0551,5
1. ЧАСТОТЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
ТРУДЫ ЦИАМ
№ 142
I. ЧАСТОТЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ВАЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ.
II. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАЯТНИКИ
В. Я. НАТАНЗОН
ОБОРОНГИЗ
1948
I. ЧАСТОТЫ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей нашей работе 1 были рассмотрены
колебания неподвижного вала. Если для крутиль-
ных колебаний вала частоты и формы колебаний
не зависят от вращения, то для изгибных колеба-
ний, как известно, это уже неверно: угловая ско-
рость входит как параметр в частотные уравнения
во всех задачах, которые рассматривались раньше.
Так как в двигателях частота гармоники возму-
щающих сил есть кратное угловой скорости враще-
ния, то для определения угловой скорости, при
которой возникает резонанс, можно исключать из
частотного уравнения частоту, заменяя ее угловой
скоростью, и искать резонансные значения послед-
ней, решая частотное уравнение для каждого по-
рядка гармоники возмущающих сил. Здесь удоб-
но применение частотных диаграмм, которыми
пользуются в теории маятникового демпфера или
теории колебания винтов.
В связи с вращением вала появляется ряд спе-
цифических особенностей рассматриваемых задач,
характерных для всех явлений, в которых появля-
ются гироскопические силы. Прежде всего нужно
отметить связь двух видов изгибных колебаний в
двух осевых взаимно перпендикулярных плоско-
стях. Эта связь, как мы видели, возможна и без
вращения, например, для закрученного вала. Но
при вращении она появляется и в тех случаях,
когда у неподвижного вала она отсутствовала.
Специфическая особенность гироскопических сил
заключается еще и в том, что для каждой частоты
свободного колебания различные части системы мо-
гут находиться в разных фазах, так что каждая
обобщенная координата может отличаться от дру-
гой по фазе на любой угол, в то время как в за-
дачах без вращения эта разность может равняться
только 0° или 180°. Например, две координаты
центра тяжести какой-нибудь массы на валу могут
иметь какую угодно разность фаз, и поэтому при
изгибных колебаниях вращающегося вала этот
центр тяжести колеблется не прямолинейно (как
было бы при разности фаз, равной нулю или 180°).
При разности фаз, равной 90°, центр тяжести бу-
дет описывать круговую траекторию в ту или иную
сторону в зависимости от частоты.
Характерно в этих задачах и возбуждение коле-
баний. Дело в том, что возбуждающие силы в
двигателях связаны с вращением. Связь эта выра-
жается не только в зависимости их частоты от угло-
вой скорости (упомянутая выше кратность),*'нб
также и в том, что эти силы обычно даются в про-
1 См. Труды ЦИАМ, вып. 122, 1948. Ниже ссылки на
формулы этой работы даются в квадратных скобках с рим-
ской цифрой I, например: [I, 10].
екциях на вращающиеся оси. Поэтому здесь осо-
бенно удобны вращающиеся оси координат.
В тех случаях когда периодическое возбуждение
от сил газов или сил инерции в двигателе отсут-
ствует, само вращение является своеобразным воз-
будителем колебаний с частотой, равной угловой
скорости. Как известно, при этом могут возникать
резонансные состояния при так называемых крити-
ческих угловых скоростях. Известно, что критиче-
ские угловые скорости равны собственным часто-
там изгибных колебаний неподвижного вала. Это
равенство' представляет собой частный случай об-
щей зависимости собственной частоты изгибных ко-
лебаний от угловой скорости вала.
Отмеченная выше роль вращающихся осей осо-
бенно важна в тех случаях, когда параметры си-
стемы постоянны только по отношению к вращаю-
щимся вместе с валом осям. В' этих случаях роль
вращающихся осей такая же, как роль подвижных
осей в динамике твердого тела. Так, например, при
употреблении неподвижных осей в задаче о коле-
баниях вала с различными моментами инерции
сечения мы пришли бы к линейным уравнениям с
периодическими коэффициентами, что было бы не-
оправданным усложнением решения.
В некоторых случаях подобного рода усложне-
ния, повидимому, неизбежны. Когда мы имеем в
системе два вала, вращающиеся с разными угловы.
ми скоростями, то при связывании осей с одной
частью системы может оказаться, что параметры
другой части будут периодически меняться по от-
ношению к выбранным осям. Для такой задачи
только уравнения с периодическими коэффициента-
ми описывают полностью явление.
Для коленчатых валов двигателей с редукторами
такая задача может встретиться, если рассматри-
вать связь колебаний вала с колебаниями лопасти
винта.
Мы будем рассматривать более простой случай,
когда оси связываются с одной частью системы (ко-
ленчатым валом), с гем чтобы получить постоянные
параметры системы. При этом будем считать, что
другая часть системы (редукторный вал) не зави-
сит от относительного вращения осей.
Рассмотрим ряд задач с вращением в порядке
. возрастающей сложности. При этом постараемся
выяснить интересующие нас явления на возможно
простых примерах, для чего будем заниматься ими
;более подробно, не считаясь с тем, что эти простые
примеры могут быть частными случаями рассмот-
ренных далее более сложных случаев.
Для малых чисел степеней свободы составим
уравнения в перемещениях, а затем укажем, как
1
можно распространить на задачи с вращением ме-
тод изгибающих моментов.
В задачах с вращением удобно ввести особые
комплексные обобщенные координаты, каждая из
которых заменяет две различные координаты одной
точки, перемещающейся в плоскости (например,
две координаты центра тяжести массы на валу).
Для этих комплексных координат можно пслучить
амплитудные уравнения с комплексными же коэф-
фициентами, матрица которых чаще всего будет
«эрмирового типа», а иногда и более сложного.
Само собой разумеется, что во всех случаях ча-
стотное уравнение будет иметь действительные
положительные корни, как это имело бы месго
при сохранении обычных действительных коор-
динат,
2. КОЛЕБАНИЕ ОДНОЙ МАССЫ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ЕАЛУ
Рассмотрим сначала самый элементарный слу-
чай. Пусть дан прямолинейный вал на двух опо-
рах с одной сосредоточенной массой, центр тяжести
которой в покое находится на оси вала Положим,
что моментами инерции массы можно пренебречь.
Пусть оси координат связаны с валом и вращаются
с ним с постоянной угловой скоростью вала ш. Осп
совпадает с недеформировачнои осью вала и про-
ходит через опоры вада (фиг. 1) При движении
центр тяжести массы С смещается в плоскости,
нормальной к недефорлп:рованной оси вала. Пусть
координаты его относительно вращающихся осей
будут у и z.
Фиг. 1.
Проекции на подвижные оси абсолютной ско-
рости центра тяжести будут
у—viz, z-\-o>y.
Отсюда живая сила системы равна
2Т=т[(у—шх)2-|-( z-J-шу)2].
Смещения у и z гредставляют собой вместе с
тем прогибы вала в двух взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях. Поэтому потенциальную энергию
деформированного вала можно представить в об-
щем случае в такой форме:
2П=ау2+2byz-\-cz2.
При этом предполагается, что на вал действует
в месте расположения массы только нормальная
сила инерции, дающая проекции по двум осям у
и z; моментами же сил инерции мы пока прене-
брегаем.
Коэффициенты а, Ъ, с — это коэффициенты влия-
ния. Мы предполагаем, что вал «закрученный»,
т. е. что оси инерции различных его сечений не па-
раллельны. Если бы этого не было, то коэффи-
циент Ъ равнялся бы нулю Неравенство коэффи-
циентов а и с зависит от различия двух моментов
инерции сечения; например, для круглого сечения
вала а=с.
Уравнения движения Лагранжа будут иметь та-
кой ВИД:
tr(y— 2<»z — ш2_у) {-ay-j-bz=0,	(Г)
m(z ~1~2юу—u>2z)-j~t>y-j-cz—0.	(1")
Пусть к будет частота малых колебаний массы
на валу. Отметим, что в рассматриваемом случае
не годится обычная подстановка
j' = Acos/tf, z=B cos kt,
и мы должны ввести разность фаз дтя двух
координат у и г, рассматривая более общую
подстановку:
у = A cos kt -|- Aj sin kt, z=B cos kt-{-B1 sin kt
с двумя фазовыми составляющими, как при ко-
лебаниях с трением. Это объясняется наличием
гироскопических сил. В частном случае, если
в (1) коэффициент & = 0, разность фаз равна 90°,
и можно применить подстановку
_y=AcosAtf, z=B1sinkt,
при этом мы получим значительное сокращение
вычислений введением комплексного смещения
массы
щ>=у + iz,
которое можно рассматривать как комплексную
координату центра тяжести в плоскости yz.
Умножая уравнение (1") на I и складывая (Г)
с (1"), найдем дифференциальное уравнение для ни:
m(w 2адда—ы2и>) -|- Aw-|- Ви.'==0,	(2)
где in—сопряженное комплексное число
чо=у— iz,
и
А=-^-(а-|-с), В-=
В частности, для круглого вала Ь=0 и а=с; еле
довательно, В^О и А^а.
Если рассматривать дифференцирование как
умножение на оператор р, то уравнению (2) мож-
но придать такой вид:
/п(/?-|-А'=	(3)
В задачах с гироскопическими силами можно
ввести вместо оператора р комплексный опера-
тор:
( )
В этом случае абсолютную скорость центра
тяжести массы можно представить так:
(_у—mZ)-[z (z-|- «>у)
а ускорение
q2,w.
2
=0-	(7)
Введем подстановку:
w = Ueikt-[- Ve~M,	(5)
где U и V — дьа комплексных числа, которые мы
будем называть комплексными фазовыми амплиту-
дами или просто амплитудами; к — частота коле-
бания.
После определения частоты и амплитуд можно
обычным путем получить для у и z действительные
выражения.
Подставляя выражение (5) в дифференциальное
уравнение (3) и отделяя коэффициенты при е'к‘ и
е~’м, найдем уравнения амплитуд для U и V с
комплексными коэффициентами:
Г_т(й4-ш)= + л]^+ву=о, 1
всч-[-™(£-“)2 + Л]7=о. I
Приравниваем нулю определите ты
—те(й+ш)2 М	В
В	[—/л(/г-ш)2 + Л]
Очевидно, он будет иметь относительно к дей-
ствительные корни, как определитель «эрмирового
типа».
Решая уравнение (7) относительно к, найдем за-
висимость частоты от угловой скорости ш.
Прежде чем рассматривать эту зависимость, от-
метим, что если уравнения (6) умножить соответ-
ственно на U и V и затем сложить, то получим
-m[(^+<D)2|Z7j2+(й—<d)2|V|2]4-
4-/(|Z7]sH-| v|24-bZ7 v+ buv) == о
Обозначим
ЧТ = m[(£+<o)2|£f + (й-ш)-’| V |2],
277=Л[|(/|2+| V|2+/?(Bt7V)]:	(8)
тогда уравнения (6) получаются дифференцирова-
нием по U и V (или, что то же, по U и К) разности
Т—П. Это правило распространяется на какие угод-
но сложные случаи. Для составления уравнений
амплитуд необходимо выразить через них «ампли-
туды» живой силы и потенциальной энергии, вводя
фазовые составляющие U и V.
Рассмотрим зависимость частоты от угловой ско-
рости вращения ш. Введем величины
Х=(й4-ш)2, р=(й—<о)2.	(9)
Уравнение (7) запишется тогда так:
—^=о.	(10)
m	m-
Пусть X и ц будут декартовыми координатами
на плоскости; тогда (10) бу нет уравнением гипер-
болы, асимптоты которой параллельно смещены от-
носительно осей координат вверх и вправо на оди-
наковые отрезки, равные^ (фиг. 2).
Чтобы получить уравнение этой гиперболы, отне-
сенное к ее асимптотам, сделаем следующее преоб-
разование:
Х=Х'-|--, р=р'4-----;
m	m
тогда в новых координатах (X', р') получим
>V-^=o.	(11)
Асимптоты гиперболы отсекают от прежних осей
(X, п.) отрезки, равные —.Нижняя ветвь самой ги-
перболы отсекает от осей отрезки, которые найдем,
полагая последовательно в уравнении (10) ц.=0, а
затем Х=0. Обозначая длину отрезка оси через к,
найдем для него уравнение
m	m2
д
при этом х окажется меньше, чем —,
m
По полученной гиперболе построим новую кри-
вую, координаты которой равны корням квадрат-
ным из значений координат любой точки гипер-
болы.
В силу (9) получим для новой кривой
й_|_ш== +] "Г, k—УУ. (12)
Нижняя ветвь гиперболы (вернее, только та дуга
этой ветви, на которой точки имеют обе положи-
тельные координаты) преобразуется в замкнутую
кривую. Верхняя ветвь гиперболы дает четыре сим-
метричные ветви новой кривой, изображенные на
прежнем чертеже (см. фиг. 2) жирной линией.
Повернем оси координат на 45°; это будут, оче-
видно, оси к, ш, и новая кривая по отношению к
этим осям будет давать зависимость к от ш, опре-
деляемую уравнением (7).
Ввиду симметрии кривой относительно оси к для
ши —ш получаем одинаковые частоты (т. е. на-
правление вращения безразлично) Кривая сим-
метрична также относительно оси ш, поэтому каж-
дому о> будут соответствовать к и —к\ однако, как
это ясно из (5), это не будут два различные реше-
ния. Поэтому рассмотрим только те ветви кривой,
где к и ш положительны.
Если <о=О, то получим две частоты кг и к2; это—
частоты двух возможных видов колебаний вала в
двух взаимно перпендикулярных плоскостях, поло-
жение которых определяется «закрученностью» ва-
ла. Для незакрученного вала эти две плоскости
совпадают с плоскостями наибольшей и наимень-
шей жесткостей вала при изгибе. Для круглого ва-
ла плоскости эти не имеют определенного направ-
ления и А1=/г1.
С возрастанием о> меньшая частота убывает,
большая — возрастает. При <в = <»1=к1 меныпая ча-
стота обращается в нуль, т. е. исчезает, а при ш=
= <и2=й2 опять появляется и растет вместе с ш
почти линейно. Большая частота растет все время и
при больших ш меняется также почти линейно.
Мы увидим далее, что исчезновение при некото-
рых угловых скоростях одной из собственных ча-
стот вала в случаях, которые нас интересуют, не
будет иметь места.
Действительно, собственные частоты интересуют
нас с точки зрения возбуждения вынужденных ко-
лебаний. Но в двигателях все1 возбуждающие пе-
риодические силы имеют частоты гармоник, крат-
ные угловой скорости, т. е.
й=» ф,
где v для четырехтактных двигателей имеет значе-
ния 0,5; 1; 1,5,; 2; 2,5,...
Резонансные угловые скорости получают обычно
на частотной диаграмме. На оси абсцисс отклады-
ваются угловые скорости ш, а на оси ординат —
частоты гармоник возбуждающих сил к. На этой
диаграмме совмещают кривую зависимости соб-
ственной частоты к от о> и лучч к= » ф. Абсциссы
точек пересечения будут угловыми скоростями ре-
зонанса. В рассматриваемом случае частотная диа-
грамма имеет вид, показанный на фиг. 3. Все лучи,
за исключением v =1, имеют два пересечения, т. е.
каждая гармоника при некоторых оборотах будет
резонировать с двумя собственными частотами си-
стемы. Только гармоника первого порядка резони-
рует с одной низшей частотой, так как луч'» =1 не
пересечет уходящих ветвей кривой.
Рассмотрим движение центра тяжести массы.
Для этого отделим действительную и мнимую части
выражения (5) для w.
Пусть
U=u-\-iu', V=f-J-rV;
тогда
j/=(zr-|-t/)cos kt— (t£—v')sin kt,
z= (u'-f-v')coskt-l-(ii—v)sinkt.
Решая эти уравнения относительно cos kt и
sin#, найдем траекторию центра тяжести:
y[(u-T>)2-H«'+®')2l+z2[(«' — ®')2 + («+^)!1 +
-|- 2 [ (u — v ) (и'—)—( и’ 4- v') (« ф- v)]уг=
=[(и'г—©,2)+(«2—(13)
Это — уравнение эллипса, который в частных
случаях может вырождаться в прямую или окруж-
ность.
Любому ф (за исключением интервала от до
ф3) соответствуют две частоты. Для каждой из них
эллиптические траектории центра тяжести будут
различны, причем движение его по траектории бу-
дет происходить для двух частот в противополож-
ные стороны.
Направление вращения центра тяжести по эллип-
су можно получить просто. Комплексная коорди-
ната центра тяжести w представляет собой сумму
двух комплексных же чисел. Пусть аргументы
комплексных амплитуд U и V будут а и ₽; тогда
(14)
Первое слагаемое правой части (14) имеет аргу-
мент, возрастающий со временем при постоянном
модуле. Второе слагаемое, тоже при постоянном мо-
дуле, имеет убывающий со временем аргумент.
Иными словами, точка А (фиг. 4) описывает окруж-
ность радиуса || V | в положительном направлении
на плоскости комплексного переменного w, а точ-
ка В в той же плоскости описывает окружность ра-
диуса |V| в отрицательном направлении, причем с
одной и той же угловой скоростью к. Вектор ОС
Фиг. 4.
У
является суммой ОА и ОВ. Точка С описывает
эллипс в том направлении, куда движется большее
слагаемое (на чертеже ОС вращается в ту же
сторону, что и ОА).
Следовательно, направление вращения С по своей
траектории зависит от того,, у какой из двух комп-
лексных амплитуд будет больше модуль.
4
Обращаясь к уравнениям (6), находим
|_с/ _ IB1
I V —тК+А
Чтобы решить, какова величина отношения мо-
дулей амплитуд, обратимся к фиг. 5, на которой
изображена гипербола (II). Точки гиперболы А
и В имеют координаты
Х'=И'=±Я
т
Возьмем произвольную точку М на ветви BD,
д
Ее расстояние от асимптоты равно — — X, и,
следовательно,
т т
Отсюда ясно, что для всех точек ветви BD
Проследим характер изменения траектории центра
тяжести массы. При <и = 0 имеем Л = ц! из уравне-
ния (6) следует
_L+—= ±	,
т т
т. е.
1—1
I v I
= 1.
Обе комплексные амплитуды имеют одинаковые
модули:
U—keia, У=ке~‘$.
Обозначая аргумент В через 0, получим
(-mX-j-^)t/-|-|5|e‘’0 V=0,
т. е.
а=0— р или а = 0—Р4-п.
Отсюда согласно (14) получаем в^'первом слу-
чае
а во втором
10
w—iKe2 cos
\	2 /
(15')
(15")
Точно так же найдем, что для всех точек
ветви АС
Формулы (15) показывают, что колебания центра
тяжести прямолинейны и для первой частоты кх
протекают по направлению, образующему с осью у
угол 0, а для второй частоты к2—по прямой, пер-
пендикулярной к первому направлению колебания.
Сам угол 0 определяется упругими свойствами
вала, т. е. закрученностыо его и разностью жест-
костей по направлению осей инерции сечения.
В формулах (15) К и (а—₽) представляют собой
две произвольные постоянные.
Положим теперь, что <о возрастает: вместо пря-
молинейных колебаний получатся два эллиптиче-
ских с обращением в разные стороны. При очень
большом с» частота к и, следовательно, X соответ-
ственно возрастают, а н->+1/ —, как это видно
|/ т
из фиг. 2. Из уравнений (6) следует, что L7 —> 0, и,
следовательно', координату w приближенно можно
представить так:
Точки BD преобразуются на частотной диаграм-
ме фиг. 3 в точки кривой BD, а точки АС — в точ-
ки двух ветвей АС и А'С'. Поэтому можно пола-
гать, что: а) для первой частоты кг от 0 до о)х
центр тяжести вращается в положительном направ-
лении, т. е. в сторону вращения вектора ОА на
фиг. 4 (и следовательно, в сторону вращения ва-
ла); для той же частоты кг от значения <и2 до со
центр тяжести вращается против вращения вала;
в) для второй частоты к2 при любом а> центр тя-
жести вращается также в сторону, обратную вра-
щению вала.
Это будет выражать круговые колебания, соот-
ветствующие отрицательному вращению центра тя-
жести.
В частном случае, если вал не закручен и круг-
лого сечения, то 5=0 и гипербола (11) вырож-
дается в две прямые (прежние асимптоты гипербо-
лы). В этом случае к,=к2 и ш1=<о2. Зависимость
частоты от угловой скорости изображается на фиг. 2
прямыми FE, EG и GH. Траектория центра тяжести
при и + 0 всегда будет окружностью; направление
вращения на EG положительное, а на других пря-
мых — отрицательное.
Отметим здесь попутно значение угловых скоро-
стей 0>i и
'i.r-oZ-
5
Положим, что при недеформированном Валё
центр тяжести массы смещен относительно
осей у, z на малую величину:
vv0 i z0.
Легко, видеть, что уравнение (3) придется заме-
нить неоднородным уравнением
tn(<p-iriw)'iw-\-A'W-irB,w=u^'w0, (16)
и чтобы удовлетворить уравнению (16), нужно
положить для w вместо (5) такое выражение:
(17)
где 17—комплексное число, выражающее по-
стоянное смещение центра тяжести по отноше-
нию к вращающимся осям.
Для U и V получим прежние уравнения,
а для W такое неоднородное уравнение:
(— тш! Ц- А) 17+ BW= о2 w0.
Заменим все величины на сопряженные; тогда
W+ (—ото2+А) W= w2 w0.
Из двух последних уравнений найдем W:
in=+“[w0(— /ш»2 + Л)—Bw0],	(18)
где
Д_|=ЯИ»+Л,В .	(19)
|В, — ты2+А
Этот определитель для двух значений и обра-
щается в нуль. Из сравнения (19) с уравнением (7)
видно, что два корня (19) совпадают с двумя кор-
нями (7) при ф=0. Следовательно, корни (19) рав-
ны А\ и к2, т. е. представляют собой две угловые
скорости «и, и й>2, отмеченные на фиг. 3; это —
критические угловые скорости, при которых W об-
ращается в бесконечность, а в окрестностях этих
скоростей IV меняет знак.
Критические скорости для рассматриваемой за-
дачи имеют тот смысл, что для них одна из частот
свободных колебаний обращается в нуль. По ве-
личине же они совпадают с двумя частотами не-
подвижного вала (это — известное свойство, кото-
рое сохраняется и в случае нескольких масс).
В интервале между двумя критическими скоростя-
ми одна из частот исчезает. Это исчезновение объ-
ясняется тем, что для интервала (ащ <+ один из
корней частотного уравнения получает комплексное
значение, и, следовательно, вместо колебания мо-
жет иметь место неустойчивое движение. Действи-
тельно, при получении двух ветвей кривой фиг. 2
приходится извлекать квадратный корень из коор-
динат точек кривой (10). После точки Х= * орди-
ната ц становится отрицательной. Формулы (12)
показывают, что для к получается при этом поло-
жительная действительная часть [так как к входит
в формулы (5) и с плюсом и с минусом].
Это обстоятельство (переход колебаний в не-
устойчивое движение при вращении) отмечалось в
литературе [2].
В случае коленчатых валов авиационных двига-
телей наибольшая угловая скорость не достигает
никогда значения основной частоты вала; поэтому
наложение на вынужденное колебание неустойчи-
вого движения вряд ли может встретиться на прак-
тике.
3. КОЛЕБАНИЕ ВАЛА С ВИНТОМ ПРИ ВРАЩЕНИИ
В предыдущем разделе масса была лишена мо-
мента инерции и, следовательно, в задаче не игра-
ли никакой роли гироскопические силы.
Рассмотрим теперь схему винта, редуктора и
коленчатого вала, связанных упругими силами. Для
простоты положим, что на валу имеется одна толь-
ко масса, именно масса винта. Винт находится на
валу, который связан с коленчатым валом плане-
тарным редуктором (фиг. 6), причем оси обоих
валов совпадают. Коленчатый вал имеет неодина-
ковые жесткости в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях и вращается с большей скоростью, чем
вал винта. Пусть винт имеет одинаковые моменты
инерции относительно диаметров, равные половине
момента инерции относительно оси вращения.
В этой задаче мы опять должны взять оси, вра-
щающиеся с коленчатым валом, для того чтобы
потенциальная энергия не зависела явно от време-
ни. Пусть угловая скорость их будет «>. Угловая
скорость винта £?=>ф, где *<1.
Пусть система осей, вращающихся с угловой ско-
ростью коленчатого вала о>, будет £, г„ С. Ось С
совпадает по направлению с осью вала и во ней
направлена угловая скорость ф. Начало осей рас-
положено в центре тяжести винта.
Возьмем еще вторую систему координат х, у, г,
имеющую ТО' же начало координат. Ось z направ-
лена по оси винта, а оси х и у расположены в его
плоскости. Из начала координат опишем единич-
ную сферу, которую ось z пересекает в точке Е.
Определим положение точки Е ее долготой а и ши-
ротой ₽ (фиг. 7). Положительное направление от-
счета этих углов указано на фиг. 7 стрелками.
Оси х, у, лежащие в плоскости винта, вращаются
так, что ось у всегда находится в плоскости ч.
Трехгранник х, у, z вращается около оси z с уг-
ловой скоростью вала и, при этом ось z направле-
на по касательной к упругой линии вала. Сам винт
вращается около оси z с угловой скоростью 2,
6
а по отношению к осям х, у, z—с угловой ско-
ростью 2—и- Для того чтобы ось у всегда нахо-
дилась в плоскости 'ц, С, необходимо, чтобы
трехгранник vj, С вращался около оси С с угло-
вой скоростью со cos<? или со (так как угол <р мал
и эту скорость можно принять равной ад).-
Когда углы « и р меняются, винт получает по
отношению к осям !;, -»], С вращение вокруг оси!;,
равное —а, а вокруг ochj/—вращение, равное р.
Спроектируем на оси х, у, z абсолютную угло-
вую скорость винта. Проекция р на ось х равна
сумме двух проекций: проекции —acosp плюс,
ввиду вращения трехгранника Ё, vj, С, проекции
угловой скорости последнего на ось х, которая рав-
на—wsinp. Поэтому, принимая sin Р = Р, получим
Так как угол р мал, то cos 0 можно положить
равным единице. Аналогично найдем и проекцию q
на ось у-
q = Р—соа.
Чтобы получить проекцию угловой скорости вин-
та на ось г, необходимо, кроме 2, спроектировать
на ось z только составляющие—а и Р; тогда
r—Q— ар.
Обозначим момент инерции винта около диамет-
ра через Л а момент инерции относительно оси
примем равным 2J. Проекции кинетического мо-
мента на оси х, у, г будут Jp, Jq, 2Jr.
Уравнения движения винта около его центра тя-
жести нужно составить по отношению к осям х, у, г.
Проекции абсолютной скорости трехгранника х, у, z
на эти же оси отличаются от проекции скорости
самого винта и соответственно равны р, q и г/=<о.
Уравнения Эйлера по отношению к ос, м, движу-
щимся относительно тела, имеют вид [3]:
J^dt~r>Q ) +2
7 (^+^)-2Jrp=M„
(20)
Будем в дальнейшем считать, что крутильных
колебаний нет, для чего достаточно положить
М, = 0; отсюда r=const. Отбрасывая малые вели-
чины выше первого порядка, получим
Q=vw—const.
Первые два уравнения (20) можно представить
в таком виде:
У( а —|—2хо>р—х1а>2а) =—
J( р —2хсо а—Xjto^P) =Л^,
(21)
где и 714^—изгибающие моменты вала в пло-
скостях yz и xz в сечении около винта и
х=1—v, х1=1—2v.	(22)
Задача таким образом приводится к определе-
нию углов а и В. Однако таким образом движение
винта, если он находится далеко от опоры, пол-
ностью не определяется. Введем перемещения
центра тяжести винта по отношению к вращаю-
щимся осям g. т), С и обозначим их и и и.
Два уравнения движения центра тяжести будут
иметь вид, аналогичный уравнениям (1):
т(и---2 0J-7J-O)2«)=Pe ,
т( v -J- 2 ад — ы2ъ) ~РТ. ,
(23)
где т—масса винта, a Pz и Р-, — перерезываю-
щие силы в том сечении вала, где расположен
винт.
Положим, что колена вала расположены в одной
плоскости и главные оси сечения всюду имеют оди-
наковые направления (вал не закручен). Пусть
главные оси сечения лежат в плоскостях и tqC.
Изгиб в плоскости К дает перерезывающую
силу Рц и момент , перемещение массы и и
угол наклона касательной упругой линии к оси
вала р
Для изгиба в плоскости т£ соответствующие
величины будут Ръ, —и а (фиг. 8).
Pi и Мъ линейно зависят ст и и р, т. е.
Л=-(аи+£р), Щ =-(gu+pp)
7
и точно так же
Р^ =—(bv-\-ha),	= —(hv-\-qa).
В эти формулы входят по три различных коэффи-
циента a, g, р и b, h, q так, чтобы удовлетворялся
принцип взаимности. Перед скобками всюду взят
знак минус, так как введенные силы представляют
собой реакции вала на движущуюся массу. Кроме
того, для соблюдения условия положительности по-
тенциальной энергии должны иметь место неравен-
ства
ар—gs>0 и bq—Л2>0.
Для закрученного вала формулы для сил и мо-
ментов получаются значительно более сложными,
так как сила Pt, например, зависит не только от и
и р, но и от v и а.
Так как моменты Мх и Mv отличаются от
и малыми высших порядков, то уравнения
(21) и (23) можно представить в виде
J(a -J- 2х со р—x^a)
J(p - 2 х w a-x^pJ-J-gw+pp^O,
m(«—2wf —<и2«)-|-йц-|-^Р=0,
и—a>2'»)-]-fw-|-/za=0.
Введя в уравнения (24) две комплексные пе-
ременные
w=v-\-iu и C=a-[-ip,
получим
С — 2тхы t—x1w2C4~^+C^+C''w-|-H'w==0, | ?25)
ii)—2iww—u2w-[-Aw-\-Bw 4- G(,-\-fK =0,	|
где
д 1	д1 ь~а
2	т ’	2 т ’
1	Ч+Р Q— 1 Ч~Р
2	J ’	2	’
G=-L*±*	-
2 т	2 т
Q'—У. h+g Н' = — -ё-
2 J ’	2 J
тогда из уравнений (25) получим
(А-р) U-\- BU1 + G V + И К,=0,
В17+(А-Х)Ц+НГ + 0^=0,
G'U+H'~U^P—t) V-K Q Vj=O,
H'U+G'U'^ QV 4- (P-<3)^ = 0.
(29)
Рассмотрим два частных случая. Пусть в
первом случае винт расположен очень близко к
опоре, и перемещениями его массы можно прене-
бречь, т. е. положить w=0. Тогда из уравнений (29)
получим
(₽-Л+<Л-о, )	(30)
Q V+(P-о) Х,=0. I
Частотное уравнение будет
Для закрученного вала в левых частях уравне-
ний (24) была бы линейная комбинация четырех
переменных а, р, и, d, но, несмотря на это, вид
уравнений (25) не усложнился бы, только некото-
рые постоянные (26) были бы комплексными.
Решение уравнений (25) возьмем в форме
но = Uelkt	~f w)
C=Ve^4-I
Обозначим для краткости
Х=(й4-Ш)2,
р=(й—си)2,
О = k2 4~ 2хсой 4-XjC»2,
ч=к2—2х<ий4-у1ш2;
(28)
Это искомая зависимость частоты к от угловой
скорости <и. Ее можно представить геометрически.
На фиг. 9 на плоскости в т изображена гипербо-
ла (31). Ее асимптоты смещены параллельно отно-
сительно осей на Р.
Составим сумму и разность координат:
=-i-(o4'T)=^2+ziu)2>	(32')
i) = -i-(a—т)=2хшЛ.	(32")
Если выполнить преобразование координат, за-
менив о,т на 5,-4, то это даст только поворот осей
на 45°. Гипербола (31), не деформируясь, займет
новое положение. Возводя в квадрат обе части ра-
8
венства (32), затем вычитая из верхнего нижнее и
вновь извлекая корень квадратный, получим
А2ф-х1«з2=Е,
/г2—х1Ш2=У$2ц_т^2 ,
У Ч взят знак минус, так как хп как
число отрицательное (для v>0,5).
Из (33) получим
2х1Ш2=^-	• I
(33)
правило,
(34)
По формулам (34) легко перестроить кривую и
получить ее относительно координат к, <ь — это и
будет искомая зависимость, представленная на
фиг. 9 сплошной линией. Для каждого значения <о
получаются два положительных и два отрицатель-
ных значения к. Отрицательные значения не дают
новых решений.
Для положительных значений х5 (v <0,5) соот-
ношение между к и <и будет несколько иным. По-
ступим в этом случае так. Составим сумму и раз-
ность с и т по формуле (28) и найдем равен-
ства (32). Формулу (32") представим в виде
2)/ Xj wk — 'tfq;
if X]
здесь 7!=!—
X
Отсюда на основании (33)
(А + У Xj_to)2 = ^ + TiT],
(k—V Х1М)2 = £ —Т17]
2fe	+УГ^~, _
2Ух1Ш = у	—717].
(35)
Зависимость к от о, построенная по этим форму-
лам, представится кривой фиг. 10, имеющей зам-
кнутую ветвь и две ветви, уходящие в бесконеч-
ность. Здесь, как и в п. 2, мы получаем интервал,
для которого имеется только одно значение к.
Относительно формы колебания здесь можно ска-
зать то1 же, что говорилось по поводу колебания
массы в п. 2. Если проследить за движением точ-
ки Е (фиг. 7) на единичной сфере, то окажется,
что для любой угловой скорости относительное
движение Е по отношению к осям Е, т] будет обра-
щением по эллипсу с центром в А. Эллипс этот
может вырождаться либо в круг, либо в прямую,
имеющую определенное направление относительно
главных осей сечения вала. Обращение может про-
исходить то в направлении скорости «>, то против
нее, в зависимости от того, на какой ветви кри-
вой (34) взято значение к (см. также фиг. 10).
Если присоединить к этому движению угловую ско-
рость осей <о, То' получится прецессия оси z (оси
винта). Остановимся на частных случаях. Пусть
0=0. В этом случае гипербола фиг. 9 вырождает-
ся в две прямые с=Р и г=Р.
Этолслучай круглого вала, при котором
две частоты неподвижного вала (при о>=0) к=к±
и к=к2 сливаются в одну к=к0. В этом случае
вращающиеся оси Е, "Ч, С не нужны. Их можно
считать неподвижными, Т. е. положить оз=0, .а
угловую скорость винта попрежнему считать рав-
ной й. Тогда 1 уравнения (30) дают
Фиг. 10.
Для сравнения рассмотрим такой случай. Пусть
оси Е» попрежнему вращаются и ш-ФО, но й =
= оз, т. е. винт вращается с той же угловой ско-
ростью, что и вал. Тогда при £)=0 имеем из (28)
k=±VQ2+k20 .	(38)
Если сюда присоединить скорость переносного
движения Й, то будет иметь место предыдущий слу-
чай, т. е. частота по отношению к неподвижным
осям получится путем преобразования координат.
Действительно, из (27) следует
a=acoskt, р=asin££,
где а—постоянная.
Обозначим координаты точки Е по отношению
к неподвижным осям а0 и р0. Тогда
а0 =- a cos 21 — р sin'2 t=a cos (Лф-Q)t,
Po = a sin Й^ф-p cos 2 t=a sin (йф-й)£,
t. e. новая частота получается прибавлением й к
значению (38); это даст для к значение (37).
Перейдем ко второму частному случаю. Пусть в
уравнениях (29) обращаются в нуль коэффициен-
ты В, Н и Q. В этом случае первое и третье урав-
нения можно- рассматривать отдельно:
(Д — р)Нф-СУ = 0,
0'17+(Р — т)У = 0.
1 Такой случай рассмотрен в [5], стр. 579.
(39)
2 Труды ЦИАМ 142.
9
Частотное уравнение будет
рт— (рР+тД)-|-АР— GG' = 0.	(40)
Эго случай круглого вяла, у которого коэффи-
циенты жесткости в обеих пло жостях одинаковы,
но колебание плоскости вращения винта сопровож-
дается также и перемещениями его центра тяжести.
На плоскости и- уравнение (40) представляет
гиперболу (фиг. 11) с асимптотами, параллельны-
ми осям, и с центром, смещенным направо и вверх
соответственно на
р0=/ и т0=Р.
Чтобы по этой кривой получить кривую зави-
симости k от со, составляем две линейные ком-
бинации координат р, т:
т—p=2v<o (k — со),
T-}-(2v— l)p=2v/s(^—со).
Отсюда
, t +	1)u	т—u
k =----7=4 “ —-------F=“ •	(411
р.	±2-у р
Согласно этим формулам по координатам р, т
находим новые координаты k, со.
Можно ввести промежуточные координаты:
2с-~т—р, 2t]=t-|-(2v—1)р.
Переход к этим координатам не изменит гипер-
болы, но новые оси не будут ортогональными
(фиг. 11). Если кривую перестроить по отноше-
нию К ОСЯМ ?, 7], то
Искомая зависимость между к и си представлена
на фиг. 11 сплошной кривой. К этой же кривой
приведут и два других уравнения (29) при усло-
вии B=Q=H=0. Следовательно, кривая фиг. 11
дает полную зависимость к от -л для данного
случая.
Качественно рассмотренный случай вполне ана-
логичен случаям, приведенным выше. Их можно
охарактеризовать следующим образом. Если вал
имеет неодинаковые жесткости в двух главных
плоскостях, то две соответствующие этим жестко-
стям частоты под влиянием вращения стремятся
раздвинуться (разность между ними растет). Когда
жесткости стремятся к совпадению, то и две ча-
стоты также сливаются, но даже когда они совпа-
дают (у неподвижного вала), то под влиянием
вращения они опять раздвигаются.
Фиг. 11.
Если на неподвижном валу колеблется масса,
имеющая значительный момент инерции, появляет-
ся вторая частота, которая может быть и меньше
и больше, чем частота той же массы без момента
инерции. Эффект вращения вала тот же самый,
т. е. две частоты раздвигаются, при этом меньшая
уменьшается, а большая — возрастает. Эти соот-
ношения сохраняются для не слишком больших
угловых скоростей, не превышающих первой кри-
тической скорости вала.
итобы получить угловые скорости резонанса для
сил возбуждения, у которых основная частота про-
порциональна угловой скорости, необходимо по-
строить частотную диаграмму фиг. 3.
4.	КОЛЕБАНИЕ ПРОТИВОВЕСА КОЛЕНЧАТОГО ВАЛА ПРИ ВРАЩЕНИИ
В п. 2 мы рассматривали случай, когда центр
тяжести массы на валу имеет предварительное
смещение по отношению к оси вала в недеформи-
рованном состоянии, сравнимое по величине с про-
гибами ьала. В более полной трактовке это задача
нелинейная. Исследование критических скоростей
при наличии первоначального смещения центра тя-
жести (или начального перекоса диска, сидящего
на валу) связано с задачей устойчивости, подробно
исследованной в литературе [4].
Ниже мы будем заниматься только задачей о
зависимости частот малых колебаний от угловой
скорости, вопроса же о критических угловых скоро-
стях не будем касаться.
Последние нас будут интересовать только в том
смысле, что в интеовалах между критическими ско-
ростями возможно появление, как было показано
на первом примере, комплексных корней ча< тотно-
го уравнения.
Кроме того,- мы будем рассматривать случай,
ко1да смещение центра тяжести масс — большая
величина, несравнимая с упругими прогибами ва-
ла. В этом случае прежняя нелинейная трактовка
задачи, повидимому, теряет смысл.
Пусть на валу на жестком или упругом плече CD
(фиг. 12) находится центр тяжести массы. Это —
схема противовеса на коленчатом валу, центр тя-
жести которого находится на большом расстоянии
от оси вала. Пусть ось координат С совпадает с
Недеформированной -осью вала, а ось ч идет по CD
и вместе с валом вращается с угловой скоростью <и.
При деформации точка С перемещается в точку
С, с координатами и, QD, отклоняется от плоско-
сти £т; на угол а, а от плоскости —на угол <р.
10
Возьмем оси, связанные с валом,? »], С. Располо-
жение их такое же, как на фиг. 7. Сси х, у, г взя
ты так, что z проходит по касательной к упругой
линии, а у — по CJ4 (фиг. 12). Следовательно,
оси х, у, г также вращаются с валом, при этом
ось у не выходит из плоскости
Угловая скорость вращения отрезка C1'D1 совпа-
дает с угловой скоростью трехгранника х, у, г.
Пусть проекции этой скорости на оси х, у, z бу-
дут Р> К эти проекции равны
р—— а—<4,
р—о>а,
Так как оси х, у, z связаны с телом, то уравне-
ния Эйлера для этого случая напишутся так:
Л/’ + С-Мх,
Jy fl-(
Л г4-(-Уж4-/в)^=/Иг.
В данном случае моменты инерции массы
таковы:
Jx—Jz= mz-- z—CDt Jy=Q-
Проекции моментов имеют такое же выражение,
как и в .рассмотренном случае колебания винта.
Поэтому уравнения движения примут такой вид:
J( а-|- ш2а) 4-Zra-Ha = 0,
gn 4-^=0,
Jr=Mz.
(43)
К этим уравнениям нужно присоединить два по-
следних уравнения (24), в которых и и v— по-
прежнему перемещения центра тяжести массы.
Последнее уравнение (43) не связано с осталь-
ными и дает крутильные колебания массы про-
тивовеса; уравнение это, полагая г=о>4 ср и
МЕ=— e<f, где с—жесткость вала на кручение,
можно написать так:
/ср -|~£с?—0.
Крутильные колебания не связаны в данном слу-
чае с изгибными.
Угол В можно исключить из всей системы; по
исключении В третье уравнение (24) запишется
так:
т(и —2 со v —со2и)	а ——^и^=0.
Введем опять комплексную переменную w=t>4-]
'+tu. Уравнения для и и v заменим одним уравне-
нием для w:
w—2/соте»—-\-Dw 4~7a = 0, (44)
где
a + b—- ~atb + —
C=------£; D — ——£- ;
2m	2m
.	(45)
m
К уравнению (44) присоединим первое урав'
нение (43), в котором положим “0=—(	<&);
тогда
cz-j-<o2«4 S(w -ф- w)—0,	(46)
где
R=^-, S=	(47)
J	2J
Пусть
я=уе^4-
Тогда
(Д-р)£/4-В_17'14-77=0,
В(74-(Л-Х) Ц4- Т V1=0,
57/4-5Ц4- (Я-[4У=О,
SZ74-5i/14-(/?-p) К1==0,
Х=(&4-Ш)2, г=(&_ш)2, p = jfe2-O)2.
(48)
*1
Фиг. 13.
Исключим из (48) V и и для оставшихся
двух уравнений для U и Ц вычислим определи-
тель; приравнивая его загем нулю, найдем
частотное уравнение
(^-Р)И2-в2-Д(к4-р)4-ки14-5Т(74-и)-
-25Т(Д-В)=0.	(49)
11
2*
Прообразуем это уравнение следующим обра-
зом. Пуст£
2Х=к + [л=2(А!2 + со2).
Заметим, что
Х[Л= (#2-(02)2 = р2.
Уравнение (49) можно привести к виду
И-В)[(Л + B)/?-2S7]-G42- Вг)р -7?р2—рЗ
(ZB-SZJ-Xp	' v 7
Нетрудно представить вид кривой (фиг. 13) на
плоскости р, X с уравнением (50). Связь меж-
ду р, X и к2, со5 такова, что достаточно повернуть
координатный угол на 45°, чтобы та же кривая (50)
дала зависимость между к и w.
Эта зависимость выглядит примерно так же, как
и в рассмотренных выше случаях. Для неподвиж-
ного вала здесь получаются три частоты: klt к2 и к3.
Вращение при скоростях ниже первой критической
несколько сближает две первые частоты, но полно-
го совпадения их произойти не может (за исключе-
нием случая, когда прямая, параллельная оси <о=0,
коснется верхней ветви кривой).
На фиг. 13 изображен случай, когда верхняя
ветвь кривой не пересекает оси к=0 и получается
лишь одна критическая скорость. Может иметь
место и такой случай, когда эта ветвь пересечет
осо к=0 три раза, и тогда получатся три крити-
ческие скорости. Рассмотренная задача представ-
ляет собой частный случай более общей задачи,
когда на валу находится масса, моменты инерции
которой относительно осей, нормальных к оси ва-
ла, неодинаковы. Это дает эффект, сходный с тем,
который получается, когда вал имеет некруглое се-
чение. Вопрос о критической скорости вала с такой
массой рассмотрен в [6], стр. 101, и [7].
5.	БАЛКА С МНОГИМИ МАССАМИ. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТАХ
В предыдущих разделах мы рассматривали раз-
личные частные случаи вала с одной массой и
имели в виду по преимуществу качественную сто-
пону соотношений между частотой колебания и
угловой скоростью вала. Для этого мы применяли
способ уравнений в перемещениях. Для многих сте-
пеней свободы мы не получим таким способом ка-
ких-либо (обозримых результатов, равно как и
удобных способов вычислений. Как и для случая
неподвижных валов, способ изгибающих моментов
гораздо удобнее в вычислительном отношении, чем
способ уравнений в перемещениях.
Рассмотрим вал с л+1 массами, причем пусть
последняя масса имеет момент инерции относи-
тельно диаметра. Кроме того, примем, что вал
имеет разные жесткости в двух главных плоско-
стях, вращается с угловой скоростью ш, а послед-
няя масса вращается с другой угловой скоростью й.
Мы имеем таким образом схему коленчатого вала с
редуктором (соосным) и винтом. Для выяснения
метода будем предполагать сначала, что вал не
имеет опор и что все главные оси его сечений
имеют всюду одно и то же направление.
Проведем вращающиеся оси £, т;, С так, чтобы
ось С была направлена по недеформированной оси
вала, а оси $ и iq — по главным осям сечения ва-
ла; оси £ и т) вращаются с валом с угловой ско-
ростью со.
Перемещение каждой массы обозначим через
и ть, а проекции силы инерции на вращающиеся
оси—через Р& и P,i. Мы видели, что на осно-
вании уравнений (1) эти силы инерции можно
представить так:
P# ——т^ ui — 2wvz — ю2^),	(5Г)
=—т£(г/г-|-2<»иг—со2^).	(51")
Все массы, за исключением последней, не дают
сосредоточенного момента сил инерции вследствие
предположения, что их моментами инерции можно
пренебречь.
Положим, чти последняя масса (винт) представ-
ляет собой жесткий диск с моментом инерции отно-
12
сительно диаметра J и относительно оси враще-
ния 2 J. Пусть момент сил инерции диска, дей-
ствующий на вал, имеет проекции по осям Д4еп
и М-^п- Пусть, наконец, углы, образованные осью
диска z (см. фиг. 7), касательной к упругой линии
вала, с плоскостями gC и tjC, будут а и 3 (см.
фиг. 8).
Из уравнений (21) следует, что инерционные мо-
менты равны:
—Л о- -J- 2*оф—х1со2а),	(52')
(3—2ж»а— хро2^),	(52")
у.= 1— v, ^ = 1—2v, v——.	(52"')
СО
Введем опять две комплексные переменные —
комплексное перемещение и комплексный угол по-
ворота касательной к упругой линии:
w=u-\-iv и C=₽-|-ia.		(53)	
Кроме того, введем комплексную силу лексный момент Л— Р* +ip-*, 1		и комп- (54)	
Тогда, умножая на i (51") и (52") и складывая эти формулы, найдем		попарно	
1М= — J( С + 27.0ИС- Р~—mi ( w+2imw—	ы2те>).	|	(65)	
Введем для краткости записи такой оператор:			
.[ d . . S = l	KlCD \ dt 1	ь	(56)	
тогда можно написать:
P^m^w,
iMn^=Js(s-\-2^w)^.	(57)
Между Р; и соответствующим изгибающим мо-
ментом можно установить простое соотношение.
Действительно, по формулам [I,	10] (см.
Труды ЦИАМ, вып. 122, 1948) имеем
|
Р.г=Д2Мге, I
где Д2—знак второй разности; например,
Л 2Л1е. =	Д-----_|_ —»+L-,	(59)
4	Zi+1
Отсюда имеем
Pz=ZA2/W;.	(60)
Составим теперь уравнения в изгибающих мо-
ментах для случая вращения вала, аналогичные
уравнениям [I, 21]. Рассматривая одновременно
изгиб в двух главных плоскостях (К и <Д), най-
дем согласно [I, 5] следующие две системы урав-
нений:
)=0,	(6V)
Д2Ч—Л-,(7И£,-) = 0,	(61")
где
De (7И;Ч )=Pg/—i MTli 714чг -фРд 7W^+i;
и a6 —коэффициенты [см. I, 11] для плоскости
изгиба К (для вычисления их необходимо взять
моменты инерции сечения участков вала относи-
тельно главной оси •»;).
Аналогично можно представить D, с помощью
коэффициентов и а, .
Умножая уравнение (61") на i и складывая (6Г)
и (61"), получим
д2®-A (Mvi)+/Л) = I
=	+	^(Af.)]^, f 1 J
где Mi—момент, сопряженный c Mit
D,=±-(J\ +A );	±(D4 -Dz). (63)
Если на конце вала имеется винт, то уравне-
ние (61) в силу [I, 3] нужно заменить следую-
щими двумя уравнениями:
д«« +$(лу=о, |	(66j
а„—Д©„—£)ч(7Ие„) = 0, J
где
Ди„=ы5,
Дг/„=<о^,
77Ц Лф и)—1Ц 714^
Dv{ 714^ „) =piin-i7Wg,;_i-|-a7]n7l4gn.
Формулы (66) выражают равенство между углом
касательной к упругой линии и осью вала в конце
его (р, а) и суммой: 1) угла между хордой дуги
упругой линии на последнем участке вала и его
осью (ше, <оч) и 2) угла между хордой и каса-
тельной.
Последний угол выражен через изгибающие мо-
менты на концах участка.
Из формул (66) получаем
С„-Д®„+г[О;(7Ип) + А(Д4„)] =0,	(68)
где
А = ’у( Dxr\-D^\ D2=~^(DTi—De);
Умножим (68) на оператор s2 и заменим s2®rt
на —. Затем умножим полученное уравнение на
оператор s-]-2vco и заменим
s(s-]-2v <»)£=—
После этого окончательно можно записать
s
—s2 (s -ф 2v w) х
Умножим на оператор s2 обе части (62); тогда
в силу (57) и (61) можно написать:
Д2(—1 ) 4-82[о1(Д4.) дР2(Д)] = 0.	(64)
Это окончательный вид дифференциального урав-
нения колебания в изгибающих моментах. Благода-
ря введению оператора s оно формально совпадет
с уравнением для амплитуд и перейдет в это урав-
нение после подстановки
7Иг = U,	(65)
где Di и Ui—два комплексных числа.
Как уже было выяснено в предыдущей работе
автора (см. Труды ЦИАМ, № 122, 1948), послед-
нее уравнение в системе (64) имеет отличную' от
других форму, зависящую от краевого условия.
Х[О;(7И„)+^2(7И„)]=0.	(69)
Это граничное условие для случая соосного вин-
та, вращающегося с другой угловой скоростью, чем
вращается вал.
Уравнения (64) и (69) представляют собой
совместную систему уравнений для изгибных коле-
баний вала при вращении в весьма простой и ком-
пактной форме, удобной для всевозможных пре-
образований и легко преобразуемой в форму урав-
нений для амплитуд. Кромё того, их легко пере-
вести в форму, удобную для вычислений, с исполь-
зованием метода итерации так же, как в случае
невращающегося вала. Эти уравнения можно без
труда обобщить на случай закрученного вала, вала
с опорами и т. п.
В качестве применения этих уравнений мы ре-
шим задачу об однородном закрученном вале.
13
6.	ОДНОРОДНЫЙ ЗАКРУЧЕННЫЙ ВАЛ ПРИ ВРАЩЕНИИ
Составим уравнения движения вращающегося
однородного коленчатого вала, у которого каждые
два соседних колена повернуты на один и тот же
угол ф в одну и ту же сторону. Это будет равно-
мерно закрученный вал. Положим пока, что он
свободен, т. е. не имеет совсем опор. Массы рас-
положены на шатунных шейках и все одинаковые.
Расстояния между массами и все другие размеры
Пусть каждое колено имеет различную жесткость
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. За-
меним каждое колено приведенным валом прямо-
угольного сечения и той же длины 21. Одна из
главных осей сечения приведенного вала будет
совпадать с плоскостью колена. Выберем такой при-
веденный вал, чтобы при опертых концах прогибы
в середине в обеих главных плоскостях были рав-
ны прогибам опертого по концам колена под дей-
ствием силы, лежащей в его плоскости и нормаль-
ной к ней. Пусть моменты инерции такого
приведенного вала равны -4 и J-,,.
Вращающиеся с валом оси и к] на участке,
занимаемом коленом, возьмем так, чтобы ось g
лежала в плоскости колена, а ось у была нормаль-
на к ней.
Для каждого колена будем брать свои оси, на-
правленные, как указано выше, так, что пары
осей на соседних участках должны быть повернуты
друг относительно друга на угол ф. Ось С будет
общей.
Пусть А4 и	—компоненты изгибающего
момента относительно осей В и ?], a G5 и
GTJ —компоненты того же момента относительно
другой пары осей, повернутой на угол ф в по-
ложительном направлении. Имеем:
Ge = A4 cos ф+GTJ sin ф,
GTJ = — Al- sin ф-j-G^ cos ф.
Умножая на i последнее равенство, получим
G =	(70)
где G и М— комплексные моменты, равные
G = Gg -pZG^ , М = Л4- —|—/A1Yj .
Составим выражение для потенциальной энер-
гии двух участков вала BD и DF.
Ввиду того, что направление осей меняется
на участках: 1) АС, где ось th-i образует угол
с одним и тем же постоянным направлением ф»—i;
2) СВ, где тот же угол равен ф;, и 3) ЕК, где
этот угол равен ф;+1, нужно разбить вал
между BF на четыре участка.
В точках В, С, D, Е и F изгибающие моменты
обозначим следующим образом:
Gjy-i, G^-i—составляющие момента в точке В
по осям участка АС,
F^j-i, F^j-i—составляющие момента в точке С
по осям участка АС,
Иц, Н-^—составляющие момента в точке С
по осям участка СЕ,
G^j, GTlj—составляющие момента в точке D
по осям участка СЕ,
F^j, Frj—составляющие момента в точке Е
по осям участка СЕ,
ТУЕу_|_1, Hijj+i—составляющие момента в точке Е
по осям участка ЕК,
Gij+i, G-^j+i—составляющие момента в точке F
по осям участка ЕК.
Введем следующие комплексные моменты:
G -1, F^i, Hj, Gj, Fj, Hj+i, Gj+i,
причем между этими величинами должны быть ли-
нейные соотношения. Так как на участках BD и DF
моменты меняются линейно (силы прилагаются
только в точках В, D и F, а точки С и Е—се-
редины участков), то между моментами должны
быть такие соотношения:
<,.1=Л(о,_,+о^ч
Г,=А(О,+О,+1^),
йл"=у(сл'+°/*).
(71)
где
Ф=ФУ—фу_ 1=Ф>+1—фу.
Таким образом независимыми моментами по-
прежнему будут только моменты G в точках В, D
и F, причем каждый из этих моментов берется по
отношению к своим осям. Этот выбор осей, как мы
увидим, приводит к тому, что в выражение потен-
циальной энергии войдет только угол между коле-
нами ф, а не войдут углы плоскостей колен по от-
ношению к одному и тому же направлению.
14
Потенциальную энергию участка BD можно за-
писать так [I, 53]:
2/7=a(GEy-i 4-G5y_iF£y-i + Fey-i) +
4- &( G^y—14 <Ау_ if\ j- 1Ц- Fyj— i) -f-
+o(Gty+G5>
+fc(.G^+G-v//11y ф- /Лу)4 ... ,
ГДО	/	. i
a=^-----,	b =------
SEJz	SEJ-q
Аналогично запишутся четыре члена для участ-
ка DF, надо только j заменить на j+1, при этом
а и b останутся прежними в силу равенства всех
жесткостей.
Если в выражение потенциальной энергии ввести
комплексные моменты, то в силу
Ч = Ц-( о, + од о„= 4 (о;-од
где ~Gj—сопряженный комплексный момент, по-
лучим
2П— — (2Gy_i Gy-i-f-Gy-iFj/-i-j-
+ GJ._1^..1 + 2FJ._1F^1 + 20Д+СД+
+ Gj + 2	< Gj+	(72)
+ Gj-i + Gy-iFy-i-j- Gj-iFj-i-^-Fj^ -f-
+ f;_1+ G^+G^Hj + G}-Hj + H*+
Но чтобы получить эту же формулу для раз-
личных осей, необходимо (если считать, что Pj
отнесено к осям участка СЕ) заменить ’ Gy-i на
Gy_i€_4, a Gy+i на Gy+i^.
Следовательно,
P: = i(
Gj+ie-^ \
lj 4-1 J
(75)
Выражение в скобках обозначим через Д2;
тогда
Py|rA-2Gy; /, = /; £у= у/.	(76)
Уравнение (64) можно представить так:
д2
д2о,-
„ дП
-2s2—=0,
ntj ’ dGj
где s—оператор (56).
Это выражение удобно для составления урав-
нений (62). Действительно, заменяя в левых ча-
стях моменты Му и Mvj на Ge?- и G^y, мы
должны получить (I, 16), что
Решение возьмем в форме
Gy=Gye;w+Vye-^,	(78)
где Uj и Vj—комплексные числа (комплексные
амплитуды).
Так как т и I одинаковы для всех участков,
то, умножая (77) на ml2 и вводя обозначения
^Uj = G,-2e^ —Wj_^ -J-6G,—
-4Ц.+ 1е-^+Ц+2е-^/
—ml2(a-\-b)=au — mF(a—b)=bi,	>
получим из уравнения (77), исключая время:
D'(CV>=<;
отсюда
G.(Gey)4-rA(G11y) = -^ +
I ; дП _ _ С) дН_
"Г дОу dGj ’
(73)
Момент Gy входит в выражение (72) для
участка BD и в такое же выражение для уча-
стка DF. Если соответствующие четыре чл^на (72)
продифференцировать по Gy, то получим после
исключения F и И по формулам (71):
дП
dGj
4Gy+Gy+1^-^) +
ДД7у+61Х[со8фРу_14- (4 —
1 \_______ ________
—“sin ф ) V j 4~ cos1}) V y+i] 4-
4~<2iX(£t!fj Gy_i4~ 4 Uj 4-
___4-*Wy+1)=o,
Д4 Vj 4- ± p. [co s Ф Uj-14-
4-^4----у sin^ jvy4-
4- cos Ф Vj+1] 4- GjU (e-^ V j-14-
4-4Vy+^Ty+1) = 0,
x=(£4-w)2, у.= (Ь—ы)2.
(80)
a-b
4
Су_1СО8ф +
4^4------—Sin2<p j Qj Gy+iCOS<p|-
(74)
Уравнения (80)—это система двух уравнений
в конечных разностях с постоянными коэффи-
циентами.
Положим
Перейдем к составлению других членов урав-
нения (62). Если бы Gy_i, Gy, Gy+i были отне-
сены к одним и тем же осям, то имело бы место
равенство
P,=i
Uj=Xei°-, Vj=Ye^r,	(81)
GJ-1  Gj [ Gj+i
h	L, '	,
где о- и а'—новые комплексные параметры;
X, Y—два комплексные числа, не завися-
щие от j.
После подстановки (81) в (80) найдем два
уравнения для X и Y, не зависящие от j.
15
Введем обозначения:
Д	а. (£ф—а)—^/ф—а g —(£ф—а) _|_ £—2 (гф —а)]
=4e7tt(sh2X—2 chX-]-2)= 16f’ash — =
=e^F(X)-
/=ty—a,
е'Ф e(^-i)o-_|_4eJ' -|-e-‘'M-7+1)tt=2ey"' (ch X-|-2) =
=еу“ Фг(Х),
cosфe(y-’>a-f-^4—sin2Ф^Уа 4~cosфe(y+i)»—
—2еУа cos ф ch a---- sin2 ф-Д2 Ф2 (a, ф).
Искомые уравнения запишутся так:
[F(X)+C1/A(X)]X^ +
-|_&ЛФг(а,ф) Кщ°-'=0,
*1ИФ2(а, 'P)A’e>tt+|F(Z)+	(82
-Да^ФДХ)] Уел’-^О.
Положим
a=a1 Д- ra2, a' = a1~l~ia2
и сократим (82) на Приравняем определи-
тель однородных уравнений для X и У нулю:
Н2+ (ХФ1Г+Р.ад + [с1|Ф1|2—МФ2Пр.=0.
Второй член этого уравнения — комплексное
число, остальные — действительные члены.
Обратим внимание на то, что условие действи-
тельности выражения Фх F, зависящего только от
ch X, состоит в том, чтобы X было либо действи-
тельным,, либо чисто мнимым; пусть при этом
тогда получим
1Л2+«/С/)(х+р-) + [й11Ф112-Мф2|2]^:=0- (83)
Это — искомая зависимость между частотой к и
угловой скоростью со. Неопределенный параметр X
найдется из краевых условий.
Возьмем простейшие краевые условия опертой на
концах балки. Это означает, что при у=0 и j=n
должны иметь место равенства
Д2Ц.=Д2Г,.= 0; Gy = 0; Д2Оу = 0,
откуда
(7.= У.=О.	(84)
Чтобы удовлетворить этим условиям, возьмем об-
щее решение уравнений (80) с достаточным числом
произвольных постоянных в виде линейной комби-
йации_решений (81) с допустимыми значениями а
и (t'—a.
Если X может иметь только, действительное или
чисто мнимое значение, то
а=4ф—X или а=г(ф—Хх),
где /Хг есть значение X во втором случае.
Заметим, что в этих формулах X и 7.\ можно
брать с двумя знаками, при этом для любой ком-
бинации знаков коэффициенты уравнения (83) не
должны меняться.
Таким образом наберется четыре различных зна-
чения для а и четыре частных решения (81) для Uj.
Беря сопряженное значение а, получим соответ-
ствующие четыре решения для Уу, причем соот-
ветствующие каждому а значения X, У будут
удовлетворять уравнению (82)._
Можно переменить места а и а в формулах (81),
и уравнения (82) попрежнему будут удовлетво-
ряться. Поэтому мы получим еще четыре частных
решения; следовательно, общее решение для Gy
и V) будет содержать всего восемь произвольных
постоянных. Эти решения будут иметь такой вид:
| ,85)
V—C.y.eA-^-l- ... 4-C5y6e-Z»+^+ ... J 1
Все восемь значений а, входящие в выраже-
ние для Uj, будут такие:
4ф-[-Х, гф—X, —гф4~Х, —дф—X,
ДфД-ХД, /(ф—Х,), i(—ф-j-XJ, i(—ф—X,).
Для Vj все эти значения повторятся в другом
порядке.
Чтобы получить значение второй разности U-Uj,
необходимо Uj умножить на ФДХ); следовательно,
например,
Д2Ц=(С1Х1^Н-Л)+...)Ф1(Х)4-
+(СБХ 6е/!(Ф+ы_|_ _..) Ф1(Х1).
Удовлетворим граничным условиям. Для этого
можно опустить первые четыре члена в форму-
лах (85), содержащие X, Из вторых четырех
членов (85) возьмем только такую комбинацию,
которая содержит sin j^i, т. е. положим
ц.=Д(ед-ад)^+
+ (C7X7—С8Хв)е~^ ] Sin/Z1,
Vj=i[(CbYr-C6VQ)e-^ +
-H(C,y,-C8r8)^]sin/X1I
Д2Ц=/[... ]Ф1(гХ1) sin/X1;
Д2Ку=/[. ..^(ZXJsinA.
(86)
При /=0 условия удовлетворяются.
При j—n должно быть
sin лХх = 0,
т. е.
п7-х=тя, т=\, 2, ..., п— 1.
Получается л—1 различных значений /л, при ко-
торых граничные условия удовлетворяются. Эти
л—-1 значений соответствуют различным частотам и
формам колебаний.
Кроме того, каждому значению фх соответствует
своя зависимость (83), хотя качественно все зави-
симости будут иметь одинаковый вид.
Зависимость (83) между к и «> совершенно того
же типа, что и зависимость (10), изображенная на
фиг. 3. При для каждого фх получаются две
16
.<• . Г
частоты, разность между которыми пропорциональ-
на &]|Ф2|- Действительно, представим уравне-
ние (83) в форме
(*+S)(p+°)+t2~S2==0,
где <
8 = a'f =	|F'°
«11,ф11а-611ф21а ’	«1Ф1[2- Ь11Ф2'2 '
Разность между двумя частотами при ы=0
будет равна
21Л-2 88— FIJ??L
«11ф1|’~&1|ф2|г '
Если обе жесткости вала одинаковы, т. е. а=Ь
и bj^O, две частоты совпадают, но при возрастаю-
щей угловой скорости разность между ними начи-
нает расти; при этом закрученность вала не имеет,
конечно, значения.
Если, наоборот, вал не закручен (ф=0), то
Ф2=2(сЬ«4-2).
При ш=0 вал имеет две разные частоты. Одна-
ко при возрастании закрученности от нуля до 90°
разность между двумя частотами падает до мини-
мума.
При других краевых условиях качественно ха-
рактер зависимости (83) не меняется.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Тумаркин С. А., Равновесие и колебание закру-
ченных стержней, Труды ЦАГИ, № 341, М., 1937.
2.	Светлов А. В., О поперечных колебаниях вращаю-
щихся стержней, Прикладная математика и механика, Новая
серия, т. 1, выл. 4, 1938.
3.	Б у л г а к о в Б. В., Прикладная теория гироскопа,
М.-Л., ГОНТИ, 1939.
4.	Г у р и н А. И., Динамическая устойчивость гибкого
вала с насаженным диском, Прикладная математика и меха-
ника, М.—Л., т. VIII, выл. 4 1943.
5.	Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Теоретичес-
кая механика, ОНТИ, ч. Ill, 1934.
6.	Б о н д а р е н к о Г. В., Малые колебания упругих сис-
тем, Л., 1934.
7.	Morris J„ The strength of shaft in vibration, London,
1929.
3 Труды ЦИАМ 142
«ев г^ий Институт ГВф
)ТЕКА~
И. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАЯТНИКИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Маятник, присоединенный к вращающемуся ва-
лу, стал обычным средством гашения вынужден-
ных колебаний. Маятники подвешиваются так, что-
бы они колебались либо в плоскости вращения,—
тогда они воздействуют па крутильные колебания
вала, либо в осевой плоскости,— тогда они могут
воздействовать на изгибные или продольные коле-
бания. Кроме маятников можно связывать с ва-
лом различные тела (ролики, шарики, кольца
ит. п.), заставляя их двигаться по особым направ-
ляющим и совершать относительные колебания;
при этом можно получить тот же эффект гашения
изгибных колебаний.
Во всех этих случаях было бы вернее говорить
вообще о присоединении к системе нового тела, ко-
торое может совершать по отношению к системе
определенного вида кинематически заданные дви-
жения, не имея с системой упругой связи. Роль
упругой связи выполняет сила инерции вращения.
Подобное видоизменение системы может приво-
дить к уменьшению вынужденных колебаний при
соблюдении некоторых условий, которые во вра-
щающихся системах будут выполняться при любой
угловой скорости. Это обстоятельство, очень удоб-
ное для валов двигателей, и служит причиной ча-
стого применения способа присоединенной массы к
валам.
Присоединение новой массы к вращающейся си-
стеме может быть осуществлено либо без увеличе-
ния числа степеней свободы, либо с любым увели-
чением его. В первом случае положение присоеди-
ненной массы зависит от относительного положения
масс системы, например, присоединенная матери-
альная точка находится на неизменяемом стержне,
соединяющем две точки каких-либо двух масс си-
стемы. Примером второго случая является матема-
тический маятник, колеблющийся в плоскости вра-
щения вала; он увеличивает на единицу число сте-
пеней свободы; присоединенный сферический маят-
ник увеличивает на две единицы число степеней
свободы и т. д.
Теория присоединенных маятников хорошо раз-
работана и не представляет в настоящее время ни-
каких принципиальных трудностей [1], [4], Гб].
Обычно в ней разбираются следующие вопросы:
способ присоединения массы и вывод условия на-
стройки, т. е. того условия, при котором система с
присоединенной массой перестает реагировать на
возбуждение определенной частоты. Но по отноше-
нию к другим частотам усложненная система не
представляет никаких особенностей, и поэтому не-
обходимо определить ее собственные частоты и
формы колебания, для того чтобы судить о воз-
можных резонансах. При этом возникает вопрос, в
каком месте системы выгоднее всего присоединить
новую! массу. Кроме того, даже ш) отношению к
возбуждению той частоты, на которую настроена
новая масса, система полностью не может быть
освобождена от вынужденных колебаний. Дело в
том, что действие присоединенной массы локально,
и поэтому и здесь возникает вопрос о том, где и
как лучше присоединить массу, чтобы защитить
наиболее важные части системы от вынужденных
колебаний.
В настоящей работе мы рассмотрим только' усло-
вия настройки для некоторых видов присоединен-
ных масс, влияющих на вынужденные изгибные ко-
лебания.
Эта задача ставится следующим образом. Пусть
имеется вал с массами, совершающими, например,
крутильные колебания около оси вала. Живая сила
и потенциальная энергия системы пусть будут
где Jt — моменты инерции масс, с1—жесткости
участков вала между массами, q — углы пово-
рота масс относительно неподвижного направле-
ния.
Пусть вал вращается со средней угловой ско-
ростью ы, и <рг будут углы поворота масс отно-
сительно направления, вращающегося со ско-
ростью ы, т. е.
?/ = «+ %>
i = 0, 1, 2, ... , п .
(2)
На систему действуют некоторые обобщенные
силы (крутящие моменты), представляющие со-
бой одну гармонику с частотой к= х со, где х—це-
лое число (порядок гармоники).
В координатах q уравнения движения системы
будут
JiQi-VcAQ-?i-i)	(^+i-^)=Qz>	(3)
при этом они совершенно не изменят вида при пе-
реходе к относительным углам <р.
Присоединим к системе несколько материальных
точек, которые могут перемещаться относительно
масс системы, но так, что потенциальная энергия
18
ее не меняется. Пусть число степеней свободы уве-
личилось на р единиц и новые координаты будут
qt и п< 1<п ~'гр.
К живой силе необходимо прибавить
1 1 п+Р
S SijQiQj, (4)
i.y -п+1
где gij могут зависеть от новых и старых коор-
динат q.
Допустим, что новые координаты q также можно
представить в форме (2) или в более общей форме:
—	г=Д-ф1,..., п-\-р,	(5)
где f может быть функцией ф; или, в частности,
нулем.
Заменяя в выражении (4) согласно (5), пре-
образуем (4) так, чтобы в нем сохранились только
квадратичные члены относительно всех переменных.
В результате получим сразу линеаризованные урав-
нения Лагранжа. Выражение (4) после этого при-
мет вид
1т^1 = Д(ф, ф)4-ы[С(ф, ф) + Ол (%<?)] +
-фы2[Н(ф, ф)-фЯ^,	ф)],
где F, G, Н означают квадратичные формы соот-
ветствующих переменных с постоянными коэффи-
циентами.
Обозначим амплитуды величин <р, ф и Q через Ф/Ф"
и А.
Уравнения (3) нужно теперь заменить новыми
уравнениями, которые будут содержать, кроме всех
прежних членов, еще ряд новых членов Общий их
вид будет такой:
У ( aik ?4+2“ bit^ 4- w ) -ф
к
+cz(tPz~Ti-i)—ct+1(?«+1—¥/) +
+.2c<.ft Фй4-«7Л) = Qz>
к
(6)
i — 0, 1, 2, ..., п.
Кроме этого, новым переменным ф/г будет соот-
ветствовать еще р уравнений такого вида:
Х[(«	4~2w££7£<f>ft -j-w2cz.£<pft) 4-	I
к
+ <^fc+2<u /г7£фА+ы2^й)] =0.
(7)
Эти уравнения однородны и не содержа г коэф-
фициентов потенциальной энергии.
Пеоеходя к уравнениям для амплитуд, после
подстановки yh=<&keikt и ф^ = получим
S [(-№aik ф- 4iMik ф-	Ц-
-фс/Ф; —Ф7_ 1)— Cl+ 1(Ф,+ 1—Ф.)=Л28
Z=0,1, 2, ... , п,
Е[( — ife2Oi'ft+2iw k ^+<о2сг'й)Ф/(4-
4- (- £24-ф2/ш£4+со2/-й)^]=О,
(8)
Решая эти уравнения и выделяя в каждом дей-
ствительную часть, найдем решение, соответствую-
щее моментам Q;, пропорциональным cos kt.
Во вторую группу уравнений (8) входит р одно-
родных уравнений, содержащих р величин'I’fc и не-
которое число величин Ф/;. Это —• дополнительные
уравнения, получившиеся в результате присоедине-
ния масс к первоначальной системе.
Условия настройки присоединенных масс на за-
данную гармонику порядка х удовлетворяются,
если подобрать все параметры новых масс так,
чтобы все коэффициенты
—k^d’ik-^-^klikA-^fik, i, £= 1, 2, ..., р,
обратились в нуль. Так как	то это условие
не будет содержать угловой скорости. Запишем
его следующим образом:
—-ф 2/у./, £=1,2, ... ,р. (9)
Условие (9) зависит таким образом от порядка
гармоники силы, возбуждающей вынужденные ко-
лебания.
При условии (9) все из второй группы урав-
нений (8) выпадают. Допустим, что эти уравнения
содержат только р величин Ф/г; этого всегда можно
достигнуть надлежащим присоединением новых
масс.	 . 
Положим, что определитель
|— -Аа'к 4 2/х£г’л-ф4/£|40;	(10)
тогда из этой группы уравнений получаем, что р
величин Ф/г обращаются в нуль. В этом и состоит
действие присоединенных масс на систему, когда
в ней возбуждаются гармонические колебания по-
рядка V-
Остальные п—р величин Фд. не обращаются в
нуль и вместе с р величинами определятся из п
неоднородных уравнений первой группы (8).
Таким образом возбуждение колебаний распро-
страняется на р новых степеней свободы и столько
же амплитуд прежних обобщенных координат обра-
щается в нуль. Остальные координаты вообще не
остаются постоянными, хотя некоторые из соответ-
ствующих амплитуд могут также обр атиться в нуль
в частном случае. Это зависит от величин А в пра-
вых частях уравнений (8).
Рассмотрим простейший пример одного маятни-
ка, качающегося в плоскости, нормальной к оси
вала (фиг. 1). Пусть математический маятник дли-
ной I подвешен ко второй массе на расстоянии г
3*
19
от оси вала. При вращении в относительном равно-
весии он расположится по радиусу. Пусть положе-
ние обеих масс и маятника определяется углами щ,
q2 и q3. Соответствующие относительные углы пусть
будут и ф, так что
^==<0+?!,	^2=ш + ?2. ^з==Ш+'?>
^2— ?3 = ?2— Ф-
Дополнительная живая сила будет
— m-v2 = -у т [r2q2 + l2q2 + 2 rlq2 ?3cos(cp2—ф)].
Пусть на вторую массу действует крутящий мо-
мент Q.
Линейные уравнения вынужденных колебаний
около положения относительного равновесия будут
иметь такой вид:
Л?! —с(ч>2~сР1) = 0»
(Л + /иг2)Т2+«г/ф+с(<р2—<р1) +
-|~mwVZcp2—/иаг7гф== Q,
тг1($ъ—ш2<Рг) + т (^Ф 4-со2гф)==О.
Последнее уравнение — дополнительное. Условие
настройки состоит в том, чтобы из него выпала ко-
ордината ф. Полагая
—y.2Z-p г=0,
получим из третьего уравнения (11)
mrl (z2-|-1) Ф2=0
и, следовательно, Ф2 =0. Из первого уравнения (11)
при произвольном к получим, что Ф1 =0, а из вто-
рого уравнения (11)
ЦТ.—_____________
mrl (<i>S-bfe2)
Такой результат получится при произвольном к.
Если к будет, в частности, собственной частотой
новой системы, то Ф не будут уже равными нулю,
так как общее выражение для амплитуд должно
иметь вид
D(A) Ф=ДД(А:),
где D — определитель системы, обращающийся в
нуль при к, равном собственной частоте. С другой
стороны, А (к) обращается в нуль в силу условия
настройки.
Чтобы раскрыть неопределенность, необходимо
прибегнуть к соображениям, аналогичным тем, ко-
торые приводятся для разыскания решений при
условии резонанса.
В рассматриваемом примере присоединение одно-
го маятника останавливает обе массы, но это полу-
чается только' потому, что на первую массу не дей-
ствует крутящий момент. Вообще же маятник
действует только на ту массу, к которой он при-
соединен. В этом выражается локальный характер
действия присоединенной массы. Однако это нужно
понимать в том смысле, что присоединенная масса
вообще воздействует на какую-нибудь одну об-
общенную координату и, следовательно, может
влиять не на одну массу первоначальной системы.
В этом отношении интересен пример, рассмотрен-
ный в работе К. А. Крюкова '[2].
2. МАЯТНИКИ ПРИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВАЛА
Ставим задачей рассмотреть некоторые случаи
присоединенных масс и соответствующие условия
настройки, играющие роль при изгибных колеба-
ниях вращающегося вала.
Пусть на вращающемся валу имеется масса с
центром тяжести на. оси вала. Положим, что вал
может прогибаться так, что центр тяжести колеб-
лется в двух направлениях (фиг. 2). Соответствую-
щие перемещения по отношению к осям, вращаю-
щимся с угловой скоростью вала со, обозначим и
и г. Положим, что масса, помещающаяся на валу,
может колебаться, вращаясь около центра тяжести;
пусть ее мгновенное положение определяется по
отношению к тем же осям через «р.
В точке В подвешен математический маятник с
плоскостью качания хОу. Пусть его положение
определяется углом Ф; длина его будет 1, а рас-
стояние точки подвеса от центра тяжести массы г.
Рассмотрим в плоскости хОу три таких маят-
ника. Соответствующие три точки подвеса В.
определятся величинами гг и ср;, причем, так как
точки Вг- связаны с одним и тем же телом,
переменная часть углов ср; одинакова; в силу
этого угловая скорость всех трех маятников
будет одинакова и равна ср. В положении равно-
весия все три угла фг совпадают с углами <pz;
обозначим их общее значение через ср;.
Абсолютная угловая скорость тела будет
а соответствующая угловая скорость маятника
Qi = “ +Фц
Проекции линейной скорости маятника С; на
подвижные оси координат будут
щ, = и—w v—г q sin ср. — Z, q. sin ф;,
vyi =	г q cos cpz Zz qt cos ф,-
20
Дополнительная живая сила от присоединения
трех маятников выразится так:
Е/и/т)2; Д- Vyt).
Составим вторую группу уравнений (8), пред-
варительно исключив из выражения добавочной
живой силы q и qr Эти уравнения после
линеаризации можно представить так:
—СС И —2 со И —|— СО Ду и —руЦ —|—
-ф 2 со с<у "V—софу?? -j-	—0,2^4<рН-
где
(Xy= /у Sin <? J, Py = /; COS <f
Положив
u=Ueikt\ v=Veikt,	ф4 = Т/к,
(12)
получим
(<x.y^2 -j-2t<o k[\ -J-co2cty) U --J- (—pz&24-2/ co ku..—co2 Ру) V —
—сЛ(^+“2)ф+4( — ^-J-co^JW,.— 0,	(13)
T=l, 2, 3.
Чтобы исключить из этих уравнений ЧЛ, нужно
положить для всех трех маятников
х2=-^, k=VM> /=1; 2, 3.	(14)
Это и будет условием настройки. Но для того,,
чтобы U, V и Ф обращались в нуль, нужно, чтобы
определитель системы (13) не равен был нулю.
Выпишем этот определитель:
аДуЛД!) +2/хру
а2 ( 4“ 1) + 2т'у-Р2
а3(х2ф1) +2т'хРз
—Pl ( X2 -J— 1) -J-2/кау
-P2(x2+l)+2iza2
—рз(у.2+1) -j-2bca3
—г2/2(х24-1)
-^(.(^+1)
Его можно разбить на сумму четырех определи-
телей, комбинируя каждые два слагаемые первых
двух столбцов. Из этих четырех определителей два
окажутся равными нулю, так как у них будет по
два одинаковых столбца. Два других окажутся оди-
наковыми, причем у первого из них будет множи-
тель (к2 + 1)?, а у второго —4у.2 (у-2 +1). Вся сумма
будет действительной и будет равна
(Z2_1)2(X2+1)
«1 П4
а2 Рг ^4
аз Рз Д4
Первый множитель не может быть равен пулю.
Что касается самого определителя, то, раскрыв его,
получим
444 [ri sin (фа— фз) + r2sin (фз—Ф1) +
4-rs sin (ф1— фг)].
Выражение, заключенное в квадратные скобки,
очевидно, не может равняться нулю. Действи-
тельно, три угла фг—фз= фз—ф1=^2 и ф1 —
—фа=Х8 образованы тремя векторами rt, прове-
денными из центра тяжести массы в точки В-
(см. фиг. 2); если потребовать, чтобы эти три
вектора образовали замкнутый треугольник, то
________ £2 ____£з_ __с
sin Zj sin Х2 sin Х3
и, следовательно, квадратная скобка может быть
представлена в виде
с ( sin2X1 -J- sin2Z2 4- sin2 Х3),
т. е. в нуль не обратится.
Таким образом три маятника на одной массе мо-
гут остановить колебания центра тяжести массы,
связанные с изгибом вала, и колебания вращения
этой массы, связанные с кручением вала, при лю-
бом порядке х, за исключением х =1.
Два маятника, качающиеся в плоскости враще-
ния, для этого были бы недостаточны. Если при-
соединен один маятник с целью устранить крутиль-
ные колебания, то он будет действовать только
тогда, когда центр тяжести массы прецохранен от
поперечных колебаний близко расположенными
опорами вала. Если же это не обеспечено и одно-
временно' с крутящим моментом на массу действует
радиальная сила того же периода, то один маят-
ник не остановит колебания массы, к которой он
присоединен.
Из предыдущего ясно, что для возможности
воздействия на вынужденные колебания нескольких
обобщенных координат необходимо, чтобы при-
соединенные массы имели достаточнее число сте-
пеней свободы (не обязательно равное числу ко-
ординат, на которые хотят воздействовать при-
соединенной массой).
3.	МАЯТНИКИ, КАЧАЮЩИЕСЯ в осевой плоскости вала
В качестве примера воздействия присоединенных
маятников на изгибные колебания рассмотрим ко-
лебания диска на валу. Возьмем тот случай, когда
колебаниями центра тяжести можно пренебречь и
предположить, что ц. т. всегда находится на оси
вращения. Колебания приводят к отклонению осн
диска от оси вращения, причем первая ось остает-
ся касательной к упругой линии вала.
Возьмем оси х, у, z, связанные с диском сле-
дующим образом (фиг. 3). Ось z идет по оси
вращения, оси х и у лежат в плоскости диска.
Оси ?, "и, С выберем такими: пусть ось С направ-
лена по оси недеформированного вала, а оси 5
и вращаются около оси С так, что ось у по-
стоянно находится в плоскости т]С. Ось z пере-
мещается относительно осей Е, ?], С и положение
ее определяется двумя углами а и Р; относи-
тельная угловая скорость трехгранника х, у, z со-
стоит из двух компонентов— а и р, направлен-
ных соответственно по В и у (фиг. 4).
Кроме этих скоростей, трехгранник х, у, z
имеет еще угловую скорость со, направленную
по оси z. Это собственное вращение диска.
Трехгранник осей Е, т], С вращается около оси С
с угловой скоростью, близкой к со, если считать,
что а и р—малые углы. Эта скорость отличается
от со на величину порядка квадрата производных
углов а п р. Благодаря этому вращению ось у
может постоянно находиться в плоскости т)С.
Если спроектировать угловую скорость этого
вращения на оси х, у, то получим с точностью
до малых первого порядка —сор и —соа.
21
Проекции на оси х и у абсолютной скорости
трехгранника х, у, z будут таким образом следую-
щие:
— (a-J-wp), р — а>а.
Фиг. 3.
Проекция абсолютной скорости диска на ось z
равна <и, если отбросить малые величины поряд-
ка а. и 3 и их производных по времени.
Полежим, что в плоскостях xz и yz могут ка-
чаться два математических маятника С и Сг дли-
ной I, подвешенные в точках В и на расстоя-
нии г от оси вращения (см. фиг. 3). Пусть положение
их определяется двумя углами а' и 3', причем по-
ложительное направление отсчета для маятника С
будет от оси z к оси х, а для маятника Сх— от у
к z. Эти два угла — малые величины, дающие от-
клонение маятников от положения относительного
равновесия, при котором точки С и Ct будут соот-
ветственно находиться на осях х и у.
Найдем скорости маятников С и в проек
циях на оси х, у, z. Координаты точек С и Q
равны
х у	z
точка С r-\-l cos р' 0	— Z sin р'
точка 0 r|_^cosa, /sin а'.
Проекции угловой скорости осей на эти же оси
будут
— ( a-J-cop), р —а>а, а>.
X	У
точка C-/p'sinp'	О
точка Су 0	—/a'sin a
z
—I У COS P',
I a' cos a',
получим проекции полных скоростей точек С
и Су на оси х, у, z.
Дополнительная живая сила Т будет суммой
квадратов проекций этих скоростей. При составле-
нии уравнений Лагранжа, соответствующих коор-
динатам о.' и р\ нужно иметь в виду только эту
часть живой силы. Таким образом получаем урав-
нения, которые после линеаризации примут вид
/а'+ш2(г-|-/)сс'-(г-]-/) (а+<п2а)=0, |	(15)
/р'+<о2(г+/)Р'+(г+/)(^ +^Р) = 0, I
откуда для соответствующих амплитуд найдсм
[-1^-\-^(г^1)]Ау—(r+/)(-/!2+O4=0,| (16,
[_Z^+ffi2(r-|-Z)]B1+(r+/)(—£2+<)B = 0. J
Сокращая (16) на <о2, найдем, что для того что-
бы величины /К и Bj выпали из этих^ уравнений,
необходимо следующее условие настройки:
(17)
тогда
(у.2—1)А=0, (х2—1)В—0,
Таким образом проекции переносных скоростей
точек С и С\, которые будут векторными произве-
дениями угловой скорости на соответствующий ра-
диус-вектор, можно представить так:
т. е. А и В (амплитуды аир) могут равняться
нулю при условии, что *¥=1.
Следовательно, присоединенные указанным обра-
зом маятники будут выполнять роль гасителей вы-
z
точка С	—(₽'—coa) I sin Р',
точка Су — ш(г-J-Zcosa')-f-(fi—(Da)Zsina',
0>(л-J-Zcos Р")—( a-J-a$)Zsin [Г,
(a-j-co^) Zsin a',
— (3—a>a)(r+ZcoS [S').
—-(a-)-<D3)(r-J-Zcos a')-
Прибавив к этим скоростям проекции относи- нужденных колебаний оси диска для любой гармо-
тельных скоростей	ники, за исключением порядка, равного единице,
22
4.	ПРИСОЕДИНЕННАЯ МАССА В ВИДЕ ТЕЛА, КАТЯЩЕГОСЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ, СВЯЗАННОЙ
С НАЧАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Представим себе, что в теле, которое может
вращаться около оси г, имеется внутренняя по-
лость. Часть поверхности этой полости (S) около
оси у имеет нормаль, мало отклоняющуюся от
оси у, а в точке Р пересечения с осью у нормаль
с ней совпадает (см. фиг. 4). Такая полость может
быть внутри противовеса коленчатого вала, распо-
ложенного на продолжении щеки колена; при этом
ось z направляется по оси вала, а ось у — по оси
щеки.
Пусть главные нормальные сечения поверх-
ности (S) совпадают с плоскостями ху и yz и соот-
ветствующие радиусы кривизны будут р2 и р2.
Предположим, что они одного знака, но можно
было бы рассматривать и случай, когда кривизна
главных сечений разного знака.
Вал с противовесом вращается около оси z, и
при этом ось вала z может колебаться около свое-
го недеформированного положения, отклоняясь от
него на углы а и ₽, подобно тому, как это мы рас-
сматривал!! в- разделе 3 предыдущей работы *. Кро-
ме того, благодаря закручиванию вала противовес
может колебаться около оси z, отклоняясь на
угол от равномерного вращения. Эти колебания
могут вызывать радиальные и касательные силы,
действующие на шатунную шейку вала.
В некоторых случаях гасителем этих вынужден-
ных колебаний может быть присоединенное те-
ло' (St) в виде ролика, вложенного в полость про-
тивовеса. Ролик прижимается к поверхности (S)
полости и в относительном положении равновесия
касается этой поверхности в точке Р, Положим,
что главные нормальные сечения ролика в равно-
весии совпадают с такими же сечениями (S) и
соответствующие радиусы кривизны ролика р\
и р'2 меньше радиусов рг и р2. При колебаниях
противовеса вокруг оси z и вместе с осью z около
точки О ролик будет откатываться по поверх-
ности (S) в сторону и возникающие при этом силы
инерции при выполнении условия настройки будут
уравновешивать силы, возбуждающие колебания.
Цилиндрические ролики, катящиеся по цилиндри-
ческой поверхности, применяются довольно широ-
ко; их теория дана в [4], [6]. Бочкообразные ро-
лики описанного типа также иногда применяются;
устройство их см. в [7].
В дальнейшем мы будем предполагать, что опо-
ры вала весьма близки к точке О и что переме-
щениями этой точки при прогибах вала можно
пренебречь. Допустим, что возможны только коле-
бания противовеса около оси z на угол ср и коле-
бания самой оси z в плоскости yOz на угол а.
Как и в разделе 3, введем оси £, т), С, по отно-
шению к которым определяется положение оси z
с помощью углов а и |3. Положим жесткости вала
такими, что углом р можно пренебречь. В таком
случае проекции угловой скорости трехгранника
осей х, у, z на эти осп выразятся так:
—а , —а>а, ш ср.
К проекции на ось z необходимо прибавить угло1-
вую скорость колебания противовеса около оси z,
равную <р.
1 См. стр. 6.
Чтобы получить условие настройки, необходимо
составить выражение дополнительной живой си-
лы, возникающей от движения присоединенного
ролика. Будем предполагать, что ролик катится без
скольжения. Для малых отклонений ролика сила
трения достаточна для того, чтобы удержать его
от скольжения.
Фиг. 5.
Присоединение ролика, катящегося по поверх-
ности (S), увеличивает на две единицы число сте-
пеней свободы системы; кроме того, получается си-
стема неголономная. Однако для малых колебаний
уравнения связей интегрируются, и мы можем
обычным образом выбрать обобщенные координа-
ты. Для малых колебаний неголономной системы
справедливы уравнения Лагранжа (см. [5]). Для
вывода наших условий настройки нужно, следова-
тельно, как и в предыдущих случаях, выписать
уравнения Лагранжа, соответствующие дополни-
тельным обобщенным координатам.
Предварительно рассмотрим геометрические со-
отношения. Пусть центр тяжести ролика находит-
ся в точке G, которая может не совпадать с
центрами кривизны его главных нормальных сече-
ний. Поместим в точке G начало, системы осей х’,
у', z'f которые в положении равновесия ролика
параллельны осям х, у, г (фиг. 5).
Отклонившись во время движения от положе-
ния относительного равновесия, ролик будет ка-
саться поверхности (S) в какой-нибудь точке Р',
проекции которой на плоскости ух и yz будут Р±
и Р2. Точка касания опишет на поверхности ро-
лика и на. поверхности полости две дуги. Спроек-
тируем эти дуги на плоскости ху и yz (см. фиг.. 5).
На эти же плоскости спроектируем соответственно
оси х', у' и у', z'.
Пусть проекции оси у' образуют с осью у углы у
и 8. Примем эти два угла за дополнительные об-
общенные координаты, определяющие положение
ролика.
Нормаль, проведенная в точке касания обеих
поверхностей, проектируется на плоскости ху и yz
в виде прямых OJ\ и О.,Р.Л. Эти прямые образуют
с направлением нормали в точке касания при рав-
новесии углы X'j, Х2, л'2.
Так как при отсутствии скольжения дуги, опи-
санные точкой касания на обеих поверхностях, бу-
23
Дут одинаковой длины, то в силу их малости мож-
но написать такие равенства:
sJ=X1p1=XiPi,
S2 '===- ^2?2 “ ^'2р 2*
Кроме того,
T=Xi—8= Кг—К2.
Отсюда
1 Р1 1 Ps s
К1 = Д И К2 =  ;О.
Р1 — Pl	Р2 ?2
Определим зависимость от углов 7, 8 коорди-
нат центра тяжести ролика х0, уе, ze по отно-
шению к осям х, у, z.
В положении равновесия эти координаты будут
xG=Q, ув=1, ze=0,
где 1—OG. Из фиг. 5 видно, что с точностью
до малых первого порядка
х0=—г\ и zff=r'8,	(18)
где t’=PG. При отклонении от положения рав-
новесия координата ув убывает; при этом проек-
ция ее на плоскость ху уменьшается на величину
(Pl—pi) (1—cos Х1)=-у(Р1—pint
а проекция ее на плоскость yz—па величину
(р2—pi)(l—cosX2)--y(p2— pip!
Следовательно, общее уменьшение координаты yG
будет равно сумме этих двух величин, если учесть
это уменьшение с точностью до величин второго
порядка по1 отношению к углам у и 8. Таким об-
разом после замены Xj и К2 их выражениями по-
лучим
л=<—	? - ф -A-**- (if)
Z Pl-Pl	Z	Pa—P2
 Введем теперь опять неоднократно применяв-
шиеся нами оси £, т;, С (фиг. 6). Угол р предпо-
лагаем равным нулю, и, следовательно', оси х, у, г
отклоняются от £, »?,£ так, что вокруг оси £ они
поворачиваются на малый угол а, а вокруг оси z—
на малый угол ®; а— это угол колебания оси ва-
ла от изгиба его оси; ? — угол колебания массы
при закрутке вала. Положительное значение этих
углов указано на чертеже и там же указаны со-
ответствующие угловые скорости а и ®.
В следующей таблице приведены косинусы углов
между двумя системами осей:
Пользуясь этой таблицей, найдем координаты
центра тяжести ролика. Формулы преобразования
координат дадут
cos с — уе sin
cos a sin <f—ув cos а cos <р -|-гс sin а,
^а——хе sin а sin ср—yG sin а cos <p-(-zffCOS а.
или с точностью до малых второго порядка
получим
Этими формулами воспользуемся для вычисле-
ния скорости точки G.
Чтобы выразить живую силу ролика, найдем
скорость его центра тяжести в проекциях на оси
£, т), С и его угловую скорость в проекциях на
оси х, у, z.
Переносная скорость точки G определится по
ее координатам и угловой скорости трехгранни-
ка х, у, z. В проекциях на оси £, т], С скорость
точки G будет	I . ‘ , i I
“г = — а,
Шт; =(co-j-cp )а,
- ша2
(21)
	X	У	2
£	COS ср	—sin	0
»!	cos a sin ?	cos а cos ср	sin а
	—sin а sin	— sin a cos ср	cos а 1
В этих формулах в правых частях сохранены
члены до второго порядка малости, для чего
sin а и cos а заменены первыми членами их раз-
ложений.
Переносная скорость точки G дает на оси 5,
т], С проекции
=“ч ^g~“с
?g—^g.
Vgi; =°Ч ’ll?—“ч
24
Прежде чем их вычислять, найдем проекции на
эти же оси относительной скорости точки G. Для
этого воспользуемся условием касания ролика в
точке Р' и отсутствием скольжения. Эти условия
означают, что линейная скорость точки Р' ролика
должна равняться нулю. Выразим эту скорость че-
рез скорость центра тяжести и относительную
угловую скорость ролика.
Относительная угловая скорость ролика состоит
из двух компонентов: при изменении углов у и 8
получим соответственно по оси х' проекцию — 8,
а по оси z' — проекцию— у. По оси у' проекция
угловой скорости ролика равна нулю; при этом
мы, правда, предполагаем, что ролик только ка-
тится, а не вертится, т. е. не имеет еще угловой
скорости, проходящей через точку касания.
Обозначим проекций на оси х^у\г' (относи-
тельных линейных скоростей точек Р и G через и.
Координаты точки Р относительно х', у', г' с нуж-
ным для этого вычисления приближением будут
=—sp yP~r', z'p=s2,
Ср) (Z-f-p)-f-
|	-{-со(г'с—/а)а—г'у ,
^сч=(“+ Т)(~/"у—/?) +
-(-(/о—/а) а — Gjyy—С288,
WG', = —ш(—/у—/ср)а—
— а(/+£) + г'8,
1 Р1 2	1 Р 2
2 Pl-Р1	2 Р2—р2
(24)
Теперь составим проекции на оси х, у, г абсо-
лютной угловой скорости ролика. Эта скорость со-
стоит из переносной угловой скорости, проекции
которой с выбранной степенью точности определе-
ны по (21), и относительной угловой скорости, про-
екции которой уже были вычислены выше. Таким
образом получаем
где st и s2 — проекции дуги, описанной точкой Р.
Точка G находится в начале координат х', у', г'.
С точностью до величин второго порядка малости
получаем
Чрх' =UGx’-j-f'Ti= О,
0л= — и— 8,
Й„= —(«+ ?)а,
•	ша2
6е=“+ <Р— Т-2"
(25)
Ир у'— И Gy' “(“Sjy-f-SgS—О,
Upz' =Ug2' — r'8 = 0.
(22)
Этих величин достаточно, чтобы составить
выражение живой силы:
27’ =	4~	®с? )4~Zr 2дг-(- JyQv-\-Jz Q2>
Относительная скорость ир точки касания
равна нулю; поэтому написанные формулы дадут
нужную нам скорость ис:
иоХ'=—г'^,
Ису' == — Sjy S28,

(23')
Проекции Uqx' и иоу— величины первого по-
рядка, а проекция uqz-—величина второго по-
рядка, так как st и s2 пропорциональны у и 8,
По найденным проекциям скорости точки G мож-
но' определить проекции той же скорости на
оси х, у, z. При этом окажется, что если новые
проекции искать с той же точностью, то они не бу-
цут отличаться от найденных. Если даже будем
искать проекции на оси Е, у], С той же относи-
тельной скорости G, то результат окажется ана-
логичным: с выбранной степенью точности новые
проекции не будут отличаться от вычисленных.
где tn—масса ролика, Jx, Jv, Jz—моменты инер-
ции его относительно главных центральных осей
х', у’, Z’.
Строго говоря, в этой формуле абсолютная ско-
рость ролика S должна быть спроектирована на
оси х', у', z', но', как уже указывалось, эти проек-
ции до малых второго порядка не отличались бы
от проекции на оси х, у, г.
Составим теперь дополнительные уравнения, со-
ответствующие переменным у и 8. После всех
упрощений они примут вид
Итак, можно положить
=—г'у,
HGt””	S28-
— — а1П~-°2
Иос—г'Ь.
(tnr'l—Jx)i Н-(тг'2+Л)у +
/ Pi2i	\
-j-rnw21------—г'2 ] у=0,
\ pi-р;	)
(tnr’l —Jx) а—(mr'2	—
—ты2 -^—8=0.
Р2~Р2
(26)
(23")
Переходя к уравнениям для амплитуд и по-
лагая частоту равной k=vw, находим следующие
условия настройки:
Складывая переносную скорость и относительную
скорость точки G, после отбрасывания членов вы-
ше второго порядка малости, найдем проекции на
оси И, т], С абсолютной скорости:
(27)
4 Груды ЦИАМ № 142.
25
где
•2___ /“	— J*
Х т ' г т
Для того чтобы <р и а одновременно обраща-
лись в нуль, необходимо, чтобы две величины
и
гЧ—/у=А0
r'Z-r^O
(28)
были огличны от нуля.
Условия эти могут быть вообще выполнены.
Возьмем, например, случай, когда вместо ролика
присоединенное тело представляет собой однород-
ный шарик. В этом случае
Pi = р2=г'
и условия (27) и (28) превращаются в следующие:
Эти условия, очевидно, могут быть обеспечены.
Аналогичным образом можно было рассмотреть
случай, когда присоединенное тело имеет форму
кольца с торообразной поверхностью п катится по
такой же поверхности с несколько измененными
радиусами кривизны нормальных сечений около
точки равновесия Р (фиг. 7).
Вообще можно предложить много различных
способов присоединения масс, которые при выпол-
нении условий настройки будут оказывать на си-
стему описанное выше действие гашения вынуж-
денных колебаний определенной частоты (вернее,
гармоники определенного порядка при условии, что
k=/~ <и).
Кроме вывода условия настройки, которое пока-
зывает только возможность осуществления гаси-
теля колебаний выбранного типа, необходимо еще
каждый раз определять и амплитуды колебания
присоединенного тела. Эти амплитуды линейно бу-
дут зависеть От (сил, возбуждающих колебания.
Необходимо убедиться в том, что при заданных
силах амплитуды эти могут быть сделаны настоль-
ко1 малыми, чтобы теория малых колебаний вооб-
ще могла быть приложима. Правда, в принципе
это всегда можно сделать путем увеличения масс
и моментов инерции присоединенных масс. Но при
этом могут понадобиться такие массы, что практи-
чески выбранный способ присоединения масс ока-
жется непригодным.
Фиг. 7.
Если допускать большие амплитуды, задача ста-
новится нелинейной, и хотя в этом случае массы
присоединенного тела можно как угодно снизить,
но появляется новое осложнение, выражающееся в
неизохронности колебаний. Рассмотрение этого во-
проса дано в [3].
Мы разбирали случай, когда основная система
имеет незначительное число степеней свободы.
Когда это число велико, возникает еще вопрос, на
какие обобщенные координаты выгоднее воздей-
ствовать присоединением масс, так как действие
такой массы имеет локальный характер, не распро-
страняющийся на всю систему.
Однако все эти вопросы носят общий характер
и не имеют никакой специфики в области изгиб-
ных колебаний валов. Поэтому здесь мы их и не
рассматриваем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейман И. Ш., Маятниковые противовесы, „ТВФ*
№ 1, 1939.
2. Крюков К. А., Маятниковая упругая муфта, Тру-
ды МАИ, сб. № 2, стр. 223 - 235, 1940.
3. Ж и т о м и р с к и й В. К., Маятниковый демпфер ма-
лого веса, М., Оборонгиз, Труды ЦИАМ, вып. 43, 1942.
4. Штиглиц А., Влияние маятников иа крутильные
колебания. В сборнике переводов „Колебания валов авиаци-
онных двигателей’, М., ЦИАМ, стр. 40—77, 1941.
5.	Уиттекер Е. Г., Аналитическая динамика, М.—Л.,
ОНТИ, 1937.
6.	Зданович Р. В. и Вильсон Т. С., Маятнико-
вые демпферы, перевод ЦИАМ № 4442, 1941.
7.	Axial vidration of diesel engine crankshafts, Discussion,
J. Proc. Inst. Meeh. Eng., v. 148, № 5, p. 207—212, 1942.
.Институт ГК £$)
НБАИОТЕкГ"
Редактор С. Г. Бошенятов
Г76671. Подп. в печать 10/Ш 1948 г.
Бесплатно.
__________________V Ц V	Техн ред. И. Н. Пискарева
Печ. л. З’Д- Уч-изд. л, 4. Тип. зн. в^печ. л. 58000 Формат 60х92'/8.
Зак. N 934 8986.
Типография Оборонгиза.