АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
С. А. ТЕРСЕНОВ
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
С МЕНЯЮЩИМСЯ
НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
Ответственный редактор
д-р фиа.-мат. наук В. Г. Романов
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1985

УДК 517.956.416
Терсенов С. Л. Параболические уравнения с
меняющимся направлением времени.— Новосибирск:
Наука, 1985.
Монография посвящена постановке и исследованию ряда
краевых задач для линейных параболических уравнений с
меняющимся направлением времени.
Книга предназначена для специалистов по дифференци-
дифференциальным уравнениям.
Рецензенты
U. М. Лаврентьев, С. В. "Успенский
1702050000-71180-85-1 © Издательство «Наука», 1985 г.
042@2)—85

ВВЕДЕНИЕ
Книга посвящена постановке п исследованию краевых задач
для линейных уравнепий параболического типа с меняющимся
направлением времени. В качестве примера можно указать
уравнение ut = uxxsgnx в области Q = (\х\ < 1) X @< t < Т).
Краевые задачи в обычной постановке для уравпепий с указан-
указанным свойством не являются корректно поставленными. Напри-
Например, для приведенного выше уравнения, очевидно, задача Дирих-
Дирихле в обычной постановке не имеет решения, если начальные дан-
данные при t = О, Ы < 1 пе аналитические.
Первыми работами об уравнениях такого типа, по-видимому,
были статьи Жеврея [50, 51J, опубликованные еще в 1913—
1914 гг. Последнее время интерес к ним возрос. Это вызвано,
в частности, их приложениями в гидродинамике — изучением
движения жидкости со знакопеременным коэффициентч
вязкости.
Исследования по нелинейным уравнениям неременного типа
автором не обсуждаются. Полный список работ, посвященных
нелинейным уравнениям, имеется в монографии [26].
Краевые задачи для липейпых уравнений с меняющимся на-
направлением времени рассматривались в работах [8", 9, 46—48,
52—54] и других, краткое резюме результатов которых приво-
приводится в § 6 главы 1.
В предлагаемой книге в основном излагаются результаты
автора, связанные с применением теории сингулярных инте-
интегральных уравнений. В обычных краевых "задачах для строго
параболических уравнений гладкость начальных и граничных
данных без дополнительных условий полностью определяет при-
принадлежность решения пространствам Л\'\ • Но в случае "урав-
"уравнений с мепяющимся направлением времени гладкость началь-
начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлеж-
принадлежность решения пространствам H%'pt/2. Применение теории син-
сингулярных уравнений дает возможность наряду с гладкостью
данных указать дополнительно необходимые и достаточные усло-
условия, обеспечивающие принадлежность решения пространствам
НРХ'Т при р > 2.

Кпига состоит из двух глав. В § 1 главы 1 приводится поста-
постановка задачи для уравнения ц, sgn х = ихх в области Q =
= (Ы < °°) X (О, Т) и дапо подробное ее исследование. Даются
необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в про-
пространствах н%+Ь-\+т, 0 < ^ < 1/2. В § 2 проводится анало-
аналогичное исследование для уравнепия utsgny = иуу+ (к/у)щ, где
к = 2а— 1, 0<а<1, в пространствах Гельдера с весом, зави-
зависящим от а, которые при а = 1/2 совпадают с Н%1+^' *+р/г .
В § 3 исследуется первая краевая задача для уравнепия fit)ut =
= L(u), где L — оператор второго порядка строго эллиптического
типа. Функция fit) -обращается в пуль в интервале (О, Т). Если
функция / в точке t0 s (О, Т) имеет нуль выше первого порядка,
то решение, такое, что и(х, 0) = q>(/@) > 0) и и = 0 на дп X @, Г),
тождественно обращается в нуль при t>t0 для любой ф. Если
функция / имеет нуль пиже первого порядка или кусочно-посто-
япная (с переменой знака), то, оказывается, для разрешимости
"первой краевой задачи пеобходимб паложить на область неко-
некоторые геометрические условия. Приводятся примеры таких 'ситу-
'ситуаций. В § 4 главы 1 рассматривается одно приложение резуль-
результатов § 1 и 2 к уравнению щ = Ыи), когда L в области является
гиперболо-эллиптическим оператором. В § 5 изучается краевая
задача для -уравнения щ = упт + аиу, где а — кусочно-постоян-
кусочно-постоянная функция от f в иптервале @, Т). В этом случае задача в
конечном итоге сводится к системе сипгулярных уравнений. В § 6
дается краткий обзор исследований, имеющих непосредственное
отпошение к результатам § 1—5.
В главе 2 приводятся потенциалы для уравнения ut +
l
= 0, где В = —£ -\ оператор Бес-
Бесселя, a L — строго эллиптический оператор порядка 2га по пере-
переменным хи ..., хп с постоянными коэффициентами, скажем,
L = Ат, и для этих потенциалов устанавливаются оцепки в раз-
различных пространствах фупкций. В § 1 выписываются потепциа-
лы и устанавливаются различные свойства при соответствующей
гладкости плотностей. В § 2 даются оценки порм в гельдеров-
ских пространствах функций, в определении которых присут-
присутствует постоянная к в операторе Бесселя, в § 3 — оцепки норм
обобщенных операторов Абеля в обычных пространствах Гель-
Гельдера. Эти операторы на самом деле являются зпачениями
нормальных производных по у с весами при у — 0. Если L = 0,
то оценки совпадают с оценками для обычных операторов Абеля
(см. [39]). В § 4 устанавливаются оценки для обобщенных опе-
операторов Абеля в случае к = 0 в пространствах Соболева
Wp24x4tm, когда q — не целое число.
Оценки, получепные в § 1—4, подсказывают, в каких про-
пространствах искать решения сингулярных интегральных уравне-
уравнений, к которым редуцируются краевые задачи, чтобы решепие
уравнения принадлежало заданному пространству Гельдера или
-4

Соболева. Эти априорные оцепки сами по себе имеют самостоя-
самостоятельное значение. Оцепок в гельдеровских или других классах
для потенциалов, соответствующих параболическим уравнениям
с вырождающимся оператором, имеется немного. Отметим оцен-
оценки, полученпые в работе [10] для объемного потенциала, кото-
которые там же используются при исследовании краевых задач для
нелинейных уравнений. В § 5 даются формулы суперпозиции
абелевых операторов, при помощи которых задача сводится к
разрешимости сипгулярного уравнения. В § 6 исследуется одна
нелокальная задача для уравпения параболического типа. Таки&
задачи в более общем случае изучены в работе [33]. Здесь нас
интересовали ситуации, в которых решения могут быть выпи-
выписаны при помощи формул, используемых в главе 1.
Под решениями уравпепий в кпиге почти всюду попимаются
решения, имеющие столько непрерывных производпых внутри
области, сколько их в уравнепии. Всюду, где приводятся оценки,,
буквой С обозначепы постоянные, вообще говоря, различные*
Как обычно, H%p'f/m обозначает пространство Гельдера
(см. [25]), а С- *■ — мпожество непрерывно дифферепцируемых
функций до Z-ro порядка, удовлетворяющих условию Гельдера &
показателем Я.
Автор выражает глубокую благодарность ответственному ре-
редактору В. Г. Романову и аспирантам X. Ахмедову, Л. Гамбоевуг
А. Конисову, Син Дон Ха за советы и обсуждение излагаемого-
в книге материала.

Глава 1
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДА ЧА
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
Будем рассматривать постаповку и проводить исследование
первой краевой задачи для различных модельных уравнений, для
которых можно, используя теорию потенциала, редуцировать
задачу к сингулярному уравпению или к их системе. Примене-
Применение теории сингулярных уравнений, на наш взгляд, позволит
изучать и задачи с отличным от пуля индексом. В этой главе в
некоторых случаях будем пользоваться оценками для потенциа-
потенциалов, которые приводятся во второй главе.
$ 1. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ut sgn х = ихх
Постановку и исследование первой краевой задачи начнем
с параболического уравнения
т sgn ж = цет A.1)
в области Qo = (Ы < °°) X (О, Т). Очевидпо, уравпепие A.1) па-
параболического типа в Qo с меняющимся направлением времени.
Будем.искать ограниченное решепие уравнения A.1) в Qo (я¥=0),
которое удовлетворяет
^начальным условиям
и{х, 0) =/,(«), 0<ж<оо, и(х, Т) = /2Ы, -оо<ж<0,
2) условиям склеивания
»(-o,*)-«(+o,i), gU_0 = SU+0, o<f<r.
Для удобства вместо уравнения A.1) будем рассматривать си-
систему уравнений
Uu = Uixxu —U2t=Uixx A.2)
в области Q = @ < х < °°) X @, Т). Тогда поставленная задача
может быть переформулирована для системы A.2) так: найти
ограниченные решения ut и ц2 системы A.2) в Q, которые удов-
удовлетворяют ~
1) начальным условиям
щ(х, 0)=/,Ы, п2(.х; Я=/2Ы,
6

2) условиям склеивания
. «х (О, t) = u2 (О, t), £ К + и,) |ж^о = 0, 0 < * < Т.
Для удобства эту задачу в дальнейшем будем называть задачей 1.
Нетрудно видеть, что. в силу принципа максимума всякое
ограниченное в Q и непрерывно дифференцируемое вплоть до
х = 0 решение задачи 1 единственно. В самом деле, положитель-
положительные максимумы решений ut и иг однородной задачи могут до-
достигаться на линии х = 0. Причем в силу первого из условий
склеивания эти максимумы достигаются в одной и той же точке
@, t). Тогда в силу известного свойства нормальпой производной,
в этой точке имеем uix + и2х < 0, что противоречит второму из
условий склеивания. Аналогичное противоречие получим в слу-
случае отрицательного минимума. Отсюда следует единственность
решения.
Будем искать решения и,, s = 1, 2, из пространства
l^+m(Q), где I > 0 — целое число, 0 < ^ < 1/2. Заметим
сразу, что гладкость функций fAx), вообще говоря, не обеспе-
обеспечивает существование решений из пространства #|'+в'«+р/а (#)
при I > 1. Например, пусть /i = а, /2 = 6, где а и Ъ — постоянные,
аФЪ. Как будет показано ниже, функции
* хг 1 1
U1=а - ы i е41г^{t"т)[т {Т"TI ld%
т Xs 1 1
 = ъ + Й J е~^{х - f)~*[т {Т - тI~4 dx
являются единственным решением задачи 1 из пространства
Hlfi{Q)[\C'i'1{Q). Но уже при Z = l имеем и, ф Я*+р>41+р/2 (Q).
В данном случае для того чтобы иае Я^" t+p/2 (<?), необходимо
и достаточно, чтобы а = 6.
1. Итак, будем искать решения из пространства
Я2(+р,!+р/2((?)> Пусть /дх)еЯ21+'1@<ж<со). Обозначим
через F< продолжение f{ на значения а; < 0 с сохранением F( s
еЯ21+рAа;1<оо). Если ^@, 1)=%(г)еЯ(?МШ!@, Г), то щ
можно представить так:
- т) 2 [vx (т) - «pi (т)] dxf
и2 = со2 - ^= j е 4(г"г) (г -«) 2 [v, (т) - <рг (т)] dxf

где
со- = — ■ ". г \ б F\ \м) d^ti ф-i it) === *д—
— оо
_(ж=|J
СОо =-
Должны выполняться условия согласования
VW @) = #.+i> @)) VW (Г) = (_ 1)S/BS+D @)f s = 0, ...,. Z - 1.
Пусть .?2!-i(£) — полином порядка 21 — 1, удовлетворяющий
условиям
^2!-l(U; = /l VWJ-^ai-П-1} = V—Х/ /2 \V), S — \J,...,l — X. ■
Введем новую искомую функцию
Удовлетворив условиям склеивания относительно vU), получим
интегральное уравнение
т
j" U — т |-i/2 v (т) dr = Ф (i), A.4)
о
где
Ф (t) = /я К (О, t) - щ @, «)] + J (t - т)-»/» [ф1 (Tj-Pw-atT)] dt-
о
т
- J (т - t)~v* [ф2 (т) + P2l_, (T)] dr.
По построению нетрудно видеть, что
= ЬД8 Г e-oV^+» B /f=i a) da
Т/я J
Т/я
' —ОО
Отсюда следует, что q>is) @) = /i2s+1) @) - Piti @), ФB8) (Т) =
=/22s+1)@)(—l)s=— ^28г-1(Л- Это, в свою очередь, означает,
что q>,U) — Pzi-tit) при £ = 0 обращается в нуль с производ-
производными до порядка 1—1 включительно, а ф2Ш + P2i-i(t) также
обращается в нуль с производными до порядка I — 1 включитель-
включительно при t = T. Мы должпы доказать существование такого реше-
решения v уравнения A.4) из пространства #B!~1+П)/2@, Т), которое

удовлетворяет условиям согласования
v(«)@)=vC)(D = 0, s = 0, .... Z-l. A.5)
Уравнение A.4) при помощи формулы E.7) § 5 гл. 2 и фор-
формулы обращения уравнения Абеля эквивалентно редуцируется
к сингулярному уравнению
Будем рассматривать A.6) как уравнение относительно v0U) =
= ~]/tv(t). Существует явная формула (см. [4, 30]) для решения
уравнения A.6) в различных классах функций. Приведем здесь
ее вывод. Найдем решения vo(t) = ytv(t), ограниченные на кон-
концах отрезка @, Т). Для этого введем кусочно-голоморфную
функцию
о
Тогда уравнепие A.6) в терминах фупкции Wiz) примет вид
@+ /«^р1. 0<t<T,
W~{t), t<O,t>T, A.7)
где
t
Если мы найдем решение W задачи A.7) такое, что Чг(°°)=0,
ограничено около точек z = 0, z — T, то vo(.t) определится по фор-
формуле скачков vo = Ч?+ — Y". Так как G = е~ы1г = A — i)/(l + i) и
/ Т \
ехр\4п J S dT = (z
то в указанном классе каноническая функция %iz) = (z — D3/4z'/4,
а индекс задачи A.7) будет равеп—1. В 'силу общей теории
(см. [4, 30])
при условии

Тогда из формулы Vfv(i) = 4r+ — W" получаем
г
Если функцию Фо(^) представим в виде Ф0Ш = (Ф@)/я)г~1/2 +
+ ФД*), где
о
и будем иметь в-виду, что (см. [44])
г
±. Г т-1/4 (Г _ T)-3/4 Jl^ = ^-1/4
о
то A.9) и A.10) можно переписать так:
• г
't (т).
о
Заметим, что на основании указанных выше свойств функций
ф,(£) имеем
t
ф« (t) = Ул [(ох (О, V) — щ @,'*)lw + J (* - т)-1'2 X
о
т
f
Покажем теперь, что v(D = 0. Имеем
1
X[ф?} (т) - P#_i (т)] йт - j (т -1)-^ [ФB8) (т) + Piti
J_ t-m {T _ лз/4 f
Очевидно, третье слагаемое при t -*■ Т стремится к нулю, а стрем-
стремление к нулю разности первых двух слагаемых следует из фор-
формулы (см. [44, с. 177])
10

г
dx — t0'1 (T — t)"'1 ctg (о
j
B-p-c, 1, 2- « 1^1
где p = 5/4, о = 1/4.
Иэ A.12) также следует, что для того чтобы v@) = 0, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
3«* 0. A.15)
3
[T(r-x)]3''4
При условии A.15) формулу A.12) можно переписать так:
т
. A.16)
о
Снова представим Oj в виде ФДж) = 2(Ф'@)/я)«?/2 +Ф2(г), где
t
<*—т)'1/а 1Ф' (т> - ф' (°)idT-
о
Тогда выражение для v(t) и условия A.13) и A.15) в силу A.14)
примут вид
. A.17)
A.18)
Таким образом, A.17) при условийх A.18) есть решение уравне-
уравнения A.4), такое, что v@) =viT) = 0. По условию F«s
<=Н21Щ\х\ <оо>. Тогда ф(еЯB!-1+Р)/2. В силу свойства полинома
Раг-i функция ф4 — P2i-i обращается в нуль со своими производ-
производными до порядка 1—1 включительно при t = 0, а функция
Ф* + ^2i-i этим же свойством обладает при t = Т. Тогда нетрудно
видеть, что Ф'Ш е Я'""'2-1. Функцию Ф'Ш можно предста-
представить так:
11

Очевидно, 1^1. При 1 = 1 первое слагаемое считаем равным
нулю. Функция Ф2(£) будет иметь вид
1 у ф<*+У @) .+3/2
2 ( ' = VS ^ *
где
Так как ФеЯ!+р/2, то Ф8 е/Л2>->+^2. Кроме того, Ф^@) = 0,
s = 0, ..., 1—1. Пусть <?2z-i — полином порядка 2Z — 1, удовлет-
удовлетворяющий условиям
d!U @)= 0, s = 0, .. ., I - 1, giti (Л - Фз8)(Т), s = 0, ..., Z-1.
г-i
Очевидно, qzi-i имеет вид д21_г = S ^s^8 • Представим функ-
функцию Ф8 так: Ф3 = ?„_! + Ф4. Тогда V» е Я!-1+A+!!'/2 и ФD8)
= Ф4)(Г.) = 0, s = 0, ..., 1—1. Окончательно будем иметь
ФE+2) @) «+3/2 , ГА J- Ф ГА
r( + 5/2)* +?2WW + (P4№
Подставляя выражение для Ф2(<) в A.17), для v(O получим
представление
4 1 Г Фл (т) dx
ft) 4ф w ^ тт )^ j ;
4ф* w - ^г тт /)^ j [т {т _;]3/4 (т ^
где
2
5/2)
2 f 3 _ _ , J7_.
Теперь удовлетворим условиям согласования A.5) при s = 1, ...
.. ., 1—1. Сначала заметим, что если феЛ1+1@, Т), то (см. [32,
с" 254])
т т
d f ф (т) d% _ ф@)
12

В силу A.19) и того, что Ф4(Й е Я'-1+A+(|)/2@, Т) и обращается
в нуль при t = 0 и t = T со своими производственными до I — 1
порядка включительно, непосредственным вычислением можно
убедиться, что для выполнения условий согласования A.5) при
с = 1, ..., I — 1 необходимо и достаточно, чтобы
Г
A.20)
где
Тогда производная v('~l4t) представится в виде
2 c'-i
8=0
Осталось .показать, что v"' еЯA+(|/!. Покажем, что на каждом
отрезке @, Т/2), (Т/2, Т) функция v(I-" e Я"+«'2. Этим будет
доказано, что на всем отрезке @, Т) функция v'1' < /fd+P)/^
В силу условий A.20) из формулы Тейлора имеем
о
Докажем, что каждое слагаемое в v'^'U) принадлежит
ЯA+Р)/2@, Т). Очевидно, первое слагаемое этим свойством обла-
обладает. Пусть 0 < t < Г/2. Достаточно показать, что при s S* 1
* ■ Г т
*8/*~* J (* — т)»-г Ф^ (т) — -^
13

В силу свойств Ф4(£) функция Ф(вг х) представима *ак:
ф<,'-« = [t (Т - t)]-s/t Ф («), где срШ s яA+э>/2, ф@) = ф(Г) = 0.
Тогда нетрудно видеть, что для того чтобы \u~l) e//ll+w/!@, Г/2),
достаточно показать, что
= .1 [t (Г _ t))m | Т~3/4(Г-ТГГФ(Т)'Т G ЯA+Р>/2 (о* f )■
о
В случае, когда T/2<t<T, используя формулу A.22), анало-
аналогичным путем можно убедиться, что для того чтобы v('~" e
е#A+Э)/2G72, Т), необходимо и достаточно, чтобы функция ви-
вида W(t) принадлежала НA+ю/г(Т/2, Т). Поэтому для доказатель-
доказательства того, что Vй' е #A+Р)/2@, Г), достаточно показать, что W е
е#(«+|»/»@, Г), если феЯA+№@, Г). Функцию- W(t) можно
представить так:
т
. т (о - ф (*) [1 -«@1 - *3/* (Г - 03/4 — С —ф(тOф@— dx
' ' ' ' " J ГТ (у _ T)
[т (Г - т)]3'4 (т - i
о
где
т
A (t)f ^т ' 2 Г2 A/4)
л J Л(т)(т-0 3 лГA/2)А
' 4' 4' '
= lt(T-t)]3/\
В выражении для 4я (f) первое слагаемое обращается в нуль на
концах интервала @, Т) порядка A + ^)/2. Докажем, что тем же
свойством обладает второе слагаемое. Для этого достаточно по-
показать, что функция
ограничена па интервале @, Т). Имеем
(Т — *)<i-*W/2 j т-3''4 | Т — т - t |<Р-
14

< 1С j а-з/4 | a _ l p-D/2
что и требовалось.
Первое слагаемое в выражении для Wit) принадлежит
ЯA+Р)/2@, Т). Покажем это и для второго слагаемого. Согласно
вышеуказанному свойству второго слагаемого
т
для доказательства того, что %
что при любом h>0 в интервале
удовлетворяет условию
, достаточно показать,
^T — 2h функция %(t)
с постоянной С, не зависящей от ft. Итак, пусть 0 < h =$ t
*£ Т - 2ft. Имеем (ср/т, О = ф(т) - ср(Ш:
(t _ It t + h Гшо * + h\ Л(О~Л(Т)
L о
i+A/a -i
Г dx I
ft \ -. jr-. ту I + [A (t + ft) — Л (£)]Х
о J
иТ)(т^-/л + л (^) ft j A(T)(^L^wT Jft —t) +
1
1+Л/2
Так как
то первое слагаемое допускает нужную оценку, если выражение
в квадратных скобках ограничено постоянной, пе зависящей от
h. Первое и третье слагаемые в квадратных скобках ограничены'
постоянной, не зависящей от h. Для второго слагаемого имеем
i+A/2
1
А(О-Л(т)
Л(т)(т-0(т-«~-Л)
t+ft/2
J Л(т)|т-(-А|
Cft
Л/2
J,
I»Г1/4 dx
Л (t •+- г) (A
Л/2
r, Г
x) Wj
dx
A(f + г) (А - x)
15

t 1/2
х-^Чх ~з/4 Г cr1/4dcr
~W J
о о
t/h ,1/2
1/ '/ Г
/
Г
J (l_
,
Г
J (l-
Так как при fe < f «g T - 2k имеем, что 0 ^ hit ^ 1, 0 < А/(Г - *) ^
^1 и ht/l/A(.t) ^ B/Г)зд, то из* равномерной ограниченности ин-
интегралов
1/2 оо
j a-i/4 (i _ Ха)-зи da < oo, j a-V4 (l — ^a)-3/4 A + a)-1 &r < oo
о о
следует, что Ai s£ С, где С не зависит от h.
Рассмотрим теперь второе слагаемое. Имеем
О Г/2
Ch3/i ((* + fe)»»-1)^4 + (Г - t -
х J a-8/41 o _
0
Так как h/it + h) =S 1, А/(Г -1 - h) < 1, то нолучим
где С не зависит от h. Ддя третьего слагаемого имеем
t+h/t ■
о
t+л/г й/а
1 ^Lj
х ^
о
/1/2
j A _ WtK/4 A
16

Как и выше, отсюда
где С зависит от h. Накопец, для четвертого слагаемого имеем
т
J
Отсюда
где С не зависит от h.
Из полученных оценок для Л, следует, что W(t) ^ ЯA+Р)/2@,
Кроме того,
Имеет место следующая
Теорема. Пусть ft(x) е= 7/2!+р @ < х < °°), 1> 1 — целое чис-
число. Тогда при выполнении условий A.18), A.20) существует
единственное решение И{ е Я'^' i'2 задачи 1 и
1Щ 1нгг+р, z+p/2 <! С (|| /t ||Н2/+р + I /2 ИдгН-р)-
Таким образом, задача 1 в пространствах Нх t одио-
значпо разрешима, но не безусловно.
2. Теперь несколько расширим класс рететш, где будет един-
ственпость и безусловная разрешимость. Сначала заметим, что
если fix) &IP(\x\ < о°), 0 < р < 1, то потенциал
• оо' /х_ t\2
, 4Г / E) g
2 "|/л*
убудет принадлежать Я^7/2(^) (см. Г25]). В данном случае это
легко вытекает из представления
Далее, если v(()sL,@, Г), р=*2/A —р), то потенциал (см. [25])
t X? 1
2 С. А. Терсенов

будет принадлежать HxtiQ)- В самом деле, из оценки
'r'llvllr I \ t>~i{t—т) It тЛ 2"/7т I <"
p \ J ^ ' /
следует непрерывность v2 в точке @, 0), /Г1 + р' = 1. Пусть
h > 0. Рассмотрим разность У2(а;, f + А) — v^x, t). Эта разность
также является решением уравнения. Поэтому в силу принципа
максимума
Шх, t+h)-v2(x, *)l.ss
^ max {max \v2(x, h)\, max lt>2@, t + h) — t>2@, t)\}.
a t
Имеем
/h \1/P'
I ^2 (x, h) | < СI v kp I j (h - тГР'/г dt) <
Далее,
t+k
I у2 @, t + /г) - v2 @, *) К С J (t + Л — г)/21 v | dx +
t
J
t
t
■+ С j | (t + h - t)-i/2, - (t - x)-v*\ | v (t) I dx <
0
1
< С11 v Ц Ьр/2 J a-P'/2d<j + Ch1121 v !lLp X
X( J I * + fc - т|-p'/2 i f _ T |-P'/2dx) <Сйр/21 v||v
\0 /
Итак, получаем
I v2 (x, t + h) - v2 (x,t) I < СII v\\tphm.
Снова в силу принципа максимума
\v2(x + h, t) — vz(x, t)\ ^max \v2ih, t) —
Имеем
\u2(h, 0-f.@, OKCjU-B «*-'V(*-t) 2
0
18

Таким образом,
1 v% (x + A, 0 - y2 (x, t) | < Cfl v||rpftp.
Из полученных неравенств следует, что v2^Hx't (Q), если
veLp@, Г), р = 2/A - £) > 2.
Вернемся теперь к задаче 1. Пусть /,-Ы е Hi+t(\x\ < °°). Ре-
Решения Ц; будем искать в пространстве Нх' t ПС', где 0 <
<Р<1/2. Если считать, что vM) e= Lp, p = 2/(l —^), то и( мож-
можно представить так:
u2
У я J
где Ю( — те же самые функции, что и выше. В условиях склеи-
склеивания будем требовать выполнения условия Vi + v2 = 0 почти
всюду, а функции щ склеиваются при х = 0 всюду. Поступая,
как и выше, для определения v = vt = —v2, получим снова
уравнение ■ ■ ■
т
J | г — т |-]/3 v (т) dr = Ф @, A-24)
о
где
Как и выше, уравнение A.24) сводится к сингулярному инте-*
тральному уравнению A.6), которое в классе решепий vo = l/tv,
ограниченных при t — 0 и не ограниченных при t = T Оно допус-
допускающих при t = T особенность порядка меньше единицы), одно-
однозначно и безусловно разрешимо и решение дается формулой (см.
[4, 30])
v («) = У it) - 4- [t (T - Щ-ш Jx^(r-x^TW<h; A;25)
о
2* 19

где
о
Заметим, что в этом случае каноническая функция v(z)
= (z-D~1/4z1/4.
Перепишем выражение для W так:"
г
о
Так как Ф(Й е Я+е/2@, Г) (см. § 3, гл. 2), то функция
F W = Ж WI <* - т)/2 [ф (T) - ф
Подставляя Wit) в A.25) и имея в виду формулу A.14), р = 3/4,
о = 5/4, получим, что
v {t)=w^ф @) rV4 (Г""tylli
_ J_ Г1/4 ГГ - Л~1/4 r
x — t
о
Очевидпо, v(i) e tPl p = 2/A — ^), 0 < 0 < 1/2, и в силу извест-
известных свойств сингулярных операторов (см. [29, 40])
Iv|Lp<C(ll/1|lHl+e + |/2|Hl+e).
На основании свойств тепловых потенциалов будем иметь
нх i
Очевидно, v(*) внутри интервала @, Т) удовлетворяет условию
Гельдера. Если мы докажем, что vi + v2 = 0 выполняется почти
всюду, то будет Vi + v2 = 0 всюду в @<t<T). Для этого доста-
достаточно показать, что если v ^ Lp{0, T), р>2, и
У о
то
т
V = т= 1 е Ш Х) (t — т) 2 v (т) ^т>
о
т
limC|^i_v dt = O. A.26)
0
20

Докажем A.26). Имеем
-v
~ T)(v (T) ~v {t)) d% ~
x/zVt
Для второго слагаемого имеем
■ ' ■ т xj-zY't
j
f e-°
z.
Отсюда следует, что интеграл от второго слагаемого стремится
к нулю прп х -*■ 0.
Далее,
I
Г оо
»-o2
-x) 2\v(T)-v(t))dx
da.
о о
Положим v(i) = 0 для t < 0. Так как v <= £p, то для заданного
е > 0 можно подобрать такое б > 0, что
т в
о в
v (*-£,)-
для всех 0 < ж < 1. Кроме того, выражение
Т оо
П2
X
О
при х -*■ 0 в силу непрерывности в целом функции vit).
Таким образом, условие A.26) выполняется.
3. Рассмотрим теперь случай Т =? °°. Тогда /2 — 0 и условия
согласования будут иметь вид
)) v(.) (оо) = о, s = 0, ..., I - 1.
Пусть PU) — функция, удовлетворяющая условию
Р^ @) = /fs+1> @), P(s) (оо) = 0, s = 0, ..., I -1.
21

За функцию Pit) можно взять функцию вида Pit) = e~tQtit), где
Qi — полином порядка I относительно t. Введя, как и раньше,
НОВУЮ ИСКОМУЮ ' фуНКЦИЮ \it) = Viit) — Pit) = — V2U) —Pit) И
удовлетворив условиям склеивания, для определения vit) полу-
получим интегральное уравнение
где
t
¥ (t) = /Л 0), @, t) + )(t~ T)-V2 [ф1 (T) _ p (T)] dT _
Мы должны пайти решение M(t)efl(!'"t+w/2) удовлетворяющее ус-
условиям согласования A.5), где jT = °°. Сделаем замену перемен-
переменных til — s) = s, тA —о) = о (см. [41). Тогда уравнение A.29)
примет вид
1
Jls-ol-^n^do»^*), A.28)
о
где
liia) - A.- o)-3/2v(o/(l - о)), Wt(s) = A - з)-1/гл¥is/il - s)).
Решение ц уравнения A.28) такое, что Vsji(s) ограничено при
s = 0 и допускает особенность ниже первого порядка при
s = l, единственно и имеет вид
(s) = ¥2 (*) -|«-W A - s)-i/i J
1а1/4A-аI/4¥ .(в) do
о — s
где
Если мы вернемся к старым переменным, то для v(t) получим
формулу
22

где
^ t
;_TW/2A+T)-l¥(T)£fT
"ЗГ J <* ~ T)"Va A + ^ ¥ (T)dx = ЖA + i)V2 X
о
t t
X j" (* — т)-1/2 A + t)-i ¥ (t) dr 4- ^ A + fK'2 J (* — t)-V2 x
о - о
x [1W^|B]' ^x + Ш A + *Г 1 J <« - x)-/2 A 4- x)-i dx.
0
Укажем некоторые достаточные условия, обеспечивающие ус-
условия согласования при t — °°. Очевидно, достаточными условия-
условиями являются обращение в нуль при t = °° функции Ч*", вместе
с ее производными до порядка 1 — 1 включительно (порядок
больше, чем 1/4). Для получения условий, обеспечивающих усло-
условия согласования при t ~ 0, поступаем аналогично случаю Т <°°.
Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве того, что
геЯ|!|-ни/!. Приведем только случай, когда Uj e #£'f/2@ Q
П С2Д(<?). Пусть и^ПЧШ <«), и пусть
Тогда существует решение v s Lp уравнения A.27), а решение
itie#£'?/2 П С2'1, р — 2/{1 — р). функция v(f) дается формулой
, @ = Щ г"« A 4- О"' 4- Ф « - ± Г •» ] *%&*,
где _
Фо@) = Л(О)Уя," Ф(« = A + i)-3/21F2(i/(l 4- *)),
# 2. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
«■vv + (Уу)Щ —
Рассмотрим уравнение
ut sgn у = uvy + Шу)щ B.1)
в области (\у\ < °°) X (О, Г), где оно является уравнением пара-
23

болического типа с меняющимся направлением времени, причем
на прямой у = 0 коэффициент при иу имеет особенность.
Пусть к = 2а~ 1, 0 < а < 1,— постоянная. Как показано
в [36] (см. § 3, с. 48), если и —решение уравнения B.1) в об-
"ласти Q = @< у < оо) X (О, Т) достигает положительного макси-
максимума или отрицательного минимума в точке @, t), t > О, то
укиу ^0 в этой точке, причем число к в некотором смысле не-
■ улучшаемо. Поэтому ограниченное решение и уравнения B.1) в
Q однозначно определяется значениями и(у, 0) п у*щ при z/ = 0.
Как и выше, вместо уравнения B.1) рассмотрим систему урав-
уравнений
к к
ии = Щуу ^—~ uiyi U2t = — игуу — и2у B.2)
У U
в области Q= @ < у < <») X @, -Т) и задача будет состоять в на-
нахождении ограниченных решений щ, м2, удовлетворяющих
1) начальным условиям
и^у, O) = (pi(y), щ(у, Т) = i
2) условиям склеивания
. ' , д ,
«*1 @, t) - и2 @, t) =
= 0.
Очевидно, в силу вышеуказанного свойства [у*иуФ0) поставлен-
поставленная задача может иметь не более одного решения. Не ограничи-
ограничивая общности, будем считать, что <р* = 0. Для сведения к этому
случаю достаточно иметь решение уравнения
, к
Щ — Щу + — иу
в области Q, удовлетворяющее условиям
. ди
= 0.
Таким решением является функция (см., например, [36])
и= Jr(y,-Ti, t; k)q>{i\)dr),
.' о
где
Г {у, г), t; к) = уг-а1а-2Г е~{у~+
Итак, будем искать решения ии пг системы B.2), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям . .
uSy, 0) = uz(y, T) = 0, 0<у<°о,
= 0, B.3)
где / — заданная функция. Эту задачу будем называть задачей 2.
24

1. Будем искать решения задачи 2 в пространстве функций
с нормой
■21
2r+g=o
где Dv = yh~, Dqy = B(s), если g = 2s, nDl = DyB{s), если
g-2*+l.
Как показано в § 2 гл. 2, если veflM+IWa)/! и v("@)=0,
s = 0, ..., Z — 1, то функция
2i-2tx с ——-—■
и = — -p-j—г \ е (t — т)~а v (т) dx e
о
Будем искать решения и, и и2 в виде
t
9l-2a /»
"i--TO J
-f—
e '
при условиях согласования
v^ @) = x{s\(T) = 0, * = 0, ..., I - 1. B.5)
Условия па функцию jit) приведем ниже. Если удовлетворим ус-
условиям склеивания, т. е. v4 + v2 = 0, u2@, t) = u4(O, t) + /, то, как
и выше, для определения функции v = v4 получим следующее-
уравнение:
^ ^ |-a v (т\ ^^ __ р (м B 6)
где Fit) = 22a-T(a)/(f).
Уравненхзе B.6) при помощи формулы E.7) § 5 гл. 2 и фор-
формулы обращения оператора Абеля эквивалентно редуцируется
к сингулярному уравнению
т
A - cos ал) v0 (t) + si— f ^r - 11~ар° (')' B.7)
о
где v0 = tl-av, .
Сначала найдем решения уравнения B.7), ограниченные на кон-
концах отрезка (О, Г). Снова введя кусочно-голоморфную функцию-
25

о
сведем задачу к нахоягдению кусочно-голоморфной функции, ис-
исчезающей на бесконечности и удовлетворяющей условию
Так как G = e~i{a~l)!t, то легко видеть, что (см. 130]) канонической
функцией в этом классе будет %{z) = (z — T)il+aUzzil~a)/z, а индекс
будет равен —1. Тогда (см. [4, 301)
т
г т1'^,, (т) <й
J Х+(т)(т-:
Z+(t)(t-z)"
при условии
J (
а vi'~a = Ч*"* — Ч1"-. Отсюда для v получаем формулу
v (t) = A/ /2) Fo @ sin (ал/2) -
cos (ая/2) (,-D/a.y .x(i+a)/«f ^-a)/>f0 (т)
при выполнепии условия B.8).
Представим функцию F0U) в виде
t
l (i) = !i2iE f (i _ T)«-iF' (t) dr.
Тогда, используя формулу A.14), условие B.8) и выражение B.9)
для vlt) можно переписать так:
v (f) = A/ /2 ) Fx (i) sin (ал/2) -
г
/ /о\ Г1 T^~a''^f if) в,т
з (ая/z) ,(a-i)/a //г j:\(l+ct)/2 l ь lv ' /л 4Л\
VK^ ^ ' I /71 —\(l+Ct)/2 /T *\ * V *
T
С x^~a''^F (x) dx
\ ^—-— = О. B.Ш
26

Покажем, что v(D = 0. Имеем
v @ = A/ /2) Fx (t) sin (an/2) -'
cos (ая/2)_ „ ,,. .(ct-i)/2 ij,
о
т ,
Г т
J (г - т)
_ созая (а_1)/2 _ A+а)/2 Г x^-^{F^)-b\{t)\&T
У 2л К ' J (у _ Т)<1+<*>/2 (т _ ()
Очевидно, третье слагаемое стремится к нулю при t -*■ Т. Стрем-
Стремление к нулю разности первых двух слагаемых следует из того,
что
1 Trji
f
A_B)/2
, Г2(A-а)/2I--а^_ар/^ ,3a T-t)
+ яГA-а) ТТ^ I ' ' + Т' ~Т~]
в силу A.14). Из B.10) следует, что для того чтобы v@)=0,
необходимо и достаточно, чтобы
т
Г Fi (т) dx
J (r_T)U+oO/2TU+oo/2 = 0. B.12)
(r
При условии B.12) формулу B.10) можно записать так:
' v(f) = A/ /2)^(*) sin (an/2) -
cos (ал/2) A+e)/2 (T A(i+a)/2 Г f 1 (т> dx
Представим снова FSi) в виде
t
F2 (t) = 51^ j (t - t)-1 [F' (t) - F' @)] df.
с
Тогда выражения для v{t) и условия B.11), B.12) в силу A.14)
примут вид
v (t) = (l//2) F2 (t) sin (сш/2) —
г
cos (ал/2) -.(i+a)/2/y хчA+а)/2 Г ^2 (T)dr in 1А\
о
27

li^U BЛ6)
о
Итак, B.14) при условии B.15) и B.16) будет решением урав-
уравнения B.7) (vo = i1~av(i)) таким, что v@) = v(r)=0. По условию
!. Представим F'it)-F'(O) так:
8=0
о
Тогда F2(f) будет иметь вид
/ 2
Г (a) sin ал V< F(s+2) @) s+i+a
2 '
0
Так как F e Я'+w*, то F3 e jy«-t+(i>+*a)/»# Кроме тог0) ^ @) = 0,
s = 0, ..., I—l. Пусть g-2i-i = 2 ^^xi — полином, обладающий,
как и выше, свойством <?2Z-i @) == 0, g^i-i(T) — F{s (T), s =
= 0, ..., I— 1. Представим F3 в виде /?3 = g2!-i(i) + Ftlt). Тогда
Л(*)еЯ!-1+(Р+2а)/2 и ^)@) = Fls)(?')=0, 5 = 0 1-1.
Окончательно для F2 имеем представление
Р Г (a) sin ал V< F<t+i> @) fS+i+a I P m
Подставляя выражение для F2 в B.14), для v получим представ-
представление __
v (t) = A/ /2) F4 («) sin (ал/2) + [i (Г - t)]a+a)l2F& (t) -
г
cos (ал/2) .- Л1A+(х)/2 Г ^4^)dT
1~14^-г)] J 1т(г
„ ,.. /2 Г (a) sin ал
Г5^- A + а)лГ(A-Ьа)/2)Л
28

—«•■ ? + ь т-
Теперь нужно етце удовлетворить остальным условиям согласо-
согласования: v(s)@) = v<s)(r)=0, s==l, ..., 1-1. Очевидно, F^t) обра-
обращается в пуль при t = 0 и t = T со своими производными до по-
порядка 1 — 1 включительно. Тогда в силу A.19) непосредственным
вычислением можно убедиться, что для выполнения остальных
условий согласования необходимо и достаточно, чтобы
т
cos (ал/2) ?F^(T)dx (s) „
Т/2 л J т 5 ( } '
. ■ . B-17)
cos (ал/2) CF^Wdr (s)
' V2 л J т-Г ^в ^)-°' *-О.---.« ^.
к' о
где F6 = [i(J-£)]-<1+a)/2F4U). Производная v^-'Hf) будет иметь
вид
v"^*) = (l/y^Fi'' (t) sin (an/2) +
+ 2 CU (гA+а)/2 (Г - t)»+«)/ay) (^Г*"" (*) -
.5 = 0 {
т ,
_ cos (ал/2) С F"-'-1» (т) dt
У? л J Г=П ]'
Если применим формулы A.21) п A.22) для функции F6~s~* ,
то, рассуждая, как и в § 1, нетрудно убедиться, что для доказа-
доказательства принадлежности v"' е Яр/2+а@, Г) достаточно дока-
доказать, что если ф е Н*/2+Ч0, Т), то
-л
где Л(«) = «A+а)/г(Г —t)A+a)/2. Нетрудно видеть, что функция %(t)
на концах интервала (О, Т) имеет пуль порядка a + E/2. Тогда,
как и выше, нужно показать, что при любом h > 0 для fe < t ^
^T-2h будет
где С не зависит от h. Представим разность в виде A.23). Так
как
то первое слагаемое допускает нужную оценку, если второе сла->
гаемое в квадратпых скобках ограничено постояпиой, не завися-
зависящей от h. Имеем-
29

t+h/2
ь
(T)(t-t)(x-<-A)
d
aT
t+h/2
h/2 . h/2
= Ch \ -: I ——rr~,——; = Ch \ -r-T——. . , °
J Л (t -}- x) I h — я I J A (t -(- a) | A —
-t ' о
12
a(a-i)/2da
Л (t -i- аи) 11 — a
i,/i
+ ah)
о)'
<c
/12
r.
AC) |J (l_
oo
a)]
Как и выше; отсюда будет следовать ограниченность А^ постоян-
постоянной, не зависящей от h. Для второго слагаемого имеем
IФ|н
772
- t - hf+a~1)/2) j a
h
1 a -
da
, h/(T-1- h) < 1, получаем
Так как h/ti
где С не зависит от h. Аналогичным путем выводятся нужные
оценки для третьего и четвертого слагаемых. Причем мы полу-
получаем также оцепку
|
Таким образом, имеет место
Теорема. Пусть fit) е= Я!+?/2@, Я, 1>\ — целое число 0<
<Р<1, а + ^<1. Тогда при выполнении условий B.15)—
B.27) существует единственное решение w»s H^2 задачи 2 и
B.18)
30
(
а,2

2. Теперь расширим класс решений, где будет и единствен-
единственность, и безусловная разрешимость. Для этого сначала перейдем
к другим независимым переменным t = t, у = 2Vх. Тогда зада-
задача 2 будет формулироваться так: найти решения Mi и щ системы
uit = xuixx + awl», — uzt =
в области (?= (О < х < 0°) X (О, Г), удовлетворяющие условиям .
Ui(x, 0) •= u2(z, T) = 0, 0<ж<оо,
B.19)
u8@,» = »i @,*)+ /(«). ^a£
Сначала рассмотрим потенциал
Эта функция является решением уравнения ц( = zu^ + aux и
удовлетворяет условиям
и(х, 0)=0, zaujlc=o = v(i), B.20)
если v — гладкая функция.
Пусть р = 1/A - a - р), 0 < р < а, а + 2р < 1. Если v e Lp, то
иеЯ^'<(<?). В самом деле, имеем (р' = 1/(ос + р)):
Отсюда следует непрерывность и в точке @, 0). Снова в силу
принципа максимума имеем (А>0):
| и(х, t + h)—u{x, i)|^max|max|u(x,/i)|, max|u@, t +h) — u{O,t)\).
Далее,
г \i/p'
j
к

|u@, t + h)-u(O,
1+h
' | (t + h — т)~а| v|
i
fe" j (t + h - x)-« (t - x)-a [ v (t) I dx < С [| v ир fep.
Далее,
Отсюда
|и (х + h, t) - u(x, *) |
i/p'
«Civ \\Lp
e~h/x)v'
С |] v J
R ft
Таким образом, мы показали, что u^Hx't {Q). Теперь покажем,
что если v s Ьр, то потенциал и удовлетворяет второму из усло-
условий B.20) в следующем смысле:
Имеем
(v (т) -
Г (a)
Для второго слагаембго
т x/t
Отсюда следует, что интеграл от второго слагаемого' стремитск
к нулю при х -*■ 0. Далее, имеем
I
: Г (a) J
Г оо
-i | v (* - x/a) -v(t)\ da.

Положим v = 0 для t < 0. Так как v е= Ьр, то для заданного е > О
можно подобрать такое б > 0, что
т. 6
e-aoa-i\v{t-x[o) — v{t)\da<e
О 0 '
для всех 0<ж< 1. Кроме того, выражение
Т оо оо
J dt J е-^о0-11 v (t - х/а) — v @1 da = J е-
г
X j | v (t - .т/о).- v @ | dt -»- О
об
при i-*-0 в силу непрерывности в целом функции v. Этим B.21)
доказано.
Рассмотрим теперь задачу 2 при краевых условиях и усло-
условиях склеивания B.19). Пусть /е//1+Е@, Г), е > 0. Будем искать
решения иг^Н% t (Q)- Очевидно, решение единственно. Будем
искать Ui в виде:
1
о
^'{t ~ T)"a V2 (т) dT'
где Vi^-Lp, p = 1/A — a — [}). Как и выше, удовлетворив услови-
условиям склеивания, получим относительно v = v4(£) интегральное
уравнение B.6), где Fit) — Y(a)fit). Как увидим ниже, v внутри
отрезка (О, Т) будет удовлетворять условию Гельдера. Уравнение
B.6) эквивалентно сингулярному уравпению B.7). Будем искать
решения уравпепия B.7), ограниченные при '£ = 0 и не ограни-
ограниченные при t— T (но имеющие особенность меньше единицы).
Тогда канонической функцией в этом классе будет %(z) =
= (z—D(a~1)/2zA~a)/2, а индекс задачи будет равен нулю.
Функция
v @ = A/ /2 ) Fo (t) sin (ая/2) - с-^т^ ^'^ (? ~ *)^т X
X
где
J (r_T)ia-»/
3 С. А. Терсенов . 33

Если Fo представим так:
где
то выражение для vit) можно переписать так:
v {t) = ™ F @) t^1^ (Г - t)(a'm + -~F1 (t) sin 2£ _
у 2, 71 у £
T
cos (ал/2) .(a-i)/2/т А(а-1)/г т fi^'"' /о
. I {I — I) I (о-1)/2 Г' *■
' о
В силу свойств сингулярных операторов (см. [29, 401) vit) e Lp.
Итак, мы доказали, что если /e//l+e@, T), то всегда суще-
существует единственное решение задачи 2 (в новых переменных) из
пространства #£'!\ (Q) и имеет место оцепка
ЫЬ,в
"х t
Замечание. Можно и здесь изучить случай Т = °° сведе-
сведением к случаю Г = 1; мы на этом останавливаться не будем.
3. В предыдущих случаях считалось, что к < 1 и прямая
у = 0 не освобождалась от краевых условий в случае первой
краевой задачи для уравнения ut = иуу + {к/у)щ в области @<
<г/<оь)Х@, Т). Рассмотрим теперь ряд случаев, когда область,
лежащая на у = 0, освобождается от краевых условий.
3.1. В цилиндре Q = @ < у < °°) X Q X @, Г), где Q — область
в Rn с достаточно гладкой границей, рассмотрим систему урав-
уравнений
.{k/y)uiy
B.23)
—ии = u2yy+ {k/y)u2v + М{и2),
где к > 1, а М—дифференциальный оператор второго порядка
строго эллиптического типа по переменным х,, ..., хп с коэффи-
коэффициентами, не зависящими от у и t и удовлетворяющими условию
Гельдера. Будем искать решения ии иг системы B.23), удовлет-
удовлетворяющие
1) начальным условиям %
щ(х, у, Q) = fi{x, у), u2ix, у, T)=f2(x, у),
34

2) краевым условиям
и, = О па dQ X @ < у < «) X (О, 7"),
3) условиям склеивания
щ{х, О, £) = м2(а;, О, t).
Будем считать, что fi^fPiQ), 0<Я<1. Единственность реше-
решения задачи очевидна, так как ut и и% одпозначпо определяются
по функциям /i и /2 соответственно и формулы представления
Ut имеют вид (см. [36, с. 1141)
ux = j Г {у, -п, t; a) V {х, t; /1( ц) dr\,
о
00
u2 = f Г {у, %T-t;a)V (х, Г - *; /2,
Г (у, ть «; а) = A/2) у^Г^4^1*^ (цуШ),
где /а — модифицированная функция Бесселя.
Удовлетворив условиям склеивания, получим следующую за-
зависимость между /i и /2:
B.24)
которая является необходимым и достаточным условием разре-
разрешимости задачи. Задапием M/i) функция /i(/2) однозначно
деляется, т. е. уравнение
Га j e-^/^-'V (x, t; ф, т)) drj = 0 B.25)
о
в классе непрерывных функций имеет только тривиальное реше-
решение г]) = 0. Это следует из единственности решения задачи
Щ = ит+Шу)щ в QX(O<z/<°°)X (О, Г),
и(х, 0, t) = 0.
Единственность можно доказать и таким образом. Если вве-
введем новую искомую функцию ф = т]2а~1г|)(:к, ц), то уравнение
B.25) будет эквивалентно следующему:
'nt
о
, t; 9,
3* 35

Нетрудно видеть, что в последнем выражении левая часть есть
значение решения при у = О задачи:
ut = uvv + МЫ)
в цилипдре @ < у < °°) X (О, Т) X Q, которая удовлетворяет усло-
условиям ц(ж, z/, 0) = 0, иу{х, 0, i) = 0 при у = 0.
В ряде случаев уравнение B.24) можно обратить относительно
/i или /2. Пусть Ж = 0. Тогда V{x, t; f, r\) ss f и уравнение B.24)
примет вид ,
- (Г — *)-<* j ^«"^««-i/j (ti) di]. B.26)
о о
Имеем (см. [44])
fJa^ [Щ d^ = 2Tta (T - trW-ie-**'"™.
Отсюда, определив значение выражения
подставив его в B.26) и переставив интегралы, получим
оо ■
где
F (Ч) = ^ e^Ur J в^А'л?/
о
В силу единственности решения уравнения B.25) имеем ч
' h (Ч) = ^ e^r J Г^Ч»/..» E) /. (ПО *U. B-27)
Уравнение B.24) можно решить относительно fy и в случае
М = А и Q = fln_i. Решение дано в 136]. Заметим, что если
Т = °° и решения Uj ограничены (|м(|^С), то щ^О, i=l, 2.
Таким образом, в случае системы B.23), где k^i, для раз-
разрешимости рассматриваемой задачи необходимо и достаточно,
чтобы начальпые даппыб /t и /2 удовлетворяли уравнению B.25).
3.2. Рассмотрим теперь систему уравнешш
ymiuivv + Мх (и,) + ajulv - ult = 0,
(Z./o)
у 2и2уу + М2 (u2) + о2м2у + uit = О
в области <? = QX(O<z/<a)X(O, Г), о>0, Q —некоторая ог-
ограниченная область в Д„ с достаточно гладкой границей, тп% > 2 —
36

постоянные, Mt — строго эллиптические операторы второго по-
порядка по хи ..., хп с коэффициентами, удовлетворяющими усло-
условию Гельдера в Q. Коэффициенты at в Q также удовлетворяют
условию Гельдера, и дополнительно имеют место оценки
at = y\logy\o(i) + {iJ2)miymi-1. B.29)
Рассмотрим задачу нахождения решений щ, щ в Q, непрерывных
в Q, которые удовлетворяют
1) начальным условиям
и^х, y,O) = fl(x, у), и2(ж, у, Т) = /2(х, у),
2) краевым условиям
и11я = ф1, И21в = ф2,
где S — часть боковой поверхности Q, не лежащей на гиперпло-
гиперплоскости у = О,
3) условиям склеивания ' .
ut{x, 0, t) = u2(x, О, t),
где ft п ф! удовлетворяют условиям согласования и ft, ф,е С2'',
ц>Лх, 0, t) — ф2(^, 0, t)=cp{x, t). Как известно (см., например,
[36]), при условиях, наложенных на й(, часть боковой поверхно-
поверхности Q — область Q X (О, Г), лежащая па у = 0,— освобождается
от краевых условий в случае первой краевой задачи в классе ог-
ограниченных решений.
Таким образом, решения ц( однозначно находятся по функ-
функциям /,• и ф(. Как показано в [36], при условии B.29) существу-
существуют иДх, 0, t) = Viix, t) и они являются решениями краевых
задач
vlt - М[о) Ы = 0, vn + МB0) (!72) = СГ ; B.30)
в G = QX@, T) и
17,(Ж, 0) = /2(Х, 0), 17,(Х, Т) = /2(Х, О),"
^ \а0 = ^2 |s0 = Ф, So = 5Q х @, Г), B.31)
где Мi — оператор Мf при у = 0, т. е. в коэффициентах опе-
оператора Mt нужно взять у = 0. В силу условий склеивания vt —
= i;2 = i?(x, г). Тогда пз B.30) следует, что
{М[о) + МB0)) v = Мо {v) = 0, B.32)
2vt = {М[о) - Мо)) v B.33)
в G,
v (х, 0) = h (х, 0), i; (ж, Г) = /а(х, 0), 17|8„ = ф. B.34)
Не ограничивая общности, мы можем считать, что для уравне-
уравнения M0(v) = 0 имеет место единственность решения задачи Ди-
Дирихле. Тогда и (ж, t) однозначпо определяется как решение крае-
37

вой задачи B.32) и B.34) и для того чтобы таким образом най-
найденное vix, t) было предельным значением как щ, так и ut при
у = О, нужно, чтобы выполнялось условие B.33). Это будет неко-
некоторое условие, связывающее ftix, 0) и ср. Если Мi0) = М2° , то
условие B.33) будет означать, что для разрешимости задачи
нужно, чтобы vix, t) не зависело от t, т. е. v{x, t)=voix). Отсю-
Отсюда будет следовать, что для разрешимости задачи нужно,, чтобы
fi(x, 0) =/2(ж, Г), а ф не зависело от t.
Мы рассмотрели случаи параболических уравнений B.28),
когда часть боковой поверхности, лежащей на гиперплоскости
2/ = 0, освобождается от краевых условий. Если йДх, 0, t) < 0
(m,-^2), то эта часть боковой поверхности не освобождается от
краевых условий. Интересно было бы указать второе независимое
условие склеивания, которое обеспечило бы существование и
единственность решения задачи. Очевидно, склейка первых про-
производных по неременпой у не всегда хороша.
§ 3. ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ fut = £(«),
КОГДА f(t) МЕНЯЕТ ЗНАК
1. Пусть Q, как и выше, область в Rn с гладкой грапицей
" или же fi = Rn. В области Q = Q X @, Т) рассмотрим уравнение
f{t)ut = Uu), C.1)
где L — строго эллиптический оператор второго порядка по пере-
переменным Xi, ..., хп с коэффициентами из класса Гельдера в Q.
Пусть /еС@, Т) и меняет знак внутри отрезка @, Т). Пусть
U — единственная точка из @, Т), где fito)=Q и /@) > 0. Тогда,
очевидно, /(<).> 0 при 0 < t < t0 и в области Qo = Q X @,' t0) су-
существует единственное решение u^C{Q0) uC2'l{Q0) уравнения
C.1), которое удовлетворяет условиям
1ф,0) = ф(ж), u\so = O, C.2)
где ф = 0 на Se, ф е C(Q), So^dQX @, t0).
Лемма 1. Если
^d^oo, C.3)
то для решения задачи C.1), C.2) прщ любом ф е С(Й) имеем
lim u (ж, *) = 0. C.4)
Это утверждение следует из известных теорем об асимптоти-
асимптотическом поведении решения строго параболических уравнений при
■t~*-°°, к которым можно свести C.1) заменой переменных х = .х
t
38

Но мы приведем схему доказательства. В силу строгой эллип-
эллиптичности оператора L для любого б > 0 существует такая огра-
ограниченная в Q фупкция Ф(х)>0, что £(Ф) <_—б в Q. Пусть
е > 0 — такое малое число, что —б + еФ < 0 в Q. Если теперь \
рассмотрим функции
где и— решение задачи C.1), C.2), то выбором постоянной D
можно в силу принципа максимума доказать, что
Fy\ C.5)
Отсюда следует утверждение леммы. Из C.5) также получаем,
что
Потребуем дополнительно, чтобы
lirn (e-eF(O)'= о. C.7)
Тогда из C.6) будет следовать, что utix, t0) = 0. Если /Ш >0 при
t > t0, то имеет место
Лемма 2. Если /U) >0 при t>t0 и выполнены условия
C.3) и C.7), то существует единственное решение u^C{)(\
ЛС2'Ч(?) уравнения C.1), такое, что
и (х, 0) = Ф (х), и \8т =- 0, ST = дп X @, Г),
причем и{х, t) as0 при t>t0, фе СШ), <р = 0 на дп.
Пусть теперь f(t) < 0 при t > t0. Рассмотрим интеграл
Лемма 3. Если \F0{t0)\<°° и выполнены условия C.3) и
C.7), то в силу единственности решения обратной задачи при
любом ф е C(Q), ф = 0 на dQ, существует единственное решение
и е C{Q) П С2'1^), удовлетворяющее условиям
и(х, 0) = ф(ж), u|sr = 0,,
м(х, <) ^ 0 и/?и t > ^.
Доказательство очевидно.
Пусть .F0U) -*1 — оо при t -*■ t0. _^Гогда, как и выше, существу-
существует единственное решепие и е C(<2i)C2|1(<?i) уравнения C.1), та-
такое, что и(ж, Г)=ф(х), м = 0 на dQX{t0, T); причем при лю-
любом я|> будет и(х, U = 0h ф, = йХ «„, Г))
ео>0. C.8)
39

Лемма 4. Пусть выполняются условия C.3) и C.7). Кроме
того, пусть Fo ->- — <х> при t -*■ t0 и
lim(eFoFo(")' = b. C.9)
t-><0
Тогда для любых ц> и ч|з е C(Q), ф = г]) = 0 на dQ,. существует
единственное решение u^C{Q) f\Ci2-l)(Q), которое удовлетворяет
условию
C.10)
При некоторой гладкости dQ и функции со, заданпой на dQ,
леммы 1—4 имеют место и в случае краевого условия м = со па
ЗЙХ@, Г).
Когда /Ч£) < °° и —F0(t) < °°, задача с начальными данными
при t = 0 и t = Т, вообще говоря, неразрешима. Разрешимость
задачи зависит как от данных при £ = 0- и t = Т, так и от точек,
где f(t) меняет знак. Рассмотрим пример. Пусть имеем уравнепие
u,sgn{to-t)=L(u) C.11)
в области Q = п X @, Т), 0 < U < Т, где Q — ограпнчеппая об-
область в й„ с <?Q^Cl2+fi>, a L—строго эллиптический оператор
с коэффициентами из CP(Q), пе зависящими от t, 0<Р<1. Бу-
Будем считать, что коэффициент при и пе положителен. Решение
будем искать с нулевыми краевыми условиями. Очевидно, реше-
решение в Q имеет вид
их = 2 е '" a'hah (x), 0<t<t0,
fe=o
оо 2
и2 = 2 <Г МГ~°4сой (ж), to<t<T,
где Яй и coft — собственные значения н ортонормпрованная в L2
система собственных функций задачи Liu) + Я2м = 0, и = 0 на dQ.
Нетрудно видеть, что функция .Wi (ж, 2to — t) в интервале to<.t<
< 2t0 будет решением уравпения C.11) и непрерывно склеива-
склеивается с Uiix, t) при t = t0. Если потребуем, чтобы Ui(x, t0)—
— uz(x, t0), то в силу единственности решения обратпон задачи
и2{х, t) = u1{x, 2to — l) для t0 < t < T* = min {2t0, T). Отсюда пе-
трудпо получить, что 2t0 = Т. Тогда и2Хх, t) = ut(x, T — t) и
u{x, 0)=u2(x, Т). Таким образом, в этом случае 2t0 = Т, реше-
решение и уравпепия C.11) должно быть симметричным отпоситель-
но плоскости t = t0 и однозначно определяется значениями
и(х, 0)^H2+4Q) из пространства Н1+*-?*/* ((?).
Рассмотрим теперь в той же рбласти уравнение
и, sgn (t0-Wtt-t) = L(u), C.12)
О < t0 < i, < T, с двумя точками перемены знака коэффициента
при ut. Тогда аналогичными рассуждениями получаем, что 2t0 =
40

= ti<T. Решепне будет симметричным относительно точки t0.
на отрезке @, tt) и однозначно определяется значениями и(х, 0) е
еЯ2+»(й) в пространстве //|+P'J+P/2 ((?).
Рассмотрим общий случай
т
utsgnJl(th-t) = L(u) C.13)
в той же области, когда точек перемены знака т + 1, 0<t0<...
.. .<tm < Т. Тогда если т четно, т = 21, то для разрешимости
первой краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы
hs+i = 2 У (- 1Г!'*2;, C.14)
s = 0, ..., /, T = tzi+l. Решение в интервалах tZi-i< t<t-?s+i будет
симметричным относительно точки tZs и однозначно определяется
значениями и(х, 0)е 1Р+Ч9.) в пространстве H2x+^]+m(Q). Ес-
Если же т нечетно, т = 21+ 1, то для разрешимости задачи нужны
те же самые условия C.14), а относительно решения имеет ме-
место то же taaioe утверждение, только t2i+i < Т.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ К СЛУЧАЮ УРАВНЕНИЯ uf = Ци),
КОГДА L — ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛППТПЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
В этом параграфе - отметим одно приложение предыдущих
результатов к краевой задаче для уравнения u; = L(u), где L —
гиперболо-эллиптическнй оператор.
Пусть Q — ограниченная область в Rn или Q ^= Rn, В цилинд-
цилиндре Qa = £iX(\y\ < °°) X (О, Т) рассмотрим уравнение
Ll(u)+Lz(u) = ut, D.1)
где L2 — строго эллиптический оператор по переменным
(Xi, ..., xn) e Q, коэффициенты которого зависят только .от xt
a L| — обыкновенный дифференциальный оператор по у при у Ф
*Ф 0 и при переходе через гиперплоскость у = 0 коэффициент
при второй производной меняет знак. Таким образом, оператор
Li + Ьг в одной части Qo эллиптического типа; а в другой — ги-
гиперболического. Как и выше, вместо уравнения D.1) будем рас-
рассматривать систему
L1(u1) + L2(u1) = uit,
D.2)
—Ь^щ) + Lz(uz) = uzt
в цилиндре Q = Q X @ < у < °°) X @, Т).
Введем обозначения: ST = S X @< у < °°) X @, Т), S% =Sx
X (О, Т), S — dQ. Будем искать ограниченные решения системы
D.2) в Q, удовлетворяющие
41

1) начальным условиям
щ{х, у, O) + Ti(ul(x, у, T))=U(x, у),
щ(х, у, T) + Tz(uz{x, у, 0)) =/2Gr, у),
где Т( — некоторые операторы,
2) краевым условиям
ц, = u2 = 0 на ST,
3) кроме того, функции Mf должны удовлетворять некоторым
условиям склеивания при у = 0, существенно зависящим от опе-
оператора 1ц. Потому их будем приводить ниже для рассматриваемых
случаев, оператора Lt. Укажем сначала вид операторов Т{.
1. Пусть Q = Rn. В этом случае будем считать, что коэффи-
коэффициенты оператора Ьг постоянные, а
Ti(v{x,y))= f ri(x-l)^(l,y)dl,
где Ti(x — %) = Ti(Xi — %i, ..., хп — %п) — функция от х{: — |,-. Взяв
преобразование Фурье от уравнений D.2), начальных и краевых
условий для щ{у, t) —преобразований Фурье от uh будем иметь
задачу
„,
= u2i
в области G = @ < у < °°) X (О, Т) с начальными условиями
Ui(y, 0) + ?1Ш1(у, Т) =%(z, у),
щ(у, Т) + ?z(z)uz(y, 0) =%(z, у),
где /;, Ti, f (z)u — преобразования Фурье от /, т и L2(u) соответ-
соответственно. Заметим, что в силу строгой эллиптичности оператора
Ьг будет "f(z) ^ а > 0 и f(z) -^ <=° при \z\ -»- оо как UI2.
Если введем новые искомые функции щ = cosexp {Т — t)^{z),
то задача сведется к нахождению решений сог системы
Li(coi) = аи, — Ь2Ы2) = co2i C4.3)
в области G, удовлетворяющих условиям
©i(», 0)+ т|Сг)е-Г1'("<в1(у| Г) =/Vrit(z),
со2(г/, Г) + T2(z)eT<("oJ(j/, 0) =/2.
К этим условиям ниже добавим условия склеивания при у = 0.
2. Пусть теперь Q — ограниченная область с гладкой грани-
границей, a Z/2 — самосопряженный оператор с коэффициентами, за-
зависящими только от х. Обозначим через кп > 0 собственные зна-
значения, a vn — ортонормированную в LZ{Q) систему собственных
функций краевой задачи: L2(v)+Xv = 0 в Q, v = 0 на 5.. В дан-
данном случае операторы Т{ будем брать в виде
42

j D.4)
где " , ■
Тг(х,у)=2ьУип(х)ип(у), D.5)
71=0
а Ъ^п —заданные постоянные, которые обеспечивают равномер-
равномерную сходимость этого ряда.
Если us представим в виде
u(x,y,t)
n=o
и введем новые искомые функции и~п — «п* ехр (Т — t) Xn, то для
нахождения со„1 получим следующую задачу:
Ьх(^) = *%, '_L1(co[?>) = «<2t) D.6)
в области G и а4г> должны удовлетворять начальным условиям
^)(y,T) + b^eXnW(y,O) = ^{y),
где
К этим условиям мы должны добавить условия склеивания при
У = 0.
Рассмотрим два случая оператора Ly в D.2):
■ a) L1 = ^, б) L^y^ + at.
Условия склеивания примем соответственно следующие:
а) щ(х, 0, t) =uz{x, 0, t),
. D.8)
uly(x, 0, t) + uZv{x, 0) = 0.
б) Uiix, 0, t) =uz{x, 0, t),
D.9)
Очевидно, что функции ю; и со^ будут удовлетворять этим же
условиям склеивания.
Основные ограничения на операторы Т(\ для всех z и п вы-.
полняются условия
43

Гт.(г)| s£ 6 < 1, |т,(г)|вг»('> < б < 1,
D.10)
2
где б — постоянная.
д2
2.1. Рассмотрим случай-^ =—т. Тогда в обонх случаях обла-
облажу
сти Q задача свелась к определению решения системы
Wlyy=Wlt, Wtn = -Wlt, D.11)
в G = @< у < о°) X (О, Т), удовлетворяющего
1) начальным условиям
W!/,0) + W(i/,D=(pM
D.12)
PF2(j/, T) + kzWz(y, О)=
2) условиям склеивания
W,@, *) = W2@, <), ^„@, t) + WZy@, t) = 0. D.13)
Коэффициенты kt удовлетворяют условию D.10).
Единственность решения нетрудно доказать при помощи
принципа максимума и того, что б < 1.
i Решения W{ задачи D.11)—D.13) будем искать в простран-
пространстве #£'Р (G) П С2'1 (G), 0 < £ < 1/2, в виде потенциалов
1
'Я
о
°°„1 (v-ЪJ
<*< +e « I -ф1 (g) dg, D.14)
ГЛТ"^ ^2 (Ш- DЛ5)
Удовлетворив условиям D.11) н D.12) относительно функций
v = vd = —v2, ifj, ifa, получим систему интегральных уравнений
т а
| г т- т I 2 v (т) йт =
о
оо j2 оо j2

4T +e 4T
iT +e
T j
e 4Тт 2
т 2v(x)dr.
He ограничивая общности, продолжим ifi и ф,- четно на значения
у < 0. Тогда последние два уравнения системы D.16) можно
переписать так:
1Г
—со
2
Найдем из этой системы функции я^ и т|52 и подставим в первое
из уравнений D.16).
Обращение уравнения D17) имеет вид (см. § 6 гл. 2):
°- D.18)
(У) = Ф-Лу) + §а(У,т~ т; ftg) v (т) dT,
где
45

При получепии D.18) нужпо иметь в виду, что
—со
Подставляя D.18) в первое из уравнений D.16), получим отно-
относительно v уравнение
т
f [I * - т Г/2 + Л (* - т)] v (т) Л = ¥ (О,- D.19)
где
А
0 ~
[Ф, B /F о) - Ф2 B VT=t о)] Ат.
Если в D.19) интегральный оператор с ядром Ао перенесем
вправо и обратим, то получим
т
■-х)]1'*^ (т)
v (t) = т0 (t) — - [t A — i)\ -■•
о
т
— A. (t;v) + — [t(T — 01~1/4\ ~Т l(T' T , D.20)
о
■ где
о
*
Преобразуем оператор Ai(t\ v). .Используя интегральные пред-
представления гипергеометрической фупкции, будем иметь
t
46

~ dtC\sT + t-t) Г\2' 2' 2'sT + t-xjj
= Г1/2 (sT - тI/2 («71 + t - x)~\
Аналогично
t
4-1/2
(sT 4- т т
^ +T~ Ti)
О
Тогда
\ (*; v) = 2 {(- h? t~m f («г - тI/2 («г +«- тг1 v (т) dx +
■«=11 й
т 1
+ (— &2)s Г1/2 j (sT7 + тI/2 (sT7 + т — О v (т) dx\.
о J
Используя преобразование Гильберта, будем иметь
На
где
'К (
1
(sT+t
1 г
sT + г - х
1 I
основании
■^1 (^. V) -
,v
т
-x)nj l т -
0
j—1/4 /yi *\!/4
Г
11 1 \
Г
0
D.21) получаем
1 J.-1/4 /гр .ч-1
т
= \ К (
0
.„ А1-1/4 V
(-fc2)S((S-l)
— х)
" Tl)
К ^ i
У 2 i
т
М [■
0
[ (—
V
т +
Г + i
(Ti —«)
-1/4 1
Tl (^ ~ Tl)
ЙЧ-Х.-Т
/ гр ч—1/4 //„
т
l) JT
Х.-^ + Х.
\ ' " / \\
1 ( — 1) 1 (
т — t
fei)s (sr ~TI ((s ^
sT + * - 1
тI/* (й1 + тI/4 \
/4\ •
-jdx1
)
1\ Т л-
V V) dXl
- l)T —
TD 21)
L
T)J'4 |
D.22)
47

Если W0(.t) представим так:.
Т. (*) = (¥ @)/2я)
где .
о
л иметь в виду, что (см. [44, с. 1761)
I Г т-^(Г-х)^ dx = г„4 _ у4 _
о
то D.20) примет вид
т
v (<) + J К (t, т) v (t) dx = ^ Г17/ (Г - t)-l!i +
■
Разрешимость уравнений D.24) рассмотрим отдельно для случа-
случаев А,¥= 0, ft2 = 0 и kl = O,k2¥'O.
1) ki Ф О, А2 = 0. Введем новую функцию vl = £5v, где б>0 —
малое число. Тогда уравнение D.24) примет вид
т
vl(t)=\K1(t,T)vl(T)dr = F1(t), D.25)
о
.где
s=l
a ^i будет равцо правой части D.24), умноженной па t1*. Если
покажем, что интегральный оператор с ядром
к2 (t, т) = г6~1/4 (Г - *г1/4 ft(r~TI/4
; v ; хб (Т +1 — т)
вполне непрерывный из Lp в Lp, р = 2/A — [}), то этим же свой-!
ством будет обладать и оператор с ядром Ки Так как правая
часть в D.25) из Lp, то из единственности решения задачи бу-
будет следовать однозначная и безусловная разрешимость уравне-
уравнения D.25) в Lp. Полная непрерывность оператора следует из
того, что при заданном (малом) б > 0 всегда существуют такие
Л>0, fi>0, для которых rj1 + уГ1== 1 и будут выполняться ус-
условия теоремы 1.16 (см. [45, с. 1091) при p~q.
48

2) kt = 0, kz Ф'О. В этом случае введем новую искомую функ-
функцию v2 = (Г — t)\{t). Тогда уравнение D.24) примет вид
K3(t,T)v2(v)dT = F2{t), D.26)
• о
где
a F2 равно правой части D.24), умноженной на {T — t)". Как и
выше, показав, что интегральный оператор с ядром
-Г"* (Г
вполне непрерывный из Lp в 1/р, из единственности получаем
разрешимость в Lp. В силу того, что б > 0 — малое число, то,
как и выше, можно показать, что если fv e Lp при к2 = 0,
(Г - *)\ s Lp при Л, = 0, то потенциалы W4 г H$f\ fl С3'1 (G) и
имеют место оценки
( Г/2 Ця1),:
D.27)
о^ с и4 u*j?
На основании связи к»*, со^ с и4, u*j? соответственно и D.27)
будем иметь
1 Щ\т\/*)У ' D-28)
aV t
Постоянные С в D.28) и D.29) не зависят от z и к соответ-
соответственно.
Обозначим через Н\ (Q) пространство с нормой
III« Ша . = П и {У, *; z) f p.p/a A + I z \2)'dzt {4.30)
где и — преобразование Фурье по i от в. Из оценки D.28)
следует .
Теорема 1. Пусть Q в Rn и либо 7\ в 0, либо Т2 s 0. Пусть
Li = —р a fi и U удовлетворяют условиям
<*з = J i|/42(^z)IHi(l + |z
н„ "
4 с, А, Терсвнов 49
00,
оо.

Тогда существует единственное решение задачи D.2), 1), 2),
а) в пространстве Н\ (Q) и
III Щ \\\н, < С (dx + d2), i = 1, 2. D.31)
Обозначим через НТ+Му'\1г (Q) пространство функций с
нормой
Теорема 2. Пусть Q — ограниченная область в Rn и Li =
s2
=—5 м либо Т2 = 0, либо У1! = 0, функции /i w /2 удовлетворяют
условиям
II/ft
ft
II/а |Н1
Тогда существует единственное решение задачи D.2), 1), 2)
(сро-0) в Г+рИ/2
D.33)
| (| А ||Hi +1 А | «
fc=o ■" ■"
д2 д
+ а
' д д
2.2." Случай Li = i/—„ + а— @<а<1). Тогда задача сво-
дится к нахождению решения системы
• yWiyv+aWiy=Wlt, yWZyy + aW2y = -W2t D.34)
в G = @ < у < °°) X (О, Т), удовлетворяющего
1) начальпым условиям
T)=<pl(y),
W2(y,T) + kzW2(y,0) = <(dy), -
2) условия склеивания
WA0, t) = ^@, *), уа(^,+ W2y) |„=„ = 0, D.36)
где ^ удовлетворяют условиям D.10).
Единственность решения следует снова из принципа макси-
максимума и того, что б < 1.
Мы не будем приводить подробное исследование" задачи
D.34)—D.36), покажем только ее сведение к интегральному
уравнению. Решения W, будем искать в виде
* ~*~
e l'x\*~ТГ%1 Wdx +
50

У
; {У,. t) = — f-^л \ е т"' (т — t) ■
где
1
Г (у, |, t; a) =
Удовлетворив условиям D.35) и D.36), относительно функций
v = vi = —v2, *ф±, i|52 получим систему интегральных уравнении
\\t-x Г % (т) dt = Га j "-aV
о о
о
T
- t)-av (t) dx, D.37)
0
т
о
T
Если из последних двух уравнений системы D.37) найдем i]>i
и if>2, то, подставив их в первое, получим интегральное уравне-
уравнение относительно v. Для этого надо обратить интегральное урав-
уравнение
= y(y), 0<г/<оо. D.38)
Как и в § 6 гл. 2, обращение уравнения D.38) дается формулой
оо
Ч> (У) = S (- кУ J Г (^ 6'sT'а) Ф №) dg. D.39)
8=0 0
4* 51

В конечном итоге относительно v получим уравнение
г г
J | * — т |-« v (т) dx + J' N {t, х) v (т) dx = ф (*), D.40)
о о
где
оо оо с £*
5^
«о
«=о оо
- гсиГ'й- 2 (- **>' J « j e"^ V2r (I, Ex, ^; a) d%lt
* (*) = *"" S (- *i)* J ФХ (Ei) dEi J e"Tia~xr (E, Ex, sT7; a) d\ -
*=0 0 0 -
- (T - f)"a S (- *2)s J ф2 (Ei) <*Ei J е'^Т^Г (Е, Ei, ^Г; a
S=0
§ 5. СЛУЧАЙ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО КОЭФФИЦИЕНТА
Рассмотрим систему уравнений
E
+ a(t)u2y = — u2t)
где a(t) — кусочно-постоянная функция в (О, Г). В этом случав
вадача сводится к разрешимости некоторой системы сингулярных
интегральных уравнений. Если Т = °° и число участков постоян-
постоянства осШ бесконечно, то задача сводится к бесконечной системе
сингулярных интегральных уравнений, законченная теория (в
некотором смысле) которых получена в работах [20—22].-Эту
систему без исследования мы приведем в конце параграфа.
1. Итак, пусть a(t) — кусочно-постоянная функция 0 < е «3
^ a(t) < 1 — е. Пусть 0 = U < tt <.. .< tn-t <tn — T— интервалы
постоянства аШ. Обозначим через ак значение о СО в интервале
(**-i, **)i а через и™, Uj?} — решения в полуполосе Qk= (tk-utk)X
Х(О<у<<») первого и второго из уравнений E.1) соответствен-
соответственно. Рассмотрим задачу нахождения решений к*' в Qk, к = 1, ...
...,», системы E.1), удовлетворяющих
1) начальным условиям
и?(У,О) = и™(у,Т) = О, - E.2)
2) условиям склеивания
<th1 ft = l£...,nf E.3)
Ц ) <tk,. к = 1,,...1п, E.4)
uV(j/t h) = ий*(у,,tk)r к = 1, ..., n - 1, i = 1, 2. E.5)
Б2

Пусть числа р„ удовлетворяют условиям р„ < $n~t <.. .< §2 < Рм
0<ай + 2рй<1, 0<рй<а». Пусть р* = 1/A -ай- р„). Решения
) будем искать в пространстве Hyh> <ft (Qkf Л C2>1((?ft). Пусть
Я1+е@, Г). Введем обозначения
v£> = *Л
, к = 1, ..., га, i = 1, 2£
и Vft* будем искать в LPk. Считая vfe заданными, построим uh .
Для 0 < t < t, имеем
* v ■ '
^f)=-r(k) J-'^c-^^w^.
Удовлетворив условию E.5) при к = 1, для и> будем иметь
j
h
Г (у, t), t — tx; a,) M(xl) (ti.'
0
Преобразуем последнее слагаемое. Имеем
j Г (yt n, * - «iJ oO «i1} (Л, *х) dri = - jr^y J (*x - т)Я1+в2 X
X v^ (т) dt j Г (у, * - tj a2) (*x - т)""8 е ^-^ц.
0
Функция
со Ti
j Г (ju T]t * - *1? a,) (*! - t)""8 в 'i"Tdri
0
при фиксированном т, 0 < т < <4, является решением задачи
уиуу + а2иу = и, в (?а,
Очевидно, решением той же задачи в Q2 будет функция
(t — т)~"а е~"Л*-т). В силу единственности решения задачи E.6)
получим, что
Г (у, т), t - *х; a2) и?» (т), *,) dti =
0
53

Окончательно имеем
. *41} (Уг t) = - ^ ) е г~х (t - х)~а* v
(т) dx -
Продолжая этот процесс, для uh получим представление
/'*) = -rlbi e~"{t-x)-«^(x)di-
x (^« — т) vj (t) dx.
*k-i
Аналогичном путем петрудно получить представление для
в Qh (.th-t<t<thh
,,(а)
i
Если теперь удовлетворим условиям E.3) и E.4), то для опре^
деления функций vfe (f) = v^ (f) = — v^f (t) получим систему ин-
интегральных уравнений
'ft
J \n-
*k-i
'=■!*■
E-7)
где штрих у знака суммы означает, что IФ к, а
fc-i
1-Х
Воспользуемся формулой обращения интегрального уравнения
54

которая имеет вид
vh(t) = Fk(t)sin^- i.<
X
"Л
I
;,. E.8)
где
Но сначала приведем значения некоторых интегралов. Используя
интегральные представления гипергеометрических функций и их
свойства, нетрудно подсчитать, что если т^(^-4, tk), t<th, то
Тогда, используя преобразование Гильберта, после некоторых
вычислении будем иметь
~^cos
x
—T
. E.10)
Обращая по формуле E.8) первое слагаемое в E.7) и учитывая
E.9), E.10), для vh(t) получим систему интегральных уравнений
%
vh (t) + S' Г (ak) j Altk (tx x) v, (т) dt = ФЛ (t), к = 1, ... г п, E.11)
где штрих у зпака суммы означает, что 1Фк,
,. (х)
= Ф, (t) sin?f -1 сое ^L[(« - «*_,) (tfc -
X
X
"К
J
T—
55

«Й (*)-?*£, j (* - т)"» / (T)dt, Tfc- 2 rin * r A, gfe) .
*fc-i
Если ф*(£) перепишем так:
t
^-^О'^ + т* J (г-тЛ-у(тИт =
то выражение для Фк будет иметь вид
Ф* - Y*/ Cfc-i) t(* - h^x) (h - f)](Bft)/a sin ¥ +
+ % (*) sin -4 cos -5- [(*— <ft_i) («ft —f)](a^~1)/'2 X
tft
X j \_^ S-^-dt.
'ft-1
Введем обозначения ;
n
V = (Vi, .... Vn), И V ||Lp(o,T) S II VftUb- (tfc_lttft).
Если систему E.11) перепишем в виде
v + 4v = O E.12)
и если задача может иметь не более одного решения, то для раз-
разрешимости уравнения E.12) достаточно показать полную непре-
непрерывность оператора А из LP(Q, Т) в Lp{0, T). Как видйо из
E.11), для этого достаточно показать, что интегральный оператор
с ядром А1к вполне непрерывен из LPl (h-i, ti) в LPk (£fe_i, tk) для
любого IФ к. В силу той же теоремы 1.16 (см. [45, с. 1091) для
атого достаточно показать, что
Л А1.к (*, Т) Еь„'£*1-1-**) W S L*h (**-!' ffe)> E;13>
при IФ к. Имеем
И*.*(*.тIь '(f,_lf*rt @ <

Из этих оценок и из выражения для Д, * следует, что неравенства
E.13) и E.14) достаточно доказать для 1 = к—1 и 1 = к+1.
При I = к — 1 имеем
К* - Ч-l) (h- t)] 2 X
«ft-1
( Ui. i, (т + т - «fr-O1*-1 + 2= V-^V
Если
- 1/2 + ccft/2 - aft_x + 1/piU = - 1/2 + afe/2 + fo^ > 0,
то E.13) очевидно. В противном случае будем иметь
— rft_i) (rfe — t) ,
где б > 0 — малое число, если 1/2 — aJ2 — §h-i = 0, и 6 = 1/2 —
— ак/2 — $к~и если 1/2 — aft/2 — pft_i > 0. Из последнего неравен-
неравенства следует E.13). Аналогичным путем доказывается E.14).
Покажем теперь единственность решения задачи. Функции
uh^ удовлетворяют уравнениям
^У ику >у = —У иЫ •
Первое из них умножим па и£\ а второе на и^ и проинтегри-
57

руем по у от 0 до °°. Имеем
Ш У**" W? *У = V^W U - J У4 («SJ dy, E.15)
dy - ^ и™ U -1 /*("№</• E.16)
Если сложим E.15) и E.16), проинтегрируем по t от th-t до £>,,
просуммируем; по к от 1 до ге и учтем условия склеивания, то
получим
4- J [/"" W in, Т)У + г/ W (у,. О)J] ^ =
о
fe=1 i
Откуда следует, что м^ = 0, i = 1, 2, fc = 1, ...,».
2. Пусть теперь Г = оо и 0 = t0 < f4 < .. .< £л_! < tn...— ин-
интервалы постоянства a(t). Как и выше, пусть ак — значение а
на (ift-i, fft), a Mfe и Mfe —решения в Qk. Постановка задачи ана-
аналогична, только начальные условия имеют вид «^(г/, 0)=0, а ус-
условия склеивания — как E.3) и E.4), & = 1, ..., оо.
Пусть pft удовлетворяют условиям f5j > f52 >• • .^n >..., 0 <
+ 2pft<l, 0<pft<aft, pft= 1/A —aft—pft). Будем искать ре-
решения Mfel) ^Hyk'th (Qh). Если функции uji0 искать в виде
-1 ffe ^ e"^ С - ^"Bft П (*. - rf^a° vP> (г) Л,
"^ = - rfe Je""'(T - ^"""ft vl2) (T) dT -
- 2 ГШ J •"^(T-*)""hn(T-*.Li-4l+lv?)(T)*c
IHH-l1^!),^ l-fc
то, удовлетворив условиям склеивания, получим относительно
58

= vip = — Vft2) систему интегральных уравнений
J \x-t\~akvk(r)dx +
со ; 'I
+ Г (ak) 2' f Blth (t) 11 - * | "fe v, (т) dt = / (ж) Г (aft), E.17)
j, й — те же самые функции, что и выше).
Обращая в E.17) первые слагаемые, получим систему
00
00 г
A = 0, . . ., oo, 4-1 < t < th,
где А1к, Фк ~ те же функции, что и в E.11).
§ 6. ОБЗОР НЕКОТОРЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Приведем обзор результатов по краевым задачам для уравне-
уравнений рассмотренного типа, имеющих непосредственное отношение
к § 1—5 этой главы.
Из нижеследующих работ мы приводим результаты, касаю-
касающиеся именно уравнений с меняющимся направлением времени.
К. Пагани, Г. Талепти [52] исследуется задача нахождения
решения уравнения
иу sgn х — иа + ки = f F.1)
в области (?=(Ы<°°)Х@<£<°°) при начальном условии
и(х, 0) = h(x), где 0 < х < °°, и при некоторых условиях склеи-
склеивания на линии х = 0, 0 < у < °°. Одно из пар этих условий при
к = 0 совпадает с условиями склеивания в ■§ 1. В работе доказы-
доказывается существование решепия этой задачи, принадлежащее про-
пространству
J dx j {u\x + и\ + и2) dy < оо,
если h — абсолютпо непрерывная функция такая, что h' <=
е L2@, о»), а /е!2ф). Доказательство проводится сведением за-
задачи при помощи потенциалов к разрешимости интегрального
уравнения Винера — Хопфа и применением результатов самих
авторов, полученных для таких уравнений.
В работе К. Пагани [53] исследуется в полупространстве
у > 0 такая же краевая задача для уравнения
Uxx, F.2)
59

где р >—1 — постоянная. Очевидно, при р = 0 получим уравне-
уравнение F.1) при к = 0. Доказывается существование единственного
решения уравнения F.2), принадлежащего некоторому простран-
пространству W(Y+), которое удовлетворяет условию и(х, 0) = Мх) для
0<ж<°°. Пространство W(Y+) — это пространство функций с
нормой
£sssup J \x\pu2dx+ \ \(\x\pu% + \x\ puxx)dxdy < oo.
V>0 -a, -coo
Функции xvnh{x) и h'(x) интегрируемые с квадратом.
О. Арен [46] рассматривает уравнение
в, = хиж F.3)
в полуплоскости i>0 и доказывает существование единственного
решения и из пространства
оо оо
j j (u2t + хЧ2хх) dxdt < оо,
—оо о
удовлетворяющего условию и(х, 0) = h{x) для 0 < х < °°, где
оо
- J x~rh2dx < oo.
о
Метод доказательства существования — теория интегральных
уравнений Винера — Хопфа. Нужно заметить, что производные
их(х, t) решения склеиваются при х = 0 так:
и*(е, i) — их{—е, t) -*■ 0 при е -»- 0.
И. Е. Егоровым [9] рассматривается краевая задача для урав-
уравнения
а13иХ{Х. + ЪгиХ{ + си = щ sgn xm + / F.4)
в цилиндре Q — DXiO, T), где D содержит внутри себя часть
гиперплоскости хт = 0. Начальные условия задаются при t = О
в части D, где хт > 0, а при хт < 0 на части верхнего основания
цилиндра при t = T. В работе доказывается существование реше-
решения из Wj'0 @ для любого f&L2(Q).
В работе В. В. Катышева [13] рассматривается краевая зада-
задача для уравнения
ut = \x\ sgn х Uxx F.5)
в области Q= (\x\ < °°) X @ < t< °°). Ищется решение, удовлет-
удовлетворяющее условиям и(х, 0) = h(x) для 0 < х < оо и
60

где 1<|[<2, Если выполпепы условия МО) = О,
hx~l удовлетворяет условию Гельдера и функции ср и J <р (т) dx
о
удовлетворяют условию Гельдера и абсолютпо суммируемы на
(О, оо), то существует едипственпое решение задачи из класса
С*1{\0)(ф
В работе М. С. Боуенди, Р. Грисварда [48] рассматривается
задача нахождепия решепия уравнения
*es + l-DiS = / F-6)
в области Qcr {a<x < Ъ) X @ < t < Т), о<0<Ь, удовлетворяю-
удовлетворяющего краевым условиям д'и/дх1 = О, 1 = 0, ..., тп — 1, при х = а,
х = Ъ и пачальпым условиям и{х, О) = ио(х), 0<x<b, и{х, T) = •
= ит{х), а < х < 0. Доказывается утверждение, что если x1/zn0{x) =
е£,@, Ь), W^UJsijlo, 0), /eL,([0, Г], Я"т), то существует
о
единствеппое решение »е£2(@, Г], Нт).
Глава 2 •
ПОТЕНЦИАЛЫ И ИХ ОЦЕНКИ
В РАЗЛИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В этой главе приводятся различные тепловые потенциалы,
связанные с оператором Бесселя, и некоторые их свойства. До-
Доказываются оценки их норм через нормы плотности в различных
пространствах функций. Метод доказательства в гельдеровских
пространствах такой же, как и в [25]. Приводятся обобщенные
операторы Абеля, которые на самом деле являются предельными
значениями тепловых потенциалов или их нормальных производ-
производных на боковой поверхности. Для этих операторов устанавлива-
устанавливаются оценки как в гельдеровских- пространствах, так и в Wp.
Даются формулы суперпозиции операторов Абеля, которые, как
видно из гл. 1, дают возможность краевую задачу редуцировать*
к сингулярному интегральному уравнению.
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕШЕНИЯ, ПОТЕНЦИАЛЫ
И ИХ СВОЙСТВА
я2 h Я
Пусть В = —s -1— оператор Бесселя, где к = 2а — 1 —
ду У "У
постоянная. На основании рекуррентных формул (см. [431) для
функций Бесселя
= —y~vJ4+i(.y). A.1)
61

Имеем
yh ту [B(s) ОГЪ-. (yz))] - (-1) Vs+W_a (yz).
В силу этих формул легко проверить, что функции
Гх (J/, |, *; af= J/1""!" J e-2*m'z/i_e (j/z) J1+a (gz) dz,:
о
oo
Г2 (j/, g, <; a) = у1'"? j' e-22^^-! (j/z) Ja-i (Ь) dz
о
относительно перемеппых у, t являются решениями уравнения
Если в Е($ сделаем замену перемепных z = t~i/2mo, у == f1/2m^, то
получим
где'
в,а = Г" J e-a2mo2e+a/a_1 (oQ do,
о
Сх = (- l)m+s+V2-ar A - а), С2 = (- l)m+l/21-*T (a).
62

Покажем, что при любом у > О @ < а < 1)
\imE<gl(y,t) = O,. limE[a:l(y,t) = 0, s>0. A.5)
В самом деле, в силу A.1) имеем
Используя эту формулу при v = 2 — а и интегрируя по частям,
получим
Mtt* = - Г
о
Применяя снова ту же формулу при v = 3 — а и интегрируя по
частям, из последнего равенства будем иметь
00
Ms,a = Г" j [о-* (e-°*V07 аз-%_а (Со) da.
о
Продолжая этот процесс п раз, получим
оо
Ms,a = (- 1)" £-а-п J /я (о) a»+i-«/n+1_a (&r) da,;
о
где
г=о 0
а Ci — некоторые постоянные, зависящие, вообще говоря, отЛ
re, s, а. На основании асимптотического поведения фупкций фес-
селя и поведения около нуля нетрудпо получить, что, пачиная
с пекоторых значений n, Ms, а -*■ 0 при £ ->• °°, причем это стрем-
стремление к нулю можно сделать сколь угодно высокого порядка вы-
выбором п.
Аналогичным путем легко доказать, что таким же свойством
обладают функции №,а, £ЛГ,|1+„(£), а при 2а <1 и функция
£Mi+<i 1+а(£). Из этих свойств следует A.5), так как £ = t~i/2my -*■
-»■ оо при *-*-0 И у>0, И ЧТО фуНКЦИИ ilf,_ „,'#,, a, ^>, i+в) а ПРИ
2а < 1 и функция £i^i+«, 1+a равномерно ограничены в интервале
@<£<оо). Отсюда следуют оценки
2a<l.
63

Кроме того, нетрудно подсчитать, что
ft 5
ду
Если не оговорепо особо, то в дальнейшем 0 < a < 1. Рассмотрим
в области Q = @ < у < °°) X Q X (О, Г) уравнепие
3
где'й — некоторая область в Rn перемепных (ж,, ..., х„)=х,
Lo — оператор порядка 2т по переменным х±, ..., хп строго эл-
эллиптического типа с постоянными коэффициентами. Оператор La
таков, что уравнение A.7) параболического типа. Нас не инте-
интересует, насколько широк класс операторов La, поэтому будем
считать, если не оговорено особо, что Lo = (—l)mAm, где Л — опе-
оператор Лапласа. Область Q, или совпадает с Rn, или является огра-
ограниченной областью с достаточно гладкой границей.
Обозначим через V{x, t; f, у) решение уравнения
-|ii + Lo (v) = 0 A.8)
в области G = Q X (О, Г), которое удовлетворяет
1) начальному условию
v{x, 0) = fix, у),
2) краевым"условиям
= 0, s = О, ..., т — 1.
вах(о,т)
При соответствующих условиях (см. [25]) такое решение всегда
существует и единственно. Если Q = Rn, то условие 2) отсут-
отсутствует и VU, t; f, у) будет решением задачи Копта. В операторе
Т после / всегда будут стоять параметры, от которых зависит /
и по которым оператор V не действует.
Рассмотрим потенциалы
t
' i>i?» (ж, у, t; ф) = J £|^ (й. t — т) V (х, t — т; ф, т) drf
о
«S3 (*. У' <; v) = 1 £$ (У» < - т) F (ж, * - т; v,; т) dx.
о
Функции tfi", являются решениями уравнения A.7) и удовлетво-
удовлетворяют однородным начальным условиям. Из A.60) следует, что
У ду 1VM1 v2,*+l+lt У ду lv2,s\ — vl,*+l-
64

Теперь выясним, каким краевым условиям удовлетворяют потен-
потенциалы v($ при у = 0. Рассмотрим функции v["s-
1) Пусть s^m — 2. Если сделать замену a = z2mit — т), то
будем иметь
X [ e-o0t2s+3-a-2mV2m/1_a (l/ (£ — T)-l/2m ffl/2m) ^а.
Тогда
о
lim у*-Ч =
;;0 т23-«ГB-аГ '
Отсюда следует, что подынтегральная функция в Vif« при у -*■ О
отпосителыю it — x) имеет интегрируемую особенность. Поэтому
для s ^ тп — 2
i#?(a:, 0, *; Ф) = 0. A.10)
2) Пусть s = та — 1. Сделаем в yi?m-i сначала замену а2т =
= z'm(t — т), а потом т = t — y2m|-2m. Получим ,
i.OO
«4?m-i (ж, у, t- ф) = g 2"—; -1 v ^ №m; ч>'f - (j//^Jm) x
& 1 ^1 — OL) '" *J
\
оо
X t~ad£, j" е-^^^-а/^а (go) da.
о
Переходя к пределу при у -*■ 0 и учитывая, что F(x, 0; ф; t) = .
), получим
^-i(«, 0, *; Ф) = <р(*. t). A.11)
При этом падо иметь в. виду равенство (см. [44])
*"—/!-, (lo) do = 1
3) Пусть ф — достаточно гладкая функция и лусть s = пт + I,
0^1^т — 2. Легко видеть, что
EtL+i (y,t) = (- 1)»0»-« ^-Eft (у, t). A.12)
В силу этого имеем
t
v[aL+i (х, у, t; Ф) = (- 1)«(—1) j^ Ef}{y, t-x)V(x,t -т; ф, т) йт.
о
5 С, А, Терсенов ■ 65

На основании свойства A.5) нетрудпо получить, что
d*L+i (*. У, t; ф) = (- I)"'™-1' (^- + Ьоу х
t
X$Et$(y,t-T)V(xrt-T;q>,T)dT.
о
Отсюда в силу A.10) и A.11)
0, если I ^та — 2,
(— l^nvm 1-М-5- Г-^о) Ф' 6СЛИ { = та — 1.
A.13)
Рассмотрим теперь функцию иЦ> Имеем
00
je
0
1) Пусть s < та — 1. Тогда
4"i (г, 0, t; v) = Ь
a_1 (г/z) dz.
X
X
2) Пусть s = пт + I, 0
трудпо получить, что
1/2, 1Ътпшг1 V) *-') ) •/ —"
(
\x,t-x;v,x)dt. A.14)
— 1. Тогда, как и выше, не-
21-2<хр ,п л-а)/т)
■ X
X (~ *)n
тГ2 (а)
г+а
у—о
В силу свяли функций z/ifj и i4" по формулам A.9) и A.13)"
имеем ♦
0, если s = пт + I, I ^ та — 2,
/а \п
(— l)»(m-i) 1 + Lo\ v, если .<? = пт + т — 1,;
. . A.15)
где п > 0 — целое число. На основании полученных формул за-
заключаем, что если |х8 и v3 — достаточно гладкие функции, то
66

выражение
m-i *
m-i
"i = 2 £$.-.-1 Q/, t~x)V(x,t-x; ц„ x) dx A.16)
является решепием уравнения A.7), удовлетворяющим условиям
BilKul)\v=t = yL,{x, t), 1 = 0, 1, ..., яг-1, A.17)
а выражение
"i-i *
и, = 2 -J ;4"»-i-i (.'/. * - т) V (х, t - т; Vll т) dx A.18)
— решением уравнения A.7), удовлетворяющим условиям
Ук -щ Ва) (м2) I о - v, (аг, *), / = 0, 1, . . ., т - 1. . A.19)
Кроме того, ut удонлотнориют однородным начальным условиям
и краевым услошшм но х, которые определяются функцией
V(x, t; ф, т).
Заметим также, что функции
j --= j \\ (у, 1], I; а) У (х, t; /,
являются решениями уравнения A.7) и удовлетворяют условиям
, I/, 0) = /(ж, у),
/ 0 т - 1,
.^@ К) Uo = 0, у* А £@ (<й2) U = 0, / ,= 0, .. .,
а также соответствующим однородным краевым условиям на бо-
боковой поверхности цилиндра, которые определяются функцией V.
В случае а = 1/2 уравнение A.7) рассмотрим песколько в дру-
другом виде. Будем обозначать у = хп, а Ьй пусть будет эллиптиче-
эллиптический оператор порядка 2т но переменным х' = {хи ...,,xn~i),
коэффициенты которого не зависят от хп и t.~ Уравнение примет
вид
Рассмотрим это уравнение в цилиндре Q = @ < хп < °°) X (О, Т) X
ХйпН. Для уравнения A.20) исследованы краевые задачи в
пространствах W™'lt(Q) (см. [25]). Элементарные решения
Е%1г) {хп, t) будем обозначать просто через Eis{xn, t), a v^s2) —
5*' G7

через vi,,. Тогда функция
m-i *
Vx {X, t) = 2 J ^l.m-i-i (*n, * — T) V (X', i - T, \ls, T) Йт A.21)
будет решением уравнения A.20), удовлетворяющим однородным
начальным условиям и краевым условиям
а2' „ ,.., , п „„л A.22)
t2i
а функция
тп-1 '
Щ = 2 j £i,«h-i («п, * - r)V(x', t - т; v., т) dx A.23)
будет решением, которое удовлетворяет также однородным на-
начальным условиям и краевым условиям вида
= v,(*',*). 1 = 0, ...,т-1. A.24)
§ 2. ОЦЕНКИ ПОТЕНЦИАЛОВ
В ГЕЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
1. Пусть (? = @<i/<°°)X@, T)XRn. Ниже выражение
</>z будет обозначать коэффициент Гельдера функции / по пере-
переменной z с показателем р, Н/110 — обычная норма в классе непре-
непрерывных функций, #х'/2т — гельдеровские нормы (см. [25]), D, —
производная по £, Дс — производная первого порядка по любой
из переменпых ж,, ..., xn,Dy = yk-^-, D9y = i/ft-^fi(s), если g =
= 2s + 1, и Z?^ = Б , если g = 2s. Если не оговорено особо,
иногда для частных производных будем пользоваться обозначе-
д д д
пием eiT' 17' 1?
Введем обозначения
<u>rv)= S {DiDl'Dl'uyf^, B.0)
]
р—2шг—9<2П>
68

•уде д(>0, g = g! + g2,
m-l
>$ = 2 <DvB^Dlm-2j-i
3=0
■+ <Dtu)f + 6, S
B.1)
j=0
m-l
j=o
где б! = 0, если 2a > 1; 6, = 1, если 2a < 1; б2 = 0, если 2a <1
:i б2 = 1, если 2а ~>\. В ныражениях B.0) ч = 0, если ^ четно,
:i "К = 2а — 1, если q, почотпо.
Пусть 1<2а+2р<2; 0 < р < 1/2, р = 2т + 2§. Введем норму
2tn
JIcmmu 1. Пусть v(=llf')lm{G), (isfl^'^IG), ji(*. 0) =
U ) + X + +
-• Л„ X @, Г). Тогда для функций i4*i (ж, J/, ^; v), yi*5 (л;, г/, i;
(см. § 1) имеют место оценки
где (см. [25])
, (a). (p+
<>2,s>2,Q
2mr+s=[H
2 )t
0<l—2mr—s<2m
Для удобства ниже будем пользоваться обозначениями
D'xv(x, *,) - Z)Lv (ж, «а) = уГ(ж, *!, *а),
Z)Lv (ж, *) - D[v (z, i) = v#; (x, z] t)t
причем в аргументах v* имеет значение порядок tt и t2, а имен-
именно, tt — аргумент уменьшаемого, - а t2 — аргумент вычитаемого.
Аналогичное нужно иметь в виду в v*. На основании оценок
(см. [38])
и+2тц+у
2m е
69

для фундаментального решения Т(х, |, t) уравнения Ц/ + />0(и) =
= 0 нетрудно получить следующие оценки:
\tLaV{x, t; v, т)КСтахМж, тI, B.4)
(х, f;v,T|<Cmax'| v(x,x)\, B.5)
| [DlzV (z, t; /, x)Ux | < Ct(p-')/am, / = | x - g |p, B.6)
которыми пиже будем часто пользоваться. Нам придется оцепи-
вать коэффициенты Гельдера функций вида
v= j" E {y,t-T)DlxV (x,t-x;v,T)dx =
— 00
t
= j E(y,t — x)D'xVfat-x\v*,x,t)dx +'
— 00
+ ] £■(!/, t — x) DlxV (x, t — x;v,t) dx.
Для разности v(x, у, tj — v{x, y, t2) (i, > U) будем пользоваться
формулой (см. [25])
vfay,t^) — vfay,t^ =
h
= j E(y,t1-x)DlxV{x,t1-x;v*,r,t1)dx~
h
- J £ (y, ta - t) D^y (ж, 12 - t; v*, т, *a) dr +
+ f [£ (|/, ix - т) - £ (|/, i8 - t)] ЙУ (x,«! - t; v*, t, f3) Л -
—oo
2B-fj
- j Я w, *2 - т) [DiV (*,f2 - т; v*. t, *a) —
^ —oo *
- DlxV (x, tj. - t; v*, t, *„)] dr +
)
^(y.TjDiV^Tjv*,*!,^)^. B.7)
Заменой t—x па т выражение для у (ж, ^, f) перепишем в виде
оо
у = j Е (у, т) Z^F (ж, т; v*. *-т,f) dT +
о
оо
+ j E {у, т) Z?iF fa т; v, *) Л.
о
70

Для разности vix, у, t) — viz, у, t) будем пользоваться формулой
|X_2|2m
v {х, y,t)-v (z, у, t) = j £ (г/, т) D^F (ж, т; v*, < - т, *) dx -
СЮ
+ J /? B/, т) 1/>1У (.г, т; v, *) - D[V (z, x; v, *)] dx. B.8)
о
Аналогичной формулой Пудсм пользоваться и для разности
''(•М/|,/)--<Ф, у2, *) =
|vi i/sl1'"
- f A'^.xJ^V^.xjv^.t-x.O^-
m
Я (уя, т) DJcF (ж, г; v*, * - х, t) dx +
ь; х) - E (y2, x)] DiF (z, T; v, f) dx. B.9)
о
Кроме того, будем пользоваться равенствами
DlxV(x, т; v*, z, t) = D'-xV(x,t; v*x,z, t),
D'XV (x, x; v*,.^, t2) = Djr^F (^ x; v*, tu t2), . B.10)
DlxV (x, x;>, t) = D^F (ж, x; vb«).
которые следуют из единственности решения задачи Коши, если
функция v(x, t) имеет соответствующие производные по х.
Если иметь в виду, что
v* (I, h, i2) = v*^ (I, z, tj)— v*k (I, z, t2) — v* (z, i1; f2),
Vi, (I, t) = \»X (I,, Z, t) + Vb (Z, t),
TO
Di"*r (г, x; v*, h,t2) = D'X~%V (x, t; v*b z, ^) - DjTx7 (i, x; v*m zt ta),
D«"l-F fo T; va, it) - D^^F (^ x; v*Xl z, t)x
71

если ZiФxt, l>X. В силу этих равенств имеем
D^V (х, х; vt, h, t2) = [DlTXV (x, x; v*b £, *,)]:=зс -
-[D'x-kV(x,v,v*X:Z,k)]^-x, , B-11)
D'X^V (x, t; vx, *) = [D^F (z, x; v*b £, *)lt=«-
Фактически сначала берется производная по х порядка I — X,
а потом вместо v*(|, £) ставится v*(|, i) — v^(a;, i). Ниже также
часто будем пользоваться уравнением, которому удовлетворяет
V(x, t; /, т), не оговаривая это особо.
Докажем неравенство B.2). Положив v(x, t) = 0 для t =£ 0,
выражение для v£<s можем переписать так:
t
Рассмотрим функцию со =
t
^(y, t-j)V (x, t-v,v, x) dt -
t
- J 4?i(y,«-
Оценим разность (л(х, г/, tj — ю(а:, г/, i2), tt > f2. Обозначая через
coi первое слагаемое, а через со2 — второе, будем оценивать раз-
разности Wiix, у, tj — Ыг(х, г/, t2), i = l, 2. Каждую разность пред-
представим в виде B.7). В каждом из этих представлений первые
четыре слагаемых оцепиваются па основании A.6), B.5) и до-
допускают оценку
\+a+Mf B.12)
Последние слагаемые оцепим совместно. Они входят в разность
ш{х, у, ti) — (й{х, у, U) так:
2(fl-*2)
1= j Ei%m(y,T)V(x,r,v*,t1,t2)dT- ' .
о
2(<1-<2)
- j Е%1 (у, т) L0V (х, т; v*. tv t2) dx =
0
= 4"s (У, 2 (<! - t2)) V (x, 2 (t, - i2); v*, *lf t3).
Отсюда получаем
l/|<C<v>i<s+a+p)/m(i1-f2)p/'>t. B.13)
72

Окончательно имеем
<Dtv%bf/m < С <v>is+a+i5)/m. B.14)
Теперь рассмотрим функции Bу < I ^ 2т)
J М%"&, * - т) £>LJF (x, t- r, v*, т, t) dt
— 00
t
+ J 4"Vi (», * - г) Z)^2i F (я, t - x; v, t) dx.
Снова разность ш(ж, у, tj — aiz, у, t2) представим в виде B.7).
Первые четыре слагаемых допускают оценку
С <v><s+a+PV» (tl - t2)(v-l)!im. B.15)
Оценим последнее слагаемое
Ci«)
о
Пусть 1 — 2]<2а\1, Тогда пороиишом выражение для 7 так:
о
Если s +; < т — 1, то отсюда получаем
2Х-1+2} 2%-l+2jz(h-h) t+j+a.
J
|/|<C<O-«v>, ■- .„
<c<z>L~2\
Если же s + J — m + 6, 0 ^ {
выражение для 7:
2(*l-'2)
~~ J Их 2>e ^
0
получим, что
'-Я$(У, 2 («!-«,))-
'>*2m (*l-i
5 < 7» — 1, TO,
Dl^iiV{x,2{t1
I - -
0
£2Jm.
интегрируя
~h),,v\tu
dm
no
B.16)
частям
h
о
Первое слагаемое оценивается выражением
С <v}ffm (t± - t2) (p-W8. B.17)
6 С, А, Терсенов . 73

Для оценкд второго слагаемого достаточно оцепить выражения
вида
*(*1-<2)
/0 = J E'f6 (у, т) D2xm+l~2jV (х, Г, v*, tv tt) dx,
о
или же
4h-h)
/0 = J £$ (*/, т) я«*+*-»Ь«-1г (ж> т; v's+1, h, ts) dx.
о
Если воспользоваться представлепием B.11) и оценкой B.6), по-
получим оценку
| /01 < С <DSs+1v>^(a+pbl (*х - h){'~l)lim. B.18)
Из оценок B.15) —B.18) следует
(BU)Dlx-2}v2tS)(rI)l2m <.C <v>(G2M. B.19)
Оценим коэффициент Гольдера по t функций <a=DvB 3 D^2lv^,,
2j^l^2m~ 1. Имеем
t
со == J Е[):$ (у, t - т) Dlx~2jV (x, t - т; v*, т, *) dx +
— oo
t
,«-'t) Z>i~w F (ж, * - x; v, *) dx.
Разность to (л, г/, ^) — ш(ж, у, £2) представляем по формуле B.7).
Первые четыре слагаемых допускают оценку
С (vy[s+a+Wm (tl - *я)(р~!+2а~*)/ат. B.20)
Последнее слагаемое оцепивается так же, как и при получении
оценки B.19).
Окончательно получим
" V. B.21)
Оценим теперь коэффициент Гельдера по х функции
Имеем .
ОО
= J E^l+m (у, г) V (х, х; v*. if - т, t) dT +
74

(у,х) L0V (х, т; v*. t-x,t)dx-
Обозначим сумму первой пары слагаемых через ooi, а сумму вто-
второй пары (третье и четвертое слагаемое) — через со2. Каждую из
разностей и>г(х, у, t) — co((z, у, t) представим по формуле B.8).
В каждом из представлений первые три слагаемых допускают
оценку
C(v}is+a+&)'m\x-zf. .. B.22)
Для оценки последних слагаемых сначала при i = 1 интегрируем
госчастям, имея в виду, что E^l+m (у, х) = ^.-йг?» (У>х) и в ко*
нечном итоге достаточно будет оценить выражепия вида
со
• / = J Е$ (У, x)[Dlm-2s-1F (х, т; v2S+1, t)-D!m-*-lV(z, т; v2s+1, t)]dx.
о
Для оцепин / иредстаиим его в ниде
|Ж-2|2т
/= j E™(y,x)Dlm-2s-'V(x,x;v2s+1,t)dx-
о
+
Теперь в первых двух слагаемых в подыптегральных выражени-
выражениях воспользуемся представленном B.11). Тогда в силу B.6) полу-
получаем, что они допускают оценку
CiDl^vyT+^lx-zf*. B.23)
В третьем слагаемом воспользуемся как представлепием B.11),
так и теоремой о конечных приращениях. Получим, что и оно
допускает оценку B.23). В копечном итоге
\ B.24)
Оценим коэффициент Гельдера по х функций
<В = UytS LJx V2,s =
6* 75

j Д(/.7+) \у, г) Dlm~2i-lV (х, т; v*3 * _ т, i) <
О
+ j М1.!"} (У, х) £>ГЬ1^ (*, t; v, t) dr.
Представим разность а(х, г/, £) — co(z, у, г) по формуле B.8).
Первые три слагаемых допускают оценку
С <v>!s+a+fJ>/m | х - zfa+^-\ B.25)
Оценим последнее слагаемое
/ - j ВД] (г/, г) [£>Г-2Ь^ (х, т; v, г) - £>ГЬ^ (zt т; v. *)] dr.
о
Если s + / ^ т — 2, то это выражение можно переписать так:
|3c_z|2m
- J . 41.-+1 (У, т) £>*"-2'-2s-27 (х, т; у„+и t) dt -
о
lx-z\*m
- J ^7+}(y,T)£>r-2i-2s-2^(z,
+
J M^
Как и выше, воспользовавшись во всех слагаемых представлени-
представлением B.11), а в третьем слагаемом также и теоремой о конечных
приращениях, для I получим следующую оценку:
111 < С <D2s+1v>|(a+P)-1 \x-z |2P+2a. B.26)
Бели же s + j ^ т — 1, то, имей в виду, что
и интегрируя по частям, получим
/ - ] Et?}-m (У, х) [L^T^-'V (х, т; v, *) - Т
76

При интегрировании по частям мы воспользовались условиями
JE^T+j-m — 0 при t = О, t = оо, когда у > 0. Из полученного пред-
представления для / следует, что достаточно оценить выражения вида
/0 = J Et$-m (У, х) [Dim-**-*V {ж, т; v, t) -
о
оо
- Dim~2i~lV (z, т; v, it)] dx = J E{?-?]-m (у, г)Х
X [£>^-^'-^-V (а:, г; V2s+1, t) _ ^™-«-«-»7.(г1 г; v2s+ll t)] dx.
Теперь тем же приемом нетрудно получить оценку
. B.27)
\
Итак,
iDyB^DT^-^lyT^-^C^tK ' B.28)
Аналогичным путем получаем
{B^DT-2vfbf < С <v>(<f >• B.29)
Коэффициент Гельдера функции Dtv(£l по пероменпой у оцени-
оценивается так же, как и по х, только в соответствующих местах нуж-
нужно воспользоваться формулой B.9).
Оценим коэффициент Гельдера по переменной у функции
со = B^DT-%^ (х, y,t;v)=] E™+j (у, г) D2™'*' X
XV(x, т; v*, t- x, t)dx
Представив разность ш(а:, уи t) — ш(ж, у2, *) по формуле B.9),
нетрудно видеть, что первые три слагаемых допускают оценку
n\yi-y^. B.30)
Оценим последнее слагаемое
оо
/ = J [<>+J (ylf т) - 4% (</2, т)] DT~2iV (x, t; v, 0 dx.
о
Если s + 7 < тп — 1, то 7 представим так:
ft+i (У2, X) DT-o-^V (X, T; V2S+1)
' 77

+ J [E$+} (ylf t) - El$+} (y2, x)] D^-'-'^Viz^; v2s+1, t)dx.
\vi-v2fm
Теперь, воспользовавшись для подынтегральных выражений
представлением B.11) и оцедкой B.6), иолучим, что
\У1-уа |2р. B.31)
Если же s + j = m-h8, 0<б'^пг —1, тогда, имея в виду, что
•#!m+j = -fa Ei$i и интегрируя по частям, для I получим выра-
выражение
Дальше поступаем аналогично рассмотренным выше случаям и
окончательно получаем оценку
/ R(i)n2m-2j (а)ч2|3
Нам нужно еще оценить коэффициент Гельдера по переменной
у функции DyB^D^T^'^v^l, если 2а > 1. Получение оценки
проводится аналогично рассмотренным случаям, если иметь в
виду, что
Таким образом, неравенство B.2) доказано. Аналогичным обра-
образом доказывается неравенство B.3).
§ 3. ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ АБЕЛЯ
В ПРОСТРАНСТВАХ Н1^гт
)t
1. Пусть O^s^m-1, 0=s=Z^m-l, ve= Hf't/m(G)t
+ a + p, v = 0 при f < 0, сумма a + [5, удовлетворяет условиям § 2.
Рассмотрим функции
t—т) т V(x, t — x;vrx)dx,.. 1 + s^.m — li C.1)
i
——1- Lo I \ (t — x)
к Ot J J
— oo
Покажем, что
и |1 щ || 26, e/m < С И vl| «, Vm,. C.2)
их t Hx t
78

:де б = т + [5 — I. Для этого достаточно показать, что
<coi>^2e)<C<v>^). C.3)
а) Пусть ZS*1. Для 0</<2(яг — l), воспользовавшись для
зазности DxXuj^ix, tj) — D3xm1(x,t2) представлением B.7), где
3(у, t) = t~ls+l+a)/m, петрудно показать, что первые четыре слага-
слагаемых допускают оценку
C<v>JVm(f1-f2N/m-j/2m. 'C.4)
Оценим последнее слагаемое
2(*i-*a) s+1+a
/= f т ffl DiV{x,r,v*,tt,ti)dx.
о
Если / ^ 2{т — s — I — а), то в силу B.5) легко получить для I
оценку C.4).
Пусть j'<2s+l. Интегрируя по частям выражение для /, по-
получим
m_«!!i-a [2 ^ - *2)l(m-s-;~a)/mDl(x, 2 (t, - t2); v*, tv t2) +
ЧЧ-Н) „-.-,_,
+ m-s-l-a \ x П DLL0V(X,T>,v*,tvh)dx.
о
Очевидно, первое слагаемое допускает оценку C.4). Во втором
слагаемом перебросив производные по х порядка 2s + 1 на v*,
имея в виду оценку для D%s+1v* и неравенство 2s + 1 <2т — 21 —
— 2а+ 1, получим, что второе слагаемое допускает оценку
С <> ^ ^y
Пусть j>2s+ 1. Перепишем выражение для I так:
8(*1
г
о
Если для .Ож8^ воспользуемся представлением B.11), то в си-
силу B.5) и B.6) получим оценку
w (*x - t2fm~mm. C.6)
Для оценки коэффициента Гельдора по а: функции Z)^m~* cox раз-
разность в точках х и z представим но формуле B.8). Первые три
слагаемых допускают оценку
В четвертом слагаемом сначала производные по х порядка 2s +1
79

перебросим на v, а потом представим его так:
8+г+а
J . т m D^-^V (x, x; v,i+1> 0 <*т -
|x-z|2
- J
Dz ' (-2) t\ "V2S-J-1» v ^Х
s+l+a . •
т т
Теперь во всех слагаемых в подынтегральных выражениях вос-
воспользуемся представлением B.11), а в третьем — также и теоре-
теоремой о конечных приращениях. Тогда в силу B.5) и B.6) окон-
окончательно получим оценку
ТТтя тс
'• <ZJK(m-4>lp<C(<v>?'/m + <JD|s+1v>|(a+p)-1). C-7)
б) Пусть I = 0. Введем функцию
t-x
vt (x, t, %) = j v (ж, т]) йт]. C.8)
t
Тогда v(a:, t — х) = — dvt(x, t, %)/дх. В выражении для ©i сначала
сделаем замену t~x = xu а потом вместо v(x, t—x) подставим
—д/dxviix, t, т). Получим
°% _£±2 г т
coj. = — J т т I -^F(х, т; Vi, t, x) + Ь0У (ж, т; vx, f, x)\dx.
о
Проинтегрировав по частям первое слагаемое, получим
(o^-i^Jx m F (ж, r, vx, t, x) dx -
о
oo s+a
— j t m L0V (x, t; vt, t, x) dx.
о
Тогда
Z>tCOx = ] x m F (ж, t; v*, t — x, t)dx —
о
80

С -— ' л.
— \х т ЬУ {х, т; v*, t — х, t) dx = —i±-2Q1 _ Q2
так как ^- vx {x, t, x) =s v* (ar, £ — т, t). Теперь если разности
Qi(x, ti) — Qi(x, t2) представим так:
1 x m [W(x, x; v*, tx — r, tx) — W(x, x; v*, t2 — x, t2)]dx'+
v \ -
0 "^
oc S4-C6
л + J t m W(x,x; v*, tx — x, 1г — r) dt —
— J т n W{x, t; v*, *lt £2) dty
где при г=1, q = l, W =* V, а при г = 2, gr = O, PT=L0F, то
обычным путем получим оценку
m. C.9)
Для функций D»©! A</^2и), представляя их разность в точ-
точках fj и U по формуле B.7), покажем, как оценивается последпее
слагаемое
Hh-h) _«+«.
/e J т mDisV{xtt;v;t1, t2)dx.
о
Пусть 7 > 2s + 1. Перепишем выражение для / так:
т
о
Если теперь воспользуемся представлением B.11),. то в силу B.5),
B.6) получим оценку
I /1< С <Z>|s+1v>f+Pbl (tx - t2fm~j/2m.
Пусть j < 2s + 1. Тогда j^2m—1. Иптегрируя по частям, по-
получим следующее выражение для /:
т
т - , - а
[2 (** ~ h)\(m-*-a)lm DJXV (х, 2 (t, - ta); v*, tv tt) +
0
Для первого слагаемого имеем оцепку
(^-i2N/m-j/2m.
81

Во втором слагаемом, перебросив производные но х до порядка
2s + 1 на v*, петрудно получить для пего оценку
Итак,
\Dim1ybt/m-j/2m < С <v>gw. C.10)
Оценим коэффициент Гельдера функции Dxm~!)®i по перемен-
переменной х. Имеем
x m D2x(m-l)V(x,T,v*,t-x1t)dx +
0
оо s+l+a
0
Расписав разпость в точках х и z по формуле B.8), легко видеть,
что первые три слагаемых допускают нужную оценку. Оценим
последнее слагаемое
1 " [rf*"-» V (г, г; v, f) - Df'-Ч (г, т, V, гI dx-
О
00 8+g+i
1 г* 771 Г у-\2(тп—?) тг / .\ y-v2(n
Перебросив спова производные по х порядка 2s 4-1 па функ-
функцию v, к каждому слагаемому примепим формулу B.11). Заметим,
что 2(тге — /) — 2s — l>0. Далее, пользуясь B.5) и B.6), в итоге
получим оценку
<z#wV>£B<C<v>g«; . C.11)
Из неравепств C.4)—C.11) следует C.3) при i = i. Докажем
C.3) при i = 2. Используя замену C.8) и поступая аналогично,
получим, что
V(x1x;v*1t-x1t)dx +
о
оо _ l+s+a-m
L0V{x,x;v,t)dx.
о
82 '

€1
Чмеем (tt > tz)
(x, tx) — щ (x, t2) =
m — I —s -
— V(x, t;v*, t2 — x,t
m — I —s — <
[V (x, r; v*2 tx — t, t2 — x) —
+
— V (x, x, v*j tb t2)] dx +■
oo m—l—s—a
t m L.V^x-^J^Qdx
o^ (ж, t; v*, tu f2) dr.
Первые четыре слагаемых допускают оценку
С <v>J"/m & - f2N/m.
C.12)
Для оценки последнего слагаемого достаточно оценить выраже-
выражения вида
~H m—l-s-a
m—г—s-oc
Пользуясь представлением B.11), получим оцепку
v>
Совершенно аналогично получаются остальные оценки в C.3).
Пусть %, = т — s — 1 + a + f}, 8i — m + $ — l. Тогда из C.2) сле-
Д5тет, что если v e Hx t , \(х, 0) = 0, то функции
t m—s—1+l+a
п V{x,t-x;v,-x)dx, s^l,
с
V (x, t — r; y, x) dx( s < I — lt
принадлежат Hx l> / . Аналогичным путем можно показать, что
83

если n,s#x*Y , ц(х,О) =О, то функции
t ст-B-t+l-tt
J {t — т) m V(x,t — x; (J,, т) dt, s > 1+ 1,
принадлеяхат пространству Hs t .
Итак, имеем следующее утверждение.
Лемма 1 Пусть X. = m — s— 1 + а + р, 6, = т — s + p и
v(a:, 0) = \jl(x, 0) = 0 для t < 0.
C.13)
§ 4. ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ АБЕЛЯ
В ПРОСТРАНСТВАХ Wp^ lt/im
Пусть (? = @ < хп < с) X (О, Т) X Q, где с ^ оо, й — или огра-
пиченпая область в Л„-4 с гладкой границей, или же Q = Rn-i-
Точку в Q будем обозначать через x' = (xlt ..., xn-i), a ar =
= (ж', хп), G = Q X @, Т). Пространство Wp ж' \ (Q) — это про-
пространство функций с нормой
' || цB7П) VI II nrn
l|ul|p,Q = Zi \\lJtlJ
а пространство Wp i' l/im (G) или же пространство Bp l£ \/2m (G),
где I > 0 не целое,— это пространство функций с нормой
(см. [25])
0-<2mr+s<l
2± \DtDxi} P(f,G ,
2mr+s~l> 0<!-2mr-s<2m
где
(
О
84

1/p
Приведем без доказательства одну теорему вложения (см.
[25]). Пусть и е JFp*m' t «?)• Тогда
4) если 2mr + s < Ъп —1//>, то
ПгЛ*т| I e= W 2m-2mr-«-l/j>,<2m-27nr-8-l/p)/2m 1(ъ
2) если 2/rer-f s-< 2/w — 2m/p, то
й№ |t=0 S ^p^-2-r-8-2m/p,Bm-2mr-«-2m/J,J
1 й№ Ц g™-«-™/P> < с || и 1С D.2)
где йо = ЙХ(О<ж„<с).
В области Q = @<ж„< °°) Х@, Г) ХЛ„_, рассмотрим пара-
параболическое уравнение
Й £ё М") = о* D.3)
п
где Lo — эллиптический оператор порядка 1т по переменным
«i, ..., ж„_1, коэффициенты которого не зависят от хп и £.
Для уравнения D.3) исследованы различные краевые задачи
в пространствах Wpmx'\ и получены оценки через граничные
данные в пространствах Wp l'x ]m (G) (см. [25]). Для конкретного
уравнения D.3) выпишем потенциалы, используя теоремы вло-
вложения, получим оценки для оператора Абеля. Напомним (см.
§ 1), что элемептарпые решения Е*у (хт t) обозначаем для про-
простоты через Е4, ,(ж„, t), a vf^ — через vis. Функции vt, имеют вид
t
Vi,t ix, t; (j,) = J Elti (a?n, t — r) V {xr, t — т; цгл) dx%
о
t
,, {zy t; v) = j ^2,, (xn, t — x)V (x\ t — t; vt r) dt.
0
Они являются в (? решениями уравнения D.3) и удовлетворяют
условиям (I < т — 1)
*2' „ I _ I0' 6СЛИ S + l Ф т - U
О, если s -
85

а па других частях боковой границы и на нижнем основании
однородным условиям (нулевым).
Как известно (см. [25]), если ц(х', t) e Wp8'4'!?1'
a v (x1, t) e 'W^*+£r p>Bs4" ~1/p)/2 7 To vis e Wpl™'* (Q) и имеют
место оценки (р > 1)
II,. ||Bт) ~^- г* и ||B*+1— 1/р) // е\
|f2,s||p,Q ^ С II V||Pig , D-0)
В этом частном случае приведем доказательства D.6) и D.7),
считая, что La — оператор с постоянными коэффициентами. Вы-
Выпишем элементарные решения:
^ {хп, t) = 2(-л1ГН J <r22"Vs cos xnzdzf,
о
sin
Пусть
Z (хп — In, t — т) = J e~z'"~v~v cos (xn — In) zdz.
0
Известно, что (см. [38])
для любого I ^ 0, где d0 > 0. В силу того, что
2 (_ i-)m 2
2,s \Xni t) —
\Xw )'
используя D.8), имеем
2s+l
l/(8mrl)
^..v*»,^!^-
«+i , fИ
m л °V г
D.8)
D.9)

Положив viz, t) = 0 при t < 0, будем иметь, что
со
2,s {х, *) = j £2,s+m (а:„, т) V (ж', т; v*, * — т, 2) dt —
оо
— j E2>t (хп, т) L0V (ж', т; v, г) йт.
о
Оценим каждое слагаемое отдельно. В дальнейшед1 часто будем
пользоваться неравенством (см. [39, с. 179]):
[J (j / {х, у) dy)PdxfP < J (J f (ж, у) dx)VP dy. D.10)
Пусть
оо
о = J £м+т (zn, t)V(x' , г; v*, t— x, t) dx.
о
В силу D.10) имеем
оо
bptG) < j I £2,s+m («я, Т) | И V {Х', Г, V*, t - Т, t) k
(G)
< С J | ^2>s+,n (*«, Т) 11| V* IVG) dT.
о
Если обозначим ||v*||t <g) = N {t)v то в силу D.9) имеем
2т\1Д2т-1)
j
\°
где
_ 2s + 1 2m — 1 1 _ 1 2m — 1 1 1
1 2m 2m. p' 2 p 2m ' p' p
Так как
,2m \ i/B m-l) \l/p'
то из D.11) следует, что
2m\l/Bm-l)
I
87

00
К1
0
2т\
'N(p)(r)d%
<Ci
1
( 1 \
. D.12)
Для оценки второго слагаемого в Z>(i>2, •(#» *) нам достаточно оце-
оценить в Lp выражения зида
«о = J Я... («п, Т) Z>^F (Ж'» Г, V,. «) ЙТ =
о
оо
= J Eitt (xn, х) DT^V {x\ t; v28l tydx.
о
В ^илу B.14) ю0 можно переписать так:
о
Тогда в силу D.10)
II ©0 lip(G) ^
СО
0
На основании .оценок фундаментального решения Т{х', %', т)
(см.. [38]) для уравнения щ + Z0(a) = 0:
_J_(n_1+a7n|1+vr _d '
X в"*0 ^1/Bm-1) | v28 (t' - i/', t) - v3, {x\ t) | dy'.
Отсюда
где iV (i/') = \ v2s (a;' — y\ t) — v2, (ж'г t) fLp(G). В силу этого
о En—l
V _ _2m/Bm-l) , |,,» i2m/Bm-l)
J: m — Жв ^ -f | У |
88

Далее,
J rm' 2Л
2m
X
XI
Nv{y')dy'\ t
где <Xi = (re — l)/rep' + l/2pre, oc2 = (re — f)/rep'+ 1/re — l/2rep. Вы-
Вычислив нервый мпожитель, получим
В силу этого имеем
-«2^=1)Р
1/р
Nv{y')dy'
-т,-0^
1/р
2т
<с\
D-13)
Нужно теперь оценить в LP(Q) и производные DxVt.,t для 0 ^
«S / ^ 2т. Если / 5s 2s, to оценка проводится, как и для ю0, пере-
переброской производных порядка 2s па функцию v. Если же / ^
< 2s — 1, то оцепка проводится аналогично, как и для ю. Доказа-
Доказательство неравенства D.7) проводится так же, как и D.6). Если
введем обозначения
gt (х\ t; ц) =
п
4?. (*', *5 v)
то в силу A.23) и A.14) (а = 1/2) будем иметь
t 2s+z;-fi
i I (*— т) 2m V (x\ t - t; vt т) dxt I + s < m -1,
«a-
'гf — t; vtx)dx,
t 2t+2;+l-2m
t _ x) 2m
2S+2!+S
*r + 4 X
2m
F(ar',t — t; (J,, т)
где d — некоторые постоянные.
7 С. А. Терсенов
89

Итак, мы пришли к следующему результату. Пусть р > 2тп -Ь 1.
Тогда из оценок D.1), D.2), D.6) и D.7) следует, что выполня-
выполняются условия склеивания при t = О, хп = О и для щ,» имеем
II «*?. (*', *; v) tV"^ < С || v |Га+1-1/г>),- D.14)
§ 5. ОБРАЩЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АБЕЛЯ И ИХ СУПЕРПОЗИЦИЯ
1. Как показано в § 1, решения задач A.7) —A.17) и A.7)—
A.19) даются функциями ии задаваемой формулой A.16) и и2,
задаваемой формулой A.18) соответственно. Заметим, что реше-
решения задач единственны.
Рассмотрим функции В{1){щ)\у=0 = щ{х, t), т. е.
т-г * m+l-s-1+И
. ■ j (it — т) т V(x,t — г; vt, т) dx +
о .
t-8-i+a
— т) т V {х, t — т; Vg, т) dx = щ (х, t)%~
8=0
и функции v; (x, t) = yk — B(l) (ux)
E.1)
m-l
»=l+l
1 P«..J(*-T)"
, m. e.
j/=0
V(x, t — x; \xs, x) dx + '
i
8=0
l-s+i-a
-т;
В E.1) и E.2)
Ъ.,=
— vi{x,t), I = 0, ..., m — 1.
тГ2(а) V m /'
"^ J' S
E.2)
S>1,
тГA-«)
mf A — a)
В силу леммы § 3 имеем, что функции |J.[ е Ях ' t (G), если
vs еЯж SV™(G), и наоборот.
90

Теперь на E.1) и E.2) будем смотреть как на системы ин-
тегро-дифференциалышх уравнений. Покажем,- что каждая из
них является обращением другой. Заметим, что при т = 1 опе-
оператор £0 = 0 E.1) будет обычным оператором Абеля, а E.2) —
его обращением. Итак, докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть щ <= H^l'\llm (G), 8, = m + £ -1, |х,(ж, 0) =
= 0. Тогда обращение системы E.1) дается формулами E.2) и
v, e= tff" Ym (G), vAx, 0) = 0, где X, = m - I - 1 + a + p. И на-
наоборот, если vt^Hx1' tl (G), vAx, 0)=0, го формулы E.1)
дают обращение системы EТ2) и
^^'■^(G), Ы*,0)-0.
В самом деле, пусть Vi(^, t) — решения системы E.1) при
задаппых цХх, t). Построим решепие щ задачи A.7) — A.19) по
этим функциям Vi(x, t) и решение ut задачи A.7)—A.17) по за-
заданным функциям ц^х, t). В силу E.1) и единственности реше-
пия задач A.7)—A.19), A.7) —A.17) имеем щ^щ. Тогда
Очевидно, эта система совпадает с E.2). Теперь по ■ формулам
E.2) построим функции vt(x, t) по задаппым функциям \*.Ах, t).
Далее по функциям \iiix, t) построим Vi — решение задачи
A.7)—A.17), а по vt{x, £) —решение v2 задачи A.7) —A.19).
В силу построения vi имеем Vi = v2. Тогда
Очевидно, эта система совпадает с E.1), т. е* функции vt(x, t),
заданные по формулам E.2), будут решениями системы E.1).
2. Рассмотрим отдельно случай а = 1/2, т. е. уравнение D.3).
Функции Vi и 1>2, определяемые формулами A.21) и A.23), явля*
ются решениями задач A.20) —A22) и A.20) —A.24) соответт
ствепно. Системы E.1) и E.2) в деРнном случае будут иметь вид
m—l г 2m+2l-2s—1
2vffif(*T) 2m V(x'1?T;vT)dT +
2-1 * 2!-2s-l
+ 2v(* \W + Lo) И* —т) 2m ^(■r',i-f;vs,T)dT=n,(^',i),
\ / и *
s—о 0
E-3)
2m
s=7+l
' v Jl 2?-2s.+l
8=0-
„
= vz (*',*),' Z = 0 те — 1, E.4)
7* . 91

где 7м» Рм получаются из ^г. и pi3 при а = 1/2. В силу лем-
леммы § 4 имеем, что функции цг(ж\ t) е= WPx'>*/2m{G), % = 2т-
-21-1/р, если v.^.ileli'p^f^),, б = 2/n-2s- I- l/p,
и наоборот.
Теперь, как и раньше, будем смотреть на E.3) и E.4) как
на системы интегро-дифференциальных уравпепий. Рассуждая
совершенно аналогично, нетрудно доказать следующее утверж-
утверждение.
Лемма 2. Пусть цг {х', t) е= W,$'*llimf к, = 2m-21-l/p.
Тогда система E.3) имеет единственное решение V; (х', t) e
е Wpxl'tl , б, — 1m — 2s — 1 — 1/р, и обращение системы
E.3) дается формулами E.4). И наоборот, если vj(a;',£)e
че WpJ/ \ 9 то однозначное обращение системы E.4) дается
формулами E.3), причем
Y2
3. В этом пункте рассмотрим суперпозицию операторов,
t
где 0 < р < 1,
г
., /_ *\ л г л.л — 1 /т Л~^17 (т т t• v 1Л г7т
Если обозначим
t
Al (v) = | (f — t)~pF (ж, i — t; v, т) dx,-
0
то при m = I из. формул обращения системы E.1) имеем
^o(^oW)=v. Заметим, что нужно воспользоваться дополни-
дополнительно формулой Г(р)ГA — р) =n/sin ря. В случае, когда V есть
тождественный оператор, т. е. когда Lo = 0, суперпозиция этих
операторов имеет вид (см. [36])
t т
Bl (At (v)) = !^£i jt j {t — т)р~^т j (т£ — t)~pv (tx) dxt =
о т
г
- - v (t) cos рл + ^ j ^р 1Й. л! E.5)
T —Г
6 ч '
Имеем

f(Ti-x
T
T
л
о т
t т
t 0 *
Эту сумму будем рассматривать' как предел при е-*-0 выраже-
sin Вя г
ния ■ ■ 1 е, где
о о
Г t
(t - т)^1 (Tl - т)-рУ (ж, f + тх - 2т; v, Tl) dr .
j
j j
t + 8 О
Имеем
t-e
Го
i
— j (* — т)^1 (« + е — t)~pF (ж, 2< + е - 2т; v, * + е) dx +
t + хг —2т; v, T]) dx Л
х, t + хх — 2т; v, Tj) dx.
0
t-e
)
о о
Г i
t+e, о
Если в первом слагаемом сделаем замену т = (£ — е)о, а во вто-
втором т = ia и их разпость обозначим через /е, то
1
/; = v (x,t - е) (^р J A - a)-p A - -^-еа)'
и

X [V (x, 2t + e — 2ta; v,t + e) — v{x,t + e)] do.
В силу того, что разность V(x, 2^A — о); v, t) — v(x, t) при
o-»-l стремится к нулю как A —oI/2m, предел при е -> 0 двух
последних слагаемых равен нулю. Как показано в [36, с. 160],
разность первых двух слагаемых равна —л ctg $л ■ \{х, t).
Рассмотрим теперь подынтегральные выражепия в двух по-
последних слагаемых в Л. Имеем
h = (it + L°) j (*- т)^1 (TX - x)"pF («,« + xx -2t; v, tJ) dt =
о
= J (P - 1) (i - t)p (t2 - т)-р7 (x, t + xx - 2t; v, tO dx =
0
-v (i, тх) J (p _ 1) (* - T)p (тх - T)-pdt + J'(P - 1) (t - t)p X
о о
X (ti — t)~p[ V(x,t + x1— 2t; v, t^ — v (x, %j)] dx.
В силу формулы (см. [361, с. 160])
о
и в силу того, что v{x, t) удовлетворяет условию Гельдера, по-
получаем
где оператор У* будет иметь относительно {t — т4) особенность
порядка меньше единицы равномерно относительно х. Совершен-
Совершенно аналогичным путем, используя формулу (см. [36, с. 160])
о
можно показать, что последнее слагаемое (ti > t) представимо
в виде

где V* обладает тем же свойством. Итак, окончательно получаем
В*о (Aj (v)) = — cos рл • v {x, t) +
Очевидно, что если Lo = 0, то У* = О, и мы получим формулу
E.5).
§ 6. ЗАДАЧА КОШ И
И СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ A.7)
Рассмотрим уравнение
|? + (_ l)mB™{u) + L0(u) = 0 F.1)
в области Qo = Цу\ < с) X (.0, Т) X Q, Ьй — оператор, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям § 1. Коэффициенты уравнения F.1) при у — О
имеют особенность. Потому нетрудно видеть, что при обычных
услбвиях склеивапия решения на у = 0 задача Коши пе является
корректной. Мы здесь укажем такие условия склеивания, при
которых задача становится корректной. Для удобства вместо
уравнения F.1) будем рассматривать систему
в области Q = @ < у < с) X (О, DXQ. Для получения системы
F.2) нужно и при у > 0 обозначить через ии при у < 0 — через
»2 и в и2 сделать замену у на — у. Очевидно, что на части боко-
боковой поверхности, лежащей на гиперплоскости у = 0, нужно зада-
задавать условия склеивания фупкций ц4 и иг.
1. Пусть с = °о, Q = Rn. Докажем следующее предложение:
существует единственное решение UjS H^^ системы F.2), <
удовлетворяющее
а) начальным условиям щ{х, у, 0) = О,
б) условиям склеивания
^"(n.-i^Uo = /<(*, t)t 1 = 0, ..., m-i, F.3)
yh щBU) (щ + иг)у=0 = Ф,(х,.t),l = 0,...,m-l),
Ux, 0) = ф,(ж, 0) = 0, Я, = m-1- 1 + а + $, 8, = m + $-l.
Единственность следует из того, что если /, = ф, = 0, то coi =»
= Ui — щ. будет решением однородной задачи, соответствующей
95

A.7)—A.17), «2 = Ui + и,. — решением однородной задачи, соот-
соответствующей A.7)—A.19). Докажем существование. Положим
vs = у* I- Би) (иЖ^о- Тогда yh ~ £(s) (ut) \y=0 = ф/(х, *) - v4 {x, t).
Очевидно, функции
—1 *
Ы1 = S I ■E'2?m-s-i (у, f — т) F (^, i — т; v«, т) dx,
s=00
ТО-1
и« ■= — S f ^«?m-f-i(У, t—x)V(x,t — x;vs, т)йт
s=<>0
+ 2 4am-s-i(!/,*-T)F(*, *-T;cps,T)dT
будут решениями системы F.2) и удовлетворяют второму из ус-
условий склеивапия F.3). Удовлетворив первым условиям в F.3),
для vs получим систему иптегральных уравнений
т— 1 ' m+1-s—1+а
S Vzs J (* - т)" m 7(x,*-T;v.-,T)dT +
* t—5-i+a
-t) m ^(*,*-T;v,,T)dT = Hj(i, f),
i - 0, ..., m - 1, F.40)
где
m-l * . m+f-s-i+a
44j
I-l ' i-s-i+a
)J
Система F.40) есть система E.1). Из леммы 1 § 5 и условий на
/, и ф, следует, что jj,( е Нх 'V (G). В силу той же леммы
система F.40) однозначно и безусловно разрешима и решения vs
даются формулами
„ V; (Х, t) = у ф; (X, t) +
т—\ { m + /—s+1- a
Ft + L») I (f - T)
T 2 P'■• (Ft + L») I (f - T) ^ K <*' * ~ t;
96

Тогда в силу леммы 1 § 2 функции иг
Замечание. Так как ф, и vi^Hxl'tl m{G), то
(ы,) |j,=0 <= Я2жв8'в//т (G), Z = l, 2. В силу леммы 1 § 2 отсюда
следует, что щ е Я„™+аР) @.
2. В этом пункте рассмотрим краевую задачу для параболи-
параболических уравнений, в которой задается не значение решения при
t = 0, а линейная комбинация зпачепий решения при t = О и t =
= Г. Имеется много исследований по краевым задачам такого
типа (см. [33]). Здесь мы будем изучать конкретные случаи,
в которых решение можно явно построить.
Рассмотрим строго параболическое уравнение
| = -Ми) F-4)
в области Q = Q X (О, Г), где Q — ограниченная в Rn область с
гладкой границей или Q = Rn, L — строго эллиптический опера-
оператор 2-го порядка по переменным хи хг, . . ., х„. Будем рассматри-
рассматривать задачу нахождения решения уравнения F.4) в Q, удовлет-
удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) + Ь(х)и(х, T)=j{x) и
краевому условию « = 0 на ST = SXi0, Г), S = dQ. Эту задачу
будем называть задачей А. Заметим, что если Q = #„, то условие
и — 0 на ST отсутствует.
а) Пусть fix), Ых) <= H°iQ) — непрерывные функции, коэффи-
коэффициенты оператора L принадлежат Hx'/2(Q), 0<Л,<1. Рас-
Рассмотрим задачу А в #°(Q) П Cz- 4Q). Очевидно, что если решение
задачи существует, то оно дается формулой
и(х, t) = Vix, t; ф), F.5)
где ц>{х) = и(х, 0), а V — снова оператор, решающий задачу Ди-
Дирихле (или Коти, если Q = Rn): uix, 0) == ф, u = 0 на ST. Если
удовлетворить начальным условиям, то для определения функ-
функции ц>(х) получим интегральное уравнение
г, Т; ф)=/(аг). F.6)
Изучим разрешимость уравнения F.6). Покажем, что если-
1б(^I<7<1 и f(x) удовлетворяет условию согласования, т. е.
/ = 0 на S, то существует единственное решение уравнения F.6)
(а значит, и задачи), которое можно построить методом последо-
последовательных приближений:
, T; ф„). F.7)
В самом деле, в силу принципа максимума
I! VU, Т; ФНО < НфИ0. Тогда II6VI»O <
Отсюда следует, что 5V есть сжимающий оператор в //°(Q). Зна-
Значит, существует равномерный предел последовательности ф„,
97

который и будет решением уравнения F.6), ф = 0 на S. По фор-
формуле F.5) мы получим единственное решепие задачи А в
)C2()
б) теперь fix), 6U)eFp+1(Q) и / удовлетворяет условиям
согласования р-то порядка, т. е. La){f) =0 на S, / = 0, ..., р, L —
оператор с постоянными коэффициентами. Тогда если
то последовательность F.7) сходится в 7/2p+4Q) к некоторой
функции ф,
и ф удовлетворяет условию согласования р-то порядка. В самом
деле, в силу того, что D%V (х, t; г|з) = V (х, t; Dlty), па основашш
принципа максимума имеем
\\V{x, Г;г|;Iн2р+,<|гйн2р+ь. F.9)
Тогда оператор 8V(x, Т; ф) — сжимающий оператором в #4fi).
Значит, существует lim ф„ = ф е Я*Р+1(О), который и будет ре-
решением уравнения F.6), а оценка F.8) будет следовать из F.6).
Очевидпо, ф удовлетворяет условиям согласования. Решепие за-
задачи А дается формулой F.5), и в силу известпых оцепок [25]
и F.8)
II и В .p+x,p+V2 <Су Цдар+х. F.10)
HX t
в) Пусть теперь б — постоянная. Если не выполняется усло-
условие |б| < 1, то однородная задача А может, вообще говоря, иметь
нетривиальные решения. Например, если п = 1, т = 1, Q = @, я)
и б = — ет , где т — целое число, то решепием однородной за-
задачи А будет функция и = е~т ' sin mx. В дальнейшем покажем,
что только при этих .значениях (в данном случае) однородная
задача имеет нетривиальные решения.
Пусть |б|<1, a L — оператор, коэффициенты которого не
зависят от t. В этом случае решение задачи А можно выписать
в явном виде. Для этого сначала заметим следующее свойство
решений уравнения F.4). Если и{х, t) — решепие, и = 0 на STi
а «(ж, t) — такое решепие, что со{х, 0) = и(х, to), ©=0 на ST, то
' со(ж, t) = uix, t +10). В силу указанного свойства
s=0
где V(x, 0; /) = fix), и для Нт ф„ == ф имеем формулу
^(x)=^V(x,sT;(-b)'f)t F.11)
98

а решение задачи А дается формулой
и (*,*) = 2 F(*,f + sT;(-b)'f). F.12)
Если й = Rn, a L = А — оператор Лапласа по переменным
Zi, ..., х„, то формулы F.11) и F.12) примут вид
F.13)
s=0 ' "
lac-ll2
4((+«T)i
2) Пусть теперь L — самосопряженный оператор, a Q — огра-
ограниченная область с гладкой границей. Обозначим через дк > О,
к = 0, ..., собственные значения, а через ah(x) — ортонормирован-
ные в L2(Q) собственные функции задачи L(co) -\- q& = ObQ, co = 0
на S. Пусть f{z) =• 2 fktohix), /* = (/, юH. Очевидпо, в этом слу-
ft=O
оо _ t
чае У(ж, i;tp)= 2 е ^Фя^ь^). где фк=(ф, cosH. Поэтому урав-
нение F.6) будет всегда однозначно разрешимо, если 1 + be h =
О
для всех к —0, 1, ... Точнее, если через i? обозначим мно-
множество чисел {— е h j, то при условии р(Е, б) > е > 0 уравне-
уравнение F.6) будет однозначно разрешимо и решение имеет вид
а решение задачи 4 представится так:
Можно сказать, что множество Е есть точечный спектр задачи А,
т. е. значения б, при которых однородная задача имеет нетри-
нетривиальные решения.
Обозначим через сот, .:., Ют собственные функции, со-
соответствующие собственному значению qm. Тогда, очевидно, зада-
ча А при б = — ет и/ = 0 имеет нетривиальное решение и об-
99

щее решение этой однородной задачи имеет вид
s—l
где С3 — произвольные постоянные.
Имеет место предложение: если б = — е т и (/, ©^ H = О,
s = l, ..., 1т, то неоднородная задача А всегда разрешима и ре-
решение имеет вид
оо ' i (Л ( \
где в 2' отсутствуют слагаемые, соответствующие в>т, s =
л 1
X, . . ., Ьгп'
Приведем некоторые теоремы о сходимости рядов F.14)_—
F.16). Пусть коэффициенты оператора L принадлежат C2m~'(Q).
Тогда в силу теоремы в § 2 (см. [25, с. 2961) если f{x)<=W\m{Q)
и выполняются условия согласования L(!)(/)!s —0, i = 0, ...
оо
..., т—\, то ряд 2 fi<u>k(x) сходится к / в порме W(£m)(Q),
если SeC|Sm), Из оценки (см. [25, с. 297])
[оо "| 1/2
2 /Кй +1)
следует, что если / <= W\m (Q) и выполняются вышеуказанные
условия согласования, то
F.17)
если решение единственно {&Ф — е9тТ).
Рассмотрим. теперь сходимость этих рядов в пространствах
ИТ+х'Т+%/2 (<?),' 0<К<1. Как известно (см. [27, с. 331]),
собственные числа qh имеют следующую асимптотику: qh~
= Ск2/п + о{к2/п). Пусть /е#2(т+1(п+1)/21+г)+Чй) и удовлетворяет
условиям согласования L(')(/)!s = 0, i = 0, ..., т + и + 1, 5 s
С2т+7 (см. [33, с. 6771). Тогда
оо
При ЭТИХ УСЛОВИЯХ РЯДЫ 2 fhU>k, F.14), F.15) СХОДЯТСЯ В
+ , fli t соответственной
II U || 2m+J.,m+V2 < С I / I 2(т+2 + [(п+1)/2]>+Г F.18) ~
д) Пусть снова L = Д, б — постоянная, Q=/?n. Тогда урав-
100

нение F.6) будет иметь вид
!*=
Взяв преобразование Фурье от F.19), получим ф + бе " Ф = /.
Отсюда
Обратным преобразованием получим
•* со
ф (*)-/(*) + j #„(*-&; в)/
F.20)
« _|*-а» «
где
со
с /• —12|2Т П
(а5_Б;в) = --5-; -2 —-Д
Bп)п J I j. Se-WT 8=1
^ П cos (xs -1
о
К(х-Ъ;ЦЬ)~-
Для справедливости этих рассуждений и формул F.20), очевидно,
достаточно, чтобы 1 + б > 0, что и будем предполагать в данном
случае. Все значения б < — 1 являются точками непрерывного
спектра задачи А, Если сделаем замену переменных ?;, =
= X, + Т]а, ТО
оо
Так как
со
j |/i:0(Ti;e)|dT|"<oof F.21)
—00
то если / е= Я2т+ЧД„), 0 < Ж 1, тогда q> s Н*тЩп), причем
ft ф \\н2т+К < С || / ||H2m+V
Тогда, как известпо (см. [25]), в этом случае решение
) и MH™*.fbV»<Ci/W».+y F-22)
Очевидно, если |6l<lf то из F.20) получаются формулы F.13).
Заметим, что в уравнении F.4) можно считать оператор L
порядка 2т. Соответствующие изменения в формулировках
утверждений очевидны.
101

ЛИТЕРАТУРА
1. Бейтман, Гарри и Эрдейи, Артур. Высшие трансдендентпые функция.
М.: Наука, 1966.
2. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука,
1968.
3. Врагов В. Н., Подгаев А. Г. О корректных задачах для некоторых урав-
уравнений неременного типа.—Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 2, с. 277—280.
4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
5. Генчев Т. Г. Об ультраиараболических уравнениях.— Докл. АН СССР,
1963. т. 151, № 2, с. 265-268.
6. Глушко В. П. О разрешимости смешанных задач для параболических
уравнений второго порядка с вырождением.— Докл. АН 'СССР, 1972, т. 207,
№ 2, с. 266—269.
7. Джураев Т. Д. О краевых задачах для линейных параболических урав-
уравнений, вырождающихся па границе.— Мат. заметки, 1972, т. 12, с. 643—
652.
8. Егоров И. Е. Об одной краевой задаче для системы сппгулярных парабо-
параболических уравнений.— Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики
СО АН СССР, Новосибирск, 1973, выи. 14, с. 100—405.
- 9. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного параболического урав-
уравнения. Сиб. мат. журн., 1977, т. 18, Л» 1, с. 220—224.
40. Зайнулвбидон Г. Разрешимость краевых задач для параболического урав-
уравнения с оператором Бесселя в весовых пространствах Гельдера и оцен-
оценки их регаепий.— В кн.: Корректные краевые задачи для неклассическпх
уравнений математической физики. Новосибирск: изд. Ин-та математики
СО АТТ СССР, 1981, с. 61—65.
11. Зеленяк Т. И., Новиков В. А., Япеико Н. II. О свойствах решений нели-
нелинейных уравнений переменного типа.— Численные методы в механизме
сплошной среды/Ин-т теорет. и ирнкл. механики СО АН СССР, Новоси-
Новосибирск, 1974, т. 5, № 4. с. ЗЗ—47.
12. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина полунространственных модельных пара-
параболических граничных задач. Киев, 1976. 15 с. (Препринт/ИМ АН УССР).
13. Катышев В. В. Об одном уравнении оллиптико-параболического типа.—
В кн.: Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: изд.
Ин-та математики СО ATI СССР, 1982, с. 130—133.
14 Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптиче-
эллиптического типа на границе области.— Докл. АН СССР, 1951, 77, № 2, с. 181—
186.
15. Кислов Н. В. Краевые задачи для уравнения смешанного тппа в прямо-
прямоугольной области.—Докл. АН СССР, 1980, т. 255, № 1, с. 26—30.
16. Кислов Н. В; Проекционная теорема и ее приложение к неоднородным
граничным задачам.—Докл. АН СССР, 1982, т. 265, № 1, с. 31—34.
17. Кислов Н. В. Краевые задачи для дифференциальных операторных урав-
уравнений смешанного типа.— Дифференц. уравнения, 1983, № 8, т. 19,
с. 1427—1436.
18. Керефов А. А. Задача Жевре для одного смешанно-параболического урав-
уравнения.— Дифференц. уравнения., 1977, т. 13, JS» 1, с. 76—83.
102 *

19. Керефов А. А. Об одной краевой задаче Жевре для параболического урав-
уравнения со знакопеременным разрывом первого рода у коэффициента при
производной по времени.— Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, № 1,
с. 69-77.
20. Кордзадзе Р. А. Бесконечные системы линейных интегральных уравне-
уравнений. Дис. ...доктора физ.-мат.- наук./ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1981.
21. Кордзадзе Р. А. Бесконечные системы интегральных уравнений Фред-
голЪма.— Докл. АН СССР, 1977, т. 233, № 2, с. 283—286.
22. Кордзадзе Р. А. О методе редукции для однородных бесконечных систем
линейных интегральных уравнений Фродгольма.— Докл. АН СССР, 1979,
т. 244, № 2, с. 278—280.
23. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
24. Лаврентьев М. М. О свойствах приближенных решений нелинейных урав-
неппй переменного типа.— Сиб. мат. журн., 1980, т. 21, № 6, с. 176—185.
25. Ладыженская О. А., Солоппиков В. А., Уральцева И. И. Липейные и ква-
квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
26. Ларькин И. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения пе-
переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. /
27. Михайлов В. П. Теорема существования и единственности решения од-
одной граничной задачи для параболического уравнения в области с осо-
особыми точками на границе.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1967, т. 91, с. 47—58.
28. Михлии С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
29. Монахов В. II. Краевые задачи со свободными границами для эллиптиче-
эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.
30- Мусхелишвили Н. И. Сингулярные внтегралыше уравнения. М.: Наука,
1968.
31. Пискунов II. С. Краевые задачи для уравнения эллиптико:параболиче-
ского типа.— Мат. сб.. 1940, т. 7, Л* 3, с. 385—422.
32. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравпепий. М.: Мир, 1979.
33. Романко В. К. Разрешимость граничных задач для дифференциально
операторных уравнений высокого порядка.— Дифференц. уравнения, 1978,
т. 14, № 6, с. 1081—1092. "
34. Смирнов В. И. Курс высшей математикп..М.: Гостехиздат, 1953.
35. Терсеиов С. А. Введение в теорпю уравнений, вырождающихся на гра-
границе. Новосибирск: изд. Новосиб. ун-та, 1973.
36. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений'параболического типа с
меняющимся направлением времени. Новосибирск: изд. Ип-та математи-
математики СО АН СССР, 1982.
37. Трикоми Ф. Интегральные уравнепия. М.: Изд-во ипостр. лпт,, 1960.
38. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического ти-
типа. М.: Мир, 1968.
39. Харди Г., Литтльвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит,,
1948.
40. Хведелидзе Б. В. Линейные граничные задачи теории функций, сипгу-
лярные уравнения и некоторые их приложения.— Тр. Тбил. мат. ип-та
АН ГССР, 1950, № 23, с. 3—158.
41. Янспко II. Н. О некоторых уравнениях переменного типа.— В кн.: Тео-
Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Новосибирск:
Наука, 1980, с. 48—55.
42. Яненко Н. II., Новиков В. А. Об одной модели Жидкости со знакопере-
знакопеременными коэффициентами вязкости.— В кн.: Численные методы меха-
механики сплошной среды. Новосибирск, 1973, т. 4, № 2, с. 142—f47.
43. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965. (Справочная
мат. б-ка).
44. Таблица интегральных преобразований. Т. 2. М.: Наука, 1970. (Справоч-
(Справочная мат. б-ка). :
45. Интегральные уравнения. М.: Паука, 1968. (Справочная мат. б-ка).
4(>. Arena О. On a degenerate elliptic — parabolic equation.— Consilio Nazio-
nale dello Riserche Centro di analisi globale, 1970/77, Firenze.
47. Arena O. On a singular parabolic equation related to axially symmetric
heat potentials.—Ann. mat. pura ed appl., 1975, v. 105, N 4, p. 347—393.
103

48. Baouendi M. S., Grisvard P. Sur une equation d'evolution changeant de
type.— J. Functional Analysis, 1968, N 2, p. 352—369.
49. Calton D. Cauchy'a problem for a singular parabolic partial differential
equation.— Diff. Equations, 1970, v. 8, N 2, p. 250—257.
50. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partiolles du type paraboli-
que.— J. Math. Appl, 1913, t. 9, Sec. 6,, pi 305—475.
51. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique.—
J. Math. Appl., 1914, Ck. 4, p. 105—137.
52. Pagani C. D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation.—
Ann. mat. pura ed appl., 197*1, t. 90, N 4, p. 1—58.
53. Pagani С D. On the parabolic equation and a related one.— Ann. mat.
pura ed appl., 1974, t. 99, N 4, p. 333—399. ~ |
54. Pagani С D. On an initial boundary value problem for the equation
W, = Wxx — xWy — Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 1975, v. 4, N 2, p. 219—263
55. Shopolov N. N. A boundary value problem for a mixed parabolic equa-«
tion with nonlocal initial conditions. Godishnik Vish. Ucheb. Zaved. Pri-
lozhna, 1979, mat, 15, N 2, с 137—158.
56. Шополов Н. Н. Задача на Жевре за смесепо параболичпо уравнение с-
две перпендикулярни пинии на израждане. Год. ВУЗ. Приложение мат.
1981, т. 17, № 3, с. 113—124. ■

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Глава 1. Первая краевая задача для параболических уравнений с
меняющимся направлением времени 6
§ 1. Первая краевая задача для уравпешш ut sgm = uxx . . —
§ 2. Первая краевая задача для уравнения ит + (А/(/)ии =
= ut sgn у 23
§ 3. Первая краевая задача для уравнения /uj = L(u), когда f(t)
меняет знак 38
§ 4 Приложение к случаю.уравнения щ = L(u), когда L — ги-
гиперболо-эллиптический оператор 41
§ 5. Случай кусочно-постоянного коэффициента 52
§ 6. Обзор некоторых исследований 59
Глава 2. Потенциалы и их оценки в различных пространствах . . 61
§ 1. Элементарные решения, потенциалы и их свойства . . —
§ 2. Оценки потенциалов в гельдеровских пространствах . . 68
§ 3. Оценки обобщенных операторов Абеля в пространствах
111, Him
uxt 78
§ 4. Оценки обобщенных операторов Абеля в пространствах
Wplilt№m 84
§ 5. Обращение специальных систем интегральных уравнений
Абеля и их суперпозиция 90
§ 0. Задача Коши и смешанная краевая задача для уравпс-
пия A.7) 95
Литература До2
Савва Авраамович Терсенов
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
Утверждено к печати
Институтом математики СО АН СССР
Редакторы издательства В. II. Дятлов, И. II. Зайцева
Художник Е. Ф. Зайцев
Технический редактор С. Л. СмороОинова
Корректоры II. А. Абрамова, Р. К. Червова
ИБ Л« 23601
Сдано в набор 26.04.84. Подписано it печати 12.12.84. ММ-02102. Формат
(iO к'.'П'/.в. Бумага типографспан Jv 3. Обыкновенная гарнитура. Высо-
Высокая печать. Усл. печ. л. 6,5. Уел. кр.-отт. 6,0. Уч.-пзд. л. 7. Тираж
1300 экз. Заказ Jft 178. Цена 1 р. 10 к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение.
М00ВЙ, Новосибирск, 99, Советская, 18.
■'ш типография издательства «Наука».
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.