/ /л (ft 0 (7)
ZJ l> V° °V 0 A,y
Ы/С-
MCkfT^U^Ou^u *Ы>^ ///^ /
тотсЛ ?£ лемм?
4
Ответственный редактор
В. В. СТРУВЕ
О, (oocsn. AUl. i^Gi

ВВЕДЕНИЕ
В конце IV тысячелетия до н. э. в южной части Двуречья
(современный Ирак) начали складываться государственные
образования шумеров—народа, в значительной мере
определившего дальнейшее культурное развитие древней Передней
Азии. Так, шумеры изобрели клинопись—своеобразный вид
письма, писчим материалом для которого служили глиняные
таблички, а инструментом для нанесения клинообразных знаг
ков—прямоугольная палочка. Позднее клинопись переняв
ли и приспособили для своих языков другие народы Передней
Азии—вавилоняне, ассирийцы, хетты, урарты, древние персы»
Велики были достижения шумеров в области техники,
искусства, литературы, метрологии и математики. Сложившаяся у них
к концу III тысячелетия до н. э. система мер и весов
просуществовала в древнем Двуречье в почти неизменном виде до
начала I тысячелетия до н. э. и легла в основу ряда
метрологических систем древней Передней Азии. Шумеры созда; ■
шестидесятеричную позиционную систему исчисления, кот-,
рая дошла и до нашего времени; именно этой системой поль
зуются и сейчас, когда оперируют градусами (или часами),
минутами и секундами.
В конце III тысячелетия, с падением государства III династии
Ура — последнего шумерского государственного
образования, шумеры теряют политическую самостоятельность и
ассимилируются с вавилонянами, которые оказались достойными
преемниками и продолжателями шумерской культуры. Так,
заимствовав у шумеров клинопись, вавилоняне сумели весьма
серьезно усовершенствовать ее и с успехом приспособить для
своего языка, сильно отличавшегося по словарному составу и
грамматике от шумерского. В частности, именно вавилоняне
осуществили переход от преимущественно идеографического
письма, при которрм понятие передается отдельным знаком, к
слоговому. То же самое можно сказать и о других областях
шумеро-вавилонской культуры. Математика, например,
достигла своего наивысшего расцвета и оформилась, по-видимому, в
самостоятельную отрасль знаний как раз в первой четверти
.а

II тысячелетия до н. э., в эпоху наивысшего подъема
вавилонского государства.
Со II тысячелетия роль ведущей политической и военной
силы Передней Азии играли ассирийцы, которые продолжали
культурные традиции шумеров и вавилонян. Однако в
математику ассирийцы внесли мало нового; эта область знаний была
преимущественно разработана шумерами и вавилонянами. С
середины 1 тысячелетия до н. э. ассирийцы и вавилоняне
постепенно сходят с арены политической жизни. Сначала они были
завоеваны персами, а после падения персидской монархии, в
середине IV в. до н. э., вошли в состав селевкидского
государства, основанного одним из преемников Александра
Македонского.
Однако с утратой политической самостоятельности вавило-
но-ассирийская культура не исчезает. Клинопись, например,
просуществовала до первых веков нашей эры. Не был забыт
также язык изобретателей клинописи—шумеров, которым
пользовались в ряде случаев при религиозных обрядах. Интересно,
что персидским и селевкидским временем датируются многие
клинописные силлабарии—своеобразные шумеро-вавилонские
словари. Очевидно, именно в персидское время в древнем
Двуречье возникает новая область научного
знания—вычислительная астрономия, которая известна нам по большому количеству
клинописных табличек. Сохранились также древние
математические традиции. Только в начале нашей эры шумеро-вавило-
но-ассирийская культура прекращает самостоятельное
существование.
Источники изучения шумеро-вавилонской
математики
Единственным источником исследования
шумеро-вавилонской математики язляются глиняные клинописные таблички,
добытые при археологических раскопках городов и селений
или случайно найденные местными жителями среди древних
развалин. Большинство клинописных текстов—хозяйственные
документы (в настоящее время известны десятки тысяч таких
документов), но и они представляют интерес при изучении
истории математики.
Наибольшее значение для исследования шумеро-вавилонской
математики имеют математические клинописные
тексты,содержащие школьные задачи—арифметические, геометрические и
алгебраические. Таких текстов известно мало (опубликовано не более
150—160), тем не менее в них содержится огромный материал.
Нд одной и той же табличке часто бывает записан целый ряд
задач, не всегда однотипных. Таковы, например, клинописные
математические тексты ВМ 85194 (35 задач), ВМ 85196 (18 задач),
4

ВМ 13901 (24 задачи) и др. На некоторых табличках
зафиксировано даже более 100 задач (см., например, YBC 4668—на ней
148 задач), но в этих случаях приводятся только их условия.
Важным источником изучения шумеро-вавилонской
математики являются также клинописные вычислительные
таблицы; умножения, обратных величин, квадратов чисел,
квадратных корней и т. д. Таких вспомогательных математических
текстов известно более 200.
Некоторые сведения по истории математики удается
почерпнуть из метрологических текстов, содержащих различные
таблицы мер длины, площади и т. д.
Изучение клинописных математических текстов
Историко-математическому исследованию клинописного
математического документа предшествует палеографическая и
филологическая обработка текста. Табличка фотографируется,
затем от руки снимается копия текста и дается его
транскрипция, т. е. все клинописные знаки записываются при помощи
общепринятой среди ассириологов системы символов,
основанной на латинском алфавите. Фотография текста, прорисовка
(автография) и транскрипция при публикапии документа в
подавляющем большинстве случаев вполне заменяют
подлинник.
Палеографическая и филологическая обработка текста
завершается переводом, на основе которого осуществляется истори-
ко-математическое изучение документа. Если филологическое
исследование доступно только специалисту-ассириологу, то ис-
торико-математическое исследование при наличии перевода
уже может быть осуществлено историком математики, не
имеющим специальных познаний в клинописи.
Историко-математическое изучение документа делится на
два'этапа. На первом этапе буквальный перевод текста как бы
заменяется математическим, вскрывающим существо
рассматриваемой задачи. Дело в том, что на основании одного только
условия задачи, из-за расплывчатости шумеро-вавилонских
математических терминов, часто трудно бывает понять, что
именно имел в виду древний математик, и, чтобы дать
современную формулировку условия, приходится также
проанализировать решение. При отсутствии же решения возникает еще
больше трудностей. Предлагая математическое толкование,
задачи, удобно пользоваться современной символикой. Это,
конечно, ни в коем случае не модернизация древних
математических представлений, а исследовательский прием,
допустимый на этапе чисто математического толкования текста.
На втором этапе делается попытка, к сожалению не
всегда удачная, воспроизвести ход рассуждений автора изучаемого
5

текста. Математическое толкование документа, как правило,
нельзя отождествлять с рассуждениями, которые привели
древнего математика к определенному решению задачи.
Решение изложено в подлиннике очень лаконично и в подавляющем
большинстве случаев сводится к ряду арифметических
выкладок над заданными величинами, которые приводят к
искомому результату. Анализируя задачу, все подобные выкладки
можно свести к одной или нескольким формулам и показать,
что они могут быть выведены из условия задачи. Но к одной
и той же формуле часто можно прийти различными путями.
Поэтому цель историко-математического исследования
заключается в том, чтобы найти именно те рассуждения, которыми
руководствовался автор текста. Это, пожалуй, наиболее
трудная часть работы, ибо приходится учитывать различные
особенности текста, в том числе и такие, которые на первый
взгляд кажутся второстепенными. Иногда изучаемый текст не
дает достаточных оснований, чтобы из нескольких возможных
толкований выбрать то, которое соответствует рассуждениям
древнего математика. Тогда приходится прибегать к
аналогиям с другими документами. Однако необходимо стремиться к
тому, чтобы историко-математическое толкование текста
обосновывалось данными этого же текста.
Конечная цель исследования—обнаружить общие понятия
и методы, присущие шумеро-вавилонской математике, и
выявить закономерности ее развития.
* * *
Автор считает своим долгом выразить благодарность акад.
В. В. Струве, проф. А. П. Юшкевичу и историку В.
Н.Андрееву, ознакомившимся с рукописью книги и предложившим ряд
ценных поправок; руководителям отдела Востока
Государственного Эрмитажа профессорам Б. Б. Пиотровскому и М. Э.
Матье и ученому секретарю К. А. Ракитиной за помощь при
работе над рукописью.
Автор особенно благодарен ассириологу д-ру ист. наук
И. М. Дьяконову за консультации по филологическому
изучению клинописных математических текстов.

Глава I
ШУМЕРО-ВАВИЛОНСКИЕ СИСТЕМЫ
ИСЧИСЛЕНИЯ
В клинописных текстах встречаются три системы
исчислений: десятерично-шестеричная непозиционная, десятеричная
непозиционная и шестидесятеричная позиционная. Рассмотрим
каждую из них.
Характерная особенность этой системы—наличие двух
оснований: десяти и шести. При таком способе счета единицы
каждого последующего разряда образованы путем поочередного
умножения на десять и шесть соответствующих единиц
предшествующего разряда. Первый разряд системы состоит из
единиц, второй—из десятков, третий—из шестидесятков и т. д.
(10, 10-6-60, 60-10=600, 600-6=3600 и т. д.). Ниже
приводятся клинописные обозначения чисел и соответствующие
шумерские числительные, характерные для этой системы [21]1:
Десятерично-шестеричная
непозиционная система исчисления
dis
fr
ггт
min
2
3
limmu
4
W
щ
ia
5
as
6
frj^ imin, umun 7
Направление клиньев первоначально было горизонтальным.

щ
USSU
8
УТТ
ilimmu
9
и
10
«
ni§
20
u§su
30
nimin
40
ninnu
50
: г
ges
60
ges-u
600
ges-u-min
1200
ges-u-es5
1800
ges-u-limmu
2400
ges-u-ia
3000
sar
3600
sar-u
36000
Ф (0 'g-
sar-dis (sar-gal)
216000
sar-dis-u
2160000
Ой-
sar-gal
12960000
Таким образом,
=3-36000+4-3600+5-600+2-60+
+ 17= 12537
Цифровые знаки относятся к уже развитой клинописи и ха
рактерны для текстов эпохи III династии Ура (XXII—XXI вв
8

до н. э.) и старовавилонского периода. В более раннее время
вместо вертикальных7, угловых клиньев и ромбовидных
комбинаций клиньев употреблялись большие и малые кружки
(соответственно для =3600 и 10) и большие и малые полукружки
(соответственно для 60 и 1). Оба последних знака наносились
на глину одной и той же палочкой, поэтому при скорописи
различие в размерах клиньев постепенно стиралось и вместо
двух знаков остался один. В конце концов в десятерично-
шестеричной системе знаки для единиц и шестидесятков
перестали друг от друга отличаться.
В большинстве случаев это не мешало правильному чтению
числа. Например, если группе вертикальных клиньев
предшествует группа угловых, то ясно, что группа вертикальных
клиньев обозначает единицы, так как единицы всегда следуют
за десятками; если рядом стоят две группы вертикальных
клиньев, то одна может обозначать лишь шестидесятки, а другая—
единицы. Но возможен и третий случай, когда числовая запись
состоит только из одной группы вертикальных клиньев. Тогда
чтение числа уже не будет однозначным: вертикальный клин
одновременно обозначает и 1 и 60. В клинописных текстах
действительно встречаются такие неопределенные записи, и для
их правильного понимания приходится исследовать контекст.
Но чаще всего древние писпы уточняли цифровую запись
числительным «шестьдесят»1. Для дальнейшего изложения
необходимо подчеркнуть, что отсутствие разницы между знаками
для 1 и 60 равносильно частичному применению принципа
позиционности. Однако стирание различий между знаками для
двух разных цифр было обусловлено развитием системы
клинописи, а не какими-либо особыми математическими
соображениями.
Первые данные о десятерично-шестеричной системе
встречаются в самых ранних шумерских хозяйственных текстах
начала III тысячелетия. С начала II тысячелетия до н. э. с ней
соперничала десятеричная система, которая затем почти совсем
вытеснила десятерично-шестеричную.
/Десятеричная непозиционная
[система исчисления
Основанием этой системы является 10. Однако числа от 1
до 100 записываются в ней так же, как и в предыдущей
системе. Сотни и тысячи обозначаются при помощи
соответствующих аккадских числительных me'at (сокращенно те) и lim-
ти (или llmu% сокращенно litri). Приводим обозначения:
См. стр. 30 настоящего издания.
о.

[ is ten
ГГ sind 2
ГГГ § aids и 3
arba'u 4
p^T hams и ' 5
^jp* samdnu g
(^) g
( 10
<« ^ 20
<^4^ saldsd 30
^ агба'й 40
Лап5Й 50
Fif^f- *"5^ .60
r« 80
f<« 90
j- /яе'и, me'atu 100
^ jr_ neru{?) 600
^<f^_ ^»z« 1000*
loooo
i «<Г>- 20000
30000
4^ <]&- 40000
* Интересно, что в хозяйственных текстах при записи чисел вида
llim 8те слово lim иногда опускается [12, табл. XIX, № 114; табл. XXI,
10

<r-
50000
60000
T«<h
Г««Г^7
100000**
70000
90000
80000
**Смм например, запись числа 655200 в виде 6 те 55 lim 2 те в
табличке АО 6478 [54, р. 217]. Произношение ряда числительных точно
не установлено (см., например, 70, 80 и др.).
Как видно из приведенных обозначений, в них имеются
два отступления от последовательного применения принципа
дёсятеричности в сторону шестеричности. Это
выражается в записи чисел от 1 до 100 и в том, что числительное для
600, пеги, не является сочетанием числительных для «шести»
и «ста». Сущности данной системы более соответствовало бы
числительное sessu me'al (см., например, древнееврейское
se§ те'Of).
Десятеричная система обозначения чисел появилась в
клинописных хозяйственных текстах не раньше начала II
тысячелетия до н. э. *. Она была введена вавилонянами,
приспособившими десятеричные цифровые обозначения (вертикальный
и угловой клин) шумерской десятерично-шестеричной системы
к своим традициям счета. Вавилонская десятеричная система
просуществовала до начала новой эры, пока не исчезла
клинопись.
Обе рассмотренные системы засвидетельствованы главным
образом хозяйственными клинописными текстами. В
математических текстах они встречаются редко2.
1 В старовавилонский период дееятерично-шестерданая ,и десятеричная
системы употреблялись параллельно, более того, обе они применялись иногда
даже в одном хозяйственном документе (12, табл. IX, № 90; табл. XVII,
2 Десятерично-шестеричная система обнаружена пока лишь в трех
математических текстах: YBC 7164 и YBC 4607 [37, pp. 81, 92; 25, табл. XXVI,
№ 12}]; см. также приложение I, О. (Имеются в виду числа от 600 и
больше. Числа менее 600 записывались одинаково в шумерской
десятерично-шестеричной непозицио'нной и в шумерской шестидесятеричной позиционной
системах.) Десятеричная система засвидетельствована также тремя
математическими текст а м и: V AT 75.31 и АО ША £36, 1, Ss. 97, 290], VAT 7848 [37, S. 141];
первый из них относится к старовавилонскому, дза других — к селевкид-
скому времени.
№ 112].
11

Шестидесятеричная позиционная
система исчисления
Эта система построена по позиционному принципу. Ее
основание—60. Любое целое число записывается при помощи
двух знаков, вертикального и углового клина, которые, как и
в других двух системах, объединяются в группы от одного
до девяти в случае вертикальных клиньев (единиц) и от
одного до пяти—в случае угловых (десятков). Таким образом,
^T<^f<W =Ь602+2Ь60+16=4876..
Существенная особенность шестидесятеричной позиционной
системы заключается в отсутствии специального знака для
нуля. Таким образом, если руководствоваться только
формальными признаками, каждую числовую запись в этой системе
можно прочесть многозначно. В приведенном примере первый
вертикальный знак может означать и 1 -603, и 1 -604 и т. д.
Соответственно изменяются и значения двух последующих групп
знаков: вместо 21-60 будет 21 • 602, 21 • 603 и т. д., а вместо 16—
16-60, 16-602 и т. д. Ту же запись можно прочесть и как
дробь, например, если считать первый вертикальный клин
равным 1-6U или 1 и т. д., тогда в следующих двух группах будут
о1 i 16 21 , 16
соответственно выражения 21 Н или —- Н и т. д.
* 60 60 602
Специальный знак для нуля, и то лишь внутри числовой
записи, впервые появляется, очевидно, в V в. до н. э., в свя- .
зи с потребностями вычислительной астрономии [39, pp. 213—
215]. До этого времени, как показал Выгодский [7, стр. 393—
421], нулевой разряд, по крайней мере в некоторых случаях^
отмечался пробелом между соответствующими клинописными
знаками. При этом пробел соответствовал или пропущенным
угловым клиньям, или пропущенным вертикальным клиньям,
т. е. части шестидесятеричного разряда, или, наконец,
целой группе угловых и вертикальных клиньев, т. е. полностью
шестидесятеричному разряду.
Транскрибируя в дальнейшем шестидесятеричные позици- '
онные числа, мы будем пользоваться арабскими цифрами,
включая нуль для обозначения пропущенного разряда,
причем штрихом, поставленным сверху, будем отделять друг
от друга шестидесятеричные разряды, а двумя штрихами—
целую часть от шестидесятеричной дроби1. В зависимости от
того, какое абсолютное значение мы хотим придать числовой
1 От транскрипции Нейгебауера предлагаемая нами транскрипция
отличается лишь тем, что разделительный штрих ставится не внизу, а наверху
числовой записи, а вместо точки с запятой, отделяющей целое от дроби,
употребляются два штриха, например: 1, 21; 37, 30 (Нейгебауер); 1'21"37'30
(в настоящем издании).

записи указанного выше примера, эту запись мы будем
транскрибировать как 1'2Г16=Ь60в+21 -60+16 или 1'21"16=1-6и+
16
-]-21+-_ и т. д. Впрочем, в некоторых случаях транскрипцией
вида 1'2Г16, в которой отсутствует разделительный знак ("),
мы будем пользоваться и для передачи относительного, а не
абсолютного значения числа.
Шестидесятеричная позиционная система исчисления
встречается почти исключительно в математических текстах.
Трудно указать, когда именно была создана
шестидесятеричная позиционная система. В эпоху III династии Ура она
уже существовала и использовалась, в частности, при
составлении однозначных таблиц обратных величин.
Функциональное назначение шумеро-вавилонских
систем исчисления
Для выяснения функций, выполняемых тремя
рассмотренными системами, необходимо обратить внимание на следующее.
1. Вавилонская десятеричная система счета вытеснила
десятерично-шестеричную шумерскую. Очевидно, обе системы имели
одинаковое назначение, и поэтому не было надобности в их
* параллельном существовании. Таким образом, сохранилась
десятеричная система исчисления, соответствующая системе
вавилонских (аккадских) числительных и менее громоздкая для
записей.
2. Шестидесятеричная позиционная система сосуществовала
сначала с десятерично-шестеричной, а затем с десятеричной.
По-видимому, функциональное назначение первой не
совпадало с функциональным назначением двух других.
3. Шумерская десятерично-шестеричная и вавилонская
десятеричная системы встречаются преимущественно в
хозяйственных текстах. В математических текстах эти системы
используются редко, причем только для фиксации заданных величин
и окончательных результатов арифметических выкладок.
Неизвестно ни одного случая употребления указанных систем для
фиксации промежуточных этапов решения задач. Вероятно, обе
эти системы не использовались для вычислений и служили
только для счета.
4. Шестидесятеричная позиционная система
засвидетельствована почти исключительно математическими текстами и
метрологическими таблицами, о которых будет сказано ниже.
Промежуточные этапы решения задач записывались, как правило,
[ в этой системе|.
1 На это обратил особое внимание ' Веселовский в связи с развиваемой
им гипотезой происхождения шестидесятеричной позиционной системы
из техники вычислений на абаке [5, стр. 258—261].
13

5- Шестидесятеричная позиционная система почти не
встречается в хозяйственных документах. Количественные данные,
содержащиеся в этих текстах, записаны или в шумерской
десятерично-шестеричной, или в вавилонской десятеричной, или
в какой-либо метрологической системе. Таким образом, есть
основание полагать, что шестидесятеричная позиционная
система, служившая для вычислений, была лишена функции счета.
Сохранившиеся хозяйственные тексты, из которых опубликованы
тысячи, очевидно, играли роль окончательно оформленных
документов. Предварительные вычисления, необходимые для
составления документа, вероятно, производились на
отдельных табличках, которые впоследствии за ненадобностью
уничтожались или с них стирались уже использованные надписи.
Так исчезали предварительные вычисления хозяйственного
содержания и соответствующие записи чисел в
шестидесятеричной позиционной системе.
6. Числительные, соответствующие шумерской десятерично-
шестеричной и вавилонской десятеричной системам, хорошо
известны. Особых же числительных для записей в
шестидесятеричной системе, судя по клинописным текстам, не
существовало. Устный счет, т. е. словесное обозначение записанного
цифрами числа, предусматривал, по-видимому, переход от
позиционной системы к одной из двух непозиционных.
Таким образом, две из рассмотренных систем
использовались в основном для счета: при помощи их как
бы.отмечались последовательные моменты в процессе счета от единицы
до теоретически сколь угодно большого числа. В некоторых
случаях на основе этих систем могло производиться
сложение и вычитание. Для умножения и деления, несомненно,
применялась шестидесятеричная позиционная система. В
дальнейшем первая указанная система будет также называться
шумерской счетной системой, вторая—вавилонской счетной, а
третья—шумерской вычислительной системой. Вероятно,
именно потому, что шестидесятеричная позиционная система была
вычислительной, в ней, несмотря на ее длительную историю, не
появился специальный знак нуля. Очевидно, в таком знаке не
было особой надобности, ибо записи, сделанные в шумерской
вычислительной системе, нужны были только на время вычислений.
В некоторых случаях отсутствие начального и конечного
нуля даже оказывалось удобным, например при составлении
таблиц обратных величин.
Происхождение шумеро-вавилонских систем
исчисления
Проблема происхождения шумеро-вавилонских систем
исчисления с давних времен интересовала исследователей.
Естественно, что наибольший интерес вызывала шестидесятеричная.
14

позиционная система, которая привлекала внимание широкого
круга историков математики (две другие системы изучались
почти исключительно специалистами-ассириологами). Были
выдвинуты различные гипотезы о происхождении
шестидесятеричной позиционной системы, однако ни одна не получила
окончательного признания1. Наибольшего внимания
заслуживают гипотезы Тюро-Данжена, Нейгебауера и Веселовского.
Тюро-Данжен прежде всего констатирует существование
древнейшей клинописной системы исчисления, которая выше
названа шумерской счетной [55, р, И et suiv.]. Построена она
по десятерично-шестеричному принципу. На первом этапе
развития этой системы ее наивысший разряд составляли шести-
десятки. В дальнейшем процесс образования новых разрядов
происходил по схеме: десять единиц третьего разряда, т. е.
600, составляли единицу четвертого разряда и т. д.
Именно десятерично-шестеричная система, согласно Тюро-
Данже>ну, и послужила тем базисом, на котором возникла
шестидесятеричная система. Генетическое родство обеих систем
несомненно, о чем свидетельствует характер их оснований:
10 и 6 и 60, равное 10X6- Столь же безусловно и то, что
первая из этих систем появилась раньше второй. Причиной
создания шестидесятеричной позиционйой системы является,
по нашему мнению, ее особая роль в производстве вычислений.
Такова в общем правильная точка зрения Тюро-Данжена
на происхождение и развитие десятерично-шестеричной
системы шумеров. Однако детали его гипотезы, главным образом
касающиеся принципа шестеричности, вызывают сомнение.
Десятеричный принцип строения системы, естественно, не
требует специальных объяснений, ибо, как и у других народов,
он несомненно связан с пальцевым счетом. По справедливому
замечанию Выгодского, в гипотезе Тюро-Данжена нельзя
согласиться с объяснением шестеричного принципа
разложимостью числа 6 на множители 2 и 3. Приписывание шумерам на
раннем этапе развития математики столь тонкого
арифметического подхода к задаче построения счетной системы вряд ли
может быть оправдано. Выбор числа 6 в качестве одного из
оснований системы, по-видимому, был обусловлен тем же
пальцевым счетом или, точнее, особым способом пальцевого
счета. Надо учитывать, что в процессе создания системы
исчисления имелось много случайного, которое определяет
своеобразие системы, и нет уверенности, что все моменты
случайного происхождения могут быть обнаружены.
Кроме того, гипотеза Тюро-Данжена не объясняет
возникновение позиционного принципа. Чтобы ответить на этот
вопрос, вероятно, нужно пренебречь случайными деталями и
1 Обзор и критику различных гипотез см. в книге Выгодского [6, стр.
66—70].
15

обратить внимание на некоторые необходимые следствия,
вытекающие из существования шумерской счетной системы.
Допустим,что при помощи десятерично-шестеричной системы
в какой-то период времени производились различные
вычисления, в том числе умножение и деление. Несомненно, что
наличие двух оснований сильно затрудняло выполнение этих
операций; Чтобы преодолеть указанный недостаток шумерской
счетной системы, древний вычислитель должен был стихийно,
фиксируя промежуточные результаты умножения и деления,
перейти к4 какой-то новой системе с одним основанием. Таким
основанием, естественно, должно было стать число 60,
образованное из множителей основания исходной системы 10 и 6.
Тот же процесс мог привести и к появлению принципа
позиционности.
По-видимому, именно недостатки шумерской счетной
системы, непригодность ее для умножения и деления обусловили
появление специальной системы, вполне закономерно
оказавшейся и шестидесятеричной и позиционной. Эта
вспомогательная система, очевидно, развивалась параллельно с шумерской
счетной системой. Обособление же шестидесятеричной
позиционной системы в самостоятельную систему произошло,
очевидно, в связи с увеличением числа вычислений, необходимых
для хозяйственных надобностей, и становлением школьной
математики с разнообразными вычислительными таблицами. Как
указывалось выше, в период III династии Ура уже
существовала развитая шумерская вычислительная система. Данных о
том, что она появилась раньше этого времени, нет, но ничто
и не противоречит такому предположению.
Иначе объясняет происхождение шестидесятеричной
позиционной системы' Нейгебауер [9, стр. 120— 125]. Согласно его
гипотезе, позиционная система появилась в результате
установления некоторого эквивалента между весовыми единицами
шумеров и вавилонян. Первоначально у обоих народов была
одна десятеричная система исчисления, возникшая из
пальцевого счета, но различные системы весовых единиц.
Отношения больших единиц к меньшим были 1:1, 2:1, 3:2, так что
при установлении общего весового эквивалента удобно было
пользоваться кратным соответствующих чисел, а именно
числом 6. Естественно, что, подгоняя одни меры к другим,
приходилось округлять весовые единицы, оставаясь, однако, в
пределах десятеричной системы счета. Так возник
эквивалент"^" мины, равный 10 сиклям, или 1 мины, равный 60 сик-
лям. Игнорирование в устной или письменной передаче
наименования весовых единиц при различных торговых
операциях привело к созданию шестидесятеричной позиционной
системы.
На первый взгляд эта гипотеза кажется убедитель-
16

ной. Действительно, ранние сведения о шестидесятеричной
позиционной системе относятся к эпохе III династии Ура,
когда между шумерами и вавилонянами существовал самый
тесный контакт. Но тогда неясен вопрос о происхождении
шумерской счетной системы, которая засвидетельствована
более ранними текстами. Ведь генетическое родство между
обеими системами несомненно. Значит ли это, что
непозиционная система тоже возникла на основе общего шумеро-
вавилонского эквивалента? Если это так, то установление
эквивалента должно было произойти в эпоху, когда особо
тесного контакта между обоими народами еще не было. Весьма
странно также,что десятеричная система исчисления, которой
первоначально пользовались и шумеры, и вавилоняне,
засвидетельствована лишь текстами старовавилонского периода.
Me'atu «сто»—вавилонское слово, а специальный клинописный
знак для 100 неизвестен. Несомненно, прав Тюро-Данжен,
считающий, что в метрологию шестидесятеричность проникла
из десятерично-шестеричной системы счета [55, р. И et suiv,],
а не наоборот, как полагает Нейгебауер.
Веселовсюий утверждает, что основание 60 появилось в
результате счета на пальиах, а позиционный принцип записи
чисел —в связи с вычислениями на абаке [5, стр. 241 —288].
Автор гипотезы правильно подчеркивает, что «позиционный
принцип возник из техники вычислений и должен быть
объяснен из техники вычислений» [5, стр. 259], которые, как ему
представляется, выполнялись при помощи упомянутого
инструмента. Правда, доказательств существования абака у вавилонян
^ не найдено. Возможно, что косвенным свидетельством сделан-
^ ного предположения является наблюдение Фогеля надкекото-
А рыми формулировками клинописных математических текстов.
^ Так, указывая на числа, которые будут использованы при решении
i задачи, древние математики часто употребляли слово «клади»-
Л4- Например, ' если а — основание треугольника, a h — высота и
^ требуется вычислить площадь, то, прежде чем приступить к
^ вычислениям, надо «положить» а, затем'«положить» h («акла-
* ди, h клади»), хотя обе величины уже были заданы в условии
задачи. Подобные формулировки вполне объяснимы: прежде
чем приступить к вычислениям, необходимо заданные величины,
представляющие -именованные числа, записать в
шестидесятеричной позиционной системе. В этом случае можно было бы
сказать «возьми» <2, «возьми» /г, понимая слово «возьми» в
метафорическом смысле Но точно так же можно толковать «клади»,
ибо число в буквальном смысле одинаково нельзя ни «класть»,
ни «взять». Не исключено, конечно, что «клади» действительно
указывает на употребление счетного инструмента, например
камешков, используемых на первых этапах зарождения
арифметики и вышедших-из употребления ко времени написания
математических текстов или возникновения шестидесятеричной пози-
2 А. А. Вайман
торьяз
17

ционной системы. Но в любом случае одного слова «клади»
недостаточно, чтобы с уверенностью говорить о существовании
абака у вавилонян. Однако нельзя утверждать, что древние
математики не пользовались 'каким-либо счетным
инструментом. Если бы удалось доказать наличие у шумеров (а не у
вавилонян) абака, то гипотеза Веселовского об инструментальном
происхождении позиционного принципа и, более
того,инструментальном происхождении основания 60 в шумерской
вычислительной системе была бы весьма вероятна. Действительно,
при вычислениях на абаке, приспособленном к десятерично-
шестеричной системе, преимущество основания 60 в сочетании
с позиционным принципом становится очевидным. Но даже в
этом случае абак мог подсказать только идею позиционности.
Необходимость введения этого принципа коренится, по нашему
мнению, в неприспособленности десятерично-шестеричной
системы для умножения и деления.
Дроби
У шумеров и вавилонян было несколько способов выраже-
1
ния дробей. Прежде всего, дробь вида ~^ записывалась при
помощи словосочетания igi-zz-gal1. Из буквального значения
этого словосочетания «иметь глаз» Поэбель выводит «увидеть»,
«различать», «делить», по аналогии с латинским dividere от
videre «видеть» [41, S. 120]. Так ли было в действительности,
сказать трудно.
а
Правильная дробь ^ (где аФ\), как было установлено
Саксом, в старовавилонское время чаще всего представлялась
1 I 1 1 г 1 1
в виде суммы 1 ' — [44, р. 203 ff.j. Вместо — в по-
2
следнем выражении иногда фигурирует дробь т~> имеющая
индивидуальное обозначение. Например, в одном из текстов
2 12 1
написано: «~^~ дня и • — дня». Когда фигурирует дробь
где Ь — большое число, которое может быть разложено на
1 1 1
множители m и п, то у приводится к виду -— • -~ •
В селевкидское время указанный способ выражения дроби
уже не соблюдался [44, р. 203 if.]. ■
Некоторые дроби имели индивидуальные обозначения,
например:
1 Здесь и далее прямым шрифтам даются шумерские слова и идеограммы,
курсивом — аккадские (ассиро-вавилонские).
18

Но вертикальный клин является и графическим обозначением
числа 1. Правда, в десятерично-шестеричной системе исчисления
есть ряд исключений. Например, число 1200 записывается
двумя знаками, представляющими комбинацию из
вертикального и углового клина. Полным совпадением графической
передачи числа и числительного было бы ges-u-ges-u, вместо
числительного ges-u-mina — «шестьсот два (раза)».
Числительное можно было записать и слоговым способом, например:
ds как di-is, но такая форма характерна только для поздне-
шумерских текстов и нововавилонских силлабариев, и возникла
она под влиянием вавилонского слогового письма.
Такой способ записи не мог существенно затруднять чтение
чисел, однако в некоторых случаях создавал определенные
неудобства. Например, один вертикальный клин может быть
прочитан и как 1, и как 60. Чтобы уточнить последнее чтение,
естественно прибегнуть к соответствующему числительному
ge§, но оно тоже обозначается одним вертикальным клином.
Поэтому в клинописных текстах старовавилонского периода в
качестве уточняющего числительного для 60 всегда
используется вавилонское sus§a «шестьдесят». Резкое отличие
графического обозначения чисел от графического изображения
числительных наблюдается только у вавилонян, которые,
приспособив шумерские клинописные знаки к своему языку,
развили слоговой принцип письма.
С точки зрения графического обозначения числительного и
числа особенно интересны дроби вида — . Выше указывалось,
п
что по-шумерски такая дробь передавалась записью igi-/2-gal.
Как надо понимать последнюю запись? Является ли
она символом дроби — или числительным? Конечно, и то и
п
другое. Вавилоняне чаще всего пользовались шумерской
записью дроби — и, кроме того, числительными, образованны-
п
ми от соответствующих количественных числительных по
определенным грамматическим правилам. Таким образом, у
вавилонян igi-ft-gal — это уже элемент становления
математической символики дробного числа, которая в какой-то мереэкви-
1
валентна нашей записи — .
п

kingusilla, parasrabi
Yy? -4- sanabi, sinipa
i^L. ~ mas,
mis !u
susana, sussanu
Наиболее распространены были систематические дроби
на основе шестидесятеричной позиционной системы. По
существу, как уже говорилось, любая шестидесятеричная
запись может толковаться как целое число и как
систематическая дробь. Но именно поэтому нельзя без оговорок
считать клинописные обозначения <С ^ <<<Х ^
выражением дробей СЛО = — , 0"20 = , (У'ЗО = — и 040 = — ,
F 6 з 2 3
как это делают некоторые исследователи [21]. Так, группа из
трех угловых клиньев действительно может означать 0"30 = —-,
но это зависит от контекста, в котором фигурирует данная
запись. Сама по себе такая группа означает число 30, и только в
математических текстах в связи с предстоящими'или уже
производящимися вычислениями может быть воспринята как (У'Ю=~л
В хозяйственных документах комбинация из трех угловых
клиньев в значении — действительно не встречается. Зато в
этих документах есть специальные обозначения дробей —, как
1 gin и —-г— = —, как 1 gin-tur, т. е. «1 малый [211.
3600 602 &
Но подобные обозначения шестидесятеричных дробей никак
нельзя назвать позиционными. Заметим, что 1 gin, равный —
ma-na, является весовой единицей, проникшей также в
систему мер емкости и объема, о чем будет сказано ниже.
Символическое обозначение чисел
и числительные
В шумерской клинописи графическое обозначение числа и
соответствующего, числительного чаще всего не различается.
Это объясняется тем, что в шумерском письме понятие
обозначается преимущественно одним знаком. Например,
вертикальный клин читается как dis, что означает числительное «одна».
2*
19

)
Глава II
ШУМЕРО-ВАВИЛОНСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ
Метрология — неотъемлемая часть шумеро-вавилонской
математики.' Без учета системы мер и весов нельзя понять ни
общих, ни конкретных вопросов шумеро-вавилонской
математики. *
К концу III тысячелетия до н. э. шумеры уже создали
сложную систему мер и весов, почти не изменявшуюся вплоть
до конца II тысячелетия до н. э. Лишь начиная с этого
времени в нее были внесены довольно существенные изменения-
Благодаря усилиям иелого/ ряда ассириологов система мер
древнего и нового периодов хорошо изучена.
Ниже (табл. 1—5) приводится неполный список мер, в
котором отражены все необходимые данные для исследования
клинописных математических текстов. Большинство данных
относится ко II тысячелетию до н. э. Названия мер указаны
по-шумерски. Нововавилонские меры оговорены.
Меры длины, площади, объема и веса 1
Таблица 1
Меры длиньз
Название меры
su-si
kus
GAR*
danna
su-si (палец)
k us (локоть)
gi (тростник)
GAR
US (длина)
cianna (дорога)
i
30
З'О
6'0
б'О'О
1
0"2
1
6
1?
12'0
б'О'О
0"0'20
0"10
1
2
2'0
l'O'O
0"0'10
0"5
0"30
1
ГО
ЗО'О
0"0'5
0"0'30
0"!
1
30
0"0'0'10
0"0' 1
0"0'2
0"2
1
*3десь и далее прописными буквами даны идеограммы, чтение которых
не раскрыто.
1 Все приводимые ниже таблицы мер заимствованы из работы Нейге-
бауера и Сакса [37, pp. 4—6].
21

ч
Табл. 1 следует понимать так: 1 su-si=0"2 kus=0"0'10 GAR,
затем lkus = 30 su-si и^т. д. (отношения между su-si и U$, su-si
и danna практически не играют роли). В матем атических
текстах основной мерой длины, к которой при вычислениях
приводятся остальные меры, является GAR (1GAR^6 м).
В нововавилонское время вместо локтя, равного 30 пальцам,
появился локоть, равный 24 пальцам.
Основная мера площади — SAR: 1 SAR = 1 GAR2 36л£2,
1 SAR (объема)=1 SAR (площади) X 1 kus » 18 м\ т. е. 1 SAR
объема — это объем параллелепипеда с площадью основания,
равной 1SAR площади, и высотой, равной lkus.
Меры площади и объема, начиная с ubu, всегда
записываются специальными цифрами:
ubu jfc buru
iku
sar
< bur AH! §ar-gal
Пример клинописной записи величины площади
Л^~^)0 ^'"С*^ =1 sar-gal 3 sar 5 bum
Знаки для iku, ese, bur, sar, sar-u совпадают с
некоторыми цифровыми обозначениями десятерично-шестеричной
системы исчисления. Так, знак для iku в более раннее время
обозначал единицу, в поздних текстах для этого употреблялся
только вертикальный клин. Знак для ese в раннее время
соответствовал 600. Знаки sar и sar-u всегда имели значение цифр
3600 и 36000. Соотношения между различными единицами в
большинстве случаев также согласуются с
десятерично-шестеричным принципом. Все это свидетельствует о том, что
система мер развивалась в тесной связи с десятерично-шестеричной
системой исчисления.
23

cm
Cf
s
Й
о
4
G
i—«
3
S
i
-о
<u
3
3
со
с
<u
—' co _
О О
О
I Г Г
о о
cs о
о о
<о
СМ
О
о
СМ
о
со
о
О
о
о
о
CD
О
о
ю
о
о
о
со
о
со
о
со
о
со
со
СО О
О ?
о °
со
со
О
со
о
со
со
см
г-н см
СМ
со
со
О
со
со
о
р
со
СМ
р
р
о
О
о
р
р
-5
о
о
о
1—1
'—'
со
о
о
о
со
о
о
о
ю
о
см
о
о
р
СО
о
о
со
КГ
Я
о
н
о
cu
о
со
о
Си
I—I
ы
о
>^
сс
£ч
о
Е-
си
cq
н
о
о
о
о
н
о
2
ез
о
о
к—<
•а
О)
\Ь
о
о
а
си
(U
3
Си
о
3
а)
cq
со
Си
СО
си
n0
со
3
•7
и!
а
-С)
хл
си
ко
3
I
1-4
кз
и
го
3
од
►CO

Табли ца 3
Меры емкости сыпучих и жидких тел
(старовавилонский период)
Название меры
se
gin
sila
Ъйп
PI
gur
se (зерно)
gin (сикль)
' sila
ban
PI
gur
1
3'0
З'О'О
0"0'2Э
1
ГО
0"0'0'20
0"!
1
10
ГО
5'0
0"б
1
6
30
0"1
0"10
1
5
СО'12
0"2
0*12
1
Меры ban, PI и gur обозначаются специальными цифрами:
< 4 ban
4-
1 ban
2 ban
3 ban
Г
5 ban
1 PI
1 gur
Пример
= (5-600+3.60+7) gur
2 PI 3 Ьап2/з sila 7 gin
Начиная с 10 gur емкость записывалась уже при помощи
цифровых обозначений шумерской или вавилонской системы
исчислений. Между мерами емкости сыпучих и жидких тел
и мерами объема существует соотношение:
или
Отсюда
lgur = lgin (объема),
lsi1a = 0"0'0'12 SAR (объема)
lslla^l^.
Таблица 4
Меры емкости сыпучих и жидких тел
(нововавилонский период)
Название меры
ninda
sila
ban
PI
ninda
1
0"6
0*1
0"0'10
sila
10
1
0"10
0T40
ban
го
6
1
0*10
PI
б'О
36
6
1
24

Таблица 5
Меры веса
Название меры
Л
se
gin
ma-па
gun
se (зерно)
1
0"0'20
0"0'0'20
gin (сикль)
З'О
1
0"1
0"0'1
ma-na (мина)
З'О'О
1'0
1
0"1
gun (талант)
—
l'O'O
ГО
1
Наиболее часто встречаются в текстах весовые
единицы — ma-na и gin: lma-na^500 г. Весовые единицы
одновременно* служили и денежными; стоимость товаров чаще всего
выражалась в серебре.
Таким образом, для шумеро-вавилонской метрологии
характерен десятерично-шестеричный принцип построения, однако не
всегда строго выдержанный. Это, несомненно,
свидетельствует о том, что стихийно складывавшиеся единицы измерения
сознательно подгонялись к величинам, соотношения между
которыми соответствовали бы десятерично-шестеричному
принципу шумерской счетной системы. Особенно ярко это
проявилось применительно к весовым единицам, где lgun = ГО ma-
na = ГО'О gin. Интересно, что gin, как и se, в одном и том
же соотношении lgin = 3'0se встречается во всех
метрологических системах, за исключением системы мер длины, а
последующая, более высокая, чем gin, единица относится к
1 gin, как ГО : 1. Так, для мер площади и объема 1 SAR = ГО gin;
для мер емкости (старовавилонский период) lsila = ГО gin; для
мер веса 1та-па = Г0 gin. Первоначально при помощи gin
обозначалась, очевидно, только весовая единица, которая затем
1
проникла в другие системы со значением — основной единицы
и даже стала играть роль числительного для дроби — .
60
Метрологические таблицы
Своеобразные клинописные памятники — метрологические
таблицы—давно известны ассириологам и не раз публиковались.
По содержанию они делятся на две группы: собственно
метрологические таблицы, в которых единицы измерения
сведены воедино и расположены в возрастающей
последовательности, и вычислительные метрологические таблицы, в которых
различные единицы одного и того же рода приведены к
единой мере и записаны в шестидесятеричной позиционной
системе.
Прорисовка трех фрагментов наиболее интересной
таблицы первой группы была опубликована Хильпрехтом [29, рК
25'

17—19, №29]. В полном виде эта таблица содержала
двенадцать столбцов (по шесть с каждой стороны), в которых по-
1
следовательно были записаны меры емкости (от l~gin до
2
sar-gal-su-bad = 10'0'Ogur), веса (по-видимому, от 1—se
з
до lO'0'O'Ogun), площади (от 1SAR до 1 sar-gal-su-bad) и
длины (от 1 su-si до 15 danna). Охватывая всю шумеро-вави-
лонскую метрологическую систему, таблица, по-видимому,
была прекрасным справочным и учебным пособием.
Примером метрологической таблицы первой группы,
включающей только меры емкости, служит табличка Эрм. 15063 1.
Судя по округлой форме таблички и почерку, текст написан
школьником. На лицевой стороне таблички видны три
строки упражнения по грамматике. Метрологическая таблица
расположена на оборотной стороне.
i п ш
1 1/з sila se 8 sila
2 V-2 sila se 9 sila
3 2/3 sija se 1 (bin)
4 5/6 sila se 1 (ban) 1 sila
5 1 sila se 1 (ban) 2 sila
6 [1] Vs sila se 1 (ban) 3 sila
7 [1] i/2 sila se 1 (ban) 4 sila
8 [12/3] sila se 1 (bin) 5 sila
9 [l5/6] sila se 1 (ban) 6 sila
10 <2> sila se 1 (ban) 7 sila
11 <3> sila se 1 (ban) 8 sila
12 4 sila se 1 (ban) 9 sila
13 5 sila se 2 (ban)
14 6 sila se 2sic!(ban)
15 7 sila se
Наиболее интересны таблицы второй группы, так как
метрологические данные в них подвергнуты математической
обработке. Различные меры одного и того же рода приведены
к общей мере и выражены в шестидесятеричной позиционной
системе. Допустим, например, что площадь какого-либо поля
выражена в разных единицах, причем известен урожай,
снятый с одного SAR, выраженный опять-таки в разных'
единицах. Чтобы определить урожай со всего поля, надо
величину урожая с одного SAR умножить на величину
площади, а для этого необходимо заданные величины привести
к общей мере и записать их на основе шумеро-вавилонской
вычислительной системы. Этой цели и должны были
служить метрологические вычислительные таблицы. Ниже
приведены две такие таблицы, первая из которых содержит
только меры емкости [29, pi. 23, № 36: прорисовка текста].
se
4 (ban)
se
V
se
5 (ban)
se
se
1 (PI)
se
se
1 (PI) 1 (ban)
se
se
1 (PI) 2 (ban)
se
se
1 (PI) 3 (ban)
se
V
se
1 (PI) 4 (ban)
se
se
1 (PI) 5 (ban)
m
se
- 2 (PI)
[se]
se
2 (PI) 1 (ban)
[se]
V
se
2 (PI) 2 (ban)
se
se
2 (PI) 3. (ban)
se
se
2 (PI)' 4 (ban)
se
se
2 (PI) 5 (bin)
V
se
См. приложение LI, стр. 265. Диаметр таблички 8 см.

Числа правого столбца записаны в относительном, а не
абсолютном значении. Если за исходную единицу выбрать
Isila, то lgin в строке Л1. должно соответствовать числу 0"1
(lgin=Owlslla); lsila в строке Л.28 — 1; lban в строке Л. 41 — 10
(lban = 10sila); 1PI в строке Об. 55 — ГО (1PI = ГО sfla) и
lgur в строке Об. 64 — 54) (lgur = 5'0 sfla). Допустим,
известна емкость некоторого хранилища, равная, например, 12 gur
4PI 2 ban 3 sila 17—- gin, а надо выразить ее в sila, тогда*
пользуясь этой таблицей, найдем:
2 ban-20; 3 sila - 3; 17gin — 0^17 и
12
1
ur — ГО'О; 4PI-4'0;
gin = 0"0'20.
Складывая шестидесятеричные позиционные числа, получим
Г4'23"17'20 sfla. В дальнейшем подобные записи будут
называться относительным выражением меры.
Разумеется, на основании данных таблицы нельзя
заключить, что именно lsila была взята за исходную единицу.
Формально в этой же роли может выступать и 1PI и lgin. Но
lgin — мера, составляющая дробную часть, а именно
какой-то другой меры, которая, очевидно, и является основной.
В данном случае 1 gin равен 0"1 sila; из этого следует, что
основной единицей мер емкости служила lsila.
Указанной таблицей можно было пользоваться и для
превращения относительных метрологических записей в
абсолютные; но для этого составлялись и специальные таблицы:
на первом месте (слева) в них стоят относительные
выражения мер, на втором (справа) — абсолютные. Ниже приводится
транскрипция текста такой таблицы [29, pi. 20, №30],
датирующейся нововавилонским временем.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[ • -
[ • •
[Г40
[2'30
3'2[0
5
kus
~ kus
1
3
1
2
_2
3
[1
kus
kus
Лицевая сторона
и
[1
[2
[3
[4
[5
[6
U
[8
[9
[10
10
dann
U§]
US]
U§]
uS]
US]
US]
uSj
U§]
uS]
u§j
[2'30
[5
[7'30
[10
[12'30
[15
[17'30
[20
[22'30
[25
III
1
2
3
4
5
6
7
10
2[7'3]0 [11
su-sij
si]
si]
si]
si]
si]
si]
kus si]
si]
si]
si]
28

Лицевая сторона
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67**
68
69
71
72
73
74
75
76
77
1
1х/8
12/з
15/«
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
gin
gin
gin
gin
gin
gin
gin
gin
gin
gin
gfn
gin
gin
gfn
gin
gfn
gfn
gfn
Ш5 gfn
[16] gfn
[17]
18
19
х/з
V»
2/з
5/s
gin
gin
gin
sila
si i a
sila
sila
1 (
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(PI)
(gur)
gur)
(gur)
(gur)]
(gur)]
<gur)]
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
se 1
[Г20]
[1]'30
Г40
Г50 '
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
Оборотная
1]
1 (ban) l'lO]
2 (ban) 1'20[
3 (ban) 1'30J
4 (ban) 140
5 (ban) Г50]
2]
3]
4]
gur 5]
1 (PI) gur 6]
2 (PI) gur 7]
3 (PI) gur [8]
4 (PI) gur [9]
gur [10]
gur [15J
gur [20]
gur [25]
gur [30]
gur [35]
gur
gur
[40]
[45]
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40*
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
сторона
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
83
89
90
91
92
УЗ
94
95
96
97
98
99
sila
sila
sila
sila
sila
sila
sila
sila
sila
1
lVa
1Х/2
12/з
lr7o
2
3
4
5
6
[7]
[8]
[91
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[1 (ban)
[2 (ban)
[3 (ban)
[4 (ban)
[5 (ban)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3[0]
40
50
l'O
[1]'10
[1Г20
[1]'30
[1]'40
[1]'50
2'0
3'0
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
(gur)
1
1'20
Г30
1'40
1'50
2
3
4
^ 5
sila 6
sila [7]
sila [8]
sila [9]
10]
1 sila 11]
2 sila 12]
3 sila 13]
4 sila 14]
5 sila 15]
6 sila 16]
7 sila 17]
8 sila 18]
9 sila 19]
20]
301
40]
50]
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
gur
[50]
5[5]
1
I'D
no
1 '15
1'20
1'25
1'30
1'35 .
1'40
2'30
3'20
4'10
5
5'50
6'40
740***
8'20
9'10
10
100
4,0
Последняя строка сохранившейся части лицевой стороны.
* Гкрвая строка сохранившейся части оборотной стороны (81-я
строка автографии; Хильпрехт реконструирует утерянную часть текста
несколько иначе, чем мы).
***Ошибочно вместо 7'30.
27

10
15
20
25
30
1
гзо
2
2'30
3
kus
kus
kus
1v v
(US
6 —GAR kus
2
З'ЗО 7
4 8
4'30 9
GAR
GAR
GAR
GAR
GAR
GAR
GAR
GAR
10 GAR
su-ub-ban
[10] as-lu
[15] as-lu
[s]u-ub-ban
GAR
[20
[25
30
35
si-ni]-ta as-lu
sl-ni-t\a as-lu
su-[ub ban]
sa-la-as ds-l[u]
sa-la-as as-lu
su-ub-ban
40 ar-ba As-lu
15
20
30
15
J_
2
20
_2_
3
30
danna
danna
uS
uS
us"
1
1'30
1 danna
2 danna
3 danna
an-nl-tl su-si sd
30su-sim^
I kus am-mat
se-numun 10 gimes
sa 1 a-da-pa
am-mat I-DUB u
agarin
u 1 kus gis-mi
30
[12-
s si
32'30
13
si
35
14
si
37'30
15
si
40
16 2l
- kus
si
3
42'30
17
si
45
18
si
47'30
19
si
50
20
si
52'30
21
s'i
55
22
si
57'30
23
si
4
6
8
10
12
14
16
[18]
[20
[30
[4]0
1
10 -— kus
3
1
su-si
si
s'i
si
si
si
s'i
si
si
si I-
15
20
30
us
[kus
3
1 k[us
si]
si]
si]
Оборотная сторона
24 1 kus si
an-ni-ti su-si sd
24 su-sime§
1 kus am-mat
se-numun 10 gimes
sa 1 me kus us
1 me kus sag
5(ban) 3 sila 3
ninda sd s
3
numun
I'30
3
4'30
6
7'30
[9]
[10'30
7]
su-si
su-si
si
s'i
s'i
s'i
s'i
VI
V
1'40
1 (PI) 4 (ban)
50
1
me 30 s[e]
12
00
1'50
1 (PI) 5(ban)
5
Tgin
13'30
to
2
2(PI) PI
1
1
me 1 '20 se
15
10
2'10
2 (PI) 1 (ban)
1
1 gin
16'30
11
2'20
2 (PI) 2 (ban)
2
2
gin
18
12
IV
kus
si
si
si
si
si
29

со
2'30
2 (PI) 3(ban)
3
3
gin
7
2'40
2 (PI) 4 (ban)
4
4
gin
в
2'50
2 (PI) 6 (ban)
5
5
gfn
9
3
3(PI) PI
6
6
gin
10
З'Ю
3(PI) 1 (ban)
7
7
gin
11
3'20
3 (PI) 2 (ban)
8
8
gin
12
[З'ЗО
3(Pl)3(ban)]
9
9
gin
13
[3'40]
3 (PI) [4(ban)j
10
10
gfn
14
[3'50]
3(PI) 5 (ban)
20
1
~3~
ma-na
15
4
4 (PI) PI
30
1
2
ma-na
16
4*10
4 (PI) 1 (ban)
10
1
ninda
17
4'20
4 (PI) 2 (ban)
20
2
ninda
18
4'30
4 (PI) 3 (ban)
[30 •
3
ninda]
19
4'40
4 (PI) 4 (ban)
[40
4
ninda]
20
4'50
4 (PI) 5 (ban)
[50
5
ninda]
21
5
1 (gur) gur
[1
6
ninda]
22
10
2 (gur) g[ur]
[ПО
I
ninda]
23
15
[3(gur) gur]
[Г20
8
ninda]
24
20
[4 (gur) gur]
[1'30
9
ninda]
25
25
[5 (gur). gur]
[1'40
1
sila]
26
30
[6 (gur) gur]
[3'20
2
sila]
27
35
|7(gur) gur]
[5
3
sila]
28
40
[8 (gur) gur]
[6'40
4
sila]
29
45
[9 (gur) gur]
[8'20
5
sila]
30
50
[10 gur]
[10
1 (ban)]
31
55
(ll(gur) gur]
[20
2 (ban)]
32
1
[12(gur) gur]
[30
3 (ban)J
аз
[40
4 (ban)]
34
[50
5 (ban)]
35
[1
K'PI)
PI]
36
[HO
1(PI)
l(ban)]
37
1
[Г20
1(PI)
2(ban)]
38
[1 '30
1(PI)
3(ban)]
39
19'30
21
22'30
24
13
14
15
25'30 17
27 18
28'30 19
30 20
31'30 21
33
22
[3]4'30 23
[3]6 24
s i
si
si.
16—kus si
si
si
si
si
si
s3
si
s'i
1 kus
[an-ni-t}i su-si 24 si
[. . . . ]30 1 kus
[ ] se-numun
[sa 1 me kus us]
1 - me kus sag
[ se]-numun
20(7)
[10 30 se]
[igi-6-gal]
[13'20 40 se]
[igi-6-gal 10]
[15 45 se]
[ig'i-4-gal]
[16'40 50 se]
[igi-4-gal 5]
[20 1 su-si se]
J— gin
3 ё
[30 1'30 . se]:
1
[40
2 6«n
1 me 20
^ gfn
se]-
В столбцах I (строки 8 — 36) и II (строки 1 — 19)
отмечены меры длины — от дробных частей локтя (kus) до 3 danna.
Исходной единицей служит 1GAR. Итак, 1GAR = 1(GAR),
lkus = 0"5 (GAR), 6 kus =— GAR=0"30(GAR), 10--i-GAR=
= \'$ubban = 5(GAR).
В столбце II (строки 27 — 39) проставлены меры длины —
от lsu-si до 30 su-si = lkus. Исходная единица — lkus. Отсюда;
30

1 su-si = 0"2 (kus). Меры длины проставлены и в столбце III
(строки 1 — 24), в начале опять стоит 1 su-si, а в конце 1 kus. Но здесь
уже рассматривается локоть, равный 24 пальцам
(нововавилонский период), т. е. 1 kus = 24 su-si. Из последнего равенства
1
следует 1 su-si = -rr kus = 0"2'30 kus, что и указано в первой
строке этой части таблицы.
В столбцах III (строки 31 — 37) и IV (строки 1 — 18)
приведены те же меры длины, что и в предыдущей части
таблицы: от 1 su-si до 24 su-si = 1 kus. Однако исходной единицей
является не 1 kus, а какая-то другая мера. Исходную единицу
было бы легко определить, зная абсолютные значения чисел
в левой части столбца. Допустим, что 36, соответствующее
lkus, следует читать как 36. Тогда исходной единицей будет
1 2
kus= —su-si, что вряд ли приемлемо. Если лее .36 читать как
36 3
1
0"36, то исходной единицей окажется ^6 kus, равное 40 kus,—
тоже неподходящая величина. Кроме того, 36 можно
рассматривать как 0"0'36; в этом случае исходной единицей будет
1 kus===100kus, что вполне возможно, судя по характеру
последней величины. Действительно, в столбце III (строка 28)
указана единица площади неизвестного названия, которая
соответствует квадрату размером 100 kus-100 kus (1 те kus us
1 те kus sag, т. е. «100 локтей длина и 100 локтей ширина»).
Та же единица длины, опять-таки употребляемая для
измерения поля, встречается и в некоторых задачах клинописных
текстов нововавилонского времени [37, pp. 141 — 145]. Таким
образом, исходной единицей для мер длины в столбцах III
(строки 31 — 37) и IV (строки 1 -- 18) служила мера в 100 kus.
Отсюда lsu-si = kus - 0"0'1'30 (от 100kus).
Со строки 26 столбца IV и до строки 15 столбца V
расположены меры веса. Восстановленные нами разрушенные строки
передают лишь приблизительное содержание этой части
текста, но в данном случае это не имеет существенного значения.
Исходной единицей, видимо, была 1 ma-na, и тогда — ma-na =
= 0"30 (ma-na), lgin = 0"1 (ma-na), — gin=0"0'50 (ma-na) и т. д.
В заключительной части таблицы содержатся меры емкости
от 1 ninda до 1 gur (столбецV, строки 16 — 38; столбец VI,
строки 1 — 32), характерные для нововавилонского времени.
В качестве исходной единицы взято, очевидно, 1PI. Таким
31

образом, 1 gur = 5 (PI), 1 PI = 1 (PI), Iban
1 sila = — PI = 0"1'40 (PI) и 1 ninda =^rPI
Некоторые особенности обозначения мер
В приведенных таблицах названия мер в относительных
метрологических записях нигде не указаны. Например, вместо
«2 kus 1 su-si» в смысле 0^2 kus = 1 su-si или «1 kus 5GAR» в
смысле 1 kus = 0"5 GAR в таблицах стоит к2 1 su-si», «1 kus 5»
и т. д. Отсутствие названия можно было бы объяснить
лаконичностью выражения, если бы, по крайней мере, в одной
таблице встретилось исключение из этого правила. Но такие
исключения неизвестны. Вместе с тем нельзя утверждать, что
вавилоняне вообще не пользовались в таблицах названиями мер,.
чтобы отметить равенство двух величин типа lkus = 24su-si
1
или ~^~GAR = 6 kus и т. д., — в последней рассмотренной
таблице как раз встречаются подобные обозначения.
Относительная запись меры, по-видимому, играла роль отвлеченного
числа и выражала отношение одной меры к другой, принятой
за исходную. Таким образом, запись «lkus 5», очевидно, следу-
1 kus
ет понимать, как отношение j-— $ равное 5 (т. е. 0"5).
Вавилоняне, вероятно, должны были рассуждать следующим
образом: если принять 1GAR за 1, то 1 kus надо будет считать
за 0"о (в клинописи 5), что следует из равенства: 1 GAR =
= 12 kus.
Такое понимание метрологической записи подтверждается
важным наблюдением Тюро-Данжена, который заметил, что
в некоторых задачах писец ставит «5 kus» в значении
07/5GAR вместо более естественной записи «5 GAR» [56,
р. 182 et suiv.j. В табл. 6 все подобные метрологические
сокращения сведены воедино.
Закись типа «5 kus» в смысле 0"5GAR Тюро-Данжен
восстанавливает как «5 (т. е. 1) kus» [56, р. 182 et suiv.].
Имеется в виду, следовательно, сокращенная форма записи, которая
образовалась из полной формы в результате пропуска
единицы. Другой вид сокращения встречается в табличке VAT 7535,
Vs. 17,18: «6 su-si на 7, ширину, умножено, это дает 7» и Rs.
1 Приводим перевод 'Строк 21—25 столбца II: «Это su-si, для коих 30 su-
si (равно) 1 kus, локоть посевного зерна 10 gimcs, который...»; строк 26—29
столбца III: «Это su-si, для которых 24 su-si равно lkus, локоть посевного
зерна 10 gimes , так что (поле в) 100 kus длины и 100 kus ширины
соответствует 5 ban 3 sila 37з ninda посевного зерна...» [29, р. 36, 37, ip. 143]. Строки
19—24 столбца IV наполовину разрушены, и восстановить их пока
невозможно.
=— pi=o"o'io (ро,
6
= 0"0'10 (PI)1.
32

i
15, 16: «6 sli-si на 3, ширину, умножено, (это) 3» [56,
р. 182 et suiv.]. Здесь вместо «1 (т. е.) 6su-si» стоит только
6 su-si, а относительное выражение меры 1 (в значении
0"0'1 GAR) опущено. Примером несокращенной записи Тюро-
Данжен считает строку Rs. II, 14 таблички ВМ 85210 +VAT
6599: «7 на 5 1 kus, умножь, 35 ты видишь» [56, р. 182 et
suiv.]. В последнем выражении не хватает одного слова, «т. е.»,
чтобы получить реконструированную выше запись «5 (т. е<)
1 kus». Именно такая полная запись, очевидно,
зафиксирована в табличке VAT 6598, Rs. I, 16: «2'30 на 5, эквивалент
1 kus, умножь, 12'30 ты видишь». Словом «эквивалент» мы
переводим шумерский термин bal. Таким образом, запись
типа «5kus» или«2/30к駻 и т. д. в значении 0"5 GAR = 1 kus,
0"2'30 GAR = —kus и т. д. действительно надо толковать
как сокращенный способ выражения «5, эквивалент 1 kus»
или «2'30, эквивалент — kus» и т. д.
Введение сокращенных записей, очевидно, было
обусловлено тем, что для перевода абсолютных метрологических
выражений в относительные и обратно необходимо было
пользоваться метрологическими вычислительными таблицами.
Различные виды сокращений — это по сути дела отдельные
строки таблиц, из которых выпушены некоторые элементы, а
почти полная форма записи, в которой отсутствует лишь
обозначение эквивалентности, может быть отожлествлена с
полной строкой. Косвенным свидетельством использования
метрологической вычислительной таблицы в процессе решения
задачи служит запись №7 приведенной сводки сокращений.
В соответствующей строке дан результат умножения — 15, а
затем следует «10 su-si — 10su-si». Это означает, что 15 равно
2
10, эквиваленту lsu-si, плюс — от 10, эквивалента 1 su-si,, и
2
равно 1-~ su-si. Вероятно, для относительного выражения ме-
ры 15 отыскивалось абсолютное выражение, а так как в
соответствующих таблицах меры длины зафиксированы от. 1 su-si
до 0"0'10 GAR, то 15 было разложено на 10+ — 10.
Сокращенные записи встречаются в клинописных текстах
редко. В подавляющем большинстве случаев относительные
выражения вообще не уточняются, и только при исследовании
контекста задачи удается установить, что, например, 15
означает 0"0'15 GAR, т. е. 1—su-si.

S
33
<d
TO
CO
о
то
о
с
TO
X
TO
W
О
h
я
то
to л
а. Я*
ь x
3
to
в=[
co
з:
СО
I
>со
>со >со
>ю о -з
>С/)
>С0
3 3
^ —*
>С0
СМ СО ^
*3
II И || || со
«о?
а а _
о ю о ю О
' СМ СМ л
ft fc t ь О
о о со
а
ю
см
a Р.
° Я
СО
>С0
-3
СО
СМ
+
<
о
о
т—1
р
О
О
о
ю
04
<
О
о
>со >сл >С0 >С0 >С0
о «а -3 о -3
_^ ^ jaj
юоюою
1—ii—| СМ СМ
3
со
)
»со
3
то
>со
О
н
1—1
то
■
=г
ри
со
1
н
3
>СО
3
СМю
>со
-3
о
1—I
см ^ оо j^T
™ м <e w 7!
CM
СМЮ
CM CM
CO
05
i—i
CM
•>
1—*
а
•
CO
CO
>
CO
о
О
см
со
go
с со
05
оо
<J СО
см
со
СО
см
t^- со со со со ^ ОО
0)0)QGG чти
О СЭ
Ю т-н
*ч СМ
в ю й к
СМ СО ю со ^ ОО О)
3 А. А. Вайман
хл
D
см
>со
-3
см
<!
a
о
со
<!
a
юз
о
со
*-« см
3
— '5 '5 '> bD ЬД
~ >с/} I
СО Ю О о »со S
^ СМ
г-н v lq
СО
>С0
О
см
СО
>со
о о
со г-н
00
со
>
СО — О О ^ 2
СМ л—'СМ -
со- w со ™
^С* .>>>
к. со
> at
>
со
о
ctf О
со 1—*
ю со
со оо
•<<;
>>
ю
в со
СО
со
о
о см^смоо^
см .см „см см
см о см сл со со
см см
со
см
cd
о
ч
s 3
a 5
с и
0 СМ СО ю 'О ^ 00 О
1 1 Т-Н Т-Н Г-Н Т—f Г-Н , ,
33

Глава III
ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и списки
ОБРАТНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Постоянные величины
В некоторых математических текстах встречаются числа,
названные igi-gub —«обратная постоянная». Они не
фигурируют в условии задачи, а появляются только в решении и
используются как известные величины.
Возникновение постоянных величин было обусловлено, разу*-
меется, хозяйственными, а не математическими потребностями.
Ниже приводится несколько примеров постоянных величин,
обнаруженных в хозяйственных документах.
В ряде табличек из Телло встречаются одни и те же
нормы посевного зерна на lbur площади [42, МЬ 2 (VAT
2201), Rs., столбец V, № 3,4. 5]. Это lgur 4 PI (т. е. 1 "48 gur),
1 gur 3 PI 1 ban 5 sila (т. e. 1"39 gur), 1 gur 2 PI 3 ban (т. е. Г30
gur), lgur 1PI (т. e. 1"12 gur). Приведенные нормы
повторяются в разных табличках применительно к большому числу,
полей. Поэтому ясно, что данные величины — постоянные.
Интересные данные о норме урожайности встречаются в таб:
личке АО 3448 [53, № 407]. В ней указаны площади двух полей:
1 s&r-gaJ 8 sar 5 buru 4 bur 1 ese 3 iku (т. е. Г8'54"30 bur) и
1 sar-gal 1 sar-u lbur (т. е. Г1Г1 bur), и соответственно,
количество зерна, снятое с каждого поля: 3 sar-u 4 sar 2 ges-u
(т. е. 34'27'15 gur) и 3sar-u 5sar3ges(T. е. 35й 30* 30 gur).K<wiH4e-
30 gur также играла роль некоторой постоянной. Об этом
же косвенным образом свидетельствует и то, что указанная
величина является числом округленным. Заметим, кстати,
что 30 gur зерна с 1 bur эквивалентно 5 sila зерна с 1 SAR1;
1 Около 1350 л с Л га.
ство зерна с 1 bur для первого поля будет
35'30'30
для второго ———gur = 30 gur. Следе
3*
35

В хозяйственной табличке Эрм. 5066 зафиксирована даже
норма настрига шерсти с одной овцы [12, табл. LXVII, стр.
138]. В ней упомянуты три стада овец, которые были
подвергнуты стрижке. С первого стада (527 голов) получено
18 gun 3 ma-na шерсти, со второго (86 голов)— 16 gun 30-^-ma-
па и с третьего (574 головы)—20 gun 32 ma-na.
Следовательно, средний настриг с одного животного для каждого стада
равен соответственно 2 ma-na 3—gin 9 se, 2 ma-na 2—gin и
2 ma-na 8—gin 18 se. Приведены также излишки шерсти: для
о
первого стада —29 ma-na, для второго — 18— ma-na и для
2
третьего—1 gun 24 ma-na. Последнее обстоятельство
указывает, очевидно, на то, что существовала норма среднего
настрига шерсти с одного животного, равная постоянной
величине 2 ma-na. Принимая во внимание эту постоянную (в
тексте она не упоминается), можно получить точные значения
указанных излишков.
Особого внимания заслуживает клинописная табличка
UET III 1386, найденная при раскопках Ура и датированная
временем его III династии (XXI в. до н. э.)1. В девяти
сохранившихся строках текста приведены размеры двух, по всей
видимости, глинобитных стен и соответствующие объемы;
указаны суммарный объем обеих стен (18— SAR 2— gin =
3 2
== 18"22'30 SAR) и норма труда, сформулированная так: «на
2
каждые ГО рабочих в 1 день по 3—SAR 5gin». Имеется в
3
виду, что за ГО (= 60) человеко-дней должна быть сооружена
2
часть стены объемом 3—SAR 5gin = 3"45 SAR. Отсюда, на
3
3"45
1 человеко-день приходится —;—SAR = 0//3/45 SAR. Разде-
= 4'54 человеко-дней. В тексте действительно записано:
«Рабочие ее (т. е. стены) 4'54 в 1 день». Постоянная величина
(ГЗ'45 SAR для «глинобитной стены» встречается в
математических задачах и списках обратных постоянных.
Вавилоняне составляли целые списки постоянных величин,
или «обратных постоянных» (шумерское igl-gub).
Большинство постоянных — результат практических наблюдений и
1 См. приложение I, М.
2
лив суммарный объем на норму труда, получим
18"22'30
3"45
Списки обратных постоянных
36

56 26 (?), гипса; 54 желтой охры.
57 30, pisan(?) сосуда; 20 для
a-kur-ra.
58 4 48, толщины колоды.
59 40, sa-KAK(-)UD-su-rum.
60 12, maltaktum ночи.
61 448, GA-DUB зерна
62 24, pi-la-u-tum sa G[I . . . .]
63 1, диагональ; 1, часть.
61 1, срезанный тростник.
65 57'36, Sa-... -1и{1)-й-ит.
66 Божество N'idaba.
Эмпирические постоянные
Лишь некоторые эмпирические обратные постоянные этого
списка удалось расшифровать.
Строка 17: «345, глинобитной стены». Эта постоянная
встречается в математических и хозяйственных текстах и
означает, что за 1 человеко-день должна быть возведена глинобитная
стена объемом 0"345 SAR [37, р. 133].
Строка 43: «10 gin, рабочая норма одного человека».
Указанная постоянная обнаружена в нескольких математических
задачах и означает, что за 1 человеко-день должно быть
выкопано (или насыпано) 0"10SAR земли [37, р. 135].
Аналогичная обратная постоянная зафиксирована в строке 21 списка
YBC 7243: «20, арыка silutum (подъем)». В некоторых задачах
эта постоянная фигурирует как норма выемки земли из
верхнего слоя прорываемого канала: на глубине до 1 локтя за
1 человеко-день требуется вынуть 0"20 SAR земли [37, р, 136].
На следующих двух локтях глубины норма снижается вдвое
[37, р. 84].
Строка 18: «15, асфальта». По-видимому, для покрытия
квадратного локтя поверхности требуется 0^15sila асфальта
[57, р. 79 et suiv.; 37, p. 133]. Такое значение постоянной
определяется из анализа задачи № 4 таблички АО 6770. Тол-,
щина слоя асфальта оказывается равной (ГЗ'Зб su-si^l мм—
практически вполне приемлемая величина.
Строка 58: «448, толщины колоды», т. е. дерево с длиной
окружности в 1 GAR имеет «толщину» 448 sila. Указанное
значение постоянной устанавливается на основании изучения
задач таблички YBC 8600. Колода емкостью 448 sila и
длиной окружности 1 GAR должна иметь толщину 6 su-si [37,
р. 135].
Строка 40: «18, ЧтШ/п». Эта же постоянная
зафиксирована в другом списке, YBC 7243, строка 14: «18 im-la». Указанная
постоянная засвидетельствована, кроме того, тремя задачами
таблички ВМ 85194, которые пока не поняты [37, pp. 135,136].
В строках 25—28 содержатся обратные постоянные для
ruqqu. Данный термин упоминается в задаче № 6 таблички
YBC 4669, но, к сожалению, это мало помогает расшифровке
постоянных.
Ряд постоянных в списке относится к кирпичам. Однако,
прежде чем приступить к рассмотрению этих величин,
необходимо сделать несколько замечаний. В клинописных математй-
38

установления некоторых стандартов. В дальнейшем мы будем
называть их эмпирическими. Кроме того, встречаются
постоянные, выявленные главным образом при изучении
геометрических фигур с какими-либо особыми свойствами. Такие
постоянные будем называть математическими.
Известны три списка обратных постоянных: два (YBC 5022
и YBC 7243) опубликованы полностью [37, pp. 132—137], а
третий (сузская табличка I) издан в извлечениях [14, р. 19
et suiv.]. Последний текст разбит на три части: в первой
содержатся обратные постоянные для геометрических фигур,
в двух других — для кирпича и металлов. Небольшой список
обратных постоянных помещен в «Математическом
руководстве» из Тель-Хармала (табличка IM 52916) [27, р. 137].
Приведем самый большой и наименее поврежденный
список. В нем содержится 68 постоянных, размещенных в 64
строках таблички (32
см. YBC 5022).
с лицевой стороны, 32 — с оборотной;
Лицевая сторона
1 Их ig'i-gubba операции.
2 4'30, nazbalum кирпичей.
3 742, nalbanum земли.
4 5'24, nazbalum полкирпича.
5 З'22'ЗО, nazbalum этого.
6 2'42, nalbanum обожженного
кирпича.
7 Г41'15, nazbalum этого.
8 140, nazbalum земли.
9 Г12, nalbanum 1-локтевого
кирпича.
10 45, nazbalum этого.
11 4'48, nalbanum— -локтевого
кирпича. 2
12 4'23/36, nazbalum этого.
13
9, nalbanum -— -локтевого
пича. 3
кир-
14 8'20, nalbanum . . глииы.
15 7'38, nazbalum этого.
16 712, штабеля кирпичей.
17 3'45, глинобитной стены.
18 15, асфальта.
19 30, треугольника.
20 б (?), G AN-MAN.
21 45(?) и 10, сегмента (?) круга
22 Г12, rdtum меди.
23 ГЗО, rdtum серебра.
24' Г48, rdtum золота.
25 2'15, ruiqu золота.
26 4, ruqqu серебра.
27 2'24, ruqqu меди.
28 2'8, ruqqu . .
29 6, грузового судна.
30 640, GA-DUB зерна.
31 3 36, GA-DUB соломы.
32 3 45, GA-DUB ....
33 15, GA-DUB воды.
Оборотная сторона
34 3'20, обожженного кирпича. 44
35 l'52'ЗО, 2-го обожженного кир- 45
пича. 46
36 4'24, maSqattum кирпича. 47
37 1'12в sahalum. 48
38 14'24, слоя кирпичей. 49
39 45, mutalldtum. 50
40 18, ЧтШт. 51
41 6, massu[m кирпи]ча(?). 52
42 1'40, mas sum земли. 53
43 10 gin, рабочая норма одного 54
человека. 55
1'20 и 15, nazbalum воды..
2'13'20и Г15, (для) GlS DUB-IL
2[ . . . . ]'30, глины.
П2'3]0, (для) GAN-ma-ru.
53[?]'20, (для) GAN-za-mf.
22'30 и 12'30, (для) GAN-zara
26'40, уха za-mf.
З'ЯО, 2-го GAN-Mt-mizafe
4'20, 2-го сегмента (?) круга.
53, 2-го GAN-MAN.
45, 3-го сегмента (?) круга..
[2]0'48'6, (для) gir4-ad-KID. . ,;
37

ческих текстах количество кирпичей часто выражалось в
единицах, названия которых совпадали с названиями мер площади
и объема. Основная единица 1 SAR=12'0 кирпичам, и
соответственно lgin = 12 кирпичам, 1 ubu — Ю'0'0 кирпичам, 1 iku=
=Г0'0'0 кирпичам [37, pp. 94—96]. Аналогичный способ счета
кирпичей обнаружен также в хозяйственных документах
периода III династии Ура. В математических текстах
упоминается несколько типов кирпичей (табл. 7).
Строка 16: «7'12, штабеля кирпичей» означает, что штабель
кирпичей типа 1 объемом 1 SAR содержит 7"12SAR
кирпичей. Действительно, объем одного кирпича типа 1 равен
v = 0"0/0'4r40SAR, следовательно, в штабель объемом 1 SAR
должно уложиться = Г26/24 штук. Разделив это
0"0'0'41'40
число на 12'0 (количество кирпичей одного SAR), получим
Г26'24
=7"12SAR. Таким образом, если известен объем ка-
12'0 v
кой-либо стены и надо вычислить количество кирпичей,
требуемое для ее сооружения, достаточно умножить заданный
объем на постоянную 7"12. Примером использования этой
постоянной может служить задача таблички YBC 10722. В
ней сначала определяется объем кирпичной кладки печи,
который умножается на постоянную 7"12, чтобы найти
количество расходуемого кирпича [37, рр, 98, 99]. В другой табличке
зафиксированы размеры какого-то сооружения, видимо, стены,
затем записан объем и далее — количество кирпичей,
выраженное в SAR. Отношение объема к количеству кирпичей
тоже равно 7"121.
Строка 38: «14'24, слоя кирпичей» означает, что для
покрытия поверхности 1SAR требуется 14'24 кирпичей типа 1
[37, р. 134]. Действительно, площадь основания одного
кирпича типа 1 равна 5 = 0"2'30-0"Г40 = 0"0'4'10 SAR; разделив
1 SAR площади на эту величину, получим ^777j~ = 14'24
кирпичей. Примером такого вычисления является задача № 6
таблички YBC 4607. Здесь величина 14'24 записана как
1 SAR 2'24 (Ш) + 2'24 = 14'24).
Строка 34: «З^О, обожженного кирпича». Если бы вместо
этой записи стояло «3'20, штабеля обожженного кирпича», то
значение указанной постоянной можно было бы толковать по
аналогии с постоянной строки 16. Допустим, что слово
«штабель» пропущено. Тогда постоянная должна означать, что
штабель кирпичей, объем которого 1 SAR, содержит 3"20 SAR
штук. Вычислив объем одного кирпича, получим:
v = -0'W30 SAR.
3"20-12'0
1 См. приложение I, N.
39

I
as
Я"
X
fcS
О
то
*
CD
ВГ
x
з
cu
s
И
3
s
2
x
x
TO
cq
о
qq
o
4
о)
н
<d
x
dq
о
to
co
3
TO
d.
S
CD
3
TO
a
co
to
r-. cn
<<
о
t—H
p
о
о
ОС
<
co
p
о
со
PC
oo
о
cm
со
со
ю
ю
p
о
о
с*
00
о
о
I—<
о
о
err
00
о
о
a
о
о
II
>со
со
ОС
<
о
CN
о
3
>сл
см
<:
a
о
>со
'3
т-ч СО
<
a
о
СО
см
О
>СО
-з
<!
a
со
О
со
I
3
>сл
со
<:
a
о
см
со
о
>со
-3
ОС
<
О
о
см
СО
=:
О
>ся
'3
С*
<;
a
>со
см со
i-н CM
см со
3
Си
з
з
о-
3
то
3
3
а
Си
з
о
)-»-(
3
си
3
=3
3
3
CD
О
ю
о
с
а,
3
£н
эз
3
3.
CD
О
о
О
со
о-
со
то
cd
то
си
0J
то
о
CD
[-
зЗ
CD
В
з
5
з
со
3
3
3
то
з
о
га
н
о
Й
3
то
сп
га
О
3
3
н
га *з
3 и*
к о
со *
ТО о
- я
р
га 03
<D 3
со си.
ТО 3
cu W
<и то
3 »
s 5
о
га
3
си га
С 2
•Х-
40

Если высота кирпича
h = 5 su-si = 0"10 Ш,
то площадь основания
s_ о-отзо^ 0„0/9
О" 10
Оказывается, что величина 5 является полным
квадратом: \/0"0'9 — 0"3; следовательно, есть основание считать*
что имеется в виду квадратный кирпич размером а = Ь =
=0"3GAR = 18 su-si [37, p. 134]. (Ниже этот кирпич отнесен
к типу 8.)
Строка 35: «Г'52'30. 2-го обожженного кирпича» (под
«1-м», очевидно, имеется в виду обожженный кирпич,
упомянутый в предшествующей строке). По аналогии с
предыдущим можно считать, что постоянная 1"52'30 выражает
количество SAR кирпичей в штабеле объемом 1SAR. Тогда
объем одного кирпича
v = =0"0'2'40.
1"52'зо.12'о
При высоте /z = 5su-si = 0'/10GAR площадь основания
кирпича
S= О'0'240 =0"(У16 SAR; /Wr6~=04.
0"10
Следовательно, кирпич опять оказался квадратным: а=Ь=
= 0"4GAR = 24su-si [37, p. 134]. (Ниже этот кирпич отнесен
к типу 9.)
В строках 4—13 (исключая 8) содержатся постоянные
nalbanum различных типов кирпичей и соответствующие
постоянные nazbalum. Для типов «кирпич» и «1-локтевой кирпич»
даны только nazbalum (строка 2) или nalbanum (строка 9).
Все эти постоянные сведены ниже в табл. 8 [37, р. 137].
Легко проверить, что отношение постоянных nalbanum к
постоянным nazbalum для типов 3*, 4* и 5* одинаково:
ct3 а4 as 8
Лишь для типа 6* отношение
aG 4'48 12
86 4' 23' 36 Ю'59
41

Таблица 8
Названия и постоянные различных типов кирпича *
Название кирпича
Nalbahum (а)
Nazbalum (Р)
Тип
«К ирпич>
«Полкирпича»
«Обожженный кирпич*
«1-локтевой кирпич»
1
«-^--локтевой кирпич»
1
«—— -локтевой кирпич»
{7'12}
5'24 (стк. 4)
2'42 ( „ 6)
1'12 ( . 9)
4'48 ( , 11)
9 ( . 13)
4'30 (стк. 2)
3'22'30 ( , 5)
1'41'15 ( „ 7)
45 ( , Ю)
4'23'36 ( , 12)
{5'22'30}
1*
3*
4*
5*
6*
у*
* Числа, заключенные в фигурные скобки, в списке отсутствуют.
Значение постоянной nazbalum кирпича типа 6* в списке
указано, видимо, неправильно. Вероятнее всего, что — вообще
5
выражает отношение постоянных nalbanum к
nazbalum. Следовательно,
постоянным
а6
или
8
«7
а
8
б i
Р
а,
• v 8 8
Подставив вместо р1э а6 и а7 их числовые значения, получим
ах=7'12; %=31; р7 = 5,22,30
(см. числа в фигурных скобках).
Остановимся на вычислении постоянных штабеля
кирпичей, размеры которых известны (см. табл. 7, типы 1 —5).
Постоянная штабеля кирпичей типа 1 указана в списке и
равна 7*12. Остальные постоянные определяются делением
1 SAR объема на объем 1 SAR кирпичей. Выполнив
необходимые вычисления, получим следующие постоянные:
Тип . . . .
Постоянная
1 2 3 4 5
7"12 5 5"24 242 1"12
1 В строке 47 клинописного списка YBC 7243 зафиксирована постоянная
«3 (для) ^-локтевого кирпича». Очень может быть, что имеется в виду
постоянная nazbalum £fi=3, которая в рассматриваемом списке ошибочно
записана как 4/23/36 [37, р. 137].
42

При сравнении этих данных с указанными в табл. 8 видно,
что постоянные штабеля кирпичей совпадают с
постоянными nalbanum, по крайней мере в относительном шестиде-
сятеричном позиционном выражении [37, pp. 137, 138]. Это
совпадение не случайное, ибо одинаковыми оказываются и
названия кирпичей. Так 1 и 1* названы «кирпич», 3 и 3* —
«полкирпича», 4 и 4*—«обожженный кирпич»: Правда, кирпич
типа 5 называется «обожженный кирпич», а тип^а 5*—«1-лок-
тевой кирпич». Но тип 5— это квадратный кирпич, со
стороной в 1 локоть, и, следовательно, он вполне может быть
охарактеризован как «1-локтевой кирпич».
О совпадении постоянных Нейгебауер.и Сакс высказываются
весьма осторожно: «... Соблазнительно рассматривать
значения nalbanum как числа SAR (=12/0) кирпичей различных
типов в 1-объемном SAR, что могло быть единицей,
специально используемой в связи с лепкой (формовкой) кирпича»
[37, р. 138]. Но термин nalbanum не обязательно,
по-видимому, связывать с процессом лепки. Так, в словаре Делича
этот термин переводится как «кирпичное сооружение» [22,
S. 370]. Таким образом, nalbanum можно понимать и как
«штабель кирпича». Постоянные nalbanum совпадают с
постоянными штабеля кирпича, очевидно, именно потому, что сам
термин nalbanum означает «штабель кирпича». Правда, в
математических задачах и списке обратных постоянных (строка
16) для «штабеля кирпича» засвидетельствован шумерский
термин sig4-anse. Но из этого лишь можно сделать вывод,
что аккадское nalbanum и шумерское sig4-anse —
эквивалентные способы выражения одного и того же
понятия—«штабеля кирпичей». Ниже кирпичи типов 1*, 3* и т. д., которым
соответствуют постоянные nalbanum и nazbalum,
отождествлены с кирпичами типов 1, 3 и т. д., которым соответствуют
постоянные «штабеля кирпичей».
Рассмотрим кирпич типа б (=6*), представленный в списке
постоянной nalbanum, т. е. штабеля кирпичей, a6=4'48.
Располагая последней величиной, можно вычислить размеры одного
кирпича. Сначала определяется его объем v6i для чего 1SAR
объема делится на 4'48 SAR(t. е. 4'48-12/0) кирпичей: vG= =
F 4'48-12'0
^(ГОГг'ЗО SAR. При высоте кирпича h=5 su-si =0"10 kus его пло-
0"0'1'2'30
щадь£ =— = 0"0/6'15 SAR. Из этого числа извлекается
квадратный корень: ]/0"0'6'15 = 0"2'30. Следовательно, имеется
в виду квадратный кирпич, размеры которого а6=Ьб =
= 0"2'30 GAR = -|-kus [37, р. 138]. Полученный результат
подтверждает название кирпича типа 6 (=6?)—«—
-локтевой кирпич». 2
43

Рассмотрим кирпич типа 7 (=7*). Его постоянная nalba-
пит (штабеля кирпичей) <х7=9. Отсюда объем одного
кирпича у7==—-— = (У'О'О'ЗЗ^О. При высоте кирпича h = 5 su-si =
' 9-12'0 у v
= 0"10Ш площадь основания S = u и = 0"0'3'20 SAR.
0"10
Корень квадратный из этого числа точно не извлекается,
кирпич не квадратный. Кирпич типа 7 назван «—- -локтевым», и
поэтому, по крайней мере, одна сторона основания должна
быть равна —-- kus. Руководствуясь этим соображением, най-
О
дем, что а 7= — kus = СП'40 GAR, b7=12 su-si = 0"2 GAR
(.S6=0''2-0',1'40GAR2=0',0'3'20SAR) [37, p. 138]. Но такой
результат, по-видимому, не вполне удовлетворителен.
Во-первых, поскольку речь идет об «-—-локтевом кирпиче», следо-
О
вало бы ожидать, что и ширина, и длина будут равны —
локтя. (Во всяком случае «—-локтевой кирпич»
действительно имеет размеры a6=b6= —kus.) Во-вторых, отношение
размеров кирпича а6:Ь6=6:5 не укладывается в
отношения размеров, которые характерны для рассмотренных выше
восьми типов кирпичей (1 :1,3:2 или 1 :2). Такие отношения не
случайны: они подтверждены находками реальных
кирпичей на территории древнего Двуречья5.
Можно попытаться найти более подходящий кирпич для
типа 7, выбрав другое значение высоты. Будем решать
обратную задачу: вычислим высоту кирпича, объем которого
г»7=0"0'0'33'20 SAR, а стороны - a7=b 7=-~kus = 0"Г40 GAR.
Площадь, основания 57=((УТ40GAR)2= 0"0'2'46'40 SAR и,
0"0'0'33'20
следовательно, h 7= —0"12 kus = 6 su-si. Только вы-
0"0'2'46'40
сота Л 7, равная 6 пальцам, приводит к удовлетворительным
1
размерам « локтевого кирпича».
3
В трех первых задачах клинописной таблички VAT 659$
засвидетельствована еще одна постоянная штабеля, а именно
2"15 для «обожженного кирпича», который, продолжая преж-
1 Например, кирпичи, обнаруженные при раскопках в Телло, имеют
следующие размеры (в см ): •31,5X31,5X5,5 (отношение 1:1); 28X19X6,5; ЗОХ.
Х19Х6; 30X20X5,5; 31X23x5; 32X22X5; 33X21X6; 33X22X6; ЗЗХ22.5Х
Х7,5; 33X22X6; 35X23X5 (отношение 3 : 2); 30X15X6; 31,5X15,5X5,5
(отношение 2:1) [40, pp. 48—53]..

нюю нумерацию, отнесем к типу 10 [36, 1, S. 277 if.].
(Типы 8 и 9 см. на стр. 41 настоящего издания.) Объем
такого кирпича vl0= 1 =0у0/2'13/20 SAR. При высоте /г,0=
2" 1,5 • 12'О
=5 su-si=0^10 kus площадь основания кирпича ^ю^СГСПЗ^О SAR.
Корень квадратный из последнего числа точно не
извлекается. Следовательно, кирпич не квадратный. В этом случае
наиболее приемлемыми значениями для сторон кирпича были бы
^10=24su-si=0''4GAR, 610 = -|-kus=0//3,20GAR илиа10=1Ш =
=0"5GAR, &10=16§u-si = 0''2'40GAR [37, p. 96]. Но эти значения
неудовлетворительны, так как в первом случае получается
отношение а10 :6I0=6:5, а во втором —15 : 8. К удовлетворительному
результату опять-таки приводит высота кирпича /г10=6 su-si==
0"0'2'13'2^
==0r/\2 kus. Тогда площадь основания Sl0~ —— =
=0'/0/1-1/6Ч0 SAR, а из этого числа точно извлекается
квадратный корень: V0'4ni'640=0''3'20. Отсюда al0=bl{)=
= 0"У20 GAR =—kus.
з
Таким образом, имеются два типа кирпичей, постоянные
которых наилучшим образом удается объяснить, исходя из
высоты кирпича 6 пальцев. Особенно важно, что наличие
шестипальцевых кирпичей приводит также к
удовлетворительному объяснению единицы счета количества кирпичей: 1 SAR=
=12'0 (=720) кирпичей. Как могла появиться такая странная
единица? Естественно предположить, что существовали
кирпичи, для которых было справедливо соотношение: штабель
объемом 1SAR вмещает 12'0 кирпичей. В этом случае как
раз имело бы смысл обозначить 12'0 кирпичей как 1 SAR
кирпичей, распространив затем упомянутую единицу на кирпичи
■других типов. Иными словами, надо найти какой-то новый тип
(пусть это будет тип 11) кирпичей, который характеризуется
постоянной штабеля кирпичей &ц—1. Ясно, что объем
одного кирпича этого типа vn= j =(У/0'5 SAR. Допустим, что
высота кирпича uI1=5su-s-i = 0'/0/10 kus, следовательно, пло-
.щадь основания Sn= °'°/5 = 0ff0/3Q SAR = 1"12 kus2. Так как
_ 1 0*10
V0"0'30 точно не извлекается, кирпич не квадратный.
Нетрудно также показать, что стороны такого кирпича не могут
находиться в отношении 3:2 или 2: 1 и что ширина кирпича
обязательно будет больше lkus. Следовательно, при высоте Ап=
=5 su-si ни отношение сторон кирпича, ни абсолютная
величина его меньшей стороны, которая в отличие от всех
предыдущих типов оказывается больше lkus, не могут
считаться приемлемыми.
45

Можно предпринять другую попытку, предположив, что
высота кирпича типа 11 равна un=6su-si=0''12GAR. Тогда
площадь основания Sn=^l =W25 SAR = (0*5 GAR) 2, что
соответствует квадратному кирпичу со стороной 0"5 GAR=
= 1 kus. Такой результат в высшей степени удовлетворителен.
Итак, именно счет кирпичей типа 1 kus X1 kus X 6 su-si и должен
был привести к появлению единицы 1 SAR=12'0 кирпичей.
Выше отмечалась числовая зависимость между постоянными
nalbanum («штабель кирпичей») и постоянными nazbalum.
Этого, однако, недостаточно для объяснения постоянных
nazbalum. Глагол zabdlu, от которого происходит
существительное nazbalum, означает «носить», «переносить».
Следовательно, nazbalum кирпича должно выражать понятие,
касающееся переноски этого вида строительного материала. Более
того, вероятно, что постоянная nazbalum фиксирует количество
кирпичей, которое должно быть перенесено в 1 человеко-
день.
Такие рабочие нормы засвидетельствованы несколькими
клинописными математическими текстами. В них указывается,
что за 1 человеко-день должно быть перенесено 9'0 (9 su-si)
кирпичей на расстояние 30 GAR1.
Наличие такой нормы позволяет высказать некоторые
предположения о значении постоянной nazbalum кирпича.
Действительно, рабочая норма, соответствующая расстоянию
9'0
2-30GAR=lUS, должна равняться ~ =4'30 кирпичей, а
последняя величина может быть отождествлена с постоянной
nazbalum кирпича типа 1. Другими словами, nazbalum кирпича
типа 1 предположительно можно истолковать как 4'30
кирпичей, которые должен перенести рабочий за день на
расстояние 1 U§.
Приведем некоторые дополнительные доводы. В
клинописных -текстах норма 9'0 относится к «кирпичу» (sig4). Это не
«обожженный кирпич» (sig4-al-ur-ra), так как в двух задачах
таблички YBC 4673 [36, 3, S. 29] последний упомянут особо в-
сокращенном написании sig4-al (см. Vs. I, 11,22). То же
название «кирпич» (sig4) прилагается к постоянной nazbalum кирпича
типа 1. Далее, весовое' значение 4'30 кирпичей типа 1 можно
определить при помощи постоянной удельного веса кирпича,
которая зафиксирована в клинописной табличке YBC 7284 как
вес 1 SAR объема кирпича, равный 12'0'0 ma-na [37, pp. 97,
98]. В этой же табличке указан и вес одного кирпича типа 1,
равный 8— ma-na (чтобы получить данную величину, надо
1 Табличка АО 8862, строки II, 27—29; III, 4, 5 и III, таблица, строка 2
[36, 1, Ss. 112, 1161; табличка YBC, 4673, Vs. I, 6—7, 46—17 [36, 3, S. 29];
табличка YBC 10722, строка 2:[37, р. 98].
46

объем одного кирпича умножить на его удельный вес, что
действительно приводит к результату 0"0'0'4Г40-12'0'0-=
= 8"20 ma-na).
Пользуясь последней величиной, определим весовой
эквивалент постоянной nazbalum кирпича первого типа: 8"20-4'30=
=37/30 та-па^1125 кг. Следовательно, весовая норма
переноски кирпича приблизительно равна 1125 кг на одного
человека в один день на расстояние 1 U§^360 м. Указанная
рабочая норма, очевидно, допустима, хотя и не может считаться
легкой.
Таково объяснение постоянной nazbalum кирпича типа 1,
остальные постоянные nazbalum могут быть* истолкованы
аналогично. На основании приведенных фактов нельзя
окончательно доказать правильность данного предположения, но нет
ничего такого, что бы ему противоречило. Правда, может
показаться странным, что постоянные nazbalum выражают
количество отдельных кирпичей, а постоянные nalbanum, находящиеся
в соседних строчках списка, — количество SAR кирпичей. Дело,
по-видимому, в том, что все постоянные nalbanum относятся к
количеству кирпичей, которое больше lSAR,a постоянные
nazbalum—к количеству, которое меньше 1SAR. Например, из
пяти задач таблички YBC 4607 (№ 6—10) только в одной
(№ 6) употреблена единица SAR, так как в этой задаче
говорится о количестве 14'24 кирпичей, которое, будучи
больше 1 SAR (=12'0), записано как 1 SAR 2'24. В задачах № 7—
10 сказано о количествах Ю'О, 1048, 5'24, 2/24 —меньших
1SAR, и поэтому записаны они соответственно как 1 ges-u,
lges-u48, 5'24, 2'24.
В таблице 9 и 10 даны постоянные для кирпичей,
разбитых на типы в зависимости от отношения длины кирпича (а)
к его ширине (Ь). Объем одного кирпича (и) и объем 1 SAR
(12'0) кирпичей (V) указаны в SAR объема; постоянные
штабеля кирпичей, nalbanum, (а) выражены в SAR кирпичей;
постоянные рабочей нормы при переноске кирпичей, nazbalum,
(|3) обозначают количество отдельных кирпичей на 1
человеко-день.
Остановимся еще на одной постоянной списка,
относящейся к тростнику.
Строка 64: «1, срезанный тростник». Эта постоянная,
по-видимому, означает, что 1 SAR (=12'0) связок тростника составляет
объем в 1 SAR. Такое толкование указанной постоянной в
значительной мере вытекает из некоторых данных
математических текстов.
Так, в клинописных табличках ВМ 85194, Vs. Ill, 23—37 и
ВМ 85196, задачи № 2, 5 [36, 1, Ss. 146, 156; 2, Ss. 43, 46 ff.]
помещены четыре задачи на вычисление объема тростниковой
связки в форме усеченного конуса: длина окружности
верхнего основания равна 04 GAR, нижнего — 0"2 GAR, высота—
47

с
6 kus '. Объем связки вычислен приближенно как произведение
полусуммы площадей оснований на высоту, что приводит к
величине СИУ5 SAR (см. ВМ 85194). Из этого следует, что
12'0, или 1 SAR связок тростника, составляет объем 1 SAR.
Действительно, 0"0'5'-12'0 = 1.
1 Таблица 10
Сводка постоянных для кирпича высотой h=6 su-si
а : Ъ
1 : 1
Тип
11
10
7
а
1 kus
2/3 kus
1/3 kus
Ь
1 kus
2/3 kus
1/3 kus
V
0"0'5
0"0'2'13'20
0"0'0'33'20
V
1
0"26'40
0"6'40
а
1
2" 15
9
Р
37"30
1'24"22'30
5'37"30
В задаче № 4 таблички ВМ 85196 определяется
количество связок тростника, которое может быть погружено на судно
определенных размеров. Объем одной связки 0"(У5 SAR,
очевидно, считается постоянной величиной; в условии задачи она
не указана, а в решении фигурирует, как заранее известная.
Итак, в постоянной «срезанного тростника»
обнаруживается полная аналогия с постоянными «штабеля кирпичей». Кирпич
являлся в древности таким строительным материалом, знание
объема которого было чрезвычайно важно. То же самое
справедливо, по-видимому, и в отношении тростниковой связки. Ведь в
древнем Двуречье тростник был одним из основных
строительных материалов, он использовался даже для постройки
сооружений, находящихся частично в воде. Расходование
тростниковых связок (именно связок!), как об этом
свидетельствует ряд хозяйственных текстов, по-видимому, учитывалось
не менее строго, чем расходование кирпича. Следовательно,
появление постоянной «срезанного тростника» вполне
естественно.
Возникает также вопрос о реальности размеров связок
тростника, которые встречаются в упомянутых
математических текстах. Высота связки (длина одного
тростника) равна, как уже указывалось, 6 kus=l gi^;3 м
Мера gi переводится как «тростник», что, по-видимому,
соответствует реальной длине тростника, наиболее часто употре-
1 Более подробно об одной из этих задач ом. «а стр. 142 настоящего
издания.
4 А. А. Вайман
49

блявшегося в строительстве. Усеченно коническая форма
тростниковой связки объясняется сужением стебля тростника по
мере удаления от основания. Длина окружностей 0W2 GAR и
0"4GAR, очевидно, были выбраны с таким расчетом, чтобы
объем связки оказался равным O^O^SAR. В. этом, должно
быть, проявилось стремление получить стандарт, позволяющий
связки тростника считать так же, как штабели кирпичей.
Правда, объем одной связки вычислен приближенно. Если
применить точную формулу, то получится не 0"0'5, а 0"0'4'40 SAR.
Но такая погрешность вполне допустима, ибо при укладывании
связок между ними должны образоваться зазоры, что
увеличивает объем пространства, занимаемого тростником (см.,
например, упомянутую задачу на вычисление количества связок
тростника, умещающихся на судне).
Математические постоянные
Математических постоянных в рассматриваемом списке
меньше, чем эмпирических, к тому же расшифрована лишь
незначительная их часть: остаются необъяснимыми постоянные,
зафиксированные в строках 21 и 52, относящиеся, вероятно,
к сегменту круга. Все же для некоторых математических
постоянных удается найти удовлетворительное истолкование.
Строка 63: «1, диагональ; 1, часть». Первая постоянная
«1, диагональ» означает, вероятно, что в ромбе, сложенном
из двух равносторонних треугольников со сторонами,
равными 1, меньшая диагональ тоже равна 1. Значение
второй постоянной пока неясно.
В строке 10 списка YBC 7243 зафиксирована аналогичная
постоянная «Г24/5Г10, диагонали». Имеется в виду, что в
квадрате_со стороной 1 диагональ равна Г'24'5Г 10 [37, р. 136],
т. е. уУ^Г^'бПО.
Еще одна постоянная диагонали отмечена в сузской
табличке I: «Г15, диагонали длины и ширины» [14, р. 20]. В
данном случае подразумевается прямоугольник, у которого
стороны равны 1 и 0"45 и, следовательно, диагональ равна V15.
В самом деле: ]А2 + 0"452 = Г15. Исходной единицей в
рассматриваемом прямоугольнике служит длина фигуры 1. Чем
же замечателен этот прямоугольник? Очевидно тем, что
отношение его ширины, длины и диагонали выражено
пифагоровыми числами 3, 4 и 5. Действительно, 0"45:1 : Г'15 -3:4:5.
Строка 19: «30, треугольника». Эта постоянная, очевидно,
означает, что площадь прямоугольного треугольника с
катетами 1 и 1 равна 0"30 [37, р. 136].
В сузской табличке I зафиксирована серия постоянных,
относящихся к кругу. Это постоянные диаметра, радиуса,
площади круга, «глаза быка», площади правильного треуголь-
50

ника, пятиугольника, шестиугольника и семиугольника. Все
указанные постоянные подробно рассмотрены в главе о
геометрии. Здесь ограничимся сообщением о постоянных
диаметра 0"20 и площади, круга 0"5. Две последние постоянные
означают, что при длине окружности 1 диаметр круга равен
0"20, а площадь—0"51. Постоянная площади круга часто
встречается также в математических текстах.
Некоторые наиболее общие особенности
обратных постоянных
По-видимому, общая особенность обратных постоянных
заключается в том, что всякая обратная постоянная соотнесена
с некоторой величиной, принятой за исходную единицу.
Аналогичное явление уже было отмечено при разборе
вычислительных метрологических таблиц. Однако, фиксируя обратную
постоянную, писец никогда не указывал величину, принятую им
за исходную единицу. Это значительно затрудняет
исследования. Например, если бы заранее было известно, что
исходной единицей для постоянных naibaium служит объем в
1 SAR, то их расшифровка оказалась бы довольно простой.
То же относится и к постоянной пагЬамт: если бы в списке
была указана ее исходная единица — 1 человеко-день, то
предложенное толкование не вызывало бы сомнений.
Другая особенность касается лишь большинства обратных
постоянных. Заключается она в том, что значительная их часть,
очевидно, получена в результате деления 1 на некоторое число
п и, следовательно, — является обратной величиной по отноше-
п
нию к п. Этим, в частности, объясняется термин igi-gub
—«обратная постоянная». Для примера приведем вычисление ш стоянной
штабеля кирпичей. Сначала определяем объем одного кирпича
(v). В результате умножения этой величины на 12'0 получим
объем 1SAR кирпичей (V). Разделив исходную единицу
(1 SAR) на объем 1SAR кирпича, т. е. образовав обратную
величину —-,. будем илзеть постоянную штабеля кирпичей.
Любая постоянная рабочей нормы может быть вычислена
аналогично. Так, для определения постоянной 0"3'45 сооружения
глинобитной стены сначала устанавливается, что для
возведения части глинобитной стены объемом в 1SAR требуется
16 человеко-дней. Следовательно, в 1 человеко-день (исходная
единица) должна быть возведена стена объемом— SAR =
16
= 0"3'45 SAR.
Обращает на себя внимание, что количество кирпичей в
одном объемном SAR, т. е.а=-^, и объем 1 SAR кирпичей,
1 Об этих постоянных см. на стр. 133 и сл. настоящего издания.
4*

СП
03
Ч
Ю
Е-
со
СМ
со
см
со
о
со
со
Ю
ю
о
р
о
о
to
од
о
со
см
cn
со
о
н
с
о
3
сс
р"
5
с
5
X
и
X
о
о
о
г—(
см
со
см
О
00
1—1
• *
г-н
ю
и
к
Е-
со
со
ко
см
>со
со
см
со
3
cn
О
>co
?
1—(
О
J*
СМ
СО
р
со
о
о
о
см
со
О
О
СМ
т—t
о
>со
О
см
О
со
о
см
со
со
»»
см
О
1—<
5:
о
О
3
со
со ~
о
со
о
о
со
о
о
см
со
>СО
со
см
о
р
ю
1—1
о
о
о
см
со
см
см
сч
см
см
о
v см
« СО
? о
о
о
со
см
ю
о
о
о
см
о
со
о
СО
С"
СО
о
со
см
1—с
5
со
сп-

Г л а в а IV
ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Как уже указывалось, возникновение шестидесятеричной
позиционной системы, очевидно, было .обусловлено
вычислительными потребностями, которые не могла удовлетворить
шумерская счетная система. Но, возникнув,
шестидесятеричная позиционная система в свою очередь предопределила все
дальнейшее развитие вычислительной техники. К достоинствам
шумерской позиционной системы следует отнести прежде всего
принцип позиционности, а затем и характер основания системы-
числа 60, которое разлагается на ряд целых множителей;
недостатком является то, что число 60 как основание
непомерно велико и приводит к существенным затруднениям
при умножении и делении. Так, полная таблица умножения,
составленная на основе шестидесятеричной позиционной
системы, должна содержать 59X59 произведений. Запомнить такую
таблицу невозможно.
Наиболее характерные особенности шумеро-вавилонской
вычислительной техники—широкое использование различных
вычислительных таблиц и предпочтение правильных чисел
(обратные значения которых могут быть выражены
конечными шестидесятеричными дробями) числам неправильным. Обе
особенности во многом определяются достоинствами и
недостатками шестидесятеричной позиционной системы.
Таблицы обратных величин
В подавляющем большинстве клинописных математических
текстов деление чисел (далее станет ясно, почему изложение
начинается с деления) приводится к умножению. Так, если
требуется разделить а на Ь, то сначала отыскивается шести-
десятеричное позиционное значение величины обратной Ьу
а затем — = о умножается на а. Например, -у = 4 * — =
= 4 • 0"20= 1*20. При этом приходится вернуться к делению,
но уже не а на 6, а 1 на Ь. Чтобы облегчить выполнение
53

т. е. V=—, —величины постоянные. Тем не менее в списках
а
обратных постоянных нет значений V. То же справедливо и
для других обратных значений обратных постоянных. Это
очень важное обстоятельство, которое помогает объяснить
причины появления спискоз, фиксирующих
преимущественно именно обратные постоянные, а не любые
постоянные величины. Чтобы получить обратную
постоянную, т. е. a==z~~r» шумеры и вавилоняне должны были
выполнить трудную для них операцию деления. Занося в
специальные списки обратные постоянные, древние
вычислители избавлялись от необходимости каждый раз
осуществлять деление.
Большинство математических постоянных не
предусматривает образования обратных величин. Вычисляя, например,
постоянную диагонали квадрата, естественно принять его
сторону за 1, тогда диагонали будет соответствоватьV Г2 -(- 12=
= ]/2. Математические постоянные появились, очевидно, в
результате обобщения метода, выработанного на материале
эмпирических постоянных.
Третья особенность обратных постоянных касается
характера их числовых выражений. Из рассмотренного списка
видно, что 62 или 64 из 68 1 постоянных (91 или 94%)
представлены правильными числами2. И это не случайно, ибо
среди чисел от 1 до ГО - только 2,8% правильных, а среди
чисел от 1 до ГО'О'О — только 0,1%. Обратные постоянные,
вероятно, специально подгонялись к правильным числам
(конечно, это не всегда удавалось). Указанная особенность
обратных постоянных объясняется спецификой шумеро-вавилонской
вычислительной техники.
1 Два числа списка невозможно прочитать.
■2 Числа, обратные значения которых 'мотут быть выражены конечными
шест.идесятеричньши дробями (термин «правильные числа» введен Нейге-
бауером).

последней операции, шумеры и вавилоняне составляли
специальные таблицы обратных величин.
Наиболее древними являются однозначные таблицы
обратных величин1, появившиеся в эпоху III династии Ура и
просуществовавшие в течение всей истории древнего !вуречья.
Структура таких таблиц (см. табл. 11) очень проста: в них
содержатся обратные значения п всех правильных чисел п в
интервале 1 —Г21 {ft — конечные шестидесятеричные дроби).
Таблица 11
Значения обратных величин
л
п
п
п
п
п
2
30
16
3'45
■ 45
1'20
3
■ 20
18
3'20
48
1'15
4
15
20
3
50
Г12
5
12
24
2'30
54
1' 6'40
6
10
25
2'24
1
1
GO
7'30
27
2'13'20
1'14
5645
9
6'40
30
2
1'12
50
10
6
32
1'52'30
1'15
48
12
5
3G
140
Г20
45
15
4
40
1'30
1'21
44'26'40
Первая строка означает, что — = 0//30, вторая строка—
2
— = 0"20и т. д., последняя )—=0"0'44'26'40. Чаще всего
3 1 '21
2 2
таблицы начинаются записями 1-da bi 40-am, т. е. « —
3 1
от 1 есть 0"40»; su-ri-a-bi 30-am, т. е. «-н- есть
1
0"30»; ig'i-2-gal-bi 30-am, т. е. «—- этого (очевидно,
имеется в виду от 1) есть 0"30», после чего следуют igi-3-gal 20,
igi-4-gal 15 и т. д., т. е. «— (этого) 0г/20», «— (этого)
3 4
2
0/;15» и т. д. (в других таблицах записи ■ от 1 есть О'ЧО»
о
и «—- есть 07/30» опущены). Полная форма igi-«-gal ft иног
да приводится только в третьей строке, а в остальных —
даны сокращенные записи: п и п.
Способ составления таблиц сразу станет понятен, если
учесть, что в них рассматриваются только правильные числа.
1 Однозначные таблицы обратных величин подробно были исследованы
Нейгебауером, который назвал их -«нормальными» таблицами [39, стр. 23—32;
36, 1, Ss. 8—14].
54

Всякое правильное число п может быть прздставлено в виде
про введения 2* - Зр -5* (а, ^— ноль или целые числа), а его
обратное значение — = я —как произведение 2~а > 3~р ■ 5~*.
Из этого следует, что все пары взаимно обратных правильных
чисел п и ft могут быть получены из единственной пары 1 и 1
в результате многократного умножения и, соответственно,
деления на 2, 3 и 5. Например: 1-2 = 2 и 1:2 = 0"30 (/2 = 2;
/»;=<У'30); 1-3 = 3, 1 :'3=*= 0"20 (/i=3, Д = 0"20);. 2-2 = 4,
0"30:2 = 0"15 (/г = 4, д = 0"15) и т. д. Этим способом легко
было составить и многозначные таблицы обратных величин.
Располагая таблицей обратных величин первого типа,
удавалось свести деление чисел к умножению, но только если
делитель был правильным числом. Правильные числа,
благодаря их преимуществу перед неправильными, сравнительной
легкости составления таблиц обратных величии широко
использовались в математических задачах. На основании
списков обратных постоянных можно также убедиться в том, что
указанные числа проникли и в прикладные расчеты1. Таким
образом, значение таблиц обратных величин гораздо шире,
чем удовлетворение потребностей школьной математики.
Правда, состав правильных чисел однозначной таблицы
ограничен,- поэтому кажется, что она может иметь лишь
ничтожное практическое значение. Это не совсем правильно.
Количество чисел /г, содержащихся в таблице, фактически
больше количества правильных чисел в интервале 1 —Г21,
ибо в качестве п могут рассматриваться числа и левого и
правого столбцов. Так, пользуясь однозначной таблицей, можно
найти обратные значения двузначных чисел 7'30, 6'40,345 и др
Обратные величины ряда правильных чисел, не вошедших в
таблицу, можно найти при помощи табличных значений,
если выполнить несложные дополнительные действия.
Например, пусть требуется найти обратное значение постоянной
«толщины колоды»2 /-г = 4Ч8. Умножив постоянную на 5,
получим 5/1 = 4148' 5 = 24, а последнее число уже есть в
таблице: -i- = — = 2'30. Отсюда — = 5-2'30 = 12'30. Большин-
5п 24 п
ство чисел рассмотренного выше списка обратных
постоянных или содержится в однозначной таблице обратных величин,
или может быть приведено к табличным значениям при
помощи одного умножения либо деления на 2, 3 и 5. Только две
постоянные из списка приводятся к табличному значению
посредством не одного, а двух действий.
Сейчас учтено около 45 однозначных таблиц обратных
величин. Известны также многозначные таблицы обратных величин,
появившиеся в селевкидскую эпоху или несколько раньше.
1 См. стр. 52 настоящего издания.
2 См. строку 58 стр. 38 настоящего издания.
55

Все другие подобные таблицы представлены семью
фрагментами табличек, не имеющими ни начала, ни конца1.
Несмотря на это, таблицы в значительной мере могут быть
восстановлены при помощи данных таблички АО 6445.
Расходясь с указанной табличкой в некоторых деталях,
указанные фрагменты приобретают для исследователя определенный
интерес.
Р связи с изучение^ многозначных таблиц обратных
величин возникает ряд вопросов, два из которых наиболее
существенны.
1. Как следует понимать отдельные записи таблиц?
Например, п = 24845 может быть воспринято как абсолютная запись,
и тогда обратное значение я=0/70'б/21'20. Наиболее логично
было бы прочесть « — 2//48'45 и соответственно п = 0"2Г45.
В этом случае все п промежутка 1—2 можно было бы
рассматривать как числа вида 1 плюс шестидесятеричная
позиционная дробь, все п промежутка 2—3—как числа вида 2 плюс
шестидесятеричная дробь и т. д. Однако в таком уточнении
абсолютного значения числовых записей многозначных таблиц
не было надобности. Ведь одно и то же п принимало
различные абсолютные значения' в зависимости от конкретной
вычислительной задачи.
В однозначных таблицах-, по крайней мере первоначально,
действительно фигурировали шестидесятеричные позиционные
2 11
значения дробей —, —, — и т. д. Об этом, в частности,
3 2 3
2
свидетельствует запись начальных строк: «— от 1 (есть) 40»,
3
« — (есть) 30». Но и в таких таблицах п и п, при разных
вычислениях, получали различные абсолютные значения и
должны были рассматриваться только как взаимно обратные
величины, произведение которых равно 1. Записи таблиц
обратных величин лишь вначале, видимо, воспринимались как шести-
< » 2 1
десятеричные позиционные выражения дробей —, — и т.д.,
3 2
а впоследствии, особенно в поздний период истории
клинописной математики, п и ft рассматривались уже как взаимно
обратные правильные числа.
2. Как составлялись многозначные таблииы обратных
величин? Об этом отчасти говорилось выше. Древние
вычислители могли воспользоваться только многократным умножением
и соответственно делением на 2, 3 и 5. Не исключено, что
взаимно обратные величины вычислялись сразу по всему
промежутку полной таблицы 1-ГО. Так, определяя обратные
1 Два фрагмента см. в работе Нейгебауера и Сакса [37, р. 15]; пять
фрагментов —■ в приложении I, В—F.
57

Единственный полностью сохранившийся текст
многозначной таблицы обратных величин представлен клинописной
табличкой АО 6456 [52, pi. LV — LVIII; 13, pp. 26—32; 36,1/Ss. 14 —
22]. В ней зафиксированы обратные значения 138 правильных
чисел, находящихся в промежутке 1—3, причем п и ft имеют
в основном от одного до шести значимых разрядов,— «в
основном», потому что некоторые из правильных чисел с
количеством значимых разрядов меньше шести (даже некоторые
двузначные) пропущены. В то ж!е время встречаются числа,
у которых значимых разрядов больше шести (до семнадцати).
Под предпоследней строкой таблицы проведены две черты,
отделяющие последнюю строку с обратным значением числа 3.
Это означает, что за указанной таблицей должна была
следовать другая, с обратными значениями многозначных
правильных чисел, начиная с /г = 3, /г=20. Полная многозначная таблица
обратных величин должна была содержать обратные
значения чисел, находящихся в промежутках 1—2,2—3,..., 59—1.
Трудно сказать, существовала ли полная таблица, которая
должна была размещаться на целой серии отдельных табличек.
Чтобы лучше представить себе структуру таблицы,
приведем из нее несколько извлечений:
1 1
ГОПб'бЗ'бЗ'гО 59'43'10'50'52'48
ГОЧО'53'20 бЭЧЭ^ПЗ'УЗО
1'0'45 . 59'15'33'20
1' I '2'6'33'45 бВ'бВ'бб' {33'45} *
Г17'4(У20'16 46/20'54'5Г{54)**3/45
1'18'7'30 46'4'48***
1'18'43'55'12 45'43'29'3'12/35****
2'48'45' 21'20'
2,55,46/32,30 20'28'48
2'57'46'4G {20'G'15j***
3 20
* Ошибочно вместо 38'24 (ср. с левой частью!).
** Ошибочно вместо 30'14.
*** Между этой парой и предшествующей можно
было поместить пару взаимно обратных четырехзначных
чисе-л: п = Г17'45'36, п - 46'17'46'40.
**** Между этой парой и предшествующей можно
было поместить шестизначные л=1/18/38/35/31/21,
п = 45/46'34/55'18/45. Все пропущенные значения
обратных величин, имеющие шесть или меньше
значимых разрядов, приведены в публикации Нейгебауе-
ра [36, 1, Ss. 14-22].
***** Ошибочно вместо 20'15. Между последними
тремя строками недостает шести пар взаимно обратных
чисел, для которых п и п имеют шесть или менее
значимых разрядов; в частности, пропущено и=2/50/40,
п - 21'6'37'30; п - 2'52'48, Я - 20'50.
56

■ значения ряда величин при помощи последовательного умноже-
I ния и деления на 2, будем иметь:
2
4
8
30
15
7'30
16
32
1'4
3'45
1'52'30
56'15
Полученные пары дают значения п, относящиеся к
интервалам 1-2 (п = 14, Гг = 56' 15; /г=Г52'30, Я = 32), 2-3
(я = 2, /г = 30), 3-4 (я = 3'45, /г = 16), 4-5 (л = 4, Я = 15),
7-8 (и = 7'30, Я = 8), 8-9 (/г = 8, я = 7'30), 15— 16 (п =15,
/г = 4), 16-17 (/г = 16, /г = 3'45), 30 — 31 (« = 30, Я = 2),
32-33 (д = 32, /г = 1,52,Я0), 56 -57 (я = 56'15, Я = 1'4). Таким
образом, составив этим способом таблицу обратных величин
для п в интервале 1 — 2 и получив одновременно данные,
относящиеся к другим интервалам таблицы, древние
вычислители могли построить полную многозначную таблицу обратных
величин. Существует, однако, и другой способ, который
приводит к более ограниченным результатам.
Уже отмечалось, что в АО 4556 отсутствует ряд обратных
величин, имеющих шесть или меньше значимых разрядов. Это
объясняется довольно просто: указанный текст является,
очевидно, копией, в которую из-за отсутствия места на табличке
попали не все значения оригинала. Действительно, из 38
отсутствующих в тексте обратных величин с малым
количеством значимых разрядов 27 приходится на второй столбец
оборотной стороны таблички — на заключительную ее
четверть, где особенно нужно было экономить место.
Однако в таблице есть обратные величины, количество
значимых разрядов которых превышает шесть.
Большинство из них —это высокие степени чисел 2 и 3.
Так, в таблице зафиксированы все степени числа 2 до 225—
десятизначного числа, которое находится в заключительной
части текста. В таблице содержатся все степени числа 3 —
до З23, причем З11 является десятизначным числом, а З23—
семнадцатизначным. Возможно, что очень высокие степени
указанных чисел отсутствовали в оригинале и были вычислены
автором копии.
Изучение многозначных таблиц обратных величин еще не
закончено. Дальнейшие исследования, особенно сопоставление
данных различных таблиц этого типа, быть может, дадут более
существенные результаты.
Кроме рассмотренных типов таблиц, известны натуральные
таблицы обратных величин. Они представлены только одним
опубликованным текстом старовавилонского времени —
табличкой YBC 10529. В ней записаны обратные величины правильных
и неправильных чисел натурального ряда от 1 до Г20. К сожа-
58

лению, значительная часть лицевой стороны таблички
разрушена (табл. 12).
Таблица 12
Табличка YBC 10529 [37, р. 16 П.]. .
Вычислено издателями
текста
56
[...]
57
[...]
1'2'4'8 [. . .1
,
58
1'2'4'8
59
1*1*1
l'1'l'l
1
1
1
VI
59'59
59'0'59'0'59
1'2
58'3'52
58'3'52'15
1'3
57'8'24
57'8'34'17
14
56'15
56'15
1'5
55'23'4'30
55'23'4'36'55
1'б
54'32'43'30
54'32'43'38'П
1'7
53'43'52
53'43'52'50
1'8
52'56'53'14
52'56'28'14'7
1'9
52'10'28
52'10'26'5
ПО
51'25'42
51'25'42'51
I'll
50'42'15
50'42'15'12
1'12
50
50
1'13
49'18'5ё
49'18'54'14
1*14
48'38'55
48'38'55'8
Г15
48
48
1'16
47'22'6
47'22'6'20
1'17
46'45'11
46'45'11'41
1'18
46'9'13'50
46'9'13'50'46
1'19
45'34'9'54
45'34'10'37'58
1'20
45
45
Таких таблиц, видимо, было мало, и пользовались ими не
часто, иначе сохранилось бы их гораздо больше. Но для
понимания шумеро-вавилонской техники деления чисел подобные
таблицы чрезвычайно важны. Если бы удалось обнаружить
способ, которым были вычислены соответствующие обратные
величины, то стало бы известно, как осуществлялось деление
на неправильное число. Однако получить более или менее
удовлетворительные результаты пока не удалось.
Таблицы умножения
Тексты, в которых указывались бы последовательные этапы
умножения чисел, неизвестны. Можно лишь утверждать, что
умножение осуществлялось в значительной степени при помощи
соответствующих таблиц. Сохранилось довольно много
неполных (или отдельных) и комбинированных таблиц умножения.
Структура этих таблиц весьма необычна.
В неполных таблицах умножения одно и то же число
последовательно умножается на 1, 2, 18, 19, 20, 30,
59

О, 50. Множимое указывается один раз, в первой строке, а в
Остальных отмечается только множитель.
Комбинированные таблицы умножения состоят из
нескольких отдельных таблиц. Изучая оба вида таблиц, Нейгебауер
установил состав заглавных чисел (т. е. множимых) для всей
совокупности текстов этого типа:
f
to, 48, 45, 44'26'40, 40, 36, 30, 25, 24, 22'30, 20, 18, 1640, 16, 15, 12'30, 12,
0, 9, Ь'20, 8, 7'30, Т12, 7, 6'40, 6, 5, 4'30, 4, 3'45, 3'20, 3, 2'30, 2'24, 2'15,
В, V4U, ИЗО, 1'20, Г15 [9, стр. 35-48]i.
По аналогии с современной школьной таблицей умножения
можно было ожидать, что в состав заглавных чисел войдут
все целые числа от 1 до 59. Однако в данном случае все
заглавные числа, за исключением 7, являются правильными;
трех правильных чисел отрезка натурального ряда 1 — Г0, а
именно 27, 32 и 54, среди заглавных нет; около половины
заглавных чисел имеет два значимых разряда, однако
большинство двузначных правильных чисел в состав заглавных не
;вошли; среди заглавных чисел есть также трехзначное число,
|44'26'40.
Первая и, по-видимому, наиболее приближающаяся к истине
^гипотеза происхождения таблиц умножения, объясняющая
указанные особенности состава заглавных чисел, предложена
Нейгебауером. По мнению исследователя, указанные таблицы
были созданы, чтобы выразить в виде конечных шестидесяте-
ричных дробей правильные дроби —, знаменатель которых
больше числителя. В таком случае заглавное число представляет
собой обратную величину п — —, где п — правильное число и
находится в интервале Г0 < п < ГО'0, а множители — целые
числа ш, где 1<т<Г0. В дальнейшем таблицы дробей
постепенно превращались в таблицы умножения, а состав
заглавных чисел расширился после введения числа 7. Согласно
излагаемой гипотезе, первоначально числа 7 среди заглавных
не могло быть, так как оно неправильное и его нельзя
рассматривать в качестве обратной величины.
Гипотеза Нейгебауера весьма убедительна. Она объясняет:
1) почему все заглавные числа, за исключением
7,—правильные (иными они и не могут быть, поскольку являются обратными
величинами); 2) наличие среди заглавных чисел трехзначного
числа 44'26'40 — последней обратной величины однозначной
таблицы обратных величин; 3) расположение отдельных таблиц
в комбинированной таблице умножения в порядке убывания
заглавных чисел, на что не обращалось должного внимания.
1 Порядок заглавных чисел соответствует расположению таблиц в
комбинированных таблицах.
60

Такая убывающая последовательность характерна как раз для
второго столбца таблицы обратных величин, в которой
расположены значения ft. Таким образом, есть основание
считать, что заглавные числа были заимствованы из второго
столбца таблицы обратных величин примерно следующего
состава:
1
1
'345
16
13'20
4'30
142
50
4
15
15
4
145
,48
448
12'30
16
345
Г20
45
5,
12
18
3'20
1'21
44'2640
6
10
20
3
Г 30
40
640
9
22'30
240
Г40
36
742
8'20
24
2'30
2
30
7'30
8
25
2'24
2'24
25
оо
7'30
2640
245
2'30
24
8'20
742
30
2
240
22'30
9
640
36
140
со
20
10
6
40
1'30
3'20
18
12
5
45
1'20
З'Зб
16'40
48
145
50
142
(Заглавных чисел 1 и Г12 в таблицах умножения не
обнаружено.)
Понятно, почему среди заглавных чисел нет однозначных
27,32 и 54: для п = 27 соответствующее /г = 2/13'20, для
п = 32 соответствующее п = Г52'30 и для п = 54— Я — Г6'40,
т. е. каждое из названных чисел является обратной величиной
трехзначного числа, а в исходной- таблице фигурируют только
двузначные числа. Труднее объяснить отсутствие среди
заглавных чисел ряда двузначных я, для которых ft тоже
двузначные числа, например: /г = 37/30, соответствующее /г = Г36;
п = 33'20, соответствующее # = Г48 и др. Можно
предположить, что таблица обратных величин, откуда были взяты
заглавные числа, составлялась на основе однозначной
таблицы обратных величин в результате лишь незначительного ее
расширения.
Не вполне убедительно в рассмотренной гипотезе
утверждение, что в таблицах умножения представлены именно
правильные дроби вида —, где m < /г, тем более что наличие таких
п
дробей у шумеров и вавилонян не засвидетельствовано. Более
вероятно, что исследуемые таблицы были задуманы как
таблицы деления и содержали результаты второго,
заключительного этапа деления, т. е. умножение обратной величины
делителя на соответствующее делимое; при делении т на п сначала
определялось — = /г , затем произведение пт отыскивалось
п
по таблице «деления» чисел, которая впоследствии
превратилась в таблицу умножения.
61

На наш взгляд, гораздо менее убедительна, чем
предыдущая, гипотеза происхождения таблиц умножения, выдвинутая
Выгодским [6, стр. 92 — 96]. Исследователь утверждает, что
рассматриваемые таблицы с самого начала были задуманы как
таблицы умножения. Первоначально в качестве заглавных чисел
фигурировали 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50. Затем
из однозначных таблиц обратных величин были заимствованы
другие числа, чтобы придать таблице умножения функцию
деления. Главный недостаток этой гипотезы, по-видимому,
заключается в том, что в данной гипотезе не объясняется
убывание заглавных чисел в комбинированной таблице
умножения.
В настоящее время учтено около 170 таблиц умножения/ —
гораздо больше, чем всех других типов вычислительных
таблиц вместе взятых1. Это свидетельствует о широком
распространении таблиц умножения в древности. Правда,
большинство их составляют или отдельные, или неполные
комбинированные таблицы. Полных же комбинированных таблиц пока
известно лишь четыре. Большинство таблиц относится к
старовавилонскому или касситскому времени.
Таблицы квадратов, корней квадратных
и другие вычислительные таблицы
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня
встречаются в клинописных математических текстах довольно
часто. В значительной мере указанные операции
осуществлялись при помощи соответствующих вычислительных таблиц.
Известны однозначные и многозначные таблицы квадратов
чисел. В первых содержатся числа вида п2 для и,
принимающего целые значения 1, 2, ...,58, 59 [36, 1, S. 49ff.J.
Встречаются также сокращенные таблицы этого типа, составленные
для п = 19 2, 9, 10, 20, 30, 40, 50.
Этими же таблицами можно было пользоваться и для
извлечения корней квадратных, но для указанной цели
составлялись и специальные таблицы. Значения п в них иногда
выходили за пределы однозначных чисел, о чем
свидетельствует текст W 1923-366, в котором содержится таблица
корней квадратных для /г=1, 2, 59, 1, Г7, [...]
(заключительная часть таблицы не восстанавливается) [37,
р. 34].
Таблицы квадратов и корней квадратных указанного типа
в древности составлялись, по-видимому, одинаково часто.
Учтено около 20 таблиц квадратов и приблизительно столько же
1 См. сводку опубликованных и неопубликованных таблиц умножения
[36, 1, Ss. 34—43; 37, pp. 20—23, 25—33].
62

таблиц корней квадратных. Это, вероятно, объясняется тем,
что в математических задачах прямые и обратные
операции встречаются одинаково часто. Имеются в виду
сравнительно многочисленные и разнообразные задачи на квадратные
уравнения, на теорему Пифагора, *а также задачи, связанные
с умножением полусуммы двух чисел на их полуразность.
По аналогии с таблицами корней квадратных составлялись
и таблицы корней кубических. Всего учтено около пяти таблиц
корней кубических1; это свидетельствуете том, что подобные
вычислительные таблицы в древности не получили широкого
распространения. Крайне редко встречается операция по
извлечению кубического корня и в математических задачах.
Интересно, что до сих пор^ не найдено ни одной таблицы
кубов.
Вероятно,такие таблицы в древности вообще не
составлялись. Дело в том, что в рамках шумерогвавилонской
математики операции возведения в куб вообще негде было проявиться.
Единственная возможность применить эту операцию для
определения объема куба должна была остаться
неосуществленной. Так, например, вычисляя объем куба со стороной 1 GAR,
необходимо сначала найти площадь основания: 1 GAR-1 GAR =
= 1 SAR, а затем последнюю величину умножить уже не
на 1 GAR, а на 12 kus, что приводит к объему 12SAR2.
Наоборот, извлечение кубического корня должно было играть
роль самостоятельной операции, с которой древние
математики сталкивались каждый раз, когда по заданному объему куба
надо было отыскать его сторону. Например, если известен
объем куба, равный 12SAR, и требуется вычислить его сторону,
то сначала 12 умножается на 0"5 (lkus==0''5 GAR), а
затем извлекается кубический корень из 1, результата
умножения.
Лишь при составлении таблицы корней кубических
операция возведения в куб могла выступать в чистом виде.
Действительно, прежде чем записать, что У т = п,
вычислитель должен был знать, что т = п3, т. е. должен был
выполнить операцию возведения в куб. Но это не послужило,
по-видимому, достаточным основанием для составления
специальных таблиц кубов.
Большинство таблиц рассмотренных типов, судя по
датированным текстам, относится к старовавилонскому и кассит-
1 Примером таблицы корней кубических может служить
старовавилонский текст Эрм. 1512Г8, автография которого публикуется в приложении И. В
нем содержатся 30 корней целых чисел с I/ 1 = 1 поI/ 7'30'0=30. В строке
под двойной чертой запись: itu ab-ё щ 13-kam, т. е. «месяц тебет, день ГЗ-й».
Год, к сожалению, -не указан. (Размеры таблички 8,2 на 5,2 см.)
2 Ом. стр. 23 настоящего издания.
63

скому времени. В персидское и селевкидское время
создаются более разнообразные таблицы.
Так, персидским временем датируется комбинированная
таблица квадратов и корней^квадратных, содержащая все
однозначные п, а также все 'двузначные п, оканчивающиеся на
30, расположенные в интервале 1 — ГО'О (тексты W 1931-38 и
CBS 1535) [37, р. 34]. Приведем несколько строк указанной
таблицы:
19'30 раз 19'30 6>20'15 корень квадратный 19'30
20 . 20 640 „ . 20
20'30 „ 20'30 7'0'15 , . 20'30
с-
Приблизительно к этому же времени относится создание
интересной таблицы квадратов правильных однозначных,
двузначных, трехзначных и даже некоторых четырехзначных
чисел в интервале 1 —45 (текст LBA 1637)1. Принцип
отбора правильных чисел для этой таблицы не вполне
ясен: много квадратов двузначных и трехзначных правильных
чисел в ней отсутствует, и наряду с этим приведены квадраты
некоторых четырехзначных правильных чисел.
От селевкидского времени дошло несколько фрагментов
многозначных таблиц квадратов правильных чисел,
несомненно, составленных на основе соответствующих многозначных
табли . обратных величин2. Два фрагмента из четырех,
по-видимому, относятся к одной таблице, остальные—к двум
разным. Состав чисел во всех трех таблицах примерно
одинаковый,— в полном виде они, очевидно, охватывали п в
интервале 1—2.
Несколько загадочно назначение рассматриваемых
таблиц, так как, судя по ряду признаков, в них приводились
только значения квадратов чисел, а основания не отмечались.
Правда, по небольшим фрагментам табличек нельзя делать
окончательных выводов о первоначальном виде текстов.
Однако табличка LBA 1636 достаточно показательна3. На ней
сохранились остатки двух столбцов со значениями квадратов
многозначных чисел, причем оба столбца тесно примыкают
друг к другу, и поэтому для значений /г, которые
соответствовали бы значениям /г'2 второго столбца, уже не остается
места. Следовательно, основания квадратов, по крайней мере
для чисел второго столбца, в таблице наверняка не были
зафиксированы. Ясно, что пользоваться такой таблицей для
определения квадрата многозначного правильного числа было
невозможно.
1 См. приложение I, А.
2 См. приложение I, G—I.
3 См. приложение I, G.
64

Персидским или селевкидским временем датируются также
степенные таблицы, в которых приводится последовательный
ряд значений чисел вида ап, например:
9 раз 9
„ 9
1'21
12'9
9
9
29'53'36'48'9
4'29,2'ЗГ13,21
В последней строке дано значение 910 [36, 1, Ss. 77, 78 (три
таблицы)].
Обнаружено 5 или 7 экземпляров подобных таблиц,
составленных для оснований а=9, Г40 и 3'45 (т. е. /г = 32, 1U2 и 152),
причем показатель степени п достигал 10. Цель составления
степенных таблиц выяснить не удается.
Таким образом, древние математики широко пользовались
вычислительными таблицами. Особенно важную роль играли
таблицы обратных величин, таблицы умножения и таблицы
квадратов и корней квадратных. Значительно меньшее
значение имели таблицы корней кубических, а таблицы кубов, по-
видимому, вовсе не составлялись, так как в них не было
почти никакой надобности. Таблицы квадратов многозначных
правильных чисел и степенные таблицы, возможно, не
применялись для вычислений.
Помимо вычислительных таблиц, древние математики
создали также вычислительные алгоритмы. Знакомство с ними
начнем с алгоритма образования обратной величины от
правильного числа.
Пусть имеется правильное число с, обратное значение
которого с ==— не содержится в однозначной таблице обратных
величин. Представим с в виде суммы двух чисел а и Ь:
где а—правильное число, входящее в состав однозначной
таблицы. Вынося а за скобки, получим
Вычислительные алгоритмы
с
с—а-\~Ь,
с~ =а (1 + 6а)=ас?.
Поскольку а число правильное, то
5 А. А. Вайман
65

тоже будет правильным числом. Если окажется, что
с,—табличное значение, сразу же найдем си а затем и с = аЪ\. В
противном случае проделаем с числом с, те же самые
действия, что и с числом с:
~cl—al{\-\-biux)—alC2.
Таким образом,
с =аа1~Съ.
Продолжаем указанные действия до тех пор, пока не получим:
где а,аиа2, ал-и сп — табличные значения.
Обратимся к примеру. Возьмем а=16'40—правильное
число, которого нет в однозначной таблице обратных величин.
Представим это число в виде двух слагаемых:
с==16'40=6'40+10'0=а+&.
Согласно изложенному выше имеем:
6>=1640=640 ■ (1 + Ю'О • —)=6'40 • (1 +1О'О • 0"0'9)=
V, 640; 4 7
=6,40-2*30=ас1,
где а, равное ^ = 0"0'9, находим по таблице. Однако
си равное 2"30, не табличное значение, а поэтому
действуем следующим образом:
c1=2',30=0',30+2=a,-f61,
с, == 0"30 • (1 + 2 • ~) = 0"30 • 5=а , с
где а{=-^——2 находим по таблице. Кроме того, с2=5 тоже
является табличным значением, причем ~с2 =—=0*12. Итак,
с = 16'40=6'40-0ff30-5=aa,c2,
с = ——==0"09-2-0"12=0"0'3'36= аа, с2.
1640
Рассмотренный нами алгоритм образования обратной
величины от правильного числа засвидетельствован рядом
клинописных математических текстов
1 Подробное исследование алгоритма и всех относящихся к нему
клинописных источников выполнено Саксом [46, pp. 222—236].
66

Необходимо подчеркнуть, что описанный алгоритм имеет
главным образом теоретический интерес,—для практических
вычислений он мало пригоден. Прежде чем воспользоваться
алгоритмом, надо знать, что данное число правильное, а это
в большинстве случаев равносильно умению вычислить его
обратную величину иным способом.
Чтобы иметь достаточное количество правильных чисел
для упражнений в технике ч вычислений обратных величин,
древние математики составляли соответствующие таблицы.
При этом чаще всего они исходили из пары правильных
взаимно обратных величин п = 2Ъ, Л=28Ч8. Затем в результате
многократного умножения и соответственного деления их на
2 получали другие пары взаимно обратных величин: ;г-
2'5 2848 1640' З'Зб
4'10 14'24 33'20 1'48
8'20 142 1'6'40 54
При помощи подобных таблиц древние математики могли
также контролировать вычисления [46, р. 224]. Так, посредством
алгоритма выше было найдено обратное значение от 1640, равное
(У'0'3'36. В правильности результата можно убедиться, сверив
его с данными таблицы.
Перейдем к вычислительному алгоритму, относящемуся к
точному и приближенному извлечению квадратного корня.
Известна только одна задача, посвященная точному
извлечению корня, —клинописная табличка 1st. S. 428. Приводим
транскрипцию текста [31, pp. 19—27]:
1 2'2'2'2'5'5'4
2 30'30'30'31'16'16
3 Г54'24'27'16
4 7'9'Г31'42'15
5 28'36'6'6'49 mi-пат ib-si8
6 5 20'53 fb-sis
7 1'2'5'34'8 UR ab-sum
В данном случае между числами обнаруживаются следующие
соотношения:
1) а = 2'2'2'2'5'5'4,
2) Ь= — а,
7 4 '
\
3) с = — Ь = —-— а,
' 16 4-16
с* 67

; 4) d = — с — a,
■ 16 4-16-16
i
~ 1 1
5) e = — с = — a,
} 4 4-16-4
' 6) f= ]/T= -L^T,
7)5 = 16/ = ]/V.
Таким образом, в строке 1 дано семизначное число а, из
которого извлекается квадратный корень. Ответ g — }f а
записан в строке 7. В строках 2—5 зафиксировано_разложение
а на множители 162 и £, что позволило найти /а путем
умножения "(/^б2 на ]/ где уже пятизначное число.
То, что речь идет об извлечении квадратного корня,
подтверждается и словесными записями в строках 5, б и 7. Так, в
строке 5 спрашивается, «чему равен корень квадратный из е»
(ib-si8 mi-narn). В строке 6 дан ответ: / является «корнем
квадратным» (ib-si8). В строке 7 приведен заключительный
ответ в форме: «это дает корень квадратный g» (UR ab-sum).
Способ выделения множителей 1б2 и е представляет
определенный интерес. Сначала а делится на 4, —результат деления Ь
записан в строке 2. Делитель 4, несомненно, выбран потому,
что он является полным квадратом, причем а заканчивается
на 4 и, следовательно, без остатка делится на 4. Затем b
делится на 16, —результат деления с записан в строке 3.
Заметим, что b заканчивается на 16, причем 16 тоже является
полным квадратом. Далее с делится на 16, а результат деления
d фиксируется в строке 4. Причины, по которым делителем
было выбрано 16, те же, но в данном случае признак
делимости, используемый вычислителем, себя не оправдал: число
с действительно заканчивается на 16, однако без остатка на
16 не делится. Вычислитель исправил допущенную
«оплошность», умножив d или разделив с на 4, что одно и то же.
Полученный результат е зафиксирован в строке 5. Весьма
вероятно, что вычисление d (строка 4), поскольку
соответствующий результат все же был зафиксирован, производилось с
целью показать, что делить на 16 не следует, так как это не
дает положительного результата.
Попытаемся выяснить, как извлекался квадратный корень
из е, равного 28'36/6/6'49. Здесь возможны различные
предположения.
1. Значение /Wj^T=5'20'53 заранее было известно лицу,
решившему задачу. Но в этом случае задача оказалась бы в
значительной мере лишенной смысла.
68

2. Значение re было найдено по трехзначной таблице
корней квадратных (или таблице квадратов). Но Уе равен
5'20'53, т. е. является неправильным числом, а для таких
чисел таблиц корней квадратных не существовало.
3. Так как 28'36'6'6'49=132-24'412, то/^мог быть найден
как произведение двух корней квадратных, значения которых
содержатся в соответствующей таблице. Однако в этом
случае в тексте были бы зафиксированы результаты двукратного
деления е на 13, т. е. — е и — — е. Ведь аналогичные за-
13 13 13
писи, отмечающие деление а на 4, 16, 16 и 4, действительно
имеются в строках 2—5 и используются для выделения из а
множителей 162 и е. Кроме того, для извлечения из 24'412
квадратного корня являющегося неправильным простым
числом, нужна была двузначная таблица корней квадратных,
включающая неправильные числа, а такие таблицы
клинописными текстами незасвидетельствованы.
4. Значение Y е было вычислено при помощи формулы
квадрата суммы или разности двух чисел:
(и ± v)2 — и2 ± 2uv -j- v2.
Это, очевидно, наиболее приемлемое предположение, и на
нем мы остановимся подробнее.
Допустим, что по таблице было найдено для у~е
хорошее приближение т, так что т2<^е, тогда
т+х = V е,
(т+х) 2=е,
т2-\-2тх-\-х2=е,
2тх-\-х2 = е—т2.
Так как т является хорошим приближением корня, ясно*
что значение х должно быть близко к , причем
2т
е—т2
2т
На основании этих данных можно при помощи проб (иног*
да даже после первой попытки) найти х=п, которое
приводит к искомому результату: ■*
2тп-\-п2=е — т2.
69

Таким образом, решением задачи будет
У е —т-\-п.
Если в качестве хорошего приближения для У е выбрано
I т, для которого справедливо /ге2>е, то вместо формулы ква-
! драта суммы надо будет воспользоваться формулой квадрата
| разности. В этом случае получим:
(т—х)*=е,
т2—2тх-\-х2= е,
2тх—х'2=т2—е.
Следовательно, подходящее значение для х надо искать среди
чисел, близких к т~е % причем
2т
т2—е
Х> 2т~т
Методом проб определяем х—п, для которого
справедливо
2тп—п2—т2—е.
В результате
V е —т — п.
Возвращаясь к числовому примеру и переходя к более
удобной для нас форме записи, найдем:
У7 = у 28' 36' 6'6'49 = 5'20'0+53
28'26'40'0'0
10'40'0 + 53
53
9'26'6'49
9W649
О
9'26'6'49
п < 9/26/б,49-0"0'0'5,37/30 = 53Ч'23'20'37'30.
10'40'0
Приближение 5'20, как число правильное, могло быть
найдено по трехзначной таблице корней квадратных или квадратов
правильных чисел. Алгоритм извлечения квадратного корня
может быть использован для объяснения цели составления
указанных таблиц. Очевидно, из них, брали приближенные
значения корня, выраженные правильными числами. Ведь при
определении п (см. выше) е—т2 приходится делить на 2т,
а для этого желательно, чтобы последнее число было
правильным.
Готовые результаты точного извлечения квадратного корня
встречаются и в других клинописных математических текстах,
но также без указаний на способ вычисления. Таковы, в
частности, примеры, приведенные ниже и заимствованные из таб-
70

лички селевкидского времени АО 6484 [36, 1, Ss. 98 if., 106if.].
Все они касаются случаев, когда подкоренные выражения
даны в виде многозначных неправильных чисел.
1) а^'О'О'ЗЗ'гОЧ'З/ЧбЧО, Ка~=0"0'44'43'20 (Rs. 12, 13).
Действуя так же, как в только что рассмотренном примере,
разбиваем а на множители:
а=0"202 • 0"102 • 0"52 • 7//12,1,
следовательно, ,
У а = 0"20 • 0" 10 • 0"5 • ^7" 12' 1 == 0"0' 1640 • /7" 12' 1,
Далее,
V 7"12'1=2//40+0"1 =241
7"6'40
5"2o+o"i
0"1
0"5'21
0"5'21
0"5'21
0"5'20
0
(Приближение 2"40 содержится в таблице квадратов
правильных чисел). •
Таким образом,
]/<Г=0"0'16'40 • 2/,41=0"0,44/43,20.
2) с=0"5'34,4/37,46'40, |/а~=0"18'16'40 (Rs. 21).
а=0"202-0"102-30"4'1, 1/а~=0"20 • 0^10-V 30"4'1 = 0"3'20 •
У 30"4'1 =5-f-0"29
25
10+0"29
0"29
\пл, 1 - п <ii-L=54' 1 • (Г 6=0"30'24'6
5 "41 ю
0
или
-|/"30"4'1 =5"30-0"1=5"29
30"15
И—0"1
0"1
0"10'59
0"10'59.
о
(Для двузначных чисел вида 5"30, как указывалось выше,
составлялись комбинированные таблицы квадратов и корней
квадратных.) Итак,
]/^"=0/,3,20 • 5"29=0"18'1640.
71

3) й=(Г0,15,0/56/151 V а =0"3'52'30 (Rs. 25, 26).
а=0"302 • 0"302 • 0"302 • О" 16' 1, У~а =. 0"30 • 0"30 • 0"30 • УgTgl=
=G?7,30- У WW 1.
Значение 1/0"Г61 = 0"31 содержится в однозначной
таблице корней квадратных. Итак,
У~а = 0'7'30 • 0"31 = 0"3'52'30.
Отметим, что формулы квадрата суммы и разности двух
чисел, на которых основан рассмотренный выше алгоритм,
достоверно засвидетельствованы у вавилонян рядом задач на
квадратные уравнения. Более того, формулой квадрата
разности (как, очевидно, и формулой квадрата суммы) в
некоторых случаях пользовались даже для возведения в квадрат
трехзначного числа с целью облегчить вычисление,
например ':
49'56,152 = (бО'О'О-ЗЧб)2 = 50W — 2-50'0'0-3'45+ 3'452 =
= 41'ЗЗЧ5'14'3'45.
По-видимому, у вавилонян на этих же формулах основан
вычислительный алгоритм нахождения приближенного
значения квадратного корня, подкоренное выражение которого не
является полным квадратом. Так, в табличке VAT 6598 [36, 1>
Ss. 279, 282; Rs. I, 19—24] есть задача на определение
величины диагонали (обозначим ее d) прямоугольных ворот
высотой /?=0"40 GAR и шириной 6=0"10 GAR. Согласно теореме
Пифагора,
d =Уп2-\-Ь\
или
d= уАбЧ02+077Т02_^0//41/15 > d.
Последнее значение найдено посредством арифметических вы
кладок, которые могут быть записаны в виде формулы
j 1 i ъ~
dzzh Н
2h
Иначе говоря,
Vh* 4- b2 ^.hjJJ
hY- (h>b)
Судя по виду последнего выражения, перед нами,
очевидно, тот же способ извлечения корня, который был изложен
выше, но приспособленный для неполного квадрата
подкоренного выражения. В самом деле, допустим, удалось найти
1 См. стр. 188 настоящего издания.
72

приближение т{<^У а. Тогда гп1 + х=У а , гдех—некоторое
положительное число. Отсюда
т\+2т i х+я2=а,
, 2тх 2т\
Взяв
щ
X
2тх '
получим новое приближение:
V a zzm, 4- ni =т2.
2m,
Таковы, по-видимому, были рассуждения вавилонян при
вычислении приближенного значения квадратного корня1.
Древние математики не применяли буквенные записи, однако ясно,
что такие' же результаты легко получить на числовых
примерах.
Несколько иную точку зрения высказал Нейгебауер; она
сводится к следующему [37, р. 43].
Пусть У а ==У т\-\- Пх (при этом т2>«,) и т1<^Уа
взято в качестве первого приближения корня. Тогда —а—>У а,
2
или т* , 1 ]> V а . Отсюда получаем новое и лучшее приб-
лишение
2т\ + п\ .. ri\
Такая точка зрения кажется менее приемлемой, ибо
отрывает метод точного извлечения квадратного корня от метода
приближенного. Более естественно считать, что и в первом
случае, и во втором метод вычисления был одним и тем же.
1 О приближенном способе извлечения квадратного корня у вавилонян
см. также работы Раик [10, стр. 35—55] и Бруинса [15, pp. 241—245]. Эти
авторы, очевидно, придерживаются той же точки зрения, что и мы, хотя они
и не выражают -своего отношения к предположению, высказанному Нейгебау-
ером. Бруинс анализирует интересный клинописный текст, изданный Taha-
Baqir'oM, свидетельствующий как буДто о том, что метод приближенного
извлечения корня осмыслялся древними математиками геометрически. Мы не
считаем, что (перевод этого текста (как и его толкование) окончательный, ,и
поэтому не рассматриваем его здесь.
73

Древние математики часто не останавливались на втором
приближении, а получали, пользуясь теми же средствами,
более точные значения корня. Так, если найдено второе
приближение т2^>У а, то можно записать, что т2 — х = Уа.
Отсюда
т| — 2т2 х + х2—а,
2т2х — х2 —т\—а = /г2,
х1 я*
х —
2т9. 2т-
Взяв
получим
X
п
2т» '
У а ^ т2 — = т3,
2т>
причем т3 опять больше у а. Таким образом, рассматриваемый
вычислительный алгоритм главным образом основан на
формуле квадрата разности двух чисел и предусматривает
приближение к точному значению корня сверху.
До сих пор удалось обнаружить только одну задачу,
содержащую указание на способ приближенного вычисления
корня квадратного,—с ней мы познакомились выше. Все
другие немногочисленные примеры приближенного извлечения
корня представлены готовыми результатами.
1. а=]ЛГ %1*24'51'10*
т{ = 1, пх =2 — 1 = 1,
т2 = \ + ~ = 1 +0*30= 1*30, я* = 1*30* — 2 = 0*15,
т3 = i"30 - = 1"30 - 0"5 = rt3 = 1"252 - 2 = 0"0'25,
2-1"30 3
= 1"25**,
mi = 1"25 - ?^***=1'/25 - Я4=Г24'5Г10'Згэ2-2==...
2-1"25
- 0"8'49'25 = 1ЯГ24'51'10/35,
Расхождение полученного результата со значением корня в
тексте на 0"0'(У0'35 легко объяснимо. Дело в том, что, иро-
* Это обратная постоянная диагонали, приведенная в клинописном
списке YBC 7243, Vs. Г0 [37, р. 136]; см. также табличку YBC 7269, в которой
содержится задача на определение величины диагонали по заданной
стороне— в решении применяется указанная обратная постоянная [37, ,р. 42 п.].
** Приближения /Из засвидетельствовано клинописной табличкой
АО 6434 [36, 1, S. 104].
Знаменатель 2"50 — неправильное число.
***
74

должая вычисления и отыскивая т5, надо будет от га4 отнять
число порядка (У'О'О'О^О, следовательно, при округлении
результата величину 0"0'0'0'35 лучше отбросить. v
2. а = УзГл1''45****.
шх — 2, П{ = 22 — 3=1,
т2 = 2 - = 2-0"15 = Г'45, /г2 = 1"452 - 3 = 0"3'45
2-2
3. а = 3"30]/ 1"6'40 3"41 *****,
или, что то же самое,
3"30-0"20-УТ0^3"41.
Извлекая корень квадратный из 10, получаем:
m, = 3, ^ ^, = 10-32=1,
т% = з -f. -1- = 3-f о"10 = 3"10, я2 = 3"102 - 10 = 0Т40,
213
яг3=3"10 - °"— =3',10-0//0'16 = 3"9/44, п., = 3,,9/442 — 10= ...
2-3"10
Таким -образом, а^З"30-0"20-3"9'44 = 3"41'21. Возможно,
что вычислитель ограничился вторым приближением т2 =3*10.
В этом случае а^1ПГ40. Третья цифра могла быть
отброшена, так как У 10 найден с некоторым превышением.
Древние математики пытались извлекать и корень
кубический. Так, в табличке YBC 6405 решается задача на
вычисление кубического корня из а — 3"22'30. Действия,
выполненные в тексте, можно передать в виде формулы [37, р. 42]:
где
и, следовательно,
3 3" _
У a- Vm-l/j-
V т
/7t = 0"7'30
3
У т = 0"30.
Смысл этих действий заключается в том, что число а
разлагается на множители, для которых значения корня уже
известны.
**** Устанавливается косвенным образом из задач и обратных
постоянных, связанных с правильными многоугольниками [14, р. 18 ff.]; см. также
стр. 135 настоящего издания.
***** Обратная постоянная стороны правильного семиугольника [14,
р. 18 ff.]; см. также стр. 136 настоящего издания.
75

Серия аналогичных задач содержится в табличке VAT 8547
[45, pp. 153—156]. В одной из них, например, извлекается
корень кубический из 27:
з з
<5 О
= У0"7'30 • |/3'36 =0"30-6=&
з з
О" 7' 30
27
Аналогичный прием решения задачи на извлечение корня]
уже встречался при извлечении корня квадратного. Но там
разложение подкоренного выражения на множители играло лишь
вспомогательную роль. При извлечении корня кубического
разложение на множители является существенным. Подобный
метод, конечно, не мог привести к эффективному решению
вычислительной задачи на извлечение кубического корня.
Центральное место в шумеро-вавилонской вычислительной
технике занимает деление чисел. Вместе с тем указанная
операция представлена в клинописных математических текстах в
несколько завуалированном виде, — нет даже специального
термина, который выражал бы действие деления. Повсюду в
задачах наблюдается образование обратной величины, т. е. частный
случай деления, при котором делимое равно единице.
Затруднения, связанные с образованием обратной величины, привели
к делению чисел на правильные и неправильные. Роль
правильных чисел в вычислительной технике была очень
велика, в частности, вычислительные таблицы в значительной
мере построены на основе правильных чисел. Правильные числа
фигурируют не только в таблицах обратных величин,
имеющих непосредственное отношение к делению, но и в
таблицах умножения, некоторых таблицах квадратов и даже
степенных таблицах. Благодаря сочетанию таблиц обратных
величин и вычислительного алгоритма образования обратной
величины от правильного числа была полностью решена проб-/
лема деления на правильное число.
Неправильные же числа, очевидно, доставляли древним
вычислителям много неприятностей. Для деления на
неправильное число должен был существовать особый способ. К
сожалению, об этом способе могут быть высказаны лишь
предположения. Ясно, что речь не может идти об алгоритме поразрядного
деления, тождественного тому, которым пользуются сейчас. Если
бы в древности существовал такой алгоритм, то отпала бы
надобность в особом выделении правильных чисел. Идея
поразрядного деления, конечно, была известна древним матема-
икам и в некоторых случаях осуществлялась на практике.
Своеобразие вычислительной техники и
степень ее эффективности
7С

Например, при составлении таблиц обратных величин для
правильных чисел производилось многократное умножение и
соответственно деление на 2, 3 и 5—в данном случае деление
выполнялось, конечно, поразрядно. Однако полностью
воспользоваться указанной идеей, чтобы создать тождественный
нашему вычислительный алгоритм, древние математики не
могли: этому не благоприятствовало основание 60,
соответствующее шестидесятеричной позиционной системе.
Отсутствие вычислительного алгоритма поразрядного
деления засвидетельствовано клинописными текстами
YBC 105291 и М10. Так, в первом тексте -j- = 55'23'4'30
1 5
вместо — = бэ^ЗЧ'Зб'... в случае поразрядного деле-
1 5
ния; — =54'32'43'30 вместо-- = 54'32'43'38'...; — =45'34'9'54
1'6 1'6 1'19
вместо ^=45'34/10'37'58'...; во втором [44, pp. 151— 153] дробь
-L =g'34'i5'59 <<с недостатком» и — = 8/34/18 «с
превышением» вместо — =8'34'17'8'...
7
Интересно, что деление на неправильное число обычно фор-
мулируе^я несколько иначе, чем деление на число
правильное. Так, если требуется разделить а на неправильное Ь,
причем деление может быть выполнено точно, то в тексте
приводится следующая формулировка: «а не имеет обратной
величины. Что надо взять с а, чтобы получить Ъ ? Надо
взять п» 2. Если бы а являлось числом правильным, то было
бы сказано: «Обратную от а возьми, а ты видишь, умножь b
на а, п ты видишь». К сожалению, в математических текстах
не обнаружено примеров формулировки деления, когда
делитель является неправильным числом, а частное не может
быть вычислено точно.
Больших успехов добились древние математики в решении
другой сложной вычислительной проблемы—извлечения
квадратного корня. Благодаря специальным таблицам квадратов и
корней квадратных в сочетании с двумя вариантами
соответствующего алгоритма возможно было извлекать корень
квадратный из всякого числа, с любой степенью точности.
Своеобразие шумеро-вавилонской вычислительной техники,
разница между ней и вычислительной техникой современной
школьной арифметики обусловлена, очевидно, тем, что перзая
связана с позиционной системой исчислений, основанием кото-
1 См. стр. 59 настоящего издания.
2 См., например, таблички VAT 7532, Rs. 4,5 {36, 1, S. 295]. Деление на
неправильное число встречается в текстах редко и главным образом в
задачах на квадратные уравнения.
77

рой является 60, а вторая—с позиционной системой, имеющей в
качестве основания Ю. Система исчислений с чрезмерно большим
основанием затрудняла не только деление и извлечение
квадратного корня, но и умножение. То, что число 60
разлагается на ряд множителей (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30)
позволило в значительной мере устранить указанный недостаток
путем развития методики деления, опирающейся на
правильные числа. Однако вряд ли шумеро-вавилонская
вычислительная техника могла достигнуть такой степени совершенства,
при которой для производства вычислений с многозначными
числами требовалось одно только знание тех или иных
вычислительных алгоритмов, — большую роль должно было играть
индивидуальное искусство вычислителя, его
изобретательность, умение максимально упростить задачу, найти для
каждого случая особые решающие приемы.
Несмотря на указанные недостатки, описанная выше
система вычислительных методов была очень эффективна. В ней
по возможности использовались все преимущества,
вытекающие из позиционного принципа записи чисел и связанного с
ним понятия систематической дроби.
В шумеро-вавилонской математике не получила
надлежащего развития арифметика простых дробей. Везде, где это
было возможно, простые дроби вытеснялись, очевидно,
систематическими. Однако ряд задач клинописных текстов
составлен так, чтобы действия с простыми дробями нельзя было
избежать. Например, на оборотной стороне клинописной
таблички V AT 8522 [36, 1, Ss. 369, 372; 2, S. 61] имеется следую-
щая задача: дан прямоугольник, площадь которого S= — gin
6
и ширина о = — ■ — su-si (последняя величина выражена
словесно: «одна седьмая одной седьмой пальца»). Требуется
вычислить длину прямоугольника, которую обозначим через а.
Прежде чем приступить к решению задачи, выразим
площадь в SAR, а длину в GAR: S = — gin = 0"0'50SAR, & =
б
=_L . _L . 0"0'10 GAR. Теперь имеем: a& = S, a •— • 0"(Л0 =
7 7 F 49
= 0"0'50, a ■ СГО'Ю = 0"0'50 • 49 = 0"40'50, a =0M0'50- =
0"0'10
=0"40'50-6'0 = 4'5 (GAR). В тексте решение записано так:
1) 50
2) 7 49 на 50
3) 7 40'50
4) 4'5 длина
5) su-si 10 6
78

В этой задаче простые дроби встречаются в задании вели-
5
чины площади 5 = —gin, которая в дальнейшем переводится
в шестидесятеричную дробь 0"0'50 SAR и в задании ширины
о— — • — su-si=—su-si. Последняя величина специально
7 7 49
выбрана так, чтобы ее нельзя было записать в виде
конечной шестидесятеричной дроби, ибо 49 не является
правильным числом.
Простые дроби, которые нельзя перевести в конечные
шестидесятеричные позиционные, часто встречаются в
алгебраических задачах, подобных приводимой ниже в
символической записи (см. табличку YBC 4695) [36,3, Ss. 35, 39]1:
ху= Ю'О,
= 35.
Значения неизвестных 30 и 20. Решения задачи в тексте нет,
однако ясно, что никаких особых действий с простыми дробями
не требуется. Путем умножения левой и правой части второго
уравнения на 7 и 13 оно легко может быть приведено к
уравнению, в котором все коэффициенты будут выражены целыми
числами.
Гораздо' интереснее представлены действия с простыми
дробями в одной из задач на квадратные уравнения таблички
АО 8862 (строки I, 30-II, 32) [36, 1, Ss. 109-119]. В процессе
1 1
решения приходится вычислить разности между — и — ши-
2 3
рины прямоугольника. Так как 2 и 3 — числа правильные, то
искомая величина могла быть найдена как - = 0"30 —
2 3
—0"20 = 0"10. Вместо этого в тексте 2 умножается на 3, а
затем отыскивается обратное значение от 6, равное 0" 10, т. е.
производится вычитание простых дробей: - —-=——=0"10.
Это единственный пример вычитания простых дробей,
обнаруженный в клинописных математических текстах; сложение
простых дробей клинописными табличками не
засвидетельствовано.
Некоторые данные о действиях с простыми дробями
содержатся в двух сходных задачах клинописной таблички VAT
7535 [36, 1. Ss. 304, 305 (Vs. 25, 26; Rs. 22-24), 310]. В них
при помощи решения квадратного уравнения удается
установить, что если от целого тростника отнять — его часть, то
5
1 В этой же табличке даны также условия других аналогичных задач
79

длина укороченного тростника будет равна СГ20, т. е. х — — =
О
= 0"20. Вычисляя длину л; целого тростника, древний матема.
тик произвел следующие выкладки: 5 — 1=4, — = СПб,
0"20 • 0"15 = 0"5, 0"20 4- 0"5 = 0"25 = х. Это значит, что снача-
х 4
ла он находил величину —, которая затем прибавлялась к — х:
5 5
4 , _1_ _
_ х + 5 X — X.
Вот, пожалуй, все, что имеется в клинописных текстах об
арифметических действиях с простыми дробями.

4
Глава V
АРИФМЕТИКА
В этой и следующих главах будут рассмотрены
арифметические, геометрические и алгебраические задачи шумеров
и вавилонян.
Говоря ниже об арифметике, алгебре и геометрии, мы будем
иметь в виду определенное математическое содержание и оп
ределеиный математический метод. Ясно, что содержание
какой-либо математической задачи не обязательно должно
совпасть с методом ее решения. Примером может служить
греческая математика, в которой широко применялись
геометрические методы для решения алгебраических задач. Считая в
дальнейшем ту или иную задачу арифметической,
геометрической или алгебраической, прежде всего будем
руководствоваться соответствующим ее содержанием, хотя понятно, что
ни о каких четких границах в данном случае говорить не
приходится.
Термины и понятия четырех арифметических
действий
' Вавилонская математическая задача, как правило,
распадается на две части: условие и решение, которое состоит из ряда
арифметических выкладок над заданными величинами.
Арифметические операции формулируются словесно, причем для
каждого действия имеется не менее двух терминов.
Клинописными текстами засвидетельствованы в основном
два термина для сложения1: gar-gar (аккадское kamdru)
«складывать» [например, «а и b сложи, {а + 6) ты видишь»]; dah
(аккадское wasabu) «прибавлять» [например, «а к b прибавь,
(а + Ь) ты видишь»]. Арифметические понятия, которые
выражаются этими терминами, не вполне совпадают. Так, «длина»
и «ширина» прямоугольника только «складываются», и нигде
1 Задачи, в которых встречаются термины, относящиеся к
арифметическим действиям, можно найти по ссылкам, имеющимся в словарях изданий
Нейгебауера [36, 2, Ss. 11—35; 3, Ss. 67—75] и Тюро-Данжена [51, pp. 215—
243].
6 А. А. Вайиа,н
81

в текстах не будет указано, что одна сторона «прибавляется»
к другой. Если известна разность сторон и «ширина» и
требуется вычислить «длину», то разность к «ширине» всегда
«прибавляется». По-видимому, термин «складывать»
употреблялся для двух величин, которые выступали в процессе
сложения как равноправные, а термин «прибавлять»—для двух
величин, одна из которых играла роль основной, а другая —
подчиненной, предназначенной дополнить или увеличить
первую. Результат сложения двух или нескольких величин
обозначался существительным, производным от глагола
«складывать»: gar-gar (аккадские эквиваленты: kumuru, kimirtu, nam-
kartu).
Для вычитания засвидетельствованы в основном три термина:
dirig (аккадское watdru) «превышать» [например, «а над Ь
насколько превышает?—На (а—Ь) превышает»]; lal
(аккадское mat и) «недоставать» [например, «6 к а сколько
недостает?— (а — Ь) недостает»]; ba-zi (аккадское nasafiu) «отнимать»
[например, «от а отними 6, (а—Ь) остается»]. Термин
«превышать» применялся главным образом для двух величин, при
сложении которых был бы употреблен термин «складывать»»
Изредка в подобных случаях использовался термин
«недоставать». Таким образом, первые два термина вычитания как бы
являются отрицательными эквивалентами первого термина
сложения. Третий термин вычитания, «отнимать», прилагался
к паре величин, для которых, если бы они складывались,
был бы применен термин «прибавлять». Следовательно,
третий термин вычитания является как бы отрицательным
соответствием второго термина сложения. Результат вычитания
для первых двух случаев обозначался теми же терминами
«превышать» и «недоставать», для третьего случая
употреблялось слово «оставаться» ib-tag4 (аккадское ezebii). Иногда в
текстах встречается также аккадское существительное sapiltu
(от saplu «нижний»), которое применительно к вычитанию
может быть переведено как «остаток».
Таким образом, различные термины сложения и вычитания
чисел употреблялись в зависимости от того, равноправные
или неравноправные величины участвовали в арифметическом
действии. В первом случае их можно «складывать», но
нельзя «прибавлять» друг к другу; можно сравнивать между
собой и узнавать, насколько одна «превышает» другую или
сколько «недостает» олной, чтобы стать равной другой. Во
втором случае к основной величине «прибавляется» или от
нее «отнимается» вспомогательная величина. Вот почему
можно говорить о том, что у шумеров и вавилонян имелись два
не вполне совпадающих понятия «складывания» и
«прибавления» вместо одного понятия сложения, два не вполне
совпадающих понятия «сравнения» и «отнимания» вместо
одного понятия вычитания.
82

Наличие частных понятий для каждого из арифметических
действий свидетельствует о конкретности рассуждений на
всех этапах решения задачи. Но все это в полной мере
относится только к элементарным задачам. В сложных задачах,
особенно алгебраических, уже нет той арифметической гроз-
рачности, которая позволяет судить о характере величин,
появляющихся в процессе решения. Поэтому при анализе таких
задач не всегда можно найти удовлетворительное объяснение
для каждого случая применения частного термина сложения
и вычитания.
Термины умножения тоже весьма разнообразны. Так, П
(аккадское па$й), буквально «носить», «поднимать», обычно
переводится как «умножить» (например, «а на b умножь»,
буквально «подними»), tab (аккадское esepu) — «увеличить». Этот
термин фигурирует вместе с а-га «раз» (например, «увеличь
а в b раз»). В случае удвоения некоторой величины термин
«увеличить» употребляется или с предлогом «на» или без
всякого вспомогательного слова, а иногда даже без
упоминания множителя 2 («а на 2 увеличь» или «а увеличь»). Термин
il для операции удвоения не применяется. Следовательно,
между первым и вторым терминами тоже имелись какие-то.
смысловые различия.
Наиболее своеобразен термин ku (аккадское akalti),
буквально «кушать» (например, «а и b съели друг друга»).
Какая могла быть ассоциация между процессом еды и
умножением, - неясно. Конкретные случаи употребления
этого термина в математических задачах как будто
свидетельствуют о том, что первоначально он связывался с
определенными геометрическими представлениями. Так, условие задачи,
согласно которому произведение «длины» л «ширины», т. е.
плошадь прямоугольника, является заданной величиной,
формулируется при помощи термина «кушать». Этим же
термином часто пользуются при возведении в квадрат; термины
«кушать» и «пища» встречаются также для обозначения
наклона стены сооружения. Некоторые данные как будто
свидетельствуют даже о том, что рассматриваемый термин
«кушать» в определенных случаях выражает только процесс
образования площади прямоугольника при помощи «длины»
и «ширины», но не умножение соответствующих чисел. Так,
в табличке АО 8862 (строки 1, 24, 25) [36, 1, S. 109], после
того как в результате решения задачи были получены
значения «длины», равной 4, и «ширины», равной 3, производится
проверка, для чего «длина» умножается на «ширину» В
тексте записано: «15, длину, 12, ширину, я перемножил
(термин «кушать»), 15 раз 12, З'О площадь». Таким образом,
умножение чисел здесь выражено термином «раз» (глагол
«увеличь» в данном случае опущен), а не термином
«кушать».
6*
83

Возведение в квадрат, как уже говорилось, было
самостоятельной операцией. Терминами, выражающими ее,
служили шумерские глаголы ib-sf8 и UR (аккадское maharu),
связанные с понятием равенства величин. Термин ib-si8
применялся также для извлечения корня квадратного из числа.
Кроме того, возведение в квадрат обозначалось термином
«кушать» (kii, akdlu), о котором было сказано выше. Для
возведения в куб специальный термин неизвестен, зато
сравнительно часто встречается термин для извлечения
кубического корня—ba-si8 (ср. ib-sig — «квадрат», «корень квадратный»).
Во всех терминах, связанных с делением чисел, в
качестве необходимого элемента содержится шумерское igi «глаз».
Дробь вида — записывалась как - igi-/z-gdl. Это выражение
фигурирует и в таблицах обратных величин, и в
математических задачах. Однако в математических задачах
чаще используется выражение igi-/i-du8, где du8 (аккадское ра-
iaru) буквально «разбить», «разломать». Анализ контекстов,
в которых встречаются указанные выражения, приводит к
заключению, что если dgi-ft-gal надо, по-видимому, понимать как
«/г-ю часть», то igi-n-du8 уже следует толковать как
«обратное значение от п» при делении некоторой величины на п.
Не исключено, однако, что igi-#-dus является сокращенной
формой более пространного выражения ig-:-/z-gal du8,
засвидетельствованного, правда, очень немногими задачами. Смысл
последнего выражения, очевидно, заключается в том, что
от некоторой величины отламывается ее /2-я часть.
Деление Ъ на а, если а является неправильным числом,
выражалось фразой: en-nam a-na (a) he-gar sa (b) in-sum (с)
in-sum, т. е. «что ты должен положить с а, чтобы получить &?—с
ты должен положить». Здесь, очевидно, сформулировано
требование найти такое число, которое будучи умножено на а
(делитель) дает Ъ (делимое).
В некоторых текстах встречается термин igi-TE-EN,
означающий, по-видимому, «часть», «дробь», например, ig;~TE-EN
ud sahar il-П igi-TE-EN ud sig4-anse, т. е. «часть дня он
приносит землю, часть дня он кладет кирпичную стену (штабель
кирпичей)» [36, 3, Ss. 30, 32, задача № б]. В больших
алгебраических задачниках этот термин употребляется в
предложениях: igi-TE-EN sag sa us-se и igi-TE-EN us sa sag-se.
Судя по содержанию соответствующих задач такие пред-
1 us
ложения формально можно понимать как отношения— и
sag / «длина» «ширина» \ т-,
НЕ ' «ширина, и .длина, )' Если же говорить о более точном
толковании, то это, очевидно, тот же способ выражения
деления чисел, который был упомянут выше, — частное (в
данном случае igi-TE-EN) воспринимается как число, которое
84

должно быть умножено на делитель, чтобы получить
делимое. Такое толкование вытекает из сопоставления фраз: еп-
nam а-па sag he-gar sa us in-sum («что надо положить с
шириной, для того чтобы получить длину») и igi-TE-EN <^а-па>
sag<Obe-gar>sa us-se («дробь надо положить с шириной
для длины»).
щ. Таковы основные термины и понятия, относящиеся к
арифметическим действиям и встречающиеся в задачах
клинописных математических текстов.
Арифметические задачи
Несмотря на то, что клинописные математические тексты
отражают начальный этап истории математики,
арифметические задачи в них по численности уступают геометрическим
и алгебраическим. Тем не менее арифметических задач
известно достаточно много, чтобы можно было судить о
содержании и методах шумеро-вавилонской арифметики.
Особый интерес представляет группа шести сходных
арифметических задач, из которых будут рассмотрены две
наиболее сложные.
Первая задача (VAT 8391, Rs. I, 3—33: « 3 Если на 1 bur
площади 4 gur зерна [я снял], 4 на 1 bur площади 3 gur
зерна я [сня]л. 5Теперь 2 поля. Поле над полем на Ю'О
выдается. сОба (количества) зерна сложены, 18'20. 7Каковы мои
поля?
83(У0, (т. е. 1) bur клади. 20'0, зерно, которое они сияли,
клади. 930'0, т. е. другой (1) bur, клади. 15'0, зерно, которое они
сняли, клади. 10Ю'О, что поле над полем выдается, клади.
п[18'20, су]мму зерна, клади. 12[1, начальную], клади.
,3Обратную от 3[0'0, (1) bur образуй. 0"0'2 на 20'0, зерна,
которое они сняли, 14 умножь. 0"40, зерно лож[ное, на 1]0'0,
что поле над полем выдается, 15умножь. 640 от 18'20,
суммы зерна, 1ботними, и 1Г40 ты оставляешь; 171Г40, что ты
оставил, твоя голова удерживает. 181, начальную (wa-§i-
ат) надвое разломай. !р0"30 и 0"30, дважды клади
и 2иобратную [ог] ЗО'О, bur, образуй, и 0"0'2 на 20'0, зерно,
которое они сняли, 2?умножь. 0"40 на 0"30, что дважды
положено, 22умножь. 0"20 твоя голова удерживает. "Обратную
от ЗО'О, второго (1) bur, образуй, 0"0'2. 240"0'2 на 15'0, зерно,
которое они сняли, умножь. 260//30 на 0"30, второе, которое
положено, умножь, 0"15. 26 0"15 и 0"20, что удерживает твоя
голова, 27сложи, и 0"35. "Сколько надо класть с 0"35, 2учто
дало бы мне 1Г40, которое уд[ерж]ивает твоя голова? 3020'0
клади. 20'0 н[а] 0"35 умножь, 1Г40 у тебя получится. 3120'0,
что было поло[жено — пло]щадь первого поля. 320т 20'0,
площади поля, Ю'О, что поле над полем выдается, 33отними.
Ю'О-площадь второго поля» [36, 1, Ss. 321, 322, 328, 329]
85

В задаче рассматриваются площадь одного поля Fu
урожай, снятый с него 0и удельный урожай g",==^-; площадь
другого поля F2y урожай G2 и удельный урожай g2=~ ^
При этом даны:
cPl^lbur = 30/0 SAR, <р2 = lbur-30'OSAR, FV-F2=F=10'0 SAR,
Ti=4gur = 20'0slla; ъ = 3gur = 15'0sila; Gx+ G2=G= 18'20sila.
Требуется найти Fx и F2.
Решение задачи, в основном, сводится к ряду
арифметических действий, которые ниже расположены в такой же
последовательности, как и в тексте:
1) 20 0 = 0"40 = — = gi («зерно ложное»),
ЗО'О <pi
2)0"40-10'0 = 6/40=^iF,
3) 18'20 - 6'40 - 1Г40 = G - gxF,
4) — • 1 («начальная») = 0"30,
6) 0"40 • 0"30 = 0"20 = gx (— • 1) ,
30 0 <р2
8) 0"30• 0"30 = 0"15 = g2 (y*1) '
9) 0П5 + 0"20 = 0"35=£, (±.l)+g2(±-\) ,
Ю) Л^-^20'0= =2F2,
(в тексте последняя величина ошибочно принята за Т^),
11) 20'0 - 10'0 = Ю'О = F}-F^ F2.
Таким образом, сначала вычисляется урожай с обоих
полей, исключая площадь F, на которую первое поле больше
второго (действия 1—3). Ясно, что этот урожай был снят
с площади, равной 2F2. Затем определяется средний удель-
86

ный урожай с площади 2F2, каждая половина которого
характеризуется удельным урожаем g{ и g% (действия 4—9).
Далее урожай с площади 2F2 делится на уже найденный
средний урожай, а результат деления ошибочно принимается
за F, вместо 2F2 (действие 10) — вероятно, потому, что
значение F} действительно равно 2F29 а ответ задачи, несомненно,
был известен заранее.
Особенно важно для понимания задачи вычисление
среднего удельного урожая (действия 4—9). Предварительно
древний математик составляет выражение gx (~«r"l) ^2 ("jf'Oi
вместо того чтобы сразу найти среднее арифметическое
(gi^rg*)* Очевидно, была взята площадь в 1SAR, в тексте
названная «начальной» единицей, и разделена пополам. Затем
был определен урожай с каждой половины при условии,
что удельные урожаи на обеих половинах равны
соответственно g{ и g%. Полученные результаты были сложены, что
и привело к среднему удельному урожаю поля. Именно так
объясняет арифметические действия задачи автор текста.
В строке 12, в которой перечислены величины, в
дальнейшем фигурирующие в решении задачи, говорится: «1,
начальную, клади». Ясно, что имеется в виду 1SAR. В строке
18 содержится указание на то, что «1, начальную»,
надо разделить пополам, причем в строке 19 подчеркивается,
что половину единицы надо брать два раза. В строке 21, в
которой ^|=0Ч0 умножается на -^-=0"30, последняя величина
рассматривается как одна из двух 0"30, т. е. одна половина
1SAR. В 25 строке g-2=0"30 умножено на -^-=0"30; последняя
величина здесь уже характеризуется как вторая из двух 0"30,
т. е. вторая половина 1SAR, Все эти действия
свидетельствуют о чрезвычайно конкретном понимании вавилонским
математиком получаемых им результатов отдельных вычислений1.
Термин wasu, уточняющий содержание числа 1 (1SAR),
мы переводим описательно словом «начальная» (строки 12,
19). Такой перевод продиктован обычным значением
соответствующего глагола wasu — «выходить» (или
«выходить» в смысле «начинать»), а также содержанием
уточняемой величины [22, S. 237]. Действительно, 1SAR является
исходной мерой, на которой основаны все вычисления,
относящиеся к площадям. Интересно, что это же существительное
в форме wasltu (женский род от wasu) встречается в
некоторых алгебраических задачах на квадратные уравнения.
1 Нейгебауер усматривает в этой задаче искусственные алгебраические
преобразования [36, 1, S. 333].
87

В другой задаче этого же текста (VAT 8391, Vs. I, 21—И, 22)
в качестве заданных величин фигурируют [36, 1, Ss. 320, 321,
326, 327]:
F\ + Fz = F=30 SAR — сумма площадей двух полей.
G, -f- G2 = G = 18'20 sila —общее количество зерна с двух
полей.
<?! =1 bur =30'0 SAR 1 с площади ср, первого поля снято
71 =4 gur =20'0 si 1 a j у,-зерна.
<?2 =1 bur =30'0SAR 1 с площади <р2 второго поля снято
у2 =3 gur =15'0 sila J у2 зерна.
Требуется вычислить площади первого и второго полей,
т. е. F, и F2.
Решени е:
14 30'° Fi+/72 F
1) -2- =15 0 = -г- = т-,
2) |^ = о/740= = Я1 («ложное зерно»),
3) 0*40 • 15'0=10'0=g,
15'0
4) 2Q-0=0"30 = g2 («ложное зерно»),
5) 0"30 • 15/0= 7'30 = gt-j->
6) 1О'О + 7'30=17'30 = £, ^ +й у,
7) 18'20 - 17'30 = 50 = G - (gt + #2
8) 040 — 0"30 = 0"10 = £, - g*
F f
G
9) .Л- = 5' 0 =
О" 10 #1 - £3
10) 15'0-5'0 = 10'0 = А,
11) 15/0 + 5/0=15/0 = 4- + ^
12) г7, =20, F2 = 15'0.
Указанные действия могут быть истолкованы следующим
образом. Сначала сумма площадей F разбивается на две поло-
F F
вины,~2- и и отыскивается величина урожая с каждой
при условии, что удельные урожаи равны соответственно цх
89

По мнению Нейгебауера, термин wasitu означает
коэффициент, что, однако, не согласуется ни с буквальным
значением глагола wasu, ни с характером соответствующей
величины в рассматриваемой задаче [36, 1, S. 333; 3, S. 11],
Тгоро-Данжен переводит wasu, как «единица» и видит в этом
уточнение числа 1, отличного от ГО или 0"1 [58, р. 31, п. 11.
Надобность в таком уточнении, конечно, могла
появиться, так как в шестидесятеричной позиционной системе для
записи всех трех указанных чисел употреблялся один
клинописный знак — вертикальный клин. Но как раз в тех
задачах, в которых встречается данный термин, потребности
в таком уточнении нет. Кроме того, в качестве уточнения
абсолютного значения клинописного знака 1, естественней
было бы использовать 1 Isten, где isten — словесный эквивалент
1. Так, желая, например, сообщить, что соответствующий
клинописный знак означает ГО, вавилонские математики обычно
писали 1 sussi, где sussi—родительный падеж числительного
«шестьдесят» 1.
В задаче встречается термин se'u lul— «ложное зерно».
Так названа величина удельного урожая с первого поля g{=
=040, а в других задачах таблички VAT 8391 и аналогичном
по содержанию тексте VAT 8389 — величина удельного
урожая второго поля gv-^O^O. По мнению Тюро-Данжена, здесь
дано определенное указание на метод ложного положения,
которым решены соответствующие задачи [59, р. 72].
Непонятно, однако, каким образом можно связать метод
ложного положения с величиной удельного урожая. Нейге-
бауер считает, что в этом термине заключено
противопоставление «предварительного зерна» gx и g2 «окончательному зсо-
ну» G{ и G2 [3), 1, Ss. 331, 332]. Более вероятно, что
вавилонский математик имел в виду противопоставление удельного
урожая, выраженного в gur на 1 bur, удельному урожаю в
sila на 1SAR. Первое выражение, как уже упоминалось,
встречается в хозяйственных текстах и, очевидно, было удобным
для оценки урожайности поля. Второе же, по-видимому,
рассматривалось как некоторая средняя и в связи с этим —
ложная величина; ведь количество зерна с такой малой площади,
как 1SAR, действительно должно было сильно колебаться на
разных участках. К этому надо прибавить, что Ш, которое
переводится для данной задачи словом «поле», буквально
означает «степь», «пустыня», т. е. поле даже необработанное; на
таком поле, вероятно, засевались не все участки [36, 1, S. 330,
Anm. б]2.
1 См. стр. 20 настоящего издания.
2 Интересно, что удельный урожай нормального поля, устанавливаемый
по данным хозяйственного текста (см. стр. 35 настоящего издания), равен
5 sila на 1SAR. В этой же задаче удельный урожай с первого поля равен i
0"40 sila на 1SAR, со второго поля — 0"30 sila на 1SAR.
88

Решение задачи приведено не полностью:
х у
* Р У а а
+ Д, -5-=Т-ПГ —А-
а — а +р Т"» р — о + р
причем
Д=0"0'50 [36, 2, S. 58].
Как же были найдены последние формулы? Прежде всего
ясно, что первому уравнению задачи удовлетворяют значения
— =7ТТ и Т= ^ТТ- Действительно, ■^+■^- = 1. Но
а8
в этом случае х = у = — ^ t что противоречит второму
уравнению. Чтобы получить значения неизвестных,
удовлетворяющие обоим уравнениям, очевидно, надо от второй дроби
- а_ р отнять, а к первой дроби а^_^ прибавить некоторую вели-.
х у
чину Д, что и приводит к указанным выше величинам— и -g-*
При этом Доказывается равной 0"0'50. Арифметические
выкладки по вычислению Д в тексте не приведены.
Из других арифметических задач, встречающихся в
клинописных математических текстах, особенно интересна
методика решения задачи № 5 таблички Эрм. 150731. В
задаче говорится о бассейне, выкопанном на ступенчатом склоне
горы и как бы разбитом на четыре одинаковых по объему,
но различных по глубине отсека. Глубина первого отсека
равна 4 kus, второго — 3kus, третьего — 2 kus и четвертого —
lkus. Длина бассейна равна его ширине — 30GAR. Требуется
вычислить количество человеко-дней, необходимое, чтобы
выкопать один отсек бассейна, причем, как видно из решения,
за постоянную норму труда взята величина 0"10SAR на 1
человеко-день. Решение задачи приведено не полностью и
заключается в том, что уже готовый результат образования
обратной величины от суммы обратных величин глубин
отсеков, 0"28'48, умножается на «длину» бассейна 30 и «ширину»
бассейна 30, а результат двукратного умножения, 742,
выражающий объем одного отсека делится на обратную
постоянную (ПО:
! =0"28'48, 0"28'48-30=14"24,14/,24-30=7,12,
1111
Ь — + —4- —
4^3 2^1
7' 12
= 4342 (человеко-дней).
1 См. приложение I, L, задача № 5.
91

и g2 (действия 1 — 5). Затем определяется разность между G
F F •
и суммой gx ~2 Ь $2 ~2 (Действие 7), т. е. разность,
которая, очевидно, появилась в результате того, что Fx больше
F F
у на величину A, a F2 меньше -у- на такую же величину.
Другими словами, если от одной половины суммы площадей
отнять А, а к другой половине прибавить А, то получим, со-
Р
ответственно, Fx и F2. Но когда от площади -у
соответствующей удельному урожаю g2b отнимается 1SAR и этот же
Р
1SAR прибавляется к площади -у, соответствующей
удельному урожаю gx% суммарный урожай с обоих полей
возрастает на g.\ — g% (действие 8). Таким образом удается вычислить
значение А (действие 9) и, следовательно, искомые величины
площадей F{ и F2 (действия 10, II)1.
Следует обратить внимание на два обстоятельства: F{ и F2
вычислены при помощи среднего арифметического этих вели-
чин ~^~2—~~ = ~ и их сРеДней разности —i——— = А; сред-
нее арифметическое представлено двумя величинами: -н~=
= 1570 и —=15/0 (в тексте сказано: «15'0 и 15'0, дважды
положи»), а средняя разность — только одной величиной А.
При этом искомые площади вычислены путем
«отнимания» А от одной половины суммы площадей и «прибавления»
А к другой половине. Так, в заключительной части за-
Р
дачи сказано: «5'0 (т. е. А) от 15'0 (т. е,-у), что взято
дважды: от одного отними, к другому прибавь. Первое 20'0,
второе Ю'О. 204) — площадь первого поля. Ю'О — площадь
второго поля».
Весьма близким способом, очевидно, решена задача № 18
таблички ВМ 85196 [36, 2, Ss. 46, 49, 50]. Имеются два кольца;
сумма седьмой части веса одного кольца и одиннадцатой
части веса второго равна lgin, а разность веса первого кольца
и его седьмой части равна разности веса второго кольца
и его одиннадцатой части. Требуется определить вес каждого
кольца. Рели через х обозначить вес первого кольца, через
у — вто рого, то
, JL=
* 1 ■ у ('=7, р-Н).
1 Эта задача, как и предшествующая, истолкована Нейгебауером
алгебраически [см. 36, 1, S. 322]. Арифметическое толкование задачи было
предложено Лурье [9, стр. 205, прим. 1].
90

Величина 0"28'48, появляющаяся в задаче в виде уже
готового результата, поддается конкретному арифметическому
осмыслению: это объем одного отсека бассейна, длина
которого, очевидно, равна 1, ширина — 1, а глубины отдельных
отсеков равны 4, 3, 2 и 1. Таким образом, вавилонский математик
сначала вычислил объем отсека уменьшенного бассейна (как бы
исходной «модели»), имеющего в основании прямоугольник
со сторонами 1. Но в задаче стороны прямоугольного
основания а = 30 и 6 = 30. Поэтому для определения объема
отсека, древний математик умножал «единичный» объем на 30
«длину» и еще раз на 30 «ширину». В данном случае
«единичный» объем как бы является «обратной постоянной»,
а «длина» 30 и «ширина» 30 — множителями
пропорциональности.
«Единичный объем» мог быть найден примерно
следующим образом. Пусть имеется бассейн шириной 1GAR,
являющейся одновременно длиной отсека, а объем каждого
отсека—1SAR. Тогда ширина первого отсека 4 kus глубиной
будет составлять ^= 0"15, соответственно ширина второго
отсека 3 kus глубиной будет g|-j=0"20, третьего отсека 2 kus
глубиной — 2^у = 0730, четвертого отсека 1 kus глубиной—
jTY == 1 • Ясно, что длина заданного бассейна окажется
равной сумме 0"15+0"20+0"30+1=2"5. Чтобы получить бассейн
длиной 1, надо длину 2"5 разделить на 2"5 и,
соответственно, уменьшить во столько же раз объем одного отсека.
Тогда получится «единичный» объем или «обратная
постоянная» —5=0"2848.
Аналогично, очевидно, решались некоторые задачи, в
которых рассматриваются определенные числовые
последовательности. Так, во второй задаче таблички VAT 8522 [36, 1,
Ss. 3^8, 369] говорится, по-видимому, о распределении 59
единиц серебра (вероятно, gin) между пятью братьями.
Разность долей первого (старшего) брата и второго в три раза
больше разности долей второго брата и третьего, а разность
долей второго и третьего, третьего и четвертого, четвертого
и пятого равны. Требуется, очевидно, найти весовые доли
серебра, приходящиеся на каждого брата [36, 1, Ss. 371, 372].
К сожалению, часть текста, в которой сформулировано
условие, разрушена, и поэтому некоторые детали непонятны.
Решение задачи сохранилось почти полностью.
Сначала была взята последовательность 5, 4, 3, 2, 1. В
результате прибавления к 5 числа 2 она превратилась в
последовательность 7, 4, 3, 2, 1, для которой характерно: 7 — 4 =
= 3-(4 — 3) = 3-(3 — 2) = 3-(2 — 1). После прибавления к каж-
92

дому ее члену числа 5 образовалась третья
последовательность— 12, 9, 8, 7, 6 с суммой членов, равной 42. Затем
была составлена последовательность с суммой членов 14, для
чего каждый член предшествующей последовательности был
42
разделен на 3 = -у^' Итак, получилась четвертая
последовательность: 4, 3, 2"40, 2"20, 2. Из' нее была образована
пятая последовательность, с суммой членов 59. Для этого
к каждому члену четвертой последовательности было
. п , 59-14 45 пч
прибавлено 9 (т. е. —=— = -=- = 9), что и привело к искомому
?' .л 0 0
;512, 11*40, 11*20, 11. Таким образом, сначала была
составлена некоторая «модель» искомой последовательности,
с наименьшим членом, равным единице, которая лишь
частично удовлетворяла заданному условию, а затем в результате
ряда преобразований от начальной последовательности
удалось прийти к искомой.
Более сложная задача на числовую последовательность,
образующую геометрическую прогрессию с дробным
знаменателем, приведена в клинописной математической табличке
UET 121 (задача № I)1. Требуется разделить 26"15'45 gin
серебра между пятью братьями так, чтобы каждый старший
брат получал на -g- своей доли больше следующего за ним
по возрасту брата. Решения задачи в тексте нет, указан лишь
результат распределения серебра:
7*4845, 6"15, 5, 4, 3"12.
Можно не сомневаться, что приведенная
последовательность получена из первоначальной последовательности, в ко-
4
торой доля старшего брата равна 1, второго брата — 1 • — =
=4-0"12, третьего - (4-0"12)2 и т. д.
Некоторые виды числовых последовательностей были
изучены древними математиками более тщательно. Так, в
одной из задач клинописной таблички Strssbg. 362 (Vs. I, 1 —18)
требуется вычислить разность d арифметической прогрессии,
если известно, что сумма членов прогрессии равна
1"40, а восьмой ее член — а8 = 0"6 (а { — наибольший член
прогрессии, а 10 — наименьший). Условие задачи сформулиро-
2
вано так: «10 братьев, 1— ma-na (Г'40) серебра. Брат возвы-
з
сился над братом, насколько сн возвысился, я не знаю. Доля
восьмого — б gin (0"6). Брат над братом: на сколько он
возвысился?» [36, 1, Ss. 239 — 241].
См. приложение I, О.
93

Задача решена по формуле
— 2#f
а =10 -[2(1 + 1)4-1].
Числитель дроби выражает разность между третьим и
восьмым членами прогрессии, т. е. а3 — а8. Действительно,
срёлыее арифметическое равностоящих членов прогрессии а3 и
а8 равно среднему арифметическому всех членов прогрессии:
—(а3 + а8)= Из этого следует, что а3 + а& = 2—^ , или
S S
а3 = 2 — а8, или а3 — а 8 =2~^-_2as. Знаменатель дроби, т. е
а выражает количество интервалов между а3 и а8. Так, между
а, и находится один интервал, а между а2 и а5 еще один
интервал — всего 1 + 1=2 интервала. Столько же интервалов
между <28 и й,0 и, следовательно, всего между а, — а3
и а8 - а10 находятся 2 (1 + 1) = 4 интервала. Чтобы найти
количество интервалов между аг — as, надо от количества
интервалов всей прогрессии, равного 10—1, отнять 2(1 + 1);
получается значение а = 10 — [2(1 + 1) + 1] [36, 1, S. 242].
Формула суммы членов арифметической прогрессии а{ +
+#2 + • • • + ап Б виде
Sn - п
а3 + ап
засвидетельствована одной из задач клинописной таблички
VAT 8528 (Rs. 9-7) [3, Ss. 59, 60; 36, 1, S. 354; 57, p. 70].
Упомянутые выше задачи на числовые
последовательности исчерпывают весь известный нам материал в этой области,
относящийся к старовавилонскому времени. В поздний
период истории шумеро-вавилонской математики интерес к
числовым последовательностям, очевидно, повысился, о чем
свидетельствует прежде всего клинописная табличка АО 6484,
датированная селевкидским временем. Так, в первой задаче
этой таблички (Vs. 1, 2) вычисляется сумма членов
геометрической прогрессии [36, 1, Ss. 96, 99]
1 2 22 ' 29
Способ решения задачи не вполне ясен: 8'31 •
прибавляется к 8'32, что действительно приводит к значению суммы
членов прогрессии 17'3. Так как 8'31 = 2°—1, а 8'32 = 29, то
решение, имеющееся в тексте, как будто указывает на
равенство
1 + 2 + 22 + ... + 210 = 210-1 + (210-1 - 1).
94

В следующей задаче той же таблички (Vs. 3 — 5)
отыскивается сумма квадратов чисел отрезка натурального ряда
от 1 до 10. Решение, фигурирующее в тексте, соответствует
равенству
12 + 22 + з^ + ... + Ю2 = (^.М-|-.10).55,
где 55, как это легко проверить, — сумма первых 10 чисел
натурального ряда. Таким образом, можно утверждать, что
древние математики располагали формулой
12 + 2* + ... + «8=(J-.1+ A .n}sn9
где
Sn=\ +2 + . ..4 п [36, 1, Ss. 97, 9&, 103].
Наиболее удовлетворительное объяснение указанной
формулы выдвинул С. Я. Лурье [8, стр. 193, прим. 1]. Согласно
его предложению, построим из отдельных равных кубиков
ступенчатую пирамиду, имеющую п слоев, так, чтобы первый
слой состоял из одного кубика, второй — из 22 = 4 кубиков,
третий — из З2 = 9 кубиков и т. д., л-й слой — из п2 кубиков.
Общее количество кубиков будет равно сумме квадратов
чисел натурального ряда от 1 до п. Из трех таких
ступенчатых пирамид можно составить пространственную фиг\ру в
виде параллелепипеда из п горизонтальных слоев, с п (п + 1)
кубиков в каждом слое, к
которому приложен еще один слой с £„ —
= 1 + 2 + ... + л кубиками (рис. 1,
для п =4).
Такую пространственную фигуру
можно в свою очередь разбить на две
ступенчатые призмы: одна—с п + 1
слоями, другая — с л слоями по Sn
кубиков в каждом слое.
Следовательно, общее количество таких
слоев будет равно 2л+ 1. Вычислив
количество слоев, соответствующее
одной ступенчатой пирамиде, найдем:
N
N
X
т тг-
J
Рис. 1
. 1
Умножив последнюю величину на количество кубиков в
одном слое, получим
P + 22 + ...«2==(-i-l+-|-«)5/l.
Ряд задач клинописных математических текстов посвящен
исчислению процентов. Так, в табличке VAT 8521 (Vs. 1 — 12)
95

[36, 1, Ss. 351 —354] указано, что 1 ma-na серебра дает
приращение капитала в 12 gin. Требуется вычислить величину
начального капитала, если известно, что его приращение
равно Г40. Решение задачи начинается с умножения «0"12,
приращения, на 1 ma-па», затем 140 делится на 0"12, что и
приводит к величине начального капитала 8'20. Для пррверки,
по-видимому, решается также обратная задача: если 1 ma-na
дает приращение 12 gin, то какое приращение даст капитал
8'20? Производится умножение «1 ma-na на СП2», а
результат умножения в свою очередь умножается на 8'20, что
и дает приращение 1'40. Из этих вычислений явствует, что
12 gin на 1 ma-na аналогично такому начислению,
процента, при котором с каждой единицы начального капитала
образуется приращение 0"12, или ~ Следовательно, если
извс стно, что некоторый начальный капитал дает
приращение 140, то значение конечного капитала можно по-
Г40
лучить путем деления: -=8'20. Если же величина началь-
0"12
ного капитала 8720, то соответствующее ей приращение
можно найти путем умножения: S^O-O"12 = Г40.
Не совсем ясно, что следует понимать под первым
действием, которое сформулировано в тексте как умножение «I ma-
na на 0"12, приращение». Выгодский полагает, что в данном
случае проявилась недостаточная квалифицированность
древнего математика, который, быть может, стремясь обобщить
задачу, ввел совершенно лишнее действие [6, стр. 98'. Вряд ли
с этим рложно согласиться. Дело в том, что в указанном
тексте имеются еще три совершенно аналогичные задачи
(точнее, еще шесть, если учитывать и обратные,
проверочные) и каждый раз приводится умножение «1 ma-na на 0"12».
Нейгебауер считает, что этим действием задание 12 gin на
1 ma-na переводится в эквивалентное выражение, а именно:
0"12 ma-na на 1 ma-na [36, 1, S. 360!.
Из других задач видно, что приращение капитала 0^12 ma-
na на 1 ma-na является годичным.
Во второй задаче таблички VAT 8528 (Vs. II, 1 — Rs/1,16)
определяется конечный капитал, который образуется за 30
лет, если начальный капитал равен 1 ma-na серебра [36, 1,
Ss. 354, 357, 358". Вычисления ведутся так. За один год
получается приращение 1-0"12 = 0"12 и, следовательно, за
первое пятилетие — 0"12-5 = 1. Таким образом, сумма
начального капитала и приращения в конце первого пятилетия будет
1 + 1=2. В конце второго пятилетия начальный капитал,
теперь уже равный 2, дает приращение тоже 2, и,
следовательно, чеоез 10 лет получится капитал 2-2 = 4, через 15 лет—
4-2 = 8, через 20 лет-8-2=16, через 25 лет ■■ 16-2 = 32,
через 30 лет— 32-2= 14.
96

Таким образом, значейие величины капитала в следующих
друг за другом пятилетиях возрастает по закону
геометрической прогрессии:
02 О/г
, ^-1 у • ■ • , ^ »
Если начальный капитал выражен величиной Р, отличной
от единицы, то соответственно в конце первого пятилетия
образуется капитал 2Р, второго пятилетия — 22Р и т. д., в конце
/г-го пятилетия 2Л Р. В этом случае геометрическая прогрессия
2, 22, .. . , 2" является как бы «моделью», отображающей
закономерность роста капитала за последовательный ряд
пятилетий, а величина Р — множителем пропорциональности,
позволяющим перейти от расчетов с первоначальным
капиталом 1 к расчетам с первоначальным капиталом Р.
Об этом свидетельствует, в частности, клинописный текст
MLC 2078 [67, р. 35]:
15
fb - si8
2
ю
ib-si8
1
30
fb-sis
4
4
f b - s i s
2
45
fb-sig
8
8
ib-sis
3
1
f b - s i s
16
16
ib-si8
4
1' 15
lb-sis
32
32
ib-sis
5
Г30
lb-si8
1'4
Г4
ib-sis
6
(В оригинале таблица справа расположена под таблицей
слева.) Вторую таблицу (справа) формально можно истолковать
как log22 = l, log24 = 2, log28 = 3 и т. д. По существу же,
очевидно, речь идет о том, что для образования конечного
капитала 2 требуется одно пятилетие, капитала 4 — два
пятилетия, 8 — три пятилетия и т. д. Пользуясь этой таблицей,
можно найти по заданной величине конечного капитала
соответствующее количество пятилетий. Первую таблицу (слева)
формально можно истолковать как 160//15 = 2, 16П"30 = 4,
16o//45 = 8j 161 = 16и т. д . W (Н5 = — ,0"30=—, 0"45=-
4 4
3
= — и т. д., т. е. как возведение одного и того же числа 16
4
в дробные степени. Но в этом случае назначение таблицы
остается все же непонятным. Вероятно, по содержанию и
применению первая таблица является противоположностью
второй. Первоначально, очевидно, была составлена таблица, в
которой слева отмечалось количество пятилетий, а справа,
после ib-si8, записывались соответствующие величины
конечного капитала:
1 ib-sig 2
2 fb-sig 4
3 ib-sis 8
4 fb-sis 16
5 fb-sig 32
6 fb-si8 Г4
7 А. А. Вайман
97

Такая таблица отличается от таблицы справа только
последовательностью столбцов и может быть истолкована как 2*=2,
22 = 4, 23 = 8 и т. д. Располагая подобной таблицей, можно
найти величину конечного капитала за определенное
количество пятилетий, т. е. решать задачи, аналогичные разобранной
выше. Но если принять за единицу времени не одно, а четыре
пятилетия, то в последнем столбце вместо 1 будет ~ = 0Г'15,
2 3
вместо 2 окажется— =0*30, вместо 3 будет 045 и т. д. ,
что соответствует столбцу слева.
На исчисление сложных процентов, пожалуй, наиболее
интересна задача №2 таблички АО 6770:
«Теперь: Igur на (сложные) проценты он отдал. Через сколько
лет он станет равным? Ты твоими познаниями: для
четвертого года сделай — к 2 gur сколько недостает? Что я должен
положить с тем, что превышает третий год, что дает то,
что от четвертого года по отношению 2gur отнято? Это
дает 2"33'20. От четвертого года 2"33'20 отнято. Это дает годы
и дни» [36, 2, Ss. 37, 40; 57, р. 75 et suiv.].
Несмотря на нечеткость формулировок, удается установить,
что в задаче говорится об определении периода времени, в
течение которого начальный капитал в 1 gur зерна возрастает
до 2 gur, т. е. удваивается. При этом имеется в виду, что
ежегодное приращение капитала исчисляется по формуле
сложных процентов, а взимаемый процент равен Q"12gur с Igur.
Конечный результат, как будет видно ниже, очевидно,
означает, что должно пройти 4 года без 2"33'20 месяцев для
превращения Igur в 2 gur. Отрезок времени в 2"33/20 месяцев
можно вычислить следующим образом [57, р. 75 et suiv.; 36,3,
S. 63]:
1"194 О
= 0*124640.
1 "12* — 1"123
Последнее число соответствует количеству лет. Отсюда
количество месяцев равно 0"124640 • 12 = 2"33'20. Именно так,
очевидно, и была решена эта задача древним математиком.
В основе указанных вычислений лежат, по-видимому,
следующие арифметические рассуждения. Согласно формуле
сложных процентов по истечении п полных лет начальный
капитал 1 превратится в конечный капитал Г'12/г. Пользуясь
соответствующей таблицей или путем последовательного
1 X. Леви [35, pp. 305—310] предприняла интересное исследование этих
таблиц, а также и некоторых .вопросов, связанных с исчислением сложных
процентов в клинописных текстах. К сожалению, выводы автора
недостаточно убедительны — затронутые ею вопросы должны быть дополнительно
изучены.
98

умножения можно найти, что Г'123 = 1"43'40'40< 2, а 1"124 =
— 2"4/24'57'36 > 2. Следовательно, искомый промежуток
времени должен находиться где-то между тремя и четырьмя
годами. При этом за четвертый год капитал получает
приращение 1"124 — 1"123 = 2,/4/24/57/36 — 1"43'40'48 = (Г20/44,9,36. В
свою очередь приращение капитала 1, исчисляемое по норме
четвертого года, должно образоваться в среднем за
промежуток в =2"53/36'40 года. Вычислим, насколько 2
0"20'44'9'36
меньше величины капитала, образовавшегося за четыре года:
1"124 - 2 = 2"4'24'57'36 — 2= 0"4'24'57'36.
Таким образом, величина капитала 2 образуется за четыре
года без 2"53/36Ч0Х0"4,24'57/36===(Г12Ч6'40 года.
Основные арифметические методы
Несмотря на то что в целом каждая арифметическая
задача решалась при помощи весьма частных приемов, некоторые
из применявшихся методов носили достаточно общий
характер.
Это прежде всего относится к методу среднего
арифметического. Сущность его заключается в том, что в процессе
решения задачи преднамеренно составлялось среднее
арифметическое двух величин, если известна их сумма, а затем
вычислялась их средняя разность. Если же, наоборот, была
известна разность двух величин, то образовывалась средняя разность
этих величин, а потом определялась их средняя сумма. При
наличии среднего арифметического двух величин и
соответствующей средней разнести уже возможно было определить
и самые величины. Комплекс понятий, связанный со средним
арифметическим, который удается выявить в результате
изучения клинописных математических текстов, отличается
большой конкретностью.
С точки зрения древнего математика, среднее
арифметическое двух величин — это не одна, а опять-таки две величины,
которые равны друг другу. Возьмем два числа а и а, сумма
которых равна 2 а. Из данной пары величин можно получить
новую пару с той же суммой. Для этого достаточно от одного
а отнять какую либо его часть о, которую затем надо прибавить
к другому а. В результате получится ах = а — о и а2 =
= а-\- о с той же суммой 2а. Итак, - а, + а2 — 2а,
и, следовательно, а — — —а'2 . Но а2 должно быть больше
2
ах на 23, т. е. 2Ъ = аг — аь и, следовательно, Ь = .
При этом средняя разность в отличие от среднего
арифметического а и а рассматривается уже как одна величина о,
7*
99

являющаяся частью а, от которого она отнимается, чтобы
быть прибавленной к другому а. Получаются зависимости:
а{ === а — §,
аг === а -\~ В,
а\ -4- До
а =— ' ' ■,
, , 2
s Да — gi
' 2 ■ • .-; ' •
В рассмотренной задаче таблички ,VAT 8391 отыскиваются
площади двух полей F\ и/У. Заданная сумма площадей F
делится пополам и —- = —1 8 «кладется» дважды. Затем
определяется полуразность площадей А = — ~ F- , В заклю-
чение от одной полусуммы эта полуразность отнимается и
прибавляется к другой полусумме, что приводит к искомому
F F
ответу: Fi = — — А и F2 — Ь А. Следует обратить вни-
\ 2 2
мание на последовательность операций (см. стр. 89): вычитание
предшествует сложению (характерно, что в тексте говорится об
«отнимании» и «прибавлении»). Однако при фиксации ответа
на первом месте указана большая величина Fb т. е.
результат сложения, а на втором — меньшая величина F2, т. е.
результат вычитания. Дело, очевидно, в том, что, в
соответствии с понятием среднего арифметического, прежде чем. к
одному ~— прибавить А, последнюю величину нужно, получить,
F
а берется она из другого —. Фиксируя же ответ, на первом
месте, согласно традиции, древние математики ставили
большую величину, на втором — меньшую.
В другой задаче, уже алгебраического содержания
(табличка YBC 6967), отыскиваются значения неизвестных х и у
по заданному произведению xy = F и разности х— у = Ь [37,
pp. 129, 130]. После того как была найдена полусумма неиз-
х Л- у
вестных—— = а, также «положенная дважды», неизвестные
2
были определены сначала при помоши «отнимания»
полуразности от одной полусуммы и затем посредством «прибавления»
этой же полуразности к другой полусумме. В записи
заключительных результатов большая величина, по традиции,
поставлена на первом месте, меньшая — на втором. Правда, в дру-
См. стр. 89 и сл. настоящего издания.

тих сходных задачах^на квадратные уравнения
последовательность операций обратная, но это уже результат более
формального подхода к решению. Заметим, однако, что во всех
подобных задачах на квадратные уравнения среднее
арифметическое обязательно «кладется» дважды.
Метод среднего арифметического гораздо чаще применялся
в геометрических и алгебраических задачах, чем в
арифметических. В геометрии этим методом пользовались, в частности,
для точного и, особенно часто, приближенного вычисления
площадей и объемов фигур, а в алгебре —для решения
систем уравнений указанного выше вида. Весьма возможно, что
происхождение этого метода связано именно с потребностями
геометрии, а не арифметики.
Другой арифметический метод, засвидетельствованный
клинописными математическими текстами, ниже условно будет
называться методом пропорционального множителя или методом
ложного положения. Сущность его заключается в том, что
одно и то же соотношение величин имеет многозначное
числовое выражение и в некоторых случаях один ряд чисел,
характеризующий данное соотношение величин, можно
заменить другими, пропорциональными первому, рядами чисел, не
нарушая соотношения. Эта простая арифметическая идея, в
частности, была положена древними математиками в основу
развитой ими системы обратных постоянных. Так, если в объеме
V укладывается /V кирпичей, то соответственно в объеме 1 SAR
укладывается п=— кирпичей. Числа 1 (т. е. 1 SAR) и п можно
рассматривать как некоторую числовую «модель»,
характеризующую ссотношение между объемом, занимаемым кирпичами,
и их количеством. Зная число я, легко вычислить
количество кирпичей, укладывающееся в любом выбранном
объеме V,, V2 и т. д; для этого достаточно умножить п на
Уи У2 и т. д.
Тот же метод, как мы могли убедиться выше, очевидно,
применялся и в решении некоторых арифметических задач.
Например, при определении объема отсека бассейна
заданных размеров древний математик нашел сначала объем
отсека другого бассейна, стороны основания которого равны 1
и 1. После этого объем отсека «модели» был умножен на
числа, выражающие заданные размеры, которые в данном
случае, очевидно, надо рассматривать как множители
пропорциональности1 .
Решая задачи на последовательности, члены которых
находятся в определенном заданном соотношении, древний
математик тоже сначала составлял «модель» последовательности2, пер-
1 См. стр. 91 и сл. настоящего издания.
2 Там же.

вый или последний член которой равнялся 1. Наконец, .
рассмотренные выше задачи на сложные проценты имеют |
в качестве начального капитала, 1 ma-na; Д-угие случаи,
предусматривающие иное значение начального капитала,
сводились лишь к введению соответствующих множителей про-1
порциональности1. \'М
Арифметический по своей сущности и, очевидно, по про- |
исхождению метод множителя пропорциональности
применялся -также в геометрических и алгебраических задачах,
что свидетельствует о важности этого метода для всей шу-
меро-вавилонской математики.
"
1 См. стр. 96 и сл. настоящего издания.

Глава VI
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрические термины и понятия
Изучение шумеро-вавилонской геометрии начнем с
рассмотрения встречающихся в ней терминов, обозначающих
геометрические фигуры, элементы фигуры, а также
относящихся к выражению меры.
Древние геометры занимались главным образом
элементарными фигурами: прямоугольником, прямоугольным
треугольником, прямоугольной трапецией и кругом.
Прямоугольник обозначался при помощи терминов1 us и
sag (аккадские siddu и putu), т. е. «длина» (или,
по-видимому, «боковая сторона») и «ширина» (или «передняя сторона»).
Следовательно, прямоугольникэто то^ что имеет «длину»
и «ширину».
Для треугольника уже имелось специальное шумерское
наименование SAG-DO, от которого был образован
соответствующий аккадский термин 'santakku. Нематематическое
значение этого термина пока не установлено.
Трапеция обозначалась термином sag-ki-gud (аккадское
put alpi), буквально «лоб быка». Следовательно, термин
заимствован от названия предмета, по очертанию сходного с
трапецией.
Для обозначения круга служило слово gur (аккадское
kippatu) — «изгиб». Этот же термин использовался для
окружности и дуги. Сегмент круга назывался gan-ud-sar (аккадское
askaru), буквально «поле полумесяца». Имелся также
специальный термин для фигуры, образованной из двух равных,
сложенных по хорде сегментов, igi-gud (аккадское in alpi) —
«глаз быка».
Возможно, что gan-zara и некоторые другие шумерские
слова, встречающиеся в рассмотренных списках обратных
1 Задачи, в которых встречаются все упоминаемые термины, можно
найти по аккадским и шумерским слозарям трех главных сводок изданных
клинописных математических текстов [36, 2, 'Ss. 11—35; 3, Ss. 67—75; 37, pp. 175—
185; 51, p. 215—243]. • '
103

постоянных, тоже играли роль специальных терминов для
плоских фигур, но значение их пока неизвестно.
Для пространственных фигур специальных геометрических
терминов, очевидно, не было. В соответствующих задачах
обычно рассматриваются конкретные предметы: дамбы,
каналы, стены, штабели кирпичей, связки тростника и т. п. В
некоторых задачах, например, определяется объем «тростниковой
связки» (шумерское gi-sa), имеющей форму усеченного
конуса. Тем не менее название связки нельзя считать термином
для указанной фигуры, так как другие предметы той же
формы, по-видимому, могли быть названы другими словами, а
не термином gi-sa. Из пространственных фигур только
прямой параллелепипед выделялся особо, как имеющий «длину»,
«ширину» и «глубину» (us, sag и GAM).
В группе геометрических терминов, обозначающих
элементы фигур, прежде всего следует указать на два термина для
сторон прямоугольника и катетов прямоугольного
треугольника: us «длина» и sag «ширина». Буквальное значение sag—
«голова» или то, что находится «спереди», «вначале»,
поэтому перевод «ширина», т. е. меньшая сторона, будет не вполне
точным; sag — это также и передняя сторона. Соответственно,
us не только «длина», т. е. большая сторона, но и боковая
его сторона. Третьим термином, относящимся к
прямоугольнику и прямоугольному треугольнику, является BVAR-NUN
(аккадское siliptu), —«диагональ».
Стороны трапеции обозначаются как «длина верхняя», или
«длинная», и «длина нижняя», или короткая,—одна пара,
и «ширина верхняя», «ширина нижняя» — другая пара, а
свойство параллельности двух сторон трапеции не фиксируется. Если
основания больше боковых сторон, то к первым прилагается
термин «длина», ко вторым — «ширина» (см. табличку VAT
7531)1, в противном случае применяется обратный порядок
наименования (см. табличку АО 7264) [36, 1, S. 126]. В
задачах на прямоугольные трапеции к основаниям обычно
прилагаются термины «ширина верхняя» и «ширина нижняя»
(«верхнее» всегда больше «нижнего»), а к вертикальной стороне —
термин «длина»; наклонная сторона, не используемая при
вычислениях, не упоминается. В таких трапециях
вертикальная сторона всегда оказывается больше большого основания.
Следовательно, «длина» (us) и «ширина» (sag) являются
универсальными терминами, применяющимися для различных
геометрических фигур.
Столь же универсален термин dal (аккадское tallu) —
«линия раздела», «секущая». В этом же значении используется
термин- pirku, шумерский эквивалент которого не обнаружен.
Вначале шумерское dal читалось как RI и рассматривалось в
1 См. .приложение I, S.
104

качестве эквивалента pirku — «задвижка», «засов» [36, 2, S.
31; 51, р. 234]. Последующие публикации клинописных
математических текстов показали, однако, что существует аккае-
ский термин tallu в значении «линии раздела» и, следователд-
но, знак RI нужно читать как dal. Одновременно выяснилось-
что аккадский термин pirku не единственный, по крайней мь,
ре аккадский, эквивалент шумерского dal. Дальнейше-
уточнение значения этих терминов стало возможным после
изучения клинописных математических текстов из Суз.
Оказалось, что dal и pirku, встречающиеся вводном и том же
тексте, прилагаются к двум разным линиям фигуры и,
следовательно, их нельзя считать эквивалентными друг другу [14,
р. 20].
Чем же различаются эти термины? Судя по циркульной
фигуре «глаз быка» (igi-gud), имеются в виду названия двух
секущих, одна из которых tallu (dal) играет роль продольной
линии раздела, а другая, pirku, — поперечной1.
Но если в геометрической фигуре проводится одна линия
раздела или несколько параллельных, то к ним обычно
прилагается термин dal {tallu), В этих случаях указанный термин,
очевидно, надо переводить неопределенно — «линия раздела»,
как и поступают исследователи. Термин dal, по-видимому,
имеет то более узкое, то более широкое значение в
зависимости от того, применяется ли он вместе с pirku или один.
Вероятно, термин dal возник раньше, чем pirku, когда еще
не ощущалось особой надобности в уточнении характера
«линии раздела». , -
Для высоты треугольника и трапеции ни шумерского, ни
аккадского термина не было. Высота могла быть обозначена
одним из терминов, рассмотренных выше, например, us или
sag. Иногда словом «высота» переводят аккадское
существительное mutarittu, производное от глагола warddu —
«спускаться». Однако такой перевод не вполне точен, так как в
задачах указанные существительное и глагол прилагаются
лишь к отрезку высоты. Такой отрезок как бы характеризует
величину пути, пройденного во время «спуска» сверху вниз:
на плоскости — при движении от «верхней» ширины к
«нижней», в трехмерном пространстве—при движении по вертикали.
Поэтому естественнее тещин mutarittu переводить как «спуск».
Элементы пространственных фигур обозначаются отчасти
теми же терминами, что и элементы плоских, отчасти—новыми.
К первым относятся us, sag, dal. Кроме того, в значении
«ширина» употребляется еще термин dagal, который,
по-видимому, означает нечто среднее между «шириной» и «толщиной».
Однако различие между dagal и sag не очень четкое,* и, как
видно из задачи 5, таблички Зрм. 15073, один термин мо-
Xju. стр. U36 и сл. настоящего издания.
105

чаях, когда говорится об. открытой поверхности, и gagar
(аккадское qaqqaru), буквально «грунт», «почва» — служит
для обозначения площади фигуры, лежащей в основании
какого-либо сооружения..
Объем тела, как уже указывалось, фиксировался
шумерами и вавилонянами в двух различных системах мер — в мерах
емкости, где единицы определялись некоторыми принятыми в
качестве стандартов сосудами, и мерах объема. Общий
термин, который можно было бы перевести ка"к «емкость»,
неизвестен. Сама запись типа «5 gur зерна», «фиников», «масла»
свидетельствовала о том", что имеется в виду емкость.
Однако бывало и так, что следовало указать объем вместилища
независимо от того, каким веществом оно заполнено. В этих
случаях для обозначения емкости, очевидно, пользовались
терминами «вода» или «масло», если речь шла о сосудах для
хранения жидкостей, и «зерно», если имелось в виду хранилище
для сыпучих тел. Так, в клинописных хозяйственных
табличках UET III 631, 648 и 712, датированных эпохой III династии
Ура, приводится вес серебряного сосуда, а вслед за этим —
указание, что «вода его—lslla» [34, № 631, 712]. Понятно,
что здесь «вода» означает «емкость». В математических
текстах "для обозначения «емкости» встречается термин «масло».
Интересно, что в указанных текстах вычисляется «масло»,
т. е. «емкость», определенного количества кирпичей [37, р. 91].
Кроме того, в математических текстах для емкости
употребляется и ( термин «зерно» (см. ВМ 85196, задача № 7) [36, 2,
S. 43].
Однако собственно геометрическим понятием является
объем, а не емкость. Один из наиболее древних случаев
употребления термина для объема засвидетельствован клинописным
хозяйственным документом UET III 1386, датированным
эпохой III династии Ура1. В этом документе «объем» обозначен
термином a-sa(g). О другом геометрическом значении
последнего слова, «площадь», уже говорилось. Совпадение
терминов для «площади» и «объема» соответствует совпадению
названий мер площади и объема. В математических текстах,
относящихся к более позднему времени, «объем» выражается уже
термином sab а г [аккадское ер(е)ги], буквально «земля».
Подведем итоги. Некоторые простые плоские
геометрические фигуры (прямоугольник, треугольник и т. п.) шумерами
и вавилонянами уже воспринимались отвлеченно как
геометрические объекты и снабжались специальными терминами.
В качестве пространственных фигур выступают только
конкретные предметы, с которыми древние сталкивались в
практической (особенно строительной) деятельности. Исключение,
очевидно, составляет параллелепипед; он воспринимался как
1 См. приложение I, М.
107

предмет, имеющий три измерения: «длину», «ширину» и
«высоту». ' > /
Элементы плоских и пространственных фигур
представлялись, по-видимому, как определенные размеры,
устанавливаемые по границам фигур. Поэтому различия между
элементами носили чисто количественный характер. Например, если
а\>Ь, то а принимается в качестве «длины», Ъ — в качестве
«ширины». .Противоположные стороны трапеции, обозначаемые
одним и тем же термином, также различаются соответственно
их величине: «длина длинная», «длина короткая», «ширина
верхняя», «ширина нижняя», где прилагательные «верхняя» и
«нижняя» указывают на то, что «верхнее» больше «нижнего».
Если фигура разделена на части, вводятся термины
«продольная линия раздела» и «поперечная линия раздела», причем
различие между соответствующими понятиями
преимущественно количественное.
Из всего сказанного видно, что шумеро-вавилонские
термины, относящиеся к элементам геометрической фигуры, не
были вполне пригодны для точного ее описания. Так, в задачах
табличкиi.VAT 7531 рассматриваются трапеции, в которых
заданными величинами являются «длина длинная», «длина
короткая», «ширина верхняя» и «ширина нижняя». На основании
этих терминов можно по-разному реконструировать фигуры.
Например, «длина длинная» и «длина короткая» могут быть
восприняты как два отрезка вертикальной стороны прямоугольной
трапеции, которая в целом является «длиной», а «ширина
верхняя» и «ширина нижняя» — как большое и малое основание
тралении. Кроме того, первые термины могут быть отнесены
к боковым сторонам трапеции, а вторые — к основаниям или
наоборот. В тексте задач нет даже прямого указания, что
имеется в виду именно трапеция1. ?
В шумеро-вавилонской геометрии, судя по терминам,-уже
были развиты достаточно общие понятия площади и объема.
Но и в этих понятиях еще ощущаются конкретные
представления, чуждые чисто геометрическому подходу к
пространству.
Ряд важнейших геометрических терминов в текстах
вообще отсутствует. Так, нет специальных терминов для
обозначения точки, линии, прямой, поверхности, плоскости,
параллельных прямых, а перпендикулярность формулировалась не
вполне определенно и четко. Нет четких терминов для
обозначения высоты, основания трапеции, центра круга,
диаметра, радиуса и т. п. Можно утверждать, что
геометрическая терминология шумеров и вавилонян по существу не
выражала основных геометрических понятий пространства. В то
же время ряд клинописных текстов, несомненно, свидетель-
1 См. приложение I, S.
108

жет быть заменен другим1. Кроме того, «толщина»
обозначается аккадским существительным kuburrti.
В качестве термина высоты какого-либо
сооружения,употребляется существительное sukud (аккадское melu)t а
глубины—существительное bur или GAM (аккадское siip'u). В
некоторых задачах «глубина» выражена термином sukud (см.,
например, YBC 4673, Ж 14, 15) [36, 3, S. 30]. К этому же
кругу понятий относится глагол warddu «спускаться», о котором
уже говорилось выше.
Элементы сооружения с трапециевидным поперечным
сечением обозначаются описательно, например: «высота перед
воротами», «(то, что) наверху», «ширина в основании» и т. д.
Все подобные описания по существу не содержат мятемати-
ческой терминологии.
Особенно интересен способ выражения наклона боковой
плоскости сооружения к его основанию величиной ctg угла.
Наклон &=ctga обычно записывался так: 1 kus sukud (&)ku (или
sa-gal) ikul, т. е. «1 kus высоты съедает k пищи », где ku (sa-gal)
означает пищу, a ikul — процесс еды2. Последнее выражение
применяется только для пространственных фигур.
Рассмотрим группу терминов, связанных с выражением
меры. В аккадском языке имеется глагол madddu «мерять»,
означающий процесс измерения длины, емкости и,
по-видимому, объема. Например, «серебро пусть он отвесит, зерно
пусть он отмерит (i-ma-da-ad)» [22, S. 393]. Соответствующее
существительное mindatu — «мера» встречается в группе
сходных задач на квадратные уравнения клинописных
табличек VAT 7535 и Strssbg. 368. В обоих текстах -написано:
«тростник я взял, и меры его (mi-in-da-su) я не знаю» [36,
1, Ss. 303, 311]. Это означает, что взят тростник неизвестной
длины. Однако имеется в виду именно «мера» тростника, а
не «длина». Термин, выражающий «длину» некоторого
предмета как таковую, в клинописных текстах как будто не
встречается. Само существительное «тростник» могло одновременно
означать и «длину» тростника. Так, в упомянутых текстах
встречается вопрос: «что есть начальный тростник?» в смысле:
«какова первоначальная длина тростника?» Ответ гласит: «0"25
(в другом месте — 0"30) начальный тростник». Рассмотренные
ранее термины — «длина», «ширина», «линия раздела»,
«окружность», «дуга», «высота», «глубина» — выражают
определенный элемент плоской или пространственной фигуры и
одновременно его протяженность.
Для обозначения площади в клинописных математических
текстах встречаются два термина: a-sa(g) (аккадское eqlu),—
буквально «поле», «орошаемое поле» — применяется в слу-
1 См. приложение I, L, задача № 5.
2 См. стр. 128 и сл. настоящего издания.
106

ствует о том, что древние геометры отличали основания
трапеции от ее боковых сторон, проводили в трапеции среднюю
линию, опускали из вершин треугольников и трапеций
высоты, циркулем вычерчивали круг1 и, следовательно, различали
центр- круга, по заданной длине окружности определяли
диаметр и т. д. Таким образом, складывается впечатление, что
знания древних геометров превышали имеющиеся в их
распоряжении словесные средства выражения. Недостатки
терминологии, по-видимому, частично компенсировались
геометрическими рисунками. Так, многие геометрические задачи в
клинописных текстах сопровождаются схематическими
изображениями рассматриваемых фигур. Однако в этих рисунках даны
только контуры фигуры и проведены параллельные линии, т. е.
«линии раздела», если они были заданными или искомыми
величинами. Другие линии, даже если они были необходимы для
решения задачи, обычно не наносились на рисунок, но зато
всегда на нем проставлялись заданные, а в некоторых случаях
также искомые размеры. Несмотря на неточность рисунков, в
изображении трапеции хорошо различаются параллельные
линии. В то же время известно очень мало текстов, в которых
дано отчетливое изображение прямоугольного треугольника.
Не исключено, что, кроме рисунков, в практике школьного
обучения геометрии употреблялись также различные модели.
Но это пока лишь предположение2.
Треугольник и трапеция
Шумеро-вавилонская геометрия на плоскости в основном
представлена задачами, в которых рассматриваются
треугольник, трапеция и круг. Для решения таких задач необходимо
знать следующие соотношения между элементами фигур
^исключая круг):
1) 5 = :ah (S — площадь, а и h — стороны прямоугольника);
2) S = -— h (S — площадь, а и h — катеты прямоугольного
треугольника).
3) S — а у 6 h (S — площадь, а
иЬ—основания, h—высота трапеции).
4) Ь = -—hx (рис. 2, где а и Л—катеты пря-
h
моугольного
треугольника и Ъ параллельно а).
1 Фигуры, вычерченные циркулем, см., например, фотографии табличек
ВМ Ii52i85 и ВМ 85194 [86, 2, Taf. 3, 4, 5].
2 См. стр. 95 и 141 настоящего издания.

Но поскольку
(дгх 4- х2) 1ц __ ^
2
то
2Л2 + Их
Таким образом, четвертому действию, согласно этому
толкованию, должна была предшествовать цепь весьма
искусственных алгебраических преобразований. Однако, опираясь на
подобие треугольников и пропорциональность
соответствующих сторон, задачу можно было бы решить более
простым способом. Так, на основании подобия треугольников
ABC, DBE и KBL (KL — средняя линия трапеции ADEC)
hi + h2
х%
hi
S
hi
что сразу же позволяет определить неизвестные:
Xi =
hi (-f-+/z2)
л-2 =
f hi
Такое решение вполне соответствовало бы фактам,
засвидетельствованным другими клинописными текстами, и если
автор таблички от него
отказался, то, очевидно, потому,
что древний математик
вообще не пользовался
пропорциональностью сторон подобных
треугольников. Вероятнее
всего, он нашел полуразность
неизвестных при помощи
указанных ниже рассуждений
(рис. 4). ;
Отсечем от треугольника
ABC треугольник PQC, равный треугольнику DBE (PQ=DB,
PC=DE). Останется трапеция ABQP, равновеликая трапеции
A DEC и, следовательно, имеющая площадь S. Основаниями
трапеции ABQP являются катет АВ — hx + h% и PQ = DB =h2,
а высотой — АР = АС — РС = АС — DE = x{—x2. Разделив
площадь трапеции 5 на сумму оснований АВ -f PQ=h] -\ h2 -f-
-j~/z2 == 2/zo + hu получим величину половины отрезка АР, т. е.
Рис. 4
•(Л'1 —х2)—
2h2 -f hi
111

5) a2-\-b2 = d2 (а и b — катеты, d -f- гипотенуза
прямоугольного треугольника).
Обратимся к изучению самих задач.
В задаче таблички MLC 1950 [37, р. 48 if.] дан
треугольник (очевидно, прямоугольный), разделенный линией,
параллельной одному из катетов, на
две части. ADj=hx=20, DB=h2=
=30, площадь трапеции ADEC
равна S=5'20 (рис. 3). Требуется
найти АС=х]и DE=x2.
Решение:
1)
5'20
20
16 = —=— (л^-г-Л'г),
h .2 ■ Г
4)
5'20
1-20
Рис. 3
2/г2 + fa
2 4
2) 2-30=Г0 = 2/7.2,
3) Г0 + 20 = 1/20 = 2Л2-Г-hu
х2)у
5,6) 16 ± 4 =~y (xi + *2) ± U(Xl - *2) = | лх*, .
В первом действии определяется полусумма неизвестных
или средняя линия трапеции ADEC. Второе и третье
действия подготовляют четвертое, в котором вычисляется
полуразность неизвестных. В последних двух действиях эта
полуразность прибавляется к полусумме и вычитается из нее, —
получаются значения неизвестных. В данном случае применяется
правило среднего арифметического.
Ясно, что основное действие— четвертое:
1
(#i — х2) =
2 у \ 2/г2 + hi
Издатели текста полагают, что в древности оно было
получено на оснований подобия треугольников ABC, DBE и МЕС
{MEi_AC), из которого следует соотношение
*2
Отсюда
Xi =
*1
hi -f- /?2
hx + /72
Х4
(Xi
hi
x2), x2 — -~- (xl — X2)e
hi
Сложение неизвестных приводит к равенству
2h2 +hi
A'i -j- х2 —
(х1 — Xz),
ИЛИ
2 v i} 2(2/z.2 + /zx)
110

В задаче №> 5 таблички YBC 4608 [37, pp. 49 —53] дан, по-
видимому, прямоугольный треугольник с площадью S =
= 1-Г22'30 и катетом h = б'ЗО. Линиями, параллельными друго-
h му катету аи треугольник
разделен на шесть частей так,
что отрезки h: = h2 = ... = hQ
(рис. 5). Требуется вычислить
hi = h2 z==z • • • === h§ и d\ j &2> • ■ • >
а6. (В тексте говорится, что
треугольник разделен между
шестью братьями и что «брат
превышает брата».)
*3
Л4 l^a^©^
;м>>^
аз
■ . !
Рис. 5
Решение:
22'45'0
1)
2)
3)
б'ЗО
б'ЗО
6
З'ЗО
6
= З'ЗО =
h
25
h
аъ
= y5 = — = hi = h.
= 35 =
6
ал
- Ь
6)
о
4—8) З'ЗО — 35 = 2'55 = аг — Ь = а2,
2'55 — 35 =•• 2/20 = а2 — 8 = а3, . . ■ "
2'20 —35 = 1'45 = а3 —& = а4,
Г45 — 35 = Г10 = а4 — В = а5,
ПО — 35 = 35 = а& — Ь = aQ.
Здесь особых пояснений не требуется. Отметим лишь, что
такой же результат мог бы быть получен при
последовательном наращивании величины В. В этом случае образовались бы
равенства: #3 = 8, аъ = as + 5 = о 4- 5 == 25 и т. д. Возможен и
способ, при котором а6 = 8, аб=28, а± = ЗЪ и т. д. Интерес^
но, что в конце задачи
записано еще действие: «Отними
35, и ширина (?)...», — дальше
разрушено. Не исключено, что
в этой записи было отмечено
равенство о и as.
В задаче № 1 таблички YBC
4608 [37, pp. 49 - 53]
прямоугольная трапеция разделена
линией <i = 52"30 на две парал- Рис. б
лельные полосы, площади
которых 5, = 14,ЗЧ5 и 52=42'1Г/15, а между отрезками верти
кальнои стороны существует зависимость:
hi : hz = а: р = 1 : 5 (рис. 6).
-=■ h2-=huT.
о
е.
112

Требуется найти основания трапеции а, Ь и отрезки вер
тикальной стороны hx и а2.
Решение:
1) 14'3"45 + 42'1Г15 - 56'15 = 5Х + 52,
2) 1+5 = 6 = <х + (3 (а=1, (3 = 5),
3) -^^-=-9/22ff30= Sl + S2 ,
6 а + р
• 4) 9'22"30 • 2=18'45 = 2- Sl + S* ,
5) =и^45_
1 а .
6) 14/3"45-2 = 287"30 = 2- —,
а
/on//orv о 5i 0 Si -f* 5->
7) 287"30^- 1845 =9'22"30=2 ■ —2
8) J^_U_i£. = 8'26"15 = —2,
5 [I
9) — • 9'22"30 = 4'41"15 = — (2 • - 2 •
2 2 ' а а + Р>
Ю) 4'41"15 + 8'26"15 =13'7"30 = -1 . JJL±ij _i_ Л —
П) 52ff3Q =0"4 = А = * • '
' 13'7"30 йл
12) — = 15 = —,
13) 15 • 1 = 15 = — а=А,,
14) 15 • 5= 1'15= Р=?А2|
15) 14'3"45 • 2 = 28'7"30 = 251,
16) 287-30 = Г52»30 = ^,
15 йг
9 9
17) l,52"30-52"30 = l'0 = —-^ = «,
18) 56'15 • 2 = 1'52'30 = 2(51 + 52),
19) <15 + Г15 = 1'30 = Ai + А2> (это действие в тексте
пропущено),
J^3^ =n5= 2(S1±SL)=a
1 Г 30 Л1 + л2
8 А. А. Вайман 113

21) 1'15- V0=\5=(a-+b)~a = b.
Итак, hi = 15, /z2 = l'15, а==1'0, 6=15.
Проверка:
1) ГО 4- 15- 1'15 = а + 6,
2) ~-Н5 = 37''30=^-(а + Ь),
• 3) З7''30-1'30 = 56Ч5 —+ Ь) \hx + Ая) = Si -f S2.
Наилучшим образом решение задачи удается объяснить с
точки зрения метода ложного положения Примем a=l,'(J=5.
за ложные значения отрезков hx и h2 и, пользуясь
заданными 5, и 52, найдем величину линии раздела йл. Это будет
ложная величина, так как истинная равна d. Вычислив —- =
= k, узнаем, что йл надо умножить на k, чтобы получить d.
Соответственно, ложные значения отрезков высоты аир надо
разделить на k, чтобы получить истинные значения. Следовательно,
hi — a — кп-> = $—. Зная /г, и /г2, легко найти а и Ь-
k k
Итак, допустим, что hx =а==1, h2 = р == 5. Разделив
площадь трапеции 5j -f- 52 на высоту a-f-.P и умножив частное
на 2, найдем сумму оснований a + 6 = 9'22"30 (действия 1—4).
Разделив площадь Sx на отрезок высоты а и умножив
частное на 2, получим сумму большого основания и линии
раздела: а + й.я = 28'7"30 (действия 5,6). Путем вычитания
первой суммы из второй определим величину разности линии
раздела и малого основания: {а + с?л) — {а -\- b) = dn — b =
= 9'22"30 (действие 7). Следовательно, полуразность —(с?л—Ь)=
= 4'4Г15 (действие 9). Разделив 52 на [3, найдем
полусумму линии раздела и малого основания —(^л+ 6) (действие 8).
Прибавив к последней полусумме соответствующую
полуразность, получим величину линии раздела: ■—- (dn + b) -j—~(3Л—
— b) — da = 13'7"30 (действие 10). После этого вычислим
множитель /г, затем —ив заключение — отрезки Нъ и h2 (дейст-
вия 11 — 14).
Разделив удвоенную площадь 2S, на h, найдем сумму
большего основания и линии раздела a -f d = Г52"30, а от-
1 Комментируя эту задачу, Нейгебауер и Сакс лишь доказывают
правильность ее решения, но не вскрывают его арифметического содержания.
114

-
няв от этой суммы величину линии раздела, получима= 10
(действия 15 — 17). Разделив удвоенную площадь трапеции
2(5! Ц- 52) на ее высоту hi-j-h2, определим сумму оснований
-трапеции a-fb — Г15 (действия 18—20). Вычитая из суммы
оснований величину большего основания, получим малое
основание 6 = 15 (действие 21).
В задаче таблички Strssbg. 367 [36, 1, Ss. 259—263] также
рассматривается прямоугольная трапеция, разделенная
линией d, параллельной основаниям а и Ь, на две полосы,
площади которых 5j = 13'3, 53=22'57. Кроме.того, задано: (я —d)-f-
1
4- (d — b) •=,t = 36 и Л2 — hu т. e. hi : Н2 = а: р= 1 : 3S
где и А2—отрезки вертикальной стороны (см. рис. 6).
Требуется найти a, b, d, h{ и А2.
Решение:
| 1) 1 +3-4—а+ 3,
= А.
2) ™ =
О
/
с/ —
а
1 р
-г ;J
3) 9 • 1 =
:9 = А
а,
4) 9 • 3 =
: 27 =
5) 'f 8 -
13'3 =
а
6) 22^5Х ==7/з9== •
' 3 ?
7) 13,3-7'39 = 5'24 = ^ -
а
8) 1 + 3 = 4 =
9) y ■ 4=2 = -|-(а + Р),
5'24 n/ilo /Si Sa\ 1
10) *f = 242 = (-2L - f ) : -i- (а + 3) - Лд
П) -iL =0"3'20= — = /г,
2'42 Лл
12) —=18= —,
' 0"3' л
13) 18-1 = 18= — а = А1,
14) 18 - 3 = 54= 4" Р=А2,
/г
15) -1- • 36=18= ii,
16) 18 + 54= П2-=А, + А„
17) 18 • 1'12 = 21'36 = (-у-/ ) (А, + А2),
8* 115'

18) 13'3-f
19) Зб'О -
3 4- 22'57 = Зб'О
- 5] -j- S2,
= (5l + 5a)
21'36 = 14'24
20)
14'24
12 = 6,
1 '12
21) 12-4-36 = 48 = 6 + t = a,
j 22) 27 -f 12 = 39 = A p -f 6 = of.
• Приведенные выкладки опять-таки указывают на
использование метода ложного положения1. Примем а=1 и (3 = 3
j за ложные значения отрезков /z, и /г2 высоты трапеции. Най-
: лем истинную и ложную величины приращения основания на
ложную единицу высоты, которые обозначим соответственно че-
i резАцАл. Вычислив -——к, узнаем, что Ал надо умножить на
k, чтобы получить Д. Соответственно надо разделить на k
ложные значения отрезков, чтобы получить их истинные
значения: h[ = а— и /?2= В —. Остальные искомые величины
k k
нетрудно определить при помощи уже известных Л, и h2.
Итак, пусть Л,=а, /?2=(3
— ложные значения отрез-
hj-oi h2-P ков высоты, причем отрезку
можно определить истинное приращение основания на
ложную единицу высоты: А = —— — 9 (действия 1, 2). Умно-
жив А сначала на а, затем на р, найдем соответственно a—d=9,
d — b = 27 (действия 3, 4).
1 Нейгебауер истолковывает эту задачу алгебраически [36, 1, Ss. 261—263,
2, Ss. 196—202]. Тюро-Данжен объясняет ее при помощи метода ложного
положения, Но его точка зрения несколько отличается от нашей [57, р. 71
et suiv]. Так же, однако не вникая в детали, объясняет задачу и Лурье
[9, стр. 205 и сл., прим. 1]. Выгодский [6, стр. 107—Ш5] возражает
Нейгебауеру и приходит к выводу, что «в этой задаче нет и следа
алгебраических методов» (стр. Г1б), ©месте с тем о« вообще
отказывается видеть в действиях древнего автора какое-либо планомерное решение
(стр. 112). Веселовский [5, стр. 290—292] обозначает величины отрезков
высоты через х и Зх, а затем переводит все выкладки текста на язык алгебры,
что не объясняет, однако, особенностей задачи.
ков высоты, причем отрезку
h{ = a соответствует
приращение основания a — d, а
h2 = р — приращение
основания d — b (рис. 7).
Следовательно, всей высоте hx-\-
-|-А2 = а + р должно
соответствовать приращение
основания (а — d) + (d —
— 6) = t. По этим данным
Рис. 7
116

Далее определим Ал—ложное приращение основания н*а
ложную единицу высоты. Для этого, разделив площадь Sf на
ложное значение /*i=a, найдем ложную полусумму ~^ (a-f
-f-cf) = 13^3. Аналогично, разделив площадь 52 на h% =$,
вычислим ложную полусумму ~г (d + 6)=7'39 (действия'5, 6).
Отняв от первой полусуммы вторую, получим ложную
полуразность оснований трапеции — (a — 6) = 5'24 (действие
7). Разделив эту полуразность на соответствующую полусумму,
определим ложное приращение основания на ложную единицу
высоты Д=2'42 (действия 8—10). Следовательно, k= — =
1
= 0"3'20 и =18 (действия 11, 12). Теперь можно найти
Л| = а.-2- =18 и h% = В — = 54 (действия 13, 14).
k k
Деление А = 9 на Ал = 2'42 осуществлено не совсем
обычным способом. Так как 2'42 — правильное число, то
следовало ожидать, что сначала будет образована обратная
величина j—- = 0"0'22'13'20, а затем последнее число будет
умножено на 9. В тексте же деление сформулировано так,
будто 2'42—число неправильное: «что надо положить с 242,
Чтобы получить 9?—0"3'20 положи». Этим древний математик,
очевидно, хотел подчеркнуть, что надо найти такое число,
которое, будучи умножено на ложное приращение, даст истинное
приращение.
Чтобы вычислить Ь, сначала найдем площадь
прямоугольного треугольника с основанием а — b — t и высотой /г, -j- /г2.
Отняв от площади трапеции 5, -\- S2 площадь этого
треугольника -—t (h[ + h2), получим площадь прямоугольника, сторо-
ны которого равны b и hx + h2 (действия 15 — 19). Разделив
площадь прямоугольника на сторону hx 4- /?2, определим
меньшее основание b (действие 20). Большее основание а найдем,
прибавив b к и — Ь = t, а линию раздела d — прибавив b к
d — b = b§ (действия 21, 22).
Очень интересна задача, помещенная на табличке VAT
8512 [36, 1, Ss. 340 — 345]. Поэтому приводим полностью текст
этой задачи.
«1,2 [Треугольник. Ширина его-30. В нем две по]лосы.
[Верхняя площадь] над нижней [площадью] на 7'0 выдается.
^Нижняя спускающаяся] над верхней спускающейся на 420
выдается. 5Чему равны спускающиеся? °И чему равна сумма длин?
7'8Ты: 30, ширину, клади. 7'0, то, на что верхняя площадь
выдается над нижней площадью, клади51 и 20, то, на что ниж-
117

yx — (a — d)
1 a-d?
40
(строки 20 —
34),
(И)
( , 34-
38),
(III)
( „38-
42),
(IV)
( . 42-
45),
(V)
2
s^-i-^ + cOy.^ie'o
y2 = yi + o = ro
Как же были получены эти формулы? Последние три (III,
IV и V) крайне элементарны и пояснений не требуют. Труднее
объяснить вывод формул (I) и (II), имеющих весьма сложную
структуру. По мнению Нейгебауера, они были получены в
результате ряда алгебраических преобразований. Так, на
основании условия задачи запишем
д = -у [(a + *))>i -хуъ], (1)
Ух а—х
Разделив (1) на уи найдем
(2)
Ух 2 \ yj V '
Из (2) и (3) следует
Д 1 / х \ 1 Я2-2*2
if, х \ 1
= — a -f- х — х ] == —-
2 V а-х ) 2
yi l \ а—х / 4 а
или
Из (2) следует
-тг а2 ~ х2
±=2 (4)
^-i = -^—1,
yi а — х
У-г — Ух х — (а — х)
У! а — х
Но, согласно условию, Уг — У\ = к и поэтому последнее
равенство можно записать как
Ь 2х—а
Уг а—х
Ь
У. = -7
2х—а
а—х
(5)
119

Из (5) и (4) имеем:
_Л__д''. 5 д 2х-а
1- а2-х2
Ух 2х—а Ь а—х а — х
а—х
— (2х—а) = — а2 — х2,
Ъ 2
: x* + -*L-x-(a—^—j-L^) = o; (6)
О О Z
Решив это уравнение и взяв только положительный корень,
найдем
*= 1/ m2 + -f a+ja«-f = d. (Г)
Преобразовав подкоренное выражение в полусумму двух
квадратов, получим формулу (I), а формула (II)
непосредственно следует из (4)1.
Приведенное толкование имеет ряд недостатков. Во-первых,
предполагается, что (7) преобразовано в (I). Во-вторых,
одним из членов знаменателя в формуле (II) является ВЫраже-
гг аг ^
ние —а вместо —-, которое должно было бы фигуриро-
вать согласно (4). Вероятно, выражение —а
свидетельствует о том, что оно было получено как площадь
прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными а.
В этом случае половина основания, т. е. —, умножается на
высоту а. [Аналогично вычислена площадь 52; см. формулу (V).]
В-третьих, последовательность действий при определении
У\ — Н\, согласно (4), скорее всего должна была
соответствовать записи
1
—- a? _rf2
У1 = Д:— — ,
а — d
чем той, которая зафиксирована в формуле .(H)- Кроме того,
приведенная выше совокупность алгебраических
преобразований, по нашему мнению, все же выходит за рамки возможностей
шумеро-вавилонской математики. Ниже дано объяснение задачи,
1 Нейгебауера поддержал Выгодский [6, стр. 128—134]; Лурье [9, стр. 207,
прим. I] не согласен с Нейгебауером и пытается дать другое толкование,
которое не приводит, однако, к положительному результату. Интересна точка
зрения Раик [10, стр. 55—60]. Однако она не вскрывает сущности метода
решения задачи.
120

няя спускающаяся выдается над верхней спускающейся,
клади.
i0 Обратную величину от 20, того, на что нижняя
спускающаяся выдается над верхней спускающейся, 11 образуй,—З'О.
На 7'0, то, на что верхняя площадь выдается над нижней
площадью, 12 умножь, — 21 спрячь в голове. 13 21 к 30, ширине,
прибавь,— 51. ,4На 51 умножь, — 43'21. ,б21, что прячет твоя
голова, на 21 16 умножь, — 7'21. К 43'21 прибавь, — 50'42. 17 5042
пополам разломай, — 25'21. 18 Что является корнем квадратным
25'21?39. 19 От 39 спрятанное 21 отними, — 18. 2018, то что
осталось, — линия раздела.
21,22Если 18 это линия раздела, [(то) чему] равны
спускающиеся и обе площади? 23Ты: 21, что с со[бой перемножено,
от 51] 24отними, и [30] ты [оставляешь. 30, что ты оставил],
25 пополам разломай, — 1[5. С 30, что ты оставил, перемножь],—
26 7'30 спрячь в голове. 2718, линию раздела, с 18 перемножь,
2S5'24. [От 7'30, что твоя голова прячет,] 29 отними, — 26
остается. 30 Что надо положить с 2'6, что дало бы нам 7'0, на что
(верхняя площадь выдается над нижней площадью]? 30'313"20
положи. 3"20 с 2'6 перемножь, 7'0 у тебя получается. 3230,
ширина, над 18, линией раздела, на сколько выдается? На 12
выдается. 3312 с 3"20, что было положено, перемножено,—40.
34 40 —верхняя спускающаяся.
36 Если 40 — верхняя спускающаяся, (то) чему равна верхняя
площадь? Ты: 30, ширину (и)3618, линию раздела, я сложил,—48.
Пополам разломай, — 24. 37 24 с 40, верхней спускающейся,
перемножено, — 16'0. 3816'0 — верхняя площадь.
39,39а цему равна нижняя высота и чему равна нижняя
площадь? 40>41Ты: 40, верхнюю спускающуюся, к 20, (на) что
нижняя спускающаяся над верхней выдается, 42 прибавь, 1'0 —
нижняя спускающаяся. 431 [8], линию раздела, пополам
разломай,— 9. 44 С Г0, нижней спускающейся, перемножь, — 9'0.
45 9'0 — нижняя площадь».
ух у2 Рассматривается прямоугольный
' | 7~ —- треугольник, разделенный линией х,
$ х\ ^-3-^***^ параллельной одному из катетов
а = 30, на две части, разность пло-
щадей которых S, — S2 = A = 7'0;
разность отрезков, отсекаемых ли-
Рис. 8 нией раздела на соответствующем
катете, у2 — у[ = 3 = 20 (рис. 8).
Требуется найти а% у{, у2, 5, и 52 (см. строки 1—9).
Выкладки текста по нахождению неизвестных величин
можно записать в виде следующих формул:
_ А=г/=18(стк. 10-20), (I)
*-Vi(T+')+(-f
118

в котором учтены все особенности решения древнего
математика.
Чтобы получить формулу (I), дополним рассматриваемый
треугольник до прямоугольной
трапеции (рис. 9) [3, стр. 591 — 593;
30, pp. 104-106 .
Так как у2~У\ = о > 0, то y2>Vi
и z можно выбрать таким образом,
чтобы линия x-f-2 делила
трапецию на две равновеликие части.
Тогда линия раздела определится
по формуле Рис. 9
- Ух
У2
Z Л 2
/г '
a Si х
засвидетельствованной клинописным текстом АО 17264.
Следовательно,
Поскольку, далее,
то
или
Отсюда
Si + fi = Si + fi,
Д = (у2 — yi)z = bz.
д
Z =
Подставив значение для z в формулу для х, получим
-— = d
о
18.
(I)
Определением х заканчивается первая половина задачи.
Для вычисления остальных искомых величин, и прежде всего
у, используются величины а = 30, S{ — S2 = A = 7'0, заданные
в условии, и х — d = 18, полученная по формуле (I). Так как
величина d уже известна, то разность ух — у2 = о = 20 становится
излишней и в дальнейшем не используется. Интересно, что
в строке 23, которой начинаются выкладки, относящиеся к
вычислению yt, производится вычитание 51 —21=30, т. е.
(aJrz) — z = a. Этим, очевидно, подчеркивается, что от
трапеции с основанием а + z математик возвращается к
треугольнику с основанием а.
121

Обращаясь к выводу формулы (II), будем считать, что
прямоугольный треугольник, фигурирующий в задаче,
равнобедренный: У\Л-у» — а (рис. 10). Тогда
У\ = а — d и у% = d
будут ложными значениями отрезков катета.
Вычислив соответствующую разность
площадей, найдем
St-St = [(Si + S2) - St] -S,= {Si + S2) - 2S2,
или
a
* ■ . 1 J
^1
St/
Ал = Si — S2 = -4-a — rf2.
Рис. 10
Это будет ложная разность площадей, обозначенная поэтому
через Дл. Разделив истинную разность на ложную, получим
_Д_= * -=£ = 3"20,
а
-a—d1
где k — число, на которое надо умножить ложную разность Дл>
чтобы определить истинную разность Д.
Соответственно, умножив ложное значение у1 на (г,
получим истинное.значение
У! = (а — -=40
а
■а-сР-
[см. формулу (II)].
В задаче № 9 таблички ВМ 85196 [36, 2, Ss. 44, 47, 53]
говорится, что балка длиной / = 0"30, находившаяся в
вертикальном положении, в результате передвижения
нижнего конца на расстояние а и опускания верхнего п
конца на величину /г = 0"6 принимает наклонное
положение (рис. 11). Требуется вычислить а [36, 2,
Ss. 44, 47, 53]..
Задача решена при помощи теоремы Пифагора:
a = Y l2—(l — hf = 0"18.
Из отношения а: (l—h): /=0"18 : 0"24 : 0"30=3 :4 : 5 видно,
что значения сторон прямоугольника подобраны на основании
пифагоровой тройки 3, 4 и 5.
В табличке VAT 7531 помещены четыре задачи на
вычисление площади трапеции по заданным сторонам а, Ь, с, dl.
1 Ом. приложение I, S.
122

Решение задач не приведено. Так как заданы все стороны,
площадь можно вычислить по формуле
S = — {а
2 4
b)h,
где высота h определяется из соотношений:
h2 = c2 — x2 = d2 — y2, x+y=a—b (рис. 12).
В данном случае приходится решать систему уравнений:
c2 — d2, х + у = а—Ь.
У1
Как будет видно ниже, шумеро-вавилонским математикам
было нетрудно с ней справиться.
Табличка VAT 7531пока единственная, из которой
следует, что древние математики решали задачи на
определение площади трапеции по
четырем сторонам, а значит,
и на определение площади
треугольника по трем
сторонам.
В табличке АО 17264
приведена задача, связанная
с делением трапеции на 6
параллельных, попарно
равновеликих полос1. Для
определения линии, разделяющей трапецию на две параллельные
равновеликие полосы, применяется формула
h
У \
а
Рис. 12
d =
Д2+ 62
где а и Ь—-основания трапеции; d — линия, параллельная
основаниям и разделяющая трапецию на две равновеликие части.
. 4
i
Решения рассмотренных выше задач на треугольник и
трапецию опираются на уже готовые знания некоторых
зависимостей между элементами упомянутых фигур. Как были
открыты эти зависимости, можно только догадываться,
учитывая ряд косвенных данных, содержащихся в задачах.
Все наиболее крупные открытия древних математиков в
области геометрии были возможны благодаря выделению
прямоугольника в качестве отвлеченной геометрической
фигуры и установлению понятия площади этой фигуры. Введение
1 См. стр. 205 настоящего издания.
123

понятия площади прямоугольника, несомненно, относится кг
величайшим достижениям древней геометрии.
Употребляемый в шумеро-вавилонской геометрии термин
для «площади» a-sa — буквально «поле» или, точнее,
«орошаемое поле» — свидетельствует о том, что основной источник
возникновения рассматриваемого понятия (как и в других
древних геометрических системах) — землемерное дело.
Распространение понятия площади на фигуры, отличные
от прямоугольника, уже не было принципиально новым
открытием. Однако площадь прямоугольного треугольника могла
быть определена двояко: как половина площади
прямоугольника, составленного из двух сложенных гипотенузами
треугольников, и как площадь прямоугольника, в который
данный прямоугольный треугольник преобразован. Хотя
первый способ кажется более очевидным, древние геометры,
видимо, представляли себе площадь треугольника, по крайней
мере первоначально, соответственно второму способу. Об этом
свидетельствует главным образом традиционный вид
формулы, по которой в клинописных текстах вычисляется площадь
прямоугольного треугольника: S = —h (а и h — катеты)..
В этой формуле величины — и к могут быть истолкованы
как стороны прямоугольника, в который преобразован
данный прямоугольный треугольник с катетами а и h. Характер
преобразования поясняется на рис. 13: от
треугольника отсекается его нижняя правая половина
и перемещается вверх. Если бы площадь
прямоугольника рассматривалась соответственно первому
способу, то в текстах естественно было бы найти
о формулу, отличную по виду от предшествующей,
Рис. 13 а именно S=~ (площадь ah прямоугольника
делится пополам). Интересно, что второй способ
засвидетельствован, причем совершенно бесспорно, у
древнеегипетских математиков. Вычисляя площадь прямоугольного
треугольника, они также сначала делили один из катетов
пополам, а затем полученный результат умножали на второй
катет. Цель деления объясняется в египетских математических
папирусах следующим образом: «ты должен взять половину 4
(катета), т. е. 2, чтобы сделать его (прямоугольный
треугольник) четырехугольным (прямоугольником)» [49, S. 150].
Необходимо подчеркнуть, что определение площади
треугольника путем преобразования его в равновеликий
прямоугольник для раннего, этапа развития математики
представляется естественным. Геометрическое мышление на этом этапе
должно было быть конкретным: площадь должна была,
видимо, восприниматься как то, что является прямоугольником.
124

Аналогично была, по-видимому,
прямоугольной трапеции (рис. 14).
превращение трапеции с основаниями
•стороной h в равновеликий
прямоугольник со сторонами — (а-\-Ь) и h
и площадью S = (а
Отнимая от большего основания а
полуразность оснований а~ и при-
определена и площадь
На рисунке показано
а и b и вертикальной
Ь)
h.
2
b
h
a
Рис. 14
<5авляя ее к меньшему основанию 6,
получаем два одинаковых отрезка, сумма которых равна сумме
оснований. Следовательно, каждый из отрезков равен
полусумме оснований.
Для подтверждения сделанного предположения
относительно шумеро-вавилонского способа определения площади
трапеции можно привести те же доводы, что и для площади
прямоугольного треугольника: вид формулы площади трапеции,
S = 4~ (а + b) засвидетельствованной рядом клинописных
текстов, естественность идеи преобразования фигуры, площадь
которой должна быть определена, в равновеликий
прямоугольник, аналогия с древнеегипетской геометрией. Кроме того,
указанный способ определения площади трапеции
предусматривает образование среднего арифметического двух
величин, а метод среднего арифметического вообще широко
применялся в вавилонской математике. Весьма возможно,
что и сформировался этот метод именно на основании задач
по преобразованию одних геометрических фигур в другие,
равновеликие им.
Распространение формул площади прямоугольного
треугольника и прямоугольной трапеции на соответствующие
непрямоугольные фигуры не связано с какими-либо новыми
идеями, и специально останавливаться на этом нет смысла.
Следует только заметить, что в большинстве задач на
определение площади треугольника и трапеции рассматриваются
прямоугольные варианты этих фигур. Задача на вычисление
площади равнобедренной трапеции засвидетельствована одним
текстом, VAT 7848 (задача № 3), который датирован селев-
кидским временем [37, р. 141 ff]. Задачи на вычисление
площади трапеции общего вида приведены в упомянутой выше
старовавилонской табличке VAT 7531 К сожалению, все
четыре задачи этой таблички представлены только условиями.
При вычислении площади неправильного многоугольника
последний разбивался на прямоугольники, прямоугольные
См. приложение I, S.
125

ки YBC 46081. Если высоту трапеции Л разделить на h равных
h
частей, то отрезкам высоты, равным —=1, будут- соответ-
ствовать одинаковые единичные треугольники с основаниями
—— (рис. 15с). То, что при анализе задачи Strssbg. 367 было
h
названо приращением основания на единицу
высоты, и является величиной основания
единичного треугольника2. Зная высоту h и
основание а прямоугольного треугольника, легко
вычислить основание Ь малого прямоугольного
треугольника с высотой' h{\
b=h1
Величину _£
Рис. 16
—- в дальнейшем будем
называть единичным приращением прямоугольного '
треугольника или трапеции.
В какой степени древние математики сумели
обобщить понятие единичного приращения, можно судить по
задаче клинописной таблички IM 55357 [23, pp. 22—27].
Наряду с другими отрезками в ней вычисляется отрезок х,
отсекаемый от гипотенузы с высотой треугольника у, при этом
заданы катеты h и а и площадь г нижнего треугольника
(рис. 16).
Арифметические выкладки текста по определению х
можно записать в виде формулы
х =
V
— -2F
h
Чтобы решать задачу указанным способом, необходимо
было знать, что единичные приращения большого и малого
треугольников равны, т. е.
а
h
В этом случае
х = Ьу, х2 = Ьху = 2Fo, х = V2Fb,
Трудно сказать, какими рассуждениями
руководствовался древний математик в данном случае. Вероятно,
равенство единичных приращений обоих треугольников было
установлено интуитивно, в результате наблюдения, что два
одинаковых единичных треугольника могут быть получены
1 См. стр. 1116 настоящего издания.
2 См. стр. >117 настоящего издания.
127

треугольники и прямоугольные трапеции, определялась
площадь каждой фигуры и результаты суммировались. Подобных
задач в математических текстах пока не обнаружено. Однако
известны так называемые планы полей, имеющие форму
неправильных многоугольников, площадь которых вычислена
указанным способом. Один из наиболее интересных и самых
древних землемерных планов, датированный периодом III
династии Ура, сохранился на табличке МЮ 1107 [24, Ss. 1 — 16;
60, pp. 13—20]. Это схематический план поля в форме
выпукло-вогнутого 13-угольника, разбитый на четыре
прямоугольника, семь прямоугольных треугольников и четыре
прямоугольные трапеции.
Рис. 15 а, Ь, с
Решение ряда задач, из коих некоторые исследованы
выше, основано на пропорциональности соответствующих сторон
двух или нескольких подобных треугольников. Это не значит,
конечно, что шумеро-вавилонские геометры оперировали
современным понятием подобия фигур. Представления древних
математиков в указанной области могут быть описаны, по
нашему мнению, следующим образом. Вырежем из
прямоугольного треугольника два малых прямоугольных треугольника
(заштрихованы), у которых высоты и основания равны
соответственно hu h2 и аи аг (рис. 15aJ. Если h{=hZi то оба
малых треугольника равны, и, в частности, ах—а2.
Решение задачи MLC 1950 основано именно на этом
интуитивном представлении1. Если, далее, высоту треугольника h
разделить на п равных частей, то отрезкам высоты — будут
п
соответствовать одинаковые малые треугольники (рис. 15Ь).
Вместе с тем нетрудно заметить, что основание малого
треугольника должно укладываться в основании большого
треугольника п раз и, следовательно, быть равным —. На этом
п
свойстве построено, в частности, решение задачи № 5 таблич-
См. стр. 110 и сл. настоящего издания.
126

проведением линии раздела как перпендикулярно основанию,
так и перпендикулярно гипотенузе d (рис. 17а, Ь).
О существовании понятия единичного приращения в шу-
меро-вавилонской планиметрии мы судим лишь по косвенным
данным клинописных математических текстов. Специального
термина, означающего единичное приращение, в документах не
обнаружено, хотя оно является единственной величиной,
непосредственно связанной с углом
фигуры. Ведь единичное приращение
а
это не что иное, как тангенс
h
угла, лежащего против катета а, и
котангенс угла, лежащего против
катета h прямоугольного
треугольника. Вероятно, в специальном тер-
Рис. 17а, Ь мине для единичного приращения
не было надобности, так как это
понятие, как и некоторые другие аналогичные, играло
важную роль только в процессе решения планиметрической
задачи и не встречалось в условии. В отличие от современных
задач, в которых тангенс или котангенс угла может быть
заданной или искомой величиной, единичное приращение в
такой роли не выступало. Сам по себе угол не интересовал
древних математиков, все внимание они уделяли
геометрической фигуре в целом и ее размерам. Землемерное дело,
с которым, по крайней мере первоначально, была связана шу-
меро-вавилонская планиметрия, тоже, по-видимому, не
стимулировало развития интереса к углу.
В стереометрических задачах понятие единичного
приращения уже получает определенное терминологическое
выражение. В таких задачах единичное приращение не только
фигурирует в промежуточных вычислениях, но и выступает как
искомая или заданная величина. Обычно она характеризует
степень наклона боковой грани какого-нибудь сооружения:
земляной насыпи, кирпичной стены, оросительного канала
и т. п. Степень наклона, как правило, обозначается
предложением: «1 kus высоты съедает S пищи», т. е. на 1 локоть
высоты приходится приращение основания, равное о
(выражается в локтях и пальцах). Величина наклона боковой
грани, несомненно, играла роль определенного, технического
показателя при соответствующих строительных работах.
Например, пусть требуется возвести кирпичную стену,
имеющую высоту h, нижнюю ширину а, верхнюю ширину Ь
(вертикальное сечение стены — прямоугольная трапеция).
Чтобы получить нужный профиль стены, кирпич надо класть
уступами (рис. 18). Какова должна быть величина этих усту-
128

нов? Ответом и является определение единичного
приращения:
h
Так, в одной из задач таблички VAT 6598 (36, 1, Ss. 279,
282, 286] вычисляется наклон, характеризующий профиль
стены следующих размеров: а=2 kus, b=\ kus, h=2 GAR=24 kus.
Ответ задачи гласит: «на 1 локоть 1 —-■ пальца стена съела
. 4
пищи». Образное выражение «съесть пищу»,
применяющееся к единичному приращению, возможно, объясняется тем,
что при кладке стены каждая последующая единица высоты
(1 локоть) уменьшает (т. е. «съедает») основание на величину о
(1-^-пальца).
а
Ь
а
■А
jjj
ч
а
Рис. 18
Рис. 19
В предыдущем разделе была рассмотрена только одна
задача на теорему Пифагора. Далее будет показано, что
соотношением сторон прямоугольного треугольника a2-\-b2=d2
древние геометры пользовались весьма часто. Тем не менее
имеющегося материала недостаточно, чтобы выявить конкретные
обстоятельства открытия указанного соотношения. Не
исключено, что равенство a2-\-b2=d2, где а и b — стороны
прямоугольника, d — его диагональ, было получено в результате
интуитивного обобщения равенства a2-{~a2=d2, где а — сторона и
с? —диагональ квадрата.
Весьма правдоподобно и другое предположение (рис. 19).
Из четырех одинаковых прямоугольников со сторонами а
и b и центрального квадрата составлен квадрат. Проведя
диагонали, получим новый квадрат со стороной d и,
следовательно, площадью d2. Второй квадрат состоит из четырех
треугольников и центрального квадрата и равновелик
заштрихованной фигуре, которую можно разложить на два квадрата —
Q А. А. ТСяймян

Рис. 20
один с площадью а2, другой — б2. Следовательно, a2-\~b2=d2.
Некоторым подтверждением выдвинутого предположения
служит клинописная математическая табличка ВМ 15285 [2, Taf.
3,4; 36, 1, Ss. 137—142], из которой следует, что близкие по
типу разложения фигур не были чужды
вавилонской математике. Приведем из нее одну
задачу (см. под номером VII): «1—длина.
Квадрат; 12 треугольников, 4 квадрата я
положил. Чему равны их площади?» Текст
сопровождается рисунком (рис. 20).
К сказанному добавим, что формулы
квадрата суммы двух чисел, квадрата разности
и произведения суммы двух чисел на их
разность, засвидетельствованные в
клинописных текстах задачами на квадратные
уравнения, вероятнее всего, тоже были установлены при помощи
преобразования одних прямоугольных фигур в другие.
Остановимся еще на одной зависимости, которая
относится к трапеции и объединяет в одно математическое
выражение основания фигуры а и b и линию d, разделяющую
трапецию на две параллельные равновеликие полосы (рис. 21) *.
Это выражение, возможно, было
получено следующим образом: представим
прямоугольную трапецию как бы составленную
из прямоугольника и прямоугольного
равнобедренного треугольника. Обозначим
отрезки ее вертикальной стороны через hx
и Л2 и площади полос — через Sx и S2. Так
как Si=S2, то (a -f- d) hx={d-\-b) h2. Но
hy=a—d и h2=d—b, потому что для по- Рис. 21
строения трапеции был взят
равнобедренный треугольник. Следовательно, (а + d) (a—d) = {d-\-b) (d—b),
а2 — d2 — d2 — b2 и
a2 ~{-b2 = 2d2.
Обобщение данной формулы для любой прямоугольной
трапеции сводится к тому, что вместо равнобедренного
треугольника— единичное приращение 5=1— берется
треугольник с единичным приращением 8=^^=1. Это не меняет
соотношения между основаниями и линией раздела, но теперь2
а — d d — Ъ .
hx /г2
где кф\.
Некоторые рассмотренные выше задачи [клинописные таблич-
1 Ом. стр. 195 настоящего издания.
2 Бруинс выдвинул гипотезу геометрического умножения, согласно
которой все указанные сооотношения вплоть до теоремы Пифагора были
получены древними математиками только на основе оперирования площадями и
b
s2
d\
hi
Si \
a
130

ки YBC 4608 (задача № 1), Strssbg. 367 и VAT 8512] интересны
не только геометрическим содержанием, но и спецификой
арифметических приемов. Решение указанных задач,
несомненно, основаИо на методе ложного положения. По существу,
это тот же метод, который в главе, посвященной арифметике*
был назван методом множителя пропорциональности.
Многие задачи клинописных математических текстов
полезно рассматривать с точки зрения как составителя задачи, так
. и лица, решающего ее. Составитель задачи в качестве
заданных величин, по-видимому, вначале выбирал малые числа, а
затем усложнял числовое задание введением определенного
множителя пропорциональности, или, как будет указано ниже,
«делителя» пропорциональности. Ясно, что способ
составления задачи мог подсказать и метод ее решения: надо
исходить из тех же малых чисел, которыми пользовался
составитель, и искать множитель (или «делитель»)
пропорциональности. Указанное соображение в древности несомненно
послужило важным стимулом широкого применения метода ложного
положения в геометрии и алгебре. Имеет значение, что
преподавание математики, очевидно, велось исключительно
на примере решения конкретных задач, которые были
составлены и первоначально решены одним и тем же лицом.
В качестве примера рассмотрим задачу таблички Strssbg.
367'. В ней говорится о прямоугольной трапеции, размеры
которой указаны на рис. 22.
Чтобы получить такую трапецию, сначала, вероятно, был взят
прямоугольный треугольник, один катет которого равен 1+3 = 4,
умножения отрезков. Так, из рисунка, приведенного ниже, видно, чтс
(a~\-b)h2-{-bhi — ah и, следовательно, Ь{к2Л-к{)=а{к—h2). Отсюда bh=ahx.
Умножив левую и правую части последнего равенства на ab, получим
Sb2=S\a2, где S — площадь всего треугольника. Аналогично можно найти
Shx=S-ih2. В рассмотренном случае линия b перпендикулярна катету h.
Бели же эта линия перпендикулярна гипотенузе с, то по аналогии майде^
bh=ac\, а после умножения
последнего равенства -на c\h получим
Sc2\=S\h2 (см. рисунок). Если Ь
будет перпендикуляром,
опущенным ,из вершены прямого . угла
треугольника, то эти соотношения
также сохранятся, что позволяет
вывести теорему Пифагора.
Гипотеза Бруинса отличается
логической стройностью, но вряд ли
можно считать переход от первого
случая ко второму достаточно
очевидным. Однако основным недостатком гипотезы является то, что она не
обоснована сохранившимся клинописным материалом. Ссылка на тексты
IM 55357 (см. стр. 193 и сл. настоящего издания) и МАН 16055 — главные
источники, на которые опирается автор гипотезы, по нашему 'мнению, не
может служить доказательством [16, р. 44, ff; 17, pp. 4—11].
1 См. стр. 115 и сл. настоящего издания.
131

1 *
другой -4=2; затем параллельно катету 2 была проведе-
на. линия, разделяющая катет 4 на отрезки 1 и 3 и, следова-
' 2
тельно, равная -^-•3=Г/30. К этому треугольнику был далее
приложен прямоугольник с «длиной» 4 и «шириной» 0"40
(рис. 23). В заключение все исходные числа были разделены
со
I»
/Zi-18
/2о = 54
о
52=22'57
Sjr13'3
СО
II
43
ом
II
О
Р
1
3
о
гО
Рис. 22
Рис. 23
на 3"20, что и привело к заданным в условии величинам
Выбор делителя, очевидно, был обусловлен тем, что сумма
оснований исходной трапеции равна 240 -j- 0"40 = 3"20. Таким
образом, после деления 3"20 на 3"20 сумма оснований
окончательной трапеции приобретает значение 1. Из решения
задачи видно, что 3"20 как раз является той величиной,
которая выше была нами обозначена через k = —, так что для
определения окончательных или истинных значений отрезков
h{ и /г2 числа 1 и 3 умножаются на-——, а это равносильно
делению на 3"20. Влияние способа составления задачи на
метод ее решения очевидно.
То же относится и к задаче .№ 1 таблички YBC 46081, для
которой размеры начальной трапеции' указаны на рис. 24.
Окончательные размеры были получены
посредством деления исходных на 4.
Выбор делителя, очевидно, обусловлен
тем, что большее основание трапеции
после деления на 4 получает значение
1 =— . Как и в предыдущей задаче,
1—»
1
о
со
го
(Ч
Рис. 24
делитель 4 является величиной, которая
раньше была нами обозначена через
k = — . В решении задачи окончательные величины отрезков
вертикальной стороны также вычислены при помощи деления
чисел 1 и 5 на 4. И в данном случае способ составления
задачи повлиял на метод ее решения.
1 См. стр. 112 и сл. настоящего издания.

Круг
Геометрия круга является той областью шумеро-вавилон-
ской математики, где часто приходилось иметь дело с при*
ближенными соотношениями, причем найденными иногда при
помоши эмпирических методов. Тем не менее достижения
шумеро-вавилонских геометров в изучении свойств круга
весьма существенны.
Основным элементом круга древние математики,
по-видимому, считали длину окружности, а не диаметр или радиус,
как это принято в современной школе.
Первые упоминания о длине окружности встречаются в
хозяйственных текстах в связи с измерением строительного
дерева. Так, в одном из текстов называется «1 тесаная колода»,
имеющая в «длину» 4— kus и «обхват шнура (нити)» 3 локтя
(No 785; см. также № 1498) [34, pi. LXXXVII, СЫХ]. Термин
«обхват шнура» (шумерское gu-nigin) несомненно указывает
на определение длины окружности посредстиом ее измерения.
Сходный по содержанию термин ka-sfr (sir «связывать»,
«обвязывать») упоминается также в одном математическом тексте
из Суз для обозначения длины окружности поля, по которой
вычисляется его площадь [37, р. 9]. В других математических
текстах длина окружности, как и круг, обозначается термином
gur —«изгиб».
Диаметр круга d в математических задачах определяется
через длину с окружности посредством следующего
соотношения:
d = —с,
3
что равносильно значению c = 3d [50, S. 83].
Такое грубое приближение тг = 3 древние математики
нашли, несомненно, эмпирически, посредством откладывания
диаметра в отрезке, равном длине выпрямленной шнуром
окружности.
Судя по одной из обратных постоянных, встречающейся в
сузской табличке I [14, р. 20], шумеро-вавилонские
математики, по-видимому, располагали и более точным приближением
7г = 3—. Вероятно, и это значение тс было получено в резуль-
8
тате конкретных измерений. Правда, кажется неясным, поче-
му в качестве приближения для тс взято именно 3—, а не
о
3-^- или 3-^-, получить которые указанным способом было
одинаково возможно. Дело, очевидно, в том, что из всех трех
щ.

чисел только 3—является правильным и, следовательно, удоб-
8
но для вычислений.
Однако в математических задачах значение тс =3— обна-
8
ружено лишь в одном случае, и то сомнительном [37, р. 59].
Как правило, встречается тс = 3. Так, в одной из задач
говорится (ВМ 85194, Rs. I, 33-38):
«ГО длина окружности (gur). 2, на сколько я спустился (иг-
dam). Что есть хорда (dal)? Ты 2 возведи в квадрат, 4 ты
видишь. 4 от 20, диаметра (dal), отними, 16 ты видишь, 20,
диаметр, возведи в квадрат, 640 ты видишь. 16 возведи в
квадрат, 446 ты видишь. 446 от 640 отними, 2'24 ты видишь. Что
есть квадратный корень из 2'24? 12, квадратный корень,
(это) хорда (dal). Таков способ» [36, 1, Ss. 148, 159, 180].
Следовательно, даны длина окружности с = Г0 и стрелка
сегмента h = 2. Требуется вычислить хорду а (рис. 25).
Задача решается по формуле
а « Vd2 — {d— 2fif = 12,
где
d=^-c=20
з
(умножение 2 на h = 2 сформулировано ошибочно, как 2 в
квадрате).
Площадь круга S определяется в задачах через длину
окружности по формуле
S = 0"5c2,
причем 0"5 в некоторых случаях названо обратной
постоянной. Способ, которым была найдена формула площади
круга, неизвестен. Возможно, что в основе его лежит
аналогия между сектором круга и треугольником. Если площадь
треугольника равна произведению половины стороны на
соответствующую высоту, то площадь сектора должна быть равна
произведению половины дуги на полудиаметр. Тогда легко
получить S = с2 = 0"5с2. Однако это, не единственный
способ определения площади круга, которым могли бы
воспользоваться древние геометры.
Большой интерес представляют данные о площадях
правильных многоугольников. Так, в сузской табличке I [14,
pp. 18—20] фигурируют следующие обратные постоянные:
140—для площади правильного пятиугольника, 2'37'20 —
для площади правильного шестиугольника, 341 — для
площади правильного семиугольника. Если через ап обозначить
сторону правильного /г-угольника, Sn — его площадь, то
указанные постоянные надо будет понимать так:
134

56 = l"40a§,
. 5в=2"37'20 al
57 = 3"41a2<
FT Бруинс показал, что вычисление этих постоянных основано
на приближенном равенстве стороны правильного /г-угольника
соответствующей ей дуге, т. е. а п:
В этом случае (рис. 26)
с
п
с _ nanhn
паУ_ ( 2 ) (2
Рис. 25
Рис. 26
Так, взяв а п
ап — 1, получим:
—, найдем с = папи d=—c
п 3
па
-. Считая
Подставив в последнюю формулу п = 5, 6, 7, найдем
значения обратных постоянных, которые точно соответствуют
данным списка (о способе приближенного извлечения корня
говорилось в главе, посвященной вычислительной технике).
Вавилоняне могли и не выводить общей формулы, а
рассуждать примерно следующим образом. Так как сторона
пятиугольника равна 1, то длина окружности должна
соответствовать 5-1=5, диаметр круга—— • 5=Г'40 и полудиаметр—
1 3
• Г'40 — 0"оО. Зная полудиаметр и половину стороны, можно
найти высоту центрального треугольника: V 0"502 — 0"302=0"40,
а затем и площадь: 0"40• (У'ЗО = 0"20. Но это только одна
пятая площади пятиугольника; вся его площадь равна 0"20-5 =
= Г40.
В том же списке обратных постоянных содержатся
числовые данные, относящиеся к фигуре igi-gud «глаз быка» [14,
135

p. 29]1: 16'52'30 igi-gud, 52'30 dal, 30 pirku. Как показывают
вычисления, «глазом быка» называлась фигура, образованная
пересечением двух одинаковых кругов, причем центр
одного находится на окружности другого (рис. 27).
Постоянная 0"16'52'30 выражает площадь этой фигуры,
постоянная 0"52'30 — <$г продольную ось АВ
(dal — «продольная линия раздела»), а
постоянная 0"30 — ее поперечную ось Ох02
(pirku — «поперечная линия раздела»). За
исходную единицу принята величина диаметра.
Поперечная линия «глаза быка» является и
радиусом круга, а так как диаметр равен 1,
то 0,02 = 0"30. Продольную линию фигуры
легко вычислить, как сторону вписанного
правильного треугольника ABC. Площадь «глаза
Рис 27 быка» определяется как— разности площади
круга и площади правильного треугольника.
При этом следует исходить из обычных
для шумеро-вавилонской геометрии
соотношений между диаметром, длиной
окружности и площадью круга.
В клинописной табличке ВМ 15285 [36,
1, Ss. 137—142] сохранилась часть рисунка,
который удается восстановить полностью
(рис. 28).
Задача, относящаяся к рисунку,
находилась на утерянной части таблички. Однако
смысл задачи ясен: требовалось найти площади фигур,
вписанных в квадрат со стороной, равной 1 (см. другие задачи того же
текста). Фигура, расположенная в средней части квадрата,
очевидно, образована тремя пересекающимися кругами, при
этом центр одного находится на окружности другого, —
применен тот же способ, каким был построен' «глаз быка».
Следует отметить, что не все связанные с кругом данные
клинописных текстов удается объяснить. В частности,
остаются непонятыми обратные постоянные сегмента 'круга (gan-
ud-sar) списка YBC 5022 (см. строки 21, 52, 54)2.
Рис. 28
Стереометрия
Центральной проблемой шумеро-вавилонской стереометрии
было определение объема различных пространственных фигур.
Такая проблема часто возникала в связи с потребностями ин-
1 Постоянная «глаза быка» 16'52'30 зафиксирована также в табличке
IM 52916 из Тель-Хармала [27, р. 137].
2 См. стр. 37 и сл. настоящего издания.
136

тенсивно развивавшегося еще в шумерский период истории^
Двуречья строительства. Например, зная объем стен
сооружения, уже можно было вычислить количество человеко-дней,
необходимое для выполнения работ; время, которое
придется затратить на строительство; количество продуктов, которое
надо будет израсходовать на питание рабочих; число кирпичей,
которое надо будет заготовить, и т. д. Все такие данные
строго учитывались, о чем красноречиво свидетельствуют
клинописные тексты.
Единственной фигурой, воспринимавшейся в достаточной
, мере отвлеченно, был параллелепипед, все другие —
конкретные предметы и прежде всего определенные объекты
строительства 1. Объем подобных предметов чаще всего
вычислялся, по-видимому, путем предварительного их
преобразования в параллелепипед.
На рис. 29 показана прямая призма с вертикальным
сечением в виде прямоугольной трапеции, преобразованная в
равновеликий ей прямой
параллелепипед. Объем тела найден
в текстах по формуле
V=Z±±hL
1 V
1 \
1 N
1
1
1
1
1 д
а
Эта формула
засвидетельствована двумя задачами таблички
Эрм. 150732. В одной
вычисляется объем бассейна,
выкопанного на склоне горы, в
другой — по-видимому, объем '
земляной насыпи. В задаче Рис. 29
№ Ю таблички ВАЛ 85196 [36,
2, Ss. 44, 48, 53] аналогичным образом вычисляется объем
корыта— по-видимому, прямой призмы с вертикальным сечением
в виде равнобедренной трапеции.
В задаче № 3 той же таблички [36, 2, Ss.
ределяется объем клиновидной насыпи —
с двумя гранями в виде прямоугольных
Вычисления производятся по формуле
V = \(alh).
Из этой формулы видно, что при вычислении объема клин
уже не был предварительно преобразован в равновеликий ему
параллелепипед, а рассматривался как фигура, полученная
диагональным сечением соответствующего параллелепипеда.
43, 47, 52] оп-
прямой призмы
треугольников.
1 См. выше, стр. 104.
2 См. приложение I, L, задачи № 4 и 6.
137

Особое внимание привлекает одна задача таблички ВМ
85194 (Rs. 2, 41—49) [36, 1, Ss. 150, 162, 187]. В ней
вычисляется объем фигуры, которая может быть истолкована как
усеченная пирамида с квадратными основаниями и углом
наклона боковых граней к большему основанию, равным 45°.
Приводим текст задачи:
■■'V
Рис. 30
«41 Раскопанное (то, что выкопано). По 10 верх (голова);
18, высота; на lkus lkus пищи. 42(чему равны) основание и
объем (земля)?
Ты: 0"5 и 0"5 сложи, 0"10 ты видишь. 43 [0" 10] на 18,
высоту, умножь, 3 ты видишь. 3 от 10 отними, 7 ты видишь44
(в качестве) основания.
Опять, основание и верх, 10, сложи, 17 ты видишь.
45 [— от 17 отломи], 8"30 ты видишь. В квадрате Г12"15
2 1
ты видишь. 4вГ12"[15 клад]и-— от 3, превышения верха над
47 основанием в квадр[ате (?)...]. 0"45 к Г12"15 прибавь, и
48Г13 ты видишь. 18 на Г13 умножь, 22'30 ты видишь.
49 2 ese 1'— iku — объем. Таков способ».
2
138

Таким образом, даны сторона нижнего основания («верх»)
фигуры (вероятно, водохранилища) а = 10 GAR, высота h==
=18 kus, наклон 8=1 kus. По этим величинам вычислен объем,
для чего предварительно найдена сторона нижнего
основания:
10-(0"5 + 0"5)18 = 7 = &,
или
Ь = а- (0"5 + 0"5)/г = 7.
Объем, очевидно, найден по формуле
Правда, операция деления квадрата полуразности сторон
оснований на три в самом тексте не обнаружена, так как
соответствующее место таблички разрушено (см. строку 47).
К тому же лакуна недостаточно велика, чтобы в ней можно
было уместить требуемое количество клинописных знаков.
Это уменьшает степень достоверности последней формулы.
Тем не менее именно эта формула приводит к наиболее
удовлетворительному объяснению задачи, которую тогда удается
связать с усеченной пирамидой, имеющей квадратное
основание и угол наклона боковой грани к большему основанию
45° (рис. 30).
Действительно, если известно, что сторона большего
основания усеченной пирамиды равна а, высота—h и угол наклона
боковой грани—45° (или, как выражались древние геометры,
«1 kus съедает 1 kus пищи»), то можно вычислить сторону
малого основания Ь, а затем и объем фигуры V.
Сначала найдем разность сторон оснований а ~ Ь, для
чего .lkus 4-1 kus надо умножить на h (рис. 31). Так как
горизонтальные
размеры должны быть
выражены в GAR, то
вместо указанной
суммы возьмем 0"5GAR-j-
4-0/,5GAR. Тогда
a — b =(0"5 4- 0"5) h.
Рис. 31
Отнимая от а
последнюю разность, т. е. «то, на сколько а превышает 6»,
получим:
b = a-(a-b)=a- (0"5 4- 0"5) h.
Чтобы найти объем, проведем через средние линии
трапеций, образующие четыре боковые грани усеченной пирамиды,
139

соответственно четыре плоскости, перпендикулярные
плоскости основания. Тогда в верхней части усеченной пирамиды,
по углам ее, образуются четыре пирамиды (см. рис. 30), а между
ними — четыре треугольные призмы. Повернем все четыре
призмы вниз до совмещения
их верхних граней с
нижней плоскостью усеченной
пирамиды, а четыре,
расположенные по углам
пирамиды, оставим на месте. В
результате получится фигура,
равновеликая усеченной
пирамиде и имеющая форму
прямого параллелепипеда с
четырьмя как бы
приставленными к нему сдвоенными
пирамидами (рис. 32).
Основанием
параллелепипеда является квадрат со
стороной, равной
среднему арифметическому
между сторонами оснований усеченной пирамиды, т. е.
—»—, а высотой параллелепипеда служит высота усеченной пи-
h. Следовательно, объем параллелепипеда равен
/ а-\-Ъ \ 2.
Рис. 32
рамиды, т. е.
Каждая же из четырех сдвоенных пирамид имеет высоту
н_
2
и
основание в
а — Ъ
виде
1
и т
прямоугольника со сторонами
а — Ь
2
Четыре такие сдвоенные
можно сложить попарно в
уже правильные пирамиды.
пирамиды
две новые
В
основании каждой будет лежать квадрат со
стороной а~Ь и высотой —, а угол
наклона боковых граней к основанию
пирамиды будет составлять 45°. Из
трех пар таких пирамид можно
сложить куб(рис.33),объем которого равен
а — 6\2
9 /
h,
Суммарный объем каждой из трех
пирамид должен иметь значение
Рис. 33
пар составляющих его
140

Чтобы получить объем усеченной пирамиды, остается сложить
Описанный способ определения объема усеченной
пирамиды, очевидно, действительно характеризует образ действий
древнего геометра. Необходимо только предположить, что
вместо пространственных рисунков он пользовался
материальной моделью. Правда, речь идет лишь о частном случае
усеченной . пирамиды, а распространение полученной формулы
на усеченные пирамиды с квадратами в основании и
углом наклона, отличным от 45°, не является очевидным.
Поэтому нельзя утверждать, что древние геометры умели
точно находить объем и такой усеченной пирамиды. Более
того, факты, почерпнутые из клинописных математических
текстов, свидетельствуют о том, что объем усеченной
пирамиды или усеченного конуса, за исключением приведенного
примера, обычно вычислялся приближенно — как
произведение среднего арифметического площадей оснований на высоту.
Итак, древние математики сумели найти точные формулы
объемов параллелепипеда, прямой призмы с трапециевидным
основанием, усеченной пирамиды с квадратными основаниями
и углом наклона боковых граней к большему основанию,
равным 45°. Вывод точной формулы объема этого тела, в свою
очередь, предполагает знание точной формулы прямой
пирамиды с квадратным основанием и тем же углом наклона
боковых граней (45°). К указанному списку надо прибавить
цилиндр, хотя задач на определение его объема в клинописных
текстах пока не обнаружено.
Ряд геометрических задач клинописных математических
текстов посвящен приближенным способам вычисления
объема. В этих задачах имеется выражение объема V усеченной
пирамиды в виде произведения среднего арифметического
площадей ^ и S2 оснований на высоту /г:
Таковы, например, две задачи: таблички ВМ 85210 (Rs. I,
23-32) [36, 1, Ss. 222, 226, 229] и ВМ 85196 (№ И) [36, 2,
Ss. 44, 48, 55], в которых за усеченную пирамиду
принимается фундамент некоторого сооружения.
Итак,
141

По аналогичной приближенной формуле вычисляется и
объем усеченного конуса. Так, в задаче № 2 таблички ВМ
85196 [36, 2, Ss. 43, 46, 51] читаем:
«8 Связка тростника: 0"4, нижняя окружность, 0"2 su-si,
верхняя окружность, 6, высота. Чему равен объем?
9 0"4 возведи в квадрат, (ГСП6 ты видишь. СИУ 16 на 0"5,
обратную постоянную, умножь,10 0"0'1'20 ты видишь. 0"2
возведи в квадрат, 0"(У4 ты видишь. 0"0'4 на v"b умножь, <д"0'0'20
ты видишь. "(У'О'ГгО и 0"0'0'20 сложи, 0"0' 140 ты видишь.
-1_(от) 0"0'1'40 отломи, 0"0'0'50 ты видишь. 0"0'0'50 на 6
умножь, О'О'б—объем. Таков способ» [47, р. 34 ff]. .
Здесь говорится о связке тростника, имеющей форму
усеченного конуса. Длина окружности нижнего основания—сх=
= 0"4 GAR = 24 su-si; верхнего основания — с2 = 0"2 GAR =
= 12su-si. Высота/2=6 kus. Требуется вычислить объем связки
V. Выкладки текста соответствуют формулам
5х =0f,5cl, S2= 0*5 cl
l/ = -|-(51 + Sa)A,
где Si и 52—площади оснований усеченного конуса.
Называя /1=6 kus высотой конуса, мы допускаем
некоторую неточность, так как h—это длина тростника, а сама
связка только приблизительно передает форму усеченного конуса,
потому что тростник, расположенный внутри связки, будет
несколько выступать по сравнению с тем, который находится
ближе к краю. По такому же праву h может быть названо
образующей рассматриваемого тела.
Приближенная формула объема прямой пирамиды
V = — Sh,
2
где 5— площадь основания; Л—высота, засвидетельствованная
как будто задачей № 7 той же клинописной таблички [36,2,
Ss. 43 ff, 47, 53].
В задаче рассматривается предмет, названный «клином»,
и поскольку вычисляется не только его объем, но и емкость,
то, вероятно, имеется в виду сосуд. К сожалению, текст
задачи полностью не сохранился, и нет уверенности, что под
«клином» действительно подразумевается тело, имеющее
форму пирамиды.
Конечно, древние геометры, по крайней мере те, которые
впервые ввели в обиход указанные выше формулы, знали,
что по ним определяется приближенное, а не точное значение
объема. Об этом свидетельствует прежде всего
рассмотренная выше точная формула объема для частного случая
142

усеченной пирамиды. Кроме того, сам способ получения этих
формул, о котором, правда, можно только догадываться,
должен был указывать на их приближенный характер.
Рассмотрим приближенные формулы объема других
пространственных фигур. Объем осадной насыпи, называемой
агатта (рис. 34), вычисляется по формуле
и-
аг + Ьг
а% + Ъ%
Рис. 34
Вид формулы и последовательность действий
свидетельствуют, по-видимому, о том, что имелось в виду превращение
указанного тела в
приблизительно равновеликий ему
параллелепипед, у которого площадь
основания равна выражению,
заключенному в квадратные скобки,
а высота равна h.
По этой формуле решена
задача № 17 таблички ВМ 85196
[36, 2, Ss. 46, 49, 52]. Размеры
насыпи следующие: ai=lGAR,
a2 = I"30 GAR, 6!=0,,50GAR,
bz=l GAR, A.=18kus, /=30 GAR.
Можно показать, что последние
величины могут относиться
только к фигуре, у которой боковые поверхности не являются
плоскостями, а образованы двумя прямыми, каждая из которых
движется параллельно самой себе и одновременно скользит по
двум скрещивающимся прямым. Вряд ли, однако, в задаче
имеется в виду именно такая фигура. По-видимому, при
выборе числовых заданий составитель руководствовался главным
образом арифметическими соображениями и, конечно, не знал,
какая своеобразная геометрическая ситуация при этом могла
возникнуть.
Объем осадной земляной насыпи агатти вычисляется в
задаче № 1 таблички ВМ 85194 (Vs. 1-12) [36, 1, Ss. 143, 152,
165]. Выкладки текста, предпринятые для определения объема,
соответствуют формуле
ах + Ъх
+
а>г + Ъг \ hx +•
L 2 \ 2 1 2/2
здесь вместо одной высоты h уже фигурируют две высоты —
h\ и h2.
При числовых значениях, которые указаны в тексте: ах=
=1"30, 6,=1, а2=1, 62=0"30, /i,=6, /z2=4, /=10, получается
объем У=50. И эти величины с геометрической
точки зрения опять-таки выбраны не вполне удачно, так как
предполагают насыпь, у которой не может быть плоских
боковых стенок.
143

Интересен пример приближенного вычисления объема зем-
„ляной насыпи tamliatu в задаче № 4 таблички ВМ 85196 [36,
.2, Ss. 43, 47, 52J:
V
2
ал
+
а2 + &2
hi
1
2kus, a2=^-GAR, 6,=2Ш, i =
2
GAR, Л=6Ш).
Несомненно, имеется в виду пространственная фигура в
:форме клина (рис
bi
35; земляная насыпь tamliatu, задачи
№ 3 этой же таблички). Но в таком
случае последняя формула ошибочна:
вместо -L должно стоять ах.
Возможно, что указанная формула появилась
Рис. 35
Рис. 36
в результате рассмотрения насыпи tamliatu как частного
случая насыпи агатти, у которой /г,=0 и ЬХ=0Х. Ошибка
заключается в том, что при Я,=0 величина Ьх не может стать
равной нулю, ибо Ьх = ах\ следовательно,
CL\ -4-/7, <l\ 4- Oi
2 2 '_ ai' >
Еще одна приближенная формула объема фигурирует в
задаче № 1 той же клинописной таблички [36, 2, Ss. 43, 46,
50 ff.]. Так как толкование этой задачи спорно, приводим
полностью ее содержание (текст сопровождается рисунком):
«' Нос. 2 —- , длина, 2 GAR, ширина сза-
ди, 2 3 kus, глубина над водой, 6, глубина.
3 Что есть объем (земля)?
Ты:3 kus, глубину, и 6 сложи, и 9 ты видишь. 4
1
Т
(от)
9 отломи, 4"30 ты видишь. —, (от) 2, ширины, отломи, 1 ты
видишь. 5 4"30 на 1 умножь, 4"30 ты видишь. 4"30 на 2"30,
2
длину, умножь, 6 1ГЧ5 ты видишь. (от) П"15 отними,
3
1 См. формулу для определения агатти на стр. '143 данной книги.
144

3"45 ты видишь,—земля. 7 Остается 7"30—KIN из
тростниковых связок».
Итак1: длина «носа» /=2"30 GAR, ширина а=2 GAR, глубина
над водой /*=3 kus и глубина Я=6 kus.
Далее,
У = к-±Л.^-1= Ц-15,
2 2
где У—объем,
!/, = V—- V=3"45,
з
V2=V-(V-— V)=7"30,
3
где V! и V2~ еще какие-то два объема.
По мнению Нейгебауера, в задаче определяется объем
треугольного устоя быка моста (рис. 36; пунктиром отмечена
подводная часть), но при этом допущена ошибка,—в формуле
для V вместо суммы глубин h-\-H взята их полусумма
-4-^' Предположение об ошибочности вычислений делает
указанное толкование сомнительными
Тюро-Данжен считает, что в задаче по формуле
вычисляется объем прямой пирамиды с треугольным
основанием. Такую пирамиду можно получить в нижней части
призмы, проведя через правую верхнюю вершину и нижнее левое
ребро плоскость (рис. 36). Однако на основании выкладок
Рис. 37
текста получается не эта, а другая формула (см. выше). Если
последнее толкование задачи оказалось бы правильным, то
это свидетельствовало бы о том, что древние геометры
умели точно вычислять объем прямой треугольной пирамиды и,
следовательно, прямой пирамиды вообще. Можно было бы
говорить, что в одних случаях они пользовались
приближенными формулами объема пирамиды (и усеченной пирамиды),
в других—точными формулами. К сожалению, приведенное
выше толкование недостаточно обосновано и не соответствует
арифметическим выкладкам, имеющимся в тексте.
Ю А. А. Вайман
145

Глава VII
АЛГЕБРА
Наряду с арифметикой и геометрией алгебра составляет
один из наиболее существенных разделов шумеро-вавилонской
математики. Центральное место в ней занимают квадратные
уравнения.
Клинописными математическими текстами
засвидетельствованы решения следующих типов квадратных уравнений:
ах2 — с.
и)
ах2 -j- Ьх = су
(И)
ах2 — Ьх = с,
(III)
где а, Ь, с—положительные числа.
Квадратные уравнения типа
ах2 — Ьх = — с (IV)
в клинописных текстах не встречаются. Правда, известны
задачи на систему уравнений, которые могут быть решены лишь
при помощи квадратного уравнения этого типа, но все такие
задачи представлены только условиями.
Уравнения типа
ах2 + Ьх = — с (V)
не имеют положительных корней и поэтому в древности не
рассматривались.
Неполные квадратные уравнения
типа (I)
Квадратные уравнения ах2=--с решались методом ложного
положения, или, что в данном случае то же самое, методом
множителя пропорциональности. Так, если примем за ложное
значение неизвестного 1, то получим ах2=^аЛг=с. Разделив
1 Наиболее важные исследования по шумеро-вавилонской алгебре
выполнены Нейгебауером [9, стр. 209—217], Тюро-Данженом [50, pp. 71—76], Гандзом
£26, pp. 405-490], Выгодским [6, стр. 135—148], Раик [10, стр. 32—63].
10* 147'

По-видимому, в задаче рассматривается пространственная
фигура, как бы составленная из треугольной пирамиды и
треугольной призмы, причем И является высотой всей фигуры, а
/г — высотой ее надводной части. На рис. 37 показаны два
возможных варианта «носа»,—какой из них имелся в виду, сказать
трудно. Действительно, вычисление приближенного объема
такого сооружения по формуле, указанной в тексте,
представляется естественным. Что же касается У1 и У2, то Уь
очевидно, выражает объем земляной части «носа», a У2—объем
его тростниковой части. Интересно, что объем тростниковой
части сооружения обозначен как gi-sa («связка тростника») KIN.
Термин KIN, который оставлен нами непереведенным,
встречается и в других математических текстах, в которых
тростник не упоминается. Так, в задачах таблички VAT 8523 [36,
1, Ss. 373—380] говорится о каком-то сооружении, суммарный
объем которого (У=30) складывается из объема Vx=\0 и объе-
2
ма KIN, У2=20, причем и здесь У2 составляет -у от У. В
задаче № 17 таблички YBC 4673 [36, 3, S. 31] по
заданному объему V вычисляется объем У2 U-KIN и объем V{ safrar
(«земля»), для чего также используются соотношения
V2--V и Vj=—У.
3 3
Трудно выяснить назначение сооружения, которое в
тексте фигурирует как «нос». Возможно, что это пристроенная
к берегу и находящаяся вводе платформа, основание которой
из-за покатости дна должно иметь наклон по отношению к
горизонтальной верхней плоскости.

с на а, найдем число —=k2, на которое надо умножить
а
ложное значение х2, чтобы получить его истинное значение.
Следовательно,
x = \k= 1
В задаче № 13 клинописной таблички ВМ 13901 [36, 3, Ss.
3, 8, 11] заданы сумма площадей двух квадратов и
соотношение их сторон. Требуется вычислить стороны, у
Если искомые величины обозначить через Х\ и х2, то
условие задачи можно будет записать в виде системы
уравнений
х«,-+*»,=»28'20,
4
а ее решение, приведенное в тексте, таково:
11 f 28Л
2±- = 10,
+ 42
28'20
12 + 42
х2 = 4]/ -J2-*L- =40.
Метод решения этой задачи, очевидно, заключается в
следующем. Пусть хх=\ и #2—4—ложные значения неизвестных.
Тогда l2-f-42 будет ложной суммой квадратов. Разделив
истинную сумму на ложную, найдем квадрат множителя про-
порциональности k%— = Г40. а затем и £=10. Итак,
^,=1/2=1.10=10, х2 =46=4-10=40.
Решение задачи посредством исключения неизвестного х2
приводит к тем же арифметическим выкладкам, которые
встречаются в тексте, если не считать умножения 10 на 1.
Последнее действие с точки зрения этого метода не имеет
смысла.
Более сложные примеры приведены в табличке VAT 8390
[36, 1, Ss. 335-340; 11, стр. 11-14; 61, S. 59], в которой
зафиксированы две задачи одинакового содержания. Ниже
приводится текст одной из них (см. Vs. I, 1—Vs. II, 23):
; «'[Длину и ширину] я перемножил, и Ю'О—это площадь.
2 [Длину н]а саму себя я умножил, и3 площадь я сделал.
4[То], на что длина над шириной выдается5, (на себя) я
умножил и в 9 (раз) увеличил, и6 (это) как та площадь,
которая на саму себя7 умножена. 8Что (есть) длина и Ширина?
9 Ю'О, площадь, клади, и10 9, то, на что было увеличено,
клади.
148

11 Что есть корень квадратный из 9, того, на что было
увеличено? (Это) 3.123 для длины клади,13 3 для ширины
клади. 14'15 Относительно того, что он сказал: «то, на что длина
над шириной выдается, я умножил» —16 1 от 3, [что для}
ширины было положено,17 о[тним]и, 2 ты оставляешь,,й 2, чтч^
ты [остав]ил, для ширины клади.19 3, что ты положил для
длины, 20 на 2, что ты положил <для> ширины, умножь,
(это) 6. 21 Обратная величина от 6 (это) 0"10.- 220"10 на Ю'О,
площадь, умножь, Г40. 23 Что есть корень квадратный из 1 '40?
(Это) 10.2410 на 3,„ ч[то было положено для длины], умножь.
30—(это) длина. 2610 на 2, что было положено для ширины,
27 умножь. 20, (это) ширина».
Условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
xy^S (S=10'0),
(х — у)2 а=х2 (а=9),
где х—«длина», у—«ширина», а решение задачи в виде
двух формул:
х= Уал/ =30,
У ==(W-l)l/ — /- - =20.
Выкладки текста, отраженные в последних формулах, со:
провождаются комментариями, достаточно полно
раскрывающими метод решения задачи.
Так как (х—у)2а=х2, то (х—у) УТ=х. Примем
превышение «длины» над «шириной», т. е. х—у, равным 1. Тогда
ложным значением «длины» х_будет У~. Пусть, далее,
«ширина» равна «длине», т. е. У а одновременно является
ложным значением «ширины» у. Но «длина» превышает «ширину»
на 1, и, следовательно, ложным значением ширины должно
быть У~а — 1. Вычислив ложное значение ху, найдем величину
У а (>^—1). Разделив истинную «площадь» S на ложную
«площадь» ]/a (]/a—1), определим k2=— --, на кото-
Уа (Уа-\)
рое надо умножить ложную «площадь», чтобы получить
истинную «площадь». Вычислив k = i / ■—-—^ , найдем
V Уа{Уо.-\)
число, на которое надо умножить ложные значения сторон*
чтобы получить их истинные значения. Отсюда х = k\ а и
у = (\/а— \)k.
В строках 14, 15 и в самом начале строки 16 указано, что
за ложное значение разности х—у принята 1; в строках 12 и
149.

2, 3, 7, 10, 11]. Условие первой из них можно записать в ви-
\ де системы уравнений:
4+4=2Г15,
1
Х2 Х\ — __Х2,
а решение—в виде формул:
х{ = 6 |/"б2+72 — 3,
х2 = 7 |/Г^2^_72 ~ 3"30.
Для другой задачи соответственно:
Л;2 _|_ *2 = 5 = 28*15,
1
Х2 у Х2\
]
*2 = 7 = 3"30
(а:! и х2, как и x2i и х22, в тексте названы «квадратами»).
Решения этих задач не сопровождаются подробными
объяснениями, однако суть их ясна. Примем 1 в задаче №10 за
ложное значение разности х2— х{. Тогда ложным значением х2
будет 7, а ложным значением х{ будет 6. Вычислив ложную,
сумму квадратов неизвестных, найдем величину 62Jr72, а
разделив истинную сумму на ложную, получим квадрат множителя
21" 15
пропорциональности & = 62 - ?2) = 045. Отсюда k = 0"30 и,
следовательно, л;1=6& = 3, x2 = 7k = 3"30.
Интересно, что операция вычитания неизвестных в обеих
задачах сформулирована по-разному. Так, в задаче № 10 (Vs.
II, 12) написано: «Сторона квадрата для стороны квадрата одна
седьмая недостает». Это значит, что сторона одного квадрата
1
меньше стороны другого яа~у часть стороны второго
квадрата. В задаче № 11 аналогичное соотношение сторон выражено
иначе: «Сторона квадрата над стороной квадрата на одну седьмую
выдается», т. е. сторона одного квадрата больше стороны
второго на _L часть последней. Сущность указанного
различия станет понятна, если рассматривать эти задачи с точки зрения
их составителя. Возьмем два одинаковых квадрата со стороной 7.
Сторону одного квадрата (первого) уменьшим на 1, а сторону
другого (второго) — оставим неизменной. В этом случае соот-
151

13 четко сформулировано, что в качестве ложной «длины* и
ложной «ширины» взято 3; в строках 16—18 вычисляется
величина ложной «ширины», при этом учитывается, что
первоначальная ложная «ширина» равна 3, а ложная разность
сторон равна 1.
Так как за исходную ложную величину взята разность
х—у, то строки 14 и 15 как будто должны были
предшествовать строкам 12 и 13. Но содержание первых двух указанных
строк можно понимать гак, что в них говорится об
обстоятельстве, известном заранее.
Несколько странным выглядит введение первоначальной
ложной «ширины», равной 3, и определение последующей
ложной «ширины» путем вычитания из первоначальной
единицы. Проще было бы, приняв превышение ложной «длины»
над ложной «шириной» за 1, а значение ложной «длины» за
3, прямо вычислить значение ложной «ширины» посредством
вычитания единицы из величины ложной «длины». Здесь,
видимо, оказал влияние способ составления задачи. Составляя
задачу, древний математик, вероятно, сначала взял квадрат со
стороной, равной 3. Отрезав от «ширины» 1, он получил
прямоугольник, «длина» которого 3 превосходит «ширину» на 1;
следовательно, «ширина» прямоугольника равна 2. Затем он
выбрал множитель пропорциональности 10 и т. д.
В этой же табличке зафиксирована задача, отличающаяся
от первой только некоторыми особенностями второго
уравнения:
xy=S (5=10'0),
(Х_у)2а=у2 (а=4).
Аналогично и ее решение:
X = ( Va+ 1) |Д 1 = 30 ,
У (У* +1) v*
у = V*f/ =20.
У Va{Va + l)
Совпадают также отдельные формулировки. При
составлении задачи сначала был взят квадрат со стороной 2. После
прибавления к одной из сторон 1, получился прямоугольник,
«длина» которого опять превышает «ширину» на 1.
Несомненно, что метод ложного положения в алгебраических задачах,
так же как в задачах на треугольник и трапецию, связан со
способом их составления и идеей множителя
пропорциональности.
Об этом свидетельствуют и другие задачи клинописных
текстов и особенно № 10 и 11 таблички ВМ 85196 [36, 3, Ss.
150

ношение между сторонами удобно будет выразить так: сторона
первого квадрата, б = 7—1, меньше стороны второго квадрата, 7,
на_^- часть стороны второго квадрата (см. задачу № 10).
Если же сторону первого квадрата увеличим на 1, а сторону
второго опять оставим неизменной, то новое соотношение
сторон следует описать иначе: сторона первого квадрата, 8 = 74-
-f-1, больше стороны второго квадрата, 7, на _L часть
стороны второго квадрата (см. задачу № 11). Так, очевидно,
были подобраны исходные величины для сторон квадратов: 6 и
7, 8 и 7. Окончательные значения сторон были
установлены при помощи дополнительно выбранного множителя
пропорциональности k = 0"3Q = -~ . В результате получились
числовые задания 3 = 6-0"30, 3"30 = 7• 0"30 и 4 = 8-0"30,
3"30 = 7.0"30.
Итак, рассмотренные задачи на неполные квадратные
уравнения (количество примеров можно было бы значительно
увеличить), несомненно, решались арифметическим методом
множителя пропорциональности, или, иначе говоря, методом
ложного положения. На формирование указанного метода
должен был оказать существенное влияние способ
составления соответствующих задач, при котором окончательные
числовые задания получаются из предварительных, для чего
используется множитель пропорциональности.
Полные квадратные уравнения
типа (II) и (III)
Несколько видоизменив условия рассмотренных выше задач
на неполные квадратные уравнения, легко перейти к задачам
на полные квадратные уравнения. Поэтому естественно было
ожидать, что метод, применявшийся для решения неполного
квадратного уравнения, т. е. метод множителя
пропорциональности, будет распространен и на полные квадратные уравнения.
Как показывают источники, наши ожидания вполне
оправдываются. .
Так, в табличке Strssbg. 363 (Vs. 1 — 12) читаем:
«^Площади двух квадратов сложены, и это 0"16'40, (сторона)
2
одного квадрата (составляет) (стороны) другого квадрата.
3
20"10 от (стороны) малого квадрата отнято. Чему равны
(стороны) квадратов?
Ты твоими знаниями: 30"10 в квадрате, это дает 0"Г40. 0"Г40
от 0"16'40 отнято, и4это дает 0"15. 1 в квадрате, это дает 1. 040
в квадрате, 0"26'40. 51 и 0"26'40 сложено, это дает Г26'40 Г26'40
на 0"15 умножено, 6это дает 0"2Г40.0"40 на 0"10 умножь, и это—
152

0*6'40.70"6'40 в квадрате, это дает 0*0'44'26'40. 0"0'44'26'40 8к
0*2140 прибавлено, и это дает 0*22'24'26'40. 90*22'24'26'40
имеет корень квадратный 0"36'40. 0"6'40, что ты с собой
перемножил, 10 к 0*3640 прибавлено, и это дает 0"43'20. Что надо
положить с Г26'40, 11 что дает 0"43'20. 0*30 клади. 0*30 на 1
умножено, 0*30 — сторона большого квадрата. 120"30 на 0"4О
умножено, и это дает 0"20. 0"10 от 0"20 отнято, 0" 10 —
сторона малого квадрата» [36, 1, Ss. 243 — 248].
Условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
Х^^Хг (0"40=ф,
х2 = Х2 — о (5 = 0"10)
х\+ х\ = s * (s=0"i6'40).
Выкладки^ приведенные в тексте для вычисления
неизвестных, можно кратко записать в виде формул:
^, = 16 = 0*30,
■ ^2 = 0"40yfe = 0"20,
х2 = Х2- 5 = 0*10,
где
k = p + Q402 [ j/"0"40282 + (l2 + ОЧО2) (5 - 82)+ 0"408
:0"30.
Последнее выражение свидетельствует о том, что в задаче
решено квадратное уравнение типа (III):
2
(Р _j_0"402) k2 - 2-0*40 Ь k = S - 8
*
В этом же тексте имеются еще две аналогичные задачи.
В одной из них (Vs. 13 — Rs. 7) рассматривается система:
Х* = \ХХ (0"40 = ~),
x&=Xl + ll • (8,= СЮ),
. Х2 = х2 + Ъ2 (82 = 0*0*5).
*а + дав$ ' (S=0*37'5).
Неизвестные найдены по формулам:
= 16=0*30,
Х2 = 0*40 k = 0"20, 4
^ = ^, + 8! =0*40,
д;а = ^:2 + 82 = 0"25,
153

2'30. (от) 2'30 отломано, это Г15. 18Г15 в квадрате, это
Г3[3'4]5. 19 К З'/'ЗО'О прибавлено, это 3' [9' 3' 4] 5.20 Что есть
квадратный корень? 1345 — это квадратный корень. 21Г15,
что возведено в квадрат, к этому прибавь, 22 это 15'0.
Обратную величину от ЗО'О, ложной площади, образуй, это 0"0'2.
На 15'0 умножено. 0"30 — это начальный тростник» [36, 1, Ss.
311-314].
Рассматривается прямоугольник, ширина которого
измерена целым тростником, а длина —тем же тростником, но с
отломанным концом. Площадь прямоугольника равна 645 SAR,
ширина — 30 целым тростникам, длина — ГО укороченным
тростникам. Величина отломанной части тростника равна lkus =
-_—0"5 GAR. Требуется вычислить длину целого тростника. Если
обозначить искомую величину через х, то
[ГО (л'-0"5)]-30л- = 6'15.
В тексте длина тростника найдена при помощи вычислений
х=-^—Л/ (— Y -4-6'15-30'0 -f — = 0"30,
30' 0 V Л 2 ) - 2
что- соответствует квадратному уравнению
30'0х2-2'30* = 6'15.
Выполнив необходимые действия в первом уравнении, легко
проверить, что оно сводится ко второму; следовательно,
задача решена правильно. Древний математик при решении,
несомненно, воспользовался методом ложного положения. За
ложное значение неизвестного он принял 1, о чем сказано в
тексте: «Как тростник, которого ты не знаешь, 1 клади»
(строки 7, 8). При этом произведение Г0-1 = Г0 названо «ложной
длиной», произведение 30-1 — «ложной шириной», произведение
ГО-1 -30-1 = ЗО'О — «ложной площадью» (строки 9—12,15,
16). Таким образом, вычислив корень уравнения, математик
фактически нашел множитель пропорциональности & = 0"30,
а не само неизвестное х = 0"30. Чтобы получить истинное
значение величины тростника, нужно было дополнительно
умножить ложное значение 1 на & = 0"30, т. е. выполнить
действие 1-0"30 = 0"30 = л;. В тексте последнее действие
опущено, и числовое значение k принято за истинное
значение х.
В статье «Метод ложного положения и происхождение
алгебры» Тюро-Данжен несколько иначе толкует эту задачу
[59, pp. 71—77]. По его мнению, 1 обозначает неизвестное,
а произведение Ы'0 = Г0 («ложная длина») соответствует
члену ГО л; уравнения и коэффициенту ГО при неизвестном х;
1-30 = 30 («ложная ширина») выражает 30% в уравнении и
1 с*"

где
k =
l
p_j_o"402
является корнем квадратного уравнения типа (II):
(I2 4- 0"402) k2 + 2 (1 Ьх■ + 0"40 82) = 5 - (8J + 8|).
Судя по выражениям для Хх и Л^, естественно заключить,
что задачи решены методом ложного положения и величина
k является множителем пропорциональности. Так, примем 1
за ложное значение для Хх. Тогда ложным значением Х2 будет
2
~г • 1 — 0"40 (см. первое уравнение обеих задач). Умножим
ложные значения неизвестных на некоторое число k, так, чтобы Х{=
=\k, Х2 = 0"40&; следовательно, xx=\k -f- 8,, х2 = 0"4Q&4-82 (см.
второе и третье уравнения второй задачи). Подставив
последние значения неизвестных в четвертое уравнение, придем
к полному квадратному уравнению относительно k.
Хотя метод ложного положения и не позволил обойти
решение полного квадратного уравнения, применение его в
рассмотренных задачах вполне осмысленно.
Метод ложного положения, несомненно, должен был
облегчить создание плана решения задачи, что очень важно,
особенно если учитывать отсутствие у вавилонян
алгебраической символики. Кроме того, идея множителя
пропорциональности и ложной величины подсказывается действиями по
составлению задачи. Так, при составлении рассмотренных за-
2
дач сначала, вероятно, были взяты числа 1 и • 1 =0"40,
которые после умножения на & = 0"30 = -^- превратились в
Хх = \ .0"30 = 0"30 и ^2 = 0"40-0"30 = 0"20, и т. д.
Проанализируем задачу клинописной таблички Strssbg. 368.
«г Тростник я взял, его меры я не знаю. 21 kus я отломил,
1 шестидесяти, длину, я прошел. 3То, что я отломил, я
обратно приставил. 430 его (этого) я прошел. 66'15, площадь.
Что есть начальный тростник?
6 Ты своими знаниями: 7 ГО и 30 клади. (Для) тростника,
которого ты не знаешь, 81 клади, на 1 шестидесяти, что ты
прошел, 9 ты умножаешь, и ГО —это ложная длина. 10 30 на
это 1 умножено, 30 — это ложная ширина. 11 30, ложная
ширина, на ГО, 30, ложную длину, 12 умножено, ЗО'О —это ложная
площадь. 131, ЗО'О на 6'15, окончательную площадь, 14
умножено, и это З'7'ЗО'О. 150"5, что отломано, на ложную длину
умнажено, 16 это 5. 5 на ложную ширину умножено, 17 это
154

единицей, «длина» я = 0"30 — к другой фигуре absamikku,
полученной в результате умножения всех размеров первой
фигуры на к =0"30.
Итак, смысл задачи состоит в следующем. Имеется
геометрическая фигура, которая задана упомянутыми выше
обратными постоянными и «длиной», принятой за исходную
единицу. Заменив «длину» 1 «длиной» 0"30 и вводя тем самым
множитель пропорциональности & = 0"3'), получим новую
фигуру, подобную первой. В новой фигуре «длина» должна быть
равной /г = 0"30, диагональ — l"20k и площадь — 0"26'4062.
Приравняв сумму последних величин к Г'16'40, получим
квадратное уравнение, сформулированное и решенное в
рассматриваемом тексте.
Числа 1 («длина»), Г20 («диагональ») и 0"26Ч0 («площадь»),
которые при составлении задачи, несомненно, были
исходными величинами, в решении у.же должны были играть роль
ложных значений. Множитель пропорциональности k, при
помощи которого осуществляется переход от исходной фигуры к
•окончательной, является и окончательной «длиной», т.е. k = x,
так как начальная «длина», как исходная единица, всегда
равна 1. Таким образом, вычислив из уравнения величину
множителя пропорциональности k, древний математик мог
считать, что он одновременно нашел истинное значение
хотя для этого и не было произведено дополнительного
умножения 1 на k.
Содержание данной задачи весьма специфично. В ней
рассматривалась фигура, по-видимому, особенно интересовавшая
древних математиков, в связи с чем и были вычислены
характерные для нее обратные постоянные. Как уже говорилось выше,
если какие-либо размеры геометрической фигуры
рассматриваются как обратные постоянные, то один из ее размеров должен
играть роль исходной (или начальной) единицы, а переход к
другой, подобной ей, геометрической фигуре осуществляется
лри помощи множителя пропорциональности. Ниже будет
исследована задача более общего содержания, в которой тем
ле менее встречаются аналогичные явления.
В задаче № 1 таблички ВМ 13901 сказано:
«! Площадь и (сторону) квадрата я сложил, и это 0"45.
1, начальную, клади. 2 Половину (от) 1 ты отламываешь. [0"3^0
и 0"30 ты перемножаешь. 3 0" 15 к 0"45 ты прибавляешь, и 1
имеет 1 как квадратный корень. 0"30, что ты перемножил,
4от 1 ты отнимаешь, и 0"30 — это сторона квадрата» (36,3,
Ss. 1,5].
Квадратное уравнение сформулировано как равенство
суммы площади и стороны квадрата некоторому числу. Обозначив
-сторону через х, получим
х*-\-х = 0Ч5.
157

коэффициент 30 при неизвестном х\ 1 • ГО-1-30 = 304) («ложная
площадь») соответствует в уравнении ЗО'О х2 и коэффициенту
ЗО'О при х2. Такое объяснение ложных величин не вполне
согласуется с решением рассмотренных выше задач на
квадратные уравнения и предполагает некоторую путаницу в
представлениях древнего математика. Кроме того, оно имеет, по
нашему мнению, мало общего с методом ложного положения.
Так, если 1 обозначает неизвестное, то это такой же символ,
как, например, современное х или древнегреческое «вещь», а не
ложная величина.
Метод ложного положения в рассматриваемых задачах,
предусматривает определение числа (множителя
пропорциональности^), которое, будучи умножено на ложное значение
неизвестного, дает его истинное значение. Правда.$в
последней задаче заключительное действие умножения 1 на k
отсутствует, но это не меняет изложенной выше концепции метода
ложного положения. Ниже приведена задача из сузской
таблички Z [2, стр. 91 —92], в которой умножение 1 на k также
опущено, хотя из содержания задачи ясно видно, что древний
математик оперировал множителем пропорциональности.
В условии задачи сказано, что сумма площади некоторой
фигуры, названной absamikku, «диагонали» ее и «длины»
равна Г'16'40. Требуется вычислить «длину».
Решен и е:
«'О'^бЧО раз Г'16'40 составляет 0"34'4'26'40. 21, длина/и
Г'20, диагональ, сложи; это 2"20. 3 Половина 2"20, это 1"10.
4 Квадрат ПО, это 1*2140. 6 Г'21'40 и 0"0'344'26'40 дают
Г'5544'26'40. "Корень квадратный, это 1"13'20. 7 Отними НО
от И3"20, это 0"13'20. 8 Обратная величина от 0"26'40, это 2"15.
9 Помножь 2"15 на 0"13'20, это 0"30'°. 0"30 —это длина».
Записав это в современной символике, получим
Таким образом, в тексте решено квадратное уравнение
левая часть которого выражает «сумму площади, длины и
диагонали». Следовательно, «площадью» надо считать 0"26'40%2,
«диагональю»— \"20х и «длиной»—х. В тексте, однако, для
«диагонали» указано значение 1"20 (строка -2), а для «длины» — два
значения: 1 (строка 2) и х = 0 30 (строка 10). Чтобы
разобраться в этой кажущейся путанице, необходимо учесть, что0"2640—
обратная постоянная площади геометрической фигуры
absamikku, а Г'20 — обратная постоянная ее «диагонали». Ясно, что
«длина» 1 относится к этой же фигуре и является исходной
х =
0"26'40
2 + 0"2640-Г'16'40
1 4- Г'20
2
= 0"30.
0"26'40х2 + х + 1"20л; = И640,
156

Корень уравнения^найден в тексте посредством вычислений:
х==у (^-)2 + оч5 -i=o"30.
i
Определяя шестидесятеричное значение —- , древний матема-
тик делит пополам 1, которую он называет «начальной»
(wasitu; см. конец строки 1). Последняя величина, по-
видимому, свидетельствует о том, что при составлении
задачи был взят квадрат со стороной 1 и, следовательно,
площадью 1, из которого при помощи множителя
пропорциональности 0"30 был получен окончательный квадрат со
стороной 0"30 и площадью СПб. Вместе с тем «начальная» единица
при решении задачи уже должна была играть поль ложного
значения стороны и площади квадрата. «Начальная» единица,
встречающаяся в других сходных задачах таблички ВМ 13901
на квадратные уравнения (см. № 3, 4, 5, 6, 16, 23), очевидно,
должна быть истолкована аналогично.
Однако метод множителя пропорциональности не удается
выявить во всех без исключения задачах на полные
квадратные уравнения, которые встречаются в клинописных
математических текстах.
Например, рассмотрим задачу № 9 таблички ВМ 85200 4-
+ VAT 6599.
«Длина, ширина. То, что длина, это также глубина.
Выкопан объем. Площадь основания и объем ты должен сложить^
и это ПО. 0"20 — это ширина. Длина?
Ты: 0"20 на 12 умножь, 4 ты видишь. 4 на НО умножь,.
4"40 ты видишь. ~- (от) 0"20, ширины, 0"10 ты видишь. 0"Ш
возведи в квадрат, 0*1'40 ты видишь. 0'Т40 к 4"40 прибавь,
441'40 ты видишь. 2"10 — это корень квадратный. 0" 10, что ты
с самим собой перемножил, отнято, 2 ты видишь. Обратную
величину от 4 образуй, 0"15 ты видишь. На 2 умножь, 0"30 ты
видишь—длина. Таков способ» [36, 1, Ss. 195, 201, 212].
Обозначим «длину» через х, «ширину» — через у и
«глубину» — через z и запишем условие задачи в виде системы
уравнений:
z = \2x,
xyz + xy = \"\0,
у = 0"20
(х и у выражены в GAR, г — в kus, 1 GAR=12 kus).
Подставив во второе уравнение системы z = \2x и у = 0"20, получим
полное квадратное уравнение:
0w20-12a-2 J-0"20jc= Г'Ю,
158

положительный корень которого
х~ 1 fi/fi^y + 0-20.12.Г10 - .
0*20-12 [К \ 2 / 2
Выкладки текста совпадают с этим выражением для х. Каких-
либо указаний на то, что при решении задачи был использован
метод ложного положения, в тексте нет. Однако это не может
опровергнуть того, что метод ложного положения достаточно
широко применялся в рассматриваемом разделе алгебры. Все
дело в том, что в задачах на неполные квадратные уравнения
указанный метод играл существенную роль, а в задачах на
полные квадратные уравнения — только вспомогательную.
Системы уравнений канонического вида
Довольно много задач клинописных математических
документов посвящено системам уравнений так называемого
канонического вида:
xy = S, ) и xy=S, 1
х + у — a J х — y = b )
Для решения первой системы искомые величины на основе
второго уравнения выражались через третье неизвестное и:
а I
а
v = и.
2
Эти значения неизвестных подставлялись в первое уравнение:
или
»24f)2-s-
Отсюда
"=/(i)2-s
и, следовательно, 5
Аналогично поступали со второй системой:
х= tA ,
' 2
— t- —
159

подставлялись в уравнение xy = S:
<=/(т)'+5- ■'.
Величины —-и £ выражают полусумму искомых величин (среднее
арифметическое), а — и гг — их полуразность. Таким образом,
первая часть решения основана на тождествах:
v=x+y х~У
У 2 2 '
а
Итак, для первой системы по заданной полусумме неизвестных—*
> j>
и их произведению 5 отыскивалась полуразность неизвестных
и; для второй системы по заданной полуразности неизвестных
-у и их произведению 5 — полусумма неизвестных t. Зная
полусумму и полуразность неизвестных, уже можно вычислить
самые неизвестные. Таким образом, для решения указанных
систем несомненно применялся метод среднего
арифметического. Обратимся к текстам.
В задаче № 25 таблички ВМ 85200 + VAT 6599 [36, 1, Ss.
198, 205, 217] рассматривается система уравнений:
2 = /г = 3"20,
xyz = V = 274640,
х + у = а = 5"50,
где г—«глубина», л;—«длина», у—«ширина» и V— объем («земля»),
Решение:
Л'1- " ..,«••• !г-°
у J 2 _ \2"30 ,
160

где
j .
v
= 0"25 .
h
. Задача решена, несомненно, путем приведения заданной
системы уравнений к каноническому виду
V
ху =-—,
h
х 4- у =-а. ■
В задаче №24 [36, 1, Ss. 198, 205, 217] исходной системой
является
■ 2 = h = 3"20,
хуг = У=2Г46'40,
х — у = 6.
(Смысл величин х, у, z и V тот же, что и в предыдущей
задаче.)
Решение:
* у . J_ |3"20
у j -212"30,
где
' = К(т)г + т=2"55-
Решалась система уравнений канонического вида:
V
. ХУ ■ h ■
% — у = Ь.
Интересно, что в формулировке сложения и вычитания
величин t и -—- содержится указание на то, что t надо «по-
ложить два раза», т. е. значения неизвестных получены в
результате «отнимания» от одной полусуммы неизвестных t
их полуразности —- и «прибавления» указанной полуразности
к другой полусумме.
Этим же способом решены также задачи №16, 18, 26, 27,
29 и 30 указанной выше таблички [26, р. 405 et sUiv.]1.
В задаче таблички IM 53965 [15, р. 245] рассматривается
прямоугольник с площадью S = 4'10 и сторонами,
измеренными тростником неизвестной длины. Одна равна т—\'§
1 Нейгебауер считает, что в указанных задачах решены полные
квадратные уравнения; однако это не согласуется с некоторыми деталями
арифметических выкладок текста.
И А. А. Вайман " 161

целым тростникам, другая — п — 30 тростникам с отломанным
концом. Величина отломанной части Р = 0"5. Требуется найти
стороны прямоугольника.
Арифметические выкладки текста, предпринятые для
вычисления сторон, можно записать в виде формул:
X «= тх = 25,
Y =пу ==10,
где X и Y — длина сторон, х и у — длина целого и
укороченного тростника. Задача решена при помощи системы
уравнений канонического вида:
»S ■'irv
*У= ,
тп
х — у = Р,
причем первое уравнение получено из выражения1 (тх) (ny)=S.
В упомянутой выше задаче таблички Strssbg. 368 также
говорится о прямоугольнике, стороны которого измерены
целым и укороченным тростником, причем заданными являются
те же величины, однако определению подлежит лишь длина
целого тростника. В соответствии с этим решается полное
квадратное уравнение2 относительно х.
В табличке АО 8862 (11—29) имеется следующая задача:
«Длина, ширина. Длину и ширину я перемножил и
образовал (сделал) площадь. Опять то, насколько длина
превышает ширину, я прибавил к площади, и это З'З. Опять длину
и ширину я сложил, и это 27. Чему равны длина, ширина и
площадь?
27, З'З, суммы.
15, длина.
З'О, площадь.
12, ширина.
Ты твоими знаниями: 27, сумму длины и ширины, к [З'З]
прибавь, (это) З'ЗО. 2 к 27 прибавь, (это) 29. Половину от 29 ты
отламываешь. 14"30 раз 14"30, (это) З'ЗО" 15. От 3'30"15 ты З'ЗО
отнимаешь, 0"15 (это) остаток. 0"15 имеет квадратный корень
0"30. 0"30 к первому 14"30 прибавь, (это) 15, длина. 0*30.от
второго 14"30Лты отнимаешь, (это) 14, ширина. 2, то, что ты
1 Бруинс считает, что в этой задаче решены два квадратных уравнения:
S 5Ч
— Рх — , у2 -f Ру = .
тп тп
162
2 См. стр. 154 и сл. настоящего издания.

к 27 прибавил, от 14, ширины, ты отнимаешь, 12,
окончательная ширина. 15, длину, на 12, ширину, я перемножил: 15
раз 12 — это З'О, площадь. 15, длина, над 12, шириной,
насколько выдается? На 3 выдается. 3 к З'О, площади,
прибавь, З'З (это) площадь» [36, 1, Ss. 108, ИЗ, 118].
Решается система уравнений:
ху — y) = S = 3'3,
х -j- у = а = 27,
где х — «длина», у — «ширина» прямоугольника. Сначала
вычисляются значения «длины» х и новой «ширины» у':
. ;h^f2±/(^)4(S+.)^{;:,
а затем и «окончательная ширина»:
У = УГ — 2 = 12.
Величины х и у найдены, несомненно, из системы уравнений
канонического вида:
ху' = S -f- а,
х + у' = а 4- 2,
где
у' = У + 2.
Чтобы заданную систему уравнений превратить в
каноническую, сложим уравнения заданной системы; получим:
[ху + (х - у)].+ (х + у) = S + а,
ху -\- 2х = S -\- а, .
х(у + 2) = 5 + а.
Обозначив
У+2=у',
найдем первое уравнение канонической системы:
яу' = S 4- а.
Прибавив к левой и правой частям второго уравнения
заданной системы 2, получим
х4-у + 2 = а + 2,
или
х-\-у' = а-\-2>
т. е. второе уравнение канонической системы.
Арифметические действия, зафиксированные в
заключительной части задачи, предприняты для проверки результатов.
11*
г* г\

Здесь обращает на себя внимание то, что сумма площади и
разности сторон (величина S) названа площадью.
Задача № 12 таблички ВМ 13901:
«Площади моих' двух квадратов я сложил, и это 0"2Г40.
(Стороны) моих двух квадратов я перемножил, и это 0"Ю.
Половину от 0"21'40 ты отламываешь, и это 0"10'50. 0"10'50 и
0"10'50 ты перемножаешь, это 0"1'5746'40. 0"10 и 0"10
ты'перемножаешь. 0"1'40 от 0'Т57'46Ч0 ты отнимаешь, и0"17'46'40
имеет квадратный корень 04'10. 0"4'10 к первому 0"10'50 ты
прибавляешь, и 0"15 имеет квадратный корень 0"30. 0"30 — это
(сторона) первого квадрата. ОЧ'Ю от второго 0"10'50 ты
отнимаешь. 0"6'40 имеет квадратный корень 0"20. 0"20 —это
(сторона) второго квадрата» [36, 3, Ss. 3, 7, 12].
Решается система уравнений:
• • Xlx2 = F = 0"W, . ■
x2 + x22=:S = 0"2V40.
Неизвестные найдены при помощи следующих вычислений:
0 "20.
Последнее выражение свидетельствует о том, что для
решения заданной системы уравнений она предварительно была
приведена к каноническому виду:
у2 v2 р**
12 '
~\~ х^ S.
Действительно, используя уже известный способ, получаем:
5
х\ = V а (следовательно
2
"2
Далее,
х\ = — и (следовательно, х2 =
• Вычисляя (~2~) ' ДРевний математик допустил ошибку и
получил Для указанной величины 0"!'574640 вместо 0"Г57'21 '40,

что привело к неверному результату и для (~~) — F.
Однако величина и=0"4'10 все же оказалась правильной. Ясно, что
задача была решена самим составителем. Чтобы избежать
неприятной операции — извлечения квадратного корня, он
вычислил и по заранее известным ему значениям сторон хл
(или х2) и S. Например, и= х\ - — =0"15 ~0"10'50=-;0"4'10.
В задаче таблички АО 8862 (II, 33 - III, 20) [36, 1, Ss. 110, 11$,
119ff.] задана система уравнений: ■., .
*У + (%Ч- У)(х - у) = S = 1'13'20,
х + у = а=1'40,
где х — «длина», у — «ширина», ху — площадь прямоугольника.
Решение: ;
;}=f ±[-v(f)a + ^2-s) ы
If о
140
По-видимому, неизвестные были найдены следующим
образом. Пользуясь вторым уравнением, выразим х и у через
полуразность неизвестных и:
х = ---4- и,
2
а
Подставив в первое уравнение заданной системы значения
ху = (jy) —и2, х Аг у = а и х — у = 2и, получим
~?-)2-u2 + 2ati=S,
или
• и2-2au+S=(~-J
Следовательно,
и2 — 2аи Ar S +{а2- S)=f-~y + (а2 - 5),
а2 — 2аи Arti2= £ -|^)2 + (а2 - 5),
ч
(а-«)•=.(-§-)*'+(e'-S) ,
*-«=\/(.i)a+<02-s> •
16&

Итак,
u=a-^J (-§-)" + (<*2-S) . .
Подставив значение и в записанные выше выражения для х
и у, получим окончательное решение задачи, полностью
совпадающее с арифметическими выкладками текста.
Следует обратить внимание на ряд обстоятельств.
Во-первых, исключив из заданной системы неизвестное х, можно
сразу прийти к полному квадратному уравнению типа (И)
У2 + ау-а2- 5>0,
которое неоднократно встречается в клинописных текстах.
Тем не менее задача решена иначе. Очевидно, метод,
основанный на свойстве среднего арифметического двух величин,
был предусмотрен уже при составлении задачи. Во-вторых, в
результате введения нового неизвестного и, выражающего
полуразность искомых величин, получается полное квадратное
уравнение типа (IV). Действительно (см. выше):
и, следовательно,
и2 — 2аи= [(-|-) 2— S1 < 0.
Однако в тексте решено не это уравнение, а тождественное
ему:
u2-2ati + 5 = (-|-)2,
левая часть которого дополнена до квадрата разности а и и
посредством прибавления положительного числа а2 — 5.
Таким образом, можно утверждать, что фактически в тексте
решен вариант полного квадратного уравнения типа (III),
который можно выделить в особый тип (Ilia). В-третьих,
приведенное выше уравнение имеет два положительных корня; однако
древний математик вряд ли мог об этом знать. Ведь надо
учитывать, что и, очевидно, воспринималась конкретно как
положительная полуразность искомых величин, а не чисто
формально, как дополнительно введенное неизвестное. Вместе
с тем а является суммой искомых величин и, следовательно,
а^>и. Поэтому второе значение корня для и неприемлемо.
В задаче №8 таблички ВМ 13901 [36, 3., Ss. 2, 7, 12]
рассматривается система уравнений:
х\ + 4=5=0*2140,
*1+я2 — # — 0"50,
где х{ и х2—стороны двух квадратов.
166

Арифметические выкладки текста для определения
неизвестных соответствуют формулам:
х,\ 2 _ V 2 V 2 ) 1 0" 20.
Решение задачи, как видно из последних формул,
основано на тождестве:
^ *i + *2 J _|_ ^г — х2 j _^ х
1 ~ь xi
Действительно, подставив в это тождество значения полусум-
а S
мы неизвестных—и полусуммы их квадратов—-, получим ква-
дратное уравнение относительно полуразности неизвестных и:
Xi) а ,
В задаче №9 [36, 3, Ss. 2, 7, 12] аналогичная система
уравнений
x]Arxl=S = 0"2V40,
Х\ — х2 == b = 0"10
решена тем же способом. Разница состоит в том, что
полуразность т— — заданная величина и приходится решать неполное
квадратное уравнение относительно полусуммы.
Более сложная система уравнений встречается в задаче
№19 [36, 3, Ss. 4, 9, 12]:
х\ + х1 + (*, - х2)2 = 5 = 0"23'20,
*i + ^2 = & = 0"50.
К сожалению, сохранились только записи условия и одного
арифметического действия — образование 25, тем не менее
ясно, что решение задачи основывалось на тождестве
(*i + *ъУ + {хх - х2у = 2{х\ + х\).
Подставив в это тождество значения суммы неизвестных
(см. второе уравнение) и суммы квадратов неизвестных (см.
167

первое уравнение) и обозначив разность неизвестных через
и, получим
а3 + «3 = 25 — 2а2. '
Отсюда
Зк2 = 25 —а3
и, следовательно,
и
у
25-д2
Неизвестные хх и х2 находим из системы:
Х± ^2 —
Квадратные уравнения и алгебраические
преобразования
Главное место в решении полного' квадратного уравнения
и системы уравнений канонического вида занимают
математические преобразования, вытекающие из формул квадрата
суммы и разности двух величин и произведения суммы двух
величин на их разность:
(х ± у)2 = х2 ± 2ху -f у2,
(х + у)(х — у) = х2 — у2.
К сожалению, у нас нет прямых данных, которые
говорили бы о том, как были получены эти формулы и как
осуществлялись соответствующие им преобразования. Наиболее
правдоподобна геометрическая гипотеза, которая может быть
подкреплена некоторыми косвенными
наблюдениями^ Согласно этой гипотезе, по крайней
мере первоначально, полные квадратные
уравнения, как и система уравнений
канонического вида, решались геометрически [4,
р. 97]. Так, полное квадратное уравнение
типа [II]
x2 + Ax = S
может быть истолковано как площадь 5
прямоугольника, сложенного из квадрата с
площадью х2 и прямоугольника с площадью Ах (рис. 38). Попытаемся
превратить исходный прямоугольник в квадрат. От верхней части
_ а
исходной фигуры отсечем прямоугольник шириной — и прило-
жим его к правой стороне исходной фигуры. В результате преоб-
Рис. 38
168

разования получим квадрат со стороной х -\- _, площадь которо-
2
го больше площади исходного прямоугольника на (—)2. Отсюда
^ + ^ + (т)2=(^т)г=^(т)2-
или
и
* + T = J/ * + (if
Аналогично может быть геометрически истолковано
решение полного квадратного уравнения типа (III):
х2 — A*=S (рис. 39), ... '
Но решить подобным способом уравнение типа (IV)
ах — х2 = S
уже невозможно (рис. 40). В самом деле, при попытке
преобразовать исходный прямоугольник в квадрат пришлось бы рас-
У
а
2
i
а
X
X
X
1
. У
Рис. 40
Рис. 41
сматривать дополняющий квадрат, сторона которого — = ——-
\ 2 2
неизвестна. Таким образом, согласно геометрической
гипотезе, вполне объяснимо отмеченное ранее отсутствие в
клинописных текстах достоверно засвидетельствованных решений
полных квадратных уравнений указанного типа. Это не
означает, конечно, что последнее уравнение вообще нельзя
решить геометрическим способом. Ведь решение уравнения (IV)
можно свести к задаче по определению длины х и
ширины у прямоугольника с заданной площадью S и заданной суммой
сторон а. Но тогда речь должна идти не о полном
квадратном уравнении типа (IV), а о системе канонического вида:
ху = S,
х±.у==а. ■ л

Геометрическое истолкование решения этой системы не
вызывает затруднений (рис. 41). Если от верхней части
прямоугольника, стороны которого х иу, отсечем заштрихованный
прямоугольник и приложим его к боковой стороне исходной
фигуры, то получим новую фигуру с той же площадью S, а именно
квадрат со стороной 4
2 ' 2 2 2
у которого недостает квадратика со стороной —. Итак, площадь
2
или
Следовательно,
_д \2
~2
2
Неизвестные вычисляются из соотношений
а , л
x = ,
2 2'
У~ 2 2*
Одновременно выводим формулу сокращенного умножения
суммы двух величин на их разность
ху =
(т+т)(т-т)-(т)-(т),:
Аналогично решается геометрически и система уравнений
канонического вида:
xy = S,
х — у = д.
По-видимому, аналогично поступали древние математики
при определении площади трапепии1. Речь идет о таком
преобразовании, когда от одной и той же фигуры сначала
отнимается, а затем к ней опять прибавляется одна и та же ее
часть, в результате чего очертания фигуры должны
измениться, а площадь—остаться прежней. Существенную роль играет
соотношение величин, основанное на понятии среднего
арифметического, которое, очевидно, и появилось в связи с такого
рода геометрическими преобразованиями2.
1 См. стр. 125 настоящего издания.
2 См. стр. 99 и сл. настоящего издания.
170

Вероятно, сама идея составления задач на квадратные
уравнения возникла в связи с попыткой преобразовать прямоугольник в
равновеликий квадрат, и эта же попытка привела к открытию
упомянутых уже формул сокращенного умножения. Это,
конечно, не означает, что и при последующем развитии
рассматриваемой области математики при решении полных
квадратных уравнений всегда использовались какие-либо наглядные
средства — геометрические рисунки или соответствующие
модели. Благодаря накоплению навыков рассуждения можно
было производить исключительно в уме, хотя в основе их,
очевидно, всегда лежали определенные геометрические
штампы, определенные геометрические аналогии. Под
геометрическими штампами здесь подразумевается нечто похожее на
наши алгебраические выражения, однако более сложные по
структуре в связи с конкретностью содержания. Так,
обратимся еще раз к системе уравнений канонического вида:
xy = S,
х + у = а
и ее решению <
;)=т:
Арифметические выкладки клинописных текстов для
определения неизвестных такой системы точно соответствуют
последнему выражению. Однако нельзя утверждать, что
древний математик механически подставлял заданные величины в
эту формулу. Во-первых, он, по-видимому, не имел формулы, а
знал другую, сходную -задачу, по аналогии с которой и
действовал. Во-вторых, он помнил конкретное содержание
отдельных величин, например, что ——полусумма «длины» и
«ширины», а у = 1/ (~2~~) — ^ ~~ их полУРазность; КР°"
ме того, он учитывал, что фактически фигурируют две полусум-
а
мы -9-, и если от одной и? них отнять полуразность и прибавить
ее к другой, то будут получены значения «длины» и «ширины».
Соответствующие пояснения, сопровождающие
арифметические выкладки по определению неизвестных, встречаются во
многих клинописных текстах.
В большинстве задач полное квадратное уравнение или
система уравнений канонического вида не заданы
непосредственно, а получаются в результате предварительных
преобразований некоторых соотно пений, сформулированных в
условии. Мыслились ли эти преобразования геометрически,
арифметически или отвлеченно, алгебраически, установить трудно.
171

Но в отдельных случаях все же удается найти определенные
указания на геометрический образ мышления. Так, в первой
задаче таблички АО 8862 система уравнений
ху -f (х — у) — 5,
х -f- у = а
была преобразована в систему уравнений канонического вида;
ху' = S + а,
* -f у' = а -J-2;
при этом х в тексте названо «длиной», у — «шириной», ху —
«площадью». Однако новое неизвестное у' = у4-2 тоже
названо «шириной», а при проверке правильности решения
задачи величина 5 названа «площадью»1. Следовательно, не
только ху', но и S (сумма «площади» и «превышения длины
над шириной») воспринималась как «площадь». Очевидно,
можно утверждать, что в этой задаче заданная система
уравнений была преобразована в систему канонического вида на
основе определенных геометрических представлений.
Однако решение задачи № 12 клинописной таблички ВМ
13901 уже не может быть полностью осмыслено
геометрически2. В задаче рассматривается система уравнений
Х\Х% = F,
X 2 -j- Х2 ~ $1
где Х\ и х2 — стороны двух квадратов. Арифметические
выкладки тек^ та свидетельствуют о том, что задача была
решена при помощи системы уравнений канонического вида:
yiy2 = /72,
yi-fy2 = 5,
где
Ух=х\
и
У2=Х$.
Так как две последние величины обозначают площади квад
ратов, то произведение yiy2 уже не может рассматриваться
как площадь. Однако в данном случае справедливо
следующее рассуждение. Примем значение площади х\ 33 Длину ух
некоторого прямоугольника, а значение х\ — ъъ ширину у2
этого прямоугольника, тогда уху% будет выражением его
площади, а ух -\- у2 = F — суммой его сторон.
Имеются и такие задачи, в которых не только решения,
но даже условия не могут быть осмыслены геометрически,
1 См. стр. 162 и сл. настоящего издания.
2 Там же, стр. 164 и сл.

хотя в них и использованы геометрические понятия. Так, в*
сузской табличке D [14, р. 17 et suiv.] решается система
уравнений
ху = 5,
x2xz = V,
где х — «длина», у — «ширина», z — «диагональ»
прямоугольника и, следовательно,
х" -Ь у2 = z2.
Второе уравнение означает, что произведение «площади»
квадрата, сторона которого равна «длине» прямоугольника, «длины»
и «диагонали» равно V. Ясно, что V геометрически толковать
нельзя.
Подавляющее большинство задач на квадратные уравнения
сформулированы в геометрических терминах. Однако
встречаются алгебраические задачи, в которых заданные и искомые
величины ничего общего с геометрией не имеют, например
задачи №3 и 4 таблички VAT 8528 [36, 1, Ss. 509 ff., 512 ff.]
и задача таблички Р, найденной в Сузах [14, р. 23]. Во всех
трех задачах рассматриваются системы уравнений
канонического вида:
* ху = 5,
х -f- у = а.
В первых двух искомые величины х и у означают
соответственно количество рабочих и рабочее время, а в
третьей—количество масла, покупаемого за 1 gin серебра и
продаваемого за 1 gin серебра. (В этой задаче говорится о торговой
операции, при которой масло продается по более высокой
цене, чем покупается.)
Интересно, что произведение ху в первых двух задачах
может быть осмыслено арифметически, так как означает
количество человеко-дней. В третьей задаче указанное
произведение должно рассматриваться только как алгебраическое
выражение. Но не исключено, что, решая эти задачи, древний
математик мог условно принять число х за «длину»
прямоугольника, а у — за «ширину» и тем самым перейти к
привычным для него геометрическим представлениям.
Хотя такое предположение и кажется вероятным, все же
нельзя не увидеть, что древние математики пришли в своих
задачах к весьма существенным алгебраическим обобщениям.
Особенно убедительно об этом свидетельствуют большие
клинописные сборники алгебраических задач.
173

Алгебраические сборники1
Опубликованы большие клинописные алгебраические
сборники, в которых содержится иногда более ста задач в
каждом. Как правило, в них приводятся только условия задач,
а решения отсутствуют. Часто несколько таких текстов
объединяются в серии, й тогда на отдельных табличках
проставляются порядковые номера. Интересна структура этих
математических текстов. В каждом сборнике содержится несколько
групп однотипных задач, причем внутри группы полностью
сформулирована только одна задача, а для остальных,
которые являются вариантами первой, даны лишь необходимые
указания на их различия с основной. Ниже приведена
начальная часть одного алгебраического сборника, представленного
клинописной табличкой YBC 4711 [36, 3, S. 45 ff].
1
/
[Пло]щадь 1 ese. Длина [1] раз увеличена.
ху = Ю'О
2
[ширина] 4 раза увеличена,
3
то, на что длина над шириной выдается,
[2 раза увелич]ено,
4
сложено, — этого,
13
5
[4]5 прибавлено, этого
6
к длине прибавлено, и 35.
7
Длина, ширина этого сколько?
2
8
2 [раза] увеличено, длина, прибавлено, и 40,
x + 2f =
40
3
9
Из длины отнято, и "2[5].
х-f -
4
10
2[раза] увеличено, и отнято, 20.
х — 2f =
20
5
11
[б раз] увеличено, и длина.
6/ =
X
6
12
8 раз увеличено, и над длиной 10 GAR
[вы8/ —* =
10
дается].
7
13
[8] ра[з] увеличено, и к длине 10 GAR
недо8/ - х =.
10
стает.
8
14
К шир[ине] прибавлено, и 25.
У + / =
25
9
15
2 раза увел[ичено, и 30].
У +2/ =
30
10
16
[Ширина, отнято, и 15].
y — f =
15
11
17
[2 раза увеличено, отнято и 10]. ,
у -2f =
10
12
18
[4 раза увеличено, и ширина].
4/ =
У
13
19
[6 ра]з увеличено и 1[0 GAR выдается].
6/ - у ===
10
14
20
[Дли]на, ширина, прибавлено, и 5[5].
= 55
J5
21
2[ра]за увеличено, прибавлено, и 1.
(X
-f- у) + 2/
= 1
16
22
Длина, ширина, отнято, и 45.
{x + y)-f
= 45
17
23
2 раза отнято, и 40.
= 40
18
24
[10 раз увеличено, длина], ширина.
12/
Ю/ = х +
У
19
25
[12 раз увеличено, и] 10 GAR выдается.
— (х + У)
- 10
20
26
Длина, [ширина, 12 раз увеличено], 10 GAR
12/
- (х + У)
= 10
недостает.
Обозначив «длину» через х, «ширину» через у, получим
уравнения, записанные с правой стороны текста. В первой
задаче полностью сформулирована система уравнений
ху^Ю'О,
х +/=,35,
174

где
11
l
(45 +-j-[2 (х-у) + 4y + *]j
причем первое уравнение системы и выражение f относятся
ко всем остальным 19 задачам — как бы вариантам первой.
Указанная группа задач разделена на подгруппы, в которых
задачи различаются только значением коэффициента при f.
Первая задача каждой подгруппы сформулирована полнее
следующих. Значения неизвестных всех задач одинаковы: х = 30,
у = 20, из чего следует, что / = 5.
В этом же тексте есть еще четыре группы задач, которые
почти полностью совпадают с первой. Различаются они лишь
выражением для f. Так, в третьей группе, судя по ее главной
задаче С 18,
при этом опять х = 30, у = 20. Последние значения
неизвестных действительны для всех задач этой таблички, а также
для подавляющего большинства алгебраических задач
клинописных текстов.
- Описанная выше структура алгебраических сборников
объясняется, очевидно, стремлением поместить как можно больше
задач на одной табличке и сэкономить труд, необходимый
для оформления записей. Так, если бы каждая из указанных
20 задач таблички YBC 4711 была сформулирована полностью,
то они заняли бы около15$ строк вместо 26, т. е. было бы
затрачено в шесть раз больше писчего материала и соответственно
труда. По-видимому, также в целях экономии в
алгебраических сборниках употреблялись лишь шумерские идеограммы,
не имеющие грамматических показателей. Идеографическая
форма записей встречается и в других клинописных текстах
(частично рассмотренных в предшествующих разделах книги),
но там они сочетаются с полной слоговой записью слов,
которая иногда даже преобладает. Применение в алгебраических
сборниках только идеограмм благоприятствовало некоторой
формализации средств выражения, так как идеограмма,
обозначающая математический термин в задаче алгебраического
содержания, напоминает алгебраический символ1.
Однако это не настоящие математические символы.
Использование идеограмм в алгебраических сборниках было,
по-видимому, вызвано, как мы только что отмечали, отнюдь не
потребностями математики, а соображениями экономии писчего
материала и труда. Кроме того, шумерские идеограммы применяют-
1 Нейгебауер склонен усматривать в идеографическом способе записи
задач своеобразную алгебраическую символику [9, стр. 84 и сл.].
11
(* + у + 5) = 5,
175

ся в сборниках также для обозначения понятий, не имеющих
математического содержания, а некоторые чисто
математические выражения, записанные идеографически, не могут быть
адекватно переведены на современный язык алгебры.
Последнее обстоятельство заслуживает более подробного рассмот*
рения.
Попытаемся проанализировать содержание отдельных терми-"4
нов, встречающихся в извлечении из текста YBC 47111. Для
обозначения умножения используется только термин
«увеличить». Однако это не значит, что данный термин может быть
точно переведен соответствующим современным символом.
Употребляя термин «увеличить» для умножения f на 2, 6 и т.д.,
автор текста действительно хотел сказать, что f увеличивается в
2, 6 раз и т. д. Если бы f умножалось на х, у или (х ± у), был бы
использован термин «кушать» или «умножить» (см., например,
табличку YBC 4668, задачи № В 1 — 10). Такое различие в
содержании терминов, зависящее от существа умножаемых величин,
не укладывается в понятие алгебраической символики и не
может быть переведено на современный язык алгебры.
Для сложения в рассматриваемом тексте употребляются
два термина: «складывать» и «прибавлять». Первый]«зстречает-
ся в задаче № 1 и применяется для образования суммы (см.
строку 4). В целях экономии в задачах № 14 и 18 термин «складывать»
выпущен, и вместо «длины и ширины сложено» стоит «длина,
ширина». Во всех указанных случаях слагаемые, очевидно,
рассматриваются как равноправные величины. Термин
«прибавлять» выражает увеличение некоторой основной величины, а
именно: «длины», «ширины» или суммы «длины» и «ширины»,
на вспомогательную величину f или 2/. В данном случае,
очевидно, было небезразлично, большая ли величина
прибавляется к меньшей или наоборот. Автор знал, что л; = 30
больше f = 5 и, следовательно, образуя сумму x-\-f, только
вторую величину можно «прибавить» к первой (см. задачу № 1,
строку 6). Таким образом, выражение операции сложения
содержит такие детали, которые не согласуются с
пониманием соответствующих идеограмм как алгебраических
символов.
К аналогичным выводам мы придем, анализируя
термины вычитания. В тексте встречаются все три термина:
«отнимать», «превышать» и «недоставать». Первый
применяется для уменьшения «длины», «ширины» или суммы «длины»
и «ширины» на величину / или 2/ и является отрицательным
эквивалентом термина сложения «прибавлять». Термин
«превышать» используется для образования разности «длины» и
«ширины» (см. задача № 1), которые, как уже отмечалось,
выступают как равноправные величины. Указанный термин упот-
176
1 См. стр. 174 настоящего издания.

реблен далее для выражения разностей 8/ — х = 10, 6/ — у —
= 10 и \2f — (x -j-j/) = 10 (см. задачи № 6, 13, 19).
Следовательно, равноправными являются и величины 8/ и х, 6/ и у,
12/и х-\-у. Однако, характеризуя эти величины как
равноправные, мы выражаемся весьма неопределенно. Дело,
видимо, в следующем. Пусть х = 30 —- исходная величина.
Уменьшив ее на вспомогательное число/ = 5 (термин
«отнять»), получим 25 (задача № 3), уменьшив л: = 30 на
вспомогательное число 2/=2-5 = 10 (термин «отнять»), получим 20
(задача Х°4). 6f = 6 • 5 = 30 = х (задача № 5); 8f = 5 • 8 =40
больше # = 30 на 10 (задача №6). Очевидно, таковы были
рассуждения автора текста. Увеличивая вычитаемое, автор текста
сначала нашел равенство 6/= х, а затем — превышение 8f над л:.
Интересно,' что, зафиксировав последний результат в виде
отдельной задачи, древний математик вслед за этим привел
другую формулировку соотношения величин 8/ и в которой
уже фигурирует термин «недоставать» вместо «превышать»
(задача № 7). Составитель, очевидно, хотел подчеркнуть, что
соотношение величин 8/ и х может быть сформулировано двояко:
8/ «превышает».л: на 10, и х «недостает» 10, чтобы сравняться с 8/.
Итак, лаконичные записи задач в больших математических
сборниках только внешне могут быть сопоставлены с
алгебраическими символами. По существу это своеобразная форма
«телеграфного» стиля, рационально используемая для записей
больших серий алгебраических задач.
В алгебраических сборниках собраны задачи на систему
уравнений с двумя, тремя, а иногда и четырьмя
неизвестными. Эти задачи могли быть решены или в результате
приведения к системе канонического вида, или к неполному
квадратному уравнению, или к полному квадратному уравнению,
имеющему по крайней мере один положительный корень.
Хотя на первый взгляд алгебраические сборники сильно
напоминают школьные задачники, целиком отождествлять их с
указанным видом учебных пособий все же будет
неправильно. Например, многие задачи сборников сформулированы
настолько неопределенно, что другие лица, кроме автора, вряд
ли могли в них разобраться. Некоторые же типы задач,
помещенные в сборниках, вавилонянами, по-видимому, не решались.
Таковы, в частности, задачи на квадратные уравнения типа (IV).
В качестве иллюстрации рассмотрим задачи № 37—47
таблички YBC 4668 [36, 1, Ss. 427, 428, 440, 441, 455].
37 // [Площадь 1] е§ё. xy=W0
12 Площадь суммы длины и ширины,
13 то, что длина над шириной выдается,
14 [2 раза увеличено, прибавлено], и 1'1'40. (х-\-у)2-\-
+2'0(*-у) = 1'1'40
38 15 [Площадь сум]мы длины, ширины, (х -f-У)2 —
- 1'<)(*-/) =31'40
16 [отнято, и] ЗГ40.
12 а д rauuan

тельно, составлено выражение, в котором одна величина
вычитается из другой; является ли вычитаемым квадрат суммы
неизвестных или их разность, об этом ничего не сказано.
Конечно, автор сборника четко представлял себе то, о чем
он писал, однако всякое другое лицо, которое захотело бы,
например, решить рассмотренную задачу, должно было бы
прежде всего заняться ее расшифровкой. Системы уравнений,
которые так неясно сформулированы в тексте в общем виде,
могут быть записаны следующим образом:
xy = S = \0'0<
. А(х + Уу + В{х-у)=С.
Первое уравнение одинаково для всех задач, второе —
различается значениями А, В и С.
Используя метод, который мог быть известен вавилонским
математикам, решим эту систему. Введем два новых
неизвестных и и v следующим образом:
х-\-у=и9
x—y=v.
Так как ■— полусумма неизвестных, —- — их полураз-
ность, то
а—v
Подставив последние значения неизвестных в первое
уравнение заданной системы, получим
u1 —v- о
или
Подставив значения суммы и разности неизвестных,
выраженные через а и о, во второе уравнение системы, получим
Au2 + Bv = С.
Используя последнее и предпоследнее уравнения, можно
записать полное квадратное уравнение;
Av2+Bv+4AS=C.
Вычислив v, найдем,, далее,
12*
179
а затем х и у, как полусумму и полуразность а и v\ При
положительном А в зависимости от знаков В, С и С — 4AS
1 Толкование Беккера [36, 3, S. 62].
1

39 17 [2 раза увеличено, отнято, 2Г40. (х+у)2—
—2'0(х—у)=21'40
40 18 4'10 раза увеличено, и А'Щх — у) ~
= (х+уГ
0(х - у) -
(х + у)* = 18^20
19 площадь суммы длины, ширины.
41 20 6 раз увеличено, и 6'0(х — у) —
21 над площадью суммы длины, ширины
22 18'20 выдается.
42 23 2'30 раза увеличено, и (х-\-у)2 —
—2'30(л-—у)=16'40
-2^ 1640 недостает.
43 25 Площадь 1 ese, ху = Ю'О
26 То, что длина над шириной выдается, 2(х-{~у)2 —
— У0(х — у)=
= 1'13'20
27 2 раза площади суммы длины и ширины,
28 отнято 1'13'20.
44 29 2 раза увеличено, 1'3'20 2(х+у)2 —
- 2Щх - у) =
= 1'3'20
45 30 -~ площади суммы длины и ширины, V0(x— у) —
_4(* + у)2=1'40
31 то, что длина над шириной выдается, "
32 Г40, площадь, недостает.
33 Длина, ширина этого сколько?
46 34 _L площади длины, ширины то, что длина (д: + у)2 -Ь
5 5
+ 1'0(л:-_у)=18'20
над шириной выдается, [прибавлено, и] 18'20.
47 зз площади суммы длины и ширины, _1- {х-\-у)2-\-
-\-V40=V0(x-y)
36 и Г40, то, что длина над шириной выдается.
37 Длина, ширина этого сколько?
Системы уравнений, которые имел в виду автор сборника,
записанные нами с правой стороны текста, не вытекают прямо
из формулировок задач, а устанавливаются путем
предварительного анализа, основанного, в частности, на знании корней
х = 30, у = 20. Рассмотрим, например, задачу № 43. В строке
25 задано первое уравнение системы ху = 1 ese = Ю'О GAR2
(х — «длина», у — «ширина», ху - - «площадь») — здесь все
достаточно ясно. В строке 26 сформулировано как будто
выражение х—-у, а на самом деле имеется в виду Г0 (х — у), а во
второй половине строки. 27 составлено выражение (х-{-у)2.
В первой половине этой же строки написано «2 раза», что с
равным правом может относиться к квадрату суммы неизвестных,—
и тогда будем иметь 2 {х + у)2, и к разности неизвестных,—тогда
получим 2(х — у); в действительности имеется в виду
выражение 2'0 (х — у). В строке 28 читаем «отнято», следова-
178

№
задачи
Уравнение
Тип
37
46
o2-f2'0u=21'40
о=4-5'0о=5Г40
(Н)
38
39
42
43
44
у2_1'0и4-40'0-=31'40
у2_2'0у4-40'0=21'40
t)2—2'30o + 40'0=:lb'40
D2_ 1'0о4г40'0=36'40
у2_1'0У4-40'0 = 31'40
(Ша)
40
41
45
47
Уа-4'10и= —40'0
г>2_ б,0о- —58'20
с/2-5'0»= -48'20
г;2—5'0у= - 48'20
(IV)
Из квадратных уравнений, приведенных в таблице,
вавилоняне решали, по-видимому, только те, которые относятся
к типам (II) и (Ша), решение уравнений типа (IV) клинописными
текстами не засвидетельствовано1. Составляя серию сходных
задач, отличающихся друг от друга лишь некоторыми
особенностями условия, автор алгебраических сборников, очевидно,
не всегда мог предвидеть, какие именно квадратные уравнения
получатся в конечном счете. Так, в начальной задаче (№ 36)
рассмотренного выше отрывка, текст которой почти
полностью разрушен, вероятно, была сформулирована система
уравнений:
Чтобы вычислить корни этой системы, предварительно
надо решить квадратное уравнение типа (II) относительно
нового неизвестного v. В задаче № 37 сформулирована такая же
система уравнений, но коэффициентом при разности
неизвестных уже является не ГО, а 2'0; соответственно меняется
значение СИ в этом случае приходится решать квадратное
уравнение типа (II). Задача № 38 отличается от задачи .Mb 36,
а задача №39 — от задачи № 3.7 только знаком коэффициента В
и соответственно значением С. Решение задач № 38 и 39
предусматривает решение квадратного уравнения типа (III а).
Дальнейшие изменения коэффициентов второго уравнения
xy=10'0,
(х + у)2 - ГО (х - у) .= 5140.
См. стр. 169 настоящего издания.
180

системы приводят сначала к квадратным уравнениям типа (IV)
(Me 40, 41), затем типа (III а), еще раз типа (IV), опять типа (II)
и еще раз типа (IV) (№ 42—47). Ясно, что, составляя
эту группу задач, древний математик располагал только
общим планом их последующего решения и не учитывал
алгебраического своеобразия каждой задачи в отдельности.
Судя по опубликованным текстам, алгебраические
сборники [36, 1, S. 384] появляются в каеситекое (XVI—XII вв.до н. э.),
а не в старовавилонское (XIX—XVI вв.) время. В этот период
истории древнего Двуречья в шумеро-вавилонской математике,
очевидно, возрастает значение алгебраической тематики и
происходит некоторая формализация средств выражений. Труд
математика несколько специализируется: составление серий
задач выделяется, вилимо, в особую область математической
деятельности и в значительной мере превращается в самоцель.
Обо всем этом свидетельствует появление больших
алгебраических сборников.

Глава VIII
СОСТАВЛЕНИЕ ЗАДАЧ
И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Составляя школьную задачу, древние математики
предварительно должны были решать и другую, связанную с
подбором наиболее удобных для расчетов чисел в качестве
заданных величин. В некоторых случаях это приводило к
весьма существенным затруднениям. Бесспорные достижения
вавилонских математиков в области элементарной теории чисел—
в значительной мере результат преодоления такого рода
затруднений.
Разложение составного числа
на простые множители
При составлении задачи, в которой предусматривалось
деление а на Ь, обычно приходилось следить, чтобы частное
оказалось конечным в позиционном шестидесятеричном
выражении числом. В противном случае должны были
возникнуть трудности вычислительного характера. Действительно,
в клинописных математических текстах нет задач, в которых
частное от деления оказалось бы бесконечной
шестидесятеричной дробью. Как правило, избежать таких дробей очень легко.
Так, составляя задачу, в которой а должно делиться на Ь,
достаточно проследить, чтобы Ь было правильным числом,
тогда при любом конечном а для частного получится
конечный результат. Выбрать правильное Ь можно было или
при помощи соответствующей вычислительной таблицы, или
по памяти на основании начального отрезка натурального ряда.
Но делителем Ъ может быть и неправильное число, для
этого необходимо только, чтобы делимое а разлагалось на
два множителя k и Ь, где k — целое число или конечная
шестидесятеричная дробь. В этом случае — = —=k. В
182

большинстве задач делитель Ь — правильное число. Однако
встречаются случаи, когда Ь—число неправильное.
Интересные таблицы с числовыми данными для составления задач,
в которых предусматривается деление a=bk на неправильное
6, зафиксированы в клинописных текстах YBC 11125, YBC
7363, VAT 7530 [37, р. 17 ff.] В подобных задачах делитель
b обычно имеет значение 7, И, 13, 17, 19.
Последовательность выбора чисел а и b может быть и
обратной. Можно попытаться разложить неправильное а,
делимое, на два множителя b и k, и тот из них, который
представлен неправильным числом, например b (другой
множитель, k, может быть и правильным числом), принять за
делитель. Особенно интересен случай, когда и b и &
—неправильные числа.
Именно такой случай встречается в трех последних
задачах клинописной математической таблички UET V 121
В задачах № 2—4 этой таблички даны результаты деления
1'VVl VI 'v1 vv1 ?■
1111 =4'37; -LL±J_ = 4'41'37; НА* = 843.
1343 ' 13 .7
Смысл этих задач, по-видимому, в том, что два одинаковых
по виду числа, l'l'l'l и ГГ1 разлагаются на простые
множители. Действительно, ГГГ1 является произведением трех
простых чисел, 13-Г1-4'37, два из которых—4'37 и 13
—фигурируют соответственно в задачах № 2 и 3. Третье простое
число —Г1 — не указано, однако разложение ГГГ1=1'\Л'0'1
очевидно. В задаче № 4 приведены оба простых множителя
числа 1'1'1=7-8'43.
О преднамеренности разложения составных чисел l'l'l'l
и ГГ1 на простые множители свидетельствует главным
образом специфика обоих чисел в шестидесятеричной позиционной
записи. Сначала древний математик выбрал указанную пару
чисел и лишь потом занялся их разложением на простые
множители. Обратный порядок действий, наблюдающийся в
других текстах (см. выше), когда составное число образуется
посредством умножения друг на друга заранее выбранных
чисел, в данном случае вряд ли мог иметь место.
Составитель указанных задач сначала, по-видимому,
обратил внимание на число l'l'l'l. Действительно, представление
этого числа в виде произведения 1'1«1'0'1, из которых
первое число — простое, бросается в глаза. Разложение Г0'1 =
=13-4'37 могло быть обнаружено лишь после ряда проб,
причем не исключено, что для этого были использованы
некоторые элементарные признаки делимости чисел. Получив,
однако, разложение числа l'l'l'l, естественно было
попытаться найти простые множители сходного с ним числа ГГ1.
1 Ом. приложение 1, О.
183

Переход от первого числа ко второму, очевидно, надо
рассматривать как наивное обобщение некоторых . свойств
сходных по виду в шестидесятеричной позиционной записи двух
чисел.
Пифагоровы числа
Составляя задачи, для.решения которых требуется
извлекать квадратный корень, желательно так подобрать числовые
данные, чтобы корень извлекался точно. В алгебраических
задачах выбор заданных чисел не вызывает затруднений.
Допустим, требуется составить задачу на систему канонического
вида
ху = 5,
х-\-у = а,
имеющую рациональные значения корней. В этом случае
берем для х произвольное рациональное число а, для у —
произвольное рациональное число (3, следовательно, 5=ар и а=
=a-+-fJ. Принимая эти значения S и а в качестве заданных
величин, получим каноническую систему уравнений с
рациональными корнями х—а, у=р. По существу решается в
рациональных числах неопределенная система двух уравнений с
четырьмя, неизвестными, но это элементарнейший случай.
Могут возникнуть и более сложные ситуации. Так, если
пожелать, чтобы в упомянутой системе уравнений 5 было
равно а, то при составлении соответствующей задачи надо будет
решить в рациональных числах уравнение
х-\-у==ху.
В одном клинописном тексте действительно встречается
такая задача. Имеется в виду последняя из четырех задач на
систему уравнений таблички АО 8862 (III, 21—26) [36, 1, Ss^
111, 116, 120]:
х+У=ху,
где х — «длина», у — «ширина».
В тексте задача не решена, очевидно, ввиду ее
элементарности. Действительно, заданную систему легко свести к
системе канонического вида:
ху=4"30,
х+у==4Щ
корни которой х=3, у=Г30.
Чтобы выяснить, как была составлена задача, обратим
внимание на отношение неизвестных в каждой из четырех
задач указанной таблички (табл. 14).
184

-л Т а б л и ца 14
Значение неизвестных в задачах
таблички АО 8862
задачи
X
У
х : у
k
1
15
12
5 : 4
3
2
4
3
4 : 3
1
3
1
0"40
3 : 2
0*20
4
3
1*30
2 : 1
1*30
Из табл. 14 видно, что составитель заранее определял
отношения для неизвестных. Для первой задачи он в
качестве неизвестных выбрал предварительно числа 5 и 4, которые
затем умножил на k=3, и получил х=15, у=12. Аналогично
были определены числовые значения неизвестных для других
задач, причем выбор множителя k в каждой задаче был
обусловлен особыми соображениями. В четвертой,
интересующей нас, задаче выбор множителя &=1"30, очевидно, был
Продиктован тем, что математик задумал составить уравнение
j
Х-\-у=ху.
Поскольку x = 2k и у = 16 (см. х:у = 2:1) и х -\-у = ху,
то 2k -f- k = 2kk или
3&=2£3.
Отсюда
=1"30.
2
Главным источником теоретико-числовых проблем в
древности служила не алгебра, а геометрия, и прежде всего
раздел, связанный с теоремой Пифагора. Так, для
составления задачи на определение гипотенузы z по заданным
катетам х и у необходимо, чтобы x=ka и y=kb, где а и Ь —
пифагоровы числа, a k — любой рациональный множитель, —
в противном случае z будет иррациональным числом.
Вавилонские математики полностью справились с проблемой
пифагоровых чисел, причем их достижения в этой области вышли
далеко за пределы потребностей составления задач.
Чаще всего в клинописных математических текстах
встречается пифагорова тройка 3, 4 и 5. В некоторых текстах
использованы и другие пифагоровы тройки. Так, в табличке
VAT 7531 находим 5, 12, 13 (1 раз); 7, 24, 25 (?); 19, 180,
181 (1 раз)1; в табличке ВМ 34568 — 5, 12, 13 (1 раз); 8, 15,
17 (3 раза); 20, 21, 29 (2 раза) [36, 3, S. 20]. Особенно инте-
См. приложения 1, S.
185

ресен клинописный текст Piimton 322 [37, р. 38 ff.], в
котором содержится таблица с пятнадцатью пифагоровыми
тройками (табл. 15).
Таблица 15
Пифагоровы тройки текста Piimton 322 *
п
/ ап \2 t2
V Ьп' "~
ап
Сп
Ьп
Примечание
1
[59' (0)]' 15
Г 59
2'49
2'0
2
[56'56]58'14'50'6'15
56'7
{З'12'l}
57'36
вместо
1'20'25
3
[55,7]'41'15'33'45
1'16'41
1'50'49
1'20'0
4
53'10'29'32'52'16 '
З'З 1'49
5'9'1
3'45'0
5
48'54'1'40
1'5
1'37
Г12
б
47'6'41'40
5'19
8'1
6'0
• 7
43'11'5б'28'26,40
38'11
59'1
45
8
41'33'{59}'3'45
13'19
20'49
16'0
вместо45'14
9
38'33'3б'3б
9'1
12'49
Ю'О
10
35'10'2'28'27,24'26'40
1'22'41
2'16'1
1'48'0
11
33'45
45
1'15
ГО
12
2Э'2Г54'2'15
27'59
48'49
40'0
13
27'(0)'3'45
{7'12'1}
4'49
4'0
вместо 241
14
25'48'51'35'6'40
29'31
53'49
45'0
15
23'13'46'4[0]
1 {56}
53
45
вместо 28
*Табличка датируется старовавилонским временем.
В тексте зафиксированы только первые четыре столбца,
причем нумерация строк приведена в четвертом столбце.
Табличка Piimton 322 свидетельствует о том, что древние
математики знали какой-то общий способ вычисления
пифагоровых троек. Согласно Бруинсу, суть этого способа
заключается в следующем [18, р. 117 ff.; 19, pp. 25—28].
Пусть t и и — катеты, v — гипотенуза прямоугольного
треугольника. Имеем:
и2 — t2=u2
или
{v-t){v+t)=u2.
Положив
и=\
и обозначив
к
получим
t=^~(k—L) v eJ_ а+_!).
2 v l" 2 V X ;
Из последних равенств видно, что при любом
рациональном X, величины t и v тоже будут рациональными (величина
и не зависит от X. и всегда остается равной 1).
186

Имея рациональную тройку t, и, v, уже можно вычислить
пифагорову тройку at Ь, с. Для этого надо воспользоваться
рациональным множителем к:
* a=kt, b=ku, c=kv.
Так как
и=\,
то
ъ
Множитель k удобно вычислять постепенно, следуя схеме
кг
t
V
kxt
kxV
* ш •
• • •
• * a
1 t k\k 2 . • • kfti—l^ V
kxh... kmv
=k{k2
ъ
• • • w
Выбор множителей ku /г2г.., km диктуется особенностями
чисел t и v и в каждом отдельном случае очевиден.
Воспользуемся изложенным способом для нахождения
числовых данных таблички PHmton 322. Прежде всего составим
таблицу различных значений \г и их обратных величин —■
К
{ясно, что Хл должны быть правильными) (табл. 16).
Пифагоровым числам Plimton 322 соответствует 15 из 21 пары
величин, имеющих не более четырех разрядов и лежащих в
интервале 2"24>ХЛ>1"48 [19, р. 28].
Таблица I5
Значения \п и г~
а/г
п
In
1
Х„
п
hi
1
In
п
Хя
1
хя
1
2"24
0"25
6
2"13'20
0"27
11
2
0"30
2
2"22'13'20
0"25'18'45
7
2"9'36
0"27'46'40
12
1"55'12
0"ЗГ15
3
2"20'37'30
0"25'36
8
2"8
0"28' 7'30
13
1"52'30
0"32
4
2"18'53'20
0"25'55'12
9
2"5
0"28'48
14
1"51'6'40
0"32'24
5
2" 15
0"26'40
10
2"1'30
0"29'37'46'40
15
1"48
0"33'20
Вычислим (-— )2, аи с{ (см. строку 1 табл. 15). Сначала
определяем:
к = 4" (xi - ~г) = — (2"24 - 0"25) = 0"59'30,
2 \ Ах / 2
»1 = 4~ (xi + т") = 4~ (2"24 + °"25)= 1"24'30.
187

В левом столбце умножение было произведено четыре
раза, в правом — по ошибке шесть раз. Таким образом,
получилось а2 = 56'7, С2 = 3'13. Но 3^13 в небрежной клинописи
может быть прочтено и как З'12'l.
Третья ошибка — ахъ = 7'\2'\ вместо 241—возникла,
очевидно, следующим образом. Определяя а13) вычислитель
перепутал tls = 0"40'15 с квадратом этого числа t2l3 = 0"27'0'3'45.
Итак, начав с неверного tl3 = 0"27'0'3'45 и правильного vvs =
= 1"12'15, он, последовательно умножая, нашел:
2 27'0'45 Г12'15
2 54'0'7'30 2'24'30
2 Г48'0'15 4'49
2 З'Зб'О'ЗО
742а
В левом столбце умножение было осуществлено четыре раза,
в правом—два и получилось а18=7'12'1, с13=4'49'.
Четвертая ошибка — ах1 = 56 вместо 28 — опять-таки
возникла по причине неодинаковости числа умножений в двух
столбцах. При *16 = 0"37'20 и и15 = 1"10'40 имеем:
3
37'20
1'10'40
1
2
. 1'52
3'32
1
о
56
Г46
£4
53
В левом столбце умножение выполнено два раза, в правом—
три, что и привело к неправильному результату для а1б.
Способ выделения множителей £i, £g,km которым, по-
видимому, пользовался вычислитель, определяя ап и сПУ
достаточно ясен. Речь идет об одновременном умножении или
делении tn и vn (и последующих результатов умножения) на
правильные числа 2, 3, 5. Другими словами, ku к29..., km
равны 2, 3, 5 или *—, —, —причем тот или иной из ука-
2 3 5
занных множителей выбирается таким образом, чтобы
результаты умножения постепенно уменьшались по числу значимых
разрядов. Если же этого больше достигнуть нельзя, то
умножение прекращается. Суть метода заключается в том, что
— = является наибольшим общим правильным делите-
1 Третью ошибку Бруинс объясняет иначе [19, р. 28]. После умножения
2^1з=1/20/30 и 2ui3=2/24/30 (относительные, а не абсолютные записи чисел)
на 2 древний вычислитель должен был получить верные ai3=2'41 и Ci3=4/49.
Но 2^13 было им неправильно прочтено как 2'24'20 и поэтому умложалось не
на 2, а на 3. В результате было найдено с^—743, что могло быть прочтено
как 7'21'1 (ср. вторую ошибку текста). Здесь явное недоразумение. Ведь
согласно тексту й\ъ=*Т\%\% 013=449 (ai3—неверно, cJ3—верно), по Бруинсу
же должно быть ai3=2/41, С\^ТШ\\ (a\Z—верно, С\Ъ — неверно).
189

Затем находим
= ц == 0"59'302 = 0"59'0?15.
Далее действуем по описанной схеме:
2'0 I 0"59'30 1"24/30
I Г59 2'49
Итак,
= 0"59'0'15, а!=Г59, ^ = 249,
причем Ьх=2'0.
Аналогично
текста Plimton
могут быть найдены и
322. Отметим, что а.
остальные числа
с и
соответствующее Ъп этого текста взаимно просты. Исключение
составляют аи—0"45, сп=1"15, &ц=1, что соответствует
пифагоровой тройке 3, 4, 5. Таксе исключение объясняется тем, что-
с,,=1"15—обратная постоянная «диагонали»,
засвидетельствованная одним из соответствующих клинописных списков.
Реконструированный Бруинсом вавилонский способ
вычисления пифагоровых троек хорошо объясняет четыре
имеющиеся в тексте ошибки [19, р. 27 ff.].
Первая ошибка — Й = (Г49'56'15а = 0Ч1'33'{59}'45 вместо
0"4ГЗЗ'45'14'3'45 — появилась, вероятнее всего, в результате
неправильного учета разрядов при возведении в квадрат по
формуле квадрата разности двух величин:
t\ = 0"49'56'152 = (0"50 — 0"0'3'45)2 - 0МГ40 — 0"0'6'15 + 0*0'0'0'14'3'45 -
= 0"41'33'45 + 0"0'0,0'14'3'45 = 0ЧГЗЗ'45'14'3'45.
Если второе слагаемое в последней сумме прочесть как
0W14'3'45, то получится результат 0ЧГЗЗ'{59}'3'45. Такого
рола ошибки, обусловленные отсутствием специального
клинописного знака лля нуля, встречаются тгкже в
рассмотренных ранее многозначных таблицах обратных величин.
Вторая ошибка — <72=3'12/1 вместо Г20'25 — возникла, по-
видимому, при вычислении о2 и с2 из правильно найденных
*2=0"58'27'17'30 и у2=1"23'46'2'30:
1'23'46'2'30
1'56'54'35
г^б'зг'б
23'22'55
зз'зо'25
4/40,35
6'42'5
56'7
Г20'25
25'5
3'13.
1 Объясняя ошибки неодинаковостью числа умножений в двух столбцах,
мы пользуемся относительной записью чисел, а не абсолютной.
188

и положив
■V— t=^o?, v.+ f=-$* (иа=.а2ра),
где а и p (<*<CP)— положительные рациональные числа,
получим рациональные значения
*=-у(Ра.-«а), = v=±-(P+o?).
При а=1 ((3>4) последние формулы принимают вид:
* = Y (Р2-1), » = Р, » = ^(Рв + П.
Соответственно при р = 1 (<х<1):
Так, в сузской табличке Т сохранились арифметические
выкладки по определению гипотенузы v, которые ниже
записаны в современной символике
£/ = -1(22+1).
Здесь не вполне ясно, имелась ли в виду общая формула
для v или частная для <х=1. Общая формула
предусматривает возведение в квадрат не только числа 2, как это
сделано в тексте, но и числа 1. Следовательно, речь должна
идти о частной формуле. Но, поскольку 12|—1,
соответствующее действие могло быть опущено. Характерно, что
арифметическим выкладксм в тексте предшествует запись: «Возьми
1 и 2, im-gid-da». Последнее слово буквально означает
«(длинная) табличка», что предположительно может быть
истолковано как ссылка на специальную таблицу, откуда
заимствованы а = 1 и [3 = 2. Если такое толкование правильно, надо
говорить об общей формуле. Но если даже в данном тексте
подразумевалась частная формула, то уже одно это делает
наличие у вавилонян общей формулы более чем вероятным, так
как переход от одной к другой Очевиден.
Возвращаясь к табличке Piimton 322, необходимо отметить,
что все содержащиеся в ней числа могли быть, конечно,
найдены, при помощи пятнадцати различных пар взаимно
простых а и р. Но величины \~г ) расположены в тексте в
"п
убывающей последовательности и умещаются в интервале от
0"59'0'15^1 до 0"23'13'46'40. Чтобы найти такую
последовательность, предварительно надо было бы составить таблицу
соответствующих аир [37, р. 40], что весьма затруднительно
(табл. 17).
Ом. ст.р. 199 и 200 настоящего издания.
191

лем чисел tvi v. Так, например, умножая какое-либо число с
конечной цифрой 30 на 2, мы тем самым делим это число на 30 = ~
(здесь имеются в виду не абсолютные, а относительные
шестидесятеричные числа). Из этого следует, что конечные
результаты последовательного умножения, а именно ап и сп, должны
оказаться взаимно простыми относительно правильных
делителей числами, к чему и стремился автор текста Plimton 322.
Легко доказать, что ап, сп и Ьп (числа bn = k автор текста
не находил, во всяком случае в табличке они не указаны)
вообще являются взаимно простыми, т. ' е. не имеют также
общих неправильных делителей. Следовательно, описанный
способ позволяет вычислить сколь угодно пифагоровых
троек взаимно простых ап, Ьп, сп, где Ьп — правильное число.
Интересно, что причиной трех из четырех ошибок текста
Plimton 322 в той или иной степени является неодинаковость
числа умножений при переходе от fn и vn к ап и сп. Однако
такой же переход характерен и для всех других а„, сп, и
поэтому может показаться, что количество аналогичных
ошибок должно было быть большим. На самом же деле ошибки этого
типа могли быть допущены только в четырех из пятнадцати
случаях — для п = 2, 5, 11, 15. В двух случаях
результаты вычислений действительно оказались неправильными—
а2 и с15; в одном — умножение не производилось (имеется в.
виду #п = £ц, сп — vn); еще в одном — оба результата
правильны [аъ и с5).
В одиннадцати случаях указанных ошибок не могло быть-
Например, *14 = 0"39'21'20, vH= 1"11'45'20:
39'21'20 1'Н'45'20
Г 584 3'35'16
59'2 УАТЪЪ
29'31 5349
Здесь в обоих столбцах одновременно получены числа^
умножение которых на 2, 3 или 5 уже приведет к числам с
большим, а не меньшим количеством разрядов.
Кроме рассмотренного выше способа определения
пифагоровых чисел, вавилоняне располагали, несомненно, и другим
способом, который заключается в следующем. Пусть t и и —
катеты, v — гипотенуза прямоугольного треугольника:
t? + u* = v*.
Записав это равенство в виде
(v-t)(v + t) = u2
1_
2
1_
2
190

Таблица 17
Взаимно простые числа а и р
гс
а
Р
я
а
Р
л
а
Р
1
12
5
6
20
9
11
2
1
2
Г4
27
7
54
25
12
48
25
3
1'15
32
8
32
15
13
15
8
4
4
25
9
25
12
14
50
21
5
9
4
10
10
40
15
• 9
5
Кроме того, указанный способ не дает удовлетворительного
объяснения второй и частично третьей ошибок.
Числа таблички Piimton 322 могли также быть найдены
при помощи частных формул (а или (3 равно 1). Так, например,
если воспользоваться частными формулами, в которых л== 1,
а для р взяты значения X (табл. 16), то получим величины t, и и v,
которые позволяют посредством описанной выше схемы
параллельного умножения прийти к искомым ап, Ьп, сп. Однако
этот способ Не вполне удовлетворительно объясняет первую
и третью ошибки.
Таким образом, вавилоняне располагали не одним, а по
крайней мере двумя способами вычисления пифагоровых троек.
Один из них засвидетельствован табличкой Piimton 322,
другой—сузской табличкой Т. eg
Пифагоровы числа и деление прямоугольного
треугольника на параллельные равновеликие
полосы
Большое внимание в шумеро-вавилонской геометрии
уделено задачам, в которых треугольник (или трапеция) делится
на части линиями, параллельными основаниям. Частным
случаем таких задач является деление фигуры на равновеликие
полосы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, разбитый двумя
линиями, параллельными основанию, на три части. Обозначим
вертикальный катет через у, отрезки этого катета — уь у2, Уз.
горизонтальный катет — через х3, линии раздела — через
X] и jc2, площади частей треугольника — через Su 52 и S'3
(рис. 42).
Пусть
Требуется найти рациональные значения хи х2, х3,
удовлетворяющие этому равенству. Легко показать, что задача сводится
к решению в рациональных числах неопределенного уравнения
192

Ух
Следовательно, любое рациональное Х\ приводит к
иррациональному х2: задача неразрешима. Интересно, что в
клинописных текстах вообще нет задач на деление треугольника на ча
сти указанным способом: это объясняется, оче-?
видно, нежеланием вавилонян иметь дело с
иррациональными числами. Из материала,
приводимого ниже, косвенным образом следует, что
попытки найти рациональное решение, вероятно,
предпринимались; при этом было, по-видимому, ^
также сделано заключение, что рациональное v.
решение невозможно. Уз\
Обратимся к другой задаче на рациональное
деление треугольника. Пусть
о] =S3.
У
Рис. 42
Как и в первом случае, требуется найти рациональные хи х2,
х3, удовлетворяющие этому равенству. Теперь уже
приходится решать в рациональных числах неопределенное уравнение
\/l I у2 ——. у"2
л[та2 ЛЪ'
Такому уравнению удовлетворяют рациональные числа
x{=ka, x2~kb, x3 = kc,
где a, b, с — пифагорова тройка, k — рациональное число.
Имея рациональные хъ х2, х3, можно также вычислить
рациональные уи у2, у3; для этого надо воспользоваться
отношением
У1'-У2-Уз = х1: (х2 —Xi):(xs — х2) =а:(Ь — а): (с — Ь).
Рациональное деление прямоугольного треугольника на три
части линиями, параллельными одному из катетов, при
условии равновеликое™ двух крайних частей засвидетельствовано
клинописным текстом МАН 16055 [14, pp. 11 — 14]. На
табличке изображены 10 треугольников: 5 с лицевой стороны,
5 —- с оборотной. Каждый из треугольников разделен на три
части, причем, как показывают записи, у = 1, у, =
= 0"36, у2 = у3 = 0"12. Остальные величины:' S, = S3 и 52,
далее, хх, х2 и х3 пропорциональны порядковому номеру N =
— 1, 2, . .., 10, который соответствует месту треугольника на
табличке. Таким образом. N-ft треугольник характеризуется
величинами: SI = 53 = 0"5/V, 52 = 0"3'53'20/V, ж, = 0"16'40N,
х2 = 0" 22'13'20;V, х3= 0"27'46'40 N (рис. 43). Для линии раздела х2
в пятом треугольнике ошибочно поставлено Г4Г6Ч0 вместо
Г5Г6'40 = 0"22'13'20-5. Аналогичная описка для х% встречается
в десятом треугольнике: 2"42'33'20 вместо 3"42'33'20 =
= 0"22'13'20-10.
13 А. А. Вайман
193

Числовые значения элементов фигур подобраны на основе
пифагоровой тройки 3, 4 и 5. Об этом свидетельствует
отношение Xi:x2:xa = 0"-16'40:0"22'13'2Q:0"27'46,40 = 3:4:5.
Л. Об.
Рис. 43
Отметим, что рассматриваемый текст нельзя считать ни
задачником, ни вычислительной таблицей. Вероятнее всего, это
своеобразное математическое пособие, из которого можно
было выбирать числовые данные для составления
определенных геометрических задач. Вместе с тем такой текст,
очевидно, имел и самостоятельную ценность — он как бы
иллюстрировал некоторые свойства треугольника, разделенного
на части указанным способом.
Итак, при Sx ■= S2 (следовательно, и при 5j =S2 =
= S3) величины х2 и х3 не могут быть одновременно
рациональными, о чем, вероятно, знали древние математики.
Зато удается получить сколь угодно рациональных троек,
хи х2, Хз, для которых справедливо равенство Si~S8i что, в
частности, отражено в клинописной табличке МАН 16055.
Остался нерассмотренным еще один вариант равенства
площадей, на который должны были обратить внимание древние
194

математики: S2 = S3, но этот случай по существу
равносилен рациональному делению трапеции на две параллельные
равновеликие полосы.
Вавилонские числа и деление трапеции
на параллельные попарно равновеликие полосы
Рассмотрим прямоугольную трапецию, разделенную линией,
параллельной основаниям, на две равновеликие части.
Обозначим основания трапеции через хг и х3, линию раздела— х%
вертикальную сторону —у,
отрезки вертикальной стороны —
у, и у2 и площади полос Sx и
52 (рис. 44). Пусть
справедливо равенство
5 j = S2.
Требуется найти рациональные
хи х2, х3. Задача сводится к
решению в рациональных
числах квадратного уравнения1
х\ + x.
2x1
или тождественного ему-
О)
(1 а)
2 / ' V 2 J
при условии xi<Cx2<C,xs. Положив
— (х3 — хх) = ka, —- (х3 + xi) = kb, х2 = kc,
где а, 6, с — пифагорова тройка, k — рациональный множитель,
получим рациональные
xx = k(b— a), xz — ke, x3 = k(b + а),
удовлетворяющие уравнению (1а) и, следовательно, (1).
При &=1 имеем:
xx = b—а, х2 = с, х3 = Ь
а
(2)
Тройки х.\, х2, х3, которые находятся в указанной зависимости
от пифагоровых а> Ь, с, мы в дальнейшем будем называть
вавилонскими [3, стр. 587 и сл.]. Легко показать, что поскольку а,
Ь, с взаимно простые, то соответствующие хи х2, хг тоже
взаимно простые.
1 См. стр. 130 настоящего издания.
2 Преобразование первого уравнения во второе засвидетельствовано _у
вавилонян решением задачи'№8 таблички ВМ 13901 (см. стр. 166 и сл.
настоящего издания).
13*
195i

Кроме того, засвидетельствована вавилонская тройка 7,17,23,
которая не входит в ряд Вп и может быть вычислена через
пифагоровы числа 8, 15, 17 (см. задачу №2 таблички
Эрм. 15073)1.
Наиболее интересна табличка Эрм. 15189 (рис. 45).
л. ' Об.
Верхний край
1 Рзо 30 1 1 %
17 13 7 ludalme^l
Рис. 45
На ней изображены 10 прямоугольных трапеций, по 5 с
обеих сторон таблички. Каждая трапеция разделена линиями,
параллельными основаниям, на 4 попарно равновеликие части,
с площадями 6 и б, 30 и 30. Для построения трапеции
использованы начальный промежуток последовательности Вп\ 1,5, 7,13,
17, зафиксированный во второй строке верхнего края
таблички (ч,исло 5 по ошибке выпущено), и начальный промежуток
последовательности Нп: 1, 0"30, Г'ЗО, 1, записанный в первой
строке верхнего края. Эти данные определяют трапецию,
которую назовем начальной (см. рис. 46).
Размеры трапеций на табличке получены в
результате умножения отрезков вертикальной стороны
начальной трапеции на правильные числа (jV—номер трапе-
1 См. приложение I, L. ,: *
19?

Имея рациональные хи х2, хь, можно вычислить рациональные
Уи Уз» — для этого надо воспользоваться отношением
У1 :у2 = (х2 — Xi): (х3 — х2) = (а + с — Ь):(а -4- Ь — с).
Пользуясь формулами
найдем пифагоровы тройки a = 2t, Ь = 2щ c = 2v для а = т,
3 = m-T-l, /тг = 1, 2, 3, 4, 5, а затем вычислим
соответствующие вавилонские тройки (табл. 18).
Таблица 18
Пифагоровы и вавилонские тройки
а
Ъ
с
1
3
4
5
1
5
7
2
5
12
13
7
13
17
со
■ 7
24
25
17
25
31
4
9
40
41
31
41
49
5
11
1'(Х
1'1
49
1'1 .
I'll
. Из таблицы видно, что каждая последующая вавилонская
тройка начинается числом, которым заканчивается предыдущая.
Это позволяет составить последовательность Вп, выражающую
отношение оснований и линий раздела трапеции, разбитой
на 10 параллельных попарно равновеликих полос [3, стр. 588]:
Вп = \, 5, 7, 13, 17, 25, 31, 41, 49, l'l, I'll
(л=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11).
Отношение отрезков вертикальной стороны такой трапеции
может быть выражено при помощи другой последовательности:
Яя=1, 0"30, 1"30, 1, 2, ГЗО, 2"30, 2, 3, 2"30
(п=\, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).
Приведенные в таблице вавилонские тройки довольно
часто встречаются в клинописных математических текстах и,
вероятно, были найдены древними математиками примерно
тем же способом, который описан выше. Вавилонская
тройка 1, 5, 7 засвидетельствована текстами VAT7621 и VAT
7535 [36,1, Ss. 290, 3031; тройки 7, 13, 17—текстами YBC
4675 [37, р. 44] и UET V 8581; промежуток В{ — Вь (деление
трапеции на две пары равновеликих полос)—табличкой Эрм.
15189 [1, стр. 73 и сл.], промежуток В5 — Вп (деление
трапеции на три пары равновеликих полос) — табличкой АО 17264.
1 См. приложение I, Р.
196

найти две другие линии хх и zu тоже параллельные
основаниям и образующие внутри исходной трапеции новую
трапецию, которая, в свою очередь, тоже делится линией у на две
равновеликие полосы (см. рис. 49 на стр. 240). Эту задачу
можно сформулировать иначе: по заданным рациональным
числам х, z найти рациональные числа хх, zx, если
■', ' х\А~ z\ = x2-\- z2 = 2j/2, * . (3)
где Xi>x, zx<z.
Два примера решения такой задачи мы находим в сузской
табличке Т [20, pp. 89 —91]. В первом из них говорится о
«противоположных широких сторонах»
z = l"45, ж = 0П5,
что вместе с у = 1"15 составляет тройку, образованную из
вавилонских чисел 1, 5, 7 при помощи множителя
пропорциональности 0" 15. По этим данным вычисляется «верхняя» и
«нижняя» линии раздела, соответственно:
z, = 0"48 ■ 1"45 + 0"36 • 0" 15 = ГЗЗ,
хх = 0"36 • 145 - 0"48 -0"15 = 0"51 \ ■ \
4 3
Обозначив 0"48 = — ==Х, 0"36= —=^ (обратим внимание
5 5
на то, что X2-j-р-2 = 1), получим формулы
zx = Xz + \ix, Х\ = \iz — \х. (4)
Во втором примере заданы «верхняя длина» и «нижняя
длина»: z = 1 "25, „г = 0"35, что вместе с у = Г15 составляет
тройку, образованную из вавилонских чисел 7, 13, 17 при
помощи множителя пропорциональности 0"5. По этим данн-
ным вычисляются «верхняя» и «нижняя» линии раздела, но
способом, который отличается от предшествующего:
1
у(22 + 1)
=0"24
z, = 1"25 — 0"24 • (1"25 — 2 • 0"35) = 1"19,
Х\ = 0"35 + 2 • 0"24 • (1"25 - 2 • 0"35) = 0"47.
Обозначив 2 = р и — (22 -f-1) = -^-ф2 -J- 1)==и, получим фор-
' 2 2
мулы
zx = z — у Х\ =х -j- — — • (4 а)
V V
1 Задачу с анало'пичньши вычислениями ом. ниже, приложение I, L,
задача № 3.
199

ций на табличке) и умножения соответствующих
оснований и линий раздела на удвоенную обратную величину от км
2 •
т. е. -г-. Окончательные значения площадей полос найдены,
посредством умножения начальных значений площадей 3 и 3,
2
15 и 15 ид 2= kN г-—. Правильные kN= 15, 20, 12"30,..м 24,
очевидно, были взяты из последовательности заглавных чисел
комбинированной таблицы
умножения.
Текст рассматриваемой
таблички, так же. как и таблички
МАН 16055, очевидно, служил
своеобразным математическим
пособием, из которого черпались
числовые задания при
составлении определенного типа
геометрических задач1.
От идеи рационального деле-
1 ,/■ ния трапеции на две равновели-
\У кие параллельные полосы
древние математики, естественно,
должны были прийти к идее
рационального деления трапеции на три (и более)
равновеликие параллельные полосы, хотя все попытки, предпринятые в
этом направлении, должны были потерпеть неудачу. Дело в
том, что последняя задача равносильна решению *з
рациональных числах системы уравнений
Рис. 46
jC г-
х\ + х\
п;;и л?г08<#з<С*4» что невозможно
2х\
С вавилонскими числами связана еще одна задача,
которая была поставлена и решена вавилонскими математиками и
возникла, еозможно, в результате попытки рационально
разделить трапецию более чем на две равновеликие
параллельные полосы. Задачу можно сформулировать так.
Пусть имеется трапеция с рациональными основаниями х
и z, поддающаяся делению рациональной линией у,
параллельной основаниям, на две равновеликие полосы; требуется
1 Это объяснение было предложено Веселовским [4, стр. 444].
2 Соответствующая теорема была доказана по моей просьбе
проф. В. А. Тартаковским.
198

Нетрудно показать, что в обоих примерах решения
отвечают сформулированному выше условию. Действительно, если
22 + х2 = 2у2,
то при
имеем
' (z2 + x2)(X2-f-jx2) = 2y2.
Отсюда следует
X2z2 + \2х2 4- [х222 + |л2л:2 = 2у2.
Прибавив и отняв в левой части последнего уравнения
2Xz[xx, получим
X2z2 ± 2lz\xx + р2*2 + fA222 + 2\zpx + X2*:2 = 2у2
и, далее,
(Xz + рл)8 + (v* - Щ2 = 2у2, (5)
или
(р.г + Хл;)2 + (Хг-^)2 = 2у2. (5 а)
Наконец, обозначив заключенные в скобки выражения
равенства 5 через z, и хь- мы найдем формулы (4),
отвечающие решению первого примера:
Z\ — Xz -f- [л*, X\ = \ьг — Хл:.
Так как z и я согласно условию рациональны, то, взяв
рациональные X и }а, получим рациональные zx их,. Выбор
рациональных X и [х можно осуществить на основе уже готовой
пифагоровой тройки <2, b и с, где а2-\-Ь2 = с2. Тогда при X =
=— и- = имеем Х2-|-р.2=1. В рассматриваемом примере
взята пифагорова тройка 3, 4 и 5.
Во втором примере сузской таблички Т использовано
равенство (5а). Для искомых величин взяты значения
Z\ = (az -{- Xjc, x!=Xz —[хл:, (56)
которые подвергнуты некоторым преобразованиям. Составим
тройку чисел
«*вЛ(Р»-1), * = р и /г>=у(Р+Ц, ;
удовлетворяющую равенству £2 -}- м2 = у2, причем 8
рационально. Теперь для X и р. выберем значения
X ' —
Ясно, что Х24-р.2=1. Выразим 1 и [i в формуле (56) через
величины р и о: •
Л(р2_1)(гг+рд: §гг_-1_(Р2_1)Д: , , .
2, = , Ж, = '.
200

Согласно правилам, относящимся к среднему
арифметическому двух величин, имеем:
J_ (р. _ 1} = р. _ JL (р» + i; = р2 _ Vm
Мы можем поэтому записать:
z j ' ' » л 1 5
V V
\
чтаприводит к формулам (4а), отвечающим решению второго
примера: j
zx — z —> x! = a;4 —-•
По поводу выражения для и заметим, кстати, что оно
указывает на один из вавилонских способов нахождения
пифагоровых чисел (см. выше). В данном случае, при^ [3 = 2, мы опять-
таки придем к пифагоровой тройке 3, 4 и 5.
' Рассмотренный текст представляет исключительный
интерес. Во-первых, для того чтобы получить искомые значения
Z\ и хх, древний автор должен был осуществить весьма
сложные и столь же тонкие для своего времени алгебраические
преобразования. Во-вторых, автор текста демонстрирует не
один, а целых двя способа нахождения интересующих его
величин. Зачем же понадобился ему еще один способ? Ответ
на этот вопрос мы получим, если попытаемся решить второй
пример не вторым, а первым способом. Итак, пусть
2 = Г25, х = 0"35.
Тогда, используя формулы (4) при Х = 0Ч8 и и = 0"36,
получаем:
z, = 0"48 • 1"25 + 0"36 • 0"35 = 1"29,
Х{ = 0"36 • 1"25 - 0"48 • 0"35 = 0"23.
Но в этом случае Х\<С%> т. е. новая трапеция уже
не будет находиться внутри исходной, а выйдет за пределы
последней, что не устраивало автора текста. Второй же
способ, как мы видели, приводит к удовлетворительному
решению и все при тех же, по существу, значениях X и jx, как и
в первом примере. Однако вавилонскому математику этого
было мало. Вместо выражений с X и р он оперирует двумя
другими, но тождественными им выражениями, структура
которых непосредственно указывает на то, что zx<Cz и х{^>х.
Действительно, согласно (4а), z{ получается в результате
вычитания из z некоторой величины, а хх—в результате прибавления
к х некоторой величины. Правда, и во втором случае, если
201

В задаче № 1 таблички Эрм. 15073 рассматривается
аналогичный четырехугольник со сторонами
а1==17"30, а3 = 42"30,
Л = 14, 63 = 46
и площадью ч.
S==l5>Q== 1?"30 4 42*30 14 + 46 ,
Фигуру можно считать трапецией с основаниями а{ и а3.
Если разделить такую трапецию на две параллельные
равновеликие полосы, то линия раздела а2 окажется рациональной:
а2 —
17"30 + 42"30 =32»30.
Сократив 17"30, 32"30, 42"30 на 2"30, получим вавилонскую
тройку 7, 13, 17. Но в такой же степени
справедливо и утверждение о том, что имеется в виду трапеция с
основаниями bi и Ь3. Эту трапецию тоже можно разбить на две
параллельные равновеликие полосы, причем линия раздела Ь2
опять окажется рациональной величиной. Действительно,
142+ 462
Ьп = 1 / : = 34.
Сократив 14, 34, 46 на 2, получим вавилонскую тройку 7, 17, 23.
Наконец, в третьем тексте, сузской табличке Т, говорится
о четырехугольнике, который имеет две «противоположные
широкие стороны» Г'45 и 0"15, а затем «верхнюю длину» Г25
и «нижнюю длину» 0"35 (см. выше, стр. 199). О том, что речь
идет о размерах одной и той же фигуры, в тексте прямо не
сказано1, но об этом можно судить по названиям сторон:
«ширина» и «длина». Выбор числовых заданий для «широких»
сторон основан на вавилонской тройке 1, 5, 7 и множителе
пропорциональности 0"15, а выбор числовых заданий для
«длинных» сторон — на вавилонской тройке 7, 13, 17 и множителе
пропорциональности 0"5. В целом же числа, характеризующие
фигуру, подобраны таким образом, чтобы полусуммы
противоположных сторон для каждой пары в отдельности получали
значение 1 и, следовательно, чтобы значение «площади»
фигуры было равно 1:
с 1"45 + 0"15 1"25 4-0"35 .
2 2
- Такую фигуру можно разделить на две равновеликие
части, каждая'из которых имеет площадь 0"30, двояко: во-пер-
1 По крайней мере об этом нет сведений в отрывочной публикации Бру-
. инса [20, pp. 91].
203

говорить о нем в общем виде, в зависимости от значений z, х
и р (или X и [х), может возникнуть ситуация, при которой
неравенства zx<Cz и хх^>х не будут соблюдаться, но этого
древний математик мог и не заметить1.
Вавилонские числа и «ложные трапеции»
Существуют трапеции,"у которых все четыре стороны и
высота рациональны и которые можно разделить
рациональной линией, параллельной основаниям, на две
равновеликие части. Однако в клинописных текстах соответствующие
задачи не встречаются. Трудно сказать, в чем причина этого.
Ясно только, что одни типы задач в древности получили
широкое распространение, другие же остались вне поля их зрения,
хотя, казалось бы, их составление не должно было вызывать
затруднений. Так, до сих пор не обнаружено задач на
вычисление площади треугольника по трем заданным сторонам,
и лишь в одной клинописной табличке зафиксированы
условия нескольких -задач на вычисление площади трапеции по
четырем заданным сторонам.
-Неожиданно в табличках YBC 4675 [37, p. 44ff] и Эрм.
150732 обнаружены задачи, в которых в связи с
вавилонскими числами рассматриваются фигуры, называемые ниже
«ложными трапециями». Имеются в виду четырехугольники,
площадь которых вычисляется по формуле
ai+аз Ьх -Ь&з
о = • ,
2 2
где а, Ф аъ — одна пара противоположных сторон;, Ъх Ф bs —
другая пара. * >
В тексте YBC 4675 говорится о четырехугольнике,
стороны которого
aI=4'50, fl3 = 5'10,
Ьх = 7, Ь3=\7,
а площадь
с _ 1 п'п — 4,50 + 5,10 . 7 + 17 .
Линией 62 = 13 фигура разделена на две равновеликие
части: ЗО'О и ЗО'О. Числа 7, 13, 17 составляют уже известную
нам вавилонскую тройку. Таким образом, четырехугольник
является как бы трапецией, имеющей основания Ьх и bs и
параллельную им линию раздела Ь2.
1 Бруинс [20, pp. 89—91] не ставит вопроса о причинах наличия в тексте
не одного, а двух способов 'Нахождения Z\ и Х\ по заданным z и х (о сузеком
тексте Т см. также стр. 203).
2 См. приложение, I, L, задача 2.
202

вых, линией, «параллельной» (условно) одной паре сторон и
равной Г15, во-вторых, линией, «параллельной» (условно)
другой паре сторон и равной 1"5.
Таким образом, во всех трех задачах рассматривается
четырехугольник, линейные элементы которого определены при
помощи вавилонских троек, а площадь вычислена
приближенно — как произведение полусумм противоположных сторон.
Необходимо подчеркнуть, что, говоря о четырехугольнике,,
мы, конечно, совершенно исключаем трапецию, поскольку
применение к последней упомянутой выше формулы площади
было бы грубой ошибкой, причем совершенно необъяснимой
с точки зрения достижений шумеро-вавилонской геометрии.
Но поскольку выбор числовых значений сторон
четырехугольника основан на вавилонских тройках, мы эту фигуру чисто
условно называем «ложной трапецией».
b
Рис. 47
Приближенная формула площади четырехугольника в виде
произведения полусумм противоположных сторон
использовалась довольно часто вавилонскими писцами в связи с
измерением земельных участков. В этих случаях участки, по-
видимому, могли быть двоякого рода: во-первых, в виде не
вполне точных прямоугольников, противоположные стороны'
которых несколько отличаются друг от друга по размерам;
во-вторых, в виде прямоугольников, которые расположены на
местности с неровным рельефом и цоэтому при измерении
веревкой у них обнаруживается неодинаковая длина
противоположных сторон. Очевидно, именно такие земельные участки
попали в поле зрения вавилонских математиков и стали
исходным пунктом для расширения тематики задач, связанных с
вавилонскими числами.
Кроме упомянутых выше, .известна еще одна задача, в
которой рассматривается, очевидно, «ложная трапеция». Мы
имеем в виду задачу клинописной таблички АО 17264 [36, 1,
Ss. 126 — 134]. В ней говорится:
204

«Низменность (I)1. 2' 15, верхняя длина; Г21, нижняя
длина; З'ЗЗ, [верхняя] ши[рина]; 51, нижняя ширина. 6 братьев:
старший и следующий равны, 3-й и 4-й равны, 5-й и б-й
равны. Площади, линии раздела и спускающиеся что?»
Из решения задачи, которое ниже будет приведено в
современной записи, ясно, что имеется в виду трапеция (в
данном случае «ложная»), разделенная на шесть параллельных
попарно равновеликих полос (рис. 47).
Даны:
а^З'ЗЗ, 6 = 51; с = 2'15, d = l'21.
Требуется найти:
Х\, #2, %ь\ Уь У2> Уб*5 <^2? ••*> *^1> 5*25 ^0-
При заданных величинах задача является неопределенной;
возможно сколько угодно решений, зависящих от
произвольно выбранных ,v2 и х4 или других двух аналогичных элементов.
Недостаточность условий, однако, не смущает вавилонского
автора, и в тексте дано однозначное решение:
*i«*-f+(a+ *)•■ — -= 2"27(=2'27), (1)
х^=х2 — (с — сО = Г 33, (2)
Ху= 1/ § =3 3, (о)
*2 "t" X4
*з=1/ -Ч-^- = 2'3, (4)
*5
А г2 4- й2
=]/ -I'lS, (5)
_ а ~*1 г с = 25 (6)
£j а — 6 \ d = 15,
у2j —*2 г с =30 (7)
г2 j а — 6 \ d = 18,
уз)_ хъ—х?. ( с — 20 (8)
г3 j л — & \ rf = 12.
Остальные отрезки боковых сторон не были определены,
но в тексте указано, что вычислять их надо по аналогии с
предшествующими. Не были также найдены площади полос.
Нетрудно проверить, что в целом задача решена
правильно; только х% и л;4 вычислены при помощи выражений,
которые не вытекают из условия задачи:-в обоих случаях
решение подогнано к заранее известному ответу. Но иначе и быть
1 Это слово прочтено Соденом [48, S. 193].
\
205

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Остановимся кратко на некоторых общих вопросах
истории шумеро-вавилонской математики.
Прежде всего напомним, что шумеро-вавилонская
математика является результатом творческой деятельности двух
древнейших народов Передней Азии—шумеров и вавилонян:
шумеры (III тысячелетие до и. э.) заложили фундамент
математического здания; вавилоняне (II — I тысячелетия) возвели
его стены.
Так, шумерам принадлежит создание
десятерично-шестеричной непозиционной и шестидесятеричной позиционной систем
исчисления, систем мер и весов, составление первых
вычислительных таблиц, открытие методов определения площадей
и объемов, создание математической терминологии и т. п.
Но математика шумеров, по нашему мнению, была главным
образом прикладной дисциплиной. Она обслуживала
хозяйственные потребности общества и развивалась в теснейшей
зависимости от роста и усложнения этих потребностей. В
дальнейшем прикладная математика шумеров была полностью
заимствована вавилонянами, которые, очевидно, не внесли в
нее почти ничего нового. В целом прикладная математика
шумеров и вавилонян была скорее математикой «бухгалтеров»
и «экономистов», чем «техников» и «инженеров». Так, при
постройке какого-либо сооружения рассчитывалось
количество человеко-дней, необходимое для проведения работ,
продуктов питания для содержания рабочих, строительных
материалов и т. д. Нет данных, которые свидетельствовали бы
о том, что древние строители занимались техническими
расчетами для определения величин, характеризующих
устойчивость здания, крепость его перекрытий и т. п.
Наиболее существенный вклад вавилонян в историю
рассматриваемой науки—это создание теоретической математики.
В данном случае под теоретической математикой понимается
область математических знаний, которая разрабатывалась
независимо от экономических и технических потребностей
общества. В эту область, вероятно, следует включить алгебру
207

не могло, так как х2 и х4 должны фигурировать в качестве
величин заданных. Особого внимания заслуживает выражение
(1), в котором даже не соблюдена размерность.
Фактически оно приводит и к неверному результату: 2"27 вместо 2'27.
Однако это уже не могло иметь существенного значения, так
как выражение (1) все равно неправильно, а ответ 2"27 в
клинописи может быть прочитан и как 2'27.
В чем же смысл первых двух выражений? Для чего
понадобилось вычислять х2 и #4 таким необоснованным
способом, вместо того чтобы просто считать их заданными
величинами?
Дело в том, что, составляя задачу, связанную с делением
трапеции на шесть параллельных, попарно равновеликих
полос, древний математик, несомненно, воспользовался
известной ему последовательностью вавилонских чисел Вп. Выбрав
промежуток 17, 25, 31, 41, 49, Г1, Г11, он последнее и
первое число умножил на 3 и получил основания фигуры
<2=Г11 ■ 3=3'33 и Ь—\7 • 3=51. Но тем самым он однозначно
определил и линии раздела, которые должны быть равны
д;5 = 25-3 =Г15 ит. д., хх = 1'1 -3=3'3. Последнее
обстоятельство и предопределило, очевидно, дальнейшие действия
составителя задачи. С одной стороны, он, вероятно, считал, что
так как им заданы оба основания трапеции, то линии раздела
уже могут быть найдены однозначно, с другой—он не мог
не видеть, что для однозначного решения требуется еще
дополнительное условие. Указанное затруднение было
преодолено путем искусно подобранных выражений для х2 и х&.
Ясно, что подобрать такие выражения было нелегко. Думается,
однако, что они были получены уже в процессе составления
задачи: по-видимому, составляя задачу, древний математик
одновременно конструировал выражения (1) и (2). Работа
облегчалась тем, что вместо истинной трапеции рассматривалась
«ложная трапеция», что значительно расширяло область
выбора благоприятных чисел в качестве заданных величин. В
том, что речь идет о «ложной трапеции», можно не
сомневаться, так как для истинной трапеции получились бы
иррациональные значения искомых площадей и тем самым
преимущество использования вавилонских чисел свелось бы на
нет. О «ложной трапеции» косвенным образом
свидетельствует, по-видимому, и определение фигуры как «низменности»,
а также термин «спускающиеся», прилагаемый к отрезкам
боковых сторон.

чиной значительного развития теоретического направления в
математике. Например, в египетском обществе, по крайней
мере в период Среднего и Нового царства (2100—725 гг.),
школьное обучение не отставало, вероятно, от вавилонского,
hq тип математики там ближе к «шумерскому», чем к «вави-
л0нс-:ому». По-видимому, возникновение теоретического наи-
равления в математике вавилонян было обусловлено еще и
н oj которыми специфическими особенностями математической
системы, из которой вавилоняне исходили. Сюда можно
отнести чрезвычайно удачный вычислительный аппарат, который
был создан еще шумерами на основе изобретенной ими
шестидесятеричной позиционной системы исчисления.
Вычислительная техника у древних египтян была намного менее
совершенной, чем у вавилонян.
Некоторую роль в возникновении теоретического
направления сыграло, вероятно, событие этнического характера—
проникновение вавилонян в Двуречье и ассимиляция ими
шумерского населения страны. Это, конечно, не
означает, что вавилоняне в отличие от шумеров или египтян
обладали какими-то особыми врожденными способностями к
отвлеченному математическому мышлению. Дело в том,
что заимствование культурных достижений одним народом у
другого может оказаться сильным стимулом для общего
подъема культуры, в том числе и математики. В целом же
проблема возникновения теоретического направления в математике
должна рассматриваться в тесной связи с изучением других
культурных явлений вавилонского общества, с учетом
конкретной социально-экономической, политической и этнической
обстановки формирования этого общества в первой половине
II тысячелетия до н. э.
Результаты, полученные шумерами и вавилонянами в
области математики, в большинстве случаев не могли быть
эмпирическими. Несомненно, что древние математики
достаточно хорошо владели методом логического доказательства
математических истин. «По моему мнению, — пишет Нейге-
бауер,—в исторических исследованиях слово „доказать"
может иметь только тот смысл, что из тех или иных
математических данных и зависимостей при помощи цепи логических
умозаключений выводятся новые математические зависимости,
причем эти зависимости не должны быть в каком бы то ни
было смысле последними звеньями в цепи возможных
умозаключений и самый процесс умозаключения вовсе не
должен быть точно формализован и осознан как таковой.
Существование доказательств в этом смысле в вавилонской
математике ни в каком случае нельзя оспаривать. Трудно
допустить что-либо другое, кроме следующего: вавилоняне
приводили путем ряда последовательных умозаключений
более сложный случай к более простым» [9, стр. 227].
14 А. А. Вайман
209

и теорию чисел. Дело в том, что до сих пор, несмотря на
предпринятые поиски, не удается найти ни одного
конкретного случая, который потребовал бы от древнего
«экономиста» или «инженера» решить полное квадратное
уравнение. То же относится к задачам по элементарной теории
чисел.
Создание теоретической математики (или теоретического
направления в математике) свидетельствует о превращении
математики из вспомогательной дисциплины в
самостоятельную. Математика шумеров главным образом использовалась
в прикладных целях—в метрологии, землемерном деле,
бухгалтерском учете, а теоретическая математика вавилонян
рассматривалась уже как самоцель. Математика шумеров
развивалась под воздействием внешних факторов—растущих и
усложняющихся хозяйственных потребностей общества, а
теоретическая математика вавилонян развивалась благодаря
порожденным ею же потребностям: сама математика служила
источником новых проблем и предоставляла материал для их
решения.
Тип математики, созданной шумерами, в основном
соответствует уровню хозяйственного развития шумерского
общества и любого другого, достигшего того же уровня.
Этого нельзя сказать без оговорок о математике, созданной
вавилонянами. Так, например, пока не будут найдены
соответствующие клинописные тексты, невозможно определить,
какова была математика урартов и развили ли они в
математике теоретическое направление, хотя урарты достигли
примерно того же общественного уровня развития, что и
вавилоняне !.
Чем же было обусловлено возникновение теоретического
направления в вавилонской математике?Об этом пока можно
высказать лишь предположения. Значительную роль должна
была сыграть школа, роль которой в вавилонское время,
очевидно, особенно возросла [32, pp. 10—13]. Так, для
планомерного школьного обучения математике необходимы были
учителя, углубленно занимающиеся этим предметом, а одна
из обязанностей учителей заключалась в составлении
специальных математических задач. Содержание задач
подсказывалось не только практикой ведения хозяйства, но и
некоторыми потребностями самого школьного обучения. Последнее
обстоятельство стимулировало отрыв математики от практики.
В частности, в результате этого и возник тот раздел математики,
который может быть отнесен к элементарной теории чисел.
Однако школьное обучение не могло быть единственной при-
1 Известно лишь несколько клинописных хозяйственных документов
урартов (IX—VI вв. до н. э.), которые почти ничего не дают для суждения об
объеме их математических знаний.
208

S. 23]; задача Rs. I, 1-19 текста ВМ 85194 [36, 1, Ss. 147, 159,
178]. Если судить по соответствующим задачам, авторы, этих
текстов были для своего времени опытными математиками,
поэтому их рассуждения в какой-то мере характеризуют
степень зрелости вавилонской математики в целом.
Математика шумеров охватывает период около тысячи лет
(III тысячелетие), а математика вавилонян—около двух тысяч
лет (II и I тысячелетия). Безусловно, в различные отрезки этих
периодов данная наука развивалась неодинаково. К сожалению,
выделить отдельные периоды развития шумерской математики
сейчас вряд ли возможно, так как сохранившиеся клинописные
хозяйственные документы с математической точки зрения все
же изучены недостаточно. Несомненно лишь, что уровень
развития шумерской математики в начале III тысячелетия до н. э. был
значительно ниже уровня, достигнутого ею в конце III
тысячелетия до н. э.? в эпоху III династии Ура.
Наивысшего расцвета вавилонская математика достигла в
первой половине II тысячелетия до н. э., особенно в эпоху
первой вавилонской династии, а в последующие полторы
тысячи лет оставалась почти неизменной: даже в больших
алгебраических сборниках, появившихся, очевидно, только в
касситское время, не содержится ничего принципиально нового.
Когда политическая гегемония в Двуречье перешла от
Вавилонии к Ассирии, Математика, по-видимому, даже пережила
некоторый упадок, так как почти не встречается клинописных
математических текстов, датированных концом II и началом
I тысячелетия до н. э. Некоторое оживление интереса к
математике наступило в персидское и, особенно, селевкидское
время (IV—I вв.), когда начали появляться многозначные
таблицы обратных величин, квадратов правильных чисел и, по-
видимому, также степенные таблицы. В тексте ВМ 34568 [36,
3, Ss. 14—22] селевкидского времени даже встречаются
задачи на квадратные уравнения неизвестного ранее типа. Однако
заключительный период истории вавилонян характеризуется
расцветом вычислительной астрономии, а не математики. Так,
известно несколько сот экземпляров астрономических текстов,
а математических текстов—.менее двух десятков, и притом
большинство из них вычислительные таблицы.
Новые математические открытия нуждались, очевидно, в
каких-то иных идеях, чем те, которые лежали в основе
знаний вавилонян, в новом подходе к изучению математики в
целом. Так, например, главной целью древнего математика
было составить, а затем и решить школьную задачу—узость
цели, естественно, сильно ограничивала возможности новых
открытий. К тому же форма школьной задачи, в которую
облекались результаты любого математического исследования,
чаще скрывала, чем делала общедоступными наиболее суще-
14*
211.

Наряду с указанным положением Нейгебауера надо под*
черкнуть следующее.
1. Вавилоняне (о шумерах ничего сказать нельзя)
полностью осознавали принцип достаточности и необходимости
условий для однозначного решения задачи. В этом
отношении особенно интересна задача таблички АО 17264,
проанализированная выше1. Чтобы соблюсти принцип достаточности
и необходимости условия, автор текста даже применил
подгонку решения к заранее известному ответу.
2.Вавилонские математики иногда сталкивались с отсутствием
при определенных условиях хотя бы одного решения задачи,
что также, несомненно, было осознано ими. Так, пытаясь
составить задачу на рациональное деление треугольника линией,
параллельной одной стороне, на две равновеликие части, они
должны были прийти к выводу о том, что между хх и х2
существует зависимость хх2~х22 и, следовательно, хх и х2
не могут быть одновременно рациональными2.
3. Бесспорно, что большинство результатов шумеро-вавилон-
ской математики было получено при помощи логического
вывода. Однако сам по себе вывод служил только средством и,
очевидно, никогда не рассматривался как самоцель То, что
казалось интуитивно очевидным, вероятно, никогда не выводилось,
даже если неизвестное положение можно было свести к уже
известному. Поэтому применительно к" шумеро-вавилонской
математике, быть может, следовало бы говорить о наличии
логического вывода, а не метода логического доказательства.
4. В шумеро-вавилонской математике рассматривались
исключительно школьные задачи, т. е. в подавляющем
большинстве случаев конечная цель исследования заключалась в
составлении школьной задачи и указании способа ее решения.
Исследования наиболее важных математических зависимостей
в известных нам текстах не приводятся.
5. Иногда древние математики неверно считали, что
решить задачу значит найти определенную совокупность
арифметических операций по отысканию искомых величии,которая
не обязательно должна логически вытекать из условия задачи.
Некоторые вавилонские математики полагали, по-видимому, что
математически вполне оправданно подгонять решение задачи
к заранее известному ответу, если истинное решение по каким-
либо причинам найти затруднительно. Примером этого может
служить упомянутая выше табличка АО 17264. Встречаются и
другие клинописные тексты, в которых сознательно
допускаются аналогичные ошибки. Таковы задача № 24 текста ВМ 13901
[36, 3, Ss. 5, 9, 14]; задача № 4 таблички YBC 6504 [36, 3,
1 См. стр. 204 и сл. настоящего издания.
2 См. стр. 192 настоящего издания.
210

ственные математические идеи. В клинописных текстах,
например, мы находим только задачи на вавилонские числа, но
не описание метода их нахождения, задачи на теорему
Пифагора, но не те рассуждения, при помощи которых она
была выведена. Устное преподавание вряд ли могло
восполнить указанный пробел, так как основным предметом
обучения служили не теоремы математики, а математические
задачи. При таком положении вещей некоторые наиболее тонкие
и плодотворные математические идеи и наблюдения с
течением времени даже могли быть забыты, что, естественно,
должно было отрицательно влиять на развитие науки.
Существенно, кроме того, что хозяйственные и технические потребности
общества в течение длительного времени, по-видимому, не
ставили перед математикой новых задач, поскольку запас знаний,
накопленный к концу шумерского периода истории Двуречья,
для практических целей был достаточен.
Новый, более высокий этап развития математики мы
находим только у греков, превративших рассматриваемую область
знаний в дедуктивную науку. Однако греческая математика,
как мы теперь знаем, сформировалась под определенным
влиянием шумеро-вавилонской, хотя еще неясно, насколько
оно было существенно. Но это уже особый круг вопросов,
который касается генезиса математики греков, а не истории
математики шумеров и вавилонян.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
Ниже публикуются девятнадцать клинописных текстов,
представляющих несомненный интерес для истории шумеро-
вавилонской математики. Из них один (L) издается впервые;
остальные были опубликованы ранее, но, за исключением двух
(К и S),—только в автографии. Почти на все эти тексты
имеются ссылки в основной части книги.
Клинописный текст однозначной таблицы обратных величин
и таблицы квадратов правильных чисел; издан в автографии
и определен как «Л. 1 — 15: стандартная таблица обратных
величин; Л. 16 и сл.: таблица квадратов» [43, pp. XXXVIII и
270]; датируется персидским или селевкидским временем.
1 [..-]30
igi-2 30 и2 igi-3-gal-bi 20
igi-4-gal-bi 15 igi-5 gal-bi 12
igi-6-gal-bi 10 igi-8-gal-bi 7'30
5 igi-9 u3 6'40 igi-10-gal-bi 6
igi-12-gal-bi 5 igi-15-gal-bi 12
igi-16-gal-bi 3'45 igi-18-gal-b: 3'20
[igi]-20-gal-bi 3 igi-24-gal-bi 2'30
[ig:]-25-gal-bi 2'24 igi-27-gal-bi 2'13'20
10 [igal-30-gal-bi 2 igi-32-gal-bi l'52'ЗО
[igi]-36-gal-bi 140 igi-40-gSl-bi 1'30
[igi-45-gal-b:] 1'20 igi-48-gal-bi 1'15
1 Тексты от А до J включительно хранятся в Британском музее.
2 Союз «и»?
3 ПО'-оВ'ИДимому, ошибка: союз должен стаять не перед, а после 6'40.
A. LB А 1637 1
Транскрипция
Лицевая сторона
215

ПРИЛОЖЕНИЯ

[igi-l-gai-Ы] 1 igi-14-gal-bi 56'15
15 [igi-r21]gal-bi 44/251Ч[0]
[ ] 1'30 1'2'30 a-ra 1'2'30 lWllbl
[14] a-ra 14 1'8'152
[1'640] ki-2-е3 1'14'26'40
[17,3,10 ki-2-е 1'15'56'15
20 [1'8'1|6 k:-2-e 1'17'40'20'16
[1'9'2]640 ki-2-е 1'20'22/31,51'6'40
[1'11]'640 ki-2-е l'24,16/47,24'26'40
[1'1]2 ki-2-е 1'26'24
1]'15 ki-2-е 1'33'45
25 [1]'20 ki-2-е 1'46'40
[1]'21 ki-2-е 1'49'21
[1]'23'20 ki-2-е 1'55'44'26'40
■ [lj'30 ki-2-е 2'15
[1'3]345 ki-2-е 2'26'29'340
30 [1'36] ki-2-е 2'33'36
[140] ki-2-е 24640
[146401 ki-2-е 374'374640
[l'52'ЗО] Ы-2-е 3'30465'15
[2] ki-2-е 4-arn 6
35 [2'5] ki-2-е 4'20'25
[2'13'20] ki-2-е 4/56'174640
2'15 ki]-2-e 5'345
[2'24 ki-2]-e 545'36
[2'30 ki-2]-e 6'15
40 [240 ki-2]-e 7'640
[24640 ki-2]-e 742'574640
[2'574640 ki-2]-e 84644'{55'16''24}74[C]
[3 kl-2-е] 9 ib-si8
[37'30 ki-2-e]945'56'[15]
45 [342 ki-2-е] Ю'14'24
[3'20 ki-2-е] 11'64'[0]
[3'36 ki-2-е] 12'57'36
[345 ki-2-е] 14'345
[4 ki-2-е] 16 ib-si
50 [4'10 ki-2-е] 17'2140
[4'2640 ki-2-е 1]945'11'6,[40]
[4'30 ki-2-е 20]'15
[448 (?) ki-2-е 32 2 24] (?)
[5 ki-2-е 25]
Ошибочно вместо 26.
Ошибочно вместо 16.
ki-2-е означает буквально «2-е место», «2-й».
Ошибочно вместо 9.
Ошибочно вместо 56.
«Есть».
Ошибочно вместо Эб'17'46.
«Квадрат».

[27] ki-2-е 12'9
[2746]40 ki-2-е 12'51'36'154640
[28'7]'30 ki-2-е 13'11'0'56'15
45 [284]8 kd-2-е 1[3]49'26'24
[30] ki-2-е 15 ib-si
[32] ki-2-е 174
[33'20] ki-2-е 18'31'640
[334]5 ki-2-е 1849"345
50 [36] ki-2-е 2Г36
37]'30 ki-2-е 23'26'15
40] ki-2-е 2640
41] 40 ki-2-е 28'56'640
42]40 ki-2-е 30'20'26'302
55 ]4]3'12 ki-2-е 31'6'14'24
[4]4'2640 ki-2-е 32'55'18'31'640
.[4]5 ki-2-е 3345
Комментарий
Строки Л. 1 —15 составляют однозначную таблицу
обратных величин. С формальной точки зрения между парами
чисел 14, 56'15 и Г21, 44'2640 [Л. 14, 15] должны были еще
находиться Г12, 50; Г15, 48; Г20, 453. Наличие пробела
объясняется тем, что указанные пары чисел, правда, в обратной
последовательности, уже были зафиксированы в
предшествующей части таблицы [Л. 13, 12].
Строки Л. 16—54 и Об. 1—57 составляют таблицу
квадратов 96 правильных чисел с количеством значимых цифр, не
превышающим четырех, начиная с Г2'30 и кончая 45. Однако
четырехзначных чисел всего три (строки Л. 21, 22, 42).
Принцип, которым руководствовался автор таблицы при выборе
правильных чисел, не совсем ясен. Достаточно сказать, что в
таблице приведены даже не все двузначные правильные числа,
не говоря о трехзначных. Так, например, отсутствуют 2'8=27,
4'16=28, 8'32=29, 174=210, 34'8=2П, и вместе с тем имеется
Г8'16=212. Кроме того, в таблице нет следующих двузначных
правильных чисел: 148, 242, 4'3, 8'6, 1248, 14'24,. 16'12,
2Г20, ЗП5, 32'24, 36'27, 36'24, 40'30.
В. L В А 1631
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
обратных величин; издан в автографии и определен как «Обрат-
1 Ошибочно вместо 59.
2 Ошибочно вместо 40.
3 Эти же три пары обратных величин отсутствуют и в ряде
старовавилонских однозначных таблиц 136, II, Ss. 10—ilfi, № 4, 6, 8, ,12, 13, 16, 23, 27, 28].
218

Оборотная сторона
1 [5'24 (?) ki-2-е 2]9'[9]'36 (?)
[5'33'20 ki-2-е 30'5]1'6'40
[5'37'30 к:-2-е 3]1'38'26'15
[6 ki-2-е 3]6 am
5 [6'15 ki^2-e 3]9'3'45
[6'24 ki-2-е 4]0'57'36
[6'40 ki-2-е 4|4'26'40
[6'45 ki-2-е 4]5'3345
[7'12 ki-2-е 5]1'50,24
10 [7'30 ki-2-e5]6'15
[8 ki-2-e]14
[8'20 ki-2-e]l,9,26'40
[8'53'20 ki-2-е 1]19'0'44'26'40
[9 ki-2-е 1'2]1 ib-si
15 [Э'22'30 ki-2-е Г2]7,53'26Ч0
[9'36 ki-2-е ГЗ^Э'Зб1
[10 ki-2-е 1]'40
[10'25 ki-2-е] 1'48'30'[2]5
[10'40 ki-2-el Г53'46'[40]
20 [10'48 ki-2-е] 1'56'38'24
[11'6'40 ki-2-е] 2'3'27/24'36'40
[12 ki-2-е] 2'24
[12'30 ki-2-е] 2'36'15
[13'20 ki-2-e]2'57'4640
25 [13'30 ki-2-е] 3'2'15
[15 ki-2]-e 345
[16 ki-2 -е 4'16
[1640 ki-2]-e 4'342'4640
[1746'40 ki-2]-e 5'16,564640
30 [18 ki-2]-e 5'24
[18'45 ki]-2-e 5'51'3345
[19'12 kiJ-2-е 6'8'38'24
[20] ki-2-е 640
[20'50] ki-2-е 741'403
35 [21'36] ki-2-е 746'33'364
[22'30] ki-2-е 8'26'15
[24] ki-2-е 9'36
[24*18] ki-2-е 65'50'29'24
25] ki-2-е 10'25
40 [25'36] kd-2-е 10'55'21'36
[2640] kd-2-е И'51'6
Ошибочно вместо 36.
Ошибочно вместо 37.
В оригинале 40 записано в строке 33.
36 записано в строке 34.
Ошибочно вместо 9.

ные величины от [1'12'49'4] (строка 3') до [1'14'38'58'3]3'36
{строка 9')» [47, pp. XXXVIII и 268]; датируется селевкидским
временем.
Транскрипция
[1'12
[1'12'49'4]
[1'12'54]
5' [1'13,9'ЗГ29,8'8,]53'20
[1'13'14'31,52]'30
[1'13'43'40'4]8
[1'14'4'26,40]
[1'14'38'58'3]3'36
10' [1'15
[1'15'51'6'40
50]
49'26'[18/30'56'15]
49'22'[57'46'40]
49'12'[27]
49'97'[12]
48'49'4[1'15]
48'36
48'13'[31'6'40]
48]
47'27,39'22'30] (?)
Комментарий
То, что сохранилось от таблицы, к сожалению, не
позволяет установить полный ее объем.
С. L В А 1632
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы об
ратных величин; издан в автографии и определен как «Обрат
ные величины от [1'12'54] (Л. 2') до [1'27'28'48] (Об. 13)»
[43, pp. XXXVIU и 268]; датируется селевкидским временем.
Транскрипция
Лицевая сторона
Г [
[1'12'54]
[1'13'14'31'52'30
[ПЗ'43'40'48
5' [1'14'4'26'40
[1'14'38'58'33'36
[1'15]
[1'15'51'6,40
П5'56'15
10' [1'16'48]
[Г^'Э^ЧбЧО
[1'17'45'36
[1'187'30
[49'212'[57'46'40]
49]'97'12
4]8'49'41'[15]
4]8'36
4]8'13'31'6'[40]
48
47'27'39'22,30
47'24'26'40
46'52'30
4]6'39'21'36
4]6'17'46'40
46]'4'48
21Э

14944'2143'42'13'20
15' гбсгзб'зпг
1'51'640
•1'52'30
1'534640
1'53'54'22'30
20 Г55'152
1'5544'2640
1'56'38'24
1'57'3'19'10'37'[2'13'20]
[11'57'11'15
25г [1'5]7'57'53'16'48
[1'58]'ЗГ6'40
3248'151
32'33'7'30
32'24
32
31'38'2[6'15]
31'36'17'[4640]
31'15
ЗГ6'14'24
30'51'51'6'[40]
3045'[16'52]'30
30'53'12
30'31'3'16'5[2'30]
30'22'30
[2'Г4'8]'3'03'27
Комментарий
Полный текст содержал, очевидно, обратные величины Я для
п, лежащих в интервале 1—2 или 1 —ГЗО (см. ниже сводную
таблицу строк). Заключительная строка (под чертой) указывает
на начало таблицы обратных величин, являвшейся
непосредственным продолжением рассматриваемой.
Е. L В А 1634
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
обратных величин; издан в автографии и определен как
«Обратные величины от [ПО'1845] (Л. 3') до [1'15'51]'640 (Л. 14') и
от [1'30'25'20'50] (Об. 3') до [1'36'27'2'13]'20 (Об. 13')» [43, pp.
XXXVIII и 269]; датируется селевкидским временем.
Транскрипция
Лицевая сторона
/' [ . ...
[1'9'59'2'24
[ПО'18'45]
[I'll'640]
& [1'11'11'29'345]
[1'12]
[1'12494]
[1'12'54
[ПЗ'14'31'52'30
1 Ошибочно вместо 18.
2 Ошибочно вместо 12.
3 Нуль написан как 20.
4 Ошибочно вместо 25.
5 Ошибочно вместо 18.
■ 1
51'2]6494'11'[6Ч0]
51'12
50'37'30
50'24'4'2640
50
49'[26'1]75'30'[5^6/15
49'22'5]7'[464]0
49'9'7'12] (?)

Оборотная сторона
1 [Г19'0'44,26'40 45]'33'45
[Г20 45]
[1'21] 44'26'40
Г1'21'"5'12] 43'56'437,30
5 [1'22'0'45] 43'56"44'4Г28'5[3'20]
[1'22'18'16'17,46'40] 43'44'24
[1'22'56'38'24] 43'24'Ю
[1'23'20] 43'12
[Г24'22'30] 42'40
70 [1'25'20 4]2'11'15
[1'26'24 41]'40
[1'26'48,20 4l'2]8'19,12
[1'27'28'48 41'9]'8'8'432'20.
[ 1,27,47'29'22'57'46'40 4Г0]'22'30
15 [Г27'53'26'15 40'57]'36
Полный текст содержал, очевидно, обратные величины И
для п, лежащих в интервале 1—2 (см. ниже сводную
таблицу строк).
D. L В А £1633
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
обратных величин; издан в автографии и определен как
«Обратные величины от [1'41'8'8'53]'20 (строка Г) до [1'58J'31'6'40
(строка 26')» [43, pp. XXXVIII и 268]; датируется селевкидским
временем.
Транскрипция
Г [1'4Г8'8'53]'20 [35'35'44'31'52'30]
[1'41'15] 3[5'33'20]
[П'42'24 З4'[9'22'30]
1'42'52'50'22'13'20 \ 34'59'[31'12]
5' Г43'40'48 34ЧЗ/[20]
1'44'10 34'33'[36]
1 '45'20'59' 15'33'20 34' 10' 18 Ч[5]
1/45'257/30 34'8
1'46'40 33'45
W 1'48 33'20
1'48'30'25 33'10'593/2[1'36]
149' 13'Зб 32'57,32'20'[37'30]
1'49'21 32'45'18'ЗГ 6'40]
1 Ошибочно вместо 53.
2 Ошибочно вместо 53.
3 Ошибочно вместо 39.
220

Пб
5' [1'15'51]'6'40
1'1]5'56'15
[1]'16'48
1'17,9'37'46'40
l'1745'Зб
10' [1]'18'7'30
[1'19'0]'44'26Ч0
[1'20]
1'21
[1'2Г55'12]
15' [1'22'0'45]
[1'22'18'16'17'46]'40
48
47'[27 ]'39'[22'30]
47'24'26'40
46'52'30 *
46/39'21'36
46'17'46'40
4б'4'48
45'33'45
45
44'26'40
43'56'43'7/30
43/5[3]'44'41'28'[5]3/20
4[3'44]'24
Оборотная сторона
5'
10'
1'27'53'26'15]
1'28'53'20]
1'30]
1'317'30]
1'32'9'36]
1'32,35'33'20]
ГЗЗ'181'46'12
1'33'45]
1'34'48'53'201
1,34'55'18'45]
Г 36]
40'57'36
40'30
40
39'30'22'13'20
39'3'45
38'52'48
38'34,48'53'20
38'24
3[7]'587'30
3[7'5]5'33'20
3[7'30]
3 . ......
3[. . .
Комментарий
Полный текст содержал, очевидно, обратные , величины п
для /г, лежащих в интервале 1—2 (см.. ниже сводную
таблицу строк).
С. L В А 1636
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
квадратов правильных чисел; издан в автографии и определен
как «Квадраты или обратные величины» [43, pp. XXXVIII и
269]; датируется селевкидским временем.
223

10' [1'13ЧЗ'40'48
[1'14'4]'26'[40
[1'14'38,58'33'36
[1'15
[1'15'51]'6'40
48'49'41]'15
48'3]6
48]'13'31'6'40
481
47'27/39'22'30
Оборотная сторона
Г [Г28'53'20]
[1'30[
'[1'30'25,20'50]
[Г31Т20]
5' [l'317'ЗО]
[1'32'9]'36
[1'32'3]5'23220
1'33'18'22'312
Г33'45
10' 1'34'384/53'20
1'34'54б,18'35
[Г3]6
[1'Зб/27/2'13]/20
[ ......
40'[30]
40<1>
39'48'47'[13'55'12]
39'33'2'47]'[45]
39'30'22'13'20
39'3'45
38'52'[48]
38'3[4'48'5]3'20
38'[24]
З7'[5]87'30
З7'[55]'33'20
37'3[0]
[37'19'29'16]'386
Комментарий
Полный текст содержал, очевидно, обратные величины it
для п, лежащих в интервале 1 — 2 (см. ниже сводную таблицу
строк).
F. L В А 1635
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
обратных величин; издан в автографии и определен как
«Обратные величины от [1'13'43'40,4]8 (Л. Г) до [1'22'18'16'17'46]'40
(Л. 160 и от [1'27'53'26'14] (Об. 2') до [1'34'48'53'20] (Об. 10')»
[43, pp. XXXVIII и 269]; датируется селевкидским временем.
Транскрипция
Лицевая сторона
Г [П3'43'40'4]8
[1'14'4'26]'40
[1'14'38'5]57']33'36
1 Ошибочно вместо 48.
2 Ошибочно .вместо 33.
3 Ошибочно вместо 43.
4 Ошибочно вместо 48.
5 Ошибочно вместо 55.
6 Ошибочно ©место 48.
7 Ошибочно вместо 58.
48Ч[9ЧП5]
48/36
48'13'3'[1'6Ч0]
222

Возможно, что при суммировании вычислителем были
опущены в последних двух слагаемых цифры 49 и 31.
Приведенный пример вычисления квадрата наглядно показывает
вместе с тем, насколько трудоемкой должна была быть
работа по составлению многозначной таблицы квадратов
правильных чисел.
Предположительная реконструкция полного текста, к
которому относятся фрагмент G и публикуемый ниже фрагмент Н,
дана на рис. 48.
Т
Рис. 48.
Н. LBA 1638
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
квадратов правильных чисел; издан в автографии и опре^
делен как «Квадраты(?)» [43, pp. XXXVIII и 270]; датирует
ся селевкидским временем.
Транскрипция
II
]57(?)
«5 [
III
2'2577'45'3[8'18'14'24]
2'26'29'3'45
2'2&'4Ъ'\0Ъ'2'2\2'?>ЬЪ'2\'Щ
2'29'49'50'[51,47,24'26,40]
I 1
15 А. А. Вайман
225

Комментарий
Столбец II не поддается восстановлению; столбец III
содержит квадраты правильных чисел /г2, для которых
соответствующие п имеют следующие значения (в самом тексте п не
указаны):
III
7 ГЗЗ'18'43'12
1 '3345
1,34'28'42'14'24
Г34'48'53'20
Нам представляется, что фрагменты G и Н относятся к
одному и тому же клинописному тексту многозначной
таблицы квадратов правильных чисел я2 для я, лежащих в
интервале 1—2. На рис. 48 дано примерное расположение
фрагментов по отношению ко всей таблице в целом'. Заметим,
что, судя по автографии, у фрагмента G обломаны все
четыре края, а у фрагмента Н — только три, верхний же
сохранился (см. также сводную таблицу строк).
I. LB А 1639
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
квадратов правильных чисел; издан в автографии и определен
как «Вероятно, квадраты» [43, pp. XXXVIII и 270]; датируется
селевкидским временем.
Транскрипция2
Лицевая сторона
[1'39'13'44,30'27'9]/37'[27'9'37'46,4]0
[1'40'46'37'21]'36
[1'41'43'30'56]'15
[Г44/2,57,2'45'1]5'18'31/6'40
|1'4б'40]
[1'49'21]
[1,51'50'53'11'2] '2[4]
[Г52'6'3'0'33]'45
[ 1 '52Ч4'2,8,26'2]7/54,19'22'57'46'40
[1/54'18/55,45'41'2]2,33'36
Г17'9'37'46'40)
1'17'45'36)
Г18Т30)
1'19'0'44'26'40)
Г20)
Г21)
1'21'55'12)
1 '22'0'45)
1'22'18,16'17'46'40)
1'22'56'38'24)
1 Весьма возможно, что на оборотной стороне таблички находился
незаконченный столбец квадратов, служивший непосредственным продолжением
столбца III. В этом случае общее количество строк в каждом столбце
должно было быть меньше, чем 42 (см. рис. 48).
2 В круглые скобки заключены вычисленные нами основания квадратов
чисел.
226

Г р а н с к р и п ц и я
I
II
Г [1'20,22'31'51'6]'40
[1'21,37'45'36'55'1]7'45'36
[1'22'23'50'51'33]'45
[1,24'16'47'24'26'4]0
5' [1'24'28'12'58'45'5]77'44'3'45
[1'26'24]
[Г28,22,25,43,32]'16
[2'1'38'1]3'53'[25'22'
15'56'15]
2'2'т\Г{Ь'\\у [2'25'
13,18,21,14'4,26'40]
2'4'8'82,49'23/ [11'24'
27'24'26'40]
2'4'24'57'3'[6]
2'5'35'12'[16'6'40]
27'15'2[9'50'4Г39'50'
24]
27,3[2'45Т26'40]
Комментарий
В обоих столбцах стоят квадраты правильных чисел п2*
для которых соответствующие п имеют следующие значения
(в самом тексте п не указаны):
I
Г 1'9'26'40
1'9'59'2'24
ПО'18'45
1'11'6'40
5' П1'11'29'3,45
Г12
1'12494
II
1/25'254б'52'зо
1'25Ч4'1'58'ЗГ6Ч0
1,26,18'9,11'6Ч0
1'26'24
1'26Ч8'20
1 '27'22'52'48
1'27'2848
В определении п2 (строка II, 2') допущена вычислительная
ошибка, происхождение которой предположительно
объяснено ниже:
v 1'2544Т58'31'640
х Г2544'Г58'ЗГ640
57' 9'21'19' 0'44'26'40
8,34'24,11,5Г 640' 0
+ 44'17'45' 1'14' 4'26'40
1'22'52'33'54'34' 4'26'40
1'25'44' 1'58'ЗГ 6'40
Г 2'52'17'26'54'48'53'20
35'43'20'{49}'22'57'46'40
1'25'44' 1'58'{31}' 6'40
2' 2'30'17'{54'42}' 2'25'13'18'21'144'2640 (правильно)
—49'31
2' 2'30'17'{ 5'11}' 2'25'13'18'21'14' 4'26'40 (неправильно)
1 Ошибочно вместо 54'42.
2 Ошибочно вместо 7.
24

[2'22'53'23'1]7'31'51'6'40 (Об/ 6)» [43, pp. XXXVIII и 271]; да
тируется селевкидским временем.
Транскрипция1
Лицевая сторона
5' [2Т21'46'40] (1'25'20)
&а [2'4]24'57'362 (1'26'24)
[2'5'35'12]'6'40 (?) (1'26'48'20)
Оборотная сторона
1 [2'7'32'45'1]'26'24 (1'27'28'48)
[2'8'27'20'47]'51'55/11/45'4'31'36,17/ (1'27'47'29'22'57'
4640 4640)
[2'8'44'42'23]'3'59/3'45 (1'27'бЗ'26'15)
4 [2'11Ч1'14]'4'26'40 (1'28'53'20)
4а 2'153 (ГЗО)
5 [2'18'23'45'5^6'15 (Г31/7/30)
5а 2'21'36'27'56'9'36 (1'32'9'36)
[2'22'53'23'1]7'31'51'6'403 (1'32'35'33'20)
Г2'25'7'7'415'38'18'14,24 (Г 33' 18 '43' 12)
[2'26'29'3'45] (ГЗЗ'45)
[2,29,49/50,5Г47]/24 26 40 (1'34'48'53'20)
10 [2'30'10'10'44'28'21]'33'45 (1'34'55'18'45)
Комментарий
Полный текст содержал, вероятно, квадраты правильных
чисел /г2 для /г, лежащих в интервале 1 — 2 (см. ниже
сводную таблицу строк).
* * *
Восстанавливая записи разрушенных строк клинописных
фрагментов В, С, D, Е, F, G, Н, I, J, мы учитывали, во-первых,
те числовые данные, которые сохранились, во-вторых,
последовательность строк и место, занимаемое в строке
сохранившейся частью числа, и, в-третьих, данные текста многозначной
таблицы обратных величин АО 6456 [36, 1, Ss. 14—22]4. В
приведенной ниже сводной таблице (стр. 230—231) отмечены номера строк
таблицы АО 6456 и соответствующие им номера строк отдель-
1 В круглые скобки заключены вычисленные нами основания квадратов.
2 Строки Л. 5', 5а/ в оригинале составляют одну строку.
3 Строки Об. 4, 4а .в оригинале составляют одну строку; между числами
стоит разделительный знак в виде косого столбца из четырех упирающихся
друг в друга клиньев (то же см. Об. 5, 5а и, вероятно, Л. 5', 5а').
4 См. стр. 56 настоящего издания.
228

ных фрагментов, так что каждая горизонтальная строка свод
ной таблицы отвечает одному и тому же правильному числ}
В случае явного пропуска в одном из текстов какого-либ
правильного числа, встречающегося в других текстах, вмест
номера строки поставлена черточка. Строка Л. I, 1 табличк
АО 6456 соответствует правильному числу 1, строка Л. II, 34^
правильному числу ГЗО, строка Об. I, 35 — правильному числ1
1'58'39'8'26'15.
к. V а т 2117 1
Фрагмент клинописного текста таблицы квадратов обрат
ных величин; издан в транскрипции и определен как
«трехзначная таблица обратных величин» [36, 1, S. 23]; дата не
устанавливается.
Транскрипция
/1 ]
[ ] 9'36 6'15
[ ] 8'13Ч9'37Ч6Ч0 7'17'24
[ ] 640 9
5 [ 1 5'51'ЗЗЧ5 Ю'14'24
[ ] 4Ч72Ч6Ч0 12'57'36Ч0 :
Комментарий
Можно показать, что в данном случае имеется не просто
часть трехзначной таблицы обратных величин, а часть
таблицы квадратов обратных величин. Действительно,
2) 9'36 = 242=(~ П2)2; 6'15 = 2'302 = (3 • 50)2.
3) 8,13'49'37'46'40 = 22,13'202 = -ГбЧО )2; 7'17'24 =
:2Ч22 = (3-54)2.
5) 5'51'ЗЗЧ5= 18Ч52 = (4~ ' 56'15 ) 2; Ю'14'24 = (3'12)2 =
= (3-1'4)2.
6) 4'37'46'40=16'402=(-|- • 50 j2; 12'57'36=3'362 =■ (3-1'12)8.
Этим не исчерпываются все особенности изучаемого текста.
Если в последней записи все произведения, заключенные
4) 6Ч0 = 202 = (4~- l)2; 9 = 32 = (3- I)2.
1 Текст хранится в Берлинском музее,
2 Ошибочно вместо 37.
229

Сводная таблица строк
АО 6456
! в
С
D
Е
F
G
Н
I
Л. 1 —
Л. 2' (?)
1 V.
26
3'
*
2'
27
4'
3'
28
5'
4'
29
2'
6'
5'
30
3'
7'
6'
31
4'
Л. 2'
8'
7'
32
5'
—.
,
33
6'
3'
9'(?)
34
7'
4'
10'
Л. 1'
35
36
8'
5'
11'
2'
—
9'
6'
12'
3'
36а
10'
7'
13'
4'
37
11(?)
8'
14'
5'
Л.11,1
9'
6'
2
10'
Т
3
4
И'
8'
Л. Г
о
12'
9'
2'
6
13'
10'
3'
7
8
9
Об. 1'
11'
4'
9а
2'
12'
о'
10
11
12
3'
13'
6'
12а
13
4'
14'
7'
14
5'
15'
8'
15
6'
16'
9'
16
17
7'
10'
18
8'
11'
19
20
9'
12'
21
22
10'
13'
23
II, V
2'
3'
,, .
: 24
11'
4'
14'
25
12'
5'
15'
J.—
6'
26
13'
7'
16'
27
14'
17'
28
15'
Об. 2'
18'
29
_
30
Об. 1'
3'
19'
31
;230

[1'55'44'26,40] (1'23'20) ' I
fl'58'38'58,26]15 (1'24'22'30)
[2'1'21'46']40 (1'25'20)
[2'4'24'57]'36 (1'26'24)
15' [2,5'35'12,1]6'6'40 (1'26'48'20)
[2'7'32'45'1]'26'24 (1'27'28'48)
[2'8'27'20'47'5] 1 '55'11 '4[5]'4'31 '3[6]' (1 '27'47'29'22'57'
17'46'40 46'40)
|2'8'44'42'23'3]'59'3'45 (1'27'53'26'15)
[2'11 '43' 14'4] '26'40 (1 '28'53'20)
20' [2'15] (1'30)
*
Об оротна я сторона
1 [2'18'23'45'56'15] ■ (1'31'7'30)
[2'21 '33'27'56'9]'3[6] (1 '32'9'36)
]2'22'53'23'17'3]1'51'6'40 (1'32'35'33'20)
[2'25'77'45У38'18'14'24 (ГЗЗ'18'43'12)
5 [2'26'29'3]'45 (1'33'45)
[2'29'49'50'51'47]'24'26'40 . (1'34'48'53'20)
[2'29'5 '9'44'28'21 ] '33'45 (1 '34'55' 18'45)
[2'35'2'43'17'40]'4'56'17'46'40 (1'36'27'2'13'20)
[2'38'56'44'35'23]'461 '15 (1 '37'39'22'30)
10 [2'41'3'40'35'5'51'2]Т36 (1'38'18'14'24)
[241 '25'9'6'0'36] (1 '38'24'54)
[2'42'34'36'38'4'46']'25'11'6'40 ' (1'38'45'55'33'20)
[2'42'56'39'6'41'36'1]8'48'30'56'15 (1'38'52'37Т52'30)
[2'46'40] (1'40)
15 [2'50'28'26'29'16'52'20'4]4'26'40 (1'41'8'8'53'20)
[2'50'51'33'45] (Г4Г15)
[2'54'45'36] (1'42'24)
[2'56'24'25'48'34'8'17'7'19'3]7'4[6]'4[0] (1'42'52'50'22'13'20)
Комментари й
Полный текст содержал, вероятно, квадраты правильных
чисел я2 для я, лежащих в интервале 1—2 (см. ниже
сводную таблицу строк).
j. l в а 1641
Фрагмент клинописного текста многозначной таблицы
квадратов правильных чисел; издан в автографии и
определен как «Вероятно, квадраты от [2'4]'24'57'36 (Л. 5'а) до
Ошибочно вместо 26.
15*
227.

в скобки, в левом столбце умножить, а в правом —
разделить на три и столбцы поменять местами, то получим
определенную часть однозначной таблицы обратных величин
(см. запись в фигурных скобках):
Таким образом, процесс составления текста VAT 2117
прослеживается достаточно отчетливо. В однозначной
таблице обратных величин числа левого столбца были умножены,
правого — разделены на три, а полученные -результаты
возведены в квадрат. После этого столбцы поменяли
местами.
Табличка публикуется впервые. Она хранится в
Государственном Эрмитаже, куда прступила в составе коллекции
Н. П. Лихачева. Точное место находки таблички неизвестно.
Судя по ряду признаков, она примыкает к некоторым
математическим текстам, хранящимся в Британском музее2, и по
аналогии с ними должна датироваться концом
старовавилонской династии — XVII в. до н. э. К сожалению, почти вся
лицевая сторона и нижний край таблички обломаны;
сохранившаяся часть — 12,4X12,6 слг — составляет, по-видимому,
около двух третей первоначальной ее величины.
48
( 50
54
1
Г4
1'12
1'15
1'20
1'21
1'15
1'12
1'6'40
1
56'15
50
48
45
44'26'40
L. Э Р|М. 150731
Транскрипция
Л. I
(Начало разрушено)
1 / 25 [
igi-30 p[u-tur-ma 2 ta-mar]
35 i-na 25 ba-[zi-/«a 10 ta-mar]
5 10 a-na 2 i-si-ma [20 ta-mar]
1 Фотографии и автографии таблички см. в приложении II.
2 См., например, ВМ 85194 [36, 2, Taf. 5].
232

АО 6456
В
С
D
Е
F
G
Н
I
J '
32
33
34
34а
35
Об. I, 1
2
3
4
5
6
7
8
8а
9
9а
10
11
12
13
14
14а
15
15а
16
17
17а
18
19
19а
20
20а
21
22
22а
23
24
25
26
26а
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Г
2'
3'
4'
5'
6'
V
8'
9'
10'
1Г
12'
13'
14'
15'
16'
17'
18'
19'
20'
21'
22'
23'
24'
25'
26'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
10'
1Г
12'
13'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
10'
11'
12'
III, 1
2
3
4
20'
Об. 1
2
3
4
5
6
7
-(?)
8
^<?)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4а
5
6
6а
7
8
9
10

25 i-na 5 ba-z[i-/rca 20 ta-mar]
20 a-/za 2 i-si-m[a 40 ta-mar]
ki-a-\am пё-рё-sum]
US 42'30 us gid-da
/0 1[7'30 us lugud-da 46 sag an-ta]
(Далее разрушено)
Л. III.
(Начало разрушено)
1 [ ta-ma\r
I ta-]mar
[ ] i-si-ma
[ f]a-mar 36 Г45
5 [i-Si-ma 1]'3 ta-mar an-ta gar-ra
[48] а-/га 15 i-si-ma 12 ta-mar
12 /-/га KU ГЗ-ta an-ta gar-ra
ba-zi-ma 51 dal ta-mar 145 sag an-ta
ugu 15 sag ki-ta mi-пат diri
/0 Г30 diri igi-a-sri pu-tur-ma A§ta-marg?LV-r&
Г45 ugu ГЗЗ dal mi-пат diri
12 ta-mar 12 40 [...]
i-Si-ma 8 wa-ri-\ti ta-mar]
(Далее разрушено)
Об. 1
(Начало разрушено)
1 Id 30 GAR [us 30 dagal-la]
[4 kus] i-na ku[n 2 kus sahar (?)]
a ugnim mi-tin za-e k[t-da-zu-de]
30 us a-na 30 i-si-ma 15 qa-qa-ra ta-mar
5 4 й 2 ku-mu-ur-ma 6 ta-mar ba-ma-tam fyi-
pi-ma
3 ta-mar 3 а-яа 15 qa-qa-ri i-si-ma
45 sabar-bi-a ta-mar igi 10 es-kar pu-tur-ma
6 ta-mar a-na 45 i-si-ma 4'30 erimme? ta-mar
ki-a-am пё-рё-sum
233

30
6
4
3 2
1
30
712
7'12
7'12
7'12
43']2
43'l2
43'12
43'l2
id 30
4 kus
3 kus
2 kus
GAR us 30
и r-dam-ma
ur-dam-ma
ur-dam-ma
10 id 30 GAR us 30 GAR dagal-la ZA-GIR-GUB
ma-11 ur-dam-ma u-ul i-di
ma-li ur-dam-ma u-ul i-di
ma-li ur-dam-ma u-ul i-di
i-na kun sa lkus sabar-bi-a it erLiimes mi\nu]
15 za-e ki-da-zu-de it ma-ri-ti pu-tur-[ma]
2848 ta-mar a-na 30 us i-si-m\a]
14'24 ta-mar a-na 30 sag i-si-ma]
7'12 sabar ta-mar sa 1 lii igi-10 es-kar \pu-
tur-;:: . j
6 ta-mar 6 a-na 7'12 i-si-[ma]
20 [43'12 ta-mar erimnies ki]-a-am [пё-рё-sum]
Об. II.
Li]
vein
s[o...]
10 kus mu-uh 50 4 kus si-fii-im
a-na 1 GAR us sabar-bi-a-ш mi-nu
za-e ki-da-zu-de 50 it 10 ku-mur-ma
1 ta-mar ba-ma-at fyi-pi-ma 30 ta-mar
30 а-яа 4 i-si-ma 2 ta-mar 2 а-/га 1
i-si-ma 2 ta-mar sabar ki-a-am пё-рё-sum
7.
i-ku-um ha-am-sa-at SA-LlP-bi mu-uh-hu
si-in mu-uh-hi 1 me-lam й sahar 1SAR
<2-/г<2 30 kus at-bu-uk a-na i-ki-ia
10 mu-uh-ha SA-LU-bi it ma-1 i-a-'am
mi-n\am ...] LU ... za-e ki-da-zu-de
12 ha-[am]-sa-a-tim e-si-ma-su
24 ta-\mar\24 a-na 12 i-si-ma
448 ta-[mar an]-ta gar-ra 12 u 12.
1 Транскрипция последних двух знаков сомнительна '(то же в строке Об. 10).
2 Вертикальный клин, т. е. единица, записан сверху ранее стоявшего
углового клина, т. е. десяти.
234

Обратную от 30 о[бразуй, и 2 ты видишь].
35 от 251 от[ними, и 10 ты видишь].
5 10 на 2 умножь, и [20 ты видишь].
25 от 5 отни[ми, и 20 ты видишь].
20 на 2 умножь, и [40 ты видишь].
Таков способ.
(Рисунок; см. транскрипцию)
.... 42"30, длина длинная ;
10 [17 "30, длина короткая; 46, ширина верхняя]-
(Далее разрушено)
Л. III.
(Начало разрушено)
3. /[.... ты види]шь.
[.,.. ты вид]ишь
[....] умножь,
[ т]ы видишь. 0"36 на 145
5 [умножь, 1]"3 ты видишь; верхнее клади.
[048] на 0"15 умножь, и 042 ты видишь.
042 от ГЗ, что для верхнего положено, отними,,,
и 0"51, линию раздела, ты видишь. 145 ширина
верхняя,
над 045, шириной нижней, (на) сколько
выдается?
10 (На) ГЗО выдается. Его обратную образуй, и 040
ты видишь; клади.
145 над ГЗЗ, линией раздела, (на) сколько
выдается?
0"12 ты видишь. 0"12 на 040, что [....], умножь,.
и 0"8 спуск.
Об. I
(Начало разрушено)
4. / Канал... 30 GA[R длина; 30 ширина];
[4 kus]; в резервуа[ре (на) 2 kus. Объем (?)]
и отряд сколько? Ты т[воими знаниями];
30, длину, на 30 умножь, 15'0, площадь
основания, ты видишь.
5 4 и 2 сложи, и б ты видишь. Пополам раздели,
3 ты видишь. 3 на 15'0, площадь основания,
умножь,
454) объем. Обратную 040, рабочей нормы,
образуй, и
1 Действие вычитания сформулировано- так, как будто большее
отнимается от меньшего.
236

15 ku-mur-ma [Г1]2 ta-mar ba-ma-at hi-pi
a-tia .448 i-[$i-/n]<2 1'26'24 ta-mar
i-na ib-sig ...[•-•] 1'40 ta-mar
i-tia ib-si8 [...] ta-mar
(Строка 19 на крае таблички Об. II разрушена)
Об. III.
(Начало разрушено)
8. 1 6 4 30 [й 5 ku-mur-ma]
45 ta-mar 2 й 1 ku-mur-ma
3 ta-mar а-па KU(?) 45
3 dah-ma 48 ta-mar
5 igi-48 pu-tur a-na 3 i-si-ma
345 ta-/nar 345
a-/za 6 i-si-ma 22'30 erim*nes ta-mar
345 a-/za 4 i-si-ma
15 erimmes ta-mar 345 a-/z<2 30
70 i-si-ma Г52'30 erimmes ta-mar
345 а-лл 5 i-si-ma
1845 erimnies ta-mar
2 it \ ku-mur-ma 3 ta-mar
345 я-яа 3 i-si-ma
15 1145 erimmes ta-mar
12'30 л-лл 10 i-si-ma
345 ta-mar 15 а-яа 15
i-si-ma 345 ta-mar
Г52'30 а-яа 2 i-si-ma
20 345 *а-/иаг 1845
а-яа 12 i-si-ma 345 ta-mar
[igi]-2 kus lti pu-tur-ma 30 ta-mar
\a-n\a 345 i-si-ma
[1'521'30 *]-яа 10(?)
25 [...] 32 [...] 5 kus lu
[ ] 5 (?) /-/га а-
I ] na (?)
(Возможно, что это последняя строка
задачи; край разрушен)
Перевод
Л. I
(Начало разрушено)
1. / 25 [....]

6 ты видишь. На 454) умножь, 4'30'0 рабочих
ты видишь.
Таков способ.
5. (Рисунок; см. транскрипцию).
10 Канал. 30 GAR, длина; 30, ширина ступенчатая.
(На) 4 kus я спустился. На сколько я спустился,
не знаю.
(На) 3 kus я спустился. На сколько я
спустился, не знаю.
(На) 2 kus я спустился. На сколько я
спустился, не знаю.
В резервуаре, который (имеет) 1 kus, —объем
и рабочих скол[ько]?
15 Ты твоими знаниями: (обратную от суммы
обратных) образуй, [и]
0"2848 ты видишь. На 30, длину, умножь, и
14"24 ты видишь. На 30, ширину, умножь, [и]
7'12 ты видишь. Объем на 1 человека: обратную
040 [образуй, и]
6 ты видишь. 6 на 7'12 умножь, [и]
20 [43'12 ты видишь рабочих. Та]ков [способ].
Об. II
6. (Рисунок; см. транскрипцию)
1 0"10 GAR 1 наверху; 0"50, 4 kus высота.
На 1 GAR длины мой объем сколько?
Ты твоими знаниями: 0*50 и 040 сложи, и
1 ты видишь. Пополам раздели, 0"30 ты видишь.
5 0*30 на 4 умножь, 2 ты видишь. 2 на 1
умножь, 2 ты видишь, объем. Таков способ.
7. (Рисунок; см. транскрипцию)
Дамба. Одна пятая низа (?) —верх.
Дважды верхнего в высоту (?) и (?) земли 1 SAR
на 0"30 (GAR т. е. 6) kus я насыпал для дамбы.
10 Верх, низ и высоту
скол[ько] (?) .... ты твоим способом:
0*12, одн[ой] пятой, удвоено,
0724 ты видишь. 0"24 на 12 умножь,
448 ты ви[дишь, нав]ерху клади. 1 и 0"12
15 сложи, [1"1]2 ты видишь. Пополам раздели,
на 448 ум[ножь], и Г26'242 ты видишь.
1 уак надо читать 10 kus (см. выше, стр. 32 и сл.).
2 результа! умножения 0"36 на 4"48 равен 2//52/48 и в два раза больше
масла, которое указано в тексте.
237

аз==42*30— соответственно «длина длинная» и «длина
короткая»; 6l = 14, Ь3 = 46 — соответственно «ширина верхняя» и
«ширина нижняя». Если по этим данным вычислить площадь
«ложной трапеции», то получим величину S—15'Дсм. рисунок к
тексту задачи):
s= flt + Дз 61 + 63 = 17-30+42ff30 Ji+iL^ 30-30 ==15^0
2 ~ * ' 2 2 2
В том, что речь идет о ложной трапеции, убеждают
следующие вычисления:
]/ Л±А = а2 = 32"30, j/"
iLt*L =*» = 34.
Факт рациональности а2 и 62 (линий раздела) нельзя
считать чем-то случайным; он свидетельствует об определенном
способе выбора чисел в качестве заданных величин. Тройка
а и а 2 и а3 получена из вавилонских чисел 7, 13, 17 путем
умножения каждого из них на 2*30, а тройки b и Ь2, Ь 3 — из
вавилонских чисел 7, 17, 23 путем умножения каждого из
них на 2.
Задача 3 (Л. III, /—/3>
. Условие задачи, рисунок, который, вероятно, был
приложен к тексту, и заключительные строки находились на
разрушенной или отломанной части таблички, однако
сохранившиеся 10 строк (4—13) позволяют дать следующее бесспорное
толкование.
Рассматривается трапеция, для которой заданы основания
(«ширина верхняя» и «ширина нижняя», см. строки 8, 9):
2=145, л; = 045 и высота 1=1. (Последняя величина в
сохранившейся части текста прямо не упомянута). Линией у =1*15,
параллельной основаниям, трапеция может быть разделена
на равновеликие части (использована вавилонская тройка 1,
5, 7 и множитель 045). При этом стороны заданы так, чтобы
площадь фигуры 5 была равна единице. Действительно,
о_ х + 2 i _ 1*45+ 0*15 - j
2 1 2 ~~ '
Задача заключается в том, чтобы разделить указанную
трапецию на части двумя параллельными основаниям
рациональными линиями z \ и х х и чтобы новая трапеция,
образованная этими линиями внутри исходной, тоже делилась линией
у на две равновеликие части (рис. 49).
Действия по вычислению z 1 не сохранились, но могут
быть реконструированы:
048 • 145 + 0"36 ■ 04 5 = 1 "33 = — z + А х = z f.
■ 5 5
239

В квадрате (?) [.... 4] Г40 ты видишь.
В корне квадратном [0"50...| ты видишь
Об. III
(Начало разрушено)
8. / 6, 4, 30 [и 5 сложи, и]
45 ты видишь. 2 и 1 с[ложи, и]
3 ты видишь. К 45
3 прибавь, и 48 ты видишь.
5 Обратную от 48 образуй, на З'О'О умножь, и
345 ты видишь. 345
на 6 умножь, и 22'30 рабочих ты видишь.
345 на 4 умножь, и
15'0рабочих ты видишь. 345 на 30
10 умножь, и 1'52'30 рабочих ты видишь.
345 на 5 умножь, и
1845 рабочих ты видишь.
2 и 1 сложи, и 3 ты видишь.
345 на 3 умножь, и
15 1145 рабочих ты видишь.
22'30 на 040 умножь, и
345' ты видишь. 15'9на 045
умножь, и 345 ты видишь.
1'52'30 на 0"2 умножь, и
20 345 ты видишь. 1845
на 042 умножь, и 345 ты видишь.
[Обратную] (от) 2 kus-человек образуй, и 0"30
ты видишь.
На 345 умножь, и
[1'52]"30 [ты видишь] 10 (?)
25 [....] 32 [....] 5 kus-человек
Комментарий
Задача 1 (Л. I, ,1—8)
Текст настолько разрушен, что содержание задачи уже
не поддается восстановлению. В строках 3—7 сохранились
следующие действия: —=2, 35— 25=10, 10-2=20, 25—5=20,
20-2=40. .
Задача 2 {Л. I, 9—10)
От задачи сохранились рисунок и две первые строки
текста. Рассматривается, очевидно, поле в виде «ложной трапеции»1.
Заданными, по-видимому, являются стороны фигуры: а1=17//30,.
1 Ом. выше, стр. 203.
238

Выкладки текста можно записать в виде формул:
S = ab=\5'0 SAR,
V = S hl + hl = 45'0 SAR,
n — ~~ = 4'30'0 человеко-дней,
SAR
где5 — площадь основания, V — объем, Р = 0"10 !
человеко-день
обратная постоянная, обозначающая норму труда, п —
количество человеко-дней.
Мы предположили, что резервуар имеет горизонтальное
дно и, следовательно, вырыт на склоне горы. Менее вероятна
точка зрения, согласно которой водохранилище находится на
равнине, но имеет покатое дно.
Задача 5 (Об. I, 10—20)
Полностью сохранились текст задачи и прилагаемый к ней
рисунок. Как и в предшествующем случае, рассматривается
водохранилище, выкопанное, очевидно, на склоне горы,
имеющее квадратное основание, стороны которого — «длина» и
«ширина» — равны а = 6 = 30 GAR.
Водохранилище имеет четыре различные глубины:
h , = 4 kus, Л 2 = 3 kus, h 3 = 2 kus, Л« = 1 kus (рис. 51)-
а
Рис. 51.
В отличие от первых трех последняя глубина Л4 = 1 kus
является, по-видимому, глубиной водохранилища в целом
(см. строку 14: «в резервуаре, который (имеет) 1 kus»).
Очевидно, вторые половины строк 11—13, где говорится:
«насколько я спустился, не знаю», надо понимать так, что
16 А. А. Вайман
241

Действия по вычислению х х дошли полностью:
0*36-Г45 = ГЗ = (строки 4, 5),
о
0"48-0"15 = 0"12=—х (строка 6),
5
ГЗ - 0"21 = 0"51 = — z - ~х = *, (строки 7, £).
5 5
(Подробное объяснение этих формул см. выше, стр. 198 и сл.).
Рис. 49 Рис. 50
Кроме того, в тексте сохранилось вычисление отрезка
высоты /г=0"8, названного «спуском» (строка 13):
145 - 0П5 = ГЗО = z-x. (строки 8 - 10),
т4-=0"40=г-тЬ (строка /0),
145- l,,33 = 0*12 = z-z1 (строки //, 12),
042-0Ч0 = 0'/8=^=:^=Я (строки 12, 13).
г — х
Строго говоря, чтобы получить h, не хватает еще одного
действия—умножения 0"8 на L Но поскольку 1=1, это
действие могло быть опущено.
Задача 4 (Об. I, 1—9)
Текст задачи сохранился полностью; возможно, был еще
рисунок, который находился на отломанной и утерянной
части таблички. Рассматривается резервуар для воды,
входящий в оросительную систему. Водохранилище имеет в
основании квадрат, стороны которого а = 6 = 30 GAR, и две
глубины /г i=4 kus, h 2 = 2 kus.
Требуется вычислить объем резервуара и количество
человеко-дней, которое необходимо затратить, для того чтобы
его вырыть. Таким образом, рассматривается прямая призма,
показанная на рис. 50.
240

глубины 4, 3, 2 kus (первые половины этих же строк) еще
не характеризуют глубину водохранилища в целом, которая
фактически везде одинакова и равна 1 kus.
Соответственно глубинам hu h2 и т. д. водохранилище
можно представить себе разделенным на четыре отсека.
Требуется вычислить объемы отсеков, предполагая, как вытекает
из решения, что эти объемы равны: Vi = V2 — V%=V4====F;
кроме того, надо найти количество человеко-дней п,
затрачиваемое на выемку земли из одного отсека. Постоянная
SAR
нормы труда Р = 0"10 . Решение задачи можно
человеко-день
представить в виде формул:
V"=: — j—Ц — = 0"28'48, V= l/'a& = 7'12SAR
hx h% hz
у
и, далее, п — - = 43'12человеко-дней.
Действия по вычислению V в тексте опущены; указан
только конечный результат (строка 16). Нетрудно показать,
что задача решена правильно (см. стр. 91 и сл. настоящего
издания). Размеры водохранилища и величины V и п указаны
на рисунке, прилагаемом к тексту задачи.
Задана 6 (Об. II, 1—6)
В задаче вычисляется объем сооружения (по-видимому,
дамбы), имеющего форму прямой
призмы, показанной на рис. 52.
Заданы:
:/ = 1 GAR, а = 0*50 GAR,
6 = 0*10 GAR, ft = 4 kus.
Объем найден по формуле
V=^t±hl = 2 SAR.
9
Размеры сооружения и его
объем указаны на рисунке,
прилагаемом к тексту задачи.
РИС. Ь2
Задача 7 (Об. II, 7—18)
Хотя текст задачи сохранился почти полностью
(разрушена только последняя строка, находившаяся на. нижнем крае
таблички) и дан рисунок, содержание задачи для нас остает-
242

ся непонятным. Ясно лишь, что в ней говорится о дамбе
(см. строку 7), размеры которой отчасти совпадают с
размерами аналогичного сооружения, рассматриваемого в
предшествующей задаче (см. величины 0"50 и 040, отмеченные на
прилагаемом к тексту задачи рисунке).
Задача ВД0&|111,^1—27)
Начало задачи, т. е. условие ее, находилось на
отломанной й утерянной части таблички. Поэтому смысл задачи
понятен нам только в самых общих чертах. В строках / —6
произведены следующие вычисления:
1) 6+4+30+5 = 45, 2) 2+1 =3, 3) 45+3 = 48,
4) — = ОТ 15, 5) 04'15-3'0'0 = 345. ■
' 48
Далее в строках 7—15 имеем:
6) 3'45-6 = 22'30, 7) 345-4= 154), 8) 345-30 = 1'52'30,
■9) 345-5 = 1845, 10) 2+1=3, 11) 345-3=11'15.
Результаты умножения обозначают, очевидно, количество
человеко-дней, сумма которых равна З'О'О. Действительно:
22,30+15/0+Г52/30+1845+1145 = 3/0/0.
Ц/_ В строках 16—.2/|произведень обратные действия:
12) 22'30-040 = 3455 13) 15U045 = 345,
14)4 52'30-0"2=345, 15) 1845-042=345, где множители 040,.
045, 0"2, 042 суть обратные величины уже известных нам
чисел — соответственно 6, 4, 30, 5. Следовало ожидать
еще одного действия: 1145-0*20 = 345, где0"20^—, но в
2+1
тексте его нет.
В строках 22—24 имеем:
16) J- = 0"30, 17) 345-0"30=1'52*30,
причем величина 2 (см. знаменатель предпоследнего
действия) названа «kus-человеком» (строка 22). Это можно понять
как количество локтей, которое приходится на 1 человеко-
день.
Обозначим
6 = а, 4 = 6, 30 = с, 5 = flf, 2-Й = е,. e = Z,
З'0'O^/V.
Тогда действия 1) —И) можно будет записать в виде формул
16* 243

где пи п2... пь —человеко-дни. При этом наблюдается
равенство
Действительно,
A_i 2j 2j Zj Zj
Ясно, что a, b, c, d не выражают объемы или длины
отдельных участков некоторого сооружения (на длину
указывает выражение «локоть-человек»); Е— суммарный объем
или суммарную длину; /V — количество человеко-дней,
отнесенное к 2; соответственно пХл пг ... пъ — количество
человеко-дней, отнесенное к а, 6, с, d, е. Выражение
~ Щ- ДОЛЖНО ИМеТЬ раЗМерНОСТЬ объема (или длины)>
N человеко-день
Заметим, что предложенное нами в переводе и
комментарии абсолютное чтение чисел не является бесспорным: не
исключены и другие варианты, например N — 3'О вместо
ЛГ = 3'0'0; а = 0"6 вместо а = 6 и т. д.
М. U ET III 13861
Хозяйственный документ, датируемый. периодом III
династии Ура. Издана автография текста, сопровождающаяся
кратким изложением его содержания [33, pi. CLI; 34, р. 2].
Транскрипция
/ 20 lai 72 GAR gfd 3 [kus dagal]
3 kus suk[udj
a-sa 147a SAR 7 [% gin]
7 7, GAR gid 2 kus dagal
5 3 kus sukud .
a-sa 3 7з2 SAR 5 gin
ra-gab a-gis-gi
su-nigin a-sa-bi 187, SAR 27, gin
kal 1-se ud 1-a 32/3 <SAR> 5 gin
10 kal-bi 4'54 ud 1-se
Ф [ • • ]
M I ]
1 Хранится в университетском музее в Филадельфии. Раскопочный но
мер 4478.
2 Легран читает 31/2, в автографии — 3*/з.
244

КА [
mu [ ]
PA [ ]
lugal [ ]
MA-DA [ ]
Перевод
/ 1972' GAR длина, 3 [kus ширина],
3 kus высота.
Объем2-1472 SAR 7[72 gin].
772 GAR длина, 2 kus ширина,
5 3 kus высота.
Объем— 373 SAR 5 gin.
Инспектор (?) с тростником3.
Итого объем — 18 /з SAR 27а gin.
Для ГО человека на 1 день
32/3<SAR> 27, gin.
10 Людей его — 4'54 в 1 день.
11—19 (см. комментарий).
Комментарий
В табличке зафиксированы длина (а, и а2), ширина (6, и
Ь2), высота (/г, и h2) и объем (V] и V2) двух сооружаемых стен
(в самом тексте объект работ не назван).
Размеры первой стены:
fll=1972GAR=19"30 GAR,
6,==3kus=0"15SAR,
/?i=3 kus,
V,=1472SAR 77a gin=14"37'30 SAR
(см. строки 1—4).
Нетрудно проверить, что
Размеры второй стены:
о,=77я GAR=7"30 GAR,
62=2kus=-0"10 SAR,
/?2=3kus,
y2=373 SAR 5 gin=3"25 SAR
1 Легран читает 19 вместо 1972 = 20—'/a-
2 Буквально «площадь» (то же в строке 6).
8 Перевод Леграна.
245

(см. строки 4—6). В записи объема V2 допущена ошибка,
равная 1/з SAR. Действительно,
■V2=fla6aAa=345 SAR=32/3 SAR 5 gin.
В данном случае перед нами, несомненно, описка, так
как суммарный объем двух стен
1/=Т/1+1/а=181/з SAR 27з gin=18"22'30 SAR
в тексте уже указан правильно (см. строку #).
Кроме того, зафиксирован объем части стены, возводимой
ГО, т. е. 60 рабочими в день:
р=За/8 SAR 5 gin (ГЗ'45 SAR (строка 9);
следовательно, для того чтобы возвести обе стены (объем V),
требуется /г=4'54 человеко-дней (строка 10). Действительно,
В разрушенной части текста содержались, очевидно,
данные, касающиеся распределения рабочих, или человеко-дней
между отдельными смотрителями, а также дата написания
документа.
Табличка интересна близостью своего содержания к
некоторым задачам клинописных математических текстов (см.,
например, приложение I, L, задачи № 4 и 5), которые
датируются, однако, более поздним временем (на несколько сотен
лет). Норма труда Р=0"ЗЧ5 тоже встречается в клинописных
математических, текстах и списках обратных постоянных (см.
выше, стр. 38). Обращает на себя внимание, что число ГО
(строка 9) формально может быть прочитано и как 1, однако
составитель документа и другие лица, которые пользовались
записями, конечно, читали безошибочно ГО. Отметим
также, что термин, выражающий понятие объема, совпадает
в этом документе с термином, выражающим понятие площади.
N. С 304 1
Хозяйственная или, судя по округлой ее форме, школьная
табличка, датируемая первой четвертью II тысячелетия.
Текст издан в автографии [53].
Транскрипция
Лицевая сторона
1 6 GAR 4!/3kus gf[d]
72 GAR sukud
1 Хранится в Лувре, Париж.
246

2 kus 5 su <-si> dagal
sabar-bi 3!/2 SAR 2'/2 gin
5 sig4-bi 25 72 SAR
Оборотная cm op она
/ 3 30 [...] 1 50
3 [. . .]
3 10 [...] 50
Перевод
Лицевая сторона
1 6 GAR 4 7зкй§, длин[а];
Ve GAR, высота;
2 kus 5 su<-si>, ширина.
Объем: 3!/2 SAR 2{/2 gin.
5 Кирпич его: 25!/я SAR.
Комментарий
На лицевой стороне зафиксированы длина, ширина,
высота и объем кирпичной стены соответственно:
а=6 GAR З'/з kus=6"21'40 GAR,
6=2 kus 5su-si=0"10'50 GAR,
A=72 GAR=6 kus,
1/=372 SAR 272 gin=3'"32'30 SAR.
Откуда взято указанное значение объема, неясно, так как
произведение
а6Л=6*53'28'20
почти в два раза больше V.
Кроме этих величин, указано еще количество кирпичей:
/V=2572 SAR = 25*30 SAR.
Разделив количество Аг на объем V, получим
сс=—?=7*12,
т. е. постоянную штабеля кирпичей типа 1 (в объеме, равном
1SAR, укладывается а = 7"12SAR кирпичей величиной
VskuSXVs kusX5 su-si) (см. выше, стр. 39).
Отметим, что, если пользоваться одними целыми
кирпичами этого типа, их надо будет укладывать в стене не
только плашмя, но и торцовой частью, поскольку ширина стены
Ь—2 kus 5 su-si.
Назначение записей на оборотной стороне таблички
непонятно; не исключено, что они связаны с вычислениями,
касающимися текста лицевой стороны.
247

Брат 5-й —3 ma-na 12 gin.
2. 2160004-36004-61 коза,
10 600 + 193 подпаска. 1 подпасок
сколько ин них отобрал? 4'37 из них отобрал.
3. 216000+3600 f 61 овца, 13 пастухов.
1 пастух сколько из них отобрал?
4'4Г37 из них отобрал.
4. 15 3600+61 овца, 7 пастухов.
1 пастух сколько из них отобрал? 843 из них
отобрал..
Комментарий
Задана 1 {строки 1—8)
Требуется .разделить 26 ma-na 152/з gin 15se серебра
между пятью братьями, причем так, чтобы доля, полученная
каждым старшим братом, была на 1/б ее часть больше, чем
доля следующего за ним. Решение задачи не приведено,
зафиксирован лишь ответ:
2
^1=72/зта-па8—gin 15 se=74845 ma-na,
а2=6 ma-na 15 gin=645 ma-na,
a3=5 ma-na,
a4=4 ma-na,
#5=3 ma-na 12 gin=342 ma-na
(aua2 и т. д.—доли каждого из братьев начиная со
старшего). Сложив аиа2 и т. д., мы, действительно, найдем,
что их сумма равна общему количеству серебра
5=26 ma-na 152/3 gin 15 se=264 545 ma-na.
Нетрудно показать, что задача решена правильно и что
аи а2 и т. д. составляют геометрическую прогрессию со
знаменателем 4/б- Действительно, если доля старшего брата
равна а,, то доля второго брата — а2=а1 — х1ьа\—*1ьаи
доля третьего — аъ = 4/5а2 = (4А>)2#1 и т. д., что приводит к
геометрической прогрессии
аи %аи (%)*аи (%)*аи (%)%.
Запишем значения а1э а% и т. д. в виде последовательности
74845, 645, 5, 4, 342. (1)
При составлении задачи древний математик, очевидно, не
сразу получил эту последовательность. Сначала,
по-видимому, он взял в качестве доли старшего брата 1. Тогда доля
второго брата оказалась равной 4/?* 1=0^48, доля третьего
брата - yi*Qf*48==&38'2A и т. д. В результате должна оыла
образоваться последовательность
1, 048, 0*38'24, 0"3042'12, 0"24'34'33'36, (2)
249

О. UETV
Математическая табличка, найденная в Уре и датируемая
старовавилонским временем. Текст издан в автографии и
определен как хозяйственный документ по разделу имущества
[25, pp. 1, 6 и pi. XXVI].
Транскрипция
Лицевая сторона2
1. / 26mana 152/з gin 1[5 se ku-ba]bar
dumu-nita-Ы 5 ses-gal ses dumu-ndta
igi-5-gal ba-la-kam be-ib-diri
ses-gal-e 74?, ma-na *2/3 15 se
5 ses-2-kam 6 ma-na 15 gin
ses-3-kam 5 ma-na
ses-4-kam 4 ma-na
ses-5-kam 3 ma-na 12 gin
2. 1 (sar-gal) 1 (sar) l'l uz-bi-a
10 1 (ges-u) 3'13 kab-ra kab-ra 1-е3
en-nam ib-si-ti 4'37 ib-si-ti
3. 1 (sar-gal) 1 (sar) Г1 udu-bi-a 13 siba
siba 1-е en-nam ib-si-ti
441'37 ib-s;-ti
15 1 (§ёг) l'l udu-b!-a
siba 1-е en-nam ib<si ti> 8'34 ib-si-ti
Перевод
Лицевая сторона
1. /26 ma-na 15 2/з gin 1[5 se сереб]ра.
Наследников этого 5. Брат старший (другого)
брата-наследника
(на) х1ъ-ю часть доли пусть превышает.
Брат старший —72/з ma-na 82/3 gin 15 se.
5 Брат 2-й — 6 ma-na 15 gin.
Брат 3-й — 5 ma-na.
Брат 4-й —4 ma-na.
1 Тексты О, Р, Q хранятся в Багдадском музее.
2 На оборотной стороне таблички записей нет.
3 В автографии стоит kab-ra-me-a, что в данном контексте грамматически
не вполне понятно. Вероятнее всего, мы имеем дело с ошибкой, сделанной
древним писцом или при копировке текста (ср. те-а
и 1-е
)-В задачах 3 и 4 этого же текста, полностьюаналогичных задаче 2,
действительно читаем © соответствующих местах: siba 1-е, т. е. «1 пастух».
248

сумма членов которой равна 3"2Г4Г45'36. Последовательность
(1) получается из последовательности (2) умножением
каждого из членов последней на 7"48'45.
По своему числовому составу последовательность (1)
гораздо проще последовательности (2), и с этой точки зрения
множитель 7"48'45 выбран чрезвычайно удачно. Как же был
найден этот множитель? Надо думать, что последовательность
(2) первоначально была записана в виде
1, 4.072, (4-0"12)2, (4-0"12)3, (4.(Г12)4, (2а)
где 4-0"12 = 4/5- На основании (2а) уже легко найти тот
множитель, который упрощает числовые данные, а именно
__i_ = 0//152'53==7//48/45. Следовательно, составляя задачу,
вавилонский математик оперировал, очевидно, явно
выраженной геометрической прогрессией, хотя в условии задачи это
и оказалось завуалированным.
Задача 2 (строки 9—11)
Стадо из l'l'l'l коз было поровну разделено между 13'13
подпасками (в тексте оба числа записаны в непозиционной
системе счета), и в результате на одного подпаска пришлось
4'37 коз:
LLiI = 4'37,
13' 13]
Задача 3 (строки™!2—14)
Стадо из ГГГ1 овец (в тексте непозиционная запись
числа) было поровну разделено между 13 пастухами, и на
одного пастуха пришлось 4'4Г37 овец:
14 'Г1
LLL1=4/41,37.
13
Задача 4 (строки 15, 16)
Стадо из ГГ1 овец (в тексте непозиционная запись) было
поровну разделено между семью пастухами, и в результате
на одного пастуха пришлось 843 овец:
-^-=843.
7
Более подробно об этих задачах см. выше, стр. 183 и сл.
P. U Е Т V 858
Математическая табличка, найденная в Уре и датируемая
старовавилонским временем. Текст издан в автографии и
250

15
142
15<
142
5 Ширину верхнюю и ширину нижнюю сложи,
(это) есть 24. 24 пополам, (это) есть 12.
12 (раз) длину 17 умножь,
площадь этого есть liku 2 SAR.
Ширина средняя верная: что есть (ширина средняя)
верная?
10 От ширины верхней 17,
ширину нижнюю, а именно 7, отними;
остатком этого является 10.
Оборотнаясторона
10 (раз) длину 24
умножь, (это) есть 4.
15 От ширины верхней 17
от[ним]и, остатком этого является 13 —
ширина [средняя вербная.
0*24 (раз) длину 1[7 у]множь;
648, длина 1-я. Ширину верхнюю и ширину
19а нижнюю
20 сложи, (это) есть 30. Пополам,
это есть 15. (15) раз 648
умножь. Площадь этого есть liku 2 SAR.
От ширины верхней 17 6"[48]
отними; остаток этого [1042 — длина 2-я],
25Ширину среднюю и ширину нижнюю [сложи],
[(это) есть 20. 20 пополам, это есть 10].
Край
[10 раз 1042 умножь1,
[(это) есть] Г[42. Площадь этого есть liku 2 SAR].
Комментарий
Условие задачи в тексте не сформулировано. Только из
решения мы узнаем, что рассматривается трапеция (рис.. 53),
для которой заданы большое основание («ширина верхняя»)
а = 17 GAR, малое основание («ширина нижняя») 6 = 7 GAR,
высота /z=17GAR.
Линией с («шириной средней»), параллельной основаниям,
трапеция разбита на две равновеликие части, площади
которых обозначим через $г и S2. Таким образом, если S —
площадь всей фигуры, то
1 Очевидно, ошибочно вместо 10.
252

охарактеризован как «Вычисление площадей трапеции (?)»
[25, р. 25, pi. CXXXVIJ.
Транскрипция
Лицевая сторона
1 • а • [••••■••••]
la 1 [(iku),ku2SAR]
6148]
15
142
[1 (iku)iku 2 SAR]
Ю'[48]
15
Г42
5 sag sag-an-na u sag ki-ta [u-ub-gar]
24-arn 24 su-ri-a-bi 12-й[ш]
12 a-ra us 17-se u-ub-tum
a-sa-bi 1 (iku) iku 2 SAR-am
sag-murub gi-na a-na gi-na-am
10 sa sag sag-an-na l/-ta
sag ki-ta 7-am u-ub-te-zi
ib-tag4-bi 10-am
Оборотная сторона
10-am (a-ra) us 24-se
u-ub-tum 4-am <4arn>
15 sa sag sag-an-na 17-ta
u-[ub-t]e-zi ib-tag4-bi 13-am
sag-[murub gli-na
24 (a-ra)us l[7-se] u-ub-tum
648 us 1-kam sag an-na u sag
19a ki-ta
20 u-ub-gar 30-am su-ri-a-bi
15-am a-ra 648-se
u-ub-tum a-sa-bi l(iku) ik[u 2 SAR-am]
sa sag an-na 17-ta 6'[48-am]
u-ub-te-zi ib-tag4-bi [1042 us 2-kam]
25 sag murub u sag ki-ta [u-ub-gar]
[20-am 20 su-ri-a-bi]
Край
[10 a-ra 10'12 u-ub-tum]
l'[42-am a-sa-bi 1 (iku) iku 2 SAR-am]
■
Перевод
Лицевая сторона
1 .... [. ...]
la 1 [iku 2 SAR]
6"[48]
[1 iku 2 SAR]
10"[12]

В строках 5— 8 вычисляется половина площади трапеции
2 2 \ 2 У 2 V 2
/ 2
Величина площади всей трапеции
S=3'24SAR и действия по делению этой
величины пополам в тексте не
отмечены.
В строках 9—17 вычисляется «ширина
средняя» £ = 13 GAR.
Как и следовало ожидать, Ь, с, а
составляют вавилонскую тройку чисел:
7, 13, 17 (см. выше, стр. 195 и сл.). Но с
найдено не по формуле
с= у —- = 13,
17 j = l'42 SAR=1 iku 2 SAR
h
a
*1
Л 2
Si
Рис. 53
а путем следующих выкладок:
17-7=10, 10-0"24=4/ 17—4=13 = с.
Нам представляется, что последняя запись должна быть
истолкована как
с=17-(17-7).0"24 = а-(а-6)
где отношение части высоты ко всей высоте, т. е.
-Л=0"24, автору текста было заранее известно (см. выше,
h
стр. 196).
В строках 18, 19 вычисляется отрезок высоты hu названный
«длиной 1-й»:
0*24.17 = 6*48 GAR = /z1.
Считая 0*24= — и \7=h, получаем формулу
h
h
В строках 20—22 вычисляется площадь:
5—^^—142 SAR=liku 2 SAR.
В строках 23, 24 вычисляется отрезок высоты
h2=h — At—1СГ12 SAR, '
названный «длиной 2-й». К высоте h=\7 здесь ошибочно
Прилагается термин «длина верхняя» вместо «длина».
В строках 25—28 вычисляется площадь:
52=^/?2=1Ч2 SAR=l;ku 2 SAR.
253

2. 2 SAR 15 gin a-sa
407* SAR sabar us sag u bur
ib-si8
us sag u bur-bi en-nam
Перевод
Лицевая сторона
1. 1 [10]"40'16 пл[ощадь его].
[1]'4'Т36 объем.
Длина и ширина пусть будут равны, глубина ....
Сколько для площади сторона1?
5 3"16, сторона. 3"16, длина,
3"16, ширина; площадь его, 10"40'16.
Какую глубину дает объем, который ты видишь?
6 дает объем, который ты видишь.
3 GAR 3 kus б su-si, длина.,
10 3 GAR 3 kus 6 su-si, ширина.
72 GAR, глубина.
Площадь его 10 2/з SAR {U (gin) 3 se.
Объем его 1 SAR 4 gfn 472 se
Vie se-har
15 вернул обратно (восстановил).
2. 2 SAR 15 gin, площадь.
407г SAR, объем. Длина, ширина и глубина
равны.
Длина, ширина и глубина сколько?
Комментарий
Задача 1 (строки 1—15)
Рассматривается параллелепипед, имеющий площадь
основания S=10"40'16 (SAR), объем V=1'4'T36 (SAR). Требуется
вычислить «длину» х, «ширину» у и «глубину» z
параллелепипеда, если известно, что
х=у.
Ответ:
л^у^ЗПб (GAR), 2=6 (kus).
Все указанные величины зафиксированы в строках 1—8
текста. В следующих за ними строках 9—14 приведены
метрологические записи этих же величин:
л; = у = 3 GAR 3 kus 6 su-si, z— — GAR,
«Корень квадратный»? To же в стк. 5.
255

Числа, находящиеся в строках 1—4, представляют собой
сокращенные записи результатов арифметических выкладок
текста:
liku 2 SAR=SI=S2 (строка la);
6Ч8=/гь 10*12=А2 (строка 2);
1б=7«(«+Ь); 10=Чш(с+Ь) (строка 5).
(Мы полагаем, что в этой строке число 15 написано по ошибке
вместо 10).
1'42 =S,=S2 (строка 4).
Отметим, что площади S^=St текстом определены
дважды: в первом случае — как половина площади всей трапеции,
5
т. е.—, во втором — как площади двух отдельных трапеции.
Вторичное определение площадей должно было, по-видимому,
служить доказательством правильности решения задачи —
если с, h\ и й2 найдены верно, то Sl = S2 = —
Q. UET 8591
Математическая табличка, найденная в Уре и датируемая
старовавилонским временем. Текст издан в автографии и
охарактеризован как «Вычисление объема» [25, р. 22, pi.
CXXXVIIIJ.
Транскрипция
Л ицев а я с т оро на2
1. / [10]'40'16 a-fsa-bi]
[1]'4Т36 sabar ■
us й sag be-ib-si8 ЬйгЦ..
a-sa-ga en-narn ba-si8-e
5 3'16 ba-si8-e 3'16 us
3'16 sag a-sa-bi 10'40'16
a-na-an bur in-gar-ma sabar i-pad-da
6 in-gar-ma sabar i-pad-de
3 GAR 3 kus 6 su-si us
10 3 GAR 3 kus 6 su-si sag
»/2 GAR-ba bur
a-sa-ga-bi 102/3 SAR igi-4-gal 3 se
sabar-bi 1 SAR 4 gin 4'/2 se
igi-18-gal se-bar
15 ki-bi ba-ab-gi4
1 Раскопочный номер 11213.
2 Оборотная сторона без записей.
254

5 =10—SAR — gin 3 se,
3 4 ь
V = 1SAR 4gin 4 — se ~ se-bar.
ь 2 18
Значения x, у, zy 5 указаны верно, значение V —
неправильно. Действительно, если последнее выражение объема
привести к общей мере, то получим У = 1"4'Г36 SAR вместо
V=Y4TV3$ SAR. Ошибка возникла из-за отсутствия в
шестидесятеричной позиционной системе специального знака,
отделяющего целое от дроби.
Стоящее в конце записи объема шумерское se-bar
(«молотое зерно», «крупинка») в данном контексте может означать
только меру объема, причем меньшую, чем se («зерно»).
Другие случаи употребления шумерами или вавилонянами этой
меры нам неизвестны. Легко подсчитать, что поскольку
У=1"4'Г36 SAR (ошибочное значение объема), то-^se-bar===
=0"18 se и, следовательно, 1 se-bar = 5*24 se. Однако такое
соотношение между двумя мерами объема вряд ли
могло иметь место. По-видимому, кроме упомянутой выше
ошибки, писец допустил еще одну и записал— se-bar вместо
18
18 se-bar. Действительно, если 18 se-bar=0"18 se, то 1 se~bar=
=0,'l se, что является для шумеро-вавилонской метрологии
весьма обычным соотношением.
Не совсем ясно, чем руководствовался составитель
задачи при выборе числовых заданий для х = у = 3"16. Весьма
возможно, что последнее число привлекло к себе внимание
потому, что 3'16 является полным квадратом 14, т. е. 3'16 =
=142.
Задана 2 (строка 16—19).
Рассматривается куб, имеющий площадь основания 5=2 SAR
15 gin = 2*15 SAR, объем У = 4!/а SAR = 4"30 SAR;
требуется вычислить «длину» х, «ширину» у и «глубину» Z
куба. Ответ не приводится, однако, решив задачу, найдем
Х==у=^/5=Г30 GAR.
Таким образом,
x=y=rz=V/2 GAR.
R. U Е Т V 864 1
Математическая табличка, найденная в Уре и
датируемая старовавилонским временем. Текст издан в автографии и
охарактеризован как «Межевание поля» [25, р. 27, pi. CXXXIXJ.
1 Табличка хранится в Британском музее. Раскоп-очный № 19000 D.
256

Транскрипция
Лицевая сторона
1 a-sa-bi gisGU
a-sa-bi 4 (iku) ikfl
en-nam-ta ad-kti-uS
640 a-sa en-nam ba-si8-e
5 20 ba-si8-e
igi-4-gal sag 4-bi
ab-te-dus 15
15 a-ra 20 u-ub-tum
5 i-ped-de
10 5 ta-am ad-ku-u$
Оборотная сторона
20 us a-ra 5
dl-di iu-d\-im
u-ub-turn
/' 140 i-pad-da
15 140 a-ra 4 u-ub-tum
640 a-sa gu-la
i-p^d-de
Перевод
Лицевая сторона
1 Поле гороховое (?).
Площадь его 4 iku.
Сколько я отрезал?
640 площадь, сколько сторона
5 20 сторона.
— его ширины, 4 — его2,
4
отломи, 0П5.
0"15 раз 20 умножь,
5 ты видишь.
10 5 я отрезал.
Обо ротная cm о ро на
20, длина, раз 5
полосу (у) основания
умножь,
140 ты видишь.
«Корень квадратный»?
Вероятно, имеется в виду четвертая часть ширины.
а. Вайман

15 140 раз 4 умножь,
640, площадь большую,
ты видишь.
Комментарий
Дан квадрат (точнее, поле в форме квадрата) площадью
S = 4iku = 6'40SAR.
Сторона его
a=v/640 = 20 GAR.
От квадрата отрезается прямоугольник «длиной» 20 GAR и
«шириной»
Ь=— -20 = 5 GAR.
4
Площадь прямоугольника
/7 = 20-5 = 140 SAR.
Площадь квадрата («большая площадь»)
5 = Г40.4 = 640 SAR
Таблички 0,.Р, Q, R представляют интерес не только по
своему математическому содержанию, но и потому, что все
они происходят из Ура; это в значительной мере обогащает
наши знания о локальных особенностях клинописных
математических текстов1. Наибольшее внимание привлекают
таблички О и Р. В частности, во второй из названных табличек
содержатся все термины, относящиеся к четырем
математическим, действиям. Этот текст особенно важен, так как
написан от начала до конца исключительно по-шумерски, с
соблюдением всех необходимых грамматических показателей,
что является большой редкостью для математических
документов.
S. V А Т 75312
Старовавилонская математическая табличка. Изданы
фотография, автография, транскрипция, перевод и комментарий
текста [36, 1, Ss. 249-289; 36,- 2, Taf. 20, 46].
Перевод
Лицевая сторона
1. / 2'35"50, длина длинная; Г54"10, [длина короткая];
50, ширина верхняя; 4Г40, ширина нижняя.
Площадь его как велика, посмотри,
1 По этому вопросу пока имеется одна лишь работа [28, pp. 146—151].
2 Хранится iB Берлинском музее.
258

3 братьям поровну [раздели]
5 и воину колышек1 его [покажи].
2. IO'37'ЗО, длина длинная; 2'17'30, длина короткая;
Ю'О, ширина верхняя; 8'20, ширина нижняя.
Площадь его как велика, посмотри,
5 шестидесяти человек по liku отграничь,
10 и воину колышек его покажи.
Остаток твоей площади 2 шестидесяти человек
поровну дай и воину
колышек его покажи.
Вместе 7 шестидесяти человек. Какова площадь его?
3. 15 2'28'30, длина длинная; l'16'ЗО, длина короткая;
2, ширина верхняя; Г36, ширина нижняя.
Площадь его как велика, посмотри,
1 тысяче [6 сотням человек]2 поровну
раздели [и воину колышек его]
20 покажи.
Оборотная сторона
4. / 2'40'30, длина длинная; Г56'30, длина короткая;
1/37/30, ширина верхняя; ГЗО'ЗО, ширина нижняя.
Площадь его как велика, посмотри, >
5 братьям поровну .
5 раздели и воину колышек его
покажи.
Комментарий
В табличке зафиксированы четыре задачи почти
одинакового Содержания. В каждой из них говорится о какой-то
фигуре, для которой заданы «длина длинная», «длина короткая»,
«ширина верхняя», «ширина нижняя». Надо найти площадь
фигуры и разделить ее определенным образом на части..
Отсутствие каких-либо вычислений,ответов и пояснительных
рисунков затрудняет истолкование задач. Мы не знаем
прежде всего, о какой именно фигуре идет речь и что обозначают
приведенные выше термины. Нейгебауер считает, что в
задачах рассматривается прямоугольная трапеция, в которой
«ширина верхняя» и «ширина нижняя» являются
основаниями, а «длина длинная» и «длина короткая» — отрезками
вертикальной стороны. Ниже предлагается иное толкование
терминов (и, следовательно, иное толкование фигуры),
основанное на анализе числовых заданий.
1 Имеется в виду знак собственности — колышек, вбитый в землю на
соответствующем участке. Перевод стк. <5 и толкование ее см. [48, S. 199].
2 Восстановлено нами. От 6 полностью сохранился верхний и частично
нижний ряды вертикальных клиньев (см. фотографшр и автографию текста).
17*
259

Будем считать, что фигура, о которой идет речь,
действительно трапеция (не вдаваясь, однако, в дальнейшее
уточнение ее формы). При этом «длину длинную» и «длину
короткую» — соответственно а и Ъ — будем рассматривать как
большое и малое основания трапеции, а «ширину верхнюю» и
«ширину нижнюю» —
соответственно с и d—как
большую и малую боковые
стороны (рис. 54; х к у явля-,
ются отрезками основания
трапеции, отсекаемыми
соответствующими высотами h
и К). Тогда площадь
трапеции
сX
\
h
V
\
S x
Л
a
Рис. 54
где высота
■h
1 А.» _ f (c-rf)2 + (a-6)2 у
V L 2(a — b) J*
Вавилонские математики избегали иррациональных чисел,
и в задачах, приводящих к извлечению квадратного корня,
стремились к тому, чтобы подкоренное выражение оказалось
полным квадратом. Если наше предположение правильно, то
в анализируемых задачах мы встретимся с таким же
явлением, т. е. если «длина длинная» и «длина
короткая»—действительно основания трапеции, а «ширина верхняя» и
«ширина нижняя» — боковые ее стороны, то, подставляя числовые
значения соответствующих величин в формулу для h, мы
должны будем получить рациональные значения высот.
Прежде чем выполнить требуемые вычисления, выберем для
заданных величин следующие абсолютные значения:
/. а = 2'35"50, 6=1'54"10, с = 50, ' d = 41*40,
2. а=10/37*30, 6 = 2'17"30, с = 10'0, d = 8'20,
&=1'16"30,
& = 1'56"30,
3. а = 2'28"30,
4. а = 2'40"30,
Вычислив высоту, а затем
трапеций, получим:
/. h = 40,
2. й = 8'0,
3. Л = 1'36,
. 4. Л = 1'30,
<? = 2'0, d=VS6,
с = l'37"30,.d= 1'30"30.
и площадь соответствующих
5
5
S
S
У ЗО'О,
51'40'Q,
З'О'О,
З'ЗО'О.
Таким образом, во всех четырех трапециях высоты
оказались рациональными, что подтверждает правильность
предложенной выше реконструкции фигуры.
Заслуживает внимания, что в первых двух трапециях
260

разность оснований равна меньшей боковой стороне.,
Действительно, в первой трапеции имеем
* а — Ь = 2'35"50 — 1 '5440 = 41"40 = rf,
во второй
а —Ь =10'37"30 — 2'17*30 = 8'20 = d.
Из этого следует, что соответствующие высоты могли
быть вычислены по формуле более простой, чем та, которая
приведена выше, а именно:
В третьей трапеции высота равна малой боковой стороне,
т. е. трапеция прямоугольная:
ft = l'36 = rf.
Наконец, четвертая фигура представляет собой наиболее
общий тип трапеции.
Попытаемся выяснить, как были подобраны
подходящие рациональные числа для сторон трапеций и каким
Образом были получены различные варианты этой фигуры.
Каждую из четырех трапеций, за исключением третьей,
можно разбить на прямоугольник и два прямоугольных
треугольника (рис. 54). Третья трапеция делится на
прямоугольник и один прямоугольный треугольник. Подбор чисел для
сторон трапеции естественно было начинать с подбора чисел
для сторон соответствующих треугольников.
В первой трапеции имеем:
x:h:c = 30:40:50^(3.10):(4-10):(5-10) =3:4:5,
у: h: d= 11 "40:40:4V 40 = (7 • 1 "40): (24 • 1 "40): (25 • 1 "40) = 7:24:25.
Для построения двух треугольников трапеции были
использованы пифагоровы тройки 3, 4, 5 и 7, 24, 25 и
соответственно множители пропорциональности 10 и 140=1 —- •
Во второй трапеции:
д;:/г:с = 6'0:8'0:10,0 = (3-2'0):(4-2'0):(5-2,0) = 3:4:5,
у: h: d = 2'20:8'0 :8'20 = (7 • 20): (24 • 20): (25 • 20) = 7:24 :25.
Для построения двух треугольников трапеции были
использованы те же пифагоровы тройки 3, 4, 5 и 7, 24, 25 и
соответственно множители пропорциональности 2'0 и 20=
=—-Г0.
з ,
Заметим, что, поскольку в первых двух трапециях a—b =rf,
они могли быть построены сложением параллелограмма с
261

Итак, согласно условию задач по заданным четырем сторонам
требуется найти площади трапеции. Помимо этого, каждую из
трапеций, за исключением второй, необходимо разделить на два
участка, один из которых надо дополнительно разделить на
равновеликие части, предназначенные «братьям» или «людям», а
другой—отдать «воину». Вторая трапеция должна быть разбита
на четыре участка, два из которых надо дополнительно
разделить на равновеликие части, предназначенные «людям», а
остальные два — опять-таки отдать двум «воинам».
Речь идет, по-видимому, о двух типах полевых участков,
отличающихся друг от друга по форме. Участки одного типа,
будучи удобными для раздела на любое количество
равновеликих частей, должны, очевидно, иметь очертания
параллелограмма или прямоугольника. Если выделить из трапеции
одну из этих фигур, то останется один или два
треугольника (участки другого типа). Параллелограмм или прямоугольник
следует, по-видимому, считать участками «братьев» или
«людей», а треугольники — участками «воинов».

равнобедренным треугольником (рис. 55). В этом случае для
первой трапеции имеем:
~: hx :d = 25:33"20:4140 = (3• 8"20): (4• 8"20): (5 • 8"20) = 3:4:5.
Для второй трапеции:
-|-:AI:rf = 5,0:6,40:8,20 = (3-l,40):(4-l,40) :(5-1'40)=3:4:5.
Таким образом, обе трапеции могли быть построены при
помощи одной и той же пифагоровой тройки 3, 4 и 5 и двух
разных множителей
пропорциональности— 8'20 и Г40. Какой из
этих способов был применен
составителем задачи, сказать трудно.
Третья трапеция является пря-
Рис 55 моугольной. В ней d — h\
следовательно, х=а—Ь, у = 0 (рис. 54) и
x:h :с=Г12:Г36:2'0 = (3-24):(4-24):(5-24) = 3:4:5.
Прямоугольный треугольник этой трапеции построен при по-
"мощи пифагоровой тройки 3, 4, 5 и множителя
пропорциональности 24.
1 Четвертая трапеция:
х :k:c=37"30: ГЗО: 1 '37"30=(5 • 7"30): (12 • 7"30): (13 • 7"30)= 5:12:13,
«, у: h: rf= 9"30:1 '30:1 '30"30 =(19- 0"30): (З'О ■ 0"30): (3' 1 • 0"30) =
= 19:3'0:3'1.
Два треугольника этой трапеции построены при помощи
пифагоровых троек 5, 12, 13; 19, З'О, 3'1 и двух множителей
пропорциональности — соответственно 7"30 и 0"30.
Выбрав по своему усмотрению пифагоровы тройки 3, 4, 5;
5,12, 13; 7, 24, 25 (?); 19, З'О, 3,1 и соответствующие множители
пропорциональности, древний математик задавал боковые
стороны трапеции с и d и разность ее оснований. Чтобы
однозначно задать трапецию, надо было еще выбрать величину
малого основания Ь\ одновременно была бы определена
величина большего основания а, так как a = b+(a—Ь). Древний
математик мог взять в. качестве Ъ любое рациональное число,
и он подбирал его таким образом, чтобы площади трапеций
выражались несложными по виду числами: в первой задаче—
ГЗО'О, во второй —5Г40'0, в третьей — З'О'О', в четвертой —
З'ЗО'О. Таким образом, если S — площадь трапеции, Si —
площадь соответствующего прямоугольника, 52 — сумма
площадей двух соответствующих прямоугольных треугольников и
h — высота фигуры (рис, 54) являются уже заданными величи-
нэми, то
l sx s—s2
h h

ПРИЛОЖЕНИЕ II
Автографии и фотографии
Эрм. 15063, Л., автография
(грамматическое упражнение).

Эрм. 15063, Об., ав тография
(метрологический текст)

Эрм. 15218, Л., автография
(таблица корней кубических)

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ
В ТРАНСКРИПЦИИ И ПЕРЕВОДЕ
( ) — вставка переводчика.
[ ] —разрушенная запись.
< > — дополнение пропущенной записи или указание
на ошибочное повторение записи.
{ } — ошибочная группа цифр в вычислительных
таблицах.
(?) —чтение или перевод сомнительны.
—-один знак не прочтен (в транскрипции).
— два знака не прочтены (в транскрипции).
— несколько знаков не прочтены (в
транскрипции).
... —слово или несколько слов не прочтены (в
переводе).

Эрм. 15073» Об., фотография

БИБЛИОГРАФИЯ
1. А. А. Вайман, Эрмитажная клинописная математическая табличка
№ 15189, — «Эпиграфика Востока», 1955, № 10, стр. 73—83.
2. А. А. Вайман, О геометрической фигуре absamikku клинописных
математических текстов, — ВДИ, 1959, № 1, стр. 91—94.
3. А. А. Вайман, Вавилонские числа, — «Исто;рико-математические
исследования», вып. 10, 1957, стр. 587—594.
4. Б. Л. Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука, перев. с голландского
И. Н. Веселовскогб, М., 1959.
5. И. Н. Весело'вский, Вавилонская математика,—«Труды Ин-та истории
естествознания и техники», т. 5, М., 1955, стр. 241—303.
6. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире, М.—Л., 1941.
7. М. Я. Выгодский, Происхождение знака нуля в вавилонской
математике,— «Историко-математические исследования», вып. 12, 1959, стр. 393—421.
8. С. Я. Лурье, К вопросу о египетском влиянии на греческую
математику,— «Архив Ин-та истории естествознания и техники», серия I, вып. I,
М.—Л., 1933, стр. 45—70.
9. О. Нейгебауер, Лекции по истории античных математических наук,
т. I., «Догреческая математика», перев. с предисловием и примечаниями
проф. С. Я. Лурье, М.—Л., 1937.
10. А. Е. Раик, Из ранней истории алгебры. Квадратные уравнения,—
УЗПГУ, т. VIII, вып. I, 1953, стр. 31—63.
11. А. Е. Раик, О биквадратных уравнениях у вавилонян, — УЗПГУ,
т. IX, вып. 4, 1955, стр. 11 — 14.
12. А. П. Рифтин, Старовавилонские документы в собраниях СССР, М.—
Л., 1937.
13. С. Alotte de la Fuye, La table mathematique AO 6456, — RA, vol. XXIX,
1932, pp. 11 — 19.
14. E. M. Bruins, Nouvelles decouvertes sur les mathemfitiques babylo-
niennes, Paris, 1951.
15. E. M. Bruins, Revision of the mathematical texts of Tell Harmal,—
vol. IX, 1953, N 2, pp. 241—259.
16. E. M. Bruins, On the system of babylonian geometry, — «Summer».
vol. XI, 1955, N 1, pp. 44—49.
17. E.* M. Bruins, The technique of areas in babylonian mathematics,—
«Janus», XLVI, 1957, N 1, pp. 4—11.
18. E. M. Bruins, Pythagorean triads, — «Summer», vol. XI, 1955, N 2,
pp. 117—121.
19. E. M. Bruins, Pythagorean triads in babylonian mathematics, — «The
Mathematical Gazette*, vol. 41, 1957, N 335, pp. 25—28.
20. E. M. Bruins, Neuere Ergebnisse zur Babylonischen Arithmeiik,—
«Praxis der Mathematib, Bd I, 1959, N 4, Ss. 89^-95.
21. A. Deimel, Sumerisches Lexikon, t. I—III, Rome, 1928—1937.
22. F. Delitzsch, Assyrisches Handwdrterbuch, Leipzig, 1896.
18 A. A. Вайман
273

23. E. DrenckLan, A geometrical contribution to the study of the
mathematical text from Tell Harmal (IM 55357) in the Iraq Museum Baghdad,—
«Summer», vol. VII, 1951, N I, pp. 22^27.
24. A. Eisenlohr, Altbabylonischer Felderplan, Leipzig, 1896.
25. H. H. Figulla and W. J. Martin, Letters and documents of old-babylo-
nian period, — «Ur excavations texts», V, London, 1953.
26. S. Garidz, The origin and development of the quadratic equation in ba-
bylonian, greek and early arable algebra, — «Osiris», vol. 3, 1937. pp. 405—557.
27. A. Goetze, A mathematical compendium from Tell Harmal, — «Summer».
vol. VII, 1951, N 2, pp. 126—155.
28. A. Goetze, The akkadian dialects of the old-baby Ionian mathematical
texts [37, pip. 146—ilQl].
29. H. V. Hilprecht, Mathematical, metrological, chronological tablets from
the temple library of Nippur, — «The Babylonian expendition of the University
of Pennsylvania. Series A: Cuneiform texts», vol. 20, pt I, Philadelphia, 1906.
30. P. Huber, Zu einem mathematischen Keilschrifttext,— «lsis», vol. 46,
pt 2, 1955, pp. 104—«106.
31. P. Huber, Bemerkungen iiber mathematische Keilschrifttexte, — <cEn-
seignement mathematique», Ann. 3, N I, 1957, pp. 19—27.
32. S. N. Kramer, From the tablets of Sumer, Indian Hills, 1956.
'33. L. Legrain, Business documents of the Third Dynasty of Or (Plates),—
«Ur excavations texts», III, London, 1937.
34. L. Legrain, Business documents of the Third Dynasty of Ur (Indexes.
Vocabulary, Catalogue, Lists), — «Ur excavations texts», III, London, 1947.
95. H. Lewy, Marginal notes on a recent volume of babylonian
mathematical texts, — JAOS, vol. 67, 1947, pp. 305—320.
3'6. O. Neugebauer, Mathematische Keilschrifttexte, Т. 1—3, — QSf Abt.
A, Bd 3, Berlin, 1935—1937.
37. O. Neugebauer and A. Sachs, Mathematical cuneiform texts, New
Haven, 1945.
38. O. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Copenhagen, 1957.
39. O. Neugebauer, On a special use of the sign *Zero» in cuneiform
astronomical texts — JAOS, vol. 61, 1941, pp. 213—2115.
40. A. Parrot, Foiles de Tello, campagne 1931—1932, — RA, vol. XXIX, 1932,
pp. 45—47.
41. A. Pebel, Grundzuge der sumerischen Grammatik, Rostock, 1923.
42. G. Reisner, Tempelurkunden aus Telloh, Berlin, 1901.
43. «Late babylonian astronomical and related texts», copied by T. G.
Pinches and J. N. Stassmaier, prepared for publication by A. J. Sachs with the
cooperation of J. Schaumberger, Providence, 1955.
44. A. Sachs, Notes on fractional expressions in old babylonian mathematic
texts, — «Journa-l of Near Eastern Studies», vol. V, 1946, N 3, pp. 203—214.
45. A. Sachs, Babylonian mathematical texts, II, III, — JCS, vol. VI, 1952,
N 4, pp. 151—156.
'46. A. Sachs, Babylonian mathematical texts, I (Reciprocals of regular
sexagesimal numbers), —JCS, vol. I, 1947, N 3, pp. 222—237.
47. A. Sachs, Some metrological problems in old babylonian mathematical
texts, — «Bulletin of the American Schools of oriental research^, N 96, 1944,
pp. 29—39.
48. W. von Soden, рец. на кн.: Neugebauer, MKT, — «Zeitschrift der Deut-
schen Morgenlandischen Gesellschafb, Bd 91, 1937, Ss. 1185—<204.
49. W. W. Struve, Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museum der
schonen Kunste in Moscau, — QS, Abt. A, Bd. I, Berlin, 1930.
50. W. Struve und O. Neugebauer, Ober die Geometrie des Kreises in
Babylonian,—QS, Abt. B, Bd I, 1929, Ss. 81—92.
51. F. Thureau-Dangin, Textes mathematiques Babyloniens, Leiden, 1938.
52. F. Thureau-Dangin, Tablettes d'Uruk a Vusage des pretes du temple
d'Anu au temps des Seleucides, — «Musee du Louvre, Textes cuneiformes»,
Paris, 1922.
53. F. Thureau-Dangin, Recueil de tablettes chaldeennes, Paris, 1903.
274

'54. F.- Thureau-Dangin, Distances entre etoiles fixes, — RA, vol. X, 1913,
p:p. 215—225.
55. F. Thureau-Dangin, Esquisse d'une histoire da systeme sexgesimal,
Paris, 1932.
56. F. Thureau-Dangin, Notes sar la mathematique babylonienne, — RA,
vol. XXX, 1936, pp. 180—184.
57. F. Thureau-Dangin, Textes mathematiques babyloniennes, — RA,
vol. XXXIII, 1936, pp. 65—84.
68. F. Thureau-Dangin, Uequation du deuxieme degre dans la mathematique
babylonienne, — RA, vol. XXXIII, 1936, .pp. 27—48.
59. F. Thureau-Dangin, La methode fausse de position et Vorigine de VaU
gebre, — RA, vol. XXXV, 1938, pp. 71—77.
60. F. Thureau-Dangin, Un cadastre Chaldeen, — RA, vol. IV, 1897, pp. 13—
27.
61. K. Vogel, Vorgriechische Mathematik, Т. II, Hannover, 1959.
18*

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
ВДИ —Вестник древней истории
УЗПГУ— Ученые записки Пермского государственного*
университета им. А. М. Горького
JCS —Journal of cuneiform studies
JAOS -—Journal of American Oriental Society
QS - Quellen und Studien zur Geschichte der Mathema-
tik, Astronomie und Physik, Abteilung A: Quellen,
Abteilung B: Studien
RA — Revue d'assyriologie et d'archeologie orient ale

ОГЛАВЛ EH И Е
Введение ' . . .
Источники изучения шумеро-вавилонской математики . . .
Изучение клинописных математических текстов
Глава I. Шумеро-вавилонские системы исчисления . . . .
Десятечно-шестеричная непозиционная система исчисления
Десятеричная лепозиционная система .исчисления . . . .
Шестидесятеричная позиционная система исчисления . . .
Функциональное назначение шумеро-вавилонских систем
исчисления
Происхождение шумеро-вавилонских систем исчисления . .
Дроби ......
Символическое обозначение чисел и числительные
Глава II. Шумеро-вавилонская метрология
Меры длины, площади, объема и веса
'Метрологические таблицы .
Некоторые особенности обозначения мер
Глава III. Постоянные величины и списки обратных постоянных
Постоянные величины
Списки обратных постоянных
Эмпирические постоянные
Математические постоянные
Некоторые наиболее общие особенности обратных постоянных
Глава IV Техника вычислений и вычислительные таблицы
Таблицы обратных величин
Таблицы умножения
Таблицы квадратов, корней квадратных и другие
вычислительные таблицы
Вычислительные алгоритмы
Своеобразие вычислительной техники и степень ее
эффективности
Глава V. Арифметика ....................
Термины и понятия четырех арифметических действий . . .
Арифметические задачи '
Основные арифметические методы
Глава VI. Геометрия
Геометрические термины и понятия
Треугольник и трапеция
Круг
Стереометрия »«.<.»»«..
Глава VII. Алгебра
Неполные квадратные уравнения типа (I)

Полные квадратные уравнения типа (II) и (III) 152
Системы уравнений канонического вида 159
Квадратные уравнения и алгебраические преобразования . . 168
Алгебраические сборники 174
Глава VIII. Составление задач и элементы теории чисел .... 182
Разложение составного числа на простые множители . . . 182
Пифагоровы числа 184
Пифагоровы числа и деление прямоугольного треугольника на
параллельные равновеликие полосы 192
Вавилонские числа и деление трапеции на параллельные
попарно равновеликие полосы 195
Вавилонские числа и «ложные трапеции» 202
Заключение . 207
приложения
Приложение I 215
A. LBA 1637 215
B. LBA 1631 .218
C. LBA 1632 219
D. LBA 1633 220
E. LBA 1634 221
F. LBA 1635 222
G. LBA 1636 223
H. LBA 1638 225
I. LBA 1639 226
J. LBA 1641 227
К. VAT 2117 229
L. Эрм. 15073 232
М. UET III 1386 244
N. С 304 246
О. UET V 121 248
P. UET V 858 250
Q. UET 859 .... ■ 254
R. UET V 864 256
S. VAT 7531 258
Приложение II (Автографии и фотографии) - ■ 264
Условные обозначения, применяемые в транскрипции и перев. . 27"
Библиография . . • 273
Список сокращений Г7в

ОПЕЧАТКИ
Напечатано
Следует читать
6 снизу
5 снизу
3, 4, 5, 11 снизу
1 сверху
17 сверху
16 снизу
13, 21 сверху
4 сверху
14 сверху,
15 снизу
до 0*0'10 GAR
GAN-zi-mf
F
F
-«?
145 ugu
15
5= 15
_N_
S
burl...
т. e. 0'0'IOGAR
GAN-zara
F2
pt
J'45 ugu
15'0
S = 15'0
_S
N
bur LI...
За к. 1672