/
Автор: Симчера В.М.
Теги: теория статистики статистические методы статистика математика математический анализ математическая статистика издательство финстатинформ
ISBN: 5-7866-0091-2
Год: 1999
Текст
Финстатинформ
Практикум
и< статистике
Практикум
по статистике
Учебное пособие
Под редакцией проф. В.М. Симчеры
Рекомендовано Министерством общего и профессионального
образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по
экономическим специальностям
Москва
ЗАО «Финстатинформ»
1999
УДК 311
ББК 60.6
П69
Редакционный совет;
акад. А.Н. Романов (председатель), проф. В.В. Брага, проф. Д.М. Дайитбсгов
(зам. председателя), проф. Г.С. Желнинский, проф. Н.В. Колчина, проф. Г.Б, Поляк
(зам. председателя), проф. П.Э. Шлендер
Председатель научно-методического совета проф. Д.М- Дайитбсгов
Рецензенты;
кафедра маркетинга и статистических исследований рынка Московского государ-
ственного университета экономики, статистики и информации;
д.э.н., проф. кафедры бухгалтерского учета и АХД МГУ Хорин А.Н.
Авторы:
к.э.н., доц. Багат А.В.; к.э.н., доц. Бармотйн А.В.; к.э.н., доц. Каманина А.М.;
к.э.н.. доц. Конкина М.М.; к.э.н., доц. Партешко Н.С.; к.э.н.. доц. Сафронова В.П.;
к.э.н,, доц. Сергеев В.П.; доц. Сергеева М.Е.; д.э.н., проф. Симчсра В.М.;
к.э.н., доц. Сироткина Т.С,
Практикум по статистике: Учеб, пособие для вузов / Под
П69 ред. В.М. Снмчеры / ВЗФЭИ. — М.: ЗАО «Финстатинформ»,
1999. — 259 с.
ISBN 5-7866-0091-2
Представлены задачи по трем основным разделам курса «Статистика»:
теории статистики, макроэкономической статистике, статистике предпринима-
тельства.
Пособие подготовлено в виде практикума, отличительной особенностью
которого являются краткие методические указания по расчету показателей и
решению типовых задач и задачи, предложенные для самостоятельного реше-
ния.
Пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного об-
разовательного стандарта высшего профессионального образования и утверж-
денной ректором института программой курса статистики.
Для студентов экономических специальностей.
УДК 311
ББК 60.6
О Всероссийский заочный финансово-
экономический институт (ВЗФЭИ), 1999
О Оформление. ЗАО «Финстатинформ», 1999
•/□ГВ}
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..............................................4
Раздел I. Теория статистики..............................6
Глава 1. Статистическое наблюдение, сводка и группировка .... 6
Глава 2. Абсолютные и относительные показатели..........16
Глава 3. Средние величины и показатели вариации.........23
Глава 4. Выборочное наблюдение .........................40
Глава 5. Ряды динамики..................................49
Глава 6. Индексы........................................69
Глава 7. Статистические методы изучения взаимосвязей....87
Раздел И. Макроэкономическая статистика................114
Глава 8. Статистика населения и трудовых ресурсов......114
Глава 9. Статистика национального богатства............122
Глава 10. Статистика макроэкономических показателей....134
Глава 11. Социальная статистика........................146
Глава 12. Система национальных счетов .................165
Раздел III. Статистика предпринимательства.............175
Глава 13. Статистика цен ..............................175
Глава 14. Статистика кредита...........................185
Глава 15. Статистика денежного обращения...............199
Глава 16. Статистика страхования.......................209
Глава 17. Статистика ценных бумаг......................220
Глава 18. Статистика финансов предприятий..............232
Глава 19. Финансовые вычисления........................244
Список литературы......................................259
ПРЕДИСЛОВИЕ
Роль статистики при переходе к рыночным отношениям, как из-
вестно, возрастает. Статистика выступает не только как действен-
ный инструмент анализа рыночной экономики, но и как своеобраз-
ный арбитр по оценке условий и результатов ее развития, одновре-
менно являясь мощным орудием преобразования рыночных соци-
ально-экономических отношений, важным дополнительным факто-
ром оперативного, предприимчивого и эффективного их совершен-
ствования.
Для обучения экономистов любой специальности навыкам ре-
шения задач, стоящих перед статистикой в рыночных условиях хо-
зяйствования, требуется качественно новый подход к повышению
уровня их подготовки. Практическая реализация этих навыков
предполагает овладение комплексом статистических методов, уме-
ние применять их правильно и адекватно типологии, характеру и
содержанию решаемых задач.
Практикум подготовлен в соответствии с утвержденной ректо-
ром института программой курса «Статистика» н требованиями
действующего Государственного образовательного стандарта выс-
шего профессионального образования по статистической подготов-
ке специалистов с высшим образованием по специальностям «Фи-
нансы и кредит», «Бухгалтерский учет и аудит».
Цель практикума — помочь студентам в усвоении статистичес-
ких методов и их применении в анализе социально-экономических
процессов, в овладении техникой расчета обобщающих микро- и
макроэкономических показателей, приобретении навыков обобще-
ния результатов статистических исследований, разработке и приня-
тии на их основе аргументированных решений.
В практикуме рассматриваются в комплексе все основные поло-
жения, методы и приемы, обеспечивающие надлежащее решение
ключевых задач теории статистики, экономической статистики и
статистики предпринимательства.
Состоящий из трех разделов, практикум содержит 19 глав, каж-
дая из которых включает методические указания, примеры решения
типовых задач и набор задач, предназначенных для решения в ходе
проведения аудиторных, практических занятий и самостоятельной
работы студентов.
Предложенные для самостоятельной работы задачи взаимосвя-
занны, и их решение, с одной стороны, требует непрерывной рабо-
4
ты студентов, над курсом, строго последовательного изучения его
тем, а с другой стороны, при выполнении этих условий гарантирует
его качественное освоение на уровне современных требований.
Задачи построены, как правило, на фактических материалах из
статистических сборников, значительная часть которых имеет не
только иллюстративное, но и самостоятельное познавательное зна-
чение. По соображениям упрощения отдельные задачи построены
на условных данных.
Практикум подготовлен авторским коллективом преподавате-
лей кафедры статистики Всероссийского заочного финансово-эко-
номического института в составе: доц. Багат А.В. (главы 8, 17, 18),
доц. Бармотин А:В. (глава 6 совместно с доц. Сафроновой В.П.,
глава 13), доц. Каманина А.М. (главы I, 9), доц. Конкина М.М.
(главы 2, 5), доц. Партешко Н.С. (главы 3, 16), доц. Сафронова В.П.
(главы 10, 12, 15, глава 6 совместно с доц. Бармотиным А.В.,
глава 11 совместно с доц. Сергеевой М.Е.), доц. Сергеев В.П.
(глава 14 совместно с доц. Сироткиной Т.С.), доц. Сергеева М.Е.
(глава 11 совместно с доц. Сафроновой В.П.), проф. Снмчера В.М.
(предисловие, глава 19), доц. Сироткина Т.С. (главы 4, 7, 14 со-
вместно с доц. Сергеевым В.П.).
Авторский коллектив будет весьма признателен всем, кто при-
шлет свои предложения по совершенствованию настоящего практи-
кума по адресу. 121807, Москва, ул. Олеко Дундича, д. 23, ВЗФЭИ,
кафедра статистики.
Раздел I. ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ
Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ,
СВОДКА И ГРУППИРОВКА
Методические указания и решение типовых задач
Статистическое наблюдение — это сбор данных (фактов, сведе-
ний) об изучаемых явлениях. При подготовке к проведению статис-
тического наблюдения решаются программно-методологические и
организационные вопросы.
Программно-методологические вопросы включают в себя фор-
мулировку задачи наблюдения, определение объекта и единиц на-
блюдения, а также составление программы наблюдения.
Объектом наблюдения называют явление или совокупность яв-
лений, информацию о которых собирают в процессе наблюдения.
Единицы наблюдения — первичные элементы объекта, являю-
щиеся носителями признаков, подлежащих регистрации.
Программа наблюдения — перечень вопросов, ответы на кото-
рые получают в процессе наблюдения.
Для решения организационных вопросов составляется организа-
ционный план статистического наблюдения, определяющий цель,
вид, форму, способ наблюдения, место и сроки его проведения.
В результате статистического наблюдения получают первичные
данные о единицах совокупности, которые на следующем этапе ста-
тистического исследования — этапе сводки — обобщаются в груп-
пы, систематизируются. Статистическая сводка — это приведение
собранной информации к виду, удобному для проведения анализа.
Простая сводка заключается в простом подсчете общих итогов,
сложная — в группировке единичных данных в группы по однород-
ному признаку, подсчете итогов по ним и представлении результа-
тов в виде статистических таблиц.
6
Статистические группировки в зависимости от решаемых задач
подразделяются на типологические, структурные и аналитические.
Статистическая группировка позволяет дать характеристику
размеров, структуры и взаимосвязи изучаемых явлений, выявить их
закономерности.
Важным направлением в статистической сводке является по-
строение рядов распределения, одно из назначений которых состо-
ит в изучении структуры исследуемой совокупности, характера и
закономерности распределения.
Ряд распределения — это простейшая группировка, представ-
ляющая собой распределение численности единиц совокупности по
значению какого-либо признака.
Вариантами ряда распределения являются отдельные значения
признака, а численности отдельных вариантов или групп ряда, по-
казывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду
распределения, называют частотами.
Ряды распределения, в основе которых лежит качественный
признак, называют атрибутивными. Если ряд построен по количест-
венному признаку, его называют вариационным.
Различают дискретные (признак — целое число) и интервальные
вариационные ряды (признак принимает разные значения в преде-
лах интервала).
При построении вариационного ряда с равными интервалами
определяют число групп (п) и величину интервала (Л). Оптимальное
число групп может быть определено по формуле Стерджесса:
п = I + 3,322 1g N,
где N — число единиц совокупности.
Величина равного интервала рассчитывается по формуле
. Л'та.х — Лтт
П =----------,
п
где хтах и xmin — максимальное и минимальное значения признака.
Пример 1. Имеются следующие данные о деятельности коммер-
ческих банков.
7
Таблица 1.1
Размеры процентных ставок н кредитов, предоставленных коммерческими
банками предприятиям. организациям
№ банка Процентная ставка, % Кредиты, млн руб.
1 20,3 9,55
2 17,1 13,58
3 14,2 22,33
4 11,0 27.50
5 17,3 13,54
6 19,6 11,60
7 20,5 8,90
8 23,6 3,25
9 14,6 21,20
10 17,5 13,50
П 20,8 7,60
12 13,6 25,52
13 24,0 2,50
14 17,5 13,24
15 15,0 20,15
16 21,1 6,10
17 17,6 13,36
18 15,8 19,62
19 18,8 11,90
20 22,4 5,20
21 16,1 17,90
22 17,9 12,30
23 21,7 5,40
24 18,0 12,18
25 16,4 17,10
26 26,0 1.0Q
27 18,4 12,12
28 16,7 16,45
29 12,2 26,50
30 13,9 23,98
Необходимо построить:
I) интервальный ряд, характеризующий распределение банков
по сумме выданных кредитов, образовав пять групп с равными ин-
тервалами;
8
2) корреляционную таблицу и аналитическую группировку для
изучения связи между размером процентной ставки и величиной
вида иного кредита.
Решение. Для изучения структуры банков по размеру кредита,
: пользуясь данными табл. 1.1, построим интервальный вариацион-
ный ряд, характеризующий распределение банков по сумме выдан-
* ных кредитов. Величина интервала равна
, 27,5-1
h =-------= 5,3 млн руб.
Отсюда путем прибавления величины интервала к минимально-
' му уровню признака в группе получим следующие группы банков
; по размеру выданных кредитов (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Распределение банков по размеру выданных кредитов
№ группы Группы банков по размеру кредита, млн руб. Число банков
в абсолютном выражении в относительных единицах, %
I 1—6,3 6 20,0
II 6,3—11,6 3 10,0
Ш 11,6—16,9 11 36,6
IV 16,9—22,2 5 16,7
V 22,2—27,5 5 16,7
Итого 30 100,0
Данные группировки показывают, что 70% банков выдали кре-
диты на сумму свыше 11,6 млн руб.
Для изучения связи между явлениями и их признаками строят
корреляционную таблицу и аналитическую группировку.
Корреляционная таблица — это специальная комбинационная
таблица, в которой представлена группировка по двум взаимосвя-
занным признакам: факторному н результативному.
Концентрация частот около диагоналей матрицы данных свиде-
тельствует о наличии корреляционной связи между признаками.
По данным табл. 1.1 необходимо определить, существует ли за-
висимость между величиной процентной ставки (факторный при-
знак J) н размером кредитов-{результативный признак У).
9
Построим корреляционную таблицу, образовав пять групп по
факторному и результативному признакам (табл. 1.3).
Таблица 1.3
Распределение банков по величине процентной ставки
и размеру выданных кредитов
Процентная Размер кредита, млн руб.
ставка, % 1—6,3 6,3—11,6 11,6—16,9 16,9—22,2 22,2—27,5 Итого
11—14 * 4 4
14—17 1 5 1 7
17—20 10 10
20—23 3 3 6
23—26 3 3
Итого 6 . 3 И 5 5 30
Как видно из данных табл. 1.3, распределение числа банков
произошло вдоль диагонали, проведенной из левого нижнего угла
в правый верхний угол таблицы, т.е. уменьшение признака «про-
центная ставка» сопровождалось увеличением признака «размер
кредита». Характер концентрации частот по диагонали корреляци-
онной таблицы свидетельствует о наличии обратной тесной корре-
ляционной связи между изучаемыми признаками.
Аналитическая группировка позволяет изучать взаимосвязь фак-
торного и результативного признаков.
Основные этапы проведения аналитической группировки —
обоснование и выбор факторного и результативного признаков,
подсчет числа единиц в каждой из образованных групп, определе-
ние объема варьирующих признаков в пределах созданных групп, а
также исчисление средних размеров результативного показателя.
Результаты группировки оформляются в таблице.
Установим наличие и характер связи между величиной процент-
ной ставки и суммой выданных банками кредитов методом анали-
тической группировки по данным табл. 1.1.
Вначале строим рабочую таблицу (табл. 1.4, интервалы возьмем
те же, что и в корреляционной таблице).
Для установления наличия и характера связи между процентной
ставкой и суммой выданных кредитов по данным рабочей таблицы
строим итоговую аналитическую таблицу (табл. 1.5).
10
Таблица 1.4
Распределение банков по процентной ставке
i № >. п/п Группы банков по величине процентной ставки Ne банка Процентная ставка Сумма кредита, млн руб.
’ А Б 1 2 3
4 11,0 27,50
( I 11—14 29 12,2 26,50
12 13,6 25.52
30 13.9 23.98
Итого 4 50,7 103,50
3 14,2 22,33
9 14,6 21,20
II 14—17 15 18 15,0 15,8 20,15 19,62
21 16,1 17,90
25 16,4 17,10
28 18,7 16,45
Итого 7 108,8 134,75
2 17,1 13,58
5 17,3 13,54
10 17,5 . 13,50
14 17.5 13.24
Ш 17—20 17 17,6 13,36
22 17,9 12,30
24 18,0 12,18
27 18,4 12,12
19 18,8 11,90
6 19,6 11,60
Итого 10 179,7 127.32
1 20,3 9,55
7 20,5 8,90
IV 20—23 11 20,8 7,60
16 21,1 6,10
23 21,7 5,40
20 22,4 5,20
Итого 6 126,8 42,75
8 23.6 3.25
V 23—26 13 24,0 2,50
26 26.0 1.00
Итого 3 73,6 6,75
Всего 30 539.6 415,07
11
Таблица 1.5
Зависимость суммы выданного банком кредита
от размера процентной ставки
№ п/п Группы банков по величине процентной ставки Число банков Процентная ставка Сумма выданных кредитов, млн руб.
всего средняя про- центная ставка всего в среднем на один банк
А Б 1 2 3 4 5
I 11—14 4 50,7 12,7 103,50 25,9
И 14—17 7 108,8 15,5 134,75 19,25
Ш 17— 20 10 179,7 18,0 127,32 12,73
IV 20—23 6 126,8 21,1 42,75 7,1
V 23—26 3 73,6 24,5 6,75 2,25
Итого 30 539,6 18,0 415,07 13,8
Данные табл. 1.5 показывают, что с ростом процентной ставки,
под которую выдается банком кредит, средняя сумма кредита, вы-
даваемая одним банком, уменьшается. Следовательно, между иссле-
дуемыми признаками существует обратная корреляционная зависи-
мость. Теснота связи может быть измерена эмпирическим корреля-
ционным отношением (расчет см. в гл. 3 данного учебного посо-
бия).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. С целью изучения уровня и динамики розничных цен
на рынках города необходимо провести статистическое наблюдение
за изменением цен на продовольственные товары.
Составьте проект организационного плана и программы наблю-
дения.
Задача 2. Для характеристики финансового состояния предпри-
ятий одной из отраслей промышленности в регионе предполагается
провести статистическое наблюдение.
Определите объект наблюдения, единицу совокупности и пере-
чень признаков, характеризующих финансовое состояние предпри-
ятий.
Задача 3. Определите перечень вопросов программы проведения
статистического наблюдения:
1) выборочного обследования текучести работников в строитель-
ных организациях;
2) обследования занятых работников на фирме по уровню обра-
зования и специальности;
12
3) выборочного обследования заработной платы работников
Предприятий промышленности.
Задача 4. Имеются следующие данные о среднегодовой стоимос-
ти основных фондов по 30 предприятиям одной из отраслей про-
мышленности, млн руб.:
’ 5,5; 3,2; 6,1; 5,4; 3,1; 7,9; 4,5; 5,8; 5,2; 6,5; 3,8; 5,4; 4,8; 5,6; 4,2; 3,4;
7,6; 6,8; 4,9; 5,2; 6,3; 4,1; 5,6; 7,3; 6,7; 5,4; 5,7; 5,9; 5,6; 4,3.
: Постройте интервальный ряд распределения предприятий по сто-
имости основных фондов, образовав пять групп с равными интер-
Даламн.
.( Охарактеризуйте структуру предприятий по стоимости основных
Производственных фондов.
1 Задача 5. Результаты обследования работников малого предпри-
ятия по полу и уровню образования характеризуются следующими
данными:
№ п/п Образование Пол № п/п Образование Пол
' 1 высшее мужской 14 высшее женский
2 высшее мужской 15 незаконченное высшее мужской
3 высшее мужской 16 высшее женский
4 среднее мужской 17 высшее мужской
5 незаконченное высшее женский 18 среднее мужской
1 6 среднее специальное женский 19 среднее специальное мужской
: 7 среднее мужской 20 высшее мужской
8 среднее женский 21 среднее женский
9 незаконченное высшее женский 22 среднее специальное мужской
10 среднее специальное женский 23 среднее специальное женский
И среднее специальное женский 24 незаконченное среднее мужской
12 высшее мужской 25 среднее специальное мужской
13 среднее специальное мужской
Произведите группировку работников: 1) по полу; 2) по уровню
образования.
Задача 6. Имеются данные по 30 предприятиям одной из отрас-
лей промышленности за год:
13
№ пред- прия- тия Выпуск продукции, млн руб. Среднегодовая стоимость основных производствснн ых фондов, млн руб. Численность работающих, чел. Потери рабочего времени, тыс. чел.-дн. Прибыль, млн руб.
1 65.0 54,6 340 66,0 15,7
2 78,0 73,6 700 44.0 18.0
3 41,0 42,0 100 91,0 12,1
4 54,0 46,0 280 78,0 13,8
5 66,0 62,0 410 57,4 15,5
6 80,0 68,4 650 42,0 17,9
7 45,0 36,0 170 100,0 12,8
8 57,0 49,6 260 79,8 14,2
9 67,0 62,4 380 57,0 15,9
10 81,0 71,2 680 38,0 ‘ 17,6
11 92,0 78,8 800 23,1 18,2
12 48,0 51,0 210 112,0 13,0
13 59,0 60,8 230 72,0 16,5
14 68,0 69,0 400 55,7 16,2
15 83,0 70,4 710 36,0 16,7
16 52,0 50,0 340 85,2 14,6
17 62,0 55,0 290 72,8 14,8
18 69,0 58,4 520 54,6 16,1
19 85,0 83,2 720 37,0 16,7
20 70.0 75,2 420 56,4 15,8
21 71,0 67,2 420 56,0 16,4
22 64,0 64,2 400 70,4 15,0
23 72,0 65,0 430 53,6 16,5
24 88,0 76,2 790 34,9 18,5
25 73,0 68,0 560 55,4 16,4
26 74,0 65,6 550 52,0 16,0
27 96,0 87,2 810 20,4 19,1
28 75,0 71,8 570 53,1 16,3
29 101,0 96,0 820 12,0 19,6
30 76.0 69,2 600 46,0 17,2
Постройте рады распределения предприятий по:
I) выпуску продукции;
2) численности работающих;
3) потерям рабочего времени;
4) прибыли.
По каждому ряду распределения постройте графики: полигон
распределения, гистограмму. Сделайте выводы.
Задача 7. По данным задачи 6 методом аналитической группи-
ровки исследуйте характер зависимости между размером основных
14
производственных фондов и выпуском продукции, образовав пять
групп предприятий по факторному признаку с равными интервала-
ми.
Результаты представьте в таблице. Сделайте выводы.
Задача 8. По данным задачи 6 методом аналитической группи-
ровки выявите характер зависимости между потерями рабочего вре-
мени и выпуском продукции, образовав пять групп предприятий с
равными интервалами.
Результаты представьте в таблице. Сделайте выводы.
Задача 9. Используя’данные задачи 6 о выпуске продукции и
размере прибыли, исследуйте наличие и характер корреляционной
зависимости между ними (образуйте пять групп с равными интер-
валами).
Результаты оформите рабочей и аналитической таблицами. Сде-
лайте выводы.
Задача 10. По данным задачи 6 произведите группировку пред-
приятий по двум признакам: выпуску продукции и численности ра-
ботающих, образовав пять групп с равными интервалами по каж-
дому признаку. Каждую группу и подгруппу охарактеризуйте числом
предприятии, выпуском продукции и численностью работающих.
Задача 11. Имеются данные о распределении коммерческих бан-
ков по объявленному уставному фонду:
Регион I Регион II
Группы банков по уставному фонду, тыс. руб. Удельный все банков в общем их числе, % Группы банков по уставному фонду, тыс. руб. Удельный вес банков в общем их числе, %
До 100 7 До 100 2
100—500 9 100—300 5
500—1000 18 300—500 6
1 000—5 000 34 500—700 7
5 000—20 000 22 700—1 000 12
Свыше 20 000 10 1 000—3 000 28
3 000—5 000 18
5 000—10 000 14
Свыше 10 000 8
Итого 100 Итого 100
С целью сравнения осуществите вторичную группировку ком-
мерческих банков, для чего выделите следующие группы банков по
объявленному уставному фонду: до 100, 100—500, 500—1000, 1000—
5000, 5000—10 000, свыше 10 000 тыс. руб. Сделайте выводы.
15
Глава 2. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ
ПОКАЗАТЕЛИ
Методические указания и решение типовых задач
Абсолютные и относительные величины являются обобщающи-
ми показателями, характеризующими количественную сторону об-
щественных явлений. Различают два вида обобщающих показате-
лей: абсолютные и относительные величины.
Абсолютные величины — именованные числа, имеющие опреде-
ленную размерность н единицы измерения. Они характеризуют по-
казатели на момент времени или за период. В зависимости от раз-
личных причин и целей анализа применяются натуральные, услов-
но-натуральные, денежные н трудовые единицы измерения.
Пример 1. За отчетный период предприятие произвело следую-
щие виды мыла и моющих средств:
Виды мыла и моющих средств Количество, кг
Мыло хозяйственное 60%-й жирности 500
Мыло хозяйственное 40%-й жирности 250
Мыло туалетное 80%-й жирности 1500
Стиральный порошок 10%-й жирности 2500
Требуется определить общее количество выработанной пред-
приятием продукции в условно-натуральных единицах измерения.
За условную единицу измерения принимается мыло 40%-й жирнос-
ти.
Решение. Для определения общего количества продукции, выра-
ботанной предприятием, необходимо исчислить коэффициенты
перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-й
жирности, то это значение жирности принимается равным единице.
Тогда коэффициенты .перевода в условное мыло (40%-й жирности)
исчисляем так: мыло хозяйственное 60%-й жирности: 60/40 = 1,5;
мыло туалетное 80%-й жирности: 80/40 = 2,0; стиральный порошок
10%-й жирности: 10/40 = 0,25.
Далее определим количество продукции в условно-натуральных
единицах измерения (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Общий объем производства мыла и моющих средств по видам
Виды мыла и моющих средств Количество, кг Коэффициент перевода Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг
Мыло хозяйственное 60%-й жирности 500 1,5 750
Мыло хозяйственное 40%-й жирности 250 1.0 250
Мыло туалетное 80%-й жирности 1500 2.0 3000
Стиральный порошок 10%-й жирности 2500 0,25 625
Итого — — 4625
Общий объем производства мыла н моющих средств в 40%-м
исчислении составил 4625 кг.
В практической деятельности при отсутствии необходимой ин-
формации абсолютные величины получают расчетным путем, на-
[ пример на основе балансовой увязки:
Зн + П = Р + зк,
где Зн — запас на начало периода; П — поступление за период; Р —
расход за период; Зк — запас на конец периода. Отсюда
р = зн + п-зк.
Абсолютные статистические величины широко используют в
анализе и прогнозировании состояния и развития явлений общест-
венной жизни.
На основе абсолютных величин исчисляют относительные вели-
чины.
Относительные величины характеризуют количественное соот-
i ношение сравниваемых абсолютных величин.
Числитель •— сравниваемая величина, ее называют текущей или
отчетной величиной; знаменатель называют базой сравнения или
основанием сравнения. Как правило, базу сравнения принимают
равной 1, 100, 1000. 10 000. Если основание равно 1, то относитель-
ная величина показывает, во сколько раз текущая величина больше
базисной или какую долю от базисной она составляет, и выражает-
ся в коэффициентах. Если база сравнения равна 100, то относитель-
17
нам величина выражена в процентах (%), если база сравнения равна
1000 — в промилле (%о), 10 000 — в продецимиллс (%о>).
Сопоставляемые величины могут быть одноименными и разно-
именными. Если сравнивают одноименные величины, то их выра-
жают в коэффициентах, процентах, промилле. При сопоставлении
разноименных величин наименования относительных величин об-
разуются от наименований сравниваемых величин: плотность насе-
ления страны — человек/кв. км; урожайность — ц/га и т.д.
В зависимости от задач, содержания и познавательного значе-
ния выражаемых количественных соотношений различают следую-
щие виды относительных показателей: I) планового задания и вы-
полнения плана; 2) динамики; 3) структуры; 4) интенсивности;
5) координации; 6) сравнения.
1. Относительные показатели планового задания (ОППЗ) — от-
ношение уровня, запланированного на предстоящий период (П), к
уровню показателя, достигнутого в предыдущем периоде (Фо):
ОППЗ = i 10Q% .
1 о
Пример 2. В III квартале товарооборот магазина составил
150 млн руб., в IV квартале планируется товарооборот в 180-млн
руб.
Определить относительную величину планового задания.
Решение. ОППЗ - Щ 100% = 120%.
Таким образом, в IV квартале планируется увеличение товаро-
оборота магазина на 20%.
Относительные показатели выполнения плана (ОПВП) — отно-
шение фактически достигнутого уровня- в текущем периоде (Ф0 к
уровню планируемого показателя на этот же период (П):
Ф1
ОПВП - --р 100% .
Пример 3. Товарооборот магазина в IV квартале составил
202,5 млн руб. при плане 180 млн руб.
Определить степень выполнения плана товарооборота магази-
ном в IV квартале.
Решение. ОПВП ~
202,5
180
100% = 112.5%.
18
План но товарообороту магазином выполнен на 112,5%, т.е.
перевыполнение плана составило 12,5%.
2. Относительные показатели динамики характеризуют измене-
ние уровня развития какого-либо явления во времени. Показатели
этого вида получаются делением уровня признака за определенный
период или момент времени на уровень этого же показателя в
предыдущий период или момент. Относительные величины динами-
ки иначе называют темпами роста. Они могут быть выражены в
коэффициентах или процентах и определяются с использованием
переменной базы сравнения — цепные и постоянной базы сравне-
ния — базисные (см. гл. 5).
3. Относительные показатели структуры характеризуют состав
изучаемой совокупности, доли, удельные веса элементов совокуп-
ности в общем итоге и представляют собой отношение части еди-
ниц совокупности (/) ко всему объему совокупности (£/}):
Г.
J = =y-100%,
где d — удельный вес частей совокупности.
Пример 4. Имеются следующие данные о розничном товарообо-
роте РФ за 1996—1997 гг., млрд руб.:
Год 1 квартал II квартал IlI квартал IV квартал Всего за год
1996 173.7 182,4 190.3 206,9 753,3
1997 200,7 ' 205.9 215,1 240.9 862.6
Исчислить относительные величины структуры розничного то-
варооборота РФ по кварталам за каждый год.
Решение. Исчислим относительные величины структуры роз-
ничного товарооборота за 1996 и 1997 гг.
1996 г.
173 7
^"ТПз' 100% = 23>°0/о
• 100% = 24,2% и т.д.
1997 г.
200 7
100% = 23,3%
1 862,6
205 9
= 773% ' Ю0% = 23,9% и т.д.
11 862,6
Исчисленные относительные величины структуры представлены
в табл. 2.2.
19
Таблица 2.2
Структура розничного товарооборота Российской Федерации
но кварталам 1996—1997 гг.
Квартал Удельный все розничного товарооборота, %
1996 г. 1997 г.
1 23,0 23,3
11 24.2 23,9
Ill 25.3 24.9
IV 27Э 27,9
Итого 100 100
Данные табл. 2.2 свидетельствуют о том, что в изучаемые годы
удельный вес розничного товарооборота закономерно растет от I к
IV кварталу.
4. Относительные показатели интенсивности характеризуют сте-
пень насыщенности или развития данного явления в определенной
среде, являются именованными показателями и могут выражаться в
кратных отношениях, процентах, промилле и других формах.
Пример 5. Среднегодовая численность населения Российской
Федерации в 1996 г. составила 147,7 млн человек, число родивших-
ся — 1 304,6 тыс. человек.
Определить число родившихся на каждую 1000 человек населе-
ния (относительную величину интенсивности, характеризующую
рождаемость).
Решение. Коэффициент рождаемости = *
=------число родившихся------ 1000 = 4^.1000 = 8,9%».
среднегодовая числ. населения 147 700
На каждую 1000 человек населения рождалось 8,9 человека.
5. Относительные показатели координации (ОПК) характеризу-
ют отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, при-
нятой за базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна
часть совокупности больше другой или сколько единиц одной части
приходится на 1, 10, 100, 1000 единиц другой части. Эти относи-
тельные величины могут быть исчислены как по абсолютным пока-
зателям. так и по показателям структуры.
Пример 6. Имеются следующие данные о численности экономи-
чески активного населения России по состоянию на начало 1997 г.,
»млн человек:
20
Экономически активное население
в том числе:
запятые в экономике
безработные
72,7
65,9
6,8
Исчислить, сколько безработных приходится на 1000 занятых в
экономике России.
Решение. ОПК = 1000 - 103,2 человека.
65,9
Следовательно, на каждые 1000 занятых в экономике России
приходилось 103,2 безработных.
6. Относительные показатели сравнения (ОПС) характеризуют
отношения одноименных абсолютных показателей, соответствую-
щих одному и тому же периоду или моменту времени, но к различ-
ным объектам или территориям.
Пример 7. Среднемноголетние запасы воды в Ладожском озере
составили 911 куб. км, а в Байкале — 23 000 куб. км.
Исчислить относительную величину сравнения, приняв за базу
сравнения запасы воды в Ладожском озере.
Решение. ОПС = 23 000/911 = 25,2.
Следовательно, запас воды в Байкале в 25,2 раза больше, чем в
Ладожском озере.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные о расходе топлива по
видам:
Вид топлива Количество израсходованного топлива Средний калорийный эквивалент перевода в условное топливо
Моторное и дизельное топливо, т 450 1.43
Мазут топочный, т 300 1,37
Уголь, т 315 0.90
Газ природный, тыс. куб. м 500 1,20
Торф, т 200 0,40
Определите общее количество потребленного в отчетном перио-
де топлива в условных единицах измерения.
Примечание. Теплотворная способность условного топлива при-
нимается равной 7000 кал/кг.
21
Задача 2. Имеются следующие данные о выпуске продукции про-
изводственным объединением во II квартале, млн руб.:
Месяц План на квартал Фактическое выполнение
Апрель — 198.0
Май — 224.4
Июнь — 237.6
Итого 600.0 660.0
Определите процент выполнения квартального плана нарастаю-
щим итогом за II квартал.
Задача 3. Бизнес-планом на 1997 г. установлен прирост выпуска
продукции на 4% по сравнению с 1996 г. Фактически увеличен выпуск
продукции за 1997 г. на 6%.
Определите выполнение плана выпуска продукции в 1997 г.
Задача 4. Капитальные вложения в экономику России за счет
всех источников финансирования (в сметных ценах 1991 г., млрд руб.)
характеризуются следующими данными:
1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
249,1 210,5 126.9 112.2 84.9 73.7
Исчислите относительные величины динамики капитальных вло-
жений в процентах к предыдущему году (цепные) и к 1990 г. (базис-
ные).
Задача 5. Имеются следующие данные о розничном товарообо-
роте Российской Федерации за 1996—1997 гг.; млрд рубл
Показатель 1996 г. 1997 г.
Общий объем розничного товарооборота 753,3 862,6
в том числе:
продовольственные товары 361.9 420,7
непродовольственные товары 391,4 441,9
Исчислите относительные величины структуры розничного то-
варооборота. Дайте сравнительный анализ изменения структуры.
Задача 6. Среднегодовая численность населения Российской Фе-
дерации в 1991 г. составила 148,6 млн человек, число родившихся —
1796,6 тыс. человек, число умерших — 1690,7 тыс. человек;
в 1996 г. — соответственно 147,7 млн, 1304,6 тыс. и 2082,2 тыс. че-
ловек.
Определите относительные величины интенсивности показателей
естественного движения населения Российской Федерации за 1991 и
1996 гг.
22
Задача 7. Имеются данные о розничном товарообороте области
за 1996 г., млрд руб.:
Розничный товарооборот — всего.......................... 14 403.3
по формам собственности:
государственная ......................................1 445.7
негосударственная.................................. 12 957.6
в том числе частная............................. 10 723.1
Определите показатели структуры розничного товарооборота по
формам собственности и показатели координации.
Задача 8. Имеются данные о ценах на спортивные детские товары
за отчетный период, руб. за единицу:
Вид товара Отечественное производство Зарубежное производство
Костюм спортивный 91.0 160,4
Футболка 13.1 19.5
Куртка спортивная 141.7 156.2
Определите относительные показатели сравнения цен по каждо-
му виду товара.
Задача 9. Численность населения в Российской Федерации на
1 января 1997 г. составила 147,5 млн человек, в том числе: город-
ского — 107,8 млн человек; сельского — 39,7 млн человек.
Исчислите долю городского и сельского населения в общей чис-
ленности населения Российской Федерации.
Сравните численность городского и сельского населения страны.
Глава 3. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
I ; ;
Методические указания и решение типовых задач
Средняя является обобщающей характеристикой совокупности
; единиц по качественно однородному признаку.
i В статистике применяются различные виды средних: арифмети-
ческая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структур-
ные средние — мода, медиана. Средние, кроме моды и медианы,
исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы
средней зависит от исходных данных и содержания определяемого
показателя. Наибольшее распространение получила средняя ариф-
метическая, как простая, так и взвешенная.
23
г
Средняя арифметическая простая равна сумме значений признака,
деленной на их число:
_ Sx
X ----,
п
где х — значение признака (вариант);
п — число единиц признака.
Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда
варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом
порядке или ранжированного ряда.
Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бума-
гами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. руб.
Определить средний доход банка по данной операции.
Решение. Средний доход пяти банков по операциям с ценными
бумагами равен
х = 4,2/5 = 0,84 тыс. руб.
Если данные представлены в виде дискретных или интервальных'
рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (х)
объединены в группы, имеющие различное число единиц (/), назы-
ваемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взве-
шенная:
-_S xf
х~ V •
Пример 2. Имеются данные страховых организаций области о
числе заключенных договоров по личному добровольному страхо-
ванию.
№ группы Число договоров, тыс. Число страховых организаций f Удельный вес страховых организаций. % d Число за ключенных договоров -V xd
I 20 6 12 120 . 2.4
11 26 10 20 260 5,2
111 30 15 30 450 9.0
IV 32 16 32 512 10.24
V 36 3 6 108 2,] 6
Итого 50 100 1450 29.0
Определить среднее число заключенных договоров в расчете па
одну страховую организацию области.
24
Решение. Среднее число договоров на одну страховую органи-
зацию определяется отношением общего числа заключенных дого-
воров к числу страховых организаций:
_ 20 6 + 26 • 10 + 30 • 15 + 32 16+ 36 3 1450
.у - 50 50 “ 29 тьгс-
В качестве весов могут быть использованы относительные вели-
чины, выраженные в процентах (d). Метод расчета средней не изме-
нится:
Е xd
Td‘
Если проценты заменить коэффициентами (Erf = 1), то х =
= Е xd.
х = 20 0,12 + 26 • 0,2 + 30 0,3 + 32 • 0,32 + 36 0,06 = 29,0 тыс.
Пример 3. По данным выборочного наблюдения имеется сле-
дующее распределение фермерских хозяйств района по размерам
угодий:
№ группы Хозяйства по размерам угодий, га Число ХОЗЯЙСТВ f Середина интервала xf
I II III IV V До 40 40—50 50—60 60—70 Свыше 70 20 40 25 10 5 35 45 55 65 75 700 1800 1375 650 375
Итого 100 — 4900
Определить средний размер угодья на одно фермерское хозяйство
по району.
Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо
. выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых ин-
тервалов (группы II—IV) за дискретное число принимается средняя
.арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала.
. ' Для определения варианты в группах с открытыми интервалами
(группы I и V) предполагается, что для первой группы величина ин-
тервала равна интервалу второй группы, а в последней группе —
,'1' интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2:
х = 4900/100 -49 га.
25
'i
; J?
и .JdHF j.
В статистике приходится вычислять средние по вариантам, ко-
торые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях
облдая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная
из групповых средних, в которой весами являются объемы единиц
в группах.
Пример 4. Просроченная задолженность но кредитам акционер-
ных обществ (АО) за отчетный период характеризуется следующими
данными:
№ АО Задолженность по кредитам, тыс. руб. ./ Удельный вес просрочен- ной задолженности. % X Объем просроченной задолженности xf
1 2500 20 500
2 3000 30 900
3 1000 16 160
Итого 6500 — 1560
Определить средний процент просроченной задолженности АО.
Решение. Экономическое содержание показателя равно
Удельный вес просроченной задолженности, % =
- объем просроченной задолженност и
объем общей задолженности
Для расчета среднего процента просроченной задолженности
надо сравнить суммарные показатели просроченной и общей задол-
женности АО, тогда
_ 0,2 2500 + 0,3 3000 + 0,16 1000 _ 1560
Х~ 6500 “ 6500
= 0,24, или 24%.
Наряду со средней арифметической применяется средняя гармо-
ническая, которая вычисляется из обратных значений осредняемого
признака и по форме может быть простой и взвешенной.
Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются сле-
дующими показателями:
№ бан ка Средняя процентная ставка X Доход банка, тыс. руб, Д/ - х/ Сутчма кредита Д//х
1 40 600 1500
2 35 350 1000
Итого — 950 2500
Определить среднюю процентную ставку банков.
26
Решение. Основой выбора формы средней является реальное со-
держание определяемого показателя:
Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) 100.
Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к
сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о
кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разде-
лив доход банка (М) на процентную ставку (х) (см. последнюю
графу).
Средняя будет равна
600 + 350 950
М“600 350 “ 2500
> — ---и.---
х 0,4 0,35
= 0,38, или 38%.
Приведенная формула называется средней гармонической взве-
шенной, где веса представляют собой произведения процентной став-
ки (х) на сумму кредита (/): М = xf.
Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в изу-
чаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой
является вариант с наибольшей частотой.
Для интервальных вариационных рядов распределения мода рас-
считывается по формуле
/мо /мо- 1
М° 'ХМ° + 'М° (/мо -/мо - 1) + (/мо -/Мо+ 1)
где Мо — мода;
хМо — нижняя граница модального интервала;
г’мо — величина модального интервала;
Ado — частота модального интервала;
/мо - 1 — частота интервала, предшествующего модальному;
/мо + 1 — частота интервала, следующего за модальным.
Пример 6. Имеются данные о распределении работников пред-
приятия по уровню среднемесячной заработной платы:
№ группы Заработная плата, руб. Число работников, чел. Сумма накопленных частот
1 500—600 10 10
II 600—700 30 40
III 700—800 70 110
IV 800-900 60 —
V 900-1000 25 —
VI Свыше 1000 5 —
27
Определить модальный размер заработной платы.
Решение. Первоначально по наибольшей частоте признака оп-
ределим модальный интервал. Наибольшее число работников —
70 человек — имеют заработную плату в интервале 700—800 руб.,
который и является модальным.
70 - 30
Мо = 700 + 100 • —-— ---------- = 780 руб.
(70 - 30) + (70 - 60) 1 ?
УЦедиапоп называется вариант, расположенный в середине упо-
рядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные
части.
В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8.
В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет
средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в сере-
дине ряда.
Медиана дискретного вариационного ряда определяется по
сумме накопленных частот, которая должна превышать половину
всего объема единиц совокупности.
Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывает-
ся по формуле
0,5 £/-5^-!
Me + j^e у ’
где Me — медиана;
хМс — нижняя граница медианного интервала;
/Мс — величина медианного интервала;
Е/ — сумма частот ряда;
б’мс _ । — сумма накопленных частот ряда, предшествующих ме-
дианному интервалу;
Ale — частота медианного интервала.
Пример 7. По данным примера 6 рассчитать медиану.
Решение. Определяем медианный интервал, в котором находится
порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот
накопленным итогом до числа, превышающего половину объема со-
вокупности (200/2 = 100).
В графе «Сумма накопленных частот» значение 110 соответствует
интервалу 700- 800. Эго п есть медианный интервал, в котором на-
ходится медиана.
0,5 - 200 - 40
Me = 700 + 100 ---—— = 785,7 руо.
28
Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют
заработную плату до 785,7 руб., а половина — выше этой суммы.
Показатели вариации. Для измерения степени колеблемости от-
дельных значений признака от средней исчисляются основные обоб-
щающие показатели вариации: дисперсия, среднее квадратическое
отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия (ст2) — это средняя арифметическая квадратов откло-
нений отдельных значений признака от их средней арифметической.
В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по
формуле средней арифметической простой или взвешенной:
S(x-x)2
/ ст - =-~------— невзвешенная (простая);
I , S(.v-.V)2/’
уст~ =-----—- — взвешенная.
/ Среднее квадратическое отклонение (ст) представляет собой ко-
рень квадратный из дисперсии и равно
. / X(.V-X)2
ст - = \ ------- — невзвешенное;
1 п
\ Л/ Z(.Y-A')2/
\ стЛ \ ---- — взвешенное.
В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение яв-
ляется абсолютной мерой вариации признака в совокупности и вы-
ражается в единицах измерения варьирующего признака (рублях,
Тоннах, процентах и т.д.).
Для сравнения размеров вариации различных признаков, а
также для сравнения степени вариации одноименных признаков в
нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель
вариации — коэффициент вариации (И), который представляет
собой процентное отношение среднего квадратического отклонения
к средней арифметической:
По величине коэффициента вариации можно судить о степени
вариации признаков, а следовательно, об однородности состава со-
вокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значе-
ний признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность
по составу.
29
Пример 8. Имеются выборочные данные о стаже работников
коммерческих банков:
Сыж, лет Среднесписочная численность работников, чел. ./ Середина интервала \ -V V — V (л-; - ,т)- (л,-А)2
До 3 10 2 20 -3 9 90
3—5 4Х 4 192 -1 1 48
5—7 2S 6 16К 1 1 28
7—9 10 8 КО з 9 90
Свыше 9 4 10 40 5 25 100
Итого 100 — 500 — 356
Определить:
1) средний стаж работников;
2) дисперсию;
3) среднее квадратическое отклонение;
4) коэффициент вариации.
Решение. 1. Средний стаж работников
а = 500/100 = 5 лет.
2. Дисперсия
а2 = 356/100 = 3,56 = 3,6.
3. Среднее квадратическое отклонение
а = < 356/100 = VlJ = 1,8867.
4. Коэффициент вариации
f И = 1,8867/5 - 100 = 37,7 %.
Правило сложения дисперсий (вариаций). Для статистической со-
вокупности, сгруппированной по изучаемому признаку, возможно
вычисление трех видов дисперсий: общей (а 2), частных (внутригруп-
повых) — (о,“) и межгрупповой (З2). Общая дисперсия характеризует
вариацию всех единиц совокупности от общей средней, частные —
вариацию признака в группах от групповой средней и межгруппо-
вая — вариацию групповых средних от общей средней. Между ука-
занными видами дисперсий существует соотношение, которое назы-
вают правилом сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме
средней из частных дисперсий и межгрупповой:
о - = Од + 62.
30
Если основанием группировки является факторный признак, то
с помощью правила сложения дисперсий можно измерить силу его
влияния на результативный признак, вычислив коэффициент детер-
минации и эмпирическое корреляционное отношение.
Коэффициент детерминации равен отношению межгрупновой
дисперсии к общей:
. 3;
о “
и показывает долю общей вариации результативного признака,
обусловленную вариацией группировочного признака.
Корень квадратный из коэффициента детерминации называется
эмпирическим корреляционным отношением:
лЛГ
\ — •
а"
По абсолютной величине он может изменяться от 0 до 1. Если
Т| = О, группировочный признак не оказывает влияния на результа-
тивный. Если Т] = 1, изменение результативного признака полностью
обусловлено группировочный признаком, т.е. между ними сущест-
вует функциональная связь.
Пример 9. По данным выборочного обследования заработной
платы работников бюджетной сферы получены следующие показа-
тели:
Отрасль Средняя заработ- ная плата, руб. Численность работников, чсл. Д1 [сперсия заработной платы V
Здравоохранение Образование 600 SOO ко 120 4 900 16 900
Определить:
I) среднюю заработную плату работников по двум отраслям;
2) дисперсии заработной платы: а) среднюю из групповых дис-
персий (отраслевых), б) межгрупповую (межотраслевую), в) общую:
3) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное
отношение.
Решение, I. Средняя заработная плата работников по двум от-
раслям равна
31
600 80 + 800 120
80+120
- 720 руб.
2. а) Средняя из групповых дисперсий равна
Lo(2.4 4 900 80+ 16 900 120
а,- = =---------200--------= 12 100'
б) Межгрупповая дисперсия равна
Z (х,- - xfy (600 - 72О)2 80 + (800 - 720)? 120
" Z/} " 200
в) Применяя правила сложения дисперсий, получим общую дис-
персию:
<у2 = (у.2 + 52 = 12 100 + 9 600 = 21 700.
3. а) Коэффициент детерминации равен
g2
ц2 = -4 = = 0,4424, или 44,24%.
О ~ /КО
Он показывает, что оплата труда на 44,24% зависит от отрасле-
вой принадлежности работников и на 55,76% — от внутриотрасле-
вых причин.
б) Эмпирическое корреляционное отношение составляет
П = = '''’+424 = °’665’
что свидетельствует о существенном влиянии на дифференциацию
заработной платы отраслевых особенностей.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1, Имеются следующие данные о показателях работы
предприятий отрасли за отчетный период:
Показатель № предприятия
1 2 3 4 5
ОбъсхМ продукции, тыс. шт. 9.0 9.8 8.5 Х.6 9.1
Стоимость реализованной продукции, гыс. руб. 1050 1070 950 930 960
Прибыль, тыс. руб. 240 290 260 275 220
Определите средние уровни каждою показателя по предприяти-
ям отрасли.
32
Задача 2. Имеются данные об опыте работы предпринимателей:
- Стаж, лет Число предпринимателей
в сфере обслуживания населения, чел. в сфере производства. %
3 16 40
4 40 30
5 60 18
6 50 6
7 20 4
8 14 2
Определите средний стаж предпринимателей по каждой сфере
деятельности.
Задача 3. По фирмам региона имеются следующие данные:
Показатель № фирмы
1 2 3 4 5
Количество выпущенных акций, тыс. ед. 100 90 НО 105 120
Прибыль на одну акцию, руб. 9 8 12 16 14
Определите среднюю прибыль на одну акцию, полученную фир-
Задача 4. Имеются следующие данные о продаже картофеля на
рынках города:
№ рынка Средняя пена, руб. Продано, тыс. кг Удельный вес продажи, %
Март Май Март Май
' 1 3.5 35 28 25 20
2 3,0 42 42 30 30
3 2,5 63 70 45 50
й Определите средние цены картофеля по трем рынкам города в
j марте и мае, используя в качестве частот: а) абсолютные данные о
£ Продаже товара, б) удельные веса продажи товара.
Объясните, почему при неизменных ценах и общем объеме про-
Дажи средняя цена в мае изменилась.
*, Задача 5. Имеются группы предприятий по темпам сокращения
. 'Промышленного производства:
Сокращение производства. % До 15 15—25 25—35 35-45 Свыше 45
Число предприятий 4 6 20 18 2
33
Определите средний процент сокращения промышленного про-
изводства по совокупности предприятий.
Задача 6. За отчетный период имеются следующие данные по
пяти малым предприятиям отрасли:
Показатель № предприятия
1 2 3 4 5
Среднесписочная численность работ- ников. чел. 130 170 160 150 140
Средняя заработная плата, руб. 1200 900 800 1000 950
Определите среднюю заработную плату работников предприятий
отрасли.
Задача 7. Распределение предприятий региона по размеру при-
были характеризуется следующими данными:
| Балансовая прибыль, млн руб. 10—20 20—30 30—40 40—50 50—60 Свыше 60
| Удельный вес предприятий. % 4 12 36 24 16 8
Определите среднюю прибыль предприятия.
Задача 8. По данным бюджетных обследований получено сле-
дующее распределение домохозяйств области по уровню среднеду-
шевого дохода в месяц:
№ группы Среднедушевой доход, руб. Удельный вес домохозяйств, %
1 До 300 10
И 300-^00 14
111 400—500 44
IV 500—600 30
V Свыше 600 2
Определите среднемесячный душевой доход домохозяйств облас-
ти.
Задача 9. В отчетном году строительство жилья в районе по видам
собственности характеризуется показателями:
Вид собственности Введено жилья в отчет- ном году. тыс. КВ. М Введено жилья в отчетном году по сравнению с базисным. %
Муниципальная 42 70
Индивидуальных за- стройщиков 60 100
Смешанная без ино- странного участия 84 105
34
Определите средний процент ввода жилья по трем видам собст-
венности в отчетном году по сравнению с базисным.
Задача 10. Имеются данные об использовании средств на капи-
тальное строительство объектов производственного назначения по
районам:
район Всего использовано капи- тальных вложений, тыс. руб. Доля средств предприятий в объеме ис- пользованных капитальных вложений. %
1 1500 60
2 700 55
3 300 80
Определите средний процент средств предприятий в объеме ис-
пользованных капитальных вложений по трем районам области.
Задача 11. Имеются данные о финансовых показателях фирм,
тыс. руб.:
№ фирмы Получено прибыли Акционерный капитал Рентабельность акционерного капитала, % Удельный вес акционерного капитала, %
А 1 2 3 4
: I 1500 5000 30 80
> 2 500 1250 40 20
/ Определите средний процент рентабельности акционерного ка-
Питала фирм, используя показатели: а) гр. 1 и 2; б) гр. 2 и 3; в) гр. 1
И 3; г) гр. 3 и 4.
Задача 12. Распределение пенсионеров города по размеру назна-
ченных пенсий с учетом компенсационных выплат на начало года
характеризуется данными:
Размер пенсии, руб. Удельный все пенсионеров, %
До 250 3
250—300 15
300—350 50
350—400 30
400—450 1
Свыше 450 1
Определите средний размер пенсии.
Задача 13. Прибыль предприятий акционерного общества ха-
рактеризуется показателями:
№ предприятия Получено прибыли в отчетном периоде, тыс. руб. Выполнение планового задания по прибыли к базисному периоду, %
1 231 105
2 117 90
3 136 85
Определите:
1) средний процент выполнения предприятиями плана по при-
были;
2) сколько недополучено прибыли АО в отчетном периоде по
сравнению с базисным.
Задача 14. Имеются данные о финансовых показателях фирм за
два периода:
№ группы Базисный период Отчетный период
Прибыль на одиу акцию, руб. Количество акций, тыс. Прибыль на одну акцию, руб. Сумма прибы- ли, тыс. руб.
1 8.0 60 9.0 810
2 4,0 40 8,0 480
Определите среднюю прибыль на одну акцию по двум фирмам
в каждом периоде.
Задача 15. Эффективность работы акционерного общества ха-
рактеризуется показателями:
№ пред- приятия I полугодие П полугодие
Акционерный капитал, тыс. руб. Рентабел ьность акционерного капитала. % Прибыль, тыс. руб. Рентабельность акционерного капитала, %
1 2040 30 770 35
2 760 40 378 42
3 1500 25 480 30
Определите:
1) средний процент рентабельности акционерного капитала по
предприятиям АО за каждое полугодие;
2) абсолютный прирост’ прибыли но каждому предприятию и в
целом по АО.
36
Задача 16. Получены данные о кредитных операциях банков за
отчетный период:
№ банка Краткосрочный кредит Долгосрочный кредит
Средняя процентная ставка Сумма кредита, млн руб. Средняя процент- ная ставка Доход банка, млн руб.
1 40 400 18 27
2 50 600 15 45
Определите среднюю процентную ставку по каждому виду кре-
дата в целом по двум банкам.
Задача 17. Имеются следующие данные об оплате труда работ-
jfe ников малых предприятий:
№ пред- приятия Фонд заработной платы, руб. Среднесписочная численность работников, чел. Среднемесячная заработная плата, руб. Удельный вес работников, %
А 1 2 3 4
1 270 000 300 900 60
2 240 000 200 1200 40
Я' Определите среднюю заработную плату работников предпри-
ж ятий, используя показатели: а) гр. 1 и 2; б) гр. 2 и 3; в) гр. 1 и 3;
W г) гр. 3 и 4.
Iff Задача 18. По данным выборочного обследования получены
данные о распределении семей по числу детей:
Число детей Число семей, %
I район П район III район
0 5 6 3
1 28 18 20
2 22 34 27
3 20 24 28
4 13 8 10
5 8 6 7
6 и более 4 4 5
Определите для каждого района:
1) среднее число детей в семье;
2) моду и медиану.
37
Задача 19. Имеются данные о сроках функционирования ком-
мерческих банков на начало года:
Срок функционирования, лет 1—2 2—3 3—4 4—5 5—6 6—7 Свыше 7 |
Число банков. % 16 20 28 18 10 4 4 |
Определите:
1) средний срок функционирования банков;
2) моду и медиану.
Задача 20. По условию задачи 12 определите модальный и ме-
дианный размер пенсий.
Задача 21. По данным выборочного обследования произведена
группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
Размер вклада, руб. До 400 400—600 600—800 800—1000 Свыше 1000
Число вкладчиков 32 56 120 104 88
Определите:
1) средний размер вклада;
2) дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент
вариации вкладов.
Задача 22. Обеспеченность населения города общей жилой пло-
щадью характеризуется следующими данными:
Размер обшей жилой площа- ди на одного члена семьи, кв.м До 10 10—12 12—14 14—16 16—18 18—20 Свыше 20
Число семей. % 32 24 25 9 4 3 3
Определите для населения города:
1) средний размер общей жилой площади на одного члена семьи;
2) коэффициент вариации.
Задача 23. Имеются данные о чистой прибыли (балансовой за
вычетом налогов) предприятий двух районов:
Район Число предприятий Чистая прибыль, млн руб.
1 11 6 10 4. 6. 9, 4. 7, 6 8. 12. 8. 9. 6. 5. 7. 7. 8. 10
Определите дисперсии чистой прибыли:
1) групповые (по каждому району);
2) среднюю из групповых;
38
3) межгрупповую;
4) общую.
Задача 24. Имеются следующие выборочные данные о расходах
на платные услуги домохозяйствами района:
Домохозяйства Обследовано домохозяйств Доля расходов на платные услуги, %
Городских поселений 400 30
Сельской местности 100 10
Определите для домохозяйств района:
1) общую дисперсию;
2) среднюю из групповых дисперсий;
3) межгрупповую, используя правило сложения дисперсий.
Поясните полученные показатели.
Задача 25. Имеются следующие выборочные данные о вкладах
населения района:
Группы населения Число вкладов, тыс. ед. Средний размер вклада, тыс. руб. Коэффициент вариации вклада. %
Городское 7 4 20
.Сельское 3 6 30
Определите тесноту связи между средним размером вклада и
типом населения, исчислив эмпирическое корреляционное отноше-
ние.
Задача 26. По данным обследования коммерческих банков горо-
да, 70% общего числа клиентов составили юридические лица со сред-
ним размером кредита 120 тыс. руб. и коэффициентом вариации 25%,
а 20% — физические лица со средним размером ссуды 20 тыс. руб.
При среднем квадратическом отклонении 6 тыс. руб.
Используя правила сложения дисперсий, определите тесноту
связи между размером кредита и типом клиента, исчислив эмпири-
ческое корреляционное отношение.
Задача 27. Капитал коммерческих банков характеризуется сле-
дующими данными:
№ п/п Собственный капитал, млрд руб. Число банков Средний размер привлеченных средств (капитала), млрд руб. Дисперсия привлеченных средств
1 30-^40 8 100 400
2 40—50 10 180 2500
3 50—60 2 200 3600
39
Определите показатели тесноты связи между размером собст-
венного капитала банков и привлеченными средствами, исчислив
коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отно-
шение.
Глава 4. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Методические указания и решение типовых задач
Целью выборочного наблюдения является определение характе-
ристик генеральной совокупности — генеральной средней (х ) и ге-
неральной доли (/?). Характеристики выборочной совокупности —
выборочная средняя (х) и выборочная доля (со) отличаются от ге-
неральных характеристик на величину ошибки выборки (А). Поэто-
му для определения характеристик генеральной совокупности необ-
ходимо вычислять ошибку выборки или ошибку репрезентативнос-
ти, которая определяется по формулам, разработанным в теории ве-
роятностей для каждого вида выборки и способа отбора.
Собственно-случайная и механическая выборки. При случайном
повторном отборе предельная ошибка выборки для средней (х) и
для доли (со) определяется по формулам
(О
2 - „
где о — дисперсия выборочной совокупности;
п — численность выборки;
t — коэффициент доверия, который определяется по таблице
значений интегральной функции Лапласа при заданной вероятнос-
ти (Р).
При бесповторном случайном и механическом отборе предель-
ная ошибка выборки определяется по формулам
(3)
40
Л/ co (1 - (О)
А со = t \ ---------------
ш ’ л
(4)
.. где N — численность генеральной совокупности.
Пример 1. Для определения зольности угля в месторождении в
Л; порядке случайной выборки было обследовано 100 проб угля. В ре-
зулътате обследования установлено, что средняя зольность угля в
№ выборке 16%, среднее квадратическое отклонение 5%. В десяти про-
S. бах зольность угля составила более 20%. С вероятностью 0,954 оп-
® ределить пределы, в которых будут находиться средняя зольность
Bi угля в месторождении и доля угля с зольностью более 20%.
Ж Решение. Средняя зольность угля в месторождении будет нахо-
Ш диться в пределах
Ж х - А ~ < х < х + А ~ .
Ж Для определения границ генеральной средней вычислим предель-
Кную ошибку выборки для средней по формуле (1):
В С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя зольность
К угля в месторождении будет находиться в пределах 16% ± 1%, или
К 15% <х< 17%.
В^ Доля угля с зольностью более 20% будет находиться в пределах
Ж А0<р<со + А0 .
'Ж Выборочная доля определяется по формуле
т
(й = —
и
где т — доля единиц, обладающих признаком:
р Ошибку выборки для доли (А о) вычислим по формуле (2):
J 0,1 0,9
| А ю = 2 \ — = 0,06, или 6%.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля угля с золь-
s. ностью более 20% в месторождении будет находиться в пределах
[ р = 10% ± 6%, или 4% < р < 16%.
Г Пример 2. Для определения среднего срока пользования кратко-
? срочным кредитом в банке была произведена 5%-я механическая вы-
борка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования ус-
41
тановлено, что средний срок пользования краткосрочным креди-
том — 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. В
пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С веро-
ятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться
срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокуп-
ности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом
более 60 дней.
Решение. Средний срок пользования кредитом в банке находит-
ся в пределах
х~ Л.~<х <х + А~ .
Так как выборка механическая, то ошибка выборки определяется
по формуле (3):______
/81 0,95
А~ = 2 \ —гт— =1,75 — 2 дня.
л ’ 1U0
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования
краткосрочным кредитом в банке находится в пределах т =
= 30 дней ± 2 дня, или 28 дней < х < 32 дня.
Доля кредитов со сроком пользования более 60 дней находится
в пределах
со-До <р < со +Ао .
Выборочная доля составит
<0 = -^ = 0,05.
Ошибку выборки для доли определим по формуле (4):
^0)
0,05 - 0,95 • 0,95 .................
= 0,042, или 4,2%.
100
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредитов в
банке со сроком пользования более 60 дней будет находиться в пре-
делах р = 5% + 4,2%, или 0,8% <р < 9,2%.
Типическая аыборка. При типическом (районированном) отборе
генеральная совокупность разбивается на однородные типические
группы, районы. Отбор единиц наблюдения в выборочную совокуп-
ность производится различными методами. Рассмотрим типическую
выборку с пропорциональным отбором внутри типических групп.
Объем выборки из типической группы при отборе, пропорцио-
нальном численности типических групп, определяется по формуле
~П АГ
42
f
у. где л,- — объем выборки из типической группы;
N, — объем типической группы.
Предельная ошибка выборочной средней и доли при бесповтор-
, ном случайном и механическом способе отбора внутри типических
групп рассчитывается по формулам
В Д7 = г'\/ —(1 -^3 , (5)
в
V . л м (1 ~ ®) (. л А
Ж &=fy~, (6)
Жг ш 1 л \ /V / х '
[ Ж . — 2 к
f ML где g — дисперсия выборочной совокупности.
। ML Пример 3. Для определения среднего возраста мужчин, вступа-
। №. ющих в брак, в районе была произведена 5%-я типическая выборка
[ №Г с отбором единиц пропорционально численности типических групп.
№' Внутри групп применялся механический отбор.
Социальная группа Число мужчин Средний возраст Среднее квадрати- ческое отклонение Доля мужчин, вступа- ющих во второй брак. %
‘Рабочие ^Служащие 60 40 24 27 5 8 10 20
$ .; С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет на-
* ходиться средний возраст мужчин, вступающих в брак, и долю
г; мужчин, вступающих в брак во второй раз.
Ь . Решение. Средний возраст вступления в брак мужчин находится
£ в пределах
с х- А~<х <х + Д~ .
| Средний возраст вступления в брак мужчин в выборочной совокуп-
I’, Ности определим по формуле
~ Z^-л,- 24-60 + 27-40 _ „
х = =------ibo-- = 25-2 года-
* Выборочная дисперсия определяется по формуле
t Z^n,- 25 60 + 64 - 40
С’“ ZW/ “ 100 -40,6‘
г‘ Предельную ошибку выборки вычислим по формуле (5):
43
Д.Г
40,6 0,95
100
= 1,2 года.
2
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний возраст
мужчин, вступающих в брак, будет находиться в пределах х =
= 25,2 года ±1,2 года, или 24 года < х < 26,4 года.
Доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, будет нахо-
диться в пределах
Выборочную долю определим по формуле
_ 0,1 • 60 + 0,2 40
со = ——— =---------------0,14, или 14%.
100
Выборочную дисперсию альтернативного признака вычислим
по формуле
-2 Е <0,(1-(0,) л, (0,1 0,9)-60+ (0,2 0,8)-40
<5 =----------------------------------------------= и,1)Уо.
100
Ошибку выборки для доли определим по формуле (6):
„ I 0,098 - 0,95
д... = 2 \ -----Гол----- =0,06, или 6%.
lutl
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля мужчин,
вступающих в брак во второй раз, будет находиться в пределах р =
= 14% ± 6%, или 8% <р < 20%.
Серийная выборка. При серийном способе отбора генеральную
совокупность делят на одинаковые по объему группы — серии. В
выборочную совокупность отбираются серии. Внутри серий произ-
водится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.
При бесповторном отборе серий предельные ошибки выбороч-
ной средней и доли определяются по формуле
<7>
где S2 — межсерийная дисперсия;
R — число серий в генеральной совокупности;
г — число отобранных серин.
Пример 4. В цехе предприятия 10 бригад рабочих. С целью изу-
чения их производительности труда была осуществлена 20%-я се-
рийная выборка, в которую попали 2 бригады. В результате обсле-
44
дования установлено, что средняя выработка рабочих в бригадах
составила 4,6 и 3 т. С вероятностью 0,997 определить пределы, в
которых будет находиться средняя выработка рабочих цеха.
Решение. Средняя выработка рабочих цеха будет находиться в
пределах _
х - А~ < х < х 4- А ~ .
Выборочную среднюю серийной выборки определим по формуле
Дисперсию серийной выборки определим по формуле
? L (х;- — Ху)"
о ----------,
г
где Xj — выборочная средняя серии;
Ху — выборочная средняя серийной выборки.
Значение дисперсии составляет
8г=(4!б-з,^р,0-з.8)2=064
Рассчитаем предельную ошибку выборки для средней по формуле
:(?): _________________
д~ = ЗДрф(1-^) = 1,5 т.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя выработка
рабочих цеха находится в пределах х - 3,8 т ± 1,5 т, или
2,3 т < х < 5,3 т.
Пример 5. На складе готовой продукции цеха находятся 200 ящи-
ков деталей по 40 штук в каждом ящике. Для проверки качества
Готовой продукции была произведена 10%-я серийная выборка. В
результате выборки установлено, что доля бракованных деталей со-
ставляет 15%. Дисперсия серийной выборки равна 0,0049.
С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится
доля бракованной продукции в партии ящиков.
Решение. Доля бракованных деталей будет находиться в пределах
« - <сл 4-Аш .
Определим предельную ошибку выборки для доли по формуле (7):
' . ,Л / 0,0049 Л 2бТ . .0.
д <0 = 3 \ ~20~ ~ 200 J = °,044’ или 4-4°-
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных
Деталей в партии находится в пределах 10,6% <х< 19,5%.
45
(9)
(Ю)
(11)
В практике проектирования выборочного наблюдения возникает
потребность в нахождении численности выборки, которая необхо-
дима для обеспечения определенной точности расчета генеральных
характеристик — средней и доли.
Предельная ошибка выборки, вероятность ее появления и вариа-
ция признака предварительно известны.
При случайном повторном отборе численность выборки опреде-
ляется по формуле
2 2
(8)
А2
При случайном бесповторном и механическом отборе числен-
ность выборки вычисляется по формуле
2 7
<у “ ЛГ
jVA24*/2 с2
Для типической выборки
/2 <r2W
" = М2 + (2?'
Для серийной выборки
г2 52 Я
Г-ЯЛ2 + Г282
Пример 6. В районе проживает 2000 семей. Предполагается про-
вести их выборочное обследование методом случайного бесповтор-
ного отбора для нахождения среднего размера семьи. Определить
необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью
0,954 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем
квадратическом отклонении три человека.
Решение. При бесповторном случайном отборе численность вы-
борки по формуле (9) составит
4 • 9 • 2000
л = 2000 - 1+4 - 9 ~ 33 СеМеЙ'
Пример 7. В городе А проживает 10 тыс. семей. С помощью ме-
ханической выборки предполагается определить долю семей с тремя
детьми и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы
с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на
основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?
46
Решение. Определим необходимую численность выборки по фор-
муле (9):
4-0,2- 10000
п =----=-------------= 1667.
0,022 10000 + 4-0.2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. При случайном способе отбора из партии было взято
100 проб продукта А. В результате исследования установлено, что
влажность продукта А в выборке составляет 9% при среднем квад-
ратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пре-
делы, в которых находится средняя влажность продукта А в партии.
Задача 2. Для изучения общественного мнения населения области
о проведении определенных мероприятий методом случайного от-
бора было опрошено 600 человек. Из числа опрошенных 360 человек
одобрили мероприятия.
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится
доля лиц, одобривших мероприятия.
Задача 3. Для определения среднего возраста рабочих предпри-
ятия была произведена выборка рабочих методом случайного бес-
повторного отбора. В результате обследования получены следующие
; данные:
Возраст рабочих, лет 20—30 30—40 40—50 50—60
Число рабочих, чел. 20 60 15 5
С вероятностью 0,997 определите:
1) пределы, в которых находится средний возраст рабочих пред-
приятия;
2) пределы, в которых находится доля рабочих предприятия в
возрасте старше 50 лет.
Задача 4. Для выявления затрат времени на обработку деталей
рабочими разной квалификации на предприятии была произведена
10%-я типическая выборка-пропорционально численности выделен-
ных групп (внутри типических групп произведен механический
отбор). Результаты обследования могут быть представлены следую-
щим образом:
Группы рабо- чих по разряду Число рабочих Средние затраты времени на обработку одной детали, мин Среднее квадратическое отклонение, мин
I 30 10 1
II 50 14 4
П1 20 20 т
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находятся
средние затраты времени на обработку деталей рабочими.
Задача 5. Для определения доли рабочих предприятия, работа-
ющих неполную рабочую неделю, была произведена 10%-я типичес-
кая выборка рабочих с отбором пропорционально численности ти-
пических групп. Внутри типических групп применялся метод слу-
чайного бесповторного отбора.
Результаты выборки представлены ниже:
Цех Число рабочих Доля рабочих, работающих неполную рабочую неделю, %
Основной 120 5
Вспомогательный 80 2
С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится
доля рабочих предприятия, работающих неполную рабочую неде-
лю.
Задача 6. С целью прогнозирования урожая шпешщы в хозяйст-
ве была произведена 10%-я серийная выборка, в которую попали
три участка. В результате обследования установлено, что урожай-
ность пшеницы на участках составила 20, 25 и 21 ц/га.
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет на-
ходиться средняя урожайность пшеницы в хозяйстве.
Задача 7. Из 5000 человек, совершивших правонарушения в те-
чение года, было обследовано 500 правонарушителей методом ме-
ханического отбора. В результате обследования установлено, что
300 человек выросли в ненормальных семейиых условиях.
С вероятностью 0,997 определите долю правонарушителей, вы-
росших в ненормальных семейных условиях.
Задача 8. В городе А. с целью определения средней продолжи-
тельности поездки населения на работу предполагается провести
выборочное обследование методом случайного отбора.
Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятнос-
тью 0,997 ошибка выборочной средней не превышала 5 минут при
среднем квадратическом отклонении 20 мин.?
Задача 9. В городе Н. с числом семей 10 тыс. предполагается
методом случайного бесповторного отбора определить долю семей
с детьми школьного возраста.
Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятнос-
тью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если дисперсия
равна 0,24?
48
Глава 5. РЯДЫ ДИНАМИКИ
Методические указания и решение типовых задач
Ряды динамики характеризуют изменение уровней показателя
к- во времени. Ряды динамики подразделяют на ряды динамики абсо-
$ лютных, средних и относительных величин. По признаку времени
а; ряды динамики абсолютных величин подразделяют на моментные
г и интервальные ряды динамики. Каждый ряд динамики состоит из
к. двух элементов: 1) периодов или моментов времени; 2) уровней,
и Уровни ряда динамики должны быть сопоставимы по методоло-
К.гии расчета показателя, территории, продолжительности периодов,
К охватываемого объекта, единицам измерения й другим признакам.
К1 В тех случаях, когда вначале имеются уровни ряда, исчисляемые
В по одной методологии или в одних границах, а затем уровни, ис-
№ числяемые по другой методологии или в других границах, уровни
К ряда динамики оказываются несопоставимы между собой. Чтобы
К, привести уровни в ряду динамики к сопоставимому, годному для
анализа виду, необходимо применить прием, который называют
В смыканием радов динамики.
К Пример 1. Имеются данные о поголовье крупного рогатого
К скота в районе:
к- Таблица 5.1
Динамика поголовья крупного рогатого скота в районе за 1991—1997 гг.
(тыс. голов)
№ п/п Поголовье скота Год
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
1 В прежних границах 45,0 48.0 50,0 — — — —
2 В новых границах — — 70.0 71,3 73,2 74,1 75,0
3 Сомкнутый ряд 63.0 67,2 70,0 71.3 73.2 74.] 75,0
Г Привести ряды динамики к сопоставимому виду.
Е Решение. Определим коэффициент пересчета уровней в 1993 г.,
J в котором произошло изменение границ района: К = 70 / 50 = 1,4.
I. Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в преж-
к Них границах, приводим их к сопоставимым уровням в новых гра-
| ницах.
В 1991 г. '.................................. 45 1,4 = 63.0 тыс. голов.
В 1992 г......................................48 1,4 = 67.2 тыс. голов.
49
Теперь представим полученные данные о поголовье крупного ро-
гатого скота в виде ряда динамики ( см. табл. 5.1).
19911'. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г,
63.0 67.2 70.0 71.3 73.2 74.1 75.0
Данные сопоставимого ряда характеризуют рост поголовья круп-
ного рогатого скота в районе за 1991—1997 гг. Они могут быть ис-
пользованы для расчета аналитических показателей ряда динамики.
Пример 2. Имеются данные о среднемесячной заработной плате
на одного работника и стоимости набора из 25 основных продуктов
питания в расчете на одного человека в РФ за полугодие:
Месяц Среднемесячная заработная плата, руб. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания, руб.
Январь 654.8 209,4
Февраль 684.4 216,6
Март 745,0 220,9
Апрель 746,5 224.1
Май 779,3 227.5
Июнь 837,2 232,5
Привести ряды динамики к одному основанию и сделать краткие
выводы.
Решение. Для сравнения уровней рядов динамики необходимо
уровни рядов привести к одному основанию, т.е. исчислить базисные
темпы роста.
Для среднемесячной заработной платы:
684 4 745 0
100 = 104,5%; 100-113,8% и т.д.
654,8 654,8
Для стоимости набора продуктов питания:
100 = 103,4%; адГ 100 * * * * = 105.5% и
Представим полученные показатели в табл. 5.2.
Данные табл. 5.2 показывают, что начисленная среднемесячная
заработная плата на одного работника неуклонно растет. Прирост
в июне к январю составил 27,9%. Стоимость набора из 25 основных
продуктов питания тоже растет, но более медленными темпами.
50
Таблица 5.2
Базисные темпы роста за I полугодие среднемесячной заработной платы
на одного работника и стоимость набора из 25 основных продуктов
питания в РФ, %
Месяц Среднемесячная заработная плата Стоимость набора продуктов питания Коэффициенты опережения
Январь 100 100 —
Февраль 104.5 103.4 101
Март 113.8 105,5 108
Апрель 114,0 107.0 107
Май 119,0 108,6 110
Июнь 127.9 111,0 115
В статистике для сравнения базисных темпов роста изучаемых
радов динамики за анализируемый период принято исчислять коэф-
фициент опережения (Коп) по формуле
4
?!
где Тб' — базисный темп первого ряда;
Тб" — базисный темп второго ряда.
Так, для июня коэффициент опережения равен
Коп = 1,279 / 1,110 = 1,15 (115%).
Полученнйе показатели представлены в табл. 5.2.
Коэффициенты опережения свидетельствуют о более высоких
темпах роста заработной платы по сравнению с ростом цен на про-
t дукты питания.
1 Пример 3. Имеются следующие данные о динамике производст-
I; ва продукции предприятием за 1993—1997 гг., млн руб.:
1993 г.
2040
1994 г.
2130
1995 г.
2220
1996 г.
2265
1997 г.
2360
I Определить
[ 1997 гг.
g Решение. Для интервального ряда динамики средний уровень
f (у ) исчисляется по формуле средней арифметической простой:
Ту 2040 + 2130 + 2220 4-2265 + 2360 11 015 _
)' = —- =------------------------------ —-— - 2203 млн руб.,
и 5 5 ’
К где г — уровни ряда.
среднегодовое производство продукции за 1993—
51
Пример 4. Имеются следующие данные об остатках сырья и ма-
териалов на складе предприятия, млн руб.:
на I/I — 400; на I/II — 455; на 1/Ш — 465; на I/IV — 460.
Определить среднемесячный остаток сырья и материалов на
складе предприятия за I квартал.
Решение. По условию задачи имеем моментный ряд динамики с
равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен
по формуле средней хронологической:
- >’1 + У2 + Уз + - + v2 Уп 400/2 + 455 + 465 + 460/2 1350
п-1 “ 3 “ 3
- 450 млн руб.
Пример 5. Имеются следующие данные о товарных запасах роз-
ничного торгового предприятия, млн руб.
на 1/1 1997 г. — 61,1; на 1/V 1997 г. — 57,5; на 1/VIII 1997 г. —
51,3; на 1/1 1998 г. — 74,7.
Исчислить среднегодовой товарный запас розничного торгового
предприятия за 1997 г.
Решение. Средний уровень товарных запасов за год для момент-
ного ряда динамики с неравными интервалами исчислим по формуле
- £У;!
У~ £1
где — средние уровни в интервале между датами;
t —интервал времени (число месяцев между моментами времени).
Так, средний уровень товарных запасов за периоды:
61 1 +57 5
с 1/1 по 1/V — yf = 59,3; с 1/V по 1/VII — у2' =
57,5 + 51,3 _ и
=-----~----= 54,4 и т.д.
Число месяцев (/) между моментами времени равно 4, 3, 5. Сле-
довательно, средний уровень товарных запасов за год составит
_ 59,3-4 + 54,4- 3 + 63,0- 5 715,4 с й
> =------дТзТз---------= 59-6 млн руб-
Пример 6. Имеются следующие данные о производстве продук-
ции предприятия за 1992—1997 гг. (в сопоставимых ценах),
млн руб.:
1992 г. 1993 г.
1994 г. 1995 I. 1996 г. 1997 г.
SO 84 89 95 101 108
52
Определить аналитические показатели ряда динамики производ-
ства продукции предприятия за 1992—1997 гг.:
1) абсолютные приросты;
2) темпы роста;
3) темпы прироста;
4) абсолютное значение одного процента прироста, а также сред-
ние обобщающие показатели ряда динамики.
Решение. В зависимости от задачи исследования абсолютные
Приросты (Ду), темпы роста (Тр) и темпы прироста (7”||р) могут быть
исчислены с использованием переменной базы сравнения (цепные)
и постоянной базы сравнения (базисные).
1. Абсолютный прирост (Ду) — это разность между последую-
щим уровнем ряда и предыдущим (или базисным).
Так, в 1993 г. прирост продукции был равен: цепной — Ду,—
~У(~У/- 1 = 84 - 80 = 4 млн руб.; в 1994 г. — 89 - 84 = 5 млн руб.
Аналогично исчисляются абсолютные приросты за любой год.
Абсолютный прирост базисный — Ду,—У,'-Уо- В 1993 г. —
84 - 80 = 4 млн руб.; в 1994 г. — 89 - 80 = 9 млн руб. и т.д.
(табл. 5.3, гр. 2 и 3).
Таблица 5.3
Динамика производства продукции предприятия за 1992—1997 гг.
Год Продук- ция в сопоста- вимых ценах, млн руб. Абсолютные приросты, млн руб. Темпы роста, % Темпы прироста, % Абсолютное значение 1% прироста, тыс. руб.
цепные (ежегод- ные) базис- ные (к 1992 г.) цепные (ежегод- ные) базис- ные (к 1992 г.) цепные (ежегод- ные) базис- ные (к 1992 г.)
'А 1 2 3 4 5 6 7 8
1992 1993 1994 1995 1996 1997 80 84 89 95 101 108 4 5 6 6 7 4 9 15 21 28 105.0 106.0 106,7 106,3 106,9 100 105,0 111.2 118,7 126.2 135.0 5,0 6.0 6.7 6.3 6Д 5,0 11,2 18,7 26,2 35.0 800 840 890 950 , 1010
Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:
а) как средняя арифметическая простая годовых (цепных) при-
ростов
_ ZДу 4+5+6+6+7 28 , , -
Д у =---=--------------= у = 5,о млн руб.;
53
б) как отношение базисного прироста к числу периодов
А_ 108-80 28
Д г =------------------ — - 5,6 млн руб.
? п 5 5
2. Темп роста (Гр) — отношение уровней ряда динамики, которое
выражается в коэффициентах и процентах. Цепной темп роста ис-
числяют отношением последующего уровня к предыдущему:
Ти - у/у{_ ] ; базисный — отношением каждого последующего
уровня к одному уровню, принятому за базу сравнения: Т6~у/у^.
Цепные темпы роста составили:
в 1993 г. по сравнению с 1992 г. T92>j92 - 84 / 80 =1,050 (105,0%);
в 1994 г. по сравнению с 1993г. Т94/93 = 89 / 84 =1,060 (106,0%)
и т.д.
Базисные темпы за эти же периоды равны:
г93/92 = 84 / 80 = 1,050 (105,0%); Т94/92 = 89 / 80 =1,112 (111,2%)
и т.д. (см. табл. 5.3, гр. 4 и 5).
1"' Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимо-
связь: произведение соответствующих цепных темпов роста равно
базисному. Зная базисные темпы, можно исчислить цепные делением
каждого последующего базисного те"м1Та'“рЬстаГна каждый-предыду-
L... щий.
3. Темп прироста (ТПр) определяют двумя способами:
а) как отношение абсолютного прироста к предыдущему уров-
Aj'7------------Ду-
ню: Тпр = —------- цепной, или к базисному уровнф Тпр = -у- *—
базисный.
Тпр 93/92 = 4 / 80 = 0,050 (5,0%); Тпр 94/93 = 5 / 84 = 0,060 (6,0%)
(цепные — см. табл. 5.3, гр. 6);
ГпР 93/92 = 4 / 80= 0,050 (5,0%); Т 94/92 = 9 / 80 = 0,112 (11,2%)
и т.д. (базисные — см. табл. 5.3, гр. 7);
б) как разность между темпами роста и единицей, если темпы
роста выражены в коэффициентах: Т = Тр - 1; или как разность
между темпами роста и 100%, если темпы роста выражены в про-
центах: 1' = Тр - 100%.
Тпр 92/93 = 1,050 - 1 = 0,050, или 105% - 100% = 5,0%, и т.д.
4. Абсолютное значение одного процента прироста (Л1%) равно
отношению абсолютного прироста цепного к темпу прироста цеп-
ному.
Л к 4
1993 г. — Л1% = 7=— = 7—-0,8 млн руб., или 800 тыс. руб.;
^пр
54
1994 г. — Л1% = -^9 = 0,84 млн руб., или 840 тыс. руб., и т.д.
(см. табл. 5.3, гр. 8).
Этот показатель может быть исчислен иначе: как одна сотая
часть предыдущего уровня. Например, в 1993 г. по сравнению с
1992 г. абсолютное содержание 1% прироста составило:
8
Л1% = = 0,8 млн руб., или 800 тыс. руб., и т.д.
Расчет среднего абсолютного значения одного процента при-
роста за несколько лет производится по формуле
_ ЕАГУо 800 + 840 + 890 + 950 + 1010 4490
Г А 1 % = —-— =--------------5----------------~ ~= 898 тыс. руб.
Пример 7. По исходным данным примера 6 исчислить среднего-
довой темп роста и прироста производства продукции за исследуе-
. мый период.
Решение. Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле
средней геометрической из цепных коэффициентов роста:
тр = г, т2... т„ = ЛП;,
где и — число коэффициентов;
П — знак произведения.
- 5,------------------------------ 5.-----
• Гр= 1,050 • 1,060 - 1,067 • 1,063 - 1,069 = 1,350 = 1,062 (106,2%).
f Среднегодовой темп роста может быть исчислен из отношения
/ конечного (уп) и начального G*o) уровней по формуле
Т=\Л^"= Ч = 5<1Д5О = 1,062 (106,2%). Среднегодо-
" ’ Vq ’ оО
вой темп роста за 1993—1997 гг. равен 106,2%.
Среднегодовой темп прироста исчисляется следующим образом:
Гпр=Тр - 100% = *06,2 ~ 100 = 6,2%, или Тпр=Тр - =
= 1,062 - 1,00 = 0,062.
Таким образом, производство продукции в период 1993—
1997 гг. увеличивалось за год в среднем на 6,2%.
Пример 8. Имеются данные о потреблении овощей по области
за 1989—1997 гг. на одного члена домохозяйства в месяц, кг.
1989 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
10.0 10.7 12.0 10.3 12.9 16.3 15.6 17.8 18.0
55-
Выявить основную тенденцию потребления овощей за 1989—
1997 гг.:
1) методом скользящей средней;
2) методом аналитического выравнивания.
Решение. 1. Исчислим трехлетние скользящие средние уровни
ряда за 1989—1991 гг.:
_ + У? + УЗ 10,0 + 10,7 + 12,0 32,7
У1 =-----j----=--------5-------= — = 10,9 кг;
за 1990—1992 гг.:
у?+у3+у4 Ю,7 + 12,0 + 10,3 33,0
у2 =-----з----=--------з-------= —$~= ~ ~ 11,0 кг и т.д.
Результаты расчета трехлетней скользящей средней представлены
в табл. 5.4, гр. 3.
Таблица 5.4
Динамика потребления овощей иа одного члена домохозяйства за месяц
по области за 1989—1997 гг., кг
Год Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства 0 Скользящие трехлстние суммы *У, Трехлстние скользящие средние (
А 1 2 3
1989 10,0 (Г!) — —
1990 10.7 (у2) 32,7 (у, + у2 +У3) Ю.9 0"1)
1991 12,0 Cv3) 33,0 0‘2 + Уз + У4) н.о Ср2)
1992 10.3 (j’4) 35,2 (у3 + У4 + У5) И,8 (Уз)
1993 12,9 0’5) 39,5 ... 13,2 ...
1994 163 ... 44,8 ... 15.9 ...
1995 15.6 ... 49.7 ... 16,6 ...
1996 17.8 ... 51.4 0’л 2 + .»’н 1 + Уц) 17,1 (У„)
1997 18,0 б'„) — —
В результате обработки ряда динамики методом скользящей
средней проявилась тенденция к росту потребления овощей.
2. Метод аналитического выравнивания ряда динамики по пря-
мой.
Уравнение прямой имеет вид
y( = a0 + fll/,
56
где vf — теоретические уровни;
а0 и aj — параметры прямой;
t — показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д,).
Для нахождения параметров а0 и а1 необходимо решить систему
нормальных уравнений
а0 п ч* Я] X t = Xy ,
а0 Е t + X t2 = X yt,
где у — фактические уровни ряда динамики;
и — число уровней.
Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало
его отсчета приходилось на середину рассматриваемого периода
(см, табл, 5,5, гр. 2).
Таблица 5.5
Расчетные данные для определения параметров системы нормальных
уравнений и выравненных теоретических значений (у,)
Год Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства V 1 I1 yt J7
А 1 2 3 4 5
1989 10,0 -А 16 -40.0 9,30
) 1990 10.7 -3 9 -32.1 10,41
; 1991 12,0 -2 4 -24,0 11,52
; 1992 10.3 -1 1 -103 12,63
- 1993 12,9 0 0 0 13,74
, 1994 16.3 1 1 16,3 14,85
] 1995 15.6 2 4 31,2 15,96
1996 17.8 3 9 53,4 17,07
1997 18,0 4 16 72,0 18,18
Ху ~ 123.6 Хг = 0 Хг = 60 Ху( = 66,5 Ху, = 123,66
Так как X I = 0, то система нормальных уравнений примет вид
«У я = X у ,
Е / “ = Е у/,
57
Отсюда
Sy 123,6
ап = = —г:—= 13,74 кг,
и п У
Sy/ 66,5 ...
----- = = ill кг.
1 £ 12 60
Уравнение прямой будет иметь вид
у, = 13,74 + 1,11/.
Подставив в это уравнение значение t (табл. 5.5, гр. 2), получим
выравненные теоретические значения уг (табл. 5.5, гр. 5).
Параметры н можно нсчнслнть иначе с помощью опреде-
лителей:
Еу Е /2 - Еу/ Е /
°0 " ~цЕ/2-Е/Е/
Приведенные формулы показывают, что для нахождения пара-
метров а0 и й] необходимо получить следующие значения: Еу,
Е/, Е/2, Еу/.
Обозначив годы (/) порядковыми номерами, определим эти ве-
личины и представим нх значения в табл. 5.6.
п Е vl - Е у • Е I
а, =---------
1 иЕ/2-Е/Е/
Таблица 5.6
Расчет параметров а0 и at с помощью определителей
Год Потребление овощей за месяц на одного члена домохозяйства, кг у 1 t2 .17 .— -Ул
А 1 2 3 4 5
1989 10,0 1 1 10.0 9,30
1990 10.7 2 4 21.4 10,41
1991 12.0 3 9 36.0 11,52
1992 10,3 4 16 41.2 12,63
1993 12,9 5 25 64,5 13,74
1994 16.3 6 36 97.8 14.85
1995 15.6 7 49 109.2 15.96
1996 17.8 8 64 142.4 17,07
1997 18.0 9 81 162,0 18.18
Итого 1у = 123.6 I/ = 45 If2 = 285 Zr( = 684.5 Хг; = 123.66
58
По данным табл. 5.6 определим параметры и а^.
_ 123,6 - 285 - 684,5 • 45 35 226,0 - 30 802,5 4423,6
й0” 9 285 -45 45 “ 2565-2025 " 540 -8’19руб‘
__ 9 684,5 - 123,0 45 6160,5 - 5562,0 _ 598,5
fll ~ 9 -285 -45 45 “ 2565-2025 “ 540 - 1,Ируб‘
Следовательно, yt = 8,19 + 1,1k.
Далее расчет аналогичен приведенному выше. Подставив в это
уравнение значения I (табл. 5.6, гр. 2), получим выравненные теоре-
тические значения у{ (табл. 5.6, гр. 5).
После решения уравнения наносим на график фактические уров-
ни и нечисленную прямую линию, характеризующую тенденцию ди-
намического ряда.
Пример 9. Реализация картофеля на рынках города за три года
Характеризуется следующими данными, т:
Год Месяц
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
1995 70 71 82 190 280 472 295 108 605 610 184 103
1996 71 85 84 308 383 443 261 84 630 450 177 168
1997 63 60 59 . 261 348 483 305 129 670 515 185 104
Определить индексы сезонности.
Решение. Для исчисления индексов сезонности применяют раз-
личные методы, выбор которых зависит от характера общей тенден-
'ции ряда динамики. Если ряд динамики не содержит ярко выражен-
< ной тенденции развития, то индексы сезонности исчисляют непо-
f средственно по эмпирическим данным без их предварительного вы-
равнивания. Для расчета индексов сезонности необходимо иметь по-
месячные данные минимум за три года.
Для каждого месяца рассчитывается средний уровень (J,), затем
исчисляется среднемесячный уровень для всего анализируемого ряда
(J). По этим данным определяется индекс сезонности (/s) как про-
центное отношение средних для каждого месяца к общему средне-
месячному уровню ряда:
I = й. 100,
У
где rf- — среднемесячные уровни ряда (по одноименным месяцам);
у — общий средний уровень ряда (постоянная средняя).
59
Применяя формулу средней арифметической простой
IV,- = —— I, определим среднемесячные уровни за три года:
_ 70 + 71 + 63 204
январь: -- -у- = 68 т;
ж _ 71 + 85 + 60 216 Л
февраль: у2 =-----3-----“ “3“ - 72 т и т.д. (см. табл. 5.7, гр. 5).
Исчислим общую (постоянную) среднюю: у = —=
_ 68+ 72+ 75+ 253+ 337+ 466+ 287+ 107 + 635 + 525 + 182+ 125 _
12
= 261 т,
или
3070 + 3144+ 3182 9396
У~ 12+12+12 “36 “26 Т‘
Индексы сезонности имеют следующие значения:
январь: 1Х = = 0,263, или 26,3%;
72
февраль: Is = = 0,276, или 27,6%, и т.д. (см. табл. 5.7, гр. 6).
Индексы сезонности показывают, что наименьший спрос прихо-
дится на январь — февраль, а наибольший — на сентябрь — ок-
тябрь. Для наглядности можно построить график сезонной волны
реализации картофеля (рис. 1).
Таблица 5.7
Реализация картофеля на рынках города за три года
Месяц Реализация картофеля, т Индексы сезонности (А), %
1995 г, 1996 г. 1997 г. Сумма за три года Среднемесячная за три года й
А 1 2 3 4 5 6
Январь 70 71 63 204 68 26.3
Февраль 71 85 60 216 72 27.6
Март 82 84 59 225 75 28,7
Апрель 190 308 261 759 253 96.9
Май 280 383 348 ЮН 337 129.1
Июнь 472 443 483 1398 466 178.5
Июль 295 261 305 861 287 110,0
60
Окончание табл. 5.7
А 1 2 3 4 5 6
Август 108 84 129 321 107 41.0
Сентябрь 605 630 670 1905 635 243,3
Октябрь 610 450 515 1575 525 201,0
Ноябрь 184 177 185 546 182 69,7
Декабрь 103 168 104 375 125 47,9
Итого 3070 3144 3182 9396 У = 261 100,0
/¥, %
250 Ч
1----1---Г—1-----1----I---[—“I-----f----Г--”1---1
1 II 111 IV V VI VII VIII IX X XI хп
Месяцы
Рис. 1. Сезонная волна реализации картофеля (изменение индексов сезонности
в среднем за три года)
Пример 10. Имеются следующие данные о внутригодовой дина-
'Мике заготовок сельскохозяйственной продукции области по квар-
талам за три года:
Квартал Заготовлено продукции, тыс. руб.
Первый год Второй год Третий год
I 162 159 158
11 170 193 225
Ш 177 178 187
IV 151 168 172
61
Для анализа внутригодовой динамики заготовок сельскохозяй-
ственной продукции определить индексы сезонности.
Решение. Вычисление индексов сезонности в рядах динамики с
тенденцией развития (к переменной средней).
Когда уровни ряда динамики проявляют тенденцию к росту или
снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут
исказить сезонные колебания. В таких случаях фактические данные
сопоставляются с выравненными.
Для расчета индекса сезонности в таких рядах динамики приме-
няется формула
w,
где Vj — эмпирические уровни ряда;
— теоретические уровни ряда;
п — число лет.
Определим теоретические значения 7/ по уравнению
Для расчета параметров а0 и Я] составим табл. 5.8.
Исчислим параметры:
Zyi 2100 ... 323 ,,,
а0 =----= = 175; а. =--у = туг = 2,26.
и п 12 1 £ 143
Следовательно, уравнение прямой примет вид
Д =175 + 2,26л
Подставив в полученное уравнение значения 1 (квартальные),
получим следующие выравненные значения ряда.
Для первого года:
I квартал: yt = 175 + 2,26 (-5,5) = 175 - 12,43 = 162,6;
II квартал: у, = 175 + 2,26 (-4,5) = 175 - 10,17 = 164,8;
III квартал: у, = 175 + 2,26 • (-3,5) = 175 - 7,91 = 167,1 и т.д.
(табл. 5.8, гр. 5).
Далее необходимо найти для каждого квартала процентные от-
ношения эмпирических уровней ряда (г;) к теоретическим уровням
— 100%.
62
Таблица 5.8
Расчет параметров а0 и а.
Квартал Эмпирические уровни ряда У, t /2 yt ’7 ~ 100% )’i
1 2 3 4 5 6
Первый год
7 I 162 -5,5 30,25 -891.0 162.6 99,6
II 170 -4,5 20,35 -765,0 164,8 103,2
III 177 -3,5 12,25 -619.5 167,1 195.9
IV 151 -2.5 6,25 -377.5 169,4 89,1
Второй год
I 159 -1,5 2,25 -238.5 171,6 92,7
II 193 -0,5 0.25 -96,5 173,9 111,0
III 178 0,5 0,25 89,0 176,1 101,1
IV 168 1,5 2,25 252,0 178,4 94,2
11 Третий год
I 158 2,5 6,25 395,0 180,7 87,4
II 225 3,5 12,25 787,5 182,9 123,0
III 187 4,5 20,25 841,5 185,2 101,0
IV 172 5,5 30,25 946,0 187,3 91,8
=2100 I/ = 0 D2 = 143,00 Lyt = 323 £уг = 2100 —
Тогда для первого года:
1 квартал: -100 = 99,6%;
162,о
тт 170
П квартал:
100 = 103,2% и т.д.
Для третьего года:
IV квартал:
172
187,3
100 = 91,8%,
После этого нужно просуммировать полученные процентные
отношения f X 100%^) за три года по одноименным кварталам
v У, J
(см. табл. 5.9, гр. 10):
1 квартал: 99,6 + 92,7 + 87,4 = 279,7;
II квартал: 103,2 + 111,0 + 123,0 = 337,2 и т.д.
63
Затем следует исчислить индексы сезонности (см. табл. 5.9,
гр. 11).
Таблица 5.9
Динамика заготовок сельскохозяйственной продукции области
Квар- тал Эмпирические данные Л Теоретические данные У/ Эмпирические данные s про- центах от теоретических • 100% Сумма процент- ных отношений (гр. 7 + + гр. 8 + + гр. 9) Индексы сезонности. % уТ/ 100% У,' ”
1-й год 2-й год 3-й год 1-й год 2-й год 3-й год 1-й год 2-й год 3-й год
А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
I 162 159 158 162,6 171,6 180,8 99.6 92,7 87.4 279,7 93,2
И 170 193 225 164,8 173,9 182.9 103.2 111.0 123,0 337,2 112.4
III 177 178 187 167.1 176.1 185.2 105.9 101,1 101.0 308,0 102.7
IV 151 168 172 169.4 178,4 187.3 89,1 94.2 91,8 275,1 91,7
Итого 660 698 742 — — — — — — — 100,0
Индексы сезонности характеризуют размеры заготовок сельско-
хозяйственной продукции в зависимости от времени года. Наиболь-
ший удельный вес заготовок сельскохозяйственной продукции при-
ходится на второй квартал. Чтобы наглядно представить сезонную
волну, индексы сезонности наносят на график.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются данные о розничном товарообороте района,
млн руб.:
Розничный товарооборот 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г.
В старых границах 520 540 600 — — —
В новых границах — — 750 792 810 835
Приведите ряды динамики к сопоставимому виду (сомкните
ряды).
Задача 2. Имеются данные о динамике кредитов коммерческих
банков по видам (по состоянию на 1 января), млн руб.:
64
Год Кредиты В том числе
краткосрочные долгосрочные
1993 5 4 1
1994 25 23 2
1995 64 61 3
1996 98 93 5
Приведите ряды динамики к одному основанию.
Определите коэффициенты опережения темпов роста кратко-
срочных кредитов по сравнению с долгосрочными кредитами.
Задача 3. Имеются данные о производстве электроэнергии в РФ
за первое полугодие 1996 г., млрд кВт ч;
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
91,1 84,7 82.7 70,3 59,8 55,0
Определите среднемесячное производство электроэнергии в РФ
за первый, второй кварталы и за полугодие в целом.
Задача 4. Имеются следующие данные об остатках вкладов в
Сбербанке РФ во втором полугодии 1996 г. на первое число каждо-
го месяца, млрд руб.:
Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Январь 1997 г.
70,7 75,0 78,3 81,0 84,1 85,0 96,4
Определите средние остатки вкладов в Сбербанке РФ: а) за тре-
тий квартал, б) за четвертый квартал, в) за второе полугодие в
целом.
Задача 5. Имеются следующие данные о товарных запасах в
"розничной торговле за первый квартал, тыс. руб.:
Товарные группы На 1Л На 1/П На 1/1П На 1/IV
Продовольственные товары 306 324 260 290
Непродовольственные товары 528 508 530 520
Определите средние товарные запасы за первый квартал по
'Каждой товарной группе и в целом по двум группам.
Задача 6. Имеются следующие данные о валовом сборе зерна в
РФ (в хозяйствах всех категорий), млн т:
65
1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г.
107 99 XI 63 69
Определите:
1) среднегодовое производство валового сбора зерна;
2) цепные и базисные абсолютные приросты;
3) цепные н базисные темпы роста;
4) абсолютное значение одного процента прироста;
5) средний абсолютный прирост;
6) среднее значение одного процента прироста;
7) среднегодовые темпы роста и прироста.
Полученные данные представьте в таблице и проанализируйте
их.
Задача 7. Известны темпы прироста выпуска продукции пред-
приятия в 1992—1997 гг., % по отношению к предыдущему году:
1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
3 1 _7 -5 2 3
Определите:
1) базисные темпы роста (1991 г. — 100%) выпуска продукции
предприятия;
2) среднегодовой темп роста и прироста.
Задача 8. Добыча угля в Восточно-Сибирском районе характе-
ризуется следующими данными, млн т:
1991 г. 1992 г. 1993 г? 1994 г. 1995 г.
103 97 85 76 72
Для анализа динамики добычи угля исчислите:
1) среднегодовую добычу угля;
2) абсолютные и относительные изменения добычи угля за каж-
дый год (цепные показатели) и к 1991 г. (базисные показатели), аб-
солютное содержание одного процента прироста; полученные пока-
затели представьте в таблице;
3) среднеквартальный темп роста и прироста (снижения);
4) ожидаемый уровень добычи угля в 1996 и 1997 гг. при усло-
вии, что среднегодовой темп его добычи в предстоящий период со-
хранится.
Постройте график динамики добычи угля. Сделайте выводы.
66
Задача 9. Имеются следующие данные о динамике внешней тор-
говли России (в фактических ценах), % по отношению к предыду-
щему году:
Показатель 1990 г. 1991 г, 1992 г. 1993 г. 1994 г.
Экспорт 88,5 71.6 78.5 101.4 108.4
Импорт 98.1 54.4 78.7 73.0 L05.4
Известно, что в 1990 г. объем экспорта составил 71 млрд долл.,
;в 1994 г. — 48 млрд долл.; импорта — соответственно 82 и 28 млрд
'долл.
Исчислите по экспорту и импорту:
1) фактические уровни за исследуемые годы;
2) базисные темпы;
3) среднегодовые темпы;
4) коэффициент опережения экспорта над импортом.
; Сделайте выводы.
с Задача 10. Отправление грузов железнодорожным транспортом
общего пользования в РФ за трн года характеризуется следующими
'. данными, млн т:
Месяц 1993 г. 1994 г. 1995 г.
Январь 114.0 91,5 84,1
Февраль 107.9 83.1 79,6
Март 122.6 92.8 89.1
Апрель 121.5 91.7 85,8
Май 119,6 88.7 87,6
Июнь 115.1 86,8 83,9
Июль 114.4 84.7 88.7
Август 111.2 87.9 89.0
Сентябрь 108,1 85.3 85,9
Октябрь 110.8 89.6 88.1
Ноябрь 100.0 85,6 82.4
Декабрь 100.4 86,3 80.1
Всего 1345,6 1054.0 1024,3
Определите индексы сезонности и постройте график сезонной
волны.
67
Задача 11. Имеются следующие данные о внутригодовой дина-
мике ввода в действие жилых домов предприятиями всех форм соб-
ственности по кварталам в 1995—1997 гг., млн кв. м общей жилой
площади:
Квартал 1994 г. 1995 г, 1996 г. 1997 г.
1 2.2 2,4 2,1 2,0
11 5,1 5.0 4,2 5,7
Ш 3,9 4.8 4.1 6,0
IV 8.4 9.0 6,4 15,0
Определите индексы сезонности:
1) методом постоянной средней (средней арифметической про-
стой);
2) методом аналитического выравнивания.
Постройте график сезонной волны.
Задача 12. Имеются следующие данные о движении денежных
средств на счете вкладчика в Сбербанке в IV квартале, руб.;
Остаток денежных средств на 1 октября................. 12 600
10 октября поступило....................................500
10 ноября поступило.....................................500
21 ноября выдано........................................600
10 декабря поступило...................................1500
25 декабря выдано......................................1000
Определите средний остаток вклада; а) за октябрь, б) за ноябрь,
в) за декабрь, г) за четвертый квартал.
Задача 13. Имеются следующие данные об основных показателях
культуры РФ:
Показатель 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г.
Число профессиональ- ных театров на конец года 382 393 421 439 460 470 489
Число посещений теат- ров, млн 55.6 50.5 44.2 41.4 34,6 31,6 29,1
Определите за 1991—1996 гг.:
1) среднегодовое число профессиональных театров;
2) среднегодовое число посещений театров;
3) среднегодовые темпы роста и прироста указанных показате-
лей.
Задача 14. Имеются следующие данные по Российской Федера-
ции за 1991—1996 гг., % по отношению к предыдущему году:
68
Показатель 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г.
Розничный товарооборот 97 97 102 100.1 93 96
Платные услуги населению 83 82 70 62 82 94
Реальная среднемесячная на- численная заработная плата (с учетом индекса потреби- тельских цен) 97 67 100.4 92 72 106
й Для изучения динамики приведенных показателей определите
? базисные темпы роста (к 1990 г.) и среднегодовые темпы роста и
прироста.
Постройте график динамики базисных темпов исчисленных по-
казателей.
1 Задача 15. Внешнеторговый оборот с зарубежными странами
• (без стран СНГ) Российской Федерации в 1991—1996 гг. характери-
: зуется следующими данными, млрд долл. США:
Показатель 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г.
Внешнеторговый оборот 95,4 79,4 71,1 90,0 109,7 115,9
в том числе:
экспорт 50,9 42,4 44,3 53,0 $5,6 71,9
импорт 44.5 37,0 26,8 37,0 44,1 44,0
Для анализа динамики внешнеторгового оборота исчислите:
1) среднегодовой оборот:
а) общий, б) по экспорту, в) по импорту;
2) ежегодные и базисные (к 1991 г.) темпы роста и прироста;
‘полученные данные представьте в таблице;
3) среднегодовой темп роста и прироста;
? 4) коэффициенты опережения экспорта над импортом.
Глава 6. ИНДЕКСЫ
Методические указания и решение тшювых задач
Индексы — обобщающие показатели сравнения во времени и в
f -Пространстве не только однотипных (одноименных) явлений, но и
совокупностей, состоящих из несоизмеримых элементов.
Методики построения и расчета индексов как для временных,
j так и для пространственных сравнений одинаковы. Не различаются
69
между собой и методы построения индексов различных явлений.
Поэтому в данной главе формулы для расчета индексов приведены
на примере индексируемых цен (р), объемов продаж (производства)
(q), товарооборотов (pq), изменяющихся во времени.
Динамика одноименных явлений изучается с помощью индиви-
дуальных индексов (/), которые представляют собой известные от-
носительные величины сравнения, динамики или выполнения плана
(обязательств):
=il •
1<I ’ Jp Pq ’ 'pq Pq Qq ’
где подстрочное обозначение «О» соответствует уровню базисного
периода (с которым сравнивают) пли момента времени, «1» —
уровню отчетного (сравниваемого) периода или момента времени.
Изменения совокупностей, состоящих из элементов, непосредст-
венно не сопоставимых (например, различных видов продукции),
изучают с помощью групповых, или общих, индексов (Г). Последние
по методам построения подразделяются на агрегатные индексы и
средневзвешенные нз индивидуальных индексов.
Формулы агрегатных индексов:
1) физического объема:
г
s QqPq
где q — индексируемая величина; р0 — со измеритель, или вес, кото-
рый фиксируется на уровне одного и того же периода. В случае ин-
дексов объемных показателей весами являются качественные пока-
затели (цена, себестоимость и др.), зафиксированные на уровне ба-
зисного периода.
Разница между числителем и знаменателем индекса
^PQ^QxPq-^QqPq
в данном случае означает абсолютное изменение товарооборота
(прирост или снижение) за счет изменения физического объема;
2) цен и других качественных показателей:
р ^PqQx
(формула Пааше),
70
= ^Р1ЯО
p Ш
(формула Ласпейреса),
L где q — объемы (количества) являются весами, взятыми на одина-
Е ковом уровне (отчетном или базисном).
| Разница между числителем и знаменателем индексов
| \}>pq = ^p} q^Xp^q^, или &Ppq = Xp} 0o-Spogo,
Б означает:
К • в первом случае — абсолютный прирост товарооборота (вы-
Б ручки от продаж) в результате среднего изменения цен или экономию
Б (перерасход) денежных средств населения в результате среднего сни-
; жения (повышения) цен:
t • во втором случае — условный абсолютный прирост товаро-
v оборота, если бы объемы продаж в отчетном периоде совпали с объ-
к емамн продаж в базисном периоде;
3) товарооборота (выручки от реализации или продаж):
6
J, рч
Етде pq — индексируемое сложное явление, в состав которого входят
^соизмеримые элементы совокупности. Разница между числителем и
Е знаменателем индекса ^pq = I.p^qi -Т.р^ составляет абсолютное
^ изменение товарооборота за счет совместного действия обоих фак-
Еторов: цен на продукцию и ее количества.
К Формулы средних индексов из индивидуальных:
F. 1) физического объема:
I т v . ,0 .
К I - -уг1---= Z 1 — средний арифметический индекс,
Е ч l qG рц Ч / 1
Б где dpq — доля товарооборота отдельных видов продукции в общем
I. товарообороте базисного периода;
I 2) иен:
к [ -------= 2^, -Ч- — средним гармоническим индекс
И у£1_Д '/> 1 (Пааше),
I ip
где d?4 — доля товарооборота отдельных видов продукции в общем
& товарообороте отчетного периода;
71
т ip Pi) $0 „ . .о m .
I = -------= 11 — средний арифметический индекс
LA)<7o (Ласпейреса).
Если индексы качественных показателей построены на основе
весов, взятых на уровне отчетного периода (например, по формуле
Пааше), то рассмотренные выше агрегатные индексы, а также их
элементы взаимосвязаны между собой:
Ipq = Iplq (так называемая мультипликативная модель);
&pq = &ppq + &llpq (так называемая аддитивная модель).
Участие каждого фактора в формировании общего прироста то-
варооборота в относительном выражении может быть определено
так:
, Р _ &Ррд _ ~ ^Ро
\pq ~Yplq}-'LpQq0~ Ipq- 1
(фактор цен);
q &qpq _ ^Pq ~ _ Iq ~ 1
\pq ~ ~ Ipq-I
(фактор объема).
При этом dppq + d^pq = 1, или 100%.
Если сравнивают друг с другом не два периода (момента), а более,
то выделяют ценную и базисную системы индексов.
Цепные и базисные индивидуальные индексы взаимосвязаны
между, собой:
• произведение цепных индексов равно конечному базисному;
• частное от деления двух смежных базисных индексов равно
промежуточному цепному.
Между цепными и базисными общими индексами, построенными
на основе постоянных весов, существует взаимосвязь, аналогичная
взаимосвязи между индивидуальными индексами.
Индексы, построенные на основе переменных весов, непосредст-
венно перемножать и делить нельзя.
Решение типовых задач
Пример 1. Имеются следующие данные о проданных товарах:
Товары Единица измерения Количество, тыс. ед. Цена, руб.
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
А кг 1000 750 • 15 20
Б л 2000 1800 5 6
72
I
Р‘-
К: Определить:
г 1) индивидуальные индексы объемов продаж в натуральном вы-
I . ражении, цен и товарооборота;
11 2) агрегатные индексы физического объема;
| 3) агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса;
в 4) общий индекс товарооборота; '
It 5) абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объ-
К емов продаж, цен и за счет совместного действия обоих факторов.
Показать взаимосвязь между общими индексами и между абсо-
Кщотными приростами товарооборота.
Е Решение.
' 1. По товару «А»:
К 750
i = — = . ААП = 0,75, или 75% (снижение на 25%);
ж 4 1000
К Р] 20
i =-L = ^= i ззз или 133 3% (рост на 33,3%);
. Р ро 15
К Р\ «1 20-750
1РЯ~р g ~ 15 1000 ~ 1’°’ ИЛИ *0™/° (®ез изменения).
При этом
Г ipq = ipiq => 1,000 «1,333-0,75,
По товару «Б»:
r L = — - 1ААА = 0,90, или 90% (снижение на 10%);
у ч qQ 2000
J Р\ 6
? L = — - у - 1,2, или 120% (рост на 20%);
р Ро 5
I 6-1800
i 1па =-----= g оппп = 1,08, или 108% (рост на 8%).
Ро 5 • 2000
[При этом
i <„ = <„ iq => 1,08= 1,2 0,9.
F ? . SgiPo 750 15 4- 1800 5 20 250 „ _10/
E % Ya d 1000 15 + 2000 5 25 000-0’81, ™И 81 /o
f ^-40^0
[-(количество проданных товаров по двум видам в среднем снизилось
«на 19%).
| 3. а) по формуле Пааше:
73
^P\Q} 20-750 + 6-1800 25 800
IP~Yp(xqx ~ 15 • 750 + 5 • 1800 ~ 20 250
= 1,274, или 127,4%
(средний прирост цен на все товары составил 27,4%);
б) по формуле Ласпейреса:
, ?0 20-1000 + 6-2000 32 000 , ,о ,„0/
*р ЪрцЧа 15- 1000 + 5 2000 25 000 1,28> ™ 28/о
(если бы население приобрело товаров в отчетном периоде столько
же, сколько и в базисном, то цены в среднем увеличились бы на
28%).
Заниженное значение индекса цен Пааше объясняется тем, что
более резкое повышение цены на товар «А» (на 33,3%) по сравнению
с товаром «Б» (на 20%) вызвало и более резкое снижение объема
покупок (на 25% по сравнению с 10%).
. , ^1?! 20-750 + 6-1800 25 800 ,
4 15 -1000 + 5 2000 25000 ,032’ ““ 103,2/°
(товарооборот по двум товарам увеличился на 3,2%)).
5. Д 4pq = X <?1 - Е <70 = 20 250 - 25 000 = -4750 тыс. руб,
(за счет среднего снижения количества реализованных товаров вы-
ручка от продажи снизилась на 4750 тыс. руб.);
по методике Пааше
\ppq^pxq} ~Xpi)q1 =25 800-20 250 = 5550 тыс. руб.
(за счет среднего роста цен денежная выручка продавцов возросла
на 5550 тыс. руб.; эту же величину составил перерасход денежных
средств населения);
по методике Ласпейреса
Д Ppq = Е рх qQ-'LpGqQ = 32 000 - 25 000 = 7000 тыс. руб.
(если население в отчетном периоде купило бы столько же товаров,
что и в базисном, то в результате среднего роста цен переплата со-
ставила бы 7000 тыс. руб.);
Дpq = Ipj qx - = 25 800 - 25 000 = 800 тыс. руб.
(товарооборот по всем товарам возрос на 800 тыс. руб.).
Взаимосвязь (действует при условии, что индекс 1р найден по
методике Пааше):
между индексами:
1рч = => 1,032 = 1,274 • 0,810;
между абсолютными приростами товарооборота:
Д pq = Д Ppq + A qpq > 800 = (5550 - 4750) тыс. руб.
74
Пример 2. Имеются следующие производственные показатели
jio предприятию:
Вид продукции Изменение объема выпуска продукции в [II квартале по сравнению с [ кварталом. % Общие затраты рабочего вре- мени на производство продук- ции в [ квартале, тыс. чел.-час.
” 1 КЛ-1 -8 16
МН-6 +2 10
16+ 10
Определить:
1) на сколько процентов изменился выпуск продукции по двум
ам;
2) как изменилась трудоемкость продукции, если общие затраты
мени на ее производство в III квартале снизились на 10%;
3) экономию рабочего времени в результате среднего снижения
удоемкости.
Решение.
1 г Ч/Уо 0,92 16+ 1,02-10 24,92 n
Etfo f0 f0 6+ 0
среднем выпуск продукции снизился на 4,2%), (
2 . Itq = 1^^ = Itq/Iq = 0,9/0,958 = 0,939 -
(трудоемкость продукции в среднем снизилась на 6,1%).
' 3. Д liq = Iqx - I /0 =Ilq E /0 q^ -1 iqq$ lG = 0,9 26 - 24,92 =
? 23,4 - 24,92 = -1,52 тыс. чел.-час.
Пример 3. Имеются следующие данные о производстве изделий
йа малом предприятии:
г Изделие Удельный вес затрат на про- изводство изделий в мае, % Изменение себестоимости изделий в мае по сравнению с апрелем. %
Г 1 | 2 80 20 +3.5 Без изменения
к Определить:
1) среднее изменение себестоимости по всем изделиям в мае по
[сравнению с апрелем;
Г 2) на сколько процентов в среднем возрос (уменьшился) объем
^Выпуска продукции в натуральном выражении, если денежные за-
каты на производство повысились на 1%.
75
Решение.
"'l
1. L =—г-1-
0,8 0,2 Г1
1,035 + 1,0 ' ’°28
(среднее увеличение себестоимости всех изделий составило 2,8%).
2. 1-ч = L_Iq^Iq = I_q/I. = 1,01/1,028 = 0,983
(в среднем по двум изделиям их выпуск снизился на 1,7%).
Пример 4. Имеются следующие данные о продаже масла в мага-
зине по кварталам;
Масло Единица измере- ния I квартал II квартал III квартал
Объем, тыс. ед. Цена, руб. Объем, тыс. ед. Цена, руб. Объем, тыс. ед. Цена, РУ6'
В пачках шт. 1,2 5,2 1,1 5,4 0,9 5,6
Развесное кг 0.4 22,0 0,41 22,0 0,38 22,4
Вычислить цепные и базисные, индивидуальные и общие индек-
сы физического объема и цен.
Показать взаимосвязи между ними.
Решение.
1. Индексы физического объема
1.1. Индивидуальные (иа примере масла в пачках)
1.1.1. Цепные:
. 2 _Я2 _о29
га^~ = т\ = 0,917; 7 Яо I,2 1ч я\ 1,1
1.1.2. Базисные:
.1 Я\ 1,1 Пп1_ .2 = Я2 _029
1.1 = —= т^ = 0,917; * $о !>2 1Я ~ Яо “ 1,2
= 0,818.
= 0,750
(индексы по маслу развесному вычисляются аналогично).
1.2, Общие
1.2.1. Цепные;
I £?1Ро 1,1 5,2 + 0,41 22 _ 14,74
1,2 -5,2 + 0,4 -22 15,04 ’ ’
2 Z?2Po 0,9-5,2+ 0,38-22 13,04 „ „„
‘ч " 19| Po 1,1 5,2 + 0,41 22 14,74 ’
1.2.2. Базисные:
,1=1^=14^ = 0,980;
q ^ЯоРи 15,04
76
2 Y{?2Po 13,04
q 15>°4
= 0,867.
Взаимосвязь:
'Даз = ','цеп ‘Доп => 0.750 = 0,917 0,818;
'Деп = 'Даз /','баз => 0,818 = 0,750 / 0,917;
= 7Деп 7-Дсп =» 0,867 = 0,980 0,885;
/Дел = 7,2баз /7,’баз 0,885 = 0,867 / 0,980;
2. Индексы цен
2.1, Индивидуальные (на примере масла развесного)
2.1.1. Цепные:
.1 Pl 22 , ЛПП .2 Р2 22,4 . П1О
,*=__= = 1 000. t = — = —^-=1,018.
р 22 Р рх 22
2.1.2. Базисные;
.1 Pi 22 , n..n .2 Р2 22,4 . П1О
—= ^= 1,000; in = — = ~^-= 1,018.
Р pG 22 ’ ’ /> pQ 22
2.2. Общие (по методике Пааше)
2.2.1. Цепные:
1 Spi 5,4-1,1 + 22-0,41 14,96
Р £pGqx 5,2-1,1+22-0,41 14,74 ’ ’
2 _ ^2 ?2 _ 5,6 • 0,9 + 22,4 • 0,38 13,552 _
*Р Zp}q2 5,4-0,9 + 22-0,38 13,22 ,U 5
2.2.2. Базисные:
р 14,74 ’ Э’
2_^Р2Я2_ 13,552 13,552
Р ZpQq2 5,2-0,9 + 22-0,38 13,04 b
Взаимосвязь:
<Даз = 7/,'исп 'Деп 1,018 = 1,000 1,018;
'риал = -Даз/Даз => ».018 = 1,018/ 1,000.
Индексный метод широко применяется также для изучения ди-
1Мики средних величин и выявления факторов, влияющих на ди-
1мику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных
щексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.
Индекс переменного состава представляет собой отношение двух
вешенных средних величин с переменными весами, характеризую-
ее изменение индексируемого (осредияемого) показателя.
77
Индекс переменного состава для любых качественных показате-
лей имеет следующий вид:
у _ £1 = £х1-Л .1
s/0
Величина этого индекса характеризует изменение средневзвешенной
средней за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя у
отдельных единиц совокупности и структуры изучаемой совокуп-
ности.
Индекс постоянного (фиксированного) состава представляет
собой отношение средних взвешенных с одними и теми же весами
(при постоянной структуре). Индекс постоянного состава учитывает
изменение только индексируемой величины и показывает средний
размер изменения изучаемого показателя (.г) у единиц совокупности.
В общем виде он может быть записан следующим образом:
хр/1
Для расчета индекса постоянного состава можно использовать
агрегатную форму индекса:
Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения
структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня индек-
сируемого показателя и рассчитывается по формуле
Sjco/1 . Е хоЛ)
стр" I/, Е/о
Под структурными изменениями понимается изменение доли от-
дельных групп единиц совокупности в общей их численности (г/).
Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего
уровня качественного показателя имеет вид
А — Л' Апр •
В индексах средних уровней в качестве весов могут быть взяты
удельные веса единиц совокупности которые отражают
изменения в структуре изучаемой совокупности. Тогда систему вза-
имосвязанных индексов можно записать в следующем виде:
78
Ia'1 d\ l.Yjfl]
L ,y0 (Zo L x0 d\ I x0 d^
индекс средней
величины
(переменного состава)
индекс
постоянного
состава
индекс
х структурных .
сдвигов
Аналогично приведенным формулам строятся индексы средних
)вией: цен, себестоимости продукции, фондоотдачи, производи-
[ьности труда, оплаты труда и др.
Пример 5. Имеются данные о выпуске однородной продукции
предприятиям АО:
Ё № [.пред- Выпуск продукции Себестоимость едини- цы продукции, руб. И ндивидуал ьный индекс
БфИЯ- 1 квартал 11 квартал I квартал П квартал себестоимости
г ТИЯ 1 А0 тыс. сд. % 4) тыс. сд. Ч\ % rfl -{) -1 G =-iz"o
[ 1 40 40 36 30 7,0 8,0 1,143
F 2 60 60 84 70 6,0 6,5 1,083
[Итого 100 100 120 100 6,4 6.95 1,086
£ Определить для двух предприятий:
ч 1) среднюю себестоимость единицы продукции;
ь( 2) индекс средней себестоимости продукции;
3) среднее изменение себестоимости продукции;
4) индекс структурных сдвигов.
Решение. 1. Средняя себестоимость единицы данного вида про-
укции по двум предприятиям АО определяется как средняя ариф-
[етическая взвешенная:
£ -0 #0 7,0 • 40 + 6,0 • 60 640 , .
“ ЮО “ 100 “ 6,4 Руб"’
- 8,0 36 + 6,5 - 84 834 ~
120 - 120“ 6,95 Руб’
. 2. Индекс себестоимости продукции переменного состава равен
= = = 1,086, или 108,6%
6,4
-0
гредняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям
озросла на 8,6%).
79
S1 zo 4\
4\
834.756 _ 6,95
120 ’ 120 6,3
= 1,103, или 110,3%.
Это означает, что в среднем по двум предприятиям себестоимость
единицы продукции повысилась на 10,3%.
4. Индекс структурных сдвигов может быть рассчитан с помощью
взаимосвязи индексов:
7СТП = I-/L - = 0,985, или 98,5%.
LrP - - 1,103
Средняя себестоимость единицы продукции по двум предприяти-
ям снизилась на 1,5% за счет изменения удельного веса отдельных
предприятий в общем выпуске продукции.
Если в качестве весов взять удельные веса отдельных предпри-
ятий в общем объеме выпуска продукции (d - q/X q), то получим
следующую систему взаимосвязанных индексов:
8 • 0,3 4- 6,5 0,7 8 • 0,3 4- 6,5 -0,7 7 - 0,3 4- 6,0 - 0,6
7 • 0,4 4- 6,0 0,6 ” 7 • 0,3 4- 6,0 • 0,6 ’ 7 • 0,4 4- 6,0 • 0,6 ’
6,95 _6,95 6,3
6,4 6,3 ’ 6,4 ’
1,086 = 1,103 0,985.
Общий вывод: если бы происшедшие изменения себестоимости
продукции не сопровождались структурными перераспределениями
в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции по двум предпри-
ятиям возросла бы на 10,3%. Изменение структуры выпуска продук-
ции отдельных предприятий в общем объеме выпуска вызвало сни-
жение себестоимости на 1,5%. Одновременное воздействие двух фак-
торов увеличило среднюю себестоимость продукции по двум пред-
приятиям на 8,6%.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются данные по предприятию о выпуске разнои-
менной продукции:
Вид Продук- ции Единицы измерения Выпуск, тыс. ед. Себестоимость единицы в базисном периоде, руб.
Базисный период Отчетный период
1 2 шт. пог. м 4,8 1,2 4.0 1.2 18 86
Определите:
1) индивидуальные индексы объема выпуска продукции;
80
г 2) среднее изменение физического объема производства продук-
ции по двум видам;
3) абсолютное изменение общих денежных затрат на выпуск про-
дукции в результате среднего изменения объема производства в на-
туральном выражении.
। Задача 2. Используя данные задачи 1 и в предположении, что
^выпущенная продукция в базисном периоде была продана по видам:
р 1 — по цене 21 руб.;
f 2 — по цене 116 руб.;
^вычислите общий индекс физического объема реализованной про-
дукции.
к: Сравните полученный результат с аналогичной величиной, най-
йдениой в задаче 1, укажите причину различия.
к Определите абсолютный прирост выручки от реализации за счет
Кередиего изменения физического объема реализованной продукции.
Е-' Задача 3. Используя данные задачи 1 об объеме выпущенной
Ммролукпии. а также информацию о том, что в базисном периоде
трудоемкость единицы первого вида продукции составила 2,0 чело-
Ьеко-часов, а второго — 4,0 человеко-часов, определите, иа сколько
ирроцентов изменился в среднем объем выпущенной продукции по
Ивеем ее видам, опираясь иа новый соизмеритель (вес).
Сравните найденный результат с аналогичными показателями
Ено задачам 1 и 2, поясните различия между ними.
Е’ Рассчитайте, на сколько человек следовало бы сократить чис-
ленность рабочих в результате среднего снижения физического
врбьема производства при 8-часовой продолжительности рабочего
вдня, пятидневной рабочей неделе и продолжительности отчетного
врериода, равной 4 неделям.
и' Задача 4. Имеются следующие данные о производстве изделий;
Изделие Затраты на производство в предыдущем периоде, тыс. руб. Изменение количества изделий данного периода по отношению к предыдущему периоду. %
ЛК-4 320 Без изменений
КМ-1 200 -24
КМ-2 80 +32
»; Определите среднее изменение количества выпущенных изделий
ГВ данном периоде по сравнению с предыдущим.
Поясните, почему результат дает среднее снижение, а не увели-
чение выпуска.
81
Задача 5. Выручка от продажи мяса и мясопродуктов на рынке
а январе превысила выручку от продажи рыбы и рыбопродуктов в
2 раза. В феврале продажа мяса и мясопродуктов возросла на 15%,
рыбы и рыбопродуктов — на 20%.
Определите:
1) на сколько процентов в среднем возросла продажа двух
видов продукции вместе;
2) абсолютный прирост товарооборота по обоим видам продук-
ции вместе вследствие среднего увеличения объема их продаж в на-
туральном выражении, если в январе за мясо и мясопродукты про-
давцами выручено 24 тыс. руб.
Задача 6. Имеются следующие данные по предприятию:
Продукция Изменение объема производства во 11 квартале по отношению к I кварталу. % Удельный все трудозатрат на производство в 1 квартале. %
А 25
Б -14 15
В +6 -60
Вычислите:
1) общий индекс физического объема производства разнородной
продукции;
2) абсолютное сокращение (увеличение) затрат труда вследствие
среднего изменения объема выпуска продукции, если на всю про-
дукцию «А» в I квартале было затрачено 450 человеко-часов рабо-
чего времени.
Задача 7. Имеются следующие данные о продажах товаров на
одном из рынков:
Вид товаров Единица измерения Продано товаров, тьге) сд. Цена, руб.
Апрель ~ Maijr'i Апрель, Май /
А кг 68 62 3,2 3,3
Б л 24 24 4,8 5,0
В кг 20 16 24.0 26.4
Определите:
1) индивидуальные индексы цен ио каждому товару;
2) общий индекс цен:
а) но формуле Ласпейреса;
б) по формуле Пааше;
3) перерасход денежных средств населением в результате среднего
повышения цеп на товары.
82
Объясните причины расхождения между величинами данных ин-
•ксов.
Задача 8. Себестоимость и выпуск продукции на предприятии
(.рактеризуются следующими данными:
Вид про- екции Единица измерения Себестоимость, руб. Выпушено продукции в отчетном периоде, тыс. сд.
Базисный период Отчетный период
1 кв. м 30 34 4.8
f 2 т 1500 1620 0.3
£ 3 шт. 42 51 6.4
s Вычислите:
, 1) индивидуальные индексы себестоимости продукции;
. 2) общий индекс себестоимости продукции.
’ Определите, на сколько возросли затраты на производство про-
екции за счет среднего увеличения себестоимости.
Задача 9. Имеются следующие данные о реализации продукции
I. первом и втором полугодиях:
Вид про- дукции Единица измерения Выручка от реализации во 11 полугодии, млн руб. Изменение цены во II полуго- дии по отношению к I полугодию, %
м л 2.25 + 12
н кг 1.20 Без изменения
Определите:
1) на сколько процентов в среднем изменились цены на всю ре-
вованную продукцию во втором полугодии по сравнению с пер-
2) прирост выручки от реализации за счет среднего изменения
ен на продукцию.
Задача 10. В течение рассматриваемых периодов цены на непрод-
овольственные товары не изменились, а на продовольственные воз-
вели в среднем на 20%.
Определите, на сколько процентов в среднем повысились цены
. все товары вместе, если доля выручки от продажи продовольст-
нных товаров в общей торговой выручке отчетного периода со-
авила 60%.
Задача 11. Определите, как должны были бы измениться цены
непродовольственные товары при среднем 15%-м увеличении цен
продовольственные товары, если общий средний рост цен на всю
одукцию составил 12%.
83
Дайте два варианта ответа:
1) когда объемы товарооборота по продовольственным и непро-
довольственным товарам в отчетном периоде равны;
2) когда объем товарооборота по непродовольственным това-
рам составил 5/16 объема по продовольственным товарам.
Задача 12. Опираясь на систему взаимосвязанных индексов, по
исходным и расчетным данным задачи 7 определите:
1) среднее изменение объема проданных товаров в мае по срав-
нению с апрелем;
2) абсолютное изменение товарооборота в результате среднего
изменения физического объема продаж;
3) общий индекс товарооборота в фактических ценах;
4) общий абсолютный прирост денежной выручки от продаж.
Покажите взаимосвязь между вычисленными индексами.
Задача 13. Имеются следующие данные о расходе материала
«К» на изготовление разнородной продукции:
Вид про- дукции Расход материала на весь вы- пуск продукции отчетного пе- риода. кв. м Изменение удельного расхода мате- риала в отчетном периоде по отно- шению к базисному, %
1 400 -8
2 280 -2
3 320 Без изменения
Определите:
1) среднее изменение удельного расхода материала «К» иа всю
продукцию в отчетном периоде по сравнению с базисным;
2) общую экономию (перерасход) материала «К» на весь выпуск
продукции отчетного периода в результате среднего изменения
удельного расхода.
При условии, что в базисном периоде общий расход материала
«К» на весь выпуск продукции составил 1000 кв. м, вычислите:
1) общий индекс расхода материала;
2) абсолютное изменение общего расхода материала в отчетном
периоде по сравнению с базисным;
3) общий индекс физического объема продукции;
4) абсолютное изменение общего расхода материала за счет
среднего изменения объема продукции в натуральном выражении.
Задача 14. Выпуск продукции на предприятии на протяжении
рассматриваемых периодов возрос па 10%, при этом численность
рабочих снизилась на 20%.
84
* Определите, как возрос выпуск продукции в относительном и
абсолютном выражении за счет роста производительности труда
выработки), если в базисном периоде предприятием было выпуще-
о 12 тыс. изделий.
Вычислите абсолютное изменение объема производства за счет
Вменения численности рабочих.
Задача 15. За счет среднего увеличения цен выручка от реализа-
ци продукции возросла на 12%.
Определите доли среднего изменения цен и физического объема
родаж в общем приросте товарооборота, если товарооборот в от-
[Стиом периоде возрос на 20%.
Задача 16. Имеются следующие данные о продаже стройматери-
лов по кварталам:
[Вид про- ?дукиии Единица измерения Цена, руб. Объем продаж, тыс. ед.
1 кв. И кв. Ш кв. 1 кв. 11 кв. Ш кв.
Г А пог. м 42 44 42 800 820 700
j. Б куб.м 650 700 630 450 520 480
Вычислите:
. 1) индивидуальные индексы цен; цепные и базисные;
2) индивидуальные индексы объема продаж по каждому виду про-
екции: цепные и базисные;
3) общие индексы цен: цепные и базисные;
4) общие индексы физического объема продаж: цепные и базис-
>ie.
. Покажите взаимосвязь между цепными и базисными индексами.
/ Задача 17. Имеются следующие данные о выпуске однородной
юдукции по предприятиям АО:
прсд- прия- ! ТИЯ 1 АО Выпуск продукции, тыс. сд. Себестоимость единицы продук- ции. руб.
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
1 400 450 20 26
I 2 350 500 36 32
L з 200 220 12 12
• £? / ’ а # ,7 У . у
Определите по трем
1) общие индексы средней себестоимости продукции переменного
и постоянного состава, индекс структурных сдвигов;
85
2) абсолютный прирост средней себестоимости за счет изменения
себестоимости и структуры произведенной продукции.
Задача 18. Имеются данные о производстве одноименной про-
дукции и ее себестоимости по двум малым предприятиям:
№ прсдпри- ятия Объем продукции. % Себестоимость единицы продукции, руб.
I квартал 11 квартал 1 квартал II квартал
1 52 40 75 80
2 48 60 70 68
Определите по двум предприятиям:
I) индекс средней себестоимости продукции;
2) среднее изменение себестоимости продукции;
3) влияние на динамику средней себестоимости изменения в
структуре объема произведенной продукции.
Задача 19. Имеются данные по двум отраслям экономики:
Отрасль Базисный период Отчетный период
Выработка про- дукции на одно- го работника, тыс. руб. Среднесписочная численность работников, чел. Выработка продукции на одного работни- ка. тыс. руб. Среднесписочная численность работников, чел.
1 2200 600 2000 500
2 700 600 800 650
Определите индексы производительности труда: а) по каждой от-
расли экономики; б) по двум отраслям вместе индексы переменного,
постоянного состава и структурных сдвигов. Сделайте выводы.
Задача 20. Имеются данные о заработной плате работников по
трем районам:
Район Среднемесячная заработная плата одного работника, руб. Среднесписочная численность работников, тыс. чел.
Ш квартал IV квартал 111 квартал IV квартал
1 670 700 6.0 5,0
2 750 800 4.0 4,5
3 820 900 10,0 12.0
Определите по трем районам вместе:
1) индексы средней заработной платы переменного и фиксиро-
ванного состава;
2) влияние на динамику средней заработной платы изменения
структуры среднесписочной численности работников.
86
Задача 21. Имеются данные о вкладах населения в Сбербанке:
Группа населения Размер вклада, руб. Удельный все вкладов в общем их числе
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
j Городское 500 540 0.5 0.6
. Сельское 420 480 0,5 0.4
;; Определите общие индексы среднего размера вклада для всего
Населения (переменного, постоянного состава, структурных сдви-
гов).
Глава 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
,, ИЗУЧЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
'i Методические указании и решение типовых задач
i.
t При статистическом исследовании корреляционных связей
фдной из основных задач является определение их формы, т.е. по-
строение модели связи.
I Построение регрессионной модели проходит несколько этапов:
^Предварительный теоретический анализ, определение объекта,
отбор факторов, сбор и подготовка информации, выбор модели
Связи, исчисление показателей тесноты корреляционной связи,
-оценка адекватности регрессионной модели.
; Вычисление параметров корреляционных линейных уравнений по
Первичным данным. Если результативный признак с увеличением
факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая
'Зависимость является линейной и выражается уравнением прямой
; ух = Яу + я1Л' > (О
Л
Где J' - - индивидуальные значения результативного признака;
(1 х — индивидуальные значения факторного признака;
А я0, — параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);
— теоретическое значение результативного признака.
i Параметры уравнения прямой Яу и Я| определяются путем реше-
ния системы нормальных уравнений, полученных методом наимень-
ших квадратов или по формулам
87
L г = + OjEx,
I vx - <?0 I x + OjI x2,
L_y Lx2 - L i-x Lx
i— 5 ;
n L x" - L x L x
n L >’X - I x X у
n X x2 - X x X x
(2)
(3)
(4)
Что касается параметра уравнения регрессии в виде свободного
члена, то возможен и такой подсчет:
Л0=:У-Л]Х. (5)
Ясно, что практически приемлемым является наименее трудоем-
кий вариант расчета (возможно производить расчеты на компьюте-
ре).
В уравнении прямой параметр а0 экономического смысла не
имеет. Параметр а у является коэффициентом регрессии и показыва-
ет изменение результативного признака при изменении факторного
признака на единицу. Часто исследуемые признаки имеют разные
единицы измерения, поэтому для оценки влияния факторного при-
знака на результативный применяется коэффициент эластичности.
Он рассчитывается для каждой точки и в среднем по всей совокуп-
ности. Коэффициент эластичности (Э) определяется по формуле
где у'х — первая производная уравнения регрессии.
Средний коэффициент эластичности определяется для уравнения
прямой по формуле
Э = о, = . (7)
У
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов
изменяется результативный признак при изменении факторного
признака на 1%.
Определение параметров линейного однофакторного уравнения
регрессии по сгруппированным данным. Если данные сгруппирова-
ны и представлены в виде корреляционной таблицы, то параметры
88
линейного
уравнения регрессии могут быть определены
тения следующей системы нормальных уравнений:
путем ре-
Zyfy = ai) I.f+a}I.xfx,
L ух fxy = а0 I х fx -I- a t I x2 fx
или по формулам
Ly7/Sx2/-Sxy,./SV
S/Exy^-Sy^Ex/
я । — -j
Е/Ех“/-Ех/Ех/
(10)
ГДе Л — групповые средние.
j. Параметр Ay уравнения регрессии можно определить также и по
формуле (5).
» Расчет параметров степенной функции. Если значения факторно-
го признака расположены в порядке геометрической прогрессии и
^соответствующие значения результативного признака также образу-
ют геометрическую прогрессию, то связь между признаками может
(быть представлена степенной функцией вида
yx = fl0xfll.
(11)
Для определения параметров степенной функции методом на-
именьших квадратов необходимо привести ее к линейному виду
путем логарифмирования:
Igy — Igfly-bflj Igx . (12)
Система нормальных уравнений имеет вид
п 1g fly 4-flj L Igx = Elgy ,
1g fly L 1g x + fl] L (1g x)2 = E 1g у 1g x .
Параметры можно определить, решая систему нормальных
уравнений или по формулам
1g х 1g у - 1g х 1g у
а1 =-—----------=-------
1g х2 - ( 1g X )2
(14)
89
1g д() = 1g у - a-. 1g x,
или
(15)
Z 1g y- £ (1g л')~ - Z 1g у 1g A- Z 1g X
/? L (1g x)2 - £ Ig x £ 1g x
» Z 1g x 1g у - Z1g x £ 1g у
n Z (1g x)2 - £ 1g x 11g x
(16)
(17)
Параметр су логарифмической функции является коэффициен-
том эластичности, который показывает, на сколько процентов из-
меняется результативный признак при изменении факторного при-
знака на 1%.
Расчет параметров уравнения гиперболы. Если результативный
признак с увеличением факторного признака возрастает (или убы-
вает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для ана-
лиза такого признака применяется уравнение гиперболы вида
1
X'c-£J0 + fll v
(18)
Для определения параметров этого уравнения используется сис-
тема нормальных уравнений
£у = ло0 + а1£р
z -.2
V 1 V 1 v( И
£у-^а0£- + а1Ц-)
(19)
Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом на-
именьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду.
Для этого произведем замену переменных 1/х = х]5 получим следую-
щую систему нормальных уравнений;
£ у = нап + £ А, ,
, (20)
£ ГХ| =д0 £xj 4-Д[ £ Х[“.
Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по форму-
лам
90
Z v Z л-у -Zxj Z x}
a0 =------=i-----------
n Z Л'| - Z _Y] Z ,Y]
(21)
n Z x, p - Z .Xi Z у
a,=-----------у----------(22)
n Z лу - Z .X] Z x j
( Статистические методы измерения тесноты корреляционной связи
Между двумя признаками. Одним из важнейших этапов исследования
корреляционной связи является измерение ее тесноты. Для этого при-
меняются: линейный коэффициент корреляции, теоретическое кор-
<^еляционное отношение, индекс корреляции.
Линейный коэффициент корреляции вычисляется по формулам и
Применяется для
»рме связи:
измерения тесноты связи только при линейной
v- Z _х Z у
Z ух --------------
п
(23)
tt и
S(x-.x)(y-y)
истает,.
Л У
; Теоретическое корреляционное отношение и индекс корреляции
Применяются для измерения тесноты корреляционной связи между
Признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной.
Оба показателя можно вычислять только после того, как определена
форма связи и исчислена теоретическая линия регрессии.
Теоретическое корреляционное отношение рассчитывается по
формулам
(26)
(27)
91
-> 2L(yv-y)‘
где ст “ =-------— факторная дисперсия, которая характеризу-
ет вариацию результативного признака под влиянием признака-
фактора, включенного в модель;
2 (у_ у) 2
ctv =---------— общая дисперсия, показывающая вариацию ре-
- и
зультативного признака под влиянием всех факторов, вызывающих
эту вариацию.
Теоретическое корреляционное отношение изменяется от 0 до 1:
чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее связь между
признаками.
Для упрощения расчетов меры тесноты корреляционной связи
часто применяется индекс корреляционной связи, который опреде-
ляется по следующим формулам:
_ L (29)
^Су-у)2
2 Су ~ уд-)2
где оу _ j, =-------— остаточная дисперсия, характеризующая
вариацию результативного признака под влиянием прочих неучтен-
ных факторов.
Проверка адекватности одиофакторной регрессионной модели и
значимости показателей тесноты корреляционной связи. Адекват-
ность регрессионной модели при малой выборке можно оценить F-
критерием Фишера:
э~ 2 . ’
СТ), _ ). П1 - 1
где т — число параметров модели;
п — число единиц наблюдения.
Эмпирическое значение критерия сравнивается с критичес-
ким (табличным) FT с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом
степеней свободы (т - 1), (л - т). Если > FT , то уравнение рег-
рессии признается значимым.
92
Значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии и
оценивается с помощью 7-критерия Стьюдента (п < 30):
э/ п - 2 ~ а0 (31)
<-' л/ п - 2 Г1 1 (У (32)
Г - / Z х2 ( Z х V (33)
Эмпирическое значение 7-критерия сравнивается с критическим
(табличным) значением 7-распределения Стьюдента с уровнем зна-
^дмости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы (п - 2). Параметр
признается значимым, если эмпирическое значение t больше таблич-
ного.
Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции г с по-
мощью 7-критерия, который определяется по формуле
И л/п~2 I 'г-' V ! _г2 • (34)
уде (/7-2) — число степеней свободы.
[ Если эмпирическое значение t оказывается больше табличного,
линейный коэффициент корреляции признается значимым.
И Пример 1. Имеются выборочные данные по 10 однородным пред-
приятиям.
ЭМа предприятия............... [
ЯЭлектровоору’жснность труда на
^фного рабочего. кВт-ч........ 2
^Выпуск готовой продукции
рка одного рабочего, т........ 3
23456789 10
537264984
646486995
I Построить однофакторную регрессионную модель.
| Решение. Предположим, что между электровооруженностью
т?уда и выпуском готовой продукции существует линейная корре-
ЕЛЯционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида
р А- = flo +
‘ Факторным признаком является электровооруженность труда, а
^результативным — выпуск готовой продукции.
93
Для определения формы корреляционной связи необходимо вы-
числить параметры уравнения прямой путем решения системы нор-
мальных уравнений вида (2). Чтобы заполнить систему нормальных
уравнений фактическими данными, необходимо определить Lvy,
х/
Расчеты этих показателей произведем в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой
□о несгрупппрованным данным
Исходные данные Расчетные значения
№ пред- при- ятия Электро вооружен- ность труда на одного рабочего. кВт ч X Выпуск продукции на одного рабочего, т г .гр х2 (.V “ А-)2
1 2 3 6 4 9 3.61 0.3721
2 5 6 30 25 36 6,01 0,0001
3 3 4 12 9 16 4.41 0,1682
9 8 9 72 64 81 8.38 0,381
10 4 5 20 16 25 5,20 0,04
Итого 50 60 343 304 400 60 5,761
В сред- нем 5,0 6.0 34.3 30,4 40,0 6.0 0,5761
Подставим в систему нормальных уравнений (2) фактические
данные из табл. 7.1 и получим равенства
1Оао + 5Oaj = 60,
5Оао + 304^ = 343.
Систему нормальных уравнений решаем в такой последователь-
ности (по методу множителей): умножим каждый член первого
уравнения на число, равное 5. Получим
50а0 + 250а! = 300,
50а0 4- 304а! = 343.
Затем вычтем из второго уравнения первое: 43 = 54а!, откуда
at = 43 / 54 = 0,7963.
После подстановки значения й] в первое уравнение получим
а0 = 2,02.
Уравнение регрессии имеет вид уЛ. = 2,02 + 0,796.г.
94
1 С помощью определителей параметры уравнения прямой можно
вычислить по формулам (3) и (4).
, Если параметры регрессионного уравнения определены верно,
то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпиричес-
КИХ значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей
/между эмпирическими и теоретическими значениями выпуска гото-
вой продукции должна быть равна нулю.
\ Окончательную проверку правильности расчета параметров
^уравнения связи можно также произвести подстановкой и А] в
«Систему нормальных уравнений (рассматривая их как корни уравне-
Используя уравнение корреляционной связи, можно определить
еоретическое значение для любой промежуточной точки (теоре-
ическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего
дя любого промежуточного значения электровооруженности труда
а одного рабочего (см. табл. 7.1).
В нашем уравнении регрессии параметр = 0,796 показывает,
то с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на
кВт ч выпуск готовой продукции возрастет иа 0,796 т.
Средний коэффициент эластичности исчислим по формуле (7):
Э = 0,796 - 5/6 = 0,66.
Коэффициент эластичности, равный 0,66, показывает, что с уве-
Еичеиием электровооруженности труда на 1% выпуск готовой про-
екции возрастет на 0,66%.
Измерим тесноту корреляционной связи между производитель-
ностью и электровооружеиностью труда линейным коэффициентом
корреляции, теоретическим корреляционным отношением, индек-
сом корреляции, которые рассчитываются по формулам (23), (26),
'28). Данные, необходимые для расчета этих показателей, представ-
хены в табл, 7.1.
50-60
343 -----
10
___________________________- 0,926.
(304- 50-/10) (400 - 602/10)
Для расчета теоретического корреляционного отношения необ-
? э
Содимо предварительно вычислить дисперсии о , о v , с?г но
, - - -V * А’
^формулам:
95
_ 2
<v =
- = W
\ п / 10
—- = 0,5761,
<T2.
п 10
= о; - од?_ v = 4-0,5761 = 3,424.
Теоретическое корреляционное отношение по формуле (26)
равно
П =
= 0,925.
7
Коэффициент детерминации p" равен 0,856. Индекс корреляции
по формуле (28)
= 0,925.
Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тес-
ную связь между производительностью и электровооружейностыо
труда. Коэффициент детерминации 0,856 означает, что вариация
выработки рабочих иа 85,6% объясняется вариацией электровоору-
жеииости труда и на 14,4% — прочими факторами.
Так как г = R = т), то можно сделать заключение, что гипотеза
о линейной форме связи подтверждена.
Проведем оценку адекватности регрессионной модели =
= 2,02 + 0,796х, выражающей зависимость между производительнос-
тью и электровооруженностью труда, с помощью F-критерия Фи-
шера — формула (30):
10-2
т^г=47’5-
3,42
э 0,5761
Табличное значение FT с уровнем значимости 0,05 и числом сте-
пеней свободы (2 - 1), (10-2) равно 5,32. Так как F.} > FT, то урав-
нение регрессии можно признать адекватным.
Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помо-
щью r-критерия Стьюдента по формулам (31) и (32):
Ч = 2>02 ‘ 0,5761 =7,53’
ч=0’796 ^uS W2=6'88-
Значение вычисляется по формуле (33):
-2
96
•\ <ja. = ^30,4-25 =2,32.
! Табличное значение /-критерия с уровнем значимости 0,05 и
числом степеней свободы (и - 2) равно 2,307.
• Так как /эмп > /табл, то параметры уравнения регрессии можно
признать значимыми.
Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью /-
Критерия по формуле (34):
ч .I 10^2
< L = 0,926 У---------? = 6,9.
I I - 0,9262
; Эмпирическое значение / больше табличного, следовательно,
коэффициент корреляции можно признать значимым.
( Вычислим ошибку аппроксимации по формуле
- 1 у I)’ ~ ।
? У
’ у Ь>-уЛ-1
I Z j — U,DO*
г >’
' ё = ~ 0,58- 100 = 5,8%
; Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение
гачимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации
№иа 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сде-
1ть заключение, что построенная регрессионная модель зависимос-
i производительности труда от его электровооруженности _ух =
• 2,02 + 0,796.x может быть использована для анализа и прогноза.
[ Пример 2. Имеются данные по 52 предприятиям отрасли.
• 100,
Группа заводов по фондо- вооруженности, млн руб. ! х Количество заводов f Объем продукции, млн руб. У
Р 5—7 1 3,0
Й 7—9 2 5,0
* 9—[ [ 3 6,3
21—23 2 17,0
[ 23—25 1 19,0
По исходным данным найти параметры линейного корреляци-
>ниою уравнения, характеризующего зависимость между продук-
цией и фондовооруженностью.
97
Решение. Параметры линейного уравнения регрессии yY = а0 +
+ «j.Y можно вычислить по формулам (15), (17). Расчетные данные
для вычисления параметров представлены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой
по сгруппированным данным
д Д' .Г ’7 V х/ А'2/'
5—7 6 1 3,0 3,0 6 18,0 36
7—9 8 2 5,0 10.0 16 80,0 128
9—11 10 3 6,3 18.9 30 189.0 300
21—23 22 2 17.0 34.0 44 748.0 968
23—25 24 1 19.0 19,0 24 456,0 576
Итого — 52 — 550.2 766 8641.2 11 924
Расчетные данные из табл. 7.2 подставим в формулы (9), (10) и
определим параметры а0, ар
52 -8641,2-766- 550,2
52-11 924-766-766 -0’838’
_ 550,2 • И 924- 8641,2-766 _
й° 52 -11 924-766 • 766 -1,763‘
Параметр показывает, что с ростом фондовооруженности на
1 млн руб. объем произведенной продукции увеличивается на
0,838 млн руб.
Уравнение регрессии имеет вид
ух = -1,763 + 0,838-v.
Пример 3. По 10 однородным магазинам имеются следующие
данные:
Товарооборот, тыс. руб. 5 3 24 35 44 55 63 74 82 95
Товарные запасы, дни 18 12 8 8 8 8 7 6 8 8
По исходным данным определить уравнение регрессии (связь
гиперболическая) между товарооборотом и товарными запасами.
Решение. Для определения параметров уравнения гиперболы
1
вида д. = а0 + й| — необходимо построить систему нормальных
уравнении (19), (20) и методом определителей вычислить параметры
98
и Й1 110 формулам (21) и (22). Расчетные данные для вычисления
^параметров уравнения гиперболы содержатся в табл. 7.3.
& Таблица 7.3
1 Расчет сумм для определения параметров уравнения гиперболы
№ п/п Т оварооборот. тыс. руб. X Товарные запасы, дни у 1 7“Л'1 -V,2 ул. = 7.448 + + 23.7
1 5 18 0.2000 0.0400 3.6000 12,19
2 3 12 0.3333 0.1111 3,9996 15,35
3 ' 24 8 0.0417 0,0017 0.3336 8.44
- 9 82 8 0,0122 0,0001 0,0976 7.74
; 10 95 8 0,0105 0.0001 0,0840 7.69
Итого 480 91 0,6966 0,1550 8.8631 91.0
Е Подставив значения фактических данных из табл. 7.3 в систему
анормальных уравнений, получим
I 1Ойо + 0,6966й1 = 91,
О,6966йо + 0,1550йх = 8,8631.
Di Вычислим параметры й0 и по формулам (21), (22), подставляя
расчетные данные из табл. 7.3:
91 0,1550- 8,8631 0,6966
| й° " 10 - 0,1550 - 0,6966 - 0,6966 " 7’448,
L _ 10 -0,8631 -0,6966 -91
а[ ~ 10 0,1550 - 0,6966 - 0,6966 " 23,7‘
| Уравнение регрессии имеет вид
f v = 7,448 + 23,7 - .
I. х
Г Пример 4. Имеются следующие данные по группе однородных
[^Предприятий:
J6 завода 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Основные фонды. ТЫС. руб. 330 400 480 550 600 700 750 850 870 940 1020 1030 1200
Продукция. ТЫС. руб. 9.9 10.8 11.5 12.0 12.4 12.9 13.1 13.5 13.6 13.8 14.0 14.1 14,2
; По исходным данным найти уравнение логарифмической корре-
ляционной зависимости продукции от основных фондов.
99
Решение. Параметры степенного уравнения можно найти путем
решения системы нормальных уравнений (13) или по формулам
(14), (15).
Определим параметры степенной функции по формулам (14) и
(15). Расчетные данные для вычисления параметров содержатся в
табл. 7.4.
Таблица 7.4
Расчет сумм для определения параметров степенного уравнения регрессии
№ п/п Основные фонды, тыс, руб. Продукция, тыс. руб. у 1g X 1g у 1g х 1g У (1g х)2
1 330 9,9 2,5185 0,9956 2,5074 6,3428
2 400 10,8 2.6021 1,0334 2,6890 6,7709
3 480 И,5 2,6812 1,0607 2,8439 7,1888
12 1030 14,1 3.0128 1,1492 3,4623 9,0770
13 1200 14,2 3,0792 1,1523 3,5482 9,4815
Итого 36,9832 14,3415 40,8982 105,5631
В среднем 2,8449 1,1032 3,1460 8,1202
3,1460,- 1.1032 -2,8449 =
1 8,1202-2,84492
1g а0 - 1,1032 - 0,2819 - 2,8449 = 0,3012,
а0 = 2,008.
Уравнение корреляционной связи имеет вид
1g у = 1g 2,008 + 0,2819 1g х или 1g у = 0,3012 + 0,2819 1g х или
= 2,0008.х°-2819.
Параметр показывает, что с ростом основных фондов на 1%
продукция увеличится на 0,28%.
Построение моделей связи а виде уравнении множественной рег-
рессии. Изменение экономических явлений происходит под влияни-
ем не одного, а большого числа самых разнообразных факторов.
Связь между результативным признаком и двумя и более фактора-
ми принято выражать уравнением множественной регрессии.
Уравнения множественной регрессии могут быть линейные,
криволинейные и комбинированные.
Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии
является линейное уравнение с двумя независимыми переменными:
100
Г ZV,=flo + alxl + a2*2 (3$)
' Параметры уравнения множественной регрессии определяются
!' методом наименьших квадратов путем решения системы нормаль-
*Йь!Х уравнений:
X j -па0 + Xxt + д2 X х2 >
»’ ХуХ| =ац £х1 + а( Хх^ + а2 Хх^ > (3^
2
X ух^ = а0 Хх2 + X х1х2 + а2 х2
i Параметры уравнения множественной регрессии показывают
Изменение результативного признака при изменении факторного
признака на единицу. Для оценки влияния факторных признаков на
^результативный рассчитываются частные коэффициенты эластич-
ности и бета-коэффициенты.
Частный коэффициент эластичности (Э) вычисляется по форму-
ле
Э = (37)
?где а, — параметр при признаке-факторе;
: х, у — средние значения факторного и результативного призна-
ков.
Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько
Процентов изменяется результативный признак при изменении фак-
торного признака на 1% при фиксированных значениях других фак-
торов.
. Бета-коэффициент (|3) вычисляется по формуле
Р = «1 —• (38)
Бета-коэффициент показывает, на какую часть сигмы изменяет-
ся результативный признак при изменении факторного признака на
-Величину его сигмы.
Сравнение бета-коэффициентов при различных факторах дает
возможность оценить силу их воздействия на результативный при-
знак.
Параметры уравнения регрессии можно определять по форму-
> лам через коэффициенты корреляции и средние квадратические от-
клонения:
101
йу —у — — ЙэЛ'т ,
(39)
<7,
1 - г
(40)
'К-'-
°2 1-
а
(41)
Парные коэффициенты корреляции можно
тощим формулам:
вычислить по следу-
rvv =----------
(42)
х2у - х?у
cYc,..
(43)
<iv о
(44)
Средние квадратические отклонения
лам
определяются по форму-
а
(45)
а
(46)
а
7
(47)
Статистические методы измерении тесноты корреляционной связи
в многофакторных моделях. При проведении многофакторного кор-
реляционного анализа возникает необходимость расчета множест-
венных, парных и частных коэффициентов корреляции. Для измере-
ния тесноты корреляционной связи между результативным призна-
ком и несколькими факторными при линейной форме связи рассчи-
тывается множественный коэффициент корреляции по формуле
4
7?
(48)
г , г,.у ,г„ „ — парные коэффициенты корреляции.
J’A |
Множественный коэффициент корреляции изменяется от 0 до +1.
Эн показывает тесноту корреляционной связи между результатив-
ным признаком и факторными признаками, включенными в урав-
нение множественной регрессии.
Парные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам
п Xyxl -Sy S.Vj
f = — _ - -
ХХ' (Sy )2 ]
г
п Syx? - Sy S х9
а'2 - (S х2 )2 ] [я S у2 - (S у )2 ]
п Exjx-, - Ех| E х
x12-(Sx1)2][hSx22-(Sx2 )2]
(49)
(50)
(51)
кии по формулам (42), (43), (44).
Парные коэффициенты корреляции показывают тесноту
дяционной связи как между факторными и результативными при-
знаками, так и между признаками-факторами.
Для исследования тесноты корреляционной связи между призна-
амн при построении моделей множественной регрессии применя-
ется частные (парные) коэффициенты корреляции, которые харак-
теризуют тесноту корреляционной связи между факторным и ре-
зультативным признаками, при элиминировании влияния учтенных
факторов.
Частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам
корре-
г
)d-
(52)
э
(53)
102
103
г — г г
ГГ*1 У*2
)(!-<)
(54)
Теоретическое корреляционное отношение и совокупный индекс
корреляции. Эти показатели имеют такой же экономический смысл,
что и при парной регрессии, и определяются по формулам
^(ухл-уУ
ъ<у-у)2
(55)
П =
Вместо теоретического корреляционного отношения может
быть использован адекватный ему показатель — совокупный ин-
декс корреляции:
(56)
Л/ )2
R = V 1---------.
£(У-У)2
Проверка адекватности многофакторной регрессионной модели.
Построенное уравнение множественной регрессии необходимо со-
держательно интерпретировать и оценить его с точки зрения аде-
кватности реальной действительности. Прежде всего следует уста-
новить, соответствуют ли полученные данные тем гипотетическим
представлениям, которые сложились в результате анализа, и пока-
зывают ли они причинно-следственные связи, которые ожидались.
Для оценки адекватности модели можно вычислить отклонение
теоретических данных от эмпирических, остаточную дисперсию, а
также ошибку аппроксимации, которая определяется по формуле
(57)
104
Особое внимание необходимо обратить на интерпретацию и
оценку параметров уравнения. Параметры уравнения регрессии сле-
дует проверить на их значимость.
Для оценки значимости параметров при малых выборках урав-
нения множественной регрессии используется /-критерий Стьюден-
та при (и - т - I) степенях свободы:
Значения и а2 берутся по модулю. Параметры признаются
значимыми, если /эмп > /табл с уровнем значимости 0,05 и числом
'степеней свободы (п - т - 1).
Адекватность уравнения регрессии оценивается с помощью F-
'критсрия Фишера, который определяется по формуле
а,
_ п - т
3 с? т~ 1 ‘
''-Л.х-
(60)
I Если F3 > FT, то уравнение множественной регрессии признается
значимым. Табличное значение FT определяется с уровнем зиачи-
'Мости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы {т - 1), (и - т).
> Существенность совокупного коэффициента корреляции также
оценивается с помощью /-критерия Стьюдента:
Ry -т - 1
(61)
: Если /эмп > /табл с заданным уровнем значимости 0,01 или 0,05
И числом степеней свободы (п - т - 1), то коэффициент множест-
венной корреляции признается значимым.
105
Пример 5. Имеются данные о выработке, продолжительности
внутрисменных простоев и производственном стаже рабочих.
№ рабо- чего Выработка продукции, т П родолжител ьность внутрисменных простоев, мин Производственный стаж, лет
1 39,0 19 4
2 38,7 15 3
3 38,9 17 4
9 40.4 10 7
10 39,5 13 5
По исходным данным найти уравнение множественной регрес-
сии, характеризующее связь между выработкой, продолжительнос-
тью внутрисменных простоев и производственным стажем рабочих.
Решение. Предположим, что связь между исследуемыми призна-
ками линейная и уравнение регрессии имеет вид
>\х3 = а0 + й1-г1 + й2х2-
Введем обозначения признаков:
Х| — продолжительность внутрисменных простоев;
— производственный стаж рабочих;
у — выработка изделий.
Параметры уравнения множественной регрессии определим по
формулам (38), (39), (40).
Необходимые данные для расчета параметров вычислим в
табл. 7.5.
Произведем расчет параметров уравнения множественной рег-
рессии. Для этого предварительно вычислим оу , , аг. Данные
для расчета этих показателей возьмем из табл. 7.5.
Подставив в формулу (45) данные из табл. 7.5, получим значе-
ние ах :
203 - 142 = 2,646 мин.
Подставим данные из табл. 7.5 в формулу (47) и вычислим зна-
чение :
аХ1 = <1б?4~- 52 = 1,183 года.
Данные из табл. 7.5 подставим в формулу (46), получим значение
<V
= 1552,61 - 39,42 = 0,5 т.
106
Таблица 7.5
Расчет сумм для определения параметров уравнения
множественной регрессии
Расчетные данные
Исходные данные
або- ЙГО I 1' Ви- ра- бот- ка. т у Внут- ри- смен- ные про- стои, мин Л'1 Про- из- вод- ствен- ный стаж, лет х2 У2 •V,2 х2 ГХ] Ух2 *1х2 Л-.ъ (У~ -Л- V )2
f1 39.0 19 4 1521.0 361 16 741 156.0 76 38.841 0.3721
ь 38.7 15 3 1497.69 225 9 580.5 116.1 45 38.912 0,0001
;-з 38.9 17 4 1513.21 289 16 661.3 155,6 68 38.981 0,1681
9 40.4 10 7 1632.16 100 49 404.0 282,8 70 40,098 0.3844
Г-10 39.5 13 5 1560.25 169 25 513,5 197,5 65 39,470 0,04
3*го- 394 140.0 50,0 15526.1 2030 264 5506.1 1974.6 676 394.0 5.763
Гв £ 39.4 14,0 5,0 1552,61 203 26.4 550,61 197.46 67,6 39.4 0,576
Вычислим коэффициенты корреляции по формулам (42), (43),
Й4). Подставим данные из табл. 7.5 и вычисленные а в формулы
коэффициентов корреляции.
Вычислим по формуле (42), rrJr вычислим по формуле (43),
L х вычислим по формуле (44):
£ 550,61 - 14 39,4
’ - =-0,748,
| J,xi 2,646 - 0,5
I 197,46 - 5 • 39,4 Л
I* ГУХ1~ 1,183-0,5 " °’777’
f 67,6-14-5
I " 2,646- 1,183 " “°’767-
I Подставляя значения парных коэффициентов корреляции и сред-
них квадратических отклонений в формулы (39), (40), (41), получим
ЙНачсния параметров а0, й?:
g -0,748 - 0,777 • ( -0,767)
Й1 =
= -0 07
2,646 ’ ’
1 - ( —0,767)"
107
0,777-(-0,748) (-0,767) 0,5
£h =-----------------5-------- ттзъ = 0,209,
2 1 - (-0,767)” 1,183
а0 = 39,4 - ( -0.07) 14 - 0,209 5,0 = 39,335.
Уравнение множественной регрессии имеет вид
у = 39,33$ " 0,07х1 + 0,209.г2 .
Параметр а1 показывает, что с увеличением внутрисменных про-
стоев на 1 мин выработка продукции снижается на 0,07 т.
Параметр «2 показывает, что с увеличением стажа рабочего на
1 год выработка продукции увеличивается на 0,209 т.
Вычислим частный коэффициент эластичности по формуле (39);
Э1 = -0,07 - =-0,0248,
39,4
где = -0,0248 показывает, что с увеличением простоев на 1% вы-
работка продукции снижается на 2,48%.
Вычислим коэффициенты эластичности выработки от стажа по
формуле (39):
Э2 = 0,209 = 0,0265.
39,4
Коэффициент эластичности Э9 показывает, что с увеличением
стажа на 1% выработка увеличивается иа 2,65%.
Бета-коэффициенты вычислим по формуле (38):
2 646
|31= -0,07 -±^22 = -0,37,
Р2 = 0,209 - ^|^ = 0,494.
Анализ бета-коэффициентов показывает, что наиболее сильное
влияние иа производительность труда оказывает стаж рабочего.
Измерим тесноту корреляционной связи между выработкой ра-
бочих, внутрисменными простоями и стажем работы с помощью
парных коэффициентов корреляции. Эти показатели, вычисленные
ранее при определении параметров уравнения регрессии, равны
г =-0,748, г.,,. =0,777, гг т =-0,767.
Л** 2 Л|Л2
Анализ коэффициентов корреляции показывает, что между вы-
работкой н внутрисменными простоями существует тесная обрат-
ная корреляционная связь, между выработкой и стажем работы —
тесная прямая связь. Коэффициенты парной корреляции отражают
влияние на результативный признак не только исследуемого факто-
ра, но и других, ие включенных в модель факторов, которые связа-
ны с исследуемым.
108
; Для более точной оценки тесноты корреляционной связи вычис-
ли частные коэффициенты корреляции по формулам (52), (53), (54):
/ -0,748 - 0,777 • ( -0,767)
i Гух ) I 9 ~ 0’38,
12 V (1 -0,7772 ) (1 -(-О,767)2 )
; -0,777 - ( -0,748) • ( -0,767)
' Л-т fr ) ~ г————-----------—------- — 0,48,
" 2' ’ л/ (1 - (-0,748)2 ) (1 - (-0,767)2 )
-0,767-(-0,748) 0,777 п ллс
> ГХ X = 7' ~ = -0,445.
' - V (1 - ( Ч),748)2) (1 - 0,7772 )
• Коэффициенты частной корреляции показывают, что влияние
гажа на выработку рабочих, при исключении влияния внутрнсмен-
йХ простоев, меньше, чем при парной корреляции. Большее влияние
1 выработку оказывает стаж рабочих.
Вычислим множественный коэффициент корреляции по формуле
; „ д/ -0,7482 + 0,7472 - 2 (-0,748) 0,777 (-0,767) г-^-
: R„ - V------------------------------5----------------= \ 0,7566 =
' -Чь 1 - О,7672
-0,869.
i Для измерения тесноты корреляционной связи между выработ-
простоем и стажем рабочего вычислим совокупный индекс
рреляции по формуле (56). Для этого построим вспомогательную
5лицу (табл. 7.6), в которую включим данные из табл. 7.5. Урав-
1ие множественной регрессии рассчитано по формуле
= 39,335 - 0,07х1 + 0,209х2 .
Для расчета индекса корреляции по формуле (56) предваритель-
ный исл им общую (5у и остаточную ву-у дисперсию по фор-
сам
? S (у - у )2 2,5 ~
п 10
0,25;
Ухл,) Q849
--------= 0,0849.
п 10
Индекс корреляции по формуле (56) равен
R = 1 ~ ^0 1F = ^°’659 = 0,812.
г Значения множественного коэффициента корреляции и индекса
Орреляции 0,869 и 0,812 свидетельствуют о наличии тесной корре-
йциоиной связи между выработкой, стажем и внутрисменными
109
простоями, а расхождение между ними менее 0,1 подтверждает ги-
потезу о линейной форме связи.
Таблица 7.6
Расчет данных для вычисления общей и остаточной дисперсии
Вы- Внутри- Стаж. Расчет ные данные
№ рабо- чего ра- бот- ка. т У смен- ный про- стой. -МИН *1 лет х2 J’ - .V 0’ - г)2 JV2 г - V.. .. 12 (V - Л- х. )2 г 2 У
1 39.0 19 4 -0.4 0,16 38.841 0.159 0,025 0,004
2 38.7 15 3 -0,7 0,49 387,912 -0.212 0,045 0,0054
3 38,9 17 4 0.5 0,25 38.981 -0.081 0,007 0.0020
9 40,4 10 7 1.0 1,00 40,098 0,302 0.091 0.0074
10 39,5 13 5 0.1 0.01 39,470 0,030 0.0009 0,0007
Итого 394.0 140.0 50.0 -— 2,5 394,0 — 0.849 0,0814
В сред- нем 39,4 1.40 5,0 . 0,25 39.4 . 0,0849 .
Оценку адекватности регрессионной модели уЛ. х = 39,335-
- 0,07%| + 0,209х2 произведем с помощью F-критерия Фишера. Для
этого предварительно вычислим факторную дисперсию по формуле
а 2 = а 2 - а 2 „ = 0,25 - 0,0849 = 0,165.
F-критерий по формуле (60) равен
0,165 Ю-З
F’ 0,0849 3-1
Табличное значение FT с уровнем значимости 0,05 и числом сте-
пеней свободы (2), (7) равно 4,74. Так как F\ > FT> то уравнение
регрессии можно признать значимым, адекватным.
Оценим значимость параметров уравнения множественной реп-
рессии с помощью /-критерия Стьюдента по формулам (58, 59):
-0,07 2,646^ 1 -0,7672 < 10-3 - 1
. ------------------------------
0,5 л/ 1 - О,8692
но
? 0,209 - 1,183 V l-(-O,767)2 V 10-3-1
ta =--------’------. '-----------=1,67.
2 0,5 1 - 0,869“
Табличное значение /-критерия с уровнем значимости 0,05 и
^числом степеней свободы 6 равно 2,447. Так как /эмп < /табл, то в
отношении значимости параметров и а-, уравнения регрессии воз-
никают сомнения.
' Одной из причин такой неопределенности суждения относитель-
:о параметров и а? является небольшое число наблюдений. Эта
сличииа должна превышать число параметров в 6—7 раз, поэтому
данном случае она должна составлять не менее 18 единиц.
Оценим значимость коэффициента множественной корреляции с
омощью /-критерия Стьюдента по формуле (60):
0,869 э/ 10-3- 1
tR = ----------г---= 9,5.
к 1 -0,869^
Табличное значение /-критерия с уровнем значимости 0,05 и
ислом степеней свободы 6 равно 2,447.
Так как /эмп > /та5Л, коэффициент множественной корреляции
южно признать значимым.
Коэффициент детерминации, равный 0,659, показывает, что ва-
кация выработки на 65,9% объясняется вариацией внутрисмениых
ростоев и стажем работы, а на 34,1% — прочими факторами.
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
-=0£|14 юо = о,8%,
= 0,0814.
Задачи для самостоятельного решения
, Задача 1. По 10 однородным предприятиям имеются следующие
Данные:
№ предприятия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество рабочих с профес- сиональной подготовкой, % 10 12 14 17 24 28 30 35 40 50
Количество бракованной про- дукции, "/« 18 17 14 12 10 10 8 9 6 6
Ill
По исходным данным постройте однофакторную регрессион-
ную модель зависимости между выпуском бракованной продукции
н профессиональной подготовкой рабочих.
Вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты
корреляционной связи.
Проверьте найденную модель на адекватность.
Сделайте выводы. Постройте графики.
Задача 2. Имеются следующие данные по 120 предприятиям от-
расли:
Энерговооруженность, кВт-ч Количество заводов Производительность труда, шт.
7—10 6 14
10—13 11 16
13—16 35 19
16—19 26 22
19—21 17 25
21—24 12 27
24—27 8 31
27—30 5 35
По исходным данным постройте линейное уравнение корреля-
ционной связи между энерговооруженностью и производительнос-
тью труда.
Сделайте выводы о пригодности модели для анализа н прогно-
за.
Задача 3. По 8 однородным магазинам имеются следующие дан-
ные:
Товарооборот, тыс. руб. 7 10 15 20 30 45 60 120
Уровень издержек обращения по отношению к товарообороту. % 10,0 9,0 7,5 6,0 6.3 5,8 5,4 5,0
Найдите уравнение корреляционной связи товарооборота и
уровня издержек обращения.
Изобразите графически корреляционную связь.
Вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты
корреляционной связи.
Проверьте найденную модель на адекватность.
Сделайте выводы. Постройте графики.
112
Задача 4. По 25 предприятиям отрасли имеются следующие дан-
№ Прсд- | Приятия Продукция. ТЫС. шт. Потребление сырья, тыс. т Объем злсктрогютрсб- ления. кВт ч
Г 1 24.6 3.2 2.3
2 37.4 4.1 1.7
[ з 45.4 2.2 0,9
1 4 46,7 1.6 2.0
50.1 4.4 2,7
1 6 51.3 10,5 3,7
Е 7 55,0 2,6 1,0
в 8 66,5 5.7 2,0
f 9 68,3 9.5 2,1
К 10 70.8 5,0 1.6
К 11 86,] 2.8 2,0
1. I2 96,9 8.1 2,3
1 13 99,1 6.0 1,5
Е 14 111,9 6,2 2,8
Е 15 122,6 10,6 4,2
1 16 166,9 8,3 2,6
| 17 171,6 6.1 2,2
18 173,8 9.8 3.5
Е 19 177,5 9,6 8,5
1' 20 177,6 13,3 4,2
!' 21 171,2 12,3 4.6
1 22 213,0 7.7 3.9
1 23 257,1 13.1 6.5
24 269,3 19.5 5,3
1 25 359,2 21,5 7,8
По исходным данным найдите уравнение корреляционной связи
®язь линейная) между продукцией, потреблением сырья и объ-
мюм электроэнергии. Вычислите коэффициенты эластичности,
ста-коэффициенты, показатели тесноты корреляционной связи,
(цените адекватность найденной модели. Проведите анализ модели
сделайте заключение о пригодности полученной модели для ана-
иза и прогноза.
Раздел II. МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Глава 8. СТАТИСТИКА НАСЕЛЕНИЯ
И ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ
Методические указания и решение типовых задач
Экономически активное население (рабочая сила) — часть насе-
ления, обеспечивающая предложение рабочей силы для производст-
ва товаров и услуг. Численность экономически активного населе-
ния включает занятых и безработных.
Коэффициент экономической активности населения определяется
отношением численности экономически активного населения к
общей численности населения:
кю-
Коэффициент занятости населения определяется отношением
численности занятого населения к численности экономически ак-
тивного населения:
^ = 7^ ioo.
°эк.ак
Коэффициент безработицы определяется отношением численнос-
ти безработных к численности экономически активного населения:
*безг = Т5- ’ ЮО.
°эк.ак
Численность трудовых ресурсов определяется как численность
трудоспособного населения в трудоспособном возрасте и работаю-
щих лпн за пределами трудоспособного возраста (лица пенсионно-
го возраста и подростки).
114
Пример 1. Движение населения области за год характеризуется
Следующими данными, тыс. человек:
н
. Численность населения на начало года........................... 4200
№ в том числе женщины в возрасте 15—49 лет . ............1460
Е Численность населения на конец года ........................... 4600
в том числе женщины в возрасте 15—49 лет..............1500
F, В течение года:
К, родилось................................................ 37
К умерло............................................... 60
№ умерло детей в возрасте до 1 года..................... 0.67
Определить:
t 1) среднегодовую численность населения области и среднегодо-
вую численность женщин в возрасте 15—49 лет;
Г. 2) коэффициенты воспроизводства населения: а) рождаемости,
|) смертности, в) естественного прироста, г) плодовитости, д) мла-
енческой смертности.
I п 5н + \ 4200 + 4600 _п
t Решение. 1. S = —— =------------2---= 4400 тыс. чел.
- 1460+ 1500
Г. ^жен ~ 2------~ ТЫС‘ ЧеЛ‘
! N 37
2. а) К = 1000 = • 1000 = 8,4%О;
б) JfCM = у • 1000 = 1000 = 13.6%»;
$ ч N-M t п 37-60
L ^-ест.прирост-убыль — ' ЮОО —~4400~ — ~5,2/оо,
Ксст прИрост-убыль ~ ^р ~ ^м “ — 13,6 — — 5,2/6о, что означает
|быль на каждые 1000 человек;
1 N 37
г) Кпл = - 1000 = • 1000 = 25%О;
1 ' 0 67
> Д) Кмл.см = 1000 = 1000 = 18,1%о.
Г Пример 2. Имеются следующие данные по РФ, тыс. человек:
Среднегодовая численность населения................ .147 500
Всего занято в экономике ........................... 65 000
Численность безработных................................ 6 450
Определить:
1) численность экономически активного населения;
115
2) коэффициент экономически активного населения;
3) коэффициент занятости населения;
4) коэффициент безработицы.
Решение. 1. Численность экономически активного населения:
65 000 + 6450 - 71 450 тыс. чел.
2. Коэффициент экономически активного населения:
ак = %* • 100 = 100 = 48,4%.
3. Коэффициент занятости населения:
= у22- 100 = 100 = 90,97%.
°эк.ак '1
4. Коэффициент безработицы:
Ябсзр = S)KaK ' 100 = 71 450 100 = 9%-
Пример 3. Имеются следующие условные данные по области, тыс.
человек:
На начало года:
численность трудоспособного населения
в трудоспособном возрасте.....................................1000
чи сленность работающих лиц за пределами трудоспособного возраста . . 32
В течение года:
вступило в трудоспособный возраст трудоспособного населения......38.0
вовлечено для работы в отраслях экономики
ли ц пенсионного возраста .......................................8
прибыло из других отраслей трудоспособного населения
в трудоспособном возрасте......................................30
выбыло из состава трудовых ресурсов (в связи с переходом
в пенсионный возраст, инвалидность, вследствие смерти и т.д.)
трудоспособного населения....................................... 20
выбыло из состава трудовых ресурсов подростков ....................б
выбыло трудоспособного населения в трудоспособном возрасте
в другие области.................................................12
Определить:
1) численность трудовых ресурсов на начало года (Т);
2) на конец года: а) численность трудоспособного населения в
трудоспособном возрасте (Гтв); б) численность работающих лиц, на-
ходящихся за пределами трудоспособного возраста (Твнс тв); в) чис-
ленность трудовых ресурсов (Ткг);
3) среднегодовую численность трудовых ресурсов;
4) коэффициенты естественного, механического и общего при-
роста трудовых ресурсов.
Решение. 1. Тнг ~ 1000 + 32 = 1032 тыс. чел.
116
2. а) Гтв = 1000 + 38 +30 - 12 = 1056 тыс. чел.;
б) Гвнс тв = 32 + 8 - 6 = 34 тыс. чел.;
в) Гкг ~ 1032 +38 + 8 + 30 - 20 - 12 - 6 = 1070 тыс. чел.
~~ Лю + Лег 1032 + 1070
—--------------=--------------=1051 тыс.чел.
Дест 1000 (38 + 8 -20 -6) 1000 tnzv>0/
= 19,03%о,
3. r =
т
. . 9
. 15
. . 2
4‘ ^ест.пр - юзу
Д мех 1000 (30- 12) 1000
^мех.пр ” ~ ~ 1051 -17>13Ло,
_ (Д ест + Д мех) 1000 38 • 1000
^общ.пр ~ “ 1051 “ 36,16/00,
или
, ^общ.пр = *сст.лр + ^мсх.пр = 19,03 + 17,13 = 36,16%.
Пример 4. Имеются следующие данные по области, тыс. человек:
Среднегодовая численность населения.................420
.. Численность трудовых ресурсов........................218.4
За предшествующие годы коэффициенты равны, %о:
рождаемости ..............................
смертности ............................
механического прироста.................
Определить:
, 1) коэффициент общего прироста населения;
2) перспективную численность населения и трудовых ресурсов
На предстоящие 3 года, при условии, что коэффициент общего при-
роста сохранится на прежнем уровне, а доля трудовых ресурсов
будет ниже первого года на 0,05 пункта, второго — на 0,08 пункта,
третьего — на 0,06 пункта по сравнению с текущим годом.
Решение. 1. /Собш.пр = Яр - + ^мех,пр = (9 - 15) + 2 = -4%о.
2. Sj = 420 • 0,996 = 418,32 тыс. чел.,
S2 = 418,32 - 0,996 = 416,65 тыс. чел.,
S3 = 416,65 - 0,996 = 414,98 тыс. чел.
1 Л 5 420 °’5-’
d{ = 0,52 - 0,05 = 0,47,
d2 = 0,52 - 0,08 = 0,44,
d3 = 0,52 - 0,06 = 0,46;
~ 418,32 0,47 = 196,61
Л = 416,65 0,44 = 183,33
f3 = 414,98 • 0,46 = 190,89
тыс. чел.,
тыс. чел.,
тыс. чел.
117
Пример 5. Имеются следующие данные по РФ, тыс. человек:
Среднегодовая численность населения.................... 147 200
Прибыло населения в РФ.....................................940
Выбыло населения из РФ.................................. . 420
Определить:
1) общий коэффициент интенсивности миграции;
2) коэффициент интенсивности миграционного оборота;
3) коэффициент эффективности миграции.
Решение. 1. Кобщ.миг - МИ1(п~в) • 1000 = •1000 -
= 3,53%о.
П + В 940 + 420
2- Л'мнг.об = -j-' Ю00 = -|47 200 Ю00 = 9.24%,,.
3- ^офмиг = 4тв ' 100 = 1^' 100 = 38’24%-
Пример 6. Имеются следующие данные по отраслям экономики
за год, тыс. человек:
Среднесписочная численность работников................ 50 796
Принято работников.....................................11 480
Выбыло работников......................................13 069
Число уволенных по собственному желанию
и за нарушение трудовой дисциплины........................458
Определить:
1) коэффициент оборота по приему;
2) коэффициент оборота по выбытию;
3) коэффициент текучести.
Решение. 1. 100 = 22,6%.
эи /Уо
2- К„ = 100 = 25,7%.
458
3. Кг = 77^7' 100 = 0,9%.
эО 796
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Движение населения области за год характеризуется
следующими данными, тыс. человек:
Численность населения на начало года..................... 5400
в том числе жепшины в возрасте 15—49 лет..............1900
Численность населения иа конец года ..................... 5800
в том числе женшины в возрасп с 15-—49 лет
2100
118
В течение года:
родилось............................................. 48
умерло.............................................. 78
Определите коэффициенты воспроизводства населения: 1) рож-
даемости, 2) смертности, 3) естественного прироста, 4) плодовитости.
Задача 2. Имеются следующие данные по региону:
Среднегодовая численность населения, тыс. человек. 550.0
Коэффициент прироста. %«
'' естественного.....................................5.0
' механического ....................................1.5
{ Определите:
•, 1) коэффициент общего прироста численности населения;
। 2) перспективную численность населения на предстоящие три
фода, при условии, что коэффициент общего прироста сохранится
прежнем уровне.
Задача 3. Имеются следующие данные по РФ, тыс. человек:
Среднегодовая численность населения.............148 300
Всего занято в экономике ........................67 100
Численность безработных.............................6410
Определите:
1) численность экономически активного населения;
2) коэффициент экономически активного населения;
3) коэффициент занятости населения;
4) коэффициент безработицы.
Задача 4. Имеются следующие данные по области, тыс. человек:
На начало года:
численность трудоспособного населения в трудоспособном возрасте . , , 920
численность работающих лиц за пределами трудоспособного возраста . . 30
»В течение года:
вступило в трудоспособный возраст трудоспособного населения.40
вовлечено для работы в отраслях экономики лиц пенсионного возраста . . 10
, прибыло из других областей трудоспособного населения
в трудоспособном возрасте ................................35
выбыло из состава трудовых ресурсов ........................20
выбыло из состава трудовых ресурсов лиц нерабочего возраста.6
выбыло в другие области трудоспособного населения
: в трудоспособном возрасте................................. 15
Определите:
1) численность трудовых ресурсов на начало года;
2) на конец года:
а) численность трудоспособного населения в трудоспособном
возрасте;
119
б) численность работающих лиц, находящихся за пределами гру-
доспособного возраста;
в) численность трудовых ресурсов на конец года;
3) среднегодовую численность трудовых ресурсов;
4) коэффициенты естественного, механического и общего при-
роста трудовых ресурсов.
Задача 5. Имеются следующие данные по одной из областей, тыс.
человек:
Численность трудоспособного населения в трудоспособном возрасте:
на начало года...................................... 2000
на конец года....................................... 2200
В течение года:
вступило в трудоспособный возраст.......................350
выбыло из состава трудоспособного населения...........320
прибыло трудоспособного населения в трудоспособном
возрасте из других областей...........................100
выбыло трудоспособного населения в трудоспособном
возрасте в другие области..............................90
Определите:
1) естественный, механический и общий прирост трудовых ре-
сурсов;
2) коэффициенты естественного, механического и общего при-
роста.
Задача 6. Имеются следующие данные по одному из районов,
тыс. человек:
Среднегодовая численность населения......................460
Численность трудовых ресурсов........................... 240
Коэффициенты, %»:
рождаемости..............................................9
смертности............................................ 14
механического прироста..................................2
Определите:
1) коэффициент общего прироста численности населения;
2) перспективную численность населения и трудовых ресурсов
на предстоящие четыре года, при условии, что коэффициент общего
прироста сохранится на прежнем уровне, а доля трудовых ресурсов
будет выше первого года на 0,04 пункта, второго — на 0,07 пункта,
третьего — на 0,09 пункта по сравнению с текущим годом.
Задача 7. Имеются следующие условные данные по региону,
тыс. человек:
Среднегодовая численность населения......................960
Численность трудоспособного населения ................ 441)
120
Численность работающих лиц пенсионного возраста
и подростков.......................................... 16
За предшествующие годы среднегодовые коэффициенты. %»;
рождаемости ...........................................8
смертности .......................................... 13
механического прироста..................................2
Определите:
1) долю трудоспособного населения и долю работающих лиц пен-
сионного возраста и подростков в общей численности населения;
2) перспективную численность населения и трудовых ресурсов
а предстоящие три года, при условии, что коэффициенты естест-
енного и механического прироста, а также доля работающих лиц
енсионного возраста и подростков сохраняются иа том же уровне.
Задача 8. Численность населения одного из регионов — 20 млн
еловек. Доля лиц в трудоспособном возрасте составляет 53%, а лиц
енсионного возраста — 13% от всей численности населения. Чис-
енность неработающих инвалидов 1-й и 2-й групп трудоспособного
озраста — 320 тыс. человек, работающих лиц пенсионного возрас-
а — 9% от их общей численности, работающих подростков до
6 лет — 200 тыс. человек. Из общей численности трудовых ресурсов
тиона занято: в сфере производства — 52%, в непроизводственной
jepe — 28%, в домашнем хозяйстве и уходом за детьми — 7%.
Определите:
1) общую численность трудовых ресурсов;
2) численность трудовых ресурсов по направлению их использо-
1НИЯ.
Задача 9. Имеются следующие данные по области, тыс. человек:
Среднегодовая численность населения.................... 147 500
Прибыло из других областей ...............................1 020
Выбыло в другие области ...................................460
Определите:
1) общий коэффициент интенсивности миграции;
2) коэффициент интенсивности миграционного оборота;
3) коэффициент эффективности миграции.
Задача 10. Имеются следующие условные данные по одной из
траслей экономики за год, человек:
Среднесписочная численность работников....................... 162 500
Принято:
по направлению служб занятости и трудоустройства............18 400
по инициативе самого предприятия (организации)............. 12 000
в порядке перевода из других предприятий и организаций ......1 000
после окончания высших и средних специальных учебных
заведений (включая стипендиатов самих предприятий) ......... 7 600
121
Выбыло:
призыв в армию................................................ 6 300
поступление в учебное заведение с отрывом от производства .... 3 700
окончание сроков договора найма.......................... 5 050
выход на пенсию (по достижении пенсионного возраста.
инвалидности).............................................. 7 400
перевод нз другие предприятия . ............................ 1800
смерть работника.......................................... 3 600
сокращение штата.......................................... 14 400
по собственному желанию................................... 1 600
прогулы и другие нарушения трудовой дисциплины............. 1 150
Определите:
1) абсолютные показатели оборота работников;
2) коэффициент оборота по приему;
3) коэффициент оборота по выбытию;
4) коэффициент текучести;
5) коэффициент замещения;
6) коэффициент стабильности.
Глава 9. СТАТИСТИКА НАЦИОНАЛЬНОГО БОГАТСТВА
Методические указания и решение типовых задач
По определению, принятому в отечественной статистике, наци-
ональное богатство представляет собой совокупность ресурсов стра-
ны — экономических активов, создающих необходимые условия
для производства товаров, оказания услуг и обеспечения жизни
людей.
Экономические активы, включаемые в состав национального
богатства, подразделяются на финансовые и нефинансовые.
Объем национального богатства определяется, как правило, в
стоимостном выражении в текущих и постоянных ценах на начало
и конец года.
Значительный удельный вес в составе накопленного богатства
занимают основные производственные фонды. Статистика характе-
ризует основные фонды системой показателей, среди которых пока-
затели объема, состава фондов, коэффициенты состояния, движения
основных фондов, показатели их использования, показатели дина-
мики. Кроме того, следует иметь в виду, что существуют разные
виды оценки основных фондов (см. учебник по экономической ста-
тистике).
122
К коэффициентам состояния основных фондов относятся:
коэффициент износа основных фондов
сумма износа
и:я’ полная стоимость основных фондов’
коэффициент годности основных фондов:
стоимость за вычетом износа
ТОЛП полная стоимость основных фондов ’
Эти коэффициенты являются моментными показателями, т.е. ха-
:теризуют степень физического состояния фондов на определен-
дату.
Расширенное воспроизводство основных фондов характеризуют
коэффициенты выбытия и обновления за период.
Коэффициент выбытия рассчитывается как отношение стоимос-
[ фондов, выбывших за год, к стоимости фондов на начало года.
Коэффициент обновления представляет собой отношение стои-
эсти введенных за год новых фондов к их полной стоимости на
>нец года.
Для характеристики простого и расширенного воспроизводства
:новных фондов составляют балансы основных фондов по полной
оимости и по стоимости за вычетом износа. В балансах основных
эндов показывается их наличие на начало года, поступление по
ггочникам, выбытие по направлениям, наличие на конец года,
ри составлении баланса основных фондов по стоимости за выче-
>м износа, кроме того, учитывают сумму амортизации, умеиьшаю-
ей стоимость основных фондов.
Эффективность использования основных фондов характеризует
жазатель фондоотдачи, рассчитываемый как отношение объема
япуска продукции за год к среднегодовой полной стоимости ос-
эвных фондов.
Статистика рассчитывает ряд показателей для характеристики
Юротных фондов. Основными из них являются коэффициент обо-
шиваемости (количество оборотов) оборотных средств и продол-
ительность одного оборота.
Коэффициент оборачиваемости есть отношение объема реализа-
зи к оборотным средствам. Продолжительность одного оборота
ожег быть рассчитана как отношение числа дней в периоде к
Нелу оборотов.
При ускорении оборачиваемости оборотных средств часть их
ысвобождастся из оборота. Эта высвобождающаяся в результате
123
ускорения оборачиваемости часть может быть рассчитана по фор-
муле
где По и П1 — продолжительность одного оборота средств соответ-
ственно в базисном и отчетном периодах;
РП[ - объем реализации в отчетном периоде;
Д — продолжительность периода (месяц — 30 дней, квартал —
90 дней, год — 360 дней).
Пример. Имеются следующие данные о наличии и движении ос-
новных производственных средств на фирме, тыс. руб.:
Полная первоначальная стоимость основных фондов на начало года . . . 210
В течение года:
введено новых...........................................30
выбыло по стоимости за вычетом износа.................4
полная первоначальная стоимость выбывших средств.....20
Износ основных средств на начало года, %................20
Годовая норма амортизации, %............................10
Определим полную первоначальную стоимость основных фондов
на конец года (Офк):
Офк = Офн + П - В,
Офк = 210 + 30 - 20 = 220 тыс. руб.
Далее построим
Баланс основных фондов по полной стоимости, тыс. руб.
Наличие ОСНОВНЫХ фондов на начало года Поступило в отчетном году Выбыло в отчетном году Наличке ОСНОВНЫХ фондов на конец года
Всего В том числе новых основных фондов Всего В том числе ликвидировано
1 2 3 4 5 6—1+24
210 30 30 20 — 220
Рассчитаем показатели, характеризующие движение основных
фондов:
коэффициент обновления (Я"обН):
Пнов 30
К^= О^'100 = 220'100 = 13-6%;
коэффициент выбытия (^выб):
R ?0
Оф- . 100 = ^-100 = 9.5%.
124
Рассчитаем остаточную стоимость основных средств на начало
Эф°ит) и на конец (Оф°ст) года:
Офн • % износа 210 20
Офност = Офн-------—-------- =210----[до—= 168 тыс. руб.
На основании исходных и рассчитанных данных построим баланс
0 остаточной стоимости:
Баланс основных фондов по стоимости за вычетом износа, тыс. руб.
-'Наличие гЬСНОВНЫХ |юндов на , начало года Поступило в отчетном году Выбыло в отчетном году Аморти- зация (за год) Наличие основных фондов на конец года
Всего В том числе новых основных фондов Всего В том числе ликвидиро- вано
? 168 30 30 4 — 21,5 172.5
-?™-2»±0.2.iro = g0%;
210
На основании данных этого баланса рассчитаем коэффициенты
1носа и годности:
иа начало года:
210 0,2
*изн = 100 = 20%> ^годн
иа конец года:
220- 172 5
*изн =----220“^ ЮО = 21,6%, *годн -
Если сравнить коэффициенты, характеризующие состояние ос-
иных фондов, то можно заметить, что изношенность основных
юдств иа конец года увеличилась (21,6 - 20 = 1,6%).
172 5
- 100 = 78,4%.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Национальное богатство (без учета стоимости земли,
[р и лесов) характеризуется следующими данными, трлн руб.:
Показатель 1990 г. 1996 г.
йего 2.9 19 827.5
Том числе:
основные фонды (включая скот) 1,9 19 126.4
Материальные оборотные средства 0.5 307.3
^Домашнее имущество 0.5 393,8
' Рассчитайте показатели структуры национального богатства.
, Охарактеризуйте структурные сдвиги.
125
Задача 2. Имеются данные о земельном площади Российской Фе-
дерации (на начало года), млн га:
Показатель 1995 г. 1996 г.
Всего земель (территории) 1707.5 1707.5
в том числе:
земли, используемые землепользователями, занимаю- щимися сельскохозяйственным производством 698.7 694.6
земли запаса и лесного фонда 938,1 947.4
земли прочих землепользователей 70.7 65.5
Охарактеризуйте структуру и структурные сдвиги.
Задача 3. Имеются данные о среднемноголетних запасах воды в
крупнейших озерах и водохранилищах в 1995 г.:
Озера
Морское......................................... 911,0
Онежское........................................ 292.0
Байкал......................................... 23 000.0
Хайна............................................ 18,3
Водохранилища
Рыбинское.........................................26,3
Самарское........................................ 58.0
Волгоградское.................................... 31.4
Цимлянское........................................23,7
Саяно-Шушенское.................................. 31,3
Красноярское......................................73.3
Братское..........................................170.0
Охарактеризуйте структуру запасов воды.
Задача 4. По следующим данным охарактеризуйте отраслевую
структуру основных фондов по годам и структурные сдвиги:
Основные фонды по отраслям экономики (на конец года,
по балансовой стоимости), млрд руб.
Показатель 1970 г. 1980 г. 1990 г. 1995 г.
Все основные фонды (включая скот) 461 1065 1927 13 870 477
Отрасли, производящие товары 208 511 948 6 729 659
в том числе: промышленность 148 350 650 4 378 559
сельское хозяйство 46 122 221 1 775 332
строительство 13 36 72 553 119
Отрасли, оказывающие рыночные и не- рыночные услуги 253 554 979 7 140 818
в том числе: транспорт и связь 61 148 274 1 690 401
торговля и МТС 13 32 56 270 374
126
Задача 5. Имеются следующие данные:
Основные фонды по формам собственности (на конец года,
по балансовой стоимости), млрд руб.
Год Все основные фонды В том числе по формам собственности
Г осударствснная Негосударственная
Г 1970 461 398 63
t 1980 1065 951 114
1990 1927 1746 181
L 1995 13 870 477 5 574 064 7 996 413
Рассчитайте показатели структуры основных фондов за каждый
д и сделайте выводы.
Задача 6. Имеются следующие данные о наличии и движении
ювных средств по региону, млн руб.:
Полная первоначальная стоимость основных средств
на начало года........................................1080
Сумма их износа........................................220
Поступило за год основных средств .....................120
Выбыло за год.......................................... 36
Сумма износа основных средств на конец года............230
Определите:
1) коэффициенты обновления и выбытия основных средств за
д;
2) коэффициенты износа и годности основных средств на нача-
। и конец года.
Задача 7. Имеются следующие данные но одному из регионов
раны.
Полная первоначальная стоимость основных средств на начало
да составила 120 млн руб. В течение года введено новых средств
. сумму 40 млн руб. Выбыло за год основных средств по стоимос-
; за вычетом износа на сумму 5 млн руб. (их первоначальная сто-
гость составляла 24 млн руб.). Износ основных средств на начало
да составил 18%.
Определите:
1) полную первоначальную стоимость основных средств и их
оимость за вычетом износа на конец года:
2) коэффициенты движения и состояния основных средств.
Задача 8. Имеются следующие данные о наличии и движении
новпых производственных средств предприятия, тыс. руб.:
127
Наличие на начало года ................................3120
Поступило в течение года — всего .......................840
в том числе новых основных средств . ...............500
Выбыло в отчетном году — всего..........................300
в том числе ликвидировано...........................120
Наличие на конец года по стоимости за вычетом износа... 2745
По исходным данным:
1) составьте баланс наличия и движения основного капитала;
2) рассчитайте коэффициенты движения и состояния основных
средств (коэффициенты ввода, обновления, выбытия, ликвидации,
годности и износа).
Задача 9. Имеются следующие данные по области об основных
фондах промышленности по полной и первоначальной стоимости
за год, млн руб.:
Действующие фонды на начало года:
здания и сооружения.................................1120
силовые машины и оборудование ......................210
рабочие машины и оборудование......................2080
инструменты и приспособления.........................58
хозяйственный инвентарь............................. 12
транспортные средства................................26
Введено в эксплуатацию новых фондов:
силовые машины и оборудование .......................180
рабочие машины и оборудование......................1220
инструменты и приспособления........................24
транспортные средства.................................8
Выбыло из-за ветхости, физического и морального износа:
силовые машины и оборудование .......................100
рабочие машины и оборудование..................... 960
инструменты и приспособления........................ 17
транспортные средства.................................9
Износ основных средств:
на начало года.......................................710
на конец года..................................... 665
Определите:
1) полную стоимость основных средств на конец года;
2) прирост основных фондов по полной стоимости за год;
3) коэффициенты обновления и выбытия основных фондов за год;
4) коэффициенты годности и износа основных фондов на начало
и конец года;
5) долю активной части основных фондов в их общем объеме на
начало и конец года,
Составьте баланс основных фондов по полной первоначальной
стоимости.
128
Задача 10. Имеются следующие данные по фирме:
Стоимость основного капитала и производство продукции, тыс. руб.
Показатель Период Изменения (+. -)
базисный отчетный тыс. руб. %
Средняя стоимость основных производственных средств 400 452
Jtom числе стоимость актив- ной части 252 342
Эбъем продукции 600 760
Определите:
J 1) уровень отдачи основных производственных средств и их ак-
цией части за каждый период; расчеты представьте в таблице;
2) изменение отдачи основных средств за счет изменения отдачи
активной части и структуры основных средств (доли активной
ти в стоимости основных средств);
3) изменение объема продукции в результате изменения объема
ювных средств, отдачи активной части и их доли в стоимости
ювных средств.
Задача 11. Имеются следующие данные по предприятию:
Показатель Период Изменения (+, -)
базисный отчетный тыс. руб. %
)бъсм продукции, ТЫС. руб. 720 900
Передняя стоимость основных произ- ддствснных средств, тыс, руб. 576 600
среднесписочная численность псрсо- Йла основной деятельности, чел. 240 250
Определите:
1) фондоотдачу (показатель эффективности использования ос-
иных средств);
2) фондовооруженность труда;
3) среднюю выработку продукции в расчете на одного работни-
4) прирост продукции вследствие изменения средней стоимости
новных средств и эффективности нх использования;
5) покажите взаимосвязь фондовооруженности труда, фондоот-
ьчи и производительности труда.
129
Расчеты выполните в таблице, заполнив пустующие графы, Вы-
числите абсолютные и относительные изменения показателей, при-
веденных в условии задачи и рассчитанных.
Задача 12. Результаты деятельности предприятия характеризую)
следующие данные, тыс. руб.
№ Базисный период Отчетный период
предпри- Выпуск Средняя СТОИМОСТЬ Выпуск Средняя стоимость
ятия продукции основных производст- венных фондов продукции основных производст- венных фондов
1 390 300 480 420
? 600 460 690 580
Определите:
1) уровни и динамику фондоотдачи по каждому предприятию;
2) по двум предприятиям вместе:
а) индексы фондоотдачи переменного, постоянного состава и
структурных сдвигов;
б) абсолютные приросты средней фондоотдачи в целом и за счеч
отдельных факторов;
3) абсолютное и относительное изменение выпуска продукции
вследствие изменения: средней стоимости основных производствен-
ных фондов, уровня фондоотдачи, двух факторов вместе.
Задача 13. Имеются следующие данные по двум фирмам за два
периода:
№ пред- при- ятия Базисный период Отчетный период
Средняя стои- мость основных производствен- ных средств, тыс. руб. Среднесписочная численность пер- сонала основной деятельности, чел. Средняя стои- мость основных производствен- ных средств, тыс. руб. Среднесписочная численность пер- сонала основной деятельности, чел,
1 450 125 576 120
2 630 140 780 150
Определите:
1) по каждому предприятию (расчеты представьте в таблице):
а) уровни фондовооруженности труда за каждый период;
б) индексы фондовооруженности;
2) по двум предприятиям вместе:
а) индексы фондовооруженности груда переменного, постоянно-
го состава, индекс структурных сдвигов;
б) абсолютное изменение средней фондовооруженности труда в
результате изменения: фондовооруженности труда на каждом пред-
130
1иятип; структуры персонала основной деятельности; обоих фак-
-оров вместе;
в) абсолютное изменение объема основных производственных
Средств под влиянием изменения численности персонала и его во-
оруженности основными средствами.
Задача 14. Имеются данные по предприятию, тыс. руб.:
г Показатель I квартал II квартал
Выручка от реализации 520 КОО
Средний остаток оборотных средств 100 120
Определите:
1) показатели оборачиваемости оборотных средств за каждый
(вартал (число оборотов и продолжительность одного оборота);
2) сумму оборотных средств, высвобожденных из оборота в ре-
зультате ускорения их оборачиваемости.
н Задача 15. Имеются данные о динамике основных фондов (в со-
поставимых ценах), % по отношению к предыдущему году.
Год Всего В том числе
отрасли, производящие товары отрасли, оказывающие рыночные и нерыночные услуги
1990 104.2 104.8 103.7
1991 103,3 103,7 103.1
1992 101,9 102.0 101,8
1993 100.5 100,1 101.0
1994 99.9 99.2 100.7
1995 99.1 98.1 100,2
Рассчитайте базисные темпы динамики, среднегодовой темп
юста и прироста.
Задача 16. Имеются данные о динамике стоимости основных фон-
дов на конец года, в сопоставимых ценах:
Показатель В процентах к предыдущему году
1991 1992 1993 1994 1995
Вес основные фонды (включая скот) 103.3 101.9 100.5 99.9 99.1
том числе: отрасли, производящие товары 103,7 102.0 100.1 99.2 98.1
отрасли, оказывающие рыночные и нерыночные услуги 103.1 101.8 101.0 100.7 100.2
Охарактеризуйте изменение основных фондов в 1995 г. по срав-
нению с 1990 г. в целом и но отраслям. Рассчитайте среднегодовые
131
темпы роста и прироста стоимости основных производственных фон-
дов.
Задача 17. Имеются данные о динамике стоимости основных про-
изводственных фондов на предприятии:
Год Среднегодовая стой- мость основных про- изводственных фон- дов (в сопоставимых ценах), тыс, руб. По сравнению с предыдущим годом
Абсолют- ный при- рост, тыс. руб. Темп роста. % Темп прироста. % Абсолютное содер- жание одного про- цента прироста, тыс. руб.
1 2 3 4 5 32 103.2 100,7 2,1 15
Определите все недостающие показатели ряда динамики и зане-
сите их в таблицу. Постройте графики. Сделайте выводы.
Задача 18. Имеются следующие данные по предприятию:
Год Среднегодовая стой- мость основных про- изводственных фон- дов (в сопоставимых ценах), тыс. руб. По сравнению с предыдущим годом
Абсолют- ный при- рост, тыс. руб. Темп роста, % Темп прироста. % Абсолютное содер- жание одного про- цента прироста, тыс. руб.
1 2 3 4 5 44 102.1 101.2 1.7 20
Определите все недостающие показатели ряда динамики и зане-
сите их в таблицу. Постройте графики. Сделайте выводы.
Задача 19. Имеются данные о стоимости основных фондов одной
из отраслей экономики на конец года (в сопоставимых ценах):
Год 1 2 3 4 5 6 7
Стоимость, млн руб. 148,0 153,0 156.0 157.2 157.0 156.8 157.4
В целях анализа динамики стоимости основных фондов:
1) определите абсолютный прирост, темпы роста и прироста
(цепные и базисные), абсолютное содержание одного процента при-
роста; результаты оформите в таблице;
132
2) покажите взаимосвязь цепных и базисных темпов роста;
3) найдите средний уровень ряда динамики и среднегодовой
темп роста и прироста;
4) постройте графики ряда динамики; сделайте выводы.
Задача 20. Динамика капитальных вложений в основные фонды
сарактеризуется следующими данными (в сопоставимых ценах),
или руб.:
Показатель Год
1 2 3 4 5
Капитальные вложения — всего 136,95 112.05 84,66 74,7 62.3
В том числе:
производственного назначения 97.35 79.65 60,18 53.1 41,1
непроизводственного назначения 39.6 32,4 24,48 21.6 20.9
Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вло-
жений вычислите:
1) абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и ба-
исные) капиталовложений; результаты представьте в таблице;
2) средний уровень ряда динамики;
3) среднегодовой темп роста и прироста.
Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год
t помощью среднего абсолютного прироста и темпа роста.
Определите основную тенденцию развития капитальных вложе-
йй методом аналитического выравнивания. Осуществите прогноз
а ближайший год.
Изобразите динамику капитальных вложений и а графике. Сде-
айте выводы.
Задача 21. По условию финансового лизингового соглашения с
одной окупаемостью предприятие получает в аренду оборудование,
гоимость которого составляет 80 тыс. руб. Срок его полной амор-
изации составляет 5 лет, годовая норма амортизации — 16%, срок
изинга — 5 лет, ставка процента за кредит — 5%, размер комис-
ионных по лизингу — 3%, ставка налога на добавленную стоимость
- 20%.
Составьте план погашения кредита предприятием.
Задача 22. Имеются данные о двух вариантах осуществления ин-
естиций:
I вариант
редприятие №1
ввод в действие — 30.Ш;
затраты на строительство — 6800 тыс. руб.;
проектная мощность — 100 тыс. ед. в год.
133
II вариант
предприятие №2
ввод в действие — 30.XI;
затраты на строительство — 5200 тыс. руб.:
проектная мощность — 80 тыс. ед. в год.
Данные о получении прибыли предприятием по годам (в сопо-
ставимых ценах), тыс. руб.
Год Предприятие №1 Предприятие №2
1 2 600 500
3 1500 1600
4 1800 1900
5 2200 2000
6 2500 2200
Определите наиболее эффективный вариант вложения средств
путем расчета и сравнения сроков их окупаемости.
Глава 10. СТАТИСТИКА МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Методические указания и решение типовых задач
Система показателей, характеризующих развитие экономики,
включает результаты деятельности на всех уровнях производства.
Оценка конечных результатов деятельности осуществляется на
уровне отдельного предприятия, организации, учреждения и других
хозяйствующих субъектов, а также в разрезе секторов отраслей и
экономики в целом.
Система статистических показателей необходима для достовер-
ной оценки результатов функционирования и прогнозирования
дальнейшего развития экономики страны.
Показатели результатов функционирования экономики в целом
на макроуровне принято называть макроэкономическими показате-
лями. Они определяются на основе системы национальных счетов
(СНС) и характеризуют различные стадии экономической деятель-
ности: производство товаров и услуг, образование и распределение
доходов и их конечное использование.
Стадия производства характеризуется следующими показателя-
ми: валовой выпуск (ВВ). промежуточное потребление (ПП), вало-
534
вая добавленная стоимость (ВДС) и валовой внутренний продукт
(ВВП).
Валовой выпуск — это суммарная стоимость всех произведен-
ных товаров и услуг за год в экономике, имеющих рыночный и не-
рыночный характер.
Товары и услуги оцениваются по основным ценам, т.е. ценам,
‘ :о которым они продаются, поэтому валовой выпуск в отраслевом
азрезе исчисляется в основных ценах.
Промежуточное потребление определяется как стоимость това-
ов и рыночных услуг, которые трансформируются нли полностью
отребляются в течение данного периода с целью производства
ругих товаров и услуг. Потребление основного капитала (аморти-
ация) не входит в промежуточное потребление.
Валовая добавленная стоимость (ВДС) исчисляется на уровне от-
аслей экономики как разность между валовым выпуском товаров,
слуг и промежуточным потреблением. Термин «валовая» означает
о, что показатель включает потребленную в процессе производст-
а стоимость основного капитала.
В системе национальных счетов валовая добавленная стоимость
ценивается в основных ценах, т.е. в ценах, включающих субсидии
[а продукты, ио не включающих налоги на продукты.
Налоги на продукты включают платежи, размер которых прямо
Зависит от стоимости произведенной продукции и оказанных услуг:
Йалог на добавленную стоимость, налог с продаж, акцизы и др. На-
логи на импорт — это налоги на импортируемые товары и услуги.
Термин «чистые» налоги на продукты и импорт (ЧНП) и (ЧНИ)
данном случае означает, что налоги показаны за вычетом соот-
пствующих субсидий.
Субсидии (С) — текущие иекомпенсируемые выплаты из феде-
рального бюджета предприятиям при условии производства ими
Определенного вида продукции или услуг.
ВДС (в основных ценах) - (ВВ - ПП) - косвенно измеряемые
услуги финансового посредничества.
.ВДС (в рыночных ценах) = ВДС (в основных ценах) + ЧНП + ЧНИ,
ЧНП = НП - С,
ЧНИ-НИ С.
Где ЧНП, ЧНИ — чистые налоги на продукты и импорт,
135
НП и НИ — налоги на продукты и импорт,
С — субсидии.
Валовой внутренний продукт (ВВП) является основным эконо-
мическим индикатором в зарубежной и отечественной статистике.
ВВП — показатель стоимости товаров и услуг, созданной в резуль-
тате производственной деятельности институциональных единиц на
экономической территории данной страны, как правило, за год.
ВВП иа стадии производства рассчитывается как сумма валовой
добавленной стоимости всех отраслей и секторов экономики в ры-
ночных ценах (включая налоги на продукты и импорт без НДС):
ВВП = £ ВДС.
ВВП исчисляется также в рыночных ценах:
ВВП = 2 ВДС + ЧНП + ЧНИ.
Стадия образования доходов в СНС характеризуется следующи-
ми показателями:
• оплата труда наемных работников (ОТ);
• налоги на производство и импорт (включая налоги на продук-
ты) (НП);
• другие налоги на производство (ДНП);
• субсидии на производство и импорт;
• валовая прибыль экономики (ВПЭ).
Таким образом, ВВП иа стадии образования доходов равен
сумме:
ВВП = ОТ + ЧНП + ЧНИ + ДНП + ВПЭ.
Валовая прибыль экономики (ВПЭ) — макроэкономический по-
казатель, характеризующий превышение доходов над расходами,
которые предприятия имеют в результате производства до вычета
явных или скрытых процентных издержек, арендной платы или
других доходов от собственности.
Показатель ВПЭ рассчитывается балансовым путем и определя-
ется как валовая добавленная стоимость (ВДС) за вычетом оплаты
труда наемных работников (ОТ) и других чистых налогов на про-
изводство (ДЧНП):
ВПЭ = ВДС - ОТ - ДЧНП.
Чистая прибыль экономики (ЧПЭ) — это показатель макроэко-
номической прибыли в СНС, который рассчитывается путем вычи-
136
ания потребления основного капитала (ПОК) из валовой прибыли
кономики:
ЧПЭ = ВПЭ-ПОК.
На стадии использования ВВП рассчитывается как сумма ко-
ечного потребления продуктов и услуг (КП), валового накопления
ВН) и чистого экспорта товаров и услуг, который представляет
азницу между экспортом и импортом (Э - И):
ВВП = КП + ВН + (Э - И).
Конечное потребление продуктов и услуг складывается из рас-
ходов на конечное потребление домашних хозяйств, государствен-
ых учреждений, некоммерческих организаций, обслуживающих до-
ашиие хозяйства.
Валовое накопление рассчитывается как сумма валового накоп-
ения основного капитала, изменения запасов материальных обо-
ртных средств и чистого приобретения ценностей. Прирост основ-
ого капитала приравнивается к общему объему капитальных вло-
:ений за счет всех источников финансирования.
Чистый экспорт товаров и услуг рассчитывается во внутренних
внах как разница между экспортом и импортом и включает в себя
юрот российской торговли со странами как дальнего, так и ближ-
го зарубежья.
Для оценки качества расчетов, проводимых в СНС, используют
ецифический показатель — статистическое расхождение между
юизведенным и использованным ВВП. Он показывает расхождение
жду объемами ВВП, рассчитанными различными способами: на
адии производства и на стадии использования. Расхождение может
□никнуть из-за многих объективных и субъективных причин. К
новным причинам возникновения статистического расхождения
носятся: недостаток необходимой информации, определенные ме-
дологические неточности, связанные с переходным характером со-
юмениой российской экономики и общей незавершенностью сис-
мы национальных счетов, В международной практике принято счи-
ть допустимым уровнем погрешности статистическое расхождение,
вставляющее не более 5% ВВП.
Индекс-дефлятор ВВП — отношение ВВП измеренного в текущих
шах к объему ВВП, исчисленного в постоянных ценах базисного
:риода. Индекс-дефлятор ВВП рассчитывается по структуре веса
гчетного периода, характеризует среднее изменение цен на добав-
:нную стоимость, созданную во всех отраслях экономики (включая
137
рыночные и нерыночные услуги), и чистых налогов на продукты и
импорт.
Для обобщающей характеристики экономики региона рассчиты-
вается показатель валовой региональный продукт (ВРП). Расчеты
ВРП осуществляются производственным методом как сумма валовой
добавленной стоимости, произведенной на территории региона за
определенный период.
Валовой национальный доход (ВНД) равен сумме ВВП в рыноч-
ных ценах плюс доходы от собственности, полученные от «осталь-
ного мира», минус соответствующие им потоки, переданные «осталь-
ному миру».
Чистый национальный доход (ЧНД) в рыночных ценах получа-
ется в результате вычитания потребления основного капитала (ПОК)
из валового национального дохода:
ЧНД = ВНД - ПОК.
Потребление основного капитала представляет собой уменьшение
стоимости основного капитала в течение отчетного периода в ре-
зультате его физического и морального износа, случайных повреж-
дений.
Располагаемый доход образуется в результате распределения и
перераспределения доходов и предназначен для конечного потреб-
ления и сбережения.
Располагаемый национальный доход (РНД) в рыночных ценах
представляет собой ЧНД плюс чистые текущие трансферты нз-за гра-
ницы (т.е. дарения, пожертвования, гуманитарная помощь, а также
аналогичные перераспределительные поступления из-за границы за
вычетом аналогичных трансфертов, переданных за границу).
Валовой располагаемый доход (ВРД) равен ВНД в рыночных
ценах плюс (минус) текущие трансферты, полученные от «остального
мира» и переданные «остальному миру».
Чистый располагаемый доход (ЧРД) представляет собой разность
между ВРД н потреблением основного капитала (ПОК):
ЧРД = ВРД - ПОК.
Сбережение часть ВРД, которая не входит в конечное потреб-
ление товаров и услуг. В экономическом смысле она соответствует
сложившемуся в отечественной практике показателю «Накопление».
Сбережение определяется как разность между суммой текущих до-
ходов и расходов.
Валовое сбережение (ВС) - сбережение до вычета потребления
основного капитала, равное сумме валовых сбережений всех секто-
ров экономики.
138
Валовое накопление в целом по экономике включает валовое на-
опленне основного капитала, изменение запасов материальных
воротных средств и чистое приобретение ценностей.
Пример. Имеются следующие данные за год по РФ (в текущих
рнах), трлн руб.
1. Выпуск в основных ценах ..............................2805,4
2. Налоги на продукты и на импорт.........................196,4
3. Субсидии на продукты и на импорт (-) ...................59.4
4. Промежуточное потребление.............................1312.4
5. Валовая прибыль экономики и валовые смешанные доходы . 736.4
6. Оплата наемных работников ............................ 707.8
7. Налоги на производство и импорт....................... 245.4
8. Субсидии на производство и на импорт (-)................59,6
9. Расходы на конечное потребление......................1102,1
в том числе:
домашних хозяйств..................................... 762.7
государственных учреждений......................... 305.6
некоммерческих организаций, обслуживающих
домашние хозяйства...................................33,8
10. Валовое накопление................................... 382,8
в том числе:
валовое накопление основного капитала................. 329.4
изменение запасов материальных оборотных средств.....53.4
11. Чистый экспорт товаров и услуг.........................65.5
12. Статистическое расхождение.............................79.6
Определить объем ВВП в рыночных ценах:
1) производственным методом;
2) распределительным методом;
3) методом использования.
Решение. 1. Объем ВВП, определенный производственным мето-
дом, в рыночных ценах равен (с.1 + с.2 - с.З ~ с.4):
ВВП = 2805,4 + 196,4 - 59,4 - 1312,4 = 1630 трлн руб.
2. Объем ВВП, определенный распределительным методом, в
>ыночных ценах равен (с.5 + с.6 + с.7 - с.8):
ВВП = 736,4 + 707,8 + 245,4 - 59,6 = 1630 трлн руб.
' 3. Объем ВВП, определенный методом использования, в рыноч-
|оых ценах равен (с.9 + с.10 + с.11 + с.12):
\ ВВП = (762,7 + 305,6 + 33,8) + (329,4 + 53,4) + 65,5 + 79,6 =
к 1630 трлн руб.
Здесь и далее в задачах показатели со знаком (-) уменьшают значение итога.
139
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные о производстве товаров
по отраслям экономики (в текущих ценах), млрд руб.:
Отрасли экономики Выпуск товаров в основных ценах Промежуточное потребление
Промышленность 1091,0 594,5
Сельское хозяйство 214,0 103,2
Лесное хозяйство 2.8 0,9
Строительство 240,5 109,8
Прочие виды деятельности по
производству товаров 14.4 3,9
Определите:
1) выпуск тоиаров в основных ценах;
2) промежуточное потребление;
3) валовую добавленную стоимость по производству товаров по
отдельным отраслям и в целом по отраслям экономики;
4) отраслевую структуру ВДС по производству товаров.
Задача 2. Имеются следующие данные о производстве услуг в
отраслях (в текущих ценах), млрд руб.:
Отрасли Производство услуг Промежуточное потребление
Рыночные услуги в отраслях — всего в том числе: транспорт торгоаля и общественное питание коммунальное хозяйство финансы, кредит и страхование жилищное хозяйство Другие Нерыночные услуги в отраслях — всего в том числе; управление образование, культура и искусство здравоохранение, физическая культура и социальное обеспечение жилищное хозяйство | Другие 903,9 232,2 400,1 58,1 40,0 36,5 137,0 338,8 75,4 74,4 72.2 22,1 94.7 321,2 83,1 132,4 31,9 11,8 17,0 45,0 157,7 42,8 25.7 36.9 10,8 41,5
140
Определите в целом по отраслям:
1) производство услуг в основных ценах;
2) промежуточное потребление в сфере услуг;
3) ВДС по производству услуг по отдельным отраслям и в целом;
4) отраслевую структуру ВДС по производству услуг.
Задача 3. Имеются следующие данные по отраслям экономики,
Ерд руб.:
Косвенно измеряемые услуги финансового посредничества...........21,2
Налоги на продукты и на импорт.................................196,4
Субсидии на продукты и импорт...................................59,4
Определите в целом по отраслям экономики, используя данные
Хач 1 и 2:
1) ВДС в основных ценах;
2) ВВП в рыночных ценах.
Задача 4. Имеются следующие данные о производстве ВВП в РФ
год (в текущих ценах), млрд руб.:
• Производство товаров ...........................................974,2
Производство услуг ......................................... . 1093,3
Косвенно измеряемые услуги финансового посредничества...........12,2
1 Чистые (за вычетом субсидий) налоги на продукты и на импорт..... 200,8
Индекс-дефлятор ВВП (в разах к предыдущему году).................1.5
Определите:
1) объем ВВП производственным методом;
* 2) структуру производства ВВП;
; 3) объем ВВП в сопоставимых ценах.
Задача 5. Имеются следующие данные о распределении первич-
ных доходов в РФ за год (в текущих ценах), млрд руб.:
Валовая прибыль экономики и валовые
смешанные доходы ............................................... 736,4
L в том числе потребление основного капитала...................... 413,7
1 Оплата труда наемных работников................................... 706,5
Чистые налоги на производство и импорт...........................185.8
• • Доходы от собственности, полученные от «остального мира»........18,2
' “Доходы от собственности, переданные «остальному миру»............32,2
Сальдо текущих трансфертов, полученных резидентами
данной страны из-за границы:
гуманитарная помощь..................................................0.6
подарки........................................................0.2
Определите:
1) валовой национальный доход;
За вычетом промежуточного потребления.
141
2) чистую прибыль экономики;
3) валовой располагаемый доход.
Задача 6. Имеются следующие условные данные (в текущих,
ценах), млрд руб.:
По элементам стоимости:
потребление основного капитала............................... 100
оплата труда наемных работников...............................420
доход по ИТД...................................................22
прибыль ......................................................620
косвенные налоги (типа НДС), взимаемые государством ......... 350
По отраслям экономики:
промышленность............................................... 496
сельское и лесное хозяйство................................... 113
строительство................................................. 130
транспорт и связь............................................ 170
торговля и общественное питание ............................. 268
заготовки ..................................................... 3
прочие отрасли по производству товаров.........................10
отрасли сферы услуг ......................................... 322
По направлениям конечного использования:
личное потребление населения................................. 810
текущие непроизводственные расходы государства............... 350
инвестиции в основные фонды....................................50
общий объем товаров и услуг, нс использованных
внутри страны в течение данного периода...................... 284
импорт....................................................... 360
экспорт...................................................... 430
изменение запасов (-)..........................................52
Определите объем валового внутреннего продукта:
1) по элементам стоимости;
2) по отраслям экономики;
3) по направлениям конечного использования.
Задача 7. Имеются следующие данные о ВВП в РФ и его исполь-
зовании за год (в текущих ценах), млрд руб.:
Расходы на конечное потребление:
в том числе:
домашних хозяйств.......................................1060
из них на:
товары............................................. 720.0
услуги............................................. 227.0
товары и услуги в натуральном выражении .............92.8
товары и услуги, приобретаемые резидентами
за рубежом, за вычетом расходов нерезидентов.........20.2
государственных учреждений............................ 452.8
из них на:
индивидуальные услуги............................. 234.8
коллективные услуги . ............................. 218.0
142
некоммерческих организаций, обслуживаю!лих
домашние хозяйства..............................47.1
Определите:
1) фактическое потребление: а) домашних хозяйств, б) товаров
услуг государственных учреждений;
2) общее конечное потребление и его структуру.
Задача 8. Имеются следующие данные о результатах экономи-
кой деятельности по региону за год (в текущих ценах), млн руб.:
Выпуск в основных ценах
в сфере производства товаров..........................56 540
в сфере производства услуг ........................47 870
Промежуточное потребление
в сфере производства товаров ......................... 27 705
в сфере производства услуг.........................17710
Чистые налоги на продукты и на импорт ................5 016
Определите:
1) валовую добавленную стоимость по региону;
2) валовой региональный продукт (в рыночных ценах).
Задача 9. Имеются следующие условные данные по отраслям
юиомики:
г Показатель Базисный период Отчетный период
Стоимость валового выпуска продуктов в Ткущих ценах, млн руб. 700 820
|оля промежуточного потребления в стои- мости валового выпуска продуктов, % 46 50
(оля потребления основных фондов в стои- мости валового выпуска продуктов, % 8.2 10,0
Кроме того, известно, что в отчетном периоде по сравнению с
13исным уровень цен на валовой выпуск возрос в среднем на
1,5%, на промежуточное потребление — на 5,0%, а на основные
)нды снизился на 2,1%.
Определите:
1) валовую добавленную стоимость (ВДС) и чистую добавлен-
ию стоимость (ЧДС) за каждый период;
2) индексы физического объема валового выпуска, ВДС и ЧДС
сопоставимых ценах.
Задача 10. Имеются следующие условные данные, млн руб.:
Валовая заработная плата.............................. 560
Оплата труда в сфере нематериальных услуг ............ 220
Доходы индивидуальных производителен товаров ........ 40
143
Оплата командировочных расходов ................... 32
Отчисления на социальное страхование.................67
Определите оплату труда работников.
Задача 11. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Расходы на конечное потребление:
домашних хозяйств................................... 321,5
, государственных учреждений.......................... 131,0
некоммерческих организаций, обслуживающих
домашние хозяйства.....................................14.4
Валовое накопление основного капитала................... 137,7
Изменение запасов материальных оборотных средств .........23.0
Экспорт товаров и услуг ..................................93.0
Импорт товаров и услуг....................................64,6
Определите валовой внутренний продукт методом использова-
ния.
Задача 12. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Оплата труда наемных работников.....................260
Налоги на производство и импорт .....................96
Субсидии на производство и импорт (-)................26
Валовая прибыль экономики...........................270
Доходы от собственности;
полученные от «остального мира».....................6
переданные «остальному миру»..................... 11
Сальдо текущих трансфертов из-за границы.............+4
Потребление основного капитала......................129
Определите:
1) валовой внутренний продукт;
2) валовой национальный доход;
3) чистый национальный доход;
4) валовой располагаемый доход.
Задача 13. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Валовая прибыль экономики...........................770
Оплата труда наемных работников.....................750
Налоги на производство и импорт.....................280
Субсидии на производство и импорт (-)...............100
Доходы от собственности:
полученные от «остального мира».................. 20
переданные «остальному миру»..................... 50
Сальдо текущих трансфертов из-за границы............+14
Расходы на конечное потребление....................1170
Определите:
1) валовой внутренний продукт;
2) валовой национальный доход;
144
3) валовой располагаемый доход;
4) валовое сбережение.
Задача 14. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Выпуск товаров и услуг.................................1040
Материальные затраты — всего............................500
в том числе амортизация.............................. 80
Недоамортизированная стоимость...........................45
Прочие элементы, входящие в состав промежуточного
потребления.............................................120
Налоги на производство и импорт......................... 72
Субсидии на производство и импорт....................... 24
Другие чистые налоги на производство.................... 18
Оплата труда наемных работников.........................256
i Определите валовой внутренний продукт, валовую прибыль эко-
омики.
Задача 15. Имеются следующие условные данные по отраслям
кономики, млрд руб.:
Отрасль экономики Выпуск товаров Материальные затраты Недоаморти- зированная стоимость Прочес про- межуточное потребление
Всего В том числе амортизация
промышленность 400 230 32 15 26
Строительство 90 37 7 3 22
вельское и лесное
ОЗЯЙСТВО 75 42 10 8 9
прочие виды дся- ельности по про- изводству товаров 14 7 2 1
Определите:
1) валовую добавленную стоимость;
2) структуру валовой добавленной стоимости, валового выпуска
промежуточного потребления по отраслям.
Задача 16. Имеются следующие данные по РФ за 1991—1996 гг.:
Показатель 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г. 1996 г.
ВВП в текущих ценах, трлн руб. 1.4 19,0 171,5 611.0 1630,0 2256.0
йндскс-дсфлятор по отноше- нию к 1991 г., раз 1,0 13,6 122,5 436.4 1164.3 1611.4
Определите:
1) объем ВВП по годам в ценах 1991 г.;
2) цепные и базисные темпы роста (снижения) физического
объема ВВП;
145
3) среднегодовой темп роста (снижения) ВВП с 1991 по 1996 г .
4) индексы-дефляторы ВВП по отношению к предыдущему году
Задача 17. Имеются следующие данные:
Год ВВП в текущих ценах, трлн руб. Темпы прироста (снижения) ВВП в сопоставимых ценах по отношению к предыдущему году, %
1990 0,6 1,0
1991 1.4 -5.0
1992 19.0 -14.5
1993 171.5 -8.7
1994 611,0 -12.7
1995 1630 -4.1
1996 2256 -4,9
Определите:
1) индексы-дефляторы ВВП по отношению к предыдущему году;
2) индексы физического объема ВВП.
Глава 11. СОЦИАЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания и решение типовых задач
К основным социально-экономическим индикаторам уровня
жизни населения относятся денежные доходы и расходы населения,
их состав и использование; динамика реальных располагаемых до-
ходов населения; показатели потребления товаров и услуг; показа-
тели дифференциации доходов; уровень бедности и др.
Среднедушевые денежные доходы населения (или средние по до-
машним хозяйствам) исчисляются делением общей суммы денежно-
го дохода за год на среднегодовую численность населения (или
число домохозяйств).
Располагаемые доходы — это номинальные денежные доходы
за вычетом обязательных платежей и взносов.
Среднемесячная начисленная заработная плата работников в
отраслях экономики рассчитывается делением начисленного месяч-
ного фонда заработной платы па среднесписочную численность ра-
ботающих (занятых в экономике) в расчете на месяц.
С целью устранения фактора изменений цен номинальные и рас-
полагаемые денежные доходы (расходы) населения рассчитываются
146
реальном выражении с корректировкой на индексы потребитель-
цх цен (сводный и субиндексы на отдельные товарные группы).
Расчет показателей в реальном выражении осуществляется деле-
ем соответствующих показателей текущего периода на индекс по-
;бительских цен.
Индекс реальной заработной платы исчисляется по формуле
^рз “ . ~ ’ ИЛИ ^рз “ Л Aic >
'О
; /| и /0 — номинальная заработная плата в отчетном и базисном
эиодах:
I — индекс потребительских цен;
4 — индекс номинальной заработной платы;
Г — индекс покупательной способности рубля.
Реальные располагаемые денежные доходы определяются исходя
денежных доходов текущего года за минусом обязательных пла-
кей и взносов, скорректированных на индекс потребительских цен.
Для оценки интенсивности изменения структуры доходов (рас-
дов) населения, а также потребительских расходов домашних хо-
йств по группам населения в одном из исследуемых периодов ис-
льзуют: '
1) линейный коэффициент структурных различий (сдвигов)
tn
л
: и — относительные показатели структуры изучаемых сово-
шостей;
п — число структурных составляющих;
2) квадратический коэффициент структурных сдвигов (в том
'чае, если показатели измерены в процентах, 0<d< 100,
о< 1)
А/ X (V] - V, )2
а~ \/ ---------------=—
1 п
(2)
3) интегральный коэффициент К. Гатева
Е г? + I г;
147
изменяется в пределах 0 < Kv < 1;
4) индекс Салаи
(3)
’ /? " X V| + V7 '
изменяется в пределах О <I< I.
Динамика общего объема потребления населением товаров и
услуг, а также динамика потребления по отдельным товарным
группам или услугам изучается индексным методом.
Стоимость реализованных населению товаров и услуг в факти-
ческих ценах пересчитывается в цены и тарифы базисного периода
методом дефлятирования. Прн этом общий объем потребления на-
селением товаров и услуг отчетного периода делят на средний ин-
декс потребительских цен товаров и услуг:
Р
где q} — количество потребленных товаров в отчетном периоде;
Pq и р} - цена товара в базисном и отчетном периодах;
$1 — фактическое потребление отдельных услуг;
Го и Г| — тариф за определенные услуги в базисном и отчетном
периодах.
Расчет агрегатного индекса физического объема потребления
осуществляется по формуле
7 А)+ s zo
где q$, q\ и s0, — количество потребленных в отчетном и базис-
ном периодах соответственно товаров и услуг.
Для изучения динамики потребления отдельных групп товаров
или услуг применяется средний гармонический индекс физического
объема следующего вида:
I =—£—
4
где i - индивидуальные индексы цен на отдельные товары и услу-
ги.
148
В социальной статистике на практике используется коэффициент
астичности потребления в зависимости от изменения доходов, ко-
рый рассчитывается по формуле
A у L Ау.Дл*
3 А х х у ’ х
е х и у — начальные доход и потребление;
Ах и Ау — их приращения за некоторый период (или при пере-
де от одной группы к другой).
Он позволяет определить, на сколько процентов возрастает (или
ижается) потребление товаров или услуг при росте дохода на 1%.
Если коэффициент эластичности отрицательный, то качество
вара принято квалифицировать как низкое, т.е. потребление то-
ра уменьшается с повышением доходов.
Если Кэ > 1, то потребление растет быстрее доходов. Если
“ 1, то между доходом и потреблением — пропорциональная за-
есимость. Если Кэ < 1, то потребление увеличивается медленнее,
м доход.
К основным характеристикам дифференциации доходов населе-
1я и уровня бедности относятся следующие показатели:
• модальный, медианный и средний доход;
• коэффициент фондов, децильный коэффициент дифференциа-
1и;
• коэффициент концентрации доходов Джини;
• уровень бедности, среднедушевой доход бедного населения,
ефицит дохода.
Их исчисляют на основе распределения численности (или долей)
аселения по размеру среднедушевого (среднего на домохозяйство)
денежного дохода, сгруппированного по интервалам с заданными
фиксированными) границами, децильным (10%-м) и другим интер-
алам.
Коэффициент фондов (Кд) — это соотношение между средними
рходами в десятой и первой децильных группах:
Где д'] и t/ц) — среднедушевой доход соответственно 10% населения
с наименьшими доходами и 10% населения с самыми высокими до-
ходами.
149
При расчете, среднего дохода 10% населения в знаменателе по-
казателей с/[ и t/ю находятся одинаковые значения, поэтому коэф-
фициент фондов можно рассчитать по следующей формуле:
где Д1 и Д|() - суммарный доходюоответственно 10% самой бедной
и 10% наиболее богатой частей населения.
Децильные коэффициенты доходов и потребления населения
(KJ) — это отношение уровней верхнего и нижнего децилей вариа-
ционных рядов соответствующих показателей. Дециль — вариант
ранжированного ряда, отсекающий десятую часть совокупности:
Kd~ d\ >
где и d] — соответственно девятый и первый децили.
Коэффициент концентрации доходов Джини (Л"с) показываез
распределение всей суммы доходов населения между его отдельными
группами и определяется по формуле
п п
= 1'2 X Xi cum yf- + X xy, ,
i = 1 i = 1
где x, — доля населения, принадлежащая к /-й социальной группе в
общей численности населения;
У/ — доля доходов, сосредоточенная у /-й социальной группы
населения;
п — число социальных групп;
cum yj — кумулятивная доля дохода.
При равномерном распределении доходов коэффициент Джини
стремится к нулю. Чем выше поляризация доходов в обществе, тем
ближе этот коэффициент к единице.
Для графического изображения степени неравномерности в рас-
пределении доходов строится кривая Лоренца. При равномерном
распределении доходов каждая 20%-я группа населения имела бы
пятую часть доходов общества. На графике это изображается диа-
гональю квадрата, что означает равномерное распределение. При
неравномерном распределении «линия концентрации» предСтавлясз
собой вогнутую вниз кривую. Чем больше отклонение кривой Ло-
ренца от диагонали квадрата, гем выше поляризация доходов об-
щества. Коэффициент Джини можно рассчитать по кривой Лоренца
как отношение площади фигуры, образуемой кривой Лоренца и ли-
15(1
цией равномерного распределения к площади треугольника
Ниже линии равномерного распределения (Sa +
+ h
Уровень бедности — это удельный вес населения с доходами ниже
;рожитоиного минимума в общей численности населения. Прожи-
очный минимум представляет собой стоимость минимальной про-
рвольственной «корзины», а также расходы на непродовольствен-
:ые товары и услуги, налоги и обязательные платежи, исходя из
;оли затрат на эти цели в бюджетах у 10% низкодоходных домашних
озяйств.
Показатель дефицита дохода равен суммарному доходу населе-
мя, недостающему до величины прожиточного минимума.
Пример 1. Имеются следующие данные о распределении населе-
сия России по среднедушевому денежному доходу.
Среднедушевой денеж- ?яый доход в месяц, руб. Численность населения, млн чел. / Середина интервала хг x'f Кумулятивная частота S
До 100 2,9 50 145 2.9
100—200 18,5 150 2775 21.4
200— 300 25.5 250 6375 46.9
300—400 23.4 350 8190 70.3
; 400—500 18.8 450 8460 89.1
500—600 14.3 550 7865 103.4
600—700 10.7 650 6955 114.1
700—800 8,0 750 6000 122,1
800—900 6.0 850 5100 128.1
900—1000 4.5 950 4275 132.6
1000—1100 3.0 1050 3150 135,6
1100—1200 3.0 1150 3450 138.6
1200—1300 1.7 1250 2125 140.3
1300—1400 1,8 1350 2430 142.1
Свыше 1400 6.1 1450 8845 148.2
Итого 148.2 — 76 140 ...
Определить:
1) среднедушевой месячный доход;
2) нижний и верхний децили;
3) децильный коэффициент дифференциации доходов населения.
Решение, 1. Среднедушевой месячный денежный доход равен
76 140
X/ 148,2
= 513,8 руб.
151
2. Нижний и верхний децили исчисляют по формуле медианы
(см. гл. 3), только в этом случае вместо медианного интервала ис-
пользуют интервалы, в которых находятся варианты, отсекающие
по 10% численности частот в разных концах ряда распределения.
Нижний дециль (</]) (самые низкие доходы) определяется по фор-
муле
4_s
J. JO
а'~Х Ч •
Для расчета первого (нижнего) дециля находим l/щ численности
частот:
L£-W=1482
10 10 4,82‘
По накопленным частотам видно, что вариант, соответствующий
такой частоте, находится в интервале 100—200 руб., тогда
х, - 100; Ь = 100; S,} = 2,9; Л = 18,5. Отсюда самые низкие доходы
"i "I “i -1 ai
равны
14,82 - 2 9
= 100 + 100 • * ’ = 100 + 100 0,644 = 164,4 руб.
I O,J
Верхний дециль (dg) (самые высокие доходы) определяется по
формуле
9V <,
, _ .10 *4-1
- xd, +
Для расчета девятого (верхнего) дециля находим 9/]0 численности
частот:
9V=9 148£ = 1334
10 10 ’
По накопленным частотам видно, что вариант, соответствующий
такой частоте и отсекающий %о численности частот, находится в
интервале 1000—1100 руб., тогда х., - 1000; - 100; Sa =132,6;
“у _ ।
Л =3,0. Отсюда самые высокие доходы равны
9
133,4- 132 6
</9 = 1000 + 100 •-—- = 1000 + 100 • 0,267 = 1026,7 руб.
3. Децильный коэффициент дифференциации доходов населения
составляет
„ Ю26,7
К(> 164,4 6,2 Р333'
152
Децильный коэффициент дифференциации доходов населения
называет, что среднедушевой денежный доход, выше уровня ко-
рого имели доход 10% населения (высокодоходная группа), в ана-
зируемом году превышал в 6,2 раза уровень дохода, ниже которого
гели доход 10% населения (низкодоходная группа).
Пример 2. Имеются следующие данные о распределении общего
ъема денежных доходов населения региона по 20%-м группам, %:
% Показатель Базисный год Отчетный год
Денежные доходы — всего 100 100
в том числе по 20%-м группам населения; ; первая (с наименьшими доходами) 9.8 6.5
: вторая 14,9 10,6
третья 18,8 16,5
[ четвертая 23.8 22.5
1 пятая (и наибольшими доходами) 32,7 43.9
Для каждого года:
1 1) определить коэффициенты концентрации доходов Джини;
i 2) построить кривую Лоренца.
Решение.
Год Социаль- ная группа населения Доля населения Х1 Доля в общем объеме денежных доходов У1 Расчетные показатели
cum у, (5) Х1У, х, cum
Базис- 1 0,2 0,098 0.098 0,0196 0,0196
НЫЙ 2 0,2 0.149 0,247 0.0298 0,0494
3 0.2 0,188 0,435 0,0376 0,0870
4 0,2 0.238 0,675 0,0476 0,1346
5 0,2 0,327 1,0 0.0654 0,2000
ИТОГО 1,0 1,0 — 0,2 0,4906
Отчет- 1 0.2 0.065 0.065 0,0130 0,0130
НЫЙ 2 0.2 0,106 0.171 0,0212 0,0342
3 0,2 0,165 0.336 0,0330 0,0672
4 0,2 0,225 0.561 0.045 0,1122
5 0.2 0,439 1.0 0,0878 0,2000
ИТОГО 1.0 1.0 — 0,2 0.4266
1. Коэффициент Джини равен:
для базисного года
Кс = 1 _ 2 • 0,4906 + 0,2 = 1 - 0,9812 + 0,2 = 0,219;
для отчетного года
= 1 - 2 - 0,4266 + 0,2 = 1 - 0,8532 + 0,2 - 0,347.
153
Увеличение коэффициента Джини с 0,219 в базисном до 0,347 в
отчетном году свидетельствует об усилении дифференциации дохо-
дов населения региона.
2. Построим кривую Лоренца для каждого года (рис. 2):
Рис. 2. Кривая Лоренца:
/ — линия равномерного распределения; линии фактического распределения:
2 — для базисного периода. 3 — для отчетного периода
Кривая Лоренца иллюстрирует усиление неравномерности в
распределении общего объема денежных доходов в отчетном году
по сравнению с базисным. Так, наиболее обеспеченная группа насе-
ления сконцентрировала в отчетном году 43,9% доходов против
32,7% в базисном, а доля наименее обеспеченной группы в общем
доходе снизилась с 9,8 до 6,5%.
Пример 3. По данным выборочного обследования бюджетов до-
машних хозяйств рассчитать коэффициенты эластичности потребле-
ния продуктов питания.
Показатель Год
базисный отчетный
Потребление в среднем на одного члена домохозяйства в год. кг: хлебопродуктов 100 106
молока и молочных продуктов 296 274.7
Среднедушевые доходы на домохозяйство за год в сопо- ставимых ценах, руб. 2400 26КК
154
Решение. Рассчитаем коэффициент эластичности потребления
юдуктов от дохода по формуле
Ар Ах
Кэ=^:------,
>0 х0
е Ду — изменение уровня потребления в отчетном периоде по
авнению с базисным, т.е. Aj- = jj - j 0;
З'о, Jj — уровни потребления соответственно в базисном и от-
тном периодах;
Ах — изменение среднедушевого дохода за данный период, т.е.
С = X] - х0,
Ху, X] — среднедушевой доход соответственно в базисном и от-
тном периодах.
Представим расчетные показатели в следующем виде:
Показатель Абсолютный прирост Темп роста. % Темп прироста. %
Потребление в среднем на одного члена до* ((охозяйства в год. кг.
» хлебопродуктов 6 106 6
молока и молочных продуктов -21.3 92.8 -7.2
среднедушевые доходы на одно домохозяй- ке за год (в сопоставимых ценах), руб. 288 112 12
' Коэффициент эластичности потребления хлебопродуктов равен
6 288 0,06 _
эл 100'2400 0,12 Л
1И Кзп = 6 / 12 = 0,5%.
Коэффициент эластичности потребления молока и молочных
юдуктов равен
-21,3 . 288 _-0,072
Лэл 296 '2400 0,12 U,b’
[и Хэл = -7,2 / 12 = -0,6%.
Следовательно, потребление хлебопродуктов составило 0,5% на
% прироста доходов, а по молоку и молочньгм продуктам наблю-
юсь снижение потребления, равное 0,6% на 1% прироста доходов.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные о составе и использовании
рнежпых доходов населения РФ в текущих ценах, млрд руб.:
155
Показатель Базисный год Отчетный год ]
Денежные доходы: 5
оплата труда 344 650
социальные трансферты 120 240
доходы от собственности 58 100
доходы от предпринимательской деятель*
мости и другие доходы 388 628
Денежные расходы:
на покупку товаров и оплату услуг 642 1096
на оплату обязательных платежей и взносов 52 108
на накопление сбережений во вкладах и цен*
ных бумагах 49 36
на покупку валюты 135 350
Определите за каждый год:
1) номинальные и располагаемые денежные доходы населения в
текущих ценах;
2) прирост денег на руках у населения;
3) структуру денежных доходов и расходов населения;
4) интегральные коэффициенты структурных различий К. Гатева:
а) для доходов, б) для расходов.
Задача 2. Имеются следующие данные по РФ:
Показатель Базисный год Отчетный год
Среднегодовая численность населения, млн чел. 147 146
Численность занятых в экономике, млн чел. 67 66
Прожиточный минимум (на Душу населения в месяц), руб. 264 411
Индекс потребительских цен, раз 1.0 1.7
Определите, используя данные задачи 1:
1) индекс покупательной способности рубля;
2) индекс реальных располагаемых денежных доходов населения;
3) среднедушевой денежный доход, его соотношение с величиной
прожиточного минимума;
4) индекс реального среднедушевого денежного дохода;
5) индексы номинальной и реальной заработной платы.
Задача 3. Имеются следующие данные по РФ:
Показатель Базисный год Отчетный год
ВВП в текущих ценах, трлн руб. 1630 2600
Среднегодовая численность населения, млн чел. 148.1 147.1
Ин деке-Дефлятор по отношению к предыдущему 8
году, раз 1.2 _
156
Определите:
1) объем ВВП в расчете на душу населения;
2) объем ВВП в сопоставимых ценах;
3) индекс объема ВВП в расчете на душу населения.
Задача 4. Среднемесячная заработная плата работников региона
:в базисном периоде составила 700 руб., в отчетном — 915 руб. Ин-
декс потребительских цен за этот период в среднем возрос в
!1,5 раза.
Определите индексы номинальной и реальной заработной
«платы работников региона.
Задача 5. Имеются следующие данные по видам ненсий:
ВиДЬ1 пенсий Численность пенсионеров, млн чел. Средний размер пенсии с учетом выплат, руб.
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный год
ЙТо старости 29,0 29.1 258 385
Й1о инвалидности 4,3 4.8 218 333
Шо случаю потери исормильца 2.5 2.5 133 256
йа выслугу лет 0,2 0.6 277 389
^Социальные 1.1 1.3 160 271
R Определите:
»• 1) средний размер пенсии по всем группам пенсионеров в базис-
ном и отчетном годах;
| 2) индексы общей суммы назначенных пенсий, среднего размера
Ьенсии, численности пенсионеров (покажите их взаимосвязь);
И 3) индекс реального размера пенсии, если известно, что потре-
бительские цены за данный период возросли в 1,5 раза.
| Задача 6. Имеются следующие данные о распределении населе-
ния по среднедушевому денежному доходу:
[Среднедушевой денежный доход в месяц, руб. Численность населения, тыс. чел.
Г До 200 6 400
200-400 30 800
t 400— 600 33 200
600—800 25 000
800—1000 17 100
1000—1200 И 300
1200—1400 7 500
1 1400—1600 5 000
Окончание таб.тт,/
Среднедушевой денежный доход в .месяц, руб. Численность населения, тыс. чел.
1600--1800 2 800 ~~
1800—2000 2 900
Свыше 2000 6 000
Определите:
1) среднедушевой доход населения в целом: модальный и меди-
анный доход;
2) структуру распределения населения по среднедушевому де-
нежному доходу;
3) нижний и верхний децили;
4) децильный коэффициент дифференциации доходов населения.
Задача 7. Имеются следующие данные по отраслям экономики:
Отрасль экономики Среднемесячная заработная плата, руб. Выплаты социально! о характера на одного работника в среднем за месяц, руб.
Промышленность 869 80
Сельское хозяйство 382 25
Строительство 967 НО
Транспорт 1140 57
Связь 1024 65
Жилищно-коммунальное хозяйство 836 70
Здравоохранение, физическая культура и социальное обеспечение 610 28
Образование 552 30
Кредитование, финансы, страхование 1522 300
Определите тесноту связи между среднемесячной заработной
платой и выплатами социального характера по отраслям экономи-
ки, используя коэффициент корреляции рангов Спирмена.
Задача 8. Имеются данные о продаже товаров длительного
пользования населению одного из районов: '
Товары Продано товаров в фактических ценах, млн руб. Индексы цен. раз
Базисный период Отчетный период
Телевизоры 20.2 24.6 1.6
Холодильники 26.5 28.4 1.7
Магнитофоны 8.2 8.2 1.3
В отчетный период численность населения данного района со-
кратилась на 0,5%.
Определите:
1) общий индекс потребления;
2) общий индекс цен;
3) индекс физического объема потребления;
4) индекс физического объема потребления на душу населения.
Задача 9. Имеются данные о потреблении товаров и услуг домо-
хозяйствами региона:
Группы । Зх. Стоимость потребленных товаров и услуг, тыс. руб. Индексы цен отчетного периода по отношению к базисному, раз
Базисный период Отчетный период
|родовольственныс 152 483 3,1
Непродовольственные 134 360 2,7
^латные услуги 26 58 6.2
$ Определите индекс физического объема потребления товаров и
|слуг домохозяйствами региона.
f Задача 10. Имеются данные выборочного обследования бюдже-
тов домашних хозяйств:
[. Показатель Домохозяйства по 10%-м группам населения
Первая (с наимень- шими денежными доходами) Десятая (с наиболь- шими денежными доходами)
Среднедушевой денежный доход в Месяц, руб. 112,4 608,9
Сдельный все денежных доходов. %: оплата труда, доход от предпри- нимательской деятельности и др. 69.4 78.5
социальные трансферты 19.5 8,7
поступления от продажи сельхоз- продуктов, кормов для скота и прочие денежные поступления 11.1 12.8
г Определите:
К I) коэффициент фондов;
L 2) коэффициент структурных различий А. Салаи.
Г Сделайте выводы.
I1 Задача 11. Имеются данные выборочного обследования бюдже-
тов домашних хозяйств, %:
158
159
Показатель Домохозяйства по 10%-м группами населения
Первая (с наимень- шими денежными доходами) Десятая (с наиболь- шими денежными доходами)
Среднедушевые денежные расхо- ды — всего 100 100
Удельный все денежных расходов продукты питания, включая алкогольные напитки 59.2 36.4
непродовольственные товары 18.6 32.1
оплата услуг 12.2 11.1
прочие расходы 10.0 20.4
Определите:
1) коэффициент структурных различий А. Салаи;
2) коэффициенты эластичности потребления продуктов питания,
непродовольственных товаров и платных услуг в зависимости от из-
менения дохода от низшей группы к высшей, используя данные за-
дачи 10.
Задача 12. Имеются данные о потреблении продуктов питания
в домашних хозяйствах сельской местности по результатам, выбо-
рочных обследований:
Показатель Базисный год Отчетный год
Среднедушевые денежные доходы в год на одно
домохозяйство, руб. 4180 7040
Потребление в среднем на одного члена домохо-
зяйства в год. кг:
картофеля 139 145
яиц 264 204
Индекс потребительских цен. раз 1.0
Определите коэффициенты эластичности потребления продуктов
питания от дохода по каждому виду продуктов. Сделайте выводы.
Задача 13. Имеются данные выборочного обследования бюдже-
тов домашних хозяйств городской местности о доходах и потребле-
нии продуктов питания:
Показатель Базисный год Отчетный год
Среднедушевые денежные доходы в год на одно домохозяйство, руб. Потребление в среднем па одного члена домо- хозяйства в год. кг: 6580 10 600
мясопродуктов 58 52
рыбы и рыбопродуктов 12 10
Индекс потребительских цен. раз 1.0 2.3 u
160
Определите коэффициент концентрации доходов Джини.
Постройте кривую Лоренца.
j Сделайте выводы об изменении дифференциации доходов насе-
ления.
Задача 14. Имеются данные об оценке уровня жизни населения
(юродов и сельской местности по результатам проведенного обсле-
дования, % от числа опрошенных:
f Местожительство Оценка уровня жизни
положительная отрицательная
вельская местность 23 47
Городская местность 32 42
1 Рассчитайте коэффициенты ассоциации и контингенции.
Задача 15. Имеются данные о распределении домохозяйств РФ
|о числу членов домохозяйств:
; Домохозяйства 1 по числу человек Распределение домохозяйств, % по отношению к их общему числу
Г ородскис Сельские
К 1 18.1 22.0
>' 2 26.1 26,8
3 24.3 18.1
1 4 21.0 19,0
1 5 и более 10.5 14.1
Определите линейный и квадратический коэффициенты струк-
урных различий.
Задача 16. Имеются данные о распределении общего объема де-
[ежных доходов по 20%-м группам населения, %:
Группа Базисный год Отчетный год
Всего 100 100
;Псрвая (с наименьшими доходами) 5.8 6.5
Вторая 11.1 10.9
Третья 16.7 15.5
^Четвертая 24.8 22.4
Пятая (с наибольшими доходами) 41.6 44.7
Определите коэффициент концентрации доходов Джини.
Постройте кривую Лоренца.
161
Сделайте выводы об изменении дифференциации доходов насе-
ления.
Задача 17. Имеются данные о распределении фонда заработной
платы, начисленной работникам региона, %:
Показатель Базисный год Отчетный год
Фонд начисленной заработной платы — всего 100 100 4
в том числе по 20%-м группам: первая (с наименьшими заработками) 7.7 4.1
вторая 12.6 9.0
третья 16.9 14.5
четвертая 22.9 22.4
пятая (с наибольшими заработками) 39,9 50.0
Определите для каждого года коэффициент концентрации
Джини.
Постройте кривые Лоренца.
Сделайте вывод.
Задача 18. Имеются данные выборочного обследования бюдже-
тов домашних хозяйств за I и III кварталы:
Показатель Среднедушевые денежные доходы в месяц, руб.
I квартал III квартал
Домохозяйства по 10%-м группам населения: первая (с наименьшими денежными доходами) 79,8 55.3
десятая (с наибольшими денежными доходами) 977,4 1179.6
Определите коэффициенты фондов за каждый квартал.
Сделайте выводы.
Задача 19. В результате проведенной 2%-й типической пропор-
циональной выборки с механическим отбором домохозяйств полу-
чены следующие данные:
Домохозяйство Обследовано домохозяйств Доля домохозяйств, находящихся в крайней бедности, %
Без детей 200 6
С детьми в возрасте до 16 лез 500 IX
Пенсионеров 100 25
С вероятностью 0,954 определите пределы доли домохозяйств,
находящихся в условиях крайней бедности (среднедушевые доходы
в два и более раза ниже прожиточного минимума).
162
Задача 20. Для изучения расходов домохозяйств района на то-
вары
культурно-бытового назначения проведена 5%-я типическая
Пропорциональная выборка, в результате которой получены сле-
дующие данные:
Домохозяйство Обследовано домохозяйств Доля расходов на товары культурно- бытового назначения. %
"Имеющее детей 400 9
Без детей 100 39
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится
доля расходов на товары культурно-бытового назначения домохо-
зяйствами района.
Задача 21. Имеются следующие данные о системе здравоохране-
ния:
Показатель Базисный год Отчетный год
Численность врачей, тыс. чел. 637 630
Численность среднего медицинского персонала, тыс. чел. 1709 1600
Число больничных коек. тыс. 1940 1860
Среднегодовая численность населения, млн чел. 148 147
Определите:
е 1) относительные показатели обеспеченности населения врача-
ми, средним медицинским персоналом и больничными койками;
f 2) показатели динамики численности врачей, среднего медицин-
ского персонала и числа больничных коек.
г Задача 22. Имеются данные об объеме бытовых услуг населе-
нию по видам, млн руб.
Вид услуг Базисный год Отчетный год
Ремонт и индивидуальный пошив обуви 202 483
Ремонт и индивидуальный пошив одежды 1054 30X9
Ремонт бытовой, радиоэлектронной аппарату- ры. бытовых машин и приборов 553 161Х
Ремонт и изготовление мебели 127 385
Услуги прачечных 291 658
Кроме того, известно, чю цены на бытовые услуги населению
возросли в среднем в 2,2 раза.
163
Определите:
1) показатели общего объема и динамики бытовых услуг насе-
лению в фактических и сопоставимых ценах:
2) структуру бытовых услуг по видам.
Сделайте выводы.
Задача 23. Имеются следующие данные о распределении работа-
ющих по уровню образования:
Образование Доля работающих. %
по найму лиц ненаемного труда
Высшее профессиональное 19.6 10.9
Среднее профессиональное 34.4 24.5
Среднее (иодное) обшее 33.3 39.9
Основное обшсс 11.1 20.5
Нс имеют основного общего 1.6 4.2
Определите линейный и квадратический коэффициенты струк-
турных различий.
Сделайте выводы.
Задача 24. Для изучения количества книг, взятых читателями в
течение года, проведена 2%-я собственно случайная бесповторная
выборка 200 абонентов библиотеки, в результате которой получены
следующие данные:
Количество книг в абонементе, шт. Число абонементов
До 5 18
5—10 30
10—15 52
15—20 50
20—25 30
Болес 25 20
Итого 200
Определите:
1) с вероятностью 0,997 границы, в которых находится средняя
книговыдача на читателя в год;
2) с вероятностью 0.954 пределы, в которых находится доля чи-
тателей. взявших не менее 15 книг.
Задача 25. Имеются данные о структуре насильственных зяжких
преступлений прошв личности. %:
164
Вид преступления Взрослые Несовершеннолетние
Умышленные убийства (с покушениями) 27.Х 12.2
Умышленные тяжкие телесные повреждения 52.0 25.0
Изнасилования (с покушениями) 20.2 62. К
Определите линейный и квадратический коэффициенты струк-
турных различий.
Проанализируйте полученные результаты.
Глава 12. СИСТЕМА НАЦИОНАЛЬНЫХ СЧЕТОВ
Методические указания и решение типовых задач
Система национальных счетов (СНС) — это современная ин-
формационная база, адекватная реальному хозяйственному меха-
низму и используемая для описания и анализа процессов рыночной
экономики на макроуровне. СНС представляет собой развернутую
статистическую макроэкономическую модель экономики.
СНС — основа национального счетоводства. Для экономичес-
кого анализа деятельности хозяйствующих субъектов и для макро-
экономического анализа на национальном уровне экономические
операции представляются в виде отдельных счетов. Счета использу-
ются для регистрации экономических операций, осуществляемых
институциональными единицами, а именно предприятиями, учреж-
дениями, организациями, домашними хозяйствами и др., которые
являются резидентами данной страны. Отражаются также и опера-
ции между резидентами данной страны и нерезидентами.
Национальные счета набор взаимосвязанных таблиц, имею-
щих вид балансовых построений. По методу построения нацио-
нальные счета аналогичны бухгалтерским счетам. Каждый счет
представляет собой баланс в виде двухсторонней таблицы, в кото-
рой каждая операция отражается дважды: один раз — в ресурсах,
другой — в использовании. Итоги операций на каждой стороне
счета балансируются или по определению, или с помощью баланси-
рующей статьи, которая является ресурсной статьей следующего
счета.
Балансирующая статья счета, обеспечивающая баланс (равенст-
во) его правой и левой частей, рассчитывается как разность между
объемами ресурсов и их использованием. Иначе говоря, баланси-
рующая статья предыдущего счета, отраженная в разделе «Исполь-
165
зованпе», является исходным показателем раздела «Ресурсы» после-
дующего счета (табл. 12.1). Этим достигается увязка счетов между
собой и образование системы национальных счетов.
Таблица 12. Г'
Балансирующие статьи счетов
Наименование счета Балансирующая статья
1. Производства 2. Образования доходов 3. Распределения первичных доходов 4. Вторичного распределения доходов 5. Использования доходов Валовой внутренний продукт Валовая прибыль экономики и валовые смешанные доходы Валовой национальный доход (сальдо первичных доходов) Валовой располагаемый доход Валовое сбережение
Реализуемая в отечественной статистике Система национальных
счетов основана па методологии, рекомендованной ООН, но кате-
гории и понятия СНС ООН приняты с учетом специфики органи-
зации и функционирования экономики страны. В ходе построения
счетов использовались некоторые рекомендации новой версии Сис-
темы национальных счетов ООН, пересмотренной и принятой Ста-
тистической комиссией ООН в 1993 г. (СНС-93). Система нацио-
нальных счетов, реализуемая в Российской Федерации, включает сле-
дующие счета:
Счета внутренней экономики;
• счет производства;
• счет образования доходов;
• счет распределения доходов:
а) счет распределения первичных доходов;
б) счет вторичного распределения доходов;
• счет использования располагаемого дохода;
• счет операций с капиталом;
• счет товаров и услуг.
Счета внешнеэкономических связей («остального мира»):
• счет текущих операций;
• счет капитальных затрат;
• финансовый счет.
Национальное счетоводство: Учебник / Под рсд. ГД. Кулю иной. М.: Финансы
л статистика. 1997. С. 127. 129—13(1.
166
Все счета являются консолидированными, т.е. построенными для
экономики в целом, и отражают, с одной стороны, отношения между
национальной экономикой и зарубежными странами, а с другой —
взаимосвязь различных показателей системы счетов.
Для каждого сектора внутренней экономики предусматривается
Составление набора счетов — от счета производства до финансового
счета. Счета разрабатываются также по секторам и регионам.
Пример. Имеются следующие показатели результатов экономи-
ческой деятельности России в СНС за год (в текущих ценах),
Трлн руб.:
1. Выпуск товаров и услуг в основных ценах................... 2805,4 f
2. Промежуточное потребление................................1312,44
3. Налоги на продукты и импорт.................................196.4 2
4. Субсидии на продукты и импорт (-) .........................59.43
5. Оплата труда наемных работников........................... 707.8
6. Налоги на производство и импорт........................... 245,4
7. Субсидии на производство и импорт (-) ......................59.6
8. Доходы от собственности, полученные от «остального мира» ...18.2
9. Доходы от собственности, переданные «остальному миру».......32,2
10. Текущие трансферты, полученные от «остального мира».........3.5
11. Текущие трансферты, переданные «остальному миру»............2,7
12. Расходы на конечное потребление............................1102,1
13. Валовое сбережение........................................517,4
14. Валовое накопление....................................... 382,8
15. Импорт товаров и услуг................................... 362,6
16. Экспорт товаров и услуг.................................. 428,1
17. Статистическое расхождение.................................79,6
18. Валовое накопление основного капитала...................... 329,4
19. Изменение запасов материальных оборотных средств...........53.4
20. Капитальные трансферты, полученные от «остального мира».... 14,2
21. Капитальные трансферты, переданные «остальному миру»....... 15.8
Построить и заполнить следующие сводные национальные счета,
1. Счет производства (в текущих ценах), трлн руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Промежуточное потреб- Выпуск товаров и услуг в основ-
ление 41312.4 ных ценах 2805.4 X
ВВП в рыночных ценах 1630.0 Налоги на продукты и на импорт 196.41
Судей дни на продукты и на
импорт (-) 59.43
Всего 2942.4 Всего 2942.4
ВВП в рыночных ценах является балансирующей статьей, кото-
рая отражается в этом счете в разделе «Использование» и перено-
сится в счет образования доходов в раздел «Ресурсы».
167
2. Счет образования доходов (в текущих ценах), трлн руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Оплата труда наемных работников 707.8 ВВП в рыночных ценах 1630.0 "
На лоти на производство и импорт 245.4
Субсидии на производство и им-
порт (-) 59.6
Валовая прибыль экономики и ва-
ловыс смешанные доходы 736.4
Всего 1630.0 Всего 1630.0
Валовая прибыль экономики и смешанные доходы являются ба-
лансирующей статьей, которая отражается в этом счете в разделе
«Использование» и переносится в счет распределения первичных до-
ходов в раздел «Ресурсы».
3. Счет распределения первичных доходов (в текущих ценах), трлн
руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Доходы от собственности, пс- Валовая прибыль экономики и
рсданныс «остальному миру» 32.2 валовые смешанные доходы 736.4
Валовой национальный доход 1614.7 Оплата труда наемных работников 706.5
Налоги на производство и импорт Субсидии на производство и 245.4
импорт (-) Доходы от собственности, полу- 59.6
ценные от «остального мира» 18.2
Всего 1646.9 Всего 1646.9
Валовой национальный доход является балансирующей статьей,
которая отражается в этом счете в разделе «Использование» и пере-
носится в счет вторичного распределения доходов в раздел «Ресур-
сы».
4. Счет вторичного распределения доходов (в текущих ценах), трлн
РУб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Текущие трансферты, передан- ные «остальному миру» 2.7 Валовой национальный доход 1614.7
Валовой располагаемый доход 1615.5 Текущие трансферты, получен- ные от «остального мира» 3,5
Всего 1618.2 Всего 1618.2
Валовой располагаемый доход является балансирующей ста-
тьей, которая отражается в этом счете в разделе «Использование» и
переносится в счет использования доходов в раздел «Ресурсы».
168
5. Счет использования располагаемого дохода (в текущих ценах),
трлн руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Расходы на конечное потребление 1102.1 Валовой располагаемый доход 1615.5
Валовое сбережение 513.4
Всего 1615.5 Всего 1615.5
L Валовое сбережение является балансирующей статьей, которая
^отражается в этом счете в разделе «Использование» и переносится
счет операций с капиталом в раздел «Ресурсы».
6, Счет операций с капиталом (в текущих ценах), трлн руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Валовое накопление основно- Валовое сбережение 513.3
го капитала 329.4
Изменение запасов материалы Капитальные трансферты, полу-
ных оборотных средств 53.4 ченные от «остального мира» 14,2
Чистое кредитование (+). чис- Капитальные трансферты, пере-
тос заимствование (-) и статис- данные «остальному миру» (-.) 15,8
тичсскос расхождение 128.9
Всего 511.7 Всего 511.7
Чистое кредитование (+), чистое заимствование (-) и статисти-
>ческос расхождение являются для данного счета балансирующей ста-
тьей.
| 7. Счет товаров и услуг (в текущих ценах), трлн руб.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Промежуточное потребление 1312,4 Выпуск в основных ценах 2805,4
Расходы на конечное потреб- ление 1102.1 Импорт товаров и услуг 362,6
Валовое накопление 382.8 Налоги на продукты и на импорт 196,4
Экспорт товаров и услуг 428.1 Субсидии на продукты и на импорт (-) 59.4
Статистическое расхождение 79.6
Всего ЗЗО5.0 Всего 3305,0
Таким образом, национальные счета являются одним из наибо-
лее совершенных балансовых методов взаимосвязанной характерис-
тики обобщающих показателей развития экономики страны в
целом.
169
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие показатели результатов экономи-
ческой деятельности России за год (в текущих ценах), трлн руб.
1. Выпуск товаров и услуг в основных ценах.................. 1044,3
2. Промежуточное потребление ................................ 481.5
3. Налоги на продукты и импорт.................................71.9
4. Субсидии на продукты и импорт (-) ..........................24.0
5. Оплата труда наемных работников........................... 301,0
6. Налоги на производство и импорт.............................85.0
7. Субсидии на производство и импорт (-).......................26.6
8. Доходы от собственности, полученные от «остального мира».....6-2
9. Доходы от собственности, переданные «остальному миру».......11,3
10. Текущие трансферты, полученные от «остального мира».........0.7
11. Текущие трансферты, переданные «остальному миру»............1.1
12. Расходы на конечное потребление......................... 422.1
в том числе:
домашних хозяйств......................................... 267.1
государственных учреждений ............................... 136.7
некоммерческих организаций, обслуживающих домашние
хозяйства...................................................18.3
13. Валовое сбережение....................................... 183.3
14. Валовое накопление....................................... 156,0
15. Импорт товаров п услуг................................... 141,7
16. Экспорт товаров и услуг ................................. 169,5
17. Статистическое расхождение..................................4.8
18. Валовое накопление основного капитала.................... 133.2
19. Изменение запасов материальных оборотных средств ..........22.8
20. Капитальные трансферты, полученные от «остального мира».....9.7
21. Капитальные трансферты, переданные «остальному миру» ...... 7.6
Постройте по соответствующим схемам сводные национальные
счета:
• производства;
• товаров и услуг;
• образования доходов;
• распределения первичных доходов;
• вторичного распределения доходов;
• использования располагаемого дохода;
• операций с капиталом.
Задача 2. Заполните счет производства, счет товаров и услуг и
проведите их экономический анализ.
1. Счет производства
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Промсжч 1 очное шм реблеНИе Выпуск товаров и услуг в основ- ных ценах
170
Ок о и * ш/ tue г п аа лиц ы
Использование Сумма Ресурсы Сумма
&ВП в рыночных ценах JJccro Налоги иа продукты и импорт Субсидии на продукты и импорт (-) Всего
2. Счет товаров и услуг
Использование Сумма Ресурсы Сумма
промежуточное потребление расходы на конечное потребление Валовое накопление Экспорт товаров и услуг Статистическое расхождение Всего Выпуск в основных иенах Импорт товаров и услуг Налоги на продукты и импорт Субсидии на продукты и импорт (-) Всего
Задача 3. Заполните счет образования доходов и счет распреде-
лил первичных доходов и проведите их экономический анализ.
Счет образования доходов
; Использование Сумма Ресурсы Сумма
Оплата труда наемных работников Налоги на производство и импорт ^Субсидии на производство и импорт (-) ^Валовая прибыль экономики и вало- вые смешанные доходы Всего ВВП в рыночных ценах Всего
Счет распределения первичных доходов
i Использование Сумма Ресурсы Сумма
Доходы от собственности, пере- данные «остальному миру» Валовой национальный доход । Всего Валовая прибыль экономики и валовые смешанные доходы Оплата труда наемных работников Налоги на производство и импорт Субсидии на производство и импорт (-) Доходы от собственности, полу- ченные от «остального мира» Всего
171
Задача 4. Заполните счет вторичною распределения доходов.
Счет вторичного распределения доходов
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Текущие трансферты, передан- ные «остальному миру» Валовой располагаемый доход Всего Валовой национальный доход Текущие трансферты, полу- ченные от «остального мира.» Всего
Задача 5. Составьте сводный счет распределения доходов.
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Налоги на производство и им- порт Доходы от собственности. пере- данные «остальному миру» Текущие трансферты, передан- ные «остальному миру» Валовой располагаемый доход Всего Валовая прибыль экономики и валовые смешанные доходы Оплата труда наемных работников Субсидии на производство и импорт Доходы от собствен ноет и. полу- ченные от «остального мира» Текущие трансферты, получен- ные от «остального мира» Всего
Задача 6. Заполните счет использования располагаемого дохода
и счет операций с капиталом.
Счет использования располагаемого дохода
Использование Сумма Ресурсы Су.мма
Расходы на конечное потребление в том числе: домашних хозяйств государственных учреждений некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйст ва Вал двое сбережен не Всего L_ Валовой располагаемый доход Bcci о
172
Счет операций с капиталом
Использование Сумма Ресурсы Сумма
Валовое накопление основно- го капитала Изменение запасов матери- альных оборотных средств Чистое кредитование (+). чис- [тос заимствование (-) и ста- гтистическос расхождение [Вест о Валовое сбережение Капитальные трансферты, полу- ченные от «остального мира» Капитальные трансферты, переданные «ошалыюму миру» Всего
Задача 7* Имеются следующие данные, млрд руб.
Выпуск товаров и услуг в основных ценах . .......2143
Промежуточное потребление . .................... 1169
Налоги на продукты и импорт............-..........2X5
Субсидии на продукты и импорт ()..................КЗ
Оплата труда наемных работников ........... ..... 505
Налоги на производство и импорт ................. 160
Субсидии на производство и импорт (-)......-.......31
Сальдо внешней торговли (+).................... 12.0
Постройте:
1) счет производства товаров и услуг:
2) счет образования доходов.
Определите ВВП в рыночных ценах и ВНД.
Задача 8. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Выпуск товаров и услуг в основных иенах.............. 2490
Налог на добавленную стоимость........................129.0
Налоги на продукцию и импорт . ....................... 87.0
Субсидии на продукты и импорт (-)..................... 26.6
Экспорт товаров и услуг ................................312
Импорт товаров и услуг............................... 236.6
Материальные затраты на производство товаров и услуг .... 1150
в том числе амортизация основных фондов..............120
Недоаморгазированная стоимость основных фондов.......... 55
Прочие элементы промежуточного потребления (кроме
косвенно измеряемых услуг финансового посредничества) . . 140
Валовое накопление Основного капитала . .............. 225
Прирост запасов материальных оборотных средств . .......100
Расходы на конечное потребление ...................... 1124
Составьте счет товаров и услуг
Задача 9. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Выпуск юнарои и >c.iyi ........................ 1560
Мл зерцальные затраты - вес! и
670
173
в гом числе амортизация.......................... 25
Нсдоаморгизированная стоимость . ................... 30
Прочие элементы промежуточного потребления .......... SO
Налоги на производство и импорт......................130
Субсидии иа производство и импорт ( ) ............... 25
Оплата труда наемных работников .....................360
Постройте счет образования доходов и определите объем вало-
вой прибыли экономики.
Задача 10. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Валовая прибыль экономики............................700
Оплата труда работников............................ 670
Налоги на производство и импорт......................170
Субсидии на производство и импорт (-) ............... 65
Доходы от собственности:
полученные от «остального мира».................. О
переданные «остальному миру»..................... 35
Прочие текущие трансферты:
полученные из-за рубежа............................5
переданные та рубеж................................7
Конечное потребление:
домашних хозяйств................................700
государственных учреждений.......................200
некоммерческих организаций, обслуживающих
домашние хозяйства............................100
Составьте счет использования располагаемого дохода.
Задача 11. Имеются следующие условные данные, млрд руб.:
Валовая прибыль экономики........................... 257
Оплата труда наемных работников .....................253
Чистые налоги на производство и импорт............. 60,0
Доходы от собственности:
полученные от «остального мира»................... . 8.0
переданные «остальному миру»................... 20,0
Субсидии (-):
полученные от «остального мира»................... . 10.0
переданные «остальному миру»...................2.5
Текущие трансферты:
полученные от «остального мира»..................3.5
переданные «остальному миру» . ................ 2.0
Конечное потребление.............................. 390.0
Валовое накопление основного капитала..............150
Изменение запасов материальных оборотных средств .... 13
Капитальные трансферты:
полеченные от «остального мира»................ 12.0
переданные «остальному миру»................... 13.0
Составьте счет операций с капиталом.
174
Раздел III. СТАТИСТИКА
ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА
Глава 13. СТАТИСТИКА ЦЕН
Методические указания и решение типовых задач
| Статистика уровня и структуры цен. Обобщающей хара^терис-
j тикой уровня цен на одноименный товар является его средняя цена.
[ Наилучшая характеристика средней цены — средняя взвешенная:
К • арифметическая, когда весами являются объемы продаж в на-
I туральном выражении:
- ^Р(!
I
г ’ гармоническая, когда весами служат объемы продаж в стои-
I местном выражении (выручка от продаж, или товарооборот):
[ - ЪРЯ
I \ 21
I Р
f где р — индивидуальные значения цен на определенный момент
| времени (временные интервалы) регистрации или на конкурентных
с субрынках;
[ q — объемы продаж в натуральном выражении;
к pq — выручка от продажи, или товарооборот.
| Если данные об указанных весах недоступны, то в качестве
F весов могут использоваться другие показатели, например числен-
I ность населения или число семей, проживающих на территориях,
[ обслуживаемых субрынком. Здесь применяется средняя арифмети-
р ческая взвешенная. Если, например, известно число дней непрерып-
| ной торговли при данном уровне цен, то используется средняя гар-
( моническая взвешенная.
[ В тех случаях, когда сведения о весах отсутствуют вообще, до-
е пускается применение средних певзвешенных (простых) величин.
| Предпочтение при этом чаще всего отдается средней арифметичес-
кой. Так, например, рассчитывается средняя цена конкретного ю-
175
вара, реализуемого различными торговыми точками за торговый
день. Таким же образом определяют и среднюю цену товара на кон-
кретном торговом месте за определенный период на основе данных
о ежедневных значениях цен или одинаковых значениях цен в тече-
ние равных промежутков времени. Однако если цена резко возрас-
тает в течение изучаемого периода, что вызывает заметное сниже-
ние объема продаж товара, то средняя арифметическая дает завы-
шенное значение обобщающего показателя. Меньшее значение
средней цены получается при использовании средней гармоничес-
кой простой.
Пример 1. Имеются следующие условные данные о реализации
товара «А» данного торгового дня различными субрынками:
Субрынок Цена, руб, за кг Объем продаж, т Выручка от реализации, тыс. руб. На территориях, обслуживае- мых субрынками, проживает
населения. тыс. человек семей, тыс.
А 1 2 3 4 5
1 3.8 2.4 9.12 12,6 4.5
Н 3.4 4.1 13.94 12.56 5.8
ш 3.5 3.9 13,65 20,46 6.2
Вычислить среднюю цену товара данного торгового дня при ус-
ловии, что имеются сведения:
1) только по графе 1;
2) по графам 1 и 2;
3) по графам 1 и 3;
4) по графам 1 и 4;
5) по графам 1 и 5.
Сравнить полученные результаты, оценить их точность. Объяс-
2.4+ 4,1 +3,9
9,12 + 13,94+13,65
нить причины расхождения.
- Ер
Решение. 1. р = (3,8 + 3,4 +. 3,5) / 3 = 3,5667 руб.
„ - Spq 3,8 • 2,4 +3,4 4,1 + 3,5 3,9 , е
2. р~ ---———т-т---------= 3,5298 руб.
Zq 2.4+ 4,1+3,9
_ = Хрд = 9,12 + 13,94+ 13,65 =
Р Z(pq/p) 9,12/3,8 + 13,94/3,4+ 13,65/3,5 ’ РУ
LpS 3,8 • 12,6 +3,4 12,56 + 3,5 - 20,46 __
4 Р~ £5 “ 12,6+ 12,56 + 20,46 - 3,э5^3 руб.
(здесь S — численность населения территорий);
176
, - bp?
P LF
3,8-4,5+ 3,4-5,8+ 3,5-6,2
= 3,5467 руб.
4,5 + 5,8 + 6,2
(здесь F — число семей, проживающих на территориях).
Средние цены в п. 2 и 3 совпали между собой. Они представля-
ют собой наиболее точный уровень, истинное значение обобщаю-
( щей характеристики цен торгового дня.
I Остальные значения отличаются от найденного выше, посколь-
1 ку были вычислены либо без взвешивания (п. 1), либо с использо-
t ванием не прямых, а косвенных показателей в качестве весов.
При этом завышение средней цены, найденной без взвешивания,
[ объясняется отрицательной корреляцией между уровнями цен и
f объемами продаж — по более низким ценам продается больше то-
I вара, чем по более высокой цене.
Ь Завышение цен, найденных в п. 4 и 5, вызвано неодинаковой
I структурой объема продаж товара и структурой населения, обслу-
I: живаемого различными субрынками. В данном случае доля населе-
[ ния, проживающего на территории субрынка I, выше, чем доля
[ этого субрынка по количеству продаж. На данном субрынке цена
[ самая высокая, что и приводит к завышению общей средней цены.
I Средняя цена, вычисленная в п. 4, больше, чем в п. 5. Объясня-
L ется это различиями в структуре семейных образований между тер-
риториями. Здесь средний размер семьи на территории, обслужи-
Гваемой субрынком II, меньше, чем на территории субрынка I, а
г число семей больше. При этом цена товара на субрынке II ниже,
[ что и занижает общую среднюю характеристику цены.
I Пример 2. В будние дни на протяжении торговой недели цена
| изделия оставалась на уровне 246 руб. «Распродажная» цена в суб-
I боту и воскресенье была ниже на 20%.
[ Определить среднюю цену изделия за неделю.
[ _ Lt 5+2
г Решение, р =-------= —?----------= 229,6 руб.
| у Г 5 2
Г 246 + 246 0,8
г Структура цен изучается с помощью традиционных статистичес-
t ких методов на основе расчета и анализа во времени и в простран-
| стве удельных весов или долей (относительных величин структуры)
t отдельных элементов общего уровня цен, выделяемых по различ-
[ Ным признакам, исходя из целей исследования. Наиболее общую
t методику такого изучения см. в гл. 2.
| Специфические особенности изучения структуры в статистике
[ цен состоят в анализе числа и роли посреднических звеньев в фор-
мировании конечной (например, розничной) цены.
177
Определение числа посреднических звеньев связано с расчетом
коэффициента звенности (/6^), который рассчитывается делением
валовою товарооборота данной товарной массы на чистый или ко-
нечны й (чаще всего — розничный) товарооборот. Если проследить
продвижение на рынке данной массы конкретного товара, то коэф-
фициент звенности покажет минимальное количество посредничес-
ких звеньев, которые прошел товар от производителя к конечному
потребителю. Более точное количество звеньев определяется округ-
лением дробного значения коэффициента до целого числа в сторо-
ну его увеличения.
Роль звеньев-посредников в нарастании конечной цены товара
характеризуется соотношением этой цены с оптовой ценой произ-
водителя товара.
Пример 3. Партия из 50 изделий, первоначальная цена которых
(цена производителя) составляла 200 руб., была реализована конеч-
ному потребителю за 19 000 руб. В процессе товародвижения госу-
дарству были выплачены налоги на продукты, суммарная величина
которых составила 1800 руб. Суммарный же оборот продаж данной
партии всеми посредническими звеньями был равен 51 000 руб.
Определить:
1) коэффициент звенности;
2) абсолютное и относительное наращение цены изделия в про-
цессе его продвижения к конечному потребителю;
3) удельный вес издержек обращения и прибыли предприятий-
посредников в общем наращении цены изделия, а также удельный
вес доходов государства в результате обложения посреднической
деятельности налогами на продукты.
Решение. 1. Кзв = 51 000 / 19 000 = 2,684.
2. Др = 19 000 / 50 200 = 380 - 200 = 180 (руб.) и Тр =
= 380 / 200 = 1,9, или 190%.
3. Др? = 19 000 - 50 200 = 19 000 - 10 000 = 9000 руб.
Издержки обращения и прибыль посредников составляют 9000 -
- 1800 = 7200 руб., их удельный вес равен 80% (7200 / 9000 = 0,8).
Удельный вес доходов государства составляет 20% (1800 /
/ 9000 = 0,2).
Таким образом, указанная партия изделий до приобретения ко-
нечным потребителем прошла через 3 (2,684 == 3) звена, т.е. перепро-
давалась между посредниками 3 раза.
В результате цена одного изделия возросла на 180 руб. (на 90%).
или в 1,9 раза. При этом доля участия предприятий-посредников н
возрастании цены изделия составила 80%, доля государства — 20%.
178
Статистика вариации цен. Для изучения собственно вариации
(дифференциации) цеи используются традиционные методы анали-
за, основанные на вычислении таких показателей, как размах ва-
риации, среднее линейное (арифметическое) отклонение, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Мето-
дику их расчета и решение типовой задачи см. в гл. 3.
Связанная (зависимая от факторов) вариация цен изучается с
помощью дисперсионного анализа, проводимого на основе анали-
тической группировки с расчетом показателей тесноты взаимосвя-
зи, например коэффициента детерминации и эмпирического корре-
ляционного отношения. Методику вычисления последних и реше-
ние типовой задачи см. в гл. 3 и 7. .
Если наличие эмпирической зависимости между уровнем цен и
влияющим на него фактором установлено, то анализ дополняется
расчетом коэффициентов эластичности. Применяемый для факти-
ческих данных эмпирический коэффициент эластичности А. Мар-
шала вычисляется по формуле
,^Ар А.у
Р а ’
где Ах и Ар — абсолютные приросты факторного признака и цены;
х и р — базовые значения факторного признака и цены соответ-
ственно.
Если, например, при изучении изменения цен в зависимости от
уровня доходов населения по территориям коэффициент эластичнос-
ти составил +1,1, то это означает, что прирост денежных доходов
на один процент вызывает увеличение уровня цен на 1,1%.
Статистика динамики цен. Методику традиционного анализа ди-
намических рядов любых явлений, включая цены, а также вычисле-
ния индексов с решением типовых задач см. в гл. 5 и 6.
Однако помимо традиционных методик для расчета индексов цен
используются и другие.
Например, для однородных товаров (услуг) могут быть вычис-
лены простейшие агрегатные индексы (субиндексы) по методикам:
Spj
Дюто-//’ = Ё^;
Карлп - 7= —%---------- ;
п fl
средней геометрической - I = \ 11 — = х/ П pj : х/ Пр0 .
179
Для разноименных товаров (услуг) помимо общеизвестных
также вычисляют индексы по методикам:
(<?о+ )
Эджворта — Маршалла — 1 = =------------ ;
р 2>o(?o + ?i)
Фишера (так называемая «идеальная» формула) —
А / g]
р~ ' Ер0?0
Если при изучении динамики средней цены традиционная мето-
дика не дает положительных результатов оценки влияния структур-
ного сдвига, то вычисления индексов цен переменного состава (Z-)
постоянного состава (Zp) и структурных сдвигов (Т^р) следует про-
изводить по таким формулам:
E?i gj . ^Ро gp .
р Ego ’
= ?0 Epp gp
р Е?о ’
= 5/121 Z;;i go
стр z91 ’
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные о торговле товаром А на
различных субрынках города за базисный и отчетный периоды:
Субрынки Базисный период Отчетный период
Товаро- оборот, тыс. руб. Средняя цена, руб. Количество продаж, тыс. ДО"' Средняя цена, руб.
Рынки мелкооптовой торговли 1200 25 45 26
Центральная часть города 324 - 36 6 39
«Спальные» районы 400 32 11 34
Вычислите среднюю цену товара А в каждый период.
Задача 2. Зафиксированы следующие цены товара К на рынке
за прошлую неделю, руб.:
Дни недели Цена
Понедельник, вторник 22
Среда, четверг, пятница 23
Суббота, воскресенье 25
180
Вычислите среднюю цену товара К за торговую неделю в
целом, имея в виду, что товарооборот в каждый из выходных дней
вдвое превышает товарооборот в будний день.
Укажите вид выбранной средней величины.
Задача 3. На протяжении 8 торговых дней цена товара держа-
лась на уровне 240 руб. за единицу.
Определите цену товара в оставшиеся дни торговли, если сред-
няя цена за весь период, равный 14 дням, составила 245 руб.
Задача 4. Определите общее число дней торговли товаром по
цене 30 руб. за единицу, а также число торговых дней, если на про-
тяжении 6 дней торговли цена составляла 24 руб., а средняя за весь
период цена — 28 руб.
Задача 5. На рынке торговлю товаром осуществляли 18 торго-
вых точек. Из них две торговали по цене 9 руб. за 1 кг, а осталь-
ные — по цене 8 руб. за 1 кг. При этом суммарный товарооборот
дешевых и дорогих торговых точек был одинаков.
Определите:
1) среднюю цену товара иа рынке;
2) удельный вес дорогих и дешевых торговых точек по количе-
ству проданного товара;
3) товарооборот средней дорогой и средней дешевой торговой
точки, если общий объем продажи товара составил 1500 кг.
За дача 6. Имеются следующие данные о реализации товара по
различным регионам в отчетном периоде:
Регион Товарооборот, тыс. руб. Средняя цена единицы товара, руб.
А 26.88 240
Б 41,58 210
В 26.52 260
Г 35,50 250
д 23.80 280
Определите среднюю цену товара по всем регионам вместе.
Вычислите абсолютные и относительные показатели межрегио-
нальной вариации цен.
Поясните значения найденных показателей.
Задача 7. По данным задачи 6, имея в виду, что выделенные ре-
гионы представляют собой группировку по климатическим зонам,
вычислите коэффициент детерминации и эмпирическое корреляци-
онное отношение при условии, что средние квадратические откло-
нения цен от их среднего уровня по регионам составили, руб.: А - -
28, Б — 16, В — 32, Г — 24, Д — 26..
181
Поясните полученные значения показателей тесноты взаимосвя-
зи уровней цен от характера климатических зон
Задача 8. Используя часть данных задачи 1, вычислите и пояс-
ните значения базисного и отчетного эмпирических коэффициентов
эластичности А. Маршалла средней цены товара А в зависимости
от различий в уровне удельных расходов на аренду торговых поме-
щений в центральной части города и в «спальных» районах, если
известно следующее:
Показатели Центральная часть города «Спальные» районы
Удельные расходы на аренду помещений на 1 руб. издержек обращения в базисном периоде, коп. 8 4
То же в отчетном периоде, коп. 10 6
Проанализируйте динамику эластичности.
Примечание. В качестве базовых значений переменных принять
их средние значения. Считать, что издержки обращения пропорци-
ональны товарообороту.
Задача 9. Имеются следующие данные о средних ценах реализа-
ции товара на рынках, тыс. руб.:
Месяц 1996 г. 1997 г.
Январь 14.8 16.1
Февраль 15.2 16.8
Март 14.7 15.8
Апрель 13.9 15.3
Май 12.1 13.8
Июнь 10.4 12.8
Июль 9.2 10.3
Август 8.4 8.8
Сентябрь 8.6 9.0
Окт ябрь 9.5 10.6
Ноябрь 10.9 13.2
Декабрь 13.8 15.2
С целью изучения сезонности в уровнях средних цен:
1) изобразите ряд динамики на графике;
2) вычислите индексы сезонности, пренебрегая общей положи-
тельной тенденцией развития (трендом);
3) измерьте силу сезонных колебаний коэффициентом сезонности;
4) изобразите на графике сезонную волну.
182
Задача 10. По данным задачи 9:
I) произведите аналитическое выравнивание ряда динамики на
основе прямой линии;
2) вычислите выравненные помесячные значения уровней сред-
них цен;
3) рассчитайте остаточную дисперсию и коэффициент аппрокси-
мации;
4) изобразите на графике фактические и выравненные значения
цен за 2 года;
5) поясните значения коэффициентов регрессии и аппроксима-
ции.
Задача 11. По данным и результатам задач 9 и 10:
I) рассчитайте помесячные индексы созонности по методике для
ряда динамики с выраженной тенденцией развития;
2) измерьте силу сезонных колебаний коэффициентом сезонности;
3) изобразите на графике сезонную волну;
4) сделайте выводы.
Задача 12. Имеются следующие данные о средних ценах на одно-
родные продукты, руб. за единицу:
Вид продуктов Январь Февраль
А 3.20 3,42
Б 4.10 4.24
В 2.98 3,36
Г 3.84 4.00
д 4,36 4.58
Вычислите индивидуальные индексы цен, а также субиндексы
цен по методикам:
1) Дюто;
2) Карли;
3) средней геометрической.
Сравните и поясните полученные результаты.
Задача 13. Нижеприведенная таблица характеризует данные о
продажах различных товаров:
Товар Единица измерения Базисный период Отчетный период
Цена. руб. Объем продаж, тыс. Цена. руб. Объем продаж, тыс.
I кг 24 8.4 28 8.0
11 л 12 16.2 14 14.8
III шт. 124 2.8 138 2.6
183
Вычислите общие индексы цен по методикам:
1) Ласпейреса;
2) Пааше;
3) Эджворта — Маршалла;
4) «идеальной» Фишера.
Сравните и поясните полученные значения индексов.
Задача 14. По данным задачи 1 вычислите абсолютные и отно-
сительные приросты средней цены товара А в отчетном периоде по
сравнению с базисным, выделив при этом как влияние собственно
повышения цен, так и изменения структуры продаж.
Поясните найденные индексы и характер структурного сдвига.
Задача 15. В сентябре по сравнению с августом цены на карто-
фель, продаваемый на рынках города, снизились в среднем на 12%.
При этом средняя цена осталась неизменной.
Объясните характер сложившейся ситуации, укажите возможные
ее причины.
Определите направление и степень влияния изменившейся струк-
туры продаж картофеля на динамику средней цены.
Вычислите абсолютное изменение средней цены картофеля за
счет отдельных факторов, если средняя цена в августе составляла 1
руб. 80 коп.
Задача 16. Имеются следующие данные о продажах одноимен-
ного продукта на двух субрынках:
Субрынки I квартал II квартал
Объем продаж, тыс. кг Цена, руб. Объем продаж, тыс. кг Цена. руб.
М 18 2,8 10 3.6
н 12 2.8 15 3.2
Определите:
1) долю продаж продукта каждого субрынка в I и II кварталах;
2) средние по двум субрынкам вместе цены на продукт по квар-
талам;
3) индекс цен переменного состава;
4) индекс цен постоянного состава и индекс структурных сдвигов
двумя методиками;
5) абсолютные приросты средней цены за счет двух факторов
вместе и каждого фактора в отдельности.
Укажите, какая из двух методик расчета индексов по п. 4 является
наиболее приемлемой для данной ситуации.
Задача 17. В период гиперинфляции некоторое время стоимость
«потребительской корзины» возрастала ежемесячно в среднем па
184
50%. В мае ситуация изменилась так, что стоимость «потребитель-
ской корзины» в апреле оказалась на 40% ниже.
Можно ли утверждать, что темпы инфляции замедлились?
Обоснуйте ответ на вопрос конкретными расчетами темпов роста
и прироста инфляции.
Задача 18. Стоимость условной «потребительской корзины» по
месяцам составила, руб.:
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
228 232 248 264 280 302
Вычислите:
1) помесячные цепные и базисные темпы роста и прироста сто-
имости «потребительской корзины» (индексы потребительских цен);
2) абсолютное содержание 1% прироста по месяцам;
3) помесячные индексы покупательной способности рубля;
4) средние за полугодие абсолютный прирост, темпы роста и при-
роста стоимости «потребительской корзины»;
5) цепные абсолютные приросты индексов потребительских цен,
темпы роста й прироста инфляции.
Задача 19. Валовой региональный продукт (ВРП) и прирост цен
характеризуют следующие данные:
Показатель 1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г.
Номинальный ВВП. млн руб. 302 815 1174 1362
Средний прирост цен по отношению к предыдущему году, % +306 + 176 +68 +26
Определите:
1) индексы-дефляторы ВРП;
2) объем ВРП в сопоставимых ценах по годам.
Проанализируйте динамику ВРП с помощью известных вам по-
казателей.
Глава 14. СТАТИСТИКА КРЕДИТА
Методические указания и решение типовых задач
Статистика кредита использует различные показатели, изучаю-
щие объем, состав, структурные сдвиги, динамику, взаимосвязи и
эффективность кредитных вложений.
Для характеристики объема кредитных вложений используются
следующие показатели: остатки задолженности и размер выданных
185
и погашенных ссуд (оборот по погашению и выдаче), средний размер
ссуды, средний размер задолженности по кредиту, средний срок
ссуды, средняя процентная ставка (доходность кредита) и др.
Состав кредитных вложений изучают по целевому назначению,
формам собственности, территориям, категориям заемщиков, эконо-
мическим секторам, срокам погашения, видам остатков задолжен-
ности и другим признакам.
Большое внимание статистика уделяет изучению просроченных
ссуд по их объему, составу и динамике.
Для анализа и прогноза кредитных вложений статистика кредита
рассматривает тенденции их изменения, интенсивность изменений
кредита во времени с использованием показателей анализа ряда ди-
намики, а также трендовых и факторных динамических моделей.
Для выявления статистических закономерностей статистика изу-
чает взаимосвязи кредитных вложений с показателями объема про-
изводства, капитальных вложений и т.д. при помощи однофактор-
ного и многофакторного регрессионного анализа и индексного ме-
тода. Особое внимание уделяется эффективности кредитных вложе-
ний, т.е. анализу оборачиваемости кредитов, оценке влияния отдель-
ных факторов на изменения оборачиваемости ссуд и др.
Структура, динамика, взаимосвязи кредитных вложений рассмат-
риваются в гл. 2 «Абсолютные и относительные показатели», гл. 5
«Ряды динамики», гл. 6 «Индексы», гл. 7 «Статистические методы
изучения взаимосвязей».
В данной главе изучаются объем и эффективность кредитных вло-
жений.
Пример 1. Коммерческий банк выдал в течение года двум фирмам
пять кредитов:
№ ссуды 1 ? 3 4 5
Размер ссуды (Ас), тыс. руб. 50 40 100 120 90
Срок ссуды (0- мсс. 8 3 6 5 ; 4
Определить: средний размер кредита по двум фирмам; средний
срок пользования ссудами (при условии их непрерывной оборачи-
ваемости); среднее число оборотов ссуд за год.
Решение. Средний размер ссуды определяется по формуле
(без учета числа оборотов за год).
186
Средний срок пользования ссудами (при условии их непрерыв-
ной оборачиваемости), т.е. время, в течение которого все ссуды
оборачиваются один раз, записывается в виде
- (2)
Tk/t'
Среднее число оборотов ссуд за год составит
- Ъкп (4)
п =-=—,
2 п
п= 12/1.
Имеются следующие данные для расчета этих показателей:
№ ссуды Размер ссуды, ТЫС. руб. к Срок ссуды (продол- жительность одного оборота), мес. 1 Число обо- ротов за год D 12 п = — = — ! t Годовой оборот .. . kD О = кп- — { к t kt
1 50 3 1.5 75 6,25 150
2 40 8 4.0 160 13,3 320
3 100 6 2.0 200 16.6 600
4 120 5 2.1 288 24.0 600
5 90 4 3.0 270 22,5 360
Итого 400 26 — 993 82.65 2030
Подставим необходимые данные в формулы (1), (2), (4), (5).
Средний размер ссуды: к = 2030/26 = 78,07 тыс. руб.
Средний срок пользования ссудами: 7 = 400/82,65 = 4,84 мес.
Среднее число оборотов ссуд: п - 993/400 =2,48 оборота,
п = 12/4,84 = 2,48 оборота.
Пример 2. Имеются следующие данные:
Сумма кредита (к). тыс. руб. Срок кредита (1}. МСС. Годовая процентная ставка (г)
20 6 20
30 3 10
Определить среднюю процентную ставку.
187
Решение. Средняя процентная ставка определяется по формуле
-г X/Arz
I ----
ЪкГ
(6)
Ниже представлены необходимые данные для расчета средней
процентной ставки:
к 1, лет i kt ikt
20 0,5 0.2 10 2
30 0,25 0,1 7.5 0.75
Сумма — — 17.5 2.75
Средняя процентная ставка по двум кредитам, исчисленная по
формуле (6), равна
i = (2,75 / 17,5) • 100 = 15,7%.
Пример 3. Известны следующие данные по банку:
Заемщик 1997 г. На 1 января 1998 г.
Сумма выданных кредитов, тыс. руб. Срок, дни Просроченная задолженность, тыс. руб. Число просро- ченных дней
АО «Технополис» 200 6 47 5
АО «Ярхим» 31 360 9 20
Другие’ 2444 26 — —
По состоянию на конец года по банку в целом определить:
1) абсолютную сумму просроченных кредитов;
2) относительные показатели просроченной задолженности по
ссудам.
Решение. 1. Абсолютная сумма просроченных кредитов равна
47 + 9 = 56 тыс. руб.
2. Относительные показатели просроченной задолженности:
а) по сумме:
56 / (200 + 31 + 2444) 100 = 2,09%;
б) по сроку:
(5 + 20) / (6 + 360 + 26 ) 100 = 0,65%;
в) по сумме и сроку (интегральный показатель просроченной за-
долженности);
(47 5 + 9 20) / (6 200 + 31 - 360 + 2444 - 26) 100 = 0,55%.
’Число выданных кредитов — 134.
188
Пример 4. Имеются следующие данные о коммерческом банке:
№ ссуды Размер ссуды (F). тыс. руб. Продолжительность одного оборота (0, мес.
I 30 3
2 50 6
3 80 9
Определить средний срок пользования ссудами при условии их
непрерывной
оборачиваемости.
Решение. Средний срок пользования ссудами (время, в течение
которого все ссуды оборачиваются один раз) определяется по фор-
муле
_ SP 30 + 50 + 80
у Р' 30 50 80 ~ 5,9 МеС'
I 3 + 6 + 9
Пример 5. Имеются следующие данные о краткосрочном креди-
товании коммерческими банками отраслей промышленности за год,
мли руб.:
Отрасль промышленности Средний остаток кредитов (О) Погашено кредитов (О..)
1 230 2760
II 120 720
i Определить:
1) среднюю длительность пользования кредитом;
; 2) среднее число оборотов кредита.
[ Решение. 1. Средняя длительность пользования кредитом по от-
раслям промышленности определяется по формуле
Г = О:
°2
D ’
(7)
где О — средние остатки кредитов;
Оп — оборот кредита по погашению;
D — число дней в периоде.
Вычислим 7 по формуле (7):
- (230+120) 360
1 ~ 2760 + 720
= 36 дней.
2. Среднее число оборотов кредита (п) определяется по формуле
п = Оп/О = (2760 + 720) / (230 +120) = 10 оборотов.
189
Пример 6. Имеются данные о краткосрочном кредитовании от-
раслей промышленности, млн руб.:
Отрасль промышленности Средние остатки кредитов (О) Погашено кредитов (О,,)
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный год
1 230 250 2760 2250
П 120 160 1720 1152
Определить индексы средней длительности пользования креди-
том переменного состава, постоянного состава и структурных сдви-
гов.
Решение. Необходимые данные для расчета индексов средне!!
длительности пользования кредитом представим следующим обра-
зом:
№ строки Индекс Отрасль промышленности Итого
I 11
1 б() 230 120 350
2 Oi 250 160 410
3 % 2250 1152 3402
4 °.., 2760 1720 4480
5 = стр. 3/360 6.25 3.2 9,45
6 = стр. 4/360 7.67 4,78 12.44
7 Q) - стр. 1 /стр. 5 36.Х 37.5 37,0
8 Г [ = стр. 2/стр. 6 32.59 33.5 33.0
9 '() mj 2X1.9 179.25 461.15
10 0.88 0.9 0.89
11 rf() = /н(/(£ та) 0,62 0,38 1.0
12 = Л1]/(Е (Tlj ) 0.79 0.21 1.0
Примечание. т/((. rf, — показатели структуры однодневного оборота.
Для изучения влияния отдельных факторов на изменение средней
длительности пользования кредитом строится система взаимосвязан-
ных индексов /у, и 7 :
/7— /7 (Ь)
/у — индекс средней длительности пользования кредитом пере-
менного состава показывает ее абсолютное и относительное изме-
нение за счет влияния двух факторов:
1) изменения длительности пользования кредитом в отраслях;
2) структурных сдвигов в однодневном обороте (т - O(I / D).
190
E Г] Л77|
E /77 ]
= 33 I 37 = 0,89.
(9)
Абсолютное изменение средней длительности пользования кре-
дитом за счет двух факторов:
A7=7t -70 = 33 - 37 = 4 дня. (10)
Далее, /у — индекс средней длительности пользования кредитом
постоянного состава — характеризует ее относительное и абсолют-
ное изменения при изменениях длительности пользования кредитом
в отраслях.
. Е т> Е Л» m-i 4б| 15
Л = J 1 = 33 : тЧяТГ = 33 • 37>06 = °Ж (П)
' Efflj 22/77] 12,44
Абсолютное изменение средней длительности пользования кре-
дитом за счет снижения длительности пользовавния кредитом в от-
раслях составит:
А7, =7, -70' = 33 - 37,06 = -4,06 дня. (12)
И наконец, — индекс структурных сдвигов — показывает
абсолютное и относительное изменения средней длительности поль-
зования кредитом за счет структурных сдвигов в однодневном обо-
роте.
Е ti\ т, Е 1л /?1л
4-™ = -- — = 37,06 / 37 = 1,0016. (13)
Е/И] Е 777q
Абсолютное изменение средней длительности пользования кре-
дитом за счет структурных сдвигов в однодневном обороте составит:
А7СТр = 70' - t0 = 37,06 - 37 = 0,06 дня. (14)
Общее изменение средней длительности пользования кредитом
Д7=Л7, +Д7стр. (15)
Индексы средней длительности пользования кредитом можно оп-
ределить и по формулам
(17)
(18)
j- _ S Z1
7
стр ЗД’
где d = тп/Е т — показатель структуры однодневного оборота по
погашению.
191
Анализ индексов показывает, что средняя длительность пользо-
вания кредитом в отчетном году сократилась на 11%, или на 4 дня.
за счет двух факторов:
1) снижения длительности пользования кредитом в отраслях на
10,96%, или на 4,06 дня;
2) повышения длительности пользования кредитом вследствие
структурных сдвигов в однодневном обороте на 0,16%, или на 0,06
дня.
Структурные сдвиги оказали неблагоприятное влияние на сред-
нюю длительность пользования кредитом.
Пример 7. По данным примера 6 вычислить индексы среднего
числа оборотов кредита переменного состава, постоянного состава
и структурных сдвигов.
Решение. Необходимые данные для расчета индексов представ-
лены ниже:
№ строки Индекс Отрасль промышленности Итого
1 11
1 О(» 230 120 350
2 о. 250 160 410
3 °lfo 2250 1152 3402
4 °", 2760 1720 4480
5 п() = стр. 3/стр, 1 9,78 9.6 9,72
6 Л[ - стр. 4/стр. 2 11,04 10.75 10,93
7 л0О[ 2445 1536 3981
8 >п = «/«0 1,128 1.12 1.126
9 4, = Oo/ff6o) 0.657 0.343 1,0
10 =6/(2: б] ) 0.610 0,39 1.0
Примечание. 40, rf] — показатели структуры средних остаткоав кредита.
Индекс среднего числа оборотов кредита переменного состава
определяется по формулам
И1 ЕОп0 но)
7- = — л = 10,93 / 9,72 - 1,124, (1У)
л0 SO) ЕО(,
А п = - п() = 10,93 - 9,72 = 1,21 оборота. (21)
Он показывает абсолютное и относительное изменение среднего
числа оборотов кредита за счет двух факторов: изменения числа его
192
оборотов по отраслям и структурных сдвигов в средних остатках
кредита.
Индекс среднего числа оборотов кредита постоянного состава
определяется по формулам
, S/г, О, EwnOi 3981
h =----к-1: —- 10,93 : ~ = 10,93 : 9,7 = 1,126, W
" IOj IOj 410
Д »„ = /?! “ пЪ = Ю,93 - 9,7 = 1,23 оборота. (24)
Он показывает абсолютное и относительное изменение среднего
числа оборотов кредита за счет одного фактора — изменения обо-
рачиваемости кредита в отраслях.
Индекс структурных сдвигов определяется по формулам
SHqOi S Hq On
£ =—= 9,7 I 9,72 = 0,998, ™
crp XOj ZO0
Дистр = к0'- ~ 9,1 - 9,72 = -0,02 оборота. (27)
Он показывает абсолютное и относительное изменения средней
оборачиваемости кредита за счет структурных сдвигов в средних ос-
татках кредита.
Абсолютное изменение среднего числа оборотов кредита за счет
двух факторов составляет
Д п - Д пп + Д л = 1,23 - 0,02 = 1,21 оборота.
Среднее число оборотов кредита увеличилось в среднем на 12,4%,
или на 1,21 оборота, причем:
1) за счет повышения числа оборотов кредита в отраслях среднее
число его оборотов возросло на 12,6%, илн на 1,23 оборота;
2) вследствие структурных сдвигов в средних остатках кредита
среднее число его оборотов снизилось на 0,2%, или на 0,02 оборота.
Структурный сдвиг оказал неблагоприятное воздействие на сред-
нее число оборотов кредита.
Пример 8. Имеются следующие данные по отраслям промышлен-
ности:
Отрасль про- мышленности Длительность пользования кредитом (?). дни Однодневный оборот по погашению (т), млн руб.
Базисный год Отчетный ГОЛ Базисный год Отчетный год
1 40 30 7 6
11 60 50 2 3
193
Определить индексы среднего остатка кредита, длительности
пользования кредитом и индекс однодневного оборота по погаше-
нию.
Решение. Данные, необходимые для расчета индексов, таковы:
Отрасль промышленности 'и '”() /п. 61 "’(1 !1т[ 6)/Л1
I 40 30 7 6 280 180 240
11 60 50 2 3 120 150 180
Сумма — — — — 400 330 420
Индекс среднего остатка кредита определяется по формулам
Е /1
= ———*- = 330 / 400 = 0,825,
_ * 'о
Д О = 2 /| nij - X z0 wj0 = 330 - 400 - -70 млн руб.
Он показывает относительное и абсолютное (ДО) изменения
среднего остатка кредита во времени под влиянием двух факторов:
изменений длительности пользования кредитом и однодневного обо-
рота по погашению.
Индекс длительности пользования кредитом определяется по
формулам
Е Л wn
1 = 330 / 420 = 0,786,
'о «Ъ
Д О, - Е zt njj - Е Zo и?] = 330 - 420 = - 90 млн руб.
Он характеризует относительное изменение средней длительнос-
ти пользования кредитом во времени и абсолютное^ изменение
(Д О,) средних остатков кредита за счет изменения длительности
пользования кредитом.
Индекс однодневного оборота по погашению равен
Е W, Z()
1= — [ , = 420 / 400 = 1,05.
__ £ "Мо
Д О/?) - Е Zo - Е /и,, z0 = 420 - 400 = 20 млн руб.
Он показывает относительное изменение однодневного оборота
по погашению и абсолютное изменение (Д Ол1) среднего остатка кре-
дита за счет изменения однодневного оборота по погашению.
Абсолютное изменение среднего остатка кредита под влиянием
двух факторов — / и т — равно
ДО = ДО„, + Д О, = -90 + 20 = -70.
Средние остатки кредита в отчетом году снизились на 17,5%.
или на 70 млн руб., причем:
194
I) вследствие сокращения длительности пользования кредитом
на 21.4% средние остатки уменьшились на 90 млн руб.;
2) рост однодневного оборота по погашению па 5% привел к
повышению средних остатков кредита на 20 млн руб.
Пример 9. Имеются следующие данные:
Отрасль экономики Средний остаток кредита (О), млн руб. Число оборотов (я) кредита
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный год
I 230 250 9 10
11 120 160 6 8
Определить индексы оборота кредита по погашению, числа обо-
ротов кредита и средних остатков кредита.
Решение. Имеются следующие данные для вычисления индексов:
Отрасль промышленности Ц) О1 пн »! «1 О] П(10]
I 230 250 9 10 2070 2500 2250
11 120 160 6 8 720 1280 960
Сумма — — — — 2790 3780 3210
Индексы определяются по формулам
1 On 2 И1 Oj
= ——L =-----3780 / 2790 = 1,354,
11 Е Оп^ S wq Оу
Л Оп = 3780 - 2790 = 990 млн руб.;
Ел, О,
1 =-----^= 3780 / 3210 = 1,177,
ЕлуО!
А Оп = 3780 - 3210 = 570 млн руб.;
Е О| Ну
/д = -^- = 3210 / 2790 = 1,1505,
ЕОоЛу
А Оп_ = 3210 - 2790 = 420 млн руб.;
Взаимосвязь индексов такова:
7он = 4 7о >
Л оп = Л он + А Оп_ (990 = 570 + 420).
Оборот кредита по погашению в отчетном году возрос на 35,4%,
или на 990 млн руб. За счет увеличения оборачиваемости кредита
на 17,7% его оборот повысился на 570 млп руб., а благодаря росту
средних остатков кредита на 15,05% оборот по погашению возрос
на 420 млн руб.
195
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные об остатках за должен нос-
ти по кредиту и оборотах по погашению, тыс. руб.
Пред- приятие Остаток задолженности по кредиту Оборот по погашению
01.01 01.02 01.03 01.04 01.05 01.06 01.07 I квартал 11 квартал
I 150 130 140 120 135 ПО 145 910 860
11 350 320 310 330 350 370 390 1000 1120
Определите по каждому предприятию и по двум предприятиям
вместе:
1) средние остатки задолженности по кредиту за I и II кварталы;
2) скорость оборота ссуд по кварталам и за полугодие;
3) индексы оборотов по погашению, остатков задолженности,
скорости оборота ссуд;
4) покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
Сделайте выводы.
Задача 2. Имеются данные о кредитовании банками отраслей
промышленности, тыс. руб.:
Отрасль про- мышлснности Средний остаток кредитов Погашено кредитов *
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный гол
I 7 9 0.7 0.8
и 9 11 0.3 0,2
Определите индексы среднего числа оборотов кредита перемен-
ного состава, постоянного состава; индекс структурных сдвигов.
Сделайте выводы.
Задача 3. Имеются данные по отраслям промышленности;
Отрасль про- мышленности Длительность пользования кредитом за период, дней Структура однодневного обо- рота по погашению за период. %
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный ГОД
I 48.0 40.0 62.0 70,0
11 36.0 38.0 38.0 30.0
Определите индексы средней длительности пользования креди-
том переменного, постоянного состава; индекс структурных сдви-
гов.
Сделайте выводы.
196
Задача 4. Имеются следующие данные по двум отраслям эконо-
мики:
Отрасль про- мышлснности Средний остаток кредита, млн руб. Число оборотов кредита
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный год
I 260 270 10 11
11 140 1X0 12 13
Определите индексы оборота по погашению, числа оборотов
кредита, средних остатков кредита. Покажите их взаимосвязь.
Определите абсолютное изменение оборота по погашению под
влиянием двух факторов: изменений оборачиваемости кредита и
средних остатков кредита.
Задача 5. Имеются следующие данные по отраслям промышлен-
ности:
Отрасль про- мышленности Длительность пользования кредитом, дней Однодневный оборот по погашению, млн руб.
Базисный год Отчетный год Базисный год Отчетный год
I 50 40 9 8
11 70 60 4 6
Определите индексы среднего остатка кредита, длительности
пользования кредитом, однодневного оборота по погашению. По-
кажите их взаимосвязь.
Определите абсолютное изменение среднего остатка кредита за
счет изменений длительности пользования кредитом и однодневно-
го оборота по погашению.
Сделайте выводы.
Задача 6. Имеются следующие данные о полученных фирмой
кредитах:
Ху кредита Размер кредита, тыс. руб. Срок кредита, мес. Годовая процентная ставка
1 12 3 6
2 10 9 12
3 20 6 10
Определите среднюю процентную ставку и сумму кредита.
Задача 7. Имеются данные о получении кредитов в течение года
двумя фирмами:
197
Фирма Квартал Размер кредита, тыс. руб. Срок кредита, мес.
А I 100 3
11 90 6
III 70 9
IV — —
Б 1 60 3
II 80 5
III 110 6
IV 40 1
Определите средний размер кредита, средний срок пользования
ссудами, число оборотов ссуд за год по каждой фирме и по двум
вместе.
Сделайте выводы.
Задача 8. Банк предоставил ссуды:
Порядковый номер ссуды Размер ссуды, тыс. руб. Оборачиваемость ссуд. мес.
1-й 50 6
2-й 80 3
3-й 100 2
Определите средний срок ссуды при условии ее непрерывной обо-
рачиваемости.
Задача 9. Имеются следующие данные об изменениях средних
остатков задолженности по кредиту на предприятии:
Месяц Февраль Март Апрель Май Июнь
Темп прироста по отноше- нию к январю. % 2 3 5 6 8
Определите цепные темпы и среднемесячный темп прироста сред-
них остатков задолженности по кредиту.
Сделайте выводы.
Постройте график.
Задача 10. Имеются следующие данные о выданных кредитах на-
селению:
Месяц Янва рь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль
Краткосрочные кре- диты. тыс. руб. 105 108 ПО 112 117 122 126
Определите показатели анализа ряда динамики, основную тен-
денцию развития методом аналитического выравнивания.
198
Постройте график.
Сделайте выводы.
Осуществите прогноз кредитов на август, используя средний аб-
солютный прирост, средний темп роста и трендовую модель.
Задача 11. На 1 апреля задолженность субъектов хозяйства по
банковским кредитам в части основного долга составила:
Вид кредитов Задолженность, млн руб. Годовая ставка, %
Краткосрочные 485.0 42
Долгосрочные 15.0 30
В марте работники банка получили ссуды в размере 100 тыс.
руб. под 12% годовых.
Определите средне квартальную процентную ставку по креди-
там, выданным: а) субъектам хозяйства, б) работникам банка.
Рассчитайте сумму компенсационной разницы, подлежащую
учету при определении налогооблагаемой прибыли банка.
Глава 15. СТАТИСТИКА ДЕНЕЖНОГО ОБРАЩЕНИЯ
Методические указания и решение типовых задач
Система показателей статистики денежного обращения включа-
ет: денежный оборот, денежную массу, наличные деньги внебанков-
ской системы, безналичные средства, скорость обращения, продол-
жительность оборота, купюрное строение денежной массы, индекс-
дефлятор, покупательную способность рубля и др.
Денежная масса является важным количественным показателем
движения денег, ее величина зависит от количества денег в обраще-
нии и от скорости их обращения. Скорость обращения денег изме-
ряется двумя показателями:
1) количеством оборотов (Р) денег в обращении за рассматри-
ваемый период, которое рассчитывается по формуле
ВВП
V М ’
где ВВП — валовой внутренний продукт в текущих ценах;
М — общая масса денег, рассчитанная как остатки денег за изу-
чаемый период.
Этот показатель характеризует скорость оборота денежной еди-
ницы. На прак гике в качестве универсального показателя денежной
массы применяется денежный агрегат М2, который представляет
199
собой объем наличных денег в обращении (вне байков) и остатков
средств в национальной валюте на расчетных, текущих счетах и де-
позитах нефинансовых предприятий, организаций и физических
лиц, являющихся резидентами Российской Федерации;
2) продолжительностью одного оборота денежной массы, кото-
рая рассчитывается по формуле
где Д — число календарных дней в периоде.
Рассмотренные показатели взаимосвязаны, поэтому если извест-
на величина одного из них, то можно определить и другой показа-
тель:
V = Д / t или t = Д / V.
Скорость обращения денег зависит от величины валового внут-
реннего продукта, или совокупности созданных продуктов и услуг,
и денежной массы.
Из известного уравнения денежного обмена MV - PQ, которое
означает, что произведение денежной массы на скорость обращения
денег равно произведению уровня цен на объем произведенных то-
варов и услуг (ВВП в текущих ценах), можно записать: MV = ВВП.
Тогда скорость обращения денег определяется по формуле
V = ВВП / М,
где ВВП = <7[ .
Этот показатель находится в прямой зависимости от объема
ВВП и динамики цен на товары и услуги и обратно пропорциона-
лен денежной массе.
Изучение данных показателей в динамике позволяет установить
их взаимосвязь:
т [У
р ЛшЛ
где I — индекс-дефлятор ВВП;
/ду — индекс объема денежной массы;
1у — индекс оборачиваемости денежной массы;
^ВВП — индекс физического объема ВВП.
На практике индекс-дефлятор ВВП рассчитывается по формуле
Р
где — объем ВВП в текущих ценах;
200
p() — объем ВВП текущего периода, оцененный по базисно-
му периоду (в постоянных ценах).
При увеличении числа оборотов скорость обращения денежной
массы возрастает; при сокращении числа дней, необходимых для
одного оборота денег, требуется меиьшая денежная масса.
Для определения изменения скорости обращения денежной
массы используется взаимосвязь следующих индексов:
где 1у — индекс количества оборотов денежной массы;
1у — индекс количества оборотов наличной денежной массы;
— индекс доли наличности в общем объеме денежной массы.
Абсолютное изменение скорости обращения денежной массы,
определяемое индексным методом, обусловлено влиянием следую-
щих факторов:
1) изменением скорости обращения наличной денежной массы
2) изменением доли наличности в общем объеме денежной
массы
^=(4ЧИн()-
Таким образом, абсолютное изменение скорости обращения
массы денег равно
ДИ=И1-К0 = Л \ + Л Vd-
Для контроля за динамикой денежной массы и анализа объемов
кредитных вложений коммерческих банков в экономику использу-
ется показатель, называемый денежным мультипликатором (Яда) и
рассчитываемый по формуле
К = М
Лдм н ’
где М — денежная масса в обращении:
Н — денежная база.
При этом денежная масса определяется по денежному агрегату
М2, а показатель «денежная база» включает в себя наличные деньги
в обращении (в том числе остатки средств в кассах коммерческих
банков), остатки средств коммерческих банков иа корреспондент-
ских счетах в Банке России, фонд обязательных резервов коммер-
ческих банков в Банке России. Денежный мультипликатор пред-
201
ci являет собой коэффициент, характеризующий увеличение денеж-
ной массы в обороте в результате роста банковских резервов.
Для характеристики динамики купюрного строения денежной
массы и выявления тенденции его изменения необходимы данные о
величине средней купюры, которую можно рассчитать по формуле
средней арифметической взвешенной:
,, ZMf
м If •
где М — достоинство купюр;
f— число купюр.
В случае когда происходит переполнение каналов денежного об-
ращения избыточной денежной массы при отсутствии увеличения
произведенных товаров и услуг, возникает проблема оценки инфля-
ции. Инфляция, как правило, измеряется с помощью индекса-деф-
лятора ВВП и индекса потребительских цен. На практике чаще всего
для измерения инфляции применяется индекс потребительских цен
или индекс покупательной способности денежной единицы, опреде-
ляемый как величина, обратная индексу потребительских цен:
I = —
ПСр Ап/
7пср — индекс покупательной способности рубля;
7Пп — индекс потребительских цен (ИПЦ).
Индекс покупательной способности рубля показывает, во сколь-
ко раз обесценились деньги, т.е. характеризует инфляцию, и может
исчисляться по отношению к денежной единице текущего и базис-
ного периодов. Если индекс цен за анализируемый период повысится,
то индекс покупательной способности рубля снизится, и, наоборот,
если индекс цен за рассматриваемый период понизится, то индекс
покупательной способности рубля возрастет.
Относительные показатели инфляции рассчитывают как темпы
роста или снижения покупательной способности рубля. Относитель-
ный показатель инфляции можно представить также как величину,
обратную индексу потребительских цен.
При исчислении индекса изменения цен на товары и услуги не-
обходимо учитывать также изменение курса рубля (по отношению
к иностранным валютам, в частности к доллару США), соответст-
венно должен корректироваться и индекс покупательной способнос-
ти рубля. При этом корректировка номинального индекса покупа-
тельной способности должна осуществляться пропорционально доле
денежного оборота в иностранной валюте в общем денежном обо-
роте страны.
202
Обратная величина индекса курса рубля по отношению к дол-
лару США и другим иностранным валютам, котирующимся в Рос-
сии, представляет собой индекс цен на покупку долларов в России.
Пример 1. Имеются условные данные о ВВП и денежной массе,
млрд руб.:
Показатель Базисный год Отчетный год
Валовой внутренний продукт (ВВП): в текущих ценах 171.5 612
в постоянных ценах 171.5 150
Денежная масса в обращении в среднем за год 34.3 102
Определить:
1) показатели оборачиваемости денежной массы (количество
оборотов и продолжительность одного оборота);
2) индекс-дефлятор ВВП;
3) индексы ВВП (в текущих и постоянных ценах), объема денеж-
ной массы и ее оборачиваемости.
Решение. 1. Показатели оборачиваемости денежной массы:
а) количество оборотов
И=ВВП/Л/,
Ро ~ 171,5 / 34,3 = 5 оборотов,
Pj - 612 / 102 = 6 оборотов;
б) продолжительность одного оборота
t = д / к
/(J = 360 / 5 = 72 дия,
= 360 / 6 = 60 дней.
2. Индекс-дефлятор ВВП
т ^ВВП в текущих ценах . по
/р = у------------------~ 612 / 150 = 4,08 раза, или 408%,
*ВВП в постоянных ценах
что означает снижение уровня инфляции на 308% (408 - 100).
3. Индексы ВВП:
BBnj _ 612 _ 0
ЛшП в текущих ценах — BBJfg ~ 171 5 ~ ^,^68, ИЛИ 356,8/о,
ЛзВП в постоянных ценах
ВВП] 150
ВВЩ=17Й5 = °’875’ "ЛИШ%-
Индекс объема денежной массы
= М] / = 102 / 34,3 = 2,974, или 297,4%.
Индекс оборачиваемости денежной массы
7(/ = И] / Ио = 6 / 5 = 1,2.
203
Пример 2. Имеются условные данные о ВВП и денежной массе
за два квартала, млрд руб.
Показатель 1 квартал IV квартал
Валовой внутренний продукт (ВВП) 644.5 689
Денежная масса 124 106
Наличные деньги в обращении 46 53
Определить:
1) скорость обращения денежной массы (количество оборотов);
2) скорость обращения наличности (количество оборотов);
3) долю наличности в общем объеме денежной массы;
4) абсолютное изменение скорости обращения денежной массы
за счет изменения следующих факторов:
а) количества оборотов наличных денег;
б) доли наличности в общем объеме денежной массы.
Решение. 1, Скорость обращения денежной массы:
~ 644,5 / 124 = 5,2 оборота,
И] = 689 I 106 = 6,5 оборота.
2. Скорость обращения наличности:
Ин = 644,5 / 46 —14 оборотов,
Ин = 689 / 53 = 13 оборотов.
3. Доля наличности в общем объеме денежной массы:
dM = 46 / 124 = 0,371, или 37,1%,
~ 53 / 106= 0,5, или 50%.
4. Абсолютное изменение скорости обращения денежной массы:
Д V- К] - Ко - 6,5 - 5,2 - 1,3 оборота;
а) за счет изменения количества оборотов наличных денег:
Д у = (Г - ) d} = (13 - 14) • 0,5 = -0,5 оборота;
б) за счет изменения доли наличности в общем объеме денежной
массы:
Д Vd= (t/| - ) И = (0,5 - 0,371) 14= 1,8 оборота.
Таким образом,
Д И= Kj - Ко = д +Д vd= -0,5 + 1,8 = 1,3 оборота.
Скорость обращения денежной массы повысилась в IV квартале
по сравнению с I кварталом на 1,3 оборота и составила 6,5 оборота.
Ускорение оборачиваемости денежной массы было обусловлено
уменьшением скорости обращения наличных денег на 0,5 оборота.
Доля наличности в общем объеме денежной массы увеличилась на
204
0,129, что обусловило рост скорости обращения денег на 1,8 оборо-
та.
Пример 3. Имеются условные данные о количестве выпущенных
денежных знаков по достоинству купюр:
Достоинство купюр, руб. 1 2 5 10 50 100 500
Выпуск денег в обращение, тыс. 200 150 140 160 150 60 40
Определить величину средней купюры, выпущенной в обраще-
ние.
— LW
Решение. М= =
_ 1 - 200 + 2- 150 + 5- 140+ 10- 160 + 50 • 150 + 100 60 + 500 40 _
“ 200 + 150 + 140 + 160 + 150 + 60 + 40
= 36 300 / 900 = 40,3 руб.
Пример 4. Цены текущего периода по сравнению с базисным по-
высились на 32,5%. За этот же период валютный курс рубля возрос
с 4,6 до 5,8 руб. за доллар США. Доля денежного оборота в ино-
странной валюте на денежном рынке России составила 24%.
Определить:
1) покупательную способность рубля;
2) индекс цен на покупку долларов США;
3) номинальный индекс покупательной способности рубля.
Решение. 1. /]!Ср = 1 / 1,325 = 0,755, или 75,5%,
следовательно, покупательная способность рубля за изучаемый пе-
риод снизилась на 24,5%.
2. Индекс цен на покупку долларов США в России составит 1,26
(5,8 / 4,6), а индекс курса рубля по отношению к доллару США —
0,79 (1 / 1,26).
3. Номинальный индекс покупательной способности рубля с уче-
том изменения курса по отношению к доллару США будет равен
7пср = 0,755 • 0,76 + 0,79 0,24 = 0,7634, или 76,34%,
следовательно, покупательная способность рубля с учетом индекса
курса рубля по отношению к доллару США снизилась на 23,66%.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются данные о количестве денег в обращении за I
полугодие, млрд руб.:
на 01.01
130
на 01.02
120
на 01.03
180
на 01.04
220
на 01.05
240
на 01.06
270
на 01.07
320
205
Определите:
1) среднемесячное наличие денег в обращении за I и II кварталы,
за I полугодие;
2) абсолютный и относительный прирост массы денег в обраще-
нии в июне по сравнению с январем текущего года.
Задача 2. Имеются данные о количестве выпущенных и изъятых
из обращения денежных знаков по достоинству купюр, тыс. штук:
Показатель Достоинство купюр, руб.
1 2 5 10 50 100 500
Выпуск денег в обращение 180 150 160 120 70 50 20
Изъятие денег из обращения — — 100 60 40 30 —
Определите:
1) величину средней купюры, выпущенной в обращение и изъятой
из обращения;
2) массу денег: а) выпущенных в обращение, б) изъятых из об-
ращения;
3) изменение денежной массы в результате эмиссии денег.
Задача 3. Имеются условные данные о валовом внутреннем про-
дукте и денежной массе, млрд руб.:
Показатель Базисный год Отчетный год
Валовой внутренний продукт (ВВП):
в текущих ценах 54.0 210.0
в постоянных ценах 50.9 203.7
Денежная масса в обращении 10,8 21
Определите:
1) показатели оборачиваемости денежной массы (количество обо-
ротов и продолжительность одного оборота в днях);
2) индексы-дефляторы;
3) индексы ВВП в текущих ценах, денежной массы и ее обора-
чиваемости.
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
Задача 4. Имеются данные по РФ за год, млрд руб.:
Показатель I квартал II квартал III квартал IV квартал
ВВП: 465 513 593 685
в текущих ценах
в пенах предыдущею периода 423 422 504 538
Денежная масса - всего 220.8 245.0 270.0 295.2
в том числе наличные деньги 80.8 . 86.0 96.0 103.8
206
Определите: >
1) индексы-дефляторы ВВП по кварталам и в целом за год;
2) оборачиваемость денежной массы и наличности (количество
оборотов) по кварталам и в целом за год;
3) скорость оборота денежной массы и наличности (в днях) по
кварталам и в целом за год;
4) удельный вес наличных денег в общем объеме денежной
массы;
5) темпы роста и прироста денежной массы в целом и наличных
денег.
Задача 5. Имеются условные данные по региону, млн руб.:
Показатель Базисный год Отчетный год
Валовой региональный продукт (ВРП) 264 390
Денежная масса (М2) .55 50
Наличные деньги вне банковской системы 20 18.5
Определите:
1) удельный вес наличных денег в обращении в общем объеме
денежной массы;
2) скорость обращения денежной массы (М2);
3) скорость обращения наличных денег;
4) абсолютный прирост скорости обращения денежной массы
(М2) за счет изменения скорости обращения наличности и удельно-
го веса наличных денег в общем объеме денежной массы (М2).
Задача 6, Имеются следующие данные, млрд руб.:
Показатель Квартал
1 11 111 IV
Валовой внутренний продукт (ВВП) 465 513 593 685
Денежная масса (М2) 220 242 258 295
Определите:
1) показатели оборачиваемости денежной массы за каждый
квартал:
а) количество оборотов;
б) продолжительность одного оборота в днях;
в) среднеквартальный оборот денежной массы;
2) цепные темпы роста, прироста ВВП и денежной массы (М2);
3) среднеквартальный темп роста, прироста ВВП и денежной
массы (М2).
207
Задача 7. Имеются следующие данные по состоянию на конец
года, млрд руб.
Год Денежная масса (М2) Денежная база (Н)
1993 33.2 16.7
1994 97.8 48,0
1995 220.8 103.8
1996 295.2 130.9
Определите:
1) денежный мультипликатор по годам;
2) динамику денежной массы и денежной базы за 1993—1996 гг.;
3) среднегодовой темп роста денежной массы за 1993—1996 гг.
Задача 8. Имеются данные об изменении денежной массы за год
на начало месяца, млрд руб.:
Месяц Денежная масса В том числе
наличные деньги безналичные средства
Январь 295.2 103,8 191.4
Февраль 297,4 96,3 201.1
Март 307.6 102.0 205,5
Апрель 315.0 105.2 209.8 •
Май 328.4 115.2 213.2
Июнь 339.4 120.4 219.0
Июль 363.8 136,8 227.0
Август 375.5 140.3 235,2
Сентябрь 377,7 141.6 236.1
Октябрь 376,2 134.8 241,4
Ноябрь 382,3 135.7 246.6
Декабрь 371,1 128.7 242,3
Определить:
1) удельный вес наличных денег и безналичных средств в общем
объеме денежной массы;
2) показатели динамики денежной массы и наличных денег по
месяцам:
а) абсолютный прирост (снижение);
б) цепные и базисные темпы роста и прироста;
в) абсолютное содержание одного процента прироста (снижения);
г) среднемесячные абсолютные приросты (снижения);
д) среднемесячные темпы роста и прироста.
208
Задача 9. Цены текущего периода по сравнению с базисным по-
высились на 30,0%, за этот период курс рубля возрос с 6,3 до
12,5 руб. за доллар США. Доля денежного оборота в иностранной
валюте на денежном рынке России составила 22%.
Определите:
1) индекс покупательной способности рубля;
2) индекс цеи на покупку долларов США;
3) общий индекс покупательной способности рубля.
Глава 16. СТАТИСТИКА СТРАХОВАНИЯ
Методические указания и решение типовых задач
Страховой рынок подразделяется на отрасли имущественного,
личного страхования, страхования ответственности и социального
страхования.
Объектами имущественного страхования являются основные и
оборотные фонды предприятий, организаций, домашнее имущество
граждан. К основным абсолютным показателям этой отрасли отно-
сятся: страховое поле (2Vmax)s число застрахованных объектов (за-
ключенных договоров) (N), число страховых случаев (пс), число по-
страдавших объектов (пп), страховая сумма застрахованного имуще-
ства (S), страховая сумма пострадавших объектов (5П), сумма посту-
пивших платежей (И), сумма выплат страхового возмещения (И7).
На основе абсолютных показателей определяются различные отно-
сительные и средние показатели: частота страховых случаев, доля
пострадавших объектов, опустошительность страховых случаев, пол-
нота уничтожения, коэффициент выплат, убыточность страховой
суммы, средние страховые суммы пострадавших и застрахованных
объектов, средняя сумма страхового возмещения, средний коэффи-
циент тяжести страховых событий и т.д. Особое внимание уделяется
расчету страховых тарифов: нетто-ставки и брутто-ставки, динамике
показателей работы страховых организаций.
Пример 1. Имеются данные страховых организаций района о
добровольном страховании имущества граждан:
Страховое поле )........................................256 250
Число заключенных договоров (число застрахованных
объектов) (Л5)......................................... 102 500
Сумма застрахованного имущества (5). тыс, руб.......... 198 350
Поступило страховых взносов (И), тыс, руб................. 2800
Страховые выплаты (И'). тыс. руб..........................1680
Число пострадавших объектов («п )......................... 2050
209
Определить показатели, характеризующие деятельность страхо-
вых организаций.
Решение. 1. Степень охвата страхового поля
d = / ЛГтах = 102 500 / 256 250 = 0,4, или 40%.
2. Частота страховых случаев
= „п / 7V = 2050 / 102 500 = 0,02, или 2%.
3. Средняя страховая сумма
Л - S / N = 198 350 / 102 500 = 1,9351 тыс. руб.
4. Средняя сумма страхового взноса
V = V / W = 2800 / 102 500 = 27,317.
5. Средняя сумма страховых выплат
Й>= W/ ип = 1680 / 2050 = 819,512 руб.
6. Коэффициент выплат
К3 = w / V = 1680 / 2800 = 0,60, или 60%.
7. Убыточность страховой суммы
q = W / 5 = 1680 / 198 350 = 0,0084648 = 0,0085.
8. Коэффициент тяжести страховых событий
Кт = W7S = 819,512 / 1935,1 = 0,4235, или 42,35%.
9. Коэффициент финансовой устойчивости (с доверительной ве-
роятностью 0,954, при которой t - 2)
= 1 Nq = 2 102 5Оо'- 0,0085 = 2 ^°’00113802 = °’03373,
Чем меньше данный коэффициент, тем устойчивее финансовое
состояние.
Пример 2. Результаты работы страховых организаций в I полу-
годии характеризуются следующими данными:
№ орга- низации Страховой взнос, млн руб. V Коэффициент выплат к* Выплаты Н = K*V
1 400 0.5 200
2 500 0.6 300
3 700 0,2 140
Итого 1600 — 640
Определить:
1) средний коэффициент выплат;
2) абсолютную сумму дохода страховых операций;
3) относительную доходность.
Решение. 1. Коэффициент выплат рассчитывается по формуле
Кп = W/V.
210
Средний коэффициент выплат составит
- L KQ V бди
K»=-ik=^=0’4-™n40”/“-
2. Абсолютная сумма дохода определяется разностью взносов и
выплат
А = 1600 - 640 - 960 млн руб.
3. Относительная доходность (процент доходности) равен
V-W 1600 - 640 960 „„ „0/
v 1600 1600 0,6°’ипи 60/о'
Эту величину можно определить иначе:
Ад = 1 - Ка = 1 - 0,4 = 0,60, или 60%.
Пример 3. Имеются данные страховых компаний о доброволь-
ном страховании имущества, тыс. руб.:
к.
Район Базисный период Отчетный период
Страхо- вая сумма 5() Страховые выплаты "о Коэффициент убыточности Уд Страхо- вая сумма Страховые выплаты И/1 Коэффициент убыточности У.1
1 40 000 112 0.0028 56 000 140 0.0025
э 80 000 128 0.0016 84 000 168 0.0020
Итого 120 000 240 — 140 000 308 —
Определить:
1) индивидуальные индексы убыточности по каждому району;
2) по двум районам индексы средней убыточности:
а) переменного состава,
б) постоянного состава,
в) структурных сдвигов.
Решение. 1. = q{ / qQ.
По району 1: г =0,8929, или 89,3%, т.е. убыточность снизилась
vi
на 10,7%.
По району 2 : i= 1,25 — убыточность возросла на 25%.
Ч 2
2. а) Индекс средней убыточности переменного состава равен
1 wl . £ **0 = 308 . 240 0,0022 =
‘ “ 140 000 : 120 000 ~ 0,0020 “ 1,!’
т.е. средняя убыточность возросла на 10% за счет влияния двух фак-
торов: изменения коэффициента убыточности и размера страховых
сумм.
Этот индекс можно представить иначе, заменив сумму выплат
произведением страховой суммы на коэффициент выплат: W = Sq.
211
Тогда индекс средней убыточности переменного состава примет
вид
£ ^1 41 . gp
б) Индекс средней убыточности постоянного состава равен
_ Е S] qx L 5j _ X 5] q} _ 56 000 0,0025 + 84 000 • 0,0020 __
: ZS] “£ 5] ^“56 000 0,0028+ 84 000 0,0016 ’
= •—— = 1,058, или 105,8%,
т.е. средняя убыточность возросла на 5,81% за счет увеличения
страховых выплат (убыточности).
в) Влияние размера страховых сумм на динамику средней убы-
точности изучается с помощью индекса структурных сдвигов:
_XSj40 5600 0,0028+ 84 000 0,0016
Ал-р- • Xs0 “ 140 000 :
40 000 0,0028 + 80 000 0,0016 291 2 240
: 120 ООО " 140 000 : 120 ООО “ 1,()4’ 115111 104%‘
Средняя убыточность дополнительно повысилась на 4% за счет
роста страховой суммы в первом районе.
Индекс структурных сдвигов можно определить, используя вза-
имосвязь индексов:
= = и / 1,058 = IM
с/ у
Пример 4. Динамика убыточности по страхованию домашнего
имущества в регионе характеризуется следующими показателями:
Год 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Убыточность со 100 руб. страховой суммы, коп. 8 7 9 8 10 12
Определить:
1) среднегодовой уровень убыточности;
2) нстто-ставку (с доверительной вероятностью 0,954);
3) брутто-ставку, если известно, что нагрузка по данному виду
страхования составляет 20%.
Решение. 1. Среднегодовой уровень убыточности равен
q = £ q/n — 54/6 — 9 коп.
2. Нетто-ставка исчисляется но формуле
U = q + ГО,
где о — среднее квадратическое отклонение убыточности:
212
J (8-9)"+(7-9)"+(9-9)2+(8-9)2+( 10-9)2+( 12-9)2
°= V = V---------------------6^1--------------------
= <ЗД~= 1,789.
следовательно,
U' = 9 + 2 • 1,789 = 9 + 3,578 = 12,578 = 12,58 коп.
3. Брутто-ставка определяется по формуле
где f — доля нагрузки к иетто-ставке:
U = 12,58 / (1 - 0,2) = 12,58 / 0,8 = 15,725 коп.
Важнейшей задачей статистики личного страхования является
расчет единовременных тарифных ставок на дожитие, на случай
смерти с различным сроком договора и выдачи платежей.
Единовременная нетто-ставка на дожитие определяется по фор-
муле
[ где tEx — единовременная иетто-ставка на дожи тие для лица в воз-
[ расте х лет на срок t лет;
[ lx + i — число лиц, доживших до срока окончания договора;
f 1Х — число лиц, доживших до возраста страхования и заключив-
ших договоры;
V — дисконтный множитель;
S' — страховая сумма.
Единовременная ставка иа случай смерти — временная, т.е. иа
определенный срок. Она равна
[ „ dxV + dx,}V2 + ... + dx + „.}Vn
t пАх = ------------Т-------------s
где пАх — единовременная нетто-ставка на случай смерти для лица
в возрасте х лет сроком иа п лет;
1Х — число застрахованных лиц;
dx, dy + j — число умирающих в течение периода страхования.
Расчет тарифных нетто-ставок производится с использованием
таблиц смертности и средней продолжительности жизни.
Для практических расчетов разработаны специальные таблицы
коммутационных чисел, в которых содержатся показатели, взятые
213
из таблиц смертности, дисконтирующие множители и расчетные по-
казатели (коммутационные числа). Таблицы составлены в двух
видах: на дожитие и на случай смерти. Для удобства вычислений
они могут быть объединены в одну (см. табл. 16.1).
Пример 5. Определить для лица в возрасте 42 лет единовременную
нетто-ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком на
3 года: а) используя дисконтный множитель по ставке 3% (по фор-
муле 1ЕГ), б) по данным коммутационных чисел (см. табл. 16.1).
1^,Уп 90 096-1/(1 +0,ОЗ)3
s=-----^-4^—-юо =
Решение, а) 3£42
91 473
= 90°91 4739151'1QQ= 90432 руб‘
б) 3£42 = ^ = ||Щ = 0,90123, или 90,123 руб. со 100 руб.
Незначительные расхождения объясняются округлением комму-
тационных чисел.
Пример 6. Определить единовременную нетто-ставку на случай
смерти для лица в возрасте 40 лет сроком на 2 года, используя данные
табл. 16.1.
Решение. При использовании коммутационных чисел из табл.
16.1 иетто-ставка будет равна
м40 - 11 103- 10 877 _ 226 _ . пп_оо
28 283 28 283 °.00799. ™и
2^40 "
й40
0,799 руб.
Пример 7. В отчетном периоде среднегодовая численность рабо-
тающих на предприятии составила 200 человек, из которых произ-
водственные травмы получили 10 человек с утратой трудоспособ-
ности на 120 человеко-дней.
Определить показатели уровня травматизма:
1) частоту травматизма;
2) тяжесть травматизма;
3) коэффициент нетрудоспособности (количество человеко-дней
нетрудоспособности на одного работающего).
Решение. 1. Частота травматизма (ЧТ) =
__________число пострадавших____________ др _ Ю юо = 5
среднесписочная численность работающих 200
т.е. на 100 работающих 5 человек получили травмы.
2.----Тяжесть травматизма (ТТ) =
человеко-дни нетрудоспособности 120
= ----- ---------------------------- - 12 дней.
число несчастных случаев 10
214
3. Коэффициент нетрудоспособности (Л?н) =
число дней нетрудоспособности__________120 _
среднесписочная численность работников ” 200 ’ ДНЯ‘
Таблица 16.1
Извлечение из таблиц коммутационных чисел
Возраст Число доживших до возраста .у лет Коммутационные числа
На дожитие На случай смерти
Д.т = /Л-И" С\. = rfY Г" + 1 Л/Л.=1СЛ.
40 92 246 28 283 589 505 111 11 103
41 91 872 27 341 561 222 115 10 992
42 91 473 26 436 533 881 120 10 877
43 91 046 25 538 507 945 125 10 757
44 90 588 24 676 481 907 130 10 632
45 90 096 23 825 433 410 136 10 502
50 87 064 19 859 346 215 163 9 770
Примечание 1. Дисконтный множитель исчислен по ставке 3% годовых.
2. Сумма коммутационных чисел накоплена постепенно с конца таблицы.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются данные страховых организаций по доброволь-
ному имущественному страхованию за отчетный период, тыс. руб.:
Страховое поле.................................1 920 000
Число заключенных договоров.................... 768 000
Страховая сумма застрахованного имущества .... 1 128 700
Страховые взносы................................. 3 400
Страховые выплаты (сумма ущерба)..................940
Число страховых случаев.......................... 1 535
Определите:
I) степень охвата страхового поля;
2) частоту страховых случаев;
3) коэффициент выплат;
4) среднюю страховую сумму застрахованного имущества;
5) среднюю сумму страхового взноса;
6) среднюю сумму страховых выплат;
7) убыточность страховой суммы;
8) коэффициент тяжести страховых событий;
9) с вероятностью 0,954 коэффициент финансовой устойчивости.
215
Задача 2. Имеются данные страховой компании области о
добровольном страховании имущества субъектов хозяйствования,
тыс. руб.:
Показатель Базисный период Отчетный период
Количество заключенных договоров 225 250
Страховая сумма 87 750 100 000
Поступление страховых взносов 810 950
Страховые выплаты 153 174
Число страховых выплат 27 30
Определите для каждого периода:
1) средние размеры страховой суммы, страхового взноса, суммы
страховых выплат;
2) коэффициент выплат;
3) убыточность страховой суммы;
4) коэффициент тяжести страховых событий.
Расчетные показатели представьте в таблице, исчислите темны
динамики и сделайте выводы.
Задача 3. Имеются данные о деятельности страховой организа-
ции:
Страховые выплаты, тыс. руб. Число страховых случаев. % от общего числа
1—2 10
2—3 30
3—4 40
4—5 20
Известно, что средняя страховая сумма составила 12,8 тыс. руб.
Определите:
1) средний размер страховых выплат;
2) коэффициент тяжести страховых событий.
Задача 4. Показатели работы страховых организаций района в
отчетном году характеризуются следующими данными, тыс. руб.:
Отрасль стра- хования Страховые взносы Страховые выплаты Страховая сумма Число договоров
Личное 3480 2164 223 900 254 700
Имущественное 6812 2322 236 200 91 085
Определите по каждой отрасли страхования и по двум отраслям
вместе:
1) коэффициент выплат страхового возмещения;
216
2) размер страховых платежей на 100 руб. страховой суммы;
3) среднюю страховую сумму;
4) убыточность страховой суммы.
Задача 5. Работа страховых организаций области за отчетный
период характеризуется следующими показателями, тыс. руб.:
Форма страхования Поступление стра- ховых взносов Страховые выплаты Страховая сумма Количество заклю- ченных договоров
Добровол ьнос 30 ОКО 18 650 625 496 328 000
Обязатсл ьнос 87 700 82 000 125 160 42 000
Определите:
1) структуру показателей по формам страхования;
2) по каждой форме страхования и по двум формам вместе: а) ко-
эффициент выплат страхового возмещения, б) убыточность страхо-
вой суммы, в) среднюю сумму застрахованного объекта.
Задача 6. Результаты работы страховых организаций района за
отчетный период характеризуются следующими показателями:
№ органа- зации Имущественное страхование Личное страхование
Страховые ВЗНОСЫ. ТЫС. руб. Коэффициент выплат. % Страховые выплаты, тыс. руб. Коэффициент выплат. %
1 7600 18 4480 56
2 8400 30 14000 70
Определите средние коэффициенты выплат и показатели отно-
сительной доходности по каждой отрасли страхования и по двум
отраслям вместе.
Задача 7. Убыточность страховых организаций но добровольно-
му страхованию имущества характеризуется следующими показате-
лями:
№ органы- за ни и Базисный период Отчетный период
Страховая сумма, тыс. руб. Коэффициент убыточности Страховые выплаты, тыс. руб. Коэффициент убыточности
I 60 0.20 16.8 0.24
2 Г20 0.17 42.0 0.28
Определите средний коэффициент убыточности страховой суммы
по двум организациям за каждый период.
Сравните полученные показатели.
Задача 8. Убыточность страховых организаций по добровольно-
му страхованию имущества характеризуется следующими показате-
лями:
217
№ органи- Страховая сум- Страховые вы- Коэффициент Удельный вес
зации ма. тыс. руб. платы. тыс. руб. убыточности страховой суммы
А 1 2 3 4
1 70 11.2 0.16 35
2 130 26.0 0.20 65
Определите средний коэффициент убыточности по двум страхо-
вым организациям, используя показатели: а) гр. 1 н 2, б) гр. 1 и 3,
в) гр. 2 и 3, г) гр. 3 и 4.
Задача 9. Убыточность по имущественному страхованию харак-
теризуется следующими данными:
Год 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Убыточность со 100 руб. страховой суммы, коп. 9 11 11 12 14 15
Определите:
1) среднегодовой уровень убыточности страховой суммы;
2) нетто-ставку с доверительной вероятностью 0,954;
3) брутто-ставку, при условии, что нагрузка к нетто-ставке со-
ставляет 20%.
Задача 10. Имеются данные по страхованию домашнего имуще-
ства, тыс. руб.:
Год 1993 1994 1995 1996 1997
Страховая сумма 12 000 12 400 13 000 14 500 15 000
Страховые выплаты 87.6 93 106,6 113.4 129
Определите:
1) среднюю убыточность страховой суммы за 5 лет;
2) с вероятностью 0,954 будущую нетто-ставку;
3) брутто-ставку, при условии, что нагрузка по данному виду
страхования составляет 15%.
Задача 11. Имеются данные страховых компаний о добровольном
страховании имущества:
Район Базисный период Отчетный период
Страховая сум- ма. МЛН руб Страховые вы- платы. тыс. руб. Страховая сум- ма. млн руб Страховые вы- платы, тыс. руб.
1 90 270 100 250
II 65 130 80 176
Определите:
1) индивидуальные индексы убыточности по каждому району;
2) по двум районам индексы средней убыточности: а) перемен-
ного состава, б) постоянного состава, в) структурных сдвигов;
218
3) абсолютный прирост (снижение) средней убыточности на
100 руб. страховой суммы за счет изменения уровней убыточности
по каждому району и изменения страховых сумм.
Задача 12. Имеются данные по добровольному имущественному
страхованию субъектов хозяйствования:
Показатель Базисный период Отчетный период
Средняя страховая сумма, тыс. руб. 400 420
Средний размер выплат, тыс. руб. 8 8.82
Доля пострадавших объектов. % 4 3.2
Определите:
1) индекс тяжести страховых событий;
2) индекс убыточности страховой суммы.
Задача 13. В отчетном году доля пострадавших объектов снизи-
лась на 2%, убыточность страховой суммы возросла на 1%.
Определите индекс тяжести страховых событий.
Задача 14. За прошедший год доля пострадавших объектов в
районе сократилась на 2%, тяжесть страховых событий возросла на
5%.
Как изменилась убыточность страховой суммы?
Задача 15. В отчетном периоде по сравнению с базисным сред-
няя страховая сумма увеличилась на 12%, среднее страховое возме-
щение возросло на 5%, доля пострадавших объектов — на 2,4%.
Определите индекс убыточности страховой суммы.
Задача 16. Определите для лица в возрасте 40 лет единовремен-
ную нетто-ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком
на 5 лет, используя: а) дисконтный множитель, б) данные коммута-
ционных чисел (см. табл. 16.1).
Задача 17. По данным коммутационных чисел выполните условие
задачи 16 для лица, заключившего договор в возрасте 45 лет сроком
на 5 лет.
Задача 18. По данным коммутационных чисел определите еди-
новременную нетто-ставку на случай смерги для лица в возрасте
40 лет сроком на 5 лет.
Задача 19. Имеются следующие данные о травматизме по пред-
приятию:
№ цеха Число рабочих Число травм (несчастных случаев) Человеко-дни нетрудоспособности
1 350 14 126
э 400 12 132
3 120 6 108
219
Определите по каждому цеху и предприятию в целом в расчете
на 100 человек:
1) частоту травматизма, тяжесть травматизма;
2) коэффициент нетрудоспособности на одного работника.
Задача 20. Имеются следующие данные по предприятиям отрас-
ли:
№ пред- приятия Среднесписочная числен- ность работников, человек Число несчастных случаев Коэффициент нетру- доспособности
1 400 16 0.56
2 600 12 0.36
Определите:
1) средний коэффициент нетрудоспособности по двум предпри-
ятиям;
2) по каждому предприятию и по двум вместе: а) частоту трав-
матизма, б) тяжесть травматизма.
Глава 17. СТАТИСТИКА ЦЕННЫХ БУМАГ
Методические указания и решение типовых задач .
Рынок ценных бумаг — часть финансового рынка, на котором
обращаются средне- и долгосрочные бумаги. К ценным бумагам от-
носятся акции, облигации, сертификаты, векселя, казначейские обя-
зательства и др. Рынок ценных бумаг складывается из спроса и пред-
ложения и уравновешивающих нх цен. Существуют различные виды
ценных бумаг: с нефиксированным доходом, с фиксированным до-
ходом, смешанные формы.
Акции не имеют установленного срока обращения, их владельцы
получают дивиденды в течение всего срока существования акцио-
нерного общества (АО).
В зависимости от длительности обращения ценных бумаг на
рынке устанавливаются цены на акции: номинальная, эмиссионная,
рыночная. На акции указывается номинальная стоимость, которая
определяется путем деления величины уставного капитала на коли-
чество выпущенных акций:
Р
н N ’
где — номинальная стоимость акции;
УК — величина уставного капитала;
А - количество выпущенных акций.
220
На основе номинальной стоимости устанавливается эмиссионная
цена, по которой осуществляется первичное размещение акций. На
рынке ценных бумаг акции реализуются по рыночной цене, завися-
щей от соотношения спроса и предложения.
Активность бирж базируется на биржевых индексах цен, харак-
теризующих динамику цен и средний уровень цены на акции.
Индекс цены на акцию определенного наименования исчисляется
по формуле
i
р р ’
где Р Рк^ — курсовая цена отчетного и базисного периодов.
Индекс средних уровней
" рк ’
— — к"
где Рк , — средние курсовые цены отчетного и базисного перио-
дов.
Доходность акции определяется двумя факторами: получением
части распределяемой прибыли АО (дивидендом) и дополнительным
доходом, который равен разнице между курсовой ценой и ценой при-
обретения (Д = Рк - Рпр ).
Годовая ставка дивиденда рассчитывается по формуле
'4=# 100.
J н
где Д — абсолютный уровень дивиденда.
Сумма годового дохода акции определяется по формуле
А 100 ‘
Для оценки дохода по акции, приобретенной по курсу, исполь-
зуют показатель рендит, который характеризует процент прибыли
от цены приобретения акции:
Я = -Д • 100.
* Пр
Совокупная доходность исчисляется отношением совокупного
дохода (СД = Д + Дч ) к цене приобретения:
'сд=та-1«1-
пр
221
Доходность облигации определяется двумя факторами: купон-
ными выплатами, которые производятся ежегодно (иногда раз в
квартал или полугодие), и разницей между ценой погашения и при-
обретения бумаги:
Дк 10о
где Дк — купонный доход;
Рн — номинальная стоимость облигации;
,к годовая купонная ставка, %.
Разница между ценой погашения и приобретения бумаги опре-
деляет величину прироста или убытка капитала за весь срок займа.
Если погашение производится по номиналу, а облигация куплена с
дисконтом, инвестор имеет прирост капитала. При покупке облига-
ции по цене с премией владелец, погашая бумагу, терпит убыток.
Облигация с премией имеет доходность ниже указанной на купоне.
Сумма купонных выплат и годового прироста (убытка) капитала
определяет величину совокупного годового дохода по облигации.
Совокупная годовая доходность облигации представляет собой от-
ношение совокупного годового дохода к цене приобретения обли-
гации:
<сд = ^100.
пр
Текущая доходность облигации без выплаты процентов исчис-
ляется по формуле
Л/100
где Лк — курс покупки облигации:
п — срок от момента приобретения до выкупа облигации.
При этом, если облигация приобретена с дисконтом, до ее вы-
купа Рк < 100.
Доходность облигации с выплатой процентов в конце срока
рассчитывается по формуле
1 + g
I - П ,---- ~ ’ 1 -
V Л./100
IX
где g обьявленная годовая норма доходности но облигации.
Доходность облигации с периодической выплатой процентов,
погашаемой в конце срока, определяется по формулам:
а) сложных процентов:
,=-£-=•^•100.
* 2 к
где g — норма доходности по купонам;
Р — рыночная цена;
б) простых процентов:
100-?к
Текущая доходность облигаций с учетом налоговых льгот ис-
числяется по формуле
. р«~р 1 к
Р 1 -I п
где t — ставка налоговых льгот;
п — срок от даты приобретения до погашения облигации;
К — количество дней в году.
Стоимость облигации без обязательного погашения с периоди-
ческой выплатой процентов определяется по формулам:
а) современная стоимость:
б) курсовая цена:
рк=^- 100=4-100.
k >р„ '
Для сравнительной оценки акций используются следующие по-
казатели:
ценность акции = ;
коэффициент котировки = .
Ожидаемая доходность акций рассчитывается но эффективной
ставке процентов:
223
,=М. 100 = А. 100
Pg Рп
где Д — ожидаемый доход;
п — срок операций;
Р - ожидаемая цена акции.
При расчете доходности векселей необходимо учитывать сле-
дующее:
1) если владелец векселя держит документ до даты его погаше-
ния, причем вексель размещен по номинальной цене с доходом в
виде процента, то векселедержатель сверх номинала получает
сумму дохода, равную
„ _ % год п
Д " 100 360 ’
где /в год — годовая процентная ставка по векселю;
Рн — номинальная цена векселя;
л — число дней от даты выставления векселя до даты погаше-
ния.
2) если вексель размещен с дисконтом, а погашение производит-
ся по номиналу, доход владельца составляет
Л-РР
гл н ДИСК >
где Pwcl. — дисконтная цена векселя, по которой он размещен.
Доходность векселя
'в Р V ’
л пр
где Р — цена (номинальная или дисконтная), по которой произве-
дено первичное размещение векселя.
Абсолютный размер дохода по сертификату определяется по
формуле
~ 100- 12 5
где /егод — годовая ставка процента по сертификату;
п — число месяцев, на которое выпущен сертификат.
Доходность сертификата исчисляется по формуле
<• = /-100.
пр
Пример 1. Акция номиналом 6000 руб. приобретена за 9000 руб.
и продана через год за 9500 руб. Ставка дивиденда — 20% годовых.
224
Определить:
1) дивиденд:
2) дополнительный доход;
3) совокупный доход;
4) совокупную доходность;
5) рендит.
Решение. 1, Размер дивиденда Д = 6000 0,2 = 1200 руб.
2. Дополнительный доход АД = 9500 - 9000 = 500 руб.
3. Совокупный доход СД = 1200 + 500 = 1700 руб.
4. Совокупная доходность /Сд = (1700 / 9000) 100 = 18,9%.
5. Рендит А = (1200 / 9000) - 100 = 13.3%.
Пример 2. Инвестор приобрел акцию по номинальной цене
1000 руб. при размере дивиденда 30% годовых. Учетная ставка бан-
ковского процента — 25%.
Определить курсовую стоимость акции.
Решение. Курсовая стоимость акции рассчитывается по формуле
Пример 3. Акция приобретена по номинальной стоимости
1000 руб. Ставка дивиденда — 60% годовых. Через год курс акции
снизился на 10%, и владелец ее продал.
Определить:
1) размер дивиденда;
2) размер убытка вследствие падения курса;
3) совокупный доход;
4) совокупную доходность.
Решение. 1. Размер дивиденда равен
/дРн 60 1000 ЛЛ „
Д“ 100 ~ 100 “600 РУ6’
2. Размер убытка вследствие падения курса исчисляется по фор-
мулам
Рк = I, Рн .
АД = РК - Plip = 1р Рн - Рн = Л, (/;, - 1) = 1000 (0,9 - 1) = -100 руб.
3. Совокупный доход
СД = Д + АД = 600 - 100 = 500 руб.
4. Совокупная доходность
'СД = ^1ОО=1Ж1(,О = 5О%'
Пример 4. Акция номиналом 10 000 руб. приобретена по курсовой
цепе 10 800 руб. и продана на бирже через 2 года. В первом году
рендпт составил 26%. Во втором году ставка дивиденда была равна
30%. Рыночная (курсовая) цена акции за два года возросла в 1.щ
раза.
Определить совокупную доходность акции за весь период.
Решение. 1. Размер дивиденда Д = 10 000 0,3 = 3000 руб.
2. Дополнительный доход Д - 10 800 0,26 = 2808 руб.
3. Совокупная доходность
_ 3000 + 2808 + 10 800 - 1,08 - 10 800
~ 10 800
= 0,618, или 61,8%.
Пример 5. Облигация номиналом 9000 руб. и сроком займа три
года с ежегодной выплатой дохода по ставке 40% приобретена и
премией за 15 000 руб. в первый год после эмиссии и находится у
владельца до момента погашения.
Определить:
1) годовой купонный доход;
2) убыток капитала за весь срок;
3) годовой убыток капитала;
4) совокупный доход;
5) совокупную доходность.
Решение. 1. Годовой купонный доход Д = 9000 0,4 = 3600 руб.
2. Убыток капитала за весь срок от года приобретения до пога-
шения ДД = 9000 - 15 000 = -6000 руб.
3. Годовой убыток капитала ДДГ = 6000 / 3 = -2000 руб.
4. Совокупный доход СД = 3600 - 2000 = 1600 руб.
5. Совокупная доходность ?Сд = (1600 / 15 000) 100 = 10,67%.
Пример 6. Облигация номиналом 1000 руб. приобретена за
800 руб. и продана через год за 810 руб. Купонная ставка — 5%
годовых.
Определить:
1) годовой купонный доход;
2) купонный доход за 25 дней, если проценты точные;
3) прирост капитала;
4) совокупный доход;
5) совокупную доходность.
Решение. 1. Годовой купонный доход Дг = 1000 0,05 = 50 руб.
2. Купонный доход за 25 дней Д ~ 1000-0,05-(25/365) = 3,4 руб.
3. Прирост капитала: ДД = 810 - 800 = 10 руб.
4. Совокупный доход СД = Д + ДД = 50 + 10 - 60 руб.
5. Совокупная доходность /Сд ~ (60 / 800) 100 = 7,5%.
Пример 7. АО выпустило облигации без выплаты процентов (вы-
пуск — 1996 г., погашение — 1998 г.) на сумму 200 тыс. руб. Курс,
по которому реализована облигация. 95.
226
Определить доходность облигации.
Решение. Доходность облигации исчисляется по формуле
i= 1 1 = 0,026, или 2,6%.
V95/100
Пример 8. Облигация реализована по курсу 96 сроком на 2 года,
начисление процентов производится по ставке 20% годовых, при ус-
ловии, что проценты и номинал погашаются в конце срока.
Определить доходность облигации.
Решение. Доходность облигации рассчитывается по формуле
1+р 1+02
i Д_ J = -А— _ 1 = 0,224, или 22,4%.
Р/100 96/100
Пример 9. Краткосрочная облигация номиналом 100 руб. приоб-
ретена банком за 10 дней до ее погашения.
Определить итоговую цену облигации, если ее текущая доход-
ность с учетом налоговых льгот — 70%, налоговая ставка — 0,25.
Решение. Цена облигации определяется по формуле
Л, 100
Р = " ш(1-0 = 1 + (10 0,7 • 0,75)/365 = 98’6 руб‘
+ К
Пример 10. Два векселя со сроком погашения 11.06 стоимостью
50 тыс. руб. и 02.08 стоимостью 40 тыс. руб. заменяются одним с
продлением срока до 02.10. При объединении векселей применена
учетная ставка 12%.
Определить сумму нового векселя.
Решение. Сумма нового векселя определяется по формуле
Р = 5(1 - nd) = 50 (1 - (113 / 360) 0,12) + 40 (1 - (61 / 360) х
х 0,12) = 87,3 тыс. руб.
Пример 11. Вексель стоимостью 2,5 тыс. руб. с обязательством
уплатить через 90 дней по ставке 24% годовых простые обыкновен-
ные проценты учтен банком за 30 дней до срока по учетной ставке
12% годовых.
Определить:
1) сумму, полученную в банке векселедержателем;
2) доход банка.
Решение. 1. Сумма, причитающаяся векселедержателю в момент
погашения векселя:
2,5 (1 + 0,24 90 / 360) = 2,65 тыс. руб.
2. Сумма, полученная векселедержателем в банке:
2,65 (1 0,12 • 30 / 360) = 2,62 лыс. руб.
3. Доход банка: 2,65 - 2.62 = 0,03 тыс. руб.
227
Пример 12. Трехмесячный депозитный сертификат номиналом
1500 руб. продан банком лицу А под 110% годовых. Через месяп
процентная ставка по двухмесячному сертификату составила 120" .
годовых, и лицо А продало его лицу В.
Определить доход каждого лица.
Решение. 1. Доход лица А: 1500 1.1/12 + 1500 1,2 • 2/12 =
= 437,5 руб.
2. Доход лица В: 1500 1,1 • 3/12 - 1500 • 1,1 - 1/12 = 275 руб.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Акция номиналом 5000 руб. приобретена за 8000 руб.
и продана через год за 8500 руб. Ставка дивиденда - 20% годовых.
Определите:
1) дивиденд;
2) совокупный доход;
3) совокупную доходность;
4) рендит.
Задача 2. Инвестор приобрел акцию ио номинальной цепе
1100 руб. при ставке 25% годовых. Учетная ставка банковского про-
цента — 20%.
Определите курсовую стоимость акции.
Задача 3. В начале первого года приобретена акция по номиналу
1800 руб. Совокупная доходность акции в первом году составила
20%, во втором — 5%. Курс акции в начале второго года — 105 пунк-
тов, в начале третьего — 98 пунктов.
Определите ставку дивиденда за каждый год.
Задача 4. Акция приобретена по поминальной стоимости
1200 руб., ставка дивиденда — 50% годовых. Через год курс акции
понизился на 12%, и владелец ее продал. Определите совокупную
доходность акции.
Задача 5. Акция номиналом 1100 руб. приобретена по курсовой
цене 1200 руб. п продана на бирже через 2 года. В первом году ренди г
составил 22%. Во втором году ставка дивиденда была равна 25%.
Рыночная (курсовая) цена акции за два года возросла в 1,1 раза.
Определите совокупную доходность акции за весь период.
Задача 6. Акция номиналом 2000 руб. приобретена на бирже за
3000 руб. и через год там же продана, что обеспечило владельцч
0.4 руб. совокупного дохода с каждого инвестированного рубля.
Ставка дивиденда — 20%.
Определи ie курс акции в момент продажи.
Задача 7. Акция номиналом 1000 руб. куплена с коэффициентом
1.7 и продана на четвертый год после приобретения за 90 дней ди
228
даты выплаты дивидендов. В первый год уровень дивиденда был
равне 150 руб., во второй год рендит составил 20%, в третий год
ставка дивиденда -- 45%. Индекс цены продажи ио отношению к
цене приобретения — 1,25.
Определите:
1) цену приобретения акции;
2) сумму дивидендов за второй и третий год;
3) сумму дивидендов за весь срок;
4) сумму совокупного дохода;
5) совокупную доходность за весь срок.
Задача 8. Акция номиналом 1000 руб. приобретена с коэффици-
ентом 1,7 и продана через 3 года. Рендит акции в первый год составил
20% годовых, ставка дивиденда во второй год — 45% годовых, сумма
дивиденда в третий год — 5000 руб. Рыночная цена акции по срав-
нению с предыдущим годом возросла: во второй год — в 1,05 раза,
в третий год -- - на 6%.
Определите:
1) цену приобретения акции;
2) сумму дивидендов за первый и второй годы;
3) сумму дивидендов за весь срок;
4) совокупную доходность акции;
5) рыночную цену акции за второй и третий годы.
Задача 9. Банк выпустил в текущем году акции номиналом
500 руб. Их курсовая стоимость — 1200 руб., сумма дивиденда па
акцию в IV квартале — 100 руб.
Определите ценность акции и коэффициент ее котировки при ус-
ловии, что курсовая цепа акции равна ее номиналу.
Задача 10. Облигация номиналом 8000 руб. со сроком займа три
года и ежегодной выплатой процентов по ставке 30% приобретена
в первый год после эмиссии с премией за 12 000 руб. и находится у
владельца до момента ее погашения.
Определите за год:
1) убыток капитала;
2) годовой совокупный доход;
3) совокупную доходность.
Задача И. Облигация номиналом 1100 руб. приобретена за
900 руб. и продана через год за 920 руб. Купонная ставка — 8%
годовых.
Определите:
1) годовой купонный доход;
2) купонный доход за 30 дней, если проценты точные;
3) прирост капитала;
4) совокупный доход;
5) совокупную доходность.
229
Задача 12. АО выпустило облигации без выплаты процентов (вы-
пуск - - 1995 г,, погашение — 1998 г.) па сумму 200 млн руб. Курс,
по которому реализована облигация, —94.
Определите доходность облигации.
Задача 13. Облигация сроком 10 лет (проценты выплачиваются
один раз в конце года по норме 12%) куплена по курсу 96.
Определите ставку помещения по простым и сложным процен-
там.
Задача 14. Облигация реализована по курсу 96, срок — 4 года,
начисление процентов производится по ставке 20% годовых, при ус-
ловии, что проценты и номинал погашаются в конце срока.
Определите доходность облигации.
Задача 15. Краткосрочная облигация номиналом 1200 руб. при-
обретена банком за 8 дней до погашения.
Определите цену облигации, если ее текущая доходность с учетом
налоговых льгот — 72%, налоговая ставка — 0,3.
Задача 16. Краткосрочная бескупонная облигация номиналом
1000 руб. приобретена банком по цене 995 руб.
Определите текущую доходность облигации к погашению с уче-
том налоговых льгот (0,25), если до погашения осталось 10 дней.
При оценке доходности число дней в году считать равным 365.
Задача 17. За два года до погашения приобретена облигация за
1100 руб., имеющая купонную ставку 20%, которая погашается по
номиналу. Годовой темп инфляции составил 10%.
Определите:
1) совокупный доход за два года: а) без учета инфляции, б) с
учетом инфляции;
2) среднегодовую совокупную доходность: а) без учета инфляции,
б) с учетом инфляции.
Задача 18. Облигация номиналом 1000 руб. приобретена за 1200
руб. с годовой купонной ставкой 30%. Погашение осуществляется
по номинальной цене.
Определите годовую совокупную доходность облигации, если
она приобретена:
1) за год до погашения;
2) за три года до погашения.
Задача 19. Облигация номиналом 1000 руб. при ставке 9% годо-
вых обеспечила к моменту погашения суммарный купонный доход
500 руб.
Определите, на какой срок выпущена облигация.
Задача 20. Срок займа по облигации со ставкой 5% годовых —
5 лет. В момент погашения наращенная стоимость облигации соста-
вила 1500 руб.
230
Определите номинальную стоимость облигации.
Задача 21. Вексель стоимостью 1500 руб. с обязательством упла-
тить через 90 дней по ставке 20% годовых простые обыкновенные
проценты учтен банком за 20 дней до срока погашения по учетной
ставке 10% годовых.
Определите:
1) сумму, полученную в банке векселедержателем;
2) доход банка.
Задача 22. Два векселя со сроком погашения 01,06 стоимостью
1000 руб. и 01.08 стоимостью 1500 руб. заменяются одним с продле-
нием срока до 31.10. При объединении векселей применена учетная
ставка 10%.
Определите сумму нового векселя.
Задача 23. Переводной вексель выдан на сумму 500 руб. с уплатой
19.12. Векселедержатель учел вексель в банке 25.10 по учетной ставке
8%.
Определите:
1) сумму, полученную векселедержателем;
2) дисконт в пользу банка.
Задача 24. Депозитный сертификат номиналом 500 руб. размещен
на 3 месяца под 30% годовых. Цена погашения сертификата -— 540
РУб-
Определнте доходность депозитного сертификата.
Задача 25. Сберегательный сертификат, проданный за 200 руб.,
погашается через 2 года по цене 450 руб.
Определите процентную ставку по сертификату при начислении
сложных процентов.
Задача 26. Трехмесячный депозитный сертификат номиналом
1000 руб. продан банком лицу А под 110% годовых. Через месяц
процентная ставка по двухмесячному сертификату составила 120%
годовых, и лицо А продало его лицу В.
Определите доход каждого лица.
Задача 27. Шестимесячный депозитный сертификат размещен по
номиналу 1000 руб. под 40% годовых. Через 2 месяца рыночная став-
ка по четырех месячному сертификату составила 50%, п владелец про-
дал его.
Определите:
1) абсолютный размер дохода по сертификату;
2) доход продавца и покупателя:
3) доходность сделки для продавца и покупателя.
Задача 28. На какой срок должен быть выпущен сберегательный
сертификат номиналом 1000 руб., если сумма погашения при 8% го-
довых составляет 1100 руб. (А" = 365)?
231
Задача 29. Сберегательный сертификат номиналом 1000 руб.
выдан на 2 года 90 дней под 20% годовых.
Определите сумму держателя сертификата при погашении (при-
меняя смешанный метод при начислении процентов).
Задача 30. Сберегательный сертификат погашается через два года
по 1800 руб., цена его продажи — 1000 руб.
Определите:
1) процентные ставки (простую и сложную);
2) учетные ставки (простую и сложную).
Глава 18. СТАТИСТИКА ФИНАНСОВ
ПРЕДПРИЯТИЙ И ОРГАНИЗАЦИЙ
Методические указания и решение типовых задач
В условиях рыночной экономики, когда развитие предприятий
и организаций осуществляется в основном за счет собственных
средств, важное значение имеет устойчивое финансовое состояние,
которое характеризуется системой показателей. Эта система содер-
жит четыре группы показателей: ликвидность, оборачиваемость ак-
тивов, привлечение средств, прибыльность.
Первая группа — показатели ликвидности: коэффициент ликвид-
ности, который определяется как отношение быстрореализуемых ак-
тивов (денежные средства, отгруженные товары, дебиторская задол-
женность) к краткосрочным обязательствам (краткосрочные ссуды,
задолженность рабочим и служащим по заработной плате и соци-
альным выплатам, кредиторская задолженность); коэффициент по-
крытия, который рассчитывается как отношение всех ликвидных ак-
тивов к краткосрочным обязательствам.
Вторая группа — коэффициенты оборачиваемости активов (обо-
рачиваемость всех активов основных средств, дебиторских счетов,
средств в расчетах и запасов).
Третья группа — степень покрытия фиксированных платежей -
определяется как отношение балансовой прибыли к сумме фиксиро-
ванных платежей.
Четвертая группа — показатели прибыли п рентабельности.
Прибыль от реализации продукции определяется как разница
между выручкой, полученной от реализации продукции, и затратами
на ее производство:
Пр = £(/> —-) ц.
где р - цепа единицы продукции;
г затраты на производство единицы продукции;
232
q — объем продукции.
Бмлансопая прибыль предприятия
_ Пр + ППр + ПВНСр,
где Пб — балансовая прибыль;
Пр — прибыль от реализации продукции, работ и услуг;
ППр — прибыль от прочей реализации, включающей реализацию
основных фондов и другого имущества, материальных активов, цен-
ных бумаг и т.п.;
ПВнср — прибыль он внереализационных операций (сдача иму-
щества в аренду, долевое участие в деятельности других предприятии
и др.).
Чистая прибыль представляет собой разность между балансовой
прибылью и суммой платежей в бюджет.
Прибыльность предприятия определяется показателями рента-
бельности. Рассчитывают рентабельность продукции и предприятия.
Рентабельность продукции (г) исчисляют как отношение прибыли
(Пр), полученной от реализации продукции, к затратам (С) на ее
производство:
Рентабельность предприятия (R) определяется по формуле
где К — величина капитала.
Анализируя показатели прибыли н рентабельности, статистика
дает не только общую оценку их размера, но и характеризует их
изменение под влиянием отдельных факторов.
Относительное изменение среднего уровня рентабельности про-
дукции определяется системой индексов:
Л _?1£г1^1
г 70 2 Г]
пс 1г0С! Ег0^’
где Г], с0 — затраты на производство и реализацию продукции;
d\ и — удельный вес затрат на производство н реализацию
продукции в общих затратах.
233
Абсолютное изменение среднего уровня рентабельности
А г = £ г [б/] - £
обусловлено влиянием следующих факторов:
а) рентабельности; А г - £ - £ rGd\ ;
б) структуры: A d = £ rGdy - £ rGdG .
Оборачиваемость оборотных средств характеризуется двумя по-
казателями: числом оборотов и продолжительностью одного обо-
рота. Количество (п) оборотов оборотных средств определяется от-
ношением стоимости реализованной продукции (РП) к средним ос-
таткам оборотных средств (ОС):
РП
л = = ;
ОС
продолжительность (/) одного оборота оборотных средств равна
ос гт Д
'=РП Д.
где Д — количество календарных дней.
Пример 1. Имеются следующие данные по промышленному
предприятию, тыс. руб.;
Показатель Базисный год Отчетный год
На начало На конец На начало На конец
Денежные средства 2560 2500 2500 1000
Товары отгруженные 560 200 200 300
Дебиторская задолженность 200 300 300 280
Товарно-материальные ценности 4200 4000 4000 4600
Краткосрочные ссуды 2100 2200 2200 2800
Задолженность рабочим и служа-
щим по заработной плате и соци-
альным выплатам 400 460 460 600
Кредиторская задолженность 560 600 600 800
Определить на начало и конец каждого года:
1) быстрореализуемые активы;
2) ликвидные средства;
3) краткосрочные обязательства;
4) коэффициенты ликвидности;
5) коэффициенты покрытия.
Решение. 1. Быстрореализуемые активы
Базисный период:
на начало: 2560 + 560 + 200 = 3320 тыс. руб.,
234
на конец: 2500 + 200 + 300 = 3000 тыс. руб.
Отчетный период:
на начало: 3000 тыс. руб.,
на конец: 1000 + 300 + 280 = 1580 тыс. руб.
2. Ликвидные средства
Базисный период:
на начало: 3320 + 4200 = 7520 тыс. руб.,
на конец: 3000 + 4000 = 7000 тыс. руб.
Отчетный период:
на начало: 7000 тыс. руб.,
на конец: 1580 + 4600 = 6180 тыс. руб.
3. Краткосрочные обязательства
Базисный период:
на начало: 2100 + 400 + 560 = 3060 тыс. руб.,
на конец: 2200 + 460 + 600 = 3260 тыс. руб.
Отчетный период:
на начало: 3260 тыс. руб.
на конец: 2800 + 600 + 800 = 4200 тыс. руб.
4. Коэффициенты ликвидности
Базисный период:
на начало: Кл = 3320 / 3060 = 1,085,
на конец: Кл = 3000 / 3260 = 0,920.
Отчетный период:
на начало: = 0,920,
на конец: = 1580 / 4200 = 0,376.
5. Коэффициенты покрытия
Базисный период:
на начало: Кп = 7520 / 3060 = 2,46,
на конец: = 7000 / 3260 = 2,15.
Отчетный период:
на начало: Кп = 2,15,
на конец: Кп = 6180/4200 = 1,47.
Самое высокое значение коэффициентов ликвидности и покры-
тия приходится на начало базисного года. На эту дату отмечалась
высокая сумма активов и низкая величина задолженности. На
конец базисного года сумма активов уменьшилась на 520 тыс. руб,
(7520 - 7000), сумма же задолженности увеличилась на 200 тыс, руб.
(3260 - 3060). На конец отчетного года произошло дальнейшее
уменьшение размеров активов и увеличение суммы задолженности,
в результате коэффициент покрытия снизился с 2,15 до 1,47, а ко-
эффициент ликвидности - - с 0,92 до 0,376.
235
Пример 2. Имеются следующие условные данные по предприятию
за месяц, млн руб.:
Выручка от реализации продукции................................ 490
в том числе налог на добавленную стоимость...................84
Себестоимость реализованной продукции.......................... 274
Коммерческие и управленческие расходы............................19
Получены чистые проценты .......................................0,2
Чистые доходы от прочих операций (валовые доходы минус
валовые расходы) ...............................................2,0
Прочие внереализационные доходы.................................1,1
Прочие внереализационные расходы................................0,9
Уплачен налог на прибыль.......................................28,3
Отвлеченные средства от прибыли......................,..........1,9
Определить:
1) прибыль от реализации продукции;
2) прибыль от финансово-хозяйственной деятельности;
3) балансовую прибыль;
4) нераспределенную прибыль.
Решение, 1. Прибыль от реализации продукции
Пр = 490 - 84 - 274 - 19 + 0,2 = 113,2 млн руб.
2. Прибыль от финансово-хозяйственной деятельности
П = 113,2 + 2,0 = 115,2 млн руб.
3. Балансовая прибыль
Пб = 115,2 + 1,1 - 0,9 = 115,4 млн руб.
4. Нераспределенная прибыль по состоянию на конец месяца
Пн = 115,41,9 = 113,5 млн руб.
Пример 3. Имеются следующие данные, млн руб.:
Вид продук- НИИ Затраты на производство и реализацию Прибыль от реализации продукции
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
А 480 620 140 210
Б 220 160 60 40
Определить:
1) уровень рентабельности по каждому виду и в целом по двум
видам продукции за каждый период;
2) общие индексы рентабельности (переменного, постоянного
состава и структурных сдвигов);
3) абсолютное изменение средней рентабельности продукции за
счет влияния следующих факторов: а) рентабельности; б) структур-
ных сдвигов.
236
Решение. 1, Уровень рентабельности:
по продукции А:
базисный период: гА = 140 / 480 = 0,29, или 29%,
отчетный период: гА = 210 / 620 = 0,34, или 34%;
по продукции Б:
базисный период: гБ = 60 / 220 = 0,27, или 27%,
отчетный период: гБ = 40 /160 = 0,25, или 25%;
в целом по двум видам продукции:
базисный период: г0 = 200 / 700 ~ 0,286, или 28,6%,
отчетный период: = 250 / 780 - 0,32, или 32%.
г, Zrid, Hi?
2. 1.И9, или 119%.
г r0 I rorfo 0,286
Определяем удельный вес затрат в общей сумме затрат:
dA = 0,686, dr = 0,314;
rfA] = 0,795, ' = 0,205;
Е 0 32
/пс = I = 0,29 • 0,795 + 0,27 • 0,205 = 1,1391 ИЛИ 113’9%;
4тр = = тНЦ = °’983’ или 98’3%-
СТР I r0 d0 0,286
Средняя рентабельность возросла На 11,9% за счет увеличения
рентабельности по отдельным видам продукции на 13,9% и ее сни-
жения на 1,7% вследствие уменьшения удельного веса продукции с
большей рентабельностью.
3. Прирост средней рентабельности (А г) определяется влиянием:
а) изменения рентабельности (Ar ='Lr[d[ - Zr^d^, б) структурных
сдвигов (A d = Е rorfj - 2 г0(^).
А г = Е rjrfj - Е = 0,32 - 0,286 = 0,034,
А г = Е - Е г0^ = 0,32 - 0,281 = 0,039,
A d= I rorf] - Е Г(у/0 = 0,281 - 0,286 = -0,005.
Пример 4. Имеются следующие данные по предприятию, млн
руб,:
Прибыль от реализации продукции.........................20.0
Выручка от реализации лишних основных фондов............0,8
Первоначальная стоимость этих фондов....................0.28
Индекс цен на реализованное имущество предприятий, раз..2.0
Безвозмездно полученные основные фонды ( по остаточной стоимости) . . 0.1
Отчисленная прибыль в резервные фонды...................1.6
237
Определить:
1) прибыль от реализации основных фондов;
2) балансовую прибыль;
3) налогооблагаемую прибыль.
Решение. 1. Прибыль от реализации основных фондов
= 0,8 - 0,28 2 = 0,24 млн руб.
2. Балансовая прибыль
Пб = 20,0 + 0,24 = 20,24 млн руб.
3. Налогооблагаемая прибыль
Пн = 20,24 + 0,1 ~ 1,6 = 18,74 млн руб.
Пример 5. Имеются следующие условные данные о результатах
производственной и финансовой деятельности предприятия, тыс.
РУб.:
Показатель Базисный период Отчетный период
1. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов 50 000 60 000
2. Средние остатки оборотных средств 12 500 12 300
3. Производственные фонды (стр. 1 + стр. 2) 62 500 72 300
4. Реализация продукции в отпускных ценах предприятия 120 000 135 000
5. То же в отпускных ценах предприятия базисного периода 120 000 136 000
6. Полная себестоимость реализованной продукции ПО 000 118 000
7. Реализованная в отчетном году продукция по себестои- мости базисного года — 119 000
8. Прибыль от реализации продукции (стр. 4 - стр. 6) 10 000 17 000
9. Прибыль от реализации иных материальных ценностей 200 250
10. Доходы от внереализационной деятельности 800 1000
Определить:
1) балансовую прибыль;
2) общую рентабельность;
3) абсолютный прирост рентабельности за счет: а) прибыли от
реализации продукции, б) прибыли от реализации иных материаль-
ных ценностей, в) доходов от внереализационной деятельности;
4) абсолютное и относительное изменение прибыли вследствие
влияния следующих факторов: а) цеи, б) себестоимости, в) объема
продукции, г) ассортиментных сдвигов;
5) относительное изменение общей рентабельности за счет при-
роста (снижения) основных фондов и оборотных средств.
Решение. 1. Балансовая прибыль равна:
Пб = 10 000 + 200 + 800 = 11 000 млн руб.,
Пб = 17 000 + 250 + 1000 = 18 250 млн руб.
238
2. Общая рентабельность равна:
гу = (11 000 / 62 500) 100 = 17,6%,
г, = (18 250 / 72 300) 100 = 25,2%.
3. Абсолютный прирост рентабельности
Дг = 25,2 - 17,6 = 7,6%
получен за счет увеличения балансовой прибыли
Дг(БП) =
БГ^-БПу 18 250- 11 000
ПФ, ‘ 100 “ 72 300
100 = 10,05%,
которое сложилось под влиянием следующих показателей:
а) прибыли от реализации продукции:
[(17 000 - 10 000) / 72 300] 100 = 9,7%,
б) прибыли от реализации иных материальных ценностей:
[(250 - 200) / 72 300] • 100 = 0,07%,
в) доходов от внереализационной деятельности:
[(1000 - 800) / 72 300] - 100 = 0,28%.
Среди факторов, определяющих величину балансовой прибыли,
наибольшее воздействие на прирост рентабельности оказывает при-
быль от реализации продукции. Величина этого показателя зависит
от динамики отпускных цен, себестоимости, объема продукции и се
ассортимента.
4. Абсолютный прирост прибыли от реализации продукции
АП = П] - По = 17 000 - 10 000 = 7000 тыс. руб.
обусловлен влиянием следующих факторов:
а) цены:
ДПр = Eptf] - Ер^ = 135 000 - 136 000 = -1000 тыс. руб.;
б) себестоимости:
ДП7 ~ Er^ -Ertf] = 119 000 118 000 = 1000 тыс. руб.;
в) объема реализованной продукции:
ДП? = П0(/9 - 1) = 10 000 (136 000 / 12 000 -- 1) = 1330 тыс. руб.;
г) ассортиментных сдвигов:
- 1 у „ п уп д >0^1 -
f 136 000 - 119 000 10 000
Ч 136000 120000/ 136000 5670 ТЬ1С-Руб-
ДП = ДПр + ДП. + ДП + ДПас;
7000 = -1000 4- 1000 4- 1330 4- 5670.
Относительные показатели:
а) цен: (1000 / 72 300) • 100 = 1,4%;
б) себестоимости: (-1000 / 72 300) 100 = -1,4%;
239
в) объема продукции; (1330 / 72 300) • 100 = 1,85%;
г) ассортимента: (5670 / 72 300) 100 = 7,85%.
Совокупное изменение общей рентабельности за счет факторов
прибыли от реализации продукции: 1,4 - 1,4 + 1,85 + 7,85 = 9,7.
5. Изменение общей рентабельности за счет основных и оборот-
ных фондов
л Г П0 П0 1 Гпооо н ооо) 1пп_ -,0/
^ПФ |<ПФ1 ПФ0/ 00 ^72 300 62 500.'’ °° 2,4/о’
а) за счет основных фондов:
л Г П0 П0 1 inn.. Гн 000
0(11 1ОФ] + ОС0 ПФ0 )' U2 500
б) за счет оборотных фондов:
л Г По По 1 ПЛ_Г11 °00
°C ЩФ! ОФ^ОСо
В итоге
-2,4 = -2,43 + 0,03.
11 000 inn
62 500 J 100=-2’43%:
11 000 ’ 100 = 0,03%
• 100 =
72 300 72 500
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные по промышленному пред-
приятию, или руб.:
Показатель Базисный период Отчетный период
На начало На конец На начало На конец
Денежные средства 2360 2300 2300 880
Товары отгруженные 660 220 220 340
Дебиторская задолженность 200 340 340 320
Товарно-материальные ценности 4440 4280 4280 5080
Краткосрочные ссуды 2180 2360 2360 3060
Задолженность рабочим и служащим по заработной плате и социальным выплатам 440 500 500 800
Кредиторская задолженность 660 700 700 1120
Определите:
1) быстрореализуемые активы;
2) ликвидные средства;
3) краткосрочные обязательства;
4) коэффициент ликвидности;
5) коэффициент покрытия.
240
Задача 2. Имеются следующие данные по предприятию за
месяц, млн руб.:
Выручка от реализации продукции.........................520
в том числе налог на добавленную стоимость...........104
Себестоимость реализованной продукции...................290
Коммерческие и управленческие расходы................... 20
Получены чистые проценты.............................. 0,25
Чистые доходы от прочих операций (валовые доходы минус
валовые расходы)........................................2,1
Прочие внереализационные доходы.........................1,2
Прочие внереализационные расходы........................1.0
Уплачен налог на прибыль.............................. 30.0
Отвлеченные средства от прибыли.........................2,0
Определите показатели прибыли:
1) от реализации продукции;
2) от финансово-хозяйственной деятельности;
3) балансовую;
4) 'Нераспределенную.
Задача 3. Имеются следующие данные по АО за квартал, млн
руб.:
Оплата труда................................................... 800
Отчисления в бюджет от себестоимости .........................., ,85
Получен в оплате за продукцию налог на добавленную стоимость.....150
Начислен налог на прибыль.......................................134
Чистая прибыль..................................................250
Средняя величина активов (всего капитала)...................... 5200
Средняя величина собственных активов по цене возможной реализации . 3850
Определите показатели эффективности деятельности предпри-
ятия:
1) балансовую прибыль;
2) общую рентабельность капитала;
3) чистую рентабельность капитала;
4) чистую рентабельность собственных активов;
5) абсолютный эффект;
6) критерий эффективности предприятия.
Задача 4. Имеются следующие данные по предприятию:
Вид продук- ции Затраты на производство и реализацию продукции Прибыль от реализации продукции
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
А 420 580 140 260
Б 220 160 52 46
241
Определите:
1) рентабельность по каждому виду и в целом по двум видам
продукции за каждый период;
2) общие индексы рентабельности (переменного, постоянного со-
става и структурных сдвигов);
3) абсолютное изменение средней рентабельности за счет влияния
следующих факторов: а) рентабельности, б) структурных сдвигов.
Задача 5. Имеются следующие данные по фирме, млн руб.:
Прибыль от реализации продукции..................................22.0
Выручка от реализации лишних основных фондов .....................2.0
Первоначальная стоимость этих фондов..............................0.6
Индекс цен на реализованное имущество предприятий.................2.0
Безвозмездно полученные основные фонды (по остаточной стоимости) . .0.8
Прибыль, отчисленная в резервные фонды............................2.2
Определите:
1) прибыль от реализации основных фондов;
2) балансовую прибыль;
3) налогооблагаемую прибыль.
Задача 6. Имеются следующие данные по предприятию, тыс. руб.:
Показатель Базисный Отчетный
период период
1. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов 35 895 37 400
2. Средние остатки оборотных средств 11 955 11 220
3. Производственные фонды (стр. 1 + стр. 2) 47 850 48 620
4. Реализация продукции в отпускных пенах предприятия 80 300 85 100
5. То же в отпускных ценах предприятия базисного периода 80 300 82 500
6. Полная себестоимость реализованной продукции 7. Реализованная в отчетном году продукция по ссбсстои- 70 200 73 900
мости базисного года — 72 100
8. Прибыль от реализации продукции (стр. 4 - стр, 6) 10 100 11 200
9. Прибыль от реализации иных материальных ценностей 150 200
10. Доходы от внереализационной деятельности 750 1000
Определите:
1) балансовую прибыль;
2) общую рентабельность;
3) абсолютный прирост рентабельности за счет: а) прибыли от
реализации продукции, б) прибыли от реализации иных материаль-
ных ценностей, в) доходов от внереализационной деятельности.
Задача 7. На основании данных задачи 6 определите абсолютное
и относительное изменения прибыли от реализации продукции за
242
счет: а) цен на продукцию, б) себестоимости, в) объема продукции,
г) ассортиментных сдвигов.
Задача 8. На основании данных задачи 6 определите относитель-
ное изменение общей рентабельности за счет прироста (снижения)
основных фондов и оборотных средств.
Задача 9. За отчетный год балансовая прибыль предприятия со-
ставила 5,8 млн руб., стоимость основных фондов на начало года —
14 млн руб., па конец года — 16 млн руб. Остатки оборотных средств
на начало года — 4,2 млн руб., на конец года — 4,0 млн руб.
Определите рентабельность производственных фондов предпри-
ятия.
Задача 10. Имеются следующие данные по предприятию, млн
руб.:
Показатель 1 квартал 11 квартал
Объем реализованной продукции в оптовых ценах 2400 3600
Средний остаток оборотных средств 400 480
Определите:
1) показатели оборачиваемости оборотных средств за каждый
квартал (число оборотов и продолжительность одного оборота);
2) сумму средств, высвобожденных в результате ускорения обо-
рачиваемости оборотных средств во втором квартале по сравнению
с первым.
Задача 11. Имеются следующие данные по двум предприятиям,
мли. руб.:
№ предпри- яти я Объем реализованной продукции Средние остатки оборотных средств
I квартал II квартал I квартал II квартал
1 900 1500 150 200
2 1400 2000 200 250
Определите:
1) число оборотов и продолжительность одного оборота оборот-
ных средств по каждому предприятию и в целом по двум предпри-
ятиям за каждый квартал;
2) общие индексы оборачиваемости по числу оборотов и их ско-
рости (индексы переменного, постоянного состава и структурных
сдвигов).
Глава 19. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Методические указания и решение типовых задач
Методы финансовых расчетов подразделяются на общие и спе-
цифические, применяемые при выполнении особого класса финан-
совых операций и сделок, требующих адаптации общих методов, их
видоизменения применительно к сути финансовых операций и сде-
лок, исполнения на основе документарных данных.
Ввиду очевидной специфики указанных методов примеры их при-
менения приводятся отдельно в виде решения актуарных и инвести-
ционных задач, исчисления биржевых индексов, проведения прибли-
женных расчетов и т.д.
К наиболее распространенным относятся методы исчисления
простых и сложных процентов, математического и банковского дис-
контирования, консолидированных и рентных расчетов.
Ниже представлены основные формулы, по которым произво-
дится подавляющее большинство расчетов в современной практике
финансовых вычислений.
Метод Исчисление по формулам
простых процентов сложных процентов
Исчисление обычных дскурсивных ставок (наращенных сумм) S = Р (1 + nt) £ = />(!+,У'
Исчисление дисконтных дскурсив- ных ставок, или скидок (математи- ческое дисконтирование) 1 + т (1 + 0"
Исчисление учетных (коммерчес- ких) рекурсивных ставок P = S(l-nd) Р = 5(1 -(/)"
Исчисление дисконтных рекурсив- ных ставок (банковское дисконти- рование) р=—-— (1-4)"
Консолидированные платежи с V о ft "М к = 1 ^1 л
Рентные расчеты „ „ 1 + Щ S=R—— t 1
Здесь S — наращенная сумма (стоимость);
Р — первоначальная сумма;
п — число периодов;
/ - процентная ставка;
т — число случаев начисления в периоде;
d — учетная ставка;
R — член ренты.
244
В зарубежной практике к этим широко применяемым формулам
добавляются, как правило, следующие шесть дополнительных, пред-
назначенных для определения различных норм эффективности.
1. Срок окупаемости
рр = -^~
NP'
где У/ — чистые инвестиции (приведенные затраты);
NP — чистая прибыль (годовая).
2. Норма эффективности (окупаемости инвестиций)
RI NK
3. Чистая текущая (дисконтированная) стоимость
FND FNI
NPV ------------------- чистые дисконтированные доходы -
(1 + i)n (1 + /)"
чистые дисконтированные расходы,
где FND — чистая сумма будущих доходов;
FNI— чистая сумма будущих расходов.
4. Внутренняя ставка доходности
/рр - FNP . FNI _ текущие дисконтированные доходы
(1 + /)” " (1 + У)” текущие дисконтированные инвестиции'
5. Ставка доходности дисконтированных денежных потоков
DCF = FF :А~
(l+i)n
текущие (дисконтированные) поступления в целом за период
одинаковые ежегодные денежные поступления (аннуитеты) ’
где FF — объем будущих поступлений;
А — аннуитеты.
6. Учетная ставка доходности
ARR = -^^
FNI
1 + /)” ”
текущие (дисконтированные) поступления
~ текущие (дисконтированные) инвестиции
Пример 1. Первоначальная сумма вклада составляет 6 млн долл.
США, процентная ставка — 4% годовых, срок хранения денег —
20 лет.
Определить:
1) наращенную сумму денег;
245
2) разницу в доходе с процента;
3) коэффициент опережения.
Решение. 1. Наращенная сумма денег равна:
а) по простым процентам
S = Р (I + ni) = 6 (1 + 20 0,04) = 10,8 млн у.е.;
б) по сложным процентам
$ = Р(1 +/)л = 6 (1 4- О,О4)20 = 13,1 млн у.е.
2. Разница в доходе с процентов равна
Д = 13,1 - 10,8 = 2,3 млн у.е.
3. Расчет коэффициента опережения:
(14-О" _ (1 + О,О4)20
1+л/ 1 + 20 0,04 ’
Пример 2. Наращенная сумма составляет 6 млн у.е., процентная
ставка — 4% годовых, срок хранения денег — 20 лет.
Определить первоначальную сумму денег по простым и сложным
процентам.
Решение. 1. Первоначальная сумма денег по простым процентам
равна
D S 6,0 , ,
Р = : = -—- nn. = 3,3 млн у.е.
1+л/ 1 +20 0,04
2. Первоначальная сумма денег по сложным процентам равна
D .S' 6,0 „ _
Р =------=----------=2,7 млн у.е.
(1 + if (1+0,04)20
Пример 3. По формуле соотношения двух ставок определить учет-
ную (рекурсивную) простую и сложную ставки на основе заданной
декурсивной ставки 4% при условии, что срок ссуды равен 20 годам.
Решение. Рекурсивная (учетная) ставка на основе декурсивной
ставки равна:
а) по простым процентам:
i 0 04
d = —5— = = 0,0222, или 2,22%;
1 + л/ 1 + 20 • 0,04
б) по сложным процентам
d =—!—=------(194 - = 0,0384, или 3,84%.
(1+/)" (1+0,04)2и
Пример 4. Какими суммами следует погашать долг в 100 млн
руб. при условии, что средний срок долга составляет 5 лет, став-
ка — 6% годовых? Каков средний срок погашения долга (аннуи-
тет), исчисленный по простым процентам (долг погашается равно-
мерными платежами)?
246
Решение. 1. Сумма ежегодного платежа равна 100 / 5 = 20,0 млн
руб.
2. Определяем сумму процентных платежей для каждого года из
пяти лет:
для первого года 100 • 0,06 = 6,0 млн руб.;
для второго года (100-6,0) 0,06 = 5,64 млн руб.;
для третьего года [100 - (6,0 + 5,64)] • 0,06 = 5,3 млн руб.;
для четвертого года [100 - (6,0 + 5,64 + 5,3)] 0,06 = 4,98 млн руб.;
для пятого года [100 - (6,0 + 5,64 + 5,3 + 4,98)] 0,06 =
= 4,73 млн руб.
3. Определяем сумму поручений (срочных уплат) по годам при
условии погашения долга равными долями:
для первого года 20 + 6,0 = 26,0 мли руб.;
для второго года 20 + 5,64 = 25,64 млн руб.;
для третьего года 20 + 5,3 = 25,3 млн руб.;
для четвертого года 20 + 4,98 = 24,98 млн руб.;
для пятого года 20 + 4,73 = 24,73 млн руб.
4, Находим средний срок погашения долга (аннуитет) по про-
= 20 1- 0.06 (1.0
. 2 П.0+5 0.06) J ’
стым процентам:
. = Р . _ i (1 + и)
п L 2 (1 + ni)
Пример 5. Как изменяется общая процентная ставка трех вари-
антов с разными соотношениями вкладов (0,6 и 0,4; 0,4 и 0,6; 0,5 и
0,5) при увеличении банковского процента по первому виду вкла-
дов в 1,2 раза и уменьшении по второму в 0,8 раза.
Решение. Общая процентная ставка равна:
I вариант: 1,2 • 0,6 4- 0,8 0,4 = 1,04.
II вариант: 1,2 0,4 + 0,8 0,6 = 0,96.
III вариант: 1,2 • 0,5 + 0,8 • 0,5 = 1,0.
Пример 6. Одна пятая доля платежа за полученный кредит со-
ставляет 1,2 млн руб. Какова общая сумма платежа?
Общая сумма платежа равна (1,2 / 20) 100 = 6 млн руб.
Пример 7. Имеется ряд прямых чисел: 1,01; 1,05; 1,1; 1,2; 1,25;
2,0. Каков будет ряд обратных чисел? Почему приращения прямых
и обратных чисел различаются по величине? Каков закон асиммет-
рии? Почему нельзя приращения умножать и делить друг на друга,
складывать и вычитать?
Решение. Расчет обратных чисел:
1/0,01 = 0,9901; 1/1,05 = 0,9412; 1/1,1 = 0,9091; 1/1,2 = = 0,833;
1/1,25 = 0,8; 1/2 = 0,5.
247
Различие приращений прямых и обратных чисел объясняется дей-
ствием закона асимметрии, в основе которого лежат различия между
расчетами сложных процентов «со сто» и «на сто».
С увеличением абсолютного значения одного процента прироста
(например, вклада) разница между прямыми и обратными прираще-
ниями возрастает. При минимальных значениях приращения эта раз-
ница становится ничтожной (при приросте в 1% она составляет
0,001%). На этом основании обычно игнорируют различия между
приращениями прямых и обратных чисел, что неверно, поскольку
правило процентных исчислений строится для общего случая, кото-
рый указывает на существование сколь угодно больших различий
между ними.
Над приращениями прямых и обратных чисел нельзя произво-
дить обычные арифметические действия, поскольку они соответст-
вуют различным точкам отсчета и связаны между собою через про-
изведение или частное от деления целых процентных чисел, по от-
ношению к которым выступают частями.
Пример 8. Имеются данные о приросте трех различных показа-
телей за два периода и его увеличении, исчисленном в двух вариан-
тах, %:
№ по- казатс- ля Темп прироста Вариант расчета увеличения прироста
I период II период Первый Второй
1 6 16 16 - 6 = 10 (1,16 / 1,06 - 1) 100 = 9.4
2 17 19 19 - 17 = 2 (1.19 / 1.17 - 1) 100 = 1,7
3 20 24 24 - 20 = 4 (1,24 / 1.2 - 1) • 100 = 3,3
Какой нз представленных вариантов расчета увеличения прирос-
та показателей является верным?
Решение. Верным является второй вариант расчета, согласно ко-
торому фактический прирост первого показателя составляет 9,4%, а
не 10%, второго показателя — 1,7%, а не 2% и третьего — 3,3%, а
не 4%.
Почему это так, см. комментарий к решению задачи в примере 7.
Следует обратить внимание на случай разнонаправленного рас-
хождения между увеличениями приращений первого и третьего по-
казателей, противоречащий закону асимметрии (разница увеличения
для первого показателя меньше, чем для третьего, а по определению
должна быть больше). Этот случай является исключительным и ис-
черпывающе объясняется решением задачи в примере 5.
Пример 9. В одном случае цены повышались в 1,2 раза быстрее
доходов, в другом — доходы увеличивались на ту же величину бы-
стрее цен.
248
Как изменился реальный индекс потребления? Почему модуль
величины приращения не одинаков? Поясните, что значит асиммет-
рия приращения?
Решение. 1. Расчет реального индекса потребления.
1.1. Для первого случая:
1,0 / 1,2 = 0,833, или 83,3%,
где 1,0 — индекс номинальных доходов.
Модуль величины приращения равен
0,833 - 1,0 = -0,167, или -16,7%.
1.2. Для второго случая:
1,2 / 1,0 = 1,2, или 120%.
Модуль величины приращения составляет
1,2 - 1,0 = 0,2, или 20%.
2. Модуль величины приращения неодинаков вследствие асим-
метрии.
3. Пояснение к закону симметрии см. в комментарии к решению
задачи в примере 7.
Пример 10. Индекс цен в одном случае повысился на 20%, а в
другом понизился на ту же величину. Определить индекс покупа-
тельной способности денег (индекс инфляции) для первого и второго
случаев. Объяснить их разницу.
Решение. Индекс покупательной способности денег для первого
случая равен
1,0 / 1,2 = 0,833, или 83,3%.
Покупательная способность денег понизилась на 16,7%.
При росте покупательной способности денег понятие инфляции
меняется на противоположное ему понятие дефляции. Индекс дефля-
ции для второго случая равен
1,0 / 0,8 = 1,25, или 125%.
Покупательная способность денег повысилась на 25%.
В первом случае исчислен индекс инфляции (снижения покупа-
тельной способности денег), во втором — индекс дефляции (повыше-
ния их покупательной способности).
Пример И. Норма амортизации составляет 10, 12 и 18%, а норма
эффективности — 8, 15 и 20%. Определить срок окупаемости и про-
извести сравнительный анализ применяемых методов его определе-
ния. С помощью полученных данных сделать обоснованный выбор
верного и предпочтительного вариантов инвестиций.
Решение. 1. Срок окупаемости по показателю амортизации равен:
1,0 / 0,1 = 10 лет; 1,0 / 0,12 = 8,3 года; 1,0 / 0,18 = 5,6 года.
2. Срок окупаемости как показатель, представляющий обратную
величину коэффициентам (нормам) эффективности, равен:
1, 0 / 0,8 = 12,5 года; 1,0 / 0,15 = 6,7 года; 1,0 / 0.2 = 5 лет.
249
Предпочтительным является вариант инвестиций, требующий
минимального срока их окупаемости. Согласно проведенным расче-
там, таким вариантом является последний, т.е. шестой по счету
(5 лет). Он же представляет собой и наиболее верный вариант, по-
скольку опирается на расчет адекватных показателей, какими явля-
ются собственно показатели эффективности, отражающие как пря-
мые, так и косвенные следствия осуществляемых инвестиций.
Пример 12. Имеются следующие данные, млрд руб.:
Метод расчета Обеспечиваемый объем выпуска, тыс. сд. Инвес- тиции Текущие экс- плуатацион- ные расходы Годовая стоимость производства
Один, предлагаемый 40 80 12 20
Два. применяемых 20 60 16 21
Нормативный коэффициент абсолютной эффективности равен
0,2, сравнительной эффективности — 0,12.
Определить коэффициенты абсолютной (общей) и сравнительной
(относительной) эффективности вложений на основе показателей
прямых и приведенных затрат.
Решение. 1. Коэффициент абсолютной (общей) эффективности,
определяемый на основе прямых затрат, равен:
по предлагаемому варианту:
(20 - 12) / 80 = 0,1;
по применяемым вариантам:
(21 - 16) / 60 = 0,08.
Таким образом, оба метода расчета нормативного коэффициента
эффективности, устанавливаемого на основе эталонной технологии
(или мирового образца), неприемлемы. Отсюда следует вывод о том,
что предлагаемый метод предпочтительнее двух применяемых. Срок
его окупаемости составляет 10 лет (1,0 / 0,1), тогда как применяемых
методов — более 12 лет (1,0 / 0,08).
2. Годовая сумма экономии от внедрения предлагаемого вари-
анта, рассчитанная на основе приведенных затрат, составляет
(80 0,12 + 12) - (60 0,12 + 16) = -1,6 млрд руб.
(знак минус в данном случае означает уменьшение затрат на ука-
занную сумму).
Таким образом, предлагаемый вариант обеспечивает экономию
в размере 1,6 млн руб.
3. Коэффициент сравнительной эффективности на основе прямых
затрат равен
(16 - 12) / (80 - 60) = 0,2.
Срок окупаемости составляет 5 лет: 1,0 / 0,2 или (80 - 60) /
/(16 - 12).
250
4. Коэффициент сравнительной эффективности на основе приве-
денных затрат равен
(16 - 12) / [(60 • 0,12 + 16) - (80 - 0,12 + 12)] = 2,5.
5. Коэффициент сравнительной эффективности на основе удель-
ных единовременных затрат составляет
(12 / 20 - 16 / 40) / (60 / 20 - 80 / 40) = 0,2.
Коэффициент сравнительной эффективности на основе удельных
приведенных затрат равен
= 12/20-16/40
60 0,12 + 16 80 0,12 + 12 ’
20 ~ 40
Сравнительную эффективность следует определять на основе
удельных приведенных затрат. Другие варианты расчетов нужно рас-
сматривать как вспомогательные.
Как видно, расчетные коэффициенты сравнительной эффектив-
ности во всех случаях превышают нормативный (0,12). Следователь-
но, предлагаемый вариант безусловно приемлем.
Пример 13. В условиях 30%-го ежегодного повышения цен опре-
делить конкурентный (более выгодный) проект инвестиций, равных
по объему и срокам, если известно, что их окупаемость различна и
составляет в первом году по первому проекту 100 млн руб., а по
второму проекту — 440 млн руб., во втором году — соответственно
250 и 210 млн руб. и в третьем году — 450 и 60 млн руб.
Решение. Определяем (применительно к началу первого года) раз-
мер экономии (дохода), полученной от осуществленных инвестиций
по каждому отдельно взятому проекту. В результате имеем:
по первому варианту:
100 / 1,3 + 250 / 1,3“ + 450 / 133 = 429,7 млн руб.;
по второму варианту:
440 / 1,3 + 210 / 1,3Г+ 60 / 1,33 = 490,0 млн руб.
Следовательно, конкурентным является второй проект, который
(при равных инвестициях) дает (в сопоставимом эквиваленте) доход
на 60,3 млн руб. (490,0 - 429,7) больше по сравнению с первым ва-
риантом.
Пример 14. Имеются следующие данные по трем компаниям о
курсах акций по дням недели:
№ компании Цена акции, долл.
Вторник Среда Чет верг
1 220 112 113
2 82 83 83
j 106 108 109
251
На основе приведенных данных рассчитать индекс Доу-Джонса,
зная, что в среду по первой комиссии произошло деление акций.
Решение. 1. По формуле средней арифметической простой нахо-
дим среднюю цену акций трех компаний по дням.
Средняя цена во вторник равна
(220 + 82 + 106) / 3 = 136,0 долл, за единицу.
Средняя цена акций в среду равна:
а) без учета деления акций
(112 + 83 + 108) / 3 = 101,8 долл, за единицу;
б) с учетом деления
(112 2 + 83 + 108) / 3 = 138,33 долл, за единицу.
2. Принимая во внимание, что средняя цена акций без учета де-
ления в среду и последующие дни будет несопоставима со средней
ценой акций во вторник, исчислим поправочный коэффициент для
корректировки средней цены акций в последующие дни, который
представляет собой отношение средней цены акций в среду без кор-
ректировки к средней цене тех же акций в среду после корректировки.
В результате имеем
101,8 / 138,33 = 0,73014.
3. Средняя цена акций в среду с учетом поправочного коэффи-
циента определяется следующим образом:
(112 + 83 + 108) / (3 0,73014) = 138,33 долл, за единицу.
4. Соответственно средняя сопоставимая цена акций в четверг
равна:
(ИЗ + 83 + 109) / (3 0,73014) = 139,24 долл, за единицу.
5. Цепной индекс Доу-Джонса в среду по сравнению со вторни-
ком составит
138,33 / 136,0 = 1,017, или 101,7%.
То же самое в четверг по сравнению со средой:
139,24 / 138,33 = 1,007, или 100,7%.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные об инвестициях, их отда-
че ио двум объектам и инфляции по годам:
Показатель Год
1 2 3 4 5
По 1 объекту:
инвестиции в фактических ценах, млн руб. 100 200 — — —
прибыль в фактических ценах, млн руб. По II объекту: — — 50 250 400
инвестиции в фактических ценах, млн руб. 200 100 — — —
прибыль н фактических ценах, млн руб. — 10() 200 400
Индекс цен (дефлятор). % 1.0 1.2 1.3 1.5 1.2
252
Нормативная ставка эффективности — 0,15.
За современный момент принимается конец второго года (нача-
ло периода отдачи).
Определите:
1) финансовую эффективность инвестиций по каждому объекту
и в целом по двум объектам;
2) внутреннюю рентабельность инвестиций;
3) срок окупаемости.
Задача 2. Имеются следующие данные за 5 лет о доходах по ак-
циям номинальной стоимостью 100 тыс. руб.:
Показатель Год
1 2 3 4 5
Среднегодовая курсовая цена акции, тыс. руб. 210 450 750 950 1200
Размер дивиденда, тыс. руб. — 100 200 300 500
Индекс цен (дефлятор). % 200 500 250 200 150
Определите:
1) совокупную доходность акции по годам и за 5 лет без учета
и с учетом инфляции;
2) цепные и базисные темпы роста и прироста совокупной до-
ходности акции.
Задача 3. Котировки акций 30 крупнейших промышленных кор-
пораций США на момент закрытия биржи составили, долл. США:
1—16,7 7—13,9 13—25.1 19—70,4 25 -4.7
2—9,4 8—28.6 14—40,0 20—28.2 26—30,8
3—27.3 9—60.5 15—24.2 21—13.7 27-46.2
4-Л5,4 10—62,1 16—80.3 22-4.7 28-47,4
5—80,7 11—70.3 17—162,1 23—11.1 29—76,2
6—60.4 12—27.3 18—15,6 24— 9,1 30—31,1
Исчислите индекс Доу-Джонса при условии, что корректирую-
щий фактор составляет 0,58600.
Задача 4. Имеются следующие данные об абсолютных измене-
ниях курсовой цены акции на фондовой бирже, тыс. руб.: +5, -20,
+ 10, -15, +10, +10, +20, -15, -15, -5, +10, +10, +20, +25, +30. Кур-
совая цена перед первым изменением составляла 255 тыс. руб.
Определите:
1) конечную курсовую цену акции;
2) тенденцию изменения курсовой цены акции.
253
Покажите изменения курсовой цены акции на графике «точка-
крестик», приняв за масштаб 5 единиц.
Задача 5. Имеются следующие данные о котировке акции номи-
нальной стоимостью 100 тыс. руб. за 15 дней, в тыс. руб.: 200, 210,
230, 220, 240, 250, 230, 240, 260, 270, 250, 260, 240, 250, 270.
Определите:
1) основную тенденцию рынка методом трехчленной скользя-
щей средней;
2) средние темпы роста курса акции за весь период и по пяти-
дневкам.
Задача 6. Имеются следующие данные по группе предприятий,
млн руб.:
Показатель Квартал
1 11 111 IV
Реализованная продукция Остатки оборотных средств: 1000 1200 1100 1300
на начало квартала 190 210 230 190
на коней квартала 210 230 190 220
Определите за каждый квартал и в целом за год:
1) коэффициент оборачиваемости оборотных средств (число
оборотов);
2) продолжительность одного оборота оборотных средств (в
днях);
3) среднедневной оборот оборотных средств;
4) темпы роста и прироста реализованной продукции;
5) темпы роста и прироста среднеквартальных остатков оборот-
ных средств;
6) темпы ускорения (замедления) оборачиваемости оборотных
средств.
Задача 7. Имеются данные о доходах и активах акционерного
предприятия, млн руб.:
Показатель Базисный период Отчетный период
Чистая прибыль (после вычета налогов) 75 655 80 290
Балансовая прибыль 129 775 136 780
Объем реализованной продукции, работ, услуг 1 525 000 1 599 765
Сумма всех активов 627 570 663 800
Акционерный капитал 399 750 412 300
Количество выпушенных акций, тыс. шт. 3 995 4 120
254
Определите:
1) прибыль, приходящуюся на одну акцию:
2) расчетную цену акций;
3) отдачу акционерного капитала;
4) отдачу всех активов;
5) коэффициент соотношения всех активов и акционерного ка-
питала;
6) коэффициент соотношения балансовой прибыли и объема ре-
ализованной продукции;
7) долю чистой прибыли в балансовой прибыли.
Задача 8. Известны следующие данные.
Индекс потребительских цен на товары услуги за год. раз...........3.5
Продажа населению товаров и услуг з отчетном году, трлн руб...... 280
Прирост за год неудовлетворенного спроса населения, трлн руб..... +14
Прирост за год задолженности по заработной плате, пенсиям,
пособиям и т.д., трлн руб........................................ +28
Определите:
1) частные коэффициенты подавленной инфляции;
2) общий коэффициент подавленной инфляции;
3) общий индекс инфляции;
4) общий уровень инфляции.
Задача 9. За квартал доходы консолидированного бюджета об-
ласти составили 971 млн руб. при дефиците 14 млн руб. Расходы
областного бюджета — 565 млн руб. при профиците в 12 млн руб.
Определите абсолютный и относительный уровни дефицита бюд-
жетов.
Задача 10. Доходы государственного бюджета составили 49 730,4
мли руб., а расходы — 57 674,0 млн руб. Произведенный валовой
внутренний продукт составил 162 311,3 млн руб.
Определите:
1) абсолютную величину дефицита государственного бюджета;
2) относительную дефицитность бюджета (расчет сделайте тремя
методами).
Задача И. По вкладам банк начисляет 70% годовых. Инфляция
составляет 60% в год. Процентные суммы начисляются один раз в
год по формуле сложных процентов. Какая реальная сумма будет
накоплена за 8 лет, если размер вклада равен 120 тыс. руб.?
Задача 12. Два долга - - 120 тыс. руб. (Sj = 120) со сроком 2 года
(«! = 2) и 450 тыс. руб. (S2 = 450) со сроком 3 года (и2 - 3) — за-
меняются одним долгом в 500 тыс. руб. (S3 ~ 500). Годовая процент-
ная ставка равна 20% (/ = 0,2). Через сколько лет (и3) следует воз-
вратить объединенный долг, чтобы соблюдался принцип эквивалент-
ности?
255
Задача 13. На вносимую ежегодно ренту (400 тыс. руб.) банк по
ставке 20% ежегодно начисляет сложные проценты. Определите
сумму средств через 10 лет.
Задача 14. Определите современную величину ренты, которая на-
копилась в результате ежегодных взносов в размере 5 тыс. руб.
(R - 5) в течение 4 лет (п ~ 4). Процентная ставка — 35% (/ = 0,35).
Задача 15. Два платежа — 3 млн руб. со сроком 4 месяца и 5 млн
руб. со сроком 2 месяца — заменяются одним платежом размером
7,268 млн руб. Сложные проценты по ставке 180% годовых начис-
ляются ежемесячно.
Определите срок внесения консолидированного платежа.
Задача 16. Решено объединить два финансовых обязательства:
60 млн руб. со сроком 2 месяца и 82 млн руб. со сроком 3 месяца.
Консолидированная сумма составит 157 млн руб.
Определите срок внесения консолидированного платежа, если
банк по ставке 66% годовых ежемесячно начисляет сложные процен-
ты.
Задача 17. Вексель со сроком погашения 2 месяца и номиналом
900 тыс. руб., по которому ежемесячно начисляются 4 простых про-
цента, куплен банком за месяц до срока при учетной ставке 36,4%
годовых.
Определите:
1) вексельную сумму;
2) учетную цену при математическом учете;
3) учетную цену при коммерческом учете.
Задача 18. Предполагаются следующие доходы от двух вариантов
равных по объему и срокам инвестиций, млн руб.:
Срок получения дохода (конец года) Вариант доходов
I II
Первый год 100 440
Второй год 250 210
Третий год 450 60
Определите эффективный вариант инвестиций, если инфляция со-
ставляет 30% в год.
Задача 19. Инвестиции и чистая прибыль (прибыль, остающаяся
в распоряжении предприятия) составили, млн руб.:
Показатель 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
Инвестиции 430 — 2000 --
Чистая прибыль от функционирования объекта ин- вестирования ,—- 320 6500 10 800
Индекс пен (по отношению к предыдущему гол}') 3.2 4.1 2.3
Определите внутреннюю рентабельность с учетом инфляции.
256
Задача 20. Инвестиции и чистая прибыль составили млн руб.;
Показатель 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.
Инвестиции Чистая прибыль от функционирования объекта инвестирования 43 30 20 65 10
Определите:
1) чистый финансовый результат за каждый год;
2) внутреннюю рентабельность (за современный момент прини-
мается начало 1993 г.).
Ответ: 1) 30, 45 и 10 млн руб.; 2) 0,5.
Задача 21. Конкурируют два проекта инвестирования средств
объемом 10 млн руб. с получением дохода в течение трех лет:
1) приобретаются облигации с купонной ставкой 10% годовых;
2) покупаются облигации с выплатой дохода в момент погаше-
ния в размере 32% от инвестированного капитала.
Выберите эффективный вариант вложения капитала, если став-
ка сравнения — 12% годовых. Облигации покупаются и погашают-
ся по номиналу.
Задача 22. Имеются следующие данные о продаже акций на
фондовой бирже, млрд руб.;
Вид ценных бумаг 13 февраля 14 февраля
Предложено Куплено Предложено Куплено
Акции производственных АО 6.0 5.40 7.0 7.0
Акции коммерческих банков 3.0 2.97 4.0 2.8
Определите:
1) ликвидность каждой ценной бумаги;
2) среднюю ликвидность акций в каждом периоде;
3) индекс средней ликвидности (индекс переменного состава);
4) индексы ликвидности (общий индекс постоянного состава и
индекс структурных сдвигов).
Задача 23. Банк продает доллары США по 21,7 руб., немецкие
марки — по 12,3 руб., а покупает доллары по 21,6 руб., марки —
по 11,9 руб.
Определите курс марки к доллару:
1) при покупке банком марок;
2) при продаже банком марок.
Задача 24. Имеются следующие данные о деятельности компа-
нии в 1997 г.
257
Чистая прибыль компании в 1997 г. составила 11,4% от чистой
выручки, коэффициент рентабельности производственной деятель-
ности — 31,4%, себестоимость реализованной продукции —
4 391 300 долл. США, чистая прибыль — 9,7% выручки от реализа-
ции.
На основе приведенных данных требуется определить показате-
ли, характеризующие результаты деятельности компании в 1997 г.,
и ответить на следующие вопросы.
1. Какова ставка доходности собственного капитала, если обо-
рачиваемость активов компании составляет 1,34, а констанция —
67% общей суммы активов?
2. Какова величина общей суммы активов компании при соот-
ношении выручки и активов, равном 82,7%?
3. Какова доходность капитализации у компании, если на ее
краткосрочные обязательства приходится 21% общей суммы акти-
вов?
Список литературы
I. Теория статистики / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. М.:
Финансы и статистика, 1998. 576 с.
2. Гусаров В.М. Теория статистики. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998.
247 с.
3. Общая теория статистики / Под ред. А.А. Спирина, О.Э. Ба-
тиной. М.: Финансы и статистика, 1996. 296 с.
4. Практикум по обшей теории статистики: Учеб, пособие / Под
ред. проф. Н.Н. Ряузова. М/. Финансы и статистика, 1981.
5. Национальное счетоводство: Учебник / Под ред. Г.Д. Кула-
гиной. М.: Финансы и статистика, 1997. 448 с.
6. Сафронова В.П. Показатели системы национальных счетов:
Учеб, пособие. М.: Финстатинформ, 1996. 75 с.
7. Симчера В.М., Едронова В.Н., Сафронова В.П. Практикум
по финансовой и биржевой статистике: Учеб, пособие. М.: ВЗФЭИ,
1993. 88 с.
8. Социальная статистика: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН
И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1997.
9. Адамов В.Е., Ильенкова С.Д. и др. Экономика и статистика
фирм: Учеб, пособие. М.: Финансы и статистика, 1996. 237 с.
10. Харченко Л.П., Долженкова В.Г. и др. Статистика: Курс
лекций / Под ред. к.э.н. ВТ. Ионина. Новосибирск: Инфра-М, 1996.
11. Назаров «МТ, Четыркин Е.М., Рябикин В.И. и др. Статис-
тика финансов: Учебник / Под ред. М.Г. Назарова. М.: Финансы и
статистика, 1986.
12. Теслюк И.Е. Статистика финансов: Учеб, пособие. Минск:
Высшая школа, 1994.
13. Рябушкин Б.Т. Основы статистики финансов. М.: Финстат-
информ, 1997.
14. Статистический словарь. М.: Финстатинформ, 1996.
15. Рябушкин Б.Т., Симчера В.М., Машнхин Е.А. Статистичес-
кие методы и социально-экономический анализ. М.: Наука, 1989.
16. Симчера В.М., Шадиев Х.А. Основы коммерческих расче-
тов. М.: Народная академия культуры и общечеловеческих ценнос-
тей, 1994.
259
Учебное издание
ПРАКТИКУМ ПО СТАТИСТИКЕ
Зав. редакцией Л. С. Антоненко
Редактор И. П. Гаврилова
Корректор Г. Б. Абудеева
Компьютерная верстка Н. Ф. Бердавцева
Компьютерный набор М. А. Мугаева
Лицензия ЛР№ 071323 от 1 августа 1996 г.
Подписано в печать 02.02,99. Формат 60x90 Vie.
Печать офсетная. Гарнитура «Times New Roman Cyn>.
Усл. п. л. 16,5. Тираж 10000 экз. Зак. № 40.
ЗАО «Финстатинформ». Почтовый адрес: 103045 Москва, а/я 49.
Телефоны: (095) 255-63-82, 255-65-69. Факс: (095) 255-6441.
Отпечатано в Московской типогрефии № 6
Министерства Российской Федерации по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24
В издательстве «ФИН СТАТИН ФОРМ»
готовится в свет:
Абрютина М.С., Шутова И.И.
От бухгалтерского учета к национальным счетам. М.: ЗАО «Финстатии-
форм», 1999. — 159 с.
Представлен новый методологический подход к использованию данных
бухгалтерского учета. Традиционный анализ остатков на счетах уступает
место анализу оборота экономических ресурсов на основе преобразования
оборотно-сальдового бухгалтерского баланса в экономический баланс. При
этом используется «язык» национальных счетов. Большое внимание уделено
оценке, динамике и анализу финансово-экономического положения предпри-
ятия.
Для экономистов, бухгалтеров, разработчиков системы национальных
счетов, аудиторов, а также научных работников, преподавателей вузов, ас-
пирантов и студентов, обучающихся в экономических и финансовых высших
учебных заведениях.
По вопросам приобретения обращайтесь:
Москва, 1-й Хорошевский пр., д. За. Тел.: 255-65-69, 255-63-82
В издательстве «ФИНСТАТИНФОРМ»
готовится в свет:
О.И.РыЙокопз
ГЛ. Ермолина
ИА. Рсссолоа
Методические рекомендации
по составлению
национальных счетов
на базе бухгалтерской [
отчетности
Финствгинфйрм
Рыбакова О.М. и др.
Методические рекомендации по составлению национальных
счетов на базе бухгалтерской отчетности: Научное исследование /
Рыбакова О.М., Ермошина Г.П., Россолов И.А. М.: Финстатнн-
форм, 1999. — 189 с.
Монография содержит исследование возможности расчета макроэконо-
мических показателей при составлении национальных счетов на базе бух-
галтерской отчетности институциональных единиц и установления взаимо-
связи между национальными счетами системы.
Для экономистов, финансистов, бухгалтеров, а также для широкого
круга читателей, интересующихся проблемой перехода России от баланса
народного хозяйства к системе национальных счетов.
По вопросам приобретения обращайтесь:
Москва, 1-н Хорошевский пр., д. За. Тел.: 255-65-69, 255-63-82
Издательство «ФИНСТАТИНФОРМ»
предлагает:
Международная стандартная классификация занятий: Пер. с
англ. М.: Финстатинформ, 1998. — 352 с.
МСКЗ-88 представляет собой более совершенный вариант, по сравнению
с предыдущими изданиями, международной классификации занятий. Обоб-
щен национальный и международный опыт, использованы результаты со-
трудничества с экспертами многих стран.
Книга направлена на облегчение международного сравнения статистики
занятости и служит образцом для стран, разрабатывающих или пересмат-
ривающих свои национальные классификации занятий.
Адресуется работникам статистических органов, практическим работ-
никам экономических служб предприятий и организаций, а также специа-
листам различных сфер деятельности.
По вопросам приобретения обращайтесь:
Москва, 1-й Хорошевский пр., л. За. Тел.: 255-65-69. 255-63-82
Издательство «ФИНСТАТИНФОРМ»
предлагает:
Математика в экономике: Учеб но-методическое пособие для вузов /Под
ред. проф. Н.Ш. Кремера /ВЗФЭИ. М.. ЗАО «Финстатинформ», 1999. — 94 с.
В пособии отражены основные вопросы комплексной математической
дисциплины «Математика в экономике», в которую входят основы линейной
алгебры и математического анализа, теории вероятностей и математической
статистики, математического программирования. Приводятся методические
рекомендации по изучению разделов дисциплины, задачи с решениями и
варианты контрольных работ.
Для студентов экономических специальностей и лиц, занимающихся
самообразованием.
По вопросам приобретения обращайтесь:
Москва. 1-й Хорошевский пр., д. За, Тел.: 255-65-69. 255-63-82