случае, производя отображение
пластинки длины 1с на круг радиуса а, убедимся, что произведе-
1
ние а/йда равно -к с.
Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных
отображений, выведем общие выражения главного вектора и момента сия
давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 277
§ 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы
Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной
жидкости на помещенный в него крыловой профиль является
заслугой великого русского ученого Н. Е. Жуковского, опубликовавшего
свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. в
классическом мемуаре „О присоединенных вихрях". : Н. Е. Жуковский
первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны
потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности
между этой силой и интенсивностью вихря, „присоединенного" к
обтекаемому телу.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи
об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и
тот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости
набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным
множеством образов. Все зависит от величины циркуляции скорости,
вычисленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль.
Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения
в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна
быть равна этой циркуляции, представляла долгое время
неразрешимую задачу.
Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием
трения (вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось
ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением,
частицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности
профиля, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко
проявляется неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревым,
причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так
как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на
поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на
бесконечности на внешней границе слоя. Так, например, на крыле самолета
максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких
сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла
и на внешней границе пограничного слоя достигает величины 100—200 л
в секунду.
При таких значительных неоднородностях скоростного поля
суммарная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и
циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло,
может достигать больших значений.
Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения,
естественно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на
тело безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории
идеального безвихревого потока, определить величину воздействия
См. Избр. соч., т. II, стр. 97.
278 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому,
контур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри
нее происходит движение жидкости с „особенностью"—вихрем,
имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей,
которые образовались бы на самом деле в тонком слое на
поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь
Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому
твердому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то же,
циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль,
могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета
движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи
некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания
тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем
параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный
постулат конечности скорости на задней острой кромке крыла,
позволивший определить величину „наложенной" циркуляции, или, что то
же, интенсивность „присоединенного вихря".
Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жу»
ковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь и постулат
конечности скорости
на задней кромке
крыла — легли в основу
всей современной
теории крыла.
Начнем с
доказательства теоремы
Жуковского о подъемной
силе крыла в пло-
"х скопараллельном
потоке. Предлагаемое
ниже векторное
доказательство теоремы
Жуковского только по
форме отличается от
классического доказа-
Рис. 89. тельства этой теоремы,
данной ее автором. 1
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [§ 23,
формула (38)] к объему жидкости, заключенному между поверхностью
обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от
контура С окружностью круга Сг с центром в точке О и радиусом г.
Пренебрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) § 23,
1 См. предыдущую сноску, а также статью Н. Е. Жуковского „О
контурах поддерживающих поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. II»
стр. 117.
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 279
в силу плоского характера течения, da на ds • 1:
— [рп'ds — Jрп ds — [PV Vnds = 0.
b cr cr
В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества
движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл
представляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого
тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит
искомый главный вектор сил давления жидкости на тело
R = j pn' ds,
где п' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему
жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим
выражение искомой силы R через главный вектор давлений и перенос
количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля
кру
га С/.
R = — j pnds — j ?\Vnds. (82)
По теореме Бернулли
Cr
, pi/2
p = const !—y-,
причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в
случае безвихревого движения одинаковое значение во всей области
течения, а следовательно, и на круге Сг, так что
R = £ |' V% ds — Г PV Vn ds. (82')
cr c„
Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив
V = V00 + V,
где Vco—скорость в бесконечном удалении от профиля, а V —
скорость возмущения, вносимого профилем в однородный
плоскопараллельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением
0т обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что
ее модуль V убывает с ростом расстояния г от начала координат,
вблизи которого помещен профиль, как —. Это предположение
соответствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности
Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например,
окружности Сг длины 2тгг; подробнее о порядке скорости
возмущения будет сказано далее.
280 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'),
получим:
R = ipl4 [nds + p f(V„- V')nds + -ip JVW —
К К br
— pVoo Г Vnds — p f v'Vocds —P Г vV«ds.
<V
По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен
нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии
источников—стоков и несжимаемости жидкости полный расход
жидкости сквозь контур Сг равен нулю:
J" Vnds = 0.
°r
Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов:
( [(У» • V) п — V Voon] ds= f [(V„ • V) n — (VOT • n) V] ds,
которую по известной формуле разложения тройного векторного
произведения можно представить как
f Vra X (n X V) ds,
или, заменяя V на V -f- V,*, = V, что можно сделать, так как при
этом добавится интеграл
f V00X(nXVoo)<fc = V00x(J«dsXV00),
тождественно равный нулю, получим
f VOT X (n X V) ds = Voo X J" n X V ds.
G в„
Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного
вектора сил давления потока на профиль С:
R = pVOT X [ п X V ds + -i p [ V'2n ds — р [ V' V„ ds. (83)
с
Вектор
Г= I nXVrfs
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 281
направлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Гг
на этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и
будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется
равной (рис. 89)
Г = Г V sin (n?V) ds = j Vcos (M) ds = j Vs ds,
о с с
г г г
т. е. циркуляции скорости по контуру Сг или по любому другому
контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом,
первое слагаемое в выражении главного вектора сил R не зависит от
положения контура Сг, остальные два имеют порядок —, так как
подинтегральные функции представляют величины порядка — , а длина
контура интегрирования равна 2тгг. Отсюда при переходе к пределу,
когда окружность Сг удаляется на бесконечность (г —> со), следует
искомая формула
R = pVooXr, (84)
где вектор Г определяется как криволинейный интеграл
Г = [ п X V ds, (85)
Со
взятый по любому контуру С0, охватывающему обтекаемый профиль С,
в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна
циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему
профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил
давления потока на тело:
Я = рУ«,|Г|. (86)
Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости
течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности
в сторону, определяемую векторным произведением (84). Обычно
бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен
вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если
известно направление обхода контура, при котором Г > 0, это
направление условно называют направлением положительной цир-
кУляции, или, короче, „направлением циркуляции" — тогда по общим
'фавилам принятого у нас в курсе „правого винта" легко найти и
сторону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление цир-
кУляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает
с^ева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила R—вверх; это
*е можно получить, если вектор скорости VOT повернуть на 90°
в сторону, противоположную циркуляции.
282 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы
Жуковского, данной самим автором: сила давления нввихревого
потока, текущего со скоростью V^ и обтекающего контур с
циркуляцией Г, выражается формулой:
R = ?V(XY;
направление этой силы мы получим, если вектор VOT повернем на
прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.1
Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского,
заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль
движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела
по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот
важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором
была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части
курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для
любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при
наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их.
Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается
поперечная движению тела сила, которая может быть названа
подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила
обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при
горизонтальном полете.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом
Жуковского— Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить
выражение величины подъемной силы в виде
R = 4каттр | V<x> \2 sin (е0 — 0ОТ) = 4тса»сор | Vco |2 sin а, (87)
впервые указанном Чаплыгиным.
Входящее в эту формулу произведение ат^ зависит от формы
обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец § 42)
для пластинки ат^ = -§- с> и подъемная сила оказывается равной
Я = 2тгрс| Voopsina. (87')
В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается
пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего
потока и синусу угла атаки.
Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной
1 9
силы R к скоростному напору набегающего потока -p-pV^ и длине
хорды. Обычно ось Ох направляют по скорости Voo, тогда подъемная
сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через Y
или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера-
1 См. ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского.
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 283
туре принято обозначать через Су, а коэффициент сопротивления'—
через Сх.
При этом обозначении будем иметь (Ь — хорда):
С.
^?Wm?b
атоа
■ = 8тс —т— sin а.
(88)
или в частном случае пластинки (Ь = 2с):
С„
2u sin а.
(88')
Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых
углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного
схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде
(sin a = а)
С„= 6,28а,
довольно хорошо отражает действительную закономерность:
коэффициент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки,
отсчитанному от бесциркуляционного направления, но коэффициент
пропорциональности 2тг = 6,28
оказывается несколько завышенным. 1,6 г
На рис. 90 представлены для су
сравнения теоретическая
прямая и экспериментальная
кривая Су {а) для симметричного 1,2
профиля с отношением
максимальной толщины к хорде,
равным 9°/0. Как видно из
рисунка, в интервале углов
атаки — 13° < а < 13° (область
отрицательных углов на рисунке
не представлена, но она в силу
симметричности профиля ничем
не отличается от области
положительных углов)
расхождение между теоретическим
коэффициентом подъемной силы
пластинки и экспериментальным д° ю° z0° cc
Для тонкого профиля невелико.
Применять формулы Жуков- Рис 90.
ского и Чаплыгина (86) и (87)
к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае
пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает
непрерывность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке
может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения.
0,4
м
ш
1/
1/
а
eb '"
284 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности
пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный
также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости
на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом,
наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот
парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных
статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край
представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень
малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное
разрежение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей"
силе, уничтожающей сопротивление.*
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу
теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора
и момента сил давления потока на крыло
Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории
функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А.
Чаплыгиным, 2 который по-
у лучил общие формулы
главного вектора и
главного момента сил
давления потока на
крыло.
Рассмотрим
крыловой контур С (рис. 91)
в безвихревом
плоскопараллельном потоке
идеальной
несжимаемой жидкости,
набегающей на профиль со
СКОРОСТЬЮ Vco.
Составим
выражения главного вектора
R и главного момента
Z.0 относительно пер-
Рис. 91. пендикулярной к
плоскости течения оси,
проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли
р = const —Г1 -'-,
1 Подробнее см. цитированные сочинения Н. Е. Жуковского, а также
В. В. Г о л у б е в, Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке. Гос-
техиздат, 1938, стр. 154.
2 С. А. Чаплыгин, О давлении плоскопараллельного потока на
преграждающие тела (к теории аэроплана). Матем. сб., т. XXVIII, 1910.
§ 44]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
285
будем иметь, как и в предыдущем параграфе, выражение главного
вектора:
R = - £ р n ds = |-11 V |2 п ds
и главного момента:
10 = — (£ проек. (г X n) p ds = |- (6 (хпу —упх) | К |2 ds.
Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим,
что (рис. 91):
п = — ieib, ds — dz • e~if>,
xny—упх = д. ч. (izn); (д. ч. — действительная часть)
кроме того, на контуре С можно положить
V=±| V\e*.
Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду:
R = Rm-\-iR,= — £-&\V\*dz,
и=—4гА. ч.
V?e-™zdz.
Заменим в этих формулах
| V\ — rt Ve-« == =t Ve{b;
тогда получим:
R = Rx — iRy = £&\Vp(k = £-§V»dz,
L0 = —4Д- ч- § y^^dz.
(89)
Таковы известные формулы Чаплыгина, выражающие сопряженный
вектор силы и момент сил давления потока на тело.
Вспоминая, что по предыдущему
v dz '
перепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде:
*-£$(£]*.
.dz
г Р
L0= —-й-д. ч.
;(ЙУ**
(90)
286 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
— dy
Сопряженная скорость V = -j=- является голоморфной функцией
переменного z во внешней по отношению к контуру С части
физической плоскости z. Следовательно, интегралы (90) можно вычислять
по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по
окружности круга С Вместе с тем функция V(z) — -^- может быть на
этом контуре С и во всей внешней по отношению к нему области
разложена в ряд по отрицательным степеням г:
^ = §=«0+-? + $+ ..-, (91)
в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженную
скорость на бесконечности:
Я0=(К)г=00=Коо. (91')
Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощи
контурного интегрирования по формулам:
dy
Значения этих коэффициентов зависят от вида функции -^-, т. е.
от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется
коэффициент at; он оказывается равным
а1 = Ш§
т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля.
Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного
профиля зависят лишь от первых трех коэффициентов разложения (91):
а0, ах и а2. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91),
причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые
дают отличные от нуля значения; вспоминая, что
jr dz _j 2ui, при п= 1,
J^"""-! 0, при пф\,
будем иметь:
*^f|(...+^+...)^=-2Wj,
- — *> ч-§
-^ ' № =
= —тгр д. ч. [i (a%-\-2aoas)].
$ 44] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 287
Используя выражения (9Г) и (91") первых двух коэффициентов а0
и flj, получим:
Я = —ipVooT, )
(92)
Z.0 = — 2ир д. ч. (iVcod^. )
В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского.
Величина подъемной силы равна | R ] = р | Voo | Г; множитель (—■ i)
показывает, что направление комплексного вектора R можно получить
поворотом комплексного вектора 1Л» на 90° в сторону,
противоположную „положительному направлению циркуляции". Используя
полученное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь:
#"= 4тгр/иота | К*, \Zie~ibca sin (г0— Ьт) =
= 2ъртооа | Vc f [е* (го-з9оо) - е~% (93)
Что касается выражения момента Lq, to для его вычисления
необходимо знать величину коэффициента а2 в разложении сопряженной
скорости (91). Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы и
момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т. е. все
коэффициенты разложения (91), — достаточно располагать лишь первыми
тремя коэффициентами а0, ах и а2.
Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (§ 40),
представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составим
разложение скорости в ряд по отрицательным степеням z:
V(z) = uO0 — iv0oy —^ = 11^ — Гооо-f— -——+...
Сравнивая это разложение с рядом (91), получим:
Uq = Uqo 11)^ = Vco,
at = civm = ci | Voo | sin a,
a2 = — -j c2iVco = — -g- c2i | Voo | sin a.
Находим по (92):
Rx -f iRy = — i? (йоо -j- iVoo) Г = pVcvT — ipUcoT,
или по (61):
Rx = — 2тгрсг»от, Ry = гтгрсиоог'оо.
Момент LQ по второй из формул (92) будет равен:
£о — — 2тгр д. ч. — у с2*»» • г (««, — гг^) ] =
= — Ttpc^Va, д. ч. (и,» — гг/оо) == — ■Kpe2uaov00.
288 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Переходя от проекций скорости ит, Voo к их выражениям через
модуль скорости и угол атаки 0 = 600, окончательно получим:
Rx = — 2*:pc\Vco\2sin2a,
Ry = 2-крс | VOT |2 sin a cos a,
Lq = — тсрс21 Voo I2 sin a cos a.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно
точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей.
Обозначим через х я у текущие координаты точки на линии действия
равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет
xRy—yRa
-о>
или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные
сокращения:
1
х sin а cos a -j-y sin2 a =
■5- с sin a cos a.
Точка Ц (рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы
с пластинкой называется центром давления. Если привести все силы
давления потока на
пластинку к одной силе
R, то эта сила будет
приложена в центре
давления Ц. Полагая
в последнем уравнении
у = 0, найдем
абсциссу положения центра
давления Ц на
пластинке:
с
Центр давления
потока на пластинку
находится на четвер'
ти ее длины от перед-
ней кромки, причем!
как показывает последняя формула, положение центра давления не
зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки.
Вводя в рассмотрение коэффициент момента
с =■ L°
будем иметь при малых углах атаки (sin a = a, cos a =5=1):
Рис. 92.
Cm = J <*•
§ 45]
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ
289
Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы су = 2it«,
видим, что
ст • С у == 1 • ■*•
Интересно отметить, что это соотношение, обычно выражаемое
аст йСу
через коэффициенты —^- и -~ в виде
И2 ?'Л 1J
dc,, da ' da 4 '
оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки,
но довольно хорошо соответствует опытным данным и для тонких
симметричных профилей. Если принять точку Ц( о">0) заточку,
относительно которой берется главный момент сил давлений, то
момент L„ будет равен нулю.
§ 45. Выражение главного момента сил давления потока
через коэффициенты конформного отображения. Фокус
крыла. Независимость от угла атаки момента
относительно фокуса. Парабола устойчивости
Формулы Жуковского и Чаплыгина позволяют сделать некоторые
общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании
плоскопараллельным потоком крылового профиля произвольной формы. Особенности
формы крылового профиля можно охарактеризовать коэффициентами
разложения функции/(С), преобразующей (рис. 87) контур профиля С
в круг С* [§ 42, формула (74)], в ряд но отрицательным степеням
комплексной переменной С во вспомогательной плоскости. Как сейчас
будет показано, здесь вновь обнаруживается замечательный факт
зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов
разложения, аналогичный тому, как это имело место при
использовании разложения комплексной скорости.
Разложим голоморфную в области вне круга С* отображающую
Функцию z=f(ty в ряд Лорана
*=/© = ««£+«о+^+п£ + •••> Р4)
гДе /йос, т0, тх . ..—некоторые комплексные коэффициенты. Тогда
для сопряженной скорости V будем иметь выражение:
V _. jfy _ d/* . dz __ m™v<* "co^co ^2 + 2r.i' £ _
dz d1^ ' rfC nil 2m2
OToo FT FjT
= ^+2i-T+(S^-fl2^)i+ ••
Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
290 ПЛОСКОЕ БЕЗИИХРКВОК ДВИЖЫШК ЖИДКОС1Й [ГЛ. V
Недостающее для вычисления момента значение коэффициента а%
можно найти контурным интегрированием в плоскости I;
a*—hi§Vzdz--^A
с с*
^-+sfe;T + (^7---eS^+--
х
ХкС+«0 + ^+^+...Ь-^-2^-..-^
Раскрывая в подинтегральном выражении скобки и сохраняя лишь
член с С-1, так как остальные слагаемые после интегрирования
обратятся в нуль, получим:
°2— 2та
1 •" ~^~ ^"^г ~^~ ,п1"1'° v°° ~ т™а1 Ул) т + • • • U- =-=
У 2 ,
— 2ri ^m^^V^ — m^a'Voa,
после чего выражение момента (92) примет вид:
г с\ (ГП0 со I • 772 . 3 2 т г Г7 \
L0 = — 2яр д. ц.[—^ Y-im^m^Vo,— im^a VmVmJ,
или, замечая еще, что тх, а и VjaVOJ=^\VODf действительны,
L0 — — 2яр д. ч. [-^ 1- im^n^V^).
Подставим сюда выражение (80) циркуляции Г, соответствующее
безотрывному обтеканию задней кромки, тогда выражение момента
приведется к виду:
L0 = — 2яр д. ч. [2атхт0 | Voo I U» sin (е0— 0^) -|- Ш^п^. V2m],
или, производя замену:
Ксо = | Vm | • е-*'Ч sin (е0— б») = ±.[е*Ь-^ - е-^-ь--] ]
и собирая вместе члены, содержащие е~
L0 = — 2ттротот | Ут |2 д. ч. i[(m, — ат0ен) е-'т™-j- аот0е_''Е°]. (95)
Таково общее выражение главного момента сил относительно
произвольно выбранного начала координат. Возьмем за центр
моментов другую какую-нибудь точку О' плоскости г с комплексной
координатой г0, и посмотрим, как будут связаны между собою величины L0
и LQ,. По известной формуле статики будем иметь:
■49-
§ 45]
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИИ
291
или. используя комплексные величины:
'-о^О'-ЬД- "•('■*«.£>•
Подставляя сюда выражения LQ по (91) и R но (93), получим,
производя простые преобразования:
=— 2~^т^\ 1/ш|2 • д. ч. i{(/n1— ат0сП:) е-""00 -f- ат0е~1Ь ~[-
-\-azQI \ey> *>> — е ']) ==
= — гтго/Ии-1 Voo |2 д. ч. i {[/«j — а (т0 — z0,) е'°0] е~~2г м -\-
+ a(mQ-~zol)e-^}. (96)
Выберем за центр моментов такую точку О', чтобы выполнялось
равенство
тг — а(т0 — zQ) е% = О
или
zQ,=m0—-fe ', (97)
тогда мо.мент LQ, относительно этой точки будет равен
Lu,~—2тт^а\ V0 |2 д. ч. i(inu— zQI) e",Ej =
= — 2щлпх\ Vc, |2 д. ч. imxe~2U', (96')
т. е. окажется независимым от угла набегания потока 0^,, а
следовательно, и от угла атаки з.
Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О',
обладающая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный
момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называется
фокусом крылового профиля; координаты фокуса определяются
комплексным равенством (97).
Повернем ось Ох так, чтобы ее направление совпало с
направлением бесциркуляционного обтекания или, что все равно, с
направлением нулевой подъемной силы; тогда угол нулевой подъемной
силы £0 обратится в нуль, угол набегания потока 0ОТ станет равным углу
атаки 7 и выражение момента относительно фокуса станет равным
LQ,= гтгрШсо | 1/го |2 Д. Ч. Ш],
а выражение подъемной силы (93) приведется к виду
# = 2ъртсоа | Vm |2 (е~2м — 1).
11'*
292 ПЛОСКОЕ ЁЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Найдем уравнение линии действия равнодействующей сил
давления; для этого, поместив начало координат в фокус О', напишем
очевидное соотношение:
xRy—vRx~L0„
где х, у — координаты текущей точки на линии действия
равнодействующей, a Rx, Ry имеют значения:
Rx = 2т,ртсоа | Vm |2 д. ч. (e~2w — 1)= — 4т:р/и00а | Vco |2 sin2 a,
Ry — — 2яр/ясоа | Voo |" м. ч. (е— а — 1) = Акрт^а \ Vm \" sin а cos a.
Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид:
л;sin «cos a -\-у sin2 a =—д, Ц(-Ек\
При выборе начала координат в фокусе О' и направления оси О'х
по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь:
го, = 0 = «г0— —,
так что уравнение линии действия перепишется окончательно так:
х sin a cos a -j-у sin2 а = ^ д. ч. (ип0) — о.
Найдем огибающую линий действия равнодействующей. Для этого
по общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства
и полученного из него дифференцированием по а равенства
х cos 2а -\-у sin 2а -- 0.
Будем иметь систему равенств:
xsin 2а—у cos 2at = 2S — у;
х cos 2а -\-у sin 2а = 0,
откуда следует
JC2-)->ya==(28— y)i
или
^2= 4S (8—_у).
Огибающая линий действия равнодействующей, соответствующих
разным углам атаки, представляет параболу, названную С. А.
Чаплыгиным параболой устойчивости или параболой метацентров.1
1 С. А. Чаплыгин, К общей теории крыла моноплана. Собр. соч., т. II.
Гостехиздат, 1948, стр. 246—299.
§ 45]
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ
293
Расположение параболы устойчивости относительно профиля показано
на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее
проходит параллельно оси О'х на расстоянии
у = 28 = — д. ч. (да0) = м. ч. т0.
На директриссе находится точка О", с комплексной координатой
zQ„ ■=■ mQ; эта характерная точка профиля, называемая конформным
центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла,
особенно в теории нестационарного движения.
Для построения линии действия равнодействующей нет
необходимости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу
можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных
к лучам, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директрис-
сой. Поэтому, если известно положение фокуса и конформного центра,
то построение линии действия равнодействующей производится без
труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную
бесциркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы
устойчивости; затем из фокуса проводим луч, параллельный
направлению набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец,
перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой. Этот
перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил
давления потока на крыло.
Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена
к одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе.
Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку
крыла, например в точку пересечения линии действия
равнодействующей с линией хорды, называемую центром давления. Центр
давления крыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды,
крыловые профили, у которых положение центра давления не зависит
0т изменения угла атаки,—так называемые профили с постоянным
Центром давления — представляют ряд конструктивных преимуществ.
Примерами могут служить рассмотренная ранее пластинка или близкие
294 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |1'Л. V
к ней симметричные профили, постоянный центр давления у которых
лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом
случае фокус совпадает с центром давления, а парабола превращается
в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю,
то фокус совпадает с постоянным центром давления.
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового
профиля на круг. Преобразование Жуковского—Чаплыгина.
Теоретические крыловые профили
Среди многообразия функций (94), отображающих физическую
плоскость течения г на вспомогательную плоскость С, рассмотрим
некоторые простейшие, преобразующие в круг С* такие замкнутые
контуры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям,
предъявляемым к крыловым профилям.
Рис. 94.
Первое такого рода преобразование было указано Н. Е.
Жуковским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. и имеет вид:
*=4('+т)- (98)
Окружность С* радиуса с в плоскости 1. преобразуется в
плоскости г в отрезок FF' (рис. 94) на оси Ох с концами в точках
(— с, 0) и (-)- с, 0). В самом деле, полагая
С == се{-,
найдем
г = -| {ен -f- е-н) = с cos г,
так что полному обходу окружности (0 :g= s 2S 2 т:) соответствует
двойной обход отрезка FF', справа налево и слева направо. Окруж-
§ 46] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 295
лостям C'i, Cl в плоскости С будут соответствовать в плоскости г
софокусные эллипсы С,, С2 с фокусами Z7 и F'; действительно,
полагая, например, в (98)
г = be", (b > с),
получим
* =4 (**•+£*"")'
откуда следует
•v = T(* + -T-)cose'
1 Л с2 х .
_у = ._(£__jsin e,
£! I =f = 1
Составляя коэффициент конформного отображения
видим, что точки F* и F/s с координатами С = ± с являются особыми,
так как в этих точках /к = 0, и конформность преобразования
нарушается. В самом деле, углу т; в точке F* соответствует угол 2тг
в точке F, в чем легко убедиться, переписывая преобразование (98)
в форме
Ш=(Ш (99)
и производя сравнение аргументов левой и правой частей для г и С,
мало отличающихся от ztc [см. (79) § 42]. Показатель степени
в правой части (99) приводит к удвоению углов, имеющих вершины
в особых точках. В точках А[ и А->, как видно из рис. 94, конформность
но нарушается.
Основная идея построения теоретических профилей Жуковского-
Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости С круг К*,
нентр которого несколько смещен влево так, чтобы круг К*
соприкасался с кругами С" и С{ в точках на оси О;. В силу непрерывности
преобразования легко сообразить, что кругу К* в плоскости С,
распложенному з кольце между кругами С и Ci, будет соответствовать
некоторый замкнутый контур К в плоскости г, расположенный
н области между эллипсом Сх и отрезком FF'. При этом в точке F
контур К. будет иметь острую кромку с нулевым внутренним углом
и внешним углом, равным 2т:. Симметричный контур К с задней
"строй кромкой, известный под названием „руля Жуковского", имеет
°°текаемую форму и представляет первый пример крыловых профилей
296 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Жуковского—Чаплыгина. Проводя другие окружности со смещенными
относительно начала координат О* центрами, причем такие, чтобы
Рис. 95.
всегда по крайней мере одна их точк;) совпадала с особой точкой F*,
получим всевозможные профили Жуковского—Чаплыгина.
Вместо (98) и (99) иногда рассматривают преобразования:
г^+±,
(98')
§ 46] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 297
отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом 1/2; так,
преобразования (98') и (99') переводят основной круг С* в отрезок
на оси Ох, в два раза больший чем диаметр круга.
Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей
Жуковского—Чаплыгина,г приводим на рис. 95 различные типы
профилей. Если центр круга К\ находится в точке Nx оси ОХ, то
в плоскости z получим „руль Жуковского" Кх (показанный на рисунке
пунктиром). Круг С* переходит в отрезок FF' (круг С* и отрезок FF'
показаны пунктиром), служащий „скелетом" руля Жуковского в том
смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур
его К\ будет стягиваться к отрезку FF'.
Поместив центр круга Kl в точку N0 на оси О), получим в
плоскости z круговую дужку К0, опирающуюся в концы отрезка FF'.
В самом деле, соединяя точку М окружности Ко отрезком
0*М —- г с началом координат О* и обозначая полярный угол через v,
будем иметь:
С == re"
и, согласно (98),
'=К-+хМ(~"+
е-гч
Сравнивая в этом равенстве действительные и мнимые части,
получим:
Х==-2\Г + — JC0SV' -У = ^(/— Jsinv.
Исключая из этих двух равенств г, найдем, что
л;2 sin2 v -—_у2 cos2 v = с2 sin2 v cos2 v. (*)
С другой стороны, соединив точку М с центром Л/„ круга К0
радиусом <70, получим
Лр?2 = 0*Ма -\- 0*N о — 20*М • О*лГ0sin v,
или, как видно из чертежа (8 —угол между линией центров Л/0, Л/
смещенных окружностей и осью 0*1),
откуда следует
cossp
Чу г^—С1
г2 + с2 tg2 8 — 2cr tg 8 sin ->,
= 2с ■ tg 6 sin v,
cos2 v = ] —
—r ,иь c.tgr
' См. Кибель, Кочпл и Розе, Курс теоретической гидромеханики,
''• I. 194S, стр. 278—288; „Аэродинамика", под ред. Дюрэнда, т. И. Обо-
РОигиз, 1939, стр. 92.
298 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Подставляя эти величинт.! в равенство (*), после простых
приведений получим уравнение круга:
*2 + {У + с ■ ctg 2Й)а = с* ■ esc2 23,
с цеп гром в точке (0, — с ctg 2,3) и радиусом с esc 2В, что и
доказывает ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга
х =---■ 0, найдем стрелку прогиба 8 дужки (рис. 95, снизу):
о = с • t(
■R
Отношение стрелки прогиба о к хорде FF' = 2с определяет
погнутость дужки
или. пои малых р,
Наконец, круг К* с центром и любой точке N плоское!и 'С,
проходящий через особую точку F*, переходит в изогнутый профиль
Жуковского—Чаплыгина К. Дужка К0 служит скелетом для
профиля К, так же как отрезок FF' — для руля Kv Вогнутость дужки Кй
представляет вместе с тем и вогнутость профиля К. Если, сохраняя
погнутость профиля К, уменьшать его толщину, то профиль будет
смигиваться к своему „скелет,-" — дужке А'0.
Рассмотрим теперь задачу об обтекании профиля К потоком со
скоростью Vaj, направленной под углом 'Ь, к оси Ох. Проведем
во вспомогательной плоскости -. оси N1,' и A'Vj' с началом в центре
смещенного круга N. Плоскость комплексного переменного '(,' — \' -\- щ'
повернута относительно плоскости С на угол —3, так что, положив
приходим к соответствию между плоскостями С и С" с параллельными
осями координат:
Таким образом,
1
г~ 2
откуда
(: + 4) =
... 1 г
" 2 ч
, сравнивая
т :J —
", = с —
получим:
if/
■Л.1
i 9
с (94)
1
2 '
т.
-аё-хг-
(с — ае~
, найдем
1 ,
'"о = f (
1
~ ~~~ 2
ас '■' ■ }-
s* / :
">-Ц
с — ае'
с2 (с —
--- •
с —
с2
1"
Л
ас~
Г-
ае~<? -i
1 с-
2
"'i -
-l"
(с
1
" 2
\
-1 =
/
— ае
1"-
С2-,
-i?j
+
§ 4()'| ЧЛСП1Ы12 СЛУЧАЙ КОНФОРМНОГО ОГОБ1»\Ж1'.11ИЯ 299
Согласно («0), будем иметь (з0 = —13):
Г = — 2-й | У,л„ | sin (S + М,
а следовательно, подъемная сила будет равна:
! R I = р | V0 | ■ | Г | = 2щм | Va, |8 sin (,3 + ()со).
Направление бесциркуляционного обтекания найдем, положив
| U | = 0; будем иметь (0^)бц--,--р.
Коэффициент подъемной силы можно получить, если задаться
каким-нибудь характерным размером крыла, через который
выразилась бы величина а. Так, если обозначить расстояние Ы0Ы через Л,
то легко найти:
(а — Д) cos ,3 = с. а = ——г- -4- А;
v ' * - cos р ' '
3 и Д обычно очень малые величины: первая характеризует
вогнутость профиля К и просто связана со стрелой прогиба дужки К0,
вторая зависит от толщины профиля.
Примем условно за хорду профиля К отрезок FF' длиной 2с,
стягивающий скелет профиля К0- Тогда для коэффициента
подъемной силы получим выражение:
. ^,-Ш—.«г^-Ц^-^.вт^ + в,,),
2
или, принимая ,л — и угол атаки О^ малыми, будем иметь:
c„ = 2*0 + 6^;
при 3 = 0, Д = 0 пол} чим известный уже результат для пластинки.
Фокус слабо изогнутого тонкого крыла расположен в
непосредственной близости фокуса пластинки, т. е. на четверти длины FF'
от точки F'. Действительно, по (97) при малых р и Д:
г0, = /и0 — -Л с ь' = -2"(с —ае-'-)—-^—е^ =
— -g- [с — (с 4- A) (cos р — / sin 3)] — -1 (с — Д) (cos'3 -f- г sin p) =
= l[c_(c + A)(l_/p)]_I(t —A)(l4-iP) =
,-—— с-|-вел. 2-го пор. малости.
300 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Независящий от угла атаки постоянный момент L0' относительно
фокуса О' равен по (96'):
L0, = — 2тгр Отоо | Кет |2 д. ч. im^e-^o =
= — 2пр ■ 11 Vm 12 • -Iс2 д. ч. is»? =
= I Tip • | Veo | 2 С2 Sill2 2P = Up | Veo | » С2?,
а коэффициент момента относительно фокуса —
, ^ _ V ^ Л g
У симметричного профиля (руля Жуковского) {3 = 0, и фокус
является постоянным центром давления. Результат этот позволяет
пользоваться симметричным профилем как удобной формой для рулей.
При этом ось вращения руля проводят через постоянный центр
давления О', что дает сравнительно малые вращательные моменты.
Преобразование (99) или (99') приводит всегда, как было
показано, к крыловым профилям с нулевым углом на задней кромке.
Такая кромка недостаточно прочна и при фактическом выполнении
профилей приходится несколько утолщать кромки. Чтобы избежать
этого недостатка, можно пользоваться обобщенными профилями
Жуковского — Чаплыгина, соответствующими обобщенному
преобразованию [при о = 2 это преобразование сводится к обычному
преобразованию Жуковского — Чаплыгина (99')]:
(Z— с
г 4- ос
(г+-с)'' 0==2-^ (100>
Выясним геометрический смысл параметра т. Вблизи точек С = с и
г = ас положим:
г = <зс-\-геи;
тогда с точностью до малых высших порядков получим
Ле«. = (1Л ~~./e*(2-f)
2ас ° \2с)
откуда следует:
« = «*(2-Й-
Углу г:,: = т: в точке С = с соответствует угол г = 2к — т вблизи
2—ос. Отсюда вытекает, что круг, проходящий в плоскости г, через
§ 47] ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ 301
точку С = с, преобразуется в плоскости z в профиль с углом на
задней кромке, равным т. Пример такого профиля показан на рис. 96.
Не останавливаясь на выводе,1 заметим, что наклон кривой су(а)
У
1
<""~ °
^^
f T
Рис. 96.
у обобщенных профилей несколько больше, чем у обычных профилей
Жуковского— Чаплыгина, т. е. 2тс, а именно
Отношение моментов относительно фокуса для обобщенного
профиля и обычного равно 1—^-.
§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки
произвольной формы (теория тонкого крыла)
Для оценочных расчетов крыловых профилей авиационного типа,
имеющих, как правило, сравнительно малую относительную толщину
и вогнутость, допустимо заменять эти профили дужкой, уравнение
которой
y = F(x)
можно, например, получить, строя полусумму ординат у1 = F, (х) и
-Уг = ^2 0*0 верхней и нижней поверхностей заданного крылового
профиля
У = J Oi + Л) = ■§■ [Fi (*) + ^ (*)!•
Задача об обтекании дужки малой вогнутости потоком,
набегающим на дужку под небольшим углом атаки, может быть сравнительно
легко разрешена для любой заданной формы дужки.
Рассмотрим обтекание дужки К, опирающейся своими концами на
отрезок АВ длины 2с оси Ох, потоком со скоростью Voc, образующей
1 См. „Аэродинамика", под ред. Дюрэнда, т. И. Оборонгиз, 1939,
стр. 94-98.
302 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВ01-: ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
с осью Ох угол loo. Сравним поставленную задачу с ранее
разрешенной в § 40 задачей об аналогичном обтекании пластинки АВ
(рис. 92), причем и в том и в другом случае будем предполагать,
что задняя кромка В с координатой z---c обтекается безотрывно.
В случае пластинки, согласно формуле (60'), такого рода обтекание
будет происходить с сопряженной скоростью
— /'г —
V=Uco — iv-„у —
с
причем на самой пластинке (у —- 0, ■ - с ~ х _-._ —- с) сопряженная
скорость будет иметь проекции:
Г С -г А
U — U г, ~±~- "V0, V —; • V = 0,
ТС -f A
где верхний знак относится к верхней поверхности пластинки, а
нижний — к нижней.
Разобьем, как уже это делалось ранее, иектор скорости V на
вектор скорости плосг.опараллелы;оп> по гика VlC и вектор скорости
возмущений V*. Тогда в случае обтекании пластинки будем иметь:
tr — и — и о -- '■ v.. U , |
F '-r-v v (101)
?>'■- = г>- 1", ^--z^.. |
Рассматривая об (екание д1 жки А.', можно утверждать, что
проекция Vn полной скорости V па норм-мь к дужке должна быть равна
нулю вдоль дужки, так' как лужка яь,,;ь. ю; лпнио! гока; таким образом,
получим
0= V f,-f V'v.
или, вводя угол 0 м.'жду касательной к дужке и осью х,
Vn = - ■ К0„ = — [//_^ cos (П, л-) 4- -у ., cos (п, _v)j —-
— -- (- - »,. sin 'J -4- исо cos ')) = n0, sin 0 — -Vcr cos 0.
Будем предполагать, что угол 0 вдоль всей дужки весьма мал,
так что
sin 6 = tg 0 =-= F\x). cos 0 = 1;
кроме того, в силу малости ординат дужки, будем считать граничное
условие Vn — 0 выполненным не на дужке, а на хорде АВ. Тогда
предыдущее выражение нормальной к дужке компоненты скорости
приведется к следующему граничному условию:
при —c-j-x^-j-c, j' = 0, )
§ 47i ЗАДАЧА OR ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ 303
Таким образом, задача об обтекании слабо изогнутой дужки
приводится к задаче разыскания возмущенной скорости V-- по гранитному
условию (102) для проекции ее на ось Оу и к очевидному условию
V* —> 0 при х —> со и у —» со или, в комплексном виде, к
разысканию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции V*(z),
мнимая часть которой на отрезке действительной оси (—с<,^:;3с)
удовлетворяет заданному условию
м. ч. V* = vJO — tt„F'(x), (103)
или, что псе равно, условию (102).
Условия (103) на пластинке соответствуют наличию ня отрезке АВ
вихрево?о слоя с интенсивностью (§ 40)
Т (х) гг-. и_ (х) — и; (л-) = — 2г.., \/ —^ ,
иричом по основному свойству вихревого слоя:
и+ (.v) = — «^ (х). z^ (х) г~ г»' (х) 7— у' (х) —- — ул,
Мадача об обтекании дужки А.' является обобщением задачи об
обтекании пластинки АВ. 6 случае обтекания дужки .можно нред-
сг:и1П1, себе па отрезке .-1/? вновь некоторый вихревой слой, но уже
с неизвестной интенсивностью у [х] к нормально!! составляющей
скорости, заданно;'] равенством (102), превращающимся ш) второе
равенство (101) при F (х) = '■).
''■'ссматривая отрезок АП к \к зихроюй l.tj;), будем иметь, как
и в случае пласчшки, следующие соотношения между касательными
и нормальными компонентами скорости возмущения жидкости вихревым
слоем сверху и снизу слоя:
"+ (А') ="--'' - "_ (х), v+ (х) = lt\_ (-v.) = v' (x). (104)
И настоящее время еут.естяуст несколько методов решения
поставленной задачи. Можно было бы составить общее выражение
сопряженной скорости потока, индуцированной вихревым слоем неизвестной
интенсивности f (х):
77* __ J__ Г Т (-у') dx!
' ' 2ra J z — x' '
—с-
'•'•> совершив предельный переход z —■ х в некоторую точку М (х)
С-[()Я, написать условие равенства мнимой части этого предельного
?чачения скорости заданной функции v* (х), согласно (102).
Такой путь решения задачи привел бы к необходимости решать от-
косительно неизвестной интенсивности у (х) сингулярное интегральное
304 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
уравнение первого рода
—с
Уравнение это будет иметь единственное решение, если
потребовать дополнительно, чтобы i (с) = 0, т. е. чтобы задняя кромка
пластинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью.
Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено
несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея
в виду, что после разыскания функции i(x) необходимо производить
еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно
обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить
скорость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после
этого при желании легко найдена как разность касательных
скоростей на нижней и верхней границах слоя).
Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан
Л. И. Седовым.г
Представим искомую сопряженную скорость возмущенного
движения как произведение
*--У"Щпъ (105>
где /(г) — ограниченная голоморфная вне отрезка АВ и исчезающая
на бесконечности функция; при таком выборе вида функции V* будут
выполняться условия: V* (с) = 0, V(c) = uoa безотрывного обтекания
задней кромки (г = с). На передней кромке (z —— с) скорость
в общем случае обращается в бесконечность.
По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное
представление функции /(г) через ее значения на контуре:
где L — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками,
выделяющими точки разветвления А и В подинтегральной функции
причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс
и считать
1 См. Л. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости.
Оборонгиз, 1939, стр. 37—40; подробный анализ решения Л. И. Седова
приведен также в курсе Кибель, Кочин и Розе, Теоретическая
гидромеханика, ч. 1, Гостехиздат, 1948, стр. 288—296.
«5 47) ЗАДАЧА ОБ ОСТЕКАНИИ СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ 305
на нижней половине разреза
/ (Q = - ]/~тЫ ["- © - ™- (01 = '• }/"'-=т [«I © -''«!(«)];
тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем
привести равенство (105) к виду:
—с
представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной
скорости. Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что в силу
малости угла bm можно положить:
«со = | Voo |, »co = | Voc | • боо,
окончательно получим:
7(г) = 1/co-f 7*(г) =
_ р._Щ/izi Г "?-'. /1±^, (108)
—с
Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить
главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку.
Для этого следует лишь произвести разложения в ряд по
отрицательным степеням выражений:
1/л1Е1==1//"1ЕЖ=Г1_^.+ Y'*^ i_£_i_
V z + c V l+e/z V г'"'] i z^'--'
1 1 1?
s — z z(l—i/z) z z2
и, подставив их в (108), сравнить результат подстановки с
разложением сопряженной скорости (91) § 44. Таким образом, найдем
значения основных коэффициентов разложения:
а0 = Ус°,
V,
^ / iFft-lU^^di,
+0
20 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
306
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
а следовательно, и общие выражения главного вектора и главного
момента
+с
/?. = - 2ъ?с | Voo г <4 4 Ь1 v^ I2 ^ J /=■' (5) j/ ^1 л,
+ 0
+c
(109)
L0 = — тгрсз | V» |2 9^ + 2P | Уот |" J Г (?) yc* — Pdl
В случае пластинки F'(£)==0, и равенства (109) приводят к
известным уже формулам (с точностью до Ь^ в первой степени):
RX = Q, /г„ = 2теРс | К», |а И», L0 = — irp^lVool*^.
Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки,
в общем случае функция F' (S) представляет малую величину того же
порядка, что и во,, видим, что Rx является величиной второго порядка
малости.
При заданной форме дужки y = F{x) величины Ry и /,0 могут
быть вычислены по (109); при этом удобно пользовпться заменой
переменной:
S = ccoss, О^зг^т;,
/:
tg
Заметим, что интегральные члены в правых частях выражений (109)
для Ry и L0 определяют влияние вогнутости дужки. Так, например,
для дужки параболы
F(x) = S.fl-J"
где 8 — стрелка прогиба, будем иметь:
Ra = 2«Pc\Vo0\*(to0 + ^),
t0=-7rpc»|Voo|aeoo.
Как видно из этих формул, в принятом приближении
относительная вогнутость /= у увеличивает подъемную силу, но не влияет
на момент относительно начала координат О, расположенного
на середине отрезка АВ. Найдем положение фокуса О'; для этого
вспомним, что
§ 47) с<ЛДАЧЛ 0Г, ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ 807
откуда
Loi==Lo-xRy^-r^\Vj4m^x.2,Pc\V^^o:>Jr^
Приравнивая нулю часть момента, зависящую от угла атаки,
получим, как и ранее для пластинки:
с .
Хо'-~ ~2>
момент относительно фокуса будет равен
о
с
Lo, = *P\Vj*b.c = «P\Vj*c*-
Выражения R и LQ, для параболической дужки ничем не
отличаются от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга.
Это и не удивительно, так как с выбранной степенью точности
уравнение дужки круга совпадает с уравнением параболической дужки.
Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение дуги круга (§ 46)
в виде:
*2+ (У + с ctg 23)2 = с2 esc2 2р
-ccte23 =
1 — (—V sin2 2S
у =-- У с'2 esc2 23 — *2— с ctg 23=с esc 23
= с esc 28 — с ctg 28 — -i- (— У t sin 28
= C-tg3-f^sin3cos3 = 8[l-(£f
Согласно формуле для Ry, направление бесциркуляционного
обтекания (6,^=- J совпадает с направлением прямой, проведенной
через вершину дужки и заднюю кромку. Это свойство у круговой
Дужки сохраняется при любых вогнутостях.
Распределение скоростей по поверхности дужки можно
вычислить по формуле (108). Следует только иметь в виду, что при
z —> х(— с^х^с) интеграл, стоящий в правой части, становится
несобственным и должен вычисляться в смысле своего главного
значения и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка АВ
должен производиться по известным формулам анализа для
предельных значений интеграла Коши.'
г ' См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV
остехиздат, 1941, стр. 252—253. Несколько подробнее о „несобственных"
интегралах будет сказано в гл. VII.
20*
308 ПЛОСКОЕ ПЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Опуская промежуточные выкладки,х приведем лишь окончательную
формулу распределения скоростей в случае параболического отрезка:
?нм+'1м[!Н«-+?+£)/Щ.
Легко видеть, что при боо = 0, т. е. при набегающем потоке,
направленном вдоль хорды АВ дужки, обе острых кромки будут
точками безотрывного обтекания с конечными скоростями. Такое
обтекание дужки называют обтеканием с безударным входом. Подъемная
сила в этом случае будет равна
(Ry)n^o = 2*Р I ^ооI28 = 4*рС | Vm р|,
т. е. станет пропорциональной относительной вогнутости дужки.
Действительно, при этом значении <)„> формула скоростей принимает
вид:
и при 2 = ± с дает:
V{±c) = \V<B\(l±№),
причем тангенс угла наклона касательной к дужке в точках z — ^zc
равен у' = zp —. При малых углах тангенс может быть заменен на
синус, и предыдущая формула показывает, что направление натекания
и стекания струй на концах дужки совпадает с касательными к ней.
§ 48. Определение обтекания крылового профиля
произвольной формы
В современных расчетах крыльев и винтов самолета, лопаток рабочих
колес и направляющих аппаратов турбомашин, вентиляторов и др. приходится
определять обтекания разнообразного типа профилей, значительно
отличающихся от „теоретических" профилей и имеющих настолько большую
относительную толщину и вогнутость, что уже нельзя применять изложенную
в предыдущем параграфе теорию тонкой слабо изогнутой дужки. Для решения
этих задач встал вопрос о создании практического метода расчета обтекания
крылового профиля произвольной заданной формы; основной целью такого
расчета является определение распределения скоростей и давлений по
поверхности профиля, причем технические требования к точности расчета
оказываются по необходимости весьма высокими.
В настоящее время существует большое число методов такого расчета:
одни методы используют идею приближенного конформного отображения
заданного профиля на контур, обтекание которого заранее хорошо известно,
другие сводят задачу к определению такой интенсивности размещаемого на
1 Отсылаем интересующихся к ранее цитированному разделу курса
Кибеля, Кочина и Розе.
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 309
поверхности крыла вихревого слоя, чтобы в результате наложения
плоскопараллельного набегающего потока на течение, индуцированное слоем,
получилось обтекание заданного профиля. Последний путь крайне сложен, так
как приводит к необходимости приближенного решения интегральных
уравнений и тем самым—к большому числу трудоемких вычислений. Наиболее
оправдавшим себя, без сомнения, является первый путь, основанный на
использовании конформных отображений. У нас в Союзе широко используются
удачно доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М. Се-
ребрийского,' С. Г. Нужина2 и Л. А. Симонова.3 За границей принят метод
Теодорсена и его модификации.4
Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам,
остановимся здесь на основной идее применения метода конформных отображений
и общем характере вычислительного анализа,приводящего к решению
поставленной задачи. Начнем с метода Я. М. Серебрийского. Как уже было
выяснено в § 46, формула конформного отображения Жуковского — Чаплыгина (98)
преобразует систему софокусных эллипсов, стягивающихся к отрезку FF'
(рис. 94) физической плоскости г, в систему кругов с общим центром в
начале координат во вспомогательной плоскости С. Далее было показано, что
в плоскости г существуют такие крыловые профили с нулевым углом на
задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые при
выполнении того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости С
в круги со смещенными относительно начала координат центрами (рис. 95).
Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то
аналогичному преобразованию в круг будут подвергаться и крыловые
профили — обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, — заканчивающиеся
острым углом, отличным от нуля (рис. 96).
Возьмем теперь крыловой профиль „произвольной" формы. Наметим
среднюю линию („скелет") этого профиля и определим его относительную
вогнутость и толщину; после этого совместим, насколько это окажется
возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по
вогнутости и толщине обычным или обобщенным профилем Жуковского —
Чаплыгина. Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует,
что профили, близкие друг к другу в физической плоскости г, окажутся
близкими и во вспомогательной плоскости С. Но один из этих профилей —
профиль Жуковского—Чаплыгина — отображается на круг со смещенным
центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится
иа некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении
будем называть почти-кругом. Для того чтобы „почти-круг" был по
возможности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись
к вопросу о расположении передней и задней кромок относительно
фокусов F и F' эллипсов в плоскости г.
Так, при пользовании обобщенным преобразованием (100), если за т
взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля
следует помещать точно в один из фокусов. При использовании обычного
преобразования (98) это можно делать только в том случае, когда угол на
1 Я. М. Серебрийский, Обтекание крыловых профилей произвольной
формы. Инженерный сб., т. III, вып. 1, 1946, стр. 105.
2 С. Г. Н у ж и н, Построение потенциального потока несжимаемой
жидкости около крыловых профилей произвольной формы. Прикл. матем. и
механ., т. XI, вып. 1, 1947, стр. 55.
3 Л. А. Симонов, Расчет обтекания крыловых профилей и построение
профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикл. матем. и
механ., т. XI, вып. 1, 1947, стр. 69.
... 4 Theodorsen T. General Potential Theory of Arbitrary Wing Sections,
NACA Report № 452 (1933).
310 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
задней кромке очень близок к нулю; в противном случае следует угол на
задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на
половине расстояния от закругленной кромки до центра ее кривизны.
Что касается расположения передней закругленной кромки (носка
профиля), то при пользовании преобразованием (98) можно сохранить ту же
рекомендацию, что и для задней кромки. Основанием для этой рекомендации
служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса:
фокус такого эллипса близок к середине радиуса кривизны носка. При
использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется
размещать между только что указанной точкой и носком профиля.
При выполнении этих требований „почти-круг" будет представлять
кривую, весьма близкую к кругу.
Произведя указанное размещение исследуемого профиля по отношению
к точкам Fh F' — особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем
к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться
преобразованием (100)
iz^fciV, 0 = 2-^, (ЮО)
г-j-cc \С + с/ я '
имея в виду, что при х = 0 преобразование (100) переходит в обычное
преобразование Жуковского — Чаплыгина (99')-
Я. М. Серебрийский использует более простое преобразование (99'),
однако с точки зрения выгодного для дальнейших расчетов максимального
приближения „почти-круга" к кругу можно рекомендовать для профилей
с конечным углом на задней кромке применение преобразования (1U0),
учитывающего наличие этого угла.
Обозначим (рис. 97) через х0, у0 декартовы координаты точек /И0 иа
профиле К в плоскости z, ч.ерсз ?0, т,0 — декартовы и через р0, е— полярные
Рис. 97.
координаты соответствующих точек М§ „почти-круга" А"* в плоскости 'С и
через а — радиус близкого к „почти-кругу" точного круга L в плоскости <»,
на рис. 97, совмещенной с плоскостью С. Наиболее трудоемкими в смысле
вычислений операциями являются: определение уравнения .почти-круга*
в полярных координатах и представление логарифма отношения
радиуса-вектора pgte) к радиусу круга а в виде ряда Фурье
СО
1п —° = я0 + 2 (ап cos n% + bn sin "£), (1Ю)
га~1
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 311
Для этой цели следовало бы применять математические механизмы:
конформный трансформатор для преобразования заданного профиля в „почти-
круг" и гармонический анализатор для определения коэффициентов Фурье ап,
Ьп. Механизмы, осуществляющие конформные преобразования (99') и (100), уже
давно изобретены советскими учеными,1 но еще не внедрены в
аэродинамическую практику.
Аналитическое установление связи (110) между р0 и е не представляет
каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений.
Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль)
/г N1'" (г ч l a
1 = (* + «•)'" +(*-ac)17" = W+'J +{ы~~1)
с {2 _|_ вс)1/« _ (2 _ вс)1.л» .А + iу,'« /£ __ ч^
и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в частях
длины ее, а радиус-вектор р— в частях длины с. Сохраняя обозначение Ч, р,
г, х, у для этих безразмерных величин, будем иметь:
с = ре--('г+1)1/я + (г~1)1а-
(г+1)1/в — (2 — 1 J1'"'
положим:
(г | l)1'J = Inp'4-"') (г- l)1/a = lii/' Y-h'-
*f-l=/V"'\ z— l=rV'",
тогда Оудсм иметь расчетные формулы:
, 1 (!..,/ +1п,'')Ч WW-
* 2 (In р' — In р")2 + (е' — е")2 '
s = arctg|— .Т. „ -arctg-
где:
1п р' + In р" ь 1п р' — In р'
1„ р' = (г')1/3 cos (l-Y In р" = (a")1/' cos П—\,
г' = (/•')1/' sin (21), с" = {г")г'° sin (^V
г' = у'~(х~+1)* + у\ г" = /(jf-l^ + y,
7'= arc tg J+T' 7"= arctg^T"
1 С. А. Гершгорин, Механизм для построения функции комплексного
переменного С = -к-(гН ).Изв. Ленингр. технолог, ии-та, т. II (XXVI),
юбилейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крыльев
типа проф. МиЗеса. Вестн. механ. и прикл. матем., т. 1, 1929.
Л. Г. Лойцянский, О некоторых общих типах конформных
трансформаторов движения. Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1925; Приближенное
конформное преобразование и его применение в теории механизмов. Журнал
прикладн. физики, т. V, вып. 3—4, 1928; Основания синтетической теории
конформных трансформаторов движения. Журнал прикладн. физики, т. V, 1928.
312 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Задаваясь парами значений координат профиля (х, у), последовательно
вычисляем г', г", Y, ?", а затем р', р", г', г" и р, е. При о = 2, т. е. в случае
обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются.
По вычисленным значениям In p, t строим график 1п . Для обработки
полученной кривой к виду (ПО) можно применять любые известные приемы
гармонического анализа. В ранее цитированной работе Я- М. Серебрииского
излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать
тригонометрические представления резких местных отклонений иа кривой вблизи точки в = еа
при помощи комплексов вида
n + cos(s — е1)-ы
названных автором „горками". Применение широко затабулированных
автором „горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для
определения коэффициентов а„ и Ьп.
Опуская изложение практических деталей вычислительного характера —
их можно найти в ранее цитированной работе Я- М. Серебрииского, — будем
считать, что ряд (ПО) уже составлен и коэффициенты его ап, Ьп определены.
Обратимся к установлению приближенных формул конформного отображения
области вне „почти-круга" К* в плоскости комплексного переменного С на
область вне круга L в плоскости ш.
Введем обозначения:
С = ре'\ ш = 1аеЯ, (111)
где р, е являются полярными координатами точек плоскости С, а величины
Ха и в соответственно полярными координатами точек плоскости со; в
последнем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на
переменный коэффициент X, причем окружности L соответствует значение
К ^ 1.
Следуя Я. М. Серебрийскому, будем искать функцию, отображающую
внешнюю по отношению к „почти-кругу" К* часть плоскости С на внешнюю
по отношению к кругу L часть плоскости ш, в виде
оэ
С = со ехр 2 Сп ш~п> О12)
где при п > 0 коэффициенты Сп являются комплексными величинами, а С0
представляет действительную величину.
Тогда, согласно (111), найдем
In (1) = ln(£)+ * (< - в) = 2 Спа-пе-птг\ (1120
или, полагая
Спа-п = ап-\-ibn, Сй = aQ, (112")
и сравнивая в (112') действительные и мнимые части, будем иметь:
-^- J = я0 + 2 (а» cos л9 ~Ь Ьп sin я") *■"""'
оо
6 — е = 2 <fin sin n9 — bn cos яб) \~п-
Как уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположении
преобразуемого крылового контура К относительно точек F и F' и удачном
In
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 313
подборе угла х, а следовательно, и о, контур „почти-круга" К* будет мало
отличаться от контура круга L, соответствующие точки будут близки друг
к другу и, как показал Я М. Серебрийский, можно с достаточной для
практики точностью пренебречь в первом приближении разницей между
полярными углами е и 6 соответствующих точек в плоскостях С и со. При желании
метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разницу
между углами е и 8.
Замечая, что для точек, лежащих на контурах К* и L, будет: Х = 1,
p = p0(s), перепишем в принятом приближении (8 = е) первое равенство
предыдущей системы в виде
( \ °°
In —— = а0 -\- ^ (ап cos пг + Ьп sin m).
Это равенство полиостью совпадает с ранее установленным
разложением (110). Таким образом, искомые коэффициенты ап и Ьп, входящие в
преобразование (112) через комплексные коэффициенты Сп, оказываются уже
известными. После этого не трудно по (112") вычислить комплексные
коэффициенты Сп, тем самым полностью определить основное
преобразование (112) и решить поставленную задачу. Опыт многочисленных расчетов
показал, что для употребительных на практике крыловых профилей
изложенное первое приближение оказывается вполне достаточным.
Совокупность равенств (100) н (112) дает преобразование части
плоскости z вие крылового контура К на внешнюю по отношению к окружности
круга L часть плоскости ш, т. е. как раз то основное конформное
преобразование (74), о котором говорилось в § 42 (вспомнить рис. 85).
Желая найти распределение скоростей по поверхности крылового
профиля К или вне его, используем комплексный потенциал у(а>) обтекания
кругового контура L с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь
T?f^_£z_ffX dm d^
у >~dz duy'dC'dz'
Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом
Чаплыгина о плавном обтекании задней кромки крыла, представленным
формулой (80). Заметим, что последние два сомножителя в только что
составленном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер
и ие зависят от кинематических условий обтекания — скорости и угла атаки.
Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки
„., du> dt, „ .
на другой, если комплексные величины -ту- и -т- для заданной формы кры-
d, az
лового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля
представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я. М. Се-
Ребрийским путем применения специальных приемов.
6 методе С. Г. Нужина промежуточное отображение на „почти-круг"
отсутствует и решение задачи сводится к непосредственному отображению
области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне
кРуга L (см. рис. 97).
Для этого между физической плоскостью течения z и вспомогательной
плоскостью ш устанавливается соответствие в форме ряда Лорана
со
с '^известными комплексными коэффициентами сц = \ъп -\- hw
314
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
Полагая в (113) ш = ае№ и выделяя в нем действительную п мнимую
части, получим систему двух действительных равенств:
• (8) = ji0 -(- a cos 8 + 2 {V-n cos rtfl + vn sin лй).
я=1
J' (°) — vu -r a sin 8 -f ^ ("',* cos «0 — [x„ sin n8),
л=1
(113')
представляющих параметрическое уравнение крылового контура,
выраженное через параметр 8 — угол в плоскости ш между радиусами-векторами
точек на круге L, соответствующих точкам на контуре К, и действительной
осью.
Разобьем координаты х (0) и у (0) иа полусуммы и полуразности их
значений на круге L в точках с угловыми координатами 8 и 2тт — 8, положив
х (8) = х, (8) + х2 (8) у (8) = з'! (8) +>, (8);
1 Г 1 °°
Х\ (6) = ^ Iх (6) + * (2* — 8) = |х0 + 2а cos 0 — 2 Я,» cos «8,
*г С) = 4 f * (0) - х (2- - 0)1 = ^ Л,, sin n\
->'i (в) - \ [у (0) +у (2г - 0)J = Л0 -1 -2 Л» cos «0,
Л (») = у [j (в) —У (2я - 6)1 = 2 5» sin пО.
L J л=1
(114)
Входящие сюда новые коэффициенты Фурье:
Аи = v„, В„ = — |д.,и В1 = а — :н
могут быть определены по обычным формулам:
(1140
Ло = 4- |.У1(0)«*е.
[зЧ(°)^, Л» = -|[
>!(()) cos лВ</0,
в,
-If
J2(8)sin/z6d8.
(115
Неизвестные коэффициенты Ап, Вп определяются следующим процессом
последовательных приближений. За нулевое приближение принимается:
х^ = | cos 0, У°> = 0. 40) = 4° = t*8° = 0. a = |,
что соответствует отображению на круг пластинки. Затем, задаваясь
последовательными значениями 8 и соответствующими значениями х^, определяют по
чертежу крылового профиля величины ординат j(') (в |, а также у^ (8) иу^ (8),
проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными
выражениями коэффициентов Фурье (115), по найденным значениям у^ (8) и у^ ^
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 315
определяют новые значения коэффициентов А§\ А^ н В^ в первом
приближении. Эти значения коэффициентов позволяют найти новые функции
jej^S), xty (0). а это в свою очередь по предыдущему приведет к
уточненным значениям ординат и т. д.
Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина,
облегчающих проведение выкладок и делающих их наглядными, заметим, что
автору метода удалось провести доказательство сходил/ости процесса
последовательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической
стороны.
Можно заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих
только что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения
коэффициентов ряда Фурье, выражающего логарифм отношения
радиуса-вектора точек „почти-круга" к радиусу круга через угол в промежуточной
плоскости в методе Серебрийского. или координаты крылового профиля в
физической плоскости в функции от полярного угла в вспомогательной плоскости
в методе Нужина. В первом из указанных методов для этой цели с успехом
используется способ „горок", во втором приходится непосредственно
вычислять квадратуры (115).
В методе Л. А. Симонова основную роль играет преобразование
внешней по отношению к контуру крыла К части плоскости z на часть
плоскости ш вне круга L, аналогичное (113), с той лишь разницей, что при <о
в первой степени сохраняется комплексный коэффициент. Замечая, что из
первых членов разложения (ИЗ) можно выделить группу, представляющую
отображение некоторой „эквивалентной" пластинки, имеющей одинаковую
с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов
интерпретирует указанный комплексный коэффициент, как одну четверть
комплексного вектора, совпадающего по величине и направлению с
эквивалентной пластинкой. Ряд (113) может быть представлен при этом в виде
(1Х и 1у — проекции эквивалентной пластинки)
*=!•('*+ "*)» +<*+ 2^
л=1
(116)
Отделение действительной и мнимой частей приводит к рядам,
аналогичным (113'), которые, пользуясь известными формулами теории функции
комплексного переменного, удается представить в интегральной форме:
2л
х(0)
2гс.)
j(0')ctg.
'— й
db' + у lx cos 0 ly sin 0 + const
2к
У(%):
2к]
0' —6
х (0') ctg —g— d0' + у 1я sin е + -о" ly cos ° + const-
(116')
Определенные в точках крылового контура производные '/.х ■■
dx
' db'
h =
dy
Удовлетворяют системе равенств:
2 it
** (В)
MB)
- 2*J
X„ (в') сЦ
■db'-
■ у lx sin ri
/yCos 0,
\ (П7)
MO') ctg-
■db'
!'•
■y^sin 6,
316 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
аналогичной (116')- Расчет функций: х(б), у (Ь), Х^О), 1у(Ъ) может быть
произведен путем последовательных приближений в системах (116') и (117),
причем входящие в правые части этих уравнений интегралы могут быть
сведены к суммам, аналогичным применяемым в механических
квадратурах.
Основной особенностью метода Л. А. Симонова является установленная
им тесная связь между параметрическими выражениями координат крылового
профиля х (б), у (б) и величинами ~кх (6) и Ху (6), входящими в основную
формулу распределения скоростей. Это позволяет при пользовании методом
Рис. 98.
разрешать как прямую задачу разыскания распределения скоростей на
поверхности заданного профиля, так и обратную задачу определения формы
крылового профиля по заданному распределению скоростей или давлений
по его поверхности.
Расчет по методу Симонова становится особенно простым, если
исследуемый произвольный профиль сравнивать с близким ему профилем,
обтекание которого уже известно. В этом случае дело сводится лишь к
определению малых поправок.
В оригинальной статье Л. А. Симонова можно найти интересные
материалы, иллюстрирующие применение метода к конкретным крыловым
профилям. Весьма существенен указанный автором прием составления нового
§ 49] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 317
профиля путем сложения комплексных координат или пропорциональных им
величин двух известных профилей, и определения скоростей по поверхности
такого составного профиля.
На рис. 98 сплошными кривыми представлены рассчитанные по методу
Серебрийского распределения давления по верхней и нижней поверхностям
некоторого симметричного профиля, имеющего сравнительно с профилем
Жуковского смещенное назад миделево сечение (место максимальной
толщины).
По оси ординат отложена уже знакомая нам безразмерная величина
разности давлений в данной точке поверхности профиля и на бесконечности,
отнесенная к скоростному напору набегающего потока
- Р—Роо
по оси абсцисс — безразмерная координата, равная отношению абсциссы точки
на профиле, отсчитываемой по оси симметрии профиля от носика, к длине
профиля.
Как видно из графика, смещение назад места максимальной толщины
симметричного профиля приводит при нулевом угле атаки к более плавному
распределению давлений по поверхности профиля, чем у симметричного
профиля Жуковского (на рис. 98 — пунктир) той же относительной толщины.
В дальнейшем будет показано, что при прочих равных условиях, в частности,
при том же коэффициенте подъемной силы, плавность распределения является
положительным признаком крылового профиля с точки зрения его
сопротивления и поведения при больших скоростях. Далее из графиков видно, как
меняется распределение давления при возрастании угла атаки, как возникает
пик разрежения pmio на верхней поверхности и насколько он быстро
развивается (на рис. 98 пик разрежения, при а = 10° равный pmiB = 4,5, не
поместился на чертеже).
Как можно заключить из предыдущего, задача об определении обтекания
крылового профиля произвольной формы не представляет теоретических
трудностей. Существующие в настоящее время работы посвящены, главным
образом, улучшению вычислительных приемов.
Для той же цели может служить специальный электрический прибор,
использующий для определения потенциала скоростей обтекания
электрогидродинамическую аналогию (ЭГДА) между этим потенциалом и
электрическим потенциалом, создаваемым в специальной электролитической ванне.
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской
решетки с бесчисленным множеством профилей
Под плоской решеткой профилей (рис. 99) обычно понимают
совокупность одинаковых крыловых профилей, каждый из которых
получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую
шагом, длину t, в заданном направлении, определяющем ось решетки.
Угол р между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки
иногда называют углом выноса, дополнительный угол [3' —углом
установки профиля в решетке. Вектор t, равный по длине шагу и
направленный перпендикулярно оси решетки в сторону течения, назовем
векпгором-шагом; такое векторное представление шага позволит нам
3i§
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. v
Вектор-шаг I
в дальнейшем получить формулы действующих сил, не зависящие от
выбора направления осей координат.
В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении
впереди и позади решетки скорости в общем случае различны как по
величине, так и по направлению. Решетка
не только меняет скорость набегающего
на нее потока, но и поворачивает поток
в целом.
Обозначим (рис. 100) вектор скорости
потока в бесконечности перед решеткой
через V1( давление — через р1г
соответственно вектор скорости и давление
в бесконечном удалении за решеткой —
через V2 и р2; будем считать жидкость
несжимаемой и плотность ее р повсюду
одинаковой.
Рассмотрим в плоскости чертежа трубку
тока, образованную двумя какими-нибудь
линиями тока, сдвинутыми друг по
отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу.
Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собою
трубки тока, так как обтекание обладает свойством пространственной
периодичности с периодом, равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за
контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два
Рис. 99.
.W,-V,
Рис. 100.
бесконечно удаленные сечения трубки g1 и о2, параллельные оси
решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через R главный
вектор сил давления потока на профиль, будем иметь:
(/'i — /'a) t + Р (t • Vх) V, — р (t - Va) Va — R = 0,
(118)
§ 49] теоримл жуковского для плоской решетки ;-н9
где t—уже введенный ранее вектор-шаг, равный по длине с1 = о2 и
направленный по перпендикуляру к этим сечениям; величины
t-v1 = t-v2
представляют равные между собою объемные расходы жидкости сквозь
сечения трубки тока, (—R) — главный вектор сил давления профиля
на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли,
получим
Pi— P2 = y?v*~ уР^1 = -2Р(^2— V\),
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное
произведение суммы векторов скоростей на их разность,
Pi-P^yPM + V^-V,).
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю
векторную скорость
и скорость девиации потока
v*=v8—v,,
характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь:
Pi — Pa—pV„- V„,
t.v1 = t.vJ, = t.v„„ t.vd = t.(v9-v,) = o,
и равенство (118) перепишется в форме
R = p(V„-Vd)t—p(Vm.t)Vrf,
представляющей известное разложение двойного векторного
произведения
R = pVMX(tXVd). (119)
Вектор
r = tXVd = tXV2-tXV, (119')
равен по величине циркуляции скорости по замкнутому контуру,
охватывающему один профиль. Действительно, оба вектора справа имеют
одинаковые направления (перпендикулярно плоскости чертежа), так
что
r = l|tXV2|—|tXV,!| = |^ VlSin(CVi)-t- Vz sin (О,) | =
= | tV, cos (o^Vj) — tVa cos (o27v2) |,
320 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖиДкОЙТИ [ГЛ. V
с другой стороны, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг
профиля, например по обводу контрольной поверхности, в
направлении, указанном на рис. 100 отдельными стрелками, заметим, что
слагаемые циркуляции, рассчитанные по отрезкам линий тока, в силу
периодичности движения взаимно сократятся, и циркуляция сведется
к разности
Г = | tV, cos(Cvj — *Vacos («CV^ I-
Итак,
R=»pVmxr. (119")
В силу взаимной перпендикулярности Vm и Г найдем величину
главного вектора в виде:
Я = рУ»Г, (120)
аналогичном формуле Жуковского (86) § 43. Вектор R направлен
перпендикулярно средней векторной скорости VOT, играющей при
обтекании решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности
в случае одиночного профиля. Направление вектора R можно
определять как непосредственно построением произведения (119) по заданным
направлениям t, Vm и Vd, так и путем использования поворота
вектора Vm на 90° в сторону, противоположную „положительному
направлению циркуляции".
Введение средней векторной скорости Ут представляет большое
удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей:
одиночных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же
жидкостью при равенстве скорости на бесконечности Voo — в случае
одиночного профиля и средней векторной скорости \т — при
обтекании профиля в решетке, будем иметь для отношения подъемных сил
равенство:
Й = /\реш " *\одик == -L реш • 1 один»
Направление подъемных сил при V» = VOT также будет одинаковым.
Замечая, что, в силу равенства
t.vd = t.va-t.v1 = o,
вектор t перпендикулярен к Vd (вектор Vd, следовательно, имеет то
же направление, что и ось решетки), а вектор t X Vd перпендикулярен
к плоскости течения, т. е. и к Vm, можем переписать равенство (120)
в виде
R = ?tvmvd.
Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119),
имеет то преимущество, что указывает в явной форме зависимость
(прямую пропорциональность) главного вектора R от плотности
жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей — средней
векторной и скорости девиации потока решеткой.
§ 49] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 321
Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай
безвихревого обтекания плоской решетки профилей. Легко видеть, что
при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского
переходит в теорему для одиночного профиля. При t—> оо
циркуляция Г стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля,
следовательно, по (119'):
принес, Vd->0, V,-> V9-* V,.,
так что
и мы вновь приходим к обычной формулировке теоремы Жуковского
о подъемной силе одиночного крылового профиля.
Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы
осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ох по
вектору-шагу, а ось Оу по оси решетки, то в обычных обозначениях
будем иметь, согласно только что выведенным векторным формулам:
^х = ?vmV = -j p fa 4- v2) Г,
л„ = -р«,нг = -|р(ин-«9)г» | (121)
Г = /(«, — *,). J
Постановка прямой задачи об обтекании решетки такова: задается
вектор скорости перед решеткой V1? геометрические параметры решетки
(шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью
решетки и направлением потока перед решеткой или какой-нибудь
другой, связанный с ним угол. Следует определить направление и
величину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения
постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних
острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку.
В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул
рассмотрим обтекание пластин, расположенных вдоль оси х (рис. 80). Согласно
теории, изложенной в § 40, скорости на бесконечности V] до и V? за
решеткой будут в этом случае иметь проекции (выбранное в § 40 направление осей
координат отличается от настоящего):
"i = и,.и — <?< г\ = v™>
где
а "оо и vjo — проекции на оси координат (рис. 80) скоростей на
бесконечности до и за решеткой при бесциркуляционном обтекании рассматриваемой
решетки.
21 Зак, 1841. Л. Г. Лойцянский.
322 плоское безвихревое движение жидкости [гл. V
Средняя векторная скорость Vm будет иметь, очевидно, проекции:
V = l("i + "о) = "се »ш ="2 (^ + vj = »«».
равные проекциям скорости, соответствующей бесциркуляционному обтеканию
решетки пластинок.
Замечая, что шаг в данном случае равен t = 1а, будем иметь по
последней из формул (121):
Г = 2« [(«со + Я) - («со — 9)] = 4а? = 4йг>со *8 "5J = 2^оо *g-§7 .
где / = 2с — длина пластинки. Вспоминая формулу (61) § 40, найдем по (120)
отношение подъемных сил пластинки в рассматриваемой решетке и одиночной
пластинки:
Я.еш Гвеш 4aV°°tgTa 2<7 тсс 2* тс/
к = W^ = ^- = — -.-,- -- = —te -я- = -г te —. (122)
Я,
один
один
2тег»
ТСС
2я тс/ s 2^ "
Как видно из полученной формулы, коэффициент k пересчета подъемной
силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки
в решетке представляет функцию относительного шага tjl. В случае решетки
пластинок, ориентированных
перпендикулярно осн решетки Ох,
соответствующая формула пересчета имела бы
вид
к 7J
2,0\
us
1.0
0Д
/ 81
\ 1 fi=90°
Ч70°\\
яг""""—
и 2t tu *l
(123)
На рис. 101 приведены графики
зависимости коэффициента k от
относительного шага решетки пластинок при
различных углах установки fi (рис. 99)
пластинок в решетке. Соотношениям
(122) и (123) на графике соответствуют
крайняя верхняя и крайняя нижняя
кривые. Интересно отметить, что при углах
р, меньших 50°, и при любых
относительных шагах коэффициент k меньше
единицы, т. е. подъемная сила пластинки
в решетке меньше, чем у одиночной
пластинки. Наоборот, при углах
установки, приближающихся к р = 90°, и не
очень малых относительных шагах
коэффициент k становится значительно
превосходящим единицу. При больших
относительных шагах ( >■ со )коэффи-
циент k, естественно, независимо от угла
установки §, стремится к единице.
Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей
представляет задачу, значительно более трудную, чем соответствующий вопрос
теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет
становиться на изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки
ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшей
-ц.
Рис. 101.
§ 49] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 323
в свет монографии Н. Е. Кочина. * В этой краткой, но весьма
содержательной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных
как из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной
толщины. В настоящее время созданы различные методц расчета обтекания
решеток, составленных из профилей произвольной формы,2 однако эти
методы еще только начинают получать практическое применение. Точно так
>ке, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения
потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности
профиля в решетке оказывает метод электро-гидродинамическнх аналогий
(ЭГДА).з
1 Н. Е. Кочин, Гидродинамическая теория решеток. Серия
.Современные проблемы механики", Гостехиздат, 1949.
2 Н. Е. Кочин, Влияние шага решетки на ее гидродинамические
характеристики. Прикл. матем. и механ., т. V, вып. 1, 1941;
Л. А. Симонов, Построение профилей по годографу скоростей. Прикл.
матем. и механ., т. V, вып. 2, 1941;
Э. Л. Б л о х, Исследование плоской решетки, составленной из
теоретических профилей конечной толщины. Труды ЦАГИ, вып. 611, 1947;
3 Желающим углубить свои знания в области теории плоского движения
рекомендуем монографию Л. И. Седова, Плоские задачи гидродинамики.
Гостехиздат, 1950.
21*
ГЛАВА VI
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого
движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения
Общие уравнения изэнтропического плоского стационарного
безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии
объемных сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл. III, можно свести
к интегралу Бернулли:
т-+^==_ + ^_т_ = _ + __= const, (1)
уравнению неразрывности:
д (f.«) , д (рк)
дх ' ду
и уравнению изэнтропы:
(2)
jk= const; (3)
к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря:
$-£-•• <«
Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде:
ди . до dp I dv „ /Г>/Ч
и произведем в этом равенстве замену:
др <ip_ др_ _р_ 1 dp p й^1
дх dp дх а2 р дх «2 ^'
ду ~~ dp ' ду я2 р ду ai'dy'
или по (1):
§ 50] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ 325
Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется
к такому:
В этом уравнении две неизвестных функции и и v могут быть
сведены к одной—потенциалу скоростей rs(x, у), так как, согласно (4),
будем, очевидно, иметь:
в = аЗ?' v=13' (6)
Что касается величины а2, то связь ее со скоростью газа V в дан-
пом месте определяется интегралом Бернулли
^2 i я2 , ,,,
T- + *^T=COnst' ^
так что
, _ const -i=i (., + „ _ cons, -i=i [(&)' + (I )'].
Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное
уравнение второго порядка в частных производных относительно
неизвестной функции <э(х, У)> вопрос об интегрируемости которого при
заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности.
Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного
нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5).
сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле
скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого
однородного движения со скоростью V^, плотностью рю, давлением ргм
и т. д.
Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем
иметь:
и—У^-^и, v = v', p = Poo+p', p=Poo-\-p', а = аоо + а',
где величины и', v , p', р' и а', так же как и их производные по
координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать
их квадратами и произведениями.
В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее
линейное уравнение:
г 2 ,,■> n ди' . ., dv' A
v
которое, после введения числа Мсо = ——, перепишется так:
326 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Разбивая потенциал скоростей <а на потенциал однородного потока
и малый потенциал <?' возмущений, будем иметь:
U ~ дх ' v — ду ' J
после чего уравнение (8) приведется к виду:
Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая
функция ty(je, у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая
функцией тока, что
-£-« = !*, _р_«—|i.. (и)
Poo ^ Poo дХ V '
В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения
сжимаемого газа разобьем функцию тока ф, аналогично (9), на функцию
тока однородного потока и функцию тока <!/ возмущений,
соответствующую отклонению действительного потока от однородного,
положив
ф^УосУ + ф'; (12)
тогда, согласно (11), будем иметь:
Рсо+Р' ,. , ,. .. , ду
_— (^ + «)=^+1у,
£21±!'„' = ——
Poo ^ '
или, откидывая малые второго порядка:
U +РОТ Vc°-dy'
ду_
дх '
(13)
)
Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через
добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной,
в силу уравнения изэнтропы, в виде:
§ 51]
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК
327
Будем иметь, задавая константу на бесконечности,
(V^ + иГ . al ! , рМ*-1 Vl
ИЛИ
2
^оо«'+—Р'=0.
Рсо
Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем:
ГСО
U ~i-Mldy' I
°° } (14)
v = "Х"- I
OX J
Если последние выражения и' н v' подставить в условие
отсутствия завихренности (4), то получим уравнение относительно <!/:
дV , 1 дЧ'
dx* *~ 1 — м^ а^2 = °> (15)
аналогичное уравнению (10) относительно добавочного потенциала »'.
Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированные
уравнения плоского безвихревого движения сжимаемого газа; их следует
решать при обычных граничных условиях для скорости на
бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости).
Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших
примерах.
51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток
вдоль волнистой стенки
В качестве первого примера решений линеаризированных
уравнений рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102)
в виде синусоиды с амплитудой е, весьма малой по сравнению с
длиной волны X. Уравнение такой стенки будет
у — е sin^-дг. (16)
Определим возмущения и', v', p', р', вносимые твердой стенкой
в однородный поток со скоростью Voo, направленный вдоль оси Ох.
Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором Моо < 1.
Обозначим через со2 величину:
«2= 1 —ML;
328
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
будем искать решение уравнения (15) при следующих граничных
условиях:
• 2irx , ,,
при у = г sm -у- у = О,
или, согласно (12):
при у — е sin —г—
■■ — Vcx,e sin
2r.x
t
(17)
при у —» со <i/ —v к конечной величине. J
Попытаемся составить искомое решение, удовлетворяюгдее граничным
y-zsinrx
- У
stdm^ I
30^' '''^ф^
1 Г х
\ 1т~-
^т'яъ^ ^^л
•'^w#^ *
Рис. 102.
условиям (17), в форме произведения двух функций от отдельных аргу
ментов Х(х) и Y{y):
*i' = X(x).Y{y)\
(18)
подставив это выражение в (15), получим
1
X"{x)Y(y)-\-^X{x)Y"(V) = Q,
или
Х"(х) __
Л(х)
где -(2—-некоторая постоянная.
у" (у) = .,.«
a.2F(j') ' '
Отсюда находим систему частных решений
А" (Л):
sin fx,
COS "(X,
У (У)-
>ТШ2/.
из которых можно составить комбинацию, удовлетворяющую
граничным условиям (17),
•V == A sin-f* • е-'!">!/, (19)
2г.
если положить f = —.
Действительно, на стенке (у = г sin -^i-j должно по (17)
выполняться равенство
Y = A sin^* • е"
-'{U>z SH] у#
=Л sin уд: (1—усое sin fX-\-. . .)= — V^s sin f-*-
§ 511 ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК 329
Это граничное условие будет выполнено приближенно, если положить
А = — l/oos (20)
и отбросить в предыдущем равенстве, согласно принятой
линеаризации, члены се'и высшими степенями г. Можно еще поступить иначе:
выполнить первое граничное условие (17) точно, но не на
поверхности стенки, а на оси Ох, положив
при у — о, а/
Vcossin-f.v.
Подобный прием, характерный для всех методов рассмотрения
движений, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного,
применялся уже в предыдущей главе при рассмотрении задачи об обтекании
тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости,
набегающей на дужку под малым углом атаки.
Второе граничное условие, очевидно, также выполняется.
Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи:
-(у
1 - *' v
'} = — К»е sin ух • е
а используя (14), находим искомые проекции скорости:
(19')
1
v -—
1 мз =, —, Г= р sin ух ■ е
1-Mi ду К'-М^
I ' СО
дх
\ (21)
Vco^~i cos ух • е
Как видно из этих решений, при удалении от волнистой стенки
(у—у со) дополнительные скорости и' и v' быстро, по показательному
закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки
переходит в невозмущенный однородный поток со скоростью Ут (рис. 103).
Сравнивая полученное
дозвуковое движение газа с соответ- |/ю __
ствующим движением несжи-
маемой жидкости со скоростью -Уууу- -'-'.''"."■' :S-~~~~i:=—^
V» около той же волнистой
стенки (Мс^О):
Vca&y sin ух ■
1/qoSycosy^ ■
- VJ.
Рис. 103.
которое можно получить из (21), полагая в нем Мсо = 0, заметим
существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом
потоке с ростом числа Мвд область возмущающего влияния стенки
увеличивается,
330 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом
газе равны:
Y(I-lA-M^)2
1^1-Mi,
^0i=eT(1_^1-M°°)2/.
Снож
Таким образом, линии тока при М„ = О выпрямляются скорее,
чем при больших Ма> (рис. 103).
Определим распределение давления дозвукового потока на
волнистую стенку.
Для этого введем, как обычно, коэффициент давления
Р— />со
2 Роо со
который в случае линеаризированной теории равен
Р=1Р , ■ (22)
2
По теореме Бернулли
Vй , ь р Vj, k Ро
2 "+" к— 1 р 2 ~> £—1 р0
исключая плотность при помощи изэнтропы,
( Р \х,к
получим
V*
2
ft—1
1 к [Р \ "
1 k-iKpJ
1 Ра
или, вводя малые отклонения и , v и р :
У1 + 2Усои , k рх(^ k-l р \ VL А р
1 Рсо^1+ * pj 2 +ft_l Роо'
W'+T1 =0,
Ре»
р'= — PcoVcoU',
§ 51] ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК 331
Подставляя это значение р'_в формулу (22), найдем общее
выражение коэффициента давления р в линеаризированной теории
— 2а'
Р = ~. (23)
со
В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из
формул (21), иметь
- 2е? . — тТЛ — м?«
р= ' sin ^к . * tr о"".
Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому
приближению, положим в последней формуле у = 0; будем иметь
(р)„«о = - , sin -уж.
VI-<
Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при
данном Мое и несжимаемом (М,*, = 0), получим
— важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении
коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенки растет
с числом Мсо по закону
рв =-'==:. (24)
Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено.
Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (Ма, > 1). Вводя
в этом случае обозначение
<e» = ML—1,
перепишем уравнение (15) в виде:
Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение
(Л и Л—символы произвольных функций)
У = f1 (х — ay) +/, (х + ту),
в чем легко убедиться простой подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому
332 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Полагая
X — <оу = Cv
убедимся, что вдоль прямых этого семейства (С,) величины <У, и',
v', р' и т. д. принимают постоянные значения ty'(Су), и' (С,) и т. д.
Вспоминая сказанное в § 28 гл. IV, видим, что семейство прямых (С,)
представляет одно из двух семейств характеристик волнового
уравнения (15'). Аналогично, семейство прямых (С2)
х -\- шу = С2
представляет второе семейство характеристик того же волнового
уравнения.
Уравнение (15') — линейное уравнение с постоянными
коэффициентами; в силу этого характеристики (Су) и (С8), в отличие от
рассмотренной в § 28 гл. IV нелинейной системы (27), определяются
в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства
характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная
распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным
значениям <|/, и', vf, p' и т. д. вдоль некоторой линии, не
принадлежащей к семействам характеристик, найти значения этих величин
во всей плоскости:
иг (х — шv) = и' (Су), v' (х — <ву) = v (Су),
и' (х -f- а>у) = и' (С2), v' (x -t <чу) = v' (С2) и т. д.
Принимая во внимание необходимость выполнения граничных
условий:
при у = 0 «У == — Voo е sin ух, (f = -г- j
при у —v со •!/ —»• к конечной величине,
будем искать функцию -У в виде
<У = Л sin [f (х — <ву)].
Тогда из первого граничного условия будет вытекать
А = - V^e,
что приведет к следующим окончательным результатам:
<!)' = — Ус е sin [f (x — «в у)],
1 di>' У^г
и' = —772 Г T-=="-T7=S=rC0S[T(A'-"u)J;)].
!»'== — —•= KcoSf COS [f (-V — (By)],
— 2ет
/J = COS [f (X — «y)J.
(25)
§ 51] ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК 333
На поверхности волнистой стенки в выбранном приближении
(у — 0) будем иметь:
(Я/=0 = Т7™=Г C0S ?*• (26)
Уч
1
и=- i+const
* ш
Проанализируем полученные результаты (25). Прежде всего
отметим следующее специфическое
свойство сверхзвуковых потоков:
возмущающее влияние стенки на
поток не исчезает при удалении от
стенки, как это имело место в
дозвуковых потоках. Наоборот,
возмущения, создаваемые стенкой,
сохраняют свою величину вдоль наклонных
к стенке прямых линий (рис. 104):
х— toy = const.
Угловой коэффициент этого семейства характеристик
волнового уравнения (15') равен
dy + 1
-^~ = tg a = — :
ил „.
1 . 1
. а = arc sin-jT-
YM-2 — Г Ма
По § 27 гл. IV заключаем, что характеристики играют роль линий
возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Чем больше
число Мсо, тем меньше „угол возмущения" а, образуемый линиями
возмущений с осью Ох. На рис. 104 показано взаимное расположение
линий тока и „линий возмущения" —
характеристик сверхзвукового
потока.
Сравним между собою
распределения давления по поверхности стенки
в дозвуковом (23') и
сверхзвуковом (26) потоках. Распределения
эти сдвинуты по фазе друг
относительно друга на -^- (рис. 105), что
приводит к принципиально
отличным распределениям давлений в до-
и сверхзвуковом потоках.
В дозвуковом потоке, в полном согласии с обычными
представлениями о сгущении линий тока при обтекании выступов и, наоборот,
разрежении линий тока при омывании впадин, р достигает своего
максимального и минимального значений во впадине и на гребне
волны (рис. 103). В сверхзвуковом потоке, как видно из (26), на
гребне волны, так же как и во впадине, коэффициент давления р
Рис. 105.
334 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |ГЛ. yj
равен нулю, т. е. р = р^,; давление достигает своего максимального
значения (рис. 105) по середине восходящей ветви синусоиды (х — 0),
в точке перегиба синусоиды, и минимального — по середине склона
(* = *).
Формулы (23') и (26) можно переписать в виде:
(27)
где функция h (х) = е sin -у х = е sin -улг определяет ординату
волнистой стенки. Как видно из выражений (27), распределение давлений
при дозвуковом потоке находится в противофазе с профилем
волнистой стенки, т. е. следует за изменением ординаты, но в
противоположном направлении. Распределение давления в сверхзвуковом
потоке оказывается пропорциональным угловому коэффициенту профиля
стенки, т. е. тангенсу угла наклона профиля стенки к оси Ох, или,
в силу малости углов, пропорциональным самому углу наклона.
Назовем угол между направлением скорости в данной точке и осью Ох
местным углом атаки. Тогда из второй формулы системы (27)
следует, что коэффициент давления на поверхности стенки
в линеаризированном сверхзвуковом потоке пропорционален
местному углу атаки:
Полученные на простом и наглядном примере волнистой стенки
результаты обобщаются и на общий случай линеаризированного
потока— на задачу об обтекании тонкого крыла.
§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потоках. Влияние сжимаемости газа на коэффициент подъемной
силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной силы
и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке
Линеаризированные уравнения движения сжимаемого газа могут
быть использованы для приближенного исследования обтекания до-
и сверхзвуковым потоком тонкого, мало изогнутого крыла при малых
углах атаки.
Начнем с дозвукового обтекания. Обратим прежде всего внимание
на следующее свойство уравнений (10) и (15): если в этих уравнениях
от аргументов х и у перейти к новым переменным:
5 = дг, ij = Vl — Mly, (29)
§ 52] ТОНКОЕ КРЫЛО В ЛИНЕАРИЗИРОВАННОМ ПОТОКЕ 335
1-о уравнения (10) и (15) во вспомогательной плоскости %t\ примут
вид:
ничем не отличающийся от соответствующих уравнений для потенциала
скоростей и функции тока несжимаемой жидкости.
В результате преобразования (29) отрезки, параллельные оси Ох,
останутся в плоскости Ь\ неизменными, отрезки же, параллельные
оси Оу, — сократятся в - раз.
Такая „анаморфоза" физической плоскости ху во вспомогательную
плоскость \ч[ приведет к изменению граничных условий обтекания:
во-первых, преобразованный профиль будет иметь измененную форму,
так как все его ординаты в плоскости Ы сократятся в —===
Vi-K,
раз, а абсциссы останутся неизменными; во-вторых, угол атаки
набегающего потока на бесконечности в плоскости £т) по той же причине
1
уменьшится в —„ раз.
Если с самого начала взять в плоскости ху вспомогательный
тонкий крыловой профиль, у которого ординаты в —и- раз
больше, чем у исследуемого профиля, а угол атаки в то же число раз
превосходит заданный угол атаки, то после проведения
преобразования (29) задача об определении обтекания заданного профиля
сжимаемым потоком сведется к задаче обтекания того же профиля
с теми же условиями на бесконечности, но уже во вспомогательной
плоскости $y], т. е., согласно уравнениям (30), в некотором
„фиктивном" несжимаемом потоке. Замечая, что при М^ = О плоскости Ъ\
и ху совпадают, и обозначая индексами „еж" и „неж"
соответствующие величины в сравниваемых между собою сжимаемом (Мм ф 0) и
несжимаемом (Мю = 0) потоках, будем иметь:
di дх ' дг[ ду
(31)
Таким образом, согласно (14), (29) и (31), получим для
сравниваемых обтеканий:
336 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Вспоминая выражение (23) для коэффициента давления, составим
выражения:
рож = -
Чж '
I/
- 2«^
РпОМ I/
(33)
и, разделив первое на второе, согласно (32), получим основное
в теории дозвукового линеаризированного потока соотношение
(34)
представляющее обобщение формулы (24') на случай любого слабо
изогнутого тонкого крылового профиля.
Сделанный вывод об увеличении в отношении 1 : V 1—-М^,
коэффициента давления р при переходе от движения с числом М^ = О
к движению с данным значением Моо можно также интерпретировать
как увеличение коэффициента давления в несжимаемом газе за счет
увеличения ординат верхней и нижней поверхностей обтекаемого
тонкого крыла и, соответственно, угла атаки потока.
Предыдущее рассуждение было основано на предположении, что
поток повсюду дозвуковой и что, кроме того, допустима его
линеаризация, т. е. имеет место малость величин и', р', р' и др. Не
останавливаясь на количественной стороне вопроса, укажем, что чем ближе
будут условия обтекания рассматриваемого профиля к условиям
линеаризации потока, тем при больших Мю < 1 поток будет повсюду
дозвуковым — местное значение числа М во всем потоке будет
меньшим единицы (М < 1).
Условие малости и', v' ... и связанное с ним по (33) условие
малости р0.,к и ртх не выполняются в критических точках на
профиле, где:
V = Уя + и' = 0, и' = — Vcc;
Рпок = 1 •
Строго говоря, применение формулы (34) для всей поверхности
профиля допустимо лишь при безударном входе на тонкую, мало
искривленную дужку и плавном сходе потока с задней ее кромки.
Вспоминая, что подъемная сила представляется главным вектором
сил давлений на поверхность профиля, заключим, что соотношение (34)
сохраняет свою силу и для коэффициента подъемной силы, так что
с су нож (35)
Су ел; — ,- — • \У°}
§ 52| ТОНКОЕ КРЫЛО В ЛИНЕАРИЗИРОВАННОМ ПОТОКЕ 337
Заметим, что последнее соотношение, как „суммарное" (по
поверхности профиля), оказывается верным в более широком диапазоне
чисел Мм, чем „местное" соотношение (34). На рис. 106 приведены для
w/сж
Су неж
г_^—— _
_х_
Vi-Mi.
■—-" т ~-^
о,<*
0,5
0,6
0,7
0,9
1,0
Рис. 106.
сравнения теоретическая кривая по формуле (35) и экспериментальные
пунктирные кривые по опытам А. Ферри,1 проведенным над тонким
(6,5%) мало изогнутым
винтовым профилем при 3' Л
углах атаки 2° и 4°.
Как видно из
рисунка, при
сравнительно небольших
значениях числа Моо
совпадение только что
изложенной
простейшей теории с опытом
вполне
удовлетворительно; при больших
значениях числа М^,
намечаются
принципиальные расхождения
кривых.
Очень просто решается вопрос об определении обтекания
тонкого крыла или дужки сверхзвуковым потоком (М^>>1), если встать
"а путь применения линеаризированного уравнения (15')- Рассмотрим,
"апример, обтекание тонкого крылового профиля (рис. 107),
образованного из двух кривых, имеющих уравнениями:
1 А. Ферри, Исследования и испытаниям аэродинамической трубе
сверхзвуковых скоростей в Гвидонии. Сб. статей „К вопросу о максимальной
скорости самолета", Оборонгиз, 1941, стр. 198.
Рис. 107.
22 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
338 ПЛОСКОЕ БКЗВИХРЕВОК ДВИЖЕНИЕ СЖИМАКМОГО ГЛЗл [гл. VI
1) верхняя поверхность
Л = К (х),
2) нижняя поверхность
У2 = К (*)•
Замечая, что общее решение задачи об обтекании тонкого профиля
сверхзвуковым потоком складывается из двух функций:
проведем через точки верхней поверхности характеристики первого
семейства
х — <ау = С1,
а через точки нижней поверхности — характеристики второго
семейства
Х-\-<ау = С2.
Характеристики (линии возмущения) АА1 и А42, проведенные
через переднюю кромку А, отделяют невозмущенный
плоскопараллельный поток слева от крыла. Поток, расположенный за
характеристиками ВВ1 и ВВ2, проведенными через заднюю кромку В, также
плоскопараллелен. Между этими крайними линиями возмущения
находится поток, возмущенный поверхностью крыла, причем вдоль каждой
из полос между двумя бесконечно близкими характеристиками поток
одинаков с потоком в непосредственной близости к соответствующему
элементу поверхности крыла.
Согласно второй из формул (27), будем иметь для верхней (в. п.)
и нижней (н. п.) поверхностей (здесь штрих обозначает производную
от Aj, A2 по х):
2h\ (х)
Рв. п. =
Х-1
2h'3 (•*)
У<-1
(36)
J
причем отрицательный знак соответствует положительному знаку
перед у в уравнении второго семейства характеристик.
Найдем коэффициенты сопротивления сх и подъемной силы Су
Имеем для элемента поверхности крыла ds следующее выражение
проекций сил давления:
dRx = р ds • sin 6 = р dy = p -2- • dx = pti (x) dx,
dfiy = — p dscosb = — p dx.
§ 52j тонкое крыло в линеаризированном потоке 339
1
Суммируя для верхней и нижней поверхностей, получим
хв
хв
9
Vm^-i
[hx (x)Y f [h, (х)\г) dx ■ ~ Poov£,
[h[ (x) -j- h% (x)] dx ■ T p^V't,
Разность абсцисс х£ — xA точек В и А обозначим через Ь и
примем за хорду, разность ординат ув—уА положим равной
величине — h, при этом отношение hjb можно в выбранном приближении
рассматривать как угол атаки а. Тогда, переходя к коэффициентам
сопротивления сх и су, равным:
°i Rv
^-РооО
4-р» о
получим окончательно
2
с„ =
6 Ум,
4
== f \{h,{x)f+[hz{x)f}dx,
/м^-i b VvL-i
(37)
Из формул (37) можно сделать следующие два основных вывода:
1) s линеаризированной теории тонкого крыла коэффициент
подъемной силы не зависит от формы крыла, а только от угла
атаки и числа Мш набегающего потока, 2) в отличие от
дозвукового потока, тело, находящееся в сверхзвуковом потоке
идеального газа, испытывает сопротивление; это сопротивление называют
волновым.
Коэффициент волнового сопротивления сх но сравнению с
коэффициентом подъемной силы су представляет малую величину второго
порядка. Так, например, если взять пластинку длины Ь, то
n't (х) = к'.л{х) = — -т- == — а.
По первой из формул (37) получим:
4а2
с„ =
УК,
1
(37')
22*
34ft ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Коэффициент волнового сопротивления пластинки пропорционален
квадрату угла атаки.
Можно легко показать, что у крыла, имеющего вид чечевицы,
состоящей из двух дуг круга одинакового радиуса, коэффициент
волнового сопротивления будет равен (/—максимальная толщина
крыла, -г относительная его толщина):
т. е. сумме коэффициента сопротивления пластинки и добавочного
слагаемого, зависящего от относительной толщины крыла. Как это
следует из первой формулы (37), пластинка, по сравнению с другими
тонкими профилями при том же угле атаки, имеет наименьший
коэффициент волнового сопротивления.
§ 53. Нелинеаризированные уравнения движения идеального
сжимаемого газа. Переход в плоскость годографа.
Уравнения Чаплыгина
В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие
случаи до- и сверхзвуковых течений, которые приводили к
возможности использования линеаризированных уравнений движения. Малость
возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать
вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных
элементов потока и их производных. При обтекании крыловых профилей
сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться
линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а
приходится обращаться к общим, нелинеаризированным уравнениям течения
сжимаемого газа.
Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на
изложении различных существующих методов приближенного решения
нелинеаризированных уравнений.1 Наибольшее применение для решения
газодинамических задач в последнее время получили уравнения
Чаплыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной
докторской диссертации,2 представленной к защите в Московский
университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в
уравнениях движения сжимаемого газа перейти от независимых
переменных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным:
модулю скорости движения ! V |, в дальнейшем обозначаемому через w,
1 См. И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и и и Н. В. Р о з е, Теоретическая
гидромеханика, ч. II, гл. I, Гостехиздат, 1948, а также Р. Зауэр, Введение
в газовую динамику. Гостехиздат, 1947.
2 С. А. Чаплыгин, О газовых струях. Учен, записки Моск. универс,
отд. физ.-мат., вып. 21, 1904.
дф
Po dy'
v = !y->
P дф
Po — "oGt
§ 53] НЕЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 341
и углу 9 вектора скорости с осью Ох, в плоскости годографа
скорости, то нелинейные в физической плоскости {х, у) уравнения
газовой динамики становятся в плоскости „годографа скорости" (w, 6)
линейными.
Для доказательства этого важного результата используем
введенные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив:
(39)
где о0 — плотность в покоящемся газе; отсюда следует:
и dx -j- v dy = do, \
— vdx + udy = ^db, i ^
P T )
или, умножая второе уравнение на *'=]/"—1 и складывая с первым,
(и — w) d{x-{- iy) = do 4- jf2 rf<ji.
Заменяя в последнем равенстве:
к — w---=we-ih, x-\- iy = z,
получим соотношение
dz = (do-j-ifd^±e<\ (41)
обобщающее па случай сжимаемого газа известную уже по
предыдущей главе связь между сопряженной скоростью и производной от
комплексного потенциала по координате.
Чтобы перейти к новым независимым переменным w и 6, будем
считать г, <р и ф функциями те» и 8; тогда равенство (41) перейдет
в следующее:
дг_
dw
й —
=i.(pL+i?±meibdwjr±(^+i?imeibdb.
w \dw ' р dw J ' и/ V 36 ' р об/
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых
дифференциалах новых независимых переменных, получим:
f!L = _L(j!2.-j-;e!Li^,«
dw w ■ dw ' р dw
i£— L/^-M^^e" I
(42)
342 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Напомним, что входящая в систему (42) величина ^, равная по
известной формуле изэнтропического движения
1
а_(,
k — 1
М-2
■■)
it—1
(43)
зависит только от величины скорости w, а не от ее направления Н.
Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую
переменную г, продифференцируем первое уравнение (42) по 6,
второе— по w и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу
очевидного соотношения
ЪЧ _ d4z
dbdw dwd%'
получим равенство:
1 С д?т
w \d6dw
,-Ро дЦ
р дб dw
1 <М1
ie%
й
1
,д<ь
[1 w dw
дЦ
L^Arte
w\dwdd ' р до) дб
«9-
которое после очевидных сокращений и выделения действительных
и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений:
1 ду _ d / 1 pn\dii
w dw dw\w p ) db '
1 ду р0 д'Ь
w dQ p dw '
Замечая, что
(44)
dw \ p /
Po ^Р
p2 rfo/
_ Pu dp dp __
ffi dp dw
Po 1 dP
p2 д2 fifa)
а по теореме Бернулли
найдем
wdw = ■
d
dw
Po
dp
p a2
после чего система (44) окончательно перепишется в форме:
<}до р ш» ^ ' дб
б? po di>
дб p dw'
Введем вместо w переменную Чаплыгина т, равную
k — 1 wi
(45)
1 а*
где а* — критическая скорость.
S 53]
НЕЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
343
Заменяя в формуле Бернулли (гл. IV)
W'
+-
а'
k+l
2 * k — l 2 (k—l)
согласно предыдущему равенству
получим:
а'",
откуда следует:
7'' -
М8 =
k+l
k — l
Ч)
w1
я3
а** =
w»--^
2
" k —
w2
~~7'•
«2
* — Г'
X
1 — М2 = -
k — l
1—1
a no (43)
кроме того,
j*__-fi _i_ *—1ма^*-1 =
= 1+-
(1 _ х)1/*-1 '
dtp dt d? fe—1 да d?
Эту Эту дт
fe + 1 я*' дх
д6_
dw
k — l w д<\>
ft + 1 a*2 a-
Подставляя только что найденные выражения в систему (45)
получим систему уравнений Чаплыгина:
k+l . )
k — l ' dj>
2х di
£
i
i
Ж
(1-х)
i/ft—l dx
(46)
Перекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений
системы (46) можно получить раздельные уравнения для ? и4, причем
эги уравнения будут линейными уравнениями второго порядка в
частных производных. Так, например, уравнение для функции тока 6
имеет вид:
J)_
д-.
2-(1
А—1
£]+
А±А х
fe—I <^J. _
'О
2x(I — г)
ft—l
344 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
или, если вернуться к координатам w, 6 и ввести местную скорость
звука а,
W
disfl
я2 / дда
д2 ) dffl
(47')
Диссертация С. А. Чаплыгина содержит изложение ряда
применений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел.
Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд,
которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости
газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая
интересующихся к оригиналу,1 обратимся к рассмотрению другой
задачи — о дозвукоком безотрывном обтекании крылового профиля.
§ 54. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета
влияния сжимаемости на распределение давления
Следуя С. А. Христиановичу,2 введем прежде всего в уравнения
Чаплыгина (46) вместо независимой переменной г новую переменную к,
равную
тогда, замечая, что
дх
' дх дХ
V-
k + 1 1
д_
д/.
k-l 2Y:-
перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде:
Л_+ 1 _1__й_
"* — Г 2^ дк '
дЬ
31 ~"
k — \
1 \ЧК
1-Х2
д\'
ft—1
X2
к
ft—1
бф_
дЬ
ds=^
1 —Х2 dX
k-\X2 к
k+ 1
(49)
Если теперь ввести вместо X независимую переменную s,
связанную с а дифференциальным соотношением
(50)
1 В настоящее время вышло новое издание работы С. А. Чаплыгина
„О газовых струях" в серии „Классики естествознания", Гостехиздат, 1949.
2 С. А. Христианович, Обтекание тел газом при больших
дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также С. А.
Христианович и И. М. Юрьев, Обтекание крылового профиля при докритической
скорости потока. Прикл. матем. и механ., т. XI, вып. 1, 1947.
§ 54] МЕТОД ХРИСТИЛНОВИЧЛ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 345
то система уравнений (49) приобретет „каноническую" форму:
\ (51)
W~VK~ds
где величина К представляет следующую функцию л:
К= ^^ к_±Г- (51')
а+1 ;
Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля
сжимаемым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях,
основанное на применении упрощенной системы уравнений, было дано
впервые проф. Н. А. Слезкиным в 1935 г.1
С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного
обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования
строгой системы уравнений (51) путем последовательных приближений.
В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого
по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода
С. А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим
приближением, дающим при не слишком больших дозвуковых
скоростях2 удовлетворительную точность.
Выразим величину К в функции числа М. Для этого заметим, что
по формулам (66) гл. IV:
П
+ *-i
2
у i + ^-Lm*
а следовательно:
1 —кг t= 1 —
i+A__LM2 1 + -Ц-1м25
1 -о , k— 1 k + 1 М-
k+l* k + l 2 i-4-*±m* i+±=±m'"
1 Н. А. С л е з к и н, К вопросу о плоском движении газа. Труды МГУ,
,Г)3">, а также ДАН, нов. сер., т. Ill, № 9, 1936.
2 См. только что цитированные работы С. А. Христиановича и
особенно последнюю из иих, в которой дан подробный анализ первого
приближения. Вопрос об области применимости рассматриваемого приближения
далее несколько уточняется.
346
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
|ГЛ. VI
Таким образом, К, как функция от числа М, равна:
Af=(l-M2)(l +-^2-1 M8)*-'. (51")
Приводим график зависимости величины У К от 1иМ (рис. 108),
а также табл. 7 значений У К для воздуха (&=1,4).
Таблица 7
X
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
М
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
УК
1,0000
1,0000
1,0000
0,9999
0,9996
0,9991
0,9982
X
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
М
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
Ук \
0,9965
0,9940 |'
0,9899 !'
0,9840 |:
0,9754 \
0,9632 '
0,9461 ;
i
X
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
М
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
УК
0,9221
0,8925
0,8416
0,7740
0,6788
0,5092
0
Как видно из графика и таблицы, |/ К при не слишком близких
к единице значениях X и М мало отличается от единицы; так,
например, при Х = 0,65, М = 0,61
величина У~К только на 5%
отличается от единицы.
Заменим в системе (51)
У К постоянной величиной,
которую включим в состав
функции ф. В частности, можно
ПОЛОЖИТЬ /<■== 1 ИЛИ К = Коо-
Тогда вместо точной системы
уравнений (51) получим в
плоскости (s, 9) приближенную
систему уравнений
ду д'Ь дер дф
(53)
ничем не отличающуюся от
условий Коши — Риманна,
связывающих <р и ф в плоском"
движении несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить
с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа (s, Щ для
несжимаемой жидкости (Х = 0) („змейка" над буквой показывает, что
соответствующая величина относится к потоку несжимаемой жидкости):
д? д<\> ду дф
dT ds ds д$
(53')
§ 54] МКТОД ХРИСТИЛНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 347
Здесь под 'J понимается угол вектора скорости несжимаемого потока
с осью абсцисс, а под 5 — величина, определяемая равенством
* = ТвТ' (х = ^> (54)
иы гекающим из (50) при к = 0.
Предположим теперь, что в физической плоскости течения
несжимаемой жидкости z определено обтекание заданного крылового
профиля С с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней
кромки профиля. Вычисляя w, X, 6, s, с? и i( в функции от х, _у,
можем определить и все элементы в плоскости годографа (Й, s),
в частности граничные условия задачи в этой плоскости.
Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура
сжимаемым газом, потребуем, чтобы:
0 = 1), s = s! (55)
Для этого, согласно (50) и (54), достаточно связать скорости w
и w или, что все равно, безразмерные скорости X и X соотношением:
J/PIt^--.ff+""■*•
Г k + 1
в котором константу можно определить из условия, чтобы отноше-
X , п
пие — стремилось к единице, когда X стремится к нулю. Соответ-
X
ствующая связь X (X) или X (М), ввиду некоторой громоздкости ее
аналитического выражения, приводится в табл. 8 и в виде графика —
на рис. 108.
Таблица 8
) _ w
й*
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
1 ^
1 ~ л)
М '■ = —
1 а-
\
0
0,0457
0,0913
0,1372
0,1832
0,2294
0,2759
1. w
i
1|
0 ; 0,35
0,0500 II 0,40
0,0998 1 0,45
0,1493 0,50
0,1983 j: 0,55
0,2467 |i 0,60
0,2943 |. 0,65
M
0,3228
0,3701
0,4179
0,4663
0,5152
0,5649
0,6154
' ~ "a* ]' ' ~~ a*
■
0,3410
0,3862
0,4307
0,4734
0,5144
0,5535
0,5904
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
M
0,6668
0,7192
0,7727
0,8274
0,8834
0,9409
1,0000
~ W
a*
0,6251
0,6568
0,6857
0,7110
0,7324
0,7483
0,7577
348 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Заметим, что при рассматриваемом допущении К = const
соотношение (55') могло бы быть заменено более простым приближенным.
При выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет
обычными приемами теории плоского несжимаемого потока найти
в плоскости годографа (s, 6) поток сжимаемого газа, отвечающий тем
же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости (s, 9).
Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости
течения z контур С совпадет по форме с изученным в плоскости г
несжимаемого потока контуром С.
Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров,
а следовательно, и сами контуры С и С не будут одинаковы. Можно
было бы доказать, что при не слишком больших дозвуковых
скоростях разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах
С. А. Христиановича вопрос об указанном различии между профилями,
о возникающих при этом изменениях в потребной для плавного
обтекания задней кромки профиля циркуляции и другие относящиеся
сюда вопросы подробно исследованы.
В дальнейшем, в порядке простейшего приближения, будем
пренебрегать указанной разницей между формой профилей в физических
плоскостях сжимаемого и несжимаемого потоков.
Чтобы получить интересующее нас соотношение между
распределениями давлений по поверхности профиля при сжимаемом и
несжимаемом обтекании, составим выражения для соответствующих
коэффициентов давления рпя и р . Имеем по теореме Бернулли для
несжимаемого газа:
уРноеЛоо \Шнооо/ \ /.„/
и для сжимаемого:
- = Рож — -Рож со = _ЯР_ _ _?_ /_^_\2 __ 2{' •»_ =
°Ж ' „ «,|3 ow" 'j l W J U W1
2 f 1 + —2~M- y-^ . >. . 2
"M 14.*^!m»J (O *M2,
Замечая, что по (52)
M2 =
М'
2>.2
*+1 —(А —1)>Г
получим:
§ 54] МЕТОД ХРИСТИАНОВЙЧЛ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
и следовательно,
349
- k + 1 — (k — 1) Х2
Pax _ kV>~
k — \
\% I
k+1 «v
или, после простых приведений:
1
- _ fe+1
"ож t
^-Ul
A— 1 ,2\fc—1
k+1
k + 1
(57)
Задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом
обтеканий 'Шоо или величиной Х^, найдем по табл. 8 соответствующее
значение Хоо; затем, придавая различные значения X и определяя по той
I.U
Рцс
0,9
0,8
0J
ОН
0,5
B,k
о»
.-' ■>
0J
- -г-
- —
—
1
1 1 1
! !
: 1 ! ' г
: 1 1
i
Г
л*
**,
/
4
■у/
А/
'л
"в
U,
до
0,90 ~
' J
14
70
1
i
1
i
V///,
'
1
'М„=0М
Yo,n
60
i
1
1
•
—
0 0,\ 0,2 0.3 ОА 0,5 0,6 0,7 0,8
Рис. 109.
0,9 1,0 fj рсм 1,г
Же таблице X, определим связь между рож и рва при помощи пара-
Метрических формул (56) и (57), что и дает искомое решение.
На рис. 109 и НО представлены рассчитанные по первому
приближению Христиановича [формулы (56) и (57)] номограммы связи
v
V
N
J
J
\
"X
!l_
\
Э
\
\
V
1
1
lK
еэ \
V
\ \
V\°\
<|^ч\
Л
?k
ч
v\
ъ
•^N
л
s\
\
V
\
4
V
s\s
!
1 1
!
1
п Т.!
—
—
4
\
\
Ф
V
\
\
b"
\\
1
!
; j
L
J
—i—
! I
Г"
!
: 1 Г ' 1
■■■[■■
l_ 1
!s_
A
\ C
i\
Щ
i
\
и
л
\\
4^;
->
<*K
y\
V
4
\
Д
A
\\
\\\
\\
\\
i
-
\4
cX
■«>
]
Ч1*
V
\
0
№
\
V
^
Г^
\4
V
4
[
I. ._j ..
—■
■-
:T
Iх
\
\\
0
\
M
\\
*a
^
чч
a
&Ч
<
—
._
. п.
\?
w
~v
V
>4
s\^
\v
^
\1
^
в
\
N
\
Л
V
^
^
^
._
"i
i i -
1
i !
i
i
—
[
A
\N
V
\\
—
\S
t
A
V
l\
\ ^
4
\
\ V
i j
i ' ■
...
«■о
A
\\
1
1
M
--
-
---
-
1 !
i „
—
—
CD"
И
w
\\
^
^
1
! !
—
Й1
N^T
—
IJ
Л \ \'
—
j
1
f°
^
v\ If. Q=
-
ЩИ\\и\ [. с*
1 ш\ \ 4i\\\N\ V.
j ■; ! "i
ZZLLT;"
L
1
1
ill!!
1
i hi i i
! i J
_ .._, , i
1
-
J-
to
CO
^х\^Ш1м
^ЩУШ
t~i
! ' [ 1
Mill
—
—
i i l4
1
£
\c£r
сэ
<\f
Cr>
1
со
1
N-
V
T"
to
■"p"
i
C4j CC;
^g
¥
1 Cj
V
Оз
1
со
!
C^-
to
1
>гэ
cS"
-3-
c=T
«->
1
Cvj
c=T
^~
1
I Ift
!Й s 5- Э-
tsj ^.
§ 54| МЕТОД ХРИСТИЛНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 351
между р и р для различных значений числа Мот набегающего
потока. х
Пунктиром на рис. ПО указана граница применимости первого
приближения; вправо от этой линии к > 0,85 и первое приближение уже
недостаточно для учета влияния сжимаемости.
На рис. 109 дана номограмма пересчета положительных
давлений (разрежений), на рис. ПО—отрицательных давлений. Пересчет
по этим номограммам рао в рож при заданном Моо не составляет
труда.
Как показывают номограммы, влияние сжимаемости газа на
распределение коэффициента давления в первом приближении сказывается в
увеличении абсолютной величины коэффициента давления. С ростом
числа Моо картина распределения давлений как бы обостряется: расту г
'!,0]
Рис. Ш.
разрежения и давления, кривые распределения давления по верхней и
нижней поверхностям раздвигаются, ограничивая все большую
площадь; так что, естественно, возрастает циркуляция Г и
коэффициент 'подъемной силы су.
Существенно отметить, что при этом становятся более высокими
и крутыми пики разрежения.
Рассмотренное приближение не позволяет обнаружить замеченного
на опыте добавочного смещения пиков разрежения вниз по потоку,
аналогичного тому, которое имеет место в потоке несжимаемой
жидкости при увеличении относительной толщины профиля (рис. 111).
1 В. С. Поля дек и й. Расчет распределения давления при больших
скоростях полета. Издательство Бюро новой техники НКАП, 1943; там же см.
таблицы пересчета и указание поправок по второму приближению.
352 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГлЗА [гл. VI
Примером влияния числа Мот на распределение коэффициента
давления могут служить кривые, показанные на рис. 112, относящиеся
к верхней поверхности некоторого крылового профиля.
Р.
1,0 xk
to J
Рис. 112.
Рис. 113.
Можно разыскать и непосредственную, явную связь между рож и рад, если
воспользоваться указанным Чаплыгиным приближенным приемом замены
действительной изэнтропы касательной к ней прямой.
Возьмем точку (ри, — J изэнтропы (рис. 113)
р = Ч
(58)
и проведем касательную к изэнтропе в этой точке; вычисляя угловой
коэффициент
dp
= -*-Т- Ро
Ро ,к + 1 _
'(N't)'
Ро
Р=Рп
получим уравнение касательной в виде
P-Po = ?*X(—-j)-
(58')
Используя приближенную нзэнтропу (58') и вводя вместо >. новую
переменную
(59)
да /
k+i
получим:
да" — а" =
1 — М3 =
1 и.
i-t-i*2 V^ + n2
1 Я. И. Л е в и н с о н, Аэродинамика больших скоростей. Оборонгиз, 1948,
стр. 266—277.
$ ■>■!]
МЕТОД ХРИСТИЛШЖИЧЛ. ПРИПЛИЖКННЬШ ФОРМУЛ 1>1
:,yi+V2f.
моею чего система уравнений (45) § 53 примет вид:
Ж
ду 1 д-Ь
п, после замены переменных,
У'1+[хЗ дЬ
djj.
; ds
:>■ У 1 -t- и"
совпадет с системой уравнений (53); при этом К= 1. Соотношение
безразмерных скоростей (55') заменится простым приближенным равенством
Г rfu. __ | dp
•J Z J и V\ 4- ix" '
которое .четко интегрируется и дает
In p. —- In —
= > In С.
i н- т^г -г
Подчиняя посюяннук) интегрирования С условию:
при и->0 — > 1,
[А
найдем, что (7 = 2 и, следовательно, окончательная форма приближенной связи
между скоростями обтекания крылового профиля несжимаемым и сжимаемым
газом будет иметь вид:
* (130.
пли, разрешая относительно \>,
с.
(60')
4 - ti*
Выведенные только что приближенные соотношения вытекают из
предыдущих точных, если положить в них k = —1, предварительно, где это
надо, заменив А на (а по (59). Такой формальный прием полезен для
сокращения выкладок и будет далее использован.
Выразим pw и ра,}. через эти новые переменные. Будем иметь
непосредственно по (56) и (59):
Р»0 = ! ■
(61)
Далее, пользуясь определением (59), получим при k = — 1 вместо (57)
/>.,.,: = -*-
= -2
— 1
(V^S-V^rJ-
(62)
23 Зак. 1811. Л- Г. Лпниянский.
354 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЙ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Но, согласно
так что
Я«: = '
(60'):
i+i* i+ 16? (4+?Т.
(4-^2)2 \4-(iV
~ /4+^\2
! + ^= д ~а )'
0Vl+^/4+? 4-f'i£,\
l4 U-> 4-^ J
„VT+& 8(^_^)
i4 (4->)(4-^)
Из (61) сразу следует:
кроме того,
I*2 ~ 1'4 = — К-сРЯ0 • ^' = V-%, П —Р™)'
при & = — 1:
/ да V да3 Ма
2 | со ^ ^со * *со
"0°"U>'-aL(l+*7lMi.) 1~М-'
1 1 н1 - 1 1 М" 1
1 " 1 *"■*> ' 1 , «/,2 , лл2 •
1 _ М2 1 — М
* *со * со
Подставляя эти выражения в равенство (62'), получим
Рож
16 ут^Ж ^™-
ML [4-(1-/ноШ(4-^)
Наконец, заменяя еще в последней формуле, по (60),
2^ 2Мга
^со =
i + Vi + pL i + Vi-К,
(62')
после простых приведений, окончательно получим искомую приближенную
формулу:1
Рож
Vi-K + i
m
(63)
2 1 + |Л-Л&
1 Г. В. Липман и А. Е. Пакет. Введение в аэродинамику сжимаемой
жидкости. Изд. иностр. лит., 1949, стр. 226 — 243.
541
МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
355
Если при малых значениях ркд, что соответствует теории тонкого крыла,
пренебречь вторым слагаемым в знаменателе, то формула эта перейдет в ранее
указанное соотношение Прандтля:
Рок =:
(63')
Формула Жуковского подъемной силы крылового профиля
Я = Р,,ЛоГ<ж (64)
остается справедливой и в случае дозвукового обтекания профиля
сжимаемым газом, причем циркуляция, соответствующая этому
обтеканию, может быть получена из
циркуляции, соответствующей
несжимаемому обтеканию, по формуле '
(65)
I1
-■- ел: —
Vl-M^
'1.0
Рсас
-0,8
-не
-ft*
-о,г
Эксперимент
Христианович
(Iе приВл)
Карман - Тзян
ПранЭтпь
Аналогичные формулы имеют
место и для коэффициентов подъемной
силы и момента. 2
На рис. 114 приведено сравнение
с опытом результатов расчета
коэффициента давления рож в одной
точке верхней поверхности крылового
профиля NACA 4412, находящейся
на расстоянии 30% хорды от носика,
при угле атаки а = — 2' и при
различных значениях числа М,».
Как видно из рисунка, примерно
до Mm = 0,2 все методы, включая
и приближенную формулу
Прандтля (63'), совпадают. Профиль NACA 4412 имеет
двенадцатипроцентную относительную толщину и сравнительно большую (4%)
вогнутость; этим объясняется, почему приближенная формула Прандтля,
пригодная лишь для тонких, мало изогнутых профилей при малых
углах атаки, оказывается неприменимой даже при сравнительно
небольших значениях числа М^. Кривая, рассчитанная по Христиановичу,
О
0,2
о А
Woo
Рис. 114.
0,6
0,0
1 См. ранее цитированную работу С. А. Христиановича 1940,
а также М. В. Келдыш н Ф. И. Ф р а н к л ь, Внешняя задача Неймана
Для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла
в сжимаемом газе. Изв. АН СССР, отд. матем. и естеств. наук, 1934.
2 В. С. И о л я д с к и й, Влияние сжимаемости на аэродинамические
характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство Бюро
новой техники НКАП, вып. 21, 1943.
23-
356 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
совпадает с кривой, соответствующей формуле (63), до чисел
Моо = 0,5, а затем располагается несколько выше; следует отметить
что, как это видно из номограммы на рис. 110, при рп0 = — 0,6 и
М~о = 0,6 мы уже выходим за границы применимости принятого
приближения. На том же рисунке показаны жирными точками результаты
экспериментов.1
§ 55. Критическое число М и его определение по заданному
распределению давления в несжимаемом обтекании. Поведение
коэффициента подъемной силы и момента при
около- и закритических значениях числа М
В предыдущем параграфе предполагалось, что в рассматриваемых
условиях обтекания крылового профиля и при выбранном значении
числа Мсо в набегающем потоке нигде, ни на поверхности профиля,
ни вне его, не образуется область сверхзвукового течения, или, точнее,
не возникает скорость движения газа, равная местной скорости звука.
Число Моо в набегающем потоке, при котором хотя бы в одной
точке потока возникает скорость, равная местной скорости звука
(М = 1), называется критическим и обозначается МК1,.
Все рассуждения предыдущего параграфа, таким образом, верны
только при Мх, < Мкр. Более того, поскольку было использовано лишь
простейшее приближение, применимость изложенных методов расчета
ограничивается значениями M^, не слишком близкими к Мкр.
Изложенные соображения показывают, насколько важно уметь
определять критическое число Мкр для заданных условий обтекания
крылового профиля. Для вычисления Мкр составим формулу связи между
давлением /?„, и числом М^ в бесконечном удалении от крылового
профиля, с одной стороны, и соответствующими величинами в точках
на профиле — с другой. Принимая поток в целом адиабатическим и
изэнтропическим (при М <= 1 скачков уплотнения быть не может!),
составим выражения:
к
А,=р(1+*-^М»)*-\
к
и разделим их одно на другое; тогда получим искомую связь
'" V + V-M» J '
1 Г. В. Липман и А. Е. Пакет, Введение в аэродинамику сжимаемой
жидкости. Изд. иностр. лит., 1949, стр. 312.
§ 55] КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО M И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 357
из которой определим коэффициент давления р:
Р —/'со Р "/'со ^Роо 2 IP
Р 1Р у* Р« ' p„Vl к Ml. ^Ро
г со v со
2
г со со
1
* —! м2
1 2 °°
н
"71 м«
к
й—1
ш?
Предположим теперь, что где-нибудь на профиле скорость достигла
местной скорости звука и местное число М стало равным единице;
тогда р достигает минимального по сравнению с другими точками
потока значения /?мш?> а число М^о становится равным Мкр.
Следовательно, если в предыдущей формуле положить:
Р = Яшн, М^ = Мкр, М = 1,
то тем самым определится искомая связь между Мкр и ртш:
'"-■ - *■■ КтЬГЬ+^ <Г- ']■ «*>
Здесь неличина /?МИ11 обозначает, конечно, истинный коэффициент
давления, уже учитывающий влияние сжимаемости газа, т. е.
Ямин === (/'ож^мип •
Формула (66) в связи с этим не представляет практического
интереса, так как пересчет с (рНо)мин на (/»иж)мни ко формулам первого
приближения в этом случае недопустим; действительно, при Моо = Мвр
к точке, где рах = (риж)мян > скорость газа равна скорости звука,
М=1 и, следовательно, первое приближение уже неприменимо.
Приводим более удобный для практики график (рис. 115),1
позволяющий определять критическое число Мкр по заданному значению
0»но)мин, рассчитанному по обтеканию профиля несжимаемым газом
(гл. v7§ 48).
При приближении числа Мт к критическому его значению Мкр
влияние сжимаемости увеличивается, а при переходе через критическое
значение — существенно изменяется. Вблизи точки минимума давления
1 См. В. С. По ляде кий, Влияние сжимаемости на аэродинамические
характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство
RK>po новой техники НКАП, вып. 21, 1943, стр. 1.
360 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
1Су),жУГчл1
м~=м,
КР
Мп
Рис. 117.
к критическому значению числа Мет быстрота роста убывает и су,
перейдя через максимум, начинает уменьшаться. Объясняется это резким
восстановлением давления за скачком уплотнения на верхней
поверхности и возрастанием
разрежения на нижней.
При дальнейшем росте
числа Мю скачок на
верхней поверхности
отодвигается к хвостику крыла,
так как сверхзвуковая
зона (рис. 116)
расширяется. При этом область
разрежений на верхней
поверхности возрастает,
область же восстановленного давления за скачком убывает. Кроме
того, сверхзвуковая зона возникает и на нижней поверхности, а
скачок уплотнения, замыкающий эту
сверхзвуковую зону, увеличивает
давление на нижней поверхности,
и сч вновь начинает возрастать.
Столь резкие перераспределения
давления от сильных разрежений
в сверхзвуковой зоне до
значительного восстановления давления за
скачком не могут не повлиять на
коэффициент момента. Как видно из
диаграммы на рис. 118, при заднем
расположении скачка на верхней
поверхности и среднем расположении
скачка на нижней на крыле должны
нозникать силы, показанные на
диаграмме давлений стрелками,
приводящие к пикирующему моменту,
который, если его не компенсировать специальными приспособлениями,
может служить причиной серьезных аварий самолета.
Рис. 118.
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке
сжимаемого газа. Обобщение теоремы Жуковского
В § 49 было выведено обобщение теоремы Жуковского о
подъемной силе изолированного крылового профиля на случай профиля
в решетке, обтекаемой несжимаемым газом. Попытаемся обобщитьг
1 Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Обобщение формулы Жуковского па случай
профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, при дозвуковых скоростях,
Прикл. матем. и мех-ан., т. ХШ, № 2, 1949.
§ 56] РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 361
к№4
последнюю теорему на случай решетки в докритическом потоке
сжимаемого газа.
Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе и
условимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой
индексом „1", а за
решеткой— индексом „2".
Выберем в качестве
контрольной поверхности (на
рис. 119 показана
пунктиром), так же как и в
случае несжимаемой
жидкости, две линии тока,
смещенные друг по
отношению к другу на шаг t,
и два сечения ai и а2 f) p у/
трубки тока,
ограниченной этими линиями тока.
Применяя теорему
количеств движения в форме
Эйлера (гл. III) к
контуру контрольной по- Рис. 119.
верхиости, будем иметь
выражение главного вектора сил давления потока на профиль в виде
(t — вектор-шаг):
R = iPx ~P2) t -I- р, (t • v.) vt — р2 (t • v2) va,
(68)
причем, согласно закону сохранения массы,
Pi(t-V1) = pa(t-Va).
(69)
Век гор R на основании (69) принимает значение
и = (я,—/^t-pHt-vov,,,
(68')
где Vd обозначает ранее введенный вектор девиации (отклонения)
скорости потока решеткой
vd = va—vt.
(70)
Но теореме Берпулли для адиабатического и изэнтропического
"о гоков имеем:
lh~-P2 = Po
О-§^9
к
it—1
ft + 1
l.JV-.
]•
360 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
{С»)а* Яч&
МХ = М
кр
М.
Рис. 117.
к критическому значению числа Мм быстрота роста убывает и су,
перейдя через максимум, начинает уменьшаться. Объясняется это резким
восстановлением давления за скачком уплотнения на верхней
поверхности и возрастанием
разрежения на нижней.
При дальнейшем росте
числа Мсо скачок на
верхней поверхности
отодвигается к хвостику крыла,
так как сверхзвуковая
зона (рис. 116)
расширяется. При этом область
разрежений на верхней
поверхности возрастает,
область же восстановленного давления за скачком убывает. Кроме
того, сверхзвуковая зона возникает и на нижней поверхности, а
скачок уплотнения, замыкающий эту
сверхзвуковую зону, увеличивает
давление на нижней поверхности,
и су вновь начинает возрастать.
Столь резкие перераспределения
давления от сильных разрежений
в сверхзвуковой зоне до
значительного восстановления давления за
скачком не могут не повлиять на
коэффициент момента. Как видно из
диаграммы на рис. 118, [фи заднем
расположении скачка на верхней
поверхности и среднем расположении
скачка на нижней на крыле должны
возникать силы, показанные на
диаграмме давлений стрелками,
приводящие к пикирующему моменту,
который, если его не компенсировать специальными приспособлениями,
может служить причиной серьезных аварий самолета.
Рис. 118.
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке
сжимаемого газа. Обобщение теоремы Жуковского
В § 49 было выведено обобщение теоремы Жуковского о
подъемной силе изолированного крылового профиля на случай профиля
в решетке, обтекаемой несжимаемым газом. Попытаемся обобщить1
1 Л. Г. Лойцянский, Обобщение формулы Жуковского на случай
профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, при дозвуковых скоростях,
Прикл. матем, и механ., т. XIII, № 2, 1949.
§ 56] РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 361
к№4
последнюю теорему на случай решетки в докритическом потоке
сжимаемого газа.
Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе и
условимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой
индексом „1", а за
решеткой— индексом „2".
Выберем в качестве
контрольной поверхности (на
рис. 119 показана
пунктиром), так же как и в
случае несжимаемой
жидкости, две линии тока,
смещенные друг по
отношению к другу на шаг t,
и два сечения а1 и а2
трубки тока,
ограниченной этими линиями тока.
Применяя теорему
количеств движения в форме
Эйлера (гл. III) к
контуру контрольной
поверхности, будем иметь
выражение главного вектора сил давления потока на профиль в виде
(t — вектор-шаг):
Рис. 119.
R = (Pl _p2) t -|- Pl (t • V,) V, - ,о3 (t • V2) V2,
(Щ
причем, согласно закону сохранения массы,
Pitt-VO^Patf-Vg).
Вектор R на основании (69) принимает значение
R = (/',—/»9)t —Pi(t-vt)V,j,
(69)
(68')
где vd обозначает ранее введенный вектор девиации (отклонения)
скорости потока решеткой
:V2-Vr
(70)
По теореме Бернулли для адиабатического и изэнтропического
"отоков имеем:
к к
362 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
где X представляет скорость потока, отнесенную к критической
скорости:
К— а*' а — У А+Т °"
Производя разложение в ряд по степеням X, получим вместо
предыдущего равенства
Pl-P. = F^1Po(^-^[l-5(3rFI)(^ + 4)+...]- (71)
Составим еще среднюю арифметическую из плотностей до и за
решеткой
1 1
Рт = j(Pi + P2) = Po[(1 — §+-[**)* ^(l
k—\ ,2\*-i'
к-
k + 1 \
которая после разложения в ряды примет вид:
Р
'Po[l-W+r)rt+®-\-.-
Сравнивая последнее выражение с равенством (71), убеждаемся,
что с точностью до величин X4 имеет место приближенное равенство
Pi— Р2 = г—-—• -^{Уз— Vi) =
ft+ 1 р0 a*
2a'n 1 о 1
?,»• т (^ - К) = ~ ?,„ (v2+v,) • (va - v,),
(A + l) a- z *
или, вводя, как и ранее, среднюю векторную скорость
и скорость девиации потока решеткой (70), получим следующее при-
ближеное выражение для разности давлений до и за решеткой
Pi—Pa"PmV,»-Vd. (72)
Обратимся к рассмотрению второго слагаемого в правой частя
равенства (68'). Имеем по (69):
Pi (t' V,) = Рт (t • VJ + Pl (t • Vx) - Pm (t • V,„) =
= Pm (t • Vm) + (Ш - Pm) (t • V,H) =
\ Pi» J
- (I - i==^L) Pw (t • Vw) = l - (^)2l Pm (t • Vw). (73)
§ 56] РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 363
Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет
величину порядка Xi; действительно, по предыдущему:
Pi —Pa =
Ро
Pi + Р2 :
Pi — f
к+ 1
2ft, [l
(XS-
•>-i)
1
2 (А
i_(A3+^) + ...],
Р1 + Р2
Итак, с
1
!(х!-х;)-
i + *qrr^ + ^) +
4 (А + I)2
ранее принятой степенью приближения
Pilt-vo^P^Ct-v^).
]■
(74)
Подставляя полученные выражения рг—р2 и p1(i- V,) в основное
соотношение (68'), окончательно получим следующее приближенное
равенство:
R = Рш (V„ • Vd) t - Рт (t • Vm) Vd = PmVm X (t X. Vd), (7 5)
представляющее искомое обобщение теоремы Жуковского на случай
решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких
к докритическим значениям чисел М, и М2 вдалеке до и за решеткой.
В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка
ошибки, возникающей при пользовании этой приближенной формулой.
Относительная ошибка не превышает величины
0,2 (М2-
Ml)3.
Таким образом, приходим к следующему выводу: при докрити-
ческих скоростях подъемная сила профиля в решетке, обтекаемой
сжимаемым газом, может приближенно определяться по формуле.
Жуковского для несжимаемой жидкости, если плотность этой
жидкости приравнять среднему арифметическому плотностей
газа вдалеке перед и за решеткой.
Как показал Э. М. Берзон,' аналогичное обобщение теоремы
Жуковского будет иметь место с той же степенью приближения, если
вместо среднего арифметического плотностей взять среднее
арифметическое v' соответствующих удельных объемов газа до и за решеткой
или, что все равно, среднее гармоническое р' плотностей
Vi-
или
2 \pi ?2
Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в кото-
выполняется точно. Действительно, прибавляя
ром рш заменено на рт,
1 3. М. Берзон, О силе, действующей на профиль в решетке. Труды
1ешшградской военно-воздушной инж. академии, вып. 27, 1949.
364 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
к обеим частям (69) по равному количеству р1 (i • V^), будем иметь:
Pi* • (V: + V2) = (Pl + p2) (t • V2),
или, деля обе части на 2рьо2,
It.Yi^ i(± + l)(t.Ve);
отсюда сразу следует искомое точное равенство
p;(t-vj = p1(t.v1) = p2(t.v2). (7зо
Составляя разность
- pi Ч- Ра . 2piP2 _ (Pi + Р2)2 — 4pipg _
Pm P™ 2 Pl + p, 2(Pl+fc)
(Pl — Pi)2 _ ,. ( Pl — P2 ^2
— 2 (Pl + P2) lmVpi+pa
и вспоминая (74), видим, что с выбранной степенью точности рт
совпадает с р' .
Можно доказать, что теорема Жуковского для решетки в
сжимаемом газе выполняется точно, если заменить адиабату (изэнтропу)
на касательную прямую в точке (рф —], а удельный объем принять
равным среднему арифметическому удельных обьемов газа до и за
решеткой.
Для этого, подобно тому, k;ik это делалось в § 54, прежде всего перейдем
от переменной X к неременной \i, равной
I1
я о V k + 1
тогда уравнении пзантропнческого движения примут вид:
к
к — \ ,\к-\
= /»o(l
2 -<*'
к — 1 .\*-1
P-Pofl-V-^)
а замена изэнтропы касательной к ней будет эквивалентна использованию
равенства k = —1; в силу этого получим:
Pi—Pi=Po(Vl+£ — VT+~$)=p0-
А — 'А
Vi + hi + Vi + pI
.'«. 2 \р, ?2/ 2р«
§ 56) РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 365
Отсюда будет следовать:
?'шР0 (П Ч
2р0 \ ао ао
что при k= — \ и а^ = — i-2- дает
0 Ро
Pi—Pi =-2 Pin (V2 — V'b = ?mVm ' Vd-
Подставляя в равенство (68') полученное значение р^—р«, а также
значение рг (t • Vj) из (73'), окончательно найдем:
R = Рш <V„ • V,) t - ?т (t • VJ V, = ?mVm X (t • Vd). (76)
Итак, главный вектор сил давления потока на профиль в решетке,
обтекаемой сжимаемым газом, при докритических числах М выражается
той же формулой Жуковского, что и в случае обтекания несжимаемым газом;
это оказывается верным постольку, поскольку изэнтропа заменена
касательной к ней в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду
равной среднему гармоническому из плотностей газа вдалеке перед и за
решеткой. При расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной
степенью приближения использовать линейную изэнтропу, как это делалось в
§ 54; при этом естественно пользоваться и предлагаемым обобщением теоремы
Жуковского. Относительная разница между средней арифметической рт
н средней гармонической р' из плотностей до и за решеткой не
существенна, так как
Рт — Рт ( Pi — ?2 ' 2
[?1 р2_\ . 1 /у2 ?2ч2
Рт \ Pi + PzJ 4(*+ О'2
например, для воздуха (k = 1,4) это отношение не превосходит 4% от малой
величины (Х^ — Xj )2.
Вопрос об учете влияния сжимаемости газа на распределение
давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке
с данными параметрами еще не доведен до практического решения.
Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки
сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит
наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга.
Как было показано в § 51 (рис. 103), при возрастании числа М
в дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля
также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом
приближении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому
условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить § 52), то
следует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в .
раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное
расстояние между профилями в то же число - раз, т. е.
уменьшить в —- раз относительный шаг. Таким образом, влияние
Vi-<
3fit> ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАНА |гЛ. VI
сжимаемости газа на обтекание профиля в решетке оказывается
более значительным, чем в случае единичного профиля.J
Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет
место и при продувке единичного крылового профиля в
аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками.
Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом
на аэродинамические характеристики профиля быстро возрастает с
увеличением числа Моо набегающего потока.
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток.
„Характеристики" уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии
возмущения и их основные свойства
Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время
наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют
графические и аналитические методы приближенного решения задач
сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи
точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов
посвящены специальные курсы газовой динамики. 2
Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов
движения сжимаемого газа имеют „линии возмущения", представление
о которых уже было дано в § 28 гл. IV при изложении
нестационарного одномерного движения газа и в § 51 настоящей главы при
исследовании линеаризированного движения. Рассмотрим некоторые
общие свойства линий возмущения в плоском безвихревом
сверхзвуковом потоке.
Вернемся к основной системе дифференциальных уравнений
плоского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный
в § 28 гл. IV при решении задачи Риманна о распространении
„конечных возмущений", составим линейную комбинацию уравнений (4)
и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на kv
второе— на А2 и сложим их между собой. Тогда получим:
A2(a2-"2)g-b(^-M^)g-(^ + V^)^ + ^(«2-^)0 = o
или
-(>ч + М*) №-Ма*-V^ |g] = 0. (77)
v i ' 2 ' \_дх 1Л + л2и& ду\ v '
1 См. ранее цитированную книгу Липмана и Пакета, стр. 206.
2 Подробный и полный обзор опубликованных исследований по вопросам
сверхзвуковой аэродинамики как советских, так и зарубежных ученых см.
в курсе Кибель, Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханика ч. II.
гл. 1. Гостехиздат, 1948. См. также A. Ferri, Elements of Aerodynamics
of Supersonic Flows. New York, 1949.
§ Г)7| иклингаризированный сверхзвуковой поток 367
Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (х, у) такое
направление с угловым коэффициентом
dy
т = 1х'
чтобы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили
производные по этому направлению соответственно от и и v.
ди , /ч — Х2нр ди дгг , da d_y ди ,ди du \
дх ' Х2 (а2 — и2) ду 'дх ' ду ' dx дх ' ду dx' \
dv А2(я-— г/2) dv dv ,dv dy dv , dv dv \ ^ l '
dx Xt-f- A2«f dj> dx *~ dy dx дх'ду dx' \
Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины Xt
и Х2 очевидной пропорции:
X\-hUl = -^=^- = « (79)
л.2 (а- — и5) — (At -f- k2uv) K >
или, что все равно, удовлетворить системе равенств:
\х -— а2ии = /йа2 (а2 — и2),
а2 (я2 — ©2) = — /и (к1 -[■ Х2иг»).
Собирая здесь члены с Aj и а2, получим однородную систему
уравнений:
Aj — А2 [т (а2 — и2) -[- uv] = О,
ткх -j- л2 [а2 — D2 -)- ии] = О,
имеющую отличные от нуля решения только при равенстве нулю
определителя системы, т. е. при выполнении следующего квадратного
уравнения относительно т:
(u2~a2)m2—2uvm-\~(v2—a2) = 0. (80)
Составляя дискриминант уравнения (80)
«V — (и2 — a2)(v2 — а?) = а2(и*-j- t>2 — a2) = a2(V2 — а2),
убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения
только в сверхзвуковом потоке при выполнении условия
V^za или М^1.
В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два
соответствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80)
т —(аУ\ uv±aYV2-a2 (RU
т^ - \1х)г,2 2 (8 V
368 ПЛОСКОЙ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гЛ. VI
направления (будем их в дальнейшем называть
„характеристическими'1), вдоль каждого из которых функции и и v должны
согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению
h (а2 - «») g - (X, + Uuv) g = 0. (82)
Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80)
равно
»2_а2
т,т„ = — 5-,
1 2 и- ■— а*
перепишем уравнение (82) в виде:
dv _ l2 (я2 — и2) _ h (я2 — V2)
(83)
du Аг-)-Х2!Ш OTjmo (Xt -рЛони) '
или, согласно (79), так:
dv т uv rt а У V2 — аг
du ЩЩ v* — я2
Уравнение (83) может быть проинтегрировано в конечном виде
(что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука
представляет известную функцию скорости движения V = У и2 -)- v2.
Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного
распространения конечных возмущений в задаче Риманна, вдоль кривых,
представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные
функции и и v оказываются связанными известным наперед
соотношением (83) или его интегралом.
Семейства (С,) и (С2) интегральных кривых уравнения (81),
соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют
характеристики в плоскости (х, у), а величины т1 и т2,
определяемые тем же уравнением (81), представляют угловые коэффициенты
касательных к характеристикам или характеристические
направления в плоскости (х, у).
Будем называть для определенности кривые, соответствующие
дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед
радикалом
dy _uv + a YV% —<V
dx «2 — я2
характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения
dy uv — аУ~У2 — а3
dx~ и2—а*
характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости
годографа скоростей (и, v) два семейства Нх и Я2 кривых, опреде-
§ 571 НЕЛИНЕАРИЗИРОВА.ННЫЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 369
ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком
перед радикалом в правой части. Каждое из этих семейств также
представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа («, v).
Знаку плюс перед радикалом соответствуют характеристики первого
семейства, знаку минус — второго семейства. Обозначая через и
угловой коэффициент „характеристических направлений" в точках
плоскости («, v), будем иметь по (83):
*'2 \du)i,z m\m2 v-—а- *■ '
Характеристические направления в плоскостях (х, у) и (и, V), как
это сразу следует из (83'), связаны между собой очевидными
соотношениями:
п. = - = , или я./я,+ 1=0:
1 т^тг тч i^i i
и2 1 I 1 п
/г,, = = , или п.Ж. + 1=0.
Отсюда следует, что при выборе осей х и у параллельными осям
и и v, характеристические направления первого семейства в некоторой
точке плоскости (х, у) будут перпендикулярны характеристическим
направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости
(и, v) и, наоборот, характеристические направления второго
семейства в плоскости (х, у) окажутся перпендикулярными
характеристическим направлениям первого семейства плоскости (и, v). Это важное
свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство
характеристик в одной плоскости, указывать характеристические
направления в соответствующей точке другой плоскости. При
пользовании графическими методами интегрирования основных уравнений
движения, известными уже нам по гл. IV, такое свойство
характеристик значительно облегчает построение решения.
Обобщим на случай произвольного нелинеаризированного
сверхзвукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии
с линеаризированным потоком называть „линиями возмущения" такие
линии в физической плоскости (х, у), касательные к которым
образуют с направлением скорости угол zta, синус которого
обратен числу М в данной точке [вспомнить формулу (21) § 27 гл. IV,
а также §§ 51 и 52 настоящей главы]:
-и- !
Докажем, что характеристики, не линеаризированных уравнений
движения в плоскости (х, у) образуют „линии возмущения"
сверхзвукового потока. Для этого составим выражение тангенса угла между
вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости (х,у);
24 Зак. 1841. Л. Г. Лойцяяский.
370 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь:
uv ±а УУг ■— a2 v
tga =
v
т
а
ц2 —а2
1 + т-
ah):
1 +
uv±a V У2-—а2 у
Ф — Ф и
V"V2 — а2
ii(Va-e!)+e» у V2 — а2
у 1/2— а2
/М2—Г
или
sin a 1
"М-
(84)
Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений
сверхзвукового движения являются „линиями возмущения" в потоке
и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плдско-
сти (х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т. е.
вектор скорости направлен по бисектриссе угла между
характеристиками обоих семейств
в данной точке (рис. 120), и,
наконец 3) проекция Vn
скорости на нормаль к
характеристике равна местной
скорости звука:
Vn= К cos (90° — a) =
= Vsina =
Рис. 120.
Определим теперь закон
изменения скорости вдоль ха-
i рактеристик Ct и С2
плоскости (х, у) или, что все равно,
уравнения характеристик Нх и
#2 в плоскости (и, v). Как уже ранее было указано, уравнение (83)
может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения
интегрирования уравнения (83) перейдем от проекций скорости и и V
к величине скорости V и углу 8, образованному вектором скорости
с осью Ох, положив:
и— V cos l),
v = Vsin 6.
Имеем, согласно (83') и рис. 120:
fdv\ _1
щ
£\=-£: = -с*<*-
■*),
£),—£—«*<»+.),
§ 57] НЕ ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 371
т. е.
g = -ctg(6^a).
Произведем в этом уравнении замену:
du = d V • cos 6 — V sin Ь db,
dv = dV • sin 6 4- Vcos 6 db;
тогда получим:
[sin 9 + ctg (6 zp a) cos 6] d V-f- [cos H — ctg (0 =p a) sin 0] Vrf6 = 0,
откуда после простых приведений найдем:
dh zp ctg a • ^ = 0. (85)
Вводя, по (84), число М, перепишем уравнение (85) в виде:
rfO^dt/M»-!-^-, (85')
или, совершая переход от числа М = — к числу \ = — по ранее
выведенной формуле (52), которую можно еще переписать так:
М
-/4т
+1 V^W
окончательно получим простое дифференциальное соотношение:
rff} = ±1A-J^__J__^. (85")
Г /г+ 1
Интегрируя, найдем:
f» = =to(X) + const, (86)
где введено обозначение
s W= 1/ fe_i—г =
К2— 1
/г—1 ,,
-Л'
/г+1
-arctg|/ XU . (86')
24*
'S7'2 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ. VJ
Переходя по обычным формулам обратных тригонометрических
функций от арктангенсов к арксинусам, приведем выражение а(Х)
к несколько более простому виду:
3 W = /т=тarc sln {/к-=г- У^^1) -
-arcsinf/A+I-^iEIj; (86»)
заметим, что а (К) при X = 1 обращается в нуль.
Функция о (к) является сверхзвуковым аналогом функции s (К),
определявшей основное преобразование (50) в методе Христиановича.
Задавая различные значения постоянной в формуле (86), получим
семейства характеристик Нх и Н2 в плоскости годографа V, 6 или X, 6.
Безразмерная скорость X меняется в пределах l^s^SsT/ •,_,-',
левая граница представляет критическую скорость V=a*, правая —
предельную максимальную скорость Vmax, при которой давление,
плотность и температура обращаются в нуль (полный вакуум). Про-
Г k -t-1
ведя концентрические окружности л = 1 и X = у
можем
1/ . . 1J, катящейся по кругу Х=1. Имея раз навсегда
заполнить всё пространство между ними сеткой кривых (86).
Подробный анализ показывает, что эти кривые представляют собою
семейство эпициклоид, описываемых точками окружности радиуса
J_/i/"F+T
2
указанную сетку эпициклоид, нетрудно методом, аналогичным
изложенному в § 28, производить расчеты плоских сверхзвуковых
обтеканий. Не останавливаясь на изложении существующих в этой облясти
графических приемов, покажем аналитическое применение только что
изложенной теории к основной задаче газовой динамики о
сверхзвуковом обтекании угла.
§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком.
Влияние угла поворота струи на ее газодинамические
элементы
Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг
острой кромки выпуклого угла О (рис. 121) на угол Ь.1 Как станет
вскоре ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать,
что начальный поток слева от прямой ОС0 — звуковой (Х=1, 6 = 0);
окончательному состоянию потока после поворота на угол б: соот-
1 Т1т. М е у е г, Ober zweidimensionale Bewegungsvorgange in einem Gas,
das mit Uberschallgeschwindigkeit slrOmt. Forschungsheft des VDI, Vol. 62,
ШЛО С С 01 Й-7
1908, S. S. 31—67
§ 58] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОГО УГЛА 373
ветствует однородное течение справа от прямой ОСх с безразмерной
скоростью А,. Поворот на конечный угол Ьх можно рассматривать
как результат последовательных малых поворотов в области С0ОС,
затем в области С'ОС и т. д.; нелинеаризированная задача
расчленяется, таким образом, на ряд линеаризированных. Отсюда сразу
следует, что лучи ОС0, ОС, ОС", .. . являются „линиями
возмущения" нелинеаризированной задачи, или характеристиками
первого семейства. Вдоль каждой из этих прямых линий угол
возмущения а, а следовательно, и числа М и I будут принимать некоторые
постоянные значения. В силу (86) постоянное значение будет
сохранять и угол 8 между
вектором скорости V и С
начальным направлением
потока.
Определим
газодинамические элементы потока
после поворота его на
угол 6j.
Согласно (86) и
принятому условию 0 = 6 при
X = 1, получим:
01=3(Х1), (87)
,,ч Рис. 121.
где з (Л) задается одним и:*
равенств (86') или (86").
Разыскав по выбранному значению 6 = Ьх величину безразмерной
скорости движения i — \х и используя обычные формулы изэнтропи-
ческого потока, найдем также и М1; рх, рх и т. д.
Значения эти приведены в табл. 9, рассчитанной для воздуха
(6=1,4). Об общем характере изменения величин можно судить по
кривым рис. 122.
Огибая внешнюю часть выпуклого угла, поток, как это следует
из приводимых кривых и табл. 9, расширяется, скорость его
возрастает, давление и плотность уменьшаются. Явление в целом несколько
напоминает расширение газа в сопле Лаваля, но, в отличие от
принятого в гл. IV одномерного подхода, настоящая теория позволяет
судить как о суммарном эффекте поворота потока, так и о деталях
заключенного в угле С0ОСХ плоского потока, переводящего
однородный поток слева от линии возмущения ОС0 в однородный поток
справа от линии ОСх. Чтобы исследовать это движение, введем
в рассмотрение угол г между некоторой промежуточной
характеристикой ОС и начальной характеристикой ОС0.
Как легко заключить из рис. 121, угол г будет связан с углами
а и б простым соотношением:
г-\-а— Ь =
(88)
374 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Таблица 9
8°
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
г°
0,00
23,72
30,04
34,82
38,88
42,34
45,42
48,30
50,93
53,46
55,84
58,16
60,38
62,49
64,52
66,53
68,47
70,33
72,18
73,98
75,74
77,49
79,20
80,90
82,55
84,20
85,81
87,42
<х°
90,00
67,28
61,96
58,18
55,12
52,66
50,58
48,70
47,07
45,54
44,16
42,84
41,62
40,51
39,48
38,47
37,53
36,67
35,82
35,02
34,26
33,51
32,80
32,10
31,45
30,80
30,19
29,58
М
1,000
1,084
1,133
1,178
1,220
1,258
1,295
1,332
1,366
1,401
1,435
1,470
1,505
1,539
1,572
1,608
1,641
1,675
1,710
1,744
1,779
1,815
1,850
1,884
1.918
1,954
1,989
2,025
X
1,000
1,068
1,107
1,141
1,173
1,201
1,227
1,253
1,276
1,299
1,322
1,344
1,366
1,387
PlPo
0,527
0,477
0,449
0,424
0,401
0,381
0,363
0,345
0,329
0,313
0,298
0,284
0,270
0,257
1,407 0,245
1,428
1,448
1,467
1,486
1,504
1,523
1,541
1,559
1,576
1,592
1,609
1,625
1,641
0,233
0,221
0,210
0,199,
0,189
0,179
0,1701
0,161
0,153'
0,145 i
0,1371
олзо:
0,123
6°
28
29
30
3]
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
129,32
Е°
89,02
90,58
92,12
93,66
95,18
96,68
98,20
99,67
101,13
102,58
104,02
105,46
106,88
108,30
109,71
111,11
112,51
113,89
115,27
116,63
118,00
119,36
120,71
122,07
123,41
124,74
126,03
219,32
а°
28,98
28,42
27,88
27,34
26,82
26,32
25,80
25,33
24,87
24,42
23,98
23,54
23,12
22,70
22,29
21,89
21,49
м
2,062
2,098
2,135
2,174
2,214
2,251
2,296
2,339
2,378
2,422
2,466
2,508
2,550
2,595
2,640
X
1,657
1,673
1,688
1,704
1,720
1,735
1,752
1,767
1,781
1,795
1,810
1,824
1,837
1,851
1,864
2,689 1,878
2,734! 1,891
21,11 2,778! 1,903
20,73 ! 2,826' 1,917
20,37 ; 2,873
20,00 J 2,920
19,64
19,29
18,93
18,59
18,26
17,97
0,000
2,968
3,021
3,074
1,928
1,939
1,951
1,963
1,975
3,131 ! 1,987
3,188] 1,999
3,250
оо
2,012
2,437
PlPo
0,116
0,110
0,104
0,097
0,092
0,086
0,080
0,075
0,071
0,066
0,062
0,058
0,054
0,051
0,047
0,044
0,041
0,038
0,036
0,033
0,031
0,029
0,027
0,025
0,023
0,021
0,019
0,000
По определению угла возмущения а имеем:
а = arc sin -r=- = arc sin
№
пА
k — 1
k + l
Используя это равенство, а также (87) и (86"), получим по (88):
= J + 6-a = 5 + /|±farcsin(T/"^I^-^rT)_
-arc яп (]/ — х )-
г /
■ arc stn
лГ-
\-$=i»
k + i
(880
§ 58] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОГО УГЛА 375
Применяя известную теорему сложения арксинусов
arc sin и 4- arc sin v = arc sin (и У1 — v2 -\- v ]/l —uP),
легко убедиться, что сумма двух последних членов в равенстве (88')
равна -к , так что будем иметь:
^-Нет *»'(/&)■
(89)
Рассчитанные по этой формуле при & = 1,4 значения углов г,
отвечающие данным значениям 6, X или М, помещены в табл. 9.
\.м
10
\
2,0
V)
а"
-<W)°
ffl?KV
JU
^■N,
/t/^-
J.
_jX°
Щ
10 15
10
15 30 35
Рис. 122.
iO U
50
55 60
m
OJ
0,5
о,з
0,2
0,1
0
Последнее из равенств (89) позволяет по заданному углу е
определить величину скорости движения газа; скорость эта, так же как
и все остальные газодинамические элементы, не зависит от
расстояния г между взятой на характеристике точкой N и вершиной угла О.
Каждый из углов е, а, 6 может быть связан попарно с другим.
Замечая, что первая из формул (89) на основании известного
соотношения
, х
arc sin x = arc tg r ..
376 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
переходит в формулу:
/^n *(/£}/;
А*— 1
k—l -J
-А2
и сравнивая ее с выражением для угла а:
о. = arc ctg "j/M2 — 1 = arc ctg --
fr+1
/.2—1
1
k-
видим, что между а и а существует соотношение
с'ев = /йт*(/Ьтв)- (")
+ :
позволяющее определить угол а между скоростью и линией
возмущения по заданному углу е линии возмущения с перпендикуляром
к направлению начального потока. По формуле (88) найдем связь
между 9 из:
О = е + arc ctg {/Щ tg ЛГЩ в) -1 . (91)
Найдем, наконец, форму линий тока в области С0ОС{. Для этого
по (90) и по известной формуле для котангенса угла между
касательной к кривой, заданной в полярных координатах, и
радиусом-вектором составим дифференциальное уравнение
■c*.-/£{V/]:
dr ...... ,/£-М .../,/ ft —1 s\
г d
которое легко интегрируется и дает:
г—гп
cos (у j^-^
7.-.-Ц
"/,■ —1
(92)
где /-0 = г(0). Как видно из последнего равенства, все линии тока
подобны между собою относительно центра О.
Таким образом, задача полностью разрешена. Обратим внимание
на следующий интересный физический факт. Согласно (87) и (86"),
чем больше угол 6t полного поворота струи, тем больше
безразмерная скорость Aj в конце поворота ее. По формуле (89) максимальное
значение л будет равно
(для воздуха лтах = 2,437)
Этому максимальному значению а соответствует движение с
максимальной скоростью в абсолютном вакууме:
^1шах=«";:|/'^|> М=00, р-0, Г^О, р-0.
§ 59] сверхзвуковой поток внутри тупого угла 377
Максимальное значение угла поворота струи 0тах определится,
согласно (86"), при этом так:
Кю=° (w) = Vi^karc sin l ~агс sin l = (Vt=t -l)r>
для воздуха (6=1,4) получим:
W= 129,32°.
Характеристика (линия возмущения), соответствующая максимально
возможному углу отклонения струи, будет образовывать, согласно (89),
с осью ОСй угол:
гтах У I; _ J 2 '
для воздуха (6=1,4):
s°m„ = 219,32".
Заметим, наконец, что при М = эо угол возмущения а равен нулю,
г. е. линия возмущения совпадет с линией тока. Таково предельно
возможное расширение потока при огибании угла.
Изложенное общее решение задачи об обтекании угла может быть
использовано для начального потока с любыми значениями чисел X > 1
или М > 1. В этом случае следует начинать с характеристики (линии
возмущения), соответствующей заданному начальному значению X или М,
и подводить к ней однородный прямолинейный поток под
соответствующим углом б или п.. Точно так же и конец поворота струи
определяется заданием 0 или X и М на выходе и построением
выходного однородного прямолинейного потока со скоростью и углами,
рассчитанными по изложенной теории или взятыми по табл. 9.
Поворот струи определяется тем противодавлением (разрежением),
которое имеет место за поворотом. Чем больше разрежение за
поворотом, тем на больший угол повернется струя. Явление происходит
так же, как на выходе из сопла Лаваля: если давление в камере,
куда происходит истечение, меньше расчетного на выходе из сопла,
ноток расширяется, огибая край сопла на тем больший угол, чем
больше разрежение в камере. Посмотрим теперь, что будет
происходить в противоположном случае — при повышении давления и
сопровождающем его замедлении сверхзвукового потока.
§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок
уплотнения. Связь между газодинамическими элементами
до и за косым скачком
Рассмотрим сверхзвуковое обтекание внутренней части тупого
угла (рис. 123). В отличие от предыдущего случая после
прохождения вершины угла О скорость потока должна уменьшиться, поэтому
будем предполагать, что на участке слева от линии возмущения OCj
поток был сверхзвуковым, число Щ было больше единицы, а угол
378 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
«1 = arc sin jjr- меньше прямого. Так как при повороте потока скорость
его и число М] уменьшаются, то угол возмущения а2 = arc sin тт- должен
увеличиться, что в связи с поворотом
нии ОСх должно было бы привести к
"V7777777777777777777777
потока в целом навстречу ли-
физически нелепому выводу —
линия возмущения ОС%
оказалась бы лежащей выше по
потоку, чем линия ОС{.
Отсюда следует, что
непрерывное сверхзвуковое
движение внутри тупого угла
невозможно. Если угол Ь
поворота потока
представляет конечную величину, то
внутри тупого угла
образуется линия разрыва,
аналогичная ранее уже
рассмотренному скачку уплотнения; но в отличие от прямого,
перпендикулярного направлению движения потока скачка, в этом случае возникает
косой скачок, образующий с направлением набегающего потока
острый угол (рис. 124).
Угол этот, как будет
сейчас показано,
зависит от начальных
параметров движения до
скачка и подлежит
определению.
Анализ
прохождения газа сквозь косой
скачок уплотнения
ничем на будет
отличаться от
соответствующего анализа в случае
прямого скачка.
Подобно тому; как это
делалось в гл. IV, применим для установления связи между
элементами движения до и за скачком три основных уравнения механики:
закон сохранения массы, энергии и закон изменения количества
движения.
Условимся обозначать в дальнейшем индексом , 1" все величины до
скачка, индексом я2" — после скачка; кроме того, применим индекс t
для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка и
индекс п — для нормальной составляющей скорости.
Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 124,
будем иметь:
7777777777777777777777777Z'
Рис. 124.
§ 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 379
а) согласно закону сохранения массы:
PlVnl = PiV>&
б) по закону количеств движения в проекции на касательную
к поверхности раздела:
P\Vn\Vtt = PzVnZVtZ,
в) по тому же закону в проекции на нормаль к поверхности
раздела:
Pi + PiVnt = p-i-\- p-iVns •
г) на основании закона сохранения энергии:
к + j (V?i + VSO = и + I (Vl + Vb).
Из уравнений пп. „а" и „б" сразу вытекает основное для теории
косого скачка равенство
Vti = Vn=Vt, (93)
утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок
уплотнения составляющая скорости, касательная к поверхности скачка,
сохраняется; скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.
Переписывая уравнение энергии (п. „г") в виде
I 1 ,,2 , 1 , .■>
h + -J V„i = i2 + -j Vni
и сравнивая последнее уравнение, а также уравнения пп. „а" и „в"
с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, убеждаемся,
что уравнения косого скачка совпадают с уравнениями прямого
скачка, составленными для нормальной скорости.
Отсюда можно заключить прежде всего, что между отношениями
давлений р2/Р[ и плотностей р., р, до и после скачка будет
существовать та же связь, что и при прямом скачке, это — известная уже нам
ударная (неизэнтропическая) адиабата, определяемая равенством (43)
§ 29 гл. IV и показанная на рис. 42.
Приводя поток перед и за косым скачком уплотнения каким-
нибудь адиабатическим и изэнтропическим процессом к покою
(индекс „О"), получим на основании уравнения п. „г":
Чо^* г20 == г0> М0~'20==М)>
й10 = й20 === а0'
отсюда сразу следует также, что:
_,* _,* _* * * * .
Ti = T2=T , at = аг — а . (94)
380 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Итак, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения
сохраняются температура и скорость звука в адиабатически и
изэнтропически заторможенном газе, а также критические
значения температуры и скорости звука.
Переписывая уравнение Бернулли
У2 , а* _ k + l .,2
2 ~i~ ft — 1 2{k — I) a
в виде
vl "~ k+l „ V2t k + l / , k + l 3n
2 ' k — 1 2{k— 1) 2 2(ft—1)
/ .,2 st' ,.2S
заключаем, что, как ранее было уже указано, для расчета косого
скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого
скачка, если только за скорость принять нормальную составляющую
действительной скорости V„, а за критическую скорость величину
/".
fe-1 х,а
так же как и истинная критическая скорость сохраняющуюся,
согласно (93) и (94), при переходе газа сквозь косой скачок
уплотнения. При этом вместо известного соотношения для прямого скачка
[формула (54) гл. JVj
VxV0_ = a*2
получим обобщение этого соотношения на случай косого скачка:
k — l
k+l
V,n^,,= «*3—Ы-И. (95)
Замечая, что, согласно рис. 124:
V,„ = V, sin 3, V2n = V2 sin (8 — fJ),
y( = V] cos ,3 = K2 cos (8 — 0),
получим по (95):
Vx V2 sin В sin (8 — f)) = a*2 — -|^-[ V* cos3 3,
откуда
Jl = X!= cos(p-6)
я*"
(96)
rY*'1
| £ 1 "1 '
cos [i. sin p sin (£ — 8) + cos p cos (Js — 6)
-L = cos 8 • [sin В tg (8 — 8) + 4vr cos ?
(97)
§ 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 381
Перейдем еще обычным образом от Xjf к Мь тогда будем иметь:
_1 k+l J k — \ __
М* " 2 ' >.'f 2 ~~
= -£^p-stapcosptgtf — (}) — lzLLsin2p. (98)
Это соотношение является основным для теории расчета косого
скачка. Задаваясь числом Щ и углом 9 поворота потока, по (98)
найдем угол 8 скачка с начальным направлением потока. Заменяя
в формуле прямого скачка (72) гл. IV число Mj на Mj sin 3,
соответствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение
давлений в потоке за и перед косым скачком:
Pi 2& д.ч . 2г. k 1 .__.
Л=т+\ж^т^-тп- (")
Перейдем к давлениям рю и р20 адиабатически и изэнтропически
заторможенного газа до и за скачком. В полном согласии с ранее
выведенной для прямого скачка формулой (75) и заменяя в ней М^
на Mj sin" ,3, получим:
к
1
Pv> ( •* Мз.2Я ft —l\*-i
1 -\ =— Щ sin 3
-UM Mlsin^-I^f)""1 -1-rf . (100)
Pro V*+l k+l) ^ A±IMJsin2fi J
Напомним, что натуральный логарифм этого отношения
пропорционален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь
скачок уплотнения.
Аналогичным путем выведем выражение числа Ms за скачком через
число М, до скачка и угол 3:
М5 = —т—г-4 . * . . (101)
AM*sin8p--=^i- l+-^-Misin2p
Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных
вычислений, для избежания которых предложены различные графические
приемы. Рекомендуем номограмму,] позволяющую по заданному
числу М, до скачка и углу поворота струи 0 определять угол.З
., По
скачка с начальным направлением потока и величины М2 и — в
потоке за скачком. Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125),
где жирной линией показана одна из кривых зависимости 8 от М,
1 См. вклейку, а также ранее цитированную книгу Г. В. Липмана и
А. К. Пакета.
382 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
при 6 = 60. Выбираем на верхней горизонтальной шкале точку М, = М10,
соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим
через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой,
представляющей зависимость р от М,. Получаем в пересечении две
точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: |3 = $0
и (3 = (30, отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой верти-
Рис. 125.
кальной шкале номограммы, а также две пары значений: М<>о и М?о,
, которые можно найти на правой вертикальной шкале
чисел М2 и горизонтальной шкале (—)• Из указанных двух
физически возможных наклонов косого скачка в действительности, как
будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором
происходит более слабое уменьшение скорости и числа М, а
следовательно, более слабое увеличение давления; такому скачку
соответствует меньший из двух указанных на номограмме углов (30 и Ро •
Если проследить за направлением возрастания величин (3, М2 и p2/Pi
по шкалам номограммы (на схеме рис. 125 эти направления указаны
стрелками), то пригодным решением окажется система значений (Зо >
Мго и {-—) , соответствующая нижней, „рабочей", точке номограммы.
§ 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 383
Рассматривая номограмму более подробно, заметим, что не при
всяком начальном значении числа М, можно найти величину угла (3
скачка с начальным направлением потока. Каждому значению угла
отклонения потока 60 соответствует некоторое значение М*, при
котором вертикаль M.t = Mx пересечет кривую р(М,) только в одной
точке ^=р (рис. 125). При заданном 60 и Мх < М^ получить косой
скачок вообще нельзя.
Этот факт можно
проинтерпретировать и
несколько иначе: при
любом заданном числе М,
набегающего потока
можно указать такое
максимальное значение 6тах
угла отклонения потока,
ЧТО при 90>9тах
ПОСТРОИТЬ косой скачок
нельзя. В этом случае
явление усложняется тем,
что скачок перемещается
вверх по потоку, отходит
от вершины угла, образуя так называемую головную волну, о которой
уже была речь в гл. IV. Схема такой волны на примере обтекания
клина показана на рис. 126. При 6 > 6тах обтекание остроносого
профиля становится аналогичным обтеканию тупоносого.
Если угол поворота потока 6 устремить к нулю, то семейство
кривых j3(M,; 6), показанных на номограмме жирными линиями,
сведется к нижней кривой (ft = 0). Как это следует из уравнения (98),
будем иметь при ft = 0:
не. 126.
М?
— sin
: arc sin
M.
т. е. в этом случае косой скачок превращается в „линию
возмущения" . Обращаясь теперь вновь к вопросу о двузначности решения
задачи о наклоне косого скачка, можем сказать, что в
действительности осуществляется тот из двух возможных скачков уплотнения,
который ближе к „линии возмущения".
Соединим между собою на номограмме вершины кривых р (М,),
соответствующие значениям М, = М^; тогда между этой кривой (3* (Mi)
(на номограмме и схеме рис. 125 показанной жирным пунктиром) и
линией [3(М,, 0) окажется заключенной вся рабочая часть номограммы.
Возьмем точку пересечения кривой [3 (Mj, fJ) с вертикалью Mt
и верхней части номограммы и, не уменьшая числа Mt, устремим 8
'< нулю; тогда р станет равным 90°, а косой скачок — прямым. Но
384 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
при стремлении 0 к нулю, т. е. при непрерывном исчезновении причины
возмущения (наличия угла), нет никаких физических оснований
образовываться прямому скачку с характерным для него резким изменением
параметров движения; наоборот, естественным является вырождение
косого скачка уплотнения в „линию возмущения", которое и
произойдет, если точку пересечения кривой |3(Mj, Н) с вертикалью Мх
взять в нижней (рабочей) части номограммы.
Номограмма наглядно показывает ход изменения параметров
движения газа при прохождении его сквозь косой скачок уплотнения.
Обратим внимание на специфическое отличие косого скачка от прямого.
Рис. 127.
Каков бы ни был начальный сверхзвуковой поток за прямым скачком,
движение становилось дозвуковым, в случае косого скачка это уже
не так. Пользуясь рабочей частью номограммы, легко заключить, что
каковы бы ни были начальные числа М, > 1 до скачка, значения М2
за скачком хотя и уменьшаются, но оказываются все же большими
единицы; за косым скачком, таким образом, поток остается
сверхзвуковым.
Отсюда следует, что в косых скачках не должны происходить
столь резкие изменения в параметрах газа (давлении, плотности,
температуре), как в прямом скачке.1 Это приводит и к более слабым
превращениям механической энергии в тепловую, к меньшему
возрастанию энтропии, а следовательно, и к меньшим потерям. Значительно
меньшая по сравнению с прямым скачком интенсивность косых скачков
с успехом используется для борьбы с потерями в прямых скачках,
например, в головной волне перед тупоносым обтекаемым телом
(§ 32 гл. IV).
Идея замены прямого скачка, переводящего сверхзвуковой поток
с высоким значением числа М сразу в дозвуковой, системой косых
скачков, последовательно уменьшающих число М, оказывается весьма
1 См., например, табл. 5 § 31, гл. IV.
§ r>9j
СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА
3S.r>
полезной для практики. Так, например, для того, чтобы ослабить
вредное влияние головной волны, образующейся на входе в
реактивный двигатель самолета (вспомнить рис. 44) и уменьшающей
естественное и полезное сжатие воздуха в камере горения, конструкцию
входа изменяют. Помещая на входе в двигатель (рис. 127) „иглу",'
вызывают появление системы косых скачков, которые способствуют
менее резкому, чем при
одном прямом скачке,
переходу набегающего
потока от сверхзвукового
к дозвуковому движению.
рис 128 ' Указанные на рисунке
четыре косых скачка
переводят сверхзвуковой поток
со значительным числом М постепенно в сверхзвуковой поток с
числом М, близким к единице, а уже после этого прямой скачок малой
мощности совершает с ничтожными потерями окончательное
превращение набегающего потока в дозвуковой. При такой конструкции
входа в реактивный двигатель потери напора значительно уменьшаются.
Изложенная в настоящем и предыдущем
параграфах теория сверхзвукового течения внутри и вне
вершины угла может быть положена в основу описания
сверхзвукового движения газа около выпуклой или
вогнутой поверхности. Действительно, заменяя
непрерывную плавную поверхность (в плоском движении —
линию) ломаной с
достаточно малыми гранями,
можно для каждого такого угла
построить системы „линий
возмущений" и таким
образом установить течение
в целом. На рис. 128
показано построение
расширяющегося потока около
выпуклой стенки, на рис. 129 — около вогнутой стенки. В первом
случае поток ускоряется, местное число М растет, и „линии возмущения"
расходятся веером, так как с ростом вниз по течению числа М
углы линий возмущения с линиями тока убывают. Во втором случае,
наоборот, поток замедляется, число М убывает, и углы линий
возмущения с направлением потока возрастают; это приводит к взаимному
пересечению линий возмущения и к образованию огибающей их в
некотором удалении от поверхности тела; эта огибающая представляет
криволинейный скачок уплотнения, показанный жирной линией на рис. 129.
1 R. Courant and К- Friedrichs. Supersonic Flow and Shock
Waves, 1948, p. 285.
25 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
386 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
струи
6)
Перечисленные только что два характерных типа сверхзвуковых
течений: 1) ускоряющегося и расширяющегося потока, проходящего
сквозь непрерывные совокупности линий возмущения, служащие
линиями плавного разрежения
потока, и 2) замедляющегося и
сужающегося потока, скачкообразно
изменяющего свои параметры при
прохождении через системы
дискретных косых скачков,
постоянно наблюдаются как при
сверхзвуковых обтеканиях крыловых
или лопаточных профилей, так и
при протекании газа сквозь сопла
Рис. 130. и насадки. В частности, эти
явления имеют место на выходе из
сверхзвукового сопла, если противодавление в камере не совпадает
с расчетным давлением в выходном сечении сопла. В том случае,
когда давление в камере не- ,
сколько больше, чем в выход- ^^лЙ^
ном сечении, струя сужается, и
на выходе образуются косые
скачки, повышающие давление
выходящего из сопла газа
(рис. 130, а). Если же давление
в камере меньше, чем в
выходном сечении, то поток
продолжает расширяться, плавно
уменьшая свое давление при
прохождении через пучок линий
возмущения (рис. 130,6).
Аналогичные явления
происходят и при внешнем обтекании профилей. На рис. 131 для примера
показана схема обтекания идеальным сверхзвуковым потоком
пластинки, образующей с направлением потока конечный угол атаки.
Действительно происходящие явления усложняются как наличием
отраженных волн от стенок каналов или смежных тел, так и
неидеальностью газа, приводящей к образованию пограничного слоя,
создающего принципиальные изменения в картине скачков.
Линии
разрежения
Рис. 131.
ГЛАВА VII
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве.
Основные дифференциальные операторы поля в криволинейных
координатах
При исследовании пространственных течений постоянно приходится
пользоваться различными криволинейными системами координат:
цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает
описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного
выбора системы координат зависит возможность разделения
переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов
удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль
криволинейных координат, как это было показано в § 40 гл. V,
играет метод функций комплексного переменного и конформных
отображений; переход от физической плоскости z = x~\-iy к вспомогательной
плоскости С = \ -\- if\ был эквивалентен пользованию криволинейными
координатами £, ч\ вместо прямолинейных х, у.
Имей в виду сказанное, напомним вкратце основные формулы
теории ортогональных криволинейных координат.'
Положение точки в пространстве трех измерений можно определять
как заданием трех ее декартовых координат х, у, z или вектора-
радиуса г с проекциями х, у, z, так и любой другой тройкой чисел qv
q2, цъ—криволинейных координат — связанных взаимно-однозначным
функциональным соответствием с координатами х, у, z:
x = x{qv q2, q&),
У=У(Я1, ft, ft).
* = *(?i> ft ,ft),
или эквивалентным векторным соотношением
r = r(9„ ft, ft)- (10
0)
1 За подробностями отсылаем к курсу Н. Е. Кочин, Векторное
исчисление и начала тензорного исчисления. ОНТИ, 1934, стр. 202—220.
25*
388
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Изменяя (рис. 132) одну из криволинейных координат qt и
сохраняя постоянными остальные две, получим некоторую кривую линию
в пространстве, называемую координатной линией (qt). Через каждую
точку М пространства можно провести, таким образом, три
координатные линии: (ij-,), (#2) и (<73).
Каждая координатная линия
представляет годограф вектора
г, соответствующий изменению
одной из криволинейных
координат. Проводя через точку М
касательные к координатным
линиям в сторону возрастания
отдельных координат, получим
координатные оси в точке М.
Легко понять, что орты
(единичные векторы) этих
координатных осей будут равны
дтАдт /=1,2,3,
Рис. 132.
ответствующеыу годографу, а
модуль получим вектор единичной длины, т. е. орт.
Введем так называемые коэффициенты Ляме:
так как векторная производная
от вектора-радиуса г по
скалярному аргументу qt
направлена по касательной к со-
результате деления вектора на его
Я; =
•+АШ+(Ш+(Ш-- <2>
тогда предыдущая формула даст следующее выражение ортов
координатных осей: , ,
*-k& (3)
Условие взаимной ортогональности координатных осей будет:
0, izfzj,
1, i=J,
ki-kj
или
i£^£_4-^--^-4-— — = 0 еста 1ф1
dqi dqj ~r~ dq{ dqj ~ dqt dqj ' ~i~J'
Дифференциал дуги ds{ координатной линии (^4) равен модули
частного дифференциала вектора-радиуса по аргументу qt:
dsi = | dg .г | = £L\dq,<= Htdqt.
§ 60] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 389
В ортогональной системе координат дифференциал любой дуги ds
складывается из дифференциалов дуг координатных линий по правилу
прямоугольного параллелепипеда:
ds2 = dsl -f dsl + dsl = H\dq\ + H\dq\ -f hldql (4)
Наряду с координатными линиями и касательными к ним —
координатными осями — вводят в рассмотрение координатные
поверхности [(ji] и касательные к ним координатные плоскости. Уравнения
координатной поверхности [gj получим из (1) или (1'), если будем
считать постоянной координату qh а менять остальные две
координаты. В случае ортогональной системы координат через каждую
точку М пространства можно провести три взаимно перпендикулярные
координатные поверхности и три координатные плоскости. Легко
проверить, что каждая координатная линия (qt) будет перпендикулярна
соответствующей ей координатной поверхности [qt]; аналогично
расположатся и координатные оси по отношению к координатным
плоскостям.
Попарным перемножением дифференциалов дуг координатных линий
получим элементарные координатные площадки:
do, = ds2 ds3 = Н2НЬ dq2 dq%,
da2 = ds3 dst = H&HX dqb dqx,
das = dst ds2 = HXH2 dqt dq2,
а также и выражение для элемента объема:
dx — dst ds2 ds& = H1H2HS dqt dq2 dq&. (6)
В цилиндрической (рис. 133) системе координат (г*, г, z),
связанной с декартовой очевидными соотношениями:
л: = г* cose, у = г* sin a, z = z,
(5)
г* = Ух2 -\-у2,
и сферической (г, е, 6):
х = т cos s sin 9,
у = г sins sin Ь,
2 = Г COS 8,
отличающейся от цилиндрической заменой:
г* = г sin 6 и z — г cos Ч,
будем иметь:
Яг*=1, //. = /■*, //,= 1;
Hr=\, tfs=/-sinfj, НН = П
ds* = dr*2 + г*' de2 -f dz2 = dr2 + r2 sin2 6 rfs2 + r2 d82, (7)
d\* = r* dsdz, dae = dr* dz, dzz — r* dsdr*; ]
do,.— r2 sin SdsdO, doe = rdrdb, dzb = r sin 6 dr ds; } (8)
d- = r* dr*dsdz = r2sin6 drdedb, I
390
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
По определению градиента скалярной функции будем иметь:
(grad ?),,,. = grad «р. к( = -^ grad <р • ~ =
//« Uc ' dqt "> dy * % Ч Эг ' dft / Ht dqt" ^
Дивергенция вектора может быть вычислена в ортогональной криво-
z
Рис. 133.
линейной системе по формуле
diva = -J—f^ifi^^-}-3-^^ J-^V^l ПО)
ЯхВД!. dft И" ^2 i 5^~J' (10)
которую проще всего вывести, применяя известное нам по гл. I
интегральное определение дивергенции
diva— lim
1 — Г ап
о т J n
do
к элементарному криволинейному координатному объему dx. Будем
иметь (рис. 132):
, Г . , д (а„, Да,) "1 -\
~ HtH,H3 dqi dq2 dqa [ dqi ^ ^ ^s + "•
a после сокращения на dqxdq%dq%, получим формулу (10),
1 i
diva= lim —{■
§ 60j ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 391
Проекции вихря вектора rota на оси криволинейных координат
получим, применяя для отдельных составляющих вихря по
направлениям осей и соответствующих элементарных площадок известную
теорему Стокса (гл. I) о связи между интенсивностью вихря вектора
и циркуляцией вектора по элементарному контуру, охватывающему
координатную площадку (направление обхода показано стрелками на
рис. 132):
rotgi a dat ■■
««7*1
а • dr.
Будем иметь приближенно, а в пределе и точно, для одной из
составляющих, например rot23a:
rotg> a Jos — rot(/j a • Hji.^ dq, dq2 =
= «j.*i +
d(ag„di>.2)
a (aq o.s'i) -i
aiids* ~i—wjt~ dqA ~~ fl«.dSa=
d(aqHtdqd dianlhdqd
dii jf.—d(i»
dgi
откуда, сокращая на dqx dq2 и повторяя то же вычисление для других
составляющих, найдем:
«'а HSH3 [ d4i dq3 J'
Я3Я, L dqs dft J'
i я» L a?t a?2 J
rotg2a
го^а'-я.
(11)
Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение
для оператора Лапласа в любой ортогональной системе
криволинейных координат:
V2e = divgrad « =
_ 1 га /я2я3 д9\ , д /щнл а? у, а /я^ av\i
~ Я^вЯз I д?Д Я! d^J~rfl?8V Я2 dqj^ dq-A Я8 a9sjjj • l1^
Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихря
и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических
и сферических координатах;
392 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БКЗВИХРЕНОК ДВИЖЕНИИ [ГЛ. VII
а) цилиндрические координаты:
Sradr.? = ^, grad.<p=l^, -rad..;? = ^;
1 д(г*а^) 1 f?ff йя
rot,.* а =--- — ~ г5 >
да,т да
rot6a = -r-— ^4,
1 d(r*ae) I <?",,;
™** а =Г= Fi—Э7^ 75 IT '■
г* дг* ' г*" дг'г '• дг2'
б) сферические координаты:
а д'-Р , 1 d» j 1 дер
erad,. а> = -г-, grad.» ———s—, «таайэ = —~-
н, 1 д(гЧ-) . 1 <Ч | 1 a(g„sin6).
enva — г2 ^ -rrgin6 de"">~rsinO db
1 d (as sin в) 1 да,.
rotr a =
rote а =
rotfi а =
г sin 6 дб г sin 6 дг '
1 д (гац) 1 day
1 да,- 1 д (гае) щ
г sin в дг
Y4 = А-
V дг) | 1 ^? , 1 "* VS'° ° дб
df ' г2 sin2 6 dz2 'r2 sin 6 д^
Выведенные формулы представляют необходимый справочный
материал для дальнейшего.
§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя.
Непрерывное распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев
На основании общих соображений, приведенных в гл. V, задачу
о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоростей
в бесконечном удалении от тела можно значительно упростить, сделав
наперед предположение о безвихревом характере движения. В этом
предположении во всей области движения имеем
rotV = Q
§ f) J ] ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР. 393
и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ®» именуемый
потенциалом скоростей и связанный с вектором скорости равенством:
V = grad ср. (13)
Предполагая еще, что жидкость несжимаема, будем иметь условие
divV = 0, (14)
что вместе с (13) приводит к равенству
div grad ф = V2? = 0, (15)
представляющему известное уравнение Лапласа.
Итак, искомый потенциал скоростей ср является решением
уравнения Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям.
Рассмотрим задачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела
с поверхностью а и ортом внешней нормали п однородным на
бесконечности потоком с заданной скоростью Voc. Тогда граничными
условиями будут:
а) условие непроницаемости поверхности тела:
Vn = gradn » = ■— = О на поверхности а,
б) условие на бесконечности
V = grad ф == Voo при г ->■ оо,
где г — радиус-вектор точек области течения относительно начала
координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.
Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких
предположениях о виде поверхности с, уравнение Лапласа (15) при только
что указанных граничных условиях имеет единственное решение;
функция ф, представляющая это решение, называется гармонической
функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения
Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других
относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к
рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем
изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных
тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что
касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие
от плоского движения, соответствующая задача в пространстве
представляет непреодолимые трудности.
Начнем, как и в случае плоского движения, с установления
потенциалов наиболее простых движений.
1°. Однородный прямолинейный поток, параллельный
некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скорость V
с проекциями и, v, w, будет удовлетворять очевидной системе равенств:
■^-=и = const, -з^- = v = const, -±- = «j = const,
д-к ду дз
394 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ |ГЛ. VII
Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен
's = их -{- vy -\- wz =-- V (х cos a -\-у cos 3 }- г cos •{), (16)
где а, р, f —углы заданного направлении потока с осями
координат Ох, О у и Ог.
2°. Поток источника (стока) мощности Q будет симметричен
относительно положения источника и даст поле скоростей,
отвечающее очевидному условию сохранения расхода
V . 4тгг2 = Q,
где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника;
отсюда получим:
JL
4кг'-1'
V
Замечай, что н сферической системе координат
V =-22
г дг
\/ =
Q
V.
4т;г2'
найдем искомый потенциал скоростей
г sin 6 дг
о, v4
JL2l
г дЬ
— О,
■&■
(17)
причем, в случае источника Q>0, в случае стока Q<0. В
выражении (17) нетрудно узнать простейший
случай ньютонова потенциала,
встречающийся в теории притяжения,
электростатике и др.
3°. Поток диполя получим,
используя допустимое в силу линейности
уравнения Лапласа (15) наложение частных
решений уравнения. Определим сначала
потенциал скоростей поля, создаваемого
совокупностью источника и стока с
равными по абсолютной величине
мощностями ± Q.
Расположим сток (рис. 134) в точке А
прямой линии AL, источник — в смежной
точке А', находящейся от точки А на
расстоянии А А' = As. Определим
потенциал скоростей « в некоторой точке М
—+■
с вектором-радиусом AM = г, образующим угол 0 с направлением
примой AL; будем иметь:
? 4кг' ~т~ 4кг'
Рис. 134.
§ 61]
ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.
395
Предположим теперь, что, аналогично тому, как это имело место
I! случае плоского диполя (§ 38), источник сближается со стоком, но
так, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом
выполняется равенство:
lim Q • ЛА' — т (конечная величина).
<?->со
Тогда, переписывая потенциал скоростей » в виде
4гс АА'
и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала
скоростей:
т d
i in ds\r
или, вычисляя производную и замечая, что, согласно рис. 134,
d (V\ 1_ dr_ cos 8
Ж\Т)~ r« us ~~ r* '
получим еще такое его выражение:
т cos G
4тсг2
(18)
(18')
Полученный предельный поток с потенциалом скоростей ее,
определенным формулами (18) или (18), называют потоком диполя,
находящегося в точке А, имеющего ось AL и момент т. Иногда момент
диполя рассматривают как вектор т, имеющий величину т и
направленный по оси диполя AL; при этом потенциал диполя можно
представить в виде:
ф=-Э^4. (18")
4пг3 v '
4°. Непрерывное распределение источников в
пространстве. Предположим, что внутри некоторого объемах (рис. 135)
непрерывно распределены источники (стоки)
так, что на единицу объема приходится
мощность q. Величина q, представляющая
Функцию координат точек в объеме х,
играет роль объемной плотности
распределения источников (q > 0) или
стоков (q < о). Элементу объема dz,
находящемуся в некоторой точке А объема т, рИС- 135.
будет соответствовать источник
мощности q dx, и потенциал скоростей этого элементарного источника
в любой точке М пространства, заполненного жидкостью как внутри,
396 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
так и вне объема г, будет равен:
, gdx
где г — длина вектора-радиуса /Ш=г, соединяющего элементарный
источник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь
идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей
в точке М от непрерывно распределенных в объеме г источников
в виде:
т
Подчеркнем, что интегрирование производится по всем
элементарным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам
точки А, в то время как точка М является фиксированной, в которой
определяется потенциал скоростей. Если обозначить через (а, Ь, с)
декартовы координаты точки А, а через (х, у, £)—координаты точки М,
то формулу (19) можно переписать явно так:
<в(х у г) = Х [ [ [ q{a,b,c)dadbdc (igf)
' ' У' 4«J J J V(x-a)2 + (y-b)*+(z-c)*'
Если область течения жидкости безгранична, то функция ср при
удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим
через R среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т;
тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что
потенциал скоростей « будет стремиться к нулю, как -^ при R —>■ оо, или
еще иначе, что функция «р обращается в нуль первого порядка на
бесконечности:
"(*)•
Полученный потенциал скоростей представляет общее выражение
ньютонова потенциала. Если под q понимать плотность распределения
массы в объеме т, то выражение (19) даст потенциал сил тяготения
единичной массы в точке М к неоднородной массе, заключенной
в объеме т; если под q понимать плотность распределения
электрических зарядов, то ф будет потенциалом электростатического поля.
Это же выражение играет роль потенциала скоростей непрерывно
распределенных в объеме т источников в рассматриваемом нами
гидродинамическом случае. Широкие связи, существующие между, казалось
бы, столь различными физическими областями, как гидродинамика,
тяготение, электричество и др., позволяют использовать эти „аналогии"
§ 61J ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР. 397
для практического изучения процессов на тех объектах, которые
позволяют проще и точнее изучать явления. 1
Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости
как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно
распределенных источников (§ 11), можем, очевидно, в любой точке
объема т написать:
div V — <7
или, заменяя V = grad <p, div V = V9cc:
V2<? = q. (20)
Отсюда вытекает, что функция ее, определенная формулой (19)
в некоторой безграничной области, заключающей в себе
заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения
Пуассона (20) внутри объема; в остальной области, где q = 0,
функция ее представляет решение уравнения Лапласа
V2? = 0,
причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль
первого порядка.
В. теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19)
представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой
же первой производной по координатам решение уравнения
Пуассона (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка.
Наряду с объемным распределением источников, в гидродинамике,
так же как и в других отделах физики, рассматривают еще
поверхностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверх-
постной и линейной плотности распределения мощности источников то
же обозначение q, будем иметь соответствующие потенциалы
скоростей к виде поверхностного и линейного интегралов:
1 г айя )
V=-U) г'
Ф==_±"Г1* (21)
L
Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей
непрерывного распределения источников по некоторой поверхности о,
Дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения
и электростатического притяжения потенциала простого слон.
Потенциал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного рас-
"ределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как
доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен
Вспомнить, например, метод ЭГДА (конец гл. V).
398 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖКНИЕ [ГЛ. VII
и непрерывен во всей области, включая и поверхность а.' Производная
от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности а
претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность о
разрыв непрерывности — конечный скачок.
Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы
скоростей непрерывных распределений источников, можно ввести
аналогичные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся
на одном, наиболее интересном
распределении диполей, образую-
п щем так называемый двойной
слой. Возьмем некоторую поверх-
^JA ность о и покроем ее непрерывно
1* распределенными диполями так,
чтобы моменты их (или оси)
совпали по направлению с внешними
нормалями п к поверхности о.
Обозначив плотность распределе-
Рис. 136. ния диполей через т, получим
вектор элементарного момента
диполя, приходящегося на элементарную площадку da с ортом внешней
нормали п, в виде mdcn, а элементарный потенциал скоростей d<o,
согласно (18) или (18'), будет равен
, 1 д / 1 \ , 1 /га cos й ,
4л дп \г) 4л г2 '
где (J (рис. 136) —угол между внешней нормалью к поверхности о и
вектором-радиусом г = AM текущей точки М относительно точки А,
взятой на поверхности.
Полный потенциал скоростей от всей покрытой диполями
поверхности а:
1 Г й /1\ . 1 Г /га cos 6 . .__,.
а а
служит гидродинамической аналогией известного в теории
электричества и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого
слоя представляет, например, электростатический потенциал
заряженной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный
потенциал намагниченной поверхности (магнитного листка).
Упомянем, что потенциал двойного слоя (22) также является
решением уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал
1 В точках поверхности а потенциал простого слоя выражается,
согласно (21), через несобственный интеграл, который берется в смысле своего
главного значения.
§ 62j ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ 399
двойного слоя претерпевает разрыв непрерывности при переходе
текущей точки М через поверхность с.
Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно
разрешать различные задачи обтекания тел.
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула
Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити.
Аналогия с потенциалом двойного слоя
Наряду с основными „особенностями" скоростного поля:
источниками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.
Предположим, что в некотором объеме t (конечном или
бесконечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки)
задано непрерывное распределение завихренности У и требуется
разыскать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей
задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей
поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится
к составлению такого решения относительно V уравнения
rotV=Q, (23)
которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от
области, занятой вихрями.
Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А
(вспомнить формулу (33) § 37 гл. V), связанный с вектором скорости V
соотношением
V = rotA, (24)
причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию
div A — 0.
Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу
векторного анализа
rot rot A = grad div A — V2A,
превратится в
V2A = - Q. (25)
Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения
Пуассона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме
векторного обобщения ньютонова потенциала (19):
A = iJ2-f, (26)
где г — радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к
элементу объема х.
Согласно (24), для вектора скорости V получим искомое значение
400 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VI!
Остановимся ближе на случае отдельной элементарной вихревой
трубки, окружающей вихревую нить L (рис. 137), с циркуляцией Г.
Обозначим через dr элемент нити,
ориентированный в ту же сторону, что и Й;
тогда, производя под знаком интеграла (27),
по известной теореме о связи между
интенсивностью вихревой трубки и
циркуляцией скорости по охватывающему трубку
контуру, замену
Q dz = ii da ■ ds = Q do ■ dr = Г dr,
получим вместо (27):
V = -^-rot
4л
dr-.
L
ГО
Используя формулу векторного анализа
t (у dr) = 1 rot (dr) -f- grad (I) X dr
Рис. 137
и замечая, что dr является потенциальным
вектором, так что rot (dr) s= 0, сможем
предыдущее выражение V переписать в виде:
V =
£r|'grad(2-)Xtfr.
(28)
Это решение задачи о построении поля скоростей вокруг заданной
вихревой нити L с циркуляцией Г можно еще упростить двумя
различными путями.
Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента
под знаком интеграла
jrad
/J_V__L d __2_._L L
\r) r2 " r2 " r r3
и приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории
электромагнетизма формулы Био — Савара:
v 4к I
(29)
Если рассмотреть элементарную скорость dV, образованную
(„индуцированную", как принято говорить) в точке М элементом вихревой
нити dr, то можно вместо (29) написать:
rfV =
Г dr X г
4к г»
§ G2]
ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ
401
или, переходя к величине элементарной скорости:
Г | dr X г | _ Г ds ■ sin 8
dV =
4тс
гз
4тс
(29')
По аналогичной формуле Био — Савара определяют магнитное поле
от элемента электрического тока.
Чтобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим
скорость, индуцированную в различных точках пространства
прямолинейным отрезком АВ вихревой нити с циркуляцией Г (рис. 138).
Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной
точке М давать одинаково направленные элементарные скорости dV
(по перпендикуляру к плоскости,
проведенной через отрезок АВ и точку М, 8
в сторону вращения, создаваемого вихрем),
найдем сначала по (29'):
, ..., Г sin0 ,
\dV \--r-——ds,
а затем, пользуясь очевидными равенствами
(h — кратчайшее расстояние точки М от
отрезка AR):
h г., г sin (J, ds=-d {h ct{? f0 = h J^ fl,
получим выражение для | dV |:
_r_sin0.sin29 kdb Г
'4r.
kvi
№
sin'O
'Hh
sin 0 (Hi.
Рис. 138.
Интегрирование по Н от 0—<% до 6 = i: —- £ дает искомое
выражение скорости V, индуцированной вихревым отрезком АВ:
V = lSr/ sinMO^^cosa + cosP).
(30)
Формула (30) играет основную роль в расчетах поля скоростей
вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории
крыла конечного размаха.
Полагая в формуле (30) a = (3 = 0, получим вновь известную из
теории плоского движения формулу скорости, индуцированной
бесконечно длинной прямолинейной вихревой нитью
V:
2%h
Второй путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда
приходится иметь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, огра-
'ичивающей (рис. 139) некоторую разомкнутую поверхность з. В этом случае
-С Зак. 1841. Л. Г. ЛоГщянский.
402 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КЕЗВИХРЁВОЕ ДВИЖЕНИЕ j ГЛ. VII
второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей,
индуцированного замкнутой вихревой нитью.
В полной аналогии с приведенным в § 13 гл. I выводом формулы Стокса
для циркуляции вектора по замкнутому контуру
а ■ dr — rotra a da
рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей
криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора
на элемент контура, подобный же интеграл, но от векторного произведения
j a X dr.
J,
Построив элементарный
цилиндр с образующими,
параллельными орту
нормали п к поверхности z, и
с направляющей L',
ограничивающей элементарную
площадку dz, сможем
написать:
a v dr' ------
Рис. 139.
(п X n') dz',
где z'— полная поверхность цилиндра, состоящая из боковой поверхности и
двух оснований dz, a dr' н dz' обозначают, соответственно, элементы
контура L' и поверхности о' элементарного цилиндра (на рис. 139 dz' представлено
заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного
произведения, получим:
а X dr'
Jiv a
-J п«„, dz' — — J n a„rf3' = n--^-div
£' a' a'
— grad ( an~jr ) = n div a da — grad (an dz).
Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным
контурам Ц слева и по всем элементарным площадкам dz справа, получим:
(31)
Г а X dr = Г п div ad;-- grad ( J я„
da
Полагая в этой формуле
будем иметь, вместо (28):
Г
V =
4л
п?-
gr3d l~j '
Г
da-
An
grad
_д_
дп
- dz.
^ С)Н\ ФУНКЦИЯ ТОКА. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 40Л
1 „ „
! 1о, как уже ранее упоминалось, функция — представляет простейший
случай ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению
(в чем легко убедиться и непосредственным дифференцированием), так что
окончательно найдем:
у = -7Е8»й/ж(т)л- (32)
Сравнивая эту формулу скорости с определением потенциала скоростей
г
(13), видим, что искомый потенциал скоростей равен
с
.; припоминая выражение потенциала двойного слоя (22), заключаем, что
потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с циркуляцией Г
совпадает с потенциалом двойного слоя диполей, распололсенных по
поверхности о, опирающейся на контур L, и имеющих одинаковую по всей
поверхности плотность распределения момента, равную циркуляции
г.ихревой нити; совпадают при этом, конечно, и поля скоростей.
Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет аналог
известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового
электрического тока полю магнитного листка.
Прежде чем перейти к другим примерам пространственных течений,
инедем в рассмотрение функцию тока.
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом
скоростей. Функции тока простейших течений
Согласно (10) § 60 уравнение несжимаемости жидкости будет
имеп. вид
-^ (H2H3Vqi) + ^ (ВД Vg) + -±- (Я,Я9 VJ = 0.
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения,
например Vqj, повсюду равна нулю; тогда предыдущее уравнение
сведется к более простому:
В этом случае можно утверждать существование такой величины ф,
ч'го будет выполняться система равенств:
НпНо V„ = -3—,
(34)
26*
404 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. Vlt
или:
V,
«. Я2Я3 dq2'
1 д<.
\ (34')
Такого рода величина 4, через которую могут быть выражены
две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат,
называется функцией тока.
Потенциал скоростей ср связан с функцией тока, если она
существует, следующими соотношениями:
1 д<р _ 1 di> )
Hi
1
я2
dqt
д<?
dq2
1 дф
(35)
ЩИХ dqi ' I
которые легко получить, приравняв проекции скорости Vq и Vg ,
выраженные через ср, согласно (13) и (9), и через ф, согласно (34').
Простейшим примером существования функции тока служит плоское
движение несжимаемой жидкости.
Рассмотрим осесимметричное относительно оси Oz движение
несжимаемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях,
проходящих через ось Oz. При таком движении существуют все три
декартовы проекции скорости и, v и w и все они зависят от трех
координат х, у, z, так что из уравнения несжимаемости
да . dv_ , dw_ .
дх ' ду ~1~ дг
не следует существования функции тока. Между тем, если условиться
исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической
или сферической системе координат, то, написав, согласно формулам,
помещенным в конце § 60, уравнения несжимаемости в одном из
следующих видов:
d(r*VJ dV d(r*VJ__
дг* ~*~ дг "I дг '
d(r2K,.sin6) д(гУе) , d(rVH sin 6) __
дг ~Г ds "~г дЬ ~U
и заметив, что, в силу сделанного предположения о
меридиональное™ движения, члены с Ve пропадут, будем иметь следующие
выражения проекций скорости через функцию тока:
а) в цилиндрической системе координат:
г*1/ _ дф* v _ 1 ду*
,,у __д^_ v L^il- I
§ 63] ФУНКЦИЯ ТОКЛ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 405
б) в сферической системе координат:
г lysine— Q% , vr — ^sjn9 m ,
rVesine = —4i-, Ve = U|i.
u dr v rsmbdr
(37)
Введенная уравнениями (34) или (34') функция тока обладает
свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.
Замечая, что:
V — н а^ v — н dqi V —Н dqa — п
по (34') найдем:
-^-^ + ^7^ = ^ = 0.
Следовательно, вдоль линии тока ф = const.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения
жидкости по меридиональным плоскостям (е = const) равенства ty = const
представят некоторые поверхности, которые можно было бы
образовать вращением линий тока вокруг оси Oz. Эти поверхности называют
поверхностями тока; на самой оси Ог можно положить ^ = О,
тогда значения ф будут определять объемный расход жидкости через
любое ортогональное к оси Ог сечение трубки тока, ограниченной
данной поверхностью тока.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих
векторного потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24).
Действительно, согласно этому равенству и формулам (11) имеем:
у -rot A- ' P(/W д(Н^]]
^-Г01д1А-Я2Я3[_ ддг dq3 J'
Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве
координатным поверхностям q3 = const, будем иметь:
1 d{HsAq)
«« ЩЩ dqt '
у 1 *("lV.
1 ?»- Я3ЯХ dft '
406 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
положив H3Aq = <b(qv q^, а коэффициенты Ляме и величину А„ —не
зависящими от qs, получим формулы (34'). Так, например, в сферической или
цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по
касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного е,
и не зависеть от е.
Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных
простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37).
1°. Однородный прямолинейный поток со скоростью V,
параллельной оси Ог.
В цилиндрической системе координат имеем:
1 д'Ъ* 1 дф*
следовательно:
4»* = — j Vr*\
Q
1
г2 sin
д<\>
б дд '
1
/-sine
дЪ
дг
В сферической системе координат:
Vr=^cos6 =
Ке=—Ksin
Простое интегрирование этой системы уравнений в полных
дифференциалах дает:
<]i = i Vr°- sin2 8. (38)
Т. Источник (сток) дает простое выражение для функции тока
в сферической системе координат. Имеем:
V — Q ... 1 д*
г 4п/-2 ri sin б дЬ '
V_a 1 it
i/e_o 7Жб-д7'
откуда нетрудно получить
, Q cos 6 , ,
$=—-Ь^_ [-const,
или, подбирая константу из условия ф = 0 при 0 = 0:
ф = -£(1-со8в). (39)
3°. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18')>
будем иметь по (37) систему уравнений:
.. т cos б 1 д<Ь
Vr' 2£r3 r2sin6 Ж>
., т sin б 1 дф
*' ~" 4^Н "~" г Sin 8 "cF1
§ 64] ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРЛ 407
откуда следует:
дФ т . D ,.
2±=s_J!LfAa4.
or \r.rl
Легко найти интеграл этой системы, обращающийся в нуль при
8 = 0:
, /лsin2 9 ,._ч
т- = -й7— (4°)
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного
потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее
тело. Парадокс Даламбера
Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания
круглого цилиндра, можно найти пространственное обтекание сферы,
накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со
Рис. 140.
скоростью К» на поток от диполя, ориентированного вдоль этой оси
(рис. 140). Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию
тока составного потока:
ф = 1 V„j* sin* 9 + -£z sin2 8 = (J V„r» + -£) sin* 8. (41)
2 r°°' ' 4vi/-
Нулевая поверхность тока
Hil'-'i+£)e,n*9 = 0
разбивается на уравнение поверхности сферы:
408 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
где а — радиус сферы, и уравнение оси Oz:
О = 0, те, . . .
Отсюда следует, что, желая получить обтекание сферы радиуса а
потоком со скоростью Ксо на бесконечности, направленным вдоль
оси Oz, надо положить в выражении функции тока (41)
т = — 2теа3Коо,
тогда будем иметь
ф = 1 Коог2[l — (~J) sin* Ь. (42)
После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал
скоростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи
потенциала ср с функцией тока 4, но проще непосредственно составить
сумму потенциалов слагаемых потоков (16) и (18')
,. т cos 6 ,,
-V^[l + |-(f!"|. (43)
Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение
скоростей:
V =^L=v
/я\3
cos 6,
(44)
Сразу видно, что на поверхности сферы (г = а) выполняется
основное граничное условие непроницаемости твердой стенки:
vn=vr = o,
а на бесконечности (г —>■ со):
Vr = V'oo cos В, VH = — Vm sin Й,
т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по
величине Vca и направлена по оси Oz в положительную сторону.
Как это уже делалось ранее при изучении плоского движения,
разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный
невозмущенный сферой поток со скоростями
Уозг = Vm cos 6, V^-е = — Voo sin 9
и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного
потока сферой:
V'r = — Vm(jj cos Ъ,
Vl=* — ± ^оэ(у)3 Sin 6.
§ G4] ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 409
Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро
убывают с удалением от возмущающей поток сферы. Убывание имеет
порядок обратной пропорциональности кубу расстояния.
Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется
равенством
Ц) = — |- Коо sin 0.
Точки А я В (рис. 140) будут критическими, в них скорость
обращается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в миде-
левой плоскости при 8 = -^ , — она равна по величине
(^е)тах — ~2 ^ет-
Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра
(§ 38 гл. V), видим, что в пространственном случае обтекания сферы
максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех
вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае
плоского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза
превышает скорость набегающего потока. Заметим, что (так же как
и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость
не достигает столь большого значения; сфера представляет плохо
обтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости
срывается, не доходя при одних условиях даже до миделевой
плоскости, при других — несколько заходя за нее (об этом подробнее
будет сказано в дальнейшем).
Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме
Бернулли
Р Г -2-=РооН 2"~,
из которой следует выражение коэффициента давления:
- Р-Роэ , / V \» . 9
Р
1 —(-Т7—) =1—rsin»e.
±oVa *V»J 4
2 v °°
Как видно непосредственно из последней формулы, в силу
симметрии главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на
поверхность сферы будет равен нулю. Сфера при своем равномерном
Движении в идеальной жидкости не испытывает со стороны
последней никакого сопротивления. В этом заключается частный случай
известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь во
введении и в гл. V о плоском безвихревом движении. В рассмотренном
только что случае сферы этот парадокс следует из соображений
симметрии распределения давления по поверхности сферы, однако
парадокс верен и при несимметричных обтеканиях.
410 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ (ГЛ. VII
Приведем общее доказательство парадокса Даламбера для
случая пространственного безвихревого обтекания конечного по размерам
тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок
убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым
ограниченным замкнутой поверхностью а телом (рис. 141) при удалении
от этого тела.
Разобьем потенциал <в обтекания тела на потенциал однородного
потока со скоростью Vm, параллельной, например, оси Ог, и на
Рис. 141.
потенциал скоростей возмущения ©'• Последний потенциал
удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно
написать в виде:
sin в 5в V ав
dr \ dr /^ sin2в дг-
0.
(45)
Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положим
Ч'(г, в, t) = R(r)X(*, %
где R(r) — функция только от г, Х(е, Ь) — только от г и 0.
Подставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь:
y_d_( 9dR\ , R д-Х ,
dr\r dr)~T~ sin2 6 di* ">
R
sin ft
6 db
или, отделяя функции г от остальных переменных:
1 д*Х , 1 д
дЪ J '
_l__d/2 rf#\ 1_
R dr\dr ) X
sin2 В di* l sin8 db
r7^T-^{sinb^)\-
dX'
58 Л
Слева стоит функция только г, справа — только е и Ь. Поскольку
переменные г, г и Ь независимы друг от друга, из предыдущего
§ 64] ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА 411
равенства следует:
-^^(r2^) = const-
Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут входить
целые положительные или отрицательные Степени переменного г:
R{r) = r\
если только произвольную константу положить равной п{п~\-\).
Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел
п =— k, так как потенциал возмущения ср' должен убывать с ростом г,
получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде:
^j , к—i, &, ... со,
причем функции Xk(s, 6) — их называют сферическими функциями —
должны удовлетворять уравнению в частных производных:
1 ^ + 4* 6йпвтг)-М(*— i)^ft = o.
sin3 в д^2 ' sin 6 59 \ дЬ ) v ' к
При k = 1 решением этого уравнения, ограниченным при всех
значениях 0<=6<;7г, будет Xi== const, что соответствует простейшему
const
частному решению , представляющему не что иное, как
известный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При
k = 2 уравнение имеет решением const -cos 6, что приводит к
потенциалу скоростей диполя.
В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал о' можно
представить как сумму частных решений:
со оо
fc=l к=2
Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим
обтекаемое тело сферой С0 большого радиуса г0 и, предполагая, что между
поверхностью тела с и поверхностью сферы с0 нет источников или
стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости
сквозь поверхность с0:
ОО
.14*».= /|Ч = —£ J*b- Sttt J**С в)л0 = о.
Замечая еще, что:
do0 = r\ sin 6 db de,
412 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
получим:
— 4*0— V -^ Г rfe *fc(e, e)sin4d9 = 0,
.. . rn -J <J
fc=3
откуда при r0 ->• oo и следует, что С = 0.
Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет:
—г
Хк (г, 6)
и, следовательно, действительно при больших г скорости возмущения
имеют порядок
После этого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера.
Применим теорему количества движения в форме Эйлера к объему жидкости,
заключенному между контрольными поверхностями а и а0. Будем иметь,
обозначая через F главный вектор сил давления, действующих со
стороны жидкости на тело:
— j p VnV do0 — f pn doa — F = О,
так как перенос количества движения через поверхность твердого
тела о равен нулю.
При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения
справедлива теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и
скорости:
p = const —-Цг—.
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:
F =.— jpVnVda0 + J-ф- n rfa0.
'а «и
Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость
натекания V^ и скорость возмущения V', будем иметь:
F = - pVoo J Vn do0 - p J VnV' rfa0 +
+ |J(Voo+V')-(Voo + VOnda0 =
= -P J W*>o + P J (Voo • V')nrfa0 + |-J V'n rfc0,
§ 65] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИИ 413
что следует в силу очевидных равенств:
j Vnda0 = 0, Jndo0 = 0.
По ранее доказанному скорость возмущения V' имеет при
больших г величину порядка —ц-, в то время как элемент
интегрирования da0—порядок г2; отсюда сразу вытекает, что при стремлении г
к бесконечности главный вектор F сил давления потока должен быть
равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом,
обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой
жидкостью, в отсутствие вокруг
тела источников либо
стоков, главный вектор сил
давления потока на тело равен
нулю.
Парадокс Даламбера
доказан только для тела конечных
размеров, ограниченного
замкнутой поверхностью. Главный
вектор сил давления потока на
тело, распространяющееся до бесконечности, например, на „полутело"
(рис. 142), зависит от закона возрастания ширины d сечения этого
„полутела", с увеличением расстояния z до бесконечности. Так
сопротивление полутела, образованного наложением однородного потока на
источник, равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого
сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее,
чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления. i
Рис. 142.
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение
цилиндрических координат. Течение сквозь каналы
Одним из наиболее распространенных видов пространственных
течений является движение, симметричное относительно некоторой оси
(например, оси Oz), кратко называемое „осесимметричным". Сюда
относятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфу-
зорах и диффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных,
Дирижабельных и других форм.
Составим общие уравнения осесимметричного движения.
Предположим, что в меридиональных плоскостях (рис. 143), образующих
с плоскостью xOz угол е, выбрана некоторая, не зависящая от угла г
1 Тщательное исследование вопроса о влиянии формы .полутела" на его
сопротивление см. М. И. Г у р е в и ч, Обтекания осесимметричного полутела
конечного сопротивления. Прикладн. матем. и механ., т. XI, № 1, 1947.
414 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
система ортогональных криволинейных координат qx, qa. Тогда будем
иметь в каждой из меридиональных плоскостей:
г* = г* (qv q^, z = z(qu q2),
и вообще для любой точки М:
.V =/-*(<?!, <72)C0SS,
отсюда по формулам (2) § 60 легко найти коэффициенты Ляме:
dzy _ ,/"/бг*\2 i ( dz_f
dqj — V {dqj ~t" \dqj
"»=».=/(£)*+(®4(£)°=^,,*!>.
(46)
Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет,
согласно равенству (12) § 60, иметь вид:
_д_
d<7i
так как третий
член равенства (12),
<W
(47)
заключающий производную
по координате в, в силу
принятой осевой
симметрии движения обращается
в нуль.
Во избежание
недоразумений следует
подчеркнуть, что уравнение осе-
симметричного движения
(47), составленное в
координатах qx и q2, не
совпадает с уравнением
плоского движения в тех
же координатах; точно
так же и сами движения:
пространственное осесимметричное течение вдоль тела вращения и
плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаются
друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться. Так,
напомним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалось
совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском
обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае
Рис. 143.
§ 65j ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 415
равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором —
удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого
рода движений сразу видна из уравнений (46) и (47). В случае
плоского движения коэффициент Ляме И5 оказался бы равным единице,
а не г* (<7j, q2), и уравнение (47) приняло бы вид:
Наличие в уравнении (47) существенного множителя г* (qu q%) под
знаком производные создает значительную разницу между уравнением
осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением
плоского движения в тех же координатах.
Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве
криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (г*, г),
будем иметь: Н^=\, Яг=1 и, следовательно, уравнение движения
приведется к простому виду:
£(" £&)+£('•&)-». <*«>
соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах
при отсутствии зависимости движения от е.
Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами
анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный
интеграл уравнения (48):
<в (г\ z) — - I <p0 (ir* cos 0-| г) dl), (49)
о
где v0(f) — аналитическая во всей области течения (г*, z) функция.
Действительно, если ?0 — аналитическая функция, то она сама
удовлетворяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая 6 как
параметр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему
аргументу:
2& = <b'*cos6 ^a = — cs"cos2e ^2a = »'
gr* rotl-Ub J> dr*2 го1-"15 '' gzi го»
и, подставляя в (48),
г*ч>"0 sin2 8 ~\- iy'0 cos 6 = 0.
Вычисляя теперь аналогичные производные от функции «р,
представленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства:
'r dz*
дг* V дг*) ' дг \ дг) г дг*й ^ дг*
ГС
= 1 | (r*?l sin2 Н + *'<Ро cos 0) rffl = 0.
416 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [гЛ. VII
Функция 4Q{t) имеет в нашем случае простой физический смысл.
Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения:
тс
Vz (г*, 2) = |2. = Lj ?; (/r* cos 0 + г) rfO
о
и определим ее на оси потока (г* = 0). Тогда будем иметь:
ГС
l^=-]rJ?o(*)rf9 = <(*)•
6
Таким образом, первая производная от ср0 (г) представляет собою не
что иное как распределение скорости Vz вдоль оси симметрии течения.
Задаваясь видом функции
^=?;(*)=/о(*).
найдем по (49) распределение скоростей течения:
^ = 17 = Т //о ("-* cos,} + *) <«.
} (™)
1/,:=^| = ~ | /о ('>* cos (J -1 ■ г) cos 6 rf4
а при желании и функцию тока:
2 It Z
<V* = | г* V,* dz=~\ cos О rfO j /0 (//•* cos 0 | 2) <fe. (51)
о
Нулевой линией тока ф* = 0 служит ось течения г* = 0.
Простейший пример такого осесимметричного течения получим,
если положим
^о=/оО) = — *>
т. е. потребуем, чтобы жидкость имела бесконечную скорость на
отрицательной бесконечности {г = — со) и нулевую скорость в начале
координат (2=0), причем зададим линейный закон уменьшения
скорости. В этом случае легко найдем:
V, = — i ) (/г* cos Н + z) dH = — z,
а
it ic
V^ = ——\ ir* coss 0 m — — I cos 8 dO = 4- '*,
0 0
, * 1 -,*
& Ь5| ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ 417
Поверхности тока имеют уравнением
г*'г = const;
общее их расположение показано на рис. 144. Картина течения
соответствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной
скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной
Рис. 144.
плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности.
Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Ог
при г-*- — оо и к плоскости хОу при г—»0.
Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда
сложность, которую можно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью
функций !fo и /о, разложить их в ряды:
<р0 (//' cos 8 -f z) = ч>0 (2) -|- ir* cos 6 • 'fo (*) + • • •
/0 (ir* cos 6 + z) = /0 (z) + ir* cos 8 ./0 (*) + ...
Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что
О
if
cos2» 6 d%:
(2я)1
28«.(п!)8'
COs2«-lfJrf6=0,
27 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
418
получим:
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
¥о
V.
ии
("О2
^1 (— 1)*-2я
> (л!)2
(52)
vr , z;- ^ 22«(л!)2 г /о чг^>
я = 1
оо
оо
ф* (г* *) = V (~~1)П"2/1 Г*2»/'2П) f .
т и ' *> ^j 22и(л!)2 у° ^ '"
п=1
Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы конфузоров,
диффузоров и других каналов. Так, например, положим:1
z
/0 (г) = 0,55 + 0,90 Jo (г) dz,
Ф (г): . ^_
что дает плавное изменение скорости Vz вдоль оси Ог, показанное
на графике (рис. 145). Последовательные производные функции /„ (г)
определяются очевидным ра-
1,0
1 в~'
0.8
0,6
0,4
0,2
гч*
II
венством:
Д"+,)(;г) = 0.90Ф<п>(*),
причем
1 dn
Ф(») (г)
-г
-/
»-z
/2п rfz«
[на
рм
Нп (г) =
Вспоминая определение
полиномов Эрмита Яге:2
Рис. 145.
-1г*
будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной
функции /о (г):
Дп+1> (г) = 0.90 • (-1)" Ф (г) Я„ (г) = 0,90
(—1)" -j*
УТк е
//„(*).
1 Н s u e-S h e п T s! e n, On the Design of the Contraction Cone for a Wind
Tunnel. Journ. Aeiort. Sc. Vol. 10, № 2, 1943; pp. 68—70.
2 См. Янке и Эмде, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122,
§ 66] ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 419
На рис. 146 приводятся линии тока и распределение продольных
скоростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку.
Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами
со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая
линию тока за твердую
стенку, получим профиль I ['
конфузора, причем эпюры
покажут, насколько
однородно поле скоростей в
различных сечениях конфузора.
Так, например, видно, что
профиль конфузора,
показанный на рис. 146
штриховкой, имеет достаточно
хорошую форму: некоторое
повышение скорости к
стенкам конфузора не вредит
делу, так как подтормажи-
вание жидкости из-за
вязкости вблизи стенок должно
выправить поле.
Рассчитанный конфузор, как видно
из рис. 145 и 146, удваивает
скорость движения. Изложенный только что метод может с успехом
применяться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других
каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука.
§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения.
Случай эллипсоида вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения
(рис. 147 а) возьмем в меридиональных плоскостях (г*, z)
эллиптическую систему координат (£, -ц), связанную с (г*, z) соотношениями
[вспомнить формулы (51") § 40 гл. V]:
г = с ch 5 cos i\, 0<;$^;оо,
г* = с sh £ sin Y), 0 <; т] g; 2тг,
где величина с представляет расстояние фокусов семейства
координатных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат.
Положим:
ch| = X, cosi] = [i,
1 Si^^ioo,
— кк + i;
тогда связь между координатами (г*, г) и (X, ji) будет иметь вид:
* = сутг=1ут=?л (53)
г = cX|i, )
27*
420 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Определив производные:
[гл. vn
дг* / I—pi дг* ,/"^2—1
дг
дг_
= cl,
найдем, согласно (46), коэффициенты Ляме:
н, = г* = сУ\*—1 /1 — р2-
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное
(530
мерид.
пл.
I-r* cose
5Еа&
а>
уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По (47) получим:
dl
(^-«^l+^-^H-
(54)
Будем искать частное решение этого уравнения в виде
произведения двух функций от переменных X и и. в отдельности:
<? = /,(/.)/И 0*);
тогда в уравнении (54) переменные разделятся и из равенства
L(~L) /ft
<?-"ж) =
1
М (|1) rffX
[<w>^]
§ 66] ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 421
в силу независимости а. и и. будет следовать, что каждая из частей
равенства должна быть постоянной, которую можно выбирать
совершенно произвольно. Полагая эту постоянную равной п{п-\- 1), где я—
целое положительное число, получим для определения L и М два
обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа:
(54')
Этим уравнениям удовлетворяют1 два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полиномы
Лежандра Рп (х), определяемые равенствами:
Р0 (х) = 1, />,(*) = х, Р2 (х) = 1 (Зха — 1),
А,(*) = j(5jf»— Зх), ...
и реккурентным соотношением для вычисления последующих
полиномов :
(я + 1) Рп+1 (х) = (2л + 1) хРп (х) _ пРп_х (х);
2) функции Лежандра 2-го рода Q„(x), определяемые ра-
нунствами:
1 X -'- 1 1 X L- 1
Q0 (-"О = — in ^—Т' Ql {х) = 2~ х 1п Т^Т ~ ]'
Q, (х) = ~ (Зх2 — 1) In J±| — 4 х,
Qe(*) = j(5x2--3x)ln^i|— 4X'2 + T
и, вообще,
О fjrt— Г1 In :i+l_l- I2-- JL__3= _ _-("-1)2lp (x)
VnW— [2lnx_i x 3x 5x 7x •■• (2и-1)*| nW"
При желании можно пользоваться реккурентным соотношением
(я + 1) Qn,., (х) = (2я + 1) xQn (х) — «Q„_, (х),
совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов
Лежандра.
Функция Рп, как полином я-ой степени, обращается в
бесконечность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn при
этом стремится к нулю, но зато обращается в логарифмическую
1 Е. Уиттскер и Г. Ватсои, Курс современного анализа, ч. II.
1 остехиздат, 1934, стр. 91 н ел.
422 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
бесконечность при х = ±1. В случае внешнего обтекания тела
координата X = ch 5 может достигать бесконечных значений, а координата ji
ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей
возмущенного движения (т. е. полного обтекания за вычетом однородного
потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен
стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне
отрезка оси Oz{—c<z<c) представить полный потенциал скоростей
в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и
однородного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности
равной Voo и направленной вдоль Oz:
<?(х, lo = cv„[SA,Qn(X)/>„00+»*]; (55)
здесь Ап — неопределенные коэффициенты, значение которых зависит
от формы обтекаемого тела.
Для определения коэффициентов Ап найдем прежде всего
выражение функции тока <|>.
По общим формулам (35) § 63 и (53') будем иметь:
дф_ НЛ дч ,. х.дч
д<\> Ну.Не дч _ аа_1ч^1.
д[>- ~~ Нх dl ~С^ ' dl '
или, после подстановки разложения (55):
dl
» = 0
1 Ап
А О dPn
dQn
dl
Р 4-
+
M
■ (1-t*2)],
i.s=c»V00[(^-l)^lAn^-Pn + ^-l)]
» = o
Переписывая второе равенство в виде
со
и полагая коэффициент А0 = 0, подставим под знак суммы
выражение для Рп из основного дифференциального уравнения функций
Лежандра (54'):
я* = ~ n(n + i) 'dj\(l~~^')~afy
§ 66) ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИК ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 423
Тогда будем иметь:
ii c*v aa—nlV Ап dQn —I'd *?\dPA П
Интегрируя по fi, получим окончательное выражение для
функции тока:
со
+ = „|e.KB(X"-l)(l-^[2^1y^L^t+1]- (56)
»=1
Уравнение „нулевой" поверхности тока будет
2Ап dQn dP,
. (л + 1) d\ d\x
У ?Л1лл *%" ^Р"+1=0. (57)
я =1
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения
в эллиптических координатах, можно определить величины
коэффициентов Ап, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и
является наиболее сложным с вычислительной стороны.1
Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость
ио формуле:
со
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим
обтекание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет
уравнением
\ = \0.
Полагая в уравнении (57) Ап=0 при я>1 и Х = а0, получим:
А 1 = *
1 /tfQA 11п X_Q + * ^ '
'й Л=хи 2 \-1 Xg-1
1 См. С. Kaplan, Potential Flow about Elongated Bodies of Revolution.
NACA Rep. № 516, 1935 г.; в этой статье вопрос об определении
коэффициентов Ап сводится к решению линейной системы алгебраических
уравнений; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам,
будет изложен далее в § 68.
424
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ.
[ГЛ. VII
Потенциал скоростей будет равен по (55):
<? (К V) = - cVc
1 >, l+l i
1щ^ + 1
2 \-1 Ц-1
(58)
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести
явно полуоси эллипсоида а и b < а, расположенные, соответственно,
по осям Oz и Or*. Будем иметь, согласно (53), уравнение эллипса
\ = к0 в виде:
г*2
с L, с (Л0 — 1)
1,
откуда следует:
сХ0 = а, с У Хо — 1 = i
или, введя эксцентриситет е=
Уа' —Ь2
Х0 = 1, /А»"-! *
В этих обозначениях получим:
y^i±f-i
1 , 1-1-е
In •
L 2е 1-е
!■
(58')
Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить
потенциал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению
эллиптических координат:
при с
О е -+ 0, d
г,
cos H,
где г и 6 — сферические координаты. Производя разложения:
In
Г-^Т - 1п ^Т = 2 (-Т + 5^ +
*+1
'(-
_1_
'ЗА3
>>>!,
1пШ=2(е+^е3+---) е<1'
и заменяя е на —, убедимся, что
при с —> О
VOT*
1 +
1 / а
2 V г
т. е. к известному уже по § 64 выражению (43).
§ 67] ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 42."
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут:
Vx я, д\— Vco У i
Я> дА~ ,со Г Х2— „П 1 1+е
^
V >.'■* — И 1
2 1-е 1-е2
1 ^ „ ,/ 1-!- 2 X—1
1 — е 1 — еа
Полагая здесь л = /,0 = —, убедимся, что на поверхности
эллипсоида Vx = 0; это и естественно, так как координатные линии (X)
перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие Vx = 0
эквивалентно условию равенства нулю нормальной к поверхности
составляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности
эллипсоида определится равенством:
v=v = - eW~ V1-*2
Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида
нращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом
можно было бы исследовать и менее интересный с практической
стороны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы
меридионального сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридиональных
плоскостях.1 В только что цитированных курсах приводится также
решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого
все оси различны.
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример
эллипсоида вращения
Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным
его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание,
перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложения
этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под
любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения
задачи о поперечном обтекании тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения.
Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в
1 См., например, И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н и Н. В. Р о з с,
Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948, стр. 358—359, а также
I • Л а м б, Гидродинамика. Гостехиздат, 1947, стр. 175—181.
426
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЮ
[i'.'l. VII
ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) § 60,
иметь вид:
Л/т. I W. Л/т. ) Г Я„_ [ Н- Л/1_ ~Г л„„ \ И.. дл„
dqA Wj dqJ~Tdq2{ H2 dqj^ dqA Hi ~b~q
0.
Сохраняя ту же систему координат (X, fi, e), что и в случае осе-
симметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения
коэффициентов Ляме (53'), перепишем предыдущее уравнение в форме:
дХ
*•-»%]+к
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух
функций
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя
функции независимых переменных, получим систему уравнений
(k ■— произвольное число, которое будем считать положительным и
целым):
d*E
д_
дХ
(^2—1)
дХ
+
д*
■k?
>,2 _ jjlS
(X»_l)(l-^)
л/=о.
Первое уравнение имеет решение
Е = A cos ke -j- В sin fee,
второе, если положить N — L (л) М (и.) и разделить переменные
аналогично тому, как это ранее было сделано в уравнении (54), может
быть приведено к системе уравнений:
dX
имеющей в качестве частных решений так называемые
присоединенные функции Лежандра:!
(60)
1 См., например, Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного
анализа, ч. II. Гостехиздат, 1934, стр. 119,
§ 67J ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 427
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала
скоростей возмущенного движения было ограниченным при \ —> со,
получим общее выражение потенциала скоростей:
со со
? = 2 2 Qn (*•) Рп ((*•) (Апк cos кг -\- Впк sin fee) -j- V^x;
n=0 k=0
здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей
набегающего на тело однородного потока со скоростью на
бесконечности Voo, направленной параллельно оси Ох (рис. 1476).
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала:
Апо = "» ^»а = ^»з = • • • = 0>
&по = ^«1 = Впч = . • • = О,
т. е. довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того,
представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего
параграфа, как функцию \, fi и е:
х = г* cos s = с sh $ sin fj cos г = с|А2 — 1 У1 — fj-2 cos s,
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно
набегающего со скоростью Vco вдоль оси Ох потока:
со
ср = с V^ cos г 2 CnQln (I) Рхп fr) + cV^ ]/lF^l /l - ji» cos s,
n = i
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (60),
со
? = cy„yx5^yr=V(2c„^^?-t- l)cose. (61)
Для определения постоянных С„, как и ранее, следует составить
граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом
случае не осесамметрачного движения функция тока отсутствует и
приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn = ~-
и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе
координат (X, }i) условие, что при непроницаемости поверхности
обтекаемого тела элемент дуги его меридионального сечения параллелен
составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие
скольжения жидкости на поверхности тела)
dsx ds^.
428 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и
проекций градиента потенциала на направления этих линий,
Отсюда вытекает искомое граничное условие
в котором X является заданной функцией и, согласно уравнению
контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные
производные ^-, -—- от выражения (61), будем иметь:
1 дч _. -./"Lz^VVr <Шпа£пЛ- Ал.
cKcoCOSsd). V W—\\Zun d\ rffi. "Г ^T
оо
_|_/(Х«-1)(1-^2С»^^>
я = 1
1 ду ,/X2 — 1/V
_ / И-1/у r rfQ,ttfPw , N ■
cVcoCOSsd? 'Г 1—^\А4 п dl d;a "Т" 7Т
+ 1/(Х2-1)(1-и2) V Ce^^i.
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на
основании дифференциальных уравнений функций Рп и Qn:
(1-^^=2^-я(я+1)^„,
получим после простых приведений
со
1 fȣ__i lAIE^y r dQndPn,
cVooCostdl V W-—\^nd\ rf(x "т"
я = 1
со
«=l r
§ 67]
ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
429
Подставляя эти выражения производных в (62) и используя ранее
выведенные значения коэффициентов Ляме (53'):
л»-&
получим после очевидных сокращений
Л2 (j,Z
СО
»=i
а,и,
Имея в виду, что л представляет заданную функцию от у.,
перепишем граничное условие в окончательной форме так:
»=1
£^£ —е + ч£«Л>
(63)
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения X. = А0,
продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено
в предыдущем параграфе.
В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив
Сп = 0 при п > 1; тогда будем иметь (Pt = jx):
откуда, согласно ранее приведенному выражению Qx (К), следует:
С, = -
К
А*
1
Unln> + 1
(64)
Хп—1
1
Напомним, что здесь А0 = —, где е—эксцентриситет эллипса,
представляющего меридиональное сечение эллипсоида. Потенциал
скоростей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения
равен по (61):
>+1 , х
? = cvcov/>.2 — 1 l/"i
Чт1п1
1 "г 1 — X2
2 —-
Mi
' ~^bt±l
1
1
K-i 2
(65)
скорости определятся простым дифференцированием (65):
V ~±д-1 _
Vx~Hxdl' ">—tfa<V
V — J_^2 V"= —2i.
430 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. VII
Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела
вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и
предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном
случае трудоемких вычислений.
Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если
рассматриваемое тело имеет значительное удлинение.
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого
удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для определения
коэффициентов Ап и Сп
В большинстве практических приложений приходится иметь дело
с телами вращения, удлинение которых, т. е. отношение длины к
максимальной толщине, довольно велико (порядка 8—12). Так же как и
в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью
такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть
произведен приближенным методом, значительно более простым, чем
изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею
этого приближенного метода, принадлежащего Я. М. Серебрийскому.1
Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении
задачи является определение коэффициентов Ап при продольном и
Сп—при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между к
и {*, определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем
меньше коэффициентов Ап, Сп можно брать в разложениях
потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством
Я = const, т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида.
Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемое тело
к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи
с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала
координат на продольной оси тела. Совершенно так же, как при решении
плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы
(§ 48 гл. V), заметим, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения
находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения
наибольшей оси с поверхностью эллипсоида и центры кривизны
поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим
с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала
координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше
уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства X=const.
Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность
его располагается в области значений X, мало превышающих
значение X = сп £ = 1 или \ = О, соответствующее отрезку оси Ог, соеди-
1 Я. М. Се.ребрийский, Обтекание тел вращения. Прикладн. матем»
и механ., т. VIU, 1944.
§ 68] ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ 431
пяющему фокусы. Рассматривая значения функций Qn (к) и -4т2 при к,
лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно
малых £ будут иметь место равенства:
Q„ = lnf + Tw ^s=_±^8n, (66)
где in и ^п — малые по сравнению с первыми членами поправки.
Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых % все
функции Qn и -j^ в первом приближении не зависят от индекса п.
Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом
приближении будет, согласно (66), иметь вид:
оо
5в=2тгй-№ (67)
dPn л.
где производная ——^ представляет известную функцию величины
J* == cos yj. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом
членов п = т, можно, пользуясь приведенными в § 66 выражениями
полиномов Лежандра, написать тождество:
inl^TTiW-l^osin-l)^ (670
из которого можно вывести выражения коэффициентов Ап через ап.
Так, например, при т = 5 имеем:
л 3,3. 9
. _ 8 32 _ 16 _ 64
Л3— "5"аз 15 й5' 4 — Tai' 5'—21 Й6'
Представив контур меридионального сечения приближенным
тригонометрическим разложением в эллиптических координатах
т
^=^апсо5(п~1)% (68)
п=1
определим тем самым числа ап, а уже после этого, согласно
тождеству (67'), и величины коэффициентов Ап, что и дает первое
приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании
Удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико,
то указанное приближение оказывается для практики достаточным.
При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены -\п
и 8Я, что приведет ко второму и следующим приближениям.
432 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании
удлиненного тела вращения. При плавности контура координата к
изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1 -\- -^ £miu
до 1 -\- -j £max) при этом [а остается в пределах ± 1; таким образом,
dX ,2
можно считать, что производная — имеет порядок ?тах, т. е.
сравнительно мала. Отсюда следует, что величина
d(V)_X _La-
d\i. I ^ d\j.
имеет порядок единицы.
Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в
квадратной скобке слева величина
n(n + l)£(QnPJ = n(n^l)(Qn^ + d-^Pn
dX\
-
мала по сравнению с величиной -Л-^l -Цр -—2?. Действительно,
dfi dX dp.
dQn dX _j_ J.
dX dp,
= — . E2 = 1
Q„=ln1-.
Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63)
первый одночлен имеет при малых Е порядок -р, второй — In—.
Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности
удлиненного тела вращения, где £ мало, точное граничное условие
поперечного обтекания (63) может быть заменено на приближенное:
со
1 у r dPn _
£2 -J п djJ. _ 1
и = 1
или
со
?а = -2С»^' (69)
п = 1
Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным
условием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми
коэффициентами Ап и Сп существует простое соотношение:
с- — н^Ы- (69°
В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного
обтекания — решаются одновременно и сравнительно легким путем.
§ 69]
МЕТОД „ОСОБЕННОСТЕЙ"
433
Изложение приемов построения второго и следующих приближений
можно найти в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского.
Определив коэффициенты Ап и Сп, найдем выражения потенциалов
и компонентов скоростей для продольного и поперечного обтеканий,
после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и
давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при
любом угле атаки. Отметим, что при всех вычислениях на поверхности
удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для 0„ и —рт
приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при
удалении от поверхности обтекаемого тела X возрастает, и формулы (66)
становятся все менее и менее точными.
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно
распределенных источников (стоков) и диполей для решения задачи
о продольном и поперечном обтекании тел вращения
Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного
и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном
решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является
единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы
обтекаемых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного,
параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков),
распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале
дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) или диполей,
а впоследствии — непрерывные их распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке (— с, + с) оси Ог
задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности д (г).
Тогда потенциал у возмущенного движения, созданного этой системой
„особенностей", будет, согласно второй из формул (21) § 61, равен (знак минус
введем в определение интенсивности д):
■'""■*-si',/ !"'""' • (70>
Если задаться видом функции д (zr), то, вычисляя интеграл (70), получим
потенциал скоростей, а дифференцирование по л* и г позволит вычислить
и проекции скорости wr* и vz. Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела,
можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному
потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной
скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости
поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором д (г') будет
неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман1
разработал метод приближенного интегрирования соответствующего
интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой.
1 Th. v. К arm an, Berechnung der Druckverteilung an Luftschiffkorpern.
Abhandl. aus dem Aerodyn. Inst. Aachen, 1927, Heft 6.
Подробное изложение этого и других методов, а также применение их
к расчетам см. Н. Я. Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. I, гл. III. Гостех-
"здат, 1938.
23
434 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VH
Однако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом
отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений,
что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным.
Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (22) § 61, можно
составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая
однородное натекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом
скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных
по отрезку — с •< г <[ + с диполей интенсивности т (г'):
+с
I л ч г*cos г С m(z')dz'
<ц (/-*, г, г =— ' —ч. (71)
4* J [г*2 + (г — г')8] /а
—с
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности т (г')
или, наоборот, определять эту интенсивность из интегрального уравнения,
представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по
отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на
бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих, в настоящее время уже
малоупотребительных методов, укажем лишь на простую их связь с методами,
изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме
поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции q (г') и т (г')
могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты Ап и Сп.
Разобьем ось симметрии тела вращения Oz на две области: одну,
определяемую интервалом
— c = zg-(- с,
заполненным „особенностями", и вторую, представляющую остальную часть
оси Oz, где | z | >■ с. С точки зрения эллиптических координат X, ц,
введенных в начале § 66, отрезок, на котором расположены „особенности", можно
представить, согласно второй из формул (53), так:
Х = 1 -1£ц£1,
а остальную часть оси Oz, как
(а = ±1, 1 <Х<со.
Тогда, сравнивая между собою вне отрезка (—c<z'<c) выражения
потенциалов возмущений (70) и (71) с соответственными выражениями тех же
потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два
равенства:
+1
i_^_M)^ = cV^AnQM (Г2)
—1 га=0
4icc2 J (К — (л.')3 ~" °°^ 2 пЧГ> (/)
—1 п=1
которые при заданных коэффициентах Ап и Сп можно рассматривать как
два интегральных уравнения для определения неизвестных функций q и т.
§ 69] МЕТОД „ОСОБЕННОСТЕЙ" 435
Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать
решение в виде ряда
со
Подставляя это разложение в (72), получим:
со т"* оо
Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра'
+ 1
/ £$??-*,.<*
-1
перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде
со со
» = 0 7» = 0
откуда будет сразу следовать искомое решение:
an = 2ncVcoAn,
ОО
q (г') = 2кс Vm ^ ЛпЛ» (z'/c). (74)
П = 0
Для разыскания второй неизвестной функции т [z') продифференцируем
раз по X и другой раз по р' известное разложение 2
__1
тогда получим
4—' = S <2л + !> On CO/5» (i^O,
n = l
Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем
его к виду:
оо "Ь* оо
« = 1 —1 Я = 1
1 См. Уиттекери Ватсон, Курс современного анализа, ч. II, стр. 114
2 Там же, стр. 117.
28»
436 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме
оо
т W) = - 2**V„ (I -р'я) ^cJ-0-
и замечая, что в силу ортогональности полиномов Лежандра:
Jt 'dp' dp/ j —-L-T—^ при ft = n,
убедимся в справедливости равенства
Итак, имеем:
сп — ^п-
оо
,n(c^') = '«(^)=-2^V0O[l-(^)2] • %Ск^р
dP^~ (75)
jcy (75)
Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании
пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических
координатах, если уже заранее вычислены коэффициенты Ап и Сп. Заметим, что
эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения
контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических
координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических
или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в
предыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным
удлинением коэффициенты Ап и Сп легко определяются путем разложения
уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической
координаты 7).
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением
можно определить q(z) и т (г) из следующих двух простейших
предположений:
1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности
тела составляющую скорости возмущения Vn равной скорости плоского
движения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие
непроницаемости поверхности даст:
v'=£!*>.= к —
vn 2жг* °° dz '
откуда
q^^^V^r* — , (76)
причем r*(z) представляет заданное уравнение контура меридионального
сечения;
2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем т (г) из
условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями z и z-\-dz, обтекался
так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении.
Это приведет к равенству:
m(z) = 2xV00r**(z). (77)
§ 70] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА СКВОЗЬ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ 437
§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Главный
вектор и главный момент сил давления потока на тело
При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор
всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на
него поток однороден и стационарен, или же жидкость вдалеке от
тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и
равномерно. Именно в этом предположении был доказан парадокс Далам-
бера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на
поверхность тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного
и непоступательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную
жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь
иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело
заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей
через полюс.
Основываясь на доказанной в самом начале гл. V теореме Лагранжа,
можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что,
вместе с условием несжимаемости, приводит, как и в случае
равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана
потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом:
V2» = 0.
Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости
поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости
движения частиц, соприкасающихся с поверхностью а движущегося тела,
по нормали к а должна в любой момент времени совпадать с
нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности,
так как в противном случае жидкость или проникала бы сквозь
поверхность тела или отрывалась бы от нее. Обозначим через V0 скорость
полюса твердого тела, а через со — угловую скорость тела. Тогда,
по известной формуле кинематики твердого тела, скорость V любой
точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет
равна:
V = V0 + »Xr,
а граничное условие на поверхности тела напишется в виде:
= ЧП* + V0ny + ™0nz + шх О* — ZПу) +
-\-<»y{znx — xnl)-]r<s>z{xny--ynx). (78)
Здесь и0, v0, wQ и шж, ш?, шг — проекции векторов V0 и м на
оси неподвижной системы координат Oxyz с началом О, в данный
438 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
момент времени совпадающим с полюсом тела; пх, пу, пг—
проекции орта внешней нормали к поверхности а, направленной внутрь
обтекающей тело жидкости.
Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет
еще условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, где
жидкость покоится:
о—► 0 при г —у оо,
причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет
порядок 1/га или более высокий порядок.
Следуя Кирхгоффу, 1 представим искомый потенциал со, как сумму
<Р = "o'f 1 ■+ *WPa + W-Рз +• а).т'-?4 + %Ъ + ау?6, (79)
где функции <ot предполагаются гармоническими, т. е.
удовлетворяющими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю
при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78)
функции срг должны на поверхности тела а удовлетворять условиям:
дп ~~ х' дп ~~ у дп ~~ " I
d?4 ду* д=р6 I
^=yns-zny, -jl^z^-xn,, ^- = хпу-упх. I
Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного
движения в сводится, таким образом, к определению гармонических,
убывающих в бесконечности до нуля функций <pf, каждая из которых, кроме
того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности а.
Функции <о{ имеют простой физический смысл. Как это следует из (80),
функции csj, ce2 и tp3 в каждый данный момент времени представляют
потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости,
которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела
с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу
или Ог; функции а4, % и ?б аналогично представляют потенциалы
возмущений от чисто вращательных движений тела также с
единичными угловыми скоростями вокруг осей Ох, Оу и Ог.
Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную
систему координат Oxyz, которая в данный момент времени
мгновенно совпадает с неподвижной системой Охуг. В этой подвижной
системе величины пх, пу, nz не будут зависеть от времени и,
следовательно, потенциалы 'fl7 »2, ..., »6 окажутся функциями только
координат.
Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами,
изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие
1 См. восемнадцатую лекцию из классических „Vorlesungen fiber Mathema-
tische Physik von G. Kirchhoff", Erster Band, Mechanik, Leipzig, 1897, стр. 222,
§ 70] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА СКВОЗЬ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ 439
вращательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа,
удовлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела а,
а также условиям обращения в нуль на бесконечности.
Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента
сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим
движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень
большого радиуса г0 с поверхностью <з0 и применим теорему количеств
движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени
объеме т между поверхностями а и а0. Обозначим через К вектор
количества движения жидкости в объеме т, через R — искомый
главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о и через
R'—главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности о0;
тогда будем иметь:
rfK
откуда следует, что
dt
Вектор R' найдем по формуле
л—R + R',
R = R'-4£- (81)
R'=— f pn0da0,
куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа —■
Коши (13) (§ 36 гл. V), подставить выражение:
p=PF(0-P—"РЖ-
причем, по условию покоя жидкости на бесконечности:
при г -> со р —■ р^, V-» 0, » -> 0,
функция F (f) в последнем равенстве может быть заменена на
постоянную величину р /р. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого р^
получим:
R' = р ^ J фп0 d4 + £ J" V*nQd°0. (82)
"о «о
rfK
Секундное изменение главного вектора количеств движения -уг
составим как сумму локальной производной количества движения
в объеме т, заключенном между поверхностями а и а0, и количеств
движения, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные
поверхности" а и а0 [вспомнить формулу (30) § 22 гл. III]:
= jt fpV d~ — J PK»V da + Jp VnV d°v
dK
dt
т я
440 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства V = grad о и
известной интегральной формулы, может быть преобразован к виду:
р 1? J grad ^ = ~Р "5? J *?n do + Р "^ ) ?М°о>
причем знаки минус, стоящие перед интегралами по поверхности а
в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен
внутрь жидкости, т. е. является по отношению к жидкому объему т
ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от
главного вектора количеств движения может быть представлена в виде:
£^ = —p^J «pndo —pj VnVdo + p^J cpn0</o0 + pj VnVds0 =
= — P^-J ?nrfo + pgj-j cpn0do04-pj V„Vrfo0.
0 »» »»
Подставляя полученные выражения R' и -v в равенство (81),
получим после очевидных сокращений:
R = Р Tt / ?n da + P J (t ^"o — ^»v) dao-
Замечая, что поверхность сферы a0 возрастает с удалением от
начала координат как г^, а подинтегральная функция убывает как —,
заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при
г0= со найдем окончательно:
R = p-j7 I <pndc. (83)
Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента
сил(давлений:
<рг X n do. (84)
Действующие со стороны жидкости на тело силу R и момент L
можно интерпретировать как секундные изменения некоторых
„присоединенных" к движущемуся телу количества и момента
количества движения.
Обозначим через К* и Q* главный вектор и главный момент
количеств движения самого твердого тела, а через F и М — главный
вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, помимо
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС" 441
реакций жидкости; тогда по теоремам количеств движения и
моментов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь:
или,
что
все
dt ~
раЕно:
и**
^(0*
R + F,
— р <рп
3
— PJ <P(
dQ*
dt
do) =
rXn)
= L +
F,
da\ =
M,
M.
(85)
Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в
жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте
dt ~~г' dt ~~ m'
заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто
к главному вектору количеств движения его К*, благодаря наличию
возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество
движения
В = — р J <pn do, (86)
а
а к главному моменту количеств движения твердого тела Q*
„присоединился" добавочный момент количества движения
J = — pJ*cs(rXn)do. (87)
Уравнения движения (85) можно переписать в форме
±(K*+B) = F, i-(Q* + J) = M, (88)
а векторы В и J назвать, соответственно, „присоединенными"
количеством движения и моментом количества движения.
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение
„присоединенных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и
эллипсоида
Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела V0
и угловой скорости о) вращения тела на связанные с телом оси
координат, пронумеровав их по порядку так:
мо = ?1» "0 е ft» wo=^4^ •• = ?*» ш* = 0в» "ш = Ч*
442 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Аналогично положим:
Вх = Ви Ву= В2, Bz= B3; Jx = Bi, Jy = Bb, Jz= B6.
В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет:
Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на
поверхности тела а системой равенств (80), тогда в новых
обозначениях вместо (86) и (87) будем иметь:
(«"=1,2 6), (90)
где введено обозначение:
Х„=»-р|><р,А, /'=*. 2,...,в\ (91)
■] дп \k=l, 2,...,6j-
Величины \ik, вычисленные в связанной с твердым телом
координатной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь
от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному ср<
от времени не зависят.
Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных"
количества и момента количеств движения через обобщенные скорости qk,
величины Ха. играют роль инерционных коэффициентов,
„присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные
выражения количества движения и момента количества движения
самого твердого тела.
Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу
которого обозначим через т*, на ось Ох будет равна:
К*х= J Vxdm* = $(u0-\-wyz — шгу)с1т* =
m* m*
= //г*и0-(-о)2/ I zdm* —шг Г у dm* =
m* m*
= m*u0 + m*zcmy — m*ycws,
где ус и zc — координаты центра тяжести тела; отсюда в новых
обозначениях следует:
K*i = mqi -\- mzcqb — mycqu.
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС" 443
Проекция на ось Ох суммы количества движения К* и
„присоединенного" количества движения будет равна:
Kl -j- Вх = (л»*+ Xu) <7i + xi2<7a + *13<7з + *и<74 +
+ (/и*ге + Х16) ?5 + (- т*ус + Х16) <76.
Как видно из структуры этого выражения, инерционные
коэффициенты \{к „присоединяются" к инерционным коэффициентам в
выражении проекции количества движения твердого тела: Хп — к массе,
^15 и ^16 —к статическим моментам масс; остальные коэффициенты
в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении
проекции главного вектора количества движения твердого тела. Вот почему
инерционные коэффициенты lik обычно называют коэффициентами
присоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс"
обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка
индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к
рассматриваемому объему т следующее известное соотношение:
/ ««V^ft dx = j* ср4 div (grad cp4) dx =
= J" div (cp< grad cpj.) dx — J grad cp, • grad <ak dx,
X X
и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком
индексов; тогда получим общую формулу:
/(?Л — ?kV^t)dx =
= Г div (<p, grad <?й) dx — Г div (»ftgrad cpf) dx.
X X
Замечая, что в силу гармоничности функций «>< и »й интеграл слева
обращается в нуль, и применяя в правой части формулу
Остроградского, приходим к равенству:
/(*£-**)*-/(*£-*т?И
Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при
удалении поверхности сферы а0 на бесконечность, стремится к нулю
444 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. W
(cot имеет порядок —-, -2£— порядок —-); тогда будем иметь:
V' г* дп т%1
или, по определению коэффициентов „присоединенных масс",
что и доказывает свойство симметрии этих величин. Таким образом,
из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае
движения твердого тела, различных оказывается лишь двадцать один.
Присоединенные массы \ik входят коэффициентами в выражение
квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного
движения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный
интеграл:
Т = ~ V2 dx = •— J grad cp • grad cp dx =
X X
= -— div (cp grad cp) dx — cpV2c? dx =
и вновь замечая, что при удалении поверхности о0 на бесконечность
второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам
по § 36 гл. V формулы (21) на случай внешнего обтекания тела:
а
Подставим сюда разложение потенциала скоростей о по потенциалам
составных движений cpf; тогда, перемножая суммы, найдем искомое
выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости
через скорости тела и „присоединенные массы":
Сравнивая это выражение с (90), получим связь между
„присоединенной" кинетической энергией возмущенного движения Т и
„присоединенным" количеством движения:
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС* 445
Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии
самого движущегося твердого тела:
Т* = j J Ий/и* = -2 [т (ко + vt -j- wl) -f 2/я*хс (v0wt — w0<oy) -f-
+ 2/и*Л («'о'0» — мо<°*) + 2я1*гс (мошг/— vowv) +
то легко убедиться, что при „присоединении" кинетической энергии
возмущенной телом жидкости Г к энергии самого движущегося тела
Т* коэффициенты kik так же, как и в случае векторов количеств и
моментов количеств движения, „присоединятся" к соответствующим
инерционным коэффициентам в выражении Т*: массе, статическим
моментам, моментам инерции и центробежным моментам. Это еще раз
поясняет смысл коэффициентов Xift и происхождение их названия
„присоединенных масс". Конечно, термин „масса" здесь следует
понимать в обобщенном смысле как величину, характеризующую
инерционность вообще.
Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый
цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью
плотности о, совершает поступательное движение вдоль оси Ох,
перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью и0, являющейся заданной
функцией времени t. В этом случае [вспомнить формулу (44) § 39
гл. V и выделить из нее потенциал ср возмущенного движения]:
<в = — д. ч.(«0£-) = — и0(Оа2Д- ч. (-j) = —ио(0«2
Х2+У*~
= — u0(t)a^-j = — u0(t)d
COS s
и коэффициент при u0(t) будет играть роль „единичного потенциала" <plt
равного
<?1 = — ~х
COS S.
Г*
Единственный коэффициент „присоединенной массы" будет равен
по (91):
2п arc
Xn = —p <pi Ш- • r* de — Рд2 cos2 s ds = яра2 =/и,
о о
где m — масса жидкости в объеме цилиндра, приходящемся на
единицу его длины.
Давление жидкости на цилиндр будет определяться по формуле:
44t> ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ |ГЛ. VII
В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает,
и имеет место парадокс Даламбера: при ускоренном движении
цилиндра реакция жидкости существует, причем она тем больше,
чем больше ускорение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т* —
масса единицы длины цилиндра, F—внешняя сила, помимо реакции
жидкости):
m**£L = Rx + Fm,
видим, что его можно еще переписать так:
Под действием приложенной силы F цилиндр будет двигаться
в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить
на „присоединенную массу" жидкости в объеме цилиндра.
Столь же просто решается задача о прямолинейном движении
шара. В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра,
имеем по (43) § 64:
a3 cos 8 ... a3 cos b
2г2
-, Г j Г I <*[i cos 0 \ / а8 2 cos 8\ „ . ,, ,., 2 <> 1
о о
где т — масса жидкости в объеме шара.
Дифференциальное уравнение движения шара будет:
или
dt •»*!•* 2 dt
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения
шара под действием той же силы F в пустоте
j. dUf\ r-.
/и* —— = г
dl х'
приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно
рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара
„присоединить" дополнительную массу, равную половине массы
жидкости в объеме шара.
Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по
сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет
в воздухе), то „присоединенной массой" можно пренебрегать. В других
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС* 447
случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.),
наоборот, роль „присоединенных масс" оказывается первостепенной.
Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия
„присоединенной массы" для тел вращения (дирижабельные и торпедные формы),
выведем общие формулы „присоединенных масс" для продольного
относительно оси симметрии и поперечного по отношению к ней движения тела
вращения.
В случае продольного движения вдоль оси Oz имеем:
или, в силу граничного условия (80) на поверхности тела и очевидного
равенства rfa = 2irr*ds:
Х33 = — р I ¥1Яг da = — 2лр | ^\Г*п:, (is = — 2?tp J csj/-* dr*.
Используя (53), получим:
+ i
Xm = — 2itpc2 I (ft
— 1
(1_^)Х^_(Х>-1)^
йц.
Согласно (55), для потенциала возмущенного движения с единичной
скоростью будем иметь:
оо
¥i = c 2 Лж<?„(*)/>«(ц),
ге=0
так что для „присоединенной массы" в продольном движении, или, короче,
продольной присоединенной массы получим следующее общее выражение:
— 1 п — 0
где подразумевается, что координата X есть заданная функция у., согласно
уравнению обвода меридионального сечения тела.
В случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной вдоль
оси Oz, имеющего уравнением обвода X = Х0 = — (е — эксцентриситет),
предыдущий интеграл легко вычисляется. По формулам § 66 получим:
1 , , Х0 +1 , I . 1 Ч-е
. -тгХоШ " ; — 1 „ -я-1п~— '
-—i In -iLJ— . In —!
X^ —1 2 X0 —1 1-е1 2e 1-е
где, напоминаем, а и Ь — большая и малая полуоси, е — эксцентриситет.
Полагая в последней формуле е = 0 и раскрывая неопределенность, получим
448 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
вновь .присоединенную массу* шара
1
4
(хзз)е=о=-о-яРа3
+ е2 + ... -(i+^ez+ ...^
= -^ згря3.
Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вращения
при поперечном его поступательном движении вдоль оси Ох, или
поперечную присоединенную массу.
Сохраняя обозначения § 67, найдем:
+ 1 со
—1 »=1
н в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения:
J 1-е2 1+е
4 ь, е2 -2ез lnl_ e
ХП = ^ nPab* -- ~ g ,
при е = О последняя формула также переходите „присоединенную массу"
шара.
Другие примеры вычисления „присоединенных масс" можно найти в
специальных книгах по динамике корабля или дирижабля, а также в общих
курсах и монографиях по гидродинамике. *
Ограниченность объема настоящей книги не позволила остановиться
на специальных вопросах теории плоского нестационарного движения
крыла, созданной гением С. А. Чаплыгина и столь блестяще в
дальнейшем развитой в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и
Л. И. Седова,2 а также на вопросах динамики плоского и
пространственного движения твердого тела в тяжелой идеальной несжимаемой
жидкости при наличии свободной поверхности. Последняя область
особенно обязана своим расцветом глубоким исследованиям
Н. Е. Кочина, 8 М. В. Келдыша и Л. И. Седова.4
1 См., например, монографию А. М. Басина, Теория устойчивости на
курсе и поворотливости судна. Сер. „Современные проблемы механики",
Гостехиздат, 1949.
В этой монографии можно найти графики „присоединенных масс" для
эллипсоидов и других тел, а также изложение теории неравномерного
движения тела в несжимаемой идеальной жидкости. См. также К и б е л ь,
Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. 1, гл. VII; Н. Я.
Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. I, 1938 и Г. Л а м б, Гидродинамика, гл. VI.
2 Обзор этих работ можно найти в монографии А. И. Некрасова,
Теория крыла в нестационарном потоке. Изд. АН СССР, 1947.
3 Н. Е. Кочин, Собр. соч., т. II. Изд. АН СССР, 1949.
* См. .Труды конференции по теории волнового сопротивления", ЦАГИ,
1937.
§ 72] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 449
§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая
система крыла. Гипотеза плоских сечений. Геометрические и
действительные углы атаки. Подъемная сила и „индуктивное
сопротивление"
При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла
бесконечного размаха уже указывалось, что на самом деле нельзя
полностью пренебрегать наличием в жидкости трения. За счет
внутреннего трения, особенно сильно развивающегося в тонком
пограничном слое, образуются мощные вихри, совокупность которых, по
гениальной идее Жуковского, может быть заменена одним
„присоединенным вихрем", поясняющим возникновение подъемной силы крыла.
Этот „присоединенный вихрь", в полном согласии с классической
теоремой Гельмгольца (§ 12 гл. I) об одинаковости интенсивности
вихревой трубки вдоль всей ее длины, не может начинаться или
заканчиваться в жидкости. Совпадая по направлению с осью крыла
бесконечного размаха, „присоединенный вихрь" приходит из беско~
нечности и в бесконечность же уходит. Интенсивность
„присоединенного вихря" одинакова вдоль размаха цилиндрического крыла,
одинакова и циркуляция скорости по контуру, охватывающему любое
сечение крыла, и подъемная сила единицы длины крыла.
Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например, на
крыле самолета, циркуляция не сохраняется вдоль размаха, достигая
максимального своего значения где-то посередине крыла и обращаясь
в нуль на его концах. Такая переменность циркуляции говорит вместе
с тем и об изменениях интенсивности „присоединенной" вихревой
трубки, что, как будто, находится в противоречии с ранее упомянутой
теоремой Гельмгольца.
С. А. Чаплыгин еще в 1910 г.1 нашел причину возможности
изменения интенсивности „присоединенного вихря" в сходе вихрей с
поверхности крыла и дал первую теорию крыла конечного размаха;
изложение этой теории появилось, повидимому, впервые лишь в
специальной монографии В. В. Голубева, 2 выпущенной в свет в 1931 г.
Только спустя много лет после создания теории Чаплыгина появилась
теория несущей линии Прандтля.3
Сущность простейшей схемы крыла конечного размаха заключается
в следующем. От основного „присоединенного" вихревого шнура крыла
отделяются и уносятся потоком так называемые „свободные" вихри,
оси которых в некотором удалении от крыла совпадают с линиями
1 См. „Механику в СССР за XXX лет", стр. 352, а также „Вихревую
теорию гребного винта" Н. Е. Жуковского, Избр. соч., т. II, стр. 191.
а В. В. Голубев, Теория крыла аэроплана конечного размаха. Труды
ЦАГИ, вып. 108, 1931. См. также В. В. Голубев, Лекции по теории крыла.
Гостехиздат, 1949, стр. 258.
3 См. только что цитированные „Лекции по теории крыла" В. В. Г о л у-
б е в а, а также Г. Г л а у э р т, Основы теории крыльев и винта. ГНТИ, 1931,
2Ь Зм. 1841. Л Г. Лайшшский.
450 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VH
тока уносящей их жидкости. При поступательном равномерном
движении крыла конечного размаха в перпендикулярном к оси крыла
направлении или, что то же, при набегании однородного потока на
„Присоединенные ^-е ~ крыл0' М0ЖН0 заме"
вихри" .^^Ег^ Д- нить кРыло некоторой
воображаемой
стационарной системой
неподвижных вихрей,
состоящей из
„присоединенных" вихрей крыла
и сошедших с крыла
„свободных" вихрей;
эта схема показана на
рис. 148.
Несколько
идеализируя схему, заменим
присоединенный вихрь
крыла несущей вихревой линией, представленной отрезком —l<z<l
оси Oz, а „свободные вихри" расположим в плоскости xOz в виде
уходящих в бесконечность лучей, параллельных оси Ох (рис. 149).
Рис. 148.
ПС)
псЖк
-г с г с-\—£-
4
Рис. 149.
„Свободные" вихри образуют вниз по потоку за „несущей линией"
вихревую пелену, представляющую, так же как и „вихревой слой"
(§ 40 гл. V), поверхность разрыва составляющих скоростей,
параллельных плоскости пелены.
Пусть непрерывная и дифференцируемая функция Г (г)
характеризует распределение циркуляции вдоль несущей линии (— / < z :< /).
Изменению циркуляции „присоединенного вихря" от значения Г (С)
в точке г = Сдо r(C) + -|f ^ в точке Л1'(г = С-{-Л) на^Г==|^Л
§ 72] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 451
соответствует сход вихревой полоски (на рис. 149 заштрихованной),
образующей элемент „вихревой пелены", циркуляция которого равна
также dY.
Учитывая сошедшую, „освободившуюся" от крыла циркуляцию,
убедимся, что совокупность „связанной" с крылом,
„присоединенной" циркуляции и сошедшей с крыла „свободной" циркуляции при
стационарном движении жидкости, в полном согласии с теоремой
Гельмгольца, сохраняется неизменной.
Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует вокруг
себя некоторое поле скоростей, которое складывается с однородным
набегающим потоком. В результате такого наложения создается
некоторое сложное неоднородное поле скоростей, требующее для своего
исследования дополнительных приближенных приемов.
Проведем через точки „несущей линии" перпендикулярные к ней
плоскости, одна из которых ti(x'0'y') показана на рис. 149.
Рассмотрим проекцию действительного поля скоростей в точках
плоскости П на эту плоскость и назовем соответствующий, лишенный
поперечных скоростей w поток сечением действительного потока
плоскостью П, или, для краткости, плоским сечением потока.
Плоские сечения потока только далеко впереди от „несущей
линии" представляют однородные поля скоростей; в остальной области
поток неоднороден, так как отдельные его точки находятся на разных
расстояниях от вихревой системы крыла. Заметим еще, что плоские
сечения потока
отличны друг от друга, так
что совокупность их
не определяет плоского
потока.
Рассмотрим
подробнее ту часть плоского
сечения, которая
расположена вблизи точки О' у
пересечения несущей »
линии с плоскостью
сечения, или,
схематически, поток вблизи
сечения крыла той же
плоскостью (рис. 150).
Отвлечемся на мгновение от возмущений, создаваемых крыловым
профилем, т. е. элементом несущего „присоединенного" вихря.
Если бы крыло имело бесконечный размах и поток был бы
строго плоским, то, удалив крыло и производимые им возмущения,
;,1ы получили бы однородное поле набегающего потока с некоторой
скоростью на бесконечности У^. В случае крыла конечного
размаха это не так. Если в плоском сечении из полного поля скоростей
вычесть поле возмущений от элемента несущей линии, то оставшееся
У,
щ.
0'
/
ссУ
R
Плоскость П
Ех __V„
•^«ij *
I'
Рис. 150.
29»
452 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
поле плоского сечения потока будет содержать как однородную
часть Voo от набегающего потока, так и добавочную неоднородную
часть V,-, индуцируемую „свободными вихрями" пелены,
расположенными в плоскости хОг. Неоднородность поля этих индуктивных
скоростей Vi является следствием различия расстояний отдельных
точек плоскости от элементов „свободных вихрей" пелены.
Анализируя с количественной стороны порядок разности между
рассчитанными по формуле Био — Савара индуктивными скоростями
в точках плоскости П вблизи точки О' и в самой точке О', можно
было бы доказать, 1 что во всех плоских сечениях потока, удаленных
от концов А и В несущей линии (крыла), неоднородность поля
индуктивных скоростей вблизи сечения крыла тем меньше, чем
больше удлинение крыла, т. е. отношение его размаха к средней
хорде.
Таким образом, представляется допустимым для каждого
плоского сечения потока ввести понятие о своей местной скорости на
бесконечности Vm (рис, 150), равной сумме скорости потока на
бесконечности перед крылом Voo и „индуктивной скорости" V4,
созданной „свободными вихрями" пелены в точке О' несущей линии:
V^Vco+V,. (95)
Имея это в виду, примем следующую „гипотезу плоских
сечений": при достаточно больших удлинениях крыла конечного
размаха каждое плоское сечение потока, удаленное от концов
крыла, можно рассматривать как плоское обтекание
полученного в пересечении крыла плоскостью крылового профиля, с
„местной скоростью на бесконечности", равной сумме скоростей потока
на бесконечности впереди крыла и скорости, индуцированной
„свободными вихрями" пелены в соответствующей точке несущей
линии.
Принятое допущение, сообщающее условным плоским сечениям
потока смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла
конечного размаха к решению изложенной в гл. V задачи о плоском
обтекании крыловых профилей и к последующему суммированию
результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое допущение имеет
смысл только для крыльев значительного удлинения. Изложенная
гипотеза плоских сечений неприемлема для крыльев малого удлинения.
Обозначим через а (рис. 151) угол атаки набегающего потока на
бесконечности перед крылом, т. е. угол между вектором Voo и
хордой сечения крыла. Этот угол назовем геометрическим углом атаки.
Введем в рассмотрение также действительный (или эффективный)
угол атаки ае, как угол между „местной скоростью на бесконеч-
1 См. А. А. Дородницын, Обобщение теории несущей линии на
случай крыла с изогнутой осью и осью, не перпендикулярной потоку. Прикл.
матем. и механ., т. VIII, 1944.
§ 72] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХЛ 453
ности" Vm и той же хордой. Угол между скоростями V^ и Vm
обозначим через а,- и назовем углом скоса потока или индуктивным
углом. Как видно из рис. 151,
(96)
-а,-.
Давление плоского потока на крыловой профиль, согласно
гипотезе плоских сечений и теореме Жуковского, определяется
отнесенным к единице длины крыла по размаху главным вектором R, равным
по величине
R = ?vml\
где Г должно быть определено, как было указано в гл. V, путем
использования постулата Чаплыгина о безотрывном обтекании
задней кромки сечения крыла. Вектор R направлен (рис. 150) по
перпендикуляру к „местной
скорости на
бесконечности" Vm в
соответствующую сторону.
В каждом плоском
сечении вектор R будет
иметь свою величину и
свое направление. Желая
найти подъемную силу
крыла в целом, определим
сначала подъемную силу сечения, как отнесенную к единице длины
крыла составляющую Ry вектора R на направление, перпендикулярное
вектору скорости потока на бесконечности Voo впереди крыла, а
уже затем просуммируем эти составляющие, умноженные на длину
элемента крыла, по всему размаху. Такое определение подъемной
силы представляется вполне естественным, если обратить движение
и рассматривать движение крыла конечного размаха в неподвижной
жидкости. Замечательно, что при этом, наряду с подъемной силой
сечения Ry, появляется еще составляющая Rx главного вектора R
по направлению движения, т. е. сила сопротивления. Эту, также
отнесенную к единице длины крыла по размаху силу Rx называют
индуктивным сопротивлением сечения, а сумму величин Rx,
умноженных на элемент длины крыла, вычисленную по всему размаху
крыла, называют индуктивным сопротивлением крыла. Как это
следует из рис. 150, имеем:
Рис. 151.
\X = R sin at,
у = Rcosctf.
(97)
Возникновение в идеальной жидкости сопротивления движению
тела представляет лишь кажущееся противоречие с парадоксом Да-
ламбера. При доказательстве правильности парадокса, Даламбера (§ 64)
454 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
У
У
у
Нижн.
1 1
/ 1
/ ,_ 1
1 поберхность
| 1 V ч
1 I \ *-
1 1 > v
Рис. 152.
было оговорено, что тело имеет ограниченные размеры и
возмущающее влияние его не распространяется на бесконечность. В
рассматриваемом же случае движения крыла конечного размаха образовавшаяся
за крылом вихревая пелена тянется до бесконечности, производя
возмущения в бесконечном удалении вниз по потоку от крыла. Легко
себе представить, что в некоторой
аналогии с обтеканием решетки
профилей скорость на бесконечности перед
крылом конечного размаха не равна
скорости на бесконечности за крылом
в области вихревой пелены. В этом —
основное отличие теории крыла
конечного размаха от теории
пространственного обтекания тел вообще.
Прежде чем перейти к изложению
методов расчета крыла конечного
размаха, заметим, что не следует в
дальнейшем забывать о важной физической
стороне явления обтекания крыла
конечного размаха, совершенно не
учитываемой гипотезой плоских сечений, —
о наличии вблизи поверхности крыла
поперечных токов. Эти поперечные
токи можно легко наблюдать на поверхности модели крыла,
установленной в аэродинамической трубе, если покрыть верхнюю и
нижнюю поверхности крыла тонкими шелковинками. Отклонение
шелковинок (рис. 152) от среднего продольного направления потока
оказывается максимальным вблизи концов
крыла, причем, как показывают
фотографии такого рода „спектров
обтекания", на верхней поверхности
крыла шелковинки скашиваются к
середине крыла, а на нижней — к
концам крыла. Такое расположение
шелковинок говорит о наличии
тенденции к перетеканию воздуха
с нижней поверхности на верхнюю,
что и естественно, так как на верхней поверхности создается
разрежение, а на нижней давление (рис. 153). Поперечные токи тем
больше, чем больше перепад давлений между нижней и верхней
поверхностями крыла, т. е. чем больше коэффициент подъемной силы крыла
и чем интенсивнее вихревая пелена. При малых значениях
коэффициента подъемной силы (что соответствует малым углам атаки)
пренебрежение поперечными токами допустимо, при больших углах атаки,
особенно при возникновении отрыва пограничного слоя с поверхности
крыла, роль поперечных токов увеличивается.
W
С-
- о
е-
Рис. 153.
§ 73j ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ" 455
При дальнейшем изложении методов расчета крыла конечного
размаха будем предполагать, что коэффициент подъемной силы невелик,
вихревая пелена имеет малую интенсивность, а следовательно, малы
все индуктивные скорости, малы и поперечные токи.
§ 73. Основные формулы теории „несущей линии". „Индуктивная
скорость" и „индуктивный угол". Прямая задача определения
подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному
распределению циркуляции
Перейдем к определению величины „индуктивной скорости" V^
в плоском сечении потока, отстоящем на расстоянии г от основной
координатной плоскости хОу (рис. 149). Найдем сначала
элементарную скорость, индуцированную в точке (У „свободным вихрем" —
бесконечным вихревым лучом, выходящим из точки М. Для этого
следует вспомнить формулу (30) § 62 скорости, индуцированной
вихревым отрезком, и положить в ней:
а = 90э, р=»0, r = rfr = ^~dC, A = |t — г|.
Принимая во внимание направление элементарной индуцированной
скорости (Ni по оси О'у' вниз, будем иметь (dV{ < 0 при -т=- < 0,
■<С):
, 1 dY 1 dV rfC
^« = -5ГГГс = -45Г-ЗГ1=с- (98)
Полную „индуктивную скорость" Vi в точке О' от всей системы
„свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные
индуктивные скорости dvt по переменной С по всему отрезку
несущей линии от точки В(С = —Г) до точки А (^ = [). Будем иметь
следующее выражение индуктивной скорости:
+ 1
—i
Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобственным,
так как под интегральная функция обращается в бесконечность при
Z, = £■; поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени,
возникает сомнение в существовании интеграла (99). Чтобы рассеять
это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об
интегрировании в формуле (99).
Как известно, формулу (98) для скорости, индуцируемой вихрем,
нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где
расположен сам вихрь; в этой точке с координатой г — Z, скорость
466 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости
безвихревого потока лишь вокруг данного „изолированного вихря",
т. е. при гфС. Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать
в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при
интегрировании точку г = С Разобьем для этого интеграл (99) на два
интеграла, взятые соответственно по интервалам (е>0):—/:gC<C
<^г — s и 2-j-s<£<;/, не заключающим внутри себя точку С = г,
которая остается в интервале {г — e<£<z4~e), расположенном
между принятыми интервалами интегрирования. Значение интеграла (99),
определенное как предел:
.. ["7'dT Л , Г dV & "1 nnm
— l z + e
следуя Коши, называют главной частью интеграла (99).1
Предел (100) существует и представляет определенную
функцию Vi (г), если, например, функция -=- удовлетворяет в промежутке
— / < С < / так называемому условию Липшица:
l(fL-(SLM'^-«-
где k и а — некоторые постоянные и, кроме того, 0<аг~П.
Если, например,-jr= const, то
-(-{ г —г {
." - ..." - ." dX,
гл. часть ~
— Z —I г+е
= Ит {[- In (г_С)]^!_-г- Пп t — *)]\Z\+.} = lng .
В дальнейшем, встречаясь с „несобственными" интегралами типа (99),
будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться
в смысле их „главного значения" по формуле (100).
Если непрерывная, один раз дифференцируемая функция Г (Q задана
вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение
интеграла (99), определим для всех плоских сечений индуктивную
скорость Vi, а затем и „углы скоса" <x.t. Предполагая „углы скоса"
малыми, будем иметь:
. V( 1 С dT dC .,.,4
1 См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III.
Гостехиздат (1933), стр. 415 и т. IV (1941), стр. 240.
§ 73] основные формулы теории „несущей линии" 457
Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению
распределения циркуляции Г (С) найти подъемную силу и индуктивное
сопротивление. Согласно (97), имеем для элемента длины крыла
конечного размаха:
dRx = р VmY dz sin а, = р VmY (г) а{ йг,
dRy = р VmY dz cos at ~ p VmT (z) dz,
где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Rx и Ry
понимать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силы всего
крыла.
Заменяя величину Vm на Кос, так как по (101) с точностью до
вторых степеней at:
Vm = Vfc+1% = Vm Vl + a? = Voo,
получим следующие выражения элементарных сил:
dRx = — pY (z) vt (z) dz,
dRv-=?Y(z)V00dz.
Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка
несущей линии (—/<;£■<;/)> получим формулы индуктивного
сопротивления и подъемной силы крыла:
-и
#„ = -р J Y{z)vi{z)dz,
Ry = ?Voo I Y{z)dz.
-I J
Подставляя в первую из этих формул значение vt (г), согласно
равенству (99), получим формулу:
+J +i
—I —I
явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение
Циркуляции Г (С).
Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (103)
зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда:
со
r(S) = 4Koo/2^„sin«6, (104)
»=i
где угол б связан с переменной по размаху координатой z равенством:
г = — /cos б,
(О^б^тс, —l^z^t).
(104')
458 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНЙЬ [ГЛ. VII
Если распределение циркуляции симметрично относительно начала
координат (г==0, 8=-^-], то должно быть
Г(6) = Г(* —6),
а следовательно:
Л2 = Ai = . . . = Л2П == • • • == О.
Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения
циркуляции на концах „несущей линии" (г =—/, 8 = 0) и (г = 1, 6== тс)
равны нулю.
Вычислим по (104) производную-^г, полагая параллельно с (104')
С = — / cos 8'; будем иметь:
со
!£-dT.3.-4V ,\аА со,,е/. 1 _
«=i
со
= 4K0O2"^£S^- 005)
»=i
Подставляя это выражение в формулу (99), получим выражение
индуктивной скорости:
* оо
„,(6) = - *Е Г V "Л, cos «О'r 6,д
* v ' к ,/ ^ cos в' — cos в
0 м=1
со *
= _ Y^. V пл Г cos "6' d(*'.
1С *>J те J COS в' — COS в
»=1 0
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего
„главного значения" и равен
к
J
cos n V ,,., тс sin/71
[ДО = :—г-
COS В' COS I
6
так что окончательно получим следующее выражение индуктивной
скорости:
со
а по (101) — и угла скоса:
со
§ 73] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ" 459
Определим подъемную силу. Имеем по второй из формул (102)
#ff = pVOTJ Г(г)Лг=4р1£/3 J J] An sin «6 sin 9 //8 =
—г
= 4p l4/ ^ An J sin л 8 sin 0 dO.
n=l о
Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг:
■ i при л = 1,
sin «8 sin 8 rf8 = | 2
0 при я > 1,
следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение
подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое
окончательное выражение для подъемной силы:
Ry = ^~'^tf-Ax. (108)
Замечательно, что величина подъемной силы зависит только от
первого коэффициента At в разложении циркуляции (104);
напомним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной
силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых
двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным
степеням комплексной переменной (§ 44 гл. V).
Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент
подъемной силы крыла конечного размаха су, определяемый
отношением:
С,= Ry
У 1 о
2
где 5 — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108),
получим:
су = -к\Аи (109)
где величина^, представляющая отношение площади квадрата,
построенного на размахе крыла, к площади крыла в плане
Х = ^, (109')
называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла
удлинение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде:
Х = |. (109")
460 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Индуктивное сопротивление Rx найдем, подставляя величину
циркуляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102).
Будем иметь:
Rm = ?
4-1&/8 J ^ Ап sin nb^mAm^ sin Ы^
= pl^(2/)2 J] mAnAm I sin лб sin /гай <*в.
n, m = l 0
Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса
у, если п = т,
О, если пфт,
I ■=-, если п = /га,
sin«9sin/ra6<#l = 1
получим:
у2 со
Rx = T.9-^{2iyy,iAl (ПО)
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением.
Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между
коэффициентами индуктивного сопротивления и
подъемной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие
о его интегрировании
Индуктивное сопротивление представляет существенно
положительную величину, независимо от того, каковы будут значения
коэффициентов Ап. Отсюда сразу вытекает важное следствие:
индуктивное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от
нуля подъемной силе (А1 ф 0) будет минимальным, если все
коэффициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю.
Это, согласно равенству (104), соответствует распределению
циркуляции:
r = 4V0oM1sin6 (Л2 = А,= ...=0), (111)
или, возвращаясь к переменной z no (104'):
r = 4V00M1|Al_(T)2. (Ill')
Переписывая последнее равенство в виде
(WJA& ' Р
§ 74] КРЫЛО С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 461
убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла
(несущей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси г
равной полуразмаху крыла I, по оси Г—-максимальной по размаху
циркуляции Г0, причем коэффициент Аг можно выразить через эту
максимальную циркуляцию Г0:
W<»IAX = T0, Л, = 7^-7. (П2)
v со*
Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим.
По только что доказанному при эллиптическом распределении
циркуляции индуктивное сопротивление минимально; в связи с этим
Рис. 154.
крыло с эллиптическим распределением циркуляции играет
центральную роль во всей теории крыла конечного размаха. Всякое другое
крыло стараются конструировать так, чтобы распределение
циркуляции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическому.
Рассмотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией.
Прежде всего из формул (106) и (107) сразу следует важное
заключение: при эллиптическом распределении циркуляции
индуктивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего
размаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107)
значения коэффициентов Ап:
Ai == 4Y~f' ^2 — ^з — • • • = 0,
получим:
" = -§• "' = 4Й7- (113>
Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием
размаха при заданной максимальной циркуляции индуктивная
скорость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть
при переходе к крылу бесконечного размаха.
462 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции
„геометрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут
сохраняться неизменными и „действительные" углы атаки ае. Крыло
с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют
геометрически незакрученным или плоским; крыло с постоянным по
размаху действительным углом атаки называют аэродинамически
незакрученным.
Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим
распределением циркуляции будет и аэродинамически незакрученным.
Докажем теперь, что геометрически незакрученное крыло с
эллиптическим распределением циркуляции и одинаковыми по всему
размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет
эллиптическую форму в плане.
Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной
силы отдельного сечения с' с соответствующим ему значением
циркуляции Г (г). По теореме Жуковского будем иметь для единицы
длины крыла {Ь — хорда):
pVcoT^Cy'—b,
или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от
направления нулевой подъемной силы,
где <хе — действительный угол атаки, отличающийся от
геометрического а на постоянный скос <xit найдем искомую связь в виде:
r=jOo*^e. (114)
Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха
аэродинамической характеристике а0 и отсутствии геометрической закру-
ченности (а = const) закон изменения вдоль размаха хорды b
совпадает с законом изменения циркуляции Г, т. е. также будет
эллиптическим. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса:
(«уд,,/„(»„)»+/« -
На первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки ае
или скорости Vco набегающего потока максимальная хорда такого
эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле,
как это сразу следует, например, из равенства (81) § 42 гл. V, при
малых а циркуляция Г, определенная на основании постулата
Чаплыгина, будет пропорциональна произведению КсоС^:
Го = CQ ^со«е,
(115)
§ 74] КРЫЛО С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 463
где с0 — некоторая константа, характеризующая форму крыловых
профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла
в плане определится чисто геометрическим равенством:
62 ■ — =
4£0\« ' /2
Итак, при принятых условиях геометрической незакрученности и
одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло
с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и
эллиптическую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции.
Вот почему такое крыло называется эллиптическим.
Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силы и
индуктивного сопротивления эллиптического крыла.
Имеем по (ПО) и (108):
Rx = *~-{2iyAl,
или, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной
силы:
с - R* с -- Ry
и вспоминая определение удлинения А крыла (109'):
ca!i = 'i:kAu Су — ккА^
Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами
индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла:
показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла
быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы.
Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой
другой формы в плане. Введем обозначение
оо
1+8==2Sl__, (117)
Ai
где 8 будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к
эллиптическому.
464 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы
в плане:
При полете современного скоростного самолета на режиме
максимальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе су
не велики (с^ =^= 0,15—0,20). При этом коэффициенты индуктивного
сопротивления cxi становятся малыми по сравнению с коэффициентами
профильного сопротивления схр, обусловленными сопротивлением
трения и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальности
воздуха (об этом будет сказано подробнее в заключительной главе).
Наоборот, при полете
600
kOO
200
_VJJ
tIIIIIIIP
wo
?0D
300 U00
V км I час
Рис. 155.
500
600
со сравнительно
малыми скоростями
основное значение
приобретает индуктивное
сопротивление. Приводим
на рис. 155 для
иллюстрации типичную
кривую полного лобового
сопротивления
Qистребителя с выделением
роли индуктивного
сопротивления
(заштрихованная полоска) при
различных скоростях
полета. * При полете
со сравнительно большими значениями су (например, транспортные
самолеты с большой дальностью) выгодно увеличивать удлинение, границы
выбора которого ставятся прочностью крыла и другими
конструктивными соображениями.
Все эти вопросы, так же как и вопросы применения формулы (П8)
к конкретным крыльям, рассматриваются в специальных курсах теории
крыла и аэродинамики самолета.
Обратимся теперь к рассмотрению обратной задачи теории крыла,
а именно к задаче определения циркуляции, образующейся на крыле
заданной формы в плане с заданными аэродинамическими характеристиками
сечений.
Сохраним обозначения b{z), а (г) и а0 (г) для заданных наперед
переменных вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки и
производной коэффициента подъемной силы по углу атаки. Тогда для циркуляции Г (г)
получим по формулам (П4) и (96):
Г (г) = 1 а0 (г) Ь (z) Vmae = 1 й0 (z) Ь (z) VM [а (г) - at (г)].
(119)
1 См. Б. Т. Г о р о щ е н к о, Аэродинамика скоростного самолета. Оборон-
гнз, 1948, стр. 25.
§ 74]
КРЫЛ» С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
465
Если в этом равенстве заменить индуктивный угол а4- (г), согласно его
выражению (101), то для определения неизвестной циркуляции Г (г) найдем
следующее основное интегро-дифференциальное уравнение:
r(z) = Ya0(z)b(z)Vc,.
■А*)-
1
4r.V„
+ 1
I dz z — *
(120)
В этом уравнении, подчеркнем еще раз, под геометрическим углом
атаки а (г), так же как н под „действительным" углом в предыдущем
равенстве, подразумевается угол, отсчитанный от направления нулевой подъемной
силы.
В настоящее время существует много приближенных методов
интегрирования уравнения (120). Простейший из них, пригодный лишь для
немеханизированных, мало отличающихся от эллиптических, крыльев, принадлежит
Гллуэрту п основан па непосредственном использовании тригонометрического
разложения циркуляции (104). Подставляя это разложение в уравнение (120)
или, использовав выражение индуктивного угла (107),-г, уравнение (119),
будем иметь:
/У.
1
(II) -
4 V J \An sin пЬ ^ ~ а„ (О) b (0) Г
л^ 2
1I..-.V И = ]
откуда после простых приведений получим уравнение:
УпА,
sin «О'
sin ft
2 ln'1 (°) + sin f,l A» sin nO = (a (0) a (6) sin 0,
(121)
где величина '>. (0) представляет сокращенное обозначение известной функции
угла 0:
рФ) = щ«а((')Ьф). (121')
Ограничиваясь случаем симметричного распределения циркуляции по
размаху крыла, сохраним в разложении (104) лишь члены с неизвестными
коэффициентами А\, А3, А, п А7. Разобьем полуразмах крыла / четырьмя
сечениями в точках:
= 0,024,
0,707,
0,383,
соответственными значениями угла 0 в градусах:
О = 22,5', 45°, Си,ГР
О
90
п напишем уравнение (121) для каждого сечения. Тогда будем иметь для
определения четырех неизвестных коэффициентов А%, А-&, А-а и А- следую
щую линейную алгебраическую систему четырех уравнений:
0,383 ((J.J + 0,383) Аг -4- 0,924 (З^ + 0,383) А3 + 0,924 (5(ч + 0,383) Аъ-\-
4- 0,383 (7^ 4- 0,383) А-, = 0,383^,,
I \>-2 -f- 0,707) At 4- (3|м -f 0,707) А, — (5и.2 -4- 0,707) Аъ — (![>■■• -f 0,707) А- = [j.2o2,
0,924 (|j.3 + 0,924) Л, — 0,383 (3^, -4- 0,924) As — 0,383 (5;о.3 + 0,924) Аь +
+ 0,924 (7[Аз 4- 0,924) Л7 = 0,924^«3,
(.^ Ч- 1) /li — (3;<-4 + 1) А. + (5-J-4 4 1) -4г. - (7<ч -';- 1) А- = ;V/4.
■40 Зак. IS-1I. Л Г. Лоншшсиш.
466 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [гЛ. VJI
В этой системе уравнений р-х, аи jj.2, gc3 и т. д. представляют значения
известных функций |i(8)h « (8) в последовательных четырех сечениях крыла.
Для оценки распределения циркуляции по крыльям простейшей формы
изложенный прием является достаточным. Довольствуясь этими краткими
указаниями, отсылаем интересующихся к специальным курсам теории крыла Л
Изложение вопроса о влиянии сжимаемости газа при до- и
сверхзвуковых скоростях на пространственное обтекание тел идеальным газом
выходит за пределы настоящего курса. За последнее время такие
основные в этой области проблемы, как осесимметричное и наклонное
обтекание тел вращения (например, снаряда) и обтекание крыла
конечного размаха, подробно исследованы многими учеными. Подробное
освещение теории линеаризированных пространственных течений можно
найти в монографии Ф. И. Франк ля и Е. А. Карповича
„Газодинамика тонких тел" в серии „Современные проблемы механики"
(Гостехиздат, 1948 г.). Методы решения нелинеаризировапных
пространственных задач изложены в „Теоретической гидромеханике"
Кибеля, Ко чина и Розе (ч. II, изд. 1948 г.).
1 См., например, рапсе цитированные курсы В. В. Голубевл и
Г. Г л я у э р т а.
ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 75. Внутреннее трение и теплопроводность в жидкостях
и газах. Законы Ньютона и Фурье. Влияние температуры
на коэффициенты вязкости и теплопроводности. Число о
Основное отличие реальных жидкостей и газов от идеальных
заключается в наличии внутреннего трения (вязкости) и
теплопроводности. Эти явления обусловлены молекулярной структурой жидкости
и газа; основные закономерности, связывающие напряжение трения и
количество переносимого тепла с распределением скоростей и
температур, могут быть строго выведены из кинетической теории
совершенной жидкости или газа.* С макроскопической точки зрения эти
закономерности должны быть заданы наперед как некоторые
дополнительные физические законы.
Ньютон2 сформулировал общеизвестный сейчас закон, согласно
которому касательное напряжение трения между двумя слоями
прямолинейно движущейся вязкой жидкости пропорционально отнесенному
к единице длины изменению скорости по нормали к направлению
движения. Так, например, в случае плоского движения, параллельного
плоскости хОг, со скоростями, параллельными оси Ох, касательное
напряжение трения раг (вспомнить принятую в § 14 гл. II индексацию
напряжений) будет равно:
где коэффициент вязкости jx не зависит от характера движения
л зависит лишь от физических свойств жидкости и от ее температуры
(влияние давления практически ничтожно).s
1 См. Л. Ландау и Е. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред. Гостех-
издат, 1944, стр. 431. *
2 И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, отд. IX,
Предположение. (Перевод А. Н. Крылова, изд. Морской академии, 1915 г.,
стр. 436).
3 Жидкости, не подчиняющиеся закону Ньютона, называют часто
„не ньютоновскими", — таковы многие жидкости со сложным молекулярным
строением.
30*
468 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Наряду с этим динамическим коэффициентом вязкости [а в
дальнейшем придется еще постоянно иметь дело с кинематическим
коэффициентом вязкости v, равным отношению динамического
коэффициента вязкости к плотности жидкости:
(2)
Размерность динамического коэффициента вязкости п, согласно
формуле (1), будет:
сила•длина
сила
длина2 • скорость скорость•длина'
За единицу вязкости в физической системе единиц принимают
пуаз (по фамилии французского исследователя Пуазейля), равный
дина ■ сек
см-
= 1
см ■ сек
Обычно пользуются в сто раз меньшей единицей — центипуазсм,
которой соответствует динамическая вязкость воды при 20,5° С.
В технической системе за единицу вязкости можно принять
величину
кГ ■ сек
Коэффициент кинематической вязкости выражается в см-/сек',
величину, равную 1 см^/сек, иногда называют кинематическим пуазом,
единицу, в сто раз меньшую — кинематическим центинуазом.
Динамический и кинематический коэффициенты вязкости как
жидкостей, так и газов значительно зависят о г температуры; приводим
табл. 10 и 11 этих зависимостей. Заметим, что, как видно из этих
таблиц, оба коэффициента вязкости воды убывают с возрастанием
температуры, коэффициенты вязкости воздуха при этом, наоборот,
возрастают.
Существуют очень вязкие жидкости, как, например, глицерин, для
которого при 3°С значения у— 42,20 г/см • сек, v = 33,40 см9/сек;
машинное масло, при 10° С имеющее у. = 6,755 г/см • сек, v=7,34 см?/сек.
Вязкость этих жидкостей, как правило, быстро уменьшается
с ростом температуры. Так, для глицерина:
ее
г
см • сек
_ см?
сек
3°
42,20
33,40
18°
10,69
8,48
21°
7,78
6,18
§ 75|
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
469
Таблица 10
Зависимости коэффициентов вязкости воды от температуры
Температура
в°С
0
5
10
15
20
25
30
35
р. г—-. 102
см • сек
1,792
1,519
1,308
1,140
1,005
0,894
0,801
0,723
см% и»
v —— • 10*
сек
1,792
1,519
1,308
1,141
1,007
0,897
0,804
0,727
Температура
• в°С
40
45
50
60
70
80
90
100
|А ЮЗ
см • сек
0,656
0,599
0,549
0,469
0,406
0,357
0,317
0,284
v^.10*
сек
0,661
0,605
0,556
0,477
0,415
0,367
0,328
0,296
Таблица 1]
Зависимости коэффициентов вязкости воздуха от температуры
Температура
в СС
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
г
а 10*
см ■ сек
1,709
1,808
1,904
1,997
2,088
2,175
2,260
2,344
2,425
2,505
2,582
2,658
2,733
СЛ<2
сек
0,132
0,150
0,169
0,188
0,209
0,230
0,252
0,274
0,298
0,322
0,346
0,371
0,397
Темпе-
! ратура
в °С
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
IX 10*
см ■ сек
2,806
2,877
2,946
3,014
3,080
3,146
3,212
3,277
3,340
3,402
3,463
3,523
3,583
см2
сек
0,424
0,451
0,481
0,507
0,535
0,565
0,595'
0,625
0,656
0,688
0,720
0,752
0,785
Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры может
быть с достаточной степенью приближения представлена степенной
формулой
причем показатель степени п различен для разных газов и, кроме
того, слабо зависит от температуры; для воздуха я ="=0,79, для
гелия п ~ 0,64, для водорода п =^= 0,69, для углекислого газа п = 0,95;
470
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. viii
при приближенных расчетах иногда принимают //.==0,5 для более
высоких ия=1 для меньших температур.
Наряду с вязкостью газа следует рассматривать и его
теплопроводность, которая связана с вязкостью общностью молекулярного
механизма.
Количество тепла, проходящего через единицу площади в единицу
времени, выражается формулой Фурье
- дТ
4 = LdK>
(4)
совершенно аналогичной закону Ньютона (1). Здесь коэффициент
теплопроводности А также представляет характерную для данной
жидкости или газа физическую величину, зависящую главным образом
от температуры.
Как доказывается в кинетической теории совершенных газов,
величина а, равная отношению
X
(5)
(ср—коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении),
почти не зависит от температуры среды, а зависит лишь от
физических свойств (атомности) газа. Теоретически величина а может быть
ср
выражена через известное отношение k = — теплоемкостей при но-
с„
стоянном давлении и постоянном объеме но формуле:
4k
' 9k — 5"
(6)
В табл. 12 помещены некоторые цифры, показывающие, насколько
верна формула (6), и дающие представление о величине а для
различных газов.
Таблица 12
Азот
Водород
Окись углерода . . .
Кислород
Окись азота
Углекислый газ . . .
cv
1,659
1,408
1,408
1,403
1,398
1,380
1,340
1,3)0
4k
9k-Ъ
0,668
0,734
0,734
0,736
0,737
0,742
0,761
0,771
с
(эксперимент)
0,691
0,739
0,717
0,765
0,731
0,738
0,743
0,805
§ 76]
ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА НЬЮТОНА
471
Для многоатомных газов при приближении k к единице о, как это
видно из формулы (6), также приближается к единице. Для воздуха о
представляет слабую функцию температуры и равно о = 0,72 при 0°;
при высоких температурах а несколько возрастает (о = 0,727 при 1000°).
У несовершенных газов о может сильно зависеть от температуры, так,
например, у сухого насыщенного пара при 1 ата и изменении
температуры от 100 до 300° коэффициент з увеличивается вдвое.
Перегретый пар, приближающийся по своим свойствам к идеальному газу,
имеет значение а = 0,9 (при температурах порядка 250—300°).
При приближенных расчетах удобно, как далее будет показано,
принимать для газов о=1, иногда о = 0,75.
Совершенно иначе обстоит дело с величиной а для жидкостей;
в этом случае о имеет совсем другой порядок величин и, кроме того,
сильно зависит от температуры. Так, например, для воды о быстро
убывает от значения 13,7 при 0° до 1,75 при 100°, трансформаторное
масло имеет а = 220 при 40° и о = 100 при 80°. Отсюда следует,
что при изучении движения вязких жидкостей в неизотермических
условиях приходится считаться с сильным влиянием температуры на
величину о; при движении совершенных газов этим влиянием можно
пренебрегать.
§ 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного
движения среды. Закон линейной связи между тензорами
напряжений и скоростей деформации
Возвращаясь к формуле (1), можем ее трактовать как закон
пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения,
соответствующей рассматриваемому частному случаю плоского
прямолинейного движения, компоненте тензора скоростей деформаций:
Обобщая закон Ньютона (1) на случай произвольного движения
жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений
в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную
функцию тензора скоростей деформаций. Эту, хорошо
оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов
гипотезу можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона.
Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать,
если дополнительно предположить движущуюся среду „изотропной",
т. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо
особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом
коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором
скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь
сводится к формуле
р = aS + b$, (7)
472 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ [ГЛ. VIII
где а и Ь — скаляры, а §—тензорная единица, т. е. тензор с
компонентами: 1
О при 1ф],
ь'0':
. . (i, ;'==!, 2, 3),
1 при i=],
сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной
системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По
условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент
тензоров Р и 5 и поэтому является физической константой среды,
не зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7)
является обобщением закономерности (1), примем для коэффициента а
обозначение:
а = 2(х.
Скаляр Ь может быть связан линейным образом с компонентами
тензоров Р т S только через скалярные линейные комбинации этих
компонент.
Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная
величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей
координат. Таким образом, в выражение скаляра b могут входить лишь
такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и
скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту
осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для
тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме
компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко
убедиться, составляя указанную сумму в двух произвольно повернутых
друг по отношению к другу системах координат и используя связь
между компонентами тензора в этих системах координат.
Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех
нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным
площадкам в данной точке потока, т. е. величина
Рп~гРч-2.лгР'а-ъ-
Линейным инвариантом тензора скоростей деформации будет
служить сумма
bu-t-Ьяя-ГЬю— дХг T-^TIJ--
равная, очевидно, дивергенции скорости divV.
1 При выводе основных уравнений движения неидеального газа для
упрощения вида формул представляется удобным принять следующее обозначение
координат: х = Xj, у — .v2, z — xs и аналогичным образом нумеровать
компоненты векторов и тензоров. Так, проекции скорости дальше будут
обозначаться V{(i— 1, 2, 3) вместо обычных у нас (и, v, w); компоненты тензора
напряжении ptj(i, /= 1. 2, 3) вместо ранее применявшихся рхх p1JX, ...
§ 701 окобщепик закона ньютонл 473
Принимая, как наиболее общую, связи между величиной h и этими
инвариантами и форме
Ь = Ь> (рп + /,2а + pw) + й" div V + V",
где #', 6", Ь'" — некоторые константы, получим
Р = 2,х5 + [А' (рп + Р22 + Рзз) + *" div V + b'"\ Ь. (V)
Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей
равенства {!'), будем иметь:
^n + P224-Ps3 = 2^divV + 3*'(Pii+^2+P33)-r-36'/divV+3*"/,
или, совершив приведение подобных членов:
(1 - 360 (Рп +РИ + Ръъ) = (2р. + 3*") div V + ЪЬ'". (8)
Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое,
тогда divV = 0, а сумма нормальных напряжений, как было доказано
в гидростатике (гл. II, § 17), станет равной
Рп-'гРж + Ръъ— - -Зро>
где /;0 — гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду:
(1-Зд')Ро=3/Г.
Из этого равенства в силу произвольности величины
гидростатического давления сразу вытекает:
// = I, //" = о.
После этого из равенства (8), верного при любом div V ф 0,
следует, что
Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами
напряжений и скоростей деформаций будет иметь вид:
^ == 2^5-1-[1 (ри+ря + рм)-|^ div V]fi. (9)
Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее
арифметическое трех нормальных напряжений представляет
давление в данной точке. Смысл этого допущения заключается в
возможности рассмотрения величины ir (pn -\-р^ч -\-Рзъ) как Функции
о
плотности и температуры, определенной, в случае совершенного
'аза, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым
Допущением или дополнительной гипотезой к обобщенному закону
474 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ [ГЛ. VIII
Ньютона. Приняв эту гипотезу, сохраним для давления в вязком газе
прежнее обозначение, положивг
■jiPu +Рэв + Лз) = -/>■ (Щ
Формула связи (9) примет после этого вид:
P = 2{i5 — (p + |-!*divV)g. (И)
В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее
арифметическое трех нормальных напряжений отличается от только что
определенного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости
объемного расширения divV. При этом вместо равенства (10) будем иметь
у(Ри + ;'«г + ^8з) = — p-f^'divV, (10')
где [а' — новый коэффициент вязкости, называемый вторым коэффициентом
вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью.2
Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду:
P=2y.S — (/>+-|mjW —n'divVjg. (ll')
Вторая вязкость приобретает особо важное значение при изучении
медленно развивающихся процессов, время релаксации которых велико,
например, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость
которых мала. Как показывает теоретическое исследование, коэффициент
второй вязкости равен нулю, если газ одноатомеи.;i
Во всем дальнейшем изложении удовольствуемся предположением, что
вторая вязкость отсутствует ({>■' = 0).
Связь между компонентами тензора напряжения и тензора
скоростей деформации, согласно формуле (11), имеет вид:
PiJ = '
dVf dV
Kl^ + ВД "Ри J*!'
. 0 dVi 2 (д\\ , д\\ , dVa\ • •
Формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой
жидкости, когда
dlvV = 4^ + 4^+4^=0;
dxi ' дх2 дхА '
1 Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в § 17,
гл. И.
2 На возможность такого допущения указывал еще Стоке и после него
в своих лекциях по теории тепла — Кирхгофф. Современное изложение этого
специального вопроса см. Л. Ландау и П. Л и ф ш и ц, Механика сплошных
сред. Гостехпздат, 1944, стр 46--47.
'•* См. цитированную книгу Л. Ландау и Е. Лпфшица, стр. 434.
§ 77] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 475
в этом случае имеем:
Р>:Г
dVi
Wj\
дхл
dxi j
n ' 9„ dVi
при j-фг,
ПРИ J :
(13)
При квазитвердом движении, лишенном деформаций:
V = V„+BXr;
Vl = ^01 + W2XS — <»3*2>
^2 = ^02 + Vl — <»Л>
Vi = V03 + ш1*2 Ш2Х1 >
скорости сдвига (скошений углов), стоящие в первой строке системы (13),
и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во
второй строке, обращаются в нуль, и напряжения сводятся к
давлению — р, так же, как в идеальной жидкости.
В плоском прямолинейном движении, рассмотренном в начале
настоящей главы, будем иметь:
у, = u, Vo = Vo = 0, и — и (г);
du
т. е. формулу (1).
§ 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические
уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия
движения жидкости с трением и теплопроводностью
Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики
сплошной среды (29), которые именовались „уравнениями в напряжениях",
и заменим в них напряжения по формулам (12) настоящей главы.
Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения
вязкого газа:
du с,
-dt=?F*
dv c
dw с,
.EL.
дх
ду
др
9 д 1 ди \ , д
'A~dZVJdx')~JrI^
д__
дх
_д_Г (ди_
dz [^{dz "I дх)
ди , dv
ду * дх
ди. , dv
ду г дх
dw\
Л
f^r(MivV),
■ о д / dv\ .
dt
Й7 ~
dz
дх
(du , дщ)\~1 , d \ (dv , dw
"2f(
0.
(14)
476 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА (ГЛ. VIII
Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть
известным уже образом разложены на локальные и конвективные
части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности
конвективных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости jj.
является функцией температуры Г, а распределение температур,
в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа,
зависит от поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме,
если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II
подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда,
вспоминая (§17 гл. II), что (са — скалярная функция)
Div (св§) = grad в,
будем иметь:
pf = pF + 2 Div (?S) — grad (p +1 ц div v). (15)
Система уравнений (14) значительно упрощается в случае
изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом
уравнении системы [х за знак производной, получим:
du р др | /д2и . dhi | д*и\ , д Г ди , dv , dw\
или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка
в правой части обращается в нуль:
р#-Л-& + .**.
Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем
иметь следующую систему уравнений изотермического движения
несжимаемой жидкости:
du „ dp , п9
§ = p^-f + Л> (но
r>-
Р^Л-t-f.vV
dt ~~ ' г <Э2
или в векторном виде:
о
= f»F — grad p -4- {i.V2V, (16)
где под символом V2V понимается вектор с проекциями
V2M, V8©, V*w.
Используя легко проверяемое непосредственным
дифференцированием векторное соотношение
V2V = grad div V — rot rot V,
§ 77] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 477
которое в случае несжимаемой жидкости (div V = 0) переписывается
в виде:
V2V = — rot rot V,
будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16):
p-TT=pF — о rad /? — jirotrotV. (16')
К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение
сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II
^.+ pdivV = |f+div(pV) = 0.
не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет вязкость
или нет.
Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем
в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо Р выражение (9)
настоящей главы.
Предварительно находим:
PV = 2(i.5V — (р + -§ ц div V) IV = 2<aSV — (р -j- -| |л div V ; V.
Произведение SV можно раскрыть, составив г'-ую проекцию
(SV)t = >^ S,jV;j = - \Д -|- _; I/. =
з
2 -^ ■> ал:, ^ 2 ил-,- \2 Lk V
и заключив по последнему выражению, что
1 /,, г,ч,г . 1 WV*\
SV = ^(V-V)V-\-~grad(\y,
с другой стороны, но известной формуле векторного анализа будем
иметь:
(V • V) V = grad (-^) — V X rot V,
гак что
SV = grad (-£) — 1 V X rot V.
Произведем euie в уравнении (45) гл. II замену:
по (48) гл. II:
JcrT = JcpT—RT = i-
J<iq =,/div (\ grad T) — div { — grad /).
478
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Тогда уравнение баланса энергии примет вид:
d
*4i\1'
'i+ ~j = pF • V -f div L grad (V2)—jiV X rot V —
-_pv-4,vdiw] + P4(f)-bdiv(Agradl-;
Но, согласно уравнению (16):
d_ /p_\ dp_ p_ dp_ dp_
dt\ p)~~ dt p dt Hi
+ V • grad/? -|-p divV = % + div(pV)
следовательно, после простых приведений получим такую
окончательную форму уравнения баланса энергии:
d /. . V2\ _ .. . dp ,
rf/
t;
#
I-div
.grad(l/2)~uVXrotV--4 I^VdivV-
grad /
(17)
В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно
стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно
пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение
баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении
p^+^W.^fi+S)
или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу
векторного анализа
div (9а) = 'f div a -(- а • grad -f,
получим
1/2
= div
oV(i-
J/2V
2" У
(; + .£) div (PV).
Далее, при стационарном движении, согласно уравнению
неразрывности (16):
div (pV) = 0,
следовательно,
р&'+Ф-* [•*('+£)]■
Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях
отсутствия объемных сил (F = 0) и стационарности (-£■ = 0] примет
удобный для дальнейших применений вид:
'pV(i + J£)-,igrad(.i+ V*)-
div
arofVXV + 4!i'VdivV
= 0. (18)
§ 77J ОБЩИН УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 479
В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5)
числа а; число о для совершенных газов будем считать постоянным.
Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение
Клапейрона
которое можно переписать в виде
р R , _ k — 1 ,
7=:v * -*~ '
и уравнение (3) в форме:
1*11 W '
то в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью
неизвестными:
и, v, w; p, р, /, |1.
Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким
образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом
неизвестных.
Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной
системы уравнений в частных производных необходимо еще знать
начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей
постановке вопрос об условиях существования и единственности
решения составленной системы уравнений до сих пор не решен.
Соответствующие условия обычно указываются и каждом отдельном случае.
Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения
жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного
твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только
нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место
и в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие
„прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости
по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким
образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой
границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с
соответствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц
жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое
время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми
исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми
и косвенными опытами. 1 Оговоримся, однако, что в разреженных
1 См. по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на
поверхности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце
второго тома монографии „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
Жидкости" (под ред. С. Гольдштейна). Гос. изд. иностр. л-ры, М., 1948, стр. 356.
(19)
(20)
480 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
газах условие „прилипания" газа к твердой стенке, не имеет
места; в этих условиях наблюдается „скольжение" газа по стенке,
которое можно считать пропорциональным производной по нормали
к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей
скорости. Не приходится и говорить о том, что условие „прилипания"
совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще,
в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится
велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное
значение по сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают
удары молекул о поверхность тела, и предположение о „прилипании"
газа к твердой поверхности теряет всякий смысл. Впрочем, такого рода
„движения" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова
и составляют скорее предмет изучения кинетической теории газов. ]
Заметим, чго вопросы обтекания тел разреженными газами
приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами
реактивных снарядов на больших высотах, где разрежение воздуха
очень велико2.
Граничные условия для температуры могут быть весьма
разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения
температуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по
которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры
набегающей жидкости „на бесконечности". В других случаях задается
распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла,
проходящего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье (4),
последнее эквивалентно заданию производной от температуры по
направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В
такого рода граничных условиях заложено предположение об отсутствии
„скачка температур" между обтекаемой стенкой и „прилипающими"
частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются
опытными исследованиями в жидкостях и неразреженных газах (точнее,
при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению
с размерами обтекаемых тел или каналов). В случае же разреженных
и, особенно, сильно разреженных газов изложенные граничные
условия теряют свой смысл. В разреженных газах параллельно со
„скольжением" газа образуется „скачок" температур, который, так же как
и скорость скольжения, можно принять пропорциональным
температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных
газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается
в некотором уточнении, что и делается в кинетической теории газов.
В число граничных условий входит еще задание давления в какой-
нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном
сечении канала или др.
1 См. Л. Ландау и Е. Л и ф ш и ц, Механика сплошных сред. Гостех-
издат, 1944, стр. 444. '
2 По этому поводу см. две статьи Тзяна в сб. статен „Газовая
динамика". Изд. иностр. л-ры, 1950, стр. 310—357.
§ 78] ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 481
Начальные условия фигурируют лишь в нестационарных задачах
и представляют собою задание пространственных распределений
скоростей и температур в некоторый „начальный" момент времени.
Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей
решения уравнений движения неидеальной жидкости, остановимся на
важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений
реальной жидкости.
§ 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений.
Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости
и газа. Условия подобия
Два физических явления называют подобными, если величины одного
явления могут быть получены из соответствующих величин другого,
взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым
умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые
коэффициентами подобия.
Пусть /' — некоторая характерная величина для первого явления,
/" — значение той же величины в сходственной
пространственно-временной точке второго, сравниваемого с первым и подобного ему,
явления. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение
величин
f:f" = kr
и определит коэффициент подобия kf-. Выберем теперь совершенно
произвольно какую-нибудь одну пару сходственных точек, почему-
либо особенно характерную для сравниваемых явлений, например,
„бесконечно удаленную" или „критическую" точку в случае обтекания тел,
точку на оси трубы в установившемся протекании жидкости и т. п.
Пусть значения величины в этой характерной паре точек будут,
соответственно, f и f". Тогда по определению подобия имеем:
или, исключая коэффициент подобия,
Назовем пару величин f f0 масштабами величин / в сравниваемых
между собою двух явлениях. Из последнего равенства вытекает, что
в любых двух сходственных точках подобных между собой
явлений безразмерные отношения величин к своим масштабам
одинаковы. Иначе говоря, два подобных явления различаются лишь
масштабами величин.
Выделим в данном явлении характерные для него масштабы:
времени, линейных размеров, скоростей, плотностей, давлений, температур
и других определяющих явление величии. Масштабом времени может
31 Ззк. 1841. Л Г. Лпй!1яп1-ц,.й.
482
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
['ГЛ. VIII
служить, например, период колебательного процесса, время
прохождения телом какой-нибудь характерной длины (в частности, длины самого
тела) и др.; масштабом длин —линейный размер тела, диаметр трубы
и др.; масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и др.—
соответствующие их значения в набегающем потоке „на бесконечности"
или те же величины, построенные по заданным объемным, массовым,
тепловым расходам, мощностям и другим характерным для явления и
известным наперед величинам. Разнообразие выбора масштабов
явления велико и не может быть заранее ограничено какими-то общими
указаниями.
Если выразить все величины, служащие для описания явления,
в частях своих „масштабов", то эти величины станут безразмерными.
Такими же безразмерными окажутся и уравнения, характеризующие
явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них
величины заменить произведениями масштабов па соответствующие
безразмерные величины.
Сделаем это и только что выведенной системе уравнений динамики
вязкой жидкости, причем удовольствуемся для простоты случаем
стационарного обтекания тела при отсутствии объемных сил. В этом
случае время явно не входит и масштаб времени можно не вводить; точно
так же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем за
масштабы: один из размеров тела / и величины „на бесконечности" К»,
/>_я, poo, Too, i„« и т. д. Условимся временно (это не приведет здесь
к путанице) обозначать безразмерные величины теми же буквами, что
и размерные. Тогда замена размерных величин па безразмерные
сведется к замене:
х на 1х, у на /у, z на /г;
и на VooU, v на V^v, w на V.^w,
р на poop, Т на TmT, i на U^i.
Исключение сделаем лишь для давления р, приняв вместо
отношения р!р-о известный уже нам по предыдущему коэффициент давления р:
р = -Г-—.
Это выражение и примем за безразмерное давление. Таким образом,
для давления произведем замену:
,1 , ,2 -
р на j3oo + -2-rjooVoop.
Подчеркнем, что эта уступка общепринятым обозначениям не имеет
существенного значения и не ставит давление в какое-то особенное
положение.
§ 781
ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ
48Н
Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не
зависящими от координат, легко проведем указанную замену в системе
уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметь:
/2
i СО СО
ди
1 Po.V^dp , ,а Va
, , .со'со "г . г-^оо \пд ( ди\ ,
I div b^Vcroviu + ^ Vs,, V") ■ ~ a «Tad f— /' + V™ У")
У'ОО-
2 . oo'V/
А— 1
;,со °° ч (rnt V--' V
['■о ~ \ 'о '
2 Ni
- -VdivVj
со со
Разделим обе части первых трех равенств па коэффициент '—j
при безразмерном конвективном ускорении. В четвертом равенстве
масштабный множитель пропадет. Обе части пятого равенства
разделим на выражение
?со ^ео'со
I
В шестом равенстве произведем
приведение к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом
воспользуемся произволом в выборе \>.Q, i0 и положим а0^=«.=о, /0—/„.
Тогда будем иметь в безразмерных величинах:
ди i
\_dp_
2 дх
+
о V I
' со со'
2 — mi —) J-
div
<»v(pV) = --£
1 V2
Г" я~ " — и'
Ov
dz
и.со / г
., , и. jjrad I —
. V
со со
— и- ?rad I 1- -:— V-
-J^.^(rotVXV--|vdivvYUo,
' СО 1 СО fCO ' .J
_ к — 1 г'
/7 = 2 —^ 2- /р — 2 •
1 F-
I СО ' г0
|1 = /«.
31*
484 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДК0С?И И ГАЗА [ГЛ. VIII
Величина:
R
_MV._iV
н
где V0, р0, [х0, /—некоторые характерные для данного движения
величины, называется по имени известного гидродинамика XIX в.,
который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса
(кратко, „число R"). Входящее в предыдущие уравнения число
PooVJ
VJ
обозначим через R,» и будем называть „числом R на
бесконечности" или „числом R набегающего потока". Далее, заметим, что
в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости
деформаций отсутствуют и движение вязкой жидкости совпадает
с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на
бесконечности" можно применять газодинамические формулы,
изложенные ранее в гл. IV и VI для идеального газа. Будем, в частности,
иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется
газовая постоянная AJ, обозначение которой не должно быть спутано
с числом Рейнольдса):
v-
V
lJO
Poo
РаоКо
.Poo
1 & 1 2
1 Рос- ! «oo
* Vl к Vl
i — j )
1
ml,
= (k—\) m:
Заметив это, получим окончательно следующую систему
безразмерных уравнений стационарного движения вязкого газа:
( ди , ди , ди '■ 1 др
ди \
+
О U
ду
dv
дх ' R^ Y дх[У' дх)
(ди . dv { , д Г /ди , dw\l 2 д , ,. .,Л
, dv , dv .
]_др_
2 ду
1
dv \
( д \ /ди . dv '.],.-, д
+ dJ[K^+^)j-3-aJ(lid,vV)}'
(21)
§ 78\ подовик гидродинамических явлений 485
( dw . dw , dw\ 1 dv ,
dx ~г " dy 1~ "" dz J '
2 dz
^ R^ I dx |/ Us ^ dx У ^ dy
/ dv | to
, 0 d .' to\ 2 д , ,. ..A
д(ры) i d(?v) _(_ d(f>a>) __ 0
dx "•" d_y ' dz '
div
jpv(<-}
i- —-j— ML V3) — -p-1* grad
У
• + (*—l)A&Va
— ^-^- M^ ;j. frot V X V — | V div Vj 1 = 0,
(21)
» = — (ф— 1), ;j.
К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные
условия, о которых, было в общих чертах сказано раньше. Для
конкретного случая обтекания тела эти граничные условия приведутся
к заданию и безразмерном виде уравнения поверхности, равенства
пулю на ней величины скорости,, заданию распределения безразмерной
температуры (теплосодержания) или нормальной ее производной, а также
безразмерных значений скорости и температуры на бесконечности,
равных при ранее выбранных масштабах единицам, и коэффициента
давления, равного на бесконечности нулю. Безразмерная система
уравнений и граничных условий движения жидкости или газа представляет
некоторый самостоятельный интерес, так как позволяет изучать не
только отдельное единичное движение, но одновременно весь класс
движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров
тел, скоростей, температур и т. д.
Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяет просто
и наглядно установить условия подобия двух движений жидкости или
газа, что полезно для моделирования натурных явлений в
лабораторных условиях, для обобщения результатов эксперимента и др.
Предположим, например, что рассматриваются два подобных
стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем
влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел
в обоих движениях будут геометрически подобны и подобно
расположены по отношению к набегающим потокам, что входит в
определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего
подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные
(т. е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях)
координаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми
отвлеченными числами. Безразмерные граничные условия будут также
486 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ [ГЛ. VIII
одинаковы; одинаковы;™ окажутся и безразмерные величины
скоростей, давлений и другие в сходственных точках потока,
представляющие решения безразмерной системы уравнений (21). Следовательно,
одинаковы должны быть и сами безразмерные системы уравнений.
Как видно из структуры системы (21), при этом в двух подобных
системах должны иметь одно и то же значение величины R^, Мс»,
k и а; если задана температура на поверхности обтекаемого тела, то
из безразмерных граничных условий для температуры будет еще
вытекать одинаковость отношения размерных температур на стенке в
каких-нибудь сходственных точках к температуре на бесконечности.
Это отношение Tw: Тю температуры на стенке обтекаемого тела Ти,
к температуре набегающего потока Гст называют температурным
фактором.
Отсюда следует прямая теорема подобия: если два
стационарных движения вязкой жидкости или газа при отсутствии объемных
сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие
Т
этим движениям числа R^, Мл, ft, з и -jP- одинаковы для обоих
рассматриваемых движений. Естественно возникает вопрос об
обращении этой теоремы, т. е. об установлении необходимых и достаточных
условий подобия двух гидроаэродинамических явлений. Однако
решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства
теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что
в настоящее время сделано лишь в ряде простейших случаен. Кроме
того, разнообразие постановок задач о движении жидкости и газа
также вызывает некоторые трудности. В случае изотермического
стационарного обтекания тел несжимаемой вязкой жидкостью
необходимыми и достаточными условиями подобия обтекания двух тел
являются: 1) геометрическое подобие тел и их расположения по
отношению к набегающему потоку и 2) одинаковость числа Roo. При
обтекании тел сжимаемым газом, при отсутствии теплоотдачи на
поверхности тел <-^~ =01, к предыдущим условиям присоединяются
еще условия одинаковости и обоих движениях чисел М..0 и k. Число а
при этом можно считать одинаковым, согласно равенству (6), или
включать одинаковость о отдельным условием в тех случаях, когда
это равенство не справедливо, например, в случае жидкостей. При
задании температуры на стенке Tw к числу условий присоединяется
еще условие одинаковости „температурного фактора".
Аналогичное рассуждение, проведенное, в более общем случае
наличия объемных сил. например, сил веса, привело бы еще к необ-
ходимости введения числа Фруда F = —j- (g — ускорение силы тя-
8 VooT
жести), а при нестационарности движения — числа Струхала S = —j—
§ 79]
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
487
иногда-—^-), где 7' —характерный для нестационарного движения,
заданный наперед промежуток времени (например, время полного
оборота винта и др.), п — число оборотов, или угловая скорость.
Т
Указанные только что величины: R, M, k, а, -~, F, S входят
'со
в число необходимых и достаточных условий подобия двух движений
жидкости или газа. Наряду с этими, как иногда говорят,
„определяющими критериями" подобия имеются и другие также характерные для
явления безразмерные величины, одинаковость которых в двух
подобных явлениях является следствием подобия. Примером таких величин
могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и
индуктивного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубы (см.
далее) и др. Для двух подобных обтеканий тел эти коэффициенты
имеют одинаковое значение, однако они являются лишь косвенными,
„неопределяющими" критериями подобия. В неподобных обтеканиях
геометрически подобных и подобно расположенных тел
„неопределяющие" критерии являются функциями „определяющих". Вспомним,
например, формулы зависимости коэффициентов подъемной силы и
волнового сопротивления пластинки от числа М.
Установлением условий подобия, как строгих, так и приближенных
(не все условия подобия на самом деле одинаково важны), занимается
специальная теория- подобия, которая в последнее время, к связи
с развитием экспериментальных исследований, получила большое
распространение. !
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости
по цилиндрической трубе
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой
жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение
по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии
тока — прямые линии, параллельные оси трубы.
Как показывают опыты, такое движение осуществляется в
цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число
Рейнольдса не превосходит некоторого определенного „критического"
своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным,
частицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое
в настоящем параграфе решение теряет свою силу. Практически
излагаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с очень
1 Литература но теории подобия и моделирования в разных областлл
механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией книги Л. И. С е-
Дова, .Методы теории размерностей и теории подобия в механике'', Гос-
техиздат, 1944. Изложение гидроаэродинамической теории подобия можно
найти в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя", Гостехиздат.
1(»41, стр. 37.
488
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
малыми скоростями, или в тонких капиллярах, или, наконец, при
движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях
существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более
сложный, турбулентный
режим будет сказано
далее.
Направим (рис. 156)
ось Ог по оси трубы и
будем предполагать
трубу бесконечно длинной,
а поток — направленным
вдоль оси трубы, так что
из трех компонент
скорости {и, v, w) остается
лишь одна w, а
остальные две равны нулю.
Отвлекаясь от
температурных влияний, т. е. считая поток изотермическим, а следовательно,
плотность р и коэффициент вязкости ц — постоянными, будем иметь,
согласно (14) и уравнению неразрывности, систему уравнений:
Рис. 156.
0=-
др
1х
IV
dw
1_др_
р дг
дг
дх
E_L —-4-
dz* J'
Из этой системы сразу следует, что w представляет функцию
только хну, а р — функцию только г. Иными словами, если
провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях
распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны;
давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду
в данном сечении одинаковое значение.
Предыдущая система равенств сводится к одному:
/ d2w , d%> \ dp
~^ "*""" ~1г
И дх* ~^~ ду*)~
(22)
Левая часть этого равенства представляет функцию только от х и у,
правая — только от z; при независимости координат друг от друга
это может быть лишь в случае постоянства левой и правой частей
равенства.
§ 79)
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУЬЕ
489
Введем удобное для дальнейшего обозначение:
—- — const = —, (22')
dz I ' l '
где A/?—-падение давления на участке трубы длины /.
При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической
трубе перепад давления \р играет роль движущего перепада,
уравновешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против
движения жидкости. Отсюда непосредственно вытекает, что давление
в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а
следовательно, Ар > 0. Для трубы переменного сечения, где движение может
быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед
сделать нельзя.
В конкретных расчетах перепад давления Ар на участке трубы
длины / либо задается непосредственно, либо, как далее будет
показано, может быть легко выражен через другие заданные величины:
секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или
максимальную скорость.
Уравнение (22) сводится к линейному уравнению в частных
производных второго порядка в плоскости хОу:
axz ' ay til
которое должно бьпъ решено при следующем граничном условии па
копире С нормального к оси сечения цилиндра:
•ш = 0 па С. (23')
Поставленная задача с .математической стороны совершенно
аналогична известной задаче теории упругости о кручении
призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечения
трубы.
Если сечение трубы представляет эллипс с полуосями а и Ь,
уравнение которого в плоскости хОу будет
то решение уравнения (23) можно представить в форме:
х* у
= А(1-Ь-%)> ^
причем постоянная А определяется из условия удовлетворения этого
выражения уравнению (23):
II будет равна
w
л — ^Е. аЧ*
~ Ъ>Л ' я2 -f №
490 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. V11I
Таким образом, получим эпюру скоростей в любом сечении
эллиптической трубы:
&Р , аЦ2 (г *2 -Л (244
w --
Граничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяется.
Заметим, что изотахами служат подобные контуру С (не софокусные)
эллипсы.
В случае круглой цилиндрической трубы радиуса а будем вместо
(24') иметь, полагая Ь = а и г* = |/j:a-J-_y2:
-=4fr ("2 -х 2 - ^=i& ^ - -")• <24")
Как показывают формулы (24') и (24"), скорости по сечению
эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического
параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду вращения.
Последнее распределение иногда называют „параболой Пуазейля" по
фамилии французского ученого, известного своими исследованиями
движения жидкости сквозь капиллярные трубки (1840 г.).
Из распределения скоростей (24') определим максимальную по
сечению скорость на оси эллиптической трубы:
\р а"Ь'л
после него распределение скоростей (24') перепишется в виде:
(25)
«-«'„.„(i-S-S)- «
Аналогично для круглой трубы
причем
(26)
1"~ ■ W)
а 1 ;
Определим теперь объемный расход сквозь сечения
рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу
длины трубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение
круглой трубы.
Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расходы по
кольцевым участкам, написав
а а
Q= \ w • 2-/-* dr* = ^f ( (a* — r*T)2r*dr*.
о ' о
§ 79]
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 110 ТРУБЕ
491
и получить
Это приводит к известному закону Пуазейля: при ламинарном
движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую
цилиндрическую трубу секундный объемный расход пропорционален перепаду
давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса
и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Зная расход Q и площадь сечения трубы а = тга2, найдем среднюю
скорость:
„., — Q — ~а4"ХР — аЧР . ,о7/ч
сравнив с (26), получим важное соотношение между средней по
сечению и максимальной на оси скоростями:
Wop = "J «»,„«■ (27"')
Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к
определению расхода сквозь круглую трубу, если в интегральном
выражении расхода
Q= j J ■wuxdy-.-w^ J J (l .-^-^)dxdy
положим:
x — ax', у — by', /•' — Vx'" ~\-y'"\
югда интеграл по площади эллипса сведется к интегралу по
площади а' единичного круга и легко вычислится:
Q = wra„ ■ «ft f f (1 — x* —У8) dx' dv':
■==■ иш «* I (1 — г") 2тУ dr''■-=-- abu\
Будем иметь по (25):
Q^T-a^max = -4tx/(fl2+fc2)- (28)
Средняя скорость да,.,,,, согласно (28), окажется равной:
Таким образом, как в случае круглой, так и в случае
эллиптической трубы средняя скорость равна половине максимальной.
492 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Из выведенных формул заключаем, что по заданным
геометрическим параметрам трубы, коэффициенту вязкости и одной из
характерных для потока в трубе величин: расхода, средней или
максимальной скорости, можем определить потребный для создания движения
перепад давления Ар на некотором участке длины /. Этот перепад
давления Ар уравновешивает сопротивление движению жидкости,
создаваемое силами вязкости на стенках трубы, благодаря чему и
получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц.
Величину перепада давления Ар можно рассматривать как количественное
выражение сопротивления участка трубы длины /.
Общеприняты следующие два выражения величины сопротивления
круглой трубы через скоростной напор, составленный по средней или
максимальной скорости:
/ ода2
До == 26 —
" ' /7
1 Р<ах
(29)
где d — 2a — диаметр трубы, а X и 6 — так называемые
„коэффициенты сопротивления". Чтобы определить коэффициенты
сопротивления X или 6 в рассматриваемом конкретном случае ламинарного
движения в круглой трубе, заменим в (29) Ар его выражениями через
среднюю или максимальную скорости по (27') или (27"). После
простых сокращений будем иметь:
! 4ц.
<У = ■ .
P«Wa
Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдса":
Кор — —— 7" '
р _ ,P®maX« _ Wmexa
4 max
(А -)
Тогда окончательно получим формулы сопротивления:
,64 ,4
Х = ТС> *=R— (3°)
°Р max
Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений X
или ф, представляющие по (29) не что иное, как особым образом
составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений
в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса R.
Если два ламинарных течения в цилиндрических круглых трубах
§ 79]
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
493
подобны между собою, то соответствующие им числа R равны друг
другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не
подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце
предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся
некоторой функцией (30) числа R, по которой может быть вычислено
сопротивление при любом ламинарном движении.
Зная диаметр трубы и среднюю или максимальную скорость, по
формулам (29) и (30) можем определить сопротивление Д/? движению
жидкости с заданными коэффициентами вязкости (а и плотности р на
любом участке длины /. Наиболее употребительны первые формулы
равенств (29) и (30), заключающие коэффициент X и среднюю
скорость даср.
Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке
круглой трубы, равное по закону Ньютона
Ъ = Р(-Й) • (3D
дг* )
г*=а
В силу равномерности и осесимметричности движения можно
составить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе
под действием движущего перепада давления Др, приложенного к
сечению трубы с площадью те2,
и сопротивления трения на г„-2ла1
стенке, равного произведе- """
нию напряжения трения xw (р+Ар)яа2] \ - w а / \_р-лаг
на боковую поверхность
2тса • / участка / трубы:
Ар ■ те2 = 2те/ • "с10.
Отсюда следует, что между Рис. 157.
движущим перепадом и напряжением трения существует простое
соотношение
*«>=-%fbp, (31')
которое можно сформулировать так: напряжение трения на
поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на
участке длиной в половину радиуса.
Формулы (29) на основании (31') дают следующие выражения
напряжения трения:
\ 2 1
~w = X Р^Р' I
(32)
9 2
Для дальнейшего важно отметить, что формулы (29) и (32), так
же как и соотношение (31'). являются общими формулами движения
494 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VII!
в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для
ламинарного, но и для так называемого „турбулентного" движения,
о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (30)
верны только для ламинарного режима. Подставляя значения л и <|>
из (30) в (32), получим:
*"и-
4t*wcp
а
\ (32')
. _ I
w a )
Эти же результаты получим, вычисляя iw по формулам (31), (24"),
(27') и (27").
В случае трубы эллиптического сечения напряжение трения на
стенке меняется по периметру сечения, так как поток не
симметричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения
по периметру эллипса меньше, чем напряжение трения в круглой
трубе той же площади сечения. Аналогичный результат имеет место
и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде
давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через
равновеликое ему по площади сечение круглой трубы.
Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической
трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23)
уравнение движения в полярных координатах г*, е. Для этого выразим
лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметрич-
ности движения, члены с производными но углу е. Тогда получим
в качестве основного уравнения:
1 d ( .... dw \ Ьр ,„0.
7* 1^ V ' Ч?*~)—~~КГ- (6o)
Интегрируя, найдем общее решение
4;х1
+ Са. (33')
Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г* = 0
следует, что Сг — 0; вторая постоянная найдется из условия
w —- 0 при г* --= г?,
что приведет к полученной ранее „параболе скоростей" (24").
Решение (33') представляет преимущество по сравнению с ранее
приведенным. Так, например, пользуясь равенством (33'), легко
получить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя
соосными круглыми цилиндрами радиусов а и Ь>а. Подчиняя
решение (33') граничным условиям:
w = 0 при г* = а и г* = Ь.
$ 79|
ЛЛМИНАРНОЬ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБ1-
495
получим эпюру скоростей
4\>Л
w -— ■
■Г'
In (bja)
In
т)].
а также формулы расхода и средней скорости:
Q-
w.
ср
In (bja
£11
•а) У
2L1
) J'
In (ft/,
Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь
цилиндрическую трубу произвольного сечения не представляет
принципиальных затруднений. Дело сводится к решению уравнения Пуассона (23) с
постоянным свободным членом. Зная частное решение уравнения (23) w = и»,; и
заменяя w па сумму w~\-wn, сведем уравнение (23) к плоскому уравнению Лапласа.
для решения которого можно применять метод комплексного переменного
или другие приемы.
Приведем без доказательства заимствованные из теории кручения
призматических стержней прямоугольного сечения формулы скоростей и расхода
в ламинарном движении несжимаемой вязкой жидкости сквозь
призматическую трубу прямоугольного сечения (— а^х^=а, —ftigjyrgft, a>ft):
(I/
1 16ft2
2ft
ch
2ft
ch-
3n.v
1 Зпу ~2ft~ ,
_ros__ _^ +
26
ch-
2ft
Q =
Ap • abs
Ш
1024ft /.. т.о.
3 --^r(th2F
Жth-2F +
Среднюю по сечению скорость можно определить формулой
Ар ■ Ь"- г(_а_
где функция
,,' а\ 16 1024 b /. на , 1 . Зле ,
имеет следующие значения:
ajb
/(я/6)
1
2
2,253 3,664
3
4,203
5
4,665
10
5,000
12
5,059
100
5,299
со
5,333
Простые формулы получаются для призматической трубы с сечением
в виде равностороннего треугольника и др.
496 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа
Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу
и ее обобщения
Чтобы показать значительную математическую сложность решения
задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к
рассмотрению
простейшего примера —
обтекания шара.
Поместим центр
шара радиуса а в начало
ч координат (рис. 158)
ф и рассмотрим обтека-
.^ ние шара однородным
*£ потоком со скоростью
О ^оэ, параллельной оси
пу Ох и направленной в
положительную
сторону оси.
Пренебрежем
влиянием объемных сил и
будем считать движение
стационарным. Основное дифференциальное уравнение (lfi'~) §77
можно при этих условиях переписать в виде:
р (V • V) V = — grad /; — \>- rot i>.
где 12, как и ранее, обозначает вектор вихря:
Q = rot V.
Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для
случая обтекания шара представляет непреодолимые затруднения из-за
наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части.
Значительно суживая область применения решения, поступим так.
Откинем нелинейные члены в левой части уравнения, решим
совокупность линеаризированного таким образом уравнения с линейным
уравнением несжимаемости:
0 = grad р -4- (A rot Q, divV=0, (34)
я затем, чтобы выяснить область применимости решения, оценим
порядок откинутых нелинейных членов. Такой не строгий прием
позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической
задачи Стокса об обтекании шара
Исключим из первого уравнения рассматриваемой системы (34)
давление р, для чего возьмем от обеих частей уравнения операцию rot;
будем иметь:
rotrotQ = 0. (35)
Рис. 158
§ 80] ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 497
Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии
представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох,
с центрами на этой оси. Вводя сферическую систему координат (г, s, 6),
заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей Qe,
которую для краткости обозначим просто Q, включая в это
обозначение знак dr; составляющие Qr и 29, очевидно, равны нулю, так
как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии.
В силу той же симметрии имеем:
4g- = o, a = Q(r, 8).
Вспоминая помещенные в конце § 60 выражения компонент вихря
вектора в сферической системе координат, будем иметь:
и, повторяя ту же операцию:
rotr(rotQ) = 0, rote (rot У) = 0,
rot, (rot Q) = 11 (r rote Q) -11 (rotrQ) =
1 d Г 1 d(rQ)-\ 1 д Г 1 d ,n . ft4l
i дЦгй) i а г i a ,_ . „l
в -7-175— T^al L^irTe al (s sin9)_ •
Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать
на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению:
решение которого 2 (г, Ь) можно пока подчинить лишь одному
граничному условию:
2->0 при г-*оо. (36')
Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух
функций R (г) и 0(6), каждая из которых зависит лишь от одной
неременной, и подставляя значение
2-=/?(/•) в («)
в уравнение (36), получим:
В силу назависимости координат г и Ь, левая и правая части
этого равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует
32 Змь 1841. Л- Г. ЛяЛщаааЛ.
498 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIIl
(« — произвольная постоянная):
1 d
{*Г»й1*<9>*пв1}!
0(6)d6
Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы
второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу
задачи периодическое решение. Заметим, что при а = 2 уравнение
имеет очевидное решение:
0 (0) == sin 6,
а первое уравнение системы превращается в
легко видеть, что единственное решение этого уравнения,
удовлетворяющее условию обращения в нуль при /- -» оо, будет —^~ ■
Обозначая константу через А, получим искомое решение для вихря Q
в виде:
9=^. (37)
Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих
скорости Vr и V$ (составляющая Vt = О, в силу симметрии обтекания),
имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое,
пользуясь выражением вихря скорости Q через составляющие скорости
в сферических координатах Vr и Vb можно переписать в форме:
1 d(rVj) }_dVr ^^ Л sine
г дг г дЬ г2
(38)
и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при Ve— 0):
1 d(r*Vr) , 1 д( Ун sin 6)
тг дг ' /-sin 6 дб
0. (39)
Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных
условиях:
приг=а, Vr = 0, Ve=0, \
при г = оо, Vr = К,» cos 6, Ve = — Voo sin в. J
Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать
решения в форме:
Vr = (v„+ 2r*)cos6' ^ = (- ^»+ S 7F)sin6> (41>
§ 80] ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 499
где число п считаем неопределенным. Подставляя выражения (41)
в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
тригонометрических функциях, получим:
и
2ftH-(l— k)lk]r1~k=A,
2 [(2 — k)Xk-{-2k'k}rl-k = 0.
fc=i
В силу произвольности величины г будем иметь при к = 1:
А.! == А, кх + 2к[ = О,
а при & > 1:
Х* + (1—ft)*i = 0, I
(2 —&)Xft+ 2^ = 0. J
Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля,
только при равенстве нулю определителя системы
2 — (1— ft) (2 — ft)=0.
Корни этого уравнения: ft = 0 и ft = 3, причем первый
отбрасывается, так как ft > 1. Отсюда следует равенство
1 . .
лз J 8'
все остальные кк и Хй тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения
скоростей:
Vr = (Hco+7"+"^)cose»
^=(-^-4 + ^)^9,
подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два
уравнения для определения коэффициентов А и Х3:
■+3—v«
А._| к— и
2а ^2аЗ а
Найдем:
3 I/ 1 _ х
"л" я "со, л8 — "о"
32*
Д== — — aVco, А* = — а8Уа
500
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
после чего окончательно получим:
Vr=K,[l-|.(i) + ^(i)']co,*,
V.—V.[l-ft)-WJ]*J <410
Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на
бесконечности: locos'} и —lysine, получим составляющие „скорости
возмущения" шаром безграничной ьязкой жидкости
Уг = —V*
--т(-Я. V.-v-fH+i(-)'
Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной
жидкостью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить § 64) был —,
в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение,
убывающее при удалении от шара лишь как —.
Распределение завихренности определится по (37) в виде
„ 3 ,. sine
2 = — -jaKoo-^-.
(370
Остается найти распределение давления в потоке и трение на
поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого
уравнения (34) имеем
grad р = — [1 rot Q
или в сферических координатах:
др 1 д /Г1 . ьч „ .. cos в
Тг=- * тш m(й sin 6) = 3^~— >
I др 1 д , ~ч 3 ..sine
Т ае = * 7 Tr(rQ) = ~ 2 *aV"> ~pr ■
Эта система уравнений в полных дифференциалах легко
интегрируется и дает искомое выражение р
3 ,, cos в ,
или, составляя по предыдущему коэффициент давления
- р —Рю 3i* cos в б cos О
1
pvL
^V^a (г/в)8 Rqq (r/a)j.
(42)
(420
где под ROT подразумевается характерное для обтекания шара число
Рейнольдса (d — 2a — диаметр шара):
Дао "— = —"— •
§ 80] ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА CTOKCA 501
Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой
жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной
жидкости коэффициент давления зависит только от относительного
положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от
величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости
коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания,
т. е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости
жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42),
не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный
вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен
от нуля.
Касательная составляющая напряжения трения на поверхности
шара ргЦ будет равна
Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 158 показанный
штриховкой) с площадью 2тга sin 9 • a rf'J = 2-а2 sin 9 d9, умножим на эту
площадь напряжение трения рл и давление р; полученные таким
образом элементарные силы спроектируем на ось Ох и просуммируем но
нсей поверхности шара (от 0 = 0 до б -= -). Тогда получим силу
сопротивления Wx в виде
Wx = Г (— ргЦ sin 0 — р cos 0) • 2т:а'2 sin 9 d<) =
О I!
=--= Щха V,0 [ sin 6 «№ = бира V^. (43)
о
Это — известная формула Стокса.
Получив искомое решение, оценим порядок откинутого
нелинейного члена р (V • V) V по сравнению с сохраненными членами справа,
в частности с членом р rot Q, так как yrad p равен ему по величине.
Имеем (~ знак пропорциональности)
Р | (V• V) V I jVjfl ?Vla-
I* | rotQ | a-\x9. ay-V^ K<x"
причем коэффициент пропорциональности представляет некоторую
функцию безразмерных величин г la и 9.
Из приведенного соотношения видно, что роль нелинейного
члена— конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число
Рейнольдса обтекания.
Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно
малых чисел Roo. Количественная сторона этого вопроса будет сейчас
выяснена.
502
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. vm
Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо и
для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число R
служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов
в уравнениях движения. Чем меньше число R, тем больше роль сил
вязкости в рассматриваемом движении.
Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту
сопротивления ст, будем иметь:
W_
&щ.а Va
24
— о V2 ■ каг — о I/3 яд2
2 i у со '" 2 оо
(43')
Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43')
разложение в ряд по степеням малого параметра R*,
24
!+7F*
19
1280
R00 +
(43")
Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена
дают формулу Озеена
24 л . 3 „ \ (4gW)
'""rZV+TB"1*00)-
Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических
формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон
значений числа Roo, для которого допустимо пользование формулами
(43") и (43'"), приводим табл. 13.
Таблица 13
Roc
0,0531
0,2437
0,7277
1,493
сх
Стоке
451,2
98,5
32,98
16,07
Озеен
456,5
103,1
38,23
22,32
опыт
475,6
109,6
38,82
19,40
Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять
только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (Re» <d 1)
(пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.).
В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное
движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так
и в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при
малых значениях числа Рейнольдса.*
1 См., например, W. M u И е г, Elnfflhrung in der Theorie der zahen FltiS*
Sigkeiten. Leipzig, 1932.
§ 811 вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости 503
Значительный практический интерес представляет рассмотрение
вращательных движений цилиндра в цилиндре и сферы в сфере, когда
малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения
лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников,
основоположником которой по праву считается знаменитый русский
ученый и инженер Н. П. Петров. Рассмотрение этой теории, однако,
представляет самостоятельный интерес и не может найти место в
настоящем курсе.1
В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для
дальнейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней
поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление,
следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо
непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений
в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости
кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь,
благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при
движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс
Даламбера.
Аналогичное явление имеет место и при равномерном и
прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если
бы жидкость была идеальна, то для поддержания равномерного и
прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При
наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию
и виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться
(диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет
количества диссипированной энергии при заданном движении вязкой
жидкости будет приведен в одном из следующих параграфов.
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости.
Сохраняемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости
Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости,
сравним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и
вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в
движущейся жидкости существует вихревая линия (/, /) (рис. 159), т. е.
векторная линия вектора Q = rot V, и рассмотрим жидкую линию (//, II),
образованную в момент t-\-dt теми же жидкими частицами, что и
линия (/, Г) в момент t
Если жидкая линия (//, II), представляющая новое положение
вихревой линии (/, I) к моменту времени t-\-dt, является также
вихревой линией, т. е. векторной линией вектора-вихря Q', отличающегося
от вектора Q на соответствующее индивидуальное изменение вектора-
1 Некоторое представление об этой теории можно получить,
ознакомившись с § 27 части второй курса К и бе л я, Кочина и Розе, изд. 1948 г,
504
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ
[гл. vni
вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая
линия сохраняется, в противном случае—что она разрушается.
Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых
линий.
Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в движущейся
под действием консервативных объемных сил идеальной несжимаемой
CD ^jj\ жидкости вихревые линии сохраняются.
о 1 q.v Рассмотрим два смежных положения
одной и той же жидкой линии (рис. 159):
(/, I)— в момент времени t и (//, II)—
в момент t -f- dt; пусть (/, /) представляет
вихревую линию, соответствующую
вектору Q = rot V. Сравним между собою
бесконечно малый „жидкий", т. е.
состоящий из определенных частиц жидкости,
вектор ММ1 и его перемещенное и де-
(/) (до формированное положение М'М[ (при бес-
Рис. 159. конечно малых перемещениях жидкости
с точностью до малых высших порядков
прямолинейные отрезки остаются прямолинейными). Имеем из
векторного многоугольника ММ1м'1М':
М Mt — ММ1 + MtMt —- ММ,
или, замечая, что по условию (X— произвольный бесконечно малый
скаляр):
ММ1 = XQ,
ММ' = V dt,
MiM'1=[Y+(XQ^V]dt,
получим
M'M'i = XQ ~f V dt-}- X (Q • V) Vdt~ Vdt = X[Й + (Q . V) V dt].
Вспомним теперь указанное еще в гл. III уравнение (15)
Гельмгольца— Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости
принимает упрощенную форму:
TT = <n-V)V. (44)
Тогда предыдущее равенство принимает вид:
/и'м; = х(а+-^)=,ха',
§81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 505
что и доказывает теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой
линии (//, II) оказывается направленным по вектору Q',
представляющему приращенный за время dt вектор Q.
Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости
была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.*
Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (/, Г) в несжимаемой,
но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой
несжимаемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Для
этого, взяв основное динамическое уравнение (16') § 77 и
предположив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части
известное уже нам по гл. III преобразование:
(V • V)V = grad (-£-) +Q XV.
Тогда будем иметь уравнение:
-g- -f grad (-£) + Q X V = — grad П — I gradр — v rot Q,
которое после проведения над обеими его частями операции rot дает:
rot ^-f-rot (QXV) = — vrotrotQ.
1£сли использовать формулу (жидкость несжимаема)
rot(QXV) = (V-V)S — (Q-7)V
и заметить, что в силу независимости операций частного
дифференцирования по времени и в пространстве
,„*av д ... dQ
rotaF=a7rotv=a7'
получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай
несжимаемой вязкой жидкости:
^ + (V-V)S —(Q. V)V = — vrotrotQ,
или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной
производной,
g=,(Q.V)V — vrotrotQ. (45)
1 А. А. Фридман, Опыты гидромеханики сжимаемой жидкости. 1934.
506 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа
rot rot Q = grad div Й — V22,
перепишем (45) еще в таком виде:
^=(Q-V)V + vV2Q. (45')
Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой
жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения
вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой
жидкости присутствует дополнительный член
— vrotrotQ = vV2S,
пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости. Как
сейчас будет показано на простом примере, этот член характеризует
рассеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.
Если бы мы попытались повторить только что приведенное
доказательство георемы Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий
в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы,
что в результате появления дополнительного члена диффузии vV22
жидкий отрезок М'М\, представляющий новое положение
рассматриваемой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному
изменению вихря, характеризующему сохранение вихря, как некоторого
индивидуального образования. Завихренность в вязкой жидкости
передается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается
во всем объеме жидкости. В вязкой жидкости вихревые линии раз-
решаются.
Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную
вихревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки,
увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости,
так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное
движение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться,
превращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а
вращательное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет
неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас
будет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как
разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых,
затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий.
Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнения (45'),
рассмотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой
линии в безграничной вязкой жидкости.
Дадим следующую постановку этой задачи. Пусть в некоторый
начальный момент времени i = 0 в несжимаемой вязкой жидкости
имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией Г>
§ 81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 507
Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории
плоского безвихревого движения решение, представленное круговым
движением частиц с распределением скоростей
имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости.
В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду
вокруг вихревой линии Й = 0; уравнения вязкой жидкости при этом
ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное
условие V—у 0 при г* —> со одинаково выполняется в обоих случаях.
Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации
энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не
диффундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться
бесконечно долго, поддерживая указанное только что установившееся
круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же
жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение
энергии извне от источника завихренности, например, от
вращающегося в жидкости тонкого цилиндра.
Сущность рассматриваемой нами задачи как раз и заключается
в рассмотрении того нестационарного процесса, который произойдет,
если в некоторый момент времени ^ = 0 удалить источник
завихренности.
Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде:
^+(V-V)S = (Q.V)V-fvV2Q
и, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым,
опустим оба нелинейных члена (V • V) Q и (Q • V) V, так как первый из
них равен нулю как производная от завихренности по направлению
скорости движения, т. е. вдоль окружности, на которой, в силу
предположенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю
как производная от скорости в плоском движении по направлению
вектора Q, перпендикулярного плоскости движения. Обозначим
проекцию вектора Q на перпендикуляр к плоскости движения через Q и
перепишем основное уравнение задачи в виде:
или в полярных координатах (-^ = 0
508 динамика вязкой жидкости и газа [гл. vm
Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть
разрешено при начальном условии
при ^=0 и г*>0, 0 = 0
и граничном условии (t любое)
при г* ->• оо, Q = 0.
Уравнение (46), которое может быть еще переписано в форме
широко известного уравнения теории распространения тепла
dt \дг*2 ' г* дг*) к '
принадлежит к параболическому типу. Нашей задаче удовлетворяет
простейшее его решение (А = const):
А -^
Q = ye «*, (47)
в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в
уравнение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы
найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что
в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса г*
Г Q ■ 2кг* dr*
о
равна циркуляции скорости по окружности радиуса г*
V • 2w*.
Будем иметь:
K=2i^J4e *"-2w*dr* = 2£(l-e ^), (48)
о
или, сравнивая с начальным распределением скоростей
при г=0 V = ~,
найдем
4тсм
Таким образом, будем иметь окончательные формулы:
распределения вихря
§ 81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 509
и распределения скоростей
2пг*
(\—е «X
(48')
Проанализируем полученные результаты. В начальный момент
времени t = 0 движение повсюду (г* > 0) было безвихревым. После
удаления источника завихренности, т. е. в любой момент £>0, во всем
пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение
которой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния г*
функцией (47'). Завихренность в центре (г* = 0) монотонно убывает
с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии
от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при t= oo.
Рассмотрим какую-
нибудь окружность
радиуса г* =а; изменение $
со временем
завихренности в точках этой
окружности представится
функцией (47') в виде:
Г —
tit
Исследуя эту
функцию на максимум или
минимум, легко заключим,
что в момент времени
а?
*т = X" завихренность
достигнет своего
максимального значения:
№«v>
4кче(„
кесР
при дальнейшем
возрастании времени завихрен- Рис. 160.
ность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в
точках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить
по кривым, приведенным на рис. 160.
Кривые распределения скоростей в различные последовательные
моменты времени приведены на рис. 161.
Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить
общее представление о явлении диффузии единичного вихря в
безграничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической
стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости
вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндри-
510 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VJII
ческого вихревого слоя. 1 Отметим интересное физическое явление:
диффузия вихревой трубки тем значительнее, чем меньше ее
диаметр. Благодаря вязкости, быстрее всего затухают мелкие вихри.
Обратим вновь внимание на тот
существенный факт, что при
любом г* и t-*oo 2 —► О и V-+0.
Иными словами, заданное в
начальный момент движение с течением
времени затухает, а вся его
кинетическая энергия рассеивается,
превращаясь в тепло.
§ 82. Одномерное прямолинейное
движение сжимаемого вязкого
газа. Движение внутри скачка
уплотнения. Понятие о толщине
скачка
В предыдущих простейших
примерах движения по цилиндрической трубе,
равномерного и прямолинейного
движения шара, диффузии вихревой нити
были рассмотрены движения
несжимаемой вязкой жидкости. Интегрирование
уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие
математические трудности. Простейшим примером такого рода движения
служит одномерное прямолинейное движение; этот, на первый взгляд совершенно
тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как
поясняет внутренний механизм явления „скачка уплотнения" или „ударной волны".
Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа,
параллельное оси Ох и направленное в положительную сторону оси; из трех
компонент скорости (и, v, w) при этом остается лишь одна и; будем
предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной
координаты х. Выведенные в § 77 дифференциальные уравнения движения,
вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением
зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае
значительно упростятся и примут вид:
Рис. 161.
du
d , >,
dp 4 d
dx 3 dx
da
0,
dx [P
Ш1 +
_
2
k— 1
-^ Т + -3 1Г =0'
-£- = (-f.
И VI/
(49)
i См. по этому поводу: И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и и и Н. В. Ро з е,
Теоретическая гидромеханика, ч. II, стр. 350—357; W. Miiller, Einfuh-
rung in die Theorie der zahen Fliissigkeiten. Leipzig, 1932, стр. 113—120.
§ 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА 511
Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, р,
[j, [*, L Исследуем интегралы этих уравнений, конечные при х = =t с».
Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные
интегралы:
ц = И1, р=Ри p = pi, \>- = pu l = iu
где индексом „1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные,
равные соответствующим значениям всех величин при х =— со. Этим
тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве
(— со < х <С -4- °о).
Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех
элементов при х = + со, не единственное; существует и другое — не тривиальное
решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе
уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл
ри = Pi«!,
3
а третье, если в нем положить для простоты а = —, интеграл
< + — = '!+— •
Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона,
перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме:
du k— 1 d , .. . 4 d ( du
PlUldJ = —ах-{р') + Т1й[}"7й
что сразу даст интеграл
k — 1 . . 4 du , 2 , k — 1
Huxu = r- ?t+jV. — + ?Л + -Т- P,/«i
или
4 du k— I .
"з* ^ZF = hMl ^м ~~Ul) "^—F~(рг ~~р1'^'
При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных
„ du
условии, использовано еще условие равенства нулю производной —— при
х = —со, вытекающее нз конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении [«. через i, согласно последнему
равенству (49), a i и р — через а, согласно предыдущим интегралам, получим
основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как
функции от х:
3riV h J dx
■о Н
; р1И1 (И _ %) + ___ [-1-L ^ + _ _ т J - р А J .
(50)
Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го
порядка, упростим его, перейдя к безразмерным координатам:
-_ _pi«i£ _=_fL
512
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. vnl
Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на pxUy
4 + 1_1ц2ч»
4^=й— 1-
их
к—\ г 1 / »,
№+*~;*)-$1
или, замечая, что по формулам гл. IV:
Ч JcpTi
получим
(ft—i)aj (ft-i)Aq
4/ ft—1 2 ft — I 2-2\»da
1 / d*
Шр
(50')
Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких
значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим
квадратное уравнение
Корни этого уравнения будут:
_ 1 + ш13--|Л(1+шЬ2-4.1±1м12(ц-^1му
(*+l)Mj
1 + т\ ± (1 — щ)
(I+TJM?
Введем пока лишь для краткости обозначение
и-^-м;
1+±м*
1 + J-g-i.M»
:"2>
смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (50')
можно переписать в следующем, более компактном виде:
§ 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГЛЗЛ 513
Предположим, что %<1 или, согласно принятому обозначению,
И-Ц^-MJ
-7>—т1
<1, М!>1;
иными словами, предположим, что вначале, при х = — оо, поток был
сверхзвуковым. _Тогда, как это_ видно непосредственно из уравнения (50"), при
изменении и в_ интервале и2<и<М аргумент х будет изменяться в
интервале — со<<д:<со. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49)
имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию
безразмерной скорости и от значения и\ = 1 на бесконечности вверх по
течению с числом Мг большим единицы (движение сверхзвуковое) до
некоторого значения и2 на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что
при к — и2 поток будет дозвуковым (М2<С !)■ Для этого используем
полученный в числе первых интегралов интеграл энергии
к.
= h + ■
из которого по предыдущему сразу следует:
1 -
и\ \ и\ 2) й\
А =Г i +ГЦ 1 =
(k— 1)М* [(*— 1)Щ 2 J «2 2
*—1
Mf
k + 1
Mi
(А —1)М» I 1 +
■ м?
AM?
А —1
(*-1) 1
-м:
Щ-.
А— 1
М
ш
А—1
В последней формуле нетрудно узнать выведенное еще в § 32 гл. IV
соотношение между числами Мц и М2 до и после прямого скачка уплотнения
[формула (77) § 32]. Отсюда сразу следует, что М2<1.
Итак, рассматриваемое не тривиальное решение системы (49)
представляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому
я прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно
убедиться в том, что не только числа М, но и температуры, плотности и
давления на бесконечности вверх н вниз по течению связаны между собою
теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения,
изложенной в гл. IV для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что
в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную
к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем
само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование,
33 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянскнй.
514 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
не допускающее описания при помощи непрерывных решений уравнений
движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока
в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения,
а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области
движения (—со < х <С + со). Покажем, что, практически, эта область перехода
сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность,
зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Mi. Вернемся
к уравнению (50") и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала
отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и
равна критической скорости а*, соответствующей параметрам потока вверх
по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение
3
'IfcMt
k+l
будем иметь:
~уи3.
Интегрируя от этих значений и — у иг и Ч, = 0, пол)
учим:
У
,и2-
/j ] _ \я _ _
, , . И2 ] 11 (111
k + l I
{и— 1)(и —м3)
(51)
Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины п.
Общий характер кривой скорости и (?)
показан на рис. 162. Левая и правая ветви
кривой настолько быстро асимптотически
стремятся к значениям щ = 1 и ы2> что на
самом деле фактическая ширина области,
где происходит переход, очень мала.
Примем за меру толщины левого переходного
участка среднюю интегральную величину
А, 1= f
1 — 1/и, J
(l — u)di,
равную отношению заштрихованной на
Рис. 162. Рис- ^62 левой части площади к
максимальной разности ординат 1 — У и2 на
этом участке. Аналогично определим толщину правого переходного участка
как
Дв = -
1
У ;/„ — и2
— (И — «;) di.
§ 82]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА
515
Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в
дозвуковое будет равна:
Д = Д,
, = l-j== t(l—a)d^ + -~—= | (и—и,)<«. (52)
1 V U„ J Vllj Ко •
Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя
степени п в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры
или теплосодержания.
На рис. 163
приведены составленные А. Е.
Головиной кривые
изменения толщины скачка Д,
выраженной в частях
длины свободного пробега
молекулы
/г
1,255 К*- —
Рис. 163.
(jj-1, pi, ax — скорость
звука, вязкость, плотность
на бесконечности вверх
по течению), в функции
от числа М, при
различных п. На основании
приведенных графиков
можно заключить, что
.толщина" скачка уплотнения
имеет порядок длины
свободного пробега, исключая значения М,, близкие к единице, или очень
большие Mt (при п — 1). Экспериментальная проверка этого факта очень
затруднительна, так как границы скачка в силу его колебательных перемещений
бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень
малых временах экспозиции.
С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина
указанного еще в гл. IV возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост
энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового
потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за
счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссипируемой в тепло
энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в
следующем параграфе.
Тот факт, что „толщина" скачка уплотнения имеет порядок длины
свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще
пользоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого
сжимаемого газа.
Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (и = со)
п Прандтлем (и=0), а затем Релеем и Беккером (а = -т > и = 0,
коэффициент вязкости не зависит от температуры).1
t См. Handbuch der Physik, Bd. VII, 1927, S. 328—330.
33*
516 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии
в движущейся вязкой среде
Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся
жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирую-
щейся) в тепло. Чтобы найти количественное выражение этой
мощности, применим прием, аналогичный принятому в § 24 гл. III для
идеального газа.
Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором
объеме жидкости т, ограниченном поверхностью о:
~\^d- = JpF • Vrfx + JPn • Vda-j- jpNindz;
~ i a т
здесь Nin представляет величину отнесенной к единице массы мощности
всех внутренних поверхностных сил, включая сюда как давления, так
и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами
тяготения, пренебрегаем).
Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему
образом, найдем:
J р it ("т)dz = J pf •Wdz ■-! - J nP •v d'J + .1 pw<»dx =
= JpF • Vdi + | n • PV dz + Г pN<n rfx =
та т
= fpF-Vdx+ j div (PV) dx + \ pNindt.
Используя произвольность выбора объема т, получим то же выра-
жение в дифференциальной форме:
Р Tt (if) = pF • V + div (PV) + PN«»- (53>
С другой стороны, умножая скалярно обе части основного
динамического уравнения „в напряжениях"
dt
иа V, будем иметь:
p^^pF + DivP
pV-^-pJt^^rF-V + V-^P. (530
§ 83] РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ И ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ 517
Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53) >
получим искомое выражение Nin в виде:
rjNin = V ■ Div P ~ div (PV). (54)
Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее
векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты
х, у, г заменены на хъ х2, хъ):
3 3
д
V • Div Р - div (PV) = ^Vt (Div P), - 2 gr.(PV)' =
»• = ! j = l 3
i = l j = l ./=1 i = l
_ V (vd-?*-v^-p d-^\ V p ^
Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл. I
обозначение дифференциального тензора Djf = -*-*■, представляет инвариантную
комбинацию компонент тензоров Р и D:
2 P,,D,, = P-D, (55)
называемую скалярным произведением двух тензоров.
В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает
квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех
компонент тензора:
з
р2 = р.Р = 2 РЦ-
Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле
квадрата модуля вектора.
Разложим дифференциальный тензор D на симметричную и
антисимметричную части, положив (звездочка, так же как и в гл. I,
обозначает сопряженный тензор):
D=S + A, S=±(D+D*), A=^(D — D%
или в проекциях:
dVj \tbVi dVi] , }_(dVj дУл__ , •
518 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIJI
Тогда будем иметь (Ру = Р#):
2 Р»1БГ= 2 *V«+S РцАц-P-S + P-A.
Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности
Atj = — Ajf,
последняя сумма равна нулю:
з
Р-А= 2 ^А=0-
i. j=i
Таким образом, вместо (54) получим
PMin = - Р ■ S = - Ц Р^, (56)
т. е. отнесенная к единице объема мощность внутренних
поверхностных сил равна взятому с обратным знаком скалярному
произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций.
Этот, представленный формулой (56) результат имеет общее
значение для любого течения сплошной среды, независимо от того,
подчиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона или нет.
Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа,
для которых справедливо линейное соотношение (11) § 76 настоящей
главы, будем иметь по (56) и (11):
PNilt = - 2F52 + (p +1 v div V) g • i'.
Вычислим скалярное произведение тензорной единицы § на тензор
скоростей деформаций S; тогда получим (g^ = 0 при 1ф), &ц=1)'
s з г
и, окончательно, найдем искомое выражение мощности:
PNin = - 2а52 + р div V -f -| ji (div V)2. (57)
Во втором слагаемом pdivV узнаем мощность, затраченную силами
давления на расширение газа (вспомнить § 24). Остальные два
слагаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, дисси-
пированную за счет работы сил вязкости (внутреннего трения):
рЛГяио = - 2^52 -}- -| и. (div V)B. (58)
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 519
В частном случае движения несжимаемой жидкости будем иметь:
Как видно из последней формулы, представляющей диссипирован-
ную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой
жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении
жидкости, т. е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости
деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие
завихренности не предохраняет вязкую жидкость от потерь энергии
на трение.
Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса,
выведенному еще во второй главе [формула (45) § 16]. Согласно (53),
уравнение теплового баланса принимает вид:
?Sf(Jcv'0 = JP4—p^{n
или, подставляя явные выражения для q [формула (48) гл. II] и Nin
по (57),
р ^j{JcJ) = Jdiv (A grad Т) — р div V + 2jiS2 — -| р (div V)2. (59)
Из уравнения (59) следует, что индивидуальное изменение
отнесенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно,
температуры) движущейся частицы вязкого сжимаемого газа происходит за
счет: 1) теплопроводности, 2) нагревания газа вследствие его сжатия
и 3) превращения в тепло работы сил вязкого трения.
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях
числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного
пограничного слоя
В основных задачах, выдвигаемых перед гидроаэродинамикой,
авиацией, кораблестроением, турбомашиностроением и другими
областями техники, приходится иметь дело с обтеканием тел при боль-
тих значениях числа Рейнольдса.
Представим себе некоторое тело (рис. 164), плавно обтекаемое
вязкой жидкостью или газом. Будем увеличивать число Рейнольдса,
изменяя для этого соответствующим образом или плотность и вязкость
520 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ [ГЛ. VIII
среды, или переходя к геометрически подобному и подобно
расположенному телу большего размера, или, наконец, увеличивая скорость
набегающего потока. Ограничим способы увеличения рейнольдсового
числа лишь одним условием, чтобы число М, характеризующее влияние
сжимаемости среды, при этом либо сохраняло неизменное значение,
либо менялось в области тех малых своих значений, когда влияние
сжимаемости не существенно. Наблюдаемое вблизи поверхности
неподвижного обтекаемого тела возрастание скорости от нуля
непосредственно на самой поверхности тела до величины порядка скорости
набегающего потока в некотором удалении от тела будет при
больших значениях числа Рейнольдса сосредоточено в весьма тонкой
по сравнению с размерами обтекаемого тела области, причем при росте
поток
Рис. 164.
числа Рейнольдса толщина области все более и более уменьшается.
Эта образующаяся только при больших значениях числа Рейнольдса,
расположенная вблизи поверхности тела область движения вязкой
жидкости называется пограничным слоем.
С кинематической стороны область пограничного слоя замечательна
тем, что в ней практически сосредоточено все вихревое движение
набегающей жидкости, а вне ее движение можно считать
потенциальным, безвихревым. Действительно, в пограничном слое, как только
что было отмечено, касательные к поверхности тела скорости меняются
очень резко, а следовательно, их производные по нормали к
поверхности обтекаемого тела очень велики, что приводит к большой
интенсивности завихренности жидкости, проходящей сквозь область
пограничного слоя. Наоборот, на внешней границе пограничного слоя и
вне его эти производные становятся сравнительно малыми, и
завихренностью внешнего по отношению к пограничному слою потока можно
пренебрегать. Как уже упоминалось в начале гл. V, именно этим
объясняется, почему при реальных обтеканиях столь хорошо
оправдываются результаты расчетов обтеканий, произведенных по теории
безвихревого движения идеальной жидкости. При движении тела сквозь
неподвижную жидкость или, что все равно, при набегании на него
однородного на бесконечности потока, скорости деформаций, входящие
в члены уравнений (14) настоящей главы и содержащие коэффициент
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 521
вязкости, вдалеке от тела окажутся очень малы, и уравнения (14)
будут мало отличаться от уравнений Эйлера для „идеальной"
жидкости. При этом „идеальном" движении реальной жидкости вихри,
как мы уже знаем, образовываться не могут. Только пройдя сквозь
область пограничного слоя на поверхности обтекаемого тела, поток
становится вихревым и затем, уже оставив тело и попав в закормо-
вую „кильватерную" область за телом или, как еще иногда говорят,
в область „аэродинамического следа", постепенно теряет полученную
завихренность, исчезающую вследствие диффузии, причем энергия
вихрей превращается в тепло, рассеивающееся благодаря
теплопроводности.
Следующий простой опыт наглядно показывает возникновение
пограничного слоя. Насыпем на поверхность воды в резервуаре какой-
нибудь несмачиваемый порошок. Погружая вертикально в воду
пластинку и медленно ее перемещая в продольном направлении, заметим,
что не только близлежащие к пластинке частички порошка, но и
далеко расположенные от нее частички будут увлекаться пластинкой
в движение. При значительном увеличении скорости пластинки, казалось
бы на первый взгляд, скорости частичек жидкости (а с ними и частиц
порошка) должны были бы увеличиться как вблизи пластинки, так и
вдалеке от нее. Между тем, отчетливо видно, что за пластинкой
следуют лишь частички, расположенные в непосредственной близости
к ней, находящиеся в пограничном слое и в „спутном потоке", как
называют аэродинамический „след" за движущимся сквозь неподвижную
жидкость телом, перемещения же удаленных частиц становятся
пренебрежимо малыми.
Как показывают непосредственные измерения, пограничный слой
при тех больших значениях чисел Рейнольдса, с которыми приходится
иметь дело на практике, очень тонок. Возрастая по толщине от носка
крыла к его хвосту, пограничный слой (см. рис. 164, где граница
пограничного слоя показана пунктиром, причем размеры пограничного
слоя для наглядности сильно преувеличены и совсем не соответствуют
масштабу тела даже в точке максимальной толщины вблизи хвоста
крыла) достигает обычно лишь порядка сотых частей хорды. Так, на
крыле самолета с хордой 1,5—2 м пограничный слой на режиме
максимальной скорости имеет порядок нескольких сантиметров. На
корабле, длина которого имеет порядок 100 л, „спутный поток"
может достигать толщины 1 м.
Если попытаться вычертить в одном и том же линейном масштабе
крыло и пограничный слой на нем, то на участке поверхности крыла
от носика до точки минимума давления граница пограничного слоя
практически сольется с поверхностью крыла и только вблизи хвостика
заметно отойдет от нее.
Чтобы сделать картину движения в пограничном слое сравнимой
"о масштабу с внешним потоком, можно применить анаморфозу,
сохраняя для продольных длин тот же масштаб, что и для тела, например,
522 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VII]
взяв для этого за масштаб хорду крыла, для поперечных же
размеров, перпендикулярных к поверхности крыла, принять за масштаб
специальную убывающую с числом Рейнольдса длину, закон убывания
которой должен быть найден из рассмотрения уравнений движения
вязкой жидкости.
То же относится и к скоростям. Продольные, параллельные
поверхности тела скорости имеют тот же порядок, что и скорости внешнего
потенциального потока, достигаемые вблизи внешней границы
пограничного слоя. Поэтому за масштаб продольных скоростей можно
принять хотя бы скорость набегающего потока. Совершенно иначе
обстоит дело с поперечными, нормальными к поверхности тела
скоростями. В тонком пограничном слое, в силу непроницаемости поверхности
тела, поперечные скорости так же малы по сравнению с продольными
скоростями, как поперечные размеры слоя по сравнению с продольными.
Желая, скажем, на одном графике показать кривые продольных и
поперечных скоростей, придется для последних принять особый масштаб,
убывающий вместе с толщиной пограничного слоя при возрастании
рейнольдсова числа. Оговоримся, что в приведенном рассуждении
терминам „толщина" и „внешняя граница" пограничного слоя не
придается определенного геометрического количественного смысла. Эти
понятия имеют лишь качественный смысл, как характеристики порядка
поперечного размера области, где скорости от нулевого значения на
стенке изменяются до величин порядка скоростей внешнего потока.
Так, например, под „толщиной" пограничного слоя можно
подразумевать такое расстояние от стенки, на котором скорость будет
отличаться от скорости внешнего потока на 1°/0.
Во избежание дальнейших недоразумений следует подчеркнуть,
что граница пограничного слоя не совпадает с линией тока
жидкости. Как видно из рис. 164, линии тока входят в область
пограничного слоя, пересекаясь с его границей. Вопрос о характере смыкания
течения в пограничном слое и во внешнем потенциальном потоке
будет далее количественно уточнен.
Установим систему уравнений плоского стационарного движения
вязкого сжимаемого газа в пограничном слое на цилиндрическом теле,
имеющем плавную крыловую форму. Такой пограничный слой,
движение жидких частиц в котором имеет упорядоченный характер, в отличие
от турбулентного (см. следующую главу) называется ламинарным.
Условимся обозначать через х, у и и, v (рис. 164) соответственно
продольные и поперечные координаты и составляющие скорости
в области пограничного слоя. Координаты х и у на самом деле
криволинейны, но при малом значении отношения толщины пограничного
слоя к радиусу кривизны поверхности обтекаемого тела, имеющем
место на профилях типа крыловых, можно в уравнениях движения
пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнений
в криволинейных координатах, и пользоваться координатами х, у как
обычными прямолинейными декартовыми координатами.
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 523
При принятом условии стационарности уравнения плоского
движения при отсутствии объемных сил приводят к замкнутой системе
уравнений [вспомнить систему (14) § 77]:
ди , ди
dv , dv
РИЖ? + Р^ = -
dp , 4 д ( ди\ 2 д ( dv\ ,
. д ( ди\ . д ( dv\
ду^ dx \Р ду)* дх\? дх)'
, 4 д ( dv\ -2d/ ди\
^~3'ду~{Р'ду~)~~-3~ду-[Р-дх')
дри L dpv
дх
_д_
дх
■■о,
ду
Г (■ I U- . V'
[р«(' + Т + Т
д ( i , 4 и3 . ц2\
■^(7+31 + ''
2/
ди
ду
— J*»-^7+ -T^
+^[рг,('+т+т)~
S/i .а» 4Л dv . 2 ди~]
~^-ду{т+т+1-2)-^и^+1^ш\
±i, *■■■
Но
(60)
Подобно тому, как это было сделано в § 78, перейдем к
безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых
характерных для них масштабах, но только в настоящем случае примем
во внимание ранее приведенные соображения о различии в
пограничном слое масштабов продольных и поперечных координат и
скоростей. Поэтому сохраним для х и и масштабы: / (какой-то
характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и Vca
(скорость набегающего потока), а для у и v примем свои, пока еще
не определенные масштабы Y и V. Сохраняя остальные обозначения,
как в § 78, и не меняя обозначений для безразмерных величин,
будем иметь:
' ОО " СО
-ри
ди
дх
ди
} ' dv
■j V V
i СО СО
yi>dp
дх
+■
—?s— -- f »*-
д
дх \
дх)
524 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
P^V dv PaoV* dv 1 P^VldJ ^V^ д , ди^
V^V д / dv\ 4 ^V д / dv\ 2 н-оо^оо д ( ди\
P дх
V-'dx)~T"3~WdJy'dy^ 3 IV ду\* дх)1
Р^Утд(9и) ?соУд(Ру)_
I dx ' Y ду ~ '
1 д Г ,r /. . , .,2 U2 , ,„!l2\
!Асо д fi^. , 4 „ и2
г~ 4 о W V'\
rV-dx-Xa
t— ^ + т—г-^-^] +
+4" "^г [P00^^ (i-*1 + F~ "T + y2 T~
(*-„ 5 //' , и2 4 v2 \
= 0,
- 1 . Poo 1 A-l
Р--Г +
— о I/2 P ft 1 I/2 '
где, напоминаем, р, и, t>, г, (л, л:, у, р — безразмерные величины,
Р —Ра,
а р = -j представляет известный из предыдущего коэффи-
"О* г со оо
циент давлений.
Разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные
коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четвер-
того — на выражение m ^ , и заметим еще, как и ранее в § 78,
что:
Роо 1 'со 1 Роо^оо'
Рсо^ос *<' ^ (*-!)<' Чсо ' ^
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
тогда будем иметь следующую систему уравнений:
ои
дх
dv
дх
W^" ду
2 IV 1
^ П'со Roo
IV dv
yvm 9V ду
, 1 д /
2 дх < 3 R^ дх \Г дх) '
1 ГУ» Roo ду {^дх)'
1 /^ Эр 1 IVт д / Эич
2 ГУ ду ' Rm KV Эх V^ <V
дг> \ , 4 1 / 1 \Ъ д ' dv\
~дх~) ~>~ 3 Rm { Y ) ду {? ду )
2 1 'VM д / d« \
3 Rrjo УТ ду V д*/'
д(?и)
IV dfrv)
дх
YV
ду
д
дх
H'+<*-»"4f+-&f)-
1 д
Я^ дх
// 1мл2 ( 4 и2
.(А—1)М„(- —
1/2 j,2
1
/I/
Эк
(ft—1)JV&(|«>
У^ \ ду
2 a»\) .
, l д I V Г. , ,, 1N „2 /И2 уг оз \
J ! pw i-4-(ft—^Mool 5—— I
У ду \ V^ [ ^ \ 2 ^ Vl 2 /
f4 + (A_l)ML(f
Y ^ ду
4 V2 W2
)]
_^-(ft_l)Ml
I/ / d©
3 ^ 2
2 ди \j _
P = —(ip — 1)> ;x = /".
525
(60')
Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного
движения вязкого сжимаемого газа к безразмерному виду, допустим, что
анаморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно
возможна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для
размерных продольных и поперечных длин и скоростей в пограничном
слое можно добиться конечности всех входящих в уравнения (60')
526 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗЛ [ГЛ. VIII
безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ни
стало велико рейнольдсово число Rco.
Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению
непрерывности (третьему уравнению предыдущей Системы), видим, что для этого
следует произвольные пока масштабы Y и V подчинить условию:
•wz=const+0bb)>
после чего из первого уравнения системы будет следовать
необходимость равенства:
const
тс(т)2=сш, + °Ш'
так как в противном случае из уравнения продольного движения
в пограничном слое совершенно исчезнет влияние вязкости. Выбирая
в двух предыдущих равенствах константы равными единицам,
положим, чтобы удовлетворить обоим равенствам:
1/Rco
/Rco
(61)
Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных
скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсова числа
поперечные размеры и скорости в пограничном слое изменяются
обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова числа.
Это соотношение прекрасно подтверждается опытом.
Обращаясь ко второму уравнению системы (60'), легко убедимся,
что, в силу (61),
%-=о(4-
ду
Ro
(62)
откуда вытекает второе важное свойство пограничного слоя: при
больших значениях рейнольдсова числа можно пренебрегать
поперечным изменением давления в пограничном слое. Давление во всех
точках поперечного сечения пограничного слоя одно и то же и может
изменяться лишь при переходе от сечения к сечению; следовательно,
в плоском стационарном слое
р=~р(х). (62')
Иначе говоря, давление внешнего потока передается сквозь
пограничный слой без изменения. Этот важный физический факт
разъясняет, почему распределение давлений, рассчитанное по теории
безвихревого движения идеального газа, хорошо совпадает с действительно
наблюдаемым на опыте при плавном обтекании тел. Некоторое
расхождение теоретического и экспериментального распределений давлений,
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 527
имеющее место в кормовой части обтекаемого тела, объясняется
обратным влиянием сравнительно толстого вблизи кормы пограничного слоя
на внешний поток (см. далее § 100).
Выведенное только что свойство распределения давлений в потоке
вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова числа
объясняет также происхождение наблюдаемого иногда явления отрыва
пограничного слоя с поверхности обтекаемого тела.
В кормовой области цилиндрического крыла вниз по течению за
точкой минимума давления происходит возрастание давления и j^->°;
при этом жидкость движется из области меньшего давления в область
большего давления против подтормаживающего влияния перепада давлений.
Если бы поток был идеален и скорость на поверхности крыла не
равнялась нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы
достаточным для преодоления указанного тормозящего влияния поля давлений.
В пограничном слое поле давлений по предыдущему мало отличается
от поля давлений в идеальной жидкости, между тем, вблизи
поверхности крыла скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частиц
жидкости ничтожны. Торможение жидкости вызывает остановку,
а далее и попятное (рис. 165) движение под действием направленного
против движения перепада давления. Встреча набегающего потока
с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит
к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению
пограничного слоя, а затем и к отрыву его от поверхности тела.
До точки отрыва S, как видно из рис. 165, (y-i _ > 0, за точкой
отрыва (^-) < 0; в самой точке отрыва имеем условие отрыва:
5'28 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАНА [ГЛ. VIII
Из приведенных соображений ясно, что отрыв может произойти
только в области замедляющегося внешнего потока, где давление
восстанавливается, т. е. только в кормовой части крыла вниз по
течению за точкой М минимума давления, в которой —£-= 0.
На рис. 165 показан примерный вид профилей скорости (жирные
линии), линий тока (тонкие линии) и „границы" пограничного слоя
(пунктир) вблизи отрыва. На крайнем правом профиле скоростей часть
отрицательных скоростей, соответствующих попятному движению,
заштрихована. Подробнее об явлении отрыва будет сказано далее.
Возвращаясь к выводу основных уравнений пограничного слоя,
произведем в безразмерной системе (60') замену масштабов Y и V
согласно (61), тогда получим:
ди , да 1 до , д I ди \ , ,. / 1 \
дР. — п(—\ д(рц) ,_ d(pv)
*У VR^y' дх f ду
дх
(■ I & 1 лл2 2\1 , д Г /. . k 1 ..2 2
ри (/ -4 j~ Метн jl + ^37 [_ Р^ (£ Н 2~~ Мо° и
(!р — 1), ^ = 1».
+ оШ,
Таким образом, удается выделить в общих уравнениях движения
вязкого сжимаемого газа те члены, которые при больших значениях
рейнольдсова числа имеют главное значение, и оценить порядок
членов, которые при больших Rm можно отбросить.
Отбросим в полученной системе уравнений члены, имеющие
порядок малости —— и выше. После этого частная производная J-
в правой части первого уравнения системы может быть, согласно
второму уравнению системы, заменена полной производной -^- , а
второе уравнение опущено. Далее, левая часть четвертого уравнения
системы в силу третьего уравнения может быть преобразована к более
простому виду:
д (. . k 1,-2 2\ | в I. , k— 1 »,2 2\
Р« £ + Р^ 7П7) ('Ч-^ М^о и2).
дх ' г"ду;
\
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 529
В результате получим следующую безразмерную систему
уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в
сжимаемом газе:
ди , ди 1 dp | д / ди
Р« ^7 + Р^ 7П7 = - "9 ^7 + л7 Н"
дх
дх
ду
Л г I ду _ '
2 dx ' Эу Vг б^
ал-'
Р" л-7 + рт»
г -■) г^— MJU^ =
AM
Г»"!).
(63)
J
Уравнения неизотермического ламинарного пограничного слоя в
несжимаемой жидкости можно получить из этих общих уравнений,
полагая число М^, характеризующее влияние сжимаемости, равным
нулю. Отбрасывая в третьем и четвертом уравнениях системы (63)
члены с Ma,, получим следующие уравнения неизотермического
пограничного слоя в несжимаемой жидкости:
ди ,
Ри37 +
д(ри) .
дх "1
дТ ,
ди
d(pv)
ду
дТ
UV —— =
1 оу
р =
—
о,
1
О
1
т
Т"
1
2
д
ду
>
rf/7
dx
-(V
-f
а/
д
ду
'-)■
0
'dyj'
(64)
Безразмерная плотность р в этой системе, так же как и вязкость р,
предполагаются функциями Т. Пренебрегая, наконец, в случае малых
перепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость,
|. е. полагая р—1, fi = l, получим упрощенную систему уравнений:
ди ,
-* г-о
ил '
ди
01
дх
ди
ду
, ду
дх ~Г" ду
дТ
dp
dx
9 dr T"
д2Ц
Ч-tr
ду
_1_ а2 Г
о ду2 :
(65)
34 3«ь [841. Л. Г. Лойцяиский.
530 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Vltt
в которой последнее уравнение может служить для определения
температуры, если из первых двух уравнений уже предварительно
определено поле скоростей.
Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерном
виде, то они примут вид (дли размерных величин сохранены те же
обозначения, что и для безразмерных):
ди . ди 1 dp , ( d2u )
U~dx~iV д~у ~ ~~Jd~x> ' ду- ' {
* + *_„ (M)
дх * ду J
В этой форме уравнения плоского ламинарного слоя были
получены впервые Л. Прандтлем в 1904 г.
Установленные системы уравнений на первый взгляд представляются
незамкнутыми, так как число неизвестных в них как будто на единицу
превышает число уравнений. Так, например, в простейшем случае
уравнений (65) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными: и,
v, р, Т.
На самом деле — ив этом характерная особенность теории
пограничного слоя — при больших значениях числа Ren распределение
давлений в любых точках поперечного сечения пограничного слоя, в том
числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением
давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит
смыкание пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это
распределение давлений р = р(х) предполагается заданным,
определенным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании или
измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий,
расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.
Обозначим через 0(х) размерную скорость, соответствующую
размерному давлению р (х); тогда, замечая, что по теореме Бернулли
dp . dU ,.
51 + Р^-о,
и переходя к безразмерному коэффициенту давления р и безразмерной
скорости и координате, для которых сохраним то же обозначение,
что и для размерных, получим:
p-=-2c£/i^- (66)
dx ' dx
Подставляя это выражение безразмерной производной давлений
в систему уравнений пограничного слоя, заменим в них давление на
известную функцию U (х).
§ 8Г,|
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ ПА ПЛАСТИНКЕ
531
Последнее более удобно, так как функция U(x) входи г, очевидно,
в гидродинамические граничные условия задачи:
при _у = 0 и = 0, v = 0,
при у -> схэ u—>U(x),
(67)
подробнее о которых будет сказано ниже в связи с рассмотрением
простейших задач теории ламинарного пограничного слоя.
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое
движение
Представим себе пластинку А В длины I (рис. 166), продольно
обтекаемую безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости
плотности р со скоростью Vm. При этом внешний потенциальный поток
>^
в
I
Рис. 160.
можно рассматривать как однородный с безразмерной скоростью U— 1
и давлением р = 0. Система уравнений (65) сводится к слечугощей:
дх
ди
д2и )
ди
дх
+ 1/М- KS I* J
VTy:=:~dy5' !
+ £ = о,
1 д v
(68)
а граничные условия будут:
при ^ = 0 и 0-~,х^1
« = 0, ■0 = 0:
если х < 0 или х > /, то
при у = со и любых х
ди
ду-
= 0, v = 0;
и = 1.
Решение такой задачи представляет непреодолимые трудности в силу
наличия необходимости удовлетворения условий по оси Ох. Задача эта
■34*
532 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Vltf
была упрощена Блязиусом, предложившим рассматривать обтекание
бесконечно длинной пластины — луча Ох — и затем уже применять
полученное решение к отрезку АВ, т. е. удовлетворять приближенным
граничным условиям:
при у<=- 0их>0м = 0, ii = 0, )
•* (680
при у = со и=1. J
При таком подходе к задаче исчезает характерная длина /, между
тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин
1 1 „ Vm V„
Y = '" ■ = ■—- и поперечных скоростей V
УХ xfXd. Vr°° \fVJ
Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции ми v должны
зависеть не просто от безразмерных координат х и у, а от такой их
комбинации, чтобы при возвращении к размерным координатам
выпадала величина /. Такой комбинацией будет:
u=f(y;Yx), v=-±=f{ylV^). (69)
У х
Действительно, переходя при этом к размерным величинам,
получим:
■/
V-^H'/£)-
У 7
так что длина / в решениях выпадет. Конечно, в заключительном этапе,
при подсчетах сопротивления трения для пластинки длины /, эта длина
вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса.
Чтобы свести две неизвестные функции и и v или / и / к одной,
воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную
функцию тока <Ь, положив:
—й- «--Й- <*»
§ 85] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ 533
у
Тогда, вводя новый аргумент *п = —-?-=■, будем иметь:
2 у х
■^ о о
причем предположено, что при у = 0, <]* = ().
Используя для краткости обозначение:
1
2 )/Сч)Л1 = ?(т|),
о
найдем такое выражение для <]<:
Ъ=Ухф(-ц). (70')
Вычисляя (штрих означает производную но т|):
и =-!- = ]/х ? (т!) -i = _ <р' (Т/),
д_у д_у 2
ди 1 „, ч дт) 1 „ . ч
— = -? (Ч)^=Г^7=? (1)'
ду 2 д.у 4 ух
д2И 1 т , ч
— == - ? fa) т-1 = — ~ -/= ? № = - — *i? ft),
их 2 дх 8 Ух° 4х
их 2 Ух v и г У,;дх
= — ^,7^" ? (l) + -Г" У* ?' М = .77^ (1?' — ?)»
2 у х 2х 2 |/ х
и подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68),
получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего
порядка
?"' + ??" = 0, (71)
которое надо решить при очевидных граничных условиях:
при т) = 0, ? = 0, а' = 0
при т] = со <в = 2. J
Уравнение (71) и граничные условия (7Г), благодаря использова-
1ию безразмерных величин, приведены к чисто численному виду, не
534 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
содержащему никаких параметров (плотность, вязкость, скорость,
размер). Решение задачи может быть закончено численным
интегрированием уравнения с той или другой точностью. Приводим табл. 14
значений безразмерной скорости и — —'?'(vj) в функции от yj с
точностью до четырех знаков.
'1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 0,7
1
-
0
о am
0,1328
0,1989
0,2647
0 3298
0,с<>38
0,4563
0,8
0,9
1,0
Ы
1,2
1,3
1,4
I1'5
и=^>ч' (Ti)
0,5168
0,5748
0,6298
0,6813
0,7290
0,7725
0,8115
0,8460
Y,
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
" = -J 'V ('fi)
0,8761
0,9018
0,9233
0,9411
0,9555
0,9670
0,9759
T
'1
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
а б л и ц а 14
U=-Jt' M
0,9827
0,9878
0.9Л5
0,9942
0,9962
0,9975
0,9984
Пользуясь этим табличным решением задачи, найдем прежде всего
напряжение трения на поверхности пластинки, равное в размерных
величинах:
/ди\ 1 ч / vlo „,,.-,
Т-=!ХЫ=0 = Т^ V ^ (0)-
Определяя приближенно по таблице
«"(О)^*0'1»-*'*0» -1,328,
U, 1
будем иметь распределение трения по поверхности пластинки
т1В= 0,332
(72)
Эта формула (ход изменения т№ показан на рис. 166) дает очень
хорошее совпадение с опытными данными, исключая области,
непосредственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72)
имеем:
(т№)ж=0 = оо, (Тю)ж=? = 0,332|/^,
на самом же деле -zw и при х = 0 и при х — I из соображений
непрерывности и симметрии потока должно быть равно нулю.
§ «51
ЛЛМИНЛРНЫЙ СЛОЙ НЛ ПЛЛСТИНКВ
53Е
Суммируя напряжение трения по обеим сторонам пластинки вдоль
всей ее длины, получим полную силу сопротивления трения (Sy(.l2l-1 —
смоченная поверхность, Cf—коэффициент сопротивления трения):
;•• V
\Vf ^ CrS - j - == -2 J V dx -= 1,328 Vv.ul v^
(72')
и выражение коэффициента сопротивления i рения:
Cf-
1,328
V,J
(72")
Экспериментальное определение сопротивления пластинки,
пограничный слой которой полностью ламинарен, представляет большие
трудности, связанные с невозможностью создания достаточно тонкой
пластинки с острыми носиком и хвостиком, необходимостью измерения
малой силы, малых скоростей и др. Наиболее точные
экспериментальные значения
коэффициента сопротивления пластинки
оказываются близкими к
теоретическому (72").
Рассмотрим еще
безразмерное распределение скоростей по
сечениям пограничного слоя.
Согласно формуле,
1
и == Т ?' W
или в размерных координатах
и скоростях
и
1
уУ
V,
\
Рнс. 167.
можно дать одну кривую
распределения скорости во всех сечениях слоя. Такая теоретическая
кривая проведена на рис. 167 сплошной линией. На том же рисунке
приводятся экспериментальные точки,1 которые хорошо совпадают с
теоретической кривой в различных сечениях пограничного слоя (х — 3 см,
10 см и 15 см). Некоторое заметное отклонение при х='3 см
объясняется близостью этого сечения к носику, который представлял
1 По опытам Ханзена. См. М. Hansen, Die Geschwindigkeits verteilung
in der Grenzschicht an einer eingetauchten Platte. Zeitschr. fur Angew. Mathem,
und Mechanik, Bd. 8, H. 3, 1923.
536
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные стенки.
Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении
пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке.
Уже ранее упоминалось, что понятие „толщины" пограничного слоя
весьма условно.
Если под толщиной пограничного слоя понимать такое размерное
расстояние _у = ^ от стенки, где продольная размерная скорость и
лишь, например, на один процент отличается от скорости внешнего
потока Усо, то по табл. 14 найдем приблизительно
8 = 5,0/Ж
" V ОО
а если повышать точность совпадения и и V^, то толщина будет
соответственно увеличиваться. Так, если потребовать, чтобы
отклонение не превышало 0,2%, то коэффициент 5,0 в предыдущей
формуле заменится на 5,8 и т. д. В настоящее время избегают
пользоваться этим приближенным понятием (ход возрастания 8 вдоль пластинки
показан на рис. 166), вводя для характеристики „толщины" слоя
некоторые интегральные определения.
Так, общеприняты: „толщина вытеснения" 8*, равная
оо
** — Г С1 —=^)ау=^/^,
• <\ к оо ' ' " оо
и „толщина потери импульса"
оо
3**= f iH1—iH^ = 0,664 j/тг-.
•'оо^ " оо ' г "оо
о
Формулы этих величин для общего случая обтекания любого
цилиндрического тела и физический их смысл, объясняющий
происхождение наименований, дадим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что
такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности,
как представление о толщине слоя (8 = 38* = 7,5 8**), но зато слабо
зависит от неточности учета совпадения и и Vo> при больших у. Так,
из формулы
оо
К*, -8*=- JVco— U)dy
о
видно, что выраженная в безразмерных величинах правая часть
представляет заштрихованную на рис. 167 площадь, заключенную между
кривой скоростей, „осью ординат" и прямой u=Vco; величина этой
площади (1,72) мало зависит от ошибки, которая будет сделана, если
интегрирование производить до конечной абсциссы, равной, например,
§ 85]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
537
пяти, а не шести, семи и т. д. Аналогичное замечание можно сделать
и относительно величины 8**.
Интересно отметить, что в рассматриваемом случае продольного
обтекания пластинки кривые изменения условных толщин пограничного
слоя вдоль пластинки представляют собою изотахи потока. В самом
деле, при:
у = Ь{х), у = Ъ*(х) или у = Ъ**(х)
будем иметь:
и = ^ V<x><?' (const) = const • Vm.
Отсюда не следует делать вывода, что и при обтекании любого
тела граница пограничного слоя совпадает с изотахой; этим свойством
обладает лишь пограничный слой на пластинке.
Если поток изотермичен, то решение задачи о продольном обтекании
пластинки с ламинарным пограничным слоем заканчивается проведенным только
что определением скоростей напряжения трения и коэффициента
сопротивления. Если же поток не изотермичен, как это будет, например, иметь место
при искусственном поддержании на поверхности пластинки размерной
температуры Tw> отличной от температуры набегающего потока Т^, то в этом
случае представляет интерес разыскание также распределения температур
в потоке и количества тепла, снимаемого потоком с пластинки нли, наоборот,
отдаваемого потоком пластинке.
Введем вместо размерной температуры Т безразмерную температуру 6,
равную
Г Т
и будем опять вместо задачи о пластинке решать задачу об обтекании
плоскости, уходящей на бесконечность вниз по потоку и нагретой до постоянной
температуры Tw. Предположим, что перепад температур Tw—Гот настолько
мал, что можно пренебречь влиянием температуры на плотность и вязкость
жидкости.
Положим в третьем уравнении системы (65)1
Т=Т„-{Т„-Тт)ЪЫ
и заменим по предыдущему аи она их выражения через функцию tp:
u==i'/(r,)' —ttjw-*'
тогда после простых приведений будем иметь линейное относительно 6
уравнение
6" + °*8' = 0, (73)
решение которого по заданному в (vj) не представляет труда.
1 В силу однородности этого уравнения по отношению к температуре
безразлично считать Т размерным или безразмерным.
538 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Имея в виду граничные условия:
при -г) = 0 0 = 0,
при т, — о.- 0=1,
легко получим:
"(',)
it — о [ с ihl
f e ''' d-u
Т,
.о — я f a (It,
J e ° ,Ц
(73')
Это выражение можно еще упростить, если заметите что по (71):
f^^-f^=-i""(-°
Г (0)
о о
а следовательно,
т
о
U"(0). •
Окончательно будем иметь:
JV'(■<,)№
в (ч) - -^ • (74)
о
Особенно простой результат получается, если жидкость такова, что
приближенно можно положить с = 1, тогда квадратуры берутся легко и из
равенства (74) следует:
п(.Л ?'(Т|)
или в размерных величинах:
г _ т
1 w 1
(74')
' И! ■* ОО К СО
Таким образом, если число
" ~~ л.
близко к единице, что в некотором приближении имеет место, например, для
многоатомных газов, то распределение температуры в неизотермическом
t (граничном слое вблизи пластинки с постоянной вдоль ее поверхности
температурой подобно распределению продольных скоростей.
§ 85]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
539
В случае жидкостей, как было указано в начале настоящей главы,
число з во много десятков, а иногда н сотеи раз превышает единицу.
В этом случае 6 (т,) приходится вычислять непосредственно по формуле (74).
На рис. 168 показаны кривые для нескольких значений чисел з.
Вычислим количество
теплоты Q, отдаваемое в единицу
времени одной стороной
поверхности пластинки, если для
определенности 7«>> Гоо. Будем
иметь но формуле Фурье:
1
-=г— I dx,
Q
1,00
В 0,75
* 0,50
0,25
ф
/f
г/
r\>
$*'
—■-,уу~
vx
Рис. 168.
причем предполагается, что,
в силу плоского характера
потока, расчет ведется на
единицу длины в направлении,
перпендикулярном к плоскости
движения. Введем в рассмотрение безразмерное число Нуссельта N, равное
к '
N:
где величина а определяет коэффициент теплоотдачи, равный секундному
количеству тепла, отдаваемому единицей площади пластинки и отнесенному
к единице температурного напора:
Q
Будем иметь:
N =
Q
'■(TW~TJ
7"со)'-« *
т„„ — т
т.
/■„
Jy = 0
или в принятых безразмерных величинах:
1
n = ('4^-i . Г dx
df\ Л=0 ' ) 2 Ух
1 а '
УЪ-$
Здесь функция/(о), равная
W (0)Г _
wm'dri
т£=/(<оух,
/[f
On)
(0)
(75)
(750
о о
может быть, как показал Польгаузен,1 приближенно представлена формулой
/(а) = 0,664 у^; (75")
1 Е. Pohlhausen, Zeitschr. fur Angew. Math, und Mechanik, Bd. 1,1921,
540 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. ЛП11
о степени приближения можно судить по цифрам табл. 15.
Таблица 15
а
0,6
0,7
0,8
/W
0,552
0,585
0,614
0,664 У и
0,560
0,589
0,616
а
0,9
1,0
1,1
/(«)
0,640
0,664
0,687
0,664 fa
0,641
0,664
0,685
а
7,0
10,0
15,0
/(«)
1,29
1,46
1,67
0,664 >^а
1,26
1,43
1,64
Таким образом, вместо (75) можно пользоваться простой приближенной
формулой:
N = 0,664 f7 Y*Q= 0-664 y^L У Zssf. (76)
Зная число N, коэффициент теплопроводности X и температурный напор
Tw— Tm, легко определим и отнесенное к единице ширины пластинки
поперек потока количество теплоты Q, отдаваемое в единицу времени потоку одной
стороной пластинки:
0 = Ч^-7те)П
Исследование ламинарного аэродинамического и теплового следа
непосредственно за пластинкой представляет большие математические трудности.
Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости вдалеке вниз
по потоку от задней кромки пластинки, i
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании
скорости внешнего потока U=cxm
Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных
производных (65) к обыкновенному уравнению является такое
движение жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость
внешнего потока на границе пограничного слоя определяется
степенным равенством 2
U = схт. (77)
Этот случай интересен, как пример ускоренного (т > 0) или
замедленного (т < 0) движения во внешнем потоке; анализ решения
этой задачи позволяет сделать выводы об особенностях поведения
пограничного слоя в такого рода потоках.
Обозначая, как и раньше, через / и V масштабы длин и
скоростей, будем иметь:
V=c/™ (77')
1 См. Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостех-
нздат, 1941, стр. 118—124.
* V. М. Falkner and S. W. S k a n, ARC R&M № 1314 (1930), а также
D. R. Hartree, Proceed, of the Cambridge Phil. Soc. 33 (1937).
§ 86j СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА. 541
н, взяв отношение левых и правых частей,
~(тГ
V
или, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и
для размерных:
U = х»К
Уравнения ламинарного пограничного слоя (65) в силу равенства (66)
при безразмерном р = 1 будут иметь вид:
"£+"Sf—"-H-S.|
ии . иv ~
дх'ду'
В данном случае имеем масштабы
(78)
причем в силу (77')
Х=1, К=-т=,
VI clm+1
R —~ = - , У— у -tf£=\-
Из условия независимости решений уравнений (78) от масштаба /,
который отсутствует в условиях задачи, следует, что искомые
функции должны зависеть не от безразмерных хну отдельно, а от такой
их комбинации, чтобы при переходе к размерным величинам масштаб /
выпал.
Сравнивая выражение X и Y, видим, что искомой комбинацией
безразмерных х и у является
т — 1
4= ух * . (79)
Полагая в безразмерных величинах
то— 1
и = Щ(тй=>х»/(ух а ), (790
введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78),
безразмерную функцию тока ty; тогда будем иметь:
У У щ—1 от + 1 *< m + 1
^= f udy^x™ ff(yx -г )dy = x a J/(tOAi = * * e(ij). (80)
S42
ДИНАМИКА. ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
|гл, vm
Составляя выражения (штрих — производная no v,):
7П + 1 . т + 1 т—1
©' (■*]) = х»1<?',
д<\>
и = ~ = х
ду
~ = m*»-y -j-^=l jc^x-Jcp" = jet»-1 /'m<?' _|_ 'JL=! 7)(p"j ,
3«» — 1
CS"
■57
= д:
2 m"
i> =■
dx
m—1
= —X
m — \
7] (5
m-V\
и подставляя их в первое уравнение системы (78), получим после
простых сокращений:
,„ , т +1 „ , ,2 - ч
? Н 4— <р<? — m (<р — 1).
Уравнение это можно еще дополнительно упростить, если сделать
замену:
? = /^ТГф' 4 = /-
т + 1
5.
(81)
Простые вычисления приведут после этого к такой окончательной
форме основного дифференциального уравнения задачи:
©-Ф
где положено для краткости
2ш
г m-f-Г
Заметим, что из соотношений (79'), (80) и (81) следует:
/ 9 m + 1
и = х"' Ф' (£),
(82)
(82')
\ (83)
»г — 1
V =
■. / 2 —— \т — 1 .,,,., , и4-1 , , '
1
' j
где ; связано с размерными координатами х, у соотношением:
ш — 1
«-/=*М/«=?-'(■*) ' -
1/"от 4-1
к -т-=к-аг^к —=-т vb-- <83)
§ 86J СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНОГО ПОТОКА 543
Пользуясь этими равенствами, легко установим граничные условия
задачи:
ф (0) = Ф' (0) = 0, Ф' (со) = 1. (84)
Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение
третьего порядка, решение которого при граничных условиях (84)
может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на
специальной интегрирующей машине, как это сделал Хартри в
цитированной на стр. 540 работе.
Результаты численного интегрирования сведены в табл. 16
значений отношения скоростей ujU или функции Ф' (£) при различных
величинах параметра |3.
Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать
из рассмотрения табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным т
соответствуют ускоренные внешние потоки (£/' > 0), имеющие место
в конфузорных (сходящихся) каналах, а отрицательным т —
замедленные потоки {W < 0), наблюдаемые в диффузорах (расширяющихся
каналах). Соответственно знаку т будет положительным или
отрицательным параметр (3. Случаю т = 0 отвечает известное уже нам
продольное обтекание пластинки с равномерным внешним потоком (£/== 1,
w = о).
Первое, что сразу следует из табл. 16, это убывание с
увеличением параметра {3 безразмерной „толщины" пограничного слоя 1Ь,
определенной значением £, при котором ujU отличается от единицы
на данную малую величину, например, на 0,1 °/0. Так, при (J = — 0,1988
5» = 6,0, при р = 0 $5 = 4,8, при р = 0,2 $5 = 4,4, а при р == 2,4
£5 = 3,0. К аналогичному результату придем, вычисляя размерные
условные толщины слоя: толщину вытеснения 8* и толщину потери
определенные интегралами:
импульса 8**
,._/(,_£)„,, s« = ji(.
U
dy,
или, согласно (83'):
со
а* = J [1 - Ф' ©] а\. уГ^г = а 0))/~ % ,
0
со
8** = J Ф' © [ 1 - Ф' (5)] d\ • ]/"-|r = В ф) Y^r.
о )
Входящие сюда функции А ф) и В ф), равные:
со °э
А ф) = J [1 — Ф' (5)1 й\, В(®= / Ф' (;) [ 1 - Ф' (?)] dl,
\ (85)
544
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
(гл. vni
Значения
V
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,1)
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
—0.1988
0,0000
0,0010
0,0040
0,0089
0,0158
0,0248
0,0358
0,0487
0,0636
0,0803
0,0991
-0,19
0,0000
0,0095
0,0209
0,0343
0,0495
0,0665
0,0855
0,1063
0,1289
0,1533
0,1794
0,1423 0,2364
0,1927 0,2991
0,2498
0,3126
0,3802
0,4509
0,5230
0,5946
0,6635
0,7278
0,8158
0,3665
0,4372
0,5095
0,5814
0,6509
0,7162
0,7754
0,8273
0,8713
0,8364 0,9071
0,8789
0.9132
0,9399
0,9598
0,9741
0,9839
0,9904
0,9945
0,9969
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
1,0000
0,9352
0,9563
0,9716
0,9822
0,9893
0,9938
0,9965
0,9981
0,9990
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999
—0,18
0,0000
0,0137
0,0293
0,0467
0,0659
0,0868
0,1094
0,1338
0,1598
0,1874
0,2166
0,2791
0,3463
0,4170
0 4896
0,5621
0,6327
0,6995
0,7605
0,8146
0,8607
0,8986
0,9286
0,9515
0,9681
0,9798
0,9876
0,9927
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
—0,16
0,0000
0,0198
0,0413
0,0643
0,0889
0,1151
0 1427
0,1719
0,2023
0,2341
0,2671
0,3362
0,4083
0,4820
0,5555
-0,14—0,10
0,0000
0.0246
0,0507
0,0781
0,1069
0
0,0000 0,0000
0,0324
0,0659
0,1003
0,1356
0,1370' 0,1718
0,1684
0,2010
0,2347
0,2694
0,3050
0,3784
0.4534
0,5284
0,6016
0,6269 | 0,6712
0,6944 0,7354
0,7561 0,7927
0,8107 : 0,8422
0,8574 : 0,8836
0,8959 0,9168
0,9265 0,9425
0,9499 0,9616
0,9669
0,9789
0,9871
0,9752
0,9845
0,9907
0,9924 0,9946
0,9957! 0,9970
0,9977
0,9988
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999 0,9999
0,9999
i
1
0,9984
0,9992
0,9996
0,9998
0,2088
0,2466
0,2849
0,3237
0,3628
0,4415
0,5194
0,5948
0,6660
0,7314
0,7896
0,8398
0,8817
0,9153
0,9413
0,9607
0,9746
0,9841
0,9904
0,9944
0,9969
0,9983
0,0469
0,0939
0,1408
0,1876
0,2342
0,2806
0,3266
0,3720
0,4167
0,4606
0,5453
0,6244
0,6967
0,7610
0,8167
0,8633
0,9011
0,9306
0,9529
0,9691
0,9804
0,9880
0,9929
0,9959
0,9978
0,9988
0,9994
0,9991 0(9997
0,9996 0)9999
0,9998 0>9999
0,9999
0,9999 ;
0,1
0,0000
0,0582
0,1154
0,1715
0,2265
0,2803
0,3328
0,3839
0,4335
0,4815
0,5274
0,6135
0,6907
0,7583
0,8160
0,8637
0,9019
0,9315
0,9537
0,9697
0,9808
0,9883
0,9931
0,9961
0,9978
0,9988
0,9994
0,9997
0,9998
0,9999
0,2
0,0000
0,0677
0,1334
0,1970
0,2584
0,3177
0 3747
0,4294
0,4816
0,5312
0.3
0,0000
0,0760
0,1490
0,2189
0,2858
0,3495
0,4100
0,4672
0,5212
0,5718
0,5782! 0,6190
0,6640 ! 0,7033
0,7383 0,7743
0,8011 0,8326
0,8528 0,8791
0,8940 1 0,9151
0,9260 : 0,9421
0,9500 0,9617
0,9612 0,9754
0,9792 0,9847
0,9873 0,9908
0,9924: 0,9946
0,9957 [ 0,9970
0,9976
0,9987
0,9993
0,9996
0,9998
0,9984
0,9991
0,9995
0,9997
0,9999
0,9999 | 0,9999
'
i
;
j
i
§ 86] СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА 545
Таблица 16
функции Ф' (£).
0,4
0,0000
0,0834
0,1628
0,2382
0,3097
0,3771
0,4403
0,4994
0,5545
0,6055
0,6526
0,7351
0,8027
0,8568
0,8988
0,9305
0,9537
0,9700
0,9812
0,9886
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
!_
0,5
0,0000
0,0903
0,1756
0,2558
0,3311
0,4015
0,4670
0,5276
0,5834
0,6344
0,6811
0,7615
0,8258
0,8860
0,9141
0,9421
0,9621
0,9760
0,9852
0,9913
0,9952
0.9974
0,9986
0,9993
0,9997
0,9999
0,6
0,0000
0,0966
0,1872
0,2719
0,3506
0,4235
0,4907
0,5524
0,6086
0,6596
0,7056
0,7837
0,8449
0,8917
0,9264
0,9514
0,9689
0,9807
0,9884
0,9933
0,9962
0,9979
0,9989
0,9995
0,9997
0,9999
0,8
0,0000
0,1080
0,2081
0,3003
0,3848
0,4619
0,5317
0.5947
0,6512
0,7015
0,7460
0,8194
0,8748
0,9154
0,9443
0,9644
0,9779
0,9867
0,9922
0,995'6
0,9976
0,9987
0,9993
0,9997
0,9998
0,9999
1,0
0,0000
0,1183
0,2266
0,3252
0,4144
0,4946
0,5662
0,6298
0,6859
0,7350
0,7778
0,8467
0,8968
0,9324
0,9569
0,9732
0,9841
0,9905
0,9946
0,9971
0,9985
0,9992
0,9996
0,9998
0,9999
1,2
0,0000
0,1276
0,2433
0,3475
0,4405
0,5231
0,5959
0.6596
0,7150
0,7629
0,8037
0,8682
0,9137
0,9450
0,9658
0,9793
0,9879
0,9931
0,9962
0,9980
0,9989
0,9995
0,9997
0,9999
1,6
0,0000
0,1441
0,2726
0,3859
0,4849
0,5708
0,6446
0,7076
0,7610
0,8058
0,8432
0,8997
0,9375
0,9620
0,9775
0,9871
0,9928
0,9961
0,9980
0,9990
0,9995
0,9998
0,9999
2,0
0,0000
0,1588
0,2980
0,4186
0,5219
0,6096
0,6834
0,7449
0,7858
0,8376
0,8717
0,9214
0,9530
0,9726
0,9845
0,9914
0,9954
0,9976
0,9989
0,9994
0,9997
0,9999
2,4
0,0000
0,1720
0,3206
0,4472
0,5537
0,6424
0,7155
0,7752
0,8235
0,8624
0,8934
0,9373
0,9640
0,9799
0,9892
0,9944
0,9970
0,9985
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
У
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5.8
6,0
6,2
6,4
35 Зак. 1
84!. Л- Г. Лойиянский.
546 Динамика вязкой жидкости и газа [гл. vm
могут быть найдены численным интегрированием по табл. 16
функции Ф'(£)=-у^ и даны в табл. 17.
Таблица 17
р
-0,1988
-0,19
—0,18
—0,16
-0,14
—0,10
0,00
0,10
0,20
А(Р)
2,359
2,007
1,871
1,708
1,597
1,444
1,217
1,080
0,984
Я(Р)
0,585
0,577
0,568
0.552
0,539
0,515
0,470
0,435
0,408
Ф"(0) 1
0,0000
0,086
0,1285
0,1905
0,2395
0,3191
0,4696
0,5870
0,6869
Р
0,30
0,40
0,50
0,60
0,80
1,00
1,20
1,60
2,00
А№
0,911
0,853
0,804
0,764
0,699
0,648
0,607
0,544
0,498
В(Р)
0.386
0,367
0,350
0,336
0,312
0,292
0,276
0.250
0,231
Ф" (0)
0,7748
0,8542
0,9277
0,996
1,120
1,2326
1.336
1,521
1,687
Переписывая выражения 8* и 8** в форме:
S** = S(p)j/~-
2v
(ти + 1)с
(in -f- 1) с '
1 —т
(85')
видим, что при т = 1 (J3 = 1) обе „толщины" слоя 8* и 8**
оказываются не зависящими от х постоянными величинами:
(3*)т = 1 = А (1) j/~~ = 0,648 У^,
(8**)т=1 = В (1) У±. = 0,292 j/"Z.
Случай т = 1 имеет простой физический смысл, это—движение
в пограничном слое вблизи точки разветвления потока в передней
критической точке крыла (JJ=cx).
Согласно формулам (85'), при т. < 1 толщина пограничного слоя
растет вниз по течению, подобно тому, как это имело место,
например, на пластинке (т = 0), причем чем меньше т, тем этот рост
сильнее. Особенно быстро растет толщина пограничного слоя в
замедленных потоках при т < 0, что имеет место в течениях в диффу-
зорных каналах. Интересно отметить, что, при т>1, т. е. в резко
ускоряющихся потоках (конфузорные каналы), толщина пограничного
слоя будет убывать вниз по течению.
§ 86] СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА. 547
Рассмотрим теперь напряжение трения на стенке tOT,
представленное в размерном виде равенством
- - - (£)_ - "W- №L - sw *"<*«
Безразмерная величина Ф"(0) приводится как функция {3 в табл. 17.
Примечателен факт, что при [3=»=— 0,1988 (т =— 0,0904), т. е. при
законе убывания скорости внешнего потока
C/=cx-°'0904,
величина Ф"(0) становится равной нулю. При этом во всех точках
на поверхности канала (х>0, у — О) трение обращается в нуль
и будет выполняться условие начала отрыва:
Mr) =°-
Рассматриваемый частный случай ({3 =— 0,1988) представляет
предельное безотрывное движение жидкости в пограничном слое. При
(3 <—0,1988 пограничный слой уже не может существовать и
заменится попятно движущейся жидкостью, а предыдущее решение
потеряет свою силу.
Таким образом, исследованное в настоящем параграфе движение
со степенным распределением скорости во внешнем потоке
представляет своеобразный практический интерес. Выбирая для показателя
степени т (или (3) различные убывающие значения от т = 1 до
т=—0,0904, мы тем самым рассматриваем движения, похожие на
происходящие в различных сечениях пограничного слоя на крыле: вблизи
лобовой критической точки 0(т=1, (3 = 1), точки минимума
давления М(т — 0, {3=0) и, наконец, точки отрыва S (т = —0,0904,
|3 = — 0,1988). Для дальнейшего, однако, важно понять, что
рассмотренный в настоящем параграфе класс течений соответствует
фиксированным значениям т или {3 при всех значениях абсциссы х,
в то время как в пограничном слое при различных значениях х
приходится иметь дело как с ускоренным потоком в лобовой части крыла,
так и с замедленным — в кормовой части. Чтобы использовать для
приближенного описания движения в пограничном слое на крыле
профили скоростей и другие величины, представленные в предыдущих
таблицах, пришлось бы для каждого сечения пограничного слоя на
крыле брать из таблиц значения этих величин, соответствующие своему,
характерному для данного сечения слоя значению {3 или т. Для
установления связи между необходимым значением [3 (или т) и
абсциссами х различных сечений слоя в этом случае потребовались бы
некоторые дополнительные соображения, которые будут изложены
в следующих параграфах, посвященных приближенным методам
теории ламинарного пограничного слоя.
яя*
548 динамика, вязкой жидкости и газа [гл. vin
Обращаясь к вопросу о неизотермическом движении жидкости в
пограничном слое при степенном законе скорости во внешнем потоке,
удовольствуемся, как и в случае пластинки, простейшим предположением о
независимости плотности и вязкости жидкости от температуры. Это предположение
имеет силу, если разность между постоянной по всей поверхности тела
температурой Tw и температурой внешнего потока Т^, также принимаемой
одинаковой во всем внешнем потоке, т. е. перепад температур ДГ = Т — Т^
невелик.
Составим вновь безразмерную температуру
т т
г. 1 1» 1
и попытаемся удовлетворить последнему из безразмерных уравнений
системы (65), переписанному в форме:
дЪ , дЪ 1 д*Ъ
и очевидным граничным условиям:
при у = 0 в = 0, \
при у = со
считая в функцией только ?. Имеем:
дх ду а ду2
= 0,1
= 1,1
(87')
»_,.,„*_/-fig,«,_-i.U(9.
m — 1
После подстановки этих величин, а также «и», приведенных в системе (83),
в уравнение (87) и простых вычислений получим уравнение:
8"(?)-f аФ<?)в'(?) = 0, (88)
совершенно аналогичное уравнению (73) для случая пластинки.
Интегрирование этого уравнения при граничных условиях (87') приводит к решению
в форме квадратуры:
0
оо —
г«
0
-«г
0
ф<К
Ф сК
di
di
B(i) = - с , (880
зависящей как от аргумента 5, так и от параметров аир. Таблицу значений
функции Ф (S) можно составить численным интегрированием функции Ф' (S)
или пользоваться приближенной формулой
Ф(6) = -2-Ф»(0)6«,
со значениями Ф" (0), взятыми по ранее приведенной табл. 17.
§ S7J ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 549
К численному интегрированию сводится и несколько более общая ие-
изотермическая задача, отличающаяся от предыдущей тем, что температура
стенки не постоянна, а является также степенной функцией абсциссы х:х
Г = Г + Ах".
W СО I
Следует отметить, что опыты хорошо подтверждают результаты
теоретического расчета теплоотдачи.
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания
скорости внешнего потока. Применение уравнения импульсов
для приближенного расчета ламинарного пограничного слоя
Согласно (66), уравнения (65) изотермического ламинарного
пограничного слоя можно переписать в размерной форме так:
ди , тди j т dU , u д*ц )
I (89)
ou , ou rTau, u*u
du i_dv_ л
dx ' dy ~~
В общем случае задания U(x), как некоторой произвольной
функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены
к обыкновенному. Существующие методы интегрирования
уравнений (89), основанные на разложении U(x) в степенной ряд и
разыскании неизвестных функций и и v также в виде степенных рядов, 2
сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время
широкое практическое применение получили приближенные методы,
сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур.
Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф.
Начнем с вывода основного уравнения количеств движения или
„уравнения импульсов", как принято его называть.
Пользуясь вторым уравнением системы (89), преобразуем систему
к виду:
д , 9ч i д , ч ,, dU , d2u
izW + jy-W-Uiu + 'W'
д rrr \ \ ° ,тт ч dU
— {Uu)-\-^{Uv) = u-^,
после чего вычтем почленно обе части первого уравнения
преобразованной системы из второго; тогда будем иметь:
1 A. Fage and V. Falkner, ARC R&M№ 1408 (1931).
См. также „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости",
|. И, ИЛ, Москва, 1948, стр. 313.
2 Обзор методов этого рода см. Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Аэродинамика
пограничного слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 151, а также „Современное
состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости", т. 1, ИЛ, 1948.
550 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах
от нуля до со или до некоторой конечной величины, принимаемой
с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих
параграфах, за меру „толщины" пограничного слоя. В последнем
случае точные условия асимптотического стремления и(х, у) к U(x):
при у -> оо и —> и (х), -^- -> 0,
заменяются приближенными:
при у = Ь(х) u = U(x), jjj=°-
Производя в том или другом предположении указанное
интегрирование, будем иметь:
оо, 8
оо, 8
{ди
-\-d-~\ (l/-«)rfy = -'
ду
2/ = 0
Используем граничные условия и заметим, что при существовании
интеграла с бесконечным верхним пределом будет:
оо оо
/^К"-а)]4у=^/«(£/-в)4у;
6 о
точно так же в случае переменного конечного верхнего предела S (л:):
5 (х) 5 (х)
/ £[u(U-u)}dy = £j a(U-u)dy-[u(U-u)%.£ =
о о
s
= -^\»(U-u)dy.
о
Таким образом, будем иметь:
оо, 8 оо, 8
AJ U(v-U)dy+™. j {V-«)dy = .m (90)
о о "
Введем условные „толщины" пограничного слоя: „толщину
вытеснения"
оо, 8
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 551
и „толщину потери импульса"
ии, и
J 7т(1 ~lj)dy>
0:— =
о
и вспомним, что по определению напряжения трения на стенке iw:
ди\ _ iw
^у)у=0 Р
Уравнение (90) преобразовывается к виду
или, после раскрытия производной,
do** II' 1
*_ + ^.(2e«4_8-Je=_^. (91)
Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение
теории пограничного слоя и называется „уравнением импульсов".
Уравнению импульсов придают еще форму
где под Н понимают отношение:
п ~~ 5** •
Уравнения (91) или (91') могли бы быть получены непосредственно
из теоремы количеств движения (теоремы импульсов), примененной
к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими
смежными сечениями пограничного слоя, чем и объясняется
наименование этих уравнений.
В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод
интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, основанный
на использовании уравнения импульсов. Идея метода заключается
в следующем. Заменим неизвестные действительные профили
скоростей и (х, у) в сечениях пограничного слоя семейством парабол
четвертой степени
и _\2 + к у i./y\* 4-> {У\я,в--±(у\* ,„
с параметром I, равным
л = ^. (92',
Легко проверить, что это семейство профилей скорости
удовлетворяет ранее указанным граничным условиям:
при .у = 0 м —0, при у = 8 « = £/, —■=().
552 ДИНАМИКА. ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
и, кроме того, еще двум дополнительным условиям:
д*-и UU'
при у = О
ду
ПРИ -У=8 Sy2 = О,
из которых первое непосредственно вытекает из первого уравнения
системы (89), а второе требует, чтобы соприкасание кривых семейства
с прямой jj=l при у — 8 было второго порядка. Рассматривая
параметр X, или, тем самым, по (92') 8, как неизвестную функцию х, можем
эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91). Для
этого достаточно подставить многочленное представление скорости (92)
в выражения 8* и 8** и вычислить эти „толщины"; простое
интегрирование многочленов дает:
8*
-г- = 0,3000 — 0.008333Х,
0,1175 — 0.001058Х — 0,0001102Х2,
кроме того,
Jie._Ji.fifi. —±!l(jl\ JL_J_
?1Р ри*\ду)у=0 ?Ыду_ ! т 6 •
Подставляя полученные значения 8*, 8** и iJ^W в уравнение (91),
получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для
определения X:
i§--!r*w+{£aw. (93)
где функции g (X) и А(Х) определяются равенствами:
as __ 7257,6 — 1336.32Х + 37,92X3 + 0,8'-3 ]
gW=~ 213,12-5,76л- X* ' I ,
. _ 213.12Х—1,92X2 —0,2л-' [ *■ }
ПУкУ— 213,12 —5.76Х — Х2 • J
Определив по (93) X (х), тем самым найдем и 8 (х), после чего
станут известными профили скоростей (92) во всех сечениях
пограничного слоя, трение на стенке 1Ш и „толщины" 8*, 8**. К
сожалению, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с
вычислительной стороны, так как требует приближенного интегрирования
нелинейного уравнения (93) с особыми точками при У=0и U' — 0.
Кроме того, и это наиболее существенно, метод оказывается
неприменимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движении
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СТОЙ В ОБЩЕ-U СЛУЧАЕ 553
во внешнем потоке, например, в кормовой части крылового профиля,
если слой близок к предотрывному своему состоянию или отрывается. 1
О точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим
к использованию, можно судить на основании следующего
простейшего примера его применения к продольному обтеканию пластинки.
В этом случае \ = О, так как U— V^, W — 0; подставляя значения:
0,11758, ^ Ъ
й«*
непосредственно в уравнение (91),
части пропадет, будем иметь:
0,1175 #-
?vl
VJb
в котором второй член в левой
~~ V Ъ '
Уравнение легко интегрируется и даег:
8 - 5,83 у/~^-, 8* = 0,33 = 1,75 \Г~,
8— : - 0,11758 = 0,685 1/ ~ ,
:,,--= 0,343
|J.oKS
\ \ v ex
Таблица 18
Коэффициенты Точный I Приближенный
Что касается формулы для толщины слоя 8, то она имеет чисто
вспомогательный и условный характер; остальные результаты
допускают сравнение с точными формулами § 85. Приведем
сравнение числовых коэффициентов
и этих формулах (табл. 18).
В настоящее время
разработаны значительно более
простые и вместе с тем
вполне приемлемые для
практики методы расчета
пограничного слоя, основанные на
применении
преобразованного уравнения импульсов
и более близкого к действительности,
ского семейства профилей скорости. 2
1,72
0,664
0,332
1,75
0,685
0,343
но также однопараметриче-
1 Подробное изложение метода Польгаузена с критикой недостатков и
иллюстрацией примеров неприменимости метода можно найти в ранее
цитированной нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя", стр. 170—189.
2 Л. Г. Л о й ця и с к и й, Приближенный метод расчета ламинарного
пограничного слоя на крыле. Доклады АН СССР, л. XXXV, № 8, 1942;
Н. Е. К оч и н и Л. Г. Лойцянский, Об одном приближенном методе
расчета ламинарного пограничнго слоя. Доклады АН СССР, т. XXXVf,
.4° 9, 1942.
554 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях
пограничного слоя задано функцией
■S--» ft;»).
удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей
в качестве параметра величину к, определенную равенством (92').
Используя эту функцию, убедимся, что вообще:
[д —
Т — М (Л), -j Н {к), -rjj^—щ — — -щ-,
где Н*, Н** и b — некоторые функции X, зависящие от вида
функции <р(у; М.
Подставляя эти значения 8*, 8** и -щ в уравнение импульсов (91),
получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие
в него функции g(k) и h(k) будут представлять следующую явную
зависимость от Н*, //** и Ь\
— Ш**
Л Л ^ 2 rfX ^ 2
Введем теперь в рассмотрение две новые функции к:
/ = ХЯ**2 и F = 2H**[b — л(2Я**+ #*)], (94)
связанные с g (X) и h(k) простыми соотношениями:
d\ dk
тогда уравнение (93) может быть переписано так:
dx~U df ~т~ U' df_'
dk dk
Умножая обе части этого уравнения на -4т, получим обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка
относительно неизвестной функции:
/=Ш**3 = ^!.!!!!:=^!!!< (9б)
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 555
Таким образом, параметр X, заключающий в себе условную
вспомогательную величину 8, исключается и заменяется новым параметром /,
образованным по тому же закону, что и X, но имеющим в качестве
характерной длины „толщину потери импульса" 8**.
Замечая, что равенства (94) можно рассматривать как
параметрическую связь между F и / через параметр X, а параметр X выражается
через / при помощи первого из уравнений (94), будем предполагать,
что X исключено и повсюду заменено своим выражением через /.
Переписывая F в виде:
F(f) = 2 IbH** — (2Xtf**2-f Xtf*
H* V
и вводя обозначения:
иъ ти
cc/) = w/** = v'^--
н*
" \J) == J-J** '
\Ь**) .
(97)
получим такое выражение для функции F(f):
F(f)*=2l(/)—2[2+H(f))f-
(97')
Приведенный вывод уравнения (95) и общего выражения (97')
входящей в него функции F(f) несколько сложен, но зато имеет
то достоинство, что связывает новый метод со старым и естественно
из него вытекает.
Уравнение (95) можно вывести непосредственно из уравнения
импульсов (91) или (91'), не прибегая к помощи параметра X и толщине
слоя 8. Предположим заранее, что профили скоростей в пограничном
слое могут быть представлены однопараметрическим семейством
скоростей в форме:
U ~Ч\ъ**'?,
где 8** — толщина потери импульса, а/—некоторый, пока
неопределенный параметр. Вычисляя толщину вытеснения 8*, убедимся, что
оо со
8* = Jfl-cp^;/)]^^** J[l-*(&; /)]*(&).
т. е., что отношение §*,8** представляет функцию одного /:
5*
S* л
556 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Далее заметим, что напряжение трения может быть представлено
как
— (ди\ _ и д
W-l-o
причем квадратная скобка представляет также функцию одного /.
Обозначая эту функцию через С(/), получим:
После этого, умножая обе части уравнения (9Г), переписанного
в виде
db** П'Ь** ч
на 2 , будем иметь:
2-^Г-^Г+2^Г-[2 + Я(^] = 2!;(0
или
Т Т/% «ft Я»*
Отсюда сразу видно, что, если положить =/, то последнее
уравнение перейдет в уравнение (95); при этом также получается и
формула (97') для F(f).
§ 88. Способы определения функций Q (/), H(f) и F(f).
Приближенный метод расчета ламинарного пограничного
слоя
Для определения функций С(/), //(/) и Z7^ следует задаться
семейством профилей скорости, в той или другой степени апроксими-
рующим скорости в сечениях пограничного слоя. Так, если вернуться
к семейству профилей скорости (92), то функции С(/), H(f) и F(f)
определятся для польгаузеновского приближения. Имея в виду, что
это приближение недостаточно для описания кормовых течений в
пограничном слое вблизи отрыва, примем вместо (92) в качестве апрокси-
мирующих функций следующее семейство:
$_„(f: l)_H-.,(i_f)r+
+«.('ЧгГ,+«.(1-0"'', от
§ 88] СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ С, Я И Я 557
причем входящие в правую часть равенства три коэффициента а}, а%,
ай определим из условия подчинения <р (g ; X J граничным условиям на
стенке: ,„ ,„„
пр.,-О » = 0, g|—ffiC. £-0.
Первые два условия уже известны нам по предыдущему, а
последнее легко выводится из основных дифференциальных уравнений (89)
дифференцированием первого из них по у и последующей заменой у=0.
Коэффициенты аи а% и а3 при этом выразятся через параметр X
и показатель степени я:
1
Яо =
^X + i(«-l)(« + 2),
й8=277ГТТУх_б'(й"_1)/1- i
(980
Имея в виду, что семейство (98) должно быть однопараметри-
ческим, так как мы располагаем для определения параметра / или
связанного с ним параметра X лишь одним уравнением (95), выразим
показатель степени п через параметр X. При этом используем
имеющийся произвол в выборе п для того, чтобы по возможности
приблизить семейство (98) к тем профилям скорости, которые в
действительности имеют место при некоторых, хотя бы и частных, условиях
движения (распределения скоростей во внешнем потоке). Можно
ожидать, что такое уточнение формы профилей скорости приблизит нас
к искомому решению. Естественно обратиться к семейству профилей
скорости, полученному в § 86, так как оно заключает в себе
профили, относящиеся как к ускоренному внешнему потоку (лобовая
часть профиля), так и к замедленному (кормовая часть), т. е. по общему
своему характеру близко ко всякому пограничному слою на крыле.
Согласно (83) и (83') имеем:
ir-*bV%)-
следовательно, по определению условной толщины пограничного слоя 8,
в этом случае при данном fJ должно выполняться равенство:
8/-^^в^соп-,
откуда следует, что — = 0. Тогда из уравнения (93) при U = сх"
вытекает: i
mb — mk (2Я** + Н*)—-~(т — 1)ХЯ**
mg(k) + (m — l)h(k) = -gjjsj = =0,
558
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
что дает уравнение связи между Ь, X, п и |3:
b = 2-j$-\H** + \H*. (99)
Потребуем, чтобы безразмерная величина Ф" (0), заданная
формулой (86) и представленная на основании приближенного профиля (98)
и равенства (99) в форме:
была равна помещенным в табл. 17 точным значениям Ф"(0).
Используем следующие очевидные выражения Н*, Н** и b через X и и:
1
У\ fli a% а%
Ф
№
■вт—/С1-*)*
я+1 я + 2 я + 3'
п.. _«р_;,о-,)*(«■).
о
■Н*
й1й2
1a\a$
<has
2я+1 2я + 3 2я+5 я + 1 2я + 3 я + 2'
и
* =
■у) =яв1 + (я+1)в«+(я + 2)в8=^7ТХ-|-1(п+2)
5 / ^=о
и пользуясь еще формулами (98'), попытаемся подобрать такую связь
между п и X, чтобы желательное совпадение точных (табл. 17) и при-
Таблица 19
я
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
X
—6,667
—6,000
—5,333
-4,667
—4,000
—3,333
—2,667
—2,000
—1,333
—0,667
0
3,333
6,667
10,000
13,333
16,667
20,000
Ъ
0,0000
0,2366
0,4635
0,6814
0,8909
1,0926
1,2870
1,4745
1,6556
1,8306
2,0000
2,7727
3,4444
4,0385
4,5714
5,0556
5.5000
Я*
0,4444
0,4219
0,4014
0,3825
0,3651
0,3491
0,3344
0,3208
0,3082
0,2965
0,2857
0,2418
0,2103
0,1870
0,1693
0,1555
0,1444
//**
0,1154
0,1176
0,1188
0,1190
0,1187
0,1178
0,1165
0,1150
0,1132
0,1113
0,1093
0,0990
0,0895
0,0814
0,0748
0,0693
0,0648
/
—0,08884
—0,08305
—0,07523
—0,06618
—0 05632
—0,04624
—0,03620
—0,02644
—0,01709
-0,00826
- 0,00000
—0,03267
—0,05338
—0,06628
0,07451
0,08000
0,08394
F
1,0395
0,9835
0,9195
0,8517
0,7833
0,7165
0,6526
0,5924
0,5363
0,4847
0,4373
0,2587
0,1520
0,0879
0,0477
0,0214
0,0025
§ 88] способы определения функций С, Я и F 559
Таблица 20
/
—0,089
—0,085
—0,08
—0,07
-0,06
—0,05
—0,04
—0,03
—0,02
—0,01
0,00
?(/)
0,000
0,019
0,039
0,071
0,097
0,120
0,142
0,162
0,181
0,200
0,219
Я(/)
3,85
3,66
3,50
3,28
3,12
3,00
2,90
2,82
2,74
2,67
2,61
F(f)
1,04
1,00
0,96
0,88
0,81
0,74
0,68
0,615
0,55
0,495
0,44
/
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,084
0,085
£(/)
0,236
0,253
0,270
0,286
0,302
0,318
0,335
0,350
0,357
Я (Я
2,55
2,50
2,46
2,41
2,36
2,32
2,28
2,24
2,22
ПЯ
0,38
0,33
0,275
0,22
0,17
0,12
0,07
0,02
0,003
-0,002
ближенных (99') значений Ф"(0) осуществилось. Как показывают
вычисления, для этого достаточно положить
й = 0,15Х + 4. (100)
На рис. 169 сплошной кривой показана точная величина Ф"(0)
при различных 3, а крестиками — рассчитанная согласно системе
уравнений (99) и (99') при
линейной связи (100) между п
и \; совпадение получается
вполне удовлетворительное.
В табл. 19 сведены
значения п, \, b, H*, Н**, f и F.
Пользуясь этой таблицей,
легко разыскать и величины
£(Д H{f) и F[f), заданные
равенствами (97) и (97'). Эти
функции приведены в табл. 20.
Большое удобство для
практических вычислений
представляет тот факт, что функция
F(f) оказывается мало
отличающейся от линейной функции
F(f) = a- Ь/,
Ф"(0
-1,20
-1,00
-0,80
-0,60
-W0
fo,io
——
)
-0,1 0 0,2 0,U 0,6 0,8 1,0 р
Рис. 169.
где: а ==0,44, b = 5,75.
Благодаря этому уравнение (95) может быть приближенно заменено
линейным уравнением:
df W , fU" hU'\f
560 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VI»
имеющим интеграл
х
о
Если при х = 0 U=0, то из условия конечности / при д" = 0
следует С = 0, и окончательное решение будет иметь вид:
X
fM = -tfjffijlu®]b~1*b 001)
при этом / в начальной точке х = 0 принимает значение:
aU' (х) ■ U"-1 (лг) 1 ^о^
bUb-1(x)U'(x) Je_e"" »'
При желании можно последовательно учитывать ошибку,
получающуюся при замене F (f) линейной функцией, однако практически
совершенно достаточно пользоваться формулой (101).
Используя систему уравнений „моментов"1 основного дифференциального
уравнения пограничного слоя, можно, применяя совсем простые семейства
профилей скорости, получать вполне удовлетворительные решения задачи. Под
уравнениями „моментов" здесь подразумеваются результаты интегрирования
по у в интервале от 0 до со или 5 обеих частей первого уравнения
пограничного слоя, умноженных на последовательные целые степени у.
Так, например, используя три первых „момента" и профили скоростей,
соответствующие сечениям пограничного слоя на пластинке, не заключающие
параметра, удается получить следующие простые формулы для функций £ (/),
Я (Л и F(f):
£ (/) = 0,22 + 1,85/ - 7,55/2, |
//(/) = 2,59 — 7,55/, (102)
F(f) = 0,441— 5,48/, )
с достаточной степенью приближения заменяющие ранее приведенные
таблицы £(/) и F(f) и сильно упрощающие расчет. На рис. 170 приведены для
сравнения основные кривые С (/) и H(f), рассчитанные по семейству
профилей (98) при соотношении (100) между и и X (сплошные кривые) и
построенные по только что приведенным формулам (пунктирные кривые). Величина Н
вблизи отрыва получается несколько заниженной.
А. М. Басин2 выбрал семейство профилей скорости в сечениях слоя
в форме:
•n = [1+^(1-sinJi-)]sin¥>
1 JI. Г. Лойцянский, Приближенный метод интегрирования уравнений
ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе. Прикл. матем. и мехая.,
т. XIII, 1949.
2 А. М. Б а с н н. Об одном новом приближенном методе расчета
ламинарного пограничного слоя. Доклады АН СССР, т. XL, № 1, 1943.
/(0) =
§ 88] способы определения функций С, Н и F 561
хорошо отображающей изменение характера профилей скорости в сечениях
слоя. Соответствующую таблицу функций Я*, Я** Ь, / и F (/) можно найти
в цитированной работе А. М. Басина.
В только что перечисленных работах точные решения уравнений
пограничного слоя или использовались частично или совсем не использовались.
— 0,30
%о--о,го
3,0-
I. //
■0,15
2,0—0,10
1,0- -0,05
-0,10
-0,05
0,05
Рис. 170.
Можно было бы и, наоборот, полностью использовать точные профили
скоростей, соответствующие классу U — схт (табл. 16). *
В этом случае, согласно формулам (85), будем иметь:
/ = --V- = №-о), и(/) = -Lr=• —
я(Р)
а, используя (86), (97) и (97'),
- а**
F (/) = - #В2 (Р) — 2ЁЛ (Р) В (Р) + 2В (р) Ф" (0).
1 Н. Е. К о ч и и и Л. Г. Л о й ц я и с к и й, Об одном приближенном методе
расчета ламинарного пограничного слоя. Доклады АН СССР, т. XXXVI,
№ 9, 1942.
36 Зак. 1841. Л. Г. Лонцянскнй.
562 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Vltl
Задаваясь различными значениями В, получим табл. 21 искомых функций
С (/). Н (/) и /=•(/).
Таблица 21
S
—0,0681
-0,06
—0,05
-0,04
—0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
с (Л
0,0000
0,064
0,098
0,130
0,155
0,178
0,200
0,221
0,240
Я (Л
4,03
3,35
3,12
2,96
2,84
2,74
2,66
2,59
2,53
>(/)
0,821
0,772
0,715
0,658
0,602
0,548
0,495
0,441
0,388
' /
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
С (Я
0,257
0,274
0,291
0,307
0,323
0,338
0,352
0,366
0,380
"СО
2,48
2,43
2,38
2,34
2,30
2,26
2,23
2,20
2,18
Г(/)
0,336
0,283
0,232
0,180
0,130
0,078
0,028
—0,023
—0,074
А. П. Мельников1 для лобовой части крыла сохранил полиномиальное
приближение Польгаузена (92), а для кормовой, где необходимо уточнение,
использовал профили скоростей, соответствующие классу точных решений
Хоуорта для линейного закона убывания скорости U = еп—с-\Х. 2
Полученные решения сращиваются в точке минимума давлений.
Изложенный метод расчета ламинарного пограничного слоя
проводится по следующей схеме. Распределение скоростей во внешнем
потоке U(x) определяется или расчетом по теории, изложенной в конце
гл. V, что можно рекомендовать лишь в случаях, когда можно
заранее ручаться за безотрывное обтекание, или путем пересчета по
теореме Бернулли с экспериментально замеренного распределения
давлений.
Пользуясь так или иначе определенной функцией U\х), можем,
вычисляя квадратуру (101), найти толщину потери импульса
8**(*) = W J"jVi(6)*.
Для определения f(x) необходимо иметь значения U' (х), которые
приходится, как правило, вычислять приближенно по графику U(x),
что ослабляет точность результатов; подчеркнем, что для
разыскания 8** знания U' (х) не требуется.
1 А. П. Мельников, Ламинарный пограничный слой крыла и его
расчет. Труды Ленингр. военно-возд. академии, вып. 1, 1942.
2 L. Howarth, On the solution of the laminar boundary layer equations,
Proceed, oi the Royal Society, Ser. A, Vol. 164, № 919, 1938, стр. 547.
Введенная Хоуортом величина х эквивалентна Yf или, в обозначениях А. П.
Мельникова, У"Хд; см. также ранее цитированную нашу монографию
„Аэродинамика пограничного слоя", стр. 161—163.
§ 88] СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ С, И И F 563
Определив 6** (х) и f(x) по (101), легко найдем остальные
интересующие нас величины:
S*(x) = #j7(x)]S**(*),
Практически приходится иметь дело с безразмерными величинами,
которые временно отметим черточками сверху:
U — ~ — х
-гг-= {/(х), х =— (Voo — скорость на бесконечности, с — хорда);
при этом будем иметь следующие формулы:
/
•**<*) = V=l/ f.-^-f £/*"'«)*. R.^
/(*)=-^.f ub~\i)dl
^ь
2 С [/(*)}
1 .r„-^-R„
(103)
-LptfS «со U(x)***(x)
причем последнее выражение представляет местный коэффициент
сопротивления трения, который будем в дальнейшем отличать от полного
коэффициента сопротивления трения Ср выражающего в безразмерном
виде суммарное трение по всей поверхности обтекаемого тела.
Абсцисса xs точки отрыва пограничного слоя от поверхности обтекае-
fdu\ .
мого тела определится из условия -=—) = 0. как корень системы
\оу/у=о
уравнений:
ms)=/,s- c(/s)=°'
причем /s находится прямо по табл. 20 или 21.
Многочисленные расчеты показали, что выбор^ постоянных а и Ь,
входящих в основную квадратуру (101), и зависимостей 4(f) и H(f) мало влияет
па ход кривых -zw, о* и 5** по х в лобовой области крыла, где внешний
поток ускоряется, а начинает резко сказываться лишь в кормовой части
пограничного слоя за минимумом давления, где внешний поток замедляется.
36*
564 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Разница становится особенно заметной непосредственно вблизи отрыва
пограничного слоя и оказывает существенное влияние на определение
абсциссы xs точки отрыва.
В табл. 22 помещены значения констант a, b, fs для различных
изложенных выше методов, а также сравнительные значения абсциссы х$ отрыва
для чисто замедленного движения с внешней скоростью, заданной формулой
/7=1—х. Для этого частного случая имеется точное решение Хоуорта
(см. ссылку на стр. 562), дающее дг<. = 0,12.
Таблиц а 22
Авторы
Лойцянский (1942) 0,44
Кочин и Лойцянский (1942) - • • I 0,45
Басин (1943) i 0,44
Лойцянский (1949), формулы (102) 0,441
Польгаузен (1921)
Точное решение .
Ь
5,75
■ 5,35
5,85
1 ' 5,48
и
— 0,089
— 0,068
— 0,077
— 0,088
*
и
хн
для
= 1—х
0,126
0.106
0,114
0,125
0,156
0,120
Метод А. П. Мельникова в сравнительную табл. 22, естественно, не
вошел, так как базируется на точном решении Хоуорта, выбранном в
качестве образца для сравнения.
Из сопоставления цифр последнего столбца табл. 22 можно сделать вывод,
что метод Польгаузепа дает сильно завышенную абсциссу отрыва,
отличающуюся от точной па 30%; первый из изложенных в настоящем параграфе
метод также даст некоторое завышение, но всего только на 5%. Остальные
методы приводят к преуменьшенным абсциссам.
Изложенный приближенный метод легко обобщается на случай
пограничного слоя на геле вращения, обтекаемом осесимметричным
потоком.'
При этом параметр / и все зависимости !(/), H(f) и F(f)
остаются теми же, что и в плоском случае. Отличие получается
лишь в форме основной квадратуры (101), которая в случае тела
вращения с контуром меридионального сечения, заданным
уравнением rQ = г0 (А') (х отсчитывается по обводу меридионального
сечения), будет иметь вид:
/ =
aU' (х)
Ub(x)rl(x)
иь-н§г%а)&
(loiO
] Л. Г. Лойцянский, Ламинарный пограничный слойка теле вращ
пня. Доклады АН СССР, т. XXXVI. № 6, 1942.
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (И = 1) 565
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай
линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры
(я=1)
В качестве простейшего примера применения уравнений (63)
рассмотрим продольное обтекание пластинки. В этом случае р = р , р = О
и, следовательно, в принятых безразмерных величинах система (63)
может быть переписана в виде:
д(ры) . д (рр) _ п
ди , ди д ( ди\
дх ' ду '
di , di , ,, 1Ч ДЛ2 / ди . ди\
-Ti(^)+(*-»"i"i(^)+(*-'X^r
рг' = 1, }i = /",
или, производя очевидное сокращение в третьем равенстве при помощи
первого:
ди . ди д ( ди \ д (ри) . д (pv) ,.
1 .,, I
р = т, ,i = z". j
А. А. Дородницын 1 указал общее преобразование координат,
позволяющее придавать уравнениям пограничного слоя в сжимаемом газе
форму, напоминающую уравнения пограничного слоя в несжимаемой
жидкости. Преобразование это определяется системой равенств в
размерных величинах
а; у
6= ff dx, 7j= t-Ldy, (105)
0 0
где р0 и p0—давление и плотность в адиабатически и изэнтропически
заторможенном внешнем потоке.
Используя в (105) вместо р0 и oj величины рт и р^, будем иметь
в случае пластинки (р — р ) в принятых ранее безразмерных
величинах:
у
\ = х, ti=J"Prfy. (105')
1 А. А. Дородницын, Пограничный слой в сжимаемом газе. Прикл.
матем. и механ., т. VI, 1942.
566
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIH
Формулы перехода от дифференцирования по х, у к
дифференцированию по %, т) будут:
д д , д-п д д д
дх Э£ ' дх дг) ' ду ^ dv '
так как р является функцией не только у, но и х.
Первое равенство системы (104) преобразуется к виду:
(106)
ди д-п ди . ди д
Р" Ж + Ри^7 ТьГ + Pv ■ Р ^ = Р
Эл: Эт]
07]
Эт]
|гр
эм\
и, после сокращения на р и принятия в расчет последних двух равенств
системы, дает:
drL V dri,
ди . ( ду . \ ди
(107)
Из второго равенства (уравнения неразрывности) вытекает наличие
функции тока Ф, причем:
___ дф Эф Эф ^Ф дг} Эф Эф Эт,
Рм ду~р<дг\' ?V~~ ~ э7~~ — Э!"- Э7"Э^"~"~ "ЭТ- ЭТМ-
Отсюда можно заключить о справедливости соотношений:
Эф
дч\'
дх
+ ?■"■■
Эф_
Э5
(108)
Сравнивая с уравнением (107), видим, что, если ввести
обозначение
дх
-j- pv = v,
(109)
то уравнения (107) и (108) приведутся к виду:
ди , ~Эи д f-n-idu'
"эТ + *^ = ^г ^
^
Э-г] '
ЭТ|
Эф
эе
ди ,dv
Э? "т" Э^ '
(110)
J
Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение
системы (104) — уравнение энергий; будем иметь:
di . дг\ di . di 1 Э / Э/\ , ,. 14M2 9/ди\2
или, сокращая обе части на р и используя обозначение (109) и
последние два соотношения в системе (104):
■и+'$-^('~,$-м*-,)мг>-,®г- (Ш)
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (и = 1) 567
Принимая во внимание общие соображения об упрощении
граничных условий путем перехода от пластинки (0 < х < /) к бесконечной
плоскости (0<х<оо), приведенные подробно в начале § 85 при
изложении задачи о пограничном слое на пластинке в потоке
несжимаемой жидкости, будем искать выражение для продольной
скорости u(k, "ф и теплосодержания /(£, f\) в функции от одного
аргумента С, представляющего комплекс
2УТ
Тогда, согласно второму равенству системы (ПО), получим:
г, TJ2VJ С
(112)
о
Введем для краткости обозначение
2 J«(QdC = ?(Q;
тогда, как и в § 85, будем иметь следующие выражения функции
тока ^, скоростей и и v, а также производных (обозначаемых в
дальнейшем штрихом) от скорости и и теплосодержания i по С:
d£=-±wa ^ = -U"(о, tH^w(C),
di 1» ., di 1 ./
di ~ 2? ''l' <h| ~ 2У1
Подставляя эти выражения в первое из уравнений (ПО) и в
уравнение (111), получим следующие два уравнения; служащие для
определения неизвестных функций о и i:
(Г-У)' + <рш" = 0, ]
(*»-V)'+ -!(*— l)M^'M-V'2 + a<p/' = 0. i (ПЗ)
Граничные условия для © будут те же, что и в случае
несжимаемой жидкости:
при С = 0 да = О, да' = О, I
при с = оо 9' = 2. j v
568 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА (ГЛ. VIII
Граничные условия для безразмерного теплосодержания i могут
быть разнообразны. Если задана постоянная вдоль всей пластинки
безразмерная температура Tw, то граничные условия запишутся в виде:
при С == 0 / = Т,п )
(115)
при С = со i = 1. ]
Если на пластинке отсутствует теплоотдача, то граничные условия
сведутся к следующим равенствам:
(116)
Интегрирование уравнений (113) в общем случае представляет
большие затруднения, так как приходится производить численное
интегрирование уравнений с несколькими характерными параметрами:
я, a, k, Moo.
Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом
вязкости и температурой линейна (п = 1). В этом случае вместо (113)
получим систему уравнений:
вда-|-?в" = 0, )
I (117)
при ", = 0
при С = оо
&1
i= 1.
4
Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных
условиях (114), ничем формально не отличается от соответствующего
уравнения (71) и граничных условий (7 Г) задачи о пограничном
слое на пластинке в несжимаемой жидкости, так что для
определения функции о (С) можно пользоваться приведенной ранее табл. 14.
Но тогда, интегрируя второе уравнение системы (117), подобно тому
как это было сделано в конце § 85, найдем значение i(Q в форме:
/(С) = 1 (k— 1) ML»(С) +-| J [<?*(!)]'Л + Q, (И8)
со
где введено обозначение
ft (Q = — 2о J* W (Г)]°dl | [?" (С*)]2"' #*, (119>
оо О
а произвольные постоянные интегрирования С и С, должны быть
определены из начальных условий (115) или (116). Полагая * = оо,
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (П = 1) 569
найдем значение постоянной Сх=1; полагая £=0, получим
1-'"„+-§-(А-1)*О(0)
С= - (120)
-g-JV(qe<«
Обозначим теперь через it и Tt значения теплосодержания и
температуры пластинки в условиях (116) отсутствия теплоотдачи, т. е.
тогда, когда пластинка играет роль измерителя температуры
потока — пластинчатого термометра. Условие отсутствия теплоотдачи
будет:
при С = 0 г' = 0.
Дифференцируя (118) и замечая, что но (119) будет ¥ (0) = 0,
найдем в этом частном случае С=0, т. е. по (120) при iw = it
получим
z(=l+•!(* — 1)ML0(0) (121)
или, переходя к размерным температурам:
Tt=Ta
l-fl0(0)(&— l)flC], (122)
где
И (0) = 2з f [<?" (Г)]а d: f [?" (С*)]2 ~' </;*. (123)
о и
Тогда постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи
с поверхности пластинки можно представить, согласно (120) и (121),
в следующем виде:
С=~^=^ . (124)
о
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего легко
убедиться, что при Моо -> 0 соотношение (118) в переменной С совпадет
с ранее выведенной формулой (74) для несжимаемой жидкости в
переменной Т|, принятой в § 85; полученное таким путем равенство
Т„—Т _± (125)
'р ^р ОО
570 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. V11I
дает распределение температур в пограничном слое на пластинке,
обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи
между коэффициентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями,
когда влиянием сжимаемости (числа MOT) пренебрегать нельзя, будем
предполагать, что функция 8 (С) затабулирована для различных а.
Для дальнейшего особенно важно знать величины 8 (0); приводим их
значения при нескольких а:
а = 0,6 0,8 1,0 10 15
8(0) = 3,08 3,58 4,00 11,86 14,14
Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет
для случая п — 1 решение задачи об измерении температуры газового
потока Т = Too при помощи непосредственного замера температуры
T=TW—Tt поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки,
при условии, что тепло от пластинки не отводится (нет теплоотвода
через державку и проволочки измерительной термопары). Как наглядно
показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо
температуры потока Т^ показывать тем большую температуру Th
чем больше число Мсо. Это и естественно, так как пластинка
тормозит поток и, вследствие перехода энергии потока и тепло, должна
дополнительно нагреваться. Конечно, это торможение будет не изэн-
тропическим, так как связано с переходом механической энергии
в тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует
из формулы (122), при о=1 и 8(0) ==4 термометр будет показывать
температуру адиабатического и шэптропического торможения
(7t)0= ,= 7-0/1 + -^- МЦ = 70;
при других значениях а это уже не так:
при з < 1 Tt < 70,
при а > 1 Tt> T0.
Формула (122) может служить для вычисления поправок на
указания пластинчатого термометра в газе с заданным числом а,
отличным от единицы.
Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь
поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении.
При больших значениях Мо, эти температуры достигали бы
катастрофических для металла и материалов значений; для борьбы с этим
необходимо применять охлаждение поверхностей изнутри. Имеющее
место при высоких температурах влияние лучеиспускания также
способствует понижению поверхностной температуры. '
1 И. А. Кибель, Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом
излучения. Докл. АН СССР, т. XXV, № 4, 1939.
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (tl = 1) 571
Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки,
имеющей температуру Т= Tw, вычислим размерную производную от
температуры по нормали к пластинке -^— на поверхности пластинки.
Имеем, переходя к размерным величинам:
di 1
л~тт
откуда следует:
(—)
\dyjy-
Но по (118)
•*v*£
----1
= 0 2 |
1 /It r ,
'со \
-■S-if
/ vco* Poo дТ
Vm р ду '
?w I di \
• PooU?A=o-
(0))',
кроме того, в случае пластинки, по формуле Клапейрона:
Р Т,.
Р „ ~ 7"
Используя ранее выведенное значение С (124) и исключая it или
Т„ получим:
^Л- = т- «г-— r;V ^;(12b)
Л*
(0)J
л
отсюда уже нетрудно в том или другом виде рассчитать теплоотдачу.
Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала
напряжение трения zw. Имеем, переходя к размерным величинам:
?" (С) = 4 l/~- ' ?с° ди
У СО
^ Pw ду'
откуда следует:
2 г со ^ со
причем <р" (0) имеет то же значение, что в несжимаемом газе, и равно
по предыдущему (§ 85) ?"(0)= 1,328. Итак, если при я=1
константы jj. и р в формуле коэффициента местного трения определены
572 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
для набегающего потока, то коэффициент местного трения остается
тем же, что и в случае несжимаемой жидкости:
0,664
с.
f~'V%
V—r
, = 0,332 " •^'c°Vco
Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления
коэффициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь
явные формулы связи между новым переменным С и обычным yl\/~x,
так как в окончательные выражения входят лишь значения величин
при у = 0 или у = оо.
Несколько сложнее решается вопрос о распределении скоростей
и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные
распределения скоростей -р— = 7j- с/ (Q и температур (118) отнесены
к переменному С, выражающемуся через обычные размерные
координаты по формуле:
2
/£/*■
W , W ^
в свою очередь зависящей от распределения температур.
Дифференцируя по у, получим:
dy
ly 2 У у^х ' i{iy
Связь между С и yl]fx определится интегральным соотношением:
о
На рис. 171 и 172х приводим графики влияния числа Мм на
профили скоростей и температур при я = 1, о = 0,7 и k=l,i для
пластинки, температура которой путем охлаждения поддерживается равной
температуре набегающего потока. На обеих кривых обращает на себя
внимание факт возрастания с числом Мт толщины пограничного слоя
1 Графики заимствуем из работы Хантше и Вендта (См. W. W. Hantz-
sche und H. Wendt, Die laminare Grenzschicht der ebener Platte mit und
ohne Warmeiibertragung ... Jahrbuch 1942 der Deutschen Luftfahtorschung,
S.40—51). Отметим, что изложенный выше метод, основанный на
преобразовании Дородницына, отличен от метода иностранных авторов и превосходит
его по простоте и наглядности.
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (й = 1) 573
1,0
и
0,5
г-
Ууу^
^5
*3
а=0,7
2,0
4,0
У
6,0
i
V~Pa
Рис. 171.
0,2
т-тт
0,1
2,0
4,5
6,0
Wo
Рис. 172.
1,0
8,0
10,0
0~/4%?
5^
\*
п = 1
а=0,7
8,0 10,0
0,5
м„,=о
ч з и
5 "^
7 =±Т
n=f
(3=0,7
1,0
2,0 3,0
4,0 5,0 6,0
}\/ЧЕ
•x
Рис. 173.
574
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
(скоростного и температурного). Лрофиль скоростей с ростом числа М^,
урезывается, становится более пологим. Температура при удалении от
1,75
Г
1,0
0,5
k
3
t-^7^-
0
г -It
0=0,7
К =1,4
1.0
2,0 3,0
Рис. 174.
\0
источника охлаждения
1,0
0,5
стенки -
Мсо =5,*
ywco=c
0 = 0,7
K=1,U
Рис. 175.
Ш
сначала возрастает, а затем
возвращается к прежнему
значению, причем максимум
отношения
где Т0 — температура
адиабатически и изэнтропи-
чески заторможенного
газа, следуя расширению
пограничного слоя,
отодвигается от стенки, но
сохраняет неизменной
свою величину.
Сравнение этих
кривых с кривыми,
показания
ными на рис. 173 и 174, соответствующими случаю сильного охлаждения
говорит о некотором уменьшении толщин
пластинки ( Т,„= — Т,
4 "»)>
пограничных слоев и естественном снижении максимумов температуры.
На рис. 175 демонстрируется факт спрямления кривых
распределения ско
ростей в координатах (и/К*,, у у °° w ) по мере роста М,
в случае отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.
§ 90] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (а=1) 575
§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом
законе связи между вязкостью и температурой и при числе о= 1.
Обтекание крылового профиля потоком больших скоростей
Откажемся теперь от ограничения я = 1 и рассмотрим систему
уравнений (113) в предположении в=1, что довольно близко к значению а = 0,72
для воздуха. О влиянии отклонений а от единицы можно в известной
степени судить по результатам предыдущего параграфа при п = 1 и
различных а.
Исключим при а = 1 из системы (ИЗ) величину tp, для чего умножим
первое равенство на V', второе — на <?" и вычтем одно из другого. Получим:
i' (*»-уу _ </' (<»-» j'/ _ ^-Ml j*-y3 = о,
или, вычисляя производные и проводя сокращения:
Возвращаясь к скорости и = —<р', перепишем последнее равенство в виде:
i'u" — u'i" — (£—]) M%u'a=: 0
и произведем в нем замену:
du difi du
тогда получим:
I /ГЦ „ I
0.
[S+^-D^]«" =
Отсюда вытекает равенство:
интегрирование которого приводит к важному соотношению;
Постоянные интегрирования легко определяются из условий:
при и = 0 / = lw,
при и = 1 / = 1,
так что будем иметь:
ЦД ml и* + (1 - iw + *-Л К,)» +1« (127>
или, переходя к размерным температурам и скоростям:
1 ..2 / И \В ■ Л Г» , *-1 дд2 '\ И
М^hf + l-^ + ^M2. 7T- + 4*- (1270
2 ""U-'J 'V Г ■ 2 *WK ' Гс
576 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Последнему равенству можно придать простой и наглядный смысл.
Обозначим значком (0) сверху ту температуру, которую газ получил бы, будучи
каким-то адиабатическим и изэнтропическим процессом переведен из данной
точки потока к покою.
Тогда для любой точки пограничного слоя получим:
k — I „,„\ „Л , к — 1 Ф
Т<0>= т(\ +-Ц-1М2)_ Г( 1
2 ";-'**> 2 ЛЯГ
/ fe— 1 Vl, T^ ir ч / /г —1 , Г <г ■
и, следовательно, на внешней границе слоя (и — V^) и на поверхности
пластинки (а = 0) будет:
'со — со I 1 п 2 °
г(0) _ 7-
' to ' ' if
Переписывая (127') в форме:
T+tz±M--rct
Vqo' U
получим равенство:
г (i+*=iм!^ - v~
■№-■№ Va
(128)
служащее обобщением известного уже нам по § Н5 соотношения подобия (74')
на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях. Согласно (128),
можно утверждать, что в любом сечении слоя, при з = 1 и произвольном
показателе степени п в законе зависимости вязкости от температуры, поле
перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически
пересчитанных на покоящийся газ, подобно полю скоростей.
Разыскание профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе
с тем по (127) и профиля температур, представляет значительные трудности,
так как приводит к необходимости для каждого значения п численно
интегрировать нелинейное уравнение второго порядка. Для составления этого
уравнения возьмем первое уравнение системы (113), один раз его
продифференцируем по С и из таким образом полученной системы:
(г«-у)' + <р?" = 0,
(i>,-i-S'y л-п'"+ ■-'-/' = 0
исключим величину <j; для этого умножим первое из этих уравнений на ■%'",
второе на у" и вычтем одно из другого. Получим:
(/«-ууу + У/'2 — (/" -у )у = 0.
§ 90] Ламинарный слой в сжимаемом газе (а = 1) 577
Имея в виду, что i представляет по (127) известную функцию и и что
tf' = 2«, перепишем последнее уравнение в форме:
(t»-iu')""' -f 2uu'2 — (t«-i«')' и" = 0
и введем новую неизвестную функцию
s = /'»-!«' (129)
и новое независимое переменное и. Тогда будем иметь искомое нелинейное
дифференциальное уравнение
в котором i предполагается замененным, согласно (127). Из первого
уравнения системы (113) при С = 0, и = 0 и <р = 0 следует граничное условие
rf«f
при и = 0 Ти^0, (130/)
так как и' ф 0. При и — 1 s = 0 и уравнение (130) имеет особую точку.
Исследуем поведение интегральных кривых вблизи особой точки. Для этого
положим в правой части (130) и = 1; будем иметь, согласно (127), уравнение
s du*
которое приводится к квадратуре следующим путем (а — постоянная
интегрирования):
ds d2s _ „ 1 ds
du da2 ~~ s du '
(!)'-«h
i/
(«)
ds
Y— In (as)
«(1)
Полагая здесь:
_ 2 _ ,2
- In (я*) = 25, as = e z , ads=—2ze * dz,
найдем:
и = 1 ^- erf [V -In (as)], (131)
где принято обычное обозначение
И
erf* = —%=. Г e-iSrf^.
t
Задаваясь различными а, подбираем такое его значение, чтобы
интегральная кривая, выйдя из точки и = 1, s = 0 вдоль кривой (131) и численно
ds a
затем рассчитанная до и = 0, дала -г— == 0, т. е. удовлетворила граничному
условию (130'). Определив таким образом s как функцию от и, сможем по (129)
найти и (Q, а следовательно, и трение.
37 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
578 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. V1I1
Так же как и в предыдущем параграфе, получим:
О f'oo ^oo
V
откуда, согласно (129), будет следовать:
=/:
Роэ^оо*
«' (0),
гоо ^ ее
•6(0)
(132)
здесь s (0) в свою очередь зависит от температурного фактора и числа М^.
На рис. 176 приводим рассчитанный полный коэффициент сопротивления
пластинки в функции от числа М^ при отсутствии теплоотдачи и при
различных значениях числа п. Влияние числа п на коэффициент сопротивления
прн малых IVLg невелико и возрастает
с ростом M^. Как показывают расчеты,
влияние п на распределение скоростей
невелико даже при больших М^ .
Можно сделать общий вывод: при
отсутствии теплоотдачи и не слишком
больших значениях М^ < 2 влияние
сжимаемости воздуха на характеристики
пластинки сравнительно мало. Иное
наблюдается прн сильном охлаждении
пластинки. Как было показано еще в
предыдущем параграфе, при этих
условиях изменение числа М^, значительно
сказывается на полях скоростей и
температур.
Влияние сжимаемости на движение
газа в пограничном слое становится
М^,, меньших единицы, при обтекании
телесного крылового профиля. В этом случае влияние сжимаемости
проявляется главным образом за счет изменения распределения скоростей во
внешнем потоке, о котором говорилось еще в гл. VI.
При отсутствии теплоотдачи с поверхности крылового профиля и числе
а = 1 расчет ламинарного пограничного слоя не представляет труда и
проводится методом, служащим простым обобщением изложенного в § 88.
Параметр /, определенный формулой
существенным даже при числах
/ =
Ц'Ъ**'
^о
1--^У
в которой производная V и о** вычислены в переменных. Дородницына 5 и г,
аи
U' = -
d£
§ 90)
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (о = 1)
579
а /0 — теплосодержание адиабатически и изэнтропически заторможенного
потока, может быть выражен через известную функцию U (х)
приближенным соотношением (в обычном аргументе х)
f(x) = a
dU
dx
™-&j
Ub-^l-^y-1 dx, (133)
где а и b — те же самые константы, что и в § 88, а т имеет значение
/и = 2 +
k—1
для воздуха близкое к числу 2,5. В зависимости от выбора чисел а и b
следует выбирать и отрывное значение Д.*
На рис. 177 приведен вспомогательный график, позволяющий по
заданному распределению коэффициента давлений рис в несжимаемом обтекании
0,1*
0,3
ПП
л \
л
и.
'//
{/
4
0
Ь
у
А
ё.
т
У
te?
<■
А
Ы
W
'ф.
р
л
ш
ш
р,
щ
0
п
\л
щ
ф
г
Ф
к
к.
h
^
*
'У
№
'/,
V/,
Ъ
?,
Ъ
Р^
8
2
//,
ШУ/
у/л
у/
У
'у.
ъ
/<>
У
УУ
ggtog
СГсзсГ»
V.
>//.
>/
/А
У,
'/.
'у
'/>
'/}
1
л
у,
у
■у
SS№3
М Qtfa ^с
7?W
"/
',
у
У,
У
V
у
/
/
-
/
(Ni
fS
;Г р^>" сь*
^
[
1
с?
^
,
/
У
У
i
!
—1
i__i :
/
/
i
О
-з-
1
Г' ?*■
7^/
У
' У
У*
У**
\
1
I i .
у
1
-3-
/
—г
%
У
У
У
1
4"
0,5
-0,5
-/,0
-'.5
-г, о
-2,5
Рис. 177.
сразу определять величину UJ Y^o при докритических значениях числа М^.
График составлен на основании изложенного в гл. VI приближения теории
Христиановича.
1 А. А. Дородницын и Л. Г. Л о й ц я н с к и й, К теории перехода
ламинарного слоя в турбулентный. Прикл. матем. и механ., т. IX, вып. 4,
1945. См. также Кибель, Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханика,
ч. И, стр. 515 — 520.
37*
580 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Как было еще показано в гл. VI, возрастание числа М^, в дозвуковой
области вывывает увеличение разрежений и вместе с тем углов наклона
кривой U {х) за точкой минимума давления, т. е. увеличение по абсолютной
величине производной -—.Как можно заметить по структуре формулы (133),
это приведет к ускорению возрастания / и, следовательно, к перемещению
точки отрыва в сторону точки минимума давления. Можно поэтому думать,
что сжимаемость газа при дозвуковых скоростях предваряет отрыв, ухудшая
обтекание крылового профиля. Расчеты подтверждают такое мнение. В
дальнейшем будет указано экспериментальное подтверждение того же факта.
Удовольствуемся этими краткими сведениями о ламинарном
пограничном слое в сжимаемом газе.1 Применение к сжимаемому газу
приближенных методов теории ламинарного пограничного слоя (см. § 87)
произодилось многими авторами. Для пластинки первое исследование
в этом направлении было проведено Ф. И. Франклем.2 При отсутствии
теплоотдачи и числе а = 1 теми же приближенными приемами для
крылового профиля пользовался А. А. Дородницын в ранее
цитированной работе. При более общих предположениях (наличие
теплоотдачи) тот же вопрос был исследован Л. Е. Калихманом.3
1 Обзор советских работ по теории пограничного слоя дан в нашем
очерке „Пограничный слой" в сборнике „Механика в СССР за тридцать лет",
Гостехиздат, 1950.
2 Ф. И. Франкль, Теория ламинарного пограничного слоя в
сжимаемом газе. Труды ЦАГИ, № 176, 1934.
8 Л. Е. Калихман, Сопротивление и теплоотдача плоской пластины
в потоке газа при больших скоростях. Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945,
а также — Газодинамическая теория теплопередачи, Прикл. матем. и механ.,
т. X, вып. 4, 1946.
ГЛАВА IX
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 91. Переход ламинарного движения в турбулентное.
Критическое рейнольдсово число
Подкрашивая жидкость или впуская в движущийся газ облачка,
отличного от него по цвету дыма, можно непосредственно наблюдать
за движением отдельных малых объемов жидкости или газа. При этом,
как показывают опыты, в одних случаях наблюдаемые струйки
сохраняют отчетливую форму на большом протяжении и медленно
рассеиваются в потоке, а в других, наоборот, сразу же размываются,
окрашивая или задымляя окрестные объемы жидкости или газа.
Первый вид движения, при котором частицы следуют по отчетливо
видимым траекториям, представляющим плавные, лишь слегка
изменяющиеся со временем, кривые, называется ламинарным; этот вид
движения был рассмотрен в предыдущей главе.
Более распространен второй вид движения с хаотически
переплетенными и быстро изменяющимися во времени траекториями, с поперечными
и, даже, попятными по отношению к общему движению жидкости
перемещениями отдельных малых объемов. Такое нерегулярное, имеющее
в малых своих частях случайный характер движение называется
турбулентным.
Характерные особенности турбулентного движения удобно
наблюдать, например, в городских каналах при малых скоростях движущейся
в них воды. Если посмотреть с моста на поверхность воды в канале,
обычно засоренную листьями, щепками и другими мелкими плавающими
телами или налетом нефти, то можно заметить, как отдельные объемы
воды, участвуя в общем поступательном движении, совершают весьма
замысловатые движения поперек общего направления потока, а вблизи
берегов, где скорости особо малы, даже попятные движения.
Ламинарные и турбулентные движения при некоторых условиях
переходят одно в другое. Повышая, например, скорость ламинарно
движущейся по цилиндрической трубе жидкости, заметим, как на
подкрашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную струйку
начинают накладываться волны, распространение которых вдоль струйки
говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном
582
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
движении. Постепенно число таких волн и их амплитуды начинают
возрастать, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные
перемешивающиеся между собой змеевидные мелкие струйки; хаотический
характер этого перемешивания позволяет судить о переходе
ламинарного движения в турбулентное. Описанная только что картина перехода
(наблюдения такого рода впервые систематически производились Рей-
нольдсом во второй половине XIX в.) с полной отчетливостью
вскрывает природу происходящего в жидкости явления. С возрастанием
скорости ламинарное движение теряет свою устойчивость; при этом
любые случайные малые возмущения, которые вначале вызывали лишь
малые колебания вокруг устойчивого ламинарного движения, начинают
быстро развиваться и приводят к новой форме движения жидкости —
к турбулентному ее движению.
Законы движения потерявшей устойчивость жидкости, при котором
самые ничтожные, возникшие от совершенно случайных причин
возмущения развиваются и накладываются одно на другое, естественно,
крайне сложны.
В некоторых исследованиях по турбулентному движению даже
ставился вопрос: можно ли вообще рассматривать турбулентное
движение как непрерывное движение, удовлетворяющее
гидродинамическим уравнениям, или это совокупность случайных движений отдельных
малых объемов жидкости, аналогичных, например, движению молекул.
В связи с этим неоднократно делались попытки чисто статистического
изучения турбулентных движений, не основанного на использовании
гидродинамических уравнений. Однако все эти попытки не привели
пока еще к ощутительным для практики результатам.
На самом деле, как показывают многочисленные исследования,
турбулентное движение, как бы ни было оно сложно по своей
внутренней структуре, подчиняется общим законам динамики непрерывной
среды, в частности установленным в предыдущей главе уравнениям
динамики вязкой сжимаемой или несжимаемой жидкости в
нестационарной их форме. В то же время не имеет смысла точная постановка
вопроса о разыскании решений этих уравнений при строго
поставленных начальных и граничных условиях. Действительно, в обстановке
неограниченного роста сколь угодно малых возмущений самые
ничтожные отклонения от поставленных граничных и начальных условий
(неточности в изготовлении поверхности обтекаемого тела, предыдущая
история потока и др.) могут привести к столь значительным
изменениям решений уравнений, что за ними исчезнут все достоинства
„строгой" постановки задачи. Пользоваться упрощенной
геометризацией формы обтекаемых тел или каналов и не учитывать наличия
начальных возмущений в потоке можно лишь в тех случаях, когда
поток устойчив и существует уверенность, что сделанные малые
ошибки в постановке задачи приведут к столь же малым ошибкам в ее
пешении; это и делалось ранее при рассмотрении ламинарных
движений. Для исследования турбулентных движений приходится применять
§ 91] ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ 583
особые, характерные для существа рассматриваемого явления приемы,
связанные с заменой действительного движения некоторой упрощенной
схемой осредненного в пространстве и времени движения, которое
примерно так же относится к истинному, как ламинарное движение —
к представляющему его внутреннюю структуру хаотическому
молекулярному. Эта аналогия сыграла свою роль в истории создания законов
осредненного турбулентного движения жидкости.
Прежде чем перейти к выводу основных уравнений осредненного
движения, рассмотрим несколько детальнее явление перехода
ламинарного движения в турбулентное.
Из предыдущего вытекает, что вопрос об определении условий
перехода ламинарного движения в турбулентное сводится к решению
задачи об устойчивости ламинарного движения и указанию границы
потери этой устойчивости. Не имея возможности останавливаться
на весьма сложной математической теории устойчивости ламинарных
движений,1 удовольствуемся изложением некоторых важных для
практики выводов этой теории.
Еще в 1883 г. О. Рейнольде, на основании большого числа
систематических наблюдений за движением воды в круглой цилиндрической
трубе, заметил, что существует некоторое характерное для режима
движения критическое число
р °1>
%, — —г~'
впоследствии названное критическим числом Рейнольдса (иор — средняя
скорость движения в трубе, d — диаметр трубы, v — кинематический
коэффициент вязкости), служащее основным критерием перехода
ламинарного движения в турбулентное. В дальнейшем было установлено
существование нижней границы значений числа Рейнольдса, или
нижнего критического числа Рейнольдса, для круглой трубы
приблизительно равного
RK|, = 2200,
причем при R < RK]J поток сохраняет свою устойчивую ламинарную
форму. Наблюдения показали, что при таких ограниченных сверху
значениях числа Рейнольдса любое внешнее возмущение, как бы
интенсивно оно ни было, должно затухать и не может изменить общего
ламинарного характера движения с параболическим распределением
скоростей и пуазейлевым законом сопротивления. Вместе с тем было
замечено, что путем удаления возмущений или уменьшения начальной
их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение
в область значительно больших значений чисел Рейнольдса. При этом,
однако, не удалось получить определенного значения для верхней
1 Обширный обзор работ по теории устойчивости ламинарных движений
можно найти во втором томе неоднократно цитированного курса К и б е л я,
Кочина и Розе (стр. 547—572, изд. 1948 г.).
584
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
границы критического числа; эта граница многократно отодвигалась
все более и более тщательными опытами и была доведена чуть ли
ни до числа 150 000. Конечно, такое „затянутое" ламинарное
движение не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу
же переходит в турбулентное. Для дальнейшего представляет интерес
лишь нижняя граница RKp, которую и будем всегда подразумевать,
говоря о критическом числе Рейнольдса.
Оставляя в стороне вопрос об опытных значениях критического
рейнольдсова числа для цилиндрических труб с различной формой
сечений (об этом подробно рассказывается в курсах гидравлики),
заметим лишь, что на величину критического числа сильно влияет всякое
отклонение трубы от цилиндричности, т. е. диффузорность или кон-
фузорность трубы.
Так, в сходящихся трубах (конфузорах) RK), значительно превышает
соответствующее число для цилиндрической трубы, причем тем больше,
чем больше конфузорность, и, наоборот, в расширяющихся каналах
(диффузорах) Рк., очень мало, особенно в трубах со значительной диф-
фузорностью.
Отметим, что шероховатость стенок не влияет на величину
критического числа Рейнольдса, что и естественно, так как „нижнее"
число Рейнольдса связано с внутренней устойчивостью потока, а не
наличием или отсутствием возмущений.
Можно провести некоторую аналогию между явлением перехода
ламинарного движения в турбулентное в трубе и переходом
ламинарного пограничного слоя в турбулентный на крыле. Если грубо
качественно сопоставлять скорость на внешней границе пограничного слоя
со скоростью на оси трубы, а „толщину" пограничного слоя с
радиусом трубы, то следует ввести в рассмотрение рейнольдсово число
пограничного слоя
характеризующее поток в данном сечении слоя.
Многочисленные опыты по определению критического числа R5Bp
для пограничного слоя на пластинке привели к значениям, близким
к критическому числу трубы. Тот же порядок 1??жр был найден и при
обтеканиях круглого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом
было обнаружено и некоторое принципиальное отличие явления
перехода в пограничном слое от соответствующего явления в трубе.
Относительное расположение на поверхности пластинки или другого
обтекаемого тела „критического" сечения пограничного слоя, в
котором ламинарный слой теряет устойчивость и переходит в
турбулентный, оказалось существенно зависящим от степени возмущенности
или, как иногда говорят, от „интенсивности турбулентности"
набегающего на тело внешнего потока. При изменении этого фактора
изменялась и величина критического числа Рейнольдса пограничного
Слоя,
§ 91] ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ 585
При малой интенсивности турбулентности внешнего потока в опытах
как с пластинками, так и с крыльями удавалось „затянуть" переход
на большие значения R5 , чем в случае сильно возмущенных потоков.
Так, например, в пограничном слое на пластинке, помещенной в мало
турбулентную аэродинамическую трубу, наблюдалось ламинарное
движение вплоть до „критического" сечения пограничного слоя, где
Rs = 6290, а на полированных металлических крыльях аэроплана
в полете R5 доводилось даже до величины 9300.1
Относительный размер ламинарного участка пограничного слоя на
крыле, особенно при малой турбулентности набегающего потока,
зависит также от степени шероховатости крыла вблизи передней его
кромки и от наличия производственных недостатков обработки
поверхности в этой области крыла. Такое отличие движения жидкости в
пограничном слое от движения в трубе может быть легко объяснено.
Ламинарное движение жидкости в длинной трубе в области, достаточно
удаленной от входа в трубу, не может зависеть от условий втекания
жидкости в трубу, так как возмущения, зародившиеся вблизи входа
или вошедшие вместе с внешней жидкостью, должны затухать. Иначе
обстоит дело с пограничным слоем, через внешнюю границу которого
вдоль всего слоя поступает -внешняя жидкость. Кроме того, как уже
ранее упоминалось, вблизи носика крыла пограничный слой еще очень
тонок, и любые даже очень незначительные по размеру бугорки
шероховатости проникнут сквозь пограничный слой, нарушая его
движение.
Вместо R8, заключающего в себе неточную величину 8, можно
рассматривать числа:
1Л* л/8**
R* = —, r** = H2_
составленные по более строго Определяемым величинам: толщине
вытеснения и толщине потери импульса. Соответствующие критические
их значения могут быть найдены непосредственно по замерам
скоростей в сечениях слоя или пересчетом. В настоящее время наиболее
широко используется число R . Значение RKp по опытам на различных
крыльях и в различных аэродинамических трубах колеблется от 600
в сильно турбулентных трубах до 1300 в мало турбулентных (по
некоторым данным, относящимся к трубам с очень малой турбулент-
ностью, число REp достигало значения 2300).
Наблюдающееся различие в значениях RFp для разных крыльев
имеет еще одну важную причину. Подобно тому, как это имеет место
в трубе, критическое значение RKp в пограничном слое зависит еще
от того, попадет ли критическое сечение в конфузорную или диффу-
1 См. Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя, Гостех-
издат, 1941, стр. 241—249,
586
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
зорную часть пограничного слоя. В области ускоренного течения во
внешнем потоке можно ожидать более высоких значений REp, чем
в области замедленного движения. В качестве величины, учитывающей
указанный чрезвычайно существенный фактор влияния распределения
давлений в ламинарном пограничном слое на переход его в турбулентное
состояние, примем введенный в конце предыдущей главы параметр
/ =
[/'б**2
Результаты многочисленных теоретических исследований
устойчивости движения в ламинарном пограничном слое, на которых мы не
можем здесь остановиться, позволили установить показанную на
рис. 178 приближенную кривую зависимости REp от значений
параметра /кр в критических сечениях
ламинарного слоя. Этой кривой
можно пользоваться для
приближенного определения абсциссы
точки потери устойчивости
ламинарного движения на крыловом
профиле. Методика расчета этой
„критической" абсциссы крайне
проста. В каждом конкретном
случае обтекания данного крыла
с известным распределением U{x)
скорости внешнего потока можно
по формулам (101) и (103)
предыдущей главы установить
функциональные связи между / и R**,
с одной стороны, и безразмерной
абсциссой точки крыла—с другой:
/ = /(*) и R** = R**(x). (1)
Исключая отсюда х, найдем связь между R** и / в любых (а не
только критических) точках поверхности данного крыла, которую не
следует смешивать с кривой рис. 178, определяющей соотношение
между критическими значениями тех же величин. Легко видеть, что
кривая рис. 178 представляет изменение, противоположное по
направлению изменению R** (/), согласно (1). Действительно, при
положительных/, т. е. в лобовой части пограничного слоя, 8**, возрастающее с х,
будет меньше, чем в кормовой области, где / отрицательны;
следовательно, при одном и том же распределении скоростей U (х) рейнольдсово
число R** будет возрастать вниз по течению от положительных /
к отрицательным, в то время как на рис. 178 происходит обратное.
Таким образом, кривая R**(/)> построенная по параметрическим равен-
§ 92] „точка" перехода и „кризис обтекания" 587
ствам (1), будет пересекаться с кривой рис. 178. Определив в точке
пересечения этих двух кривых RKp или /кр, сможем по (1) найти и
х
хЕр = —~, т. е. определим положение точки потери устойчивости
ламинарного пограничного слоя на конкретном крыле.
§ 92. Область и
„точка" перехода. Явление „кризиса
обтекания"
Непосредственно в критическом сечении и в ближайших за ним
сечениях пограничного слоя движение жидкости еще нельзя
рассматривать как турбулентное. Вниз по течению за критическим сечением
простирается область, в которой происходит развитие возмущений и
где поток перестраивается из ламинарного в турбулентный; эта область
носит наименование „области перехода". В тех случаях, когда размеры
области перехода малы по сравнению с хордой крыла, можно
пренебрегать протяженностью области перехода и говорить о „точке перехода"
в других случаях следует
указывать положение границ
области перехода: начала ее —
критического сечения слоя (границы
потери устойчивости), вверх по
течению от которого движение
ламинарно, и конца — ниже по
течению расположенной
границы перехода, за которой
поток уже турбулентен.
Экспериментальное
определение границ области перехода
производят обычно так.
Микротрубку полного напора,
отверстие которой направлено
навстречу потоку, заставляют
перемещаться вдоль
пограничного слоя, оставляя все время
носик трубки D (динамическое
отверстие) на одном и том же
малом расстоянии h (рис. 179)
от поверхности крыла. Вычитая
из полного напора,
регистрируемого отверстием D трубки, давление в соответствующем сечении
пограничного слоя, замеряемое при помощи отверстия на поверхности крыла,
находящемся как раз под носиком микротрубки, можем определить
скорость на выбранном фиксированном расстоянии от поверхности
в различных сечениях пограничного слоя. В связи с утолщением
ламинарного пограничного слоя от сечения к сечению вниз по потоку,
588
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
безразмерная скорость jj, измеряемая на одном и том же расстоянии
от поверхности крыла внутри слоя, должна убывать. Действительно,
h
относительная координата -г- точки замера при этом уменьшается,
а сама точка как бы все глубже погружается в пограничный слой,
переходя к относительно меньшим скоростям. На рис. 179 для примера
показаны экспериментальные профили скоростей в последовательных
сечениях (/, II, III, IV) ламинарного пограничного слоя на крыле
при одном и том же значении Roo- Вертикальная прямая соответствует
выбранному расстоянию у — h носика микротрубки от поверхности
крыла. Точки Аг, Ац, Ащ и Aiy дают ряд убывающих значений -jj ,
регистрируемых микротрубкой. Профили скоростей в турбулентном
пограничном слое по своей форме резко отличаются от профилей
скорости в ламинарном пограничном слое (пунктирные профили на
том же рисунке). Когда носик трубки попадет в турбулентный погра-
и
ничный слой, величина
U
от сравнительно малого
значения (точка Ajy) резко
поднимется до значения Bi,
а затем будет опять падать,
проходя значения Ви, Дш,
Bjy. Если отложить на оси
ординат (рис. 180) jj , а на
оси абсцисс —
относительные (в частях хорды)
расстояния по обводу крыла,
то в результате такого рода
замеров можно получить
кривые, подобные
приведенным на рис. 180. Область
слева от вертикальной
пунктирной линии соответствует
У ламинарному пограничному
1} слою, между пунктирной
линией и вертикальной
черточкой располагается
переходная область и, наконец,
справа от вертикальной черточки имеет место турбулентное движение.
На рис. 180 приведено несколько таких кривых, относящихся к
различным числам Рейнольдса Roo=-^- в интервале от 1,7-106 до
5,1 • 106. Из рассмотрения этих кривых видно, что протяженность
Области перехода убывает с ростом рейнольдсова числа набегающего
Рис. 180.
§ 92] „ТОЧКА* ПЕРЕХОДА И „КРИЗИС ОБТЕКАНИЯ* 589
W
потока, но все же имеет вполне сравнимые с хордой крыла значения.
Экспериментальное определение „точки перехода" заключает в себе
некоторый произвол; одни авторы определяют точку перехода как
середину области перехода, другие—как точку минимума на кривой jj,
третьи — как точку максимума.
Положение точки перехода на поверхности крыла, так же как и
точки потери устойчивости слоя, зависит от степени турбулентности
набегающего потока, от ускоренное™ или замедленности внешнего
потока, от наличия на поверхности крыла источников возмущения —•
различных шероховатостей, неровностей, щелей и др.
Для иллюстрации влияния указанных факторов приведем результаты
опытов Е. М. Минского 1 (рис. 181). На оси ординат отложена
относительная дуговая абсцисса точки
перехода на верхней поверхности
четырнадцатипроцентного крылового
профиля, а на оси абсцисс — степень
турбулентности е, под которой
следует понимать выраженное в
процентах отношение отклонения
скорости набегающего потока от среднего
ее значения к самой средней
скорости.
Как показывает график,
наблюдается отчетливое смещение точки
перехода к носику крыла при
возрастании интенсивности
турбулентности набегающего потока.
Протяженность ламинарного участка резко
сокращается также при увеличении угла атаки (кривые рис. 181
относятся к различным, отмеченным на них значениям угла атаки а).
Это естественно, так как при возрастании угла атаки увеличивается
быстрота восстановления давления, что приводит к повышению диф-
фузорности пограничного слоя, а это, как было ранее указано,
вызывает ослабление устойчивости ламинарного участка пограничного
слоя. Заметим, что опыты Е. М. Минского проводились при
сравнительно малых рейнольдсовых числах.
В настоящее время еще не существует достаточно обоснованной
теории определения границ области перехода и приходится
довольствоваться для этой цели различными приближенными приемами.
0,8
0,6
ОМ
0,2
О
X*
8.
• ""Ч,
• ^*,,,,,*
|
<х=21
= 0°
1
Л
О
I
г з
Рис. 181.
h г %
1 Е. М. М и н с к и й, Влияние турбулентности набегающего потока на
переход. Труды ЦАГИ, вып. 415, 1939.
2 Изложение довоенных работ в этом направлении можно иайти в гл. I
третьего отдела нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя".
Гостехиздат, 1941, стр. 227. Новый полу эмпирический метод определения
положения точки перехода изложен в работе А. А. Дородницына и
590
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Некоторые соображения насчет расчета перехода ламинарного слоя
в турбулентный при больших скоростях набегающего потока (при
больших дозвуковых значениях числа Мтс) можно найти в только что
цитированной статье А. А. Дородницына и автора настоящего курса.
Задача об определении положения точки перехода имеет большое
практическое значение, так как от положения точки перехода на
крыле зависят его сопротивление и подъемная сила (особенно
максимальная, соответствующая критическому углу атаки).
Влияние положения точки перехода на сопротивление хорошо
обтекаемого крыла будет показано несколько дальше, а сейчас
обратимся к другому, не
менее важному вопросу о
влиянии положения точки
перехода на
сопротивление плохо обтекаемых
тел.
Если рассмотреть
кривые зависимости
коэффициента лобового
сопротивления сх от рейнольд-
сова числа Я для какого-
нибудь плохо обтекаемого
5,0 5,1 5,2 5,3 5,Ц 5,5 5,6 тела, например цилиндра
loo vjsA или шара, то можно за-
v метить, что существует
Рис. 182. такое значение числа Рей-
нольдса Rfc, вблизи
которого происходит резкое уменьшение сопротивления (в четыре-пять
раз). Величина Rk сильно зависит от степени турбулентности
набегающего потока. На рис. 182 приводим кривые cx(R) для шара,
помещенного в аэродинамические трубы с различной турбулентностью;
на рисунке помещены лишь те участки кривых сопротивления, где
происходит указанное резкое падение сопротивления. Разница между
кривыми настолько отчетлива, что по значению Rk можно судить об
интенсивности турбулентности. Чтобы уточнить определение величины Rk
было принято полагать:
R = Як ПРИ сх = 0,3.
Чем выше качество трубы, чем менее турбулентен в ней поток,
тем выше величина Як, достигаемая при измерениях сопротивления
шара в этой трубе. Так, кривая V (Rk = 270 000) соответствует опытам
Л. Г. Лойцянского „К теории перехода ламинарного слоя в
турбулентный". Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945. См. также А. П. Мельников,
О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Труды Ленингр.
военно-возд. академии, вып. 3, 1943.
с
О,"
0,2
0,1
•^
rs,
ь
-^ч
Г |
^Г^
N
35
^
^
iNM
i i f
■ Ш-
1
1
1
1
ч^-
§ 92] „точка" перехода и „кризис обтекания" 591
в трубе, в которой средние отклонения мгновенных скоростей потока
отличаются от средней скорости потока не более чем на 0,5%,
кривая / (Rfc= 125 000) соответствует потоку с аналогичными
отклонениями, достигающими почти 2,5%. В настоящее время такой
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
О
-0,2
-о,и
-0,6
-0,8
~!,0
-1,г
-fz, . . . .
' 0° 20° 40° ВО0 80° 100" 120° М° 160" 181Г
^В"
Рис. 183.
косвенный метод описания турбулентности аэродинамической трубы
заменен более точными, прямыми замерами средних отклонений
мгновенных скоростей (см. конец § 104).
Чтобы понять причину отмеченного явления резкого уменьшения
сопротивления шара, обратимся к рассмотрению кривых распределения
давлений по его поверхности (рис. 183). Из этих кривых (особенно
см. / и //) следует, что уменьшение сопротивления шара связано
с коренной перестройкой всего окружающего потока. Резкое
возрастание максимального разрежения, смещение вниз по потоку точек
минимума давления М и точек отрыва пограничного слоя 5 говорит
592 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
об улучшении обтекания шара. Это объясняет уменьшение
коэффициента сопротивления, так как при лучшем охвате поверхности шара
потоком распределение давлений как бы приближается к тому
идеальному, при котором, согласно парадоксу Даламбера, сопротивление
должно равняться нулю.
Следует заметить, что визуальные наблюдения (рис. 184)
подтверждают описанную картину улучшения обтекания шара в
указанной области рейнольдсовых чисел.
Явление это, получившее наименование „кризиса сопротивления"
или „кризиса обтекания", объясняется изменением расположения точки
перехода ламинарного пограничного слоя на шаре в турбулентный.
а]
Рис. 184.
При R меньших 1,5 • 106 во всех рассмотренных трубах на
поверхности шара происходит отрыв ламинарного пограничного слоя,
переходящего в турбулентный где-то вне шара в оторвавшемся слое.
При возрастании рейнольдсова числа точка перехода, отметим ее
буквой Т, перемещается навстречу потоку и приближается к поверхности
шара. Как только точка Т достигнет точки 5 ламинарного отрыва
слоя, внешний поток, благодаря возникновению вблизи точки отрыва
турбулентного перемешивания, увлечет за собою пограничный слой,
обтекание улучшится, и точка отрыва сместится вниз по потоку.
Теперь уже точка отрыва 5 будет соответствовать отрыву
турбулентного слоя, так как точка перехода Т будет находиться выше
по потоку, чем точка отрыва. Судя по характеру кривых рис. 183,
можно думать, что в точке перехода Т происходит местный, не
получающий дальнейшего развития отрыв ламинарного слоя,
сопровождающийся обратным прилипанием пограничного слоя к поверхности
шара с последующим развитым отрывом уже турбулентного
пограничного слоя. Указанный местный отрыв ламинарного слоя служит
источником возмущений (вихреобразований), заполняющих поток за
точкой Т.
Приведенное объяснение явления „кризиса обтекания", основанное
на представлении о переходе пограничного слоя из ламинарного
состояния в турбулентное, прекрасно подтверждается применением искусствен-
§ 92] „точка" перехода. й „кризис обтекания" 593
ной турбулизации слоя при помощи различных специально вводимых
в слой источников возмущений (проволочное колечко на поверхности
шара, перегородочка, выступы шероховатости и др.) в условиях потока
с рейнольдсовыми числами, значительно меньшими критических Rfc.
Этим специально пользуются, когда, не имея возможности достигнуть
больших значений чисел Рейнольдса, хотят все же получить картину
обтекания, близкую к той, которая имеет место при больших
числах Рейнольдса. Для этого
в пограничный слой
помещают различные, очень
маленькие по своим размерам
турбулизатор ы.
Явление „кризиса
обтекания" сильно зависит от
сжимаемости газа при
больших скоростях его
движения. Как уже было указано
в самом конце предыдущей
главы, возрастание докрити-
ческих чисел М набегающего
потока вызывает ухудшение
обтекания тела, поэтому
можно ожидать, что для
улучшения обтекания шара,
происходящего при кризисе
обтекания, потребуются тем
большие рейнольдсовы числа,
чем больше число М. Наблюдения Ферри над обтеканием шара при
разных М, результаты которых приведены на рис. 185, блестяще
подтверждают это предположение. С возрастанием числа М от 0,3 до 0,67
принятое ранее условное значение Rft возрастает от 400 000 примерно
до 740 000.
Этот факт служит вместе с тем косвенным подтверждением
высказанного ранее предположения об ухудшении обтекаемости тел при
появлении влияния сжимаемости.
В заключение отметим, что явление кризиса обтекания играет
существенную роль в лабораторных определениях максимального
значения коэффициента подъемной силы крыла сутах. При критических
углах атаки обтекание носика крыла похоже на обтекание круглого
цилиндра. При малых рейнольдсовых числах с носика легко срывается
ламинарный слой, что приводит к резкому падению су и
необходимости уменьшения критических углов атаки, а следовательно, и
уменьшения сут&х. С ростом рейнольдсова числа и достижением тех его
значений, при которых возникает кризис обтекания, начинается
отмеченное выше улучшение обтекания носика и появляется возможность
повышать критические углы атаки и вместе с тем cj/mux.
с*
0,60
0,50
Qfio
0,30
№
0,10
^
b
1 = 0,3
ом
I
М = 0,7
Ш
\0,6
\о.
SxtO*
Рис. 185.
38 Зак. 1841. Л. Г. Лойшшский.
•"54 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. tX
Приводим для иллюстрации (рис. 186) кривую роста сутлх с
числом R для крылового профиля с относительной толщиной 12,7°/0.
Отсюда вытекает, что опыты, производимые в малых аэродинамических
^у max
\
0J
г-ю6 зчое 4-ws 5-ws 6-iOs
^/f
Рис. 186.
трубах при сравнительно небольших рейнольдсовых числах, не
позволяют судить о подлинных возможностях крыловых профилей с точки
зрения их максимальной подъемной силы.'
§ 93. Основные уравнения осредненного турбулентного движения.
Тензор турбулентных напряжений
На рис. 187 показаны осциллограммы колебаний скорости в
различных точках потока перед продольно обтекаемой пластинкой и
внутри пограничного слоя на ней. Электрический измеритель скорости
был неподвижен, а поток набегал на него со средней скоростью
15 м\сек.
Верхняя осциллограмма показывает чрезвычайно малые по
амплитуде пульсации скорости во внешнем потоке, не
превышающие 0,5% от скорости набегающего потока, причем частота их, судя
по шкале времени, велика. Эта осциллограмма / дает общее
представление об установившемся турбулентном воздушном потоке в
аэродинамической трубе. Если бы измерительный прибор не был так
точен, пульсации скорости остались бы незамеченными, и поток в трубе
мог быть назван стационарным. Следующая осциллограмма 2 относится
1 Вопросы влияния рейнольдс.ова числа и турбулентности потока иа
максимальную подъемную силу крыла подробно рассмотрены в нашей
монографии „Аэродинамика пограничного слоя'", Гостехиздат, 1941, стр. 250—262.
Там же можно найти и результаты некоторых опытов по искусственной
турбулизации потока.
§ 93] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 595
к точке пограничного слоя, находящейся на расстоянии 20 см от
передней кромки пластинки. На самой кромке образуются возмущения
(типа завихрений); они интенсивны, но, перемещаясь вдоль пограничного
слоя, который в этой области устойчив и ламинарен, быстро затухают;
эти пульсации, имеющие сравнительно небольшую частоту и довольно
регулярный характер, напоминают малые колебания потока около
устойчивого движения. Такое представление хорошо подтверждается
следующей осциллограммой 3, зарегистрированной прибором,
находящимся в пограничном слое на расстоянии 50 см от носика пластинки.
Возмущения от носика затухли, только изредка приходят отдельные,
очень значительные по интенсивности возмущения, не нарушающие,
15 и I сен
S%
г
JLWA
1
го%
масштаб Времени
0,1 сен
Рис. 187.
однако, общего ламинарного характера пограничного слоя. Природа
этих возмущений связана, повидимому, с началом потери устойчивости,
так как осциллограмма 4 в точке на 60 см от носика уже носит явно
переходный характер. Наконец, на расстоянии от носика пластинки,
превышающем 100 см, наблюдается (осциллограмма 5) типичная
турбулентная картина пульсаций большой частоты и довольно значительной
интенсивности (3—4°/0).
Приведенные- осциллограммы 1 еще раз подтверждают изложенные
в предыдущем параграфе общие представления о явлении перехода
ламинарного слоя в турбулентный. Вместе с тем они имеют для нас
и самостоятельное значение. Из этих осциллограмм непосредственно
видно, что, описывая турбулентное движение приемом Эйлера, т. е.
1 „Аэродинамика" (под редакцией Дюрэнда), т. VI, Оборонгиз, 1941.
38*
596
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1гл. IX
регистрируя во времени скорости потока в данной точке пространства,
можно положить:
и = и -(- и', v = v-\-v', w = w -j- w', (2)
где и, v, w — действительные мгновенные скорости потока в данной
точке, и, v, w — осредненные во времени скорости, а и', v', w'—
отклонения действительных скоростей от осредненных^ которые будем
называть пульсационными скоростями или, короче, пульсациями.
Будем в дальнейшем предполагать, что в развитом турбулентном
движении пульсации очень малы по сравнению со средними скоростями
потока и что величины осредненных скоростей мало зависят от
способа осреднения. Условимся обозначать черточкой, поставленной
над величиной, среднее ее значение, определенное, как обычное
интегральное среднее
т
t+T
® (х, у, г; £) == — J <s (х, у, г; т) di (3)
за промежуток времени Т, называемый периодом осреднения.
Будем предполагать, что для каждого рассматриваемого
турбулентного движения существует такой, достаточно большой по сравнению
с периодом пульсаций, но малый по сравнению с характерным для
осредненного движения интервалом времени (периодом колебательного
процесса, временем прохождения телом своей длины или др.), не
зависящий от времени период осреднения Т, что приведенное
сглаживание во времени (3) приводит к осредненной величине, при
повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это значит, что
<р = <р. (4)
Если в результате осреднения (3), проведенного в данной точке
в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же
значения ф, то такое осредненное движение называется стационарным,
а само турбулентное движение квазистационарным.
Предположение (4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю
средних значений пульсаций величины о, равных
<р' = э — ».
Действительно, в силу линейности операции осреднения (3) и
равенства (4), имеем:
"Р = в — ф = 0. (5)
В дальнейшем придется иметь дело исключительно с
квазистационарными турбулентными движениями. В этом случае осредненное
§ 93] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕНИОГО ДВИЖЕНИЯ 597
значение <о будет функцией только координат, так что, если ty
означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то,
согласно (3), получим [черта сверху означает операцию осреднения (3),
проведенную над всем выражением, стоящим под этой чертой]:
срф = <р<Ь. (6)
Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (6)
приходится постулировать как дополнительное свойство
осреднения (3).
По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее
значение производной от некоторой функции по координате равно
производной от среднего значения функции по той же координате
£-£"■*• т
так как операции дифференцирования по координате и интегрирования
по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная
по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования
интеграла с переменными пределами получим:
т т
<+— *+ —
2 2
t-Z. t-L
т
= Ц*(х, у, z; t-)~L)-«(x, v, г; *—J)|=y / Ъ
ё- d-
t-*-
и, следовательно,
до d'-f
It ~"дГ'
(8)
Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из
определения закона осреднения (3) свойствами,х можно получить
дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости.
Возьмем для этой цели основную систему (14') гл. VIII уравнений
1 Закон осреднения (3), использованный для турбулентного движения
впервые Рейнольдсом, является простейшим из возможных законов
осреднения.
Несколько подробнее вопрос об осреднении (сглаживании) пульсирующих
функций изложен во втором томе курса К и 6 е л я, К о ч и н а и Розе
(стр. 575, изд. 1948 г.).
598
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил:
ди , ди , ди , ди
+ «757 + ^ + ™^!
д(
dv
Tt
dw
Tt
дх
dv
дх
dw
дх
dv , dv . dv ,
7)7 +M д7+в7П7+в'
(3d
<3w
ЪТ
-¥- + №,
P dy ' '
йгу , (Згу , dw . дгу 1 <3p , „„
— + м л7 +u7jJ+ w яГ = - 7 7э7 + vV'™ >
du.dv.dw _
<3z
<3да
7Л
Р д.г
(9)
и, пользуясь уравнением несжимаемости, перепишем первое из
уравнении системы (9) в виде:
да . д (ии) , д (uv) , д (uw) 1 dp , „,
дх
ду
dz
Р (Зх
Произведем над обеими частями этого равенства операцию
осреднения (3), тогда, согласно (7) и (8), при р — const, v = const, будем
имен,:
ди . duu
dt
дх
duv
TV
duw
dz
1 dp , _,.-,—
т-4- vv-«.
(9')
Рассмотрим входящие сюда средние значения от произведений
проекций скорости. Заменим в них и, v и w разложениями на осред-
ненные и пульсационные скорости (2), тогда по определению
операции (3) и (6) будем иметь:
ии — (и -j- и') (и -\- и') = ии-\- 2ии' -\- и'~ — и и -\- 2и и'
-L
uv = (и -\- и') (v-\-v') — uv-\-uv' ■
-■ и v -—
uv-\- wo' -\- vu' -f- u'v' >
uw — (u -j- u') (w-\- w') = ww-\- ww1' -\-wu' -\ru'w' —
= ww -\- uw' -j- wit' -— u'w',
или, используя (5):
uu= и*-\-и,г, uv = uv-\-u'v', uw — uw -\-u'z-y.
Уравнение (9') может быть после этого переписано в форме:
ди'2 du'v' du'w'
да , dw . duv .duw
* дх Г Ц7Г ~Т~
or
ду
dz
\_dp_
Т^ + ^2-
дх
ду
dz
§ 93]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
599
Замечая, что осреднение уравнения несжимаемости дает
§ + § + * = «. <'»>
перепишем предыдущее уравнение в виде:
ди , ~ди . — ди , —ди 1 др , _..,— ди'2
д£ ' дх ' ду ' дг р дх ' длг
du'v'
dtt'W
ду
дг
Повторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными
двумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему
дифференциальных уравнений осредпенного движения (уравнения Рей-
нольдса):
(да , — ди , — ди , — да \
dt ' дх
дх
ду
^*а + -к (- Ри'2) + jp (- p"''1'') -Ь ^(-р«'«0,
дх
d*v
/dw . - dv , - d» . — d»\
дг
/ддо . — dw , — dw , — did'.
\й ' dx "l" " d_y
a«y
д« , dv , da?
дх ' д_у"т" дг
+ ^ + ят(- p«'w/) Н- fv (-рт'^0 + -Ь (- р«0,
д.у'
. о.
Сравнивая эти уравнения с общими уравнениями „в напряжениях"
(30) гл. II:
да
dt
ди
дх
Pl:*7T-u^ + v7u,+ w
ди
'Ту
ди
~дг
.дРхх i др..
дх
coy
дРа
ду
дг
можем представить себе правые части системы (11), как результат
подстановки в уравнения „в напряжениях" на место величин рша.,
Рху ■ • • СУММЫ вязких напряжений, определенных обобщенным законом
Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших
за счет наличия в потоке пульсаций:
, о ди , • 'ди
dv
.ду дх)+Р*» И ?- Д-'
600
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
причем дополнительные турбулентные напряжения образуют, так
же как и вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго
ранга:
— рк'" —pu'v' —pu'w'\
~72
■pu'v' —pi»'" —pv'w'
(12)
• puw — pv w — рта
— 0™'2 /
Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного
турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и
уравнения действительного движения, если только, помимо вязких
(ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные
турбулентные напряжения.
Система уравнений (11), состоящая из четырех уравнений,
содержит в себе, кроме четырех неизвестных — давления и трех
проекций осредненной скорости, — еще шесть неизвестных турбулентных
напряжений рхх, рх&..., относительно которых остается сделать
какие-то дополнительные предположения; в противном случае
система (11) будет неопределенной.
Уравнения Рейнольдса (11), так же как и входящие в них
компоненты турбулентных напряжений, можно было бы представить
в любой системе криволинейных координат;1 для дальнейших целей
достаточно уравнений в декартовых координатах.
Если попытаться подчинить турбулентные напряжения закону,
представляющему аналог обобщенного закона Ньютона, то, например,
в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х
осредненного движения со скоростью и, являющейся функцией только от у,
будем иметь:
р'х!,=- — рйЧ/ = А~. (13)
Величину А можно при этом рассматривать как коэффициент
некоторой воображаемой „турбулентной" вязкости, обусловленной не
микропереносом количеств движения молекул, а возникающим между
слоями осредненного движения за счет поперечных пульсаций макро-
переносом количеств движения конечных объемов жидкости, и назвать
коэффициентом турбулентного обмена. Если в данном частном
случае движения в плоской трубе предположить, что А есть
некоторая постоянная величина и, подсчитав сопротивление трубы, подобно
тому, как это было сделано ранее в случае ламинарного движения,
непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить
1 Л. Г. Л ойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостехиздаг.
1941, стр. 273, а также „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости", т. I. Гостехиздат, 1943, стр. 224.
§ 93] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 601
результаты между собой, то полученные таким образом величины А
окажутся в десятки тысяч раз превосходящими величину
коэффициента молекулярной вязкости ji. Образно говоря, коэффициент
турбулентной вязкости А воздуха оказывается равен коэффициенту
обычной молекулярной вязкости сиропа, а соответствующий кинема-
А
тический коэффициент турбулентной вязкости е = кинематиче-
Р
скому коэффициенту молекулярной вязкости v сапожной ваксы.'
Однако измерения показывают, что величина А, кроме того,
в отличие от jt, не является постоянной, характерной для жидкости
или ее турбулентного движения. Коэффициент А резко меняется по
сечению трубы от очень малых значений вблизи стенки трубы до
некоторого максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы
от ее стенки и затем вновь убывает до некоторого минимума на оси
трубы.
Рассматривая осредненное движение в трубе, можно написать
выражение полного касательного напряжения „трения", понимая под
последним как ламинарное (молекулярное), так и турбулентное трение,
в виде:
/W=(P + ^g- (14)
Только в непосредственной близости к стенке трубы слагаемое р
сравнимо по величине с А, причем на самой стенке А = 0, и
напряжение трения совпадает с принятым в теории ламинарного движения
(см. предыдущую главу) выражением
Owk-o^T^n^j^. (15)
При удалении от стенки величина А очень быстро возрастает,
доходя до тех больших значений, о которых была речь ранее. В связи
с этим почти повсюду в потоке, исключая только область,
непосредственно прилегающую к стенке трубы, можно пренебрегать вязкими
напряжениями но сравнению с турбулентными; в дальнейшем этим
выводом придется пользоваться постоянно.
Подчеркнем, что высказанное положение совсем не означает
возможности вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных
процессах; дело идет лишь о пренебрежении членами вида ft j- no
сравнению с А -г-, где и — осредненная скорость. Влияние же
' Заимствуем этот образ на доклада И. А. Кибеля на совещании по
турбулентности в Научно-иссл. ин-те гидротехники в январе 1933 г. (См.
Известия НИИГ, т. IX.)
602
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
вязкости на внутренние процессы (затухание и зарождение возмущений,
нагрев потока и др.) сохраняет чрезвычайно важное значение в любом
пункте турбулентного потока.
Предположение (13) (или аналогичные предположения, относящиеся
к турбулентным потокам общего типа) содержит величину
„коэффициента турбулентного обмена" А в качестве переменной по сечению
трубы неизвестной величины, нуждающейся для своего определения
в дополнительных теоретических соображениях.
Современная измерительная техника в гидроаэродинамике позволяет
получать не только осредненные во времени и пространстве, но и
мгновенные значения скоростей и давлений. 1
Пример такого рода замеров был показан в начале настоящего
параграфа (рис. 187),
В дальнейшем при сравнении результатов теоретических расчетов
осредненного турбулентного движения с опытными материалами всегда
в скрытом виде будет предполагаться, что
пространственно-временное осреднение, производимое приборами, совпадает с принятым
законом осреднения (3). Конечно, такое предположение является
новым дополнительным допущением и может вызвать сомнение
в возможности сравнения результатов теоретических расчетов
турбулентных течений и опытных замеров. Этот факт, а также
встречающаяся в дальнейшем необходимость принятия ряда других
дополнительных допущений, возникающая по ходу изложения теоретических
методов расчета турбулентных потоков, накладывает на все
содержание настоящей главы общий отпечаток незаконченности и
нестрогое™. На современном этапе своего развития динамика турбулентного
движения является, без сомнения, одним из наиболее эмпирических
разделов теоретической гидроаэродинамики. Актуальное:),
практических приложений теории турбулентного движения, относящихся к самым
разнообразным разделам современной техники, заставляет
исследователя не пренебрегать и такими эмпирическими путями.
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой
трубе. Логарифмические формулы скоростей
В основу всего последующего положим рассмотрение
осредненного турбулентного движения в плоской трубе (рис. 188). Принимая
движение установившимся, будем считать единственную составляющую
осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем,
так как неосредненные скорости больше встречаться не будут)
функцией только поперечной координаты у.
1 Рекомендуем для ознакомления с зтнм вопросом помещенный на
стр. 387—396 нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя" параграф
„Методы экспериментального исследования турбулентных течений",
составленный Е. М. Минским. См. также заключительный параграф настоящей
книги.
§ 94] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ 603
Разобьем1 осредненный поток в области от стенки до оси трубы
на параллельные оси слои ширины !{ и рассмотрим каждый такой
слой отдельно с его
скоростями к (у)— и(у{) по отноше- ^
нию к „дну" слоя у= у и
верхняя половина потока
симметрична нижней и может
отдельно не рассматриваться.
Если пренебречь влиянием
вязких членов, роль которых, как
это указывалось в предыдущем
параграфе, при удалении от
стенки резко убывает, то
можно попытаться подобрать
величины lt так, чтобы кривые
относительных скоростей враз- Рис. 188.
личных слоях были бы
подобны между собой. Для этого составим очевидное разложение
а (У) —J!_{yi)_.
и (yi f i) — " (Л)
«'OvHv-JV)-
■П"{У;)(У-У^-
»' О'/) h
1
и" О'/) l\ +
1 I.U (V.) V
У—У' 2 "' ( У*} l±.
0',) (У
u' [yi)
1
1 l{u (vt> i l~;U (У,)
2 u' [yi) + 6 u' (.v,)
(16)
и потреоуем, чтооы в сходственных ючках слоев,
ковых для всех слоев значениях отношения
и (у) —и {yi)
т. е. при одина-
~—г^-1, величины
также имели бы одно и то же значение. Отсюда выте-
1ы каждая из величин:
1Уш !iu'"(-y?
и(Л+1) —"(Л)
кает требование, чтобы каждая из величин:
и' О'/)
"' (У!)
была одна и та же для всех слоев lt. Это требование можно
переписать в виде (опускаем индекс „/" и обозначаем символом ~
пропорциональность):
-г, ~ iirr— •• • (16)
/
1 Л. Г. Л о й ц я н с к п й, Турбулентное движение жидкости и внутренняя
задача. Изв. Научно-исслед. ин-та гидротехники, т. IX, 1933 и того же автора
„О некоторых приложениях метода подобия в теории турбулентности",
Прикл. матем. и механ., т. II, вып. 2, 1935.
604
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду
условий удовлетворяют как степенная, так и логарифмическая
функции вида:
и = А(у— у0у» + В, u = C\n(y—y0) + D, (17)
и при этом длина интервала / оказывается линейной функцией
1=у-(У—Уо)- (17')
Здесь А, В, С, D, у0 и х — некоторые константы. Динамическим
следствием такого подобия будет служить, как было указано в конце § 78,
одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления,
определяемого как отношение напряжения трения (или перепада давления) к
характерному скоростному напору:
По предыдущему отсюда следует
т = const- ?P(^f. (18)
Подставляя в выражение напряжения трения (18) полученные
степенные и логарифмические выражения (17), будем иметь:
т = const ру.2 {у —-j0)2mM3(у — _y0)2m""2 = const • (у— y0f™, )
С2 \ (19)
1 = const • р/-2{у —у0У ■ у__у^ = const- J
Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым
распределением напряжения трения в плоской трубе. Для этого применим
теорему количеств движения к объему жндкости, заключенному между
двумя линиями тока, находящимися на расстояниях у и 2А—у от
нижней стенки трубы, и двумя сечениями трубы, расстояние между
которыми L; будем иметь:
Ар • 2 (h —у) = 2 т • L
Деля это равенство почленно на частный его вид при у = 0, т. е.
для полного сечения трубы, когда х = xw (трение на стенке),
Ар ■ 2k = 2xwL,
получим:
•c = -ce(l-^). (20)
Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим
распределением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области
значений у, значительно меньших h, но в то же время в некотором
удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо.
§ 94] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ 605
Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно
и действительно имеет место логарифмический профиль скоростей,
может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок
трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность (h -* оо при
фиксированном у). Легко убедиться, что в этом случае во всем потоке
будет выполняться условие т = const = iw, и логарифмический
профиль скоростей станет единственно возможным.
Что же касается степенного выражения (17), то оно, как будто,
может дать совпадение (19) с (20) при у0 = h и т — —, но
приводит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси
трубы. При малом т величина х будет слабой функцией у, что
приближает степенной закон к закону t = const.
Итак, точное выполнение системы равенств (16') невозможно.
Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости
порядка выше второго, то условия точного подобия (16') заменятся
одним приближенным условием подобия относительных осреднен-
ных скоростей в слоях
du
/—.£—.-£, т
dyi
где у. — некоторая постоянная, а знак минус выбран из условия, чтобы
при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных у {и' > 0,
и" < 0) величина / была бы положительной. При этом формула
напряжения трения (18), если константу включить в определение величины/,
может быть переписана в виде:
-+ffi
м ■ <22)
Предлагаемая интерпретация длины /, как величины, выражающей
приближенный закон дробления потока на слои с подобными
распределениями относительных осредненных скоростей,
оказывается совершенно достаточной для построения решения задачи
о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.
Формула (22) была предложена Прандтлем, ! исходившим из
представления о сходстве между явлением переноса количества движения
при турбулентном перемешивании и при столкновении молекул в
ламинарном движении. Величина / трактуется Прандтлем как
турбулентный аналог „пути свободного пробега молекулы" и называется путем
перемешивания.
1 L. Prandtl, Untersuchungen zur ausgeb'Ideten Turbulenz. Zeitschrift
fur angewandte Mathem. und Mechanik, 5 (1925), и обзор того же автора
„Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности",
помещенный в начале сборника статей „Проблемы турбулентности", Гостех-
издат, 1936.
606
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
На наш взгляд, нет необходимости придавать величине /,
входящей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула,
аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных
теоретических построений выведена Карманом. 1
В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к
следующему дифференциальному уравнению для определения и (у):
^■«"-«('-Й-
Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в
правой части выбран в связи с тем, что и" < 0):
и"
,./2
(23)
где обозначение
v., =
}f'f (23')
введено для величины, имеющей размерность скорости, но не
являющейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу
своего чисто динамического определения через величины tw и р,
величина 1»* могла бы быть названа динамической скоростью.
Уравнение (23) легко интегрируется и дает первый интеграл:
-Р = 2£*Г 1-£ + С (24)
Для определения постоянной интегрирования С потребуем, чтобы
при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина /,
определенная по формулам приближенного подобия (21), (23) и (24),
совпала бы с формулой (17') точного подобия. Подставляя значения
и' и и" из (23) и (24) в (21), будем иметь:
--2"-*(,-i)-cM/ '-£
и, согласно поставленному условию, при любых y<^h должно
выполняться равенство:
-M(l-f.)-^(l-il) = xfv-3,0).
1 Т. Карман, Механическое подобие и турбулентность. Сборник статей
„Проблемы турбулентности", Гостехиздат, 1936, стр. 271—286.
§ 94] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ
Отсюда следует:
607
и по (24):
Ъ.Ь ..
ЪМ
/>
(25)
h
Интегрирование этого уравнения приводит
ростей
распределению ско-
На рис. 189 приводится
сравнение теоретической кривой (26) при
-х = 0,40 с экспериментальными
точками, полученными Никурадзе в
круглой цилиндрической трубе в
широком диапазоне значений чисел Рей-
иольдса (от R = 4 • 103 до R —
— 3240 • 103), построенных по
средней скорости в трубе и ее диаметру
d=2h.1
Как видно из графика, теория,
относящаяся к плоской трубе,
оказывается пригодной и для круглой
трубы; некоторое отклонение
экспериментальных точек вблизи стенки
при сравнительно малых рейнольдсо-
вых числах объясняется отмеченным
уже ранее влиянием молекулярной
вязкости, не учитываемым теорией.
Заметим, что более простое, чем (26), и очень близкое к нему
выражение распределения скоростей можно получить, если, используя
основное равенство (22), положить в нем приближенно
/ — *v, ' -- ',„■
Тогда будем иметь:
PxV(fO = *«
,ь
15
Ik
13
12
10
9
8
7
В
5
Ч
3
1
1
1
:1
х*
—
оЯ=Ь-103
• я - 2.13-af
•R'105-103
л
1
.У
Ъ
w e
\°
I
J
t
1
i
,
шъ
uc
'o
0 0,1 0,2 0,3 а,Ь11,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1ft
Рис. 189.
1 И. Никурадзе, „Закономерности турбулентного движения жидкостей
в гладких трубах"—указанный на предыдущей странице сборник статей
„Проблемы турбулентности", стр. 75 150.
608 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
или после интегрирования:
« = £* 1п_у-|-С.
[ГЛ. IX
(27)
Полагая здесь:
и исключая С, получим:
y = h,
итКг — и
1 t У
— In 4-.
v. h
(27')
Полученная формула практически совпадает с (26) и так же
хорошо согласуется с опытными материалами при значении ■/. = 0,40.
Umax ^_cp
j
1
йЗ
-£■*
*-^0
--?
°
^
1
f*-
f.
U- тсг\
р
Чъ*#^
i$f
Ucp
J4
м*
■?*
^i
* u
»«"
u*
<*^
<»Рл
iH
^
#**
0
irf*
32
23
2+
20
IB
12
2,0 2,1 2,k 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 %0 V *,* 4,6
Рис. 190.
Применим формулы (26) и (27') для круглых цилиндрических труб,
считая h равным радиусу трубы а.
Определим среднюю скорость в трубе кср как
а
«сг = ^ ) и-2тг(а— y)dy.
Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (27'),
получим при у. = 0,40:
а
1
7.7СЙ2
/1п(4)-2^а--^=
б
-!Hi)('-i№H,75. (28)
§ 95] ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ 609
Эта формула связи между максимальной (на оси трубы) и средней
скоростью по сечению трубы хорошо подтверждается на опыте, как
это видно из рис. 190. В отличие от' ламинарного движения в круг,
лой трубе, при котором (§ 79) кшах : иор = 2, в турбулентном
движении это отношение
уменьшается с ростом
рейнольдсова числа от
1,3 при малых его
значениях (R ~ 5000)
до 1,15 при
сравнительно больших (R =
=^3 000 000).
Отсюда следует, что
при турбулентном
режиме профиль
скоростей (рис. 191)
располагается гораздо выше
ламинарного или, как
говорят, гораздо более
„заполнен", чем при
ламинарном, который
является более
„урезанным", причем
заполнение увеличивается с
ростом рейнольдсова
числа; на рис. 191 этот
факт виден достаточно
отчетливо.
Все формулы
распределения скоростей,
приведенные в
настоящем параграфе, содержат величину v%., связанную с неизвестным пока
трением на стенке трубы. Чтобы сделать задачу определенной,
необходимо найти дополнительную связь между величинами v# и итзх
или кор. Такая связь задается формулой сопротивления трубы
турбулентному движению жидкости.
1,0
0,9
0,7
оя
"■таи.
пчш
я
Q4
0,3
о,г
DJ
А
т-|
/
/
7
Г
/
/
/
/
t
г
(
/
1
7
1
/
/
\Ф,
л\*
г,
/
'
/
/
/
'
*
о Re=b-W3
• Re = 23,3-Ю3
• Re = 105-103
. fie = 11 Ю-f03
• Re = 2350-Ю3
• йе=32Ь0-Ю3
У
1 а
0 0,1 0,2
0,3 Q,U 0,5
Рис. 191.
0,6 0,7 0.8 0.9 10
§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном
движении жидкости. Ламинарный подслой
При приближении к стенке трубы турбулентное трение, как было
уже ранее выяснено, должно быстро ослабевать и непосредственно на
стенке обращаться в нуль, так как в силу непроницаемости стенки
поперечные по отношению к потоку и перпендикулярные к стенке
пульсации v' не могут осуществляться. Вместе с тем возрастает роль
вязких членов, пропорциональных нормальной к стенке производной
39 Зак. 1841. Л. Г. Лойцяискпй.
610
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
от продольной скорости. Как видно из рис. 191, эти производные при
турбулентном режиме движения в трубе имеют гораздо более высокий
порядок, чем при ламинарном, что соответствует большему значению
ламинарного трения на стенке. Можно в грубом приближении
предположить, что весь поток в трубе разбивается на две характерные
области: 1) ядро течения, где поток чисто турбулентен и влияние
вязкости пренебрежимо мало, и 2) пристеночный слой, где движение,
наоборот, целиком определяется силами вязкости, а члены,
представляющие турбулентное трение, ничтожны. В отличие от турбулентного
ядра течения пристеночный слой называют ламинарным подслоем.
Не следует смешивать понятия пристеночного, ламинарного
подслоя в трубе с ранее введенным представлением о ламинарном
пограничном слое. Напомним, что движение вязкой жидкости в пограничном
слое определялось как силами вязкости и давлений, так и
инерционными влияниями: движение в пограничном слое не было равномерным,
а сам слой нарастал по толщине вниз по потоку. В рассматриваемом
сейчас ламинарном подслое движение равномерно и происходит под
действием только движущего перепада давлений и сил вязкости.
Пограничный слой граничит с внешним безвихревым потоком,
ламинарный подслой располагается под турбулентным ядром течения, законы
движения которого не имеют ничего общего с потенциальным потоком.
Нам придется в дальнейшем иметь дело с турбулентным пограничным
слоем; в этом случае вблизи стенки, на дне турбулентного
пограничного слоя, будет существовать ламинарный подслой.
Сделаем следующее допущение относительно толщины ламинарного
подслоя 8Л; будем предполагать, что толщина подслоя может быть
представлена в виде степенного одночлена, зависящего лишь от
физических констант жидкости рири напряжения трения на стенке тда:
8 = а а° о° тс ,
где а—некоторая безразмерная константа. Составляя уравнение связи
размерностей
Ъ\ЛХ
LT*
и сравнивая показатели степени при одинаковых размерностях слева
и справа, получим систему уравнений:
а-\-Ь-\-с — 0,
— а — ЗЬ — с= 1,
— а — 2с = 0,
имеющую корнями:
щ
м_
TL
§ 95] ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ 611
Из этих соображений вытекает, что толщина ламинарного
подслоя ол должна определяться формулой:
2-
ол = ajxp
или, пользуясь представлением о динамической скорости v.$ ==]/—,
о. —,
(29)
Представляя это выражение в виде
°л " «max а I / P"max R .
// Um„h V* R
V
заключим, что при больших Цт величина 8Л должна составлять
ничтожную часть диаметра круглой трубы или расстояния между стенками
плоской трубы. В связи с этим с пренебрежимо малой ошибкой можно
считать на всем протяжении подслоя профиль скоростей
прямолинейным и определить скорость ил на внешней границе подслоя, как
0„ = -^ . г,...
Подставляя сюда выражение 6.,, согласно (29), получим:
ил = аг>:;:. (29')
Формулы (29) и (29') заключают в себе новую константу <х,
которая вместе с уже ранее введенной константой у. представляет
совокупность двух характерных констант турбулентности. Определить
эти две константы в настоящее время можно только из опытов, причем
только опыты могут подтвердить тот основной факт, что х и а
действительно представляют постоянные величины, не зависящие ни от
физических свойств жидкости, ни от скорости движения, ни от
размеров трубы, или, более точно, не зависят от рейнольдсова числа.
Используем для определения констант формулу распределения
скоростей (27), правильность которой в турбулентном ядре течения вблизи
ламинарного подслоя (у <d h) подтверждается и точными и
приближенными соображениями подобия. Полагая в равенстве (27) у = 5Л,
и = ил, определяя С и исключая его из (27), будем иметь:
« = 2* ln-^L -x-av.-.. In a,
У. V ' '•' У.
или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным,
и 2,303. ус/* , 2,303. ,„„.
— =—log^ + « -log*. (30)
39*
612
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1ГЛ. IX
На рис. 192 приводится сводка результатов ранее цитированных
опытов Никурадзе, проведенных в широком диапазоне рейнольдсовых
чисел и обработанных в координатах в = — , -») = log ^.Jt.. Как это
следует из графика, экспериментальные точки вполне
удовлетворительно располагаются по прямой
и
5,75 log ^-*- + 5,5.
(31)
Сравнивая экспериментально полученные коэффициенты в
формуле (31) с соответствующими теоретическими величинами, входящими
34
32
30
28
26
2Ц
22
20
18
16
/4
12
10
'
С
в
О
•г?
о^
J*"
&*
s*f™G
d&*
,
О-
^
о /? = 4-«?3
• R = S,1-W3
• R-9,2-103
. R = W,7-103
° R = 23,3-103
. R = k3,k-103
<■ R = 1Q5,0-W3
• R = 205,0-I03
.0y
• R = 39B,0-103
- R = 725,0-103
- R = I1W-103
+ R = I536-103
+ R = 1959,0-103
+ R= 2350,0-103
• R = 2790,0-103
• R = 32it0,0- I03
\
I
Щ
1,0 1,2 IA 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,5 3,tf 4,0 4,? 4,4 4,5 4,5 £0
Рис. 192.
в коэффициенты формулы (30), найдем вновь v. ri 0,40, а значение а
оказывается близким к 11,5.
Невозможность чисто теоретического определения констант -/. и а
делает изложенную теорию турбулентного движения в трубе
полуэмпирической.
Располагая формулами распределения скоростей и выражением для
толщины ламинарного подслоя и скорости на внешней его границе,
легко выведем и искомые формулы сопротивления.
Напомним, что, аналогично тому, как это было сделано в теории
ламинарного движения в трубах (§ 79), задача сводится к
определению зависимости коэффициентов сопротивлений к или '!*, входящих
§ 95] ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ 613
в формулы (29) или (32) § 79, от рейнольдсова числа. Нет никакой
необходимости повторять выводы этих формул для турбулентного
движения, так как предыдущий вывод не заключал в себе ничего
специфического для ламинарного движения и относился, очевидно, к обеим
формам движения.
Согласно (32) § 79, используя величину v.,. — л/1ш-7 будем иметь:
I , )
* 2 шах' j
или:
"ор _ 2 V2 «шах^УТ
(32)
(32')
Для получения формул сопротивления можно использовать любой
из следующих двух путей: или применяя к оси трубы формулу
скоростей (31), в которой коэффициенты определены при помощи
значения скорости на границе ламинарного подслоя, или, наоборот,
применяя к границе ламинарного подслоя формулу (27') с
постоянными, определенными через скорость на оси трубы.
И тем и другим приемом получим одну и ту же формулу
== _ 1п , ^ + « — I in а ., 5,7а log № J + 5,5, (33)
щ.
которую, пользуясь (32'), можно преобразовать еще к виду:
/
2=6,751ogpp.-^-)+6,5:
= 5,75 \оё(ят /"!)+ 5,5-
Будем иметь окончательный вид формулы сопротивления:
-7= = A'log(Rml^H B'- (34)
У Y
Линейность связи между -— и log(Rm Vty) хорошо подтвер-
Vy
ждается опытными точками, как об этом можно заключить из
рассмотрения графика на рис. 193. Прямая 1 проведена при А' = 3,77;
В' =4,75, прямая 2—при А' = 3,90; В' = 4,16.
Переписывая (33) в тождественной форме
614
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ГЛ. IX
и используя (28) и (32), получим;
1
УХ
Clog(Rl/T) + A
(35)
где
К =
"ор • 2г
Многочисленные опыты хорошо подтверждают следующую
формулу с округленными коэффициентами:
^= = 21og(RlA) + 0,8,
(35')
представляющую связь между коэффициентом сопротивления трубы I
и рейнольдсовым числом R в неявной форме. При желании можно
гг
го-
tots-
12
10
с" '
1
1
'<"
!
■Zg*
г
*?
*?
S
о *В
г
1 1
ltp'
_-
1 П<
\,дк
"т
]
1
__.
'fj
г
t
2,2
2,5
3,0
3,5 4,0
Рис. 193.
¥
%0
пользоваться предложенной Никурадзе приближенной явной
зависимостью
0,221
л = 0,0032 •
' R0'237
(36)
близость которой к эксперименту иллюстрируется сплошной кривой
на рис. 194. На том же рисунке пунктиром приведена для сравнения
прямая, соответствующая широко используемой в гидравлике формуле
Блязиуса:
. ^_ 0,3164
применимость которой, как показывает рис. 194, ограничена
значениями R<105,
§ 95]
ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУП
615
Из приведенных формул вытекает следующий путь расчета
установившегося турбулентного движения жидкости в круглой трубе.
Обычно задается диаметр трубы d, коэффициент кинематической
вязкости жидкости v и потребный объемный расход. По расходу и
диаметру находим и0)„ а следовательно, и число Рейнольдса К ■
%'d.
1,56
1,U0
Щ
1,08
0,92
0,76
щ
\
>
щюоох
1
^
^!
Ч^
X
*Ч
_^__^^
X
"S
ч
—Ф
5,4 3,6 4,2 4,6 5,0 5,4 5,6 6,г 6,6 7,0 Ц 7,8
Рис. 194.
после этого определяется по (36) коэффициент сопротивления а, а затем
и перепад давления А/> на заданном участке трубы длины L:
А/^-
Р"о,>
Определив по полученной величине Ар перепад на участке длиной
в половину радиуса трубы, найдем:
' о
Y'
2V2
■=-ив
Остается воспользоваться формулой скоростей (31), чтобы задача
была полностью решена.
Сопротивление трубы глубоко связано с явлениями, происходящими
в ламинарном подслое в непосредственной близости к стенке. Именно
этим объясняется, почему, несмотря на пренебрежение вязкими членами
в уравнениях движения в турбулентном ядре течения, распределение
скоростей и сопротивление трубы оказываются зависящими от числа
Рейнольдса.
616
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
§ 96. Влияние шероховатости стенок трубы на ее сопротивление.
Предельные режимы течения. Режим установившейся
шероховатости
Все, что было изложено в предыдущем параграфе, относилось
лишь к движению в „гладкой" трубе, со строго цилиндрической
поверхностью. На практике приходится иметь дело с более или менее
„шероховатыми" трубами, а также с трубами с неточной цилиндрич-
ностью внутренней поверхности (волнистость).
Изучением влияния различного типа шероховатостей на
сопротивление труб занимается гидравлика, располагающая большим числом
Рис. 195.
разнообразных практических формул для определения сопротивлений
применяемых в технике труб.
Несколько идеализируя и вместе с тем обобщая понятие
шероховатости, представим себе, что внутренняя поверхность трубы покрыта
бугорками, имеющими вид зерен примерно одинакового размера.
Обозначим через k высоту бугорка шероховатости (практически, среднюю
высоту) и условимся называть величину k, выраженную в мм,
абсолютной шероховатостью, а отношение высоты бугорка k к радиусу
трубы а — относительной шероховатостью. В дальнейшем
предполагается, что относительная шероховатость сравнительно невелика
(от 0,2 до 5%).
Рассмотрение типичных для труб с указанной „зернистой"
шероховатостью экспериментальных кривых сопротивления, показанных на
рис. 195, приводит к следующим заключениям (на кривых рис. 195
§ 96] ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ 617
за параметр принята величина, обратная относительной
шероховатости):
1) относительная шероховатость не влияет на критическое число RK1,
перехода ламинарного режима в турбулентный; для различных —
кривые сходят с известной уже нам ламинарной прямой к = 64/R при
одном и том же значении RBp, примерно равном 2 • 103 (логарифм
критического числа Рейнольдса близок к 3,3);
2) переходный режим также почти не зависит от относительной
шероховатости;
3) чем меньше относительная шероховатость, тем в большем
диапазоне рейнольдсовых чисел наблюдается обычное турбулентное
движение, соответствующее гладким трубам; так, при относительной
шероховатости порядка 0,2% кривая сопротивления почти до R = 5-104
совпадает с кривой К = —j-^r- сопротивления гладких труб; наоборот,
R
при — порядка 3—5% кривые сопротивления пересекаются с
кривыми гладких труб и резко от них отличаются;
4) при тем больших числах Рейнольдса, чем меньше
относительная шероховатость, коэффициент сопротивления перестает зависеть от
числа Рейнольдса и определяется только относительной
шероховатостью; при этом значения коэффициента сопротивления растут вместе
с относительной шероховатостью.
Этим основным результатам можно дать наглядное теоретическое
истолкование, если , сопоставить высоту бугорка шероховатости k
с глубиной ламинарного подслоя ол.
Схематизируя явление, рассмотрим следующие три случая:
1°. Бугорки шероховатости глубоко погружены в ламинарный
подслой (k <C! 8Л); наличие этих бугорков не нарушает ламинарности
подслоя, причем бугорки обтекаются без отрывов и вихреобразований
(первый режим течения). В этом случае нет никакой разницы между
гладкой и шероховатой трубами и сохраняются те же формулы
скоростей и сопротивлений, что и для гладких труб. Заметим, что
выраженная в частях радиуса трубы толщина ламинарного подслоя может
быть в силу (29), (32') я (36) представлена в виде:
А = а— =- а—— ■ ^t = llH^
а ' avt. 2ягг v% R А
^ 55 f37)
R (0,0032+0,221 R-0'-37) ' V '
Таким образом, как и ранее, заключим, что относительная толщина
ламинарного подслоя с ростом рейнольдсова числа убывает, а
следовательно, чем меньше число R течения в трубе, тем в более
широком диапазоне относительных шероховатостей можно рассматривать
618
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
(ГЛ. IX
шероховатую трубу, как гладкую. Понятие относительной
шероховатости трубы теряет при этом свой геометрический характер и
приобретает чисто гидродинамический смысл. Количественные границы первого
режима течения, при котором формулы гладких труб остаются верны
для шероховатых труб, будут указаны в дальнейшем.
2°. Бугорки шероховатости выходят за пределы ламинарного
подслоя (k ^§> 8Л). Отрывное обтекание бугорков сводит тормозящее
влияние поверхности трубы к сопротивлению плохо обтекаемых тел
(бугорков шероховатости), которое, подобно тому, как это имело
место при отрывном обтекании пластинки (§41, гл. V), не зависит от
рейнольдсова числа и пропорционально скоростному напору
набегающей жидкости (режим развитой шероховатости или третий режим).
Обозначим через ик скорость потока на уровне средней высоты
бугорков шероховатости (у = &); приравнивая сумму сопротивлений
бугорков, расположенных на единице площади, касательному
напряжению на стенке, получим (■—■ знак пропорциональности):
откуда следует, что
или
.—. ~Uk
const • v,„.
Замечая, что, как это следует из изложенной в предыдущем
параграфе теории, в турбулентном ядре течения, безотносительно к
природе касательных сил на стенке, сохраняется логарифмический
профиль скоростей (27') и соотношение (28), будем иметь при у = k:
*max
и i. 1 , а „,., а
*,- =Т1п¥ = 5'7510^
Ъш*. = з,75 + ^ = 3,75 +1^1
и, следовательно,
—— = —Цг=1ор-—+ const ~ 2 log- r-const. (38)
/X 2 У1 б & б k ' '
Опытное значение стоящей справа константы равно 1,74, так что
для режима развитой шероховатости имеем:
_1
У~2 " k
и окончательный вид формулы зависимости коэффициента
сопротивления от относительной шероховатости в рассматриваемом
предельном случае будет;
) -U-—я-. (40)
- = 21og^.+ l,74, (39)
(21og-f+l,74)2
§ 96J ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ 619
3°. В промежуточном {втором) режиме, когда k имеет тот же
порядок, что и 8Л, отношение t^/pa* должно зависеть от рсйнольдсова
числа ——, так что приходится принять
Х1У __ f
или, что все равно,
( у* \а _ Г(Щ_ kv* ■,.
отсюда следует, что должна выполняться зависимость вида (fi —
неизвестная функция):
ик _ , /*»*\
Повторяя для этого случая полностью то же рассуждение, что
и в п. 2° при постоянном отношении ——, получим:
-J-_2logf=/,(^). (41)
На рис. 196 приведен график функции /2(—— j по опытам Ни-
курадзе.*
Наклонная прямая слева соответствует первому режиму течения,
не зависящему от относительной шероховатости; при этом
/e(*2i.)==21og(*b) + 0,65.
Подставляя это выражение функции /2(—г2-) в равенство (41)
и собирая члены, получим формулу (35') для гладкой трубы. Это
еще раз подтверждает высказанное ранее положение о
существовании таких режимов течения, при которых шероховатая труба ведет
себя, как гладкая.
Горизонтальная прямая справа отвечает предельному, третьему
режиму, не зависящему от влияния вязкости,—режиму, который
был ранее назван „режимом развитой шероховатости". При этом
функция /2(—— J принимает ранее уже указанное постоянное
значение 1,74.
1 См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", Госгехиздат,
1941, стр. 339-343.
6 20
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Как видно из графика (рис. 196), первый режим имеет место до
значения
log *-^< 0,47, -^<3.
Граница возможности использования формул гладких труб для расчета
ДО
2,0
1,5
1,0
0,5
О 0,2 0,4- 0,6 0,9 1,0 1,2 1,U 1,6 1,8 2,0 2,2 2,k 2,6 2,8 3,0
Рис. 196.
шероховатых может быть, согласно (29), при 7. = 11,'), оценена
неравенством:
4; < °>25>
или, если воспользоваться формулой (37), неравенством:
16,3
!
л
Л*"
%щ
р*&£
'^
Ра
9 ^ЧрХФ&Щ
» "=30.6
• .. =60
» » =126
' " = 252
Третий режим
-log-f
А<
я R (0,0032 + 0.221R- °'237)
(42)
Другой предельный случай, когда для расчета шероховатых труб
можно пользоваться простой формулой (40), определится по тому же
графику рис. 196 условием:
log *Ь> 1,8, -^t>60,
или
>6,
что приведет к следующей оценке границы области развитой
шероховатости:
390
а R (0,0032 + 0,221R
-0,2871 -
(43)
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 621
Таким образом, каждому значению рейнольдсова числа соответствуют
определенные границы относительной шероховатости, в которых можно
пользоваться теми или другими формулами.
Отметим, что приведенные формулы теории идеализированной
шероховатости могут применяться для практических расчетов труб,
если знать величину эквивалентной относительной шероховатости kBja,
которую для различных поверхностей можно установить
экспериментально. 1
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой
пластине. Сопротивление пластины
В начале настоящей главы было показано, что в развивающемся
вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как
ламинарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними
переходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало
изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика и в первом
приближении может быть заменена „точкой перехода". Это позволяет
порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слоя,
для чего применяются методы, изложенные в конце гл. VIII, затем
турбулентный слой — по законам „установившейся" турбулентности
и, наконец, сращивать оба решения вдоль сечения, проведенного
через точку перехода.
Обобщим прежде всего на случай турбулентного пограничного
слоя основное интегральное соотношение (91) § 87 предыдущей главы.
Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничного слоя
могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (И) совершенно
аналогично тому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были
составлены из уравнений движения вязкой жидкости. Будем иметь
аналогично (89) § 87:
ди , ди ,. dU , 1 дх
дх ду dx ' р ду ' ,щ
ди , dv 0 j
дх ' ду '
где т обозначает касательное напряжение трения между струями
осредненного течения, причем х заключает в себе как турбулентное,
так и обычное, вязкостное трение.
1 Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости
при наличии шероховатости стенок можно найти в следующих статьях:
Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Об универсальных формулах в теории
сопротивления шероховатых труб. Труды ЦАГИ, вып. 250, 1936; К. К. Федяевский
Примерный расчет интенсивности трения и „допускаемых* высот
шероховатости для крыла. Расчет трения поверхностей с местной и общей
шероховатостью. Там же, вып. 250, 1936; К. К. Федяевский и Н. Н. Фомина,
Исследование влияния шероховатости на сопротивление и состояние
пограничного слоя. Там же, вып. 441, 1939.
622
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Повторяя рассуждение начала § 87 предыдущей главы и вводя
те же самые обозначения для условных толщин слоя 8* и 8**,
получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что S* и 8**
должны составляться при помощи осредненных скоростей. Величина
напряжения трения на стенке т40 будет определяться обычной
формулой вязкого трения тго = [г (-д— j , так как на стенке турбулентные
пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением
обращаются в нуль. Таким образом, действительно, уравнение
импульсов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид,
что и в случае ламинарного слоя.
Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В этом
случае U=VQO, U' = 0, и уравнение (91) § 87 приведется к виду:
-^—= —^г-. (45)
Следуя принятому в теории ламинарного пограничного слоя
приближенному методу и предполагая, что во всех сечениях
турбулентного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность,
выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в
сечениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические
профили скоростей:
z>*
: 2,5In -^U-i-5,5, ^ = |/~^-, (46)
что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться
с переменностью величины напряжения трения •:,„, а следовательно,
и v# вдоль поверхности пластины.
Составим входящую в уравнение (45) величину о**. Для этого
применим сначала соотношение (46) к внешней границе у = 8
турбулентного пограничного слоя; тогда будем иметь:
V„ _ . В»... . _ _ _ _ /У„о v^
^ = 2,5 In-f- +5,5 = 2,5 In ^-=-.^+5,5 =
= 2,5 In fa. 4*-)+ 5,5, Щ=^. (47)
v со /
Простые выкладки приведут к выражениям:
t = 2,5 Ш (4-^) +5,5 = 2,5 ln(R,.^.-UL.) +5,5,
Vco — U у
— — 2,5 In —.
V* О
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 623
После этого найдем:
о** [' и / и \ {у \ t/2 /' и V^, — и ; у\
причем постоянные At и Л2 легко вычисляются:
.4,-2.5 HfWib 2.5.
Aj = —6,25 | 1па(-|-)агШ=- 12,5.
о
Переходя в предыдущей формуле к рейнольдсовым числам
V о** V о
R ■■■■-- = —-— и Rs = ——,
получим:
1^=2.5-£-12,5 (■£)'. (48)
"■;> v со \ ' со'
Определяя отсюда R8 и подставляя в равенство (47), найдем связь
между ~- и R**:
''on
/ R** \
V / R**
4 2,5 —12,5 •
Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный
и —— на л/ -~, получим:
' оо V '° со
-~== = 5,75 log R** —5,75 log(l —5 y%jPV^ )+3,22. (49)
Равенство (49) представляет в неявном виде связь между местным
коэффициентом сопротивления пластины
624
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
и рейнольдсовым числом R**. Соотношение (49) может быть
значительно упрощено, если, определив У ^„,'pVt, из (49) путем
последовательных приближений или графически, заметить, что последние два
слагаемые представляют слабо изменяющуюся функцию R**; их сумма
в широком диапазоне чисел R** от 103 до 10Б может быть заменена
своим средним значением 3,8. Это приведет к следующему простому
выражению коэффициента местного сопротивления пластины через
рейнольдсово число R**:
- cf = —f-
2 т >Vt
1
(5,75 log R*
3,8)2
(50)
Обработав большое число экспериментов различных авторов над
длинными пластинами при больших значениях рейнольдсовых чисел,
предложил простой эмпирический степенной закон ско-
сопротивлений, который при пересчете на принятые у нас
величины может быть
представлен в виде:
Фолкнерх
ростей и
3,0
2,5
/
i
-О
"7
?К
(51)
= 0,00655 R**
Эта формула при
больших R** с успехом
заменяет более сложное
4 log /?** 5 выражение (50).
Рис. 197. На рис. 197
приводится в логарифмическом
масштабе для сравнения прямая (51) и несколько точек,
рассчитанных по предлагаемой выше формуле (50). При больших
рейнольдсовых числах совпадение можно признать более чем
удовлетворительным и в дальнейшем пользоваться формулой (51). Уравнение (45)
после этого легко интегрируется. Имеем:
dx
dR**
i 0,00655 R**~
К
V^x
интегрирование дает:
>:!::;:'/«
= ■£ • 0,00655 Ra.+ C-
(52)
Предположим сначала, что ламинарный участок пренебрежимо мал
и турбулентный слой устанавливается прямо с передней кромки
пластины. Тогда при х = 0 о** = 0 или, что все равно, при Ra. = 0,
R**=0; это означает, что С=0.
1 V. М. F alkn er, Aircraft Engineering, March, 1943.
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 625
При таком предположении будем иметь:
R** = 0,0153 R%. (53)
Возвращаясь от рейнольдсовых чисел R** и Rr к толщине потери
импульса 8** и абсциссе х, получим:
S** = 0,015 (-^-УУЧ (54)
Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет
слабую функцию рейнольдсова числа Rx:
-^=0,015R~'<\ (54')
Толщина потери импульса в турбулентном пограничном слое на
пластине растет пропорционально абсциссе в степени шесть седьмых; этот
закон мало отличается от линейного. Вспомним, что в случае
ламинарного слоя на пластине толщина потери импульса возрастала
пропорционально корню квадратному из абсциссы, т. е. гораздо
медленнее, чем в турбулентном слое.
Соотношение (53) дает хорошее совпадение с формулой Фолкнера,
полученной в результате обработки опытов на воде, и подтверждается
опытами, проведенными в аэродинамических трубах.
Для определения толщины вытеснения 8* при больших значениях
числа Рейнольдса можно предложить эмпирическую формулу:
// = £=1,3. (55)
С убыванием рейнольдсова числа величина Н несколько
возрастает; некоторые авторы принимают Н — 1,4.
Определив R**, по (51) и (53) найдем:
—— _i _i
ef = , Xw = 0,0131 R** e =0,0131 -0,0153 6 R„ 7 ,
что дает следующую формулу местного коэффициента трения
ef = 0,0263 RJV\ (56)
Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента
сопротивления пластины длины /:
С - W
-PV21
2 р °°
40 ви. '8*1. Л. Г. Лойцянскнй.
C26
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИК
[ГЛ. IX
!
h
" i
3
«I
°i
1
•fc'
'•И
1
si
$>'
та |о
Ж.1-
1
it.
е
<з
i
! e
э!
&•
V
!
яр
, JB»-
«1
0 J
T1
4
«to 5-1
Jw 1
3?J
tf-J-
ij •
i
i
T~
1
!•
! 0
*
1э
1 о
| 0E
1 о
o\
G ь
e /
0 /
J
fe
:
?
©
к
•
i
•\
\
1
о у
/a
V
\ /
\ /
'
ч /
слои
313;
CO OS
c^-to1-
•nX
<Vj
So
«S
SO
CM
§-§
<3
<3
■a
i
i
1
9 f
9 f
в Г
i'
•j/
r'
-if
6
«
.
1
|
f
ff
1 /'
/
/
/
/
/
g5
к
a.
CJ.^-O C4J
сгГ сь* сь" сэ"
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 627
Имеем:
i
hwdx 1 »
"2" Р vool о о
и в силу (56):
Сг= 0,0307 R-''7, (57)
где под R понимается рейнольдсово число обтекания пластины:
V I
Теоретические (правильнее сказать полуэмпирические) формулы (56)
и (57) хорошо совпадают с результатами различных опытов при
больших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применяться для
расчета сопротивления пластин при тех режимах обтекания их, когда
ламинарный участок мал.
На рис. 198 приводится сводный график, на котором нанесены
экспериментальные точки, относящиеся к самым различным условиям
опытов в воздухе и в воде на пластинах, как полностью гладких,
так и со специально помещенными вблизи носовой точки
шероховатостями, служащими для преждевременного создания турбулентного
пограничного слоя; опыты проведены в широких пределах рейнольд-
совых чисел. ' Предлагаемая степенная формула (57) практически
совершенно не отличается от старой логарифмической формулы
Прандтля (на рисунке - сплошная кривая)
Cf = 0,455 (logRr"'58 (58)
и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного
обтекания пластинки без ламинарного участка в носовой части.
Показанная пунктиром степенная зависимость
Cy = 0,74R~Vi (59)
пригодна лишь при сравнительно малых R, примерно до R = 5- 106.
При больших R эта прямая резко отходит от экспериментальных точек,
как это хорошо видно на второй половине рис. 198.
Полуэмпирическое обоснование формулы (59) связано с использованием степенного
профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, соответствующего
степенному профилю скоростей в трубе, приводящему к ранее упо-
—1/,
мянутой формуле сопротивления Блязиуса А = 0,3164 R . 2
1 Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости, т. II. Гос.
издат. иностр. л-ры, 1948, стр. 40—42.
8 См., например, Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного
слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 306.
40*
628
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. ix
Из графика, приведенного на рис. 198, вытекает важное следствие:
коэффициент сопротивления пластины с полностью ламинарным слоем
значительно меньше, чем коэффициент сопротивления пластины с
полностью турбулентным слоем. Так, например, если бы каким-нибудь
образом удалось получить обтекание пластины с полностью
ламинарным слоем при R = 500 000, то коэффициент сопротивления ее
был бы равен Сулам = 0,0018; при полностью турбулентном слое и
том же R имеем СутУ1,б = 0,005, т. е. примерно в два с половиной раза
больше. При больших числах Рейнольдса эта разница становится еще
разительнее. Отсюда следует важность борьбы за „затягивание"
ламинарного слоя на поверхности обтекаемого тела путем придания
повышенной гладкости в лобовой части тела и др.
Желая рассчитать сопротивление пластины, имеющей в носовой
части значительный участок ламинарного пограничного слоя, будем
суммировать сопротивления трения ламинарного и турбулентного
участков, причем сопротивление ламинарного участка найдем по формулам
предыдущей главы, а турбулентного — по формулам (51) и (52). Вопрос
осложняется необходимостью разыскания в этом случае постоянной С,
входящей в уравнение (52).
Заменяя область перехода одной точкой, необходимо условиться
о способе сращивания решений задачи для области ламинарного и
турбулентного движений. Наиболее естественным с точки зрения
принятых в предыдущей и настоящей главах приемов является
использование предположения об одинаковости толщины потери импульса
в сечении, где происходит смыкание ламинарного и турбулентного
участков. Это условие заключается в приравнивании 8** или R**
в начальной точке турбулентного пограничного слоя их значениям
в конце ламинарного участка, рассчитанным но теории ламинарного
пограничного слоя.
Обозначая эти общие для обоих участков пограничного слоя в точке
перехода величины через Rxt и Ri■', будем иметь по (52):
R«7, _ R*-', = О;0о765 ^—RJ, (60)
причем, согласно § 85,
Ъ? = 0,664 VKt- (60')
Не останавливаясь на простых деталях, укажем, что учет влияния
величины R^ на полное сопротивление пластины приводит к
переходным кривым, показанным на рис. 198 жирными пунктирными линиями.
Для различных аэродинамических труб или других искусственных
потоков положение и форма этих переходных кривых зависят от
изменения значений параметра R^. Величина R^ определяется, как
уже указывалось в § 92, в зависимости от турбулентности
набегающего потока, шероховатости поверхности вблизи передней кромки и
других причин.
§ 98] ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ 629
На рис. 198 правая пунктирная переходная кривая относится
к случаю сравнительно большой протяженности ламинарного участка
в носовой части пластины, левая — к случаю малого ламинарного
участка. Из рассмотрения переходных кривых вновь вытекает, что чем
больше, при одном и том же рейнольдсовом числе, относительная
длина ламинарного участка, тем коэффициент сопротивления меньше.
Отсюда следует уже высказанное ранее положение о выгодности
тщательной полировки лобовой части пластины или крылового профиля
с целью затягивания ламинарного режима течения в пограничном слое.
Что такое затягивание практически возможно, следует из указанных
в § 91 численных значений RjKp (от 3100 до 9300). Крылья с
затянутым ламинарным пограничным слоем называют ламинизирован-
ными.1
Полуэмпирическая теория турбулентного пограничного слоя на
пластине в сжимаемом газе была дана для случая отсутствия
теплоотдачи А. А. Дородницыным,2 а позднее, с учетом теплоотдачи,
Л. Е. Калихманом. 3 Обе работы используют преобразование
Дородницына, известное уже нам по предыдущей главе.
§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле
при малом продольном перепаде давлений
Пользуясь ранее выведенным [уравнение (91') § 87] интегральным
соотношением (уравнением импульсов)
//?>** /7'й** т
^ + ^Г<2 + ") = ^' <61)
можно разработать простой приближенный метод расчета основных
величин турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле
малой относительной толщины и вогнутости при движении его с ма-
лыми углами атаки (малые j-j.
С этой целью умножим обе части уравнения (61) на некоторую
функцию G(R**) рейнольдсова числа R** и введем обозначения:
^.G(R**) = C.
(62)
1 Подробнее см. Б. Т. Г о р о щ е н к о, Аэродинамика скоростного
самолета. Оборонгиз, 1948, стр. 47—50.
2 А. А. Дородницын, Пограничный слой в сжимаемом газе. Прикл.
матем. и механ., т. VI, 1942.
3 Л. Е. Калихман, Газодинамическая теория теплопередачи. Прикл.
матем. и механ., т. X, вып. 4, 1946.
630 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Уравнение (61) при этом примет вид:
0(К**)^+(2+Я)/=г. (63)
Первый член можно преобразовать так:
d5** d
U'b** U
1Д > dx dx[u^ > U U'
-8**0' (R**)^^-
d* \/ U'J y ' \ v dx ' v
■d(f*U\ R**G'a?**/5** p**0'<R**>f-
d_l, U n R**0' (R**) , tfS** R** G' (R**) ,
:dxV'U'J G(R**) ^ ^ a!* G(R**) /-
Вводя обозначение
,о**ч _ R**G' (R**) __ d logG (R**) fi4,
m(-K J— C?(R**) ~~ dlogR** ' K° >
найдем из предыдущего уравнения:
[l + m(R**)]G(R**)^l* = ^(/.^)-m(R.**)/.
d&**
Исключим отсюда величину G(R**)-r—, пользуясь равенством (63);
тогда получим:
£(/SW(l+m)C-[2 + m-Hl+m)H]/
d*V W
или, после раскрытия производной в левой части,
%=vF<n+T?'> (65)
где для краткости введено обозначение
F(/) = (l+m)C —[3 + m + (l+«)/fl/. (650
Уравнение (65) представляет турбулентный аналог известного
уже нам из теории ламинарного пограничного слоя уравнения (95)
§ 87, которое легло в основу приближенных методов расчета
ламинарного слоя.
§ 98] ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ 631
Если положить функцию G(R**) равной
G(R**) = R**,
то, согласно (62), / и С станут равными своим ламинарным
аналогам (96) и (97) § 87, величина т примет значение т = 1 и
уравнение (65), так же как и функция F(f), перейдет в известные
соотношения ламинарного пограничного слоя (95) и (97') § 87. В случае
U'b** t
ламинарного пограничного слоя умножение величин —jj- и —щ на R**
делало их независимыми от рейнольдсова числа, причем первая при
этом превращалась в основной, характеризующий форму профилей
скорости в сечениях слоя параметр /, а вторая — в функцию С (/) от
этого параметра, который можно было бы назвать формпараметром.
Предположим, что и в случае турбулентного пограничного слоя
существует функция G(R**), обладающая аналогичным свойством, так
что величина f, определенная первым из равенств (62), будет
формпараметром, а величина С — функцией формпараметра. Точно так же
и величину H — ^g будем рассматривать, как функцию
формпараметра /. Сделав эти допущения, остается найти вид функции G(R**).
Исходя из аналогии с ламинарным пограничным слоем, для которого
множитель R**, согласно (97) § 87, при/ —0 будет равен:
т. е. является величиной обратно пропорциональной местному
коэффициенту трения на пластине, обобщим этот результат на случай
турбулентного пограничного слоя, положив, что при всех
значениях f вид функции G(R**) совпадает с таковыми для пластины
wH*?),-.' (66)
причем R** берется действительное для крылового профиля.
Пользуясь для простоты равенством (51), будем иметь искомое
выражение для функций G(R**):
G(R**) = 153,2 R**V*; (67)
подчеркнем еще раз, что только форма функции G(R**) взята из
закона сопротивления для пластины, аргумент же R** предполагается
взятым для соответствующего сечения пограничного слоя на
рассматриваемом крыловом профиле.
Приняв для определения функции G(R**) равенство (67),
получим для m(R**) по (64) постоянную величину:
/ге = 1/е,
632 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
так что функция F(f) будет равна:
FV)=it-(j+iH)f- (68)
Если крыловой профиль не слишком толст и вогнут, а
обтекание происходит на малых углах атаки при малых коэффициентах
подъемной силы су, то движение в пограничном слое будет
происходить при малых продольных перепадах давления и скоростей
внешнего потока, а следовательно, при малых значениях величины /.
В этом случае не произойдет большой ошибки, если в равенстве (68)
заменить С(/) и H(f) их значениями при /=0. Согласно (62) и (66)
имеем:
Величина Я(0) может быть принята равной Н— 1,4— для
сравнительно малых рейнольдсовых чисел и Я= 1,3—для больших
[вспомнить равенство (55) предыдущего параграфа]. Тогда величина,
заключенная в круглой скобке правой части (68), будет иметь
значение, заключенное в пределах 4,7-4-4,8. Функцию (68) можно
заменить, таким образом, на линейную функцию:
F{f) = a — b/, (69)
с коэффициентами а и Ь, равными:
а= 1,17,
* = 4,7 -4- 4,8.
Уравнение (65) приводит к простой квадратуре для неизвестной
функции f(x):
/(*) = &$[« J*^-НЭЛ + с.
Если принять ламинарный участок на поверхности крылового
профиля отсутствующим, то будем иметь просто:
х
А^жёг/676"1®*' (70)
О
если же учитывать наличие ламинарного участка в интервале абсцисс
(О < х < *(), то выражение для / несколько усложнится и примет
вид:
я> ь
xt *
§ 98] ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ 633
здесь Ut, U't и / представляют значения U, U' и / в точке
перехода х — хь причем ft вычисляется по формуле (62):
ft = ~-0 Ю = "-I R?G (R«). (71')
ut ut
Окончательно будем иметь:
X
fW = WUIU J^-1 (0 d\ + v(/pR«G (R**)]. (72)
Согласно принятому уже ранее для пластины условию смыкания
ламинарного и турбулентного пограничного слоя, величина Щ* может
быть рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя.
Пользуясь формулами (70) или (72), найдем f (х), после чего,
согласно (62), получим следующее уравнение для определения R**(x)
(или §** {х)):
R**G(R**) = v-gi./(*).
Так, например, для полностью турбулентного пограничного слоя на
всей поверхности профиля будем иметь по (67) и (70):
х
B»*G(R**)= 153,2 R^V.^—^.J^-i^dg. (73)
о
Выполнив квадратуру, определим R**(x), а следовательно, и 8**(х).
В принятом приближении (£=1), согласно второму равенству
системы (62), найдем:
cf-ftrah)-Qmi Я**~%- (74)
2 '
Определив zw или cf как функции от х, вычислим коэффициент
сопротивления трения крыла в целом. Для этого остается
просуммировать по всей поверхности крыла проекции элементарных сил
трения \„dx на направление набегающего потока.
Для дальнейшего представит еще интерес определение толщины
вытеснения 8* (х). В принятом приближении эта величина может быть
определена как
S* (х) = №** (х) = (1,3 -^ 1,4) 5** (х); (75)
величины, стоящие в скобках, показывают границы значения Н при
различных значениях рейнольдсова числа натекания: первое
соответствует высшим значениям, второе — низшим.
634
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Все изложенное выше предполагает, что для рассматриваемого
случая обтекания наперед задано распределение скоростей U(x) на
внешней границе пограничного слоя. Вспомним, что теоретическое
распределение скорости, получаемое из условия безвихревого обтекания
крылового профиля идеальной жидкостью, приводит к полному
восстановлению давления и обращению скорости в нуль на задней кромке
профиля. При этом, как показывают предыдущие формулы, величины /,
8**, 8* обращаются в бесконечность.
Как будет доказано в дальнейшем (§ 100), на самом деле,
благодаря наличию явления оттеснения линий тока от поверхности крыла,
в действительном течении такое восстановление давления и обращение
в нуль скорости не имеет места; там же указывается путь избежания
этого недостатка теории.
Изложенный упрощенный прием расчета пограничного слоя пригоден
лишь для режимов обтекания крыловых профилей, не связанных с
отрывом турбулентного слоя. Этот прием может с успехом применяться,
например, для расчета сопротивления крыла самолета на режиме
максимальной скорости, но совершенно не пригоден для расчета
посадочных режимов. Этот же прием полезен для расчета
сопротивления решетки профилей, имитирующей рабочее колесо турбины, но
не достаточен для аналогичного расчета компрессорной решетки,
отдельные профили которой работают обычно на режимах, близких
к отрывным.
§ 99. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле
при значительных продольных перепадах давления
Существует много полуэмпирических методов расчета турбулентного
пограничного слоя, основанных на обобщении формул (21) и (22) на случай
наличия значительных продольных перепадов давления. Таковы, например,
методы К. К. Федяевского, А. П. Мельникова и Л. Е. Калихмана. * Крайне
простой метод был предложен автором настоящей книги.2 Метод основан на
дальнейшем развитии предположения об аналогии между ламинарным и
турбулентным пограничными слоями( широко использованной в рассуждениях
предыдущего параграфа. Для сравнения ламинарных и турбулентных
закономерностей в пограничном слое нормируем формпараметр / в том и другом
1 К. К. Федяевский, Турбулентный пограничный слой крыла: ч. I—
О профиле напряжения трения и скоростей. Труды ЦАГИ, вып. 282, 1936;
ч. II — О законе сопротивления. Труды ЦАГИ, вып. 316, 1936.
А. П. Мельников, Турбулентное трение на крыле и его расчет с
учетом влияния градиента давления. Труды Ленингр. ии-та инженеров гражд.
возд. флота, вып. 19, 1939, а также „Турбулентный пограничный слой крыла
и его расчет", Труды ЛВВА, вып. 5, 1944.
Л. Б. К а л и х м а н, Новый метод расчета турбулентного пограничного
слоя и определения точки срыва. Докл. АН СССР, т. XXXVIII, №№ 5—6,
1943.
2 Л. Г. Лойцянский, Приближенный метод расчета турбулентного
пограничного слоя на профиле крыла. Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945,
стр. 433—448.
§ 99] ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ 635
случае так, чтобы в точке отрыва его значение равнялось единице; для этого
перейдем к новому формпараметру:
где Л — значение не нормированного параметра / в точке отрыва (х = хв).
Нормируем также и С с тем, чтобы при / = 0 или /=0 значение С
было бы равно единице; для этого положим
-=_£_ = !
Наконец, введем еще в рассмотрение нормированную величину
щ. Н _ Н
обращающуюся в единицу при/=0.
Основное допущение о подобии между закономерностями ламинарного и
пограничного слоев заключается при этом в утверждении, что функции К, (/)
и H(f) имеют одинаковый вид как для ламинарного, так и для турбулентного
слоя. Это утверждение было экспериментально проверено для функции Н (/)
и хорошо подтвердилось во всей области значений /, исключая
непосредственную близость к точке отрыва. Вблизи отрыва, повидимому, нельзя
пользоваться идеей однопараметричности; веерообразный рассев точек показывает
наличие влияний, не учитываемых параметром /.
Предлагаемая гипотеза подобия представляется нам естественной как
первый шаг, следующий за более грубым предположением о постоянстве
величин Н и С (Н = 1, С = 1), сделанным в предыдущем параграфе.
Согласно принят ому допущению о подобии, можно как для ламинарного
так н для турбулентного слоев пользоваться табл. 23 зависимости
нормированных величин i; и Н от /, рассчитанной по приведенной в предыдущей
главе табл. 20.
Таблица 23
/
—0,95
-0,90
—0,80
-0,70
—0,60
—0,50
-0,40
С
1,63
1,60
1,53
1,47
1,41
1,34
1,28
Н
0,85
0,86
0,87
0,88
0,90
0,915
0,93
/
-0,30
—0,20
-0,10
0
0,10
0,20
0,30
С
1,21
1,14
1,08
1,00
0,93
0,85
0,77
II
0,95
0,97
0,985
1,00
1,02
1,04
1,07
/
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
С
0,69
0,60
0,515
0,42
0,31
0,175
0
Н
1,10
1,125
1,16
1,20
1,26
1,35
1,48
Обращаясь к уравнению (65), которое в нормированных величинах после
разделения обеих чистей на /6. может быть переписано в виде:
636 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
где
?(/) = H+JH} С-<> I (J) _ [3 + т + (1 + т) Яо77(7)]7, (76')
J8
видим, что функции F(f) для ламинарного и турбулентного пограничных
слоев будут совершенно различны; в случае ламинарного слоя имеем:
2.0 22-- -
^(/) =1ГрШ-ЦЛ-2[2 + 2,61Я(Л]/ =
= - 4,901 (/) - [4 + 5,22/7 (/)] f, (77)
в случае же турбулентного слоя, принимая во внимание, что С0= 1, получим:
ПЪ = Ц^Г(Л- [3,167+ 1,167- 1,4Я(7)]7=
- 1,167-Г(Л — [3,167+ 1,65 7? (/)]/• (78)
Величину /s можно рассматривать как некоторый неопределенный
параметр, быть может, и не имеющий одной и той же величины при всех
процессах отрыва турбулентного пограничного слоя с крыловых профилей
разнообразной формы. Существенно отметить, что принятие различных значений
этого параметра должно совершенно ничтожно сказываться на поведении
решения в области малых /, так как при / = 0, Н= 1, С= 1 (приближенный
метод предыдущего параграфа) величина fa исключается из уравнения (78).
Выбор величины параметра fs скажется особенно сильно на поведении
решения вблизи отрыва и может оказаться зависящим от типа отрыва; этот
вопрос еще нуждается в дальнейшем исследовании.
В ранее цитированной нашей работе было принято /g = — 2; по другим
данным для fs получается средняя величина /8 = — 3,3. Замена в
уравнении (78) F(J) прямой линией
Т(?) = -а-Ь7 (78')
приводит, так же как и в случае ламинарного слоя, к простой квадратуре:
X
f(x) = ^[c-a j Ub-Ui)di\-
Из условия конечности / при х = 0 и U = 0 следует, что при полностью
турбулентном слое С = 0; тогда получим:
■Zg-flt-1®*. (79)
При учете ламинарного участка будем, как и раньше, иметь несколько
более сложную формулу:
f— ць
■-Щ Г
Ut
(80)
Постоянные а и Ь, которые следует выбирать из условия приближения
кривой T(f) прямой линией (78'), зависят от принятого значения Д..
§ 99] ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ 637
Полагая fa = — 2, будем иметь для турбулентного пограничного слоя
1+ти
/.
= 0,6;
если принять /s = — 3,3, то а =ь=0,35. Что касается значения Ь, то оно может
быть приближенно принято равным
6=ь=3 + т + (1 +т)Н0 =г=4,8.
Сравнивая значения коэффициентов а и & с соответствующими
значениями в ламинарном слое
—^--^&-«* Ч£).=(ж).—
можем сделать следующий важный вывод: при одном н том же
распределении скоростей внешнего потока ламинарный слой должен отрываться
раньше турбулентного.
Действительно, из (79) следует, что в ламинарном слое прн а = 4,95 и
примерно том же показателе степени Ь, отрывное значение /= 1 будет
достигаться при меньших х, чем в случае турбулентного слоя при а = 0,35
или а = 0,6.
Вопрос об определении положения точки отрыва турбулентного
пограничного слоя нуждается еще в дополнительных теоретических и
экспериментальных исследованиях. Можно все же думать, что предложенное приближенное
решение правильно оценивает характер явления. Сформулированный только
что вывод относительно взаимного расположения точек отрыва ламинарного
и турбулентного пограничных слоев хорошо подтверждается опытами.
Достаточно вспомнить явление „кризиса обтекания", объяснение которого было
дано в § 92. Точка отрыва ламинарного слоя при больших докритических
значениях рейнольдсова числа не меняет своего расположения, что приводит
практически к установившейся картине „плохого" обтекания шара и
сохранению коэффициента сопротивления на уровне сравнительно большого его
значения. Как только точка перехода в своем движении вверх по течению
достигнет точки отрыва, отрыв теряет свой ламинарный характер и сразу же
начинает перемещаться вниз по потоку, улучшая тем самым обтекание тела
и уменьшая его сопротивление. В конце кризиса точка отрыва
установившегося турбулентного пограничного слоя располагается значительно ниже
по потоку, чем точка отрыва ламинарного слоя, и в дальнейшем уже, если
и перемещается, то крайне незначительно (за счет косвенных причин,
связанных с изменением давлений при утолщении слоя и др.).
Если встать на точку зрения указанных выше аналогий между
ламинарным и турбулентным слоями, то легко заключить об отрицательном влиянии
числа М (сжимаемости газа) потока на обтекаемость крылового профиля.
Подобно тому, как это имело место в случае ламинарного слоя (вспомнить
сказанное в конце § 91), увеличение числа М, приводящее к обострению
пиков разрежений (увеличению отрицательных значений U'), должно, согласно(79),
вызвать отрыв, расположенный ближе к лобовой точке разветвления потока,
чем при М = 0. Это объясняет, почему, наряду с явлением затягивания
.кризиса обтекания" на большие R, с ростом М возрастают также и докрити-
ческие величины коэффициента сопротивления шара (рис. 185). Аналогичное
объяснение можно дать наблюдаемому на многих крыловых профилях
явлению убывания максимального коэффициента подъемной силы с ростом
влияния сжимаемости (числа М).
638
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
§ 100. Профильное сопротивление крыла. Разложение
профильного сопротивления на сопротивление трения и сопротивление
давлений. Обратное влияние пограничного слоя на распределение
давлений по поверхности обтекаемого профиля
Изложенные в предыдущих параграфах упрощенные методы
расчета турбулентного пограничного слоя позволяют с достаточной для
практики точностью рассчитать отнесенное к единице длины вдоль
размаха сопротивление цилиндрического крыла при плоском его
обтекании безграничным потоком. Это сопротивление крылового профиля
называют профильным сопротивлением.
Профильное сопротивление крыла конечного размаха можно
получить, складывая профильные сопротивления „плоских" сечений крыла
(в смысле, разъясненном в гл. VII). Полное лобовое сопротивление
крыла конечного размаха равно сумме профильного и индуктивного
его сопротивлений. На режиме максимальной скорости самолета
индуктивное сопротивление крыла, пропорциональное квадрату
коэффициента подъемной силы, невелико, и главную часть лобового
сопротивления крыла составляет его профильное сопротивление (вспомнить
диаграмму сопротивлений, показанную на рис. 155, и разъяснения
к ней, изложенные в § 74 гл. VII).
Прежде чем перейти к изложению методов расчета профильного
сопротивления, введем понятие о двух основных составляющих
профильного сопротивления: сопротивлении трения и сопротивлении
давлений.
Все силы, приложенные к элементам поверхности крыла со
стороны набегающего на него безграничного потока, можно разбить на
касательные и нормальные.
Первые из этих сил обыкновенно называют, несколько обобщая
это понятие, „трением". Такой термин полностью соответствует лишь
случаю „гладкой" (в аэродинамическом, как было указано в § 95,
смысле этого слова) стенки крыла, когда касательные силы
определяются действительно трением в жидкости— вязкостью.
Мы сохраним тот же термин и для случая шероховатой стенки,
понимая в этом случае под напряжением „трения" отнесенную к
единице площади крыла сумму сил сопротивлений отдельных бугорков
шероховатости.
Проекцию главного вектора приложенных к крылу касательных
на направление потока на бесконечности будем называть
сопротивлением трения.
Нормальные силы давления потока на поверхность крыла образуют
в своей совокупности главный вектор сил давлений, проекция
которого на направление потока на бесконечности называется
сопротивлением давлений.
Профильное сопротивление крыла представляется суммой
сопротивления трения и сопротивления давлений.
§ 100] ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА 639
В случае безвихревого обтекания тела конечного размера
безграничным потоком идеальной жидкости сопротивление давлений
равняется нулю; это составляет, как известно, содержание парадокса
Даламбера.
В реальной вязкой жидкости парадокс Даламбера не имеет места.
Для случая очень малых рейнольдсовых чисел в этом можно было
убедиться на примере задачи Стокса об обтекании шара. Для
течений с большими рейнольдсовыми числами, при наличии пограничного
слоя, вопрос становится менее ясным. Основное свойство
пограничного слоя передавать без искажений на стенку крыла давления
внешнего, безвихревого потока может навести на мысль, что парадокс
Даламбера для движений с пограничным слоем сохраняет свою силу.
Если бы распределение давлений во внешнем потоке в точности
совпадало с тем, которое получается при безотрывном безвихревом
обтекании крыла идеальной жидкостью, то сопротивление давлений,
действительно, равнялось бы нулю. Однако на самом деле наблюдается
следующее явление. Линии тока, вследствие подтормаживающего
влияния стенки, оттесняются от поверхности крыла. Такое
искажение картины течения приводит к нарушению идеального распределения
давлений по поверхности крыла.
Пограничный слой, таким образом, оказывает обратное влияние
на внешний поток, а не только управляется внешним потоком, как
предполагалось до сих пор. Строго говоря, вообще нельзя задавать
наперед распределение давлений или скоростей во внешнем потоке,
так как это распределение зависит от развития пограничного слоя,
а следовательно, является функцией рейнольдсова числа и других
факторов обтекания (например, шероховатости поверхности).
Практически, если тело обтекается без срывов и рейнольдсовы числа
достаточно велики, а изменения их происходят не в слишком большом
диапазоне, то пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя
на распределение давлений и скоростей во внешнем потоке
оказывается допустимым.
Следует подчеркнуть, что обратное влияние пограничного слоя
на внешнее обтекание особенно сильно проявляется на тех участках
пограничного слоя, где слой наиболее толст, например, вблизи
хвостика крыла.
С этой точки зрения полезно вернуться к рассмотрению
распределений давлений по симметричному крыловому профилю,
показанных на рис. 67 гл. V. Если на пятнадцатипроцентном профиле
экспериментальные точки (крестики) вблизи хвостика лишь слабо
отходят от расчетной теоретической кривой, то на сорокапроцентном
профиле отклонения измеренных (на рисунке — точки) давлений от
рассчитанных уже очень велики. Особенно разительно сказывается
обратное влияние пограничного слоя на внешний поток в случае
плохо обтекаемых тел. Для иллюстрации этого факта достаточно
вспомнить кривые распределения давления по круглому цилиндру,
640
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
показанные на рис. 66 гл. V. В этом случае только непосредственно
в лобовой части цилиндра, не далее чем на 30—40° по обе стороны
от передней критической точки, можно говорить о совпадении
теоретического расчета с опытом. На остальной части поверхности
цилиндра распределение давлений, рассчитанное по теории безвихревого
обтекания, не имеет ничего общего с экспериментальным.
Не удивительно, что в этом случае парадокс Даламбера не
выполняется, и лобовое сопротивление цилиндра определяется почти
целиком сопротивлением давлений, сопротивление же трения —
незначительно.
Такую же картину обратного влияния пограничного слоя на
внешнее обтекание имеем и в случае шара (рис. 183). И в этом
случае распределение давления оказывается сильно зависящим от
рейнольдсова числа. Особенно это, конечно, сказывается вблизи
„кризиса обтекания".
Распределение давлений, показанное на рис. 67, приводит к
заключению, что при продольном (с нулевым углом атаки) обтекании
симметричного пятнадцатипроцентного профиля сопротивление давлений
W 0,12
0,06
0,04
ом
о
будет невелико и основное значение в общем профильном
сопротивлении имеет сопротивление трения. Для сорокапроцентного
профиля роль сопротивления давления более велика, а сопротивления
трения значительно меньше. На рис. 199 показаны для сравнения
кривые зависимости коэффициентов профильного сопротивления и
сопротивления трения серии симметричных профилей Жуковского от
относительной их толщины. На диаграмме рис. 199 сила
сопротивления отнесена к миделевой площади крыла, а не к площади
в плане; этим объясняется, почему при уменьшении относительной
толщины коэффициенты профильного сопротивления и сопротивления
трения возрастают. Показанная вертикальными штрихами разность
между коэффициентами профильного сопротивления и сопротивления
трения определяет коэффициент сопротивления давлений.
Рассмотрение диаграммы, составленной при фиксированном числе Рейнольдса
§ 100] ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА 641
(—— = 4 • 104, приводит к отчетливому выводу о росте роли
сопротивления давления с увеличением относительной толщины профиля и,
наоборот, о повышении значения сопротивления трения при переходе
к тонким профилям. J
Как показывают опыты, сопротивление давлений хорошо
обтекаемого крылового профиля убывает с ростом рейнольдсова числа, что
и естественно, так как при возрастании рейнольдсова числа толщина
пограничного слоя уменьшается и
внешний поток приближается к
безвихревому обтеканию профиля идеальной
жидкостью.
Обратное влияние пограничного слоя
на внешний поток поддается не только
качественному объяснению, но и
количественной оценке. Поскольку в
дальнейшем это не приведет к большому
усложнению, будем считать жидкость
не только вязкой, но и сжимаемой.
Рассмотрим какую-нибудь
действительную линию тока (рис. 200а,
сплошная линия), приходящую в точку М
данного сечения М0Мг пограничного
слоя и совпадающую с ней в
бесконечном удалении впереди тела, и
показанную на рис. 200а пунктиром
линию тока безвихревого потока
идеальной жидкости. Отрезок ММ'
представляет подлежащее определению смеще- Рис. 200.
ние действительной линии тока по
отношению к идеальной. Из условия одинаковости массового расхода
жидкости в сравниваемых движениях сквозь сечения М0М —_у и
MqM'' =у—ММ', являющегося следствием совпадения обеих линий
тока вдалеке от тела, заключим, что (через р и У обозначены
плотность и продольная скорость на внешней границе слоя)
ш
Г ри dy = "?U {у — ММ');
при составлении правой части этого равенства принято во внимание,
что на протяжении малой толщины слоя плотность и скорость в
безвихревом потоке идеальной жидкости могут быть приняты
постоянными. Согласно последнему равенству, искомое смещение линии тока
*) Подробнее см. „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости', т. II, ИЛ, 1948, стр. 78—85.
41 Зак 1841. Л. Г. Лойцянский.
642
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
|ГЛ. IX
is -сочке М с координатой у будет равно:
v
ММУ= J (]-|§)dy. (81)
о
На поверхности обтекаемого тела {у = 0) смещение линии тока
исчезает; у обоих сравниваемых потоков—действительного и
идеального безвихревого — общая нулевая линия тока. При удалении от
поверхности крыла смещения действительных линий тока по отношению
к идеальным возрастают.
На границе пограничного слоя (у = о) величина смещения
достигает своего максимального значения
(ЛШ%= 5 = J (1 - =~) dy. (82)
о
Если бы жидкость была несжимаема (р = р = const), то это
смещение линии тока было бы равно известной уже по предыдущему
„толщине вытеснения":
«•-/(1-Й*
о
Правую часть формулы (82) естественно рассматривать как
обобщение понятия толщины вытеснения 8* на случай сжимаемой жидкости
Итак, смещения действительных линий тока относительно линий
тока безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью
определяются интегралами вида (81); на внешней границе пограничного
слоя эти смещения равны по величине толщине вытеснения 8*.
Из сказанного становится понятным происхождение термина „толщина
вытеснения". Полученный результат, очевидно, одинаково применим
как для ламинарного, так и для турбулентного движения.
Пользуясь определением толщины вытеснения, докажем, что
действительное распределение давления по поверхности крылового
профиля при плоском его обтекании вязким сжимаемым газом
совпадает с распределением давления при безвихревом обтекании
идеальным газом полутела (рис. 201), образованного наращиванием
на профиль крыла и по обе стороны от нулевой линии тока в его
следе толщины вытеснения, рассчитанной по действительному
распределению давления.
Для подтверждения правильности только что высказанного
положения предположим, что задано плоское обтекание крылового
профиля реальным (вязким и сжимаемым) газом, сопровождаемое
образованием на теле пограничного слоя (а за телом — аэродинамического
следа), толщина которого предполагается малой по сравнению с
продольными размерами тела.
4} 100J ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА 643
Наряду с этим действительным потоком в пограничном слое
рассмотрим в той же области воображаемый потенциальный поток (в
общем случае сжимаемой жидкости), который являлся бы непрерывным
продолжением действительного внешнего потенциального потока
на область, занятую пограничным слоем. В силу принятого
предположения о малости толщины пограничного слоя, давления в
построенном таким образом потенциальном потоке, а следовательно,
и продольные скорости будут совпадать с давлениями и скоростями
в потоке на внешней границе области пограничного слоя. Вместо
характерного для движения в пограничном слое убывания скорости
от некоторого значения на внешней границе слоя до нулевого
значения на поверхности крыла в эквивалентном по давлениям
потенциальном потоке повсюду на данной нормали будет одинаковая
скорость, равная скорости на внешней границе слоя.
Отсюда сразу следует, что рассматриваемый потенциальный поток,
являющийся непрерывным продолжением внешнего потенциального
потока и поэтому обладающий тем же массовым расходом через
сечение рассматриваемой струйки, что и действительный поток в
пограничном слое, не сможет заполнить всю область пограничного
слоя (включая в понятие пограничного слоя и аэродинамический
след).
Для определения новой области течения рассмотрим (рис. 2006')
некоторую точку М сечения пограничного слоя. Отметим сплошной
линией действительную линию тока, проходящую через точку М, а
пунктиром, идущим в некоторую точку М' на той же нормали, —
линию тока потенциального потока, совпадающую с только что
указанной действительной вдалеке перед телом.
Обратим внимание на отличие фигурирующего воображаемого
потенциального потока, совпадающего с действительным повсюду
вне пограничного слоя, от ранее рассмотренного потенциального
потока, имеющего с действительным лишь общую нулевую линию тока.
Как видно из рис. 200, действительные линии тока располагаются
в одном случае выше идеальных, в другом, наоборот,
Составляя условие одинаковости расхода в действительном и
воображаемом потенциальном потоках сквозь сечения МХМ и МХМ',
отсчитанные от внешней границы пограничного слоя, получим:
Г pudy = р£/ (о — у — ММ'),
у
так что расстояние между сравниваемыми линиями тока в
действительном и воображаемом движениях будет равно:
8
У
W*
644
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
На границе пограничного слоя (у = о) ММ' = 0, и обе линии тока
совпадут. При углублении в пограничный слой величина ММ' будет
возрастать, а воображаемые линии тока оттесняться. Когда, наконец,
действительная линия тока совпадет с поверхностью крылового
профиля, линия тока воображаемого безвихревого потока окажется
оттесненной от поверхности на расстояние
s
равное „толщине вытеснения". Таким образом, основная, нулевая, линия
тока действительного движения, разветвляющаяся в передней
критической точке контура тела и в дальнейшем проходящая сквозь
аэродинамический след тела, должна быть в воображаемом безвихревом
потоке заменена на некоторое бесконечное „полутело", образованное
наращиванием по нормали на нулевую линию тока величины
„толщины вытеснения", рассчитанной по действительному
распределению давления.
На рис. 201 показаны сплошной линией основной профиль и
нулевая линия тока в следе за ним, а пунктиром — контур полутела,
обтекание которого потенциальным потоком эквивалентно по
распределению давления обте-
J** канию профиля реальной
_**—^У~--~~^ I жидкостью. Воображаемый
%^JZLl ^L — безвихревой поток, входя-
т
щий в пограничный слой
через внешнюю его границу
Рис. 201. (на рисунке не показанную)
с теми же скоростями, что
и действительный поток, но в дальнейшем не подвергающийся
действию торможения трением, имеет внутри пограничного слоя большие
скорости, чем действительный поток. При^,этом воображаемый поток
не может заполнить всю область пограничного слоя, часть
плоскости между нулевой линией тока и границей полутела в
воображаемом течении остается не заполненной жидкостью и линия у = 8*
является граничной линией тока. Таким образом, правильность
высказанного ранее суждения о количественной стороне обратного
влияния пограничного слоя на распределение давлений во внешнем потоке
подтверждается.
Практически определение формы полутела и распределения давления
по его поверхности следует вести по методу последовательных
приближений, принимая, например, в первом приближении распределение
давления соответствующим обтеканию крылового профиля и хвостовой
нулевой линии тока потенциальным потоком с выполнением условия
плавного обтекания задней кромки по гипотезе Жуковского.
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 645
Как уже было указано в конце § 97, приближенное определение
8* (л:) по теоретическому распределению U (х) в задней критической
точке крылового профиля, где скорость обращается в нуль, а
давление восстанавливается до давления в покоящейся жидкости, становится
невозможным. Опираясь на только что доказанную теорему,
утверждающую, что в действительности, благодаря оттеснению линий тока
указанное полное восстановление давления фактически не происходит, можем
при расчете первого приближения заменить теоретическое
распределение скоростей вблизи задней кромки профиля, проведенной „на глаз",
прямой, экстраполирующей распределение скоростей в кормовой части
профиля в точку, совпадающую с задней кромкой.
Используя в первом приближении теоретическое распределение
давления на поверхности тела и хвостовой нулевой линии тока,
соответствующее гипотезе Жуковского и исправленное только что
указанным приемом вблизи задней кромки, определим по теории пограничного
слоя толщину вытеснения, а затем и форму полутела в первом
приближении. После этого найдем теоретическое распределение давления
на поверхности полутела, новое распределение толщины вытеснения
и т. д. Такого рода расчеты проводились неоднократно, но практика
показала, что они связаны с исключительно трудоемкими
вычислениями.
Определение сопротивления давления как проекции главного вектора
сил давлений (исправленных согласно указанному выше или
фактически замеренных путем дренажа поверхности крыла) на направление
набегающего потока крайне неточно, так как приводит к вычислению
малой разности двух сравнительно больших величин. Сопротивление
давлений точнее всего определяется как разница между профильным
сопротивлением и сопротивлением трения.
Доказанная только что теорема об обратном влиянии пограничного
слоя на внешний поток и основанный на ней метод введения
поправок на теоретическое распределение давлений устраняет недостаток
формул, предложенных в § 98 и 99 для расчета элементов
турбулентного пограничного слоя, и позволяет с успехом вычислять
сопротивление трения.
Та же теорема оказывается полезной и для определения
профильного сопротивления по излагаемому ниже приближенному методу.
§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления
крыла и крылового профиля в решетке
Рассмотрим крыловой профиль (рис. 202) в безграничном плоском
потоке жидкости (в общем случае сжимаемой) со скоростью на
бесконечности равной Vco и плотностью рм. Сравним опять два эквивалентных
по распределению давлений потока: 1) действительный,
сопровождающийся образованием на поверхности крылового профиля
пограничного слоя (а затем следа), и 2) воображаемый безвихревой поток
646
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
идеальной жидкости, набегающий на „полутело" (на рис. 202
показанное пунктиром) и совпадающий с действительным вне пограничного
слоя.
Возьмем какое-нибудь перпендикулярное к направлению скорости
на бесконечности сечение о2 аэродинамического следа за телом,
проведем через крайние точки этого сечения соответствующие им линии
тока во внешнем потоке и рассмотрим образованную таким образом
трубку тока.
Обозначим через з, сечение этой трубки тока, проведенное
параллельно сечению а2 вдалеке перед обтекаемым телом. Тогда,
Рис. 202.
применяя к отрезку трубки тока между сечениями о1 и о2 в
действительном и воображаемом потоках теорему количеств движения
в форме Эйлера в проекции на ось х, направленную по скорости
набегающего потока, будем иметь:
1) для действительного потока:
f pu2dy- f ?u*dy— Rx + Xp = 0,
2) для воображаемого потока:
f рй2 dy _ (0a _ s*} PaBa _ R^ 4-^ = 0.
В этих равенствах Rx обозначает сопротивление крылового
профиля в действительном движении, т. е. искомое профильное
сопротивление, Rix—сопротивление давлений части боковой поверхности
полутела, отсеченной плоскостью о2, Хр — одинаковую для обоих потоков
проекцию на ось х главного вектора сил давлений, приложенных (как
показано на рис. 202 стрелками) к боковой поверхности выделенного
объема трубки, р2, и2 — плотность и продольную скорость в
потенциальном потоке в сечении з2, а 3* — толщину вытеснения в том же
сечении.
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 647
Вычитая почленно друг из друга левые части составленных равенств,
получим:
(=2 — &*) ни\ — Jpu2 dy 4- Rix — RX = Q.
Заметим, что по определению толщины вытеснения В*:
J V Р2«2/ ^ J P2"2
тогда из предыдущего равенства будет следовать
Rx = J p" («2 — и) 4у -\- Rix-
а,
Устремим теперь сечение а2 на бесконечность вниз По течению.
Как было указано в конце § 64, сопротивление давлений
изображенного на рис. 202 пунктиром бесконечного полутела со стремящейся
к некоторому конечному пределу 8» толщиной Ь.2 (последнее вытекает из
физического определения величины о*) будет равно нулю;
предельный переход в предыдущем равенстве дает при этом:
+ со
Rc— Uiii Г р« («2 — u)dy-\- lim Rix— \ ;m(V,0 — и) dy. (83)
а, ~>СТ.
Введем обозначение:
-f- GO
"V-f1—F-)^ = 8». (84)
' CO ' CO
где р^о и Kco — плотность и скорость потока на бесконечности.
Обобщая ранее введенное для случая несжимаемой жидкости понятие о
толщине потери импульса, сохраним этот термин и для выражения,
представленного формулой (84).
Тогда, обозначая через b хорду профиля, из равенства (83) найдем
выражение коэффициента профильного сопротивления схр через толщину
потери импульса на бесконечности:
D В"*
= 2-f. (85)
4?»о ь
Формула (85) имеет вспомогательное значение, как промежуточная
формула, необходимая для дальнейших выводов. Дело в том, что не-
посредственное определение ьл ни теоретически, ни экспериментально
провести нельзя. Общепринятый сейчас приближенный прием расчета
648
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
профильного сопротивленияг основан на идее установления связи между
величинами толщин потери импульса на бесконечности Ьт и на задней
кромке исследуемого крылового профиля 8ft . Желая обобщить эту
идею на общий случай движения сжимаемого газа, установим сначала
уравнение импульсов для области следа за крыловым профилем.
Уравнения турбулентного движения сжимаемого газа в области следа за
телом в осредненных скоростях и плотностях будут иметь тот же
вид, что и уравнения пограничного слоя, частным случаем которого
является след (■: — напряжение турбулентного трения):
ди , да -TrdU , di
P^ + P^^P^ + lV
д(ри) _. d(pv) _n
дх ' ду ~~и'
причем ось х направлена вдоль нулевой линии тока, сходящей с
задней кромки крылового профиля, ось у— нормально к ней.
Подобно тому как это уже делалось ранее с уравнениями
движения несжимаемой жидкости, перепишем предыдущую систему в виде
(второе уравнение умножено на U):
вычтем почленно первое уравнение из второго и проинтегрируем обе
части таким путем полученного равенства
£ {?а (U- и)] + | [р* (U- и)) + (Р>- Ри) % = - *
поперек следа по у от нижней границы следа до верхней.
Вспомним, что след за телом представляет тот же пограничный
слой, причем на внешних границах его (у = =±~- 3 или dr со)
соответствующие значения и= U равны между собою и, кроме того, х = 0.
Таким образом, получим после интегрирования:
-+■ со, 3 4" со, 5
— со, — 5 — со, —-5
1 Сборник „К вопросу о максимальной скорости самолета" под
редакцией Б. Т. Горощенко и Д. В. Халезова, Оборонгиз, 1941, статья
Г. Б. Сквайра и А. Д. Юнга, Расчет профильного сопротивления
крыла
§ 101J ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 649
или, используя вновь ранее принятые обозначения для толщины
вытеснения и толщины потери импульса:
4-00,5 4-оо,8
— со, —о —со, —5
составим следующее выражение для уравнения импульсов:
^ + (±Ё!1+±*Е)ъ**+±*и.ъ* = о. (86)
dx \U dx p dx J U dx
Разделим обе части этого уравнения на 8** и проинтегрируем его
по х вдоль следа от сечения (х = х^), соответствующего задней
кромке крылового профиля, до бесконечно удаленного от него сечения
следа за крылом. Будем иметь:
_ оо
ик
о/ ~
в vz I J 6"* dx
г со у о
Введем обозначение Л=8*/8** и, заменяя под знаком интеграла
переменную вдоль следа величину Н ее средним значением, для чего
положим, например,
найдем
,n(f) = 'n(5l)-^(Hfc+^),n©- (8?)
Равенство (87) может быть, таким образом, приведено к виду
Ьк Роо V °°/
Подставляя полученное выражение 8ОТ в равенство (85), получим
следующую общую формулу профильного сопротивления:
24-4 <Як 4-Яж) ,,,
<- = 2lt№) •-■ <89>
Формула (89) упрощается в случае изотермического движения
несжимаемой жидкости, когда р& = рх. В этом случае, если
обтекание не слишком толстого и слабо изогнутого крылового профиля
происходит при малых углах атаки, когда продольный перепад давлений
650
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
невелик, можно, следуя приближенному методу § 98, положить Н = 1,4,
а 8^ определять, пользуясь простыми формулами (70) или (72).
Величина Н^, в случае движения несжимаемого газа постоянной
плотности равна единице, в чем легко убедиться, полагая u—U — и'
в выражениях 8* и 8** и пренебрегая в достаточном удалении
от задней кромки крыла второй и старшими степенями малой
добавки и'.
Формула профильного сопротивления будет при этом иметь
упрощенный вид
\ со '
широко употребляемый на практике. Заметим, что значение скорости £/&
на задней кромке берется или из опытного распределения давлений
по поверхности крыла или при помощи той экстраполяции
теоретической кривой, о которой шла речь в конце предыдущего параграфа.
Для определения 8*.* производится расчет толщины потери импульса 8**
отдельно по верхней и нижней поверхностям крылового профиля,
а затем найденные значения на задней кромке складываются.
Полученная таким образом величина и будет толщиной потери импульса
в сечении следа на задней кромке крыла.
Сложнее обстоит дело с расчетом сопротивления при
неизотермическом движении сжимаемого газа. В этом случае необходимо
дополнительно рассчитать тепловой пограничный слой на поверхности крыла,
а также учитывать тепловые явления в следе.1
Для избежания недоразумений отметим, что используемое нами
определение толщины вытеснения в пограничном слое или следе
ее, о
8*= f (l-J!L)dy (91)
J V PuJ
отличается от принятого другими авторами и более удобного с точки зрения
применения преобразования Дородницына определения
со, Ь
5* = J -L(l-j-yy (92)
на величину
со, о
J (l-j^dy, (93)
о '
зависящую от распределения температур в пограничном слое, вследствие
чего величина Н^, входящая в формулу (89), в случае неизотермического
движения не будет равна единице.
1 Л. Е. К а л и х м а н, Газодинамическая теория теплопередачи. Прикл.
матем. и механ., т. X, вып. 4, 1946,
§ 101J ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 651
В изотермическом движении несжимаемой жидкости оба определения
величины S* совпадают, в случае же неизотермического движения сжимаемого
газа необходимо делать соответствующий пересчет. Принимаемое нами
определение (91) точно соответствует представлению о „толщине вытеснения",
связанной с ранее доказанной теоремой об обратном влиянии пограничного
слоя на внешний поток. Толщина потери импульса 8** всеми авторами
определяется одинаково.
Формула (90) лежит в основе практических расчетов профильного
сопротивления крылвев и дает хорошее совпадение с опытными
материалами. Были составлены специальные номограммы (сетки), по
которым, задаваясь геометрическими параметрами крылового профиля и
положением точки перехода, можно легко определить коэффициенты
профильного сопротивления крыла при данном рейнольдсовом числе
набегающего на него потока. Эти сетки, составленные сперва для
случая обтекания профилей несжимаемой жидкостью (М = 0), были
в дальнейшем обобщены и для различных значений чисел М.
Соответствующие данные можно найти в специальных справочниках и
курсах аэродинамического расчета.1
Аналогично решается вопрос и о сопротивлении тела вращения
при осесимметричном его обтекании.
Изложенный только что метод расчета профильного сопротивлении крыла
можно обобщить на случай решеток профилей, обтекаемых несжимаемом
жидкостью и сжимаемым газом.2
Довольствуясь для простоты движением несжимаемой жидкости,
рассмотрим обтекание плоской решетки профилей (рис. 203) с давлениями н
скоростями на бесконечности: р1оо, Vloo— до решетки и _p2jo, V2oo — за решеткой.
Обозначим плотность жидкости через р, вектор шага — через t; тогда,
используя теорему количеств движения, будем в случае вязкой жидкости иметь,
очевидно, ту же самую формулу (116) § 49 гл. V для определения главного
вектора приложенных к профилю в решетке сил, что и в случае идеальной
жидкости, а именно:
R = (РЮ0-Р2») t + р (t - v1oo) (v1O0 - v2 j.
Разница здесь будет лишь в том, что, в силу наличия потерь энергии
за счет работы диссипативных сил трения, полные напоры перед и за
решеткой не будут равны между собою, а дадут разность;
Р = (^1 х, + ~2 ?yioo) - (-Раоо + "J ? V'L) >
1 А. А. Дородницын, Расчет коэффициентов сопротивления крыловых
профилей с учетом сжимаемости воздуха. Труды ЦАГИ, № 549, 1944.
Б. Т. Горощенко, Аэродинамика скоростного самолета. Оборонгиз,
1948.
И. В. О с т о с л а в с к и й, В. М. Титов, Аэродинамический расчет
самолета, Оборонгиз, 1947.
2 Л. Г. Лойцяиский, Сопротивление решетки профилей, обтекаемой
вязкой несжимаемой жидкостью. Прикл. матем. и механ., т. XI, вып. 4, 1947.
Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Сопротивление решетки профилей в газовом потоке
г. докритическими скоростями. Прикл. матем. и механ., т. XIII, 1949,
652
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
называемую потерей напора. Таким образом, искомый главный вектор R
представится как сумма
R = -jp(4
v\j t + p(t- vl0O) (v1oo - v3O0)+A
или в принятых в § 49 гл. V обозначениях:
R = 9 (Vm . Vd)t - р (t • Vm) Vd +p't = pVw X (t X Vd) +p't (94)
В первом слагаемом суммы узнаем силу Жуковского, которую
обозначим через Rj-, второе слагаемое можно было бы назвать силой
сопротивления профиля в решетке R'. Итак,
R = Ri + R'. (95)
Поскольку все аэродинамические элементы до и после решетки заданы,
определение силы действия потока на профиль в решетке сводится к вычи-
Рис. 203.
слению силы сопротивления R' или потери напора р', связанного с силой
сопротивления простым соотношением:
W=p't
(96)
По сравнению с единичным крыловым профилем, задача о расчете
профильного сопротивления решетки усложняется тем, что пограничные
слои, сходящие с отдельных профилей в решетке, на некотором расстоянии
вниз по потоку смыкаются (рис. 203), образуя в дальнейшем движение, не
подчиняющееся уравнениям пограничного слоя. Обозначая это сечение
индексом „2" без значка сю и предполагая, что неоднородность поля
скоростей в этом сечении следа за решеткой уже мала, легко показать,1 что
потеря напора может быть выражена формулой:
■;'Па
t cos p2o
1 См. цитированные выше наши работы.
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 653
**•*
где о3 —толщина потери импульса в рассматриваемом сечении следа, Раоо —
угол между вектором скорости V2oo и перпендикуляром к оси решетки.
Используя, как и в случае единичного профиля, изложенный ранее прием
перехода от сечения в следе к сечению на задней кромке профиля
(5'" = V* U ~ Ubl> будем иметь следующие формулы для потери напора р'
и силы сопротивления /?':
ик у Ч
* = ?<*
ик
*W C0S ft
} (97)
'2оо
В формулах (97) фигурирует скорость на бесконечности за решеткой У.,
а не средняя векторная скорость Vm, обычно принятая в теории решеток.
Замечая, что
^cos P200 = Ут С03 ?
т
где fi,B— угол между Vm и перпендикуляром к оси решетки, будем иметь:
V'2 (V \0'2 6**
''-""-Ч) то т«к; <98>
')»
и соответствующую формулу для силы сопротивления.
Рассматривая среднюю векторную скорость Vm как некоторую условную
„скорость на бесконечности", можно было бы принять за сопротивление
составляющую D силы R' на направление скорости на бесконечности:
*'™^^{ъУ(кТ*
D = К COS р... = [JV ,„ 1 ТГ- ] 1 Т^~ I 0,. пщ
и соответствующий ей коэффициент сопротивления писать в виде:
D JU,\"/V. W
Формула (100) совершенно аналогична формуле (90) для изолированного
крылового профиля; отличием является лишь множитель (-гг^-) .
практически мало отличающийся от единицы.
Произведенные по формуле (100) расчеты сопротивлений профилей
в турбинной решетке показали хорошее совпадение с непосредственно
замеренными опытными величинами.
Некоторые трудности, возникающие при расчете компрессорных
решеток, связаны с наличием в такого типа решетках отрывов пограничного
слоя в области задней кромки и не позволяют применять только что
изложенную теорию без необходимых видоизменений.
654
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1ГЛ. IX
Определение действительных потерь в рабочих колесах и
направляющих аппаратах турбомашин не может быть сведено к простому
расчету по формулам (97) и (98), так как наряду с учитываемыми
этими формулами потерями в плоской безграничной решетке
существенное влияние оказывают еще: конечность высоты лопаток и
толщина их задних кромок, наличие радиального зазора между лопатками
и кожухом и аксиального зазора между рабочим колесом и
направляющими аппаратами, а также центробежные эффекты на вращающемся
колесе. Теоретическое изучение роли этих важнейших источников
вредных сопротивлений и потерь в турбомашинах представляет
основную задачу современной гидроаэродинамики турбомашин; можно
ожидать, что теория пограничного слоя принесет большую пользу на
пути решения этих задач.
§ 102. Основные закономерности „свободной турбулентности".
Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном
той же жидкостью
Своеобразным аналогом пограничного слоя служат движения
жидкости в струях, в следе за телом и, вообще, движения вблизи
границы раздела двух потоков, имеющих различные скорости. Так же
как и пограничный слой, эти области характеризуются
сосредоточенным действием внутреннего трения — ламинарного или турбулентного,
в зависимости от того, какова общая структура потока. Вместе с тем
обращает на себя внимание и некоторое отличие задач этого рода от
задач пограничного слоя, заключающееся в отсутствии влияния
твердой стенки, непроницаемой для жидкости и тормозящей ее
движение силами вязкости. Такого рода движения, происходящие в
значительном удалении от поверхности твердых тел, называют свободными.
Для ламинарных движений своеобразие „свободных" движений
сводится лишь к отсутствию характерного для твердой стенки
граничного условия равенства нулю скорости жидкости на обтекаемой
поверхности. В случае же турбулентного движения, как сейчас будет
показано, специфическая форма эпюры скоростей позволяет упростить
основную закономерность трения.
Рассматриваемые в настоящем и следующем параграфах случаи
турбулентной струи и турбулентного следа за телом являются
иллюстрациями общих методов теории свободной турбулентности. В
задачи этой теории входит, наряду с перечисленными выше, изучение
турбулентных движений в свободной атмосфере, воздушных и морских
течений, различных вентиляционных потоков и др.
Механизм „свободных" турбулентных движений полностью
сводится к чисто турбулентному перемешиванию; влияние обычной
„молекулярной" вязкости при этом совершенно пренебрежимо, так что
рассматриваемые ниже движения оказываются независимыми от рей-
нольдсова числа, в каком бы прямом или косвенном виде оно ни
составлялось.
§ 102] „свободная турбулентность"; плоская струя ti55
Установим прежде всего формулу для касательной составляющей
турбулентного трения т. Для этой цели используем вновь ту же
гипотезу приближенного подобия осредненных движений в отдельных
слоях, что и при движении в трубе (§ 94). Распределение
осредненных скоростей в нормальных по направлению к потоку сечениях для
всех рассматриваемых случаев подходит под общий тип, показанный
на рис. 204. В сечении МХМ<± скорость
непрерывно переходит от некоторого
значения к == их для нижнего однородного
потока к значению и = «2 в верхнем
однородном потоке. Так, в струе,
распространяющейся сквозь затопляющую
безграничное пространство неподвижную жидкость,
скорость Kj на внешней границе струи
равна нулю, скорость и2 представляет
максимальную скорость ит на оси струи
(в этом случае роль „однородного" потока
в точке М% играет элементарная струйка
на оси симметрии струи). В случае
аэродинамического следа вдалеке за телом
скорость иj соответствует минимальной скорости на оси следа,
образовавшегося благодаря тормозящему влиянию тела, а и2 = Уоо—■
скорости невозмущенного внешнего потока, набегающего на тело.
Производная -^— на краях интервала МХМ2 обращается в нуль
как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда
точки Мг и М2 соответствуют максимуму или минимуму скорости.
При этом эпюра скоростей должна иметь в рассматриваемом интер-
д*и
Рис. 204.
вале точку перегиба, где
ду2
■ 0, и применение формулы (21) § 94
для длины / становится невозможным. Возникшую трудность легко
обойти, если заметить, что в этом случае эпюра скоростей близка
д прямой линии повсюду за исключением областей, прилежащих
к краям интервала. Такой характер эпюры скоростей позволяет счи-
т :ть осредненные движения в отдельных слоях подобными при
любом закон? дробления потока на слои толщины / и, в частности,
на слои одинаковой толщины, так что / не будет зависеть от у.
Формула касательного напряжения турбулентного трения при этом
сохранит ранее указанный вид (22) § 94:
\ду J ду
А = ъР
да
ду
(101)
J
с той лишь разницей, что символ полной производной заменен на
символ частной производной, так как, аналогично случаю пограничного
656
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
слоя, вдоль струи (при изменении абсциссы х) поле скоростей
деформируется. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии,
можем в выражении (101) коэффициента турбулентного обмена А
произвести приближенную замену
ди _.__ щ — их
и положить
ду Ъ (102>
A = ?fi\Jh=Jh\t (103)
где Ь^М^М^—ширина области турбулентного перемешивания.
Возникающая при этом на краях области ошибка несущественна, так
как в выражении турбулентного трения (101) величина А умножается
на -—, обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом,
коэффициент турбулентного обмена в задачах свободной
турбулентности может быть принят постоянным по сечению, т. е.
не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е.
переменным вдоль течения). Принимая постоянную но сечению толщину
слоев / пропорциональной размеру области обмена Ь, окончательно
получим следующую общую для большинства задач теории
„свободной турбулентности" формулу коэффициента турбулентного обмена:
A = kpb\u2 — щ\, (104)
где k — некоторый одинаковый для всех рассматриваемых движений
постоянный коэффициент пропорциональности; величины b и \и2 — иг\
меняются в общем случае от сечения к сечению и представляют
неизвестные функции координаты х, отсчитываемой вдоль по течению.
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания
неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в
свободной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного
движения жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же
гипотеза была отчетливо сформулирована еще в 1938 г. Б. Я- Труб-
чиковым, 1 принявшим А за постоянную величину, не зависящую ни
от х ни от у. Как далее будет показано, такое допущение
действительно верно для турбулентного следа, но непригодно, например, для
струи. Формула, аналогичная (104), была предложена в 1942 г.
Л. Прандтлем, 2 исходившим из соображений, отличных от
использованной нами гипотезы подобия. Первые применения новой формулы
Прандтля были выполнены Гертлером. s
1 Б. Я. Т ру б ч и к о в, Тепловой метод измерения турбулентности в аэро*
динамических трубах. Труды ЦА1 И, вып. 372, Москва, 1938, стр. 16.
2 L. Prandtl, Bemerkungen zur Theone der freien Turbulenz. Zeitschr.
fur Angew. Mathem. und Mech. Bd. 22, H. 5, 1942, S. 241.
3 ri. G Or tier, Berechnung von Aufgaben der freien Turbulenz auf Grund
eines neuen Naherungsansatzes. Zeiischr. tiir Angew. Math, und Mech., Bd. 22,
tl. 5, 1942, S. 244.
§ 102] „свободная турбулентность"; плоская струя 657
Остановимся на некоторых простейших применениях формулы (104).
Рассмотрим прежде всего пример плоской турбулентной струи, бьющей
из бесконечно тонкой щели в безграничное пространство,
затопленное той же неподвижной жидкостью. Для дальнейшего существенно,
что источник плоской струи представляется бесконечно тонкой щелью.
Такая схематизация упрощает решение, так как, благодаря отсутствию
характерной длины (ширины щели) в граничных условиях, задача,
аналогично тому, как это имело место в теории ламинарного слоя
(§ 85), может быть сведена к решению одного обыкновенного
дифференциального уравнения, взамен сложной систехМы уравнений в
частных производных, к которой сводится общая постановка задачи.
Рассматривая область струи, где продольная осредненная
скорость и (х, у) не равна нулю, как „пограничный слой" (на рис. 205
Рис. 205.
сраница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле
показана пунктиром), будем считать давление постоянным вдоль
сэчений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне
гтруи повсюду одинаково, то и одинаковым во всей области течения.
Уравнения движения примут вид, аналогичный (44) § 97, а именно:
ди , ди
u-z \-v з—=
дх ' ду
ди
д
dv
ди
~ду
А д°-а
-f— = 0
дх ' ду '
или, согласно (104):
ди , ди
дх
ди ,
дх >~
dv
W
kb (x) um (х)
0.
д*и
ду*
(105)
(105')
42 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянский.
658 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед
неизвестны законы изменения ширины струи b {x) и максимальной
скорости на оси струи ат (х). Эта неопределенность исчезает, если
выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных
между собою кривых
■И-=/(т)=т> (106>
где под b (x) понимается некоторая условная (в том же смысле, как
„толщина" пограничного слоя) ширина струи, а ч) — ^—новый
аргумент. Пользуясь выражением (106), вычисляем (штрих означает
дифференцирование по т():
ди dum ,, , 1 db ,, .
у ъ ч
О 0 0
Подставим эти выражения в первое уравнение (105'), тогда после
простых приведений получим:
dx
/2(^)-/(-n)J/h)^] +
+^Z[f,^\hf^)d^~^f^f^)}=^TLf"i'fi)- (107)
0
Введем в рассмотрение функцию F(-q), положив
1
^(ri) = f/(ri)dri. (108)
о
Функция F(r{) связана простым соотношением с функцией тока
(Ji (x, у). Действительно, по определению функции тока, если
принять ty (х, 0) = О,
у i
y = Judy==amb ffft) dri = ttmbF (т)). (108')
§ 102] „свободная турбулентность"; плоская струя 659
Будем иметь:
о 6
так что уравнение (107) может быть переписано в виде
^^~FF")-^-^FF" = k^-F'". (Ю9)
Замечая, что, в силу одинаковости давления во всей области
течения, проекция на ось Ох вектора количества движения, протекающего
сквозь любое сечение струи, должна быть одна и та же, получим
Г p«2dy = const = J0, (110)
—со
где У0 представляет заданное количество движения струи при выходе
ее из щели, или интенсивность струи. Подставляя сюда значение а
из формулы (106), найдем:
pu2mb J* f (yj) d-ц = J0
—со
ИЛИ
«m* = COnst. (НО')
Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим:
9,i dUm й О- и2 db — г»
в силу чего уравнение (109) перепишется окончательно в виде:
Ц(F'2 + FF") = - 2kF'". (Ill)
Из условия независимости аргументов х и yj следует, что
£ = с, Ь^сх, (112)
где с — некоторая не зависящая от граничных условий константа,
характеризующая турбулентный характер струи. Как показывает
последнее равенство, „ширина" струи возрастает пропорционально расстоянию
от источника, а границами струи служат прямолинейные лучи,
выходящие из источника (на рис. 205 они показаны пунктиром).
Из равенства (ПО') можно найти закон убывания максимальной
скорости на оси при удалении от источника струи:
const /.. 0ч
42*
660 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Найдя закон (112) изменения ширины струи b и (113) — осевой
скорости ит, можем определить и закон изменения коэффициента
турбулентного трения А. Имеем по (104) и только что указанным
равенствам:
А = kpumb = kcpxum = const Yx- (104')
Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи,
возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения
до источника струи.
Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду:
и легко может быть непосредственно два раза проинтегрировано.
Действительно, имеем:
и, следовательно,
/=* = —SF^ + ^ + q. (П5)
Постоянные интегрирования Си С, найдем из очевидных
граничных условий:
при •»! = 0 Т7 =0,1
при т| = 0 F" = 0, [ (116)
при т| = 0 F' = 1, j
выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что
ди ,,
в силу симметрии производная -х- обращается на оси в нуль и что
вдоль оси и = ит. Уравнение (115) при этом переходит в легко
интегрируемое уравнение
которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение:
■/■
Отсюда получаем
■-*VA
§ 102] „СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ"; ПЛОСКАЯ СТРУЯ 661
или, переходя к гиперболическим функциям,
^=2/!Чт/Н (117)
Отсюда находим продольную составляющую скорости и:
!i/T
2 V k
и = umF' ft) = ит ■ 2 |/~
cha
- "^-*{W h) ("8)
и поперечную составляющую v:
(119)
Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами,
обозначим через У такое значение у, при котором и = -^ ит, тогда
из равенства
1
2 **i»
mt \2 К й с*/
будет следовать:
У 0,88, Y=\JQVkcx.
2 /fcc*
При этом равенство (118) может быть переписано в виде:
« = awch-2(o,88-fj. (120)
На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром.
Совпадение этой теоретической кривой с опытными точками1 вполне
удовлетворительное. При таком сравнении неизвестные константы сил
входят в определение величины Y.
1 F о г t h га а п п, Ingenieur-Archiv, 5 (1934), S. 42—54.
662 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход
жидкости через любое сечение струи, расположенное на расстоянии х
от источника струи.
Имеем
+ °э +оо 4-°°
<Э = р J udy = pumb j* f {r^ dti = ?umb f F'{4[)dt{ =
— CO —CO —OO
= ?umb [F fo)]+2 = Р"ж* • 2]/^f -2 = 4 j/"A paOT*, (121)
откуда по (ПО') и (112) следует, что
Q = const VT, (122)
т. е. что расход жидкости сквозь сечение струи растет при удалении
сечения от источника струи; при х = О Q = 0. Причина этого
явления отчетливо видна из общей картины течения, показанной на
рис. 205. Струя целиком состоит из жидкости, подсасываемой из
затопленного пространства. Чем дальше сечение отстоит от источника
1,00
*$
о
■0,75-
|
-0,50-
1...
-о,
25-
U
Чт
^
fe
N
fr
^
'2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
У1*
Рис. 206.
струи, тем большее количество жидкости увлекается ею.
Парадоксальный на первый взгляд факт равенства нулю расхода жидкости
через бесконечно тонкую щель при конечном количестве движения
легко понять, рассматривая движение жидкости в струе как
предельное при уменьшении ширины щели. Сравнивая (121) или (122) с (104'),
видим, что расход Q изменяется по тому же закону, как и
коэффициент турбулентного обмена А.
Рассмотренное явление увлечения струей окружающей жидкости
лежит в основе работы разнообразных водяных, воздушных и
паровых насосов, называемых инжекторами и эжекторами. Во всех
аппаратах такого рода струя со значительным количеством движения, но
малым расходом, создает значительные расходы жидкости, что и
делает насос полезным.
§ 102J „свободная турбулентность"; плоская струя 663
Для расчета плоской струи необходимо задать какие-то
характерные для струи параметры. Это могут быть: сохраняющееся вдоль
всей струи ее количество движения 70, расход или осевая скорость
в некотором фиксированном сечении струи и др.
Заметим, что рассмотренное решение, как это следует из ранее
приведенных рассуждений, содержит произвольную постоянную с,
существенно зависящую от турбулентности струи и являющуюся
экспериментальной константой данной струи. От этой константы зависит
угол расширения струи, который будет тем больше, чем интенсивнее
турбулентность в струе.
Изложенный метод решения задачи не единственный. Можно было
бы воспользоваться и непосредственно формулой (22) § 94, не
опираясь на приближенное постоянство коэффициента турбулентного
обмена. Такое решение задачи о плоской турбулентной струе
оказывается более сложным, так как приводит к дифференциальному
уравнению, требующему численного интегрирования. Результат такого
решения, выполненного в свое время Толлмином,3 приведен в виде
сплошной кривой на том же рис. 206. Можно заметить, что
изложенное ранее решение (пунктирная кривая) ближе к экспериментальным
данным в средней части струи, чем кривая Толлмина; по краям струи,
наоборот, кривая Толлмина оказывается более близкой к опытам.
Мы не излагали решения задачи о ламинарной струе, так как это
движение не представляет практического интереса. Решение задачи
о ламинарной струе имеет много общего с только что изложенным
решением задачи о турбулентной струе, так как и в том и в другом
случае предполагается, что коэффициент внутреннего трения
(молекулярной или турбулентной вязкости) постоянен по сечению струи.
Однако не следует забывать, что в ламинарной струе коэффициент
вязкости постоянен во всей области течения, а не только по сечению
струи. Кроме того, наличие влияния вязкости изменяет вид основного
аргумента i\ и форму границы струи. Подробное изложение задачи
о ламинарной струе можно найти на стр. 124—134 нашей монографии
„Аэродинамика пограничного слоя".
Не имея возможности останавливаться на изложении других задач
о струях (осесимметричная струя, пограничный слой на границе двух
движущихся жидкостей и др.), заметим, что все они могут быть
разрешены теми же приближенными методами, что и задача о плоской
струе.2
Чрезвычайно важному вопросу об обобщении теории струй на
случай практически используемых в технике как изотермических, так
1 W. Toll mi en, Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange. Zeitschr.
fur Angew. Math, und Mechanik. Bd. IV, S. 468, 1926. Подробный разбор этого
решения приведен в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя",
стр. 283-285.
2 См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", а также
ранее цитированную (стр. 656) статью Гертлера.
664
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
и неизотермических струй, с учетом влияния сжимаемости газа, а
также конечности диаметров сопла, из которого происходит истечение,
и других обстоятельств, были посвящены заслуженно пользующиеся
широкой популярностью исследования Г. Н. Абрамовича. Сводку
этих исследований можно найти в специальной его монографии.J
§ 103. Турбулентный след за обтекаемым телом
К задаче о струе близко подходит другая важная задача теории
свободной турбулентности — об аэродинамическом следе вдалеке за
обтекаемым телом.
Ограничимся для простоты рассмотрением плоской задачи, причем
след будем считать изотермическим.
Тормозящее влияние тела приводит к наличию „провала" в эпюре
скоростей в области следа, как это показано на рис. 207. При
О
Рис. 207.
удалении от тела глубина этого провала и1т уменьшается, а ширина b
увеличивается. Вне следа (на рис. 207 „границы" области следа,
в обычном для теории пограничного слоя смысле, показаны
пунктиром) продольная скорость повсюду равна Vcc-
Разложим поле скоростей в следе на две составляющих: поле
скоростей Voo основного потока, набегающего на тело, и поле
возмущений (и1( V}), выражающее подтормаживающее влияние тела; положим:
в= Ve
■v,.
(123)
Принимая поле возмущений в удалении от тела слабым по
сравнению с полем скоростей набегающего потока, можем, подставив
величины к и г» в уравнения пограничного слоя (105), откинуть квадраты
1 Г. Н. Абрамович, Турбулентные свободные струи жидкостей и
газов, Госэнергоиздат, 1948.
§ 103J ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗА ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ 665
возмущений и получить следующие линеаризированные уравнения:
дх РКОТ ду*
дх ^ ду~ ""
(124)
Такая упрощенная система уравнений имеет место только для
области следа, удаленной от обтекаемого тела. Задача о следе в
непосредственной близости за телом представляет непреодолимые
трудности даже для хорошо обтекаемых тел, так как в этом случае
возмущения уже не малы и, кроме того, возникает необходимость сращивать
решения в пограничном слое и следе, удовлетворяющие тем же
уравнениям, но различным граничным условиям: и = 0, v = 0 — на поверх-
ности тела, -т- = 0, v = 0 — на нулевой линии тока в следе.
При удалении от обтекаемого тела теряется значение формы тела
и, как далее будет показано, становится достаточным знание какой-
нибудь одной суммарной характеристики тормозящего влияния тела,
например, его сопротивления W.
Используем, как это уже делалось ранее (§ 101) при выводе
формулы профильного сопротивления, уравнение импульсов в следе (86),
которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид:
*£ + £<28" +8*)- О,
и заметим, что вдалеке от тела U = V^, U' = 0, так что при
достаточно больших значениях х:
+ 0О
»"-/£(1-1У^ = соп*.
Вспоминая еще формулу (83), получим:
Р /«(Voo — «)rfy = const = W. (125)
— со
Заменим в этом выражении и на Ксо — иг и откинем вновь малые
величины выше первого порядка. Тогда будем иметь:
+ »
pV^ju.dy^W. (126)
—оо
Сделаем, как и прежде в теории струи, предположение о
подобии эпюр продольных скоростей возмущений в сечениях,
удаленных от тела, т. е. положим
«, = «1от/(|)> (127)
666
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
где и1т— максимальная продольная скорость возмущения на оси
следа в данном его сечении, a b — некоторая условная ширина следа.
Подставляя последнее выражение в уравнение (126), получим:
PVmulmb. jf(l)d({)^W. (128)
— оо
Отсюда сразу вытекает, что во всех удаленных от тела сечениях
"т • # = const. (129)
Замечая, что по основной формуле коэффициента турбулентного
обмена (104) в рассматриваемом случае следа будем иметь:
A = kpb(Vco— um) = kpbuXm, (130)
на основании (129) заключим о постоянстве коэффициента
турбулентного обмена А во всей удаленной от тела области следа.
Таким образом, имеем вместо (129):
"im* = ^ = const. (129')
Отсюда следует, что линеаризированные уравнения (124)
возмущений в турбулентном следе за телом совпадут с аналогичными
уравнениями для ламинарного следа, если заменить коэффициент
турбулентного обмена А на обычный коэффициент молекулярной вязкости р..
Граничные условия как для турбулентного, так и для ламинарного
следа будут иметь вид:
при.у = 0 ^ = 0,1
дУ } (131)
при
у = zt сю их = 0.)
Уравнениям (124) и граничным условиям (131) можно
удовлетворить простейшим, известным из теории распространения тепла
в стержне, фундаментальным решением типа „источника": 1
?УоэУ°
е iAx
u.^zC- r- . (132)
Ух
1 Задача о ламинарном следе, с математической стороны ничем не
отличающаяся от рассматриваемой сейчас задачи о турбулентном следе, подробно
изложена в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя" на
стр. 118—124. Решение задачи о турбулентном следе, основанное на
применении гипотезы о постоянстве коэффициента турбулентного обмена, было
дано впервые в указанной на стр. 656 работе Б. Я. Трубчикова, помещенной
в Трудах ЦАГИ, вып. 372, 1938.
§ 103J ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗЛ ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ 667
Постоянная С может быть выражена через заданное
сопротивление тела W, если указанное только что выражение и1 подставить
в равенство (126). Будем иметь:
9v T -Иг*
— со
Простое выполнение квадратуры приводит к результату
W
1
2V«?AVa
W
2МщАУа2х
)
iAx
что дает вместо (132)
рУосУ
\vr
(132')
Полагая здесь у = О, найдем выражение скорости максимального
возмущения на оси:
2 VnpAV^ у х
которая, как показывает формула (133), убывает с удалением от тела
по закону обратной пропорциональности корню квадратному из
расстояния сечения следа до тела, образующего след. Согласно (129),
условная ширина следа b оказывается пропорциональной корню
квадратному из абсциссы х.
Разыскав выражение для к, и пользуясь вторым уравнением
системы (124), найдем поперечную скорость
/ &*■
W у_е Ыа, _ (134)
4V«Pi4V00 xYx
Многочисленные опыты Б. Я. Трубчикова, а также зарубежных
авторов (Рейхардт, Шлихтинг и др.) подтвердили пригодность
формулы (132) в большом удалении от цилиндра (на расстоянии порядка
ста и более диаметров от обтекаемого цилиндра).
Ту же задачу о турбулентном следе за телом можно было бы
решить и непосредственным применением формулы Прандтля (22) § 94,
полагая, как и ранее, величину / пропорциональной ширине следа b
в соответствующем сечении.1
1
См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", стр.317—326.
Там же приводится сравнение теоретического расчета с опытами Шлихтинга
и других исследователей.
668
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Как показывают расчеты, разница между результатами
теоретического расчета по двум методам очень мала.
Аналогичным путем решается задача о плоском турбулентном следе
вдалеке за решеткой, составленной из цилиндрических тел.1
§ 104. Рассеяние турбулентных возмущений в жидкости.
Случай изотропной и однородной турбулентности.
Закон сохранения момента возмущений
В предыдущих двух параграфах было показано, как происходит
затухание неоднородности поля осредненных скоростей в турбулентной струе н
следе при удалении от источника возникновения их. Не следует, однако,
думать, что выравнивание поля осредненных скоростей приводит
одновременно и к исчезновению пульсаций скорости, т. е. к затуханию
турбулентности. Опыты показывают, что вдалеке за телом, уже после того, как
практически исчезнет изображенный на рис. 207 провал скоростей, на
значительном расстоянии вниз по потоку сохраняются турбулентные возмущения,
энергия которых сравнительно медленно рассеивается, превращаясь благодаря
вязкости жидкости в тепло.
Явление рассеяния турбулентных возмущений представляет особенно
большой интерес при изучении потоков, прошедших сквозь сетки с
небольшими размерами ячеек и малыми диаметрами проволоки. Такого рода сетки
применяются для создания однородных, мало турбулентных потоков в
рабочих участках аэродинамических труб.2 Возникшие в жидкости в силу
различных случайностей крупные вихри при прохождении сквозь сетку
разбиваются на мелкие, имеющие тот же порядок размера, что и ячейки
сетки. Как уже упоминалось ранее (§ 81), диффузия вихрей происходит тем
быстрее, чем вихри меньше по размерам. В силу этого обстоятельства
измельченные сеткой вихри быстро затухают и в рабочем участке трубы,
расположенном в некотором удалении от „фильтрующей" сетки, создается
спокойный малотурбулентный поток. Потребное для успокоения потока расстояние
от сеткн выражается в калибрах сетки и практически не превышает тысячи
калибров, что при малых размерах ячейки не является для аэродинамической
трубы слишком стеснительным с конструктивной точки зрения.
Теоретическое рассмотрение явления диффузии турбулентных возмущений
представляет большую сложность и требует применения тонких
статистических методов. Остановимся на некоторых результатах существующих в
настоящее время пока еще далеко не совершенных теорий, позволяющих все
же разобраться в основных тенденциях явления.
Остановимся на случае так называемой однородной турбулентности,
под которой подразумевают движение жидкости с однородным полем
осредненных во времени величин, определенных в данной точке пространства,
в том числе и поля осредненных скоростей. При этом предполагается, что
турбулентные пульсации скоростей существуют даже и в том частном
случае, когда осредненные скорости повсюду равны нулю. Чтобы
охарактеризовать распределение пульсаций в потоке и нх взаимную связь, обозначим
через v' и х" векторы пульсаций скорости в двух каких-нибудь точках М'
1 См. по этому поводу R. Gran Olsson, Geschwindigkeits — und Tera-
peraturverteilung hinter einem Gitter bei turbulenter StrOmung. Zeitschr. fur
Angew. Math, und Mechanik, Bd. 16 (1936), S. 257—274, а также ранее
цитированную статью Гёртлера.
2 См., например, Е. М. Минский, О гашении турбулентности с
помощью сеточных фильтров. Издательство Бюро новой техники МАП, № 63,
1946,
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 669
и М" и составим, следуя замечательной идее наших советских исследователей
А. А. Фридмана и Л. В. Келлера,1 моменты связи между пульсационными
скоростями:
а) второго порядка
б) третьего порядка
иФ = v'ivjvk-
Здесь подстрочные индексы означают перенумерованные оси координат,
а черта сверху — осреднение во времени, подчиняющееся тем же основным
равенствам, что и указанные ранее в § 93. Величины Фу и П,;^
характеризуют статистическую связанность между пульсациями скоростей в точках М'
и М". Совокупности их образуют соответственно тензоры второго и третьего
рангов.
В общем случае однородной турбулентности компоненты Фу и П^д.
являются функциями вектора М'М" = г, характеризующего взаимное
расположение точек М' и М". Предположим теперь, что в некоторый начальный
момент в неподвижной жидкости, заполняющей безграничное пространство,
создано непрерывное однородное поле начальных возмущений, которое
с течением времени будет затухать (рассеиваться). Легко сообразить, что и
в любой последующий момент времени поле затухающих во времени
возмущений останется однородным. Кроме того, при равноправности любых
направлений в пространстве поле возмущений окажется изотропным в том смысле,
что указанные выше тензоры моментов связи будут функциями только
расстояния М'М" = г между точками М' и М" и не будут зависеть от
направления вектора г.
Как показывают простые вычисления,2 в случае такой, однородной и
изотропной, турбулентности компоненты тензора Фу могут быть выражены
через две функции, представляющие моменты связи между составляющими
скоростей пульсаций в точках М' и М": 1) направленными вдоль отрезка М'М''
(продольные составляющие) и 2) нормально к этому отрезку (поперечные
составляющие). Точно так же и компоненты П,-^ могут быть выражены
через три величины моментов связей третьего порядка между продольными
и поперечными составляющими пульсационных скоростей в точках М' и М".
Используя осреднение уравнения неразрывности и общих динамических
уравнений вязкой жидкости, удается получить одно дифференциальное
уравнение в частных производных второго порядка:8
3F . 0/дН . 4 „\ . (d*F , 4 dF\ m,.
с двумя неизвестными функциями F (r, t) и Я (г, t), из которых первая F (г, /)
представляет момент связи второго порядка между продольными
компонентами пульсационных скоростей в точках М' и М", а вторая H(r, t) — момент
связи третьего порядка между квадратом поперечной составляющей в точке Ж'
и продольной — в точке М".
Уравнение (135) можно рассматривать как уравнение рассеяния
величины F, характеризующей структуру турбулентных возмущений в потоке.
1 См. их доклад иа 1-м Конгрессе по прикладной механике в Дельфте
в 1924 г. (Труды Конгресса, стр. 395—403).
2 Л. Г. Лойцянский, Некоторые основные закономерности
изотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939.
8 Это уравнение было выведено впервые Карманом; см. Journ. of the
Aeron. Sc, 1937, № 4.
670 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ТХ
Рассмотрим эту функцию несколько ближе. Если устремить г к нулю, то
функция F, согласно ее определению и свойству изотропности потока,
превратится в среднее значение квадрата пульсации в данной точке:
F(0, /)=й. (136)
Эту величину (или квадратный корень из нее) принимают за меру
интенсивности турбулентности в данной точке. В рассматриваемом случае
однородной турбулентности величина v'2 одинакова во всех точках потока
в данный момент времени и зависит лишь от времени. Примем в дальнейшем
для краткости обозначение о'2 = о"2 = к2 и рассмотрим величину
/М- ^ jg = £i^0, (137)
Уи'2 - X^v"2 v* v2
носящую наименование коэффициента корреляции (связи) двух
пульсирующих во времени функций v' и v". Коэффициент корреляции изменяется
в пределах от нуля до единицы, причем крайние его значения соответствуют:
нуль—отсутствию какой бы то ни было связи между пульсациями скорости
в точках М' и М", единица — полной связи между этими пульсациями.
Очевидно, что при г = 0 будет /(О, t) = 1; при увеличении расстояния г
между точками М' и М" степень статистической связанности между
пульсациями скорости быстро ослабевает и функция f{r, t), так же как F(r, t)
и H(r, t), резко спадает до нулевого значения. Используя коэффициент
корреляции / как статистическую меру связанности возмущений в двух точках
потока, можно ввести понятие о масштабе турбулентности. Для этого
построим интеграл
оо со
L= ( f(r, t)dr =~ Г F{r, t) dr, (138)
о о
представляющий взвешенное суммирование бесконечно малых отрезков dr,
причем за „вес" принимается как раз степень связанности /(г, t) пульсаций
в точках М' и М". Величину L можно принять за статистический масштаб
турбулентности; в дальнейшем будет указан также еще и другой
возможный масштаб турбулентности.
Возвращаясь к уравнению (135), можем следующим образом проинтер-
dF
претировать отдельные его члены. Локальная производная -^т от величины F
по времени складывается из вязкостного (диффузионного) ее рассеяния,
представленного правой частью уравнения, и конвективного изменения,
определяемого выражением в левой части, зависящим от функции H{r, t). При
малых значениях рейнольдсова числа турбулентности (/— некоторый
характерный размер)
V
конвективный член становится пренебрежнмым, а задача — определенной,
так как уравнение (135) переходит в уравнение относительно одной
функции F:
При больших значениях того же рейнольдсова числа оба члена
сохраняют свое значение, и для решения задачи необходимо выдвигать
дополнительные допущения.
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 671
Прежде чем перейти к вопросу об интегрировании уравнения (139),
установим общее соотношение, выражающее закон сохранения одной,
характерной для турбулентных возмущений величины. Закон оказывается общим
для затухающей однородной н изотропной турбулентности, безотносительно
к тому, опускаются или нет конвективные члены.
Для вывода этого закона сохранения умножим обе части уравнения (135)
на г* и проинтегрируем в пределах от нуля до бесконечности. Тогда,
предполагая, что функции F и Н удовлетворяют условиям убывания на
бесконечности:
dF
при г-»оо г4-д--»-0 и г4Н -> 0,
и что соответствующие интегралы существуют, после простого
интегрирования по частям получим:
F{r, t)r*dr = 0, (140)
d_
dt
о
откуда сразу следует искомый закон сохранения:
со со
А = f F(r, t)r*dr = const= ( F{r,0)r*dr. (141)
о о
Величину А можно было бы назвать „моментом возмущений" и говорить
о законе сохранения момента возмущений. Переходя от функции F(r, t)
к коэффициенту корреляции / (г, t), перепишем предыдущее равенство в виде
со
А = ~ф. С f (r, t) r* dr = const. (141')
о
Входящий в это соотношение интеграл имеет размерность длины в пятой
степени. Если вместо величины L, определенной равенством (138), ввести
в рассмотрение новый масштаб турбулентности Z.*, равный
L*.
if(r,t)r*dr)U, (142)
о J
то равенство (141) заменится простым соотношением
*T2Z.*5 = const, (143)
выражающим закон сохранения момента возмущений в форме: произведение
средней квадратичной пульсации скорости (или среднего значения
отнесенной к единице массы жидкости кинетической энергии пульсационного
движения) на пятую степень масштаба турбулентности при затухании
однородной и изотропной турбулентности сохраняется.
Сохраняющаяся во времени величина момента возмущений А
представляет своеобразную характеристику поля турбулентных возмущений и играет
такую же роль, как, например, общее количество тепла в задаче о
распространении тепла в жидкости или количество движения при удалении от
источника струи или тела, образующего след.
Тепловая аналогия в данном случае оказывается особенно интересной,
так как уравнение (139) можно рассматривать формально как аналог
уравнения распространения тепла в пятимерном пространстве.* Поскольку
1 См., например, А. Вебстер и Г. Cere, Дифференциальные
уравнения в частных производных математической физики, ч. 1, Гостехиздат. 1933,
стр. 227.
672 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
уравнение (139) справедливо лишь при малых рейнольдсовых числах
турбулентности, т. е. в последних стадиях затухания возмущений, что соответствует
большим значениям времени /, то достаточно построить простейшее решение
уравнения (139), отвечающее случаю „источника". Это решение будет:
_ г*
е 8ч*
F{r, t) = const . <-r. (144)
!уемся
оо
А== Г F{r, t)r*dr= const I ~—l-r*dr,
Для определения константы воспользуемся теоремой о сохранении
момента возмущений. Будем иметь:
•А
со оо __-_
8v*
{Y~tf
о о ч ' '
откуда найдем:
А
const =
48 У 2*
Итак, имеем: г2
А е~~"^
F{r't)=^Y^-JvW (I45)
Полагая здесь г — О, получим, согласно (136), следующий закон
убывания со временем интенсивности турбулентности:
^STSldk (I46)
Разделив обе части (145) соответственно на (146), определим
коэффициент корреляции
Нг,Ъ = Щ±=е"**. (147)
После этого нетрудно найти н закон возрастания со временем масштаба
турбулентности L:
со со гч
Z.= Г/(/-, t)dr = j е~"8^<*г= УЪЫ. (148)
о о
Согласно (143) и (146), таков же и порядок возрастания масштаба L*:
I* = У 48 УйГ У^?. (148')
Рейнольдсово число турбулентности R, если в нем за линейный размер
принять масштаб L (или Z.*), будет убывать со временем по закону:
V^l гА у% 1
т. е. действительно будет малым при больших t. *
1 Более детальное исследование решения уравнения (139) можно найти в
статье М. Д. Мнллионщикова „Вырождение однородной изотропной
турбулентности вязкой несжимаемой жидкости". Докл. АН СССР, т. XXII,
Л» 5, 1939, а также в ранее цитированной нашей работе (Труды ЦАГИ»
вып. 440, 1939).
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 673
Случай больших значений рейнольдсова числа турбулентности, когда
недопустимо пренебрежение конвективным членом, содержащим функцию Н, был
при допущении о „локальном подобии" турбулентности изучен акад. А. Н.
Колмогоровым, 1 показавшим, что отвечающий формуле (142) масштаб
турбулентности L* в этом случае изменяется по закону:
Z» = (^)V(/-/0)'A. (149)
где К и tQ — некоторые постоянные. Затухание интенсивности турбулентности
определяется при этом формулой:
^=(^)'V4,-,0r'°/'. (150)
За доказательством этих двух важных соотношений отсылаем к
цитированным выше работам А. Н. Колмогорова.
Подробный н тщательный анализ возможных решений основного
уравнения (135) прн различных гипотезах относительно структуры однородного,
изотропного турбулентного потока был произведен Л. И. Седовым;2
некоторые соображения по тому же поводу в дальнейшем высказал Батчелор. 3
Советские ученые добились больших успехов в изучении структуры
турбулентных потоков; о главнейших достижениях в этой области можно прочесть
в обзоре А. М. Обухова.4
Вопрос о возможности применения статистических теорий турбулентности
к прикладным вопросам не решен еще окончательно. Некоторые приложения
этих теорий в динамической метеорологии можно найти в работах Л. В.
Келлера, А. М. Обухова, М. И. Юдина, ссылки на которые помещены в только
что цитированном обзоре А. М. Обухова.
Современная техника аэродинамического эксперимента позволяет
измерять не только средние, но и действительные быстро пульсирующие
значения скоростей и давлений в турбулентном потоке, а также различные осред-
неиные характеристики турбулентности потока. Для этой цели наиболее удобен
тепловой анемометр или, как его еще иногда называют, анемометр с
нагреваемой нитью. Устройство этого в настоящее время хорошо изученного
прибора не сложно. Кусочек тонкой платиновой нитн (диаметром от 0,008
до 0,020 мм и длины от одного до нескольких миллиметров) подогревается
электрическим током и устанавливается перпендикулярно направлению
воздушного потока, который ее охлаждает. Включая нить в одну из ветвей
1 А. Н. Колмогоров, К вырождению изотропной турбулентности
в несжимаемой вязкой жидкости. Докл. АН СССР, т. XXXI, № 6, 1941. См.
также работы А. Н. Колмогорова: „Локальная структура турбулентности
в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса", Докл. АН
СССР, т. XXX, № 4, 1941; „Рассеяние энергии при локально-изотропной
турбулентности", Докл. АН СССР, т. XXXII, № 1, 1941.
2 Л. И. Седов, Вырождение изотропных турбулентных движений
несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, т. XLII, № 3, 1944, а также § 22
монографии того же автора „Методы теории размерностей н теории подобия
в механике", Гостехиздат, 1944.
3 G. К. Batchelor, Energy decay and seli-preserving correlation
functions in isotropic turbulence. Quarterly of Applied Mathematics, Vol. VI, № 2
July, 1948.
* A. M. Обухов, Турбулентность. Статья в сб. „Механика в СССР за
тридцать лет". Гостехиздат, 1950, стр. 332—340.
43 За». 1841. Л. Г. Лойшшский.
674
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
лллмллл,|ц[
термомилливольтегр
Рис. 208.
а пилите то
обычной измерительной схемы балансировочного „мостнка" (рис. 208),
тарируют прибор на среднюю скорость потока по переменному сопротивлению
нити при постоянной силе то-
ншпь ж 1 ка, или, наоборот, по
переменной силе тока при постоянном
сопротивлении; второй способ
более удобен и широко
употребляется на практике для
измерения средних скоростей.
Желая записать пульсации
скорости потока около
некоторого ее среднего значения,
вначале уравновешивают
мостик на этой средней скорости
при помощи обычного
гальванометра, слишком
инерционного, чтобы чувствовать малые
разности потенциалов,
возникающие на концах
диагональной ветви при разбалансиро-
вании мостика от пульсаций
скорости, а затем переключают диагональную ветвь на усилитель и
осциллограф (рис. 208). Таким образом удается записать и протарировать быстрые
пульсации скорости. Обработка
осциллограмм позволяет сделать выводы о
частоте и интенсивности пульсаций.
Если экспериментатора
интересует не полная осциллограмма,
а лишь средняя квадратичная пульсаций
скорости и2, то в качестве выходного
измерительного прибора пользуются
не осциллографом, а тепловым
милливольтметром, который
непосредственно дает так называемое
„эффективное" напряжение, т. е. как раз то
среднее квадратичное напряжение, которое
оказывается в достаточном приближении
пропорциональным искомому значению
средней квадратичной от пульсаций
скорости. Конечно, измерительная нить,
как бы она ни была мала н тонка,
обладает тепловой инерцией, искажающей
показания прибора; с этими
искажениями можно в известной степени
бороться, подбирая соответствующим
образом характеристики усилителя.
У нас в Советском Союзе метод
тепловой анемометрии был разработан
и внедрен в практику
аэродинамического эксперимента, главным образом,
двумя исследователями — Ю. Г. Захаровым
и Е. М. Минским.1
Рис. 209.
1 См. статью Е. М. Минского,
помещенную в конце нашей монографии
.Аэродинамика пограничного слоя" (стр. 387—402). Там же помещены ссылки
на оригинальные работы Ю. Г. Захарова, Е. М. Минского и др.
РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 675
Замечательно, что тем же, но несколько усложненным методом тепловой
анемометрии можно измерять величину / коэффициента корреляции,
представленную формулой (137). Для этой цели используется двойная потенцио-
метрическая схема (рис. 209) с двумя измерительными нитями, помещенными
в двух смежных точках потока.1 Прибор позволяет непосредственно мерить
1,0
0,8
0,6
ОМ
0,2
1
м-Х
.
А
ч
:
\
J
1
i
М = У{
*~*—
S
]
у
V
\
\
\
U--1"
\~-
20 0._+Z0'Z0 0 +-Z0 -40 -20 О +20+1*0гмм
-то -во -во -1*о -го о *го ча +во *-во * wo r мм
Рис. 210.
средние квадратичные от суммы и разности пульсирующих потенциалов е
и е" на концах нитей, т. е. величины [е' -+- e")i и (е' — е")\ Вычисляя после
этого отношение
Je' + е"Я — \е' — е'7)* _ 2еУ'
Jer+~Pr)* + (е' — e"f ~ 72+ ё™ '
в силу ранее упомянутой пропорциональности между напряжениями и
скоростями равное
2уЧ/'
получим в изотропном турбулентном потоке («/2 = v'n = v2) искомое
значение (137) коэффициента корреляции
,_ £V
1 См. только что цитированную статью Е. М. Минского, стр. 390—391.
43"
676
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Для проведения измерения коэффициента корреляции пользуются особым
зондом, в котором одна из нитей остается неподвижной в данной точке
потока, а другая может перемещаться по отношению к ней при помощи
микрометрического приспособления. Такого рода прибор позволяет находить
величину / в функции от расстояния между нитями г. Имея такие
графики уже не трудно простым интегрированием определить по ним
масштабы турбулентности L и L*, заданные соответственно формулами
(138) и (142).
На рис. 210 показаны для иллюстрации примеры кривых изменения
коэффициента корреляции /(/"), смеренных в некоторой точке потока за турбу-
лизирующими решетками с различными размерами ячеек М. По характеру
кривых сразу видно, что с увеличением размера ячеек растут и масштабы
турбулентности.1 К сожалению, до настоящего времени указанные измерения
еще нельзя считать в достаточной степени точными.
1 Результаты измерений масштабов турбулентности, а также
экспериментальные кривые зависимости интенсивности и масштаба турбулентности от
размеров ячеек турбулизирующих решеток и расстояний до решетки можно
найти в ранее цитированной нашей монографии, а также в книге
„Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости", под ред. С. Гольд-
штейна, ИЛ, 1948, т. 1.
ОПЕЧАТКИ
Стр.
116
308
353
354
367
389
446
465
500
500
500
535
|
3.',
Строка
форм.(85)
13 сверху
3 .
3 „
форм. (81)
1 снизу
2 сверху
форм.
(120)
9 снизу
форм.(42)
форм.
(420
2 сверху
<аз. 1841.
Напечатано
?oro ">2rn sin 20
2 + 2
2о
с
1
vATT72
1+? =
= "2"
== л2sin bdrdt й!0
Даламбера:
el У
dz
r>
3
~ 2
3jJ- COS 6 6
pl^a {rldf- Rm
SX
Должно быть
g,A «'^ Sin 2 0
r + 2
25
c2
I
M'l + f'
l+l4 =
~ н* — a?
; i/t = rSsinedrdedO
Даламбера;
rfF
3
" 2
3
2
3a COS 6 6
P^o« СУ*)8 ~~ #oc
5-
По
чьей
вине
Тип.
Авт.
К(рр.
Авт.
"
„
Тип.
Авт.
Корр.
.,
"
Тип.
I—
1
0
10
IS
Начальное чиспо Mf
3,0 iff
"T—
-i—
5,0
i—
$5
Отношение давлений рг/р1
8 9 10 iZ W 16 18 20 22
2*4 26 28 30 32 3k
C4j
о
о
3%0 3,5
начальное число М1
*,я
Номограмма для расчета косого скачка.
Зак, 1841. Л. Г* Лойцянскни.