Волновая механика. Часть 1 - Френкель Я.И.

Автор: Френкель Я.И.
Теги: физика механика
Год: 1934
Похожие
Статистическая физика
Наноэлектроника
Феномен человека: космические и земные истоки
Курс обшей физики Т.3. Оптика, физика атомов и молекул, физика атомного ядра и микрочастиц
Текст
                    Я. И Френкель
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОНТИ • ГТТИ • <934
Я. И. ФРЕНКЕЛЬ
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД - 1634 ~ МОСКВА
АННОТАЦИЯ.
Настоящая книга представляет собою первую часть
трехтомн го сочинения о волновой механике. Цель ее—-
дать общее представление о физической сущности и
значении новой теории, не вникая в математические
детали.
Исходным пунктом является сравнение корпускуляр-
ной и волновой теории в оптике и распространение
корпускулярно-волнового дуализма на материю. Далее
выводится уравнение Шредингера и излагается при-
менение его к задаче гармонического осциллятора и
атома водорода. Общие принципы теории Шредингера
разъясняются с помощью элементарного рассмотрения
движения в „ступенчатом* силовом поле. Этот метод
применяется к различным конкретным задачам в схема-
тизированной форме (прохождение частиц через потен-
циальный барьер, радиоактивный распад, движение в
периодическом поле кристаллической решетки).
Остальная часть книги посвящена преимущественно
статистическим проблемам (теория системы тождествен-
ных частиц, квантовая статистика газа) и применению
к электронной теории металлов, к тепловому движению
в твердых телах и к тепловому излучению.
Госгехтеоретиздат.	, Выход в свет май 1934 г.
3-я тип. ОНТИ им Бухарина. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1928 г. я написал небольшое „Введение в волновую меха-
нику" на немецком языке.
В 1930 г. моя книга был! переведена с немецкого языка на
английский и перевод был прислан мне для просмотра и исправ-
ления в Миннеаполис (САСШ), где я в то время читал курс волно-
вой механики. При просмотре перевода я убедился, однако, что
за иаекшие 3 года квантовая механика ушла слишком далеко
вперед для того, чтобы стоило переиздавать книгу в прежнем виде
К тому же и мои собственные взгляды на некоторые основные
вопросы (например об аналогии между материей и светом) под-
верглись значительному изменению. В результате, вместо того
чтобы исправлять присланный мне перевод, я стал писать книгу
заново, на этот раз уже по-английски.
Благодаря большому количеству свободного времени, которым
я располагал в Миннеаполисе (моя академическая нагрузка своди-
лась всего лишь к 3 часам в неделю), я быть может не в меру
увлекся писанием и в результате вместо сравнительно краткой
немецкой книги получилось сочинение в трех томах (из коих во
время пребывания в Америке я успел написать лишь первый и две
трети второго). Первый том английского издания напечатан (в изда-
нии Оксфордского университета) еще в прошлом году, а второй
том должен скоро выйти.
Русское издание первой части представляет собой перевод
с английского и является развитием первой (вводной) главы моей
немецкой книги. Эта первая часть дает общий обзор всего пред-
мета волновой механики или, вернее, первое приближение к нему,
основанное лишь на сравнительно элементарных математических
понятиях и приемах. Как можно видеть из оглавления, эта часть
представляет собой в значительной степени законченное целое,
охватывающее, хотя быть может и несколько поверхностным обра-
зом, всю область волновой механики и связанную с ней новую
квантовую статистику. Она содержит также ряд применений к про-
стым и важным конкретным задачам (в особенности к электронной
теории металлов и к теории излучения). Сохраняя в первой части
по возможности элементарный характер изложения, чтобы сделать
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
книгу доступной для широкого круга читателей, я отложил ряд
важных математических вопросов общего характера на вторую часть.
Сюда относятся вопросы формального соответствия между новой
и старой механикой, операторная и матричная формулировка прин-
ципов квантовой механики, теория преобразований с основанной
на ней теорией возмущений; релятивистская форма уравнений
квантовой механики, и, наконец, задача многих тел и квантовая
электродинамика.
Третья часть будет посвящена систематическому рассмотрению
ряда конкретных проблем, связанных с строением материи (слож-
ные атомы, молекулы, кристаллы) и с взаимодействием — радиа-
ционным и нерадиационным — между материальными частицами
(столкновения, оптические эффекты и т. д.).
Естественно, что все эти вопросы получили в первой части
книги лишь весьма неполную трактовку (а многие из них в ней
не затрагивались вовсе).
Я надеюсь, однако, что именно благодаря этому обстоятельству
предлагаемая книга (первая часть), не усложняющая развития но-
вых идей непривычным математическим аппаратом или громоздкими
задачами, даст читателю представление как о необычайной про-
стоте новой теории, так и о замечательной ее плодотворности.
Из дидактических соображений я широко пользовался при из-
ложении методом аналогий, подчас поверхностных, но зато имею-
щих преимущество наглядности. Сюда относится в особенности
аналогия между материей и светом, ограниченный характер кото-
рой обнаруживается лишь при более глубоком изучении существую-
щей между ними физической связи. Аналогия, если обращаться
с ней с должной осторожнсстью, представляет собой наиболее
простой и понятный путь от старого к новому; не следует лишь
забывать, что всякая аналогия, если только она не является факти-
чески тождеством, имеет определенные границы. Истинно новое
никогда не содержится в старом, и, познавая законы природы, мы
должны научиться видеть не столько старое в новом, сколько новое
в старом, рассматривая последнее как приближенную форму первого.
>7. Френкель.
Ленинград,
июнь 1933 г.
ГЛ AB A 1.
СВЕТ.
§ 1. Корпускулярная и волновая теория света.
Развитие наших представлений о природе света характери-
зуется удивительным чередованием корпускулярных и волновых
представлений. Обычно Ньютон считается основателем корпуску-
лярной теории света, а Гюйгенс — основателем волновой теории,
хотя на самом деле обе теории гораздо старше. Следует отме-
тить, что сам Ньютон в своих оптических исследованиях часто
пользовался волновой теорией. Однако он отдавал предпочтение
корпускулярной теории, как более непосредственно выражавшей
факты.
Вследствие большого научного авторитета Ньютона корпу-
скулярная теория света господствовала в области известных в то
время оптических явлений вплоть до начала XIX века. Помимо
новооткрытых явлений диффракции света, к утверждению новой
волновой оптики привел знаменитый опыт Физо, решивший ста-
рый спор между корпускулярной и волновой теориями света в
узкой области геометрической оптики, где обе теории до этого
времени считались эквивалентными. В виду его значения для но-
вой теории материальных волн, мы должны рассмотреть более
подробно теоретические основания опыта Физо.
Согласно корпускулярной теории Ньютона, лучи света сле-
дует рассматривать как пути определенных частиц или „атомов
света. “ Эти частицы испускаются светящимся телом во всех на-
правлениях и движутся в пустом пространстве или в однород-
ной материальной среде равномерно и прямолинейно, т. е. совер-
шенно так же, как обыкновенные материальные частицы при отсут-
ствии внешних сил или сил взаимодействия. Отражение и прелом-
ление световых лучей на поверхности раздела между двумя одно-
8
Глава I. Свет
родными средами, например водой и воздухом, объясняются,
согласно корпускулярной теории, действием определенных сил,
сосредоточенных в поверхностном переходном слое. Эти „свето-
вые силы“ должны действовать в направлении, перпендикулярном
к поверхности, и производить изменение в нормальной слагающей
скорости, не изменяя ее тангенциальной слагающей. Если они
направлены из второй среды в первую, то они могут либо оста-
новить частицы, до того как последние проникнут через пере-
ходный слой, и отбросить их обратно в первую среду, т. е. про-
извести отражение света, либо уменьшить нормальную слага-
ющую скорости, позволяя частицам проникнуть во вторую среду.
Это прохождение света
сопровождается, обычно, изме-
нением направления световых
лучей, т. е. преломлением. То
Рис. 1.
же самое явление прохождения
и преломления происходит и в
том случае, когда силы в пе-
реходном слое направлены из
первой среды во вторую, так
что они производят увеличение
нормальной слагающей скорости.
В последнем случае лучи откло-
няются в направлении к перпендикуляру к граничной поверхности,
а в первом — в противоположном направлении.
Предположим, что мы имеем дело с прохождением света и
обозначим скорость световой частицы в первой среде (рис. 1)
через OC = v, а во второй через OC' — v'. Обозначим танген-
циальную слагающую через ОА = О/-Г, а нор:*:альные слагающие
соответственно через ОВ и OB'. При этом мы, очевидно, будем
иметь:
О А = v sin а = v' sin а',
где а и а' обозначают соответственно
ния. Отсюда
sin a	v'
Sin а'	v *
углы падения и преломле-
(1)
§ 1. Корпускулярная и волновая теория света
9
Эта формула выражает хорошо известный закон Снеллиуеа
Здесь мы считаем скорость vf величиной, не зависящей от напра-
вления падения лучей (т. е. не зависящей от угла а) и, следова-
тельно, столь же характерной для вюрой среды, как v харак-
терно для первой. Легко видеть, что это условие на самом деле
должно быть выполнено и может рассматриваться как непосред-
ственное следствие принципа сохранения энергии. Действительно,
обозначая через U работу, совершаемую „световыми силами"
при прохождении частицы из первой среды во вторую, и пред-
полагая, что движение частицы подчиняется обычным законам
классической „Ньютоновской* механики, имеем
А mv'2 = ~ mv2 -[* U
z	&
(т, —- масса частицы), откуда
— 1/ v2 ч--------= const
у 1 т
Величина (J, которую мы считаем постоянной, представляет со-
бой разность потенциальной энергии световой частицы в первой
и второй среде.
~.	sin а
Оэозначая показатель преломления, т. е. отношение ---------,
sin а
через получаем согласно (1) следующее выражение:
(2)
Если энергия U отрицательна и если по абсолютному зна-
чению она больше, нежели ~ т (у cos а)2, т. е. больше той ча-
сти кинетической энергии, . которая соответствует нормальной
слагающей скорости в первой среде, то частица будет отбро-
шена обратно в первую среду, причем нормальная слагающая
скорости изменит знак, и мы получим известный закон отражения:
направление отраженного луча ОС' (рис. 1) образует с перпен-
дикуляром такой же угол а, как и направление падающего луча»
10
Глава I. Свет
Мы рассмотрим теперь, каким образом законы отражения и
преломления света объясняются волновой теорией.
Представление о световых лучах или, вернее, о пучке свето-
вых лучей заменяется здесь представлением о ряде плоских волн.
Обычно скорость распространения волн отожествляется со ско-
ростью движения частиц света. Мы не будем, однако, делать
этого отожествления и обозначим волновые скорости в первой
и второй среде новыми буквами w и w'. На рис. 2 эти скоро-
сти изображены линиями PN и MQ't которые характеризуют
перемещение волнового фронта в соответствующей среде за еди-
Отсюда
sin а
sin а'
ницу времени. Линия
преломления (изобра-
женная на рисунке точ-
ками М и М) дви-
жется, таким образом,
вдоль поверхности со
скоростью
.... w
ММ —--------------
sin a tin а
w
— const.
(3)
Эта формула выражает toi же факт, что и формула (1), а имен-
но— независимость показателя преломления от направления па-
дающих лучей. Она дает, однако, для у. выражение, которое яв-
ляется обратным (1) или, вернее, которое было бы обратным
ему, если бы мы отожествили волновые скорости w и w1 с
соответствующими корпускулярными v и v'..
Заменяя преломленные волновые фронты МР’ и MQ во вто-
рой среде отраженными фронтами МР" и NQ" в первой среде,
мы получаем аналогичным образом старый закон отражения.
При прохождении лучей света из воздуха в воду мы имеем
а > а', т. е. ц > 1. Согласно корпускулярной теории Ньютона,
отсюда следовало бы, что v' > v. Однако Физо, измерив ско-
рость света в воде, нашел, чго она меньше, нежели скорость
§ 1. Корпускулярная и волновая теория света 11
света в воздухе. Отношение обеих скоростей находилось в со-
гласии с предсказанием волновой теории, т. е. с представлением
о скорости света как о волновой скор дети, согласно формуле (3).
Опытом Физо длительная борьба между корпускулярной и
волновой теорией света могла считаться решенной в пользу по-
следней. Волновая теория подтверждалась также рядом вновь
открытых явлений (интерференция и диффракция), которые были
совершенно непонятны с корпускулярной точки зрения, но весь-
ма естественно объяснялись волновой теорией, вплоть до мель-
чайших количественных деталей.
Независимо от этих новых фактов, в вопросе о напра-
влении отраженных и проходящих лучей корпускулярная и
волновая теории отражения и преломления могли считаться оди-
наково удовлетворительными.
Между ними, однако, существует фундаментальное различие
в вопросе об относительной интенсивности этих лу-
чей. Согласно корпускулярной теории следовало бы ожидать ли-
бо полного отражения, либо полного прохождения. Так как все
частицы движутся в совершенно одинаковых условиях, то они
должны были бы претерпевать одну и ту же судьбу, т. е. либо
все быть отброшенными назад в первую среду, либо же все
пройти во вторую. 1 На самом деле, полное отражение имеет
место лишь в случае р.<1, при sina>|i, откуда следовало
бы: sin а' > 1.
Этот результат находится в согласии с корпускулярной теорией,
так как в рассмагриваемом случае кинетическая энергия, соот-
ветствующая нормальной слагающей скорости, меньше, нежели
работа U, которую нужно совершить против сил, действующих
В переходном поверхностном слое. Однако и в случае sina<|i
имеет место частичное отражение света, тогда как согласно
корпускулярной теории отражение должно было бы отсутство-
вать, и вег частицы должны были бы проходить во вторую
1 Ньютон пытался избегнуть этой трудности, предполагая, что све-
товые частицы могуг испытывать «приступы отражения* или «приступы
прохождения*. Эта идея весьма сходна с современными взглядами, где
понятие «приступов* заменено понятием вероятности (см. ниже).
12
Глава 1. Свет
среду. Для того чтобы примирить корпускулярную теорию света
с данными опыта, мы должны были бы отбросить представление
о том, что одинаковые причины производят одинаковые след-
ствия, т. е. идею детерминизма корпускулярных явлений.
Как мы увидим ниже, физики в последнее время оказались вы-
нужденными притти к этому заключению в связи со сходными
явлениями, обнаруженными в катодных лучах. Однако в начале
XIX века подобное заключение вряд ли могло серьезно прини-
маться в расчет. Неспособность корпускулярной теории объяс-
нить явления частичного отражения и прохождения света должна
была рассматриваться как решающее доказательство в пользу
волновой теории, дающей этому явлению весьма естественное и
простое объяснение.
Подобное объяснение — качественного характера — было
впервые выдвинуто самим Гюйгенсом на основе тех же самых
принципов, которыми он пользовался для объяснения геометри-
ческой стороны отражения и преломления. Эти принципы заклю-
чаются, во-первых, в том, что каждая точка волнового фронта
может считаться центром элементарной сферической волны и,
во-вторых, в том, что подобные волны могут комбинироваться
друг с другом (принцип интерференции), создавая перемещенный
волновой фронт в следующий момент времени. Отсюда следо-
вало, что возмущение, достигающее поверхности раздела между
двумя однородными средами, должно распространяться как во
второй среде, так и в первой. В руках Френеля эта идея Гюй-
генса была преобразована в количественную теорию, которая
позволяла вычислить относительную интенсивность отраженных
и проходящих лучей для различных углов падения в полном со-
гласии с опытными данными.
В середине XIX века волновая теория света достигла, глав-
ным образом благодаря работам Френеля, столь совершенной
формы, поскольку дело касалось всех известных в то время оп-
тических явлений,—что возможность существенного пересмотра
ее в смысле возвращения к корпускулярной теории света пред-
ставлялась. совершенно исключенной.
§ 2. Электромагнитная теория света
13
§ 2. Электромагнитная теория света и теория
относительности.
Электромагнитная теория света, введенная Максвеллем во
второй половине прошлого века, сохранила формальные о новы
теории Френеля и лишь изменила и уточнила физический смысл
соответствующих величин, а также наших представлений о при-
роде световых волн. Она показала, что эти волны тождественны
с максвеллевскими элеюромагнитными волнами. Последние были
осуществлены экспериментально Герцем и в настоящее время
получили широкое техническое применение в радиотелеграфии
и телефонии. Различие между световыми и радиоволнами заклю-
чается, как известно, лишь в их длине.
Вплоть до конца XIX века электромагнитные волны рассмат-
ривались как механические вибрации введенного Гюйгенсом „све-
тового эфира/ Однако созданная Эйнштейном теория относи-
тельности доказала, что механическое истолкование электрома-
гнитных волн является излишним и невозможным. Таким образом
световые волны были лишены своей материальной основы и пре-
образованы в периодические вибрации электромагнитного поля
в пустом пространстве. Их связь с материальными телами огра-
ничивается ахтами испускания и поглощения, соотзетствующими
передаче и приему радиоволн. В данном случае передаточными
антеннами и приемными станциями служат отдельные частицы —
атомы и молекулы.
Согласно теории относительности, световые волны распро-
страняются в пустоте всегда с одной и той же истинной
скоростью с = 3'1010 см]сек. В материальных телах скорость
распространения отлична от этой величины и может рассма-
триваться как кажущаяся скорость, получаемая следующим
образом. Материальное тело представляет собой не непрерывную
среду, а систему элементарных частиц (электроны, ядра), прак-
тически не протяженных и расположенных в пустом простран-
стве. Элементарные электромагнитные волны, испускаемые любой
из этих частиц, распространяются с истинной скоростью с, так
же как и первичные (падающие) волны, которыми обусловлива-
ются вынужденные колебания частиц. Путем суперпозиции или
14
Глава I. Свет
интерференции элементарных волн образуется сложный волновой
процесс, который можно рассматривать с макроскопической точ-
ки зрения как систему обыкновенных волн, распространяющихся
со скоростью w, отличной от с» Чем слабее связаны электроны
в данном теле, чем легче они могут быть приведены в колеба-
тельное движение, тем больше амплитуда испускаемых ими вто-
ричных световых волн и тем больше кажущаяся скорость w дол-
жна отличаться от истинной с. „Смещаемость" или способность
электронов совершать вынужденные колебания в атомах какого-
либо тела описывается в теории электричества диэлектрической
постоянной е этого тела (в случае тела с неподвижно связан-
ными электронами, так же как и в случае пустоты е —1). Ог-
с
сюда следует, что отношение - , определяющее показатель пре-
w
ломления pi тела по отношению к пустоте, должно тем больше
отличаться от единицы, чем больше диэлектрическая постоян-
ная е. И действительно, обе величины удовлетворяют следую-
щему соотношению, открытому Максвеллем:
рь = ]//'е.
Наложением первичных и вторичных элементных волн мо-
гут быть объяснены все особенности, отличающие распростра-
нение света в материальных телах. Подробное рассмотрение этого
вопроса выходит, однако, из рамок этой книги. Для нас суще-
ственно лишь то обстоятельство, что световые волны определен-
ного происхождения (т. е. элементарные волны) распространя-
ются с одной и той же скоростью с как в макроскопическом
пустом пространстве между отдаленными звездами, так и в ми-
кроскопическом пустом пространстве между атомами и электро-
нами, образующими обыкновенное материальное тело.
Согласно теории относительности эта истинная скорость
света отличается от всех других скоростей тем, что величина ее
остается неизменной при переходе от данной координатной си-
стемы к какой-либо другой системе, движущейся прямолинейно
и гавномерно по отношению к первой. Это свойство можно рас-
сматривать как экспериментальный факт, вытекающий из опыта
§ 2. Электромагнитная теория Света
15
Майкельсона, а также из ряда других опытов того же рода.
Можно, однако, рассматривать его также как непосредствен-
ное следствие принципа относительности (т. е. принципа полной
эквивалентности различных координатных систем, движущихся
по отношению друг к другу прямолинейно и равномерно), выте-
кающего из принципиальной невозможности определить, кото-
рая из этих систем на самом деле покоится в пустом про-
странстве.
Принцип относительности скорости (в предыдущем смысле),
совместно с вытекающим из него принципом инвариантности
истинной скорости распространения света, образует, как известно,
теоретические основания эйштейновской (специальной) теории
относительности. Содержание этой теории сводится к установлению
некоторой, хотя и неполной, эквивалентности между тремя про-
странственными измерениями и измерением времени, — эквива-
лентности, которая выражается математически инвариантностью
квадрата пространственно-временного расстояния:
= (*2	+ (У2 —У1)2 -Г (Z2 ~^l)2 — С2	(4)
Здесь xh yit zt— прямоугольные координаты точки простран-
ства, в которой в момент времени происходит событие 1; ве-
личины х2, у2> z2 и t2 имеют такой же смысл для другого собы-
тия 2. Это выражение одинаково по виду и численному значению
для двух координатных систем, движущихся по отношению друг
к другу прямолинейно и равномерно. Таким образом для обеих
систем, независимо от их относительной скорости v, имеет место
равенство s = s', где
s'2 = (х/ - Х(')2 + (л' -л')2 + (^' - *1')2 - с2 (^' - Л ')2-
Если v = 0, т. е. если системы покоятся по отношению друг к
другу, то =р /, тогда как пространственные координаты
х, уз z и х', у\ z' связаны друг с другом линейными соотно-
шениями, коэффициенты которых зависят от относительной ориен-
тации обеих координатных систем. Если	то мы полу-
чаем в общем случае соотношения такого же рода между вели-
чинами х, у, z, t и х', у',	Эти соотношения прини-
мают вполне симметрическую форму (линейного ортогонального
16
Глава I. Свет
преобразования), если время t заменить пропорциональной ему
мнимой вели мной I — ict, а время f величиной Г = icf. Мнимый
множитель i = \/—1, который оказывается необходимо ввесж
в виду отрицательного знака временнбго члена в выражении (4),
ограничивает физическую эквивалентность пространства и вре-
мени. Формально, однако, оба они могут быть слиты в четырех -
мерную протяженность, в которой все направления являются экви-
валентными, так же как различные направления в обычном трех-
мерном пространстве. Повороту оси времени на мнимый угол
(вместе с соответственным поворотом одной или всех простран-
ственных осей с сохранением их перпендикулярности) соответ-
ствует переход от исходной пространственной координатной си-
стемы к другой системе, которая движется по отношению к пер-
вой со скоростью v, пропорциональной углу поворота. В про
стейшем случае, когда обе пространственные системы одинаково
ориентированы и их относительное движение происходит в на-
правлении оси х-ов, соотношение между пространственными ко-
ординатами и временами одного и того же события, рассмат-
риваемого с разных точек зрения, принимает следующий вид
(преобразование Лоренца):1
Из слияния пространства и времени вытекает аналогично:
слияние обычных трехмерных векторных величин с соответствую-
щими скалярами (т. е. величинами, не зависящими от ориента
1 Эти формулы получаются из обычных формул преобразования
аналитической геометрии: х' — х cos а — I sin а, I' — х sin а -f- / cos а для
поворота в плоскости (х, I). Полагая здесь tg а = —
получаем: cos a
__________1 _
1
§ 2. Электромагнитная теория света	17
ции пространственной координатной системы), приводящее к обра-
зованию четырехмерных векторов. Эти четырехмерные векторы
могут быть изображены графически четырехмерными векторами
пространственно-временного расстояния со слагающими х,у,г>1.
Трехмерные векторы можно при этом рассматривать как про-
странственную проекцию соответствующих четырехмерных век-
торов, а связанные с ними скаляры — как их проекцию на ось
времени.
Для того чтобы физические законы были тождественны для
наблюдателей, принадлежащих к различным координатным систе-
мам, которые движутся по отношению друг к другу, эти законы
должны быть формулированы в виде равенств между соответ-
ствующими слагающими различных четырехмерных векторных
величин. Подобные уравнения, если они справедливы для одной
координатной системы, должны оставаться справедливыми для
всякой другой координатной системы, так как соответствующие
слагающие разных векторов преобразуются одинаковым обра-
зом. Мы не можем входить здесь в детали этого вопроса; заме-
тим только, что основные уравнения электромагнитной теории
света удовлетворяют условию инвариантности, тогда как урав-
нения ньютоновской механики и, следовательно, ньютоновской
корпускулярной теории света ему противоречат. Реформа клас-
сической механики в духе теории относительности, произведен-
ная Эйнштейном в 1905 г., реформу старой корпускулярной
теории света, тем более, что инвариантная истинная скорость
света играет существенную роль во всех соотношениях эйн-
штейновской механики. Подобная реформа требовалась также
новыми экспериментальными данными, которые случайно были
обнаружены приблизительно в то же самое время и привели
к созданию квантовой теории (формула Планка для тепло-
вого излучения, фотоэлектрический эффект). Эйнштейн имел
смелость, несмотря на блестящие успехи волновой теории
в течение предшествующего столетия, произвести подобную
реформу. Это, как известно, привело его к формулировке кор-
пускулярной теории света в новой, исправленной и расширен-
ной форме.
18
Глава L Свет.
§ 3.	Релятивистская механика Эйнштейна и теория свето-
вых квантов.
В эйнштейновской механике материальной частицы время,
так же как и пространственные координаты, трактуется как
зависимая переменная. Роль времени в качестве независимого
переменного играет инвариантное собственное время т,
диференциал которого определяется формулой
dx —	= т|- ]/ dx2 -f" dy2 dz2 — c2 dt2 .	(6)
Этот диференциал равен, следовательно, инвариантному про-
странственно-временному расстоянию rfs между двумя соседними„со-
бытиями", разделенному на 1с. Обозначая скорость частицы через

мы можем переписать предыдущее выражение в виде:
Л =	1-^-.	(6а)
Эта формула показывает, что собстгенное время т практи-
чески сводится к обыкновенному времени t в предельном слу-
чае, когда v<^c. Эйнштейновские уравнения могут быть напи-
саны в следующем виде:
п1^-р ^У-F п,	т М-Р 17\
где FXi Fy, FZ) Fi — слагающие четырехмерного вектора, кото-
рый можно определить как „четырехмерную силу", a mQ соот-
ветствует обычной массе.
Вводя в качестве независимой переменной вместо собствен-
ного времени обычное время, получаем согласно (ба):
* d mQvx	dx d tnrfVy
I/1-?	l/1'^
dx d movt _ dx
“ v dt ’ dt" Z------~ г dt*
|/ 1 “7Г
dt
(7a)
§ 3. Релятивистская механика Эйнштейна
19
d m{)ic _______________р dt
dt
(7b)
Уравнение (7a) может быть записано в векторной форме:
4s=r.	(8)
где вектор
(8а)
можно рассматривать как количество движения, а вектор
f = F^ = F]/ 1-2!
dt у с2
как обычную трехмерную силу. Отсюда следует, что в ктор F
является импульсом этой силы за единицу собственного времени
Уравнение (7Ь) не независимо от (7а). В самом деле, мы
имеем согласно (6):
и, следовательно,
dx d-x . Jrfy d2y . dz d2z . dl d21
dt dt2 ' dt dt2 ’ dt dt2 ’ dt dt2 ~~
или согласно (7):
Fx ¥ + Fy	+ Pi = 0.
dt 1 y dt ' dt ' dt
Таким образом
 F р dx\F аУ \р dz t dx\f dy
-uF' = F‘Tt+F^ + F--di=f'‘li+1'^
20
Глава I. Свет
Отсюда следует, что величина—icFi представляет собой
работу силы f за единицу собственного времени. Уравнение (7Ь)
может быть поэтому написано в виде:
а величина
(9)
(9а)
может быть интерпретирована как энергия частицы. Эта энер-
гия слагается из кинетической энергии
о / 1
1
V'
tnQc-
-у
которая при малых значениях отношения — принимает обычный
вид-^ tn^v2 и „энергии покоя“ т$с*, пропорциональной „покоя-
щейся массе" /и0.
Величину
(Ю)
обычно определяют как массу движущейся частицы. Согласно
этому определению мы имеем из уравнений (8а) и (9а):
g = mv, е = тс2.	(Юа)
Особенно существенно для нас то обстоятельство, что, во-
первых, в релятивистской механике количество движения g и энер-
гия е образуют пространственные и временную проекции четырех-
мерного „вектора количества движения и энергии" (было бы более
/в .
правильно определить временную проекцию как — — imc)
§ 3. Релятивистская механика Эйнштейна 21
и, во-вторых, что имеет место своеобразная зависимость массы
от скорости v> определяемая формулой (10).
Из этой формулы следует, что скорость v не может превы-
сить критического значения с. Скорость света с играет, таким
образом, в эйнштейновской механике роль некоторой предельной
скорости, которая может быть достигнута лишь частицей с
исчезающе малой покоящейся массой. В ньютоновской механике
случай niQ = 0 не имеет никакого смысла. В эйнштейновской же
механике он соответствует частицам, движущимся со скоростью
света, в предположении, конечно, что подобные частицы суще-
ствуют на самом деле. Если мы допустим существование подоб-
ных частиц, то мы, очевидно, должны представить их себе как
частицы света, и мы, таким образом, естественно приходим
к корпускулярной теории света. Как уже было замечено выше,
новая эйнштейновская корпускулярная теория света появилась
как раз вб-время, для того чтобы объяснить некоторые новые
результаты экспериментального и теоретического исследования
и предсказать ряд новых квантовых явлений. С другой стороны,
явления интерференции и диффракции света, которые столь
просто объяснялись волновой теорией, оставались совершенно
непонятными с новой точки зрения.
Одно из отличий эйнштейновской теории света от ньюто-
новской заключается в том, что скорость световой частицы
должна сохранять одно и то же значение с не^ только в
пустом пространстве, но и в материальных телах (которые
можно рассматривать как пустоту, содержащую точечные мате-
риальные частицы). Объяснение преломления света на поверх-
ности между двумя различными телами должно быть поэтому,
согласно эйнштейновской теории, совершенно отличным от
ньютоновского. Оно должно основываться на поглощении и
вторичном испускании световых частиц атомами тела, — со-
ответственно теории суперпозиции первичных и вторичных эле-
ментарных волн в электромагнитной теории света. Далее,
световые частицы Эйнштейна, в последнее время называемые
обычно фотонами (или световыми квантами), су-
ществуют лишь постольку, поскольку они движутся СО ско-
22
Глава I. Свет
ростью с. Так как они не связаны с обыкновенным субстратом,
который мог бы быть охарактеризован некоторым отличным
от нуля значением покоящейся массы, то они должны исчезать
в момент своей остановки или даже уменьшения скорости. Это
происходит, например, при поглощении фотона материальным
атомом. Световой квант не пристает к атому подобно световой
частице Ньютона, но, так сказать, „переваривается0 атомом,
переставая существовать в качестве материальной частицы,
причем его энергия е и количество движения g передаются
поглотившему его атому. Согласно формуле (Юа) мы имеем
(И)
В предельном случае v = с, между количеством движения
и энергией получается соотношение
8
g=~
(Иа)
Помимо этого соотношения обе величины остаются неопре-
деленными, так как согласно формулам (8а) и (9а) выражение
У 1 ---- V2'C2
при /ло~О и v = c принимает вид отношения.— .
Помимо энергии и количества движения эйнштейновским
фотонам может быть приписана масса
8
С2
= g/C.
Из этих
трех величин энергия г считается обычно „первичной" и наи-
более существенной. Поэтому световой квант обычно рас-
сматривают как квант энергии. Это обозначение по суще-
ству неверно, так как количество движения столь же суще-
ственно для светового кванта, как и энергия, и от нее неотде-
лимо. Предпочтение, оказываемое энергии за счет количества
движения, объясняется, однако, историей происхождения эйнштей-
новской гипотезы световых квантов. Эта гипотеза развилась
на самом деле не из одной лишь теории относительности,
но была подготовлена работами Планка о теории теплового
излучения. Для того чтобы объяснить наблюдаемое распределе-
ние интенсивности в спектре этого излучения, Планк, как
§ 3. Релятивистская механика Эйнштейна 23
известно, должен был допустить, что лучистая энергия погло-
щается и испускается атомом не непрерывно, а скачкообразно
в виде определенных конечных порций или квантов энер-
гии. Планк не связывал эти кванты с представлением о дискрет-
ной корпускулярной структуре излучения. Он полагал, что они
испускаются и поглощаются обычным образом, в соответствии
с электромагнитной теорией света. Испускающий и поглощающий
атом он трактовал как гармонический вибратор, с определенной
частотой колебаний v, которая должна совпадать с частотой погло-
щаемых или испускаемых электромагнитных волн. При этом, осно-
вываясь на термодинамических соображениях, Планк нашел, что
величина его кванта энергии связана с частотой колебаний
соотношением:
8 ==/??,	(12)
где h = 6,55* 10 ~27эрг • сек, — постоянная, названная его именем.
Пять лет спустя Эйнштейн, руководствуясь своей теорией
относительности, попытался еще более радикализировать теорию
Планка, введя представление о том, что планковские кванты
энергии испускаются атомами не в виде сферических волн,
но в виде квази-материальных частиц с определенным направле-
нием движения. Этим световым частицам или фотонам он при-
писал помимо энергии также количество движения, определяемое
формулой (На). Отсюда вытекало в связи с законом сохранения
количества движения, что атом при испускании света должен
испытывать отдачу, подобную отдаче, испытываемой орудием
при выстреле. При столкновении с другим атомом (или электро-
ном) фотон должен быть либо отражен (рассеян), либо погло-
щен. В последнем случае он должен сообщить атому, помимо
своей энергии, свое количество движения. Это обстоятельство
дает простейшее описание явления светового давления.
Эти смелые идеи Эйнштейна вскоре получили ряд блестя-
щих подтверждений, например в фотоэлектрическом эффекте и
эффекте Комптона. Мы не будем рассматривать подробнее эти
хорошо известные явления, но отметим лишь следующие обстоя-
тельства. При применении эйнштейновской теории световых
квантов как к этим, так и к другим явлениям, ничего не гово-
24
Глава I. Свет
рилось о механизме взаимодействия между атомами (или элек-
тронами), с одной стороны, и фотонами — с другой. Не суще-
ствовало никакого определенного представления о процессе
испускания или поглощения фотона или о его рассеянии сво-
бодным электроном. Для того чтобы описать эти явления
в обычном классическом смысле, нужно было бы ввести опре-
деленные силы взаимодействия между материальными частицами
и фотонами и проследить при помощи релятивистских уравне-
ний движения те ч е н и е рассматриваемых процессов
во времени. Эта программа никогда, однако, не была выпол-
нена. Соответствующие процессы всегда рассматривались как
мгновенные или, вернее, как законченные акты.
В эйнштейновской теории соотношение (12) получило совер-
шенно новый и притом чисто символический смысл. Здесь мы не
имеем дела, как в теории Планка, с квантами энергии, испускае-
мыми в форме волн, но с энергией и количеством движения отдель-
ных квази-материальных частиц. Идея частоты колебаний пред-
ставляется здесь неуместной. Эта идея является, однако, совер-
шенно неизбежной, так как энергия эйнштейновского светового
кванта может быть вычислена лишь из длины волны соответ-
ствующего света, измеренной при помощи какого нибудь интер-
ференционного или диффракционного опыта.
§ 4. Релятивистская формулировка корпускулярно-волно-
вого параллелизма.
Во время первой стадии борьбы между корпускулярной
и волновой теорией света, т. е. между Ньютоном и Гюйгенсом,
каждая точка зрения представлялась в виде альтернативы. Новая
стадия этой борьбы — стадия, связанная с именем Эйнштейна,—
характеризуется совершенно другим взаимоотношением между
обеими теориями, а именно: своеобразным соединением их
обеих, при котором каждая из них дополняет другую. Ряд
оптических явлений, вроде интерференции и диффракции света,
может быть объяснен лишь с точки зрения волновой теории.
Другой ряд явлений, как например фотоэлектрический эффект
и эффект Комптона, требует для своей интерпретации корпуску-
§ 4. Релятивистская формулировка корп.-волн, параллелизма 25
лярной теории. Один и тот же свет, который в процессах
первой группы проявляется в виде монохроматических волн
с частотой колебания у, в процессах второго рода представляется
в виде однородного корпускулярного излучения, в котором
каждая частица обладает энергией /zv.
Частота световых волн, как известно, не измеряется непо-
средственно, но вычисляется из длины волны, которая в свою
очередь определяется из интерференционных опытов. Если мы
£
сравним формулу у = —, связывающую частоту с длиной волны,
А
с соотношением & = gc между энергией и количеством движе-
ния светового кванта, то получим на ряду с формулой Планка
е = Ду также следующую формулу:
h

к ‘
(13)
Длина волны которая может быть определена как про-
странственный период колебаний, соответствует временнбму
периоду колебаний: т = —. Частоте колебаний у, т. е. числу
колебаний в единицу времени,
- 1
волновое число —,
А
длины (для данного момента /).
величину трехмерного вектора g.
соответствует так называемое
т. е. число волн в единице
Так как g представляет собой
то мы можем рассматривать k
как величину некоторого вектора, направленного одинаково
с вектором g и определяющего направление распространения
световых волн, и заменить соотношение (13) более полными
соотношениями:
gx — hkx, gy = hky, gz = hkz.	(13a)
Таким путем соотношение между корпускулярной и волно-
вой теориями света уточняется в том смысле, что направле-
ние движения световых квантов или фотонов
в каждой точке совпадает с направлением рас-
пространения световых волн.
Соотношение Планка е = Av представляется на первый взгляд
26
Глава I. Свет
совершенно необоснованным. Если двойственную природу света
рассматривать как опытный факт, то возникает следующий
вопрос: почему энергия световых частиц должна быть прямо
пропорциональна частоте волн, а не длине волны или какой-
н ^будь другой сложной функции от v или X?
На этот вопрос дает удовлетворительный ответ теория отно-
сительности. А именно, можно легко показать, что то соотно-
шение между корпускулярными и волновыми величинами, кото-
рое определяется формулами (12) и (13а), является единствен-
ным, удовлетворяющим условию инвариантности теории отно-
сительности. Рассмотрим уравнение системы плоских синусои-
дальных волн с длиною X, частотою v и направлением распро-
осями.
(14)
ампли-
странения, ооразующим углы а, р, с координатными
Это уравнение имеет вид:
,	, л /xcosa-L у cos 8 4-г cosy А
ф==ф0 cos 2:4------------1-------- —
где <|> представляет собою колеблющуюся величину, а фоее
туду. Вводя волновой вектор к со слагающими:
1	и 1 О п 1
kx = — COS a, Ry = COS р, kz == —- COS 7
ААЛ
имеем
— Фо cos 2тг (kxx &уУ +	— ^0*
Фаза колебаний ф —2тг (kxx Л-kyy Л-kzz— v/) по
(14а)
своему
физическому смыслу (величина, не имеющая размерности) дол-
жна быть инвариантной, т. е. представлять собой четырехмерный
скаляр. Так как, однако, х, у, z, ict являются слагающими
четырехмерного вектора, то то же самое должно относиться
Zv
и к величинам kx, kyi kz,—, ибо лишь при этом условии сумма
xkx у^у Н”
преобразуется подобно сумме
л2+^9 + ^ + (^)2-
Последняя,как известно, остается инвариантной при переходе
от исходной координатной системы к „штрихованной", т. е. дви-
§ 4. Релятивистская формулировка корп.-волн, параллдливма 27
жущейся системе. Поэтому и первая должна преобразовываться
в сходную и эквивалентную сумму:
4-
Таким образом фаза системы плоских гармонических волн
может быть охарактеризована четырехмерным вектором с ком-
понентами:
kx, kv, klt—.
с
С другой стороны, как было показано в § 3, величины
/в
mvx = gx, fnvy = gy, mvz = gZi tmc = —
также образуют четырехмерный вектор, определяющий количе-
ство движения и энергию точечной частицы [сравнить (7а) и (7Ь)].
Если, поэтому, между этими корпускулярными величинами и пре-
дыдущими величинами и существует какое-либо соотношение,
то оно может иметь лишь следующую форму:
__________ g? _
kx kp kz V
В противном случае оно зависело бы от выбора координат-
ной системы, что, очевидно было бы неправильно.
Отношение корпускулярных и волновых величин, обозначен-
ное в предыдущей формуле через й, могло бы, однако, в прин-
ципе являться произвольной функцией инвариантных величин:
и	---
(15)
Из формулы V — — и s=gc следует, однако, что оба эти
А
инварианта равны нулю. Величина h должна, следовательно,
быть инвариантной, что и требовалось доказать.
Если бы Эйнштейн развил свою теорию относительности и
создал бы теорию световых квантов до появления работы Планка
о теории квантов, то он мог бы теоретически предсказать соот-
ношение Планка между энергией и частотой.
Соотношения между световыми квантами и световыми вол»
28
Глава I. Свет
нами еще не исчерпываются формулами (15). Эти формулы содер-
жат лишь такие величины, которые согласно обеим точкам зре-
ния определяют качество света, а не его количество.
Согласно корпускулярной теории, количество или интенсивность
света определяется числом частиц, которые проходят в единицу
времени через единицу площади, перпендикулярной к напра-
влению их движения (т. е. к направлению световых лучей). С дру-
гой стороны, согласно волновой теории, интенсивность света
определяется квадратом амплитуды колебаний в рассматриваемой
точке; таким образом соответствие между обоими представле-
ниями в отношении интенсивности света может быть формули-
ровано следующим образом:
(16)
Здесь N обозначает среднее число частиц в единице объема
(т. е. „плотность" или „концентрацию" фотонов). Число частиц,
которое пересекает в единицу времени единицу площади, перпен-
дикулярной к направлению их движения, равно произведению N
на скорость света с. Эго произведение можно рассматривать как
численное значение трехмерного вектора J, который мы будем
называть плотностью тока. Произведение его слагающих
Л, Л» Л на энергию в и на слагающие количества движения
gx, gy, gz отдельной частицы представляет собою меру энергии
и количества движения, переносимых световыми лучами в единицу
времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению
их распространения. Согласно теории относительности, к этим
трем пространственным проекциям плотности мы должны при-
бавить еще четвертую временною проекцию Л. Легко видеть, что
последняя может быть определена как введенное выше число N.
Таким образом для полного опоеделения интенсивности или
„количества" света мы имеем, согласно корпускулярной теории,
16 величин, которые получаются перемножением слагающих
четырехмерных векторов JXi Jy, J3, Jt и gx, gy, g2, г и которые
образуют четырехмерный тензор.
Этим 16 величинам корпускулярной теории соответствуют
в электромагнитной теории 16 величин, которые могут быть
получены перемножением слагающих электрического и магии г-
§ 4. Релятивистская формулировка кс?п.-волн. параллелизма 29
ного поля, и которые при преобразовании координат преобра-
зуются совершенно таким же образом, как и произведения
Jx gx, Jx gy> • и т. д. Совокупность этих величин называется
тензором энергии. Объемная плотность электромагнитной
энергии определяется хорошо известным выражением:
А-(£’ + № ) =	(£? + £/ + Е? + /// +Н/ + HJ),
где Е обозначает электрическое и Н магнитное поле. Этому волно-
вому выражению в корпускулярной теории соответствует произве-
дение Jtgt=Nz. При переходе от исходной покоящейся системы
координат к другой, движущейся по отношению к ней, оба
выражения преобразуются как квадрат времени t. Существенная
разница между ними заключается в том, что тогда как № не
изменяется с временем, Е2 и Н2 колеблются (с частотой в 2v
в случае однородного света частоты v) около своих средних
значений Е2 и //2, равных половине квадрата амплитуды. Соот-
ветствие между корпускулярной и волновой теориями света
в отношении его „количества" или интенсивности может быть
поэтому выражено релятивистским инвариантным (или „кова-
риантным") образом, с помощью равенства
№=-^(^-4-772)	(]6а)
и 15 других равенств того же рода между остальными корпуску-
лярными величинами JxgXi Jxgy**> и т. д., с одной стороны,
и соответствующими (усредненными) величинами электромагнитной
теории света, с другой. Мы отметим здесь также три уравнения:
С ----- -------- Г ------------ --------
Л е = (Еу Нг - Ег Ну), Ji — (Ег Нх - Ех Нг),
(16b)
для слагающих трехмерного вектора потока энергии (т. е. ве-
ктора Пойнтинга). Формула (16b), строго говоря, не инвариантна
(в смысле теории относительности) и потому должна рассматри-
ваться как приближенная.
Глава 2.
МАТЕРИЯ.
§ 5. Распространение корпускулярно-волнового парал-
лелизма на материю.
До Эйнштейна мы довольствовались чисто волновой теорией
света и чисто корпускулярной теорией материи. В своей теории
световых квантов Эйнштейн перенес корпускулярные пред-
ставления с материи на свет и, соединив это представление с вол-
новым представлением, ввел в теорию света совершенно неожи-
данный дуализм или „параллелизмЧерез 20 лет после этого
первого шага в направлении комбинации теории света и материи
или оптики и механики, французский физик Луи де-Брогль
сделал второй, так сказать, дополнительный, шаг в противопо-
ложном направлении, применив волновое представле-
ние о свете к материи. Таким образом в январе 1924 г.—
впервые в истории развития физики — возникла идея „волн ма-
терии", связанных с движением материальных частиц. В своем
обобщении эйнштейновского корпускулярно-волнового паралле-
лизма де-Брогль руководствовался чисто формальными сообра-
жениями. Как мы видели выше, в эйнштейновской теории света
этот параллелизм, поскольку дело касается количества света,
выражается соотношениями (15). Эти соотношения были уста-
новлены Эйнштейном для квантов с исчезающей покоя-
щейся массой; однако, в виду своей инвариантности, они
остаются применимыми и к частицам с неисчезающей по-
коящейся массой. В связи с этим де-Брогль сначала пытался
трактовать световые кванты или фотоны как материальные ча-
стицы, обладающие чрезвычайно малой, но все же отличающейся
от нуля, покоящейся массой. Несмотря на некоторые методоло-
гические преимущества, эта трактовка оказалась неправиль-
ной, Попытка де-Брогля привела его, однако, совершенно
§ 5. Распространение параллелизма на материю 31
естественным образом к мысли о применении эйн-
штейновских соотношений (15) к обыкновенным
материальным частицам, т. е. к электронам и про-
тонам. С помощью этого маленького шага в направлении,
в котором доселе ни один физик — в том числе, повиди-
мому, и сам Эйнштейн — не пытался продвинуться, де-Брогль
вышел за пределы старой макроскопической механики и от-
крыл нозую область, лежавшую столь близко, и оставав-
шуюся тем не менее столь долго скрытой, — область ми-
кроскопической или волновой механики. Однако
де-Броглю не удалось далеко проникнуть в эту новую область.
Вследствие неправильного представления о связи между его
„материальными" или „фазовыми волнами* и соот-
ветствующими частицами он вынужден был остановиться почти
на самой границе ее. Согласно его исходным представлениям,
каждая индивидуальная частица, например отдельный движущийся
электрон, являлась связанной с системой „фазовых волн* таким
образом, чтобы „путь" этой частицы совпадал с одним из лучей
соответствующей системы волн. Таким образом он представлял
себе, что волны, так сказать, „несут" частицу и что, таким
образом, каждая частица обладает соответствующей системой волн.
Правильный подход к новооткрытой области волновой меха-
ники (это выражение принадлежит де-Броглю) лежал, однако,
в совсем другом направлении, а именно в направлении, указы-
ваемом соотношениями, которые были приведены выше для вол-
новой механики световых квантов. Эти соотношения в несколько
измененной и обобщенной форме должны быть применены
к частицам и волнам материи.
В дуалистической теории света системе гармонических
плоских волн соответствует не один фотон, но целая совокупность
фотонов (распределенных в пространстве с концентрацией, про-
порциональной амплитуде волн). Сходным образом гармонической
системе волн де-Брогля, распространяющихся в определенном
направлении, необходимо привести в соответствие однородный
поток тождественных материальных частиц, с плотностью, про-
порциональной квадрату амплитуды. Таким образом оба предста-
32
Глава 2. Материя
вления частиц и волн, столь чуждые на первый взгляд друг другу,
оказываются связанными общими представлениями о лучах.
Эти лучи, которые с корпускулярной точки зрения следует рас-
сматривать как пути частиц, а с точки зрения волновой теории
как линии, в направлении которых происходит распространение
волн, должны быть проведены с таким расчетом, чтобы число
лучей, пересекающих единицу перпедикулярной к ним плоскости,
было пропорционально квадрату амплитуды волн в соответ-
ствующем месте.
Системе плоских волн де-Брогля, определяемых во всем про-
странстве уравнением (14а), соответствует однородный поток
бесконечной длины и поперечного сечения тождественных мате-
риальных частиц с одинаковым количеством движения g —Лк
и энергией 1 г —Лу. Концентрация этих W частиц должна во
всем пространстве иметь одну и ту же величину, пропорциональ-
ную ф02. Волновая функция ф для частиц с неисчезающей по-
коящейся массой имеет совершенно другой физический смысл,
чем для фотонов; она не имеет ничего общего с электрическим
и магнитным полем, описывающим световые кванты.
Следует подчеркнуть, что знание среднего числа частиц в
единице объема (на основании соотношения	никоим
образом не позволяет точно определить положение отдельных
частиц и проследить их движение. Действительно, определение
положений дискретных точечных предметов с помощью
непрерывно распределенной величины, очевидно, не-
возможно (так же как, например, невозможно точно определить
положение „силовых линий", которые служат для графического
описания непрерывного силового поля).
Если длина де-броглевских волн	а также частота v
1 Важной чертой теории де-Брогля являлось отождествление коэ-
фициента h в этих уравнениях для любых материальных части i
с соответствующим коэфициентом для фотонов, т. е. с постоянной
Планка. Это предположение полностью подтверждается опытом, свиде
тельствуя о наличии внутренней связи между частицами материи
с светом.
§ 5. Распространение параллелизма на материю
33
их колебаний известны, то мы можем определить покоящуюся массу
соответствующих частиц следующим образом. Исключая ско-
рость v из выражений
tnQv	т.с*
VI — V2/C2	j/j—^2
мы получаем соотношение
g2 -г21с2 ~ — т^с2.
Из формул g hk и е = /zv следует:
£3--72Д2	— rn^2C2lh2
или
h Г v2 1
12*
Величина
v
W = — “ 'А
k
(17)
(17а)
(18)
(18а)
представляет собой скорость распространения волн. Эта скорость
определяется как функция длины волны, согласно (18), формулой

(18Ь)
В случае де-броглевских волн, распространяющихся со скоростью
света (w = c), мы получаем согласно (18b) m0 = 0, что соответ-
ствует случаю световых квантов. В этом случае мы можем
считать де-броглевские волны непосредственно связанными с вол-
нами электромагнитными. Если /по>0, то согласно (18b) ско-
рость w должна быть больше, чем скорость света. Рассмот-
рим, например, параллельный пучок однородных катодных лу-
чей. С корпускулярной точки зрения его можно рассматривать
как поток электронов, испускаемых отрицательным электродом
разрядной трубки и несущихся с постоянной скоростью. С вол-
новой точки зрения эти лучи следует рассматривать как линии
распространения некоторых „ катодных“ или электронных волн,
Зю отношению к которым электроны играют ту же роль, как
34
Глава 2. Материя
фотоны по отношению к световым волнам. Если в формуле (18а)
е	, h
положить v = — и к = —, то мы получаем
л g
w = —.	(19)
g
Отсюда, в связи с (17), получается замечательное соотношение
между волновой скоростью и корпускулярной скоростью:
w=	(19а)
Так как скорость электронов v всегда меньше с, то скорость
распространения катодных волн должна быть всегда больше ско-
рости света и притом тем больше, чем меньше v. Покоящимся
электронам соответствуют волны, распространяющиеся с беско-
нечно большой скоростью, т. е. колебания с бесконечно большой
длиной волны, имеющие, следовательно, одинаковую фазу во всем
пространстве. В этом случае волновая функция сводится к про-
стейшей форме:
ф' — ф0' cos	(20)
где v' представляет собой частоту колебаний, a f—время в той
системе координат, по отношению к которой электроны нахо-
дятся в покое. Рассматривая электроны с точки зрения другой
системы координат, по отношению к которой они движутся
со скоростью v в направлении оси х-ов, мы должны согласно фор-
муле (5) заменить время t' выражением
__ t — xvjc2
1/1 — v2/c2
Мы получаем таким образом (оставляя в стороне закон пре-
образования амплитуды колебаний):
Ф = Фо' cos2rc——( Л-------------- ,	(20а)
д/1 — (c2lv)J 4 ’
т. е. уравнение системы волн с частотой
§ 5. Распространение параллелизма на материю 35
распространяющихся со скоростью w = — в направлении оси х-ов.
v
Де-Брогль впервые' вывел формулу (19а) именно таким путем.
Соотношение
v'
V = -----......
v2/c2
соответствует соотношению
% ______________
=±= ИЛИ Ш = —
1 — v2ic2	У1 — v2jc2
между энергиями и массами электрона в обеих координатных
системах (v' = v0 представляет собой „покоящуюся частоту" ка-
тодных волн).
Соотношение де-Брогля между корпускулярной и волно-
вой скоростью не следует рассматривать как нечто совер
шенно неожиданное. Действительно, в § 1 было показано,
что показатель преломления для каких бы то ни было лучей
(световых или каких-либо других) согласно корпускулярной
ЧЯ)
теории равен —, а согласно волновой —t. Для того чтобы обе
величины совпадали в соответствии с эквивалентностью обеих
точек зрения, мы ’должны положить:
V*	ЧЯЯ
— zzz----- .
V	ЧЯ)
Если, далее, мы примем, что при v — с мы должны иметь также
= то мы получаем формулу (19а).
На первый взгляд может показаться, что этот вывод фор-
мулы (19а), не связанный с теорией относительности, противоречит
основному ее принципу — принципу инвариантности скорости
света. Это было бы, однако, верно лишь в том случае, если, имея
в виду световые лучи, мы отождествили бы кажущуюся скорость
их распространения с истинной. В случае катодных лучей мы
имеем только одну и притом истинную скорость распростране-
ния, и никакого противоречия с теорией относительности не
заключается в том, что эта скорость считается различной в раз-
личных частях пространства.
36
Глава 2. Материя
§ 6. Интерференция и диффракция катодных лучей.
Опыт Физо являлся не единственным и даже не наиболее
важным аргументом против ньютоновской корпускулярной теории
света. „Ньютоновские кольца", впервые открытые самим Нью-
тоном, и в особенности явления диффракции, открытые и иссле-
дованные Юнгом и Френелем, обеспечили полную и, казалось,
окончательную победу волновой теории. Ибо с точки зрения
волновой теории все эти явления объяснялись совершенно не-
посредственным образом вплоть до мельчайших количественных
деталей, тогда как с точки зрения старой корпускулярной теории
света они оставались совершенно непонятными.
Введение релятивистской механики вместо ньютоновской
механики и соответствующее преобразование ньютоновской кор-
пускулярной теории света Эйнштейном лишь незначительно изме-
нило это положение. Релятивистские законы сохранения энергии
и количества движения в связи с корпускулярно-волновыми co-
ft
отношениями §•= — , е =/zv для световых лучей объясняли лишь
А
явления, связанные с качеством света (фотоэлектрический
эффект, эффект Комптона). Для интерпретации явлений, зави-
сящих от количества света, а именно явлений интерференции
и диффракции, а также для вычисления меры этого количества,
например, интенсивности отраженных, проходящих и рассеянных
лучей, мы должны исходить из волновых законов распространения
света, и для перевода соответственных результатов на язык кор-
пускулярной теории должны воспользоваться корпускулярно-вол-
новым соотношением	Мы могли бы сказать поэтому,
что хотя интерференция и диффракция свега не противоречат
корпускулярному представлению, однако эти явления могут быть
количественно объяснены лишь при помощи волновых пред*
ставлений.
Перенесение корпускулярно-волнового параллелизма со све-
товых лучей на лучи материальные осталось бы неоправданным,
если бы нам пришлось ограничиться явлениями, зависящими
от качества лучей, которые могут быть объяснены с чисто
§ 6. Интерференция и диффракция катодных лучей 37
корпускулярной точки зрения. Для того чтобы оправдать это
далеко идущее обобщение, мы должны посмотреть, существуют ли
для материальных лучей явления интерференции и диффракции,
т. е. явления, зависящие от интенсивности и поддающиеся
объяснению лишь с волновой точки зрения.
Подобные опыты были на самом деле осуществлены недавно
с катодными лучами и подтвердили обе группы корпускулярно-
волновых соотношений, т. е. как де-броглевское „соотношение
качества"g = А так и „соотношение количества"
А
Следует заметить, что возможность экспериментального наблю-
дения интерференции световых лучей зависит от их длины волны
или, вернее, от соотношения между длиной волны и расстоянием
между элементарными частями наших оптических приборов. Так,
например, для удобного наблюдения интерференции при помощи
диффракционной решетки расстояния между линиями последней
должны быть того же порядка величины, как и длина волны
исследуемого света. Поэтому, прежде чем предпринимать опыты
с интерференцией материальных волн, необходимо составить себе
некоторое представление о порядке величины их длины.
h
Если в формуле де-Брогля Х = — положить tn — l г и
'tfzzzl см/сек, то мы получаем \^h ^6-10~27 см. Подобная
длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области.
Для того чтобы длина волны была возможно больше, мы должны
воспользоваться частицами с возможно меньшей массой и воз-
можно меньшей скоростью движения. Таким образом наиболее
благоприятные	условия	мы	имеем	в	случае	катодных	лучей.
Наиболее медленные катодные лучи, с которыми можно экспе-
риментировать,	получаются	при	ускоряющей	разности	потен-
1	е V
циалов V порядка одного вольта. Согласно формуле --mv2 — ——
Л	Ovu
это соответствует скорости ^=108 см/сек и длине волны
а^10~7 см. В общем случае (при не слишком большей уско-
О	10 7
ряющей разности потенциалов) мы имеем: X = -== см. С обычно
38
Глава 2. Мугерия
применяемыми напряжениями от одного до десяти тысяч вольт мы
получаем катодные лучи с длиной волны от 10"“7 см до 10 см,
т. е. приблизительно с такой же длиной волны, как и в слу-
чае рентгеновых лучей. Для наблюдения интерференции рентген
новых лучей мы пользуемся кристаллами, которые с этой точки
зрения можно рассматривать как естественные трехмерные
диффракционные решетки. Отсюда следует, что те же самые
кристаллы могут быть использованы также в качестве диффрак-
ционных решеток для катодных лучей, причем мы должны
получить интерференционные явления, сходные с теми, которые
обнаруживаются рентгеновыми лучами. Металлические
кристаллы являются особенно удобными для опытов с интер-
ференцией катодных лучей. Мы рассмотрим здесь вкратце наи-
более важные опыты в этой новой области.
1.	Опыт Девиссона и Джермера (1927). Поток однородных
катодных лучей с длиной волны порядка 10""8 см исследовался
брэгговским методом отражения. При этом был наблюден ряд
максимумов отражения при почти таких же самых углах, как
и в случае рентгеновых лучей с соответствующей длиной волны.
Незначительное отклонение от формулы Брэгга
2dsin9 = nX	(21)
(d—расстояние между кристаллическими плоскостями, 9 —угол
скольжения между этими плоскостями и падающим или отра-
женным лучом, л=1, 2, 3...) может быть объяснено вполне
удовлетворительно эффектом преломления лучей на поверхности.
В с чу чае рентгеновых лучей показатель преломления ji практи-
чески равен единице. В случае катодных лучей он может, на-
против, значительно отличаться от единицы. В формуле (21)
мы должны поэтому заменить угол 0 соответствующим углом О'
для преломленных лучей и X через Х' =—. Принимая во вни-
Н
манке, что	/	\
f л \
sin -г---6 )
\ 2	1	cos О
и, =	-------=z	>
.	\	cos 6'
sln(_ _0j
§ 6. Интерференция и диффракция катодных лучей
39
т. е.
получаем исправленную формулу Брэгга
Р-2 — cos26 = fl).,	(21а)
которая в точности согласуется с экспериментальными данными
Девиссона и Джермера. Для показателя преломления рь, который
соответствует прохождению катодных лучей из пустоты в раз-
личные металлические кристаллы, получается значение большее
единицы и приближающееся к единице по мере увеличения ско-
рости. Это означает, что электроны, входя в металл, испытывают
ускорение. Таким образом при выходе из металла дни должны
замедляться. Этот результат находится в согласии с тем фактом,
что так называемые „свободные электроны" (которыми обуслов-
ливается электропроводность металла) остаются при обычных
условиях связанными в металле. Лишь при очень высоких тем-
пературах они приобретают кинетическую энергию, достаточную
для преодоления поверхностных сил.
Согласно корпускулярной теории, в случае не слишком
быстрых катодных лучей, показатель преломления определяется
формулой [см. (2), §1]: .
где U обозначает работу вышеупомянутой силы при входе
электрона в металл. Она может быть выражена в вольтах соот-
ношением
eV
300’
где —поверхностный скачок потен-
циалов. Выражая, далее, скорость электрона в вольтах по фор-
1	2 eV
муле —= —получаем:
oUu
Н =	1 + ^-	(21b)
Эта формула согласуется с результатами Девиссона и Джермера
и дает возможность определить внутренний потенциал Vq раз>
40
Глава 2. Материя
личных металлов. Для последнего, таким образом, получаются
значения между 13 и 20 вольтами.
2.	Опыт Томсона (1928). Пучок быстрых катодных лучей
пропускался через очень тонкую металлическую фольгу (А1,
Au и т. д.). Подобная фольга состоит из большого числа бес-
порядочно ориентированных кристалликов. Пропуская через нее
рентгеновы лучи, мы получаем известную диффракционную кар-
тину Дебая-Шеррера, состоящую из большого числа концентри-
ческих колец.
Томсон получил ту же самую картину с помощью катодных
лучей. Длина волны, вычисленная из диаметра интерференционных
колец, в точности совпадает с де-броглевской длиной волны
, h п	*
К=—-. Сходные опыты с более медленными катодными лучами
были осуществлены несколько позже Руппом с помощью ряда
фолы различных металлов (Al, Си, Au, Pb, Ni и т. д.). Резуль-
таты оказались такими же, как и в опытах Томсона.
3.	Сравнительно в недавнее время удалось наблюдать интер-
ференцию рентгеновых лучей, при помощи обычной оптической
диффракционной решетки. Вследствие большого расстояния d
между соседними линиями подобной решетки по сравнению с
длиной волны рентгеновых лучей интерференционные явления
могу< наблюдаться лишь при очень наклонном падении, т. е.
при очень малых углах 6. Рупп повторил в 1928 г. опыты по-
добного рода с медленными катодными лучами и получил точно
такие же результаты, как и с рентгеновыми лучами. Этим опы-
том реальность катодных волн была окончательно установлена.
Измеренные длины этих волн находятся в полном согласии с те-
оретической формулой: Х =
4.	Тот факт, что не только катодные лучи, но также атом-
ные и молекулярные пучки связаны с волнами, был доказан
экспериментально Демстером в случае водородных атомов и
Штерном в случае более тяжелых атомов с помощью метода
отражения от кристалла, причем кристалл в этом случае дей-
ствовал не как объемная, а как поверхностная (двухмерная) ди-
§ 7. Групповая скорооть волновых процессов 41
фракционная решетка. Соотношение де-Брогля между скоростью
и длиной волны было подтверждено во всех случаях.
Открытие волновой природы катодных и других материаль-
ных лучей представляет собой один из наиболее замечательных
примеров мощи человеческого ума и методологической плодо-
творности теории относительности.
§ 7. Групповая скорость волновых процессов и теория
волновых пакетов.
Борьба между корпускулярной и волновой теорией света бы-
ла в свое время решена в пользу последней опытом чФизо. Так
как результат этих опытов относится не к истинной, а к кажу-
щейся скорости света, то он не мог служить аргументом про-
тив новой корпускулярной теории света Эйнштейна. Однако
для этой теории возникла задача детально проследить дви-
жение световых квантов в материальном теле, принимая во вни-
мание их поглощение и вторичное испускание.
В случае материальных лучей дело обстоит несколько иначе.
Здесь не может быть и речи о кажущейся и истинной волновой
скорости. Поэтому представляется возможным путем непосред-
ственного измерения скорости катодных лучей но методу Физо и
путем сравнения отношения скоростей с показателем преломления
решить вопрос о том, следует ли считать катодные лучи волно-
выми или корпускулярными. Мы должны, однако, помнить, что
даже с точки зрения волновой природы лучей скорость их распро-
странения, непосредственно измеренная по методу Физо, должна,
вообще говоря, отличаться от истинной фазовой скорости волн.
Это обстоятельство, которое было впервые открыто Рэлеем
при исследовании волн на поверхности воды, зависит, с одной
стороны, от неустранимой неоднородности волн и, с дру-
гой стороны, от их дисперсии, т. е. от зависимости „фазовой
скорости“ идеально однородных лучей от частоты колебаний или
длины волны.
Лучи, которые рассматриваются как спектрально однородные,
на самом деле не являются таковыми, но представляют собой
сумму однородных лучей, частоты которых v и волновые числа
42
Глава 2. Материя
k распределены непрерывным образом в очень маленьких интер-
валах Av и Д&. Подобная волновая группа может быть представ-
лена аналитически интегралом:
6(х, 0=	^(**~v/)rfv,
(22)
где av — медленно меняющаяся функция v, a k представляет со-
бой некоторую определенную функцию v. Мы будем считать ин-
тервал Av столь малым, чтобы при интегрировании можно было
положить = const и
k
| (V —Vo),
о
Обозначая разность v— v0 через $, имеем:
Av
<!> = а^е 2п (*°х ~° f е йг‘
d\
_|д>
или
sin те Av
а>

(22а)
к (dk\ ,
ь-) x~t
Wv/0
Процесс, характеризуемый этой формулой, можно рассматривать
как однородный поток волн (с частотой v0 и волновым числом &0) с
переменной амплитудой, обладающей* резким максимумом
/ л ч /dk\ , л	/г/v \ v _
(avAv) при!—I х—1=0, т. е. при х = (— ) /. Таким обра-
\uv/0	\u«/0
зом максимум амплитуды перемещается с некоторой групповой
скоростью, отличной от фазовой скорости. Опуская индекс О,
мы получаем для этой групповой скорости формулу:
dv
О, т. е. при х
(23)
§ 7. Групповая скорость волновых процессов
43
Этот результат может быть установлен непосредственно, если
мы примем во внимание тот факт, что при совместном распро-
странении двух близких по частоте и длине волны колебаний
должны возникать биения не только во времени, но и в про-
странстве. Подобно тому как число первых в единицу времени
равно tfv, число последних в единице длины равно dk. Скорость
распространения подобных пространственно-временных биений
равна, очевидно, отношению —. Именно эта групповая, а не
ан
v
фазовая скорость w = —- наблюдается в опыте Физо.
к
Полагая в	формуле	(23) v =	получаем
d'is)	d'is)
wg = w 4- k — = w— X -c-.	(23a)
*	1 dk	dk	v	'
d'is) f dw\
Производная — или — определяет дисперсию волн в данной
dk \ ак)
спектральной области. В случае отсутствия дисперсии, группо-
вая скорость совпадает с фазовой. В противном случае они ока-
зываются отличными друг от друга. У световых лучей это раз-
личие обычно очень мало, так что мы можем практически пре-
небречь им (при этом мы имеем в виду, конечно, макроскопи-
ческую теорию распространения света в материальных телах и,
следовательно, лишь кажущиеся фазовую и групповую ско-
рости.
Совершенно иначе обстоит дело в случае материальных
волн де-Брогля. Зависимость истинной фазовой скорости от дли-
ны волны выражается здесь формулой (18b). Таким образом мы
имеем согласно (18):
kdk — —^
с2
т. е.
dv 9 k с2
dk v is)*
г. е. согласно (19а)
v.
(24)
44
Глава 2. Материя
Мы видим, следовательно, что групповая скорость материальных
волн совпадает со скоростью соответствующих частиц. Этот ре-
зультат может быть также установлен следующим образом. За-
меним в формуле (23) величины v и k пропорциональными им
величинами е и g, и будем трактовать их диференциалы как
бесконечно малые изменения за время dt. При этом мы полу-
чаем
dz — ~-'w„dt.
dt *
dg
Производная — количества движения по времени должна рав-
няться силе /, действующей на частицу. С другой стороны, из-
менение энергии de должно равняться работе этой силы, т. е.
произведению fv dt. Отсюда следует, что
wg = (u.
Мы видим таким образом, что в случае материальных лучей
в частности катодных лучей, при учете неизбежной их неодно-
родности, теория де-Брогля приводит к той же величине наблю-
даемой скорости их распространения, как и обычная корпуску-
лярная теория. Опыт Физо в применении к подобным лучам не
может поэтому решить вопроса о правильности той или другой
теории. Подобный опыт до сих пор практически не был выпол-
нен. Мы можем, однако, поручиться за то, что его результат
будет находиться в согласии с корпускулярной теорией. Однако
этот факт находился бы в противоречии с волновой теорией лишь
с точки зрения наивного отождествления наблюдаемой скорости
с фазовой скоростью. Противоречие немедленно устраняется
введением понятия групповой скорости, причем обе теории ока-
зываются правильными.
Тот факт, что в случае света опыт Физо мог служить решаю-
щим фактором в споре между корпускулярной и волновой тео-
рией, объясняется сравнительно малой дисперсией световых
волн и вытекающей отсюда неразличимостью фазовой и группо-
вой скорости. Следует, однако, помнить, что мы имеем здесь
дело с „кажущимися" макроскопическими скоростями. Последо-
вательное применение эйнштейновской теории световых квантов
§ 7. Групповая скорость волновых процессов 48
к распространению света в материальных телах должно, как уже
упоминалось выше, привести к таким же результатам, как и при-
менение электромагнитной теории света.
Мы видели, что групповая скорость волн может рассматри-
ваться как скорость распространения местных максимумов ампли-
туды, образуемых суперпозицией гармонических волн различной
длины. При измерении групповой скорости катодных лучей мы
таким образом измеряем скорости местных максимумов и полу-
чаем скорость, приписываемую отдельным электронам. Представ-
ляется поэтому естественным ассоциировать электроны с мест-
ными максимумами.
Подобная ассоциация привела де-Брогля к мысли о том, что
индивидуальные частицы следует рассматривать не как некото-
рое дополнение к волнам, по существу от них совершенно отлич-
ное, а как резкий максимум амплитуды в некоторой волно-
вой системе. Подобное образование было названо Шредингером
волновым пакетом. Волновой пакет может быть построен
путем наложения группы пространственно неограниченных плос-
ких синусоидальных волн, у которых частоты, длины волн и
направления распространения меняются непрерывным
образом в некотором узком интервале. Волновой пакет является,
следовательно, не чем иным, как „волновой группой" (в смысле
определения, данного в § 7), которая, однако, ограничена не в
одном лишь направлении, но со всех сторон. Отсюда ясно, что
волновой пакет должен перемещаться в пространстве с группо-
вой скоростью.
Амплитуда колебаний в волновом пакете достигает макси-*
мума в центре и спадает по мере удаления от центра тем бы-
стрее, чем больше спектральный и угловой интервал образующих
его элементарных волн. Де-Брогль показал, что путем перехода
к пределу можно построить волновые пакеты с амплитудой, ко-
торая становится бесконечной в определенной точке, движущейся
с групповой скоростью. Подобные особенные точки представ,
ляют собой, по его теории, материальные точки, лишенные про*
странственной протяженности, например электроны, рассматри-
ваемые как точечные заряды. Для интерпретации пространстве
46
Глава 2. Материя
ной протяженности, обычно приписываемой электронам (на осно-
вании электромагнитной теории массы), Шредингер, которому мы
обязаны дальнейшим развитием идей де-Брогля, предпочел, од-
нако, представлять электроны волновыми пакетами конечных
размеров.
Последняя точка зрения опровергается, однако, тем фактом,
что волновые пакеты не сохраняют, вообще говоря, неизменных
размеров, но с течением времени расползаются, тогда как размеры
частиц, которые они изображают, остаются неизменными (см. ниже)»
Но и помимо этого представление о частицах как о волновых
пакетах находится в противоречии с опытными фактами об ин-
терференции и диффракции соответствующих лучей. Если мы во-
образим себе пучок катодных лучей как собрание большого числа
волновых пакетов, каждый из которых соответствует отдельному
электрону, то рассеяние этих лучей диффракционной решеткой
не произведет обычной интерференционной картины, сходной с
той, которая наблюдается в случае однородных световых волн.
В самом деле, для того чтобы объяснить эту интерференцион-
ную картину с точки зрения волновой теории, мы должны до-
пустить, чю падающие лучи образуют синусоидальный ряд волн
постоянной амплитуды. Действие диффракционной решет-
ки состоит при этом в следующем: путем суперпозиции (интер-
ференции) элементарных волн одинаковой амплитуды, которые
испускаются отдельными линиями (или плоскостями) решетки,
образуются результирующие колебания постоянной амплитуды,
которая зависит лишь от разности фаз, т. е. от направления
отраженных лучей.
Таким образом трактовка индивидуальных электронов в пучке
катодных лучей как волновых пакетов совершенно не в состо-
янии объяснить явлений диффракции и интерференции. Влияние
решетки должно было бы сводиться в этом случае к отражению
и отчасти к расползанию отдельных волновых пакетов в соот-
ветствии с корпускулярной теорией, причем ни малейшего следа
интерференционных и диффракционных явлений не должно былс
наблюдаться.
Прерывные элементарные действия св^та или материальных
§ 8. Идея вероятности
47
лучей (фотоэлектрический эффект), которые обычно интерпре-
тируются как доказательство их корпускулярной структуры, не
могут поэтому объясняться корпускулярной стуктурой соответ-
ствующего волнового поля. Они должны иметь место также и
в случае совершенно однородной структуры или, вернее, пол-
ного отсутствия структуры этого поля.
Мы видим таким образом, что сведение частиц к волнам,
представляющееся столь соблазнительным в виду совпадения ско-
рости частиц с групповой скоростью или со скоростью волно-
вых пакетов, является невозможным, и что это совпадение дол-
жно иметь совершенно иной физический смысл.
§ 8. Идея вероятности.
Рассматривая оба аспекта (волновой и корпускулярный) лу-
чей света, мы не пытались свести один из них к другому, но
рассматривали их как два параллельных ряда, связанных друг с
другом чисто символическим соответствием, подобным тому, кото-
рое существует между физиологическими процессами в нашем
мозгу и сопровождающими их психологическими процессами.
Это символическое соответствие было выражено нами математи-
чески „качественными" соотношениями: e = Av, g = /zk и „ко-
личественным" соотношением: 7V~r}02.
Последнее соотношение не приводит к недоразумениям, пока
мы имеем дело с весьма интенсивными лучами, т. е. лучами, со-
ответствующими очень большим значениям W (число частиц в еди-
нице объема). Оно однако утрачивает смысл для очень слабых лу-
чей, когда N становится малой до."ей единицы. При этом мы стал-
киваемся с вопросом о локализации отдельных частиц в гораздо
более резкой форме, чем в том случае, когда число 7V велико.
Совершенно ясно, что на этот вопрос невозможно дать опреде-
ленного ответа. Соотношение прерывных (точечных) частиц
и непрерывного волнового поля, характеризуемое формулой
заключает в себе неопределенность в отнршении распо-
ложения частиц (сходную ситуацию мы встречаем при графиче-
ском изображении какого-либо силового поля при помощи си-
ловых линий^
48
Глава 2. Материя
Если величина <р02 известна во всем пространстве как неко-
торая непрырывная функция координат, то мы можем вычислить
лишь среднее или вероятное число частиц в данном элемен-
те объема А К Произведение %2 А У, которое определяет это
вероятное число одинаковых частиц, можно поэтому рассматри-
вать как меру вероятности нахождения одной из
таких частиц в элементе ДИ, так что величина ^02 может
быть определена как мера плотности вероятности для
присутствия в рассматриваемой точке отдельной частицы. Если
функция может быть нормирована таким образом, чтобы и
интеграл	взятый по всему пространству, равнялся еди-
нице, то произведение ^02 dV можно рассматривать как абсолют-
ное значение вероятности нахождения соответствующей частицы
в элементе объема dv. В противном случае, например в случае
плоских гармонических волн, не ограниченных пространственно,
величина ф02 как функция координат будет определять относи-
тельную вероятность нахождения частицы в различных точках.
Эта видоизмененная форма соотношения „количества*, ко-
торую можно назвать соотношением вероятности, бы-
ла введена Борном. Она имеет существенное преимущество по
сравнению с первоначальной формой в виду того обстоятель-
ства, что ее можно применять к отдельным частицам. Наши
соображения нет надобности поэтому связывать с представлением
о материальных пучках, состоящих из большого числа одинако-
вых частиц, которые движутся одинаковым образом, не оказы-
вая никакого действия друг на друга. Поскольку это взаимо-
действие исключается, т. е. поскольку разные частицы движутся
независимо друг от друга, представляется излишним рассматри-
вать их как одно целое.1 Выбрав одну из них, мы можем про-
следить за ее поведением, не обращая внимания на остальные.
Эффект, производимый всеми ими, будет представлять собой
сумму элементарных эффектов, производимых каждой из них в
отдельности.,
1 Мы увидим, впрочем, в дальнейшем, что даже при отсутствии ди-
намического взаимодействия, между тождественными частицами суще-
ствует своеобразная статистическая связь.
§ 8. Идея вероятности
49
Возникает вопрос, каким же образом определяются эти эле-
ментарные эффекты. Этот вопрос, очевидно, сводится к опреде-
лению движения отдельной частицы при данных условиях в дан-
ном силовом поле, т. е. к определению ее положения в любое
время. В старой „классической" механике этот вопрос решался
определением координат частицы как некоторых функций времени
путем интегрирования ньютоновских уравнений движения, с уче-
том начальных условий, т. е. начального положения и скорости
частицы. В новой механике, в которой частица связана с си-
стемой волн с помощью понятия вероятности, ответ подобного
рода на предыдущий вопрос является невозможным. Детерми-
нистическое описание движения частицы, предполагающее
возможность точной ее локализации в любой момент времени,
должно быть здесь оставлено, и мы должны ограничиться бо-
лее скромной задачей определения вероятности того, что
частица в данный момент времени будет найдена в том или ином
месте. Так как эта вероятность измеряется квадратом амплиту-
ды волн, связанных с частицей, то наша задача сводится к опре-
делению законов распространения этих волн или, точнее, к
определению формы волновой функции ф (х, у, z, t).
Задача классической механики, заключавшаяся в определении
х, у, z как функций времени t, заменяется таким образом вол-
новой задачей, в которой х, у, z и t должны трактоваться как
независимые переменные.
Совершенно ясно, что при таких обстоятельствах определе-
ние движения частицы в обычном смысле слова, т. е. в смысле
установления ее положения в зависимости от времени, становится
невозможным. Детерминистическое описание движения, а следо-
вательно и всех эффектов, связанных с движением, должно
быть оставлено и заменено статистическим (вероятностным) опи-^
санием, основанным на определении соответствующей системы
волн. В этом заключается основная идея новой волновой меха-
ники. Последняя может быть поэтому определена как теория
вероятности движений материальных частиц.
Для иллюстрации мы рассмотрим несколько примеров, отно-
сящихся к отражению прохождения и диффракции света и катод-
50	Глава 2. Материя
них лучей. До недавнего времени эти явления описывались либо в
терминах волн, либо же с помощью представления о потоке сходных
частиц. Мы можем рассматривать их ныне как сумму или „супер-
позицию" элементарных эффектов, зависящих от отдельных ча-
стиц, ассоциируя каждую из последних с одним и тем же типом
волновой системы. Волновые системы, относящиеся к различным
частицам, могут при этом отличаться друг от друга только в от-
ношении воей фазы. Если эти фазы или, вернее, разности фаз
распределены беспорядочным образом (некогерентные волны),
то квадрат амплитуды результирующих колебаний сводится к
сумме квадратов амплитуд различных элементарных волновых
систем, что соответствует простому сложению числа частиц, свя-
занных с ними.
Представим себе элементарную систем/ волн, падающих на
плоскую поверхность, где они частично отражаются и частично
проходят дальше. При корпускулярном описании этого явления
мы должны сказать, что частица, связанная с падающими вол-
нами, при ударе о поверхность имеет определенную вероятность
отразиться, т. е. оказаться связанной с отраженными волнами,
и определенную вероятность проскочить через поверхность, т. е.
оказаться связанной с проходящими далее преломленными вол-
нами. Отношение между этими вероятностями должно при этом
измеряться отношением между квадратами амплитуд отражен-
ных и преломленных волн. Это описание в принципе тождест-
венно с тем, которое было дано Ньютоном в случае света; един-
ственное отличие заключается в том, что вместо вероятности
Ньютон говорил о „приступах" отражения и прохождения, при-
писывая таким образом световым частицам свойство, сходное
со „свободой воли".
Следует подчеркнуть, что предыдущее описание явлений от-
ражения и прохождения как световых, так и катодных (или вся-
ких иных) лучей отнюдь не является простой спекуляцией, но
представляет собой вполне адекватную интерпретацию экспери-
ментальных фактов. Если бы мы могли бросать на поверхность
сходные частицы (фотоны, электроны и т. д.) через достаточно
большие промежутки времени, так чтобы каждая частица успела
§ 8. Идея вероятности
51
отразиться от поверхности или проскочить через нее до прихода
следующей, то мы должны были бы заметить, что при внешне
одинаковых условиях одни частицы отражались бы, а другие
проходили бы дальше. Относительное число тех и других мож-
но было бы при этом рассматривать как меру вероятности со-
ответствующего результата для каждой отдельной частицы. Эта
вероятность должна была бы совпадать с квадратом амплитуды
связанных с частицей волн.
Опыт подобного рода лежит в пределах возможностей совре-
менной экспериментальной физики, которая может легко реги-
стрировать элементарные эффекты, обусловленные отдельными
электронами или фотонами (с помощью, например, гейгеровского
счетчика). Во времена Ньютона „элементарный эксперимент^
подобного рода был, конечно, невозможен. Его теория световых
частиц с их странными „приступами" отражения и преломления
представлялась поэтому произвольной и искусственной, тем бо-
лее, что все известные в то время оптические явления могли
быть весьма просто и естественно описаны и объяснены с по-
мощью волновой теории света, без введения каких бы то ни
было частиц, связанных с световыми волнами. Поскольку части-
цы обыкновенной материи вели себя, повидимому, нормальным
образом, в соответствии с законами механики, установленными
самим же Ньютоном, и бе^ каких бы то ни было „присту-
пов", то представлялось естественным отрицать существо-
вание частиц, которые обнаруживали бы подобные „при-
ступы".
В настоящее время, однако, мы находимся в совершенно дру-
гом положении, так как мы знаем, что это представление о „нор-
мальных" частицах материи было неверно и что электроны обна-
руживают „приступы" того же рода, как и те, которые припи-
сывались Ньютоном его световым частицам. Правда, элементар-
ный эксперимент вышеописанного типа для наблюдения отраже-
ния или прохождения отдельного электрона до сих пор еще не был
осуществлен. Однако опыты над диффракцией катодных лучей
приводят к тому же самому заключению, если только мы не по-
желаем отказаться от корпускулярной концепции материи так же,
52
Глава 2. Материя
как отказались ранее от корпускулярной концепции света.1 В
этом случае, так же как и раньше, относительное число элек-
тронов, рассеиваемых решеткой или кристаллом в данном напра-
влении, представляет собой меру вероятности подобного рассея-
ния для отдельного электрона (поскольку электроны движутся
независимо друг от друга и определяются амплитудой соответ-
ственных рассеянных волн). Если бы мы могли осуществить опыты
с диффракцией столь слабых катодных лучей, чтобы элементарные
эффекты, например падение отдельных электронов на флуоресци-
рующий экран, были бы отделены друг от друга достаточно
большими промежутками времени, то мы несомненно обнаружи-
ли бы, что на одни места экрана электроны попадают чаще, чем
на другие. Несмотря на отсутствие закономерности в отдельных
актах, мы получили бы при рассмотрении большого числа элек-
тронов правильное распределение интенсивности, определяемое
амплитудой рассеянных волн в соответствующих местах экрана.
Предыдущие примеры показывают, что введение понятия ве-
роятности в элементарные процессы с помощью соотношения
Борна чревато последствиями, простирающимися далеко за пре-
делы этого соотношения.
Рассматривая, например, явления отражения и преломления
с корпускулярно-статистической точки зрения, мы приходим к за-
даче об определении вероятности перехода от одного типа
движения, соответствующего падающей частице, к другому типу
движения, соответствующему отраженной или прошедшей части-
це. Определения этих вероятностей перехода ’сводятся
к определению вероятности локализации с помощью
борновского соотношения, а также, конечно, с помощью зако-
нов отражения и прохождения волн, связанных с рассматривае-
мыми частицами. Необходимость идеи о вероятностях переходов
при описании элементарных физических процессов была впервые
признана Эйштейном, который в этом, так же как и^во многом
1 Любопытно, что Ньютону принадлежит открытие явления интер-
ференции света (ньютоновы кольца), которые были интерпретированы
в терминах корпускулярной теории с помощью идеи о некоторой внут-
ренней периодичности, связанной с „приступами".
§ 8. Идея вероятности
53
другом, является наследником и продолжателем Ньютона. Дей-
ствительно, идея о вероятностях перехода в точности соответ-
ствует ньютоновским „приступам". В своей знаменитой работе
о взаимодействии материи и света (1917 г.) Эйнштейн впервые
ввел понятие о вероятности перехода при поглощении и испу-
скании света. Однако лишь волновая механика позволила на са-
мом деле вычислить эти вероятности.
Как уже указывалось выше, волновая механика занимается
описанием поведения частицы с помощью вероятностей, вычи-
сленных из рассмотрения соответствующих волн. Таким образом
идея вероятности представляет собой связующее звено между
параллельными идеями частиц и волн. Если мы хотим, как это
делают Борн и многие другие, выдвинуть на передний план кор-
пускулярную идею, т. е. интерпретировать физические явления
в терминах движения дискретных частиц, то мы можем рассмат-
ривать соответствующие волны лишь как „волны вер о я т-
н о сти“, не обладающие непосредственной физической реальностью
и имеющие вспомогательное значение. Мне лично представляется
более удовлетворительной противоположная точка зрения, в ко-
торой волны рассматриваются как основное первичное явление,
а частицы — как явление вторичное. Совершенно несомненно, что
световые волны, т. е. электромагнитное поле, нельзя рассматри-
вать только как поле вероятности для фотонов. Достаточно по-
думать о простейшем частном случае электромагнитного поля,
а именно поля электростатического, чтобы убедиться в невоз-
можное! и введения соответствующих частиц в общем случае.
В виду глубокой аналогии между лучами света и лучами материи
представляется естественным приписать де-броглевским волнам,
связанным с материальными частицами, такую же непосредствен-
ную физическую реальность, как и волнам световым.	**
Как бь> там ни было, не подлежит сомнению, что принцип
детерминизма или причинности должен быть отброшен в отно-
шении материальных частиц, но должен быть сохранен по отно-
шению к соответствующим волнам. В противном случае точное
определение волновой функции было бы невозможно. Идея ве-
роятности вводится таким образом лишь при корпускулярной
54
Глава 2. Материя
интерпретации волновых процессов и имеет, примерно, такое же
значение, как идея „свободы воли" при психологической интер-
претации физиологических процессов в нашем мозгу (последние
считаются первичными и вполне детерминированными). Незави-
симо от того, рассматриваем ли мы волны материи как волны
вероятности или приписываем им физическую реальность, мы
должны трактовать физические явления, поскольку они рассма-
триваются с корпускулярной точки зрения, как не детерминиро-
ванные.
Старая детерминистическая механика признавала лишь ве-
роятности 1 и 0; цель ее заключалась в определении тех собы-
тий, вероятность которых равна 1; эта цель ею достигалась пу-
тем интегрирования уравнений движения с учетом точно изве-
стных начальных условий. Новая механика не допускает подоб-
ных точных начальных условий. Классическая альтернатива: либо
необходимость, либо невозможно с ть — для новой меха-
ники не существует. В новой механике все события следует считать
возможными: для нее, вообще говоря, не существует вероят-
ностей 1 или 0, а лишь промежуточные вероятности — большие
нуля, но меньшие единицы (практически эти вероятности могут
быть в некоторых случаях сколь угодно близки к нулю или сколь
угодно близки к единице). Поэтому новая механика занимается
определением не некоторых исключительных собы-
тий, вероятность которых должна равняться заданной величине
(единице), но определением вероятности всех мыслимых
(т. е. принципиально возможных) событий. Если эта вероятность
имеет резкий максимум для какого-либо события, то последнее
является в высшей степени вероятным и обычно, хотя и не обяза-
тельно, наблюдается на опыте.
В тех макроскопических процессах, которые мы обычно на-
блюдаем и в которых принимает участие громадное число эле-
ментарных систем, этот элементарный индетерминизм практически
совершенно не проявляется. Здесь господствует закон больших
чисел, закон, который, так же как и в случае человеческого
общества, совершенно стирает случайное, т. е. индивидуальное
и неконтролируемое, так что выводы, основа ные на теории ве-
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности 55
роятностей, принимают характер непреложного статистическою
закона. В виду этой кажущейся детерминированности
макроскопических, т. е. статистических процессов, мы склонны
были думать, что соответствующие элементарные процессы явля-
ются также строго детерминированными; однако, кзк отметил
Экснер в 1919 г., т. е. еще до появления волновой механики, этот
взгляд представляет собой совершенно необоснованный предрас-
судок, от которого мы лишь в настоящее время начинаем изба-
вляться.
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности; соотно-
шения неопределенности.
Введение идеи вероятности в качестве связующего звена
между волновыми и корпускулярными представлениями выявляет
в новом свете физический смысл совпадения между групповой
скоростью волн материи и скоростью соответствующих частиц.
Как уже было указано в § 7, это совпадение, обнаруженное
де-Бро гл ем, привело его к мысли рассматривать материальную
частицу как волновой пакет. Мы можем сказать ныне, что вол-
новой пакет не образует собою частицы, но характеризует
частицу, находящуюся в более или менее ограниченной части
пространства, в том смысле, что вероятность нахождения ча-
стицы в области, занимаемой пакетом, велика, а вне этой
области —очень мала (или даже равна нулю). С этой вероятно-
стной точки зрения представляется совершенно естественным, что
волновой пакет, или, вернее, его центр, должен двигаться с та-
кой же самой скоростью, с какой движется соответствующая
ему материальная частица
Теория волновых пакетов приобретает в связи с этим весьма
важное физическое значение, так как она позволяет нам произ-
вести более точное сравнение между классической или детерми-
нистической механикой и между волновой или верожн)стной меха-
никой. Пока мы рассматриваем плсские гармонические волны’ с
постоянной амплитудой^ простирающиеся во всем пространстве
(или в половине его — в случае преломления и отражения), по-
добное сравнение является затруднительным, так как положение
56
Глава 2. Материя
частицы, связанной с волнами, представляется совершенно неопре-
деленным, т. е. все положения равно-вероятными-
Следует подчеркнуть, однако, что скорость частицы, определяемая
направлением распространения и длиною соответствующих волн,
имеет в этом случае вполне определенную величину. В случае ча-
стицы, связанной с волновым пакетом, неопределенность положения
ограничена в каждый данный момент времени некоторой малой
областью пространства, что облегчает возможность сравнения ее
движения с тем, которое определяется классической механикой.
Эго увеличение точности локализации частицы достигается,
однако, за счет введения некоторой неопределенности в вели-
чину и направление ее скорости. Действительно, как мы видели
выше, волновой пакет может быть построен путем наложения
(суперпозиции) множества плоских гармонических волновых
систем, волновые числа которых по величине и направлению
изменяются в некоторых узких пределах. Поскольку поэтому мы
можем судить о скорости частицы, связанной с рассматриваемым
пакетом лишь путем применения соотношения niN~hV к соот-
ветствующим плоским волновым системам, мы должны допус-
тить, что количество движения g = /nv частицы, а следовательно
и ее скорость остаются до некоторой степени неопределенными.
Легко видеть, что эта неопределенность увеличивается по мере
уменьшения линейных размеров волнового пакета, т. е. по мере
уменьшения неопределенности в положении частицы в пространстве.
Рассмотрим для простоты „линейный" волновой пакет, ь е.
волновую группу, образованную путем суперпозиции гармониче-
ских волновых систем с одним и тем же направлением распро-
странения и одинаковыми амплитудами, но с различными часто-
тами и волновыми числами, изменяющимися непрерывным обра-
зом в интервалах Av, Lk. Эта волновая группа распространяется
подобно гармоническому ряду волн со средней частотой и сред-
ним волновым числом k0) но с переменной амплитудой
Д = 2Л0
sin[Tr(A&-x— Av/)]
/ Av \
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности 57
[ср. уравнение (22а)]. Эта формула выражает зависимость А от
х и t не в общем виде, а лишь для частного простейшего слу-
чая, когда интервал Lk (или Av) мал, и До остается постоянным
внутри этого интервала (за пределами которого Ло, очевидно,
равно нулю).
Подобную группу волн мы будем называть элементарной.
В общем случае ДА может быть не малым, а амплитуда Ло мо-
жет быть произвольной функцией от А. Для данного зна-
чения времени, например для £=0, А представляет собой со-
гласно вышеприведенной формуле функцию х, достигающую
максимального значения при х — 0.
За первыми двумя точками, в которых она обращается в нуль
и которые определяются равенством ДА-х —±1, величина А
имеет ряд вторичных максимумов, которыми, однако, можно пре-
небречь по сравнению с главным максимумом. Эффективная
длина результирующего ряда волн, т. е. длина той области,
в которой А2 значительно отличается от нуля, определяется та-
ким образом соотношением
Дх-ДА^1.	(25)
Корпускулярный смысл этого соотношения обнаруживается,
если рассматривать А2 как меру вероятности присутствия в со-
ответствующей точке пространства частицы с количеством лви*
жения hk — g. 1Аъ\ получаем то!да:
Дх-Д^^А.	(25а)
Если массу т частицы можно считать постоянной (т. е. если
можно пренебречь изменением массы со скоростью), то
А
ДХ‘Д^,^ —.	(25b)
т
Следует заметить, что Дх обозначает здесь не фактическую
ширину области неопределенности, которая теоретически является
бесконечной, но лишь эффективную ширину, соответствую-
щую (относительно весьма малой, но не исчезающей) вероятности
обнаружения частицы за пределами этой области.
Волновой пакет может быть образован путем суперпозиции
58
Глава 2. Материя
ряда плоских гармонических волновых систем, для которых все
три слагающие kx, ky, kz вектора к изменяются непрерывным
образом в некоторый малых интервалах
д^, д^, дй2 (* = И V+*?+*/)•
Легко видеть, что волновая функция, изображающая подобный
пакет, равна произведению трех функций фу, изображаю-
щих три группы волн, распространяющихся в направлении чхей
X К, Z. Мы получаем таким образом в этом случае следующее
обобщение предыдущих соотношений	(соотношения	н е-
определенности Гейзенберга): Дх-Д/гх^е1	Ду.ДА^г^Л	Дг-Д.^^ 1	(26)
Дх-Д^х^/г	Ду Д^у^/г	Дсг.Д^^/г	(26а)
,	.	h	.	,	h Дх-Дг/д.^—	Ду-Av.^ - т	т	. ,	h т	(26b)
Если рассматривать предыдущее выражение для амплитуды А
волновой группы (или соответствующее выражение для эффектив-
ной амплитуды волнового пакета) как функцию от времени,
оставляя неизменным значение х, а также двух других коорди-
нат, то мы получаем соотношение
A/Av^l,	(27)
которое связывает длительность группы или пакета с его
спектральной шириной Av, измеренной в единицах частоты. Если
вместо частоты v ввести энергию г = hv соответствующей ча-
стицы, то получаем четвертое соотношение неопределенности
Гейзенберга:
ДеД/^Л.	(27а)
После того, что было сказано выше, нам нет надобности под-
робно обсуждать это соотношение. При выводе соотношений
(26а) и (27а) мы начинали с данной спектральной ширины Д/г
или Av и определяли эффективную пространственного или вре-
менную ширину волновой группы или волнового пакета. Полная
симметрия этих соотношений по отношению к соответствующим
парам величин указывает на то, что они могут быть получены
В обратном порядке, т. е, если мы начнем с волновой группы
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности 59
(или пакета) с данной пространственной или временной шири-
ной и затем определим соответствующую эффективную спек-
тральную ширину в волновых числах или частотах.
Ряд волн, распространяющихся в направлении оси X, может
считаться гармонической системой волн в том случае, если ам-
плитуда его имеет одну и ту же величину во всем пространстве.
Если, с другой стороны,, эта амплитуда отличается от нуля только
в области Дх, то мы имеем, строго говоря, негармонический
ряд волн, как бы велика ни была ширина в сравнении
с длиной волны к0.
С помощью интеграла Фурье можно представить подобный огра-
ниченный ряд волн как результат наложения бесконечного числа
неограниченных рядов строго гармонических волн со всевозмож-
ными волновыми числами от k~ 0 и до^-оо, Эти гармониче-
ские волны, само собой разумеется, будут иметь различные
амплитуды, причем максимум амплитуды будет соответствовать
k — kQ = J-. Для всякой функци/(х) непрерывной или имеющей
конечное число разрывов и исчезающей на бесконечности, мы имеем
оо
/(x) = j Ake*ikxdk,
— оо
где коэфициент Л* (амплитуда) определяется как функция k
формулой	+оо
Ак ~ jf(x) е ™kxdx.
— со
Полагая
f(x)^e^k°x ... (\х\ <*Дх),
~0..............( . „ уДх^
V 2 J
и подставляя в предыдущую формулу, мы получаем для А&
Ак = f eUi(k« * к)х dx =	•
J 1	kj
60
Глава 2. Материя
Это выражение имеет г. явный
k ~ kQ. Когда (&0 — k)&х = + 1,
чем вне интервала |& — Л°| ==
максимум (Л^ = Ах) в точке
Ak обращается в нуль, при-
Ak имеет относительно очень
малое значение.
Мы видим таким образом, что в волновой механике оказы-
вается невозможным приписать материальной частице одновре-
менно определенное положение и определенную скорость со-
гласно с обычным определением состояния, соответствующим
классической механике. Если скорость частицы точно определена,
то движение ее изображается системой плоских гармонических
волн с одной и той же амплитудой во всем пространстве, так что
положение ее остается совершенно неопределенным. Если, с дру-
гой стороны, мы локализуем частицу в определенной точке про-
странства и таким образом сводим протяжение волнового па-
кета к нулю, то скорость частицы становится совершенно не-
определенной, так как все значения и направления этой ско-
рости, поскольку они характеризуются волновыми числами пло-
ских гармонических волн, образующих пакет, оказываются оди-
наково вероятными. Состояние материальной частицы в смысле
классической теории (где оно характеризуется положением и
скоростью) может быть таким образом определено, согласно вол-
новой механике, лишь с некоторой ограниченной степенью точ-
ности как в отношении положения, так и в отношении ско-
рости. Степень неопределенности (измеряемая произведением
неточности в определении одной из двух величин х или vx на
результирующую эффективную неточность в определении дру-
гой) приблизительно равна h/m (фактически она больше
этого выражения).
Этот результат может быть выражен несколько иным обра-
зом при помощи понятия о фазовом пространстве, применяе-
мом в классической статистической механике. EcAi движение
частицы происходит в одном измерении (например, вдоль оси X),
го фазовое пространство сводится к плоскости с прямоугольными
координатами х и vx, которые характеризуют различные состоя-
ния движения. Каждая точка на плоскости определяет классике-
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности 61
ское состояние движения (одновременное задание положения и
скорости).
Произведение Дх-Дт^ определяет некоторую прямоугольную
площадку на фазовой плоскости. Таким образом соотношение
Л
неопределенности Дх-Дт^^ — обозначает, что состояние дви-
жения в смысле волновой механики изображается не точкой,
как в классической механике, а некоторой площадкой (с пло-
щадью him), заключающей в себе целую совокупность
отдельных точек, каждая из которых соответствует определен-
ному состоянию движения в классическом смысле этого слова.
Заменяя движение в одном измерении трехмерным движе-
нием, мы получаем вместо фазовой плоскости шестимерное фа-
зовое пространство с прямоугольными координатами х, у, z
vx, Vy, в котором состояние движения может быть охаракте-
ризовано объемом (Л/тп)3. Если, как это делают обычно, заме-
нить скорость v количеством движения g = ту, то элементар-
ный объем фазового пространства, соответствующий эффектив-
ной неопределенности в характеристике состояния движения, со-
гласно волновой механике, оказывается равным Л3. Следует отме-
тить, что форма этого объема может быть выбрана произвольно.
В классической механике состояние движения не только мо-
жет, но и должно быть определено путем одновременного зада-
ния положения и скорости, т. е. путем задания определенных
значений координатам х, у, z и слагающих скорости vXl v2.
Это вытекает из характера классических уравнений движения
dvx _ dvv _ dvz
m~di~Fx,m dt ~Fy' m dt
где слагающие силы F определяются как известные функции
координат. Если значения координат и слагающих скорости
точно известны для некоторого начального момента времени
/—О, то мы можем определить их аналитически или графи-
чески для любого другого момента времени t:£0. Иными сло-
вами, состояние частицы однозначно определяется для любого
момента времени состоянием ее в произвольно выбранный мо-
мент, а такж\ конечно, силовым полем F.
62 /
Глава 2. Материя
В случае волновой механики мы встречаемся с совершенно
иным положением как в смысле определения состояний, так и
в смысле уравнений движений. Определение состояния должно
соответствовать уравнениям движения, последние же в волновой
механике не должны непосредственно определять движение
самой частицы, но лишь волновую функцию ^(х, у, z, /),
которая дает вероятность обнаружить частицу в некотором
месте в данный момент времени. Если мы определяем поло-
жение частицы в момент некоторой начальной формой
соответствующего волнового пакета, то последующее движение
частицы определяется эволюцией этого пакета. Представляется
a priori естественным, что фазовая протяженность, соответствую-
щая этому волновому пакету, остается неизменной во времени —
в согласии с соотношением неопределенности (26), с одной сто-
роны, и с хорошо известной теоремой Л и у вилл я, относящейся
к классической статистической механике, с другой.
В случае элементарной волновой группы, определяемой ура-
внением (22) § 7 (в предположении av — const), величины Д&
и Дх не зависят от времени, первая — согласно определению,
вторая — согласно формуле (22а). Последняя однако является
неточной, так как при ее выводе мы воспользовались прибли-
женным соотношением
k— fe0 = (--j (v—v0)
\ J о
между волновым числом k и ч стотой v. При замене этого со-
отношения точным, окаывается, что эффективная ширина
группы Дх, определяющая неточность в положении частицы,
возрастает с течением времени, как в положительною сто-
рону (/>0), так и в отрицательную (t < 0). Это видоизмене-
ние волнового пакета называется расплыванием или рас-
ползанием. Для примера мы рассмотрим элементарную волно-
вую группу, определяемую уравнением
-Г со
ф(х, 0= f aik)e2^kx -i} dk,	(28)
§ 9 Волновые пакеты как пакеты вероятности
63
где
a(&)r=e~(*-*°w.	(28а)
Зависимость амплитуды составляющих плоских гармонических
волн от волнового числа характеризуется таким образом в
рассматриваемом случае гауссовой кривой с максимумом в точке
k — kQ и с эффективной шириной bk = q.
Рассмотрим сначала форму пакета, т. е. зависимость ф
от х для начального момента времени t = 0. Полагая
_________________________________г
Q ~~ '
имеем
4- ОО
ф(АГ, 0) = е'-'^ q j е~у + '2^
—оо
Пользуясь тождеством
— $2 -|- /2тг^л'4 — — (£ — i^qx}1 —
и полагая = $ — i~qx, получаем
d*' = d\,
и следовательно,
ф(х, Q) = qea^ e-^f =
Мы видим таким образом, что в начальный момент волновой
пакет может быть представлен в виде ряда гармонических волн
с волновым числом &0 и переменной амплитудой
A(x)^^qe~^x‘,	(28b)
зависимость которой от х сходна с зависимостью a(k) от k.
Напомним, что величина А2 представляет собой меру вероят-
ности обнаружения соответствующей частицы в рассматриваемой
точке. Максимум этой вероятности находится в точке х = 0,
а эффективная ширина р пакета вероятности, определяемая фор-
мулой А(х)^е~~х*1р\ получается из соотношения Дх = р = 1/^,
которое практически эквивалентно соотношению
Д/г-Дх	1.
64
Глава 2. Материя
Для того чтобы определить форму волновой группы, т. е.
зависимость функции ф(х, t) от х при t ф О, согласно фор-
муле (28), мы должны подставить в нее выражение частоты v
как функции k. Приближенное соотношение
является в этом случае недостаточным. Точное соотношение
между v и k имеет вид [см. равенство (18)]:
,=с|/	(29)
Полагая для прэстоты, что число k остается не очень большим,
мы получаем приближенно
h х 2z?z02c2 } h	’
Это соотношение соответствует не релятивистскому уравнению,
связывающему энергию e = /zv (включая и энергию покоя т0с2)
с количеством движения g=hk^ т. е.
2 1	1
.=^+т_.
Мы в праве применять его в тех случаях, <огда скорость дви-
жения v мала в сравнении со скоростью света с
Подставляя (29а) в (28) и полагая £ = А04-^
и
u ОТ0с2 I
° h ' 2/и0’
мы получаем
ф(х, t) = q е12^ ~ J е ~ е + а*(чх' ~	~	<&> •
Показатель в подинтегральной функции может быть предста-
влен в виде:
-«p+2w=~«fi-4Y-?-
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности
65
где .
ч i «л t —	f	hkr.
«=1 + *;-?Ч	=	*— —^t) = icq(x — vof).
IUq	UIq J
Здесь ^0_— представляет собой среднюю скорость частицы,
m0
□
связанной с волновой группой. Полагая $ — / ~ получаем
а
так же, как и раньше,
г-
т. е. квази-гармонический ряд волн с переменной амплитудой
/-
/7Г а
А(х, t)=l/ ~ qe . Так как а — комплексная величина, то
это выражение, строго говоря, не является искомой веществен-
ной амплитудой, которую мы рассматривали до сих пор, но произ-'
ведением ее на множитель вида причем фаза ср также является
некоторой функцией х и t.
Вещественная амплитуда равна модулю комплексной ампли-
туды А(х, t), а квадрат ее — произведению А на комплексно-
сопряженную величину Л*. Так как модуль	равен еди-
нице, то квадрат вещественной амплитуды равен произведению
на комплексно-сопряженную функцию ф*. Мы получаем таким
образом
< л 13 ил л<72	+
И |3 =
У аа*
т. в.
_ 2кУ(х -V)8
IА I2 =...... “-------е 1 + WW3	(30)
з/1+f^Y
У \ niQ /
Эта формула показывает, что распределение вероятности в вол-
новом пакете характеризуется в отношении координаты х (так же
как и в отношении волнового числа k) гауссовой кривой.
66
Глава 2. Материя
Максимум ее находится в точке х = vQt, движущейся со средней
скоростью частицы и имеет эффективную ширину
или
(30а)
(30b)
pt опреде-
где р =-----начальная ширина пакета. Величина
ляется попрежнему по формуле | А |	е~~
Предыдущая формула, выведенная Дарвином, показывает,
что ширина рассматриваемого волнового пакета изменяется как
гипотенуза прямоугольного треугольника, один из катетов кото-
рого имеет постоянную длину р, а другой—Алину, пропорциональ-
hq(t)
ную времени —-—
„Расплывание" пакета происходит поэтому—в отличие от
диффузии роя частиц — симметрично по отношению ко времени
или, точнее, по отношению к начальному моменту /=0 и та-
ким образом является процессом обратимым.
Другой интересной чертой соотношения (30b) является то
обстоятельство, что не только начальная ширина пакета, но и
скорость его расплывания определяется уравнением (30b),
л a h
в соответствии с соотношением неопределенности Дх-Д-и^—.
Причина этого расплывания заключается с корпускулярной
точки зрения в неточном определении скорости частицы, чтб
увеличивает неопределенность в ее положении при переходе от
начального момента в будущее или прошедшее. Если первона-
чальную неточность в скорости обозначить через ±:Дг/, то уве-
личение ширины пакета за время t может быть представлено
произведением Дх> • |£|. Приравнивая это выражение величине
zzz-2- в (30), мы получаем соотношение Дт/ =------. Это соот-
hk	hAk
ношение соответствует соотношению v — — или ±v =—так
т	fnQ
§ 9. Волновые пакеты как пакеты вероятности 67
как kk = ±.q представляет собой начальную эффективную не-
определенность в волновом числе k.
При больших значениях |/| формула (30b) сводится к
Тот факт, что при малых значениях t, р не пропорционально
времени, обусловливается неопределенностью в знаке Дт>.
Предыдущий анализ показывает таким образом, что сущ-
ность различия между классической механикой и новой волновой
или вероятностной механикой может быть сведена к невозмож-
ности, с точки зрения последней, точно определить состояние
движения частицы, т. е. одновременно определить ее коорди-
наты и скорости изменения этих координат (т. е.
соответствующие слагающие скорости). Эта точка зрения была
предложена Гейзенбергом в 1927 г. в качестве ключа к
уяснению физического смысла волновой механики» Мне кажется,
впрочем, что подобным ключом является скорее борновская
идея вероятности, лежащая в основе корпускулярно-волнового
параллелизма.
Соотношения неопределенности Гейзенберга Дх-Д^^/г
а а А
или Дх-Д^г^— и т. д. показывают, однако, весьма ясным
т
образом, почему старая детерминистическая механика оказы-
вается применимой к макроскопическим частицам материи, утра-
чивая свое значение лишь в применении к элементарным частицам,
вроде электронов, т. е. частицам, обладающим очень малой
массой. Действительно, например, в случае частицы с массой,
равной 1г, соотношение ДХ’Дт^ж-^- дает Дх«Д^^ 10”"27.
Считая, что минимальная неточность в экспериментальном опре-
делении положения частицы составляет 10~5 см, мы получаем
для соответствующей предельной неточности в определении ско-
рости значение Д^^Ю”22 см/сек. Таким образом кинематиче-
ская неточность, связанная с движением макроскопических ча-
стиц, совершенно ничтожна. Совершенно иначе обстоит дело
68
Глава 2. Материя
в случае электронов. Для последних т —9«10 28 и, следо-
вательно, Дх*ких^\. Полагая Дх^10“13 (классический „ра-
диус" электрона, вытекающий из электромагнитной теории массы),
мы получаем Д^»1013 см1сек.
Поэтому, пытаясь проследить экспериментально за движе-
нием элементарной частицы, мы наталкиваемся на трудность,
резюмируемую соотношением неопределенности Гейзенберга,
которая практически совершенно не дает себя чувствовать в слу-
чае обычных макроскопических частиц и тел.
§ 10. Принцип неопределенности в трактовке Гейзенберга
и роль наблюдателя.
Приведенный выше вывод соотношения неопределенности из
теории волновых пакетов был указан Бором.
Гейзенберг получил эти соотношения из совершенно иных
соображений, основанных не на анализе соотношений вероятно-
сти между волнами и частицами, а на изучении эксперимен-
тальных условий, при которых эти частицы наблюдаются или
могут быть наблюдены. При этом Гейзенберг принимал кор-
пускулярно-волновой дуализм как экспериментальный факт,
не требующий какого-либо истолкования.
Рассуждения Гейзенберга могут быть пояснены следующим
анализом условий, при которых положение и движение элементар-
ной частицы, например электрона, могут быть установлены экспе-
риментально.	ч
Положение электрона (или всякой иной маленькой частицы
материи) может быть определено в принципе путем наблюдения
световых лучей, отраженных, рассеянных или испускаемых ею.
Частица при этом будет вести себя как источник света; подоб-
ный источник света, наблюдаемый простым глазом или в мик-
роскоп, всегда представляется в виде диффракционного )фужка,
радиус которого равен длине волны к применяемого света. Та-
ким образом положение частицы может быть определено лишь
с ограниченной точностью, а именно с точностью того же по-
рядка величины, как и длина волны X.
§ 10. Принцип неопределенности в трактовке Гейзенберга 69
В принципе, однако, м'ы можем выбрать эту величину к
сколь угодно малой и можем наблюдать частицу не при по-
мощи обыкновенного света, а при помощи, например, гамма-
лучей (построить микроскоп для подобных лучей практически
невозможно, но для нас это обстоятельство не имеет значения).
Если частица является электроном, то при попытке опреде-
лить ее положение путем наблюдения коротковолновых лучей
света, рассеянных ею, мы встречаемся с элементарным эффектом
Комптона, благодаря которому количество движения электрона
изменяется на величину порядка ft/Х. Для атома мы получаем
тот же самый результат при его локализации не по рассеянному
свету, но по свету, который им самим испускается. Если этот
свет испускается в форме кванта Av, то атом испытывает отдачу,
равную Л/Х, так что наблюдение положения атома оказывается
опять-таки связанным с изменением его количества движения
или, иными словами, скорости. В обоих случаях точность лока-
лизации частицы при помощи рассеянного или испускаемого
света равна длине волны последнего, а связанное с этим изме-
нение количества движения обратно пропорционально этой длине
волны, так что увеличивая точность в определении положения
частицы, мы тем самым увеличиваем изменение в ее количестве
движения.
Существенным пунктом в этом изменении является то об-
стоятельство, что оно не может быть прослежено детально и
не может быть описано как непрерывное изменение количества
движения со временем. Изменение количества движения, связан-
ное с рассеиванием или испусканием светового кванта, прихо-
дится рассматривать как мгновенный переход от исходного зна-
чения к конечному. Таким образом оказывается невозможным
определить величину количества движения частицы в тот мо-
мент времени, для которого определяется ее по-
ложение, так как именно в этот момент времени ее количество
движения резко меняется. Величина этого изменения может, оче-
видно, служить мерой неопределенности величины количества дви-
жения, соответствующего наблюденному положению, и может счи-
таться результатом наблюдения. Так как положение частицы может
70
Глава 2. Материя
также быть определено лишь с ограниченной степенью точности, а
именно с точностью того же порядка величины, что и длина
волны X, а соответствующая неопределенность в величине коли-
чества движения имеет порядок величины й/k, то произведение
обеих неточностей или, вернее, неточности в определении коор-
динат частицы на результирующую неопределенность в ее коли-
честве движения для момента наблюдения равно Л.
Этот результат согласуется с соотношением неопределен-
ности Lx-kgxtth, которое было получено в предыдущем па-
раграфе путем анализа структуры волнового пакета, связанного
с движущейся частицей.
Сходные соображения применимы к наблюдениям, стремя-
щимся определить скорость элементарной частицы. Заметим,
что в этом случае приходится вводить представление о волнах
материи и определять скорость частицы по длине соответствую-
щих волн (а отнюдь не как отношение пройденного пути к
времени!). Результат получается такой же, как и в предыдущем
случае: повышение точности в определении скорости частицы
приобретается за счет неточности в определении ее положения.
Вывод Гейзенберга соотношений неопределенности выдвигает
таким образом новый принцип, чуждый классической механике, а
именно — принцип невозможности измерить одновременно с любой
степенью точности положение и скорость материальной частицы
вследствие того, что измерение одной из этих двух величин
вызывает или предполагает неопределенность в значении
другой.
Сам Гейзенберг и многие другие авторы высказывали мне*
I ние, что этот принцип, часто обозначаемый как начало прин*
ципиальной ненаблюдаемое™ (prinzipielle Unbeobachtbarkeit),
следует рассматривать как основной принцип новой квантовой
механики, сходный по характеру и значению с принципом
относительности, лежащим в оснибе теории относительности
Эйнштейна. В обоих случаях наблюдатель становится непо-
средственно связанным с наблюдаемыми вещами или явлениями
так, что последние не могут быть описаны без всякого упоми-
нания о наблюдателе. В теории относительности события должны
§ 10. Принцип неопределенности в трактовке Гейзенберга 71
быть отнесены к системе координат, связанной с наблюдателем.
В теории квантов мы должны принять во внимание неизбежные
изменения в рассматриваемых явлениях, производимые вмеша-
тельством наблюдателя, чтб исключает возможность описания
этих явлений такими, какими они были бы без подобного вме-
шательства. Вышеупомянутые изменения весьма малы и незна-
чительны в случае больших предметов (обыкновенных тел) и
макроскопических явлений, так что последние, и в частности
явления движения обычных тел, могут быть описаны вполне де-
терминистическим образом, исключающим какую бы то ни было
неопределенность и играющего активную роль наблюдателя.
Мы встречаемся с совершенно иным положением в случае
элементарных частиц и микроскопических явлений. Здесь свя-
занные с наблюдением изменения становятся сравнительно боль-
шими и существенными. Поэтому описание явлений „ап sich“,
т. е. такими, какими они представлялись, если бы они не были
наблюдены и видоизменены самим наблюдением, становится не-
возможным.
Если, следовательно, мы хотим построить теорию, которая
описывала и предсказывала бы микроскопические явления адекват-
ным образом, т. е. в-согласии с результатами, которые могут
быть получены из опыта и проверены на опыте, то она должна
включать в себе ту неопределенность, которая. внутренне свя-
зана с подобными наблюдениями и опытами.
Экспериментатор-наблюдатель должен рассматриваться не как
пассивный созерцательный элемент классической теории, но как
активный и возмущающий фактор. При исключении этого фак-
тора из нашего описания мы должны принимать во внимание
производимые им неопределенности. Это означает, что детерми-
нистическая теория микроскопических явлений и, в частности,
детерминистическая механика, трактующая движение элементар-
ных частиц, ненужна и невозможна.
Я изложил гейзенберговскую теорию соотношений неопре-
деленности и его принцип вмешательства наблюдателя столь
подробно не потому, что я их считаю чрезвычайно фундамен-
тальными, но, наоборот, потому, что значение их представляется
72
Глава 2. Материя
мне очень преувеличенным, в особенности в популярных изложе-
ниях новой механики, а смысл их неправильно понимаемым.
Прежде всего заметим, что принцип вмешательства наблю-
дателя в общей своей форме, т. е. в форме невозможности на-
блюдать явление, не изменяя его, чрезвычайно стар и фактически
совершенно тривиален. Всякий физик согласится с тем, что изме-
рение температуры или электрического потенциала какого-
нибудь тела должно до некоторой степени изменить изме-
ряемую величину. Обычно измерительное приспособленце де-
лается столь малым по сравнению с исследуемым телом, что
соответствующим изменением можно пренебречь. Принци-
пиально, однако, оно неустранимо. До недавнего времени это
обстоятельство ни в какой мере не подрывало нашей уве-
ренности в детерминистическом характере изучаемых явлений.
Причина этого лежит, очевидно, в том факте, что изменения,
производимые наблюдением или измерением в макроскопических
явлениях, могут быть всегда учтены и теоретически исключены
вместе с ответственным за них наблюдателем. Так, например,
изменение температуры или электрического потенциала тела, вы-
зываемого присоединением его к термометру или электрометру,
может быть легко вычислено, если известна теплоемкость пер-
вого или электроемкость второго. Вводя соответствующую по-
правку для температуры или потенциала, мы можем определить,
какими бы они были без нашего вмешательства. Мы видим та-
ким образом, что гейзенберговский принцип невозможности
наблюдать явление, не изменяя его, отнюдь не представляет со-
бой угрозу детерминизму до тех пор, пока рассматриваемые
изменения являются контролируемыми, т. е. детерминистическими.
Применение этого принципа к движению элементарных
материальных частиц на самом деле не приводит к индетерми-
низму, как часто полагают, но лишь вскрывает индетерминизм,
существующий в этих явлениях и состоящий в невозможности
установить точное положение и скорость частицы в данный момент
времени. Соображения Гейзенберга, относящиеся к исследованию
движения частицы при помощи рассеянного или испускаемого
ею света, описывают положение с точки зрения физика-экспе-
§ 10. Принцип неопределенности в трактовке Гвйэенвврга 73
риментатора; соображения, приведенные выше с помощью теории
волновых пакетов, представляют тот же вопрос гс чисто теоре-
тической точки зрения, игнорирующей экспериментатора. Та
активная роль, которую играет последний в анализе Гейзен-
берга, не представляется мне существенной чертой рассматри-
ваемого вопроса и совершенно не соответствует различию между
старой детерминистической и новой индетерминистической меха-
никой. Как было указано выше, это различие зависит от раз-
личного представления о ходе во времени тех изменений, кото-
рые связаны с наблюдением и измерением согласно классиче-
ским и новым взглядам, а не от того, что эти изменения игнори-
руются в одном случае и принимаются во внимание в другом.
Положение не меняется существенным образом от того об-
стоятельства, что в гейзенберговском применении принципа вме-
шательства наблюдателя наблюдение изменяет не ту величину,
которая непосредственно наблюдается (например, координату х),
но другую величину, с ней „динамически сопряженную" (слагающую
по осиХ от количества движения). На самом деле, мы встречаемся
с совершенно сходным положением и в классической теории.
При измерении температуры или электрического потенциала ве-
личиной, которая нами непосредственно изменяется, является
тепловая энергия или электрический заряд, т. е. величина дина-
мически сопряженная с той, которая подлежит измерению. Не-
определенность сопряженной величины в гейзенберговской трак-
товке следует приписать индетерминистическому характеру ее
изменения во времени (характеризуемому словом „перескок" или
„прыжок"), исключающему возможность установить ее величину
для интересующего нас момента времени, соответствующего
определенному значению той величины, которая непосредственно
наблюдается. В трактовке, основанной на теории волновых па-
кетов, неопределенности в обеих сопряженных величинах рас-
сматриваются с одной и той же точки зрения, вытекая из
невозможности точного определения состояния в смысле класси-
ческой механики.
Преувеличение роли наблюдателя в изучении элементарных
явлений приводит к множеству недоразумений. Оно приводит,
74
Глава 2. Материя
напр., к распространенному мнению о том, что величина па-
кета вероятности, изображающего движение частицы, внезапно
уменьшается, когда эта частица локализуется при помощи выше-
описанного опыта с рассеянием света, причем это уменьшение
приписывается действию света* Подобное представление совер-
шенно неправильно. Сокращение пакета вероятности, связанное
с более точной локализацией рассматриваемой частицы, пред-
ставляет собой не физический процесс, обусловленный
наблюдением, но логический процесс, сознательно, пред-
принимаемый наблюдателем и сводящийся к новой оценке ве-
роятности некоторой промежуточной стадии изучаемого про-
цесса. Подобная произвольная переоценка вероятности постоянно
делается как в новой, так и в старой теории, когда некоторые
промежуточные состояния рассматриваются как .исходный пункт
для дальнейшего развития. Столь же неправильным является вы-
ражение, являющееся также весьма распространенным, что на-
блюдатель,, приготовляет" систему, подлежащую исследованию.
Это „приготовление" представляет собой логический процесс,
а не физический процесс, вызываемый наблюдением.
Глава 3»
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ
В СИЛОВОМ ПОЛЕ.
§11. Квантовая теория атома Бора и стоячие электрон-
ные волны.
До сих пор мы совершенно игнорировали квантовую теорию
атома, предложенную Бором в 1913 г. Однако именно в этой
области волновая теория материи осуществила свою первую
победу.
Напомню, что теория Бора с его фундаментальным предста-
влением о стационарных состояниях атома, а равным образом
и других механических систем, возникла исторически в связи
с квантовой теорией света. Из того факта, что атомы могут
терять или поглощать лучистую энергию лишь в виде опреде-
ленных конечных порций или квантов, Бор заключил, что про-
цесс испускания и поглощения является дискретным элементар-
ным актом, который переводит атом из одного неизлучающего
состояния в другое, также неизлучающее состояние. Это неизлу-
чающие, стационарные или квантованные состояния движения
соответствуют определенным дискретным значениям энергии
W2} W3...
При переходе из я-ого состояния в /n-ое теряемая энергия
Wn — Wm испускается в виде монохроматического света
с частотой
Бор оставлял открытым* вопрос о структуре самого света.
Эйнштейн показал позже (в 1917 г.), что боровский механизм
испускания и поглощения света противоречит обычной волновой
теории и находится в полном согласии с корпускулярной тео-
рией света. Рассматривая детально равновесие между атомом
76
Глава 3. Волновая механика
и излучением, Эйнштейн показал, что при испускании и погло-
щении света атом, помимо изменения энергии Wn—Wm = hv,
испытывает также „отдачу", т. е. изменение количества движе-
ния, равное
Ь __ h
с к
Далее, Бор установил простейшие квантовые условия, именно
те, которые определяют квантованные состояния атома водорода.
Если рассматривать только круговую орбиту электрона в его
движении вокруг ядра (считая ядро неподвижным), то исходные
боровские квантовые условия имеют вид:
ття	(32)
где г — радиус орбиты, mv— количество движения электрона
и п — положительное целое число.
Это квантовое условие Бора было впоследствии обобщено
Зоммерфельдом и записано в виде:
(j)	(j) p2dq2 = n2h,... pt dqi—Tiih. (32a)
Величины qu q2i... qi представляют собой так называемые
обобщенные координаты рассматриваемой механической системы,
выбранные таким образом, чтобы импульсы p2i... pi выра-
жались как функции лишь одной соответствующей координаты.
дТ
Импульс определяется при этом формулой pk = — -—, где Т—
°4k
кинетическая энергия системы, выраженная в функции скоро-
dqk
ростей qk = и координат q^
Даже в том случае, когда координаты разделяются, кванто-
вые условия (32а) могут быть формулированы лишь при усло-
вии, что функции pk (qk) периодичны или же имеют веществен-
ное значение лишь для значений аргумента, лежащих в ограни-
ченных пределах. Интегрирование в формулах (32а) производится
по этим периодам или по колебаниям аргументов в соответству-
ющих пределах.
§ И. Квантовая теория атома Бора
77
В терминах обычных корпускулярных представлений о при-
роде материи квантовые условия Бора — Зоммерфельда не до-
пускали никакого рационального истолкования. До появле-
ния теории де-Брогля они являлись лишь правилами, найден-
ными полуэмпирическим путем и подтверждаемыми эксперимен-
тальными фактами. Эренфесту удалось несколько позже найти
им некоторое оправдание в его принципе адиабатических инва-
риантов, а Бору — в принципе соответствия. Путем дальнейшего
уточнения принципа соответствия Гейзенбергу удалось в 1925 г.
формулировать точную математическую теорию микроскопиче-
ских процессов. Эта формулировка оказалась эквивалентной
волновой механике де-Брогля — Шредингера, которая возникла
почти одновременно, но вместе с тем совершенно независимо
от нее. Однако путь, предложенный Гейзенбергом, явился
в известном смысле обходным. Прямой путь к пониманию кван-
товых законов был указан идеей де-Брогля о фазовых волнах,
идеей, которая вначале представлялась весьма смутной.
. h
Вводя де-броглевскую длину волны л = —, соответствую-
щую количеству движения g~mv, в боровское условие (32),
мы получаем соотношение:
2кг — пк.
Таким образом квантовое условие Бора принимает следую-
щий простой и наглядный вид: в квантованных состоя-
ниях движения водородного атома длина круго-
вой орбиты электрона 2кг равна целому кратному
соответствующей длины волны.
Эта интерпретация может быть легко распространена на зам-
кнутые орбиты более сложного вида, например эллиптические.
Складывая уравнения
(j)	= nvh И	,
которые соответствуют периодическому кеплеровскому движению
электрона вокруг положительного ядра, и принимая во внимание
соотношения
PiQi 4~М2 = 2Т,
78	Глава 3. Волновая механика
(где попрежнему Т — кинетическая энергия), мы получаем
+ Р2 dqz) =	2Т dt = inv2 dt — mv ds,
h
где ds~vdt есть элемент дуги орбиты. Заменяя mv через-у-
имеем
=	(32b)
где п = П1-1-п2, В этом интеграле длину волны следует рас-
сматривать как переменную величину, которая зависит от поло-
жения электрона на его орбите.
Эта интерпретация квантовых условий, данная де-Броглем,
явилась первым эмпирическим аргументом в пользу его идеи
фазовых волн. Возможность обосновать эту идею путем
распространения эйнштейновских соотношений е —Av и g = hll
для квантовой теории света на частицы с неисчезающей
массой, представлялась в то время чрезвычайно сомнительной,
особенно в виду того наивного представления о связи между
волнами и частицами, которая была предложена де-Броглем. Эта
идея вызвала много недоразумений в вопросе об интерпретации
рассматриваемой связи. Де-Брогль определил свою длину волны
для круговых электронных орбит по формуле 2zr = nX только
для точек, лежащих на орбите. Он оставлял без ответа вопрос
о длине волн и об общем характере волновых процессов вне
квантовой орбиты, описываемой электроном. Существование по-
добных волновых процессов в окружающем пространстве совер-
шенно не принималось во внимание.
Два года спустя, основные идеи теории де-Брогля были под-
хвачены и развиты далее ^Шредингером. Вначале Шредингер
руководствовался неверным представлением, что волновой паке!
представляет собой фактический эквивалент частицы классиче-
ской теории. Эта идея оказалась, однако, чрезвычайно плодо*
творной, так как она привела его к исследованию закона рас-
пространения де-броглевских волн как таковых, независимо
от связанных с ними частиц. Результатом этого исследования
явилось открытие „волнового уравнения", которое определяет
§ 11. Квантовая теория атома Бора	79
различные колебательные процессы в данном внешнем силовом
поле.
Для понимания воровского принципа квантования нам нет
надобности пользоваться этим уравнением. В простейшем слу-
чае свободного движения частицы соответствующая волновая
система может считаться непосредственно известной и может
быть представлена в виде суперпозиции большого числа элемен*
тарных волновых систем, т. е. плоских гармонических волн
с произвольными амплитудами, частотами и направлением рас-
пространения. До сих пор мы ограничивались такими элементарными
волновыми системами, которые образуют волновые группы или
волновые пакеты. Подобные волновые системы описывают дви-
жение совершенно свободной частицы, не ограниченное в про-
странстве. Если, однако, мы желаем интерпретировать кванто-
ванные состояния теории Бора, то мы должны рассматривать
электрон, удерживаемый некоторым силовым полем внутри огра-
ниченной области пространства. Простейший пример подобного
силового поля мы имеем в случае свободной от воздействия
внешних сил области, окруженной замкнутой поверхностью S,
которую можно себе представить как концентрированное поверх-
ностное силовое поле бесконечной интенсивности, направленное
нормально к поверхности внутрь рассматриваемого объема V.
Это поле действует на электрон как непроницаемый барьер,
не позволяющий ему вырваться наружу. Таким образом можно
себе представить, что связанный электрон заключен в ящике,
внутри которого его потенциальная энергия равна нулю, а вне —
бесконечности, причем стенки ящика являются бесконечно
тонкими.
Поведение подобного электрона, могущего свободно дви-
гаться в ограниченной области пространства V, может быть
описано с точки зрения волновой механики при помощи волно-
вой системы того же типа, как и та, которая связана с совер-
шенно свободным электроном, при условии, чтобы ампли-
туды результирующих колебаний исчезали на гра-
нице рассматриваемой области. С точки зрения корпускулярной
интерпретации это условие означает, что электрон не может
So
Глава 3. Волновая механика
прорваться через ограничивающую поверхность S. При этом
нас интересует лишь та часть результирующей волновой системы,
которая содержится внутри S; остальная не имеет физического
смысла. Подобная ограниченная волновая система, обладающая
узловой поверхностью на границе, называется стоячей вол-
новой системой.
Простейший пример стоячей волновой системы получается
путем суперпозиции двух элементарных плоских гармонических
волн с одинаковой амплитудой и частотой, но противополож-
ными направлениями распространения. Прдобная волновая
система может быть связана с электроном или какой-либо дру-
гой частицей, движущейся по оси х-ов как в положительном, так
и в отрицательном направлении между двумя бесконечными
плоскими стенками, перпендикулярными к оси х-ов и отстоящими
друг от друга на определенном расстоянии а.
Теория стоячих волн этого типа совершенно подобна теории
стоячих волн или, другими словами, свободных колебаний одно-
родной струны с длиной а. В случае струны мы различаем
основное колебание, которое не имеет узлов, за исключением
закрепленных концов струны, и обертонов, которые характе-
ризуются наличием ряда узлов (т. е. не колеблющихся точек)
удаленных друг от друга на равные расстояния. Эти так
называемые нормальные или простые колебания струны
могут налагаться друг на друга с произвольными амплитудами,
образуя составное колебание более сложного типа. Расстояние
между последовательными узлами в простой стоячей волновой
системе равно половине длины соответствующих элементарных
бегущих волн.
Длина волны, соответствующая я-ому нормальному типу
колебаний струны, для которого расстояние между узлами
равно а/л, определяется формулой
к =	(33)
п
Эта формула применима и к стоячим катодным волнам или
нормальным электронным колебаниям, связанным с колебательным
§ 11. Квантовая теория атома Бора
81
движением электрона между двумя стенками, отстоящими друг
от друга на расстоянии а. Вводя количество движения электрона
h
g — —, мы видим, что л-ному нормальному типу колебания
к
соответствует состояние с количеством движения
hn	ч
ёп — 2а	(33а)
и кинетической энергией
1	//2^2
<ззь>
Так как не существует иных простых типов колебания, то
определенные выше состояния движения являются единственно
возможными в природе. Они представляют собой не что иное,
как стационарные или квантованные состояния воровской теории.
Действительно, соотношение
легко видегь, частный случай
Зоммерфельда в применении
А именно, полагая q = х и
= n:q—f. Интегрирование в
няться в пределах от х = О
Таким образом мы имеем
а	О
pdq= j gdx-{- Jg c
0	a
(33a) представляет собой, кап
квантовых условий (32а) Бора —
к рассматриваемой нами задаче.
W = mq2, мы имеем* р —
£
выражении (32а) должно вы пол-
до х = а и обратно до х = О,
а	О
'х=и J dx—и Sdx
о	а
и, следовательно,
2a|g[ = nh,
что совпадает с выражением (33а), где gn представляет собой
абсолютное значение количества движения |^| в л-ом стационар-
ном состоянии.
Мы видим далее, что квантовое число п теории Бора может
быть интерпретировано с точки зрения волновой механики как
число узлов в нормальном колебании, связанном с соответствую*
щим состоянием. Основному колебанию п — 1 соответствует
стационарное состояние с наименьшей энергией, обычно назы-
ваемое нормаль^ состоянием, тогда как „обертоны*
82	Глава 3. Волновая механика
(п > 1) соответствуют так называемым возбужденным
состоянием.
Приведенный пример иллюстрирует различие между правиль-
ной волно-механической теорией движения связанного электрона,
основанной на вероятностной интерпретации корпускулярно-
волнового параллелизма, и первоначальной неверной интерпре-
тацией этого параллелизма у де-Брогля. В случае электрона,
движущегося туда и обратно между двумя совершенно отражаю-
щими стенками, орбита электрона, согласно классической тео-
рии, представляет собой двойной прямолинейный отрезок общей
длины 2а, соответствующий круговой орбите с длиной 2кг.
Применяя де-броглевский принцип, согласно которому длина
,	А
орбиты равна целому кратному длине волны, А — к рас-
«	I I	1 /л
смотренному случаю, мы получаем 2а =-р-р или |^| = лй/2а
I S I
в согласии с (33а). Хотя этот результат и верен, однако свя-
занное с ним представление о том, что движение электрона
происходит и может быть прослежено классическим образом,
т. е. так, чтобы электрон имел в каждый момент определенное
положение и определенное количество движения (-|-|g| или
—1^|), неверно. На самом деле, такой вещи, как орбита
электрона, не существует вовсе. Как положение, так и ско-
рость электрона, включая направление последней в данный
момент времени ?, Остается неопределенными. Мы можем опре-
делить лишь вероятность т£го, что электрон будет обнаружен
в некотором промежутке, например между х и x-j-rfx, и веро-
ятность того, что он при этом движется в положительном или
отрицательном направлении, причем величина скорости
вполне определена для каждого стационарного состояния.
На первый взгляд может показаться, что точное значение
величины скорости электрона несовместимо, с точки зрения
принципа неопределенности, который был рассмотрен выше, с
тем обстоятельством, что положение его устанавливается с не-
которой конечной степенью точности, а именно — внутри отрезка
а оси х-ов, Можно было бы, например, думать, что уменьшение а
§ 11. Квантовая теория атома Борд	83
должно быть связано с увеличением неточности в определении
скорости электрона не только в отношении ее направления, но
также и в отнош . нии ее численного значения. С другой стороны,
предшествующая теория показывает, что это ч сленное значение
остается строго определенным для каждого стационарного со-
стояния, как бы ни было мало а.
Легко видеть, что рассуждение, на котором был основан
вывод соотношений неопределенности в § 9, неприменимо для
рассматриваемого случая, т. е. для случая связанного элек-
трона (или какой-либо другой частицы), и что эти соотношения
должны быть видоизменены таким образом, чтобы учесть пре-
рывный характер ряда, образуемого значением параметра k,
определяющего скорость или энергию частицы в различных
стационарных состояниях. Для свободной частицы эти зна-
чения образуют непрерывную последовательность. В самом деле,
волновая группа вида J* aktykdk, где интегрирование распростра-
няется по малой области значений переменной А, не может быть
применена к описанию движения частицы внутри конечного
промежутка а оси х-ов. Мы можем заменить ее, однако, волновой
группой несколько иного типа, образованной суперпозицией
ряда простых стоячих волн:
— iiK'ifjt
$п = Апе sin — х (п= 1, 2, ...)	(34)
с произвольными амплитудами Лл.
Последние можно выбрать таким образом, чтобы в некото-
рый начальный момент времени t = 0 функция ф = своди-
лась бы к любой заданной наперед функции от ,х, исчезающей
на концах интервала а. В частности, может сводиться
к функции, исчезающей всюду вне некоторой малой части Да
отрезка а и таким образом представляющей частицу, которая
в начальный момент времени / = 0 была бы локализована
в промежутке Да. При t ф 0 функция будет иметь, однако,
совершенно иной вид, соответствующий конечной вероятности
вхождения частицы в любой точке А вне Да.
84
Глава 3. Волновая механика
Мы не будем рассматривать этого вопроса, сводящегося
к разложению функций <р/ = о в ряд Фурье, более подробно.
Для нас здесь существенно лишь следующее:
1) всякая локализация частицы в некоторой части рассматри-
ваемого интервала а связана с некоторым моментом вре-
мени, для которого эта локализация производится, и
2) она требует введения некоторой совокупности стационар-
ных состояний с различными энергиями Wni так что
величина энергии, а следовательно и скорости, связанной с
частицей, остается неопределенной.
Степень этой неопределенности характеризуется разностью
квантовых значений Wn или и т. д. для двух последователь-
ных стационарных состояний: эта разность представляет собой
на самом деле наименьшую степень неопределенности, свя-
занную с рассматриваемым явлением. Более удобно, однако,
воспользоваться для характеристики степени неопределенности
не величиной AWn = Wn4-1 — Wn илиДул = уй4-1—ynt но той
площадью фазовой плоскости xg, которая содержит все клас-
сические состояния, заключенные между двумя последовательными
квантовыми состояниями. На диаграмме xg классические сосюя-
ния, связанные с данным (n-ым) квантовым состоянием, изобра-
жаются точками двух отрезков АпВп и АпВп, получаемых из
условий	= (рис. 3). Площадь между двумя
отрезками Ап Вп и Ап 4.1 Вп +1 согласно (33а) равна
(^ + i—gn)a = —Л,
так что полная величина площади между л-ым и (п -|- 1)-ым со-
стоянием в точности равна А.
Этот результат может быть непосредственно выведен из кван-
товых условий в форме Бора — Зоммерфельда:
($ gdx = nh,
если мы вспомним, что рассматриваемый интеграл равен пло-
щади прямоугольника Ап Л'п Вп Вп. Его можно интерпретировать
также несколько отличным образом, а именно: что одно кван-
§ 11. Квантовая теория атома Бора	85
Рис. 3.
товое состояние соответствует множеству классических состояний,
заполняющих некоторое фазовое протяжение А. На рис. 3
классические состояния, соответствующие л-ому квантовому со-
стоянию, изображаются двумя полосками, ограниченными пунктир-
ными линиями, которые лежат между двумя сплошными прямыми.
Из предыдущих соображений следует, что в случае связан-
ной частицы неопределенность в положении и количестве дви-
жения во всяком состоянии, отличном от стационарного, должна
быть равн 1 или, вообще говоря, больше,
чем Л, если измерять ее соответствующей
площадью фазовой протяженности х, g
классической теории.
Возвращаясь к вопросу о вероят-
ности данного положения электрона в
определенном стационарном состоянии,
мы наталкиваемся на следующую аль-
тернативу. Электрон может быть связан
с одной стороны в любой мо-
мент t с одной из двух элементарных
волн:
(|)+ = ;£лга'(*х-’/) или ф_=-Ь
2/	т 2г
бегущих соответственно в положительном и отрицательном на-
правлении и образующих путем наложения стоячую волновую
систему, ^которая представляет рассматриваемое стационарное
состояние
<р = ф_|_-|-ф —= Л$1п 2кАх	(34а)
или же он может быть связан с результирующей волновой систе-
мой. В первом случае вероятность нахождения электрона между
х и x-j- dx равна |<р_|_|Мх для положительного и |ф__ \*dx для
отрицательного направления движения. Обе вероятности, конечно,
равны друг другу
(|+ + |!=№-1‘ = ;Н
и независимы от х.
86
Глава 3. Волновая механика
Во втором случае вероятность нахождения электрона между
х и х -|- dx равна
|ф|2 dx = A2 sin2 2к kx dx
и таким образом представляет собой функцию от х, которая
обращается в нуль в узловых точках. Среднее значение ре-
зультирующей плотности вероятности для различных значений х
равно сумме плотностей вероятности |ф . |2 и |<р _ |2.
Это аддитивное соотношение для вероятности можно было бы
ожидать согласно классической теории вероятностей, так как оба
движения электрона в положительном и в отрицательном на-
правлении представляют собой два взаимно исключающие собы-
тия, а вероятность одного из совокупности нескольких подоб-
ных событий обычно определяется как сумма вероятностей каж-
дого из событий, взятого в отдельности.
В волновой механике теорема сложения классической теории
вероятностей должна быть отброшена и заменена теоремой
сложения для о л н о в ы х функций. В этой форме теорема
сложения соответствует принципу суперпозиции, который
мы до сих пор трактовали как нечто само собой разумеющееся
и частным применением которого является уравнение (34а).
В связи с этим, а также, с тем обстоятельством, что вероят-
ность определяется как квадрат (модуля) волновой функции,
последняя называется амплитудой вероятности (обозна-
чение не очень удачное, так как оно не соответствует обыч-
ному определению амплитуды, но часто весьма удобное). Волно-
вая механика может трактоваться, как уже указывалось выше,
с корпускулярной точки зрения, как теория вероятности движе-
ния материальных частиц. Необходимо, однако, помнить, что
эта теория вероятности, поскольку дело касается теоремы сло-
жения, существенно отлична от классической тео-
рии вероятностей.
Другая фундаментальная теорема классической теории веро-
ятностей —теорема умножения для вероятностей независимых
событий—может быть сохранена в новой теории вероятности с не-
§ И. Квантовая теория атома Бора	87
которыми практическими несущественными ограничениями. Эта
теорема может быть доказана или, по крайней мере, иллюстри-
рована путем обобщения предыдущих результатов на случай
электрона или какой-либо другой частицы, движущейся свободно
в трех измерениях в бесконечном пространстве или в пря1мо-
угольном ящике. В дальнейшем мы будем опускать множитель
в выражении волновой функции, так как он Не играет
роли при вычислении вероятности, поскольку дело касается дви-
жений с одной и той же энергией e = Av. При этом условии
свободное движение электрона в направлении осей X, - F, Z
может быть представлено функциями:
= Ах е 6, = Ау е is^vy, $г = Аге (35)
причем слагающие количества движения электрона равны соот-
ветственно gx = hkx, gy = hky, gz — hkz. Предположим теперь,
что эти три независимых движения электрона происходят одновре-
менно, так что электрон фактически движется в направлении
результирующего волнового вектора к. Подобное движение мо-
жет быть описано волновой функцией
ф = Aei2<k*x+М + М) ,	(35а)
которая может быть определена как произведение функций (35).
Вероятность нахождения электрона в элементе объема dxdydz
пропорциональна |»}|2dx dy dz = A2dx dy dz.
С точки зрения классической теории вероятностей она должна
равняться произведению трех множителей |^х|2 dx = Ах2 dx,
|фу|2 dy' = Ay2 dy, \^z\2 dz = Az2dz, измеряющих вероятность на-
хождения электрона соответственно между х и х -|- dx незави-
симо от у и z, между у и у	dy независимо от х и z и
между z и z dz независимо от х и у. Этот результат может
быть перенесен и в новую теорию вероятностей, если мы поло-
жим А = AxAyAz. В этом случае уравнение (35а) сводится к
(35e)f что означает, что теорема умножения класси-
ческой теории вероятностей может рассматриваться как след-
ствие соответствующей теоремы для волновых функций (ампли-
туд вероятностей) и может быть без всякого изменения сохранена
в новой теории вероятностей.
88
Глава 3. Волновая механика
Ограничение этого результата, зависящее от пренебрежения
временным множителем , будет рассмотрено ниже. Здесь
мы хотим особенно подчеркнуть тот факт, что справедливость
теоремы умножения „амплитуд вероятностей" для слагающих дви-
жений частицы зависит существенным образом от того обстоя-
тельства, что эти амплитуды вероятностей, т. е. волновые функции
фх, фу, представляются комплексными выражениями (35) с
мнимыми показателями. Если бы мы представили их как веществен-
ные части этих комплексных выражений, как это обычно делается
в оптике и аккустике, то теорема умножения не могла бы быть
сохранена. Это обстоятельство служит первым указанием на тот
факт, что волновая функция должна представляться комплекс-
ными выражениями, для того чтобы иметь смысл амплитуды веро-
ятности.
Обратимся теперь от бегущих волн (35), связанных с дви-
жением свободного электрона, к стоячим волнам вида
фх = Ах sin 2nkxxi фу = <4ySin 2izkvy\ ф2 = 4zsin 2izkzz, (36)
получаемым из ($4 а) опусканием временного множителя. Эти
стоячие волны изображают электрон, движущийся параллельно
оси X между плоскостями х = 0 и а; параллельно оси Y
между плоскостями у = 0 и у = Ь\ параллельно оси Z между
плоскостями г = 0 hz = c. Для того чтобы плоскости х = а,
у = b, z — с являлись узловыми, так же как и плоскости
х = 0, у = 0, z = 0, мы должны положить
пх, kyb — — /Zy, kzc = — nZi	(36а)
где /г;, пу и nz~произвольные целые положительные числа.
Эти три состояния движения могут быть очевидно скомбини-
рованы друг с другом так, чтобы изображать движение электрона в
прямоугольном ящике с ребрами а, Ь, с. Поскольку теорема умно-
жения справедлива, волновая функция или амплитуда вероят-
ности ф должна равняться произведению волновых функций (36).
Заменяя синусы суммой показательных функций, т. е. изображая
фх как сумму двух бегущих волн фх + = — Ахе t21zk*x и фх__ =
' 1
§11. Квантовая теория атома Бора	89
|	— i2nkxx
~	КаК СУММУ 4- и фу - и Ф как сумму
tyz _|_ и ф2 мы можем представить произведение
ф = флфуф* = A sin (2нйллг) sin (2nkyy) sin (2к^г)	(37)
(где А == АлАуАг) как суперпозицию восьми бегущих волн вида
Д д д i2it(±k x±k у^- k г)
t I	I ^X^y^Z л	л	t’
X Y_y =t фг d= -- -- 9
каждая из которых может быть связана с электроном, движу-
щимся в направлении вектора с компонентами +
Таким образом комбинирование путем умножения трех неза-
висимых движений, описываемых одномерными стоячими волнами,
перпендикулярными к координатным осям, эквивалентно супер-
позиции путем сложения восьми альтернативных движений. Эти
восемь движений соответствуют одному и тому же абсолютному
значению слагающих количества движения gXi gy, gZi которые
определяются квантовыми условиями:
,hnx	hrty	,hn2 zo_ .
&=-2?’ S’^- lb '	(37а)
вытекающими из узловых уравнений (32а). Эти квантовые усло-
вия тождественны с уравнениями теории Бора — Зоммерфельда
для рассматриваемого нами частного случая.
Мы видели выше, что в одномерном случае каждому квантовому
состоянию соответствует фазовая протяженность (т. е. площадь
в классической фазовой плоскости х5^х), равная А. Легко видеть,
что в рассмотренном трехмерном случае фазовая протяженность
(т. е. объем шестимерного фазового пространства х, у, г,
gy, g2), соответствующая одному стационарному состоянии^
равна Л3. Действительно, уравнения (37а) определяют прямо-
угольную решетку точек в трехмерном пространстве импульсов
gy, g2. Объем &gx \gy ^g2i соответствующий каждой точке
в этом пространстве импульсов, очевидно, равен объему парал-
h h h
лепипеда с ребрами —-, —, —, образующего элементарную
t	zd до дс
ячейку этой решетки. Умножая этот объем на геометрический
90
Глава 3. Волновая механика
объем abc ящика, мы получаем для фазового объема, соответ-
ствующего каждой точке выражение kgx t±gy &gz abc = —ft3. Так
как каждое квантовое состояние изображается системой восьми
симметричных точек (соответствующих восьми составляющим
бегущим волнам), то полная фазовая протяженность, соответ-
ствующая ему, должна равняться А3.
Предыдущие результаты относятся, конечно, не только
к электрону, но ко всяким другим материальным частицам, вклю-
чая и фотоны. В случае фотонов соответствующую волну можно
рассматривать как стоячую световую волну в пустом ящике
с совершенно отражающими стенками (так называемое „НоЫ-
raumstrahlung" немецких авторов). Катодную и всякую другую
материальную волновую систему в ограниченной области пу-
стого пространства, можно также рассматривать как нормаль-
ные или характеристические колебания этой области,
причем узловые числа, их характеризующие, соответствуют
квантовым числай теории Бора — Зоммерфельда. Согласно
Шредингеру, сходные характеристические колебания в пустом
пространстве могут при известных условиях иметь место и
в пространстве бесконечном. Границу, представляемую стен-
ками ящика или сосуда какой-либо другой формы, следует рас-
сматривать не как геометрическую по ’ерхность, а как динами-
ческий поверхностный слой, при прохождении через который
потенциальная энергия частицы возрастает на достаточно боль-
шую, строго говоря, бесконечную величину. Если мы предста-
вим себе теперь, что толщина этого слоя постепенно возра-
стает, пока мы не получим удерживающего силового поля, рас-
пределенного непрерывным образом во всем пространстве (как,
например, кулоново поле вокруг положительного ядра), то рас-
сматриваемые колебания не прекращаются, но лишь постепенно
изменяют свой характер. Исходная граничная поверхность при
этом перемещается в бесконечность, в то время как другие
узловые поверхности изменяют свою форму. Число узловых
поверхностей для любого характеристического колебания должно
нри этом оставаться постоянным. Мы видим таким образом,
§ 11. Квантовая теория атома Бора
91
что число различных характеристических’ колебаний должно
всегда, т. е. для любого поля, удерживающего частицу внутри
данной области, оставаться бесконечно большим.
Функция <р, представляющая характеристическое колебание
в трехмерном пространстве, ограниченном или бесконечном, мо-
жет всегда быть выражена как произведение трех функций
Ф1(<71)	соответствующих трем независимым сотстав-
ляющим движения. Здесь величины qb q2, q3 представляют собой
разделимые координаты, которые характеризуют слагающие дви-
жения и которые были введены выше, в связи с квантовыми
условиями Бора — Зоммерфельда. „Разделимость11 координат
^2) ?з представляет собою математическое выражение не-
зависимости соответствующих слагающих движений, причем муль-
типликативные комбинации функций фгО/г), фз(<7з) нахо-*
дятся в согласии с законом умножения теории вероятностей
как старой — для самих вероятностей, так и новой — для их
амплитуд.
Следует заметить в заключение, что поскольку дело касается
комбинации независимых движений, теорема умножения ампли-
туд вероятности была нами установлена, не принимая во внима-
ние временного множителя £ ~“/2гг'/. Это не приводит к ошибкам
в определении вероятности в случае рассмотрения альтернатив-
ных движений с одной и той же энергией. Теорема умножения
была бы в точности верна, если бы энергия е, а следовательно
и частота v — составного движения равнялась бы сумме энер-
гий слагающих движений, его образующих. Подобное ад-
дитивное соотношение на самом деле имеет место в нере-
лятивистской механике для кинетической энергии W = ~g2 =
2т
= i (Sx2+gy2 + ^2)=Wx+ Wy+ W2, где Wx, WvhW2- те
гри части энергии IF, которые соответствуют слагающим дви-
жения по осям Х9 Y и Z. Оно не имеет, однако, места в реля-
тивистской механике, где е = с У m02c2-\-g2. В предельном
случае медленного движения	? может быть предстал-
92
Глава 3. Волновая механика
g2
лена как сумма аддитивной кинетической энергии w = ^— и
2 tn
энергии покоя тос2. Так как последняя одинакова для всех со-
стояний, то соответствующий временной множитель е~ i2*mocit!h
может быть опущен даже в случае, когда налагаются друг на
друга волновые системы, изображающие альтернативные движе-
ния с различными энергиями. Таким образом, пренебрегая
релятивистскими поправками, мы можем заменить е = тос2 W
в соотношении v = аддитивной энергией W, не изменяя резуль-
татов вычисления вероятностей. Теорема умножения для дви-
жений во взаимно перпендикулярных направлениях становится при
этом строго правильной. Следует, однако, помнить, что в прин-
ципе с релятивистской точки зрения она не выполняется даже
в этом случае.
§ 12. Явления ^отражения и прохождения через потен
циальный барьер.
В предыдущем параграфе мы рассматривали стоячие волны
в пространстве, ограниченном стенками, которые играли роль
узловой поверхности, непроницаемой для соответствующих ча-
стиц. Вместо этой чисто геометрической роли мы можем, оче-
видно, приписывать стенкам динамическую роль, а именно:
отражение бегущих волн, путем суперпозиции которых обра-
зуются стоячие волны. Это отражение является, конечно, пот-
ным, но притом идеализированного типа, который никогда не
встречается в природе, по крайней мере в случае световых волн.
Легко показаг при помощи электромагнитной теории света, так
же, впрочем, как и при помощи старой механической теории, что
в случае полного отражения падающие световые волны проникают
во вторую среду за пределы отражающей поверхности, причем
их амплитуды спадают экспоненциально с увеличением расстоя-
ния от поверхности. Таким образом отражающая поверхность
фактически не совпадает с узловой поверхностью, которая тео-
ретически отодвигается в бесконечность (практически колебания
§12. Отражение и прохожд. через потенц. барьер 93
исчезают на расстоянии, сравниваемом с длиной волны в первой
среде).
Это явление легко понять, если рассматривать отражающую
поверхность как плоскость или, вернее, как бесконечно тонкий
слой с конечной разностью потенциальной -энергии по обе сто-
роны. Описанному выше идеализированному отражению соот-
ветствует бесконечно-большой скачок потенциальной энергии, ко-
торый исключает возможность проникновения волн по ту сторону
поверхности при любом угле падения. В случае света это проникно-
вение не имеет места лишь тогда, когда угол падения больше неко-
торого предельного угла, определяемого уравнением sina=p. По-
казатель преломления р должен быть меньше единицы. Легко по-
казать, что с корпускулярной точки зрения полное отражение
фактически происходит при таких углах падения, при которых
кинетическая энергия, соответствующая нормальной слагающей
скорости световой частицы, меньше, чем работа, необходимая для
прохождения поверхностного слоя, т. е. меньше, чем увеличение
потенциальной энергии U — U2 — Ur при прохождении этого слоя.
Действительно, мы имеем согласно (2) § 1
где — скорость падающей частицы. Нормальная слагающая
скорости равна z^cos а. Для того чтобы частица могла пройти
сквозь поверхностный слой, мы должны иметь
т (z^ cos а)2 U,
т. е.
1	•	2
1 —sin >--------
2^
или	_____
причем случаю sin а > р соответствует ~т (z^ cos а)2 < Г7.
94
Глава 3. Волновая механика
Согласно классической механике, частица должна отражаться»
если sin а > jx, не проникая по ту сторону ограничивающей по-
верхности, причем величина скачка потенциальной энергии U не
существенна, поскольку предыдущее неравенство выполнено. Это
заключение противоречит, однако, результатам, которые полу-
чаются при трактовке явления полного отражения с точки зрения
волновой теории, которая, как выше было упомянуто, требует
проникновения колебаний за пределы отражающей поверхности.
Это проникновение практически ограничено очень маленькими
расстояниями. Если, однако, мы встанем на точку зрения вол-
новой механики, т. е. если мы будем судить о поведении ча-
стицы по результатам, получаемым для связанных с нею волн,
то мы должны заключить, что даже в случае — т cos а)2 < U
существует некоторая вероятность того, что частица будет обна-
ружена по ту сторону отражающей поверхности, т. е. в той
области пространства^ где ее скорость или количество движения
должны были бы иметь мнимое значение. Эта вероятность быстро
убывает с увеличением расстояния от поверхности.
Эго заключение имеет большое значение не только как
характерный пример фундаментального различия между старой
и новой механикой, но также в виду его многочисленных прило-
жений к различным физическим явлениям, которые были совер-
шенно непонятны со старой точки зрения. Поэтому мы уста-
новим его более строгим образом и разовьем количественную
теорию частичного отражения и проникновения, а также пол-
ного отражения для случая волн материи.
Для простоты мы ограничимся одномерной задачей, т. е.
нормальным падением плоских волн, распространяющихся в на-
правлении положительной оси х-ов на плоскость х = 0; потен-
циальную энергию U с отрицательной стороны этой плоскости
мы будем считать равной нулю, = 0, а с положительной равной
некоторой положительной величине U2 = U > 0. Если кинетическая
р-2
энергия падающей частицы W = —
больше, чем [7, то мы получим частичное отражение и частичное про*
(где g = mv — импульс)
§12. Отражение и прохожд. через потёнц. барьер 95
хождение соответствующих волн, т. е. некоторую вероятность
для отражения и другую вероятность для прохождения, причем
сумма обеих вероятностей должна равняться единице. Если же W
меньше, чем U (что осуществляется в оптике в области ано-
мальной дисперсии вблизи линии поглощения), то мы будем
иметь полное отражение, т. е. вероятность, равную единице,
для отражения и вероятность, равную нулю, для прохождения.
Тем не менее и в этом случае мы должны ожидать, что частица
может временно проникнуть в классически запрещенную
область.
а)	Рассмотрим сперва случай U7> вместо одной падающей
частицы мы можем представить себе поток сходных частиц, дви-
жущихся в положительном направлении с одной и той же ско-
ростью связанной с гармонической системой плоских волн,
характеризуемых функцией
^' = А^	ч(38)
, 1
где волновое число = — и частота связаны с количеством
движения и энергии обычным образом, т. е. соотношениями
„качества":	и = W= iВ последнем со-
отношении мы опускаем несущественную постоянную часть mQc2
(энергия покоя), хотя сохранение ее нисколько не осложнило бы
наших вычислений.
Волновая функция, связанная с отраженной частицей .(или
с отраженной частью потока), должна, очевидно, иметь вид:
ф," = А "	~ г	(38а)
а волновая функция, связанная с прошедшей частицей (или
с прошедшей частью потока), должна иметь вид:
<р2'=Л2'е'п(*з'“’А	(38Ь)
Здесь k2— волновое число проходящих волн—определяется обыч-
ным соотношением hk2 = mv2 или, так как — mv22—W—U, то
Ал
йй2 — V 2т (IF—0.	(39)
96
Глава 3. Волновая механика
Мы, очевидно, должны принять, что частота v2 равна частоте
падающих волн (что, безусловно, имеет место для световых
волн), т. е. связана не с кинетической энергией W—U, но с
полной энергией 1Г, которая имеет одно и то же значение по
обе стороны отражающей поверхности. Таким образом
W
(39а)
Поскольку мы знаем величины k{3 k2 и v = v1 = v2» наша задача
сводится к определению амплитуд рассматриваемых трех волн
или, вернее, к определению относительных значений амплитуд
отраженной и проходящей волны, если амплитуду падающей
волны принять за единицу.
Отношение
которое в терминах волновой теории может быть определено
как коэфициент отражения волн, в терминах корпу-
скулярной теории представляет собой, очевидно, вероят-
ность того, что частица, падающая нормально на поверхность,
будет отражена последней. Эта вероятность должна, конечно,
быть меньше единицы. Разность
D= 1— R
(40а)
может быть определена как коэфициент прохождения
волн или же как вероятность того, чго связанная с ними
частица проскочит через поверхность. Эта вероятность должна,
очевидно, быть пропорциональна
не равна ему, так как скорость
чения vi и v2 по обе стороны
1Л'12 Ы2
отношению LAi^-iI-ф, но
частицы имеет различные зна-
поверхности. Коэфициент про-
порциональности может быть определен при помощи следую-
щих соображений.
Если вместо отдельной частицы мы представим себе поток
частиц и соответственно этому будем интерпретировать | ф |2 = р
как плотность этого потока, т. е. как относительное число ча-
§12. Отражение и прохождение через Потенц. барьер 97
стиц в единице объема, то число частиц, пересекающих еди-
ницу поверхности, перпендикулярной к направлению потока, в
единицу времени, будет, очевидно, равно произведению | ф |2 на
скорость частиц v. Это произведение
7=|ф|2^	(41)
может быть определено как плотность тока или, если мы
вернемся к первоначальной интерпретации |ф|2 как величины,
относящейся к отдельной частице, мы можем определить вели-
чину / как плотность потока вероятности.
Коэфициент прохождения должен быть, очевидно, определен
не как отношение плотностей р2 и рх, но как отношение соот-
ветствующих плотностей тока p2v2 и , т. е. как отношение
числа частиц, проходящих через поверхность, к числу частиц,
падающих на нее за то же самое время. Мы получим таким
образом
г>_ К _ | л2'|2 г>2
“ Л' ~ 1Л7®!
или, так как скорость v пропорциональна волновому числу k
Л ' 2 А
*
(41а)
-2
(41b)
Равенство (40а) может быть интерпретировано как выраже-
ние того факта, что число частиц /2', прошедшее через поверх-
ность в течение некоторого промежутка времени, равно разно-
сти между числом частиц, упавших на нее //, и отраженных
ею //' за тот же промежуток времени. Так как /? = -Ц, то мы
Л
/ f	т "
*2	1	*1
имеем ~ — 1------—.
Л	Л
Это равенство, конечно, недостаточно для определения
,	,	« А1 А2
абсолютного значения обоих отношений -уу и —у, не говоря
о самих отношениях (поскольку амплитуды являются, вообще
говоря, комплексными величинами). Для определения этих отно-
шений необходимо иметь два линейных уравнения, связывающих
значение трех волновых функций ф/, ф/, и ф/ по обе стороны
98
Глава 3. Волновая механика
разрыва, образуемого отражающей поверхностью х=0. Эти
уравнения не могут быть выведены из предыдущих соображе-
ний, но должны быть введены как новые постулаты теории та-
ким образом, чтобы обеспечить справедливость квадратичного
соотношения (40а).
Простейшее и наиболее естественное уравнение этого рода
получается, если допустить, что результирующая волновая функ-
ция	фх" и <р2 = $2, определяющая движение частиц
по обе стороны от плоскости разрыва х = 0, должна рассма-
триваться как значение одной и той же волновой функции ф(х),
определяющей движение частиц во всем пространстве и остаю-
щейся возможно более непрерывной на гранич-
ной поверхности х = 0. Так как мы располагаем лишь
двумя уравнениями, то это условие сводится к условию непре-
рывности для самой волновой функции ф(х), т. е
(42)
и для ее первой производной
Полагая = ф2'ф/ и ф2 = имеем согласно (38), (38а)
и (38b)
Ai Ai = Д2', (Д/ — Ai} ki = Д2 ^2 >
откуда
а - 4 (1+т)А*’ =4 (1 - 4)А*
или	4l =	_ kl	^2	
	Ai	k\ ^2	
	Аг __	2 Z?2	(43)
	4i'	ki -|-	
Из этих соотношений следует в связи с определениями (40)
и (41b):
р = k*
^2
4^2
(43а)
(43b)
§ 12. Отражение и прохождение через потенц. барьер 99
Складывая эти два выражения, мы получим /?	1 в со-
гласии с (40а). Интересной чертой предыдущих выражений яв-
ляется их симметрия по отношению к kr и k2. Эта симметрия
показывает, что частица, двигающаяся вначале со скоростью
с отрицательной стороны отражающей поверхности
tn
по направлению к положительной, имеет такую же вероятность
отразиться или же проскочить через поверхность (со скоростью
hk2\	V
v2~ —- , как и частица, движущаяся в противоположном на-
т /
правлении с первоначальной скоростью v2. Этот результат со-
ответС1вует хорошо известному закону оптики и представляет
собой — поскольку дело касается прохождения — простейший
случай общего закона, который мы будем называть в даль-
нейшем законом обратимости и который означает, что
переходы противоположных направлений равно
вероятны.
Интересно отметить, что частичное отражение волн на по*
верхности разрыва потенциальной энергии обусловлено не тем
обстоятельством, что потенциальная энергия увеличивается в на-
правлении движения, т. е. что силы, сосредоточенные в переход-
ном слое, стремятся остановить падающую частицу, ибо, как
было только что указано, мы получаем то же самое значение
для коэфициента отражения в случае движения в противополож-
ную сторсну, когда силы в переходном слое ускоряют движение
частицы. К этому необходимо прибавить еще одно замечание, от-
носящееся к экспериментальной проверке предыдущих выводов
в случае катодных лучей. Переходный слой может быть осу-
ществлен в этом случае при помощи электрического конденса»
тора, образованного двумя пластинками из проволочной сетки
так, чтобы электроны могли проскакивать через ее петли. Обе
пластинки должны быть, конечно, расположены возможно ближе
друг к другу. Согласно нашим обычным представлениям, кото*
рые, повидимому, являются достаточно хорошо обоснованными
опытом, катодные лучи могут отражаться лишь в том случае, если
они совершенно останавливаются конденсатором, т. е. если
100
Глава 3. Волновая механика
электрон должен проскочить через такой подъем потенциальной
энергии U, который больше первоначальной кинетической энер-
гии электрона W. В случае U < W, который имеет м сто также
при ускоряющей, а не замедляющей разности потенциалов в кон-
денсаторе,— все электроны должны были бы проходить через
конденсатор, как это и подтверждается опытом.
Это кажущееся расхождение между экспериментальными фак-
тами и волно-механической теорией отражения и прохождения
катодных лучей через электрический конденсатор зависит от
того, что мы пользовались в наших расчетах упрощенной мо-
делью подобного конденсатора с расстоянием между пластин-
ками, равным нулю. Мы увидим ниже, что наши заключения
остаются приблизительно верными лишь постольку, поскольку
расстояние между пластинками мало по сравнению с длиной
. Ь
волны л = — катодных лучей.
niv^
В обычных опытах описанного типа нам приходится иметь
дело с макроскопическими конденсаторами, толщина которых
чрезвычайно велика по сравнению с 1. В этом случае волновая
механика приводит практически к тем же результатам, как и
классическая, и лишь в области электрических полей микроско-
пического протяжения, которое получается в поверхностном слое
металлов и других материальных тел или в отдельных атомах
и молекулах, фактически наблюдаются явления отражения и про-
хождения (или, как их часто называют, явления „столкновения*),
предсказываемые волновой механикой.
б)	Обращаясь теперь к случаю W < U, соответствующему пол-
ному отражению, мы, естественно, должны воспользоваться для
его математической трактовки теми же самыми общими уравне-
ниями, как и для случая 1Г> U. При этом имеется одно весьма
существенное различие между обоими случаями, так как волно-
вое число k2i определяемое уравнением (39), оказывается теперь
мнимой величиной:
k2 — i\k21,
| k2! = V2m(U— W).	(44)
§12. Отражение и прохождение через потенц. барьер 101
Это означает, что с точки зрения волновой теории проходящие
колебания характеризуются функцией
ф2' = А2'<Г2я|**|*е_<2’'''',	(44а)
лишенной обычного колебательного характера, поскольку дело
касается ее изменения с расстоянием х. Вместо периодического
колебания мы получим теперь экспоненциальное уменьшение
эффективной амплитуды А2' е~2п^х в согласии с описанием,
которое было приведено в начале этого параграфа.
Полагая k2 = i\k2\ в выражении (43а) для коэфициента от-
ражения и принимая во внимание, что величина комплексно со-
пряженная с i |А21 равна kx zp i | k21, получаем R=\, Это
означает, что мы имеем полное отражение. Амплитуды А/ и Л/
падающей и отраженной волны имеют одно и то же численное
значение и отличаются друг от друга только фазой.
Уравнение (43b) дает для коэфициента D мнимое значение,
что означает, что в данном случае не получается никакого про-
хождения в истинном смысле этого слова, но лишь проникно-
вение с экспоненциально убывающей амплитудой. Эффективная
глубина этого проникновения может быть определена как вели-
чина обратная 2к |Л2|. Следует заметить, что в случае £7= со,
т. е. |А2| = со глубина проникновения сводится к нулю, так
что отражающая поверхность обращается в узловую поверх-
ность, как это и предполагалось в предыдущем параграфе.
Эти результаты представляются вполне естественными с точки
зрения волновой теории, но они имеют весьма парадоксальный
характер с корпускулярной точки зрения, так как они предпо-
лагают, что частица может проникнуть в такие области про-
странства, где ее кинетическая энергия, определяемая разностью
W—U, становится отрицательной, т. е., другими словами, где ел
скорость становится мнимой.
Возможный выход из этих затруднений, а равным образом и
тех затруднений, которые относятся к случаю W > U (частичное
отражение вместо полного прохождения), заключается в том об-
стоятельстве, что мы имеем дело с волновыми системами, опре-
деляемыми лишь для полупространства. Рассмотрим, на-
102
Глава 3. Волновая механика
пример, падающую систему волн, которая определяется уравне-
нием (38) лишь для отрицательных значений х. Если мы же-
лаем распространить наши определения на положительные зна-
чения х, то мы должны положить
(х<0) |
К = 0	(х > 0) J
(44b)
Ясно, однако, что волновая система, определяемая таким обра-
зом, не может считаться строго гармонической, так как гармо-
ническая система плоских волн является по своему определению
безграничной. Мы можем, однако, представить функцию (44b)
как суперпозицию системы строго гармонических волн с непре-
рывно меняющимся волновым числом k таким же образом, как
это было сделано выше в случае волновых пакетов или волно-
вых групп, ограниченных с обеих сторон. Это означает, что ско-
рость^ частиц, связанная с волновой системой (44b), ограничен-
ной с одной стороны, фактически не является точно определен-
ной, т. е. что vt = —- является лишь наиболее вероятным
т
значением скорости. Сходные соображения могут быть применены
к отраженным и проходящим волнам, если имеет место также
и прохождение. Существенным является то обстоятельство, что
положение падающей, отраженной или проходящей частицы не
является вполне неопределенным, поскольку эта частица должна
быть обнаружена либо с положительной, либо с отрицательной
стороны поверхности раздела, так что скорость ее также не мо-
жет иметь точно определенного значения (или даже направле-
ния). Это обстоятельство дает возможность понять, почему имеет
место частичное отражение даже в том случае, когда 1У> U, ибо
существует некоторая вероятность, что частицы будут иметь ско-
рость, недостаточную для того, чтобы проскочить через поверх-
ность. Проникновение частицы за пределы отражающей поверх-
ности в случае W < U (случай полного о гражения) может быть
объяснено Сходным образом: как бы велико нм было увеличе-
ние потенциальной энергии (7, существует некоторая вероят-
ность, что падающая частица будет иметь кинетическую энер-
§ 13. Волновое уравнение Шредингера	103
гию, достаточную для того, чтобы проскочить через нее. Зату-
хающая волна по другую сторону отражающей поверхности мо-
жет быть также представлена с помощью интеграла Фурье как
суперпозиция гармонических волн, связанная с этими проско-
чившими частицами.
Предыдущие соображения могут быть иллюстрированы рас-
пространением волновых пакетов или волновых групп (рассмо-
тренного в § 9 типа) в силовом поле нашего идеализированного
конденсатора. Мы не будем, однако, рассматривать этого во-
проса, но ограничимся замечанием, что при применениях преды-
дущей теории удобнее не вдаваться в анализ полученных ре-
зультатов и допускать возможность отрицательных значений
кинетической энергии и мнимых значений скорости как вполне
естественного явления.
Необходимо помнить, что в волновой механике понятие ско-
рости не может иметь того смысла, как в классической механике,
т. е. смысла производной пути по времени.
Мерой скорости является в этом случае, в сущности говоря,
лишь длина волны (измеряемая с помощью интерференционных
опытов) или скорость движения волновых пакетов.
§ 13. Волновое уравнение Шредингера и его применение
к гармоническому осциллятору.
Выражения (38), (38а), (38b) для падающей, отраженной и
проходящей волны, а также и предельные условия (43) и (43а),
могут быть выведены из одного дифференциального уравнения для
результирующей волновой функции ф, равной =
для х < 0 и <р2 = ф2' для х > 0. Это уравнение может быть
получено посредством двукратного дифференцирования ф по х»
что дает
для х < 0
44= — 4тг2^,
dx2	т
для х > 0
104
Глава 3. Волновая механика
вторая производная является таким о'бразом функцией от х
с разрывом в точке х= 0. Если мы заменим здесь и k2
их выражениями
mvi }/2m(W—Ul) mv2 }/2in(W — U2)	, ,
------h-------’ *2==_r=----------h ’ (45)
где IF обозначает годную энергию, одинаковую по обеим сто-
ронам разрыва X —0 и связанную с частотой соотношением
W
v = v1 = v2 = —,	(45а)
тогда функция ф может быть определена для всего простран-
ства диференциальным уравнением
S + [ w~ °'(х)] Ф = 01	(46)
где U(x) — Ux для х < 0 и U(x) = U2 для х > 0.
Непрерывность функции ф и ее первой производной автома-
тически обеспечивается тем, что вторая производная остаекм
конечной в силу уравнения (46), поскольку функция U
остается конечной во всем пространстве. Полагая
|(х,/) = <ро(д)е-,'2’"<	(4ба)
и принимая во внимание что v является независящей от х по-
стоянной, мы можем волновую функцию ф в (46) заменить ее
амплитудой ^°(х), которая является функцией только от х.
При этих условиях общее решение уравнения (46) будет
представлено выражениями (значок 0 в дальнейшем опускается'!:
для х < 0
^(х) = Л/^* + 4/е - га"Ч
и для х > 0
ф2(х) = А2^м4-Д/е~^Ч
Второй член в последнем выражении представляет волну, па-
дающую на отражающую поверхность х = 0 с положительной
стороны. Амплитуда Л2", так же как и А/, может быть вы-
брана произвольно, две другие будут тогда определены предель-
цыми условиями <|>| = и =4- для х = 0. Результиру-
(IX Ц'Х
§13. Волновое уравнение Шредингера
105
(47)
ющий процесс может быть представлен как наложение двух про-
цессов, из которых один соответствует — 0 (волны, падаю-
щие с отрицательной стороны), а другой Л/ = 0 (волны, па-
дающие с положительной стороны).
• Уравнение (46) было найдено Шредингером и носит
его имя. Естественно предположить, что оно может быть при-
менено не только к простейшему типу потенциальной энергии U(x),
который мы рассматривали до сих пор, но также и к функции U(x)
любого вида. Следует отметить, что уравнение Шредингера
того же самого типа, что и уравнение гармонических колебаний
натянутой струны
(?2Ф . 4*2 , л
дх2 + 12 ~°’
где К обозначает длину волны. В простейшем случае одно-
родной струны (обычно рассматриваемом в учебниках) X посто-
янна, т. е. не зависит от х. Случай, рассмотренный выше, со-
ответствует двум однородным струнам различной плотности или
толщины, связанным вместе (в точке %—0). Уравнение (47)
остается, однако, справедливым и для случая неоднородной
струны, для которой длина волны X (определяемая как отноше-
ние частоты v к скорости распространения в данной точке)
может быть любой непрерывной или разрывной функцией от х.
Чтобы получить уравнение Шредингера, мы должны воспользо-
1 tnv
ваться соотношением де-Брогля — = — между длиной волны
X и,
и скоростью и выразить последнюю через потенциальную энер-
гию U(x). Однако следует заметить, что употребляя это соот-
ношение, мы вкладываем в действительности в него больший
смысл, чем предполагали вначале, допуская не только действи-
тельные, но также и мнимые значения скоростей, соответ-
ствующие отрицательным значениям кинетической энергии W—U.
В случае нерелятивистской механики, т. е. для абсолютных зна-
чений этой энергии, которые малы по сравнению с энергией
покоя /пос2, мы можем положить [ср. (45)]:
1	]/2;/;(U7- Ц)
X
(47а)
h
106	Глава 3. Волновая механика
Если, с другой стороны, мы возьмем точное релятивистское
соотношение между импульсом g—mv и полной энергией1,
е = тс2 U
то мы получим
-*<?]-	(47b)
где е0 — mQc2 обозначает энергию покоя (при U=0), Если
W—U мало по сравнению с е0> можно приближенно положить:
(е -	= (е0 + W —U)2 = е02 + 2е0(Г- U)
и тогда (47b) сводится к (47а).
Распространение механических гагмонических колебаний в
трехмерной упругой среде определяется волновым уравнением
вида:
д2Ф	, 4тт2
Эл2 + ду + ^2 + к2 ’
которое является обобщением „уравнения струны" (47). Есте-
ственно предположить, что это волновое уравнение, при-
менимое и к механическим и к световым колебаниям, приме-
нимо также и к колебаниям, связанным, согласно волновой меха-
нике, с движением частицы в данном (постоянном) поле сил.
Нужно подчеркнуть, что такое сходство между математическими
уравнениями, описывающими пространственное распределение
трех типов колебаний (как, например, волны звуковые, световые и
материальные), никоим образом не означает сходства
их природы или механизма. Не было бы ничего более
ошибочного, чем смешивать формальную аналогию с действи-
тельным тождеством физической природы. Мы должны поэтому
не забывать различия между физическим значением колеблю-
щейся величины ф = ^°(л, у,	появляющейся в волновом
уравнении (48) в случае звуковых, световых и материальных
волн. В первом случае она обозначает, например, смещение
* Включая потенциальную энергию CZ»
§13. Волновое уравнение Шредингера
107
частиц среды из их положений равновесия; во втором — элек-
тромагнитную силу в данной точке (при этом нет необхо-
димости связывать с силой представление о механическом
движении) и в третьем амплитуду вероятности нахо-
ждения частицы, связанной с волнами, в данной точке. Последняя
интерпретация может быть, конечно, применена и к световым
волнам, приводя к идее световых квантов или фотонов, связанных
с ними. Можно было бы применить ее также и к звуковым
волнам. В этом случае мы должны были бы ввести понятие
звуковых квантов или фононов, связанных подобным же
образом с упругими колебаниями. Конечно, представляется очень
сомнительным, чтобы эти фононы имели реальный физический
смысл. Ту же самую критическую позицию следовало бы занять,
однако, и по отношению к световым волнам, а возможно также
и по отношению к материальным волнам, хотя в последнем
случае мы имеем, повидимому, прямое доказательство реального
существования соответствующих частиц.
Считая это существование доказанным, мы можем перейти к
изучению движения материальной частицы в данном силовом поле,
характеризующемся потенциальной энергией U(x, у, z\ путем
исследования решений уравнения (48) с длиной волны X, опре-
еляемой согласно (47а) или (47b). Обозначая дифференциальный
д2 д2 д2
оператор — 4~	чеРез V2 (V может быть определена как
«	д д д\
векторный оператор с компонентами —, —, — , мы можем
дх ду dz J
написать волновое уравнение движения в следующей окончатель-
ной форме:
= 0	(48а)
(нерелятивистское уравнение Шредингера) или
v24 + W [0 - U)2 - So2] ф = 0	(48b)
(релятивистское уравнение Шредингера).
Чтобы проверить уравнение Шредингера и иллюстрировать
108
Глава 3. Волновая механика
характер его решений, мы приложим его к двум важным частным
случаям движения, которые действительно встречаются в при-
роде: именно к случаю гармонического осциллятора
и к случаю водородоподобного атома.
Гармонический осциллятор может быть определен как ча-
стица, движущаяся под влиянием силы, которая притягивает ее
к неподвижной точке и которая пропорциональна расстоянию
частицы от этой точки. Если движение происходит только в
одном направлении (или, выражаясь точнее, * двух противопо-
ложных направлениях), например по оси Л', осциллятор назы-
вают линейным. В этом случае потенциальная энергия может
быть представлена в виде
U = -^-ax2 (а > 0),	(49)
&
если притягивающий центр расположен в начале координат х = 0.
Если движение может происходить в любом направлении под
влиянием силы, соответствующей потенциальной энергии
и=4гаг2>	(49а)
где г2 = х2J2 + z\ осциллятор называется простран-
ственным или, точнее, изотропным пространственным
осциллятором. Более общему случаю потенциальной энергии
вида
и —	(«I*2 + ?2У2 + аз~2)	(491?)
с тремя различными положительными коэфициентами 04, а2, а3» z
соответствует анизотропный осциллятор.
Мы рассмотрим сначала случай линейного осциллятора. Со-
гласно классической механике (отбрасывая релятивистскую по-
правку) его движение определяется уравнением
решением которого является:
х = х0 cos (2zvf-j- 8).
§13. Волновое уравнение Шредингера	109
где частота v дается формулой
(50)
а амплитуда х0 и, следовательно, энергия
ах2 = -^-ах0»
(50а)
остаются произвольными.
Согласно волновой механике движение должно описываться
волновой функцией ф, определяемой уравнением
4	°	(51)
с предельными условиями ф = 0 для x = ztoo. Эти предельные
условия соответствуют предельным условиям ф = 0 для х = 0
и х=а, которые были введены в рассмотренном раньше случае
частицы, помещенной в ящик с непроницаемыми стенками (§ И),
т. е. в случае, когда потенциальная энергия £7=0 для 0 < х< а
и £7=-]-оо для х < 0 или х>а. В настоящем случае мы
имеем дело со сглаженной функцией того же самого типа (по-
скольку £7= оо для х = z*z оо), причем узловые плоскости уда-
лены в бесконечность, а центр движения находится в точке х = 0
а
вместо х=-у.
Для краткости положим
—if-=А " в
и соответственно этому напишем уравнение для ф в форме
§ + (Л-Вх’)ф = 0.	(52.)
Чтобы получить представление о решении этого уравнения
мы исследуем сначала поведение функции ф для очень больших
значений х, т. е. для очень больших отрицательных зна-
чений кинетической энергии W----Напомним, что эти
л
по
Глава 3. Волновая механика
значения соответствуют области полного отражения, где,
в случае постоянного (конечного) значения потенциальной энер-
гии, амплитуда колебаний ф спадает экспоненциально с расстоя-
нием. В настоящем случае мы можем положить (приближенно)
-1 V1W
ф =	2	,	(53)
где С обозначает произвольную константу. Действительно, ди-
ференцируя (53), мы получим
g= (Вх2 -]/£)«= (Вх2 -/В)|,
т. е. уравнение (52а) с А = ]/В. Однако значение этой вели-
чины является несущественным, пока мы предполагаем, что оно
мало по сравнению с Вх2.
Определив асимптотический характер функции ф, т. е. ее
характер для очень больших значений х, мы можем теперь пе-
рейти к точному решению уравнения (52а), заменяя постоянный
коэфициент G в (53) соответственно выбранной функцией С(х).
Эта функция может быть определена посредством подстановки
решения (53) в уравнение (52а). Полагая В — В2, мы имеем
и, следовательно
откуда получаем следующее уравнение для С;
g-2₽xg + (4-₽)c=°.	(53а)
Это уравнение может быть решено посредством разложения С(х)
в бесконечный степенной ряд
С(х)=У^х|а + *>	(53b)
где р. обозначает параметр, который будет определен позже.
Подставляя (53b) в (53а) и приравнивая нулю коэфициенты при
§ 13. Волновое уравнение Шредингера	111
различных степенях х, мы получим следующее рекурентное со-
отношение между коэфициентами
аьл_ - 2Р(и+^)-(Л-Р)
+2~ (н+Н-2)(Н-* + 1)	( }
Это соотношение показывает, что ряд (53b) содержит только
такие степени х, которые отличаются друг от друга на четные
числа, т. е. или только четные, или только нечетные степени,
если — целое число. Далее мы видим, что ряд может быть обо-
рван как со стороны убывающих значений kf так и со стороны
возрастающих, и таким образом сведен к многочлену, для
которого число k заключено между &min и &тах. Предельные зна-
чения k определяются условиями, чтобы коэфациент исчезал
ДЛЯ £z=&min— 2, С ОДНОЙ стороны, И ДЛЯ k = ^max + 2, С Дру-
гой, ибо это, согласно (54), обеспечивает исчезновение всех
коэфициэнтов, соответствующих меньшим и большим значениям k.
Мы получаем таким образом два пограничных условия для
ряда (53b):
(Р' -j- &min) (р*	— 1) = 0	(54а)
и
Л-₽ = 2?(и + Лгаах),
т. е.
4 = 2,3^+^max4--|-Y	(54b)
Первое из этих пограничных условий необходимо для гаранти-
рования конечного значения ф(х) при х = 0; оно показывает,
что мы можем положить р. = 0 и при суммировании (53b) ис-
ходить либо из &min = 0, либо из &min = 1, так что ряды (53b)
будут содержать только положительные степени х. Что касается
второго пограничного условия, то может быть доказано, что оно
является необходимым следствием предельного условия (53)
для функции ф. Действительно, если С(х) не сводится к по-
линому, т. е. если коэфициент А не принимает ни одного из
значений (54b), то для достаточно больших значений х коэфи-
112
Глава 3. Волновая механика
циенты рядов (53b) будут приближенно (асимптотически) удо-
влетворять соотношению
W+*)	2,3
“*+2~ (и + й+2)('1х+^+1)	k+\ak'
которое удовлетворяется также приближенно коэфициентами
в разложении функции

причем
а,	_	? д - _	₽	„,
О* + а-«+1 * ~ 1 . , .
2 k ' 1
где k = 2s. Отсюда ^следует, что поскольку ряд С(л) не
ограничен каким-нибудь конечным значением k = femax, он дол-
жен ассимптотически, т. е. для больших значений х, вести
себя подобно функции е?*®. При этом произведение С{х)е =
= ^(х), вместо того, чтобы стремиться к нулю при | х |—► оо,
наоборот, стремилось бы к бесконечности.
Полагая ^max = n, мы получим согласно (54b) и (52):
т. е.
(55)
где п, очевидно, есть целое число.
Таким образом в противоположность классической теории,
волновая механика осциллятора приводит к дискретным,4кванто-
ванным значениям энергии, точно так же, как в случае частицы,
движущейся в ящике с идеально отражающими стенками (в по-
следнем случае значения энергии пропорциональны квадрату
квантового числа /г). В своей первоначальной теории Планк
для уровней энергии осциллятора вывел хорошо известную фор-
мулу W=hvQn, отличающуюся от (55) отсутствием члена
§ 13. Волновое уравнение Шредингера	113
(последний член соответствует „второму варианту" теории Планка,
предполагающему существование „нулевой" энергии). Фор-
мула (55) была получена Гейзенбергом в его фундаментальной
работе по квантовой механике и немного позже Шредингером,
применением метода, эквивалентного описанному выше.
Функции С(х) = Сп(х} могут быть написаны в форме
С„(х) =	а(„л)_ 2х" “ Ц-...,	(55а)
причем последний член равен агх, когда п нечетное, и я0, — когда
п четное. Коэфициенты связаны друг с другом соотноше-
нием
п\п} __	k) (П)
ak + 2- (А, + 2)(А>-Н) k ’
которое следует из (54) и (54b). Легко по<азатьл что пэ-
— -j-Px1
линбмы (55а) и, следовательно, функции фДх)= Сп(х)е
имеют вещественные корни, лежащие симметрично по отношению
к точке л = 0. Это значит, другими словами, что функция фл°(х)
изображается волнообразной кривой, характеризующей стоячую
волну с узловыми точками, из которых п точек обычного
типа лежат на конечном расстоянии от центра (если п не-
четно, то одна из этих точек совпадает с центром), а две лежат
на бесконечности (х= ч=оо). Квантованные или стационарные со-
стояния линейного гармонического осциллятора связаны таким
образом со стоячими волнами, подобно тому, как это имеет
место для стационарных состояний частицы (электрона), сво-
бодно движущейся между двумя идеально отражающими стен-
ками. Различие между этими двумя типами волн заключается
только в том, что в последнем случае мы имеем az —|— 2 равно-
отстоящих узла, расположенье на конечном расстоянии а, тогда
как в рассматриваемом случае линейного осциллятора расстоя-
ние между узлами увеличивается по мере удаления от централь-
ной точки х = 0, а две крайние узловые точки (соответствую-
щие стенкам) лежат в бесконечности. Первые пять функций
114
Глава 3. Волновая механика
соответствующие /г = 0, 1, 2, 3, 4, характеризуются следующими
выражениями для полиномов Сп(х):
С0(х)=1;
Cj(x) — 2\1х;
С2(х) = 4(Зл)*-2;
Сз(аг) = 8(₽х)з — 12£х;
С4(х) = 16(3х)4 — 48(Зх)2-|-12.
Первые три из функций <рл° изображены графически на
рис. 4 (взятом из книги Зоммерфельда). Коэфициент пропор-
о	циональности	обычно
д W	определяется	из усло-
вия, чтобы	интеграл
1	+со
П-? /	f IФ«(Х) I *dx> являю-
'' ~ £	/ уч	— оо
щийся мерой вероят-
V/ /	% пости того, что час-
Nl	тица с заданной энер-
гией Wn находится в
Рис. 4.	любой точке оси х,
был равен единице.
Теперь мы исследуем кратко случай пространственного осцил-
лятора. В классической теории этот случай отличается от случая
линейного осциллятора только тем, что общим типом движения
являются не прямолинейные, а эллиптические колебания.
Волновая механика пространственного осциллятора сводится
в общем случае (анизотропный осциллятор)-к решению уравнения
----1_Я1 х2----L И2у----1_азг.2\ф — о (56)
с предельным условием: ф = 0 на бесконечности. Если, как это
имеет место в настоящем случае, потенциальная энергия (7, так
же как и оператор V2, сводится к сумме членов, каждый из
которых содержит только одну координату, то слагающая дви-
жения, соответствующая этой координате, может рассматриваться
как независимое одномерное движение. Этот результат (ко-
торый может быть обобщен на случай произвольной системы
§13. Волновое уравнение Шредингера
115
координат) формулируется на языке волновой теории как закон
умножения амплитуд вероятности, т. е. волновых
функций	ф2, соответствующих аддитивным членам в вы-
ражении потенциальной энергии и в операторе V2. (Это мульти-
пликативное соотношение уже было рассмотрено нами в § 11
для частного случая £>=0).1 В самом деле, полагая
} (X, у, z) = фж(х) ФХу) фДг)	(56а
мы получаем, с обозначениями (52):
+а 5+м. Э+2?+<л - в'х’ -
— В2У2 — BSZ2)	= О
или, разделяя на ф,
/Мфу W
0.
Так как х, у и z являются независимыми переменными, то ка-
ждый член, заключенный в скобки, должен быть постоянным
(в противном случае он зависел бы от переменных других членов,
которые в него не входят). Обозначая эти постоянные через
— Ах, —Ау, —AZ) мы приходим к трем уравнениям, сходным
с уравнением (52а) для линейного осциллятора, причем прежняя
постоянная А заменена соответственно постоянными Ах, АУ) Az.
Коэфициент А равен сумме Ах~[~ Ау-\- AZi что соответствует
аддитивности энергии, т. е. W= 1Гх-|- Wy +
Обозначая полиномы Сп(х) через //л(рх) (так как они зависят
фактически лишь от произведения рх), получаем
^x„ynz (X, у, г) = нпх (ftx) • НПу (М. НП2 (М. е - 4	^’+
и
— h'ty f nx	-g- j-f-hvJny -f-h'iJn.z -j- -g-
1 Временной множитель	в дальнейшем будет опускаться.
Закон умножения применим и к нему, если энергия W определяется
обычным образом, не принимая во внимание „энергии покоя*.
116
Глава 3. Волновая механика
где Vi v2 v3 — частоты колебаний в направлении соответствующий
координатных осей.
В частном случае изотропного осциллятора мы имеем pi =
= р2 = р3 = р, так что предыдущие формулы сводятся к
(X, у, z) = Н „х ($х)Н„у $у)НПг (9г)е “Т (56b)
И / 1 \
Г = Ь( п-\-— ),
где n = nx-\-ny-\-nz-±- 1. Это выражение для энергий про-
странственного осциллятора тождественно с соответственным вы-
ражением для линейного осциллятора.1 Однако в случае линейного
осциллятора различные стационарные состояния (характеризуемые
значениями одного квантового числап) соответствуют различным
значениям энергии, тогда как в рассматриваемом случае одно и то
же значение энергии Wn = hvf	соответствует, вообще
говоря, некоторому числу различных состояний, для которых
пх + пу “Н nz = я — 1. Такого рода ситуация называется в ы-
рождением, а состояния, принадлежащие к одному и тому же
уровню энергии, называются вырожденными. Число вырожден-
ных состояний, принадлежащих к одному уровню энергии, называ-
ется кратностью последнего. Чтобы найти кратность уровня
Wn, предположим, что пх имеет какое-нибудь заданное значение.
Тогда пу может принимать все значения от 0 до п—1—пх
(тогда как nz будет изменяться в тех же пределах противопо-
ложным образом). Число состояний, связанных с данным значе-
нием пх и п, равно таким образом п — пх. Полное число со-
стояний, связанных с различными значениями пх от 0 доп—1,
т. е. искомая кратность %п уровня энергии Wni следова-
тельно, равна
пх — п--1	й = п
2 («—ля)= 2a=4-«(«+1)-
пх 0	k = 1
1 Для „плоского" или двумерного осциллятора мы получили бы
таким же образом Wn = h»nt где п = пх +	+ 1,
§14. Волновая механика водородоподобного атома 117
Существование вырождения связано с неопределенностью в спе-
цификации стационарных состояний. В данном случае эта неопреде-
ленность связана с произвольностью выбора координатных осей.
Если мы сделаем преобразование к новым осямХ', Y', Z' (с тем же
началом) волновая функция (56b) преобразуется в сумму волновых
функций того же самого типа относительно новых осей с квантовыми
числами Пх, Пу\ Пг, удовлетворяющими условию Пх'-\~Пу-\-
tig —пх 4- пу-\- п2 и с соответственными численными коэфи-
циентами. Другими словами, данное вырожденное состояние,
определенное относительно старой координатной системы кван-
товыми числами пх, пу, nz, эквивалентно совокупности различных
вырожденных состояний, определенных относительно новой коор-
динатной системы и принадлежащих к тому же уровню энергии Wn,
Эта неопределенность может быть углублена далее, если, на-
пример, мы преобразуем прямоугольные координаты в полярные.
Мы рассмотрим этот вопрос в следующем параграфе в связи
с аналогичной проблемой для водородоподобного атома.
§ 14. Волновая механика водородоподобного атома.
Водородоподобный атом может быть определен как электрон,
движущийся в поле кулоновых сил, притягивающих его к не-
подвижному центру, который можно рассматривать как положи-
тельное ядро с зарядом Ze (е — заряд электрона). Потенциальная
энергия U в этом случае равна
так что уравнение Шредингера принимает вид:
V24 + (w + Ф = °	(57а)
(здесь, как и прежде, мы имеем дело с нерелятивистским урав-
нением).
Поскольку потенциальная энергия в этом случае не сводится
к сумме членов, содержащих отдельные координаты, здесь яв-
ляется более удобным применить полярные координаты, для
118
Глава 3. Волновая механика
которых это условие аддитивности выполнено (по той простой
причине, что U зависит только от радиуса г).
Сначала мы будем исследовать радиально-симметричные ре-
шения уравнения (57а), т. е. решения вида ф(г), которые не
содержат угловых переменных, определяющих направление век-
тора г. Заметим, что последующий анализ (с небольшими изме-
нениями) приложим также к решению проблемы пространствен-
ного осциллятора,
U —---------через
если мы заменим потенциальную энергию
U-=-^~ аг2, Главное различие между обеими
&
задачами состоит в том, что в случае осциллятора потенциаль-
ная энергия увеличивается до бесконечности с увеличе-
нием расстояния г, тогда как в случае водородоподобного атома
она стремится к конечному предельному значению (а именно,
к нулю). Упругое силовое поле осциллятора аналогично поэтому
ящику с идеально отражающими стенками, не выпускающему
электрон наружу ни при каких значениях его энергии W.
Кулонозо поле атома ведет себя аналогичным образом до
тех пор, пока W меньше, чем £7тах, т. е. меньше нуля. Если,
однако, 1Г>77тах, то электрон может уйти в бесконечность
с положительной кинетической энергией W—Umax=W. Этот
„отрыв" и будет происходить на самом деле, причем кулоново
поле произведет эффект, подобный частичному отражению, изу-
ченному в § 12.
Обратимся к решению уравнения (57а).
а) В рассматриваемом частном случае (ф функция только
от г) преобразование к полярным координатам особенно просто.
А именно, мы имеем
дф __z/ф дг___t/ф х д2ф _____ бРф х2	t б/ф / 1	х2
дх	dr дх	dr г	' дх2	dr2 г2	' dr \ г	г3
присоединяя сюда аналогичные производные поу иг, мы получаем
сГф
дх2
д2ф
ду2
Э2ф
дг2
dr^ ' г dr г2 dr I dr
_ 1 ^(гф)
г dr2
(57b)
§ 14. Волновая механика водородоподобного атома 119
Если мы положим для краткости
.	8к2/п1Г	8~2/?’сг2
nf = F,	= Л, — г- = В, (58)
то уравнение (57а) может быть написано в следующей форме:
d2F	/	В\
+ ( ^ + -V = 0.	(58а)
dr2	\	г J
Когда г очель велико (т. е. на больших расстояниях от
ядра), это уравнение практически сводиiся к уравнению
I AF=0,	(59)
ar2 1	4
которое определяет „асимптотическое" поведение функции F.
Его общее решение имеет вид
F—Cxe -\-С2е	,	(59а)
Согласно тому, что было сказано выше относительно энергии,
мы должны различать два случая, именно Д<0 и Л>0.
С корпускулярной точки зрения первый случай (1Г<0) соот-
ветствует связанному электрону, движущемуся по эллиптической
орбите, тогда как второй W > 0 соответствует гиперболиче-
скому движению свободного электрона.
Мы начнем с рассмотрения первого случая и положим
]/ — 4 = а>0. Так как функция ф при г—»-оо должна оста-
ваться конечной, мы должны опустить первый член в (59а).
Таким образом мы получим
F=Ce~aT,	(60)
т. е. экспоненциальное спадание амплитуды волн (колебаний)
в области „полного отражения" в точном согласии с (44а) § 12.
Причиной такого количественного совпадения является то об-
стоятельство, что в обоих случаях потенциальная энергия может
считаться постоянной для больших значений г (или х). В форме
(60) мы можем представить не только асимптотическое решение
уравнения (59а), но также и его точное решение, если считать
С относительно медленно меняющейся функцией от г (при больших
120
Глава 3. Волновая механика
значениях г). Мы можем определить эту функцию посредством
уравнения
d2C	dC . В	'
-tv- —2а —-------С--0,	(60а)
dr2	dr 1 г
— аг
которое получается из (58а), если положить в нем F —Се
Решение этого уравнения может быть написано в форме cie*
пенного ряда
k= ОО
с=	(60b)
/г= 1
с неопределенным параметром pt, который характеризует пове-
дение функции С(г) вблизи точки г=0.
Подставляя этот ряд в (60а) и приравнивая нулю коэфи-
циенты при различных степенях г, мы получим рекурентное
соотношение
2а(£4-р-)— В
А+1“(*+£),(*+и+1)	( }
_ —- W
Се
Для того чтобы функция ф =— ------- оставалась конечной во
всем пространстве, ряд (60b) должен обрываться на обоих кон-
цах, т. е. сводиться к полиному. Если мы положим
C(r) = />1rli+14--------------\-ьп^+п,
т. е. Ьо = Ьп^\ — 0, тогда так как bi ф 0 и Ьп ф 0, то получим
из (61):
н(Р--Н) = °	(61а)
2а(я 4” Н‘) — & 0*	(61 b) i
Из двух решений (61а) только = 0 согласуется сословием
конечности ф при г — 0. Таким образом получаем
С(г) = Сп(г) = V + V2 4 • • • ; Vя (62)
и
(62а)
Тот факт, что не поличомные решения уравнения (60а) проти-
воречат условию конечности ф или, точнее, условию ф = 0
§ 14. Волновая механика водородоподобпого атомх 121
при г=оои потому не имеют смысла, доказывается следующим
образом: если условие (61b) не выполнено для какого-нибудь
целого значения /г, то мы получим для С(л) бесконечный ряд
с ассимптотическихМ отношением коэфициентов
ik +1 _ 2а [k^> &
bk ~ k -|- 1 I 2а I ’
оо
Он сходится поэтому так же, как и ряд	. Соответ-
ственно этому при г—>оо функция С(г) должна вести себя
подобно е2'г, а функция ф — подобно е + ог. Это, очевидно,
недопустимо.
Мы получаем поэтому при А < 0 дискретный ряд зна-
чений Л, даваемых формулой
л	2	&
т. е. в связи с (58):
r”=-A^Av£-(/z==1’2’ •••>•	(63)
Эти характеристические значения энергии точно
совпадают с получаемыми из теории Бора, если рассматривать п
как главное квантовое число (определяющее угловой момент
А	. ч
п — в случае круговых орбит).
2к
f лл
Соответствующие функции фл(г) ~ могут быть напи-
саны (опуская временной множитель) в виде:
Ш =	-Л+ (6Sa)
+ ... + (_1)'-'7«р„—'),
где
=	„7Д\=4-"^,	(63Ь)
122
Глава 3. Волновая механика
Один из коэфициентов остается произвольным. Он фик-
сируется „условием нормальности"
оо
J I фл(г) \2dr= 4ic J* |4n(r)|Wr= 1,	(63c)
0
выражающим тот факт, что вероятность нахождения электрона
в любой точке пространства для данного стационарного состоя-
ния равна единице.
Можно показать, что полином Сп(г) имеет п действ и-

Случаи П = 4
Рис. 5.
тельных корней
(включая г = 0).
Поэтому волновая
функция фд(г) пред-
ставляет стоячие
сферические
волны с п— 1
сфери ч е ски м и
узловыми п о •
верхностями на
конечном рас-
стоянии и одной узловой поверхностью на бес-
конечности. (Рис. 5 соответствует случаю п = 4.)
Нормальное состояние системы описывается (нормированной)
волновой функцией
<64>
Л2
где константа а — ~'^те2 совпадает с боровским радиусом
одноквантовой орбиты водородного атома (Z=l). Энергия
эллиптической орбиты выражается, согласно классической теории,
через ее главную полуось ап посредством формулы Wn —
Ze2
= •0—. Мы имее?, поэтому вследствие (62а) и (63):
П
(64ау
§ 14. Волновая механика водородоподобного атома 123
Как уже было упомянуто, мы можем объяснить экспонен-
циальное спадание функции <рл(г) с увеличением расстояния как
результат полного отражения сферических волн, распростра-
няющихся во вне. Область, где длина волны или, в корпуску-
лярной механике, скорость электрона становится мнимой, начи-
нается на расстоянии 2ап. Легко видеть, что радиусы узловых
поверхностей, т. е. корни функции <рл(г), того же порядка
величины.
При положительных значениях полной энергии W(A > 0)
мы получим для ф согласно (59а) ассимптотическое выражение
~ (С>е С* ~1(65)
Если один из коэфициентов Cj и С2 исчезает, то это вы-
ражение представляет сходящиеся или расходящиеся сфери-
2тг
ческие волны с постоянной длиной X = -—- . Выражая А
/Л
через (58), получаем Х = —. Это соотношение совпадает
у W
с формулой де-Брогля \ = если принять во внимание то
обстоятельство, что при г = оо потенциальная энергия обращается
в ноль, так что W сводится к кинетической энергии -^-mv2.
Л
При | Cj | = | С21 мы имеем во всем пространстве стоя-
чие волны. Можно показать, что именно этот случай
следует рассматривать, если считать, что функция ф предста-
вляет стационарное состояние атома. В самом деле, величины
Ci |2 и | С212 являются мерой вероятности удаления электрона
от ядра или, соответственно, приближения к нему. Чтобы веро-
ятность нахождения электрона на данном расстоянии о! ядра
оставалась постоянной, т. е. не зависела от времени, два про-
тивоположных потока вероятностей должны быть равны. Изо,
если, например, | Ci |2 было бы больше, чем | С212, тогда интег-
г
рал 47г J | ф |2r2 dr, измеряющий вероятность нахождения элек«
о
124
Глава 3. Волновая механика
трона внутри сферы радиуса г, уменьшался бы со скоростью,
пропорциональной „потоку вероятности44 через эту сферу, т. е.
пропорциональной величине
I = h~I2 = (\Ci |2-|С2|2)Д
(ср. (41) § 12). Эго означало бы, что величина |ф|2 должна
спадать экспоненциально во времени, или ввиду зависимости
, ! wt
функции ф от времени через множитель е п , что энер-
гия W является комплексным числом (с отрицательной
мнимой частью). Помимо того, что W предполагается действи-
тельной величиной, предыдущее предположение заставило бы
приписать комплексное значение величине А и, как легко можно
показать, вызвало бы экспоненциальное возрастание ф с увели-
чением г, приводящее к ф = оо для г=оо. Мы рассмотрим
этот случай более подробно в следующем параграфе. В настоящий
же момент достаточно будет только заметить, что действитель-
ные значения W и конечные значения функции ф (исчезающей
при г= со) совместимы только при условии |С1|2 = |С2|2.
Это „условие вещественности" должно выполняться не только
ассимптотически, т. е. для больших расстояний, но для всех
значений л, если Сх и С2 определены как ф икции от г путем
подстановки (65) в уравнение (57а) или (59а) в (58а). Действи-
тельно, мы получим таким образом
(44 +	d-77 + 4 С‘) ‘ +' +
1 \ dr2	dr 1 г /
Чтобы это уравнение имело место для всех значений г, оба
выражения, стоящие в скобках, должны исчезать в отдельности,
так что мы получим для и С2 два отдельных уравнения
типа
+ —С=0.	(65а)
<;r2	dr 1 г	v '
Из этих уравнений следует, что если Су и С2 имеют одина-
§14. Волновая механика водородоподобного атома 125
ковые абсолютные значения, они должны быть комплекс ис-
соп'ряженными
= С2 = |С|е-’\
Функции С(г) могут быть выражены в данном случае посред-
ством бесконечных рядов, которые, однако, в противополож-
ность предыдущему случаю (Д < 0) не сводятся к полиномам
и которые в отношении своего характера сходимости ведут себя
аналогично функциям е~*~2:УГ~^г. В виду их сложности мы их
рассматривать здесь не будем. Мы должны отметить только тот
факт, что ф остается конечной при конечных значениях г и ис-
чезает при /'==оо для всех положительных значений энергии W,
так что вышеприведенное условие для не требует „кванто-
вания “ энергии, как в случае W < А. Мы должны, далее, от-
метить, что условия нормировки применяемые для случая
связанного электрона, т. е. J | ф \2dr — 1, неприменимы в дан-
г
ном случае, так как интеграл f | ф р 4кг2 dr становится бес-
о
конечным, когда г стремится к бесконечности, если только
коэфициенты (или функции) С не предполагаются бесконечно-
малыми. Заметим, наконец, что случай W > 0, соответствующий
свободному электрону или ионизированному атому, совершенно
не рассматривался в квантовой теории Бора; последняя ограни-
чивалась такими движениями, при которых частица остается
внутри ограниченной области пространства.
б) Радиально симметричным решениям уравн:ния Шредин-
гера соответствуют в классической механике радиальные
движения электрона, т. е. движения по прямым линиям, которые
можно рассматривать как вырожденные эллипсы (при W < 0)
или как вырожденные гиперболы с исчезающей малой осью (при
VT> 0). Теория Бора исключала такие „прямолинейные орбиты",
проходящие через ядро. В случае связанного электрона она до-
пускала только эллиптические орбиты с рациональным отноше-
. *
кием осей —, где угловое квантовое число /? могло ппини-
п
мать все значения от 1 до п.
126
Глава 3. Волновая механика
В волновой механике нет никаких оснований исключать зна-
чение & = 0. Однако, как мы скоро увидим, в волновой меха-
нике исключается случай k = n, соответствующий круговой
орбите.
Соответственно нерадиальным движениям корпускулярной
механики, которые характеризуются обращением электрона во-
круг ядра, мы должны, очевидно, иметь в волновой механике
функции ф, зависящие не только от расстояния г, йэ также и
от углов 0 и <р, которые определяют направление вектора г.
Если мы определим 6 как угол между г и осью Z, а ср— как
угол между плоскостью (г, Z) и плоскостью pf, Z) (отсчиты-
ваемый в смысле вращения от А" к У), то будем иметь
~=rcos0 х = rsin 6cos у = г sin 0 sin (66)
и отсюда
_ 21+21+2it =	+1(66а)
т дх2 •* ду2 дг2 г дг2 •
где
2ч=-Дг4(< sin6^H—Лг-й'	<66Ь)
7 sin© д0	дО J	sin20 dcp2 в	7
Оператор 22 имеет поэтому toil же смысл, что и оператор
V2 по отношению к дифференцированию по направлениям (углам).
Мы получаем таким образом вместо (58а) следующее ди-
ференциальное уравнение для функции Л=гф:
d^F f R \	1
+	+	(67)
Его ассимптотическое решение для больших значений г имеет
ту же самую форму, что и (59а); с той разницей, что коэфи-
циенты Ci и С2 являются здесь функциями углов 6, <р?
Поэтому мы попытаемся найти точное решение уравнения (67)
в виде F = /?(г)У(0, ср). Если мы подставим это выражение
в (67) и разделим на F, то получим
Поскольку правая сторона не зависит от г, а левая не зависит
от 6, <р, обе должны быть равны одной и той же постоянной Q.
§14. Волновая механика водородоподобного атома 127
Таким образом уравнение (67) распадается на следующие два
уравнения :
+ QK=0	(67а)
1£ + (л + т-£)* = 0-	<67Ь>
Легко видеть, что первое уравнение имеет однозначные ре-
шения только в том случае, когда Q =	1), где / есть про-
извольное целое число (которое можно считать не отрица-
тельным).
Чтобы доказать или, вернее, иллюстрировать это утверждение
и в то же самое время определить характеристические функции
К=У/(0, ?),
мы вернемся от двумерного уравнения (67а) к трехмерному
уравнению (67) и рассмотрим частный случай А = В=0. [По-
стоянные А и В очевидно несущественны для характеристи-
ческих функций и характеристических значений постоянной Q
в „угловом уравнении" (67а)].
В этом случае (67) сводится к хорошо известному уравнению
Лапласа \72ф = 0 и функция ф может рассматриваться чисто
фиктивным образом как п пенциал некоторого (предельного)
распределения электричества в точке г=0 или на сфере г = оо.
Простейшая функция этого рода есть потенциал точечного
заряда, именно Если мы продифференцируем ее по одной
из прямоугольных координат х, у, с, мы получим новое
решение уравнения Лапласа, соответствующее потенциалу эле-
ментарного диполя, момент которого параллелен соот-
ветствующим координатным осям и потенциал которого обратно
пропорционален г2. Аналогично, любая линейная комбинация
Z-ных производных — по х, у, г дает дальнейшее решение
уравнения V2^ в форме	У? (9, ср), которое мы можем
г ф
рассматривать как потенциал электрического „мультиполя Z-ro
порядка" (т. е. квадруполя при Z = 2, октуполя при Z = 3 и т. д ).
128
Глава 3. Волновая механика
Если мы подставим это решение в уравнение
V24
1 а2(л»
г дг2
+4 2’+=°
и примем во внимание соотношение
ЭД
дг2
ri + *
то получим следующее уравнение для углового множителя У/:
22 yz + Z(/+ 1)У/==0.
При Q = l(l-\-Y) оно совпадает с (67а). Поэтому мы можем
отождествить функции Y== которые описывают зависимость
от направления шредингеровской волновой функции ф с так
называемыми шаровыми функциями Z-го порядка У} (9, <р),
встречающимися в кулоновом потенциале электрического муль-
типоля /-го порядка.
Мы не можем развивать здесь общую теорию шаровых
функций. Это едва ли и необходимо, в виду- только что уста-
новленного значения их в теории электрических мультиполей.
Например, при /=1, согласно известному выражению ф =
cos (г, р), для потенциала диполя с электрическим
момен-
том р мы имеем
Yx (9,?) = cos (г, р) = ~ sin 9 cos ср -|- — sin б sin ? + “ cos 9.
Далее, при I — 2:
У2 (б>?) — "у [3 cos (r> Pi)со$ <г> Р2) — cos (Рь Р2) ]•
где Pi и р2 два произвольных единичных вектора, определяю-
щие оси квадруполя и т. д.
В общем случае функция У/ (9, ср) может быть представлена
как сумма членов вида
Pz (cos 9); sinw 9 P/w) (cos 9) cos tn <p; sin™ 9 cos 9 sin tntp (68)
с произвольными коэфициентами С/,	, где /^(cos 9) —
так называемая зональная гармоническая функция
§14. Волновая механика водородоподобного атома 129
или полином Лежандра степени /, a Pi”1 ’(cos0) — его/п-ая
производная по переменной cos 6.
Функция Pi (cos 6) описывает электрический потенциал муль-
типоля с Z-кратной осью. Она может быть определена урав-
нением
Pl (cos б)	г1 +1	f68a)
дг
в связи с z = г cos 6.
Другие функции (68) могут быть найдены простейшим обра-
зом, как те решения уравнения 22 Yi-}-l(J-\- 1) У/ = О, которые
равны произведению cos ту или sin/пер на некоторую функцию,
зависящую только от 0.
Вместо вещественных функций (68) возможно, а в волно-
вой механике и вполне естественно, применять комплексные
функции
sin(cos 6) eim*, si ZPiW (cos 6) e~im*,
которые могут быть помножены на комплексные коэфи-
циенты А^т'19 Число т может принимать все целые значе-
ния от 0 до -\-1. Если применять отрицательные значения т
на ряду с положительными в интервале
-- / /П ~/,
то вышеупомянутые 2Z —1 гармонические функции можно пред-
ставить посредством одной формулы
Ylm - Sin|ml бР]'”1 (cos б) еim,f.	(68b)
Следует заметить, что выражение ty=— R(r)Yim имеет
место как для случая W < 0 (связанный электрон), так для слу-
чая W > 0 (свободный электрон, ионизированный атом),’ кото-
рые отличаются друг от друга только в отношении радиальной
функции /?(г). В первом случае мы мюжем, как и прежде,
положить
/? (г) = С (г) е ~ аг,	(69)
где а = |/ — А . Подставляя это выражение в уравнение (67b)
130
Глава 3. Волновая механика
(70)
с дру-
(70а)
(71)
(71а)
и отыскивая С(Н в форме степенного ряда С =	Ь^^к. мы
получаем дпя коэф) циентов Ъь рекурентнуЮ формулу:
((А-4-и+1)(А + и)-/(/+1)]^+1-
— [2а (A -Ljx) —В]^=0.
Этот ряд можно свести к s-членному полиному:
*Z+14-Vl+2+ ••• + ^Z+',
если положить bQ = 0 и b$ i = 0, т. е. если положить (ti 1) ji—
— (/ -|- 1) I = 0, с одной стороны, и 2<х (s -j- р.) — В = О,
гой. Это дает р. = I и
__ В
“"2(5+/)-
Мы получаем таким образом
$
С(г) = (2аг)'	Т* И ,
где
_______________	$— k
Yft + 1 “	(Z>4-/}(A+/+!)-/(/+ !) ’ •
Сумма s-j-Z —/г играет ту же самую роль для параметра а
(а следовательно, также и для энергии), что и „главное кванто-
вое число", введенное выше. Числа $ и I соответствуют „радиаль-
ному“ и „угловому" (обозначавшемуся прежде через k) кванто-
вым числам теории Вора. В теории Бора наименьшее значе-
ние s было равно нулю (круговая орбита), а наименьшее значе-
ние I равнялось единице (эллиптическая орбита с отношением
осей -i-j . В волновой механике дело обстоит как раз наобо-
рот. Здесь наименьшее значение $ есть единица [когда поли-
ном (71) сводится к одному члену]. Соответственно этому наи-
большее допустимое значение I ра?но п—1, тогда как наимень-
шее равно нулю (при s — ri). Напомним, что в теории Бора
угловое квантовое число k служило для определения углового
h
момента электрона, который по предположению был равен к
§ 14. Волновая механика водородоподовного атома 131
Число т в (68b) представляет собой осевое (или магнитное)
n	h
квантовое число теории Бора: его произведение на—равно
2 тс
квантованному значению проекции углового момента электрона на
огь Z. Функция которая соответствует данным значениям ли/,
выражается формулой
п —I
===	= е ~ Т р«	(72)
k -1
где
_ WmZe* 2п	ч
Ря = 2ал/ = —---- г —— г. •	(72а)
ft л ап
В случае 1 — п — 1, наиболее близко подходящем к круго-
вым орбитам теории Бора, мы имеем
1	я—1
,	2 Рл
Ф = Т1(1) е
Максимум выражения |^|2 4№, которое будучи помножено
на dr дает вероятность нахождения электрона на расстоянии
от ядра, заключенном между г и r-\-dr (для данного направле-
ния 0, <р), получается при значении определяемом уравнением
А(в-рр2«)=1о,
dp 4 г '
которое дает р = 2л, или, согласно (72а), г = ап.
Мы видим таким образом, что это наиболее вероятное рас-
стояние электрона для рассматриваемого стационарного состоя-
ния совпадает с радиусом соответствующей круговой орбиты
теории Бора. Соответствие между состояниями с меньшими зна-
чениями / и боровскими эллиптическими орбитами более сложно
и потому мы не будем его рассматривать.
Мы приводим ниже ряд простейших функций ф для значе-
ний п < 4. Эти функции (заимствоьанвые мною также из книги
Зоммерфельда) нормированы согласно условию
У |<p|2dx,==l.
Для простоты положим рл = —, так что з — ъ]г =----------
132
Глава 3. Волновая механика
(а — радиус боровской одноквантовой орбиты в водородном
атоме)
£
/	' йТ\ 1 2 I
П, Ц т	^пЬп
1,	0	0.........е~*
2< 0 0..........у I/G-’к”
4/2
1 а
2,	1, 0.........— з-е 2 cos 9
4/2
2,	l,zt 1 ....	-1-ее ~Т sin 6д
О
3,	0, 0,........—(27—18о4-2а2) е~Т
81/3
2	_ ’
3, 1,	0.............~о(6—з)в Т соз 6
81/2
3, 1,-1........."ST (6 — о) е ~ Т sin бе ж
О1
1 а
3, 2,	0............ —	а2е~~з (3 cos2 б — 1)
81/6
Система стоячих волн, представляемых функцией , имеет
кроме бесконечно удаленной узловой поверхности г=оо еще
$—1 = п— I—1 сферических узловых поверхностей и также Г
узловых поверхностей, определяемых характером шаровой гар-
монической функции У/(6, ср). Они образуют I — tn конусов
0 = const с общей осью я, а также [если пользоваться веще-
ственными функциями (68)] т меридианальных плоскостей
ср = const, проходящих через эту ось. Полная энергия Wn или,
другими словами, частота колебаний волн, представляе-
мых функцией зависит исключительно от общего числа
всех узловых поверхностей, а не от их распределения или формы.
Мы имеем, еледовательно, здесь случай вырождения, подобный
рассмотренному в предыдущем параграфе в связи с изотропным
пространственным осциллятором ^Кратность уровня энергии Wni
§ 14. Волновая механика водородоподобного атома 133
т. е. число вырожденных состояний, принадлежащих ему, равна
п — 1
сумме (2Z—1)
, т. е. л2. Неопределенность вырожденных

состояний выражается в произвольности выбора оси Z, по отно-
шению к которой определяются угловые функции У(0<р).
Если изменить направление полярной оси, функция пред-
ставляющая стационарное состояние по отношению к первона-
начальной системе координат, заменяется суммой я2 функций
флгт» с надлежащими численными коэфициентами , которые
представляют стационарные состояния, принадлежащие тому же
уровню энергии в новой системе координат. Подобные же ре-
зультаты получаются, если заменить полярную систему координат
любой другой системой „разделяющихся" координат, для кото-
рых ф можно представить как произведение функций от отдель-
ных координат (соответствующих независимым слагающим движе-
ния). 1
Мы не будем, однако, останавливаться здесь на вопросе
о преобразовании координат.
Как было упомянуто выше, представление ф в форме
~ R (г) Ylm возможно как в случае W < 0, так и в случае
W > 0, причем в последнем случае энергия не квантуется, так
что главное квантовое число п теряет всякий смысл (если
не определять его как трансфинитное число); его можно заме-
нить при этом непрерывно меняющимся параметром W. Инте-
ресно, однако, отметить, что два других квантовых числа —
„угловое" I и „осевое" tn — сохраняют свой смысл и значение.
о	h
В теории Бора произведения этих чисел на— представляют
2тг
собой, как уже было упомянуто выше, соответственно угловой
момент электрона и его проекцию на ось Z. Мы видим таким
1 Такой системой координат являются, например, так называемые ,па»
раболические координаты", определяемые уравнениями z = —(Хх—Ха)>
X -f- ty = У
134
Глава 3. Волновая механика
образом, что в случае свободного электрона или ионизи-
рованного атома угловой мох\ент и его проекция остаются кван-
тованными тем же самым образом, как и в случае связанного
электрона, с той существенной разницей, что значения I и т
не заключены в определенных конечных пределах. Это значит,
что кратность всякого положительного уровня энергии беско-
нечна, т. е., другими слонами, что определение стационарного
состояния является „бесконечно многозначным44.
Мы упомянули в начале этого параграфа, что случай свя-
занного электрона в кулоновом поле аналогичен случаю изо-
тропного осциллятора; в обоих случаях полная энергия меньше
максимального значения потенциальной энергии, последняя же
является функцией одного только расстояния г. Отсюда ясно,
что волновые функции изотропного пространственного осцил-
лятора также можно представить в форме
Фи*»
где R определяется уравнением
-~ + (а-Вг2----------Р) /? = 0	(73)
dr2- 1 \	г2	v
с В = ——-------- вместо (ь7Ь), тогда как угловой множитель Yim
имеет тот же смысл, как и прежде. Полагая
/? = С(г)е“ 4 Р'2 (? = ]/£)
мы получим для С (г) уравнение
— 2рг +	-Я) С=о (73а)
dr2 ' dr ' \ г г* |	’
вместо (53а) и ре<<уренгную формулу
Р(и + А)-(4-Р)
(М-и-!-2Х(А+н+ О- '(Н-1)
ац
§ 14. Волновая механика водородоподобного атома 135
вместо (54). [Мы здесь заменили Q его значением /(z-(- 1)]. Это
означает, что в ряду
С (г) = 2 л*
мы должны положить р. = I и начинать суммирование от = О
или 1. Обозначая &тах через п — I (вместо прежнего л), мы
получим для Сп(г) полином r-й степени с наименьшей сте-
пенью г равной I или
Соответствующий уровень энергии определяется квантовым
числом п таким же образом, как и в случае одномерного осцил-
лятора, т. е. Wn = hv
Таким образом мы видим, что
стационарные состояния пространственного осциллятора могут
быть охарактеризованы квантовыми числами л, Z, т аналогично
тому, как это имеет место в теории водородоподобного атома,
т. е. определяющими соответственно энергию, угловой момент
и его проекцию на ось Z. Связь этих квантовых чисел с кван-
товыми числами пх, пу, nz, которые применялись нами выше,
здесь несколько сложнее, за исключением числа л, которое
равно пх 4- пу -|- nz 4- 1. Возможность описания стационарных
состояний пространственного осциллятора функциями двух
совершенно различных типов, связанных с различными типами
независимых слагающих движения, является опять таким след-
ствием вырождения, т. е. того факта, что уровень энергии
не простой, а кратный. Согласно предыдущему параграфу,
кратность уровня Wn, т. е. число связанных с ним вырожден-
ных состояний должно быть равнол(л4“1) в случае изо-
£
тропного осциллятора, вместо л2, как это имеет место в случае
водородного атома. Это различие объясняется тем, что в случае
осциллятора угловое число Z может принимать либо только
четные значения (если п нечетное), либо только нечетные (если п
четное). Последнее обстоятельство вытекает из того, что соотно-
шение (73b) связывает аь с а не с ял-j-i, как в случае
атома водорода.
Заметим далее, что уравнение Q2F4~ QY= 0» разделенное
ца г2, может рассматриваться как уравнение волновой механики
136
Глава 3. Волновая механика
для частицы, вращающейся на неизменном расстоянии г= а
вокруг начала координат. Такая частица называется простран-
ственным ротатором. Эго движение можно согласовать
с уравнением Шредингера Х72Ф +	(^— U) ф=0; если пред-
ставить себе, что потенциальная энергия U равна нулю для г=а
и бесконечности для г фа. В этом случае функция ф, очевидно,
должна исчезать для гфа и, таким образом, практически сво-
дится только к функции углов 6, ср. Опуская диференцирование
по г в Х72Ф, мы получим при этом V 2ф = ~ 22ф, т. е.
22ф ------— ЦТф _ о ,
(74)
откуда следует, что ф должна сводиться (для г=а) к шаровой
функции Yi (6,ср), давая для (кинетической) энергии квантован-
ные значения:
(74а)
ту/_ h*
8к2//ш2
В теории Бора ротатор представлялся как частица, движу-
щаяся по кругу (по одному из больших кругов сферы г=а)
h 1 _
с квантованным угловым моментом mav, равным — I. Отсюда
следовало бы, что (кинетическая) энергия ротатора W =-^- mv2 =
£
(tnav)2	h2 ю тт	/г,4 ч
= —равняется—-- • Р. Новое выражение (74а), да-
2 та2	8к2та2	v
ваемое волновой механикой, отличается от старого заменой I2
на Z(Z—1). Это различие соответствует фундаментальному раз-
личию трактовки движения в классической и новой механике.
В первом случае „пространственный" ротатор, т. е. частица,
могущая занимать любое положение на сфере радиуса а,
трактовалась в действительности как плоский ротатор, т. е.
как частица, движущаяся по некоторому определенному кругу
радиуса а (большой круг вышеупомянутой сферы). Если бы
было известно* что частица движется по определенному кругу,
§15. Метод потенциальных скачков
137
скажем по экватору 0 — — сферы, оператор 22 (для
этого
круга) сводился бы к
д2
Окр2
а волновое уравнение к
+ —Тё—^ = 0'
В этом случае его решение было бы типа ф = е/л? с целым
значением / для обеспечения однозначности ф (т. е. периодич-
ности ф при изменении ф на 2к), давая при этом
W
h2P
8х2та2
в согласии с формулой, получаемой из теории Бора. Тот факт,
что частица, представляющая ротатор, не удерживается в одной
плоскости (круге), выражается в волновой механике появле-
нием шаровой гармонической функции Yim (0, ср) вместо кру-
говой гармонической функции Полагая Ylm (0,ср) =
= sin*т' 6 Pi т * (cos 9) е'т^, где т меняется от—/до /, мы
видим, что каждому уровню энергии ротатора, определяющемуся
квантовым числом /, соответствуют 2/ ]-1 вырожденных состоя-
ния, характеризуемых различными значениями осевого числа т,
которое определяет проекцию импульса на ось Z, представляя
различные „квантованные" наклоны плоскости движения по отно-
шению к оси Z („пространственное квантование" в теории
Бора — Зоммерфельда).
§ 15. Метод потенциальных скачков для приближенного
решения одномерных задач волновой механики.
За исключением нескольких простых задач, среди которых
определение стационарных состояний гармонического осцилля-
тора и водородоподобного атома являются наиболее важными
примерами, точное решение уравнения Шредингера
V2| + ^- (^-0 ^ = 0
138
Глава 3. Волновая механика
(с соответствующими предельными условиями) представляет
непреодолимые математические трудности. Можно указать раз-
личные методы, позволяющие найти приближенное решение
с желаемой степенью точности.* Простейший, хотя может быть
и самый грубый из них, особенно удобный в случае одномер-
ных задач, когда потенциальная энергия U зависит только
от одной координаты, например от х, заключается в замене
действительной непрерывной функции U(x) прерывной функцией
U(х), имеющей постояннее значение внутри конечных интерва-
лов и изменяющейся скачками
от одного значения к другому,
при переходе от данного интер-
вала к следующему. Если U
графически представлена как не-
прерывная кривая U=U(x),
то U(x) будет изображаться
лестницеобразной кривой, со-
стоящей только из вертикаль-
ных и горизонтальных частей
и более или менее точно вос-
производящей ход кривой U (х)
(рис. 6). Это значит, что непре-
определяемое функцией Z7(x),
рядом свободных от
силовое поле,
заме-
друг
пред-
дей-
сил областей, разделенных
перегородками, в которых
бесконечно-большие силы,
работа, ими производимая, при-
для достаточно большого интер-
рывное
няется
от друга бесконечно тонкими
полагаются локализованными
ствующие таким образом, что
близительно равна в среднем
вала Дх работе, произведенной фактическим силовым полем
в том же самом интервале. Такой метод приближения применим
как в волн звой механике, так и при классической трактовке дви-
жения, поскольку мы интересуемся не ускорением частицы,
а ее скоростью. В аппроксимированном силовом поле она изме-
нялась бы не непрерывно, а скачками, от одного постоянного
значения к другому, при переходе через каждый „активный
слой*. Постоянной скорости в пределах каждой области соот-
§15. Метод потенциальных скачков
139
ветствует в волновой механике постоянная длина волны. Волновая
функция для s-той области, в которой Us равна постоянной,
может быть представлена выражением такого же типа, как и в
случае бесконечной области:
ф ,=	e~iwt,	(75)
где
(75а)
2тс1^	г tt
ио) = —-—. Постоянные As должны быть определены для
последовательных областей таким образом, чтобы обеспечить
непрерывность волновой функции и ее первой производной.
Обозначая через xs границу между s-той и (s-j- 1)-ой обла-
стями, мы имеем
д' e”sxs д" ё~	— Д' + J ehs + 1	_|_
_1_ д" , ,
, s+ „		(75b)
as(Asem^— Ase-‘^) =
=а,+1(л;+1?^+1^-л;+1е-г^+»^).
К этим условиям непрерывности мы должны прибавить усло-
вие, чтобы ф оставалась конечной на бесконечности:
ф конечно при х = ztioo.	(75с)
Функция J, определенная таким образом, т. е. как бы „сши-
тая14 из отдельных лоскутов (вроде стеганого одеяла!), будет
приближенно представлять функцию, соответствующую непрерыв-
ной потенциальной энергии U(x). При увеличении числа ступеней
кривой U(x) и уменьшении длины	— Ху) и высоты
— Us каждой ступеньки можно получить любую желаемую
степень приближения. Все свойства решений уравнения Шре-
дингера для непрерывной функции (7(х), в частности суще-
ствование (или несуществование) дискретного ряда „характери-
стических“ функций, представляющих квантованные состояния
движения и принадлежащих дискретным „характеристическим*
значениям энергии W, легко могут быть выведены и интерпре-
140
i лава 3. Волновая механика
тированы из изучения алгебраических уравнений, к которым
приводит определение приближенных функций.
Заметим сначала, что условия (75b) и (75с) фиксируют не
абсолютные значения коэфициентов и Л/, а только их отно-
шения (относительные значения). Условия такого рода назы-
ваются однородными. Они соответствуют линейному характеру
уравнения Шредингера, согласно которому каждое решение ф,
представляющее некоторое состояние движения частицы, будучи
помножено на произвольную постоянную, будет также решением,
представляющим то же самое движение. Этот факт (особенно
подчеркиваемый Дирайом) составляет фундаментальное отличие
колебаний в волновой механике от колебаний, рассматриваемых
в классической механике волнового движения или электромаг-
нитной теории света. К этому пункту мы еще вернемся позже
(гл. 4).
„Условие конечности" (75с) имеет ограничивающий характер
по отношению к коэфициентам Л/ и Asn только в том слу-
чае, когда предельное значение потенциальной энергии при
х~ — оо или при х = 4-о° или в обоих случаях больше, чем
полная энергия W. Это значит, что в области, простирающейся от
х =— со до х = или от х = хг^\ до х — со (полное
число областей обозначено через г-|-2)> параметр а становится
мнимым (полное отражение); при этом один из двух членов в (75)
становится бесконечным, когда х стремится к — оо или к-|-оо*
Вследствие (75) коэфициент при этом члене должен быть поло-
жен равным нулю.
Предположим, что подобные условия имеют место на обоих
концах; это означает, что частица находится в связанном состоянии
с энергией, недостаточной для того, чтобы уйти в бесконечность ни
в положительном, ни в отрицательном направлении. Число неиз<
вестных коэфициентов As и As уменьшается в этом случае от
2(г-|~2) до 2(г —2) — 2 = 2(r—{—1). Но это число как раз
равно числу пограничных условий (75b). В виду однородности
этих условий, они определяют только отношение коэфициен-
тов As и Ду к какому-либо одному из них, так что в действи-
тельности число уравнений превышает на 1 число неизвестных
§ 15. Метод потенциальных скачков	141
Для того чтобы уравнения (75) были совместны между собою,
их определитель должен обращаться в нуль, и это условие
приводит к определенному соотношению между параметрами аь
а2. .. аГ4-2? т. е. к уравнению для энергии 1Г, через которую
они выражены посредством (75а).
Это уравнение допускает, вообще говоря, бесконечное число
дискретных решений, которые представляют квантованные уровни
энергии связанной частицы. Каждому из этих уровней энергии
соответствует определенная система коэфициентов, относитель-
ные значения которых определяются уравнениями (75b), или,
другими словами, определенная волновая функция ф„, представляю-
щая стационарное состояние частицы. Нужно заметить, что этот
результат остается верным независимо от формы кривой U(x) или
Цх), требуя только, чтобы для некоторой внутренней области по-
тенциальная энергия U была бы меньше, чем в предельных точ-
ках (х= zb оо) и чтобы разность W—(7(~оо), т. е. кинетиче-
ская энергия на бесконечности, была отрицательна. В том случае,
если кинетическая энергия W—£7(z±zoo) остается положи-
тельной по обе стороны или, по крайней мере, по одну из них,
условие (75с) не накладывает каких-либо ограничений на коэфи-
циенты в соответствующей области. Число неизвестных отно-
шений между этими коэфициентами становится таким обра-
зом или равным числу 2(r—|— 1) условий (75b), если разность
W—U положительна, с одной стороны, и отрицательна,
с другой, или превышает его на единицу, если W—U поло-
жительна с обеих сторон. В первом случае частица может быть
описана как полусвободная (или полу связанная), а во втором—
как вполне свободная.
Важной чертой вышеприведенного анализа является то
обстоятельство, что он не включает промежуточных частей
кривой С7(х). Это значит, что на „свободу* частицы не влияет
существование местных максимумов потенциальной энергии,
в которых кинетическая энергия W—U отрицательна и через
которые частица не могла бы пройти с точки зрения класси-
ческой механики. Согласно волновоймеханике частица не
связана, когда она находится в „провале" кривой t/(x), если
142
Глава 3. Волновая механика
глубина этого провала лежит выше уровней кривой на беско-
нечности.
Введем обозначения £7(-|— оо) = [Л и U(— оо) = и пред-
положим, что W<u+ и W^>U~ (полусвободная частица). В
этом случае Д/'4-2=0, причем все остальные коэфициенты Д/
и Asn определяются через один из них (например через Д/) и
через значение W, которое может изменяться непрерывно, пока
вышеупомянутые условия будут выполнены. Член
представляет волну, цадающую на силовое поле, определяемое
функцией U(x), из бесконечного расстояния с отрицательной сто-
роны. Эта волна после ряда частичных отражений полностью
отражается с другой стороны этого поля, так что волна
д^'^-^ + ^О, которая является конечным результатом этого
отражения и которая распространяется обратно в отрицательном
направлении, должна иметь ту же амплитуду, что и падающая
волна, и должна образовать благодаря суперпозиции с послед-
ней систему стоячих волн
Дх cos (с^х -j- <?!)£ ~ ы.
Равенство амплитуд выражается не равенством коэфициентов
Ai и ДД которые представляют собою комплексные числа,
а равенством их модулей |Д1'| = |Д2,|. Этот результат легко мо-
жет быть получен непосредственно из уравнений (75b) при
условии, что аГ4-2 является мнимым, а Дг+2 = 0- Далее, легко
показать, что то же самое соотношение остается справедливым
не только для первой области, но для всех тех областей, для ко-
торых параметр а имеет действительные значения, другими сло-
вами, для всех тех областей, в которых мы будем иметь стоячие
волны типа Д5 cos (<ХуХ -f-	'
В случае совершенно свободной частицы энергия остается
произвольной, т. е. непрерывно изменяемой, как и в преды-
дущем случае, до тех пор, пока условие	остается вы-
полненным. Значения 2(г-]-2) коэфициентов Д/ и Д/' опреде-
ляются в этом случае не через один из них, а через два, так
что одно из отношений между этими коэфициентами остается
произвольным. Эта произвольность может быть устранена спе-
§ 15. Метод потенциальных скачков	143
циальным выбором условий, при которых движение частицы мо-
мет иметь место.
Мы можем предположить, во-первых, как это было сделано
в случае водородного атома при 0, что движение предста-
вляет собой стационарное состояние. В этом случае, как и
прежде, мы должны иметь стоячие волны во всех областях,
с действительным параметром а (т. е. при W> U). Этот резуль-
тат можно вывести из следующего дополнительного соотноше-
ния между двумя коэфициентами:
или иначе
А^А/е',	(76)
где у есть произвольная (действительная) постоянная. В первой
области мы получаем стоячую волну = Л! 005(04 х 4“
с произвольной фазовой постоянной Фр Соответствующие фазо-
вые постоянные для других областей могут быть при этом одно-
значно определены, если определены амплитуды А (для промежу-
точных областей, в которых а является мнимым, мы должны
сохранить два коэфициента А' и Л'').
Во-вторых, мы можем вообразить, что движение предста-
вляет собой прохождение частицы, вступающей в силовое поле
[7(х) из х — — оо, или отражение от этого поля. В этом слу-
чае в области, простирающейся к положительной бесконечности,
мы можем опустить член Л/4.2/’+ + ибо он предста-
вляет частицу, вступающую в силовое поле с положительной
стороны.
Дополнительное условие
Л/'+2 = 0	(76а)
позволяет выразить все остальные коэфициента через один из
Л "
них, скажем Л/: отношение—определяет в частности коэфи-
циент или вероятность отражения:
=	(76b)
1
144	Глава 3. .Волновая механика
как и в простейшем случае, исследованном в § 12, тогда как
D =	- = 1 — R	(76с)
определяет вероятность прохождения. В данном слу-
чае удобно' представить себе вместо одной частицы некото-
рое число экземпляров той же самой частицы; тогда отно-
сительное число частиц (на единицу объема), связанных с систе-
мой волн А'е1(ах~~юГ) или	будет измеряться числом
|А'|* или |А"|2.
Следует упомянутв, что общее решение нашей задачи для
случая W > U~ может быть представлено как суперпозиция
двух решений предыдущего типа, соответствующих двум проти-
воположно направленным падающим частицам (или потокам
экземпляров одной частицы), т. е. с условием	для
одного падающего пучка и А/ = 0 для другого. Если оба пучка
имеют одинаковую интенсивность, суперпозиция их дает стоячие
волны.
Существует еще третья возможность для ограничения про-
извольности, связанной со случаем W > Z7~, состоящая в пред-
положении, что на обоих концах мы имеем только выходящие
волны, т. е.
А/= О, Аг'+2 = 0.	(77)
Это предположение, очевидно, несовместимо с идеей стационар-
ного состояния, ибо число частиц (или экземпляров данной
частицы), которые остаются в какой-нибудь внутренней области
силового поля, должно уменьшаться с течением времени, если
частицы уходят наружу без всякой компенсации извне. Подоб-
ное положение с точки зрения волновой механики должно ха-
рактеризоваться уменьшением величины |<р|2 со временем t. Это
уменьшение можно получить, считая колебания ф затухаю-
ш
щи ми, т. е. определяя частоту — как комплексное число,
чт& с корпускулярной точки зрения означает комплексность
энергии UZ= —. После того как мы вынуждены были до-
§15. Метод потенциальных скачков
145
пустить мнимые значения для скорости, не кажется уже не-
возможным принять комплексные значения для энергии, кото-
рые вследствие соотношения (75а) в
Ла
связи с v=.-—подра-
2~т
зумевают также комплексные значения скорости. Физический
смысл этих комплексных значений заключается в том, что они
описывают такой процесс, когда частицы, вначале находив-
шиеся в некоторой конечной области пространства, ограничен-
ной несовершенно отражающими стенками, постепенно проса-
чиваются через эти стенки и уходят в бесконечность. „Стенки“
могут быть изображены как местные максимумы, т. е. „возвы-
шенности* потенциальной энергии, ограничивающие „котловину",
края которой лежат выше внешних плоских частей (рис. 7). 1
Каждую частицу можно себе представить движущейся в отдель-
ном силовом поле Г7(х), а всю совокупность этих частиц вместе
с их полями — как экземпляры одной единственной системы.
Тогда относительное число экземпляров в данном состоянии
(например, с частицей внутри или вне котловины) может слу-
жить мерой вероятности данного состояния исследуемой системы.
Условия такого рода можно предполагать реализованными в слу-
чае а-частиц, вылетающих из положительного ядра и вызы-
вающих таким образом его распад (Гамов, Кондон и Герни).
Из данного числа атомов N (которые могут рассматриваться
как экземпляры одного из них), определенная часть, скажем уЛ/,
распадается в единицу времени. Тот факт, что эта часть не за-
висит ни от взаимодействия между атомами, ни от внешних
условий, должен интерпретироваться как выражение присущей
каждому атому тенденции к распаду. С этой точки зрения по-
стоянная у, так называемая постоянная распада, должна
быть связана с индивидуальным атомом и интерпретирована как
вероятность его распада в единицу времени. Такое положение
дела было весьма затруднительным для классической механики,
которая требовала, чтобы атом либо распадался мгновенно,
1 Это значит, что частица притягивается к центру во внутренней
области и отталкивается от него во внешней.
146
Глава 3. Волновая механика
либо совсем не распадался, но очень хорошо согласуется с об-
щими концепциями волновой механики. Явление радиоактивного
распада может быть интерпретировано, если предположить, что
силовое поле ядра по отношению к а-частице имеет форму,
изображенную на рис. 7, и приписывать а-частице комплекс-
ную энергию
Г=Г°4-/1Г,	(77а)
где IF0 > a W есть малая положительная величина^
wt
Согласно формуле ф = ф°(х)е это дает для интеграла
Г |ф|2^х, взятого по внутренней области силового
поля („котловине") и
измеряющего относи-
тельное число частиц,
которые во время t мо-
гут находиться в со-
ответствующем ядре
(т. е. число атомов,
не претерпевших рас-
пада), выражение вида
, где
(77b)
Величина Wf и, следовательно, постоянная распада (или
„просачивания") у могут быть определены из предельных усло-
вий (76b) и дополнительного условия (77), которое дает, точно
так же, как и в случае прочно связанной частицы, уравнение
для энергии W. Это уравнение в виду комплексности W распа-
дается на два уравнения, которые служат для определения ве-
щественной и мнимой частей.
Таким образом получается соотношение между константой
распада у и кинетической энергией WQ вылетающих частиц
того же самого типа, каюве было установлено эмпирически Гей-
гером и Нуталлом.
Вышеприведенный метод (принадлежащий Гамову) вызывает
§ 15. Метод потенциальных скачков	147
некоторые возражения. Прежде всего, как было упомянуто выше,
умножение ф на множитель, не зависящий от координат — без-
различно зависит ли этот множитель от времени или нет, — не изме-
няет состояния, представляемого функцией ф. Далее, введение
комплексных значений энергии вызывает необходимость введе-
ния комплексных значений для других параметров, в частности для
параметров и аг_|_2, характеризующих выходящие волны. Эти
комплексные значения приводят к вещественным экспонен-
циальным множителям в выражениях
Л/'е-'01* и Лг'+2Л+а\
характеризующих выходящие волны, благодаря чему функция ф
становится бесконечной как при х=-ф-оо, таки при * = — оо.
Этот результат, являющийся нарушением условия конечности (75с),
следует без всяких вычислений из того факта, что частицы, на-
ходящиеся на большом (бесконечном) расстоянии, должны были
вылететь из центральной части поля много (бесконечно) времени
тому назад, когда практически все они находились внутри нее
и когда, следовательно, их концентрация |ф|2 была очень ве-
лика.
Точно так же, как и в простейшем случае отражения и про-
хождения частицы в присутствии „скачка потенциальной энер-
гии “ (§ 12), мы можем освободиться от комплексных энергий
и скоростей, представляя отдельные „ куски “ функции ф, при-
надлежащие к ограниченным областям, для которых потен-
циальная энергия может считаться постоянной, как суперпозицию
неограниченных плоских волн с непрерывно изменяющимися де fl-
oc	(О
ств и тельными волновыми числами——и частотами гг—.
2к	2к
Очень поучительные результаты получаются также при рас-
смотрении движения в поле типа рис. 7, волновой группы, огра-
ниченной вначале центральной областью. Мы не будем, однако,
заниматься исследованием этих вопросов, представляющих только
теоретический интерес, а дадим несколько простых примеров
применения описанного в этом параграфе метода к полям раз-
личного типа.
148
Глава 3. Волновая механика
§ 16. Применение предыдущего метода к нескольким
простым задачам.
1. Упрощенная одномерная модель водородоподобного
атома. Потенциальная энергия электрона представляется сле-
дующей функцией (рис. 8):
1	U= — V для |х| < Z
I у	и=о для Iх! >
• i	Случай A.W < 0. Для
*	внутренней части (s = 0)
,, j	j	мы имеем (опуская вре-
I	j	менной множитель
•	*	фо = A cos Оох + ?о)>
рис д.	а для внешних (s = dzl):
Деля
лучаем
Отсюда
ф * 1 = А м- j е "
где
/8к2/и	/” 8к2т W а
Bepxi ий знак относится кх>/, нижний к х^.1.
Условия непрерывности (75b) сводятся к следующим уравне-
ниям: для х =	1
Ао cos (а01	?0) = л +1 е ~ ₽,t
«0Л0 sin (а0/	<?0) =	+1 е ~₽1'
и для Х =----I
Ао cos (—а0/-|- ?о) = А-1 е~?,‘
— «Ио sin (— а0/ 4- <р0) =	_1 е~ ?1‘.
второе уравнение каждой группы на первое, по-
tg(«OZ + <Ро) —	= - - tg (— «oz + <Ро) •	(78)
«0
л
следует, что равно или 0, или —, так что
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам 149
<ро = Ло cos аох (стоячие волны, симметричные по отношению
к началу) или ф0 = Ло sinc!ox (волны антисимметричные по отно-
шению к началу). В первом случае мы имеем
А _|_ 1 = А _ 1 = е^1 А 0 cos a0Z,
тогда как во втором Л_i = — Л 4.1. Квантованные значения
энергии определяются (в связи с определением а0 и pj уравне-
нием (78), которое сводится к
tga0/=b-	(78а)
а0
в симметричном случае и к
ctga0/ = -b-	(78b)
«о
в антисимметричном. Эти уравнения имеют конечное число ре-
шений (поскольку V имеет конечное значение). Они могут быть
представлены графически, если нанести кривые tg$ или ctg5 и
найти их точки пересечения с кривой
где
a* = ^V.
Л2
Квантованные значения энергии определяются формулой
8tt-/7zZ2
Наибольшее из них не может, очевидно, превышать нуля, а
наименьшее не может быть меньше, чем—V. В предельном слу-
чае V=oo мы получим
tg$~ 00,
т. е.
£ = (2// + D J
или
__2 тс 	4/
А° ~	“ "2ЯГ+Т •
150
Глава 3. Волновая механика
для симметрического решения,’и точно так же
т е	cfg? = — СХ5,
_ 41
Л“ 2^
для антисимметрического решения, — в согласии с результатами,
найденными в § 11 для случая стоячих волн в ящике с идеально
отражающими стенками, если считать, что 2/—длина ящика,
Рис. 9.
a п — 2п'-\-1 или 2п*— квантовое число, т. е. число внутрен-
них узлов. Истинные функции ф°(х), соответствующие прибли-
женным функциям (для И=оо)при п — 2 и п = 3, изобра-
жены кривыми рис. 9. Заметим, что эти кривые непрерывным
образом и с непрерывной касательной переходят из центральной
области во внешние.
Случай Б. 1^>0. Стационарные состояния описываются
стоячими волнами, так что
ф» ~ As cos (asx фД
где
s = —1, 0, 4-1
и
а-1 =a+i .
Одна из фазовых постоянных <р, может быть выбрана произ-
вольным образом. Если мы ограничимся симметрическими и анти-
метрическими решениям/ (любое другое решение можно пред-
ставить как суперпозицию этих двух), т. е.
То = 0 и ?о=^>
§ 16. Применение предыдущего метода к простым задачам 151
то мы получим из предельных условий
при х — и <р0 = 0:
Л0со5а(/ — ^ + 1 cos(a1/-|-^1)
a0Ло sin a0Z = аАЛ r i sin(axZ ~|- ?х),
откуда
tg«o^=?tg (7i/ + ?i)»
a0
и аналогично из предельного условия при х = — I
tg«0Z = Jtor(«l/-<?0^
a0
Эти уравнения не накладывают ограничений на значения
параметров а и, следовательно, на значение энергии 1Г, а слу-
жат лишь для определения фазовых постоянных Из них
явствует, что ср_i =— ^4-1 и, кроме того, для симметричного
случая	Таким же образом найдем для антисимме-
тричного случая =	и А „1 = — Л_|_].
Мы исследуем теперь движение при дополнительном условии
] — 0. Это условие означает, что мы имеем дело с частицей,
движущейся в потенциальной яме (которая представляет „вну-
тренность" атома) слева направо и либо покидающей ее с дру-
гой стороны, либо отбрасываемой назад (отражаемой). Нашей
задачей является вычисление вероятности отражения R и про-
хождения D. Условия непрерывности (75b) сводятся в данном
случае к
Ло 'е	14- А о' е ~1 ’°1 = А +1 е ‘01
„ (А 1 a	А " о ~ Z aoz1	„ Л .
Ио	А0 в J — £-1 ** -f-1 &
ДЛЯ Х=/ И
Д'_, е-/а1, + Д’_1е,в1' = Л0' е-”»г4-Л0"е‘а>’
« (Д'_! е —ДГ1 ?в,г) = а0(Л0'е-'4' —А/в'*0')
для х — —
152
Глава 3. Волновая механика
В качестве известной величины удобно выбрать коэфициент
(=Л/), представляющий амплитуду проходящих волн, и вы-
разить остальные коэфициенты через него. Фактически коэфи-
циенты Ао', Aq нам не нужны, и мы должны исключить, их,
решая первые два уравнения и подставляя полученные выраже-
ния во вторые два. Таким образом получаем
Л0' = 4Л + 1 (
2	\	1 а0/
л0"=4л+’ (?(а‘+оо)
2	\ ссоу
и далее
А-1 —
ei2a°l
или, обозначая 2 I — а (ширина провала):
AL
cos а0 а—
а
е1
= A + i
4
«1 %

sin а0 а.
(79)
Вероятности R и D можно вычислить из этих выражений с по-
мощью (76b) и (76с). Интересно отметить, что R исчезает,
т. е. мы имеем только прохождение, когда энергия W падаю-
щей частицы удовлетворяет условию sin а0а = О, т. е. когда
<^а = п'к> причем п есть произвольное целое число. Это зна-
§16. Применишь предыдущего метода к простым задачам 153
чит, что длина волны частицы внутри
За-
быть равна —. Другими словами, она
провала X —— должна
%
должна совпадать с дли-
ной волны одной из симметрических стоячих волн, представ-
ляющих стационарное состояние частицы при У=оо. „Кван-
тованные44 значения энергии W (которую можно отождествить
с кинетической энергией частицы вне провала U) при та-
ком „избирательном" прохождении определяются уравнением
—~ (W4- IZ) = Л—, которое следует из (75а) в связи
Л- 4	1	' а*
с а^а — или
/.2
Wn-=------5 п— V,
п Ът аг
(79а)
Число п должно быть достаточно большим, чтобы Wn было
положительным. Эго означает, что оно должно быть больше,
чем для любого из (приблизительно определенных) стационар-
ных состояний, соответствующих W < 0 (связанная частица).
Предыдущие результаты легко могут быть обобщены на тот
случай, когда потенциальная энергия имеет различные значения
по обеим сторонам провала (т. е. при а0=/±а2). В этом случае
также существуют определенные значения энергии, для которых
коэфициент прозрачности имеет более или менее острый максимум,
хотя и меньший единицы. Эго явление „избирательного прохо-
ждения" дает ключ к объяснению так называемого эффекта
Рамзауера, состоящего в аномально большой прозрачности
определенных атомов (и молекул) для медленных катодных
лучей.
2. Прохождение частицы через потенциальный 'барьер.
Обратимся теперь к исследованию отражения и проскакива-
ния частицы в силовом поле, представляющем собой обращение
предыдущего случая с „возвышенностью44 или „пиком" вместо
„провала". Уровни потенциальной энергии по обеим сторонам
„пика" будем предполагать различными, так что кривая U будет
состоять из следующих трех частей: U = UQ для х < 0 ($ = 0);
154
Глава 3. Волновая механика
U=Ui (где Ux > Ц)) для 0 х а\ (s = 1) и U— U2 для х >а
(рис. 10). Мы должны различать два случая соответственно тому,
будет ли полная энергия W меньше или больше, чем —
В первом случае (при
W > Z/2) проникно-
вение частицы сквозь
потенциальную гору
недопустимо с точки
зрения классической
механики, но являет-
ся характерным след-
ствием волновой ме-
ханики. Следует за-
метить, что совер-
шенно аналогичное явление может иметь место и действи-
тельно наблюдается в оптике. Если две параллельные стеклянные
пластинки поместить на небольшом — порядка длины волны пада-
ющего света—расстоянии друг от друга и если угол падения
изнутри на поверхность одной из пластинок соответствует пол-
ному отражению, последнее не будет иметь места и часть
падающей энергии пройдет через
вторую пластинку (рис. 11). Интен-
сивность проникающего света спадает
экспоненциально с расстоянием меж-
ду соседними поверхностями обеих
пластинок. Это оптическое явление
отличается от проникновения мате
риальных волн — или частиц — через
гору потенциальной энергии только
Рис. И.
тем, что последнее может осуществляться и при нормаль-
ном падении, если (как мы это и предполагаем) W <
Полагая =• Z pi и А2” = 0, т. е.
ф0 = Л0'
ф1 = Д1' Лл4-Д/е~?'х
^ = А2е1в>х,
мы получим из предельных условий (76b)
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам 155
для х = 0:
«с0(Д0'-Д0") = р1 (Д.'-Д,"),
и для х — а\
Д/ е₽*а4- А1"е~₽*а = Д2 е‘а,а
₽!	—Д/е“3‘а) = /а2 Д2е/аа<1.
Решая эти уравнения таким ’ же образом, как и в предыдущем
случае, мы легко найдем:
Отсюда
ia'i2=4n2 Ip+rTch3 ^a+(l - ?Ysh2^a
а0/	\а0	Г1/
или согласно (76с):
D =____________Ц?________-______ . (80)
(«о + «2)2 <=Ьг ₽,«+(₽,—sh3p, a
\ Pl J
При a = 0 это выражение сводится к уравнению (43b), полу-
ченному раньше в § 12. В противоположном случае очень боль-
шого а или, точнее, очень большого мы можем прибли-
женно написать
D =-------16 а°а2----г-; е ~2 ₽*а.	(80а)
(«о + «2)2 + ^1-^)
156
Глава 3. Волновая механика
Выражение для Z), соответствующее случаю ТГ> Г7Ь можно по-
лучить, не повторяя вычислений, путем замены pi в (80) через iav
Мы получаем таким образом
D =--------------------------------------------------------------. (80b)
(<*о + «2)2 COS2 «! a -J- —г («!3 4- а0 а2) - у in2 <Xj а
Интересным и важным свойством вышеприведенных выра-
жений для D является их симметричность относительно
а0 и а2. Эта симметричность означает, что вероятность
перехода для частицы с данной энергией одинакова для
двух противоположных направлений движения
в исследуемом силовом поле. Этот результат был уже
отмечен в § 13 в связи с рассмотренным там более простым
типом кривой Z7(x). Он легко может быть обобщен для любого
силового поля и представляет частный случай общего закона
обратимости волновой механики, т. е. равенства веро-
ятностей противоположных процессов; этот закон
в общей форме будет разобран ниже.
Случай U7> Ux не представляет особого физического инте-
реса: он не содержит ничего принципиально нового, тогда как
противоположный случай (U/< можно иллюстрировать важ-
ными физическими явлениями, которые были совершенно не-
объяснимы ни в классической механике, ни в теории Бора.
' Милликэн и другие исследователи показали, что очень силь-
ные электрические поля вырывают электроны из холодных ме-
таллов в самый совершенный вакуум. Замечательной чертой этого
явления оказывается зависимость силы электронного тока I от
интенсивности электрического поля F, — зависимость, которая
— А
с достаточной точностью представляется формулой 1—ае £.
Фаулер и Нордгейм вывели ^ту зависимость теоретически с по-
мощью волновой механики. При этом они пользовались для дви-
жения электронов в металле грубой моделью такого же типа,
какая применялась нами выше для водородного атома, с про-
валом, простирающимся от одного конца до бесконечности
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам 157
(поскольку в данном случае толщина металла не играет никакой
роли).
Таким образом в отсутствии внешнего электрического поля
кривую потенциальной энергии можно определить, положив
U=—V для х < 0 и U=0 для х > 0. При наличии поля,
перпендикулярного к поверхности металла (х ~ 0) и ускоряю-
щего электрон, когда он достигает этой поверхности, двигаясь
в положительном направлении оси х-ов (см. рис. 12), внешняя го-
ризонтальная часть графика U заменяется наклонной прямой ли-
нией U(x) — — еЕх, наклон
которой пропорционален си-
ле еЕ, действующей на эле-
ктрон. Задача сводится к инте-
грированию уравнений:
d2^ . 8тй2/п
dx2 Л2

Рис. 12.

d2 ф
для х > О,
d Фо
dx
внимание условия непрерывности ф0 —
принимая во
d
==—~~ для х = 0 и предельные условия при х=±оо. Для
приближенного определения функции / (Z?) мы можем заменить
треугольный пик кривой U (рис. 12), соответствующий наличию
поля, прямоугольной областью рассмотренного выше рода
2 A	W 1^
а22 = 0иа = -- = у.	, .
Это значение а равно расстоянию от поверхности’металла до
того места, где кинетическая энергия выходящих катодных лучей
начинает принимать положительное значение. Так как сила тока
должна быть пропорциональна „коэфициенту проницаемости"
158
Глава 3. Волновая механика
рассматриваемого потенциального барьера, то мы получаем со-
гласно (80а):
1~е Е	(81)
где
6 = -^/2/и |U7|2.	(81а)
еп
Другое явление, вполне аналогичное в принципе только что
рассмотренному, представляет собой распад радиоактивных ато-
мов с испусканием а-лучей. Здесь а-частицы, содержащиеся
в ядре, играют р'оль электронов в металле, тогда как кулоново
поле, создаваемое самим ядром в окружающем пространстве,
заменяет электрическое поле, приложенное извне к поверхности
металла. Внутри ядра а-частицы должны, очевидно, удержи-
ваться какими-то притягивающими силами (природа и происхо-
ждение которых до сих пор неизвестны), точно так же, как удер-
живаются внутри металла обусловливающие его проводимость
свободные электроны. Коэфициент проницаемости оболочки ядра
для а-частицы определяет в этом случае вероятность ее вы-
лета, т. е. радиоактивную постоянную для рассматриваемого
элемента. Простым вычислением Гамов, и независимо от него,
Кондон и Герни определили зависимость этой постоянной
от кинетической энергии испускаемой а-частицы в согла-
сии с эмпирической формулой Гейгера и Нуттала. Мы про-
ведем эти вычисления, применив упрощенную одномерную модель
ядра с силовым полем, образованным зеркальным отражением
кривой на рис. 10 от оси ординат. Мы получим таким обра-
зом симметричную кривую, изображенную на рис. 13, и опреде-
ляемую следующими данными:
U—Un	для — I < х < I
U—Ux где UY > Uo для Z < х < Z-|- Ъ (5=1)
и для —(Z-j-Z>)<x<—I (s = — 1)
U = Ц. где U2 < для х > Z -f- b (s = 2)
и х< — (Z + &)(s = — 2).
§16, Применение предыдущего метода к простым задачам 159
Мы будем считать, что движение а-частицы внутри ядра, т. е.
в провале UQt приблизительно такое же, как если бы ширина b
окружающей потенциальной горы была бесконечной, что не
позволяло бы часгицам выйти из ядра. Вообразим вместо одной
частицы некоторое число экземпляров N, определяемое инте-
i
гралом ^|ф0|2^ф. Функцию <р0 можно рассматривать как
суперпозицию двух систем волн, распространяющихся в двух
противоположных направлениях благодаря отражению от с генок
х = -\-1 и х —— I. В
действительности, однако,
отражение является непол-
ным, так как и U и b
конечны. , Относительное
число частиц, „просачи-
вающихся" через какую-
нибудь из стенок в еди-
ницу времени, равно про-
изведению плотности то-
ка I в направлении к этой стенке на коэфициент проницаемости D.
Величина / равна произведению числа частиц, приходящихся на
1 N 1АГ,
единицу длины в падающем пучке	(где# —2/ —
'	'	2 2/	2 (1
Рис. 13.
ширина провала) на скорость
ап ж / 2
(Множитель —-
соответствует тому обстоятельству, что одна поло-
вина частиц движется в одном направлении, а другая в пр тиво-
положном ) Складывая токи через обе стенки, мы получим для
скорости изменения N со временем уравнение
dN N
-«---а'’•‘°
или
2V~ const # Т/.
160
Глава 3. Волновая механика
Это и есть уравнение радиоактивного распада. Постоянная рас-
пада у выражается формулой;
voD
‘ а
или приближенно

(82)
(82а)
J. Предиссоцированные состояния. Предыдущие вычисления
основывались на предположении, что на движение а-частицы
внутри ядра не влияет проницаемость ограничивающих ядро
стенок, т. е. что это движение остается квантованным таким же
самым образом, как и в случае развитой выше модели водород-
ного атома (с U=— V, Ц = 0 и £=оо).
Рассмотрим теперь влияние „проницаемости" стенок на дви-
жение а-частицы внутри ядра.
Из приведенных в предыдущем параграфе общих рассужде-
ний ясно, что, строго говоря, не может быть речи о квантовании
энергии W, поскольку она больше, чем (72. Это значит, что при
условии 17>£72 все значения энергии допустимы как в случае
иъ таки в случае W< Стационарные состояния можно
представить стоячими волнами внутри провала и во внешних
областях; в промежуточной области (соответствующей „воз-
вышенности") мы будем иметь, однако, при W<^Ur колебания
непериодические относительно х и характерные для полного
отражения.
Как и прежде, мы можем ограничиться случаем стоячих волн,
симметричных и антисимметричных относительно начала коорди-
нат. В первом случае мы имеем
Ф0 = Л0 cos аох
= е?1Х + А/
ф2 = Л2 cos (а2х4-<?2)
(функции ф —1 и ^ — 2 можно не рассматривать отдельно, та1ч '
§ 16. Применение предыдущего метода к простым задачам 161
как они получаются из и простой переменой знака у х).
Условия непрерывности дают соотношения:
До cos ^1= А^е^1A^fe~^1
— а0Д0 sin a0Z=Pj (Д/^1*—Д/'е"*^)
Л1'£.^/ + й)4-А1"е-?-('+6) = Л2 cos К(/+*) + <р2]
0!	_Д^--«+6> = -а242 sin [а2 (/ -f- b) + <р2].
и	Д 2
Наша задача заключается в вычислении отношения или
/Д ^2
I-— ) . Оно может быть получено решением первых двух ура-
'До'
внений относительно Д/ и Л/, подстановкой результатов в
последние два уравнения и, наконец, возведением в квадрат и
сложением их после разделения второго из них на а2. Это дает
Минимум этого выражения приблизительно соответствует
cos а0/ — sin я0/ = О,
Pi
т. е.
tg яо/=р
«о
а максимум
cos a0Z -]- sin ’</ ~ 0>
И
т. е.
tg
*0
162
Глава 3. Волновая механика
Степень приближения, т. е. точность, с которой относительные
значения энергии W определяются этими уравнениями, тем
больше, чем больше значение b или, вернее, Предполагая,
что оно достаточно велико, мы получим
	(= ( 1	СОь2 я / е~2Ы
или так как	
и	tg a0
ТО	Pl2 (гУ = —-rt	(S3») Vl/mn l-4-^Ц- a0
Аналогичны]	м образом мы получим i+d. (/i2 =—Ke+2>,b	(83b) \л1, max 1+‘Л- «0
Сравнение	с уравнением (78a) показывает, что состояния — и
в частности энергии, — соответствующие минимальному значе-
9	.
нию совпадают с (симметрическими) квантованными -еостоя-
^1
ниями, которые получились бы, если бы ширина b обеих
возвышенностей или „стенок" была бы бесконечной, в то
время как их высота £71 оставалась бы той же. При конеч-
ном значении b „протачивание" через стенки во внешние об-
Л2
ласти мало, причем скоросаь его определяется отношением
Этого просачивания нет в действительности, ибо выходящие
волны, с которыми оно было бы связано, налагаются в наруж-
ных областях на входящие волны, образующие компенсацией-
§ 16. Применение предыдущего метода к простым задачам 163
ный поток, и результатом этой суперпозиции является образование
стоячих волн фм-2. Дегко, однако, вычислить, какова была бы
скорость просачивания (или „распада"), если бы этого компенса-
ционного потока не было, в предположении, что функции фм-2
сводятся только к выходящим волнам с амплитудой A'=i=2 =
А. Q
= —^. ото предположение не вполне правильно, потому что
выходящие волны образуются не только волнами, „просачиваю-
щимися" из внутренней области, но также и частичным отра-
жением волн, падающих извне (т. е. входящих волн), которые
мы, согласно нашему предположению, не учитываем. Мы полу-
чим таким образом для потока, выходящего наружу через обе
стенки, за единицу времени величину |Д2|2т/2. Деля этот поток
на произведение Д02я, которое представляет относительное число
экземпляров частицы, остающихся во внутренней области (или,
другими словами, вероятность нахождения рассматриваемой ча-
стицы внутри этой области), мы получим для постоянной проса-
чивания или распада выражение*
(h —236
# 1
(83с)
__M2V ^0______
' «оа
которое очень мало отличается от выражений (82) или (82а),
найденных раньше. Причина некоторого расхождения заклю-
чается в том, что при выводе (83с) мы не учитывали отражения
т»	А%
входящих волн. Интересно отметить, что минимум —- тем меньше,
а максимум тем больше, чем больше ширина b переходной зоны
(или ее высота Ц).
Для состояний, соответствующих максимальным значениям
А'2	Aq
—, т. е. минимальным значениям — , предыдущая аргументация
А о	А 2
может быть обращена, и просачивание из внутренней области
наружу заменяется просачиванием практически той же вели-
чины, но в противоположном направлении. Мы можем выра-
зить этот результат так же, как и вполне аналогичный результат,
164
Глава 3. Волновая механика
который получается в случае движения антисимметрического
типа относительно начала, следующим образом: если энергия
частицы приблизительно равна энергии такого состояния, ко-
торое было бы стационарным при Ь— оо, то частица проявляет
стремление оставаться „внутри", т. е. в области минимума
потенциальной энергии, в состоянии, очень похожем на только
что упомянутое и отличающемся от него только опреде-
ленной вероятностью вылететь, в конце концов, наружу. Когда
частица имеет энергию, соответствующую равенству tg —
= — —, т. е. энергию, лежащую приблизительно в середине
ао
интервала между двумя последовательными уровнями (соответ-
ствующими вышеупомянутым стационарным состояниям), то она
проявляет, наоборот, крайнее „отвращение" к внутренней об-
ласти, предпочитая оставаться снаружи Это „отвращение" не
М2\2 7
ограничивается состояниями, соответствующими I — )	; оно
max
Л 2 *	rn
становится заметным, когда отношение - - больше единицы. Та-
ким образом тяготение к внутренней области имеет место
только для очень узкого интервала, соответствующего измене-
нию отношения от минимального значения (практически
равного нулю, если велико) до единицы. Ширина этого
интервала может быть определена как дщргнз квази-кван-
тованных уровней энергии, соответствующих квази-ста-
ционарным состояниям частицы и легко может быть оце-
^4
йена посредством уравнения (83). Полдгая —= 1 и опуская
член, содержащий мы получим из (83)
4= (1+“Ч) е2?1Ь (cosa</ “^sin aoz)
а	*
или
cos a0Z — ~ sin a0Z| = —-7-=^-— e .
'	1/-+5
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам- 165
Так как это очень малая величина, то мы можем заменить
выражение, стоящее в левой части равенства, произведением
Г А	а	1
ЛГ dW lcos “o'—^sin ®o'| ,
причем производная no IF берется при значении IF=IFZO со-
ответствующем cos a0Z—^sin %о1=О. С помощью соотношений
Pi
daQ___4k‘-7tz	_ 4к2т
dW~ A2a0 ” dW~
мы получим после нескольких упрощений-
или приближенно (если велико по сравнению с а0):
Заметим, что величина
ДГ«
/*Ча
8п2т
4л2/и/рх е
(83d)
равна кинетической энергии ча-
стицы во внутренней области для исследуемого квази-стацио-
нарного состояния.
Ширина уровня энергии квази-стационарных состояний мо-
жет быть определена более естественным и правильным образом,
как то значение &W=W—Wn,
при котором
^22
отношение —-—
А2
возрастает от своего очень малого минимального значения
цо, скажем, удвоенного значения (по аналогии с обычным опре-
делением ширины спектральных линий). Мы получаем при этом
вместо (83d) гораздо меньшую ширину, которая определяется
приближенно условием
Д
( cos — тг sln aoz ) ~ е 23|д
4 Pi /
166
Глава 3. Волновая механика
4^7е’2?‘6 ’	<83е)
и которая относится к ширине, определяемой формулой (83d),
как е относится к единице.
Предыдущие результаты можно резюмировать следующим
образом. Если в дополнение к притягивающим силам, стремя-
щимся удержать частицу внутри ограниченной области, имеются
отталкивательные силы, позволяющие частице, пройдя через пе-
реходную зону (где ее кинетическая энергия была бы отрица-
тельна), выйти с положительной кинетической энергией наружу,
то частица будет двигаться внутри приблизительно таким же
образом и приблизительно с той же энергией, как если бы
отталкивательные силы во внешнем пространстве отсутствовали.
Их влияние проявится только в „расширении" квази-квантован-
ных уровней энергии и наличии вероятности для частицы
вырваться наружу, пропорциональной квадрату или первой сте-
пени (согласно (83е) этого расширения.
Подобное положение дела встречается во многих физических
явлениях, среди которых радиоактивный распад является простей-
шим примером. Другим примером является вырывание электронов
из металла посредством приложенного к его поверхности электри-
ческого поля. В элементарной форме этот эффект имеет место
при ионизации атома электростатическим полем.1 Аналогичное по-
ложение встречается в случае многих молекул, диссонирующих
„самопроизвольно" (т. е. без внешних возмущений) после того,
как они приведены в состояние, названное В. Анри состоянием
предиссоциации. Мы можем применить этот термин для
обозначения квази^стационарных или^ квази-квантованных состоя-
ний, изученных выше.
4. Движение электрона в кристаллической решетке. В за-
ключение мы применим рассмотренный выше метод потен-
циальных скачков к несколько более сложной задаче, а именно
к движению электрона в простейшей линейной модели кристал-
1 Теория этого явления еще до Фоулера и Нордгейма была дана
Оппенгеймером.
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам 167
лического тела. Модель эта опред ляется потенциальной энер-
гией (7(х), которая попеременно принимает постоянные значе-
ние Ua на расстоянии а и Ub > Ua на расстоянии причем
сумма а -ф- Ь = с представляет собой постоянную решетки. Функ-
ция U(x) удовлетворяет условию периодичности с периодом с:
U(x-{-c) — U(x).
Кристалл или,
вернее, „зубчатую
стенкуего изобра-
жающую (рис. 14),
можно трактовать
как неограниченную.
Для каждого перио-
да решетки, скажем,
Рис. 14.
W
от X — ПС ДО X =
= (п-ф- 1) с (и—це-
лое число) волновая функция может быть определена как сумма:
= A'neiax + А\е~,ах м<х<сп + а
^„Ь) = Д',1е?х-1-В"„е~>,х ся4-а<х<с(«4- 1),
(84)
где а и р выражаются обычным образом:
a = y^2m(W—Ua), $ = Цу2т(иь — W).
При этом р считается вещественной величиной, т. е. потен-
циальная энергия Ub предполагается большей, нежели полная
энергия W. В противоположном случае р следует заменить через В.
Функции и должны удовлетворять обычным гра-
ничным условиям, которые дают ряд уравнений для определения
отношений между коэфициентами А и В в последовательных
областях.
Так как число этих уравнений бесконечно велико, то ре-
шение их представляется довольно затруднительным. Простой
способ для их решения был применен X ллом. Еще более про-
стой и интересный метод был указан Крон игом и Пен ни г
168
Глава 3. Волновая механика
Этод метод основан на том факте, что решение (84) может
быть представлено в следующем виде, справедливом для всех
значений х:
ф = ОД/7*,	(84a)
где С(х) — некоторая периодическая функция х с периодом,
равный с — а-\-Ь, т. е. удовлетворяющая условию С(х-]-£) —
= С(х), тогда как у представляет собой надлежащим образом
выбранный параметр.
Движение, характеризуемое функцией (84а), можно себе
представить (в случае, если у имеет вещественное и поло-
жи! ельное значение) как равномерное поступательное движе-
ние в положительном направлении оси X со средней ско-
ростью	комбиниров иное с периодическим колебатель-
ным движением, характеризуемым функцией С(х). Заметим, что
общее решение нашей задачи (для произвольного значения отно-
А'
шения в одной из областей) может быть представлено как
/А
суперпозиция двух функций вида (84а) с противоположными
значениями параметра у. Функция С (х) определяется формулой
С(х) = A'пе‘^- 7)х -J- А"• о- -1 <’ + 7)*
при сп х <' сп -j- а и
С(х) = В\е®-^х
при СП -}- И X 4^ с (п 1).
Записывая условие периодичности для функции С(х) и ее
dC(x)
производной .— - для точек х — с/z и х — с(п-\- 1), получаем
А'пС^-^

— i(« + Т) сп _	(₽ — /у) g(rz-b-l) ।
—(?+а) с (п+о
/(а - 7) А’„е ~ сп - /(а _|_ -;) А''„е~^ + т)сп =
— ф _ ф В'п? (? ~ с +1 ’—(0 + г у) Б"пе ~(? + 'т) с 4
§16. Применение предыдущего метода к простым задачам 169
К этим уравнениям мы должны присоединить еще уравнения,
вытекающие из условия непрерывности функции и ее произ-
водной в точке х = сп-\-а:
А'пе ,^ся+а}	А", ,е	+а' = в'пе3 (сп + а) 4- В’пе~ ”(сп + я)
га [А\е ”(сп + а) —	л (с'! 4 й)] =
= р [В'пе9 + а) — В"пГ3 (ст+а) ] .
Исключая коэфициенты Д'л, А"т В'„, В" п из предыдущих
четырех уравнений, мы получаем следующее соотношение:
В 2--
cos ус = ——□— sin аа sinh 86 -|- cos аа cosh fib. (84b)
zap
Это соотношение приводит к вещественным значениям па-
раметра 7 в том случае, если правая сторона меньше единицы.
В противном случае параметр 7 оказывается мнимой величи-
ной, чтд означает, что электрон не может двигаться в решетке
указанным выше образом. Волны, изображающие его движение,
имеют при этом такой же самый характер, как и при полном
отражении (экспоненциальное затухание). На самом деле, мнимые
значения параметра у соответствуют селективному отра-
жению электронных вош, которое обнаруживается в опы-
тах над диффракцией катодных лучей от кристаллических ре-
шеток,
В случае рентгеновых лучей, падающих нормально на поверх-
ность кристаллической решетки с постоянной (т. е. с расстоя-
нием между плоскими сетками, параллельными поверхности),
равной с, условие селективного отражения выражается форму-
лой Брэгга:
2с = п\,
где п — целое число („порядок" отражения), а X — длина волны.
Уравнение cosyc = ztl, где cos ус определяется форму-
лой (84b), можно рассматривать как Брэгговскую формулу для
диффракции катодных лучей (распространяющихся в нашей
упрощенной одномерной модели кристаллической решетки), при-
170
Глава 3. Волновая механика
чем „эффективная" длина волны связана с параметром у та-
ким же образом, как и в случае свободных электронов
2тг
Aeff= — .
7
В самом деле, из cos ус = ± 1 следует, что ус = пк9 т. е.
1 -2с
Представление об эффективной длине волны утрачивает, впро-
чем, всякий смысл при мнимых значениях у. Эти мнимые зна-
чения у получаются для таких значений энергии W, которые за-
ключены в определенных конечных интервалах. Легко пока-
зать, что последние тем меньше, чем больше энергия. В предель-
ном случае очень больших значений энергии (при которых а сво-
дится к 1/ 2/wU7, а £ и У—„запрещенные" зоны стя-
гиваются к точкам
Это выражение представляет собой энергию практически сво-
бодного электрона, движущегося со скоростью, соответствующей
2с _
длине волны X ——. В противоположном крайнем случае очень
малой энергии (Р очень велико) дозволенные области, т. е.
те участки спектра энергии, которые соответствуют веществен-
ным значениям у, сводятся к точкам
W-——
8/па2
Эта формула представляет собой квантованные значения энер-
гии электрона, свободно движущегося вдоль отрезка длины а
между двумя совершенно непроницаемыми потенциальными барье-
рами. Электрон таким образом оказывается практически свя-
занным в определенном месте („яме*') решетки.
Зависимость функции cos ус, определяемой формулой (84b),
от энергии W иллюстрируется рис. 15, заимствованным мной
из статьи Кронига и Пенни. „Дозволенные" значения энергии,
§ 16. Применение предыдущего метода к простым задачам 171
т. е. такие, при которых электрон может перемещаться в ре-
шетке, соответствуют части кривой, заключенной между пря-
мыми cos ± 1.
Предыдущие соображения относятся к случаю безгранич-
ной решетки. 6 последовательной теории отражения катодных
волн от кристалла мы должны были бы рассматривать решетку,
ограниченную, по крайней мере, с одной стороны (скажем х>0),
скачком потенциальной энергии от значения Ua до значения
Uoo ( > Ub\ В таком случае из кристалла могут вырваться лишь
те электроны, энергия которых W больше, чем Мы не бу-
*
Рис. 15.
дем углубляться в исследование этого вопроса и отметим лишь
следующее свойство ограниченной кристаллической решетки, ука-
занное И. Е. Таммом. А именно, в случае подобной решетки
электрон может оказаться связанным на самой поверхности,
не будучи в состоянии вырваться наружу, вследствие недостаточной
кинетической энергии, т. е. вследствие обычного пол-
ного отражения изображающих его движение.волн в наруж-
ной области, и вместе с тем не будучи в состоянии проникнуть
внутрь кристалла даже при наличии достаточной кинетической энер-
гии (т. е. при W^>Ub), вследствие селективного отра-
жения соответствующих волн во внутренней области, связан-
ного с мнимыми значениями у.
Уровни энергии, характеризующие эти „поверхностно-
связанные" электроны, образуют дискретный (точечный)
спектр и могут быть вычислены из условия непрерывности
172
Глава 3. Волновая механика
для функции ф, определяемой формулой ф = Be ?*прих>0
(где р =	2ni (U<x>—W)j й ф = С(х>'7,х при х<0, при-
О
чем у имеет чисто мнимое значение. Заметим, что этой „по-
верхностной связью" электронов с диэлектрическими кристаллами
объясняются некоторые интересные свойства последних.
§ 17. Суперпозиция различных квантованных состояний.
Применение волновой механики к теории излучения
света.
Классическая механика и атомная теория Бора не допускают
одновременного осуществления двух различных состояний дви-
жения. Невозможно представить себе, например, чтобы водород-
ный атом находился одновременно в двух или более различных
квантованных состояниях. В волновой механике мы встречаемся
с такой ситуацией, которая кажется равносильной признанию воз-
можности такого сосуществования и которая выражается в форме
принципа суперпозиции (или интерференции). Справедли-
вость этого принципа ясно иллюстрируется явлением интерференции
катодных лучей; мы применяли его в предыдущих параграфах
при суперпозиции бегущих волн одинаковой частоты для по-
лучения стоячих волн, а также волн весьма близких длин и
частот для образования волновых групп и пакетов. Предста-
вляется естественным сделать дальнейшее обобщение принципа
суперпозиции, распространяя его на волновые функции раз-
личных частот, представляющие стационарные состояния дви-
жения с различными значениями энергии. Если мы забудем на
минуту о корпускулярной стороне дела и будем представлять
себе волны материи как некоторого рода колебания, аналогич-
ные упругим или оптическим колебаниям, суперпозиция коле-
баний различной частоты будет казаться столь же естественной,
как и суперпозиция колебаний одинаковой частоты.
Легко видеть, что в случае волновой механики такая супер-
позиция вовсе не подразумевает сосуществования различных
состояний движения, связанных с соответствующими гармониче-
§ 17. Суперпозиция различных квантованных состояний 173
скими колебаниями. На самом деле, с точки зрения вероятностной
интерпретации корпускулярно-волнового параллелизма сложение
нескольких волновых функций фь ф2 • ♦ • должно соответство-
вать сложению вероятностей в классической теории ве-
роятностей, причем складываются не сами вероятности, а их
амплитуды. В классической теории эта операция сложения
имеет смысл только в том случае, когда эти вероятности отно-
сятся к альтернативным событиям, т. е. к событиям, ко-
торые взаимно исключают друг друга. То же самое
остается верным по отношению к новой теории вероятности,
т. е. к волновой механике. В самом деле, не имеет никакого
смысла складывать волновую функцию с нею самой, ибо ре-
зультат (так же, как и произведение первоначальной волновой
функции на постоянное число) будет представлять то же самое
состояние движения, как и первоначальная волновая функция.
Сумма
ф == ф1 4" 4“ фз • • •
имеет таким образом определенный смысл только в том случае,
когда волновые функции (амплитуды вероятностей) фь ф2...
относятся к различным или, точнее, к альтернативным состояниям
движения. Имеют ли последние одинаковую или различную энер-
гию, т. е. представляют ли отдельные волновые функции гармони-
ческие колебания одинаковой или различной частоты, --является
несущественным, поскольку нас интересует смысл результирую-
щей функции ф.
Хотя умножение каждой из функций фл(д=1, 2, 3...) на
произвольную постоянную сп не изменяет ее смысла, сумма
<85)
п
имеет смысл, зависящий от относительных значений раз-
личных коэфициентов сп, что ясно видно, если взять предельный
случай, когда некоторые из этих коэфициентов равны нулю.
Необходимо подчеркнуть, что только эти относительные
значения, т. е. отношения коэфициентов сп > являются суще-
174
Глава 3. Волновая механика
ственными, а не их абсолютные значения: умножение всей суммы
на произвольный множитель не изменяет смысла функции ф.
Неопределенность абсолютного значения ф или элементарных
волновых функций
(X,у, г, О = ф» (х,y,z)e~йет«‘	(85а)
обычно устраняется посредством так называемого условия
нормировки, которое аналогично условию нормировки, при-
меняемому для той же цели в классической теории вероятностей,
и которое состоит в том, что максимальное значение вероят-
ности (соответствующее достоверности) приравнивается единице.
Эго условие нормировки для вероятностей, обычно, вводится
в связи с альтернативными событиями; относительные значения
вероятностей этих событий считаются известными, а их абсо-
лютные значения фиксируются приравниванием их суммы единице.
Нормировка функций производится на том же самом
основании. Произведение	где dV—dxdydz, пред-
ставляет собою относительную вероятность локализации частицы
внутри элемента объема dV, если известно, что она находится
в определенном стационарном состоянии вероятность нахо-
ждения ее внутри некоторой конечной области пространства
измеряется интегралом f |	|2 d 7, взятым по объему V этой
области. Этот результат предполагает, что локализации частицы
в различных частях V (в том же состоянии движения) являются
альтернативными событиями, к которым применим классический
закон сложения вероятностей (интерференция вероятностей, тре-
бующая замены их амплитудами вероятностей, может иметь место
только в одной и той же точке пространства).
Если интеграл f | |МУ= / |ф°|2 dV остается конечным,
когда V стремится к бесконечности (т. е. когда интеграция
производится по всему пространству), он может быть норми-
рован к единице, т. е. можно положить; 1
/|ф„р^=	1,	(85b)
1 Звездочка при обозначает комплексно-сопряженную величину.
§17. Суперпозиция различных квантованных состояний 175
чтобы выразить тот факт, что частица наверняка находится где-
нибудь. Фукция или лучше в этом случае называется
квадратично интегрируемой. Такие квадратично инте-
грируемые волновые функции представляют стационарные дви-
жения частицы в связанном состоянии, т. е. когда энергия W
меньше, чем потенциальная энергия на бесконечности. Тот факт,
что это условие предполагает экспоненциальное спадание волновых
функций с увеличением расстояния (спадание, которое обеспе-
чивает сходимость интеграла J <!4*б/У), был доказан в § 14
для случая одномерного движения; это доказательство легко
может быть распространено и на общий случай. В то же время
было доказано, что условие связанности требует существования
дискретных или квантованных стационарных состояний, соответ-
ствующих дискретным значениям энергии W;l. Мы видим таким
образом, что условие нормировки (85b) может быть применено
к квантованным состояниям связанн ой частицы. В случае вол-
новых функций, представляющих стационарные состояния сво-
бодной частицы, т. е. частицы, могущей уйти на бесконеч-
ность, интеграл f dV расходится, так что условие (85b)
становится неприменимым. Его удобно в этом случае заменить
условием
ЛЧ0„(*'Ь y',z')dVdV' = \,	(85с)
где d V— dx dydz и d Vr = dx'dy'dz'.
В дальнейшем мы ограничимся случаем квантованных дви-
жений и будем пользоваться, соответственно с этим, условием
нормировки (85b). При этих условиях коэфициенты сп в уравне-
нии (85) можно рассматривать с волновой точки зрения как
амплитуды соответствующих простых гармонических колеба-
ний в сложном колебании, происходящем от их суперпозиции.
С корпускулярной точки зрения в связи с вероятностной интер-
претацией они должны, очевидно, определять относительные
вероятности нахождения частицы в соответствующем квантовом
состоянии, независимо от ее положения в пространстве.
Чтобы установить эту связь более точным образом, мы
должны прежде всего определить плотность вероятности р, т. е.
176
Глава 3. Волновая механика
вероятность о dV нахождения частицы в элементе объема dV
в случае движения, связанного со сложными колебаниями, пред-
ставляемыми функцией (85), Обычное определение р как ква-
драта (вещественной) амплитуды 6 здесь недопустимо, так как
мы имеем дело с волновым процессом, который не является
даже приблизительно гармоническим (как, например, в случае
группы волн). Однако представляется естественным обобщить
первоначальное определение р, заменив (вещественную) ампли-
туду ф ее м о д у л е м (абсолютным значением) | ф |, который в част-
ном случае гармонических (или близких к ним) колебаний, ха-
рактеризуемых временным множителем e~'2™ntсовпадает с ква-
дратом амплитуды. Мы положим таким образом
р = |ф|2 = ^*.	(86)
Это обобщение находится в согласии с тем фактом, что
ф — комплексная величина (для справедливости мультипликатив-
ного закона элементарные функции должны быть комплекс-
ными (см. выше), тогда как | ф |2 должна быть, очевидно, веще-
ственной величиной, квадратичной относительно ф.
Согласно (86) имеем
<86а>
tn i
Интегрируя по всему пространству, мы получим
= cj^nav.	(86b)
т п т
Легко показать, что
' <87)
если две функции и не тождественны; в противном слу-
чае, согласно условию нормировки (85b), нуль нужно заменить
единицей. Мы прежде вс^го докажем справедливость равенства
(87) для простейшего случая частицы (электрона), заключенного
в прямоугольном ящике (см. § И).
Согласно формулам (37) § 11 (восстанавливая временной
множитель, который там был опущен) и (36а), имеем
. л . кпхх . ыгуу , TZHzZ
фл = Ar sm-----sin —sin  ------e n
a b c
§ 17. Суперпозиция различных квантованных состояний 177
(где индекс п при v для краткости обозначает три индекса:
пх, пу, nz\
Умножая это выражение на
1* л* •	. ТППуУ . T.mzZ +
ф — Аш sin----sin —sin-------е
Тт т	а	ь	с
и интегрируя по объему ящика V — abc, мы получим произве-
дение величины Ат Ап е12к^т~Чп^ на три интеграла вида
а
/. ~тхх . ъпхх ,
sin----- sin-----ах.
а а
о
которые равны нулю, если не выполнено условие тх = п*, и равны
а в противном случае. * 1 Таким образом, если только все
&
три числа т не равны соответствующим числам л, интеграл
J	обращается в нуль.
Заметим, что в противном случае (т—п) мы имеем
j^ndV=^-AnA^,
так что условие нормировки (85b) дает
о
\A^ = —(V = abc).
Общее доказательство формулы (87) может быть дано с помощью
уравнения Шредингера
v2^+^P-° (wn-u)^n=o,
а	а
1 Действительно, J sin ах sin $xdx— — §[cos(a—p)x-~cos(a+₽)x]dx
о	о
1 Г sin (а — ₽)а sin (а ?)а
; последнее выражение равна нулю.
« + ₽
а —Р
г.тх
если а=------и 0 =
а
Sin (а — S)
дится к----------— = а.
ttflx
—, когда тх пх, Если же тх = л.
ТО ОНО CBQ-
178
Глава 3. Волновая механика
которым определяются функции и уровни энергии Wn в слу-
чае потенциальной энергии U (xyz) произвольного типа (совме-
стимого со связанным состоянием движения).
Умножая это уравнение на и вычитая результат из про-
изведения
Г v2 Уп+- Ц) 44 1 = о,
мы получим
Фд V 2	V 2 А/z =	— ( Wn —	фюфл*
Левая сторона этого уравнения может быть написана в форме
т. е. в форме расхождения (дивергенции) некоторого вектора,
слагающие которого равны выражениям, заключенным в скобках.
Если мы помножим это расхождение на dV и проинтегрируем
по конечному объему У, то получим результат, который, согласно
теореме Гаусса,можно выразить в форме интеграла, взятого по-
поверхности, ограничивающей этот объем, причем подинте-
гральным выражением является нормальная слагающая вышеупо-
мянутого вектора. В пределе, когда объем, по которому инте-
грируют, простирается до бесконечности, поверхностный инте-
грал исчезает — вследствие быстрого спадания и — так
что мы получаем уравнение
<\indV=0,
которое сводится к f	— 0, если lFm. Мы видим
таким образом, что cooi ношение (87) необходимо выполняется,
если состояния т и п соответствуют двум различным зна-
чениям энергии. Как было показано, в связи с задачей изо-
тропного осциллятора и водородного атома, во многих случаях
бывают возможны различные состояния, т. е. состояния, свя-
занные с различными волновыми функциями, принадлежащие
§ 17. Суперпозиция различных квантованных состояний 179
к одинаковым значениям энергии. Для этих состояний соотно-
шение (87), вообще говоря, не выполняется. Существование
таких вырожденных состояний всегда, однако, связано
с неоднозначностью в их определении, которая уже была иллю-
стрирована в соответственных случаях, и которая может быть
выражена в общей форме следующим образом: если две или
несколько функций представляют стационар-
ные состояния с одинаковой энергией, то любая
линейная комбинация этих функций представляет
также стационарное состояние с той же самой
энергией.
Этот результат, являющийся прямым следствием линейного
характера уравнения Шредингера, может быть использован
для определения стационарных состояний вырожденной
группы таким образом, чтобы для них также выполнялось усло-
вие (87). Поскольку дело касается функции = это
не является необходимым, так как сумма членов, принадлежащих
одинаковым значениям энергии, может быть заменена одним
членом того же самого типа.
Возвращаясь назад к проинтегрированному уравнению (85b),
мы видим, что оно сводится к сумме квадратов
=	(88)
п
Интеграл f должен, очевидно, интерпретироваться как
мера вероятности нахождения частицы в одном из альтернативных
состояний, входящих в функцию ф. С другой стороны, согласно
(88), он представлен как сумма квадратов модулей коэфи-
циентов сп всех относящихся сюда альтернативных состояний.
Этот результат находится в согласии с теоремой сложения клас-
сической теории вероятностей, если величины \сп\2 =спс*п интер-
претировать как относительные вероятности нахождения
частицы в соответствующих альтернативных со-
стояниях, независимо от ее положения в про-
странстве. Их можно нормировать посредством соотношения
2|ся|2=1,		(88а)
Л
180	Глава 3. Волновая механика
так как благодаря соотношению / фд V = 0 интеграл f фф*</V,
т. е. двойная сумма (86b), сводится к сумме квадратов. Соот-
ношение (88а) называется соотношением ортогональ-
ности. Ортогональность может рассматриваться как аналити-
ческое выражение альтернативного характера соответствующих
состояний.
Вышеприведенная интерпретация коэфициентов сп была вве-
дена Борном на основании определения (86) плотности вероят-
ности. Существует, однако, еще одно оправдание определения
(86), которое (хотя а с теоретически отличной, но практически
эквивалентной интерпретацией величины фф*) было указано
Шредингером.
Если мы не проинтегрируем уравнения (86а), а подставим
для функций их выражения (85«а), то это уравнение при-
мет вид:
<14* = SS 4 сп $ ф° е'•	(89)
т п
Оно, очевидно, противоречит классической теореме сложения
вероятностей, согласно которой вероятность р должна была бы
сводиться к сумме вероятностей рпт = | сп |2 |	|2, взятых для
каждого из альтернативных состояний в отдельности. Однако
кроме этих постоянных членов в правой части (89) имеются
члены тина ртп = ст сп^	, которые происходят
вследствие своего рода интерференции между колебаниями
различных частот и которые являются сами гармоническими
функциями времени. Сумма ртл и рпт является, конечно, дей-
ствительной величиной, которая может быть представлена в виде
атп cos 2^mnt-\-bmn sin 2kvwn t
с вещественными коэфициентами
*	• 0* 10 j * । 0 ।
^mn — Сщ Cn ут y«	y/n ул
И
Ьтп — i (C*m C„ <!/„ ф° — Cm с'г фот фл*) ,
где
Vmn = v« —v„.	(89a)
§17. Суперпозиция различных квантованных состояний 181
Последнее выражение представляет собой частоту колебаний
(со знаком -[” или —) члена вероятности, происходящего в ре-
зультате интерференции двух альтернативных состояний т и п.
Если положить в этой формуле
__&т __
Й и n~~h~ Г ’
мы получим
..	__ У ____ Wn	Г89Ы
^тп — — ^пт —----уГ---•	(оУО)
Мы видим отсюда, что интерференционные частоты,
появляющиеся в (89), совпадают с „частотами пе-
реходе в“ в теории Бора, т. е. с частотами света, который,
согласно этой теории, излучается, когда частица (которую мы
будем считать электроном) переходит из более высокого состояния
(с большей энергией) в более низкое, или с частотами света,
который поглощается, вызывая переход в обратном направлении.
Этот замечательный результат является следствием того
обстоятельства, что, во-первых, волновые функции были опре-
делены (для сохранения мультипликативного закона теории
вероятности) как комплексные величины, содержащие
время через экспоненциальный множитель e~2izi'nt , а не как
вещественные величины, содержащие множители cos2zv^ и
sin в какой-либо иной комбинации, чем cos 2iwnt J- i sin 2zvw/
и, во-вторых, того, что плотность вероятности была определена
как произведение ф на комплексно-сопряженную функцию ф*.
Если бы, например, волновые функции были определены как
вещественные части вышеприведенных выражений а плотности
вероятности просто как квадраты соответствующих волновых
функций, то плотность вероятности р для стационарного состоя-
ния зависела бы от времени (именно, колебалась бы с часто-
той 2уя), тогда как в общем случае суперпозиции некоторого
числа таких состояний мы получили бы для р сумму членов,
осциллирующих не только с частотами ут— („разностные
тона"), но также и с частотами ут-4-ул („суммационные тона"),
которые не имеют никакого физического смысла.
182
Глава 3. Волновая механика
Тот факт, что определенная, как указано выше, плотность р
для стационарного состояния не содержит времени, тогда как
в случае суперпозиции, например, двух стационарных состояний,
р содержит член, осциллирующий с „оптической" частотой,
связанной с этими двумя состояниями, указывает на возможность
замены боровских представлений об излучении, соответствующих
квантовой теории света, обыкновенной волновой концепцией,
соответствующей классической электродинамике.
Действительно, как было отмечено Шредингером, постулаты
Бора—1) стационарные (квантованные) состояния являются не-
излучающими и 2) оптические частоты, умноженные на Л, равны
разности энергий двух различных стационарных состоя-
ний— можно вывести из классической электродинамики, если
предполагать при вычислении электромагнитного поля, про-
изводимого электроном, что заряд е последнего не концен-
трирован в определенной точке, а размазан по
всему пространству с объемной плотностью ер.
В самом деле, распределение заряда в таком „электронном
облаке" или „электронной протоплазме" не зависит от времени
и должно поэтому вызывать только электростатическое поле
без всякого излучения энергии.
С другой стороны, если два или более амплитудных коэфи-
циента с (89), например сп и ст, отличны от нуля, то тогда
в пространственном распределении „электронной протоплазмы"
появляются пульсации. Последние согласно классической электро-
динамике должны вызывать переменное электромагнитное поле,
частота колебаний которого совпадает с частотой пульсаций
Согласно этому представлению, механизм возникновения све-
товых колебаний аналогичен возникновению звуковых колебаний
посредством биений между двумя электрическими, несколько
расстроенными по отношению друг к другу, высокочастотными
колебаниями. Этот способ электрического возбуждения звук/
применяется для многих целей в радиотехнике (конденсатор Уид*
дингтона, радиомузыка Термена). По вероятностной теории кор-
пускулярно-волнового параллелизма, величину ефф* не следует
рассматривать как истинную плотность заряда облакообразного
§ 17. Суперпозиция различных квантованных состояний 183
электрона (как вначале думал Шредингер), а только как „ста-
тистическую" или „вероятную" плотность, соответствующую
точкообразному электрону, положение которого точно неизве-
стно. Эффекты, зависящие от его положения, в частности созда-
ваемое им электрическое поле, не могут быть определены точно,
но если вероятность нахождения электрона в данном элементе
объема dV равна	то вероятное значение этого поля
будет такое же, как если бы заряд электрона был распределен
с объемн /й плотностью гфф*.
С этой точки зрения мы могли бы рассматривать Шредин-
геровское электромагнитное Поле как усредненное по времени
„истинное" поле, вызываемое точкообразным электроном, согласно
законам классической электродинамики. Эта интерпретация,
однако, представляется лишенной физического смысла, поскольку
„истинное" положение электрона в действительности не может
быть определено. С другой стороны, как было показано в начале
этого параграфа, подразумеваемая в формуле	супер-
позиция различных стационарных состояний не должна интер-
претироваться как’ сосуществование этих состояний, так
как они являются „альтернативными", т. е. взаимно исключа-
ющими друг друга.
Мы приходим таким образом к выводу, что шредингеров-
ская теория излучения света не может рассматриваться как „клас-
сическая", т. е. вполне детерминистическая теория, а только
как „волномеханическая" теория, содержащая вероятностную
концепцию, благодаря которой она может быть приведена в (сим- f
волическое) соответствие с корпускулярной или квантовой тео-
рией излучения света, принадлежащей Эйнштейну и Бэру. Обе
теории излучения света не противоречат одна другой, а скорее
соответствуют друг другу (в смысле корпускулярно-волнового
параллелизма). В настоящем случае, предусматривающем соотно-
шение между светом и материей, этот параллелизм сложнее, чем
в случае одного лишь света (т. е. распространения, а не излу-
чения света) или одной лишь материи (движущейся с постоянной
энергией). Но его существенные черты остаются теми же самыми,
что и в этих 'простых случаях. Существенный пункт заключается
184
Глава 3. Волновая механика
в том, чтобы не смешивать корпускулярные концепции с волно-
выми, как это делалось в классических теориях материи и излу-
чения. Если первая описывается в корпускулярных терминах,
т. е. если электрон рассматривается как точечный заряд, то
тогда и свет должен описываться в корпускулярных терминах,
а излучение света должно рассматриваться как испускание
фотонов. Если, наоборот, мы желаем описывать излучение света
как распространение электромагнитных волн, вызванных движе-
нием электрона, то и электрон должен описываться подобным же
образом, как волновая система.
В связи с излучением света обнаруживается новая черта
корпускулярно-волнового параллелизма. Это—соответствие между
предполагаемыми теорией Бора самопроизвольными пе-
реходами от. стационарных состояний с большей энергией
в состояния с меньшей энергией, и предполагаемой теорией Шре-
дингера интерференцией между де-броглевскими волнами,
связанными с этими состояниями.
Соответствие между волнами и частицами определенного вида
характеризуется двумя типами соотношений: соотношениями
качества e = Av, g = hk и соотношениями количе-
ства (которые служат для определения вероятности локали-
зации частицы в данной точке посредством фф*).
Аналогичным образом соответствие между волновой и кор-
пускулярной теориями испускания света может быть характери-
зовано соотношениями этих двух типов. Соотношение
качества дает боровское условие частоты: Лу = Wm —
к которому можно добавить аналогичное уравнение между им-
пульсом излученного светового кванта и отдачей (т. е. измене-
нием количества движения), испытываемой излучающей систе-
мой. Что касается соотношения количества, то оно
должно, очевидно, связывать вероятность перехода т->п
(заменяющую в данном случае вероятность локализации) с не-
которой величиной, квадратичной относительно ф, которая
определяет интенсивность света, излученного благодаря
„интерференции" состояний и фл, между которыми совер-
шается рассматриваемый переход,
§17. Суперпозиция различных квантованных состояний 185
Согласно классической электродинамике, электромагнитная
энергия, излучаемая колеблющимся электроном, за единицу вре-
2 О о
мени равна — e^w2, где w — ускорение электрона. Если
предположить, что электрон колеблется параллельно оси х-ов, то
d2x
w — ——. В случае гармонических колебаний частоты v мы
имеем
х = a cos 2тг^— b sin 2~vt
и
d2x
dt2
= —
так что интенсивность излучения, т. е. среднее значение
энергии, излучаемой за единицу времени, равно
о —	1
/=х2 = W (fl2 4- 	(9°)
Предыдущие результаты можно легко модифицировать таким
образом, чтобы они охватывали и „волномеханическую" элек-
тродинамику Шредингера. Существенная разница между ней и
классической теорией заключается в том, что координата х
электрона не может рассматриваться как функция времени, а
должна оцениваться на основе вероятности локализации фф*.
Таким образом представляется естественным заменить коорди-
нату ее средним или вероятным значением
(91)
и применять к этому значению классическую электродинамику
гак, как если бы оно было действительным значением коор-
динаты электрона.	__
Если ф описывает стационарное состояние ф = фя. то х по-
d2x
стоянно, -т-s = 0, и, следовательно, излучение отсутствует. Если
dt*
же ф описывает суперпозицию двух таких состояний:
186
Глава 3. Волновая механика
тогда
== ^т^гп^тт~\~	СтСг*Хпт"\~ Сп.Сп*Хпп ,	(91<0
где
%тт = J* «^ф/йфт*^^ -=- const
хтл= J'x^„dV= f x^4t<>dVei2r^-4y=x0mne{^mn‘
хпт = f x^*dV= j’xW* dV
Xnn — J ^лфп*ЙУ= Const,
так что
d^x
~^2 =	(^V/n/z)2 (cmcn*xmn H“ cmCn"^nm )
= — (2zvm,7)2 2[R {cm4rtx^} cos 2rcW 4-
+1 ^т Спхтп^) sin 2wmn t\,	(91 b)
где /?(/) обозначает действительную, a /(/) мнимую часть f.
Последнее равенство вытекает из того факта, что величины хтп
и хпт являются, согласно их определению, комплексно-сопря-
женными <хтп* = хпт), так же как и величины с^Сп и стсп*.
d^x
Предыдущее выражение для —4 совпадает с классическим,
atz
если положить v4vWfl, a = 2R(cm*cnxQmn) и b = 2I(cm*cax°mn).
Таким образом мы приходим к замене классического выра-
жения для интенсивности излучения (90) следующим волноме-
ханическим выражением:
/==(2^Д,С/й|2[Сп|2|хогл12>	(92)
Если мы теперь рассмотрим процесс излучения света с кор-
пускулярной точки зрения, то интенсивность излучения должна
быть определена как произведение кванта энергии Av, излучае-
мого при самопроизвольном переходе из верхнего состояния,
скажем, из состояния т, в нижнее п, на вероятность того, что
такой переход в действительности произойдет в течение еди-
ницы времени. Эта вероятность должна, очевидно, равняться
произведению вероятности того, что электрон сначала находится
§17. Суперпозиция различных квантованных состояний 187
в верхнем состоянии [ew|2, на вероятность Атч того, что при
этом условии оН'Лз течение единицы времени перескочит в ниж-
нее состояние и. Коэфициент Атп, обычно, называется ве-
роятностью перехода	Он был впервые введен
Эйнштейном в 1917 г. Итак, согласно корпускулярной картине,
мы имеем
= h^mn | ст |2 Атп •	(92э)
Это выражение отличается от выражения (92) в том существен-
ном отношении, что оно не содержит множителя | сп |2, опреде-^
ляющего вероятность конечного состояния. Появление этого
множителя в (92) исключает возможность корпускулярной
(вероятностной) интерпретации этого выражения, поскольку мы
не можем допустить, чтобы вероятность перехода т~+п была
пропорциональна не только вероятности начального (верхнего)
состояния, но также и вероятности конечного (нижнего)^
Тот факт, что подобное допущение не имеет никакого фи-
зического смысла, становится особенно очевидным, если за-
менить один светоиспускающий атом большим числом N таких
атомов (которые нужно представлять себе как экземпляры од-
ного и того же атома). В этом случае произведения ДГ| ст |2 и
АГ|гл|2 можно интерпретировать как числа атомов в соответ-
ствующих состояниях. Число атомов, перескакивающих из со-
стояния т в любое другое, должно быть равно определенной
доле Атн числа TV)ст\2, не зависящей от числа атомов, нахо-
дящихся в других состояниях, и, следовательно, энергия,
излученная в единицу времени при перескоке т-+п, должна
равняться
AV/я п N | Ст ]2	.
(Зтсюда мы видим, что выведенное с помощью волновой ме-
ханики выражение (92) может быть согласовано с корпускуляр-
ным выражением (92а) только в том случае, если положить
Ы2=1.
Это означает, что волномеханическая теория излучения, очер-
ченная выше, требует дальнейшей модификации. Какова бы эта
модификация ни была, естественно предположить, что она не
188
Глава 3. Волновая механика
изменит в основном выражения (92), а заменит его аналогич-
ным выражением, не содержащим |^|2 и тождественным с (92)
при |	= 1.
Полагая соответственно этому
мы приходим к следующему выражению для эйнштейновского
коэфициента вероятности излучения:
= (93)
При выводе этого результата мы принимали во внимание только
слагающую движения электрона по оси X, Учитывая две другие
слагающие, мы получим подобным же образом
^тп ЗбГ3~ ' Хтп '2 4~ \Утп I2 4" I Zmn i2) ’	(93а)
где утп и zmn гармонически осциллирующие величины, аналогии-
оо	о
ные хтп, a vmn и zmn— их амплитуды, аналогичные хтп ,
Величины типа хтп, которые для любой функции могут быть
определены формулой
fmn ^dV,	(94)
называются матричными элементами этой функции. Это
наименование происходит от того, что они образуют упорядо-
ченную двухмерную схему или матрицу:
/11 /12 /13 • • •
/21 /22 Лз • • •
/з1 /32 /зз • • •
Диагональные элементы этой матрицы относятся к опреде-
ленным стационарным состояниям. Они являются постоянными,
которые можно определить как средние значения вели-
§18. Волномеханическая теория переходных процессов 189
чины f для соответствую пшх состояний; недиагональные эле-
менты являются гармоническими функциями времени
fmn=AneiU'mnt,	(94а)
амплитуды которых определяются формулой
fmn = $f$i?ndV	(94b)
(для случая т — п они совпадают с самими матричными эле-
ментами). С корпускулярной точки зрения их можно интерпре-
тировать как величины, определяющие вероятности переходов
между соответствующими состояниями под влиянием некоторых
обстоятельств, определяемых характером функции f(xyz).
Заметим, что матричные элементы вещественной величины
f(xyz) удовлетворяют так называемым соотношениям Эрмита:
/ fпт ♦	(94с)
Квадрат модуля fmn можно написать, следовательно, в форме
\fmn |2 —fmn fmn —fmnfnm — \ fnm |- •	(94 d)
Мы увидим в следующем параграфе, что эту симметрию можно
рассматривать как общее выражение закона обратимости,
т. е. равенства вероятностей прямых обратных
переходов.
§ 18. Волномехапическая теория переходных процессов.
Волномеханическая интерпретация самопроизвольных -перехо-
дов, данная в предыдущем параграфе, в действительности яв-
ляется не теорией таких переходов, а скорее косвенным выво-
дом из исследования электромагнитного поля, которое создается
системой (атом, связанный электрон), находящейся в состоянии
движения и описываемой волновой функцией ф = S сп^п • Вспо-
миная смысл коэфициентов мы можем заключить, что пере-
ходы из одного состояния в другое, скажем, из т в п, должны
быть связаны с изменением соответствующих коэфициентов ст
и сп или, вернее, их модулей, измеряющих вероятности этих
состояний (именно с таким } меньшением | ст | и увеличением
190	Глава 3. Волновая механика
|сл|, чтобы сумма их квадратов оставалась постоянной). Адэ-
кватная волномеханическая теория должна поэтому относиться
непосредственно к амплитудным коэфициентам и давать систему
уравнений, определяющих скорость их изменения со временем t.
Прежде чем пытаться установить эти уравнения, мы должны
выяснить, при каких условиях следует ожидать, что коэфи-
циенты сп будут изменяться со временем. Заметим, что нужно
рассматривать только такие переходы, которые связаны с изме-
нением этих коэфициентов. Можно было бы себе представить,
что в совокупности W экземпляров данной системы некоторые
из экземпляров совершают переход	тогда как равное
число других экземпляров совершает обратный переход n->mi
так что относительное число экземпляров в соответствующих
состояних ДГ| ст |2 и 7V| сп |2 остается неизменным. Такие пере-
ходы нужно оставлять без внимания как чистые фикции, никак
не влияющие на наблюдаемые нами явления.
Переходы, рассмотренные в предыдущем параграфе, назы-
ваются самопроизвольными потому, что они не вызы-
ваются никакими внешними силами, помимо тех сил, которые
определяют стационарные состояния фл, и выражают поэтому
естественную тенденцию системы (атома) опуститься от более
высокого значения энергии к более низкому, испуская при этом
излишек энергии в форме электромагнитного излучения. Эта тен-
денция имеется также и в классической электродинамической
теории, в которой она проявляется в непрерывном умень-
шении механической энергии связанного электрона, порождаю-
щего своим движением распространение электромагнитных волн^
причем энергия последних ^распределенная в пространстве с объ-
Е2 + И2 \
емной плотностью —5-------) представляет собой механическую
8 к /
энергию, потерянную электроном. Классическая электродинамика
дает удовлетворительное объяснение этой тенденции, сводя ее
к действию некоторой добавочной силы, не учитываемой при
вычислении потенциальной энергии электрона U и вызываемой
самим электроном посредством своего собственного поля
§ 18. Волномеханическая теория переходных процессов 191
излучения. Эта „лучистая сила" или „сила лучистого
трения" выражается формулой (принадлежащей Планку):
2е1 2 * * * dw
F==3c^~dF9
где w — ускорение электрона. Легко показать, что средняя ра-
бота, производимая этой силой в единицу времени, равна сред-
нему значению энергии, излучаемой за тот же промежуток вре-
2е2
мени —-ы2, которое приводилось выше в связи с теорией из**
ос6 * *
лучения Шредингера. Действительно, умножая (95) на переме-
щение электрона за единицу времени, т. е. на его скорость v,
и интегрируя по t, имеем'
Если движение электрона имеет колебательный характер (что
всегда имеет место, когда ограничиваются конечной областью
пространства),	то	среднее	значение	члена в	фигурных	скобках
предыдущей	формулы исчезает,	так	что она	может	быть	напи-
сана в следующем виде:
1 А	2 е2~~2
tj	Sc*
о
Понятие действия электрона на самого себя представляется
лишенным всякого физического смысла, если не приписывать
электрону пространственной -протяженности, т. е. конечного
объема, внутри которого (или на поверхности которого) рас-
пределен его заряде. С этой точки зрения „самодействие* элек-
трона может быть сведено к взаимодействию пространственно
различных элементов его заряда. Применяя это представление ко
всему электромагнитному полю, вызываемому электроном при
ускоренном движении, мы помимо силы лучистого трения (95)
получим еще силу типа — mw, которую можно отождествить с
силой инерции, если коэфициент т определить как массу элек-
192
Глава 3. Волновая механика
трона. Эта электромагнитная теория массы, развитая Дж. Дж.
Томсоном и Г. А. Лоренцом, в действительности сводит законы
классической механики к законам классической электродинамики,
пользуясь при этом тем дополнительным принципом, что пол-
ная сила, действующая на электрон, — т. е. сумма внешней
силы и собственной силы, — должна равняться нулю. В то же
самое время механическая энергия электрона может быть све-
дена к энергии электромагнитного поля, вызываемого им в со-
седних областях пространства (скажем, в пределах расстояния
порядка длины волны от электрона), тогда как энергия, локализо-
ванная на больших расстояниих, может рассматриваться как энер-
гия излучения. На самом деле обе эти части сливаются в единую
электромагнитную энергию, удовлетворяющую закону сохранения*
Здесь не место развивать эти идеи подробнее. Общий вы-
вод, который может быть сделан из предыдущих соображений,
заключается в том, что современная волновая механика, ото-
рванная от электромагнитной теории, в будущем возможно ока-
жется сведенной к новой „квантовой" электродинамике. Мы вер-
немся к этому вопросу во второй части этой книги. В настоящий
момент нас интересует только одно обстоятельство, а именно, что
так называемые „самопроизвольные" переходы, связанные с излу-
чением света, в действительности являются не самопроизволь-
ными, а вызванными или „индуцированными" действием элек-
тромагнитного поля испускаемых световых волн. Мы приходим
таким образом, к заключению, что переходы между стационар-
ными состояниями, определяемыми функциями могут иметь
место только в результате действия некоторых добавочных или
„возмущающих" сил, не учитываемых в выражении потенциаль-
ной энергии U (xyz)^ на основании которой эти стационарные
состояния определяются.
Подобные „вынужденные" переходы также предусматривались
теорией Бора, в особенности в связи' с поглощением света от
какого-нибудь внешнего источника.
Мы можем удовлетвориться тем результатом, что „самопро-
извольные" переходы не являются исключением из принципа
обусловленности или причинности.
§ 18. Волномеханическая теория переходных процессов 193
С точки зрения волновой механики этот принцип, очевидно,
означает, что в отсутствии возмущающих сил (здесь нет необ-
ходимости рассматривать вопрос о том, можно ли в действи-
тельности вполне освободиться от них) коэфицигнты сп в вы-
ражении ф = S сп^п должны оставаться постоянными. Нашей
задачей является нахождение системы уравнений, которая опреде-
ляла бы скорость изменения этих коэфициентов при введении воз-
мущающих сил, каковые могут быть учтены путем присо-
единения добавочного (относительно малого) члена U' к перво-
начальному выражению потенциальной энергии U.
Заметим, что энергия возмущения U' может быть лю-
бой функцией времени, в то время как U является только функ-
цией координат. Волновые функции определяются уравнением
Шредингера
v ®	(Wn — U) = О
только в отношении их амплитуд Ф° (xyz). Временной множи-
/	w\
тель е ~1ч где = -— I не вытекает
\	h /
из этого уравнения.
Последнее, однако, легко видоизменить таким образом, чтобы
оно определяло полностью, т. е. не только по отноше-
нию к координатам, но и по отношению ко времени.
Это можно сделать, воспользовавшись тем обстоятельством, что
произведение Wn^jn = №^пе~ 2 "ф равно —	и заме“
Z 01
няя, соответственно этому, энергию Wn в уравнении Шредингера
h д .	,	, о 2г w,‘ t ,
оператором — — . z--. Функция = Ф„е_т будет тогда
частным решением обобщенного уравнения
v2H
8ir ‘2zzz0 /
h д
2 тс/ dt
UU — 0
(96)
которое имеет место для любой из функций поскольку
оно не содержит характеристических значений энергии Wn. Об-
щим решением уравнения (96), вследствие его линейности,
194	Глава 3. Волновая механика
является функция типа ф==£глфл с произвольными по-
стоянными коэфициентами сп.
Следует заметить, что это уравнение приложимо также к
тому случаю, когда потенциальная энергия U содержит
время явно. В этом случае частные решения типа гармони-
ческих колебаний, соответствующие стационарным состояниям,
не существуют.
Заменим теперь функцию U в (96) суммой	Урав-
нение (96) можно теперь переписать следующим образом:
(96а)
Попробуем представить решение полученного уравнения в той. же
самой форме ф — S сп^п> как и прежде, полагая при этом, что фл—
частные решения не уравнения (96а), а попрежнему уравнения (96),
т. е. представляют стационарные состояния, соответствующие по-
тенциальной энергии /7, а не UU'. Функцией ф можно будет удо-
влетворить уравнению (96а), если определить коэфициенты сп не как
постоянные величины, а как определенные функции времени cn(t)
принимающие заданные значения начальный момент / = 0.
Чтобы найти эти функции, мы подставим выражение
<9бь)
п
в (96а) и примем во внимание, что при постоянных значе-
ниях сп решение (96а) удовлетворяло бы уравнению (96). Тогда
мы получим
2	0.	(97)
Произведение /7фп можно теперь разложить в ряд вида
(97а)
k
с коэфициентами зависящими только от времени, но
не от координат. Действительно, умножая (97а) на фш* и инте-
грируя по объему всего пространства мы получим вследствие
§18. Волномеханическая теория переходных процессов 195
свойства ортогональности (87) функций ф* и условия норми-
ровки (84b)
f^mU'^ndv=U'mn.	(97b)
Таким образом коэфициенты Ufkn являются не чем иным, как
матричными элементами энергии возмущения U'.
Если U' не содержит времени явно, они сводятся к гармони-
ческим функциям времени
V kn - U Ten е •
В противоположном случае зависимость их от времени имеет более
сложный характер.
Подставляя (97а) в (97), мы имеем
^•2
п	п k
или, заменяя в первой сумме индекс суммирования п через k и
изменяя порядок суммирования во втором члене
2	+2и,<пСп^ ~0<	<98)
k \	п
Если это уравнение помножить на ф^* и проинтегрировать по
всему пространству, оно сведется к уравнению
^"+2Хл=».	<98а>
п.
так как выражение в скобках в (98) не зависит от коорди-
нат (в виду ортогональности и нормальности функций фот). Это
и есть система уравнений, определяющая иско-
мые коэфициенты Эти уравнения были выведены
Дираком в 1926 г.
Чтобы найти вероятность переходов из некоторого опреде-
ленного состояния фд, в котором система по предположению
находится в начальный момент времени t =s О, в другие со-
стояния, мы должны положить c/f° = l, а все другие cnQ при-
196
Глава 3. Волновая механика
равнять нулю. В этом случае уравнение (98а) сводится при-
ближенно (для достаточно малых значений f) к уравнению
dcm _
dt h U mk>
что дает после интегрирования

(98b)
О
Таким образом мы видим, что начальная скорость изменения
коэфициентов ст, соответствующая переходам	где k
обозначает начальное состояние системы, пропорциональна ма-
тричному элементу U'mk энергии возмущения Uf. Отсюда следует,
что вероятность перехода отнесенная к данному моменту
времени t и измеряемая приращением |tfm(0|2, т. е. самим ^m(Ci2
(поскольку при / = 0, ст было равно нулю), должна быть про-
порциональна \и'mk\2 или, точнее, квадрату модуля интеграла
t
f U'mkdt.
о
Если энергия возмущения не содержит времени явно, мы
имеем
/	/ -о t	Р	,
и-мЛ1 = и~л <Н = 1ГЛ !
так что
е х
(99)
Временной множитель в этом выражении представляет собой вообще
осциллирующую функцию, которой соответствуют колебания
С/п(0 около малого среднего значения
U'mk_
wn-wk
§ 18. Волномеханическая теория переходных процессов 197
или около среднего значения
_______________________	9 77'0 J2
В случае Wm — Wk, т. е. = О,
мы имеем
2 Ttl
Cm(t)	--- U
так что cm(t) монотонно возрастает со временем. Вероятность
перехода k->m, отнесенная к единице времени, определяется
в этом случае формулой
^1мо12=7^1	(99b)
тогда как среднее значение этой вероятности при Wm ф Wk
близко к нулю. Таким образом переходы, вызываемые возмущением,
не зависящим (явно) от времени, имеют место главным образом
между состояниями с одинаковой энергией (т. е.
принадлежащими к „вырожденному" семейству). Так как энер-
гия стационарного состояния измеряется частотой связанных с
ним колебаний, то про такие состояния говорят, что они нахо-
дятся в резонансе друг с другом. Напомним, что они
должны быть альтернативными, т. е. удовлетворять соотношению
ортогональности
Возможность переходов между состояниями с различной энер-
гией кажется на первый взгляд противоречащей принципу сохра-
нения энергии. Такой вывод является, однако, ошибочным, ибо
в действительности энергия системы определена неточно, без
учета энергии возмущения U\ которая считается ответствен-
ной за переходы между состояниями, соответствующими только
потенциальной энергии U, Точное описание возмущенного дви-
жения должно базироваться на полной потенциальной энергии
U U’, и конечно, между состояниями, соответствующими этой
полной потенциальной энергии, не должно быть никаких пере-
ходов.
198
Глава 3. Волновая механика
Вероятности переходов характеризуются недиагональными
матричными элементами энергии возмущения. Диагональные
элементы U' nn = U'Qnfl имеют очень простой смысл р том случае,
если невозмущенная система не вырождена (т. е. если различные
состояния принадлежат различным значениям энергии IF)
или если матричные элементы U' для различных (вырожденных)
состояний, принадлежащих одному и тому же значению энергии,
исчезают, так что переходы между ними невозможны. В этом
случае имеется одно-однозначное соответствие между „при-
ближенными" стационарными состояниями, представленными
функциями и действительными стационарными состояниями,
определенными на основании полной потенциальной энергии
U-J- U*. При этом и'пп приблизительно равно разности соответ-
ствующих значений энергии:
AWn = U\n = f UfMn*dV.	(100)
Этот результат находится в согласии с хорошо известной тео-
ремой классической механики, согласно которой добавочное
значение энергии Wt обусловленное возмущением, равно сред-
нему значению энергии возмущения для соответствующего не-
возмущенного движения. Из соотношения „симметрии" |U°тл|2 —
= \U'Qkm\2 следует, что вероятность перехода
равна вероятности обратного перехода m-+k. Это
и есть закон обратимости, уже отмеченный выше и установ-
ленный в § 12 для переходов, которые можно описать как про-
хождение через некоторое силовое поле.
Другой важной иллюстрацией теории переходов, набросанной
в этом параграфе, мбжет служить случай возмущающей силы,
гармонически колеблющейся со временем. Для конкретности
мы рассмотрим электрическое поле монохроматических свето-
вых волн частоты v; тогда на связанный электрон будет дей-
ствовать в направлении, скажем, оси х-ов сила eEQ cos 2ку/.
Амплитуду Eq напряженности электрического поля можно считать
величиной постоянной, т. е. не зависящей от координат элек-
трона, если длина световой волны гораздо больше, чем размеры
атома, т. е. чем линейные размеры той области, в которой
§18. Волномеханическая теория переходных процессов 199
функции заметно отличны от нуля. При этих условиях, ко-
торые действительно выполняются для случая волн обыкновен-
ного света, действие последних эквивалентно действию осцил-
лирующего электростатического поля.
В нашем случае энергия возмущения U' определяется фор-
мулой
U = — xeEQ cos 2kv^ =-------( e e ) (101)
(так как — равно возмущающей с ле). Таким образом мы
получаем
U,mk — — xmkeEQ cos 2zv/
или
U'mk= —	( e i2^k+^ e	}	(101a)
2	\	*
и, следовательно, согласно (98a),
c"w =-----

l^mk	1
W —V
(101b)
Непосредственным следствием этих уравнений является тот факт,
что вероятность „вынужденного" перехода k->m, вызванного
действием света, пропорциональна вероятности соответствую-
щего самопроизвольного перехода	если Wk > Wm или
m~>k, если Wk < так как обе вероятности пропорцио-
нальны квадрату модуля (в случае самопроизвольного пе-
рехода, принимается во внимание излучение, возникающее от
колебаний в направлении х). Другим непосредственным выво-
дом из (101b) является то обстоятельство, что вероятность вы-
нужденного перехода k-+m равна вероятности обратного пере-
хода tn-+k (при воздействии одинаковым светом). Если Wm > Wk,
то первый из этих переходов означает поглощение света, а вто-
рой-— вынужденное или „индуцированное" излучение. Обе ве-
роятности имеют заметную величину лить в том случае, если
выполнено одно из „резонансных условий*
W-J-» = 0 или — v=0,
200
Глава 3. Волновая механика
которые практически сводят (101b) к
= — ^eEo^mkt-	(101с)
Если Wm > Wk, т. е. > О, то первое из вышеприведенных
условий отпадает, и мы должны иметь v = w или, так как
_ Wm-Wk
'>mk~ h
\Vm—\V^'r In,
что представляет условие Бора для поглощения света. Это по-
глощение связано с преобразованием кванта энергии излучения
в механическую энергию. В противоположном случае мы по-
лучаем „индуцированное излучение" светового кванта при
условии
Wm = Wk — Av.
Нужно заметить, что наши соображения о поглощении или испу-
скании света в форме одного кванта являются косвенными заклю-
чениями, которые необходимо было бы подкрепить непосредствен-
ным определением электромагнитного поля, возбуждаемого иссле-
дуемым движением. Далее, интересно отметить, что специфи-
ческие свойства света не сказываются в предыдущем анализе,
так как свет трактуется фактически как осциллирующее электро-
статическое поле. Поэтохму, если мы желаем придерживаться
концепции световых квантов или фотонов, мы должны связывай
их не только с бегущими электромагнитными волнами, но и
с колеблющимся эл/ктростатическим полем и вообще с гармо-
нически колеблющейся силой любого другого характера. Этот
вывод, повидимому, приводит к тому результату, что световые
кванты должны рассматриваться как чистая фикция, совершенно
необходимая, однако, поскольку мы рассматриваем материю с
корпускулярной точки зрения, причем эта точка зрения в конце
концов также может оказаться фиктивной.
Уравнение (101с) показывает, что вероятность поглощения
света, т. е. вероятность оптического возбуждения атома (так
же как и „индуцированного" излучения), отнесенная к еди-
§ 18. ВОЛНОМЕХАНИЧЕ .КАЯ ТЕ РИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 201
б/ ।
нице времени, иными словами измеряемая величиной — | ст |2,
должна быть пропорциональна времени t. Этот результат проти-
воречит экспериментальным фактам, согласно которым относи-
тельное число атомов, возбуждаемых в единицу времени светом
данной интенсивности, пропорционально этой интенсивности и
вовсе не зависит от времени (при этом предполагается, что до
возбуждения все атомы находились в одном и том же состоя-
нии, например в нормальном). Это расхождение между экспери-
ментом и теорией (которая, однако, правильно передает зависи-
мость вероятности перехода от интенсивности, так как послед-
няя пропорциональна Eq2) объясняется тем, что в действитель-
ности свет никогда не бывает строго монохроматическим, как
мы предполагали выше, а всегда представляет собой смесь раз-
личных частот, обнимающую небольшую спектральную область
(этим обусловливается ширина спектральной линии). Таким обра-
зом условие резонанса = v не может быть точно выполнен-
ным; другими словами, резонанс между частотой перехода и
частотой световых колебаний никогда не является точным.
Если интенсивность света, измеряемую квадратом амплитуды
электрических колебаний и отнесенную к интервалу частот Jv
I £w(0 |2 нахождения
выразится формулой
- 1 2 ,
----- Е\ау,
обозначить через E2ch, то вероятность
атома в момент t в возбужденном состоянии
получаемой из (101с) опусканием первого члена в скобках
(который не дает ничего существенного для cm(t) при больших зна-
чениях /), возвышением в квадрат и заменой Е2^ через E\dv.
Замечая, что множитель
*2п(^mk ~	___ ।
^mk
— 4 sin ~ v)i‘
(w—v)2
в подинтегральном выражении для не слишком малых значе-
ний t имеет очень острый максимум при v = мы можем при
интегрировании заменить другой множитель Е^ его значение**
202
Глава 3. Волновая механика
для v — ymki и интегрирование по v или, лучше, по разности
v— W произвести практически в пределах от —оо до -|- со.
Полагая	— мы получаем при этом
-роо
Л-5!"; л=г
J (ymk—v)3	J ¥
— оо
так что
=	(Ю2)
спектральном
Разделив это выражение на /, мы получаем не зависящую от вре-
мени вероятность перехода, отнесенную к единице времени.
Если вместо Е\ Л ввести среднее значение объемной
плотности энергии электрических колебаний в
интервале c/v, т. е.
^-2 8к ‘f,= S^eV-
эту вероятность можно выразить в форме
I mk —	(102а)
где
Bmk==Вкт.	(102b)
Коэфициент Bkm, относящийся к обратному переходу, соответ-
ствует индуцированному излучению света атомом, предварительно
возбужденным. Эти коэфициенты также были введены Эйнштей-
ном в 1917 г. одновременно с коэфиииентом Ат^ характери-
зующим вероятность самопроизвольного перехода tn-*k. Срав-
нивая (102а) с выражением (93) для Amk, мы получаем следую-
щее соотношение:
Amk_	__ 8тсЛ
Bmk~	}
где — длина волны поглощаемого или излучаемого света.
Это соотношение (было получено Эйнштейном без знания коэ-
фициентов А и В в отдельности, посредством статистического
рассмотрения с помощью формулы излучения Планка (см. гл. 7)*
§ 18. Волномеханическая теория переходных процессов 203
В предыдущей теории мы предполагали, что электрические
колебания в падающем свете параллельны оси х-ов. В случае
естественного света, не имеющего определенного направления
распространения и поляризации, среднее значение энергии
электрических колебаний в определенном направлении должно
быть равно одной трети полной спектральной плотности р
(умноженной на Заменяя р в (102а) через J.-p, мы получим
О
случая (случай изотропного излучения, к которому
и относится теория Эйнштейна) следующее выра-
для этого
собственно
жение:
~ ЗЛ2
(103)
и
8itAv3mft
Bmk &
(93) для коэфициента было получено нами
(103а)
Выражение
в предыдущем параграфе косвенным путем — посредством срав-
нения с классической теорией „вероятного" электромагнитного
поля, создаваемого электроном. Представляется возможным, по
крайней мере, принципиально вывести это выражение для Amk
способом, аналогичным примененному выше при выводе коэф и-
циента Вт^ т. е. рассматривая силу лучистого трения, действую-
щую на электрон, как возмущающую силу, и определяя энергию
возмущения U' для частного случая движения, параллельного
оси а-ов, формулой
, „	2е2 d3x
U ~ Зс3 Х' dfi'
которая получается из (101), если внешнюю силу еЕ заменить
„собственной силой" (95). Однако мы сразу же наталкиваемся
на ряд затруднений, и в часности на вопрос о том, какой смысл
имеет производная по времени в волновой механике.
Вероятности перехода играют в волновой механике
столь же важную роль, как и вероятности локализа-
ции, изученные нами раньше. Матричные элементы fmn некото-
рой функции f (х, у} z, Z), представляющей причину перехода
204	Глава 3. Волновая механика
(т. е. энергию возмущения), так же относятся к соответствую-
щим вероятностям перехода, которые пропорциональны |/w/z|2,
как волновые функции к соответствующим вероятностям ло-
кализации |	| 2.
Матричные элементы fmn (с надлежащим образом выбран-
ными коэфициентами) можно было бы таким образом опреде-
лить как „амплитуды“ вероятностей перехода. Очевидно, да-
лее, что вместо закона сложения классической теории вероят-
ностей должен иметь место закон сложения или „суперпозиции"
для амплитуд вероятностей, относящихся к альтернативным
переходам между одними и теми же состояниями, что связано с
появлением интерференционных членов в окончательном выраже-
нии для вероятности (именно, для вероятности осуществления
перехода одним из альтернативных способов).
Этот интерференционный эффект вероятностей перехода
можно иллюстрировать следующим примером. Предположим, что
переходы вызываются двумя типами возмущающих сил с потен-
циальными энергиями f и g. „Амплитуда вероятности" для пере-
хода т—> п, вызванного комбинированным действием этих двух
сил, будет равна, согласно (94), сумме fmn-\-gmn, где первый
член относится к переходу, вызванному силой /, а вто-
рой соответствует переходу под действием силы g. Механизма
этих переходов мы не будем касаться. Единственное, что необ-
ходимо знать о них,—это то, что их можно рассматривать как
альтернативные переходы. Результирующая вероятность перехода
(для любого из двух^ возможных механизмов) будет пропорцио-
нальна произведению
(fmn	(fmn + gmn) = \fmn^ | gmn |3 “Ь (fmngnm~\~fnmgmn)t
причем последний член представляет упомянутый интерферен-
ционный эффект.
В качестве второго примера можно рассмотреть „комбиниро-
ванные переходы" из состояния т в состояние п через любое из
ряда промежуточных состояний $. Предположим для общности, что
первый этап этого, перехода (т—► $) вызывается возмущающим
фактором /, а второй (5—другим возмущающим фактором g.
Так как эти этапы независимы, то амплитуда вероятности пол-
§ 18. Волномеханическая теория переходных процессов 205
ного перехода т —► п при определенном 5 будет равна про-
изведению fmsgsn- Переходы т—отличающиеся друг от дру-
га промежуточными состояниями 5, нужно, очевидно, считать
альтернативными. Таким образом результирующая вероятность
перехода при комбинированном действии f и g (/ должно сто-
ять на первом месте, a g— на втором), которую мы обозначим
через {fg^mn, будет равна:
— S?тч gsn*
s
Это равенство можно вывести из определения (94) матрич-
ных элементов (так называемый закон умножения мат-
р и ц). Его удобно иллюстрировать на явлении диффракции ка-
тодных лучей. Если представить себе падающие электроны, ко-
торые отражаются от ряда равноотстоящих плоскостей, образующих
кристалл, то можно считать, что при соприкосновении с какой-ни-
будь из этих плоскостей электрон находится в промежуточном со-
стоянии $, тогда как т представляет начальное положение элек-
трона (например, в испускающем катоде), а п — конечное поло-
жение (на флуоресцирующем экране или на фотографической
пластинке). Интерференционная картина, наблюдаемая на фото-
пластинке, обусловливается „интерференцией*4 различных ампли-
туд вероятностей в выражении | {fg)mn |2 Для результирующей
вероятности перехода.
В заключение добавим несколько слов о физическом смысле
переходных процессов в той форме, как они определяются и
трактуются в волновой механике. Последняя не пытается описать
течение этих процессов во времени, подобно классическому опи-
санию, где все промежуточные этапы появляются как непрерыв-
ный и совершенно детерминированный ряд точно определенных
состояний. На самом деле, время совершенно не входит в опи-
сание переходов в волновой механике. Это не значит, как
часто думают, что переходы эти не требуют време-
ни, а осуществляются в виде мгновенного скачка
из одного состояния в другое. Это означает только,
что элемент времени не играет никакой роли в нашем описании
переходов, поскольку их течение во времени не может быть про-
206
Глава 3. Волновая механика
слежено. Время появляется в теории переходов волновой меха-
ники только в связи со значениями вероятностей переходов,
которые, как мы видели, нужно относить к некоторому опре-
деленному промежутку времени.
§ 19. Векторные волны. Поляризация света и „спин“
(осевое вращение) электрона.
Одно существенное обстоятельство, которое возникает при
сопоставлении корпускулярной и волновой концепции, можно
проиллюстрировать на том оставленном пока в стороне факте,
что световые волны характеризуются с „качественной" точки
зрения не только их частотой v и волновым вектором к, но
также и их поляризацией. На языке электромагнитной те-
ории последнюю можно определить направлением электрического
вектора волны или положением плоскости, содержащей этот вектор и
прямую, по направлению которой распространяется волна. Это опре-
деление предполагает, что плоскость электрических колебаний
остается фиксированной (плоско-поляризованный свет). Для нас
является важным то обстоятельство, что для одних и тех же зна-
чений v и к существуют два типа световых волн, поляризо-
ванных во взаимно перпендикулярных направлениях (плоскостях),
и что суперпозицией последних можно представить любую другую
элементарную, т. е. плоскую, гармоническую волну с теми же
параметрами v и к и с поляризацией любого типа (плоско- или
эллиптически-поляризов^нные волны). Мы видим таким обра-
зом, что для полной спецификации элементарной световой вол-
ны нужно к двум вышеприведенным параметрам прибавить еще
третий, скажем $, который может принимать только два
значения, связанных с двумя альтернативными направления-
ми— или „состояниями"—поляризации. Эти значения можно
произвольно фиксировать, например, полагая $= -[- 1 и $ =— 1.
Число з можно назвать „поляризационным числом"; оно имеет
такое же значение д/я характеристики волн, как v и к, с той
существенной разницей, что область его изменения ограничена
двумя значениями, тогда как v и к могут принимать бесконеч-
ное число различных значений. В случае стоячих световых волн,
§ 19. Векторныё волны
20,7
замкнутых в ящике с идеально отражающими стенками, вели-
чины v и к (или соответствующие им корпускулярные величи-
ны— энергия e—Av и импульс g —Лк) определены тремя кван-
товыми числами пх, пу, nZl принимающими все целые значения
от 0 до оо. К ним мы должны присоединить s в качестве
четвертого квантового числа с двумя допустимыми
значениями -}-1 и —1.
Этим, однако, вопрос не исчерпывается. Три квантовых чи-
сла пх, Пу, nz или три определяемые ими проекции импульса g
на координатные оси связаны с тремя координатами х, у, г,
которые являются (на ряду с временем t) независимыми перемен-
ными соответствующей волновой функции tynxnvnz (х, У, z). Эта
связь, как мы видели выше, не является чисто формальной: меж-
ду „связанными" друг с другом величинами существует „сопря-
жение", подразумевающее невозможность одновременного опре-
деления их значений. Это „антагонистическое" соотношение меж-
ду ними иллюстрируется тем, что при данных значениях gx gv gz
мы можем определить лишь вероятности тех или иных значе-
ний координат х,_у, г. Поэтому представляется естественным приба-
вить к этим трем координатам четвертую С, которая должна со-
ответствовать 5 в том же смысле, в каком х соответствует gx
или пх. Но так как s может принимать только два значения, то
новая „координата" должна быть ограничена также двумя зна-
чениями, которые можно также произвольно фиксировать. Мож-
но, например, взять те же самые значения 1 и — 1, как и
для s. Не следует, однако, думать, что существует какое-либо
соответствие между этими значениями С и значениями
Подобно тому как х может принимать все возможные значения
при данном значении gx или пХ1 точно так же и С может при-
нимать „всевозможные значения", т. е. и -|- 1 и —1 для фик-
сированного значения s (-}-1 или —1).
Волновые функции, описывающие не только длину волны и
направление распространения света, но также и его поляриза-
цию, должны таким образом иметь вид
^nxnyHzs У» Zi С)	(104)
(время t здесь опущ.но).
208
Глава 3. Волновая механика
Четвертую координату С можно рассматривать как эквива-
лентную добавочному индексу, служащему для замены одной
исследовавшейся до сих пор функции i(x у г) двумя различ-
ными волновыми функциями того же типа (т. е. зависящими от
обычных координат х, у, z и, конечно, от времени f). Эги две
волновые функции
фл, ,)+1 (х, у, z) = <ря> 5 (х, у, г, 4- 1)	(104а)
,._1(х, у, Z) =	, (х, у, z, — 1)
(где п написано для краткости вместо nXi nyi nz\ можно рассматри-
вать как компоненты некоторой векторной величины. В действи-
тельности световые волны являются векторными волнами, обра-
зованными осциллирующим электромагнитным полем. Оставляя
в стороне магнитные силы, которые относительно слабы и не
играют большой роли в смысле их воздействия на электроны
(и которые соответствуют магнитному полю, численно равному
электрическому, но направленному перпендикулярно к нему), мы
можем трактовать световые волны как колебания электрической
силы (напряженности) Е и положить (поскольку функция ф не
должна быть вещественной величиной)
1 = ЕхiEy и^—\ — Ег (см. ниже).
Корпускулярная интерпретация чисел $ и С остается неопре-
деленной. Представляется, однако, естественным связать s с не-
которым вектором, определяющим поляризацию и принимающим
два направления ^например, направления поляризации), причем
величина этого вектора должна быть фиксированной. Что ка-
сается числа С, то оно просто должно определять связь фотона
С ОДНОЙ ИЗ двух ВОЛНОВЫХ функций 1 ИЛИ д— 1, которые можно
рассматривать как два „подсостоянияальтернативные (в смысле
классической теории вероятностей) относительно друг друга
С этой точки зрения вероятность нахождения фотона в одном
из двух возможных состояний поляризации в элементе объема
dV = dxdydz должна быть пропорциональной произведению dV
на плотность вероятности р, определяемую уравнением
р = |ф+1|2-|-|ф_||2.	(104b)
§19. Векторные волны	209
В самом деле, по вышеприведенному определению функций ф_|4
и 1, эта сумма сводится к Ех2Еу2Ez2 = Е2 или, вернее,
к Ецх2 Е^у2 + ^о*2 — ^о2 (где — амплитуда Е), т. е. к ве-
личине, измеряющей интенсивность света — (на корпускулярном
языке — концентрацию фотонов или, другими словами, вероят-
ность нахождения фотона в исследуемой точке).
Аналогичные рассуждения могут и должны быть применены
к катодным волнам и электронам.
Анализ структуры атомных спектров на основе теории Бора
показал, что каждому квантованному состоянию („орбите*), пред-
сказываемому этой теорией и характеризуемому тремя кванто-
выми числами пи n2t п3, на самом деле соответствуют два со-
стояния с несколько различными энергиями, образующие так
называемый „дублетный“ уровень. Эта дублетная структура бо-
ровских уровней энергии проявляется не только в числе и
положении линий испускания или поглощения, но еще более
очевидным образом в распределении электронов между различ-
ными уровнями или состояниями в сложных атомах. Полуэмпи-
рически было установлено, что наиболее глубокие уровни в
таких атомах (например, уровни К или каждый из уровней
группы L и т. д.) всегда связаны с двумя электронами; дру-
гими словами, на языке теории Бора, каждая орбита, характе-
ризуемая тремя квантовыми числами п19 п2 п3) представлена
(по крайней мере, поскольку это касается внутренних орбит)
двумя электронами.
Эта двойственность была формально интерпретирована Паули
посредством введения в дополнение к трем квантовым числам
п2, п3 (соответствующим трем степеням свободы, обычно при-
писываемым электрону) четвертого квантового числа s, прини-
мающего только два различных значения.1 Эти дублетные со-
стояния можно, очевидно, считать соответствующими одним и
тем же значениям обычных квантовых чисел п2, п3 и различ-
ным значениям дополнительного квантового числа $.
1 Связь рассматриваемой двойственности с так называемым з а-
претом Паули будет разобрана в следующей главе.
210	Глава 3. Волновая механика
Таким образом в случае электронов мы встречаемся с поло-
жением, весьма аналогичным тому, которое было рассмотрено
выше в связи с фотонами.
Физический смысл четвертого квантового числа — в духе
корпускулярной концепции — был указан в 1925 г* Уленбеком
и Гаудсмитом, которые показали, что „явление двойственности"
может быть объяснено количественным образом, если трактовать
электрон не как точечный заряд, а как маленькую наэлектризо-
ванную сферу, вращающуюся с постоянной угловой ско-
ростью вокруг оси, которая может принимать две противо-
положные ориентации; последние зависят от условий,
определяющих характер поступательного движения. Благодаря
присущему ему осевому вращению или, по английской терми-
нологии, спину, электрон должен обладать угловым моментом
(моментом количества движения) и пропорциональным ему ма-
гнитным моментом, которые должны складываться (геометрически)
с соответствующими величинами, происходящими от вращения
электрона вокруг ядра. Чтобы добиться согласия с эксперимен-
тальными фактами, необходимо предположить, во-первых, что
магнитный момент, вызываемый осевым вращением, равен
магнитному моменту электрона в его движении по однокванто-
вой орбите (магнетон Бора), а угловой момент — поло-
вине соответствующей орбитальной величины; во-вторых, как уже
было упомянуто выше, необходимо предположить, что при дан-
ных условиях возможны только две противоположные ориен-
тации оси электрона, например, параллельная или антипараллель-
ная оси орбиты, или — в присутствии сильного магнитного поля—
параллельная и антипараллельная направлению этого поля. Эти
две противоположные ориентации оси электрона и являются,
очевидно, теми чертами его движения, которые характеризуются
двумя значениями дополнительного квантового числа $.
Возвращаясь к описанию движения электрона в волновой
механике, мы можем следовать по пути, указываемому аналогией
между явлением двойственности для электронов (т. е. для ка-
тодных волн) и явлением двойственности для фотонов, обуслов-
ленному поляризацией световых волн. Соответственно с этим
§ 19. Векторные волны	211
мы можем себе представить, что катодные волны (связанные
с движением одного электрона) характеризуются векторной
функцией типа (104) (с квантовыми числами п2, /?8 вместо
л*, пу, или двумя скалярными функциями типа (104а), со-
ответствующими двум значениям осевой или „спйновой" коорди-
наты С, которая является сопряженной с осевым или „спино-
вым" ^вантовым числом $.
Эта точка зрения была развита Паули и особенно Дираком,
который дал полную волномеханическую интерпретацию явления
спина, допустив, что s и С принимают не два различных значе-
ния, а четыре, в согласии с требованиями теории относительно-
сти. Опуская подробное изложение этой теории (которая будет
рассмотрена во второй части), мы ограничимся сейчас лишь сле-
дующими замечаниями.
1.	В теориях Паули и Дирака электрон на самом деле трак-
туется как точечный заряд, а не как вращающаяся
сфера, и явления, приписываемые осевому вращению, обусло-
влены тем, что движение электрона характеризуется не одной,
а двумя (согласно Паули) или четырьмя (согласно Дираку) вол-
новыми функциями, зависящими от обычных координат х, у, z
(и, конечно, от времени /).
2.	Четыре значения осевого квантового числа в теории
Дирака отнюдь не соответствуют замене двух возможных
ориентаций электрона четырьмя, но представляют собой резуль-
тат „удвоения" каждого из тех двух состояний, которые со-
ответствуют противоположным ориентациям оси электрона.
Это удвоение происходит вследствие того, что в релятивист-
ской волномеханической теории электрона, на ряду с обычным
положительным значением собственной энергии электрона
е0=/л0с2 допускается также противоположное отрицательное зна-
чение ее.
Этот результат соответствует неопределенности в знаке квад-
ратного корня в релятивистском выражении для энергии в сво-
бодного электрона в функции его импульса g:
в = ±2С|/(/И0С)а-|-£*,
212
Глава 3. Волновая механика
g2
которое получается из уравнения — g2 = нц2 с2 и которое
можно переписать в форме
где v скорость электрона.
В корпускулярной теории отрицательный знак опускается на
том основании, что соответствующее выражение „не имеет фи-
зического смысла". В самом деле, электрон, движущийся со-
гласно релятивистской механике с некоторой положительной соб-
ственной энергией е > 0, никогда не сможет перейти в „необык-
новенное" состояние с собственной энергией е < 0, какие бы
силы на него ни действовали, ибо наименьшее значение первой
(е = -|- mQ с2) отделено от наибольшего значения второй
(е —— т0с2) (оба значения соответствуют ^ = 0) промежутком
2т0 с2, через который нельзя перекинуть мост. Совершенно
иное положение мы встречаем с точки зрения волновой механи-
ки, ибо последняя допускает не только действительные, но так-
же и мнимые значения импульса g, а следовательно и
скорости v (напомним, что такие мнимые значения встречаются
в корпускулярной интерпретации явления полного отражения
волн, ср. § 12). Таким образом существует возможность связать
„обыкновенные" и „необыкновенные" состояния путем перехода
электрона через промежуточные области, соответствующие мни-
мым значениям его скорости. Возмущающие силы могут на са-
мом деле вызвать переходы такого рода. Отсюда следует, что в
релятивистской волновой механике нельзя отбрасывать „необык-
новенные" состояния и что их нужно учитывать на ряду с „обык-
новенными."
Возможный физический смысл этих „необыкновенных" состоя-
ний обнаруживается в связи с тем обстоятельством, что части-
ца с отрицательным зарядом — е и отрицательной массой — т
(соответствующей отрицательной энергии — е — — тс2) в данном
электрическом поле должна двигаться точно так же, как и час-
тица с положительным зарядом е и положительной массой т-
§ 19. Векторные волны
213
Следовательно, электроны в „необыкновенном" состоянии
ведут себя аналогично протонам, если не обращать внима-
ния на разницу в абсолютных значениях их массы. Этот резуль-
тат указывает на возможность сведения протонов к „необыкно-
венным" электронам или, вернее, к местному отсутствию
подобных „необыкновенных" электронов в пространстве, прак-
тически ими заполненном. Допустим, что когда все электроны
находятся в „необыкновенных" состояниях, они настолько совер-
шенно заполняют пространство, что не существует никакого ре-
зультирующего электрического поля. Если теперь один необык-
новенный электрон будет удален из своего места, то оставленная
им „дырка" будет вызывать такое же электрическое поле, как
и протон.
Далее, под влиянием внешнего электрического поля окру-
жающие дырку „необыкновенные" электроны, а следовательно
и сама дырка будут двигаться как протон, — правда с не-
нормально малой массой.
Теория Дирака является интересной попыткой вернуться от
дуалистической концепции электричества к монистической.
В последнее время Андерсону, а также Блэккету и Оккиа-
лини в Кэвендишской лаборатории (1933 г.) удалось обнаружить
существование частиц, обладающих зарядом протона и массой,
в точности равной массе электрона. Эти „положительные элек-
троны" или „позитроны" повидимому соответствуют Дираков-
ским „дыркам". Они обнаруживаются в исключительных усло-
виях и обладают весьма кратковременным существованием, что
объясняется большой вероятностью самопроизвольного перехода
одним из „обыкновенных" электронов в освободившееся состоя-
ние с отрицательной энергией — (перехода, сопровождающегося
испусканием двух фотонов).
3.	Аналогия между световыми и электронными волнами в от-
ношении явления двойственности оказывается очень неполной.
Существование поляризации в случае световых волн связано с
поперечным характером образующих их электромагнитных коле-
баний. В случае электронов волновые функции ф (С) не могут
быть связаны с определенными направлениями в пространстве
214
Глава 3. Волновая механика
так что вопрос о направлении колебаний, определяемых
функцией ф (С), не имеет смысла.
Некоторыми физиками, в частности Иоффе и Руппом, при-
менялся для анализа поляризации катодных лучей аппарат с двумя
вращающимися зеркалами (того же типа, какой применял Фре-
нель для получения и анализа поляризованного св^та); эти
опыты привели, однако, к совершенно отрицательным результатам.
Вообще следует констатировать тот факт, что аналогия между
световыми и материальными волнами, как бы далеко она ни
шла, рано или поздно обрывается и может приводить к ложным
заключениям, если преувеличивать ее значение. Совершенно
подобную картину мы имеем в аналогии между световыми и зву-
ковыми или упругими колебаниями. Эта аналогия оказалась очень
полезной при установлении волновой теории света, несмотря
на то, что природа звуковых и световых явлений совершенно
различна. Однако, попытки сохранить эту аналогию после уста-
новления электромагнитной природы света, т. е. построить элек-
тромагнитную теорию света на основе старого представления о
заполняющем пространство световом „эфире", являются реак-
ционными и в лучшем случае совершенно бесплодными.
Глава 4.
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ.
§ 20. Метод экземпляров.
В волновой механике одной частицы часто бывает удобно
пользоваться (как мы уже делали раньше) статистическим
описанием, которое заключается в рассмотрении совокупности
большого числа „экземляров" этой частицы, распределенных в
пространстве, или между различными состояниями движения,
таким образом, чтобы относительное число экземпляров в
данном элементе объема (dV) или в данном состоянии (фл),
было бы пропорционально вероятности найти один из них, т. е.
единственную частицу, которую они представляют — в этом
элементе объема	или в этом определенном состоянии
(|сл|2). Абсолютное значение числа экземпляров в совокупности
несущественно; например, мы можем представить себе, что
экземпляры заполняют пространство сплошным образом (конти-
нуум экземпляров), так что число их не только бесконечно,
но и неисчислимо Вероятности |ф|2^/ и |сл|2 измеряются отно-
сительным числом экземпляров в элементе объема dV или
состоянии
Если, как это имеет место в случае связанной частицы, эти
вероятности можно нормировать к единице
J|<!,|W=1, ЕЫ2=1,
то общее число экземпляров можно также принять за единицу.
Такое статистическое описание поведения частицы можно
выполнить двумя, внешне различными, но практически эквива-
лентными способами. А именно, можно вообразить, что все
экземпляры движутся в одном и том же (общем)
силовом поле, включая, конечно, источник последнего, т. е.
положительное ядро в случае атома водорода и ящик с отражаю-
216
Глава 4. Волновая механика системы частиц
щими стенками — в случае электрона, „заключенного" в подобном
ящике; или же, что каждый экземпляр движется в
своем собственном поле, создаваемом отдельным ядром
или образующем отдельный ящик. Первая картина допу-
скает статистическое толкование как вероятности поло-
жения |^|2rfV, так и вероятности состояния |сл|2;
вторая — одной лишь вероятности состояния. В тех
случаях, когда нас интересует не положение частицы относи-
тельно источника силового поля, в котором она движется, а
только вероятности различных квантованных состояний или ве-
роятности переходов между этими состояниями, обычно бывает
предпочтительной вторая картина. Ею можно также воспользо-
ваться для описания системы тождественных частиц, находящихся
в одном и том же общем силовом поле, если только можно пре-
небречь взаимодействием этих частиц друг с другом и таким
образом трактовать их как экземпляры одной и той же частицы.
Возможность говорить о разных элементарных частицах —
например разных электронах — как о реальных экземплярах од-
ной и той же частицы основывается на тождественности эле-
ментарных частиц, из которых состоит вселенная (если не при-
нимать во внимание различие между электронами и протонами)—
тождественности, которую следует считать основным и весьма
важным законохм природы. Таким образом мы естественно при-
ходим к вопросу о том, нельзя ли воспользоваться тождествен-
ностью всех элементарных частиц, составляющих данную мате-
риальную систему для того, чтобы трактовать эти частицы как
) экземпляры одной частицы данного сорта. Конечно, приведен-
ные выше соображения следует видоизменить таким образом,
чтобы принять в расчет существование этих „материализован-
ных духов" в совершенно определенном постоянном числе,
скажем N, а также оказываемое ими друг на друга действие.
Однако эти два обстоятельства не так важны по сравнению
с главной (хотя менее заметной) отличительной чертой этого
способа, которая заключается в том, что рассматривая N частиц как
экземпляры одной частицы, мы лишаем их индивидуаль-
ности, т. е, отказываемся от возможности различить друг от
§ 20. Метод экземпляров
217
друга две „ разные “ частицы или, другими словами, возможность
отождествить „одну и ту же" частицу в различные моменты
времени. Это обстоятельство выступает более отчетливо, если
мы примем в расчет характер тех сведений, которые мы можем
получить относительно нашей системы частиц, рассматривая все
частицы как экземпляры одной из них. Эти сведения сводятся
к вероятному числу частиц в данном объеме или в данном
состоянии. Какие именно частицы окажутся в этом объеме
или в этом состоянии — вопрос, на который нельзя ответить.
В самом деле, вся система частиц характеризуется одним
комплектом координат х, у, z (а также четвертой координа-
той С для „оси" или поляризации), относящихся к любой из
частиц. Поэтому, прежде чем применять способ экземпляров
к системе одинаковых частиц, мы должны спросить себя, оправ-
дывается ли такая полная „коллективизация" этих частиц с точки
зрения волновой механики отдельных частиц, или же нет.
Следует отметить, что она наверное не может быть оправ-
дана с точки зрения классической механики. В классическом
описании системы N одинаковых частиц последние считаются
„различными" в том смысле, что можно, по крайней мере в прин-
ципе, отлич ть их одну от другой; это можно сделать, например,
следя за их движением от некоторого начального момента, когда
они могли быть так или иначе занумерованы, например, путем
присвоения каждой из них одного определенного числа из ряда
1,2... W или же отдельного комплекта координат, занумеро-
ванных соответствующим образом. Однако такое „прослежива-
ние" отдельных частиц в их предполагаемом движении считалось
возможным до тех пор, пока не возникал вопрос о справедли-
вости основного принципа классической механики — прин-
ципа детерминизма, в применении к элементарной частице.
Сохранение индивидуальности среди множества одинаковых ча-
стиц является таким образом следствием этого принципа.
Положение вещей представляется совершенно другим с точки
зрения волновой механики. Тут невозможно проследить судьбу
какой-либо частицы и даже мыслить о ее движении как об опре-
деленном перемещении в пространстве. Если даже частица свя-
218 Глава 4. Волновая механика системы частиц
зана с волновым пакетом, то мы не можем ни точно локализовать
ее, ни определить точно ее скорость. Эта неопределенность на
языке классических состояний соответствуег эффективному
объему фазового пространства, равному (по крайней мере, по
порядку реличины) Л3. Поэтому, если вместо одной частицы
мы рассматриваем систему N таких частиц, мы должны отка-
заться от всяких попыток „отождествления" или „дифференциро-
ванияи и% и описывать состояние всей системы так, как если бы
мы имели дело с совершенно неразличимыми друг от друга
экземплярами одной единственной частицы.
Этот результат, представляющий собою следствие волновой
механики, мы будем называть в дальнейшем принципом
тождественности. Он заключается в признании очень про-
стого и фундаментального факта, что частицы, тождественные
по своей природе, нельзя отличить друг от друга по их поло-
жению (или движению), так как последнее в действительности
неопределенно и может быть описано лишь в терминах теории
вероятностей. В дальнейшем мы познакомимся с важными след-
ствиями, вытекающими из этого факта в связи с некоторыми
статистическими вопросами.
Возвращаясь к тому видоизменению обычного метода экзем-
пляров, которое нужно внести для применения его к системе
одинаковых частиц^мы рассмотрим сначала изменение, необхо-
димое дл0 выражения того факта, что число частиц (экземпля-
ров) имеет постоянное целое значение (7V). Взаимодей-
ствия мея^ДУ частицами мы пока в расчет принимать не будем.
Во многий случаях этим взаимодействием можно практически
пренебречь, например в случае пучка катодных лучей или эле-
ктронного газа достаточно малой концентрации. Такой эле-
ктронный газ можно представить себе заключенным в „ящик",
подобный тому, которым мы пользовались в § 11 в связи
с одним электроном, или же тяготеющим к ядру с очень большим
положительные зарядом (много больше заряда всех электронов,
вместе взятых). Возможность вышеупомянутого изменения выте-
кает из того, что в волновой механике одной частицы абсо-
лютное значение функций фд, представляющих стацио-
§ 20. Метод экземпляров
219
парные состояния, или же коэфициентов в сложной
функции ф = остается произвольным. Эту про-
извольность нужно, очевидно, устранить, введя для этих вели-
чин дополнительное условие, которое выражало бы то обстоя-
тельство, что мы имеем дело с определенным числом N реальных
частиц. Это можно проще и естественнее всего сделать, сохранив
обычное условие нормировки для волновой функции относя-
щейся к стационарным состояниям индивидуальной частицы,
(здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно
случай связанных частиц), и потребовав, чтобы величины
принимали только целые значения, представляющие дей-
ствительные числа частиц, находящихся в соответствующих со-
стояниях. Мы напишем это условие следующим образом (за-
меняя малые буквы с на большие):1
	зд=м,	(105)
где		(105а)
	k	
Функция	Т = 2С?4* k	(105b)
будет, следовательно, нормирована в смысле уравнения
j 4W*dV = N,
тогда как величина	будет давать вероятное число
частиц в элементе объема dV, а не вероятность положения
одной частицы, находящейся по предположению в одном из
альтернативных состояний Эта вероятность положения вы-
ражается в настоящем случае функцией
1	Ch
= iz «7 'г = ?	+'	(1 °5с)
у N k у N k
с амплитудными коэфициентами которые должны относиться
между собой как целые числа № (причем сумма их должна
равняться 1).
> равно целому числу (включая ноль). У —общее число частиц.
220 Главя 4. Волновая механика системы частиц
Изложенные выше положения можно иллюстрировать квантовым
описанием излучения (например теплового излучения), заключенного
в ящик с вполне отражающими стенками. С корпускулярной точки
зрения это излучение можно рассматривать как идеальный газ, со-
стоящий из некоторого числа фотонов в различных квантован-
ных состояниях движения. Напомним, что эта Жвантован-
ность является результатом (или вернее эквивалентом) условий
совпадения узловых поверхностей стоячих световых волн,
связанных с фотонами, со стенками ящика. Однако кроме
„качественного" квантования, служащего для определения „ка-
чества", т. е. энергии и количества движения „различных" фо-
тонов (в действительности они настолько же тождественны, как
и „различные" электроны в электронном газе; „качественная"
разница между ними состоит только в различии в характере
их движения), нужно произвести еще другой процесс квантова-
ния для того, чтобы число фотонов, связанных с каждым
из квантованных состояний, было бы целым числом или нулем.
Это второе квантование, очевидно, сводящееся к условию (95),
мы будем называть (за неимением лучшего обозначения) „коли-
чественным квантованием". Применение термина „квантование"
к определению чисел Д^, характеризующих распределение ча-
стиц между различными индивидуальными состояниями, заставляет
рассматривать эти числа как некоторого рода новые квантовые
числа, по существу подобные „качественным" квантовым чис-
лам п (или пХ) nVi nz), служащим для определения состояния
индивидуальных часткц. Одной из очень привлекательных черт
настоящей теории (впервые предложенной Дебаем в 1912 г. в
связи с планковской теорией излучения и далее разработанной
Дираком и Йорданом) является то обстоятельство, что она пы-
тается свести движение частицы или, точнее, всех частиц дан-
ного сорта, к системе волн — не в наивном смысле первона-
чальной теории волновых пакетов де-Брогля, но в более глубо-
ком смысле, связанном с приложением идеи квантования к ампли-
тудам различных гармонических волн, представляющих стацио-
нарные состояния.
Теорию „квантованных волн“ можно приложить не только
§ 20. Метод экземпляров
221
к световым волнам, но также и к волнам, связанным с движе-
нием тождественных частиц любого рода. Такая теория должна,
очевидно, рассматривать системы гармонических волн, предста-
вляющих различные стационарные состояния, примерно таким же
образом, как это впервые было сделано Планком в его основ-
ной работе по квантовой теории гармонического осциллятора.
Согласно теории Планка, гармонический осциллятор с частотой
колебаний у может обладать только энергией, равной целому
кратному кванта энергии Лу. Мы можем применить этот прин-
цип к каждой из систем гармонических волн, представляющих
стационарное состояние ф*, трактуя эту волновую сис-
тему как квази-материальный гармонический
осциллятор частоты у*. Частица, находящаяся в состоя-
нии, описываемом этим осциллятором, обладает энергией hvk.
В случае Nk тождественных частиц, связанных с этим состоя-
нием, мы получаем общую энергию Nkhv^
Если эта энергия приписывается не самим частицам, а гар-
моническому осциллятору, представляющему их общее состоя-
ние, то число Nk получает значение квантового числа рассма-
триваемого осцилляюра, и тот факт, что оно равно целому
числу, можно считать следствием квантовой теории.
Правда, по новой квантовой теории—или волновой меха-
нике—энергия линейного гармонического осциллятора (с одной
степенью свободы) не равна целому кратному Лу, но отличается
1 ,
от него на величину - йу. Однако, это обстоятельство, пови-
димому, не имеет большого значения. Принимая для энергии Е
квантованной волны
мы можем опре-
делить число частиц, связанных с этой волной, выражением
Е 1
2 ‘
Коэфициенты Ck в уравнении (105) суть постоянные (ком-
плексные) числа. Полагая
.	. z	v — i^bt
фл = Ф*° (Я, У, z) е ,
222
Глава 4. Волновая механика системы частиц
мы можем заменить произведение Ck фл через где
rk=Cke *	(106)
и будет как раз той колеблющейся величиной, которая позво-
ляет нам рассматривать гармоническую волновую систему как
гармонический осциллятор.
Мы не можем, однако, отождествить ее с координатой Qk
линейного осциллятора, потому что ина представляет собой ве-
личину комплексную, тогда как координата должна быть веще-
ственной величиной. Зависимость между Га и Qk можно полу-
чить из того соображения, что величина
IGP-Га гд
выра-
умноженная на Av, должна равняться энергии осциллятора,
dQb
женной в функции его координаты Qk и скорости——> или
dl
чества движения Pk = Mk~^~ (Af*—„масса" осциллятора).
коли-
Таким образом мы имеем уравнение
Ek =	(2^а)2	= Гй Г*’ fo*
2 Mk
rft 1
которому можно удовлетворить, положив
Обозначая вещественную и мнимую часть Ck через С'ц и
C“k (Са = C'k -j- iC'k}) мы получаем следующие выражения:
Pk = V^k Mk (Ck cos 2tcv^-J— Ck sin 2kv^)
Qk = Kj-' -jH1* (Gk sin ^kt — Ck cos 2тгу/Д
dQk
которые на самом деле удовлетворяют соотношению Рк — Mk
причем Q представляет собою общее решение уравнения движе-
ния гармонического осциллятора
* че лг»'
(106a)
§ 20. Метод экземпляров
223
где
Mh Qf.
&
Для того чтобы произвести указанное выше „количественное кван-
тование", мы должны заменить это „классическое" уравнение
движения соответствующим квантовым или волновым уравне-
нием
где 2 обозначает своего рода волновую функцию, определяю-
щую, как обычно, вероятность того, что Qk имеет заданное зна-
чение (точнее, произведение 2Q*. Qk должно представлять собой
меру вероятности того, что координата Qk заключается в про-
межутке dQk). Частные решения этого уравнения, обращающиеся
в нуль при Qk = — оо, будут вида
QNk=QoNbe h k	(107а)
и удовлетворяют уравнению
8л2 М„(	\
—1гЧЕъ—2кЧкMkS4"°> (107b>
которое определяет квантованные значения энергии
Мы видим таким образом, что производя количественное
квантование, мы должны рассматривать коэфициенты Г* в фор-
муле
=	z)	(108)
k
не как функции времени, заданные соотношением (106), а как
независимые переменные—в том же смысле, как и пространствен-
224
Глава 4. Волновая механика системы частиц
ные координаты х, у, z, для которых могут быть указаны лишь
вероятности 1 иметь то или иное значение.
Мы не будем останавливаться здесь на дальнейшем развитии
математической теории „количественного квантования" (которое
часто называют „вторичным" или „двойным" квантованием).
Следует заметить, что его нельзя рчитать единственным возмож-
ным способом ввести „условие целочисленности" для величин
| Ck |2. Мы рассмотрим во второй части другой способ, приво-
дящий к анологичным результатам.
Далее эти результаты нуждаются в существенных изменениях
в случае электронов, протонов или других каких-либо частиц,
повинующихся так называемому принципу или „запрету" Паули.
Этот принцип ограничивает возможные значения квантовых чисел
Nk нулем и единицей, тогда как изложенный выше способ кван-
тования не вводит верхнего предела для №. Мы возвратимся
к этому вопросу в § 22, где мы дадим подробный разбор прин-
ципа Паули.
Поскольку стационарные состояния частицы или, вернее,
системы стоячих гармонических волн, связанных с этими состоя-
ниями, могут быть представлены гармоническими осцилляторами,
гармонический осциллятор, изображающий некоторое состояние,
приходится рассматривать как нечто более фундаментальное, чем
частицу, находящуюся в этом состоянии. В частности, может слу-
читься, что состояние фа является незанятым. Это значит, что
осциллятор находится в самом низком (нормальном) состоянии QNk
с квантовым числом № = 0. Таким образом осциллятор, пред-
ставляющий данное состояние, остается даже в том случае, когда
мы никаких частиц не имеем!
В этой теории „квантованных йолн" понятие о частице ста-
новится фактически совершенно излишним, так как нам при-
ходится иметь дело только с числом частиц в качестве кван-
1 Производную Qk по времени входящую в определение со-
гласно (106а), можно заменить—как будет показано
h д
ЫМ/дЫ Действующим
ференциальным оператором
функцию* 2.
в ч. II,—диф-
на „волновую
§ 20. Метод экземпляров
225
тового числа осциллятора, характеризующего некоторого рода
„материализованное44 волновое состояние. Мы можем, конечно,
сопоставить с волнами частицы, которые движутся с энергией и
количеством движения, определенными „качественными соотно-
шениями44 e = Av и g=Ak. Однако такие частицы являются лишь
искусственным и ненужным придатком к волновой картине.
Такое сведение корпускулярного представления к представле-
нию о квантованных волнах или осцилляторах (последние явля-
ются, кстати, корпускулярной моделью первых) было бы вполне
удовлетворительным, если бы единственным свойством частиц, кото-
рое мы можем наблюдать, являлось их число. В действительности
мы можем, однако, наблюдать не только число частиц, но также—
по крайней мере приближенно—их положение, движение и взаи-
модействие. Поэтому представляется невозможным совершенно
отделаться от понятия о частицах. Наоборот, изложенную
выше теорию нужно развить в таком направлении, чтобы при-
мирить обе стороны явлений природы—волновую и корпуску-
лярную.
Поскольку дело касается взаимодействия частиц, обобщение
предыдущей теории не представляет затруднений, по крайней мере
в принципе. Принцип этого обобщения можно иллюстрировать
теорией взаимодействия электронов, испускаемых раскаленной
металлической нитью вблизи последней, где концентрация элек-
тронов или плотность результирующего объемного заряда
становится значительной. Действие этого пространственного за-
ряда на некоторый индивидуальный электрон описывается так,
как будто причиной его было внешнее электрическое поле с
заданным распределением потенциала <р(х, у, z). Другими сло-
вами, взаимодействие электронов можно заменить эквива-
лентным внешним электрическим полем, которое
следуя Харгри, можно назвать самосогласованным („sel
consistent44) полем.
Потенциал этого поля можно определить из уравнения
Пуассона
V2? = — 4тср,
где р обозначает плотность электрического заряда, т, о. произ-
226
Глава 4. Волновая механика системы частиц
ведение заряда электрона е на (среднее) число электронов в еди-
нице объема в соответств} ю-щей точке.
В волновой теории системы электро 'ов, излагаемой в этом
параграфе в соответствии с методом экземпляров, вероятное
число электронов в единице объема определяется квадратом мо-
дуля функции ЧГ. Таким образом Л1ы можем положить
р = да*
и, следова1ельно,
= —4k^W* .	(109)
Если бы электрическое поле, определяемое потенциалом Ф,
на самом деле имело внешнее происхождение, то потенциаль-
ная энергия всех электронов по отношению к нему была бы
равна интегралу	или сумме величин <ре для всех N элек-
тронов. Но так как это поле вызвано самими электронами, его
энергия равна половине этой суммы. Таким образом соответствую-
щая потенциальная энергия, отнесенная к одному электрону,
равна
U' = ~<fe.	(109а)
А
Эту энергию, если она не слишком велика по сравнению
с потенциальной энергией внешних сил, можно рассматривать
как энергию возмущения, а действие ее сводить или к
видоизменению стационарных состояний определенных на
основании одной лишь внешней потенциальной энергии t7(x, у, z),
или же к переходам между этими состояниями, т. е. к изме-
нению числа частиц, находящихся в различных стационарных
состояниях Измененные стационарные состояния можно
получить, решая уравнение
+ л d _ t/_i7,VIf==o (109b)
1 л2 I 2ш dt	j	'
совместно с (109) и (109а), т. е. одновременным решением „урав-
нения движения" (109b) и уравнения Пуассона для потенциала
объемного заряда (109) при условии нормировки
§20. Метод экземпляров
227
Количественное квантование можно произвести уже после
того, как найдено это решение.
Если, с другой стороны, желательно сохранить исходное опре-
деление стационарных состояний и рассматривать энергию взаи-
модействия как причину переходов из одного состояния в другое,
то нужно подставить в уравнения (109) и (109b) выражение
ЧГ = 2 М*
и вывести из этих уравнений систему уравнений для функций
(?£(/). Эти уравнения будут третьей степени относительно С (а
не линейные, как в случае внешнего возмущения). Все же их
можно приближенно решить, конечно без всякого квантования
Квантование величин Ck (или |Q|2) можно выполнить, рассма-
тривая только что упомянутые уравнения как „классические"
уравнения для системы гармонических осцилляторов, движение
которых возмущается силами третьей степени по отношению к их
координатам или количеству движения, и заменяя эти классиче-
ские уравнения соответствующими квантовыми или волновыми
уравнениями.
Как было указано в начале этого параграфа, способ экзем-
пляров имеет то преимущество, что он дает, повидимому, вполне
удовлетворительное и естественное истолкование факту тожде-
ственности элементарных частиц, из которых состоит вселенная.
Правда, в природе встречаются частицы по крайней мере двух
разных сортов, а именно — электроны и протоны, и даже трех
сортов, если к ним прибавить фотоны. 1 Двойственность элек-
тричества удастся, быть может, устранить, сведя присутствие
протонов к отсутствию электронов в мире, практически
насыщенном последними. Тогда останутся только лишь ча-
1 Открытые в 1932 г. нейтроны являются, повидимому, сложными ча*
стицами, состоящи\’и из протона и электрона; положительные электроны
Андерсона и Блэккета могут быть, как уже указывалось выше, сведены
к дираковским „дыркам*. В последнее время выказывалось мнение, что
протон следует рассматривать как соединение нейтрона (играющего
роль элементарной частицы) с положительным электроном.
228 Глава 4. Волновая механика системы частиц
стицы двух типов: электроны и фотоны. Если считать, что
фотоны существуют столь же реально, как электроны (а не яв-
ляются просто продуктами нашего воображения, возникшими
благодаря преувеличению аналогии между электронными и све-
товыми волнами), то попытки устранения последней двойствен-
ности представляются неразумным^, так как фотоны являются
корпускулярными представителями того электромагнитного поля,
которое вводится для описания взаимодействия между электронами.
Поскольку это взаимодействие является существенным свойством
материи, частицы последней необходимо рассматривать в связи
с фотонами, которые как бы переносят это взаимодействие от
одной частицы (электрона) к другой. Поэтому было бы большим
триумфом науки, если бы можно было описывать мир как две
связанные системы волн—катодные и световые—с квантованными
амплитудами, причем соответствующие квантовые числа № толко-
вались бы как числа описываемых волнами частиц.
С этой точки зрения различные процессы, происходящие во
вселенной или в какой-нибудь части ее, можно было бы толко-
вать как скачкй, т. е. дискретные изменения, амплитуд различ-
ных волновых систем, представляющих разные квантованные со-
стояния некоторого числа электронов и фотонов. Например спон-
танное излучение света электроном, перескакивающим из со-
стояния т на более низкое состояние л, причем соответствую-
щий фотон остается внутри ящика, в котором заключены элек-
троны, можно было б^ описать как уменьшение амплитуды
электронных волн на один квант	—1) и одновре-
менное увеличение амплитуды электронных волн на один
квант. Вместе с тем должна. возрасти на 1 квант амплитуда
световых волн, представляющих излученный фотон, и по пред-
положению входящих в состав системы стоячих световых волн,
изображающих различные состояния фотона внутри ящика.
Эта картина, кроме того, имеет то преимущество, что дает
истолкование явлению возникновения и уничтожения
фотонов при испускании или поглощении света. Такого тол-
кования не могла бы дать ни одна другая картина кроме такой,
в которой число фотонов в некотором заданном состоянии рас-
§ 21. Метод конфигурационного пространства 229
сматривается как колебательное квантовое число соответствую-
щих волн. Можно сказать, что приведенная нами картина даже
„слишком хороша", потому что она с одинаковой легкостью
может истолковать возникновение и уничтожение
как фотонов, так и электронов, тогда как процессы
последнего рода на самом деле не наблюдаются. Впрочем воз-
можно, что в природе совершаются процессы взаимного уничто
жения отрицательного и положительного электрона путем „па-
дения" первого в дырку, образующую второй. Эга возможность
подкрепляется данными, накопленными астрофизикой, в связи с
вопросом об источнике энергии, излучаемой звездами. В резуль-
тате подобного взаимного уничтожения и — электрона дол-
жны появляться два фотона, несущие их энергию и коли-
чество движения (одного фотона было бы недостаточно для
того, чтобы можно было одновременно удовлетворить законам
сохранения энергии и количества движения. 1
Допуская возможность подобных процессов, мы должны допу-
стить также и обратные процессы уничтожения двух фотонов
и появления за их счет одного отрицательного электрона и
одного положительного.
§ 21. Метод конфигурационного пространства.
Несмотря на свои принципиальные преимущества, теория
квантованных волн оказывается неудовлетворительной с практи-
ческой точки зрения, в особенности в тех случаях, когда мы
имеем дело с системой частиц, которые удобно трактовать как
элементарные (хотя в действительности это могут быть сложные
частицы, вроде атомных ядер, ионов, атомов и молекул), обла-
дающие различными свойствами (масса, электрический заряд,
магнитный или электрический момент и т. д.).
1 Это станет ясным, если мы отнесем движение электрона и про-
тона (до акта взаимного уничтожения) к системе координат, по отно-
шению к которой их центр тяжести остается неподвижным, так что ре-
зультирующее количество движения равняется нулю, тогда как для
отдельного фотона оно должно быть отличным от нуля
230
Глава 4. Волновая механика системы частиц
Рассмотрим случай двух действительно различных
частиц (например электрона и протона) с координатами Х1У1?1
и x2y2z2i которые мы для краткости обозначим через хх и х2
соответственно вместо всех трех координат x, у, z („осевые"
или „спиновые" координаты мы ^удем пока оставлять без вни-
мания). Предположим, что эти частицы заключены в некоторой
конечной части пространства, т. е. удерживаются в ней какими
то внешними силами, и что взаимодействием их можно пренебречь,
так что движение каждой из них можно считать совершенно не-
завися цим от движения другой частицы.
При этих условиях вероятность того, что в некоторый мо-
мент времени t первая частица будет находиться в элементе
объема dVx = dxidyldz1, а вторая—в некотором другом эле-
менте объема dV2 = dx2dy2dz2 (принадлежащем к той же об-
ласти V), может быть представлена в виде произведения соот-
ветствующих вероятностей для отдельных частиц, т. е. в виде про-
изведения | ф/Х], f) ^d Vi на | ф2(х2, О |2^ V, где и Ф2 СУТЬ волно-
вые функции, характеризующие движение соответствующих частиц.
Справедливость классического закона умножения для вероят-
ностей в нашем случае, повидимому, не требует особого оправ-
дания. Если такое оправдание все же требуется, то мы можем
вспомнить доказанный в §11 результат, а именно, что этот
закон оказывается справедливым для сложения трех независимых
одномерных движений, происходящих в трех взаимно перпенди-
кулярных направлениях, в одно движение в трех измерениях,
причем его можно применять и к соответствующим волновым
функциям (амплитудам вероятностей). В последнем случае это
। рименение правила умножения для волновых функций, изобра-
жающих независимые движения, ограничено нерелятиьистской
теорией, так как оно связано с аддитивностью энергий соста-
вляющих движений.
В настоящем случае нет необходимости в таком ограничении,
и волновую функцию (амплитуду вероятности) ф(Х], х$, t)
можно вполне точным и общим образом определить как произ-
ведение во новых функций и ф2
Х2, t) =	/)ф2(х8, /).	(110)
§ 21. Метод конфигурационного пространства
231
Физический смысл этой сложной волновой функции состоит
в том, что квадрат ее модуля (т. е. произведение ф'у*), умно-
женный на элемент объема
d V = d Vxd iz2 = dx tdyvdz{dx2dy .dz2
шестимерного конфигурационного пространства обеих
частиц, дает вероятность их нахождения в конфигурации (или,
точнее, в пределах конфигураций), определяемой этим элементом
объема. Выражение „конфигурация" является сокращением для
более длинного выражения „положение рассматриваемых частиц
в один и тот же момент времени".
Время играет существенную роль в общем случае, когда
функции и (р2 описывают нестационарное движение каждой
частицы. Если же они обе относятся к стационарным состоя,
ниям с энергией Е± — h\ для первой частицы и Е2 — Av2 для
второй, то мы будем иметь
откуда следует, что произведение {фл |214*212 имеет одно и то же
значение, независимо от того, выбрано ли время одинаково
для обеих частиц или нет. Относя положения частиц к одному
и тому же моменту времени, мы получим, согласно (51),
<р(хрх2, ^) = ^°(x1,x2)^~z2n'/ ,	(1 Юа)
где
= Ф1°(Х1) ф2°(-*2) и V,.
Последнее уравнение соответствует аддитивности энергий ех
и е2, имеющей место как в нерелятивистской, так и в реляти-
вистской теории (поскольку частицы не действуют друг на
друга), так что результирующая частота попрежнему связана
с результирующей энергией обычным соотношением e = /zv.
Толкование „амплитуды вероятности" как „волновой функ-
ции", т. е. как выражения, описывающего распространение
каких-то волн, можно сохранить и в случае двух частиц, если
представить себе, что волны, описываемые функцией х2, О,
распространяются в шестимерном конфигурационном простран-
232
Глава 4. Волновая механика системы частиц
стве xv ... z2. Конечно, эти шестимерные волны являются лишь
математической фикцией, не имеющей физического смысла, если
не считать того, что „разложенная на множители" функция (110)
изображает комбинацию двух независимых трехмерных волновых
систем. Эта фикция все же очень удобна и мы будем пользо-
ваться ею в дальнейшем, помня об; ее ограниченном физическом
смысле.
Предыдущие результаты легко можно обобщить на случай
системы, состоящей из произвольного числа частиц. Пока по-
следние движутся независимо, т. е. не оказывают никакого дей-
ствия друг на друга (при этом на них могут действовать любые
внешние силы), волновая функция ф для всей системы может
быть представлена в виде произведения волновых функций для
отдельных частиц. Квадрат модуля ф, умноженный на элемент
объема конфигурационного пространства, дает вероятность кон-
фигурации, определяемой этим элементом для рассматриваемого
комбинированного движения всех частиц при заданных внешних
условиях.
Такие сложные состояния, для которых зависимость резуль-
тирующей функции ф от времени определяется множителем
, являются стационарными состояниями системы
с определенной энергиий е = Av, соответствующими квантованным
состояниям теории Бора. Естественно предположить, что для вол-
новой функции системы частиц принцип суперпозиции, т. е. пра-
вило аддитивности амплитуд вероятности, справедлив точно так же,
как и для индивидуальных частиц. Этот результат до некоторой
степени содержится уже в общем правиле умножения (110), ибо
если фх и ф2 сами ядляются суммами нескольких волновых
функций (например, относящихся к последовательным состоя-
ниям соответствующих частиц), то фС^, х2) t) будет равна сумме
функций типа (110а). Необходимо отметить, что в общем случае
такую сумму нельзя выразить в виде произведения двух (или
нескольких) множителей, относящихся к отдельным частицам.
Мы видим таким образом, что независимость частиц друг, от
друга, т. е. отсутствие взаимодействия между ними, выражается,
вообще говоря, в том, что волновую функцию ф можно пред,,
§ 21. Метод конфигурационного пространства 233
ставить в виде суммы членов, из которых каждый является про-
изведением волновых функций для индивидуальных частиц.
Мы найдем теперь дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет такая функция в общем случае, когда частицы
оказывают действие друг на друга, т. е. когда их движение не
является независимым. Ради простоты мы рассмотрим сначала
случай двух частиц без взаимодействия, находящихся в состоянии
движения, описываемом „факторизованной" волновой функцией
(ИО).
Мы предположим, что оба множителя удовлетворяют обыкно
венному (нерелятивистскому) уравнению Шредингера, так что
дхг2' ду*	। 1 аг,=	1 А2	__А	д_ 2ш dt	^i(xi> У\> -'ll 0	Ф1 = 0
дх* дУг2	Г-Ч	8it2m2 А2	h д 2 i dt	— U^x^y^z^t)	ф8=о-
где функции	zv t) и U^x^y^z.^t) представляют собой
потенциальную энергию внешних сил, a и zn2 суть массы
обеих частиц (которые предполагаются различными). Если мы
умножим первое из этих уравнений на—ф2) а второе на-—и
сложим их, то мы получим комбинированное уравнение для
функции ф = ^^2
Ц/ d2 д2 д2 \ , 1 / а2 д2 , д2 \
’ ду^ ' ^i2y	' ду2* ’ dz.2~у ’
Это уравнение остается справедливым для суммы любого числа
функций того же вида ф1ф2.
Совершенно очевидно, каким путем можно обобщить это
уравнение на тот случай, когда рассматриваемые частицы ока-
зывают друг на друга некоторое действие, определяемое их
взаимной потенциальной энергией £/12(х2— xv У2—Л»
Чтобы это сделать, мы должна просто прибавив член
234
Глава 4. Волновая mfxahhka системы частиц
к сумме потенциальных энергий Ц 4" ^4- Таким образом мы
Тюлучаем уравнение
--V;2 + ~-
’ 1 т2
8тс2 / h д
h2 \	2rd dt
о, (111)
где Z7 есть сумма Ц4* ^4* Ц2 и V*2— сокращенное обозначение
д- ,	। д2 п
для —-ч-----~	. В частном случае, когда и не содержит
dx2k П dyi dzzk
явно времени, это уравнение имеет частные решения типа
I I п ~ Лк ~й~ t
ф =	, представляющие стационарные состояния с пол-
ной энергией U7, причем функция ф° удовлетворяет уравнению
1 1
V)H-V22 + ^(ir-f/) .Р = 0.	(111а)
r/t-o
Если U сводится к сумме	то можно представить
в виде произведения двух множителей, как было указано выше,
причем полная энергия W распадается на сумму двух членов
и IF2, представляющих энергию отдельных частиц.
Для иллюстрации уравнения (111а) мы применим его к про-
стейшему случаю двух частиц при отсутавии внешних сил. Для
конкретности мы рассмотрим протон и электрон, образующие
/	е2 \
вместе атом водорода (7=Ц2—---------. Вводя относительные
\	ri2 /
координаты электрона ^по отношению к протону) х = х2— хи
у=у —уи z~z2— zt и координаты центра тяжести атома
; __	^1-г ^2£2_	__	+ пг2у2	4- m2z2
*	4- tn2 ’	' Wi4“w2 9	+ W2
имеем
dty _dty д% дх __ /	\<?ф dty
dxt дхг ' дх дхх ~~ ут2) дх ’
__d?ip I \2	. дЦ дх	\2	_
дхг2 д^2 (	дхх j дхде,	dxx дх{	‘ дх- ’ дхх у
__/ тх \2 д2ф 2/?г1 д2ф . д2ф
У»! + /я2 / д12	тх 4~	дх д^ дх2
2
§21. Метод конфигурационного пространства
235
и
2т2	д2^
тг + т2дхд\ ' дх2
дх2г
откуда
1 дц,	_(	1 I ( 1	1 \ д2Ф
тх дхх2' т2 дх22 \ni{ -\-т2 / с£2 y//Zj т2 ] дх2 '
Для двух других осей получаются аналогичные формулы. По-
этому уравнение (111а), написанное в новых координатах, при-
нимает следующий вид:
1 / \
=  8к2 / А
h2 \ 2к/
(112)
= 0,
где
। 1 1 । 1
р. = m -J-т;	——4 —
т тх т2
(112а)
/«1
Так как предполагается, что потенциальная энергия U зависит
то ько от относительных координат, то решение уравнения (112)
можно написать в виде
Ф = Фр.(£, TQ, Wm(x,y,z),
(ИЗ)
что эквивалентно приведению рассматриваемой задачи к задаче
двух частиц с массами р и т и координатами (£, т), £)и (х, у, *)
соответственно, не оказывающих действия друг на друга.
Мы получаем таким образом для обоих множителей выра -
жения (113) уравнения
дгр '	' Л2 2ш dt
д2^т , дЧ,„	д2$т	8к2т ( h д Д . _
дх2 ' dy2	dz2 h2 ( 2к/ §t ' J ‘ "
(113а)
(113b)
Первое из них определяет „свободное движение" центра тяжести
данной системы (атома водорода), а второе определяет относи-
тельное движение одной частицы (электрона) по отношению
236
Глава 4. Волновая механика системы частиц
к другой (протону). С точки зрения волновой механики, это
относительное движение происходит совершенно так же, как
если бы одна частица (протон) находилась в покое, тогда
как масса движущейся частицы (электрона) равнялась бы т =
=—• Этот результат вполне согласуется с тем, что по-
лучается из обычной корпускулярной механики. Так как силы
взаимодействия между обеими частицами равны и противопо-
ложны, то мы имеем
__ 1 F F
dts mt х’ ''' dt2	х" ‘
и, следовательно,
(Р , ч / 1 , 1 \
, (Х,------------------— I----------[- — I Fx , •  •,
dt- а 1 тх т2 j
<Рх
”‘-gF = F’ = ~
dU
дх ’
что находится в согласии с (113b). Предыдущие результаты
легко обобщаются на случай произвольного числа различных
частиц, взаимодействие между которыми может быть предста-
влено, согласно классической механике, некоторой потенциаль-
ной энергией, зависящей от их координат.
Такой способ рассмотрения, в котором корпускулярная идея
явно входит в волновое ^уравнение, так как каждая частица пред-
ставлена в нем своими координатами, соответствует борновскому
пониманию корпускулярно-волнового параллелизма, — пониманию,
согласно которому только , частицы считаются реальностью,
тогда как „волны" в многомерном конфигурационном простран-
стве (определяемом координатами всех частиц) дают только ве-
роятности тех или иных корпускулярных событий.
Все, что было сказано относительно волновой функции, опи-
сывающей движение одной частицы, можно повторить без суще-
ственных изменений и по отношению к волновым функциям, опи-
сывающим в конфигурационном пространстве движение системы
частиц, В частности, нужно заметить, что абсолютные значения
§ 22. Свойства симметрии волновых функций 237
этих волновых функций не имеют смысла и могут быть норми-
рованы произвольно, например так, чтобы интеграл J\^\2dV,
распространенный на все конфигурационное пространство, рав-
нялся единице (если он сходится, т. е. если вся система
частиц связана). Все результаты, относящиеся к стационарным
(квантованным) состояниям одной частицы, к переходам из од-
ного стацио арного состояния в другое, вызванным какими-ни-
будь возмущающими силами и так далее, можно применить
к системе частиц, если рассматривать эту систему
как одну частицу в конфигурационном простран-
стве. Мы можем даже пойти дальше и применить метод экзем-
пляров, изложенный в предыдущем параграфе, для описания дви-
жения некоторого числа тождественных систем частиц. Но мы
не будем вдаваться в эту довольно бесплодную область, а на-
оборот, применим метод конфигурационного пространства к ча-
стному случаю системы тождественных элементарных частиц,
§ 22.	Свойства симметрии волновых функций, описываю-
щих систему тождественных частиц.
При применении общей теории к этому частному случаю мы
должны ввести существенную поправку, которая заключается
в устранении индивидуальности отдельных частиц. Индиви-
дуализация эта вводится самым фактом характеристики каждой
из частиц при помощи отдельных координат. Для того чтобы
включить принцип тождественности в метод конфигурационного
пространства, мы должны ограничиться волновыми функциями
такого вида ф (х19 х2. . . х^, который соответствовал бы не-
зависимости вероятности фф" от способа обозначения отдельных
частиц. Другими словами, эта вероятность должна быть инвари-
антной по отношению к любой перестановке индексов 1, 2 . . . N
или, еще проще, она должна быть симметрической функцией
всех координатных троек;
(*1> У1> ~1)> (Х2> У2> ~2)  • • (х№ yN> ZN)-
Это условие симметрии для выражения фф* будет, очевидно,
выполнено, если сама ф — симметрическая функция всех
238
Глава 4. Волновая механика системы частиц
частиц. Последнее условие является хотя и достаточным, но не
необходимым. Другим оче <ь простым условием симметрии про-
изведения <|4* является антисимметрический характер
функции ф, т. е. изменение ею знака при перестановке двух
частиц, или транспозиции соответствующих координатных троек.
Общее условие, которому должна удовлетворять функция ф, за-
ключается в том, что любая перестановка этих координатных
троек приводила бы к умножению ф на множитель вида где
а некоторая вещественная величина, зависящая от характера пе-
рестановки, ибо подобный множитель не оказывает влияния на
величину <рф* (мы увидим ниже, что это условие сводится к од-
ному из двух условий, указанных выше).
Для того чтобы условие симметрии произведения имело
физический смысл, оно должно выполняться перманентным
образом, т. е. при постулировании этого условия для некоторого
момента времени оно должно сохраняться для всех времен в силу
волномеханического уравнения движения. Это уравнение, являю-
щееся очевидным обобщением (Ш), в частном случае W тож-
дественных частиц, принимает следующий вид:
h	Г А2 /	\	~
Ri it = [sAF ( V>!+	+ ' ' ' +	l4>
В виду тождественности всех частиц, потенциальная энергия
Цхр л*2 • • •	0 должна- быть симметрической функцией всех
координатных троек. Если поэтому ф является симметрической
или антисимметрической функцией этих координатных троек, то
произведение Ity также должно быть симметрическим или анти-
симметрическим. То же самое относится и к функции, получаю-
щейся из ф путем применения симметрического дифференциального
оператора VX2H“ V224" • • • 4“ Мы видим таким образом,
что если функция ф симметрична или антисимметрична в -неко-
торый момент /0, то она будет оставаться таковой и в следующий
момент, когда
§ 22. Свойства симметрии волновых функций 239
и, следовательно, для любого времени. Этот результат легко
обобщается на функции с иным характером симметрии, соот-
ветствующим условию симметрии произведения причем ха-
рактер симметрии функции ф определяется числами ар в множи-
телях е1*р, на которые умножается ф, если к частице приме-
няется перестановка Р. Эта неизменность во времени характера
симметрии функций Ф рассматриваемого типа дает нам факти-
чески более того, что требуется принципом тождественно-
сти, т. е. принципом перманентности симметрии произведе-
ния Оно показывает, что частицы данного рода должны
описываться волновой функцией с определенным типом симметрии,
который должен быть фиксирован раз и навсегда. В выборе
этой функции мы не можем руководствоваться общими прин-
ципами волновой механики. Последнее оставляет нам полную
свободу выбора. Для решения этого вопроса мы должны по-
этому обратиться к экспериментальным фактам. Прежде чем,
однако, рассматривать последние, мы должны обсудить предыду-
щий результат с несколько иной точки зрения, которая поможет
нам в дальнейшем уяснить себе теорию и облегчит сравнение
ее с опытом.
При теоретическом описании системы тождественных частиц,
обычно, бывает удобнее каждой из этих частиц приписывать
отдельное индивидуальное состояние движения, причем взаимо-
действием частиц либо пренебрегают, либо же учитывают его при-
ближенным образом при помощи метода самосогласованного поля,
который был указан в § 20. Подобным описанием пользуются,
например, в случае системы электронов, движущихся вокруг по-
ложительного ядра в атоме или в ионе. Согласно старой кванто-
вой теории Бора, каждый электрон предполагался движущимся
по своей собственной индивидуальной квантованной орбите.
Действие, испытываемое им со стороны остальных электронов,
учитывалось приближенно, путем введения некоторой „экрани-
рующей постоянной" или „эффективного заряда ядра", прини-
мающего разное значение для электронов, движущихся по раз-
ным орбитам. Обозначая индивидуальные состояния движения
(орбиты) числами 1, 2 и т, д., мы можем охарактеоизовт
240
Глава 4. Волновая механика системы частиц
„коллективное состояние" всей системы, указав число частиц
/V2, • • . М, которое находится в каждом из этих индивидуальных
состояний, причем YN2 — N. Эти числа будут в дальнейшем на-
зываться числами распределения. Мы уже пользовались этим
способом, описанным в § 20, где индивидуальное состояние дви-
жения k описывалось некоторой волновой функцией 2,/)>
содержащей одни и те же координаты для всех частиц. Заменяя
метод экземпляров методом конфигурационного пространства,
мы должны приписать каждой частице ее собственную тройку
координат и охарактеризовать частицы, занимающие каждое со-
стояние так, как если бы они были различны. Распре-
деление частиц по состояниям может быть. выполнено множе-
ством различных способов. Один из них заключается в том,
чтобы первые частиц (пронумерованных как 1, 2. . . AQ на-
ходились бы в одном состоянии, следующие N2 (т. е. от
и до А^ + АА,)— во втором состоянии ит. д. Волновая функция Ф,
описывающая соответствующее коллективное состояние всей си-
стемы, равна произзедению функций описывающих индиви-
дуальные состояния, причем аргументы этих функций определены
вышеуказанным образом. Обозначая координаты /-той частицы
одной буквой Хи мы имеем таким образом
Ф = Ф1(х1) . .. ф1	-hi) •. .	.
...фХ*Лг1 + ,..№_1>+1)	(115)
Перестановка чариьц принадлежащих к одному и тому же
состоянию, не изменяет этой функции. Если, однако, мы приме-
ним перестановку
р=/1, 2,..., ЛЛ
[РиР^чРн)'
предполагающую перемещение частиц, принадлежащих к раз-
личным состояниям, томы получим новую функцию типа Ф,
которую мы обозначим через РФ или Фр. Общее число такого
рода функций определяется числами распределения Nv N2 . . .
по формуле
g~Nt\ Nal .. Ns!
§ 22. Свойства симметрии волновых функций 241
В дальнейшем мы будем предполагать, что индивидуальные
состояния всех частиц относятся к одному и тому же (эффектив-
ному) внешнему силовому полю. В применении к системе элек-
тронов, движущихся вокруг положительного ядра, это предполо-
жение означает, что эффективный заряд ядра предполагается одина-
ковым для всех электронов. Это допущение приблизительно верно
в том случае, когда заряд ядра значительно больше,
чем общий зарщ всех электронов. При таких условиях
различные функции могут считаться ортогональными друг
другу (они не были бы ортогональными, если бы относились к
д ижению в различных' внешних полях). Легко показать, что при
этом условии различные функции Фр должны быть также орто-
гональны друг к другу.
Действительно, интеграл /*Ф*ФрС?У, взятый по всему конфи-
гурационному пространству (dV=dV1 dV2 . . . dV^), равен
произведению интегралов типа/ф^ (xz)^p^_i (xj)dVb где число
р£~ 1 получено из k путем перестановки Р"*1 обратной переста-
новке Р. Поскольку хотя бы некоторые из чисел р!Г1 отличны от
k, некоторые из этих интегралов должны обращаться в нуль,
чак что
^Ф*ФРаУ~0
или, общёе,
(Фл^Фр)	(115b)
h
Это равенство обозначает, что функции Фр и Ф^ представляют
альтернативные коллективные состояния всей системы.
Все эти состояния имеют одну и ту же энергию
E =	4- . .. +NsWs, (115с)
где Wk обозначает энергию частицы в индивидуальном состоя-
нии (взаимная потенциальная энергия частицы U' оставляется
без внимания). Таким образом эти состояния образуют вырож-
денную группу. Вырождение этого рода, соответствующее
перестановке сходных частиц между различными индивидуаль-
242
Глава 4. Волновая механика системы частиц
ными состояниями, называется перестановочным выро-
ждением (Austauschentartung немецких авторов).
g функи 1й Фр не удовлетворяют принципу тождественности.
Однако с помощью процесса суперпозиции из них можно по-
строить ряд функций
2Срфр’ (116)
которые удовлетворяют этому принципу, т. е. обладают свой-
ствами симметрии, выражаемыми равенством вида
QX = ^X,	(Иба)
где	обозначает функцию, полученную из % путем при-
менения перестановки Q к аргументам .. xN.
Эти уравнения в связи с условиями нормальности
/xx*^lz= 1>
которые сводятся к уравнениям
2|Cpi2=1	(116Ь)
в виду взаимной ортогональности функций Фр, служат для опре-
деления коэфициентов Ср. Применяя перестановку Q к обоим
сторонам уравнения (116), получим согласно (116а)
^СР(}РФ = е^2СрРФ.
Произведение QP перестановок Q и Р обозначает, что эти две
перестановки должны быть выполнены последовательно в ука-
занном выше порядке, считая справа налево. Полагая QP=^Ry
имеем Р = Q — ]R, где перестановка Q""1 обратна Q, так что
QQ”1 равна тождественной перестановке
/ 1, 2, . . . , W \
( 1, 2, . . . j
(обычно обозначаемой цифрой единица).
Так как далее
УсРРФ=^СрРФ
§ 22. Свойства симметрии волновых функций
243
(причем суммирование в обоих случаях распространяется на все g
эффективных перестановок), то мы имеем
2 С<? -1 R = eiaQ
откуда следует
С ! =CRehQ.	(117)
Тот факт, что коэфициенты Ср и Ср в уравнении вида
должны быть равны друг другу, вытекает из взаимной ортого-
нальности функций Ф#. В самом деле, умножая это уравнение
на Ф? и интегрируя по всему конфигурационному пространству,
мы получим Cs = CS9 так как интегралы, заключающие остальные
коэфициенты, обращаются в нуль.
Соотношение (117) показывает, что все коэфициенты Ср
в (116) имеют один и тот же модуль и отличаются друг от
друга только в отношении того, что может быть названо их
фазой. Так как
2m=i,
ТО
Применяя предыдущее соотношение к частному случаю, когда R
обозначает тождественную перестановку, и полагая для этого слу-
чая Ср = | Ср I = —(что нисколько не умаляет общности,
Vg
так как функция / может быть умножена на любое число вида
Z*), мы имеем
cQ_, = -^Z<?
yg
или, если заменить Q”"1 через Р и принять во внимание, что
ар — 1 = — ар,
(117a)
У g
244
Глава. 4. Волновая механика системы частиц
Соотношения <zp —1 = — ар или aQ“’1= — aq вытекают из ура-
внения (116а) путем применения перестановки Q-1 к обеим
его сторонам. Применяя к (Ufa) некоторую другую переста-
новку Р, имеем
PQi ~ eiaQ = ei{*Q + *р) X.
но, согласно определению,
pQz===^PQx;
поэтому
apQ = ар-}"	(118)
где п целое число. Таким образом умножению, т. е. последо-
вательному применению перестановок, соответствует сложение
характеризующих их чисел а (относящееся, конечно, к одной и
гой же функции /), а также, вообще говоря, прибавление це-
лого кратного от 2к, которое несущественно, поскольку дело'
касается множителей е1*.
Мы видим таким образом, что соответствие между пере-
становками Р и числами аР не яв1яется однозначным, но что
одно и то же, число аР, вообще говоря, связано с большим
числом различных перестановок. Все эти перестановки R можно
получить из одной из них Р с помощью формулы
(П8а)
где Q обозначает произвольную перестановку. В самом деле, так
как aQ=—ocq-i, то согласно (117b)
ар = aq аР	% о —1 ~|- 2тш — аР -|- 2кп.
Перестановки типа (117с) образуют так называемый класс,
характеризуемый одной из них. Мы можем таким образом ска-
зать, что числа аР являются функцией класса, которому принад-
лежат соответствующие перестановки, так что мы можем поло-
жить ар =ар или, точнее, ар = аР (mod 2тг).
Применим теперь предыдущий результат к простейшего типа
перестановке, а именно, к транспозиции, которая заключается в
перестановке лишь двух элементов. Транспозиция, очевидно, равна
jnn эквивалентна) обратной перестановке, так что ее повторение,
§ 22. Свойства симметрии волновых функций 245
т. е. произведение на самую себя, должно восстанавливать пер.
воначальное положение, т. е. должно быть равно единице. От-
сюда следует, что для транспозиции Р мы должны иметь аР=0
или «р = тс (mod 2тг), т. е. 7)2х==/. Это означает, что функ-
ция х должна быть либо симметрической, либо антисимметриче-
ской по отношению к различным парам аргументов. Легко ви-
деть, что она не может быть симметрической по отношению к
одним парам и вместе с тем антисимметрической к другим. В
самом деле, все транспозиции принадлежат к одному и тому же
классу, так что каждая из них может быть получена из любой
другой при помощи надлежащей перестановки Q согласно фор-
муле (117b). Таким образом мы должны иметь ар=а,#, т. е-
функция у должна быть либо симметрической либо антисимме-
трической по отношению ко всем частицам.
Всякая иная перестановка Q может быть представлена как
произведение некоторого числа транспозиций. Применяя эту пе-
рестановку к антисимметрической функции у, мы получим, сле-
довательно, либо clq=O, либо aQ=K, в зависимости от того,
' эквивалентна ли эта перестановка Q четному или нечетному
числу транспозиций. В случае симметрической функции, мы по-
лучим всегда ар=0.
Следует отметить, что если мы не пожелаем ограничиваться
функциями, удовлетворяющими принципу тождественности, т. е»
условиям симметрии для произведения то мы сможем обра-
зовать с помощью уравнения (116) большое число функций у,
которые не являются ни симметрическими, ни антисимметриче-
скими по отношению ко всем координатным тройкам. Эти функ-
ции могут быть подразделены на группы таким образом, чтобы
результат применения любой перестановки Р к какой-либо функ-
ции из данной группы у(г) был бы равен линейной комбинации
функций этой же самой группы
I
С этой точки зрения симметрические и антисимметрические
функции отличаются тем обстоятельством, что они, т. е. каждая
246
Глава 4. Волновая механика системы частиц
из них в отдельности, образуют группу, состоящую только из
одного элемента. Произведение х* X* Для некоторой функции,
взятой из данной группы, не является инвариантным по отноше-
нию ко всем перестановкам (хотя оно и может быть инвариантным
по отношению к некоторым из них). Легко, однако, доказать,
что сумма X^Xfe> взятая для всех функций одной и той же
k
группы, обладает этим свойством инвариантности. Таким образом
она эквивалентна в этом отношении произведению фф* для сим-
метрической или антисимметрической функции.
Мы не будем вдаваться в i зучение этого вопроса, так как
он связан с довольно сложной теорией групп и лишен всякого
практического значения, поскольку функции х, не удовлетво-
ряющие принципу тождественности, не имеют физического смысла.
Полагая 5 = 1, мы получим одну только функцию Ф, а именно
Ф = фб (xi) фл (*2),
которая симметрична по отношению к xt и х2 и может быть
отождествлена поэтому с функциямя x = Xi-
Если вместо одного индивидуального состояния ф^ рассматри-
вать два различных состояния ф*, ф/, то мы получим два вида
различных функций Ф, а именно:
ФА = ф^ (^1) ф/(х2) и Ф2 = ф# (х2) ф/ (^1),
из которых можно образовать две функции х: симметрическую
Хл =	(Ф1+Ф2) = [фл(А) ФА*») + Ф* (*2)ф/(*1)] (119)
и антисимметрическую
X 2 =	(Ф1 — Ф2) = у=- [ф* U11 ф/(*г) — Ф* (*2) Ф/ (*1)] • (119а)
Таким образом в случае 5 = 2 мы получим такую же сим-
метрическую функцию х» как и в случае 5=1 и, кроме того*
одну антисимметрическую функцию.
Возвращаясь к общему случаю произвольного числа частиц М
предположим сначала, что они все находятся в одном и том же
§ 22. Свойства симметрии волновых функций 247
индивидуальном состоянии ф*. При этом мы получим одну лишь
функцию у, а именно симметрическую функцию
X = Ф = Ф* (-4) Ф* (*2)... фй (хлг).
(120)
В противоположном случае N различных индивидуальных со-
стояний фрф2... ф/у, каждое из которых связано с одной части-
цей, мы получим NI различных факторизованных функций Фр и
равное число функций / от симметрических
(120а)
до антисимметрических. Последние получаются по общей фор-
чем верхний знак соответствует четным перестановкам, т. е. чет-
ному числу транспозиций, а нижний — нечетным перестановкам-
Результирующая функция / может быть представлена в виде
определителя
• • ч Ф1 (*А/)
v ____ 1 Ф2 (х1)* Фг (xs)> • •Ф2 (xn)
Z ]/«! ....................................
(120b)
фд/С^)» • • ’> 4n(xn)
В случае совпадения двух или более индивидуальных состояний,
т. е. наличия двух или более частиц в одном и том же индиви-
дуальном состоянии, этот определитель обращается в нуль, так
как два или более его ряда становятся тождественными. Таким
образом антисимметрическая функция может быть получена лишь
в том случае, если все частицы распределяются по разным инди-
видуальным состояниям. Что же касается симметрической, то
она совместима с любым распределением частиц по состояниям.
Следует помнить, что функции (120а) и (120b) не предста-
вляют собой точные решения уравнения (116), так как они
выражаются с помощью индивидуальных волновых функций А (х),
которые могут быть определены лишь в том случае, если мы
пренебрегаем взаимодействием частиц или заменяем его более
или менее эквивалентным „самосогласованным11 полем.
248
Глава 4. Волновая механика системы частиц
Точное решение уравнения (116) может быть представлено,
однако, как суперпозиция (сумма) функций вида (120а)
или (120b) с коэфициентами, которые должны быть определены
как некоторые функции времени. Так как эти коэфициенты
должны интерпретироваться как амплитуды вероятности соответ-
ствующих состояний, изменение их со временем означает, что
между этими состояниями происходят переходы, обусловленные
очевидно возмущающим систему взаимодействием частиц. Суще-
ственным является то обстоятельство, что переменное состояние
системы должно всегда оставаться либо симметричным либо
антисимметричным, так как переходы между состояниями обоих
типов fa и уа являются невозможными. Этот результат непо-
средственно вытекает из рассмотрения матрицы U' энергии воз-
мущения.
Чак как U — симметричная функция координат х, также
как и 7S и 7а — функция антисимметричная, то интеграл U’so =
= f U' 78*7 а dV, характеризующий вероятность перехода
должен равняться нулю.
Отсюда, в частности, следует, что если первоначально все
частицы были распределены между различными индивидуаль-
ными состояниями, причем движение образуемой ими системы
описывается антисимметрической функцией, то они всегда будут
распределены между различными индивидуальными состояниями.
§ 23.	Принцип Паули. Антисимметрические и симметриче-
ские волновые функции.
Мы теперь в состоянии сравнить теорию с эксперименталь-
ными данными и определить характер симметрии тех функций
X, которые должны описывать частицы данного сорта.
В случае электронов, непосредственные данные такого рода
получаются при изучении строения более сложных атомов. Мы
не будем излагать здесь химические,’ спектроскопические и
рентгенографические данные, которые привели Бора в 1921 г.
к его теории строения атома.
Согласно этой теории электроны распределяются вокруг ядра
„группами* или „оболочками", соответствующими последова-
§ 23. Принцип Паули
249
тельным значениям главного квантового числа (п), а внутри
каждой оболочки — подгруппами, соответствующими последова-
тельным значениям углового квантового числа (Z). Замечатель-
ное свойство этой картины, — свойство, которое теория Бора
и не пыталась объяснить, а только устанавливала, — состоит в
том, что число электронов, связанных с одним и тем же типом
движения (т. е. двигающихся по одинаковым орбитам), не
может превышать двух.
Этот факт противоречит обычному правилу, гласящему, что
нормальное состояние атома (или иона) должно быть состоя-
нием с наименьшей энергией. Легко показать, что это энерге-
тически самое низкое состояние системы — по крайней мере, в
случае ядра с достаточно большим положительным зарядом —
осуществилось бы на самом деле, если бы все (N) электронов
находились в одном и том же, а именно в самом низком
индивидуальном состоянии, другими словами, если бы все
они двигались вокруг ядра по самым маленьким „однокванто-
вым" орбитам. В действительности же (как показывает, напри-
мер, анализ рентгеновых спектров) в этом состоянии (соответ-
ствующем границе поглощения К) находятся всего лишь два элек-
трона. Следующее затем самое низкое состояние (я =2, / = 0)
занято также только двумя электронами и т. д., пока мы не
дойдем до „внешних" электронов, которые определяют химиче-
ские и оптические свойства атома, и которые встречаются иногда
парами, иногда одиночками в каждом состоянии.
Напомним, что в теории Бора каждое (индивидуальное) со-
стояние описывалось тремя квантовыми числами — главным,
угловым и осевым. Вопрос о том, почему максимальное
число электронов, которые могут находиться в данном кванто*
вом состоянии, равняется двум, а, например, не одному или
трем, был неясен. Этот вопрос до некоторой степени выяс-
нился, когда обнаружилось, что боровские стационарные состоя-
ния в действительности двойные, и когда эта двойственность
была истолкована как результат „осевого'*' вращения или спина
электрона. Таким образом явил.сь возможность утверждать,
что каждое индивидуальное состояние м о^ж ноев я-
250 Глава 4. Волновая механика системы частиц
зывать только с одним электроном. Этот принцип был
формулирован В. Паули в 1925 г. Впоследствии было доказано
(Ферми, самим Паули и Зоммерфельдом), что его можно при-
менять не только к связанным электронам в атомах и ионах, но
и к электронному газу, состоящему из „свободных" элек-
тронов (Проводимости) в металлическом теле.
Мы видели в предыдущем параграфе, что в случае распре-
деления, разрешаемого принципом Паули, существует волновая
функция 7, тождественно равная нулю для всякого другого рас-
пределения. Такой функцией является антисимметрическая
функция, выражаемая (приблизительно) определителем (120b). Та-
ким образом принцип Паули можно включить в волновую тео-
рию системы электронов, если только предположить, что по-
добная система должна описываться антисимме-
трической функцией. Это простое и ясное истолкование прин-
ципа Паули было дано Дираком.
Надо сказать, что „принцип антисимметрии" Дирака не со-
всем эквивалентен принципу Паули в его первоначальной фор-
мулировке. Дело в том, что распределения, допускаемые принци-
пом Паули, согласуются не только с антисимметрической функ-
цией, но также со всеми другими (АЛ—1) функциями с более
высокой симметрией, включая и симметрическую функцию (120а).
Мы видим, таким образом, что принцип антисимметрии Дирака
имеет более ограничительный характер, чем принцип Паули.
Однако они становятся эквивалентными, если последний рассма-
тривать не с чисто систематической, а с динамической точки
зрения, т. е. если потребовать, чтобы система электронов, на-
ходящаяся первоначально в (коллективном) состоянии, удовлетво-
ряющем принципу Паули, не могла бы перейти с течением вре-
мени в состояние, нарушающее этот принцип. Такие переходы
неминуемо должны были бы происходить, если бы система элек-
тронов описывалась любой другой функцией / кроме антисим-
метрической.
Итак, мы можем сказать, что принцип антисимметрии Ди-
рака представляет собою условие для сохранения принципа
Паули с течением времени. Мы сделаем здесь еще одно важное
§ 23. Принцип Паули
251
замечание. При описании системы тождественных частиц, при-
веденном в предыдущем параграфе, предполагалось, что каждая
частица описывается тремя координатами х, у, z, которым в со-
гласии с теорией Бора соответствует описание индивидуальных
стационарных состояний при помощи трех квантовых чисел.
Чтобы выразить явление двойственности, т. е. расщепления ука-
занных выше состояний на два состояния (связанных с противо-
положными ориентациями „оси“ электрона), мы должны прибавить
к обычным квантовым числам (например пх, пу, пг) четвертое
„осевое квантовое число" которое может принимать только
два значения (s = ±l), и соответственно прибавить к трем
пространственным координатам х, у, z четвертую „осевую ко-
ординату" С, также принимающую значения -f-1 и — 1 (см.
§ 19). Эта добавка не влечет за собой изменения результатов
предыдущего параграфа, касающихся функции у и, в частности,
выражения (120b) для антисимметричной функции, если только
принять, что X/ есть сокращенное обозначение для всех четы-
рех координат Xi, yi, Zi, Zi. Общее доказательство постоян-
ства характера симметрии многомерной функции ф (xv..., хдг),
которое было приведено в начале § 22 на основании волнового
уравнения (114), не содержащего элементов осевого вращения,
следует заменить доказательством, основанным на более общем
уравнении этого типа, учитывающем явление двойственности
Мы возвратимся к этому вопросу после того, как мы установим
такое уравнение (ч. II). Вместе с тем нам придется пересмотреть
и вытекающую из него теорию вероятностей переходов из од-
ного состояния в другое.
Оставляя в стороне эти вопросы, мы должны отметить то
обстоятельство, что функция от М четверок координат
X (Х1 > х2, ♦ ♦ • в действительности является совокупностью 2ДГ
функций от соответствующих N троек пространственных коор-
динат. Это особенно ясно, если у выражено через индивидуаль-
ные функции х(х/, yi, zl9 С/), так как каждая из них эквива-
лентна двум функциям пространственных координат (относя-
щихся к одному стационарному состоянию).
Если не учитывать явления двойственности (спина), то
252
Глава 4. Волновая механика системы частиц
принцип Паули сводится к исключению таких распределений,
для которых совпадают квантовые числа более нежели двух элек-
тронов. При определении стационарных состояний при помощи
обыкновенных волновых функций от одних лишь пространствен-
ных координат, для описания системы W электронов приходится
вводить^ кроме антисимметрической функции, еще целый ряд
функций более высокого порядка симметрии, не исчезающих для
дозволенных распределений и тождественно равных нулю для
исключаемых состояний. 1 Таким образом каждое (дозволенное)
распределение изображается некоторым числом различных со-
стояний с (приблизительно) одинаковой энергией, образующих
так называемый спиновой мультиплет.
__ Переходы между различными состояниями одного и того же
мультиплета и вообще между любыми двумя состояниями, ко-
торые описываются функциями у с различным характером сим-
метрии, оказываются невозможными, поскольку не принимается во
внимание та часть взаимодействия электронов, которая зависит
от их магнитных моментов (мы увидим ниже, что подобные пе-
реходы становятся возможными при учете этого „магнитного*
взаимодействия).
Интересно отметить, что перманентный характер распре-
деления, удовлетворяющего принципу Паули, <можно уста-
новить на основании классической механики, если пренебречь
силами взаимодействия между частицами и принимать во вни-
мание только внешние силы. По теореме Лиувилля, которую мы
уже упоминали в § 11, объем фазового пространства, относя-
щийся к частице, начальное состояние которой задано неточно,
остается постоянным, т. е. не зависит от времени. Если вместо
одной частицы мы вообразим некоторое число (N) одинаковых
частиц, распределенных в „области неопределенности* фазового
пространства и движущихся по законам классической механики
в одном и том же внешнем силовом поле (без взаимодействия
друг с другом, т. е. совершенно так же, как экземпляры одной
1 Однако не все функции, а только те из них, вид которых согла-
суется с антисимметрическим характером функций координатных чет-
верок.
§ 23, Принцип Паули
253
и той же части ih), то можно формулировать теорему Лиувилля
следуйщим образом, эквивалентным предыдущей формулировке:
концентрация частиц в фазовом пространстве,
т. е. число их в единице объема этого простран-
ства, не должно меняться со временем. Индивидуаль-
ному состоянию, в смысле волновой механики, соответствует,
всмысле классической механики, объем фазового пространства,
равный А3. Если мы заменим отдельные электроны экземплярами
одного и того же электрона, а волновые состояния — соответ-
ствующими областями фазового пространства, то распределения,
допускаемые принципом Паули, можно определить как такие, для
которых концентрация „экземпляров" в фазовом пространстве
нигде не превышает двух на элемент объема, равный А3 (если
не принимать во внимание разницу в ориентации осей). Согласно
теореме Лиувилля оказывается, что концентрация экземпляров
не только нигде, но и никогда не будет превышать двух
на Л3, т. е. распределение будет оставаться „разрешенным".
Однако этот результат нельзя обобщить на тот случай, когда
между частицами имеется взаимодействие. 1
До сих пор мы говорили только об электронах. Однако
имеются некоторые прямые указания в пользу весьма естествен-
ного предположения, что принцип Паули или, вернее, принцип
антисимметрии Дирака относится точно так же и к прото-
нам.2 3 Эти указания связаны со строением полосатых спек-
1 Мы видим таким образом, что принцип Паули так же мал© проти-
воречит классической механике системы тождественных частиц, как Боров-
ские и принципы квантования стационарных движений — классической
механике отдельной частицы. В обоих случаях классическая механика
дополняется определенными ограничениями относительно постоян-
ных движения, — как тех, которые относятся к движению отдельных ча-
стиц (Бор), так и тех, которые характеризуют дозволенные распределе-
ния этих частиц между дозволенными индивидуальными движениями
3 Последние также обладают .осевым вращением* повидимому той
же величины как и электроны, поскольку дело касается механического
момента количества движения; так как связанный с ними магнитный
момент обратно пропорционален массам, то для протона он должен быть
в 1845 раз меньше, чем для электрона.
254 Глава 4. Волновая механика системы частиц
тров, испускаемых (или поглощаемых) молекулой водорода.
Кроме того, имеется значительное число косвенных доказа-
тельств, подтверждающих вышеуказанное предположение. Они
вытекают из данных (главным образом для полосатых спектров),
относящихся к более сложным частицам, вроде атомных ядер,
состоящих из нескольких протонов и электронов.
Характер симметрии волновых функций, которыми описы-
вается движение таких сложных частиц (если их рассматривать
как материальные точки), можно вывести из принципа антисим-
метрии для электронов и протонов при помощи следующего рас-
суждения. Положим, что мы имеем дело с системой одина-
ковых частиц, каждая из которых состоит из п электронов
и т протонов (это могут быть атомные ядра, ионы, атомы
или молекулы). Перестановка координат двух таких сложных
частиц в волновой функции /, описывающей их движение,
эквивалентна одновременной перестановке координат между
п электронами и т протонами в другой функции X, кото-
рая относится к этим элементарным частицам (а не к центрам
тяжести образуемых ими скоплений) и более полно описывает
их движение. Так как перестановка любых двух электронов или
любых двух протонов должна изменить знак функции X вслед-
ствие ее антисимметрического характера, то эта функция в ко-
нечном счете окажется умноженной на (— 1)т 'Л Этот резуль-
тат, очевидно, должен оставаться справедливым и по отношению
к приближенной или, вернее^ неполной функции */.
Таким образом мы приходим к заключению, что систему
тождественных сложных частиц, рассматриваемых как материаль-
ные точки, нужно описывать при помощи симметрических или же
антисимметрических функций, в зависимости от того, состоят ли
сложные частицы из четного или нечетного числа элементарных
частиц (электронов и протонов). В частности, все нейтральные
частицы, вроде атомов и молекул, следует опысывать симметри-
ческими функциями. Этот результат можно применить и к фо-
тонам, если их рассматривать как нейтральные частицы.
Следует, однако, признать, что это распространение прин-
ципа симметрии на частицы, которые наверно не являются слож-
§ 23. Принцип Паули
255
ными, если только они вообще существуют, не представляется
обоснованным. Сравнение с волновой теорией света оправды-
вает, однако, такое распространение, так как эта теория не на-
лагает никаких ограничений на энергию, связанную с данной
системой стоячих световых волн, или, другими словами, на число
фотонов, связанных с данным стационарным состоянием (изо-
бражаемым этими волнами). В частности, может случиться, что
все W фотонов, составляющих рассматриваемую систему, будут
находиться в одном и том же индивидуальном состоянии. Един-
ственная функция у, не исчезающая тождественно при подобном
распределении, это симметрическая функция. Следовательно, она
должна изображать совокупное состояние системы фотонов для
любого распределения. Дальнейшее подтверждение этого вывода бу-
дет приведено в главе VI в связи с теорией теплового излучения.
Соотношение между двумя способами описания системы
тождественных частиц — способом квантованных волн и спосо-
бом конфигурационного пространства — можно легко выявить
в случае симметрических функций. Действительно, как мы только
что заметили, последние допускают возможность замещения
индивидуальных состояний любым числом частиц, причем в дру-
гом методе это число толкуется как квантовое число соответ-
ствующего гармонического осциллятора. Дело обстоит более
сложным образом в случае антисимметрических функций, для
истолкования которых по теории квантованных волн необходимо
допустить, что квантовые числа соответствующих осцилляторов
могут принимать лишь значения 0 и 1, для чего в волновой ме-
ханике гармонического осциллятора нет решительно никаких
оснований. Для того чтобы получить требуемое соответствие,
мы должны предположить, что осцилляторы (трехмерные волны),
представляющие антисимметрические функции, проквантованы по
какому то особенному правилу, автоматически исключающему
все значения квантовых чисел, которые больше единицы. Такое
правило было разработано Йорданом. Покамест мы должны
ограничиться лишь указанием на то, что между двумя типами
квантованных волн, соответствующими симметрическим и антисим-
метрическим функциям, имеется существенное различие.
256
Глава 4. Волновая механика системы частиц
§ 24.	Материя и свет.
В конце предшествующей главы мы уже указали на неко-
торые различия между светом и материей, которые показывают,
что аналогия между ними, послужившая исходной точкой для
развития волновой механики, на самом деле весьма поверхностна
и имеет очень ограниченное значение. Мы рассмотрим теперь
ближе соотношение между светом и материей с точки зрения
теории квантованных волн, изложенной в начале этой главы.
Световые волны обычно описываются как электромагнитные
волны, т. е. волны электрической и магнитной силы Е, Н, а не
как волны „вероятности41, которые мы рассматривали до сих пор
в связи с движением материальных частиц. Поскольку мы огра-
ничиваемся функциями (В** Щ) или ф*, связанными с определен-
ным стационарным состоянием k9 это различие сводится
к тому, что квадраты первых определяют плотность энер-
гии, тогда как квадраты последних или, вернее, их модулей —
плотность вероятности. Это различие можно выразить
следующим образом: поле (Е*, Щ) представляет „волны энер-
гии", тогда как поле представляет „волны вероятности". Его
легко устранить, разделив Е* и Щ на квадратный корень из
кванта энергии = Так как в случае световых волн элек-
трическая и магнитная силы всегда численно равны между собой,
то мы можем опустить Hk и для плотности энергии воспользо-
ваться выражением— (^вместо
8к J
, а волновую функцию
«и
соответствующую Е*, определить соотношением
у 4ichVk
(121)
Однако это соотношение (предполагающее, что ф* рассматривается
как вектор) не учитывает того обстоятельства, что функция
должна быть нормирована, т. е. должна удовлетворять соотно-
шению
1.
§ 24. Материя и свет
257
Кроме того, оно не учитывает и того обстоятельства, что фА
должна быть комплексной величиной, зависящей от времени
через множитель	, между тем как Е* является веще-
ственной величиной вида Е* = Е° cos 2&ул/, квадрат которой,
т. е. плотность энергии (умноженная на 4к), колеблется с ча-
стотой около среднего значения
г~>2	г-<02
__ £-k
4 к 8к9
где есть амплитуда Е& В этом отношении аналогию между
и Ek можно формально восстановить, заменив Е^ соответствую-
щей комплексной величиной, зависящей от времени, через мно-
житель e~i2™kt и заменив действительную плотность энергии
ее средним значением, которое при указанном условии можно на-
Е*Е£
писать в виде
Oat
Что же касается первого свойства, то его можно учесть, по-
лагая
Е* =	(121а)
где Ck есть комплексное число, абсолютное значение которого
определяется из условия |q|2 = Nk-
До сих пор различия между волнами Е и волнами ф пред-
ставлялись не особенно существенными. Положение вещей
принимает совсем другой вид, если мы перейдем от гармони-
ческих волн, соответствующих некоторому стационарному со-
стоянию, к волнам, связанным с множеством различных стацио-
нарных состояний. В этом случае электрическая напряженность Е
выражается суммой всех напряженностей Е*, относящихся к этим
стационарным состояниям. Заменяя последние единичными напря-
женностями е*, соответствующими №=1 и нормированными
согласно уравнению
J* dv — h^k (эквивалентному f [ ф* |2 dv = 1),
имеем Ел==сл©л и, следовательно,
Е =	(122)
k
258
Глава 4. Волновая механика системы частиц
Это равенство сходно с равенством (95) для волновой фун-
кции Ф = причем заменено в нем через е^. Однако
между результирующими Е и ЧГ не существует
никакой зависимости, потому что соотношения между
отдельными и соответствующими
e>k — К 8r:vkh	(122а)
содержат коэфициенты, различные для разных стационарных
состояний, и притом такого типа, который исключает возможность
установить какое-нибудь соотношение между Е и ЧЛ Заметим,
что если бы коэфициенты в (122а) были пропорциональны не
корню квадратному из частот, а самим частотам, то мы могли бы
dtyk	dW
положить ~ и Е~-тг. Мы можем ввести символические
at	at
соотношения такого же типа содержащие производную (по вре-
мени) порядка ~, т. е. положить
и следовательно
е* = 2 У h i
_ [ А \ 1
Е = 2/й/	2 ЧТ.
(122b)
Однако сомнительно, чтобы это соотношение между Е и Ч7
имело какой-нибудь физический смысл. В случае плоских волн
определяемых уравнением
Е = Ео?2г‘<|“г_’'°
соотношение (122b) может быть заменено другим символическим
соотношением
Е = 2]/ ^7й7
1	4
Здесь V а обозначает дифференцирование порядка ~ по отно-
шению к координатам, эквивалентное умножению Ф на квадрат-
ный корень из величины вектора /2кк, скалярное произведение ко-
торого на г фигурирует в показательной функции. Эквивалентность
обеих формул вытекает из соотношения у = г& где с—скорость
§ 24. Материя и свет
259
света, a k = — волновое число. Вторая формула с помощью
л
теоремы Фурье может быть распространена на волны любого
типа. Этой формулой на самом деле пользовались некоторые
авторы в тщетном стремлении построить „квантовую электроди-
намику", в которой фотоны трактовались таким же образом,
как электроны в обычной волновой механике.
Из предыдущих соображений вытекает, что в случае света
между волнами, рассматриваемыми как электромагнитные, и ча-
стицами-фотонами не существует общей зависимости в том
смысле, что волновая функция Е(х, у, z, f) не связана непосред-
ственно с вероятностью встретить фо^он в соответствующей
точке,—если только она не сводится к функции Е$, относящейся
к какому-нибудь стационарному состоянию.
Истинное соотношение между световыми волнами и вероят-
ностными волнами электронов становится особенно ярким и
отчетливым в общем случае наложения нескольких гармонических
электронных волн с различными частотами. В этом случае про-
изведение фф* содержит „ интерференционные" члены с часто-
тами vwn = vw—vn. Мы видели выше, что эти частоты имеют
весьма простое и глубокое физическое значение, представляя
собой частоты света, испускаемого электроном при переходе из
одного состояния в другое. Это соотношение можно интерпре-
тировать как результат пропорциональности между ^фф*, т. е.
вероятной плотностью электрического заряда е, связанного с ча-
стицей, движение которой описывается функцией ф, и (вероятным)
электрическим полем Е, создаваемым этой частицей. Мы видели,
таким образом, что Е соответствует не комплексной величине ф,
а вещественной величине ф ф*.
Тот факт, что Е должно быть вещественной величиной,
в отличие от ф, можно также рассматривать, как математическое
выражение того обстоятельства, что Е представляет собой непо-
средственно измеримую величину, в противоположность ф, ко-
торая служит лишь для вычисления физически измеримой вели-
чины фф*. — Иногда приходится встречаться с утверждением,
что в случае световых колебаний мы можем непосредственно
260 Глава 4. Волновая механика системы частиц
измерить лишь среднее значение энергии, т. е. £2, а не напря-
женность поля, как функцию времени. Но с другой стороны
в случае электромагнитных колебаний небольшой частоты мы
несомненно можем измерить самое поле и проследить его изме-
нение в функции времени (с помощью, например, осциллографа).
Правда, непосредственно измеряемой величиной при этом
является не напряженность поля Е, а сила, т. е. произве-
дение Е на заряд частицы, на которую это поле действует. Но
этот заряд можно рассматривать, в случае электронов например»
как известную величину, причем сила не может быть преобразо-
вана в выражение квадратичное относительно напряженности
результирующего электрического поля (слагающейся из внешнего
поля и поля, создаваемого самим электроном). Поэтому непра-
вильно думать, что измерение электрической силы может быть
сведено к измерению электромагнитной энергии. С таким же
основанием мы могли бы отрицать возможность измерения элек-
тромагнитной энергии, так как последняя, с точки зрения совре-
менной (релятивистской) теории тяготения, определяет гравита-
ционное поле примерно таким же образом, как электрический
заряд определяет электромагнитное поле: напряженность грави-
тационного поля пропорциональна массе, т. е. электромагнитной
энергии, разделенной на квадрат скорости света.
Сходство отношений между полем материи и полем электро-
магнитным с одной стороны, и полем электромагнитным и полем
тяготения — с другой, можно было бы рассматривать как новый
вид аналогии между материей и светом, заменяющий поверхност-
ную аналогии^ которая рассматривалась до сих пор в связи с
идеей корпускулярно-волнового параллелизма. Этановая аналогия
не предполагает необходимости введения понятия фотонов, как
частиц, связанных с электромагнитными волнами подобно тому,
как электроны связаны с ф-волнами. Такие частицы являются не
более необходимыми, чем „гравитационные кванты" или „гравоны*
которые можно было бы привести в соответствие с гравитацион-
ными волнами (или „фононы", т. е. „звуковые кванты", которые
можно было бы связывать со звуковыми волнами).
Заметим, что рассматривая электрическую напряженность Е
§ 24. Материя и свет
261
как вещественную величину, квадрат которой определяет плот-
ность электромагнитной энергии, мы в случае суперпозиции гар-
монических электромагнитных (световых) волн с частотой ут и
уЛ получаем в выражении электромагнитной энергии члены, ко-
леблющиеся как с разностной частотой —vn, так и с сум-
мовой у;72 -|-у,1. Эти колебания должны возбуждать гравитационные
волны (слишком слабые для того, чтобы их можно было обна-
ружить на опыте) соответственно одинаковых частот. Если при
этом возбуждение волн с разностной частотой можно было бы
считать аналогичным возбуждению световых bojh путем интер-
ференции катодных волн, то для интерпретации гравитационных
волн с частотой ym -f- потребовалась бы радикальная пере-
делка квантовой теории.
Ограниченное значение аналогии между материей и светом
обусловлено тем обстоятельством, что эта аналогия игнорирует
истинную физическую связь между светом и материей,—
связь, которая может быть описана как аналогия лишь очень
поверхностным и несовершенным образом.
Это не должно нас удивлять, если мы вспомним, что в конце-
концов свет есть не что иное, как частный случай электромаг-
нитного силового поля, описывающего взаимодействие элемен-
тарных частиц материи.
В самом деле, было бы очень странно, если бы это электро-
магнитное поле обладало совершенно такими же свойствами,
как сама материя (рассматриваемая как совокупность отдель-
ных частиц). Отсутствие действительного сходства между ними
особенно убедительно подтверждается сравнением материи с дру-
гим частным случаем электромагнитного поля, а именно — электро-
статическим полем. Электростатическое поле и электромагнитное
поле световых волн можно рассматривать как противоположные
крайности, в том смысле, что первое преобладает при малых,
а последнее при больших расстояниях от материальных частиц.
Сходство в законах распространения электромагнитной энергии
и электромагнитного количества движения, связанных с волнами
света, с одной стороны, и движением обыкновенной материи (в виде
сплошной среды), с другой, можно вывести, оставаясь в рамках
262 Глава 4. Волновая механика системы частиц
классической электромагнитной теории света. И именно это —
конечно весьма поверхностное и неполное — сходство дало воз-
можность построить корпускулярную теорию света. 1 Таким обра-
зом из предыдущих соображений как будто вытекает, что кор-
пускулярная — или построенная согласно волновой механике —
теория света сама по себе не верна; в заслугу ей можно поста-
вить только то, что она способствовала развитию волновой ме-
ханики материи. Заметим, что уделом многих неверных физи-
ческих теорий было пробивать дорогу лучшим теориям.
1 Поток энергии определяется вектором (вектор Пойнтинга) —ЕхН.
4гс
В частном случае волн света, которые характеризуются численным ра-
венством и взаимной перпендикулярностью Е и Н, этот век юр сво-
дится к произведению с (вектора, совпадающего по направлению с на-
правлением распространения волн и численно равного скорости света с}
на — =----------, т.е. на плотность энергии, — как будто бы эта энергия
4п 8к
переносилась частицами, движущимися со скоростью с. Однако эта ана-
логия исчезает, если Е и Н численно не равны друг другу или если
они не взаимно перпендикулярны. z
Глава 5.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.
§ 25. Статистическое равновесие газа при абсолютном нуле
температуры.
До сих пор мы ограничивались исследованием вопроса о воз-
можны х распределениях системы тождественных частиц (взаимо-
действием которых можно пренебречь или заменить внешним
силовым полем, подобранным соответствующим образом) между раз-
личными индивидуальными состояниями. Мы нашли два типа воз-
можных распределений, а именно: распределения, соответствую-
щие антисимметрическим функциям, и распределения,
соответствующие симметрическим функциям.
Мы обратимся теперь к изучению тех распределений, которые
на самом деле встречаются, когда идеальный газ, состоящий из
рассматриваемых частиц, находится в состоянии статистиче-
ского или теплового равновесия. Простейшим из этих реаль-
ных распределений является то, которое соответствует абсолютному
нулю температуры. Оно определяется из условия, что полная
энергия системы, т. е. сумма энергий отдельных частиц (так как
взаимодействие их отбрасывается или заменяется эквивалентным
внешним полем) имеет наименьшее возможное значение. В клас-
сической статистической теории, не знающей принципа тожде-
ственности и считающей все распределения возможными, этому
условию удовлетворяют, полагая, что при абсолютной темпера-
туре Т—0 все частицы находятся в одном и том же индиви-
дуальном состоянии, а именно—в состоянии наименьшей энергии,
которое является „нормальным" для каждой из них в отдель-
ности.
Такой же результат справедлив и для симметрического рас-
пределения (отличце его от классического начинае! сказываться
264	Глава 5. Статистическая механика
лишь при температурах выше нуля). Что же касается антисим-
метрического распределения, соответствующего, например,
случаю электронного газа, то оно имеет совсем другой характер,
и может быть получено, если помещать по одному электрону в
каждое из состояний с наименьшей энергией.
Примером распределения такого типа является нормальное
распределение электронов в атоме (конечно, не в атоме водо-
рода). Если рассматривать каждую пару состояний, отличающихся
друг от друга только спиновым квантовым числом, как двойное
состояние, тогда нормальное распределение получается помеще-
нием двух электронов в каждое из двойных состояний с наи-
меньшей энергией. Эго означает, что энергия системы или, что
то же самое, среднее значение энергии одной частицы при абсо-
лютном нуле температуры будет больше того значения, которое
она имела бы по классической статистической теории. В част-
ности в случае идеального газа, она должна была бы равняться
(практически) нулю, потому что по предположению все частицы
должны были бы находиться в покое. В случае же электронного
газа при этом условии только два электрона могут оставаться в
покое, или точнее, в состоянии наименьшей энергии; остальные
должны распределиться попарно в состояниях с большей энер-
гией.
Эта картина вызывает представление о большой гостинице,
обитатели которой стремятся разместиться в нижних этажах, но
ограничены в этом отношении правилом, устанавливающим, что
в каждой комнате может помещаться только одна супружеская чета
(причем противоположным полам соответствует противоположное
направление осей у электронов). Чтобы сделать аналогию еще
более полной, мы должны вообразить себе, что все здание со-
стоит из подобных комнат (число которых в каждом этаже со-
ответствует числу состояний с данной энергией) и что число
этажей бесконечно велико. Можно представить себе, что этот
„небоскреб" выстроен в фазовом пространстве классической ста-
тистической механики, причем все комнаты—или элементар-
ные фазовые клетки, как их обычно называют — занимают
в точности один и трт же объем, равный й3. Эти клетки соот-
§ 2б.0вщий закон статистического равновесия 265
ветствуют стационарным состояниям, характеризуемым тремя
обыкновенными числами пх, пУ) nz или л2, л3, тогда как зна-
чения „спинового" квантового числа остаются неопределенными.
Только что приведенная аналогия подчеркивает то замеча-
тельное обстоятельство, что, несмотря на предполагаемое отсут-
ствие динамического взаимодействия, отдельные электроны ста-
тистически связаны между собой так, что они повинуются за-
прету („жилищному закону*), выражаемому принципом Паули.
Они ведут себя так, как будто бы они чувствовали присутствие
друг друга, и несмотря на стремление устроиться в более удоб-
ных, т. е. более низких этажах гостиницы, выстроенной в фазо-
вом пространстве, они никогда не вторгаются в помещение, уже
занятое более счастливой парочкой электронов.
На первый взгляд может показаться, что такое деликатное
поведение электронов физически невозможно и что его можно
истолковать только приписав им какие-то „сверхфизические"
свойства, эквивалентные „стремлению" нашего воображаемого
населения собираться внизу здания, с одной стороны, и уваже-
нию его к ограничениям, накладываемым правилами общежития,
с другой. На самом деле, такие сверхфизические свойства не
нужны. Стремление любой не вполне изолированной от внешнего
мира системы частиц при температуре абсолютного нуля занять
состояние с наименьшей энергией вытекает из определения абсо-
лютного нуля температуры в связи с общим законом статистиче-
ского или теплового равновесия. Что же касается правила Паули,
то хотя происхождение его и не вполне ясно, но если допустить
справедливость его в некоторый момент времени, то оно авто-
матически соблюдается во все времена, несмотря ни на какие
возмущающие влияния. Этот его характер вытекает, как мы ви-
дели в предыдущей главе, из основных законов волновой меха-
ники в связи с дираковским принципом антисимметричности
волновых функций.
§ 26. Общий закон статистического равновесии.
Понятие температуры можно ввести в общем виде только
после того, как определен характер равновесного распределения,
266
Глава б. Статистическая механика
причем температура входит в закон этого распределения в ка-
честве параметра.
Если данную систему частиц рассматривать как целое, то
можно формулировать этот закон в следующем общем виде: в е-
роятность того, что система окажется в некото-
ром состоянии а определяется соответствующим
значением полной энергии Е« по формуле
‘	(123)
где А и 6 — постоянные, не зависящие от а.
Формула (123) была выведена в классической статистической
механике Больцманом и носит его имя. Постоянная 9 есть мера
абсолютной температуры Г, которая определяется обычно соот-
ношением
9 = kT,	(123а)
где k = 1,37 • 10 ~ 16_£^L-так называемая постоянная Больц-
град.
мана. Постоянная А определяется из условия, что полная веро-
ятность нахождения системы в одном из возможных для нее со-
стояний равняется единице. Применяя классическую теорему сло-
жения вероятностей, мы получаем
=1
а
или
А —----(.]23Ь)
Можно показа ь в весьма общем виде, что предыдущие ре-
зультаты остаются справедливыми и в новой статистической тео-
рии, основанной на волновой механике.
Для того чтобы доказать это, мы должны прежде всего ясно
определить само понятие статистического или тепло-
вого равновесия, к которому относятся эти выводы.
Понятие о равновесии относительно. Оно предполагает
существование нескольких систем или частей рдной системы.
§ 26. Общий закон статистического равновесия 267
которые находятся в равновесии относительно друг друга
(точно так же, как понятие потенциальной энергии подразумевает
существование нескольких частиц или систем, действующих друг
на друга). Относительное равновесие двух систем, например а и Ь>
можно, однако, определить лишь в том случае, если их вза-
имодействие сравнительно слабо, так что системы а
и b ведут себя приблизительно так же, как если бы они были
совершенно изолированы одна от другой. Это условие можно
выразить точнее следующим образом: взаимная (потенциальная)
энергия систем а и Ь, ЕаЬ, должна быть очень мала по сравнению
с внутренней энергией Еаа системы а (включая взаимную потен-
циальную энергию частиц, составляющих а, если таковая име-
ется), и с внутренней энергией Еъъ системы Ь. Следует, однако,
помнить, что Еаь не должна равняться нулю, потому что в этом
случае, т. е. при полном отсутствии взаимодействия между а и b
нельзя было бы говорить о равновесии между ними.
Таким образом, чтобы найти условие равновесия для рассма-
триваемой системы, например для системы а, мы должны или
подразделить ее на более мелкие части—в качестве коих можно
взять отдельные частицы,—или же рассматривать ее как часть
большой системы с, другую часть которой мы обозначим
через Ь.
Формулированный выше результат (закон распределения Больц-
мана) можно получить по второму способу, который мы и рас-
смотрим сначала в виду его большей общности.
Благодаря предполагаемой малости взаимодействия систем а
и Ьу состояние первой системы можно описывать так, как если бы
она была совершенно изолирована от внешних воздействий.
То же самое относится, конечно, и к Ь. При этом условии
взаимодействие между а и b скажется в том, что а и b не будут
неизменно пребывать в тех стационарных состояниях а' и р', в
которых они находились в некоторый начальный момент, а будут
переходить из этих состояний в некоторые другие состояния а"
и р", или а"' и р'" и т д., при условии, что сумма энергий
систем а и b будет оставайся погтоянной:
Еу =	4- ЕГ.	(124)
268
Глава 5. Статистическая механика
Энергия Еаъ не входит в это уравнение не только потому,
что она сравнительно мала, но также и потому, что она уже
учтена нами как причина пер ходов из одного состояния в другое
в системах а и Ь. Благодаря этим переходам, состояние системы
а должно быть описано, согласно волновой механике, как супер-
позиция некоторого числа различных стационарных состояний
а', а", . . . Если последние связаны с гармоническими функциями
фа', фа", нормированными ОбыЧНЫМ образом (/|фа|2^а = 1),
то поведение системы а будет изображаться функцией
фа = Сл фа' Сл„ фа>- ф- . . • ,
где |са|2 есть относительная вероятность того, что система а на-
ходится в состоянии а. Аналогичные результаты справедливы,
конечно, и для Ь. Поведение же комбинированной системы (а, Ь)
описывается произведением
фд*=фа фд ==^а'3' фа' ф^+ Сх"?" фа" ф?"-ф-. • .,
где выражение |?а'3'[2 = |са’|2	|2 представляет собой вероятность
обнаружить одновременно а в состоянии а' и b в состоянии р'.1
Вместо того, чтобы говорить о вероятностях, удобнее вооб-
разить себе большое число одинаковых „экземпляров" системы
(а, Ь) и толковать произведения |г«|2-|ср|2 как относительные
числа этих экземпляров, в которых а находится'в стационарном
состоянии а, а & в стационарном состоянии р. При таком с о гл а-
шении мы можем говорить об (относительном) числе переходов
между различными сложными состояниями (а, Р) системы (а, Ь)
за данный промежуток времени^ и определять условие статисти-
ческого равновесия как такое условие, при котором числа пе-
реходов между любыми двумя состояниями (а'Р')
и (а"р") одинаковы для обоих противоположных
1 -Если это выражение для tyab в виде произведения справедливо
в некоторый начальный момент, то оно остается приближенно справед-
ливым для любого последующего момента, поскольку возмущающая
энергия ЕаЬ мала. В общем случае коэфициенты не равны произ-
ведению с* на с$ .
§ 26. Общий загон статистического равновесия 260
направлений, в которых эти переходы могут со-
вершаться.
Число переходов из состояния (а' (?) в состояние (а'' [?')>
очевидно, должно быть пропорциональным числу |св'|2 • |с^|2, ко-
торое выражает вероятность обнаружить систему а в а’ и одновре-
менно b в Р', другими словами, оно должно быть пропорцио-
нально относительному числу систем (а, Ь), находящихся в состоя-
нии (а' р') и, кроме того, пропорционально вероятности рассма-
триваемого перехода /(«'?')которая, как известно, измеря-
ется квадратом модуля возмущающей энергии Еаъ по отношению
к функциям и Число переходов, происходящих за тоже
время в противоположном направлении, пропорционально произ-
ведению *|са->|2 [ср '|2 /(а"3")-+(«'5'), причем коэфициент пропор-
циональности (опущенный нами) в обоих случаях имеет одно и
то же значение. В главе третьей, § 18, было показано, что ве-
роятности переходов в обоих направлениях Д'-► («" р") и
Д"0ЙГ)-*(«'₽') также равны между собой, откуда следует, что усло-
вие равновесия можно написать в следующем виде:
Ы21М2==Ы2 Ы2-	(124а)
Сравнивая это уравнение с (124), мы видим, что ему можно
удовлетворить только в том случае, если величины |св|2 и |гр|2
заданы выражениями вида:
\са\2 = Ае о , |ср|2 == Ае 1Г
с одним и тем значением параметра 0. Последнее условие выра-
жает равенство температур а и Ь. Если написать вместо
Ра, то получится уравнение Больцмана (123). Из этого урав-
нения следует, что при 0 = 0, т. е. при температуре абсолютного
нуля, возможно только одно состояние, а именно состояние с най-
ме н ь ш е й энергией. В самом деле, относительная вероятность
двух состояний а' и а" выражается отношением	6
которое обращается в нуль, если 0 = 0 и Еа» > Е#.
В связи с этим следует отметить, чго распределение, при кото
270
Глава 5. Статистическая механика
рем система имеет наименьшую энергию, достигается практически
при таких температурах, для которых значение параметра 6 мало
в сравнении с энергией возбуждения рассматриваемой системы,
другими словами, по сравнению с разностью энергий между нор-
мальным состоянием и следующим за ним по шкале энергий. Во
многих случаях (например в случае атомов) эта энергия возбу-
ждения так велика, что распределение, соответствующее абсо-
лютному нулю температуры, практически осуществляется вплоть
до температур в тысячи и даже десятки тысяч градусов.
§ 27. Применение общего закона статистического
равновесия к идеальному газу.
Мы применим теперь предыдущие результаты к определению
равновесного распределения в идеальном газе, 1 состоящем из N
тождественных частиц. Всякое распределение задается указанием
числа частиц N2i ... находящихся в различных индиви-
дуальных состояниях 1, 2, ... k. Каждое из чисел последнего
ряда может представлять совокупность трех или четырех кванто-
вых чисел, определяющих соответствующие состояния. Например,
k заменяет совокупность чисел n/k\n£k\sf®. Наша задача
состоит в определении средних значений чисел Nkt соот-
ветствующих выражению (123) для вероятности разных (сово-
купных) состояний всей системы. Эти средние значения для
которые мы обозначим через строго говоря, не соответствуют
определенному постоянному распределению. На самом деле, такое
распределение в действительности и не существует, потому что
число частиц, находящихся в каждом из состояний, не вполне
постоянно, а быстро и неправильно колеблется (флуктуирует)
около среднего значения W*. Эти колебания или флуктуации
можно оценить, вычислив средние значения квадратов разностей
Afe— Nk . Таким образом равновесное распределение
1 Нужно помнить, что под идеальным газом подразумевается си-
стема частиц, которые, по предположению, не действуют друг на
друга. Они могут, однако, подвергаться действию внешних сил, вклю-
чающих силовое поле, которое приближенно описывает их фактическое
взаимодействие.
§ 27. Применение общего закона статистического равновесия 271
определяется как среднее распределение частиц
между индивидуальными состояниями, соответ-
ствующее закону вероятности (123) для резуль-
тирующих совокупных состояний.
Заметим, что числа а, которыми нумеруются эти состояния,
изображают определенную совокупность значений чисел распреде-
ления	W4 • • • причем нулевые значения последних (для
незанятых индивидуальных состояний) тоже принимаются в расчет.
Энергия комбинированного состояния а равна (так как взаимо-
действием между частицами мы пренебрегаем или учитываем его
с помощью эквивалентного внешнего поля)
Wk ’ (125)
k
где Wk есть энергия одной частицы в соответствующем индиви-
дуальном состоянии, а суммирование распространяется на все
такие состояния.
Среднее значение какой-либо функции F от а или, что то же
самое, от чисел выражается формулой
Ра (125а)
а.
или, согласно (123) и (123b),
F = SUe 6 .	(125b)
S е 9
При выполнении суммирования следует различать три случая:
1. Классическая („индивидуал исти ческая*) ста-
тистика. Здесь принцип тождественности не признается и от-
дельные частицы не лишаются своей индивидуальности. Поэтому
распределение, заданное числами , N2^9 рассматривается не
как одно состояние всей системы, а как совокупность
эквивалентных состояний, отличающихся друг от друга
индивидуальностью частиц, находящихся в различных индивиду-
272	Г.1АВА 5, Статистическая механика
альных состояниях. Число этих возможных эквивалентных состоя-
ний системы равно: 1
ёл = ’ (126)
т. е. равно числу различных распределений N предметов между
целым рядом ящиков, причем в А-ом ящике должно быть Nk
предметов.
Таким образом в уравнении (125а) каждый член под знаком
суммы нужно повторить ga раз или, другими словами, нужно
заменить е произведением g^e
2. Новая „квантовая" статистика симметриче-
ского типа, называемая статистикой Бозе-Эйнштейна, которые
впервые ее ввели (первый для случая фотонов, а второй для ча-
стиц обыкновенной материи). В этом случае состояние а счи-
тается вполне заданным числами распределения Nv TV2 • • • и при-
нимается во внимание один раз („обезличка"). Чтобы яснее по-
казать разницу между этой статистикой и классической стати-
стикой введем, как и раньше, множитель g^ выражающий,
сколько раз нужно повторить каждое состояние, характеризуемое
данными значениями чисел Nx N% . . . В рассматриваемом случае
этот множитель определяется не формулой (126), а формулой
= 1.
(126а)
3. Новая статистика антисимметрического
типа, называемая статистикой Паули, Ферми и Дирака. В этом
случае нужно учитывать только такие состояния а, для которых
числа распределения равны единице или нулю, согласно
принципу Паули. Это ограничение эквивалентно умножению каж-
_____________ Ел
дого члена е 6 под знаком первоначальной суммы на мно-
житель
__ (1, если все Nk^ = Q или 1	(126b)
если нек0Т0рыеЛЛл(«) > 1.
1 Здесь подразумевается, что Л^!=1, если =0.
§27. Применение общего закона статистического равновесия 273
Множители, определяемые приведенными формулами, обычно
называют „статистическим весом" соответствующих совокупных
состояний. Вводя их, мы можем заменить (125а) выражением
	(127) »
в котором предполагается, что каждое обезличенное состояние а
входит в сумму только один раз.
Чтобы вычислить искомое среднее распределение, мы должны
положить в предыдущем уравнении	. Однако можно
сделать это проще, вычислив среднее значение полной энергии Е.
Полагая = Ел и принимая во внимание, что
	dy.
где	1 |*-т.
имеем:	с “ v —
или	£=^-lgZ,	(128)
где	(128а)
Заметим, что величина Z, которую мы в дальнейшем будем
называть статистической суммой нашей системы (Zu-
standssumme немецких авторов), есть величина обратная
коэфициенту А в уравнении (123) или, вернее, в формуле
Pa = Agae~~^Ea , точно так же как ц есть величина обратная
О —
В случае классической („индивидуалистической") статисти-
274
Глава 5. Статистическая механика
ческой теории значение Z легко вычислить так как оно сво-
дится к /V-ой степени суммы
(128b)
k
распространенной на все состояния одной частицы. В самом
деле, по хорошо известной обобщенной формуле бинома Нью-
тона мы имеем:
/ V yu\N — V N-________ rNl xNl
(2* к] ~2i	’
\ k /
что при хь = e~~^k обращается в (128a) на основании фор-
мулы (125). Таким образом мы получаем:
Z —zN
класс — * j
(129)
откуда на основании (128)
- д
Е = — N-— ]gz = N —.
ди.	Le~'^k
С другой стороны, из (125) непосредственно следует, что
k
Сравнивая это выражение с предыдущим, получаем соотно-
шение	ir,
Ne~^ N Jk
Nk=-------w7~ = e 6
z
вполне подобное первоначальному выражению (123) для всей
системы. Формула (129) представляет то распределение частиц
по индивидуальным состояниям, которое следует подразумевать
под законом Больцмана (или Максвелла-Больцмана).
Нужно заметить, что в классической статистике мы имеем
дело с неквантованными состояниями
состояниязанумерованные числами k,
ленного смысла. Если вспомнить, что
соответствует определенному объему
просранства
и что „индивидуальные
не имеют здесь опреде-
квантованное
классического
f... fdx dy dz dgx dgv dgt =-=h',
состояние
фазового
(130)
§ 27. Применение общего закона статистического равновесия 275
то переход к классической статистике можно сделать, сохраняя
в принципе идею квантования, чо вместе с тем считая h беско-
нечно-малой величиной так, чтобы последовательные квантован-
ные состояния лежали бесконечно близко друг от друга. В этом
случае разные величины, как например энергия IT, принима-
ющие различные дискретные значения Wk для различных кван-
тованных состояний, можно рассматривать как непрерывные
функции переменных х,у, z, gX) gy, gz, т. e. совершенно так же,
как и в классической механике, где нет никакого квантования.
При этих условиях выражение (128b) для z можно заменить
интегралом
z = ±fe~*wd-(,	(131)
где dy обозначает элемент объема фазового пространства инди-
видуальной частицы (afy == dx dy dz dgx dgy dgz)t и интегрирование
распространяется по всей области фазового пространства, в кото-
рой частица может находиться. Выражение (129) заменяется
соответственно этому следующим:
__ и?
0 dy
dN — N'	(131а)
J е 6
где dN обозначает число частиц, состояние которых — в клас-
сическом смысле этого слова — заключается внутри элемента
объема dy фазового пространства. Мы видим, между прочим,
что постоянная Л3, встречающаяся в (131), вовсе не входит
в (131а), поэтому и в первом выражении ее можно отбросить,
поскольку дело идет о выводе закона распределения, и опре-
w
делить величину z просто как интеграл J е 3 ^(„статистиче-
ский интеграл“ для одной частицы).
Переход к классической теории можно произвести и раньше,
а именно при вычислении величины Z, относящейся не к одной
частице, а ко всей системе. Обозначая фазовые пространства
индивидуальных частиц через ТьТа,... Ш мы можем задать со-
276
Глава 5. Статистическая механика
стояние всей системы (в классическом смысле) элементом объема
йГ = d^i. . d^N результирующего фазового пространства.
При э*ом квантованное состояние системы, очевидно, будет соот-
ветствовать объему
/ dV=hlN
этого пространства. Полагая, что h стремится к нулю, мы можем,
как и раньше, фактически уничтожить квантование. Если, далее,
рассматривать частицы как неодинаковые, определяя весовой
множитель формулой (126), то можно положить просто

(132)
Последнее соотношение следует из того, что интегрирование
по Г автоматически обеспечивает повторение каждого состояния,
описываемого числами распределения Nu N2,
Nl
Р°ВН0 КТ i кН--
Nil N2l...
раз. Следует, впрочем, заметить, что так как элементы объема
dyi,	предполагаются бесконечно малыми (как след-
ствие того, что h бесконечно мало), то совпадение нескольких
таких элементов друг с другом (в том случае, если вообразить
себе, что индивидуальные фазовые пространства налагаются одно
на другое) можно считать практически исключенным. Поэтому
числа № должны быть равны или единице или нулю, так что
весовой множитель g обращается в постоянную 7V!
Обратимся теперь к вычислению чисел Nk для случая новой
квантовой статистики. Для этого мы должны сохранить перво-
начальное определение Z как суммы и воспользоваться выраже-
ниями (126а) или (126b) для весового множителя g, При этих
условиях сумма Z, в противоположность классическому случаю,
не обращается в произведение множителей, относящихся к от-
дельным частицам (вполне естественное обстоятельство, если
принять во внимание, что их нельзя отличить одну от другой),
и точное вычисление ее представляет большие затруднения. Эти
затруднения можно обойти, если вместо системы с заданным
числом частиц рассматривать (следуя Гиббсу и Паули) беско-
нечно-большое число одинаковых систем, со всевозможными
§ 27. Применение общего закона статистического равновесия 277
значениями числа N. Эту замену нужно произвести таким обра-
зом, чтобы относительное число систем с данным N и опре-
деленной энергией Е было бы пропорционально
— ХЛГ-рЛ
V	•
Другими словами, вероятность найти систему, состоящую из N
частиц и обладающую энергией Е, должна определяться выра-
жением
P = Ae~l'N~vJS,	(133)
где А — постоянная/не зависящая ни от N, ни от Е, а X —
постоянная, определяющая среднее число частиц 57, подобно
тому как р. (величина, обратная температуре) определяет сред-
нюю энергию Е.
Предыдущую формулу можно рассматривать как обобщение
закона Больцмана (123) и вывести тем же самым способом. Для
вывода уравнения (133) нужно предположить, что между обеими
частями а и из которых состоит данная замкнутая система с,
происходит не только обмен энергией, но и обмен частицами.
Так как полное число частиц, так же как и полная энергия,
задано, то мы имеем в этом случае два уравнения: сохранения
числа частиц и сохранения энергии
Уравнение для вероятностей, выражающее условие компенсации
между переходами (а' р') —► (а" Р") и (а" Р") —> (а' р'). имеет тот же
вид
= РлР/
как и раньше. Легко показать, что последнее уравнение совме-
стимо с двумя предыдущими только в том случае, когда
Рв = Ле-Ш“-!1£а и Р^ = Ве~^~^
причем постоянные X и ус одни и те же для обеих систем а и Ь.
Опуская значки а и р, мы получим формулу (133). Нужно
заметить, что этот вывод уравнения (133) основан на невыска-
занном явно предположении, что число (тождественных) частиц,
составляющих данную систему, не является основной постоянной
278
Глава 5. Статистическая механика
для этой системы, а представляет собой переменную величину
такого же рода, как энергия. Это предположение может быть
оправдано, если система описывается по способу квантованных
волн (§ 20), где число определяется как сумма квантовых чисел
Nit N2..., относящихся к осцилляторам, изображающим различ-
ные квантовые состояния одной частицы в данном состоянии а
системы.
Средние значения N и /Цдля а) определяются согласно (133)
формулами:
N------(133а)
Ок
где
Z=2e”kV_|1£	(133b)
N,E
(мы опустили весовой множитель g, подразумевая, что приняты
во внимание только дозволенные распределения).
Рассмотрим сначала распределения симметрического типа
(соответствующие ^=1 для любых значений чисел распреде-
ления Nt N2 ...). Полагая
k
и
E=^NkWk
k
(причем значок k относится, как и раньше, к различным кванто-
ванным состояниям отдельной частицы), мы можем напи-
сать Z в виде
(Х + |Х^)ЛГ*>	(134)
Nu N2t...Nk
где S обозначает суммирование по всем значениям каждого
NvNa
из чисел Nk от 0 до оо, независимо от общего числа частиц
— S Nk. Это обстоятельство — независимость различных Nk друг
k
от друга (которое имеет место, если отбросить ограничивающее
§ 27. Применение общего закона статистического равновесия 2*79
условие £Л^ = const) и позволяет легко вычислить написанное
k
выше выражение. Действительно, последнее, очевидно, обра-
щается в произведение сумм
V 7<к+^)ЛгА	_	1
относящихся к каждому индивидуальному состоянию, взятому
в отдельности,1 и следовательно, согласно (133а)
ь	I
Эти выражения показывают, что среднее число частиц в раз-
личных (индивидуальных) состояниях при наличии статистиче-
ского равновесия определяется следующим законом:
rnizT-	,134b)
В случае распределений антисимметрического типа (соответ-
ствующих g'=l для Nk— 0,1 и g = 0 для №> 1), мы полу-
чаем таким же образом
Z=n 2 е"(Х+и^Л=П[14-е +	]
к ^=0	к
или
lgZ = £lg.(l +	),	(135)
k
откуда
и E=^NkWk,	(135а)
k ‘	k
1 ЧтоОы это было яснее, положм для краткости	Xk»
Тогда Z= £ x^xaN‘ ... =£хЛ' 2	= П S xkN* =11 Г-7 •
МАГ,...	М, ДГ,	t	*	*
280
Глава 5. Статистическая механика
в классической статистике* (соответствующей g= —
где
'135Ь>
Интересно проверить изложенный выше способ, применив его
N!
(и сравнив результат с тем, который был получен нами раньше
при заданном постоянном значении N). Заменяя выражение (133b)
для Z на
n9 v v №
Aj . . . Л fa
где	x *Wk , получаем:
при естественном предположении, что сумма
z^^xt=e-^e-^
k	k
меньше единицы (иначе выражение z не имело бы смысла).
Отсюда получается, согласно формуле (133а):
А/==	2
1 — Z
и
Т1
и следовательно,
Nk — —— = const е *Wk,
1 —z
т. е. закон распределения Больцмана.
Последнее выражение, так же как соответствующие выражения
(134b) и (135b) для средних значений чисел распределения в кван-
§ 27. Применение общего закона статистического равновесия 281
тобой статистике, можно разумеется вычислить непосредственно,
не прибегая к рассмотрению среднего значения энергии Е.
Рассмотрим теперь более общую задачу, а именно — опреде-
ление среднего значения любой функции F(Nk) числа частиц Nk,
находящихся в определенном состоянии k. Это можно сделать
наиболее просто с помощью выражения (133) для вероятности
данного распределения при произвольности общего числа частиц,
т. е. определяя среднее значение F формулой
-	ZFe-™-^	
F— у -\N-yE	(136)
лав
вместо (125а) и (127).
Полагая	и E=YiNkWk и пользуясь тем обстоя-
тельством, что числа Nl9 можно трактовать как незави-
симые переменные, мы получаем
SF(№)e-₽A^
W) = Nk-Le_fkNk------- (pft = l + |xirft), (136а)
Nk
причем множители, относящиеся ко всем состояниям, отличным
от &-го, в числителе и знаменателе сокращаются
При F (Nk) = Nk мы получаем
Л/* = — -A	(136в)
«Рл \Nk /
Так как для классической статистики, равно как и для ста-
тистики Бозе-Эйнштейна, число Nk может принимать <все значе-
ния от 0 до оо, то в этих двух случаях
=----1----
и следовательно

_______1
1
в согласии с (134b),
282
Глава 5. Статистическая механика
Интересные результаты получаются, если положить
F (М) = (М - Ntf = (Д №)8.
Среднее значение этого выражения определяет квадратичное от-
клонение (флуктуацию) от среднего (наиболее вероятного) рас-
пределения частиц между различными индивидуальными состоя-
ниями. Так как
(Nk — №)2 =	— 2 N~k Nk4- (№ ) 2,
то наша задача сводится к вычислению Nk2.
Согласно (136а) мы имеем
№=гк-'-~,
d^k-
где	Таким образом в случае статистики Бозе-
Эйштейна мы получаем
(дЖ)2 = ^Г(1 + мГ)	(137)
а в случае статистики Паули-Ферми
. (А№р==Л^(1-Л^),	(137а)
тогда как классическая статистика характеризуется соотношением
(137b)
к которому сводятся (137) и (137а) в предельном случае ма-
лости Nk.
Добавочный членз±: (м)2 в формулах (137) и (137а) соот-
ветствует статистической связанности частиц между собой, —
связанности, являющейся характерной чертой квантовой статистики.
Ее можно также интерпретировать, с точки зрения волновой
механики, как результат интерференции квантованных волн,
описывающих рассматриваемые частицы, в предположении, что
волны, соответствующие различным индивидуальным состояниям
н е к о г е р е н т н ы (т. е. не находятся в определенных фазовых
соотношениях по отношению друг к другу). Эта интерпретация
былал, впервые указана Эйнштейном в связи с флуктуациями
энергии в поле теплового излучения, определяемого формулой
Планка.
§ 28. Другой вывод равновесного распределения 283
§ 28.	Другой вывод равновесного распределения для газа.
В предыдущем параграфе равновесное распределение было
выведено в предположении, что данная система составляет часть
другой, большей системы. Теперь мы получим те же результаты
другим способом, упомянутым выше, а именно — подразделяя нашу
систему на части и рассматривая равновесие между этими частями.
В этом подразделении системы на части мы пойдем до конца, т. е.
до частиц, составляющих эту систему. В случае газа это возможно,
так как можно предположить,. что взаимная энергия частиц [или
та часть ее, которая не учитывается эквивалентным (самосогласо-
ванным) внешним полем] в среднем очень мала по сравнению
с суммой их индивидуальных энергий. Поэтому взаимную энергию
частиц можно рассматривать как причину переходов отдельных
частиц из некоторого индивидуального состояния в какое-либо
другое состояние. Эти состояния описываются независимо от
взаимной энергии совершенно так же, как это делалось при рас-
смотрении системы (а, 6). Условие равновесия получается, как
и в предыдущем случае, приравниванием числа переходов данного
типа числу обратных переходов, происходящих за то же самое
время (принцип детального равновесия).
Состояние частицы удобно описывать при этом не точно,
а соединяя несколько соседних состояний в группы. Число ста-
ционарных состояний в 1-й, 2-й, 3-й группе мы будем обо-
значать через g2i а число частиц, относящихся к этим
группам, через Q2f Q3,... Таким образом среднее число
частиц, связанных с одним из состояний, входящих в группу,
равно
Выберем какую-нибудь частицу, принадлежащую к /'-ой группе,
и другую, принадлежащую к £'-ой группе состояний. Их взаимо-
действие сказывается в том, что они могут совершать переходы
из своих первоначальных состояний в какие-то другие состояния,
принадлежащие соответственно к группе f и k". Обозначим ве-
роятность такого перехода за единицу времени через
284
Глава 5. Статистическая механика
Эта вероятность должна быть равна вероятности обратного пере-
хода	и отлична от нуля только в том случае, если
сумма энергий обеих частиц одинакова для начального и для
конечного состояния. Так как энергии отдельных частиц, при-
надлежащих к одной и той же группе, по предположению,
приблизительно равны, то эти энергии W можно занумеровать
числом, определяющим их принадлежность к данной группе.
Тогда упомянутое только что условие для энергии можно напи-
сать в виде
Wf + W* = WL„ + Wk".	(138)
По обычному статистическому представлению число пере-
ходов типа (Г k') —k") в нашем „идеальном газе“ должно
равняться произведению коэфициента вероятности fo#)_____t(i"k”)>
на числа Qs и с одной стороны, и на числа g^ и g^, — с дру-
гой, В самом деле fa#)____tf'k") есть вероятность перехода из
пары точно определенных состояний группы i' и k' в другую
пару точно определенных состояний из групп Г
и k". Для того чтобы получить все переходы в последние
две группы, мы должны умножить / на число отдельных состоя-
ний в каждой из них, а также на число пар частиц в началь-
ных состояниях. Приравнивая число прямых переходов числу
обратных переходов, определяемых таким же образом, и сокра-
щая коэфициенты / в виду их равенства, мы получим условие
равновесия в виде
Qv Qk' gi"gk” = Qi" Qk" g fgk'
или
Qjf	Qkr Qin . Qk"
gi'	gk'	gi" gk" ’
что в соединении с условием для энергии (138) приводит к клас-
сическому (больцмановскому) закону распределения
gi'
Для того чтобы получить законы распределения, соответству-
ющие квантовой статистике, мы должны видоизменить преды-
§ 28. Другой вывод равновесного распределения 286
дущие' рассуждения. Эти изменения особенно ясны в случае
распределений антисимметрического типа, т. е. удовлетворяющих
принципу Паули. Заметим, прежде всего, что в этом случае
числа Qi не должны превышать соответствующих чисел gi, так
как число частиц в каждом состоянии не должно быть
больше единицы. Чтобы обеспечить постоянство выполнения
этого принципа, несмотря на переходы, мы должны допу-
стить переходы (/',&')—►(**#')> только в те состояния сово?
купностей k"9 которые не были заняты до того, как эти
переходы имели место. Число таких свободных состояний в обеих
группах равно соответственно gi"—Qi" и gk"—Qk". Полное
число переходов (/'&')—► (ГА*) будет, таким образом, про-
порционально не Q?, Qk',gi">gk") а произведению
QrQk'(gi"— Qi") (gv— Qk')-
Приравнивая это произведение произведению Qi"Qkr>(gt"—
— Qi”)(gk'—Qk1), определяющему число обратных переходов (так
как коэфициенты пропорциональности в обоих случаях одина-
ковы), мы получим условие равновесия в виде:
Qt' ' Qk1 _ Qj" ' Qk" (i38b)
gi'—Qi’ gk' — Qtf	gi"—Qi" gW — Qtf'
которое вместе с (126) показывает, что
gi — Qi
Заменяя — на Ni, получаем:
gi
иля
в. е. закон распределения Паули-Ферми (135), выведенный нами
в предыдущем параграфе — А). Чтобы получить закон .рас-
пределения Бозе-Эйнштейна, выражаемый формулой (138b), мы
286
Глава 5. Статистическая механика
должны, очевидно, заменить в (138b) знак— на знак-]-, иными
словами, написать условие равновесия в виде
Qi1 Qk1 ______________ Qi"_________Qk"
^r~|“ Qz' gk'-^-Qk1 gi"-\-Qi" gk"-\~Qk"’
(138c)
откуда, в связи с условием (138), для энергии получается:
т. е.
2_е^,+1
А
в согласии с (134b).
Этот результат легче получить, чем истолковать, потому что
если уравнение (138b), относящееся к распределению антисим-
метрического типа, можно истолковать, допустив, что число
свободных * состояний в группе i нужно уменьшить на число
частиц Q/, принадлежащих к этой группе, то мы должны притги
к заключению, что в случае распределения симметрического типа
число свободных состояний, наоборот, увеличивается
с каждым новым пришельцем. Этот результат был формулиро-
ван Л. Бриллуэном в немного менее абсурдной форме, а именно:
если мы заменим квантованные состояния соответствующими
единичными клетками фазового пространства, а группы состоя-
ний— объемами ббльших размеров, содержащих много при-
легающих друг к другу клеток, то мы можем сказать, что’частицы,
которые описываются антисимметрическими волновыми функциями,
занимают как бы положительный объем величины Л3 и этим
&
самым уменьшают объем, имеющийся в запасе для других частиц.
Частицы, описываемые симметрическими функциями, занимают
отрицательный объем той же величины и таким образом уве-
личивают объем, имеющийся в распоряжении для других частиц.
Конечно, это толкование в принципе не лучше предыдущего.
Действительный источник затруднения, с которым мы встре-
тились, лежит, как легко видеть, в том, что в нашем выводе
§ 28. Другой вывод равновесного распределения
287
закона распределения мы с самого начала забыли про принцип
тождественности, т. е. про невозможность индивидуализации
отдельных частиц, составляющих наш газ. Мы рассуждали так,
как если бы мы знали, что та самая частица, которая перво-
начально была в некотором состоянии группы в конце-кон-
цов, т. е. после перехода, окажется в одном из состояний
группы Однако такое рассуждение в корне неправильно,
и если мы все-таки хотим за него держаться, то мы должны быть
готовы ко всякого рода странным выводам. Было бы ошибкой
думать, что эти выводы в случае распределений антисимметри-
ческого типа имеют больше смысла чем в случае распреде-
лений симметрического типа. В обоих случаях мы принуждены
приписывать частицам почти человеческие свойства для того,
чтобы истолковать наши ложные заключения относительно
предупредительности, с которой они относятся друг к другу.
Совершенно так же странно воображать, что электроны
воздерживаются от перехода в какое-нибудь состояние потому,
что оно уже занято другими, как и представлять себе, что
частицы другого рода наоборот стремятся попасть в состояния
уже занятые им подобными частицами. Такой инстинкт „обо-
собления" или „стадности" можно приписывать частицам, конечно,
только в фигуральном смысле.
То обстоятельство, что причина всех недоразумений лежи г
в нарушении принципа тождественности, можно иллюстрировать
следующими соображениями. Если считать, что частицы разли-
чимы между собой, то распределение, характеризуемое данными
числами Af2,..., нужно рассматривать как одно из числа
АЛ
g
эквивалентных, но тем не менее разных распреде-
лений. Если, сохраняя принцип индивидуальности отдельных
частиц, мы хотим тем не менее приписывать всем таким распре-
делениям один и тот же вес, например максимальный вес АЛ,
тогда мы должны предположить, что число способов, которыми
Ni частиц могут быть распределены в одном и том же состоянии,
равно А/}!. Это, очевидно, означало бы, что вероятность вхожде-
ния новой частицы в данное состояние возрастает с увеличением
288
Глава 5. Статистическая механика
числа частиц, уже находящихся в этом состоянии, как За-
меняя состояние .совокупностью состояний мы, должны заменить
число М! произведением gt (g7 + 1) (g/ + 2).. . (gz + Qx — 1) >
представляющим собой вероятность нахождения Qi частиц в со-
вокупности gt соседних состояний.
Предыдущие соображения относятся к распределениям сим-
метрического типа. В классическом распределении вероятность
нахождения Q/ частиц в совокупности gf состояний пропорцио-
нальна giQi, а в распределениях антисимметрического типа —
произведению gi(gi—1).. .(gi —	1). Эти результаты тесно
связаны с полученными выше выражениями (137) и (137а) для
средних квадратичных флуктуаций.
§ 29.	Предельные формы квантовых законов
равновесного распределения.
Классический закон распределения Больцмана можно рас-
сматривать как предельную форму, к которой стремятся оба
квантовых закона распределения Бозе-Эйнштейна, выражаемый
формулой (134b), и Паули-Ферми, выражаемый формулой (135b) —
при увеличении параметра к. В самом деле, при достаточно
больших значениях этого параметра все три закона принимают
один и тот же вид
(139)
(если пренебречь величиной z по сравнению с единицей).
Для численно малых значений X (этот параметр может быть,
вообще говоря, как положительным, так и отрицательным) рас-
сматриваемые три закона распределения оказываются существен-
но различными. Различие между ними может быть формулиро-
вано следующим .образом: концентрация частиц в со-
стояниях с наименьшей энергией в классиче-
ском распределении меньше, чем в распределе-
нии симметрического типа (Бозе-Эйнштейн), и боль-
ше, чем в распределении антисимметрического
типа (Паули-Ферми).
На практике система частиц, образующих идеальный газ»
§ 29.	Предельные формы законов распределения 289
характеризуется обычно не параметром X, а числом частиц ее
образующих, которое может быть отождествлено с средним зна-
чением N. Эта характеристика дополняется параметром р., т. е.
температурой.
Уравнение Г 123а)
должно служить при этом не для определения числа VN, но
наоборот, для определения параметра X как функции /V и ц
(или 0).
Эга функция оказывается, конечно, различной для распреде-
лений различного типа или, как говорится, различных „стати-
стик и имеет, вообще говоря, весьма сложный вид. Она может
быть легко вычислена лишь в случае очень высоких или, наобо-
рот, очень низких температур.
Если температура очень высока, т. е. параметр р очень мал,
то частицы должны быть распределены в очень широком про-
межутке состояний, простирающихся от нормального состояния
вплоть до таких состояний, для которых значение
или, вернее, разность между этим значением и значением, соот-
ве ствующим нормальному состоянию (1Г = минимум), становится
сравнимой с единицей. Отсюда вытекает, что средние значения
Nk для каждого из этих . состояний должны быть очень малы
(если только число частиц N не слишком велико) и, следова-
тельно, параметр X очень велик. „Кванювые" законы распреде-
ления, которые могут быть представлены формулой
039.)
должны при этом сводиться к классической форме (139), так
что параметр X может быть определен приближенно из уравнения
6
290
Глава 5. Статистическая механика
т. е.
x = lg
k_______
L д/
(140)
Если, наоборот, температура очень низка, т. е. р- очень ве-
лико, то X можно определить приближенно формулой
Х = —|1Г0,
(140а)
где индекс „0“ относится к состоянию с наименьшей энергией
для распределения симметрического типа и к состоянию с наи-
большей энергией при абсолютном нуле температуры (|л = оо)
для распределения антисимметрического типа. В самом деле, под-
ставляя значение X из (140а) в (139а), получаем:
(НОЬ)
В случае нижнего знака, соответствующего концентрации
частиц в нижнем состоянии, мы получаем Nk = оо при Wk = 1Г0
и Nk = 0 при 1Г0. В случае же верхнего знака, соот-
ветствующего (при [I = оо) равномерному распределению всех /V
частиц между нижними М состояниями (ср. § 25), мы получаем
Nk = 1 при Wk < WQ и Nk = 0 при Wk > Wq.
Следует заметить, что параметр К стремится к виду (140)
не только при очень высоких температурах, но также при срав-
нительно малых значениях N (или N). Средние значения чисел
Nk очень малы в сравнении с единицей в обоих случаях, так
что мы получаем для обоих квантовых распределений тот же
самый закон (139), что и для классического. При малых значе-
ниях N оба квантовых распределения становятся одинаковыми,
оставаясь, однако, существенно отличными от
классического, поскольку они относятся к дискретному
ряду квантованных состояний, а не к непрерывному ряду состоя-
ний, получающемуся в классической статистике.
Это различие становится особенно существенным при низкой
температуре и постепенно исчезает по мере повышения ее. Дей-
ствительно, при достаточно малых значениях pi, т. е. достаточно
§ 29. Предельные формы законов распределения 291
высоких температурах, произведение ^Wk изменяется почти не-
прерывным образом, когда мы переходим от квантованных состо-
яний с меньшей энергией к состояниям с большей энергией.
Другими словами, величина y.Wk изменяется при этом таким об-
разом, как если бы ступеньки энергии были бесконечно ма-
лы или константа h бесконечно мала. Но, как мы видели это
практически эквивалентно замене квантовой теории классической.
Следует еще раз подчеркнуть, что классическая и квантовая
статистика отличаются друг от друга в двух совершенно различ-
ных отношениях: во-первых, в смысле определения индивидуаль-
ных состояний, и во-вторых, в смысле определения коллектив-
ных состояний с точки зрения принципа тождественности. Первое
из этих отличий существенно, если последовательные квантован-
ные состояния лежат далеко друг от друга на шкале энергий или
если температура низка; второе становится существенным, если
число частиц очень велико.
Мы рассмотрели только что тот случай, когда N мало, тог-
да как ступеньки энергии остаются высокими. В этом случае
мы можем воспользоваться классическим законом распределения,
но не имеем права заменять суммы	интегралами, как
k
это делается в класссической теории. Мы рассмотрим теперь
другой случай „полуклассического“ распределения, соответству-
ющий большим значениям Д^, но малым значениям ступенек
энергии Wk -р 1 — Wk (умноженным на рь).
В этом случае мы должны сохранить характерную форму
квантового закона распределения, но можем заменить кван-
тованные состояния соответствующими элементами объема класси-
ческого фазового пространства. Если не делать отличия между
обоими состояниями, связанными с различными значениями до-
бавочного квантового числа, характеризующего ориентацию
„оси" электронов или поляризацию фотонов, то число кван-
товых состояний, заключенных в фазовом объеме dy =
= /.../*dxdgdzdgxdgydgz (для отдельной частицы) можно
2 л
считать равным — ау.
Среднее число частиц, находящихся в
случае стационарного распределения в классическом „интервале
292
Глава 5. Статистическая механика
состояний" dy, может быть, таким образом, представлено фор-
мулой
(141)
причем энергию W можно рассматривав в этом случае как
функцию переменных х, у, z, gx, gyi gz. Оба знака в (141) от-
носятся, так же как и прежде, к обоим типам квантовых рас-
пределений.
В случае идеального газа, заключенного в сосуде с объемом V,
при отсутствии внешних сил можно положить в (141)
dy ~= Vdgxdgydgz,
так как энергия W в этом случае зависит только от слагающих
количества движения. Поскольку она является симметрической
функцией этих слагающих, представляется удобным заменить
„прямоугольный* элемент объема в пространстве импульсов
dgxdgydgz сферическим элементом объема, содержащим все зна-
чения количества движения в пределах между g и g -|- dg, не-
зависимо от его направления. Это дает
d^ — ^Vg2dg.	(141а)
Для энергии W мы должны, вообще говоря, воспользоваться
релятивистским выражением
с|/(те-с)24-^2
или, если большие скорости встречаются очень редко, - обычным
нерелятивистским выражением
v=-^
(энергия покоя пцс2' может быть опущена при этом как несу*
щественная констано).
Глава б.
ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ К ЭЛЕК-
ТРОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ, К ТЕПЛОВОМУ ДВИ-
ЖЕНИЮ И ИЗЛУЧЕНИЮ.
§ 30.	Теория электронного газа. Свободные электроны
в металле.
Простейшее применение теории электронного газа мы встре-
чаем в случае металлических тел. Эти тела характеризуются
присутствием так называемых свободных электронов (или
электронов проводимости), от которых зависит элек-
тропроводность металла и, которые, по крайней мере в наи-
более типичных случаях, можно с достаточной степенью точно-
сти считать свободно движущимися во всем объеме тела. При
этом их взаимное отталкивание в среднем уравновешивается при-
тяжением, которое они испытывают со стороны положительных
ионов. Это равновесие, конечно, нарушается вблизи поверхности
тела, где электроны должны испытывать результирующую силу
притяжения, втягивающую их внутрь. Таким образом свобода
электронов проводимости имеет весьма относительный характер,
поскольку они пользуются ею только внутри металлического тела,
из которого при обычных условиях они не в состоянии вы-
рваться.
Компенсация сил, действующих на свободный электрон внутри
тела, может также нарушаться вследствие неправильности в про-
странственном распределении положительных ионов, обусло-
вленной их тепловым движением или же присутствием примесей.
Представляется, однако, естественным допустить, что по-
скольку ионы распределены совершенно правильным образом,
образуя идеальную кристаллическую pemeiKy—условие, которое
встречается лишь в абсолютно чистых металлах и только лишь
при абсолютном нуле температуры, — среднее движение свобод-
294
Глава 6. Применение квантовой статистики
ных электронов будет происходить таким же образом, как если
бы на них не действовали никакие силы, помимо сил, локали-
зованных в поверхностном слое и удерживающих их внутри ме-
талла. Таким образом металл можно трактовать как ящик с со-
вершенно отражающими стенками, образованными его поверхно-
стью. Последнюю, следовательно, можно рассматривать как барьер
потенциальной энергии простейшего типа (изученный нами в § 15),
соответствующий увеличению потенциально й энергии электронов
на определенную величину при переходе их через поверхность
металла изнутри наружу.
Мы рассмотрим сначала на основе этой упро денной модели
металлического тела некоторые из его свойств, практически не
зависящие от температуры, т. е. остающиеся при обыкновенных
температурах приблизительно такими же, как и при абсолютном
нуле. Мы будем предполагать, что число свободных электронов
по порядку величины равно числу атомов, как это и должно
иметь место в случае, если эти электроны комплектуются из на-
ружной оболочки каждого атома, соответствуя таким образом
в случае изолированного состояния атомов валентным элек-
тронам.
Легко показать, что при таких условиях полная кинетическая
энергия электронов, так же как и распределение ее между ними,
представляет свойство мало зависящее от температуры, т. е.
изменяющееся лишь в весьма незначительной степени при повы-
шении температуры на несколько сотен и даже тысяч градусов.
Закон, представляющий распределение скоростей или им-
пульсов в газе, образованном большим числом свободных элек-
тронов, выражается с достаточной степенью точности уравне-
нием (141) (со знаком -}“)•
Полагая X — — и пользуясь выражением (141а) для dy,
мы можем переписать его в виде
8кУ g2dg (	1\
dN~ № ё^- wy 1 (и'—е)’	<142)
Как было указано выше, величина WQ может быть приближенно
отождествлена с максимальной кинетической энергией электронов
§ 30. Теория электронного газа
295
при абсолютном нуле температуры, причем это приближение
остается законным постольку, поскольку 0 очень мало в срав-
нении с 1Г0. Для того чтобы выяснить, в каком интервале
температур это условие является выполненным, мы должны опре-
делить значение при 6 = 0. Так как в этом случае e^wk—
равно 0 при Wk<WQ и оо при Wk> то выражение (142)
сводится к
dN =
8 тс
VgWg (g<g0)
0	(g>ga),
где go — максимальное значение количества движения электрона
при 6 = 0. Оно связано с Я70 соотношением
Мы получаем, таким образом,
м 8kV Г ы 8кУ в
= -w-Ч
О
или
М 8те з
га== V—
(142а)
максимальная кинетическая энергия одного
выражается через число электронов в еди-
(142b)
Отсюда следует, что
электрона при 0 = 0
нице объема (п) формулой
0 2т \8тс/
„	Л
Следует отметить, что величина — = л0 представляет собой
наименьшую длину волны электронов в металле, тогда как ве-
личина являлась бы средним расстоянием между свободными
электронами, если бы они были расположены в виде кубической
решетки. Уравнение (142а) может быть переписано в виде
X» WB I т— Y5
\3л /
(142е)
296
Глава 6. Применение квантовой статистики
Это означает, что наименьшая длина волны электронов при
абсолютном нуле температуры имеет тот же порядок величины?
что и среднее расстояние между соседними атомами, поскольку
число атомов равно или сравнимо с числом свободных элек-
тронов. Но в твердом теле расстояние между соседними ато-
мами того же порядка величины, как и линейные размеры по-
следних. Линейные же размеры в свою очередь приблизительно
соответствуют диаметру орбит наружных (валентных) электронов
в изолированных атомах.
Мы видим, таким образом, что длина волны, а следова-
тельно, и скорость наиболее быстрых свободных электронов
в металлическом теле должна приблизительно совпадать с дли-
ной волны и скоростью валентных электронов в изолированных
атомах того же самого металла. Эта скорость, как известно?
имеет порядок 108 см/сек и соответствует ионизационной
энергии (или средней кинетической энергии) порядка не-
скольких вольт, тогда как тепловая энергия, определяемая клас-
сической формулой — kT при обычных температурах, примерно,
в 100 раз меньше. Мы видим, таким образом, что энергия
приблизительно в 100 раз.больше величины Ъ — kT при обычных
температурах и что поэтому даже при температурах в несколько
тысяч градусов величину в формуле (142) можно считать
постоянной, равной максимальной кинетической энергии одного
электрона при Т = 0.
При этом условии электронный газ называется вырожден-
ным, так как согласно уравнению (142) его энергия практи-
чески не зависит от температуры, а его теплоемкость, отнесенная
к одному электрону, очень мала по сравнению с классическим
3
значением ее — k. Среднее значение энергии W на один элек-
трон может быть вычислено с помощью уравнения
оо	со
IF--1- ( - gid£ _ • Г	_
2/я J	J
(143)
§ 30. Теория электронного газа	297
При Т 0 оно равно
W— 1- 1ГП.
о °
(143а)
Зависимость его от температуры и его связь с классиче-
3
ской тепловой энергией — kT изображена на рис. 16. При
достаточно высокой температуре величина W
3
тичеСки к классическому значению — kT.
стремится асимпто-
При более низких
температурах ее увеличение происходит тем медленнее, чем
больше ее начальное значение.
При температурах, удовлетворяющих условию &r<^lF0, вы-
ражение
__ 1________
рассматриваемое как функция IF, представляет собой практи-
чески прямую линию /= 1, поскольку W заметно меньше, чем Не-
когда IF приближается к этому критическому значению,/(IF) на-
чинает падать, становится равной при IF — IF0 и стремится
асимптотически к нулю, когда IF увеличивается за пределы
этого значения (рис. 17). Обе площади, заштрихованные на
рис. 17, равны, так как они представляют собой число элек-
тронов Д77 с энергией, близкой к IF0, которые перемещаются
из области IF < IFO в область IF > IFQ, по мере того как
’ 298
Гллва 6. Применение квантовой статистики
температура возрастает от нуля до данного значения. В самом
деле, уравнение (140) в связи с соотношением
-^-gdg = dW,
т
дает
sdW _
Дз J	। ! ~
8nVm (*	(	1	\	...
“~7,з у	J» О44)
о
если общее число электронов N остается постоянным.
Мы можем заменить g в подинтегральной функции через g$,
так как разность g—заметно отличается от нуля лишь при
исчезающих значениях этой функции. Полагая W—=
мы должны .иметь соотношение
оо	О
(Н4а)
О	—оо
которое легко проверяется, подтверждая правильность предыду-
щего утверждения. В самом деле, заменяя £ во втором интег-
рале на £' =— имеем:
1 _ _ 1 _ 1
1	1 — ei*+l ~	е^'4-1 ’
так что
О	©	оо
Когда температура повышается, увеличение общей энергии ДЕ
электронного газа по отношению к значению Е, соответствующему
абсолютному нулю температуры, может быть представлено фор-
мулой
Г Ъ
tr.Vm Г
tE=-r J
оо
§ 30. Теория электронного газа
299
или приближенно
ДЕ
со
1)^+J(ir0+e)M
о
что в силу (142а) сводится к
№ _16icVmg0C 7]dv)	_
С~ Л* J е^+1 ~ Лзиз J еч + Г vl —
о	о
_ С	*
Интеграл 1 = J	может быть легко вычислен путем раз-
ложения знаменателя в ряд по формуле
тгтг =	'2(“
О
Это дает
' /=yEzl]l==1_E+±„
^J(«+l)2	22 Т32	-----12‘
Разделяя предыдущее выражение для ЛЕ на /V и пользуясь фор-
мулой (142а), получаем, в связи с равенствами
kT т 0
— л»
4"7=ж№	<14S>
Таким образом теплоемкость электронного газа, отнесенная
к одному электрону, равна
^г2
с,= щ 1ST.	(145а)
Она исчезает при Т= 0 и чрезвычайно мала по сравнению с клас-
3
сическим значением — k при обычных температурах (при
Св	1 \
Т—273 отношение -3- порядка —).
— k	1vU/
300
Глава 6. Применение квантовой статистики
Следует помнить, что предыдущие результаты справедливы
лишь постольку, поскольку ступени энергии между последова-
тельными квантованными состояниями малы по сравнению с kT.
Только в этом случае суммы, распространенные по этим состоя-
ниям, могут быть заменены интегралами по фазовому простран-
ству. Легко показать, что это условие удовл творяется не только
при обычных, во и при очень низких температурах. Прибли-
женное определение величины ступеней энергии получается путем
разделения максимальной энергии 1Г0 на общее число ступеней,
которое равно половине числа электронов N. Так как WQ не
зависит от общего числа электронов N, но только лишь от их
концентрации
п--у’
мы видим, что ступени энергии в
электронном газе при данном N тем меньше, чем больше объем V
металлического тела, содержащего электронный газ. Отношение
2Ц7	'	W
к kT даже при Ю00 должно быть чрезвычайно мало
для металлических тел обыкновенного размера, так как число
электронов N даже в случае самых маленьких кристалликов по-
рядка 1010,
В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что состояния,
отличающиеся друг от друга лишь ориентацией электронов
имеют одинаковую энергию. Это равенство нарушается в при-
сутствии внешнего магнитного поля. Если напряженность поля
равна И и если мы предположим, что магнитные моменты элек-
тронов М ориентированы параллельно или антипараллельно по
отношению к этому полю, то добавочные магнитные энергии
обоих состояний будут иметь различные значения, а именно:
— МН в случае параллельной и МН в случае антипарал-
лельной ориентации. Мы рассмотрим теперь результирующий
магнитный момент металлического тела при этих условиях и абсо-
лютном нуле температуры.
При отсутствии магнитного поля все N электронов распре-
де ены попарно с противоположными ориентациями в нижних
1 Ф
— N стационарных состояниях или клетках фазового „небо*
§3). Теория электронного газа	301
скреба". Магнитное поле стремится повернуть все электроны
в одном и том же направлении, совпадающем с направлением
поля. Так как, од ако, два электрона не могут оставаться
в одной и той же клетке, если их оси одинаково ориентиро-
ваны, то они должны расстаться, и тот из них, ориентация ко-
торого меняется на противоположную, должен перейти в пустую
клетку с большей энергией. Таким образом уменьшение энергии,
связанное с ориентацией пары электронов в направлении магнит-
ного поля, по крайней мере отчасти, компенсируется увеличением
кинетической энергии, зависящим-от перехода одного из них
в верхний этаж фазового „небоскреба“. Прежде чем расстаться
со своим партнером и перейти вверх, электрон должен поэтому,
так сказать, решить, стоит ли предпринять этот шаг или нет,
т. е. повлечет ли эго в конечном результат увеличение или
уменьшение энергии. В последнем случае он перейдет в более
высокий этаж, так как при абсолютном нуле температуры нор-
мальное состояние системы электронов соответствует наименьшей
энергии, совместимой с принципом Паули. В первом случае он
останется там же, где находился раньше.	&
По мер? увели ^ения поля И электроны будут постепенно
переходить в состояния с все большей и большей кинетической
энергией. При отсутствии поля наивысшей клеткой является
-i- Мая. Обозначим через N1 ч ело электронов, перешедших в
более высокие этажи под влиянием магнитного поля с напряжен-
ностью Н. Наиболее высокие клетки в количестве 2N будут при
этом содержать по одному электрону, причем наиболее высокой
занятой клеткой будет r-L дг j-ая. Если поле еще усилива-
ется, то им мобилизуется для ориентации пара электронов из наибо-
7 1 кт
лее высокой клетки с двумя электронами, находящаяся в — /V —
— N'—1 у-ом этаже. Один из этих двух электронов остается
в юй же клетке, тогда как другой переходит в самую нижнюю
пустую клетку, находящуюся в (—7^4“^ 4” 1 гом этаже.
302
Глава 6. Применение квантовой статистики
Если число N' очень мало по сравнению с /V, то высота после-
довательных этажей, т. е. расстояние AU7 на шкале кинетической
энергии, между последовательными состояниями, остается при-
близительно постоянной. Таким образом высота, на которую
должен будет подняться последний из мобилизуемых электронов,
т. е. увеличение его кинетической энергии, равно 2(N’	1)А W.
Если АГ-ый электрон является последним из переселяемых на-
верх, то мы должны иметь
2ДШ7< 2МН и 2(АЛ’ —|— 1)АГ > 2МН
или приближенно, поскольку число N' очень велико в сравнении
с единицей,
Результирующий магнитный момент, соответствующий ориен-
тации 2N1 электронов, равен 2N'М = ^Н, гж
_2М2
х“ дг
— магнитная
Так как AW
восприимчивость электронного газа.
2Г0
порядка , то х должна иметь порядок ве-
ЛИЧИНЫ —.
Vv0
Более точно,
LW определяется из соотношения
== /г3.
В связи с равенством

оно дает:
дг=_ =	=
4к/пД^0
или согласно (142а)
д^=
§ 30. Теория электронного газа
303
так что окончательно мы получаем:
_ 3 M-N
2 Wo '
Эта формула была выведена Паули в 1927 г. Она определяет
положительную или парамагнитную часть магнитной восприим-
чивости металла, зависящую от ориентации электронных осей,
и остается справедливой для температур, которые достаточно
малы в сравнении с
и для магнитных полей, напряженность
W
которых Н мала в сравнении
Полагая Л1= 10”“20 (магнетон Бора), мы получаем
П7П
—Юб гаусс, т. е. величину значительно большую обычно при»
меняемых полей. Таким образом в области обычных полей и
обычных температур спиновая парамагнитная восприимчивость
металлов оказывается независимой как от поля, так и от темпе-
ратуры. 1
Оставляя в стороне магнитные эффекты, рассмотрим теперь
два других свойства металлического тела, которые могут быть
выведены из теории электронного газа и которые также лишь
в незначительной степени зависят от температуры. Этими свой-
ствами являются плотность и сжимаемость.
Считая число свободных электронов равным числу атомов -
(предположение, которое вполне оправдывается в случае щелочных
металлов), мы можем вычислить плотность тела, исходя из кон-
центрации свободных электронов, т. е. числа их в единице
объема. В предыдущих рассуждениях эта концентрация счита-
лась известной и с ее помощью вычислялась кинетическая
энергия электронов при абсолютном нуле температуры по фор-
мулам (142b) и (143а).
1 Л. Ландау показал, что поступательное движение, свободных
электронов в магнитном поле согласно квантовой механике производит
диамагнитный эффект, ослабляющий на одну треть парамагнитный
эффект теории Паули.
304
Глава 6. Применение квантовой статистики
Эта связь между концентрацией свободных электронов и их
средней кинетической энергией, являясь простым следствием
принципа Паули, представляется на первый взгляд сов ршенно
лишенной всякого динамического основания. Фактически, однако,
движение электронов в металле, так же как и в отдельных
атомах, должно быть тесно связано с силами, действующими на
них, причем большая скорость соответствует большим силам.
Это соотношение может быть легко установлено в количе-
ственной форме, если мы вместо силы введем соответствующую
потенциальную энергию U. В случае ионных кристаллов, как
например каменной соли, потенциальная энергия какого-либо
иона по отношению к окружающим его ионам, поскольку она
зависит от их электрических зарядов, выражается следующим
образом:
где у — численная постоянная порядка единицы, g— заряд
иона и R — расстояние между соседними ионами.
Эта формула может быть использована для приближенного
определения потенциальной энергии свободных электронов в ме-
таллическом теле, так как в среднем они должны располагаться
между положительными ионами, связывая последние таким же
образом, как отрицательные ионы хлора связывают положительные
1	Т
ионы натрия в каменной соли. Заменяя --- через п (что со-
R
ответствует небольшому изменению численного коэфициента у)
и умножая предыдущее равенство на общее число свободных
электронов 7V, мы получаем следующее выражение для потен-
циальной энергии электронов:
1
NU= — ^-п3 N.	(146)
Прибавляя к этому выражению их кинетическую энергию
NW = N- * Го
О
3 Л2/З«\3
16 т \8л/	’
§ 30. Теория электронного газа	ЗО5в
мы получаем для полной энергии как функции концентрации
электронов следующее выражение:
2	1
Е = т* — ря3,	(146а)
где
2
Q / Q \ 3
а= —г—( — ) N и 8 = уе2Л/. (146b)
Эта формула позволяет вычислить из условия минимума
полной энергии фактическое число п электронов в единице
объема в условиях равновесия. Полагая
s/=0,
получаем согласно (146а)
о —1	1	—2
— ап 3 — — рп 3 — 0,
О	и
т. е.
ПТ=Д.	(146с)
2а
Следует заметить, что эта формула соответствует следую-
щему соотношению между кинетической и потенциальной энер-
гией:
2>= — U,	(146d)
которое может быть получено непосредственно из теоремы ви-
риала для специального случая системы частиц, движущихся под
j ействием кулоновых сил.
Подставляя в (146) численное значение постоянных а и р,.
получаем:
1
я3 «5Г108 см~\
чтб по порядку величины соответствует расстоянию между
соседними атомами.
Мы видим, таким образом, что кинетическая энергия элек-
306
Глава 6. Применение квантовой статистики
тронного газа, определяемая на основании принципа Паули, при
надлежащем выборе концентрации электронов находится в полном
соответствии с тем значением, которое вытекает из чисто дина-
мических принципов.
Если металл слегка сжат или растянут какими-нибудь внеш-
ними силами в виде положительного или отрицательного да-
вления, то энергия его Е увеличивается по сравнению с тем ее
значением, которое соответствует равновесию, на величину
1 /д2Е\
Полагая здесь
-Т. (v\*
R~n 3 =\к) ,
имеем
R — Ro _ 1 У- vo
~/?Г -т	V. ’
и следовательно,
где
9 14 WA
(147)
(147а)
Величина Е—£0 может быть определена как упругая энергия
R	х (V— Vo)
тела. Ее производная по объему /С—— -------должна быть
Vo
равна и противоположна внешнему давлению, приложенному
к телу. Мы видим, таким образом, что величина К предста-
вляет собою модуль сжимаемости тела. Пользуясь вы-
ражением (145а) для энергии и принимая во внимание фор-
мулу (146), мы легко получаем:
К = —-	Т	(147b)
§ 30. Теория электронного газа	307
Эта формула находится в удовлетворительном согласии с опыт-
ными данными относительно сжимаемости щелочных металлов.
Согласие это является, конечно, лишь грубо приближенным,
в виду тех упрощений, которые были сделаны при выводе выра-
жения (146) для энергии Е.
Потенциальная энергия U, отнесенная к отдельному электрону,
равна и противоположна работе, которая должна быть затрачена
против силы, действующей в поверхностном слое металла на
электрон, пытающийся из него выскочить. Для того чтобы по-
лучить фактическую работу, которая требуется для извлечения
электрона из металла, мы должны вычесть из величины | U\ ки-
нетическую энергию электрона 17, соответствующую его дви-
жению внутри металла. При абсолютном нуле температуры ми-
нимальное значение этой работы равно:
w =	(148)
где 1Г0—максимальная кинетическая энергия. Но согласно (146d)
и (143а) мы имеем:
|t/| = 4^o,	(148а)
О
поэтому
w = 4-r0.	(148b)
О
Численное ’"значение w может быть определено на опыте
из величины фотоэлектрического порога для соответствую-
щих металлов (т. е. из минимальной частоты v0 = y, ко-
торая требуется для извлечения электронов из металла под дей-
ствием света) или же величины работы в ричардсоновском
эффекте (см. ниже). Оно оказывается порядка нескольких вольт
(2—3 вольта в случае щелочных металлов). Этому соответствуют,
согласно уравнению (148b), такие значения 170, которые, при-
мерно, в несколько раз больше, нежели значения, вычисленные
при помощи формулы (142b). Если в соотношение
| U | = 6^,
308
Глава 6. Применение квантовой статистики
получаемое из (148а) и из (148b), подставить эксперименталь-
ные значения w, то это приводит к таким значениям | U\, которые,
в случае щелочных металлов, находятся в удовлетворительном
согласии с экспериментальными данными, полученными из пока"
зателей преломления металлов для катодных лучей, в других
же случаях оказываются слишком большими.
Несколько отличные результаты получаются, исходя из сле-
дующих соображений, основанных на применении одной лишь
теоремы вириала (146d). Последняя может быть записана в форме
W = — (Г4-У) = —	(149)
где Ех — полная энергия, отнесенная к одному электрону. В случае
изолированного атома щелочного металла, скажем натрия, абсо-
лютное значение этой энергии равно работе, необходимой для
удаления валентного электрона, т. е. ионизационной энергии
атома.
Так как все свободные электроны в металле находятся в со-
вершенно одинаковых условиях, и так как, далее, движение каж-
дого из них происходит в кулоновском поле, создаваемом всеми
остальными, совместно с положительными ионами, то формула
(149) должна быть применимой не только к отдельному атому,
но в равной мере и к металлическому телу. Таким образом
работа вырывания электрона из металла w должна равняться
абсолютному значению энергии т. е. среднему значению
________________________________________________	3
кинетической энергии его в металле W = — WZ0, а
о
не как этого требует формула (148b).—Это расхождение
о
может быть истолковано, согласно И. Е. Тамму, как результат
действия на электрон при его удалении из металла добавочной
силы электрического изображения, которая не учитывается в схе-
матическом представлении о силовом барьере на поверхности
2
металла. Увеличение работы вырывания электрона w на — 1Г0
D
следует отнести с этой точки зрения за счет прибавления к
§ 30. Теория электронного газа
309
рассмотренному выше скачку потенциальной энергии работы „силы*
электрического изображения (ср. § 32).
—	3
Формула w = W = — Wo находится в удовлетворительном
о
согласии с опытными данными относительно щелочных металлов;
однако значения w, даваемые ей для других металлов, оказы-
ваются слишком малыми. Сравнивая предыдущее выражение
для w с (148), мы получаем для результирующего скачка потен-
g
циальной энергии следующее выражение | U | — — 1Г0.
Ионизационный потенциал изолированных атомов всегда
больше чем работа вырывания электронов из соответствующего ме-
талла. Этот результат с точки зрения теоремы вириала пред-
ставляется непонятным, как это видно из следующего рас-
суждения.
Когда большое число изолированных атомов, образующих
парй рассматриваемого металла, конденсируется в жидкое или
твердое тело, полная энергия всей системы уменьшается на ве-
личину скрытой теплоты конденсации. Так как конденсация за-
висит от действия сил сцепления, которые обусловливаются
взаимодействием электронов и положительных ионов, и так как,
далее, тепловая энергия последних относительно весьма мала,
то скрытая теплота конденсации может быть отождествлена с
уменьшением полной энергии валентных электронов, которые в
процессе конденсации становятся свободными электронами ме-
талла. Согласно теореме вириала, это уменьшение полной энер-
гии должно сопровождаться численно равным увеличением
средней кинетической энергии. Энергия конденсации атомов нат-
рия составляет 26 000 калорий на грамм атом, что соответствует
1,1 вольта на электрон.
Мы видим, таким образом, что в твердом или жидком состоянии
этого вещества средняя кинетическая энергия свободного элек-
трона и, следовательно, работы вырывания его из
металла должна быть больше, чем в изолированном атоме на
1,1 вольта. Прибавляя ее к ионизационной энергии изолированного
атома (5,1), мы получаем 6,2 вольта, тогда как на опыте она равна
310
Глава 6. Применение квантовой статистики
всего лишь 2,1 вольта. Заметим, что формула w—IF —— IF0
о
цает для нее значение, .несколько меньшее действительного, а
именно 1,5 вольта.
§ 31. Усовершенствование и дальнейшее развитие теории
электронного газа.
Теория электронного газа в металлах, в форме Пау л и-3 ом-
мерфельда, основана на чрезвычайно грубом упрощении наших
представлений о движении „свободных" электронов в металли-
ческом теле. Безусловно неправильно отожествлять это движение
со свободным движением при отсутствии внешних сил. Это
обстоятельство' будет явствовать наиболее очевидным образом,
если мы начнем с рассмотрения движения внешних или валент-
ных электронов в отдельных атомах металлических (например
натриевых) паров и проследим за постепенным преобразованием
этого движения во время процесса конденсации пара в твердое
тело. Для простоты этот процесс можно представить себе как ре-
зультат бесконечно медленного сближения атомов до тех пор, пока
их ядра не образуют кристаллической решетки, характеризующей
состояние равновесия металла при абсолютном нуле температуры.
Мы рассмотрим сначала движение электронов с точки зрения
классической механики.
В случае изолированных атомов натрия это движение сво-
дится к обращению электронов вокруг одного и того же ядра
или иона. Когда атомы тесно сближаются, подходя друг к другу
на расстояние того же порядка величины, как и размеры орбиты
валентных электронов в отдельных атомах, эти сравнительно слабо
связанные электроны не остаются долее связанными с одними и
теми же атомами, но начинают переходить от одного атома к сле-
дующему, путешествуя, таким образом, по всему телу. Они, сле-
довательно, становятся свободными от индивидуального раб-
ства,. оставаясь, однако, связанными с телом как целым, причем
в среднем они оказываются связанными с ним еще прочнее,
нежели раньше (увеличение средней энергии связи равно скры-
той теплоте испарения, отнесенной к одному электрону).
§ 31. Усовершенствование теории электронного газа 311
Поскольку атомы или ионы расположены в виде совершенно
правильной кристаллической решетки и поскольку взаимодействие
электронов может быть заменено эквивалентным (самосогласо-
ванным) внешним полем, движение каждого электрона можно
уподобить движению точки на окружности колеса (или на по-
верхности шарика), катящегося в среднем равномерно и прямо-
линейно. Это „электронное колесо" может, конечно, останавли-
ваться около каждого атома на некоторое время, причем элек-
трон совершает несколько оборотов (5) вокруг соответствую-
щего ядра, а затем переходит к следующему атому, где снова
повторяется та же история, и т. д. Обозначая период обраще-
ния через т, а расстояние между соседними атомами вдоль пути
„колеса" через d, мы для средней скорости, с которой электрон
перемещается в металлическом теле, получаем формулу
Даже в наиболее благоприятном случае (одного оборота) во-
круг атома эта скорость должна быть меньше, нежели истин-
ная скорость, определяемая кинетической энергией комбиниро-
ванного движения. В теории Паули-Зоммерфельда периодическая
часть этого движения совершенно игноририруется, причем элек-
тронные „колеса" заменяются их „центрами" и движение сво-
бодных электронов определяется как движение этих центров.
Следует упомянуть, что прямолинейное и равномерное дви-
жение (катание) электронных „колес" может иметь место лишь
постольку, поскольку решетка остается абсолютно правильной.
Всякое нарушение этой правильности, зависящее от присутствия
примесей или от теплового движения ионов, заставит электрон-
ные „колеса" отклоняться от прямой линии, причем прямоли-
нейные отрезки между двумя последовательными отклонениями
играют ту же самую роль, как „средняя длина пробега" в слу-
чае частиц обыкновенного газа. Мы вернемся к этому вопросу
ниже, в связи с теорией электропроводности металлов.
Приведенная классическая или корпускулярная картина дви-
жения свободных электронов в кристаллической решетке нахо-
312
Глава 6. Применение квантовой статистики
дится в полной гармонии с волномеханической картиной, кото-
рая соответствует ей совершенно таким же образом, как клас-
сическая картина орбитального движения валентных электронов
в изолированном атоме соответствует волномеханической кар-
тине (рассмотренной в главе третьей в связи со шредингеров-
ской теорией водородоподобного атома). Существенное преимуще-
ство волномеханической картины зависит от того обстоятель-
ства, что она позволяет с гораздо большей точностью заменить
взаимодействие различных электронов действием некоторого
самосогласованного электрического поля, причем эта замена
приводит к гораздо меньшей ошибке в случае волновой механики,
нежели в случае механики классической.
Считая эту ошибку достаточно малой, мы можем определить
движение свободного электрона, согласно волновой механике,
при помощи обычного уравнения Шредингера для отдельного
электрона:
^ + -^-(^-^^ = 0,	(150)
где потенциальная энергия должна быть надлежащим образом
определена как периодическая функция координат х, yt z
с той же самой периодичностью, как и рассматриваемая кристал-
лическая решетка.
Эта задача была уже изучена нами в простейшем случае
грубой одномерной модели кристаллической решетки. Основной
результат, который был нами при этом получен, может быть
легко распространен на общий случай. В частности, легко пока-
зать, что решение нашей задачи о движении электрона в перио-
дически изменяющемся поле трехмерной решетки может быть
представлено волновой функцией вида
ф = С (х, у, z) х + ЬУ +	= С(г) е*,	(150а)
где С — некоторая периодическая функция координат с той же
периодичностью, как и потенциальная энергия U(х, у, z), а сле-
довательно и сама решетка. Поскольку все три параметра
Хи Т* остаются вещественными, функция (150а) представляет
§ 31. Усовершенствование теории электронного газа 313
как раз тот тип комбинированного движения, который был опи-
сан выше, причем множитель ev соответствует прямолинейному
и равномерному движению центра „электронного колеса* (у —
вектор), а множитель С(г) его вращательному движению.
В случае безграничной кристаллической решетки значения
параметров уж, у, могут изменяться непрерывным образом,
ограничиваясь лишь теми условиями, чтобы энергия Е, которая
представляет собою функцию этих трех величин вида
Е = F (Т„	1г) = F, (Ь) + F2(Yy) + АЫ (150b)
оставалась вещественной. Значения у могут быть, вообще го-
воря как вещественными, так и мнимыми, причем последний
случай соответствует селективному отражению.
Мы не будем останавливаться здесь на подробном исследовании
функций (150а) и (150b) и ограничимся приближенным опреде-
лением их в случае относительно больших значений энергии Е,
соответствующих положительным значениям кинетической энер-
гии электронов Е—U во всей решетке.
Потенциальная энергия может быть представлена как перио-
дическая функция координат, в виде ряда Фурье
С/=С/0 + 2'^^Г,	(151)
где Uq—среднее значение потенциальной энергии, a q— вектор,
сла1ающие которого
2 тс
qs = — ns (s — 1, 2, 3; ns — 0, zt 1,	2, . . .
cs
если мы имеем в виду прямоугольную решетку с постоянными
ci» гз- Акцент у знака суммы (151) означает исключение
постоянного члена = /г2 = /г3 = О.
Вводя выражение (151) в уравнение Шредингера и опуская
периодические члены U как малые по сравнению со средней
кинетической энергией
Е — U0 = W,
мы получаем приближенное решение вида
314
Глава б. Применение квантовой статистики
(151b)
(151с)
где
2к 2rtmv 2it /-=--=.
Tr=T^2'nV-
Это решение представляет собой первичную волну, рас-
пространяющуюся в кристалле в произвольно выбранном напра-
влении. Каждый периодический член и соответствует некоторой
ассоциированной волне, которая в первом приближении
определяется уравнением
V 2К + Y2^ = t/q ф° = t/q ei (g + т)*,	(151a)
получаемым из (150) подстановкой ф = Ф0-Ь2 ^сли от“
q
бросить малые члены второго порядка, т. е. произведения вида
Цфч', то решение уравнения (151а) получает вид;
<pq'=4qezta-H)r,
где 1
А =
4	(q-H)2 — I2	q2+2qr
Мы получаем, таким образом, следующее выражение для функ-
ции ф:
Ф = Ф° +	= ст (г)е Ъ	(152)
где С7(г)—периодическая функция с теми же параметрами перио-
дичности, как и строение решетки
C'<r) = 1+S рфай- (152я)
Формула (152) находится в согласии с общей формулой
(150а). Следует заметить, что наше приближение годится лишь
постольку, поскольку все коэфициенты малы, т. е. все зна-
менатели q24~2qY велики или, по крайней мере, неисчезающе
малы. Физический смысл этого условия явствует из следующего.
_	2тс
Введем величину—, связанную с вектором qтаким же образом,
1 Здесь т обозначает вектор, так что qy представляет собой ска-
лярное произведение q и
§ 31. Усовершенствование теории электронного газа 316
как длина волны X связана с вектором у	J. Эта волна
очевидно, равняется целой части расстояния d между последо-
вательными кристаллическими плоскостями, перпендикулярными
кл	277/Z	А
к q. Мы имеем, таким образом, q =	. Вводя, далее, угол 9
между векторами 7 и — q, получаем
?24~ 2qy — 4тс2-^-	-----^-cosO^, (152b)
откуда следует, что формула (152) перестает быть применимой
при таких значениях 0, которые удовлетворяют соотношению
2rfcos0==flk.	(152с)
Это известное соотношение Брэгга, которое определяет
условие селективного отражения и которое уже обсуждалось
в § 16 для частного случая 0 = 0.
Поскольку оно не выполнено, выражение (152) для ф
остается справедливым и кинетическая энергия электронов выра-
жается с достаточной точностью формулой „нулевого прибли-
жения
Это соответствует, очевидно, теории Паули-Зоммерфельда
о движении свободных электронов в металле как движении
практически не видоизмененном периодическим характером
силового поля кристаллической решетки металла. Мы рассмотрим
теперь вкратце противоположный крайний случай электрона,
движущегося со сравнительно малой кинетической энергией,
которая может даже принимать отрицательное значение в между -
атомных областях. Для простоты мы ограничимся одномерным
случаем, исследованным в § 16. Энергия Е в этом случае свя-
зана при помощи параметров
о тг ___________ 2к ,__________________
» —	и $ = -£\/2m(Ub—E)
316
Глава 6. Применений квантовой статистики
с у соотношением
cosy с =	— sin а а sh + cos a a ch рй.
Для больших значений fib зндчения энергии, соответствую-
щие вещественному значению параметра у, ограничиваются непо-
средственной близостью уровня энергии
h2n*
Е' 8^ + ^’
соответствующего стационарному состоянию электрона, запер-
того между двумя непроницаемыми стенками (Р^ — оо) на рас-
стоянии а = 21 друг от друга.
Для подобного состояния мы имеем, согласно (78а) и (78b)
§ 16, одно из двух соотношений:

„ а _ ро
“° 2 —~а~
* «О
или
а
ctg«o-5-e
ftp
а
Прим е ня я тождества
X	X
sin х = 2 sin - cos —
&	&
2tg 2
1 + t^
cos x = 1 — 2 sin2
мы получаем, таким образом:
sin а0 а = ±
2?оао
cos а0 а =

где знак плюс соответствует верхнему (симметрическому) слу-
чаю, знак минус — нижнему (антисимметрическому).
Подставляя эти выражения в приведенное общее выражение
§31. Усовершенствование теории электронного газа 317
для cos ус и заменяя sh [36, chp6 через -i- е №, мы получаем для
£
значений а и р, лежащих вблизи а0 и [30, следующее равенство:
2 — В2 •
о Ро
COS ус =	--9Г
2(«о + ро) .
Легко видеть, что знак минус должен быть отброшен, так
как он соответствует при 1 мнимым значениям у. Полагая
8тг2/м
и
?? -“о=	- 2£о),
мы получаем, таким образом, следующее приближенное выра-
жение для разности Е— в функции от у:
Е — Eq = — х cos ус,
где
(153)
х= - |ЙГ ‘ '' 
При малых значениях • параметра у, соответствующих эффектив-
ным длинам волн
(153а)
_	2 к
леп ----COS ус.
I
которые весьма велики в сравнении с с, cosy с может быть за-
менен через
ху2с2
(154)
1	2 ’
так что формула (153) сводится к виду
Е — const -f- -4- хс2у9.
£
Второй член правой части тождествен с кинетической энер-
гией частицы, движущейся свободно, с импульсом, соответствую*
щим длине волны
т
318
Глава 6. Применение квантовой статистики
если массу этой частицы определить формулой
т
”-”=(«шгре,<	(184а)
что соответствует скорости
’, = 5^1(’’+?б) А"’-’.	(154Ь)
Эта скорость, как легко убедиться, совпадает с групповой ско-
ростью, которая получается из соотношения (153) с помощью
dv ч н	Е к
уравнения v = —. Действительно, заменяя v через— иk через
т
получаем;
2к dE 2кху .
v = — — = —— sin ус
h dy h 1
(155)
Следует отметить, что групповая скорость, определяемая
формулами (155) или (154b), представлает собою волномехани-
ческий эквивалент средней скорости
d
v =	,
ST
с которой „электронное колесо" катится согласно корпускуляр-
ной картине, набросанной в начале этого параграфа, причем
выражение
(а* 4-62) се-кь
< 1
заменяет корпускулярное выражение— для вероятности перехода
электрона в единицу времени от одного атома к следующему
(s—среднее или вероятное число оборотов электрона вокруг
одного и того же агома).
Уравнения (153) и (155) для случая одномерного периоди-
ческого поля любого типа, были получены в 1928 г. Ф. Блохом
и Р,Пайерлсом с помощью теории возмущений. Соответствующие
§ 31. Усовершенствование теории электронного газа 319
формулы для трехмерной решетки с взаимно перпендикулярными
осями имеют вид:
Е — Ео = — хх cos 4* Ci — х2 cos с2 — х3 cos уж с8
2кххух .	2тгх2уу .
= ——— sin уж С1\ Vy = —sin Чу с2;
h
h
2~xavz ,
^ = —^-81П7жС3
где clfc2, е3 — постоянные (периоды решетки) по соответствую-
щим осям. Зависимость разности
графически на рис. 18 для про-
га . тс
межутка----—	, при-
чем обе функции являются пе-
риодическими с одним и тем же
2га о
периодом— в у. Заметим, что
значения параметра у, отли-
чающиеся друг от
2га
с ’
целое кратное
друга на
физически
Е---Eq и
от у изображена
v
эквивалентны.
В то время
значений у групповая
увеличивается с у (т. е. увеличивается с увеличением энергии),
для больших значений, лежащих между—- и—, скоростью
лс с
как
для малых
скорость v
является убывающей функцией энергии Е. Вблизи у =— можно
с
к	I	,
положить у = —---у, 1'Де Iе — малое число, и заменить cos ус
на —cos у'с =— 1 4-—^-Т'2^2- Таким образом мы получим для
энергии Е выражение вида (154), в которому2 заменено на — у'1,
чтд эквивалентно введению отрицательной эффективной массы
электрона.
320 Глава б. Применение квантовой статистики
Мы не будем вдаваться в дальнейшие подробности и вер-
немся теперь к вопросу, до сих пор остававшемуся в стороне,
относительно распределения большого числа электронов между
различными стационарными состояниями движения в кристалли-
ческой решетке, в соответствии со статистикой Паули и Ферми.
Поскольку самосогласованное поле можно считать одинаковым
для всех электронов, вопрос этот решается общей формулой:
Nk — ev-twk-w0)_^i ♦
где Wk представляет собою энергию Л-го квантованного состоя-
ния, a W$ — постоянную, определяемую условием Nk — N и
k
называемую химическим потенциалом электронного газа.
В предельном случае Т= 0(и = оо) мы получаем такие же
условия, как и в случае электрона, движущегося свободно
в пространстве, ограниченном непроницаемыми стенками, при-
чем все N состояний, для которых имеет место неравенство
Wk^WQf заняты каждое одним электроном, а все остальные
состояния вакантны.
Мы проиллюстрируем этот закон распределения электронов
для случая одномерной модели металла или какого-либо другого
тела, состоящего из цепочки в п атомов. Если эту цепочку
считать незамкнутой, ю стационарные состояния должны пред-
ставляться стоячими волнами вида
ф = С (х) cos 7 х С" (х) sin у х,
где х обозначает расстояние вдоль цепочки, а С, С"— две перио-
дические функции с периодами с. Подобные волны могут быть
получены путем суперпозиции двух бегущих волн вида С(х)ечх
с противоположными значениями у, причем численные значения у
фиксируются условием, чтобы концы цепочки х = 0 и х = нс
соответствовали узловым точкам. Это приводит к выражению
ф = С (х) sin у х,	(1^6)
где
2кг
пс '
§31. Усовершенствование теории электронного газа 321
Здесь г—целое число, изменяющееся от нуля до п—1.
Значения, лежащие за этими пределами, не приводят к новым
состояниям, так как состояния, для которых у отличается
2 к .
на целое кратное —, физически не различимы.
Мы получаем, таким образом, для каждого состояния элек-
трона в отдельном атоме, т. е. в случае нашей модели для
каждого уровня энергии электрона, запертого в яме шириной а с
бесконечно высокими стенками, целую полосу, образованную п
тесно лежащими состояниями движения в кристаллической решетке,
причем энергии этих состояний могут быть выражены прибли-
женным уравнением (153) при вышеуказанных значениях 7
2кг
Er = const — х cos —— (г=0, 1,. ..л— 1). (156а)
Если число электронов равно числу атомов, как это имеет
место в случае щелочных металлов, и если, далее, каждое
„состояние решетким, так же как и каждое атомное состояние
может вмещать в себе лишь два электрона (с противоположно
х	п
направленными магнитными осями), то все — нижние состояния
движения в решетке (изображаемые отрицательной половиной
пунктирной кривой на рис. 18) будут заняты, тогда как осталь-
п	*
ные — состояния будут вакантными.
£
В случае двух электронов
на атом (N=2n, щелочно-земельные металлы) все п состояния
полосы окажутся занятыми. При наличии более нежели двух
электронов на атом мы должны принять во внимание не одно
состояние последнего, но, по крайней мере, два, причем каждое
из них, если они достаточно далеки друг от друга, заменяется
в кристалле полосой, состоящей из 2п более или менее близко
лежащих „состояний решетки"; 2п электронов располагаются
в первой полосе, а следующие в более высокой полосе или
полосах. Необходимо помнить, однако, что это однозначное
воответствие между атомными состояниями и кристаллическими
полосами или группами состояний может существовать лишь
322 Глава 6. Применение квантовой статистики
постольку, поскольку расстояние между первыми (измеренное
на шкале энергии, конечно) остается большим по сравнению с
шириной последних. Если это условие не выполнено, то раз-
личные атомные состояния сливаются друг с другом и оказы-
ваются совершенно перепутанными в результирующих состояниях
электрона в решетке.
§ 32. Вычисление „самосогласованного^ поля в металле
и на его поверхности.
До сих пор эквивалентное или самосогласованное силовое
поле, действующее на электрон в кристаллической решетку
считалось известным. Однако на самом деле все, что мы знаем
о нем, это лишь то, что оно имеет периодический характер.
Сравнительно простой метод для приближенного определения
этого поля в случае большого числа электронов был предложен
Л. Томасом и независимо от него Э. Ферми для частного случая
тяжелого атома или иона. В этом случае внешнее поле сво-
дится к притяжению электронов к положительному ядру. Метод
Томаса и Ферми может быть, однако, легко обобщен на случай
притягательного внешнего поля любого типа. Следует заметить,
что тот же самый метод применялся и прежде в классической
статистике, например в вопросе о распределении электронов вблизи
поверхности раскаленного металлического тела (Лауэ и др.)
или же о распределении ионов в растворе электролита около
заряженного электрода (Штерн, Дебай).
Предположим, что внешнее электрическое поле, действующее на
электроны, характеризуется электрическим потенциалом <р0(л\у,г).
Взаимное ^отталкивание их при равновесном распределении
может быть заменено приближенным образом надлежаще опре-
деленным эквивалентным внешним полем с потенциалом ?1(л\у,г).
Этот потенциал или полный потенциал <p==^oH-?i результи-
рующего поля может быть определен с помощью уравнения
Пуассона
V2<? = 4-4iren,	(157)
где в — заряд электрона, а я— вероятное или среднее число
электронов в единице объема.
§ 32. Вычисление самосогласован, поля в металле 323
Согласно классической статистике, это число в свою очередь
определяется как функция ср формулой Больцмана
n = Cek7\	(157а)
где С означает постоянную. Подставляя это выражение в (157),
мы получаем уравнение, которое может служить для определе-
ния <р как функции координат.
Совершенно сходная схема может быть применена в случае
статистики Паули и Ферми, которой мы должны заменить класси-
ческую статистику в применении к электронному газу очень высо-
кой концентрации. Положение оказывается, однако, значительно
более сложным, если мы имеем в виду распределение, относя-
щееся к случаю Т > 0. Для того чтобы определить п, т. е.
концентрацию электронов в обыкновенном пространстве, мы
должны воспользоваться формулой (141) § 29 и равенствами
И
dy = kxg2dgdV
и проинтегрировать по всем значениям g. Разделив результат
на dV> мы получаем:
Если отбросить единицу в знаменателе интегрируемой функ-
ции, что соответствует предельному случаю классической тео-
рии, то интеграция может быть выполнена очень просто и при-
водит к уравнению (157а). Она не может, однако, быть выпол-
нена в конечной форме, если первый член в знаменателе мал по
сравнению с единицей, что имеет место для не слишком больших
значений g в случае электронного газа высокой концентрации.
Последнее обстоятельство, которое, между прочим, харак-
терно для распределения электронов как в тяжелом атоме, так
и в твердом теле, приводит, однако, к значительному упрощений
теории, так как оно позволяет, поскольку мы имеем дело с обыч-
324
Глава 6. Применение квантовой статистики
ними температурами, заменить последние абсолютным нулем. По-
лагая	где — химический потенциал элек-
тронного газа, мы получаем при этом, так как знаменатель
интегрируемой функции в предыдущем равенстве обращается
1 2
в нуль при — g2 — S<₽
ном случае:
WQ и сводится к единице в против-
2
8к(2/п)2	А
(е<? + Го) 2.
(157b)
Подставляя это выражение в (157), мы получаем основное
уравнение теории Томаса-Ферми:
£
V2/ = t/2,	(158)
где
/= 4- Го и т =	(^) 2.	(158а)
Уравнение (158) необходимо интегрировать при определен-
ных граничных условиях, которые в случае бесконечной решетки
можно заменить условием периодичности совместно с условиями,
характеризующими внешнее поле <р0 и общее число электронов N.
Последнее служит также для определения 1Г0. Следует отметить,
что функция f не должна иметь отрицательных значений. Если
она обращается в нуль на некоторой замкнутой поверхности,
то она должна исчезать за ее пределами.
Решение уравнения (158) для случая трехмерной кристал-
лической решетки до сих пор еще не получено. 1
Оно может быть, однако, легко получено, если мы упростим
1 В случае двухмерной решетки оно может быть легко решено
благодаря тому обстоятельству, что закон распределения Ферми, при-
мененный к движению в двух измерениях, приводит к уравнению
dsf
вместо (168), Ср, Lennardjones, Proc. Roy, Soc. 120,
727, (1928).
§ 32. Вычисление самосогласован, поля в металле 325
нашу задачу, заменив положительные ядра или, вернее, ионы
равномерным распределением положительного
электричества, простирающимся до границ рассматриваемого
тела. Это упрощение может быть допущено в случае металла,
если валентные электроны трактуются как совершенно свободные
внутри тела, в котором потенциал ср должен при этом иметь
постоянное значение С. Это значит, что внутри тела электроны
образуют равномерное распределение отрицательного электриче-
ства той же плотности р, как и плотность распределения поло-
жительного электричества. Принимая во внимание, что на каждый
атом приходится один (валентный) электрон, мы имеем
р = ей.
Это соотношение, однако, должно видоизмениться вблизи по-
верхности тела, где электроны стремятся от него удалиться и,
таким образом, выходят за пределы поверхности 5, которая
ограничивает равномерное распределение положительного заряда
(и которую можно определить как поверхность тела). Таким
образом эти электроны должны образовать слой отрицатель-
ного заряда с наружной стороны поверхности, компенсируемый
слоем положительного заряда с внутренней ее стороны, где
имеет место нехватка отрицательного электричества. Метал-
лическое тело представляется, следовательно, как бы покрытым
двойным электрическим слоем или „конденсатором“ чрезвычайно
малой толщины с положительной внутренней обкладкой и отри-
цательной наружной обкладкой, причем потенциал С внутри его
равняется скачку потенциала в этом двойном слое, если потен-
циал внешнего пространства (до бесконечности) считать равным
нулю. Фактическое распределение потенциала и заряда в этом
поверхностном двойном слое нашей упрощенной модели может
быть легко вычислено с помощью уравнения (158), если поверх-
ность тела рассматривать как бесконечную плоскость, напри-
мер х = 0. Если тело простирается в отрицательном напра-
влении оси х-ов до бесконечности, то мы должны иметь
при х = —оо и ф — 0 при х — оо. Последнее условнее связи
С соотношением (157b) и требованием, чтобы /? = 0 при х= оо
328
Глава 6. Применение квантовой статистики
показывает, что в нашем случае (нейтрального металлического
тела) химический потенциал Wo равен нулю.
Уравнение (158) должно, таким образом, интегрироваться
при условиях/—0 при х = оо и/=Се при х = —оо. Так
как / есть функция одной лишь координаты х» то это урав-
нение сводится к
<Pf A
(159)
df
Умножая его на —,
dx
получаем:
dx 2 dx) 5Y dx’
так что
to) =	+ const.
В области x > 0 постоянная интеграция должна быть прирав-
df
нена нулю, так как —исчезает вместе с j при х=оо. При
извлечении квадратного корня мы должны, далее, взять отри-
цательный знак, так как /, очевидно, убывает с увеличением х.
Это приводит к уравнению
или

(159а)
где /0 означает величину / при х, равном нулю. Для отрица-
тельной области (х < 0) мы получаем сходным образом
2	4 А 6.
'=5^/2-Сда)
1/
(х<0)>
(159b)
§ 32. Вычисление самосогласован, поля в металле 327
причем интеграция приводит к трансцендентной функции, кото-
рую мы не будем здесь рассматривать ближе.
/—00 = Се означает величину / при х = —оо. Для того
чтобы обеспечить непрерывность при х = 0, мы должны по-
ложить
~ 00	2
как, конечно, можно было ожидать заранее.
Численное значение С можно получить из (157b), если кон-
центрация « — ©о известна (она равна концентрации валентных
электронов в металле на достаточно большом рассто ни и от его
поверхности). Пользуясь величиной zzoo = 2-1022 для натрия, мы
получаем, что ^—0=3 вольтам. Эффективная толщина
„	Vo"4
соответствующего двойного слоя, измеряемого выражением—
Vi
согласно (159а), оказывается порядка 6-10"“* см, т. е. того же
порядка величины, как и расстояние между соседними атомами
в твердом теле.
Значение С, полученное приведенным методом, конечно,
слишком мало; работа удаления электрона, вначале покоив-
шегося в металле, лежит на самом деле между 10 и 20 воль-
тами. Следует, далее, отметить, что, согласно вывода ура-
внения (157b), сумму еср+17о нужно рассматривать как макси-
мальное значение кинетической энергии электрона в данном
месте. При U^-zzzO э а максимальная кинетическая энергия как
раз равна — это означает, что наиболее быстрые электроны
имеют кинетическую энергию как раз достаточную для того,
чтобы они могли выскочить из металла даже при температуре
абсолютного нуля. Этот, очевидно ошибочный, результат обу-
словлен неспособностью теории определить фактическое си-
ловое поле, которое действует на электрон в металле и которое
заменяется сглаженным полем, в создании коего рассматриваемый
328
Глава 6. Применение квантовой статистики
электрон также принимает участие, причем заряд его размазы-
вается по сравнительно большому объему.
Сходные результаты получаются при применении метода
Томаса-Ферми к распределению электронов в тяжелом атоме.
При этом уравнение (159) заменяется, в виду радиальной сим-
метрии задачи, уравнением
=	(160)
где г — расстояние от ядра. Полагая г<р —0 на бесконечности, что
соответствует нейтральному атому, мы снова получаем 1Г0 = О,
г. е. исчезающее значение работы вырывания или ионизацион-
ного потенциала. Это расхождение между теорией и опытом не
играет роли до тех пор, пока мы интересуемся распределением
электричества в более глубоких областях атома. При этом
теория Томаса-Ферми приходит к прекрасному согласию с экс-
периментальными данными, полученными из рассеяния рентге-
новых лучей. Но оно показывает, что эта теория не может при-
меняться со сколько-нибудь значительной степенью точности
к периферической области атома, а следовательно, и к поверх-
ности материального тела.
„Внутренний" электрический потенциал металла, а также и
всякого другого материального тела, по отношению к внешнему
пространству может быть вычислен весьма простым обра-
зом, исходя из предположения, что распределение электронов
вокруг каждого атома (ядра) остается неизмененным, несмотря на
то, что эти атомы находятся в непосредственной близости друг
к другу. Если поверхность тела определить как поверхность,
проходящую через ядра самых внешних атомов, то с внешней
ее стороны окажется слой отрицательного электричества, обра-
зованный электронами, которые обращаются вокруг этих внеш-
них ядер, и компенсированный положительным зарядом с внут-
ренней стороны. Легко показать, что скачок потенциальной
энергии в таком двойном слое равен
<p=2w®2^’	(I®1)
§ 32. Вычисление самосогласован, поля в металле 329
где г—расстояние электрона от соответствующего ядра, а г2 -
сумма средних значений г2 для всех электронов в атоме.
Та же самая формула может быть получена путем усредне-
ния электрического потенциала внутри тела и в предположении.
что распределение отрицательного электричества вокруг каждого
ядра остается радиально-симметричным. Представим себе, что
атом состоит из ядра с зарядом Ze и компенсирующего сфе-
рического слоя отрицательного электричества с радиусом г.
Электрический потенциал внутри подобного атома (который
можно рассматривать как маленький шаровой конденсатор)
Ze
равен — , где
А
R < г, а вне его равен нулю.
Если объем, при-
ходящийся в рассматриваемом теле в среднем на один атом,
равен то среднее значение потенциала в объеме тела опре-
деляется выражением
ZsAk^V/? _ 2TrZer2
Vj R ~ V
т. e. 2-irnZer2, так как объем равен обратному значению
числа атомов в единице объема. Заменяя Zr2 суммой г2 для
всех электронов, мы получаем формулу (161). Согласно волно-
механической теории мы должны положить
r2 =	(161а)
где ф означает волновую функцию соответствующего элек-
трона.
Приведенная теория не принимает в расчет того изменения
в распределении отрицательного электричества, которое обуслов-
лено взаимодействием атомов и которое становится особенно
существенным на поверхности тела.
Более точное решение рассматриваемой задачи может быть
получено следующим образом. Мы начинаем с распределения
отрицательного электричества, которое получается по волновой
механике, при допущении, что потенциальная энергия электрона
330
Глава 6. Применение кванювой статистики
постоянна внутри металла, возрастая на некоторую величину (J
при прохождении через его поверхность изнутри наружу. По-
скольку полная энергия электронов W меньше, чем [7, мы при-
ходим к волновым функциям, которые во внешнем пространстве
(х > 0) имеют вид
где
г---------------------------------- -
= —	W).
Это соответствует вероятной объемной плотности электрического
заряда
р = — е-!4‘ = — е|й|2е- 2?л	(162)
для каждого отдельного электрона. Мы видим, таким образом,
что слой отрицательного электричества, простирающийся за пре-
делы поверхности металла (т. е. барьера потенциальной энергии),
может быть приписан, с точки зрения волновой механики, пол-
ному отражению электронных волн, падающих на поверхность
с внутренней стороны. Для того чтобы определить полную вели-
чину отрицательного заряда, зависящую от всех электронов,
проникающих через эту поверхность, мы должны сложить зна-
чения |ф|2 для отдельных электронов, принимая во внимание
закон распределения Ферми для скоростей. Мы не будем оста-
навливаться на математическом развитии этой схемы и ограни-
чимся указанием того, каким образом она может быть исполь-
зована для фактического вычисления скачка потенциальной
энергии U. Для простоты предположим, что результирующее
распределение отрицательного заряда выражается формулой:
р = р0е-2^ = — епе~2?х,	(162а)
где р — некоторое среднее значение р, содержащее U б качестве
параметра. Взодя компенсирующий положительный слой постоян-
ной плотности с внутренней стороны поверхности, мы можем
определить скачок потенциала ср в результирующем двойном слое
с помощью уравнения Пуассона
§ 32. Вычисление самосогласован, поля в металле 331
Представляется при этом естественным отожествить изменение
потенциальной энергии со значением скачка U, который обра-
зует исходный пункт нашего вычисления (в согласии с идеей
самосогласованного поля). Расчет, произведенный по этому
способу Таммом и Блохинцевым, показывает, однако, что и в
этом случае (так же как и в случае классической механики, не
допускающей проникновения электронов в область отрицатель-
ных ’ кинетических энергий) работа выхода наиболее быстрых
электронов оказывается равной нулю. Отожествление U с еср на
самом деле недопустимо по следующей причине: в теории
самосогласованного поля потенциал ср относится, строго говоря,
не к тем электронам, которые его создают, но к воображаемому
электрону, который проникает в тело, не изменяя распределения
заряда и потенциала, зависящих от действительных электронов.
Эта ошибка может быть исправлена путем прибавления к — еср (по-
тенциальной энергии воображаемого электрона внутри металла)
гг, е2
потенциальной энергии <70 = — ——, соответствующей „силе"
4х0
электрического изображения,1 где xQ— некоторое характеристи-
ческое расстояние порядка толщины невозмущенного поверхно-
стного двойного слоя. Мы получаем, таким образом, вместо
£7 = еср
е2
Для вычисления U или работы вырывания одного электрона
w=|f7|—WQ нет надобности рассматривать силу электрического
/ е2 \
изображения I —-у ) и вводить величину хо. Мы можем опре-
делить как разность энергий металла в нормальном состоянии
и при нехватке одного электрона.
1 То есть силы, зависящей от изменения в распределении электри-
чества вблизи поверхности, когда один из электронов удаляется из
тела (Bildkraft).
332 Глава 6, Применение квантовой статистики
Таким образом согласно расчетам Тамма и Блохинцева по-
лучается формула w = W, уже рассмотренная нами выше и
непосредственно вытекающая из теоремы вириала.
§ 33. Электрические свойства контактов между проводя-
щими телами.
Хотя свободные электроны не в состоянии выскочить из
металла при обычных условиях (вследствие того, что t7> W),
они могут быть, однако, извлечены из него с помощью интен-
сивного электрического поля, направленного наружу, или света
достаточно высокой частоты, определяемой условием:
Йу>С/--1Гт„.
Они могут также вылетать самопроизвольным образом, если тем-
пература металла достаточно высока, так что замет» ая доля всех
электронов обладает внутри металла кинетической энергией боль-
шей, нежели работа вылета U. Для того чтобы электрон мог
выскочить через поверхность х = 0, та часть его кинетической
энергии, которая соответствует слагающей скорости по оси х,
должна быть больше [7, тогда как величина двух других слагаю-
щих скорости, параллельных плоскости * = 0, не существенна.
Обозначая число электронов в единице объема, у которых
слагающие импульсов лежат в определенных пределах, через
fdgxdgydgz, мы получаем, таким образом, для общего числа
электронов, вылетающих из металла через единицу площади
в единицу времени, выражение
/=f-£-dgxff fdgydgt,	(163)
4
где величина gQx определяется формулой
=	(163а)
а функция распределения /—формулой
^=тя)	<1ЮЬ>
§ 33. Электрические свойства контактов
333
Здесь > =—причем W обозначает кинетическую энергию,
a Wq — химический потенциал. Как было показано выше, длине
слишком высоких температур, вплоть до нескольких тысяч гра-
дусов, сохраняет приблизительно то же самое значение, что
и при Т=0 т. е. остается равным максимальной кинетической
энергии электронов (внутри металла) при температуре абсолют-
ного нуля.
Полагая W = Wx -|- Wr, где Wx — ~~S\ обозначает ту
часть кинетической энергии, которая соответствует слагающей
скорости, перпендикулярной к поверхности, а = —	+
часть, соответствующую движению, параллельному ей, и вводя
в прост{ с осью	)анстве импульсов цилиндрическую координатную систему в направлении gx, получаем: // fdgydgt = 2кот /fdWr — оо	0
и	1=^т§ dWx f fdWr.	(164)
Интегра	и	0 оо	оо Г f.w _ 2 Г	dWr J jaWr- h3 j 0	0	‘
легко 6i	грется с помощью подстановки
которая	1 d£ дает dWr~	%- и, следовательно,
	оо	оо
0	С fdW —	/* ___  — JL 1g М1. ’k.f * J, -	(16(a) =wIb(1+e’_,)’
где	=	+ -«>.	(164b)
834 Глава 6. Применение квантовой статистики
Для таких значений WX9 которые больше U, это выражение
может быть чрезвычайно велико (разность U— 170 равна по
порядку величины нескольким вольтам, тогда как kT = —
даже для температуры в несколько тысяч градусов составляет
всего лишь несколько десятых вольта). Мы можем положить
соответственно этому при выполнении интегрирования в фор-
муле (164)
Таким образом мы получаем выражение
Л3|л и
или
kT .	(165)
Это выражение, умноженное на заряд электрона, дает максимальное
значение термоианного тока из раскаленного металла. Этот
ток был впервые открыт Эдисоном, в связи с его опытами над
электрической лампочкой, и подробно изучен Ричардсоном, ко-
торый получил для него из термодинамических соображений вы-
ражение
Ze — А Т2е kT {А — const)
эквивалентное формуле (165). Формула (165) была получена
Зоммерфельдом. Теоретическое значение постоянной Ричардсона
-	4к/пА2©
Л =—-—
Л3
соответствует 120 амперам на квадратный сантиметр и приблизи-
тельно в два раза больше экспериментального значения. Это рас-
хождение, как было показано Фаулером и Нордгеймом, может быть
объяснено тем обстоятельством, что согласно волномеханической
теории электроны обладают некоторой вероятностью (порядка
половины) отразиться от поверхности металла даже в том случае,
Мй они ударяются об нее с кинетической энергией, достаточ-
§ 33. Электрические свойства контактов 335
ной для выхода наружу. Наше первоначальное выражение (164)
для / необходимо соответственно этому видоизменить путем
умножения функции распределения f на коэфициент прозрачно-
сти D, который может быть определен как некоторая функция
от Wx. Мы получаем, таким образом, вместо (164)
I=2itmf D(WX) dWx£ f(Wx + Wf) dWr,	(166)
причем D = 0 для Wx < U.
Мы не будем останавливаться на более точном определении /
для только что разобранного случая и перейдем к рассмотрению
другого интересного случая, а именно двух металлических тел,
находящихся в контакте друг с другом.
Согласно обычному представлению, подобный контакт, по-
скольку он характеризуется способностью электронов перехо-
дить от одного тела к другому, рассматривается как место, где
расстояние между обоими телами того же порядка величины,
как и расстояние между соседними атомами в каждом из них.
Согласно волномеханической теории электроны могут, однако,
переходить от одного тела к другому даже в том случае, если
эти металлы отделены друг от друга пустым промежутком или
„зазором* гораздо большим, нежели междуатомные расстояния,
и притом при любой температуре, — даже при температуре абсо-
лютного нуля. Волны, изображающие эти электроны, должны
испытывать полное отражение у поверхности соответствующего
металла, но тем не менее должны достигать с экспоненциально
убывающей амплитудой второго металла, где движение их снова
принимает нормальный характер.
Когда две металлических поверхности приводятся в сопри-
косновение друг с другом, фактический контакт может существо-
вать, как правило, лишь в очень малой части этих поверхно-
стей, тогда как большая их часть отделена зазорами с шириной,
во много раз большей атомных расстояний. С точки зрения про-
хождения электричества эти зазоры должны также приниматься
во внимание, если только они не слишком широки.
Для того чтоби Опре делить вависимоиь электрического со-*
336
Глава 6. Применение квантовой статистики
противления контактного зазора от его ширины, мы рассмотрим
идеализированный случай двух металлов а и b с абсолютно
плоскими поверхностями, отделенными друг от друга зазором
постоянной ширины 8. Мы будем, следовательно, представ-
лять себе, что первый металл простирается от х = — оо до х = О,
а второй от x = S и до х=оо. При таких условиях между
обоими металлами будет происходить непрерывный обмен элек-
тронами, причем число электронов, летящих в каждом направле-
нии в единицу времени и через единицу площади, определяется
формулой (167), где коэфициент прозрачности D должен быть
надлежащим образом определен как некоторая функция Wx.
Согласно общему закону обратимости, коэфициент D дол-
жен обладать одним и тем же значением как для перехода от а
к b с начальной кинетической энергией Wxa и конечной энер-
гией WXb, так и для обратного перехода из b в а с начальной
кинетической энергией WXb и конечной кинетической энер-
гией Wxa» Мы имеем, таким образом:
Dba(WXa + Uab) = Dab(Wxa)f
где иаь обозначает разность WXb — Wxa, т. е. увеличение по-
тенциальной энергии электрона при прохождении из а в Ъ. Поль-
зуясь выражением
tab = Чкт f Dab (wx} dWx jfa(Wx± Wr) dWr
о	0
для числа электронов, переходящих в единицу времени от а к &,
мы получаем соответственно этому для числа электронов, пере-
ходящих за то же время в противоположном направлении, выра-
жение
1аЬ = Чът f Dab(Wx) dWx ffb(Wx + Uab+ Wr) dWr.
0	0
Таким образом результирующий поток электронов в направлении
b—у а за единицу времени и на единицу площади выражается
формулой
(«7Х) dWxf \fa(Wx j- IF,) -
о	о
—Л (wx+ wr 4-ад dWr.	(167)
§ 33. Электрические свойства контактов
337
Эта формула показывает, между прочим, что ток исчезает, т. е.
что оба металла находятся в равновесии по отношению друг к
другу в том и только в том случае, если
fa (Wa) = fb(Wa+ Uab) =fb (Wb).	(168)
Рис. 19.
это условие равновесия может
(если только оба металла имеют
. Q
Принимая во внимание выражение (163b) для функции распре-
деления /, в которой WQ должно быть заменено соответственно
на 1Гоа и Wo*, мы видим, чтс
быть на самом деле выполнено
одинаковую температуру), вы-
ражаясь равенством
Uab=WQb— ГОл. (168а)
Это соотношение, выражающее
равенство химического потен-
циала или свободной энергии
электронов в обоих металлах,
могло бы быть установлено на
основании чисто термодинами-
ческих соображений без использования условия обратимости,
т. е. равенства Dab и Dba.
Если Ua и Ub обозначают скачки потенциальной энергии на
поверхности каждого из металлов, а Уаь представляет собою
убыль потенциальной энергии (в направлении а—► &), зависящую
от присутствия электрического поля между обоими телами, то
Uab—Ub — Ua + Vab,	(169)
как легко видеть из рис. 19, на котором линия MNPQRST пред-
ставляет потенциальную энергию как функцию х (точки NQ
соответствуют х = 0, а точки S7?x = 8). Условие равнове-
сия (168а) может быть, таким образом, переписано в виде
Vab = (Ua-WOb) — (Ub— WOb).	(169а)
Внешняя разность потенциальных энергий равна произведению
электронного заряда на разность потенциалов уаь между обоими
металлами. Равновесное значение этой разности потенциалов пред-
ставляет собою так называемую контактную разность
338
Глава 6. Применение квантовой статистики
потенциалов. Согласно предыдущему уравнению и формуле
Зоммерфельда (166), она равна разности работ —М/о
которые характеризуют электронное испускание каждого металла
при высоких температурах. Э1 от результат находится в полном
согласии с экспериментальными данными.
Контактная разность потенциалов между двумя различными
металлами устанавливается автоматически, благодаря тому, что
результирующий поток электронов между ними, при отсутствии
внешних сил, останавливается лишь тогда, когда достигается рав-
новесное значение разности потенциалов, определяемое фор-
мулой (169а).
Предыдущие результаты можно представить себе наглядным
образом, если рассмагривать электроны как своего рода жид*
Рис. 20
кость, распределенную на диаграмме
энергии (рис. 19) с переменной плот-
ностью (в пространстве U/x), таким
образом, чтобы в состоянии равно-
весия эта плотность была одинакова
на одном и том же горизонтальном
уровне по обе стороны зазора между
обоими металлами, поскольку этот уровень лежит выше верх-
него дна MN и ST. При абсолютном нуле температуры эту
плотность можно считать постоянной от дна до поверхности,
причем общее число электронов в единице объема обоих метал-
лов находится в отношении Wda'. При более высоких тем-
пературах эта переменная плотность совпадаег, однако, для обоих
металлов со стороны больших скоростей. Тогда получается
один и тот же максвеллевский „хвост" для обеих кривых. Это
соотношение может быть иллюстрировано сплошной кривой
рис. 20, на котором ОАА^В представляет собою кривую Ферми
для металла Ь, а	для металла а, причем расстояние OOt
равно иаь- Участки кривых между О1 и бесконечностью в точ-
ности совпадают.
Если к концам зазора приложено добавочное электрическое
поле Е, увеличивающее равновесное значение разности потенци-
альных энергий Vab на величину V1 ==. то одна из обеих
§ 33. Электрические свойства контактов 339
кривых смещается по отношению к другой вдоль оси энергии
на расстояние V* (как показано пунктирной линией
В результате получается ток /, текущий из b в а (или из а
в Ь) и обусловленный электронами, заключенными внутри пло-
щади	При малых значениях V этот ток будет, оче-
видно, пропорционален V' и будет иметь практически одну и
ту же величину для противоположных значений V1. При боль-
ших значениях V функция 1(у') будет возрастать быстрее,
оставаясь практически симметричной по отношению к знаку V1
до тех пор, пока не будут достигнуты такие значения И, ко-
торые сравнимы с меньшей из двух величин W$a и 1%$, т. е.
в данном случае с Ж)£.
Эти свойства’функции /(V), характеризующие контакты, мо-
гут объяснить ряд различных явлений, связанных с прохожде-
нием электричества через контакт между проводящими телами,
как, например, относительно высокое сопротивление тонких ме-
таллических пленок и аномальное изменение этого сопроти-
вления температурой; далее, отклонение от закона Ома при
прохождении электричества через сжатые порошки плохо про-
водящих веществ и, наконец, явление выпрямления, ко-
торое наблюдается в случае контактов между металлами и полу-
проводниками.
В случае двух металлов подобное выпрямление (т. е. асим-
метрическое изменение функции /(V') при перемене знака К) не
наблюдалось по всей вероятности потому, что химические потен-
циалы Wo различных металлов — одного и того же порядка ве-
личины (около 10 вольт) и притом весьма целики по сравнению
с разностями потенциалов И, существующим на контактных за-
зорах.
Полупроводник (как, например, куприт Си2О) можно рас-
сматривать, грубо говоря, как металл с относительно малой кон-
центрацией электронов, которая изменяется с температурой со-
_ Q
kT
гласно закону е , характерному для диссоциативного равно-
весия (см. ниже). Поэтому полупроводник должен отличаться
от металла относительно малым значением химического потен-
340
Глава 6. Применение квантовой статистики
циала. Это обстоятельством легко объясняется возможность вы-
прямляющего эффекта при приложении разности потенциалов
сравнительно малой величины.
Эти результаты могут быть легко облечены в количествен-
ную форму с помощью выражения (167) для плотности электрон-
ного потока. В случае достаточно малых значений V мы можем
воспользоваться соотношением (168) (которое справедливо до
тех пор, пока значения Wa и Wb остаются положительными) и
положить соответственно этому
Л(Щ)=/Д(^+П	(170)
где V представляет собою избыток величины иаь' (или Vab над
ее равновесным значением (168а)]. Выражение (167) принимает при
этом следующий вид:
ОО	00
I = 2^mf Dai(Wx) dWx£ [fa (F,+ Wr) -
—fa(Wx + Wr-\- V'f\dWr.
При очень малых значениях V мы можем положить с доста-
точной степенью точности
fb(W)-fb(y+Vf = -V
U w р
что приводит к формуле
/=-CF,	(171)
т. е. к закону Ома, причем С—проводимость контакта — равна
С— 2кт f Dab(Wx)fa(Wx) dWx.	(171а)
О
Коэфициент прозрачности D(WX) в этой формуле можно рас-
сматривать как постоянную величину, соответствующую значе-
нию И = 0. Его точная зависимость от Wx довольно сложна
поскольку линия QR на диаграмме энергии (рис. 19) наклонна (что
§ 33. Электрические свойства контактов
341
имеет место в случае двух различных металлов). Заменяя ее
ризинтальной линией, проходящей через ее центр на уровне
U = иа — П%+ 4 Уаь = 4 [(^ -	- ^0»)]
над линией Wx = соответствующей самому быстрому элек-
трону а и полагая Wx—WaQ — ^, мы получаем следующее при-
ближенное выражение:
ОаьЮ = е-^У^,
где
7=т
Из формулы (171а) следует, что проводимость С изменяется лишь
незначительно с изменением температуры, так что функцию fa(Wx)
можно заменить ее предельной формой, соответствующей Т= 0,
2
т. е. положить fa~— при Wx < WOa ($ < 0) и fa — 0 при
> Woa ($ > 0). Мы получаем таким образом
4к/п .. jz =—
С = —кг/е"4 U+ '(К.	(171b)
Следует отметить, что поскольку мы ограничились случаем Г=0,
разность fa (Wx Wr) —fa ( Wx	—j— V) должна либо обра-
,	2
щаться в нуль, либо сводиться к , если
Wx-\-Wr~\- V1 > и Wx~\ Wr < WOa.
Таким образом в этом случае мы получаем вполне точно
/ [Л (-I- Wr) ~fa(Wx -I Wr-i- у')] n wr =	V,
так что уравнение (171a) остается справедливым также и для
больших значении V, если мы только примем во внимание за-
висимость D от V.
Прежде чем рассматривать этот вопрос, вернемся к в >|раж$-
342
Глава -6. Применение квантовой статистики
нию (170) и (171а). Последнее соответствует положительному
току, т. е. потоку электронов в направлении а—>6, если V по-
ложительно, и отрицательному току, т. е. потоку электронов
в обратном направлении, если V' отрицательно. В простейшем
случае двух тождественных металлов функция /(V') должна
очевидно быть нечетной, т. е. менять знак при замене V1
на — V'. Таковой она, однако, на первый взгляд не предста-
вляется, так как выражение /(IF)—/(IF-j- У') не меняет знака
при перемене знака у V. Это объясняется тем обстоятельством,
что при отрицательном значении V' коэфициент прозрачности
Dab(Wx) равен нулю при значениях WXf которые малы по
сравнению с | У' |, тогда как при V’ > 0 он отличен от нуля
для всех значений Wx. Если в первом случае заменить D^(lFxfl)
на Dba(Wxb), где Wxb = Wxa + V = Wxa-|V'\, a fa(Wa) за-
менить на fb(Wb—V') =/d(IF^-|-|F'|), то мы получаем вместо
(170а)
оо	оо
7 = 2™/Dba(Vx) f [fb(Vx-f- Vr-НИ) - A (^ + VJ] dVr>
0	0
т. e. величину, равную и противоположную (170а), если абсо-
лютное значение |У'| одинаково в обоих случаях. В случае по-
ложительного значения v’ мы можем положить
и—i-IV'1-е
Dab(Vx)^e
(172)
причем эта формула остается справедливой для Dba при отри-
цательном значении V. Поскольку величина V мала
по сравнению с U, мы можем положить
и, следовательно,
+?(4ii"i+5)
(172а)
§ 33. Электрические свойства контактов
343
где
=	и р = —^=.	(172b)
2R
Это приводит к следующему приближенному выражению для
проводимости контактного зазора при абсолютном нуле тем-
пературы
С — С^е	(173)
где Со определяется формулой
4кт — 1
Со= Лз ^о —•	(173а)
Зависимость С от (У'), характеризуемая уравнением (173),
находится, повидимому, в хорошем согласии с результатами по-
следних опытов о проводимости спрессованных порошков кар-
борунда и некоторых других веществ (применяемых в технике
в качестве высоковольтных разрядников). Экспериментальное
значение £ соответствует контактному зазору, шириной поряд-
ка 10~7гж.
Хотя предыдущие выражения относятся к случаю двух тож-
дественных металлов, они могут быть все же применены к кон-
тактам между различными металлами, если только (V') не очень
велико.
Однако в случае контакта между металлом и полупроводни-
ком они становятся неприменимыми даже для относительно ма-
лых значений (У'). Мы должны в этом случаё вернуться к об-
щему уравнению (168), положив в нем иаъ = ^аь -|- где
Uab представляет собою равновесное значение иаь, определяемое
формулой (169).
Химический потенциал IFO в случае полупроводника весьма
мал по сравнению с металлом (вследствие относительной малости
концентрации электронов п), тогда как работа выхода U— Wo
в обоих случаях имеет один и тот же порядок величины. Поэтому
энергия Uab должна иметь сравнительно большое положитель-
ное значение, если а обозначает полупроводник, а b металл.
344
Глава 6. Применение квантовой статистики
Таким образом в состоянии равновесия все электроны смогут
перейти из а в Ь, тогда как в обратном направлении сможет
перейти лишь незначительная доля электронов, находящихся в b
(рис. 21). В случае
с
полупр
полупроводника мы можем положить
достаточной степенью точности
„то 2	— Н(и7--№оп)
металл
так как закон Максвелла представляет со-
бою предельную форму закона Ферми для
малой электронной концентрации, и, следовательно,
f fa (wx 4- Wr) dWr = ~ е~^х~ *Оа).
Соответствующее выражение для металла определяется согласно
(165а) и (165b) формулой
ffb (Wx 4- wr 4- u°ab 4- V) dwr =
— _L 1g [ 1 4-+ u°°b + v- wOb)]
или, так как
U°ab — WOb = — WOa и Wx — Woa 4- V' Э> feT,
f fb(Wx -H Wr 4- U'ab + V)dWr^. -A. e-^Wx-WQa+V') .
Мы получаем таким образом
/==w e^W<>aJ^xDabkWfje-^^ - e~^v )
r	0
или, если принять во внимание зависимость Dab от V',
!=10е	<174)
где /0 — функция одной лишь температуры того же типа, как
и число свободных электронов в полупроводнике, т. е.
Q
/р = const, е ,	(174а)
§ 33. Электрические*свойства контактов
345
Предыдущая формула справедлива только для положи-
тельного значения V\ соответствующего переходу потока элек-
тронов из полупроводника в металл. Если бы не множитель
^v'
е , который соответствует увеличению коэфициента прозрач-
ности Dab с увеличением приложенного поля, то ток / обнару-
живал бы эффект насыщения при достаточно больших
значениях V соответственно прохождению всех электронов из
полупроводника в металл практически без всякого компенси-
рующего тока в противоположном направлении. Следует отме-
тить, что этот ток насыщения, поскольку дело касается его
зависимости от температуры, весьма похож на ток Ричард-
сона, т. е. на электронное испускание из раскаленного металла
в вакуум, причем работа выхода из металла w соответствует
энергии Q. Последняя определяет число свободных электронов
в полупроводнике и приблизительно равна половине энер-
гии, необходимой для диссоциации одного подобного элек-
трона от атома, с которым он связан при обычных температу-
рах. Рассматриваемый нами ток насыщения представляет собою,
на самом деле, полный аналог эффекта Ричардсе на, причем сво-
бодные электроны, несущиеся из металла в пустоту, заменяются
электронами, несущимися из полупроводника в металл через
контактный зазор, который они проходят с недостаточной кине-
тической энергией.
Для того чтобы определить ток, зависящий от электриче-
ского поля, который гонит электроны в противоположном на-
правлении, т. е. из металла в полупроводник, достаточно лишь
переменить одновременно знак величины V1 и величины / в вы-
ражении (174). Мы получаем таким образом
4- «и-)
!=Ioe (ZV'-1),	(174b)
что соответствует почти экспоненциальной зависимости I от V.
Отношение
г|К|-1
346
Гллеа 6. Применение квантовой статистики
можно было бы определить как теоретический коэфициент
выпрямления рассматриваемого контакта. Следует, однако, иметь
в виду, что на практике этот коэфициент, т. е. отношение аб-
солютных значений /, при равных и противоположных значе-
ниях разности потенциалов относится не к разности потенциа-
лов V, приложенной к контакту, но к полной разности по-
тенциалов V, действующей в цепи, содержащей контакт. Рав-
ные и противоположные значения V соответствуют значениям V'
противоположного знака и различной величины,—относи-
тельно малым, если электроны гонятся из металла в полупро-
водник, и относительно большим, если они гонятся в проти-
воположном направлении. Таким образом практический коэфи-
циент выпрямления должен быть всегда значительно меньше, чем
теоретический, выведенный выше.
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов
(элементарная теория).
Движение электричества внутри металла (или полупроводника)
зависит от перемещения электронов в направлении приложенной
внешней электрической силы. Этот процесс можно рассматри-
вать как до некоторой степени аналогичный тому, который мы
рассматривали выше, а именно прохождение электронов через
зазор, образованный контактом между двумя телами, причем эти
тела заменяются отдельными атомами, а ширина зазора между
ними сводится по порядку величины к КГ^аи.
Эта аналогия, однако, не полная по следующим причинам.
Рассматривая переход электрона от одного металлического тела
в другое (или в полупроводник), мы предполагали, что нор-
мальное распределение скоростей между электронами в каждом
из тел (соответствующее закону Ферми или Масквелла) остается
неизменным, т. е. таким же, как и в состоянии равновесия. Это
сводится к утверждению, что добавочная кинетическая энергия Vf9
приобретаемая каждым электроном в результате перехода в по-
ложительном направлении, тотчас же сбрасывается им, т. е. пе*
редается атомам тела я виде теплорого движения. Ко*
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 347
нечная величина проводимости контакта или его сопротивлс*
и и е непосредственно связаны с этим преобразованием электри-
ческой энергии в теплоту.
Условий, обеспечивающие это преобразование, очевидно,
отсутствуют в случае „контакта14 между отдельными атомами.
Вместо того чтобы терять энергию V, приобретенную при пе-
реходе от одного из них к следующему, электрон может в этом
случае сохранять ее и далее увеличивать на ту же величину
при следующем переходе и таким образом накоплять энергию
беспредельно. Это означает, что электрон может двигаться в
металле без всякого сопротивления или, другими словами,
что электропроводность металла (а равным образом и вся-
кого другого материального тела) может быть бесконечно велика.
Для того чтобы это условие было выполнено, необходимо,
чтобы атомы тела не могли увеличивать энергию своего тепло-
вого движения за счет электрона. Оно было бы, например,
осуществлено, если бы эти атомы были закреплены в опре-
деленных положениях, не обязательно образующих правильную
кристаллическую решетку.
Мы уже рассматривали в § 31 характер движения электро-
нов в подобной решетке при отсутствии внешней электрической
силы, гонящей их в определенном направлении. Каждый электрон
должен в этом случае сохранять направление и величину своей
средней скорости, соответствующей центру „колеса”, при по-
мощи которого можно представить его движение. Если атомы
расположены неизменным, но неправильным образом, „электрон-
ные колеса" должны от поры до времени отклоняться от прямо-
линейного пути, не испытывая, однако, изменения в энергии
своего движения, т. е. в величине скорости. Если, наконец,
атомы не удерживаются неподвижно, но могут колебаться около
определенных положений равновесия, — чтб на самом деле и имеет
место в случае всякого твердого тела, — то между ними или ионами
и электронами должен происходить обмен энергии, который
будет поддерживать равновесное распределение энергии как для
тех так и для других, поскольку тело имеет постоянную тем-
пературу и не подвергается действию внешних электрических сид,
348
Глава б. Применение квантовой статистики
В присутстгии подобных сил, действующих в замкнутой цепи,
это равновесное распределение должно нарушаться в виду того
обстоятельства, что электроны будут приобретать дополнительную
скорость в направлении приложенной силы. Однако взаимодей-
ствие атомов с электронами будет стремиться восстановить рав-
новесное распределение путем непрерывного перехода кинети-
ческой энергии, накопляемой электронами под действием поля,
к атомам, в результате чего температура тела должна постепенно
повышаться.
Существенной чертой этой передачи энергии является то об-
стоятельство, что она может иметь место лишь постольку, по-
скольку атомы не удерживаются в неизменных положениях, тогда
как правильность этих положений представляется делом второ-
степенного значения. Недостаток этой правильности будет вы-
зывать более или менее частые и резкие изменения в направле-
нии движения „электронных колес". Однако поступательное
движение электронов в случае замкнутого контура с неподвиж-
ными атомами будет происходить при наличг и элгкгродвижущей
силы с все более и более возрастающей скоростью. Эго озна-
чает полное отсутствие электрического сопротивления в обычном
смысле слова, предполагающем существование некоторой пре-
дельной скорости движения, которая зависит от силы приложен-
ного поля и от температуры и которая соответствует своего рода
равновесию между ускоряющим действием электрических сил на
электроны и тормозящим действием, обусловленным их взаимо-
действием с атомами.
Резюмируя, мы можем сказать, что при рассмотрении дви-
жения электронов в проводящем теле под действием внешней
электрической силы мы должны принимать во внимание не только
изменение их импульса, зависящее от недостаточной правиль-
ности кристаллической решетки тела, но также изменение в их
энергии, зависящее от подвижности атомов. Эти изменения обычно
рассматриваются как результат столкновений между элек-
тронами и атомами, подобных столкновениям между частицами
газа.
Следует отметить, что взаимодействие электронов в присут-
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 349
ствии внешней электрической силы, гонящей их в определенном
направлении, должно описываться, так же как и в отсутствии
подобной силы, при помощи самосогласованного поля. Таким
образом мы избегаем затруднений, с которыми сталкиваемся,
если пытаемся представить себе ясную картину того, каким об-
разом электрон может перейти от одного атома или иона к сле-
дующему, не считаясь с тем, имеется ли в последнем свободное
место или нет.
Представление о том, что „свободные электроны* в ме-
таллическом теле можно трактовать как частицы идеального га-
за, испытывающие столкновения с атомами тела, было впервые
введено Друде. Это представление являлось вначале чрезвычайно
смутным и наивным, поскольку вопрос о числе свободных элек-
тронов, а также о средней длине их свободного пробега оста-
вался открытым, а движение их отожествлялось с движением
частиц обыкновенного газа, на которые между двумя столкнове-
ниями не действуют никакие силы (кроме внешнего электриче-
ского поля). Далее, предполагалось, что распределение скоро-
стей между электронами определяется законом Максвелла, так
что их средняя кинетическая энергия
3
равна — kT.
Как было показано выше, это классическое представление
об электронном газе должно быть существенным образом видо-
изменено для того, чтобы его можно было сохранить в
современной квантовой теории. Прежде всего, в этой теории
число свободных электронов в единице объема является вполне
определенным, а движение их представляется не как совершенно
свободное перемещение, но как катание колеса вдоль атомной
цепочки. Далее, закон распределения Масквелла заменяется за-
коном распределения Ферми. С этими изменениями теория элек-
тронного газа может быть успешно применена, как было пока-
зано Зоммерфельдом, не только к таким явлениям, которые
не содержат эффектов столкновений, но и к таким явлениям,
которые от них зависят, как, например, прохождение электриче-
ского тока и распространение тепла в металлических телах.
Однако в этом случае необходимо эмпирически ввести пара-
350 Глава б. Применение квантовой статистики
метр, характеризующий длину свободного пробега электрона,
т. е. среднее расстояние 2, которое электрон может пройти, не
испытав столкновения. Далее необходимо принять (как это было
сделано Друде), что каждое столкновение приводит к совершенно
неправильному изменению направления скорости и к восстановле-
нию среднего ее значения, если последнее было изменено действием
внешних сил. Эго означает, что дополнительная кинетическая
энергия, сообщенная электрону этими силами, должна! в среднем
целиком передаваться атомам, участвующим в столкновении. Эта
дополнительная энергия чрезвычайно мала по сравнению со сред-
ней кинетической энергией электрона, так что время т, в тече-
ние которого она накапливается, можно отожествить с отноше-
I
нием где v представляет собою скорость электрона „невоз-
мущенного движения
При этих условиях электропроводность металла может быть
очень легко вычислена — наиболее просто следующим образом,
указанным Друде и основанным на рассмотрении движения от-
дельных электронов. Под влиянием внешнего однородного элек-
трического поля Е электроны, движущиеся нормально (т. е. в от-
сутствии Е) со скоростью^, приобретают между двумя после-
довательными столкновениями добавочную скорость в направле-
„	еЕ гЕ I
нии Е, равную —т=— —. Среднее значение этой доба-
тп т v
вочной скорости для данного значения нормальной равно та-
1 „
ким образом — — . Усредняя его по всем значениям v и
умножая на число электронов в единице объема п и на заряд
электрона в, мы получим количество электричества, переноси-
мое электронами в единицу времени через единицу площади
в направлении приложенного поля, т. е. плотность тока J = gE9
где о представляет собою удельную электропроводность-
Для последней таким образом получается выражение
ле2// 1 \
о = 7—j — L
2т I v j
(175)
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 351
Так как в металлическом теле распределение скоростей между
электронами практически независимо от температуры, то мы мо-
1 1
жем вычислить среднее значение tr*1 или — для абсолютного
нуля температуры с помощью общей формулы
go
g'dv
о___________
go	’
f g'dgt
О
где g$— максимальное значение gz=mvt при Т=0, определя-
емой формулой = 2/nITo. Мы получаем таким образом
\gj~ 2 g0
и, следовательно,
1 2
_ 3 пгЧ_ 3 /8д\7я7е2
° ~ 4	Зу й2
(175а)
Полагая здесь п~1022 ел-3, мы получаем удовлетворительное
согласие с опытными данными, если для обыкновенных темпе-
ратур длину свободного пробега I считать равной, при-
мерно, 10“ 6 см.
Как хорошо известно, металлические тела отличаются не
только своей электропроводностью, но также своей исключи-
тельно высокой теплопроводностью. Обе проводимости
оказываются пропорциональными друг другу. Этот результат,
образующий содержание закона Видемана—Франца, был интерпре-
тирован Друде на основе его теории, которая может быть легко
применена к вычислению теплопроводности, если считать, что
в металлическом теле тепловая энергия, так же как электрический
заряд, переносится свободными электронами. Следуя схеме кине-
тической теории газов, мы можем определить теплопроводность
металла формулой
* = Dnc9 = -Ь Ivnc^	(176)
352
Глава 6. Применение квантовой статистики
где се — удельная теплоемкость, отнесенная к одному электрону,
a D=z^lv — коэфициент диффузии. Следует отметить, что
о
согласно теории Друде, т. е. классической статистической меха-
3 и п
нике, теплоемкость с должна равняться Составляя отно-
шение — и отождествляя отношение ________- с v- (что, конечно,
а	<у —1
не вполне точно), мы получаем согласно этой теории
X	/ k
— =3 - Т.	(176а)
О	| 8 /
Эта формула была получена Друде и находится в прекрасном
согласии с экспериментальными фактами. Если при вычислении
v и воспользоваться максвеллевским законом распределе-
m
ния скоростей, то, полагая для краткости = а, мы получаем
^/v 1
f е *** v3dv
о 1
fe-^v^dv
О
откуда
и, следовательно,
(176b)
Эта формула была получена Лоренцом (более сложным методом)
Поскольку дело касается численного коэфициента, она находится
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 353
в худшем согласии с опытными данными, чем формула Друде
(176а).
Замечательно, что замена классической статистики статисти ой
Паули и Ферми не изменяет сколько-нибудь существенным образом
результат Друде (который по существу, конечно, неправилен
с точки зрениА своего теоретического основания). А именно,
мы имеем в этом случае согласно (143а)
_у№Т_ № Т
и далео
уг,3</г>
“ —°	_ 1	.
г,-1 “	“ 2	’
У* vdr
о
откуда следует
т- <176с>
Эга формула была получена Зоммерфельдом в 1927 г. Любо
пытно, что температура Т в случае квантовой статистики вхо-
дит в отношение обеих проводимостей не через кинетическую
энергию электрона, kik в теории-Друде — Лорентца, но через
теплоемкость се.
Зоммерфельдова теория электрической и тепловой проводи-
мости металла является неполной постольку, поскольку она не
пытается определить среднюю длину свободного пробега I элек-
тронов. Пока эта величина остается неопределенной, мы не мо-
жем ничего сказать относительно абсолютного значения электро-
проводности и ее зависимости от температуры (все остальные
величины, входящие в выражение (175) для о, практически не
зависят от температуры). Рациональное определение средней
длины свободного пробега / может быть выполнено элементар-
ным образом с помощью волновой механики на основании сле-
дующих соображений.
Представим себе пучок катодных лучей, распространяющихся
в направлении оси Х-ов в каком-нибудь металлическом теле. Если
354
Глава б. Применение квантовой статистики
мы хотим говорить о средней длине свободного пробега, Moi
должны рассматривать эти лучи с корпускулярной точки зрения,
т. е. как поток электронов, имеющих некоторую вероятность
dx
— отклониться от первоначального направления движения на
растоянии dx их пути. Если, следовательно, через единицу пло-
щади на некотором расстоянии х проходит / электронов, то
число электронов, которые испытают столкновение между х и
dx
x-\-dx, будет равно /—, причем это выражение можно при-
равнять уменьшению числа электронов, проходящих без откло-
нения расстояние х или больше:. Мы получаем таким образом
уравнение

или

(177)
Это — хорошо известная формула Кла^ зиуса, первоначально вы-
веденная для столкновения молекул, движущихся в газе. Множи-
тель е~х!1 можно интерпретировать как вероятность того, что
электрон пройдет без отклонения расстояние, равное или боль-
шее х.
Совершенно сходная формула описывает уменьшение интен-
сивности пучка световых лучей, распространяющихся через
тело, которое их поглощает или рассеивает. Она может также
применяйся к распространению катодных лучей, рассматривае-
мых с точки зрения волновой теории, причем интенсивность
волн, измеряемая величиной умноженная на скорость, пред-
ставляет собою волновой эквивалент вероятного числа электро-,
нов, проходящих через единицу площади в единицу времени.
Как было показано выше, отклонение электрона, т. е. изменение
его импульса может иметь значение для создания электрического
сопротивления лишь в том случае, если оно связано с изменением
(в среднем уменьшением) кинетической энергии. Волномеханиче-
ский эк ивалент этого ком^шнрззяип^а процесса (Котор а
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 355
может точно так же иметь место’ и в случае света) представляет
собою рассеяние волн, т. е. неправильное изменение их волно-
вого вектора, сопровождаемое изменением (в среднем уменьше-
нием) частоты. 1 Оставляя в стороне изменение частоты, мы
можем измерять степень рассеяния некоторым коэфициентом
затухания или рассеивания ц, который определяет изменение
интенсивности / как функцию расстояния х, пройденного лучами,
по формуле
/ = /ое-м.	(177а)
Сравнивая это уравнение с (177), получаем соотношение
/ = р“1,	(177b)
которое показывает, что длина свободного пробна электронов
может быть определена в терминах волновой теории как обрат-
ное значение коэфициента затухания (рассеяния) соответствую-
щих волн'.
Этот коэфициент рассеяния может быть вычислен для элек-
тронных волн таким же образом, как и для волн световых. Рас-
сеяние света при распространении его в прозрачных телах за-
висит, как известно, от присутствия очень мелких неоднорот*
ностей, линейные размеры которых того же порядка величины,
как и длина световых волн. Эти неоднородности могут быть
приписаны либо неправильно расположенным посторонним ча-
стицам'(как, например, частицы пыли в воздухе), либо же недо-
статочной правильности в распределении частиц самой среды.
В последнем случае недостаток правильности связан с непра-
вильным изменением или флуктуацией концентрации атомов
как во времени, так и в пространстве. Так как показатель прело-
мления световых лучей увеличивается с плотностью, то измене-
ние последней от одной точки к другой обусловливает естествен-
ную неоднородность тела, которую можно рассматривать как
непосредственную причину светорассеяния.
1 В случае света это .комбинационное рассеяние* называется
обычно эффектом Рамана, в отличие от обыкновенного .Тиндалевского*
или йРэлеевского" рассеяния.
356
Глава 6. Применение квантовой статистики
В случае катодных волн большой длины, т. е. большой
в сравнении с расстоянием между соседними атомами рас-
сматриваемого тела, это рассеяние должно быть совершенно
сходным с эффектом Тиндаля для обыкновенных световых волн
в прозрачных телах. Вследствие неправильных колебаний плот-
ности, зависящих от теплово.о движения, эти тела приобретают
неоднородность или „мутность", выражающуюся в появлении
диффузно-рассеянного света, с одной стороны, и кажущегося
поглощения первичных световых лучей, согласно уравнению (177а),
с другой.
Это уравнение может быть также применено к рассеянию
рентгеновых лучей, длина волны которых того же порядка ве-
личины или еще меньше, нежели междуатомные расстояния.
В этом случае, однако, рассеяние может быть припасено атом-
ной структуре тела, которая сама будет проявляться как неодно-
родность, поскольку атомы не расположены с идеальной пра-
вильностью.
Как мы видели выше, наиболее быстрым электронам в метал-
лическом теле при абсолютном нуле температуры соответсгует
длина волны того же порядка величины, как и междуатомные
расстояния к = 5-10*~8 см (в случае натрия она, примерно,
вдвое больше расстояния между соседними атомами). Соответ-
ственно этому, подобные катодные волны в отношении своего
рассеяния должны быть уподоблены скорее мягким рентгеновым
лучам, нежели лучам обыкновенного света. Для простоты, однако,
мы будем рассматривать рассеяние электронных волн в металле’
как аналогичное обыкновенному тиндалевскому эффекту, не при-
нимая в расчет несколько необычные условия, в которых нахо-
дятся наиболее короткие катодные волны. 1
Обозначим через относительную интенсивность световых
волн или катодных лучей, рассеиваемых во всех направлениях
отдельным атомом под влиянием первичных волн, амплитуду
которых мы примем равной единице. Обозначим, далее, через Na
число атомов в данном объеме V, малом по сравнению с длиной
волны. Поскольку при этом условии вторичные волны, рассеян-
ные всеми атомами, находятся в прчблиаитедщш Одинаковой
§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 357
фазе, их амплитуды должны арифметически складываться, при-
чем результирующая амплитуда оказывается пропорциональной
числу атомов Na и, следовательно, полная интенсивность рас-
сеянного света равной ^rNa2.
Здесь, однако, нас интересует лишь та часть этой интен-
сивности, которая соответствует неправильным колебаниям
числа Na (во времени и пространстве, т. е. от одного элемен-
тарного объема V к другому), относительно его среднего зна-
чения Na. Эти неправильные колебания проявляются в форме
неправильно рассеянных волн, тогда как остальная часть, cooi
ветствующая среднему значению Na, образует правильно рас-
пространяющиеся и, в частности, плоские волны. Таким обра-
зом неправильно рассеянная часть интенсивности определяется
формулой (Na — Na}2- Обозначив концентрацию атомов в эле-
N
менте объема I/, т. е. отношение —а, через па, а среднее ее зна-
чение через nai мы получаем таким образом для полной интен-
сивности лучей диффузно-рассеянных в элементе объема V вы-
ражение
н (”а - па)а V2
Умножая это выражение на число подобных элементов в еди-
нице объема, т. е. на мы получаем коэфициент рассеяния,
фигурирующий в уравнении (177а):
1* = Н(Д^У. V.	(178)
Следует отметить, что в случае очень коротких катодных
волн или рентгеновых лучей, длина волны которых того же по-
рядка величины (или еще меньше), нежели междуатомные расстоя-
ния, мы получим в.место (178) следующую простую формулу:
=	(178а)
которая соответствует полной некогерентности вторичных волн,
рассеиваемых отдельными атомами, и которая, строго говоря,
применима лишь в случае отсутствия абсолютной правильности в
358
Глава 6. Применение квантовой статистики
строении атомной решетки. (Для рентгеновых лучей, так же как и
для обыкновенного света, рассеяние исчезает при температуре абсо-
лютного нуля.) В случае обычного света или катодных волн
сравнительно большой длины, уменьшение коэфициента ji с по-
нижением температуры непосредственно вытекает из уравне-
ния (178), так как флуктуации концентрации, поскольку они
зависят от теплового движения, исчезают при очень низкой
температуре. Интересно отметить, что оба уравнения (178) и
(178а) дают один и тот же результат в применении к газам.
В самом деле, так как в этом случае атомы не зависят друг от
друга, мы можем вычислить среднее значение квадратичной
флуктуации (ДПа)2 с помощью формулы (137b) § 28. Это дает
(№a)9 = Na
ИЛИ
(ДЛ^)2 У=ЙД
так что уравнение (178) сводится к (178а).
В случае пучка сравнительно медленных катодных лучей,
проходящих через газообразное тело, средняя длина свободного
пути может быть определена с помощью хорошо известной
формулы
1=-^,
па2па
где а обозначает обычный „радиус" атома, который можно
рассматривать как постоянную порядка 10“8 см. Заменяя а2
на мы получаем таким образом
/==—L-.
Коэфициент может быть определен соответственно этому
как э ф ф е к т и в н о е сечение изолированного атома
в случае столкновения со сравнительно медленным электроном.
Выражение (178) для р может быть переписано в виде

§ 34. Электропроводность и теплопроводность металлов 359
соответствующем эффективному атомному радиусу, определяемому
формулой
а12 = я2(ДЙа)2—.	(179)
па
Таким образом мы можем в случае жидкого или твердого
металла пользоваться той же картиной процесса столкновения,
как и в случае металлического пара, если эффективное сечение
изолированного атома заменив кажущимся сечением, которое,
вообще говоря, гораздо меньше и зависит от температуры.
Его зависимость от температуры может быть определена сле-
дующим образом. Рассмотрим не определенный элемент объема
тела, но определенную совокупность Na атомов его, которые
в состоянии равновесия занимают объем I/. Флуктуации плот-
ности можно при этом заменить флуктуациями величины этого
объема. Эти флуктуации V— V сопровождаются изменением
1	(у_у)2
'энергии на величину — К -—где К представляет собой
модуль сжимаемости тела. Вероятность того, что V изменится
спонта 1но, т. е. вследствие теплового движения, на величину ДУ,
,,	1 К(АУ)2
пропорциональна выражению е ьт, где U=——р—.
Мы получаем таким образом для среднего значения вели-
1ины (ДУ)2 выражение
Ю2 =
1 _ VkT
2а~ /< ’
В виду неизменности числа Na мы имеем равенство
ДУ
У
Па
и, следовательно,
(Див)2. V-n^.
(179а)
360
Глава 6, Применение квантовой статистики
Сравнивая это с (179) мы получаем
Я12  nakT
(179b)
В случае натрия при комнатной температуре это дает
т. в. кажущийся радиус атома оказывается в десять рав меньше,
нежели эффективный радиус его.
Следует отм тить, что этот к жущийся радиус можно ото-
жествить со средней величиной амплитуды тепловых ко-
лебаний атомов около их положений равновесия В самом
деле, согласно определению модуля сжимается К [сравнить
Kct 2
формулу (147а)] выражение представляет собою прибли-
женно потенциальную энергию атома, смещенного из своего
положения равновесия на расстояние av Приравнивая эту энер-
гию величине kT, т. е. среднему значению потенциальной энер-
гии при температуре Т, мы получаем соотношение (179b).
Подставляя (179а) в (178) и заменяя коэфициент р его
обратным значением, мы получаем следующее выражение для
средней длины свободного пробега электрона в металлическом
теле:
ь-4 _
При этом значение электропроводности, опре-
деляемое уравнением (175а), о к а з ы в а е т с я обратно
пропорциональным абсолютной температуре —
результат, которой находится в полном согласии с опытными
данными в случае обычных и более высоких температур (ниже
точки плавления). При температуре Т = 300 величина Z численно
равна 10—5 см. Как указано было выше, это приводит к зна-
чениям электропроводности правильного порядка величины.
Приведенная теория, далее, подтверждается следующими двумя
хорошо известными экспериментальными фактами, а именно.
(180)
§ 34. Электроповодность И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ 361
аномально-высоким электрическим сопротивлением металлов ,
содержащих небольшое количество примесей какого-либо рода
и увеличением сопротивления при переходе из твердого (кри-
сталлического) состояния в жидкое.
Согласно волномеханическим представлениям, примеси должны
сообщать металлу свойства неоднородной среды по отношению
к распространению электронных волн даже при температуре
абсолютного нуля, и такшм образом увеличивать коэфициент
рассеяния этих волн р на величину Др. Последняя пропорцио
нальна концентрации примесей и практически не зависит ни от
их химической природы, ни от температуры. В частности, эти
примеси могут представлять собою атомы еще лучше проводя-
щего металла. Именно это и наблюдается на опыте (правило
Матиссена). Следует отметить, что относительная роль примесей
возрастает с понижением температуры, по мере того как исче-
зает спонтанная неоднородность тела, зависящая от теплового
движения.
Что касается увеличения электрического сопротивления
в точке плавления (примерно в два раза), то оно представляется
совершенно очевидным следствием исчезновения той правиль-
ности структуры, которая характеризует кристаллическое тело.
Следует, однако, иметь ввиду, что этот недостаток не повлиял бы
на рассеяние электронных волн, если бы длина их была доста-
точно велика по сравнению с междуатомными расстояниями
(как это имеет место в случае обыкновенного света). В этом
случае увеличение коэфициента рассеяния р должно было бы
целиком зависеть от уменьшения модуля сжимаемости К. Это
заключение не согласуется количественно с экспериментальными
фактами. Таким образом увеличение сопротивления в точке пла-
вления, повидимому, указывает на то, что в действительности
мы имеем дело с электронными волнами, длина которых по по-
рядку величины приближается к междуатомным расстояниям.
Рассеяние подобных коротких волн должно было бы проис-
ходить приблизительно таким же образом, как и рассеяние
мягких рентгеновых лучей, причем соответствующая часть пол-
ного коэфициента рассеяния р должна зависеть от темпера-
362
Глава 6. Применение квантовой статистики
туры в гораздо меньшей степени, чем та часть, которая соответ
ствует электронным волнам большей длины.
§35. „Коллективистическое* рассмотрение движения
электронов в металле.
В предыдущих соображениях мы оставили без внимания то
обстоятельство (указанное Бриллуэном), что рассеяние электрон-
ных волн, как длинных так и коротких, должно согласовываться
с статистическим принципом Паули. Таким образом все те про-
цессы рассеяния, которые приводили бы к нарушению этою
принципа, должны быть исключены. На первый взгляд может
показаться, что это ограничение должно привести к резкому
уменьшению величины коэфициента рассеяния р., вычисленной
выше, и таким образом совершенно разрушить количественное
согласие между нашей теорией и опытом. — Как было, однако,
указано в § 20, в случае системы электронов, подверженных
действию произвольных внешних сил (включая.и самосогласо-
ванное поле учитывающее — хотя и неполно, взаимодействие
электронов друг с другом), соблюдение принципа Паули обеспе-
чивается, так сказать, автоматически даже в классической меха-
нике, в" силу теоремы Лиувилля. Это обстоятельство будет нам
понятнее, если вместо того, чтобы следить за движением отдель-
ных электронов, мы рассмотрим соответствующее изменение в
распределении всех электронов в данном металлическом теле по
различным состояниям движения. Переход одного из электронов,
вследствие „столкновения44, в состояние, которое ранее было
занято каким-нибудь другим электроном, должен происходить
одновременно с переходом этого второго электрона в некоторое
новое состояние. Мы встречаемся здесь с затруднением того
же рода, как и при рассмотрении перехода электронов от одного
атома к другому (причем стационарные состояния электрона в
кристаллической решетке заменяют стационарные состояния их
в отдельных атомах). Трудность эта является, однако, лишь
кажущейся, так как все электроны движутся на самом деле со-
вместно, а вовсе не совершая переходы один за другим, так чт*о
их взаимное приспособление является просто - на просто след-
§ 35. „Коллективистическое" рассмотрение движения 363
ствием общих законов движения (в связи с наличием его в не-
который начальный момент времени).	♦
Это взаимное приспособление обусловливает частичную ком*
пенсацию индивидуальных переходов, поскольку дело касается
результирующего распределения электронов между различными
индивидуальными состояниями движения. Если свободные элек-
троны в металле трактовать „коллективно", а не „индивидуально44
(как это делалось выше), то все те стояк ювения, которые
взаимно компенсируются, могут быть оставлены без внимания,
так что результат будет определяться лишь некомпенсирован-
ными, односторонне направленными процессами. Процессы этого
рода могут иметь место лишь в том случае, если равновесное
распределение электронов в кристаллической решетке металла
нарушено действием внешнего электрического поля и тепловым
движением атомов. Далее ясно, что изменение статистического
распределения должно ограничиваться практически лишь погра-
ничной частью распределения Ферми, т. е. пиши верхними
этажами нижней части „фазового небоскреба" (занимаемой элек-
тронами в нормальном состоянии), т. ё. теми этажами, где
электроны могут переходить в индивидуальном порядке без ком-
пенсирующих переходов в пустые фазовые клетки.
С „коллективистической" точки зрения действие электриче-
ского поля на свободные электроны в металле можно описывать
не как изменение движения отдельных электронов по сравнению
с тем движением, которое они совершают в отсутствии этого
поля, но как изменение в их распределении между
различными невозмущенными состояниями дви-
жения, т. е. изменение числа элекгронов, связанных с этими
состояниями. Мы получаем в результате „возмущенное" стати-
стическое распределение, которое можно охарактеризовать сле-
дующим образом.
При отсутствии поля электроны распределены парами так,
что электроны каждой пары движутся с одинаковой энергией
в противоположные стороны, не давая результирую-
щего тока. (Эта „двойственность", разумеется, совершенно не-
зависима от двойственности, связанной с противоположными
364
Глава 6. Применение квантовой статистики
ориентациями электронных осей.) Электрическое ноле стремится
увеличить число электронов, движущихся в положительном на-
правлении, за счет числа электронов, движущихся в отрица-
тельном направлении, примерно так же, как магнитное поле
стремится вызвать перераспределение электронных осей по па-
раллельной и а^типараллельной ориентациям (§ 30). Подобно
магнитному полю, внешнее электрическое поле фактически за-
трагивает лишь электроны, находящиеся в состояниях с наи-
большей энергией (т. е. в верхних—еще занятых—-этажах ста-
тистического небоскреба), разлучая пары электронов, двигавшихся
с одинаковой энергией в противоположные стороны, и заставляя
тою из двух партнеров, который первоначально двигался в с>
рлцательном направлении, переселиться в ранее пустовавшую
клетку с большей энергией и двигаться в положительном
направлении.
Единственная разница между действием магнитного поля на
ориентацию осей электронов и действием электрического поля
на направление их поступательного движения заключается в том,
что при замкнутости электрических силовых линий (г. е. некон-
сервативном движении), дей.твие электрического тока должно
было бы неограниченно возрастать с течением времени,— если
бы только оно не компенсировалось действиехМ теплового дви-
жения атомов, стремящегося восстановить первоначальное равно-
весное распределение. В результате получается электрический
ток, возрастающий с увеличением силы поля и с понижением
температуры.
Если электроны более или менее прочно связаны с индиви-
дуальными атомами (наир., в случае диэлектриков), то стацио-
нарные состояния их движения в кристаллической решетке
должны образовывать, как мы уже знаем, узкие полосы, отделен-
ные друг от друга широкими промежутками соответствующими
селективному отражению. При таких условиях электропровод-
ность остается очень малой, как бы велико ни было число соот-
ветствующих электронов, вследствие малости вероятности пере-
хода от одного атома к другому через разделяющий их высокий
потенциальный барьер. Интересно отметить, что электропро-
35. „Коллективистическое" рассмотрение движения 365
водность, обусловленная электронами какой-нибудь определенной
полосы с увеличением числа этих электронов, сначала возрастает,
достигая максимума, когда это число равно половине числа со-
стояний в полосе (т. е. числу атомов). При дальнейшем возра-
стании числа электронов в полосе, проводимость тела умень-
шается, обращаясь в нуль, когда полоса совершенно заполнена
(т. е. когда число электронов становится равным удвоенному
числу атомов). В самом деле, в этом случае электроны уже не
смогут переходить в состояния, лежащие в более высокой полосе
этажей статистического небоскреба — по крайней мере под дей-
ствием умеренных электрических полей—так как эти состояния
отделены от состояний исходной полосы широкой запретной
областью (селективного отражения).
Этим объясняется то обсюятельство, что внутренние элек-
троны атомов, будучи, в принципе, так же как и внешние, спо-
собными переходить от одного атома к следующему (хотя и
с весьма малой вероятностью), не играют никакой роли в про-
ведении электричества через металлы: они в этом отношении
как бы мешают друг другу, заполняя все те кристаллические
состояния, которые соответствуют одному атомному состоянию.
Аналогичным образом объясняется способность многих неметал-
лических тел приобретать электронную проводимость под дей-
ствием света (внутренний фотоэлектрический эффект) тепла
(полупроводники) или же очень сильного электрического поля
(пробой диэлектриков). Во всех этих случаях некоторые элек-
троны перебрасываются из состояний, принадлежащих к узкой
полосе, которая при обычных условиях совершенно заполнена,
в состояния, принадлежащие к вышележащей полосе, являющейся
при обычных условиях совершенно вакантной и соответствующей
к тому же большей подвижности отдельных электронов.
Мы не будем останавливаться здесь на количественной раз-
работке „коллективистической" теории движения электронов
в твердом теле. Эта довольно сложная теория, развитая в по-
следние годы Ф. Блохом и Р. Пайерлсом, будет рассмотрена
позже (в Ш части). Существенной чертой этой теории является
пряпилтяй учет	движения «томов в тв₽р-тм теле,
366
Глава 6. Применение квантовой статистики
и взаимодействия этого движения с движением электронов с
точки зрения обмена энергией и импульсом между электронами
и упругими или „звуковыми" волнами, описывающими тепловое
движение твердых тел согласно теории Дебая.
Здесь мы ограничимся весьма простой и наглядной интер-
претацией соответствующих результатов, пользуясь попрежнему
„индивидуалистическим44 описанием движения, в связи с фиктивной,
но часто весьма удобной концепцией фононов, т. е. квантов
звука или тепла, соответствующих упругим (или акустическим)
волнам Дебая.
§ 36. Теория „фононового газа“ (тепловое движение в
твердых телах) и его взаимодействия с электронным газом.
Спектр звуковых волн, представляющих тепловое движение
в твердом теле, поскольку они характеризуются волновым век-
тором к, совершенно тождественен со спектрохм электронных
волн, описывающих движение свободных электронов в том же
самом теле при температуре абсолютного нуля, если считать,
что число этих электронов в два раза больше, нежели число
атомов. Каждая из электронных волн соответствует при этом
трем звуковым волнам с тем же самым волновым вектором,
причем одна из них является продольной волной, а две другие—
поперечными волнами, перпендикулярными к направлению рас-
пространения колебаний.
Это совпадение непосредственно вытекает из того обстоя-
тельства, что оба типа волн, электронные и звуковые, рассматри-
ваемые как стоячие волны, характеризуются практически тоже-
ственными пограничными условиями (поверхность тела является
при этом узловой поверхностью). Далее, в обоих случаях число
различных волн одного и того же сорта (так называемые нор-
мальные колебания) равно числу атомов W (в случае электрон-
ных волн это вытекает из принципа Паули, а в случае звуко-
вых волн — из того обстоятельства, что число нормальных типов
колебаний должно равняться числу степеней свободы 3 N всех
атомов тела). Наконец, в обоих случаях спектр ограничивается
мшь наиболее длиниымп волнами.
§ 36. Теория „фононового газа
367
Таким образом этот спектр должен простираться от практи-
чески исчезающего значения волнового числа и вплоть до одного
и того же максимапьного значения kQy определяемого формулой
— (181)
о	"
Заменяя здесь k на-у-, мы получаем соотношение (142а) § 30.
Сходным образом для числа dN волн (нормальных колебаний),
волновое число которых лежит в данных пределах, мы получаем
выражение:
dN = V-te&dk.	(181а)
В дебаевской теории каждая стоячая звуковая волна трак*
туется как гармонический осциллятор с определенной частотой
^lz=cik для прэдольных волн и vt—Cfk для обеих поперечных
волн, причем ci и Ct представляют собою соответствующие ско-
рости распространения волн. Движение каждого осциллятора
далее, квантуется в том смысле, что энергия его считается рав-
ной целому кратному соответствующего кванта hv (по новой
квантовой теории эти целые числа должны быть заменены полу-
целыми). Число квантов энергии, связанных с каждой волной
(каждым типом колебаний), определяется произвольно, тогда
как вероятность того, что при данной температуре Т гармони-
ческий осциллятор с частотой у имеет энергию nhv, определяется,
согласно классической статистике, фор
_ nh''
Ра~ const -е kT
Среднее значение этой энергии равно
оо
U7 = Лу пе ~ ап :
п ~ о
h'i
где а — -Гт., т. е.
я/
Больцмана
(182)
таким образом
V 1 р —- aw
е
м = 0
f 182а)
368 Глава 6. Применение квантов ой статистики
Формула (182а) была выведена, собственно говоря, не Дебаем
а Планком, в его известной теории теплового излучения, для
материального гармонического осциллятора, погруженного в это
излучение. Дебай применил впоследствии эту формулу к осцил-
ляторам, при помощи которых можно описать само излучение
и таким образом получил полную аналогию между теорией
лучистой теплоты и теорией механической теп-
лоты, образованной тепловым движением агомов в твердом
теле. Эта аналогия ограничивается лишь тем обстоятельством,
что в последнем случае спектр волн не простирается до беско-
нечности (в направлении возрастающих волновых чисел), но
обрывается на границе, определяемой уравнением (181).
Так же как в случае света и электронов, можно сопоста-
вить звуковые волны с некоторого рода частицами, которые
мы будем называть фононами, и заменить изучение тепловых
колебаний, образующих эти волны, изучением движения соот-
ветствующих фононов. 1 Так как движение фононов с опреде-
ленным импульсом g соответствует плоской гармонической волне,
распространяющейся в данном направлении, то мы должны заме-
нить стоячие звуковые волны бегущими волнами, путем супер-
позиции которых могут быть образованы стоячие волны (ср. § 12).
Представление импульса или количества движения фонона
в виде произведения его „ массы “ на скорость не имеет физиче-
ского смысла, так как один из обоих множителей является дна
самом деле совершенно произвольным. В частности, скорость
фонона можно отожествить со скоростью соответствующих волн.
В этом случае его масса должна была бы быть пропорциональна
волновому числу или частоте колебаний, так же как это имеет
место в случае фотонов.
Другой чертой сходства между последними и фононами
является то обстоятельство, что в обоих случаях число
1 Этим отнюдь не имеется в виду создать впечатление, что подоб-
ные фононы на самом деле сущ ствуют. Наоборот, возможность их
введения скорее служит для дискредитирования весьма еще распро-
страненного представления о реальном существовании фотонов, т. е.
члснщ светя.
§ 36. Теория фоновою газа
369
частиц не является постоянным, в отличие от тог?,
что имеет место в случае электронов. Таким образом фононы
могут создаваться и уничтожаться в различных процессах, ана-
логичных испусканию и поглощению света.
Поскольку тепловое движение атомов, описываемое суперпо-
зицией дебаевских звуковых волн, заменяется своего рода
идеальным газом, образованным фононами, рассеяние элек-
тронов (которые образуют другого рода идеальный газ)
должно описываться как результат их взаимо-
действия с фононами. Это взаимодействие можно пред-
С1авить себе: 1) как процесс столкновения, связанный
с одновременным изменением импульса и энергии обеих участ-
вующих в нем частиц (электрона и фонона), или же, 2) как
процесс, в котором фонон испускается или по-
глощается электроном. В обоих случаях полное коли-
чество движения и полная энергий остаются неизменными, т. е.
'Мы должны иметь уравнения
g’+^k'==gu Д-Лк'', е* -f-	= е" 4	(183)
в случае обычных столкновений и
g” — g'== z±Jzk, е"—(183а)
в случае испускания (верхний знак) или поглощения (нижний
знак). Здесь g и е означают количество движения и энергию
электронов, тогда как величины Лк и /zv имеют аналогичный
смысл для фононов. Буквы с одним штрихом относятся к началь-
ному состоянию, а с двумя штрихами — к конечному.
Следует отметить, что процессы столкновения, описываемые
уравнением (183), представляют собою точную аналогию столкно-
вений между электронами и фотонами, образующих с корпуску-
лярной точки зрения сущность эффекта Комптона. Процессы
испускания и поглощения типа (183а) являются, однако, невоз-
можными в случае фотонов, поскольку мы имеем дело со сво-
бодными электронами (условие их возможности заключается
в том, чтобы скорости электронов v были бы больше, нежели
скорость звуковых волн с).
370
Глава 6. Применение квантовой статистики
Волномсханический анализ рассеяния электронных волн зву-
ковыми волнами показывает, чго это рассеяние, главным обра-
зом, зависит от процессов испускания и поглощения типа (183а),
а не от процессов столкновения типа (183). Анало1ичный
результат получается в случае рассеяния света в твердых телах,
причем в этом случае роль электронов играют фотоны. Уравне-
ние (183а) характеризует при этом „комбинированное" рассеяние
света или так называемый эффект Рамана, зависящий от тепло-
вых колебаний атомов.
Рассмотрим сначала процессы столкновения. Их можно оха-
рактеризовать, вводя определенный эффективный радиус или
сечение — ка2 для столкновения между электроном и фононом.
Считая эту величину не зависящей от энергии обеих частиц,
мы можем определить ту часть коэфициента рассеяния электронов,
которая обусловливается этими столкновениями, в зависимости
от числа фононов в единице объема пр> обычной формулой
1* = Н1лр-	(>84)
Если бы можно было пренебречь процессами испускания и погло-
щения фононов, то обратное значение величины |л давало бы
среднюю величину пробега электронов.
Число фононов, соответствующих звуковым волнам опреде-
ленного типа с частотой, заключенной в определенном интер-
вале, равно произведению (181а) на (18?а), деленному на Л?.
Оставляя для прости .и в стороне поперечные волны (которые
по всей вероятности менее эффективны, нежели продольные,
в отношении процессов рассеяния), мы получаем таким образом
пр ~ I
1 J
Для температур, достаточно высоких по сравнению с „характеристи-
ку
ческой “ температурой То=—можно положить
К
(184а)
/lv
. kf
ht
АТ’
§ 36. Теория фононового газа
371
что дает
(184b)
„	2тг у?,
лр= —kT
у	с' h
или, согласно (181),
3 Т
Пр~~2Пат;-
Подставляя это выражение в (184), мы получаем ту же
самую зависимость коэфициента ра^езяния от температуры, кото-
рая была уже выведена нами в предыдущем параграфе для слу-
чая высоких температур. Для противоположного случая очень
низких температур мы имеем приближенно

4гс/А7"
(184с)
^~Ti-
о
Сходные результаты получаются, если исходить из предста-
вления о процессе испускания и поглощения фононов. Для того
чтобы убедиться в этом, мы должны принять во внимание то
обстоятельство, что при статистическом равновесии число актов
поглощения должно равняться числу актов испускания противо-
положного характера. Так как вероятность поглощения фононов,
очевидно, пропорциональна концентрации фононов, то же самое
должно быть справедливо и в о iношении вероятности их испуска-
ния, так что вероятность обоих процессов^ отнесенных к еди-
нице пути элекфона, должна быть пропорциональна концентра-
ции фононов так же, как и в случае обыкновенных столкновений
Если вместо того, чтобы следить за отдельными электронами
мы будем рассматривать их распределение в пространстве скоро-
стей или импульсов, то действие ускоряющего поля можно све-
сти к непрерывному увеличению числа электронов, движущихся
в направлении приложенной силы (с кинетической энергией не-
сколько большей, нежели IFO) за счет электронов, которые пер-
воначально двигались в противоположном направлении с не-
сколько меньшей энергией. Процессы рассеяния будут задержи-
вать это смещение, стараясь восстановить равновесное распреде-
ление. Борьба между обеими тенденциями разрешается компро-
372
Глава 6. Применение квантовой статистики
миссом, который заключается в образовании электрического
тока, пропорционального приложенному электрическому полю
и обратно пропорциональному концентрации фононов. Однако
помимо этой концентрации мы должны принять во внимание
еще эффективность процессов рассеяния в смысле восстановле-
ния равновесного распределения — обстоятельство, которое до
сих пор оставлялось нами в стороне. Мы видим таким образом,
что коэфициент рассеяния рь или длина свободного пробега /
не могут полностью определять электрическое сопротивление,
но что для правильного определения последнего необходимо ум-
ножить на некоторый коэфициент, характеризующий эффек-
тивность процессов рассеяния в смысле изъятия у электрона
излишка количества движения и энергии, приобретенных им
благодаря действию электрического поля. Согласно уравнениям
(183) и (183а) количество движения, сообщаемого электроном
,	Av
фонону, имеет порядок величины —. Усредняя это выражение
с
по всем направлениям вектора к, мы получаем для среднего зна-
чения импульса, сообщаемого электроном в направлении резуль-
тирующего электрического тока, величину, пропорциональную v2,
Цля достаточно высоких температур (Т> То) эта величина, ко-
торую можно рассматривать как меру эффективности процессов
рассеяния, не зависит от температуры и практически совпадает с
свадратом максимальной частоты v
__АТ0
h ’
В противоположном
случае она приблизительно равна квадрату той частоты, для ко-
х	у2
горой функция —---------(число фононов в единице спектраль-
е~пт — 1
ного интервала) достигает максимального значения. Легко ви-
деть, что эта частота прямо пропорциональна температуре так
же, как и в случае света. Мы получаем, таким образом, при
низких температурах коэфициент „полезного действия", пропор-
циональный Т\ Так как коэфициент рассеяния в этом случае
сам пропорционален Т3, то мы видим, что при низких темпера-
турах электрическое сопротивление металла должно быть про-
порционально пятой степени абсолютной температуры. Этот ре-
§ 36. Теория фононового газа
373
зультат был получен Блохом и Пайерлсом. Он, повидимому, под-
тверждается экспериментальными данными. Для промежуточных
температур электрическое сопротивление металла может быть
выражено эмпирической формулой, открытой Грюнейзеном,
р = сГ,
где с — теплоемкость металла при данной температуре. Согласно
предыдущей теории, мы должны были бы ожидать несколько
иной зависимости, хотя и того же самого характера. В самом
деле, коэфициент рассеяния |л, а следовательно и удельное сопро-
тивление металла должны быть пропорциональны, согласно этой
теории, выражению (184а), умноженному на коэфициент „полез-
( Т\2
ного действия44 I — ) , тогда как теплоемкость с равна произ-
водной по температуре от энергии всех фононов
ч	Ч
4it Г Wdv . 8« Г h&dv
------------------,	(185)
”4 J ЪТ 1 ^Ct e/ kT 1
o e — l о e — I
если принимать во .внимание фононы, соответствующие как про-
дольным, так и поперечным волнам.
В виду грубого характера теории, мы вряд ли, однако,
могли бы ожидать точного количественного согласия ее резуль-
татов с экспериментальными данными.
§ 37. Теория фотонного газа (теплового излучения)
Мы применим теперь общую теорию к другому частному
случаю, имеющему особенно важное значение, а именно к слу-
чаю фотонного газа или, другими словами, к тепловому
излучению, заключенному в ящике с идеально отражающими стен-
ками и находящемуся в состоянии статистического равновесия.
Согласно равенствам (139) и (139а), число dN фотонов
обоих типов поляризации, импульсы которых лежат в проме-
жутке между g и g-\-dgt определяется формулой
dN-*?Y,	(186)
374
Глава 6. Применение квантовой статистики
где уЛ70 обозначает —X. Выше было показано, что при доста-
точно низких температурах величина IF0 (в случае статистики
Бозе — Эйнштейна) может быть отожествлена с наименьшей
энергией, которую частицы могут иметь при данных условиях,
т. е. с энергией наипизшего квантового состояния. Если ящик,
содержащий излучение, достаточно велик, то эта энергия, со-
ответствующая наименьшей возможной частоте стоячих световых
волн, столь мала, что ею практически можно пренебречь. Полагая
IT = Av и
Лу
мы получаем таким образом
8kV у2<Уу
^==-73"^—
ekT— 1
(186а)
Произведение dN'hv представляет собою энергию излучения в
спек 1 ральном интервале б/v. Эта энергия, отнесенная к единице
спектрального интервала и к единице объема, называется спек*
тральной плотностью энергии. Обозначая ее через р,,
мы имеем
dN • hv == р¥бЛ
и, следовательно,
8~ /zv3
= ------------ <186b)
екТ— 1
Эта формула, открытая Планком в 1900 г., явилась, как из-
вестно, исходным пунктом развития квантовой теории. 1 Мы по-
кажем теперь, что в случае фотонного газа допущение 1Го = О,
на котором основываются предыдущие формулы, остается спра-
ведливым независимо от температуры.
1 На самом деле теория Планка возникая в результате его попытки
рационально интерпретировать формулу (186b), которая была найдена
им полуэмпирическим путем.
§ 37. Теория фотонного газа	375
Общий метод определения параметра или эквивалентного
ему параметра к заключается в решении уравнения
М —	Г gZdg
/гз / (А+н»'—Г
О
где N рассматривается как данная постоянная величина, не за-
висящая от температуры, т. е. от параметра у.. Это позволяет
определить X как известную функцию температуры из условия
постоянства числа 7V.
Поскольку мы имеем дело с системой материальных частиц,
описываемых симметрической или антисимметрической функ-
циями, число их не должно меняться с изменением температуры,
если мы рассматриваем одну и ту же систему. Когда же, однако,
мы рассматриваем излучение как систему фоюнов, то нам нет
надобности считать число их постоянным, и это число фактиче-
ски утрачивает всяксе значение. Эго происходит потому, что в
отличие от настоящих материальных частиц фотоны могут как
создаваться, так и уничтожаться путем испускания или погло-
щения их стенками ящика. Таким образом эти стенки не сле-
дует, строго говоря, считать идеально отражающими, если мы
хотим проследить изменение излучения с изменением темпера-
туры. Условие постоянства числа N фотонов при изменении
температуры таким образом отпадает и должно быть заменено
условием постоянства параметра X. Но мы видели, что при низ-
кой температуре этот параметр равен нулю. Оiсюда следует, что
он должен равняться нулю при всех температурах.
Тот же самый результат может быть позучен более непо-
средственно следующим образом. Параметр X был введен нами
в уравнение (139) и еще раньше в уравнение (133), потому
что статистическая сумма — не могла быть вы-
числена для системы, состоящей из определенного числа ча-
стиц, описываемых симметрической или антисимметрической функ-
циями, и должна была быть заменена суммой^	соот-
ветствующей сходному закону вероятности как для значения с
376
Глава 6 Применение квантовой статистики
энергии W, так и для числа частиц А/. В случае излучения число
частиц не имеет определенного значения, так что сумма
может быть вычислена непосредственно.Это, очевидно, эквивалентно
тому, чтобы в общих уравнениях, полученных из определения
суммы еположить к = 0.
Тот факт, что число частиц не имеет физического смысла,
если излучение рассматривать как систему фотонов, указывает
на поверхностный и ограниченный характер аналогии между из-
лучением и материей. Вместе с тем он показывает, что фотоны
гораздо более сходны с фононами или звуковыми квантами, ко-
торые были рассмотрены в предыдущем параграфе, нежели с
обыкновенными материальными частицами. Как уже указывалось
раньше, эта аналогия скорее подрывает распространенное мнение
о реальности фотонов, нежели подкрепляет его. Главное раз-
личие между фотонами и, очевидно, совершенно фиктивными
фононами заключается в том обстоятельстве, что оптический
спектр простирается до бесконечности, тогда как акустический
ограничивается некоторым максимальным волновым числом по-
рядка обратного расстояния между ближайшими атомами в со-
ответствующем твердом теле.
Следует отметить, что формула Планка (186b) может быть
получена совершенно таким же образом, как и формула (185)
для тепловой энергии твердого тела. Для этого достаточно от-
бросить первый член в формуле (185), соответствующий про-
дольным колебаниям, и заменить скорость поперечных звуковых
волн скоростью света с. Верхний предел voe интеграла должен
быть при этом, конечно, заменен бесконечностью для того,
чтобы получить полную энергию излучения.
Вывод закона распределения (186), приведенный в § 28, был
основан, на представлении о взаимодействии между отдельными
частицами газа. Поэтому, строго говоря, этот закон не может
быть применен к фотонному газу, так как фотоны не оказы-
вают никакого действия друг на друга, Однако, как показал
Боте, этот закон может быть получен путем рассмотрения с а-
гистическрго равновесия смеси излучения с каким-либо другим
§ 37. Теория фотонного газа	377
газом, например электронным газом, частицы которого могут
взаимодействовать с фотонами. Это взаимодействие или „столк-
новение" свободных электронов с фотонами обнаруживается в
виде рассеяния последних, образующего комптоновский эффект.
Рассмотрим группу Q, электронов в некоторой совокупно-
сти состояний /' и группу Q$ фотонов в некоторой совокупно-
сти состояний k'. Число переходов, обусловленных взаимодей-
ствием электронов и фотонов, из состояний f, k' в совокупность
состояний Г и F, можно определить выражением
f Р, k") Qi'Qk’ (gi"— Qi'f) (gk" 4“ Q$’ )•
Приравнивая это выражение числу обратных переходов и сокра-
щая коэфициешы /, мы получаем условие равновесия в виде
_ __________________________________$*"____
gir — Qir ge 4~ Qk' gi" — Qi" gk',JrQk"
Это равенство в связи с законом сохранения энергии
We + W =	4- W"
» приводит к законам распределения
-—= const ♦ е ~ ^wi, ——= const • е ^wk ,
gi~Qi	gk + Qk
второй из которых эквивалентен закону Планка (при учете не-
определенности в числе фотонов /V*).
В виду его важности и теоретического интереса мы при-
ведем еще один вывод закона Планка, данный Эйнштейном
в 1917 г. Он основан на рассмотрении взаимодействия между
фотонным га юм и атомом или большим числом сходных ато-
мов, причем это взаимо хействие заключается не в рассеянии
фотонов (как в случае электронного газа), но в их испускании
или поглощении отдельными атомами (или связанными электро-
нами). Поступательное движение атомов имеет при этом второ-
степенное значение, так как переходы, связанные с испусканием
или поглощением света, являются в существенных чертах пере-
ходами между различными внутренними стационарными cq-
378
Глава 6. Применение квантовой статистики
стояниями атома, остающегося приблизительно в состоянии
покоя.
Мы будем предполагать, что число атомов достаточно мало
для того, чтобы к ним можно было применять больцмановский
закон, независимо от того, какими функциями, симметрическими
или антисимметрическими, следовало бы описывать поведение
всей системы атомов. Обозначим через Nk (относительное или
абсолютное) число атомов в стационарном состоянии k и рас-
смотрим число переходов в единицу времени между состояниями
W и А", сопровождающихся поглощением или испусканием излу-
чения, которым атомы „омываются".
Если энергия состояния А" (1Г^) больше, нежели состояния
то переходы А'-*А", связанные с поглощением света,
будут зависеть исключительно от действия последнего, тогда
как обратные переходы А"->А', связанные с испусканием света,
будут частично обусловливаться или индуцироваться последним,
частью же происходить спонтанно.
Так как вероятности вынужденных переходов А'^А" должны
для
быть
быть пропорциональны спектральной плотности излучения
Wk—W#
резонансной частоты v =	=, то они могут
представлены в виде B^w?* и В#»#??- Вероятность самопроиз-
вольного перехода А"->А' является, с другой стороны, постоян-
ной А#'#, не зависящей от pv. Условие равновесия заключается
в равенстве между общим числом прямых и обратных перехо-
дов А ^ХА" и выражается уравнением
= Nktr (Bwwpv 4“ Aww) •	(187)
Но, как было показано в § 18, коэфициенты B^w и В&чн
должны быть равны (закон обратимости), так что, решая урав-
нение (187), по отношению к ръ мы получаем
Но согласно § 18
_ Aww I Bww
P'"-Nw/Nw~l ’
Aww 8гс/г<^,г
Bww с1
(187а)
(187b)
§ 37. Теория фотонного газа
379
Согласно же больцмановскому закону и
частоты

Nk> е е
6
воровскому условию
h'wk'
“Г7~ ~ ---йт--= в	= е 6
с е
Подставляя это выражение в (187а), получаем
„	_ 8- h^nk,
РЧ-'А' — сз h-w,
е 6 -1
т. е. формулу Планка.
Следует отметить, что закон Больцмана может быть выве-
.	Nk>
ден из того условия, чтобы отношение —- представляло со-
Л/а"
бою функцию одной лишь частоты Это условие необхо-
димо для того, чтобы спектральная плотность излучения р^,,
определяемая формулой (186b), не зависела от природы ато-
мов и определялась только частотой v и температурой.
Так как
то это условие сводится к функциональному уравнению
решение которого имеет вид
Nk~ const>е 6 .
Предыдущие соображения являются неполными в Д*УХ отно
шеппях: а именно, в отношении поступательного движения ато
мов и ла.» се в отношении структуры излучения. Они, однако,
могут быть легко исправлены так, чтобы учесть оба эти обстоя-
тельства.
Каждый акт поглощения или испускания изменяет количество
движения g и кинетическую энер1ию s соответствующею атома.
380
Глава 6. Применение квантовой статистики
Если количество движения и энергия падающего (и затем
поглощенного) или же испускаемого фотона равны g* и е* соот-
ветственно, то согласно законам сохранения мы имеем
%" — g'=±zg*	(188)
е" —	• Wk.=±e*,	(188а)
где буквы с одним штрихом относятся к исходным состояниям,
а буквы с двумя штрихами — к конечным состояниям, причем
верхний знак обозначает поглощение, а нижний знак — испу-
скание. Заменяя величину е* в последнем уравнении через Av*,
мы получаем условие частоты в его точной форме — в форме,
которая учитывает изменение не только внутренней энергии, но
также энергии поступательного движения (поскольку атом не
считается более покоящимся)
8^ — 8Г
V* = I VA"A' I	.	(188b)
g2
Полагая е =	, мы имеем
2т
е"—= -21,(g"+ g') (g" - g') = 2-~(g" + g')-g=-1 g g*>
Z.r/4	£111	If*
где g означает среднее значение количества движения атома до
и после поглощения или испускания фотона. Если направление
этого среднего количества движения, т. е. среднее направление
движения, образует угол 6 с g*, т. е. с направлением поглоща-
емого или испускаемого света, то
е" — е' = 1 р-р* cos 6
т
g	hv*
или, так как- - = v есть средняя скорость атома и
т	с
е” — е’ = Av* — cos 9.
с
Подставляя это выражение в (188b) и решая относиь”ьпо v*
§ 37. Теория фотонного газа
381
т. е. частоты поглощаемого или испускаемого света, мы получаем
V*==_L^1—
(1 cos 6)
или приблизительно
v* =	k, (1 -j- — cos в).
С
Мы приходим таким образом к известному уравнению
Допплера, выражающему изменение частоты света, зависящее
от движения материальных частиц, которые его поглощают
или испускают. Систематическое изучение изменения коли-
чества движения и кинетической энергии атомов, связанного
с каждым актом поглощения или испускания фотона в соответ-
ствии с уравнениями (188) и (188а) приводит к максвеллевскому
или больцмановскому закону распределения кинетических энергий
атомов как следствию из планковского закона теплового излу-
чения, т. е. распределения энергии между фотонами. В частно-
сти, легко показать, что средняя кинетическая энергия каждого
3
атома равна —- kT. Этот результат бь!л установлен Эйнштейном
в 1917 г. в той же самой работе, в которой он ввел в первый раз ве-
роятностное описание переходных процессов (при помощи коэфи-
циентов А и В). Этот результат явился первым непосредственным
подтверждением эйнштейновской корпускулярной теории света,
так как он получался лишь при условии предположения, что
испускание света является таким же направленным процессом
(связанным с „отдачей“ атома), как и поглощение.
Каждое испускание или поглощение1 фотонов изменяет состав
фотонного газа или, другими словами, структуру излучения.
Теория Эйнштейна была развита далее в этом направлении Боте.
Это развитие основывается на том представлении, что фотон,
образующийся в процессе вынужденного испускания света, нахо-
дится в точно таком же состоянии, как и фотон, вызывающий
его испускание, и что в результате оба фотона соединяются
в одну фотоновую молекулу. В действительности подоб-
382 Глава 6. Применение квантовой статистики
ная фотоновая молекула соответствует квантованной волновой
системе или квантованному гармоническому осциллятору, в со-
стоянии, содержащем два или более квантов энергии, причем
число этих квантов равно числу фотонов, образующих рассма-
триваемую „молекулу".
При подробном анализе процессов поглощения и испускания
света необходимо заменить отдельные фотоны фотоновыми моле-
кулами, причем акт поглощения заключается в увеличении числа
фотонов, образующих молекулу, на единицу, а акт испускания
в уменьшении этого числа на единицу. Принцип детального
равновесия требует, чтобы число фотоновых молекул опреде-
ленных „размеров" т. е. состоящих из определенного числа
фотонов, оставалось неизменным, несмотря на вышеуказанные
изменения. Легко показать, чго это требование на самом деле
выполняется.
ПМЕППОП УКАЗАТЕЛЬ
Андерсон 213.
Анри 166.
Блох (Bloch) 318, 365, 373
Блохинцев 31. 332.
Блэккет 213.
Бизе (Bose) 272
Больцман (Boltzmann) 266.
Бор (Bohr) 68, 75, 77, ; 83,248.
Бирн (Born) 48. 53, 180.
Боте (Botlie) 376, 381.
Бриялуэн (Brillouin) 286, 362.
Де-Брогль (de-Broglie) 30, 31,
35, 45, 55, 77. 78, 82, 220.
Брэгг (Bragg) 38, 169, 315.
Вид. млн (Wi demann) 351.
Гамов 145, 146, 153
Гаудсмит (Goudsmit) 210.
Гейгер (Geiger) 1 (6
Гейзенберг Jieisenberg) 67, 68.
70, 72, 77, ИЗ.
Герни (Gurney) 145, 158.
Герц (Hertz) 13.
Грюнейзен (Gruneisen) 373.
Гюйгенс (Huighens) 7, 12,13, 24.
Д<рвин (Darwin) 66.
Дебай (Debye) 220, 322, 368.
Девиссон Davisson) 39.
Демпстер (Dempster) 40.
Джермер (Germper) 39.
Дирак (Dirac) 140, 195, 211, 213
220, 229, 250.
Допплер (Doppler) 381.
Друде iDrude) 349 — 352
Зоммерфельд (Sommerfeld) 76.
„ 114, 131, 250, 334, 349, 352.
Иордан (Jordan) 220, 255.
Иоффе 214.
Клаузиус (Clausius) 354.
Комптон (Compton) 23, 36, 369.
Кондон (Condon) 145, 1 >8.
Кронит (Kronig) 167, 170.
Ландау 303.
Лауэ (Laue) 322.
Днувиль (Lionville) 62, 252, 362.
Лоренц (Lorentz) 192, 352.
Майкельсон (Mlchelscn) 15.
Макс елл (Maxwell) 13. 14.
Матиссен (Matissen) 361.
Мипликэн (Millican) 156.
Il part им (Nordheim) 156, 334.
Нутолл (Nutall) 146.
Ньютон (Newton) 7, И, 24, 50,
51, 52, 53.
Оппенгеймер 166.
Пайерлс (Peierls) 318, 365, 373.
Паули (Pauli) 209, 211, 250, 303.
Пенни (“еппеу) 167, 17).
Планк (Planck) 22, 23, 27, 112,
191, 221, 368, 374.
Пуассон (Poisson । 225, 322, 330.
Раман (Raman) 355, 370.
Рамзауер (Ramsauer) 153.
Ричардсон (Richardson) 334.
Рупп (Rupp) 40, 214.
Рэтей (Rayleigh' 41.
Снеллиус (Snellius) 9
Тамм 171, 308, 331, 332.
Томас (Thomas) 322
Томсон (Thomson) 40, 192.
Уленбек (Uhlenbeck) 210
Уидингтон (Whiddington) 182.
Фаулер (Fowler) 156, 166, 334
Ферми (Fermi) 250, 322.
Физо (Fiscau) 10, 41.
Френель (Fresnel) 12, 36, 214.
Франц (Franz) 351.
Фурье (Fourier) 259.
Хартри (Hartree) 225.
Хилл (Hill) 167.
Шредингер (Schrddinger) 45, 46,
78, 90. 105, ИЗ, *80, 1-2, 191.
Штерн (Stern) 40, 322.
Эдисон (Edison) 334.
Эйнштейн (Einstein) 13, 17, 23,
24, 27, 30, 31, 36, 52, 53, 75,
76, 183, 187, 202, 282, 377, 381.
Экснер (Ехпег) 55.
Эренфест (Ehrenfest) 77.
Эрмит (Hermite) 189.
Юнг (Joong) 36.
предметный указатель.
Альтернативные состояния 91, 92
Амплитуда вероятности 86,88,91,107,
173, 174, 204, 230.
—	вещественная 65.
—	колебаний 45, 79, 175.
—	переменная 42, 63, 65.
Атом водородоподобный 108, 117,148
А гомы света 7.
Вектор Пойнтинга 29, 262.
Величина скорости волн 82.
Вероятность локализации 52, 203.
—	отражения 143.
—	перехода 52, 203.
— прохождения 144.
Волны вероятности 53.
— стоячие 89, 90, 92, 113, 123, 142,
150, 160, 163, 368.
Время собственное 18.
Вырождение 116, 135, 241, 296.
—- перестановочное 242.
Дисперсия 41, 43.
Диффракция И, 21, 24, 36, 37, 46.
Диффузия волнового пакета 69, 66.
Длина волны 13, 37, 40, 41, 78, 103.
Дырки. Дираковские 213, 227.
Закон Больцмана 266, 274, 277, 280;
284, 268, 378, 379, 381.
— Видемана-Франна 351.
— Максвелля 344, 346, 349. 381.
— обратимости 99, 156, 189, 198
— Ома 339, 340.
— отражения 9, 10.
— Планка 377, 381.
— распределения Бозе - Эйнштейна
285, 288.
___— Паули-Ферми-Дирака 285.
___Снеллиуса 9.
„ умножения амплитуд вероятности
115.
Закон Ферми 344, 346, 349.
Запрет Паули, см. Принцип Паули.
Импульс силы 19.
Интеграл Фурье 59.
Интенсивность света 184.
Интерференция 11, 21, 24, 36, 37, 46,
52, 180, 184.
Качество св л а 28, 36, 37.
Квант звуковой 107, 368.
— световой 21, 22, 23, 25, 30, 41, 200,
220, 227.
Квантование количественное 220, 223,
224.
Контактная разность потенциалов 337,
338.
Коэффициент отражения волн 96.
—	прохождения волн 96.
Кривая Ферми 338.
Магнетон Вора 303.
Мера вероятности 48, 57, 63, 123, 145.
—	скорости 103.
Модуль сжимаемости тела 306.
Нейтроны 227.
Опыт Девиссона и Джсрмепл 58.
—	Томсона 40.
—	Физо 7, 11, 36, 41, /3, 44.
Осциллятор анизо грешный 108.
—	гармонический 108, 222.
—	линейный 108.
—	пространстве ный 108.
Отражение света 7, 8.
— селективное 160, 171.
Пакет волновой 45, 55, 78.
Плотность вероятности 181, 25(х
—	потока вероятности 97.
—	тока 28, 97.
—	энергии 256.
Позитроны 213, 227,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
385
Показатель преломления 9, 35, 38, 39,
41.
Поле Кулоново 117, 308.
Полином Лежандра 129.
Поляризация 206.
Постоянная Планка 32.
— распада 145.
Постулаты Бора 182.
Потенциал химический 320, 324, 333,
337, 343.
Преломление света 7, 8, 21, 38.
Преобразование Лоренца 16.
Принцип антисимметрии Ди ака 250,
253
— Паули 209, 224, 250, 252, 265, 272,
285, 300, 304, 306, 362, 366.
—	тождественности 218.
Пространство фазовое 60.
Протоны 213, 227, 229, 253.
Прохождение света 8.
Работа силы 20, 44, 191.
Равновесие статистическое (тепловое)
266.
Расплывание волнового пакета, см.
Диффузия.
Распределение вероятности 65.
Резонанс 197, 201.
Решетка диффракционная 37, 38, 40,
46.
Ротатор 136.
Сила возмущающая 193.
Скорость света 10, И, 33.
---групповая 42, 44, 45.
---истинная 13, 14, 35.
---кажущаяся 13, 35, 41, 44.
---фазовая 41, 43.
Соотношение Борна 52.
—	Брэгга 315.
—	вероятности 48.
—	де-Брогля 105.
—	качества 184.
—	количества 184.
—	неопределенности Гейзенберга 58,
67, 68, 70.
Соотношение ортогональности 180.
—	Эрмита 189.
Состояние возбужденное 82,
— вырожденное 116, 179, 198.
— нормальное 82.
—	предиссоциация 166.
Спин электрона 206, 210, 249.
Волновая механика.
Статистика Бозе-Эйнштейна 272, 281,
374.
— классическая 271, 281.
— Паули, Ферми и Дирака 272, 282,
320, 323, 353.
Ступени энергии 300.
Сумма статистическая 273.
Суперпозиция 50, 56, 57, 79, 80, 86,
92, 102, 142, 150, 163, 168, 175, 182,
204, 232, 248, 261, 268, 320, 368.
Тензор энергии 29.
Теорема Лиувилля 62, 252, 253.
— Фурье 259.
Теория Бора 75, 79, 121, 125, 130, 133,
136, 156, 172, 181,184, 192,209, 232,
239, 249, 251.
— Бора-Зоммерфельда 89, 90,
— Дебая 366.
— де-Брогля 44, 77.
— Паули-Зоммерфельда 310, 315.
— Планка 221, 371.
— Томаса-Ферми 328.
— Эйнштейна 13, 18, 203.
Теплопроводность 351,
Ток насыщения 345.
Уравнение волновое 78.
— колебаний струны 105.
— Лапласа 127.
— Пуассона ‘225, 226, 322, 330.
— Шредингера 103, 107, 117, 136, 137,
1о9, 140, 177, 179, 193, 233, 312,
313.
— Эйнштейна 18.
Условие квантовое Бора-Зоммерфель-
да 76, 77, 81.
—	нормировки 174.
Фонон, см. Квант звуковой.
Формула Больцмана 266, 269, 323, 367,
— Брэгга 38, 39, 169.
—	де-Брогля 37, 123.
— Гейгера и Нутолла 158.
— Лруде 352, 353.
— Зоммерфельда 334, 338.
Формула Клаузиуса 354.
— Паули 277.
- Планка 17, 25, 202, 282 376, 37&
Фотон, см. Квант световой.
Функция волновая 49, 62, 98.
— гармоническая, зональная 128.
— шаровая 128.
Флуктуация 355.
25
386	ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Частота колебаний 132.
Число волновое 25, 259.
Электроны 227, 229.
— положительные Андерсона и Блэк-
кета, см. Позитроны.
— свободные 83, 119, 129, 293.
— связанные 83, 85, 119, 125, 129, 134,
170.
Электропроводность 350.
Энергия возмущения 193,195,196, 204,
226.
Эффект Комптона 23, 24, 36, 69, 369,
377.
— Рамана 355, 370.
—	Рамзауера 153.
—	Ричардсона 345.
—	Тиндаля 356.
—	фотоэлектрический 17, 23, 24, 36,
46.
Явление выпрямления 339.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр
Предисловие...................-......................... 5
Глава 1. Свет
1.	Корпускулярная и	волновая	теории света.........	7
2.	Электромагнитная теория света и теория относитель-
ности ................................................ 13
3.	Релятивистская механика Эйнштейна и теория световых
квантов................•	. . .	................ 18
4.	Релятивиская формулировка корпускулярно волно-
вого параллелизма..................................... 24
Глава 2. Материя
5.	Распространение корпускулярно-волнового параллелиз-
ма на материю......................................... 30
6.	Интерференция и диффракция катодных лучей ....	36
7.	Групповая скорость волновых процессов и теория вол-
новых пакетов .......................................  41
8.	Идея вероятности................................... 47
9.	Волновые пакеты как пакеты вероятности; соотноше-
ния неопределенности.................................. 55
10.	Принцип неопределенности в трактовке Гейзенберга
и роль наблюдателя................•.................... 68
Глава 3 Волновая механика движения частицы в силовом
поле
И Квантовая теория атома Бора и стоячие катодные
волны.............................................. 75
12	Явления отражения и прохождения через потенциаль-
ный барьер............................................. 92
13.	Волновое уравнение Шредингера и его применение
к гармоническому осциллятору ........................  103
14.	Волновая механика водородоподобного	атома ....	Ц7
15.	Метод потенциальных скачков для приближенного ре-
шения одномерных задач волновой механики ....	137
16.	Применение предыдущего метода к нескольким простым
задачам: 1) Упрощенная одномерная модель водородо-
подобного атома. 2) Прохождение частицы через по-
тенциальный барьер 3)Предиссоциированные состояния.
/4) Движение электрона в кристал тической решетке . .	14g
17.	Суперпозиция различных квантовых состояний. При*
менение волновой механики к теории излучения ceeia 172
Соде* жание
18	Волномеханическая теория переходных процессов . .	189
19	Векторные волны. Поляризация све а и спин электона 205
Глава 4 Волновая механика системы частиц
20.	Метод экземпляров...............................   215
21.	Метод конфигурационного пространства.............. 229
22.	Свойства симметрии волновых функций, изображающих
систему тождественных	частиц..................... 237
23.	Принцип Паули. Антисимметрические и симметриче-
ские волновые функции................................. 248
24.	Материя и свет.................................... 256
[ лава 5. Статистическая механика
25	Статистическое равновесие газа при абсолютном нуле
температуры...................•..........•............ 263
26.	Общий закон статистического равновесия............ 265
27.	Приложение общего закона статистического равновесия
к идеальному газу..................................... 270
'	28. Другой вывод равновесного распределения для газа . .	283
29.	Предельные формы законов квантового распределения 288
Глава 6. Применение квантовой статистики к электронной
теории металлов, к тепловому движению и излучению
1	30. Теория электронного газа Свободные электроны в ме-
таллах ................................................ 293
31.	Усовершенствование и дальнейшее развитие теории
электронного газа....................................	310
32	Вычисления „самосогласованного* поля в металле и
на его поверхности......................•............. 322
33.	Электрические свойства контактов между проводящими
телами.................•	. •......................... 332
34.	Электропроводность и теплопроводность металлов (эле-
ментарная теория)..................................... 346
35.	„Коллективистическое* рассмотрение движения элек-
тронов в металле...................................... 362
36.	Теория „фононового газа* (тепловое движение в твер-
дых телах) и его взаимодействия с электронным газом .	366
37.	Теория фотонного газа......................• . .	373
Именной указатель  ................................ 383
Предметный указатель.............................   384
Отв. редактор И. Н. Алексеев
Техн, редактор Р. В. Эм ди на
ГТТИ № 237. Тираж 5.000. Подл, к печ. с матриц 21/III—34 г. Формат бумаги 82;<110.
Ант рек. ЛИ4Т. 25. Бум. лис*, Печ. знаков в бум. листе 167.680. Заказ № 412.
Ленгорлит № 5847.