/
Теги: самолетостроение самолеты
Год: 1946
Текст
fesi-orV
e>fe3
KrnvnuonaMEH H АЯ
1РДЕНЛ ЛЕНИНА
01 ИНАЯ ВОЗДУШНАЯ
АКАДЕМИЯ
*м ЖУКОВСКОГО
ТРУДЫ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ
КОНФЕРЕНЦИИ
1 9 4 4 г.
Т О М 2
САМОЛЕТНАЯ
СЕКЦИЯ
ВЫПУСК ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ АКАДЕМИИ
KPACIГОЗНАМЕННАЯ ОРДЕНА ЛЕНИНА ВОЕННАЯ ВОЗДУШ АЯ
АКАДЕМИЯ КА им. ЖУКОВСКОГО
ТРУДЫ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ
КОНФЕРЕНЦИИ
1944 г.
О
ТОМ 2
ИЗ ДАНИЕ АКАДЕМИИ
1 9 4 6
.1961 гЛ
О 53-0/iJL^'
САМОЛЕТНАЯ
СЕКЦИЯ
f •
ж •*
“ *?
ВЫПУСК ПЕРВЫЙ
13
м ЗЫП1>Щ]Г '
р S3^OC6
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...........f............................................ 5
С. Г. Козлов. К вопросу о многократно статически неопределимых фермах . 9
С. Н. Кан- Метод сравнения деформаций в применении к расчету влементов
конструкции................................................................39
С. Н. Кан. Расчет крыла на сдвиг методом Мора...................... 61
Д. Ю. Панов. Современное состояние троблемы прочности и вибраций воз-
душных нингов........................................................... 69
И. .4- Свердлов. О четыректочечном креплении консоли кессонного крыла . 77
К Д- Миртов. Применение теории Пластичности и расчету деталей на дли-
тельное сопротивление . . • ....'....................................... 93
Н. Е. Жовинский. С) высотности маслосистем...............• . . . . 121
С. А. Алексеев. Исследование движения жидкостно-воздушной амортизации'. 155
Ю. А. Мозжорин. Упрощенный метод нахождения разрушающего изгибаю-
щего момента крыла .. .................................................199
И. А. Свердлов. Расчет одножжжерониого крыла....................... .207
____
ПРЕДИСЛОВИЕ
Доклады, прочитанные на заседаниях самолетной секДИи, являлись
р< »ультатом части научно-исследовательской работы двух кафедр Акаде-
мии: кафедры «Конструкции и прочности самолетов» и кафедры «Строи-
тельной механики». По техническим причинам работы секции пришлось
издать не в виде единого сборника, а в двух выпусках. Разделение
работ в выпусках было проведено по кафедрам. Настоящий выпуск
содержит доклады, прочитанные сотрудниками кафедры «Конструкции и
прочности самолетов».
Возрастающая сложность авиационных конструкций приводит к
силовым схемам многократной статической неопределимости Стремление
к уменьшению веса конструкции заставляет учитывать при конструиро-
вании, и особенно при расчете на прочность, большее число факторов,
что влечет усложнение расчета и увеличение вычислительной работы.
Совершенно естественно встают два вопроса: первый — об уточнении
существующих методов в смысле наибольшего приближения расчетной
модели к действительности и второй — о приведении этих методов к
виду, удобному для пользования, т. е. к созданию методов, требующих
меньшей вычислительной работы и, в то же время, обладающих доста-
точной точностью. Ряд докладов настоящего сборника посвящен изложе-
нию методов достаточной точности, но менее трудоемких, чем обычно
применяемые. К таким работам следует отнести доклады: генерал-майора
инженерно-авиационной службы профессора Козлова С. Г , инженер-
майора доцента Кан С. Н. « сообщение слушателя Инженерного факуль
тета техника-лейтенанта Мозжорина Ю. А.
В работе генерал-майора инженерно-авиационной службы профес-
сора Козлова С. Г. «К вопросу о многократных статически-иеопреде-
лимых системах» сообщается метод, позволяющий рассчитывать плоские
фермы с любым количеством лишцих стержней, причем затрачиваемая
работа возрастает не в такой пропорции, как при пользовании обычными
методами. В основу метода положен расчет изолированного узла
с жесткими опорами. Простыми формулами определяются как деформации
такого узла при данной силе, действующей на узел, так и сила, вызы-
вающая заданную деформацию. Определение усилий в каждом стержне
также ие представляет затруднений. Получены графические построения,
дающие возможность решать указанные задачи довольно быстро и до-
статочно точно. Узлы, прикрепленные к упругим опорам, могут быть
приведены к узлам с жесткими опорами. Решение статически* неопреде-
лимой фермы, для которой обычные методы приводят к большому кйлн
5
честву совместных уравнений, удобно производить методом последова-
тельных приближений.
В одном из докладов инженер-майора доцента Каи С. Н. рас-
сматривается «Метод сравнения деформаций в| применении к расчету
устойчивости элементов конструкции самолета». Классический метод
решения задач устойчивости стержней, балок, пластин, оболочек и т. п.
довольно часто приводит к) большой вычислительной работе, практически
трудно выполнимой, особенно при расчете элементов переменного по-
перечного сечении и при сложных внешних силах. Для решения таких
задач имеется ряд приближенных методов, одним из которых является
метод сравнения деформаций. Этот метод до сих пор применялся весьма
редко и лишь при решении задач устойчивости стержней с простыми
видами закрепления. В докладе дается распространение метода сравне-
ния деформаций на более широкий круг вопросов и приводятся примеры
решения самых разнообразных задач устойчивости.
Во втором докладе того же автора излагается «Расчет крыла1 на
сдвиг методом Мора». Особенность предлагаемого метода заключается
в применении общепринятого в строительной механике метода Мора
к раскрытию, статической неопределимости, получающейся при опреде-
лении касательных напряжений в многосвязном контуре. Автор предла-
гает прямой метод определения касательных напряжений при одновре-
менном действии поперечной силы и крутящего момента, не отделяя
изгиба от кручения. В результате получается значительное сокращение
вычислительной работы без какой бы то ни было потери точности.
Короткое сообщение слушателя Академии техника-лейтенанта
Мозжорииа Ю. А. показывает, что для обычных крыльев нахожде-
ние разрушающего изгибающего момента крыла может быть проведено
приближенным методом, отличающимся простотой и позволяющим непо-
средственно и с достаточной точностью определить искомую величину.
Инженер-майор доцент Миртов К. Д. в своей работе «Приложение
теории пластичности к расчету деталей на длительное сопротивление»
затронул вопрос, который в современной технике становится все более и
более важным, но который д!о сих пор еще недостаточно разработан
теоретически и по которому экспериментальный материал также до-
вольно мал. На основе тщательного анализа существующих теорий и
обработки экспериментального материала т Миртов дает свои формулы,
позволяющие построить метод расчета хотя и довочьно громоздкий, но
ведущий к цели
Доктор технических наук профессор Панов Д. Ю. избрал темой
своего доклада проблему динамической прочности воздушных винтов.
По мере увеличения мощности авиационных моторов растут диаметры
винтов, а следовательно, становится все более реальной опасность ви-
брации лопастей винта. Поэтому доклад' профессора Панова является
весьма актуальным и полезным, своевременно обнаруживая возможную
опасность и мобилизуя техническую мысль на борьбу с ней.
Два доклада инженер-майора Свердлова И. А. уточняют наши
представления о работе силовой схемы однолонжеронного крыла и об
изменениях в распределении напряжений при переходе от контурного
крепления консоли крыла к четырехточечному..
Слушатель последнего курса Инженерного факультета техник-лей-
тенант Алексеев С. А представил работу по «Исследованию движения
жидкостно-воздушной амортизации», являющучюя весьма остроумной
6
попыткой подойти к аналитическому решению этой задачи «обратным
кетодом>. Применение этого метода к дайной задаче, невидимому, появ-
ляется в печати впервые и может иметь определенные преимущества
в некоторых случаях.
Достижение больших высот современными самолетами ставит
перед конструкторами самолетов все новые и новые проблемы. Одной
из них является обеспечение надежной работы маслосистемы, на кото-
рук. ei. ibiio зияют давление масла в главной магистрали и его темпера
ту(ч Pcui.i> >щим фактором можно считать давление иа входе в масло-
>«дде Анализируя движение масла в системе, инженер подполковник
доц< in Жоиинскнй Н, Е. дает конкретные рекомендации для увеличения
высхп пости маслосистем.
Редактор выпуска
Начальник кафедры конструкции и прочности самолетов
генерал майор инженерно-авиационной службы
профессор С КОЗЛОВ
Профессор генерал-майор
инженерно-авиационной
службы С. Г. Козлов
К ВОПРОСУ О МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМАХ
Глава I
ИЗОЛИРОВАННЫЙ УЗЕЛ
$ 1. Введение
Расчет статически определимых систем, как известно, не может
встретить никаких затруднений и количество труда, затраченного на рас-
чет; зависит только от сложности системы, а если иметь в виду фермы,
то только от числа ее стержней или узлов. Расчет статически неопре-
делимых ферм требует гораздо больше времени, которое определяется
не только числом стержней или узлов фермы, ио и кратностью ее стати-
ческой неопределимости: Несмотря на значительные трудности расчета
статически неопределимых систем, они в последнее время получают
большое распространение, что можно объяснить хотя бы следующими
соображениями.
Прочность статически определимой системы равна прочности ее
наиболее слабого звена, и разрушение любого из звеньев влечет за собой
разрушение всей конструкции. В статически неопределимой конструкции
разрушение одного или даже нескольких ее звеньев (в случае много-
кратной ее неопределимости) не приводит к разрушению всей конструк-
ции, а только понижает ее запас прочности. Конструкция будет обла-
дать тем большей живучестью, чем большей кратности будет ее стати-
ческая неопределимость. С этой точки зрения статически определимая
конструкция для современного боевого самолета недопустима.
Сооружения, работающие под действием различных внешних нагру-
зок, едва ли могут быть выполнены экономичными по весу в виде ста-
тически определимых систем.
Существуют методы конструктивного расчета ферм, позволяющие
конструктору наметить рациональные размеры; примером таких методов
является метод «заданных напряжений», дающий возможность назначить
размеры поперечных сечений всех стержней фермы, но только для одной
системы внешних сил. Как будет вести себя ферма под действием дру-
гих нагрузок, этим методом проанализировать нельзя, и необходимо,
следовательно, производить поверочные расчеты фермы.
Поверочный расчет фермы со статической неопределенностью
двух, трех и даже четырех-кратной не представляет особого труда.
Дальнейшее же увеличение статической неопределимости силья© усло-
жняет задачу в особенности, если ферма не позволяет упростить решение
путем составления неполных уравнений, или применением каких-либо
9
искусственных приемов. Если тип фермы таков, что приходится иметь
дело с системой п уравнений, каждое из которых включает в себя все
П неизвестных, то решение фермы даже с семью лишними стержнями
уже весьма трудно и требует времени. исчисляемого днями. Решение же
подобных ферм с десятью и более лишними стержнями считается прак-
тически невозможным. Поэтому вопрос о методе, дающем возможность
проанализировать ферму с большим числом лишних стержней и при лю-
бой нагрузке, остается до сих пор открытым.
Предлагаемая работа является попыткой создания метода для по-
верочного расчета многократно статически неопределимых ферм, пока
только для плоских. Все известные нам методы требуют вычислительной
работы, которая возрастает не пропорционально статической неопреде-
лимости фермы, а приблизительно пропорционально квадрату ее.
Мы стремились к тому, чтобы вычислительная работа увеличивалась
хотя бы в прямой пропорции по отношению к статической неопредели-
мости, но не больше. С, самого начала мы отказались от точных методов,
так как, во-первых, внешние силы при инженерных расчетах никогда не
бывают известны с абсолютной точностью и, во-вторых, механические
характеристики материалов, употребляемых в инженерных сооружениях,
подвержены значительным колебаниям. Инженерный расчет не должен
быть более достоверным, чем достоверность, с которой известны внеш-
ние силы.
Кроме того, следует иметь в виду, что, задача определения внешних
сил, вызывающих заданные деформации, всегда совершенно определенна
для любых систем независимо от их статической неопределимости, чего
нельзя сказать про обратную задачу.
Поэтому мы начнем с определений усилий в стержнях фермы по
заданным деформациям-
$ 2. Определение усилий в стержнях фермы
по заданным деформациям
Пусть fr и т будут два соседние узла ненагруженноп фермы, сое
диненные между, собой стержнем (фиг. 1) При нагружении фермы про-
10
изойдет перемещение этих узлов к точкап fr и tn' . При этом стержень
кт изменит свою первоначальную длину ( на I Первоначальная
его длина ________________________
+ = кт.
Окончательная длина
= h'm'-
Обозначив деформацию стержня через , будем иметь оче-
видные равенства:
е'-е и l'tt~2etbt
е'2-е2=(е-е)(е'+е)=де(ге+ле)
г2- е2=zx - \)]2 i-Ry,,, ~уК) ?jj2 -
- (X, - xrf - (Ут -уК) 2 = 2(xn -SJ+г (у^ -у^гт- ?J +
Теперь можно написать, что
де(2Р +д£)=аг
или дег<-2еАе-аг=о,
откуда
Ае=-е±]/ег+а£
Ясно, что перед радикалом следует взять знак плюс и, что вели-
чина, стоящая под радика’лом, есть не чТо иное, как £'2.
Во всех конструкциях величина —— = -у- очень мала. Опре-
делим при этом условии выражение
Так как величина тоже очень мала, то можно применить
формулу приближенного извлечения квадратного корня и тогда
11
Но
Cf2 _ (хт Ук) (Ут~У*)(*1т 2«)
2^" e2 £2 *
, (jzn ~ -Sb)2 C2in~ 2к)
2ea ze*
c_______ „ En, - У К ? m 2 К
селя величины ------------ я ------------ достаточно малы (что
наблюдается почти во всех конструкциях), то можно .пренебречь двумя
последними членами и получить:
2£* f2 + £2
Определим теперь деформацию стержня в случае перемещения
только одного его конца Л при неподвижном конце л? . Положив
Ют7=0 и 2т = О, получим по формуле (I):
t ~^>к ,, J-*
2ez ег Sr> ег ге2 + гв2
2 Л, 2
Приняв, что величинами и можно пренебречь вследствие нх
малости, получим:
а2_ /**>-*< £к , Ут-У*
2ег I е е + е г )' w
Точно так же оставив неподвижным конец к , получим:
g _ -F'f Ут ~ У К 2т zq\
геа~ е е е е ' v}
Сравнение формул (1), (2) и (3) позволяет сделать вывод, что пол-
ное усилие, возникающее в стержне под действием перемещений его
концов^ может быть представлено как сумма двух усилий Q\m и Q'mK .
При этом есть усилие в стержне krrj найденное в предположе-
нии, что перемещается только один его конец Л- , а другой конец т
остается неподвижным; усилие же соответствует перемещению
конца стержня т при неподвижном конце * .
Из изложенного видно, что если известны перемещения всех узлов
фермы, то усилие в любом стержне равно сумме усилий, определенных
для этого стержня по отдельности для каждого из двух узлов, к кото-
рым прикреплен стержень, рассматривая узлы как изолированные с же-
сткимй опорами и нагруженные силами, вызывающими заданные дефор-
мации.
12
Узлом фермы называется совокупность стержней, прикрепленных
к одному идеальному шарниру. Стержни, составляющие узел фермы,
прикреплены другими их концами также к узлам фермы; если же рас-
сматриваемый узел опирается не на узлы фермы, а на неподвижные
опоры, то такой узел мы называем изолированным узлом с жесткими
опорами. .
Таким образом, определение усилий в стержнях фермы можно при-
вести к рассмотрению работы изолированного узла; поэтому перейдем
к рассмотрению методов расчета изолированных узлов с жесткими
опорами.
§ 3. Изолированный узел
Любая ферма представляет совокупность изолированных узлов
с упругими опорами, ио для того, чтобы полнее выявить особенности
работы узла, мы вначале разберем изолированный узел с жесткими опо-
рами. Все дальнейшие рассуждения проведены в предположении, что
стержни подчиняются закону Гука, т. е. работают в пределе пропор-
циональности и не теряют устойчивости.
Пусть узел состоит из неограниченно большого числа стержней,
выполненных из различных материалов и различных поперечных сече-
ний (см. фиг. 2). На узел действует сила р ; требуется найти: а) напря-
жения во всех стержнях и б) перемещение точки о вершины узла.
Фжг. 2
Ы
Условия равновесия дают два уравнения:
+ pcos V = О,
£Ql sincc..t +Psin ч>—0}
(4)
i де
Qt- — сила, возникающая от силы в с -том стержне
Так как двух уравнений недостаточно для решения узла, то при-
дется написать соответствующее количество уравнений деформации.
Под действием силы р точка о переместится в точку О'
(фиг. 3). Спроектируем многоугольник со'о на направление
стержня СО
CjCosAce + + -£,57оес = €
Здесь 1 м £ суть проекции на оси координат вектора перемещения
вершины узла Вследствие малости деформаций в сравнении с длинами
стержней можно положить, что cos л = Г При расположении
стержня и деформации в первом квадранте стержень будет испыты-
вать сжатие и следовательно,
—Л Со$ое — since.
Q.I ' €
Но, так как -у~— = , то можно написать
н
Qi et
------= — 5 cos OCL— h Since: •
El F- c 1
(5)
Таких уравнений будет столько же, сколько стержней в узле, и все
уравнения содержат одни и те же постоянные величины 5 и £ (неиз-
вестные пока деформации узла под действием силы р ). Теперь вместе
с уравнениями (4) получим достаточное число уравнений для определе-
ния всех неизвестных. Исключив из уравнений (4) силы посредством
уравнений (5), получим:
w Г* COSZcC; + О У"'- — Sin CO.S'oc ~Pcos<p =0 1
е “- е< ‘ I (е)
, У. Sin°c; costx„- -к ? 7Z ЯЧ1гс>С; ~ РSin 'Р — О J
Для дальнейшего оказалось весьма полезным применение следую-
щих обозначений:
l=; м = СОА' 2t*. ;
к = а'Х’Л sln 2txi i '
Величины Ji всегда положительны и, следовательно, величина L тоже
всегда положительна; величины 2-tcos2oci я-Ъ$1л2<*с .во-первых,
всегда меньше, чем соответствующие величины Л . а, во-вторых, могут
быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому всегда
L>/-\ и L>n . Величина L есть скаляр, величинам же Л7 и
л можно приписать геометрический смысл « рассматривать их как
векторы.
Теперь уравнения (6) перепишутся так:
(L гл1) j -рс°з 'f-O
=zQ
(В)
Решив их относительно JF и 7 , будем яметь:
(L~/и;сдз-у-Л'-л'/л Гр .
Ь*~ЛЯ
{L+Atfsiry^cos Гр
La-Ats~Jr3
(«
Угол, составленный перемещением 00' с осью абсцисс, будет.
(W)
15
Перемещение 00 , слагающими которого являются перемещения £
и 2. , в общем случае не совпадает с направлением действия силы р ,
как это видно из формулы (10).
Найдем условия, при которых направление деформации совпадает
с направлением силы Для этого направим ось ОХ по действующей
силе Р (фиг 4). Углы кака4<, так и J3 теперь отсчитываются от Силы
Р . Условие совпадения -силы и деформации будет - у7 .Но так кам
, то необходимо и достаточно, чтобы
tg p = >f=O- UO
Формула (10) для данного случая напишется так:
X
L-/4
что влечет за собой
(12)
Но, если равенство (12) существует для какого то положения силы
по отношению к узлу, то оно будет существовать и для положения, по-
лучающегося поворотом силы Р на угол ——
£л
Назовем яти два взаямво-перпенднкуляриые яаправленвя глав-
ными осяЬн узла
16
Определение положения главных осей Пусть
величины L , Л и Л выделены для произвольных oceft X оу
приходящих через вершину узла. Найдем угол , который составляют
ыавные оси узла с данными Главные оси характеризуются совпадением
силы и деформации и поэтому Ji = . Заменив Р в формуле (10) на
у и решив ее относительно tg xjr , получим:
Ч ----------л-------=-------л------ ' ’
м
Из тригонометрии известно, что
/63330
Сравнивая выражения (а) и (б), можно установить, что
(13)
Упругость узла по главным осям. Способность
узла сопротивляться действующей на него силе можно характеризовать
»ли величиной деформации при единичной силе, или величиной силы,
вызывающей единичную деформацию. Обозначим деформацию при еди-
ничной силе через
и силу при единичной деформация через
• де Р — действующая сила н Р — соответствующая ей деформация.
Если сила Р действует по одной из главных осей (например, по
оси ОХ ), то Ч>=0 и 2~О ; уравнения (8) принимают вид:
откуда
3 Тру*ы итк 19И г., т. 3.
^(Тиевский Институт ПЗФ
1'БЛПОТЕО
IT
Следовательно, L + Л1 ♦ (если эти величины вычислены относительно
главных осей) есть сила, которая, действует по одной из главных осей
и вызывает деформацию, равную единице.
Ясно без доказательства, что
= 'У-' <15)
Эллипс деформаций. Пусть) главные оси узла найдены, и
имеется вычисленная относительно них величина /i . Приложим к узлу
силу, равную единице, и будем вращать ее вокруг точки О . Каждому
положению силы соответствует единственный вектор деформации. Опре-
делим геометрическое место конца этого вектора.
При повороте силы Р на угол F от оси абсцисс по формулам
(9) получим абсциссу конца вектора деформации
-Л)) COS У cosy
Lz — ~ L+M
и ординату
Sin ¥>
L -М
Исключив-из этих уравнении угол
в
и заменив L +М и L -Л1 на —— и . получим:
Л+Ж £-А
1 ч~ t ~ I
L +74 L -7л
Это есть уравнение эллипса с полуосями
i
Можно указать очень простой прием для графического опрелсле
ния величины и направления деформации при действии на] узел силы,
равной единице. Формула (10) для главных осей перепишется так:
(16)
Построим два концентрических круга и нанесем положение главных
осей (фиг. 5). Остальное построение ясно видно из чертежа и доказа-
тельство настолько просто, .что его не стоит приводить.
Изображение .характеристик узла. Упругие свойства
узла целиком характеризуются тремя величинами: L , М и . Пусть
вычисление .этих величин произведено относительно произвольных осей
* Черточка над буквой М показывает, что эта величина вычислена относи-
телвно главных осей узла. .. .
18
координат HOY , проходящих через вершину узла. Отложим от вер-
шины узла величину L по оси ОХ ; так как L есть величина всегда
положительная, то направление L будет всегда совпадать с положи-
тельным направлением оси ОХ . Для того чтобы обозначить это на-
правление, будем делать конец отрезка L «тупым» посредством
маленькой вертикальной черточки (фиг. 6). Величины Л1 и X могут
быть к^к положительными, так и отрицательными и поэтому векторы,
соответствующие нм, следует откладывать согласно полученного знака,
при чем вектор Л1 имеет направление оси ОХ , а вектор X — на-
правление оси 0Y
Если оси, относительно которых произведено вычисление характе-
ристик, были главные оси узла, то вектор Л равен нулю, и характе-
ристика узла превращается в прямую линию, направление которой сов-
падает с направлением одной из главных осей.
Для того чтобы выделить характеристики, вычисленные относи-
тельно главных осей, будем снабжать вектор М черточкой сверху, ве-
личину же L , как не зависящую от направления осей, будем писать
без черточки.
Фнг. 7.
Простейшая упругая система. Такой системой является
стержень, прикрепленный шарниром к жесткой опоре. За положительное
направление примем направление силы, растягивающей стержень (фиг 7)
Для такого Изолированного стержня имеем:
Л =
2ос — 0.
Последнее равенство показывает, что взятое направление является
главным. Кроме того, t — f^-О (так как M = L = ^ ), из чего
можно заключить, что эта система обладает нулевой жесткостью в на-
правлении, перпендикулярном к оси ОХ , так как Л1 есть сила,
которую следует приложить по оси 0Y . чтобы получить деформацию,
равную единице.
Нахождение характерно тян узла. Величина L опре-
деляется как арифметическая полусумма величин распространен-
ная на все стержни, составляющие узел. Велнчяны М и X могут быть
получены или вычислением по формулам
23
М = \соз2^;
Z Z.. j z*
или геометрическим построением.
Пусть дан узел (фиг. 8) и требуется найти его характеристики от-
носительно осей ХОУ .Из произвольной точки О' , проведи через
нее линию о’х' , параллельную ОХ , строим лучи, составляющие
с осью Ох' углы (т. е. углы двойные по сравнению
с теми, которые составляют соответствующие стержни в данном узле
с осью 'ОХ ) и откладываем на этих лучах в некотором масштабе
величины Л' -
Если теперь построить силовой многоугольник векторов и
спроектировать его замыкающую сторону на направления ОХ и OY ,
то получим соответственно 2Л1 СО5 2°^ » как проекцию на
ось ОХ и 2/f-TL Sin 2tx-i как проекцию на ось ОУ
Вычислив еще L — 4-7? , можно построить характеристики узла
для избранного направления координатных осей.
Нахождение характеристик узла для главных
осей. Пусть характеристики узла для произвольных осей найдены и,
требуется определить направление главных осей и главные характери-
стики (фиг. 9). Назовем через угол, на который следует повернуть
вектор /и , чтобы получить направление вектора м . По формуле (13)
этот угол определится так:
Величина вектора Л) вычисляется по формуле
М = СОД(ос£ = с<эз2 +
+ 4- Sin sin2&.t~Mcos2y+tf sin 2ty •
Из сопоставления двух последних формул видно, что вектор Д)
по величине равен геометрической сумме векторов /И и/ и направ-
ление этого вектора составляет с осью ОХ (ось, относительно которой
были вычислены характеристики L , М и УК ), угол 2 Отсюда сле-
дует, что равнодействующая (фиг. 8) многоугольника векторов At дает
направление главной оси узла (в двойном угле) и удвоенную величину
вектора М . Величина L остается без изменений, так как она не зависит
от направления осей координат.
Обратная задача о нахождении характеристик относительно произ-
вольного направления, если известны главные характеристики, ре-
шается также весьма просто в двойных углах (фиг. 10). Для этого
21
I
достаточно опустить перпендикуляр из конца вектора fA на намеченное
направление, чтобы получить векторы /4^ и и, продолжив вектор
Af , отложить на нем величину L . Нетрудно заметить, что при всевоз-
можных углах у-' конец вектора Мф будет лежать на окружности,
построенной на векторе м , как на диаметре и, следовательно, если по-
строить (фиг. 10) две окружности: одну радиуса L из точки О , а
другую на векторе Л! , то получение характеристик для любого, направ-
ления сведется к проведению линии из точки О под углом 2 Цг к век-
тору.
Фиг. 10.
23
Сложение характеристик двух узлов. Пусть даны
главные характеристики двух узлов (линии 1 и 2); найдем характери-
стики узла, полученного объединением вершин обоих узлов в одни —
с общей вершиной (фиг. 11). Не требует доказательства, что
£ = L, -#-Lf.
Примем произвольные осн координат XOY и перестроим данные
характеристики в двойные углы по отношению к оси ОХ (пунктирные
стрелки на фигуре Па). Сумма проекций этих векторов на ось ОХ даст
проекцию на эту ось суммарного вектора М , или, что то же, — вектор
ЛЛ для суммарного узла, а сумма проекций этих векторов на ось OY
даст проекцию на эту ось суммарного вектора гл , или, что то же, век-
тор у/ для суммарного узла. Это следует из того, что М=Д1.
и /У -Ц • Из сказанного ясно, что для получения главного
вектора Л7 объединенного узла нужно взять геометрическую сумму
векторов >vjf и Л1г. Полученный таким образом вектор даст, кроме вели-
В случае изъятия из узла одного или нескольких стер|жней следует
произвести вычитание их, т. е. прибавить характеристики, обратные по
знаку.
Связь между силой и деформацией. Примем за оси
координат главные оси узла. Пусть деформация, равная единице, направ-
24
лена под углом fi к оси ОХ ; ее проекция на ось ОХ равна c°sj3
и на ось ОУ проекция равна sin р . Обозначим силу, вызывающую
единичную деформацию, через Р , а ее проекции на оси координат —
фрез Рх и Ру . Угол между силой Р и осью ОХ 'назовем у5
Так как за оси координат приняты главные оси узла, то сила, дей-
ствующая по какой-либо из этих осей, вызовет деформацию, направлен-
ную по той же оси. Для того чтобы вызвать единичную деформацию-по
оси ОХ , нужно приложить силу по этой оси,_ равную L + Л1 . Для
оси ОУ соответствующей силой будет L — М .
Если проекция деформации на ось ОХ равна cos р , то действу-
ющая по этой оси сила должна быть равна
PX=(L+M) cos Ji
и соответственно для оси ОУ
= sin Ji
или
Р*-~—=cosв и - sin fi
L i-M L-Л]
Возведем оба равенства в квадрат и почленно сложим их
_ f_____L .
(Ь-М? (L-M)3
Это есть уравнение эллипса с полуосями L -t- М и L — М.
Следовательно, сила, вызывающая единичную деформацию узла, пред-
ставляется вектором, конец которого описывает эллипс. Величина силы,
вызывающей единичную деформацию, равна
Р2 = Р/ + р/=(Ь+/И)гСО52>з + (L-M)2 Sin*J3
или
P^-L2 +М7 +2.LMcos 2J3 . (18)
Формула (18) показывает, что искомая сила р есть не что иное, как
третья сторона треугольника, имеющего две другие стороны L и/й , а
угол между ними JF-2J$ . Весьма просто эта величина определяется
графически, если имеются главные характеристики узла в двойных углах
(фиг. 12 ). Вычерчивают круг радиуса L и проводят из центра вектор
Л1 ; через центр проводят лйнию под углом 2/ и точку с пересечения
этой линии с окружностью соединяют с концом вектора >7 (точка d ).
Отрезок cd дает в масштабе сил диаграммы величину искомой силы.
Угол между силой и деформацией будет 0 и можно написать, что
tgB = tg(p-Y)= —-9Л. .
Но (см формулу 16).
, L~ м ,
25
Следовательно,
(,e= . _________
L+Mco$2fi
(19)
Эту формулу можно истолковать геометрически так (фиг 12)’
продолжим линию cd до пересечения ее с окружностью в точке е ;
линия, проходящая через центр круга и точку е , даст направление силы
(в двойном угле), вызывающей заданную деформацию.
Фиг. 12.
Формула (19) позволяет находить угол между силой и деформа-
цией по заданному направлению деформации. Этот же угол может быть
выражен и через угол у , образованный действующей на узел силой
с главным направлением узла:
tgfl= .
* L-MCOS2Y1
(19')
Обратная задача об определении деформации по заданной силе
решается также очень легко. Для этого нужно провести прямую чере.
точки е и d (фиг. 12), продолжить эту прямую до пересечения ее с ок
ружностью (точка с ) и линия, соединяющая точку с с центром окруж
ности, даст направление деформации (в двойном угле).
Величина деформации, вызванной силой Р , будет
где с<7 берется в масштабе сил диаграммы
Примечание. Деформация предполагается направленной „от узла*
и сила получается также ,от узла*.
26
Сила, вызывающая единичную деформацию
и своем направлении. Если сила J3 вызывает единичную
деформацию и эта деформация направлена под углом в к действующей
силе, то проекция деформации на действующую силу будет \cos в
Для того чтобы проекция деформации на действующую, силу была
равна единице, нужно, чтобь! действующая сила была не Р , а
Но
_ Р _ L +М cos 2 Р
li~cose~ cos2 0
so 1 ~
COS + ~ L2 + Mz + 2LA COS2p>
и, следовательно,
Лли (см. фиг. 11)
Li-t-Mll+ 2LM cos2fi
L -t-Mcos
(cd)2 __
L +M cos 2ft
(20)
(21)
Иногда бывает необходимо знать деформацию вершины узла под
действием силы, равной единице в направлении этой силы. Обозначим
ее через уо' , тогда ' _
1 _ L + M cos 2Р________
Г ~ Pt L2+M2 + 2Lticos2,p'
или, воспользовавшись формулой (16) и заменив ft на f , получим:
Х= • (22)
Усилия в стержнях по заданной внешней силе
Рассмотрим узел состоящий из нескольких стержней, сведенных
в одну вершину и опертых на жесткие опоры; на узел действует внеш-
няя сила р . Предполагаются известными главные характеристики узла.
Проведем окружность радиуса L и нанесем- (фиг. 13) направление
действующей силы и стержней, составляющих узел (в двойных углах).
Через точку е (пересечения силы с окружностью) и точку d (конец
вектора /й ) проведем прямую до пересечения с окружностью в точке
с . Для получения усилия в любом стержне нужно соединить точку с
с точкой пересечения окружности с направлением соответствующего
стержня; например, для стержня 0,3 это убудет точка ft . Усилие в стер-
жне получится по формуле
Рс/ 2о,з
%>= 2L3- (23>
27
При этом для всех стержней данного узла при заданной силе Р ве-
Р „ . Р
личи’на -г-;—==- постоянна . Действительно, величина —-у есть
2ь са cd
с/
не что иное, как деформация, вызванная силой Р . Величина -у— пред-
L>
ставляет собой косинус угла между действительным направлением
стержня и деформацией, потому что угол с of есть двойной угол
_ Р С/
между направлением стержня н силы. Следовательно, величина ' 2L'ccT
есть проекция деформации на направление стержня Известно, что если
EF
умножить эту величину на — , то получим силу, действующую по
стержню *.
Фиг. 13.
Знак усилия можно определять хотя бы следующим образом
Поскольку направление деформации (в двойном угле) определяется
линией, проходящей через точку с и центр окружности, то нетрудно
провести на чертеже фермы приблизительно направление! действие
тельной деформации. Построим на этом направлении, как на диаметре,
окружность произвольного радиуса так, чтобы она проходила через
вершину узла (фнг. 14). Стержни, лежащие внутри окружности, будут
сжаты, а стержни, лежащие вне окружности, — растянуты.
Усилия в стержнях узла по заданной дефор-
ма! ц и и. Если задана не сила, . действующая на узел, а дефор-
мация его, то (см. фиг. 13), отложив направление ( в двойном угле)
• Поскольку величины C.f,2L, cd и Л должны измеряться в одном и
том же масштабе, а в формуле (23) они расположены попарно, то они могут изме-
ряться на диаграмме в любом масштабе.
28
деформации на диаграмме характеристик узла, получим точку с
довательно, усилие любого стержня будет
и, сле-
(24)
Cf
2L
1де величины L и Cfi могут быть взяты в любом масштабе, а вели-
чина должна быть взята обязательно в ее действительном значении.
Изложенные способы значительно облегчают решение изолирован-
ного узла с жесткими опорами, образованного из многих стержней.
Глава II
УЗЛЫ НА УПРУГИХ ОПОРАХ
§ 1. Влияние упругости «пор На характеристики узла
До сих пор были рассмотрены узлы с жесткими опорами. В узле,
составляющем часть фермы, стержни прикрепляются большей частью не
к жестким опорам, а к другим узлам фермы, т. е. покоятся на упругих
опорах. Влияние опор на характеристики узла будет без сомнения зави-
сеть от собственной упругости опор.
Упругость опор удобно характеризовать теми же величинами, что
и упругость узлов, т. е. направлением главных осей и величинами L и
М иля величинами L , ГЛ н Аг , вычисленными относительно каких-то
произвольных осей.
Влияние упругости опор на характеристики узла проще всего выяс-
нить на отдельном стержне. Характеристики стержня, прикрепленного
к жесткой опоре, имеют вид прямой линии, направленной по оси стержня;
тупой_ конец скалярной частя совпадает с концом векторной, так как
L-ГЛ (фиг. 15а). Пусть стержень прикреплен к упругой опоре, харак-
теристики которой даны на фиг. 156 линией I. Рассмотрим, как изме-
нятся характеристики стержня вследствие замены опоры с жесткой на
упругую.
В первом случае сила, равняя единице и приложенная к концу
стержня, вызывала деформацию
29
Во втором случае сила, равная единице, придет к опоре через стер-
жень и будет по отношению к ней внешней силой, под действием кото-
рой опора получит некоторое перемещение. Нас интересует перемещение
опоры только по направлению оси стержня, т. е. по направлению дей-
ствующей силы. Величина этого перемещения весьма просто опреде-
ляется по характеристикам опоры (см § 3). Пользуясь обозначениями
третьего параграфа, назовем через силу, вызывающую единичную
деформацию в направлении действующей силы; тогда сила, равная еди-
нице, сообщит опоре деформацию, равную —— .
Полное перемещение свободного конца стержня, к которому прило
жена сила, равная единице, будет суммой деформаций стержня и опоры
в направлении оси стержня, т. е.
Такую же деформацию можно получить, если прикрепить к жест-
кой опоре стержень с характеристиками L1 и 2\' , которые должны
Находиться с характеристиками данного стержня в следующем соот-
ношении:
Л' Яо Pt ’
(25)
следовательно, влияние опоры можно рассматривать как фиктивное изме-
нение жесткости стержня на растяжение и вводить в расчет вместо
стержня на упругой опоре стержень на жесткой опоре, но с фиктивной
жесткостью Л'. которая определяется формулой (25).
§ 2. Частный случай зависимости между силой и деформацией
Рассмотрим случай, когда действующая на узел сила совпадает
по направлению с осью одного из стержней узла. Пусть дан узел
(фиг. 16), в котором имеется стержень, составляющий угол f с главным
направлением. На узел действует сила под углом f к главному направ-
лению.
Угол между силой и деформацией в определится по формуле (19')
fair-------------------------------------
L-/4 cos 2.
30
В данном случае <f> = y/ , и эту формулу можно переписать так:
L—/y cos 2 Y
Перестроим характеристики узла на направление оси стержня .
Тогда будем иметь tf—Ms'mZY и t^=.fAcas2Y » где N и /М —
соответствующие величины для направления оси стержня ?\к . Следова-
тельно,
t9B~ L ~м '
Вычтем теперь из узла стержень . От вычитания величина я
не изменится, величины же L и * уменьшатся на и, следова-
тельно, величина L-М тоже не изменится. Таким образом, направле-
ние деформации не зависит от жесткости стержня, совпадающего с дей-
§ 3. Деформации влияния
Найдем величину деформации узла и от силы, приложенной
в соседнем узле т . Эта с ила может повлиять на узел к только через
стержень кт . Для определения величины деформации узла Л следует
найти деформацию этого узла, но без стержня кт (при этом узел к
рассматривается под нагрузкой, равной единице и направленной по оси
стержня кт ). Найденную деформацию нужно умножить на силу, суще-
ствующую в стержне кт под действием силы , приложенной
в узле т . Обозначим:
и LK — главные характеристики узла к , работающего
в упругой системе, включая и стержень кт
— характеристики этого узла (узла к ), работаю-
щего в тех же условиях, но пересчитанные на направление оси
стержня кт .
м' и I* —‘ главные характеристики узла к, без стержнр Кт.
А1' , w', — характеристики узла к без стержня кт , но вы-
численные по направлению оси стержня кт .
>1
04 кт — угол между стержнем кт и главными характе
ристиками узла к , работающею в упругой системе, т.- е. угол между
и ЛЕ.
гнт — проекцию на ось стержня кт деформации узла
К, работающего в упругой системе и нагруженного силой, равной еди-
нице, действующей по направлению стержня кт .
— тоже, но только без стержня кт .
firn" — проекцию на ось стержня тк деформации узла
т , работающего в упругой системе и нагруженного силой, равной еди-
нице, действующей по направлению оси стержня тк .
— тоже, но только без стержня тк .
— угол, между стержнем кт и главными характе-
ристиками узла к , но без стержня кт .
QKn1 —сила, действующая по. стержню кт в упругой
системе.
$т — полная деформация узла т .
— проекция полной деформации узла т на направ-
ление стержня тк •
Известно (см. формулу 22), что
Л' L'x-V'cos гсс'кт
НО
. , 71 'нт .
Lk ------2 ’
—f , — — А кт
ГЛ к COS 2ос.кт=Мн COS 2^ кт ’
^к=^к=^к sin 2^кт;
ГЛ'^ТЛ'к^^-
Следовательно,
[\-ГЛк СОБ 2о^кт = ^к~ГЛк cos 2<*ит
и
L*-m'k = -Мк-Л‘кт (Lk-^k с°5 2~к„).
, L-h-MkCOS 2^.кт
L^-MK-^KmlLK-MCOsZ^-xm)
Здесь 2‘кт cctb приведенная упругость стержня кт , вычислен-
ная в пр<едположеяим, что эйют стержень внешнем Своим концом при-
креплен к упругому узлу т , а не к жесткой onopfe. Так как мы уже
усдоввлись через обозначать величину
32
то
л Lk MkCOS 2с^кт
---4^ ’
р' = ----
1 ™ l-A'x'nPw
Предположим теперь, что по стержню кт действует сила, равная
единице, и что при этом вершина узла tn переместилась из точки О
в точку О'; проекция расстояния От 0^ на ось стержня Htn равна
разности перемещения узла К (по оси стержня) и укорочения самого
стержня Нт под действием силы, равной единице, т. е.
, _ -I / Акт (Лкт + 71 кт)
(°тОт)проек~Гкт Лкт~-(/~ЛитР^) 7 кт
Действительная деформация узла т при действии на него силы Рт
определится по его характеристикам и предполагается уже известной,
следовательно, известна и проекция полной деформации узла т на ось
стержня тк . Пусть это будет Smtt Сила, действующая по стержню
тк , будет во столько же раз больше единицы, во сколько раз &тн
больше ( От От )проМц - т- е- действующая по стержню тк
вк" • &,
^кт (0т0„)проекц нт 1
сила
Эта сила вызовет перемещение вершины узла к . Проекция этого
перемещения на ось стержня кгг будет:
__ Зтк Аит( 1~-^ктРит) КГП
о к гп ~ т 7Z ? Г j
Z* 3Кт ( ^ит + -Я кт) I
или
л1 &тк
°Кт ~ f 1 । ‘ (26)
7 Кт fl кт Л кт
Обратим внимание на величину . Она может быть представлена
в следующем виде:
«де J°mir естъ проекция перемещения узла т (без стержня mA ) под
действием единичной силы, приложенной в узле т и параллельной
стержню тк
По аналогии с только что изложенным можно написать •, что
* Необходимо иметь в виду разницу между обозначениями Л'кт и .
Если означает жесткость стержня на растяжение при закреплении одного его
конца на упругой опоре т (без стержня кт ), то есть жесткость на растя-
жение того же стержня, закрепленного на опоре к (тоже без стержня кт ).
3 Труды НТК тем г. Т. X
33
Р—,,
t тк
1~Л' Р~" (28)
• '(Л1К “l~IK
Вычислим теперь величину . входящую в формулу (26).
На основании формул (27) и (28), можно получить:
ь р' = —— у. __________________1
J т* A'„„
ИЛИ
(29)
По этому уравнению можно вычислить величину —— Решение этого
уравнения имеет следующий вид:
Акт__
*т 1+2 ^-кт Ркт + (/7 *" 4 ^ктРхт
Глав» Ш
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
§ I. Метод фиктивных сил
Рассмотрим произвольную ферму, совершенно не ограничивая ее
статической неопределимости, и как-то ее деформируем. Будем в даль-
нейшем предполагать, что для каждого узла фермы уже вычислены
упругие характеристики, т. е. найдены величины LH и М*. Определим
две системы сил:
1) система сил Уд, состоящая из сил . которую нужно
приложить к узлам фермы, чтобы получить заданную деформацию, и
94
2) система сил 4^, > которую нужно приложить к каждому узлу
фермы, считая этот узел, как изолированный с жесткими опорами, чтобы
получить для каждого узла заданные деформации. Таким образом, одним
и тем же деформациям фермы соответствуют две системы сил и
. Обе эти системы однозначно определяют друг друга и при задан-
ных деформациях фермы, обе они могут быть определены без особых
«агруднений. Но обратная задача весьма трудна для системы сил
(при многократной неопределимости) и очень легка для системы
(особенно, если пользоваться изложенными выше методами). Найдем
зависимость между силами этих двух систем.
Усилие в любом стержне можно найти как сумму двух усилий
Я- Кт Я'Гпк 7
|де есть усилие, вызванное в рассматриваемом стержне фик-
тивной силой Рк<р , приложенной в узле к , при чем узел в это время
считается с жесткими опорами, a Pmip есть усилие в этом же
стержне, вызванное силой Pmip, приложенной с соседнем узле т , кото-
рый в это время так же рассматривается, как узел с жесткими опорами.
Здесь сила, совпадающая с действующей па узел и равная единице, обо-
значена через £ .
Полученное таким образом усилие точно соответствует заданным
деформациям фермы, т. е. деформациям фермы под нагрузкой
Следовательно, в каждом узле сумма усилий, действующих в стержнях,
должна уравновешиваться внешней силой, приложенной в этом узле,
т. е. силой из системы
существовать равенство
¥ (силой Рн ). Для каждого узла должно
о 9
~ Укт +
Следовательно,
Здесь первое слагаемое есть не что иное, как фиктивная сила этого узла,
»зятая с обратным знаком:
Теперь можно написать, что
к-* const .
~7>ка~ ^Ка РгИф'
И !
ИзСОП$£,
”1=1,2,3—с (31)
Из этой формулы следует метод решетя произвольной фермы последо-
вательными приближениями. Заданная система сил принимается за нуле-
вое приближение и обозначается СРК. Положив, что сРтч,~
вычислим по формуле (31) величины ‘Р, :
К-const "
Это будут силы первого приближения. Второе приближение вычисляется
по формуле
В результате его получим силы ’р* . которые будут исходными для
третьего приближения.
Рекуррентная формула, следовательно, будет иметь вид:
K-zconst
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока""'^ и станут
достаточно близки друг к другу.
Усилие в любом стержне найдется по формуле
(“)
Определение деформаций фермы определяется без затруднений по имею-
щимся уже упругим характеристикам отдельных узлов и по силам р .
Это можно сделать по формулам, изложенным в первой главе.
Вычисления следует производить не с самими силами, а с их проек-
циями на оси координат.
§ 2. Метод уравнивающего коэфнцнента
Пусть дана ферма и найдены жесткости ее узлов в предположении,
что каждый узел является -изолированным узлом. Дана также система
внешних сил, действующих иа ферму — у ; эта система состоит из
сил °РК . °
Предполагая, что каждый из узлов фермы является изолирован-
ным, найдем по заданным • силам соответствующие им деформации
Найденные таким образом деформации назовем через До.
Теперь возьмем незагруженную ферму и придадим ей деформации
, для чего придется приложить к ее узлам некоторую систему сил
; эта система состоит из сил °РК . Рассмотрим, что представляет
собой каждая сила этой системы 2О - Это есть сила, которую нужно
приложить в данном узле, чтобы получить деформации Z\o. Искомая
сила получится как уравновешивающая усилий во всех стержнях, сходя-
щихся в этом узле. Но из предыдущего параграфа известно, что для
того, чтобы найти усилие в стержне Кт фермы, достаточно рассмотреть
два изолированных узла К и т под действием сил, приложенных в этих
узлах и вызывающих заданные деформации и определить в обоих слуг
36
чаях усилия в стержне кт . Сумма этих усилий и даст усилие в стержне
Кт, работающем в системе* фермы.
Следовательно, искомая внешняя сила может быть представлена
как сумма двух сил: силы, приложенной в данном узле как изолированном
и вызывающей заданную, деформацию и, кроме того, силы, уравновеши-
вающей «усилия влияния» от соседних узлов. Первое слагаемое каждой
из сил системы 2О есть сила, приложенная в данном' узле как изоли-
рованном и вызывающая заданную деформацию. Но это есть не что иное,
как сила из системы уг . Следовательно, первое слагаемое не нужно
вычислять, и оно равно для каждого узла соответственно vp .
Если второе слагаемое обозначить Через °£к , то можно написать,
что
Системы сил и мало похожи друг на друга, но все же
можно найти такой коэфициент До, чтобы система сил, полученная
вычитанием системыДо- из системы , имела по возможности,
малые силы.
Наиболее приятным был бы случай, когда после умножения
системы на коэфициент Ао мы получили бы систему у/ ; тогда
для каждого узла имело бы место равенство
Но этого не будет, и вместо нуля в правых частях уравнений мы полу-
чим некоторые ^личины Ек, т. е. будем иметь уравнения:
(34)
Условимся приписывать индексы х и у проекциям сил на соответ-
ствующие оси координат. Теперь можно переписать векторное уравне-
ние (34) в следующем виде:
<°р.,+
4
Для получения наиболее вероятного * значения коэфициента он
должен быть подобран так, чтобы
(35)
Приравнивая нулю производную от SE^no А, и решая полученное
(шипение относительно Ао , получим:
~ г X +£ "РЛ°р^21£ °р„ s,fС)
* Вычисляя коэфициент Л из условия (35), мы тем самым определяем его
ял* пчиболее вероятный, но не как наилучший. Из теории приближения функций
н»nrvно, иаскрльк9..адржад^опредедеиие_к»илучшего приближенно.
37
Определив коэфициент Ло и умножив на него систему сил Ео ,
вычтем ее соответственно из систЛы . В результате получим неко-
торую систему; сил Vy . составленную из сил меиьшнх, чем силы систе
мы На этом оканчивается первое приближение; оно дало нам де-
формации фермы До д0 , которым соответствуют силы системы А030
и систему У'. которую нужно прибавить к системе , чтобы полу-
чить заданную систему сил . Следовательно^ теперь стоит вопрос об
отыскании деформаций фермы для системы сил чр- , меньшей, чем
заданная.
Приняв систему сил У; за исходную и проведя с ией тот же про-
цесс, который только что был проведен с системой VJ,, мы получим
деформации ЯуДу . соответствующую им систему сил At3t и, в виде
< стачка, систему меньшую, чем . Продолжая процесс приближе-
ний дальше, получим, наконец, такую систему сил , которой можно
будет пренебречь по сравнению с заданной системой . На этом и
заканчивается процесс приближений.
Деформация любого узла фермы под действием заданной нагрузки
будет равна деформации этого узла, рассматриваемого как узел с жест-
кими опорами и нагруженный силой
Последнее уравнение можно переписать так:
1=0
У» -
l-о У
В .тиснение этих фиктивных нагрузок не представляет затрудие
ний, так как в процессе последовательных приближений нами уже
вычисл- ны величины и .
Пи деформациям легко определить и силы, возникающие в стерж
нях под действием заданной системы .
Доцент, кандидат технических на\к
инженер-майор С. II. Иан
МЕТОД СРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ
В ПРИМЕНЕНИИ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
При работе ряда элементов конструкции отсутствует линейная
связь между внешними силами и деформациями. В качестве примера
можно привести две группы задач.
Первая группа: устойчивость стержней, балок, оболочек,
колец и т. д
Вторая группа: продольно-поперечный изгиб стержней, изгиб
с кручением балок и т д.
Принцип решения задач обеих групп обычно следующий: состав
ляют диференциальное уравнение равновесия деформированного тела и,
инте! рнруя его, определяют деформации. В первой группе задач дефор-
мации остаются неопределенными, но в процессе решения создается воз-
можность отыскать критические силы. Во второй группе задач дефор
мации получаются вполне определенными и они дают возможность вы-
числить величины силовых факторов, действующих в различных сече-
ниях элементов.
Такой классический метод решения, с точки зрения вычислитель-
ном работы, получается громоздким, а иногда и непреодолимым, осо-
бенно при расчете деталей с переменными сечениями и при сложных
видах внешних нагрузок.
Для решения этих задач на сегодняшний день имеется ряд прибли-
женных методов. Недостатком многих из них является то, что мы ничегг
не можем сказать о степени точности получаемого решения. О погреш-
ности расчета можно судить только в результате сравнения ответов
последовательных приближений. Однако, следует заметить, что и при
применении классического метода, т. е. при интегрировании диференци-
альных уравнений равновесия, далеко не всегда может быть установлена
степень точиоста результата. Объясняется это тем, что часто| прихо-
дится иметь дело с суммированием сложных рядов и с решением транс-
цендентных уравнений, связывающих суммы этих рядов.
В настоящей работе имеется в виду рассмотреть приближенный
способ — «метод сравнения деформаций:». Этот метод, известный в ли-
тературе как метод Вигнелло, недостаточно популярен. В тех трудах,
где он рекомендуется, обычно имеются лишь указания в части решения
задач устойчивости стержней, и при этом с простыми креплениями.
В действительности же этим методом, т. е. методом сравнения дефор-
маций, относительно легко решать не только самые разнообразные за-
дачи устойчивости, но и задачи второй группы — продольно-попереч-
иого изгиба стержней и им подобные с переменными сечениями, с слож-
ЗУ
нымы видами нагрузок и упругими креплениями. Рассмотрение задач
обеих групп методом сравнения деформаций и является темой настоя-
щей работы.
I. Задачи устойчивости.
В задачах устойчивости, под действием критических сил, конструк-
ция переходит из одного устойчивого равновесия в другое. При этом
можно считать, что при различных малых поперечных деформациях
внешние силы остаются неизменными и равными критическим, Это озна-
чает, что мы имеем здесь дело с безразличными равновесиями; наличие
безразличного равновесия и дает возможность нахождения крити-
ческих сил.
кр
Фиг. I.
Сущность метода поясним иа примере устойчивости стержня.
Искривим прямолинейный стержень (фиг. 1). нагруженный критическими
сжимающими силами. В этом искривленном положении стержень и
останется. Объясняется это тем, что критические силы иа заданных
искривлениях f (х) создают изгибающие моменты
74
Этк моменты вызывают упругие поперечные деформации У (х),
точно равные заданным. Равенство заданных f (х ) и упругих деформа-
ций У (х) дает возможность отыскивать величины критических сил.
Таким образом метод сравнения деформаций для стержней есть по
существу интегрирование диференциальиого уравнения
(1)
последовательными приближениями. Доказательство сходимости этого
решения в литературе имеется.
Ход решения всех задач устойчивости методом сравнения деформа-
ций намечается следующий. Необходимо задаться деформацией системы
Т(Х ) н вычислить получающиеся при этом моменты, выраженные че-
рез неизвестные силы X = Сравнивая заданные дефор-
мации / (х) с упругими у (х ) = Ркр JJ dx* которые зави-
сят от полученных моментов, находят критические силы. Из сказанного
получается, что для стержней
Р*р~ у 2S*l dx2 (2>
Единственная сложность решения таким методом заключается в
том, что мы заранее не знаем вида деформации, которой следует зада-
ваться. В самом деле, вид поперечной деформации зависит от характера
закрепления конструкции, от вида загружения, от закона изменения
сечений. Сравнительные расчеты показывают, что на вид деформации
существенное влияние оказывает только характер закрепления. При
этом задаваться деформациями можно по закону синуса, параболы или по
какому-либо другому закону. Различные кривые, при удовлетворении
условиям закрепления, мало отличаются друг от друга, так как мы опери-
руем с малыми деформациями. При чем имеющиеся отличия различных
кривых сглаживаются, так как при отыскании упругих деформаций мы
занимаемся не диференцированием, а интегрированием заданной функции.
С достаточной для практики точностью, при отсутствии полного
совпадения заданной и упругой кривой, критические силы можно опре-
делять, приравнивая деформации только для сечения, где они имеют
наибольшие значения. Если желательно уточнить результат расчета, то
можно приравнять средние значения упругих и заданных деформаций
или более точно сделать расчет следующего приближения, задавшись
упругими деформациями первого приближения.
О степени точности решения в данном методе можно судить по
тому, насколько характер упругой кривой отличается от заданной. И при
их полном совпадении ответ не будет иметь погрешностей.
В тех случаях, когда нет точного совпадения кривых, можно отно-
сительно легко указать пределы, между которыми заключена истинная
величина критической силы. В самом деле, пусть кривая у(х) (фиг. 2)
есть истинная кривая, которая «будет получаться у стержня при потере
устойчивости. Мы же, производя расчет методом сравнения деформаций,
задались деформацией f(x) , которая не совпадает с У(х). Выполняя
интегрирование уравнения (I) последовательными приближениями, мы
от кривой f(x) постепенно переходим к истинной кривей У(х). В таком
случае можно утверждать, что на тех участках стержня, где_£(дс,)> </(*) ,
при последовательных приближениях Нолучающиеся упругие прогибы
будут уменьшаться. На тех же участках, iле f(x)< у(х) , упругие про-
гибы последовательных приближений будут увеличиваться. Таким
образом, если мы поставим условие; чтобы при последовательных при-
ближениях для отдельных сечений стержня упругие деформации
41
были бы равны заданным -f(x) , мы должны к стержню прикладывать
сжимающие сиды
*Р'
Из сказанного вытекает, что если мы будем приравнивать задан-
ные и упругие деформации для ряда сйченнй стержня, то мы получим
ряд значений сжимающих сил. Истинная же критическая сила рнр
будет лежать в пределах между наибольшей и наименьшей сжимающей
силой Р
Фиг. 2.
Математически это выглядит так.
Я*)
fW
tnax.
Пользуясь последним неравенством, мы имеем возможность спре
делить критическую силу /=. с любой степенью точности, производя
расчет последовательными приближениями. Для решения инженерных
задач достаточная точность получается уже после первого приближения,
еслц сравнивать заданные и упругие деформации для сечения, где они
имеют наибольшие значения.
2. Задачи продольно-поперечного изгиба
Рассмотрим порядок решения задач второй группы, т. е. задач,
когда внешние силы заданы и требуется отыскать деформации.
В этих задачах часть искомых деформаций известна: это или
начальная вогибь, или деформация от действия только поперечной
нагрузки. Дополнительные деформации получаются от действия продоль-
ных сил. Эти дополнительные деформации можно выявить также мето-
дом сравнения деформаций следующим обраюм
43
Для большей ясности проследим порядок расчета на стержне
1фиг. 3), который имеет начальную погибь fo(x) и сжимается силой Р
Фиг. 3.
Зададимся дополнительными деформациями в виде некоторой
функции *f(x) , умноженной на неизвестный коэфициент а В таком
случае полные деформации стержня будут
f(x) =JO (х) + а Г(х).
Получающиеся при этом изгибающие моменты от продольных сил
л; _ р/[х)
или
/\~PLfolx)^aY{x)]
Эти моменты будут создавать упругие деформации У(Х), которые
можно определить, пользуясь диференциальным уравнением равновесия
элемента изогнутого стержня:
откуда
dxs
= № *- ° *(*)] >
Исходя из равенства-
циента а :
определяем г . -.ц- у *. ф
или
a~p—----------
yw_____
JJ^‘~P
Таким образом полные деформации стержня будут
S(x)=fo(x) i-y(x)
f(x) =So(x)tpJf ~ dxz + P2
4W
fS^
Из сказанного вытекает, что вся сложность решения задачи
заключается в выборе функции деформации 'f(x). Сравнительные рас-
четы показывают, что обычно дополнительные деформации имеют
схожий вид с известной частью деформаций fo(x) . Следовательно, за
функцию деформаций можно принять деформации, получающиеся только
от поперечных сил. В результате, принимая .£(х>аурс) , после преоб-
разований получим
Р(х)~
(4)
В отдельных случаях Л (х) есть кривая, близкая к той, по которой
теряет устойчивость прямой стержень. Это имеет место при начальном
погибе стержня одного знака; при наличии симметричной поперечной
нагрузки одного направления. Во всех этих случаях, определяя по урав-
нению (2) критичебду^о силу
So(x)
tl
с/х2
и подставляя ее в уравнение (4), получим известную приближенную фор-
мулу продольно-поперечного изгиба стержней:
f-p-
ff
В отдельных задачах вид заданной и упругой деформации может
не совпадать. В этих случаях неизвестный коэфициент а. следует опре-
44
делять из равенства заданной и упругой деформации отдельного сечения
балки, где они имеют наибольшие величины; иными словами, в уравне-
иии (4) --, , ,--- следует брать для сечения стержня, где fo(x)
J0
имеет наибольшую велимииу.
Если желательно уточнить результат расчета, то следует брать
отношение средних значений fj ^*-1 dxz и ро(Х) или более точно
сделать расчет второго приближения, задаваясь видом деформации, по-
лученным в результате первого приближения.
Для иллюстрации метода сравнения деформаций приведем не-
сколько примеров. Во всех этих примерах сечения элементов конструк-
ции приняты постоянными для того, чтобы было легко сравнивать полу-
чающиеся ответы с существующими решениями. Порядок расчета этих
же примеров и других при переменных сечениях остается тем же самым.
Пример 1. Определить критическую силу сжатия Рнр для
стержня длиной L , один конец которого заделан, а другой свободен
(фиг. 4) EI= const.
Фиг. 4
Зададимся искривлением оси, удовлетворяя опорным условиям
в следующем виде:
где а — некоторый коэфициент (в нашем случае а-=Ргпах ). На задан-
ных прогибах получаются изгибающие моменты
М ~^тах f)
ИЛИ
45
„ d2y Al
Пользуясь уравнением =• 'g j~, последовательным интегриро-
ванием находим упругий прогиб
У-
Так как полученный прогиб должен быть, равен заданному, то из
равенства
У
имеем
%2 в!
Ркр ^Г2
Ответ получился точным, потому что характер упругой У1х) и
заданной кривой f(x) совпадает.
Попытаемся решить этот же пример, задавшись иной кривой.
Возьмем кривую, которая получается у консольной балки, нагруженной
на конце сосредоточенной силой:
При этих заданных деформациях, упругие деформации получаются
В результате этого решения характер упругой кривой не совпадает
с заданной На этом основании мы можем получить ряд значений Р ,
кр
если будем приравнивать У к у для различных значении Как было
отмечено выше, хорошее приближение получается, если приравнивать
?тах к Углах'
В нашем примере это соответствует -у— - 1 и
Полученный результат, по сравнению с точным решением, дав!
ошибку около 1 %.
Наконец, решим этот же пример, задавшись кривой £ по квад-
ратной параболе:/=
В данном случае упругая деформация
Пользуясь равенством Утах -fmax , имеем
*•
Полученный результат, по сравнению с точным решением, дает
ошибку около 2,5%.
Таким образом, пример 1 показывает, что, задаваясь различными
кривыми,-удовлетворяя опорным условиям, мы с первого приближения
получаем вполне удовлетворительные ответы для инженерных задач.
Пример 2. Определить критическую силу сжатия р„р для
стержня длиной L , один конец которого абсолютно жестко заделан,
а другой шарнирно закреплен (фиг. 5); EI= const
Фиг. 5.
Зададимся искривлением оси f , состоящей из двух кривых:
Первая кривая симметричная:
ft = a cos
При этом концы стержня поворачиваются на угол
Вторая кривая должна поправить первую так, чтобы на верхней
опоре отсутствовал поворот сечения. С этой целью берем кривую, полу-
чающуюся у двухопоркой балки, которая нагружена одним опорным
моментом
47
Соответственно угол поворота у верхней опоры будет
f dfi )_______L .
dx LU 3EI
2
Величину момента М найдем из того условия, что угол поворота
у заделанного конца равен нулю, следовательно,
fdf, I ( / c/Z2 1 — О
l</jr/jr=A I dx. )X=L.
I 2
Найденное значение Щр подставляем в выражение для /
От заданных кривых ft и fz изгибающие моменты
где Моп — неизвестный опорный момент, который получается из-за
наличия заделки; определяется он из условия отсутствия поворота верх-
ней опоры. Выполняя это условие, имеем
^=~О,32?а. 5
В результате упругий прогиб по середине стержня а •
Из условия определяем
Точное решение дает
^=20,2-?4-
Следовательно, ошибка по сравнегию с точным решением
будет 3%.
Этот пример показывает, что при несимметричном закреплении
стержня, — а это равносильно несимметричному изменению £7 по
длине,—ответ даже в первом приближении получается для практических
расчетов приемлемый. Для получения более точного ответа второго при-
ближения необходимо решение повторить, задаваясь прогибами, полу-
ченными из расчета первого приближения.
Пример 3. Определить критическую силу сжатия Рно для
стержня длиной I , находящегося в упругой среде (фиг. 6). Концы
стержня свободно оперты, £7 = const ; коэфициент упругости
среды — к .
Предполагаем, что стержень теряет устойчивость по п полуволн.
При этом зададимся деформацией*
41
f = asinH™
If
Co стороны упругой среды на стержень будет действовать попереч-
ная погонная нагрузка
/Л = kasin
В результате, для любого пролета изгибающий момент будет
1
Л! = Ркр a Siti +ff kd Sin^- Лкг- jcfka sin dx
о V О '
или
/и = a Sin ~[php ~к(^ fl.
Пользуясь уравнением
dey _ _ Л1
dx1 ~ EI ’
получаем упругий прогиб
Приравнивая полученное значение упругого прогиба к задан-
ному £(ж}, полупим
э _ ST^El
v*- “р-
Ответ совпадает с результатом точного решения, так хак характер
упругой кривой У (ж) точно соответствует заданной- /(*).
iy
Фиг. 6.
Пример 4. Определить величину интенсивности/^ , при ко-
торой происходит потеря устойчивости круглого кольца (трубы) фиг. 7.
До тех пор, пока интенсивность р< рНр , кольцо остается круг-
лого очертания, и отдельные сечения испытывают сжатие. При потере
4 Трдо НТК 1344 tv т t.
49
устойчивости {Р=Ркр ) кольцо превращается в элишпс и тогда от
дельные сечеиия начинают работать да изгиб.
Превратим кольпо в эллипс, т. е. зададим деформации S
(см фиг 7) Если Р=Ркр> 'то кольцо в таком искривленном положе-
нии и останется. Объясняется это тем, что здесь возникают изгибающие
моменты, которые вызывают упругие деформации % , равные за-
данным у .
Обозначим полуоси эллипса через а и Ъ - В таком случае изгнбаг
щий момент в сучениях деформированного кольца будет:
VVf - /J(3 + т/а^<!
или
М? = х? cos
где
A = ~T) = c°nst
От изгибающих моментов необходимо определить упругую де-
формацию 2 круглого кольца. Для этого возьмем четверть кольца
Фаг. 8.
(фиг. 8) и, приложив единичную силу, по Мору определим упругую
деформацию 2 :
*/2
1=f TiM^ds-
о
* См. справочник до сужостроеякв, 1934 г* стр. !60> формулы 273 и 274.
50
Здесь
= -/ zsiti *f> — момент от единичной силы;
dS= ld>p — элемент дуги;
EJ — жесткость кольца на изгиб.
Выполняя интегрирование, получим
n = d_ — г*
< 3 EI ‘
Подставляя в последнее выражение значение А и
tx — t-t-f , b = Z — J , получим
I
Пользуясь равенством упругих (^ ) и заданных деформаций (/ ),
определяем критическую интенсивность
ГКр -Z1 X
которая совпадает с ответом точного решения.
Пример 5. Определить критический изгибающий момент Ммр
балки, нагруженной одновременно‘сжимающей силой Р (фиг. 9). Концы
балки при изгибе могут свободно поворачиваться. При решении задачи
предполагаем, что балка относительно одной оси имеет бесконечно
большую жесткость иа изгиб, относительно другой оси, жесткость В =
=-EJ и жесткость на кручение С = Gl*P
Зададимся искривлением балки в плоскости у Ох ;
f ~ a Sin
При этом
dx I I
61
Вследствие искривления оси балки в ее сечениях появятся изгибающие
моменты
Мр =Р a- Sin —
и
и крутящие-'моменты
Ж -^-COS^-
* и Ь
Пользуясь диференциальным уравнением
с/У» _ тэт
dx С ’
определим угол кручения балки
С (/
Из-за того, что балка закрутилась, появятся дополнительные изги
бающие моменты в плоскости уОх.:
или ^^Sinv^^v
• С* С'
Таким образом полные изгибающие моменты в плоскости уОэс
будут
Чэг =^У> * Мр = Q sin + Ра/sin
Исходя из диференциальиого уравнения
d2y _ Л1НЗГ
dxz в ’
определяем упругую деформацию
Приравнивая упругую деформацию (^) заданной (/), определяем
точное значение критического момента
_ J/2B
где == -д — критическая сжимающая сила балки.
В том случае, когда осевая сила Р растягивающая, то во втором
корне выражения /чк/, вместо знака вдяус следует брать знак плюс.
52
Пример 6. Найти зависимость между изгибающими моментами
цилиндрической ортотропной оболочки (фиг. 10) и деформациями ее
in перечных круговых сечений, а также определить величину критнче-
Постановка задачи.
От действия нормальных напряжений
Вследствие искривления оси оболочки (фи!*. 11) отдельные сечения на-
гружаются погонной поперечной нагрузкой
где
I — момент инерции деформированного сечения оболочки.
Фиг. 11.
Эта поперечная нагрузка деформирует сечения оболочки, что при-
водит к некоторому увеличению напряжений в . Вполне понятно, что
•и м больше величина момента At , тем больше деформация сплющивания
С (фиг. 12). Изгибающий момент А? — /лКр есть наибольший момент,
который можно приложить к оболочке. Момент МРр есть критический
момент, Который приводит к полному сплющиванию сечения. Экстре^
53
мальное значением кривойМ = у> (^ ) (фиг. 13) есть критическое зна-
чение момента . Таким образом, каждая деформация поперечного
сечения с или *1 =4— получается от вполне определенного изгибаю-
щего момента. Попытаемся найти эту связь. Будем считать, что круго-
вые сечения оболочки при изгибе превращаются в эллиптические.
Фиг. 12.
Поперечная нагрузка <£ =X?z дает упругую деформацию с попе-
речного сечения (фиг. 12): ' '
с=л7&
— цилиндрическая жесткость изгиба оболочки.
Подставляя в выражение для с значения X) и]) , получим
С-£2/2сГ 7'/*5'
Принимая во внимание, что
или
получим
М =
где — момент инерции недеформированного сечения обо-
лочки.
Выведенное выражение для М и дает необходимую связь между
изгибающими моментами Л1 и деформацией £ . Эта связь графически
изображена на фиг. 13.
Перейдем к решению второй половины задачи, т. е. к опре-
делению /у •
54
Величина МкР получится при значении ?=? , которую следует
чц|К'делять из условия:
Выполнение последнего условия дает
, 7^ = 0,222, ,
леловательно,
£«?2г
I____________1---------»
Попутно можно определить max нормальные напряжения S',
которые получаются в оболочке с учетом сплющивания
Подставляя сюда значение момента Л1 , получим
||рн £ =0,222 и /м =0,3 напряжения будут иметь критическое зна-
чение: кр
— 0,385 ^2 '
Наконец, определим получающуюся кривизну оболочки при крити
<ч ком моменте мкр :
fj_\ _ М*Р
или подставляя МКр , получим
(Hr W -И
55
Полученные выражения для и Л^-1 полностью
совпадают с решением Бразье. кр Р \г,кр
Пример 7. Вывести формулы для определения деформации и
напряжения при изгибе кривых труб.
При изгибе трубы (фиг. 14) вследствие начальной кривизны оси ~
происходнт сплющивание сечений. Это сплющивание ведет к тому, что
обычные формулы сопро ивления материалов, определяющие дефор-
мации и напряжения, становятся неприемлемыми. Данная задача решена
Карманом, который пользовался приближенным методом — методом
Ритца. Мы пытаемся эту сложную задачу решись методом сравнения
деформацией.
♦иг. 14.
Сплющивание поперечного сечения трубы происходит ‘ потому, что
нормальные напряжения & (фиг. 14) нагружают трубу поперечной
нагрузкой у (фиг. 15).
Погонная нагрузка единицы длины трубы будет:
где S — толщина стенки трубы.
Мы здесь пренебрегаем дополнительной упругой кривизной трубы
ввиду ее малости.
Напряжение (э получается, во-первык, за счет 6^ вследствие
поворота сечения на угол д©с (фиг. 14) и, во-вторых, за счет
сплющивания сечЬния при сохранении угла« .
Сплющивание — вертикальное перемещение волокон по высоте
меняется от нуля на нейтральной оси до величины с . Вертикальное
перемещение промежуточных точек можно определить следующим
образом. При сплющивании трубы принимаем, что длина дуги не ме-
няется. В таком случае, согласно фиг. 16,
da>t-O}
56
откУДа ______dut
7 d?
Если принять, что сплющивание происходит по эллипсу, то можно
ПОЛОЖИТЬ t
Cdt=~-^-csin 2Y,
следовательно,
сог — С cos 2 Р.
Таким образом, искомая величина
6J = о), sin Ч> + cos V
или g z ' t •
Сл)г~~с sin3 у».
Итак 1------------------'
G= S, +- &2.
Напряжение b-, и (3"2 определяем как произведения относительной
деформации на модуль упругости Е :
_ V F & L (B+2+u2)oi-(P+Z)<>~ р
S'~ ар 2 — (P+Z)°<
ИЛИ fF
&2=~ ~^-Sin3^,
где / — наибольшая вертикальная деформация, которой мы задаемся.
Следовательно, <з- - —— t sin у- ) - sin3 у» (а)
<х Р Р
И п Л<*
Обозначая л
имеем
^ = х?г~ Bsin3^.
От этой погонной нагрузки (фиг 15) наибольшая величина сплю-
щивания — вертикальное перемещение
~12])А И,331) В'
где J)-—r- , принимая, как у Кармана j*—0. J
Подставляя в выражение для С значения , В и ]) , получим
_ Д<х 7^~ ___ - 1* 12
С = Ъ<Г Jp3Sz /4,33
57
1
Фиг. 15.
Из условия равенства заданной деформации £ и полученной упру-
гой с находим
с = 7)7
<* 6 + 7J722 7
что соответствует значению по Карману:
г — 6^
« 5 i-622 7
Зная величину с , которая равна f можно, пользуясь формулой (а),
найти 6- : у
Для получения связи t? и Л1 найдем зависимость и м .
Из условия статики
~ ds z 7
где ds = ?d4>
Подставляя сюда & из уравнения (Ъ) и выполняя интегрирование,
получим;
£1 J3O. {+12 л2
Р а 1О + 12Лг 7
58
Из последнего выражения имеем
^=-гг^, м
to +/2Лг
1 + /2 Л 2
(Э-
(е;
Подставляя значение —по уравнению (d) в уравнение (Ъ),
дим окончательное выражение для & :
6
5-гбЛ2
Интересно отметить, что S'/лох будет не у наиболее удаленного
волокна. Определим z , которое соответствует &таж :
б Ш)-о
5 + 6Л2 ^3/ ’
Э6__ 2^
d2 I
•«куда
I лг
? S + 6J2
11айденное значение z подставляем в уравнение (е) и этим самым
находим наибольшие нормальные напряжения
2 Л-
Все полученные формулы
> армина.
г
'max — и
полностью совпадают с формулами
Доцент, кандидат технических наук
инженер-майор С. В. Кам
РАСЧЕТ КРЫЛА НА СДВИГ МЕТОДОМ МОРА
Настоящая работа посвящена рассмотрению вопроса определения
касательных напряжений и деформаций при изгибе и кручении крыла.
Крыло предполагается цилиндрическое, т. е. «конусность» крыла не
учитывается. При этом считается, что сечения могут свободно иска-
жаться в продольном направлении. Следовательно, мы будем пренебре-
гать дополнительными напряжениями стесненного кручения. Раскрытие
статической неопределимости будем вести обычным общепринятым мето-
дом строительной механики! — методом Мора.
Определение напряжений начнем с простейшего крыла однозамкну-
того поперечного сечения (фиг. 1). Предположим, что отсеченная часть
крыла нагружена силами, равнодействующая которых есть(2 . Эта сила,
при переносе ее в плоскость поперечного сечения, создает изгибающий
момент и перерезывающую силу. Нас в дальнейшем будет интересовать
♦иг. 1.
В общем случае сила Q в поперечном сечении создает касательные
напряжения изгиба и кручения. Попытаемся определить эти касательные
напряжения, отделяя изгиб от кручения.
Касательные напряжения в любой точке сечения
61
где .
о — толщина элемента замкнутого контура (фиг, 2)
У — + — погонная касательная сила от совместного ген
ствия изгиба и кручения.
Внешняя сила Q проходит через точку О (фиг. 2).
Для определения погонных касательных сил изгиба фнзг мы пред
полагаем, что она проходит не через точку О , а через центр
изгиба (фиг. 3).
Положение центра изгиба нам пока еще неизвестно.
Так как сечение крыла представляет собой замкнутый контур, то,
как известно, задача определения аявляется задачей статически не-
определимой. Касательная сила
QS
Чизг~ J + $х'
3яеСЬ QS
------------погонная касательная сила в предположений, что контур
открытый, т. е. в произвольной точке п (фиг. 3) имеется продольный
разрез;
. 5— статический момент площади относительно нейтральной
оси, отсчитываемый от точки п ;
j — момент инерции сечения;
— неизвестная погонная касательная сила, действующая
в продольном разрезе и во всех элементах поперечного сечения крыла.
62
Раскрытие статической неопределимости (определение^ ) произво-
дим исходя из условия, что сила GL проходит через центр изгиба. Это
ошачает отсутствие кручения крыла. Точнее — относительный угол
кручения сх равен нулю. Выполнение условия — 0 дает:
где
di
fl c#
г dl '
J GS-
dl — элемент длины контура (фиг. 3);
G — модуль упругости второго рода.
После того как определены погонные касательные силы fyx , а
< ледовательно, и у„аг, можно перейти к определению . Касательные
илы кручения определяются помощью формулы Бредта:
(де
F — площадь сечения контура крыла;
Ш-О.С — крутящий момент относительно центра изгиба;
с — расстояние по хорде от места приложения внешней силы
(точки О) до центра изгиба.
Положение центра изгиба определяется линией действия равнодей-
чвующей сил у. из г . Следовательно,
-
а
ала rG.S „
С =: 1 — 1 _ - — «
где fi — перпендикуляр, опущенный из точки О на направление каса-
тельных сил.
В настоящей работе считаем положительными те касательные
(или, которые действуют по направлению движения часовой стрелки.
На основании изложенного необходимо отметить, что полные
Л с
п< ионные касательные силы у слагаются из переменных сил ~~~ и
II* и ТОНИНЫХ Чх. и Чкр •
Каждая из постоянных приводится к крутящему моменту: у^.2^
• f, • При этом 4kP2F представляет собой истинный крутящий
• ы<нг, а 4x2F — крутящий момент, обеспечивающий отсутствие
имя замкнутого контура при действии переменных касательных
• • • . -
I» обстоятельство, что силы Ух и уяр являются постоянными, дает
* — * и ость при расчете крыла их объединить в определять сразу их
величину
63
Такой порядок расчета, не отделяя изгиба от кручения, в значи-
тельной степени облегчает расчет.
Рассматриваемая задача из статически неопределимой превращается
в статически определимую.
Исчезновение статической неопределимости объясняется тем, что
здесь касательные силы определяются без отыскивания положения
центра изгиба. Порядок определения касательных сил , не отделяя
изгиба от кручения, следующий.
С самого начала считаем, что внешняя сила Q проходит через
точку О по фактическому направлению ее действия (фиг. 4). Погонная
касательная сила о, в любой точке поперечного сечения будет
(I)
Здесь —------попрежнему погонная касательная сила изгиба при начале
отсчета статического момента $ от точки л .
Постоянная погонная касательная сила определяется из усло-
ня равновесия моментов отсеченной части крыла относительно про
дольной оси Таким образом, равенство нулю момента всех сил попереч-
ного сечения относительно любой точки дает возможность найти с^п
Проще выглядит выражение, определяющее , если брать момент сил
относительно точки О:
откуда
£
Q — _ —_________
•'П 2F
(2)
Перейдем к рассмотрению более ^ложной задачи: к расчету крыла,
которое в сечении представляет собой трехзамкнутый контур (фиг 5).
Мы будем рассматривать эту задачу, не отделяя изгиба от кручения
Это означает, что определение погонных касательных сил у будем
вести от силы Q. , проходящей через точку О, не перенося ее в центр
чзгяба. 1
64
При таком расчете крыло однозамкнутого сечения представляло
(чЛоА »адачу статически определимую. Трехэамкнутое сечение (фиг. 5)
Л»аг1 являться задачей дважды статически неопределимой. Кстати,
.. in бы мы вели расчет, отделяя изгиб от кручения, то задача была бы
t| нжды статически неопределимой Раскрывать эту трижды статически
«<• прсделмную задачу пришлось бы два раза Один раз от силы Q ,
шолагая, что оиа проходит через центр изгиба, и второй раз от
- мента, полученного за счет несовпадения точки О с центром изгиба.
Решение нашем дважды статически неопределимой задачи будем
BfvTH, как это принято для ферм и рам, методом Мора Таким образом,
•дадимся основной статически определимой системой, для чего пои-
>сгся трехэамкнутое сечение крыла мысленно превратить в однозамкну-
т - Далее необходимо рассчитать основную статически определимую
к тему последовательно от внешних сил Q , от единичных сил X = 1
» Y~ 1 . приложенных в нарушенных связях.
В результате погонная касательная сила в любо* кочке сечения
крыла будет
• (3)
,я* • Ух м Зу — погонные касательные силы основной статически
||н делимой системы соответственно от внешних сил н единичных
(X = 1 н Y — 1), приложенных в нарушенных связях;
X и У —неизвестные погонные касательные силы, действующие
я нарушенных связях
Неизвестные силы X и у определяем, решая обычные канониче-
ские уравнения:
м Ajtq+XAjcx + YAxy —О ।
^yq+^ayx +УАуу — ОJ
> Труды НТК ШИ г., т. 2.
65
где
AXQ ЛУ<Г$ '($'^1,
2 2
Здесь при подсчете интегралов необходимо задаться правилом
знаков. Например, за положительные погонные касательные силы можно
принять те, которые действуют по направлению часовой стрелки отно-
сительно точки, расположенной во втором контуре (фиг. 5).
Из сказанного вытекает, что для определения неизвестных каса-
тельных сил X и У (уравнение 4), и для последующего определения
полных погонных касательных сил (уравнение 3) необходимо опре-
делить^ , ^и/у.
Ниже рассмотрим порядок определения этих величин.
Для получения основной статически определимой системы необхо-
димо предположить, что любые два замкнутых контура из трех (фиг. 5)
разрезаны. -
Например, разрезаны контуры 1 и 3 (фиг. 6).
Фиг. в.
В основной системе, на основании предыдущего,
о = + ?
Л? I
Следовательно, задавшись началом отсчета статического момента
QS
S (точка п ), мы определяем -у— , которые показаны на фиг. 6. и по
уравнению (2) вычисляем . Понятно, что
dip
Q — — •?—=----------zr Const
2Fg
и действует только по второму замкнутому контуру (фиг. 7).
Здесь F2 — площадь, ограниченная вторым контуром.
66
IIuri>iiiibj<- силы необходимо определять от единичных еил
I. |»рилож« mu IX в нарушенной святи 1 го контура (фиг. 8), пло-
1ннд1. к-.ц>|1<11 i t п./7 • Из условия равновесия отдельных элементов
) in 1н к । |> hi преходим к выводу, /то в обшивке 1 го контура
• «нт inn шлю моментов всех сил отсеченной части крала отно-
..........родильной оси, лежащей, например, в плоскости переднего
«ределяет Q = — в элементах 2-го контура. И, наконец.
^2. / р. \
к .к.., пгрсдисго лонжерона получается •
К < .in .и.ные силы (фиг. 9) необходимо определять of единич-
II । } 1, приложенных в нарушенной связи 3-го контура, пло-
<н« । к>>к>|)<|10 есть F3 .
Фиг- *.
По аналогии с силами у* — в обшивке 1-го контура ^у=0 ; в об-
и имкг Зю контура У v — !'• в элементах 2-i4> контура -р^ и
1ГНКС заднего лонжерона ^Y = ~0+ ’
Определение деформаций и центре изгиба. После
как найдены полные погонные касательные силы у от совместного
• । пня изгиба и кручения, можно перейти к определению деформации,
и । |и жшму пользуясь уравнением Мора. Для этого достаточно рассмот-
|»о. любой контур (I ) и приложить к нему крутящий момент ДО = 1.
момент вызовет во всех точках поперечного селения t -го контура
...niHiiyio погонную касательную силу
67
Относительный угол кручения ceQ будет:
°CG=^ М'уГГ'
Подставляя значение у', получим окончательное выражение:
(*Q=2k£'G^c11'
Здесь берется только по рассматриваемому контуру.
Перейдем к определению центра изгиба.
Центр изгиба сечения крыла, определяется так!им положением силы
Q , которая не вызывает закручивания крыла («. — 0). Таким образом,
к силе Q , проходящей через точку О (фиг. 5). добавим крутящий мо-
мент Ж такой величины, чтобы от совместного действия Q. нТЛ. полу-
чилось о( = 0. В этом: случае равнодействующая Q и ТПП. пройдет через
центр изгиба.
Величина крутящего момента Ж определяется из уравнения.
где
— относительный угол закручивания крыла от крутящего
момента ?32 = 1-
Для определениянеобходимо произвести дополнительный рас-
чет крыла на крушение от единичного момента. Этот расчет производится
так же, как и от силы Д . при чем он не требует: больших дополни-
тельных вычислений, так как большинство коэфициентов канонических
уравнений иам уже известно.
В результате из последнего уравнения имеем:
ж = -^А--
За
Определив величину , большого труда не представляет вычис-
лить расстояние с >>т точки О до центра изгиба:
е_. УУТ
Q
Сопоставляя расчет крыла, отделяя изгиб от крушения, с расчетом
на совместное действие изгиба и кручения, мы видим явные преимуще-
ства второго метода, особенно тогда, когда нас интересует только проч-
ность, т. е. напряжения.
68
Профессор, доктор технических наук
Д, Ю. Панов
( oltl’l МЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ
И ВИБРАЦИЯ ВОЗДУШНЫХ винтов
Уже довольно давно было уста.новлено, что воздушные винты
м । нпбрнровать во время работы. П&нбрации эти могут быть весьма
Hiriii 11П1П.1МИ, приводя к разрушению металлических лопастей из-за
у в их in металла или к обугливанию неметаллических лопастей из-за
и о рсппипн их, за счет внутреннего трения при колебаниях.
В связи с переходом авиации на металлические винты, для которых
тросы усталости имеют чрезвычайное значение, проблема вибраций
noir.iiiiii.ix винтов приобрела особую актуальность.
Важнейшим источником, вызывающим вибрации лопастей винта,
nii hiricH неравномерный крутящий момент на валу авиационного мотора.
( тупица винта подвергается действию периодического момента
< амплитудой порядка сотен кг/м и частотой, достигающей десятков
П4СНЧ и минуту. Ясно, что при таком возбуждении лопасти неизбежно
А пут вибрировать, и при неблагоприятных условиях вибрации эти могут
К1МПИ.СИ весьма серьезными. Чтобы иметь возможность предупреждать
и и нкповевие опасных вибраций, в частности резонансных, необходимо
и ly'iini. колебания воздушного винта на валу мотора.
И лучение колебаний системы вин’г — мотор так же, как и в случае
друг их систем, целесообразно начин ать с исследования свободных
ко । баний. Простейшей схемой колеблющейся лопасти винта будет стер-
ж» нь, жестко закрепленный у ступиц ы. В этом случае задача о соб-
। nt иных колебаниях решается легко и все собственные частоты могут
быть вычислены. Однако в действительности картина будет, конечно,
шачительно более сложной. Закрепление лопастей на валу, разумеется,
|1глыя считать «жесткой заделкой» ил;; вал при работе мотора деформи-
руется й это обстоятельство надо учитывать.
В простейшем случае здесь буд^ут получаться симметричные коле-
бания изгиба лопастей, сопровождаем ые изгибом вала, или антисиммет-
ричные колебания изгиба лопастей, сопровождаемые закручиванием вала.
В тействительности картина осложнится еще тем, что лопасти винта
сидят под утлом к оси вала.
Как и при всяких колебаниях, особенно неприятны и опасны вы-
нужденные колебания винта, происход.ящие с частотой, равной одной из
собственных частот (случай резонансных колебаний). Зная собственные
•пн юты винта лз эксперимента, можно попытаться предсказать опасные
и смысле резонанса обороты мотора. Однако, для того чтобы это сде-
п, надо учесть еще эффект действия центробежных сил на собствен-
ны 1 частоты лопастей. С ростом оборотов растут также и центробежные
69
силы, достигающие для современных винтов огромных величин. Они
как бы «вытягивают» лопасть и заставляют собственные частоты повы-
шаться, приводя к формуле:
которая позволяет по известной собственной частоте £, колебаний дан-
ной формы для неврашающегося винта отыскать собственную частоту
для вращающегося со скоростью N оборотов в минуту.
Собственные частоты лопастей винта несколько изменяются при
учете более сложной картины колебаний, связанной с деформацией вала.
В 1937 году Б. Картер сделал первую попытку произвести расчет
такого рода Несмотря на ряд предположений, которые сильно упро-
стили задачу, им были получ'ены весьма интересные результаты. Оказа
лось, что введение в расчет упругого вала и совместное рассмотрение
кручения вала и жгмба лопастей существенно меняют картину, полу-
чающуюся при лопастях, закреп >енных в жесткой втулке Картер обна
ружил существование форм колебаний с узлом около втулки и тем самым
получил возможность объяснения поломок такого типа, которые
раньше объяснены быть не могли.
Результаты, полученные Картером, нельзя считать исчерпывающими
Они подлежат дальнейшему уточнению и усовершенствованию; все же и
то, что уже им достигнуто, представляет значительный интерес как
в смысле объяснения поломок лопастей, так и в смысле определения
опасных частот. В частности для одного из винтов. Картером были
определены резонансные частоты, которые не могли быть найдены пр<и
гипотезе жесткой заделки.
Кроме резонансных колебаний, необходимо исследЬвать вынужден-
ные колебания и при отсутствии резонанса. Резонансные колебания
необходимо просто предотвращать. Что касается нерезонансных вынуж-
денных колебаний, то их предотвратить невозможно, так как при работе
на современном авиационном моторе воздушный винт неизбежно будет
испытывать интенсивные периодические возбуждения за счет неравно-
мерности момента на валу мотора. В связи с этим необходимо знать,
являются ли нерезонансные вынужденные колебания допустимыми с
Тфки зрения прочности.
Чтобы иметь возможность Ьтветнть на этот вопрос, необходимо
рассчитывать винт на прочность, имея в виду не только статические, но
и динамические напряжения.
Кроме определения собственных частот и динамических напряжений
в лопастях и деталях втулки перед конструктором, а отчасти и экспло-
атационником, стоит задача создания более благоприятных в вибрацион-
ном отношении условий работы винта.
Очевидно, что даже вполне точные расчеты будут бессильны при-
дать винту достаточную прочность при допустимом в современньГх усло-
виях весе, если этот винт будет работать в особо неблагоприятных усло-
виях, например, на сильно неуравновешенном моторе. В связи с этим мы
упомянем о двух вопросах: демпфировании колебаний винта и его балан-
сировке. И тот и другой вопрос привлекают за последнее время к себе
пристальное внимание. Мы уже не говорим о моторных демпферах, кото-
рые за границей ставятся на всех моторах; за последнее время и кон-
структоры винтов стали применять специальные меры для демпфирова-
70
ним колебаний лопастей. Тдк, например, известная фирма Гамильтон-
< । |пдл|>т рекламирует демпфирующие эластичные прокладки между
к im;i< м лоипсти и подшипниками, немцы и итальянцы исследуют работу
•iiiiton с «плавающими лопастями» и т. д. Что касается балансировки,
»< 1м-обходим(х:ть ее не вызывает сомнений ни у кого, ио к сожалению
। г< мы сильно отстаем от заграницы. У нас в сущности проводится
мни статическая балансировка лопастей и винта в целом. Станков и
•нпл) гуры для динамической балансировки винтов у нас нет. Между
ни и цыннцей вопросы балансировки воздушных винтов разрослись до
|м iMi рои особой отрасли техники и по богатству н разнообразию приме-
ни мши оборудования и по разработке теории балансировки. Наряду со
• 1«111'|1-(-к11М и динамическим дисбалансом, американцы рассматривают
I 1111,1мичсский дисбаланс, происходящий от неодинаковой тяги лопа-
< 1»Й oiдельных лопастей. Для исследования всех этих видов дисбаланса
и ннч । 1ЖСПИЯ их применяются специальные, весьма солидные установки.
I । iiuiipiiMcp, на фиг. 1 изображен балансировочный стенд фирмы
Фиг. 1.
и >1 >н ( т апдарт со специальной сетчатой диафрагмой для обнару
ни । >р<1 пшамического дисбаланса, а на фиг. 2 — проект балансиро-
» hi.iiо спида для определения «чистого» динамического дисбаланса
||» 1 и iitiiiiiiH аэродинамики), на котором исследуемый винт вращается
шц||н1 пи циальной камеры, вращающейся вместе с ним. Кроме машин,
и и к* ишания винтов в лаборатории имеется специальная аппаратура
.......... винта прямо на самолете н для проведения «полевой
A* in нринки». На фиг. 3 и 4 изображена такая аппаратура.
Проб и ми вибраций воздушных винтов представляет собой проб-
н му К1КОЙ сложности, что рассчитывать на ее решение чисто теорети-
чм кимн mi io .ими не приходится. Кроме того, эта проблема касается
mu io II.KH серьезных в практическом отношении вопросов, что никакой
к рг111*11 < кий метод расчета не может быть признан достаточно надеж-
71
ним без самой серьезной экспериментальной проверки всех положений,
на которых он основывается. Этим, без сомнения, объясняется большое
развитие экспериментальных исследований в области вибраций винтов
за последнее время.
Почти все экспериментальные исследования над вибрациями винтов
проводятся в настоящее время над натуральными винтами; модели, как
правило, не используются по ряду соображений, из которых главным
является трудность перехода от результатов, полученный на модели,
к результатам, пригодным для натурального винта. Все эти эксперимен
гальные исследования можно разбить на две группы: а) эксперименты
•кг. 2.
в лабораторных условиях над невращающимися винтами и б) экспери-
менты над работающими винтами на стенде или в полете. К первой
группе относятся, в частности, эксперименты по определению собствен
ных частот виита резонансным методом
С точки зрения техники эксперимента необходимо различать в нем
две стороны: 1) способ возбуждения колебаний и 2) методику регистра-
ции явлений, наблюдаемых при вибрациях (определение частот, измере-
ние амплитуд и напряжений и т. п ).
Возбуждение колебаний в лопасти при лабораторных испытаниях
над невращающимися винтами производится в настоящее время двумя
способами: резонансным и чисто вынужденным.
Резонансный способ возбуждения колебаний в лопасти
исключительно прост. Он заключается в том, что на лопасти, которая
подвешена Ий амортизаторах, укрепляется вибратор, представляющий
72
собой чаще всего неуравновешенный пр<ш\ающийся груз. Меняя число
оборотов вибратора, добиваются возникновения в лопасти колебаний;
число оборотов вибратора, при котором амплитуда колебаний лопасти
будет максимальной, очевидно будет как раз сочувствовать собственной
частоте колебаний лопасти. Такие вибрационные установки распростра-
III ны сейчас весьма широко; они удобны и просты.
Установки такого рода применяются, конечно, не только для опре-
деления собственных частот. Резонансная установка может быть
использована для многих целей. В частности при ее помощи можно вести
даже длительные испытания винтов на усталость.
Фиг. 3.
Чисто вынужденный способ возбуждения колебаний требует зна-
чмгельно более сложного оборудования. Для раскачки лопасти на резо-
нансной частоте требуются ничтожные мощности. Если же мы будем
нбуждать колебания в лопасти на частоте, отличной от ее собственной
и* нпы. нам потребуются для достижения сколь нибудь заметного
эффекта огромная мощность и соответствующая конструкция машины
Проведение испытаний на невращающемся винте не позволяет
цыкп получить колебания того характера, которые имеются у винта,
работающего на моторе.
В связи с этим в последнее время стали появляться испытательные
у< глновки, предназначенные для экспериментов над вращающимся вин-
к>м Установки эти представляют весьма, большие сооружения. Винт
1> знается мощным электромотором, способным дать ему перегрузку по
73
мощности и по оборотам. Для возбуждения колебаний на валу мотора
при помощи специального приспособления создается переменный вра-
щающий момент, имитирующий неравномерности хода авиамотора. Пере-
менный вращающий момент в стенде конструкции бюро стандартов США
создается электрическим путем. В стенде DVL и английской конструк-
ции Картера переменный вращающий момент создается механическим
Фиг. 4.
путем при помощи особого «вариатора», представляющего собой маховик
с периодически меняющимся моментом инерции. Меняя обороты главного
электромотора и задавая ту или иную амплитуду колебаний момента
инерции «вариатора», можно осуществить на валу импульсы заданной
Фиг. 5.
частоты и интенсивности. Испытания на стендах такого типа дают зна-
чите тьно более ценный материал о вибрациях винтов, чем испытания
невращающего винта. В частности, произведя на таком стенде контроль-
ные испытания винта с надлежащей перегрузкой, можно совершенно
определенно утверждать, что выдержавший их винт является вполне
прочным как с точки зрения статических, так и с точки зрения динами-
74
4i к их напряжений. Кроме испытаний винтов, работающих на специаль-
на юктростендах, винты испытываются непосредственно на авиа-
моторе на сюнде или в полете; здесь, разумеется, никакого специаль-
ною I озб}»1.дения колебаний не требуется
Фиг. 6.
Регистрация явлений, наблюдаемых при вибрациях, производится
рл иымп методами. Мы отметим три метода: 1) электрический, 2) меха-
ми «еский и 3) оптический. Аппаратура применяемая при использовании
Фиг. 7.
•лектрического метода, состоит из приемников той или иной конструк-
ции (угольных, пьезо-электрическпх, емкостных, электродинамических
и др.) и регистрирующих устройств (катодные или шлейфовые осцилло-
75
графы с необходимыми усилителями, интегрирующими приспособле
ннями и т. п.).
Для невращающегося винта использование этой аппаратуры осо-
бых затруднений не представляет и здесь она не имеет какого-либо осо-
бого характера. Совершенно иной оказывается задача регистрации частот
и амплитуд колебаний или регистрация напряжений при колебаниях для
вращающегося винта. Укрепление на лопасти сколь-нибудь сложного
приемника невозможно из-за центробежных сил. Коэфициент перегрузки,
создаваемой центробежными силами, достигает для современных винтов
величин порядка 10000. В связи с этим в качестве электрических при-
емников для исследований на вращающемся винте до сих пор примени
лись лишь легкие угольные, пьезо-электрические кристаллические или
проволочные тензометры, приклеиваемые к лопасти.
На фиг. 5 показано крепление таких тензометров на пластинке,
а на- фиг. 6 — на лопасти (проводка идет вдоль лопасти и выводится
<ерез специальные контактные кольца (у втулки на провода идущие
к осциллограф),).
На фиг. 7 изображена, *в качестве примера, установка фирмы
«Ротол», смонтированная в автомобиле и позволяющая определять на-
пряжения в лопастях винта, работающего на стенде или на самолете на
земле. Существуют многочисленные установки и для проведения иссле-
дований такого рода в полете. Вся аппаратура этого рода является
весьма тонкой и сложной аппаратурой, использующей все достижения
современной электротехники.
Создание аналогичной аппаратуры и постройка испытательных уста-
новок по прочности и вибрациям винтов у нас в Союзе являются неот-
ложной задачей, от успешного решения которой в большой степени
будет зависеть дальнейший прогресс советского винтостроения.
Доцент, кандидат технических наук
инженер-майор И. А- Свердлов
G ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОМ КРЕПЛЕНИИ КОНСОЛИ
КЕССОННОГО КРЫЛА
Консоль кессонного крыла обычно крепят по контуру с помощью
угольников и болтов (фиг. 1), стремясь этим обеспечить передачу усилий
г збшивки и стрингеров консоли на центроплан. Но контурное крепление
имеет ряд недостатков:
1. Вследствие неравномерной затяжки болтов передача усилий
с консоли на цеитроплаи получится тоже неравномерной.
♦иг. 1.
2. Большое количество крепежных болтов усложняет технологию
производства и монтаж крепления консоли, особенно в условиях экспло-
нянин Поэтому возникает вопрос о целесообразности четырехточечиого
крепления консоли. Но при этом, очевидно, у разъема как иа консоли,
так и иа центроплане, изгибающий момент будет восприниматься только
поясами лонжеронов *, а обшивка и стрингеры включатся в работу
инкба постепенно (фиг. 2). Как показывают расчеты для крыла с отно-
шением длины к расстоянию между лонжеронами, равным 5—6, уже на
расстоянии 20—25% длины консоли от разъема обшивка и стрингеры
полностью включаются в работу. Следовательно, если на этом участке
длины считать, что изгибающий момент воспринимается только лонжеро-
нами, то прочность крыла будет обеспечена. Увеличение же веса в связи
С усилением поясов частично компенсируется изъятием из конструкции
крепежных угольников, большого количества болтов и усиливающих
накладок, имеющихся при контурном креплении.
На основании сравнительного весового расчета оказалось, что уве-
личение веса с переходом на четырехточечиое крепление для Истреби
* Здесь ном лонжероном с его поясами мы понимаем вертикальную стейку
•ьессмшого крыла с профилями, соединяющими стейку с обшивкой.
77
теля получилось около 5%, а для двухмоторного бомбардировщика —
порядка 2,5% веса крыла. Тем не менее указанное увеличение веса
может окупиться простотой монтажа, особенно при ремонте в условиях
эксплоатании. Однако, проектируя крыло, следует в каждом отдельном
случае проанализировать, какое крепление выгоднее контурное или
четы рех точечное
Ввиду сказанного представляет практический интерес выяснение
участка длины крыла, на котором обшивка и стрингеры полностью вклю-
чаются в работу изгиба.
Вблизи разъема эпюра нормальных напряжений имеет вид, показан-
ный на фиг. 3. Примем этот закон напряжений параболическим *.
в’ =
(1)
Для простоты дальнейшего исследования рассмотрим прямоуголь-
ное крыло симметричного прямоугольного сечения, постоянного по раз-
маху (фиг. 4).
Выразим согласно формуле (1) напряжение в панели через напря-
жение в поясе .
Из условия равновесия отсеченной части крыла имеем для изги-
бающего момента. .. ~ ,
6$ Hd? + Гп<Зпц.
• См. например, .Расчет самолета на прочность". Как к Свердлов, стр. 134.
Обароигнэ, 1940 г.
78
г а г Гл — площадь сечений двух поясов одной панели
Воспользовавшись этим уравнением и формулой (1), получим?
а =. i,56Cj> — &г, (0,5 + 1,5j»),
’ /И
С’СР=_77Е— — среднее напряжение панели,
пан
Fnan — площадь сечения обшивки и стрингеров одной
панели,
— напряжение в поясе,
Гл
^пан
Подставляя значение коэфициентов а и Ъ в формулу (1), найдем
in нормальных напряжений:
где Q — перерезывающая сила в рассматриваемом сечении крыла.
(2)
(3)
Фиг. 4.
Для определения <з-„ составим диференциальмсе уравнение, ноль*
зуясь началом наименьшей работы: ..Для этого рассмотрим два
и
79
смежных элементарных отсека крыла длины dx , равной расстоянию
между нервюрами* и нагруженных, как показано на фиг. 5. Найдем
значения QU— нормальных и касательных напряжений для обоих отсеков
д6п
Для касательных напряжений одного отсека:
aen J G dG„ E„aju dx ?)>
(4)
F___ и — модули vnpvrocTH и сдвига материала панели.
пан поп -
Нормальные напряжения на длине отсека меняются по линейному
закону. Тогда для элемента панели можно написать:
* Как показывают сравнительные расчеты методом отсеков конечных длин Al,
при расстоянии между нервюрами al — 400-^-500 мм при замене аI насбс резуль-
таты расчета практически получаются одинаковыми (разница порядка 50/0).
80
м ih пояса.
d&,
• м l элементарная длина на отсеке dx.
Зная s, находим:
й = О,/<?(1 +6у*)(/ + /«).
О ft
(5)
( |ммпруя правые части уравнений (4) и (5) для двух смежных отсеков,
чим, после преобразований, дифференциальное уравнение для б*п; .
d2^n
dx3 . &п dx3
(6)
< Яг
н2= Л = U *!*)(! + 6 J”)
? ~ Bz(i+5rf‘
( С/Лан
Если обшивка и подкрепляющие ее стрингеры выполнены иэ ду-
|>«ЛИ, то
-^-)па/* = 2,6, при этом для коэфициеятбв диференцнального
vp мнения получим следующие значения.
'* = u,O27^-(t+6j*); fi=0,uOj B2S(J+SJn)!l; T=^(l+6j*)-,
hs~/~'Z (/ ^1 + t.j»)
( S (Z
I »uicние уравнения (6) имеет вид:
e„ = A sb Кхч-J) ch ffx + C(x), v7)
t ле
/} и 27 — постоянные, определяемые иэ граничных условий,
См — частное решение, зависящее от вида нагрузки.
В дальнейшем рассмотрим отдельно консоль и центроплан для слу-
чаи постоянной погонной нагрузки d , по длине каждого из них.
Консоль
Граничные условия следующие: &п =0 при х = 0, а при
(длине консоли) s-^ = - , где Afo — изгибающий
Ftn
• им ггг консоли в разъеме.
Для постоянной по размаху нагрувки у инеем:
• Т»7М НТК 1ОН г„ т 3. 81
Согласно этому значению С,[х) и граничных условий консоли из
уравнения (7) найдем текущее значение напряжения в поясе:
^ = 7^^?,), (8)
где 2, — коэфициент неравномерности напряжений в панели, который
равен
'г'~ (jlJ2 [
0,27 /
' К Цс1)* '
л<~ — удлинение межлонжеронной части консоли.
Индексом «I» здесь обозначено, что все относится к консоли. Для
тдго, чтобы найти сечение консоли, где исчезает влияние крепления, т е
где обшивка и стрингеры будут полностью включены в работу, надо
положить коэфициент неравномерности напряжений 2, = 0; тогда
подучим:
( х \ . 2,32 . / . 0,5 1
На фиг. 6 изображены кривые -^2=0 зависимости от
при различных у% . Кривая (y)i=oos соответствует перенапряжению
«2
ixincoti всего на 5%, т. е. » 0.05, что практически вполне допустимо
• к»чки зрения точности расчета. Из этой кривой видно, что при
и .|1ятка 5—6 эффект крепления сказывается, примерно, иа 20—25%
. ины консоли от разъема. Следует также отметить, что значения —
ч
|1|>«к1ически не зависят от величины у**, , т. е. от отношения площадей
ЦПЧСОВ и панели консоли.
Найдем наибольшие касательные напряжения Ттах в обшивке
цели, которые получаются у поясов, при 1 — -у- . Для этого, восполь-
•<тепшись формулами (3), (8) и (9), получим:
0.5 С г J*t , . 1 .. 1 0°)
Ттах — ~g - /+_/«, , + 74 /+у«, Jjc /’
। де )
S/gtf- — толщина обшивки панели консоли.
Центроплан
Для центроплана начало координат берется в плоскости разъема.
I раиичные условия следующие: егп =. ° — = &о при х — 0, а при
и2г-2п
» 12 (расстоянии от разъема до борта фюзеляжа) <а2п —Gzn <р— 1га-
пряжению в ноясе у борта фюзеляжа.
Напряжение &2п определим из условия:
. = (11)
S&2n<p
В случае постоянной нагрузки а и» центроплан (фиг. 7) значение
Cf (будет: 2
Сг(Х)~~нУ-------~ °’27?2В^- (12)
П2Г2 пан \ / v
Фнг. 7.
Согласно уравнению (7), с учетом энергии нормальных напряжений
подфюзеляжной части панели, условие (11) может быть представлено
• лсдующем виде:
I •
83
Mm» ^fgo-IGWk3t)]
shk2l2 thk2l2
dC2(x) 1 S',/, r -i
dx x=l p*+ +7л»+М^-6Гср.‘?>{1 + 6л)]^°-
Из последнего уравнения, воспользовавшись уравнением (12), после
преобразований получим значение текущего значения напряжения пояса
центроплана:
(1Э)
где коэфициент неравномерности напряжений
Коэфицмент неравномерности напряжений у борта фюзеляжа будет*
^2^3
Чф = -----
1 -Ь-^гМр
(“2 Л/ф
M-U-
2)$Ьк21г
(l +^)SliA2Z2
(15)
*Д (l + ^sh**
Формула для >1^ справедлива при th кг12 £1, что обычно имеет место
В приведенных формулах обозначено:
Л1 — изгибающий момент в рассматриваемом сечении центра
плана,
М* — изгибающий момент центроплана у борта фюзеляжа,
а^, — перерезывающая аил центроплана у борта фюзеляжа.
Примечание Приведеииые выше формулы выведены для случае
одияаголого материала пожеов и панели Если же пояса а панель выполнен*
ва равных материалов, необходимо определять j» по формуле:
>
гпаи Спан с
а напряжение в поясе определять по формуле: Сэп=у^£-(/^2) - »
гд« £п — модул». упругости материала поясов. '
Примеры:
L Крыло истребителя. Чертеж крыла * изображен на фиг. 8. В кон-
соли на расстоянии 0.1 ~ 40 см от разъема площадь двух поясов
одной панели Fin •= 5,5 смг, и далее эта площадь уменьшается иа длине
80 см До 1.8 см» Среднее значение —*— 0^22: os —0,15 см ян
длине 1 м от разъема и далее уменьшается до = 0,1 см. Пояса
из стали ЗОХГСА, ^>fp ж 120 w/мм1. В центроплане у разъема пло-
• Приведенное криво — переча иного сечевик по размаху. Для того чтобы
иоспользоиаться вываленными формулами для крыла постоянного сечения, будем
вводить в расчет средине зычшшя величин, входящих в формулы.
84
нидь двух стальных поясов одной панели F2ri « 5,5 см’, в фюзеляжа -
Л см’, площадь обшивки и стрингеров одной панели Fz пан «= 25 см’
Имеем среднее значение (* = 0JM; «•= 0,20 см; ji2 »= 1,5;
- 03.
Консоль
По уравнению (9) находим £ , при
0.9, и по уравнениям (8), (2)и (3) находим нормальные и касательные
илнряжения в этих же сечениях. Для этого сначала подсчитываем сле-
дующие коэфициенты:
’’ ' <Ч) (I + 5Г.)>
, .. 0,27
Л*
значениях —— » 0,75; 0,8 и
4-6x0,22) _ у.
— (4x5,5) //,Cvn29V 3,Э'
(I + 5*0,22)*
^=0,006.
I _ 0,27
W зо
Результаты остальных расчетов помещаем в следующую таблицу.
II »ту же таблицу занесены величины приведенного касательного напря-
осиия тпри6 , подсчитанные по 3-П теории прочности. Кроме того,
в «той же таблице приведены для сравнения величины , Ттал_ и
^nput Для случая контурного крепления при отсутствии стальных
поясов в консоли. Величины и для случая контурного креп-
и-кия определялись по формулам.
г- — ч- &
и c™x=2H^'
Для четырехточечиого крепления дм ж о игу рысго крепл.
’ll М 1« *] Н 1*1 1Пан [гжЧ за [кг см!] <з?г । j I ; 1 4^ О (к») Саш [<г/сж*} ’ср [к$смг] ' ЧЬм [кг'ем*[ I**’,'2*1 audaj
0.75 0.07 9000 0,225 22 1580 1370 1480 6000 700 1050 1830 870 1250
°Л 0,18 10200 0,240 23 1780 1220 1500 6400 800 1200 1900 890 1300
0 0,95 1300 0,250 24 3400 450 1750 7200 640 1825 2150 950 1430
Цея троплаи
По формуле (15) находим ; для этого сначала находим коэфи-
<•')!- Их 1,5/ (| 1 <м1>=‘‘.13,11’^1,=30,г-,
(М/ = И“0,«f (| + =2'2' =°‘Q6
85
Имея:
мо = 16000 кгсм, М^ИЧоо кгсм, 12500 кг, Н^ЗО см
находим.^ 1бооо orf*t-”OOxo 6 V $000x1,5*0$ (, ,Д(_16000
^0,55 MOD + [[ V + ~t^0u^C 64 )° 2 3 3'400 [^М3[^3000*2.Г
Ър~ 2 2 (1+1/) *30,2
,,И1 + -ЗВД1Ы2
’ /30,1 \_______’_______/ J________ /J J _1 об
2,2(1 + 1,1) *30,2
а зная ч^, находим по формулам (14) и (13) напряжения:
<згп — 2350 кг]с.м2,б2т1П = а = 2400 кг/см2 и <5^ = 2700 KzjcM2.
Найдем значения 4. по формуле (14) при -т- = 0.2,
*2
^г~ 0,703fG2n — 3050 кг[смг-г б2„1п = а = 100 кг!см2 и 62Ср = )780 хг/сл2
На фиг. 8 даны эпюры напряжений в сечениях консоли и центро-
плана вблизи разъема. Как видно из этих эпюр, в данном примере об-
шивка и стрингеры на консоли полностью включаются в работу на рас-
стоянии 25% длины консоли от разъема. Обшивка и стрингеры центро
плана почти полностью включаются у борта фюзеляжа. Полученные
эпюры относятся к дуралю. Для того чтобы получить напряжения
в стальных поясах, надо наибольшие напряжения с эпюр (фиг. 8) мно-
„„ 6 пояса Q
ЭЯМТЬ НЗ _ — о.
Епан
Рассмотрим вопрос о весе при переходе с конструкции контурного
крепления на четырехточечное. Для этого в рассмотренном примере
сравним вес материала, потребного для осуществления контурного креп-
ления, и необходимый вес' для четырехточечного крепления.
Контурное крепление обычно осуществляют посредством
стыковочных угольников и болтов (фиг. 9). В нашем примере' шаг бол-
тов примем t — 62 мм. При этом на одной панели шириной 1000 мм
размещается л = 16 болтов.
Определим усилие Р , действующее на каждый болт:
М
Нп
16000
0,25*16
8000кг.
(а)
Принимая, что материал болта — ЗОХГСА, &gp = 12000 кг/см3,
получим значение потребного диаметра dt (внутренний диаметр резьбы)
болта: _____
< = 2/^ = 2|/^^-=/^ (I)
Диаметру d, соответствует наружный диаметр резьбы болта:
d^ /2
86
Нагибающий момент крепежного угольника в сечении а—*а (фиг. 9>
т=^ = -5^Г=дао'ггр"- М
Момент сопротивления угольника на длине, равной шагу болтов:
(d)
6 6
Принимая, что материал угольника — дураль, <3^, == 4000 кг/см2,
маЛдем необходимую толщину угольника
&= l/’jZL = |/ -W = / а/н (е)
V ]/ 1)000
Выбираем угольники следующих размеров: lOGX^XSOX Ю *ы-
11(н1перим необходимость стальных поясов s случае контурного креп
VI
Потребности введения стальных поясов в консоли у разъема нет,
так как достаточно одних стрингеров с обшивкой. В самом деле, в ежа
той зоне имеем напряжение в стрингере;
Л/ _ 16OOQ
НГпан ~ 0,25 X 25
— 2500 нг/смг
Полученное напряжение того же порядка, что и критическое напря
жение стрингера, равное, примерно, 2500 кг/см2.
В центроплане у фюзеляжа одних стрингеров с обшивкой недоста
точно и там необходимо оставить стальные, пояса с общей площадью
двух поясов одной панели в 4 см2. В середине центроплана необходимо
иметь площадь двух стальных поясов для панели в 3 см2, тогда напря
жеиие в стрингере будет:
М 26200
s = —7--------т----г = ——--------—. — 2500 кг/слР.
н ГПан 0,3(0,25+3X3)
\ у
У разъема на центроплане оставляем площадь двух стальных поя-
сов около 1.5 см2. Таким образом, в случае контурного крепления имеем
следующий вес стальных поясов крыла и элементов крепления консоли
к центроплану.
Вес восьми крепежных угольников:
G, = 8Fw-8 х 11x100x2,85 хю ~3— 25 кг.
Вес 64 болтов 0 12 мм.
С 2 кг
Вес стальных поясов центроплана:
= 4Fcp IT = Ч х 3 х 150 Х7,85х Ю~3 14кг,
где Р"Ср — 3 см2 — среднее значение площади сечения двух поясов
одной панели.
Суммарный вес крепежных угольников, болтов и стальных поясов
центроплана при контурном креплении:
&'= (?'+- д V (?' — 25 +-2 Ч-14 = 4! К2.
* Л &
В случае четырехточечного крепления вес стальных поясов центро-
плана:
С-"= 4FCplr = Ч х 4,5 X 150 X 7,85х Ю~3 = 81 кг
вес стальных поясов консоли:
в" =4FcPlT = 4 Х 3,65 X 80 Х 7,85 х 10~3 9кг.'
вес узлов крепления консолей к центроплану принимаем по статисти-
ческим данным для истребителей:
G/ — 32 М2
При четырехточечном креплении необходимо увеличить толщину об-
шивки консоли у разъема, примерно, на длине 0,5 м до величины
88
<Г,О(Г = 0,2 см. Это объясняется, как видно из вышеприведенной таб-
лицы, увеличением приведенного касательного напряжения. Утолщение
обшивки увеличит вес всего крыла на величину
— 3 кг
Суммарный вес стальных поясов центроплана и консоли, узлов
стыковки и утолщенной обшивки в случае четырехточечного крепления:
G *= е;+- g”+ G^+ + 9 +32+3 =65 кг.
Кроме того, следует отметить, что переход на четырехточечное
крепление потребует некоторого усиления нервюры у места разъема.
Можно, однако, считать, что потребный для этого вес компенсируется
необходимым весом деталей, потребных для передачи секущей силы со
стенок консоли на стеики центроплана, тоже не учтенных в приведенном
балансе.
Сравнивая величины и G", приходим к выводу, что в рассматри-
ваемом примере с переходом с контурного крепления на четырехточеч-
иое вес крыла увеличится на —25 кг, что составляет, примерно, 5% веса
крыла.
Крыло двухмоторного бомбардировщика (фиг. 10). В нижней по-
верхности центроплана у разъема имеется вырез в обшивке для уборки
шасси. Поэтому внизу вообще нет смысла применять контурное креп-
ление.
Расчет проведем для
сжатой зоны крыла. Пользуясь графиком
фиг. 6, определяем сечение крыла, где обшивка и стрингеры уже пол-
ностью включаются в воспринятие изгибающего момента. Для этого
вычисляем удлинение^ рабочей части Консоли:
' 850 > >
89
r, (200 + 500 Olrn
где Btcp =-------------= &50 .лил — среднее расстояние между
лонжеронами.
Соответственно значению Л, по графику фиг. 6 (при «= 0,05)
определяем искомое расстояние х :
1 = 0,81, = 0,8X5300 = 4250 мн.
Следовательно, на длине, равной
L, - х = 5300 — 4250 = (050мл,
от плоскости разъема происходит постепенное включение стрингеров и
обшивки в работу изгиба консоли. То же можно сказать о центроплане,
так как удлинение Л2 его рабочей части больше единицы
/а _ Ьг __ 2800 _ . дп|
в, ~Т200~-1^)
Произведем подбор сечений элементов сжатой зоны крыла в пло-
скости разъема на расстоянии 1050 мм от него в консоли и центроплане
для случаев контурного и четырехточечного креплений.
При контурном креплении поперечные сечения сжатой
зоны крыла в разъеме и на расстоянии 1050 мм от него изображены на
фиг. 11, Q и 6 . Поясные стрингеры, соединяющие вертикальные стенки
с обшивкой, выполнены из дуралевого прессованого уголкового профиля
выполнены из дуралевого прессованного Z -образного профиля с пло-
щадью поперечного сечения fctnt,= 1,5 см2. Критическое напряжение
для выбранных стрингеров при расстоянии между, нервюрами 400 мм
равно, примерно, 3000 кг/см2. Дальнейший расчет производим в следую-
щем порядке. Задаемся числом стрингеров и толщиной обшивки в меж-
лонжеронной части сжатой зоны крыла и проверяем величину напряже-
ния, получающегося в стрингере, 6^^. Если оно окажется несколько
меньше или равно <S^, сгпр, то это будет означать, что сечение сжатой
зоны крыла подобрано правильно.
Напряжение в стрингере определяем по формуле:
м
^сгпР Vfc„p+R8oS4>ot'
где
— изгибающий момент в рассматриваемом сече-
нии крыла;
90
,, H.+Hz
Hcp = —g---- — средняя высота междонжероннои части крыла,
/у, н Hz — высоты лонжеронов;
Z!/Cmp — суммарная площадь сечений стрингеров сжатой
юны межлоижерсниой части крыла;
B^o<f — площадь сечения обшивки;
В — расстояние между лонжеронами;
— / gl(f ?£. — редукционный коэффициент обшивки;
° V бкр. стр
otf = — критическое напряжение обшивки;
Ъ — расстояние между стрингерами.
Для сечения крыла в плоскости разъема имеем:
/И = 50 000 кг ж, Цср=О,ь м, Sos=-25 мм, Ь —100 мм,
3,6X7 Х/0? а ,/Т5бо~
*Р °* ~ /100 V ~ 1560 кг/си > YoS =^у - 0,72,
I 2>5 J
В = 1200 мм; чиЬло Z-образных стрингеров равно 11.
По формуле (/) находим:
50000
0 ч
Scrp = ---------------—------------------= 2650 кг см2 < <5кР. сжь.
р 4X2,2 + 11X1,5 + 120x0,25 x0,72 р '
Для сечения консоли, находящегося на расстоянии 1050 мм от
плоскости разъема, имеем:
М =35000 кгм, Нср — 0,30м‘, <?otf=2 мм-, b—90 мл-,
/1 280
J^y = 0,65, В =/070 ММ-,
число Z -образных стрингеров
равно 11
Напряжения в стрингере:
35 000
_ 0,36
6СТ —-----——------------------------------ - 2500 кг!сл2 < вкр еТр
X 2,2 + 11 X 1,5 + 107 X 0,2 X 0,65 ' *р
Крепление сжатой зоны консоли к центроплану осуществляем двад-
цатью болтами с шагом .1 = 60 мм. Подбор сечений элементов крепле-
ния производим по формулам (а) — (е).
Сила, действующая на один болт крепления,
p-9JL-2 50000~
НсрП ^0^X20
—1-2 500 кг.
91
Принимая, что материал болта имеет временное сопротивление
<5"йр 14000 кг/см2, находим внутренний диаметр по резьбе:
. / 12 500 .. _
\ зг 14 000
и соответствующий наружный диаметр болта:
d~ 12 /ил
Изгибающий момент крепежного угольника в сечении а — а (фиг. 9):
М 50 000
т~7^п h~ 0,4x20
= 6250 кг см
По формуле (е) находим потребную толщину дур!алевого угольника:
1 /~7п~ _ 1 /6250
“ у 4000
= 1,25
см
Выбираем угольник следующих размеров:
100 X 6 X 50X12,5 мл.
Находим Потребную площадь сечения двух поясов лонжеронов
у разъема при четырехточечном креплении:
5 _ . —_______50 000---- ~ 95 см2
° “ НСрг!екр 0,4 X 0,9 X 14500 ~ >
где м'— коэфициент учета расстояния между цен-
трами тяжести поясов лонжерона;
— 14500 кг/см2 — критическое напряжение пояса.
Выявим изменение веса крыла в связи с переходом с контурного
на четырехточечное крепление.
При контурном креплении имеем:
Вес четырех крепежных угольников:
' Gi =4Fyrlt=4 х 13,7 х 120 х 2,85 х 10"’ - 18 кг.
Вес 40 болтов 0 12 мм;
С2= кг.
Вес 16 поясных дуралевых угольников длиной 1050 мм:
G3= 16 Fyrlf= /6 X 2,2 х 105 х 2,85 х 10”’ кг.
При четырехточечном креплении имеем;
Вес стальных поясов: G^ = Flf=^ х9,5 х 105 х 7,85 х 1О-З~32хг.
Вес узлов стыка:
Gs — 20 кг.
Увеличение веса крыла при устройстве четырехточечного крепления:
4- Gs — G, — Gz — G3 = 32 -f- 20 — 18 — 1,5 — 10 22 кг
что составляет около 2,6% веса крыла ( ~ 1000 кг).
$2
Кандидат технических наук, доцент
инженер-майор К Д. Мир то#
ПРИМНИ НИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ К РАСЧЕТУ
Д1 IAJII Й НА ДЛИТЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
I* гни- и'лми» 20 лет вопросы экспериментального изучения ползу-
1 м>*1» 'Ли '«in к» »пт|-.1Гнияютая в периодической литературе, главным
. >.im «м> !>«иан< и яшлийской, систематически освещающей резуль-
<«i. m iMiKiiioi прднмых рндом исследовательских лабораторий,
«• 1'11 И >|».'Ч11‘Х >|>Н|1М
1н*чи >•«*•••• Г *• работы, посвященные использованию
* ааш«> । >я । р« ill-» । ж»о липлиm напряжений и деформаций
• •>«>«• >||>иий р«г>ш 1«>|цнх и услиниих ползучести.
II '•> iiinort iu* ъ .ии'тичгч кнх работ, характерным и для
маМь..*.. «| ..t и*« >м 4>1ппиий II iilt у и Soib-ibcrg*,), является упро-
и »* » • н|н1Ы«111 иию шнитпых шитых, объясняемый стремле-
• и . « . । • 1|»1*ин« п<<>|м*П1Ч11 лик > иик имостей и получить воз-
и • . , <« it.in.ix задач расчета и замкнутой форме.
Ч»«»| ..и « -и р • qiciiieiniH ряда KoiicipyKiHiiiiux проблем, возни-
. • ..»• • ..-I. । hi. r>|i< ми при проектировании iазолых турбин, пароси-
। ho ,i <•«••• <л и др . необходимо создание методов расчета, позволяю-
и* •»•••»• mu I ।звательного расчетного анализа работы деталей
я » н..<яуч«1н пл основе конкретных опытных данных о ползу-
-. и । «immixmui металлов
Н«< «отпал < iarua представляет краткое наложение основных раз-
• чн-9 вы11пм1е*|ой автором работы, имеющей целью создание удовлет-
•<>|HiHiueru атому требованию приближенного метода расчета деталей
на длп1ел1.н<»г счифотивленне.
В задачи работы входили: систематизация результатов опытного
нхучеинн шипучести металлов и приемов обработки их для нсполъзова-
HiM в качестве исходных материалов при расчетах; обзор существующих
'•opt тичсскнх исследований; установление общих, оейрвавных на опыт-
ных данных, зависимостей теории расчета на длительное сопротивление—
। горни ползучести и метода применения теории к расчету характерных
aci-a ieft, находящихся в условиях ползучести.
1. Явление ползучести
В ряде конструкций современного машиностроения, особенно в теп-
лосиловых установках, встречаются ответственные детали, которые
должны в течение весьма долгого времени работать при одновременном
згйствнн нагрузки и высокой температуры. К числу их относятся эле-
менты паровых и газовых турбин (лопатки, диски, цилиндры), котлы.
93
трубы и фланцевые соединения паропроводов и газопроводов, химиче
ская аппаратура н т п.
Случаи неудовлетворительной службы и выхода из строя таких
деталей, встречающиеся в эксплоатации, заставляют все больше обра
щать внимание на особенности поведения металла в указанных условиях.
Повышение температуры, само по себе, сильно влияет на механи
ческие характеристики металла; для примера приводим диаграмму изме
нения характеристик мягкой стали по G-oezens'y (фиг. 1). Особенно же
значительным оказывается совместное длительное воздействие высокой
температуры и нагрузки, неизбежным следствием которого является
ползучесть или крип (слеер ) металла—образование остаточной дефор-
мации, растущей со временем при постоянной и даже при уменьшаю
пгейся нагрузке.
-юо О 200 ЧОО ЬОО 800 ЮОСГС.
Температура испытание
Фиг 1.
Перечислим возможные опасные последствия ползучести металла
а) изменение с течением времени размеров деталей, определяемое
ростом деформации ползучести и происходящим при этом перераспреде-
лением напряжений,
в) постепенное Ослабление плотности соединений деталей, скреп-
ленных при помощи упругого натя! а (болтовые соединения флан-
цев и т. п.), как следствие релаксации — падения напряжений
в результате ползучести металла под действием этих напряжений;
с) разрушение деталей при длительном действии сравнительно не-
высоких нагрузок, с образованием хрупкого, интеркристаллического
излома.
С такими последствиями явления ползучести приходится заранее
вчитаться при проектировании современных теплосиловых установок,
работающих с высокими температурами и давлениями; это относится
особо к нестационарным установкам (авиационные газовые турбины и
реактивные двигатели, теплосиловые- установки локомотивов-« судей),
94
м», нкт жесткой экономии веса, коэфициент запаса прочности не
Может быть взят большим.
Ни фиг. 2 изображен диск авиационной газовой турбины GenezaC
ft stile Со} лопатки которой, работавшие при температурах до
НЮ 815РС, частично разрушились от ползучести под действием центро-
Л< жиых сил. Удлинение некоторых лопаток доходило до 4,7 мм.
Следует подчеркнуть, что явление ползучести полностью неустра-
нимо, хотя в настоящее время известен ряд специальных теплоустойчи-
вых сплавов — главным образом легированных сталей, с присадками//о ,
( । J4 > V . W , не так сильно реагирующих на действие высоких тем-
и«|втур.
Фиг. 2.
Поэтому необходимо проведение особого расчета деталей на М*-
асльное сопротивление с учетом ползучести, основанным на эксперимен-
тальном научении этого явления
Явление ползучести протекает особенно интенсивно в области
Аолее высоких температур.
Основные факторы, взаимное влияние которых определяет ход про-
цесса ползучести металла при одновременном длительном действии на-,
груаки и нагрева, можно классифицировать по признаку их отражения
на величине сопротивления деформации.
Наклеп, создаваемый растущей пластической деформацией, повы-
шает сопротивление деформации — упрочняет металл.
Рекристаллизация, связанное е ней явление «яозврата»(£г/?о&/л<^
и изменения структурных форм металла, происходящие вследствие дли-
тельной выдержки при высокой температуре (например, сфероидизация
перлите в стали), понижают сопротивление деформации — разупрочняют
металл; иногда разупрочнение замедляется протекающим в этих же уело-
пнях старением.
Рассмотрение физической картины явления ползучести я учет всех
перечисленных выше факторов весьма существенны при просктнров?’
деталей, работающих в условиях ползучести. Например, вследствие
того, что весьма длительное действие даже сравнительно невысокого
нагрева приводит к рекристаллизации наклепанного металла и может
вызвать структурные превращения, нельзя считать желательным приме-
нение для таких деталей металла в нагартованном или закаленном со
стоянии.
Однако, качественные результаты взаимодействия влияний различ-
ных факторов на ползучесть металла могут быть полностью выяснены
только при помощи экспериментальных исследований. Остановимся на
особенностях проведения экспериментов.
Хотя существование явления ползучести было известно достаточно
давно, начальный толчок к последовательному экспериментальному изу
чению ползучести металлов при высоких температурах дали опубликован-
ные в 20-х годах нашего столетия работы, С h even aid! a. J)lckenson а
и Lea. Эти исследования четко показали значение явления ползучести для
современного машиностроения и заставили ряд лабораторий исследова-
тельских институтов и заводов (преимущественно турбостроительных)
заняться проведением длительных испытаний на ползучесть
Основным типом испытаний на ползучесть являются испытания на
растяжение, более простые по технике и дающие, в то же время, воз-
можность выявления всех особенностей процесса ползучести. Эти испы-
тания проводятся, главным образом, в виде испытаний иа растяжение
постоянной нагрузкой и, значительно реже, в виде испытаний на релак-
сацию.
Фиг 8
96
I я ириш 1ения их обычно применяются установки, близкие по
»«»><•< к фиг > представляющей конструкцию одного из аппаратов типа,
.,>••4 । to в лаборатории фирмы/Ие£го - VickeT.s> (Англия) и применяе-
м ни икжг в лабораториях СССР [1]*.
II питательная установка состоит из 6 одинаковых аппаратов.
111 фиг 4 дан чертеж образца.
Нагревательное устройство — электрическая печь сопротивления
иву ipciniHM цилиндротл из жароупорной стали, не имеющей критиче
и точек до температуры 1000°С
Постоянная температура поддерживается регулятором, действие
• рю основано на изменении длины цилиндра печи при колебаниях
—1« рагуры. Эти изменения, при помощи передаточного механизма,
..... из инвара, приводят в действие реле, включающее или
•МЮ1И1 тющее реостат, стоящий в цепи обмотки печи. Температура
•> | ш обычно измеряется в трех точках при помощи термопар, смонтн-
I •iiiii.ix посредством никелевой проволоки и асбестовых нитей
Образец нагружается калиброванными грузами через посредство
I ыч. • ной передачи, показанной на фиг. 3. В период начального нагрева
<н дп постоянной температуры рычаг подтягивается к вспомогатель-
ргдней опоре; в момент начала испытания, освобождая винт этой
ы плавно передают нагр\зку от рычага на образец
1 tn более грубого измерения деформаций служит индикатор, уста-
п пягппып на конце рычага (цена деления —дюйма).
Точные измерения, необходимые для изучения малых скоростей
нучести, производят при помощи зеркальных приборов, позволяющих
>< 1*ю|. удлинения с точностью до Дюйма. Схема расположения
«• t* зеркального экстензометра дана ев фиг. 5.
4 о— держатели, укрепленные па нарезных частях образца,
i Л — призмы с зеркалами,
н — удлинители.
I! гревающиеся части экстензометра ваготовлены из жароупорной
• • и находящиеся ниже — из инввра.
*1 ИнФры к квадратных скобках обозаачают ссылки и литературные источ-
и* < к которыл помешен в конце статьи.
t Ьгаы НТК 1944 г., т. 2-
97
Схема типичной диаграммы, получаемой в результате испытания
при постоянной нагрузке — кривей ползучести, показана на фиг. Г>
По оси абсцисс отложено время t в часах, по оси ординат — относи
тельное пластическое удлинение ползучести . Иногда, взамен бл .
откладывается сумма и упругого удлинения Ее (почти постони
ного) —е=£е + ер. Каждая кривая ползучести соответствует опре
деленной температуре испытания т и постоянному напряжению о
(отнесенному к начальной площади сечения).
Процесс ползучести делится на 3 периода.
1 период — период начальной ползучести изображается участком
а& кривой ползучести. Деформация ползучести начинается с образе
вания сдвигов по плоскостям скольжения зерен металла, наиболее
благоприятно для этого ориентированных. С течением времени в дефор-
мацию включаются и иначе расположенные зерна. Скорость ползучести
«Ус
— вследствие упрочнения, связанного с ростом пластической
деформации, постепенно падает по сравнению с начальным значе-
нием VD
В конце первого периода взаимодействие упрочвення от наклепа
и разупрочнения от длительного нагрева при высокой температуре при-
•»«л> к тому, что дальнейшее понижение скорости ползучести прекра
•мм
/Ь формация во П периоде — периоде установившейся ползучести
К •••.'>* идет при постоянной (наименьшей) скорости ползучести Vc.
. крцной ползучести II период изображается прямолинейным участ-
ия
Переход к Ш — конечному периоду, соответствующему участку
f М кривой ползучести,—отмечается образованием шейки на образце и
неп пием скорости деформации до наступления разрыва образца.
I ггнень влияния температуры на ход процесса ползучести характе-
Втрии относительной температурой в — отношением абсолютной
*M»<-|>niypiJ испытания (Tav) к температуре плавления металла (Tas ).
||*«1!,нмгр. процесс ползучести стали (температура плавления 1500°С)
I iui|M-iH* до 600°С во многом качественно сходен с процессом ползу-
N иннця (температура плавления 327°С) при 2(УС, так как в обоих
|l•мllepaтypы испытания составляют одинаковые доли от соот-
• >. ицичиих температур плавления (по Ludwtk'y — гомологические
I м t уры)
I и стали:
7*оУ
Тй5
273 + 600 .
273 +/500 I 2
TaV= 0,49 TaS.
99
Для свинца:
Л _ T°v _ 273 +20 . _п
О — — — lav — 0}4^Tag
TaS 273 +327 >
Степень воздействия на ход ползучести велинины напряжении
может быть охарактеризована значением относительного напряжения
где — временное сопротивление при температуре испытания.
На фиг. 7 показана серия кривых £ — t , полученных лабораторией
Мичиганского университета (США) в результате проведения длительных
испытаний нз ползучесть образцов Ст — Si — стали при темпе
рзт^ре 540°С и разных постоянных напряжениях от 900 кг/см2 = 0,22 6^
до 2400 кг/см2 = 0,59^ (при 54СРС временное сопротивление <5g =»
— 4070 кг/см2). Кривые скоростей ползучести для тех же испытаний
даны на фиг. 8.
Длительность.
Фиг. 7.
На фиг. 9 изображена система кривых £ — (по опытам нацио-
нальной физической лаборатории —/fPL (квгтя) для Лгтсо —
железа при постоянном напряжении 17,'4 кг/мм2 и разных температурах,
от 35$°С ( 7аи == 0,353 rQS ) до 421РС ( TnV == 0,392 Tas .
TaS~ 1773°). °V **
Из рассмотрения этих диаграмм, приведенных как примеры, видно,
что изменения температуры и напряжения, т. е. изменения параметров О
и 5 , сходно влияют на очертания кривых g — t. При больших напря-
жениях и температурах прямолинейный участок (Й период ползучести)
вырождается в точку перегиба; при невысоких напряжениях и темпера-
турах длительность каждого периода процесса ползучести сильно растет.
1С0
Длителпноота.
Фиг. 8.
С помощью аппаратуры рассмотренного выше типа (фиг. 3—5)
м ут производиться и испытания на релаксацию. В этом случае началь-
».*• нагрузку, растягивающую образец, меняют с течением времени,
Мали и тем, чтобы показания экстензометра сохраняли начальные зна-
«•мни Так как при этом образец ставится в условия, когда длина его
• «(иняется неизменной, то усилие, растягивающее образец, с течением
101
времени понижается, подчиняясь закону постоянства суммы упругого
удлинения и пластического удлинения, постепенно растущего вслед
ствие ползучести:
ее = const,
&
где £е = —g— — упругое удлинение;
£р — пластическое удлинение;
ео — начальное удлинение.
(I)
Продолжительность испытания чтс
Фиг. 10.
В качестве примера диаграммы, получаемой в результате испита
нид на релаксацию, на фиг. 10 изображена одна из кривых релаксации,
построенных по опытам BaiCey для Л1о — стали при начальном на
пряжении 12 ^^7 С1890 кг/см2) и 500°С.
»
2. Применение экспериментальных данных к расчету
на длительное сопротивление
Своеобразие и сложность совместного влияния на металл измене
ний, происходящих при длительном действии высокой температуры и
нагрузки, не позволяют получить на основании кратковременных опытов
Надежное представление о ходе процесса ползучести через большой про
межуток времени. Поэтому различные укороченные методы испытания
на ползучесть, имеющие продолжительность порядка десятков часов,
могут применяться, как правило, лишь для более быстрой, приближен
ной. сравнительной оценки сопротивляемости ползучести (крипоустойчи
вости) различных металлов, но не для расчетов.
Испытания по укороченным методам обычно проводятся с целью
получения значений так называемых «пределов ползучести» — условных
сравнительных характеристик крипоустойчивости. Например, по методу,
принятому рум , предел ползучести (Dauezstandfe^igk^} опреде-
102
me гея иэ испытаний на растяжение постоянной нагрузкой, как напря-
жение. дающее в интервале между 25 и 35 часами испытания скорость
~з %
и »л:»учести Ю и остаточное удлинение за 45 часов меньше 0,2%.
Выполнение длительных испытании на ползучесть связано с рядом
•ехпических трудностей. Наиболее продолжительными, из числа прове-
попных до настоящего времени, являются опубликованные в 1942 году
испытания применяемой в турбостроении Л! — Ct — Мо стали $АЕ~
1140 при 450рС, проведенные лабораторией genezal ELectziC Со
(США), имевшие длительность 100000 часов [6], [8].
Продолжительность большинства проводимых в настоящее время
и< пытаний, в основном — испытаний на растяжение постоянной нагруз-
кой, ограничивается несколькими тысячами часов (меньше года).
Именно на данных таких испытаний, представляемых обычно
форме серии кривых ер - t или е -1 • , соответствующих опреде-
ленной температуре и нескольким значениям постоянного напряжения,
приходится базироваться при производстве расчетов на ползучесть.
Рассмотрение результатов длительных испытаний, примеры которых
нрояставлены на фиг. 7 и 8, показывает, что начальный период может
импь продолжительность того же порядка, как период установившейся
шипучести, протекающий с постоянной скоростью. Поэтому По совре-
mi иным взглядам, выраженным в исследованиях Л!с VettyiScdez&eig’a
11'. [5] и др. и в американском проекте стандарта испытаний на ползу-
чггн., при использовании результатов испытаний для расчета и для колн-
4i"*i пенной оценки сопротивляемости ползучести, необходимо рассмот-
|н нпс полных кривых ползучести. Встречающееся в работах некоторых
ис следователей (Baumann , Bailey и др.) пренебрежение деформа-
цией. соответствующей начальному периоду ползучести, не допустимо.
Для целей расчета наиболее существенными являются данные,
<н носящиеся к случаям действия невысоких (по сравнению cSg ) на-
пряжений и к области малых деформаций ползучести, не выходящих за
пределы I и II периодов.
Эти данные, главным образом, получаются путем экстраполяции
р»1ультатов экспериментов в сторону меньших напряжений и больших
«печений времени.
Экстраполяционные и интерполяционные операции могут быть
пропечены графически, при помощи диаграмм £р — t mVp — t ,
h i ipociuibix в линейной, полулогарифмической или логарифмической
hi icmc координат, и в аналитической форме.
В последнем случае эти операции связаны с принятием определен-
«мпирических формул, выражающих ход кривых ползучести в функ-
ции времени и зависимость параметров этих кривых от напряжения и
• «мнерлтуры.
При водим некоторые наиболее известные формулы.
Испытания на ползучесть ряда сталей и свинца, проведенные
Aw/nv (лаборатория Metzo—Viokezs) [2], показали, что скорость
>> «апопившейся ползучести Ус (наименьшая скорость) может быть свя-
мма « напряжением и температурой степенной зависимостью
Vc (2)
103
где
<=> —напряжение; А~ aebTj
т — температура испытания;
л — величины, постоянные для испытываемого металла1
в — основание натуральных логарифмов
Me Vetty (лаборатория Westinghouse Со США) [3], на
основе испытаний Cz сталей, дал следующие формулы для определения
очертаний начального участка кривой ползучести:
Vp = Vc + се ,
с -Oct
С — ec + Vct
где Сс , с , ос — постоянные для материала, зависящие от напряжения
и температуры;
t — время.
Как показывает сравнение эмпирических зависимостей, предлагае-
мых различными экспериментаторами для металлов, пригодных к работе
в условиях ползучести (обладающих устойчивой структурой, не претер-
певающей резких изменений в условиях длительной эксплоатации при
высокой температуре), у которых очертания кривых ползучести соответ-
ствуют схеме фиг. 6, I и II участки кривых хорошо аппроксимируются
следующими обобщенными выражениями:
vp=(vc,-vc)f-i-vc
^P = tVo-Vc}F + Vcty
где / — функция времени t ,
(4)
X, и — начальная и наименьшая скорости ползучести, являю-
щиеся постоянными для материала, зависящими от S' и Т. .
Функции f и р~ удовлетворяют граничным условиям:
t = 0--./=/7
t = -f= о, F —
V и |/ могут быть представлены в виде:
vo =АВаВг,
vc =c^jfT,
где
А , С — постоянные;
Ве — функции напряжений;
Вт iJJ’r — функции температуры.
При больших значениях t скорость ползучести VP становится
близкой к постоянному значению Ц. и кривая £р может быть заме-
нена прямой (см. фиг. 11), соответствующей уравнениям-
Ср — £с -м/с t
(5)
им
II таблице I приведены наиболее удобные и хорошо изображающие
|мчультаты экспериментов варианты функций времени, напряжений и
смнературы. Коэфициенты, входящие в них, определяются по результа-
там серийных испытаний на ползучесть при разных значениях & = const
и т & const и для небольшого диапазона <= и Т могут быть при-
KMIIJ постоянными.
Методика обработки опытных данных при посредстве предлагаемых
формул проверена на примерах.
Формулы BaiEey (2), Л1с Vetly (3) и многие другие могут
быть получены как частные случаи из выражений (4).
Для металла, применяемого в деталях, работающих в условиях пол-
лучести, нельзя устанавливать допускаемые напряжения, ориентируясь
1пл1>ко на обычные механические характеристики — предел текучести,
прсменчое сопротивление, или на условный предел ползучести при рабо-
чей температуре.
Величины допускаемых начальных напряжений, в каждом конкрет-
ном случае, будут определяться предельным сроком службы детали,
у< 1анавливаемым на основе технических требований и учета условий
«чеплоатации.
В течение этого срока:
1. Изменения размеров деталей не должны в ы х о-
«нть за пределы системы допусков.
При этом максимальные пластические деформации должны быть
меньше деформаций, соответствующих разрушению образцов металла
при длительных испытаниях на ползучесть. Например, Baitey указывает
ориентировочные значения сроков службы и допустимы» деформаций
•йхлзучести для частей паросиловых установок, приведенные в табл. II.
2. Изменяющиеся, вследствие ползучести м ер
талла, напряжения не должны принимать значе-
ний недопустимых по условиям прочности, иди
кызывающнх опаснее ослабление (соединений,
скрепленных посредством упругого натяга.
Задачи расчета на длительное сопротивление (расчета на ползу-
105
ТАБЛИЦЫ I и И
Вид функции Экспер. иссле- дован. Вид функции Экспериы. исследован. Вид функции Экснсрим. исследован.
/=₽ °' л —И —<?““') а Me Vctty (Сг сталь) В, =е«“-1 Soderberg (Сг сталь) Chevcnard (сталь, никель) Вг = еи1а Г) „ЪТ Bailey (углероди- стая и Мо сталь), Soderberg (Ст сталь).
Bailey (углерод и Мо сталь, свинец) Weaver (Ni- Cr-Мо сталь и ДР )
/=—₽т — J а+₽)1 Weaver. (Nl-Cr- Мо сталь и др.). В3 в am с Вт = е _<£ Kanter (углероди- стая и Cr-Mo-Si сталь, латунь).
f1 / В у-1 т-4 у+₽; Ludwio, и Wiisfl (сталь) Ва = sinh D, — sinh I 1 \Ч ! Nadai, Me Vetly (сталь н др. металлы) DT = е т и
Наименования частей Наибольш. ДОПУСТИМ, относит, деформац. Срок службы в часах
Турбинные диски, посаженные с натягом на вал О.СИХ)! 1000* >0
Болты для плоти, соединен, работ, под паром 11,01)02 20000 (до подтягивай)
Цилиндры турбин 0,001 100000
Трубы паропроводов, котлов, сварные соединения 0.003 ккюои
Трубы пароперегревателей 0,02 20000
106
честь) заключаются в проверке соответствия проектируемой детали
перечисленным требованиям.
f лавной целью теории ползучести является установление расчет-
i4.ix методов определения зависимости деформаций и напряжений в дс-
i.i 1ях конструкций от времени пребывания в условиях ползучести.
3. Расчет иа ползучесть при одноосном
переменном напряженном состоянии
Расчетный анализ линейного напряженного состояния |(одноосно1 о
<• равномерным распределением напряжений) непосредственно основы
нистся на данных опытного изучения ползучести при 1растяжении посто
липой нагрузкой ( б = const).
Однако, применение этих данных к расчету детален, нагруженных
напряжениями, переменными по времени, требует введения некоторых
дополнительных гипотетических положений.
Уравнения теории ползучести — уравнения связи деформаций и
напряжений — при одноосном напряженном состоянии имеют вид:
«-f-'A, и
’ d-t _ 1 d€f ,
dt E dt VP >
где ' V = dtp <7)
p dt ’
Рассмотрим связь режимов изменения по времени деформации
ползучести Ep(t) и скорости ползучести Vp(t) с временем t и режи-
мами изменения о времени температуры напряжения 6(t)
В общем случае можно написать:
6=r[Sp(t),T(t)ft7 (8>
и, соответственно, J
т(н, tj, 1
VP=/2r®(t)7 £fi(eb T(t),t].j
Зависимость (8) можно трактовать, как выражение сопротивления
деформации при растяжении в функции деформации ползучести и
времени.
С целью использования для расчета при переменных напряжениях
кривых ползучести, соответствующих (5— const , зависимости (8), (9)
приходится заменять более простыми, однозначно связывающими теку-
щие значения переменных. Введение упрощений связывается с приня-
тием гипотез, имеющих определенный физический смысл, основ-
ные типы которых характеризуются для случая Т=const следующими
условиями:
т. е.
= £р)
Vp=f(% ЕР)
(Ю)
107
По смыслу этой гипотезы, предложенной Лга<^а '1 [4], скорость пол-
зучести зависит только от напряжения, действующего в рассматривае-
мый момент^ и от величины деформации ползучести.
II. s = F(VP,t) 1
} 00
Г. е. Vp =f (G> t) J
Скорость ползучести определяется только величиной действую-
щего напряжения и временем, в течение которого происходит деформа-
ция ползучести.
Последняя гипотеза была применена при решении некоторых задач
расчета на ползучесть $ode'i£ezg,oj>i [5] и Dcttfenpo 'ом .
Различия в расчетах, связанные с применением разных гипотез,
хорошо поясняются диаграммой (фиг 12), показывающей как по каждой
гипотезе отражается изменение напряжения — переход от 6, к &п
) на очертании кривой £р — t .
В соответствии с первой гипотезой вид кривой после перехода
изображается ветвью ас , представляющей участок ef кривой ,
перенесенный началом в -рочку а, при постоянном Ер . Второй гипотезе
соответствует ветвь ад , полученная переносом участка df , при по-
стоянном значении t.
.108
Важной задачей расчета на длительное сопротивление при линей-
ном напряженном состоянии является исследование релаксации болто-
вого соединения фланцев (фиг. 13).
Известно несколько вариантов решения этой задачи, однако, они
имеют весьма ограниченное значение, так как каждый из них основан
на принятии одного из видов аналитических завчсимостей, выражающих
ход кривых ползучести, и определенной гипотезы перехода к перемен-
ным напряжениям.
Так, решение Вал(!еу основано на принятии степенного закона
связи Vp с в :
Vp = Vc = С<зп.
В решении Madai фигурирует показательный закон и I гипотеза
перехода.
В качестве общего приближенного метода расчета, применимого и
к другим задачам расчета на ползучесть, дающего возможность исполь-
зовать любые эмпирические выражения функций “ t
или графики и применить как 1, так и II гипотезы, предлагается метод,
который может быть назвав «методом последовательных приращений».
Сущность его заключается в последовательном рассмотрении меняю-
щихся значений & , 8 nt. При этом задаются приращения одной из
переменных — времени, а значения других переменных определяются
при посредстве уравнений теории ползучести и гипотез перехода к пере-
менным напряжениям
Приближенность метода обусловлена применением подстановки ко-
нечных приращений в диференциальные уравнения теории ползучести и
принципиальной неточностью гипотез перехода.
Исходным материалом является серия кривых ползучести £р — t ,
полученных для ряда значений ® = consf^ частью непосредственно из
опытов над металлом болта при рабочей температуре, частью — путем
интерполяции и экстраполяции. Серия кривых может быть выражена
н аналитическими зависимостями.
toe
Из рассмотрения условий работы соединения, фиг. 13, непосред-
ственно видно, что деформации его определяются законом релак-
сации (1)1
Упругая деформация болта (при жестких фланцах) —
г — lj
се — £ »
где
— напряжение в стержне болта;
Е — модуль упругости болта при рабочей температуре.
Пластическая деформация (удлинение болта от ползучести) -— £р
Суммарная деформация, постоянная и равная начальной упругой
деформации соединения — , где 6О — начальное напряже-
ние от затяжки болта.
Уравнения связи напряжений и деформаций (6). (7), подчиненные
условию релаксации (1), принимают вид
(12)
6 f, __________ Go
~ + ср - е >
(13)
В результате расчета требуется определить срок службы соедине-
ния — время , в течение которого напряжение в болте, вследствие
релаксации, спадет от начального значения 6О до величины 6 к —
наименьшей допустимой по условию обеспечения плотности прилегания
фланцев.
Порядок расчета следующий
1. Для начальных значений G>0 , t «= 0, €р == 0 определяется
скорость ползучести Vpt .
2. Берется прирашение параметра времени Atf и находится
ЛAitl £pj= -
3 По £р, определяется из (12)6,
л. Для значений , g , t, = находится, в соответствии
с I или II гипотезой. Vp2
5 Берется At2 и находится
А Ьд = ^Р2 ' ^2 f Р2 == &р2 '
6. По £р., определяется из (12) 62 и т. д.
7. По значениям 6 и t строится кривая релаксации 6 — t и опре-
деляется срок службы Ьк
Расчет можно уточнять в пределах каждого интервала.путем опре-
деления II приближения Vp по величинам I приближения 6 ,£р , найден-
ным для конца интервала В качестве окончательных принимаются сред-
ние из значений I и II приближения дляУр
В тех случаях, когда упругой деформацией фланпев пренебречь
нельзя, вместо Е. в расчет вводится «приведенный модуль упругости»
по
коэфициент пропорциональности между относительной деформацией
всего соединения (суммой удлинения болта и обжатия фланцев, отнесен-
ной к длине болта) и напряжением в стержне болта.
Сравнение результатов расчета с данными тщательно проведенных
длительных испытаний на релаксацию является основным путем опытной
проверки применимости различных гипотез к расчету на ползучесть при
переменных напряжениях.
На фиг. 14 изображены кривые релаксации для 12% Съ — стали
при 454°С, полученные ресчетом по I и II гипотезам, и нанесена экспери-
ментальная точка (опыт /HocheE
Этот пример и результаты других, специально проведенных нами,
сравнительных расчетов для углеродистой стали показывают, что для
сталей, работающих прн температурах около 45(ГС, расчеты ня релак-
сацию, выполненные по I и П гипотезам, дают пределы, между которыми
заключаются значения пластических деформаций, Соответствующие дей
ствительному ходу процесса ползучести. К такому же заключению при-
шли Boyd и Davenport па основе исследования релаксации меди
Невидимому это весьма важное положение можно считать справед
лявым и в других случаях ползучести при переменном напряженном co-
lli
стоянии. Мы им будем пользоваться в дальнейшем, принимая результаты
расчетов по I и II гипотезам за границы, между которыми лежат истин-
ные значения искомых величин.
Недостаток опытных данных еще не позволяет четко установить
условия, в которых та или иная гипотеза дает лу тшую сходимость рас-
чета с экспериментом.
Перейдем к рассмотрению более общей формы одноосного напря
женного состояния стержня, которая характеризуется неравномерностью
распределения напряжений по сечению.
Существующие исследования (Baitey , Maiin'a. и др.) ограни-
чены рассмотрением случая простого изгиба стержня при наличии опре-
деленных аналитических выражений кривых ползучести.
Нами рассмотрено определение напряжений и деформаций при пол-
зучести стержня (фиг. 15), находящегося под действием изгиба в двух
главных плоскостях моментами Му , М3 , осевой нагрузкии нерав-
номерно распределенной по се'чению температуры Т .
При учете температуры уравнение (6) принимает вид:
£ = ~ -f- (14)
Уравнение (7) остается без изменений
Принятие гипотезы плоских сечений, справедливой для длинных
стержней, и рассмотрение уравнений равновесия приводит (при постоян-
ных Е и ос) к формуле напряжений
N . М?У - , fcTdF zJrTidF
откуда получается — f(v dt ₽ уг L (' г уг~) , (is) f Vp<lF ) Г ~ Ху Уг J' (1в)
Эти формулы могут быть применены, при посредстве метода после-
112
дивательных приращений, к анализу изменений напряженного состояния,
обусловленных ползучестью под действием внешней нагрузки, неравно-
мерного нагрева и остывания таких деталей, как турбинные лопатки.
Через большой интервал времени перераспределение напряжений,
определяемое ползучестью, постепенно прекращается и можно принять
Как видно из (16), распределение напряжений в этом предельном
состоянии, носящем название «установившейся ползучести» {steady
creep ) определяется видом связи Vp—Vc с напряжением в .
Фаг. 1в.
в качестве примера, на фиг. 16 изображена полученная на основе
этих положений диаграмма напряжений в сечении прямоугольного
стержня, нагруженного Л- и , при установившейся ползучести При-
нятая зависимость 14 от 6 : е
Vc=C^-/J.
4. Расчет на ползучесть при пространственном напряженном со-
стоянии.
В общем случае действия пространственной системы напряжений,
при расчете на ползучесть применимы те же формы уравнений равнове-
сия, граничных условий и уравнений совместности, которые ,дспользук>тся
в теории упругости и теории пластичндотр. ртлНчцнмд дут уравнения
связи деформаций и напряжений.
Полная деформация по любому направлению и скорость ее измене-
ния по времени могут быть выражены в форме суммы упругой состав-
ляющей, подчиняющейся закону Гука, и пластической, являющейся
следствием ползучести.
Уравнения теории ползучести, изображающие связь между глав-
ными напряжениями и деформациями по их направлениям, для элемента,
находящегося в условиях пространственного, р^ремегаюго по времени,
a trrtt НТК JM4 Г.,'* 2. 113
напряженного состояния (фиг. 17; 6t , & ,Q —• главные напряжения^
имеют вид: 3
С, = -^-[<5-Г(&2 + ®з)] + *4 , <18>
#-=T^s’->“(62+ej,J+v^ *’ "9)
Для расчета на ползучесть деталей при действии пространственной
системы напряжений используются те же экспериментальные данные и
гипотезы, которые были рассмотрены выше, для случая линейного на-
пряженного состояния, и некоторые дополнительные положения, уста-
н >вленные на основе специально поставленных опытов
Фиг. 17.
Первые и наиболее обширные эксперименты такого рода были про-
ведены Во'.^ЕУ , исследовавшим ползучесть труб (при постоянной на-
грузке): стальных (при высокой температуре) и свияцовых (при комнат-
ной). Стальные трубы испытывались на совместное действие кручения
и осевой силы, свинцовые — на действие внутреннего гидростатического
давления и осевой силы или крутящего момента.
По этим опытам, независимо от вида деформаций, оказалось, что:
а) скорости ползучести по направлениям главных напряжений —
VPf ♦ • Ч’з являются главными скоростями;
в) величина каждой из главных скоростей ползучести определяется:
*) Знак Y означает круговую Перестановку индексов 1, 2, 3, при переходе
к другим осям,
111
1) максимальными касательными напряжениями, дающими проек-
цию на направление скорости, например, для Vp, — напряжениями
gz-S'a 63 -<3t .
2 J 2 1
2) удельной энергией изменения формы, пропорциональной выра-
жению
- &2)2 + (&2 ~ ^3)2+(&3 ~
с) деформация ползучести происходит без изменения объема. Это
выражается условием:
£Pt+£P2-1-cp3 = 0 (20)
или
Vp,+ VP2+VP3 -0. (21)
Ва>?еу при обработке экспериментов, как в случае простого ра-
стяжения постоянной нагрузкой (см. формулу 2), так и для постоянного
пространственного напряженного состояния, не принимал во внимание
на'ч$льный период ползучести и рассматривал скорость ползучести, соот-
ветствующую II периоду (период установившейся ползучести металла) —
Vc , как функцию только напряжений, независимую от времени.
В соответствии с этим им была предложена следующая форма вы-
ражений скорости ползучести для пространственной системы напряжений:
=Т- f f<s- - «А -s>)2 + (22>
+ -j-(e3 - sjsJ "[(в) - в,)"-2"’- (®3 - в,)"" 1т]1 >
Нетрудно видеть, что при простом растяжении по одному из глав-
ных направлений выражения (22) приводятся к формуле (2).
Постоянные для материала величины Z) и п определяются из
испытаний на ползучесть при растяжении, показатель гп — из опытов
при пространственном напряженном состоянии.
При помощи формулы (22) Bailey решил ряд задач по расчету
на ползучесть — расчет цилиндра под внутренним давлением, расчет
вращающегося диска*и др.
Выводы, сделанные из опытов BotCey t были подтверждены позд-
нейшими экспериментами /fozton'a , МоотР’а и др., и в настоящее
время принимаются в основу большинства работ по теории ползучести.
В то же время форма уравнения скорости ползучести, пришитая
Baitey , встретила ряд возражений. Последние вызваны сложностью
этих уравнений, обусловленной наличием двух показателей степени и
недостаточной общностью, так как в них, вследствие пренебрежения
начальным периодом ролзучести, отсутствует учет влияния времени.
_______ —1
* Слагаемые типа ( )л2л? сохраняют свои знаки, полученные внутри ско-
бок, вне зависимости от величины показателя Лт2т .
V
115
Уравнения скорости ползучести можно написать более общем
виде. Для этого надо учесть, что перечисленные выше экспериментально
установленные положения, определяющие зависимость между компонен-
тами скорости ползучести и величинами главных напряжений, сходны
с теми, которые по теории пластичности Hubei — Mises — Hendty
являются общими условиями связи пластических деформаций и напря-
жений, но дополнительно содержат учет влияния фактора времени.
Основанные на этих положениях формулы скоростей ползучести
могут быть представлены в пиде:
(23)
что, после подстановки в уравнения (19), дает уравнения связи скоростей
деформаций н напряжений:
%- - тг -arfa+М+тЧ®-" т < )] I, <2«>
где — коэфициент, являющийся, для рассматриваемого материала
и постоянной температуры, функцией напряжений, деформаций и вре-
мени, независимой от вида деформации.
По теории пластичности [9] характеристиками напряженного состоя-
ния и степени пластической деформации, независимыми от вида дефор-
мации. являются величины:
S = ^-Aj(e.-62)V(6-2-<53)24-(63-ef/ , (25)
ер ~ 'з Ьр^+^Р^ £р3)2 ~h(£p3‘~£pi)2 (26)
Выражения (24) удовлетворяют условию постоянства объема пря
пластической деформации (21) и представляют систему основных расчет-
ных уравнений теории ползучести, справедливых для любого вида
деформации.
Для частного случая, когда коэфициент является функцией
О
только напряжений, уравнения вида (24) применялись при решении неко-
торых задач расчета на ползучесть OdqViSt'ол . Формулы (23) при
этом имеют смысл выражений скоростей установившейся ползучести
металла, соответствующих <11 периоду процесса ползучести. Такое же зна-
чение имеют формулы типа (23), предложенные Л1ат/лЬ?ч[7], приняв-
шим функцию в виде
5 л-/
= 2 <27>
5 2 “2~ L - J
и получившим выражения Vc , аналогичные формулам BalPey (22),
ио несколько более простые.
116
При одноосном растяжении зги уравнении так же, как (22). прихо-
дят к совпадению с эмпирической степенной зависимостью ЕаЛеу (2).
Как показало проведенное Л4с'т< л?ол сравнение, разница в резуль-
татах расчетов по формулам (23) —(27) в формулам (22) невелика и схо-
димость с опытными данными бонусу и других исследователей (для
установившейся ползучести металла при постоянной нагрузке) в обоих
случаях удовлетворительна.
Отметим особенности применения основных уравнений теории пол-
зучести (24) к случаям действия пространственной системы напряжений,
переменных по времени.
Нетрудно видеть, что для простого растяжения зависимости (25) и
(26), дают:
S = ер = £р; (28)
при этом, из (23):
= (29)
Таким образом, из испытаний на ползучесть при растяжении с
6 = г получается непосредственно, по (29), связь V' ZS, вр, Т и t.
В общем случае:
v-=f[s(t), ep(t), та), t]. (30)
Применяя для расчета иа ползучесть при переменных напряже-
ниях рассмотренные ранее гипотезы, выражаемые условиями (10) — (11),
будем иметь следующие типы зависимостей (при Т= C®n5t ):
I гипотеза. По (10):
Vp=f(S,ep). (31)
II гипотеза. По (11):
Vp=f(S,t). (32)
По смыслу каждой из этих гипотез, экспериментально найденные
значения VP приближенно трактуются как функции только от текущих
значений двух переменных.
Одной из наиболее сложных задач, требующих применения урав-
нений теории ползучести при пространственном напряженном состоянии,
является расчет на ползучесть вращающегося диска турбины.
Первое решение этой задачи было одно Bailtey . Метод расчета
диска, разработанный BoiBey , в соответствии с принятыми им в каче-
стве уравнений теории ползучести зависимостями (20), дает распределе-
ние напряжений для диска, находящегося в состоянии установившейся
ползучести.
На фиг. 18 приведена диаграмма тангенциальных (в^ ) и радиаль-
ных (в"т ) напряжений, полученная ВалВеу в результате численного рас-
чета стального диска диаметром 20 дюймов, вращающегося при
3000 об/мин., свободного от нагрузок по наружному и внутреннему кон-
туру; в формулах (22) m = 1, Л 6. Пунктиром показаны кривые для
упругого состояния.
Данный BaiBcy метод расчета ие позволяет исследовачь изме-
нение напряжений и деформаций диска по времени.
*17
Перераспределение напряжений, происходящее в диске С Течением
времени, было рассмотрено Odguest ’ ом . Однако, и его решение ие
пригодно для исследования начального периода ползучести, так как
основано на применении уравнений теории ползучести вида (23) в форме,
не содержащей зависимости скоростей ползучести от времени, вслед-
ствие принятия за функцию только напряжений. Между тем, для
определения возможного срока службы диска в условиях ползучести,
рассмотрение начального периода представляет значительный интерес,
так как иа протяжении его изменение напряжении и деформаций диска
происходит с наибольшей интенсивностью.
ОтносителЬнЬш радиус диска
Фиг. 18.
Более полный анализ всех явлений, связанных с ползучестью диска,
становится возможным, на основе общих уравнений теории ползуче-
сти (24) при применении рассмотренного выше метода последовательных
приращений. Данный метод применим и для исследования работы диска,
скрепленного с валом при помощи упругого натяга.
Не останавливаясь, вследствие ограниченного объема статьи, под-
робнее на порядке расчета по этому методу, приведем некоторые резуль-
тату его.
На фиг. 20 изображены кривые <ot и , полученные из расчета
диска, показанною на фиг. 19, посаженного на вал с начальным давле-
нием натяга 350 кг/см2. Скорость вращения 1500 об/мин. Напряжения по
П8
наружному контуру (от лопаток) 350 кг/см2, а = 50 см, Ъ =i 15 см,
С а*х 1 см.
. Рабочая температура 450°С, металл диска —Л/ — Ci — Мо
сталь; в качестве исходного экспериментального материала были исполь-
зованы результаты длительных испытаний этой стали, приведенные
WeaPET'cwfO].
Фиг. 19.
Кривые А на фиг. 20 соответствуют упругому состоянию диска
(t = 0), кривые С — предельному состоянию установившейся ползуче-
сти диска. Время падения начального давления натяга до предельно
допустимого значения 200 кг/см2 равно 10000 часов.
Заключение
Приведенные выше примеры показывают, что предлагаемый при-
ближенный метод расчета на длительное сопротивление, основанный иа
применении экспериментальных данных, позволяет при проектировании
деталей, работающих в условиях ползучести, провести анализ напряже-
ний н деформаций и подойти к определению их срока службы.
Для дальнейшего усовершенствования теории и методики расчетов
на длительное сопротивление требуется более широкая эксперименталь-
ная проверка и уточнение гипотез перехода к переменным напряжениям
и упрощение способа получения исходных опытных данных.
И9
Фиг. 20.
ЛИТЕРАТУРА
1. М и х а й л ов-М и х ее в. Металл в современном котлотурбостроенин,
1937.
2. Bailey. The Utilization of Creep Test Data in Engineering Design. Inst.
Meeh. Eng. Procedings. 1936, V. 131.
3. Me Vetty. Working Stresses in High-Temperature Service. Mechanical Engi-
neering. 1934. March. ' s
4. Nadai. The Creep of Metals. Trans. ASME 1932. АРМ 55—10.
5. Soderberg. The Interpretation of Creep Tests for Machine Design. Trans.
ASME. 1936, v. 58, № 8.
6. W eaver. Creep Curve and Stability of Steels Trans. ASME. 1936, v. 58, №8.
Marin. Design of ^Members Subjected to Creep at High—Temperatures.
Journ. Appf. Meeh. 1937, № 1. ”
8. 100000 Hour Creep Test. Meehan. Eng. March, 1943.
9. Беляев, Теории плаешчреких деформаций. Труды конференции по пла-
стическим деформациям АН СССР. 1938 г.
120
Доцент., кандидат техническим наук
инженер-подполковник В. В. ЗКовинский
О ВЫСОТНОСТИ МАСЛОСИСТЕМ
1. Введение
Стремление овладеть большими высотами полета и тенденции воен-
ной авиации к повышению высоты боевого применения самолетов ста-
вят перед конструкторами самолетов и моторов ряд весьма сложных
задач. Даже при моторах большой мощности и высотности и соответ-
ствующих данных самолета, не всегда бывает возможно использовать
большую высоту полета. Предельная высота полета зависит не только
от значения избыточной мощности винтомоторной установки, но и от
работы систем моторного оборудования. В данной статье дана попытка
проведения анализа влияния различных факторов на высотность масло-
системы, так как одним из существенных моментов, определяющих нор-
мальную эксплоатацию мотора -- на больших высотах, является надеж-
ность работы маслосистемы.
Надежность работы маслосистемы характеризуется давлением
масла в главной магистрали и его температурой. Высотностью масло-
системы называется высота, за которой давление масла становится ниже
минимально допустимого для данного мотора.
При недостаточном давлении масла не обеспечивается надежная
смазка трущихся поверхностей и деталей мотора, что приводит к разру-
шению подшипников, к заклииению поршней и т. д.
Давление, создаваемое • насосом, зависит от конструктивного
осуществления системы смазки, от давления на входе в насос, конструк-
ции насоса и его, так называемой, кавитационной характеристики, вяз-
кости масла, эффективности работы пеногасителя и ряда других
факторов.
Решающим фактором, от которого зависит надежность работы
маслосистемы, является давление на входе в масляный насос и количе-
ство воздуха, поступающего с маслом к насосу.
По последним исследованиям ЦИАМ, выявилось большое влияние
вязкости масла на работу маслосистемы, при более вязких маслах допу-
стима более высокая температура масла в системе смазки, при условии
сохранения стабильности масла. Это в свою очередь может привести
к уменьшению потребных поверхностей маслорадиаторов при более вяз-
ком масле, — к уменьшению насыщения отработанного в моторе масла
воздухом и т. д.
В настоящей статье мы рассмотрим систему с применяемыми в на-
стоящее время маслами с Ц>лью выявления влияния различных факторов
на работу маслосистем.
121
Маслосистема состоит из внешней системы, расположенной на са-
молете, и внутренней системы смазки мотора, которые оказывают влия-
ние на давление, развиваемое нагнетающим насосом. Внешняя система
состоит из двух участков: всасывающая магистраль — участок масло-
системы от бака до нагнетающего насоса на моторе и откачивающая
магистраль — участок маслосистемы от откачивающего Hadoca до бака.
Между этими двумя участками заключена внутренняя система смазки
мотора.
По принципу работы систем моторного оборудования маслосистема
занимает промежуточное положение между бензосистемой и системой
водяного охлаждения.
В водяной системе циркулирующее количество воды остается по-
стоянным. В бензосистеме все топливо, поступающее к насосу, выраба-
тывается. В маслосистеме незначительная часть масла, от циркуляр ю-
щего количества расходуется, основная же часть циркулирует в системе.
Совершенно очевидно, что маслосистема должна включать в себя ряд
агрегатов и элементов, присущих и водяной и бензиновой системам .
Масло, отработанное в моторе, загрязняется, подогревается, унося
с собой часть тепла и вспенивается, — насыщается значительным коли-
чеством газов и воздуха.
Подготовка масла к дальнейшей его работе происходит на участке
откачивающей магистрали, где происходит охлаждение масла в радиа-
торах, отделение газов и воздуха от масла и иногда очистка масла.
Таким образом от работы откачивающей магистрали в значитель-
ной степени зависят качество и физические свойства масла, поступаю-
щего на смазку двигателя. В данной работе мы будем считать, что теп-
лоотвод от масла обеспечивает необходимые температуры его, что
очистка масла производится фильтрами, находящимися в моторе, и дан-
ная конструкция пеногасителей выделяет постоянное количество газов
и воздуха из масла.
Внутренняя система смазки мотора оказывает большое влияние на
прокачку и, следовательно, на давление, создаваемое насосом, завися-
щее от гидравлических сопротивлений. В данном моторе, при определен-
ном режиме работы и необходимой температуре масла, гидравлическое
сопротивление внутренней системы смазки постоянно при сохранении
прокачки масла. При падении прокачки падает давление, развиваемое
насосом, и при этом не обеспечивается необходимая смазка трущихся
поверхностей и деталей мотора, что может привести к выходу из строя
двигателя.
Таким образом остается проанализировать влияние всасывающей
магистрали на давление, создаваемое насосом, так как всасывающая ма-
гистраль оказывает влияние на давление масла на входе в насос, что
определяет и производительность насоса и создаваемое им давление.
Потребное давление для обеспечения нормальной смазки для раз-
ных моторов различно и колеблется от 5 до 9 кг/см2. Минимальные тем-
пературы масла да входе в мотор не ниже 45—5(ГС, н максимальные
температуры не выше ПО—120°С, в применяемых системах с маслами
обычных вязкостей. Возможно, в дальнейшем температуры масла могут
быть повышены при применении масел большой взякости.
122
2. Вязкость масла
Гидравлическое сопротивление маслосистемы зависит от вязкости
масла, возрастая с падением температуры и падая с увеличением тем-
пературы.
Коэфициент вязкости характеризует силу трения отдельных слоев
масла, движущихся с различной скоростью.
Обозначив силу внутреннего трения, отнесенную к единице поверх-
ности соприкосновения двух слоев жесткости, движущейся с разной
скоростью через Т , получаем, согласно закона Ньютона,
(1)
где
if — скорость движения масла;
Т — линейный размер, в отношении которого происходит изме-
нение скорости;
---градиент падения скорости по радиусу трубы;
— коэфициент вязкости.
Откуда кг сек
( dz J
Таким образом коэфициент вязкости характеризует касательное
напряжение, вызванное силой трения, приходящейся на единицу гра-
диента падения скорости по радиусу трубы.
Единицей измерения коэфициентов трения является пуаз или санти-
пуаз (сотая часть пуаза).
Характеристикой вязкости жидкости является также коэфициент
кинематической вязкости
ч) — 2L С/*2
У р сек 9
где р — массовая плотность масла.
Вязкость масла зависит от сорта масла и его температуры и значе-
ние коэфициента кинематической вязкости может быть представлено
в зависимости от температуры масла в следующем виде:
где г
У — ускорение силы тяжести см/сек.2; "
F — удельный вес масла кг/см3;
X и а— постоянные коэфициенты, зависящие от сорта масла;
П — показатель степени, изменяющийся В пределах от 1,7
до 1,9;
tM — температура масла ₽С.
123
На фиг. 1 даны кривые изменения кинематического коэфициеита
вязкости в зависимости от температуры масла. В таблице 1 приведены
значения коэфициеятов кинематической вязкости для разных сортов и
температур масла. к
температура масла °C
Фиг. I.
Изменение коэфнцнеита кинематической вязкости в зависимости
от температуры масла.
Таблица 1
Значение коэфициентов кинематической вязкости в зависимости
ОТ температуры.
У дель- Коэфицнент кинематической вязкости см2 сек.
Наименование масел ный вес при (ГС 20=С 40°С 60°С 80°С | 100”С
Касторовое 0.958— 7,50 2,20 0,70 0,30 0,15
МС . -0,966 0 900 12.84 2,98 0.97 0,41 0,21
мзс 0,900 7,50 1,85 0,60 0,30 0.10
Кастроль К-25 0,909 13,50 " 3.20, 1,20 0'65 040
Суруханский брайсрок .. . 0,905 20,00 3,80 1,45 0,70 0,50
124
3. Гидравлическое сопротивление всасывающего участка
маслосистемы
Гидравлическое сопротивление всасывающего участка маслосисте-
мы приводит к уменьшению давления на входе в масляный насос. Сопро-
1ипление зависит от целого ряда факторов, в основном от вязкости
масла и скорости его движения. На самолетах старых конструкций,
с моторами небольшой мощности, скорости движения масла не превос-
ходили 80 см/сек. На современных самолетах скорости движения масла
даже на всасывающем участке системы доходят до 200—150 см/сек-
Скорость масла зависит от производительности масляного насоса
и сечения трубопровода.
Обозначив: W — производительность насоса л/мин. nd — внут-
ренний диаметр маслопровода, получаем скорость масла
v- = = 2/'2* ^/сек (5)
скорости масла в откачивающей магистрали, обычно, больше скоростей
во всасывающей магистрали даже при равных диаметрах маслопровода,
так как масло в откачивающей магистрали при высоких температурах
вспенено и удельный объем его значительно возрастает.
В таблице 2 приведены значения скоростей масла в магистрали,
идущей от бека к насосу, некоторых современных самолетов.
Таблица 2
Скорость движения масла во всасывающей магистрали современных
самолетов.
Самолет Мотор Внутренний дилм.трубы от бака к иасосу см Прокачка масла при tM ==70-80 ' л/мин. Скорость касла V см'сек. Примечание
Юнкере 88 Лито—2П 3,2 35 72,9
Ме-110 ДБ-601 Аа 3J 54 112,5
Ме-109 3,2 54 1 i .’,5 в иткач. 269 см/сек.
Не-100 ДВ 601М 4.0 so 66.5 от доп. нас. 157 см сек.
Пе-2 М- 105 4,0 40—55 73,1
Ил-2 AM- 38 3,5 70-80 112—139
Як-1 М- 105 2,4 и 4,0 55 204 и 73,1
Ла-5 М-82 3,0 25-40 94
МИГ-3 АМ-В5А 3.0 55-65 141
максимальные Ле-
На основании данных таблиц 1 и 2, определим
чения чисел Рейнольдса во всасывающих трубах.
fa
ird
V
та
Во всасывающей магистрали температура масла не превышает
80*41 Взяв значения наибольших скоростей и коэфициента кинематиче-
ской вязкости, получаем, что в любом случае из приведенных выше
число Рейнольдса ниже критического, т. е.
Re < гзоо
Так, взяв большое значение скорости V — 200 см/сек. и вязкость масла
МЗС прн высокой температуре 80°С и d = 3 см, получаем:
= ^£i=2000,
У 0,3
что выше значений Re для маслосистем самолетов, приведенных
в таблице 2.
Таким образом в большинстве случаев структура потока во всасы-
вающей магистрали будет ламинарной. Исходя из этого, рассмотрим гид-
равлическое сопротивление всасывающей магистрали.
Слои масла, прилегающие к стенкам трубы, имеют скорость, рав-
ную нулю. Нарастание скорости следует параболическому закону, фиг. 2.
Изменение скорости масла по сечению трубопровода.
Гидравлическое сопротивление можно получить, рассматривая рав-
новесие сил, движущих масло по трубе, и внутренних сил трения при
установившемся движении. Выделим из движущегося масла, фиг. 3,
цилиндр с радиусом 1 при радиусе трубы а , длину рассматриваемою
цилиндра обозначим I , давление на масло с одной стороны /J , и с дру*-
гой давление, меньшее за счет гидравлических потерь Рг .
“Г — касательное напряжение при течении масла по трубе, тогда
откуда
Подставляя в уравнение (6) значение Т из зависимости (I) и произведя
соответствующие преобразования, получаем*,
что осевая скорость при г — 0 равна
(6>
iA
средняя скорость в трубе
что получается из определения расхода по характеру распределения ско
ростей в сечении трубы.
Фиг. 3.
Схема ммеиения давлений и действия касательных напряжений
при течении масла по трубе.
Заменив радиус трубы в через диаметр d , получаем среднюю ско-
рость по трубе
—в*) см/сек
32
(7>
Разность давлений А —рг есть потеря напора за счет
гидравлических сопротивлений, таким образом
л/7 = 32г^/- *2/ои< (3)
Вводя значение коэффициента кинематической вязкости, имеем
п/ся,.
<9)
Потеря давления за счет трения для ламинарной структуры потока
может быть также выражена в виде общыфинятых зависимостей через
коэфиииент трения-
<*>
127
что легко получить, заменив в формуле (9) значение коэфициента кине-
матической вязкости через число Рейнольдса.
У d
Re J
тогда
Если учесть влияние теплообмена на гидравлическое сопротивление, то
потери на трение могут быть определены так:
лРт = hJl^T (9в)
где ЛГ = 1,1 для трубопровода, обогреваемого от мотора;
К - 1,3 для трубопровода, не обогреваемого.
Указанные зависимости справедливы, если учитывается средняя
скорость движения масла, полученная от деления секундного расхода на
сечение трубы В начале магистрали, т. е. на выходе из бака в масло-
провод. скорости по всему сечению трубы одинаковы. В результате при-
липания слоев масла к трубе постепенно происходит изменение скорости
по сечению, приближаясь к параболическому закону.
Сопротивление на поворотах при резких перегибах труб возрастает
значительно, так как скоростное поле при этом искажается.
Потери при поворотах трубы можно учесть по экспериментальной
формуле ЛИИ НКАП.
(10)
I де
«-угол поворота трубы
На основании формулы 9 построена номограмма фиг. 4, по которой
можно определить потери на трение в трубопроводе маслосистемы.
Решение производится так, как показано стрелками Ключ решения сле-
дующий: температура масла £*—*- сорт масла—* диаметр трубопро-
вода d—* длина трубопровода I—*• средняя скорость масла У—*->
гидравлическое сопротивление арт . С учетом влияния на сопротивле-
ние теплообмена следует увеличить 4рт на величину К* согласно
формулы (9а).
На фиг. 4 показан пример определения потерь на трение для трубы
d — 2 см, I — 200 см; — 60°, масло летнее МС и скорость масла
у 160 см/сек. Потери на трение для данного примера составляют
== 0,23 кг/см5.
Рассмотрим влияние температуры масда и диаметра трубопровода
та гидравлические потери. Д-Тй диализа принимаем масло МС, длину
трубы ГО0 еж н скорость масла == 100 см/сек Так как сопротивление
128
Фиг. 4.
линейно возрастает с увеличением длины магистрали и скорости масла,
то влияние их очевидно. Подсчеты потерь иа трение приведены в табл. 3.
Таблица 3.
Потери на треиие в трубопроводе /=100 см и скорости
масла г-100 см/сек.
Диаметр трубы d ем Потеря напора Д/н кг/см2 при /и *С
40 60 80 100
1 0,855 0,278 0.1 П8 0.0602
2 0,2185 0,0695 0,0294 0,0150
3 0.095 0,0309 0,0131 0,0067
4 0,0534 0,0174 0,00735 0,00376
5 0,0342 0,0111 0.00470 0,00240
9 Труды НТК ЦМ4 г., т. 2.
129
На фиг. 5 показано изменение сопротивления в зависимости от
диаметра трубы для разных температур масла.
Кроме потерь на трение, гидравлическое. сопротивление зависит
также от местных потерь й' элементах и. агрегатах, установленных между
баком и насосом. Как было указано раньше, в современных маслосисте-
мах не устанавливают фильтра на линий всасывания, так как он создает
большое гидравлическое сопротивление, что приводит к падению высот-
ности маслосистемы. На тех же самолетах, на которых установлены
маслофильтры, на линии Всасывания потери давления доходят
до 0,05—0,07 кг/см2.
фиг 5. Риометр тру&ы см.
При недостаточной площади сеток гидравлическое сопротивление
фильтра доходит до 0,15 кг/см* Сопротивление фильтра зависит от ско-
рости прохода масла через сетку фильтра. Если —производитель-
ность насоса л/мин., *F — площадь фильтра см®, скорость масла.
W Ю00 „ . .
v^——--------- ел/сек.
* 60 г
Значение скорости 1"<р колеблется для различных систем в пределах
&<р = 2—4 см/сек.
На самолете МИГ-3 — О'^ — Ц см/сек,
1> » Харрикейн-2 - = $}55 »
" » Ил~2 - v<f, = 1,8 »
Местные потери определяются, как обычно, '
_ гл2
др* =-Е£-2у-т; di)
тпв. у — коэфициеэт потерь» зависящий от источника Сопротивлений.
ОО
Для обычных сетчдд-ых фильтров коэфициент потерь изменяется от 10
до 15. На создание скорости (выход из бака в магистраль) коэфициент
потерь % ~ о,5.
Довольно большое влияние на уменьшение давления на входе в
насос может оказать потеря на создание Скорости в насосе. Часто
бывает, что диаметр магистрали от бака до насоса делают большим, а
штуцер в маслюнасосе имеет небольшой размер, что создает боль-
шие местные потери на входе в насос, доходящие до 0,03—0,04 кг/см2.
Сливные краны, помещаемые на линии всасывания, имеют коэфи-
циент потерь 2,5.
Других агрегатов на линии всасывания не помещают. Суммарные
гидравлические потери
(12)
Таким образом учитываются гидравлические потери во всасывающей
магистрали маслосистемы, оказывающие большое влияние на давление,
развиваемое масляным насосом.
4. Давление на входе в насос
На фиг. 6 изображена простейшая схема маслосистемы при наклоне
оси самолета под утлом 0 к горизонту. .Разность уровней между баком
и насосом — величина переменная и зависит от положения самолета
в воздухе.
Фиг. 6.
Схема маслосистемы.
В общем случае разность уровней от места выхода масла из бака
и ..ходом в насос h^ycosO г х sinO.
(13)
9
131
Давление на входе в насос определяется с учетом действия инер-
ционных нагрузок на массу масла в трубопроводе
+ ПпУ + ~ *Р (14)
Здесь:
— давление на входе в насос, в открытой маслосистёме;
р„ — наружное давление воздуха на данной высоте полета;
Пу — нормальная перегрузка или относительное ускорение, дей-
ствующее по оси у в криволинейном полете;
Лх — перегрузка, возникающая в системе под действием танген-
циальных ускорений, например, при разгоне или торможении самолета
в воздухе.
На режиме горизонтального полета = I и = 0 Учет пере-
грузки Пу на режиме криволинейного полета следует производить
только в том случае, когда перегрузка приводит к уменьшению давления
на входе в насос. Если бак расположен выше насоса, т. е. разность
уровней между баком и насосом положительна, то нормальные ускоре-
ния, возникающие в случаях полета А , А' и В , приведут к увеличению
давления перед насосом. При вводе самолетов в пикирование инерцион-
ные нагрузки приведут к падению давления на входе в насос.
Величины нормальных эксплоатационных перегрузок берутся из
норм прочности. ।
Рассмотрим хотя бы одни из случаев действия горизонтальных
перегр зок.
При разгоне самолета в воздухе сида тяги превышает лобовое со-
противление самолета, в результате чего появляются инерционные силы,
действующие иа массу масла. Если масло движется в направлении по-
лета, то возникшие инерционные силы уменьшают давление на входе
в насос.
Если тяга самолета Рк-г и • сила лобового сопротивления X , то
г„ fi~z <IS>
С — полетный вес самолета;
dir ;
- — ускорение в направлении полета.
Относительное ускорение и является перегрузкой, т. е.
р — х
---= -Лх (16)
Сила тяги может быть определена так:
где
7 — хоэфициент полезного действия впита;
Л' ~ номинальная мощность мотора л. с.;
v — скорость полета м/св*
132
Подставляя значение силы тяги в уравнение (16), получаем
-SL=-nx
ira в
и имея в виду, что:
G = кХ,
где к — качества самолета
И
имеем
X у
75 г
— ^пст }
',*=--7-('тк-/): (,8)
Л \ лпот
Это максимальное значение перегрузки, получающееся при разгоне само-
лета в воздухе. Расчет величины максимальной перегрузки не представ-
ляет затруднений, так как все необходимые данные имеются в аэродина-
мическом расчете самолета.
Для обеспечения нормальной работы маслосистемы необходимо,
чтобы давление на входе в насос было не меньше минимально допусти-
мого давления.
mm. лап
(19)
При наличии кавитационных характеристик маслонасосов минимально
допустимое давление на входе в насос определяется по минимальному
давлению масла в главней магистрали.
5. Кавитационные характеристики маслонасосов
Для правильного решения вопроса о высотности маслосистемы
нужно иметь кавитационные характеристики насосов, дающие зависи
мость между давлением перед насосем и давлением в главной масляной
магистрали мотора. Кавитационные характеристики должны также давать
зависимость производительности насоса от давления на входе в насос.
К сожалению, до сего времени отсутствуют полные характеристики
маслонасосов, снятые для разных оборотов мотора и при разных темпе-
ратурах масла. При наборе высоты обычно обороты не оставляют по-
стоянными и происходит ттерегрев системы, т. е. температура масла
растет и для определения высотности нужны кавитационные характери
С1ики насосов при разных оборотах и температурах.
На фиг. 7 показаны кавитационные характеристики маслонасосов
моторов М-105, АМ-35А, Даймлер-Бенц 601A w — 211, пересчи-
танные с данных летных испытаний при температуре масла перед насо-
сом 6, ==1 60—7(УС.
На основании данных характеристик можно произвести оценку
высотности маслосистем. Например, на моторе $ито —211 минимально
допустимое давление Р — 4 кг/см2 (согласно данных фирмы Юнкере),
что соответствует давлению на входе в насос Ptnir, wn — 0,73 кг/см2,
133
Фиг. 7.
Кавитационные характеристики маслонасосов при rM=60—70" С.
а значит при меньшем давлении на входе в насос, давление масла упа-
дст ниже минимально допустимого в главной магистрали. Повышение
1гмисратур смещает всю кавитационную характеристику влево.
Построение кавитационных характеристик наиболее просто произ-
водится следующим образом. На разных высотах из летных испытаний
определяется давление на входе в насос с учетом высоты полета и гид-
рпилических потерь и затем строятся кривые зависимости давления, раз-
ниннемого насосом в функции давления перед входом в насос.
Рассмотрим физическую картину падения давления масла при пони-
жении давления на входе в насос. Одним из/основных моментов, оказы-
пающих влияние на работу насоса, как нам кажется, является количе-
ство газов н воздуха, находящихся в масле, во всасывающей магистрали
маслосистемы.
Как было указано выше, масло при работе мотора насыщается
большим количеством газов и воздуха. Насыщение воздуха происходит
и моторе, когда масло имеет высокую температуру и низкую вязкость.
При низкой вязкости поверхностное натяжение масляной пленки неве-
лико, благодаря чему масло, интенсивно перемешиваемое, насыщается
воздухом, газы выделяются из масла, при высокой температуре послед-
него, и также насыщают эмульсию. В результате в обратную магистраль
попадает масляно-воздушная эмульсия, состоящая из некоторого коли-
•нчтна воздуха и масла.
При сохранении числа оборотов мотора сохраняется объемная про-
ишодительность масляного насоса, и насос в единицу времени подает
определенный объем масляно-воздушной эмульсии. При увеличении со-
>к-рло1ния во всасывающей магистрали воздуха и газов, весовая произ-
и<‘;1Н1сльность насоса падает, уменьшается гидравлическое сопротивле-
ние внутренней системы смазки мотора и нормальная смазка не обеспе-
*11111.1 С1СЯ.
По данным инж. Животовского * давление, развиваемое иасосом
и ыписимости от прокачки, может быть определено так:
г (20)
I /к
— вязкость масла;
iw — прокачка насоса л/мин.;
А — коэфициент, зависящий от конструкции насоса;
т =1,5 — для моторов воздушного охлаждения;
т =1,1 — для моторов воздушного охлаждения.
С уменьшением прокачки падает давление. Прокачка зависит от
iif**>iH-Hiiioro содержания в масле газов и воздуха и от физического
> > |<>миня воздуха.
При падении давления в магистрали от бака к насосу с подъемом
«и никну, возрастает удельный объем воздуха и в 1 литре эмульсии
*м< 111.Н111С1СЯ количество масла.
Iтли в единице объема эмульсии содержится «К» .частей воздуха,
г»* при -аданной производительности насоса И/ насос нагнетает коли-
< । ню масла:
К'.
* Техника Воздушного флота № 1f 1944 г.
135
прокачка й/ соответствует .определенной температуре масла tM и дав-
лению Ро иа уровне земли. В условиях, отличных от указанных, про-
качка масла изменится
(21)
т. е.
(22)
Следовательно, если известно давление, развиваемое насосом на уровне
земли, то давление, развиваемое на высоте, получаем из уравнений (20)
и (22)
т
Ро ~АР
Рн ~ &Р
(23)
В уравнении (23)
Рн~ АР = Pgx
Таким образом кавитационная характеристика может быть рассчи-
тана, прн отсутствии данных испытаний, по формуле 23.
Данные расчеты кавитационных характеристик при Д' = 0,1 для
моторов АМ-38 и М-105 нанесены на фиг. 7 в виде пунктирных кривых.
Как видно из сравнения характеристик, полученных из летных испыта-
ний и рассчитанных, совпадение получается довольно хорошим.
Расхождение в кривых для мотора АМ-38 объясняется, невиди-
мому, худшим пеногасителем, в результате чего значение количества
газов и воздуха на входе в насос превосходит 0,1, доходя до 0,15.
6. Высотность маслосистемы
Граница высотности маслосистемы получается при равенстве
Pgx ~ Рmtn лоп. (24)
Подставляя значение из уравнения 14, получаем
рн -f- Tf~hny + 1ГхПх,— &Р = Pmtn аоп,
Обозначим:
Fbn,, + If-Jcn* (24а)
Тогда
Рн + Р = Ргтцц цоп (21)
При сохранении данного равенства система работает без падения давле-
ния масла, при условии надежного пеногашения, достаточного количе-
ства масла в системе и сохранении температуры масла.
На фиг. 8 построен график, левая часть которого дает изменения
давления с высотой при разных значениях А и правая часть представляет
136
собой кавитационную характеристику маслонасоса, снятую при П —
= 2445 об/мин. и температуре масла t* = 65°С.
Если задано минимальное давление в главной магистрали, при кото-
ром система работает нормально, и подсчитано значение А, можно на
фиг. 8 определить высоту, до которой сохраняется давление, развивае-
мое маслонасосом. £
График для определения высотности маслосистемы и потребного избыточного давления.
Пример. Нормально допустимое давление масла для данного
мотора Рмас— 6 кг/см2, А = 0,1 кг/см2. Действуя, как указано стрел-
ками на фиг. 8, получаем высотность маслосистемы Ниас = 4,5 км.
137
Если необходимо сохранить давление в 6 кг/см2 до высоты полета
Н = 7,5 км, нужно повысить давление в системе на величину
ЬРнзб = ?min доп (Рн + Р)' (25)
Решение данного примера приведено на фиг. 8, при чем получилось
Apwff = 0,2 кг/см2.
Высотность маслосистемы может быть также получена из анализа
формулы 23.
Рассматривая давление на Входе В насос, получаем:
на уровне земли
в формулу (23), получаем:
t -t~ A \fn
(23а)
Рбхо— Р9 +А
Подставляя давление на входе в косое
Рнасн _ /\к 7^
Производя соответствующие преобразования, получаем наружное давле-
ние воздуха на высоте, при котором сохраняется минимально допусти-
мое давление в нагнетающей линии насоса РцаСц •
-А) „
, а.-- I 1 " '
Нн)=Р„
(24)
Отсюда следует, что при полном отделении воздуха при А' = 0 предель-
ная высота получается из условий
Pi min ~=' Пу Ух Пх -t~ Ар
или для горизонтального полета
Pnmin=^p-Fb- (25)
Следовательно, теоретическая высотность маслосистемы зависит от
двух основных факторов: разности уровней между баком и насосом и
гидравлических потерь во всасывающей магистрали.
7. Изменение давления в маслосистемах по данным летиых
испытаний
В системах внешней циркуляции мае ia, без специальных устройств
для обеспечения ьыс иности, давление масла падает при подъеме на
высот;, довольно ретко. На фиг. 9 пока-дно изменение давления масла
в I.г.авной м 'истр.т in для трех немецкие самолетов: Ju— 88 — на
р жиме .•ризонтального полета на данных высотах и для самолетов
Ме-110 и Ме-109 — на скороподъемности при радиаторах с лобовой
•лощадью, приходящейся на 1000 л. с. в пределах: 0,0142—0,055
>*/1000 л. с. (
На фиг. 10 показано изменение давления в маслосистеме советского
истребителя на режиме скороподъемности при возрастании числа оборо-
138
тов и температуры масла с подъемом на высоту. Внутри баков поддер-
живалось избыточное давление = 0,13 кг/см2. Как видно, повы-
шение температуры на выходе из мотора с 90° на Н6 С приводит к более
крутому падению давления. На графике нанесены значения испытаний
трех полетов данного самолета.
Изменение давления в маслосистеме в зависимости от высоты полета.
Повышение давления в баке до 0,20 кг/см2 привело к повышению
высотности маслосистемы до 13 км (фиг. 11), но и в этом случае наблю
далось значительное повышение Температуры масла. Резкое снижение
даьления при повышении температуры масла свыше 100’С объясняется,
невидимому, тем обстоятельством, что при таких температурах масла
139
наступает интенсивное пенообразование. Вспененное масло, вероятно,
ухудшает условия теплопередачи и таким образом даже правильно по-
добранный радиатор [не сможет отвести нужного количества тепла.
Фиг. ю.
Данные испытаний истребителя на режиме скорой од-емности. Изменение давления
масла на высоте (пунктирная кривая экстраполированная).
Сравним результаты летных испытаний самолета (фиг. 10) с дан-
ными теоретического подсчета давлений по высотам Принимаем К —
— 0,15 и К = 0,2, исходя из того, чИо температура во время полета
была высокой.
Для данного самолета XI — 0, температуру масла принимаем по-
стоянной, что соответствует данным летных1 испытаний до высоты
в 9 км. Формула для подсчета давлений и по высотам (23а) выгля-
дит так:
Ро+О,13 \/, 5
Рн-ицз;
Результаты расчета сводим в таблицу.
14'
Нам 3 6 9 12 Примечание
Риас кг/см2 9 8,15 6,94 5,51 по формуле при К = 0,15
Рнас KTjC*® 9 7,8 6,5 3,9 Из летных испытаний /« = 90 — 95°С до /7=12 км иа Н = 12 км
Риас КГ'СМ2 9 7,75 6,12 4,21 с учетом повы- шения темпера- =116 С. по формуле при /<=0,2.
ТУРЫ
Давление, развиваемое насол, Риас къ/см
Фиг. 11.
Данные испытаний маслосистемы истребителя на режнмескоропод‘емноств при из-
быточном давлении в баке ДРиэв — 0,2 кг/см2.
Результаты расчета приведены на графике фиг. 10. Как видно, рас-
чет давлений по высотам дает очень хорошее совпадение с результатами
летных испытаний. Кривая изменения давления, по данным испытаний,
лежит между теоретическими кривыми, построенными для К = 0,15 и
и /Г = 0,2, т. е. в системе данного самолета пеногаситель плохо обеспе-
чивал отделение газов и воздуха из масла, благодаря чему на линии
всасывания в 1 литре эмульсии находилось около 20% газов по объему.
1*1
8. Влияние температуры на давление, развиваемое насосом
Повышение температуры приводит к падению давления, вследствие
увеличения удельного объема воздуха и газов во всасывающей маги-
страли. Кроме того, при повышении температуры .увеличивается насы-
щаемость газами и воздухом масла.
На фиг. 12 показано изменение давления в маслосистеме истреби-
теля на режиме скороподъемности при нарастании температуры масла.
На высоте 5 км была осуществлена площадка с режимом горизонталь
ного полета для охлаждения масла с = 91СС до ==. 69°С, что
привело в данном полете к повышению давлении с 4 ат до 4,8 ат в глав-
ной масляной магистрали.
Фиг. 12.
Изменение давления в маслосистеме пе высоте на режиме скоро-
под‘емности при повышении температуры масла для самолета-
истребнтелд
В результате повышения температуры падает вязкость масла, таким
образом уменьшается гидравлическое сопротивление внутренней системы
смазки мотора. Гидравлическое сопротивление прямо пропорционально
вязкости масла, при падении сопротивления внутренней системы смазки
мотора падает напор, развиваемый насосом.
142
На фиг. 13 показано предполагаемое изменение давления в масло-
системе для заданных высот полета в зависимости от температуры масла.
Кривые построены на базе анализа данных летных испытаний. Из харак-
тера течения кривых видно, что резкое падение давления в системе на-
ступает при повышении температур выше 90°С для обычной открытой
системы и для системы закрытой с редукционным клапаном на баке,
начиная, примерно, со 100?С, откуда видно, что при температуре около
100^0 начинается интенсивное пенообразование, приводящее в резуль-
тате к падению давления в системе. ,
Фвг. 13,,
Изменение двмеииа в маелосиетжме в зависимости от температуры масла ва вы-
вожу на мотора для раалнтаых высот (предполагаемое ма базе аиалиаа летных
испытаний).
В открытых системах наблюдается падение давления при повыше-
нии температуры маслй с 80 до 9СРС на 0^7—0,8 атмосфер, но может
доходить до 1J2 ит. В высотной системе, т' и. системе закрытой, с дре-
нажным клапаном двойного действия, пря повышении температуры масла
ва 10°, падение давления (при температурах масла до 100°С) получается
143
0,5—0,6 атм. Указанные данные относятся к одному частному случаю
испытаний, и абсолютные значения не являются общими.
Таким образом на высотность маслосистемы влияют конструктив-
ные факторы системы, конструкция пеногасителя, а соответствие разме-
ров маслорадиатора — условиям отвода тепла от масла на режиме
подъема.
9. Изменение давления масла в зависимости от
количества масла в системе
На ряде самолетов наблюдалось падение давлений масла при! поста-
новке на самолет более мощного мотора с маслонасосом повышенной
производительности нагнетающей и откачивающих ступеней. Вообще
насос с повышенной производительностью приводит к повышению дав-
ления, но при недостаточно надежных пеногасителях и при эксплоатации
мотора на больших мощностях, приводящих к большой теплоотдаче
в масло и к повышению температуры, происходит падение давления
масла.
В результате чего, на ряде самолетов, пришлось увеличить емкость
масляных баков не из условий расхода масла, а для сохранения нор-
мальной работы маслосистемы. Повидимому, одним из критериев, харак-
теризующих надежность работы маслосистемы, может явиться кратность
обмена объема масла в баке в минуту. Если к' — производительность
маслонасоса л/мин. и — объем маслобака, то
C = . (23)
Давление, развиваемое насосом, зависит от кратности обмена, т. е.
Риас « f(c) ".. Это объясняется тем, что при большой кратности обмена
газы и воздух не успевают выделиться из отработанного в моторе масла,
и вспененное масло снова поступает на вход в насос..
На фиг. 14 показано изменение давления в маслосистеме истреби-
теля при полете на высоте Ц —> 4 км при разной заправке маслобаков.
Как видно из фиг. 14, при кратности обмена до 1,3 объем/мин.,
давление сохраняется нормальным при дальнейшем увеличении кратности
обмена, что получается и при уменьшении количества масла в баках,
происходит резкое падение давления масла, доходящее при С — 2,5
объема/мин. до Рна.с~ ат- Если бы удалосв осуществить конструк-
цию пеногасителя на выходе из мотора, до радиатора, можно было бы
улучшить условия охлаждения масла, а также получить значительно
большее давление в маслосистеме даже при полете на больших высотах.
10. Анализ влияния различных факторов на высотность
маслосистемы
а) Влияние скорости масла и длины маслосистемы
Ввиду того, что характер изменения давления, развиваемого насо-
сом в зависимости от давления на вх£>де в насос, для различных насосов,
примерно, одинаков, можно общий анализ влияния различных факторов
на высотность маслосистем проводить на базе одной какой-либо харак-
теристики насоса. При других кавитационных характеристиках абсолют-
ные значения высотности будут другие, но характер изменения высот-
ности при изменении каких-либо параметров будет сохраняться.
144
Анализ проводим на простейшей схеме, изображенной на фиг. 6.
Данные принимаем следующие: масло марки МС. Длина трубопро-
вода в направлении полета г = 100, 200, 300 см, превышение бака над
насосом в горизонтальном положении У — 0, 40, 80, 120 мм;
угол наклона самолета & = 0°, 2°, 4°,8°;
производительность насоса W = 60 л/мнн.
Температура масла на линии всасывания — 65РС. Номинальная
Изменение давления масла при полете на высоте Н—4 км при
разной заправке маслобака.
Насос должен обеспечить минимальное давление при полете на
высоте рнас =5кг/см2.
Кавитационной характеристикой пользуемся для мотора АМ-35.
Скорость масла принимаем разную: гл = 100, 200, 300 см/сек.
Таким образом, рассчитав систему для одною из нормальных вариантов
и изменяя один из параметров, определяем изменения высотности масло-
системы, в зависимости от данного параметра. Высотность маслосистемы
находится из формулы 21. Определяем
Рнас — Р minion
и по стандартной атмосфере определяем высотность. Согласно фаг. 7,
при давлении, развиваемом насосом, р„ас = S кг/см2; Pmin^ ==
== 0,31 кг/см2, тогда —ZJ.
>0 Труды нт^ 1Шг., ».
145
Для начала анализа найдем значение А при г = 100 см, i/ = 120 см,
на режиме горизонтального полета.
Скорость масла принимаем: О' = 200 см/сек.
Секундный расход масла
_ 60 iQ°o_ — {ооо см3/се К,
wce/< — 00 ’
тогда
J P-/OQO
V 3,14-200
= 2,52
СМ.
при •£ = 100 см/сек. d = 3,56 см;
при О = 300 см/сек. d = 2,06 см;
V = Го — 0,0006. • tM = 0,9 — 0,0006.65 = 0,861 г/см3 =
= 0,000861 кг/см3.
А = ХИПу 4- <Гяпх — Ар.
Для горизонтального полета h-y ; Ру = 1; пх = 0 значения потерь
на трение записываем в таблицу.
v см/сек. 100 200 300 . Примечание
ДРт 0,02 0,07 0,16 при 1 •= 100 см.
ДРг 0,04 0,14 0,24 при 1 = 200 см.
ДРт 0,06 0,21 0,48 при / = 300 см.
Потери в сливном кране / = 2,5; на входе из бака £ = 1.
2
тогда при разных скоростях
F = 100 200 300 см/сел
Ap„ = 0,015 0,061 0,138 кг/см2
Суммарные потери Ар
V см /сек. 100 200 300
6Р при /=100 0,035 0,031 0,29»
&Р при /=«200 0,055 0,201 0.378
ЬР при /=300 0,075 0,271 0,618
при у — 120 см имеем
д = 0,00086! 120 — Ар = 0, !03 — Ар.
146
Значения А сводим в таблицу
.см/сек. 100 200 300
А при /=100 + 0,068 — 0,028 — 0,195
А при /=200 + 0,048 — 0,098 — 0,275
А при /=300 + 0,028 — 0,168 — 0,515
В следующей таблице приведены данные высотности и давлений
см/сек. v 100 200 300
Рн 1Н при /=100 Рн 1 в при /=200 Рн 1 и пр^ /=300 0242/10500 0,262/9’50 0,282/9500 0,338’8250 0,408/6950 0,478/5800 0,505/5450 0/ /4300 0,825/1600
На фиг. 15 показано изменение высотности маслосистемы в зави-
симости от скорости и давления масла для разных длин маслопроводов.
При длине маслопровода от бака до насоса I — 100 см увеличе-
ние скорости со 100 см/сек. до 200 см/сек. приводит к падению высот-
ности на 2250 м и при увеличении скорости масла от 200 до 300 см/сек.
высотность маслосистемы падает на 2800 м. Таким образом среднее паде-
ние высотности при увеличении скорости масла в системе на 100 см/сек.
приводит к падению высотности на 2,5 км.
Увеличение длины магистрали при скорости масла v = 200 см/сек.
со 100 см до 200 приводит к падению высотности на 1300 м при боль-
ших скоростях масла высотность маслосистемы падает'значительно. Так,
при скорости масла 300 м/сек. и при длине всасывающей магистрали
высотность маслосистемы получается всего 1600 мм.
б) Влияние разности уровней между баком и насосом
Исследование проводим для одного из расчетных случаев при
i = 200 см и скорости масла v = 200 см/сек. При различных превы-
шениях бака относительно насоса данные расчета сводим в таблицу.
V 0 40 80 120
А кг/смг - 0,201 — 0,167 — 0,312 — 0,008
Рн КГ/СМ2 0,511 0,477 0,442 0 408
Н Л 5300 5800 6400 6950
10* 147
Фиг. 15.
Измвжеиие высотности маслосистемы в зависимости от скорости масла при раз-
личных длинах всасывающей магистрали.
Результаты расчета приведены на фиг. 16, на основании которой
видно, что уменьшение разности уровней между баком и насосом иа
10 см приводит к падению высотности, примерно, на 130 м, т. е. разность
уровней не оказывает значительного влияния на высотность масло-
системы.
в) Влияние положения самолета в воздухе
Для исследования влияния наклона самолета на высотность масло-
системы рассмотрим два случая, когда у = 0 и у = 100 см, длина
магистрали направления полета х — 100 см. По формуле 13
h ~yeos 6 — х sin 0
скорость масла принимаем г = 200 см/сек.
6’ 0 2 4 8 Примечание
h 0 - 3,49 -6,97 — 13,9
А — 0,131 — 0,134 - 0,137 — 0,143
Рн 0,441 0,444 0,447 0,453 при j=0j/—100 см.
Н 6400 6350 6325 6200
h 100 96,41 92,73 85,1
А — 0,105 — 0,118 -0,121 — 0.128
Рн 0,425 0,428 0,431 0,438 при v=100 см /—200 см
Н * 6650 6600 6525 6425
Как видно из приведенной таблицы, наклон самолета не оказывает
влияния на изменение высотности самолета.
г) Влияние инерционных нагрузок
Проанализируем влияние продолжительно действующих инерцион
ных нагрузок на высотность маслосистемы. Принимаем скорость масла
гл = 200 см/сек, полную длину всасывающего участка в направлении
полета х = 100 см и х =200 см при у = 0. рассмотрим, какое вли
яние окажет перегрузка, возникающая при разгоне самолета в воздухе
149
Пусть качество самолета на данном режиме К = 13; Ле —1200 л. с.
И -^паТ =300 л. с.
Найдем величину перегрузки по формуле, 18:
лх —
Хе
Хпот
1 / /20С
« [ 300
— —0,23,
Я
~1
так как мы приняли у = 0, т'о, согласно формуле 20а,
А — ^хпх—др-
Из рассмотренных ранее примеров при х — 100 см. zp = 0,131 кг/см2
и приХ = 200 см; Др = 0,201 кг/см2 и высотности на режиме горизон-
тального* полета были при х =100 см; Н = 6400 и при
х — 200 см; /7 = 5300 м.
Под действием ускорений, уменьшающих давление на входе в
иасос, при длине магистралей I =100 см, высотность маслосистемы
получается Н = 6100 м и при длине I = 200 см; — Н — 4850 м.
Таким образом горизонтальные инерционные нагрузки уменьшают
высотность при небольшой длине магистрали на 300 м и при больших
длинах магистралей на л* 450 м.
При больших избытках мощности разности в высотностйх за счет
инерционных нагрузок несколько возрастают, но, как видно из данного
примера, существенного влияния на работу маслосистемы инерционные
нагрузки на режиме разгона не оказывают. Инерционные нагрузки кри-
волинейного полета могут оказать большое влияние на давление масла,
что подтверждается экспериментами НИИ ВВС.
д) Влияние избыточного давления
Исходя^ из уравнения (22), проанализируем влияние избыточного
давления в баке на высотность маслосистемы.
ЛРиЗЬ ~ Pmin лол Рн А),
откуда
Рн Pmin АОП ~ А — Др изб '
Рассмотрим один из разобранных выше примеров v- = 200 см/сек.,
I = 200 см, у — 120 см, при этом высотность получалась н — 6950 м.
Разберем случаи различного повышения давления в системе, за
счет ли повышения давления в баке или за счет насоса подкачки, распо-
ложенного вблизи бака.
Данные расчета сводим в таблицу
А Р«б 0 -0,05 О 0,10 0.15 0,20 0,25
Ри 0,408 0,358 0,308 0,258 0,208 0,158
н 6950 7850 8900 10050 1400 13200
150
При длине магистрали меньшей, соответственно возрастает высот-
ность маслосистем по абсолютным значениям, тоже происходит и при
меньших скоростях масла. На фиг. 17 показано изменение высотности
маслосистёмы в зависимости от избыточного давления.
Фиг. 17.
Изменеине высотности маслосистемы в зависимости от избыточного давления во
всасывающей магистрали.
Как видно из данной кривой, большая высотность маслосистемы
может быть обеспечена повышением давления в баке или независимо
от бака во всасывающей магистрали за счет постановки дополнительных
насосов. Данные летных испытаний хорошо совпадают с результатами
приведенного анализа.
11. Изменение прокачки масла в зависимости от высоты полетав-
Как было показано в разделе 5, производительность насоса падает
при подъеме самолета согласно зависимости (22). Нафиг. 18 изображена
кривая испытаний шестеренчатого насоса при п = 1850 об/мин. и тем-
пературе масла = 63—64°С, проведенных в ЦИАМе. На этот же
151
график нанесены кривые прокачки масла в зависимости от количества
воздуха на линии всасывания, рассчитанных по формуле (22).
Согласно этих данных, можно при расчете системы учитывать из-
менение гидравлических сопротивлений ввиду изменения пр|окачки масла
по системе.
Фиг. 18.
Применение закрытой системы сохраняет производительность
насоса на любой высоте В данной работе не рассматривался путь уве-
личения высотности маслосистем за счет конструкции насоса, так как
это специальная тема, разработка которой не входит в круг рассматри-
ваемых вопросов.
152
Заключение
При помощи кавитационных характеристик или путем расчета их
можно произвести расчет маслосистемы и определить ее высотность.
Из общих вопросов проектирования маслосистем перед конструктором
стоят задачи выбора скорости масла, для определения размеров масло-
проводов, из приведенных статических данных видно, что в различных
системах применяются разные скорости масла во всасывающей линии
маслосистемы от 65 см/сек. до 200 см/сек,^
Согласно приведенного исследования, видно, что высотность масло-
снстемы в большой степени зависит от скорости движения масла в тру-
бопроводах маслосистемы. Таким образом, с точки зрения получения
большой высотности, следует применять небольшие скорости масла, не
превышающие 150 см/сек. Следует вместе с тем иметь в виду и то, что
при малых скоростях масла возрастает вес маслосистемы. Общеприня-
тые требования о том, чтобы расстояние между баком и насосом было
минимальным, имеет также большое значение, так как при прочих ран-
ных условиях высотность маслосистемы снижается при увеличении
длины магистрали на 100 см на 1200 м при скорости масла V =
== 200 см/сек. При небольших скоростях масла длина маслопровода не
оказывает существенного влияния на высотноеib.
Некоторые конструкторы стремятся маслобак поднять как можно
более высоко над насосом с тем, чтобы увеличить статическое давление
на входе в насос; из произведенного анализа видно, что разность уров-
ней между баком и насосом не оказывает большого влияния на высот-
ность маслосистемы. Увеличение разности уровней на 10 см приводит
к увеличению высотности меньше, чем на 150 м. Однако, высокре рас-
положение бака относительно насоса способствует лучшему отделению
газов и воздуха в баке. Положение самолета в воздухе и влияние гори-
зонтальных инерционных нагрузок незначительно сказывается на высот-
ности маслосистемы, поэтому эти факторы можно при расчете масло-
систем не учитывать. Весьма существенно влияет на высотность масло-
системы избыточное давление в маслосистеме на линии всасывания.
Таким образом маслосистему можно спроектировать надежно рабо-
тающей для любых высот, создав давление в баке постановкой дре-
нажного клапана или постановкой дополнительных насосов подкачки
масла. Давление в баке не должно превышать 0,3 ат.; повышение давле-
ния лимитируется прочностью и весом бака. Следует также иметь в виду
и то, что при выработке масла, за счет возрастающей кратности обмена
объема бака, падает давление в главной магистрали мотора, что приво-
дит к падению высотности. Это обстоятельство меньше сказывается на
самолетах с большим радиусом действия и в большей степени на само-
летах с ограниченной дальностью, имеющих небольшой запас масла. При
разработке систем необходимо предусмотреть установку надежно рабо-
тающего пеногасителя, который улучшает условия тецлоотвода от радиа-
тора, обеспечивает лучшее использование объема маслобака и улучшает
работу маслосистемы на больших высотах.
153
Как нам кажется, одним из наиболее радикальных способов улуч-
шения работы маслосистемы является постановка сепаратора на линии
выхода масла из мотора до радиатора. В обычной системе пеногашение
осуществляется в охлажденном масле, когда велико поверхностное на-
тяжение масляной пленки и выделить газы и воздух из масла чрезвы-
чайно трудно. При постановке сепаратора до радиатора, выделение газов
и воздуха из масла облегчается ввиду того, ч)то вязкость при высокой
температуре значительно ниже, чем при низкой. Постановка сепаратора
может привести к резкому падению содержания воздуха на линии вса-
сывания насоса, что приведет к повышению давления, создаваемого на-
сосом, и повысит высотность, маслосистемы.
Техник-лейтенант С. А. Алексеев
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТНО-ВОЗДУШНОЙ
АМОРТИЗАЦИИ
Жидкостно-воздушная амортизация шасси самолета представляет
значительные трудности для исследования и расчета. Главная трудность
заключается в том, что на работу ее оказывают большое влияние ско-
рости движения: силы, возникающие при обжатии стойки, зависят не
только от положения частей стойки, но и от их скоростей. Зависимости
эти нелинейны, и это их свойство делает неприменимым принцип супер-
позиции, или наложения, столь популярный среди инженеров. Сложный
характер зависимостей сил, перемещений и скоростей перемещений за-
трудняет непосредственное элементарное исследование движения .
Единственным правильным и вполне надежным методом исследо-
вания является по возможности строгое математическое, решение задачи,
т. е. интегрирование уравнений движения. Этому именно вопросу и по-
священа настоящая работа.
При решении задачи о движении амортизационной стойки при по-
садке приняты следующие допущения:
1. Колесо передает на ось только силы, направленные вертикально.
Об этом допущении ниже будет сказано подробнее.
2. Подъемная сила крыла не зависит от обжатия стойки.
3. Угол в между вертикалью и осью стойки с ходом амортизации
не меняется.
4. Данные динамических и статических испытаний пневматиков
совпадают.
Согласно принятым допущениям, при посадке самолета на горизон-
тальный аэродром все силы, действующие на самолет, вертикальны.
На фиг. 1 показана схема сил, действующих на самолет в момент
посадки на три точки. Подъемную силу Уо ., силу веса Бо и д’Алам-
берову силу инерции Му считаем приложенными в центре тяжести.
Нетрудно видеть, что сила, приложенная к хвостовому колесу, равна
р____— р
где Рк — сила, приложенная к колесам главного шасси. Из рассмотре-
ния фиг. 1 следует, что
Рк + Рг -/Иоу~Со+¥о=0
или
p,^fJ-^=Go-ro-
155
Отсюда получим первое уравнение движения:
— Му + Р< = G- у.
О)
Здесь: ъ
G-Go-^> У~УО а + ъ
Рассмотрим теперь действие подвижных частей амортизации на
самолет (фиг. 2). Здесь Рс — сила, действующая вдоль стойки. На пря-
мом ходе она равна сумме сил давления воздуха Р& , сопротивления
жидкости Рж и трения Ртр .
фнг. 2.
156
На обратном ходе
?ТР ’
(3>
Q' и Ох — реакции, возникающие от действия штока на ци-
линдр. Система сил рс , Q', и G' должна быть эквивалентна силе
рк , приложенной в точке В Перенеся эти силы в точку В, получим
(фиг. 3)
Момент М — Gl\L~Q2 (L- l~S)
считаем малым и в рассмотрение не вводим.
Рассмотрим силы, действующие на подвижные части амортизации
(фиг.// 5). Силу инерции гп& прилагаем пока в центре тяжестй подвиж-
157
ных частей. Здесь S — обжатие пневматика. Сумма проекций на ось
стойки
Рс —Рк cos 0 — m3 сое <р -о.
Сумма проекций на нормаль к стойке
О,— й'2 + Рц sin0 И- m3 Sin —0.
Учтя (4), получим
Рс tg 6 - Р* sin Q —тЗЪдв C0sy> = 0
— Рс tg 6 +Рк sin 0 + m3 sin<f— 0.
Отсюда
m3 (Sin <f — cotftg 0) —0.
Так как т8£ 0, . то найдем, что углы В и у равны между
собой. Таким образом получим второе уравнение движения:
m3' + Pv~ — 0.
Преобразуем (1). Из (5) имеем:
Фнг. 5.
158
Величиной , весьма малой сравнительно с другими членами этого
уравнения, пренебрежем и получим лепное уравнение движения системы
в другой форме:
(6)
Как видно, здесь написаны уравнения вертикального движения на-
шей двухмассовой системы. Силами, возникающими от горизонтальных
перемещений, вызванных обжатием стойки, мы пренебрегли, и это яв-
ляется пятым допущением, принятым при решении задачи.
Однако, при обжатии амортизации, особенно на посадке, могут воз-
никать значительные горизонтальные силы. Покажем сейчас, как их мож-
но учесть, не выходя далеко за пределы сделанных предположений.
Допустим, что горизонтальная сила равна вертикальной силе, ум-
ноженной на коэфициент (* = const.
Фи г. 6
Спроектируем силы Рн и (*РК на ось стойки (фиг. 6). Получим:
COS в РН-+-(*РК-81пе = Р"(С05в +(* find).
Величину cos9+(*sinG обо' ччим через К . Сумм сех сил, дей-
ствующих вдоль оси стойки на щ^.лижные части •’мортизации, будет.
гп8cos в + Рц- ?с ~ -•
Для простоты примем, что горизонталь? ... сила связана не с силой
рк , а с суммой
т + Рк •
Тогда найдем
т$ + Р* — Рс ; н = о (?)
Сравнивая это выражение с (5), видим, что розница заключается
в том, что постоянная cose заменена другой постоянной К , структура
же уравнения осталась той же.
1»
Таким образом, горизонтальные силы,- действующие на колесо,
учтены частично коэфициентом И . Этим коэфициентом учтена с шагаю-
щая горизонтальной силы, действующая вдоль стойки. Нормальная сла-
гающая оказывает влияние на величину трения в стойке. Чтобы опреде-
лить Ртр , рассмотрим равновесие подвижных частей амортизации (см.
фиг. 7), введя сразу д’Аламберову силу инерции подвижных частей m3.
Сила трения состоит из следующих трех частей.
Pr^K.Q, -hK2Q2+K3Pg.
Здесь К, О, — кулоново тр'ение в верхней буйсеТ^-кулоново тре
ние в иижней буксе, K5Pg — трение в уплотнительной манжете, которое
мы считаем пропорциональным давлению воздуха в цилиндре.
Сумма проекций на ось стойки дает
Р6 + Ртр -(РкР^) C0S в=0>
т. е. известное уже уравнение (5).
Из рассмотрения фиг. 7 нетрудно получить следующие равенстве:
Etf '= Q' - Q ' + (Рк + m3) Sin в =0
-q'' = о
= 0.'2 (8 +S)-(PK + m3) sinBL = 0
+S)-(Pl<-pm'8)cicos0=O
160
Отсюда легко найти-
@2 = ( Рк + Sin 6
О'' = Q1' = (Р"+т$) еа+- cos О
Полная нормальная сила в верхней буксе
а, “Л/*?7,2= (рк + m3) cose^a^+iL-e-s)3^ е-~
Полная нормальная сила в нижней буксе:
Q2=l/fl'2 = (Р* + совв^аг + L* Ь9*в T+s'
3Снла кулонона трения в обеих буксах:
QX + K,Q = ^ГТТ-COS e(lWCP+(L - L -s)a tga e+Kjfa+tHf0
Обозначим:
( pk + mSjcos &( <- +Mt,
Отсюда
____? ,........_-~x (9)
1 - +K\fa2 + La t?*B
Сила трения теперь выразится так:
Pmp^l-&-)(£}< ^tnS)coee+ R3Pg. (ga)
Из (5) следует, что
(Рк + /пЬ) COS 9 = рс ~ Рзк ртр
Из двух последних равенств легко получить, чтсг
Рс - <Х( 1 + К3)Pg (to)
Таким образом, величина сс , зависящая от хода з и от конструю
типных параметров стойки, определяет трение системы. На фнг. 3 даиы
кривые « по s Для стойки Ла-5 при /V, = д2 = /<
(0,14^ 0,26).
Если бы кроме вертикальной силы Рк +гп& к кочту была при-
ложена и горизонтальная сила (*(Р,< + ), то мы имели бы
» Трухх нт* »й г., Т. 2.
161
Q’t-Q'll+(PI<+ m8)(sin в +(* cos0) = О
XM'A =Q'(L+S)-(PH-f-fn3Xsine+rcos0)L = O
и соответственно
Q2 =(PK -t-mS)-j~(sin0-t-(^cose)
Q' =(P,< + m$)(- f + -J^ysin6 +(*cos6)•
Реакции внешних! сил в верхней и нижней буксах были бы соот-
ветственно
Qi +f92 ;
Q = cose \Га2+ь3(1д9+г)*-
и выражение для <* приняло бы следующий вид:
• I»•/
l-T^[H1\/o^+(L~L-s)2(tg0-b(^)2 +y/a^Li(t3e+C')2)
Таким образом, горизонт льная слагающая полной силы взаимо-
действия колеса с поверхностью земли выражается через некоторые
изменения в постоянной в уравнении (б) и через изменение в величине
се, учитывающей трение системы. Зная4,величину горизонтальной силы,
действующей иа колесо, мы легко можем подсчитать обе эти величины.
Отсюда следует, что первое из введенных нами допущений не является
существенным.
Влияние обработки поверхности штока и опорных букс
на трение стойки Ла-5. К—коэф. трення.Кулона между што-
ком и буксой; а—коэф. трения системы: Рс = а (Рж + Рмзя).
Самолет в трехточечиом положении; трение к уплотнитель-
ной манжете отсутствует.
161
Фиг. 9.
Силу сопротивления жидкости будем считать пропорциональной
квадрату скорости перетекания. Пусть $ — скорость вдвигания штока
в цилиндр Истинная скорость перетекания жидкости будет (фиг. 9).
Теоретическая скорость перетекания
ЦГг = -££-.
т (*f
Давление истечения
6 — У — rf~2 с2
Рд ~ 2^2/г
Сила сопротивления жидкости
Р = A F—
Обозначим
= 2м^г f^ose'
Тогда
P^ = C(S) S2 ~~ COS6- f/3)
Силу веса 0 и под’емную силу Y учтем коэфициентом
II
1ез
Обычно считают, что воздух в стойке сжимается полнтролически-
Если показатель политропы п , то сила давления воздуха
где Ро — давление воздуха при s = о 5Э— максимальный расчетный
ход; $ — безразмерный коэфициент;
a Fg • S3
vo
Здесь fe-S3 —разность объемов воздуха при S=0 и 5 = 5Э,^-
объем воздуха при S = 0.
Значения коэфициента п полученные из опыта, лежат между 1,1
и 1.3; при этом отмечается, что коэфициент п меняется по ходу амор-
тизации. Это указывает иа то, что действительный закон изменения Pg
по 5 не совпадает е политропическим и что формула (15) является при-
близительной. Но можно найти множество функций другого вичг» столь
же хорошо описывающих действительную зависимпгтъ. как и функция
(15). Поэтому мы, не уточняя вида этих функций, обозначим
Pe^P^(S)f
где p(S)~ одяа из функций, меняющихся в интервале^/, ~fr) к пропор-
циональных изменению давления воздуха в цилиндре в зависимости от
хода штока.
Здесь обозначено:-
по —коэфициент предварительной затяжки, равный отношению
давления воздуха при S=0 к давлению воздуха при стояночном обжа-
тии стойки;
п? —расчетная перегрузка при обжатия амортизации.
Построим одну из функций v°. Разложим величину (1 —
в степенной ряд по степеням &~ ограничив разложение первыми
тремя членами рядч
^3J J з z ' t>3/
Разложим это выражение на мнад пели
Обозначим
О»
164
Обычно
Величина р£ -~
Ьз
весьма мала сравнительно с единицей. Поэтому
Отсюда
¥>(*) =
При этом
Г)3__Яр
п3 +рп„
(19)
(20)
Нетрудно выразить величину Ро через другие величины. На сто-
янке имеем (Рж=о) из (10) и (6)
+K3)Pt cr = Mj COS 6.
Отсюда
=----М£сы0
Г6СТ ^ст(1+К3) Го Г(ЬСТ).
р
Но по определению Pg ст= • Отсюда
р _ -МдпрсаР .
° **<*((+К3) ' '21>
Сила давления воздуха теперь выражается так:
= Mgn0cosG_ }
6 «*„(/+я3) v } ( }
Обработка данных статических испытаний пиевматиков позволяет
с достаточно большей точностью представите силу обжатия пиевматиков
следующей формулой:
р* = а8г + Ър8 (23)
Здесь: а,ъ — постоянные для каждого пневматика величины (см.
табл. 1);
р —давление воздуха в камере пневматика;
S' — обжатие пневматика.
Уравнения движения нашей системы в общем случае прини-
мают вид:
M(SCOs0 + 8)-P М^п: <p(S)+C(s) M S2 =
m'S+P"- по v(s)+MC(s) s^-~ О.
165
Таблица 1
Пиев.матик а • в о ст. рек. мм 6 м д. мм Давление в камере кг/см2
Наименьшее Наибольшее
600X180 0,075 6,95 45 120 2,0 3,5
650X200 0,1 6,5 52 124 2.0 3,5
7(0X200 0,040 10,25 53 137 2.0 3,2
750X200 0,0105 8,60 62 153 2,5 3,2
800X260 0.0457 10.41 62 160 2,0 3,2
900X300 0,0584 11,10 80 190 2,5 3,5
1000X350 0.0572 13,25 87 220 2,0 3,2
1100X400 0,0466 12,20 108 270 2.0 3,2
1200X450 0,0562 16,05 98 253 2,5 3.5
Примечание. Величины айв, данные здесь, соответствуют обжа-
тию 6, выраженному в мм. В атом случае формула (23) дает Р» в кг. Чтобы
получить Рк в кг, если К выражено в метрах, нужно приведенные здесь вели-
чины а умножить на 10е, а в- на 103.
После деления первого уравнения на JA , второго — на т , по-
лучим:
(24)
^-^--T£(g7-S-Sn«*’W+^-c(sjs9=o (25)
Движение стойки на прямом ходе разбивается на три периода:
1. Обжатие пневматика при штоке, неподвижном относительно ци-
линдра. Стойка работает, как неизменяемое твердое тело.
£ У=0,‘ S—0.
2. Совместное обжатие пневматика и стойки при отсутствии силы
сопротивления жидкости. Такой вид движения имеется у стоек со сво-
бодным ходом. У любой стойки в начале относительного перемещения
штока цилиндра или вообще в близости к точ1ке, где скорость S равна
нулю, можно выделить некоторый промежуток ходов, где скорости S
настолько малы, что сила сопротивления жидкости незначительна срав-
нительно с другими силами, действующими на стойку. В этом случае,
очевидно, имеем:
8^0; S^O; С (5) —О.
16b
3. Общий случай. Учитываются все члены уравнений (24), (25)
& 4=0, 5^0, СфО-
Интегрирование уравнений движения системы ведем раздельно для
каждого из указанных трех периодов движения.
В первом периоде движения считаем, что вся масса системы со-
средоточена в центре колеса. Уравнение движения:
(Л4 + т) § +• Рк = Мур.,
Начальные условия: при 1—0 имеем , где —вер-
тикальная скорость самолета при соприкосновении пневматика с по-
верхностью земли.
Это уравнение нетрудно интегрировать, но в этом нет нужды, рбо
₽ сущности нас интересуют значения , 8 и только в конце первого
периода движения, то есть в тот момент времени, когда шток начнет
свое движение относительно цилиндра. В этот момент уже имеет силу
уравнение, описывающее движение подвижных частей во втором пе-
риоде движения:
~ в- М$по у(5) = 0- (26)
Исключая из (24) и (25) получим:
Зная значение Рк в конце I периода, найдем обжатие ему соот-
ветствующее, по (23).
Чтобы найти скорость 8 в конце первого периода, проще всего ис-
пользовать теорему живых сил:
у-(/Иi- т) (28)
Здесь) А к — работа обжатия пневматика:
Ан = jf 2 -i- . (29)
Время первого периода можно достаточно точно подсчитать по
формуле
<30)
где 8О и 8О —соответственно обжатие и скорость обжатия пневматика
в конце первого периода движения.
Во втором периоде движения уравнения движения системы имеют
вид:
s cose + 8 + $no <f(s)
^СТ
167
Будем предполагать, что второй период движения имеет место на
малом отрезке ходов, так что кривые 4>(s) и РЛ(£) можно без
большой ошибки заменить касательными в надлежащей точке. Имеем
Уравнения движения примут вид'
Sco$0 + ? =_/3^ (31)
~Рг(р*о + (& - М - ТГ (Ро + ?о (S-So))=0. (32)
Исключаем из тгих уравнений
5 coSe--^(p^p^-so)) ОЗ)
Диференцируем два раза по времени
' 5 cose - ~ рк J+дпо(<+ v'os = о.
( г>'
Уравнение (31), умноженное на 757 >
Исключаем нэ последних двух уравнений 3:
"scose+(-^- cose+jn0<e'c(i+ —)}s +
<9n“s-<)
Деля на cos0, найдем
's^+ai, 9*WS-
b (m + J °r°{ cose тк!]ь+ mcosQ 5
~^0^-n^-+n‘s‘^) (34)
Правую часть этого уравнения можно переписать так:
vl0)]
т cos б vy ст v
Легко видеть, что общее решение (34) имеет следующий вид:
S — A cog зе, t -t-B sin.x, t + Ceos xz t +7) sin ae2t +•
Px g f tx.o \ m cos в
+ tncos e ~ otCT ft0)) gn PJ (fl'
168
Аля частот зс, нХ2 имеем следующие равенства:
эг2 х х2=
9 г>о Рк Ч><
т cos в
3f,'4 + xa'—7п~ + 9n°4’°(cose + тК^'
(35)
(36)
Действительно, характеристическое уравнение имеет следую-
щий вид:
и / р' ,, { м Л 2 ,
_ 0
тСо$в
Если обозначим коэфициент при ж2 через 2Н, а свободный член —
через К, то это уравнение будет иметь решение
аег = —Н± \/ Н2-К
В случае, если н2 >К °ба корня эб*2 будут вещественными, и от-
рицательными. В приведенном ниже численном примере, характерном
для истребителя, мы- получим:
2Н = 9 370 сек-
К = 219 000 сек?*.
Отсюда
Н* — К = (9 370 : 2)2 — 210 000 = 22 000 000 — 219 000 сек-<^>0 .
Начальные условия для определения постоянных, при t=0 S—Soi S=5„.
Свяжем величины 5 и $ с величинами S и 8О при б = 0
Из (331 имеем при t = O
5О cos О ~ 4- ?<>
откуда
s - Р*° -qfn Г—L- + :
so~mcose [п°\cose mKJcos6
Диференцируя (33) по времени один раз, получим
scoSS-^f:s v^=0’
откуда
с’ — r-ап I —-— 4- 5 у7 -
т cos 6 ° \ cos 0 гпК) ° °
(38)
169
Диференцируя общее решение и полагая t — 0, получим следую-
щую систему линейных уравнений:
S0=A<~C +(f~no^-T ¥(О))т£р7
S=-3f?A- К2 С
.° 2 I (39)
So = +
So=~*? В-*’]). -
4
Решая эту систему, определим постоянные.
Однако, здесь уместно будет заметить, что одна из частот, напри-
мер эеу , значительно больше другой частоты. Рассмотрим порядок ве-
личин правых частей (35) и (36).
Возьмем случай, типичный для истребителя. Колеса возьмем
700 X 200. Если вес самолета на посадке 6=3 200 кг и иа главные
колеса на стЬянке приходится
0,96= 0,9- 3 200 => 2 880 кг,
то
м=2^80 = м7кг*
Угол в возьмем равным 15°. со$ G=Q$7.
Вес подвижных частей амортизации одной ноги возьмем рав-
ным 40 кг
т = 4 кг?
С
Пусть ----=1,05, К = cose, т. е. горизонтальная слагающая на
оесг
колесе отсутствует.
по = 0,8; J3=O,25. Тогда по (27) получим силу Рк в начале второго
периода
' Рко = *4o[(l + -±) 05.0^-Ji^. 0,2Sj
PKo = 1140 кг.
Теперь определим обжатие пневматика в конце первого периода
движения из (22).
Для колеса 700 X 200 имеем (/» = 3 атм); а = 0,040; b = Iff, 25.
Нам нужно выразить5вл. Поэтому
а =40000, Ъ =>10 250.
Имеем
40000+ 3- /0250 6О= 1140
- 3-tO250 ±У(ЗО750)г + 4-40000- 040
2 40 000
$q=0,O37m = 37 мм.
170
Рк = 2a$0+bp = 2 40000- 0,037+30750
Р^= 2980 + 30750= 33750 кг/л.
Функцию •?($) вЮзьмем из (19). Производная ¥>'(S) имеет вид:
При S = so имеем
г-
Вблизи S = О
«ь'=(*+£)•—•
so
Расчетная перегрузка на посадке
= 40000 - 0,1372 + 30 750 - 0,137= 750 + 4220 = 4970 кг.
п _ 2-4970 _
Величину Р примем равной 0,06- 5Э = 0,25 м.
= _3,45-0,8------- 0 ?55
3,45+0,06-0,8
^=К06-^-=3,21.
Подставив это в (35) и (36), получим:
□г® . 9,8-0,8-33750-3,2/—2/9ООО ——
к, -агг=--7^^--------гтоии ceii
+^=-^~+W-0,8-3,2f(-^ +
И
<*? + х? = 9370 ~г-
Определим
эс2 и Л”’
эг* - 9370 хг + 219000 = О;
№ = 4585 ± 4685]/!-i
^Я=937О^-,
^_gi9OO0= 23^-Ц-
2 2 - 4685 ' сенЛ
171
Отсюда
Величина t , входящая в выведенные формулы, настолько мала,
что величина xst значительно меньше единицы Это будет далее пока-
зано примерными расчетами.
Такйм образом, можно заменить
cos X2t^ 1
Sin XQt.
He вводя пока упрощений, найдем постоянные, входящие в общее
решение, из (39).
t / <х х2__________х2 с______—— ;
ПОЧ>' fi~no ОГСГ VW) xf — X* xf-xl ° X*—X\
C = п^^~П° «7Г VC0)) + =
ЭСг So
~ ~зе,(х2 * * — 3f*2) S° xt (эе,г -
n c -f
Общее решение имеет вид:
v,0))l,+^^lcos cos*‘ ‘Ь
~ Xf-X> C0$ ^~C0S^)~
f X% sinx, t X,2
5° ( X, x2
••• f f sinx, t
X,
<
2 — X?
sinx2 t
X2 -
172
Вводя упрощения, о которых было сказано выше, получим!
зе, cos3cs t X x3 f. „
CO5 X,t-----Ж?~Ж*~ Л“ "5?r(/~C0S^f^
X* cos хг t __ .
3f,3- 3f}
ле3 cos ж, t
x,s ~
~3 *_ (cos ae,t- cosx2t)^ - c°s *?, t)
i 2 1
j f i
I 'ZT S:n Sin
Ш-j (Л , I f ' JT^ £ J
____1 { sin зе, t sm3f2 t ) -/ /
af’-ar/ ( эе, x2 J~ зс? (*Л s'n^
Общее решение принимает следующий вид:
s„ + -^-(^,1 ~ 51п *) +
2 ” (40)
*• (W Гл - + -^-C0Sde‘ 1
Рассмотрим выражение кЗ?-> Так как скорость s0 в сил}' предпо-
ложений, сделанных при пешекии настоящей задачи, мала, то, учтя
приведенные выше численные подсчеты, можно утверждать, что второй
член правой части мал сравнительно с первым. Если s — 0, то он равен
нулю. Поэтому пренебрежем этим членом. Получим:
Вычислим коэфициент при (I —cosv^t ) в последнем выражении
решения, пользуясь (37).
/ / сСст ^2
~»Г\ г
_/_Г Л ccfT ___pfo ~q(n ( 1 4-
Ч ~по 2 ЮСО5 0 °'COS6 гг>к) cosdjj
-2_[ 0'25~1>05 2^ i -о 8/r0ff(~-f-^l-—)l=-24
xf L -0,8 2,72 4-0,81 У’в{а’а\0,97 4 ) 0,97/J ЭС,2
Вычислим коэфициент при - sin ж,1)
К Л / __ 7 р'х -J 3375°- 3>6 = \ ,??.
mcos0 зез ж1 rncosQ-эе, зе3 4-0,97-97 Х1Л
m
Из последующих просчетов будет видно, что величины (Xtt-Sinx,t)
и (1—COS кft) имеют один порядок. Поэтому членом, содержащим
множитель (1 — cos xt t ), можно без большой погрешности пренеб-
речь. Для случая, когда so =0, имеем:
S = — (эе. t — sin эе t). /42\
X? т cos в ' ' ' ( /
Диференцируя (42,) получим:
5 = —Рк 9e,t). mcos 6 X? v ' 7 j1 1 Диференцируя (43), найдем: (43)
' * _ 80 sin t * mcos 0 Xf (44)
Из этих формул можно определить время второго периода по дан-
ному ходу — например, для стойки ср свободным ходом, или по данной
конечной скорости.
Если имеем свободный ход, например, 30 мм, то имеем трансцен-
дентное уравнение, следующее из (42):
. Л 0,03 9370 97-^0,97
= 0,866.
Решая это уравнение методом подбора, получим
dctt = 1,83.
Отсюда
t = -4Д = 0,0188сек- X.t = 9,85-0,0188 = 0,091« / .
Скорость s в конце свободного хода (cos эе, t = — 0,256)
S _ 33750- 3,6_ ' , t+02S6) = ь 20 м/сек.
К - 0,97- 9370 ' 7 ’
Теперь найдем время второго периода, если известна скорость S
в конце его. Пусть эта скорость равна 0,5 м/сек. Из (43) имеем:
' 33750-3,6 ’
cosze,t = 0,850
эс, t —0,556
SinXf t = 0,527
* = °’556. —0,00585 сек.
97
174
Ход, на котором происходит рассматриваемое движение, равен
по (42)
с -____33750_-----fQ 556 -о527)= 0,00100 нЧпм.
5 4-0,97- 9370 97'
Определим еще ход, в конце которого скорость S равна нулщ. При
этом
cos — l
xtt=z 6,28
sinzet = О
_ 33750-3,6-^28 _ 0 2/7/и = 217 мм.
9-0,97-9370-97
Эта величина не имеет реального значения, так как формулы (42) и
(43) выведены в предположении малости хода S . Она показывает толь-
ко, что практически скорость s может лишь возрастать и что на сво-
бодном ходе шток не может иметь мгновенной остановки относительно
цилиндра. Имеет смысл рассмотреть еще один случай, когда время сво-
бодного хода весьма мало. Тогда можно написать:
эг t —sin
' О
и
t — cos
2
Тогда из (42) и (43) будем иметь:
р; t3
mcos 6 6 *
^Pi, So
* tn COS О 2
Из этих двух формул следуют такие:
2m cos 6s’ = 9Рк So S2
35 -tS.
(45)
(46)
(47)
(48)
Оценим степень точности этих формул.
В рассмотренной задаче об определении параметров движения
и конце свободного хода 30 мм мы получили s=^20 м/сек. н
t г= 0,0188 сек. Из формул (47) и (48) мы имели бы
S ^9-33750;3,6-^3L=s ^/сек
V 2-9-0,97
175
Ошибка
5 09-9,20
----100 = 20,0 %
t = 3'-^-Р-— = 0,0179
э,О9 '
Ошибка
0,0188—0,179
0,0188
= Ь1%-
В другой задаче мы определяли параметры движения в точке, со
ответствующей данной скорости в конце промежутка $ = 0,5 м/сек.
Мы нашли 5—1,0 мм; t = 0,00585. По формулам (47), (48) получим
2 4-0,57 о,53
9 33750 - 3,6
— 0,000992 М
Ошибка
- 97;О-- •
t = ^ D'°°O992_ _ 0,00565
( Ошибка 3,9%)
Из этих расчетов как будто можно сделать вывод, что упрошен-
ными формулами можно пользоваться для определения времени. Для
этой цели удобнее формулы (45), (46). При определении же скорости s
эти формулы дают значительные погрешности Однако, определив из ниЛ
время, мы, зная величину эе,, сможем вычислить скорость S , не решая
трансцендентного уравнения. Такой способ расчета даст ошибку того же
порядка, что ошибка при определении времени, т е по приведенным par
четам ошибку в 4 -н 5 %.
Переходим к интегрированию уравнений движения (25* и (24, пр*и
условии, что скорость обжатия стойки 5 настолько велика, чю силой
нельзя пренебречь.
Рассматриваемая система представляет собою систему неоднород-
ных нелинейных обыкновенных уравнений второго порядка. Вид этих
уравнений достаточно сложен и их интегрирование весьма затруднитель-
но. Конечно, вводя различные предположения, направленные главным
образом на их линеаризацию, можно их упростить. Наиболее простыми
предположениями являются: предположение линейной зависимости меж-
ду силой давления воздуха и обжатием стойки, предположение линей-
ной зависимости между силон и обжатием пневматика, предполо-
жение о независимости трения от обжатия стойки и, наконец, предполо-
жение о том, что сила сопротивления жидкости зависит от скорости
обжатия стойки в первой степени.
Если первые предположения имеет смысл вводить, чтобы получить
представление хотя бы о качественной стороне явления, то последнее
коренным образом искажает действительное распределение сил и дви-
жений Без этого предположения линеаризировать систему не удается,
а потому и первые предположения бесполезны,
TG
Ниже предлагается обратный способ интегрирования системы (25),
(24), не требующий никаких дополнительных упрощающих предположе-
ний, помимо оговоренных в начале настоящей работы.
Метод заключается в следующем:
Пусть имеется определенная амортизационная стойка, связанная
с массой М (см. фиг (О) и движущаяся так, что соблюдаются все усло-
вия, высказанные в начале настоящей работы. Пусть заданы также на-
чальные условия движения. При этом, очевидно, закон изменения вер-
тикального ускорения массы »М по ходу амортизации будет вполне оп-
ределенным лишь в том случае, если задан профиль поверхности аэро-
дрома, по которому катится колесо До сих пор мы предполагали про-
филь аэродрома прямолинейным и горизонтальным, что выражалось в
том, что мы отсчитывали величину У от поверхности земли.
Фиг. 10.
Если же профиль аэродрома не прямолинеен или не горизонтален,
то мы не имеем единственного решения задачи.
На фиг. 10 видно, что координата \ является расстоянием поверх
ности земли в точке касания колеса от некоторого уровня.
Уравнения движения системы теперь примут вид;
-A+Scose + S + £— (491
и Тру*м НТК 19Н Т. а.
1П
Мы имеем два уравнения, содержащие три подлежащих определе-
нию функции: Д , S,$ Задача остается неопределенной, пока» мы не
дадим третьего уравнения, связывающего эти неизвестные.
Например, мы можем задать профиль аэродрома Д =< Д(£) и ис-
следовать поведение нашей стойки на таком аэродроме.
Мы же поступим иначе. Очевидно, что
у= Д — ScosB— 8- (51)
Мы заранее зададим закон изменения ускорения массы М по ходу
амортизации $ . т. е. зададим функцию
У = У(3) (52)
и будем искать функцию Д(5) так, чтобы система (49), (50), (52) удов-
летворялась. ,
Физически это значит, что заданную перегрузку массы М мы бу-
дем обеспечивать, подбирая подходящий профиль аэродрома. Не прово-
дя исследования возможности разрешения этой системы, т. е. не опре-
деляя возможных видов задаваемой функции?/#), мы будем предпола-
гать, что если y(s) непрерывна и диференцируема, то решение нашей
системы существует. Таким образом, интегрируя систему (49), (50), (52),
мы вообще получаем картину движения амортизационной стойки по не-
ровному аэродрому. Степень неровности аэродрома, т. е. его профиль,
выражаемый функцией /\(S) , зависит от предположенного заранее за-
кона изменения перегрузки по ходу амортизации. Если мы пользуемся
приближенными методами расчета движения по горизонтальному аэро-
дрому, то предлагаемый метод дает возможность оценить степень точ-
ности приближенных расчетов путем построения профиля аэродрома и
сравнения этого профиля с реально возможным профилем аэродрома.
Итак, имеем
У=У(5). (63)
Подставляя это В (49), получим
~ У + 9П° V(S) +C(S)Sl=fS.
Разрешаем относительно S2:
= +
В правой части все члены зависят от 3 и заданы, как функции
от S . Обозначим
/(5)-^= fWS))
Нетрудно видеть, что а
д di _ 4?
1 df f
П8
В дальнейшем диференцирование no S будем обозначать штрихом.
Расстояние центра колеса до уровня отсчета обозначено на чер-
теже г . Очевидно,
Z =4 + R ~ 8,
1де R — радиус пневматика.
Также очевидно, что
Уравнение (50) примет вид:
-i t £ - s')-o.
Разрешая это относительно и учтя (54), получим
^мсо1е
Таким образом,
«О Р, =я,^Л
Поэтому (55) связывает величины 8 и S . Легко видеть, что
£ = (S'i)=ti's) S = VF £ (<5'^ •
Имеем
А = у— const з Со$0+&,
(S6)
откуда
А — у+SCQS&+£'
и
(st)
С другой стороны,
d*A d d& d <Ja ds .r_— dA
-Jg-- (58)
12’
Сравнивая равенства (57) и- (5в), получим:
ds z
Делим на xff в предположении, что рассматриваемая задача имеет
место в тех случаях, когда =.£ отлична от нуля. Там же, где S
мала или равна нулю, имеет силу рассмотренная выше задача о движе-
нии амортизации при условии Р* = О.
COS&
2
Интегрируем от so ао S . Получим:
так как
y0=-A0-So cosB-d0,
го b=y0+fJ^+coSey[r + 8'}/7.
JSo У! f
Физическое значение интеграла в правой части — разность верти-
кальных скоростей массы М. в текущий и начальный моменты. Дей-
ствительно,
rs й de fs d2y ds f* d1 У jt dy(t) dy (to)
/ V==J -dT^-dl-------dt--
'So Vf J.sa
Чтобы интегрировать дальше, учтем, что
(/Д </<Д ds
dt “ dS ~dt
y[f^& =fS +c°seV7+\[r~+yo'
oS as
Делим на Vf \ что допустимо на основании высказанных выше со-
ображений:
И. = ‘ (s +Cose^ 4- *
ds -tfT J уГр ds Vf
Интегрируем еде раз ст So ДО 5
д-д0=У?-Х-у5-^=- ds ч-s cos 0-5оСО5В^-8в+^
180
Эта; формула определяет зависимость профиля аэродрома Д от
пыбранного закона &ls). Входящая в (6Й) величина 8 определяется
через 'ход стойки S из формулы (§S). Зависимость между Рх и 8
может быть любой; совсем не необходимо пользование формулой (23),
•та зависимость может быть выражена ^графически.
Выясним смы€л>_интегралов, входящих в (60)
= у - y0-yo(t-tp).
Если подставить это в (60), то получим:
у - л + s cos в + 3 — у0 — Ао + So cos 0 + 8о.
Это равенство справедливо, в силу (56).
Рассмотрим теперь задачу, решение которой основывается на про-
веденной интеграции системы (25), (24), именно — последовательное вы-
числение движения (поверочный расчет).
Зададим функцию у($) следующим образом:
У' = ? "о ^7- ¥($) -рд <CS* + ЛC(s-5O)
Здесь л — постоянная.
Будем также считать постоянной величину с . Найдем:
f = 5* = 51 +A(S - So) hs (53).
f'=A
Сила обжатия пневматика (55)
Рк =(т -F/И -^)(дп0 y>(s) CS*- AC(S-se)j +
+ с°^ в- MJ3$+ гпЛ cos 0
+л( rncos_e_^^^.M
181
или. окончательно,
рк = fm ^v(s) + ci;) +
Вычислим интегралы, входящие в (60),
(61)
CS ds _ fg ds _ 2 у0/ г--------------------------------? .
4 VT °Ле }l's^+Jl(S-So) Л Ы5‘^^5-5о)-5о)
(°)
fS yds _ fSgno-^ + CSo ^(5-So)c
Se У/Т V^+^(S-5O)
oe fS (f(S)ds an fS______ds______
=0n°S7r JSo VSo+^s-So)' ~^Jso -i-Ms-so)
1-cj ^Sxe+A(s-So) d*
^fvs;X-s.> ^-(^<s-s‘> - M
2C (* dS
ЗЛ ° A V^o +^fS- 5o)
Г82
+ w)f5' s«>-
(-Mfs-jy -s«)+ -f-cs’-sj).
Предположим, что
J)(S — SB)
В этом случае
,6
'о
6я
ьо
3JKS-SO)
(62}
S^ds=n-^-
- \ГГ °*1
2 So >
я l^L = -^_(s-&o)
♦’о
fS 2Sq ffyCS,)ds2£
'stCs-sjJz Jl(S-St
2
S
183
Взяв V(s) в форме (19) и обозначив
Z)£ _ т. е „
S ’ 5Э ~Л
™>=Т^
получим
In =ln = ln(<-(s-St
1-nso 1-nso ' 1-fSo
о
JI(.S-SO)
2'sl
rs yds _ f
% V7
(m+n)n(s-so)
(1-П5е)$оп(п<-*
2s;
IM
f yrs) ds
so
s
~ j *“ X
(S - So) ds
s (S — so) ds
s° ^+^-3(s~so)
/ г
Л J
2s* S‘
25*
/
л
2 s*
J________
2^7 (S-50)
= -S°- (s— s ) —
71 I5 o) Л*
7t
2S*
2S?
Л
i«(/ +
25’ S°))J ‘
Разлагая в ряд
Л
2 S’
S
5
S
найдем:
ln(j + (S — So)) = 2^i (S — So) 2~
JI(S-S0)
2S^
2
Если ограничиться первым членом ряда, то найдем:
2S* Л($ —so)
,f (S —So) ds
С2
5 lf>(6) ds
T~
Л 25*
= 0.
4, I <-^(s-s,) '
Таким образом,
f5 /
So VT” JSc
£ точностью до малых высшего порядка.
fs 1 fs 5(s)ds’d = 0
•'t; vr Jc V J
Также с точностью до малых высшего порядка
^^_ = A(s-s,).
*Sg S"
Подставив это в (60), найдем
*o
185
Пользуясь малостью величины ($—So ), представим приближенно:
S-80 = (S-SJ -
Поэтому (60) примет вид:
Л -До = (-%*- + СО50 +$') (S - $0).
Но
-к + С05б = ~^~^ +СО50 = --Ь=-^
«о «о
Д-До=(-^- £')(S-5o). (63)
Величина $о задана начальными условиями. Величину 8 мы вы-
разим через известные функции от 5 н неопределенный пока параметр Л
ДействительЪб,
А8 __ ds _ (т+Л1 4>‘(s)i-Ac)
S ~~dF~ 2а8 + ЪЬ
dS
Теперь наложим на параметр Л условие, чтобы Д—До =0 , т. е.
или
(т+М~~к~ )($П°^ст ^(S) + AC) ~ g/
2ай+ Ьр
Из этого выражения определим Л.*
К
Зная Л , мы из (55) находим ТЪ:
V(s)+cs2) + (67)
и отсюда определяем 8.
d8
Теперь мы можем по (65) определить в конце нашего малого
промежутка.
Таким образом, мы знаем характеристики движения в конце про-
межутка (5, 5О ), т. е. начальные условия для движения в следующем
промежутке. Опять определяем ускорение А для следующего проме-
186
жутка и другие параметры. Так вычисляем весь прямой ход, заканчивая
расчет, когда скорость S окажется малой.
В изложенном расчете существенным является условие малости
промежутка (5—So ). Нужно правильно назначить размеры этого про-
межутка, чтобы получить удовлетворительную точность. В силу (62) ве-
______ | Л(5-5О)
S2
личина
должна быть малой сравнительно с единицей. Назначив
заранее величину 2^°-, найдем
п g 2
Ч-с = -Д-
5 s° IJll
(68)
Так мы определяем промежуток (s — so).
По определению имеем
fs— — л
откуда , Л
5—_А_.
2
При определении величины первого интервала не нужна особая
точность. Поэтому можно воспользоваться формулой (46).
Р'к - So ts
5~ mcos 6 2 * (46)
Диференцируя, получим
tn cos В
И С
Исключая отсюда и из (46) t, получим:
Т)2_ йд Р* &о .
Л — »i>0 mcosg
Из (68) найдем
$2
С2
======ess
Рк &
mcos 6
(69)
Например, если So =,0,5 м/сек. (см., пример, рассмотренный вы-
ше), то
187
° L ,/33700 -3,6 «20
I V-0,97
Если so = 4,20 м/сек., то
_ г
s s° ~*1 'Г зз 700 58
У 4-0,97
Там, где с корить s изменяется быстро, величина расчетного про-
межутка получается достаточно малой. Но если ускорение Л мало по
абсолютной величине, величина расчетного промежутка сильно возра-
стает. Указанным способом мы рассчитываем движение на прямом ходу
до тех пор, пока не дойдем до малых значений . Тогда обращаемся
опять к рассмотренному выше второму периоду движения, а именно —
к формуле (40). Теперь частоты и Х2 отличны от частот вблизи
5=0. Если = 110 мм, S — 240 мм = 0,24 м, то:
Р<0 = 4000oSS-h 10250-3-8 —
40 000-0,110г+ 30750-0,11 =4854-3390=3875 кг
Р«п = 2-40000 0,114-30750 = 8800 4- 30750
ПО 7
Р*в =39550 кг/м
, 0,755 1___________у/
(<_0/765^у 0,265' ’
„1^- 9,8 0,8-39550-45,7 ________ /
х, ----------------------— = 3660 000
4,0 0,97 Сек
= 39 У ° - 4-9,8-0,8-45,7- 37,8 =
= 9880 4- 13520 = 23400 7^72 -
В этом случае
у/ _ 3 660000 1910 ,
+ (23400)2 \ 23400 J /50
Таким образом упрощения, введенные ранее, остаются в силе и
здесь
188
И*1ее>и: ,
эег ге’ + эе2 = 23 4оо -^-2
Ж, - \[23Ч00 = 153
2 ъе* эе% _ Зеерооо _ . с /___________
^2 = ^2 + 23 чоо ъ сек 2
**1 = \1156,5 = п,5 ё^г
__ 153 _/g а
^2 ,?>5 '
Вычислим коэфициенты в формуле (40)
Из (65).
$ = Г- qn0( —— -?——— I 0' с + Р* 1
° L со$9 гпк J ?о So+ mcos в j =
— S Г___ Az — ап Ч>' (_1 +- —)!’
тсо5б ° 3 ° ° V cose тк /J
6 ° Р'к
с<-|0=г"»
50 = 50 (гп + М )^поо(ст^ ($o)Gn COsO ' т Р*тСО$0
2С5е 5»
т cot е
Если учесть, что So мала, то ясно, что в (40) член мал срав-
нительно с членом ^г. Поэтому формулу (40) перевишеи так:
S = S0^Sct ^Пв ](Н c°S^t) (jo)
18»
Величина 50 почучается из предшествующего расчета. Порядок
ее можно оценить при помощи (37) Имеем
«-ода
; _ 4675
’° -9-0,97
~9-3 +
Возьмем здесь = 0,92
осег __ 0,95-3,97-0,25 _ 3,53 _ /
YV % 45,7-0,8 36,6
So. — 90 ~f
23 ЧОО 260
Ct
_ /56,5 _ /
К 10,9 -23400 ~ 1560 '
Диференцируя (70), получим:
, / So ^7r
. (71) 5
5 = COS эг, t(s0~x?
(72)
По этим формулам можно вычислить движение вблизи полного
обжатия стойки, задаваясь скоростью s в начале обратного хода.
Из формул (70), (71), (72), а также из формулы:
Рн = ms cos64~ mSn0(/ <f(s)-т_рд
(73)
имеем все параметры для начала последовательного расчета обратного
хода. Расчет обратного хода принципиально аналогичен расчету прямого
хода, ко со следующими изменениями:
Уравнения движения на обратном ходе:
(I)
(2)
— М у + Рс - cos 6 aG-У
-mi+P- =0-
*» ГЛ
194
Здесь все величины, кроме рс , имеют те же значения, что в в
расчете прямого хода. На обратном ходу
РгР- (3)
По формуле (9 а?
PrP=(l~ -ir)(K ~ с°5
Но из (5) имеем
Ря-/и? =~^РС-
Внося это в (Зв), найдем
Раскроем значение рс
Отсюда
(3), получим:
Вставляя это в
CCS в i о
к -f-I J
или
Отсюда после
преобразований! получим:
cos в
к
, I . cose
+ / F<
q? / Л 1
В случае отсутствия горизонтальной силы:
2
2-
2
Z
2- —
2 ~ oi
cos Q 1
К
FL
(74)
'£ *
(75)
1В1
Структура этой формулы аналогична структуре формулы (9), но
3~^~
величине« на прямом ходу соответствует величина ——j- на обратном
ходу и величину c(s) следует принять отрицательной.
Зависимость ролрициента трения системы На обратном
ходе 2"—~f/oL от козфициента трения системы ра
прямом ходе сС
На обратном ходу величина трения имеет несколько меньшее зна-
чение, чем на прямом ходу.
Разумеется, величина с($) на обратном ходу не та, что на прямом
ходу, так как отверстие для перетекания жидкости на обратном обычно
имеет другое сечение, чем на прямом ход(у Помимо этого, в выражение
з--£-
(12) вместо <х следует подставить —----— -
Все формулы и уравнения, описывающие обратный ход, совпадают
с формулами и уравнениями, относящимися к прямому ходу с тем толь-
ко изменением, что вместо переменной величины на прямом ходу
з-i-
нужно вставлять величину -------7----
2~ <*-
Дадим теперь несколько соображений, относящихся к учету горн-
юнталыюй силы, действующей на колесо при посадке, если колесо не
раскручено. Непосредственно после посадки имеет место следующая
схема (фиг. 12) действующих сил.
Если радиус пневматика И и его обжатие 8 , то расстояние от
центра колеса до точки приложения сил Рк и _/иР„ равно R-8 . Уг-
ловая скорость вращения колеса со , его момент инерции относительно
оси вращения I.
Очевидно, имеем:
(76)
Трением колеса иа осн пренебрегаем и считаем Ko.it со полностью
расторможенным. Считая скорость обжатия пневматика с начале движе-
ния (непосредственно после соприкосновения с землей) постоянной и
равной вертикальной скорости самолета Va , получим
dS_ = v
dt
откуда
dw _ du> dd _ dcut
dt ~ dd dt ~V° dd
Внося это в (76), получим:
/^£ = ^-<9.
а С
Представляя Ph по формуле (23), получим:
Iv0 =р*(Х-8)(а$2+ bpd).
(77)
Предложенная схема имеет место до тех пор. пока окружная ско-
рость колеса нс сравняется со скоростью движения самолета по аэро
трому. Считая, что скоро -ть гпос за рассматриваемый период времени
не изменяется, получим конечное значениеса :
а> -2^,
* H-8,
где Л) —обжатие пневматика, соответствующее? моменту, когда окруж-
ная скорость колеса равна V^oc-
Интегрируем (77) от положения о> = 0, <£ = 0 до положения
Получим
= Г_ » $?+<?>-^—<1«
[ 4 ' з 1 л. J
TpyjM1 нтк Mt г„ т. з.
193
Отсюда после простых преобразований получим
-a- в* -ь f «_)$•<- - f ы>) <?,’+
г>ма гг _ i^o Упос
+ 2 7й
I
III
Решая (78), найдем , и, следовательно, максимальную
тальную силу/*/’, .
Для оценки порядка этой силы введем упрощения:
1) предположим Рн = nSj
. Vnoc •
2)
(78)
горизон-
3) -Г-3? = К/'рк-
Тогда будем иметь:
[Ур у пос. с 1 п «о Si
J“R2 п ~JO
Отсюда
о. _ / 21 Уо' Упос
и “V п с*-*2
Максимальная сила равна
„ е / 2 Г П (*Уе Упое1
ГиРя = (ип31 = у -------—2--------
Оценим величину момента инерции колеса Если колесо представ-
ляет собою сплошной однородный диск радиуса R. и веса £ , то его
момент инерции относительно оси будет:
г — — — с f?2
2Я - — М
к=
— = 0,102.
Если вся масса колеса расположена на радиусе К , то
«=-f-=C2M-
7 3
Для колеса значение К лежит между 0,1 и 0,2, ближе к 0,1. При-
мем
К = 0,12,
194
t •
1= -^~0,/2GRs.
Максимальная горизонтальная сила
(*Рк =^К(*6кП Ц, ц,
Положим
К= 0,12
/И — 0,60
(тк= 28 къ.
^^-^36300 £
«кг 0,137 м
гГ0 = 3,6 сек
IT 0£ — 190 км/час = 39 гл/сек
(*Р» — yf 0,12-0,60 28-36300-3,6 39
(л\ = 1015 КГ
Рк = -^-= 1700 кг
ТбЗОО = °’047 ”
11оденет произведен для колеса 700 X 200
$ _ 0,097
к 0,350
= 0,135.
Таким образом, горизонтальную силу, возникающую в момент по-
CI дки, в поверочном расчете можно учесть приближенно тем, что, при
обжатиях Б , меньших «У, , считать К = cos в 6 и подсчиты-
|м ь величину <х по (11). Более точно горизонтальную силу можно
чгсть, имея в виду, что формулу (76) можно представить так
dot ___ do> ds
~dt ~ <Js dt
и отсюда
A
195
По этапам расчета нужно подсчитывать-величину
н суммировать, принимая к —cos6 + f* sth 6 и подсчитывая по
(И) и продолжать это до тех пор, пока
не достигнет величины
*> = Vnoc:(R-S). .
После этого принять к = со$0 и «брать по (9).
Наконец, дадим наметку расчета движения по аэродрому с заранее
определенной неровностью, например, кочкой, канавой и пр. Обратимся
к формуле (63) ~_
д-До = [~ S'D J (S -So).
Делим обе части на t -
(63)
dx
Если скорость движения колеса по аэродрому равна v — • то
Д — Ао ~ dA _ dA
t - to ~ dt
5-So
t-to
Отсюда получим
(80)
При помощи этой формулы определяем-Л так же, как ранее опре
делили Л из (63).
Здесь через х. обозначена координата вдоль движения стойки,
точнее — вдоль горизонтали.
Если , то. очевидно, горизонтальная сила будет
(фигЛЭ):
196
(pur. 13.
Таким образом, если мы заменим
с/д
dx
(81)
в формуле (И) и положим
K“cose+R1F
то мы учтем наклон равнодействующей Р к вертикали.
В заключение отметим, что в поверочном расчете мы можем при-
нять любой закон изменения угла 9 по ходу, а также подъемной силы
У по скорости у , ибо нам необходимо удерживать постоянными вели-
чины Р и 8 лишь на протяжении малого промежутка (5, $о ); в раз-
ных промежутках эти числа могут быть различными.
Таким образом, из всех допущений, перечисленных в начале на-
стоящей работы, для поверочного расчета существенно лишь одно —
пренебрежение силами, возникающими от горизонтальных перемещений
и ускорений системы, связанных с обжатием стойки.
Техник-лейтенант
Ю. А. Молжорин
УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ
РАЗРУШАЮЩЕГО ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА КРЫЛА
Расчет крыла от действия изгибающего момента является доволь-
но сложным и трудоемким. Сложность заключается в том, что крыло
состоит из большого количества элементов, обычно разнородных по
материалу, и эти элементы в расчетных случаях работают за пределом
пропорциональности. Обычные формулы сопротивления материалов без
каких-либо изменений, допущений и условностей применять нельзя, так
как все они основываются на законе Гука.
Исходя из этих соображений, расчет крыла на изгиб производится
приближенными методами: методом редукционных коэфициентов, мето-
дом фиктивных модулей, графическим методом и т. д. Все эти методы
после нескольких приближений позволяют определить напряжения во
всех элементах конструкции от действия расчетного изгибающего
момента.
Недостатками этих методов являются:
1) громоздкость: так как результат получается после нескольких
приближений;
2) они не даоот ответа на вопрос о величине разрушающего, изги-
бающего момента крыла, а позволяют лишь судить о достаточной проч-
ности конструкции при данных нагрузках.
Знание же величины разрушающего, изгибающего момента крыла
для конструктора чрезвычайно важно, так как оно позволяет ему ре-
шать вопросы о возможных модификациях конструкции. Поэтому вполне
законно встает вопрос: нельзя ли найти метод расчета, тоже приближен-
ный, но отличающийся от предыдущих простотой и позволяющий не-
посредственно и с достаточной степенью точности определять разру-
шающий изгибающий момент крыла.
Предлагаемый упрощенный метод определения разрушающего из-
гибающего момента крыла не содержит в себе ничего принципиально
нового. В основе его лежит обычный метод редукционных коэфициеи-
тов. Существенные упрощения достигаются рациональным выбором ре-
дукционных коэфициентов, позволяющим пойле первого приближения
определять разрушающий изгибающий момент.
Для решения этой задачи должны быть известны диаграммы Кла-
пейрона, в случае же их отсутствия можно воспользоваться приближен-
ными диаграммами, построенными по значениям критических напряжений
н временных сопротивлений. Мы предполагаем, что крыло разрушается
в момент потери устойчивости пояса лонжерона в сжатой зоне или раз-
199
рыва пояса лонжерона в растянутой зоне. До тех пер, пока напряжения
в поясах не достигли соответственно бкр или е>6 , крыло может воспри-
нимать все увеличивающийся изгибающий момент Значение и?1 ибаю-
щзгЬ момента, при котором напряжение в сжатом поясе достигнет 6-^ ?
или напряжение в растянутом поясе достигнете^ , и принято за разру-
шающий момент. Тогда для поясов можно написать значения напряже-
ний, соответствующих разрушающему изгибающему моменту:
- Мраз^Ф МрВЗ sin Ф
GKP ~----т----U ---------г----и ’
Кр lu
Мра3СО5ф Мрьз Sin Ф
Г=г = -------- —----------и г
& 1« Iv
где <3g — фиктивные значения напряжений, соответствующих G^p
и &g , — угол между вектором момента и главной осьюМ^ гг— коор-
динаты поясов лонжерона, 1и> —моменты инерции относительно
главных центральных осей фиктивного сечения при редукционных ко-
эфициентах, соответствующих разрушающему изгибающему моменту.
Разберем один случай, когда первым выходит из строя сжатый
пояс, как наиболее вероятный. Рассуждения для случая разрыва растя-
нутого пояса будут аналогичными.
Выберем за фиктивный материал материал с модулем упругости,
изображенный на фиг. 1 пунктирной линией. Тогда значение фиктивного
напряжения можно заменить действительным, так как в этом случае
для пояса — 1 и &кр — &кр
Разрушающий изгибающий момент выразится так;
=----------------
траз COsfy. t StnVL1
I и I tr *
Второй член знаменателя даже ,в случае больших значений Ф бу-
дет в 20—30 раз меньше первого, поэтому, чтобы не усложнять рас-
суждений, не будем его писать, что соответствует случаю совпадения
вектора момента с главной осью.
Следовательно, Мраз =
Воспользоваться этой формулой непосредственно для подсчета
Мра3 нельзя, так как не известны 1и и v. Чтобы вычислить эти вели-
чины, нужно знать истинные значения редукционных коэфициентов для
разрушающего изгибающего момента. А они не известны. Попробуем
оценить редукционные коэфициенты всех элементов приближенно, но
так, чтобы выражение подсчитанное по ним, было равно или, по
... I,.
крайней мере, мало отличалось от действительной величины —у-
Редукционные коэфициенты поясов лонжеронов равны единице,
так как удлинение поясов при разрушающем моменте, примерно равно
Х?а'' (фиг. 1).
200
Редукционные коэфициенты других элементов остаются неизвест-
ными, так как мы не знаем их удлинений. Тут можно сделать некоторое
допущение, которое, надо ожидать, не сильно скажется на общем ре-
зультате, так как влияние этих элементов на основные параметры сече-
ния крыла меньше, чем лонжеронов. Оно заключается в том, что удли-
нения остальных элементов продольного набора также принимается рав-
ным «О<7» и редукционные коэфициенты для них берутся для этого
удлинения.
Посмотрим, как .скажется это допущение на величине отношения
, т е. на величине разрушающего изгибающего момента. В действи-
тельности удлинения других элементов будут меньше и благодаря это-
му действительные их редукционные коэфициенты будут больше вы-
бранных. Таким образом, момент инерции сечения крыла при данном
выборе редукционных коэфиниентоз будет меньше действительного и,
«ледоддгельно, разрушающий момент крыла получается за счет этого
несколько заниженным.
301
Но, с другой стороны?в формуле имеется вторая переменная вели-
чина v , которая зависит от положения центра тяжести сечения и на
правления главных осей, т. е. в конечном счете зависи! иг тех же ре-
дукционных коэфициентов. Она также с этими редукционными коэфи-
циентами получается несколько заниженной. С одной стороны, это хо-
рошо, так как подправляет значение разрушающего изгибающего мо-
мента, с другой, — вносит неопределенность в ответ, так как .может
случиться, что она получится меньшей в большей степени, чем момент
инерции.
Тогда значение разрушающего изгибающего момента по расчету
будет получаться больше истинного — ответ крайне нежелательный и
опасный. Но есть основания пола!ать, что этого не получится, так как
момент инерции зависит от квадрата ординат элементов, а сама орди-
ната входит в первой степени. Математически доказать, что:
Г ~ )
I tT 1 подсчит па I у- )дейст&.
' ' приближен- ' /
чрезвычайно сложно. методу
Для доказательства этого предположения можно воспользоваться
практическими расчетами крыльев различной конструкции.
Резюмируя сказанное, можно заключить, что, выбирая редукцион-
ные коэфициенты выше указанным способом, можно ожидать значения
разрушающего изгибающего момента, близкого к действительному.
Основываясь на вероятности этого предположения, разрушающий
изгибающий момент крыла можно найти довольно просто. Редукцион-
ные коэфициенты поясов лонжеронов равны единице; для остальных
элементов редукционные коэфициенты определяются по диаграмме
Клапейрона, а если последней нет, то можно вычислить их по фор-
мулам:
Для сжатой зоны
у, to - ghp СТр .
‘и > стр G ’
г °Kp4
V<S/<p- об £ oSiu
Для растянутой зоны
, _ £сур
СГр Кпояс
___ К otSui
Общ £полс
Далее вычисляются редуцированные площади
Моменты инерции фиктивного сечения крыла относительно произ-
вольных осей (обычно это ходовые оси) фиг. 2.
Sx , Siy=CF^Xi>
Координаты центра тяжести сечения фиктивного крыла
г = ^- = Xi и =
0 £/у ° f,Ft
202
Момент инерции относительно центральных осей.
Угол поворота главных осей
Моменты инерции относительно главных центральных осей
1ц = Ixe cos сс+ Iyosinsf*—2/хоуо sin2tc.
Iv = 1Х[>- sin2** + Zyc Co$2vc •+ 21x0yo sin 2<*-.
Находим ординату ir сжатою пояса лонжерона.
В результате разрушающий изгибающий момент будет
.. i-u г~~
Мро} = — &кр’
где Уже известно.
В случае косого изгиба (при большом угле расхождения вектора
момента с главной осью) разрушающий изгибающий момент равен:
__ &кр
lu ' IV
Для подтверждения правильности вышеизложенного метода было
проведено 2 контрольных практических расчета, целью которых явля-
лось сравнение результатов, полученных ио упрощенному методу, с дей-
ствительными, вычисленными по одному из ранее рекомендованных спо-
собов В качестве первого примера было взято крыло кесонного типа,
203
состоящее из одного материала (см. расчет моноблочною крыла на
изгиб — В. Н. Беляев и В. И. Юхарин).
Этот выбор диктовался теми соображениями, что здесь удельный
вес лонжеронов в общей работе крыла не так велик и поэтому роль
всех допущений должна сильнее сказаться на конечном результате.
Разрушающий фактически изгибающий момент находился графоанали-
тическим методом, что было вызвано невозможностью прямого решения
задачи, т. е. нахождения изгибающего момента по известному напряже-
нию в поясе лонжерона
Фиг. 3.
Выбирался ряд изгибающих моментов. Для каждого из них мето-
дом редукционных коэфициентов находилось действительное напряже-
ние в сжатом поясе лонжерона (фиг. 3).
По полученным данным строился график зависимости
Экстраполируя кривую, легко получить величину изгибающего мо-
мента, соответствующую критическому значению напряжения в сжатом
204
поясе лонжерона. Это значение изгибающего момента и является разру-
шающим. При сравнении его с величиной разрушающего изгибающего
момента, вычисленной по упрощенному методу, получилось полное сов-
падение. Конечно, это стопроцентное совпадение явилось в известной
мере случайностью, так как всякому методу свойственны свои случай-
ные и методические ошибки и расхождение должно быть обязательно
в пределах точности этих методов, но все же это показывает на то,
что результаты лежат довольно близко друг к. другу.
В качестве второго примера была взята четырехпояеная бадка
(фиг. 5). Передний лонжерон ее — стальной, задний — дюралевый, Для
некоторого усложнения и обобщения за расчетный сличай был взят
случай Л , который характеризуется максимальным отклонением вектора
момента ст главной оси
205
330
В этом примере разрушающий изгибающий момент, вычисленный
упрощенным методом, отличался от действительного на 0,3%, причем в
меиьшую сторону. Таким образом второй пример тоже подтвердил
возможность расчета по упрощенному методу.
Доцент, кандидат технических на\'к
инженер-маиор И А. Свердлов
РАСЧЕТ ОДНОЛОНЖЕРОННОГО КРЫЛА
В однолснжерснном крыле, кроме основного лонжерона, обычно
имеется и вспомогательный (фиг. 1 ). Принято считать, что вспомога-
тельный лонжерон не участвует в работе от составляющей изгибающего
момента в плоскости лонжеронов, а служит лишь для создания кон-
тура, работающего на кручение, и для работы от составляющей изги-
бающего момента в плоскости крыла. Это оправдывают шарнирным
креплением вспомогательного лонжерона (фиг. 2 ). Однако конструк
тивно пояса вспомогательного лонжерона иногда делают довольно
мощными. Поэтому в целях облегчения основного лонжерона необхо-
димо определить действительную степень участия вспомогательного
лонжерона в работе крыла
Таким образом, существенное значение имеет вопрор, как вспомо-
гательный лонжерон может быть учтен при расчете крыла на изгиб’
При исследовании этого вопроса принимаем жесткости крыла по длине
постоянными, а обшивку работающей на сдвиг. Изгибающую нагрузку
параллельную лонжеронам, переносим на передний лонжерон с мо-
ментом 777=^2 . Интегрируя 777 по длине, получим момент .
Рассмотрим сечение крыла на расстоянии X от его свободного
конца (фиг. 3 ) В этом сечении действуют нормальные и касательные
напряжения. Из условия равновесия отсеченной части консоли крыла
относительно оси у следует, что нормальные напряжения в полках
лонжеронов приводятся к двум изгибающим моментам: М, — основ-
ного лонжерона и Mt — вспомогательного лонжерона, сумма их дает
полный изгибающий момент М , действующий в сечении крыла.
Касательные напряжения обшивки и стенок лонжеронов сводятся
к перерезывающей силе Q и моменту Мх_я относительно оси X , соот-
ветственно равным внешней силе Р н внешнему моменту Л/х_х , дей-
ствующи на отсеченную часть крыла. Из рассмотрения равн< весия
отсеченной части крыла следует:
Фиг. 3
где
% и погониые касательные силы носМ и обшнвкм:
308
Ft и Рг — площади, ограниченные контуром носка и межлон-
жсронной частью крыла;
В — расстояние между лонжеронами.
Для решения рассматриваемого вопроса недостаточно приведенных
выше уравнений, так как независимых уравнений два, а неизвестных
четыре: , Мг , и Следовательно, эта задача является дважды
статически неопределимой. За лишние неизвев*иые примем изгибающий
момент Мг и погонную силу , для определения которых восполь-
зуемся началом наименьшей работы, выразив сперва 9« черф Ме , а
затем находя и Мг .
Составив выражение потенциальной энергии сдвига и Для отсека
дУ
крыла единичной длины и подставив в уравнение — 0, получим
следующее значение для рогонной силы носка, а затем и для остальных
элементов крыла — обшивки и стенок лонжеронов:
п _ CLM р dMe г Мх-и J
%-~dJTb---dT~C--
Л Г1± dMt с Mx-X •y
rot> dx п ' dx ** 2Ft
Q = dM Р dMi d Mx-x
п dx с dx • тг
dM£ D Mx-x
Ъ dx п+ dx P > 2Ft
где
Для определения изгибающего момента вспомогательного лонже
рона Мг составим дифереицнальное уравнение. С этой целью рассмот-
рим два смежных элементарных отсека длины dx , равной расстоянию
между нервюрами (фиг. 4 ), нагруженные, изгибающими моментами
Фиг. 4.
и М» , перерезывающими силами и крутящими моментами, которые при-
нимаем постоянными на длине dx . Составив выражение потенциальной
энергии обоих отсеков и написав условие наименьшей работы
получим
-0'- к‘М, + + У* - °- <3>
где Д
t &
(EI), и (El)- Жесткости изгиба основного и вспомогательного
юижсронов;
G- — модуль сдвига,
+ef-%- + n(2s-g-Р~тг),
Он I В, v брр 0 г J ’
Hc d -k+mf-t-z(ZS-^-pt)]^
Решая диференциальное уравнение, получим
где Мг =fish кх+ft сКкх+С(х),
&)
fl и 7} — постоянные, определяемые из граничных условий;
C*fx)— частное решение, зависящее от вида нагрузки.
Граничные условия, согласно фиг. 2, будут
при X = О ; Мг = О , а при Л = t ; Мг — 0 .
Полагая = const, получим
&
0.5t* ( Sh кх /_х_)г) '
(Elh I Sh Kt Q '</ ’
Cr
откуда
гг-^апг)[^-(скк1-о^]^
&
_ 0>5t
(El),
G
f ch кх u Ml
Приравняв правую часть последнего равенства нуткл- найдем выраже-
ние для того значения X =ХО , при котором Мг будет наибольшие
' _ Kt ch кх,
I 4 2 shKt
(7)
На фиг 5
изображена зависимость
в функции кС , Как
211
видно из приведенной кривой, (~г~) мало зависит от . Прилез
величина ' * °
(-j~)e = 0,76 и с! увеличением к/ юно асимптотически приближается
к единице. Для «значений = 10 можно принять = 0,8, поэтому
(8)
(Elk
где
е — основание натурального логарифма.
Величина получается, примерно, равной 0,8 при значении к€
порядка 10, а при больших значениях — J — 1. Следовательно, обыч-
ные конструкции можно считать на изгиб по обычным формулам сопро-
тивления материалов, учитывая вспомогательный лонжерон на 0,75—0,8
длины консоли, полагая J2 = 0,8.
На фиг. б дана эпюра изгибающего момента Mt, из которой
видно, что при Х=ХО производная
d/H,
dx
меняет знак. Поэтому, как
следует из уравнений (2) и соответственно из фиг. -7, на участке
крыла ( I- хе ) получается увеличение касательных напряжений в стен-
212
кг m ионною лонжерона и в обшивке в сравнении с тем, если бы вспо-
Деформация кручения и центр жесткости
Относительный угол кручения получим ио формуле Мора
Q =-~— <£п
2Pi
(Ю)
Интеграл берется по одному ( i'ons) из контуров сечения крыла Для
определения центра жесткости в каком-либо сечении крыла надо найти,
какой крутящий момент следует приложить в этом сечении, чтобы уни-
чтожить относительный (угол кручения. Исходя из этого условия, имеем
dl
м =•__УУУ СгО
(Н)
где
1 — погонная касательная сила от единичного крутящего
момента. Z13
Расстояние С от точки Л , приложения действующей силы, до
центра жесткости определим! по формуле
(12)
где
Q'— перерезывающая сила в рассматриваемом- сечении крыла
Следует указать на следующее важное обстоятельство.
При Х = ХО производная . меняет знак, пъэтому перерезываю-
щая сила вспомогательного лонжерона тоже обычно меняет знак, вслед-
ствие чего значительно меняется положение центра жесткости вплоть
до того, что он может оказаться вне крыла. Для иллюстрации этого
случая рассмотрим пример однозамкнутого сечения крыла без носка
(фиг. 8 ) при действии сосредоточенной силы р на свободном конце.
Для этого случая имеем
Р
Я
фиг. 8 .
м =____fx-.s/iyx.),
4 /+Ш21 Ч Shxl '
(Е1)г
откуда находим
dMr _ Р ft „Р sh кх.)
(EVt
Из условия того, что
dx и'
находим
(15)
214
( oimciio уравнениям (2), имеем
1ДГ
Согласно
?г = “ЛтГ (И*)+ И-
t(*)
j „f ch kx
1-нСМ1<Т
ГНЛ
формулам (11) и (12), находим /Икр •, С и значение
(16)
2-С
В
(17)
7— г
На фиг. 9 представлена зависимость ——
в функции -у-
. Как
видно из графика, вблизи крепления крыла центр жесткости выходит
за пределы сечения крыла. Очевидно, если основной и вспомогательный
лонжероны поменять .местами, то центр жесткости окажется позади
заднего лонжерона^
Рассмотрим другой пример Пусть крыло нагружено изгибающим
моментом, приложенным к свободному концу основного лонжерона.
Изгибающий момент можно себе представить в виде малой силы Q
на большом плече. При изгибе крыла вспомогательный лонжерон вклю-
чи ген н работу и в сечении крыла возникнут касательные напряжения Т
(фш J0) Этим напряжениям будет соответствовать угол кручения, для
умнчт< ж* ния которого необходимо приложить некоторый крутящий
MiiMtfiri Ммр Расстояние от центра приложения силы до центра жест-
ко* тм определим по формуле мкр
С= « ' 21S
По условию задачи Q=D Следовательно, С=сю, т. е. центр
жесткости находится в бесконечности.
Фиг. 10.
Из рассмотренных примеров следует, что в однолонжерониом
крыле координата центра жесткости зависит от вида нагрузки и ме-
няется по размаху крыла.
Институт ГВФ
БЛПОТЕКД
Разрешена к печати печ л
Г~51О77 Типа-Литография ВВЛ
f3,21aSm./i.
Заказ