ЩЙЗИКЕ1

iTiElOJiP ИИ
А.С. Кондратьев
П.А. Райгородский
ЗАДАЧИ
ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ,
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
И
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям
педагогического образования Министерства образования и науки РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
540200 (050200) Физико-математическое образование
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2007
УДК 536
ББК 22.317
К 64
Кондратьев А.С., Райгородский П.А. Задачи по термодинами-
ке, статистической физике и кинетической теории. — М.: ФИЗМ АТЛИТ,
2007. - 256 с. - ISBN 978-5-9221-0876-8.
Сборник задач соответствует современному курсу статистической физики
для студентов физических специальностей вузов.
Наряду с классическими задачами впервые рассматриваются задачи по
теории квантовых жидкостей, которая широко применяется в настоящее время
в физике твердого тела, физике металлов, физике магнитных явлений, ядерной
физике и астрофизике. Для большинства задач приведены подробные решения.
Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педаго-
гического образования Министерства образования и науки РФ в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование.
ISBN 978-5-9221-0876-8
© ФИЗМАТЛИТ, 2007
© А.С. Кондратьев, П.А. Райгородский,
2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 5
Список обозначений.......................................... 7
Глава 1. Феноменологическая термодинамика................... 9
§ 1.1.	Основные термодинамические соотношения............. 9
§ 1.2.	Термодинамика диэлектриков и магнетиков........... 11
Задачи.............................................. 13
Задачи для самостоятельного решения................. 44
Глава 2. Равновесная статистика классических и кванто-
вых систем............................................ 45
§ 2.1.	Статистические ансамбли и статистические суммы... 45
§ 2.2.	Классические и квантовые функции распределения... 47
Задачи.............................................. 51
Задачи для самостоятельного решения................. 80
Глава 3. Равновесная статистическая механика квантовых
газов................................................. 81
§3.1. Ферми- и бозе-газы................................. 81
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической
механике............................................ 83
Задачи.............................................. 84
Задачи для самостоятельного решения................ 123
Глава 4. Равновесная статистическая механика квантовых
жидкостей. Квантовые ферми- и бозе-жидкости.......... 124
§4.1.	Нормальная ферми-жидкость........................ 124
§ 4.2.	Сверхтекучая бозе-жидкость....................... 126
Задачи............................................. 127
Задачи для самостоятельного решения................ 145
Глава 5. Теория флуктуаций................................ 147
§ 5.1.	Элементарный расчет флуктуаций................... 147
§5.2.	Гауссова квазитермодинамическая теория флуктуаций . . . 147
§ 5.3.	Статистическая теория флуктуаций................. 149
§ 5.4.	Описание динамических систем с флуктуирующими пара-
метрами ............................................... 150
Задачи............................................. 152
Задачи для самостоятельного решения................ 176
Глава 6. Динамический подход к теории неравновесных яв-
лений................................................ 177
§6.1.	Статистическое описание	неравновесных систем..... 177
§ 6.2.	Уравнения Лиувилля и Неймана..................... 177
§ 6.3.	Приближение самосогласованного поля.............. 178
Задачи............................................. 180
Задачи для самостоятельного решения.................209
4
Оглавление
Глава 7. Описание неравновесных явлений с помощью
управляющих уравнений............................. 210
§ 7.1.	Кинетическое уравнение Больцмана................210
§ 7.2.	Уравнение кинетического баланса Паули...........211
§ 7.3.	Уравнение Фоккера—Планка........................211
§ 7.4.	Кинетические явления в квантовых жидкостях......212
Задачи.............................................215
§ 7.5.	Задачи для самостоятельного решения.............251
Список литературы........................................252
Предисловие
Изучение статистической физики происходит на завершаю-
щем этапе общего физического образования, одинакового для
всех конкретных специализаций, по которым происходит подго-
товка на физических факультетах университетов и технических
вузов с углубленным изучением физики. Уверенное владение
методами статистической физики и способность к решению со-
ответствующих задач составляют неотъемлемую часть полноцен-
ного образования. Вторгаясь в самые разнообразные разделы со-
временной науки, не только собственно в физике, но и в химии,
биологии, медицине, социологии и т. д., статистическая физика
в настоящее время играет все более активную и важную роль
в развитии методологии научных исследований.
Изучение статистической физики, как правило, осуществля-
ется на IV курсе, причем практически схема изучения реали-
зуется либо в одном объединенном курсе, содержащем феноме-
нологическую термодинамику, статистическую механику и ки-
нетическую теорию, либо в двух, а иногда и в трех отдельных
курсах, содержащих эти части. В качестве учебного материала
в различных вузах используются различные пособия, список
которых приведен в конце книги. Практические занятия по реше-
нию задач проводятся в течение одного или двух семестров. При
этом студенты сталкиваются с весьма сложной проблемой овла-
дения современными методами решения конкретных задач по
весьма широкому кругу вопросов. Имеющиеся в настоящее время
учебные пособия по решению задач («Термодинамика и стати-
стическая физика» Р. Кубо, «Задачи по термодинамике и стати-
стической физике» под ред. П. Ландсберга, «Сборник задач по
теоретической физике» под ред. А. А. Сенкевича и др.) не могут
обеспечить решение проблемы, ибо, во-первых, не удовлетворяют
основному принципу — отбору относительно небольшого коли-
чества задач, на которых можно уверенно отработать необходи-
мые навыки использования современных методов, а во-вторых,
содержащийся в них материал в определенной степени устарел.
Не удовлетворило в достаточной степени решению сформулиро-
6
Предисловие
ванной проблемы и пособие «Задачи по статистической физике»
А. С. Кондратьева и В. П. Романова, изданное «Физматлитом»
в 1992 г., в первую очередь, благодаря тому, что содержало, по
мнению коллег, в основном слишком сложные задачи, большин-
ство которых оказалось недоступным для студентов, специализи-
рующихся по экспериментальной физике. Далее, за прошедшие
15 лет некоторые вопросы, такие, как метод Монте-Карло и ме-
тод молекулярной динамики, оказались выведенными из курсов
статистической физики и в настоящее время составляют предмет
различных спецкурсов в бурно развивающейся вычислительной
физике.
Настоящее пособие полностью переработано по сравнению
с указанным пособием, оно в полтора раза превышает его
по объему — 150 задач вместо 100. Содержание пособия об-
новлено наполовину. Исключены разделы, посвященные мето-
ду Монте-Карло и методу молекулярной динамики; исключено
более 20 задач, посвященных достаточно узким специальным
вопросам. Исключен раздел, посвященный устаревшей теории
фазовых переходов Ландау.
Во все разделы пособия добавлены 70 новых задач разной
степени сложности, которые вместе с оставшимися составляют
более широкий спектр по охвату предмета, что должно сделать
пособие пригодным для студентов, специализирующихся как по
теоретической, так и по экспериментальной физике. Добавлен
раздел, посвященный рассмотрению равновесных свойств кван-
товых ферми- и бозе- жидкостей в рамках феноменологиче-
ских теорий Ландау и Ландау—Силина. В раздел, посвященный
физике неравновесных явлений, добавлены задачи, в которых
рассматриваются кинетические свойства квантовых жидкостей.
Теория квантовых жидкостей занимает все более важное место
в различных разделах физики — теории твердого тела, физике
металлов, теории магнитных явлений, теории ядра, астрофизике
и т. д., поэтому включение указанных вопросов в пособие по
решению задач по статистической физике является актуальным
и своевременным.
Список обозначений *)
и, (Е), Е
S
V
Р
Р
N
Т
F
W
Ф
Q
v
S
р
с
тп
Е
D
Р
Н
В
М
1 (dV\
(У. — — I - I
V \дТ)
ср
внутренняя энергия
энтропия
объем
давление
химический потенциал
число частиц
температура
свободная энергия Гельмгольца
тепловая функция (энтальпия)
термодинамический потенциал (свободная энер-
гия Гиббса)
большой термодинамический потенциал
внутренняя энергия единицы объема (у = U/V)
энтропия единицы объема (s = S/V)
плотность (р = Nm/V)
химический потенциал единицы массы
масса частицы
вектор напряженности электрического поля
вектор электрической индукции
вектор поляризации
вектор напряженности магнитного поля
вектор магнитной индукции
вектор намагниченности
коэффициент теплового расширения (изобари-
ческий)
теплоемкость при постоянном давлении
теплоемкость при постоянном объеме
количество теплоты
скорость движения
изотермический модуль упругости
скорость распространения продольного звука
теплоемкость единицы объема (ср = Cp/V)
О Обозначения величин, встречающихся только один раз, приведены в со-
ответствующих задачах.
8
Список обозначений
се	— теплоемкость единицы объема при постоянном
cd	Л/ — теплоемкость единицы объема при постоянном D
г f М СЕ = ~v 1 k Еп	и —	диэлектрическая проницаемость —	свободная энергия единицы объема (/ = F/V) —	масса системы —	теплоемкость системы при постоянном Е -т—	— изотермическая сжимаемость \дР/т —	постоянная Больцмана —	энергия системы в состоянии с квантовым чис- лом п
Q Qn-	— статистическая сумма канонического ансамбля — статистическая сумма канонического ансамбля системы из N частиц
H(q,p) h £	—	функция Гамильтона —	постоянная Планка (Й = —) Z7T —	статистическая сумма большого канонического ансамбля
EnN	— энергия системы N частиц, находящейся в квантовом состоянии п
H p wn w(E)	—	плотность состояний —	оператор Гамильтона —	статистический оператор —	квантовая функция распределения —	функция распределения в энергетическом пред-
V(r) n(r) Z ftp) c £(p) о a Nx FkM £f Mo	ставлении —	потенциальная энергия —	функция распределения по координатам —	конфигурационный интеграл —	функция распределения по импульсам —	скорость света —	энергия частицы как функция импульса —	спиновый оператор Паули —	спиновое квантовое число —	магнетон Бора —	матрица Паули —	число заполнения квантового состояния А —	интеграл Ферми—Дирака —	энергия Ферми —	химический потенциал, термодинамически со- пряженный числу частиц
Глава 1
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
§1.1. Основные термодинамические соотношения
Термодинамика устанавливает точные соотношения меж-
ду различными макроскопическими параметрами системы, т. е.
различными экспериментально измеряемыми характеристиками.
Для вычисления таких характеристик необходимо привлекать
уравнение состояния, получаемое на основе статистического под-
хода или данных эксперимента.
Если в задаче требуется выяснить, как изменяется опре-
деленная физическая величина х при изменении величины у
в процессе, при котором остаётся постоянной величина z, то дело
сводится к вычислению частной производной • В термоди-
намике устанавливается связь этой производной с производными
от других физических величин по, вообще говоря, другим пере-
менным, т. е. устанавливаются термодинамические тождества.
Получение термодинамических тождеств основано на исполь-
зовании фундаментального равенства Гиббса, которое имеет вид
dU = TdS - pdV + pdN.
(1.1)
Внутренняя энергия U, рассматриваемая как функция S, V и N,
называется термодинамическим потенциалом. При этом говорят,
что она задана в своих естественных переменных. Поскольку,
Э2С/ д2и
например,	то из (1.1) следует
_ /др\
dVJs,N~ \dSjv.N'
&Г_\	_ (др\
dN ) S.V	\ds)v,N’
др \	_	/ др \
dN/ S.V \dV Js,N
(1.2)
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
На практике бывает удобно перейти к термодинамическим потен-
циалам с другими естественными переменными. Они получаются
с помощью преобразований Лежандра
F(T,V,N) = U — TS,
W (S,p,N) = U + pV,
$(T,p,N) = U+ pV -TS,
Q (T, V,p) = U -TS - fiN.
Можно построить и другие потенциалы, например Л = U — p,N,
однако практически они не используются. Из определений (1.3)
с учетом (1.1) следуют равенства
dF = —SdT - pdV + pdN,
dW = Vdp + TdS + pdN,
d$ = Vdp - SdT + pdN,
d£l = -SdT - pdV - Ndp.
Из равенств (1.4) следуют аналоги равенств (1.2); например, из
первого равенства (1.4) имеем
_ (др\
dV)t,N ~ \dTJv.N ’
_ (др\
9NJt,V \dTJv,N’
др \	_	/ др\
\ 9N 7 ту	\ dV J t,N
Практически переход от одних термодинамических переменных
к другим удобно производить, используя определители — якоби-
аны перехода
ди ди
д (и, v) _ Qx ду
д(х,у) ~ dv dv
(1-6)
дх ду
С их помощью частные производные записываются в виде
_ д (и, у)
дх)у д(х,уУ
(1.7)
а переход от одних переменных к другим осуществляется следу-
ющим образом:
д(и, V) _ d(u,v} d(t,s)
д(х,у) d(t,s) д{х,у)'
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
11
При практическом использовании метода якобианов выбирать
новые переменные t и s следует таким образом, чтобы возника-
ющие производные от термодинамических функций выражались
через экспериментально измеряемые величины, т. е. через есте-
ственные переменные термодинамических потенциалов. Именно
эти величины (р, V, Т, S, N) и входят в уравнения состояния.
Через энтропию S выражаются экспериментально измеряемые
теплоемкости системы при различных условиях. В результате за-
/ др \	/ др \
мены переменных возникают производные типа —	, ™
\dv )т \д1 /V
и т. д.
Если три величины х, у и z связаны функциональной за-
висимостью f(x, у, z) = 0, то удобно использовать следующее
тождество:
/ dz \ (дх\ (&У\ — ।
\дх)у \ду/z \dz)x
(1.9)
Поскольку часто рассматриваются системы с фиксированным
числом частиц, то соотношения (1.1)-(1.5) переписывают с уче-
том этого факта. Например,
dU = TdS-PdV, =	(1-10)
В гидродинамике и при рассмотрении неоднородных систем ис-
пользуются удельные характеристики системы, т. е. значения фи-
зических величин, отнесенных к единице массы. В этом случае,
например, вместо (1.1) имеем
de = ^dp + Tds,
Р
Nm
где е и s — энергия и энтропия единицы массы, р = m —
масса одной частицы, N — число частиц. Отсутствие слагаемого,
аналогичного pdN, объясняется тем, что в однокомпонентной
системе единица массы содержит фиксированное число частиц.
Подобным образом записываются аналоги соотношений (1.4).
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
При наличии электрического поля Е выражение для диффе-
ренциала внутренней энергии единицы объема системы и запи-
сывается в виде
du = Tds + (dp + -^-EdD,	(1.11)
4тг
12 Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
, М
где С = — — химическим потенциал, отнесенный к единице мас-
ти
Nm
сы, т — масса частицы, р = -r^-, D — индукция электрического
поля.
Плотность энергии и в (1.11) — это полная плотность энер-
гии системы, изменение которой определяется теплопередачей,
изменением числа частиц и изменением электрического заряда.
Наряду с и можно рассматривать функцию
ui=ti--i-ED,	(1.12)
4тг
которая получается из и преобразованием Лежандра по перемен-
ным Е и D. Поэтому
dui = Tds + (dp - -J-DdE.	(1.13)
4тг
Можно в явном виде выделить из и плотность энергии электри-
ческого поля	2
и2 = «-?-•	(114)
о7Г
Тогда, учитывая, что D = Е + 4тгР, где Р — поляризация, имеем
с помощью (1.11)
du2 = Tds + (dp + EdP.	(1-15)
Наконец, преобразуя по Лежандру в отношении переменных
Е и Р, имеем
из = «2-РЕ.	(1-16)
Соответственно
du3 = Tds + (dp - PdE.	(1.17)
Остальные термодинамические потенциалы получаются с помо-
щью равенств (1.11)-(1.17) на основе общих соотношений (1.3).
Функциям U2 и и3 можно дать наглядную интерпретацию
в соответствии с характером описываемой ими части плотности
полной энергии системы и. Например, U2 описывает плотность
энергии системы за вычетом плотности энергии электрического
поля. Использование функции щ вместо и соответствует си-
туации, когда полный электрический заряд системы остается
неизменным, а изменяются электрические потенциалы.
Выбор функций и, ui, U2 и и3 определяется тем, какая
часть энергии электрически заряженной системы рассматривает-
ся в конкретной задаче.
Термодинамические соотношения для магнетиков весьма
сходны с аналогичными соотношениями для диэлектриков.
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков 13
Выражение для дифференциала внутренней энергии единицы
объема имеет вид
du = Tds + (dp + -ДшВ.	(1.18)
4тг
Наряду с и рассматривается также термодинамический потенци-
ал	.
щ=и- -—НВ,	(1.19)
4тг
так что	1
dui = Tds + (dp - -'-BdH.	(1.20)
4тг
Можно выделить в явном виде плотность энергии магнитного
поля в отсутствие магнетика:
ч2
и2 = и-%~.	(1.21)
О7Г
Тогда, учитывая соотношение
В = Н + 4тгМ,
где Н — напряженность магнитного поля, имеем
du2 = Tds + (dp + HdM.	(1.22)
Преобразуем u2 по Лежандру в отношении переменных М и Н:
u3 = u2-MH.	(1.23)
Теперь для du3 следует
du3 = Tds + (dp - MdH.	(1.24)
Иногда в явном виде выделяют плотность энергии магнитного
поля при наличии магнетика
d2
и'=и_я	(1.25)
О7Г
В этом случае для дифференциала и2 имеем
и'2 = Tds + (dp - McflB.	(1.26)
Задачи
1.	Нулевым началом термодинамики называется утвержде-
ние о существовании функции состояния системы — темпера-
туры Т, которая имеет одинаковое значение для всех систем
14	Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
или частей одной системы, находящихся в равновесии между
собой. Это утверждение является следствием эксперименталь-
ного факта — транзитивности термодинамического равновесия.
Используя свойство транзитивности, докажите существование
такой функции.
Решение. Рассмотрим простейшую термодинамическую си-
стему, описываемую макроскопическими параметрами р и V.
В состоянии равновесия между двумя системами А и В между
значениями этих параметров для каждой системы pa, Va и рв,
Vb должно существовать определенное соотношение, которое
можно записать в виде
Fi(pa,Va;pb,Vb) = O.	(1.27)
Транзитивность равновесия означает следующее: если система
А находится в равновесии с системой В, а система В — с систе-
мой С, то система А также находится в равновесии с системой
С. Это значит, что при выполнении соотношения (1.27) и соот-
ношения
F2(pb,Vb;pc,Vc) = 0	(1.28)
должно выполняться и третье соотношение:
F2(pa,Va;pc,Vc) = 0.	(1.29)
Можно сформулировать это утверждение и несколько иначе: из
любых двух соотношений (1.27)-(1.29) должно следовать третье.
Это возможно лишь тогда, когда эти три уравнения равносильны
следующим:
/а (pa, Va) = /в (РВ, Vb) = fc (pc. Vc) = 0.	(1.30)
Действительно, выбирая функцию F\ в виде
Л = /а (pa, Va) - /в (рв, Vb)	(1.31)
и аналогичным образом функции В2 и F3, приходим к уравнени-
ям (1.30). Величина 0 называется эмпирической температурой,
а любое из уравнений (1.30) — термическим уравнением состоя-
ния соответствующей термодинамической системы.
2.	Покажите логическую эквивалентность формулировок
Клаузиуса (К) и Томсона (Т) второго начала термодинамики.
К: Невозможно осуществить такой процесс, единственным
результатом которого был бы переход теплоты от тела с меньшей
температурой Т2 к телу с большей температурой Т\.
Т: Невозможно осуществить периодически действующий теп-
ловой двигатель, который все взятое у нагревателя с температу-
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
15
рой Т\ тепло целиком превращал бы в работу, ничего не отдавая
холодильнику с температурой Т2; ^2 < Т\.
Решение. Эквивалентность (обе формулировки либо вер-
ны, либо обе неверны) доказывается простым рассуждением от
противного. Пусть утверждение Томсона верно, а утверждение
Клаузиуса неверно. Рассмотрим тепловой двигатель, получаю-
щий от нагревателя теплоту Qi при температуре Т\ и отдаю-
щий холодильнику теплоту Q2 при температуре Т2. Разность
А = Qi — Q2 соответствует работе, совершаемой тепловым дви-
гателем. Неверность утверждения Клаузиуса позволяет провести
некоторый процесс между холодильником и нагревателем, един-
ственным результатом которого будет переход (за тоже время)
количества теплоты Q2 от холодильника к нагревателю. В ре-
зультате эффективно нагреватель отдает количество теплоты,
равное Qi — <Эг> которое окажется целиком переведенным в рабо-
ту, так как холодильнику эффективно ничего не передается. Но
такое комбинированное устройство невозможно, поскольку оно
противоречит утверждению Томсона, которое по предположению
справедливо. Итак, комбинация, когда К неверно, а Т — верно,
невозможна. Аналогично доказывается невозможность обратной
комбинации, когда Т верно, а К — неверно.
3.	Второе начало термодинамики может быть сформулирова-
но в виде принципа адиабатической недостижимости Каратеодо-
ри: вблизи каждого равновесного состояния термодинамической
системы есть другие равновесные состояния, недостижимые из
первого адиабатическим путем, т. е. без теплообмена. Покажите
эквивалентность этого принципа формулировке второго начала
термодинамики, предложенной Томсоном.
Решение. Перейдем из некоторого равновесного состояния
1 в другое равновесное состояние 2, сообщив системе некоторое
количество теплоты Q таким образом, чтобы система совершила
при этом работу А. На основании первого начала термодинамики
справедливо:
Q = Е2 - Ei + А.	(1.32)
Обратный переход из состояния 2 в состояние 1 совершим адиа-
батическим путем; пусть при этом система совершает работу А'.
В этом случае справедливо:
0 = Ei-E2 + A'.	(1.33)
В результате система вернулась в начальное состояние 1, в ко-
тором энергия системы имеет прежнее значение Е\, что и до
16 Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
описанных переходов. С помощью (1.32) и (1.33) находим:
Q = A + A'.	(1.34)
Этот процесс можно повторить многократно и тем самым
реализовать периодически действующее устройство, которое всю
полученную теплоту превращает в работу, не отдавая тепло-
ты окружающим телам. Но это противоречит второму началу
термодинамики в формулировке Томсона. Нетрудно видеть, что
переход системы из одного состояния в другое, описываемый
уравнением (1.32), всегда возможен. Значит, в общем случае
невозможен переход, описываемый уравнением (1.33). Другими
словами, состояние 1 адиабатически недостижимо из состояния
2 — и наоборот, в силу произвольности состояния 2 отсюда
следует, что состояние 1 окружено адиабатически недостижи-
мыми из него состояниями 2. Тем самым устанавливается обя-
зательность теплообмена для произвольных макроскопических
процессов.
4.	Установите связь между изотермическим Кт и адиабати-
ческим /<ад модулями упругости:
K^-V(^T’ K«=-v (£)..
Решение. Эту задачу можно решить, не используя второго
начала термодинамики. Для этого нужно вывести уравнение
,	(&Р\
адиабаты и вычислить производную (	) •
Записав первое начало термодинамики в виде
iQ = dU + pdV = [(^)т + р] dV + у dT
и учитывая, что
(ди\	\(dU\ .	г. AfdTy
\9t)v Cv’ lUv/T + PJ	^Cp Cv^\dv)p'
получим, полагая 6Q = 0, уравнение адиабаты в виде:
/ 8Т\
CydT+^Cp-CvH^] dV = 0.	(1.35)
Поскольку для dT справедливо соотношение
dT =
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
17
то уравнение (1.35) можно переписать как
dp + СрШ dV = O. (1.36)
\dpjv	\oVJp
Входящие в уравнение адиабаты (1.36) дифференциалы dp и dV
не независимы, а соответствуют производной	. Поэтому
с помощью (1.36) имеем
(др\	(ЁРЛ = ~(&Р.\ Н 371
lav/ад cv\dv)p\dr)v ’\ovJt'
При получении (1.37) использовано тождество (1.9) и введено
обозначение 7 = Равенство (1.37) дает ответ на поставлен-
cv
ныи вопрос:
/<ад = 7^<Т-	(1-38)
Используя второе начало термодинамики, соотношение (1.38)
можно получить проще. Для этого достаточно учесть, что при
адиабатическом обратимом процессе энтропия не изменяется,
поэтому Дад = Ks = -V .
\OV/s
Теперь с помощью методов якобианов имеем
/аР\ _ d(P,s) _ d(P,s) д(Р,т) д(у,т) _ ср /аР\
kavA a(v,5) a(p,T)a(v,T)a(v,s) cv \dv)T’ y ’
„	„ (dS\ r, (dS\
поскольку CV = T Cp = T
Равенство (1.39) соответствует соотношению (1.38).
5.	Выразить разность Ср — Су теплоемкостей при постоян-
ном давлении и при постоянном объеме для системы с неизмен-
ным числом частиц через величины, определяемые уравнением
состояния, не заданным в явном виде.
Решение. Используя первое начало термодинамики
SQ = dU + pdV,	(1.40)
имеем непосредственно
Считая в (1.40) внутреннюю энергию U функцией температуры
и объема, можем записать
„	~	\ (dU\ I (dV\	/1 1 \
Cp-Cv+ [(яу)г + р] [эт)р-	(141)
18	Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Выражение ко вычислит Гиббса:	в квадратных скобках в правой части (1.41) лег- ь, воспользовавшись фундаментальным равенством TdS = dU + pdV.
Имеем:	\dvJr \9vJt р
Далее, из со	отношения dF = -SdT - pdV
следует раве	нство (9S\ -(др\ \ov)r~ \9TJv
Поэтому	(_\ +Р = т(^ . \9VJt p \9TJv
Теперь с по&	ющью соотношения (1.41) получаем Cp-Cv=r(^)v(^)p.	(1.42)
Используя с — Су в виде	оотношение (1.9), можно представить разность Ср — /9V\2 /9V\~l c,-Cv = -T(-)p(-)r .	(1.43)
или	= <L44)
6. Выяс] объеме Су ь Решен!	чить, у каких систем теплоемкость при постоянном ie зависит от объема системы. че. Нас интересует случай, когда обращается в нуль
производная	Поскольку Г	(ди\ Cv=\&r)v'
то необходи!	мо исследовать величину (9Су\ _ 92U _ 92Ц \ 9V )т~ 9V9T ~~ 9T9V	(1‘4Ь)
Так как
dU = TdS - pdV,
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
19
-т(—\
\dv)r ~ 1 \9VJt
Но из dF — —TdS — pdV следует
/dS\ _ (др\
\9VJt~ \9TJv’
поэтому
=т(др\
\9v)t \дт)у
(1.46)
Дифференцируя это равенство по температуре, с учетом (1.45)
находим	, „ „
(9CV\ = т(&р\
\9VJt	\9Т2) v
Итак, теплоемкость Су не зависит от объема, если давление —
линейная функция температуры. В этом случае
9CV\	=0
9V )т~ дТ2
7.	Выяснить, у каких систем теплоемкость при постоянном
давлении не зависит от давления.
Решение. Задача аналогична предыдущей. Учитывая, что
dW = TdS + Vdp,	(1.47)
Gp 1 \9т)р	\9т)р'
Составляем производную
(9СР\ _ 92W _ 9 9W
\ 9р ) у 9р9Т 9Т 9р
Поскольку из (1.47) следует
Ж =Г + Т« ,
\ др )	\ др / 'р
то с помощью соотношения
d$ = —SdT + Vdp
находим
(^) =v-t(
\9р JT	\
9Tjp
20
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
т	(дСр\
Теперь для получаем
(дСр\ = д_ Г _ /9V\ 1 =	(&v\
\др) dT [ кат Л] \ат2УР'
Видно, что Ср не зависит от р, если объем системы V — линейная
функция температуры. '
8.	Используя факт существования уравнения состояния,
определите зависимость теплоемкости Су от давления и тепло-
емкости Ср от объема системы.
Решение. Задача сводится к вычислению производных
(дСу\ (дСр\ ы
-х—	и -т-у- . Используя метод якобианов, имеем:
\ др JT \ dV )т
(дСу\ = d(Cv,T) _d(Cv,T)d(y,T) _
\ др )т~ д(р,т) ~ d(v,T) а(р,т) “
\dV )т \ др )т \дТ2)у\др)т'
При получении последнего равенства учтен результат, получен-
ный в предыдущей задаче. Аналогично имеем:
(дСр\ = д(ср,т) = d(cp,T) д(р,т) =
\dv)r д{у,Т) д(р,Т) д(у,Т)
= (дСр\ (др\ =_Т(^Х_\ (др\
\ др ) т \ дV )т	у дТ2 ) \dV )т
Отметим, что в устойчивом состоянии () < 0. Поэтому
„ (дСу\	Т
знак производной [ —— 1 противоположен знаку производной
(dCv\ о	Р Т
I -gy-J . Этот результат очевиден без специального рассмотре-
ния, ибо в устойчивой равновесной системе увеличение объема
при неизменной температуре сопровождается уменьшением дав-
ления и наоборот.
9.	Покажите, что для идеального газа Ср — Су = R, а внут-
ренняя энергия зависит только от температуры, используя только
уравнение состояния идеального газа pV = RT и выражение для
дифференциала свободной энергии
dF=—SdT — pdV.	(1.48)
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
21
Решение. Интегрируя выражение (1.48) при постоянной
температуре, получим
F = F0(T)-/?TlnV,	(1.49)
где Fo(T) — некоторая функция температуры. Теперь можно
найти выражение для энтропии газа:
S = - v = so (T) + BlnV,	(1.50)
o dFo (T) _	„ r<
где Sq =----ЭТ ' °ыРажения Для теплоемкостей Су и Ср за-
писываются с помощью (1.50) следующим образом:
/dS\ T9S0(T)
Cv = T\af)v = T~iS^'
cr = T(%f) =T^p + RT(^r) =Cv + R.
\ ul / p	ul	\ ul / p
отсюда следует Cp — Су = R.
Выражение для внутренней энергии U с помощью соотноше-
ний (1.49) и (1.50) записывается следующим образом:
U = F + TS = F0(T) - RTln V + TS0(T) + FT In V =
= Fo(T} + TSo(T) = U(T).
Обратим внимание на то, что изложенный метод решения —
интегрирование выражения (1.48) для dF при постоянной темпе-
ратуре — возможен только при явном задании уравнения состо-
яния, причем в таком виде, когда можно практически выполнить
интегрирование.
10.	Используя уравнения состояния упругой пружины f =
= kl, где f — сила натяжения, а I — удлинение пружины от
ненапряженного равновесного состояния, а также выражение для
дифференциала свободной энергии
dF = —SdT + fdl,	(1.51)
найдите теплоёмкость Ci при постоянном удлинении I, тепло-
емкость Cf при постоянном натяжении пружины и внутреннюю
энергию системы.
Решение. Интегрируя выражение (1.51) при постоянной
температуре от ненапряженного состояния пружины (/ = 0) до
некоторого значения I, найдем
jy2
F = F0(T) + ^-.	(1.52)
22
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Действуя так же, как и в предыдущей задаче, получаем
/8F\	/2 dk
(1-53>
Последнее слагаемое в правой части (1.53) учитывает зависи-
мость коэффициента жесткости к пружины от температуры. Про-
изводная от коэффициента жесткости пружины по температуре
вычисляется в рамках линейного приближения, при котором к
считается функцией температуры и не зависит от удлинения
пружины. Для теплоемкостей Ci и С/ получаем
г = t(9S\ = Tds<^ - l2Td?k
1 \dTJi дт 2 dT2’
T(dS\ -t9So^ ^d2k l2T(dkx2
1 \dTJf~ dT 2 dTi + к \dTj
(1.54)
„ , l2T fdk\2
= c‘ + ~ (df)
При получении выражения для Cf учтено, что выражение (1.53)
для энтропии можно записать в виде:
f2 dk
Из выражений (1.54) следует, что
Выражение для внутренней энергии может быть получено так
же, как в предыдущей задаче. С помощью (1.52) и (1.53) имеем:
w2 / т dk\
U = F + TS = U0(T) + ^-(\-^),	(1.55)
Л \ К (11 /
где
^о(Т) = Г0(Т) + Т50(Т).
Выражение (1.55) показывает, что изменение внутренней
энергии при изотермическом процессе не равно совершенной ме-
ханической работе —, а больше или меньше этой величины в за-
висимости от знака производной —. Тем самым равенство (1.55)
указывает на обязательное присутствие процесса теплопередачи
при изотермическом совершении работы. В случае теплоизоли-
рованной системы с — О совершение механической работы
обязательно сопровождается изменением температуры системы.
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
23
11.	Эмпирическое уравнение состояния резиновой ленты
имеет вид:
f = aT
где I — длина ленты, Iq — длина ленты в нерастянутом состоя-
нии, f — сила натяжения ленты, а — некоторая положительная
постоянная. От каких термодинамических переменных зависит
внутренняя энергия ленты? Найти работу, совершенную при изо-
термическом растяжении ленты от длины 1\ до и количество
поглощенной ею при этом теплоты. Найти конечную температуру
ленты при ее обратимом растяжении между значениями длины
/1 и 12, если начальная температура Т\. Теплоемкость Ci ленты
при постоянной длине считать постоянной.
Решение. Уравнение состояния ленты задано в явном виде,
поэтому внутреннюю энергию можно найти с помощью метода,
изложенного в двух предыдущих задачах. Интегрируем выраже-
ние
dF = -SdT + fdl	(1.56)
при постоянной температуре от значения /о Д° I. получим
F = F0(T) + аЬ(Г)Т,
I2	12	з
где6(() = ±- + ^-|/0.
ZLq	I	Z
Энтропия ленты S есть
/dF\
S = -^\ = S0(T)-ab(l),	(1.57)
так что для ее внутренней энергии U получаем
U = F + TS = F0(T) + TSo(T) = Fo(T).
Внутренняя энергия ленты зависит только от температуры
и не зависит от ее длины. Разумеется, этот результат можно
было получить и с помощью уравнения
которое можно вывести с помощью соотношения (1.56). Для
теплоемкости ленты Ci с помощью (1.57) имеем:
г - t(9S\ _tOSo(T)
С/ 1 \9t)i 1 дТ '
Видно, что Ci может зависеть от температуры, но по условию
задачи она считается постоянной.
24
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Работа, совершаемая при изотермическом растяжении ленты,
легко вычисляется с помощью уравнения состояния и оказыва-
ется положительной, как это и следует из элементарных сообра-
жений:
А = [ fdl = аТ [ (dl = aT1-^^-	
J	J \ <o ' ' J	Zo \ 2 hh)
При изотермическом процессе внутренняя энергия ленты с за-
данным уравнением состояния не изменится. Поэтому Q = —А:
лента не поглощает, а отдает тепло, величина которого равна
совершенной работе при ее растяжении.
При обратимом растяжении ленты ее энтропия остается по-
стоянной, поэтому на основании фундаментального равенства
Гиббса
dU = TdS + fdl
имеем
CidT = fdl.
Используя уравнение состояния ленты, получаем
dT (I %\
'lT=r,l\!.rAd
что после интегрирования дает:
1 ^2 _ „Z2 — Z) (ll + h _ Zp
Ci 1 Г( Zo \ 2 Idi)'
Отсюда находим значение Т%.
12.	Найти уравнение состояния системы, для которой вы-
(dU\ п fdW\ п
ПОЛНЯЮТСЯ УСЛОВИЯ 7Тт7 = о,	= О.
\dV )т	\ др J'p
Решение. Из уравнений, полученных в предыдущих зада-
чах:
Ж =Т(ЁР\ (dW\ =v_T(dV\
\dvjr \dTJv Р’ \ др Jт \dTJp’
в рассматриваемом случае следуют равенства
/дГ\ _ Т /дТ\ _ Т
\<Эр/у р’ \<ЭУ/р V"
Отсюда получаем для дифференциала температуры
/дТ\	/ дТ\	Т	Т
dT=(~) dp+r^) dV=-dp+Uv,
\ др J v	\dV J р	p	V
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
25
ИЛИ
dT _ dp dV
~f ~ p + V *
Интегрируя, находим
pV = CT,
где С — произвольная постоянная, которую нельзя определить
термодинамически. Полученное соотношение соответствует урав-
нению состояния идеального газа.
13.	Как изменится полученное в предыдущей задаче уравне-
ние состояния идеального газа в случаях:
ч	(ди\ _п (dW\
3	\dv)r	\ др)т
/эи\	(dW\ _
б) -ХТ7 = а, -о-	=о,
\dV/т	\ др /т
где а и b — некоторые постоянные?
Решение. Рассмотрим случай а). С помощью приведенных
в предыдущей задаче соотношений имеем:
= Ъ.
р
Из этих равенств следует, что
/дТ\ _ Т /дТ\ _
р’ \дУ/р V — ь
Для дифференциала температуры теперь имеем:
dT Т.Т
T = pd/l+7-i,dv-
Интегрируя это соотношение, находим
p(V -b) = СТ,
где С — некоторая постоянная.
Полученное соотношение представляет собой «укороченное»
уравнение Ван-дер-Ваальса, в котором учтена только поправка
Ь, связанная с собственными размерами молекул, но не с их
взаимодействием между собой. Таким образом, замена V на
V — b в уравнении состояния идеального газа соответствует по-
стоянному ненулевому значению производной от энтальпии по
давлению (-х—| .
\ др /р
Аналогичные преобразования в случае б) приводят к соотно-
шению
(р - а)У = СТ,
26
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
которое также похоже на некоторое «укороченное» уравнение
Ван-дер-Ваальса, в котором учтена только поправка, связанная
с взаимодействием молекул друг с другом. В действительности
эта поправка в уравнении Ван-дер-Ваальса зависит от объёма
и имеет вид Чему при этом равна производная Это
можно выяснить с помощью уравнения
-р.
v
Вычисляя производную	с помощью уравнения Ван-дер-
Ваальса VRT
Р~ V-b v2
и подставляя ее в приведенное выше уравнение, получим
/ЭС/\ _ а_
W/T ” V2'
С помощью уравнения
\ up / р	\ U1 / р
,	(SW\
легко убедиться, что в этом случае производная I 1 не равна
константе.	т
14.	Вычислить значение выражения
/#Г\ /Э5\ _ /0Т\ (0S\
\ др / у \ д V /р \dv)p\dp)y'
Решение. Легко заметить, что приведенное в условии за-
дачи выражение можно записать в виде определителя
д(Т, S)
dip.vy
Теперь, пользуясь указанным свойством якобианов (1.8), имеем
d(T,S) _ d(T,S) д(р,Т) _ (dS\ (dV\~l
d(p,v) ~ d(p,T)d(P,v) ~ Vdp)T ’
Но из d$ = —SdT + Vdp следует равенство
(dS\ - - (—}
\ др ) p \ dT / p
Поэтому исходное выражение равно единице.
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
27
15.	Выяснить, как меняется энтропия однородной системы
при ее квазистатическом расширении при постоянном давлении.
Зависит ли характер изменения энтропии от коэффициента теп-
лового расширения а = — (— ) ?
р
(OS \
—) . Выра-
и V / р
зим эту величину через коэффициент теплового расширения а.
Имеем с помощью метода якобианов
(0S\ = d(s,P) _ d(s,p)d(T,P) _ (ds\ /дт\ _ ср
\dvjp ~ d(v,P) ~ д(т,Р)д(у,р) ~ \дт)Р - tv а
(1.58)
так как
справа мы хотим получить производную
Использованное в (1.58) преобразование ^очевидно, поскольку
дт)Р
Теплоемкость при постоянном давлении неотрицательна, по-
этому знак левой части (1.58) определяется знаком а. Энтропия
возрастает, если а положительно, и убывает, если а отрицатель-
но. Например, при изобарическом расширении воды от 0 до 4°С
энтропия убывает.
16.	Доказать тождество
др) s \др)т Ср
дт)Р'
Решение. Способ I. Подобные равенства удобно доказы-
вать, рассматривая стоящую слева функцию У(р, 5) как слож-
ную функцию переменных р и S, от которых зависят переменные
V и Т, фигурирующие в правой части тождества
V(p,S) = V(p,T(S,p)).
Теперь, пользуясь правилами дифференцирования сложных
функций, получим
Ж = /av\	/эгч /дтх
\dpjs \др)т \дт)р\др) s'	u ’
Раскрывая производную:
/дт\ _ d(T,s) _ d(T,s)d(P,T) _ /ds\ (дТ\
\dp)s~ d(p,s)~ д(Р,Г) d(P,s) ~ \dp)T\ds)P
28
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
/дТ \
\ др )
с учетом выражений = Т ( —) и d& = —SdT + Vdp для
\ U1 / р
находим
/ат\ _ т (d_v\
\ др ) $ Ср \ дТ / р
Подставляя это выражение в (1.59), получаем требуемое равен-
ство.
Способ II. Задачу можно решить непосредственно, записывая
левую часть с помощью якобиана
(0V\ = д(У,5)
\dp)s~ d(p,S)'
Теперь, учитывая, что в правой части интересующего нас тожде-
ства фигурируют переменные р и Т, имеем
/dv\ = d(v,s)d(p,T) = т d(y,s)
\dP)s~ д(р,Т) d(p,S) ~ Ср д(р,Т)'
Записывая определитель в явном виде, получаем
_Т_Г/<Ж\ /5S\ _ Z0S\ (dV\'
\dp)s Ср \др )р\дТ/р \др)т\дт)р
Раскрывая квадратные скобки и учитывая приведенные выраже-
ния для Ср и d$, получаем требуемое равенство.
17.	Доказать тождество
( &Р\ — ( др\ Т ( др \ 2
W/s “ W/r ~ С^ \дТJv '
Решение. Задача аналогична предыдущей. Используя, на-
пример, способ II, имеем
(дР\ = d(p,s) _ d(P,s) д(у,Т) = т d(P,s) =
d(y,s) ~ d(y,T)d\v,s) ~ cvd(y,T) ~
- т (—} - (др\ (ds\ 1
“ Cv lAdV/T \dTJv W/vW/tJ
Учитывая соотношение dF = —SdT — pdV, приходим к интере-
сующему нас равенству.
18.	Считая, что основной причиной изменения температу-
ры Т воздуха с высотой h в нижней части земной атмосферы
являются конвекционные потоки, определите градиент темпера-
туры считая воздух идеальным газом, а все процессы —
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
29
расширение воздуха при его подъеме и сжатие при опускании —
адиабатическими вследствие низкой теплопроводности воздуха.
Решение. Рассмотрим горизонтальный слой воздуха тол-
щиной dh, расположенный на высоте h над уровнем моря. Для
изменения давления dp воздуха при переходе от нижней до
верхней поверхности слоя имеем
dp=—pgdh,	(1.60)
где р — плотность воздуха, для которой в принятом приближе-
нии с помощью уравнения Менделеева—Клапейрона имеем:
р=™.
р RT
Здесь р — средняя молярная масса воздуха. Теперь соотношение
(1.60) записывается так:
dp = ~Wr9dh'
ГС1
(1-61)
Уравнения (1.60) и (1.61), выражающие условия механического
равновесия выделенного слоя воздуха, справедливы при любых
происходящих в воздухе процессах, которые не приводят к су-
щественному нарушению механического равновесия. Например,
это могут быть процессы теплопередачи в неподвижном воздухе.
Однако в условии задачи указано, что основным процессом яв-
ляется конвективное вертикальное движение воздуха без тепло-
обмена с окружением. Будем поэтому считать, что происходящие
в атмосферном воздухе процессы соответствуют самому началу
конвективного режима, при котором еще приближенно выпол-
няются условия механического равновесия произвольных слоев
воздуха.
Используя уравнение адиабаты для идеального газа в пере-
менных р и Т
Tpy~l = const, 7 =
Су
получаем соотношение
dT _ / _ П dp
Т \ у) р'
Сравнивая (1.61) и (1.62), находим:
dT _ /1	1 \
dh “ 47	) R ’
(1-62)
(1.63)
30
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Полагая 7 = 7/5, р = 28,9 г/моль, находим
= -9,8 К/км.
ап,
Это значение по модулю несколько больше, чем наблюдаемое
на опыте среднее снижение температуры с высотой. Разница
объясняется (в основном) эффектом конденсации водяного пара
в расширяющемся при подъеме воздухе.
19.	Выясните законность сделанного при решении предыду-
щей задачи предположения о возможности использования усло-
вия механического равновесия при рассмотрении конвекции воз-
духа в земной атмосфере в адиабатических условиях.
Решение. Сделанное в решении предыдущей задачи пред-
положение о том, что адиабатические процессы в воздухе со-
ответствуют самому началу конвективного режима, справедливо
если «элемент» воздуха, поднявшись адиабатически (т. е. при
неизменной энтропии) на некоторую высоту Дг, окажется там
тяжелее, чем «вытесненный» им при переходе в новое положение
воздух. Таким образом, использование условия механического
равновесия можно считать оправданным, если выполняется ра-
венство:
p(p',s)-р(р'.з') > О,	(1.64)
где р и s давление воздуха и энтропия единицы объема на высоте
z, р' и s' — значения этих величин на высоте z' — z + Дз.
Раскладывая s' (г') в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными
членами разложения
s’ (z’) = s' (z + Дг) = s (г) + —Дг,
а затем подставляя s' (г') в (1.64), получаем условие
ds <q
\dsjp dz
(1.65)
Входящую в эту формулу производную
тоду якобианов:
получаем по ме-
(др\ _	_ ^(р.р) 0(Т\р) _ ( ®Р\	(®Т\ _ (®Р\ Т
\Эз/р d(s,p) д(Т,р) d(s,p) \дт)р \<?s/p \dTjpCp’
/ d s \
где Ср = Т I — ) — теплоемкость единицы объема воздуха при
\ VI / р
постоянном давлении. Так как для воздуха < 0, то из
\ Ul J р
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
31
(1.67)
(1.65) следует, что искомое условие устойчивости слоя воздуха
принимает вид
?>0.	(1.66)
dz
Рассматривая энтропию s как функцию температуры и давления,
имеем с помощью (1.66)
ds _ / ds X dT / ds \ dp _
dz \dT)p dz X.dpJ'pdz >
С помощью последнего из равенств (1.4) получим:
\ dp ) т	\ dT / р ’
(ds\
откуда следует, что производная — равна взятому с об-
\dpJT
ратным знаком коэффициенту теплового расширения воздуха
Далее,
ds\ _ ср
дТ)т ~ Т’
а для можно воспользоваться выражением (1.60) из предыду-
щей задачи. Теперь условие (1.67) принимает вид
ср dT а . п
Т5 -^>0.
откуда
dT
dz
Для идеального газа, как легко убедиться, справедливо равен-
ство (ЗТ = — 1, и условие (1.68) переписывается следующим об-
разом:
к	dT
dz
pgfiT
Ср
(1.68)
Р9
Ср
Правая часть (1.69) совпадает с правой частью равенства (1.63)
в решении предыдущей задачи:
/1 Л№ = _Р9_
\7	/ R Ср’
(1.69)
поскольку Ср — Ср — ,
р
32
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Таким образом, используемое в предыдущей задаче выраже-
ние для градиента температуры соответствует предельному зна-
чению, при котором возможно возникновение режима конвекции
в атмосфере.
20.	Термодинамическая система расширяется таким образом,
что ее энергия V остается постоянной. Как изменяется при этом
температура системы? Будет ли такой процесс обратимым?
Решение. Необходимо определить, от чего зависит значе-
„ (дТ\ п	,
ние производной I \ . Для этого удобно перейти к естествен-
ным переменным функции U — V и S, поскольку при этом возни-
кают непосредственно измеримые на опыте термодинамические
параметры:
dU = TdS — pdV.
(1-70)
ГТ	X
Поэтому преобразуем
следующим образом:
(дт\ =д(т,и) =d(T,u)d(y,s) I д(т,и)
\dv)u~ d(V,U) ~ d(V,S)d(y,U) ~ Tdiy.sy
Раскрывая определитель, находим
/#г\ _ j_ г/эт\ (ди_\ _ (дт\ /ди_\ 1 _
= ![т® + „2Ц = Ж +_р_
Т [ \dv)s PCV\ \dv)s cv'
(1.71)
Остается вычислить производную
(9Т\ v
т-гу. . Учитывая соотноше-
\dV J s
ние (1.70), переходим к переменным Т, V, чтобы выделить
в явном виде теплоемкость Су:
= /др\ _ d(p,V) _
Vas/v- d(s,v)~
d(p,v) d(T,v) = /др\ т
d(T,v)d(s,v) “ \дт)уСу'
Теперь формула (1.71) принимает вид
= _L 1
9V)u Cv Г	\d7VvJ
(1.73)
Искомая производная выражена через теплоемкость системы при
постоянном объеме Су, давление р, температуру Т и изохо-
рический температурный коэффициент давления	Знак
§1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
33
изменения температуры определяется соотношением между сла-
гаемыми в квадратных скобках в формуле (1.73).
Чтобы выяснить, будет ли описанный^ процесс обратимым,
необходимо рассмотреть производную
(1.70)	при dU = 0 имеем
= ^>0.
\dvJu т
-г- ) . Из соотношения
dV Ju
Итак, происходящий с системой процесс всегда необратим неза-
висимо от того, как конкретно он реализуется: система расши-
ряется в пустоту, не совершая работы и не получая или не
отдавая теплоты, или система совершает работу при расширении,
но к ней подводится теплота для обеспечивания постоянства ее
энергии.
Аналогично можно исследовать вопрос, как будет изменяться
давление в системе. Для этого достаточно рассмотреть произ-
водную (^)[/- Опять переходя к естественным переменным
функции U, имеем
др\ = 9{p,U) 0(V,S) = 1 Г/Эр\ т (др\ 1
dVJu d(V,S)d(V,U) T[\dVJs ±\dSjvP\'
Входящую сюда производную
заменяем в соответствии
с формулой (1.72), а производную	вычисляем, выделяя
в явном виде теплоемкость Су:
др\ _ d(p,S) д(р,Т) д(у,Т) _ Ср (др\
dVjs ~ d(p,T)d(y,T)d{y,S) ~ Су W/t'
Теперь выражение (1.74) переписывается следующим образом:
Эр\ = 1 [г -к
dVJu СуСр\дУ)т \дт)ур.
(1.75)
Используя тождество
/£V\ /дТ\
dV ) Т\дТ / Р\др ) у
можно придать формуле (1.75) более удобный вид, вводя изотер-
/ \
мический модуль упругости Кр = —V I ) > 0:
др \ _ К?
dVJu~ VCy
2 Кондратьев
(1-76)
34
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Видно, что характер изменения давления определяется соотно-
шением между слагаемыми в квадратных скобках.
Замечание. Обратим внимание на то, что у идеального газа
pV = RT температура при рассмотренном процессе не меняется,
а давление падает, в чем легко убедиться прямым вычислением
по формулам (1.73) и (1.76).
21.	Используя уравнение неразрывности
|?+div(pv) = 0	(1.77)
и уравнение движения идеальной жидкости
p[^ + (v-V)v] =-Vp,	(1.78)
выразить в линейном по возмущениям приближении скорость
звука в такой системе через изотермический модуль всесторон-
него сжатия Кт = р Нг- .
\др)Т
Решение. Использование линейного по возмущениям при-
ближения означает, что во всех выражениях следует пренебречь
членами, содержащими квадраты и более высокие степени пере-
менных величин 8р и 8р. Сюда же следует отнести и скорость
движения жидкости v, ибо в термодинамическом равновесии
v = 0. Поэтому уравнения (1.77) и (1.78) следует переписать
в виде	«
-^8р + divpov - 0,	(1.79)
ot
dv
PQTt=-^5p'	(1-80)
где ро ” равновесная плотность жидкости. Дифференцируя урав-
нение (1.79) по времени и беря дивергенцию от уравнения (1.80),
приходим к равенству
^<5p-V2<5p = O.	(1.81)
Теперь необходимо связать между собой величины 8р и 8р. При
распространении низкочастотного звука система находится в со-
стоянии локального термодинамического равновесия, поэтому,
выбирая в качестве независимых переменных р и S, имеем
5р=(^)	(1-82)
\ир/s \dSJp
В идеальной жидкости диссипация отсутствует, поэтому все про-
исходящие процессы являются обратимыми. Это означает, что
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
35
энтропия системы не меняется, т. е. 8S = 0. Поэтому соотноше-
ние (1.79) принимает вид
5р=(^} 8р.	(1.83)
\<jpJ s
Подставляя (1.83) в (1.81), приходим к волновому уравнению
V%9 = 0,
<Ws
(1.84)
I °Р\	9
в котором производная равна квадрату скорости и рас-
пространения возмущений продольного звука. Теперь остается
.	£	(&Р\
преобразовать адиабатическую производную в изотерми-
ческую производную . Используя метод якобианов, имеем
\ор/т
др\ _ d(p,S) _ д (р, S) д(р,Т) д(р, Г)
dp)s-d(P,s) - d(p,T)d(P,T)d(P,sy
Учитывая, что
(9S_ \
\дТ)р
Ср
Т ’
_ (dS\ _ Су_
дТ/v ~ \дт)р ~ T ’
окончательно получаем
/др\ _ Cp (др\ _ Ср Кт
\др)g Су \др/т Су р
22.	Связать изменение температуры при изменении плотно-
сти жидкости в звуковой волне со скоростью распространения
звука.
Решение. Изменение температуры приводит к необрати-
мому характеру процессов, протекающих в звуковой волне, по-
скольку в системе возникает тепловой поток. Однако скорость
передачи теплоты в реальной системе много меньше скорости
распространения звука, поэтому в первом приближении можно
считать, что процессы происходят обратимо, т е. dS = 0.
Итак, искомая величина — это производная (^) • Преоб-
разуя ее с помощью метода якобианов, сразу выделим квадрат
2 f®P\
скорости звука и =	:
дт\ _ d(T,s) _ d(T,s)d(p,s) _ (дт\ 2
dp)s~ d(P,s) - d(p,s)d(p,S) ~\dp)su •
2*
36
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
С помощью соотношения
dW = TdS + Vdp
находим
dT\ _ /дУ\
др / s \dS/p'
Поэтому для искомой производной имеем
2
др ) $ \dS ) pU
(1.85)
гг	fdV\ Л	Л
Производную I ) преобразуем, выделяя в явном виде изоба-
\	/ п
1 fdv\
рическии коэффициент теплового расширения а = — I -^= 1 .
р
Имеем
dv\ _ d(v,P) = d(v,p)d(T,P) = /dV\ (дт\ = т_
ds)p ~ d(s,P) ~ d(T,P) d(s,P) ~ \dTjp\ds)p aV cp
В результате выражение (1.85) для производной
fyJs
прини-
мает вид

aVT 2
С, “
Отношение теплоемкости системы при постоянном давлении Ср
к ее объему V есть теплоемкость единицы объема ср. Поэтому
окончательно результат можно записать следующим образом:
дТ\ _ аТи2
dp)s ср '
23.	Для единицы объема диэлектрика с постоянной плотно-
стью найти разность се — cd между теплоемкостями однородного
изотропного диэлектрика при постоянной напряженности элек-
трического поля Е и индукции D.
Решение. Задачу удобно решать, используя определение
теплоемкости через энтропию. В рассматриваемом случае имеем
-'Г (ds\	_	( ds \
СЕ Т\дТ)Е' CD Т\дт)о
Преобразуем выражение для се с помощью метода якобианов:
d(s,T) _ д(з,Е)д(Т,Р)
Е д(т,Е) д(т,р)д(т,Еу	7
§1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
37
Раскрывая первый якобиан в правой части (1.86) и учитывая, что
в изотропном диэлектрике D = еЕ, имеем
се = Те
(1.87)
Используя выражение для дифференциала свободной энергии
единицы объема
df = —sdT + EdD,
J	4тг
убеждаемся в справедливости соотношения
/ ds_\ _ _J_ /9Е\
\9DJt 4тг \9Т ) d	1
Подставляя равенство (1.88) в выражение (1.87), получаем
, Те (9Е\2
CE = CD+^\vf)D-
Теперь осталось вычислить производную
_ (9 /р\\ __Р(Э^\
\9TJd \9\eJJd e2\9T/d'
Подставляя это соотношение в (1.89), находим окончательно
(1.88)
(1-89)
ТЕ2 (9е\2
ce-cd = ^\st)d-
Поскольку е > 0, то правая часть этого выражения всегда поло-
жительна при Т > 0. Поэтому се > cd-
24.	Для единицы объема магнетика с постоянной плотно-
стью найти разность сн — см теплоемкостями однородного изо-
тропного магнетика при постоянной напряженности магнитного
поля Н и магнитного момента М.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Ис-
пользуя соотношения
„ -т (п -т( дз\
Н Т\9Т)н' М Т\9Т)м'
преобразуем выражение для сн'
_ 9 (s,H) _ 9(з,Н) 9(Т,М)	9(з,Н)
н 9(Т,Н)	9(Т,М)9(Т,Н)	Х9(Т,МУ
38 Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
поскольку магнитный момент М связан с напряженностью поля
Н соотношением М = ХН. Раскрывая определитель, получаем
Г / <Эз \	1	/ ds \ /дН\ 1 _
сн-^Х	“ \эм)Т ЭТ/м] “
(L90>
п	( 9s \
Производную
вычисляем с помощью соотношения, спра-
ведливого для изотропных магнетиков:
df2 = —sdT ± HdM.
Знак плюс относится к пара- и ферромагнетикам, где М || Н;
знак минус — к диамагнетикам, где М и Н направлены в про-
тивоположные стороны. Отсюда имеем
/ ds \ _ (dH\
\dM)т ~ \dT ) м'
Подставляя это соотношение в (1.90), получаем
. ™ (dH\2
сн^см±ТХ^)м.
Поскольку для пара- и ферромагнетиков у > 0, а для диамагне-
тиков х < 0, то сн во всех случаях больше см-
25.	Найти выражение для плотности внутренней энергии и
однородного изотропного диэлектрика.
Решение. В рассматриваемом случае D — еЕ и выражение
(1.11) записывается в виде
du = Tds + Cdp + -^—DdD.
4тГ£
Интегрировать непосредственно это равенство нельзя: диэлек-
трическая проницаемость е не остается неизменной при фикси-
рованных р и s, поскольку в ходе такого процесса изменяется
температура системы. Но в общем случае е = е(Т). Поэтому
исходить следует из выражения для дифференциала плотности
свободной энергии /:
df = -sdT + (dp + -^—DdD.	(1.91)
47Г£
§1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков	39
Интегрируя выражение (1.91) при постоянных Тир (диэлектри-
ческая проницаемость е в линейной электродинамике при этом
остается постоянной), находим
/ = /о(Тр) + Лс>2,	(1.92)
где fo(T,p) — плотность свободной энергии в отсутствие элек-
трического поля. Учитывая, что s = —	> с помощью
(1.92)	получаем
К дТ )Р+ 87Г£2 \9t)d,p	,р)	87Г£2 \дТ)P,D
(1.93)
Здесь so(T,p) — плотность энтропии в отсутствие электри-
ческого поля. Теперь можно воспользоваться соотношением
и = f + Ts. Учитывая, что /о + Tsq есть плотность внутренней
энергии системы uq в отсутствие электрического поля, получаем
/лтт х D2
u = uQ (Т, р) + —2
87Г£
- ( — }
£ \дТ/P,D
Второе слагаемое в квадратных скобках дает существенный
вклад в плотность энергии при сильной зависимости диэлектри-
ческой проницаемости от температуры.
26.	Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницаемо-
стью е, подсоединен к источнику питания с постоянной ЭДС.
Как изменится теплоемкость единицы объема диэлектрика после
отсоединения конденсатора от источника питания? Выразить на-
чальную и конечную теплоемкости через диэлектрическую про-
ницаемость. Изменением объема диэлектрика пренебречь.
Решение. При замкнутой цепи напряжение на конденсато-
ре неизменно и равно ЭДС источника. Следовательно, остается
неизменной напряженность электрического поля между его об-
кладками. Поэтому в первом случае теплоемкость системы есть
се- При разомкнутой цепи неизменным остается электрический
заряд на обкладках конденсатора. Это соответствует неизменной
индукции электрического поля. Итак, изменение теплоемкости
системы равно разности cd — се, значение которой получено
в задаче 23. Ответ можно получить иначе, используя формулу
40
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
(1.93)	и определение теплоемкости С7
. Имеем
7

П2Т / Л2£ \
Р2Т
87Г£3
де \2
дТ ) Т),р
где Со (Г) — теплоемкость незаряженного конденсатора. При вы-
числении теплоемкости Се следует учесть равенство D2 = е2Е2.
Поэтому
/ds\	ТР2
сЕ = т(£) =с0(Т) + ^
\дТ/Е,р	8тге2
д (де\ \
дТ \дт)г>,Р) Е р
Не представляет труда убедиться в том, что вторые слагаемые
в правых частях этих равенств одинаковы. Действительно, в рам-
ках линейной электродинамики диэлектрическая проницаемость
среды определяется ее равновесными свойствами в отсутствие
электрического поля. Поэтому производные от диэлектрической
проницаемости по температуре при постоянной индукции поля
и при постоянной напряженности поля одинаковы и совпадают
с производной по температуре в отсутствие поля. Составляя
разность полученных выражений для cd и се и учитывая приве-
денное утверждение, находим
ТР2 (Эе\2
cd-ce = --—з от L •
4тг£"3 \ дТ ) D,p
27.	Изменение внутренней энергии обратимого гальваниче-
ского элемента в результате прохождения через него заряда е
при изотермическом процессе дается выражением
е) = U(T)-ew(T),
где w(T) — уменьшение энергии элемента при прохождении
через него единичного заряда. Найти уравнение, связывающее
электродвижущую силу источника Е и энергию w.
Решение. Работа dR, совершаемая элементом при прохож-
дении через него заряда de, равна
dR = ede,	(1.94)
если пренебрегается изменением объема элемента.
При малых токах джоулево тепло, пропорциональное квадра-
ту силы тока, есть величина второго порядка малости. Поэтому
процесс протекания тока в элементе можно считать термоди-
намически обратимым, если, конечно, изменение направления
протекающего через элемент тока вызывает химические реакции,
§ 1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
41
противоположные тем, которые происходят в элементе при нор-
мальном направлении тока. Тогда при учете соотношения (1.94)
фундаментальное равенство Гиббса можно записать в виде
dU = TdS - Ede.
(1.95)
D	fdu\
Вычисляя производную I) с помощью заданного в условии
задачи соотношения и с помощью (1.95), приходим к равенству
(1.96)
- E.
T
/dS\
Входящую в (1.96) производную	можно выразить с по-
мощью формулы для дифференциала свободной энергии Гельм-
гольца F:
—w
dF = -SdT - Ede.
(1.97)
Действительно, из (1.97) следует равенство
_ (дЕ\
де )т \дТ )е
(1.98)
Подставляя	из (1-98) в равенство (1.96), приходим
к уравнению, которое называется уравнением Гельмгольца:
w.
(1.99)
Отметим, что в отсутствие теплообмена между гальваническим
элементом и окружающей средой естественно было бы ожи-
дать, что Е = w. Однако слагаемое Т ( — ) в (1.99) описывает
эффект, связанный с поглощением (или выделением) теплоты
элементом из окружающей среды во время протекания элек-
трического тока. Если, наприме^ЭДС элемента с повышением
температуры увеличивается ((-^=) >0), то, согласно (1.99),
гальванический элемент совершает работу не только за счет
уменьшения внутренней энергии при химической реакции, но
и за счет теплоты, получаемой из окружающей среды. Работая
адиабатически, такой элемент будет охлаждаться.
28.	Диэлектрик с проницаемостью £ заполняет пространство
между пластинами плоского конденсатора. Определите количе-
ство теплоты, выделяющейся в конденсаторе при квазистатиче-
ском возрастании напряжения на конденсаторе от 0 до U.
42
Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
Решение. Используя полученное в задаче 25 выражение
для плотности энтропии диэлектрика, можем записать выраже-
ние для энтропии диэлектрика, находящегося между обкладками
конденсатора:
/7*2
S(U,T) = S(0,T) + ^V^-,	(1.100)
где V — объем пространства между пластинами. Поскольку
6Q = TdS, то, считая температуру при квазистатическом воз-
растании напряжения на конденсаторе постоянной, получим для
количества теплоты:
и
Q = T\dS = T
S(^,T^ -5(0, Г
VT U2 de
^d2 dT'
о
где d — расстояние между пластинами конденсатора. Эту форму-
лу можно переписать в другом виде. В гауссовой системе единиц:
“ 2Ct/ dlnT’
CU2
где С — электроемкость конденсатора. Величина представ-
ляет собой работу, совершенную при зарядке конденсатора.
29.	Найдите связь между изотермической и адиабатической
восприимчивостями х =
дН
магнетика.
Решение. С помощью метода якобианов имеем
/дм\ = d(M,s) = d(M,s)d(M,T)d(H,T) _ см /дМ\
\дн)з ~ d(H,s) ~ д(м,т) д(н,т) d(H,s) ~ сн \эн)т'
(1.101)
где См и Сн — теплоемкости при постоянном магнитном момен-
те и постоянной напряженности магнитного поля соответствен-
но. Соотношение (1.101) означает, что
Хад Сн ‘
30.	Один из способов получения предельно низких темпера-
тур заключается в использовании адиабатического размагничи-
вания парамагнитных кристаллов. Определите количественную
§1.2. Термодинамика диэлектриков и магнетиков
43
характеристику этого эффекта I 1 для парамагнетика, под-
чиняющегося закону Кюри
, ж О-Н
•'= т
где а — константа Кюри.
Решение. Запишем выражение для дифференциала энталь-
пии W магнетика, помещенного в магнитное поле напряженно-
сти Н:
dW = TdS + VdpMdH.
Отсюда имеем
(1.102)
Т
(1.104)
ЭТх _ _ /дМ\
дН )p,s \ dS / р,н
Преобразуя правую часть этого равенства по методу якобианов,
получим:
(дМ\ _ д(М,Н) _ д(М,Н)д(Т,Н) _ /ЭМ
\ds)p,H~ d(S,H) ~ д(Т,Н) 9(S,H) \дт 1н,рСнР’
(1.103)
поскольку все частные производные в этом равенстве выпол-
няются при постоянном давлении р. Теперь равенство (1.102)
принимает вид
/ЭТ\	Т /ЭМ\
\дН/p,s	Сн,р \ ОТ )н,р
n	fdM\
Вычисляя производную y-ffrj н для магнетика, подчиняюще-
гося закону Кюри, найдем
/дМ\ _ _аН_
V дТ )Р,н ~ Т2 ’
В результате равенство (1.104) окончательно переписывается
следующим образом:
/ дТ х _ аН
VdHjp.s ~ CPtHT'
При размагничивании, когда напряженность магнитного поля
уменьшается, температура убывает (dT < 0). При низких темпе-
ратурах теплоемкость СР1н, согласно закону Дебая, пропорцио-
нальна кубу температуры, поэтому
/ЭТх 1
\9H)P,s~ Т4
44 Гл. 1. Феноменологическая термодинамика
При низких температурах изменение температуры очень вели-
ко — обратно пропорционально четвертой степени температуры.
Задачи для самостоятельного решения
31.	Вычислить скорость звука в идеальном газе и газе Ван-
дер-Ваальса, исходя из его термодинамического определения и =
32.	Газ продавливается через пористую перегородку таким
образом, что давления по обе стороны перегородки постоянны
и равны pi и р2 соответственно (процесс Джоуля—Томсона).
Показать, что для идеального газа температура в таком процессе
не меняется.
Как будет меняться температура в газе Ван-дер-Ваальса?
33.	Найти разность Ср — Су для газа Ван-дер-Ваальса.
Глава 2
РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИКА КЛАССИЧЕСКИХ
И КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
§ 2.1. Статистические ансамбли и статистические
суммы
В равновесной статистической механике вычисляется стати-
стическая сумма рассматриваемой системы в каком-либо ансам-
бле. Информация о свойствах системы извлекается из стати-
стической суммы с помощью термодинамики. Наиболее широко
используются два ансамбля — канонический и большой канони-
ческий.
В каноническом ансамбле статистическая сумма Qn для
квантовой системы из N частиц имеет вид
Q = Qn - ^2ехр(-/3£?п),	(2.1)
п
где /3 — 1/(кТ) — параметр распределения Гиббса, Еп — энергия
системы в квантовом состоянии, задаваемом набором квантовых
чисел п.
Для классической системы из N тождественных частиц ста-
тистическая сумма дается выражением
...	(2.2)
(ZirTl) IN I J
где H(p,q) — функция Гамильтона системы, а интегрирование
проводится по всему фазовому объему системы. Множитель
-----связан с соотношением неопределенности Гейзенберга
(2тгЙ)
и имеет смысл элементарного объема в фазовом пространстве,
при перемещении внутри которого изображающей систему точки
не появляется нового микроскопического состояния. Множитель
— связан с квантовой неразличимостью тождественных частиц.
46 Гл. 2. Равновесная статистика классических, и квантовых систем
Он обеспечивает правильную зависимость термодинамических
характеристик от числа частиц N в системе (см. задачу 1).
Свободная энергия F связана со статистической суммой Qn
канонического ансамбля соотношением
F = -kTlnQ.	(2.3)
В большом каноническом ансамбле статистическая сумма С
определяется выражением
оо
£=	5>хр[/3(мЛГ-ад]-	(2-4)
где /1 — химический потенциал, а Епх — энергия системы
из N частиц, находящейся в квантовом состоянии, задаваемом
набором квантовых чисел п. Со статистической суммой £ связан
термодинамический потенциал Q:
Q = -mn£.	(2.5)
Статистические суммы в разных ансамблях связаны между
собой преобразованием Лапласа—Меллина. Например, число со-
стояний N(E) с энергией Е, меньшей или равной Е, является
статистической суммой макроканонического ансамбля и может
быть представлено в виде
+оо
7V(E)=	p(E')dE',
—ОО
где р(Е) — плотность состояний, т. е. число состояний, прихо-
дящихся на едйничный интервал энергии. Если в (2.1) перейти
от суммирования по квантовым числам п к интегрированию по
энергии, то выражение (2.1) для статистической суммы с поло-
жительным энергетическим спектром (Е > 0) запишется в виде
ОО
Q(/?)= p(E)e~@EdE.	(2.6)
о
Отсюда следует, что статистическая сумма канонического ансам-
бля является лапласовским образом плотности состояний. Теперь
очевидно, что
сг+гоо
Р(Я) = 2^ j Q (0) exp (/?Е) d/3.
ст—гоо
(2.7)
§ 2.2. Классические и квантовые функции распределения
47
Далее, формулу (2.4) можно записать в виде
£ = ехр (ДдДГ) Qn-
N=0
(2.8)
Соотношение (2.8) можно рассматривать как дискретное преоб-
разование Лапласа.
При решении задач следует избегать непосредственного вы-
числения искомой средней характеристики системы путем усред-
нения ее микроскопического аналога. Необходимо помнить, что
вся информация о макроскопических свойствах системы содер-
жится в ее статистической сумме, и извлекать ее из выраже-
ний (2.3) и (2.5) следует методами термодинамики. Только при
нахождении средних значений характеристик, не являющихся
термодинамическими величинами, следует проводить непосред-
ственное усреднение с помощью функций распределения.
Для некоторых макроскопических характеристик можно за-
писать формулы, непосредственно выражающие их через соот-
ветствующие статистические суммы. В частности, для внутрен-
ней энергии U справедливо выражение
U = (Е) = - (-g-lnQ) =Е.	(2.9)
\ор /у
Для среднего числа частиц (7V) в большом каноническом ансам-
бле имеем	1 / л
(2V) = -U^-in£)	.	(2.Ю)
§ 2.2. Классические и квантовые функции
распределения
В каноническом ансамбле квантовая функция распределения
(оператор плотности) определяется соотношением
р=-ехр(-—(2.11)
где Н — оператор Гамильтона системы, a Q — ее статистическая
сумма: Q = Spexp(——). Среднее значение физической вели-
\ К1 /
чины А дается формулой
(A) = SP(m) (Spp = 1).	(2.12)
48 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Часто функция распределения задается в каком-либо конкрет-
ном представлении. Например, в энергетическом представлении
соотношения (2.11) и (2.12) принимают вид
=	(213)
<Л> = з5>(Д.)еч>(-§1).	(214)
п
где А(Еп) — диагональный матричный элемент оператора А
в энергетическом представлении. Классические аналоги формул
(2.13) и (2.14) записываются следующим образом:
1	( Е\
w(E) = gexp(-^,
(2.15)
(А) = dEp(E)w(E)4(E),	(2.16)
где р(Е) — плотность состояний в энергетическом представле-
нии.
В классических системах часто используются функции рас-
пределения по координатам и импульсам. Написав для функции
Гамильтона выражение
N ?
Н(г1,...,гд^;р1....pjv) = Я(г,р) =	(г),
i=i
где потенциальная энергия Я(г) зависит только от координат
частиц, можно представить распределение (2.11) в виде
N
p(ri,...,rN;pi,...,pjv) =р(г,р) = (27гП)3%(г)Ц/(р;).
i=l
Здесь функция распределения по координатам
n(ri,...rjv) = n(r) = — exp^—,
a Z — конфигурационный интеграл:
Г7 1 f ,	,	( u (ri, ...rjv)\
z = Я! J ' • •drN exp I-----------fcT----J •
§2.2. Классические и квантовые функции распределения 49
Одночастичная функция распределения по импульсам определе-
на равенством
/ ( \ _	1	( р2
/(Р)" (2%mfcT)3/2	I 2mfcT
Функция /(р) распадается на произведение трех функций:
f (р) = / (Рх) f (Ру) f Ы , f{Px) = ~---172 exp
IZ7VTTIK1 J
С помощью введенных функций средние значения физических
величин, зависящих только от координат или только от импуль-
сов, определяются формулами
(А) = drn(r)A(r),	(2.17)
(В)= Lp/(p)B(p).	(2.18)
( Рх \
I 2mkT J
Интеграл в (2.17) вычисляется по координатам всех частиц си-
стемы. Интегрирование по р в (2.18) проводится по импульсной
переменной одной частицы.
Если под U понимается только энергия взаимодействия ча-
стиц системы с внешним полем
дг
(/(г) = £в(п),
г=1
то функция п(г) аналогично функции распределения по им-
пульсам распадается на произведение функций распределения
отдельных частиц:
п(г) = JJn(ri),
1=1
нормированных условием
drn (г) = 1.
При этом интеграл по г в (2.17) распадается на произведение
интегралов по координатам каждой частицы системы.
Использование функций распределения бывает удобным, ко-
гда требуется найти среднее значение микроскопической величи-
ны, которая не является термодинамической переменной.
50 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Практически важным случаем является система заряженных
частиц в электромагнитном поле. В классическом случае функ-
ция Гамильтона системы записывается в виде
” ( 1	/ е. \2	'I
Я = £ i Pi-7AW +е^(п) ,	(2.19)
г=1 4	'
где </?(г;) и А(п) — скалярный и векторный потенциал поля
в точке 1\, е; — электрические заряды частиц.
В квантовом случае оператор Гамильтона в пренебрежении
спином частиц имеет вид
(2.20)
При помещении системы заряженных частиц в постоянное одно-
родное магнитное поле с индукцией В = rot А удобно выбрать
выражение для векторного потенциала в виде
А(п) = (0,Вх,0),
(2.21)
что соответствует магнитному полю, направленному по оси Z.
Решение уравнения Шредингера в пренебрежении взаимодей-
ствием частиц между собой и спиновым расщеплением энерге-
тических уравнений в магнитном поле приводит к следующему
энергетическому спектру:
/ 1 \
e».Pz = 2^ +	\	2/	(2.22)
|б| 2?	Л 1 о
где = —— — циклотронная частота, п = 0,1,2,... — номер
ТПС ТТ	ТЛ
осциллятора Ландау. Квантовое состояние заряженной частицы
в магнитном поле характеризуется четырьмя квантовыми чис-
лами — n,pz,py, о (ст — спиновое квантовое число), так как
оператор ру коммутирует с гамильтонианом при выборе вектор-
ного потенциала в виде (2.21), а спиновый оператор S вообще не
входит в гамильтониан. Поэтому энергетические уровни (2.22)
оказываются дважды вырожденными по спину и вырожденными
с непрерывной кратностью по ру, которое характеризует положе-
ние центра осциллятора Ландау (или положение центра окруж-
ности, по которой обращается заряженная частица в классиче-
ском случае) хс = , Ру.
\TTILJC)
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
51
Задачи
1. Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и теп-
лоемкость классического идеального одноатомного газа, рассмат-
ривая его статистическую сумму в каноническом ансамбле.
Решение. Функция Гамильтона для одноатомного идеаль-
ного газа из N частиц имеет вид
2
2=1
Интеграл по фазовому объему системы распадается на произве-
дение интегралов по пространственным и импульсным перемен-
ным. Интеграл по координатам каждой частицы дает объем V
системы. Интеграл по импульсам распадается на произведение
3N интегралов гауссова вида
ОС
e~ax2dx=.f^.
J	\ а
—оо
Поэтому выражение для статистической суммы Qn принимает
ВИД	3N
Qn = (27rm/cT) 2 •
Свободная энергия F системы определяется соотношением (2.3).
Используя формулу Стирлинга
InW! = Win-,
е
находим
F = —kTN (in — + - InT + const) .
В константу объединены члены, не зависящие от N, V и Т.
Теперь с помощью термодинамического соотношения
dF = —SdT - pdV
находим
(9F\	,_.r 1 1
P~ \.dv)r~ kTNV/N N ~
kTN
V
S = -
dTJv
= kT
/V 4	\ Q
(^ + - InT + const) + -kN.
52 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Теплоемкость можно найти по формуле
Внутренняя энергия U может быть найдена с помощью любого
из соотношений
и = F +TS=F-T(^)v = -T^±^v=lNkT
или непосредственно из формулы (2.9).
2. Идеальный газ находится в вертикальном сосуде, за-
крытом сверху подвижным поршнем массы то, который может
перемещаться без трения. Найдите уравнение состояния такого
газа.
Решение. Указанная в условии задачи физическая система
описывается изотермо-изобарическим ансамблем, в котором рас-
пределение по различным состояниям задается нормированной
на единицу функцией
_	/Ф— pV — Е[\
Р/,у = ехр (---—-----),	(2.23)
где Ei — энергия системы в состоянии, задаваемом набором
квантовых чисел I, р и V — давление и объем газа, а Ф —
термодинамический потенциал Гиббса, равный
Ф = и + pV - TS.	(2.24)
Прийти к выражению (2.23) можно, записав функцию Га-
мильтона системы в виде
H = Hr(ri<Pi) + /L + mogz,	(2.25)
zmo
где Яг(п,рг) — функция Гамильтона для молекул газа, характе-
ризуемых радиус-векторами гг и импульсами pi, ро — импульс
поршня, a z — координата, определяющая его положение. В рав-
новесии, очевидно,
то<7 = рА,	(2.26)
где А — площадь поршня. Выбрав начало отсчета по оси z на дне
поршня, можно переписать последнее слагаемое в правой части
(2.25) в виде:
mogz — pAz = pV.
(2.27)
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
53
С учетом (2.25) и (2.27) распределение Гиббса записывается
(ф \
— 1 обеспечивает нормировку
функции распределения на единицу.
Статистическая сумма в изотермо-изобарическом ансамбле
записывается следующим образом:
„ Ei+pV
Д = ^е—kr .	(2.28)
i.v
Для рассматриваемой системы, состоящей из классического иде-
ального газа, содержащего N молекул, и подвижного поршня,
соотношение (2.28) принимает вид
3JV °О	оо
* (2тгткТ) 2 Г / Ро I j f ( PV \ vNjv
—оо	О
(2.29)
Последний интеграл в правой части (2.29) вычисляется N-
кратным дифференцированием по параметру, стоящему множи-
телем при объеме V в показателе экспоненты:
ОО	оо
-aVyN^y (_^_\N f e-aVdV — N'
Je V V k da) J	aN+i
0	0
В результате выражение (2.29) для Д оказывается равным:
1	3N+1 /Топ\1 5N+3	1
Д =	(27Г/П) 2 (^)2т 2	(2.30)
Термодинамический потенциал Ф связан с Д соотношением:
Ф = —АДТпД.	(2.31)
Поскольку для дифференциала Ф справедливо
ЙФ = -SdT + Vdp + pdN,	(2.32)
то с помощью (2.30) и (2.31) находим:
/дФ\	N+1
V=(^-]	=—!—кТ.	(2.33)
\dp/Tjv Р
Соотношение (2.33), в котором под V следует понимать средний
объем газа (V) под поршнем, является искомым уравнением
состояния. Поскольку TV » 1, то (.У 4- 1) в (2.33) можно заме-
нить на N, и мы приходим к обычному уравнению состояния
идеального газа.
54 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
3. С помощью большого канонического ансамбля Гиббса
покажите, что вероятность того, что классическая система имеет
N не взаимодействующих между собой частиц, дается распреде-
лением Пуассона.
Решение. Функция распределения вероятностей в большом
каноническом ансамбле имеет вид
1 p,N—Ei
Р"-‘ = 1^ТГ " '	<2'34)
где	— статистическая сумма большого канонического
ансамбля, определяемая соотношением:
liN-E,	fiN
£(M,T) = 22	(2.35)
N=Q I	N=0
Входящая в (2.35) статистическая сумма канонического ансам-
бля для классического газа из N невзаимодействующих частиц
равна:
VN	3N
Qn V =	(2nmkT)~2-.	(2.36)
В результате для £(р,, Т) находим:
Г (д,Т) = £ (ЪгткТУ* е^г = ехр (ей^), (2.37)
N=o п
где Л = h (2тгткТ) 2 — длина «тепловой» волны де Бройля.
С учетом соотношений (2.34)-(2.37) вероятность того, что
рассматриваемая система имеет N частиц, записывается в виде
(у \ N
1	млг 1 (Тз ) е кТ
<2-38’
expies — )
Вводя обозначение	t „
7V = efcT^,	(2.39)
переписываем соотношение (2.38) в виде
Pn=
который соответствует распределению Пуассона. Отметим, что
величина N, определяемая соотношением (2.39), имеет смысл
среднего числа частиц (N) системы. Действительно, вычисляя
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
55
(2.40)
среднее число частиц с помощью функции распределения боль-
шого канонического ансамбля, имеем:
7 N=0
Используя соотношение (2.37) для £(^,Т), получаем с помощью
(2.40)
V 7	uN V _____
{N) = ekT — = N.
Л
Таким образом, рассмотрение, основанное на использовании ме-
тода ансамблей Гиббса, приводит к тому же результату, что
и расчеты, основанные на вероятностных соображениях.
4.	Найти уравнение состояния, внутреннюю энергию и теп-
лоемкость для ультрарелятивистского газа с законом дисперсии
е(р) = с|р|, где с — скорость света, рассматривая его статисти-
ческую сумму в каноническом ансамбле.
Решение. Поскольку функция Гамильтона Н системы
складывается из энергий отдельных частиц е(р), то выражение
(2.2) для статистической суммы канонического ансамбля можно
сразу записать в виде
yN
-1 N
оо
h3N ЛИ
—оо
Переходя в интеграле
ординат, получаем
ОО
по импульсам к сферической системе ко-
dpxdpydpzexp
ОО
= 4% dp^exp (-§;)•
—оо	0
Получившийся интеграл можно вычислить двукратным интегри-
рованием по частям или с использованием интегрального пред-
ставления для Г-функции
ОО
Г (г) = dze~ltz~\ Rez > 0.
о
В результате находим
1
М
31
(2.41)
56 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Свободная энергия F, определяемая с помощью (2.41), равна
F = —NkT (in + 3 In Т + const) .
Внутренняя энергия U дается формулой
u=-T2^¥)v=3NkT
или вычисляется с помощью формулы (2.9). Отсюда для С имеем
Cv = 3Nk.
Уравнение состояния имеет такой же вид, как и для класси-
ческого нерелятивистского газа:
(dF\ _ NkT
Р~ \9VJt~ V '
5.	Определить среднее число столкновений молекул одно-
атомного максвелловского газа с единичной площадью поверхно-
сти сосуда, в котором он находится, в единицу времени.
Решение. Пусть ось х перпендикулярна поверхности стен-
ки, с которой рассматривается столкновение молекул газа. Рас-
смотрим молекулы, проекции импульса которых на ось х ле-
жат в интервале рх,рх + dpx. Очевидно, что в единицу вре-
мени столкнутся со стенкой те из молекул, скорости которых
vx направлены к стенке и которые успевают достичь стенки за
единицу времени. При этом число таких молекул равно
— exp f- _ dpx у	/ 2 , 2\
, т \ 2mkT J [ ,	,	( Py+Pz\ Ле>\
du = n----------------- dpydpzexp	\	(2.42)
(27rmfcT)2	\ ZmKi /
где п — средняя концентрация молекул. Действительно, в рав-
новесном газе отсутствуют выделенные направления, поэтому
движение молекул в направлении, перпендикулярном оси х, не
влияет на столкновения молекул со стенкой, которые определя-
ются только движением вдоль оси х.
Чтобы найти полное число столкновений в единицу времени,
следует проинтегрировать выражение (2.42) по рх в пределах от
О до оо:
оо
dy= --------у
(2тгткТ) 2
У =
' / 2 \
. dp^exp х
О
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
57
оо
х dpydpzехр
—оо
Выполняя интегрирование, находим
1 _
Z7 = -ш/,
4
Р2у+Р2Л
2mkT J
(2.43)
(2.44)
где у — среднее значение модуля скорости в равновесном газе:
(2.45)
6.	Определить среднюю энергию молекул максвелловского
газа в веерообразном пучке, который выходит через небольшое
отверстие в стенке сосуда в вакуум, и среднее значение косинуса
угла между направлением скорости вылетающих молекул и нор-
малью к стенке сосуда.
Решение. Среднюю энергию {е) молекул в пучке можно
найти, поделив выносимую пучком в единицу времени энергию
Е на число вылетающих молекул, равное, очевидно, у. Под-
считать значение Е можно, сообразив, что по формуле (2.43)
р2
предыдущей задачи определяется именно число вылетающих ча-
р	Р2
стиц. Если умножить подынтегральное выражение на , то эта
формула будет
2т
подсчитывать уже выносимую пучком энергию:
з
(2тггпкТ) 2
оо
1 Рх
dpx—exp
J т
о
Рх \
2ткТ I Х
ОО
х dpydpzехр
—оо
Р2 Px+P2y+P2z
2ткТ J 2т
(2.46)
Интегрирование в (2.46) проще всего выполнить, перейдя к сфе-
рической системе координат в пространстве импульсов, направив
полярную ось вдоль х. Тогда
Е =-----~-----1
2т2
2тг	2	оо
dip d0 sin 0 cos 0 dpp5 exp
(2тгт/гТ')2 q	q	q
P2 \
2mkT J
(2.47)
58 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Интеграл по модулю импульса вычисляется с помощью инте-
грального представления Г-функции. В результате получаем
Е = 2kTv,
где v определяется формулами (2.44) и (2.45) предыдущей зада-
чи. Поэтому
(£) = - = 2кТ.
V
Доля «быстрых» частиц в пучке выше, чем в равновесном газе.
Аналогично можно получить ответ и на второй вопрос в усло-
вии задачи. Для этого нужно в выражении (2.43) предыдущей
задачи перейти к сферической системе координат с полярной
осью вдоль х и умножить подынтегральное выражение на созв.
Полученное значение интеграла следует разделить на v. После
несложных преобразований найдем
9
(cos 6») =
О
Отметим, что приведенное решение имеет смысл только в том
случае, когда выходящий пучок не нарушает теплового равнове-
сия газа в сосуде, т. е. когда число вылетающих молекул много
меньше полного числа частиц в сосуде.
7.	Электроны испаряются с поверхности накаленной нити
и образуют газ с концентрацией п, из которого с помощью
последовательности щелей в экранах формируется направленный
пучок с площадью поперечного сечения в 1 см1 2. Затем пучок
проходит через задерживающее электрическое поле с разностью
потенциалов U, останавливающее часть электронов. Найти число
электронов, проходящих в единицу времени через задерживаю-
щее поле.
Решение. Будем пренебрегать взаимодействием электро-
нов, образующих газ, между собой. Используя результаты задачи
№5, нетрудно убедиться, что число электронов dv, проходя-
щих через щели с заданной скоростью, лежащей в интервале
(v, v + dv), дается выражением
1	z з
du = -van — тгп
4	\2тгкТ J
_ mv2 «
е 2кт vav.
(2.48)
§ 2.2. Классические и квантовые функции распределения
Полное число и электронов, проходящих через задерживающее
поле, равно
и = dv,
(2.49)
где значение определяется той кинетической энергией, кото-
рой должны обладать электроны, чтобы преодолеть задерживаю-
щее поле:	2
= eU.	(2.50)
Таким образом, искомое число электронов дается выражением
з
(2.51)
Легко видеть, что при U = 0, т. е. в отсутствие задерживающего
поля, число проходящих через щели электронов равно
п / 8кТ
4 V
как и должно быть в соответствии с результатом, полученным
в задаче № 5.
8.	Найти внутреннюю и свободную энергии и теплоемкость
Су при постоянном объеме столба одноатомного идеального га-
за из N молекул в трубе высотой ho и площадью сечения S,
находящегося в однородном поле тяжести напряженностью д.
mqha , mqho ,
Определить Су в предельных случаях	1 и	1.
Решение. В рассматриваемом случае функция Гамильтона
имеет вид
АГ 2 АГ
" = Е L+ Е""'г-
(2.52)
где Zi — высота, на которой находится г-я молекула газа. При
таком виде функции Гамильтона формула (2.2) содержит произ-
ведение интегралов по динамическим переменным каждой части-
цы. Поэтому
® h3NN\
ho
i i {	/ mgz\ .
dxdy exp I — —— 1 dz x
0
60 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
X
оо
л л л ( Р2
dpxdpydpz ехр I
лг
. (2.53)
—оо
Интегралы в (2.53) легко вычисляются. В результате имеем
Q=Ai5" I1 -ехр (-1йГ	(2 и)
Выражение для свободной энергии получается с помощью (2.54)
и имеет вид
/ mgh0\
/ ехр f /5	\
F = -kT\nQ = -JVfcT In-----+ |InT + const .
(2.55)
В константу объединены члены, не зависящие от N, Т и Hq.
Внутренняя энергия
,2 ( d F\ _ 5	_ Nmgh0
\dTTjv 2	(mgh0\ ,
j-'
(2.56)
Теплоемкость Су в данном случае удобно найти с помощью
выражения для внутренней энергии (2.56):
С помощью соотношения (2.57) определяем Су в указанных
в условии задачи предельных случаях:
при^«1 Су = Ы,
при^»1 Cv = |jVfc.
KJ.	z
Интересно отметить, что предельные значения Су можно
mgh0
определить, не вычисляя статистической суммы. При < 1
поле тяжести не влияет на движение частиц системы, которая
может рассматриваться как идеальный газ в отсутствие поля
§2.2. Классические и квантовые функции распределения 61
„ mqhn _ ,
тяжести. При -~~	1 для ответа на поставленный вопрос
можно воспользоваться теоремой вириала:
2{Ек) = п(Еп),
где п — показатель однородности потенциальной энергии как
функции координат. В рассматриваемом случае потенциальная
энергия представляет собой однородную функцию первого по-
рядка координаты z. Тогда
kTN
2 (Ek)z = (Еп)z , (Еп) = (En)z = 2—^—= NkT.
Поэтому
Cv = ^({Ek) + (En)) = lNk.
Кстати, почему не следует использовать теорему вириала при
mgho	р
кТ	’
9.	Определить среднее значение высоты молекул одноатом-
ного идеального газа, рассмотренного в задаче 8.
Решение. Поскольку координата молекулы z не является
термодинамической переменной, то ее среднее значение удобно
находить с помощью функции распределения. Выражение для
функции Гамильтона системы имеет вид (2.52), поэтому функ-
ция распределения по координатам распадается на произведение
функций распределения отдельных молекул. В результате для
среднего значения координаты z оказывается справедливым вы-
ражение
ho
h-o
. .	,	/ mgz\ ,	/ mgz\
(z) = dzzexp	dzexp —— j
-i
(2.58)
о
Элементарное вычисление интегралов, входящих в выражение
(2.58), приводит к формуле
кТ
mg
(2.59)

Легко убедиться, что полученное выражение дает правильные
результаты в рассмотренных в задаче 8 предельных случаях:

62 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
«-Опри^»1.
10.	Каждый атом газа излучает монохроматический свет
с длиной волны Ло и интенсивностью Iq. Найти интенсивность
излучения газа, состоящего из N атомов и находящегося в рав-
новесном состоянии, как функцию длины волны Л.
Решение. Хаотическое тепловое движение молекул газа
приводит к тому, что благодаря эффекту Доплера наблюдатель
будет воспринимать свет всех длин волн. Например, от атома,
который удаляется от наблюдателя вдоль оси z со скоростью vz,
будет восприниматься свет с длиной волны, равной
Л = Ло (1 + —) .	(2.60)
\ с /
В результате интенсивность света, воспринимаемого в интервале
длин волн от Л до Л + dX, есть
I(X)dX = adn(X),	(2.61)
где dn(A) — число атомов во всем объеме, занятом газом, от
которых воспринимается свет в интервале длин волн [Л, A + dA],
а — постоянный коэффициент, определяемый условием норми-
ровки:
I(X)dX = NI0.	(2.62)
Молекулы имеют распределение скоростей, определяемое зако-
ном Максвелла, поэтому
dn (А) = dn (vz) = N
2
(2.63)
Переходя в (2.63) к А — представлению с помощью соотношения
(2.60), получим:
/	2	\ 2 пгс (\ \ А2
dn (А) = dn (vz) = N I „ ) e 2fcTAo ° dX. (2.64)
\2ttXok1 j
Теперь, используя соотношение (2.61), находим:
1	(А—Ар)2
I (A) dX = aN——e~6^dX,	(2.65)
(тг<52)2
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
63
f (2kTX20\2
где о = ----п2 — доплеровская полуширина спектральной
у та J
линии. С помощью условия нормировки (2.62) определяем коэф-
фициент а:
NI0 =
оо
aN f _	,,
е £ аХ.
(2.66)
Нижний предел интегрировании в (2.66) можно заменить на
—оо, поскольку подынтегральное выражение практически равно
нулю при Л < 0. В этом случае находим
ОО
aN '
у/тг6 *
—ОО
(А-Ао)г
s*~dX = aN.
(2.67)
Сравнивая (2.66) и (2.67), получаем
а = Io-
(2.68)
Таким образом, спектральная плотность излучения имеет вид
гауссовой кривой:
1(Л) =
I0N
^бе
(А—Ар)2
<52
(2.69)
о
ширина которой называется доплеровской шириной спектральной
линии.
11.	Вычислить электрический дипольный момент идеального
газа, состоящего из линейных молекул с неизменным дипольным
моментом Ь, при помещении его в однородное электрическое
поле напряженностью Е.
Решение. Функция Гамильтона рассматриваемой системы
имеет вид
N	2 N	N
я = Е^ + Е£‘(м’-Е<ь-е-)-
г=1	г=1
Здесь первое слагаемое в правой части соответствует поступа-
тельному движению молекул, а еДМ) — классическое выраже-
ние для кинетической энергии вращения как функции момента
вращения М. Последнее слагаемое описывает потенциальную
энергию дипольных молекул в электрическом поле.
64 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Выражение для статистической суммы имеет вид

, ,	( р2 \
dp*exp “ййт х
х dMdTBp exp
е(М) ^cosflAl2
kT + кТ J
Здесь в — угол между b и Е. Интегрирование по твр означает
интегрирование по угловым переменным. В последнем интеграле
удобно перейти к сферической системе координат, выбрав поляр-
ную ось по направлению электрического поля Е.
Поскольку электрический момент определяется производной
от свободной энергии по напряженности поля
Р = -
(2.70)
a F — —kT\nQ, то для определения Р достаточно вычислить
в явном виде только интеграл по углу 0.
Итак, выражение для Q достаточно представить в виде
\ N
' Л /bEcosflX 1
d0 sin 0 exp ———
J	\ к! / J
.0	/
(2.71)
где a — коэффициент, не зависящий от напряженности электри-
ческого поля Е. Интеграл в (2.71) легко вычисляется и дает
(2.72)
Теперь для свободной энергии справедливо выражение
F = Fo - NkT (in + In (sh^X) .	(2.73)
\ bb \ kJ. / /
С помощью (2.73) соотношение (2.70) дает
P = Nb (cth^-
\ kl
kT\
bE J '
Полученное выражение называется формулой Ланжевена.
12.	Покажите, что в сильном электрическом поле, когда
дипольный момент системы, рассмотренной в задаче 11, близок
к насыщению, молекулы с незначительным дипольным моментом
совершают малые колебания около положения равновесия.
§2.2. Классические и квантовые функции распределения 65
Решение. Полученное в задаче 11 выражение для среднего
дипольного момента системы может быть записано в виде
P = Nb(cos6),	(2.74)
где (cost?) — среднее значение косинуса угла в, для которого,
очевидно, справедливо:
(cos0) = cth^-^.	(2.75)
К1 ОН/
В сильном поле выполняется неравенство kT <С ЬЕ. При этом
(cos#) « 1 и, следовательно, характерные углы 0 малы. В таких
условиях потенциальная энергия дипольного момента молекулы
в электрическом поле принимает вид
(п2 \	л2
1-у) =-bE + bEj.
Такой вид потенциальной энергии соответствует малым колеба-
ниям молекулы около положения в = 0.
13.	Доказать, что классическая система не может обладать
магнитными свойствами (теорема Бора—ван Левен).
Решение. При наличии магнитного поля, индукция В ко-
торого определяется формулой В = rot А, где А — векторный
потенциал, функция Гамильтона имеет вид
1 г	е-	I2
р*--АМ +и’
2т L	с	J
г=1
где U — потенциальная энергия взаимодействия частиц системы.
Используя выражение для статистической суммы в виде
1
h3NN\
drexp(~r?
убеждаемся, что интеграл по фазовому пространству системы
можно записать следующим образом:
Q = /^\dqexp(-w)x
оо
х j dp exp <
—оо
1 Г A /	2
i
3 Кондратьев
66 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Теперь видно, что благодаря бесконечным пределам в интегралах
по импульсам можно сделать замену переменной:
Pi “	(П) = р';.
В результате Q оказывается не зависящей от векторного потен-
циала А. Следовательно, статистическая сумма Q имеет такой
же вид, как и в отсутствие внешнего магнитного поля. Но это
и означает, что классическая система не проявляет магнитных
свойств. Известные «классические» объяснения пара- и диа-
магнетизма основаны на представлениях об устойчивых элек-
тронных орбитах, существование которых, однако, необъяснимо
с точки зрения классической физики.
14.	Вычислить классическую и квантовую статистические
суммы системы из N одинаковых одномерных невзаимодейству-
ющих осцилляторов с собственной частотой ш. Найти внутрен-
нюю энергию и теплоемкость такой системы.
Решение. Функция Гамильтона Н одномерного классиче-
ского осциллятора имеет вид
ч р2 тш2х2
Поэтому классическая статистическая сумма одного осциллятора
записывается следующим образом:
Интегралы легко вычисляются, и в результате находим
kT	h
Окл = где П = —.
па>	Z7T
(2.76)
+ ( 1
пы I п + -
Для квантового осциллятора статистическая сумма дается
формулой
ОО
<Экв = 52ехр
п=0
§ 2.2. Классические и квантовые функции распределения 67
Это выражение представляет собой бесконечную убывающую
геометрическую прогрессию со знаменателем exp I — — I . По-
этому	4
1
1
(2.77)
1 — ехр
Отметим, что при 1 гиперболический синус можно разло-
жить в ряд и ограничиться первым членом разложения: shx « х.
Тогда формула (2.77) переходит в классическое выражение для
статистической суммы (2.76).
Очевидно, что статистическая сумма системы из N неза-
висимых одинаковых осцилляторов связана со статистической
суммой одного осциллятора соотношением
/	л,., x-w
(2.78)
Внутреннюю энергию системы U можно найти с помощью фор-
мулы
U =---^\nQN.
Дифференцируя соотношение (2.78), находим
д . / , Тш \
U = N
.Т f ,, 1iw \ Иш .т1	, Тш \
-А(иМт~АТ +	,  <279>
В классическом пределе — <^ 1, отсюда получаем
KJ.
икл = NkT.	(2.80)
Теплоемкость системы можно найти, дифференцируя по тем-
пературе выражение для внутренней энергии (2.79):
/
c=(W\	-N!. expW
\вт)н„ /	(^\	\2\kT) 
(“Р(ет)-'
3*
68 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
В классическом пределе < 1, отсюда находим С = Nk, что
совпадает с результатом, полученным непосредственно с помо-
щью (2.80).
15.	Определите число осцилляторов, имеющих энергию, рав-
ную или большую заданной величины £\ =	1гш из обще-
го числа N одинаковых независимых одномерных осцилляторов,
рассмотренных в задаче 14.
Решение. Число 7У(еп) осцилляторов с заданным значени-
ем энергии еп = (п + Ъы определяется выражением
N £ti
N(£n) = £e-&.	(2.81)
Подставляя сюда значение статистической суммы Q, даваемое
формулой (2.77), получим:
/го> /	hw \	/	Гш \ hum
N^n) = Ne2kT И -е~кт\е fcT(n+2) =ДЦ1 _e-fcTle~Tr .
V 7	V	(2.82)
Теперь для числа 2Ve>ei осцилляторов с энергией, не меньшей Ei,
найдем
лг Г ( ЪштцХ ( hu (щ + 1) \ ,
= N (ехр (—) - ехр (-----) +
L \ A/-L /	\	К J. /
/	/ 7kv(ni+2)\ ,	1
+нф(.—-kf-^J -ехр(.—VO +=
= Яехр(-^). (2.83)
\ Гъ± /
Обратим внимание на то, что энергия нулевых колебаний не
входит в выражение для Ne^ei.
16.	Определите средний линейный размер I двухатомной
молекулы, совершающей гармонические колебания около равно-
весного положения, в котором длина молекулы равна Iq.
Решение. Обозначим смещение каждого атома при коле-
баниях через х. Тогда для среднего размера молекулы имеем
ОО
f miA2
I = Iq + 2 (x) = lo + 2C x e 2kT dx = Iq,
—oo
поскольку под интегралом стоит нечетная функция.
£ 2.2. Классические и квантовые функции распределения 69
В рассматриваемом гармоническом приближении совершаю-
щая колебания молекула не испытывает теплового расширения.
Обобщая приведенное рассмотрение, можно доказать справед-
ливость этого утверждения для кристаллов. Таким образом,
тепловое расширение кристаллов связано с ангармоничностью
колебаний образующих его молекул или ионов.
17.	Пользуясь соотношением (2.7), показать, что выражение
для плотности состояний р(Е) может быть представлено в виде
р(Е) = ^6(E-Ei),	(2.84)
i
где 6(х) — дельта-функция Дирака.
Решение. Подставим в формулу (2.7) выражение (2.1) для
статистической суммы Q =
I
cr+ioo
/>(£) = Ei j
I a—ioQ
Совершаем замену переменной (3 = ix:
—гсг+оо
p(E) = Vl Г e]ix(E-Et)]dX'
2тг
—ia—oo
Учитывая, что подынтегральная функция не имеет особенностей
в нижней полуплоскости комплексной переменной х, и используя
интегральное представление для «5-функции, приходим к выра-
жению (2.84) для р(Е).
18.	Вычислить плотность одночастичных состояний для
нерелятивистского одноатомного ферми—бозе-газа с законом
Р2
дисперсии е =
Решение. Воспользуемся соотношением (2.84) предыдущей
задачи:
р(£) = ^5(£-£i).
Квантовые числа, характеризующие состояние частицы в рас-
сматриваемом случае, — это проекции импульса px,py,pz и спи-
70 Гл. 2. Равновесная статистика классических, и квантовых систем
новое квантовое число ст:
р(0 = 12 5\е~
Px,Py,PzX7 '
(2.85)
Суммирование по <т дает множитель д= 2s + 1, где s — значение
спина. Например, для электронов s = - и д = 2. Суммирование
по проекциям импульсов можно заменить интегрированием по
правилу
Е-
Рх
ОО
dp*'
2ТГ it
—оо
где Lx — линейный размер системы по оси х. Переходя теперь
в (2.85) к сферической системе координат и выполняя интегри-
рование по углам, находим
оо
Р =	[dpp25 (£ ~	’ V = L*LyL*-
(2тгП) J \	/
О
С	о Р2
Совершая замену переменной = х, имеем
Р (е) = 9
з 1
Vm2E2
257г2П3
(2.86)
Нетрудно убедиться, что именно к такому выражению мы
и придем, подсчитывая сначала число одночастичных состояний
dpdr	р2
д-----j для частиц с энергетическим спектром е = -— в эле-
менте объема фазового пространства dpdr, вычисляя плотность
состояний р(р) при любых значениях координат частицы и любой
ориентации ее импульса и переходя затем к энергетическому
представлению. Однако изложенный в решении задачи метод
обладает большей общностью и применим в более сложных слу-
чаях при произвольном виде энергетического спектра.
19.	Вычислить плотность состояний для нерелятивистского
электронного газа в квантующем магнитном поле В, пренебрегая
спиновым расщеплением энергетических уровней.
§2.2. Классические и квантовые функции распределения 71
Решение. Закон дисперсии в указанном приближении при
условии, что магнитное поле направлено вдоль оси г, имеет вид
£n,pZta —
+ Пшс (п+	,
2т \	2/
еВ	Л 1 п
где шс =-----циклотронная частота, п = 0,1,2,... — номер ос-
циллятора Ландау. Энергетический спектр электрона вырожден
по квантовому числу ру, характеризующему положения центра
осциллятора Ландау:
— Ру
Л>С —
Шс
Используя обычное выражение для плотности состояния (2.84),
имеем
р(е)=	6 (£ + П^с(п + |)	(2'87>
&,П,Рг,Ру '	'
Суммирование по спиновой переменной дает множитель 2. Пе-
реходя от суммирования по pz и ру к интегрированию, следу-
ет аккуратно выбрать пределы интегрирования. Очевидно, что
интеграл по pz берется в бесконечных пределах. При рассмот-
рении объемных свойств пространственно однородной системы
естественно предположить, что центр осциллятора Ландау лежит
внутри образца:
О хс < Lx,
где Lx — линейный размер системы вдоль оси х. Это приводит
к условию, накладываемому на ру:
О ру тшсЬх
Итак, для р(е) с помощью (2.87) имеем
оо	оо	тшсЬх
=	J	j
п~	оо	О
2т
— tiwc
Интеграл по ру вычисляется элементарно. Так как подынтеграль-
ное выражение есть четная функция pz, то
оо 00
р (е)=2 2 52 [dpz5 Пшс (n+D) ’
(2тгП) n=0J \ Zm \	2/)
где V = LxLyLz. В интеграле по pz удобно сделать замену
72 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
„ Pz
переменной = х.
В результате получим
з
р (е) = у 1	=.	(2.88)
В этой формуле суммирование проводится по таким значениям
п = 0,1,2,..., при которых под корнем стоит неотрицательное
число.
Легко убедиться, что выражение (2.88) переходит в формулу
для плотности состояний в отсутствие магнитного поля при
0. Действительно, при	—> 0 суммирование по п в (2.88)
заменяется интегрированием
Р(е) =
3
Vm?uc
257г2П2
Е	1
tnjjc	2
dx
Элементарное вычисление этого интеграла приводит к формуле
(2.86) задачи 18.
20.	Показать, что в координатном представлении ненорми-
рованный оператор плотности р для системы с гамильтонианом
Н (г, р) может быть записан в виде
(ri|exp [-/ЗЯ (г,^)] |г2) = ехр [-/ЗЯ (г, |	1 6 (г, - г2).
L \	L \ гот/j (2 gg)
Решение. Будем исходить из выражения для оператора
плотности в координатном представлении
(rjexp [-/ЗЯ	1г2> = 52ехр(-/ЗЯп)^п(г1)^п(г2)>
(2.90)
где собственные функции -0п(г) и собственные значения опе-
ратора энергии Еп определяются уравнением Шредингера для
стационарных состояний
я(г~^п(г) = М(г).	(2.91)
\ г от/
Используя понятие функции от оператора >р(А) как оператора,
у которого собственные функции фп совпадают с собственными
§2.2. Классические и квантовые функции распределения 73
функциями оператора А, а собственные значения <рп равны зна-
чениям функции у?(Ап) от собственных значений Ап оператора
А, имеем
exp [-(ЗН (г, 7^)] V’n = exp (~@Еп) фп (г).	(2.92)
С помощью (2.92) выражение (2.90) можно переписать в виде
(г,|ехр [-/ЗЯ (г’7^)] 1г2> =
= ехр [-/ЗЯ (ri, у^-)] £<Мг1)С(г2).
п
Используя свойство полноты системы собственных функций опе-
ратора Я
V’n (г 1) V’n (гг) = 6 (ri - г2),
п
приходим к формуле (2.89).
Обратим еще раз внимание на то, что формула (2.89) опреде-
ляет ненормированный оператор плотности.
21.	Построить оператор плотности одномерного гармониче-
ского осциллятора в координатном представлении.
Решение. Как и в предыдущей задаче, будем рассматри-
вать ненормированный оператор плотности. Аналогично (2.90)
имеем
(ж11 ехр (—/ЗЯ(ж)) |ж2) = ^ехр (—/ЗДП)-0П (х^-фп (ж2). (2.93)
п
Для гармонического осциллятора собственные функции V’n(^)
и значения энергии Еп даются формулами
-фп (X) = ()4 (2”п!)-2 exp l-q- ) Нп (д),
\7rTi/	\ 2/	(2.94)
Еп = Тгш (п + -),
1
где Hn(q) — полиномы Эрмита, q — (-77-)2 х, п = 0,1,2,...,
(Л \ п
^) exp (—д2).	(2.95)
74 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Для вычисления по формуле (2.93) удобно воспользоваться ин-
тегральным представлением полиномов Эрмита
ОО
Нп (<?) = 7г“2е«2 du (—2iu)n exp (—и2 + 2iqu).	(2.96)
—ОО
Теперь соотношение (2.93) перепишется следующим образом:
(ж1|ехр(-ДЯ (х)) |х2) =
, к 1 1	/ 2 ।	2
(тш \ 2 1	/ <71 + <72
=	- ехр -
\ 7ГП / 7Г \	2
оо
, , у-л (—2uv)n
dudv >	х
п!
—оо	п=0
х ехр [—(dhw (п +	— и2 + 2zqiu — v2 + 2iq2vj •
Под знаком суммы по п в (2.97) стоят слагаемые, соответству-
ющие разложению ехр [—uvexp (—(3ha>)] в ряд Тейлора. Поэтому
выражение (2.97) можно переписать в виде
(ж1|ехр(-ДЯ (ж)) |х2) =
J	оо
/ГГШ\2 1	f j j ( /ЗТш\
= {л) ^еХр(-2“) J	—
—ОО
х ехр [—и2 + 2zqiii — v2 + 2iq^v — 2ш?ехр(—/37га>)] . (2.98)
Для вычисления интегралов в (2.98) можно воспользоваться
формулой
—ОО
ОО	/	V
' / 1 п	п	\
dxi ... dx2 ехр I -- dikXiXk + i bixi I =
i,k=l	l=\	/
/ n,
(2tt)2 Z •
= —П7ехР
|a»k|2
J,«=l
где |а^| — определитель матрицы (ajfc), a (aik) 1 — обратная
матрица. В рассматриваемом случае
Iflik| — 4 [1 - ехр (—2/37гси)],
=	1 ехр(-^М
( ik) I ехр (—1
§ 2.2. Классические и квантовые функции распределения 75
а обратная матрица
/	\-1 _	1	(	1	— ехр (—/З/гш)
{aik) ~ 2[1 — ехр (—2/ЗЛси)] у- ехр (-/З/гш)	1
Теперь получаем
/ /ЗНаЛ
1 ехр I —— I
(х1\ехр(-0Н^\х2} = (^)2------------V 7 ,х
[1 - ехр(-2/ЗЙи>)]2
Г 2	2	1
X ехр {	[,2 _ 2g, ® ехр (-/?;
1
Используя соотношения
, /31ш _ ch (0ТиФ) — 1 _ sh (0Тио)
~ “ sh (0Пш) ~ 1 + ch (0Пш) ’
можно привести (2.99) к виду
Spexp (-0Н) =
(!, |ехр (-ЦН М)| 12) = (м2^М)г Х
( тпш Г,	.9,1 0hw . /	\2 .1 P'tiajl)
х ехр|l(a;i + х2) th —+ (a?i — х2) cth -у I J
(2.100)
Не представляет труда вычислить нормированный оператор
плотности. Полагая в (2.100) х\ = х2, находим
00 _1
dx (а;| ехр (—0Н) |rr) = j^2 sh (J3Tiw) th j 2 •
—ОО
В результате получаем
0hu\ 2
x
_ to I exP (~0H to) to) _
P^'X^> ~ Spexp(-^Я)	“
x exp|-^ tori + x2)2th^ + to - a;2)2 cth |.
X / V L	J J
22.	Покажите, что ненормированный оператор плотности
р(0) = ехр(—0Н) удовлетворяет дифференциальному уравнению
76 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
д/Г-НР,	(2.101)
называемому уравнением Блоха.
Какой вид имеет начальное условие для этого уравнения?
Найдите решение уравнения (2.101) для одномерного движения
свободной частицы.
Решение. В энергетическом представлении оператор плот-
ности можно записать в виде
Pij = 5ije-PEi	(2.102)
Дифференцируя (2.102) по /3, получаем
= -^Е^ = -EiPij.	(2.103)
'“'г'
Откуда следует уравнение (2.101).
Начальное условие для уравнения (2.101), очевидно, имеет
вид
р(0) = 1.	(2.104)
В координатном представлении уравнение (2.101) записыва-
ется следующем образом:
Ы^ = -Нхр(х,х'),	(2.105)
где индекс «ж» у Нх означает, что оператор Н действует на
переменную х. Начальное условие для уравнения (2.105) запи-
сывается как
р(х,хг>)\р=0 = 6 (х — У).	(2.106)
В случае одномерного движения свободной частицы уравне-
ние (2.105) принимает вид
др(х, х1)
д/3
2m дх2
р(х,х')
(2.107)
Уравнение (2.107) имеет вид уравнения диффузии. Поэтому его
решение можно заменить следующим образом:
1
/ a ( т \2
р(х,х) =	---5- ехр
т
27гП2/3
(2.108)
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
77
Выбранный в (2.108) численный множитель обеспечивает выпол-
нение начального условия (2.106). Вычисляя шпур обеих частей
(2.108)
р (х, x)dx = L	= ехР (“^) ,
(2.109)
находим статистическую сумму для одномерной системы дли-
ной L.
Очевидно, что для свободного трехмерного газа с числом
частиц N справедливо
exp (-0F) = VN
3N
(2.110)
Разумеется, выражение (2.110) можно получить непосредственно
с помощью соотношения (2.90).
Считая, что невзаимодействующие частицы находятся в ящи-
ке объемом V, можно записать для волновых функций чрп (г):
V’n (г) Vp (г) = ехр .
(2.1Н)
Переход по обычному правилу от суммирования по р к интегри-
рованию
(2TT/1)3
получаем с помощью соотношения (2.90):
р(г,г') =
dp	( /?Р2\ г / а
—£—ехр	ехр - (р, г - г ) =
(2тг7г)	\ 2m у н П	’
з
( т \ 2	( т (г — г') \
= ------о- ехР---------—5—— 
\2тгП2 0J \	2П20 J
(2.112)
(2.113)
Отсюда, аналогично переходу от (2.118) к (2.119), непосред-
ственно получается соотношение (2.110).
23.	Спиновый гамильтониан электрона в магнитном поле
Н = -раВ,	(2.114)
где р — магнетон Бора, а — спиновый оператор Паули, В —
индукция магнитного поля. Считая ось z направленной вдоль
магнитного поля, найти среднее значение стг в ансамбле с фик-
сированной температурой.
78 Гл. 2. Равновесная статистика классических, и квантовых систем
Решение. При указанном направлении магнитного поля
гамильтониан (2.114) переписывается так:
Н = -p,Bdz, dz = fg _°Л .
Используя понятие функции от оператора, запишем ехр ( —(ЗН1
в виде	4	7
ехп(-ВН} -	(expW-B)	0	\
ехр(	0	ехр(—
Нормированный оператор плотности можно записать:
1	/ехр(/?дВ)	0	\
Р ~ 2ch (/ЗцВ) у 0 ехр J '
Теперь для среднего значения az имеем
(az) = Sp (раг) = th (JfyB).
Ответ можно получить, не находя явного выражения для опера-
тора плотности. Поскольку — I, то справедливо равенство
°о
ехр (/fyBaz) = ^п\	=
п=0
00	I	00	1
= Е (ЩТ ^-8)“ I + Е	<2-115)
/с=0	/с=0
В правой части выражения (2.115) стоят разложения в ряды
Тейлора гиперболических синуса и косинуса:
ехр (j3fiBaz) — ch (j3p,B) • I + sh (J3p,B)  oz.
Теперь легко видеть, что
Sp ехр (j3p,Ba) = 2 ch (j3p,B), Sp [az exp ((ЗцВа)] = 2 sh (/3/zB).
Из последних выражений следует, что
Spexp(/3/xB<7z)
24.	Статистический оператор равновесного состояния может
быть записан в виде
Р = р(0) = Е’ч1Я°))0(°)1.	(2.116)
3
§2.2. Классические и квантовые функции распределения
79
если система с вероятностью Wj находится в состоянии |j).
Однако даже при независящем от времени гамильтониане Н со-
стояние системы меняется в соответствии с уравнением Шредин-
гера, поэтому в некоторый момент времени для статистического
оператора p(t) справедливо:
(2.117)
р(0 = ^wj
j
Покажите, как будет меняться при этом среднее значение
оператора А
(Л) = Зр(М) = 8р(/л (/,)),
где /д(р) — некоторая функция оператора р.
Решение. Будем использовать систему единиц с h = 1.
При независящем от времени гамильтониане в системе от-
сутствуют переходы между различными состояниями, поэтому
вероятности Wj остаются постоянными.
Разложим состояние |у (0)) по собственным функциям опера-
тора Н, определяемым уравнением:
Н \Еп) = Еп |Е„).
Вследствие полноты системы функций имеем
\j(O)} = ^\En}{En\j(Q)).	(2.118)
71
В результате с помощью уравнения Шредингера для |у (£)) полу-
чаем	с .
\j (t)) = £ \Еп) e~lEnt {Еп | j (0)).	(2.119)
п
Это выражение можно переписать в виде
|J (<)) =	\Еп) (Еп |j (0)) = e~iHt \j (0)).	(2.120)
п
Теперь для оператора плотности p(t), определяемого формулой
(2.117), имеем:
p(t) = wje-iHt \j (0)) (j (0)| eiHt = e~iHtp(Q) eiHt. (2.121)
3
С помощью этого соотношения находим
Sp рп (t) = Sp (e~lHtpn (0) elHt) = Sp pn (0),	(2.122)
где использовано свойство циклической перестановки операторов
под знаком Spur: Sp(ABC) = Sp(CAB).
80 Гл. 2. Равновесная статистика классических и квантовых систем
Таким образом, Sppn не меняется со временем; следователь-
но, это же справедливо и для Sp/(p), где f — любая функция.
25.	Найдите статистическую сумму для классического иде-
ального газа, окружающего планету массы М с радиусом R.
Решение. Решение задачи сводится к нахождению конфи-
гурационного интеграла. Поскольку потенциальная энергия Еп
отдельной молекулы в гравитационном поле планеты равна
Еп = -7^, R^r<oo,	(2.123)
то конфигурационный интеграл определяется выражением
оо
п гт\	( тМ \ .	9 j
Z (Т) = ехр (7—— 1 4тгг dr.
\ ТК1 /
R
Интеграл в правой части (2.124) расходится, что означает,
что состояние термодинамического равновесия для рассматрива-
емой системы невозможно.
(2.124)
Задачи для самостоятельного решения
26.	Используя выражение для максвелловской функции рас-
пределения классического идеального газа, определить среднее
значение n-й степени модуля скорости молекул.
27.	Используя выражение для функции распределения по
координатам, найти среднее значение квадрата дипольного мо-
мента единицы объема газа, рассмотренного в задаче 2.11.
28.	Определить плотность состояний электронного газа
в квантующем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление
энергетических уровней.
Глава 3
РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КВАНТОВЫХ ГАЗОВ
§3.1. Ферми- и бозе-газы
При рассмотрении квантовых систем, в которых определе-
ны одночастичные состояния, удобно с самого начала учесть
симметрию волновой функции системы: частицы с полуцелым
спином (фермионы) описываются антисимметричными волновы-
ми функциями, частицы с целым спином (бозоны) — симмет-
ричными. Для фермионов справедлив принцип Паули: в каждом
квантовом состоянии может находиться не более одной частицы.
Для бозонов числа заполнения N\ квантовых состояний произ-
вольны.
Функции распределения для фермионов и бозонов легко
получить в рамках большого канонического ансамбля, выбрав
в качестве подсистемы совокупность всех частиц, находящихся
в данном квантовом состоянии Л. Энергия системы в этом со-
стоянии есть Е\ = £\N\. Выражение для термодинамического
потенциала Ид имеет вид
Для фермионов ЛГд = 0,1; поэтому
ПЛ = -fcTln (1 + ехр	.	(3.1)
\	L к! J/
Для бозонов N\ = 0,1,2,.... Находя сумму бесконечной геомет-
рической прогрессии, получаем
Пд = kT In I 1 — ехр
r(/z —£д)~|\
L kT ]/
(3.2)
82
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
причем р < 0. Средние числа заполнения (или функции распре-
деления) получаются с помощью термодинамического равенства
(NX) = f (СА) = -
9М )Ту
Поэтому с помощью (3.1) и (3.2) имеем
1
f Ы =
Г£А - Ml , < ’
expL кт 1*
(3.3)
Верхний знак относится к фермионам, а нижний — к бозонам.
Химический потенциал р определяется из условия нормировки
функций распределения:
У-------!----
Г£А - Ml , <
А “р * 1
(3.4)
где ЛГ — полное число частиц в системе. Вводя плотность состо-
яний р(е), можно переписать равенство (3.4) в виде
N = \ dtp (е) f (е).
(3.5)
Термодинамический потенциал всей системы Q дается формулой
Q = £ Qa = ^кТ In {1 ± ехр	,	(3.6)
А	А
которую аналогично (3.5) можно записать так:
In < 1 i ехр
(т^) 	<37>
Q = ^кТ dep (е)
Термодинамические характеристики системы определяются с по-
мощью Q по обычным формулам термодинамики.
Статистические свойства фермионов и бозонов резко различа-
ются при низких температурах. При расчете низкотемпературных
свойств фермионов используются асимптотические разложения
интегралов
ОО
[	<^(г)
м
'	2
^(£) + ^(/сТ)2^(м) + ...
(3.8)
о
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике 83
При произвольных температурах удобно использовать интегралы
Ферми—Дирака:
ОО	оо
1 f dxxk	Г 4-	1
Ffc(M= 1	----------- r(z)= \dte-4z-{. (3.9)
feV/' Г (fc + 1) J 1 + exp (ж — 7?) v ’ J	v ’
0	0
Интегралы Ферми—Дирака обладают удобным свойством
=	(З.Ю)
При рассмотрении свойств бозе-систем при температурах, мень-
ших точки То бозе-эйнштейновской конденсации, удобно исполь-
зовать соотношение
ОО
dxxz 1
^-г = гисы 0> 1),
о
где Г(г) — гамма-функция, a £(z) — дзета-функция Римана
ОО
Ш = £п~2.
П=1
§ 3.2.	Смешанное представление в квантовой
статистической механике
Переход к смешанному представлению осуществляется сле-
дующим образом. В матрице плотности, взятой в координатном
представлении, совершается переход к новым пространственным
переменным, равным полусумме и разности старых переменных.
Для одночастичной матрицы плотности такому переходу соот-
ветствуют соотношения:
R= i(ri +r2),r = ri -r2,
(ri,cn|/?|r2,(T2) -+ ^R+ £)<Ti|p|r-|,<t2^.
Здесь tri и cr2 — спиновые переменные. Далее совершается пре-
образование Фурье по переменной г:
/СТ1<Т2 (р,R) = drexp(-^pr^R+|,<Т1 /?R-^,ct2
2’
84
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Функция /СТ|(Т2 (р, R) называется равновесной квантовой функци-
ей распределения Вигнера. Формула обратного преобразования
имеет вид
<1*1, (Tj | р |г2, <7г>
ф Г г ,	,1 ,	( ri +г2\
ехр (г,-г2)]).
В общем случае квантовая функция распределения Вигнера не
является положительно определенной и поэтому не может рас-
сматриваться как вероятность реализации определенных состо-
яний. Однако проинтегрированная по импульсной переменной
функция распределения Вигнера дает распределение по про-
странственным координатам. Проинтегрированная по простран-
ственной переменной, она дает распределение по импульсу.
Функция распределения Вигнера позволяет записать основ-
ные соотношения квантовой статистической механики в виде,
формально аналогичном соотношениям классической статистики.
Это не относится к спиновым переменным, для которых нет
классического аналога.
Все фигурирующие величины в смешанном представлении
остаются матрицами в спиновом пространстве. Спиновые индек-
сы при использовании функции распределения Вигнера обычно
в явном виде не выписываются.
Задачи
1.	Найти термодинамический потенциал Q для нереляти-
вистского квантового газа при произвольной температуре. Выра-
зите его для ферми-газа через интеграл Ферми—Дирака.
Решение. Используя формулу (3.7) и выражение (2.86) для
плотности состояний
Р(е) =
12 1
V22m2e2
тгЧ3
получим
1 Зоо
V22m2 [	1	/	/1- г
аее^ In 1 ±ехр . _
\	к!

(3.12)
о
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике85
Совершая замену переменной и интегрируя по частям, приходим
к следующему соотношению:
Q = ^кТ
3	3	3
V22m2 (fcT)2
оо	3
dxx2
(3.13)
Используя определение интеграла Ферми—Дирака (3.9), этому
выражению можно для ферми-газа придать вид
з
Vm2
1 3 Q
227Г2Й3

(3.14)
Уравнение для определения химического потенциала ферми-газа
рь с помощью (3.14) записывается следующим образом:
N =
з
Vm2
1 з .
227Г2Й3
3	/ ii \
2.	Покажите, что для свободного нерелятивистского кван-
тового газа термодинамический потенциал Q связан со средним
значением Е энергии системы соотношением
2
Q = --Е,
п
(3.15)
где п — размерность пространства, в котором движутся молеку-
лы газа.
Решение. Для трехмерного пространства (п = 3) выраже-
ние для Q дается формулой (3.12), а для среднего значения
энергии Е справедливо выражение
ОО
Е = | ер(е) f (е) de.
о
Используя формулу (2.86) для плотности состояния р(е), нетруд-
но привести это выражение к виду
Q = -|s,
что соответствует (3.15) при п = 3.
86
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Вычисления для случаев п = 2, п = 1 удобно провести, ис-
пользуя общую формулу (2.84) для плотности состояний. Напри-
мер, для п = 2 имеем:
Q = ^kT [ V 5 (е - In (1 ± ехр Д-Д) ds.
\ 2т I \	kl /
Q &,Рх,Ру
Выполняя суммирование по спиновой переменной, переходя от
суммирования по рх и ру к интегрированию и вычисляя инте-
гралы по импульсам, приходим после интегрирования по частям
по энергетической переменной е к выражению, которое только
знаком отличается от результата вычисления Е по формуле
Е =	6 (£~
О	(Г'РХ'Ру Х	7
Поэтому для п = 2 выражение (3.15) также верно.
Аналогичные вычисления по формуле
' _ /	2 \	к
Q = V 5 I Е- ) 1п( 1 ±ехрДДД ]de
I \ 2т)	\ кТ /
0 а'Рх
приводят при п = 1 к равенству
Q = -2Е.
Таким образом, соотношение (3.15) справедливо во всех трех
случаях.
3.	Найти теплоемкость Су при постоянном объеме нереля-
,	Р2
тивистского ферми-газа с законом дисперсии е = при низких
температурах.	т
Решение. Искомую теплоемкость можно определять с по-
мощью соотношения
ИИ	(3.16)
Выражение для энергии Е системы можно записать в виде
Е = dEEp (s) / (е) .
о
§3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике#!
Используя низкотемпературное разложение (3.8), можно напи-
сать с точностью до квадратичных по температуре членов
м
Е —
(3.17)
2
deep (е)+ у (kT)Е 2 \р (м) + Рр' (м)] •
о
В выражении (3.17) химический потенциал р зависит от тем-
пературы, поэтому при вычислении теплоемкости по формуле
(3.16) необходимо учесть эту зависимость. Проще всего это
сделать следующим образом. Запишем первое слагаемое в правой
части (3.17) так:
м	МО
deep (е) - deep (s) + (р - до) РоР (До),
о	о
где р — энергия Ферми. Второе слагаемое в правой части
этого выражения представляет собой зависящую от температу-
ры поправку; поэтому значение подынтегральной функции ед(е)
можно взять в крайней точке промежутка [до,д]. Теперь все
выражение (3.17) запишется так:
? %2
Е = deep (е) + (р - ро) pQp (д0) + у (кТ)2 [р (до) + Pop' (до)] •
о
(3.18)
Запишем выражение для среднего числа N частиц системы
и преобразуем его аналогичным образом:
ОО	МО
'	Г	2
dep (е) f (е) = j dep (е) + (д - До) Р (До) + у (кТ)2 р' (ро).
о	о
Первое слагаемое в правой части равно N, ибо оно представляет
собой выражение для числа частиц N системы при нулевой
температуре. Поэтому
N =
2
(М - До) Р (До) + у (fcT)2 р' (до) = 0.
С учетом (3.19) равенство (3.18) переписывается в виде
МО
'	2
Е = deep(e) + ^(kT)2p(po).
О
(3.19)
(3.20)
о
88 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Теперь для теплоемкости Су получаем
7Г2	„
Су = ^к2рЫТ.	(3.21)
Видно, что значение теплоемкости определяется плотностью со-
стояний на уровне Ферми.
4.	Используя известное соотношение квантовой статисти-
ческой механики Q = — $Е, можно провести вычисление теп-
лоемкости Су ферми-газа при постоянном объеме следующим
образом. Найдем энтропию системы S, для которой справедливо
равенство
Ь~ дТ~ЗдТ'
С помощью приближения (3.20) для энергии Е, найденного
в предыдущей задаче, получим для S выражение
9 -7Г2
S = ^к2р(м)Т.
Теперь для теплоемкости Су находим
Cv=T^^l^pMT.
Как согласовать этот результат с формулой (3.21) предыдущей
задачи?
„ да
Решение. Формула для энтропии 5 = — — предполага-
ет выполнение дифференцирования при фиксированном химиче-
ском потенциале системы р:
/дп\
5	(дТ)/
Поэтому, используя результаты предыдущей задачи, следует
дифференцировать не выражение (3.20), а выражение (3.17),
содержащее химический потенциал р при конечной температуре
Т, а не при Т = 0. Тогда получим
s=- =I =14к2<* (з-22>
Для нерелятивистского газа плотность состояний /?(е) пропорци-
ональна е1/2:
/?(е) = Ле1/2.
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике 89
Поэтому справедливо равенство
3
р(м) + М?'(д) = 2Р^-
Подставляя это соотношение в (3.22) и учитывая, что д можно
положить равным энергии Фермиприходим с помощью выра-
жения для теплоемкости Су = Т— к правильному результату:
2
Су = ^-к‘1р(^)Т.
О
5.	В зонной теории собственных полупроводников и полу-
металлов термодинамический потенциал Q электронной системы
дается выражением
оо
Q = -A:TV [ dEpi(£) In (1 +exp^-^Y (3.23)
*	\	KJ /
г -oo
где суммирование производится по электронным зонам. Рассмат-
ривая приближение двух зон — валентной зоны и и зоны про-
водимости с, выяснить, как запишется термодинамический по-
тенциал Q после перехода к «дырочному» представлению, когда
вместо электронов в валентной зоне рассматриваются положи-
тельно заряженные дырки.
Решение. Рассмотрим для определенности случай соб-
ственного полуметалла, зонная схема которого показана на
рис. 3.1. Энергию отсчитываем от дна зоны проводимости; пе-
рекрытие зон равно Д. В случае полупроводника Д < 0 — это
ширина запрещенной зоны. Будем считать валентную зону огра-
ниченной снизу значением энергии е = —6, хотя в приближе-
нии только двух зон в конечных результатах следует положить
<5 —> оо.
Вводим число состояний М(е) в г-й зоне с энергией, не
превосходящей е, так что
/ \ dNi (s')	/.	\	/п л
Pi = de ’	=	с)'	<3-24)
Тогда, интегрируя (3.23) по частям, получаем
к
dsNv (е)
" е — и
<5 + еХР ~kf~
dsNc (s)
” s — и
1 + ехр
90
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
- kTNv (е) In (1 + ехр |Л . (3.25)
\	к! / I— 5
Вводим величину
W£ = 7V-7Vv(e),	(3.26)
где N — число электронов в целиком заполненной валентной
зоне, равное полному числу электронов в собственном полу-
металле в модели двух зон: NV(A) = N. Последнее слагаемое
в (3.25) на нижнем пределе интегрирования обращается в нуль;
поэтому с учетом (3.26) выражение (3.25) записывается следую-
щим образом:
deNc (е)
”	Е — U
0 1+еХр^Т-
,	£ — Ц
-S + ехр ~рт~
д
— N
-&
ds
” S — и,
— NkT In (1 + ехр
р — Д
кТ
(3.27)
Переходим к дырочному представлению. Делаем замену s' = Д —
— s, вводим = Д — р и определяем число дырочных состояний
с энергией, меньшей s: Nh(e) — Nh(A — s). Тогда второе слагае-
§3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике9\
мое в (3.27) принимает вид
Д	Д+<5
’ deNX (е) = Г (е)
1 ,	£ ~ I1 1 , Ph-e'
-6 + ехр kT 0	+ ехр кТ
Учитывая равенство
(1+ехр^Г' = 1 _ (1 4-expi^i)"1,
используя (3.27) и вычисляя интеграл в третьем слагаемом
в (3.27), перепишем (3.27) следующим образом:
оо	Д+<5
о _ f deNc (е)	_ f deNh (е)
“ “	,,	£~П	1 ,
о + ехр кт 0	+ ехр кт
Д+<5
+ f *№(E)-^Tlnfl+exp^y (3.28)
о
Третье слагаемое в этом выражении является постоянной вели-
чиной и может быть отброшено. Учитывая необходимость пре-
дельного перехода 6 —> оо в модели двух зон, можно переписать
последнее слагаемое в (3.28) в виде
NkT In f 1 + ехр > N (и + 5).
\	kl /
Слагаемое NS, являющееся постоянной величиной, можно отбро-
сить. Теперь видно, что выражение (3.28) для термодинамиче-
ского потенциала Q электронной системы кристалла приобретает
структуру
Q = Qe +	- nN,	(3.29)
где Qe и £lh, определяемые первым и вторым слагаемыми в (3.28),
имеют смысл потенциалов электронов проводимости и дырок
соответственно. Соотношение (3.29) удовлетворяет условию со-
хранения полного числа электронов в системе. Действительно,
определяя число электронов N в системе по обычной формуле
,т дО	д	д	оп.
N — — ——	и учитывая, что	-т—	—	— -—,	получаем из	(3.29)
ди	др	dph
выражение
N = Ne-Nh + N,
(3.30)
92
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
где Ne и Nh — числа электронов в зоне проводимости и дырок
в валентной зоне. Например, дифференцируя по у первое слага-
емое в (3.28), имеем
. *"'(£)^(1+expV)1 =
о
оо
= deNc(£} (1 -Ьехр^ру#') = I.
о
Интегрируя теперь по частям и учитывая (3.24), получаем
I =
depc (е) (1 + ехр^#)
о
= Ne.
В собственном полуметалле Ne = Nh в соответствии с формулой
(3.30). Вычисление других термодинамических характеристик
производится дифференцированием термодинамического потен-
циала Q при фиксированном значении химического потенциала
у, так что последнее слагаемое в (3.29) не будет давать вклада.
Итак, если при расчетах явно учитывать условие Ne = Nh,то
последнее слагаемое в (3.29) можно отбросить и записать термо-
динамический потенциал в виде
„	0Qe (Nth
Q = Qe + Q/j, причем —— = -—.
ду dyh
6.	Найти термодинамический потенциал Q для нереляти-
вистского электронного газа в квантующем магнитном поле при
произвольной температуре. Получить выражения для энтропии
системы S, магнитного момента М и среднего числа частиц N.
Решение. Используя общее выражение (3.7) для термоди-
намического потенциала ферми-системы и формулу (2.88) для
плотности состояний р(е) в квантующем магнитном поле
з
, , Vm2cuc V—
р(е) = -—-У
25 тг2П2 п
§3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике 93
получим
ОО
П = -кТА ds^
о п
1	1 А ,	М-£\
I ,	)
£ - Ъыс ( п + 2 )
Суммирование проводится по таким значениям п =0, 1, 2,
при которых подынтегральное выражение вещественно. Меняя
порядок интегрирования и суммирования и выполняя интегриро-
вание по частям,
приведем это выражение к виду
оо	______________
ОО
fi = -2А
п=0
deJе —	(п + fl + ехр
V	х ~ / \	К ± /
(3.31)
Здесь суммирование по п, как легко убедиться, осуществ-
ляется в указанных пределах. Совершая замену переменных
г — 1шс (п +-J = кТх, переписываем (3.31) следующим обра-
зом:	4	7
ОО
ОО Р
3 г ।
Q = — 2A (kT)z	dxx2 < 1 + ехр х —
п=о 0
* ( 1
/Z - Тшс ( п + -
кТ
Используя определение (3.9) интеграла Ферми—Дирака
ставляя значение А, получим
и под-
3	3 0Q
о_ Ут2шс{кТ)2
22ТГ2П2
п=0
м-
кТ
(3.32)
С помощью термодинамического равенства
dti = -SdT - Nd/л - MdB
находим
a	л/ /хи 1
5 = --- -Л(тгА;)2 -
оо
п—0
кТ
X
X
£
2
94
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
е Q
М =---------
тс иос
ОО
-А— (тгкТ)ъХ^Е ,
тс	“о
п=0
+ ( 1
/Z - Ъшс I п + -
кТ
1 00
N = А(тгкТ)2
п=0
/х — Гсо(
( 1
^п+2
кТ
(3.34)
Теперь, используя полученные формулы, можно убедиться
в справедливости равенства
с;
|Q + TS + p,N + MB = 0.
Это соотношение является аналогом хорошо известного равен-
ства квантовой статистической механики (см. задачу №2)
9
о
справедливого в отсутствие внешних полей. Действительно, за-
пишем энергию системы Е как сумму энергии магнитного мо-
мента в поле, равную —МВ, и оставшейся части Е, которая,
очевидно, представляет собой энергию хаотического движения
частиц при наличии магнитного поля:
Е = Ё - МВ.
(3.35)
Используя термодинамическое определение потенциала
П = Е — TS - /J.N	(3.36)
и равенство (3.35), с помощью формулы (3.34) получаем
2 ~
Q = -^Е.
Подчеркнем, что при наличии внешнего магнитного поля средняя
энергия хаотического движения зависит от магнитного поля.
Отметим, что соотношение (3.34) остается справедливым и при
учете спинового расщепления энергетических уровней в магнит-
ном поле.
7.	Показать, что средняя энергия Е хаотического движения
частиц в квантующем магнитном поле делится поровну между
тремя поступательными степенями свободы.
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике 95
Решение. Вычислим средние значения энергии поперечно-
го и продольного движения в магнитном поле:
1	/	2 \
Выражение для Е± можно записать непосредственно с помощью
соотношения (3.4):
Pz /	1 \	_ 
/	1 \	О---1" I П + п ) — Р 1
г?	, 1 \	1 , 2m	\	2)
Е±- > у пшс I п + - 1 р + ехр----------------.
0,n,Py,pZ
(3.37)
Действуя так же, как и в задаче 2.21, посвященной вычислению
плотности состояний в квантующем магнитном поле, приведем
это выражение к виду
Совершая замену переменной p2z — 2mkTx и учитывая определе-
ние интегралов Ферми—Дирака (3.9), получим
5 2
V
1 з
227Г2П

1	/ Л* ltAA/C I I
'^Е^И—
п=0	\
Выражение для энергии продольного движения Ец можно запи-
сать в виде
P2z
2т
<Г,П,Ру >Pz
р2	/	1 \
2^+М"+2)-**
1+ехр---------->—
Преобразуем это соотношение аналогично (3.37). Получим
фгрф+ехр
n=° 5
р2	/	i \
+ hcjc ( п + - ) — р
2т	у	2 /
кТ
-1
3	0Q
22 7Г2/12	„=о 2
96
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Используя полученные выражения для Е± и Е\\ и выражение
(3.33) для магнитного момента М в квантующем магнитном
поле, убеждаемся в справедливости равенства
МВ = 2Ец - Е±.	(3.38)
Но это равенство как раз и означает, что средняя энергия ха-
отического движения Е поделена поровну между всеми тремя
поступательными степенями свободы. Действительно, энергию
системы Е можно представить в двух видах:
Е = Е± + Ец = Ё - МВ.
Но равенство (3.38) можно получить отсюда только при вы-
полнении условия	~
Е = ЗЕц.
8.	Показать, что термодинамический потенциал Q электрон-
ного газа в квантующем магнитном поле, даваемый формулой
(3.32), переходит в обычное выражение в отсутствие магнитного
поля при шс —> 0.
Решение. Записав выражение для термодинамического по-
тенциала Q в квантующем магнитном поле в виде
(3.39)
перейдем от суммирования по п к интегрированию по непре-
рывной переменной х. Прибавляемая к п величина - меньше
самого п, и поэтому она отбрасывается при переходе от сум-
мирования к интегрированию. Учитывая свойство интегралов
Ферми—Дирака (3.10), получаем
ц — hwc
кТ
ОО
[ dxFr (=
J 2 \ kl /
0
кТ / /х — ticjcx \ 100
j \ кТ /1о
На верхнем пределе это выражение в силу определения (3.9)
обращается в нуль. Действительно,
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике97
FM =
1
r(fc+ 1)
оо
dxxk
J 1 + ехр (х — rf) ту—>00
О
Подставляя значение функции (3.40) в соотношение (3.39), при-
ходим к выражению для Q:
з
Q = _ Vm~2
----	1 о
227Г2П3

9.	Показать, что магнитный момент М системы в квантую-
щем магнитном поле (3.33) пропадает при выключении магнит-
ного поля.
Решение. Прежде всего отметим, что первое слагаемое
в правой части формулы (3.33) при —> 0 расходится как —,
поскольку термодинамический потенциал Q, как было выяснено
в предыдущей задаче, стремится при —> 0 к конечному преде-
лу:
е Q	е Q	= 0)
тс а)с	тс
Очевидно, что второе слагаемое в правой части выражения (3.33)
должно стремиться к такому же пределу, взятому с противопо-
ложным знаком. Убедимся, что именно так и происходит:
, С7Г2 Й
- А------
тс
1	/	1 \
(kT)5£(n+0F_,
3
Vm 2 cjc е
00
(kiy f dxxF ! (^-^x
J “ 2 \ kJ-
0
e Q (wc = 0)
me cjc
Итак, мы показали, что М —> 0.
cjc—>0
10.	Найдите термодинамический потенциал Q большого ка-
нонического ансамбля для электронной системы тонкой металли-
4 Кондратьев
98
Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
ческой пленки в условиях квантового размерного эффекта, когда
одночастичный энергетический спектр имеет вид
£п,р,<т =	+ £п,	(3.41)
н 2т
где р — двумерный импульс движения параллельно плоскости
пленки, а — спиновое квантовое число, еп — квантованная
энергия движения поперек пленки в ее потенциальном поле, вид
которого не конкретизируется. Получите выражение для энтро-
пии S и среднего числа частиц N.
Решение. Для вычисления Q найдем плотность состояний
р(е) электронов в пленке. Исходя из общего выражения (2.84),
имеем
р(£)= J2<5(e-£n>p>a).	(3.42)
п,р,сг
Переходя по обычному правилу от суммирования к интегрирова-
нию по двумерной импульсной переменной и выполняя суммиро-
вание по спину, получим
т г	'	/	2 \
ж =	‘‘P'Y(3-43’
Где V — объем, a L — ее толщина. Вычисляя интеграл в поляр-
ных координатах, находим
р(0 =
Vm у—л . _ Vm
7Th2L	7ГЙ2!/
n=l
(3.44)
где n£ - max{n|sn e}.
Вычислим термодинамический потенциал Q, исходя из об-
щего выражения (3.7). Записав входящую в (3.44) величину п£
в виде
ОО
п£ = ^0(е-£п),	(3.45)
П=1
где 0(х) — ступенчатая функция Хевисайда, имеем, выражая
температуру Т в энергетических единицах кТ,
Q = -Т^-
irh2L
(3.46)
П=1 е
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике99
Выполняя в (3.46) интегрирование по частям, приводим выраже-
ние (3.46) к виду
Q = --^£F1(Mn),	(3.47)
7ГП L
71—1
где Fi(/zn) — интеграл Ферми—Дирака первого порядка, а
__ М
Р"п —	•
Для среднего числа частиц в системе N имеем:
VmT	z ч	/о оч
N = - к- = ^2F>ZFo(Mn)- (3.48)
\c*/z/yy irh L —
n=l
Интеграл Ферми—Дирака нулевого порядка Fo вычисляется
в явном виде:
Fo(7?) = ln(e” + 1).	(3.49)
Поэтому выражение (3.48) можно переписать следующим обра-
зом:	v Т 00
ЛГ=Г^±.1пГТ (ехрМп+1).	(3.50)
ЯП L ,
С помощью (3.47) находим выражение для энтропии S:
оо
S =	v £ (2Fi (д„) - MnFo (дп)).	(3.51)
\О1 / цУ тгп L '
П=1
Сравнивая выражения (3.47), (3.48) и (3.51), убеждаемся в спра-
ведливости соотношения
TS + nN + 2П - Е± = 0,	(3.52)
r^e
F± = ^y\nF0(<)	(3.53)
7ГП, L
71=1
представляет собой среднюю энергию движения электронов по-
перек пленки.
Нетрудно видеть, что соотношение (3.52) представляет собой
2
обобщенные формулы Q = — -Е для рассматриваемого случая.
Действительно, (3.52) эквивалентно равенству
2 ~
Q = -|Е,	(3.54)
о
100 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
где Е — средняя кинетическая энергия хаотического теплового
движения. Чтобы показать справедливость (3.54), учтем, что
Ё
E± = ^ + V,
О
(3.55)
где V — средняя потенциальная энергия электронов в поле
пленки. Подставляя в (3.52) термодинамическое определение по-
тенциала Q
Q = Ё + V - TS - nN,
получим
Q + £ + V-E±=0,
откуда с помощью (3.55) немедленно получаем соотношение
(3.54).
11. Получите выражение для энергии Ферми электронов
ер в размерно-квантованной пленке при произвольном выборе
модели пленочного потенциала. Рассмотрите случай, когда пле-
ночный потенциал аппроксимируется прямоугольной ямой с бес-
конечно высокими стенками.
Решение. Введем среднюю плотность состояний, приходя-
щуюся на единицу объема пленки:
5(Ю =
Р(е)
V ‘
(3.56)
Выбирая систему единиц с 1г = с = 1, имеем с помощью соотно-
шения (3.44)
5(e) =	(3.57)
Рассмотрим зависимость д(е) от
лютном нуле температуры. При
плотность состояний g(ji) убывает, как у
число заполненных пленочных подзон. Однако при значении тол-
толщины пленки L при абсо-
увеличении толщины пленки
у, пока не меняется
л Li
щины Ln, когда начинает заполняться очередная новая подзона,
плотность состояний скачком увеличивается. Значение толщины
Ln определяется из уравнения
м(^-'п) — £п+1(^п).
(3.58)
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике\§\
При абсолютном нуле температуры средняя концентрация —
электронов определяется соотношением
у = 9^) de.	(3.59)
о
Отсюда с помощью (3.57) и соотношения (3.45) получаем:
ЛГ	nF
П=1
где пр — число заполненных при абсолютном нуле температуры
пленочных подзон. Разумеется, соотношение (3.60) может быть
получено с помощью выражения (3.48). С помощью (3.60) для
химического потенциала ц, равного ер при Т = 0, получаем:
N irL
V тпр
М =
(3.61)
С помощью соотношений (3.58) и (3.61) получаем выражение для
толщины Ln пленки, при которой начинает заполняться (п+ 1)-я
пленочная подзона:
Ln = T^Fn(n + l)(4n + 5).
(3.62)
В случае, когда потенциал пленки аппроксимируется прямо-
угольной ямой с бесконечно высокими стенками, одноэлектрон-
ный энергетический спектр имеет вид
_ 7Г2П2
2mL2
(3.63)
В этом случае выражение (3.61) для /л оказывается равным
_	+ Л (пр + 1) (2nF + 1).	(3.64)
V mnF 12mL2
При заданном значении концентрации электронов в пленке —
и толщины пленки L входящая в (3.64) величина пр опреде-
ляется с помощью соотношения (3.62): если толщина пленки L
такова, что Ln-\ < L < Ln, то пр — п. Исследование соотноше-
ния (3.64) показывает, что на любом из интервалов изменения
102 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
толщины от значения Zn-i до Ln химический потенциал имеет
минимум, расположенный при
L3=^n(n+l)(2n+l).	(3.65)
Осцилляции химического потенциала заметны, когда заполнены
лишь несколько подзон в пленке. Осцилляции термодинамиче-
ских характеристик пленки при изменении ее толщины повторя-
ют плотности состояний на уровне Ферми.
12. Найдите большой термодинамический потенциал Q, эн-
тропию S и магнитный момент М электронной системы тонкой
металлической пленки толщиной L, помещенной в однородное
внешнее магнитное поле, перпендикулярное поверхности пленки,
в случае, когда квантование движения электронов обусловлено
как размерами образца, так и магнитным полем. Спиновым рас-
щеплением энергетических уровней пренебречь, для пленочного
потенциала принять модель V(z) = Vol2|fc и считать, что рассто-
яние между пленочными уровнями много меньше циклотронного
кванта.
Решение. Выберем вектор-потенциал А внешнего магнит-
ного поля в виде А= (0,Вх,0). В приближении изотропной
эффективной массы гамильтониан электронов в пленке в прене-
брежении спином записывается в виде

/	\ 2
Рх + \Ру - 1Вх) + Р2г
+ V(z).
(3.66)
В уравнении Шредингера разделяются переменные, описываю-
щие движение вдоль и поперек пленки. Энергетический спектр
электрона имеет вид
En,py,s,a — TlWc \П "Ь 2J “Ь £s-
(3.67)
Здесь ujc = еВ/тс — циклотронная частота электрона, es —
энергия движения поперек пленки.
Используем формулу (2.84) для плотности состояний и пе-
реходим от суммирования по ру к интегрированию. Для опре-
деления пределов интегрирования учтем, что волновые функции
осциллятора Ландау центрированы в точках а?о = Если счи-
тать доступным для электронов только те состояний, у которых
центр осциллятора расположен внутри образца, то возможные
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике\03
значения xq ограничиваются условием 0 xq Lx, что немед-
ленно дает для ру
О ру тшсЬх.
С учетом этого условия, выполняя суммирование по спиновой
переменной, получим
V	/	/	1\	\
р (с) = —У (Не - TiUc (п + - - es ,	(3.68)
ttTiL	\	\	2/	/
п,з
где V — объем.
Рассмотрим случай, когда основную роль в квантовании дви-
жения носителей играет магнитное поле. При этом очевидно
неравенство
При выполнении этого условия суммирование по пленочным
уровням можно заменить интегрированием по eg. Тогда вместо
(3.66) получим
^ьтШс^~
п
7 V \ и 1ЬШС I I
ds $ \	\
т/ ПЕ л
V	as
= У т~
тгпЬ	des
n—Q
, (3.69)

где пе = тах{п|еп е}. Входящие
определяются в квазиклассическом
в (3.69) производные -—
dss
приближении. Используя
условия квазиклассического квантования
Z2^s)
dzy/2m (es — V (^)) = tts,
z\(es)
где z\ и z<i — соответственно меньшее и большее из значений г,
обращающих в нуль подынтегральное выражение, получим для
ds
dcs
___ Z2
ds_ = V2m f dz
des 2тг J x/£s _ V (z)
Z\
104 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Подставляя (3.70) в формулу (3.69), получим
р(е) = —।--т2шсх
22v2hL
е — ha>c
_1
V(z)) 2. (3.71)
В заданной в условии задачи модели для V(z) интеграл в (3.71)
сводится к удвоенному интегралу по промежутку от нуля до z<i =
= (е — (п + х) V VQ k, поскольку zi = — z<i. После замены
переменной Vozk = (£ — Ьшс (п + -J J х получим для р(е\.
3	2—/с
“  <372>
kVk	n=Q
где B(p,q) — бета-функция:
1
В (р, q) = dxxp~1 (1 — x)q~1
о
,	D/ .	Г(р)Г(9)
которая выражается через гамма-функции: B(p,q) = - ^уууу-
С помощью соотношения (3.72) для плотности состояний термо-
динамический потенциал получается в виде
fi =----V (2/п01еВг
ir2hL ук с
г0
/Ь J- 1 \	3fc+2
2к Е^(Мп). (3.73)
п=0
где рп = — Пшс I п + - I I.
Отметим, что V(z) = Vo|z|fc содержит, как частные случаи,
широко используемые для оценок модели параболической ямы
(к = 2) и прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками
(2 \ к
—) ). Входящий в (3.73) химический потен-
Г /
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике 105
циал р определяется из условия нормировки:
®Р/ ту,в
(3.74)
Энтропия S и магнитный момент М находится с помощью (3.73)
по термодинамическим формулам:
— I : М = — I — )
дТ/цу,в	\дВ)т,(1У
(3.75)
Вычисляя N, S и М по формулам (3.74) и (3.75) с помощью
выражения (3.73), убеждаемся в справедливости равенства
+ TS + pN + MB = 0.	(3.76)
2 ~	-
Это равенство эквивалентно соотношению Q = — -Е, где Е —
кинетическая энергия хаотического движения электронов. Дей-
ствительно, подставим в (3.76) термодинамическое определение
Q
Q = Е - TS - /JV,
после чего приходим к равенству
^^Q = -(E + MB).	(3.77)
ЛК
Выражение в скобках представляет собой энергию системы за
вычетом энергии магнитного момента во внешнем поле. Поэто-
му правая часть выражения (3.77^, равная сумме кинетической
энергии хаотического движения Е и средней энергии V, в по-
тенциальном поле V(z) оказывается равной
^+1^ = -(e + v).
ЛК	\	/
По теореме вириала
kV = 1е,
О
поэтому последнее равенство переписывается в виде
2 ~
о
13.	На основе результатов предыдущей задачи, используя
асимптотические выражение для интегралов Ферми—Дирака при
больших значениях аргумента
nfc+l
Я(Ч) = Г^Т2)(1+Л1(<	(3-78)
106 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
где -Rk(T?) — асимптотический ряд по отрицательным степеням т/,
2T(fc + 2)
первый член которого равен тг —---найдите уравнение для
6Г (fc) г]
определения энергии Ферми при отличных от нуля магнитных
полях и при выключении магнитного поля. Найдите выражение
для энергии Ферми в случае, когда под уровнем Ферми имеется
лишь один уровень Ландау.
Решение. Выражение для среднего числа N частиц систе-
мы, получаемое с помощью соотношений (3.73) и (3.74), имеет
вид
1	оо
N= V (M2ggГМ+Ц (fcT)^ (Mn). (3.79)
Т1Ъ2Г Л С k '	а
7Г z П 1J Vq	П—0
Используя формулу (3.78), получаем при абсолютном нуле тем-
пературы следующее выражение для концентрации у:
N (2m)5 еВ n/k+l 1 \	d	йт
cVq	п=о
Соотношение (3.80) можно рассматривать как уравнение для
определения ц при заданной концентрации — электронов в плен-
ке.
При выключении магнитного поля (В 0) выражение (3.80)
принимает вид
N 25ml D/fc+l 1\ 2k	,_Qn
ir2Lh2Vok
Здесь /j,q — химический потенциал при абсолютном нуле темпе-
ратуры (энергия Ферми) в отсутствие магнитного поля.
Чтобы убедиться в справедливости (3.81), достаточно заме-
нить суммирование по уровням Ландау в (3.80) интегрирова-
нием:
nF ,	,	..... Н2	,
Е(	(	1 \ \ 2 k	I /	k-f-2
I ц - Ъшс ( 1 + 2 ))	</ж(^о - Тшсх) 2к 
п=0	JQ
При увеличении индукции магнитного поля число уровней Лан-
дау, расположенных ниже уровня Ферми, уменьшается. Обо-
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механикеЮ7
значим через Вп значение магнитного поля, при котором п-й
уровень Ландау пересекает уровень Ферми. При этом в сумме
по п в (3.80) остается пр — 1 слагаемых, а значение химического
потенциала есть
м(Вп) = ^(п + |).	(3.82)
тс \	2/
Находя отсюда Вп и подставляя в выражение (3.80) для концен-
N
трации у, получим
№ —
\ к 2
В случае сильного магнитного поля, когда под уровнем Ферми
остается единственный уровень Ландау с п = 0, в формуле (3.80)
остается одно слагаемое, и зависимость химического потенциала
от магнитного поля принимает вид

2k
З/с+2
М (-Sn) = ~2 Ь *
„1 з /fc+i 1\
2 2 т 2 В (  :—, - I ш,
\ к 2)
Анализ полученных формул показывает, что учет изменения
химического потенциала в магнитном поле необходим только
в случае, когда под уровнем Ферми находится лишь несколько
уровней Ландау.
14.	Найти зависимость от температуры химического потен-
циала бозе-газа.
Решение. Химический потенциал бозе-газа обращается
в нуль при температуре бозе-эйнштейновской конденсации То,
определяемой условием, которое следует из (3.5) (k= 1):
3 оо 1	оо 1
N _ (т7о)2 ( dzzi _ ЛГГ2 f dzz2
v~9mv\~'=
(3.83)
Ниже этой температуры химический потенциал тождественно
равен нулю вплоть до абсолютного нуля температуры. При тем-
пературах Т То химический потенциал отрицателен и мал
108 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
по модулю. Выше Tq выражение для концентрации — можно
записать в виде
ОО	1
^ = АТ~2 f dzf .	(3.84)
V	J ez-T!
о
Прибавляя к (3.84) и вычитая из него выражение (3.84) при
р, = 0, получаем
ОО	ОО 1
N з С 1 /	1	1	\	3 f //г2
V = АТ-2 dz* ( —i-------------Лг ) + АТ-2 4^7- (3.85)
v J \ez~T - 1 е ~Ч J е - 1
о	о
Последнее слагаемое в правой части (3.85) равно, как следует
з
N / Т \ 2
из (3.83), — (—) .В первом слагаемом в правой части (3.85)
основной вклад в интеграл дают малые значения z > 0. Поэтому
экспоненты можно разложить в ряды, ограничиваясь линейными
членами. После этого выражение (3.85) принимает вид
Г	з
V 1 W
= -А|д|Т5
(3.86)
Интеграл в (3.86) легко вычисляется:
оо
dz _ ( т А2
Ц.+и)= w
Подставляя это выражение в (3.86), получаем формулу для хи-
мического потенциала бозе-газа при температуре Т Tq:
(N\2
А27Г2То3
15.	В сосуде объемом V вакуум. Давление на стенки сосуда
обусловлено тепловым изучением стенок. Выразите давление р
через плотность и энергию теплового излучения.
Решение. Тепловое излучение стенок сосуда можно рас-
сматривать как результат гармонических колебаний, при которых
происходит излучение. Поскольку для энергии кванта колебаний
§3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике\09
справедливо соотношение е = tiw = Икс, то число колебаний
в объеме V с волновым вектором к в интервале (к, к + dk) есть
Vdp	Vdk
(2тг А)3	(2тг)3 ’
(3.87)
где множитель «2» появляется в результате учета двух неза-
висимых направлений поляризации излучения. Используя выра-
жение (2.78) для статистической суммы квантового осциллято-
ра, после интегрирования по угловым переменным и перехода
к ^-представлению получим для свободной энергии излучения
выражение
kTV
F(V,T) =-feTlnQ = ~
ln (2 sh
\	2к1 /
(3.88)
Теперь для давления p находим:
ОО
fcT f , /п , hw \ 2 J
1,1 (2sh2M;r
(3.89)
0
Выполняя в (3.89) интегрирование по частям и учитывая, что
внеинтегральный член равен нулю после подстановки пределов
интегрирования, имеем:
ОО
, tlCJ Q 7
c‘h dw =
п '
р ~ 6тг2с3 .
о
оо
_ 1 ’
~ 3 ‘
о
ект - 1
т
(aJ did 1	/q
ц- = -и. (3.90)
7Г С О
Последнее выражение соответствует одной трети плотности
энергии излучения, поскольку в фигурных скобках стоит средняя
энергия одного осциллятора с частотой а>.
Отметим, что к соотношению (3.90) можно прийти иначе,
доказав сначала соотношение
Q = -pV = -|,	(3.91)
О
справедливо для ультрарелятивистского газа, и вычисляя затем
среднее значение энергии излучения как энергии газа фотонов
с функцией распределения Планка.
110 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
16.	Найдите теплоемкости Су и Ср для равновесного фотон-
ного газа.
Решение. Для нахождения теплоемкости Су удобно вос-
пользоваться выражением (3.88), сделав в нем замену перемен-
ной — = х. Тогда выражение для свободной энергии F прини-
мает вид
F(V,T) = <tVT4,	(3.92)
где а — число, не зависящее от V и Т. Теперь для энтропии S
находим:
S = -(^)v = 4<tVT3,	(3.93)
а для теплоемкости при постоянном объеме Cv получаем соот-
ветственно:	/Л<?\
Cv = Т = 12<tVT3.	(3.94)
Для нахождения значения Ср удобно воспользоваться термоди-
намическим соотношением
/ др\2
\ дТ /
Ср = Су-Т} [v.	(3.95)
I op \
\dVjT
Как следует из результатов предыдущей задачи, для равновесно-
/ ор\
производная \^^jv отлич-
0: давление черного излуче-
ния не зависит от объема. Поэтому для равновесного фотонного
газа Ср сю.
Отметим, что с помощью соотношения (3.93) легко полу-
чить уравнение адиабаты для черного излучения. Поскольку при
равновесном (обратимом) адиабатическом процессе энтропия не
меняется, то уравнение адиабат имеет вид
го газа фотонов (черного излучения)
/ др \
на от нуля, а производная	=
VT3 = const.
(3.96)
17.	Найдите большой термодинамический потенциал Q
и термодинамический потенциал Гиббса Ф для равновесного
фотонного газа.
Решение. Газ фотонов — идеальный вследствие линей-
ности уравнений электродинамики для вакуума. Поэтому для
установления равновесия в таком газе необходим контакт с веще-
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике! 11
ством. В результате число фотонов — это переменная величина,
значение которой определяется из условия теплового равновесия.
В равновесии свободная энергия газа фотонов имеет минимум,
поэтому
/9F\
М=(Д-)	=0.	(3.97)
KdNJr.V
Это означает, что химический потенциал равновесного излуче-
ния тождественно равен нулю.
Из термодинамического определения (1 и Ф при этом следуют
равенства:
Q = F -	= F,	(3.98)
Ф = U — TS + pV = F — £1 = 0.	(3.99)
В справедливости последнего соотношения можно убедиться и с
помощью соотношений (3.57) и (3.58), полученных в задаче
№11.
18.	Покажите, что при уменьшении абсолютной температуры
отрицательный химический потенциал бозе-газа увеличивается
и при некоторой температуре достигает предельно возможного
значения р = 0.
Решение. Используя функцию распределения Бозе-
Эйнштейна,
/Дх	(310°)
ехр {-кг) -1
запишем выражение для полного числа частиц N бозе-газа
в виде
оо
N = p(£)f(e)d€,	(3.101)
о
где р(е) = As1/2. Применяя правило дифференцирования неяв-
,	„др
ных функции, получим для производной
(3.102)
112 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Вычисляя входящие в правую часть (3.102) производные и учи-
тывая, что £ — р > 0, убеждаемся, что
др
дТ
<0.
(3.103)
Нулевое значение химического потенциала (р = 0) достигается
при температуре Tq, определяемой соотношением
ОО 1
?/ = Л(А:То)5	(3.104)
о
Интеграл в правой части (3.104) положителен и равен при-
ближенно 2,31. Поэтому уравнение (3.104) всегда имеет по-
ложительные решения для То, называемой температурой бозе-
эйнштейновской конденсации.
19.	Покажите, что при температуре, меньшей температуры
То бозе-эйнштейновской конденсации, давление в газе не зависит
от его объема.
Решение. Вычисляем значение энергии бозе-газа при
Т < Tq. Указывая, что при Т < Tq химический потенциал р равен
нулю, имеем
оо з
Е — А(кТр	(3.105)
о
где постоянная А пропорциональна объему V газа. Теплоемкость
Су при постоянном объеме вычисляется с помощью (3.105)
и равна
Cv =	(3.106)
Интегрируя соотношение (3.106), получаем для энтропии S:
S=^.	(3.107)
ol
Теперь для свободной энергии F имеем:
9
F = E-TS = -^E,	(3.108)
что соответствует равенству F = Q при р = 0. Вычисляя давле-
ние р в соответствии с соотношением
_ (дЕ\ - 2 (дЕ\	10 1 по\
Р~ \dVjT,N~ 3\dv)r,N	)
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике! 13
начитывая равенство (3.105), получим, что р пропорционально
Т2 и не зависит от объема V.
20.	Получить формулу для нахождения средних значений
с помощью квантовой функции распределения Вигнера.
Решение. Среднее значение любого одночастичного опе-
ратора А дается формулой (2.12). Запишем ее в координатном
представлении:
<А> = SP<T \drfdrf/{r/\p\r") <г"| A |r'),
(3.110)
где SpCT означает взятие шпура по спиновым переменным.
Используя выражение для матричного элемента оператора
плотности через квантовую функцию распределения Вигнера
(3.11), найдем
/ О I	dP (	( !	Н\\ £ ( (г “Ь Г ) \
<гЫг> = 7Г7^ехр( дР(г -г ))/ р/ 9
J (27Г/1) VI	/ \	2	/
Совершаем замену переменных:
R = (г' + г"), г = г' — г".
Теперь выражение (3.110) принимает вид
, ., „ f dRdrdp / i \
Л~Чехр^рг-)х
x/(p,R) (r-£|aIr+£)
\	I I £!
Вводя определение
А (р, R) = dr ехр (^Pr) (R —
(3.111)
(3.112)
(3.113)
переписываем соотношение (3.112) следующим образом:
(А) = Spa [ ^-3f (р, R) А (р, R).	(3.114)
Соотношение (3.113) называется преобразованием Вейля
квантовомеханического оператора А. Формула (3.114) опре-
деляет правило вычисления средних значений в смешанном
представлении.
114 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
21.	Найти явный вид преобразования Вейля для произволь-
ной функции оператора импульса (р).
Решение. Исходим из выражения (3.113). Имеем
<p(p,R) = drexpQpr) ^R-^ y>(p)|R+0.	(3.115)
Используя дираковские обозначения для векторов состояния
и учитывая свойство полноты
Ф1 |Р1> <Р11 = 1>
можно переписать (3.115) в виде
-рг 1 X
Х (R~ I I Р1^ ^Р11^’(Р)|Р2^(Р2 | R +	(3.116)
Величина ^R— || Р1^ представляет собой собственную
функцию оператора импульса в координатном представлении:
(R-^P.) =
1
-------з-ехР
(2тгП)2
i
KP1
(3.117)
Величина ^р2 |R+ 0 представляет собой комплексно со-
пряженную собственную функцию оператора импульса. С учетом
(3.117) выражение (3.116) переписывается следующим образом:
/ DA Г dpidp2dr	ГгГ	f	г\
Hp>r) =	•-3 exP 1 * Pr + Pi (R- к)"
J [ZttTl)	kl	\	x./
-p2(r+0]}(piMp)Ip2). (3.118)
Поскольку оператор в собственном представлении диагоналей
р |р> = р|р> -
то
<Pi|р|Р2> = Р1<5(Pi -р2),
и для (pi | <р (р) |р2) справедливо равенство
<Pi19?(р)|Рг> = 9?(Pi)<5(Pi - Рг)-
(3.119)
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механикеХ 15
Подставляя (3.119) в (3.118) и учитывая интегральное пред-
ставление для ^-функции
^р) = 7^з drexpQpr),
получаем
y?p,R) = 9?(p),
t. e. преобразование Вейля любой функции оператора импульса
равно классическому значению этой функции от импульсной
переменной.
22.	Построить квантовую функцию распределения Вигнера
для свободных частиц со спином 1/2.
Решение. Исходим из выражения, задающего вид матрицы
плотности в координатном представлении:
<Г1, <Т11 Р |г2, СТ2) =	(3.120)
г
где ^г(г,сг) — волновая функция в состоянии, задаваемом набо-
ром квантовых чисел {г}. Для свободных частиц {г} = рт, ру,
pz, s, где s — спиновое квантовое число. Считая, что частица
помещена в «ящик» объемом V, запишем V>ps(r,o) в виде
фрв (г, ст) = —^=-ехр	prj Xs (ст),	(3.121)
где Xs(a) — двухкомпонентный спинор. В рассматриваемом слу-
чае энергия не зависит от спина, все состояния двукратно вы-
рождены по спиновой переменной, а матрица плотности диаго-
нальна в спиновом пространстве.
Вероятность Pi реализации чистого состояния i определяет-
ся фермиевской функцией распределения. Найти ее явный вид
можно с помощью условия нормировки
Sp р = Spa dr (г, <т| р |r, а) = 1.
Переходя в (3.120) от суммирования по дискретным квантовым
числам pj к интегрированию по обычному правилу
(2^?РР
116 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
и учитывая, что
£xs(<t)x;(<t') = <u,,
3
получаем
(3.122)
где N — число частиц системы, а /(р) — функция Ферми-
Дирака.
Теперь (3.120) записывается в виде
(Г1,<т1|р|г2,<т2) =	[-^-з/(р)ехр[|р(г1 — г2)). (3.123)
J (27ГП)	/
Используя формулу (3.11), получаем с помощью (3.123)
Л„г(р.К) = ^[^1/(р,)х
х ехр [рг - pi (r + £) + pi (R -	(р).
Итак, диагональный матричный элемент функции распределения
Вигнера для свободных частиц с точностью до множителя 1/(27V)
совпадает с функцией Ферми—Дирака.
23.	Построить равновесную квантовую функцию распределе-
ния Вигнера для электронов, находящихся в однородном кванту-
ющем магнитном поле, учитывая спиновое расщепление энерге-
тических уровней.
Решение. Исходим из выражения (3.120) для матричного
элемента одночастичного оператора плотности в координатном
представлении, явно указывая спиновые переменные:
<Г1, <Т11 Р |г2, сг2> = ^Рг'Фг (Г1,<Т1)^* (г2,СТ2).	(3.124)
г
Выберем векторный потенциал А однородного магнитного по-
ля в виде А(г) = (—By, 0,0). Набор квантовых чисел, определя-
ющих состояние электрона, есть {?} = kx,kz,n,s, где а означает
г-компоненту спина и принимает значения <т = ±1/2, а волновая
функция представляет собой двухкомпонентный спинор. Коорди-
натная часть <р волновой функции ip имеет вид (/i = 1)
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике! 17
V>n,Px,Pl (Г) =	(2nn\LxLzy-2 х
\ 7Г /
/ s2\
х ехр [г (kxx + kzz)] ехр I 1 Нп (s), (3.125)
где s2 = mwc [у + кх (тшс)]2, Нп — полином Эрмита порядка п;
Lx, Lz — линейные размеры образца по осям хну. Вероят-
ность Pi определяется функцией распределения Ферми—Дирака.
В принятом приближении, когда учитывается спиновое расщеп-
ление энергетических уровней, имеем
р. — 11_
1 2N
1 + ехр
тЛ + 0>с ( п+ - +<7 -/Л
2т \	2	/
= W(n,a,kz), (3.126)
где N — число частиц в системе. С помощью (3.124) и (3.126)
имеем, переходя к новым переменным R = - (tj + гг), г = и —
Г2, следующее выражение для матричного элемента функции
распределения Вигнера в спиновом пространстве:
/CT|ia(p,R)= drexp (-грг) W (n, er, kz) х
nycr,kx,kz
х ^n,(T,kx.kz (R + 2,<71) ^n,a,kx,kz ^R “ 2’ °2) ’ (3.127)
Переходим от суммирования по кх и kz к интегрированию с по-
мощью обычного правила
Используя формулу (3.125) для волновой функции электрона
и интегральное представление для ^-функции
оо
6 (х) = dk ехр (ikx),
2тг J
—оо
приводим после выполнения интегрирования по х и z и сумми-
рования по ст выражение (3.127) к виду
118 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов

(р, R) =	5 f dydkxdkz £ W (
J	n,cr
п, ст, kz) х
х ехр (~ipyy) 6 (рх - kx) <5 (pz - kz) x
x exp (u + v)2 + (u - v)211 Hn (u + v) Hn (u — v),
1	L	JJ	(3.128)
г	I. 12
2	az ।
и = тшс Y H----------
L	mccc J
^2 = m^cy2
4
Отметим, что в отличие от вычисления плотности состояний
в квантующем магнитном поле (задача 2.19), где интегрирова-
ние по проекции импульса, характеризующей положение центра
осциллятора Ландау, проводилось в конечных пределах, здесь
интегрирование по кх проводится от —оо до +оо. Это связано
с тем, что вигнеровская функция распределения определена при
всех значениях импульса. Напомним, что квантовая функция
распределения Вигнера не может рассматриваться как вероят-
ность реализации определенных состояний, и поэтому данное
обстоятельство не приводит к каким-либо недоразумениям.
Для интегрирования по у воспользуемся соотношением
оо
dv ехр { -1 [(pi + v)2 + (pi - v)2] | х
—ОО
х ехр (2zp2v) Нп (pi + v) Нп (pi - v) =
= (— 1)п 2пп!тг2 ехр (—w2) Ln (2w2),
pi = (mwc)2 (y +	, pi = Pv [ , w2 = p2 + p|,
V TOU,c/	(mWc)2
Ln — полином Лагерра порядка n. После замены переменной
(тшс)2 у	, ЛГ1Ч
v = -——- и вычисления интеграла по и выражение (3.128)
записывается следующим образом:
/СТ10-2 (р, R) = 2^2(-l)n W (п, а, pz) ехр (-w2) Ln (2w2).
п.сг
(3.129)
Формула (3.129) дает функцию /(р, R), явно зависящую от
R, хотя очевидно, что в однородном магнитном поле рассматри-
ваемая система является пространственно однородной. Причина
этого заключается в использовании канонического импульса р.
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике! Уд
Если перейти к кинетическому импульсу Р = р — (e/c)A(R), то
в силу выбранной калибровки векторного потенциала имеем
Рх = Рх 4"	= РУ' z = Pz'
р2 _|_ р2
Теперь w2 = —------- и функция распределения Вигнера /(P,R)
оказывается не зависящей от пространственных координат: f =
= /(Р).
24. Выполнить переход к классической статистике в вы-
ражении для квантовой функции распределения Вигнера для
электрона в квантующем магнитном поле:
/ (Р) = 2	(-1 )n IV (п, <7, Р2) ехр (-W2) Ln (2w2) ,(3.130)
а п=0
W(n,a,Pz) =
1
2N<
1 + ехр
Р2г
2т
шс
Решение. При переходе к классической статистике следует
прежде всего отбросить единицу в знаменателе выражения для
функции распределения Ферми—Дирака. При этом появляется
возможность в явном виде выполнить суммирование по спиновой
переменной ст = ±-. В результате получаем
/<Р) = ^[еЧ>^ + ехр(-^)]х
оо
X J2(-!)nexp
п=0
х ехр (-w2) Ln (2w2}. (3.131)
Теперь можно выполнить суммирование по п, воспользовавшись
выражением для производящей функции полиномов Лагерра
оо
(1-гГ“-'еХр^ =	kl < 1.
п=0
120 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
где L" — присоединенный полином Лагерра. В результате фор-
мула (3.131) переписывается следующим образом:
После элементарных преобразований это дает
9	/ р2 р2 [ р2	\
/(P) = lexp^xp(-^-^th^. (3.132)
Соотношение (3.132) можно переписать в несколько иной
форме, если воспользоваться условием нормировки квантовой
функции распределения:
'^5/(p,r) = 1.	(3.133)
Вычисление интеграла в (3.133) после подстановки /(Р),
даваемой формулой (3.132), приводит к результату
и 1	\ 1 /г.	—1Х_1 N
2 V
после чего формула (3.132) переписывается в виде
2Т	з /х, \
/(Р) = 777 (2""Г)-5 th (^) х
F CUq	\ И. /
( р2 р2 I р2	\
хехр(--Ц-- х	|. (1.134)
1 у 2тТ тшс 2Т J V 7
Формула (3.134) показывает, что равновесная функция распре-
деления электронов в квантующем магнитном поле в пределе
классической статистики является «двухтемпературной», ибо ее
можно записать в следующем виде:
з
f (Р) = —	— exn (	А
} V т г'? Р \ 2тоТ11 тТ^ ) ’
1J_1 2	\	II	/
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике\2Л
где «продольная» температура Гц — это обычная температура Т,
а «поперечная» температура ТД определяется соотношением
Тг =
Мс
Таким образом, существование двух температур для системы
электронов в квантующем магнитном поле в пределе классиче-
ской статистики может быть объяснено проявлением квантовых
свойств при высоких температурах, когда статистика уже стано-
вится классической.
25.	Покажите прямым вычислением, что энергия основного
состояния электронов в квантующем магнитном поле получается
одинаковой независимо от того, вычисляется ли она с помощью
функции распределения Ферми—Дирака, с помощью функции
распределения Вигнера в соответствии с правилом (3.114) или
с функцией Вигнера, но путем усреднения не преобразования
Вейля оператора энергии, а истинного квантовомеханического
спектра электронов.
Решение. Пренебрежем для простоты спиновым расщепле-
нием энергетических уровней в магнитном поле и воспользуемся
системой единиц с h = с = 1.
Непосредственное вычисление энергии электронов с помо-
щью функции Ферми—Дирака
Е
n,pz,py,a
(	/	1 \	Т?	\
х I Ъшс (п +	- )	+	—ц]	(3.135)
\	\	2/	2т 1
приводит при абсолютном нуле температуры к следующему вы-
ражению для энергии основного состояния:

|	3 1 пр
Уш^т222 ул / ц 2
Зтг2	\wc
п=0
(3.136)
В выражениях (3.135) и (3.136) ц и — химический потенци-
ал (равный энергии Ферми при абсолютном нуле температуры)
и циклотронная частота. При переходе от (3.135) к (3.136) ис-
пользовались те же преобразования, что фигурировали в задаче
№ 19 второй главы.
122 Гл. 3. Равновесная статистическая механика квантовых газов
Формула для функции распределения Вигнера в квантующем
магнитном поле была получена в задаче № 23 и в пренебрежении
спиновым расщеплением энергетических уровней в представле-
нии кинетического импульса записывается в виде
пр
/(Рц,Р±) =4e"w2^lV(n,P||)(-l)nLn(2w2).	(3.137)
п=0
Доказательство того, что вычисление Eq с помощью соотно-
шения (3.114) и формулы (3.137) приводит к выражению (3.136),
после вычисления интегралов по импульсу сводится к доказа-
тельству соотношения
^(2n+ 1 — (—l)nF(—п,2; 1;2)) f1 ~ — (п + |))2 = °-
(3.138)
где F(a, P',y,z) — гипергеометрическая функция. В действитель-
ности выполняется более сильное соотношение
F(-n,2; 1;2) = (-l)n(2n+1).	(3.139)
Равенство (3.139) соответствует тому, что одинаковое значение
энергии при двух рассматриваемых способах вычисления получа-
ется не после суммирования по уровням Ландау, а для каждого
уровня п. Чтобы убедиться в справедливости (3.139), достаточно
выразить гипергеометрическую функцию через гамма-функции:
F (а, /?; -у; z)
ОО
Е
k=0
(?)fe и ’
(3.140)
где, например,
/ . _ Г (а + fc)
Г (а) ’
и воспользоваться соотношением
п
£(-l)V(k+ 1)С£ = (-l)n(p- I)""1 (пр + р- 1), (3.141)
k=Q
доказательство которого элементарно.
Указанное свойство подсказывает, что выражение
Ео = 4V
J (2тг)
Г jn
f «Р е-^£
n=0
§ 3.2. Смешанное представление в квантовой статистической механике\23
х Ьс( п+^ +-1 , (3.142)
\	\	2/ 2m j
соответствующее нахождению энергии	по третьему указан-
ному в условии задачи способу, также должно приводить к ре-
зультату (3.136). Непосредственное вычисление интегралов по
импульсу в (3.142) подтверждает это предположение.
Задачи для самостоятельного решения
26.	Показать, что соотношение (3.34) остается справедли-
вым при учете спинового расщепления энергетических уровней
в квантующем магнитном поле.
27.	Используя выражение для энтропии в квантующем маг-
нитном поле (первая из формул (3.33)), найти выражение для
теплоемкости электронного газа и исследовать характер осцил-
ляции при изменении магнитного поля.
28.	Показать, что в двумерном бозе-газе бозе-
эйнштейновская конденсация отсутствует.
Глава 4
РАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КВАНТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ. КВАНТОВЫЕ
ФЕРМИ- И БОЗЕ-ЖИДКОСТИ
Основная идея теории квантовых жидкостей заключается
в замене системы сильно взаимодействующих между собой ча-
стиц системой слабо взаимодействующих квазичастиц — элемен-
тарных возбуждений в исходной системе. Способ введения таких
квазичастиц и закон их дисперсии зависят от природы исход-
ных взаимодействующих частиц и оказываются принципиально
различными как для ферми- и бозе-систем, так и для различ-
ных систем фермионов и бозонов. Истинными квантовыми жид-
костями являются два изотопа гелия: Не3 — ферми-жидкость
и Не4 — бозе-жидкость. Принципиальные различия в поведении
ферми- и бозе- жидкостей обусловлены тем, что для фермиевской
системы справедлив принцип Паули, ограничивающий возмож-
ность заполнения энергетических уровней, в то время как для
бозевской системы характерна тенденция накопления частиц на
низшем энергетическом уровне.
§4.1. Нормальная ферми-жидкость
Исходным пунктом теории нормальной несверхпроводящей
ферми-жидкости является предположение о том, что при по-
степенном (адиабатическом) включении взаимодействия меж-
ду частицами системы классификация энергетических уровней
остается неизменной. При этом роль частиц газа переходит
к элементарным возбуждениям — квазичастицам, которые так-
же подчиняются статистике Ферми и число которых совпадает
с числом частиц N в системе. Матричная в пространстве спина
функция распределения квазичастиц п (р) удовлетворяет усло-
вию нормировки
(41)
§ 4.1. Нормальная ферми-жидкость
125
где V — объем системы, символ SpCT означает суммирование
по спиновой переменной. Энергия е(р) квазичастицы является
функционалом функции распределения
(р) = SpCT, [ F (р, р')5п (р').	(4.2)
J (27ГП)
Корреляционная функция F(p, р') может быть записана либо
в виде
F(p,p') = у?(р,р') + 4(s-s/)V’(p,p')>	(4.3)
где s — обычные спиновые матрицы, либо в виде
/П	_	fS I fa
Jpp	JPP^JPP<	(4.3a)
fU	__	fs _ fa	4	7
J pp' J pp' J pp' ’
Разложив матрицы в спиновом пространстве п(р) и е(р) по
полной системе
п(р) = |п(рЖ/з + °(р)	(44)
Е (р) = £ (р)	+ 2е (р) • SQ/3,
получаем выражения, связывающие вариации квазичастичной
энергии с вариациями функции распределения квазичастиц 6п
и векторной спиновой плотности ба:
(р) =
77773 (р-р') Мр')>
(2тгП)
6е = [ (р/)’
J (2тгП)
(4.5)
Вариации 5п(р) отличаются от нуля только при значениях им-
пульса, близких к импульсу Ферми рр. В этой же области лежат
и значения аргументов функций ф и ф, поэтому при изотроп-
ной ферми-поверхности эти функции зависят только от угла х
между векторами р и р'. Введя плотность состояний на уровне
Ферми с эффективной массой фермиона т р(ер) = 7—£-у,
(тг2^3)
удобно использовать безразмерные функции Л(%) = р(£р)</>(у)
и В(у) = /?(ер)^(х), представленные в виде разложений по по-
126 Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
линомам Лежандра:
оо
А (х) = 52 + 1)AlPl (cos х)’
1=0
оо
В(Х) = J2(2/+1)BzPz(cosx).
i=o
§ 4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
Бозе-жидкость характеризуется совокупностью элементар-
ных возбуждений — квазичастиц. Закон дисперсии квазичастиц
в системах, обладающих свойством сверхтекучести, имеет вид,
показанный на рис. 4.1.
Рис. 4.1
В области малых значений импульса квазичастицы представ-
ляют собой звуковые кванты — фононы с законом дисперсии
е = up.	(4.7)
Возбуждения, соответствующие области минимума дисперси-
онной кривой, называются ротонами. Их закон дисперсии может
быть записан в виде
£(р) = Д + ^Ч^Г-'	<4'8>
§4.2. Сверхтекучая бозе-жид кость	127
Оба типа квазичастиц — фотоны и ротоны — отвечают разным
участкам одной и той же кривой, между которыми имеется
непрерывный переход.
Задачи
1.	Теория нормальной ферми-жидкости строится в предполо-
жении, что при адиабатическом включении взаимодействия меж-
ду частицами классификация (квантовые числа) уровней энергии
остаётся неизменной. Покажите: а) что при таком подходе сохра-
няется понятие о ферми-поверхности системы и б) такой подход
позволяет описать возбужденное состояние реальной системы
в терминах квазичастиц фермиевского типа, хорошо определен-
ных вблизи ферми-поверхности.
Решение. Рассмотрим собственное состояние идеальной
ферми-системы, характеризующееся определенной функцией
(о)
распределения Пр , и предположим, что взаимодействие между
частицами включается бесконечно медленно, т. е. адиабатически.
При этом собственное состояние идеальной системы переходит
в собственное состояние реальной системы взаимодействующих
частиц. Из определения нормальной ферми-жидкости следует,
что ее основное состояние получается из некоторого собствен-
ного состояния идеальной системы, описываемого функцией
распределения Пр\
В общем случае реальное основное состояние возникает адиа-
батически из некоторого возбужденного состояния невзаимодей-
ствующей системы.
Будем рассматривать систему при абсолютном нуле темпера-
туры: добавим к ней частицу с импульсом р и опять включим
адиабатически взаимодействие между частицами. Мы создадим
возбужденное состояние реальной системы с импульсом р, так
как импульс при столкновениях частиц сохраняется. Будем гово-
рить, что возникшее возбужденное состояние системы соответ-
ствует некоторому реальному основному состоянию с распреде-
лением Пр) плюс «квазичастица» с импульсом р.
Пусть Sf — ферми-поверхность, характеризующая систему
в невозмущенном состоянии с распределением Пр°\ В силу прин-
ципа Паули, квазичастичные возбуждения могут возникать толь-
ко в том случае, когда их импульс р лежит вне Sp. Таким
образом, для взаимодействующей системы сохраняется понятие
ферми-поверхности, поскольку распределение квазичастиц в им-
128
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
пульсном пространстве ограничено ферми-поверхностью невоз-
мущенной системы Sp.
Основное состояние взаимодействующей системы стабиль-
но, поэтому никаких принципиальных трудностей в изложен-
ном описании его возникновения из собственного состояния
невзаимодействующей системы нет. Однако возбужденное состо-
яние характеризуется конечным временем жизни. Если время
«адиабатического» включения взаимодействия больше времени
жизни получающегося возбужденного состояния реальной си-
стемы, то состояние распадется до того, как взаимодействие
достигает нормальной величины. Очевидно, что в этом случае
приведенное рассуждение не имеет смысла. Если же взаимодей-
ствие включается слишком быстро, то процесс неадиабатичен,
и мы не создадим истинное собственное состояние нормальной
ферми-системы.
Время жизни квазичастиц увеличивается по мере прибли-
жения ее энергии к ферми-поверхности. Действительно, если
рассматривать взаимодействие частиц системы друг с другом
при абсолютном нуле температуры, то время свободного про-
бега т связано с квантовой неопределенностью Де значения
энергии квазичастицы (т. е. шириной ее энергетического уров-
ня) соотношением Де • т ~ 1г. Но время свободного пробега т
обратно пропорционально квадрату расстояния по энергии до
ферми-поверхности Sp. Поэтому ширина энергетического уровня
квазичастицы убывает по мере приближения к Sp и обращается
в нуль на самой ферми-поверхности. Таким образом, квазичасти-
ца определена строго, когда она находится непосредственно на
ферми-поверхности.
Если реальное возбужденное состояние взаимодействующей
ферми-системы описывается распределением пр, то степень воз-
буждения системы характеризуется отклонением 6пр от функции
(0)
распределения основного состояния Пр :
8пр = пр — п^°\
где Пр в соответствии со сказанным отвечает некоторому (во-
обще говоря, возбужденному) собственному состоянию невзаи-
модействующих частиц. Однако в силу сказанного выше хоро-
шо определены только те квазичастичные состояния, для ко-
торых 6пр лежит непосредственно вблизи ферми-поверхности.
При этом физический смысл имеет именно 6пр, а не пр, ибо
определять равновесное распределение Пр в области, где ква-
зичастицы неустойчивы, бессмысленно. Распределение 8пр как
§ 4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
129
функция импульса, сформирована вблизи ферми-поверхности,
соответствующей невзаимодействующей системе.
2.	Считая, что функционал от функции распределения ква-
зичастиц, определяющий энергию ферми-системы, имеет вид
Е (пр) = До + £р<5пр + О (Sn2),	(4.9)
р
установите связь между величиной 6пр, описывающей отклоне-
ние функции распределения квазичастиц от функции распреде-
ления основного состояния
6пр = Пр-Пр,	(4.10)
и 5пр, определяющей отклонение от локального равновесия:
6пр = пр — п%>,	(4.11)
где nJ соответствует локальному равновесию квазичастиц, зави-
сящему от состояния окружения.
Решение. Для того, чтобы ввести понятие локального рав-
новесия, рассмотрим свободную энергию системы.
На основании основного положения теории нормальной
ферми-жидкости Ландау свободная энергия возбужденного
состояния системы, отсчитываемая от основного состояния,
записывается в виде
F - Fo = (ер - ц)6пр + | У^/р,р'^Пр^Пр/ 4- О (<5п3). (4.12)
р	р.р'
В соответствии с (4.12) запишем свободную энергию (£р —/х)
добавленной к системе квазичастицы в виде
£р М = М 4”	fpp'^^p1'	(4.13)
р'
Величину £р можно рассматривать как локальную энергию, за-
висящую от искажения окружающей среды. Функция распреде-
ления, описывающая локальное равновесие, определяется соот-
ношением
nJ = п° (£р -/х),	(4.14)
которое полностью аналогично соотношению
nJ = п° (£р - /х),	(4.15)
определяющему действительное равновесие. Входящая в (4.14)
и (4.15) функция п°(ж) — обычная функция распределения
5 Кондратьев
130 Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
Ферми—Дирака. Сравнивая определения (4.10) и (4.11) величин
5пр и 6пр, приходим к равенству
5пр = 5пр + 9пр(£р~^ (ёр -гр).	(4.16)
C/Sp
Воспользовавшись соотношением (4.13), переписываем (4.16)
в виде	0
6пр = 6пр-^£ fpp'tnp,.	(4.17)
р р'
Общее соотношение (4.17) между <5пр и 8йр можно упростить
в случае абсолютного нуля температуры Т = 0. В этом случае
дп°
^- = -8(ер-ц),	(4.18)
и величины 6пр и 5пр отличны от нуля только на ферми-
поверхности. В случае изотропной системы 8пр и 6пр можно
разбить на две части — симметричную и антисимметричную по
спиновым переменным. Например,
<5пР1± = бпр ± бпр.	(4.19)
Далее, разложим эти величины в ряды Фурье по нормированным
сферическим функциям. Например,
н = Е5 (£р - 5nS^Yim ^в’	(4-20)
1,т
где в и <р — полярный и азимутальный углы вектора р.
Аналогично (4.19) можно разложить на симметричную и ан-
тисимметричную по спинам части корреляционную функцию
/рр/. В отсутствие магнитного поля /рр' зависит только от отно-
сительной ориентации спинов квазичастиц. Поэтому справедли-
во представление
/ТТ = fs , j. fa ,
JpP'	Jpp' + Jpp'-
fll	fs _ fa
J pp'	J ppf J pp' ’
В изотропной системе функции , и , зависят только от
угла х между векторами р и р'. Их можно разложить в ряд по
полиномам Лежандра:
ОО
fp$ = xfl{a)pdcos*y	(4.22)
1=0
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
131
Наконец, введем плотность состояний р(е) для квазичастиц
с энергией е + /х:
р(е) = ^5(£Р -е-д).
р
(4.23)
Подставляя разложения для 6пр и 6пр в (4.17), используя раз-
ложение (4.22) для /рр', соотношение (4.23) для плотности со-
стояний и тождество
. I
Р,(С“Х)=2Ш Е	(4.24)
т=—I
получим:
^1т =
= (‘+ йтт)
В этих выражениях безразмерные коэффициенты F/ и опре-
делены равенством
F^a) =p(O)rf(a\	(4.26)
(1 + 2ThW-’
где р(0) — плотность состояний на ферми-поверхности.
Понятие локального равновесия оказывается полезным при
рассмотрении неравновесных явлений в ферми-жидкости.
3.	Найти выражение для эффективной массы т* = р/
квазичастицы в нормальной ферми-жидкости, сравнивая вариа-
ции плотности импульса и плотности потока массы, переносимой
квазичастицами.
Решение. Плотность импульса ферми-жидкости обычным
образом выражается через функцию распределения квазичастиц
’	(Р).	(4.27)
J (2тгп)
С другой стороны, пользуясь тем, что число квазичастиц равно
числу истинных частиц системы, плотность импульса можно
записать как плотность потока массы:
ф д£(р)
(27ГЙ)3 др
Отметим, что масса системы не равна сумме масс квазичастиц,
поэтому в (4.28) должна стоять именно масса частиц т, а не
масса квазичастиц т*.
5*
132
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
Квазичастицы, а следовательно, и их функция распределения,
хорошо определены только вблизи ферми-поверхности системы,
поэтому имеет смысл приравнять вариации выражений (4.27)
и (4.28): при этом в равенстве будут присутствовать только
величины Jn(p). При варьировании выражения (4.28) следует
учитывать изменение этого выражения как непосредственно за
счет величины <5п(р), так и за счет изменения функциональной
зависимости е (р). Имеем
- ,pJn (р) = т
(27ГЙ)3 v ’
dp де (р)
(2тгЛ)3 др
8п (р) +
+ т
dp 3^-<fe (р) • п (р).
(2тгП)3 Эр
(4.29)
Используя выражение (4.5) для вариации квазичастичной энер-
гии <fe(p), можно во втором интеграле в правой части (4.29)
выполнить интегрирование по частям:
' dP fn'i d6s (р) = _ f dvdv'
. (2тг/г)3 V др J (2тгП)'
^(р,р')^5п(р'). (4.30)
Учитывая, что корреляционная функция <р(р, р') симметрична
относительно перестановки переменных р и р', выражение (4.29)
после замены переменных в (4.30) р ♦~->р/ можно переписать
следующим образом:
[[Р _ *(р) + Г (р,р')= о.
J (2тгП)3	™ др J (2тгй)3	др
(4.31)
В силу произвольности вариации <5п(р) из (4.31), при учете
приведенного в условии задачи определения эффективной массы
т*, следует равенство
Р =JL- [j^fp.p-)^	(4.32)
т т J (2тгй)3	Эр
Вблизи ферми-поверхности при абсолютном нуле температуры
справедливо
= -2^-1 (р-рР).	(4.33)
dp p=pF PF
поскольку функция п определяет суммарную концентрацию ква-
зичастиц с двумя значениями проекции спина.
§ 4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
133
PF __ PF
m m*
(4.34)
dft'p (%) cos у.
(4.35)
(4.36)
Вследствие (4.33) при p = pf выражение (4.32) даёт
В (4.34) можно выполнить интегрирование по модулю импульса
р1. Домножая (4.34) скалярно на рр, получим
1 _ 1 ! 2Pf
т т* (2тгП)3 .
Направляя полярную ось вдоль вектора рр, используя разложе-
ние (4.6) для корреляционной функции ф(х) и учитывая соотно-
шения ортогональности для полиномов Лежандра
1
2
Рп (ж) Pl (я)dx =
-1
получим из равенства (4.35)
1 _ 1 1
т* т 1 + А] ’
В выражение для эффективной массы входит только один фено-
менологический параметр из разложения (4.6).
4.	Вычислить скорость обычного низкочастотного (шт 1)
звука в нормальной фе^ми-жидкости, используя термодинами-
ческую формулу и2 = при низких температурах, когда при
Т —> 0 энтропия S также стремится к нулю, и адиабатическая
и изотермическая сжимаемости не различаются.
Решение. Плотность жидкости р определяется соотноше-
нием
mN
Р~1Г’
где m — масса одной частицы.
Поэтому выражение для квадрата скорости звука можно за-
писать следующим образом:
2 V др
и =-----—.
mdN
п	- др
Для вычисления производной ее удобно выразить через
производную от химического потенциала р. Учитывая, что хими-
(4.37)
134
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
ческии потенциал зависит только от отношения —, имеем
(4.38)
(4.39)
dp 3V(Pf.p')in(p').
(4.40)
др _ V др
dN ~ ~NdV'
Используя фундаментальное равенство Гиббса
dU = TdS - pdV + pdN,
др др „
находим = —^7- Подставляя в это выражение производную
dp/dV из (4 .38), получим для квадрата скорости звука вместо
(4.37) выражение
2 = N dp
mdN'
Формула (4.39) позволяет выразить значение и2 через пара-
метры ферми-жидкостного взаимодействия. Изменение функции
р = £(pf) при изменении числа частиц N в системе происходит
как вследствие изменения импульса Ферми рр, так и вследствие
изменения характера функциональной зависимости е(р). Поэто-
му, используя выражение р = е(рр), имеем
®PF J (2тг7г)
При абсолютном нуле температуры вариация 5п, связанная с из-
менением числа 6N частиц с обоими значениями проекции спи-
на, приводящими к изменению импульса Ферми на брр, равна
г„(р) = Р pp^p^pf + Spp
(О при остальных р.
Учитываем, что функции <^(рр,Рр) зависят только от угла х
между векторами рр и p'F, и используем соотношение между
N	zb
концентрацией частиц — и импульсом Ферми рр-.
pf =
откуда имеем
2 г	2-еЗ^-^
Pf$PF = тгПл —
(4.41)
Теперь, принимая во внимание соотношение
де (рр) r Pf е Tt2h36N
—-&PF = ^0PF = —
дрр	т	ppVm
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкостъ
135
получим вместо (4.40)
+ 4^7 [<*> ’5N-	(4Л2)
pp V m	47Г V
Вычисляя с помощью (4.42) производную и используя соот-
ношение (4.41), приходим с помощью (4.39) к выражению
и2 =	dtfiplxY (4.43)
3mm 12m \7ГП/
Направляя полярную ось по вектору рр, так что х = в', и под-
ставляя в (4.43) разложение (4.6) для ф (у), получим
2	1 Pf
и = о—
3 тт
(1 + Ао).
(4.44)
(4.45)
Подставляя сюда формулу (4.36) для эффективной массы т*
9
квазичастиц, можно переписать выражение для и в виде
2 _ 1 Рр 1 + Ло
3 т2 1 + А[
В отсутствие корреляционного взаимодействия, когда Ао = А] =
= 0, формула (4.45) переходит в выражение u2 = определя-
ющее квадрат скорости звука в идеальном ферми-газе.
5. Параметры А/ разложения (4.42) корреляционной функ-
ции <р (р, р') по полиномам Лежандра удовлетворяют опреде-
ленным условиям, вытекающим из требования устойчивости ос-
новного состояния ферми-жидкости относительно возмущений
функции распределения квазичастиц. Найти эти условия и объ-
яснить их физический смысл, основываясь на результатах, полу-
ченных в задачах 3 и 4.
Решение. Рассмотрим возмущение функции распределения
квазичастиц в области значений импульсов, близких к импульсу
Ферми pp. Наличие неустойчивостей привело бы к самопроиз-
вольному изменению основного состояния, в частности, к дефор-
мации ферми-поверхности. Граничные значения параметров, от-
вечающие началу неустойчивости, можно найти простым путем.
Заметим, что если система находится на границе неустой-
чивости, то при малой деформации ферми-поверхности новое
состояние также отвечает равновесию. В случае возмущений,
136
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
не зависящих от спина, это означает, что вариация функции
распределения квазичастиц должна иметь вид
дп^
Для того, чтобы система была устойчивой по отношению к воз-
мущениям функции распределения, нужно, чтобы это возмуще-
ние бпп соответствовало масштабу изменения функции распре-
Эп(0)
деления 6е(рр), вызванному соответствующим изменением
ферми-поверхности:
дпЮ
8пр ~де~$£	’	(4-46)
При абсолютном нуле температуры производная в правой части
(4.46) имеет 5-образную особенность
лп(°)
-^ = -25(e-ef),	(4.47)
где множитель 2 появляется вследствие того, что функция рас-
пределения определяет суммарную концентрацию для двух про-
екций спина квазичастиц. Подставляем в правую часть (4.46)
выражение (4.47) и разложение 5s (pf) по нормированным сфе-
рическим функциям, которое записывается в виде
(pf) = 6е (Q) = Yi™ (n) Seim-
1,т
(4.48)
(4.49)
распреде-
В результате получим
бпр -25 (е - ef) 52 Ylm № Seim'
l,m
С другой стороны, выражение для вариации функции
ления квазичастиц на уровне Ферми можно записать в виде
5пр = 25 (е - ер) v (Q) = 25 (е - ef) 52 Ylm Ф)Ulm' (4.50)
l,m
где vim — коэффициенты разложения функции 1/(П) по сфериче-
ским функциям.
Сравнение соотношений (4.49) и (4.50) приводят к условию
Vim	5е/ т*	(4.51)
Другое соотношение между коэффициентами разложений vim
и 5s/m можно получить, если воспользоваться формулой (4.5) для
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкостъ
137
вариации квазичастичой энергии и подставить в ее правую часть
разложение (4.6) для корреляционной функции (р, р') и разло-
жение (4.50) для <5пр, а в левую часть — разложение (4.48) для
5е(рг). Используя теорему сложения для сферических функций
. I
Pl (С08х) = йтт Е у‘“ (fi'>Yt™ •
m=—l
получим
felm = Aivim.	(4.52)
Сравнивая формулы (4.51) и (4.52), получаем
(1 + A/)z//m 0.	(4.53)
Из соотношений (4.53) следует, что новое состояние, возникаю-
щее при vim / 0, будет также соответствовать равновесию, если
1 + Ai = 0.	(4.54)
Условие (4.54) определяет границу устойчивости основного со-
стояния ферми-жидкости относительно не зависящих от спина
возмущений функции распределения квазичастиц. Система будет
устойчивой относительно малых возмущений, описываемых из-
менением функции распределения произвольного вида, если для
всех I выполняется неравенство
1 + Ai > 0.
(4.55)
Сравнивая условия (4.55) с формулами (4.36) для эффектив-
ной массы квазичастиц и (4.9) для квадрата скорости звука
в ферми-жидкости, видим, что неравенство 1 + А\ > 0 обеспечи-
вает положительность эффективной массы, а условие 1 + Ао > 0
(вместе с условием 1 + Ai > 0) — положительность квадрата
скорости звука. Выполнение этого условия необходимо для то-
го, чтобы в системе не нарастали флуктуации плотности: оно
/ др \ п
соответствует термодинамическому неравенству I 1 < 0, опре-
деляющему общее условие устойчивости системы.
6.	Обсудите возможность построения теории нормальной
заряженной ферми-жидкости, пригодной для описания свойств
фермионов, взаимодействующих между собой по закону Кулона.
Решение. Основная идея теории нормальной ферми-
жидкости заключается в возможности представления энергии
квазичастицы в виде функционала от функции распределения
квазичастиц. Соответствующая функциональная зависимость
138
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
в нейтральной ферми-жидкости с короткодействующим межча-
стичным взаимодействием считалась локальной по простран-
ственным переменным. Из-за наличия дальнодействующих
кулоновских сил в системе заряженных частиц естественным
обобщением соотношения (4.2) является выражение
Ф ^г_р (р, р'- г> г')	(р', г')	(4.56)
fe(p,r) = Spa,
J (z7Tflj
Как известно, в простейшем приближении самосогласованного
поля Хартри, пренебрегающем квантовомеханическими обменны-
ми эффектами, для частиц, взаимодействующих с потенциальной
энергией v (|г — г'|), функция F имеет следующий простой вид:
Гя(р,р';г,г') = v(|r-r'|).	(4.57)
Выражение (4.57) соответствует приближению, не учитывающе-
му корреляции частиц. Разность F — Fh обусловлена корреляци-
онными эффектами, простейшими из которых является эффект
обменной корреляции, возникающий вследствие квантовой тож-
дественности частиц.
В приближении самосогласованного поля Хартри эффект дей-
ствия кулоновских сил сводится к дебаевскому экранированию
электростатического взаимодействия. При неоднородном в про-
странстве распределении квазичастиц выражение (4.57) описы-
вает потенциальную энергию квазичастицы в самосогласованном
электрическом поле с потенциалом у>(г):
еу(г)=8р4(ТХчг-г?й(р’г,)-
(4.58)
Потенциал самосогласованного поля у? (г), как следует из (4.58),
удовлетворяет уравнению Пуассона
При однородном в пространстве распределении частиц выраже-
ние (4.58) расходится. Эта расходимость компенсируется одно-
родным фоном зарядов противоположного знака, обеспечиваю-
щим электронейтральность системы в целом, что необходимо
для возможности существования термодинамического равнове-
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
139
сия. Поэтому под 5п следует понимать отклонение функции
распределения от пространственно однородного значения.
Возможность использования положений теории нормальной
ферми-жидкости для описания свойств систем заряженных фер-
мионов определяется справедливостью следующего соотноше-
ния:
F (р, р'; г, г') - FH « <5 (г - г') F (р, р').	(4.60)
Для выявления условий справедливости приближенного равен-
ства (4.60) следует сопоставить между собой радиус дебаевского
экранирования кулоновского взаимодействия и среднее рассто-
яние между фермионами. Это можно выполнить с помощью
метода анализа размерностей.
В частности, для «свободных» электронов проводимости в ре-
альных неферромагнитных металлах, где концентрация носите-
лей составляет п 1023 см-3, а их эффективная масса примерно
равна массе свободного электрона, эти величины оказываются
одинаковыми по порядку величины. Это означает, что в экра-
нированном электрическом самосогласованном поле остающее-
ся взаимодействие может быть описано с помощью выражения
(4.60), если только выполняется принцип сохранения набора
квантовых чисел, характеризующих состояния частиц при адиа-
батическом включении взаимодействия. Серьезным аргументом
в пользу такого предположения является то обстоятельство, что
в реальных металлах энергия плазмона Тшр оказывается больше,
чем энергия Ферми электронов. Энергии частиц оказывается
недостаточно для возбуждения плазменных колебаний, и роль
дальнодействующих сил сводится к экранированию кулоновского
взаимодействия без перестройки основного состояния системы.
В этом случае выражение для энергии квазичастицы может быть
записано в виде
6s (р, г) - -2/3S • В + etp (г) + SpCT,
(р-р') <5™ (р'.г)-
(4.61)
В этом выражении первое слагаемое в правой части появляет-
ся при наличии внешнего магнитного поля В, не приводящего
к квантованию движения частиц: (3 — магнитный момент элек-
трона, aS — совокупность спиновых матриц. Второе слагаемое
в правой части (4.61) соответствует приближению самосогласо-
ванного поля Хартри. Для последнего слагаемого в правой части
(4.61) можно использовать обычные разложения для корреляци-
онной функции F (р, р').
140
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
7.	Найти свободную энергию, энтропию и теплоемкость
неподвижной квантовой бозе-жидкости при низких температу-
рах, когда практически все имеющиеся в жидкости элементарные
возбуждения являются фононами.
Решение. Ниже температуры бозе-эйнштейновской кон-
денсации химический потенциал бозе-жидкости р = 0, поэтому
свободная энергия F совпадает с термодинамическим потенциа-
лом Q:
F = Q + pN = Q = kT
dp
(2тгЙ)3
In ( 1 - е kT ).
(4.62)
Используя выражение для функции распределения Бозе-
Эйнштейна п при /2 = 0
/ £ \ “ 1
п = (ekT — 1 )
переписываем выражение для F в виде
F = —кТ
dp
(27ГЙ)3
In (1 + n).
(4.63)
(4.64)
Проинтегрировав соотношение (4.64) по частям и учитывая, что
энергия квазичастиц зависит только от модуля импульса, полу-
чим
F= ^кТ
О
dp 1 дп де
----i----------------Р
(27гП)3 п + 1 дг др
(4.65)
Представим производную по энергии от функции распределения
(4.63) в виде
дп 1 о -L-	1	/	. , \
а7 = -1т" е«- = -й=»(п+1)-
Теперь выражение (4.65) принимает вид
F = -И	(4.66)
3 J (2тгА)3 др
Для фононного газа закон дисперсии квазичастиц записывается
как е = up, поэтому из (4.66) немедленно получаем
1 Г dp	ЕФ
з](27гП)з£П-	3’
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
141
где Еф — энергия единицы объема фононного газа, которая
с помощью выражения для функции распределения (4.63) запи-
сывается как	„	1
„ dp / _а_
Еф = —[ект - 1 )	.
J (2тгЙ)3 \	/
Интегралы такого типа вычисляются с помощью соотношения
00	1
j'cfaxr’’-1 (ех - 1)	= Г (т?) С (т?) (77 > 1) ,
о
где Г(т?) — гамма-функция, для которой справедливо пред-
ОО
ставление Г (ту) = J dte~ttrt~l, а £(ту) — дзета-функция Римана
о
ОО
£ (т?) = n~v- В результате выражение (4.67) для Еф принима-
П=1
еТВИД	4^fkT\*
Еф = ^(^-1 кт-	0.67)
15 \2тг/ш/
Число фононов в единице объема
f dp й / кТ \3
J (27гП)3 sv'\2ttW
так что формулу (4.67) можно приближенно переписать в виде
Еф т^ПфкТ.
оо
Для энтропии 5ф и теплоемкости Сф, используя обычные термо-
динамические соотношения, находим:
dF _ 16тг5 / кТ \3
“ дТ ~ 45 к \2тгПи) ’
_ д8Ф _ 167Г5 ( кТ \3
Ьф~1 дТ ~ 15 ЦгтгПи/ 
(4.68)
(4.69)
Фононный закон дисперсии £ = up справедлив лишь тогда, когда
h
длина волны квазичастицы - велика по сравнению с межатом-
ными расстояниями. По мере увеличения импульса кривая £(р)
отклоняется от линейной зависимости и определяется законом
взаимодействия молекул жидкости. Поэтому термодинамические
величины не могут быть вычислены в общем виде.
8.	Найти свободную энергию, энтропию и теплоемкость
неподвижной квантовой бозе-жидкости при температурах, ко-
142
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
гда доминирующая роль в формировании термодинамических
свойств принадлежит ротонам.
Решение. При вычислении свободной энергии ротонного
газа следует использовать закон дисперсии
e = a + <ez«£,
2m
И учитывать, ЧТО импульсы ротонов ПО модулю близки К Ро-
Энергия ротона всегда содержит величину Д, большую по срав-
нению с кТ, при температурах, достаточно низких для того,
чтобы можно было говорить о ротонном газе. Поэтому рото-
ны можно описывать статистикой Больцмана, а не статистикой
Бозе—Эйнштейна. Но можно воспользоваться и выражением
(4.64) для свободной энергии бозе-жидкости. Учитывая, что для
ротонов п -С 1, а 1п(1 + п) « п, получим:
F =-кТ
-^P-ln(l+n) = —кТ
(27гП)3
dp
(2тгП)3
п = —кТпр,
(4.70)
где концентрация ротонов пр определяется выражением
(4.71)
С помощью соотношений (4.70) и (4.71) находим выражение для
энтропии Sp и теплоемкость Ср ротонного газа
Ьр~ дТ
— кпр
Ср = Тд£ = кпр
кТ 4
(4.72)
Обратим внимание на характерную температурную зависимость
теплоемкости ротонного газа.
9.	Рассматривая движение газа возбуждений в бозе-
жидкости в двух системах отсчета — где неподвижна жидкость
и где неподвижен газ возбуждений, — обосновать двухско-
ростную модель, согласно которой гелий II ведет себя как
«смесь» двух жидкостей: одна нормальная с обычной вязкостью,
а другая — сверхтекучая.
Решение. Пусть газ возбуждений движется относительно
жидкости со скоростью и. В системе отсчета, где газ возбужде-
ний как целое покоится, жидкость движется со скоростью —v.
§4.2. Сверхтекучая бозе-жидкостъ
143
Энергия Е жидкости в этой системе отсчета связана с энергией
Eq в системе отсчета, где жидкость покоится, соотношением
Eq = Е — р • г> Ч-
Mv2
2 ‘
(4.73)
Здесь М — масса всей жидкости, а р — ее импульс в системе,
где энергия равна Е.
Если в покоящейся жидкости появляется еще одно элемен-
тарное возбуждение с энергией е(р), то в системе отсчета, где
жидкость движется со скоростью —V, дополнительная энергия
равна г (р) — р • v. Именно такой энергией обладает возбужде-
ние в системе отсчета, где жидкость движется со скоростью
—•», а газ возбуждений неподвижен. Функция распределения
элементарных возбуждений имеет вид п(е — р-v), где п(е) —
функция распределения Бозе—Эйнштейна для газа возбуждений
в состоянии равновесия. Полный импульс единицы объема газа
элементарных возбуждений есть
Р =
——трп (е - Р • у).
(27гП)3
(4.74)
При малой скорости движения газа возбуждений функцию
п (е — р • ъ) можно разложить по степеням р • ъ. Нулевой член
разложения исчезает после интегрирования по р, так как под
интегралом стоит нечетная функция р. Первый член разложения
дает
dp
(2тгЙ)3
р (р • •»)
dn (е)
de
(4.75)
Р = -
или, после усреднения по направлениям р (при вычислении ли-
нейного по v члена это можно сделать, домножив подынтеграль-
ное выражение в (4.75) на косинус угла между риг)), получаем
Р= Q
г) dp / dn\ 2
з J (2тгП)3 v de )Р '
(4.76)
Из (4.76) следует, что движение газа квазичастиц сопровожда-
ется переносом массы, причем эффективная масса единицы объ-
ема газа возбуждений равна коэффициенту пропорциональности
между р и и.
При отличных от нуля температурах часть массы жидкости,
увлекаемая движением квазичастиц, будет вести себя как нор-
мальная вязкая жидкость и тормозиться в результате трения
о стенки. Остальная масса жидкости будет вести себя как не
обладающая вязкостью сверхтекучая жидкость. При этом между
144
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
этими движущимися друг сквозь друга частями жидкости нет
внутреннего трения и не происходит взаимной передачи импуль-
са, поскольку описанная картина соответствует термодинамиче-
скому равновесию в равномерно движущемся газе возбуждений:
если какое-либо относительное движение возможно в состоянии
теплового равновесия, то оно не сопровождается трением.
Такая ситуация позволяет развить двухскоростную модель
сверхтекучей бозе-жидкости. В ней одновременно могут суще-
ствовать два движения — сверхтекучее со скоростью и нор-
мальное со скоростью х>п, причем каждому из этих движений
соответствует своя эффективная масса. Плотность р гелия запи-
сывается в виде
Р = Ps + рп,	(4.77)
где ps и рп — плотности сверхтекучей и нормальной частей
жидкости. Полный импульс р единицы объема также слагается
из двух частей:
Р = РпЪп + psvs-	(4.78)
При абсолютном нуле температуры нормальная часть плотности
рп = 0: жидкость может совершать только сверхтекучее движе-
ние. При Т / 0 в силу сказанного выше плотность рп определя-
ется формулой (4.76)
_ 1 f dp 2 ( dn\
Рп з] (2тг/г)зР \ de)'
(4.79)
По мере повышения температуры все большая часть массы жид-
кости становиться нормальной. В точке, в которой достигается
равентство рп = р, полностью исчезает свойство сверхтекучести.
10.	Используя соотношение (4.79), найдите фононный и ро-
тонный вклады в нормальную плотность рп.
Решение. Закон дисперсии фононов при низких темпе-
ратурах имеет вид е = up, поэтому соотношение (4.79) после
интегрирования по угловым переменным дает для фононного
вклада выражение
(Рп)ф —
ОО
4тг dn p4dp
Зи J dp (2тгП)3 ’
О
(4.80)
§ 4.2. Сверхтекучая бозе-жидкость
145
Интегрируя (4.80) по частям, получаем
ОО
/ \ _ 167Г '
>
о
p3dp	4тг
п-------ч =
(2тг7г)3	3i? J
sn-^.	(4.81)
(2тг7г)3
Получившийся интеграл представляет собой энергию единицы
объема фононного газа. Эта энергия вычисляется элементарно
и в пренебрежении энергией нулевых колебаний
ЕФ _ тг2Т4
v ~ 30 (Ли)3 ’
(4.82)
где температура Т берется в энергетических единицах (k = 1).
С учетом (4.82) имеем
( \	_ 2тг2Т4
(Рп)ф-	3u2V- 457i3u5-
(4.83)
Как уже отмечалось в предыдущих задачах, для ротонов можно
„	_	dn п
использовать распределение Больцмана. При этом — = — —, и с
помощью соотношения (4.79) имеем
(о ) = — fp2n dp = ^Пр	(4 84)
ЗТ]рП(2тгЛ)3 ЗТ ’	(484)
где (р2) — среднее значение квадрата импульса ротонов. Исполь-
зуя формулу (4.74) и полагая с хорошей точностью (р2) = pg,
окончательно получаем
1
/	\	2т2р0 _Д
(/МР =---------Г“1~е Т-	(4-85>
3(2тг)2Т2Л3
При самых низких температурах фононный вклад превосходит
ротонный. При температурах больше 0,6 К преобладает ротон-
ный вклад.
Задачи для самостоятельного решения
11.	Используя выражение для вариации квазичастичной
энергии в магнитном поле
5е(р) =-2/Ts-B + Sp^
^(р,р05й(р').
146
Гл. 4. Квантовые ферми- и бозе-жидкости
где /3 — магнитный момент электрона, и определяя эффективный
магнитный момент 7 (р) квазичастицы соотношением
fc(p) = —7(р)В,
получите в случае сферической ферми-поверхности соотношение
7=—^—.
Z 1+Во
12.	Покажите, что для парамагнитной восприимчивости изо-
тропной нормальной ферми-жидкости справедливо выражение
X — ХПаули
1+А,
1 + Bq
где Хпаули = —Г^/З2 — парамагнитная восприимчивость Паули
7Г
для газа невзаимодействующих фермионов.
13.	Покажите, что при очень низких температурах, когда
всю массу жидкости можно считать сверхтекучей, а поверх-
ностные колебания жидкости представляют собой капиллярные
2 k3 k3
волны с законом дисперсии иг = а— « <jq—, выражение для
Р Р
коэффициентов поверхностного натяжения а (т. е. свободной
энергии единицы площади поверхности жидкости) может быть
представлено в виде
<т = сто
7 2
тзрз р
4 21
4тг/г.з cTq
Глава 5
ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ
§5.1.	Элементарный расчет флуктуаций
Флуктуациями физических величин называются их отклоне-
ния от средних значений, обусловленные тепловым движением
частиц системы.
Основу элементарного расчета флуктуаций составляют по-
ложения теории вероятностей, согласно которым вероятность
одновременного осуществления независимых событий равна про-
изведению вероятностей каждого из них. На этом пути можно
найти выражения для флуктуаций различных физических харак-
теристик системы, в частности, распределение Пуассона, которое
получается в ряде случаев в результате рассмотрения вопроса на
основе более строгих соображений.
§ 5.2.	Гауссова квазитермодинамическая теория
флуктуаций
Различают термодинамические и квантовые флуктуации фи-
зических величин. Условием того, что флуктуация параметра х
имеет термодинамический характер, является неравенство
(5.1)
где т — характерное время изменения параметра х. В этом
случае плотность вероятности отклонения величины х от своего
среднего значения, полагаемого равным нулю, имеет вид
148
Гл. 5. Теория флуктуаций
Распределение вида (5.2) называется гауссовым; оно нормирова-
но на единицу:
w (я) dx = 1,
—оо
а средний квадрат флуктуации
оо
(х2) = x2w (х) dx =	.	(5.3)
—оо
При рассмотрении одновременного отклонения от равновесных
значений нескольких термодинамических величин Х[,...,хп вы-
ражение для плотности вероятности имеет вид
/	\ д/л	/ C^ilcXiXk \	/г .ч
w(a?i,... ,хп) =----п-ехр --------- ,	(5.4)
(2тг)2	\	2	/
где а — определитель, составленный из элементов симметричной
матрицы ttjfc = aki- Распределение (5.4) также нормировано на
единицу:
ОО
dx\ ... dxnw (a?i ... хп) = 1.
—оо
Для средних значений флуктуации справедливо равенство
(xiXj) = а”1,	(5.5)
где а”1 — элемент матрицы, обратной
Распределения Гаусса (5.2) и (5.4) получены при учете только
квадратичных членов в разложении энтропии в ряд Тейлора
около равновесного значения. Коэффициенты имеют смысл
вторых производных от энтропии по Xi и Xj. Эти формулы позво-
ляют вычислять только квадратичные по отклонениям термоди-
намических величин комбинации, например ((AV)2), (AVAT)
и т. д.	'	'
Рассмотрим флуктуации в системе, которая может обмени-
ваться с термостатом энергией в форме теплопередачи и со-
вершения работы (в статистической физике она описывается
изотермо-изобарическим ансамблем). В этом случае средние зна-
чения давления р и температуры Т определяются термостатом.
В гауссовом приближении формула для плотности вероятности
§5.3. Статистическая теория флуктуаций 149
в отсутствие внешних полей в системе с фиксированным числом
частиц N может быть записана следующим образом:
ApAV - ATAS	,с с.
w ~ ехр------—------.	(5.6)
При расчетах с помощью выражения (5.6) необходимо приводить
экспоненту к гауссовой форме, содержащей любую пару термо-
динамических переменных, например V нТ или р и S и т. д.
Общая формула для вероятности флуктуации неизолирован-
ной системы, контакт которой с термостатом может быть произ-
вольным (термическим, материальным и т. д.), имеет вид
ДрДУ - ATAS’ - AuAN
“~exp-----------2Й=---------'	(57)
В гауссовой теории флуктуации выбор переменных состояния
системы, как и обычно в термодинамике, произволен, предпо-
лагается только малость относительных флуктуаций. В случае,
когда относительные флуктуации не малы (например, в окрест-
ности точек фазовых переходов II рода), гауссово приближение
становится неприменимым.
§ 5.3.	Статистическая теория флуктуаций
В статистической теории флуктуаций средние значения квад-
ратов флуктуаций, как и любые средние значения физических
величин, можно вычислять непосредственно с помощью стати-
стических сумм или функции распределения. Например, в кано-
ническом ансамбле удобно вычислять среднее значение квадрата
флуктуации энергии системы. Используя формулу для статисти-
ческой суммы Q
Q = Ze~'El'
I
получаем в соответствии с правилом вычисления средних
(Е\ = е - 1 VEie~/3El = --V e-№ =	InO
QZ^ie Qdp2^e Qdp dp1^'
(E2\ = 1 V- E2 e-/3Et = yp-K
' ?	z	Qd/32'
Теперь для дисперсии энергии ((ДТ?)2) — (Е2) — (Е)2 имеем
150
Гл. 5. Теория флуктуаций
Аналогично изложенному в рамках большого канонического ан-
самбля удобно вычислять средний квадрат флуктуации числа
частиц ((ДА)2):
((ДА)2) = (А2) - (А)2 =	(5.9)
В изотермо-изобарическом ансамбле удобно находить средний
квадрат флуктуации объема:
W)=4T'	(5J0)
Статистический ансамбль определяется набором параметров, за-
висящих от физических условий, в которых находится система.
Эти параметры при заданных условиях по определению флук-
туировать не могут, поэтому флуктуирующие параметры нельзя
выбирать произвольно. В результате при некоторых выборах па-
раметров гауссова теория флуктуаций приводит к расхождению
со статистической теорией.
§ 5.4.	Описание динамических систем
с флуктуирующими параметрами
При рассмотрении броуновского движения взвешенной части-
цы используется метод Ланжевена, в котором проекция уравне-
ния движения на некоторое направление записывается в виде
d х	1 dx ...	v у-,. v	... ...
или mTt=~B+F^' (5J1)
где m — масса броуновской частицы, v/B — сила трения, пропор-
циональная скорости, F(i) — случайная (стохастическая) сила,
обладающая свойствами
(F(t)) = O,	(5.12)
(F(i + r)F(i)) = C5(T).	(5.13)
Здесь угловыми скобками обозначено усреднение по ан-
самблю реализаций функций F. Функция (F(t + r)F(i)) опре-
деляет степень статистической независимости величин F(i + г)
и F(t) и называется корреляционной функцией. Ее можно пред-
ставить также в виде
ОО
(F(t + r)F(t))= Ит 1 { F (t+ т) F (t)dt.
T—^OQ 1
О
(5.14)
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами^
Соотношение (5.13) соответствует простейшему приближению
для корреляционной функции (так называемый белый шум),
когда F(t) и F(t + т) статистически независимы при т 0. При
ЭТОМ	91-Т
С=^.	(5.15)
Стохастическую величину F(i) можно представить в виде инте-
грала Фурье:
F(t) = f ^FLOe^.	(5.16)
J
—оо
При этом формула для обратного преобразования, определяющая
спектральную плотность величины F, имеет вид
ОО
F(w)= diF(i)eiu,t.
—ОО
В силу вещественности физической величины F(i) справедливо
F(w) = F*(-w).	(5.17)
Для однородного во времени стационарного процесса
(F(i1)F(t2)) = £»(t1-f2).
При этом функция D(t), соответствующая физически осмыслен-
ному поведению корреляционной функции случайного процесса,
имеет вид
D (t) = D (0) е-7^ (7 > 0).
(5.18)
Для стационарного случайного процесса справедливо
(F(w)F(wi)) = 27tJM<5(w + l<J|).
В этом случае спектральная плотность J(w), даваемая формулой
ОО
D(t)= f	(5.19)
—оо
есть	2
J (щ) = J (0) где J (0) =	(5.20)
ш + т	7
Из (5.20) видно, что при увеличении времени корреляции
(7 —> 0) в спектральной плотности J(w) остается одна линия
и> = 0:
J (ш) |7_0 2irD (0) 5 (w) .	(5.21)
152
Гл. 5. Теория флуктуаций
В противоположном случае 7 —> оо спектральная плотность для
конечного интервала частот Ди у превращается в константу:
J(w) « J(0).	(5.22)
Задачи
1. Идеальный газ, состоящий из N молекул, равномерно
распределен в сосуде объемом Vq, так что среднее число молекул
п в объеме V равно п = N-- Определите вероятность того,
Ч)
что в объеме V при условии V <£ Vo будет находиться и / п
молекул. Рассмотрите предельные случаи: a) v < N\ б) v » 1,
Др = и — п п. Сравните между собой значения (р2) во всех
трех случаях.
Решение. По правилу нахождения вероятностей одновре-
менного осуществления независимых событий найдем вероят-
ность Ри того, что р каких-либо определенных молекул находит-
ся в объеме V, а остальные (7V — р) молекул находятся в объеме
(И)-У):
Ри
V Xй ( V\N~V
(5.23)
Чтобы найти вероятность того, что любые р молекул находят-
ся в объеме V, а остальные (ЛГ — р) молекул в объеме (Vo — V),
нужно умножить (5.23) на число способов Cfc, которыми можно
выбрать р молекул из их общего числа N:
11/ _ _____
N ~ (N-y)M'
В результате для Pfa получаем:
(5.24)
(5.25)
Выражение (5.25) называется биномиальным распределением.
Рассмотрим предельные случаи.
а)	. При р<'V формулу биномиального распределения можно
упростить, так как с учетом равенства п = N— имеем:
Ч)
ри = N (N - V) ...(N - v + V) (пу ( nxN-i'^n1' / n\W
N ~	i n) v n) ~ 7Г v n) ’
р!
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрамиЛЪЗ
При N —* оо это выражение принимает вид:
PW= Ita =	(526)
N—>оо	Р!
Соотношение (5.26) называется распределением Пуассона. Легко
убедиться, что вероятность Р (р) формально нормирована на
единицу:
£РМ = 1.
17=0
б)	. Этот случай соответствует асимптотическому выражению для
формулы Пуассона, когда среднее число частиц п в выделенном
объеме V велико, так что v ~ п 3> 1 и Др = i/ - п < п. При
больших значениях р для р! можно воспользоваться формулой
Стирлинга:
1п(р!) « р1пр — р.
Логарифмируем формулу Пуассона (5.26), имеем:
1пР(р) = р1пп — п — р1пр + р = — (п + Др) In f 1 + —) + Др,
П (5.27)
Раскладывая в ряд логарифм и, ограничиваясь членами второго
Ар
порядка по малому параметру —, находим
2п п	2п
Равенство (5.28) приводит к распределению Гаусса:
(Д^)	(1^—п)2
Р (р) ~ е~ 2п — е~ 2п .
(5.28)
Поскольку при р 3> 1 можно рассматривать р как непрерывную
переменную, Р(р) имеет смысл плотности вероятности. Вслед-
ствие острого максимума Р(р) при значении р = п можно счи-
тать пределы изменения этой функции неограниченными:
—оо < р < оо.
Тогда из условия нормировки получаем:
|	(у—п)2
Р (р) =	2Г~.	(5.29)
v27rn
Нетрудно убедиться, что значения (р2) для всех трех распреде-
лений — биномиального (5.25), пуассоновского (5.26) и гауссова
(5.29) — одинаковы.
154
Гл. 5. Теория флуктуаций
(5.31)
2.	При термоэлектронной эмиссии происходит вылет элек-
тронов с поверхности металла или полупроводника. Предполага-
ется, что вылеты отдельных электронов происходят независимо
друг от друга, и вероятность вылета одного электрона за малый
промежуток времени dt равна P\(dt) = Xdt (А — постоянная
величина). Найдите вероятность Pn(t) вылета п электронов за
время t.
Решение. Обозначим вероятность того, что за время t
не вылетит ни одного электрона, через Ро(О- Тогда, учитывая
независимость вылета отдельных электронов и правило подсчета
двух последовательных событий, имеем:
Рп (t + dt) = Pn-1 (t) Pi (dt) + Pn (t) (1 - Pi (dt)) ,
P0(t + dt) = P0(t)(l-Pi(dt)).	( J
При составлении (5.30) учтено, что за время dt может вылететь
только один электрон. Разложим левые части уравнений (5.30)
в ряды Тейлора по степеням dt и устремим dt 0. Получим
^£>=-АРо(().
Систему уравнений (5.31) следует решать с начальными услови-
ями, которые естественно задать в виде
р-(°)={ к "/о 	<5-32)
Решение второго уравнения системы (5.31) при учете (5.32)
имеет вид
P0(t) = e~xt.	(5.33)
После этого уравнение для Pi(t) записывается в виде:
= Xe~xt - Pi (t).	(5.34)
Решение неоднородного уравнения (5.34) при начальном условии
(5.32) для п= 1 приводит к результату
Pi(t) = Xte~Xt.	(5.35)
Дальше с помощью (5.31) записывается уравнение для P2(t),
в котором роль неоднородности играет произведение APi(t),
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами^)
и так далее. С помощью метода математической индукции
нетрудно показать, что решение уравнения для Pn{t) имеет вид
Pn(t) = ^e-At.	(5.36)
п\
Видно, что (5.36) — это распределение Пуассона, рассмотренное
в предыдущей задаче.
3.	Найдите среднее значение квадрата флуктуаций для числа
вылетающих при термоэлектронной эмиссии электронов, если
в единицу времени в среднем вылетает по электронов.
Решение. Среднее значение квадрата флуктуаций опреде-
ляется выражением
((Дп)2) = ((п — (п))2).	(5.37)
Раскрывая выражения, стоящие в правой части (5.37), находим
((Дп)2) = (п2) — 2(п)(п) + (п)2 = (п2) — (п)2.	(5.38)
Вычисляем входящие в правую часть (5.38) величины с помощью
функции распределения вероятностей, полученной в предыдущей
задаче. Имеем
°°	00	2 /\х\п	00	/\,\П
= \>2Р„ (I) = у	= у =
' '	n!	^>(п-1)!
71=0	71=0	71=1
= р-м V (Af)n 4- P-At V	=
2^(n-2)!+e	2-7 (п-1)!
п=2	п=1
= e~Xt ((At)2 eXt + AteAt) = (At)2 + At. (5.39)
Аналогично:
(oo	\ 2	/ oo	\ 2
£np„(t)) = (у^Же-Д =
n=0	/	\n=0	/
(oo / \	\
е"А‘ЕуГп| = УЛ‘А<еА‘)2 = (At)2. (5.40)
С помощью соотношений (5.38)-(5.40) находим
((Дп)2) = At.	(5.41)
Но из соотношения (5.40) видно, что
(n) = At.	(5.42)
156
Гл. 5. Теория флуктуаций
С другой стороны, (n) = not, поэтому с помощью (5.41) и (5.42)
получаем
((An)2) = not.
4.	Частицы некоторой среды, подчиняющиеся законам клас-
сической механики, могут обмениваться энергией с окружающей
средой (термостатом), но не друг с другом. Покажите, что дис-
персия числа частиц описывается распределением Пуассона.
Решение. Нахождение дисперсии числа частиц подразу-
мевает, что число частиц в системе может изменяться. Такие
системы описываются большим каноническим ансамблем.
В большом каноническом ансамбле в соответствии с выра-
жением (2.10) вероятность Р^ того, что в системе находится N
частиц, определяется выражением
Pn = c ехр(^М	(5.43)
{N,=N}
где с — нормировочная постоянная, а суммирование проводится
по всем состояниям I системы, для которых TV) = N. Выражение
(5.43) можно записать в ином виде, если использовать выраже-
ние для статистической суммы Qn в каноническом ансамбле:
V—,	/ Ei \ If н
0„ = ^ехр(-^) = ^]№.	(5.44)
При этом выражение (5.42) принимает вид
PN = Cexp(^)QN.	(5.45)
В отсутствие взаимодействия частиц друг с другом функция Га-
мильтона Н распадается на сумму функций Гамильтона отдель-
ных частиц. Поэтому статистический интеграл в правой части
(5.44) превращается в произведение статистических интегралов
для одной частицы.
1 Г	,~р)
Qi = i drie---kT,	(5.46)
n J
так что соотношение (5.44) переписывается следующим образом:
PN = Cexp^Qt	(5.47)
Это соотношение можно переписать в виде
PN = C{-^~,	(5.48)
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрамиХЫ
где
{N) = exp(-£=)Ql.
\ KJ. /
Нормировка соотношения (5.48) на единицу приводит к следую-
щему выражению для константы С:
С = ехр(-(Ж
(5.49)
Окончательно выражение для Рдг записывается в следующем
ВИДе:
PN = ^-e-^.	(5.50)
Это распределение Пуассона.
5. Вычислить флуктуации термодинамических величин
((ДТ)2), ((ДУ)2), ((Д5)2), ((Др)2), (ДУДТ), (ДТДр),
(ДуДр), (ДрД5), (Д5ДУ) и (ДбДТ), считая независимыми
переменными параметры У и Т.
Решение. Используя гауссову теорию флуктуаций, выра-
зим в формуле (5.6) величины Д5 и Др через флуктуации
независимых переменных У и Т:
ДУ +
т
ДУ +
т
(5.51)
\9Tjv'
в (5.51), имеем
(0 iS \
dv) ~
CV п	Т
Подставляя эти значения
AS=(§Vv+^Ar-
Теперь выражение для плотности вероятности (5.6) после под-
становки найденных выражений для Д5 и Др принимает гауссов
вид в переменных У и Т:
ю~ехр[-^(Д^ + А,(&)г(ДЮ2].	<552>
Из (5.52) видно, что плотность вероятности распалась на про-
изведение множителей, зависящих только от ДТ и ДУ. Это
означает, что флуктуации температуры и объема статистически
независимы:
(ДУДТ) = 0.
(5.53)
158
Гл. 5. Теория флуктуаций
Сравнивая (5.52) с соотношением (5.3), находим
(5.54)
(5.55)
Для вычисления средних значений комбинаций, содержащих
одну из выбранных независимых переменных, удобно выразить
флуктуации второй величины через ДУ и ДТ. Тогда получим,
например, для (ДТДр)
<дгдр>=($)Т <дтд1/)+(!?)„ 0дто 
Подставляя сюда соотношения (5.53) и (5.54), найдем
(ДТДР) = ^(&)	(5.56)
Су \О1 J V
Аналогично
(ДУД₽) =	((ДП2) + (ДУДГ).
Подставляя (5.53) и (5.55), имеем
(ДУДр) = —кТ.	(5.57)
Далее,
(Д5ДП = (^)т ((ДУ)2) + (ДГДТ) =
= —fcrf—(—У =кт(—\	(5 58)
к1 \дР)т\дт)у к1 \дт)р'
Для вычисления флуктуации ((Д5)2), ((Др)2), и (ДрД5), можно
выразить их через ДУ и ДТ. Например,
НН[©лФт])
Раскрывая квадрат суммы и учитывая формулы (5.53)-(5.55),
найдем
С$ кТ2
Т2 Cv'
Учитывая соотношение
Ср - Cv = -Г
др \2
дт)у
\др)т'
(5.59)
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами\59
окончательно получаем
((AS)2) = kCp.	(5.60)
Аналогично
=-‘г(М+(£)Х (5 61>
С помощью (5.59) имеем
(др\2 _ Ср —Cv/др \
\dTJv~ т \dv)r'
Подставим это выражение в (5.61) и приведем подобные члены:
=	=	(5.62)
Наконец,
)=
/9м /9р\ /(Ду)2\ Су / др\ /(ДТУ\.
\dvjT\dTjvv } / т \dTJvV } /
Подставляя сюда (5.54) и (5.55), приходим к равенству
(ApAS) = 0.	(5.63)
. 6. Вычислить флуктуации ((Др)2), ((AS)2) и (ApAS), счи-
тая независимыми переменными параметрами р и S.
Решение. Выразим в (5.6) величины ДУ и АТ через
флуктуации независимых переменных р и S:
(5.64)
/dV\
С помощью соотношения dH = TdS + Vdp имеем I ) =
\ dS /»
/дт\ п /дт\ т п
= —	• Далее,	Поэтому второе равенство из
(5.64)	перепишется в виде
р
160
Гл. 5. Теория флуктуаций
Подстановка полученных выражений в (5.6) дает
w ~ехр kir “ 2йг •	<5-65>
2к1 \ up / 5	2/сСр
Из (5.65) следуют равенства
(Д5Лр)=0, ((Лр)2) = -кг(^)я, ((AS)2) = кСр .
7.	Вычислить флуктуации ((ДУ)2), ((Д5)2) и (ДУД5), счи-
тая независимыми переменными V и S.
Решение. Как и раньше, выразим в (5.6) величины Др
и ДТ через флуктуации независимых переменных V и S:
Др = ( — I ДУ + ( — ) Д5,
р \dVJs	\dSJv	’
АТ= (—} ду+/^ Д5.
\dVJs	\dSJv
Используя фундаментальное равенство Гиббса dE = TdS — pdV
и соотношение (у—) = —, перепишем выражение для ДТ
\ob/V Cv
в виде
дт = -Ш ДУ+-±-Д5.
\dSJv Су
Теперь для w с помощью (5.6) получаем
”~ехр ['2И' Gn"') s-l' A''Z-’ + kT
(^)рД5ДУ-
2ЙГ(Д5)21-
ZfcCv J
В отличие от предыдущих задач, выражение для w в данном
случае не распадается на произведение множителей, зависящих
только от ДУ и Д5, поскольку показатель экспоненты содержит
слагаемое, пропорциональное Д5ДУ. Это означает, что флукту-
ации (ДЗДТ) не равны нулю. В соответствии с формулой (5.5)
в данном случае необходимо обратить матрицу
{tty} —
1 / др \
AT КдУ/s
1 / др\
АТ \dS7v
1 / др\
кг vas/v
kC^
Обычное вычисление дает для обратной матрицы

Т / др \	/ др \ 2	1
\dv)s + \ds)v
§ 5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрамиМА
/ _1_
/ kCv
I 1 / др X
1 / др X
кг
1 / др X
&Т w/s
(5.66)
Используя (5.66), в соответствии с (5.5) имеем
(5.67)
X
Видно, что «неудачный» выбор независимых переменных приво-
дит к довольно громоздким выражениям, которые, естественно,
приводятся к (5.55), (5.60) и (5.58) тождественными термодина-
мическими преобразованиями. Прежде всего обратим внимание
на то, что знаменатель в этих формулах может быть записан
в виде якобиана
Т / др\ / др \ 2 _ / Т,р\
\dVJs+	’
в чем легко убедиться, раскрывая это равенство справа нале-
/ дТ \	/ др \	~
во и учитывая, что	= — \d§Jy’ Теперь, например, для
((ДУ)2) получаем выражение, совпадающее с (5.55):
((ДУ)2) = -
a(s,T) д(т,р)
д(т, v) d(s,v)
кТ2 =
кТ _ ,T(dv\
д(Т,р) К1\др)т
д (T,v)
Совершенно аналогично преобразуются и остальные два выра-
жения (5.67).
8.	Вычислить средний квадрат флуктуации энергии в рамках
гауссовой теории флуктуации и сравнить полученный результат
с формулой (5.8).
Решение. Выберем в качестве независимых переменных V
и Т. Тогда для Д£? имеем
ДЕ =
9£х
dV/т
ДУ +
6 Кондратьев
162
Гл. 5. Теория флуктуаций
Возводя это выражение в квадрат и учитывая, что флуктуации
объема и температуры независимы ((ДУДТ) = 0), получаем
(<Д1/>2)+G?) \ W)  <б'и>
Учитывая, что ^(ДУ)2^ = -кТ > ^(ДТ1)2^ =	> и
используя соотношения	т
дЕ\ -с (—}
dT)v V' \дУ)т \дТ)у Р
получаем
((ДВ)2\ = -КГ(^)	-v\ +kT2Cv (5.69)
\	/	\ ор / j- L \О1 / V J
Перепишем формулу (5.8) тождественно следующим образом:
((AEf) = ~кТ2^ (Е) = kT2Cv, (5.70)
поскольку производная по (3 в (5.8) вычисляется при фиксиро-
ванном объеме в соответствии с определением канонического
ансамбля.
Видно, что формула (5.69) содержит лишнее слагаемое по
сравнению с формулой (5.70). Дело в том, что соотношение
(5.68) определяет флуктуацию энергии системы в результате
как флуктуации температуры, так и объема. В формуле (5.70)
флуктуации объема не фигурируют вследствие того, что в кано-
ническом ансамбле объем системы фиксирован. Чтобы в рамках
такого подхода прийти к формуле (5.69), следует использовать
изотермо-изобарический ансамбль.
Полученный в задаче результат имеет общий характер. Флук-
туации, вычисляемые в рамках определенного ансамбля стати-
стической физики, соответствуют условиям, в которых находится
рассматриваемая система в данном ансамбле. В этом смысле
формула (5.6) соответствует изотермо-изобарическому ансамблю,
так как в ней не учитываются только флуктуации числа частиц
в системе.
9.	Получить соотношение (5.69) для флуктуации энергии,
используя изотермо-изобарический ансамбль.
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами\63
Решение. В рамках изотермо-изобарического ансамбля вы-
ражение для (Е) дается формулой
{Е} = 1 Eie~^El+pV\	(5.71)
Г IV
где статистическая сумма Р есть
e—P(E,+pV)
I.V
Дифференцирование выражения (5.71) для (Е) по (3 и р приводит
к соотношениям
= - (Е2} - р {EV) + (В)2 + р (Е) (V) =
=-^(ДД)2^-р(ДДДУ), (5.72)
= -/? (EV) + /3 (Е) (V) = -/3 (ДДД V).
Умножая второе из уравнений (5.72) на и вычитая полученное
произведение из первого уравнения, получаем

 РЭ{Е)
/з дР •
Вводя обозначение (Е) = Е и переходя к Т = получаем
рк
((АВ)2) = kT2 (g) +кТр(^) .	(5.73)
\	/	\О1 / р	\ up / 'Р
Используя фундаментальное равенство Гиббса для системы с по-
стоянным числом частиц dE = TdS — pdV, перепишем (5.73)
в виде
/(ДД)2и —кТ2р Ш +кТ3(^\ -
\	/	\ О1 / р	\ U1 / р
-кТ2р(д^ +kT2p(^ . (5.74)
\ др / т	\ др / 'р
Воспользуемся формулой Ср = Т ( — ) и соотношением (5.59)
п п	(д$\ fdV\
между Ср и Cv и учтем равенство —J = —	, следую-
6*
164
Гл. 5. Теория флуктуаций
щее из соотношения ИФ = —SdT + Vdp. Тогда (5.74) перепишет-
ся следующим образом:
(т2) =
= кт\тсУ-т2(^)	~2Тр(1Тг} •
\ дТ J v \ др / р	\ др / р \ дТ / р
D	-	fdV\
В последнем слагаемом в правой части производную I — I
\ U1 / р
(dv\ /dv\ (др\ „
записываем в виде —=	= — -т—	. В результате для
\дТ Jp	\ др ) р \дТ ) v
флуктуации энергии имеем
\	/	\	/ р L \ U1 / V J
что совпадает с формулой (5.69).
10.	Вычислить среднее значение ((ДЕ)3).
Решение. Прежде всего отметим, что искомую величи-
ну нельзя находить в рамках квазитермодинамической теории
флуктуации, поскольку фигурирующий в этой теории гауссов
интеграл соответствует учету только квадратичных отклонений
энтропии системы от ее равновесного значения. Поэтому вы-
числение следует проводить с помощью функции распределения
в подходящем ансамбле равновесной статистической физики.
Каким же ансамблем воспользоваться? Проще всего вычис-
ления будут выглядеть в каноническом ансамбле: в микрокано-
ническом ансамбле флуктуации энергии отсутствуют, а во всех
остальных ансамблях флуктуирует большее число параметров,
чем в каноническом ансамбле. Итак, нас интересует величина
((Е — (Е))3), которая в каноническом ансамбле вычисляется сле-
дующим образом. Перепишем формулу (5.8) в виде
и продифференцируем это выражение по (3. Учитывая, что полу-
чающиеся выражения соответствуют средним значениям разных
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами^^
степеней энергии, можно записать результат так:
^ (/ ) = (Е3) - (Е3} {Е} - 2 (В) {Е3} + 2 (В)3.
Легко видеть, что правая часть этого выражения равна {(Е —
— (Е))3). Поэтому можно написать
((В - (В))3} =	(В).
Разумеется, при вычислении ((ДЕ)3) в различных ансамблях
будут получаться разные результаты.
11.	Найдите средний квадрат флуктуации энергии системы
N одинаковых одномерных невзаимодействующих между собой
осцилляторов с собственной частотой и. Исследуйте поведение
этой величины при высоких температурах: Иш <& кТ.
Решение. ((ДЕ)2) можно найти с помощью формулы (5.8)
и выражения (2.33) для внутренней энергии системы таких ос-
цилляторов, равной среднему значению (Е) энергии системы.
Имеем в соответствии с (2.33)
(Е) = N (.	(5.75)
\2 ехр (p/iw) - I у
Вычисляя средний квадрат флуктуации энергии с помощью
(5.75), найдем
/(ДЕ)2\ = -^	=Д(М2	еХр-^—) - г (5.76)
V > / dpe^-l V J (exp(j3TuS)-V)2
В пределе высоких температур (Tiw С кГ) получим с помощью
(5.75) и (5.76)
(Е) = NkT,
((ДЕ)2) = TV(fcT)2.	(5.77)
Интересно отметить поведение относительной флуктуации энер-
гии одного осциллятора. С помощью (5.77) получим
((A^i)2)
(Я1)2
= 1,
(5.78)
где Е[ означает энергию одного осциллятора.
При возрастании средней энергии относительная флуктуация
стремится к единице, а не к нулю.
166
Гл. 5. Теория флуктуаций
Для N осцилляторов с помощью (5.77) получаем
При больших N относительные флуктуации малы, что соответ-
ствует общему требованию малости относительных флуктуаций
в макроскопической системе, находящейся в контакте с термо-
статом.
12.	Покажите, что для системы, описываемой большим кано-
ническим ансамблем, средний квадрат флуктуаций числа частиц
определяется соотношением

Решение. В большом каноническом ансамбле выражение
для среднего числа частиц (.ZV) имеет вид
(5.80)
Дифференцируем равенство (5.80) по химическому потенциалу
/х:
(<"2) - w2) = i . (5.81)
Итак, приведенное в условии задачи равенство доказано.
13.	Используя соотношение, приведенное в условии преды-
дущей задачи, получите выражение для среднего квадрата флук-
туаций числа частиц для квантовых ферми- и бозе-газов.
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами^
Решение. Для ферми- и бозе-газов выражение для средне-
го числа частиц, имеющих энергию е, имеет вид
(«) =
1
ехр (TF J ± '
(5.82)
Вычисляем ((Дп)2) с помощью указанного соотношения:

(5.83)
Прибавляем и вычитаем единицу в числителе правой части
(5.83). В случае ферми-газа, когда в знаменателе стоит «+1»,
получаем
-------------2 = {п)-(п)2. (5.84)
(/ £ Д \ I 1 \
В случае бозе-газа, когда в знаменателе стоит «—1», такая же
процедура приводит к следующему результату:
+-------!-----2 = (n) + Н2 . (5.85)
(/ £ /X \	\
14.	Проводник соединен тонким проводом с другим очень
большим проводником, причем оба проводника и провод сделаны
из одного и того же металла. Меньший проводник в присутствии
большего имеет электроемкость С. Найдите средний квадрат
флуктуаций числа свободных электронов в этом проводнике.
Решение. Условия задачи позволяют считать, что систему
свободных электронов меньшего проводника следует описывать
в большом каноническом ансамбле, считая большой проводник
168
Гл. 5. Теория флуктуаций
термостатом, с которым происходит обмен энергией и частицами.
Поэтому можно воспользоваться соотношением
(5.86)
V /	\ др JT
Химический потенциал р задается термостатом — большим про-
водником. При неизменной температуре химический потенциал
меньшего проводника может флуктуировать за счет флуктуации
числа электронов, что приводит к увеличению электростати-
ческой энергии меньшего проводника. При увеличении числа
электронов на 6п электростатический потенциал увеличивается
ебп _
на —Дополнительная энергия каждого электрона, равная уве-
о
г	е26п
С'"
личению химического потенциала 6р, составляет величину
Таким образом,
г е26п
(5.87)
(5.88)
(5.89)
Отсюда следует равенство
6п _ /д (п) \ _ С
8р \ др /р е2
и для среднего квадрата флуктуации числа свободных электро-
нов в соответствии с (5.86) получаем
Отметим, что соотношение (5.89) можно получить на основании
теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы,
учитывая дополнительную электростатическую энергию тепло-
вой энергии —, приходящуюся на одну степень свободы:
2 С 2
15.	Получить функцию распределения по флуктуациям энер-
гии в гауссовом приближении, исходя из классической функции
распределения в каноническом ансамбле.
Решение. С помощью соотношений (2.11) и (2.3) выра-
жение для классической функции распределения записывается
в виде	г и (	\
<	. F-H(q,p)
p(q,p) = ехр----—-----
(5.90)
§ 5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами!^
Для перехода к функции распределения по энергии необходимо
выполнить суммирование по тем элементам объема фазового
пространства системы, которые реализуют состояние с заданным
значением энергии Е. Такое суммирование можно выполнить,
домножив (5.90) на 6 (JE — Н и проинтегрировав по фазо-
вому пространству:
И Д) = хХх Ui (в - я (<,. ?)) охр F - р>.
II 1V! J
Благодаря наличию «5-функции множитель, содержащий экспо-
ненту, можно вынести за знак интеграла, заменив в нем H(q,p)
на Е:
1 р _ е Г
р(Е> = 7^ехр2Тт^
Оставшийся интеграл соответствует статистической сумме си-
стемы в микроканоническом ансамбле и равен полному числу
состояний с энергией Е. Учитывая, что безразмерная энтропия
определяется как логарифм числа состояний, перепишем послед-
нее равенство в виде
F-E S(E)
р (Е) = ехр —ехр -уА
Далее, учитывая термодинамическое определение свободной
энергии F = E — TS(E), где Е — среднее значение энергии
системы в каноническом_ансамбле, и раскладывая S(E') в ряд
Тейлора около значения Е :
S (Е) = S (Ё) + g (Е - В) + 1g
получаем для р(Е) в квадратичном по ДД приближении следу-
ющее выражение:
(591)
При получении (5.91) учтены соотношения
OS _ 1	d2S _	1
дЕ ~ Т’ дЕ2 ~ CVT2 ’
Формула (5.91) представляет собой искомую функцию распре-
деления по флуктуациям энергии в гауссовом приближении.
Обратим внимание на то, что эту функцию необходимо заново
нормировать, поскольку нормировка исходной функции распре-
170
Гл. 5. Теория флуктуаций
деления была нарушена при обрыве тейлоровского разложения
для S(F):
р(Е) = А ехр
\ ZkCv-L J
fdEdp(E) = 1 .
16.	Показать с помощью уравнения Ланжевена (5.11), что
71 = Вт есть время, в течение которого средняя скорость частиц
(v(t)) уменьшается в е раз по сравнению с начальной скоростью
vq. Найти (v2(t)) и показать справедливость формулы (5.15) при
выполнении условий (5.12) и (5.13).
Решение. Интегрируя уравнение (5.11) при начальном
условии v(0) = vo, имеем
t
__t_ ___t_ I u
v (t) = voe n + e v — eT'F(u)du. (5.92)
m J
о
Производим усреднение по ансамблю реализаций случайных сил
F(t). Учитывая свойство (5.12), находим
_t_	___,
(v (i)) = voe Ti + e л —
m
t
~~ 1 ел (F (u)) du = voe-v .	(5.93)
о
Из выражения (5.93) следует приведенное в условии задачи
утверждение о величине ri = Вт.
Теперь рассмотрим (v2(f)). Возведем (5.92) в квадрат, тогда,
снова учитывая свойство (5.12), получаем
/ 9 /	9 ——	— — 1
(v2 (t)) = Vq6 n + e ti —
t
'	(u+v)
dudve Ti
о
(F(u)F(v)).
(5.94)
Фигурирующий в (5.94) двойной интеграл легко вычисляется при
использовании свойства (5.13) корреляционной функции:
t
С dudve л 6 (u — v) =
о
Теперь для (v2(t)) имеем
(v2 (t)) = vie л +	_ е г,
(5.95)
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами^? 1
При достаточно большом времени (t —> оо) влияние начальных
условий сглаживается. При этом (v2(t)) принимает равновесное
значение, равное —. Поэтому с помощью (5.95) находим

Cti _ кТ
2m2 m
Отсюда получаем
2кТт 2кТ

Подставляя найденное значение С в соотношение (5.95), имеем
(v2(t)) = ^e п И — е л
(5.96)
Из этого выражения следует, что равновесное значение среднего
квадрата скорости броуновской частицы установится лишь по
прошествии времени, значительно превышающего rf t 2> т\.
17.	Пользуясь уравнением Ланжевена (5.11), определить ха-
рактер зависимости координаты броуновской частицы от време-
ни.
Решение. Воспользуемся соотношением (5.92) для скоро-
сти броуновской частицы, получаемом при интегрировании урав-
нения (5.11). Интегрируя выражение (5.92) для v2(i) по времени
при условии х(0) = 0, получаем
х (i) = v (и) du.
о
Возведя это равенство в квадрат и усреднив по ансамблю реали-
заций случайных сил F(f), найдем
(ж2 (t)^ = j duds (v (u) v (s)).
о
(5.97)
Выражение для корреляционной функции скоростей получается
с помощью (5.92). Учитывая свойство (5.12), получаем
(v(u)v(s)) = Vge ^+е	(F(£)F(()).
m J J
0 0
(5.98)
172
Гл. 5. Теория флуктуаций
Учитывая (5.13) и (5.15), переписываем (5.98) в виде
„	u+s	LT1 / |u-s|	(u+s)
{v (и) v (s)) = VqC t' + — (e T> —e T> 1.	(5.99)
При получении (5.99) мы перешли к новым переменным
е-С = а, (1/2)(е + С)=/3,	(5.100)
так что = dad/З. Подставляем (5.99) в (5.93) и делаем
замену переменных типа (5.100) при вычислении интеграла, co-
z' \и- s|\ „
держащего ехр I — -----11. Для этого интеграла получаем
кТ
т
t
'	|u—.s |
dudse~ Ti
о
t Р
kT f f M
— dfi dae~^ =
m J
о -p
2kT x 2kT 2Л
=----T\t------rf 1 - e
m	m \
Оставшиеся два интеграла вычисляются элементарно. В резуль-
тате находим
(т2 (t)) = VqT^ (1 - е Т1 ) +
LT* о /	t_
Н----т? ( —3 + 4е Ti — е
т \
2t\
-1 +2BkTt. (5.101)
Интересно проанализировать эту формулу в случае больших
(t л) и малых (f < ti) времен. В первом случае из (5.101)
получаем
(T2(t)) = 2BkTt,
что соответствует стохастическому движению броуновской ча-
стицы. Во втором случае система обнаруживает динамическое
поведение на очень малых временах. Действительно, разлагая
в (5.101) экспоненту в первом слагаемом правой части в ряд
Тейлора и удерживая квадратичные по t члены, получаем
(х2 (i)) = v%t2.
18.	Определить, как изменится спектральная плотность J(w)
случайного стационарного процесса x(t), если показание прибо-
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрами\73
ра, измеряющего значение	соответствует среднему зна-
чению этой величины за время каждого измерения т:
^изм (0 = 1 х (О dt>-
(5.102)
Решение. Подставим в формулу (5.102) спектральное пред-
ставление (5.16) для величины x(t) :
^ИЗМ
dux (и) е .
(5.103)
Меняя в (5.103) порядок интегрирования и вычисляя интеграл
по f, приходим к соотношению
оо	.	/	\
If	Sin —	.
Жизм (t) = 2^ dux (ш) ЛД"е wt.	(5.104)
—оо	\ 2 /
С другой стороны, непосредственно применяя к £изм(£) формулу
(5.16), имеем
оо
-Т'изм (0 = ту С^-Гизм (и?) е
Z7T
—оо
Сравнивая (5.104) и (5.105), получаем
sm ( у )
жИзм (i) = X (о>)	'
\Т )
(5.105)
(5.106)
Так как процесс rc(i) и, следовательно, жизм(£) стационарный,
то вследствие (5.19)
(яИзм(сц)хИзм(сЦ1)) = 2тг7изм(ш)(!)(а>+ ivi).
Поэтому 7(ш) и 7изм(а>) связаны соотношением
«Ai3M (w) — J (ш)
(5.107)
174
Гл. 5. Теория флуктуаций
Таким образом, прибор, усредняющий показания по интервалу
2тг
т, обрезает частоты |о>|)— в спектральной плотности исходного
случайного процесса, т. е. обладает определенной «полосой про-
пускания». Если ширина спектральной плотности J(w) исходного
2тг
процесса x(t) намного превышает —, то в формуле (5.107) мож-
но произвести замену J(w) —> J(0). При этом структура Лзм(^)
определяется только параметрами прибора. От исходного случай-
ного процесса остается только J(0); вся остальная информация
теряется.
Прибор, усредняющий показания по интервалу т, дает «пра-
вильные» значения измеряемой величины и в случае достаточно
большого времени корреляции, когда 7 —> 0: - » т.
19. Какую среднюю тепловую скорость броуновской частицы
мы обнаружим при визуальном измерении за промежуток вре-
мени 7 = 0,1 с? Масса частицы m ~ 10~12 г, линейный размер
R ~ 10-4 см, температура среды Т ~ 3 • 102 К, вязкость среды
7? ~ 10-2 r/(CMCOtc).
Решение. В соответствии (5.19) и (5.107) для среднего
измеряемого квадрата скорости (v23M) имеем
2
(уизм) - 2%
(5.108)
оо
dw J (cj)
—оо
Подставляя в (5.108) выражение (5.20) для спектральной плот-
ности J(w)
и вводя обозначения и = шт, s — ут, получаем
ОО
/ 2 \	2 J (0)	, 1 — cos х s2
' -------— dx---------z----5---т.
2тг г
(5.109)
—оо
Интеграл в (5.109) вычисляется. В результате, учитывая, что
х ' т 2
получаем
(v2 W)
— е
77
(5.110)
§5.4. Описание динамических систем с флуктуирующими параметрамиПЬ
Отметим, что при заданных в условии задачи значениях пара-
1	т С ш-8
метров время релаксации составляет - = д =	~ 5 • 10 ° с.
Поэтому 7т = — ~ 2 • 106, и в формуле (5.108) сразу можно за-
Т| кТ 2
менить J(w) на J (0) = — Опуская в (5.110) второе слагаемое
в скобках, находим
/ 2 \	10-6
(v2(t))	\7Т/
Итак, измеряемое значение тепловой скорости броуновской ча-
стицы оказывается в 103 раз меньше истинного равновесного
значения.
20.	Рассмотреть тепловые флуктуации в замкнутой цепи,
состоящей из сопротивления R и индуктивности L, помещенной
в термостат с температурой Т. Определить спектральную плот-
ность теплового шума ЭДС Е и тока I в цепи. Найти выражение
для корреляционной функции (I(t 4-
Решение. Закон Ома для рассмотренной цепи можно запи-
сать в виде
LI + IR = E.	(5.111)
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение для од-
номерного броуновского движения (5.11). Поэтому, предполагая,
что флуктуации ЭДС Е имеют характер белого шума, можно
с помощью соотношений (5.15) непосредственно написать
(E(t + r)E(t)) = 2kTR6(r).	(5.112)
Согласно определению (5.19) имеем
ОО
(Е2)ш = 2kTR dteiut6 (t) = 2kTR,	(5.113)
—ОО
где (Е2)ш определяется соотношением
(ЕН£(о>1)) = 2тг(Е2)Л^ + ^)-	(5.114)
Уравнение (5.111) в представлении Фурье может быть запи-
сано в виде
(—iwL + R]I(iE) = E(w).
176
Гл. 5. Теория флуктуаций
Теперь с помощью формулы (5.114) можно написать
)ш r2 + lW
Используя (5.113), перепишем это соотношение следующим об-
разом:
/т2\	2kTR	/- ««г\
(z)--^TZV'	(5' 5)
Для вычисления корреляционной функции (I(t + вос-
пользуемся формулой (4.19) и соотношением (5.115). Имеем
оо
1 f 9kTR ,
J it -f- Lj (jJ
—ОС
Вычисляя интеграл по теории вычетов, находим
kT	/ 7? \
(/(г + т)/(£)) = ^ехр(-£т).
I-/	\ Lj /
Задачи для самостоятельного решения
21.	Для системы с фиксированным объемом вычислить
флуктуации термодинамических величин ((AS)2), ((Ад)2),
((AT)2), ((AN)2), (ДЛГДТ), (ДТДд), (ДЛГДд), (ДдД5),
(ASA7V) и (ASAT), используя функцию распределения (5.7).
22.	Вычислить флуктуацию энергии ((АД)2), используя
функцию распределения (5.7) при фиксированном объеме.
23.	Вычислить флуктуацию энергии ((АД)2) в большом ка-
ноническом ансамбле и сравнить ответ с результатом, получен-
ным в задаче 15.
Глава 6
ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ
НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
§6.1.	Статистическое описание неравновесных систем
Описание статистических свойств неравновесных макроско-
пических систем производится с помощью зависящей от времени
функции распределения (статистического оператора), определяе-
мого для классических систем следующим образом:
р (х, f) = dx (0) р (х (0), 0) 6 (х — х (£)),	(6.1)
где х = {т1,...тп} — полный набор динамических переменных
рассматриваемой системы; x(t) = {x\(t\ ... xn(t)} - решения со-
ответствующих динамических уравнений:
Xi = Vi(x,t) (г=1,...п).	(6.2)
В системе уравнений (6.2) Vi — заданные функции набора х и
времени t\ р(х(о),0) — статистическая функция распределения
системы в начальный момент времени t = 0; 8(х - x(t)) — ди-
намическая функция распределения системы (микроскопическая
фазовая плотность). Отметим, что динамика системы, задавае-
мая уравнениями (6.2), может и не иметь гамильтоновой формы.
§ 6.2.	Уравнения Лиувилля и Неймана
Основу динамического подхода к описанию статистических
свойств гамильтоновых систем многих частиц составляют урав-
нения Лиувилля и Неймана для классических и квантовых
систем соответственно. Уравнение Лиувилля, которому удовле-
творяет n-частичная функция распределения p(rj,..., rn, pi,...
..., Рп, t), имеет вид
^t+[H,p]=0t	(6.3)
178 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
где Н — функция Гамильтона, а [Н, р] — классические скобки
Пуассона:
ггт 1	дН др дН\	..
г=1
Уравнение (6.1) удобно записывать в виде
^+iLp = 0,	(6.5)
оъ
где L = — i[H] — самосопряженный оператор Лиувилля: L = L+.
Основу описания свойств квантовых систем составляет урав-
нение Неймана я
^ + |[Н,р]=0,	(6.6)
где р — оператор (матрица) плотности системы п частиц, Н —
оператор Гамильтона, а [Н, р] = Нр — pH коммутатор операторов
Н и р.
Уравнения Лиувилля и Неймана соответствуют полному ста-
тистическому ансамблю, они обратимы во времени и обеспечи-
вают стационарность энтропии системы S = — Sp(plnp):
= 0.	(6.7)
dt
Переход к сокращенному описанию приводит, вообще гово-
ря, к появлению макроскопической необратимости во времени.
Оно осуществляется редуцированной функцией распределения
р\ (оператором плотности), которая соответствует неполному ан-
самблю. Основная проблема неравновесной статистической ме-
ханики — получение и решение управляющих уравнений, т. е.
замкнутых уравнений для pi(t). Уравнения для редуцированных
функций распределения часто называются кинетическими урав-
нениями.
§ 6.3.	Приближение самосогласованного поля
Простейшее приближение для n-частичной функции распре-
деления — это мультипликативное приближение
р(п,..., г„, Р1.pn,t) = /(ripit)/(r2p2t).../(rnpnt). (6.8)
которое приводит к приближению самосогласованного поля, ко-
гда каждая частица системы движется в поле, создаваемом ча-
стицами системы и приложенным внешним полем. Уравнение,
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
179
которому удовлетворяет одночастичная функция распределения
/a(rpi) частиц сорта а, называется уравнением Власова:
- ^^^drbdpbU (ra - r6) fb (r6p6t) = 0. (6.9)
Здесь U — энергия взаимодействия частиц сорта а и Ь.
Уравнение Власова обратимо во времени. Иногда в правой
части уравнения (6.9) оставляют «след» интеграла столкновений
в приближении времени релаксации и записывают ее в виде
—e(fa — Ао). где £ —> +0, а /а0 — равновесная функция распре-
деления.
В случае системы заряженных частиц уравнение Власова
записывается в виде
+ еа (Е + 1 [vB])	= 0.	(6.10)
от от \ с J др
Здесь р = mv — кинетический импульс, а Е и В определяются
из системы уравнений Максвелла
(6.П)
divE = 4тгрЭл> div В — 0,
_	10В tT, 4%. , 10Е
rot Е = — -г-, rot В = — j + - -т-
с от	с с dt
Плотность заряда рэл и плотность тока j выражаются через
одночастичные функции распределения:
Рэл (г, о = 52
а
еа dpfa (rpt),
j(M) = 52Ca dPV/a(rpi)>
a J
(6.12)
Приближение самосогласованного поля особенно удобно для
определения спектра коллективных возбуждений в системе. Он
находится из дисперсионного уравнения, получаемого с помощью
уравнения Власова и системы уравнений Максвелла после пере-
хода к фурье-представлению (~ ехр(гкг — iait)) и имеющего вид
A(fc,Q) = 0.	(6.13)
Здесь Q = uj +гу, причем —	1. Закон дисперсии колебаний
о>(к) находится из уравнения
Re Д(к, и) = 0,
(6.14)
180
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
а величина 7, соответствующая затуханию колебаний при 7 < 0
и нарастанию при 7 > 0, определяется соотношением
1т& (к,
-^-ЯеА(к,а>)
дсс
(6.15)
cj=cj(k)
Определяемое из уравнения Власова затухание 7 называется
затуханием Ландау. Оно соответствует взаимодействию волна-
частица типа взаимодействия Вавилова—Черенкова и не приво-
дит к необратимой диссипации энергии волны.
Задачи
1.	Вывести уравнение эволюции во времени статистиче-
ской функции распределения р(х, t), определенной соотношением
(6.1)
p(x,t)= dx (0) р (х (0), 0) 6 (х — х (£)),	(6.16)
не предполагая гамильтонового характера динамики системы.
Показать, что функция р(х, f) удовлетворяет условию норми-
ровки в любой момент времени t, если нормирована функция
р(х(0), 0) начального распределения.
Решение. Выражение (6.1) соответствует усреднению ди-
намической флуктуации распределения
п
8 (х — х (£)) =	8 (хк - хк (£)),
к=\
по начальному распределению р(ж(0),0) соответствующему от-
сутствию точной информации о начальных условиях для ди-
намических уравнений. Формулу (6.16) можно рассматривать
как решение задачи Коши для уравнения эволюции с произ-
вольным начальным распределением р(гг(О),О) в начальный мо-
мент t = 0. Динамическая функция распределения 6(х — x(t))
в этом решении играет роль функции Грина — решения с син-
гулярным начальным условием. Знание этой функции, разуме-
ется, означает возможность решения динамической задачи (6.2)
a?(i) = Х(ж(0),£), причем при произвольных начальных услови-
ях ж(0).
Для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функ-
ция p(x,t), продифференцируем (6.16) по времени при фиксиро-
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
181
ванных значениях динамических переменных х. Учитывая (6.2),
имеем
э-^ = [	(0) р (.,: (0), 0) £ аг	V, (.г (i). t). (6.17)
(J L	* . * (У vL I L j
Заменим производную
д
д ________д_
dxj (t)	dxi
и вынесем производную
— из-под знака интеграла, что законно, так как под знаком
интеграла имеется 8(х - x(t)). По этой же причине в аргументах
функций Vi можно заменить решения динамических уравнений
x(t) на соответствующие динамические переменные х. Получим
Sj^STL = Е Д j (0) р (г (0), 0)6 (I - I (0) V, (i. t). (6.18)
г
Сравнивая выражения (6.18) с формулой (6.16), получаем урав-
нение эволюции для функции распределения p(x,f):
+	(6.19)
С/ L	\J Ju
(6.20)
Отметим, что в случае гамильтоновой системы, когда динамиче-
ские переменные х = (р, q) удовлетворяют системе канонических
уравнений
н	дН	.	дН
qi	= --1	Pi	=	_
dpi	dqi
уравнение (6.19) переходит в уравнение Лиувилля. Действитель-
но, заменяя в (6.19) динамические переменные х на канонически
сопряженные р и г/, выполняя дифференцирование по qi и pi
и используя уравнения Гамильтона (6.20), приходим к уравнению
Лиувилля (6.3), поскольку в силу (6.20) справедливо:
Р о / V ------------------- = Р & о / J + 7Г" =
дх{	\ dqi дрь J
i	i
l 4-\	H
г 4
д2н
dpidqj
= 0.
Функция распределения р{х, i), даваемая формулой (6.16),
удовлетворяет условию нормировки, если нормирована функция
р(ж(0),0), описывающая начальное распределение. Действи-
тельно,
182
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
dxp (ж, i) = dxdx (0) р (х (0), 0) <5 (х — х (<)) =
<£г(0)р(а;(0),0) = 1.
2.	Покажите, что средние значения (F(i)), вычисляемые
с функцией распределения (6.1)
(F(t)) = Sp(p(t)F(t)),	(6.21)
обладает свойством:
— I F(tW = /	\
dt	\ dt )'
(6.22)
Решение. Запишем среднее значение (F(i)) в случае клас-
сической системы следующим образом:
(F(i)) = dxp (х, i) F (х, i),	(6.23)
где х — совокупность динамических переменных системы. Под-
ставляя в (6.23) выражение (6.1), приводим среднее значение
(F(t)) к виду
(F (i)) = dxdx (0) р (х (0), 0) 5 {х — х (£)) F (х, t) —
dx (0)р (ж (0), 0) F (х (i), i). (6.24)
Сравнивая (6.23) и (6.24), видим, что находить среднее значе-
ние (F(f)) можно двумя способами: либо с помощыО функции
р(х, £), заданной в момент времени t, либо с помощью началь-
ного распределения р(х(0),0). В первом случае F(x,t) задается
как функция динамических переменных х, а во втором — как
функция решений динамических уравнений x(i).
Пользуясь соотношением (6.24), составим производную
dt
^{F(t)} = ^\dx (0) р (х (0). 0) F (х (I), t) =
(Lb	(Lb
= dx(0)p(x(0),0)^F(x(t),t), (6.25)
поскольку операции дифференцирования по времени и интегри-
рования по х(0) коммутативны.
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
183
Теперь с помощью (6.24) найдем среднее значение к ,
\ = f dx (0) р (д. (0), 0)	(* (*) • *),	(6 2б)
\ (lb / I	(Lb
поскольку взятие полной производной по времени от F(i) подра-
зумевает подстановку в выражение для F решений динамических
уравнений x(f).
Видно, что выражения (6.25) и (6.26) тождественны.
3.	Покажите, что соотношение (6.22) не противоречит равен-
ству
(F (t)) = [ dx	(х. i) + р (х. 1)	.	(6.27)
(LL	\ С/ь	Ul /
получаемому с помощью выражения (6.23).
Решение. Отметим, прежде всего, что х в формуле
(6.27) — это набор динамических переменных системы. Исполь-
зуя уравнение (6.19), переписываем первое слагаемое в правой
части (6.27) в виде
“22 dx^{p(x,t)Vi(x,t)}F(x,t).
(6.28)
Интегрируя (6.28) по частям и учитывая, что р(х, i) обращается
в нуль на границах фазового объема рассматриваемой системы,
получаем
dxp (x, i) Vi (x, f) ^x’
dxi
(6.29)
так что все выражение (6.27) принимает вид

dxp(x,t) <
dF (х, t)
dt
dF^C^Vi(x,tA. (6.30)
dxt
Подставляя
и выполняя
в правую часть (6.30) выражение (6.1) для р(х, i)
интегрирование по х, получаем

dxdx (0) р (х (0), 0) 6 {х — х {t}} х
х
dF(x,t)
dt
> =
dxi
184	Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
=	(0) р (т (0), 0) | эг(д(1‘)',) +£	(!(<). 0 !=
i	)
= dx (О)р(х (0),0)	(6.31)
что совпадает с выражением (6.26).
4.	Покажите, что средние значения (F(t)) = Sp(p(t)F(t)), по-
лучаемые со статистическим оператором p(t}, удовлетворяющим
уравнению Неймана, обладают свойством
=	.	(6.32)
(IL	\ (JLL j Q
где символом F и F обозначен один и тот же оператор в пред-
ставлении Шредингера и Гейзенберга соответственно, а индекс
«0» означает, что усреднение проводится с оператором р(0), взя-
тым в начальный момент времени:
\ ai / Q
\ al /
Решение. Записываем уравнение Неймана
+	= o	(б.зз)
и ищем его решение в виде
p(t) = S(f)p(O)S+(£).	(6.34)
Подставляя (6.34) в уравнение (6.33), получаем, что оператор
S(t) удовлетворяет уравнению
=	(6.35)
(У L	L11
с начальным условием 5(0) = 1. Поскольку оператор энергии Н
эрмитов, то из (6.35) следует уравнение для эрмитово сопряжен-
ного оператора S+:
dS~^- = -~S+ (t)H.	(6.36)
dt гП v 7
Вычислим производные по времени от произведений SS+ и S+S.
С помощью уравнений (6.35) и (6.36) находим
%-S+S = 0,	(6.37)
§6.3. Приближение самосогласованного поля	185
^SS+ = -l[SS+,H].	(6.38)
При начальном условии S(0) = 1 решения равнений (6.37)
и (6.38) имеют следующий вид:
S+(i)S(0 = 1, S(0S+(t) = 1.	(6.39)
Из равенств (6.39) следует, что оператор S(i) унитарный:
S+(£) = £-'(£).	(6.40)
При этом статистический оператор p(t) остается эрмитовым и со-
храняет нормировку: Spp(i) = 1.
Подставляя выражение (6.34) в формулу для среднего значе-
ния
(F(i)) = Sp(p(i)F(i))	(6.41)
и используя возможность циклической перестановки операторов
под знаком шпура, имеем
(F (£)) = Sp (р (0) F (£)) ,	(6.42)
гДе
F(i) = S+(i)F(i)5(i).	(6.43)
Соотношение (6.43) соответствует переходу от шредингеровского
представления к гейзенберговскому; поэтому соотношения (6.41)
и (6.42) можно объединить следующим образом:
(F(f)) = (F(f))o.	(6.44)
Дифференцируем выражение (6.44) по времени. Учитывая ком-
мутативность операции дифференцирования по времени и взятие
шпура с оператором р(0), имеем
=	.	(6.45)
(IL	\ CLL j Q
Таким образом, используя формулу (6.45) при нахождении про-
изводных по времени от средних значений операторов, следует
помнить о необходимости перехода к гейзенберговскому пред-
ставлению и использования статистического оператора, заданно-
го в начальный момент времени.
186
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
5.	Используя результаты предыдущей задачи, докажите
справедливость соотношения
it	i2t2
(F (t)> = (F (t))„ + £ ([Я, F(()])„ +	(|Я, [Я, F (<)]))„ + ...,
™	(6.46)
в случае, когда гамильтониан системы не зависит от времени.
Решение. Доказательство основано на использовании
квантово-механического тождества:
еАВе~А = В + i [А В] + 1 [А, [А, В]] + ...,	(6.47)
которое доказывается путем дифференцирования по параметру Л
оператора
С(Л) = еХАВ е~ХА
(6.48)
и использования разложения С(Л) в ряд Тейлора. При незави-
сящем от времени гамильтониане Н решением уравнения (6.35)
будет оператор
S(t) = e~KtH.
(6.49)
Используя соотношение (6.43) и (6.49), можно с учетом формулы
(6.47) представить равенство (6.44) в виде разложения (6.46).
Таким образом, возможно представление усреднения оператора
F(f) со статистическим оператором p(t), взятым в тот же момент
времени, в виде разложения по степеням времени t усреднений
со статистическим оператором р(0), взятым в начальный момент
времени, причем усредняемые объекты представляют собой крат-
ные коммутаторы F(i) с гамильтонианом системы.
6.	Среди полного набора динамических переменных систе-
мы можно выделить группу переменных Х\,...,Хп и
характерные временные масштабы изменения которых резко раз-
личаются («медленные» и «быстрые» переменные). Исследуйте
возможность перехода к сокращенному описанию такой системы
и получению управляющих уравнений, описывающих эволюцию
во времени медленных переменных.
Решение. Для полного набора динамических переменных
системы существует замкнутая система уравнений (например,
уравнения гамильтонова типа)
^ = /(X,y,t), ^.=g(X,Y,t),	(6.50)
(JLL	(JLL
где X и Y — векторы с компонентами Х\,...,Хп и Yi,...,Ym
соответственно, f и g — векторные функции с компонентами
§6.3. Приближение самосогласованного поля	187
и д\...дт. Медленность изменения величин X по
сравнению с изменением величин Y позволяет решать вторую
группу уравнений (6.50) для Y, рассматривая в них X как
фиксированные параметры. Такое положение оправданно, напри-
мер, в случаях, когда время изменения величин Y оказывается
существенно меньше времени изменения величин X, которые
в этом случае являются квазиинтегралами движения по отноше-
нию к переменным Y. При этом получаем
Y = G(X,t).	(6.51)
Подставляя выражение (6.51) в первую группу уравнений
(6.50), получаем замкнутую систему уравнений для величин X:
^ = f(X,G(X,t),t) = <p(X,t).	(6.52)
Система уравнений (6.52) — это и есть управляющие урав-
нения, определяющие медленную эволюцию системы. Фактиче-
ское использование выражения (6.51) требует знания начальных
условий для величин У, которые, разумеется, взять неоткуда.
Поэтому для величин У берутся квазиравновесные значения, со-
ответствующие решению уравнения (6.51) при t оо: величины
У успевают релаксировать и прийти в квазиравновесное состо-
яние, не зависящее от начальных условий, при фиксированных
значениях величин X. Для величин X это означает переход
к новому огрубленному масштабу времени. Поэтому фактически
систему (6.52) следует понимать в смысле
Л X
^ = ^(Xt),	(6.53)
где At макроскопически мало, но все-таки много больше харак-
терного времени «забывания» исходных значений У. Величина
At и играет в рассматриваемом случае роль времени корреляции
tc в иерархии временных масштабов Боголюбова. Для примени-
мости управляющих уравнений (6.52) необходимо, чтобы время
релаксации т величин X было много больше времени корреля-
ции tc.
Таким образом, проблема получения управляющих уравнений
в рамках динамического подхода заключается в нахождении
квазиинтегралов движения в рассматриваемой системе, которые
и играют роль медленно изменяющихся во времени величин X.
7.	Получите уравнение для редуцированной функции рас-
пределения pi(t) = Pp(t), где Р — некоторый оператор проек-
тирования, с помощью точного уравнения Лиувилля для пол-
188 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
ной функции распределения р и обсудите возможность перехода
к управляющему уравнению, замкнутому относительно p\(t).
Решение. Введем функцию рг(О = (1 — P)p(i) и получим
уравнения для р\ и р2, действуя операторами Р и (1 — Р) на
уравнение Лиувилля
g + ^ = o.
г^ = Р£(р1+р2),
z^ = (l-P)L(pi+p2).
Запишем второе уравнение из (6.54) в виде
= Мр2 + <p(t),
где использованы обозначения
М = (1-Р)£, <£(£) = (1-P)Lpi(i).
Ищем решение уравнения (6.55) в виде
р2(0 = е"гШ^(0-
Подставляя это выражение в уравнение (6.56), получаем
= -ieaMtp (t), где ф (0) = р2 (0).
Интегрируя по времени в пределах от нуля до f, находим
t
ф (t) = гр (0) — i с1тегтМ(р (г),
о
Подставляя (6.58) в (6.57) и совершая замену переменной s =
= t — т, приходим к следующему выражению для
Р2 (0 = e~ltMp2 (0) - i dse
о
или после подстановки выражений для Миф
р2 (£) = ехр [—it (1 - Р) L] р2 (0) -
t
— i ds ехр [—is (1 — Р) L] (1 — Р) Lp\ (t — s).
Имеем
(6.54)
(6.55)
(6.56)
(6.57)
(6.58)
~isMp(t-s),
о
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля	189
Подставляем найденное значение р2(0 в первое уравнение из
(6.55) для pi(i). Имеем
= PLpi + PLexp Н* 0 - Ж] Р2 (0) -
t
-i dsPLexp[—is(i—P)L](i—P)Lp\(t — s). (6.59)
о
Уравнение (6.59) — это точное уравнение, ибо при его выводе
на основе использования уравнения Лиувилля (6.54) не делалось
никаких приближений. В отличие от уравнения (6.54) уравнение
(6.59) для p[(t) имеет нелокальный во времени характер, т. е. об-
ладает памятью. Стоящее под знаком интеграла перед функцией
Pi(t — s) ядро называется функцией памяти.
Для получения управляющего уравнения в уравнении (6.59)
необходимо исключить (или задать в явном виде) Р2(О) и обра-
тить в нуль функцию памяти за то время s, за которое функция
pi(t —s) не меняется существенно. Физической основой замы-
кания уравнения эволюции на уровне сокращенного описания
является иерархия временных масштабов Боголюбова, позволя-
ющая ввести для p\(t) новую огрубленную временную шкалу.
В этой шкале указанные выше условия выполняются в каждый
момент времени. Другими словами, система успевает «забыть»
о начальном распределении быстро меняющихся параметров за
время, малое по сравнению с характерным временем изменения
функции pi(£). Из приведенного рассуждения видно, что основ-
ная трудность в получении управляющих уравнений на основе
динамического подхода — выбор проектирующего оператора Р.
8.	В приближении самосогласованного поля функция Га-
мильтона для системы заряженных частиц записывается в виде
N	2 N
Н = 52	(Р‘ “ 7А(г^)) +22e^(rif),	(6.60)
£ 11Ь? \	С	/	 *
г=1	г=1
где (А, </>) — четырехмерный потенциал самосогласованного
электромагнитного поля, с помощью которого определяются на-
пряженность Е электрического поля и индукция В магнитного
ПОЛЯ.	1 о A Q
Е =	В = rot А,	(6.61)
с dt dr
Pi — канонический импульс г-й частицы системы с зарядом в;
и массой mi. В представлении канонического импульса уравне-
190 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
ние Лиувилля имеет обычный вид:
N
+=0	(6 62)
df+Z-Adr^pi dpidrj	’
г=1
Запишите уравнение Лиувилля в представлении кинетического
импульса
Pi = Pi - | A (nt),	(6.63)
вводя в него в явном виде векторы Е и В.
Решение. Вычислим входящие в (6.62) производные от
функции Гамильтона (6.60) по г и р, выразив результат через
определяемый формулой (6.63) кинетический импульс Р. Имеем
— (pi - - A (nt)) = —Pi (ni).	(6.64)
dpt mi \ c J mi
Для вычисления производной по ti воспользуемся формулой век-
торного анализа
(ab) = (a/) b + (bа + [a, rot b] + [b, rot а].
от '	\ от/ \ от/ L J 1 J
Получим
(rit) -
, rot A (rjt)J + ецр (rit).
С учетом второй формулы из (6.61) это выражение можно пере-
писать в виде
(Pi^-) A (Fit) - [Pi, В (Fit)] +	.
dri miC \ OTiJ	miCL	J OTi
(6.65)
Теперь нужно преобразовать производные от функции распреде-
ления р по п и t в (6.62), вычисляемые при фиксированных р^,
в производные, вычисляемые при фиксированных Р;. Для этого
запишем р в виде
Р (Pi, Fi, t) = Р (Pi + A (Fit) , Vi, t) .
Прежде всего видно, что
др _ др
dpt ~ ЭР/
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
191
Далее,
Ор\
dt /
Рг.Гг
ej др д
с dPi dt
А(гг<).
(6.66)
При этом, дифференцируя р по t при фиксированных Pj, мы
также учитываем зависимость от времени и величины A(tji),
которая отсутствует в левой части равенства при вычислении
производной по t при фиксированных рг. Аналогично
др
дГг
a—x,y,z
др д
dPia дгг
Аа (г$£).
(6.67)
к
С
С помощью приведенных равенств (6.64)-(6.67) переписываем
уравнение (6.62) следующим образом:
Здесь все производные по t и Гг вычисляются при фиксированных
Pi. Второе и последнее слагаемые в правой части объединяются
и выделяют напряженность электрического поля в соответствии
с первой формулой из (6.61). Четвертое и пятое слагаемые, как
нетрудно видеть, различаются только знаком.
Поэтому окончательно имеем
+Е - ?+Г е< {Е м +	 в М} > = о-
dt mi d?i	I	L cmi	J J dPi
2=1	2=1
(6.68)
Это уравнение Лиувилля для системы заряженных частиц, рас-
сматриваемой в приближении самосогласованного поля и за-
писанное в представлении кинетического импульса. Выбрав р
в мультипликативном виде (6.5), с помощью (6.68) легко прийти
к уравнению Власова (6.7).
192
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
9.	Определите электрическое поле покоящегося точечного
заряда q в однородной равновесной плазме в приближении само-
согласованного поля.
Решение. Потенциал поля неподвижного заряда в рав-
новесной плазме дает система уравнений, состоящая из кине-
тического уравнения в приближении самосогласованного поля,
в котором обращен в нуль член с производной по времени
dfa д^> dfa
<669)
и уравнения Пуассона, которому удовлетворяет скалярный по-
тенциал ф самосогласованного поля:
Д<£ (г) = - 4л ^2 Qa dp fa (г, р) - 4тгд6 (г).	(6.70)
a J
В этих уравнениях fa — функция распределения частиц сорта
a, Qa — заряд частицы сорта а. Равновесная плазма в целом
электронейтральна в отсутствие внешнего заряда, который поме-
щается в точку с г = 0.
Решением уравнения (6.69), как можно убедиться непосред-
ственной подстановкой, является выражение
/	2	\
/а(г,р) = Fa (£- + qa<p(r) },	(6.71)
где Fa — произвольная функция указанного аргумента. Учиты-
вая, что при г —> оо потенциал электрического поля равен нулю,
а равновесная функция распределения — это максвелловская
функция, зависящая только от импульса, найдем
fa (г, р) =-----—----у ехр
(2лт„к7„)2
1 ( р2 /Л
(6.72)
где па — концентрация, а Та — температура сорта а. Поскольку
плазма в отсутствие внешнего заряда электронейтральна, то
^2 9а«а - 0.
а
(6.73)
Подставляя выражение (6.72) в уравнение (6.73), получаем
Д(£ = —4тг У2 ЧаПа ехр (-	- 4тгд<5 (г).	(6.74)
\ а /
а
§6.3. Приближение самосогласованного поля
193
На больших расстояниях \qa<t>\ кТа. Поэтому, разлагая экс-
поненту в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами,
находим при учете условия (6.73) выражение
Ду? —1-у? = — Ьтщб (г),	(6.75)
r2D
где радиус экранирования кулоновского взаимодействия гр опре-
делен соотношением
/ л 2 \ -1/2

\ а	'
Уравнение (6.75) можно решать разложением в интеграл Фурье:
-Дгу>(к) е’кг.
J (2тг)3^ V
(6.76)
В этом случае вместо (6.75) имеем
—к2 —| у? (к) = —4тг<у, откуда у? (к) = —.
rD
С помощью (6.76) получаем для потенциала </>(г) формулу у> (г) =
о	/ г \
= - ехр-----).
Г	\ Г [) /
10.	Рассмотрите возможность существования продольных
колебаний в электрон-ионной системе классической двухкомпо-
нентной плазмы. Определите собственные частоты колебаний
и их затухание.
Решение. Запишем кинетические уравнения Власова для
электронной и ионной компонент плазмы в линейном по возму-
щению приближении, удерживая «след» интеграла столкновений
в приближении времени релаксации
+	+ еа (Е + 1 [vB]) ^/0(Q) =	(6.77)
Здесь е —> +0, Е и В — соответственно напряженность элек-
трического поля и индукция магнитного поля, создаваемых ча-
стицами системы. Если равновесная функция распределения
является изотропной функцией импульса, то магнитное поле
выпадает из уравнения (6.77).
7 Кондратьев
194 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
Действительно, в этом случае
9 Д«) = 9
др 0 де (р)
r(ct)
/о v-
(6.78)
и смешанное произведение [vB]v обращается в нуль вследствие
ортогональности векторов, фигурирующих в скалярном произ-
ведении. В силу линейности уравнения (6.77) по возмущению
достаточно рассмотреть только одну фурье-компоненту. Поэтому,
подставляя в уравнения (6.77) возмущения всех величин в виде
E(rt) = E(ku)eikr~iut,
перепишем их следующим образом:
(w + is - kv) (р, kw) = -ieaE (kw) (p) •	(6.79)
Продольные колебания в плазме соответствуют потенциальному
полю: Е = —Чу. Потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуассо-
на, которое в (к,^-представлении имеет вид
к2ср (ксц) = 4тгр (ко?).	(6.80)
Плотность заряда р(ко>) выражается через функции распределе-
ния частиц:
р (ки) = eQ dpdf^ (р, ки).	(6.81)
a J
Выражая из уравнения (6.79) и учитывая потенциаль-
ный характер электрического поля, получаем с помощью (6.80)
и (6.81) дисперсионное уравнение для спектра продольных ко-
лебаний двухкомпонентной плазмы, состоящей из электронов
(ее = —е) и однозарядных ионов (е, = е):
«/•(«)	at(*>
„	1г 0	А	1г /о
4тге2 Г др . 4тге2 f др
fc2 J w + ге — kv fc2 J нш + гг — kv
(6.82)
Взяв в качестве равновесных функций распределения максвел-
ловские функции
/	2
Н«)	ех„ (	Р2
•>0	3 е Р I 2m кТ
(2тттакТа)2 X “ с
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
195
и использовав формулу (6.78),
уравнение (6.82) в таком виде:
можно записать дисперсионное
4тге2 / 1 /oe)kv
к2к \Те J aPu; + i£-kv +
1 f f^kv \
7F dp^-.----5- ) = 0. (6.83)
J ^ш + гЕ-kvJ
Рассмотрим высокочастотные колебания, фазовая скорость ко-
торых много больше характерных значений тепловых скоростей
электронов и ионов, существенно представленных в системе:
(ve),(vi)	В этом случае, удерживая вещественную часть
в (6.83), вычисляем интегралы следующим образом:
№ = f dpf^-^— « i f dpf^ (1 + —) kv =
J u - kv J u \ co J
= A [ dP (kv)2/oQ) (p) •
Вводим сферическую систему координат в пространстве импуль-
сов с полярной осью, направленной вдоль вектора к. Интеграл
по модулю импульса приводит к Г(5/2), и в результате находим
Iм = кТа-?—.	(6.84)
со та
Теперь с помощью (6.83) получаем уравнение для частоты коле-
баний:
1 4тгпе2 4тгпе2 _ п
1	2	2
со те со
те *
откуда с учетом неравенства — <С I имеем
о;2 = щ?, w2 - 4тгп—.	(6.85)
‘	‘	те
Очевидно, что такой же результат получится в модели одноком-
понентной электронной плазмы, электронейтральность которой
обеспечивается однородным положительно заряженным фоном.
В двухкомпонентной плазме есть еще одна ветвь продольных ко-
лебаний, причем фазовая скорость волны — лежит в промежутке
между характерными тепловыми скоростями электронов и ионов:
Ы « I « (ve).
7*
196
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
Для 1^ можно по-прежнему воспользоваться соотношением
(6.84), а для № имеем
у(е) _ f ^рДе) _ _ Г r(e) 1
1	~ dp/o w-kv“ I р/о i_±L
kv
Теперь дисперсионное уравнение принимает вид
1 4тгпе2 4тгпе2 _ п
LU I1 b'l	fl Ivl g
откуда
о 4тгпе2 1
=-------------:---9-
mi . 4тгпе2
1 + -ГГ7Г
к2 кТе
2
При ш2 <g. Шр. = 4тгп— формула (6.86) дает
ш2 = ^к2.
dpfo} = —n.
(6.86)
(6.87)
Это так называемый ионный звук. Акустический закон дис-
персии обусловлен динамическим экранированием электронами
°	ГТ L \ 1	/ ^Те
кулоновского взаимодействия ионов. При к > — = *--------из
гре у 4тте2
(6.86) имеем
ш2 - ш2 .
Рг
На малых расстояниях, когда длина волны Л ~ 1/к возмущения
меньше дебаевского радиуса экранирования, экранировка отсут-
ствует, и ионы совершают плазменные колебания с частотой шРг.
Для определения затухания найденных ветвей колебаний
следует воспользоваться формулой Сохоцкого
1
х ± ге
= Р (-) гтг<5 (ге)
\xj
при вычислении интегралов в (6.83). Тогда, используя формулу
Ландау (6.12), найдем для ветви колебаний (6.85)
_ 1 /7Г\ 2
7 - 2
ехр (- (2fc2r^e) ’) .
Для ветви акустических колебаний указанная процедура приво-
дит к результату
§6.3. Приближение самосогласованного поля
197
11.	Получите уравнение для одночастичной квантовой функ-
ции распределения Вигнера /(г, р, i), используя уравнение Ней-
мана для одночастичной матрицы плотности р
(6.88)
где Н — одночастичный оператор энергии.
Решение. Раскрывая в явном виде коммутатор [Я,р] =
= Нр — pH, запишем (6.88) в координатном представлении:
(г| РIИ + { ((ГI Нр Iг') - <rI pH |г')) = 0.	(6.89)
Учитывая полноту базиса разложения
dr"|r") (г"| = 1,
где |г") — дираковский вектор состояния, перепишем (6.89)
в виде
It Р+
+ 1 j dr" ((r| H |r") (r"| p |r'> - (r| p |r") (r"| H |r')) = 0. (6.90)
В силу эрмитовости оператора энергии (г"|Я|г') = (г/|Я*|г//),
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. В собствен-
ном представлении любой оператор диагоналей. Поэтому спра-
ведливо равенство
(г| Я |г') = Я (г) 8 (г - г').
Теперь уравнение (6.90) переписывается следующим образом:
(г) + Я* (г')) (г| р |г'> = 0.	(6.91)
В подробной записи имеем
+ ^- (v2 - v?) - (/ и + а (г')) (Г| ₽ |И = °.
С/ L	/
где U — оператор потенциальной энергии (например, потенци-
ал самосогласованного поля). Подставляя сюда выражение для
(г| р |г') через квантовую функцию распределения Вигнера
(r|p|r/) = dp ехр
Qp(r-r')}/
198 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
совершая замену переменных г — г' = Кт,
_.9	9 2VrVx
равенство V - Vf = —-—, получим
—-— = R и учитывая
dp' \it£ + - vRvT - и (r +	+
L dt m	\	2 /
+U (R - y)] eip'7 (R,p', i) = o,
ИЛИ
dp' \it£ + z^Vr - и (r +	+
J dt m	\	2 J
+U (r - y)] eip'7 (R, p', t) = 0.
Умножая это уравнение на еХ^ и интегрируя по т, найдем
7 74^'’-
7 j (R+т) -и (R - т)](R ₽' 
(6.92)
Уравнение (6.92) — это квантовое кинетическое уравнение в при-
ближении одночастичного гамильтониана (например, в прибли-
жении самосогласованного поля). Это квантовый аналог уравне-
ния Власова. Уравнение (6.92) особенно удобно для получения
разложений по степеням /г. В низшем приближении, ограничи-
ваясь линейными по hr членами в разложении потенциальной
энергии U в ряд Тейлора, приходим к классическому уравнению
Власова.
Действительно, в этом случае правая часть уравнения (6.92)
равна
1 f dzdp	^(р'-р)^ (R /	=
гй J (2тг)3 9R	v 7
= -J‘i₽77(p'-p)/<R’p'l)
dUd£
Ж 5p
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
199
Уравнение (6.92) принимает вид
(^ + £VR-|^)/(R,p,/)=O.
\dt т oRop/
12.	Используя линеаризованное по возмущению квантовое
кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера
в приближении самосогласованного поля
Й +	^V’(P"P)’A (Р') х
\ Ub lib /	bib J ()
х [?7Эф (к+у,«)-иЭф	, (6.93)
где
^(R,t)= ^p(27rh)3v (R - R') Sf (R', p, t),	(6.94)
v — потенциал межчастичного взаимодействия, рассмот-
рите спектр коллективных возбуждений в вырожденной
ферми-системе. Сравнить результаты для кулоновской системы,
£>2
когда v(R) = —, и системы нейтральных частиц, взаимодей-
ствующих посредством короткодействующего потенциала.
Решение. Для определения спектра коллективных возбуж-
дений системы необходимо с помощью (6.93) и (6.94) полу-
чить дисперсионное уравнение. Отметим, что в случае системы
нейтральных частиц это будут продольные колебания, харак-
терные для пространственно однородной системы. Для системы
заряженных частиц это также будут продольные колебания, по-
скольку соотношение (6.94) при подстановке в него выражения
v (R) = — превращается в решение уравнения Пуассона.
В силу линейности уравнений каждую фурье-компоненту
возмущения можно рассматривать независимо. Поэтому выберем
возмущение в виде
J/(R,p,i) = J/(p,k,w)e^--t.
Уравнение (6.93) теперь переписывается следующим образом:
/ кр\ _ ,	.	1 Г, ( Йк\
- /о (Р+ ~2jJ
Оэф (кш) •
(6.95)
200
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
В выражении (6.94) стоит свертка по R' величин v(R — R')
и ^/(R'), которая приводит к произведению их фурье-образов:
[7Эф (kcj) = v (к)
38f (р, кш).
(2тг7г)3
(6.96)
Находим <5/(p',kw) из (6.95) и подставляем в соотношение
(6.96). Приходим к дисперсионному уравнению
1 - v(k)P(kw) = 0,	(6.97)
где поляризационный оператор Р(ко>) определен выражением
Р (кш) = 1 f
(2тгП)
з
, ( Пк\ , / , Пк
Jo I Р —2* ) ~ '° \ Р + ”2”
кр
Ш----
т
(6.98)
Для вырожденной ферми-системы равновесная функция распре-
деления — это фермиевская ступенька. При этом
Интеграл в (6.98) легко вычисляется. Для ш = ш + ie, где
е —> +0, получаем
Р (М = -	{ 1 + Ы I + .1рв (kpF _ тш)1} ,
тг2НЛ I	L I крр + тш I	'J J
(6.99)
где рр — импульс Ферми, а 0(гг) — ступенчатая функция:

х > 0,
х < 0.
Для исследования дисперсионного уравнения (6.97) удобно вве-
сти безразмерные переменные
крр	трр
1	2+3 ’
тш	тг21гЛ
Теперь вещественная часть уравнения (6.97) записывается сле-
дующим образом:
(2 + ^-"и = 1п|^Щ.	(6.100)
\ v(k)q I I х — 1 I
Уравнение (6.100) удобно представить графически. График лога-
рифма выходит из нуля с тангенсом угла наклона касательной,
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
201
равным двум, а тангенс угла наклона прямой ^2 + х ПРИ
v(k) > 0 (что соответствует отталкиванию частиц друг от друга)
больше двух и становится равным двум при v(k) —> оо. Как вид-
но из рис. 6.1, уравнение (6.100) имеет три корня. Корень х — 0
физического смысла не имеет. Корень, обозначенный точкой 2,
соответствует затухающим по Ландау колебаниям, ибо при х > 1
в уравнении (6.97) отлична от нуля и не мала мнимая часть.
Корень, обозначенный точкой 1, соответствует не затухающим
по Ландау колебаниям в системе.
Рис. 6.1. Графическое решение уравнения (6.100)
Рассмотрим его поведение в зависимости от вида потенциала
взаимодействия v(fc). Если v(A:) стремится к положительной кон-
станте при к оо (короткодействующий потенциал) и v(fc)g < 1,
то пересечение графиков логарифма и прямой происходит в непо-
средственной близости х = 1.
Из уравнения (6.100) в этом случае находим для частоты
колебаний
щ =	/1 + 2 ехр
т
(6.101)
Эта ветвь спектра коллективных возбуждений вырожденной
ферми-системы нейтральных частиц представляет собой нулевой
звук Ландау, который существует в системах с отталкиватель-
ным взаимодействием между частицами. Подчеркнем, что исход-
ное уравнение соответствует приближению шт » 1 (г — время
релаксации), когда столкновения не играют существенной роли
в процессе распространения колебаний, в то время как в обыч-
202
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
ном звуке (при шт 1) столкновения успевают устанавливать
термодинамическое равновесие в каждом малом по сравнению
с длиной волны Л элементе объема жидкости. В случае куло-
4тге2
новского потенциала v (fc) = —=--> оо при А; —> 0. Точка 1 при
kz
этом смещается в область х 0. Проводя в (6.100) разложение
логарифма, получаем

2
4тгпе2
т
ЗРг .2
5 m2
(6.102)
где p3F = h3 • Зтг2п. Формула (6.102) определяет квадрат частоты
плазменных колебаний, главное значение которой оказывается
таким же, как и у классической системы. С ростом к точка
пересечения поднимается вверх. Исследование уравнения (6.100)
показывает, что при выполнении условия
4те2 \ 2
TllipF J
PF
« — «1
в системе возможны колебания с практически линейным по вол-
новому числу законом дисперсии
w =	<1+2 ехр
т
-2
Таким образом, плазменные колебания в системе заряженных
частиц соответствуют нуль-звуковой моде колебаний в нейтраль-
ных системах. При к —> 0 линейный спектр, характерный для
нейтральных систем, заменяется фактически постоянной часто-
той. Математически это различие обусловлено сингулярным ха-
рактером кулоновского потенциала.
13.	Используя уравнение (6.4) для одночастичной матрицы
плотности в координатном представлении, получить квантовое
кинетическое уравнение для функции распределения Вигнера
для электронной системы металлических пленок в условиях
квантового размерного эффекта, когда движение электронов по-
перек пленки квантуется размерами образца.
Решение. В рассматриваемом случае система не являет-
ся пространственно однородной в направлении поперек пленки,
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
203
поэтому определенная обычным образом функция Вигнера будет
зависеть от поперечной координаты даже в равновесии. Предста-
вим оператор потенциальной энергии электрона в пленке в виде
суммы двух частей:
C/(rt) = C/(z) + 5C/(rt),	(6.103)
где U(z) — эффективное поле, действующее на электрон в равно-
весном состоянии, складывающееся из кристаллического пленоч-
ного потенциала и самосогласованного равновесного поля элек-
тронов, a 6U — неравновесная добавка к эффективному полю.
Уравнение для одночастичной матрицы плотности (r|p|rz)
в координатном представлении (6.4) теперь можно представить
в виде
+ у- (v2 - Vi) -U^ + U (/) -
dt 2т '	'
- 6U (ri) + 8U (r'i) (r|p|r')=0. (6.104)
В равновесии движение электронов поперек пленки описыва-
ется уравнением Шрёдингера с потенциалом (7(г):
/ + 2 .2	\
+ U (*) U (*) = W ’	(6-105>
у zm dz	)
Вводим новые двумерные переменные в плоскости пленки:
R = | (г + г'), /rc = r-r',
где г= (г, г). Представим матричный элемент (г|р|г') в виде
интеграла Фурье по переменным, лежащим в плоскости пленки,
и двойного ряда Фурье по функциям ipi(z) из (6.105):
<г| Р |г') =	О')х
s,t
х jdp'ехр Qp'(r-r')} fst	• (6.106)
Здесь р' — двумерный вектор импульса, параллельного плоско-
сти пленки. Подставляем выражение (6.106) в (6.104). Умножаем
получившееся соотношение на V’/* (г) ‘фп {z>)	и интегри-
руем по т, z и z'. С учетом уравнения (6.105) получаем
204____Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений_
+ т Vr + г^1~ £п>1) fln (R’ Р’ =
=е к- к+к) л-||!’ р' (> -
-fis (R, р', t) 6Usn (R - у, t)], (6.107)
где
6Uin(R,t)= dz^(z)5U(B.,z,t')^n(z).	(6.108)
Рассмотрим уравнение, получающееся из (6.70) при линеари-
зации по отклонению от равновесия:
fin (R, р, t) = fin (р) + 8fin (R, р, i).
В нулевом приближении из (6.107) имеем
(£/ - Еп)Лп(р) = 0,
откуда
fintp) = Л(р)йп-	(6.109)
В линейном по возмущению приближении из (6.107) с учетом
равенства (6.109) имеем
к +	+1 “ £">) Sf‘” ₽ = й J ^е1(р'-р)'х
х \6Uin (R+^,t)fn (р') - fl (р') 6Um (r - у, i)] . (6.110)
Рассматривая одну фурье-компоненту возмущения
<5l7/n(R,t) = ОДп(к,и>)е^д-^
что соответствует плоской волне в направлении вдоль пленки
и произвольной зависимости от поперечной координаты, получим
с помощью уравнения (6.103)
(V - — - £1 + Еп) 8fin (р, ко>) =
= [/п(Р“	-Л(р+у)]^П(к^). (6.111)
В приближении самосогласованного поля величина <5(7/n(k,w)
при кулоновском потенциале межчастичного взаимодействия
представляет собой решение уравнения Пуассона. Поэтому ана-
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
205
логично (6.94) и (6.96) в выбранном здесь представлении ее
можно записать в следующем виде:
<5(7(п(к,ш) = ^2 Blnrs (к)
r,s

(6.112)
где Binrsik) — матричный элемент двумерного фурье-образа ку-
лоновского потенциала межчастичного взаимодействия v(|z|,k):
Дпгз(к) = dzdz\^i(z)^*n{z)v(\z - z\\,k')4>r(z\)^*(zx).
(6.113)
Двумерный фурье-образ потенциала взаимодействия опреде-
лен равенством
v(|z|,k)
dRe-ikRv (|z|, R)
dRe~ikR--------г
(? + Д2)5
(6.114)
Система уравнений (6.111) вместе с равенствами (6.112)-
(6.114) может служить основой для описания неравновесных
явлений в тонких пленках, в частности для определения ветвей
продольных колебаний спектра коллективных возбуждений си-
стемы.
14.	Определите спектр продольных колебаний электрон-
ионной системы (ионный звук) размерно-квантованной металли-
ческой пленки.
Решение. Для получения дисперсионного уравнения вос-
пользуемся квантовым кинетическим уравнением (6.111). При
учете ионной системы кристалла действующее на электроны
эффективное поле состоит из двух вкладов — электронного
и ионного. Поэтому для ОДп(к,о>) имеем
8Uln (к, щ) = 6U% (к, w) +	(к, ш).	(6.115)
Разумеется, движение ионов не квантуется даже в самых тон-
ких пленках. Однако для единообразия выкладок при изуче-
нии двухкомпонентной системы удобно рассматривать электроны
и ионы в одинаковом представлении. В этом случае, считая
ионы для определенности однозарядными, будем иметь формулы
типа (6.111)-(6.114) как для электронных, так и для ионных
характеристик системы.
Дисперсионное уравнение для определения спектра продоль-
ных колебаний в системе получается с помощью соотношений
(6.111)-(6.114) и соответствующих выражений для ионов в виде
206
Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
Tik
Т
(6.117)
пг
условия существования нетривиальных решений у бесконечной
однородной системы линейных алгебраических уравнений
бит (к, Ш) = £ [в“„, (к) П" (М+
s,t
+B™t (к) ТТ0Н (кш)1 SUst (к, u>) . (6.116)
A -Lst	J
При этом, например, выражение для электронного поляризаци-
онного оператора Ппг (к, w) имеет вид
Г dp ЦР--;-)-/^
J(2rt)2 a,_iP_en + £|
тэл
Решение дисперсионного уравнения в общем виде сводится к ис-
следованию определителя бесконечного порядка и представля-
ет собой сложную задачу. Эта задача существенно упрощается
в длинноволновом приближении, когда kL 1, где L — толщина
пленки.
Вычислим прежде всего двумерный фурье-образ кулонов-
ского потенциала межчастичного взаимодействия, определяемый
формулой (6.114). Фигурирующий там интеграл вычисляется
с помощью интегрального представления функций Бесселя 1п
2тг
d<pe~ia sin<P-w
S
Z7T
0
и формулы преобразования Ганкеля первого порядка
оо
Г _ - Дес>0,
У
»2\ 2
В результате имеем
v(|z|,k) = ^e-fcl2l.	(6.118)
При kL 1 экспоненту в формуле (6.118) можно заменить еди-
ницей. Тогда при любом выборе равновесного потенциала в плен-
ке U(z) (и, следовательно, волновых функций имеем, на
пример, с помощью (6.113)
2тге2
B™st(k) = ^6nr6st.
К
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля	207
Теперь бесконечная система уравнений (6.116) приводит к дис-
персионному уравнению
¥E[n:>)+n:>)]=L
3
(6.119)
Фазовая скорость ионного звука — лежит в промежутке меж-
ду характерными скоростями движения электронов и ионов
-Р- « ч «-р-.
ШИ0Н & ™эл
При вычислении ионного поляризационного оператора (kcj)
раскладываем равновесные ионные функции распределения fn
в ряд Тейлора по степеням к и учитываем, что средняя равновес-
ная концентрация электронов ns, находящихся на s-м пленочном
уровне, равна
"‘= И <р>-	(6120>
ь J (2тгП)
кр
При выполнении условия ——	1 получаем
тИон^
УП"°"(ки.) = ^к2,	(6.121)
Viiss	тион^2
где п — концентрация заряженных частиц, одинаковая для элек-
тронов и ионов.
Вычисление электронного поляризационного оператора при
условии кР 1 приводит с учетом равенства (6.120) к следу-
ющему результату:
еп:>)=-от.
(6.122)
где /1 — химический потенциал системы электронов. Концен-
трация электронов п при абсолютном нуле температуры опреде-
ляется соотношением, следующим из (6.120) после вычисления
интеграла по импульсной переменной:
nF
(6.123)
208 Гл. 6. Динамический подход к теории неравновесных явлений
где пр — число заполненных энергетических уровней в пленке.
Поэтому с помощью (6.122) получаем
3
Закон дисперсии ионно-звуковых колебаний, получаемый при
подстановке выражений (6.121) и (6.124) в дисперсионное урав-
нение (6.119), имеет вид
ш2 = irrfnL к2
тэлтионпр
Скорость распространения таких колебаний в условиях раз-
мерного квантования движения носителей оказывается, как
видно из (6.125), осциллирующей функцией толщины пленки.
Действительно, с ростом L скачками увеличивается число за-
полненных при абсолютном нуле температуры пленочных энер-
гетических уровней пр.
15.	На основе уравнений (6.73) и (6.83) рассмотрите вопрос
о природе бесстолкновительного затухания Ландау. Покажите,
что в пренебрежении столкновениями частиц плазмы можно для
любого значения волнового числа к получить решение, осцилли-
рующее с любой желаемой частотой ш = к • v без затухания (это
так называемая волна Ван-Кампена).
Решение. Уравнение (6.73) — это неоднородное уравнение.
Поэтому к любому решению этого уравнения можно прибавить
решение однородного уравнения
(w-k- v)<7(p,kw) = 0,	(6.126)
которое получается для однокомпонентной плазмы с помощью
уравнения Власова при вещественной частоте ш. В результате
для <5/(р, kw) получается решение, которое можно записать сле-
дующим образом:
ек.£Л
Sf (р, кш) =-----<5 (ш — к • v),	(6.127)
где А(кш) — произвольная функция переменных киш, </>(кш) —
скалярный потенциал самосогласованного поля.
§ 6.3. Приближение самосогласованного поля
209
Теперь использование соотношений (6.80) и (6.81) приводит
при замене Л —> Хф к равенству:
2	/к.^х
1 + ^р[-------др 1 _ 4тгетЛ^кш)	(6д28)
к2 I ш - к • v / fc3
где символ Р означает интеграл в смысле главного значения.
Равенство (6.128) отличается от обычного дисперсионно-
го уравнения последним слагаемым в левой части. Уравнение
(6.128) содержит три величины (cj, к и Л) и поэтому не дает
возможности определить закон дисперсии щ(к). Это и означает
справедливость приведенного в условии задачи утверждения:
надлежащим выбором А (т. е. пучка частиц, вводимого в плазму)
можно получить любое решение с ш = к • v без затухания.
Задачи для самостоятельного решения
16.	Показать более аккуратным вычислением поляризаци-
онного оператора (6.98), что спектр нульзвуковых колебаний
в ферми-системе нейтральных частиц лежит выше верхней энер-
гетической границы спектра квазичастичных возбуждений
крр Тьк2
w = н--------
т 2т
и дается выражением
/ крр Tik2 \ f , Л
ш + — U 1 + 2ехр
\ т 2т /
17.	Рассмотреть двухкомпонентную электронейтральную
в целом вырожденную ферми-систему (например, электронно-
дырочный газ в полупроводнике) и показать, что при Тьк рр
в системе существует ветвь колебаний с акустическим законом
дисперсии. Убедиться, что происхождение этой ветви колебаний
связано с динамическим экранированием кулоновского взаи-
модействия тяжелых частиц в системе, что делает ее похожей
на ферми-систему частиц, взаимодействующих посредством
короткодействующего потенциала.
18.	Найти закон дисперсии для плазменных колебаний элек-
тронов в размерно-квантованной пленке.
Глава 7
ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ УПРАВЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ
§7.1.	Кинетическое уравнение Больцмана
В кинетическом уравнении Больцмана учитываются только
столкновения двух частиц друг с другом и пренебрегается влия-
нием на такое соударение остальных частиц газа:
9fa dfa . р	# А \
dt дга адра \dt)„
(7.1)
Индекс а указывает сорт частиц газа, Fa — внешняя сила,
действующая на частицы а, А(Р, г, f) — одночастичная функ-
ция распределения. Интеграл столкновений Больцмана (-37)
\ UL / ст
в случае упругих соударений частиц записывается в виде
(^) =E/ab[/a,A]=£[dpb^abVabO-/aA), (7.2)
ст Ь	b J
где daab — дифференциальное сечение рассеяния частиц сорта
а и b; vab — модуль их относительной скорости; /а/ и fyf —
функции распределения частиц а и Ь, зависящие от импульсов
Ра' и рЬ/ после соударения: fa! = A(Pa'). Д' = fb(Pb'), fa И fb —
функции импульсов paf и pt,/ до соударения. Координаты частиц
при столкновениях не меняются.
Интеграл столкновений Больцмана применим в случае корот-
кодействующих потенциалов взаимодействия. Для кулоновского
потенциала полное сечение рассеяния оказывается расходящим-
ся. При применении уравнения Больцмана к газу заряженных
частиц от этой расходимости избавляются путем учета экрани-
рования кулоновского взаимодействия.
Уравнение Больцмана (7.1) — это уравнение баланса. Опи-
сываемые им переходы идут с соблюдением микроскопической
обратимости и законов сохранения числа частиц, импульса
и энергии. Это нелинейное интегродифференциальное уравнение
марковского типа.
§ 7.3. Уравнение Фоккера—Планка
211
§ 7.2.	Уравнение кинетического баланса Паули
Уравнение Паули, называемое часто уравнением кинетическо-
го баланса или master equation, имеет вид
^ = £(Р,Л-Р,,»,).	(7.3)
3
Здесь Wi — вероятность нахождения системы в состоянии, ха-
рактеризуемом набором квантовых чисел г, Pij — вероятность
перехода в единицу времени из состояния j в состояние i:
Pij 0. Микроскопическая обратимость переходов в замкнутой
системе выражается соотношением
Pij = Pji-	(7.4)
Величины Wi могут трактоваться как диагональные элемен-
ты редуцированного статистического оператора в представлении,
диагонализующем этот оператор:
Wi = (г|р|г), или p = y^\j) Wj {i\.
i
Уравнение Паули сохраняет нормировку распределения вероят-
ностей, обеспечивает монотонный рост энтропии системы и яв-
ляется уравнением релаксационного типа.
§ 7.3.	Уравнение Фоккера—Планка
Уравнение Фоккера—Планка используется для статистиче-
ского описания динамических систем с флуктуирующими па-
раметрами (например, броуновского движения). Рассматривает-
ся нелинейная динамическая система, описываемая величиной
= {£1 (£)>••• >£п (0)> удовлетворяющей системе динамиче-
ских уравнений
£i(0 = MU) + .A(U)-	(7.5)
Здесь Vi — определенные (заданные) функции, a fa — случайные
функции со свойствами (/;(г, £)) = 0, где угловыми скобками
обозначено усреднение по ансамблю реализаций функций fa.
Статистические характеристики fa (fa, i) определяются заданием
корреляционного тензора
Bij(rf,r,t') = (fa(r,t)fj(r,,efa.	(7.6)
212 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
В теории, основанной на уравнении Фоккера—Планка, разли-
чаются два характерных временных параметра: то — радиус
корреляции случайных сил fa по временной переменной, и Т —
время корреляции величин Для большого класса физических
систем Т » то и существует малый безразмерный параметр
который может быть использован для построения приближенного
решения. В простейшем приближении то = 0, и величина Вгз
выбирается в виде
Bij (rt; r'f') = 2S (t — tr) Fij (r, r', t).	(7.7)
Такое приближение называется приближением диффузионного
случайного процесса. Оно приводит к уравнению Фоккера-
Планка для плотности вероятности Pt(r) реализации решения
£(£) системы уравнений (7.5):
P,(r) = (Л (г -!;(())),	(7.8)
где £(£) — решение системы (7.5) для какой-либо определенной
реализации случайных сил Д(г, t):
sp- w = - Е «г <г' Л <г' f’JPt <‘»+
+ Ea^(^MW.
r={rri...хп} , Ак = 4-Fki (r,r',i)|	.	(7.9)
OXi	| р_р/
Уравнение (7.9) решается с начальным условием Pq (г) =
— 6 (г — §о) или с условием более общего вида Ро(г) = Wo(r),
где £о соответствует определенным значениям переменной £(£)
в начальный момент времени.
Если поле случайных сил стационарно, то Fki и Ак не зависят
от времени. Если к тому же fa однородны и изотропны по всем
пространственным координатам, то Fki = const, а Ак — 0.
§ 7.4.	Кинетические явления в квантовых жидкостях
В пренебрежении возмущениями спиновой плотности кине-
тическое уравнение для функции распределения п = Spn квази-
частиц квантовой жидкости записывается в виде
дп
^ + Vrn-VpE-Vpn-vr£ = /(n),	(7.10)
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях	213
где £ — энергия квазичастицы, в общем случае являющаяся
функционалом функции распределения квазичастиц п, а 1(п) —
интеграл столкновений квазичастиц.
Уравнение (7.10) применимо в условиях квазиклассичности
движения квазичастиц, когда их дебаевская длина волны мала
по сравнению с характерной длиной, на которой существенно
меняется функция п.
Обычно при решении кинетического уравнения (7.10) исполь-
зуются какие-либо модельные представления о виде квазича-
стичной энергии.
а)	. Нормальная Ферми-жидкость. При изучении неравно-
весных свойств нормальной ферми-жидкости принимается такая
же связь между вариациями функции распределения квазича-
стиц 6п и квазичастичной энергии бе, как и в равновесии.
Например:
бе (р, г, £)
= 7^з¥’(р>Р/)^(р'>г/+)-
J (2тгП)
(7.11)
При линеаризации кинетического уравнения по возмущению сле-
дует учитывать, что равновесная функция распределения по(р)
зависит только от квазичастичной энергии £о(р):
+ VpE0 • Vr (<5п -	= I (бп).	(7.12)
Вариация бп отлична от нуля только при значениях импульса,
близких к импульсу Ферми рр. Поэтому в аргументах корреля-
ционной функции ф(р, р/) можно положить |р| = |р/| = рр.
В результате для изотропной ферми-жидкости корреляцион-
ная функция ф(рр, рр!) зависит только от угла х между векто-
рами pF и ppf, и её можно разложить по полиномам Лежандра:
ОО
4(х) = р(ег)<р(х) = 52(2/+ 1) AzPz(cosx), (7.13)
1=0
f \ т PF	<
где p\tF) = о-----плотность состоянии на ферми-поверхности.
Записываем выражение для on в виде
бп = б (£ - £F) V (Q) егкг-гш‘,	(7.14)
где Q — направление, определяемое вектором pF, и выбираем
направление волнового вектора к в качестве полярной оси. В вы-
сокочастотном приближении (шт 2> 1), когда можно пренебречь
214	Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
интегралом столкновений в (7.12), получаем следующее уравне-
ние для функции р(0,у>):
(s — COS0) Р (0, (£>) = COS0 (у) v (О', </).	(7.15)
Здесь и = — — фазовая скорость волны, a s = —.
Решение интегрального уравнения (7.15) проводится с ис-
пользованием разложения (7.13) для функции А(ж), причем ко-
эффициенты Ai выступают в качестве феноменологических пара-
метров. При этом используется теорема сложения для полиномов
Лежандра:
Р„ (cos х) = Е р? (cos 0) Р” (cos О')	
т=—п	'
(7.16)
б)	. Сверхтекучая бозе-жидкость. Полная система урав-
нений для описания неравновесных свойств сверхтекучей жид-
кости, кроме кинетического уравнения (7.10), для квазичастиц
содержит уравнение непрерывности для плотности системы р
и уравнение, определяющее зависимость от времени скорости
сверхтекучего движения.
Уравнение непрерывности записывается в обычном виде
^+divj = O.	(7.17)
Неравновесные свойства сверхтекучей бозе-жидкости в низкоча-
стотном приближении шт 1 хорошо описываются уравнениями
двухскоростной гидродинамики, линеаризованные варианты ко-
торых записываются в виде
g + Vp = 0,	(7.18)
ot
+ psdivvn = 0,	(7.19)
+ V/z = 0.	(7.20)
Здесь р — давление, — скорость упорядоченного движения
квазичастиц, увлекающих часть жидкости, характеризующуюся
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
215
нормальной плотностью рп\ s =---удельная энтропия. Полный
импульс j единицы объема жидкости выражается соотношением
j = psx>s + pnvn,	(7.21)
где ps = р- рп.
Задачи
1.	Покажите, что интеграл столкновений Больцмана облада-
ет свойством
= 0,
СТ
(7.22)
а
где cti = аг(г, i) — произвольные функции г и t.
Решение. Возьмем интеграл столкновений Больцмана (7.2)
® ст = Е	О - АЛ)
и рассмотрим интеграл
J	\ UL / СТ
= dpadpbdaabVabP (ра) (fafb ~ fafb), V-23)
b J
где </>(р) — произвольная функция импульсов. Модуль относи-
тельной скорости иаь и сечение рассеяния daab одинаковы для
прямых и обратных соударений, а фазовый объем при столкно-
вении сохраняется:
dpadpb = dp’adp'b.
Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, перейдем
к новым переменным: Р = ^Ра + Рь^, р = ра — р^.
Элементарным вычислением якобиана преобразования убеж-
даемся в том, что
dpadpb = dPdp.
Аналогично можно записать выражение
dp'adp'b = dP'dp1,
216 Гл. 1. Описание с помощью управляющих уравнений
причем Р = Р', так как импульс при столкновениях сохраняется.
Таким образом, дело сводится к доказательству соотношения
dp = dp'. Вследствие закона сохранения энергии при упругих
соударениях справедливо |р| = |р'|, и связь между р и р' осу-
ществляется обычным преобразованием поворота в простран-
стве. Отсюда следует, что dp' = dp.
В силу указанных свойств выражение (7.23) можно перепи-
сать в симметризованном виде:
I = | ^2 dpadpbdcrabvab (ра) + (р6) -
ь
(7.24)
Выберем ф в виде
ф = а + а\р + аър2.	(7.25)
Поскольку при соударении двух частиц выполняются законы
сохранения импульса и кинетической энергии
2	9/2/2
г» -4- гн - г»' + г/ Ра + Рь
Ра + РЬ-Ра + РЬ> 2^ + ^- 2^ + 2^>
ТО
<Р (Ра) + V (Pb) = V (р'а) + <Р (p'b) •
Таким образом, выражение (7.24) при выборе ф в виде (7.25)
одновременно и симметрично, и антисимметрично по отношению
к замене: ра р'а, рь «-> р'ь . Значит, оно равно нулю, что
и доказывает соотношение (7.22).
2.	Исходя из уравнения Больцмана получите систему урав-
нений гидродинамики для плотности /?(г, t):
Р(М) = ЕПаШа. Па (г, t) = $ dpfa (р, Г, t) ,	/726)
и гидродинамической скорости u(r,t):
u(r,t) = - ^ПаТЛа (va), (va) = - f dpvafa (p, Г, t) .	(7.27)
Pa	n a
Решение. Проинтегрируем уравнение Больцмана (7.1) по
импульсу. Учитывая определения (7.26), (7.27) и свойство (7.22)
интеграла столкновений Больцмана, получаем
(n„ (VJ) = О,	(7.28)
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях	217
поскольку /а(р) = 0 при |р| = оо. Удобно ввести скорость ло-
кального теплового движения Va(p, г, £):
Vo(p,r,t) = va - u(r,i).	(7.29)
Тогда (Va) = - J dpaVaf (p, r, i) и справедливо равенство
n a
52	= 52ПаГПа -u 52ПаГПа = °- <7-3°)
a	a	a
Подставляя в (7.28) соотношение (va) = u + (Va), переписываем
его в виде „
^ + div(nou + na(Va)) = 0.	(7.31)
Умножая (7.31) на та и суммируя по сортам частиц, получаем
с учетом определений (7.26) и (7.27) и свойства (7.30)
+ div (pu) = 0.	(7.32)
Соотношение (7.32) представляет собой уравнение непрерывно-
сти гидродинамического потока газа.
Для получения уравнения движения газа умножим кинетиче-
ское уравнение (7.1) на maVa = ma(va — и), проинтегрируем по
импульсам и просуммируем по сортам частиц. Учитывая свой-
ство (7.22), результат можно записать в виде
52	(V“) + 2“ 52 ШаПа (vai^a)-
dt	dvi
a	a
- 52n“	+F«}= °- <7-33)
a
Рассмотрим отдельные слагаемые в соотношении (7.33). Вводим
тензор давлений Pik(r, t):
Pk (Г, t) =	(VaiVak).	(7.34)
a
В силу свойства (7.30) это выражение можно записать в виде
Pik (г, О = 52 таПа (VaiVak)-
а
Далее, используя (7.29), находим
V''	/9V«\	du(r,f) du	_
a	a
218 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Наконец, снова учитывая (7.29), имеем
^mana(vai^^ = -^£mana(vai) =	(7.36)
а	а
Подставляя соотношения (7.34)-(7.36) в (7.33) и учитывая свой-
ство (7.30), получаем уравнение движения газа в гидродинами-
ческом приближении:
дщ	. (	д \	1 dPik	1 V—*	j-,
— + u— ti; = —+ - > naFai.
dt	\	or)	о OTk	р
а
3.	Используя кинетическое уравнение Больцмана, получите
уравнение баланса энергии, вводя локальную температуру T'(ri)
с помощью равенства
|nfcT=i£mana(Va2),	(7.37)
а
где Va определяется формулой (7.29), ап = £па.
а
Решение. Умножим кинетическое уравнение (7.1) на
moV2
—2-Н’’ проинтегрируем по импульсам и просуммируем по
всем сортам частиц. Учитывая свойство (7.22) интеграла
столкновений Больцмана, запишем результат в виде
^пата (К2) + Al J2nama (vaVa2)-
а	а
(7.38)
Преобразуем отдельные слагаемые в (7.26). Вводим тепловой
поток q относительно гидродинамического течения:
q = qa = 1 пата {V*Va),	(7.39)
а	а
где	f
(Va2Va) = iJdpVa2Va/a(p,r,i).
а
Тогда в силу (7.37) и (7.39) имеем
^ПаТПа (vaVa) = ^ПаГПа ((U + V“)	= Ч + u ’ ^ПкТ.
а	а
(7.40)
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
219
Далее с учетом (7.29) и (7.30) имеем
? ibama
а
а
= -^^nama{Va) = Q. (7.41)
а
Аналогично, учитывая (7.22) для тензора давлений, найдем
1 \'	/ 9V? \	дщ \—'	/ Т Т \ дщ _
2 Va~fa) = ~дГк^ПаШа ('VakVai> = ~&TkPik'
(7.42)
И наконец, вследствие (7.29) и соотношения ра = тпа va, имеем
1	т? / dV£ \ у
222"“m“F4^-) = Z
а	'	' а
Подставляя соотношения (7.40)-(7.43) в (7.38) и учитывая опре-
деление (7.37), получаем уравнение баланса энергии в гидроди-
намическом приближении:
i + div|q + и -	+ ^Pik - 52n“F“ (Vа) = 0.
(7.44)
Учитывая, что вследствие (7.28) и (7.29) справедливо
(7.43)
= - div I nu + ^2 па (Va) j ,
\	а	/
можно переписать уравнение (7.44) в виде
3 , /ОТ дТ\	дщ _
2 "Ча +ua?) = -d,vq-STP-‘+
+n«F« div (Е"»<v»>) •
а	\ а	)
4.	Покажите, что кинетическое уравнение Больцмана приво-
дит к возрастанию плотности энтропии системы
S = ~^\dpfa\nfa	(7.45)
a J
при любом неравновесном начальном распределении.
220
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Решение. Запишем уравнение Больцмана в виде (7.45):
+F 9fa =
dt dr “dp \dt )ст
(7.46)
Вычислим производную по времени от выражения
dS _ у- , , . , f ч dfa
a J
ri f
Подставляя сюда выражение для из (7.46), получаем
dS \ Л j /1 , j г \ Г,г^/а । тр dfa (dfg \ 1 /у л у\
St = dp(l + ln/J [v — + Е„ Др - J. (7.47)
а
Рассмотрим отдельные слагаемые в правой части этого соотно-
шения. Непосредственной проверкой легко убедиться в справед-
ливости равенств
dp(l +ln/a) = dpv^(/aln/a),
J	Af Г А	(7.48)
Fa I dp (1 + In fa) = Fa I dp^ (/a In /a) = 0,
так как fa = 0 при |p| = oo. Как мы видели ранее, интеграл
столкновений Больцмана обладает свойством
=°- <7-49>
J \ от / ст
Вводим величину Дет, называемую производством энтропии:
Д<7 = -У (dplnU^T) .	(7.50)
' J	\ ot / СТ
С учетом соотношений (7.48)-(7.50) выражение (7.47) для —
переписывается следующим образом:
= div У2 dpVafa In fa + Д<7.	(7.51)
ot
a
Первое слагаемое в правой части этого выражения представляет
собой плотность потока энтропии Т:
Т = — dpVq/g In /д.
а
(7.52)
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
221
Теперь соотношение (7.51) переписывается в виде
+ div Т = Дет.
(7.53)
Уравнение (7.53) представляет собой уравнение баланса энтро-
пии. При равной нулю правой части соотношение (7.53) имеет
форму закона сохранения. Нетрудно показать, что производство
энтропии Да > 0 для интеграла столкновений Больцмана
(т£)ст = Е j dpbdaabvab (f'af'b - fafb).
b
Действительно, для Д<т имеем
Д(7 = ~Е
ab
dpadpbd(Tab (fafb - fafb) 1П fa-
Это выражение можно переписать в симметричном виде по от-
ношению к сортам частиц а и b и импульсам частиц до соуда-
рения (нештрихованным) и после соударения (штрихованным)
вследствие одинаковости относительной скорости vab и сечения
рассеяния daab для прямых и обратных соударений и равенства
dpadpb = dp'adpb:
= 7 У dpadpbd(7abVab {fafb - fafb) In .
J	JaJb
ab
Знак правой части этого выражения определяется знаком функ-
ции
(х — у) In - О,
У
причем знак равенства достигается при х = у. Итак,
Да 7г 0,	(7.54)
и из соотношения (7.53) с учетом (7.54) следует, что
^ + divT^0.
Наконец, для пространственно однородной системы divT = 0 и,
следовательно, справедливо неравенство
222
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
5.	Покажите, что уравнение кинетического баланса Паули
(7.3) сохраняет нормировку вероятности
=	(7.55)
i
Решение. Рассмотрим производную по времени от выраже-
ния от суммы вероятностей (7.55):
d v—ч	у—ч dwi
Tt^Wi = ^L>~dt'
i	i
Подставляя сюда производную из уравнения Паули, полу-
чаем	d	t
d^Wi = 12 (Piiwi ~ PiiWi>) = 0
i	ij
вследствие свойства Pij = Pji. Поэтому = const, и при
i
выполнении условия нормировки (7.55) в начальный момент вре-
мени оно остается справедливым и в последующие времена.
6.	Показать, что уравнение Паули (7.3) приводит к возрас-
танию энтропии замкнутой системы при любом неравновесном
начальном распределении.
Решение. Энтропия системы
S = — (InWi) = — In Wj.
i
Вычислим производную по времени от S:
™ = -4Ew-1,1Wi = ~E<1+l""'->^r	(756>
i	i
dw
В силу сохранения условия нормировки (7.55)	— 0- По-
i
этому, используя (7.56) и уравнение Паули, имеем
=	= (Pijwj - Pjiwi) ln wi =
i	ij
— P4	~ Wj) ln W’-
ij
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
223
Симметризуем это выражение по индексам i и j’.
^ = ^^2 РИ ~ Wj) ln Wi + И “ ln W>) =
ij
ij	3
n	dS л o
Полученное выражение неотрицательно, поэтому — > 0. Знак
равенства имеет место при Wi = Wj для любых i и j. Этот
случай соответствует равновесному состоянию в микроканони-
ческом ансамбле, описывающем замкнутую систему. Итак, при
любом начальном неравновесном распределении, когда Wi / Wj,
имеем	„„
>0.
dt
7.	Показать, что при любом начальном распределении ве-
роятностей Wi(0) уравнение Паули (7.3) является уравнением
релаксационного типа.
Решение. Введем вектор состояния W с компонентами Wi
и запишем уравнение Паули в матричном виде
(7-57)
(7.58)
где Л — матрица перехода с элементами
Ajj = P{j 6ij Pik'
k
Из вещественности вероятностей переходов Pij и микроскопиче-
ской обратимости следует, что матрица Л эрмитова:
Л+ = л.
Это свойство позволяет утверждать, что собственные значения
матрицы Л вещественны, а собственные векторы ортогональны:
ЛФП = ЛПФП, Лп = Лп,
где Фп — вектор с компонентами Ф^п\ Записав формальное
решение уравнения (7.57) в виде
W(t) = eiAJV(O),
224 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
где W(0) — начальный вектор состояния, можно разложить
W(0) по собственным векторам матрицы Л:
W (0) = £СПФП, или wk (0) = 52спф£П)-
п	п
Теперь вектор ТУ(£) можно представить следующим образом:
W (V) = ^СпФпе<Л", или wk (t) = ^спф£п)в‘Л". (7.59)
п	п
Покажем, что все Лп < 0 и Ло = 0. Для собственных функций
Фп и спектра Лп справедливы равенства
(Фп.Фтп) = Snm, Лп = (ФП,ЛФП),
где символом (А, В) обозначено скалярное произведение А и В:
(А, В) = £ A* Bi.
i
Найдем знак выражения (Ф,ЛФ), где Ф — произвольный вектор:
Ф = {Ф;}. Имеем
(Ф,ЛФ) = £ф*(Р^Ф,-РяФг) =
и
= 1	(ф* (ФУ - ФО + ф* (Ф, - ф,)) =
и
= 4Еру|ф‘-ф>|2<°- (76°)
и
Знак равенства имеет место при Фг = Ф7-. Этот случай соответ-
ствует собственному значению Ло = 0 и собственному вектору
Фо- Все Л„ при п / 0 в силу (7.60) отрицательны. Теперь имеем
вместо (7.59) выражение
W(i) = CH»o +^СпФпе’А	(7.61)
п^О
где tn = Л"1 — спектр времен релаксации системы. Видно, что
с течением времени система необратимо релаксирует к не зави-
сящему от времени равновесному состоянию:
W(t) С0Ф0.
t—>оо
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
225
8.	Решите уравнение кинетического баланса Паули (7.3)
для двухуровневой системы с начальным условием щДО) — 1,
W2(0) = 0.
Решение. Обозначим вероятность перехода через Р\2 =
= Р21 = р. Матрица перехода Л в рассматриваемом случае с уче-
том соотношения (7.58) записывается в виде
Для нахождения собственных
ем нулю определитель:
значений матрицы Л приравнива-
-Р- Л р
р	—р — Х
раскрывая который находим Ло = 0, Л] = —2р.
Нормированный собственный вектор Фо матрицы Л, принад-
лежащий собственному значению Ло = 0, есть
(1 \
у/2/
а собственный вектор Фь принадлежащий значению Ai = — 2р,
равен	j
Ф1 = |	•
\ Л/
Начальный вектор ИДО) распределения вероятностей по условию
равен
Раскладывая вектор W по собственным векторам матрицы пере-
хода Л
ИДО) = СоФо + С1Ф1.
находим Со = Ci = -^=-.
Итак, в соответствии с формулой (7.61), вероятность запол-
нения состояний в произвольный момент времени t определяется
выражением
W(t) = С0Ф0 + С1Ф1е*Л1,
8 Кондратьев
226 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
ИЛИ
(*) = | (1 + е“2₽‘) . w2 (0 = £ О ~ е“2Р‘)-
Видно, что предельные значения вероятностей при £ —> оо одина-
ковы:	1
И (оо) = О>2 (оо) = -.
9.	Решите уравнение кинетического баланса Паули (7.3) для
n-уровневой системы с начальным распределением вероятностей
wi(0) = 1, Wfc(O) = 0 (к = 2,3, ...,п), считая для простоты, что
все вероятности переходов между различными состояниями оди-
наковы: Pij = р. Считать, что n » 1, однако произведение пр
конечно.
Решение. Матрица перехода А в соответствии с (7.58)
имеет вид
/—(п — 1)р р р ... р \
л= р	— (п — 1)р р ... р
\ Р	Р Р ••• -(п-1)р/
Симметрия матрицы позволяет легко найти ее собственные зна-
чения:
Ло = О, = — пр, к = 1,2, ...,п — 1.
Таким образом, есть одно невырожденное собственное значе-
ние Ао = 0 и (п — 1)-кратно вырожденное собственное значение
Ai = —пр. Нормированный собственный вектор Фо есть
Ф
Собственные векторы, соответствующие (п — 1)-кратно вырож-
денному собственному значению Aj = —пр, можно записать
в виде
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
227
^[n(n - 1)] 2^
Г(п-1)11
И—J.
[п(п-1)П
^[п (п — 1)] 2^
[п(п- 1)Н
Г(п — 1)12
L п J
<[«(«- о] Ь
Фп-1 =
^[п (п — 1)] 2^
[n(n- l)]"i
г(п — 1)12
\ [ n J /
Эти векторы нормированы на единицу, ортогональны вектору
Фр и ортогональны друг другу с точностью до членов порядка
В соответствии с формулой (7.59), учитывая вырождение
xjn
(г / 0), можно записать выражения для w(t) в виде
«Л (t) = Со-^ + С, у1 е-М,
Vn уп (п — 1)
wk (£) — С*0“т=^ +
х/п
п — 2
а/п(п - 1)
e~npt,
к = 2, 3,..п
или, вычисляя выражение в квадратных скобках,
wk (t) = Со А- - С1 ;. =e~npt, к = 2,3,...,п.
\/п уп (п — 1)
Коэффициенты Со и Ci находятся из начальных условий
Со + Ci(n-l) = Ср _ Ci = 0
\/п у/п(п— 1)	’	у/п{п— 1)
Решая эту систему, находим
п — 1
Co = -L Сх= у
х/П	V П
Итак,
»,(() = 1[1 + (п	(762)
к = 2,3,..., п.
228
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
При п » 1 отсюда находим
W1 (t) = 1 + e-n₽t, wfc (f) =	(1 — e-n₽t), fc = 2,3,...,n.
Эту задачу можно, разумеется, решить, непосредственно обра-
щаясь к уравнению (7.3). Поскольку все равны Wj при г, j 1,
то это уравнение преобразуется к виду
wi (t) =р(п- l)(wfc-wi), wk (t) = р (wi - wk),	,_c_.
к = 2,3.....n.	(7'63)
Ищем решение в форме
wi (t) = C\eat, Wk(t) = C2eat, к = 2,3,... ,n.
Подстановка этих выражений в уравнения (7.63) приводит к сле-
дующему условию существования нетривиальных решений:
а + р(п — 1)
-Р
-р(п- 1)
а + р
= 0,
откуда ai =0, «2 = —пр. Найденные значения а позволяют
записать выражения для вероятностей w(t) в виде
wi (t) = Bi + B2e~npt, wk (t) = Bi -	(7.64)
Использование начальных условий дает следующие значения Bi
и В2:
1	1
Bi = -, В2 = 1 - -,
п	п
и выражения (7.64) совпадают с (7.62).
10.	Записать уравнение Фоккера—Планка для маятника
с одной степенью свободы, помещенного в термостат, состоящий
из молекул газа, непрерывно бомбардирующих маятник.
Решение. Уравнение движения маятника имеет вид
Jip + к,ф + mgl sin = N + Ni (t),	(7.65)
где J — момент инерции, т — масса маятника, I — расстояние от
точки подвеса до центра масс. Угол ф характеризует отклонение
маятника от вертикали, к описывает сопротивление движению
маятника, пропорциональное скорости, N и 7V(i) — соответ-
ственно заданный момент внешних сил и момент случайных сил,
действующих со стороны молекул.
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
229
Корреляционная функция случайных сил аналогично (7.7)
записывается следующим образом:
(ATi (t) ЛГ (О) =	(< - Л •	(7.66)
Вводим обозначения
Теперь уравнение (7.65) переписывается в виде
ф + -ф + cv2 sin tp = i (N + М (t)).	(7.67)
T	J
Перейдем от (7.67) к системе уравнений первого порядка. Вводим
момент импульса L как производную от кинетической энергии
по угловой скорости движения ф:
Теперь вместо (7.67) имеем
9? = ^, L = — — - Joj2 cosp + N + N\ (t) .	(7.68)
J	T
Если ввести функцию Гамильтона
Г2
Н = Ек + Еп =	— mglcos — Np, (7.69)
то системе уравнений (7.68) можно придать вид системы уравне-
ний Гамильтона:
дН f дН L КТ , .	.
V=~dL- L =	(770)
Соответствующее системе (7.70) уравнение Фоккера—Планка,
согласно (7.69), записывается в виде
д D , г . L д D , т ч дН д D (т ,
э1р‘- ^пр‘
1 8	JkT д2
(7.71)
11.	Рассмотрите броуновское движение маятника, описыва-
емое уравнением (7.71), в отсутствие внешних сил (Еп — const).
Считать, что в начальный момент имеется равномерное распре-
деление по углу ф: Ро(Ь,ф) = Ро(Е).
230 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Решение. Уравнение Фоккера—Планка (7.71) в рассматри-
ваемом случае принимает вид
dPt Ldp _ £ _ LdPt. = JkT d2Pt
dt J д^р r * т dL т dL2 '
(7.72)
Из уравнения (7.72) видно, что равномерное распределение по
углу ф сохранится и во все последующие времена: Р<(£,</>) =
= Pt(L). Теперь имеем вместо (7.72)
dPt ip Ldpt_JkTd2pt	,77_.
dt TPt т dL Т dL2'	773
Тепловое движение молекул в конце концов приведет к установ-
лению максвелловского распределения по скоростям. Поэтому
ищем решение уравнения (7.73) в виде
Pt (L) = ехр (-a2 (t) L2).	(7.74)
х/ТГ
Предэкспоненциальный множитель в (7.74) выбран таким обра-
зом, чтобы в любой момент времени было выполнено условие
нормировки плотности вероятности Pt(L):
ОО
dLPt (L) =
оо
dL ехр (—a2 (t) L2) — 1.
—ОО
—оо
Подставляя выражение (7.74) для Pt(L) в (7.73), получаем урав-
нение для a(t)\
а 1 , 2JkT о л
--------------------------1-----а = 0.
ат т
(7.75)
Стационарное (d = 0) решение уравнения (7.75) а (оо) =
=	дает равновесное максвелловское распределение по
моменту импульса L:
1	/ г2 \
Poo(L) = ?2jfcFexp (w)1
(7.76)
Нестационарное решение уравнения (7.75) следует искать с уче-
том вида начального распределения Pq(L). Если, например,
Pq(L) = 6(L), то уравнение (7.75), как видно из (7.74), нужно ре-
шить с начальным условием a-1(t) = 0 при t = 0. Такое решение
имеет вид
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
231
1	/	2t\
— = 2Лт(,_е-т).
Действительно, переписав уравнение (7.75) в виде
а	1	2JkT _
а3	та2 + т -U’
убеждаемся, что оно эквивалентно уравнению
1 ;	1 , , 2JkT _
-^ + -^+—— = 0,
Z т т
(7.77)
(7.78)
где = —2’ пРичем ^(0) = 0. Уравнение (7.78) легко решается;
в результате приходим к выражению (7.77). При подстановке
выражения (7.77) в (7.73) получившееся решение описывает
установление максвелловского распределения. Характерное вре-
мя установления такого распределения составляет -.
12.	Рассмотрите броуновское движение маятника, описыва-
емое уравнением (7.71), считая, что при t = 0 имеется равновес-
ное максвелловское распределение по моменту импульса L, но
неравновесное распределение по углу ф: Ро(Ь,ф) = Роо(Ь)8(ф).
Внешние силы отсутствуют.
Решение. В рассматриваемом случае уравнение Фоккера-
Планка имеет вид (7.72). Ищем его решение в виде
Pt (L, ^) = Poo (I)	(*) ехР (W [*> - 7Т7 (*)] } • (7-79)
х/7Г	I	L J J J
Такое выражение выбирается для выполнения условия сохране-
ния нормировки плотности вероятности Pt(L, ф) в любой момент
времени, так как для входящего в (7.79) множителя, зависящего
от ф, справедливо равенство
ОО
dy?exp|-/?2(t) [9?-jT7(i)] j = 1.
—ОО
Выражение в квадратных скобках в показателе экспоненты соот-
ветствует тепловому размытию 5-образного начального распреде-
ления по углу за счет движения молекул термостата. Очевидно,
что при t = 0 должно быть выполнено условие 7(0) = 0,	= 0.
232 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Подставляем (7.79) в уравнение (7.71). После несложных
алгебраических преобразований получим
/3 , 2т кТ 2 А	£ \2 ,
(j + —Г7 I 1 -	+
+ 2/02 j (<р - 7Т7) (ту + 7 - 1) = 0.
Отсюда следует, что /3 и 7 удовлетворяют уравнениям
4 = -^72,	(7.80)
/З3 J
7 + - = -.	(7.81)
т т
Соответствующее начальному условию 7(0) = 0 решение уравне-
ния (7.81) записывается в виде
7(t) = l-e"r.	(7.82)
Подставляя (7.82) в (7.80) и выполняя интегрирование по t от
нуля до t, получаем при учете начального условия - = О
г'
1 4ткТ Г т /	t 2t \ 1
(783)
С помощью выражения (7.79) можно найти среднее значение
квадрата угла поворота маятника из положения ф = 0, существо-
вавшего при t = 0, к моменту времени t:
00	00
(<р2) = [ dLPoo (L) f dcp^-jQ-ехр [ — /З2 (t)	— ^Ty(t) |<^2.
J	J	V71"	I	L J J J
—00	—00
Интеграл по ф вычисляется после замены переменной р' = ip —
— jT7(t). После этого легко вычисляется интеграл по L. В ре-
зультате, подставляя выражение (7.82) для 7(4), имеем
уР/ = —j— t — т (1 — е г j .	(7.84)
При малых временах t, когда t т, поведение системы имеет
динамический характер. Действительно, в этом случае из (7.84),
раскладывая экспоненту в ряд Тейлора и ограничиваясь квадра-
тичными по t членами, имеем
(Л = ^t2.
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
233
При больших временах, когда От, средний квадрат углового
смещения пропорционален первой степени времени, что харак-
терно для случайных блужданий.
13.	Рассмотрите броуновское движение маятника, описыва-
емое уравнением (7.72), считая, что начальное распределение
плотности вероятности имеет вид
Ро(Ь,ф) = 6(ЬЩф),	(7.85)
что соответствует неподвижным, вертикально расположенным
маятникам.
Решение. Будем искать решение уравнения Фоккера-
Планка (7.72) в виде
Pt (L,ip) = ia (t) e "2Wl2/? (t) exp I-/?2 (t) [</? - jry (t)j j ,
(7.86)
причем вследствие начального условия (7.85) при t = 0 должны
обращаться в нуль	и т(0)- Подставляя выражение
(7.86) в (7.72), получаем после несложных алгебраических пре-
образований
[5 - 1 (1 -ZJkTaI 2)] (1 - 2a2L2) +
+ ^ + ^А2И-2^-^7)] +
+ 2/32 j (</? —	[т7 — (1 — 4а2 JkT} 7 — 1] = 0.
Отсюда следуют уравнения для функций а, (3 и 7
- - - + Н^Га2 = 0,	(7.87)
ат т
I +	= о,	(7.88)
р J
ту + (4 JkTa2 - 1) 7 - 1 = 0.	(7.89)
Уравнение (7.87) совпадает с уравнением (7.75). Его решение,
соответствующее начальному условию (7.85), имеет вид (7.77).
Таким образом, и в этом случае за время - происходит установ-
ление равновесного максвелловского распределения по моменту
импульса. Это распределение устанавливается независимо от ха-
234
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
рактера начального распределения по углу ф. Подставляя а(£) из
(7.77) в (7.89), получаем следующее уравнение для y(t):
ту + 7cth Q) -1=0.	(7.90)
Его решение, удовлетворяющее условию 7 (0) = 0, записывается
следующим образом:
7 (t) = cth (-)----(7.91)
Vt7 shfi
\tJ
Отметим, что 7(f) —> 1 при t>r. Используя выражение (7.91),
легко проинтегрировать уравнение (7.88) для /3(f):
_1_ = 1^[(-2г7т].	(7.92)
Соотношения (7.91) и (7.92) соответствуют медленной диффузии
в координатном пространстве.
14.	Покажите, что при произвольной потенциальной энергии
_Еп(</>) броуновское движение маятника приводит к установлению
стационарного распределения по моменту импульса независимо
от вида начальных условий.
Решение. Будем искать установившееся при t —> 00 ста-
ционарное решение Роо(Ь, </>) уравнения Фоккера—Планка (7.71)
в факторизованном виде:
P<x>(L, ф) = Р(Ь)<т(ф), (7.93)	(7.93)
Подставляя выражение (7.93) в уравнение (7.71) и интегрируя
по углу ф, получаем, считая функции Р(£) и сг(</>) нормирован-
ными:
JkT^P (L) + (Z - Lo) W + Р = °-	(7-94)
dLz	dL
00
т (M5)
—оо
представляет собой усредненный по углу ф момент импульса,
„ ,	ЭН
соответствующий «дрейфу» под действием момента силы — —.
Непосредственной подстановкой в уравнение (7.94) можно убе-
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
235
диться, что решением (7.94), ограниченным при L ±оо, явля-
ется функция
Р (L} =	1 exo (
}	р\ 2JkT
(7.96)
Это распределение максвелловского вида, центрированное около
значения L = Lq, определяемого дрейфом в поле внешних сил.
Очевидно, что стационарное среднее значение L равно Lq:
ОО
(L) = dLP (L) L = Lq.
—ОО
Таким образом, для нахождения среднего значения момента им-
пульса Lq (или среднего значения </?=—) необходимо знать
стационарное распределение по углу <т(</>). Напротив, средний
квадрат флуктуации момента импульса L можно определить, не
решая уравнения для cr(</>). С помощью (7.96) находим
«ь- Ьо)2>
оо	2
V2nJKT j dLeXP ("( 2JkT )	" Lo)2 = JkT-
—oo
15.	Найдите спектр высокочастотных (шт 2> 1) незатуха-
ющих колебаний в нормальной нейтральной ферми-жидкости,
у которой отличен от нуля только нулевой коэффициент Ао
в разложении для корреляционной функции.
Решение. Если в разложении (7.13) отличен от нуля только
коэффициент Ао, интеграл в правой части уравнения (7.15) не
зависит от углов 0 и ф. Обозначая значение этого интеграла
через С, получим для функции и(0, </>)
Р(0)9?) = С-^-.	(7.97)
s - cos д
Эта функция характеризует деформацию ферми-поверхности при
колебаниях ферми-жидкости. Формула (7.97) соответствует по-
верхности вращения, вытянутой вперед по направлению распро-
странения волны и сплюснутой в обратном направлении.
Для определения скорости распространения волны подставим
(7.97) в уравнение (7.15) и выполним интегрирование по азиму-
236
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
тальному углу ф:
7Г
Ао
о
cos в sin 0d9
s — cos в 2
(7.98)
Выполняя интегрирование по полярному углу в, получаем дис-
персионное уравнение, определяющее скорость волны и (в еди-
ницах скорости квазичастиц на поверхности Ферми):
* 1П £±1_11	(7.99)
2 s - 1 An
Выражение (7.99) вещественно при s > 1 (т. е. и > vf), что озна-
чает, что незатухающие колебания с акустическим законом дис-
персии возможны только при и > vf- Такие колебания получили
название нулевого звука Ландау. Функция </? (s) = | In $ j — 1
убывает от оо до нуля при изменении s от 1 до оо, оставаясь
все время положительной. Отсюда следует, что рассматриваемые
волны могут существовать только в ферми-жидкости, у которой
Ао > 0. Таким образом, распространение нулевого звука возмож-
но только при отталкивании между квазичастицами.
При больших Ао (сильное взаимодействие) из (7.99) следует,
что s —> оо. Используя разложение логарифма
получаем, что y>(s) « Отсюда следует, что большим значе-
ниям Fq соответствует скорость нулевого звука, определяемая
соотношением
При Ао —> 0 (почти идеальный ферми-газ) из (7.99) следует, что
s стремится к единице по закону
__2_
s — 1 ~ 2е .
Таким образом, скорость нулевого звука в слабо неидеаль-
ном ферми-газе совпадает со скоростью квазичастиц на ферми-
поверхности, т. е. превышает скорость обычного звука в v3 раз.
16.	Возможность распространения акустических волн
в ферми-жидкости при абсолютном нуле температуры означает,
что ее энергетический спектр может содержать ветвь, отвечаю-
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях	237
щую элементарным возбуждениям бозевского типа с импульсом
р = hk и е = Тш = up — кванты нулевого звука. Является ли
в этих условиях выражение (7.11) для вариации казичастичной
энергии последовательным? Не следовало ли бы добавить сюда
член, соответствующий бозевским возбуждениям?
Решение. Теория нормальной ферми-жидкости основана
на представлениях о хорошо определенных квазичастицах фер-
миевского типа. Это означает что квантовая неопределенность
значения энергии квазичастицы, связанная со столкновениями,
,	Л	*	* '
(т. е. величина порядка -, где т — время свободного пробега),
должна быть мала по сравнению с шириной области температур-
ного размытия функции распределения:
-
т
П	ГЦ
Вероятность столкновения 1-1 пропорциональна квадрату ши-
рины области температурного размытия, т. е. т ~ Т-2.
Отсюда следует, что теория нормальной ферми-жидкости
справедлива только при значениях температуры, соответству-
ющих неравенству Т ер. Для жидкого Не3 энергия Фер-
ми соответствует температуре 2,5 К, а область количественной
применимости теории, (как показывает эксперимент) ограничена
температурами Т 0,1 К.
Фермиевская ветвь спектра возбуждений дает вклад в тепло-
емкость, пропорциональную Т, в то время как бозевская ветвь —
пропорциональную Т3. Поэтому при столь низких температурах
вкладом бозевской ветви в термодинамические величины можно
пренебречь, и выражение (7.11) является последовательным.
17.	Найдите спектр асимметричных высокочастотных неза-
тухающих колебаний в нормальной ферми-жидкости, у которой
отличны от нуля два первых коэффициента До и Д1 в разложе-
нии (7.13) для корреляционной функции.
Решение. Когда отличны от нуля только коэффициенты До
и Д], формулы (7.13) и (7.16) позволяют записать выражение для
Д(х) в виде
А — До + ЗД1 (cos 0 cos О' + sin 0 sin О' cos (</> — </)).
При таком виде корреляционной функции в ферми-жидкости
могут распространяться не только симметричные, но и асиммет-
238
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
ричные волны нулевого звука с v ~ е±1<^. Положив, например,
I/ = /(0)е-г<^ и выполнив в (7.15) интегрирование по <//, получим
7Г
(s — cos 0) f (0) = ^- cos 0 sin 0 f (О') sin2 O'dO'.
о
Обозначив интеграл по углу 0' через С, для функции и(0, ф)
получаем	. Л
ч „sin 0 cos 0 iv
v(0,<p) = С-------т-е^.
s — cos 0
Подставляя это выражение в уравнение (7.15) и выполняя инте-
грирование по </, получаем дисперсионное уравнение для опре-
деления скорости распространения асимметричных нульзвуко-
вых волн:	_
' sin3 0 cos 0^0—
J s — cos 0 3Ai
О
Интеграл в левой части этого равенства является монотонно
убывающей функцией s. Его наибольшее значение достигается
при s=l. Вычислив интеграл при s = 1, найдем, что распро-
странение асимметричной волны рассмотренного вида возможно
при А[ > 2. Отметим, что для Не3 значения Ао и А[ составляют
соответственно 10,8 и 2,1.
18.	Покажите, что любые асимметричные нуль-звуковые вол-
ны в нормальной ферми-жидкости происходят без изменения
плотности жидкости. Меняется ли плотность при симметричных
нуль-звуковых колебаниях?
Решение. Для ответа на первый вопрос задачи доста-
точно показать, что при любых асимметричных колебаниях
нуль-звукового типа выполняется равенство
р (0,9?0) dQ = 0,
(7.100)
означающее, что объем, заключенный внутри ферми-поверх-
ности, остается неизменным. Для асимметричных волн, где
р ~ е±гтф, выполнение этого условия очевидно благодаря нали-
чию в (7.100) интеграла по ф. Для симметричной моды нулевого
звука, используя выражение (7.100), получим
7Г
у (0, </>) dQ = С2тг
cos 0 sin 0d0
s — cos 0
(7.101)
о
7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях 239
Это выражение отлично от нуля, что означает, что плотность
жидкости изменяется при колебаниях. Выражение (7.101) входит
в дисперсионное уравнение (7.98) для симметричной моды нуле-
вого звука. Как уже отмечалось, функция (7.97) соответствует
определенной деформации ферми-поверхности при колебаниях:
ферми-поверхность вытягивается вперед по направлению распро-
странения волны и сплющивается в обратном направлении.
Отметим, что в обычной звуковой волне у сферической
ферми-поверхности колеблется только ее радиус — граничный
импульс Ферми колеблется вместе с плотностью жидкости. При
этом сферическая ферми-поверхность смещается как целое на
величину, связанную со скоростью движения жидкости в волне:
и = брр + С cos 0.
Этот результат становиться особенно понятным, если учесть,
что обычный звук распространяется в условиях термодинамиче-
ского квазиравновесия (шт С 1), тогда как распространение ну-
левого звука происходит в существенно неравновесных условиях
(шт » 1).
19.	Получите общее дисперсионное уравнение для спектра
коллективных возбуждений нормальной ферми-жидкости при
произвольном числе отличных от нуля коэффициентов Ап разло-
жения корреляционной функции (7.13).
Решение. Подставим разложение (7.13) в уравнение (7.15):
00	п ( -1 in
(s - cos 0) p (0) = cos0	(2n + 1)An n + m !P^ (cosв>>x
n=Q	m=-n '
x e’W j ^pn (.cos0')e-im^p (0',	. (7.102)
Вводим обозначение
= (2n + 1)	(cosD'Je-"”^ (в',	.
(7.103)
Из уравнения (7.102) при учете (7.103) получаем следующее
выражение для р(0,ф):
оо п
,/('м = Г^Е Е
п=0 т——п
240 Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Подставляя это значение v(f), </>) в определение (7.103) и инте-
грируя по углу р', приходим к соотношению
(2п 4-1) А	f cos^ Рт (cosв'}х
(2п+1)АП(п+|гп))! J 4?r s_cos0,^n (COSt/)X
оо	оо
х РГ (cos 0')Фкт = £ Фкт6кп. (7.104)
к=0	к=0
Соотношения (7.104) представляют собой систему линейных од-
нородных уравнений для определения величины Фкт- Эта си-
стема распадается на т независимых подсистем, соответствую-
щих различным значениям т. Это означает, что в нормальной
ферми-жидкости при абсолютном нуле температуры могут рас-
пространяться нуль-звуковые колебания различных типов, ха-
рактеризуемые различной зависимостью амплитуды от углов 0
и ф. Значение т — 0 соответствует симметричным колебаниям,
для которых v = изотропно в плоскости, перпендикуляр-
ной волновому вектору к. При m 0 колебания поляризованы
определенным образом в этой плоскости. Число типов таких ко-
лебаний определяется числом возможных значений т (|т|	п).
Дисперсионное уравнение для определения скоростей таких ко-
лебаний получается как условие существования ненулевых реше-
ний у систем уравнений, на которые распадается система (7.104).
По теореме Крамера при каждом т имеем
det |<5fcn + (2n + l)Fnn^„(s)| = 0, (n,fc>|m|),	(7.105)
где
(s) =	C°S/ P™ (cosF)Pf (cosF). (7.106)
7 (n + |m|)!j 4ttcos0'-s n v ' k v '
Благодаря свойству присоединенных полиномов Лежандра
Р~т = Р™ значение величины (s) не зависит от знака т.
Это значит, что волны, различающиеся знаком т, распространя-
ются с одинаковой скоростью.
Уравнение (7.104) является трансцендентным. Вещественные
корни, соответствующие незатухающим колебаниям, есть не все-
гда. Это зависит от значения коэффициентов Ап. Иногда имеется
несколько вещественных корней. Это соответствует нескольким
типам колебаний с одинаковой поляризацией в плоскости, пер-
пендикулярной волновому вектору к.
20.	Используя дисперсионное уравнение (7.105), полученное
в предыдущей задаче, исследуйте спектр коллективных возбуж-
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях 241
дений в нормальной ферми-жидкости, где для корреляционной
функции А(х) справедливо приближение
А (у) = Ло + ЗЛ] (cos О cos О' + sin 0 sin О' cos (у> — <р'У).
Решение. При заданном виде корреляционной функции из
(7.105) следуют такие дисперсионные уравнения:
ЗЛ< = о т = 0)	(7Ю7)
Ао^ю 1 + oAiS2u
1+ЗА1П}1=0, |т| + 1.	(7.108)
Вычисление входящих в уравнения (7.107) и (7.108) коэффици-
ентов с помощью формулы (7.106) приводит к следующему
результату:
1 f xdx , s, s 4- 1	, ,
7 =1 -21,1; л = -»>(«).
-1
1
Q10 - Q01 - - j —— - -sip (s),
-1
1
1 f x3dx 1	2 / \
Q" = 2 J
-1
1
1 [ 1 -x2 ,	1 R 2 n 1\
= 4 -^7dx=2\!-S
-1
(7.109)
С помощью выражений (7.109) дисперсионные уравнения (7.107)
и (7.108) симметричной (т = 0) и асимметричной (|m| = 1)
ветвей нулевого звука записываются следующим образом:
V?(s) =---------------=, (т = 0),	(7.110)
Л0 + +Л0А1+ЗА152 V h	V ’
А, — 9
= затН1)’ (Н = 1)-	(7Л11)
Отметим, что при Ai = 0 дисперсионное уравнение (7.110) пере-
ходит в уравнение, полученное в случае, когда отличен от нуля
только коэффициент Aq.
242
Гл. 7. Описание с помощью управляющих, уравнений
Уравнение, описывающее асимметричные колебания, имеет
вещественный корень при А\ > 2 (Ао, Ai > 0). Для Не3 экспери-
мент дает До = Ю>8; Ai = 2,1. Поэтому в жидком Не3 возможно
распространение как продольных нуль-звуковых колебаний при
т = 0, так и при поперечных нуль-звуковых колебаний при
|m| = 1. Эксперимент подтверждает этот результат теории. Для
приведенных значений параметров Ао и Ai уравнение (7.110)
имеет единственное решение s = — « 3,6. Скорость Ферми vf
в Не3 составляет примерно 53 м/с. Поэтому скорость нулевого
звука с т = 0 оказывается равной ~ 194 м/с. Асимметрич-
ная мода колебаний с |m| = 1 распространяется со скоростью
и « 54 м/с.
21.	Исследуйте вопрос о числе ветвей незатухающих нуль-
звуковых колебаний в Не3, где известные значения параметров
ферми-жидкостного взаимодействия составляют Ао = 10,8; Ai =
= 2,1.
Решение. Как мы видели в задаче 19, колебания, соот-
ветствующие разным значениям т, независимы друг от друга.
Поэтому будем искать решение уравнения (7.102), справедливого
при произвольном числе слагаемых в разложении для А(х),
в виде
^е,Ф) = Ы0Ут^.
(7.112)
Подставляя это выражение в (7.102) и используя свойство при-
соединенных полиномов Лежандра, преобразуем это уравнение
к виду
(s - cos/9) fm (0) = cos# V (п + I) Ап^П x
' \	2/ (n + m)!
n=m
7Г
x P™ (cos #) d0'sin0'P^(cos0')/m(0'). (7.113)
0
Уравнение (7.113) может иметь не нулевые решения только
в том случае, если среди коэффициентов Ап с п т суще-
ствуют отличные от нуля. Незатухающим колебаниям соответ-
ствуют значения s > 1, что накладывает определенные ограни-
чения на значения Ап, при которых возможны такие колебания.
Коэффициенты Ап разложения корреляционной функции А(х)
быстро убывают с ростом п. Поэтому для выяснения условий
существования решений уравнения (7.113) можно в простейшем
приближении ограничиваться первым слагаемым в правой части,
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
243
положив Ат 7^ 0, Ап = 0 при п > т. В этом приближении из
(7.113) имеем
^(9)=“nslT^»P”(cos9>'
о COd U
а дисперсионное уравнение для s принимает вид
Fm(m+2) f d0sin0coS0[P™(coS0)]2
(2т)! ь	s —cos#
О
Учитывая, что
уравнение (7.114) можно записать следующим образом:
(2m + 1) Fm dxx (1 — ж ) _ .
22m (m!)2 J s2-rc2
О
В области s > 1 интеграл в (7.115) является монотонно убываю-
щей функцией s. При т = 0 величина интеграла при изменении
s в области 1 < s < оо может принимать любые положительные
значения. Поэтому для т = 0 незатухающее решение уравнения
(7.115) существует при Ао > 0.
При т 1 этот интеграл при всех s 1 остается конечным
и достигает наибольшего значения при s = 1. Таким образом,
условие существования решения с s > 1 при т 1 имеет вид
1
(2m + 1)! f	2 /j _ a.2\m~1	/7 j jg)
Am < 22m (m!)2 J [	(	}
0
Вычисление интеграла в (7.116) дает
j 2/1	2\т~1	22”1 (m!)2
dxx£ (1 - я ) = -—77^—Ч-т.	(7.117)
J v '	2m(2m+l)!	v ’
0
Подставляя (7.117) неравенство (7.116), получаем условие на Ат,
при котором возможны незатухающие моды с данными значени-
ем т:
(7.118)
Fm > 2т.
244
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Это условие выполняется в Не3 для Ао и Ль Что касается выс-
ших мод нулевого звука с m > 2, то их распространение в Не3
в соответствии с неравенством (7.118) оказывается невозмож-
ным. Уже при т = 2 это условие дает Аг > 4, что представляется
совершенно нереальным, поскольку естественно ожидать, что
А2 С А1 = 2,1.
Условие существования незатухающих решений (7.118) мож-
но уточнить, если в уравнении (7.113) учесть слагаемые с п >
> т + 1.
22.	Исследуйте вопрос об устойчивости основного состояния
нормальной ферми-жидкости с притяжением между квазичасти-
цами, рассматривая простейшую модель нуль-звуковых колеба-
ний в системе, когда в разложении для корреляционной функции
отличен от нуля только один коэффициент Aq.
Решение. В рассматриваемом случае дисперсионное урав-
нение для определения скорости нуль-звуковых колебаний имеет
вид	, 1	1
Ь„£±1-1= ‘ .
2 s — 1	Ао
(7.119)
Как уже отмечалось в задаче 15, при Ао > 0 имеется только один
вещественный корень s > 1, что соответствует незатухающим
колебаниям в системе с отталкиванием между квазичастицами.
Рассмотрим случай, когда между квазичастицами системы
существует слабое притяжение, так что
-1 < Ао <0.
(7.120)
В этом случае корень уравнения (7.119) будет комплексным,
что соответствует затухающим нуль-звуковым колебаниям. При
сильном притяжении между квазичастицами, когда
Aq < — 1,
(7.121)
нуль-звуковая мода оказывается неустойчивой. Это означает, что
состояние системы, которое мы считали основным, самопроиз-
вольно переходит в другое состояние, характеризующееся по-
стоянными флуктуациями величины, связанной с неустойчивой
модой. Покажем справедливость этого утверждения.
Заменим в дисперсионном уравнении (7.119) s на s + i6,
(6 —> +0). При s > 1 никаких изменений в дисперсионном урав-
нении не произойдет. Если же s < 1, то логарифмическая функ-
ция заменится на
,s-l-l
In----- — гтг.
s — 1
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях	245
Теперь мнимая часть в дисперсионном уравнении играет важную
роль, будучи сравнимой с вещественной частью. Для отрица-
тельных не слишком больших по модулю До дисперсионное
уравнение обладает одним комплексным корнем, который соот-
ветствует затухающей коллективной моде.
Механизм затухания, существенного в пренебрежении столк-
новениями квазичастиц (шт 1), похож на механизм бесстолк-
новительного затухания Ландау в плазменных колебаниях. Он
соответствует когерентному взаимодействию коллективной мо-
ды с теми частицами, которые держатся на гребне бегущей
волны. Это явление возможно, если фазовая скорость вол-
ны меньше vf, т. е. s < 1. Такое резонансное взаимодействие
можно представить как реальный переход, сопровождающий-
ся распадом коллективной моды с возбуждением одной пары
квазичастица—квазидырка. С формальной точки зрения замена
s —> s + гб соответствует определенному правилу (правилу Лан-
дау) обхода полюса при вычислении интеграла в (7.98).
В некоторых случаях дисперсионное уравнение может иметь
два чисто мнимых комплексно сопряженных корня. Один из
них соответствует экспоненциально нарастающим волнам. Это
соответствует неустойчивости системы.
Рассмотрим чисто мнимый корень уравнения (7.119) s = ia,
где а — вещественное число. Используя известное свойство ло-
гарифмической функции, уравнение (7.119) в этом случае можно
переписать в виде
1,1
ctarctg---1 = —.	(7.
а До
Нетрудно убедиться, что уравнение (7.122) имеет два веществен-
ных решения противоположного знака, если До лежит в интерва-
ле (—1,0). Таким образом, условие устойчивости нулевого звука
имеет вид
До < — 1.
Если притяжение между квазичастицами достаточно велико,
нулевой звук сменяется неустойчивой модой. Такие неустой-
чивости возникают и в общем случае при произвольном ви-
де корреляционной функции F(x). Они могут подавить любую
коллективную моду. Появляется бесконечное число критериев
неустойчивости типа (7.119).
23.	В отсутствие внешнего магнитного поля кинетическое
уравнение для векторной функции ба распределения нормаль-
246
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
ной нейтральной ферми-жидкости имеет вид, аналогичный (7.12)
и при шт 3> 1 записывается следующим образом:
+ (Vp£o • Vr) (<5а -	= 0.	(7.123)
При этом связь между вариацией Зе и возмущением спиновой
плотности Зв аналогична (7.11):
Зе (р, г, £) = [	(Р, Р') fa (₽'. г. 0 •	(7.124)
Исследуйте возможность распространения спиновых волн в Не3,
у которого поверхность Ферми сферически симметрична.
Решение. Изотропия ферми-поверхности позволяет ис-
пользовать для корреляционной функции ф (р, р') разложение по
полиномам Лежандра
ОО
В(х) = р(ер)Ф(х) = J2(2n+ i)BnPn (cosx), (7.125)
n=0
где х ~ Угол между векторами рр и pfF. Записывая выра-
жение для возмущения спиновой плотности 6с вблизи ферми-
поверхности в виде
5o = <5(e-£f)v(Q) егкг~гш1,	(7.126)
приходим с помощью приведенных соотношений к уравнению
для функции v(Q), аналогичному (7.15)
(s - cos в) v (Q, 99) = cos 0 f ^В Му (О', </),	(7-127)
J
где, как и раньше, s =	— скорость волны в единицах
фермиевской скорости квазичастиц.
Дальнейшее исследование этого уравнения проводится точно
так же, как проводилось исследование уравнения (7.15) в преды-
дущих задачах в различных частных случаях.
Для каждой из компонент вектора v получается уравнение,
отличающееся от (7.15) только заменой функции А(у) на В(у).
Колебания, в которых зависимость v от ф имеет вид егт^, незави-
симы для разных значений т, а соответствующая зависимость от
0 не меняется при замене т на — т. Далее, условие существова-
ния незатухающих решений при фиксированном значении т 0
в простейшем приближении для корреляционной функции В(у),
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
247
в котором Вт 7^ 0, Вп = 0 (n т + 1), аналогично условию
(7.118) и имеет вид
Вт 2т.
Для т = 0, т. е. для изотропных в плоскости, перпендикуляр-
ной к, возмущений это дает Bq > 0. Для жидкого Не3 величина
Bq отрицательна (Во « —0,67). Поэтому распространение рас-
сматриваемых волн в этой жидкости невозможно. Отметим, что
и уточненное условие существования незатухающих решений,
получаемое при учете коэффициентов Вп (n т+ 1), не меняет
этого вывода в отношение квантовой жидкости Не3.
24.	Найдите скорость распространения низкочастотного
(cjt 1) звука в сверхтекучем гелии II, исходя из линеаризо-
ванных уравнений двухскоростной гидродинамики (7.18)-(7.20).
Решение. Исключим импульс] из уравнения непрерывно-
сти (7.17) и уравнения (7.18). Взяв производную по времени от
первого из этих уравнений и дивергенцию от второго, придем
к соотношению	2
y = V2p.	(7.128)
Исключим теперь скорости нормального и сверхтекучего дви-
жения из уравнений (7.19) и (7.20). Для этого воспользуемся
термодинамическим соотношением
dp = —sdT + dp/р,	(7.129)
S
где s — —. Из (7.129) следует равенство
Vp = pVp + ps^T.	(7.130)
Подставляя сюда Vp из (7.18) и Vp из (7.20), получим вместо
(7.130)
Pn^(vn-vs) + psVT = 0.	(7.131)
В очевидное тождество
ds _ 1 d(sp) s др
dt р dt р dt
др	/-7 , -7\ d(sp)
подставляем из уравнения непрерывности (7.17) и из
уравнения (7.19). Получаем
= —sdivvn + div j = div(vs - vn),
248
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
откуда
ч р ds
div(vs - vn) = —-XT.
sps dt
Беря дивергенцию от соотношения (7.131) и подставляя по-
лучающийся результат в (7.132), приходим к уравнению
= ^s^T.
dt2 Рп
(7.132)
(7.133)
Уравнения (7.128) и (7.133) определяют изменения термодина-
мических величин в звуковой волне в сверхтекучей жидкости.
Поскольку этих уравнений два, то существуют две скорости рас-
пространения звука. Для определения этих скоростей выразим
давление и температуру через энтропию и плотность и перепи-
шем уравнения (7.128) и (7.133) в виде
Решения этих уравнений ищем в виде плоских волн, например
Р — Ро +
(7.134)
(7.135)
где а) — частота, а и — скорость звука вдоль оси х. Теперь вместо
(7.134) и (7.135) получим
и \2
U2 )
si = О,
3
(ds\
dp)s\dT)PPX
Здесь использованы обозначения
- 1 s, =0.
\ s
и2 = Рз 2 (&Г\
2 рп \ds/p
(7.136)
(7.137)
(7.138)
«1
Условие существования ненулевых решений у системы уравне-
ний (7.136) представляет собой дисперсионное уравнение для
определения скорости распространения звуковых колебаний:
2
и
U]
— 1
- 1
(dp\ fdp\ fOTX (®s\
\ds)p\dp)sSl \dp)s \dTJp'
(7.139)
§ 7.4. Кинетические явления в квантовых жидкостях
249
Используя правила преобразования термодинамических перемен-
ных, убеждаемся, что правая часть (7.141) равна	Благо-
Ср
даря аномальной малости коэффициента теплового расширения
гелия II ниже A-точки его теплоемкости Ср и Cv практически
одинаковы, так что дисперсионное уравнение (7.139) принимает
вид
и А
щ)
2
- 1
- 1
= 0.
(7.140)
Итак, формулы (7.137) и (7.138) определяют два приближен-
ных корня дисперсионного уравнения. Первый корень определяет
скорость обычного (называемого «первым») звука. С такой ско-
ростью распространяются в гелии II колебания давления или
плотности. В волнах первого звука гелий движется как целое.
Второй корень определяет скорость распространения «второго»
звука. С такой скоростью распространяются колебания темпе-
ратуры или энтропии. Возможность распространения незатуха-
ющих температурных волн является специфическим свойством
сверхтекучего гелия.
25.	С помощью соотношений, полученных в предыдущей за-
даче, исследуйте зависимость от температуры скоростей первого
и второго звука в гелии II и убедитесь в справедливости при-
веденных утверждений относительно физической природы этих
звуков.
Решение. Скорость щ первого звука, определяемая форму-
лой (7.137), почти постоянна, а скорость U2 второго звука сильно
зависит от температуры, обращаясь в A-точке в нуль вместе с ps.
Вблизи A-точки рп « р и поэтому из (7.138) имеем
(7.141)
При самых низких температурах почти все элементарные
возбуждения в гелии II являются фононами. Поэтому нетрудно
убедиться, что вблизи абсолютного нуля температуры справед-
ливо следующее соотношение:
С = Т^ = 35.	(7.142)
При Т = 0 нормальная часть плотности обращается в нуль;
вся жидкость может совершать только сверхтекучее движение,
поэтому
Ps ~ Р-
(7.143)
250
Гл. 7. Описание с помощью управляющих уравнений
Для получения явного выражения для рп вблизи абсолютного
нуля температуры воспользуемся формулой
<7-144’
Вблизи Т = 0 основной вклад в рп дают фононы. Полагая
в (7.144) £ = щр, имеем
ОО
(рп)ф = "З^ j
о
4тгр2с!р 2^п
(2тг/г)зР dp’
а после интегрирования по частям
(рп)ф ~ Зщ
ОО
47rp2dp 4
J (Wpn = ^J
о
dp
-----£—^-671.
(27ГЙ)3
(7.145)
Интеграл, стоящий в правой части (7.145), представляет собой
энергию единицы объема фононного газа. Подставляя ее значе-
ние из (4.67), получим
(Рп)ф —
27г2Т4 _ Тер
45Й3и? 3uj’
(7.146)
Подставляя выражение (7.142), (7.143) в формулу (7.141) для и?,
получим
u2 = ±L (Т-»0).	(7.147)
V 3
Этот результат означает, что второй звук можно рассматривать
как волны сжатия и разрежения в газе элементарных возбужде-
ний, поскольку колебания температуры приводят к колебаниям
плотности тепловых возбуждений. Скорость второго звука —
это скорость звука в газе возбуждений, а предельное значение
щ = при Т оо соответствует общему результату для
скорости звука в газе квазичастиц с энергетическим спектром
£ - щр.
В волне первого звука, распространяющегося со скоростью
гц, энтропия не меняется, а колеблется плотность. Действитель-
но, из первого уравнения (7.136) следует, что при и ~ щ р\ / 0,
a si = 0. Из уравнения (7.133) при этом следует, что VT — 0,
а из (7.131) видно, что vs = vn. Это соответствует распростра-
нению волны плотности в гелии II с практически постоянной
энтропией при совместном движении нормальной и сверхтеку-
чей компонент, причем скорость равна обычной скорости звука,
§ 7.5. Задачи для самостоятельного решения
251
„ ,	-2	! иР\ г)
определяемой формулой и —	• В волне второго звука,
распространяющегося со скоростью не меняется плотность,
а колеблется энтропия (или температура): из второго уравнения
(7.136) видно, что при и « «2 р\ = 0, a si / 0. Из уравнения
(7.128) при этом следует, что Vp = 0, из уравнения (7.17) — что
psvs + РпУп = 0- Эти условия соответствуют распространению
волн энтропии при почти постоянной полной плотности. При
этом нормальная и сверхтекучая компоненты гелия II движутся
в противофазе, что обеспечивает равенство нулю суммарного
потока массы.
§ 7.5. Задачи для самостоятельного решения
1.	Пользуясь уравнением Больцмана, получить равновесную
функцию распределения для системы, находящейся в постоян-
ном во времени внешнем поле.
2.	Показать, что уравнение Больцмана необратимо, т. е. если
/(x,t) — решение, то /(—х, — t) не обязано быть таковым.
3.	Уточните условие (7.118) существования незатухающих
мод нулевого звука с заданным значением т, учтя в уравнении
(7.113) слагаемые с п т + 1. Покажите, что это условие запи-
сывается в виде	0 .
I _ дАт+1
А >	2m
1т 1 + Х.+, 
4.	Найдите скорость распространения звуковых волн в сверх-
текучем гелии II в узких капиллярах, когда длина свободного
пробега квазичастиц становится сравнимой с диаметром труб-
ки и нормальная компонента жидкости неподвижна: vn = 0.
Воспользоваться линеаризованной системой гидродинамических
уравнений в приближении vn = 0 и пренебречь тепловым расши-
рением жидкости.
Список литературы
1.	Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физи-
ки. — М.: Наука, 1977. — 367 с.
2.	Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Термодинамика и ста-
тистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: Изд-во
МГУ, 1986. - 310 с.
3.	Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.
Т. 1. - М.: Мир, 1978. - 405 с., Т. 2. М.: Мир, 1978. - 399 с.
4.	Боголюбов Н.Н. Избранные труды по статистической физике. —
М.: МГУ, 1979. - 342 с.
5.	Гуров К.П. Основания кинетической теории. — М.: Наука, 1966. —
351 с.
6.	Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.:
Наука, 1971. - 415 с.
7.	Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. — 471 с.
8.	Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Теория
неравновесных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 559 с.
9.	Хуанг Керзон. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. —
520 с.
10.	Киттелъ Ч. Статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1977. —
336 с.
11.	Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. — М.: Наука, 1982. —
608 с.
12.	Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука,
1981 - 351 с.
13.	Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая фи-
зика. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
14.	Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Статистическая физика. 4.1. — М.:
Физматлит, 2001. — 616 с.
15.	Лифшиц ЕМ., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.:
Физматлит, 2002. — 536 с.
16.	Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. — М.: Наука,
1977. - 331 с.
Список литературы
253
17.	Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. —
М.: Мир, 1965. - 307 с.
18.	Фейнман Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
19.	Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. —
М.: Наука, 1976. - 330 с.
20.	Флюге 3. Задачи по квантовой механике. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974.
Учебное издание
КОНДРАТЬЕВ Александр Сергеевич
РАЙГОРОДСКИЙ Петр Александрович
ЗАДАЧИ ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ, СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
И КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Редактор В.С. Ярунин
Оригинал-макет: А.М. Садовский
Оформление переплета: Д.Б. Белуха
Подписано в печать 06.08.2007. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16. Тираж 1500 экз.
Заказ № 1362
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 978-5-9221-0876-8
9 785922 108768
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
В издательстве «Физматлит» вышли из печати
следующие книги:
Емельянов В.М.
Стандартная модель и ее расширения
Ильин В.А., Позняк Э.Г. (обл. МГУ)
Аналитическая геометрия. Уч. пос.
Симиу Э.
Хаотические переходы в детерминированных и стохастических
системах. Пер. с англ.
Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В.
Квантовые поля, 3-е изд., дополн.
Вайнберг С.
Квантовая теория поля. Т.1. Общая теория /Пер.с англ. Под ред.
Жуковского В.Ч.
Вайнберг С.
Квантовая теория поля. Т.2. Современные приложения/ Пер. с
англ. Под ред. Жуковского В.Ч.
Вергелес С.Н.
Лекции по квантовой электродинамике
Гантмахер В.Ф.
Электроны в неупорядоченных средах. 2-е изд., испр. и доп.
Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г.
Статистическая механика неравновесных процессов. Т-1-2
Карлов Н.В., Кириченко Н.А.
Начальные главы квантовай механики
Кингсеп А.С, (под ред.)
Основы физики. Курс общ. физики в 2-х т. Т.1.
Механика,электричество и магнетизм,колебания и
волны,волновая оптика.Учебник для вузов.
Кингсеп А.С. (под ред.)
Основы физики. Курс общ. физики в 2-х т. Т.2. Квантовая и
статистическая физика. Учебник для вузов.
Медведев Б.В.
Начала теоретической физики. Механика, теория поля,
элементы квантовой механики
Цвелик А.М.
Квантовая теория поля в физике конденсированного
состояния.Пер.с англ.
Барду Ф., Бушо Ж., Аспе А., Коэн-Таннуджи К.
Статистика Леви и лазерное охлаждение. Пер. с англ.
Брандт Н.Б., Кулъбачинский В.А.
Квазичастицы в физике конденсированного состояния
Имри Й.
Введение в мезоскопическую физику. Пер. с англ.
и другие книги
Наиболее полную информацию о книгах Вы можете найти
в Интернете по адресу http://www.fml.ru
По вопросам приобретения книг обращаться:
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
тел./факс (495) 334-7421, e-mail: fizmat@maik.ru