УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля.— 8-е изд., сте-
реот.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-536 с.-ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II).
Второй том курса теоретической физики, заслужившего широкую
известность в нашей стране и за рубежом, посвящен классической те-
теории электромагнитных и гравитационных полей. Излагаются основы
специальной теории относительности, вывод уравнений электродина-
электродинамики из принципа наименьшего действия, вопросы распространения
и излучения электромагнитных волн. Последние главы книги посвя-
посвящены общей теории относительности. Параллельно с развитием этой
теории излагаются основы тензорного анализа.
Для студентов университетов, студентов физических специально-
специальностей вузов, а также для аспирантов соответствующих специальностей.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II)
ISBN 5-9221-0053-Х	© ФИЗМАТЛИТ, 1988, 2001, 2003.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора к седьмому изданиию		9
Предисловие к шестому изданиию		10
Предисловие к первому и второму изданииям		11
Некоторые обозначения		12
Г л а в а I. Принцип относительности
1.	Скорость распространения взаимодействий		13
2.	Интервал		17
3.	Собственное время 		22
4.	Преобразование Лоренца 		25
5.	Преобразование скорости 		28
6.	Четырехмерные векторы		30
7.	Четырехмерная скорость 		41
Г л а в а П. Релятивистская механика
8.	Принцип наименьшего действия 		44
9.	Энергия и импульс 		46
10.	Преобразование функции распределения 		50
11.	Распад частиц		53
12.	Инвариантное сечение 		57
13.	Упругие столкновения частиц		59
14.	Момент импульса		65
Глава III. Заряд в электромагнитном поле
15.	Элементарные частицы в теории относительности		69
16.	Четырехмерный потенциал поля 		71
17.	Уравнения движения заряда в поле 		74
18.	Калибровочная инвариантность 		77
19.	Постоянное электромагнитное поле 		78
20.	Движение в постоянном однородном электрическом поле ...	80
21.	Движение в постоянном однородном магнитном поле ....	82
22.	Движение заряда в постоянных однородных электрическом и
магнитном полях 		86
23.	Тензор электромагнитного поля 		91
24.	Преобразование Лоренца для поля		93
25.	Инварианты поля		94
Глава IV. Уравнения электромагнитного поля
26.	Первая пара уравнений Максвелла		98
27.	Действие для электромагнитного поля 		100
28.	Четырехмерный вектор тока 		103
29.	Уравнение непрерывности		105
30.	Вторая пара уравнений Максвелла		108

ОГЛАВЛЕНИЕ
31.	Плотность и поток энергии 		111
32.	Тензор энергии-импульса 		112
33.	Тензор энергии-импульса электромагнитного поля 		117
34.	Теорема вириала 		122
35.	Тензор энергии-импульса макроскопических тел		124
Г л а в а V. Постоянное электромагнитное поле
36.	Закон Кулона 		128
37.	Электростатическая энергия зарядов 		129
38.	Поле равномерно движущегося заряда 		132
39.	Движение в кулоновом поле		134
40.	Дипольный момент		138
41.	Мультипольные моменты 		140
42.	Система зарядов во внешнем поле 		143
43.	Постоянное магнитное поле 		146
44.	Магнитный момент		148
45.	Теорема Лармора		150
Глава VI. Электромагнитные волны
46.	Волновое уравнение 		154
47.	Плоские волны 		156
48.	Монохроматическая плоская волна		162
49.	Спектральное разложение		167
50.	Частично поляризованный свет		169
51.	Разложение электростатического поля		175
52.	Собственные колебания поля 		177
Глава VII. Распространение света
53.	Геометрическая оптика		183
54.	Интенсивность 		187
55.	Угловой эйконал 		190
56.	Тонкие пучки лучей 		193
57.	Отображение широкими пучками лучей		200
58.	Пределы геометрической оптики		202
59.	Дифракция 		205
60.	Дифракция Френеля		211
61.	Дифракция Фраунгофера 		216
Глава VIII. Поле движущихся зарядов
62.	Запаздывающие потенциалы 		221
63.	Потенциалы Лиенара-Вихерта 		224
64.	Спектральное разложение запаздывающих потенциалов . . .	227
65.	Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка .	230
Г л а в а IX. Излучение электромагнитных волн
66.	Поле системы зарядов на далеких расстояниях 		236
67.	Дипольное излучение		240
68.	Дипольное излучение при столкновениях 		244
69.	Тормозное излучение малых частот 		247
70.	Излучение при кулоновом взаимодействии 		250

ОГЛАВЛЕНИЕ
71.	Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения 		259
72.	Поле излучения на близких расстояниях 		262
73.	Излучение быстро движущегося заряда		267
74.	Магнито-тормозное излучение 		271
75.	Торможение излучением		279
76.	Торможение излучением в релятивистском случае		285
77.	Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском
случае 		289
78.	Рассеяние свободными зарядами 		293
79.	Рассеяние волн с малыми частотами		298
80.	Рассеяние волн с большими частотами		300
Г л а в а X. Частица в гравитационном поле
81.	Гравитационное поле в нерелятивистской механике 		304
82.	Гравитационное поле в релятивистской механике 		306
83.	Криволинейные координаты		310
84.	Расстояния и промежутки времени 		315
85.	Ковариантное дифференцирование 		320
86.	Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором . . .	326
87.	Движение частицы в гравитационном поле		330
88.	Постоянное гравитационное поле		334
89.	Вращение 		342
90.	Уравнения электродинамики при наличии гравитационного
поля		344
Глава XI. Уравнения гравитационного поля
91.	Тензор кривизны 		348
92.	Свойства тензора кривизны		352
93.	Действие для гравитационного поля		360
94.	Тензор энергии-импульса 		364
95.	Уравнения Эйнштейна		370
96.	Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля ....	377
97.	Синхронная система отсчета 		385
98.	Тетрадное представление уравнений Эйнштейна		393
Глава XII. Поле тяготеющих тел
99.	Закон Ньютона 		397
100.	Центрально-симметричное гравитационное поле		401
101.	Движение в центрально-симметричном гравитационном поле	411
102.	Гравитационный коллапс сферического тела		414
103.	Гравитационный коллапс пылевидной сферы		422
104.	Гравитационный коллапс несферических и вращающихся тел	429
105.	Гравитационное поле вдали от тел		440
106.	Уравнения движения системы тел во втором приближении .	450
Глава XIII. Гравитационные волны
107.	Слабые гравитационные волны		460
108.	Гравитационные волны в искривленном пространстве-времени	463
109.	Сильная гравитационная волна		467
110.	Излучение гравитационных волн		470

б	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIV. Релятивистская космология
111.	Изотропное пространство 		477
112.	Закрытая изотропная модель 		483
113.	Открытая изотропная модель		488
114.	Красное смещение 		492
115.	Гравитационная устойчивость изотропного мира		501
116.	Однородные пространства		508
117.	Плоская анизотропная модель 		516
118.	Колебательный режим приближения к особой точке 		520
119.	Особенность по времени в общем космологическом решении
уравнений Эйнштейна 		526

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К СЕДЬМОМУ
ИЗДАНИЮ
Е. М. Лифшиц начал готовить новое издание «Теории поля» в
1985 году и продолжал работу над ним даже в больнице, во время
своей последней болезни. Изменения, которые он предполагал
сделать, учтены в настоящем издании. Из них следует отме-
отметить некоторую переработку доказательства закона сохранения
момента импульса в релятивистской механике, а также более
подробное обсуждение вопроса о симметрии символов Кристоф-
феля в теории гравитации. Изменен знак в определении тензора
напряжений электромагнитного поля. (В предыдущем издании
этот тензор был определен иначе, чем в остальных томах курса.)
Я благодарен В. Д. Шафранову за обсуждение ряда вопросов,
возникших при подготовке книги к печати.
Июнь 1987 г.	Л. 77. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книги появилось более тридцати лет
тому назад. При ряде переизданий за эти десятилетия книга
перерабатывалась и дополнялась; к настоящему времени ее объ-
объем увеличился по сравнению с первоначальным почти вдвое. Но
никогда не возникало необходимости в изменении предложенного
Ландау способа построения теории и вдохновленного им стиля
изложения, главная черта которого — стремление к ясности и
простоте. Всеми силами я стремился сохранить этот стиль и
при тех переработках, которые мне пришлось производить уже
одному.
По сравнению с предыдущим, пятым, изданием первые де-
девять глав книги, посвященные электродинамике, остались почти
без изменений. Главы же, посвященные теории гравитационного
поля, переработаны и дополнены. От издания к изданию матери-
материал этих глав существенно дополнялся, и в конце концов возникла
необходимость в некотором перераспределении и упорядочении
его расположения.
Я хотел бы выразить здесь глубокую признательность всем
своим товарищам по работе — слишком многочисленным, чтобы
я мог их перечислить, —которые своими замечаниями и советами
помогли устранить имевшиеся в книге недочеты и внести в нее
ряд улучшений. Без этих советов, без той готовности помочь, с
которой неизменно встречаются мои вопросы, работа над про-
продолжением изданий этого Курса была бы намного труднее.
Особой благодарностью я обязан Л. П. Питаевскому, с ко-
которым я постоянно обсуждал возникавшие вопросы, а также
В. А. Белинскому за его помощь в проверке формул и чтении
корректуры.
Декабрь, 1972 г.	Е. М. Лифшиц

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПЕРВОМУ И ВТОРОМУ
ИЗДАНИЯМ
Предлагаемая книга посвящена изложению теории электро-
электромагнитного и гравитационного полей, т. е. электродинамике и об-
общей теории относительности. Полная, логически связная теория
электромагнитного поля включает в себя специальную теорию
относительности. Поэтому мы взяли последнюю в качестве осно-
основы изложения. За исходный пункт для вывода основных соотно-
соотношений берутся вариационные принципы, дающие возможность
достигнуть наибольшей общности, единства и, по существу, про-
простоты изложения.
Соответственно общему плану нашего Курса теоретической
физики (частью которого является эта книга) мы не касались в
этом томе вовсе вопросов электродинамики сплошных сред, огра-
ограничиваясь изложением «микроскопической» электродинамики —
электродинамики вакуума и точечных зарядов.
Для чтения книги необходимо знакомство с электромагнит-
электромагнитными явлениями в объеме общих курсов физики. Необходимо
также хорошее знание векторного анализа. Не предполагается
предварительного знания читателями тензорного анализа, кото-
который излагается параллельно с развитием теории гравитацион-
гравитационных полей.
Москва, декабрь 1939 г.	Л. Ландау, Е. Лифшиц
Москва, июнь 1947 г.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Трехмерные величины
Трехмерные тензорные индексы обозначаются греческими
буквами
Элементы объема, площади и длины — dV, df, d\
Импульс и энергия частицы — ри^
Функция Гамильтона — Ж
Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного
поля — (f и А
Напряженности электрического и магнитного полей — Е и Н
Плотности зарядов и тока — р и j
Электрический дипольный момент — d
Магнитный дипольный момент — m
Четырехмерные величины
Четырехмерные тензорные индексы обозначаются латинскими
буквами г, к, Z,... и пробегают значения 0, 1, 2, 3
Принята метрика с сигнатурой (+ —	)
Правило поднятия и опускания индексов —на с. 31
Компоненты 4-векторов перечисляются в виде Аг = (Л°, А)
Антисимметричный единичный тензор 4-го ранга ег , причем
eoi23 _ 1 (определение — на с. 35)
Элемент 4-объема du = dx°dx1dx2dx3
Элемент гиперповерхности dSl (определение на с. 39)
4-радиус-вектор хг = (с?, r)
4-скорость и1 = dxl/ds
4-импульс рг = ($/с, р)
4-вектор тока jl = (ср, pv)
4-потенциал электромагнитного поля Аг = (у?, А)
Л	^ дАк dAi (
4-тензор электромагнитного поля Ь^ = —:	-г (связь
ох ох
компонент Fik с компонентами Е и Н — на с. 92)
4-тензор энергии-импульса Тгк (определение его компонент — на
с. 117)
Ссылки типа I, § 18 относятся к тому I, «Механика»

ГЛАВА I
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Скорость распространения взаимодействий
Для описания процессов, происходящих в природе, необхо-
необходимо иметь, как говорят, систему отсчета. Под системой от-
отсчета понимают систему координат, служащую для указания
положения частиц в пространстве, вместе со связанными с этой
системой часами, служащими для указания времени.
Существуют системы отсчета, в которых свободное движение
тел, т. е. движение тел, не находящихся под действием внешних
сил, происходит с постоянной скоростью. Такие системы отсчета
носят название инерциальных.
Если две системы отсчета движутся друг относительно друга
равномерно и прямолинейно и если одна из них инерциальная,
то очевидно, что и другая тоже является инерциальной (всякое
свободное движение и в этой системе будет прямолинейным и
равномерным). Таким образом, имеется сколько угодно инерци-
инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга
равномерно-поступательно.
Опыт показывает, что справедлив так называемый принцип
относительности. Согласно этому принципу все законы приро-
природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Другими
словами, уравнения, выражающие законы природы, инвариант-
инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от
одной инерциальной системы к другой. Это значит, что уравне-
уравнение, описывающее некоторый закон природы, будучи выражено
через координаты и время в различных инерциальных системах
отсчета, имеет один и тот же вид.
Взаимодействие материальных частиц описывается в обыч-
обычной механике посредством потенциальной энергии взаимодей-
взаимодействия, являющейся функцией от координат взаимодействующих
частиц. Легко видеть, что этот способ описания взаимодействий
включает в себя предположение о мгновенности распростране-
распространения взаимодействий. Действительно, силы, действующие на каж-
каждую из частиц со стороны остальных частиц, в каждый момент
зависят, при таком описании, только от положения частиц в
этот же момент времени. Изменение положения какой-либо из

14
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
взаимодействующих частиц отражается на остальных частицах
в тот же момент.
Опыт, однако, показывает, что мгновенных взаимодействий в
природе не существует. Поэтому и механика, исходящая из пред-
представления о мгновенности распространения взаимодействий, за-
заключает в себе некоторую неточность. В действительности, если
с одним из взаимодействующих тел происходит какое-нибудь
изменение, то на другом теле это отразится лишь по истечении
некоторого промежутка времени. Только после этого промежут-
промежутка времени со вторым телом начнут происходить процессы, вы-
вызванные данным изменением. Разделив расстояние между обои-
обоими телами на этот промежуток времени, мы найдем «скорость
распространения взаимодействий ».
Заметим, что эту скорость можно было бы, собственно го-
говоря, называть максимальной скоростью распространения взаи-
взаимодействий. Она определяет лишь тот промежуток времени, по-
после которого изменение, происходящее с одним телом, начинает
проявляться на другом. Очевидно, что наличие максимальной
скорости распространения взаимодействий означает в то же вре-
время, что в природе вообще невозможно движение тел со скоро-
скоростью, большей этой. Действительно, если бы такое движение
могло происходить, то посредством него можно было бы осу-
осуществить взаимодействие со скоростью, превышающей наиболь-
наибольшую возможную скорость распространения взаимодействий.
О взаимодействии, распространяющемся от одной частицы
к другой, часто говорят как о «сигнале», отправляющемся от
первой частицы и «дающем знать» второй об изменении, которое
испытала первая. О скорости распространения взаимодействий
говорят тогда как о «скорости сигнала».
Из принципа относительности вытекает, в частности, что ско-
скорость распространения взаимодействий одинакова во всех инер-
циальных системах отсчета. Таким образом, скорость распро-
распространения взаимодействий является универсальной постоянной.
Эта постоянная скорость одновременно является, как будет
показано в дальнейшем, скоростью распространения света в пу-
пустоте; поэтому ее называют скоростью света. Она обозначается
обычно буквой с, а ее числовое значение
с = 2,998 • 1010 см/с.	A.1)
Большой величиной этой скорости объясняется тот факт, что
на практике в большинстве случаев достаточно точной оказыва-
оказывается классическая механика. Большинство скоростей, с которы-
которыми нам приходится иметь дело, настолько малы по сравнению со
скоростью света, что предположение о бесконечности последней
практически не влияет на точность результатов.

§ 1	СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ	15
Объединение принципа относительности с конечностью ско-
скорости распространения взаимодействий называется принципом
относительности Эйнштейна (он был сформулирован А. Эйн-
Эйнштейном в 1905 г.) в отличие от принципа относительности
Галилея, исходящего из бесконечной скорости распространения
взаимодействий.
Механика, основанная на эйнштейновском принципе относи-
относительности (мы будем обычно называть его просто принципом
относительности), называется релятивистской. В предельном
случае, когда скорости движущихся тел малы по сравнению
со скоростью света, можно пренебречь влиянием конечности
скорости распространения взаимодействий на движение. Тог-
Тогда релятивистская механика переходит в обычную механику,
основанную на предположении о мгновенности распространения
взаимодействий; эту механику называют ньютоновской или клас-
классической. Предельный переход от релятивистской механики к
классической может быть формально произведен как переход к
пределу с —>• ос в формулах релятивистской механики.
Уже в классической механике пространство относительно,
т. е. пространственные соотношения между различными событи-
событиями зависят от того, в какой системе отсчета они описывают-
описываются. Утверждение, что два разновременных события происходят
в одном и том же месте пространства или, вообще, на опре-
определенном расстоянии друг от друга, приобретает смысл только
тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение
относится.
Напротив, время является в классической механике абсолют-
абсолютным; другими словами, свойства времени считаются не завися-
зависящими от системы отсчета — время одно для всех систем отсчета.
Это значит, что если какие-нибудь два явления происходят од-
одновременно для какого-нибудь наблюдателя, то они являются
одновременными и для всякого другого. Вообще, промежуток
времени между двумя данными событиями должен быть одина-
одинаков во всех системах отсчета.
Легко, однако, убедиться в том, что понятие абсолютного
времени находится в глубоком противоречии с эйнштейновским
принципом относительности. Для этого достаточно уже вспом-
вспомнить, что в классической механике, основанной на понятии об
абсолютном времени, имеет место общеизвестный закон сложе-
сложения скоростей, согласно которому скорость сложного движения
равна просто сумме (векторной) скоростей, составляющих это
движение. Этот закон, будучи универсальным, должен был бы
быть применим и к распространению взаимодействий. Отсюда
следовало бы, что скорость этого распространения должна
быть различной в различных инерциальных системах отсчета,

16
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
в противоречии с принципом относительности. Опыт, однако,
вполне подтверждает в этом отношении принцип относитель-
относительности. Измерения, произведенные впервые Майке льсоном
,	(в 1881 г.), обнаружили пол-
полную независимость скорости
света от направления его рас-
распространения; между тем, со-
согласно классической механи-
механике, скорость света в направ-
А с	лении движения Земли долж-
" ' ^ '— х' на была бы быть отличной от
х скорости в противоположном
направлении.
yf	Таким образом, принцип
относительности приводит к
ис*	результату, что время не явля-
является абсолютным. Время течет
по-разному в разных системах отсчета. Следовательно, утвер-
утверждение, что между двумя данными событиями прошел опре-
определенный промежуток времени, приобретает смысл только то-
тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утвержде-
утверждение относится. В частности, события, одновременные в неко-
некоторой системе отсчета, будут не одновременными в другой
системе.
Для уяснения этого полезно рассмотреть следующий простой
пример.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К1 с
осями координат соответственно xyz и х1 у1 z\ причем система К1
движется относительно К вправо вдоль осей х и х1 (рис. 1).
Пусть из некоторой точки А на оси х1 отправляются сигна-
сигналы в двух взаимно противоположных направлениях. Поскольку
скорость распространения сигнала в системе К\ как и во вся-
всякой инерциальной системе, равна (в обоих направлениях) с, то
сигналы достигнут равноудаленных от А точек В л С в один и
тот же момент времени (в системе К').
Легко, однако, видеть, что те же самые два события (при-
(приход сигнала в В и С) будут отнюдь не одновременными для
наблюдателя в системе К. Действительно, скорость сигналов
относительно системы К, согласно принципу относительности,
равна тому же с, и поскольку точка В движется (относительно
систем К) навстречу посланному в нее сигналу, а точка С — по
направлению от сигнала (посланному из А в С), то в системе К
сигнал придет в точку В раньше, чем в точку С.

§ 2	ИНТЕРВАЛ	17
Таким образом, принцип относительности Эйнштейна вносит
фундаментальные изменения в основные физические понятия.
Заимствованные нами из повседневного опыта представления
о пространстве и времени оказываются лишь приближенными,
связанными с тем, что в повседневной жизни нам приходится
иметь дело только со скоростями, очень малыми по сравнению
со скоростью света.
§ 2. Интервал
В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием со-
события. Событие определяется местом, где оно произошло, и
временем, когда оно произошло. Таким образом, событие, про-
происходящее с некоторой материальной частицей, определяется
тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда
происходит событие.
Часто полезно из соображений наглядности пользоваться во-
воображаемым четырехмерным пространством, на осях которо-
которого откладываются три пространственные координаты и время.
В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки
называются мировыми точками. Всякой частице соответству-
соответствует некоторая линия {мировая линия) в этом четырехмерном
пространстве. Точки этой линии определяют координаты части-
частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно дви-
движущейся материальной частице соответствует прямая мировая
линия.
Выразим теперь принцип инвариантности скорости света ма-
математически. Для этого рассмотрим две системы отсчета К
и К\ движущиеся друг относительно друга с постоянной ско-
скоростью. Координатные оси выберем при этом таким образом,
чтобы оси х ж х1 совпадали, а оси у и z были параллель-
параллельны осям у1 и z1 \ время в системах К и К1 обозначим че-
через t и t'.
Пусть первое событие состоит в том, что отправляется сиг-
сигнал, распространяющийся со скоростью света, из точки, имею-
имеющей координаты жх, yi, z\ в системе К в момент времени t\ в этой
же системе. Будем наблюдать из системы К распространение
этого сигнала. Пусть второе событие состоит в том, что сигнал
приходит в точку #2, У2-> %2 в момент времени ?2. Сигнал рас-
распространяется со скоростью с; пройденное им расстояние равно
поэтому c(t2 — ti). С другой стороны, это же расстояние равно
[(х2 — xiJ + (у2 — yiJ + (%2 — ziJ]1/2. Таким образом, мы можем
написать следующую зависимость между координатами обоих

18
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
событий в системе К:
(Х2 - *iJ + (у2 - У1? + (*2 - ziJ - c2(t2 - hJ = 0. B.1)
Те же два события, т. е. распространение сигнала, можно
наблюдать из системы К1. Пусть координаты первого события
в системе К'\ х[, у'2, z[, ?'1? а второго: х2, у2, z2, t2. Поскольку
скорость света в системах К и К' одинакова, то, аналогично
B.1), имеем
D - х[J + (у'2 - у[J + D - Af - c2(t'2 - iiJ = 0. B.2)
Если xi, yi, zi, t\ и Ж2, 2/2 j ^2? ^ — координаты каких-либо
двух событий, то величина
*12 = [С2(*2 - *lJ - (Ж2 - *lJ - (У2 - yif ~ (Z2 ~ Z^J}1'2 B.3)
называется интервалом между этими двумя событиями.
Таким образом, из инвариантности скорости света следует,
что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной
системе отсчета, то он равен нулю и во всякой другой системе.
Если два события бесконечно близки друг к другу, то для
интервала ds между ними имеем
ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2.	B.4)
Форма выражения B.3) или B.4) позволяет рассматривать
интервал, с формальной математической точки зрения, как рас-
расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном
пространстве (на осях которого откладываем ж, у, z и произ-
произведение ct). Имеется, однако, существенное отличие в правиле
составления этой величины по сравнению с правилом обычной
геометрии: при образовании квадрата интервала квадраты раз-
разностей координат по различным осям суммируются не с одина-
одинаковыми, а с различными знаками1).
Как было показано выше, если ds = 0 в некоторой инерци-
альной системе отсчета, то ds1 = 0 и в другой системе. С другой
стороны, ds и ds1 — бесконечно малые одинакового порядка. Из
этих двух обстоятельств следует, что ds2 и ds12 должны быть
пропорциональны друг другу:
ds = ads ,
причем коэффициент а может зависеть только от абсолютной
величины относительной скорости обеих инерциальных систем.
1) Четырехмерную геометрию, определяемую квадратичной формой B.4),
называют псевдоевклидовой в отличие от обычной, евклидовой, геомет-
геометрии. Эта геометрия была введена в связи с теорией относительности
Г. Минковским.

§ 2	ИНТЕРВАЛ	19
Он не может зависеть от координат и времени, так как тогда
различные точки пространства и моменты времени были бы
не равноценны, что противоречит однородности пространства и
времени. Он не может зависеть также и от направления относи-
относительной скорости, так как это противоречило бы изотропности
пространства.
Рассмотрим три системы отсчета if, K\, Къ и пусть Vi и
V2 — скорости движения систем К\ и if2 относительно К. Тогда
имеем
ds2 = a(Vi) ds\, ds2 = a(V2) ds\.
С тем же основанием можно написать:
ds\ = a(Vu)ds2,
где V\2 — абсолютная величина скорости движения if2 относи-
относительно К\. Сравнивая друг с другом эти соотношения, найдем,
что должно быть:
Но V\2 зависит не только от абсолютных величин векторов Vi
и V2, но и от угла между ними. Между тем последний вообще
не входит в левую часть соотношения B.5). Ясно поэтому, что
это соотношение может быть справедливым лишь, если функ-
функция а(V) сводится к постоянной величине, равной, как это сле-
следует из того же соотношения, единице.
Таким образом,
ds2 = ds12,	B.6)
а из равенства бесконечно малых интервалов следует равенство
также и конечных интервалов: s = sf.
Мы приходим, следовательно, к важнейшему результату: ин-
интервал между событиями одинаков во всех инерциальных систе-
системах отсчета, т. е. является инвариантом по отношению к пре-
преобразованию от одной инерциальной системы отсчета к любой
другой. Эта инвариантность и является математическим выра-
выражением постоянства скорости света.
Пусть опять Ж1, ух, zi, t\ и #2, 2/2, ?2? ^2 — координаты ДВУХ
событий в некоторой системе отсчета К. Спрашивается, суще-
существует ли такая система отсчета К\ в которой оба эти события
происходили бы в одном и том же месте пространства.
Введем обозначения
«2 - «1 = «12, (Х2 - Xif + B/2 - 2/lJ + (*2 - ^lJ = %2-
Тогда квадрат интервала между событиями в системе К:
Я2 _ 2,2 /2
512 — с Г12 ~ lYl

20
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
и в системе К'\
_ J1.I2 ii2
— с г\2 — *12
причем в силу инвариантности интервала
2,2 _ /2 _ 2,12 _ il2
Мы хотим, чтобы в системе К1 оба события произошли в одной
точке, т. е. чтобы 1'12 = 0. Тогда
<г2 — /~2/2	/2 — /~2/'2 ^ П
12 — 12 12 — 12
Следовательно, система отсчета с требуемым свойством суще-
существует, если s\2 > 0, т. е. если интервал между обоими событиями
вещественный. Вещественные интервалы называют временипо-
добными.
Таким образом, если интервал между двумя событиями вре-
мениподобный, то существует такая система отсчета, в которой
оба события произошли в одном и том же месте. Время, которое
пройдет между этими событиями в этой системе, равно
-ll2=8-f.	B.7)
Если какие-нибудь два события происходят с одним и тем
же телом, то интервал между ними всегда времениподобный.
Действительно, путь, который тело проходит между обоими со-
событиями, не может быть больше ct\2-> так как скорость тела не
может быть больше с. Поэтому всегда
Зададимся теперь вопросом, нельзя ли выбрать такую систе-
систему отсчета, в которой два события произошли бы в одно и то же
время. По-прежнему мы имеем в системах К и К'\ (?t\2 — l\2 =
= c2t'i2 — ll22. Мы хотим, чтобы t'12 = 0; отсюда
Q2 _ //2 ^ п
512 — ~l\2 ^ и-
Следовательно, искомую систему отсчета можно найти только в
том случае, когда интервал si2 между двумя событиями мнимый.
Мнимые интервалы называют пространственноподобными.
Таким образом, если интервал между двумя событиями про-
странственноподобный, то существует такая система отсчета, в
которой оба события происходят одновременно. Расстояние меж-
между точками, где произошли эти события в этой системе отсчета,
равно
ф	B.8)

§2
ИНТЕРВАЛ
21
буд.
Подразделение интервалов на времениподобные и простран-
ственноподобные есть, в силу их инвариантности, понятие аб-
абсолютное. Это значит, что свойство интервала быть временипо-
добным или пространственноподобным не зависит от системы
отсчета.
Возьмем какое-нибудь событие — назовем его событием О —
в качестве начала отсчета времени и пространственных коор-
координат. Другими словами, в четырехмерной системе координат,
на осях которой откладываются ж, у, z и ?, мировая точка со-
события О будет началом координат. Посмотрим теперь, в каком
отношении к данному событию О находятся все остальные со-
события. Для наглядности мы будем рассматривать только одну
пространственную координату и время, откладывая их на двух
осях (рис. 2). Прямолинейное равномерное движение частицы,
проходящей точку х = 0 при t = 0, изобразится прямой линией,
проходящей через О и наклоненной к оси t под углом, тан-
тангенс которого равен скорости частицы. Поскольку наибольшая
возможная скорость равна с, то существует
наибольший угол, который может образовы-
образовывать эта прямая с осью t. На рис. 2 изображе-
изображены две прямые, изображающие распростра-
распространение двух сигналов (со скоростью света)
в противоположных направлениях, проходя-
проходящих через событие О {т.е. проходящих х =
= 0 при t = 0). Все линии, изображающие
движения частиц, могут лежать только вну-
внутри областей аОс и dOb. На прямых ab и
ей, очевидно, х = ±ct. Рассмотрим снача-
сначала события, мировые точки которых лежат
внутри области аОс. Легко сообразить, что
во всех точках этой области с2?2 — ж2 > 0. Другими словами,
интервалы между любым событием этой области и событием О —
времениподобные. В этой области t > 0, т. е. все события этой
области происходят «после» события О. Но два события, разде-
разделенных времениподобным интервалом, ни в какой системе отсче-
отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя
выбрать и никакой системы отсчета, где бы какое-нибудь из со-
событий области аОс происходило «до» события О, т. е. когда было
бы t < 0. Таким образом, все события области аОс являются
будущими по отношению к О, и притом во всех системах отсчета.
Эту область можно поэтому назвать «абсолютно будущей» по
отношению к событию О.
Совершенно аналогично все события области bOd являют-
являются «абсолютно прошедшими» по отношению к О, т. е. события
Абс.
удал. О;
'Аба
Абс. х
удал.
пр.
Рис. 2

22
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
этой области во всех системах отсчета происходят до собы-
события О.
Наконец, рассмотрим еще области dOa и сОЪ. Интервал меж-
между любым событием этой области и событием О — пространствен-
ноподобный. В любой системе отсчета эти события происходят в
разных местах пространства. Поэтому эти области можно на-
назвать «абсолютно удаленными» по отношению к О. Понятия
«одновременно», «раньше» и «позже» для этих событий, однако,
относительны. Для всякого события этой области есть такие
системы отсчета, где оно происходит позже события О, системы,
где оно происходит раньше О, и, наконец, одна система отсчета,
где оно происходит одновременно с О.
Заметим, что если рассматривать все три пространственные
координаты вместо одной, то вместо двух пересекающихся пря-
прямых на рис. 2 мы имели бы «конус» ж2 + у2 + z2 — c2t2 = 0 в
четырехмерной системе координат ж, у, z, ?, ось которого совпа-
совпадает с осью t (этот конус называют световым конусом). Области
«абсолютно будущего» и «абсолютно прошедшего» изобража-
изображаются тогда соответственно двумя внутренними полостями этого
конуса.
Два события могут быть причинно связаны друг с другом
только в том случае, если интервал между ними времениподоб-
ный, что непосредственно следует из того, что никакое взаи-
взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей
скорости света. Как мы только что видели, как раз для таких
событий имеют абсолютный смысл понятия «раньше» и «поз-
«позже», что является необходимым условием для того, чтобы имели
смысл понятия причины и следствия.
§ 3. Собственное время
Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциаль-
ной системы отсчета произвольным образом движущиеся отно-
относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это
движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в
каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную
с движущимися часами систему координат, которая (вместе с
часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета.
В течение бесконечно малого промежутка времени dt (по
неподвижным, т. е. связанным с нами, часам) движущиеся часы
проходят расстояние
Спрашивается, какой промежуток времени dt1 покажут при этом

§ 3	СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ	23
движущиеся часы. В системе координат, связанной с движущи-
движущимися часами, последние покоятся, т. е. dx1 = dy1 = dz1 = 0. В силу
инвариантности интервала
ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = c2dtf2,
откуда
c2dt2
Но
dx2 + dy2 + dz2 _ 2
dt2	~ V '
где г? есть скорость движущихся часов; поэтому
C.1)
Интегрируя это выражение, можно найти промежуток времени,
показываемый движущимися часами, если по неподвижным ча-
часам пройдет время ?2 —
C.2)
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с дан-
данным объектом, называется собственным временем этого объек-
объекта. Формулы C.1) и C.2) выражают собственное время через
время системы отсчета, относительно которой рассматривается
движение.
Как видно из C.1) или C.2), собственное время движуще-
движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток
времени в неподвижной системе. Другими словами, движущиеся
часы идут медленнее неподвижных.
Пусть относительно инерциальной системы отсчета К дви-
движутся прямолинейно и равномерно другие часы. Система от-
отсчета К1', связанная с этими последними, тоже инерциальная.
Тогда часы в системе К1 с точки зрения наблюдателя в систе-
системе К отстают по сравнению с его часами. И наоборот, с точки
зрения системы К1 отстают часы в системе К. Убедиться в
отсутствии какого-либо противоречия можно, обратив внимание
на следующее обстоятельство. Для того чтобы установить, что
часы в системе К1 отстают относительно часов в системе if, надо
поступить следующим образом. Пусть в некоторый момент вре-
времени часы в К1 пролетают мимо часов в К, и в этот момент
показания обоих часов совпадают. Для сравнения хода часов

24
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
в К л К' надо вновь сравнить показания тех же движущихся
часов в К' с часами в К. Но теперь мы уже сравниваем эти
часы с другими часами в К — с теми, мимо которых часы в К1
пролетают в другой момент. При этом обнаружится, что часы
в К1 будут отставать по сравнению с часами в К, с которыми
они сравниваются. Мы видим, что для сравнения хода часов в
двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной си-
системе и одни в другой. Поэтому этот процесс не симметричен по
отношению к обеим системам. Всегда окажутся отстающими те
часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе
отсчета.
Если же имеются двое часов, из которых одни описывают
замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к непо-
неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся
часы (по сравнению с неподвижными). Обратное рассуждение,
в котором движущиеся часы рассматривались бы как неподвиж-
неподвижные, теперь невозможно, так как часы, описывающие замкнутую
траекторию, не движутся равномерно и прямолинейно, а потому
связанная с ними система отсчета не является инерциальной.
Поскольку законы природы одинаковы только в инерциаль-
ных системах отсчета, то системы отсчета, связанные с непо-
неподвижными часами (инерциальная система) и с движущимися
(неинерциальная), обладают разными свойствами, и рассужде-
рассуждение, приводящее к результату, что покоящиеся часы должны
оказаться отстающими, неправильно.
Промежуток времени, показываемый часами, равен интегра-
интегралу A/с) J ds, взятому вдоль мировой линии этих часов. Если
часы неподвижны, то их мировая линия является прямой, парал-
параллельной оси времени; если же часы совершают неравномерное
движение по замкнутому пути и возвращаются в исходное место,
то их мировая линия будет кривой, проходящей через две точки
на прямой мировой линии неподвижных часов, соответствующих
началу и концу движения. С другой стороны, мы видели, что
покоящиеся часы показывают всегда больший промежуток вре-
времени, чем движущиеся. Таким образом, мы приходим к выводу,
что интеграл f ds, взятый между двумя заданными мировыми
точками, имеет максимальное значение, если он берется по пря-
прямой мировой линии, соединяющей эти точки1).
г) Предполагается, разумеется, что эти точки и соединяющие их линии
таковы, что все элементы ds вдоль линий времениподобны.
Указанное свойство интеграла связано с псевдоевклидовостью четырех-
четырехмерной геометрии. В евклидовом пространстве интеграл был бы, конечно,
минимален вдоль прямой линии.

§ 4	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА	25
§ 4. Преобразование Лоренца
Нашей целью будет сейчас нахождение формул преобразова-
преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. фор-
формул, по которым, зная координаты х,у, z,t события в некоторой
системе отсчета if, можно найти координаты х1, у\ z\ t' того же
события в другой инерциальной системе К1.
В классической механике этот вопрос решается очень просто.
В силу абсолютности времени мы имеем там t = t'\ далее, если
оси координат выбраны так, как мы это обычно делаем (т. е. оси
х и х1 совпадают, оси у, z параллельны осям у', zr, движение
вдоль осей ж и ж'), то координаты у и z будут, очевидно, равны
координатам у1 и zr, а координаты жиж' будут отличаться на рас-
расстояние, пройденное одной системой относительно другой; если
начало отсчета времени выбрано в момент, когда обе системы
координат совпадали, а скорость системы К1 относительно К
есть F, то это расстояние есть Vt. Таким образом,
x = x' + Vt, y = y', z = zf, t = t'.	D.1)
Эти формулы называются преобразованием Галилея. Легко про-
проверить, что это преобразование, как и следовало, не удовле-
удовлетворяет требованию теории относительности, — оно не оставляет
инвариантными интервалы между событиями.
Релятивистские же формулы преобразования мы будем ис-
искать, исходя из требования, чтобы они оставляли интервалы
инвариантными.
Как мы видели в § 2, интервал между двумя событиями
можно рассматривать как расстояние между соответствующими
двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат.
Мы можем, следовательно, сказать, что искомое преобразование
должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном
пространстве ж, у, z, ct. Но такими преобразованиями являются
только параллельные переносы и вращения системы координат.
Из них переносы системы координат параллельно самой себе
не представляют интереса, так как сводятся просто к переносу
начала пространственных координат и изменению момента на-
начала отсчета времени. Таким образом, искомое преобразование
должно математически выражаться как вращение четырехмер-
четырехмерной системы координат ж, у, z, t.
Всякое вращение в четырехмерном пространстве можно раз-
разложить на шесть вращений, а именно в плоскостях жу, zy,
xz, tx, ty, tz (подобно тому, как всякое вращение в обычном
пространстве можно разложить на три вращения в плоскостях
ху, zy и xz). Первые три из этих вращений преобразуют толь-

26
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
ко пространственные координаты; они соответствуют обычным
пространственным поворотам.
Рассмотрим поворот в плоскости tx\ координаты у и z при
этом не меняются. Это преобразование должно оставлять неиз-
неизменной, в частности, разность (ctJ — х2— квадрат «расстояния»
от точки (с?, х) до начала координат. Связь между старыми и
новыми координатами в этом преобразовании дается в наиболее
общем виде формулами
х = xf сЪ.ф + ctf ъЪф, ct = xf ъЪф + ctf chip,	D.2)
где ф — «угол поворота»; простой проверкой легко убедиться, что
при этом действительно будет с2?2 — ж2 = c2t'2 — ж'2. Формулы
D.2) отличаются от обычных формул преобразования при пово-
повороте осей координат заменой тригонометрических функций ги-
гиперболическими. В этом проявляется отличие псевдоевклидовой
геометрии от евклидовой.
Мы ищем формулы преобразования от инерциальной систе-
системы отсчета К к системе К\ которая движется относительно К
со скоростью V вдоль оси х. При этом, очевидно, подвергаются
преобразованию только координата х и время t. Поэтому это
преобразование должно быть вида D.2). Остается определить
угол ф, который может зависеть только от относительной ско-
скорости V1).
Рассмотрим движение в системе К начала координат систе-
системы отсчета К1. Тогда ж' = 0и формулы D.2) принимают вид
х = ct1 sh ф, ct = ct1 ch ф,
или, разделив одно на другое,
ct
Но x/t есть, очевидно, скорость V системы К1 относительно К.
Таким образом,
thi/> = V/c.
Отсюда
= У/с	, , =	1
Подставив это в D.2), находим
х1 + Vtf	,	,	tf + (V/c2)xf
X =	y = y z = z t =
( .
1) Во избежание недоразумений заметим, что через V мы везде обозначаем
постоянную относительную скорость двух инерциальных систем отсчета, а
через v — скорость движущейся частицы, вовсе не обязанную быть постоян-
постоянной.

§ 4	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА	27
Это и есть искомые формулы преобразования. Они носят назва-
название формул преобразования Лоренца и имеют для дальнейшего
фундаментальное значение.
Обратные формулы, выражающие а/, у1\ z', t' через ж, у, z, ?,
проще всего получаются заменой V на -У (так как система К
движется относительно К1 со скоростью —V). Эти же формулы
можно получить непосредственно, решая уравнения D.3) отно-
относительно а/, у\ zr, t1.
Легко видеть из D.3), что при предельном переходе с —>• ос к
классической механике формулы преобразования Лоренца дей-
действительно переходят в преобразование Галилея.
При V > с в формулах D.3) координаты ж, t делаются
мнимыми; это соответствует тому факту, что движение со ско-
скоростью, большей скорости света, невозможно. Невозможно даже
использование системы отсчета, движущейся со скоростью, рав-
равной скорости света, — при этом знаменатели в формулах D.3)
обратились бы в нуль.
Для скоростей V, малых по сравнению со скоростью света,
вместо D.3) можно пользоваться приближенными формулами
х = х' + Vt', у = у', z = zf, t = t' + \x\	D.4)
с
Пусть в системе К покоится линейка, параллельная оси х.
Длина ее, измеренная в этой системе, пусть будет Ах = Х2 —
— х\ [х2 и х\ —координаты обоих концов линейки в системе К).
Найдем теперь длину этого стержня, измеренную в системе К1.
Для этого надо найти координаты обоих концов стержня (ж^
и х[) в этой системе в один и тот же момент времени t1. Из D.3)
находим
х[ + Vt'	х'2 + Vt'
Хл = —,	=,	Хо = —/	=¦
s/l-V2/c2	у/1 - V2/c2
Длина стержня в системе К' есть Да/ = х^ — х\\ вычитая Х2
из жх, находим
л	Ах'
Ах = —
л/1 - V2/c2
Собственной длиной стержня называется его длина в той
системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через Zo =
= Аж, а длину того же стержня в какой-либо системе отсче-
отсчета А7 —через I. Тогда
/ = /од/1" у2/с2-	D-5)
Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той
системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в ко-
которой он движется со скоростью V, уменьшается в отношении

28
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
д/l — V2/с2. Этот результат теории относительности называется
лоренцевым сокращением.
Поскольку поперечные размеры тела при его движении не
меняются, то объем У тела сокращается по аналогичной фор-
формуле:
У = У0\Л-^2/с2,	D.6)
где Уо есть собственный объем тела.
Из преобразования Лоренца можно найти известные нам уже
результаты относительно собственного времени (§3). Пусть в
системе К1 покоятся часы. В качестве двух событий возьмем
два события, происшедших в одном и том же месте а/, у', z1
пространства в системе К1. Время в системе К1 между этими
событиями есть Atf = t'2 — t[. Найдем теперь время At, которое
прошло между этими же событиями в системе отсчета К. Из
D.3) имеем
(V/c2)xl	= f2 + (V/c2)xl
2
= А + (V/c)x	=
1 у/1 - Vyc* ' 2
или, вычитая одно из другого,
в полном согласии с C.1).
Наконец, отметим еще одно общее свойство преобразований
Лоренца, отличающее их от преобразований Галилея. Последние
обладают, как говорят, свойством коммутативности, т. е. совмест-
совместный результат двух последовательных преобразований Галилея
(с различными скоростями Vi и V2) не зависит от порядка, в
котором эти преобразования производятся. Напротив, результат
двух последовательных преобразований Лоренца зависит, вооб-
вообще говоря, от их последовательности. Чисто математически это
видно уже из использованного выше формального истолкования
этих преобразований как вращений четырехмерной системы ко-
координат: как известно, результат двух поворотов (вокруг различ-
различных осей) зависит от порядка их осуществления. Исключением
являются лишь преобразования с параллельными векторами Vi
и V2 (эквивалентные поворотам четырехмерной системы коор-
координат вокруг одной и той же оси).
§ 5. Преобразование скорости
Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, позволяющие
по координатам события в одной системе отсчета найти коор-
координаты того же события в другой системе отсчета. Теперь мы

§ 5	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТИ	29
найдем формулы, связывающие скорость движущейся матери-
материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же
частицы в другой системе.
Пусть опять система К1 движется относительно системы К
со скоростью V вдоль оси х. Пусть vx = dx/dt есть компонента
скорости в системе К, a v'x = dxr/dtr — компонента скорости той
же частицы в системе К1. Из D.3) мы имеем
,	dx' + Vdt1	,	, , ,	, , Jx dt1 + (V/c2)dx'
ax = .	= , ay = ay , dz = dz , dt = —,	—.
Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости
dr , dr'
V = 		V =
dt' dt"
находим
Vx~l + v'xV/c" Vy~ l + v'xV/c> ' Vz~ l + v'xV/c> ¦ ^Л)
Эти формулы и определяют преобразование скоростей. Они
представляют собой закон сложения скоростей в теории отно-
относительности. В предельном случае с —>• оо они переходят в фор-
формулы классической механики vx = v'x + V, vy = v'y, vz = v'z.
В частном случае движения частицы параллельно оси х име-
имеем vx = v, vy = vz = 0. Тогда v'y = v'z = 0, a v'x = v1\ причем
v' + V
v = гт
Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших
или равных скорости света, есть снова скорость, не большая
скорости света.
Для скоростей V', значительно меньших скорости света (ско-
(скорость v может быть любой), имеем приближенно с точностью до
членов порядка V/c:
V\l - ^f)> vy = vy ~
Эти три формулы мож:но записать в виде одной векторной
формулы
v = v' + V-^(Vv')v'-	E-3)
Обратим внимание на то, что в релятивистский закон сложе-
сложения скоростей E.1) две складываемые скорости v7 и V входят
несимметричным образом (если только обе они не направлены

30
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
вдоль оси х). Это обстоятельство естественным образом связано
с упомянутой в предыдущем параграфе некоммутативностью
преобразований Лоренца.
Выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в дан-
данный момент лежала в плоскости ху. Тогда скорость частицы
в системе К имеет компоненты vx = i>cos#, vy = i>sm#, а в
системе К' имеем v'x = vfcos6f, v'y = vf sin6f (г>, v' и 0, в'—
абсолютные величины и углы, образованные скоростью с осями х
и х' соответственно в системах К и К'). С помощью формул E.1)
находим тогда:
v'cosO' + V '	<5-4)
Эта формула определяет изменение направления скорости
при переходе от одной системы отсчета к другой.
Рассмотрим подробнее важный частный случай этой форму-
формулы, а именно отклонение света при переходе к другой системе
отсчета,— явление, называемое аберрацией света. В этом случае
v = v1 = с и предыдущая формула переходит в
tgfl= ^ УЩзтв'.	E.5)
Ь	V/c + cosO'	V J
Из тех же формул преобразования E.1) легко получить ана-
аналогичную зависимость для sin# и cos#:
• ai	a	cos0' + V/c	, v
jsind, cos^=	E.6)
г sin б, cos#т
l + (V/c)cose'	l + (V/c)cosOf
В случае У < с находим из E.6) с точностью до членов
порядка V/c:
sin в — sin в' =	sin в' cos в'.
с
Вводя угол Д# = в1 — в (угол аберрации), находим с той же
точностью:
Ав= -sin0',	E.7)
с
т. е. известную элементарную формулу для аберрации света.
§ 6. Четырехмерные векторы
Совокупность координат события (с?, ж, у, z) можно
рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора
(или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора)

§6	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ	31
в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем
обозначать через хг, где индекс г пробегает значения 0, 1, 2, 3,
причем
П	1	О	Ч
«л/ 	 Cxt/ •	«л/ 	 «л/ •	«л/ 	 LJ •	«л/ 	 А/ •
Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением
(ж0J - (х1J - (х2J - (ж3J.
Он не меняется при любых поворотах четырехмерной систе-
системы координат, которыми являются, в частности, преобразова-
преобразования Лоренца.
Вообще четырехмерным вектором D-вектором) Аг называ-
называется совокупность четырех величин Л°, А1, А?, Л3, которые при
преобразованиях четырехмерной системы координат преобразу-
преобразуются как компоненты 4-радиус-вектора хг. При преобразовании
Лоренца
ЛО = А'° + (У/с)А*	! =
/	2/2 '
А11 + (V/c)A'°
у/	у/
F.1)
Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогич-
аналогично квадрату 4-радиус-вектора:
(А0J - (А1J - (А2J - (А3J.
Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта»
компонент 4-векторов, обозначая их буквами А1 и Ai с индексами
сверху и снизу. При этом
А0 = А°, Ах = -А\ А2 = -А2, А3 = -А\	F.2)
Величины А1 называют контравариантными, а А{ — ковариант-
ными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора представится
тогда в виде
3
J2 ХА{ = А°А0 + АХАХ + А2А2 + ASAS.
г=0
Такие суммы принято записывать просто как AlAi, опуская
знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно ко-
которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выра-
выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы
опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один
должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозна-
обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень
удобен и значительно упрощает запись формул.

32
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
В этой книге мы будем обозначать четырехмерные индексы,
пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами г, к, Z, ...
Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное про-
произведение двух разных 4-векторов:
A*Bi = А°В0 + AXBX + А2В2 + ASBS.
При этом, очевидно, его можно записать как в виде AlBi, так
и в виде А{Вг',— результат от этого не меняется. Вообще во
всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний
и нижний индексы1).
Произведение АгВ{ является 4-скаляром — оно инвариантно
по отношению к поворотам четырехмерной системы координат.
Это обстоятельство легко проверить непосредственно2), но оно
и заранее очевидно (по аналогии с квадратом AlAi) из того, что
все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону.
Компоненту 4-вектора А0 называют временной, а компо-
компоненты А1, А2, А? — пространственными (по аналогии с 4-ради-
ус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным,
отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят
соответственно о времениподобных, пространственноподобных
и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для
интерваловK).
По отношению к чисто пространственным поворотам (т. е.
преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три простран-
пространственные компоненты 4-вектора Аг составляют трехмерный век-
вектор А. Временная же компонента 4-вектора представляет собой
(по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр.
Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать
их как
А* = (А0, А).
1)	В современной литературе часто опускают вообще индексы у четырех-
четырехмерных векторов, а их квадраты и скалярные произведения записывают
просто как А , АВ. В этой книге, однако, мы не будем пользоваться таким
способом обозначений.
2)	При этом надо помнить, что закон преобразования 4-вектора, выражен-
выраженный через ковариантные компоненты, отличается (в знаках) от того же
закона, выраженного в контравариантных компонентах. Так, вместо F.1)
будем, очевидно, иметь:
4(W04	л'{у/)А'
3) Нулевые 4-векторы называют также изотропными.

§ б	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ	33
При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора: Ai =
= (А0,—А), а квадрат 4-вектора: AlAi = (А0J — А2. Так, для
4-радиус-вектора:
Хг = (с?, r), Xi = (ct, —r), XlXi = C2t2 — Г2.
У трехмерных векторов (в координатах ж, у, z) нет, конечно,
необходимости различать контра- и ковариантные компоненты.
Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы бу-
будем писать их компоненты Аа (а = x,y,z) с индексами вни-
внизу, обозначая эти индексы греческими буквами. В частности,
по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразу-
подразумеваться суммирование по трем значениям ж, у, z (например,
АВ = АаВа.)
Четырехмерным тензором D-тензором) 2-го ранга называет-
называется совокупность 16 величин Аг , которые при преобразовании ко-
координат преобразуются как произведения компонент двух 4-век-
торов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших
рангов.
Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены
в трех видах: как контравариантные Агк, ковариантные А^ и
смешанные Аък (в последнем случае надо, вообще говоря, раз-
различать Аък и Ак, т.е. следить за тем, какой именно — первый
или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между
различными видами компонент определяется по общему прави-
правилу: поднятие или опускание временного индекса @) не меняет,
а поднятие или опускание пространственного индекса A,2,3)
меняет знак компоненты. Так:
А00 = А00, Aoi = -A01, Аи = Аи,...,
А°0 = А00, Аох = А01, A\ = -AQ\ A\ = -A1\...
По отношению к чисто пространственным преобразованиям
девять компонент -А11, Л12,... составляют трехмерный тензор.
Три компоненты А01, А02, А03 и три компоненты А10, А20, А30
составляют трехмерные векторы, а компонента А00 является
трехмерным скаляром.
Тензор Агк называется симметричным, если Агк = Акг, и
антисимметричным, если А = — А . У антисимметричного
тензора все диагональные компоненты (т.е. компоненты Л00,
-А11, ...) равны нулю, так как, например, должно быть Л00 =
_ _^00 у симметрИЧНОго тензора Агк смешанные компоненты
Агк и Aj^1 очевидно совпадают; мы будем писать в таких случаях
просто Агк, располагая индексы один над другим.
2 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

34
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сто-
сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные
(вверху или внизу) свободные, т. е. не немые, индексы. Свобод-
Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх
или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравне-
уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент раз-
различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно
случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось
бы при переходе к другой системе.
Из компонент тензора Агк можно образовать скаляр путем
образования суммы
(при этом, конечно, Ali = Af). Такую сумму называют следом
тензора, а об операции его образования говорят как о сверты-
свертывании или упрощении тензора.
Операцией свертывания является и рассмотренное выше об-
образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть об-
образование скаляра АгВ{ из тензора АгВк. Вообще всякое сверты-
свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например,
Аъкц есть тензор 2-го ранга, АгкВк — 4-вектор, Alkik — скаляр
и т. д.
Единичным 4-тензором называется тензор 6к, для которого
имеет место равенство
5кА1 = Ак	F.3)
при любом 4-векторе Аг. Очевидно, что компоненты этого тен-
тензора равны
L, если i = к,
л	-/I	F.4)
J, если г f /с.
Его след: 8\ = 4.
Поднимая у тензора 5к один или опуская другой индекс, мы
получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают
как glk или gik и называют метрическим тензором. Тензоры glk
и gik имеют одинаковые компоненты, которые можно предста-
представить в виде таблицы:
(gik) = (gik) =
rl О О О
0-100
0 0-10
0 0 0-1
F.5)

§ б	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ	35
(индекс г нумерует строки, а индекс к— столбцы в порядке зна-
значений 0,1,2,3). Очевидно, что
gikAk = Ai, gikAk = A\	F.6)
Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому запи-
записать в виде
AiAi = gikAiAk = gikAiAk.	F.7)
Тензоры 5гк, gik, glk исключительны в том отношении, что
их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким
же свойством обладает и совершенно антисимметричный еди-
единичный 4-тензор четвертого ранга егЫш. Так называется тензор,
компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух
индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ±1. Из
антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора,
у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так
что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса
различны. Положим
е0123 = +1	F.8)
(при этом eoi23 — ~1)- Тогда все отличные от нуля компонен-
компоненты егЫгп равны +1 или —1, смотря по тому, четным или нечет-
нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены
числа г, к, Z, т к последовательности 0, 1, 2, 3. Число таких
компонент равно 4! = 24. Поэтому
еШтеШт = -24.	F.9)
По отношению к поворотам системы координат величины
егк1т ведуТ себя как компоненты тензора; однако при изменении
знака у одной или трех координат компоненты ег/с/ш, будучи
определены одинаково для всех систем координат, не изменя-
изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы
изменить знак. Поэтому егЫш есть, собственно говоря, не тензор,
а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга,
в частности псевдоскаляры, ведут себя как тензоры при всех
преобразованиях координат, за исключением тех, которые не
могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отраже-
отражений— изменений знаков координат, не сводимых к вращениям.
Произведения elklrnevrst образуют 4-тензор 8-го ранга, причем
уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким
парам индексов из него получаются тензоры 6-го, 4-го и 2-го
рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех коорди-
координатных системах. Поэтому их компоненты должны выражаться
в виде комбинаций произведений компонент единичного тензо-
тензора 5гк — единственного истинного тензора, компоненты которого

36
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ГЛ. I
во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить,
исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам
индексов, которыми они должны обладать1).
Если А —антисимметричный тензор, то тензор А и псевдо-
псевдотензор А*гк = (l/2)etklrnAim называются дуальными друг другу.
Аналогично егЫгпАгп есть антисимметричный псевдотензор 3-го
ранга, дуальный вектору Аг. Произведение А А*к дуальных тен-
тензоров есть, очевидно, псевдоскаляр.
В связи со сказанным напомним некоторые аналогичные
свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисим-
антисимметричным единичным псевдотензором 3-го ранга называется
совокупность величин еа^7, меняющих знак при перестановке
любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты еа^7
с тремя различными индексами. При этом полагаем exyz = 1;
остальные же равны 1 или —1, смотря по тому, четным или нечет-
нечетным числом перестановок можно привести последовательность
а, /3, 7 к последовательности ж, у, z2).
Произведения еа^е\^ составляют истинный трехмерный
тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций
произведений компонент единичного трехмерного тензора 8а/з3).
1) Приведем здесь для справок соответствующие формулы:
гЫп
81
S$
cm
дг
5*
Si
5?
SI
Si
s;
sk
s'P
sr
8kr
Slr
si
si
si
iklm
e e
iklm
e e
Общие коэффициенты в этих формулах проверяются по результату поляр-
полярного свертывания, которое должно дать F.9).
Как следствие первой из этих формул имеем
eprstAipAkrAlsAmt = -Aeiklm, eiklmeprstAipAkrAlsAmt = 24A,
где А — определитель, составленный из величин А^.
2)	Неизменность компонент 4-тензора егк1т по отношению к вращениям
4-системы координат и неизменность компонент 3-тензора еар>у по отноше-
отношению к вращениям пространственных осей координат являются частными
случаями общего правила: всякий совершенно антисимметричный тензор
ранга, равного числу измерений пространства, в котором он определен,
инвариантен при вращениях системы координат в этом пространстве.
3)	Приведем для справок соответствующие формулы:
б	S
Упрощая этот тензор по одной, двум и трем парам индексов, получим
2Sax, ea^ea^ = 6.

§ б	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ	37
При отражении системы координат, т. е. при изменении знака
всех координат, компоненты обычного трехмерного вектора тоже
меняют знак. Такие векторы называют полярными. Компоненты
же вектора, который может быть представлен как векторное
произведение двух полярных векторов, при отражении не ме-
меняют знак. Такие векторы называются аксиальными. Скалярное
произведение полярного и аксиального векторов является не ис-
истинным, а псевдоскаляром: при отражении координат оно меняет
знак. Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным
антисимметричному тензору. Так, если С = [АВ], то
I
2
Вернемся к 4-тензорам. Пространственные (г, А:,... = 1,2,3)
компоненты антисимметричного 4-тензора Агк составляют по
отношению к чисто пространственным преобразованиям трех-
трехмерный антисимметричный тензор; согласно сказанному выше
его компоненты выражаются через компоненты трехмерного ак-
аксиального вектора. Компоненты же Л01, Л02, А03 составляют, по
отношению к тем же преобразованиям, трехмерный полярный
вектор. Таким образом, компоненты антисимметричного 4-тен-
4-тензора можно представить в виде таблицы:
О	рх	Ру	Pz~
—рх	0	— az	ay
-ру	az	0	—ах
-~Pz	—&у	&х	0 _
причем по отношению к пространственным преобразованиям р
и а — полярный и аксиальный векторы. Перечисляя компоненты
антисимметричного 4-тензора, мы будем записывать их в виде
тогда ковариантные компоненты того же тензора
Агк = (-Р,а).
Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных и
интегральных операциях четырехмерного тензорного анализа.
4-градиент скаляра <р есть 4-вектор
F.10)
дхг \с dt
При этом необходимо иметь в виду, что написанные производные
должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4-век-
тора. Действительно, дифференциал скаляра
dip = —г dx1
ох

38
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
тоже есть скаляр; из его вида (скалярное произведение двух
4-векторов) и очевидно сделанное утверждение.
Вообще операторы дифференцирования по координатам хг,
д/дхг, должны рассматриваться как ковариантные компоненты
операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром
дивергенция 4-вектора — выражение дАг/дхг, в котором диффе-
дифференцируются контравариантные компоненты А11).
В трехмерном пространстве интегрирование может произво-
производиться по объему, по поверхности и по кривой. В четырехмерном
пространстве соответственно возможны четыре рода интегриро-
интегрирований.
1.	Интеграл по кривой в 4-пространстве. Элементом интегри-
интегрирования является элемент длины, т.е. 4-вектор dxl.
2.	Интеграл по поверхности (двумерной) в 4-пространстве.
Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади
параллелограмма, построенного на двух векторах dr и drf, на
координатные плоскости хахр равны dxadxfo — dx^dx1^. Анало-
Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности
определяется антисимметричным тензором второго ранга df =
= dxldxlk — dxkdxH\ его компоненты равны проекциям площади
элемента на координатные плоскости. В трехмерном простран-
пространстве, как известно, вместо тензора dfap в качестве элемента по-
поверхности используется вектор dfa, дуальный тензору dfa^\ dfa =
I
— ~eaj3jdfj3j- Геометрически это есть вектор, нормальный к эле-
2
) Если же производить дифференцирования по «ковариантным коорди-
координатам» Хг, то производные
dxi	дхк V с dt '
составляют контравариантные компоненты 4-вектора. Мы будем пользо-
пользоваться такой записью лишь в исключительных случаях (например, для
.	dip dip x
записи квадрата 4-градиента —^т ——).
Упомянем, что в литературе часто используется краткая запись частных
производных по координатам производных с помощью символов
В этой форме записи операторов дифференцирования явно проявляется
контра- или ковариантный характер образуемых с их помощью величин.
Таким же преимуществом обладает и другой применяемый способ краткой
записи производных — посредством индексов после запятой:
dip	i dip

§ б	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ	39
менту поверхности и по абсолютной величине равный площади
этого элемента. В четырехмерном пространстве такого вектора
построить нельзя, но можно построить тензор df , дуальный
тензору dftk, т.е.
k
Геометрически он изображает элемент поверхности, равный и
«нормальный» элементу dflk\ все лежащие на нем отрезки ор-
ортогональны ко всем отрезкам на элементе dflk. Очевидно, что
dfikdf?k = 0.
3. Интеграл по гиперповерхности, т. е. по трехмерному мно-
многообразию. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда,
построенного на трех векторах, равен, как известно, определите-
определителю третьего порядка, составленному из компонент этих векторов.
В 4-пространстве аналогичным образом выражаются проекции
объема «параллелепипеда» (т.е. «площади» гиперповерхности),
построенного на трех 4-векторах dxl', dxH', dxm\ они даются опре-
определителями
dSikl =
составляющими тензор 3-ранга, антисимметричный по трем ин-
индексам. В качестве элемента интегрирования по гиперповерх-
гиперповерхности удобнее пользоваться 4-вектором dS1, дуальным тензо-
тензору dSikl:
dxl
dxk
dx1
dx'1
dx'k
dx'1
dxIH
dx"k
dx
= enklrndSn.	F.12)
При этом
dS° = dS123, dS1 = dS023,...
Геометрически dS1 — 4-вектор, по величине равный «площади»
элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к это-
этому элементу (т. е. перпендикулярный ко всем прямым, проведен-
проведенным в элементе гиперповерхности). В частности, dS® = dxdydz,
т.е. представляет собой элемент трехмерного объема dV — про-
проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость ж0 = const.
4. Интеграл по четырехмерному объему. Элементом интегри-
интегрирования является произведение дифференциалов:
du = dx°dx1dx2dxs = cdtdV.	F.13)
Этот элемент является скаляром: очевидно, что объем участка

40	ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
4-пространства не меняется при повороте системы координат1).
Аналогично теоремам Гаусса и Стокса трехмерного векторно-
векторного анализа существуют теоремы, позволяющие преобразовывать
друг в друга четырехмерные интегралы.
Интеграл по замкнутой гиперповерхности можно преобразо-
преобразовать в интеграл по заключенному в ней 4-объему путем замены
элемента интегрирования dSi на оператор:
dSi^dtt — .	F.14)
ох
Например, для интеграла от вектора Аг имеем
& A*dSi= I^jr
Эта формула является обобщением теоремы Гаусса.
Интеграл по двумерной поверхности преобразуется в инте-
интеграл по «охватываемой» ею гиперповерхности заменой элемента
интегрирования df*k на оператор:
dib^dSi-^-dSb-jL.	F.16)
Например, для интеграла от антисимметричного тензора Агк
имеем
1/К??)/<?. (..17,
Интеграл по четырехмерной замкнутой линии преобразуется
в интеграл по охватываемой ею поверхности путем замены
dxi ->¦ dfki4r-	F.18)
OX
Так, для интеграла от вектора имеем
"(?-&). С")
что является обобщением теоремы Стокса.
1)При преобразовании переменных интегрирования ж0, х1 х2, х3 к новым
переменным х'°, ж'1, х'2, х/3 элемент интегрирования dQ заменяется, как
известно, на J du1', где du' = dx'°dxn dx'2 dx's , a
д(х'°хпх'2х'3)
" д(хо,х\х2,х3)
— якобиан преобразования. Для линейного преобразования вида х'ъ = агкхк
якобиан J совпадает с определителем \агк\ и равен (для поворотов системы
координат) единице; в этом и проявляется инвариантность dQ.

§ 7	ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ СКОРОСТЬ	41
Задачи
1. Найти закон преобразования компонент симметричного 4-тензора Агк
при преобразовании Лоренца F.1).
Решение. Рассматривая компоненты 4-тензора как произведения
двух компонент 4-вектора, получим
-iOO	1
1 T7-2/2V	2
1 — V /с \	с	с
А11 =	Vr^ (А111 + 2^А'01 + К-
А22 = А'22, А23 = А'23, А12=
у/1 -
. - V2/c2
А°2 = —г
у/1 - V2/c2
и аналогичные формулы для Л33, А13, А03.
2. То же для антисимметричного тензора Агк.
Решение. Поскольку координаты х , х не меняются, то не меняется
и компонента тензора А23, а компоненты Л12, Л13 и А02, А03 преобразуются
1 0
а
'	л/1 -
и аналогично для А13, Л03.
По отношению к поворотам двумерной системы координат в плоскос-
плоскости х°хх (каковыми являются рассматриваемые преобразования) компонен-
компоненты А01 = —Л10, А00 = А11 = 0 составляют антисимметричный тензор ранга,
равного числу измерений пространства. Поэтому (см. примеч. на с. 36) при
преобразованиях эти компоненты не меняются:
А01=А'01.
§ 7. Четырехмерная скорость
Из обычного трехмерного вектора скорости можно образо-
образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью
D-скоростью) частицы является вектор
и* = f.	G.1)
Для нахождения его компонент замечаем, что согласно C.1)
ds = cdty/l — v2 /с2,

42
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. I
где v — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому
dx1	dx	vx
1 _
ds cdty/l-v2/c2 cy/l-v2/c2
и т. п. Таким образом,
1	v
Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.
Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что
dxi dx1 = ds2, имеем
и*щ = 1.	G.3)
Геометрически и1 есть единичный 4-вектор касательной к миро-
мировой линии частицы.
Аналогично определению 4-скорости, вторую производную
7 d x% du1
w1 =
ds	ds
можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение
G.3), найдем
щги1 = 0,	G.4)
т. е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.
Задача
Определить релятивистское равноускоренное движение, т. е. прямоли-
прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения w
в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.
Решение.В системе отсчета, в которой скорость частицы v = О,
компоненты 4-ускорения равны wl = @,w/c2, 0, 0) (w — обычное трехмерное
ускорение, направленное вдоль оси х). Релятивистски инвариантное условие
равноускоренности должно быть представлено в виде постоянства 4-скаля-
ра, совпадающего с w2 в собственной системе отсчета:
w Wi = const =	-г-.
с4
В «неподвижной» системе отсчета, относительно которой рассматрива-
рассматривается движение, раскрытие выражения w%Wi приводит к уравнению
d	v	v
	.	= = w, или —.	= = wt + const.
dt у/1 - v2/c2	y/l-v2/c2
Полагая v = 0 при t = 0, имеем const = 0, так что
wt
v =

§ 7	ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ СКОРОСТЬ	43
Интегрируя еще раз и полагая х = 0 при t = 0, получим
При wt ^ с эти формулы переходят в классические выражения v = wt,
х = tot /2. При tot —>¦ оо скорость стремится к постоянному значению с.
Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается инте-
интегралом
о
При t —»> оо оно растет по значительно более медленному чем t закону
с . 2wt
— In	.
W	С

ГЛАВА II
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 8. Принцип наименьшего действия
При исследовании движения материальных частиц мы бу-
будем исходить из принципа наименьшего действия. Этот прин-
принцип заключается в том, что для всякой механической системы
существует такой интеграл S, называемый действием, который
для действительного движения имеет минимум и вариация 6S
которого, следовательно, равна нулю1).
Определим интеграл действия для свободной материальной
частицы, т. е. частицы, не находящейся под действием каких-ли-
каких-либо внешних сил.
Для этого заметим, что этот интеграл не должен зависеть
от выбора той или иной инерциальной системы отсчета, т. е. он
должен быть инвариантом относительно преобразований Лорен-
Лоренца. Отсюда следует, что он должен быть взят от скаляра. Далее,
ясно, что под интегралом должны стоять дифференциалы в пер-
первой степени. Однако единственный такой скаляр, который можно
построить для свободной материальной частицы, есть интервал
ds или ads, где а — некоторая постоянная.
Итак, действие для свободной частицы должно иметь вид
ъ
-ч
ds,
где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя за-
заданными событиями а и Ъ — нахождением частицы в начальном
и конечном местах в определенные моменты времени t\ и ?2,
т. е. между заданными мировыми точками; а есть некоторая
постоянная, характеризующая данную частицу. Легко видеть,
что для всех частиц а должна быть положительной величиной.
Действительно, мы видели в § 3, что интеграл fa ds имеет мак-
максимальное значение вдоль прямой мировой линии; интегрируя
1) Строго говоря, принцип наименьшего действия утверждает, что инте-
интеграл S должен быть минимален лишь вдоль малых участков линии интегри-
интегрирования. Для линий произвольной длины можно утверждать только, что S
имеет экстремум, не обязательно являющийся минимумом (см. I, §2).

§ 8	ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ	45
вдоль кривой мировой линии, можно сделать его сколь угодно
малым.
Таким образом, интеграл, взятый с положительным знаком,
не может иметь минимума; взятый же с обратным знаком он
имеет минимум — вдоль прямой мировой линии.
Действие можно представить в виде интеграла по времени:
Ь2
Ldt.
Коэффициент L при dt называется, как известно, функцией Ла-
Лагранжа для данной механической системы. С помощью C.1)
находим
где v — скорость материальной частицы. Функция Лагранжа для
частицы есть, следовательно,
Величина а, как уже отмечалось, характеризует данную ча-
частицу. В классической механике всякая частица характеризуется
ее массой т. Определим связь величин ант. Она находится из
условия, что при предельном переходе с —»> ос наше выражение
для L должно перейти в классическое выражение
Для осуществления этого перехода разложим L в ряд по
степеням v/c. Тогда, опуская члены высших порядков, получаем
L = —ас\ /1	=- « —ас -\	.
Постоянные члены в функции Лагранжа не отражаются на
уравнениях движения и могут быть опущены. Опустив в L по-
постоянную ас и сравнив с классическим выражением L = mv2/2,
найдем, что а = тс.
Таким образом, действие для свободной материальной точки
равно	ъ
= — тс / б?5,	(8-1)

46
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
а функция Лагранжа
/ 3"
(8.2)
§ 9. Энергия и импульс
Импульсом частицы называется, как известно, вектор р =
= dL/dv (dL/dv — символическое обозначение вектора, компо-
компоненты которого равны производным от L по соответствующим
компонентам v). С помощью (8.2) находим
а/1 -v2/c2
При малых скоростях (г; <С с) или в пределе при с —»> ос это
выражение переходит в классическое р = rav. При v = с импульс
обращается в бесконечность.
Производная от импульса по времени есть сила, действую-
действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по
направлению, т. е. сила направлена перпендикулярно скорости.
Тогда
dp _	т dw	,g 2ч
dt ^/l-v2/c2 dt'	{ ' J
Если ж:е скорость меняется только по величине, т. е. сила направ-
направлена по скорости, то
dp	m	dw	, ч
dt (l-v2/c2K/2 dt'	{ }
Мы видим, что в обоих случаях отношение силы к ускорению
различно.
Энергией S частицы называется величина
S = pv - L
(см. I, §6). Подставляя сюда выражения (8.2) и (9.1) для L и р,
получим
S = . т(? .	(9.4)
y/l-V2/c2	V	J
Эта очень важ:ная формула показывает, в частности, что в
релятивистской механике энергия свободной частицы не обра-
обращается в нуль при v = 0, а остается конечной величиной, равной
S = тс2.	(9.5)
Ее называют энергией покоя частицы.

§ 9	ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	47
При малых скоростях (v <С с) имеем, разлагая (9.4) по степе-
степеням v/c:
<g « тс? + —,
т. е. за вычетом энергии покоя классическое выражение для ки-
кинетической энергии частицы.
Подчеркнем, что хотя мы говорим здесь о «частице», но ее
«элементарность» нигде не используется. Поэтому полученные
формулы в равной степени применимы и к любому сложному
телу, состоящему из многих частиц, причем под т надо пони-
понимать полную массу тела, а под v — скорость его движения как
целого. В частности, формула (9.5) справедлива и для любого
покоящегося как целое тела. Обратим внимание на то, что энер-
энергия свободного тела (т. е. энергия любой замкнутой системы)
оказывается в релятивистской механике вполне определенной,
всегда положительной величиной, непосредственно связанной с
массой тела. Напомним в этой связи, что в классической механи-
механике энергия тела определена лишь с точностью до произвольной
аддитивной постоянной, и может быть как положительной, так
и отрицательной.
Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий
покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энер-
энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Други-
Другими словами, тс2 не равно сумме ^2тас2 (та — массы частиц),
а потому и т не равно ^2та. Таким образом, в релятивистской
механике не имеет места закон сохранения массы: масса слож-
сложного тела не равна сумме масс его частей. Вместо этого имеет
место только закон сохранения энергии, в которую включается
также и энергия покоя частиц.
Возводя выражения (9.1) и (9.4) в квадрат и сравнивая их,
найдем следующее соотношение между энергией и импульсом
частицы:	^2
Энергия, выраженная через импульс, называется, как известно,
функцией Гамильтона Ж\
Ж = су/р2 + т2с2.	(9.7)
При малых скоростях р <С тс и приближенно
Ж « тс2 + ^-,
2т
т.е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое
выражение функции Гамильтона.
Из выражений (9.1) и (9.4) вытекает также следующее со-
соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной

48
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
частицы:	^
Р = ?•	(9-8)
При v = с импульс и энергия частицы обращаются в беско-
бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой т
не может двигаться со скоростью света. В релятивистской ме-
механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной
нулю, движущиеся со скоростью света1). Из (9.8) имеем для
таких частиц:
р = ±.	(9.9)
Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с
отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивист-
ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы S велика по сравнению с ее
энергией покоя тс2.
Выведем теперь все полученные соотношения в четырехмер-
четырехмерном виде. Согласно принципу наименьшего действия
SS = тсб
о
Г ds = 0.
Раскроем выражение для 6S. Для этого замечаем, что ds =
= ydxjdbc1 и потому
ъ	ъ
сri I dxiSdx1	f .г. {
дЬ = —тс / 	= — тс / щаох .
J ds	J
а	а
Интегрируя по частям, находим
ъ
SS = -тсЩ5х1\ъа + тс IW— ds.	(9.10)
J ds
а
Как известно, для нахождения уравнений движения сравни-
сравниваются различные траектории, проходящие через два заданных
положения, т. е. на пределах Eхг)а = Eхг)ъ = 0. Истинная траек-
траектория определяется из условия SS = 0. Из (9.10) мы получили бы
тогда уравнение dui/ds = 0, т. е. постоянство скорости свободной
частицы в четырехмерном виде.
Для того чтобы найти вариацию действия как функцию от
координат, надо считать заданной лишь одну точку а, так что
1) Таковы световые кванты — фотоны, а также, возможно, нейтрино.

§ 9	ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС	49
Fхг)а = 0. Вторую же точку надо считать переменной, но
при этом рассматривать только истинные, т. е. удовлетворяющие
уравнениям движения траектории. Поэтому интеграл в выраже-
выражении (9.10) для SS равен нулю. Вместо Eхг)ь пишем просто 5хг и,
таким образом, находим
SS = -тсщ5х\	(9.11)
Четырехмерный вектор
Pi = -S	(9-12)
называется 4-импульсом. Как известно из механики, производ-
производные dS/дх, dS/dy, dS/dz — три компоненты вектора импульса
частицы р, а производная — dS/dt есть энергия частицы S\ По-
Поэтому ковариантные компоненты 4-импульса, pi = {$/с, — р), а
контравариантные компоненты1)
Из (9.11) видно, что компоненты 4-импульса свободной ча-
частицы равны
р1 = тпси\	(9.14)
Подставив сюда компоненты 4-скорости из G.2), убедимся в том,
что для ри(? действительно получаются выражения (9.1) и (9.4).
Таким образом, в релятивистской механике импульс и энер-
энергия являются компонентами одного 4-вектора. Отсюда непосред-
непосредственно вытекают формулы преобразования импульса и энергии
от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подставив
в общие формулы F.1) преобразования 4-вектора выражения
(9.13), находим
Р = Р Р=р S=	(9Л5)
где Рхч Руч ^ — компоненты трехмерного вектора р.
Из определения 4-импульса (9.14) и тождества игщ = 1 имеем
для квадрата 4-импульса свободной частицы:
р1Р1 = т2с2.	(9.16)
Подставив сюда выражения (9.13), вернемся к соотношению (9.6).
1) Обратим внимание на мнемоническое правило для запоминания опре-
определения физических 4-векторов: контравариантные компоненты связаны
с соответствующими трехмерными векторами (г для хг, р для рг—п) с
«правильным», положительным знаком.

50	РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
По аналогии с обычным определением силы 4-вектор силы
можно определить как производную:
Его компоненты удовлетворяют тождеству giU1 = 0. Компоненты
этого 4-вектора выражаются через обычный трехмерный вектор
силы f = dp/dt согласно
' = (—=—, -7==fV
\С у/1 -V2/C2 Су/1 - V2/C2 /
g
Временная компонента оказывается связанной с работой силы.
Релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби получается
подстановкой в (9.16) производных— dS/дх1 вместо р^:
dS_dS_=kikdS_dS__ 2f	(919)
или, если написать сумму в явном виде
Переход к предельному случаю классической механики в
уравнении (9.20) совершается следующим образом. Прежде всего
необходимо учесть, как и при соответствующем переходе в (9.7),
что в релятивистской механике энергия частицы содержит член
гас2, которого нет в классической механике. Поскольку действие
S связано с энергией выражением § = —dS/dt, то при переходе
к классической механике надо вместо S ввести новое действие Sf
согласно соотношению
S = Sf - mc2t.
Подставляя его в (9.20), находим
2mc2\dt)	8t 2т[\дх) \ ду ) V^/J~ '
В пределе при с —>• схэ это уравнение переходит в известное
классическое уравнение Гамильтона-Якоби.
§ 10. Преобразование функции распределения
В различных физических вопросах приходится иметь дело с
пучками частиц, обладающих различными импульсами. Состав
такого пучка, его импульсный спектр, характеризуется функцией
распределения частиц по импульсам: f(p)dpxdpydpz есть доля

§ 10	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	51
числа частиц, обладающих импульсами с компонентами в задан-
заданных интервалах фж, dpy, dpz (или, как говорят для краткости,
число частиц в заданном элементе объема dsp = dpx dpy dpz
«импульсного пространства»). В связи с этим возникает вопрос
о законе преобразования функции распределения /(р) от одной
системы отсчета к другой.
Для решения этого вопроса выясним предварительно свойс-
свойства «элемента объема» dpxdpydpz по отношению к преобразова-
преобразованию Лоренца. Если ввести четырехмерную систему координат,
на осях которой откладываются четыре компоненты 4-импульса
частицы, то dpxdpydpz можно рассматривать как нулевую ком-
компоненту элемента гиперповерхности, определяемой уравнением
ptpi = т2с2. Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, направ-
направленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали
совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора pi. Отсюда сле-
следует, что отношение
ффф,	A0.1)
как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-век-
4-векторов, есть величина инвариантная1).
Очевидным инвариантом является также доля числа частиц
f dpxdpydpz, не зависящая от выбора системы отсчета. Написав
ее в виде
г, \jpdpxdpydpz
и учитывая инвариантность отношения A0.1), мы приходим к
выводу об инвариантности произведения /(р)^. Отсюда следует,
что функция распределения в системе К1 связана с функцией
) Интегрирование по элементу A0.1) может быть представлено в четы-
четырехмерном виде с помощью E-функции (см. примеч. на с. 103) как интегри-
интегрирование по
-5(р*Рг - m2c2)d4p, d4p = dp°dp1dp2dp3.	A0.1a)
с
При этом четыре компоненты рг рассматриваются как независимые перемен-
переменные (причем р° пробегает лишь положительные значения). Формула A0.1а)
очевидна из следующего представления фигурирующей в ней E-функции:
? JL [ф0 + ?) + 6(Р0 - *-)}, A0.1)
где $ = сд/р2 + т2с2. В свою очередь эта формула следует из формулы E),
приведенной в примеч. на с. 103.

52
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
распределения в системе К соотношением
/V) = ^,	(Ю.2)
причем ри(? должны быть выражены через р' и S1 с помощью
формул преобразования (9.15).
Вернемся к инвариантному выражению A0.1). Если ввести
«сферические координаты» в импульсном пространстве, то эле-
элемент объема dpxdpydpz заменится на p2dpdo, где do—элемент
телесного угла для направлений вектора р. Замечая, что pdp =
= §dS/с2 (согласно (9.6)), имеем
р2 dp do 	 р dS do
Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение
pdSdo.	A0.3)
В другом аспекте понятие о функции распределения
фигурирует в кинетической теории газов: произведение
/(г, p)dpx dpy dpz dV есть число частиц, находящихся в заданном
элементе объема dV и обладающих импульсами в заданных
интервалах фж, dpy, dpz. Функцию /(г, р) называют функцией
распределения в фазовом пространстве (пространство коор-
координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов
dr = d^p dV — элементом объема этого пространства. Выясним
закон преобразования этой функции.
Введем наряду с двумя системами отсчета К и К' еще и
систему Kq, в которой частицы с рассматриваемым импульсом
покоятся; именно по отношению к этой системе определяется соб-
собственный объем dVo элемента, занимаемого данными частицами.
Скорости систем К и К1 относительно системы Kq совпадают,
по определению, со скоростями v и v\ которыми обладают эти
частицы в системах К и К1. Согласно D.6) имеем поэтому
dV = dV0у/1 - v2/c2, dV' = dV0у/1 - vf2/c2,
откуда
dV _ <T
dV ~ S'
Перемножив это равенство с равенством d?p/d?p' = ?/?*', най-
найдем, что
dr = dr\	A0.4)
т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариан-
инвариантом является, по определению, также и число частиц / с?т, то мы

§ 11	РАСПАД ЧАСТИЦ	53
приходим к выводу об инвариантности функции распределения
в фазовом пространстве:
/'(г',р') = /(г,р),	(Ю.5)
где г', р' связаны с г, р формулами преобразования Лоренца.
§ 11. Распад частиц
Рассмотрим самопроизвольный распад тела с массой М на
две части с массами mi и vfi2- Закон сохранения энергии при
распаде, примененный в системе отсчета, в которой тело покоит-
покоится, дает1)
где SiQ и ^20 ~~ энергии разлетающихся частей. Поскольку $\$ >
> TTii и ^20 > Ш2> то равенство A1.1) может выполняться, лишь
если М > ?Tii+7Ti2, т. е. тело может самопроизвольно распадаться
на части, сумма масс которых меньше массы тела. Напротив,
если М < TTii + ?^2 ? то тело устойчиво (по отношению к данному
распаду) и самопроизвольно не распадается. Для осуществления
распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энер-
энергию, равную по крайней мере его «энергии связи» (mi+rri2 — M).
Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен
выполняться законом сохранения импульса, т. е. сумма импуль-
импульсов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела,
равна нулю: рю + Р20 — 0. Отсюда р\^ = р^, или
4, - mj = 4, - т22.	A1.2)
Для уравнения A1.1) и A1.2) однозначно определяют энергии
разлетающихся частей:
#20 =	• AL3)
ш' #20 ш
1) В § 11-13 полагаем с = 1. Другими словами, скорость света выбирается
в качестве единицы измерения скоростей (при этом размерности длины и
времени становятся одинаковыми). Такой выбор является естественным в
релятивистской механике и очень упрощает запись формул. Однако в этой
книге (значительное место в которой уделено и нерелятивистской теории)
мы, как правило, не будем пользоваться такой системой единиц, а при ее
использовании будем каждый раз оговаривать это.
Если в формуле положено с = 1, то возвращение к обычным единицам
не представляет труда: скорость света вводится в нее таким образом, чтобы
обеспечить правильную размерность.

54
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
В некотором смысле обратным является вопрос о вычислении
суммарной энергии М двух сталкивающихся частиц в системе
отсчета, в которой их суммарный импульс равен нулю (или,
как говорят для краткости, в системе центра инерции или в
«-ц-системе»). Вычисление этой величины дает критерий, опре-
определяющий возможность осуществления различных процессов
неупругих столкновений, сопровождающихся изменением состо-
состояния сталкивающихся частиц или «рождением» новых частиц.
Каждый такой процесс может происходить лишь при условии,
что сумма масс всех «продуктов реакции» не превышает М.
Пусть в исходной (или, как говорят, лабораторной) системе
отсчета частица с массой rai и энергией S\ сталкивается с покоя-
покоящейся частицей с массой гп2- Суммарная энергия обеих частиц
S = §\ + (§2 — $\ + ^2>
а суммарный импульс р = pi + Р2 = Pi- Рассматривая обе
частицы вместе как одну сложную систему, мы найдем скорость
ее движения как целого согласно (9.8):
v = 1 = FT-'	AL4)
G> G>\ -\- 777-2
Это и есть скорость движения -ц-системы относительно лабора-
лабораторной системы (л-системы).
Однако для определения искомой массы М нет необходимо-
необходимости фактически производить преобразование от одной системы
отсчета к другой. Вместо этого можно непосредственно восполь-
воспользоваться формулой (9.6), применимой к составной системе в
такой же мере, как и к каждой частице в отдельности. Таким
образом, имеем
M2 = S2-p2 = (<?i + т2J - (<?? - m?),
откуда
М2 = m\ + ml + 2т2?ъ	A1.5)
Задачи
1. Частица, движущаяся со скоростью V, распадается «на лету» на две
частицы. Определить связь между углами вылета последних и их энергиями.
Решение. Пусть S'o — энергия одной из распадных частиц в ц-систе-
ц-системе (т. е. <й.о или <^2о из A1.3)), $ — энергия этой же частицы в л-системе, а 9 —
угол ее вылета в л-системе (по отношению к направлению V). С помощью
формул преобразования (9.15) имеем
_ S - VpcosO
откуда
я — ?>„ л /i _ т/2
A)

§11
РАСПАД ЧАСТИЦ
55
Для обратного определения $ по cos# отсюда получается квадратное
(относительно (?) уравнение
^2A - V2 cos2 в) - 2ggo^/l-V2 + ^о2A - V2) + V2m2 cos2 в = 0, B)
имеющее один (если скорость распадной частицы в ^-системе vo > V) или
два (если vq < V) положительных корня.
Происхождение последней двузначности ясно из следующего графиче-
графического построения. Согласно формулам (9.15) компонента импульса в л-си-
стеме выражается через величины, относящиеся к ^-системе, следующим
образом:
ро cos во + S'o V	. а
Рх = 	/,		, ру =posmVo.
Исключая отсюда во, получим
По отношению к переменным рх, ру это есть уравнение эллипса с полуося-
полуосями ро/у/1 — V2, ро и центром (точка О на рис. 3), смещенным на расстоя-
расстояние <?Ь^/л/1 — V2 от точки р = 0 (точка А на рис. 3I).
Если V > po/S'o = г?о, то точка А лежит вне эллипса (рис. 3 6) и
при заданном угле 0 вектор р (а с ним и энергия <?) может иметь два
V <v0
V >v0
различных значения. Из построения видно такж:е, что в этом случае угол
может принимать лишь значения, не превышающие определенного #тах
(отвечающего такому положению вектора р, при котором он касателен к
эллипсу). Значение #тах проще всего определяется аналитически из условия
обращения в нуль дискриминанта квадратного уравнения B) и оказывается
равным:
Sin0max = 	•
mV
2. Найти распределение распадных частиц по энергиям в л-системе.
Решение. В ^-системе распадные частицы распределены изотропно
по направлениям, т. е. доля числа частиц в элементе телесного угла doo =
= 2тг sin во ddo есть
dN = — doo = —Id cos 0o I-	A)
4тг	2
Энергия в л-системе связана с величинами, относящимися к ^-системе, со-
соотношением
1) В классическом пределе эллипс превращается в окружность (см. I, § 16).

56
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
ГЛ. II
и пробегает значения между
- Уро
+ Урр
y/1-V2 И у/1 - V2 '
Выражая |<icos#o| через dS', получим нормированное на единицу распреде-
распределение по энергиям (для каждого из двух сортов распадных частиц):
1
dN =
2Vp0
3. Определить интервал значений, которые может принимать в л-систе-
ме угол между двумя распадными частицами (угол разлета) при распаде на
две одинаковые частицы.
Решение. В ^-системе частицы разлетаются во взаимно противопо-
противоположных направлениях, так что вю = тг — #20 = $о- Связь между углами в
ц- и л-системах дается согласно E.4) формулами
ctg(9i =
Vq COS Oq -\-V
Ctg6>2 =
— 17o COS #o + V
(в данном случае vw = ^20 = ^o)- Искомый угол разлета в = в\ + дч и для
него простое вычисление дает
Исследование экстремумов этого выражения приводит к следующим интер-
интервалам возможных значений в:
2arctg( — лЛ-^2) < в < тг;
если V <
если vq < V <
если V >
4. Найти угловое распределение в л-системе для распадных частиц с
массой, равной нулю.
Решение. Связь между углами вылета в ц- и л-системах для части-
частицы с т = 0 дается согласно E.6) формулой
а cosO-V
COS0O =
1
О < в < 2arctg( —
Подставляя это выражение в формулу A) задачи 2, получим
47r(l-Fcos6>J
5. Найти распределение по углам разлета в л-системе при распаде на
две частицы с массами, равными нулю.

§ 12	ИНВАРИАНТНОЕ СЕЧЕНИЕ	57
Решение. Связь между углами вылета #i, дч в л-системе и углами
#ю = #о, #20 = тг — #о в ^-системе определяется по формулам E.6), после
чего для угла разлета в = 9\ + #2 находим
2V2 - 1 - V2 cos2 в0
cos 9 = 	=	=
1 - V2 cos2 во
и обратно:
г-у + 2 в
-—^—ctg2-.
Подставив это выражение в формулу A) задачи 2, получим
dN_ 1-V2	do
16тгУ sm3F/2)vV2-cos2F/2)'
Угол в пробегает значения от тг до втт = 2 arccos V.
6. Определить наибольшую энергию, которую может унести одна из
распадных частиц при распаде неподвижной частицы с массой М на три
чаСТИЦЫ 7711, ГП2, ГПЗ'
Решение. Частица тг имеет наибольшую энергию, если система
двух остальных частиц rri2 и тз имеет наименьшую возможную массу;
последняя равна сумме rri2 + газ (чему отвечает совместное движение этих
частиц с одинаковой скоростью). Сведя, таким образом, вопрос к распаду
тела на две части, получим согласно A1.3)
<flmax = [М2 + га2 - (га2 + га3J]/BМ).
§ 12. Инвариантное сечение
Как известно, различные процессы рассеяния характеризу-
характеризуются их эффективными сечениями (или просто сечениями),
определяющими числа столкновений, происходящих в пучках
сталкивающихся частиц.
Пусть мы имеем два сталкивающихся пучка; обозначим через
ni и П2 плотности частиц в них (т. е. числа частиц в единице
объема), а через vi и V2 — скорости частиц. В системе отсчета, в
которой частицы 2 покоятся (или, как говорят короче, в системе
покоя частиц 2), мы имеем дело со столкновением пучка частиц
1 с неподвижной мишенью. При этом, согласно обычному опре-
определению сечения а, число столкновений, происходящих в объеме
dV в течение времени с??, равно
dv = crvOTIinin2 dV dt,
где 17Отн — величина скорости частиц 1 в системе покоя частиц 2
(именно так определяется в релятивистской механике относи-
относительная скорость двух частиц).
Число dv по самому своему существу есть величина инвари-
инвариантная. Поставим себе целью выразить ее в виде, пригодном в

58
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
любой системе отсчета:
du = An1n2dVdt,	A2.1)
где А — подлежащая определению величина, о которой известно,
что в системе покоя одной из частиц она равна г>отнсг. При этом
мы будем всегда понимать а именно как сечение в системе покоя
одной из частиц, т.е., по определению, как величину инвариант-
инвариантную. По определению, инвариантной является и относительная
СКОРОСТЬ 17ОТН.
В выражении A2.1) произведение dV dt есть величина ин-
инвариантная. Поэтому должно быть инвариантным и произведе-
произведение Ап\П2.
Закон преобразования плотности частиц п легко найти, за-
заметив, что инвариантно число частиц ndV в заданном элементе
объема dV. Написав ndV = nodVo (индекс 0 указывает систему
покоя частиц) и воспользовавшись формулой D.6) для преобра-
преобразования объема, найдем
п = ^=,	A2.2)
или п = П{)?/т, где $ — энергия, а т — масса частиц.
Поэтому утверждение об инвариантности произведения
Ап\П2 эквивалентно инвариантности выражения А$\$ч- Более
удобно представить это условие в виде
А	т- = А	= inv,	A2.3)
PliP2	&\&1 — PlP2
где в знаменателе стоит тоже инвариантная величина — произве-
произведение 4-импульсов обеих частиц.
В системе покоя частиц 2 имеем §2 — ^2, Р2 = 0, так что
инвариантная величина A2.3) сводится к А. С другой стороны, в
этой системе А = crvOTIi. Таким образом, в произвольной системе
отсчета
А = avOTH^.	A2.4)
Для придания этому выражению окончательного вида, вы-
выразим г>Отн через импульсы или скорости частиц в произвольной
системе отсчета. Для этого замечаем, что в системе покоя ча-
частиц 2 инвариант
Отсюда

§ 13	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ	59
Выразив величину рцрг2 = $\$2 — PiP2 через скорости vi и V2 с
помощью (9.1) и (9.4):
I — V1V2
и подставив в A2.5), после простых преобразований получим
следующее выражение для относительной скорости:
VOT»
1 - V1V2
(обратим внимание на то, что это выражение симметрично по vi
и V2, т.е. величина относительной скорости не зависит от того,
по отношению к которой из частиц она определяется).
Подставив A2.5) или A2.6) в A2.4), а затем в A2.1), получим
окончательные формулы, решающие поставленный вопрос:
или
dv = aV (vi - v2J - [viv2]2 ГС1ГС2 dF dt	A2.8)
(PP. Реши, 1993).
Если скорости vi и V2 лежат вдоль одной прямой, то [V1V2] =
= 0, так что формула A2.8) принимает вид
dv = сг|vi — V2|niri2 dVdt.	A2.9)
Задача
Найти «элемент длины» в релятивистском «пространстве скоростей».
Решение. Искомый «элемент длины» dlv представляет собой отно-
относительную скорость двух точек со скоростями v и v + dv. Поэтому из A2.6)
находим
Л„.2	„.2
v ~	(л	2\2	~~ (л	2\2 ' (л	2\ \™
A — V )	A — V )	A — V )
где в, (р—полярный угол и азимут направления v. Если ввести вместо v
новую переменную х согласно равенству v = thx? то элемент длины пред-
представится в виде
dl2v = dx + sh2 X(d02 + sin2 в dip2).
С геометрической точки зрения, это есть элемент длины в трехмерном
пространстве Лобачевского — пространстве постоянной отрицательной кри-
кривизны (ср. A11.12)).
§ 13. Упругие столкновения частиц
Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упру-
упругое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух

60
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
сталкивающихся частиц (с массами rai и 7712) через pi, <§\ и
Р2, $2\ значения величин после столкновения будем отмечать
штрихом.
Законы сохранения энергии и импульса при столкновении
можно записать вместе в виде уравнения сохранения 4-импульса:
A3.1)
Составим из этого 4-векторного уравнения инвариантные соот-
соотношения, которые будут удобными для дальнейших вычислений.
Для этого перепишем A3.1) в виде
и возведем обе части равенства в квадрат (т. е. напишем их
скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты
4-импульсов р\ и р'1 равны т\, а квадраты р\ и р% равны га^,
получим
ml + PiiPb - pup'i - Р2Ф1 = 0.	A3.2)
Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство р\ + р\ —
— р'? = р'^ получим
ml + pupi - P2iP2 ~ PiiP2 = 0.	A3.3)
Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в
которой до столкновения одна из частиц (частица 7712) покоилась.
Тогда р2 = 0, §2 = ГП2 и фигурирующие в A3.2) скалярные
произведения равны
PliP2 = &1ГП2, P2iPl = ГП2&[,
рир'1 = SXS[ - pipi = SXS[ - pipi cos въ	A3.4)
где в\ —угол рассеяния налетающей частицы mi. Подставив эти
выраж:ения в A3.2), получим
п $\($\ + ТП2) — ^\ТП2 — ТП1	/1 о г\
COSC71 = 	;	.	AО.5)
PlPl
Аналогичным образом из A3.3) найдем
m2)	A3.6)
где в2 — угол, образуемый импульсом отдачи р^ с импульсом
налетающей частицы pi.
Формулы A3.5), A3.6) связывают углы рассеяния обеих ча-
частиц в л-системе с изменениями их энергии при столкновениях.

§ 13	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ	61
Обращая эти формулы, можно выразить энергии $[, S^ через
угол в\ или 02. Так, подставив в A3.6) р\ = у' S2 — т\, р'2 =
= у(э<2 — тщ и возведя равенство в квадрат, после простого
вычисления получим
(A+mJ + (A2m)cos2(92	, ,
820-	[ '
Обращение же формулы A3.5) приводит в общем случае к весьма
громоздкому выражению $[ через в\.
Отметим, что если rai > га,2, т.е. налетающая частица тя-
тяжелее покоящейся, то угол рассеяния в\ не может превышать
некоторого максимального значения. Элементарным вычислени-
вычислением легко найти, что это значение определяется равенством
sin0imax = ^,	A3.8)
77li
совпадающим с известным классическим результатом.
Формулы A3.5), A3.6) упрощаются в случае, когда налетаю-
налетающая частица обладает равной нулю массой: rai = 0, и соответ-
соответственно р\ = <§\, р[ = S[. Выпишем для этого случая формулу
для энергии налетающей частицы после столкновения, выражен-
выраженной через угол ее отклонения:
<	^7
1-cos 01 + —
Вернемся снова к общему случаю столкновения частиц лю-
любых масс. Наиболее просто столкновение выглядит в -ц-систе-
ме. Отмечая значения величин в этой системе дополнительным
индексом 0, имеем здесь рю = —Р20 = Ро- В силу сохране-
сохранения импульса, импульсы обеих частиц при столкновении только
поворачиваются, оставаясь равными по величине и противопо-
противоположными по направлению. В силу же сохранения энергии абсо-
абсолютные значения каждого из импульсов остаются неизменными.
Обозначим через х угол рассеяния в -ц-системе — угол, на
который поворачиваются при столкновении импульсы рю и р2о-
Этой величиной полностью определяется процесс рассеяния в
системе центра инерции, а потому и во всякой другой системе
отсчета. Ее удобно выбрать также и при описании столкновения
в л-системе в качестве того единственного параметра, который
остается неопределенным после учета законов сохранения энер-
энергии и импульса.
Выразим через этот параметр конечные энергии обеих частиц
в л-системе. Для этого вернемся к соотношению A3.2), но на этот

62
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
раз раскроем произведение pup'l в -ц-системе:
PiiPi = Ао^/о - PioPio = ^И) - pI cosX = Poi1 ~ cosх) + т\
(в -ц-системе энергия каждой из частиц при столкновении не
меняется: §[§ = Ао)- Остальные же два произведения раскры-
раскрываем по-прежнему в л-системе, т.е. берем из A3.4). В результате
получим
4	(
777-2
Остается выразить р$ через величины, относящиеся к л-системе.
Это легко сделать путем приравнивания значений инварианта
рцр\ в ц- и л-системах:
— Р10Р20 —
ИЛИ
ml) = ?im2 - pg.
Репсая это уравнение относительно ?>q, получим
777-1 Н~ 777-2
Таким образом, окончательно имеем
777,!
-cosx)-
Энергия второй частицы получается из закона сохранения: <§\ +
+ Ш2 = S[ + g». Поэтому
42 2;1
777-1 Н~ 777-2
Вторые члены в этих формулах представляют собой энергию,
теряемую первой и приобретаемую второй частицей. Наиболь-
Наибольшая передача энергии получается при % = тг и равна
A3-13)
Отношение минимальной кинетической энергии налетающей
частицы после столкновения к ее первоначальной кинетической
энергии равно
&1тш-гп1 _ (mi -m2J
- 777л	771? + ?7l2 + 2Т712<Й
A3.14)

§ 13	УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ	63
В предельном случае малых скоростей (когда S « т + mv2/2)
это отношение стремится к постоянному пределу, равному
г ТП\
-т2\
2
\ 777-1 ~\~ ТП2 /
В обратном же пределе больших энергий <§\ отношение A3.14)
стремится к нулю; к постоянному же пределу стремится сама
величина ^/min- Этот предел равен
т\
2m2 •
Предположим, что Ш2 ^ т\, т. е. масса налетающей частицы
мала по сравнению с массой покоящейся частицы. Согласно клас-
классической механике при этом легкая частица могла бы передать
тяжелой только ничтожную часть своей энергии (см. I, §17).
Такое положение не имеет, однако, места в релятивистской те-
теории. Из формулы A3.14) видно, что при достаточно больших
энергиях <§\ доля переданной энергии может достичь порядка 1.
Для этого, однако, недостаточно, чтобы скорость частицы т\
была порядка 1, а необходимы, как легко видеть, энергии
§\ ~ 7712,
т. е. легкая частица должна обладать энергией порядка энергии
покоя тяжелой частицы.
Аналогичное положение имеет место при т2 <С гп\, т. е. когда
тяжелая частица налетает на легкую. И здесь, согласно класси-
классической механике, происходила бы лишь незначительная передача
энергии. Доля передаваемой энергии начинает становиться зна-
значительной только начиная от энергий
01 ~ 	.
777,2
Отметим, что и здесь речь идет не просто о скоростях порядка
скорости света, а об энергиях, больших по сравнению с rai, т.е.
об ультрарелятивистском случае.
Задачи
1. На рис. 4 треугольник ABC образован вектором импульса pi нале-
налетающей частицы и импульсами p'l5 р'2 обеих частиц после столкновения.
Найти геометрическое место точек G, соответствующих всем возможным
значениям pi, р'2.
Решение. Искомая кривая представляет собой эллипс, полуоси кото-
которого могут быть найдены непосредственно с помощью формул, полученных
в задаче 1 к §11. Действительно, произведенное там построение представля-
представляет собой нахождение геометрического места концов векторов р в л-системе,
получающихся из произвольно направленных векторов ро с заданной дли-
длиной ро в ^-системе.

64
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
ГЛ. II
Учитывая, что абсолютные величины импульсов сталкивающихся ча-
частиц в ^-системе одинаковы и не меняются при столкновении, мы имеем дело
777-1 <С 777-2
Рис. 4
в данном случае с аналогичным построением для вектора р1, для которого
в ^-системе
= PlO = P20 =
m2V
где V — скорость частицы rri2 в ^-системе, совпадающая по величине со ско-
скоростью центра инерции, равной V = pi/(A + ТП2) (см. A1.4)). В результате
найдем, что малая и большая полуоси эллипса равны
ТП2Р1
у/т\ + т\ +27712^1
Ро =
Ро =
Vl -V2 m?+m|+2m2^i
(первое из этих выражений совпадает, конечно, с A3.10)).
При #1=0 вектор pi совпадает с pi, так что расстояние АВ равно pi.
Сравнивая pi с удвоенной большой полуосью эллипса, легко убедиться, что
точка А лежит вне эллипса, если mi > 7712 (рис. 4 а) и внутри него при mi <
< 77i2 (рис. 4 б).
2. Определить минимальный угол разлета Omin частиц после столкно-
столкновения, если массы обеих частиц одинаковы (mi = 7712 = m).
Решение. При mi = 7712 точка А диаграммы лежит на эллипсе, а
минимальному углу разлета соответствует положение точки С в конце малой
полуоси (рис. 5). Из построения ясно, что
tg (втт/2) дается отношением длин полуосей,
СЛ6
и мы находим
-m
Рис. 5
3. Для столкновения двух частиц одинаковой массы т выразить ?*¦[, ,
X через угол рассеяния в л-системе 0\.

§ 14	МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	65
Решение. Обращение формулы A3.5) дает в этом случае
„, _ (&1 + т) + (<й - т) cos2 0г
1 ~ (&i + т) - (<а - тп) cos2 0i
,	(A2-m2)sin2^
2т + (<а - m) sin2 0i
Сравнивая с выражением &[ через х:
'
найдем угол рассеяния в ^-системе:
2т - (fa + Зш) sin2 0i
COS "V ^=
2m + (<a - га) sin2 0i '
§ 14. Момент импульса
Как известно из классической механики, у замкнутой си-
системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент
импульса, т. е. вектор
м =
(г и р — радиус-вектор и импульс частицы; суммирование произ-
производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохра-
Сохранение момента является следствием того, что функция Лагранжа
для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меня-
меняется при повороте системы как целого.
Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном ви-
виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть
хг — координаты одной из частиц системы. Произведем беско-
бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве. Это есть
преобразование, при котором координаты хг принимают новые
значения х1г', так что разности х1г — хг являются линейными
функциями:	.
х'г - хг = хк5Пг\	A4.1)
с бесконечно малыми коэффициентами ?Г^/с- Компоненты 4-тен-
4-тензора Sflik связаны при этом соотношениями, возникающими в ре-
результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной
длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было х\хн = Х{Хг. Подставляя
сюда хн из A4.1) и отбрасывая члены, квадратичные по Sflik, как
бесконечно малые высшего порядка, находим
= 0.
Это равенство должно выполняться при произвольных хг.
3 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

66
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
Поскольку хгхк — симметричный тензор, Sflik должны состав-
составлять антисимметричный тензор (произведение симметричного
тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно
нулю):
8пы = -Suik.	A4.2)
Изменение действия при бесконечно малом изменении коор-
координат начальной а и конечной Ь точек траектории имеет вид
(см. (9.10))
6S =-
(суммирование производится по всем частицам системы). В слу-
случае рассматриваемого нами сейчас поворота 8xi = SflikXk, а по-
потому
5S =-
Если разбить тензор ^2ргхк на симметричную и антисиммет-
антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисиммет-
антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из
^2ргхк антисимметричную часть, мы можем написать предыду-
предыдущее равенство в виде
6S = -5uik • \ J2(P^k - Ркх%ьа.	A4.3)
Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не
меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что долж-
должны быть равны нулю коэффициенты при SQik в A4.3):
Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при
движении, т. е. сохраняется, тензор
ipk-xkpi).	A4.4)
Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора мо-
момента.
Пространственные компоненты тензора момента совпадают
с компонентами трехмерного вектора момента М = Х^[]
М23 = Мх, -М13 = Му, М12 = Mz.
Компоненты же М01, М02, М03 составляют вектор
— Sг /с2). Таким образом, можно записать компоненты тензо-
тензора Мгк в виде
(ср. F.10)).

§ 14	МОМЕНТ ИМПУЛЬСА	67
В силу сохранения Мгк для замкнутой системы имеем, в
частности:
Поскольку, с другой стороны, полная энергия J^ S тоже сохра-
сохраняется, то это равенство можно написать в виде
Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором
R-U	A4-6)
равномерно движется со скоростью
V = ^,	A4.7)
которая есть не что иное, как скорость движения системы как
целого (отвечающая по формуле (9.8) ее полным энергии и им-
импульсу). Формула A4.6) дает релятивистское определение коор-
координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы
по сравнению с с, то можно приближенно положить S ~ гас2 и
A4.6) переходит в обычное классическое выражение1)
Обратим внимание на то, что компоненты вектора A4.6) не
составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора
и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются
как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной
и той же системы частиц по отношению к различным системам
отсчета —это различные точки.
Задача
Найти связь между моментом импульса М тела (системы частиц) в
системе отсчета К, в которой тело движется со скоростью V, и его мо-
моментом М^ в системе отсчета Ко, в которой тело как целое покоится; в
обоих случаях момент определяется по отношению к одной и той же точке —
центру инерции тела в системе Ко 2).
1) В то время как классическая формула для центра инерции относится
к системам как невзаимодействующих, так и взаимодействующих частиц,
формула A4.6) справедлива лишь при пренебрежении взаимодействием.
В релятивистской механике определение центра инерции системы взаимо-
взаимодействующих частиц требует учета в явном виде также импульса и энергии
создаваемого ими поля.
) Напомним, что хотя в системе Ко (в которой J^ p = 0) момент импульса
не зависит от выбора точки, по отношению к которой он определяется, но в
системе К (в которой J^P Ф 0) момент зависит от этого выбора (см. I, §9).

68
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА	ГЛ. II
Решение. Система Ко движется относительно К со скоростью V;
выберем ее направление в качестве оси х. Интересующие нас компоненты
тензора Мгк преобразуются по формулам (см. задачу 2 § 6)
М @I2 + ^М@H2	М@I3 + — М@)°3
М12 = 	 °	М13 =
/	/
М	М М.
у/1 ~ V2/C2	у/1 - V2/C2
Так как начало координат выбрано в центре инерции тела (в системе Ко), то
в этой системе J2 <%т = °> а поскольку в ней и ^ р = 0, то М@H2 = М@H3 =
= 0. Учитывая связь между компонентами Мг и вектором М, находим для
последнего:
Мх = М^\ Mv =	у =, Mz =
У ^l2/2'
- V2/c2

ГЛАВА III
ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 15. Элементарные частицы в теории относительности
Взаимодействие частиц друг с другом можно описывать с
помощью понятия силового поля. Вместо того чтобы говорить
о том, что одна частица действует на другую, можно сказать,
что частица создает вокруг себя поле; на всякую другую ча-
частицу, находящуюся в этом поле, действует некоторая сила.
В классической механике поле является лишь некоторым спо-
способом описания физического явления — взаимодействия частиц.
В теории же относительности благодаря конечности скорости
распространения взаимодействий положение вещей существен-
существенным образом меняется. Силы, действующие в данный момент
на частицу, не определяются их расположением в этот момент.
Изменение положения одной из частиц отражается на других
частицах лишь спустя некоторый промежуток времени. Это
значит, что поле само по себе становится физической реаль-
реальностью. Мы не можем говорить о непосредственном взаимо-
взаимодействии частиц, находящихся на расстоянии друг от друга.
Взаимодействие может происходить в каждый момент лишь
между соседними точками пространства (близкодействие). По-
Поэтому мы должны говорить о взаимодействии одной части-
частицы с полем и о последующем взаимодействии поля с другой
частицей.
Мы будем рассматривать два вида полей: поля гравитаци-
гравитационные и электромагнитные. Гравитационным полям посвящены
главы X-XIV. В остальных главах рассматриваются только элек-
электромагнитные поля.
Изучению взаимодействий частиц с электромагнитным полем
предпошлем некоторые общие соображения, относящиеся к по-
понятию «частицы» в релятивистской механике.
В классической механике можно ввести понятие абсолютно
твердого тела, т. е. тела, которое ни при каких условиях не может
быть деформировано. В теории относительности под абсолютно
твердыми телами следовало бы соответственно подразумевать
тела, все размеры которых остаются неизменными в той системе
отсчета, где они покоятся. Легко, однако, видеть, что теория

70	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
относительности делает вообще невозможным существование аб-
абсолютно твердых тел.
Рассмотрим, например, круглый диск, вращающийся вокруг
своей оси, и предположим, что он абсолютно тверд. Связан-
Связанная с этим диском система отсчета, конечно, не является инер-
циальной. Можно, однако, ввести для каждого из небольших
элементов диска инерциальную систему отсчета, в которой бы
этот элемент в данный момент покоился; для разных элементов
диска, обладающих различными скоростями, эти системы бу-
будут, конечно, тоже различны. Рассмотрим ряд элементов длины,
расположенных вдоль какого-нибудь радиуса диска. Благодаря
абсолютной твердости диска длины каждого из этих отрезков в
соответствующей инерциальной системе отсчета остаются таки-
такими же, какими они являются у неподвижного диска. Эти же дли-
длины получит и измеряющий их неподвижный наблюдатель, мимо
которого проходит в данный момент рассматриваемый радиус
диска, поскольку каждый из отрезков перпендикулярен к своей
скорости, а в таком случае не происходит лоренцева сокращения.
Поэтому и весь радиус, измеренный неподвижным наблюдате-
наблюдателем как сумма составляющих его отрезков, будет таким же,
каким он является у неподвижного диска. С другой стороны,
длина каждого из элементов окружности диска, проходящего в
данный момент мимо неподвижного наблюдателя, подвергает-
подвергается лоренцеву сокращению, так что и длина всей окружности
(измеренная неподвижным наблюдателем как сумма длин от-
отдельных ее отрезков) окажется меньше, чем длина окружности
покоящегося диска. Мы приходим, таким образом, к результату,
что при вращении диска отношение длины его окружности к
радиусу (измеряемое неподвижным наблюдателем) должно было
бы измениться вместо того, чтобы остаться равным 2тг. Проти-
Противоречие этого результата со сделанным предположением и по-
показывает, что в действительности диск не может быть абсолют-
абсолютно твердым и при вращении неизбежно подвергается некоторой
сложной деформации, зависящей от упругих свойств материала,
из которого сделан диск.
В невозможности существования абсолютно твердых тел
можно убедиться и другим путем. Пусть какое-нибудь твердое
тело внешним воздействием в какой-нибудь одной его точке при-
приводится в движение. Если бы тело было абсолютно твердым, то
все его точки должны были бы прийти в движение одновременно
с той, которая подверглась воздействию; в противном случае
тело деформировалось бы. Теория относительности, однако, де-
делает это невозможным, так как воздействие от данной точки
передается к остальным с конечной скоростью, а потому все
точки тела не могут одновременно начать двигаться.

§ 16	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ	71
Из сказанного вытекают определенные выводы, относящие-
относящиеся к рассмотрению элементарных частиц, т. е. частиц, для ко-
которых мы считаем, что их механическое состояние полностью
описывается заданием трех координат и трех компонент скоро-
скорости движения как целого. Очевидно, что если бы элементарная
частица обладала конечными размерами, т. е. была бы протя-
протяженной, то она не могла бы деформироваться, так как понятие
деформации связано с возможностью независимого движения
отдельных частей тела. Но, как мы только что видели, теория
относительности показывает невозможность существования аб-
абсолютно твердых тел.
Таким образом, в классической (неквантовой) релятивист-
релятивистской механике частицам, которые мы рассматриваем как эле-
элементарные, нельзя приписывать конечных размеров. Другими
словами, в пределах классической теории элементарные частицы
должны рассматриваться как точечныех).
§ 16. Четырехмерный потенциал поля
Действие для частицы, движущейся в заданном электромаг-
электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия (8.1)
свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие
частицы с полем. Последний должен содержать как величины,
характеризующие частицу, так и величины, характеризующие
поле.
Оказывается2), что свойства частицы в отношении ее взаимо-
взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним
параметром — так называемым зарядом частицы е, который мо-
может быть как положительной, так и отрицательной (или равной
нулю) величиной. Свойства же поля характеризуются 4-векто-
ром А^, так называемым 4- потенциалом, компоненты которого
г) Хотя квантовая механика существенно меняет ситуацию, однако и здесь
теория относительности делает крайне трудным введение неточечного вза-
взаимодействия .
2) Следующие ниже утверждения надо рассматривать в значительной сте-
степени как результат опытных данных. Вид действия для частицы в элек-
электромагнитном поле не может быть установлен на основании одних только
общих соображений, таких, как требование релятивистской инвариантности
(последнее допускало бы, например, в действии также и член вида f Ads,
где А — скалярная функция).
Во избежание недоразумений напомним, что речь идет везде о класси-
классической (не квантовой) теории, и потому нигде не учитываются эффекты,
связанные со спином частиц.

72	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
являются функциями координат и времени. Эти величины вхо-
входят в действие в виде члена
ъ
где функции Ai берутся в точках мировой линии частицы. Мно-
Множитель 1/с введен здесь для удобства. Следует отметить, что
до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связывающих заряд
или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их
измерения могут быть выбраны произвольным образом1).
Таким образом, действие для заряда в электромагнитном
поле имеет вид
ъ
S= (—mcds — -Aidxl).	A6.1)
J \	с	J
а
Три пространственные компоненты 4-вектора Аг образуют
трехмерный вектор А, называемый векторным потенциалом
поля. Временную же компоненту называют скалярным потен-
потенциалом', обозначим ее как А0 = (р. Таким образом,
А* = (<р,А).	A6.2)
Поэтому интеграл действия можно написать в виде
ъ
S = (—тс ds + -A dr — ар dt j,
а
или, вводя скорость частицы v = dr/dt и переходя к интегриро-
интегрированию по времени, в виде
t2
S = / (-тс2х 1 - 4 + -Av - е(р) dt.	A6.3)
J \	усе	/
tl
Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заря-
заряда в электромагнитном поле:
„2
Это выражение отличается от функции Лагранжа (8.2) для сво-
свободной частицы членами - Av — еу>, которые описывают взаимо-
с
действие заряда с полем.
1) Об установлении этих единиц см. § 27.

§ 17	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ	73
Производная dL/dv есть обобщенный импульс частицы; обо-
обозначим его буквой Р. Производя дифференцирование, находим
-п	mv	е А	е А	/ir» г\
Р = /1 2/2 + "А = р + -А.	16.5
а/1 — v2 /с2 с	с
Здесь мы обозначили буквой р обычный импульс частицы, ко-
который мы и будем называть просто импульсом.
Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона
частицы в поле по известной общей формуле
av
Подставляя сюда A6.4), найдем
^l-v2/c2 T
Функция Гамильтона, однако, должна быть выражена не через
скорость, а через обобщенный импульс частицы.
Из A6.5), A6.6) видно, что соотношение между Ж — eip и
Р	А — такое же, как между Ж и р в отсутствие поля, т. е.
A6-7)
\	с /	\	с /
или иначе:
Ж = Jm2c4 + с2 (р - - А) 2 + е(р.	A6.8)
Для малых скоростей, т. е. в классической механике, функция
Лагранжа A6.4) переходит в
L = ^ + ^Av - е<р.	A6.9)
В этом приближении
р = 77W = Р	А,
с
и мы находим следующее выражение для функции Гамильтона:
Ж = — (Р - -АJ + е<р.	A6.10)
Наконец, выпишем уравнение Гамильтона-Якоби для части-
частицы в электромагнитном поле. Оно получается заменой в функции
Гамильтона обобщенного импульса Р на dS/dr, а самого Ж — на
—dS/dt. Таким образом, получим из A6.7)
(gmdS- -AY - ^ (? + е^У + т2с2 = 0.	A6.11)
\	с /	с \ ut	/

74	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
§ 17. Уравнения движения заряда в поле
Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздей-
воздействию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле,
изменяя его. Однако если заряд е не велик, то его действием на
поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение
в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни
от координат, ни от скорости заряда. Точные условия, которым
должен удовлетворять заряд для того, чтобы он мог считаться в
указанном смысле малым, будут выяснены в дальнейшем (§75).
Ниже мы будем считать это условие выполненным.
Итак, нам надо найти уравнения движения заряда в заданном
электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьирова-
варьированием действия, т. е. даются уравнениями Лагранжа
ddL dL	G v
где L определяется формулой A6.4).
Производная dL/dv есть обобщенный импульс частицы
A6.5). Далее имеем
— = VL = - grad Av — е grad (p.
or	с
Но по известной формуле векторного анализа
grad ab = (aV)b + (bV)a + [b rot a] + [a rot b],
где а и b — любые два вектора. Применяя эту формулу к Av и
помня, что дифференцирование по г производится при постоян-
постоянном v, находим
— = - (vV) А + - [v rot A] — е grad (р.
дг с	с
Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют вид
— (р + -А ) = -(vV)A + -[vrot A] — e grad (p.
dt \ с / с	с
Но полный дифференциал (dA/dt) dt складывается из двух ча-
частей: из изменения (дА/dt) dt векторного потенциала со време-
временем в данной точке пространства и из изменения при переходе от
одной точки пространства к другой на расстояние dr. Эта вторая
часть равна (drV)A. Таким образом,
dA дА ( __ч А
- = - + (vV)A.
Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем
f = -^ -egrad(^+ ^[vrot А].	A7.2)

§ 17	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА В ПОЛЕ	75
Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном
поле. Слева стоит производная от импульса частицы по време-
времени. Следовательно, выражение в правой части A7.2) есть сила,
действующая на заряд в электромагнитном поле. Мы видим,
что эта сила состоит из двух частей. Первая часть (первый и
второй члены в правой части A7.2)) не зависит от скорости
частицы. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости:
пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к ней.
Силу первого рода, отнесенную к заряду, равному единице,
называют напряженностью электрического поля] обозначим ее
через Е. Итак, по определению,
E = --^-grad<p.	A7.3)
с at
Множитель при скорости, точнее при v/c, в силе второго
рода, действующей на единичный заряд, называют напряжен-
напряженностью магнитного поля:, обозначим ее через Н. Итак, по опре-
определению,
H = rotA.	A7.4)
Если в электромагнитном поле Е ^ 0, а Н = 0, то говорят об
электрическом поле] если же Е = О, аН^О, то поле называют
магнитным. В общем случае электромагнитное поле является
наложением полей электрического и магнитного.
Отметим, что Е представляет собой полярный, а Н —акси-
—аксиальный вектор.
Уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно
теперь написать в виде
^ = eE + -[vH].	A7.5)
at	с
Стоящее справа выражение носит название лоренцевой силы.
Первая ее часть — сила, с которой действует электрическое поле
на заряд, — не зависит от скорости заряда и ориентирована по
направлению поля Е. Вторая часть—сила, оказываемая маг-
магнитным полем на заряд, — пропорциональна скорости заряда и
направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению
магнитного поля Н.
Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света,
импульс р приближенно равен своему классическому выраже-
выражению rav, и уравнение движения A7.5) переходит в
т— = eE+-[vH].	A7.6)
at	с

76	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
Выведем еще уравнение, определяющее изменение кинетиче-
кинетической энергии частицы1) со временем, т.е. производную
dt
Легко убедиться, что
а
dt
подставляя dp/dt из A7.5) и замечая, что [vH]v = 0, имеем
= eEv.	A7.7)
dt
Изменение кинетической энергии со временем есть работа, про-
произведенная полем над частицей (в единицу времени). Из A7.7)
видно, что эта работа равна произведению скорости заряда на
силу, с которой действует на него электрическое поле. Рабо-
Работа поля за время dt, т. е. при перемещении заряда на dr, рав-
равна еЕ dr.
Подчеркнем, что работу над зарядом производит только элек-
электрическое поле; магнитное поле не производит работы над дви-
движущимся в нем зарядом. Последнее связано с тем, что сила, с
которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпенди-
перпендикулярна к ее скорости.
Уравнения механики инвариантны по отношению к перемене
знака у времени, т. е. по отношению к замене будущего прошед-
прошедшим. Другими словами, в механике оба направления времени
эквивалентны. Это значит, что если согласно уравнениям меха-
механики возможно какое-нибудь движение, то возможно и обратное
движение, при котором система проходит те же состояния в
обратном порядке.
Легко видеть, что то же самое имеет место и в электро-
электромагнитном поле в теории относительности. При этом, однако,
вместе с заменой t на — t надо изменить знак магнитного поля.
Действительно, легко видеть, что уравнения движения A7.5) не
меняются, если произвести замену
t->-t, Е -> Е, Н -> -Н.	A7.8)
При этом, согласно A7.3), A7.4), скалярный потенциал не меня-
меняется, а векторный меняет знак:
(р-кр, А -> -А.	A7.9)
1)Под «кинетической» мы понимаем здесь и ниже энергию (9.4), вклю-
включающую в себя энергию покоя.

§ 18	КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	77
Таким образом, если в электромагнитном поле возможно
некоторое движение, то возможно и обратное движение в поле с
обратным направлением Н.
Задача
Выразить ускорение частицы через ее скорость и напряженности элек-
электрического и магнитного полей.
Решение. Подставляем в уравнение движения A7.5) р = v&hh/c2,
a d&Kjm/dt выражаем согласно A7.7). В результате найдем
§ 18. Калибровочная инвариантность
Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько однозначно опре-
определены потенциалы поля. При этом следует учесть, что поле ха-
характеризуется тем действием, которое оно оказывает на движе-
движение находящихся в нем зарядов. Но в уравнения движения A7.5)
входят не потенциалы, а напряженности поля Е и Н. Поэтому
два поля физически тождественны, если они характеризуются
одними и теми же векторами Е и Н.
Если заданы потенциалы А и у?, то этим, согласно A7.3)
и A7.4), вполне однозначно определены Е и Н, а значит и
поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать
различные потенциалы. Чтобы убедиться в этом, прибавим к
каждой компоненте потенциала А^ величину —df/dxk, где / —
произвольная функция от координат и времени. Тогда потенциал
Ак переходит в
А!к = Ак-?.	A8.1)
При такой замене в интеграле действия A6.1) появится дополни-
дополнительный член, представляющий собой полный дифференциал:
что не влияет на уравнения движения (см. I, §2).
Если вместо четырехмерного потенциала ввести векторный
и скалярный и вместо координат хг — координаты с?, ж, у, z, то
четыре равенства A8.1) можно написать в виде
A' = A + grad/, ф^ф-Ш.	A8.3)
Легко убедиться в том, что электрическое и магнитное поля,
определенные равенствами A7.3), A7.4), действительно не изме-

78	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
няются при подстановке вместо А и (р потенциалов А' и у/, опре-
определенных согласно A8.3). Таким образом, преобразование потен-
потенциалов A8.1) не изменяет поля. Потенциалы определены поэтому
не однозначно — векторный потенциал определен с точностью до
градиента произвольной функции и скалярный — с точностью до
производной по времени от той же функции.
В частности, к векторному потенциалу можно прибавить
любой постоянный вектор, а к скалярному потенциалу — любую
постоянную. Это видно и непосредственно из того, что в опре-
определение Е и Н входят только производные от А и <р, и потому
прибавление к последним постоянных не влияет на напряженно-
напряженности поля.
Физический смысл имеют лишь те величины, которые инва-
инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов A8.3);
поэтому все уравнения должны быть инвариантны по отноше-
отношению к этому преобразованию. Эту инвариантность называют
калибровочной или градиентной (по-немецки ее называют Eich-
invarianz, по-английски —gauge invarianceI).
Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда воз-
возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному про-
произвольному дополнительному условию, — одному, так как мы мо-
можем произвольно выбрать одну функцию / в A8.3). В частности,
всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный
потенциал <р был равен нулю. Сделать же векторный потенциал
равным нулю, вообще говоря, невозможно, так как условие А =
= 0 представляет собой три дополнительных условия (для трех
компонент А).
§ 19. Постоянное электромагнитное поле
Постоянным электромагнитным полем мы называем поле, не
зависящее от времени. Очевидно, что потенциалы постоянного
поля можно выбрать так, чтобы они были функциями только
от координат, но не от времени. Постоянное магнитное поле
по-прежнему равно Н = rot А. Постоянное же электрическое
поле	E = -gmd(f.	A9.1)
Таким образом, постоянное электрическое поле определяется
только скалярным потенциалом, а магнитное — векторным по-
потенциалом.
х) Подчеркнем, что этот результат связан с подразумевающимся в A8.2)
постоянством е. Таким образом, калибровочная инвариантность уравнений
электродинамики и сохранение заряда тесно связаны друг с другом.

§ 19	ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	79
Мы видели в предыдущем параграфе, что потенциалы поля
определены не однозначно. Легко, однако, убедиться в том, что
если описывать постоянное электромагнитное поле с помощью не
зависящих от времени потенциалов, то к скалярному потенциалу
можно прибавить, не изменяя поля, лишь произвольную посто-
постоянную (не зависящую ни от координат, ни от времени). Обычно
на <р накладывают еще дополнительное условие, требуя, чтобы
он имел определенное значение в определенной точке простран-
пространства; чаще всего выбирают <р так, чтобы он был равен нулю
на бесконечности. Тогда и упомянутая произвольная постоянная
становится определенной, и скалярный потенциал постоянного
поля, таким образом, становится вполне однозначным.
Напротив, векторный потенциал по-прежнему не однозначен
даже для постоянного электромагнитного поля; к нему можно
прибавить градиент любой функции координат.
Определим, чему равна энергия заряда в постоянном элек-
электромагнитном поле. Если поле постоянно, то и функция Лагран-
жа для заряда не зависит явно от времени. Как известно, в этом
случае энергия сохраняется, совпадая с функцией Гамильтона.
Согласно A6.6) имеем
а/1 -v2/c2
Таким образом, вследствие наличия поля к энергии частицы при-
прибавляется член e(f — потенциальная энергия заряда в поле. Отме-
Отметим существенное обстоятельство, что энергия зависит только от
скалярного, но не от векторного потенциала. Другими словами,
магнитное поле не влияет на энергию зарядов; энергию частицы
может изменить только электрическое поле. Это связано с тем,
что магнитное поле, в противоположность электрическому, не
производит над зарядом работы.
Если напряженность поля во всех точках пространства оди-
одинакова, то поле называют однородным. Скалярный потенциал
однородного электрического поля может быть выражен через
напряженность поля согласно равенству
(р = -Ег.	A9.3)
Действительно, при Е = const имеем grad (Er) = (EV)r = Е.
Векторный же потенциал однородного магнитного поля вы-
выражается через напряженность этого поля Н в виде
A = i[Hr].	A9.4)
Действительно, при Н = const находим с помощью известных

80	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
формул векторного анализа:
rot [Нг] = Н div г - (HV)r - 2Н
(напомним, что div r = 3).
Векторный потенциал однородного магнитного поля можно
выбрать и иначе, например, в виде
Ах = -Ну, Ay = Az = 0	A9.5)
(ось z выбрана вдоль направления Н). Легко убедиться, что и
при таком выборе А имеет место равенство Н = rot А. В соответ-
соответствии с формулами преобразования A8.3) потенциалы A9.4) и
A9.5) отличаются друг от друга градиентом некоторой функции:
A9.5) получается из A9.4) прибавлением V/, где / = —хуН/2.
Задача
Написать вариационный принцип для траектории частицы (принцип
Мопертюи) в постоянном электромагнитном поле в релятивистской меха-
механике.
Решение. Принцип Мопертюи заключается в том, что если полная
энергия частицы сохраняется (движение в постоянном поле), то ее траекто-
траектория может быть определена из вариационного уравнения
где Р — обобщенный импульс частицы, выраженный через энергию и диф-
дифференциалы координат, а интеграл берется вдоль траектории частицы (см. I,
§ 44). Подставляя Р = р+ -А и замечая, что направления р и dr совпадают,
с
имеем
6 f(pdl+-Adr} =0,
где dl = Vdr2 есть элемент дуги. Определяя р из р2 + т2с2 = (& — ерJ/с2,
находим окончательно:
Л/ 1
А/4
Vе
-Adr}= 0.
§ 20. Движение в постоянном однородном
электрическом поле
Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном
электрическом поле Е. Направление поля примем за ось х. Дви-
Движение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую
выберем за плоскость ху. Тогда уравнения движения A7.5) при-
примут вид
рх = еЕ, Ру = 0

§ 20 ДВИЖЕНИЕ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 81
(точка над буквой обозначает дифференцирование по ?), откуда
рх = eEt, py = ро.	B0.1)
Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда рх = 0;
Ро есть импульс частицы в этот момент.
Кинетическая энергия частицы (энергия без потенциальной
энергии в поле) равна ^Кин = с^/т2с2 + р2. Подставляя сюда
B0.1), находим в нашем случае
2с4 + с2р2 + (ceEtJ = ^S2 + (ceEtJ, B0.2)
где So — энергия при t = 0.
Согласно (9.8) скорость частицы v = рс2/^Кин- Для скорости
vx = х имеем, следовательно,
dx _ рхс2 _	c2eEt
B0.3)
dt Сн д/^о2 + (ceEtJ
Интегрируя, находим
(постоянную интегрирования полагаем равной нулю)г).
Для определения у имеем
ciy_ _ рус2 _	рос2
dt ~ 4ин ~ у/ё2 + (ceEtJ '
откуда
y = gArSh^.	B0.4)
Уравнение траектории находим, выражая из B0.4) t через у
и подставляя в B0.3). Это дает
xch
еЕ рос	v У
Таким образом, заряд движется в однородном электрическом
поле по цепной линии.
1) Этот результат (при ро = 0) совпадает с решением задачи о реляти-
релятивистском движении с постоянным «собственным ускорением» wo = еЕ/т
(см. задачу к §7). Постоянство этого ускорения связано в данном случае с
тем, что электрическое поле не меняется при преобразованиях Лоренца со
скоростями V, направленными вдоль поля (см. §24).

82	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
Если скорость частицы v <С с, то можно положить ро = ттщ),
?q = тс2] разлагая B0.5) по степеням 1/с, получим, с точностью
до членов высшего порядка:
еЕ 2 ,
х = 	чУ + const,
2mv0
т. е. заряд движется по параболе, — результат, хорошо известный
из классической механики.
§ 21. Движение в постоянном однородном
магнитном поле
Рассмотрим теперь движение заряда е в однородном магнит-
магнитном поле Н. Направление поля выберем за ось z. Уравнения
движения
р = ^[
мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса
где $ — энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна.
Уравнения движения приобретают тогда вид
4— = ?[vH],	B1.1)
с dt с
или, в компонентах,
vx = ujVy, vy = —luvx, vz = 0,	B1.2)
где мы ввели обозначение
f	B1-3)
Умножим второе из уравнений B1.2) на г и сложим с первым:
— (vx + ivy) = -iou(vx + ivy),
QjXi
откуда
где а — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде а =
= v§te~lOL , где vot и а вещественны. Тогда

§ 21	ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	83
и, отделяя действительную и мнимую части, находим
vx = vot cos (cut + a), vy = —vot sin (cut + a).	B1-4)
Постоянные vot и ot определяются начальными условиями, а есть
начальная фаза; что же касается г>ог, то из B1.4) видно, что
т. е. vot есть скорость частицы в плоскости ху, остающаяся при
движении постоянной.
Из B1.4) находим, интегрируя еще раз:
х = хо + г sin (cut + а), у = Уо + fcos (cut + а),	B1.5)
где
r	BL6)
uj ecH eH
(pt — проекция импульса на плоскость ху). Из третьего уравне-
уравнения B1.2) находим: vz = voz и
z = zo + vOzt.	B1.7)
Из B1.5) и B1.7) видно, что заряд движется в однородном
магнитном поле по винтовой линии с осью вдоль магнитного
поля и с радиусом г, определяемым B1.6). Скорость частицы
при этом постоянна по величине. В частном случае, когда voz =
= 0, т. е. заряд не имеет скорости вдоль поля, он движется по
окружности в плоскости, перпендикулярной к полю.
Величина си, как видно из формул, есть циклическая частота
вращения частицы в плоскости, перпендикулярной к полю.
Если скорость частицы мала, то мы можем приближенно
положить S = тс?. Тогда частота си превращается в
си = —.	B1.8)
тс
Предположим теперь, что магнитное поле, оставаясь одно-
однородным, медленно изменяется по величине и направлению. Вы-
Выясним, как меняется при этом движение заряженной частицы.
Как известно, при медленном изменении условий движения
остаются постоянными так называемые адиабатические инвари-
инварианты. Поскольку движение в плоскости, перпендикулярной к
магнитному полю, периодично, то адиабатическим инвариантом
является интеграл

84	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
взятый по полному периоду движения, в данном случае по
окружности (Pt —проекция обобщенного импульса на указанную
плоскость)г). Подставляя Р^ = р^ -\—А, имеем
с
1 /	е /
= — ф pt dr + — ф A dr.
2тг /	2тгс /
В первом члене замечаем, что р^ постоянно по абсолютной
величине и направлено по dr\ ко второму применяем теорему
Стокса и заменяем rot А = Н:
I = rpt- 7-Hr2,
2с
где г —радиус орбиты2). Подставляя в это равенство выражение
для г B1.6), находим
Отсюда видно, что при медленном изменении Н поперечный
импульс pt меняется пропорционально у/Н.
Этот результат можно применить и к другому случаю —
когда частица движется по винтовой линии в постоянном, но
не вполне однородном магнитном поле (поле мало меняется на
расстояниях, сравнимых с радиусом и шагом винтовой орбиты).
Такое движение можно рассматривать как движение по круговой
орбите, смещающейся с течением времени, а по отношению к
этой орбите поле как бы меняется со временем, оставаясь од-
однородным. Тогда можно утверждать, что поперечная (по отно-
отношению к направлению поля) компонента импульса меняется по
закону pt = уСН, где С — постоянная, а Н — заданная функция
координат. С другой стороны, как и при движении во всяком
) См. I, § 49. Адиабатическими инвариантами являются вообще интегра-
интегралы $pdq, взятые по периоду изменения данной координаты q. В рассмат-
рассматриваемом случае периоды по двум координатам — в плоскости, перпенди-
перпендикулярной к Н, — совпадают и написанный интеграл / представляет собой
сумму двух соответствующих адиабатических инвариантов. Однако каждый
из этих инвариантов в отдельности не имеет особого смысла, так как зависит
от неоднозначного выбора векторного потенциала поля. Проистекающая
отсюда неоднозначность адиабатических инвариантов отражает тот факт,
что, рассматривая магнитное поле как однородное во всем пространстве,
в принципе нельзя определить возникающее вследствие переменности Н
электрическое поле, зависящее в действительности от конкретных условий
на бесконечности.
2) Проследив за направлением обхода контура орбиты движущимся поло-
положительным зарядом, убедимся, что он происходит против часовой стрелки,
если смотреть вдоль Н. Отсюда знак минус во втором члене.

§ 22	ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ	85
постоянном магнитном поле, энергия частицы (ас нею и квад-
квадрат ее импульса р2) остается постоянной. Поэтому продольная
компонента импульса меняется по закону
pf=p2-p2t=p2-CH(x,y,z).	B1.10)
Поскольку всегда должно быть р2 ^ 0, то отсюда видно,
что проникновение частицы в области достаточно сильного поля
(СН > р2) оказывается невозможным. При движении в направ-
направлении увеличивающегося поля радиус винтовой траектории убы-
убывает пропорционально pt/H (т.е. пропорционально 1/у/Н), а ее
шаг — пропорционально р\. При достижении границы, на которой
р\ обращается в нуль, частица отражается от нее: продолжая вра-
вращаться в прежнем направлении, она начинает двигаться против
градиента поля.
Неоднородность поля приводит также и к другому явлению —
медленному поперечному смещению (дрейфу) ведущего центра
винтовой траектории частицы (так называют в этой связи центр
круговой орбиты); этому вопросу посвящена задача 3 к следую-
следующему параграфу.
Задача
Определить частоты колебаний заряженного пространственного осцил-
осциллятора, находящегося в постоянном однородном магнитном поле; собствен-
собственная частота колебаний осциллятора (при отсутствии поля) равна ujq.
Решение. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора в маг-
магнитном поле (направленном вдоль оси z) имеют вид
.. , 2 еН . .. . 2 еН . .. . 2 л
x + ujqx= 	у, у + иоу =	х, z + uoz = 0.
тс	тс
Умножая второе уравнение на г и складывая с первым, получаем
тс
где ? = х + гу. Отсюда находим, что частоты колебаний осциллятора в
плоскости, перпендикулярной к полю, равны
;У
'±°н
2тс
Если поле Н мало, то эта формула переходит в
, еН
2тс
Колебания вдоль направления поля остаются неизменными.

запишутся в виде
86	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
§ 22. Движение заряда в постоянных однородных
электрическом и магнитном полях
Наконец, рассмотрим движение заряда в случае одновре-
одновременного наличия однородных и постоянных электрического и
магнитного полей. Мы ограничимся при этом нерелятивистским
случаем, когда скорость заряда и < с , и потому его импульс
р = 7Пv; как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы
электрическое поле было мало по сравнению с магнитным.
Направление Н выберем за ось z, а плоскость, проходящую
через векторы Н и Е, за плоскость yz. Тогда уравнения дви-
движения
v = eE+-[vH]
с
тх = -уН,
с
ту = еЕу- -±Н,	B2.1)
mz = eEz.
Из третьего уравнения видно, что вдоль оси z заряд движется
равномерно-ускоренно, т. е.
z = ^t2 + vOzt.	B2.2)
2т
Умножая второе из уравнений B2.1) на г и складывая с
первым, находим
d	e
— (х + ъу) + гио(х + iy) = г—Еу
at	m
(си = еН/тс). Решение этого уравнения, где х + гу рассматрива-
рассматривается как неизвестное, равно сумме решения этого же уравнения
без правой части и частного решения уравнения с правой частью.
Первое есть ae~lujt, второе — еЕу/тои = сЕу/Н. Таким образом,
x + iy = ae-iwt + ^-.
н
Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде
а = Ьега с вещественными Ъ и а, мы видим, что поскольку а умно-
умножается на e~t(Jjt, то, выбирая соответствующим образом начало
отсчета времени, мы можем придать фазе а любое значение.
Выберем ее так, чтобы а было вещественно. Тогда, отделяя в
х + гу мнимую и вещественную части, находим
Е
х = acoscut + с—-, у = — asmcut.	B2.3)
Н

§22
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННЫХ ПОЛЯХ
87
При этом в момент времени t = 0 скорость направлена по оси х.
Мы видим, что компоненты скорости частицы являются перио-
периодическими функциями времени; их средние значения равны
- сЕу -г п
^	0
Эту среднюю скорость движения заряда в скрещенных электри-
электрическом и магнитном полях часто называют скоростью электриче-
электрического дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и
не зависит от знака заряда. В векторном виде ее можно записать
как
v=™	B2.4)
Все формулы этого параграфа применимы, если скорость
частицы мала по сравнению со скоростью света; мы видим, что
для этого требуется, в частности, чтобы
электрическое и магнитное поля удовлетво-
удовлетворяли условию
§ « 1,	B2-5)
абсолютные же величины ЕуиН могут быть
произвольными.
Интегрируя еще раз уравнения B2.3) и
выбирая постоянные интегрирования так,
чтобы при t = 0 было х = у = 0, получаем
а . , , сЕу
х = — smout H	-г,
uj	H
у = -(COS OUt — 1).
B2.6)
Рис. 6
Рассматриваемые как параметрические
уравнения кривой, эти уравнения определя-
определяют собой так называемую трохоиду. В зави-
зависимости от того, больше или меньше абсолютная величина а,
чем абсолютная величина сЕу/Н, проекция траектории частицы
на плоскость ху имеет вид, изображенный соответственно на
рис. баи рис. 6 б.
Если а = —сЕу/Н, то B2.6) переходит в
сЕ
сЕу , , . ,\
х = —-{out — smc^rj,
B2.7)
У= —={l-
UJtl
т. е. проекция траектории на плоскость ху является циклоидой
(рис. бе).

ОО	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
Задачи
1. Определить релятивистское движение заряда в параллельных одно-
однородных электрическом и магнитном полях.
Решение. Магнитное поле не влияет на движение вдоль совместного
направления Е и Н (ось z), которое происходит, следовательно, под действи-
действием одного лишь электрического поля; поэтому согласно § 20 находим
ин = у^о2 + (ceEtJ.
еЕ
Для движения в плоскости ху имеем уравнения:
рх = -Hvy, ру = --Hvx,
с	с
или
d , , . ч	. еН, , . ч	ieHc,	. ч
— (Рх + гру) = -г	[vx + ivy) = -—	(рх + гру).
dt	с	бкин
Отсюда
Рх +ipy =pte~lip,
где pt — постоянное значение проекции импульса на плоскость ху, а вспомо-
вспомогательная величина (р введена согласно соотношению
откуда
еЕ Н
Далее имеем
_ -»^_Сн/. • .ч_ еН d(x + iy)
с2	с dip
откуда
cPt .	cpt	,ох
х= 	sm<z>, у= 	cos<p.	B)
еН	еН	w
Формулы A), B) вместе с формулой
определяют в параметрическом виде движение частицы. Траектория пред-
представляет собой винтовую линию с радиусом cpt/eH и монотонно возрастаю-
возрастающим шагом. При этом частица движется с убывающей угловой скоростью
ф = еНс/ 4ин и стремящейся к с скоростью вдоль оси z.
2. Определить релятивистское движение заряда во взаимно перпенди-
перпендикулярных и равных по величине электрическом и магнитном поляхг).
Решение. Выбирая ось z вдоль направления Н, а ось у— в направ-
направлении Е и полагая Е = Н, напишем уравнения движения:
dt с У dt	V с У dt
1) Задача о движении во взаимно перпендикулярных, но не одинаковых
по величине полях Е и Н надлежащим преобразованием системы отсчета
сводится к задаче о движении в чисто электрическом или чисто магнитном
поле (см. § 25).

§ 22	ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННЫХ ПОЛЯХ	89
и, как их следствие, уравнение A7.7):
dt
Из этих уравнений имеем
pz = const, 4ин — срх = const = а.
Используя также равенство
4ин — с Рх = Dин + Срж)(<^кин — Срх) = С ру + 6
(где ?2 = ш2с4 + с2р2 = const), находим
& +	B2+2)
_ Q , С2р2у + ?2
5кин — ~Г
2
Г
2	2а
2с	2ас
Далее пишем:
dt	\ КИН	с /
откуда
Для определения траектории в уравнениях
dx _ с2рх
at бКин
переходим к переменной ру согласно dt = <?*Кин dpy/ei?a, после чего интегри-
интегрирование приводит к формулам
с /	i
X =
B)
Формулы A), B) полностью определяют в параметрическом виде (параметр
ру) движение частицы. Обратим внимание на то, что наиболее быстро воз-
возрастает скорость движения в направлении, перпендикулярном Е и Н (ось х).
3. Определить скорость дрейфа ведущего центра орбиты нерелятивист-
нерелятивистской заряженной частицы в квазиоднородном постоянном магнитном поле
(H.Alfuen, 1940).
Решение. Предположим сначала, что частица движется по круго-
круговой орбите, т. е. ее скорость не имеет продольной (вдоль поля) составляю-
составляющей. Представим уравнение траектории частицы в виде г = R(t) + CM)
где R(t) — радиус-вектор ведущего центра (медленно меняющаяся функция
времени), а ?(?)—быстро осциллирующая величина, изображающая вра-
вращательное движение вокруг ведущего центра. Усредним действующую на
частицу силу (е/с)[гН(г)] по периоду осцилляционного (кругового) движе-

90	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
ния (см. I, § 30). Входящую в нее функцию Н(г) разложим по степеням ?:
Н(г) = H(R) + (CV)H(R).
При усреднении члены первого порядка по осциллирующей величине ?()
обращаются в нуль, а член второго порядка приводит к появлению допол-
дополнительной силы
Для кругового движения
f=-[C(CV)H].
с
= ш[Сп], С=—,
где n—единичный вектор в направлении Н; частота ио = еН/тс, v± —
скорость частицы в ее круговом движении. Среднее значение произведений
компонент вектора ?, вращающегося в плоскости (перпендикулярной к п):
где 6ар — единичный тензор в этой плоскости. В результате получим
2Н [l J J
В силу уравнений divH = 0, rotH = 0, которым удовлетворяет постоянное
поле H(R), имеем
[[nV]H] = -ndivH + (nV)H + [nrot H] = (nV)H = Я(пУ)п + n(nVtf).
Нас интересует поперечная (по отношению к п) сила, приводящая к смеще-
смещению орбиты; она равна
2р
где р— радиус кривизны силовой линии поля в данной точке, а и — единич-
единичный вектор, направленный от центра кривизны к этой точке.
Случай, когда частица обладает также и продольной (вдоль п) скоро-
скоростью иц, сводится к предыдущему, если перейти к системе отсчета, вра-
вращающейся вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии (траектории
ведущего центра) с угловой скоростью v\\/р. В этой системе частица не имеет
продольной скорости, но появляется дополнительная поперечная сила — цен-
центробежная сила, равная i/mujj/p. Таким образом, полная поперечная сила
Эта сила эквивалентна постоянному электрическому полю с напряжен-
напряженностью fj_/e. Согласно B2.4) она вызывает дрейф ведущего центра орбиты
со скоростью
L
d (f +
up У " 2
Знак этой скорости зависит от знака заряда.

§ 23	ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	91
§ 23. Тензор электромагнитного поля
В § 17 мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя
из функции Лагранжа A6.4), написанной в трехмерном виде.
Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия
A6.1), написанного в четырехмерных обозначениях.
Принцип наименьшего действия гласит
ъ
8S = 8 [(-mcds - -Aidx1) = 0.	B3.1)
Замечая, что ds = ^/dxidx1, находим (пределы интегрирования а
и Ъ мы будем ниже для краткости опускать):
SS = — (тс——— + -Ai dSx1 + -SAi dxl) = 0.
J \	ds	с	с	/
Первые два члена в подынтегральном выражении проинте-
проинтегрируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-ско-
рость dxi/ds = щ. Тогда
= 0. B3.2)
Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл
варьируется при заданных значениях координат на пределах.
Далее,
1 дхк	г дхк
и поэтому
/	7 г г i е us±i г г 1 к е us±i 7 г г ь \ м
тсащдх -\	-гох ах	-rdx ох ) = 0.
с дх	с дх
Напишем в первом члене du{ = —- ds, во втором и третьем dxl =
ds
= ulds. Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы г
и к (это ничего не изменит, так как по значкам ink производится
суммирование). Тогда
Л
dui е (дАк dAi \ /Л г i , п
тс	—:	г и 6х ds = 0.
d	\дг дк) \
с V дхг дхк
Ввиду произвольности 6хг отсюда следует, что подынтегральное
выражение равно нулю:
dm е (дАк dAi \ & п
тс	—:	г )и = 0.
ds с\ дхг дхк)

92
ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
ГЛ. III
Введем обозначение
т? _ дАк дАг
ik " дх* дхк'
B3.3)
этот антисимметричный тензор называется тензором электро-
электромагнитного поля. Тогда полученное уравнение напишется в виде
ds
щ.
B3.4)
Это — уравнение движения заряда в четырехмерной форме.
Смысл отдельных компонент тензора F^ легко выяснить,
подставив значения Ai = (tp,— А) в определение B3.3). Результат
можно записать в виде таблицы, в которой индекс г = 0,1,2,3
нумерует строки, а индекс к — столбцы:
Fik=
О
-Ег
у
771	771
Гуд»	Гу^
О -Нг
Hz О
Нх
— Ну
Ну
-нх
о
Fik=
0 —Ex ~EV —Ez
Ех
Еу
0
Hz
—Hlt
-hz
о
нх
Короче, молено написать (см. §6):
Ну
-нх
о
B3.5)
Таким образом, компоненты напряженностей электрического
и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора
электромагнитного поля.
Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в
том, что три пространственные компоненты (г = 1,2,3) урав-
уравнения B3.4) тождественны с векторным уравнением движе-
движения A7.5), а временная компонента (г = 0) —с уравнением ра-
работы A7.7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот
факт, что из четырех уравнений B3.4) только три независимы,
можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе
части B3.4) на иг. Тогда левая часть равенства обратится в нуль
ввиду ортогональности 4-векторов иг и dui/ds, а правая часть —
ввиду антисимметричности тензора F^.
Если рассматривать в вариации 6S только истинные траек-
траектории, то первый член в B3.2) тождественно обратится в нуль.
Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается
как переменный, дает дифференциал действия как функции ко-
координат. Таким образом,
SS = — (тещ + -Ai) 5хг.
B3.6)

§ 24	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА ДЛЯ ПОЛЯ	93
Отсюда
-|4 = тещ + -А{ =Pi + -U	B3.7)
ох	с	с
Четырехмерный вектор —dS/dx1 есть 4-вектор обобщенного
импульса частицы Р^. Подставляя значения компонент р^ и А{,
найдем, что
Р1=(^" + е(р,р+е-А).	B3.8)
\	С	С /
Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора Pi
образуют трехмерный вектор обобщенного импульса A6.5), а
временная компонента есть (о/с, где S — полная энергия заряда
в поле.
§ 24. Преобразование Лоренца для поля
Напишем формулы преобразования для поля, т. е. формулы,
по которым можно определить поле в одной инерциальной си-
системе отсчета, зная это же поле в другой системе.
Формулы преобразования для потенциалов находятся непо-
непосредственно из общих формул преобразования 4-вектора F.1).
Помня, что Аг = ((??, А), находим
у' + (У/с)А'я	_А'х + {У/с)у'	,	,
v	' Лх ~ ^ivyc*' Лу ~ лу Az ~ Az'
B4.1)
Формулы преобразования для антисимметричного 4-тензора
второго ранга (каковым является тензор Flk) найдены в зада-
задаче 2 § 6: компоненты F23 и F01 не меняются при преобразовании,
а компоненты F02, F03 и F12, F1S преобразуются соответственно
как ж0 и ж1. Выразив компоненты тензора Flk через компонен-
компоненты полей Е и Н согласно B3.5), получим следующие формулы
преобразования для электрического поля:
ЕХ = Е'Х, Еу = ^±ШШ, Ег = ^?Ж B4.2)
*' у ^/1 - vyc* '	у/1 - У2/с2
и для магнитного поля:
,	щ - {у/сж „ т + (у/с)е'у
НХ = НХ, Hy = -j===-, Rz = -j==. B4.3)
Таким образом, электрическое и магнитное поля, как и боль-
большинство физических величин, относительны, т. е. их свойства

94	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
различны в разных системах отсчета. В частности, электриче-
электрическое или магнитное поле может быть равно нулю в одной систе-
системе отсчета и в то же время присутствовать в другой системе.
Формулы преобразования B4.2), B4.3) значительно упроща-
упрощаются для случая У С с. С точностью до членов порядка V/c
имеем
— Е'х,
= к,
Еу
Ну
= Е'у +
и1
с z%>
У-Е'
Ez
Hz
= E'Z
= К
V
с
+ v-
с
Эти формулы могут быть написаны в векторном виде
Е = Е' + - [Н'V], Н = Н' - - [Е'V].	B4.4)
с	с
Формулы обратного преобразования от К1 к К получаются
из B4.2)-B4.4) перестановкой штриха и изменением знака у V.
Если в системе К' магнитное поле Н7 = 0, то, согласно B4.2),
B4.3), между электрическим и магнитным полями в системе К
существует соотношение
Н= -[VE].	B4.5)
с
Если же в К' поле Е' = 0, то в системе К
E = --[VH].	B4.6)
с
В обоих случаях, следовательно, в системе К магнитные и элек-
электрические поля взаимно перпендикулярны.
Эти формулы имеют, разумеется, и обратный смысл: если в
некоторой системе отсчета К поля Е и Н взаимно перпенди-
перпендикулярны (но не равны по величине), то существует такая систе-
система К\ в которой поле чисто электрическое или чисто магнитное.
Скорость V этой системы (по отношению к К) может быть
выбрана перпендикулярной к Е и Н, тогда по величине она равна
в первом случае сН/Е (причем должно быть Н < Е), а во втором
случае сЕ/Н (причем Е < Н).
§ 25. Инварианты поля
Из векторов напряженностей электрического и магнитного
полей можно составить инвариантные величины, остающиеся
неизменными при преобразованиях от одной инерциальной си-
системы отсчета к другой.

§ 25	ИНВАРИАНТЫ ПОЛЯ	95
Вид этих инвариантов легко найти исходя из четырехмерного
представления поля с помощью антисимметричного 4-тензора
Flk. Очевидно, что из компонент этого тензора можно составить
следующие инвариантные величины:
FikFik = inv,	B5.1)
eiklmFikFlm = inv,	B5.2)
где егЫгп — совершенно антисимметричный единичный тензор
(см. §6). Первая из этих величин — истинный скаляр, а вторая —
псевдоскаляр (произведение тензора Flk на дуальный ему тен-
тензорI).
Выражая компоненты F через компоненты Е и Н согласно
B3.5), легко убедиться в том, что в трехмерной форме эти инва-
инварианты имеют вид
Я2 -Е2 = inv,	B5.3)
EH = inv.	B5.4)
Псевдоскалярность второго из них очевидна из того, что он
представляет собой произведение полярного вектора Е на акси-
аксиальный вектор Н (квадрат же (ЕНJ будет истинным скаляром).
Из инвариантности приведенных двух выражений вытека-
вытекают следующие выводы. Если в какой-нибудь системе отсчета
электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны, т. е.
ЕН = 0, то они перпендикулярны и во всякой другой инерциаль-
ной системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсо-
абсолютные величины Е и Н равны друг другу, то они одинаковы и
в любой другой системе.
Имеют, очевидно, место также и следующие неравенства.
Если в какой-нибудь системе отсчета Е > Н (или Е < Я), то
и во всякой другой системе будет Е > Н (или Е < Н). Если
в какой-либо системе отсчета векторы Е и Н образуют острый
(или тупой) угол, то они будут образовывать острый (или тупой)
угол и во всякой другой системе.
Преобразованием Лоренца можно всегда достичь того, что-
чтобы Е и Н получили любые значения, удовлетворяющие только
условию, чтобы Е2 — Н2 и ЕН имели заданные определенные
г) Отметим также, что псевдоскаляр B5.2) может быть представлен в виде
4-дивергенции:
iklm.jp jp	л О ( iklm a J) а \
fix V	fix /
дх'
в чем легко убедиться, учитывая антисимметричность еък1гп.

96	ЗАРЯД В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ	ГЛ. III
значения. В частности, можно найти такую инерциальную систе-
систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной
точке параллельны друг другу. В этой системе ЕН = ЕН, и из
двух уравнений
77l2	Тт2	77l2	Тт2
hi — п = ?/0 — ii0,
можно найти значения Е и Н в этой системе отсчета (Eq и Hq —
электрическое и магнитное поля в исходной системе отсчета).
Исключением является случай, когда оба инварианта равны
нулю. В этом случае Е и Н во всех системах отсчета равны по
величине и взаимно перпендикулярны по направлению.
Если лишь ЕН = 0, то можно найти такую систему отсчета,
в которой Е = 0 или Н = 0 (смотря по тому Е2 — Н2 < или > 0),
т. е. поле чисто магнитное или чисто электрическое; наоборот,
если в какой-нибудь системе отсчета Е = 0 или Н = 0, то
во всякой другой системе они будут взаимно перпендикулярны
в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа.
Изложим еще и другой способ подхода к вопросу об инва-
инвариантах антисимметричного 4-тензора. Этот способ делает оче-
очевидным единственность двух независимых инвариантов B5.3),
B5.4) и в то же время выявляет некоторые поучительные ма-
математические свойства преобразований Лоренца в применении к
4-тензору.
Рассмотрим комплексный вектор
F = E + iH.	B5.5)
Используя формулы B4.2), B4.3), легко видеть, что преобра-
преобразование Лоренца (вдоль оси х) для этого вектора имеет вид
Fx = F'x, Fy = F^chcp- iF'z shcp = F^cosicp - Ffz sm
Fz = Ff cositp + F1 sini<p th<p=
y
Мы видим, что вращение в плоскости xt 4-пространства (како-
(каковым и является рассматриваемое преобразование Лоренца) для
вектора F эквивалентно вращению на мнимый угол в плоско-
плоскости yz трехмерного пространства. Совокупность же всех воз-
возможных поворотов в 4-пространстве (включающая в себя также
и простые повороты осей ж, у, z) эквивалентна совокупности
всех возможных поворотов на комплексные углы в трехмерном
пространстве (шести углам поворота в 4-пространстве соответ-
соответствуют три комплексных угла поворота трехмерной системы).
Единственным инвариантом вектора по отношению к пово-
поворотам является его квадрат F2 = Е2 — Н2 + 2гЕН. Поэтому

§ 25	ИНВАРИАНТЫ ПОЛЯ	97
вещественные величины Е^ — Н^ и ЕН являются единственными
инвариантами тензора F^.
Если F2 ф 0, то вектор F можно представить в виде F =
= an, где п —единичный (п2 = 1) комплексный вектор. Путем
надлежащего комплексного поворота можно направить п вдоль
одной из координатных осей; при этом, очевидно, п станет веще-
вещественным и тем самым определит направления обоих векторов Е
и Н: F = (Е + iH)n. Другими словами, векторы Е и Н станут
параллельными друг другу.
Задача
Определить скорость системы отсчета, в которой электрическое и маг-
магнитное поля параллельны.
Решение. Систем отсчета К\ удовлетворяющих поставленному ус-
условию, существует бесконечное множество: если найдена одна из них, то
тем же свойством будет обладать и любая другая система, движущаяся
относительно первой со скоростью, направленной вдоль общего направления
полей Е и Н. Поэтому достаточно определить ту из этих систем, скорость
которой перпендикулярна к обоим полям. Выбирая направление скорости в
качестве оси х и воспользовавшись тем, что в системе К' поля Е'х = Н'х = О,
E'yH'z — E'zHy = 0, получим с помощью формул B4.2), B4.3) для скорости V
системы К' относительно исходной системы следующее уравнение:
У/с _ [ЕН]
l + V2/c2 " Е2 + Н2
(из двух корней квадратного уравнения должен, разумеется, быть выбран
тот, для которого V < с).
4 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 26. Первая пара уравнений Максвелла
Из выражений
Н = rot А, Е =	grad ip
легко получить уравнения, содержащие только Е и Н. Для этого
определим rot E:
rot Е =	rot A — rot grad ср.
Но ротор всякого градиента равен нулю; следовательно,
Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения rot H = А и помня,
что дивергенция всякого ротора равна нулю, находим
divH = 0.	B6.2)
Уравнения B6.1), B6.2) составляют первую пару уравнений
Максвелла1). Заметим, что эти два уравнения еще не опреде-
определяют вполне свойства поля. Это видно уже из того, что они
определяют изменение магнитного поля со временем (производ-
(производную dH/dt), но не определяют производной дЕ/дг.
Уравнения B6.1), B6.2) можно написать в интегральной фор-
форме. Согласно теореме Гаусса
Г
divHdV=
где интеграл справа берется по всей замкнутой поверхности,
охватывающей объем, по которому взят интеграл слева. На осно-
основании B6.2) имеем
f	O.	B6.3)
г) Уравнения Максвелла—основные уравнения электродинамики—были
впервые сформулированы Дж. Максвеллом в 1860-х годах.

§ 27	ПЕРВАЯ ПАРА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА	99
Интеграл от вектора по некоторой поверхности называется по-
потоком вектора через эту поверхность. Таким образом, поток
магнитного поля через всякую замкнутую поверхность равен
нулю.
Согласно теореме Стокса
rot E df = *E dl,
J
где интеграл справа берется по замкнутому контуру, огибаю-
огибающему поверхность, по которой интегрируется слева. Из B6.1)
находим, интегрируя обе части по некоторой поверхности:
Интеграл вектора по замкнутому контуру называется цирку-
циркуляцией этого вектора по контуру. Циркуляцию электрического
поля называют также электродвижущей силой в данном конту-
контуре. Таким образом, электродвижущая сила в некотором контуре
равна взятой с обратным знаком производной по времени от по-
потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим
контуром.
Уравнения Максвелла B6.1), B6.2) можно написать и в четы-
четырехмерных обозначениях. Исходя из определения тензора элек-
электромагнитного поля
Fik = ~д7~ а?'
легко убедиться, что
dFik dFkl dFu = Q
Выражение, стоящее в левой части равенства, представляет со-
собой тензор третьего ранга, антисимметричный по всем трем ин-
индексам. Его компоненты не равны тождественно нулю лишь при
i Ф к ф I. Всего, таким образом, имеется четыре различных
уравнения, которые, как легко убедиться подстановкой выраже-
выражений B3.5), совпадают с уравнениями B6.1), B6.2).
Антисимметричному 4-тензору третьего ранга можно приве-
привести в соответствие дуальный ему 4-вектор, получающийся умно-
умножением тензора на е и упрощением по трем парам индексов
(см. §6). Таким образом, B6.5) можно написать в виде
eiklrndFun =()	,2бвбч
дхк	v y
явно выражающем тот факт, что здесь имеется всего четыре
независимых уравнения.

100
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
§ 27. Действие для электромагнитного поля
Действие S для всей системы, состоящей из электромагнит-
электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно
состоять из трех частей:
S = Sf + Sm + Srnf.	B7.1)
Sm есть та часть действия, которая зависит только от
свойств частиц, т. е. действие для свободных частиц. Для одной
свободной частицы оно дается формулой (8.1). Если имеется
несколько частиц, то их общее действие равно сумме действий
для каждой частицы в отдельности. Таким образом,
Г
ds.	B7.2)
Smf есть та часть действия, которая обусловлена взаимо-
взаимодействием между частицами и полем. Согласно § 16 имеем для
системы частиц:
f.	B7.3)
В каждом из членов этой суммы А^ есть потенциал поля в
той точке пространства и времени, в которой находится соот-
соответствующая частица. Сумма Sm + Smf — уже известное нам
действие A6.1) для зарядов в поле.
Наконец, Sf есть та часть действия, которая зависит только
от свойств самого поля, т. е. Sf —действие для поля в отсутствие
зарядов. До тех пор, пока мы интересовались только движением
зарядов в заданном электромагнитном поле, Sf, как не зависящее
от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог по-
повлиять на уравнения движения частицы. Он становится, однако,
необходимым, когда мы хотим найти уравнения, определяющие
само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что из части
Sm+Sjnf действия мы нашли только два уравнения, B6.1), B6.2),
которые еще недостаточны для полного определения поля.
Для установления вида действия поля Sf мы будем исходить
из следующего весьма важного свойства электромагнитных по-
полей. Как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняет-
подчиняется так называемому принципу суперпозиции: поле, создаваемое
системой зарядов, представляет собой результат простого сложе-
сложения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности.
Это значит, что напряженности результирующего поля в каждой
точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке
каждого из полей в отдельности.

§27	ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	101
Всякое решение уравнений поля является полем, которое мо-
может быть осуществлено в природе. Согласно принципу супер-
суперпозиции сумма любых таких полей тоже должна быть полем,
которое может быть осуществлено в природе, т. е. должно удов-
удовлетворять уравнениям поля.
Как известно, линейные дифференциальные уравнения как
раз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений
тоже является решением. Следовательно, уравнения для поля
должны быть линейными дифференциальными уравнениями.
Из сказанного следует, что под знаком интеграла в дей-
действии Sf должно стоять выражение, квадратичное по полю.
Только в этом случае уравнения поля будут линейными, — урав-
уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьи-
варьировании степень подынтегрального выражения понижается на
единицу.
В выражение для действия Sf не могут входить потенциалы
поля, так как они не определены однозначно (в Smf эта неод-
неоднозначность была не существенна). Поэтому Sf должно быть
интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного
поля Fik. Но действие должно быть скаляром и потому должно
быть интегралом от некоторого скаляра. Таковым является лишь
произведение Fi^Flk 1).
Таким образом, Sf должно иметь вид
Sf = a Г Г FikFikdV dt, dV = dx dy dz,
где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по
времени — между двумя заданными моментами; а есть некоторая
постоянная. Под интегралом стоит F^F^ = 2(Н2 — Е2). Поле
Е содержит производную dA/dt. Но легко видеть, что (dA/dtJ
должно входить в действие с положительным знаком (а потому и
1) Подынтегральная функция в Sf не должна содержать производных
от Fik, так как в функцию Лагранжа могут входить, помимо координат
системы, только их первые производные по времени, а роль «координат»
(т. е. переменных, по которым производится варьирование в принципе наи-
наименьшего действия) играют в этом случае потенциалы А^ поля; это анало-
аналогично тому, что в механике функция Лагранжа для механической системы
содержит только координаты частиц и их первые производные по времени.
Что касается величины elklmFikFirn (§25), то она является (как было
отмечено в примеч. на с. 95) полной 4-дивергенцией, и поэтому ее добавление
в подынтегральное выражение в Sf вообще не отразилось бы на «уравнениях
движения». Интересно, что тем самым эта величина исключается из дей-
действия уже независимо от того обстоятельства, что она представляет собой
не истинный, а псевдоскаляр.

102
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Е2 с положительным знаком). Действительно, если бы (/)
входило в Sf со знаком минус, то достаточно быстрым изме-
изменением потенциала со временем (в рассматриваемом итервале
времени) всегда можно было бы сделать Sf отрицательной ве-
величиной со сколь угодно большим абсолютным значением; Sf
не могло бы, следовательно, иметь минимума, как этого требует
принцип наименьшего действия. Таким образом, а должно быть
отрицательным.
Числовое значение а зависит от выбора единиц для измере-
измерения поля. Заметим, что после выбора определенного значения а
вместе с единицами для измерения поля определяются также
и единицы для измерения всех остальных электромагнитных
величин.
Мы будем в дальнейшем пользоваться так называемой гаус-
гауссовой системой единиц] в этой системе а есть безразмерная
величина, равная —1/A6тг)х).
Таким образом, действие для поля имеет вид
Sf =	— / FikFikdu, du = cdt dx dy dz.	B7.4)
167ГС J
В трехмерном виде
Sf = ^ f f(E2 - H2)dVdt.	B7.5)
Другими словами, функция Лагранжа электромагнитного поля
L, = ± J(E2 - Я2) dV.	B7.6)
Действие для поля вместе с находящимися в нем зарядами имеет
вид
S = Yl J mcds Е J ~cAkdxh - ^ J FikFikdU. B7.7)
Подчеркнем, что теперь уже заряды отнюдь не считаются
малыми, как при выводе уравнений движения заряда в задан-
заданном поле. Поэтому Ак и i^/c относятся к истинному полю, т. е.
внешнему полю вместе с полем, созданным самими зарядами;
А к и Fik зависят теперь от положения и скорости зарядов.
1) Наряду с гауссовой системой единиц пользуются также и так называе-
называемой системой Хевисайда, в которой а = —1/4. В этой системе единиц имеют
более удобный вид уравнения поля (в них не входит тогда 4тг), но зато 4тг
входит в закон Кулона. Напротив, в гауссовой системе единиц уравнения
поля содержат 4тг, а закон Кулона имеет простой вид.

§ 28	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОР ТОКА	103
§ 28. Четырехмерный вектор тока
Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в
целях математического удобства часто рассматривают заряд как
распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда
можно ввести плотность заряда р так, что pdV есть заряд,
находящийся в объеме dV\ p есть, вообще говоря, функция от
координат и времени. Интеграл от р по некоторому объему есть
заряд, находящийся в этом объеме.
При этом надо помнить, что в действительности заряды явля-
являются точечными, так что плотность р равна нулю везде, кроме
тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл J p dV
должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в дан-
данном объеме. Поэтому р можно написать с помощью ^-функций1)
в частности,
1)E-функция определяется следующим образом: 5(х) = 0 при всех не
равных нулю значениях х\ при х = 0 6@) = оо, причем так, что интеграл
+ ОО
S(x)dx = l.	A)
Из этого определения вытекают следующие свойства: если f(x) — любая
непрерывная функция, то
оо
г»
f(xM(x-a)dx = f(a);	B)
+ ОО
Г f(x)S(x) dx = f@)	C)
— оо
(пределы интегрирования, разумеется, не обязательно должны быть ±оо;
областью интегрирования может быть любая область, заключающая ту
точку, в которой E-функция не исчезает).
Смысл следующих равенств заключается в том, что их левая и правая
части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множи-
множителей под знаком интегрирования:
И
Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения
где ip(x) — однозначная функция (обратная ей функция не обязана быть
однозначной), a ai — корни уравнения <р(х) = 0.
Подобно тому как S(х) определена для одной переменной х, можно ввести
трехмерную ^-функцию S(r), равную нулю везде, кроме начала трехмерной
системы координат, и интеграл которой по всему пространству равен 1. Та-
Такую функцию можно, конечно, представить как произведение S(x)S(у)S(z).

104
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
в следующем виде:
J2S(r-ra),	B8.1)
где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а га — ради-
радиус-вектор заряда еа.
Заряд частицы есть, по самому своему определению, величи-
величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета.
Напротив, плотность р не есть инвариант, — инвариантом явля-
является лишь произведение pdV.
Умножим обе части равенства de = pdV на dxl\
dxl
de dxl = p dV dxl = p dV dt—.
at
Слева стоит 4-вектор (так как de есть скаляр, a dxl — 4-вектор).
Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но dV dt есть скаляр, а
потому pdxl/dt есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через
f) носит название 4-вектора плотности тока:
f = P%.	B8.2)
at
Его три пространственные компоненты образуют трехмерную
плотность тока
j = pv;	B8.3)
v есть скорость заряда в данной точке. Временная же состав-
составляющая 4-вектора B8.2) есть ср. Таким образом,
/ = (cpj).	B8.4)
Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен
интегралу f pdVuo всему пространству. Можно написать этот
интеграл в четырехмерном виде:
Jj°dV = -c JfdSt,	B8.5)
=-c Jj°dV = -c
где интегрирование производится по всей четырехмерной ги-
гиперплоскости, перпендикулярной к оси ж0 (очевидно, что это и
означает интегрирование по всему трехмерному пространству).
Вообще интеграл - f jldSi, взятый по любой гиперповерхности,
есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту
гиперповерхность.
Введем 4-вектор тока в выражение B7.7) для действия и пре-
преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных

§ 29	УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ	105
зарядов е непрерывное распределение с плотностью р, напишем
этот член в виде
-- Г pAidxW,
заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Пере-
Переписав его как
-- Г p^-AidVdt,
мы видим, что этот член равен
Таким образом, действие S принимает вид
-^ Г Aifdu - ^- Г FikFikdu. B8.6)
§ 29. Уравнение непрерывности
Изменение со временем заряда, находящегося в некотором
объеме, дается производной
dtj
pdV.
С другой стороны, изменение за единицу времени определя-
определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного
объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь его. Количе-
Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент df
поверхности, ограничивающей наш объем, равно pv df, где v есть
скорость заряда в той точке пространства, где находится элемент
df. Вектор df направлен, как это всегда принимается, по внешней
нормали к поверхности, т. е. по нормали, направленной наружу
от рассматриваемого объема. Поэтому pv df положительно, если
заряд выходит из нашего объема, и отрицательно, если заряд
входит в него. Полное количество заряда, выходящего в единицу
времени из данного объема, есть, следовательно, § pvdf, где
интеграл распространен по всей замкнутой поверхности, огра-
ограничивающей этот объем.
Из сравнения обоих полученных выражений находим
Г pdV = - (С pvdf.	B9.1)

106
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Справа поставлен знак минус, так как левая часть положитель-
положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Урав-
Уравнение B9.1), выражающее собой закон сохранения заряда, есть
так называемое уравнение непрерывности, написанное в инте-
интегральном виде. Замечая, что pv есть плотность тока, можно
переписать B9.1) в виде
г	г
B9.2)
Напишем это же уравнение в дифференциальном виде. При-
Применив к правой части B9.2) теорему Гаусса
= f
находим
Поскольку это равенство должно иметь место при интегрирова-
интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно
быть равно нулю:
div j + J = 0.	B9.3)
ot
Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальном виде.
Легко убедиться в том, что выражение B8.1) для р в виде
^-функций автоматически удовлетворяет уравнению B9.3). Для
простоты предположим, что имеется всего лишь один заряд, так
что
р = eS(r — г0).
Тогда ток
j = ev?(r-r0),
где v — скорость заряда. Найдем производную dp/dt. При движе-
движении заряда меняются его координаты, т. е. меняется tq. Поэтому
др_ _ др дг0
dt dro dt
Но dro/dt есть не что иное, как скорость v заряда. Далее, по-
поскольку р есть функция от г — го,
др_ _ _др_
<9г0 ~~ дт'
Следовательно,
-?¦ = —V grad р = — div pv
от

§ 29	УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ	107
(скорость v заряда не зависит, конечно, от г). Таким образом,
мы приходим к уравнению B9.3).
В четырехмерной форме уравнение непрерывности B9.3) вы-
выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:
Ъ=°-	<29-4)
В предыдущем параграфе мы видели, что полный заряд,
находящийся во всем пространстве, может быть написан в виде
где интегрирование производится по гиперплоскости ж0 = const.
В другой момент времени полный заряд изобразится таким же
интегралом, взятым по другой гиперплоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к оси х°. Легко проверить, что уравнение B9.4) действитель-
действительно приводит к закону сохранения заряда, т. е. к тому, что инте-
интеграл f jldSi одинаков, по какой бы гиперплоскости ж0 = const
мы ни интегрировали. Разность между интегралами J jldSi, взя-
взятыми по двум таким гиперплоскостям, можно написать в виде
§ fdSi, где интеграл берется по всей замкнутой гиперповерхно-
гиперповерхности, охватывающей 4-объем между двумя рассматриваемыми ги-
гиперплоскостями (этот интеграл отличается от искомой разности
интегралом по бесконечно удаленной «боковой» гиперповерхно-
гиперповерхности, который, однако, исчезает, так как на бесконечности нет
зарядов). С помощью теоремы Гаусса F.15) можно, преобразовав
этот интеграл в интеграл по 4-объему между двумя гиперплос-
гиперплоскостями, убедиться, что
dSi = J^du = O,	B9.5)
что и требовалось доказать.
Приведенное доказательство остается, очевидно, в силе
и для двух интегралов f fdSi, в которых интегрирование
производится по любым двум бесконечным гиперповерхностям
(а не только по гиперплоскостям ж0 = const), включающим
в себя все (трехмерное) пространство. Отсюда видно, что
интеграл - f fdSi действительно имеет одно и то же значение
(равное полному заряду в пространстве), по какой бы такой
гиперповерхности ни производилось интегрирование.
Мы уже упоминали (см. примеч. на с. 78) о тесной связи
между калибровочной инвариантностью уравнений электроди-
электродинамики и законом сохранения заряда. Продемонстрируем ее еще

108
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
раз на выражении действия в виде B8.6). При замене Ai на
— df /дхг ко второму члену в B8.6) добавится интеграл
Именно сохранение заряда, выражаемое уравнением непрерыв-
непрерывности B9.4), позволяет написать подынтегральное выражение в
виде 4-дивергенции -r-^(fjl) после чего, согласно теореме Гаусса,
ох
интеграл по 4-объему преобразуется в интеграл по граничным
гиперповерхностям; при варьировании действия эти интегралы
выпадают и, таким образом, не отражаются на уравнениях дви-
движения.
§ 30. Вторая пара уравнений Максвелла
При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего
действия мы должны считать заданным движение зарядов и
должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь
роль «координат» системы); при нахождении уравнений движе-
движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траек-
траекторию частицы.
Поэтому вариация первого члена в B8.6) равна теперь нулю,
а во втором не должен варьироваться ток f. Таким образом,
SS
= -- [\-fSAi + ±Fi
с J lc	8тг
(при варьировании во втором члене учтено, что
. Подставляя
F - дАк dAi
гк дх1 дхк'
имеем
SS = -1- [\-fSAi + ±Fik-?-
с J lc	8тг ох
Во втором члене меняем местами индексы г и fc, по которым про-
производится суммирование, и, кроме того, заменяем F^ на —F^.
Тогда мы получим
6S
= -- [\-fSAi - ^Fik^
с J I с	4тг дх

§ 30	ВТОРАЯ ПАРА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА	109
Второй из этих интегралов берем по частям, т. е. применяем
теорему Гаусса:
6S = --
с J I с	4тг дх
- -±- I'Fik5AidSk. C0.1)
А-кс J
Во втором члене мы должны взять его значение на пределах
интегрирования. Пределами интегрирования по координатам яв-
является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же инте-
интегрирования по времени, т. е. в заданные начальный и конечный
моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как
по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти
моменты заданы. Таким образом, второй член в C0.1) равен
нулю, и мы находим
Ввиду того, что по смыслу принципа наименьшего действия ва-
вариации 6Ai произвольны, нулю должен равняться коэффициент
при SAi, т.е.
Перепишем эти четыре (г = 0,1, 2,3) уравнения в трехмерной
форме. При г = 1 имеем
10F10 OF11 OF12 OF13 _ 4тт л
с dt	дх	ду	dz	с
Подставляя значения составляющих тензора F , находим
1дЕх _ ЗН^ дНу_ _ _4тг .
с dt	ду 3z ~ с Зх'
Вместе с двумя следующими (г = 2,3) уравнениями они могут
быть записаны как одно векторное:
¦*= = ;"+ 7*	<заз>
Наконец, уравнение с г = 0 дает
divE = 47rp.	C0.4)
Уравнения C0.3), C0.4) и составляют искомую вторую пару
Максвелла1). Вместе с первой парой, они вполне определяют
) Уравнения Максвелла в форме, применимой к электромагнитному полю
в пустоте вместе с находящимися в нем точечными зарядами, были сфор-
сформулированы Г. А. Лоренцем.

по
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
электромагнитное поле и являются основными уравнениями те-
теории этих полей — электродинамики.
Напишем эти уравнения в интегральной форме. Интегрируя
C0.4) по некоторому объему и применяя теорему Гаусса
Г
div E dV =
находим
IEdf = 4тг Г pdV.	C0.5)
Таким образом, поток электрического поля через замкнутую по-
поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, огра-
ограниченном этой поверхностью, умноженному на 4тг.
Интегрируя C0.3) по некоторой незамкнутой поверхности и
применяя теорему Стокса
rot Н df = ф Н dl,
J
находим
/п
Edf + — / jdf.	C0.6)
Величину
— —	C0.7)
4тг Ot	V J
называют током смещения. Из C0.6), написанного в виде
видно, что циркуляция магнитного поля по некоторому контуру
равна помноженной на 4тг/с сумме токов истинного и смещения,
протекающих сквозь поверхность, ограничиваемую этим кон-
контуром.
Из уравнений Максвелла можно получить известное уже нам
уравнение непрерывности B9.3). Беря дивергенцию обеих частей
уравнения C0.3), находим
divrot H =	div E -\	divj.
с ot	с
Но div rot H еОи divE = 4тгр, согласно C0.4). Таким образом,
мы приходим снова к уравнению B9.3). В четырехмерном виде
из C0.2) имеем
82Fik	4тг df

§31	ПЛОТНОСТЬ И ПОТОК ЭНЕРГИИ	111
Но симметричный по индексам г, к оператор —:—г, применен-
применения* <9ат
ный к антисимметричному тензору Flk, обращает его тожде-
тождественно в нуль, и мы приходим к уравнению непрерывности,
написанному в четырехмерном виде B9.4).
§ 31. Плотность и поток энергии
Умножим обе части уравнения C0.3) на Е, а обе части урав-
уравнения B6.1) на Н и сложим полученные уравнения почленно:
1Е— + -Н— = --JE - (Hrot E - Erot H).
с at с at с v	;
Пользуясь известной формулой векторного анализа
div[ab] = b rot a — a rot b,
переписываем это соотношение в виде
ИЛИ
s^ = -JE-divS-	<3L1>
Вектор
S = —[EH]	C1.2)
называют вектором Пойнтинга.
Проинтегрируем C1.1) по некоторому объему и применим ко
второму члену справа теорему Гаусса. Мы получим тогда:
Если интегрирование производится по всему пространству, то
интеграл по поверхности исчезает (поле на бесконечности равно
нулю). Далее, мы можем написать интеграл JjEdF в виде сум-
суммы J^evE по всем зарядам, находящимся в поле, и подставить
согласно A7.7)
evE = —
at
Тогда C1.3) переходит в

112
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из элек-
электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, со-
сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в скобках.
Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия (вме-
(вместе с энергией покоя всех частиц; см. примеч. на с. 76); первый
же член есть, следовательно, энергия самого электромагнитного
поля. Величину
IT _L ?Г2
W = 8+	C1.5)
мы можем поэтому назвать плотностью энергии электромаг-
электромагнитного поля; это есть энергия единицы объема поля.
При интегрировании по некоторому конечному объему по-
поверхностный интеграл в C1.3), вообще говоря, не исчезает, так
что мы можем написать это уравнение в виде
8тг
где теперь во втором члене в скобках суммирование производит-
производится только по частицам, находящимся в рассматриваемом объеме.
Слева стоит изменение полной энергии поля и частиц в единицу
времени. Поэтому интеграл § S di надо рассматривать как поток
энергии поля через поверхность, ограничивающую данный объ-
объем, так что вектор Пойнтинга S есть плотность этого потока —
количество энергии поля, протекающее в единицу времени через
единицу поверхности1).
§ 32. Тензор энергии-импульса
В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энер-
энергии электромагнитного поля. Выведем это выражение, вместе с
выражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При
этом мы будем для простоты рассматривать пока электромаг-
электромагнитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение
(к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы
проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы.
Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для кото-
которой имеет вид
S= Ik(q,^-\dVdt= - ГAdu,	C2.1)
1) Мы предполагаем, что на самой поверхности рассматриваемого объема
в данный момент времени нет частиц. В противном случае в правой части
равенства должен был бы стоять также и поток энергии, переносимой пере-
пересекающими поверхность частицами.

§ 32	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА	113
где Л — некоторая функция от величин д, определяющих состо-
состояние системы и их производных по координатам и времени (для
электромагнитного поля величинами q являются компоненты
4-потенциала); для краткости мы пишем здесь всего одну та-
такую величину q. Заметим, что интеграл по пространству J A dV
есть функция Лагранжа системы, так что Л можно рассмат-
рассматривать как «плотность» функции Лагранжа. Математическим
выражением замкнутости системы является отсутствие явной
зависимости Л от жг, подобно тому, как функция Лагранжа для
замкнутой механической системы не зависит явно от времени.
«Уравнения движения» (т. е. уравнения поля, если речь идет
о каком-либо поле) получаются согласно принципу наименьшего
действия путем варьирования S. Имеем (для краткости обозна-
обозначаем qj = dq/dx1)
Второй член под интегралом, будучи преобразован по теореме
Гаусса, исчезает при интегрировании по всему пространству, и
мы находим тогда следующие «уравнения движения»:
A^_^ = 0	C2.2)
дхг dq,i dq	V J
(везде, конечно, подразумевается суммирование по дважды по-
повторяющемуся индексу г).
Дальнейший вывод аналогичен тому, который производится в
механике для вывода закона сохранения энергии. Именно, пишем
дЛ _ dAdq_, дК дд,к
dxl ~ dq дх1 dq,k дх1 '
Подставляя сюда C2.2) и замечая, что q^^ = <^,ь находим
дА
(, fr^dq^ _ _д_
дхк \дд,к)д^ dq,k дхк ~ дхк
Заменив в левой части равенства
и введя обозначение
^Л _ §к ЗА
дх{ ~ 1 дхк
C2.3)

114
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
напишем полученное соотношение в виде
Вг = О.	C2.4)
Если имеется не одна, а несколько величин q(\ то вместо C2.3)
надо, очевидно, писать:
Мы видели в § 29, что уравнение вида дАк/дхк = 0, т. е.
равенство нулю 4-дивергенции вектора, эквивалентно утвержде-
утверждению, что сохраняется интеграл J AkdSk OT этого вектора по ги-
гиперповерхности, заключающей в себе все трехмерное простран-
пространство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и
для тензора: уравнение C2.4) эквивалентно утверждению, что
сохраняется вектор
Р1 = const- /TikdSk.
Этот вектор и должен быть отождествлен с 4-импульсом
системы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем
так, чтобы временная компонента Р° в соответствии с прежним
определением была равна энергии системы, деленной на с. Для
этого замечаем, что
Р° = const • Г TokdSk = const • Г ToodV,
рирование производится по гиперпло
= const. С другой стороны, согласно C2.3) имеем
если интегрирование производится по гиперплоскости ж0
С	()
dq
(где q = dq/dt). В соответствии с обычной формулой, связываю-
связывающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо рассмат-
рассматривать как плотность энергии, и поэтому J T®®dV есть полная
энергия системы. Таким образом, надо положить const = 1/с, и
мы получаем окончательно для 4-импульса системы выражение
pi= I fTikdS^	C2.6)
с J
Тензор Тгк называется тензором энергии-импульса системы.
Необходимо заметить, что определение тензора Тгк по суще-
существу не однозначно. Действительно, если Тгк — тензор, опреде-
определенный согласно C2.3), то и всякий другой тензор вида
Тк + ^фш, фш = -фик,	C2.7)
ОХ

§ 32	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА	115
удовлетворяет уравнению сохранения C2.4), так как тождествен-
тождественен2
но —т—тфгЫ = 0 ввиду антисимметричности тензора фгЫ по
дх дх
индексам к, I. Полный 4-импульс системы при этом вообще не
изменится, так как согласно F.17) имеем
Мгк
где интегрирование в правой части равенства производится по
поверхности (обычной), «охватывающей» гиперповерхность, по
которой производится интегрирование в левой части равенства.
Эта поверхность находится, очевидно, на бесконечности трех-
трехмерного пространства, и, поскольку поле или частицы на бес-
бесконечности отсутствуют, интеграл равен нулю. Таким образом,
4-импульс системы является, как и следовало, однозначно опре-
определенной величиной.
Для однозначного же определения тензора Тгк можно вос-
воспользоваться требованием, чтобы 4-тензор момента импульса
(§ 14) выражался через 4-импульс посредством
= [(хЧРк - xkdP{) = - !{х1Ты - xkTil) dSh C2.8)
т. е. так, чтобы его плотность выражалась через плотность им-
импульса обычной формулой.
Легко найти, какому условию должен для этого удовлетво-
удовлетворять тензор энергии-импульса. Закон сохранения момента может
быть выражен, как мы уже знаем, равенством нулю дивергенции
подынтегрального выражения в М . Таким образом,
-^J(xiTkl-xkTil) = 0.	C2.9)
дх
Замечая, что дхг/дх1 = 8\ и дТы/дх1 = 0, находим
5]ТЫ - 5?Тп = Ты - Tik = О,
или
Tik = Tk\	C2.10)
т. е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен.
Заметим, что тензор Тгк, определенный формулой C2.5), во-
вообще говоря, не симметричен, но может быть сделан таковым
заменой C2.7) с надлежащим образом выбранным фгЫ. В даль-
дальнейшем (§ 94) мы увидим, что существует способ непосредствен-
непосредственного получения симметричного тензора Т .

116
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Как уже упоминалось выше, если производить интегрирова-
интегрирование в C2.6) по гиперплоскости х° = const, то Рг приобретает вид
pi = i fTi0dy^	C2.11)
где интегрирование производится по всему пространству (трех-
(трехмерному). Пространственные компоненты Рг образуют трехмер-
трехмерный вектор импульса системы, а временная компонента есть
деленная на с ее энергия. Поэтому вектор с составляющими
It120 It130
l^io It120 I
с	с	с
t13
можно назвать плотностью импульса, а величину
W = Т00
можно рассматривать как плотность энергии.
Для выяснения смысла остальных компонент Т напишем
уравнения сохранения C2.4), отделив в них пространственные и
временные производные:
-— + — =0, 1^ + ^ = 0.	C2.12)
с dt дха ' с dt дх13	v }
Проинтегрируем эти уравнения по некоторому объему простран-
пространства V. Из первого имеем
или, преобразуя второй интеграл по (трехмерной) теореме Га-
Гаусса,
? / TmdV = -с il^dfa,	C2.13)
где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объ-
объем V (dfx, dfy, d/z — компоненты трехмерного вектора элемента
поверхности dt). В левой части равенства C2.13) стоит скорость
изменения энергии, находящейся в объеме V. Отсюда видно, что
выражение справа есть количество энергии, протекающей через
границу этого объема, а вектор S с составляющими
сТ01, сТ02, сГ03
есть плотность этого потока— количество энергии, протекаю-
протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Таким об-

§ 33	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	117
разом, мы приходим к важному выводу о том, что требова-
требования релятивистской инвариантности, заключенные в тензор-
тензорном характере величин Т , автоматически приводят к опре-
определенной связи между потоком энергии и импульсом: плот-
плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной
на с2.
Из второго уравнения C2.12) аналогичным путем находим
-TaOdV = - (l)Ta/3dfp.	C2.14)
Слева стоит изменение импульса системы в объеме V в единицу
времени; поэтому <f> T^dfp есть количество импульса, вытекаю-
вытекающее в единицу времени из этого объема. Таким образом, ком-
компоненты Та@ тензора энергии-импульса составляют трехмерный
тензор плотности потока импульса; обозначим его через — сга/#,
где (Т(хC~ так называемый тензор напряжений. Плотность по-
потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, кото-
который сам по себе есть вектор, должна, очевидно, быть тензором
(компонента Тар этого тензора есть количество a-й компоненты
импульса, протекающее в единицу времени через единицу по-
поверхности, перпендикулярную к оси х@).
Выпишем еще раз таблицу, указывающую смысл различных
компонент тензора энергии-импульса:
rnik __ I bx/C —<JXx ~<Jxy ~uxz I	/09 i к\
Sy/C -OyX	-Oyy	-T-. I *	V	'	)
W
Sx/c
Sy/c
Sz/c
Sx/c
~<JXX
-СГух
-CTzx
Sy/c
~°~ху
—а у у
-CTzy
Sz/c
— Cxz
~ayz
-CTzz
§ 33. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Применим теперь полученные в предыдущем параграфе об-
общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромаг-
электромагнитного поля величина Л, стоящая под знаком интеграла C2.1),
равна, согласно B7.4),
Величинами q являются компоненты 4-потенциала поля А^, так
что определение C2.5) тензора TJ* принимает вид
к ®A дл _ г/с д
дх1 д(дАг/дхк

118
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Для вычисления стоящей здесь производной от Л напишем
вариацию:
8тг	8тг	\дхк дх1 )
Переставляя индексы и имея в виду антисимметричность
получим
4тг дхк'
Отсюда мы видим, что
дЛ =	1_рЫ
д(дАг/дхк)	4тг
и поэтому
7	1 f)Aj	11	1	7	7
rjiK 		-1- <-'-^Lt трК1 I	-1- ГгС T^i тр1ТП
1	4тг ^жг	16тт г
или для контравариантных компонент
T =	^Ft +	gFlmp
4ТГ OXi	16ТГ
Этот тензор, однако, не симметричен. Для его симметризации
прибавим к нему величину
J_OA^Fk
4тг dxi
Согласно уравнению поля C0.2) в отсутствие зарядов dFki/dxi =
= 0, а потому
1 ал* к _ 1 д (AiFk,
так что производимая замена Т относится к виду C2.7) и
является допустимой. Поскольку ЗА1 /dxi — дАг/dxi = Fl1 то
мы находим окончательно следующее выражение для тензора
энергии-импульса электромагнитного поля:
Тгк = J_ (_Filpki + lg
4тг V	4
Симметричность этого тензора очевидна. Кроме того, его
след равен нулю:
Т\ = 0.	C3.2)
Выразим компоненты тензора Тгк через напряженности
электрического и магнитного полей. С помощью значении i7^
из B3.5) легко убедиться в том, что Г00 совпадает, как и

§ 33	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	119
следовало, с плотностью энергии C1.5), а компоненты сГОа — с
компонентами вектора Пойнтинга C1.2). Пространственные же
компоненты Та@ образуют трехмерный тензор с составляющими
-ахх = l(E* + El - El + Щ + Hi - Ht),
-(Уху = - — (ExEy + HxHy)
и т.д., или
Я
)}.	C3.3)
Этот трехмерный тензор называют максвелловским тензором
напряжений.
Для приведения тензора Тгк к диагональному виду надо про-
произвести преобразование к системе отсчета, в которой векторы
Е и Н (в данной точке пространства и в данный момент вре-
времени) параллельны друг другу, либо один из них равен нулю;
как мы знаем (§25), такое преобразование возможно всегда, за
исключением случая, когда Е и Н взаимно перпендикулярны
и равны по величине. Легко видеть, что после преобразования
единственными отличными от нуля компонентами Тгк будут
/y-iOO 	 	/y-ill 	 /y-i22 	 /y-i33 	 jjt
(ось х выбрана в направлении полей).
Если же векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и равны
по величине, то тензор Тгк не может быть приведен к диагональ-
диагональному виду1). Отличные от нуля его компоненты в этом случае
равны
лт-iOO 	 грЗЗ 	 грЗО 	 ТД7-
(ось х выбрана вдоль направления Е , а ось у — вдоль Н).
До сих пор мы рассматривали поле без зарядов. При нали-
наличии заряженных частиц тензор энергии-импульса всей системы
представляет собой сумму тензоров энергии-импульса электро-
электромагнитного поля и частиц, причем в последнем частицы рассмат-
рассматриваются как невзаимодействующие.
Для определения вида тензора энергии-импульса частиц
необходимо описывать распределение масс в пространстве
с помощью «плотности массы», аналогично тому, как мы
) Тот факт, что приведение симметричного 4-тензора Тг к главным осям
может оказаться невозможным, связан с псевдоевклидовостью 4-простран-
ства (см. также задачу к §94).

120
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
описываем распределение точечных зарядов с помощью их
плотности. Аналогично формуле B8.1) для плотности зарядов,
плотность масс можно написать в виде
a6(r-ra),	C3.4)
а
где га — радиус-векторы частиц, а суммирование производится
по всем частицам системы.
Плотность импульса частиц напишется в виде /лсиа. Как мы
знаем, эта плотность представляет собой компоненты ГОа/с тен-
тензора энергии-импульса, т. е.
T0a = fic2ua (a = 1,2,3).
Но плотность массы является временной компонентой 4-вектора
	(аналогично плотности зарядов, см. § 28). Поэтому тензор
с dt
энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть
mik	dx1 dx	i kds	/oo _ч
T =^c^lf = ^cuuJf	C3-5)
Этот тензор, как и следовало, симметричен.
Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс
системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля
и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы
должны проверить уравнение
C3.6)
выражающее эти законы сохранения.
Дифференцируя выражение C3.1), пишем
0Fkl
дхк	4тг\2	дх{	дхк	й дхк
Подставив сюда, согласно уравнениям Максвелла B6.5) и C0.2),
dFlm = dFrru OF^ dF^ = 4тг .
3
получим
= _	_	= 4тг ./
дх1 дх1 дхт' дхк с3 '
3xk	4тЛ 2" дх1 2" &rm	^ с %lJ
Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена
взаимно сокращаются и остается
^^ = —/ИЗ ¦	C3-7)

§ 33	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	121
Дифференцирование же тензора C3.5) дает
дхк	1дх
Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу со-
сохранения массы невзаимодействующих частиц. Действительно,
dxk
величины /х— составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный
dt
4-вектору тока зарядов B8.2); сохранение же масс выражается
равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора:
точно так же, как сохранение заряда выражается уравнением
B9.4). Таким образом, имеем
дхк мс dt дхк ^С dt
Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением
движения зарядов в поле, написанным в четырехмерном виде
B3.4):
mc^ = e-Fikuk.
ds с
При переходе к непрерывному распределению заряда и массы
имеем, по определению плотностей \i и р: ц/т = р/е. Поэтому
можно написать уравнение движения в виде
dui p
ds	с
ИЛИ
dui 1 п к ds 1 j_, ./с
Me— = -FikpuK— = -Fikf.
dt с	dt с
Таким образом,
f)rp{-4.)k	-i
Ъ" - lM-	<33-9>
Складывая с C3.7), мы действительно получаем нуль, т.е. при-
приходим к уравнению C3.6).
Задача
Найти закон преобразования плотности энергии, плотности потока
энергии и компонент тензора напряжений при преобразовании Лоренца.
Решение. Пусть система координат К' движется относительно си-
системы К вдоль оси х со скоростью V. Применяя формулы задачи 1 § 6 к

122
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
симметричному тензору Тг , находим
Sy =	1	(¦<?' - Va'),
V V1 " V2/c2
°xx = i-v2/Aaxx" 27Sx ~^w)'
аУУ = avyi а** = azzi ayz = Vyz,
и аналогичные формулы для Sz и crxz.
§ 34. Теорема вириала
Поскольку след тензора энергии-импульса электромагнитно-
электромагнитного поля равен нулю, то сумма Т\ для любой системы взаимодей-
взаимодействующих частиц сводится к следу тензора энергии-импульса од-
одних лишь частиц. Воспользовавшись выражением C3.5), имеем:
грг _ гр(чI _ lirqi.q.idf_ _ nrd± _
-L j 	 _#.	„' 	 LJjLs Uji Uj		 LJjLs
at	at
Перепипсем этот результат, возвратившись к суммированию по
частицам, т.е. представив /х в виде суммы C3.4). Тогда получим
окончательно:
Т\ = J] maC2Jl-v^S(r - та).	C4.1)
а
Отметим, что согласно этой формуле для всякой системы
имеем
Т\ ^ 0,	C4.2)
причем знак равенства имеет место только для электромагнит-
электромагнитного поля без зарядов.
Рассмотрим замкнутую систему заряженных частиц, совер-
совершающих финитное движение, при котором все характеризующие
систему величины (координаты, импульсы) меняются в конеч-
конечных интервалахх).
1)При этом предполагается также, что электромагнитное поле системы
достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности. В конкретных зада-
задачах это условие может означать необходимость пренебрежения излучением
электромагнитных волн системой.

§ 34	ТЕОРЕМА ВИРИАЛА	123
Выведем соотношение, связывающее полную энергию систе-
системы с некоторыми усредненными по времени ее характерис-
характеристиками.
Усредним уравнение
1дТа0 дТа/3
(см. C2.12)) по времени. При этом среднее значение производной
dTa0/dt, как и вообще производной от всякой величины, меняю-
меняющейся в конечном интервале, равно нулю1). Поэтому находим
= 0.
Умножаем это уравнение на ха и интегрируем по всему про-
пространству. Интеграл преобразуем по теореме Гаусса, имея в виду,
что на бесконечности Т% =0и потому интеграл по поверхности
исчезает:
или окончательно:
1 T*dV = 0.	C4.3)
I'
На основании этого равенства мы можем написать для инте-
интеграла от Г* = Т^ + Т°о
J
7fidV =
где S — полная энергия системы.
Наконец, подставляя сюда C4.1), найдем
C4.4)
1) Пусть / есть такая величина. Тогда среднее значение производной df/dt
за некоторый интервал времени Т есть
I = I jdf dt =
dt T J dt
T
о
Поскольку f(t) меняется только в конечных пределах, то при неограничен-
неограниченном увеличении Т это среднее значение действительно стремится к нулю.

124
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
Это соотношение является релятивистским обобщением теоре-
теоремы вириала классической механики (см. I, §10). Для малых
скоростей оно переходит в
т. е. полная энергия системы за вычетом энергии покоя частиц
равна взятому с обратным знаком среднему значению кинетиче-
кинетической энергии, в согласии с результатом, получаемым из классиче-
классической теоремы вириала для системы частиц, взаимодействующих
по закону Кулона.
Необходимо отметить, что полученные формулы носят до
некоторой степени формальный характер и нуждаются в уточне-
уточнении. Дело в том, что энергия электромагнитного поля содержит
члены с бесконечным вкладом от собственной электромагнитной
энергии точечных зарядов (см. § 37). Чтобы придать смысл соот-
соответствующим выражениям, следует опустить эти члены, считая,
что собственная электромагнитная энергия уже включена в ки-
кинетическую энергию частицы (9.4). Это означает, что мы долж-
должны произвести «перенормировку» энергии, сделав замену в C4.4)
где Еа и На — поля, создаваемые а-й частицей. Аналогично в
C4.3) следует заменить1)
§ 35. Тензор энергии-импульса макроскопических тел
Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных ча-
частиц C3.5) нам понадобится в дальнейшем выражение это-
этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как
сплошные.
Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что
иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому —cr^
) Отметим, что без такой замены выражение
есть существенно положительная величина и не может обратиться в нуль.

§ 35	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ	125
есть а-я компонента силы, действующей на элемент поверхно-
поверхности df. Воспользуемся теперь системой отсчета, в которой дан-
данный элемент объема тела покоится. В такой системе отсчета
имеет место закон Паскаля, т. е. давление р, оказываемое дан-
данным участком тела, одинаково по всем направлениям и везде
перпендикулярно к площадке, на которую оно производится1).
Поэтому мы можем написать (Japdfp = —pdfa, откуда тензор
напряжений аа/з = —р5а/3- Что касается компонент Га05 дающих
плотность импульса, то для данного элемента объема тела в
рассматриваемой системе отсчета они равны нулю. Компонента
же Г00, как всегда, равна плотности энергии тела, которую мы
обозначим здесь через е\ е/(? есть при этом плотность массы,
т. е. масса единицы объема. Подчеркнем, что речь идет здесь о
единице собственного объема, т. е. объема в той системе отсчета,
в которой данный участок тела покоится.
Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета тензор
энергии-импульса (для данного участка тела) имеет вид
Легко найти теперь выражение для тензора энергии-импуль-
энергии-импульса в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость иг
макроскопического движения элемента объема тела. В системе
покоя этого элемента иг = A,0). Выражение для Т должно
быть выбрано так, чтобы в этой системе он приобретал вид C5.1).
Легко проверить, что таковым является
Гк = (р + е)и'ик-р8'к,	C5.2)
или для смешанных компонент
Т? = (р + е)щик-р6к.
Этим и определяется тензор энергии-импульса макроскопи-
макроскопического тела. Соответствующие выражения для плотности энер-
?
0
0
0
0
р
0
0
0
о
V
0
0
о
0
р
1) Строго говоря, закон Паскаля имеет место только для жидкостей и
газов. Однако для твердых тел максимальные возможные разности давле-
давлений в разных направлениях ничтожны по сравнению с теми давлениями,
которые могут играть роль в теории относительности, так что их учет не
представляет интереса.

126
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	ГЛ. IV
гии W, плотности потока энергии S и тензора напряжений сга/#:
?+pv2/c2 Q (р + е)у	(р + ф^
1 — v /с	1 — v /с	с A — v /с )
C5.3)
Если скорость v макроскопического движения мала по сравне-
сравнению со скоростью света, то имеем приближенно:
Поскольку S/c2 есть плотность импульса, то мы видим, что роль
плотности массы играет в этом случае сумма (р + е) /с2.
Выражение для Тгк упрощается в случае, если скорости всех
частиц, входящих в состав тела, малы по сравнению со скоростью
света (скорость же макроскопического движения может быть
произвольной). В этом случае в плотности энергии е можно
пренебречь всеми ее частями, малыми по сравнению с энер-
энергией покоя, т.е. можно писать /хос2 вместо ?, где /хо—сумма
масс частиц, находящихся в единице (собственного) объема тела
(подчеркнем, что в общем случае /хо надо отличать от точной
плотности массы е/с2, включающей в себя также и массу, проис-
происходящую от энергии микроскопического движения частиц в теле
и энергии их взаимодействия). Что касается давления, определя-
определяемого энергией микроскопического движения молекул, то оно в
рассматриваемом случае тоже мало по сравнению с плотностью
энергии покоя /хос2. Таким образом, находим в этом случае:
Tik = ^с2и1ик.	C5.4)
Из выражения C5.2) имеем
Т1 = е- Зр.	C5.5)
Общее свойство C4.2) тензора энергии-импульса любой си-
системы показывает теперь, что для давления и плотности макро-
макроскопического тела всегда имеет место неравенство
Р<|-	C5.6)
Сравним выражение C5.5) с общей формулой C4.1). По-
Поскольку мы рассматриваем сейчас макроскопическое тело, то
выражение C4.1) надо усреднить по всем значениям г в единице
объема. В результате находим
s - Зр = \ Шас л 1 - -|	C5.7)

§ 35	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ	127
(суммирование производится по частицам, находящимся в еди-
единице объема). В ультрарелятивистском пределе правая часть
этого равенства стремится к нулю и, таким образом, уравнение
состояния вещества в этом пределе х):
р=|.	C5.8)
Применим полученные формулы к идеальному газу, который
мы предположим состоящим из одинаковых частиц. Поскольку
частицы идеального газа не взаимодействуют друг с другом,
можно воспользоваться формулой C3.5), усреднив ее. Таким
образом, для идеального газа
mik	dxl dx
Tlk = nmc——,
dt ds
где п — число частиц в единице объема, а черта обозначает усред-
усреднение по всем частицам. Если в газе нет никакого макроскопиче-
макроскопического движения, то мы имеем, с другой стороны, для Т выра-
выражение C5.1). Сравнение обеих формул приводит к равенствам:
e = nm^=?7^' V=—^=^-	C5.9)
Эти равенства определяют плотность и давление релятивистско-
релятивистского идеального газа через скорости частиц; вторая из них заме-
заменяет собой известную формулу р = nmv^/3 нерелятивистской
кинетической теории газов.
1) Это предельное уравнение состояния выведено здесь в предположении
электромагнитного взаимодействия между частицами. Мы будем считать
(когда это понадобится в гл. XIV), что оно остается справедливым и для
других существующих в природе взаимодействий между частицами, хотя
доказательства этого предположения в настоящее время не существует.

ГЛАВА V
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 36. Закон Кулона
Для постоянного электрического (электростатического) по-
поля уравнения Максвелла имеют вид
divE = 47rp,	C6.1)
rotE = 0.	C6.2)
Электрическое поле Е выражается через один только скалярный
потенциал соотношением
E = -gmd(f.	C6.3)
Подставляя C6.3) в C6.1), находим уравнение, которому удов-
удовлетворяет потенциал постоянного электрического поля:
А(р = -4тгр.	C6.4)
Это уравнение носит название уравнения Пуассона. В пустоте,
т. е. при р = 0, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
А(р = 0.	C6.5)
Из последнего уравнения следует, в частности, что потенциал
электрического поля нигде не может иметь ни максимума, ни ми-
минимума. Действительно, для того чтобы ц> имело экстремальное
значение, необходимо, чтобы все первые производные от <р по
координатам были равны нулю, а вторые производные д2(р/дх2,
d2ip/dy2, d2ip/dz2 имели одинаковый знак. Последнее, однако,
невозможно, так как при этом не может быть удовлетворено
уравнение C6.5).
Определим теперь поле, создаваемое точечным зарядом. Из
соображений симметрии ясно, что оно будет направлено в каж-
каждой точке по радиус-вектору, проведенному из точки, в которой
находится заряд е. Из тех же соображений ясно, что абсолютная
величина Е поля будет зависеть только от расстояния R до заря-
заряда. Для нахождения этой абсолютной величины применим урав-
уравнение C6.1) в интегральной форме C0.5). Поток электрического
поля через шаровую поверхность с радиусом i?, проведенную
вокруг заряда е, равен 47гД2?"; этот поток должен быть равен

§ 37	ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДОВ	129
4тге. Отсюда находим
т? е
В векторном виде:
Е = в§.	(Зб.б)
Таким образом, поле, создаваемое точечным зарядом, обратно
пропорционально квадрату расстояния от этого заряда. Это —
так называемый закон Кулона. Потенциал этого поля
(Р=^-	C6-7)
Если мы имеем систему зарядов, то создаваемое ею поле,
согласно принципу суперпозиции, равно сумме полей, создавае-
создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В частности, потенциал
такого поля равен
где Ra — расстояние от заряда еа до точки, в которой мы ищем
потенциал. Если ввести плотность заряда р, то эта формула
приобретает вид
J^	C6.8)
где R— расстояние от элемента объема dV до данной точки
(«точки наблюдения») поля.
Отметим здесь математическое соотношение, получающееся
при подстановке в C6.4) значений р и (р для точечного заряда,
т. е. р = eS(R) и <р = e/R. Мы находим тогда:
А- = -4тг(У(К).	C6.9)
R
§ 37. Электростатическая энергия зарядов
Определим энергию системы зарядов. При этом будем ис-
исходить из представления об энергии поля, т. е. из выражения
C1.5) для плотности энергии. Именно, энергия системы зарядов
должна быть равна
U = — Г E2dV,
где Е есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется
по всему пространству. Подставляя сюда Е = — grad <р, можно
5 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

130
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
преобразовать U следующим образом:
[/ = -i- j Eg^&ydV = -±^ Гdiv(Ep)dV+^ Г
Первый из этих интегралов, согласно теореме Гаусса, равен ин-
интегралу от Е(р по поверхности, ограничивающей объем интегри-
интегрирования; но поскольку интегрирование производится по всему
пространству, а на бесконечности поле равно нулю, то этот ин-
интеграл исчезает. Подставляя во второй интеграл div Е = 4тгр,
находим следующее выражение для энергии системы зарядов:
U
= \J ptpdV.	C7.1)
Для системы точечных зарядов еа можно вместо интеграла на-
написать сумму по зарядам:
\а,	C7.2)
где <ра — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке,
где находится заряд еа.
Если применить полученную формулу к одной элементар-
элементарной заряженной частице (скажем, электрону) и полю, произво-
производимому им самим, мы придем к выводу, что частица должна
обладать «собственной» потенциальной энергией, равной ес^/2,
где (? —потенциал производимого зарядом поля в месте, где он
сам находится. Но мы знаем, что в теории относительности вся-
всякую элементарную частицу надо рассматривать как точечную.
Потенциал же <р = e/R ее поля в точке R = 0 обращает-
обращается в бесконечность. Таким образом, согласно электродинамике
электрон должен был бы обладать бесконечной «собственной»
энергией, а следовательно, и бесконечной массой. Физическая
бессмысленность этого результата показывает, что уже основные
принципы самой электродинамики приводят к тому, что ее при-
применимость должна быть ограничена определенными пределами.
Заметим, что ввиду бесконечности получающихся из элек-
электродинамики «собственной» энергии и массы в рамках самой
классической электродинамики нельзя поставить вопрос о том,
является ли вся масса электрона электромагнитной (т. е. связан-
связанной с электромагнитной собственной энергией частицыI).
1) С чисто формальной точки зрения конечность массы электрона можно
трактовать путем введения бесконечной отрицательной массы неэлектро-
неэлектромагнитного происхождения, компенсирующей бесконечность электромаг-
электромагнитной массы («перенормировка» массы). Мы увидим, однако, в дальней-
дальнейшем (§ 75), что этим способом не ликвидируются все внутренние противоре-
противоречия классической электродинамики.

§ 37	ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАРЯДОВ	131
Поскольку возникновение не имеющей физического смысла
бесконечной «собственной» энергии элементарной частицы свя-
связано с тем, что такую частицу надо рассматривать как точеч-
точечную, мы можем заключить, что электродинамика как логически
замкнутая физическая теория становится внутренне-противоре-
внутренне-противоречивой при переходе к достаточно малым расстояниям. Можно по-
поставить вопрос о том, каков порядок величины этих расстояний.
На этот вопрос можно ответить, заметив, что для собственной
электромагнитной энергии электрона надо было бы получить
значение порядка величины энергии покоя гас2. Если, с другой
стороны, рассматривать электрон, как обладающий некоторыми
размерами i?o, то его собственная потенциальная энергия была
бы порядка e2/i?o- Из требования, чтобы обе эти величины были
одного порядка, е2/Rq ~ гас2, находим
До - -^j.	C7.3)
тс
тс
Эти размеры (их называют «радиусом» электрона) опре-
определяют границы применимости электродинамики к электрону,
следующие уже из ее собственных основных принципов. Надо,
однако, иметь в виду, что в действительности пределы приме-
применимости излагаемой здесь классической электродинамики лежат
еще гораздо выше вследствие квантовых явленийг).
Вернемся снова к формуле C7.2). Стоящие в ней потенциа-
потенциалы (ра, согласно закону Кулона, равны
где Rab — расстояние между зарядами еа, е&. Выражение для
энергии C7.2) состоит из двух частей. Во-первых, оно содержит
бесконечную постоянную — собственную энергию зарядов,—не
зависящую от их взаимного расположения. Вторая часть есть
энергия взаимодействия зарядов, зависящая от их расположе-
расположения. Только эта часть и имеет, очевидно, физический интерес.
Она равна
U' = l^ea<p'a,	C7.5)
где
Ь{фа)
) Квантовые эффекты становятся существенными при расстояниях по-
порядка ft/(тс), где ft — постоянная Планка. Отношение этих расстояний к Ro
порядка ftc/e2 ~ 137.

132
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
есть потенциал в точке нахождения еа, создаваемый всеми заря-
зарядами, за исключением еа. Иначе можно написать:
, —.	C7.7)
2^ Rab	V J
афЬ
В частности, энергия взаимодействия двух зарядов
U1 = ^р.	C7.8)
§ 38. Поле равномерно движущегося заряда
Определим поле, создаваемое зарядом е, движущимся рав-
равномерно со скоростью V. Неподвижную систему отсчета будем
называть системой К] систему отсчета, движущуюся вместе с за-
зарядом, — системой К1. Пусть заряд находится в начале координат
системы К'\ система К1 движется относительно К параллельно
оси х\ оси у и z параллельны у' и z'. В момент времени t = О
начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в системе К,
следовательно, равны: х = Vt, у = z = О.В системе К1 мы имеем
постоянное электрическое поле с векторным потенциалом А' = О
и скалярным (fr = е/В!\ где R'2 = х12 + у12 + z12. В системе if,
согласно формулам B4.1) с А' = О,
<р'
C8.1)
Мы должны теперь выразить R1 через координаты ж, у, z в
системе К. Согласно формулам преобразования Лоренца
х> = *-vt у> = у> zi = Zi
и отсюда
—.	C8.2)
1 - V2 /с2
Подставляя это в C8.1), находим
Ч> = ^	C8-3)
где введено обозначение
R*2 = (x- Vtf + (l - ?) (у2 + z2).	C8.4)

38	ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА	133
Векторный потенциал в системе К равен
А = (р— = -—.
с cR*
В системе К1 магнитное поле Н7 отсутствует, а электрическое
Е'
По формулам B4.2) находим
V eR'
R'3
ех
Подставляя сюда Rf, xf, yf, zf, выраженные через ж, у, z,
находим
где R—радиус-вектор от заряда е к точке наблюдения ж, у, z
поля (его компоненты равны х — Vt, у, z).
Это выражение для Е можно написать в другом виде, введя
угол в между направлением движения и радиус-вектором R.
Очевидно, что у2 + z2 = R2 sin2 0, и потому i?*2 можно написать
в виде
(^)	C8.7)
Тогда для Е имеем
eR	1 - V2/c2	( ,
При заданном расстоянии R от заряда величина поля Е воз-
возрастает с увеличением в от нуля до тг/2 (или при уменьшении
от тг до тг/2). Наименьшее значение поле имеет в направлении,
параллельном направлению движения (в = О,тг); оно равно
Наибольшим же является поле, перпендикулярное к скорости
[в = тг/2), равное

134
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
Отметим, что при увеличении скорости поле Е\\ падает, а Е_\_
возрастает. Можно сказать наглядно, что электрическое поле
движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению
движения. При скоростях V, близких к скорости света, зна-
знаменатель в формуле C8.8) близок к нулю в узком интервале
значений в вокруг значения в = тг/2. Ширина этого интервала
порядка величины
- V2/c2.
Таким образом, электрическое поле быстро движущегося заря-
заряда, на заданном расстоянии от него, заметно отлично от нуля
лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости,
причем ширина этого интервала падает с увеличением V как
Магнитное поле в системе К равно
H = -[VE]	C8.9)
С
(см. B4.5)). В частности, при V <^i с электрическое поле прибли-
приближенно дается обычной формулой закона Кулона Е = eR/i?3, и
тогда магнитное поле
Н = ^™.	C8.10)
Задача
Определить силу взаимодействия (в системе К) между двумя зарядами,
движущимися с одинаковыми скоростями V.
Решение. Искомую силу F вычисляем как силу, действующую на
один из зарядов (ei) в поле, создаваемом вторым зарядом (е2). Имеем с
помощью C8.9):
	 Т71 | 1 [~\ утт 1 	 ^ \ Л	I "I71 I	~\Т ("\T~tt "\
С	\	С J	С
Подставив сюда Е2 из C8.8), получим для составляющих силы в направле-
направлении движения (Fx) и перпендикулярно к нему (Fy):
_ eie2 (I- V2 /с2) cos в	_ eie2 (I - V2 /с2J sin в
Х~ R2 [l-(F2/c2)sin20]3/2' *"" #2 [l-(F2/c2)sin20]3/2'
где R—радиус-вектор от е2 к ei, а в — угол между R и V.
§ 39. Движение в кулоновом поле
Рассмотрим движение частицы с массой т и зарядом е в поле,
создаваемом другим зарядом е'; мы предполагаем, что масса по-
последнего настолько велика, что его можно считать неподвижным.

§ 39	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	135
Тогда задача сводится к исследованию движения заряда е в цен-
центрально-симметричном электрическом поле с потенциалом ц> =
= ef/r.
Полная энергия частицы равна
где а = ее'. Если пользоваться полярными координатами в плос-
плоскости движения частицы, то, как известно из механики,
Р — r2 ^ Pri
где рт — радиальная компонента импульса, а М — постоянный
момент импульса частицы. Тогда
g = cJp2r + \ + m2c2 + -.	C9.1)
у	r	r
Выясним вопрос о том, может ли частица при своем движе-
движении приближаться сколь угодно близко к центру. Прежде всего
очевидно, что это во всяком случае невозможно, если заряды е
и е' отталкиваются, т. е. е и е' — одного знака. Далее, в случае
притяжения (е и е' имеют различные знаки) неограниченное
приближение к центру невозможно, если Мс > |а|; действитель-
действительно, в этом случае первый член в C9.1) всегда больше второго,
и при г —>• 0 правая часть этого равенства стремилась бы к
бесконечности. Напротив, если Мс < |а|, то при г —»> 0 это
выражение может оставаться конечным (при этом, разумеется,
рг стремится к бесконечности). Таким образом, если
Мс< Н,	C9.2)
то частица при своем движении «падает» на притягивающий
ее заряд, — в противоположность тому, что в нерелятивистской
механике в кулоновом поле такое падение вообще невозможно
(за исключением только случая М = 0, когда частица е летит
прямо на частицу е').
Полное определение движения заряда в кулоновом поле удоб-
удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона-Яко-
би. Выберем полярные координаты г, <р в плоскости движения.
Уравнение Гамильтона-Якоби A6.11) имеет вид
1 CS , а\2 , fdS\2 , 1 fdS\2 , о 2
, 2 2
7J Ы Atv) +mc =
Ищем S в виде
S = -St + М<р + /(г),

136
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
где 1иМ — постоянные энергия и момент импульса движущейся
частицы. В результате находим
су	2
_ М.	<m2, dr	DQ Ч\
— 2 — III С A1 .	yOc/.Oj
Г
Траектория определяется уравнением dS/дМ = const. Ин-
Интегрирование в C9.3) приводит к следующим результатам для
траектории:
а) если Мс > \а\:
{с2М2-а2I- =
Г
= cJ(MSf - т2с2(М2с2 - a2) cos(cpjl - -^-Л - ?щ C9.4)
V у	с М /
б) если Мс < \а\:
+ т2с2(а2 - М2с2) c(j^
C9.5)
в) если Мс = \а\:
	= & — тс — ю — .	C9.6)
г	\сМ)	v у
Постоянная интегрирования заключена в произвольном выборе
начала отсчета угла (р.
В C9.4) выбор знака перед корнем несуществен, так как тоже
связан с выбором начала отсчета угла <р под знаком cos. Изоб-
Изображаемая этим уравнением траектория в случае притяжения
(а < 0) лежит целиком при конечных значениях г (финитное
движение), если S < тс2. Если же S > тс2, то г может
обращаться в бесконечность (движение инфинитно). Финитному
движению соответствует в нерелятивистской механике движение
по замкнутым орбитам (эллипсам). В релятивистской же меха-
механике траектория никогда не может быть замкнутой—из C9.4)
видно, что при изменении угла <р на 2тг расстояние г от центра не
возвращается к исходному значению. Вместо эллипсов мы имеем
здесь орбиты в виде незамкнутых «розеток». Таким образом, в
то время как в нерелятивистской механике финитное движение
в кулоновом поле происходит по замкнутым орбитам, в реляти-
релятивистской механике кулоново поле теряет это свое свойство.

§ 40	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	137
В C9.5) перед корнем должен быть выбран знак + при а <
< 0 и знак — при а > 0 (другой выбор знаков соответствовал бы
измененному знаку перед корнем в C9.1)).
При а < 0 траектории C9.5) и C9.6) представляют собой
спирали с радиусом г, стремящимся к нулю при ц> —»> ос. Время
же, в течение которого происходит «падение» заряда в начало
координат, конечно. Убедиться в этом можно, замечая, что за-
зависимость координаты г от времени определяется равенством
dS/dS = const; подставляя сюда C9.3), увидим, что время опре-
определяется интегралом, сходящимся при г —>• 0.
Задачи
1. Определить угол отклонения заряда, пролетающего в кулоновом поле
отталкивания (а > 0).
Решение. Угол отклонения х равен ^ = тг — 2^о, где 2<^о— угол
между двумя асимптотами траектории C9.4). Находим
2сМ
ус2М2 — a2
где v — скорость заряда на бесконечности.
2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы при рас-
рассеянии частиц кулоновым полем.
Решение. Эффективное сечение da есть отношение числа частиц,
рассеянных (в 1 с) в данный элемент do телесного угла, к плотности рассеи-
рассеиваемого потока частиц (т. е. к числу частиц, проходящих в 1 с через 1 см2
площади поперечного сечения пучка частиц).
Поскольку угол х отклонения частицы при ее пролете через поле опреде-
определяется «прицельным расстоянием» р (т. е. расстоянием от центра до прямой,
по которой двигался бы заряд в отсутствие поля), то
j n j о ^Р j	dp do
da = 2npdp = 2тгр-[- d\ = p——	,
d	d i
где do = 27rsinx^X (CM- I? § 18). Угол отклонения (если он мал) можно
считать равным отношению приращения импульса к его первоначальному
значению. Приращение импульса равно интегралу по времени от силы,
действующей на заряд в направлении, перпендикулярном к направлению
OL О
движения; последняя приближенно равна —$—. Таким образом, имеем
-ч
р J
ар dt _ 2а
(v — скорость частиц). Отсюда находим эффективное сечение для малых х:
_ /а \2do
В нерелятивистском случае р « mv, и это выраж:ение совпадает с получаю-
получающимся по формуле Резерфорда при малых х (см- I? § 19).

138
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
§ 40. Дипольный момент
Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстоя-
расстояниях, больших по сравнению с размерами системы.
Введем систему координат с началом где-нибудь внутри си-
системы зарядов. Радиус-векторы отдельных зарядов пусть бу-
будут га. Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке
с радиус-вектором Rq, равен
•>-?
Ro-ra|
D0.1)
(суммирование производится по всем зарядам); здесь Ro — ra —
радиус-векторы от зарядов еа к точке, где мы ищем потенциал.
Мы должны исследовать это выражение для больших Ro
(Ro ^ га). Для этого разложим его в ряд по степеням ra/i?o,
воспользовавшись формулой
/(Ro - г) » /(Ro) - rgrad/(Ro)
(в grad дифференцирование производится по координатам конца
вектора Ro). С точностью до членов первого порядка имеем
Сумма
d = ^eara	D0.3)
носит название дипольного момента системы зарядов. Суще-
Существенно, что если сумма ^2еа всех зарядов равна нулю, то ди-
дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Дей-
Действительно, радиус-векторы га и г^ одного и того же заряда в
двух разных системах координат связаны друг с другом соотно-
соотношением
г^ = г а + а,
где а—некоторый постоянный вектор. Поэтому если J^ea = 0,
то дипольный момент в обеих системах одинаков:
Если обозначить посредством е+, г+ и — е~, г~ положитель-
положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то
можно написать дипольный момент в виде
е-'- = *+ ? 4 ~ *" ? «« , D0-4)

§ 40	ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ	139
где
R+ = Т,еаГа ^ R- = Т,еаГа	^Q^
— радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрица-
отрицательных. Если ^2 et — ^2 еа — е> то
d = eR+_,	D0.6)
где R^	= R+—R~ есть радиус-вектор от центра отрицательных
к центру положительных зарядов. В частности, если имеются
всего два заряда, то R^	есть радиус-вектор между ними.
Если полный заряд системы равен нулю, то потенциал ее поля
на больших расстояниях
i^ D0-7)
Напряженность поля
Е = - grad ^г = -4f grad(dRo) - (dR0) grad ^,
или окончательно
E = «p^,	D0.8)
где п—единичный вектор в направлении Ro- Полезно также
указать, что ее можно представить, до выполнения дифферен-
дифференцирований, в виде
Е = (dV)V—.	D0.9)
Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой с рав-
равным нулю полным зарядом, на больших расстояниях обратно
пропорционален квадрату, а напряженность поля— кубу рас-
расстояния. Это поле обладает аксиальной симметрией вокруг на-
направления d. В плоскости, проходящей через это направление
(которое выберем в качестве оси z\ компоненты вектора Е:
,_,	73COS20— 1	,_,	73sin0COS0	(лг\лг\\
Ez = d	-3	, Ех = d	-3	.	D0.10)
щ	щ
Радиальная и тангенциальная составляющие в этой плоскости
,-,	72cos0 ,-,	7 sin0	/лп 11\
Er = d—з-, Ев = -d—г-	D0.11)

140
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
§ 41. Мультипольные моменты
В разложении потенциала по степеням 1/Ro
член ip(n) пропорционален l/i?Q+ . Мы видели, что первый член,
<р(°\ определяется суммой всех зарядов; второй, <р^\ называе-
называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее диполь-
ным моментом. Третий член разложения равен
где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер
заряда, мы здесь опустили; ха — компоненты вектора г, а Ха —
вектора Ro- Эта часть потенциала обычно называется квадру-
польным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент
системы равны нулю, то разложение начинается с ip^K
В выражение D1.2) входят шесть величин ^ежаж#. Легко,
однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести
независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что
функция 1/Ro удовлетворяет уравнению Лапласа:
Ro apd^
Мы можем поэтому написать ip^ в виде
B) lv^ /	1 2
Тензор
J2 Cх«хР ~ г2^)	D1-3)
называется квадруполъным моментом системы. Из определе-
определения Dap следует, что сумма его диагональных компонент равна
нулю:
Daa = 0.	D1.4)
Симметричный тензор Da^ имеет поэтому всего пять независи-
независимых компонент. С его помощью можно написать:
() d a2 j	D15)
6 dXadX0Ro

§ 41	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ	141
или, произведя дифференцирование
д	1 ЗХаХр 6(х/з
и учитывая, что 5a/3Da/3 = Daa = 0,
Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор Dap
может быть приведен к главным осям. При этом в силу условия
D1.4) в общем случае лишь два из трех главных значений неза-
независимы. Если же система зарядов симметрична относительно
некоторой оси (ось zI), то она же является одной из главных
осей тензора D^p, положение двух других осей в плоскости ху
произвольно, и все три главных значения связаны между собой:
Dxx = Dyy = -\DZZ.	D1.7)
Обозначая компоненту Dzz как D (ее называют обычно в этом
случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в
виде
^ ^2	^),	D1.8)
где в — угол между Ro и осью z, а Р2~ полином Лежандра.
Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе
для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадруполь-
ный момент системы не зависит от выбора начала координат,
если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент
системы.
Аналогичным образом можно было бы написать следующие
члены разложения D1.1). 1-й член разложения определяется тен-
тензором (так называемым тензором 2г-польного момента) Z-ro ран-
ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в
нуль при свертывании по любой паре индексов; можно показать,
что такой тензор обладает 21 +1 независимыми компонентами2).
Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потен-
потенциала в другом виде, использовав известную из теории сфериче-
г) Имеется в виду ось симметрии любого порядка выше второго.
) Такой тензор называют неприводимым. Обращение в нуль при сверты-
свертывании означает, что из его компонент нельзя составить компонент какого-ли-
какого-либо тензора более низкого ранга.

142
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
ских функций формулу
/=0
где х~угол между Ro и г. Введем сферические углы 6, Фиб, <р,
образуемые соответственно векторами Ro иге фиксированными
осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения
для сферических функций:
Pl(cosX)=
yi \ \тп\).
m=—l
D1.10)
где Pj71 — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также
сферические функции1)
YlmF,<p) = (-1Гг1^±Щ^РГ(созв)е^, m > 0,
y,t-H(^v) = (-i)I-mir,fm|-
D1.11)
Тогда разложение D1.9) примет вид
/=0 771= — /
Произведя такое разложение в каждом члене суммы D0.1), по-
получим окончательно следующее выражение для Z-ro члена раз-
разложения потенциала:
,Л0 = J-
D1.12)
I/ Zt -+- ±
771= — /
где
Q0) = ^ earL/—^—У/ш(<9а, (fa).	D1.13)
a	"
Совокупность 21 + 1 величин QtJ составляет 2г-польный момент
системы зарядов.
1) В соответствии с определением, принятым в квантовой механике.

§ 42	СИСТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	143
Определенные таким образом величины Qm связаны с ком-
компонентами вектора дипольного момента d формулами
Q{o]=idz, Q(?l = ±j=(dx±idy).	D1.14)
B)
Величины же Qm связаны с компонентами тензора Dap соотно-
соотношениями
Q<2) = -\DZZ, Q
B)_ 1
Q±2 — ~2л/б ЖЖ ~"
Задача
Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида
относительно его центра.
Решение. Заменяя суммирование в D1.3) интегрированием по объ-
объему эллипсоида, имеем
Dx
— Р \ B#2 — У2 — z2) dx dy dz и т.д.
Выбираем оси координат вдоль осей эллипсоида с началом в его центре;
из соображений симметрии очевидно, что эти же оси являются главными
осями тензора Dap. Преобразованием
х = х'а, у = y'b, z = z с
интегрирование по объему эллипсоида
х2 у2 z2
а2 + ъ2 + г
сводится к интегрированию по объему сферы радиуса 1
xl2+yl2+z'2 = l.
В результате получаем
Dxx = -Bа2 - Ъ2 - с2), Dyy = -Bb2 - а2 - с2),
о	о
Dzz=e{2c2-a2-b2),
О
где е = — аЪср — полный заряд эллипсоида.
о
§ 42. Система зарядов во внешнем поле
Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем элек-
электрическом поле. Обозначим теперь потенциал этого внешнего
поля через ^(г). Потенциальная энергия каждого из зарядов есть

144
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
а полная потенциальная энергия системы равна
o?>(ra).	D2.1)
Выберем снова систему координат с началом внутри системы
зарядов; га — радиус-вектор заряда еа в этих координатах.
Предположим, что внешнее поле слабо меняется на протяже-
протяжении системы зарядов, т. е. является по отношению к этой системе
квазиоднородным. Тогда мы можем разложить энергию U в ряд
по степеням га:
U = Um + С/A) + С/B) + ...	D2.2)
В этом разложении первый член есть
где (ро — значение потенциала в начале координат. В этом при-
приближении энергия системы такова, как если бы все заряды нахо-
находились в одной точке.
Второй член разложения
Введя напряженность Eq поля в начале координат и дипольный
момент d системы, имеем
[/(i) = _dE0.	D2.4)
Полная сила, действующая на систему во внешнем квазиод-
квазиоднородном поле, есть, с точностью до рассмотренных членов,
Если полный заряд равен нулю, то первый член исчезает и тогда
F = (dV)E,	D2.5)
т. е. сила определяется производными напряженности поля (взя-
(взятыми в начале координат). Полный же момент действующих на
систему сил есть
,	D2.6)
т. е. определяется самой напряженностью поля.

§ 42	СИСТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	145
Рассмотрим две системы с равными нулю суммами зарядов
в каждой из них и дипольными моментами di и d2, причем их
взаимное расстояние велико по сравнению с их собственными
размерами. Определим потенциальную энергию U их взаимодей-
взаимодействия. Для этого можно рассматривать одну из этих систем как
находящуюся в поле второй. Тогда
где Ei — поле первой системы. Подставляя для Ei выражение
D0.8), находим
и = (did2)iZ2-3(diR)(d2R)	D2 7)
где R — вектор расстояния между обеими системами.
Для случая, когда у одной из систем сумма зарядов отлична
от нуля (и равна е), получаем аналогичным образом:
U = е|^,	D2.8)
где R —вектор, направленный от диполя к заряду.
Следующий член разложения D2.1) равен
Здесь мы, как и в §41, опустили индексы, указывающие номер
заряда; значения вторых производных от потенциала берутся
в начале координат. Но потенциал <р удовлетворяет уравнению
Лапласа
^р = $ д^ = о.
дх%	дхадхр
Поэтому мы можем написать:
ттB)_ 1
U - 2д
или, окончательно,
6 дхадхр	V }
Общий член ряда D2.2) может быть выражен через опреде-
определенные в предыдущем параграфе 2 -польные моменты 1Уы. Для

146
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
этого надо предварительно разложить потенциал ^(г) в ряд по
шаровым функциям; общий вид такого разложения:
D2.10)
где г, #, <р— сферические координаты точки, а а\ш — постоянные
коэффициенты. Составляя сумму D2.1) и учитывая определение
D1.13), получим
D2.11)
т=-1
§ 43. Постоянное магнитное поле
Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совер-
совершающими финитное движение, при котором частицы остаются
все время в конечной области пространства, причем импульсы
тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет ста-
стационарный характер, и представляет интерес рассмотреть сред-
среднее (по времени) магнитное поле Н, создаваемое зарядами; это
поле будет теперь функцией только от координат, но не от вре-
времени, т. е. будет постоянным.
Для того чтобы найти уравнения, определяющие среднее маг-
магнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла
,. „ п	,„ 10Е , 4тг.
div Н = 0, rot Н =	1	j.
с at с
Первое из них дает просто
divH = 0.	D3.1)
Во втором уравнении среднее значение производной dE/dt, как
и вообще производной от всякой величины, меняющейся в ко-
конечном интервале, равно нулю (см. примеч. на с. 123). Поэтому
второе уравнение Максвелла приобретает вид
rotH= —j.	D3.2)
с
Эти два уравнения и определяют постоянное поле Н.
Введем средний векторный потенциал А согласно
rot А = Н.

§ 43	ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ	147
Подставив это в уравнение D3.2), получим
graddiv А — ДА = — j.
с
Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен неод-
неоднозначно, и поэтому на него можно наложить любое дополни-
дополнительное условие. На этом основании выберем потенциал А так,
чтобы
divA = 0.	D3.3)
Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоян-
постоянного магнитного поля, приобретает вид
AA = -^j.	D3.4)
С
Решение этого уравнения легко найти, заметив, что D3.4)
вполне аналогично уравнению Пуассона C6.4) для скалярного
потенциала постоянного электрического поля, причем вместо
плотности заряда р стоит плотность тока j/c. По аналогии с
решением C6.8) уравнения Пуассона мы можем написать
A=1-[i-dV,	D3.5)
где R — расстояние от точки наблюдения поля до элемента объ-
объема dV.
В формуле D3.5) можно перейти от интеграла к сумме по
зарядам, подставляя вместо j произведение pv и помня, что все
заряды точечные. При этом необходимо иметь в виду, что в ин-
интеграле D3.5) R является просто переменной интегрирования и
потому, конечно, не подвергается усреднению. Если же написать
вместо интеграла J — dV сумму ^2 -^-^, то Ra будут радиус-
векторами отдельных частиц, меняющимися при движении за-
зарядов. Поэтому надо писать
D3-6)
где усредняется все выражение, стоящее под чертой.
Зная А, можно найти напряженность поля:
= rotA
1 fl
~Г° с) R

148
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
Операция rot производится по координатам точки наблюдения.
Поэтому rot можно перенести под знак интеграла и при диф-
дифференцировании считать j постоянным. Применяя известную
формулу
rot /а = / rot a + [grad / • а],
где / и а —любые скаляр и вектор, к произведению j • —, находим
R
и, следовательно,
R = -J^dV	D3.7)
(радиус-вектор R направлен из dV в точку наблюдения поля).
Это — так называемый закон Био и Савара.
§ 44. Магнитный момент
Рассмотрим среднее магнитное поле, создаваемое системой
стационарно движущихся зарядов на больших расстояниях от
этой системы.
Введем систему координат с началом внутри системы заря-
зарядов, аналогично тому, как мы делали в § 40. Обозначим опять
радиус-векторы отдельных зарядов через ra, a радиус-вектор
точки, в которой мы ищем поле, через Ro- Тогда Ro — ra есть
радиус-вектор от заряда еа к точке наблюдения. Согласно D3.6)
имеем для векторного потенциала:
D4.1)
Как ив §40, разложим это выражение по степеням ra. С точ-
точностью до членов первого порядка (индекс а для краткости
опускаем):
А =	 >ev	>ev( rV—).
cR0 ^	c^ V Ro J
В первом члене можно написать:
Eev = — >^ ег.
dt ^
Но среднее значение производной от меняющейся в конечном
интервале величины ^ ег равно нулю. Таким образом, для А

§ 44	МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ	149
остается выражение
Преобразуем его следующим образом. Замечая, что v = г,
мы можем написать (помня, что Ro есть постоянный вектор):
i|	±	- r(vR0)].
При подстановке этого выражения в А среднее значение от пер-
первого члена (с производной по времени) снова обратится в нуль,
и мы получим
Введем вектор
т = ^Ее[гу]'	D4-2)
называемый магнитным моментом системы. Тогда
Зная векторный потенциал, легко найти напряженность маг-
магнитного поля. С помощью формулы
rot[ab] = (bV)a- (aV)b + adivb - bdiva
находим
Далее, при Ro ^ О
ту	11
div -f = Ro grad -, + -, divR0 = 0
И
Таким образом,
5=Зп(гоп)-ш>	D44)
Ro
где п —снова единичный вектор в направлении Ro. Мы видим,
что магнитное поле выражается через магнитный момент такой

150
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
же формулой, какой электрическое поле выражается через ди-
польный момент (см. D0.8)).
Если у всех зарядов системы отношение заряда к массе оди-
одинаково, то мы можем написать:
1 \~^ г -I e \~^ г -I
Ш = — > erv = 	 > т rv .
2с ^ L J 2mc ^ L J
Если скорости всех зарядов v <С с, то rav есть импульс р заряда,
и мы получаем
m = — V[rp] = —М,	D4.5)
где М = Х^[ГР] есть механический момент импульса системы.
Таким образом, в этом случае отношение магнитного момента к
механическому постоянно и равно е/Bтс).
Задача
Определить отношение магнитного и механического моментов для си-
системы из двух зарядов (скорости v <^ с).
Решение. Выбирая начало координат в центре инерции обеих ча-
частиц, будем иметь mii*i + 77121*2 = 0 и pi = —Р2 = р, где р— импульс
относительного движения. С помощью этих соотношений найдем
77l2 ' 7711 + 7712
§ 45. Теорема Лармора
Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем по-
постоянном однородном магнитном поле.
Средняя (по времени) сила, действующая на систему,
обращается в нуль как среднее значение производной по времени
от всякой величины, меняющейся в конечных пределах. Среднее
же значение момента сил
отлично от нуля. Его можно выразить через магнитный момент
системы, для чего пишем, раскрывая двойное векторное произ-
произведение:
к = Е ^v(rH) - H(vr)> = Е Яу

§ 45	ТЕОРЕМА ЛАРМОРА	151
При усреднении второй член обращается в нуль, так что
(последнее преобразование аналогично произведенному при вы-
выводе D4.3)), или окончательно
К= [тН].	D5.1)
Обратим внимание на аналогию с формулой D2.6) электриче-
электрического случая.
Функция Лагранжа системы зарядов во внешнем постоянном
однородном магнитном поле содержит дополнительный (по от-
отношению к функции Лагранжа замкнутой системы) член
lh = Е ^Av = Е J[Hr]v = Е ^н D5-2)
(мы воспользовались выражением A9.4) для векторного потен-
потенциала однородного поля). Вводя магнитный момент системы,
имеем
L# = mH.	D5.3)
Обратим внимание на аналогию с электрическим полем: в од-
однородном электрическом поле функция Лагранжа системы с рав-
равным нулю полным зарядом и дипольным моментом содержит
член
Le = dE,
являющийся в этом случае потенциальной энергией системы за-
зарядов, взятой с обратным знаком (см. §42).
Рассмотрим систему зарядов, совершающих финитное дви-
движение (со скоростями ?; < с) в центрально-симметричном элек-
электрическом поле, создаваемом некоторой неподвижной частицей.
Перейдем от неподвижной системы координат к системе, рав-
равномерно вращающейся вокруг оси, проходящей через неподвиж-
неподвижную частицу. Согласно известной формуле скорость v частицы в
новой системе координат связана с ее же скоростью v7 в старой
системе соотношением
где г — радиус-вектор частицы, a ft — угловая скорость вра-
вращающейся системы координат. В неподвижной системе функция
Лагранжа системы зарядов есть
mv'2 тт

152
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ	ГЛ. V
где U — потенциальная энергия зарядов во внешнем электриче-
электрическом поле вместе с энергией их взаимодействия друг с другом.
U является функцией от расстояний зарядов до неподвижной
частицы и от их взаимных расстояний; при переходе к вращаю-
вращающейся системе координат она остается, очевидно, неизменной.
Поэтому в новой системе функция Лагранжа будет
Предположим, что у всех частиц отношение е/т зарядов к
массам одинаково, и положим
П = —Н.	D5.4)
2тс	v J
Тогда при достаточно малых Н (когда можно пренебречь члена-
членами с Н2) функция Лагранжа приобретает вид
L = V — + - V e[Hr]v - U.
Z^ 2	2с ^ L J
Мы видим, что она совпадает с функцией Лагранжа, которой
описывалось бы движение рассматриваемых зарядов в непо-
неподвижной системе координат при наличии постоянного магнит-
магнитного поля (ср. D5.2)).
Таким образом, мы приходим к результату, что в нереляти-
нерелятивистском случае поведение системы зарядов с одинаковыми от-
отношениями е/га, совершающих финитное движение в централь-
центрально-симметричном электрическом поле и в слабом однородном
магнитном поле Н, эквивалентно поведению этой же системы
зарядов в том же электрическом поле в системе координат, рав-
равномерно вращающейся с угловой скоростью D5.4). Это утверж-
утверждение составляет содержание так называемой теоремы Лармора,
а угловая скорость fi = eH/Bmc) называется ларморовой часто-
частотой.
К этому же вопросу можно подойти с другой точки зрения.
При достаточно слабом магнитном поле Н ларморова частота
мала по сравнению с частотами финитного движения данной
системы зарядов, и можно рассматривать относящиеся к этой си-
системе величины, усредненные по временам, малым по сравнению
с периодом 2тг/Л. Эти величины будут медленно (с частотой П)
меняться со временем.
Рассмотрим изменение среднего механического момента си-
системы М. Согласно известному уравнению механики производ-
производная М равна моменту действующих на систему сил К. Поэтому

§ 45	ТЕОРЕМА ЛАРМОРА	153
имеем, с помощью формулы D5.1):
f = К
Если отношение е/т для всех частиц в системе одинаково, то ме-
механический и магнитный моменты пропорциональны друг другу,
и с помощью формул D4.5) и D5.4) находим
^	D5.5)
Это уравнение означает, что вектор М (а с ним и магнитный
момент т) вращается с угловой скоростью — Г2 вокруг направле-
направления поля, сохраняя при этом свою абсолютную величину и угол,
образуемый им с этим направлением (так называемая ларморова
прецессия).

ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 46. Волновое уравнение
Электромагнитное поле в пустоте определяется уравнениями
Максвелла, в которых надо положить р = 0, j = 0. Выпишем их
еще раз:
rotE = -- —,	divH = 0,	D6.1)
с dt
rotH = - —,	divE = 0.	D6.2)
Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения. Это
значит, что электромагнитное поле может существовать даже
при отсутствии каких бы то ни было зарядов.
Электромагнитные поля, существующие в пустоте при от-
отсутствии зарядов, называют электромагнитными волнами. Мы
займемся теперь исследованием свойств таких полей.
Прежде всего отметим, что эти поля обязательно долж-
должны быть переменными. Действительно, в противном случае
дН/dt = dE/dt = 0, и уравнения D6.1), D6.2) переходят в урав-
уравнения C6.1), C6.2) и D3.1), D3.2) постоянного поля, в которых,
однако, теперь р = 0, j = 0. Но решения этих уравнений, опреде-
определенные формулами C6.8) и D3.5), при р = 0, j = 0 обращаются
в нуль.
Выведем уравнения, определяющие потенциалы электромаг-
электромагнитных волн.
Как мы уже знаем, в силу неоднозначности потенциалов все-
всегда можно наложить на них некоторое дополнительное условие.
На этом основании выберем потенциалы электромагнитных волн
так, чтобы скалярный потенциал был равен нулю:
(р = 0.	D6.3)
Тогда
Е = -- —, H = rotA.	D6.4)
с dt'	v J

§ 46	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ	155
Подставляя оба эти выражения в первое из уравнений D6.2),
находим
rot rot A = -AA + graddivA = -1^ф.	D6.5)
Несмотря на то, что мы уже наложили одно дополнительное
условие на потенциалы, потенциал А все же еще не вполне од-
однозначен. Именно, к нему можно прибавить градиент любой не
зависящей от времени функции (не меняя при этом ф). В частно-
частности, можно выбрать потенциал электромагнитной волны таким
образом, чтобы
divA = 0.	D6.6)
Действительно, подставляя Е из D6.4) в divE = 0, имеем
div — = — div A = О,
dt dt	'
т. е. div А есть функция только от координат. Эту функцию
всегда можно обратить в нуль прибавлением к А градиента от
соответствующей не зависящей от времени функции.
Уравнение D6.5) приобретает теперь вид
ДА-1^ = 0.	D6.7)
Это и есть уравнение, определяющее потенциал электромагнит-
электромагнитных волн. Оно называется уравнением д'Аламбера или волновым
уравнением1).
Применяя к D6.7) операции rot и d/dt, убедимся в том,
что напряженности Е и Н удовлетворяют таким же волновым
уравнениям.
Повторим вывод волнового уравнения в четырехмерном виде.
Для этого напишем вторую пару уравнений Максвелла для поля
в отсутствие зарядов в виде
дхк
(уравнение C0.2) с jl = 0). Подставив сюда Flk, выраженные
через потенциалы:
) Волновое уравнение иногда записывают в виде ПА = 0, где
? = -_^ = д-!^
дХгдх*	С2 8t2
есть так называемый оператор д'Аламбера.

156
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
получим
^	^ = 0.	D6.8)
dxidxk dxkdxk
Наложим на потенциалы дополнительное условие
D6.9)
(это условие называют лоренцевым, а об удовлетворяющих ему
потенциалах говорят как о потенциалах в лоренцевой калибров-
ке). Тогда в уравнении D6.8) первый член выпадает и остается
а?=«"?&=<¦• <«•»>
Это и есть волновое уравнение, записанное в четырехмерном
виде1).
В трехмерной форме условие D6.9) имеет вид
+ divA 0.	D6.11)
с dt
Оно является более общим, чем использованные нами выше
условия <р = 0, divA = 0; потенциалы, удовлетворяющие этим
последним, удовлетворяют также и условию D6.11). В отличие
от них, однако, условие Лоренца имеет релятивистски инвари-
инвариантный характер: потенциалы, удовлетворяющие ему в одной
системе отсчета, удовлетворяют ему и во всякой другой систе-
системе (между тем как условия D6.3), D6.6) нарушаются, вообще
говоря, при преобразовании системы отсчета).
§ 47. Плоские волны
Рассмотрим частный случай электромагнитных волн, ког-
когда поле зависит только от одной координаты, скажем х (и от
времени). Такие волны называются плоскими. В этом случае
уравнения поля принимают вид
Ч-с2Ч = 0,	D7.1)
dt2 dx2 '	v }
где под / подразумевается любая компонента векторов Е или Н.
г) Следует отметить, что условие D6.9) не определяет еще выбор потенци-
потенциалов вполне однозначным образом. Именно, к А можно прибавить grad/, a
из <р при этом вычесть	—, причем, однако, функция / не произвольна, а
с dt
должна удовлетворять, как легко убедиться, волновому уравнению ?/ = 0.

§ 47	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ	157
Для решения этого уравнения перепишем его в виде
д\( д . д
и введем новые переменные
, X	. X
= t- -, 77 = *+-,
с	с
так что
Тогда
и уравнение для /:
Очевидно, что его решение имеет вид
f = fl(Z) + Mv),
где /i и /г — произвольные функции. Таким образом,
D7-2)
Пусть, например, /2 = 0, так что / = fi(t — х/с). Выясним
смысл этого решения. В каждой плоскости х = const поле меня-
меняется со временем; в каждый данный момент поле различно для
разных х. Очевидно, что поле имеет одинаковое значение для
координат х и моментов времени ?, удовлетворяющих соотноше-
соотношениям t — х/с = const, т. е.
х = const +cb.
Это значит, что если в некоторый момент t = 0 в некоторой
точке х пространства поле имело определенное значение, то че-
через промежуток времени t то же самое значение поле имеет на
расстоянии ct вдоль оси х от первоначального места. Мы можем
сказать, что все значения электромагнитного поля распространя-
распространяются в пространстве вдоль оси х со скоростью, равной скорости
света с.
Таким образом, fi(t—x/c) представляет собой плоскую волну,
бегущую в положительном направлении оси х. Очевидно, что
/2(t + х/с) представляет собой волну, бегущую в противополож-
противоположном, отрицательном направлении оси х.

158
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
В § 46 было показано, что потенциалы электромагнитной вол-
волны можно выбрать так, чтобы ц> = 0, причем div A = 0. Выберем
потенциалы рассматриваемой теперь плоской волны именно та-
таким образом. Условие div A = 0 дает в этом случае
поскольку все величины не зависят от у и z. Согласно D7.1)
будем иметь тогда и d2Ax/dt2 = 0, т.е. dAx/dt = const. Но про-
производная dA/dt определяет электрическое поле, и мы видим, что
отличная от нуля компонента Ах означала бы в рассматриваемом
случае наличие постоянного продольного электрического поля.
Поскольку такое поле не имеет отношения к электромагнитной
волне, то можно положить Ах = 0.
Таким образом, векторный потенциал плоской волны может
быть всегда выбран перпендикулярным к оси ж, т. е. к направле-
направлению распространения этой волны.
Рассмотрим плоскую волну, бегущую в положительном на-
направлении оси х\ в такой волне все величины, в частности и А,
являются функциями только от t — х/с. Из формул
Е =	, Н = rot A
с dt'
мы находим поэтому
Е = --А', Н = [VA] = [v(t - -) • A'j = --[nA'], D7.3)
где штрих обозначает дифференцирование по t - х/с, а п —
единичный вектор вдоль направления распространения волны.
Подставляя первое равенство во второе, находим
Н= [пЕ].	D7.4)
Мы видим, что электрическое и магнитное поля Е и Н плос-
плоской волны направлены перпендикулярно к направлению распро-
распространения волны. На этом основании электромагнитные волны
называют поперечными. Из D7.4) видно, далее, что электриче-
электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны друг к
другу и одинаковы по абсолютной величине.
Поток энергии в плоской волне
и поскольку En = 0, то
S = ^Е2п = ^#V
4тг	4тг

§ 47	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ	159
Таким образом, поток энергии направлен вдоль направления
распространения волны. Поскольку W = (Е2 + Н2)/8тг = Е/4тг
есть плотность энергии волны, то можно написать:
S = cWn,	D7.5)
в согласии с тем, что поле распространяется со скоростью света.
Импульс единицы объема электромагнитного поля есть S/c2.
Для плоской волны это дает (W/c)n. Обратим внимание на то,
что соотношение между энергией W и импульсом W/c элек-
электромагнитной волны оказывается таким же, как для частиц,
движущихся со скоростью света (см. (9.9)).
Поток импульса поля дается максвелловским тензором на-
напряжений aaj3 C3.3). Выбирая по-прежнему направление рас-
распространения волны в качестве оси ж, найдем, что единственная
отличная от нуля компонента Та@ есть
Тхх = -ахх = W.	D7.6)
Как и следовало, поток импульса направлен по направлению
распространения волны и равен по величине плотности энергии.
Найдем закон преобразования плотности энергии плоской
электромагнитной волны при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой. Для этого в формулу
W =
х - V2/c2
(см. задачу к § 33) надо подставить
S'x = cWf cos с/, а'хх = -W1 cos2 с/,
где а' — угол (в системе К') между осью х' (вдоль которой на-
направлена скорость V) и направлением распространения волны.
В результате находим
D7.7)
Поскольку W = Е2/4:7г = Н2/4тг, то абсолютные величины
напряженностей поля волны преобразуются как y/W.
Задачи
1. Определить силу, действующую на стенку, от которой отражается
(с коэффициентом отражения R) падающая на нее плоская электромагнит-
электромагнитная волна.

160
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
Решение. Сила f, действующая на единицу площади стенки, дается
потоком импульса через эту площадь, т. е. есть вектор с составляющими
где N — вектор нормали к поверхности стенки, а о~а/з и о~'ар — компоненты
тензоров напряжений падающей и отраженной волн. Учитывая D7.6), по-
получим
f = ^n(Nn) + ^n'(Nn').
По определению коэффициента отражения имеем: W' = RW. Введя также
угол падения в (и равный ему угол отражения) и переходя к компонентам,
найдем нормальную силу {световое давление)
fN = W(l + R) cos2 в
и тангенциальную силу
ft = W(l-JR)sin0cos0.
2. Методом Гамильтона-Якоби определить движение заряда в поле
плоской электромагнитной волны.
Решение. Уравнение Гамильтона-Якоби, записанное в четырехмер-
четырехмерной форме:
ik( 8S е \ / 3S е \ 2 2	ПЛ
g [—1 + -Ai)[—j- + -Ak)=mc.	A)
Тот факт, что поле представляет собой плоскую волну, означает, что Аг
являются функциями одной независимой переменной, которую можно пред-
представить в виде ? = кгХг, где кг—постоянный 4-вектор с равным нулю
квадратом, к{кг = 0 (ср. следующий параграф). Потенциалы подчиним
лоренцеву условию
^ 0;
Зхг d?
для переменного поля волны это условие эквивалентно равенству Агкг = 0.
Ищем решение уравнения A) в виде
где /г = (/°,f)—постоянный вектор, удовлетворяющий условию /г/г =
= т2с2 (S = —f%x% — решение уравнения Гамильтона-Якоби для свободной
частицы с 4-импульсом рг = /г). Подстановка в A) приводит к уравнению
47^/	,
С	С?^ С
где постоянная j = kif1. Определив отсюда F, получим
S = -f^ - - f fiA1 di + -^ [ АгАг di.	B)
су J	2jc J
Переходя к трехмерным обозначениям с фиксированной системой от-
отсчета, выберем направление распространения волны в качестве оси х. Тогда

§ 47	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ	161
? = ct — х, а постоянная у = /° — f1. Обозначив двумерный вектор fy, fz
через х, получим из условия fif1 = (/°J — (f1J — >с2 = т2с2.
о ,i _ га2 с2 + х2
7
Выберем потенциалы в калибровке, в которой ip = 0, а А(?) лежит в
плоскости yz. После этого выражение B) примет вид
2 с2 + х2 е /"	е2
А 2
А
а	7 / j. , \ га2 с2 + х2 . , е /" А _ е2 /*
2	2j	ej J	2jc J
Согласно общим правилам (см. I, § 47) для определения движения надо
приравнять производные dS/d>c, dS/dj некоторым новым постоянным, ко-
которые можно обратить в нуль соответствующим выбором начала координат
и начала отсчета времени. Таким образом, получим параметрические фор-
формулы (? — параметр):
У = -Kyi ~ — Ау d?, z = -xzi - — Az d?,
7	су J	7	су J
2
Обобщенный импульс Р = p -\—Аи энергия ? определяются диффе-
с
ренцированием действия по координатам и времени; это дает
Ру = ху	Ау, pz = xz	Az,
с	с
у т2с2 + я2 е А е2 А 2
рх = -±-\	^А Н	-А ;
2	27	су	2ус2
g=(l + Px)c
Если усреднить эти величины по времени, то члены с первой степенью
периодической функции А(?) обратятся в нуль. Пусть система отсчета вы-
выбрана таким образом, что в ней частица в среднем покоится, т. е. ее средний
импульс равен нулю. При этом будет
2
х = 0, у2 =т2с +^А2.
с2
Тогда окончательные формулы для определения движения примут вид
27 V J	c-y J	c-y
C)
2
Рх = т^-(А2 - А2), Ру = --Ay, Pz = --Az,
2ус	с	с
<? = П+^-(А2-Щ.	D)
27С
6 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

162
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
§ 48. Монохроматическая плоская волна
Важный частный случай электромагнитных волн представ-
представляют волны, в которых поле является простой периодической
функцией времени. Такая волна называется монохроматиче-
монохроматической. Все величины (потенциалы, компоненты полей) в монохро-
монохроматической волне зависят от времени посредством множителя
вида cos (cut + а), где си — циклическая частота (или просто
частота) волны.
В волновом уравнении вторая производная от поля по време-
времени равна теперь d2f/dt2 = —oo2f так что распределение поля по
пространству определяется в монохроматической волне уравне-
уравнением
Д/+^/ = 0.	D8.1)
В плоской волне (распространяющейся вдоль оси х) поле
является функцией только от t - х/с. Поэтому если плоская
волна монохроматична, то ее поле является простой периоди-
периодической функцией от t — х/с. Векторный потенциал такой волны
удобнее всего написать в виде вещественной части комплексного
выражения:
А = Re {Aoe~i(JJ^~x/c)}.	D8.2)
Здесь Ао — некоторый постоянный комплексный вектор. Оче-
Очевидно, что и напряженности Е и Н в такой волне будут иметь
аналогичный вид с той же частотой ио. Величина
А = —	D8.3)
называется длиной волны] это есть период изменения поля по
координате х в заданный момент времени t.
Вектор
к = -п	D8.4)
с
(где п— единичный вектор в направлении распространения
волны) называется волновым вектором. С его помощью можно
представить D8.2) в виде
А = Re {Aoei(kr-Wt)},	D8.5)
не зависящем от выбора осей координат. Величину, стоящую с
множителем г в показателе, называют фазой волны.
До тех пор, пока мы производим над величинами лишь линей-
линейные операции, можно опускать знак взятия вещественной части и

§ 48	МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА	163
оперировать с комплексными величинами как таковыми1). Так,
подставив
А = Aoe^kr-^
в D7.3), получим связь между напряженностями и векторным
потенциалом плоской монохроматической волны в виде
E = ikA, Н = г[кА].	D8.6)
Рассмотрим подробнее вопрос о направлении поля монохро-
монохроматической волны. Будем для определенности говорить об элек-
электрическом поле
E = Re{Eoe^kr-^}
(все сказанное ниже относится, разумеется, в той же мере и к
магнитному полю). Ео есть некоторый комплексный вектор. Его
квадрат Eq есть некоторое, вообще говоря, тоже комплексное
число. Если аргумент этого числа есть — 2а (т. е. Eq = |EQ|e~2*a),
то вектор Ь, определенный согласно
Ео = be~*a,	D8.7)
будет иметь вещественный квадрат Ь2 = |Ео|2. С таким опреде-
определением напишем
Е = Re {be^""*-*)}.	D8.8)
Представим b в виде
b = bi +ib2,
где bi и Ь2 —два вещественных вектора. Поскольку квадрат Ь2 =
= Ь\ — &2 + 2ibib2 должен быть вещественной величиной, то
г) Если какие-либо две величины А(?) и В(?) пишутся в комплексном виде
A(t) = Aoe-iwt, B(t) = Boe-iu!t,
то при образовании их произведения надо, разумеется, сначала отделить
вещественную часть. Но если, как это часто бывает, нас интересует лишь
среднее (по времени) значение этого произведения, то его можно вычислить
как
iRe{AB*}.
Действительно, имеем
(A	+ Ae )(B + Be )
ReAReB=-(Aoe + Aoe )(B0 + Boe
При усреднении члены, содержащие множители е гшг, обращаются в нуль,
так что остается
Re AReB = -(А0В? + А^В0) = - Re (AB*).
4	А

164
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
_ = 0, т. е. векторы bi и Ъ2 взаимно перпендикулярны. Вы-
Выберем направление bi в качестве оси у (ось ж —по направлению
распространения волны). Тогда из D8.8) имеем
Еу = Ъ\ cos (ujt — kr + a), Ez = ±b2 sin (ut — kr + a), D8.9)
где знак плюс или минус имеет место в зависимости от то-
того, направлен вектор Ь2 в положительном или отрицательном
направлении оси z. Из D8.9) следует, что
ПГ + Щг = 1.	D8.10)
&1	°2
Мы видим, таким образом, что в каждой точке простран-
пространства вектор электрического поля вращается в плоскости, пер-
перпендикулярной к направлению распространения волны, при-
причем его конец описывает эллипс D8.10). Такая волна назы-
называется эллиптически поляризованной. Вращение происходит в
направлении по или против направления винта, ввинчиваемо-
ввинчиваемого вдоль оси ж, соответственно при знаке плюс или минус
в D8.9).
Если Ъ\ = Ъ2, то эллипс D8.10) превращается в круг, т.е.
вектор Е вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом
случае говорят, что волна поляризована по кругу. Выбор направ-
направлений осей у и z при этом становится, очевидно, произвольным.
Отметим, что в такой волне отношение у- и ^-составляющих
комплексной амплитуды Ео равно
|^ = ±*	D8.11)
соответственно для вращения по и против направления винта
{правая и левая поляризации)х).
Наконец, если Ъ\ или Ъ2 равно нулю, то поле волны направ-
направлено везде и всегда параллельно (или антипараллельно) одному
и тому же направлению. Волну называют в этом случае линейно
поляризованной или поляризованной в плоскости. Эллиптически
поляризованную волну можно рассматривать, очевидно, как на-
наложение двух линейно поляризованных волн.
Вернемся к определению волнового вектора и введем четы-
четырехмерный волновой вектор
kl = (^,k).	D8.12)
Тот факт, что эти величины действительно составляют 4-вектор,
очевиден хотя бы из того, что при умножении на 4-вектор хг он
г) Подразумевается, что оси х, у, z образуют, как всегда, правовинтовую
систему.

§ 48	МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ПЛОСКАЯ ВОЛНА	165
дает скаляр — фазу волны:
hx1 = uot-\<LY.	D8.13)
Из определений D8.4) и D8.12) видно, что квадрат волнового
4-вектора равен нулю:
к% = 0.	D8.14)
Это соотношение следует также и непосредственно из того, что
выражение
А = Aq exp (—ikiX1)
должно быть решением волнового уравнения D6.10).
Как у всякой плоской волны, в монохроматической волне,
распространяющейся вдоль оси ж, отличны от нуля лишь сле-
следующие компоненты тензора энергии-импульса (см. §47):
г00 = г01 = г11 = w
С помощью волнового 4-вектора эти равенства можно записать
в тензорном виде как
Тгк = ^кгкк	D8Л5)
Наконец, используя закон преобразования волнового 4-векто-
4-вектора, легко рассмотреть так называемый эффект Доплера — изме-
изменение частоты волны о;, испускаемой источником, движущимся
по отношению к наблюдателю, по сравнению с «собственной»
частотой luq того же источника в системе отсчета (Kq), в которой
он покоится.
Пусть V — скорость источника, т.е. скорость системы отсче-
отсчета Ко относительно К. Согласно общим формулам преобразова-
преобразования 4-векторов имеем
(скорость системы К относительно Kq есть — V). Подставив сюда
к0 = си /с, к1 = к cos а = — cos а, где а — угол (в системе К) меж-
с
ду направлением испускания волны и направлением движения
источника, и выражая ио через с^о, получим
1 — (V/с)
Это и есть искомая формула. При V ^С с она дает, если угол а
не слишком близок к тг/2:
си ttouo(l + -cosa
V	D8.17)

166
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
При а = тг/2 имеем
j ^ ( g)	D8-18)
в этом случае относительное изменение частоты пропорциональ-
пропорционально квадрату отношения V/c.
Задачи
1. Определить направление и величину осей эллипса поляризации по
комплексной амплитуде Ео.
Решение. Задача заключается в определении вектора b = bi + гЬ2
с вещественным квадратом. Из D8.7) имеем
H/o-t^o — &1 ~г t?2, [H/o-t^oJ = —^ъ [D1D2J,	\i-)
или
Ь\ + Ь\ = А2 + В2, bi Ь2 = ЛБзтE,
где введены обозначения
|??Оу|=Д |^oz|=5, 	 = —--е
для абсолютных значений Еоу и ??oz и разности фаз (д) меж:ду ними. Отсюда
26i,2 = л/А2 + В2 + 2ABsin5 ± л/А2 + В2 -2АВзш6,	B)
чем и определяются величины полуосей эллипса поляризации.
Для определения их направления (относительно произвольных исход-
исходных осей у, z) исходим из равенства
Re{(E0b1)(ESb2)} = 0,
в котором легко убедиться, подставив Ео = (bi + гЪ2)е~га. Раскрывая это
равенство в координатах у, z, получим для угла 0 между направлением bi
и осью у
Направление вращения поля определяется знаком ж-компоненты векто-
вектора [bib2]. Написав из A)
оу / ^ Ьоу
мы видим, что направление вектора [ЬхЬг] (по или против полож:ительного
направления оси х), а тем самым и знак вращения (по или против на-
направления винта, ввинчиваемого вдоль оси х) дается знаком мнимой части
отношения Eoz/Eoy (плюс в первом и минус во втором случае). Это правило
обобщает правило D8.11) при круговой поляризации.
2. Определить движение заряда в поле плоской монохроматической
линейно поляризованной волны.
Решение. Выбирая направление поля Е в волне в качестве оси у,
пишем:
Еу = Е = Ео cosoj^ Ау = А =	si
= t — х/с). По формулам C), D) задачи 2 §47 находим (в системе

§ 49	СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ	167
отсчета, в которой частица в среднем покоится) следующее параметрическое
(параметр ц = lj?) представление движения:
2%	еЕос
о
87
2 3
У=	2~ COS 77, Z = 0,
. V е2Е$ . о	2	2 2
t= --^-Tsm277> 1 =тс
8
uj 87 ш	2k;
рж =	2-COS277, Ру = 	sin 77, Pz = 0.
47CJ
7	о;
Заряд движется в плоскости ху по симметричной 8-образной кривой с про-
продольной осью вдоль оси у. Периоду движения отвечает изменение парамет-
параметра 77 от 0 до 2тг.
3. Определить движение заряда в поле поляризованной по кругу волны.
Решение. Для поля в волне имеем
Еу = Eq coscj^,	Ez = Eq sincj^,
л cEo . <. A cEq
Ay =	sino;?, Az = 	coso;^.
Движ:ение определяется формулами:
_ ecE0 ecE0 .
x = 0, y=	— cos ujt, z =	—smut,
n eE0 . , eE0
px =0, py = 	sincjt, pz =	cos wt,
UJ	UJ
Таким образом, заряд движется в плоскости yz по окружности радиуса
ecEo/juj2 с постоянным по величине импульсом р = eEo/uj] направление
импульса р в каждый момент противоположно направлению магнитного
поля Н волны.
§ 49. Спектральное разложение
Всякую волну можно подвергнуть так называемому спек-
спектральному разложению, т. е. представить в виде наложения мо-
монохроматических волн с различными частотами. Эти разложе-
разложения имеют различный характер в зависимости от характера за-
зависимости поля от времени.
К одной категории относятся случаи, когда разложение со-
содержит частоты, образующие дискретный ряд значений. Про-
Простейший случай такого рода возникает при разложении чисто
периодического (хотя и не монохроматического) поля. Это есть
разложение в обычный ряд Фурье; оно содержит частоты, яв-
являющиеся целыми кратными «основной» частоты luq = 2тг/Г,

168
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
где Г — период поля. Напишем его в виде
оо
/= J2 fne~iuJont	D9-1)
(/ — какая-либо из величин, описывающих поле). Величины fn
определяются по самой функции / интегралами
Т/2
/„ = \ I f(t)ein^dt.	D9.2)
-Т/2
Ввиду вещественности функции /(?) очевидно, что
/-» = /*.	D9.3)
В более сложных случаях в разложении могут присутство-
присутствовать частоты, являющиеся целыми кратными (и их суммами)
нескольких различных, несоизмеримых друг с другом основных
частот.
При возведении суммы D9.1) в квадрат и усреднении по
времени произведения членов с различными частотами обраща-
обращаются в нуль ввиду наличия в них осциллирующих множителей.
Останутся лишь члены вида fnf-n — |/n|2- Таким образом, сред-
средний квадрат поля (средняя интенсивность волны) представится
в виде суммы интенсивностей монохроматических компонент:
/n|2	D9.4)
п——оо	п—\
(подразумевается, что среднее по периоду значение самой функ-
функции /(?) равно нулю, так что /о — / — 0).
К другой категории относятся поля, разлагающиеся в инте-
интеграл Фурье, содержащий непрерывный ряд различных частот.
Для этого функции /(?) должны удовлетворять определенным
условиям; обычно речь идет о функциях, обращающихся в нуль
при t = ±oo. Такое разложение имеет вид
f(x)= / /а,е"гш*^,	D9.5)
— ОО
причем компоненты Фурье определяются по самой функции /(?)
интегралами
оо
utdt.	D9.6)

§ 50	ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ	169
При этом аналогично D9.3)
/-и, = /*•	D9.7)
Выразим полную интенсивность волны, т. е. интеграл от /2
по всему времени, через интенсивности компонент Фурье.
С помощью D9.5), D9.6) имеем
—oo —oo
/С	I*	"\	I*
/w / /e~ dt>—= / fuf-u — ,
I J	) 2тг J	2тг
—oo —oo	—oo
или, учитывая D9.7),
oo	oo
Г Q2^-	D9.8)
§ 50. Частично поляризованный свет
Всякая монохроматическая волна по самому своему опреде-
определению непременно поляризована. Обычно, однако, приходится
иметь дело с волнами лишь почти монохроматическими, содер-
содержащими частоты в некотором малом интервале Аои. Рассмотрим
такую волну, и пусть си есть некоторая средняя ее частота. Тогда
ее поле (будем говорить, для определенности, об электрическом
поле Е) в заданной точке пространства можно написать в виде
Е = Е0(*)е-*"*,
где комплексная амплитуда Eq(?) является некоторой медленно
меняющейся функцией времени (у строго монохроматической
волны было бы Ео = const). Поскольку Ео определяет поляри-
поляризацию волны, то это значит, что в каждой точке волны ее поля-
поляризация меняется со временем; такую волну называют частично
поляризованной.
Свойства поляризации электромагнитных волн, в частности
света, наблюдаются экспериментально посредством пропускания
исследуемого света через различные тела (например, призмы Ни-
коля) и измерения интенсивности прошедшего через тело света.
С математической точки зрения это означает, что о свойствах

170
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
поляризации света делаются заключения, исходя из значений
некоторых квадратичных функций его поля. При этом, разуме-
разумеется, идет речь о средних по времени значениях этих функций.
Квадратичная функция поля состоит из членов, пропорцио-
пропорциональных произведениям ЕаЕр, Е^Е% или ЕаЕ%. Произведения
вида
~ гш ЕЕ = Е^Е^е гш
содержащие быстро осциллирующие множители e±2lujt, при ус-
усреднении по времени дают нуль. Произведения же ЕаЕ% =
= ЕоаЕ^о такого множителя не содержат, и потому их средние
значения отличны от нуля. Таким образом, мы видим, что свой-
свойства частично поляризованного света вполне характеризуются
тензором
Jap = ЕОаЕ*р.	E0.1)
Поскольку вектор Eq всегда лежит в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к направлению волны, то тензор Jap имеет всего четыре
компоненты (в этом параграфе индексы а, /3 подразумевают-
подразумеваются пробегающими всего два значения: а,/3 = 1,2, отвечающих
осям у и z\ ось х — вдоль направления распространения волны).
Сумма диагональных компонент тензора Jap (обозначим ее
через J) есть вещественная величина — среднее значение квад-
квадрата модуля вектора Eq (или, что то же, вектора Е):
J = Jaa = E0E*.	E0.2)
Этой величиной определяется интенсивность волны, измеряемая
плотностью потока энергии в ней. Для того чтобы исключить эту
величину, не имеющую прямого отношения к поляризационным
свойствам, введем вместо Jap тензор
РаР = J~f,	E0.3)
для которого раа = 1; будем называть его поляризационным
тензором.
Из определения E0.1) видно, что компоненты тензора Ja/#, а
с ним и Ра/з, связаны соотношениями
Pa/3 = P}a	E0-4)
(т.е. тензор, как говорят, эрмитов). В силу этих соотношений
диагональные компоненты рц и р22 вещественны (причем рц +
+ Р22 = 1, а p2i = Pi2- Всего, следовательно, поляризационный
тензор характеризуется тремя вещественными параметрами.

§ 50	ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ	171
Выясним условия, которым должен удовлетворять тензор рар
для вполне поляризованного света. В этом случае Eq = const, и
поэтому имеем просто
Jc# = Jpap = ЕоаЩр	E0.5)
(без усреднения), т. е. компоненты тензора могут быть представ-
представлены в виде произведений компонент некоторого постоянного
вектора. Необходимое и достаточное условие для этого выража-
выражается равенством нулю определителя
\ра/з\ = Pllp22 ~ р12р21 = 0.	E0.6)
Противоположным случаем является неполяризованный, или
естественный, свет. Полное отсутствие поляризации означает,
что все направления (в плоскости yz) вполне эквивалентны. Дру-
Другими словами, поляризационный тензор должен иметь вид
Ра0 = \8ар.	E0.7)
При этом определитель \ра/з\ — 1/4.
В общем случае произвольной поляризации этот определи-
определитель имеет значения между 0 и 1/4г). Степенью поляризации
назовем положительную величину Р, определенную согласно
\Рсф\ = \{\-1*).	E0.8)
Она пробегает значения от 0 для неполяризованного до 1 для
поляризованного света.
Произвольный тензор рар может быть разложен на две ча-
части—симметричную и антисимметричную. Из них первая
в силу эрмитовости рар является вещественной. Антисимметрич-
Антисимметричная же часть, напротив, чисто мнима. Как и всякий антисиммет-
антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений, она сводится к
псевдоскаляру (см. примеч. на с. 36):
-(Ра/3 - РCа) = -^еа/3Д
где А — вещественный псевдоскаляр, еар — единичный антисим-
1) В положительности определителя для любого тензора вида E0.1) легко
убедиться, рассматривая для простоты усреднение как суммирование по
ряду различных дискретных значений и применяя известное алгебраическое
неравенство
а,Ъ

172
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
метричный тензор (с компонентами е±2 = —е<2\ — 1)- Таким
образом, поляризационный тензор представится в виде
РаC = Sap — -eapA, Sap = Spa,	E0.9)
т. е. сводится к одному вещественному симметричному тензору и
одному псевдоскаляру.
Для поляризованной по кругу волны вектор Eq = const, причем
Легко видеть, что при этом Sap = Sap/2, з, А = ±1. Напротив,
для линейно поляризованной волны постоянный вектор Ео мо-
может быть выбран вещественным, так что А = 0. В общем случае
величину А можно назвать степенью круговой поляризации; она
пробегает значения от +1 до —1, причем эти предельные значе-
значения отвечают соответственно право- и лево-циркулярно поляри-
поляризованным волнам.
Вещественный тензор Sap, как и всякий симметричный тен-
тензор, может быть приведен к главным осям с двумя различными
главными значениями, которые обозначим через Ai и А2. Направ-
Направления главных осей взаимно перпендикулярны. Обозначая через
п^1) и п^2) орты (единичные векторы) этих направлений, можно
представить Sap в виде
Sap = Mn^nf + \2nWnf, Xi + X2 = 1.	E0.10)
Величины Ai и А2 положительны и пробегают значения от 0 до 1.
Пусть А = 0, так что рар = Sap. Каждый из двух членов
в E0.10) имеет вид произведения двух компонент постоянного
вещественного вектора (-\Z~\in\1) или ^/X2'п^^). Другими словами,
каждый из этих членов соответствует линейно поляризованному
свету. Далее, мы видим, что в E0.10) нет члена, содержащего
произведения компонент этих двух волн. Это означает, что обе
части можно рассматривать как физически независимые друг от
друга, или, как говорят, некогерентные. Действительно, если две
волны независимы друг от друга, то среднее значение произве-
произведения Еа Eg равно произведению средних значений каждого
из множителей, и поскольку каждое из последних равно нулю,
то и
EtpEf = О-
Таким образом, мы приходим к результату, что при А = 0
частично поляризованную волну можно представить как нало-
наложение двух некогерентных волн (с интенсивностями, пропор-
пропорциональными Ai и А2), линейно поляризованных во взаимно

§ 50	ЧАСТИЧНО ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ	173
перпендикулярных направлениях1). (В общем же случае ком-
комплексного тензора рар можно показать, что свет может быть
представлен как наложение двух некогерентных эллиптически
поляризованных волн, эллипсы поляризации которых подобны и
взаимно перпендикулярны, см. задачу 2).
Пусть (р — угол между осью 1 (ось у) и ортом гг1); тогда
n^1) = (cos(f, sin<p), n^2) = (—sin<p, cos(f).
Вводя величину Z = Ai — A2 (пусть Ai > A2), представим компо-
компоненты тензора E0.10) в следующем виде:
\
E(Ш)
Таким образом, при произвольном выборе осей у, z поляриза-
поляризационные свойства волны можно характеризовать следующими
тремя вещественными параметрами: А — степень круговой поля-
поляризации, I — степень максимальной линейной поляризации, <р —
угол между направлением п'1) максимальной поляризации и
осью у.
Вместо этих параметров может представить определенные
преимущества другой набор трех параметров:
?i = Zsin2(^, ?2 = A & = lcos2(p	E0.12)
(их называют параметрами Стокса). Поляризационный тензор
выражается через них согласно
Все три параметра пробегают значения между —1 и +1. Пара-
Параметр ?з характеризует линейную поляризацию вдоль осей у и z:
значению ^з — 1 отвечает полная линейная поляризация вдоль
оси у, а значению ?з — —1 —вдоль оси z. Параметр же ?i харак-
характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляю-
составляющих 45° с осью у: значению ? = 1 отвечает полная поляризация
под углом <р = тг/4, а значению ?i = — 1 —под углом <р = —тг/42).
1)	Определитель \Sap\ = Л1Л2; пусть Ai > Л2, тогда степень поляризации,
определенная согласно E0.8), равна Р = 1 — 2Л2- В данном случае (А = 0)
для характеристики степени поляризации света часто пользуются и так
называемым коэффициентом деполяризации, определенным как отноше-
отношение Л2/Л1.
2)	Для полностью эллиптически поляризованной волны с осями эллипса bi
и Ьг (см. § 48) параметры Стокса равны
& =0, 6 = ±2bib2/J, & = (bl - bl)/J.
При этом ось у направлена вдоль bi, а два знака в ?2 отвечают направле-
направлениям Ьг в положительном или отрицательном направлении оси z.

174
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
Определитель тензора E0.13) равен
\Ра/з\ — "(I — Cl — ^2 — ?з)'	E0.14)
Сравнив с E0.8), мы видим, что
Таким образом, при заданной общей степени поляризации Р
возможны различные типы поляризации, характеризуемые зна-
значениями трех величин ?i, ?25 ?3 с заданной суммой их квадратов;
эти величины образуют как бы вектор заданной длины.
Отметим, что величины ?2 = А и \/?i + ?3 = ^ инвариант-
инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это обстоятельство
в значительной степени очевидно уже из самого смысла этих
величин как степеней круговой и линейной поляризации1).
Задачи
1. Разложить произвольный частично поляризованный свет на «есте-
«естественную» и «поляризованную» части.
Решение. Такое разложение означает представление тензора Jap в
виде
Первый член отвечает естественной, а второй — поляризованной частям све-
света. Для определения интенсивностей этих частей замечаем, что определи-
определитель
Ja/3 — -J Sap
- 0.
Представив Jap = Jpap в виде E0.13) и решая это уравнение, получим
j(e) = J(l-P).
Интенсивность же поляризованной части J^ = |Eq |2 = J — J^ = JP.
Поляризованная часть света представляет собой, вообще говоря, эллип-
эллиптически поляризованную волну, причем направления осей эллипса совпада-
совпадают с главными осями тензора Sap. Величины Ъ\ и &2 осей эллипса и угол <?,
образуемый осью bi с осью у, определяются из равенств:
Ь\ + Ь\ = JP, 2Ъ1Ъ2 = JP&, tg 2<p = ^.
х)Для прямого доказательства замечаем, что поскольку поле волны по-
поперечно в любой системе отсчета, то заранее очевидно, что тензор рар
останется двумерным и в новой системе отсчета. При этом преобразова-
преобразование рар в рар оставляет неизменной сумму квадратов модулей рарРар
(действительно, вид преобразования не зависит от конкретных поляризаци-
поляризационных свойств света, а для вполне поляризованной волны эта сумма равна 1
в любой системе отсчета). В силу вещественности этого преобразования
вещественная и мнимая части тензора рар E0.9) преобразуются независи-
независимо, а потому остаются неизменными также и суммы квадратов компонент
каждой из них в отдельности, выражающиеся соответственно через I и А.

§ 51	РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ	175
2. Представить произвольную частично поляризованную волну в виде
наложения двух некогерентных эллиптически поляризованных волн.
Решение. Для эрмитового тензора рар «главные оси» определяются
двумя единичными комплексными ортами n(nn* = 1), удовлетворяющими
уравнениям
Ра/ЗПр = Хпа.	A)
Главные значения Ai и А2 даются корнями уравнения
РаC — XSap\ = 0.
Умножив обе части уравнения A) на п^,, имеем
А = рарп*апр = -\ЕОапЪ |2,
о
откуда видно, что Ai, A2 вещественны и положительны. Умножив уравнения
на Па (первое), и на па (второе), затем вычтя почленно одно из другого
и воспользовавшись эрмитовостью тензора рар, получим
Отсюда следует, что rr^rr2) = 0, т.е. орты гг1-* и гг2-* ортогональны друг
ДРУгу.
Искомое разложение волны осуществляется формулой
Всегда можно выбрать комплексную амплитуду так, чтобы из двух взаим-
взаимно перпендикулярных компонент одна была вещественна, а другая мнима
(ср. §48). Положив
71^=61, г41}=гЬ2
(где теперь Ъ\ и 62 подразумеваются нормированными условием 6? +б| = 1)?
получим тогда из уравнения rr^rr2) = 0:
т42) =гЬ2, п^ =Ьг.
Отсюда видно, что эллипсы обоих эллиптически поляризованных колебаний
подобны (имеют одинаковые отношения осей), причем один из них повернут
на прямой угол относительно другого.
3. Найти закон преобразования параметров Стокса при повороте осей у,
z на угол (р.
Решение. Искомый закон определяется связью параметров Стокса
с компонентами двумерного тензора в плоскости yz и дается формулами
?i = 6 cos 2(Р ~ 6 sin 2(р, Й = 6 sin 2(P + 6 cos 2(p, ?2 = 6 •
§ 51. Разложение электростатического поля
Поле, созданное зарядами, тоже можно формально разло-
разложить по плоским волнам (в интеграл Фурье). Это разложение,
однако, существенно отличается от разложения электромагнит-
электромагнитных волн в пустоте. Действительно, поле зарядов не удовлетво-
удовлетворяет однородному волновому уравнению, а потому и каждый

176
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
член разложения поля не удовлетворяет этому уравнению. Отсю-
Отсюда следует, что для плоских волн, на которые можно разложить
поле зарядов, не выполняется соотношение к? = иР1 /с2, которое
имеет место для плоских монохроматических электромагнитных
волн.
В частности, если формально представить электростатиче-
электростатическое поле в виде наложения плоских волн, то «частота» этих волн
будет равна нулю, так как рассматриваемое поле не зависит от
времени; волновые же векторы, конечно, отличны от нуля.
Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом е, находя-
находящимся в начале координат. Потенциал (р этого поля определяется
уравнением (см. §36)
А(р = -4тге?(г).	E1-1)
Разложим <р в пространственный интеграл Фурье, т. е. пред-
представим его в виде
:*klVk	з» ^к = dkx dky dkz.	E1.2)
Bтг)
—oo
При этом
<pk = / <р(г)е~гкгб?У.
Применив к обеим частям равенства E1.2) оператор Лапласа,
находим
+ ОО
/
так что компонента Фурье от выражения А<р есть
С другой стороны, можно найти (Д<р)к, взяв компоненту Фурье
от обеих частей уравнения E1.1):
\e~l^rdV = —4тге.
Сравнивая оба полученных выражения, находим
№ = A~f.	E1.3)
Эта формула и решает поставленную задачу.

§ 52	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ	177
Аналогично потенциалу <р можно разложить и напряжен-
напряженность:
+ ОО
С помощью E1.2) имеем
+ ОО
Сравнивая с E1.4), находим
Ек = -гк(^к = -*-р--	E1-5)
Отсюда видно, что поле волн, на которое мы разложили кулоно-
во поле, направлено по волновому вектору. Поэтому эти волны
можно назвать продольными.
§ 52. Собственные колебания поля
Рассмотрим свободное (без зарядов) электромагнитное по-
поле, находящееся в некотором конечном объеме пространства.
Для упрощения дальнейших вычислений мы предполагаем, что
этот объем обладает формой прямоугольного параллелепипеда
со сторонами, равными соответственно А, В, С. Мы можем тогда
разложить все величины, характеризующие поле в этом паралле-
параллелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам). Напишем
это разложение (например, для векторного потенциала) в виде
keikr.	E2.1)
Суммирование производится здесь по всем возможным значе-
значениям вектора к, компоненты которого пробегают, как известно,
значения
, _ 2тгпх , _ 2тгпу	2irnz
_
rvz —
где пж, riy, nz —положительные или отрицательные целые числа.

178
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
В силу вещественности А коэффициенты разложения E2.1)
связаны друг с другом равенствами А_к = А?. Из уравнения
div А = 0 следует, что для каждого к
кАк = 0,	E2.3)
т. е. комплексные векторы Ак «поперечны» к соответствующим
волновым векторам к. Векторы Ак являются, конечно, функ-
функциями времени; в силу волнового уравнения D6.7) каждый из
них удовлетворяет уравнению
Ак + с2/с2Ак = 0.	E2.4)
Если размеры Л, 5, С выбранного объема достаточно велики,
то соседние значения кх,ку, kz очень близки друг к другу. Можно
говорить тогда о числе возможных значений кх, ку, kz в неболь-
небольших интервалах Акх, Аку, Akz. Поскольку соседние значения,
скажем кх, соответствуют значениям пж, отличающимся на еди-
единицу, то число Апх возможных значений кх в интервале Акх
равно просто соответствующему интервалу значений пх. Таким
образом, находим
Л	FI	С*
= —А?ж, Апу = —^у> ^п* = —
2тг	2тг	2тг
Полное число An значений вектора к с компонентами в заданных
интервалах равно произведению
An = Апж Any Anz = -^Акх Аку Akz,	E2.5)
Bтг)
где V = ABC— объем поля. Легко определить отсюда число
значений волнового вектора с абсолютной величиной в интервале
Ак и направлением в элементе телесных углов Ао. Для этого
надо перейти к сферическим координатам в «k-пространстве» и
написать вместо Акх AkyAkz элемент объема в этих координатах.
Таким образом,
An = -^k2AkAo.	E2.6)
Заменив здесь Ао на 4тг, получим число значений к с величиной
в интервале Ак и любыми направлениями: An = Vk2Ak/27r2.
Вычислим полную энергию поля

§ 52	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ	179
выразив ее через величины Ак- Для электрического и магнитно-
магнитного полей имеем
Н = rot A = i ^[кАк]е*кг.	E2.7)
к
При вычислении квадратов этих сумм замечаем, что все произ-
произведения членов с волновыми векторами кик' (к' ф —к), дают
нуль при интегрировании по всему объему. Действительно, такие
члены содержат множители ег(к+к )Г, а интеграл, например,
\ exp [i—nxx j dx
с целым отличным от нуля пх равен нулю. В членах же с к' =
= — к экспоненциальные множители выпадают и интегрирование
по dV дает просто объем V.
В результате найдем
* = ? ?{?
к
Но ввиду E2.3) имеем
так что
* = ^Ь E^AkAk + ^2c2AkAk}.	E2.8)
k
Каждый член этой суммы соответствует одному из членов раз-
разложения E2.1).
В силу уравнения E2.4) векторы Ак являются гармонически-
гармоническими функциями времени с частотами ш^ = ск, зависящими только
от абсолютной величины волнового вектора. В зависимости от
выбора этих функций члены разложения E2.1) могут представ-
представлять собой стоячие или бегущие плоские волны. Представим
разложение поля в таком виде, чтобы его члены изображали
бегущие волны. Для этого запишем его в форме
А = ^(akeikr + a?e-*kr),	E2.9)
k
явным образом выражающей вещественность А, причем каждый

180
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
из векторов ак зависит от времени по закону
^fct, шк = ск.	E2.10)
Тогда каждый отдельный член в сумме E2.9) будет функцией
только от разности kr — cc^t, что соответствует волне, распро-
распространяющейся в направлении к.
Сравнив разложения E2.9) и E2.1), находим, что их коэф-
коэффициенты связаны равенствами
Ак = ак + а_к,
а в силу E2.10) производные по времени
А	7 (	* \
Подставив это в E2.8), выразим энергию поля через коэффици-
коэффициенты разложения E2.9). Члены с произведениями вида aka_k
или a?a*lk взаимно сокращаются; заметив также, что суммы
^ ака? и ^ а-к&1к отличаются лишь обозначением переменной
суммирования и потому совпадают друг с другом, получим окон-
окончательно:
к
Таким образом, полная энергия поля выражается в виде суммы
энергий ^к, связанных с каждой из плоских волн в отдельности.
Аналогичным образом можно вычислить полный импульс
поля:
причем получается
к
Этот результат можно было ожидать заранее ввиду извест-
известного соотношения между энергией и импульсом плоских волн
(см. §47).
Разложением E2.9) достигается описание поля посредством
дискретного ряда переменных (векторы ак) вместо описания
непрерывным рядом переменных, каковым по существу является
описание потенциалом А(ж,у, ?,?), задаваемым во всех точках
пространства. Мы произведем теперь преобразование перемен-
переменных ак, в результате которого окажется возможным придать
уравнениям поля вид, аналогичный каноническим уравнениям
(уравнениям Гамильтона) механики.

§ 52	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛЯ	181
Введем вещественные «канонические переменные» Qk и Рк
согласно соотношениям
- ak) = Qk.	E2.13)
Функция Гамильтона поля получается подстановкой этих вы-
выражений в энергию E2.11):
При этом уравнения Гамильтона dJ4?/dP\z = Qk совпадают с
равенствами Рк = Qk? которые, таким образом, действительно
оказываются следствием уравнений движения (это достигнуто
надлежащим выбором коэффициента в преобразовании E2.13)).
Уравнения же dJ4?/dQk = —Pk приводят к уравнениям
| = 0,	E2.15)
т. е. тождественны с уравнениями поля.
Каждый из векторов Qk и Рк перпендикулярен к волновому
вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направ-
Направление этих векторов определяет направление поляризации со-
соответствующей бегущей волны. Обозначив две компоненты век-
вектора Qk (в плоскости, перпендикулярной к) посредством Qk?,
j = 1,2, имеем Q^. = ^2Qk?' и аналогично Для Рк- Тогда
з
\
к?
Мы видим, что функция Гамильтона распадается на сумму
независимых членов, каждый из которых содержит только по
одной паре величин Qkj> Pkj- Каждый такой член соответствует
бегущей волне с определенными волновым вектором и поляриза-
поляризацией. При этом J#kj имеет вид функции Гамильтона одномерного
«осциллятора», совершающего простые гармонические колеба-
колебания. Поэтому о полученном разложении говорят иногда как о
разложении поля на осцилляторы.
Выпишем формулы, выражающие в явном виде поле через
переменные Pk, Qk- Из E2.13) имеем
7^. E2.17)

182
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. VI
Подставляя эти выражения в E2.1), найдем векторный потенци-
потенциал поля:
А = л — ^ -(deQkeoskr — Pksinkr).	E2.18)
V	k
Для электрического и магнитного полей получим
Е = —\— 5^(cfcQk sinkr + Pk coskr),
V	k
H = -J — V -(cfcfkQkl sinkr + [kPk] coskr).	E2.19)
V	V ^—' к
v	k

ГЛАВА VII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
§ 53. Геометрическая оптика
Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее
распространения и амплитуда везде одинаковы. Произвольные
электромагнитные волны этим свойством, конечно, не обладают.
Однако часто электромагнитные волны, не являющиеся плос-
плоскими, тем не менее таковы, что их можно рассматривать как
плоские в каждом небольшом участке пространства. Для этого
необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не
менялись на протяжении расстояний порядка длины волны.
Если выполнено это условие, то можно ввести так называе-
называемые волновые поверхности, во всех точках которых фаза вол-
волны в данный момент времени одинакова (для плоской волны
это — плоскости, перпендикулярные к направлению ее распро-
распространения). В каждом небольшом участке пространства можно
говорить о направлении распространения волны, нормальном к
волновой поверхности. При этом можно ввести понятие лучей —
линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с на-
направлением распространения волны.
Изучение законов распространения волн в этом случае со-
составляет предмет геометрической оптики. Геометрическая оп-
оптика рассматривает, следовательно, распространение электро-
электромагнитных волн, в частности света, как распространение лучей,
совершенно отвлекаясь при этом от их волновой природы. Други-
Другими словами, геометрическая оптика соответствует предельному
случаю малых длин волн, Л —»> 0.
Займемся теперь выводом основного уравнения геометриче-
геометрической оптики— уравнения, определяющего направление лучей.
Пусть / есть любая величина, описывающая поле волны (любая
из компонент Е или Н). В плоской монохроматической волне /
имеет вид
/ = аехр [г(кг — out + а)] = аехр [г(—к{Хг + а)]	E3.1)
(мы опускаем знак Re; везде подразумевается вещественная
часть).

184
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Напишем выражение для поля в виде
/ = ае^.	E3.2)
В случае, когда волна не плоская, но геометрическая оптика
применима, амплитуда а является, вообще говоря, функцией
координат и времени, а фаза ф, называемая также эйконалом,
не имеет простого вида, как в E3.1). Существенно, однако, что
эйконал ф является большой величиной. Это видно уже из того,
что он меняется на 2тг на протяжении длины волны, а геометри-
геометрическая оптика соответствует пределу Л —»> 0.
В малых участках пространства и интервалах времени эйко-
эйконал ф можно разложить в ряд; с точностью до членов первого
порядка имеем
(начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассмат-
рассматриваемом участке пространства и интервале времени; значения
производных берутся в начале координат). Сравнивая это выра-
выражение с E3.1), мы можем написать:
k=§* = grad^ c = -f,	E3.3)
в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке простран-
пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассмат-
рассматривать как плоскую. В четырехмерном виде соотношения E3.3)
напишутся как
*¦--?,	E3.4)
где ki — волновой 4-вектор.
Мы видели в § 48, что компоненты 4-вектора кг связаны соот-
соотношением к{кг = 0. Подставляя сюда E3.4), находим уравнение
^^ = 0.	E3.5)
дхг дхг	V J
Это уравнение, называемое уравнением эйконала, является ос-
основным уравнением геометрической оптики.
Уравнение эйконала можно вывести также и непосредствен-
непосредственным предельным переходом Л —»> 0 в волновом уравнении. Поле /
удовлетворяет волновому уравнению

§ 53	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА	185
Подставляя сюда / = аег^, находим
Но эйконал ф, как было выше указано, есть большая величина;
поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми членами по
сравнению с четвертым, и мы приходим снова к уравнению E3.5)
Укажем еще некоторые соотношения, которые, правда, в при-
применении к распространению света в пустоте приводят лишь к за-
заранее очевидным результатам. Существенно, однако, что в своей
общей форме эти выводы применимы и к распространению света
в материальных средах.
Из формы уравнения эйконала вытекает замечательная ана-
аналогия между геометрической оптикой и механикой материаль-
материальных частиц. Движение материальной частицы определяется
уравнением Гамильтона-Якоби A6.11). Это уравнение, как и
уравнение эйконала, является уравнением в частных производ-
производных первого порядка и второй степени. Как известно, действие S
связано с импульсом р и функцией Гамильтона Ж частицы
соотношениями
Сравнивая эти формулы с формулами E3.3), мы видим, что
волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль
импульса частицы в механике, а частота — роль функции Гамиль-
Гамильтона, т. е. энергии частицы. Абсолютная величина к волнового
вектора связана с частотой посредством формулы к = си/с. Это
соотношение аналогично соотношению р = §/с между импуль-
импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью,
равной скорости света.
Для частиц имеют место уравнения Гамильтона
Ввиду указанной аналогии мы можем непосредственно написать
подобные уравнения для лучей:
В пустоте uj = ск, так что к = 0, v = en (n — единичный вектор
вдоль направления распространения), т.е., как и следовало, в
пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет
распространяется со скоростью с.

186
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Аналогия между волновым вектором волны и импульсом
частицы в особенности ясно проявляется в следующем обстоя-
обстоятельстве. Рассмотрим волну, представляющую собой наложение
монохроматических волн с частотами, лежащими в некотором
небольшом интервале, и занимающую некоторую конечную об-
область пространства (так называемый волновой пакет). Вычис-
Вычислим 4-импульс поля этой волны, воспользовавшись формулой
C2.6) с тензором энергии-импульса D8.15) (для каждой моно-
монохроматической компоненты). Заменяя в этой формуле кг неко-
некоторым его средним значением, получим выражение вида
Р1 = Ак\	E3.8)
где коэффициент пропорциональности А между двумя 4-векто-
рами Рг и кг есть некоторый скаляр. В трехмерном виде это
соотношение дает
Р = Ак, S = Аио.	E3.9)
Таким образом, мы видим, что импульс и энергия волнового
пакета преобразуются от одной системы отсчета к другой соот-
соответственно как волновой вектор и частота.
Продолжая аналогию, можно установить для геометрической
оптики принцип, аналогичный принципу наименьшего действия
в механике. Однако его при этом нельзя будет написать в га-
мильтоновой форме, 5 f Ldt = 0, так как оказывается невоз-
невозможным ввести для лучей функцию, аналогичную функции Ла-
гранжа для частиц. Действительно, функция Лагранжа L ча-
частицы связана с функцией Гамильтона Ж посредством L =
= рд^/др — Ж. Заменяя функцию Гамильтона частотой о;,
а импульс — волновым вектором к, мы должны были бы на-
написать для функции Лагранжа в оптике kdw/дк — ио. Но это
выражение равно нулю, поскольку ио = ск. Невозможность вве-
введения функции Лагранжа для лучей видна, впрочем, и непосред-
непосредственно из указанного выше обстоятельства, что распростране-
распространение лучей аналогично движению частиц с массой, равной нулю.
Если волна обладает определенной постоянной частотой о;, то
зависимость ее поля от времени определяется множителем вида
e~lujt. Поэтому для эйконала такой волны мы можем написать:
y,z),	E3.10)
где фо — функция только от координат. Уравнение эйконала
E3.5) принимает теперь вид
2 = ^.	E3.11)

§ 54	ИНТЕНСИВНОСТЬ	187
Волновые поверхности являются поверхностями постоянного
эйконала, т.е. семейством поверхностей вида фо(х,у,г) =
= const. Лучи же в каждой точке нормальны к соответствующей
волновой поверхности; их направление определяется градиен-
градиентом V^o-
Как известно, в случае, когда энергия постоянна, принцип
наименьшего действия для частицы можно написать также и в
виде так называемого принципа Мопертюи:
SS
= S Г
где интегрирование производится по траектории частицы между
двумя заданными ее положениями. Импульс предполагается при
этом выраженным как функция от энергии и координат частицы.
Аналогичный принцип для лучей называется принципом Ферма.
В этом случае мы можем написать по аналогии:
= 6 Гк(п = О.	E3.12)
UJ
В пустоте к = —п, и мы получаем (ndl = dl):
с
• Г dl = О,	E3.13)
S
что и соответствует прямолинейному распространению лучей.
§ 54. Интенсивность
Таким образом, в геометрической оптике световую волну
можно рассматривать как пучок лучей. Лучи, однако, сами по
себе определяют лишь направление распространения света в
каждой точке; остается вопрос о распределении интенсивности
света в пространстве.
Выделим на какой-либо из волновых поверхностей рассмат-
рассматриваемого пучка бесконечно малый элемент. Из дифференциаль-
дифференциальной геометрии известно, что всякая поверхность имеет в каждой
своей точке два, вообще говоря, различных главных радиуса
кривизны. Пусть ас и bd (рис. 7) — элементы главных кругов
кривизны, проведенные на данном элементе волновой поверх-
поверхности. Тогда лучи, проходящие через точки а и с, пересекутся
друг с другом в соответствующем центре кривизны Oi, a лу-
лучи, проходящие через Ъ и с?, пересекутся в другом центре кри-
кривизны О 2-

188
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
При данных углах раствора лучей, исходящих из О\ и О2,
длины отрезков ас и bd пропорциональны соответствующим ра-
радиусам кривизны R\ и i?2 (т.е. длинам О\О и О2О); площадь
элемента поверхности пропорциональна произведению длин ас и
bd, т.е. пропорциональна R\R2- Другими словами, если рассмат-
рассматривать элемент волновой поверхности, ограниченный определен-
определенным рядом лучей, то при движении вдоль них площадь этого
элемента будет меняться пропорционально i?ii?2-
С другой стороны, интенсивность, т. е. плотность потока энер-
энергии, обратно пропорциональна площади поверхности, через
Рис. 7
которую проходит данное количество световой энергии. Таким
образом, мы приходим к выводу, что интенсивность
E41)
Эту формулу надо понимать следующим образом. На каждом
данном луче (АВ на рис. 7) существуют определенные точки О\
и (?2, являющиеся центрами кривизны всех волновых поверх-
поверхностей, пересекающих данный луч. Расстояния ОО\ и ОО2 от
точки О пересечения волновой поверхности с лучом до точек
О\ и (?2 являются радиусами кривизны R\ и i?2 волновой по-
поверхности в точке О. Таким образом, формула E4.1) определяет
интенсивность света в точке О на данном луче как функцию от
расстояний до определенных точек на этом луче. Подчеркнем,
что эта формула непригодна для сравнения интенсивностей в
разных точках одной и той же волновой поверхности.
Поскольку интенсивность определяется квадратом модуля
поля, то для изменения самого поля вдоль луча мы можем на-
написать:
/ = -т|нМ*л,	E4.2)
где в фазовом множителе elkR под R может подразумеваться как
i?i, так и i?2; величины elkRl и егкК<2 отличаются друг от друга

§ 54	ИНТЕНСИВНОСТЬ	189
только постоянным (для данного луча) множителем, поскольку
разность R\ —R2, расстояние между обоими центрами кривизны,
постоянна.
Если оба радиуса кривизны волновой поверхности совпадают,
то E4.1) и E4.2) имеют вид
т _ const , _ const jkR	,-л о\
~ R2 '	~~ R	'	{04.6)
Это имеет место, в частности, всегда в тех случаях, когда свет
испускается точечным источником (волновые поверхности явля-
являются тогда концентрическими сферами, а Д — расстоянием до
источника света).
Из E4.1) мы видим, что интенсивность обращается в беско-
бесконечность в точках R\ = 0, i?2 = 0, т. е. в центрах кривизны
волновых поверхностей. Применяя это ко всем лучам в пучке,
находим, что интенсивность света в данном пучке обращается
в бесконечность, вообще говоря, на двух поверхностях — геомет-
геометрическом месте всех центров кривизны волновых поверхностей.
Эти поверхности носят название каустик. В частном случае
пучка лучей со сферическими волновыми поверхностями обе
каустики сливаются в одну точку (фокус).
Отметим, что, согласно известным из дифференциальной
геометрии свойствам геометрического места центров кривизны
семейства поверхностей, лучи касаются каустик.
Надо иметь в виду, что (при выпуклых волновых поверхнос-
поверхностях) центры кривизны волновых поверхностей могут оказаться
лежащими не на самих лучах, а на их продолжениях за оптиче-
оптическую систему, от которой они исходят. В таких случаях говорят о
мнимых каустиках (или мнимых фокусах). Интенсивность света
при этом нигде не обращается в бесконечность.
Что касается обращения интенсивности в бесконечность, то в
действительности, разумеется, интенсивность в точках каустики
делается большой, но остается конечной (см. задачу к § 59). Фор-
Формальное обращение в бесконечность означает, что приближение
геометрической оптики становится во всяком случае непримени-
неприменимым вблизи каустик. С этим же обстоятельством связано и то,
что изменение фазы вдоль луча может определяться формулой
E4.2) только на участках луча, не включающих в себя точек
его касания с каустиками. Ниже (в § 59) будет показано, что в
действительности при прохождении мимо каустики фаза поля
уменьшается на тг/2. Это значит, что если на участке луча до
его касания первой каустики поле пропорционально множителю
егкх ^х _ координата вдоль луча), то после прохождения мимо
каустики поле будет пропорционально ег(кх-п/2)у То же самое

190
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
произойдет вблизи точки касания второй каустики, и за этой
точкой поле будет пропорционально ег(кх~п^г).
§ 55. Угловой эйконал
Идущий в пустоте луч света, попадая в какое-либо прозрач-
прозрачное материальное тело, имеет по выходе из этого тела направле-
направление, вообще говоря, отличное от первоначального. Это изменение
направления зависит, конечно, от конкретных свойств тела и от
его формы. Оказывается, однако, возможным вывести некоторые
общие законы, относящиеся к изменению направления лучей
света при прохождении через произвольные материальные тела.
При этом предполагается только, что для лучей, распространяю-
распространяющихся внутри рассматриваемого тела, имеет место геометриче-
геометрическая оптика. Такие прозрачные тела, через которые пропускают
лучи света, мы будем называть, как это принято, оптическими
системами.
В силу указанной в § 53 аналогии между распространением
лучей и движением частицы, те же общие законы справедливы
и для изменения направления движения частиц, двигавшихся
сначала прямолинейно в пустоте, затем проходящих через какое-
нибудь электромагнитное поле и снова выходящих из этого поля
в пустоту. Для определенности мы будем, однако, ниже говорить
о распространении лучей света.
Мы видели, что уравнение эйконала, определяющее распро-
распространение лучей, может быть написано (для света с опреде-
определенной частотой) в виде E3.11). Ниже мы будем для удобства
обозначать буквой ф эйконал фо, деленный на постоянную ве-
величину си/с. Тогда основное уравнение геометрической оптики
будет иметь вид
(уфJ = 1.	E5.1)
Каждое решение этого уравнения описывает собой опреде-
определенный пучок лучей, причем направление луча, проходящего
через данную точку пространства, определяется градиентом ф в
этой точке. Для наших целей, однако, такое описание недостаточ-
недостаточно, поскольку мы ищем общие соотношения, определяющие про-
прохождение через оптические системы не какого-либо одного опре-
определенного пучка лучей, а соотношения, относящиеся к любым
1)Хотя формула E4.2) сама по себе не справедлива вблизи каустик, но
указанное изменение фазы поля формально соответствует изменению знака
(т.е. умножению на ег7Г) R\ или К^ в этой формуле.

§ 55	УГЛОВОЙ ЭЙКОНАЛ	191
лучам. Поэтому мы должны пользоваться эйконалом, взятым в
таком виде, в котором он описывал бы все вообще возможные
лучи света, т. е. лучи, проходящие через любую пару точек в
пространстве. В обычной своей форме эйконал ф(г) есть фаза
луча из некоторого пучка, проходящего через точку г. Теперь же
мы должны ввести эйконал как функцию ф(т, г') координат двух
точек (г, г'— радиус-векторы начальной и конечной точек луча).
Через всякую пару точек г, г' можно провести луч, и ф(т, г') есть
разность фаз (или, как говорят, оптическая длина пути) этого
луча между точками гиг'. Ниже мы будем везде подразумевать
под гиг' радиус-векторы точек на луче соответственно до и
после его прохождения через оптическую систему.
Если в ф(г,гг) один из радиус-векторов, скажем г', считать
заданным, то ф как функция от г будет описывать определенный
пучок лучей, а именно пучок лучей, проходящих через точку
г'. Тогда ф должно удовлетворять уравнению E5.1), в котором
дифференцирование производится по компонентам г. Аналогич-
Аналогично, считая г заданным, находим еще одно уравнение для ф(т, г'),
так что
(V</>J = 1, (VtyJ = 1.	E5.2)
Направление луча определяется градиентом его фазы. По-
Поскольку ф(г, г') есть разность фаз в точках г' и г, то направление
луча в точке г' определяется вектором п' = дф /дгг, а в точке
г —вектором п = —дф/дг. Из E5.2) видно, что векторы п и п'
единичные:
п2 = п'2 = 1.	E5.3)
Четыре вектора г, г', п, п' связаны между собой некоторым
соотношением, поскольку два из них (п, п') являются производ-
производными по двум другим (г, г') от некоторой функции ф. Что ка-
касается самой функции ф, то она удовлетворяет дополнительным
условиям — уравнениям E5.2).
Для нахождения соотношения между п, п', г, г' удобно ввести
вместо ф другую величину, на которую бы не налагалось никаких
дополнительных условий (т. е. которая не должна была бы удо-
удовлетворять каким-либо дифференциальным уравнениям). Это
можно сделать следующим образом. В функции ф независимыми
переменными являются гиг', так что для дифференциала с1ф
имеем
d^=dAdr+9±dr> = _n dr + n'dr'.
or	or

192
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Произведем теперь преобразование Лежандра к независимым
переменным п и п' вместо г и г', т. е. напишем
dip = -d(nr) + r dn + d(n'r') - r'dn',
откуда, вводя функцию
X = nV — nr — ф,	E5.4)
имеем
dx = -r dn + r'dri.	E5.5)
Функцию х называют угловым эйконалом] как видно из
E5.5), независимыми переменными в нем являются п и п'. На х
не налагается уже никаких дополнительных условий. Действи-
Действительно, уравнения E5.3) представляют собой теперь лишь усло-
условия, относящиеся к независимым переменным, показывающие,
что из трех компонент пх,пу, nz вектора п (и аналогично для п')
только две являются независимыми. Мы будем ниже в качестве
независимых переменных пользоваться компонентами пу, nz, пу,
n'z, и тогда
пх = yjl - п\ - п\, п'х =
х = yjl - п\ - п\, пх
Подставляя эти выражения в
dx = —х dnx — у dny — z dnz + x'dnx + y'dn'y + z'dn'z,
находим для дифференциала dx'-
= —\У — —x) dny — (z — —x) dnz+
\ nx /	V nx /
Отсюда находим окончательно следующие уравнения:
пу	ду	nz	ду
7/ 	 	У-г —	—	7 	 —— Т —	—
пх	dny	nx	dnz
определяющие искомое общее соотношение между п, п', г, г'.
Функция х характеризует конкретные свойства тел, через ко-
которые проходят лучи (или свойства поля — в случае движения
заряженных частиц).
При заданных значениях п, п' каждая из двух пар уравнений
E5.6) изображает собой прямую линию. Эти прямые являются
не чем иным, как лучами до и после прохождения через оптичес-

§ 56	ТОНКИЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ	193
кую систему. Таким образом, уравнения E5.6) непосредственно
определяют ход лучей по обе стороны оптической системы.
§ 56. Тонкие пучки лучей
При рассмотрении прохождения пучков лучей через опти-
оптические системы особый интерес представляют пучки, все лучи
которых пересекаются в одной точке (так называемые гомоцен-
гомоцентрические пучки).
Гомоцентрический пучок лучей после прохождения через оп-
оптическую систему, вообще говоря, перестает быть гомоцентри-
гомоцентрическим, т. е. после прохождения через тела лучи не собираются
вновь в какой-нибудь одной точке. Только в особых случаях
лучи, исходящие из светящейся точки, после прохождения через
оптическую систему вновь пересекаются все в одной точке —
изображении светящейся точки1).
Можно показать (см. §57), что единственный случай, когда
все гомоцентрические пучки остаются после прохождения через
оптическую систему строго гомоцентрическими, есть тождест-
тождественное отображение, т. е. случай, когда изображение отличается
от предмета только его переносом, поворотом или зеркальным
отражением как целого.
Таким образом, никакая оптическая система не может дать
вполне резкое изображение предмета (обладающего конечны-
конечными размерами), за исключением только тривиального случая
тождественного изображения2). Возможно лишь приближенное,
не вполне резкое осуществление нетождественного изображения
протяженных предметов.
Наиболее важным случаем приближенного перехода гомоцен-
гомоцентрических пучков в гомоцентрические же являются достаточно
тонкие пучки (т.е. пучки с малым углом раствора), идущие
вблизи определенной (для данной оптической системы) линии.
Эта линия называется оптической осью системы.
Необходимо при этом отметить, что даже бесконечно уз-
узкие пучки лучей (в трехмерном пространстве) в общем случае
не являются гомоцентрическими; мы видели (см. рис. 7), что
и в таком пучке различные лучи пересекаются в различных
точках (это явление называется астигматизмом). Исключение
х) Точка пересечения может лежать либо на самих лучах, либо на линии
их продолжения; в зависимости от этого изображения называются соответ-
соответственно действительными или мнимыми.
2) Такое отображение может быть осуществлено с помощью плоских
зеркал.
7 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

194
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
представляют те точки волновой поверхности, в которых оба ее
главных радиуса кривизны равны друг другу, — вблизи такой
точки малый участок поверхности можно рассматривать как
сферический, и соответствующий тонкий пучок лучей является
гомоцентрическим.
Будем рассматривать оптические системы, обладающие акси-
аксиальной симметрией1). Ось симметрии такой системы является
в то же время ее оптической осью. Действительно, волновая
поверхность пучка лучей, идущего вдоль этой оси, тоже име-
имеет аксиальную симметрию; поверхности же вращения имеют в
точках своего пересечения с осью симметрии два равных друг
другу радиуса кривизны. Поэтому тонкий пучок, идущий в этом
направлении, остается гомоцентрическим.
Для нахождения общих количественных соотношений, опре-
определяющих отображения с помощью тонких пучков, проходящих
через аксиально-симметричные оптические системы, воспользу-
воспользуемся уравнениями E5.6), определив предварительно вид функ-
функции х в рассматриваемом случае.
Поскольку пучки лучей тонкие и идут вблизи оптической оси,
то векторы п и п' для каждого пучка направлены почти вдоль
этой оси. Если выбрать оптическую ось в качестве оси ж, то
компоненты ny, nz, п'у, n'z будут малы по сравнению с единицей.
Что касается компонент пж, п'х, то пх ~ 1, anj, может быть при-
приближенно равным +1 или —1. В первом случае лучи продолжают
идти почти в прежнем направлении, попадая в пространство по
другую сторону оптической системы, которую в этом случае на-
называют линзой. Во втором случае лучи изменяют направление на
почти противоположное; такая оптическая система называется
зеркалом.
Воспользовавшись малостью ny,nz,nfy,nz, разложим угловой
эйконал x(nyinz,n'y,n'z) в РЯД и ограничимся первыми членами.
В силу аксиальной симметрии всей системы, х должно быть
инвариантно по отношению к поворотам системы координат во-
вокруг оптической оси. Отсюда видно, что членов первого порядка,
пропорциональных первым степеням у- и z-компонент векторов
п и п', в разложении х не может быть, —эти члены не облада-
обладали бы требуемой инвариантностью. Из членов второго порядка
требуемым свойством обладают квадраты п2, п'2 и скалярное
произведение пп'. Таким образом, с точностью до членов второго
г) Можно показать, что задача об отображении с помощью тонких пучков,
идущих вблизи оптической оси в не аксиально-симметричной оптической
системе, может быть сведена к отображению аксиально-симметричной си-
системой вместе с последующим поворотом получающегося при этом изобра-
изображения как целого относительно изображаемого предмета.

§ 56	ТОНКИЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ	195
порядка угловой эйконал для аксиально-симметричной оптиче-
оптической системы имеет вид
X = const + |(nj + n\) + f(nyn'y + nzn'z) + fa* + n'z2), E6.1)
где /, g, h — постоянные.
Мы будем рассматривать сейчас для определенности случай
линзы, в связи с чем положим п'х « 1; для зеркал, как будет
ниже указано, все формулы имеют аналогичный вид. Подставляя
теперь выражение E6.1) в общие уравнения E5.6), находим
пу(х -g)~ fn'y = У, fny + nry(xr + h) = у\
nz(x - g) - fn'z = z, fnz + riz(x' + h) = z'.
Рассмотрим гомоцентрический пучок, исходящий из точки ж,
у, z\ точка a/, yf, zf пусть будет той, в которой пересекаются все
лучи пучка после прохождения через линзу. Если бы первая и
вторая пары уравнений E6.2) были независимы, то эти четыре
уравнения при заданных ж, у, z, ж', у', zr определили бы одну
определенную систему значений пу, nz, nfy, nfz, т.е. всего только
один из лучей, выходящих из точки ж, у, z, прошел бы через
точку а/, у\ z1. Для того чтобы все лучи, выходящие из ж, у,
z, прошли через а/, ?/, zr, необходимо, следовательно, чтобы
уравнения E6.2) не были независимы, т. е. чтобы одна пара этих
уравнений была следствием другой. Необходимым для такой
зависимости условием является, очевидно, пропорциональность
коэффициентов одной пары уравнений коэффициентам другой
пары. Таким образом, должно быть
в частности,
(x-g)(x' + h) = -f.	E6.4)
Полученные уравнения определяют искомую зависимость ко-
координат точки изображения от координат предмета при отобра-
отображении с помощью тонких пучков.
Точки х = g, х' = — h на оптической оси называются глав-
главными фокусами оптической системы. Рассмотрим пучки лучей,
параллельных оптической оси. Точка испускания такого луча
находится, очевидно, в бесконечности на оптической оси, т. е.
х = ос. Из E6.3) видно, что в этом случае х1 = —h. Таким
образом, параллельный пучок лучей после прохождения через
оптическую систему пересекается в главном фокусе. Наоборот,
пучок лучей, исходящий из главного фокуса, становится после
прохождения через систему параллельным.

196
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
В уравнениях E6.3) координаты х и х' отсчитываются от
одного и того же начала координат, лежащего на оптической
оси. Удобнее, однако, отсчитывать координаты предмета и изоб-
изображения от разных начал координат, выбрав их соответственно
в главных фокусах. В качестве положительного направления
отсчета координат выберем направления от соответствующего
фокуса в сторону, направленную по ходу луча. Обозначая новые
координаты предмета и изображения большими буквами, имеем
Уравнения отображения E6.3) и E6.4) принимают в новых обо-
обозначениях вид
XX1 = -/2,	E6.5)
— = — = J- = - — .	E6.6)
Y Z X	f	У }
Величину / называют главным фокусным расстоянием системы.
Отношение Y1/Y называется боковым увеличением. Что ка-
касается продольного увеличения, то, поскольку координаты не
просто пропорциональны друг другу, его следует писать в диф-
дифференциальном виде, сравнивая элемент длины предмета (в на-
направлении оси) с элементом длины изображения. Из E6.5) пи-
пишем для продольного увеличения:
dX'
dX
Мы видим отсюда, что даже для бесконечно малых пред-
предметов нельзя получить геометрически подобного изображения.
Продольное увеличение никогда не равно поперечному (за ис-
исключением тривиального случая тождественного отображения).
Пучок, вышедший из точки X = f на оптической оси, пере-
пересекается вновь в точке X' = — f на той же оси; эти две точки
называются главными. Из уравнений E6.2) (пуХ — fn'y = Y',
nzX — fnfz = Z) видно, что в этом случае (X = /, Y = Z = 0)
имеют место равенства пу = пу, nz = n'z. Таким образом, всякий
луч, выходящий из главной точки, пересекает вновь оптическую
ось в другой главной точке в направлении, параллельном перво-
первоначальному.
Если координаты предмета и его изображения отсчитывать
от главных точек (а не от главных фокусов), то для этих коор-
координат ? и ?' имеем

§ 56	ТОНКИЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ	197
Подставляя это в E6.5), легко получаем уравнение отображения
в виде
\-f = -j-	E6-8)
Можно показать, что у оптических систем с малой толщиной
(например, у зеркала, узкой линзы) обе главные точки почти
совпадают. В этом случае в особенности удобно уравнение E6.8),
так как в нем ? и ?' отсчитываются тогда практически от одной
и той же точки.
Если фокусное расстояние положительно, то предметы, на-
находящиеся спереди (по ходу луча) от фокуса (X > 0), отобража-
отображаются прямо (Y1 /Y > 0); такие оптические системы называются
собирательными. Если же / < 0, то при X > 0 имеем Yf/Y < 0,
т. е. предмет отображается обратным образом; такие системы
называются рассеивающими.
Существует один предельный случай отображения, который
не содержится в формулах E6.8), —это случай, когда все три
коэффициента /, g, h делаются бесконечными (т. е. оптическая
система имеет бесконечное фокусное расстояние и ее главные
фокусы находятся в бесконечности). Переходя в уравнении E6.4)
к пределу бесконечных /, g, /г, находим
Поскольку представляет интерес только тот случай, когда пред-
предмет и его изображение находятся на конечных расстояниях от
оптической системы, то /, g, h должны стремиться к бесконеч-
бесконечности так, чтобы отношения /i/g, (/2 — gh)/g были конечными.
Обозначая их соответственно через о? и /3, имеем: х1 = а2х + C.
Для двух других координат мы имеем теперь из уравне-
уравнения E6.7):
У z
Наконец, отсчитывая снова координаты ж и ж' от разных начал
координат, соответственно от произвольной точки на отражае-
отражаемой оси и от изображения этой точки, получаем окончательно
уравнения отображения в простом виде
X1 = а2Х, Y1 = ±aY, Zf = ±aZ.	E6.9)
Таким образом, продольные и поперечные увеличения постоян-
постоянны (но не равны друг другу). Рассмотренный случай отображе-
отображения называется телескопическим.

198
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Все выведенные нами для линз формулы E6.5)-E6.9) в рав-
равной мере применимы и к зеркалам, и даже к оптическим си-
системам без аксиальной симметрии, если только отображение
осуществляется тонкими пучками лучей, идущими вблизи оп-
оптической оси. При этом всегда отсчет ж-координат предмета и
изображения должен производиться вдоль оптической оси от
соответствующих точек (главных фокусов или главных точек)
по направлению распространения луча. Надо иметь в виду при
этом, что у оптических систем, не обладающих аксиальной сим-
симметрией, направления оптической оси впереди и позади системы
не лежат на одной прямой.
Задачи
1. Определить фокусное расстояние для отображения с помощью двух
аксиально-симметричных оптических систем с совпадающими оптическими
осями.
Решение. Пусть Д и /2 — фокусные расстояния обеих систем. Для
каждой системы в отдельности имеем
XiXx = —/1, Х2Х2 = —f2.
Поскольку изображения, даваемые первой системой, являются предметом
для второй, то, обозначая буквой / расстояние между задним главным
фокусом первой системы и передним фокусом второй, имеем Х2 = Х[ —
— Ц выражая Х2 через Хг, находим
или
Xl + f±\(x>2-fA\ = _(fih
откуда видно, что главные фокусы составной системы находятся в точках
Х\ = —/i//, Х2 = /| //, а фокусное расстояние равно
f= /1/2
J	I
(для выбора знака в этом выражении надо написать соответствующее урав-
уравнение для поперечного увеличения).
В случае, если / = О, фокусное расстояние / = оо, т. е. составная система
дает телескопическое отображение. В этом случае имеем: Х2 = Xi(f2/fiJ,
т.е. параметр а в общей формуле E6.9) равен а = /2//1.
2. Определить фокусное расстояние «магнитной линзы» для заряжен-
заряженных частиц, представляющей собой продольное однородное магнитное поле
в участке длины / (рис. 8I).
Решение. При движении в магнитном поле кинетическая энергия
частицы сохраняется; поэтому уравнение Гамильтона-Якоби для укорочен-
укороченного действия So (г) (полное действие S = — St + So) есть
1) Речь может идти о поле в длинном соленоиде при пренебрежении иска-
искажением однородности поля вблизи концов соленоида.

56	ТОНКИЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ	199
где
2
р = —=
с
2 &	2 2	,
р = —=— т с = const.
с
Воспользовавшись формулой A9.4) для векторного потенциала однородного
магнитного поля, выбирая ось х вдоль направления последнего и рассмат-
рассматривая ее как оптическую ось аксиально-сим-
аксиально-симметричной оптической системы, получим	3
2
2
уравнение Гамильтона-Якоби в виде
х
п~г~=г>~. A)	I	>\
4с		^ _ v
где г — расстояние от оси ж, a So — функция	Рис. 8
от х и г.
Для тонких пучков частиц, распространяющихся вблизи оптической
оси, координата г мала, соответственно чему ищем So в виде ряда по степе-
степеням г. Первые два члена этого ряда:
So = рх + ^(т(х)г2,	B)
где сг(х) удовлетворяет уравнению
Р<г(х)+(г + г
4с
В области 1 перед линзой имеем
2=0.	C)
X — Х\
где х\ < 0— постоянная. Это решение соответствует свободному пучку
частиц, разлетающихся по прямым лучам из точки х = х\ на оптической оси
в области 1. Действительно, свободному движению частицы с импульсом р
в направлении от точки х = х\ соответствует действие
2
So = рл/г2 + (х - xiJ « p(x -
рг
' 2{х-:
Аналогично, в области 2 позади линзы пишем
X — Х2
где постоянная Х2 представляет собой координату изображения точки х\.
В области же 3 внутри линзы решение уравнения C):
(з) еН (еН , Л
а = -- ctg —х + С ,
2с V 2ср	/
где С — произвольная постоянная.
Постоянные С и Х2 (при заданном х\) определяются условиями непре-
непрерывности <т(х) при х = 0 и х = /:
р еН	р	еН (еН
xi 2с	I — Х2 2с \2ср
Исключая из этих равенств постоянную С, получим

200
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
где1)
2ср еШ .	.	2ср
g=	^ctg	, h = g + l, / =
еН 2ср
2ср
§ 57. Отображение широкими пучками лучей
Рассмотренное в предыдущем параграфе отображение пред-
предметов с помощью тонких пучков лучей является приближенным;
оно тем точнее (т. е. резче), чем уже эти пучки. Перейдем теперь
к вопросу об отображении предметов пучками лучей произволь-
произвольной ширины.
В противоположность отображению предметов тонкими
пучками, которое можно осуществить с любой оптической
системой, обладающей аксиальной симметрией, отображение
широкими пучками возможно только с помощью определенным
образом построенных оптических систем. Даже с этим огра-
ограничением возможно, как уже указывалось в § 56, отображение
далеко не всех точек пространства.
Дальнейшие выводы основаны на следующем существенном
замечании. Пусть все лучи, выходящие из некоторой точки О
и проходящие через оптическую систему, вновь пересекаются в
некоторой точке О1. Легко видеть, что оптическая длина пути
одинакова для всех этих лучей. Действительно, вблизи каждой
из точек О, О1 волновые поверхности для пересекающихся в них
лучей являются сферами с центрами соответственно в О и О' и в
пределе, при приближении к О и О', вырождаются в эти точки.
Но волновые поверхности являются поверхностями постоянной
фазы, и поэтому изменения фазы вдоль разных лучей между
точками их пересечения двух определенных волновых поверх-
поверхностей одинаковы. Из сказанного следует, что одинаковы (для
разных лучей) и полные изменения фазы между точками О и О'.
Выясним условия, необходимые для осуществления отобра-
отображения широкими пучками малого отрезка прямой; изображение
представляет собой при этом тоже малый отрезок прямой. Вы-
Выберем направления этих отрезков за направления осей (назовем
их ? и ?') с началами О и О' в каких-либо соответствующих друг
другу точках предмета и изображения. Пусть ф есть оптическая
длина пути для лучей, выходящих из О и приходящих в О1. Для
лучей, выходящих из бесконечно близкой к О точки с коорди-
координатой <i? и сходящихся в точке изображения с координатой d?',
г) Значение / дано с правильным знаком, определение которого, однако,
требует дополнительного исследования.

§ 57	ОТОБРАЖЕНИЕ ШИРОКИМИ ПУЧКАМИ ЛУЧЕЙ	201
оптическая длина пути есть ф + dip, где
Введем «увеличение» при отображении
как отношение длины d^' элемента изображения к длине отоб-
отображаемого элемента с??. В силу малости отображаемого отрезка
увеличение а можно считать величиной, постоянной вдоль его
длины. Написав так же, как обычно, дф/д^ = —п^ дф/д^' =
= n't (ri?, n't— косинусы углов между направлениями луча и
соответственно осями ? и ?'), получим
dф = (а^п'^ — п^) d?.
Как и для всякой пары соответствующих друг другу точек пред-
предмета и изображения, оптическая длина пути ф + dф должна быть
одинаковой для всех лучей, выходящих из точки с координатой
<i? и приходящих в точку d?'. Отсюда получаем условие:
f ~ Щ — const.	E7.1)
Это и есть искомое условие, которому должен удовлетворять
ход лучей в оптической системе при отображении широкими
пучками малого отрезка прямой. Соотношение E7.1) должно
выполняться для всех лучей, выходящих из точки О.
Применим теперь полученное условие к отображению с по-
помощью аксиально-симметричной оптической системы.
Начнем с отображения отрезка прямой, лежащего на оптиче-
оптической оси системы (ось ж); из соображений симметрии очевидно,
что изображение будет тоже лежать на оси. Луч, идущий вдоль
оптической оси (пх = 1), в силу аксиальной симметрии системы
не меняет своего направления при прохождении через нее, т. е.
п'х = 1. Отсюда следует, что const в E7.1) равна в рассматрива-
рассматриваемом случае ах — 1, и мы можем переписать E7.1) в виде
Обозначая через вив' углы, образуемые лучами с оптической
осью в точках предмета и изображения, имеем
о 9	/	о 9'
1 — пх = 1 — cos в = 2 sin -, 1 — пх = 2 sin —.
А	А

202
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Таким образом, получим условие отображения в виде
sin@/2)	,		,„ лЧ
v I } = const = у/с^.	E7.2)
sinF>72)
Далее, рассмотрим отображение малого участка плоскости,
перпендикулярной к оптической оси аксиально-симметричной
системы; изображение будет, очевидно, тоже перпендикулярно
к этой оси. Применяя E7.1) к любому отрезку, лежащему в
отображенной плоскости, получим
ar sin в' — sin в = const,
где в и в' — по-прежнему углы между лучом и оптической осью.
Для лучей, вышедших из точки пересечения изображаемой плос-
плоскости с оптической осью в направлении этой оси E = 0), должно
быть, в силу симметрии, и в1 = 0. Поэтому const = 0, и мы
получаем условие отображения в виде
-т^-7 = const = ar.	E7.3)
Что касается отображения широкими пучками трехмерных
предметов, то легко видеть, что оно невозможно даже при малом
объеме тела, поскольку условия E7.2) и E7.3) несовместимы
друг с другом.
§ 58. Пределы геометрической оптики
По определению плоской монохроматической волны ее ам-
амплитуда везде и всегда одинакова. Такая волна бесконечна по
всем направлениям в пространстве и существует на протяжении
всего времени от —ос до + ос. Всякая же волна с не везде и не
всегда постоянной амплитудой может быть лишь более или менее
монохроматической. Мы займемся теперь выяснением вопроса о
степени немонохроматичности волн.
Рассмотрим электромагнитную волну с амплитудой, являю-
являющейся в каждой точке пространства функцией времени. Пусть
luq есть некоторая средняя частота волны. Тогда поле волны
(например электрическое) в данной точке имеет вид Ео(?)е~ги;о*.
Это поле, не являющееся, конечно, само монохроматическим,
можно, однако, разложить на монохроматические компоненты,
т. е. в интеграл Фурье. Амплитуда компоненты этого разложения
с частотой uj пропорциональна интегралу
Г

§ 58	ПРЕДЕЛЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ	203
Множитель еъ(ш—шо№ является периодической функцией, среднее
значение которой равно нулю. Если бы Eq было вообще постоян-
постоянным, то интеграл был бы в точности равен нулю при всех ио ф uj§.
Если же Ео(?) переменно, но почти не меняется на протяжении
промежутков времени порядка 1/\ш — о;о|, то интеграл почти
равен нулю, тем точнее, чем медленнее меняется Ео- Для того
чтобы интеграл был заметно отличен от нуля, необходимо, что-
чтобы Ео(?) заметно менялось на протяжении промежутка времени
порядка 1/\ш — шо\.
Обозначим через At порядок величины промежутка времени,
в течение которого амплитуда волны в данной точке простран-
пространства заметно меняется. Из приведенных соображений следует
теперь, что наиболее отличающиеся от с^о частоты, входящие в
спектральное разложение этой волны с заметными интенсивно-
стями, определяются из условия 1/\ш — сио\ ~ At. Если обозна-
обозначить через Act; интервал частот (вокруг средней частоты с^о) в
спектральном разложении, то, следовательно, имеет место соот-
соотношение
До;- At- 1.	E8.1)
Мы видим, что действительно волна тем более монохроматична
(т.е. Аси тем меньше), чем больше At, т.е. чем медленнее меня-
меняется в каждой точке пространства ее амплитуда.
Соотношения, аналогичные E8.1), легко вывести и для вол-
волнового вектора. Пусть Дж, Ду, Az — порядки величин расстоя-
расстояний вдоль осей ж, у, z, на которых заметно меняется амплитуда
волны. В данный момент времени поле волны как функция от
координат имеет вид
Eo(r)eikor,
где kg — некоторое среднее значение волнового вектора. Совер-
Совершенно аналогично выводу E8.1) можно найти интервал Ак
значений, имеющихся в разложении рассматриваемой волны в
интеграл Фурье:
Акх • Ах ~ 1, Аку • Ау ~ 1, Akz • Az ~ 1.	E8.2)
Рассмотрим, в частности, волну, излучавшуюся в течение
некоторого конечного интервала времени. Обозначим через At
порядок величины этого интервала. Амплитуда в данной точке
пространства во всяком случае заметно изменяется за время At,
в течение которого волна успеет целиком пройти через эту точку.
На основании соотношения E8.1) мы можем теперь сказать, что
«степень немонохроматичности» такой волны Аои во всяком слу-
случае не может быть меньше, чем I/At (но может, конечно, быть

204
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
и больше):
Аш > ^.	E8.3)
Аналогично, если Дж, Ay, Az — порядки величины размеров
волны в пространстве, то для интервалов значений компонент
волнового вектора, входящих в разложение волны, находим
Ых>± Aky>± Akz>-L.	E8.4)
Из этих формул следует, что если мы имеем пучок света ко-
конечной ширины, то направление распространения света в таком
пучке не может быть строго постоянным. Направляя ось х по
направлению (среднему) света в пучке, мы получаем
где в у — порядок величины отклонения пучка от среднего на-
направления в плоскости жу, а Л —длина волны.
С другой стороны, формула E8.5) дает ответ на вопрос о
предельной резкости оптических изображений. Пучок света, все
лучи которого согласно геометрической оптике должны были бы
пересечься в одной точке, в действительности дает изображение
не в виде точки, а в виде некоторого пятна. Для ширины А этого
пятна имеем, согласно E8.5),
А ~ Ye ~ *	^
где в — угол раствора пучка. Эту формулу можно применить не
только к изображению, но и к предмету. Именно, можно утвер-
утверждать, что при наблюдении исходящего из светящейся точки
пучка света эту точку нельзя отличить от тела размера А/0.
Соответственно этому формула E8.6) определяет предельную
разрешающую силу микроскопа. Минимальное значение А, до-
достигающееся при в rsj l? есть Л, в полном согласии с тем, что
пределы геометрической оптики определяются длиной волны
света.
Задача
Найти порядок величины наименьшей ширины светового пучка, полу-
получающегося от параллельного пучка света на расстоянии / от диафрагмы.
Решение. Обозначив размер отверстия диафрагмы через d, имеем
из E8.5) для угла отклонения лучей («угла дифракции») значение ~ А/с?,
откуда ширина пучка порядка d -\	/. Наименьшее значение этой величи-
d

§ 59	дифракция	205
§ 59. Дифракция
Законы геометрической оптики строго точны лишь в иде-
идеальном случае, когда длину волны можно рассматривать как
бесконечно малую. Чем хуже выполнено это условие, тем сильнее
проявляются отклонения от геометрической оптики. Явления,
наблюдающиеся в результате этих отклонений, носят название
явлений дифракции.
Явления дифракции можно наблюдать, например, если на
пути распространения светах) находятся препятствия — непро-
непрозрачные тела (будем называть их экранами) произвольной фор-
формы или, например, если свет проходит через отверстия в непро-
непрозрачных экранах. Если бы законы геометрической оптики строго
выполнялись, то за экранами находились бы области тени, рез-
резко отграниченные от областей, куда свет попадает. Дифракция
же приводит к тому, что вместо резкой границы между светом
и тенью получается довольно сложная картина распределения
интенсивности света. Эти явления дифракции тем сильнее вы-
выражены, чем меньше размеры экранов и отверстий в них или
чем больше длина волны.
Задача теории дифракции заключается в том, чтобы при
данном расположении и форме тел (и расположении источни-
источников света) определить распределение света, т. е. электромагнит-
электромагнитное поле во всем пространстве. Точное разрешение этой задачи
возможно только путем решения волнового уравнения с соот-
соответствующими граничными условиями на поверхности тел, за-
зависящими еще к тому же и от оптических свойств материала.
Такое решение обычно представляет большие математические
трудности.
Однако во многих случаях оказывается достаточным прибли-
приближенный метод решения задачи о распределении света вблизи
границы между светом и тенью. Этот метод применим в случаях
слабого отклонения от геометрической оптики. Тем самым пред-
предполагается, во-первых, что все размеры велики по сравнению
с длиной волны (это относится как к размерам экранов или
отверстий в них, так и к расстояниям от тел до точек испус-
испускания и наблюдения света); во-вторых, рассматриваются лишь
небольшие отклонения света от направления лучей, определяе-
определяемых геометрической оптикой.
Рассмотрим какой-нибудь экран с отверстием, через которое
проходит свет от данных источников. Рисунок 9 изображает
x)Mbi будем говорить для определенности о свете; все нижеследующее
относится, конечно, к любым электромагнитным волнам.

206
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
этот экран в разрезе (жирная линия); свет идет слева направо.
Будем обозначать буквой и любую из компонент поля Е или
Н. При этом под и мы будем подразумевать поле как функцию
только от координат, т.е. без множителя e~tu>t, определяющего
зависимость от времени. Нашей задачей является определение
интенсивности света, т. е. поля и в любой
точке наблюдения Р за экраном. При при-
приближенном решении этой задачи в случа-
случаях, когда отклонения от геометрической
оптики малы, можно считать, что в точках
отверстия поле таково, каким оно было бы
при отсутствии вообще какого-либо экрана.
Другими словами, значения поля здесь
те, которые следуют из геометрической
рис g	оптики. Во всех же точках, находящихся
непосредственно за экраном, поле можно
положить равным нулю. При этом, очевидно, свойства самого
экрана (материала, из которого он сделан) вообще не играют
роли. Очевидно также, что в рассматриваемых случаях для ди-
дифракции существенна только форма края отверстия и не суще-
существенна форма непрозрачного экрана.
Проведем какую-нибудь волновую поверхность, закрываю-
закрывающую отверстие в экране и ограниченную его краями (разрез
такой поверхности на рис. 9 изображен штриховой линией).
Эту поверхность разобьем на участки с площадью с?/,малые по
сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с
длиной волны света. Мы можем тогда рассматривать каждый из
этих участков, до которых дошла световая волна, так, как будто
бы он сам делается источником световой волны, распространяю-
распространяющейся во все стороны от этого участка. Поле в точке Р мы
будем рассматривать как результат наложения полей, исходящих
из всех участков df поверхности, закрывающей отверстие (так
называемый принцип Гюйгенса).
Поле, создаваемое участком df в точке Р, пропорционально
значению и поля в самом участке df (напоминаем, что поле
в df мы предполагаем таким, каким оно было бы при отсут-
отсутствии экрана. Кроме того, оно пропорционально проекции dfn
площади df на плоскость, перпендикулярную к направлению п
луча, пришедшего из источника света в df. Это следует из того,
что какой бы формой ни обладал участок d/, через него будут
проходить одинаковые лучи, если только его проекция dfn будет
неизменной, а потому и его действие на поле в точке Р будет
одинаковым.

§ 59	дифракция	207
Таким образом, поле, создаваемое в точке Р участком df, про-
пропорционально udfn. Далее, надо еще учесть изменение амплиту-
амплитуды и фазы волны при ее распространении от df к точке Р. Закон
этого изменения определяется формулой E4.3). Поэтому udfn
надо умножить еще на (l/R)elkR (где R — расстояние от df до
Р, а к — абсолютная величина волнового вектора света), и мы
находим, что искомое поле равно
eikR
au——dfn,
ti
где а есть неизвестная пока постоянная. Полное же поле в точке
Р, являющееся результатом наложения полей, создаваемых все-
всеми d/, есть
иР
/i,pikR
^#n,	E9.1)
где интеграл распространен по поверхности, ограниченной краем
отверстия. Этот интеграл в рассматриваемом приближении не
зависит, конечно, от формы этой поверхности. Формула E9.1)
применима, очевидно, и к дифракции не от отверстия на экране,
а от экрана, вокруг которого свет может свободно распростра-
распространяться. В этом случае поверхность интегрирования в E9.1) про-
простирается во все стороны от края экрана.
Для определения постоянной а рассмотрим плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси х\ волновые поверхности парал-
параллельны плоскости yz. Пусть и есть значение поля в плоскости yz.
Тогда в точке Р, которую мы выберем на оси ж, поле равно up =
_ иегкх q другой стороны, поле в точке Р можно определить,
исходя из формулы E9.1) и выбрав в качестве поверхности ин-
интегрирования, например, плоскость yz. При этом ввиду малости
угла дифракции в интеграле существенны только точки плоско-
плоскости yz, близкие к началу координат, т. е. точки, в которых y,z <С
<С х {х — координата точки Р).
Тогда
R = ^Х2 + у2
и E9.1) дает
eikx Г	{.7У2\ ,	[	Л7 z2\ ,
up = аи	 / exp ik— dy • / ехр гк— dz,
х J	\ 2х)	J	\ 2х)
—сю	—сю
где и— постоянная (поле в плоскости yz)] в множителе 1/R
можно положить R ~ х = const. Стоящие здесь интегралы

208
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
подстановкой у = ^^/2х/к приводятся к виду
[ e*2df = f cosfdt, + г f sinfdt, = w|(l + i),
—oo	—oo	—oo
и мы получаем: up = аиегкх-2т/к. С другой стороны, up = иегкх
и, следовательно, а = к/Bш). Подставляя это в E9.1), находим
окончательное решение поставленной задачи в виде
***»•	E9-2)
При выводе формулы E9.2) источник света предполагался,
по существу, точечным, а самый свет—строго монохроматиче-
монохроматическим. Случай реального протяженного источника, испускающе-
испускающего немонохроматический свет, не нуждается, однако, в особом
исследовании. Вследствие полной независимости (некогерентно-
(некогерентности) света, испускаемого различными точками источника, и неко-
некогерентности различных спектральных компонент испускаемого
света суммарный результат дифракции сводится просто к сум-
сумме распределений интенсивности, получающихся от дифракции
каждой из независимых компонент света.
Применим формулу E9.2) для решения вопроса об изменении
фазы при прохождении луча через точку его касания с каустикой
(см. конец § 54). Выберем в качестве поверхности интегрирования
в E9.2) какую-либо волновую поверхность и будем определять
поле up в точке Р, лежащей на некотором данном луче на рас-
расстоянии х от точки его пересечения с выбранной волновой по-
поверхностью (эту точку выберем в качестве начала координат О,
а в качестве плоскости yz — плоскость, касательную к волновой
поверхности в точке О). При интегрировании в E9.2) существен
только небольшой участок волновой поверхности вблизи точки
О. Если плоскости ху и xz выбраны совпадающими с главны-
главными плоскостями кривизны волновой поверхности в точке О, то
вблизи этой точки уравнение поверхности есть
2fli 2R2
где R\ и i?2 — радиусы кривизны. Расстояние же R от точки
волновой поверхности с координатами X, у, z до точки Р с
координатами ж, 0, 0 есть
R = VWrWT?T^^+?(i _ i.) +1 (I _ i_).

§59
ДИФРАКЦИЯ
209
Вдоль волновой поверхности поле и можно считать постоянным;
то же касается и множителя 1/R. Поскольку мы интересуемся
только изменением фазы волны, то коэффициент опускаем и
пишем просто:
Up
)/•
JkR
+ ОО
exp
dfn~
+00
ik—l	) dy - / exp \ik
2 V x R\ J J	J
—00
. 7 ^ /1	1 \1
ik—
2 \x R2J\
dz.
E9.3)
Центры кривизны волновой поверхности лежат на рассмат-
рассматриваемом луче в точках х = R\ и х = i?25 это и есть точки
касания лучом обеих каустик. Пусть i?2 < Ri- При х < i?2 коэф-
коэффициенты при г в показателях подынтегральных выражений в
обоих интегралах положительны, и каждый из этих интегралов
содержит множитель 1 + г. Поэтому на участке луча до касания
первой каустики имеем up ~ егкх. При i?2 < х < i?i, т. е. на
отрезке луча между двумя точками касания, интеграл по dy
содержит множитель 1 + г, а интеграл по dz — множитель 1 — г,
так что их произведение вовсе не содержит г. Таким образом,
имеем здесь: up ~ —гегкх = ег(кх~п/2)^ т е. при прохождении
луча вблизи первой каустики фаза дополнительно меняется на
—тг/2. Наконец, при х > R\ имеем up ~ —егкх — ег{кх-п)^ т е
при прохождении вблизи второй каустики фаза еще раз меняется
на —тг/2.
Задача
Определить распределение интенсивности света вблизи точки касания
луча с каустикой.
Решение. Для решения задачи пользуемся формулой E9.2), произ-
производя в ней интегрирование по какой-либо волновой поверхности, достаточно
удаленной от рассматриваемой точки
касания луча с каустикой. На рис. 10
аЪ есть сечение этой волновой поверхно-
поверхности, а а'Ъ' — сечение каустики; а'Ъ' есть
эволюта кривой аЪ. Мы интересуемся
распределением интенсивности вблизи
точки О касания луча QO с каусти-
каустикой; длина D отрезка QO луча предпо-
предполагается достаточно большой. Обозна-
Обозначим расстояние от точки О вдоль нор-
нормали к каустике буквой х, причем бу-
будем считать положительными значения
х для точек, лежащих на нормали по направлению к центру кривизны.
Подынтегральное выражение в E9.2) есть функция от расстояния R от
произвольной точки Q' на волновой поверхности до точки Р. По известному

210
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
свойству эволюты сумма длины отрезка Q'O' касательной в точке О', и
длины дуги ОО' равна длине QO касательной в точке О. Для близких друг
к другу точек О л О' имеем ОО' = вр (р— радиус кривизны каустики в
точке О). Поэтому длина Q'O' = D — в р. Расстояние же Q'O (по прямой)
равно приближенно (угол 9 предполагается малым):
Q'O « Q'O' + psinO = D- вр + psmO &D- ^-.
6
Наконец, расстояние R = Q'P равно R та Q'O — x sin# та Q'O — xQ, т. е.
R^D-xO- -p0s.
Подставляя это выражение в E9.2), найдем
+ ОО	ОО
up~ f exp f-ikxO - г-^-вЛ dO = 2 fcos (кхв + ^-вЛ dO
-оо	О
(медленно меняющийся множитель 1/D в подынтегральном выражении не
существен по сравнению с экспоненциальным множителем, и мы считаем
его постоянным). Вводя новую переменную интегрирования ? = (кр/2I'36,
получим
р
где Ф(?) есть так называемая функция Эйри ).
1) Функция Эйри Ф(?) определяется формулой
|	A)
О
(см. том III, «Квантовая механика», §Ь). При больших положительных
значениях t функция Ф(?) экспоненциально убывает по асимптотическому
закону
^(V2)	B)
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях t функция
Ф() осциллирует с убывающей амплитудой по закону
Функция Эйри связана с функцией Макдональда (модифицированной
функцией Ганкеля) порядка 1/3:
Формула B) соответствует асимптотическому выражению функций Kv(t):

60	ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ	211
Для интенсивности / ~ \up\ напишем
1/6
(о выборе постоянного множителя см. ниже).
При больших положительных значениях х имеем отсюда асимптотиче-
асимптотическую формулу
А	( 4я3/2 \я?\
I « —— ехр	а /	 ,
2фс V 3 у Р '
т. е. интенсивность экспоненциально убывает (область «тени»). При больших
же по абсолютной величине отрицательных значениях х имеем
2Asm\- 7 А/^ + ^Ь
т. е. интенсивность быстро осциллирует; усредненное по этим осцилляциям
значение равно
у —х
Отсюда выясняется смысл постоянной А — она определяет интенсивность
вдали от каустики, которая получилась бы из геометрической оптики без
учета явлений дифракции.
Наибольшее значение, равное 0,949, функция Ф(?) имеет при t= —1,02;
соответственно этому наибольшая интенсивность достигается при
хBк2/рI/3 = -1,02 и равна
(в самой же точке касания луча с каустикой, х = 0, имеем 1=0,89Ак1'3р~г'6,
так как Ф@) = 0,629). Таким образом, вблизи каустики интенсивность про-
пропорциональна &1/3, т.е. А/3 (А — длина волны). При А —»> 0 интенсивность,
как и следовало (ср. §54), стремится к бесконечности.
§ 60. Дифракция Френеля
Если источник света и точка Р, в которой мы ищем интен-
интенсивность света, находятся на конечном расстоянии от экрана,
то для определения интенсивности в точке Р играет роль лишь
небольшой участок волновой поверхности, по которой происхо-
происходит интегрирование в E9.2), —участок, лежащий вблизи прямой,
соединяющей источник с точкой Р. Действительно, поскольку
отклонения от геометрической оптики слабы, то интенсивность
света, приходящего в Р из различных точек волновой поверхно-
поверхности, очень быстро падает по мере удаления от указанной прямой.
Дифракционные явления, в которых играют роль лишь неболь-
небольшие участки волновой поверхности, носят название дифракции
Френеля.

212
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
ГЛ. VII
Рис. 11
Рассмотрим дифракцию Френеля от какого-нибудь экрана.
Благодаря указанному свойству при этом играет роль (при за-
заданной точке Р) только небольшой участок края экрана. Но на
достаточно малых участках край
экрана можно всегда считать пря-
прямолинейным. Ниже под краем
экрана будет поэтому подразуме-
подразумеваться именно такой небольшой
прямолинейный участок.
Выберем в качестве плоско-
плоскости ху плоскость, проходящую че-
через источник света Q (рис. 11) и
через линию края экрана. Перпен-
Перпендикулярную к ней плоскость xz
выбираем так, чтобы она прошла
через точку Q и точку наблюдения Р, в которой мы ищем зна-
значение интенсивности света. Наконец, начало координат О выби-
выбираем на линии края экрана, после чего положение всех трех осей
вполне определено.
Обозначим расстояние от источника света Q до начала коор-
координат символом Dq, ж-координату точки наблюдения Р—сим-
Р—символом Dp, а ее z-координату, т. е. расстояние до плоскости ху, —
символом d. Согласно геометрической оптике свет мог бы по-
попасть только в точки, лежащие над плоскостью ху\ область же
под плоскостью ху есть область, где согласно геометрической
оптике была бы тень (область геометрической тени).
Мы определим теперь распределение интенсивности света за
экраном вблизи границы геометрической тени, т. е. при малых
(по сравнению с Dp и Dq) значениях d. Отрицательное d озна-
означает, что точка Р находится в области геометрической тени.
В качестве поверхности интегрирования в E9.2) выберем по-
полуплоскость, проходящую через линию края экрана перпендику-
перпендикулярно к плоскости ху. Координаты хжу точек этой поверхности
связаны друг с другом соотношением х = у tg а (а — угол между
линией края экрана и осью у), а координата z положительна.
Поле волны, исходящей из источника Q, на расстоянии Rq от
него пропорционально множителю exp(ikRq). Поэтому поле и
на поверхности интегрирования пропорционально
и ~ ехр
В интеграле E9.2) для R надо теперь подставить
- df + (Dp - ytgaf.

§ 60	ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ	213
В подынтегральном выражении медленно изменяющиеся мно-
множители не существенны по сравнению с экспоненциальным мно-
множителем. Поэтому мы можем считать 1/R постоянным, а вместо
dfn писать dydz. Мы находим тогда, что поле в точке Р
+ ОО ОО
иР ~	exp ]ikyJ{Dq + ytgaJ + у2 +
-оо 0
- dJ~\ dydz. F0.1)
Как мы уже говорили, в точку Р попадает свет главным об-
образом из точек плоскости интегрирования, близких к О. Поэтому
в интеграле F0.1) играют роль малые (по сравнению с Dq и Dp)
значения у и z. Мы можем написать
i 9 i / _7\9 т^ i У "г \z ~ a)	j.
+ yz + (z — d)z « Dp +	у tg a.
Подставим это в F0.1). Поскольку нас интересует поле толь-
только как функция от расстояния с?, то постоянный множитель
exp [ik(Dp + Dq)] опускаем; интеграл по dy тоже дает выражение,
не содержащее d, которое мы также опустим. Мы находим тогда:
р (	+ ()) dz.
о L	J
Это выражение можно написать и в таком виде:
оо
d2 1 [ Г.7
	 / exp \ik
P + Dq)\ J P L
l/Dq)z-d/Dp]2
/ exp \ik	;у
2(DP + Dq)\ J P L	1/DP + 1/Dq
0
F0.2)
Интенсивность света определяется квадратом поля, т. е. квад-
квадратом модуля \ир\2. Поэтому для нахождения интенсивности
стоящий перед интегралом множитель не существен, так как
при умножении на сопряженное выражение он дает единицу.
Очевидной подстановкой интеграл приводится к виду
Up
оо
[ eir>2dV,	F0.3)

214
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
где
Таким образом, интенсивность / в точке Р равна
w = dA I	^	.	F0.4)
А/ 2Dp(Dq * " ч	V J
где
р2 [
C(z) = \ — cost] dr\, S(z) = \l — I smr]zdr]
у тг J	у тг у
о	о
— так называемые интегралы Френеля. Формула F0.5) решает
поставленную задачу, определяя интенсивность света как функ-
функцию от d\ /о есть интенсивность в освещенной области в точках,
достаточно удаленных от края тени, т. е. при w ^> 1 (в пределе
w —» ос имеем С(оо) = S(oo) = 1/2).
Области геометрической тени соответствуют отрицательные
w. Легко выяснить асимптотический вид функции I(w) при
больших по абсолютной величине отрицательных значениях w.
Для этого поступим следующим образом. Интегрируя по частям,
имеем	оо	оо
2i|ti7|
2iJ	rf
Интегрируя в правой части равенства еще раз по частям и про-
продолжая этот процесс, получим ряд по степеням 1/|эд|
/
е"? d-ц = elw	f- + -!-з - • • • •	F0.6)
Хотя бесконечный ряд такого вида и не является сходящимся,
но ввиду того, что при больших \w\ величина его последователь-
последовательных членов быстро падает, уже первый его член дает хорошее
представление стоящей слева функции при достаточно больших
\w\ (ряды такого рода называются асимптотическими). Таким
образом, для интенсивности I(w) F0.5) получим следующую
асимптотическую формулу, пригодную для больших отрицатель-
отрицательных значений w:
I = -\.	F0.7)
4-7TW2	V	'

60
ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ
215
Мы видим, что в области геометрической тени, вдали от ее
края интенсивность стремится к нулю обратно пропорционально
квадрату расстояния от края тени.
Рассмотрим теперь положительные значения w, т.е. область
выше плоскости ху. Пишем
+оо
f eir>2dr] = Г eir>2dV - ! eir?dq = A + i) J^ - f j^dq.
—W	—OO	—OO	W
При достаточно больших w можно воспользоваться асимпто-
асимптотическим представлением стоящего в правой части равенства
интеграла, и мы будем иметь
/
Подставляя это выражение в F0.5), получим
= I0\l+ /l
У 7Г
W
F0.8)
F0.9)
Таким образом, в освещенной области, вдали от края тени,
интенсивность имеет неограниченный ряд максимумов и мини-
минимумов, так что отношение ///о колеблется в обе стороны от
Геометриче екая
тень
Освещенная область
Рис. 12
единицы. Размах этих колебаний уменьшается с ростом w обрат-
обратно пропорционально расстоянию от края геометрической тени,
а места максимумов и минимумов постепенно сближаются друг
с другом.
При небольших w функция I(w) имеет качественно тот же ха-
характер (рис. 12). В области геометрической тени интенсивность
спадает монотонно при удалении от границы тени (на самой этой

216
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
границе ///о = 1/4). При положительных w интенсивность имеет
чередующиеся максимумы и минимумы. В первом, наибольшем
из максимумов, I/Iq = 1,37.
§ 61. Дифракция Фраунгофера
Особый интерес для физических применений имеют дифрак-
дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плос-
плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок
теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся
в направлениях, отличных от первоначального. Поставим задачу
об определении распределения по направлениям интенсивности
дифрагированного света на больших расстояниях позади экрана
(такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции
Фраунгофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем ма-
малых отклонений от геометрической оптики, т. е. предполагаем
малыми углы отклонения от первоначального направления лу-
лучей (углы дифракции).
Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из
общей формулы E9.2), переходя в ней к пределу бесконечно
удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Ха-
Характерной особенностью рассматриваемого случая является при
этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем ин-
интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая
поверхность, по которой производится интегрирование (в проти-
противоположность случаю дифракции Френеля, когда важны лишь
участки волновой поверхности вблизи края экранаI).
Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не
прибегая к помощи общей формулы E9.2).
Обозначим через щ то поле позади экранов, которое имелось
бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно пред-
представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой,
1) Критерии дифракции Френеля и Фраунгофера легко получить, вернув-
вернувшись к формуле F0.2) и применив ее, например, к щели ширины а (вместо
края изолированного экрана). Интегрирование по dz в F0.2) должно произ-
производиться при этом в пределах от 0 до а. Дифракции Френеля соответствует
ситуация, когда в экспоненте подынтегрального выражения существен член
с z2 и верхний предел интеграла может быть заменен на оо. Для этого
должно быть
Напротив, если в этом неравенстве стоит обратный знак, член с z2
быть опущен; этому соответствует случай дифракции Фраунгофера.

§ 61	ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА	217
однако, имеются участки (отвечающие «тени» непрозрачных
экранов) с равным нулю полем. Обозначим буквой S ту часть
плоскости поперечного сечения, на которой поле щ отлично от
нуля; поскольку каждая такая плоскость является волновой по-
поверхностью плоской волны, то щ = const вдоль всей площади S.
В действительности, однако, волна с ограниченной пло-
площадью поперечного сечения не может быть строго плоской
(см. §58). В ее пространственное разложение Фурье входят
компоненты с волновыми векторами различных направлений,
что и является источником дифракции.
Разложим поле щ в двумерный интеграл Фурье по координа-
координатам у, z в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент
Фурье имеем
г г
F1.1)
где q — постоянный вектор в плоскости yz\ интегрирование про-
производится фактически лишь по той части S плоскости yz, на
которой щ отлично от нуля. Если к есть волновой вектор падаю-
падающей волны, то компоненте поля идещг отвечает волновой вектор
к' = к + q. Таким образом, вектор q = k' — к определяет изме-
изменение волнового вектора света при дифракции. Поскольку абсо-
абсолютные значения к = к1 = си /с, то малые углы дифракции ву,
6Z в плоскостях ху и xz связаны с составляющими вектора q
соотношениями
Qy = ~@у> Q.z = ~@z'	F1.2)
При малом отклонении от геометрической оптики компонен-
компоненты разложения поля щ можно считать совпадающими с компо-
компонентами истинного поля дифрагированного света, так что фор-
формула F1.1) решает поставленную задачу.
Распределение интенсивности дифрагированного света опре-
определяется квадратом |i?q|2 как функцией вектора q. Количествен-
Количественная связь с интенсивностью падающего света устанавливается
формулой
F1.3)
(ср. D9.8)). Отсюда видно, что относительная интенсивность ди-
дифракции в элемент телесного угла do = ddvddz дается величиной
|Цд|2 dqydqz _ / и V
ul BтгJ	\2тгс)
2
do.	F1.4)

218
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от двух экранов, яв-
являющихся «дополнительными» по отношению друг к другу: пер-
первый экран имеет отверстия там, где второй непрозрачен, и наобо-
наоборот. Обозначим через и^ и и^ поле света, дифрагировавшего
на этих экранах (при одинаковом в обоих случаях падающем
свете). Поскольку Uq и Uq выражаются интегралами F1.1),
взятыми по площадям отверстий в экранах, а отверстия в обоих
экранах дополняют друг друга до целой плоскости, то сумма
Щ + Щ есть компонента Фурье поля, получающегося при от-
отсутствии экранов, т. е. просто падающего света. Но падающий
свет представляет собой строго плоскую волну с определенным
направлением распространения, поэтому Uq + Uq = 0 при
всяком отличном от нуля q. Таким образом, имеем Uq ^ = —Uq ^
или, для соответствующих интенсивностей,
\и$)\2 = \и$)\2щ>ъ<1^0.	F1.5)
Это значит, что дополнительные экраны дают одинаковые рас-
распределения интенсивности дифрагированного света (так называ-
называемый принцип Бабине).
Упомянем здесь об одном интересном следствии принципа
Бабине. Рассмотрим какое-нибудь черное тело, т. е. тело, пол-
полностью поглощающее весь падающий на него свет. Согласно гео-
геометрической оптике при освещении такого тела за ним образова-
образовалась бы область геометрической тени, площадь сечения которой
была бы равна площади сечения тела в направлении, перпен-
перпендикулярном к направлению падения света. Наличие дифракции
приведет, однако, к частичному отклонению света от первона-
первоначального направления. В результате на большом расстоянии по-
позади тела тени не будет, а наряду со светом, распространяю-
распространяющимся в первоначальном направлении, будет также и некоторое
количество света, распространяющегося под небольшими угла-
углами к своему первоначальному направлению. Легко определить
интенсивность этого, как говорят, рассеянного света. Для этого
замечаем, что согласно принципу Бабине количество света, от-
отклонившегося вследствие дифракции на рассматриваемом теле,
равно количеству света, отклоняющегося при дифракции от про-
прорезанного в непрозрачном экране отверстия, форма и площадь
которого совпадают с формой и площадью поперечного сечения
тела. Но при дифракции Фраунгофера от отверстия происходит
отклонение всего проходящего через отверстие света. Отсюда
следует, что полное количество света, рассеянного на черном
теле, равно количеству света, падающего на его поверхность и
поглощаемого им.

§61
ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА
219
Задачи
1. Определить дифракцию Фраунгофера при нормальном падении плос-
плоской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями,
прорезанную в непрозрачном экране.
Решение. Выберем плоскость щели в качестве плоскости yz с осью z
вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана). При нормальном
падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей,
которую мы возьмем в качестве поверхности ин-
интегрирования в F1.1). Ввиду бесконечности длины
щели свет отклоняется только в плоскости ху (инте-
(интеграл F1.1) обращается в нуль при qz ф 0). Поэтому
разложение поля uq должно производиться лишь по
координате у:
и,
/
-iqy I	2uq .
е чуау = 	smqa.
Интенсивность дифрагированного света в интерва-
интервале углов dO есть
+а
\*
¦У
ио
dq
2тг
/о sin2 ka9
-как 92
de,
х
Рис. 13
2а
где к = и/с, а /о — полная интенсивность света, падающего на щель.
dl/d9 как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 14.
При увеличении 9 в ту или другую сторону от 9 = 0 интенсивность пробегает
„.„2 _	ряд максимумов с быстро убывающей вы-
высотой. Максимумы разделены в точках 9 =
= птг/ка (п — целые числа) минимумами, в
которых интенсивность обращается в нуль.
2. То же при дифракции от решетки —
плоского экрана с прорезанным в нем ря-
рядом одинаковых параллельных щелей (ши-
(ширина щели 2а, ширина непрозрачного экра-
экрана между соседними щелями 26, число ще-
щелей N).
Решение. Выберем плоскость ре-
решетки в качестве плоскости yz с осью z, па-
	х раллельной щелям. Дифракция снова про-
происходит лишь в плоскости ху, и интегриро-
интегрирование в F1.1) дает
0
Рис. 14
п=0
где d = а + Ь, & uq есть результат интегрирования по одной щели. Восполь-
Воспользовавшись результатами задачи 1, получим
2 / singa\2	/0 / sinNk9d\2 sin2 ka9
) i
1Т Ioa ( sinNqd\:
dl = —— ( —:	— )
Ntt V sin qd
qa
)
2 _
Nnak V sin k9d
-d9
(/o — полная интенсивность света, проходящего через все щели).
При большом числе щелей (N ^ сю) эту формулу можно написать в
ином виде. При значениях q = тгп/d (п — целое числа) dl/dq имеет макси-

220
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА	ГЛ. VII
мумы; вблизи такого максимума (т. е. при qd = птг + е, ? мало)
,т т ( sin qa \ 2 sin2 Ne ,
dl = loa[	— J —тг^-dq-
Но при N —»> оо имеет место формула1)
,. sin2 Nx с/ ч
lim 	— = о (ж).
Поэтому вблизи каждого максимума имеем
Jr	a / sin да \2 .
d/ = /о - (	— ) <5(е) de.
d^ qa '
т. е. максимумы обладают, в пределе, бесконечно малой шириной, а полная
интенсивность света в n-м максимуме есть
г(п) _ т d sm2(n7ra/d)
1 — J-0 2	2
тг а	п
3. Определить распределение интенсивности по направлениям при ди-
дифракции света, падающего в нормальном направлении на круглое отверстие
радиуса а.
Решение. Введем цилиндрические координаты z, r, (р с осью z,
проходящей через центр отверстия перпендикулярно к его плоскости. Оче-
Очевидно, что дифракция симметрична относительно оси z, так что вектор q
имеет лишь радиальную компоненту qr = q = кв. Отсчитывая угол ф от
направления q и интегрируя в F1.1) по плоскости отверстия, находим
а 2тг
) Г Г e~iqr cos ^r dip dr = 2тт0 / Jo (qr) r dr,
Щ = U0
0 0	0
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка. С помощью известной формулы
а
/ Jo(qr)rdr = -Ji(aq)
I	q
имеем отсюда
uq = 	Ji{aq),
q
и согласно F1.4) находим окончательно интенсивность света, дифрагиро-
дифрагировавшего в элемент телесного угла do:
dl = /о	2— ^°'
где /о — полная интенсивность света, падающего на отверстие.
1)При х ф 0 функция в левой части равенства равна нулю, а согласно
формулам, известным из теории рядов Фурье,
(а	\
1 f ?, ч sin2 Nx , \ х/пч
- / f(x)	— dx = /@).
тг J Nx	J
-a	/
Отсюда видно, что свойства этой функции действительно совпадают со
свойствами E-функции (см. примеч. на с. 103).

ГЛАВА VIII
ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ
§ 62. Запаздывающие потенциалы
В гл. V мы изучали постоянное поле, создаваемое покоящи-
покоящимися зарядами, а в гл. VI—переменное поле, но в отсутствие
зарядов. Теперь мы займемся изучением переменных полей при
наличии произвольно движущихся зарядов.
Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, созда-
создаваемого движущимися зарядами. Это удобно сделать в четы-
четырехмерном виде, повторив произведенный в конце § 46 вывод с
той лишь разницей, что надо использовать уравнения Максвелла
C0.2)
8Fik _ _4тг .i
~Ъ~хк~ ~ ~TJ
с отличной от нуля правой частью. Такая же правая часть по-
появится и в уравнении D6.8), и после наложения на потенциалы
условия Лоренца
7^Г = 0, т.е. -^ + divA = 0,	F2.1)
ох	с at
получим
-^ = ±3\	F2.2)
дхк дхк сJ	v }
Это и есть уравнение, определяющее потенциалы произволь-
произвольного электромагнитного поля. В трехмерном виде оно записыва-
записывается в виде двух уравнений — для А и для <р:
* д2А	4тг.	(ао Qx
?^ = "TJ'	F2'3)
~? = -4тгр.	F2.4)
Для постоянного поля они сводятся к уже известным нам урав-
уравнениям C6.4) и D3.4), а для переменного поля без зарядов —к
однородным волновым уравнениям.

222
ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
Решение неоднородных линейных уравнений F2.3), F2.4) мо-
может быть представлено, как известно, в виде суммы решения
этих же уравнений без правой части и частного интеграла урав-
уравнений с правой частью. Для нахождения этого частного инте-
интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки
и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся в одном
из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений
истинное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми та-
такими элементами.
Заряд de в заданном элементе объема является, вообще го-
говоря, функцией от времени. Если выбрать начало координат
в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда р =
= de(tM(R), где R—расстояние от начала координат. Таким
образом, нам надо решить уравнение
А<р ~ 7W = -47rde(*)<HR)-	F2-5)
Везде, кроме начала координат, 5(R) = 0, и мы имеем урав-
уравнение
с ее =°-	F2-6)
Очевидно, что в рассматриваемом случае <р обладает централь-
центральной симметрией, т. е. есть функция только от Л. Поэтому, если
написать оператор Лапласа в сферических координатах, то F2.6)
приобретет вид
R2dR\ OR
Для решения этого уравнения сделаем подстановку <р =
= %(Д, ?)/Д. Тогда для х мы получим
8R2 с2 dt2
Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид
(см. §47)
Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения, то
достаточно взять только одну из функций /i и /2. Обычно бывает
удобным выбирать /2 = 0 (см. об этом ниже). Тогда потенциал (р
везде, кроме начала координат, имеет вид

§ 62	ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ	223
Функция х в этом равенстве пока произвольна; выберем ее те-
теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также
и в начале координат. Иначе говоря, мы должны подобрать \ такэ
чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение F2.5). Это
легко сделать, заметив, что при R —> 0 сам потенциал стремит-
стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам
растут быстрее, чем производные по времени. Следовательно,
1 д2ш
при R —»> 0 в уравнении F2.5) можно пренебречь членом -z—|-
с dt
по сравнению с А(р. Тогда оно переходит в известное уже нам
уравнение C6.9), приводящее к закону Кулона. Таким образом,
вблизи начала координат формула F2.7) должна переходить в
закон Кулона, откуда следует, что х(?) = de(i), т.е.
_ de(t - R/c)
R
Отсюда легко перейти к решению уравнения F2.4) для про-
произвольного распределения зарядов р(ж, у, z,?). Для этого доста-
достаточно написать de = p dV (dV — элемент объема) и проинтегри-
проинтегрировать по всему пространству. К полученному таким образом
решению неоднородного уравнения F2.4) можно прибавить еще
решение <ро этого же уравнения без правой части. Таким образом,
общее решение имеет вид
у,(г, t)= ^р(г', t - j) dV + <ро,	F2.8)
R = г - г', dV' = dx'dy'dz1,
где г = (ж,у, z), r' = (a/,j/,;z'); R есть расстояние от элемента
объема dV1 до «точки наблюдения», в которой мы ищем значение
потенциала. Мы будем писать это выражение коротко в виде
t — R/C 7Т7- ,	/Г?Г\ (Л\
	av + (ро,	(bz.yj
где индекс показывает, что значение р надо брать в момент
времени t — R/c, а штрих у dV опущен.
Аналогичным образом имеем для векторного потенциала:
А=с [ijz^ldV + Ao,	F2.10)
где Aq — решение уравнения F2.3) без правой части.

224
ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
Выражения F2.9), F2.10) (без <ро и Ао) называются запаз-
запаздывающими потенциалами.
В случае неподвижных зарядов (т. е. не зависящей от вре-
времени плотности р) формула F2.9) переходит в известную уже
нам формулу C6.8) для потенциала электростатического поля;
формула же F2.10) в случае стационарного движения зарядов
переходит (после усреднения) в формулу D3.5) для векторного
потенциала постоянного магнитного поля.
Величины ipo и Aq в F2.9), F2.10) определяются так, чтобы
удовлетворить условиям задачи. Для этого, очевидно, было бы
достаточно задать начальные условия, т. е. поле в начальный
момент времени. Однако с такими начальными условиями обыч-
обычно не приходится иметь дела. Вместо этого задаются условия
на больших расстояниях от системы зарядов в течение всего
времени. Именно, задается падающее на систему внешнее из-
излучение. Соответственно этому поле, возникающее в результате
взаимодействия этого излучения с системой, может отличаться
от внешнего поля только излучением, исходящим от системы.
Такое исходящее от системы излучение на больших расстояниях
должно иметь вид волны, распространяющейся по направлению
от системы, т. е. в направлении возрастающих R. Но этому усло-
условию удовлетворяют именно запаздывающие потенциалы. Таким
образом, последние представляют собой поле, исходящее от си-
системы, а (ро и Ао надо отождествить с внешним полем, действую-
действующим на систему.
§ 63. Потенциалы Лиенара—Вихерта
Определим потенциалы поля, создаваемого одним точеч-
точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории
г = го(?).
Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точ-
точке наблюдения Р(ж, у, z) в момент времени t определяется состо-
состоянием движения заряда в предшествующий момент времени ?',
для которого время распространения светового сигнала из точки
нахождения заряда ro(t') в точку наблюдения Р как раз совпа-
совпадает с разностью t — tf. Пусть R(t) = r — го(?) —радиус-вектор от
заряда е в точку Р; вместе с го(?) он является заданной функцией
времени. Тогда момент t1 определяется уравнением
t> + Ш = t	F3.1)

§ 63	ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА-ВИХЕРТА	225
Для каждого значения t это уравнение имеет всего один ко-
корень tfl).
В системе отсчета, в которой в момент времени tf частица
покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто
кулоновским потенциалом, т. е.
A = 0.	F3.2)
Y R(t'Y
Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета
мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при
скорости v = 0 давал для <р и А значения F3.2). Замечая, что
согласно F3.1) (р из F3.2) можно написать также и в виде
if = 	—,
находим, что искомый 4-вектор есть
F3.3)
где ик — 4-скорость заряда, а 4-вектор Rk = [c(t — ?'),r — г'],
причем а/, у', zr, t1 связаны друг с другом соотношением F3.1);
последнее может быть записано в инвариантном виде как
RkRk = 0.	F3.4)
Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим
для потенциалов поля, создаваемого произвольно движущимся
точечным зарядом, следующие выражения:
где R—радиус-вектор, проведенный из точки нахождения за-
заряда в точку наблюдения Р, и все величины в правые частях
1)Это обстоятельство довольно очевидно само по себе, но в его спра-
справедливости можно убедиться и непосредственно. Для этого выберем точку
наблюдения Р и момент наблюдения t в качестве начала О четырехмерной
системы координат и построим световой конус (§ 2) с вершиной в О. Нижняя
полость этого конуса, охватывающая область абсолютно прошедшего (по от-
отношению к событию О), представляет собой геометрическое место мировых
точек, таких, что посланный из них сигнал достигнет точки О. Точки же,
в которых эта гиперповерхность пересекается мировой линией движения
заряда, как раз и соответствуют корням уравнения F3.1). Но поскольку
скорость частицы всегда меньше скорости света, то ее мировая линия имеет
везде меньший наклон к оси времени, чем наклон светового конуса. Отсюда
и следует, что мировая линия частицы может пересечь нижнюю полость
светового конуса только в одной точке.
8 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

226	ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
равенств должны быть взяты в момент времени ?', определяю-
определяющийся из F3.1). Потенциалы поля в виде F3.5) называются
потенциалами Лиенара-Вихерта.
Для вычисления напряженностей электрического и магнит-
магнитного полей по формулам
1 дА
Е =	grad <р, Н = rot A
с ot
надо дифференцировать <р и А по координатам ж, у, z точки
и моменту t наблюдения. Между тем формулы F3.5) выражают
потенциалы как функции от t1 и лишь через соотношение F3.1) —
как неявные функции от ж, у, z, t. Поэтому для вычисления иско-
искомых производных надо предварительно вычислить производные
от t1. Дифференцируя соотношение R(tr) = c(t — t1) no ?, имеем
dR _ dRdt_ _ _Rv^ _ / _ с^Л
at ~ at1 at ~ r at ~\ at)
(значение dR/dt1 получается дифференцированием тождества
R2 = R2 и подстановкой dH(tf)/dt= — v(t'); знак минус здесь
связан с тем, что R есть радиус-вектор от заряда е в точку Р,
а не наоборот). Отсюда
dt'	1	(м а,
F3-6)
Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координа-
координатам, найдем
gradt' = -i
откуда
^	F3'7)
с
С помощью этих формул не представляет труда вычислить
поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем
получающийся результат:
F3.8)
H=i[RE].	F3.9)

§ 64	ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА-ВИХЕРТА	227
Здесь v = d"v/dt'\ все величины в правых частях равенств
берутся в момент t1. Интересно отметить, что магнитное поле
оказывается везде перпендикулярным к электрическому.
Электрическое поле F3.8) состоит из двух частей различного
характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но
не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как 1/R2.
Второй член зависит от ускорения, а при больших R меняется
как 1/R. Мы увидим ниже (§ 66), что этот последний член связан
с излучаемыми частицей электромагнитными волнами.
Что касается первого члена, то, будучи независимым от уско-
ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равно-
равномерно движущимся зарядом. Действительно, при постоянной
скорости разность
- -В** = Rt/ - v(t - t')
есть расстояние R^ от заряда до точки наблюдения в самый
момент наблюдения. Легко также убедиться непосредственной
проверкой в том, что
Rt, _ IRi,v
где 0^ —угол между Rt и v. В результате первый член в F3.8)
оказывается совпадающим с выражением C8.8).
Задача
Вывести потенциалы Лиенара-Вихерта путем интегрирования в форму-
формулах F2.9), F2.10).
Решение. Напишем формулу F2.8) в виде
(и аналогично для А(г,?)), введя в нее лишнюю (^-функцию и тем самым
избавившись от неявных аргументов в функции р. Для точечного заряда,
движущегося по заданной траектории г = го(?), имеем
р(т',т) = е6[г'-то(т)].
Подставив это выражение и произведя интегрирование по dV', получим
<p{r,t) = e[-	iL—-s\r-t+-\T-To{
J |г-го(т)| L	с
Интегрирование по dr производится с помощью формулы
5[F{T)] = Д(*-0
1 V П \F'{t')\
(где t' — корень уравнения F(t') = 0) и приводит к формуле F3.5).

228	ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
§ 64. Спектральное разложение запаздывающих
потенциалов
Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разло-
разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной мо-
монохроматической компоненты поля имеют вид (рие~г(Х>г^ Аие~г(Х>г.
Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно
подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание
определенной монохроматической компоненты поля ответствен-
ответственны соответствующие компоненты от р и j.
Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля
через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в F2.9)
вместо (р и р соответственно (рие~гш1 и рше~ги>г. Мы находим
тогда:
-iu(t-R/c)
?dV.
= J
Сокращая на e~t(Jjt и вводя абсолютную величину волнового век-
вектора к = си/с, имеем
/ikR
Рш—dV.	F4.1)
Аналогично, для Аи получим
/ikR
L—dV.	F4.2)
Заметим, что формула F4.1) представляет собой обобщение
решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида
А(рш + к2(ри = -Аттри	F4.3)
(получающееся из уравнения F2.4) при р, у?, зависящих от вре-
времени посредством множителя e~lujt).
При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плот-
плотности заряда есть
—оо
Подставляя это выражение в F4.1), получим
+ ОО
и= Г Г ^"t+kRUv dt.	F4.4)

§ 64 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ 229
Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотно-
плотности зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактиче-
фактически идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то
полагаем
р = е6[т - ro(i)],
где го (?) — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функ-
функцией времени. Подставляя это выражение в F4.4) и производя
интегрирование по dV (сводящееся к замене г на го(?)), получим
Л,	F4.5)
где теперь R(t) — расстояние от движущейся частицы до точки
наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала
получим	^
Аш = 1 Г X(p-eMt+RWc]dt^	F4б)
с J -Ttyt)
—оо
где v = r'o(t) —скорость частицы.
Формулы, аналогичные F4.5), F4.6), могут быть написаны
и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и
тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом
(с периодом Г = 2тг/с^о) движении точечного заряда спектраль-
спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида поио и соот-
соответствующие компоненты векторного потенциала
т
Ап = -^ Г ^j™*[t+mic] dt	F4.7)
о
(и аналогично для <рп). В обоих случаях F4.6), F4.7) компонен-
компоненты Фурье определены в соответствии с § 49.
Задача
Разложить поле равномерно и прямолинейно движущегося заряда на
плоские волны.
Решение. Поступаем аналогично тому, как делалось в §51. Плот-
Плотность заряда пишем в виде р = eS(r — vt), где v — скорость частицы. Взяв
компоненту Фурье от уравнения П<р = — 4тгеE(г — vt), находим
С другой стороны, из

230	ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
имеем
Таким образом,
с2 dt2
откуда окончательно
"«-'" fc2-(kv/cJ'
Отсюда видно, что волна с волновым вектором к обладает частотой uj = kv.
Аналогично находим для векторного потенциала:
= 4тге ve-i(kv)i
"~ с к2 - (fcv/cJ '
Наконец, для поля имеем
Ек = -д
Л — (kv/c)
- f47re [kv] c~i(kv)t
fc -\t)
§ 65. Функция Лагранлса с точностью до членов
второго порядка
В обычной классической механике систему взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом частиц можно описывать с помощью функции
Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей этих
частиц (в один и тот же момент времени). Возможность этого
в конечном итоге обусловлена тем, что в механике скорость рас-
распространения взаимодействий предполагается бесконечной.
Мы уже знаем, что благодаря конечной скорости распростра-
распространения взаимодействий поле надо рассматривать как самостоя-
самостоятельную систему с собственными «степенями свободы». Поэтому
если мы имеем систему взаимодействующих частиц (зарядов), то
для ее описания мы должны рассматривать систему, состоящую
из этих частиц и поля. В связи с этим при учете конечной скоро-
скорости распространения взаимодействий невозможно строгое опи-
описание системы взаимодействующих частиц с помощью функции
Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей частиц
и не содержащей никаких величин, связанных с собственными
«степенями свободы» поля.
Однако если скорости v всех частиц малы по сравнению со
скоростью света, то систему зарядов можно описывать некото-
некоторой приближенной функцией Лагранжа. При этом оказывается

§ 65 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 231
возможным ввести функцию Лагранжа, описывающую систему
не только при пренебрежении всеми степенями v/c (классическая
функция Лагранжа), но и с точностью до величин порядка v2/с2.
Последнее обстоятельство связано с тем, что излучение электро-
электромагнитных волн движущимися зарядами (и, тем самым, возник-
возникновение «самостоятельного» поля) появляется лишь в третьем
приближении по v/c (см. ниже, § 67I).
Предварительно заметим, что в нулевом приближении, т. е.
при полном пренебрежении запаздыванием потенциалов, функ-
функция Лагранжа для системы зарядов имеет вид
( }
Rab	V J
a>b
Rab
(суммирование производится по зарядам, входящим в состав
системы). Второй член есть потенциальная энергия взаимодей-
взаимодействия, какой она была бы для неподвижных зарядов.
Для получения следующего приближения поступим следую-
следующим образом. Функция Лагранжа для заряда еа, находящегося
во внешнем поле, есть
j 4	F5.2)
Выбрав какой-либо один из зарядов системы, мы определим
потенциалы поля, создаваемого всеми остальными зарядами в
точке, где находится первый, и выразим их через координаты
и скорости зарядов, создающих это поле (как раз это можно
сделать только приближенно: <р — с точностью до членов порядка
г>2/с2, а А—до членов порядка v/c). Подставляя полученные
таким образом выражения для потенциалов в F5.2), мы получим
функцию Лагранжа для одного из зарядов системы (при данном
движении остальных). Отсюда уже без труда можно найти L для
всей системы.
Будем исходить из выражений для запаздывающих потен-
потенциалов:
/t — R/c
/Pt — R
Если скорости всех зарядов малы по сравнению со скоростью
света, то распределение зарядов не успевает сильно измениться
1) Для системы, состоящей из частиц, у которых отношения зарядов к мас-
массам одинаковы, появление излучения отодвигается до пятого приближения
по vIс\ в таком случае существует функция Лагранжа и с точностью до
членов порядка {v/cL. (См. Barker В. М., O'Connel R. F.// Canad. J. Phys.
1980. V. 58. P. 1659).

232	ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
за время R/c. Поэтому мы можем разложить Pt-R/C и Jt-Я/с B РЯД
по степеням R/c. Для скалярного потенциала находим, таким
образом, с точностью до членов второго порядка:
Г Pdv 1 д [ „г , 1 д2 [
(р без индексов есть р в момент времени ?; знаки дифференциро-
дифференцирования по времени могут, очевидно, быть вынесены из-под знака
интеграла). Но f pdV есть постоянный полный заряд системы.
Поэтому второй член в полученном выражении равен нулю,
так что
/	&/	F5'3)
Аналогично можно поступить с А. Но выражение для век-
векторного потенциала через плотность тока содержит уже само по
себе 1/с, а при подстановке в функцию Лагранжа умножается
еще раз на 1/с. Поскольку мы ищем функцию Лагранжа только
с точностью до членов второго порядка, то в разложении А
достаточно ограничиться только первым членом, т. е.
= - f S1
cj R
dV	F5.4)
(мы подставили j = pv).
Предположим сначала, что поле создается всего одним то-
точечным зарядом е. Тогда имеем из F5.3), F5.4):
е е d2R A ev	,nr гЛ
(р =	1	о—«-, А = —,	(оо. о)
i? 2 с <9t	cR
где i? — расстояние от заряда.
Выберем вместо <р и А другие потенциалы у?' и А', т.е. про-
произведем калибровочное преобразование (см. § 18):
^ =^-- —, A =A + grad/,
причем в качестве / выберем функцию
f - 1_®3l
* ~ 2с dt '
Тогда мы получим1)
^ ~ R'	~ cR 2с dt'
1) Эти потенциалы уже не удовлетворяют условию Лоренца F2.1), а пото-
потому и уравнениям F2.3), F2.4).

§ 65 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 233
Для вычисления А' заметим, что V— = —Vi?. Операция V
^	'	dt dt	^
означает здесь дифференцирование по координатам точки на-
наблюдения, в которой ищется значение А'. Поэтому градиент Vi?
равен единичному вектору п, направленному от заряда е к точке
наблюдения, так что
ai ev . е .
А =	П.
cR 2c
Далее пишем:
dt\RJ R R2
Но производная — R при заданной точке наблюдения есть ско-
скорость v заряда, а производную R легко определить, дифферен-
дифференцируя тождество В? = R2, т.е. написав
RR = RR = -Rv.
Таким образом,
— v + n(nv)
~~	R
Подставляя это в выражение для А', находим окончательно:
[ + ()]	( }
A
Y R'	2cR
Если поле создается не одним, а несколькими зарядами, то на-
надо, очевидно, просуммировать эти выражения по всем зарядам.
Подставляя их затем в F5.2), найдем функцию Лагранжа La
заряда еа (при заданном движении всех остальных зарядов). При
этом нужно первый член в F5.2) тоже разложить по степеням
va/c, оставляя члены до второго порядка. Таким образом, мы
находим
т	mavl I maVa	\~^f eb .
L = +	e2+
(суммирование производится по всем зарядам, за исключением
еа; паь — единичный вектор в направлении между е& и еа).
Отсюда уж:е не представляет труда найти функцию Лагран-
Лагранжа для всей системы. Легко сообразить, что эта функция равна

234	ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ	ГЛ. VIII
не сумме La для всех зарядов, а имеет вид
L = у ^_а_а + у ^—^ ~
а	а	а>Ь
^Ё-[чаУъ + (vanab)(vbnab)]. F5.7)
Действительно, для каждого из зарядов при заданном движе-
движении всех остальных эта функция L переходит в приведенную
выше La. Выражение F5.7) есть искомая функция Лагран-
жа системы зарядов с точностью до членов второго порядка
(С. G.Darwin, 1922).
Наконец, определим еще функцию Гамильтона системы за-
зарядов в том же приближении. Это можно было бы сделать по
общим правилам нахождения J4? по L; однако проще поступить
следующим образом. Второй и четвертый члены в F5.7) пред-
представляют собой малую поправку к ZA™ F5.1). С другой стороны,
из механики известно, что при небольшом изменении L и Ж
малые добавки к ним равны по величине и противоположны
по знаку (причем изменение L рассматривается при заданных
координатах и скоростях, а изменение J4? — при заданных коор-
координатах и импульсах; см. I, §40).
Поэтому мы можем сразу написать Ж\ вычтя из
2та ^ Rab
а	а>Ъ
те же второй и четвертый члены из F5.7), предварительно заме-
заменив в них скорости на импульсы с помощью соотношений первого
приближения va = ра/та- Таким образом,
2та ^-^ Rab
а	а>Ъ	а
еаеъ
-Е
[РаРЪ + (РаПаъ) (Pb^ab)] • F5.8)
а>Ъ
Задачи
1. Определить (с точностью до членов второго порядка) центр инерции
системы взаимодействующих частиц.
Решение. Наиболее просто задача решается с помощью формулы

§ 65 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА С ТОЧНОСТЬЮ ДО ЧЛЕНОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА 235
(ср. A4.6)), где S'a — кинетическая энергия частицы (включая ее энергию
покоя), a W — плотность энергии создаваемого частицами поля. Поскольку
S'a содержат большие величины тас2, то для получения следующего прибли-
приближения достаточно учесть в $а и W лишь члены, не содержащие с, т. е. нере-
нерелятивистскую кинетическую энергию частиц и энергию электростатического
поля. Имеем
[wrdV=— /E2rdV= — f
J	8тг J	8тг J
^V-— fv^dV- — [<
2 / Sir J 2	Sir J
= J_ /VdfV^V-— fv^dV- — [<pA<p.TdV;
8тг J V	2 / S J 2	S J
интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, второй интеграл
также преобразуется в поверхностный и тоже исчезает, а в третьем подстав-
подставляем А(р = —4тгр и получаем
где (fa —потенциал, создаваемый в точке га всеми зарядами, за исключением
еа1)-
Окончательно находим
^	2та 2
(суммирование по всем Ь, кроме Ъ = а), где
— полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом приближе-
приближении координаты центра инерции действительно могут быть выражены через
величины, относящиеся только к самим частицам.
2. Написать функцию Гамильтона во втором приближении для системы
из двух частиц, исключив из нее движение системы как целого.
Решение. Выбираем систему отсчета, в которой сумма импульсов
обеих частиц равна нулю. Написав импульсы как производные от действия,
имеем
ds ds
+ о
Отсюда видно, что в рассматриваемой системе отсчета действие является
функцией разности г = Г2 — 14 радиус-векторов обеих частиц. Поэтому
имеем р2 = — pi = р, где р = dS/dr есть импульс относительного движения
частиц.
Функция Гамильтона равна
Р ( г _L г \ _L eie<2	Р ( г _L г \ Л.	eie<2	Г 2 , , „42
2 \mi ГП2' г 8с ^т1 т2' 2ттс г
1) Исключение собственного поля частиц соответствует упомянутой в при-
примеч. на с. 130 «перенормировке» масс.

ГЛАВА IX
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 66. Поле системы зарядов на далеких расстояниях
Рассмотрим поле, создаваемое системой движущихся зарядов
на расстояниях, больших по сравнению с ее собственными раз-
размерами.
Выберем начало координат О где-либо внутри системы заря-
зарядов. Радиус-вектор из О в точку наблюдения поля Р обозначим
через Ro, a единичный вектор в этом направлении через п.
Радиус-вектор элемента заряда de = pdV пусть будет г, а ра-
радиус-вектор от de в точку Р обозначим как R; очевидно, что
R = Ro - г.
На больших расстояниях от системы Ло>ги приближенно
имеем
R = |R0 - г| = До - пг.
Подставим это в формулы F2.9), F2.10) для запаздывающих
потенциалов. В знаменателе подынтегральных выражений мож-
можно пренебречь гп по сравнению с До- В аргументе же t — R/c
этого пренебрежения, вообще говоря, сделать нельзя; возмож-
возможность такого пренебрежения определяется здесь не относитель-
относительной величиной До /с и rn/с, а тем, насколько меняются сами р и j
за время т/с. Учитывая, что при интегрировании До является
постоянной и потому может быть вынесено за знак интеграла,
находим для потенциалов поля на большом расстоянии от систе-
системы зарядов следующие выражения:
= ~Rq I
V,	F6.1)
V.	F6.2)
На достаточно больших расстояниях от системы поле в малых
участках пространства можно рассматривать как плоскую волну.
Для этого надо, чтобы расстояния были велики не только по
сравнению с размерами системы, но и по сравнению с длиной
излучаемых системой электромагнитных волн. Об этой области
поля говорят как о волновой зоне излучения.

§ 66	ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	237
В плоской волне поля Е и Н связаны друг с другом со-
соотношением D7.4) Е = [Нп]. Поскольку Н = rot А, то для
полного определения поля в волновой зоне достаточно вычислить
только векторный потенциал. В плоской волне имеем Н = [An]/с
(ср. D7.3)), где точка над буквой означает дифференцирование
по времени1). Таким образом, зная А, найдем Н и Е по форму-
формулам2)
Н = -[An], E = -[[Ап]п].	F6.3)
с	с
Отметим, что поле на далеких расстояниях оказывается
обратно пропорциональным первой степени расстояния Rq от
излучающей системы. Следует также заметить, что время t вхо-
входит в выражения F6.1)-F6.3) везде в комбинации t — Ro/c с
расстоянием Rq.
Для излучения, создаваемого одним произвольно движущим-
движущимся точечным зарядом, бывает удобно пользоваться потенциалами
Лиенара-Вихерта. На далеких расстояниях можно заменить в
формуле F3.5) переменный радиус-вектор R постоянной вели-
величиной Rch a B условии F3.1), определяющем ?', надо положить
R = Ro — ron (го(?) — радиус-вектор заряда). Таким образом3),
А =	'v(f» , ,	F6.4)
где t' определяется из равенства
t'--ro(t')n = t-^.	F6.5)
С	С
Излучаемые системой электромагнитные волны уносят с со-
собой определенную энергию. Поток энергии дается вектором Пой-
нтинга, равным в плоской волне
S = с—п.
4тг
1)	Эту формулу легко проверить в данном случае также и непосредствен-
непосредственным вычислением ротора выражения F6.2), причем члены с 1/Ro должны
быть отброшены по сравнению с членом ~ 1/Ro.
2)	Формула Е = —А/с (см. D7.3)) здесь неприменима, так как потенциалы
(р, А не удовлетворяют тем дополнительным условиям, которые были нало-
наложены на них в § 47.
3)В формуле F3.8) для электрического поля рассматриваемому прибли-
приближению соответствует пренебрежение первым членом по сравнению со вто-
вторым.

238
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Интенсивность dl излучения в элемент телесного угла do опреде-
определяют как количество энергии, протекающей в единицу времени
через элемент df = Rq do шаровой поверхности с центром в нача-
начале координат и с радиусом Rq. Это количество равно плотности
потока энергии S, помноженной на с?/, т. е.
dl = c—Rldo.	F6.6)
Поскольку поле Н обратно пропорционально Rq, то мы видим,
что количество энергии, излучаемой системой в единицу времени
в элемент телесного угла do, одинаково для всех расстояний (при
одинаковых для них значениях разности t — Rq/c). Так, разуме-
разумеется, и должно быть, поскольку излучаемая системой энергия
распространяется в окружающем пространстве со скоростью с,
нигде не накопляясь и не исчезая.
Выведем формулы для спектрального разложения излучае-
излучаемых системой волн. Они могут быть получены непосредственно
из формул §64. Подставляя в F4.2) R = Rq — т (причем в
знаменателе подынтегрального выражения можно ограничиться
подстановкой R = Rq), получим для компоненты Фурье вектор-
векторного потенциала:
^ /	F6.7)
(где k = fen). Компоненты Нш и Е^ определяются по формулам
F6.3). Подставляя в них вместо Н, Е, А соответственно Нше~ъш*,
'EUJe~lU}t, Аие~ги1 и сокращая затем на e~t(Jjt, получим
Hw = i[kAw], Eu = ^[k[Awk]].	F6.8)
Говоря о спектральном распределении интенсивности излуче-
излучения, необходимо различать разложения в интеграл и ряд Фурье.
С разложением в интеграл Фурье приходится иметь дело для
излучения, сопровождающего столкновения заряженных частиц.
При этом представляет интерес полное количество энергии, из-
излученной за время столкновения (и соответственно потерянной
сталкивающимися частицами). Пусть dS^ есть энергия, излу-
излученная в элемент телесного угла do в виде волн с частотами
в интервале duo. Согласно общей формуле D9.8) доля полного
излучения, приходящаяся на интервал частот duo/2тг, получается
из обычного выражения для интенсивности заменой квадрата
поля на квадрат модуля его компоненты Фурье и одновременным
умножением на 2. Поэтому имеем вместо F6.6)
dS^ = — |НШ|2Д§ do —.	F6.9)
2тг	2тг

§ 66	ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	239
Если заряды совершают периодическое движение, то поле
излучения должно быть разложено в ряд Фурье. Согласно общей
формуле D9.4) интенсивность отдельной компоненты разложе-
разложения в ряд Фурье получается из обычного выражения для интен-
интенсивности заменой поля на его компоненту Фурье и одновремен-
одновременным умножением на 2. Таким образом, интенсивность излучения
с частотой си = псио в элемент телесного угла do равна
dln = — \Hn\2Rldo.	F6.10)
Наконец, выпишем формулы, определяющие компоненты
Фурье поля излучения непосредственно по заданному движению
излучающих зарядов. При разложении в интеграл Фурье имеем
4t.
Подставляя это в F6.7) и переходя затем от непрерывного
распределения токов к точечному заряду, движущемуся по тра-
траектории го = го(?) (ср. §64), получим
ikR0
Аш = -
oRo
Г ev(t)e^^-kr°W]dt.	F6.11)
Поскольку v = dro/dt, то v dt = drg, и эту формулу можно
написать также и в виде контурного интеграла, взятого вдоль
траектории заряда:
/.	F6.12)
А„ е
cRo
Компонента Фурье магнитного поля, согласно F6.8), имеет вид
= е^Ш /e^-kr°)[ndr0].	F6.13)
с Ro J
Если заряд совершает периодическое движение по замкну-
замкнутой траектории, то поле разлагается в ряд Фурье. Компонен-
Компоненты разложения получаются заменой в формулах F6.11)—F6.13)
интегрирования по всему времени усреднением по периоду Т
движения (см. определения в §49). Так, для компоненты Фурье

240
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
магнитного поля с частотой ио = поио = 2тгп/Т имеем
т
о
= е^\	 ф e^°*-kroWr0]. F6.14)
c2T2R0 J	L uj v	У
Во втором интеграле интегрирование производится по замкну-
замкнутой орбите частицы.
Задача
Получить четырехмерное выражение для спектрального разложения
излучаемого 4-импульса при движении заряда по заданной траектории.
Решение. Подставив F6.8) в F6.9) и учитывая, что в силу условия
Лоренца F2.1) к(рш = кА^, находим
d&u, = —(к2\Аш\2 - |кАш|2)Д^о— =
2тг	2тг
= —к (IAcJ — \(рш\ )R0do— =	к АъША
2тг	2тг	2тг
Представив 4-потенциал А{ш в виде, аналогичном F6.12), получим
к2е2
XiX%*dodk,
4тг
где х% обозначает 4-вектор
X = / ехр (—ikix )dxl,
в котором интегрирование производится вдоль мировой линии частицы.
Наконец, переходя к четырехмерным обозначениям (в том числе к элементу
4-объема в /^-пространстве, ср. A0.1а)) получим для излучаемого 4-импуль-
4-импульса следующее выражение:
2тг с
§ 67. Дипольное излучение
Временем rn/с в подынтегральных выражениях запаздываю-
запаздывающих потенциалов F6.1), F6.2) можно пренебречь, если за это
время распределение зарядов мало меняется. Легко найти усло-
условия осуществления этого требования. Пусть Г означает порядок
величины времени, в течение которого распределение зарядов в
системе меняется заметным образом. Излучение этой системы
будет, очевидно, обладать периодом порядка Г (т. е. частотой

§ 67	ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	241
порядка 1/Г). Обозначим далее буквой а порядок величины раз-
размеров системы. Тогда время rn/c ~ а/с. Для того чтобы за это
время распределение зарядов в системе не успело значительно
измениться, необходимо, чтобы а/с <С Т. Но сТ есть не что иное,
как длина волны Л излучения. Таким образом, условие а <С сТ
можно написать в виде
а<А,	F7.1)
т. е. размеры системы должны быть малы по сравнению с длиной
излучаемой волны.
Заметим, что условие F7.1) можно получить и из F6.7).
В подынтегральном выражении г пробегает значения в интер-
интервале порядка размеров системы, так как вне системы j равно
нулю. Поэтому показатель гкг мал, и им можно пренебречь для
тех волн, у которых ка <С 1, что эквивалентно F7.1).
Это условие можно написать еще и в другом виде, заметив,
что Т rsj a/v, так что Л ~ ca/v, если v есть порядок величины
скорости зарядов. Из а <С А находим тогда
v « с,	F7.2)
т. е. скорости зарядов должны быть малы по сравнению со ско-
скоростью света.
Будем предполагать, что это условие выполнено, и займемся
изучением излучения на расстояниях от излучающей системы,
больших по сравнению с длиной волны (а следовательно, во
всяком случае больших по сравнению с размерами системы).
Как было указано в § 66, на таких расстояниях поле можно рас-
рассматривать как плоскую волну, и потому для определения поля
достаточно вычислить только векторный потенциал. Векторный
потенциал F6.2) имеет теперь вид
А = -±- fjtidV,	F7.3)
где время tf = t — Ro/c и уже не зависит от переменных интегри-
интегрирования. Подставляя j = pv, переписываем F7.3) в виде
где суммирование производится по всем зарядам системы; для
краткости мы будем опускать индекс t' — все величины в правых
частях равенств берутся в момент времени tf. Но
d
Eev = — У^ er = d,
dt ^-*

242
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
где d — дипольный момент системы. Таким образом,
А = — d.	F7.4)
cRo	v J
С помощью формул F6.3) находим, что магнитное поле равно
Н= -^-[dn],	F7.5)
с Ro
а электрическое поле
Е	Гг_л__1__1	(с*7 а\
= —^—[[anjnj.	(b/.bj
Отметим, что в рассматриваемом приближении излучение
определяется второй производной от дипольного момента систе-
системы. Такое излучение называется диполъным.
Поскольку d = J^er, то d = J^ev. Таким образом, заряды
могут излучать, только если они движутся с ускорением. Рав-
Равномерно движущиеся заряды не излучают. Это следует, впро-
впрочем, и непосредственно из принципа относительности, так как
равномерно движущийся заряд можно рассматривать в такой
инерциальной системе, где он покоится, а покоящиеся заряды
не излучают.
Подставляя F7.5) в F6.6), получим интенсивность дипольно-
дипольного излучения:
[dn]2do = -^ sin2 в do,	F7.7)
dl^ [dn]do Д
4тгс3 L J	4тгс
где в — угол между векторами d и п. Это есть количество энер-
энергии, излучаемой системой в единицу времени в элемент телесного
угла do\ отметим, что угловое распределение излучения дается
множителем sin в.
Подставив do = 2/Ksm6d6 и интегрируя по d6 от 0 до тг,
получим полное излучение:
I = ^d2.	F7.8)
Если имеется всего один движущийся во внешнем поле заряд,
то d = er и d = ew, где w —ускорение заряда. Таким образом,
полное излучение движущегося заряда
I =*??-.	F7.9)
Отметим, что замкнутая система, состоящая из частиц, у
которых отношения зарядов к массам одинаковы, не может из-
излучать дипольно. Действительно, для такой системы дипольный

§ 67	ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	243
d = 2] ег — 21 ~тг =
момент
d = 2_] ег — 2-1
где const есть одинаковое для всех частиц отношение заряда к
массе. Но ^ гаг = R ^ га, где R —радиус-вектор центра инерции
системы (напоминаем, что все скорости i; < с, так что приме-
применима нерелятивистская механика). Поэтому d пропорционально
ускорению центра инерции, т. е. равно нулю, так как центр инер-
инерции движется равномерно.
Наконец, выпишем формулы для спектрального разложения
интенсивности дипольного излучения. Для излучения, сопро-
сопровождающего столкновение, вводим количество dS^ энергии, из-
излученной за все время столкновения в виде волн с частотами в
интервале duo/2тг (ср. §66). Оно получится заменой в F7.8) век-
вектора d его компонентой Фурье d^ и одновременным умножением
на 2:
По определению компоненты Фурье, имеем
j —iojt d ( j —iu)t\	2 j —iojt
= —5Kd^e ) = -to d^e ,
откуда сЬ = —ct;2du;. Таким образом, получаем
cMt, = |dd.|2^.	F7.10)
При периодическом движении частиц аналогичным образом
найдем интенсивность излучения с частотой ио = поио в виде
А |2	/д7 -1-14
dn| .	F7.11)
Задачи
1. Определить излучение диполя d, вращающегося в одной плоскости с
постоянной угловой скоростью Q 1).
Решение. Выбирая плоскость вращения в качестве плоскости ху,
имеем
dx = d0 cos Ш, dy = d0 sin Ш.
) Сюда относится излучение обладающих дипольным моментом ротатора
и симметричного волчка. В первом случае роль d играет полный дипольный
момент ротатора, а во втором случае — проекция дипольного момента волчка
на плоскость, перпендикулярную к оси его прецессии (т. е. направлению
полного момента вращения).

244
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Ввиду монохроматичности этих функций излучение тоже монохроматично
с частотой ш = Q. По формуле F7.7) найдем для углового распределения
среднего (по периоду вращения) излучения:
dl = ^^A + cos2 0) do,
8тгс
где $ — угол между направлением п излучения и осью z. Полное излучение
Зс3 '
Поляризация излучения определяется направлением вектора [dn] =
= uj1 [nd]. Проецируя его на направления в плоскости nz и перпендикулярно
к ней, найдем, что излучение поляризовано по эллипсу с отношением длин
полуосей, равным nz = cos$; в частности, излучение в направлении оси z
поляризовано по кругу.
2. Определить угловое распределение излучения движущейся как целое
(со скоростью v) системой зарядов, если известно распределение в системе
отсчета, в которой система как целое покоится.
Решение. Пусть
dl' = f (созв', ipr) do, do = d{cosO')d<p
есть интенсивность излучения в системе отсчета К', связанной с движущей-
движущейся системой зарядов (9',<р'— углы сферических координат с полярной осью
вдоль направления движения системы). Излучаемая в течение времени dt
в неподвижной (лабораторной) системе отсчета К энергия dS связана с
излучением энергии dS' в системе К' формулой преобразования
у/1 ~ V2/C2	у/1 - V2/C2
(импульс излучения, распространяющегося в заданном направлении, связан
с его энергией соотношением |<?Р| = dS'/c). Полярные углы в, в' направления
излучения в системах К и К' связаны формулами E.6) (азимуты (р = if').
Наконец, времени dt' в системе К' соответствует время dt = dt' /y/l — V2 /с2
в системе К. В результате для интенсивности dl = (dS'/dt) do в системе К
найдем
dl= С1-^2/^J f( созв-V/с
(i - (v/c) cos ef \i- (v/c) cos e'
Так, для диполя, движущегося в направлении своей оси, / = const • sin2
и с помощью полученной формулы находим
Л1-^/с)зт0,
dl = const	—	=- do.
A- (V/c) cos<9M
§ 68. Дипольное излучение при столкновениях
В задачах об излучении при столкновениях (его называют
тормозным излучением) редко представляет интерес излуче-
излучение, сопровождающее столкновение двух частиц, движущихся

§ 68	ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ	245
по определенным траекториям. Обычно приходится рассматри-
рассматривать рассеяние целого пучка параллельно движущихся частиц,
и задача состоит в определении полного излучения, отнесенного
к единице плотности потока частиц.
Если плотность потока частиц в пучке равна единице (т. е. в
единицу времени через единицу площади сечения пучка прохо-
проходит одна частица), то число частиц в пучке, имеющих «прицель-
«прицельное расстояние» между р и p+dp, равно 2тгрс1р (площадь кольца,
ограниченного окружностями радиусов р и р + dp). Поэтому
искомое полное излучение получится умножением полного из-
излучения AS одной частицы (с заданным значением прицельного
расстояния) на 2^pdp и интегрированием по dp от 0 до ос. Опре-
Определенная таким образом величина имеет размерность произведе-
произведения энергии на площадь. Мы будем называть ее эффективным
излучением и будем обозначать буквой х1):
н= I AS-2-Kpdp.	F8.1)
о
Аналогичным образом можно определить эффективное излуче-
излучение в определенный элемент do телесного угла, в определенном
интервале duo частот —п2).
Выведем общую формулу, определяющую угловое распре-
распределение излучения при рассеянии пучка частиц в центрально-
симметричном поле, предполагая излучение дипольным.
Интенсивность излучения (в каждый момент времени) от-
отдельной частицей определяется формулой F7.7), в которой d
есть дипольный момент частицы относительно рассеивающего
центра3). Прежде всего усредняем это выражение по всем на-
направлениям вектора d в плоскости поперечного сечения пучка.
Поскольку [dn]2 = d2 — (ndJ, то усреднению подлежит лишь
величина (ndJ. В силу центральной симметрии рассеивающе-
рассеивающего поля и параллельности падающего пучка частиц рассеяние
(а вместе с ним и излучение) обладает аксиальной симметрией
) Отношение >с к энергии излучающей системы называют сечением потери
энергии на излучение.
2)	Если интегрируемое выражение зависит от угла, под которым распо-
расположена проекция дипольного момента частицы в плоскости поперечного
сечения потока, то оно должно быть предварительно усреднено по всем
направлениям в этой плоскости и лишь затем умножено на 2irpdp и про-
проинтегрировано .
3)	Фактически обычно речь идет о дипольном моменте двух частиц — рас-
рассеиваемой и рассеивающей — относительно их общего центра инерции.

246
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
относительно оси, проходящей через центр. Выберем эту ось в
качестве оси х. Из соображений симметрии очевидно, что пер-
первые степени dy, dz при усреднении дают нуль, а поскольку dx
усреднением не затрагивается, то
dxdy — dxdz = 0.
Средние же значения от d2 и d?z равны друг другу, так что
Имея все это в виду, без труда найдем
[d^ = ±(d2 + dl) + ±(d2 - Sdl) cos2 в,
где в — угол между направлением п излучения и осью х.
Интегрируя интенсивность по времени и по всем прицель-
прицельным расстояниям, получим следующее окончательное выраже-
выражение, определяющее эффективное излучение в зависимости от
направления:
dXn = wr + B—2—h	F8-2)
где
оо оо	оо оо
А=1 Г Г d2dt27rpdp, В = i Г Г (d2 - 3d2) dti-Kpdp.
0 -оо	0 -оо
F8.3)
Второй член в F8.2) написан в таком виде, чтобы давать нуль
при усреднении по всем направлениям, так что полное эффектив-
эффективное излучение х, = A/cs. Обратим внимание на то, что угловое
распределение излучения симметрично относительно плоскости,
проходящей через рассеивающий центр перпендикулярно к пуч-
пучку—выражение F8.2) не меняется при замене в на тг — в. Это
свойство специфично для дипольного излучения и теряется при
переходе к более высоким приближениям по v/c.
Интенсивность тормозного излучения можно разделить на
две части: интенсивность излучения, поляризованного в плос-
плоскости испускания, проходящей через ось х и направление п (на-
(назовем ее плоскостью жу), и интенсивность излучения, поляризо-
поляризованного в перпендикулярной плоскости xz.
Вектор электрического поля имеет направление вектора
[n[nd]l = n(nd) - d

§ 69	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ МАЛЫХ ЧАСТОТ	247
(см. F7.6)). Компонента этого вектора в направлении, перпенди-
перпендикулярном к плоскости ху, есть — dz, а проекция на плоскость ху
равна | sin в - dx — cos в • dy | (последнюю удобнее определить по
равной ей z-компоненте магнитного поля, имеющего направле-
направление [dn]).
Возводя Е в квадрат и усредняя по всем направлениям век-
вектора d в плоскости yz, мы прежде всего видим, что произведение
проекций поля на плоскость ху и перпендикулярно к ней обра-
обращается в нуль. Это значит, что интенсивность действительно мо-
может быть представлена в виде суммы двух независимых частей:
интенсивностей излучения, поляризованного в двух взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях.
Интенсивность излучения с электрическим вектором, перпен-
перпендикулярным к плоскости ху, определяется средним квадратом
от d2z = -(d2 — а^). Для соответствующей части эффективного
излучения получим выражение
If?(d2 - dl) dtivpdp.	F8.4)
" 4тгс3 2
О -оо
Отметим, что эта часть излучения оказывается изотропной по
направлениям. Выписывать выражение для эффективного излу-
излучения с направлением электрического поля в плоскости ху нет
необходимости, так как очевидно, что
_L	II
Аналогичным образом можно получить выражение для уг-
углового распределения эффективного излучения в определенном
интервале частот:
,	__do_\A( \ip>( x3cos2(9-11 doj
2тгс L	2 J 2тг
где
сю	сю
о 4 Г	4 Г
А(ио) = -^— \ d^npdp, В{ш) = — (d%J — 3d%.UJJ'irpdp. F8.6)
о	о
§ 69. Тормозное излучение малых частот
Рассмотрим низкочастотный «хвост» спектрального распре-
распределения тормозного излучения: область частот, малых по срав-
сравнению с той частотой (обозначим ее через сс?о), в области которой

248
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
сосредоточена основная часть излучения:
ио<^ио0-	F9.1)
При этом мы не будем предполагать скорости сталкивающих-
сталкивающихся частиц малыми по сравнению со скоростью света, как это
делалось в предыдущем параграфе; следующие ниже формулы
справедливы при произвольных скоростях. В нерелятивистском
случае с^о ~ 1/т, где т—порядок величины продолжительно-
продолжительности столкновения; в ультрарелятивистском случае с^о пропорци-
пропорциональна квадрату энергии излучающей частицы (см. ниже § 77).
В интеграле
Нш = Г Ueiujtdt
поле излучения Н заметно отлично от нуля только в течение
промежутка времени порядка 1/иоо. Поэтому при соблюдении
условия F9.1) мы можем считать, что под интегралом uot <С I,
так что можно заменить elujt единицей; тогда
н-=/
Udt.
Подставляя сюда Н = [An] /с и производя интегрирование по
времени, получим
Н
С
F9.2)
где А2 — Ai —изменение векторного потенциала поля, создавае-
создаваемого сталкивающимися частицами, за время столкновения.
Полное излучение (с частотой ио) за время столкновения по-
получится подстановкой F9.2) в F6.9):
^ - Ai)n]2 do duo.	F9.3)
^
Для векторного потенциала можно воспользоваться его выраже-
выражением в форме Лиенара-Вихерта F6.4), и мы получим
J0	I	fv (	IV2n]	[Vl11]	A l	7	7	(П{\ Л\
dCnu = —^г< > е 	——¦{	——¦{	 > do duo, F9.4)
4тг2с3\^^ \l(l/c)nv l(l/c)nvy/	' V J
где vi и V2 — скорости частицы до и после рассеяния, а сумма

§ 69	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ МАЛЫХ ЧАСТОТ	249
берется по обеим сталкивающимся частицам. Обратим внимание
на то, что коэффициент при duo оказывается не зависящим от
частоты. Другими словами, при малых частотах (условие F9.1))
спектральное распределение излучения не зависит от частоты,
т. е. dSnu/duo стремится к постоянному пределу при ио —»> О1).
Если скорости сталкивающихся частиц малы по сравнению
со скоростью света, то F9.4) переходит в
2
" vi,n]Jdoda;.	F9.5)
Это выражение соответствует дипольному излучению, вектор-
векторный потенциал которого дается формулой F7.4).
Интересный случай применения полученных формул пред-
представляет излучение, возникающее при испускании новой заря-
заряженной частицы (например, при вылете /3-частицы из ядра).
При этом процесс надо рассматривать как мгновенное изменение
скорости частицы — от нуля до ее заданного значения (ввиду
симметрии формулы F9.5) по отношению к перестановке vi и V2
возникающее в этом процессе излучение совпадает с излучением,
которое сопровождало бы обратный процесс — мгновенную оста-
остановку частицы). Существенно, что поскольку «время» данного
процесса т —>• 0, то условию F9.1) фактически удовлетворяют
все вообще частоты2).
Задача
Определить спектральное распределение полного излучения, возникаю-
возникающего при испускании заряженной частицы, движущейся со скоростью v.
Решение. Согласно формуле F9.4), в которой полагаем V2 = v, vi =
= 0, имеем
1 (l-(v,
4тг2с3 J (l-(v/c)cosOJ
) Интегрируя по предельным расстояниям, можно получить аналогичный
результат для эффективного излучения при рассеянии пучка частиц. Надо,
однако, иметь в виду, что этот результат несправедлив для эффективного
излучения при кулоновом взаимодействии сталкивающихся частиц в связи
с тем, что интеграл по dp оказывается расходящимся (логарифмически)
при больших р. Мы увидим в следующем параграфе, что в этом случае
эффективное излучение при малых частотах зависит логарифмически от
частоты, а не остается постоянным.
2) Применимость формул, однако, ограничена квантовым условием мало-
малости fko по сравнению с полной кинетической энергией частицы.

250
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Вычисление интеграла приводит к результату ):
2
d?u = — (- In (^—^- - 2] du.	A)
При v <^i с эта формула переходит в
Зтгс3
что можно получить и непосредственно из F9.5).
§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействии
В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд
формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух
заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы
по сравнению со скоростью света.
Равномерное движение системы как целого (т. е. движение
ее центра инерции) не представляет интереса, так как не при-
приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только
относительное движение частиц. Выберем начало координат в
центре инерции. Тогда дипольный момент системы d =
напишется в виде
\77li	7712 /
7711 + 7712	\77li	7712
где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, г = ri — г 2
есть радиус-вектор между ними, a \i = (mi7712)/(rai + 7712) —
приведенная масса.
Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое дви-
движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как
известно из механики (см. I, § 15), это движение может быть
описано как движение частицы с массой \i по эллипсу, уравнение
которого в полярных координатах имеет вид
{12\	G0.2)
Г
где большая полуось а и эксцентриситет е равны
^
) Хотя условие F9.1) ввиду «мгновенности» процесса выполняется, как
уже было указано, для всех частот, но получить полное излучение энергии
путем интегрирования выражения A) по duo нельзя,— интеграл расходит-
расходится при больших частотах. Помимо нарушения условия классичности при
больших частотах, в данном случае причина расходимости лежит и в некор-
некорректности самой постановки классической задачи, в которой частица имеет
в начальный момент бесконечное ускорение.

§70	ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	251
Здесь <§ есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отри-
отрицательная при финитном движении; М = fir^cp — момент коли-
количества движения; а — постоянная закона Кулона:
а = |eie2|.
Зависимость координат от времени может быть записана в виде
параметрических уравнений
I 3
r = a(l-ecos?), t =*№-(?-евш?).	G0.4)
у а
Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение
параметра ? от нуля до 2тг; период движения равен
а
Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду
периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фу-
Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-век-
радиус-вектору г, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от
координат х = г cos (р ж у = г sin (p. Зависимость х ну от времени
определяется параметрическими уравнениями
Здесь введена частота
чЗ/2
Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять
компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что
хп = —iouonxn, yn = —гиоопуп. Имеем
т
ть — .	—	/
eiuontxdt.
0
Но xdt = dx = — asin?d?; переходя от интегрирования по dt к
интегрированию по <i?, имеем, таким образом:
2тг
2тгп J
0
Аналогичным образом находим
2тг	2тг
iay/1 - ?2
0
[ Jn

252
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтеграль-
<- ( <- Л , 1
ном выражении пишем cos ? = ( cos ?	I H—; тогда интеграл
V	е/ е
от первого члена берется и притом тождественно обращается
в нуль). Наконец, воспользуемся известной формулой теории
функций Бесселя:
2тг	тг
JL Г ei(nt-xsin0d?= I Г сО8(п? - Х8Ш?)<% = Jn(x), G0.6)
2тгУ	тгу
о	о
где Jn (ж) —функция Бесселя целочисленного порядка п. В ре-
результате окончательно получаем следующие выражения для ис-
искомых компонент Фурье:
хп = -Jn{ns), уп =	Jn{ne)	G0.7)
П	П?
(п1трих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по
ее аргументу).
Выражение для интенсивности монохроматических компо-
компонент излучения получается подстановкой хп и уп в формулу
(cm. F7.11)). Выразив при этом а и шо через характеристики
частиц, получим окончательно:
Выпипсем, в частности, асимптотическую формулу для ин-
интенсивности очень высоких гармоник (большие п) при движении
по близкой к параболе орбите (s близко к 1). Для этого исполь-
используем асимптотическую формулу

§ 70	ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	253
где Ф—функция Эйри (определенная в примеч. на с. 210I).
Подстановка в G0.8) дает
Этот результат может быть выражен также и через функции
Макдональда Kv\
пц т2
(нужные для этого формулы приведены в примеч. на с. 210, 275).
Рассмотрим далее столкновение двух притягивающихся за-
заряженных частиц. Их относительное движение описывается как
движение частиц с массой \i по гиперболе
l + ?cos^= a(? -1),	G0.11)
г
где
G0.12)
(теперь S > 0). Зависимость г от времени определяется пара-
1) При п>1в интеграле
7Г
1 f
Jn(ne) = —
7Г J
основную роль играют малые ? (при не малых ? подынтегральное вы-
выражение быстро осциллирует). Соответственно этому разлагаем аргумент
косинуса по степеням ?:
о
с учетом быстрой сходимости интеграла, верхний предел заменен на оо;
член с ?3 должен быть сохранен ввиду наличия в члене первого порядка
малого коэффициента 1 — е « A — ?2)/2. Полученный интеграл очевидной
подстановкой приводится к виду G0.9).

254
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
метрическими уравнениями
/ о
^shC-O.	G0ЛЗ)
где параметр ? пробегает значения от —ос до +ос. Для координат
ж, у имеем
x = a(?-ch?), у = ал/е2- lshf.	G0.14)
Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разло-
разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично
предыдущему случаю. В результате получаем
	 ^ттA)'/' \		 тгауеz — l ттA) / • \	G01^
0J	OJS
где H\v —функция Ганкеля 1-го рода ранга iv и введено обозна-
00	OLUJ	(Г7(Л 1 аХ
v =	= —т	G0.16)
чение
(г>0 — относительная скорость частиц на бесконечности; энер-
энергия S = /j.Vq/2). При вычислении использована известная фор-
формула
:).	G0.17)
Подставляя G0.15) в формулу
rf	) (\хш\ +Ш) —
3c \mi гаг/	2тг
(cm. F7.10)), получим1)
2
G0.18)
Большой интерес представляет «эффективное излучение»
при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см. § 68).
х) Напомним, что функция H\J (ive) часто мнима, а ее производная
H\J (ive) вещественна.

§ 70	ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	255
Для его вычисления умножаем dS^ на 2тгрс1р и интегрируем по
всем р от нуля до бесконечности. Интегрирование по dp заменяем
интегрированием по de (в пределах от 1 до ос), воспользовав-
воспользовавшись тем, что 2irpdp = 2/KO?ede\ это соотношение получается из
определений G0.12), в которых момент М и энергия § связаны
с прицельным расстоянием р и скоростью г>о посредством
Получающийся интеграл берется с помощью формулы
где Zp(z) —любое решение уравнения Бесселя порядка р1). Имея
в виду, что при е —> оо функция Ганкеля H^v (ive) обращается в
нуль, получим в результате следующую формулу:
Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших ча-
частот. В интеграле
G0.20)
определяющем функцию Ганкеля, существенна только та об-
область значений переменной интегрирования ?, в которой экспо-
экспонента имеет порядок величины единицы. При малых частотах
(z/ «С 1) существенна поэтому область больших ?. Но при боль-
больших ? имеем sh? ^> ?. Таким образом, приближ:енно
Аналогичным образом найдем, что
1) Эта формула является непосредственным следствием уравнения Бесселя
// 1 /
z

256
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бес-
Бесселя приближенным выражением (при малых х)
гЯР(гж)«-1п —
7Г	JX
('у = е , где С—постоянная Эйлера; 7 — 1,781...), получим
следующее выражение для эффективного излучения при малых
частотах:
16а2
гт!	ln -^ )duo при ио < ^-. G0.21)
3i70C \77li	7712/	\JLJa/	а
Оно зависит от частоты логарифмически.
При больших частотах (у ^> 1) в интеграле G0.20) суще-
существенны, напротив, малые ?. Соответственно этому разлагаем
экспоненту подынтегрального выражения по степеням ? и имеем
приб лиженно:
«Ч» - i / «Р (-^3) -е- - 'i ^ {/ехр (-^
-оо	0
Этот интеграл подстановкой iv^/6 = г\ приводится к Г-функ-
ции, и в результате получается
Аналогичным образом найдем
.2/3
Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функ-
ций
)	,
SlUTTX
получим для эффективного излучения при больших частотах:
-/9 9	duo при с^ > ^-^-,	G0.22)
т. е. выражение, не зависящее от частоты.
Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении
двух отталкивающихся по закону U = а/г (а > 0) частиц.

§ 70	ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ КУЛОНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ	257
Движение происходит по гиперболе
a(?2);	G0.23)
г
х = а(е + ch?), у = а
G0.24)
(а и s — из G0.12)). Все вычисления для этого случая непосред-
непосредственно приводятся к произведенным выше, так что нет необхо-
необходимости производить их заново. Действительно, интеграл
хи
га j
uj I
для компоненты Фурье координаты х подстановкой ? —> т —
— ? приводится к такому же интегралу для случая притяжения,
умноженному на —е~™\ то же самое имеет место для уш.
Таким образом, выражения для компонент Фурье хш, уи в
случае отталкивания отличаются от соответствующих выраже-
выражений для случая притяжения множителями е~п". В формулах
же для излучения появятся, следовательно, лишние множите-
множители е~27гг/. В частности, для малых частот получается прежняя
формула G0.21) (так как при v <^i 1: e~2ni/ « 1). Для больших
частот эффективное излучение имеет вид
(	exp	=- duo при си > ^-^-. G0.25)
Vmi m2/	\ /iu0 /	c^ v	y
Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты.
Задачи
1. Определить полную среднюю интенсивность излучения при эллипти-
эллиптическом движении двух притягивающихся зарядов.
Решение.С выражением G0.1) для дипольного момента имеем для
полной интенсивности излучения:
L
Зс3 Li m2;	Зс3 Li m2) r4'
причем мы воспользовались уравнением движения /хг = — аг/г3. Координа-
Координату г выраж:аем через (р согласно уравнению орбиты G0.2), а интегрирование
по времени с помощью равенства dt = fir2 dtp/M заменяем интегрированием
по углу (р (от 0 до 2тг). В результате находим для средней интенсивности:
1Л ^(у
Т J	Зс3 Vmi m2J	М5
о
9 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

258
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
2. Определить полное излучение А<^ при столкновении двух заряжен-
заряженных частиц.
Решение.В случае притяжения траекторией является гипербола
G0.11), а в случае отталкивания— G0.23). Асимптоты гиперболы образуют
с ее осью угол <ро, определяемый из ± cos <ро = 1/е, а угол отклонения частиц
(в системе координат, в которой центр инерции покоится) есть х = |тг —2у?о|-
Вычисление производится так же, как и в задаче 1 (интеграл по dtp берется
в пределах между — <ро и фо). В результате находим в случае притяжения:
в случае отталкивания:
A*^tg§[(*rt(l + 3tgf
Зс а 2 L	V	2
В обоих случаях под \ понимается положительный угол, определяемый из
соотношения
ctg
2	а
При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу
р -> 0, х -> тг дает
45c (У. ^TTli	7712 '
3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока
частиц в кулоновом поле отталкивания.
Решение. Искомая величина есть
оо оо	оо оо
Я ел 2 , а \ 2	Г Г Л
I dt 2тгр dp = —т ( —	 ) • 2тг / / -j dtp dp.
3<Г Vmi m2J	J J r*
0 -oo	0 -oo
Интегрирование по времени заменяем интегрированием по dr вдоль траекто-
траектории заряда, написав dt = dr/vr, где радиальная скорость vr = г выражается
через г по формуле
p2v20 2a
fir
Интегрирование по dr производится в пределах от бесконечности до ближай-
ближайшего к центру расстояния го = ^о(р) (точка, в которой vr = 0), и затем от го
снова к бесконечности; это сводится к удвоенному интегралу от го до оо.
Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив порядок
интегрирования — сначала по dp, а затем по dr. В результате получим
О7Г aflVQ ( С\	G-2 \
к =	§— (	) •
9 С ^7711	7712 '
4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете
одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика (хотя и мала
по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности
движения можно считать малым.
Решение. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия fiv2/2
велика по сравнению с потенциальной энергией, порядок величины которой
есть а/р (fiv2 ^> а/р). Выберем плоскость движения в качестве плоскости ху

§ 71 КВАДРУПОЛЬНОЕ И МАГНИТНО-ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 259
с началом координат в центре инерции и с осью х вдоль направления
скорости. В первом приближении траектория есть прямая х = vt, у = р.
В следующем приближении уравнения движения дают
ах avt .. ay ар
»Х ~ Г2 г ~ Г3 . W - r2 r ~ Г3 •
причем
г = л/х2 + у2 « л/р2 + v2t2.
С помощью формулы F7.7) имеем
оо
f^^У [ [Х2 +у2- (ХПх + упуJ] dt,
47rcdVmi m2;
— оо
где n — единичный вектор в направлении do. Выражая подынтегральное
выражение через t и производя интегрирование, получим
S2vc3p3
§ 71. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения
Рассмотрим теперь излучение, обусловленное следующими
членами разложения векторного потенциала по степеням отно-
отношения а/Х размеров системы к длине волны, по-прежнему пред-
предполагающегося малым. Хотя эти члены, вообще говоря, малы
по сравнению с первым (дипольным), они существенны в тех
случаях, когда дипольный момент системы равен нулю, так что
дипольное излучение вообще отсутствует.
Разлагая в F6.2)
подынтегральное выражение по степеням rn/с и сохраняя теперь
два первых члена, находим
А-s;
Подставляя сюда j = pv и переходя к точечным зарядам, полу-
получим
А=— yev + ^-Vevfrn).	G1.1)
cR0 ^	c2R0 dt^KJ	V J
Здесь и ниже (как и в § 67) мы для краткости опускаем индекс t1
у всех величин в правой части равенства.
Во втором слагаемом пишем:
v(rn) =	г(пг) + -v(nr)	r(nv) =	r(nr) + -[[rvlnl.
v ) 2 dt V ) 2 V ) 2 V ) 2 dt V ) 2 U J J

260
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Мы находим тогда для А выражение
d	(п'2)
где d —дипольный момент системы, а m = —J^efrv] —ее маг-
АС
нитный момент. Для дальнейшего преобразования заметим, что
к А можно прибавить, не изменяя поля, любой вектор, пропор-
пропорциональный п, — в силу формул F6.3) Е и Н при этом не изме-
изменятся. Поэтому вместо G1.2) с тем же правом можно написать:
А = — + -4— ^ Y e[3r(nr) - иг2] + — [mn].
cRo 6c2R0 Ot2 ^ L V J	J cRoL J
Но стоящее под знаком д2/dt2 выражение есть произведение,
npDap, вектора п на тензор квадрупольного момента Dap =
= ^2eCxaXf3 — 5af3r2) (см. §41). Вводя вектор D с компонентами
Da = D(xCnCi находим окончательное выражение для векторного
потенциала:
Зная А, мы можем теперь определить поля Н и Е с помощью
общих формул F6.3):
Н = ^r{[dn] + l[Dn] +	}
с До I	6c	J
Интенсивность dl излучения в телесный угол do определя-
определяется согласно F6.6). Мы определим здесь полное излучение,
т. е. энергию, излучаемую системой в единицу времени по всем
направлениям. Для этого усредним dl по всем направлениям п;
полное излучение равно этому среднему, умноженному на 4тг.
При усреднении квадрата магнитного поля все взаимные произ-
произведения первого, второго и третьего членов в Н исчезают, так что
остаются только средние квадраты каждого из них. Несложные
вычисления1) дают в результате
A	^	^	G1.5)
Ad + sDle + ^
Зс3	180с5 аР Зс2
1) Укажем удобный способ усреднения произведений компонент единично-
единичного вектора. Тензор папр, будучи симметричным, может выражаться только
через единичный тензор 5ар. Учитывая также, что его след равен 1, имеем
	 1,
ПаПр = -Оаср.
о

§ 71 КВАДРУПОЛЬНОЕ И МАГНИТНО-ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 261
Таким образом, полное излучение состоит из трех независимых
частей; они называются соответственно диполъным, квадруполъ-
ным и магнитно-дипольным излучениями.
Отметим, что магнитно-дипольное излучение фактически во
многих случаях отсутствует. Так, оно отсутствует у системы, в
которой отношение заряда к массе у всех движущихся частиц
одинаково (в этом случае отсутствует и дипольное излучение,
как уже было отмечено в §67). Действительно, у такой систе-
системы магнитный момент пропорционален механическому моменту
импульса (см. §44), и потому, в силу закона сохранения послед-
последнего, m = 0. По той же причине (см. задачу к §44) магнитно-
дипольное излучение отсутствует у всякой системы, состоящей
всего из двух частиц (чего, однако, нельзя сказать о дипольном
излучении).
Задачи
1. Вычислить полное эффективное излучение при рассеянии потока
заряженных частиц одинаковыми с ними частицами.
Решение. Дипольное (а также магнитно-дипольное) излучение при
столкновении одинаковых частиц отсутствует, так что надо вычислить квад-
рупольное излучение. Тензор квадрупольного момента системы из двух оди-
одинаковых частиц (относительно их общего центра инерции) равен
¦ -J Q/ Aj ^^~	I t_J tXj Q/ tXj [J	I	\J Q/ [J J •
2
где xa — компоненты радиус-вектора г между частицами. После трехкратно-
трехкратного дифференцирования Dap выражаем первую, вторую и третью производ-
производные по времени от координат ха через относительную скорость частиц va
согласно
т.. е2ха т ...	2var — 3xavr
r ~ 2	r	2	г
где vr = vr/r — радиальная компонента скорости (второе равенство есть
уравнение движения заряда, а третье получается дифференцированием вто-
второго). Вычисление приводит к следующему выражению для интенсивности:
1 ^2	2е6 1 , 2 . _ 2,
{у2 = vl + v\); v и v<p выражаем через г с помощью равенств
mr'	r
Среднее же значение произведения четырех компонент равно
ПаП(ЗП7Пз = — (
15
Правая часть составляется из единичных тензоров как тензор четвертого
ранга, симметричный по всем индексам; общий коэффициент определяется
затем путем свертывания по двум парам индексов, которое должно дать в
результате 1.

262
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Интегрирование по времени заменяем интегрированием по dr подобно тому,
как это было сделано в задаче 3 к § 70, т. е. написав
,, dr	dr
at = — =
v-	I o P2vo 4e2
r2 mr
В двойном интеграле (по dr и dp) производим сначала интегрирование по dp,
а затем по dr. В результате вычислений получается следующий результат:
= 4тг eSg
^ ~ 9 шс5 '
2. Найти силу отдачи, действующую на излучающую систему частиц,
совершающих стационарное финитное движение.
Решение. Искомая сила F вычисляется как потеря импульса систе-
системой в единицу времени, т. е. как поток импульса, уносимого испускаемыми
системой электромагнитными волнами:
/	f	2
Fa. = Ф (Тар df/3 = I CTapnpRo do\
интегрирование производится по сферической поверхности большого ра-
радиуса Ro. Тензор напряжений дается формулой C3.3), а поле Е и Н берем
из G1.4). Ввиду поперечности этих полей интеграл сводится к
' = --/"
8тгУ
2H2nR20 do.
Усреднение по направлениям п производится с помощью формул, приве-
приведенных в примеч. на с. 260 (произведения же нечетного числа компонент п
обращаются в нуль). В результате получим )
§ 72. Поле излучения на близких расстояниях
Формулы дипольного излучения были выведены нами для
поля на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны
(и тем более по сравнению с размерами излучающей системы).
В этом параграфе мы будем по-прежнему считать, что длина
волны велика по сравнению с размерами системы, но будем рас-
рассматривать поле на расстояниях, хотя и больших по сравнению
с последними, но сравнимыми с длиной волны.
Формула F7.4) для векторного потенциала
А = — d	G2.1)
cRo	v J
1) Отметим, что эта сила — более высокого порядка по 1/с, чем лоренцевы
силы трения (§75). Последние не дают вклада в суммарную силу отдачи:
сумма сил G5.5), действующих на частицы электрически нейтральной си-
системы, равна нулю.

§ 72	ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ	263
по-прежнему остается в силе, так как для ее вывода было исполь-
использовано лишь то, что i?o велико по сравнению с размерами систе-
системы. Однако поле нельзя рассматривать теперь, даже в неболь-
небольших участках, как плоскую волну. Поэтому формулы F7.5) и
F7.6) для электрического и магнитного полей уже неприменимы,
и для их вычисления надо определить предварительно как А, так
и (р.
Формулу для скалярного потенциала можно получить из
выражения для А непосредственно с помощью общего усло-
условия F2.1)
с ot
наложенного на потенциалы. Подставляя в него G2.1) и инте-
интегрируя по времени, найдем
?? = _divA.	G2.2)
Ко
Постоянную интегрирования (произвольную функцию коорди-
координат) мы не пишем, так как нас интересует только переменная
часть потенциала. Напомним, что в формуле G2.2), как и в
G2.1), значение d должно браться в момент времени t1 = t —
-До/с1).
Теперь уже не представляет труда вычислить электрическое
и магнитное поле. По обычным формулам, связывающим Е и Н
с потенциалами, находим
Н= ±rot—,	G2.3)
с До	V }
E = graddiv^-4|-.	G2.4)
Но с Но
Выражение для Е можно переписать в другом виде, заметив, что
d^//i?o, как и всякая функция координат и времени вида
удовлетворяет волновому уравнению
с2 dt2 Ro ~ Ro'
) Иногда вводят так называемый вектор Герца, определяемый как
Тогда

264
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Воспользовавшись также известной формулой
rot rot a = grad div a — Да,
найдем, что
Е = rot rot—.	G2.5)
Ro
Полученные формулы определяют поле на расстояниях, срав-
сравнимых с длиной волны. Во всех этих формулах нельзя, разуме-
разумеется, выносить 1/Rq из-под знака дифференцирования по коор-
координатам, так как отношение членов, содержащих l/i?o, к членам
с 1/Rq как Раз порядка величины \/Rq.
Наконец, напишем формулы для фурье-компонент поля. Для
определения Ни подставляем в формулу G2.3) вместо Н и d их
монохроматические составляющие, т. е. соответственно Иие~ги!г
и d0Je~1'u>t. Надо, однако, помнить, что величины в правой части
равенств G2.1)-G2.5)) берутся в момент времени t1 = t — Ro/c.
Поэтому мы должны подставить для d выражение
^ e-iu(t-R0/c) _ ^ e-iut+ikR0
Производя подстановку и сокращая на e~tu>t, найдем
(eikR0 \	г	eikR0 "I
или, произведя дифференцирование,
^)ikIh,	G2.6)
где п —единичный вектор в направлении
Аналогичным образом из G2.4) найдем
или, произведя дифференцирование,
G2.7)
На расстояниях, больших по сравнению с длиной волны
^> 1), в формулах G2.6), G2.7) можно пренебречь членами
с l/i?o и V^o> и мы возвращаемся к полю «волновой зоны»:
Еш = ?
Н

§ 72	ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ НА БЛИЗКИХ РАССТОЯНИЯХ	265
На расстояниях же, малых по сравнению с длиной волны
<С 1), пренебрегаем членами с l/Ro и 1/Rq и полагаем
eikR0 ~ 1; тогда
что соответствует статическому дипольному электрическому по-
полю (§40); магнитное поле в этом приближении, естественно, от-
отсутствует.
Задачи
1. Определить потенциалы поля квадрупольного и магнитно-дипольного
излучений на близких расстояниях.
Решение. Предполагая, для краткости, что дипольное излучение
вообще отсутствует, имеем (ср. вычисления, произведенные в §71):
А 1 f.	dV	If, —,it-Ro/c ,лг
А= - / jt-д/с— « — / (rV) 0/ dV,
с J	R	с J	Ro
где разложение подынтегрального выражения производится по степеням г =
= Ro —R. В противоположность тому, что мы делали в § 71, множитель l/Ro
нельзя выносить теперь из-под знака дифференцирования. Выносим послед-
последний из-под знака интеграла и переписываем формулу в тензорных обозна-
обозначениях:
J Ro
(Xp обозначают компоненты радиус-вектора Ro). Переходя от интеграла к
сумме по зарядам, находим
А	1 д (J2ev<*xp)t>
сдХр Ro
Тем же способом, что и в § 71, это выражение разделяется на квадруполь-
ную и магнитно-дипольную части. Соответствующие скалярные потенциалы
вычисляются по векторному потенциалу подобно тому, как это сделано в
тексте. В результате получаем для квадрупольного излучения:
О U (хР	1	О	U ар
6с uXp Rq	6 ОХаиХр Ro
и для магнитно-дипольного излучения:
A = rot—, <р = 0
(все величины в правых частях равенства берутся, как обычно, в момент
времени t' = t — Ro/c).
Напряженности поля магнитно-дипольного излучения:
_. 1 , tu тт	, tti
Е = — rot —, Н = rot rot —.
с Ro	Ro
Сравнивая с G2.3), G2.5), мы видим, что Н и Е в магнитно-дипольном
случае выражаются через m так же, как соответственно Е и — Н выражаются
через d в электрическом дипольном случае.

266
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Спектральные компоненты потенциалов квадрупольного излучения:
ih i n Я PikRo	, ч 1 , ч я2 р*йя0
6	дХр Rq	6 ОХаОХр Rq
Выражения для поля мы не выписываем здесь ввиду их громоздкости.
2. Найти скорость потери момента импульса системой зарядов при ди-
польном излучении ею электромагнитных волн.
Решение. Согласно C2.9) плотность потока момента электромагнит-
электромагнитного поля дается пространственными компонентами 4-тензора хгТы —хкТг1.
Переходя к трехмерным обозначениям, вводим трехмерный вектор момента
с компонентами есх^1ЪА.^1 /2; плотность его потока дается трехмерным тен-
тензором
где аар = —Та/3 — трехмерный максвелловский тензор напряжений (а все
индексы пишем внизу соответственно трехмерным обозначениям). Полный
момент, теряемый системой в единицу времени, равен потоку момента поля
излучения через сферическую поверхность радиуса i?o:
dMa Г
= Ф ea/3jX/3CTjsns aj,
J
at
где df = Rodo, a n—единичный вектор в направлении Ro. С тензором
из C3.3) получим
^М = До /"{[пЕ^пЕ) + [nH](nH)}do.	A)
Применяя эту формулу к полю излучения на больших расстояниях от
системы, нельзя, однако, ограничиться членами ~ 1/Ro: в этом прибли-
приближении пЕ = пН = 0, так что подынтегральное выражение обращается
в нуль. Эти члены (даваемые F7.5), F7.6) достаточны лишь для вычис-
вычисления множителей [пЕ] и [пН]; продольные же компоненты полей пЕ и
пН возникают от членов ~ 1/Ro (в результате подынтегральное выражение
в A) становится ~ 1/Ro, и расстояние i?o, как и следовало, выпадает из
ответа). В дипольном приближении длина волны Л ^> а, и надо различать
члены, содержащие (по сравнению с F7.5), F7.6) лишний множитель ~
~ X/Ro или rsj a/Ro] достаточно оставить лишь первые. Именно эти члены
можно получить из G2.3) и G2.5); вычисление с точностью до второго
порядка по 1/Ro дает1):
En = —^nd, Hn = 0.	B)
cRq
Подставив B) и F7.6) в A), получим
	 =	^ / [ndlnd do.
dt	2тгс3 J L J
Наконец, написав подынтегральное выражение в виде eap^npd^nsds и усред-
усреднив по направлениям п, найдем окончательно:
dM	2_
dt ~ Зс3
1) Отличное от нуля значение Нп получилось бы лишь при учете членов
высшего порядка по /

§ 73	ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА	267
Отметим, что для линейного осциллятора (d = do cosut с вещественной
амплитудой do) выражение C) обращается в нуль: потери момента при
излучении не происходит.
§ 73. Излучение быстро движущегося заряда
Рассмотрим теперь заряженную частицу, движущуюся со
скоростью не малой по сравнению со скоростью света.
Формулы §67, выведенные в предположении v <С с, непри-
неприменимы к этому случаю непосредственно. Мы можем, однако,
рассматривать частицу в той системе отсчета, в которой она в
данный момент покоится; в этой системе отсчета упомянутые
формулы, очевидно, применимы (обращаем внимание на то, что
это возможно сделать лишь в случае одной движущейся ча-
частицы; для нескольких частиц не существует, вообще говоря,
системы отсчета, в которой бы все они одновременно покоились).
Таким образом, в указанной системе отсчета частица излуча-
излучает в течение времени dt энергию
dS= ^w2dt	G3.1)
ОС
(согласно формуле F7.9)), где w — ускорение частицы в этой же
системе. Полный же излучаемый ею импульс в рассматриваемой
системе отсчета равен нулю
dP = 0.	G3.2)
Действительно, излучение импульса определяется как интеграл
от плотности потока импульса в поле излучения по замкнутой по-
поверхности, охватывающей частицу. Но в силу свойств симметрии
дипольного излучения импульсы, уносимые в противоположных
направлениях, одинаковы по величине и противоположны по
направлению; поэтому указанный интеграл обращается тожде-
тождественно в нуль.
Для перехода к произвольной системе отсчета перепишем
формулы G3.1) и G3.2) в четырехмерном виде. Легко видеть,
что «излучение 4-импульса» dP1 должно быть записано как
Зс ds ds	3c ds ds
Действительно, в системе отсчета, в которой частица покоит-
покоится, пространственные компоненты 4-скорости иг равны нулю,
duk duk	w2	7Г-,7-
а	= —т-; поэтому пространственные компоненты аР
ds ds	с
обращаются в нуль, а временная дает равенство G3.1).

268
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Полное излучение 4-импульса за время пролета частицы че-
через данное электромагнитное поле равно интегралу от выраже-
выражения G3.3), т.е.
^ f^^	G3.4)
Зс J ds ds
Перепишем эту формулу в другом виде, выразив 4-ускорение
du1 /ds через тензор внешнего электромагнитного поля с помо-
помощью уравнений движения B3.4):
duk e T-. /
ПГГ\ П	 	 — Hi -ill
ds с
Мы получим тогда
Api = -т^ГЕ I (Fkivf^F^Um) dx\	G3.5)
3m с J
Временная компонента уравнения G3.4) или G3.5) дает пол-
полное излучение энергии AS. Подставляя для четырехмерных ве-
величин их выражения через трехмерные величины, получим
(w = v —ускорение частицы), или, через внешние электрическое
и магнитное поля:
7	2е± {E+J[vH]}-l(Ev)
= Idt, 1=^гч	г-^	. G3.7)
J	Згп2с3	l-v2/c2	V J
—оо
Выражения для полного излучения импульса отличаются лиш-
лишним множителем v под знаком интеграла.
Из формулы G3.7) видно, что при скоростях, близких к ско-
скорости света, полное излучение энергии в единицу времени зави-
зависит от скорости в основном как (l—v2/c2)~\ т. е. пропорциональ-
пропорционально квадрату энергии движущейся частицы. Исключение пред-
представляет только движение в электрическом поле параллельно
направлению поля. В этом случае множитель A—г?2/с2), стоящий
в знаменателе, сокращается с таким же множителем в числителе,
и излучение оказывается не зависящим от энергии частицы.
Наконец, остановимся на вопросе об угловом распределении
излучения быстро движущейся частицы. Для решения этой за-
задачи удобно воспользоваться лиенар-вихертовским выражением

§ 73	ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА	269
для поля F3.8), F3.9). На больших расстояниях мы должны со-
сохранить в нем только член с более низкой степенью 1/R (второй
член в формуле F3.8)). Вводя единичный вектор п в направле-
направлении излучения (R = nit!), получим формулы
Е = е [п[(п - v/c)w]]	=
c2R A-nv/cK '	L J'	V J
где все величины в правых частях равенств берутся в запазды-
запаздывающий момент времени tf = t — R/c.
Интенсивность излучения в телесный угол do равна dl =
= —E2R2 do. Раскрывая квадрат Е2. найдем
4тг
е2 [ 2(nw)(vw)	w2	(l-^2/c2)(nwJ|
4тгс3 \ сA - vn/cM A - vn/cL	(I - vn/cN J
G3.9)
Если же мы хотим определить угловое распределение полного
излучения за все время движения заряда, то надо проинтегриро-
проинтегрировать интенсивность по времени. При этом следует помнить, что
интегрируемое выражение является функцией t'\ поэтому надо
писать
G3.10)
dt=^dt(
dt	\	с
(см. F3.6)), после чего интегрирование производится непосред-
непосредственно по dt1. Таким образом, имеем следующее выражение для
полного излучения в элемент телесного угла do:
2(nw)(vw)	w2	A - ^2/c2)(nwJ
[ f
J \
[
47ГС3 J \ c(l - vn/cL + A - vn/cK	A - vn/cM
G3.11)
Как видно из G3.9), угловое распределение излучения в об-
общем случае довольно сложно. В ультрарелятивистском случае
A—v/c <^i 1) оно обладает характерной особенностью, связанной
с наличием высоких степеней разности 1 — vn/c в знаменателях
различных членов этого выражения. Именно, интенсивность ве-
велика в узком интервале углов, в котором мала разность 1 —vn/c.
Обозначив буквой в малый угол между п и v, имеем
эта разность мала (~ 1 — v/c) при в ~ д/l — v/c или, что то же,
G3.12)

270
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Таким образом, ультрарелятивистская частица излучает в ос-
основном в направлении своего движения в интервал углов G3.12)
вокруг направления скорости.
Укажем также, что при произвольных скорости и ускорении
частицы всегда имеются такие два направления, в которых ин-
интенсивность излучения обращается в нуль. Это те направления,
в которых вектор n — v/c параллелен вектору w и потому по-
поле G3.8) обращается в нуль (см. также задачу 2 в конце пара-
параграфа) .
Наконец, выпишем более простые формулы, в которые пере-
переходит G3.9) в двух частных случаях.
Если скорость и ускорение частицы параллельны, то
c2R A - vn/cK
и интенсивность
dl = -^	^2sm2fl—^ do.	G3.13)
4тгс3 (l-(v/c)cosON	V	У
Она, естественно, симметрична вокруг совместного направления
v и w и обращается в нуль в направлениях по (в = 0) и против
(в = тг) скорости. В ультрарелятивистском случае интенсивность
как функция от в имеет резкий двойной максимум в области
G3.12) с «провалом» до нуля при в = 0.
Если же скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, то
из G3.9) имеем
dI = ^1 \	1	_ A ~^/с) sin fl cosV] d	,7g u)
47ГС3 [A-(<;/c)cos0L	A-(<;/c)cos0N J ' У	}
где 0 — по-прежнему угол между п и v, a (^ — азимутальный
угол вектора п с плоскостью, проходящей через v и w. Эта
интенсивность симметрична лишь относительно плоскости vw
и обращается в нуль в двух направлениях в этой плоскости,
образующих угол в = arccos (v/c) со скоростью.
Задачи
1. Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом ei,
пролетающей на прицельном расстоянии р в кулоновом поле неподвижного
центра (потенциал (р = е^/г).
Решение. При пролете через поле релятивистская частица почти не
отклоняется1). Поэтому в G3.7) можно считать скорость v постоянной,
1) При v rsj с отклонение на заметный угол может иметь место лишь
при прицельных расстояниях р ~ е2/тс2, которые вообще не допускают
классического рассмотрения.

§ 74
МАГНИТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
271
соответственно чему поле в точке нахождения частицы
Е =
причем х = vt, у = р. Произведя в G3.7) интегрирование по времени,
получим
nejel 4с2 - у2
~ 12m2c3p3v с2 - v2 '
2.	Определить направления, в которых обращается в нуль интенсив-
интенсивность излучения движущейся частицы.
Решение. Из геометрического построения (рис. 15) находим, что
искомые направления п лежат в плоскости, проходящей че-
через v и w, и образуют с направлением w угол х5 определяю-
определяющийся из соотношения
V .
sm% = — sin a,
с
где а — угол между v и w.
3.	Определить интенсивность излучения заряженной
частицей, стационарно движущейся в поле циркулярно-по-
ляризованной плоской электромагнитной волны.
Решение. Согласно результатам задачи 3 § 48 части-
частица движется по окружности, причем ее скорость в каждый
момент времени параллельна полю Н и перпендикулярна
полю Е. Ее кинетическая энергия
т2с2 = су
Рис. 15
(обозначения из указанной задачи). По формуле G3.7) находим интенсив-
интенсивность излучения:
2е4
Е2
3m2c3 1 - v2 /с2
2eiEJ
3m2c3
/ еЕ0
W
4. То же в поле линейно поляризованной волны.
Решение. Согласно результатам задачи 2 § 48 движение происходит
в плоскости ху, проходящей через направление распространения волны
(ось х) и направление поля Е (ось у)] поле Н направлено по оси z (причем
Hz = Еу). По G3.7) находим
7_ 2е4Е2 A - vx/cJ
~ Зт2с3 1 -v2/с2
Усреднение по периоду движения, задаваемого полученным в указанной
задаче параметрическим представлением, приводит к результату
3 / еЕ0
Зт2с3
1 +
8
—Я-
mcuj' j
§ 74. Магнито-тормозное излучение
Рассмотрим излучение заряда, движущегося с произвольной
скоростью по окружности в постоянном однородном магнитном
поле; такое излучение называют магнито-тормозным.

272
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ГЛ. IX
Радиус орбиты г и циклическая частота движения ион вы-
выражаются через напряженность поля Н и скорость частицы v
формулами (см. §21)
г =
mcv
- v2/c2 '
U0H = ~ = 	W1 - -г-
G4.1)
Полная интенсивность излучения по всем направлениям оп-
определяется по формуле G3.7), в которой надо положить Е = О
иН1 v:
24ЯУ, ,
/
Зт2с5A-у2/с2У
Мы видим, что полная интенсивность пропорциональна квадра-
квадрату импульса частицы.
Если же мы интересуемся угловым распределением излу-
излучения, то надо воспользоваться формулой G3.11). Интерес
представляет интенсивность, усредненная по периоду движения.
Соответственно этому будем интегри-
интегрировать в G3.11) по времени обраще-
обращения частицы по окружности и разде-
разделим результат на величину периода
Г = 2тг /ион-
Выберем плоскость орбиты в ка-
качестве плоскости ху (начало коорди-
координат — в центре окружности), а плос-
плоскость yz проводим через направление
излучения к (рис. 16). Магнитное по-
поле будет направлено в отрицательном
направлении оси z (изображенное на
рис. 16 направление движения части-
частицы отвечает положительному заряду е). Пусть, далее, в — угол
между направлением излучения к и осью у, а (р = uont — jvon
между радиус-вектором частицы и осью х. Тогда косинус угла
между направлением к и скоростью v равен cos в cos (p (вектор v
лежит в плоскости ху л в каждый момент времени перпендику-
перпендикулярен к радиус-вектору частицы). Ускорение частицы w выра-
выражаем через поле Н и скорость v согласно уравнению движения
(см. B1.1)):
w =

§ 74	МАГНИТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	273
После простого вычисления получим
2тг
-v2/c2) sin2 в + iv/c- cos 0 cos ifJ
4H2v2 (л v2, Г (l-v2
^{1-7)j
A — (у/с) cos в cos (fM
о
G4.3)
(интегрирование по времени заменено интегрированием по dip =
= uoudt). Процесс интегрирования элементарен, хотя выкладки
довольно громоздки. В результате получается следующая фор-
формула:
z2^1_!M 2-cos20- .,
~JT	J	К	с2 J I	4:C2 ^	U <	-	(ПА А\
dl = do	2--2I	2"^	2—v~2	• G4*4)
Отношение интенсивностей излучения под углом в = тг/2
(перпендикулярно к плоскости орбиты) и под углом в = О
(в плоскости орбиты) равно
(dl/doH _ 4 + 3«2/с2	G45)
-1Г11-VI [2-cos20-A,ri + ^cos^
8A-v2
При v —)> 0 это отношение стремится к 1/2, но при скоростях,
близких к скорости света, оно становится очень большим. Мы
вернемся еще к этому вопросу ниже.
Далее, рассмотрим спектральное распределение излучения.
Поскольку движение заряда периодично, то речь идет о разложе-
разложении в ряд Фурье. Вычисление удобно начать с векторного потен-
потенциала. Для его компоненты Фурье имеем формулу (ср. F6.12))
eikR0 Г
Ап = е—— f exp {i(ujHnt - kr)} dr,
cRqT J
где интегрирование производится вдоль траектории частицы
(окружности). Для координат частицы имеем х = г cos LUjjt^ у =
= г sin си at. В качестве переменной интегрирования выбираем
угол (р = cunt. Замечая, что
кг = кг cos в sin (р = — cos в sin (p
с
(к = псин/с = nv/cr), находим для компоненты Фурье ж-состав-
ляющей векторного потенциала
2тг
Ахп =^йД
2ttcRq
/ ехр Un I у _ V. cos q snl ^ j s[
J	I \	с	/ J

274
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
С таким интегралом нам приходилось уже иметь дело в § 70. Он
выражается через производную от функции Бесселя:
)	G4.6)
Аналогичным образом вычисляется Ауп:
) <74-7'
Компонента же вдоль оси z, очевидно, вообще отсутствует.
По формулам § 66 имеем для интенсивности излучения с ча-
частотой си = пион в элемент телесного угла do:
dln = f \Un\2R2do = f \[kAn]\2R20do.
Замечая, что
и подставляя выражения G4.6), G4.7), получим для интенсивно-
интенсивности излучения следующую формулу (G. A. Schott, 1912):
G4.8)
Для определения полной по всем направлениям интенсив-
интенсивности излучения с частотой си = псин это выражение должно
быть проинтегрировано по всем углам. Интегрирование, однако,
не может быть произведено в конечном виде. Посредством ряда
преобразований, использующих некоторые соотношения теории
функций Бесселя, искомый интеграл может быть приведен к
следующему виду:
v/c
f
о
G4.9)
Рассмотрим более подробно ультрарелятивистский случай,
когда скорость движения частицы близка к скорости света.
Положив в числителе формулы G4.2) v = с, найдем, что
полная интенсивность магнито-тормозного излучения в ультра-
ультрарелятивистском случае пропорциональна квадрату энергии час-
частицы §\
^(АJ	G4.Ю)

§ 74	МАГНИТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	275
Угловое распределение излучения в этом случае крайне ани-
анизотропно. Оно сосредоточено в основном вблизи плоскости орби-
орбиты. Угловую ширину Д#, в которой заключена основная часть
2	2
излучения, легко оценить из условия 1 — — cos2# ~ 1 — —.
Очевидно, что
(этот результат находится, конечно, в соответствии с рассмотрен-
рассмотренным в предыдущем параграфе угловым распределением мгно-
мгновенной интенсивности, см. G3.12I)).
Специфическим характером обладает в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском случае также и спектральное распределение излучения
(Л. А. Арцимович и И. Я. Померанчук, 1945).
Мы увидим ниже, что в этом случае основную роль в излуче-
излучении играют частоты с очень большими п. В связи с этим можно
воспользоваться асимптотической формулой G0.9), согласно ко-
которой имеем
J2nB<) « -^Ф[п^\1 - ?%	G4.12)
Подставив это выражение в G4.9), получим следующую формулу
для спектрального распределения излучения при больших зна-
значениях п2):
г -—^—уЯ-фн-о / фнН> G4-13)
л/тгт2с3
и = п
При и —>• 0 выраж:ение в квадратных скобках стремится к
постоянному пределу —Ф'@) = 0,4587.. .3). Поэтому при и ^С 1
1)	Не смешивать, однако, угол в в этом параграфе с углом в между п и v
в §73!
2)	При подстановке один из пределов интеграла (п2^3) заменен, с требуемой
точностью, на бесконечность, и везде, где возможно, положено v = с. Хотя
в интеграле в G4.9) фигурируют также и не близкие к 1 значения ?, тем
не менее использование формулы G4.12) допустимо, поскольку интеграл
быстро сходится на нижнем пределе.
3)	Согласно определению функции Эйри имеем

276
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
имеем
При и ^> 1 можно воспользоваться известным асимптоти-
асимптотическим выражением функции Эйри (см. примеч. на с. 210), и
получить
G4.15)
т. е. интенсивность экспоненциально падает при очень боль-
больших п.
Спектральное распределение имеет, следовательно, макси-
макси23
мум при п rsj ((f/mc2K, и основная часть излучения сосредо-
сосредоточена в области частот
3 еН ( g \2
g \3 еН ( g \2	(Г7Л лаЛ
	г) = 	( 	2)'	G4.16)
тс /	тс \ тс /
Эти частоты очень велики по сравнению с расстоянием ион меж-
между двумя соседними из них. Другими словами, спектр излучения
состоит из очень большого числа близко расположенных линий,
т. е. имеет квазинепрерывный характер. Вместо функции распре-
распределения 1п можно поэтому ввести распределение по непрерыв-
непрерывному ряду частот ш = пион, написав
dl = Indn = In — .
ООН
Для численных расчетов удобно выразить это распределение
через функции Макдональда К»1). Путем несложных преобра-
преобразований формулы G4.13) оно может быть представлено в виде
1) Связь функций Эйри с функций if 1/з дается формулой D) в примеч.
на с. 210. При дальнейших преобразованиях используются рекуррентные
соотношения
К„-!{х) - Kv+1{x) = -—Ки(х), 2КЦх) = -Kv-i{x) - К„+1{х),
X
причем К-и(х) = Kv(x). В частности, легко найти, что

§ 74
МАГНИТО-ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
277
G4.18)
0,92
где обозначено
ЗеЯ / g \2
2тс\тс2)
На рис. 17 изображен график функции
Наконец, несколько замечаний о случае, когда частица дви-
движется не по плоской круговой орбите, а по винтовой траекто-
траектории, т. е. имеет продольную (по отношению к полю) скорость
г>ц = t'cosx (х~Угол между f
Н и v). Частота вращатель-
вращательного движения дается той же
формулой G4.1), но вектор v
описывает не круг, а поверх-
поверхность конуса с осью вдоль Н
и углом 2х при вершине. Пол-
Полная интенсивность излучения ~ о,29
(понимаемая как полная по-	рис и
теря энергии частицей в 1 с)
будет отличаться от G4.2) заменой Н на Н± =
В ультрарелятивистском случае излучение сконцентрировано
в направлениях вблизи образующих «конуса скоростей». Спек-
Спектральное распределение и полная интенсивность (понимаемые в
том же смысле) получаются из G4.17) и G4.10) заменой Н —>>
—»> Н±. Если же речь идет об интенсивности, наблюдаемой в
указанных направлениях удаленным неподвижным наблюдате-
наблюдателем, то в формулы надо ввести множитель, учитывающий общее
приближение или удаление излучателя (движущейся по кружку
частицы) от наблюдателя. Этот множитель дается отношением
dt/dtHa6, где с??наб — интервал времени между поступлением к на-
наблюдателю сигналов, испускаемых источником с интервалом dt.
Очевидно, что
= dt A	v\\ cos $ j,
где 'в — угол между направлениями к и Н (последнее принято
за положительное направление скорости иц). В ультрареляти-
ультрарелятивистском случае, когда направление к близко к направлению v,
имеем 'д ~ х, так что
G4.19)
Задачи
1. Определить закон изменения энергии со временем для заряда, дви-
движущегося по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле и
теряющего энергию путем излучения.

278
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Решение. Согласно G4.2) имеем для потери энергии в единицу
времени:
а& Ze ti f 2 2 4ч
dt 3m4 с7 V	J
(? — энергия частицы). Отсюда находим
	~ = cth 	=-=-? + const .
тс2	V3m3c5	/
С увеличением t энергия монотонно падает, приближаясь к значению ? =
= тс (полная остановка частицы) асимптотически при t —>¦ оо.
2. Найти асимптотическую формулу для спектрального распределения
излучения с большими значениями п для частицы, движущейся по окруж-
окружности со скоростью, не близкой к скорости света.
Решение. Используем известную формулу теории функций Бессе-
Бесселя:
справедливую при пA — ?2K^2 ^> 1. С ее помощью находим из G4.9)
= е^Н'у/п / ^у/4	р/с
Эта формула применима при пA — v2/с2K'2 ^> 1; если к тому же 1 — v2/с2
мало, то формула переходит в G4.15).
3. Найти поляризацию магнито-тормозного излучения.
Решение. Электрическое поле Еп вычисляется по векторному по-
потенциалу Ап G4.6), G4.7) по формуле
En = f [[kAn]k] = -f k(kAn) +ikAn.
к	к
Пусть ei, в2—единичные векторы в плоскости, перпендикулярной к к,
причем ei параллелен оси ж, а в2 лежит в плоскости yz (их компоненты:
ei = A,0,0), в2 = @,sin#, — cos^)); векторы ei, в2, k образуют правую
тройку. Тогда электрическое поле будет:
En = ikAxnei
или, опустив несущественные общие множители:
En ex) -Jn[ — cos 9 1 ei + tg 9 Jn I — cos 9 1 ге2.
с \ с	'	V с	/
Волна эллиптически поляризована (см. §48).
В ультрарелятивистском случае для больших п и малых углов 9 функ-
функции Jn и J'n выражаются через i^i/з и К2/з, причем в их аргументах полагаем
4
с2

§ 75	ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ	279
В результате получим
ie26K1/3 (^ф3), ф = J(^
При в = О эллиптическая поляризация вырождается в линейную вдоль ei.
При больших в (\в\ > тс2/^, пв3 > 1), имеем Кг/3(х) « К2/з(х) ~
« у/тг/2же~ж и поляризация стремится к круговой: En oo ei ± гв2; интен-
интенсивность излучения, однако, становится при этом экспоненциально малой.
В промежуточной области углов малая ось эллипса лежит вдоль в2, а
большая — вдоль ei. Направление вращения зависит от знака угла 0 @ > О,
если направления Ник лежат по разные стороны от плоскости орбиты, как
изображено на рис. 16).
§ 75. Торможение излучением
В § 65 было показано, что разложение потенциалов поля си-
системы зарядов в ряд по степеням v/c приводит во втором при-
приближении к функции Лагранжа, вполне определяющей (в этом
приближении) движение зарядов. Произведем теперь разложе-
разложение поля до членов более высокого порядка и выясним, к каким
эффектам приводят эти члены.
В разложении скалярного потенциала
член третьего порядка по 1/с равен
По тем же причинам, что и при выводе F5.3), в разложении
векторного потенциала мы должны взять только член второго
порядка по 1/с, т. е.
Произведем преобразование потенциалов:
Vf = V~ ~^7> А' = A + grad/,
с at
выбрав функцию / таким образом, чтобы скалярный потенци-
потенциал (^C) обратился в нуль:
6c2 dt2 J

280
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Тогда новый векторный потенциал будет равен
Переходя здесь от интегралов к суммам по отдельным заря-
зарядам, для первого слагаемого в правой части получим выраже-
ние —2^2e*v- Во втором слагаемом пишем R = Rq ~~ гэ гДе R-0 и
с
г имеют обычный смысл (см. § 66); тогда R = — г = — v, и второе
слагаемое принимает вид —j ^2 е^« Таким образом,
Соответствующее этому потенциалу магнитное поле равно
нулю (Н = rot А'B) = 0), поскольку А'B) не содержит явным
образом координат. Электрическое же поле, Е = —А'B)/с, равно
E=Ad,	G5.4)
где d —дипольный момент системы.
Таким образом, члены третьего порядка в разложении по-
поля приводят к появлению дополнительных действующих на за-
заряды сил, не содержащихся в функции Лагранжа F5.7); эти
силы зависят от производных по времени от ускорения за-
зарядов.
Рассмотрим систему зарядов, совершающих стационарное
движение1) и вычислим среднюю работу, производимую по-
полем G5.4) за единицу времени. На каждый заряд е действует
сила f = еЕ, т. е.
f=-^d.	G5.5)
Зс3	V }
В единицу времени эта сила производит работу, равную fv; пол-
полная работа, совершенная над всеми зарядами, равна сумме по
зарядам:
fv = ^rd > ev = ^rdd = —т — (dd)	^dz.
3c3 ^f 3c3 3c3 dty J 3c3
г) Точнее, —движение, которое было бы стационарным при пренебрежении
излучением, приводящим к постепенному затуханию движения.

§ 75	ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ	281
При усреднении по времени первый член исчезает, так что сред-
средняя работа оказывается равной
= -X#.	G5.6)
Но стоящее справа выражение есть не что иное, как (взятое
с обратным знаком) среднее излучение энергии системой за
единицу времени (см. F7.8)). Таким образом, возникающие в
третьем приближении силы G5.5) описывают обратное действие
излучения на заряды. Эти силы носят название торможения
излучением или лоренцевых сил трения.
Одновременно с потерей энергии в излучающей системе заря-
зарядов происходит также и потеря момента импульса. Уменьшение
момента импульса в единицу времени, dM./dt, легко вычислить
с помощью выражений для сил торможения. Дифференцируя
момент М = Х^[ГР] по времени, имеем М = X^[rPL так как
$^[гр] = ^ra[vv] = 0. Производную по времени от импульса
частицы заменяем действующей на нее силой трения G5.5) и
находим
Нас интересует среднее по времени значение потери момента
импульса при стационарном движении, подобно тому как выше
нас интересовала средняя потеря энергии. Написав
и замечая, что полная производная по времени (первый член)
при усреднении исчезает, найдем окончательно следующее вы-
выражение для средней потери момента импульса излучающей си-
системой х):
dt	3c6
Торможение излучением имеет место и при наличии одного
движущегося во внешнем поле заряда. Оно равно
f=gv.	G5.8)
Для одной частицы можно всегда выбрать такую систему от-
отсчета, в которой она в данный момент времени покоится. Ес-
Если вычислять в такой системе дальнейшие члены разложения
) В согласии с результатом C), полученным в задаче 2 § 72.

282
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
создаваемого зарядом поля, то легко убедиться в том, что при
стремлении к нулю радиус-вектора R от заряда к точке наблюде-
наблюдения все эти члены обращаются в нуль. Таким образом, в случае
одного заряда формула G5.8) является точным выражением для
обратного действия излучения в той системе отсчета, в которой
заряд покоится.
Надо, однако, иметь в виду, что описание действия заряда
«самого на себя» с помощью силы торможения вообще не являет-
является вполне удовлетворительным и содержит в себе противоречия.
Уравнение движения заряда в отсутствие внешнего поля, на
который действует только сила G5.8), имеет вид
. 2е2 ..
77W = —rV.
Зс3
Это уравнение имеет, кроме тривиального решения v =
= const, еще решение, в котором ускорение v пропорционально
ехр (Згас3?/2е2), т.е. неограниченно возрастает со временем. Это
значит, например, что заряд, прошедший через какое-нибудь
поле, по выходе из поля должен был бы неограниченно «само-
«самоускоряться». Абсурдность этого результата свидетельствует об
ограниченной применимости формулы G5.8).
Может возникнуть вопрос о том, каким образом электро-
электродинамика, удовлетворяющая закону сохранения энергии, может
привести к абсурдному результату, в котором свободная частица
неограниченно увеличивает свою энергию. Корни этой трудности
находятся, в действительности, в упоминавшейся ранее (§37)
бесконечной электромагнитной «собственной массе» элементар-
элементарных частиц. Когда мы пишем в уравнениях движения конечную
массу заряда, то мы этим, по существу, приписываем ему фор-
формально бесконечную же отрицательную «собственную массу»
неэлектромагнитного происхождения, которая вместе с электро-
электромагнитной массой приводила бы к конечной массе частицы. По-
Поскольку, однако, вычитание одной из другой двух бесконечностей
не является вполне корректной математической операцией, то
это и приводит к ряду дальнейших трудностей, в том числе и к
указанной здесь.
В системе координат, в которой скорость частицы мала, урав-
уравнение движения с учетом торможения излучением имеет вид
rav = еЕ + -[vH] + -^-v.	G5.9)
По изложенным соображениям, это уравнение применимо только
постольку, поскольку сила торможения мала по сравнению с
силой, действующей на заряд со стороны внешнего поля.

§ 75	ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ	283
Для выяснения физического смысла этого условия посту-
поступим следующим образом. В системе отсчета, в которой заряд
в данный момент покоится, вторая производная от скорости по
времени равна (при пренебрежении силой торможения):
v = -Ё+—[vH].
т	тс
Во втором члене подставляем (ограничиваясь той же точностью)
v = еЕ/га и получаем
^[]
т	тс
Соответственно этому сила торможения будет состоять из двух
членов:
f = -^гЁ + -?^-[ЕН].	G5.10)
3mc3	3mVL J	V	J
Если со есть частота движения, то Е пропорционально о;Е и,
следовательно, первый член порядка величины —-А; второй
тс
же —порядка 9 АЕН. Поэтому условие малости сил торможе-
т с
ния по сравнению с действующей на заряд внешней силой еЕ
дает, во-первых:
А^<1,
тс"
или, вводя длину волны Л ~ с/си:
Л>^.	G5.11)
тс
Таким образом, формула G5.8) для торможения излучением
применима только в том случае, если длина падающей на заряд
волны велика по сравнению с «радиусом» заряда е2/гас2. Мы
видим, что расстояния порядка е2/тс2 опять оказываются той
границей, за которой электродинамика приходит в противоречие
сама с собой (см. §37).
Во-вторых, сравнивая второй член в силе торможения с си-
силой е?", находим условие
Я<^	G5.12)
(или с/ион ^ е2/?тгс2, где ион = еН/тс). Таким образом, необ-
необходимо также, чтобы само поле не было слишком велико. По-
Поля ~ 77г2с4/е3 тоже являются границей, за которой классиче-
классическая электродинамика приводит к внутренним противоречиям.

284
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
И здесь надо иметь в виду, что в действительности электроди-
электродинамика становится неприменимой, вследствие квантовых эффек-
эффектов, уже при значительно меньших полях1).
Напомним во избежание недоразумений, что длина волны в
G5.11) и величина поля в G5.12) относятся к той системе отсчета,
в которой частица в данный момент покоится.
Задачи
1. Определить время, в течение которого два притягивающихся заряда,
совершающих эллиптическое движение (со скоростью, малой в сравнении
со скоростью света) и теряющие энергию вследствие излучения, «упадут»
друг на друга.
Решение. Предполагая относительную потерю энергии за один обо-
оборот малой, мы можем положить производную по времени от энергии, равной
средней интенсивности излучения (определенной в задаче 1 § 70):
~Т7 =	о з л/Г	(	) (^	2 )'	A)
dt	Зс М	\mi rri2J y	fia '
где а = |eie21- Наряду с энергией, частицы теряют момент количества
движения. Потеря момента в единицу времени дается формулой G5.7);
подставляя в нее выражение G0.1) для d и замечая, что fir = —ar/rs и
М = /i[rv], находим
dM. _ 2а / а е2 \2М
dt	Зс ^777-1	777,2' Г
Это выражение усредняем по периоду движения. Учитывая медленность
изменения М, в правой части равенства достаточно усреднить лишь г~3; это
среднее значение вычисляется точно так, как вычислялось в задаче 1 § 70
среднее значение от г~4. В результате находим для средней потери момента
в единицу времени следующее выражение:
dM _ 2aB/x|<f |K/2 / ei e2 \2
~dt ~	3c3M2 V^~^7	U
(знак среднего, как ив A), опускаем). Разделив A) на B), получим диффе-
дифференциальное уравнение
d\S\ _ /
dM 2M3\	f
интегрируя которое, найдем
1 ' 2М2 V М03 / Мо
Постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы при М = Мо
было $ = S'o, где Мо и S'o — начальные значения момента и энергии частиц.
«Падению» частиц друг на друга соответствует М —>¦ 0. Из C) видно,
что при этом, как и следовало, ? —»> — оо.
х)При полях rsj m2cs/he, т.е. когда Нин ~ тс2. Этот предел в hc/e2 =
= 137 раз меньше предела, устанавливаемого условием G5.12). (Ср. примеч.
на с. 131.)

§ 76 ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 285
Заметим, что произведение \$\М. стремится к ца. /2 и из формулы
G0.3) видно, что эксцентриситет г —»> 0, т. е. по мере сближения частиц
орбита приближается к окружности. Подставляя C) в B), определяем произ-
производную dt/dM, выраженную как функция от М, после чего интегрирование
по dM в пределах от Mq до нуля дает время падения
§ 76. Торможение излучением в релятивистском случае
Выведем релятивистское выражение для торможения излу-
излучением (для одного заряда), применимое и при движении со
скоростями порядка скорости света. Эта сила будет теперь 4-век-
4-вектором g*, которым надо дополнить уравнение движения заряда,
написанное в четырехмерном виде:
-mr— — -Fikin + о-*	G(\ "П
ds с
Для определения gl заметим, что при v < с его три простран-
пространственные компоненты должны перейти в компоненты вектора
f/c G5.8). Легко видеть, что этим свойством обладает 4-век-
2е2 dV ^
тор	2~. ^Н> однако, не удовлетворяет тождеству glUi =
Зс ds
= 0, которое имеет место для компонент всякого 4-вектора силы.
Для того чтобы удовлетворить этому условию, надо прибавить к
написанному выражению некоторый дополнительный 4-вектор,
составленный из 4-скорости и1 и ее производных. Три простран-
пространственные компоненты этого вектора должны обращаться в пре-
предельном случае v = 0 в нуль так, чтобы не изменить правильного
2е2 dV
значения f, которое уже дается выражением	^-. Этим свой-
Зс ds
ством обладает 4-вектор иг, и потому искомый дополнительный
член должен иметь вид аи1. Скаляр а надо выбрать так, чтобы
удовлетворить соотношению glU{ = 0. В результате находим
G6.2)
Полученную формулу можно переписать в другом виде, вы-
выразив, согласно уравнениям движения, производные d2ul/ds2 че-
через тензор действующего на частицу внешнего электромагнитно-
электромагнитного поля:
ds тс2	' ds2 тс2 дх

286
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
При подстановке надо иметь в виду, что произведение антисим-
антисимметричного по индексам г, к тензора dFlk/дх1 на симметричный
тензор щщ дает нуль. Итак,
дх1
Интеграл от 4-силы g*, взятый по мировой линии движения
заряда, пролетающего через заданное поле, должен совпасть
(с обратным знаком) с полным излучением зарядом 4-импуль-
4-импульса АРг (подобно тому как среднее значение работы силы f в
нерелятивистском случае совпадает с интенсивностью диполь-
ного излучения— см. G5.6)). Легко убедиться в том, что это
действительно так. Первый член в G6.2) при интегрировании
обращается в нуль, поскольку на бесконечности частица не имеет
ускорения, т. е. du1 /ds = 0. Второй член интегрируем по частям
и получаем
Зс J	ds2	Зс J ds ds
что в точности совпадает с G3.4).
Когда скорость частицы приближается к скорости света, в
пространственных компонентах 4-вектора G6.3) наиболее быстро
возрастает часть, происходящая от члена, содержащего тройные
произведения компонент 4-скорости. Сохраняя поэтому лишь
этот член в G6.3) и учитывая связь (9.18) между пространствен-
пространственными компонентами 4-вектора gl и трехмерной силой f, находим
для последней
где п— единичный вектор в направлении v. Следовательно,
в этом случае сила f направлена против направления скоро-
скорости частицы; выбирая последнее в качестве оси х и раскрывая
четырехмерные выражения, получим
f _ 2е4 (Ey-HzJ + (EZ+HyJ
(везде, за исключением знаменателя, положено v = с). Мы ви-
видим, что для ультрарелятивистской частицы сила торможения
пропорциональна квадрату ее энергии.
Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство.
В предыдущем параграфе было показано, что полученные вы-
выражения для торможения излучением применимы лишь в таких
полях, величина которых в системе покоя частицы (система К о)

§ 76 ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 287
мала по сравнению с га2с4/е3. Пусть F есть порядок величины
внешнего поля в системе отсчета if, в которой частица движется
со скоростью v. Тогда в системе Kq поле имеет порядок величины
F/^/l — v2/c2 (см. формулы преобразования в §24). Поэтому F
должно удовлетворять условию
« L
Между тем, отношение силы торможения G6.4) к внешней силе
(~ eF) по порядку величины есть
esF
и мы видим, что соблюдение условия G6.5) не препятствует тому,
что сила торможения может оказаться (при достаточно большой
энергии частицы) большой по сравнению с обычной лоренцевой
силой, действующей на заряд в электромагнитном поле1). Та-
Таким образом, для ультрарелятивистской частицы может иметь
место случай, когда торможение излучением является основной
действующей на нее силой.
В этом случае потерю энергии (кинетической) частицей на
единице длины ее пути можно считать равной одной только силе
торможения /ж; имея в виду, что последняя пропорциональна
квадрату энергии частицы, напишем
где символом к(х) обозначен зависящий от координаты х ко-
коэффициент, выражающийся, согласно G6.4), через поперечные
компоненты поля. Интегрируя это дифференциальное уравне-
уравнение, найдем
Г- = у+ / k(x)dx,
'кин	&0	J
где Sq обозначает начальную энергию частицы (энергия при
х —>• —ос). В частности, конечная энергия частицы §\ (после
пролета частицы через поле) определяется формулой
) Подчеркнем, что этот результат, разумеется, ни в какой степени не
противоречит произведенному выше выводу релятивистского выражения
для 4-силы g%, предполагавшему ее «малость» по сравнению с 4-силой
(e/c)FlkUk. Достаточно соблюдения условия малости компонент одного 4-
вектора по сравнению с другим хотя бы в одной системе отсчета; в силу
релятивистской инвариантности получающиеся на основании такого пред-
предположения четырехмерные формулы будут автоматически справедливы и
во всякой другой системе отсчета.

288
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
У = у+ k(x)
0\	0Q	J
+ ОО
dx.
—оо
Мы видим, что при ?q —> оо конечная энергия §\ стремится к
постоянному, не зависящему от ?q пределу (И. Я. Померанчук,
1939). Отсюда следует, что после пролета через поле энергия
частицы не может превышать значения ^кр, определяемого ра-
равенством
т-= /ад
<5кр	J
dx
или, подставляя выражение для А;(ж),
+ ОО
?•) 7
Задачи
1.	Определить предельную энергию, которой может обладать частица
после пролета через поле магнитного диполя т; вектор m и направление
движения лежат в одной плоскости.
Решение. Выбираем плоскость, проходящую через вектор m и на-
направление движения, в качестве плоскости xz, причем частица движется
параллельно оси х на расстоянии р от нее. Для действующих на частицу
поперечных компонент поля магнитного диполя имеем (см. D4.4)):
Ну = 0,
тт (ЗтгЪ - xnzr2	т Го/	, . ч / 2 , 2Ч -,
Hz = ±	'—	=	5/2{3(pcosy? +ж sin y?)p-(p +х )cos^}
г	[р -\- х )
{if — угол между т и осью z). Подставляя в G6.6) и производя интегриро-
интегрирование, получим
1	Ш27Г / в2 \
	 = 	о а к[	о
&р 64ш2с4р Уте2 У
2.	Написать трехмерное выраж:ение для силы торможения в релятивист-
релятивистском случае.
Решение. Вычисляя пространственные компоненты 4-вектора
G6.3), получим
. оа 2
+ 26cos (
Г^7 (|ЕН| +
i[H[Hv]] + iE(vE)j-
c	с	J
3m2c4(l - v2/c2)

§ 77	СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ	289
§ 77. Спектральное разложение излучения
в ультрарелятивистском случае
Выше (§73) было показано, что излучение ультрарелятивист-
ультрарелятивистской частицы направлено в основном вперед, вдоль скорости
частицы: оно почти целиком заключено в малом интервале углов
„2
вокруг направления v.
Для вычисления спектрального разложения излучения суще-
существенно взаимоотношение между величиной этого интервала и
полным углом отклонения а частицы при пролете через внешнее
электромагнитное поле.
Угол а может быть оценен следующим образом. Попереч-
Поперечное (к направлению движения) изменение импульса частицы
порядка величины произведения поперечной силы eF1) на время
пролета через поле t ~ a/v ~ а/с (где а —расстояние, на котором
поле заметно отлично от нуля). Отношение этой величины к
импульсу
mv	me
Р =
и определит порядок величины малого угла а:
eFa
a rsj —-
тс
Разделив его на Д#, найдем
_о^_ ^ eFa^	,„ .ч
Д0 тс
Обратим внимание на то, что это отношение не зависит от
скорости частицы и целиком определяется свойствами самого
внешнего поля.
Предположим сначала, что
eFa > гас2,	G7.2)
т. е. полный угол отклонения частицы велик по сравнению с Ав.
Тогда мы можем утверждать, что излучение в заданном направ-
направлении происходит в основном с того участка траектории, на ко-
котором скорость частицы почти параллельна этому направлению
1)Если выбрать ось х вдоль направления движения частицы, то (eFJ
есть сумма квадратов у- и z-составляющих лоренцевой силы еЕ -\— [vH], в
с
которой можно при этом положить v ^ с:
F2 = (Еу - Hzf + {Ez + НуJ.
10 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

290
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
(образует с ним угол в интервале Ав) и длина этого участка мала
по сравнению с а. На таком участке поле F можно считать посто-
постоянным и поскольку малый участок кривой можно рассматривать
как отрезок окружности, то мы можем применить результаты,
полученные в § 74 для излучения при равномерном движении по
окружности (заменив при этом Н на F). В частности, можно
утверждать, что основная часть излучения будет сосредоточена
в области частот
и ~	^		G7.3)
тсA — v /с )
(см. G4.16)).
В обратном предельном случае
eFa < тс2	G7.4)
полный угол отклонения частицы мал по сравнению с Ав. В этом
случае все излучение происходит в основном в один узкий интер-
интервал углов Ав вокруг направления движения, определяясь при
этом всей траекторией частицы.
Для вычисления спектрального разложения интенсивности в
этом случае удобно исходить из выражения для поля в волно-
волновой зоне излучения в форме Лиенара-Вихерта G3.8). Вычислим
компоненту Фурье
Еш = / Eeiu;tdt.
— ОО
Выражение в правой части формулы G3.8) есть функция запаз-
запаздывающего момента времени ?', определяющегося из условия t1 =
= t — R(t')/c. На больших расстояниях от частицы, движущейся
с почти постоянной скоростью v, имеем
,1	i Ro , 1 /i7\	i Ro i 1	if
t « t	h -nrft) « t	h -nvt
с с	ее
(г = r(tr) ~ vtf — радиус-вектор частицы), или
с / с
Интегрирование по dt заменяем интегрированием по dt1', положив
и получаем
Р	JkR0
с2 R0(l-nv/cy
—оо

§ 77	СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ	291
Скорость v рассматривается здесь везде как постоянная величи-
величина; переменным является лишь ускорение w(t'). Введя обозначе-
обозначение
()	G7.5)
с /
и соответствующую этой частоте компоненту Фурье ускорения,
напишем Е^ в виде
Е -- 	2'
^Ш — 2
Наконец, согласно F6.9), находим окончательно для энергии,
излученной в телесный угол do с частотой в dcu:
Пи 2тгс3
Оценку порядка величины частот, в области которых сосредо-
сосредоточена основная часть излучения в случае G7.4), легко сделать,
заметив, что компонента Фурье ww/ заметно отлична от нуля,
лишь если время 1/а/ или, что то же,
1
LJA-V2/C2)
будет того же порядка, что и время a/v ~ а/с, в течение кото-
которого заметным образом меняется ускорение частицы. Поэтому
находим
си	% 2 •	G7.7)
Зависимость этих частот от энергии такая же, как и в G7.3), но
коэффициент иной.
В произведенном (для обоих случаев G7.2) и G7.4)) иссле-
исследовании подразумевалось, что полная потеря энергии частицей
при ее прохождении через поле относительно мала. Покажем
теперь, что к первому из рассмотренных случаев приводится так-
также вопрос об излучении ультрарелятивистской частицей, полная
потеря энергии которой сравнима с ее первоначальной энергией.
Потерю энергии частицей в поле можно определить как рабо-
работу силы лоренцева трения. Работа силы G6.4) на пути ~ а есть,
по порядку величины,
J m2c4(l-v2/c2y
Для того чтобы она оказалась сравнимой с полной энергией
частицы гас2:/'д/l — г?2/с2, поле должно существовать на рассто-
расстояниях
„2
10*

292
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Но тогда автоматически соблюдается условие G7.2):
aeF
e3F
поскольку поле F во всяком случае должно удовлетворять усло-
условию G6.5), без которого вообще не может применяться обычная
электродинамика.
Задачи
1. Определить спектральное распределение полной (по всем направле-
направлениям) интенсивности излучения при условии G7.2).
Решение. Излучение с каждого элемента длины траектории опре-
определяется формулой G4.13), в которой надо заменить Н на значение F
поперечной силы в данной точке и, кроме того, надо перейти от дискретного
спектра частот к непрерывному. Этот переход осуществляется формальным
умножением на dn и заменой
т , т dn	duo
Indn = In —duo = In — •
duj	ujq
Интегрируя затем интенсивность по всему времени, найдем спектральное
распределение полного излучения в следующем виде:
J 2e2u(l-v2/c2)
= — duj	—-
где Ф (и) — функция Эйри от аргумента
5/•<*>*]*
Подынтегральное выражение зависит от переменной интегрирования t неяв-
неявным образом через величину и (F, а с ним и и, меняются вдоль траектории
частицы; при заданном движении это изменение можно рассматривать как
зависимость от времени).
2. Определить спектральное распределение полной (по всем направле-
направлениям) излученной энергии при условии G7.4).
Решение. Имея в виду, что основную роль играет излучение под
малыми углами к направлению движения, пишем
с /	V с 2 / 2 V сл
Интегрирование выражения G7.6) по углам do = sinOdOdtp « 0dOdtp за-
заменяем интегрированием по dipduj1 /ш. При раскрытии квадрата двойного
векторного произведения в G7.6) следует иметь в виду, что в ультрареляти-
ультрарелятивистском случае продольная составляющая ускорения мала по сравнению
с поперечной (в отношении 1 — v2/с2) и в данном случае с достаточной
степенью точности можно считать w и v взаимно перпендикулярными.
В результате получим для спектрального распределения полного излучения
следующую формулу:
по
е2ио duo
2тгс3
I

§ 78	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ	293
§ 78. Рассеяние свободными зарядами
Если на систему зарядов падает электромагнитная волна, то
под ее влиянием заряды приходят в движение. Это движение в
свою очередь сопровождается излучением во все стороны; про-
происходит рассеяние первоначальной волны.
Рассеяние удобно характеризовать отношением количества
энергии, испускаемой рассеивающей системой в данном направ-
направлении в единицу времени к плотности потока энергии падающего
на систему излучения. Это отношение имеет размерность площа-
площади и называется эффективным сечением (или просто сечением)
рассеяния.
Пусть dl есть энергия, излучаемая системой в телесный
угол do (в 1 с) при падении на нее волны с вектором Пойнтинга S.
Тогда сечение рассеяния (в телесный угол do) равно
Ат=|	G8.1)
(черта над буквой означает усреднение по времени). Интеграл
от da по всем направлениям есть полное сечение рассеяния.
Рассмотрим рассеяние, производимое одним неподвижным
свободным зарядом. Пусть на этот заряд падает плоская моно-
монохроматическая линейно поляризованная волна. Ее электрическое
поле можно написать в виде
Е = Ео cos (kr — ut + a).
Будем предполагать, что скорость, приобретаемая зарядом
под действием поля падающей волны, мала по сравнению со
скоростью света, что практически всегда выполняется. Тогда
можно считать, что сила, действующая на заряд, равна еЕ, а
силой -[vH] со стороны магнитного поля можно пренебречь,
с
В этом случае можно также пренебречь влиянием смещения
заряда при его колебаниях под влиянием поля. Если заряд со-
совершает колебания около начала координат, то можно тогда
считать, что на него все время действует то поле, которое имеется
в начале координат, т. е.
Е = Eocos(ct;? — a).
Поскольку уравнения движения заряда гласят
гаг = еЕ,
а его дипольный момент d = er, то
d = -Е.	G8.2)
т

294
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Для вычисления рассеянного излучения воспользуемся фор-
формулой F7.7) для дипольного излучения; мы имеем право сде-
сделать это, поскольку приобретаемая зарядом скорость предпола-
предполагается малой. Заметим также, что частота излучаемой зарядом
(т. е. рассеянной им) волны равна, очевидно, частоте падающей
волны.
Подставляя G8.2) в F7.7), находим
^do'	G8-3)
где п' — единичный вектор в направлении рассеяния. С другой
стороны, вектор Пойнтинга падающей волны равен
S = -Е\
4тг
Отсюда находим сечение рассеяния в телесный угол do:
da= (-?-A sin2 в do,	G8.4)
\тс /
где в — угол между направлением рассеяния и направлением
электрического поля Е падающей волны. Мы видим, что сечение
рассеяния свободным зарядом не зависит от частоты.
Определим полное сечение а. Для этого выберем направление
Е в качестве полярной оси; тогда do = sin в d9 dip и, интегрируя
по d6 от 0 до тг и по dip от 0 до 2тг, находим
a=^l^-\	G8.5)
(так называемая формула Томсона).
Наконец, вычислим дифференциальное сечение da в случае,
когда падающая волна не поляризована (естественный свет). Для
этого мы должны усреднить G8.4) по всем направлениям век-
вектора Е в плоскости, перпендикулярной к направлению распро-
распространения падающей волны (направлению волнового вектора к).
Обозначив через е единичный вектор в направлении Е, пишем
sin2 в = 1 — (п'еJ = 1 — Tijri^e^e^.
Усреднение осуществляется формулой1)
gL)	G8.6)
) Действительно, еаер есть симметричный тензор с равным 1 следом,
дающий нуль при умножении на ка ввиду перпендикулярности е и к. Этим
условиям и удовлетворяет написанное выражение.

§ 78	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ	295
и дает
где $ — угол между направлениями падающей и рассеянной волн
(угол рассеяния). Таким образом, искомое сечение рассеяния
неполяризованной волны свободным зарядом равно
da=- (-^А A + cos21?) do.	G8.7)
Z \ 777C /
Наличие рассеяния приводит к появлению некоторой силы,
действующей на рассеивающую частицу. В этом легко убедиться
из следующих соображений. Падающая на частицу волна теряет
в среднем в единицу времени энергию cWa, где W — средняя
плотность энергии, а а —полное сечение рассеяния. Поскольку
импульс поля равен его энергии, деленной на скорость света,
то падающая волна теряет при этом импульс, равный по вели-
величине Wa. С другой стороны, в системе отсчета, в которой заряд
совершает лишь малые колебания под влиянием силы еЕ, и его
скорость v поэтому мала, полный поток импульса в рассеянной
волне равен, с точностью до членов высшего порядка по v/c,
нулю (в § 73 было указано, что в системе отсчета, в которой v =
= 0, излучения импульса частицей не происходит). Поэтому весь
теряемый падающей волной импульс «поглощается» рассеиваю-
рассеивающей частицей. Средняя действующая на частицу сила f равна
средней величине поглощаемого в единицу времени импульса,
f = aWn	G8.8)
(п —единичный вектор в направлении распространения падаю-
падающей волны). Отметим, что средняя сила оказывается величиной
второго порядка по отношению к полю падающей волны, в то
время как «мгновенная» сила (главная часть которой есть еЕ) —
первого порядка по отношению к полю.
Формулу G8.8) можно получить и непосредственно, усредняя
силу торможения G5.10). Первый член, пропорциональный Е,
при усреднении обращается в нуль (как и среднее значение основ-
основной силы еЕ). Второй же член дает
что ввиду G8.5) совпадает с G8.8).
Задачи
1. Определить сечение рассеяния эллиптически поляризованной волны
свободным зарядом.

296
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Решение. Поле волны имеет вид Е = A cos (W+a)+B sin (ojt+a), где
А и В — взаимно перпендикулярные векторы (см. §48). Аналогично выводу,
проделанному в тексте, находим
, / е2 у [Anf + [Bnf J
da = 	2 ±	^		do.
Vmc2/ A2+B2
2.	Определить сечение рассеяния линейно поляризованной волны заря-
зарядом, совершающим (под влиянием некоторой упругой силы) малые колеба-
колебания (так называемым осциллятором).
Решение. Уравнение движения заряда в падающей на него волне
Е = Ео cos (out + а) есть
г + и>ог = —Ео cos (out + a),
т
где ujo — частота его свободных колебаний. Для вынужденных колебаний
имеем отсюда
_ еЕ0 cos (out + a)
m(ojQ — ои2)
Определяя отсюда d, находим
А	( ^ V ^	' 2РА
da= (	2 ) Т^	^"Sm °do
(9 — угол между Е и п').
3.	Определить полное сечение рассеяния света электрическим дипо-
диполем, представляющим собой в механическом отношении ротатор. Частота
волны uj предполагается большой по сравнению с частотой Qo свободного
вращения ротатора.
Решение. При условии uj ^> Qo собственным вращением ротатора
можно пренебречь и рассматривать только вынужденное вращение под вли-
влиянием момента сил [dE], действующего на него со стороны рассеиваемой
волны. Уравнение этого движения: Jft = [dE], где J— момент инерции
ротатора, a ft — угловая скорость вращения. Изменение же вектора ди-
польного момента при его вращении без изменения абсолютной величины
дается формулой d = [lid]. Из этих двух уравнений находим (опуская член,
квадратичный по малой величине ft):
JLL J J J
Предполагая все ориентации диполя в пространстве равновероятными и
усредняя d по ним, получаем в результате полное сечение в виде
" " 9с4 J2 •
4. Определить коэффициент деполяризации рассеянного света при рас-
рассеянии естественного света свободным зарядом.
Решение. Из соображений симметрии очевидно, что две некогерент-
некогерентные поляризованные компоненты рассеянного света (см. § 50) будут поляри-
поляризованы линейно: одна в плоскости рассеяния (плоскость, проходящая через
падающий и рассеянный лучи), а другая— перпендикулярно к этой плос-
плоскости. Интенсивности этих компонент определяются составляющими поля
падающей волны в плоскости рассеяния (Ец) и перпендикулярно к ней (Ej_)
и, согласно G8.3), пропорциональны соответственно [Ецп7]2 = Е2 cos2 $ и

§ 78	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНЫМИ ЗАРЯДАМИ	297
= Ej_ ($ — угол рассеяния). Поскольку для естественного падающего
света Е2 = Е\, то коэффициент деполяризации (см. примеч. на с. 173)
р = cos2 #.
5. Определить частоту (и1) света, рассеянного движущимся зарядом.
Решение.В системе координат, где заряд покоится, частота света
при рассеянии не меняется (uj = uj'). В инвариантной форме это соотношение
можно написать в виде
т / /г 	 т г
где иг — 4-скорость заряда. Отсюда без труда получаем
- -cosfl1
-cos<9') =ш{\- -
где 9 л 9' — углы, составляемые падающей и рассеянной волной с направле-
направлением движения (г; — скорость заряда).
6.	Определить угловое распределение рассеяния линейно поляризован-
поляризованной волны зарядом, движущимся с произвольной скоростью v в направлении
распространения волны.
Решение. Скорость частицы v перпендикулярна к полям Е и Н
падающей волны, а потому перпендикулярна и к приобретаемому частицей
ускорению w. Интенсивность рассеяния определяется формулой G3.14), в
которой ускорение w надо выразить через поля Е и Н согласно формуле,
полученной в задаче к § 17. Разделив интенсивность dl на вектор Пойнтинга
падающей волны, найдем следующее выражение для сечения рассеяния:
da = 	~ -	-——	'—^ 1	sin 9 cos ю) - 1	т cos 9 \ do,
где теперь 9 и <р — полярный угол и азимут направления п' относитель-
относительно системы координат с осью z вдоль направления Е и осью х вдоль v
(cos (n7, Е) = cos 9, cos (n7, v) = sin 9 cos ф).
7.	Определить движение заряда под влиянием средней силы, действую-
действующей на него со стороны рассеиваемой им волны.
Решение. Сила G8.8), а потому и скорость рассматриваемого
движения направлены вдоль распространения падающей волны (ось х).
Во вспомогательной системе отсчета Ко, в которой заряд покоится
(напоминаем, что речь идет о движении, усредненном по периоду малых
колебаний), действующая на него сила равна aWo, а приобретаемое им под
влиянием этой силы ускорение
wo = —Wo
т
(индекс нуль относится к величинам в системе отсчета Ко). Преобразование
же к исходной системе отсчета К (в которой заряд движется со скоростью г;)
осуществляется формулой, полученной в задаче к § 7, и формулой D7.7) и
дает
d	v	_	1	dv _ Wcr 1 — v/c
dt^/l-v2/^ ~ A - v2/c2K/2 ~dt ~ ~^' l + v/c
Интегрируя это уравнение, получаем
2
3'

298
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
чем и определяется в неявном виде скорость v = dx/dt как функция времени
(постоянная интегрирования выбрана так, что v = О при t = 0).
8. Определить сечение рассеяния линейно поляризованной волны осцил-
осциллятором, с учетом торможения излучением.
Решение. Запишем уравнение движения заряда в падающей волне
в виде
2
г.
т	Зтс
В силе торможения приближенно г" = — k;2, f; тогда имеем
2е2 2
2е2 2 _
где 7 = 	т^о- Отсюда находим
Зтс3
е
г= —
Сечение рассеяния:
3 ^ 777-1
§ 79. Рассеяние волн с малыми частотами
Рассеяние электромагнитных волн системой зарядов отлича-
отличается от рассеяния одним (неподвижным) зарядом прежде всего
тем, что благодаря наличию собственного движения зарядов в
системе частота рассеянного излучения может быть отличной от
частоты падающей волны. Именно, в спектральное разложение
рассеянного излучения входят наряду с частотой си падающей
волны также и частоты а/, отличающиеся от си на любую из
собственных частот движения рассеивающей системы. Рассеяние
с изменением частоты называют некогерентным (или комби-
комбинационным) в противоположность когерентному рассеянию без
изменения частоты.
Предполагая поле падающей волны слабым, мы можем пред-
представить плотность тока в виде j = jo + j', где jo — плотность тока
в отсутствие внешнего поля, a j' — изменение тока под влиянием
падающей волны. Соответственно этому векторный потенциал (и
другие величины) поля системы тоже будут иметь вид А = Ао +
+ А', где Ао и А' определяются точками jo и j'; потенциал А'
описывает рассеянную системой волну.
Рассмотрим рассеяние волны, частота си которой мала по
сравнению со всеми собственными частотами системы. Рассеяние
будет состоять как из когерентной, так и из некогерентной части,
но мы будем рассматривать здесь только когерентное рассеяние.

§ 79	РАССЕЯНИЕ ВОЛН С МАЛЫМИ ЧАСТОТАМИ	299
Для вычисления поля рассеянной волны, при достаточно ма-
малой частоте си, всегда можно пользоваться тем разложением
запаздывающих потенциалов, которое было произведено в §67
и §71, даже если скорости частиц в системе и не малы по
сравнению со скоростью света. Действительно, для законности
указанного разложения интеграла
необходимо лишь, чтобы время rnf /с ~ а/с было мало по сравне-
сравнению со временем ~ 1/cj; при достаточно малых си (си <^i с /а) это
условие выполняется независимо от величины скоростей частиц
в системе.
Первые члены разложения дают
Н' = ^
где d', tn/— части дипольного и магнитного моментов системы,
которые создаются падающим на систему рассеиваемым излуче-
излучением. Следующие члены разложения содержат производные по
времени более высокого порядка, чем второго, и мы их опускаем.
Компонента Н^ спектрального разложения поля рассеянной
волны с частотой, равной частоте падающего излучения, опре-
определится этой же формулой, в которой надо вместо всех величин
подставить их компоненты Фурье: d^ = —k;2d^, tft^ = — си2т'и-
Тогда получаем
HL = ^-{[n'd'J + [n[m>']]}.	G9.2)
с Н
Следующие члены разложения поля дали бы величины, пропор-
пропорциональные более высокой степени малой частоты. Если ско-
скорости всех частиц в системе малы (v <C с), то в G9.1) можно
пренебречь вторым членом по сравнению с первым, поскольку
магнитный момент содержит отношение v/c. Тогда
К = ^2 [n'<J.	G9.3)
Если полный заряд системы равен нулю, то при си —»> 0 d^
и tn^ стремятся к постоянным пределам (если бы сумма зарядов
была отлична от нуля, то при си = 0, т. е. в постоянном поле,
система начала бы двигаться как целое). Поэтому при малых си
(си ^С v/а) можно считать d^ итп^ не зависящими от частоты, так

300
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
что поле рассеянной волны пропорционально квадрату часто-
частоты. Интенсивность же ее, следовательно, пропорциональна си4.
Таким образом, при рассеянии волн с малой частотой сечение
когерентного рассеяния пропорционально четвертой степени ча-
частоты падающего излучения1).
§ 80. Рассеяние волн с большими частотами
Рассмотрим теперь рассеяние волн системой зарядов в об-
обратном случае, когда частота си волны велика по сравнению с
основными собственными частотами системы. Последние имеют
порядок величины cuq ~ v/a, так что си должно удовлетворять
условию
си >сс;0 ~ -.	(80.1)
а
Кроме того, мы будем предполагать, что скорости зарядов в
системе малы (и «С с).
Согласно условию (80.1) период движения зарядов в систе-
системе велик по сравнению с периодом волны. Поэтому в течение
промежутков времени порядка периода волны движение зарядов
в системе можно считать равномерным. Это значит, что при
рассмотрении рассеяния коротких волн можно не учитывать
взаимодействия зарядов в системе друг с другом, т. е. их можно
считать свободными.
Таким образом, при вычислении скорости v7, приобретаемой
зарядом в поле падающей волны, мы можем рассматривать каж-
каждый заряд системы в отдельности и писать для него уравнение
движения в виде
dt
где к = сип/с—волновой вектор падающей волны. Радиус-век-
Радиус-вектор заряда является, конечно, функцией времени. В показателе
экспоненциального множителя в правой части этого уравнения
скорость изменения первого члена со временем велика по сравне-
сравнению со скоростью изменения второго (первая равна о;, а вторая —
порядка kv rsj vcu/c <С cu). Поэтому при интегрировании уравне-
уравнений движения можно считать в правой их части г постоянным.
Тогда
v' =	—Еое-^-кг)в	(80.2)
гит
1) Этот результат фактически справедлив для рассеяния света не только
нейтральными атомами, но и ионами. Рассеянием, происходящим от дви-
движения иона как целого, благодаря большой массе ядра можно пренебречь.

§ 80	РАССЕЯНИЕ ВОЛН С БОЛЬШИМИ ЧАСТОТАМИ	301
Для векторного потенциала рассеянной волны (на больших рас-
расстояниях от системы) имеем согласно G9.1):
где сумма берется по всем зарядам системы. Подставляя сюда
(80.2), находим
А' = ---^ехр \-iJt- ^)]Е0^е-^,	(80.3)
icRqu	L V	с J \ ^-^ т
где q = k' — к есть разность между волновым вектором рас-
рассеянной к' = сип'/с и волновым вектором падающей к = сип/с
волн1). Значение суммы в (80.3) должно браться в момент вре-
времени tr = t — i?o/c, так как изменением г за время rn'/с мож-
можно пренебречь ввиду предполагаемой малости скоростей частиц
(индекс ?', как обычно, для краткости опускаем). Абсолютная
величина вектора q равна
q = Ъ-с sin |,	(80.4)
где 'в — угол рассеяния.
При рассеянии на атоме (или молекуле) в сумме в (80.3)
можно пренебречь членами, соответствующими ядрам, ввиду
большой величины их масс по сравнению с массами электронов.
Ниже мы будем иметь в виду именно этот случай, соответственно
чему вынесем множитель е2/т за знак суммы, понимая в нем
под е и 7П заряд и массу электрона.
Для поля Н7 рассеянной волны находим согласно F6.3):
Поток энергии в элемент телесного угла в направлении п' равен
do.
8тг и	8ttcWl
Разделив это на поток энергии с|Ео|2/8тг падающей волны и
вводя угол в между направлением поля Е падающей волны и
направлением рассеяния, находим окончательно сечение рассея-
рассеяния в виде
da =
-
sin2 в do'	(80-6)
1) Строго говоря, волновой вектор к7 = o/n'/с, где частота и' рассеянной
волны может отличаться от из. Разностью из' — из ~ изо можно, однако,
пренебречь в рассматриваемом случае больших частот.

302
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН	ГЛ. IX
Черта обозначает усреднение по времени, т. е. усреднение по
движению зарядов в системе; оно производится ввиду того, что
рассеяние наблюдается в промежутки времени, достаточно боль-
большие по сравнению с периодом движения зарядов в системе.
Для длины волны падающего излучения из условия (80.1)
следует неравенство Л <С ac/v. Что же касается относительной
величины Л и а, то возможны оба предельных случая А ^> а
и А < а. В обоих этих случаях общая формула (80.6) значитель-
значительно упрощается.
При А>ав выражении (80.6) qr ^С 1, поскольку q ~ 1/Л,
г rsj а. Заменяя соответственно этому ещг единицей, имеем
da = Z2 (-^У sin2 в do,	(80.7)
\тс /
т. е. рассеяние пропорционально квадрату числа Z электронов в
атоме.
Перейдем к случаю Л <С а. В квадрате суммы в (80.6) наряду
с равными единице квадратами модуля каждого из членов име-
имеются произведения вида егс^Г1~Г2\ При усреднении по движению
зарядов, т. е. по их взаимным расположениям в системе, разности
ri — г2 пробегают значения в интервале порядка а. Поскольку
q ~ 1/Л, А < а, то экспоненциальный множитель ещ(Г1~Г2^
является в этом интервале быстро осциллирующей функцией,
и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при
А <С а сечение рассеяния равно
sin2 <9do,	(80.8)
т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Заметим,
что эта формула неприменима при малых углах рассеяния (# ~
~ А/а), так как в этом случае q ~ $/A ~ 1/а и показатель qr
невелик по сравнению с единицей.
Для определения сечения когерентного рассеяния мы долж-
должны выделить ту часть поля рассеянной волны, которая имеет
частоту си. Выражение (80.5) для поля зависит от времени через
множитель e~lut и, кроме того, от времени зависит также сумма
^2е~щг. Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в
поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой си еще и
другие (хотя и близкие к ней) частоты. Та часть поля, которая
обладает частотой ио {т.е. зависит от времени только посредством
множителя e~lujt), получится, очевидно, если усреднить по време-
времени сумму ^2 е~щг. Соответственно этому выражение для сечения
когерентного рассеяния daKOr отличается от полного сечения da

§ 80	РАССЕЯНИЕ ВОЛН С БОЛЬШИМИ ЧАСТОТАМИ	303
тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем
стоит квадрат модуля среднего значения суммы:
B \ 2 I	 2
-Ч) У^е"^ sin2 в do.	(80.9)
тс / 1^—'
Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть (с точ-
точностью до коэффициента) не что иное, как пространственная
компонента Фурье от среднего распределения р(г) плотности
электрического заряда в атоме:
'qr = f p(r)e~icirdV = pq.	(80.10)
При \^>а мы можем снова заменить е~щг единицей, так что
-^) sin2 9do.	(80.11)
тс J
Сравнивая это с полным сечением (80.7), мы видим, что daKOr =
= da, т.е. все рассеяние является когерентным.
Если же Л ^С а, то при усреднении в (80.9) все члены суммы
(как средние значения быстро осциллирующих функций време-
времени) исчезают, так что daKOr = 0. Таким образом, в этом случае
рассеяние целиком некогерентно.

ГЛАВА X
ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
§ 81. Гравитационное поле в нерелятивистской механике
Гравитационные поля (или поля тяготения) обладают сле-
следующим основным свойством: все тела вне зависимости от их
массы движутся в них (при заданных начальных условиях) оди-
одинаковым образом.
Например, законы свободного падения в поле тяготения зем-
земли одинаковы для всех тел, какой бы массой они ни обладали, —
все они приобретают одно и то же ускорение.
Это свойство гравитационных полей дает возможность уста-
установить существенную аналогию между движением тел в грави-
гравитационном поле и движением тел, не находящихся в каком либо
внешнем поле, но рассматриваемых с точки зрения неинерци-
альной системы отсчета. Действительно, в инерциальной системе
отсчета свободное движение всех тел происходит прямолинейно
и равномерно, и если, скажем, в начальный момент времени
их скорости были одинаковыми, то они будут одинаковыми все
время. Очевидно, поэтому, что если рассматривать это движение
в заданной неинерциальной системе, то и относительно нее все
тела будут двигаться одинаковым образом.
Таким образом, свойства движения в неинерциальной систе-
системе отсчета такие же, как в инерциальной системе при наличии
гравитационного поля. Другими словами, неинерциальная си-
система отсчета эквивалентна некоторому гравитационному полю.
Это обстоятельство называют принципом эквивалентности.
Рассмотрим, например, движение в равномерно ускоренной
системе отсчета. Свободно движущиеся в ней тела любой массы
будут, очевидно, обладать относительно этой системы одинако-
одинаковым постоянным ускорением, равным и противоположным уско-
ускорению самой системы отсчета. Таким же является движение в
однородном постоянном гравитационном поле, например в поле
тяготения земли (в небольших участках его, где поле можно рас-
рассматривать как однородное). Таким образом, равномерно уско-
ускоренная система отсчета эквивалентна постоянному однородному
внешнему полю. В таком же смысле неравномерно ускоренная,

§ 81	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ	305
поступательно движущаяся система отсчета эквивалентна одно-
однородному, но переменному гравитационному полю.
Однако поля, которым эквивалентны неинерциальные систе-
системы отсчета, все же не вполне тождественны с «истинными»
гравитационными полями, существующими и в инерциальных
системах. Между ними имеется существенное отличие в отно-
отношении их свойств на бесконечности. На бесконечном расстоянии
от создающих поле тел «истинное» гравитационное поле всегда
стремится к нулю. Поля же, которым эквивалентны неинерци-
неинерциальные системы отсчета, на бесконечности, напротив, неограни-
неограниченно возрастают, или, в крайнем случае, остаются конечными
по величине. Так, возникающие во вращающейся системе отсчета
центробежные силы неограниченно растут при удалении от оси
вращения; поле, которому эквивалентна ускоренно прямолиней-
прямолинейно движущаяся система отсчета, одинаково во всем простран-
пространстве, в том числе и на бесконечности.
Поля, которым эквивалентны неинерциальные системы от-
отсчета, исчезают, как только мы перейдем к инерциальней си-
системе. В противоположность этому, «истинные» гравитационные
поля (существующие и в инерциальной системе отсчета) невоз-
невозможно исключить никаким выбором системы отсчета. Это видно
уже из указанного выше различия между условиями на бесконеч-
бесконечности в «истинных» гравитационных полях и в полях, которым
эквивалентны неинерциальные системы; поскольку последние
на бесконечности к нулю не стремятся, то ясно, что никаким
выбором системы отсчета нельзя исключить «истинные» поля,
обращающиеся на бесконечности в нуль.
Единственное, чего можно достичь надлежащим выбором си-
системы отсчета, это — исключения гравитационного поля в данном
участке пространства, достаточно малом для того, чтобы в нем
можно было считать поле однородным. Это можно сделать пу-
путем выбора ускоренно движущейся системы, ускорение которой
было бы равно тому ускорению, которое приобретает частица,
помещенная в рассматриваемом участке поля.
Движение частицы в гравитационном поле определяется в
нерелятивистской механике функцией Лагранжа, имеющей (в
инерциальной системе отсчета) вид
2
Т	ГПУ	ГОЛ 1\
L =	m<p,	(81.1)
где (р — некоторая функция координат и времени, характери-
характеризующая поле и называемая гравитационным потенциалом1).
) Ниже нам не придется больше пользоваться электромагнитным потен-
потенциалом <р, так что обозначение гравитационного потенциала той же буквой
не может привести к недоразумению.

306	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Соответственно уравнения движения частицы гласят
v = -grad(^.	(81.2)
Они не содержат массы или какой-либо другой постоянной, ха-
характеризующей свойства частицы, что является выражением
основного свойства гравитационных полей.
§ 82. Гравитационное поле в релятивистской механике
Основное свойство гравитационных полей,— что все тела
движутся в них одинаковым образом, — остается в силе
и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и
аналогия между гравитационными полями и неинерциальными
системами отсчета. Поэтому естественно при изучении свойств
гравитационных полей в релятивистской механике тоже исходить
из этой аналогии.
В инерциальной системе отсчета в декартовой системе коор-
координат интервал ds определяется формулой
ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2.
При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (т. е.
при преобразовании Лоренца) интервал, как мы знаем, сохраня-
сохраняет тот же самый вид. Однако если мы перейдем к неинерци-
альной системе отсчета, то ds2 уже не будет суммой квадратов
дифференциалов четырех координат.
Так, при переходе к равномерно вращающейся системе коор-
координат
х = х1 cos fit — у1 sin fit, у = xf sin fit + у1 cos fit, z = zf
(fi — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси z) ин-
интервал приобретает вид
ds2 = [с2 - П2(х'2 + у'2)] dt2 - dx'2 - dy'2-
- dz12 + 2fiy' dx1 dt - 2fix' dy1 dt.
По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выра-
выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифферен-
дифференциалов четырех координат.
Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат
интервала является некоторой квадратичной формой общего ви-
вида от дифференциалов координат, т. е. имеет вид
ds2 = gikdxidxk,	(82.1)

§ 82	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ	307
где gik — некоторые функции пространственных координат ж1,
ж2, ж3 и временной координаты ж0. Четырехмерная система ко-
координат ж0, ж1, ж2, ж3 является, таким образом, при пользова-
пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Вели-
Величины g^, определяя все свойства геометрии в каждой данной
криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят,
метрику пространства-времени.
Величины gik можно, очевидно, всегда считать симметрич-
симметричными по индексам г л k (g^ = gki), поскольку они опреде-
определяются из симметричной формы (82.1), куда g^ и g/^ входят
помноженными на одно и то же произведение dxldx . В общем
случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин g^ —
четыре с одинаковыми и 4-3/2 = 6 с различными индексами.
В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми
пространственными координатами ж1'2'3 = x,y,z и временем
ж0 = ct величины g^ равны
goo = 1, gn = g22 = g33 = -1, gik = 0 при i ф k. (82.2)
Систему координат (четырехмерную) с этими значениями g^fc MbI
будем называть галилеевой.
В предыдущем параграфе было показано, что неинерциаль-
ные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям.
Мы видим теперь, что в релятивистской механике эти поля опре-
определяются величинами g^.
То же самое относится и к «истинным» гравитационным по-
полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как
изменением метрики пространства-времени, соответственно че-
чему оно определяется величинами g^. Это важнейшее обстоя-
обстоятельство означает, что геометрические свойства пространства-
времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а
не являются неизменными свойствами пространства и времени.
Теория гравитационных полей, построенная на основе те-
теории относительности, носит название общей теории относи-
относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно
сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой кра-
красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что
она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и
лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими на-
наблюдениями.
Как и в нерелятивистской механике, между «истинными»
гравитационными полями и полями, которым эквивалентны
неинерциальные системы отсчета, имеется коренное отличие.
При переходе к неинерциальной системе отсчета квадратичная
форма имеет вид (82.1), т.е. величины g^fc получаются из

308	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
их галилеевых значений (82.2) преобразованием координат, а
потому обратным преобразованием могут быть снова приведены
во всем пространстве к галилеевым значениям. То, что такой
вид gik является весьма специальным, видно уже из того, что
преобразованием всего лишь четырех координат нельзя, в общем
случае, привести десять величин g^ к наперед заданному виду.
Истинное гравитационное поле не может быть исключено ни-
никаким преобразованием координат. Другими словами, при нали-
наличии гравитационного поля пространство-время таково, что опре-
определяющие его метрику величины g^ никаким преобразованием
координат не могут быть приведены во всем пространстве к их
галилееву виду. Такое пространство-время называют кривым в
отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.
Надлежащим преобразованием координат можно, однако,
привести gik к галилееву виду в любой отдельной точке негали-
леева пространства-времени: это сводится к приведению к диаго-
диагональному виду квадратичной формы с постоянными коэффици-
коэффициентами (значения g^ в данной точке). Такую систему координат
мы будем называть галилеевой для данной точки1).
Заметим, что, будучи приведенной в данной точке к диаго-
диагональному виду, матрица величин g^ имеет одно положительное и
три отрицательных главных значения (совокупность этих знаков
называют сигнатурой матрицы). Отсюда следует, в частности,
что определитель g, составленный из величин g^, в реальном
пространстве-времени всегда отрицателен:
g < 0.	(82.3)
Изменение метрики пространства-времени означает также и
изменение чисто пространственной метрики. Галилеевым g^ в
плоском пространстве-времени соответствует евклидова геомет-
геометрия пространства. В гравитационном же поле геометрия про-
пространства становится неевклидовой. Это относится как к «ис-
«истинным» гравитационным полям, в которых пространство-время
«искривлено», так и к полям, возникающим лишь от неинерци-
альности системы отсчета и сохраняющим пространство-время
плоским.
Вопрос о пространственной геометрии в гравитационном поле
будет рассмотрен более подробно в § 84. Здесь же полезно приве-
1) Во избежание недоразумений укажем, однако, уже сейчас, что выбор та-
такой системы координат не означает еще исключения гравитационного поля в
соответствующем бесконечно малом элементе 4-объема. Такое исключение,
тоже всегда возможное в силу принципа эквивалентности, означает нечто
большее (см. §87).

§ 82	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ	309
сти простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбеж-
неизбежность возникновения неевклидовости пространства при перехо-
переходе к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим две системы
отсчета, из которых одна (К) инерциальна, а другая (Kf) равно-
равномерно вращается относительно К вокруг общей оси z. Окруж-
Окружность в плоскости ху системы К {с центром в начале коорди-
координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости х'у'
системы К1. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштаб-
масштабной линейкой в системе if, мы получим значения, отношение
которых равно тг, в соответствии с евклидовостью геометрии в
инерциальной системе отсчета. Пусть теперь измерение произво-
производится неподвижным относительно К1 масштабом. Наблюдая за
этим процессом из системы if, мы найдем, что масштаб, прило-
приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение,
а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому,
что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное в
результате такого измерения, окажется больше тг.
В общем случае произвольного переменного гравитационного
поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и
меняется со временем. Это значит, что меняются со временем со-
соотношения между различными геометрическими расстояниями.
В результате взаимное расположение внесенных в поле «проб-
«пробных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться
неизменным1). Так, если частицы расположены вдоль какой-ли-
какой-либо окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение
длины окружности к длине диаметра не равно тг и меняется
со временем, ясно, что если расстояния частиц вдоль диаметра
остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль
окружности, и наоборот. Таким образом, в общей теории относи-
относительности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвижность
системы тел.
Это обстоятельство существенно меняет само понятие систе-
системы отсчета в общей теории относительности по сравнению с
тем смыслом, который оно имело в специальной теории. В по-
последней под системой отсчета понималась совокупность покоя-
покоящихся друг относительно друга, неизменным образом взаимно
расположенных тел. При наличии переменного гравитационного
поля таких систем тел не существует и для точного определения
положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря,
г) Строго говоря, число частиц должно быть больше четырех. Поскольку
из шести отрезков между четырьмя частицами можно построить четырех-
четырехгранник, то должным определением системы отсчета всегда можно добиться
того, чтобы система четырех частиц образовывала в ней неизменный че-
четырехгранник. Тем более, можно определить взаимную неподвижность в
системах трех или двух частиц.

310	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все
пространство, наподобие некоторой «среды». Такая система тел
вместе со связанными с каждым из них произвольным образом
идущими часами и является системой отсчета в общей теории
относительности.
В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы
природы должны записываться в общей теории относительности
в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе
координат (или, как говорят, в ковариантном виде). Это об-
обстоятельство, однако, разумеется не означает физической эк-
эквивалентности всех этих систем отсчета (подобной физической
эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в специаль-
специальной теории). Напротив, конкретный вид физических явлений,
в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета
становится различным.
§ 83. Криволинейные координаты
Поскольку при изучении гравитационных полей приходится
рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то
возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в
форме, пригодной в произвольных координатах. Этому посвя-
посвящены §83, 85, 86.
Рассмотрим преобразование одной системы координат ж0, ж1,
ж2, ж3 в другую хю, х'1, х12, xfS:
*JL/ 	 / I «л/ • «л/ • «л/ • «л/ ) •
где р — некоторые функции. При преобразовании координат их
дифференциалы преобразуются согласно формулам
%k.	(83.1)
dx = %dx.
dxk
Контравариантным 4- вектором называется всякая совокуп-
совокупность четырех величин Лг, которые при преобразовании коорди-
координат преобразуются как их дифференциалы:
* = ^-kA'k.	(83.2)
Пусть (? —некоторый скаляр. Производные д(р/дхг при пре-
преобразовании координат преобразуются согласно формулам
дх* ~ дх'

§83	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ	311
отличным от формул (83.2). Ковариантным 4-вектором назы-
называется всякая совокупность четырех величин А{, которые при
преобразовании координат преобразуются как производные от
СКаЛЯРа:	А = д-^А'к.	(83.4)
Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных
рангов. Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга Агк на-
называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произ-
произведения двух контравариантных векторов, т. е. по закону
лПт
Ковариантный тензор 2-го ранга А^ преобразуется по закону
дхп дх'т А,
А
а смешанный 4-тензор Агк — по формулам
А	А
(83'7)
Данные определения являются естественным обобщением
определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах
(§6), согласно которым дифференциалы dxl тоже составляют
контравариантный, а производные д(р/дхг— ковариантный
4-вектор1).
Правила образования 4-тензоров путем перемнож:ения или
упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криволи-
криволинейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах.
Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобра-
преобразования (83.2) и (83.4) скалярное произведение двух 4-векторов
AlBi действительно инвариантно:
Лг	дх{ дх'т лп ,	дх'т лп я,	лп я,
ABi= дх^^хтА В™ = ^А В™ = А Bl'
Определение единичного 4-тензора 5ък при переходе к криво-
криволинейным координатам не меняется: его компоненты снова 6гк =
= 0 при г ^ф к, а при г = к равны 1. Если Ак — 4-вектор, то при
умножении на 5гк мы получим
Ак6{ = А\
) Но в то время как в галилеевой системе координат сами координаты хг (а
не только их дифференциалы) тоже составляют 4-вектор, в криволинейных
координатах это, разумеется, не имеет места.

312	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что 6гк является тензо-
тензором.
Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть
квадратичная форма дифференциалов dxl\
ds2 = gikdxidxk,	(83.8)
где gik~ функции координат, симметричных по индексам г л к:
gik = gki-	(83.9)
Поскольку произведение (упрощенное) g^fc на контравариант-
ный тензор dxldxk есть скаляр, то g^ составляют ковариантный
тензор; он называется метрическим тензором.
Два тензора А^ и Вгк называются обратными друг другу,
если	AikBkl = 5\.
В частности, контравариантным метрическим тензором g на-
называется тензор, обратный тензору g^, т.е.
gikgM = 6\.	(83.10)
Одна и та же векторная физическая величина может быть
представлена как в контра-, так и в ковариантных компонен-
компонентах. Очевидно, что единственными величинами, которые могут
определять связь между теми и другими, являются компоненты
метрического тензора. Такая связь дается формулами
А* = ?кАк, Ai=gikAk.	(83.11)
В галилеевой системе координат метрический тензор имеет
компоненты:	/ 1 0 0 0ч
J0) _ _»*@) _ / 0 -1 0 0
Sik ~S - о 0-1 0
V о о 0-1
Формулы (83.11) дают известную связь А°=Ао, Л1>2>3=—^4i,2,3г) ¦
Сказанное относится и к тензорам. Переход между различны-
различными формами одного и того лее физического тензора совершается
с помощью метрического тензора по формулам
Aih = g*Alk, Aik = gilgkmAlm
И Т. П.
х) Везде, где при проведении аналогии мы пользуемся галилеевой системой
координат, надо иметь в виду, что такую систему можно выбрать только в
плоском 4-пространстве. В случае же кривого 4-пространства надо было
бы говорить о системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом
элементе 4-объема, которую всегда можно выбрать. Все выводы от этого
уточнения не меняются.

§ 83	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ	313
В § 6 был определен (в галилеевой системе координат) совер-
совершенно антисимметричный единичный псевдотензор егк1гп. Пре-
Преобразуем его к произвольной криволинейной системе координат,
причем обозначим его теперь через Егк1ш. Обозначение же егк1ш
сохраним для величин, определенных по-прежнему по значению
е0123 = 1 (или еош = -1).
Пусть хн— галилеевы, а хг — произвольные криволинейные
координаты. Согласно общим правилам преобразования тензо-
тензоров, имеем
Eiklm = дх1 дхк Ох1 Зхт cPrst
дх'р dxlr dxls дхп '
или
Ь = Je ,
где J— определитель, составленный из производных дхг/дх'р,
т.е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых
координат к криволинейным:
д{хо,х\х2,х3)
д(х'°,х'\х'2,х'3)'
Этот якобиан можно выразить через определитель метрического
тензора g^ (в системе хг). Для этого пишем формулу преобра-
преобразования метрического тензора:
ik _ dxi дхк lm(Q)
Ox 0x/rn
и приравниваем определители, составленные из величин, стоя-
стоящих в обеих частях этого равенства. Определитель обратного
тензора \glk\ = 1/g. Определитель же |g/m(°)| = —1. Поэтому
имеем 1/g = — J2, откуда J = l/y/—g.
Таким образом, в криволинейных координатах антисиммет-
антисимметричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как
Eiklm = JL_eiklm^	(83ЛЗ)
Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью
формулы
е gipgkrglsgmt = g^iklmj
так что его ковариантные компоненты
Eiklm — у/~ёегк1т-	(83.14)
В галилеевой системе координат х1г интеграл от скаляра по
dflf = dxf0dxfldxf2dxfS тоже есть скаляр, т.е. элемент dftf ведет
себя при интегрировании как скаляр (§6). При преобразовании

314	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
к криволинейным координатам хг элемент интегрирования dQ!
переходит в
du' -> -du
о
Таким образом, в криволинейных координатах произведение
^—gdVL при интегрировании по 4-объему ведет себя как инва-
инвариант х).
Все сказанное в конце § 6 относительно элементов интегри-
интегрирования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в
силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что
несколько меняется определение дуальных тензоров. Элемент
«площади» гиперповерхности, построенный на трех бесконечно
малых смещениях, есть контравариантный антисимметричный
тензор dSlkl\ дуальный ему вектор получается при умножении
на тензор \/—ge^/m, т.е. равен
y/=idSi = -\eiklm dSklm^i.	(83.15)
Аналогично, если df есть элемент поверхности (двухмер-
(двухмерной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то
дуальный ему тензор определяется как2)
V4dftk = \V=geiklmdflm.	(83.16)
Мы оставляем здесь обозначения dSi и df*k, как и прежде,
соответственно для -еытг dS и -eiMm df (а не для их про-
6	2
изведений на y/—g)] правила F.14)—F.19) для преобразования
1)Если (р—скаляр, то величину y/—gip, дающую при интегрировании
по dQ инвариант, иногда называют скалярной плотностью. Аналогично
говорят о векторной и тензорной плотностях y/—g A1, y/—gAtk и т.д. Эти
величины дают вектор или тензор при умножении на элемент 4-объема dQ
(интеграл же f Аг'y/—g dQ по конечной области, вообще говоря, не является
вектором, так как законы преобразования вектора Аг в разных точках об-
области различны).
2) Подразумевается, что элементы dSklm и dflk построены по бесконечно
малым смещениям dxl, dxfl, dx таким же образом, как они были определе-
определены в § 6, каков бы ни был геометрический смысл координат хг. Тогда оста-
остается в силе и прежний формальный смысл элементов dSi, df*k. В частности,
по-прежнему, dSo = dx1dx2dx3 = dV. Мы сохраним в дальнейшем прежнее
обозначение dV для произведения дифференциалов трех пространственных
координат; надо, однако, помнить, что элемент геометрического простран-
пространственного объема дается в криволинейных координатах не самим dV, а про-
произведением -^/jdV, где 7—определитель пространственного метрического
тензора (который будет найден в следующем параграфе).

§ 84	РАССТОЯНИЯ И ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ	315
различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же
самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не
связанный с тензорными свойствами соответствующих величин.
Из них нам в особенности понадобится правило преобразования
интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (теорема
Гаусса), осуществляющегося заменой
dSi^du^-.	(83.17)
ох
§ 84. Расстояния и промежутки времени
Мы уже говорили, что в общей теории относительности вы-
выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространствен-
пространственными координатами ж1, ж2, ж3 могут являться любые величины,
определяющие расположение тел в пространстве, а временная
координата ж0 может определяться произвольно идущими ча-
часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям
величин ж0, ж1, ж2, ж3 можно определить истинные расстояния и
промежутки времени.
Определим сначала связь истинного времени, которое мы
будем ниже обозначать буквой т, с координатой ж0. Для этого
рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в
одной и той же точке пространства. Тогда интеграл ds2 между
этими двумя событиями есть не что иное, как cdr, где dr — проме-
промежуток времени (истинного) между обоими событиями. Полагая
dx1 = dx2 = dxs = 0 в общем выражении ds2 = gi\zdxldxk:,
находим, следовательно,
ds2 = c2dr2 = goo(dx0J,
откуда
dr = -cV^dx°,	(84.1)
или для времени между любыми двумя событиями в одной и той
же точке пространства
J	(84.2)
Эти соотношения и определяют промежутки истинного вре-
времени (или, как говорят, собственного времени для данной точки
пространства) по изменению координаты ж0. Заметим также, что
величина goo, как видно из приведенных формул, положительна:
goo > 0.	(84.3)

316	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия
(84.3) и смыслом условия об определенной сигнатуре (знаках
главных значений) тензора g^ (§82). Тензор g^, не удовлетво-
удовлетворяющий второму из этих условий, вообще не может соответство-
соответствовать какому бы то ни было реальному гравитационному полю,
т. е. метрике реального пространства-времени. Невыполнение же
условия (84.3) означало бы лишь, что соответствующая систе-
система отсчета не может быть осуществлена реальными телами;
если условие о главных значениях при этом выполняется, то
надлежащим преобразованием координат можно добиться то-
того, что goo станет положительным (пример подобной системы
представляет собой вращающаяся система координат — см. §89).
Определим теперь элемент dl пространственного расстояния.
В специальной теории относительности можно определять dl как
интервал между двумя бесконечно близкими событиями, проис-
происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории
относительности этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т. е.
нельзя определить dl, просто положив dx° = 0 в ds. Это связано с
тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точ-
точках пространства различным образом связано с координатой х°.
Для определения dl поступим теперь следующим образом.
Пусть из некоторой точки В пространства (с координата-
координатами xa+dxa) отправляется световой сигнал в бесконечно близкую
к ней точку А (с координатами жа), а затем сразу обратно по
тому же пути. Необходимое для этого время (отсчитываемое
в одной и той же точке В), умноженное на с, есть, очевидно,
удвоенное расстояние между обеими точками.
Напишем интервал, выделив пространственные и временную
координаты:
ds2 = gaCdxadxP + 2g0adx°dxa + goo(dx0J,	(84.4)
где, как обычно, по дважды повторяющимся греческим индексам
подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал
между событиями, являющимися уходом и приходом сигнала из
одной точки в другую, равен нулю. Решая уравнение ds2 = О
относительно с?ж°, найдем два корня:
J_(_gQadxa _ J(g0ag0/3 - ga/3g00)dxadxP),
gJ°	V	 (84.5)
—(-gOadxa + J(g0ag0C ~ gaCgOo)dxadxP),
goo	v
отвечающих распространению сигнала в двух направлениях
между А и В. Если х° есть момент прибытия сигнала в Л, то
моменты его отправления из В и обратного возвращения в В

§84
РАССТОЯНИЯ И ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ
317
будут соответственно ж0 + dx®^1) и
+ dx°B\ На схематическом рис. 18 сплош-
сплошные прямые— мировые линии, соответ-
соответствующие заданным координатам ха и ха +
+ dxa, а штриховые — мировые линии сиг-
сигналов1). Ясно, что полный промежуток
«времени» между отправлением и возвра-
возвращением сигнала в ту же точку равен
°
В
Рис. 18
goo
g _ g
Соответствующий промежуток истинного времени получает-
получается отсюда согласно (84.1) умножением на y/gtio/c, а расстояние dl
между обеими точками —еще умножением на с/ 2. В результате
находим
Это и есть искомое выражение, определяющее расстояние
через элементы пространственных координат. Перепишем его в
виде
dl2 = <yapdxadxP,	(84.6)
где
7а/3 = -I
goo
есть трехмерный метрический тензор, определяющий метри-
метрику, т. е. геометрические свойства пространства. Соотношениями
(84.7) устанавливается связь между метрикой реального про-
пространства и метрикой четырехмерного пространства-времени2).
х)На рис. 18 предположено, что dx0^ > 0, dx0^ < 0 , что, однако,
необязательно: dx0^ и dx0^ могут оказаться и одного знака. Тот факт,
что в таком случае значение х (А) в момент прихода сигнала в А могло бы
оказаться меньшим значения х°(В) в момент его выхода из В, не заключает
в себе никакого противоречия, поскольку ход часов в различных точках
пространства не предполагается каким-либо способом синхронизованным.
2) Квадратичная форма (84.6) должна быть существенно положительной.
Для этого ее коэффициенты должны, как известно, удовлетворять условиям
7ii > О,
7и
721
712
722
> 0,
7и
721
731
722
732
723
7зз
> 0.
Выражая
через
goo
gio
goi
gll
легко найдем, что эти условия принимают вид
> 0, g < 0.
goo
gio
g20
gOl
gll
g21
gO 2
gl2
g22

318	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Необходимо, однако, помнить, что g^/c зависят, вообще говоря,
от ж0, так что и пространственная метрика (84.6) меняется со
временем. По этой причине не имеет смысла интегрировать dl —
такой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии
между двумя заданными пространственными точками он брался.
Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще
говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между тела-
телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом. Единственным
случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных
областях пространства, являются такие системы отсчета, в ко-
которых gik не зависят от времени, и потому интеграл f dl вдоль
пространственной кривой имеет определенный смысл.
Полезно заметить, что тензор — 7а/3 является тензором, об-
обратным контравариантному трехмерному тензору ga@. Действи-
Действительно, расписав в компонентах равенство glkgki=S\, имеем
(84.8)
Определив g из второго равенства и подставив в первое, полу-
получим	Q
что и требовалось доказать. Этот результат можно сформулиро-
сформулировать иначе, сказав, что величины —gaP составляют контравари-
антный трехмерный метрический тензор, отвечающий метрике
(84.6):
rff> = _g«/3.	(84.9)
Укажем также, что определители g и 7, составленные соот-
соответственно из величин gik и 7а/3> связаны друг с другом простым
соотношением:
-g = goo7-	(84.10)
В ряде дальнейших применений нам будет удобно вводить
трехмерный вектор g, ковариантные компоненты которого оп-
определяются как
ga = ~^.	(84.11)
goo
Рассматривая g как вектор в пространстве с метрикой (84.6),
мы должны определить его контравариантные компоненты как
Этим условиям вместе с условием (84.3) должны удовлетворять компонен-
компоненты метрического тензора во всякой системе отсчета, которая может быть
осуществлена с помощью реальных тел.

§ 84	РАССТОЯНИЯ И ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ	319
gd _ j<xPgp. с помощью (84.9) и второго из равенств (84.8) легко
видеть, что
ga = 7aV = ~g°a-	(84.12)
Отметим также формулу, следующую из третьего из равенств
(84.8):
g°° = — -gaga.	(84.13)
goo
Перейдем теперь к определению понятия одновременности
в общей теории относительности. Другими словами, выясним
вопрос о возможности синхронизации часов, находящихся в раз-
разных точках пространства, т. е. приведения в соответствие друг с
другом показаний этих часов.
Такая синхронизация должна быть, очевидно, осуществлена
с помощью обмена световыми сигналами между обеими точка-
точками. Рассмотрим снова процесс распространения сигналов между
двумя бесконечно близкими точками А л В, изображенный на
рис. 18. Одновременным с моментом х° в точке А следует считать
показание часов в точке 5, лежащее посередине между момента-
моментами отправления и обратного прибытия сигнала в эту точку, т. е.
момент
х° + Ах° = х° + \{
Подставляя сюда (84.5), находим разность значений «време-
«времени» ж0 для двух одновременных событий, происходящих в бес-
бесконечно близких точках, в виде
^ gadxa.	(84.14)
ga
goo
Это соотношение дает возможность синхронизовать часы в лю-
любом бесконечно малом объеме пространства. Продолжая подоб-
подобную синхронизацию из точки А дальше, можно синхронизовать
часы, т. е. определить одновременность событий вдоль любой
незамкнутой линии1).
Синхронизация же часов вдоль замкнутого контура ока-
оказывается, вообще говоря, невозможной. Действительно, обойдя
вдоль контура и вернувшись в исходную точку, мы получили
бы для Ах° отличное от нуля значение. Тем более оказывается
г) Умножив равенство (84.14) на goo и перенеся оба члена в одну сторону,
можно представить условие синхронизации в виде dxo = goidx1 = 0: должен
быть равен нулю «ковариантный дифференциал» dxo между двумя беско-
бесконечно близкими одновременными событиями.

320	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
невозможной однозначная синхронизация часов во всем про-
пространстве. Исключение составляют лишь такие системы отсчета,
в которых все компоненты goa равны нулюх).
Следует подчеркнуть, что невозможность синхронизации
всех часов является свойством именно произвольной системы
отсчета, а не пространства-времени как такового. В любом
гравитационном поле всегда можно выбрать (и даже бесчис-
бесчисленным числом способов) систему отсчета таким образом,
чтобы обратить три величины gQa тождественно в нуль и,
тем самым, сделать возможной полную синхронизацию часов
(см. §97).
Уже в специальной теории относительности течение истинно-
истинного времени различно для движущихся друг относительно друга
часов. В общей же теории относительности истинное время течет
различным образом и в разных точках пространства в одной и
той же системе отсчета. Это значит, что интервал собственного
времени между двумя событиями, происходящими в некоторой
точке пространства, и интервал времени между одновременными
с ними событиями в другой точке пространства, вообще говоря,
отличны друг от друга.
§ 85. Ковариантное дифференцирование
В галилеевых координатах2) дифференциалы dAi вектора Ai
образуют вектор, а производные dAi/dxk от компонент вектора
по координатам образуют тензор. В криволинейных же коор-
координатах это не имеет места; dA{ не есть вектор, а dAi/dxk не
есть тензор. Это связано с тем, что dA{ есть разность векторов,
находящихся в разных (бесконечно близких) точках простран-
пространства; в разных же точках пространства векторы преобразуются
различно, так как коэффициенты в формулах преобразования
(83.2), (83.4) являются функциями координат.
В сказанном легко убедиться и непосредственно. Для это-
этого выведем формулы преобразования дифференциалов dA{ в
криволинейных координатах. Ковариантный вектор преобразу-
преобразуется согласно формулам
л дх'к л г
г) Сюда же следует причислить случаи, когда goa могут быть обращены в
нуль простым преобразованием временной координаты, не затрагивающим
выбора системы объектов, служащих для определения пространственных
координат.
2) Вообще всегда, когда величины gik постоянны.

§85	КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	321
поэтому
Таким образом, dAi преобразуется вовсе не как вектор (то
же относится, конечно, и к дифференциалам контравариант-
ных векторов). Только в случае, если вторые производные
д2х'к/дхгдх1 = 0, т.е. если х'к являются линейными функциями
от хк, формулы преобразования имеют вид
,л дх'к , л,
dAi = ~d7dAk>
т. е. dAi преобразуется как вектор.
Мы займемся теперь определением тензора, который играет
в криволинейных координатах роль тензора dAi/dxk в галилее-
вых координатах. Другими словами, мы должны преобразовать
dAi/dxk от галилеевых координат к криволинейным.
Для того чтобы получить в криволинейных координатах диф-
дифференциал вектора, являющийся вектором, надо, чтобы оба вы-
вычитаемых один из другого вектора находились в одной точке
пространства. Другими словами, надо каким-то образом «пе-
«перенести» один из двух бесконечно близких векторов в точку,
где находится второй, после чего определить разность обоих
векторов, относящихся теперь к одной и той же точке простран-
пространства. Сама операция переноса должна быть при этом опреде-
определена таким образом, чтобы в галилеевых координатах указан-
указанная разность совпадала с обычным дифференциалом dAi. По-
Поскольку dAi есть просто разность компонент двух бесконечно
близких векторов, то это значит, что в результате операции
переноса при пользовании галилеевыми координатами компо-
компоненты вектора не должны изменяться. Но такой перенос есть
не что иное, как перенос вектора параллельно самому себе.
При параллельном переносе вектора его компоненты в гали-
галилеевых координатах не меняются; если же пользоваться кри-
криволинейными координатами, то при таком переносе компонен-
компоненты вектора, вообще говоря, изменятся. Поэтому в криволи-
криволинейных координатах разность компонент обоих векторов по-
после перенесения одного из них в точку, где находится второй,
не будет совпадать с их разностью до переноса (т. е. с диф-
дифференциалом dAi).
Таким образом, при сравнении двух бесконечно близких век-
векторов мы должны один из них подвергнуть параллельному пе-
переносу в точку, где находится второй. Рассмотрим какой-нибудь
11 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

322	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
контравариантный вектор; если его значение в точке с коорди-
координатами хг есть Лг, то в соседней точке хг + dxl он равен Аг +
+ dAl. Вектор Аг подвергнем бесконечно малому параллельному
переносу в точку хг + dx1] его изменение при этом обозначим
через 5Аг. Тогда разность DA1 между обоими векторами, нахо-
находящимися теперь в одной точке, равна
DA1 = dAl -5А\	(85.1)
Изменение 5Аг компонент вектора при бесконечно малом
параллельном переносе зависит от величины самих компонент,
причем эта зависимость должна, очевидно, быть линейной. Это
следует непосредственно из того, что сумма двух векторов долж-
должна преобразовываться по тому же закону, что и каждый из них.
Таким образом, 5Аг имеет вид
6А* = -rklAkdx\	(85.2)
где Тгк1 — некоторые функции координат, вид которых зависит,
конечно, от выбора системы координат; в галилеевой системе все
П, = °-
Уже отсюда видно, что величины Ггк1 не образуют тензора,
так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен
нулю и во всякой другой. В искривленном пространстве нельзя
никаким выбором координат обратить все Ггы везде в нуль.
Принцип эквивалентности требует, однако, чтобы надлежа-
надлежащим выбором системы координат можно было исключить гра-
гравитационное поле в данном бесконечно малом участке простран-
пространства, т. е. обратить в нем в нуль величины Тгк1, играющие, как мы
увидим ниже в §87, роль напряженностей этого поля1).
Величины Тгк1 называют коэффициентами связности или
символами Кристоффеля.
Мы будем ниже пользоваться также и величинами Г^/2),
определяемыми следующим образом:
Г<, ы = &тГ&.	(85.3)
Обратно:
rL = gimrm>fc/.	(85.4)
) Именно такую систему координат надо иметь в виду во всех рассужде-
рассуждениях, где мы для краткости говорим просто о галилеевой системе; тем самым
все доказательства становятся относящимися не только к плоскому, но и к
кривому 4-пространству.
2) Вместо обозначерий Ггы и Г^ ы иногда пользуются обозначениями соот-
соответственно

§ 85	КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	323
Легко связать и изменение компонент ковариантного вектора
при параллельном переносе с символами Кристоффеля. Для это-
этого заметим, что при параллельном переносе скаляры, очевидно,
не меняются. В частности, не меняется при параллельном пере-
переносе скалярное произведение двух векторов.
Пусть Ai и Вг — некоторый ковариантный и некоторый кон-
травариантный векторы. Тогда из S(AiBl) = 0 имеем
или, меняя обзначение индексов,
Bl5Ai = YklAkBidxl.
Отсюда имеем ввиду произвольности Вг:
8А{ = T%Akdx\	(85.5)
чем и определяется изменение ковариантного вектора при па-
параллельном переносе.
Подставляя (85.2) и dAl = —т dx в (85.1), имеем
дх
Гк1Акух1.	(85.6)
Аналогично находим для ковариантного вектора:
xl.	(85.7)
Выражения, стоящие в скобках в (85.6), (85.7) являются
тензорами, так как умноженные на вектор dx1 они дают снова
вектор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые
осуществляют искомое обобщение понятия производной от век-
вектора на криволинейные координаты. Эти тензоры носят название
ковариантпных производных соответственно векторов Аг и А^.
Мы будем обозначать их через A1. k и Ai;k. Таким образом,
DA* = Al.idx\ DAi = Ai.xdx\	(85.8)
а сами ковариантные производные:
^ = fj + rlHfc,	(85.9)
Ai;l = ^-T^Ak.	(85.10)
В галилеевых координатах Г^ = 0 и ковариантные производные
переходят в обычные.
и*

324	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Легко определить также ковариантную производную от тен-
тензора. Для этого надо определить изменение тензора при беско-
бесконечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, ка-
какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произведе-
произведением двух контравариантных векторов АгВк. При параллельном
переносе имеем
5{А1Вк) = А15Вк + Вк5А1 = -А*Г?тВ1Aхт - ВкГ1тА^хт.
В силу линейности этого преобразования оно должно иметь ме-
место и для любого тензора Агк:
X дгк _ ( лггптлк ¦ лгпктлг \ л I	/or л л \
ол — — [Л 1т1-\-л Lml)ax.	^60.11;
Подставляя это в
DAik = dAik - SAik ее Aik.tdx\
находим ковариантную производную тензора Агк в виде
•ъ.	8Aik	¦	ъ. ъ.
'	Эх1	ш1	~Т~1т1Л '	{SO.LZ)
Совершенно аналогично находим ковариантные производные
смепсанного и ковариантного тензоров в виде
; |?	Гт1А^,	(85.13)
Aik;i = Ц}- ГиАтк - F%Aim.	(85.14)
Аналогичным образом можно определить ковариантную про-
производную тензора любого ранга. При этом получается следующее
правило ковариантного дифференцирования: чтобы получить
ковариантную производную тензора А" по ж1, к обычной про-
производной ЗА" /дх на каждый ковариантный индекс i (А'^) надо
прибавить член —Т^А"^ , а на каждый контравариантный индекс
i (А'7") надо прибавить член +ГгыА'к\
Можно легко убедиться в том, что ковариантная производная
от произведения находится по тем же правилам, что и обычная
производная от произведения. При этом ковариантную произ-
производную от скаляра <р надо понимать как обычную производную,
т.е. как ковариантный вектор <рк = д(р/дхк, в согласии с тем,
что для скаляров 6(р = 0 и потому Dip = dip. Например, ковари-
ковариантная производная произведения А^В^ равна

§ 85	КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ	325
Поднимая у ковариантных производных индекс, указываю-
указывающий дифференцирование, мы получим так называемые контра-
вариантные производные. Так,
Ai^ = gklAi.h Ai'k = gMAi.l.
Выведем теперь формулы преобразования от одной системы
координат к другой для символов Кристоффеля.
Эти формулы можно получить, сравнивая законы преобразо-
преобразования обеих частей равенств, определяющих любую из ковари-
ковариантных производных, и требуя, чтобы эти законы для обеих ча-
частей были одинаковы. Простое вычисление приводит к формуле
Гг j.fm дхг дх'п дх'* , 82х'т дхг	,	,
^^	+	(РОЛЬ)
т dxk дх1 + дхндх1 дх,т '	(РОЛЬ)
Из этой формулы видно, что величины FL ведут себя как тензо-
тензоры лишь по отношению к линейным преобразованиям координат
(когда исчезает второй член в (85.15)).
Заметим, однако, что этот член симметричен по индексам к, Z;
поэтому он выпадает при образовании разности Slkl = Ггы — Гг1к.
Она преобразуется, следовательно, по тензорному закону
Ы ofrn дх1 0х'п 0х'р
z>ki эпр дх,т дхк dxi 1
т. е. является тензором. Его называют тензором кручения про-
пространства.
Покажем теперь, что в излагаемой теории, основанной на
принципе эквивалентности, тензор кручения должен равняться
нулю. Действительно, как уже говорилось, в силу этого прин-
принципа должна существовать «галилеева» система координат, в
которой в данной точке обращаются в нуль величины Тгк^ а сле-
следовательно и S^. На поскольку 5^ — тензор, то, будучи равным
нулю в одной системе, он будет равен нулю и в любой системе
координат. Это означает, что символы Кристоффеля должны
быть симметричны по нижним индексам:
Пг = Г|*.	(85.16)
Очевидно, что и
Г<,ы = Г<>№.	(85.17)
В общем случае имеется всего 40 различных величин Г^ —для
каждого из четырех значений индекса г имеется 10 различных
пар значений индексов к и I (считая пары, получающиеся пере-
перестановкой к л I одинаковыми).

326	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Формула (85.15) при условии (85.16) позволяет доказать сде-
сделанное выше утверждение о возможности такого выбора си-
системы координат, при котором все Г^, обращаются в нуль в
любой наперед заданной точке (такую систему называют ло-
кально-инерциальной или локально-геодезической, см. §87I).
Действительно, пусть заданная точка выбрана в качестве
начала координат и величины Тгк1 имеют в ней первоначально
(в координатах хг) значения (Г^)о- Произведем вблизи этой точ-
точки преобразование
(85.18)
Тогда
и согласно (85.15) все Г^ обращаются в нуль.
Подчеркнем, что условие (85.16) здесь существенно: выра-
выражение в левой части равенства (85.19) симметрично по индек-
индексам fc, Z, поэтому должна быть симметрична и правая часть
равенства.
Заметим, что для преобразования (85.18)
поэтому оно не меняет значений любого тензора (в том чис-
числе тензора g^) в заданной точке, так что обращение символов
Кристоффеля в нуль может быть осуществлено одновременно с
приведением g^ к галилееву виду.
§ 86. Связь символов Кристоффеля с метрическим
тензором
Докажем, что ковариантная производная от метрического
тензора g^ равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DAi,
как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение
DJU = gikDAk.
х) Можно показать также, что надлежащим выбором системы координат
можно обратить в нуль все Тгк1 не только в данной точке, но и вдоль
заданной мировой линии (доказательство этого утверждения можно найти
в книге: П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука,
1964, §91).

§ 86 СВЯЗЬ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ С МЕТРИЧЕСКИМ ТЕНЗОРОМ	327
С другой стороны, Ai = gikAk, и потому
DAi = D(gikAk) = gikDAk + AkDgik.
Сравнивая с DAi — gikDAk, имеем в виду произвольности век-
вектора А1:
Dgik = 0.
Поэтому и ковариантная производная
Sifc;I = 0.	(86.1)
Таким образом, при ковариантном дифференцировании g^ надо
рассматривать как постоянные.
Равенством gik-j = 0 можно воспользоваться для того,
чтобы выразить символы Кристоффеля Гд,г через метрический
тензор gik. Для этого напишем согласно общему определе-
определению (85.14):
gik-l = ~^J - gmkL U - gimL kl = ~^J ~ l k,il — *-i,kl = V.
Таким образом, производные от g^fc выраж:аются через символы
Кристоффеля1). Напипсем эти производные, переставляя индек-
индексы г, к, I:
^gjk -р , -р	dgu -p	-p	dgki	-p	-р
-JTT = l k,il + *-i,kh 7j~T — li, Ы + М,гЬ ~"^Т = ~ll,ki ~ 1 к,Н-
Взяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Г^д./ = Г^/д.)
Г _ 1 (dgik , dgu dgu
Отсюда имеем для символов Г^ = gimTrn^i:
grnk | dgml	dgk
+
Эти формулы и дают искомые выражения символов Кри-
Кристоффеля через метрический тензор.
Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощен-
упрощенного символа Кристоффеля Г^. Для этого определим дифферен-
дифференциал dg определителя g, составленного из компонент тензора g^;
dg можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты
тензора g^ и умножив ее на свой коэффициент в определителе,
) Выбор локально-геодезической системы координат означает поэтому
обращение в нуль в данной точке всех первых производных от компонент
метрического тензора.

328	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты
тензора glk, обратного тензору g^, равны, как известно, минорам
определителя из величин g^, деленным на этот определитель.
Поэтому миноры определителя g равны gglk. Таким образом,
dg = ggikdgik = -ggikdgik	(86.4)
(поскольку gikgik = 8\ = 4, то gikdgik = -gikdgik).
Из (86.3) имеем
г _ 1 irn (dgrnk , dgmi _ dgkj\
ki~ 2g V dxl	8xk dxm)'
Меняя местами индексы m и г в третьем и первом членах в
скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что
к% 2Ь дхк'
или согласно (86.4)
Г г 	 х уб
2gdxk дхк
Полезно заметить также выражение для величины gklYlkl.
Имеем
8 ^Ы = ~& ?гШ ( 	^	1	Y	т ) = 8 gtni ( 	^1	т
С помощью (86.4) это можно преобразовать к виду
-.	(86.6)
При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду,
производные от контравариантн	k
производными от gik соотношениями
что производные от контравариантного тензора glk связаны с
(получающимися при дифференцировании равенства guglk =
= 6к). Наконец, укажем, что производные от glk тоже могут быть
выражены через величины Г^. Именно, из тождества glk.i = О
непосредственно следует, что
®8	„т/с р/с гт	/од а\
~ -1 mlS '	(Ж.8)

§ 86 СВЯЗЬ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ С МЕТРИЧЕСКИМ ТЕНЗОРОМ	329
С помощью полученных формул можно привести к удобному
виду выражение А]^ являющееся обобщением дивергенции век-
вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86.5),
имеем
или окончательно
Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции
антисимметричного тензора Агк. Из (85,12) имеем
лгк 	 ?^ _1_ -pi лтк , -рк Aim
'к ~ дхк	mk	mk^1
Но поскольку Ашк = —Акгп, то
¦pi лтк 	 	-pi л km 	 r\
Подставляя выражение (86.5) для Г^., находим, следовательно:
Пусть теперь А^ — симметричный тензор; определим выра-
выражение Дч г. для его смешанных компонент. Имеем
Последний член здесь равен
_ 1 /dgu_ , dgki _ dgik \ ^ki
2\дхк дх1 дх1)
В силу симметрии тензора Аы два члена в скобках взаимно
сокращаются, и остается
дхк	2 дх1	v y
о	dAi дАк
В декартовых координатах —г-	г- есть антисимметричный
дх дхг
тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть А^ —
— А^{. Однако с помощью выражений для А^^ и ввиду того,
что Г^ = Тъ1к, имеем

330	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму
	^—т вторых производных от некоторого скаляра (р. Очевидно,
что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в (р\\. Но
(p;i = dip/dx1, так как ковариантное дифференцирование скаляра
сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс г,
имеем	. .. о
^ 6 дхк
и с помощью формулы (86.9) находим
(86.13)
Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразо-
преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по
4-объему может быть написана ввиду (86.9) как
(86.14)
gdSi^ ГAtiy/=gdn.
§ 87. Движение частицы в гравитационном поле
Движение свободной материальной частицы в специальной
теории относительности определяется принципом наименьшего
действия:
SS = —тсб
' Г ds = 0,	(87.1)
согласно которому частица движется так, что ее мировая ли-
линия является экстремальной между двумя заданными мировыми
точками, т. е. в данном случае прямой (в обычном трехмерном
пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное
движение).
Движение частицы в гравитационном поле должно опреде-
определяться принципом наименьшего действия в той же форме (87.1),
так как гравитационное поле является не чем иным, как изме-
изменением метрики пространства-времени, проявляющимся только
в изменении выражения ds через dxl. Таким образом, в грави-
гравитационном поле частица движется так, что ее мировая точка
перемещается по экстремальной, или, как говорят, по геодези-
геодезической линии в 4-пространстве ж0, х1 ж2, ж3; поскольку, однако,
при наличии гравитационного поля пространство-время негали-
леево, то эта линия не «прямая», а реальное пространственное
движение частицы — не равномерно и не прямолинейно.

§ 87	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	331
Вместо того чтобы снова исходить непосредственно из прин-
принципа наименьшего действия (см. задачу к этому параграфу),
проще найти уравнения движения частицы в гравитационном
поле путем соответствующего обобщения дифференциальных
уравнений свободного движения частицы в специальной теории
относительности, т. е. в галилеевой 4-системе координат. Эти
уравнения гласят du1 /ds = 0, или иначе du1 = 0, где и1 = dx1 /ds
есть 4-скорость. Очевидно, что в криволинейных координатах
это уравнение обобщается в
Du* = 0.	(87.2)
Из выражения (85.6) для ковариантного дифференциала вектора
имеем
du* + Tl^dx1 = 0.
Разделив это уравнение на ds, находим
Это и есть искомые уравнения движения. Мы видим, что дви-
движение частицы в гравитационном поле определяется величинами
Тгы. Производная d2xl/ds2 есть 4-ускорение частицы. Поэтому
мы можем назвать величину —тТгк1и и «4-силой», действующей
на частицу в гравитационном поле. Тензор g^ играет при этом
роль «потенциалов» гравитационного поля—его производные
определяют «напряженность» поля Г^1).
В § 85 было показано, что соответствующим выбором систе-
системы координат всегда можно обратить все Ггы в нуль в любой
заданной точке пространства-времени. Мы видим теперь, что
выбор такой локально-инерциальной системы отсчета означает
исключение гравитационного поля в данном бесконечно малом
элементе пространства-времени, а возможность такого выбора
1) Отметим также вид уравнения движения, выраженного через ковари-
антные компоненты 4-ускорения. Из условия Ьщ = 0 находим
—	Тк,ци и = 0.
ds
При подстановке сюда Тк,и из (86.2) два члена сокращаются и остается
^i_I^MV=0.	(87.3 а)
ds 2 дхг	V	'

332	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
есть выражение принципа эквивалентности в релятивистской
теории тяготениях).
Четырехмерный импульс частицы в гравитационном поле
определяется попрежнему как
р* = тси\	(87.4)
а его квадрат равен
Pip* = га2 с2.	(87.5)
Подставив сюда —dS/dx1 вместо pi, найдем уравнение Га-
мильтона-Якоби для частицы в гравитационном поле:
Для распространения светового сигнала уравнение геодези-
геодезической линии в форме (87.3) неприменимо, так как вдоль миро-
мировой линии распространения светового луча интервал ds = 0 и
все члены в уравнении (87.3) обращаются в бесконечность. Для
придания уравнениям движения в этом случае нужного вида
воспользуемся тем, что направление распространения луча света
в геометрической оптике определяется волновым вектором, ка-
касательным к лучу. Мы можем поэтому написать четырехмерный
волновой вектор в виде кг = dxl/d\, где Л есть некоторый па-
параметр, меняющийся вдоль луча. В специальной теории относи-
относительности при распространении света в пустоте волновой вектор
не меняется вдоль луча, т. е. dkl = 0 (см. § 53). В гравитационном
поле это уравнение переходит в Dkl = 0, или
— + Г{,ккк1 = О	(87.7)
ал
(из этих же уравнений определится и параметр ЛJ).
Квадрат волнового 4-вектора равен нулю (см. §48):
kik* = 0.	(87.8)
Подставляя сюда дф/дхг вместо к{ (^ — эйконал), находим урав-
уравнение эйконала в гравитационном поле:
«"??-»•	<87-9>
) В примеч. на с. 326 была также упомянута возможность выбора системы
отсчета, «инерциальной вдоль заданной мировой линии». В частности, если
такой линией является координатная линия времени (вдоль которой ж1, ж2,
х3 = const), то тем самым гравитационное поле будет исключено в заданном
элементе пространственного объема на протяжении всего времени.
2) Геодезические, вдоль которых ds = 0, называют нулевыми или изотроп-
изотропными.

§ 87	ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	333
В предельном случае малых скоростей релятивистские урав-
уравнения движения частицы в гравитационном поле должны перей-
перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения. При этом
надо иметь в виду, что из предположения о малости скоростей
вытекает также условие, что само гравитационное поле должно
быть слабым; в противном случае находящаяся в нем частица
приобрела бы большую скорость.
Выясним, как связан в этом предельном случае метрический
тензор gik с нерелятивистским потенциалом ц> гравитационного
поля.
В нерелятивистской механике движение частицы в грави-
гравитационном поле определяется функцией Лагранжа (81.1). Мы
напишем ее теперь в виде
L = -тс2 + — -пыр,	(87.10)
прибавив постоянную —тс2 х). Это надо сделать для того, чтобы
нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля L =
= —тс2 + mv2/2 была в точности той, в которую переходит
соответствующая релятивистская функция L = —тс2^1 — г?2/с2
в пределе при v/c —»> 0.
Нерелятивистское действие S для частицы в гравитационном
поле, следовательно, имеет вид
= ГLdt = -mc
Сравнивая это с выражением S = —mcf ds, мы видим, что в
рассматриваемом предельном случае
2с с
Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при с —>• оо
в нуль, находим
ds2 = (c2 + 2(f)dt2-dr2,	(87.11)
где мы учли, что v dt = dr.
Таким образом, компонента goo метрического тензора в пре-
предельном случае равна
goo = 1 + 2f-	(87.12)
1) Потенциал <р определен, разумеется, лишь с точностью до произволь-
произвольной аддитивной постоянной. Мы подразумеваем везде естественный выбор
этой постоянной, при котором потенциал обращается в нуль вдали от тел,
создающих поле.

334	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Что касается остальных компонент, то из (87.11) следовало
бы, что gaj3 = 8а/з, goa — 0. В действительности, однако, по-
поправки к ним, вообще говоря, того же порядка величины, что и
поправка в goo (см- °б этом подробнее в § 106). Невозможность
определения этих поправок приведенным выше способом связана
с тем, что поправка в ga/#, имеющая тот же порядок величины,
что и поправка в goo, привела бы в функции Лагранжа к членам
более высокого порядка малости (вследствие того, что в выраже-
выражении для ds* компоненты gap не умножаются на с2, как это имеет
место для goo).
Задача
Вывести уравнение движения (87.3) из принципа наименьшего дейст-
действия (87.1).
Решение. Имеем
S ds = 2dsS ds = 5(gikdxldx ) = dxldx —г-у8х + 2gikdxld6x .
дх
Поэтому
-c	f Г1 dx1 dxk dgik с
SS = -тс / <	^-rt
J ^ 2 ds ds dx
1	dx1 dx dgik с i d ( dx%\ ~ кЛ j
	j-dx	I gik	]ox > as
2	ds ds dx	ds^ ds ' >
(при интегрировании по частям учтено, что на пределах 8х =0). Во втором
члене под интегралом заменим индекс к индексом /. Тогда, приравнивая
нулю коэффициент при произвольной вариации 8х1, находим
_ Q й Q й ^^^^—^^^^— ^^_ ^_^^ I /ТГ* • j Q й 1 ^^~ _ Q й Q й	^^^^—^^^^ ^^_ (Г* • j ^^^^^^_ ^^_ Q й Q й ^^^—^^^— ^^~ I I
2	dx1 dsK J 2	dx1	ds	дхк
Замечая, что третий член можно написать в виде
. dx1 ddxk
+gik-	¦?-
ds ds
и вводя символы Кристоффеля Г^, согласно (86.2), получаем
ds
Уравнение (87.3) получается отсюда поднятием индекса Z.
§ 88. Постоянное гравитационное поле
Гравитационное поле называют постоянным, если можно вы-
выбрать такую систему отсчета, в которой все компоненты метри-
метрического тензора не зависят от временной координаты ж0; послед-
последнюю называют в таком случае мировым временем.

§ 88	ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	335
Выбор мирового времени не вполне однозначен. Так, при
добавлении к х° произвольной функции пространственных ко-
координат все gik по-прежнему не будут содержать ж0; это преоб-
преобразование соответствует произвольности выбора начала отсче-
отсчета времени в каждой точке пространства1). Кроме того, ра-
разумеется, мировое время допускает умножение на произволь-
произвольную постоянную, т. е. произвольный выбор единицы его изме-
измерения.
Строго говоря, постоянным может быть лишь поле, создавае-
создаваемое одним телом. В системе нескольких тел их взаимное грави-
гравитационное притяжение приводит к возникновению движения, в
результате чего создаваемое ими поле не может быть постоян-
постоянным.
Если создающее поле тело неподвижно (в системе отсчета,
в которой gik не зависит от ж0), то оба направления времени
эквивалентны. При должном выборе начала отсчета времени во
всех точках пространства, интервал ds в этом случае не должен
меняться при изменении знака ж0, а потому все компоненты goa
метрического тензора должны быть тождественно равными ну-
нулю. Такие постоянные гравитационные поля мы будем называть
статическими.
Неподвижность тела, однако, не является обязательным ус-
условием постоянства создаваемого им поля. Так, будет постоян-
постоянным также и поле равномерно вращающегося вокруг своей оси
аксиально-симметричного тела. Но в этом случае оба направле-
направления времени уже отнюдь не равноценны — при изменении знака
времени меняется знак угловой скорости вращения. Поэтому в
таких постоянных гравитационных полях (которые мы будем на-
называть стационарными) компоненты goa метрического тензора,
вообще говоря, отличны от нуля.
Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле
заключается в том, что его промежуток между двумя событиями
в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком
между любыми другими двумя событиями в любой другой точке
пространства, соответственно одновременными (в выясненном в
г) Легко видеть, что при этом преобразовании пространственная метрика,
как и следовало, не меняется. Действительно, при замене
х° ^х° + f(x\x2x3)
х°
х2х3)
с произвольной функцией /(ж1, х2, х3) компоненты gik заменяются согласно
gacC —>" gacC + gOof,af,C ~ gba/,/3 ~ gopf,a,
gOa —>" gOa — goof,a, gOO ~>" gOO ,
где /)Q, = df/dxa. При этом, очевидно, трехмерный тензор (84.7) не меняет-

336	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
§ 84 смысле) с первой парой событий. Но одинаковым проме-
промежуткам мирового времени х° соответствуют в разных точках
пространства различные промежутки собственного времени т.
Связь (84.1) между ними можно написать теперь в виде
г = -cVmx°,	(88.1)
применимом к любым конечным промежуткам.
В слабом гравитационном поле можно воспользоваться при-
приближенным выражением (87.12); при этом (88.1) дает, с той же
точностью:
?( )	(88.2)
Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем
меньше гравитационный потенциал в данной точке простран-
пространства, т. е. чем больше его абсолютная величина (ниже, в § 99
будет показано, что потенциал <р отрицателен). Если из двух
одинаковых часов одни находились некоторое время в гравита-
гравитационном поле, то после этого часы, бывшие в поле, окажутся
отставшими.
Как уже было указано, в статическом гравитационном поле
компоненты goa метрического тензора равны нулю. Согласно
результатам § 84 это значит, что в таком поле возможна синхро-
синхронизация часов во всем пространстве.
Заметим также, что для элемента пространственного рассто-
расстояния в статическом поле имеем просто
dl2 = -gaCdxadxP.	(88.3)
В стационарном поле goa отличны от нуля и синхронизация
часов во всем пространстве невозможна. Поскольку g^ не зави-
зависят от ж0, то формулу (84.14) для разности значений мирового
времени двух одновременных событий, происходящих в разных
точках пространства, можно написать в виде
^,	(88.4)
применимом для любых двух точек на линии, вдоль кото-
которой производится синхронизация часов. При синхронизации же
вдоль замкнутого контура разность значений мирового времени,
которая обнаружилась бы по возвращении в исходную точку,

ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	337
равна интегралу
Ах° = -
goo
взятому по этому замкнутому контурух).
Рассмотрим распространение лучей света в постоянном гра-
гравитационном поле. Мы видели в § 53, что частота света равна
производной от эйконала ф по времени (с обратным знаком). Ча-
Частота, измеренная в мировом времени ж°/с, поэтому равна с^о =
= —сдф/дх®. Поскольку уравнение эйконала (87.9) в постоянном
поле не содержит ж0 явно, то частота сс?о остается постоянной при
распространении луча света. Частота же, измеренная в собствен-
собственном времени, равна си = —дф/дт\ она различна в разных точках
пространства.
В силу соотношения
дф _ дф дх° _ дф с
~д^~~дх^~д^
имеем	Шп
си = -^-.	(88.6)
y/goo
В слабом гравитационном поле получаем приближенно:
(88.7)
Мы видим, что частота света возрастает с увеличением абсо-
абсолютной величины потенциала гравитационного поля, т. е. при
приближении к создающим поле телам; наоборот, при удалении
луча от этих тел частота света уменьшается. Если луч света,
испущенный в точке, где гравитационный потенциал равен y?i,
имеет (в этой точке) частоту си, то, придя в точку с потен-
потенциалом <f2, он будет иметь частоту (измеренную в собственном
времени в этой точке), равную
Линейчатый спектр, испускаемый какими-либо атомами, на-
находящимися, например, на Солнце, выглядит там точно так же,
как выглядит на Земле спектр, испускаемый находящимися на
х) Интеграл (88.5) тождественно равен нулю, если сумма gaodx^/goo яв-
является полным дифференциалом какой-либо функции пространственных
координат. Такой случай, однако, означал бы просто, что мы имеем в дей-
действительности дело со статическим полем и преобразованием вида х° —»> х° +
+ f(xa) все gao могут быть обращены в нуль.

338	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
ней такими же атомами. Если же на Земле наблюдается спектр,
испускаемый атомами, находящимися на Солнце, то, как следует
из вышеизложенного, его линии окажутся смещенными по срав-
сравнению с линиями такого же спектра, испускаемого на Земле.
Именно, каждая линия с частотой ио будет смещена на интер-
интервал Act;, определяемый из формулы
?i^w,	(88.8)
где (pi и (f2 — потенциалы гравитационного поля соответственно
в месте испускания и в месте наблюдения спектра. Если на Земле
наблюдается спектр, испускаемый на Солнце или звездах, то
1^11 > \<Р2\ и из (88.8) следует, что Аси < 0, т.е. смещение проис-
происходит в сторону меньших частот. Описанное явление называют
красным смещением.
Происхождение этого явления можно уяснить себе непо-
непосредственно на основании сказанного выше о мировом време-
времени. В силу постоянства поля промежуток мирового времени,
в течение которого некоторое колебание в световой волне рас-
распространится из одной заданной точки пространства в дру-
другую, не зависит от ж0 . Поэтому число колебаний, происходя-
происходящих в единицу мирового времени, будет одинаковым во всех
точках вдоль луча. Но один и тот же промежуток мирово-
мирового времени соответствует тем большему промежутку собствен-
собственного времени, чем дальше мы находимся от создающих по-
поле тел. Следовательно, частота, т. е. число колебаний в едини-
единицу собственного времени, будет падать при удалении света от
этих масс.
При движении частицы в постоянном поле сохраняется ее
энергия, определяемая как производная (—cdS/dx®) от действия
по мировому времени; это следует, например, из того, что х°
не входит явно в уравнение Гамильтона-Якоби. Определенная
таким образом энергия есть временная компонента ковариант-
ного 4-вектора импульса р^ = тещ = mcg^iu1. В статическом
поле ds2 = goo(dx0J — dl2, и мы имеем для энергии, которую
обозначим здесь через $&.
*	2 dx°	2	dx°
So = тс goo—- = тс goo-
goo^/goo(dx°J-dP
Введем скорость частицы:
dl	cdl
v = — =
dr л/goo dx
,o '

§ 88	ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	339
измеренную в собственном времени, т. е. наблюдателем, находя-
находящимся в данном месте. Тогда мы получим для энергии
(88.9)
Это есть та величина, которая остается постоянной при движе-
движении частицы.
Легко показать, что выражение (88.9) для энергии остается
в силе и в стационарном поле, если только скорость v измерять
в собственном времени, определенном по часам, синхронизован-
синхронизованным вдоль траектории частицы. Если частица выходит из точ-
точки А в момент мирового времени ж0 и приходит в бесконечно
близкую точку В в момент x°+dx°, то для определения скорости
надо взять теперь не промежуток времени (х° + dx°) — х° = с?ж°,
а разность между х° + dx° и моментом х°	— dxa, который
goo
одновременен в точке В моменту х° в точке А:
/0 _ g^
V	goo
_ /0 _
V	goo /	goo
Умножив его на y^goo/c, получим соответствующий интервал
собственного времени, так что скорость
va = ——^±	— ,	(88.10)
где мы ввели обозначения
gOo;	7	/О О 1 1 \
ga =	> ^ = goo	(88.11;
goo
для трехмерного вектора g (упоминавшегося уже в § 84) и для
трехмерного скаляра goo- Ковариантные компоненты скорости v
как трехмерного вектора в пространстве с метрикой 7а/3 и соот-
соответственно квадрат этого вектора надо понимать как1)
v2 = vava.	(88.12)
1) В дальнейшем мы неоднократно будем вводить в рассмотрение, наряду
с 4-векторами и 4-тензорами, также и трехмерные векторы и тензоры, опре-
определенные в пространстве с метрикой 7ск/з; таковыми являются, в частности,
введенные уже векторы g и v. В то время как в первом случае тензорные
операции (в том числе поднятие и опускание индексов) производятся с помо-
помощью метрического тензора gik, во втором случае — с помощью тензора jap.
Во избежание могущих возникнуть в связи с этим недоразумений мы будем
обозначать трехмерные величины с помощью символов, не используемых
для обозначения четырехмерных величин.

340	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
Заметим, что при таком определении интервал ds выражается
через скорость формулой, аналогичной обычной формуле
ds2 = goo(dx0J + 2g0adx°dxa
= h(dx° - gadxaf - dl2 = h(dx° - gadxaf (l - J). (88.13)
Компоненты 4-скорости иг = dxl /ds равны
и = , . ==. и -
/1 - vy<* cjl-vyc* v	'
Энергия же
Eq = rnc goiU = тс h(u — gau )
и после подстановки (88.14) приобретает вид (88.9).
В предельном случае слабого гравитационного поля и малых
скоростей, подставляя goo — 1 + 2ср/с2 в (88.9), получим прибли-
приближенно
<f0 = тс2 + — + т<р,	(88.15)
где ггыр — потенциальная энергия частицы в гравитационном по-
поле, что находится в соответствии с функцией Лагранжа (87.10).
Задачи
1. Определить силу, действующую на частицу в постоянном гравитаци-
гравитационном поле.
Решение. Для нужных нам компонент Г^ находим следующие вы-
выражения:
F« _ 4;° г« - h( <* ;<м 1
1 00 — ~"- 5 1 0/3 — ~\g; /3 — gp ) ~
2	2	м
В этих выражениях все тензорные действия (ковариантные диффе-
дифференцирования, подъем и опускание индексов) производятся в трехмерном
пространстве с метрикой уар над трехмерным вектором ga и трехмерным
скаляром h (88.11); Х^ есть трехмерный символ Кристоффеля, составлен-
составленный из компонент тензора jap так, как Г^ составляется из компонент g^;
при вычислении использованы формулы (84.9)-(84.12).
Подставив A) в уравнение движения
^f- = -К0(и0J - 2ro>V - г%уи^
ds
и используя выражения (88.14) для компонент 4-скорости, после простых
преобразований получим
d	va	Г
2h(l-v2/c2)	c(l-v2/c2)	c2(l-v2/c2)'

§ 88	ПОСТОЯННОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	341
Действующая на частицу сила f есть производная от ее импульса р
по (синхронизованному) собственному времени, определенная с помощью
трехмерного ковариантного дифференциала:
:+AS
С2 dSy/l-V*/<? ' М'-
Из B) имеем поэтому (для удобства опускаем индекс а)
или в обычных трехмерных векторных обозначениях1)
f =
/1 ШС 2 / 2 {- grading + V/t[- rotgj }.	C)
Отметим, что если тело неподвиж:но, то действующая на него сила (пер-
(первый член в C)) имеет потенциал. При малых скоростях движения второй
член в C) имеет вид mcy/h[v rot g], аналогичный силе Кориолиса, которая
возникла бы (при отсутствии поля) в системе координат, вращающейся с
1) В трехмерных криволинейных координатах единичный антисимметрич-
антисимметричный тензор определяется как
, г] P1 = — е Р7,
у/Ч
где ei23 = е = 1, а при перестановке двух индексов меняют знак
(ср. (83.13), (83.14)). Соответственно этому вектор с = [ab], определенный
как вектор, дуальный антисимметричному тензору с/д7 = а$Ъ1 —а^Ър, имеет
компоненты
1 /—	в'у	/—	01'у	а.	1
с<* = -/Р7 VP67
Обратно:
В частности, rot а надо понимать в этом же смысле как вектор, дуальный
дав даа
тензору ар- а — аа- $ =	б-, так что его контравариантные компоненты
дха дхр
Упомянем такж:е в этой связи, что трехмерная дивергенция вектора
1 ?)
diva= —= —-(/гаа)
л/7 дха
(ср. (86.9)).
Во избежание недоразумений при сравнении с формулами, часто приме-
применяемыми для трехмерных векторных операций в ортогональных криволи-
криволинейных координатах (см., например, «Электродинамика сплошных сред»,
приложение), укажем, что в этих формулах под компонентами вектора
подразумеваются величины ^g11A1(=

342	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
угловой скоростью
ft = -y/hrotg.
2. Вывести принцип Ферма для распространения лучей в постоянном
гравитационном поле.
Решение. Принцип Ферма (см. § 53) гласит:
> Г ка dxa = О,
где интеграл берется вдоль луча, а подынтегральное выражение должно
быть выражено через постоянную вдоль луча частоту uq и дифференциалы
координат. Замечая, что ко = —дф/дх° = ljo/c, пишем
— = к0 = goik1 = gook0 + gOaka = h(k° - gaka).
с
Подставляя это в соотношение кгкг = gikklkk = 0, написанное в виде
h(k° - gakaJ - 7ajefcefc" = О,
получим
1(^)Я-7^*^ = 0.
h V с /
Учитывая такж:е, что вектор ка долж:ен иметь направление вектора dxa,
находим отсюда
та _ Шо dxa
~ W^~dT'
где dl (84.6) есть элемент пространственного расстояния вдоль луча. Чтобы
получить выражение для ка, пишем
ка = gaih = gaOko + gaPkp = -gal^- -ra0kp,
С
откуда
uo flap dx13
+	g) =( 7=	+
с /	с \y/h dl
Наконец, умножая на dxa, получим принцип Ферма в виде (постоянный
множитель ljq/c опускаем)
В статическом поле имеем просто
S / Д= =0.
Обращаем внимание на то, что в гравитационном поле луч распространяется
не по кратчайшей линии в пространстве, так как последняя определялась
бы уравнением S f dl = 0.
§ 89. Вращение
Особым случаем стационарных гравитационных полей явля-
является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающей-
вращающейся системе отсчета.

§ 89	ВРАЩЕНИЕ	343
Для определения интервала ds произведем преобразование
от неподвижной (инерциальной) системы к равномерно вращаю-
вращающейся. В неподвижной системе координат г', <pr, z1, t (мы поль-
пользуемся цилиндрическими пространственными координатами) ин-
интервал имеет вид
ds2 = c2dt2 - dr'2 - г12dip'2 - dz'2.	(89.1)
Во вращающейся системе цилиндрические координаты пусть бу-
будут г, <р, z. Если ось вращения совпадает с осями z и z\ то имеем
г' = г, z1 = z, (pf = <р + Ш, где fi —угловая скорость вращения.
Подставляя в (89.1), находим искомое выражение для интервала
во вращающейся системе отсчета:
ds2 = (с2 - u2r2)dt2 - 2ur2dcp dt - dz2 - r2dip2 - dr2. (89.2)
Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета
можно пользоваться только до расстояний, равных с/П. Действи-
Действительно, из (89.2) видно, что при г > c/VL величина goo становится
отрицательной, что недопустимо. Неприменимость вращающей-
вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что
скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света,
и потому такая система не может быть осуществлена реальными
телами.
Как и во всяком стационарном поле, на вращающемся теле
часы не могут быть однозначно синхронизованы во всех точках.
Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии,
мы получим, возвратясь в исходную точку, время, отличающееся
от первоначального на величину (см. (88.5))
goo	~ с2/ 1-nV/c2
или, предполагая, что fir/с ^С 1 (т. е. скорость вращения мала по
сравнению со скоростью света),
Д*=^ [r2d<p = ±^S,	(89.3)
с J	с
где S— площадь проекции контура на плоскость, перпендику-
перпендикулярную к оси вращения (знак + или — имеет место соответствен-
соответственно при обходе контура по или против направления вращения).
Предположим, что по некоторому замкнутому контуру рас-
распространяется луч света. Вычислим с точностью до членов по-
порядка v/c время ?, которое проходит между отправлением луча
света и возвращением его в исходную точку. Скорость света, по
определению, всегда равна с, если время синхронизуется вдоль

344	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
данной замкнутой линии и в каждой точке мы пользуемся соб-
собственным временем. Поскольку разница между собственным и
мировым временем — порядка г>2/с2, то при вычислении искомого
промежутка времени t с точностью до величин порядка v/c этой
разницей можно пренебречь. Поэтому имеем
где L — длина контура. Соответственно этому скорость света,
измеренная как отношение L/t, оказывается равной
с ±2П-.	(89.4)
Эту формулу, как и формулу для первого приближения эффекта
Доплера, можно легко вывести и чисто классическим путем.
Задача
Определить элемент пространственного расстояния во вращающейся
системе координат.
Решение. С помощью (84.6), (84.7) находим
dlz = dr + dzz
1 - nV/c2'
чем определяется пространственная геометрия во вращающейся системе
отсчета. Отметим, что отношение длины окружности в плоскости z = const
(с центром на оси вращения) к ее радиусу г равно
у/1 - П2Г2/С2
§ 90. Уравнения электродинамики при наличии
гравитационного поля
Уравнения электромагнитного поля специальной теории от-
относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы
в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е.
в случае наличия гравитационного поля.
Тензор электромагнитного поля в специальной теории отно-
„	дАк dAi ~
сительности определялся как г^ = —:	—-г. Очевидно, что
дхг дх
теперь он должен быть соответственно определен как F^ =
= Ak-i — Ai-k. Но в силу (86.12)
^^,	(90.1)

§ 90	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	345
так что связь i^/c, с потенциалом Ai, не меняется. Вследствие
этого первая пара уравнений Максвелла B6.5)
тоже сохраняет свой вид1).
Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла,
надо предварительно определить в криволинейных координатах
4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы посту-
поступали в § 28. Пространственный элемент объема, построенного
на элементах пространственных координат dx1, dx2, dxs, есть
у/7dV', где 7—определитель пространственного метрического
тензора (84.7), a dV = dx1dx2dxs (см. примеч. на с. 314). Введем
плотность зарядов р согласно определению de = p^/jdV, где
de — заряд, находящийся в элементе объема у/т dV'. Умножив обе
части этого равенства на dxl, имеем
7 7 7	7 7 I	 7 1 7 2 7 Я	Р	/	 1Г\ d>X
аеах = pax ^jdx ах ах =	^—gall—q
y/goo	dx
(мы использовали формулу — g = jgoo (84.10)). Произведение
^—gdVL есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор
тока определяется выражением
(90.3)
(величины dxl/dx® — скорости изменения координат со «време-
«временем» ж0 — сами не составляют 4-вектора!). Компонента j° 4-век-
тора тока, умноженная на y/g^o/c, есть пространственная плот-
плотность зарядов.
Для точечных зарядов плотность р выражается суммой
^-функций аналогично формуле B8.1). При этом, однако, надо
уточнить определение этих функций в случае криволинейных
координат. Мы будем понимать 6(г) по-прежнему как произведе-
произведение S(x1)S(x2)S(x^) вне зависимости от геометрического смысла
координат ж1, ж2, ж3; тогда равен единице интеграл по dV (а не
по у/тdV)\ JS(r)dV = 1. С таким определением ^-функций
плотность зарядов
1) Легко видеть, что это уравнение может быть записано также и в виде
Fik;i + Fii,k
откуда очевидна его ковариантность.

346	ЧАСТИЦА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	ГЛ. X
а 4-вектор тока
J2^r-ra)d^.	(90.4)
а
Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, ко-
которое отличается от B9.4) лишь заменой обычных производных
ковариантными:
(использована формула (86.9)).
Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений
Максвелла C0.2); заменяя в них обычные производные ковари-
ковариантными, находим
ii) = -^f (90-6)
(использована формула (86.10)).
Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гра-
гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в
B3.4) 4-ускорения dul/ds на Dul/ds:
тс— = тс(— + Гыики1) = -Fikuk.	(90.7)
as	\ as	/с
Задача
Написать уравнения Максвелла в заданном гравитационном поле в трех-
трехмерной форме (в трехмерном пространстве с метрикой уар), ввеДя 3-векторы
Е, D и антисимметричные 3-тензоры Вар и Нар, согласно определениям
Еа = -Роа?	Вар = Fap,
Решение. Введенные указанным образом величины не независимы.
Раскрывая равенства
т-1	тг\1т	грскв	olI Bm t-i
Fqol = goigamF , F H = g gH Fim,
введя при этом трехмерный метрический тензор jap = — gap + hgagp (g и
h — из (88.11)) и воспользовавшись формулами (84.9) и (84.12), получим
тр	тта.р
тл	^а . Я тт	г>аC	*±	, „& трое	ос трр	/о\
Ь'а = -у= + g Пар, В = —=- + g Ь - g Ь .	[2)
Введем векторы В, Н, дуальные тензорам Вар и Нар, согласно определению
±^	1уН^	C)
(ср. примеч. на с. 341; знак минус введен для того, чтобы в галилеевых коор-
координатах векторы Н и В совпадали с обычной напряженностью магнитного
поля). Тогда B) можно записать в виде
^	i|	D)

90	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ	347
Вводя определения A) в (90.2), получим уравнения
дв1(Х двм = два/3 дЕа дЕ$ =
д$ да ' дх° d? да
или, перейдя к дуальным величинам C)
divB = 0, rotE = -^-|-(^B)	E)
(xQ = ct] определение операций rot и div — в примеч. на с. 341). Аналогичным
образом из (90.6) находим уравнения
дх
\ ,1 д , у— r^as . dxa
или в трехмерных векторных обозначениях:
divD = 47rp, rotH= — — (^D) + — s,	F)
Cy/y dt	с
где s — вектор с компонентами sa = pdxa/dt.
Выпишем для полноты также и уравнение непрерывности (90.5) в трех-
трехмерной форме
^|-(V7P) + divs = 0.	G)
Обратим внимание на аналогию (конечно, чисто формальную) урав-
уравнений E), F) с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в
материальных средах. В частности, в статическом гравитационном поле в
членах с производными по времени выпадает ^/7, а связь D) сводится к D =
= Е/л/^, В = Л/y/h. Можно сказать, что в отношении своего воздействия на
электромагнитное поле статическое гравитационное поле играет роль среды
с электрической и магнитной проницаемостями г = ц = 1/y/h.

ГЛАВА XI
УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
§ 91. Тензор кривизны
Вернемся снова к понятию о параллельном переносе вектора.
Как было указано в § 85, в общем случае кривого 4-пространства
бесконечно малый параллельный перенос вектора определяется
как перенос, при котором компоненты вектора не меняются в
системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом эле-
элементе объема.
Если хг = хг(з) есть параметрическое уравнение некоторой
кривой (s—длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки),
то вектор иг = dxl/ds есть единичный вектор, касательный к
кривой. Если рассматриваемая кривая является геодезической,
то вдоль нее Dul = 0. Это значит, что если вектор иг подвергнуть
параллельному переносу из точки хг на геодезической линии в
точку хг + dxl на той же линии, то он совпадает с вектором иг +
+ dul, касательным к линии в точке хг + dxl. Таким образом, при
передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной
переносится параллельно самому себе.
С другой стороны, при параллельном переносе двух векторов
«угол» между ними остается, очевидно, неизменным. Поэтому
мы можем сказать, что при параллельном переносе любого век-
вектора вдоль какой-либо геодезической линии угол между этим
вектором и касательной к линии остается неизменным. Другими
словами, при параллельном переносе вектора его составляющие
по геодезическим линиям во всех точках пути должны быть
неизменными.
Весьма существенно, что в кривом пространстве параллель-
параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую да-
дает разные результаты, если он совершается по разным путям.
В частности, отсюда следует, что если переносить вектор па-
параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то
он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим
собой.
Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искрив-
искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На
рис. 19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный

§91
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
349
тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 парал-
параллельному переносу вдоль контура, образованного этими лини-
линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все
время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При
передвижении вдоль ВС он таким	;
же образом перейдет в 3. Наконец,
при движении из С в А вдоль кри-
кривой С А, сохраняя постоянный угол с
этой кривой, рассматриваемый век-
вектор перейдет в 1/, не совпадающий
с вектором 1.
Выведем общую формулу, опре-
определяющую изменение вектора при
параллельном переносе вдоль беско-	Рис 19
нечно малого замкнутого контура.
Это изменение А^4/с можно записать в виде § 5А}~, где интеграл
берется по данному контуру. Подставляя вместо 5А^ выражение
(85.5), имеем
г
\ 7 А . drJ.	(Q1 1 ^
JL7 Л| \JbJu ,	I Xj -L . -L I
стоящий под интегралом вектор А{ меняется по мере его переноса
вдоль контура.
Для дальнейшего преобразования этого интеграла необходи-
необходимо заметить следующее. Значения вектора А^ в точках внутри
контура неоднозначны — они зависят от пути, по которому мы
приходим в данную точку. Мы увидим, однако, из получаемо-
получаемого ниже результата, что эта неоднозначность — второго порядка
малости. Поэтому с достаточной для преобразования точностью
до величин первого порядка можно считать компоненты вектора
А{ в точках внутри бесконечно малого контура однозначно опре-
определяющимися их значениями на самом контуре по формулам
1, т.е. по производным
дх1
(91.2)
Применяя теперь к интегралу (91.1) теорему Стокса F.19) и
учитывая, что площадь огибаемой рассматриваемым контуром
поверхности есть бесконечно малая величина А/ , получим
дх1	дхт
1 fdrL „ dVi
lm

350	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Подставляя сюда значения производных из (91.2), находим
окончательно
ААк = \кк1тА{А]1т,	(91-3)
где Rlkl-m~тензор 4-го ранга:
X kirn = ~г	-^ + 1 nll km ~ l nml kl'	V91'4)
Тензорный характер Rlkim виден из того, что в (91.3) слева стоит
вектор — разность ААк значений вектора в одной и той же точ-
точке. Тензор Rlkim называется тензором кривизны, или тензором
Римана.
Легко получить аналогичную формулу для контравариантно-
го вектора А . Для этого заметим, что поскольку при параллель-
параллельном переносе скаляры не меняются, то A(AkBk) = 0, где Вк~
любой ковариантный вектор. С помощью (91.3) имеем отсюда:
А(АкВк) = АкАВк + ВкААк = ^АкВ^ЫтА/1т + ВкААк =
(ААк + ^Д*йтД//т) = О,
= Вк(
или, ввиду произвольности вектора Вк'.
ААк = -±11к11тА*А/1т.	(91.5)
Если дважды ковариантно продифференцировать вектор Ai
по хк и по х1', то результат зависит, вообще говоря, от поряд-
порядка дифференцирования, в противоположность тому, что име-
имеет место для обычных производных. Оказывается, что раз-
разность Ацк-,1 — АцЦк определяется тем же тензором кривизны,
который мы ввели выше. Именно, имеет место формула
Ai]k]l — A%;l;k — AmRmikh	(91.6)
которую легко проверить непосредственным вычислением в ло-
локально-геодезической системе координат. Аналогично, для кон-
травариантного вектора1)
Ai.k.l-Ai.l.k = -AmRimkl.	(91.7)
Наконец, легко получить аналогичные формулы для вторых
производных от тензоров (это проще всего сделать, рассматри-
рассматривая, например, тензор вида А{Вк и пользуясь при этом форму-
формулами (91.6), (91.7); полученные таким образом формулы в силу
1) Формулу (91.7) можно получить непосредственно из (91.6) путем под-
поднятия индекса i и использования свойств симметрии тензора Rikim (§92).

§ 91	ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ	351
их линейности имеют место для любого тензора А^). Так,
Aik;l;m ~ Мк; ш; I = Мп^l kirn + Апк^пт-	(91.8)
Очевидно, что в плоском 4-пространстве тензор кривизны
равен нулю. Действительно, в плоском пространстве можно вы-
выбрать координаты, в которых везде все Ггы = 0, а потому и
Rlj^lrn = 0. В силу тензорного характера Ягыт эти величины
равны тогда нулю и в любой другой системе координат. Это
соответствует тому, что в плоском пространстве параллельный
перенос вектора из одной точки в другую есть однозначная опе-
операция, а при обходе замкнутого контура вектор не меняется.
Имеет место и обратная теорема: если Rlkim — 0, то
4-пространство плоское. Действительно, во всяком пространстве
можно выбрать систему координат, галилееву в данном
бесконечно малом участке. При Rlkim — 0 параллельный
перенос есть однозначная операция, и, перенося таким образом
галилееву систему из данного малого участка во все остальные,
можно построить галилееву систему во всем пространстве, чем
и доказывается сделанное утверждение.
Таким образом, равенство или неравенство нулю тензора кри-
кривизны является критерием, позволяющим определить, является
ли 4-пространство плоским или искривленным.
Заметим, что хотя в кривом пространстве и можно выбрать
локально-геодезическую (для данной точки) систему координат,
но при этом тензор кривизны в этой точке не обращается в нуль
(так как производные от Ггы не обращаются в нуль вместе с
самими Г]^).
Задачи
1. Определить относительное 4-ускорение двух частиц, движущихся по
бесконечно близким геодезическим мировым линиям.
Решение. Рассмотрим семейство геодезических линий, отличаемых
значениями некоторого параметра V] другими словами, координаты мировой
точки выражаются в виде функций хг = xl(s,v), таких, что при каждом
v = const это есть уравнение геодезической (причем s — длина интервала,
отсчитываемого вдоль линии от ее точки пересечения с некоторой заданной
гиперповерхностью). Введем 4-вектор
г	U,L ~	г ~
Г] = 	0V = V 0V,
dv
соединяющий на бесконечно близких геодезических линиях, отвечающих
значениям параметра v и v + Sv, точки с одинаковыми значениями s.
Из определения ковариантной производной и равенства диг /dv = dv1 /ds
(где иг = дхъ/ds) следует, что
UlV = VlU

352	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Рассмотрим вторую производную:
=ij,k,ivkul
Щ^г (у,ки),1и (и,ку
as
Во втором члене снова используем A), а в первом меняем порядок ковари-
антных дифференцирований с помощью (91.7) и находим
D2yl = {ui,lul),kvk + umRirnklukvl.
ds2
НУЛ1
Введя постоянный множитель Sv, находим окончательно уравнение:
Первый член равен нулю, поскольку вдоль геодезических линий ul-iul = 0.
A)
ds2
(его называют уравнением геодезического отклонения).
2. Записать уравнения Максвелла в пустоте для 4-потенциала в лорен-
цевой калибровке.
Решение. Ковариантное обобщение условия D6.9) имеет вид
А\А = 0.	A)
Уравнения Максвелла можно, используя формулу (91.7), записать как
с Rik из (92.6). Тогда в силу A)
Ai,k'k -RikAk = 0.	B)
§ 92. Свойства тензора кривизны
Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для пол-
полного выявления которых следует перейти от смешанных компо-
компонент Rlkim K ковариантным:
Простыми преобразованиями легко получить для них следующее
выражение:
„ _ 1 / d2gim , d2gki	d2gu	d2gkm \ .
iklrn - 2 \дхкдх1 "Г дхгдхт	дхкдхт	дхЮх1)
-Г%тТ1). (92.1)
Из этого выражения очевидны следующие свойства симмет-
симметрии:
Riklm = —Rkilm = —Rikmh	(92.2)
Riklm = Rlmiki	(92.3)
т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов гк и 1т
и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг

§ 92	СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ	353
с другом. В частности, все компоненты Riklm i диагональные по
паре индексов гк или Zra, равны нулю.
Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма
из компонент Rikirm образованная по любым трем из их индек-
индексов, например:
Riklm + Rirnkl + Rilrnk = 0	(92.4)
(остальные соотношения такого рода получаются из (92.4) авто-
автоматически в силу свойств (92.2), (92.3)).
Наконец, докажем следующее тождество Бианки:
Rnikl-,m + Rnimk-,l + R™ ilm; к = 0.	(92.5)
Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезиче-
локально-геодезической системой координат. В силу тензорного характера соотно-
соотношение (92.5) будет тем самым справедливым и в любой другой
системе. Дифференцируя выражение (91.4) и полагая затем в
нем Ггы = 0, находим в рассматриваемой точке
on	dRniki	д2Гм	д2Т^к
It ikl-m = 	^~~ = 	m	к — 	га	1'
С помощью этого выражения легко убедиться в том, что (92.5)
действительно имеет место.
Из тензора кривизны можно путем упрощения построить
тензор второго ранга. Такое упрощение можно произвести только
одним способом: упрощение тензора Riklm по индексам ink или
I и m дает нуль в силу антисимметричности по ним, а упрощение
по любым другим парам дает, с точностью до знака, одинаковый
результат. Мы определим тензор Д^ (его называют тензором
Риччи) как1)
Rik = g mRlimk = R ilk-	(92.6)
Согласно (91.4) имеем
td _ dl jk QL и , p/ -pm _ -prn-pl	/q^ y\
~~ дх1 дхк
Этот тензор, очевидно, симметричен:
Rik = Rki-	(92.8)
Наконец, упрощая R^, получим инвариант
R = gikRik = gilgkmRiklm,	(92.9)
1) В литературе используется также и другое определение тензора Rik —
с упрощением Riklm по первому и последнему индексам. Такое определение
отличается знаком от принятого нами определения.
12 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

354	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
называемый скалярной кривизной пространства.
Компоненты тензора R^ удовлетворяют дифференциально-
дифференциальному тождеству, получающемуся упрощением тождества Биан-
ки (92.5) по парам индексов ik и In:
Rlm;l = l^-	(92.Ю)
В силу соотношений (92.2)-(92.4) не все компоненты тензора
кривизны независимы. Определим число независимых компо-
компонент.
Определение тензора кривизны, даваемое написанными вы-
выше формулами, относится к пространству любого числа измере-
измерений. Рассмотрим сначала случай пространства двух измерений,
т. е. обычную поверхность; обозначим в этом случае (в отли-
отличие от четырехмерных величин) тензор кривизны через Pabcd->
а метрический тензор —через 7аЬ> гДе индексы а, Ь,... пробегают
значения 1, 2. Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса
должны иметь различные значения, то очевидно, что все отлич-
отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг
с другом, либо отличаются знаком. Таким образом, в этом случае
имеется лишь одна независимая компонента, например
Легко найти, что скалярная кривизна при этом равна
р =
Величина Р/2 совпадает с так называемой гауссовой кривизной
поверхности К:
- = К= —,	(92.12)
2	pp'	V	J
где pi, р2 — главные радиусы кривизны поверхности в данной ее
точке (напомним, что р\ и р2 считаются имеющими одинаковые
знаки, если соответствующие им центры кривизны расположены
по одну сторону от поверхности, и имеющими разные знаки, если
центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности; в
первом случае К > 0, а во втором К < ОI).
Перейдем к тензору кривизны трехмерного пространства;
обозначим его через Ра/З-уб? а метрический тензор через 7а/3> гДе
х) Формулу (92.12) легко получить, написав уравнение поверхности вблизи
заданной точки {х = у = 0) в виде z = x2/Bpi) + у2/Bр2). Тогда квадрат
элемента длины на ней:
dl2 = (l + ^ W + (l + 4W + 2^- dxdy.
Вычисление Р1212 в точке х = у = 0 по формуле (92.1) (в которой нужны
лишь члены со вторыми производными от 7ск/з) приводят к (92.12).

§ 92	СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ	355
индексы ск, /3, ...пробегают значения 1, 2, 3. Пары индексов
а/3 и 7^ пробегают всего три существенно различных набора
значений: 23, 31, 12 (перестановка индексов в паре меняет лишь
знак компоненты тензора). Поскольку тензор Paj3jS симметричен
по отношению к перестановке этих пар, то имеется всего 3*2/2 =
= 3 независимых компоненты с различными парами индексов, а
также 3 компоненты с одинаковыми парами. Тождество (92.4)
не прибавляет ничего нового к этим ограничениям. Таким обра-
образом, в трехмерном пространстве тензор кривизны имеет шесть
независимых компонент. Столько же компонент имеет симмет-
симметричный тензор Pap- Поэтому из линейных соотношений Рар =
= gl5P1OL8C все компоненты тензора Pa/3-yS могут быть выражены
через Рар и метрический тензор 7а/3 (см- задачу 1). Если выбрать
систему координат, декартову в данной точке, то надлежащим
ее поворотом можно привести тензор Рар к главным осям1).
Таким образом, кривизна трехмерного пространства в каждой
точке определяется тремя величинами2).
Наконец, перейдем к четырехмерному пространству. Пары
индексов гк и 1т пробегают в этом случае 6 различных набо-
наборов значений: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Поэтому имеется 6 компо-
компонент Rikim с одинаковыми и 6*5/2 = 15 компонент с различными
парами индексов. Последние, однако, еще не все независимы
друг от друга: три компоненты, у которых все четыре индекса
различны, связаны в силу (92.4) одним тождеством:
R012S + #0312 + #0231 = 0.	(92.13)
Таким образом, в 4-пространстве тензор кривизны имеет всего
20 независимых компонент.
Выбирая систему координат, галилееву в данной точке, и рас-
рассматривая преобразования, поворачивающие эту систему (так
что значения g^/c B данной точке не меняются), можно добиться
обращения в нуль шести компонент тензора кривизны (шесть
1)	Для фактического вычисления главных значений тензора Рар нет необ-
необходимости производить преобразование к системе координат, декартовой
в данной точке. Эти значения можно определить как корни Л уравнения
|Ра/3-Л7а/з| =0.
2)	Знание тензора Рар-уб позволяет определить гауссову кривизну К любой
поверхности в пространстве. Укажем здесь лишь, что если ж1, ж2, х3 —
ортогональная система координат, то
К _	Pl212
711722 - G12J
есть гауссова кривизна для «плоскости», перпендикулярной (в данной ее
точке) к оси ж3; под «плоскостью» понимается поверхность, образованная
геодезическими линиями.
12*

356	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
есть число независимых поворотов 4-системы координат). Таким
образом, в общем случае кривизна 4-пространства определяется
в каждой точке 14 величинами.
Если Rik = О1), то в произвольной системе координат тензор
кривизны имеет всего 10 независимых компонент. Надлежащим
преобразованием координат можно тогда привести тензор Rikim
(в заданной точке 4-пространства) к «каноническому» виду, в
котором его компоненты выражаются в общем случае через 4
независимые величины; в особых случаях это число может ока-
оказаться даже меньшим.
Если же Rik ф 0, то все то же самое будет относиться к
тензору кривизны после выделения из него определенной части,
выражающейся через компоненты Rik- Именно, составим тен-
тензор2)
~ ~Rilgkm + ~Ri
+ -Rklgirn - -Rkmgil + -R(gilgkm ~ gimgkl)' (92.14)
Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами сим-
симметрии тензора Rikim: a ПРИ свертывании по паре индексов (И
или km) дает нуль.
Покажем, каким образом строится классификация возмож-
возможных типов канонической формы тензора кривизны при Д^ = 0
(А.З.Петров, 1950).
Будем считать, что метрика в данной точке 4-пространства
приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых
компонент тензор Rikim представим как совокупность трех трех-
трехмерных тензоров, определенных следующим образом:
(92.15)
х) Мы увидим ниже (§95), что этим свойством обладает тензор кривизны
для гравитационного поля в пустоте.
) Это громоздкое выражение можно записать более компактно в виде
Ciklm = Rikim — Rl[igk]m + Rm[igk]l + ~Rgl[igk]m,
о
где квадратные скобки означают антисимметризацию по заключенным в
них индексам:
A[ik] = ~(Агк - Aki).
Тензор (92.14) называют тензором Вейля.

§ 92	СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ	357
(eaj3j — единичный антисимметричный тензор; поскольку трех-
трехмерная метрика декартова, нет необходимости делать при сум-
суммировании различие между верхними и нижними индексами).
Тензоры Аар и Са/з по определению симметричны; тензор Вар,
вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в си-
силу (92.13). Согласно определениям (92.15) имеем, например:
Вц = i?0123> B21 = Л(I3Ъ В$1 = #0112? Сц = i?2323> • • •
Легко видеть, что условия Rkm — ё Riklm — 0 эквивалент-
эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров
(92.15):
Лаа = О, В^ = В^, А^ = -Сар.	(92.16)
Далее введем симметричный комплексный тензор
\	- Сар) = А^ + iBaP.	(92.17)
Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров р
и Вар в один комплексный тензор как раз соответствует объеди-
объединению (в § 25) двух векторов Е и Н в комплексный вектор F, а
возникающая в результате связь между D^p и 4-тензором Щыт
соответствует связи между F и 4-тензором F^. Отсюда следует,
что четырехмерные преобразования тензора Щыт эквивалентны
трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензо-
тензором Dap.
По отношению к этим поворотам могут быть определены
собственные значения Л = Л' + г\" и собственные векторы па
(вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений
Dapnp = \na.	(92.18)
Величины Л являются инвариантами тензора кривизны. По-
Поскольку след Daa = 0, то равна нулю также и сумма корней
уравнения (92.18):
АA)+АB)+ЛC)=0_
В зависимости от числа независимых собственных векто-
векторов па мы приходим к следующей классификации возможных
случаев приведения тензора кривизны, —к каноническим типам
Петрова I—III.
I. Имеются три независимых собственных вектора. При этом
их квадраты папа отличны от нуля и соответствующим поворо-
поворотом тензор Dар, а с ним и Аар, Вар приводятся к диагональному

358	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
виду
/aw о	о
Аа0 = О АB)'	О
V о о -aw -а<2)',
/лаг о	<Л	(92Л9)
Ба/3 = О АB)"	О
\ о о -aW" -аB
В этом случае тензор кривизны имеет 4 независимых инвариан-
инварианта1).
Комплексные инварианты А^1), А^2) выражаются алгебраиче-
алгебраически через комплексные скаляры:
jiklm ¦ r>	-rtiklra
(tiiklmti	itiiklmti )•>
h = —(RikimR^^Rpr1 + iRikimR171^Rpr1 ), (92.20)
где звездочка над буквой означает дуальный тензор:
-^iklm = 'Z^'ikpr^ Irw
Вычислив /i, /2 с помощью (92.19), получим
Эти формулы позволяют вычислить А^1), \B\ исходя из значе-
значений Rikim B любой системе отсчета.
П. Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат
одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может
быть принят за направление координатной оси. Можно, однако,
принять его лежащим в плоскости ххх2\ тогда П2 = ini, 713 = 0.
Соответствующие уравнения (92.18) дают
Dn + Ш12 = A, D22 - iD12 = A,
откуда
Ди = А — г/л, ?>22 = А + г/л, Du = /х.
Комплексная величина А = А' + г А" является скаляром и не мо-
может быть изменена. Величине же /х путем различных комплекс-
комплексных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля)
1) Вырожденный случай, когда А^ = А^ , А^ = А^ называют ти-
типом D.

Л'
11
0
А'
0
0
0
-2А'
§ 92	СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ	359
значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее
вещественной. В результате получим следующий канонический
тип вещественных тензоров Аар, Вар:
0	0 \
А" + /х 0 .
О -2А"/
(92.22)
В этом случае имеется всего два инварианта Л' и Л". При этом
согласно (92.21) h = А2, /2 = Л3, так что if = /|.
III. Имеется всего один собственный вектор с равным нулю
квадратом. Все собственные значения Л при этом одинаковы,
а потому равны нулю. Решения уравнения (92.18) могут быть
приведены к виду D\\ = D22 = D12 = О, Dis = /л, ?>23 = Щ, так
что
/О 0 fi\	/0 0 0\
Аар=\О 0 0 , Вар=\0 0 ц].	(92.23)
\д 0 0/	\0 /i О/
В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов,
и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство
искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы
являться мерой его кривизны1).
Задачи
1. Выразить тензор кривизны Ра/з7б трехмерного пространства через
тензор 2-го ранга Рар.
Решение. Ищем Pap-ys в виде
удовлетворяющем условиям симметрии; здесь Аар — некоторый симметрич-
симметричный тензор, связь которого с Рар определяется путем упрощения написан-
написанного выражения по индексам а и у. Таким путем находим
Рсхр = Ajap + Аар, Аар = Рар - -Pjap,
4
и окончательно:
р
+ — (
2. Вычислить компоненты тензоров Rikim и Rik для метрики, в которой
тензор gik диагоналей.
Решение. Представим отличные от нуля компоненты метрического
тензора в виде
ga = е;е , е0 = 1, еа = — 1.
1) Такая же ситуация имеет место в вырожденном случае II при X' = А" =
= 0 (его называют типом N).

360	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Вычисление по формуле (92.1) приводит к следующим выражениям для
отличных от нуля компонент тензора кривизны:
Ruik = ete2Fl (Fi,kFk,i + F^kFhi - FhiFhk - FM)fc), i Ф к ф I,
Run = eie2F*(FitiFiti - F?ti - FM>i) + eie2F* (**,***,* - F^ - Fw)-
- ae2Fl ^ eieme2(Fi-F-)Fi,mFz,m, i ф I
тфг,1
(по повторяющимся индексам нет суммирования!). Индексы после запятой
означают простое дифференцирование по соответствующей координате.
Упрощая тензор по двум индексам, получим
Rik = Yl (Fi,kFk,i + Fi,kFi,i - FhiFhk - Fi,i,k), i ф к,
1фг,к
R
ii = 2_^ \Fi,iFi,i — Fifi — ^,г,г
§ 93. Действие для гравитационного поля
Для нахождения уравнений, определяющих гравитационное
поле, необходимо предварительно определить действие Sg этого
поля. Искомые уравнения получаются тогда путем варьирования
суммы действий поля и материальных частиц.
Действие Sg, как и действие для электромагнитного поля,
должно быть выражено в виде некоторого скалярного интегра-
интеграла f G^/—gdTt, взятого по всему пространству и по временной
координате х° между двумя заданными ее значениями. При
этом мы будем исходить из того, что уравнения гравитационного
поля должны содержать производные от «потенциалов» поля
не выше второго порядка (подобно тому, как это имеет место
для уравнений электромагнитного поля). Поскольку уравнения
поля получаются путем варьирования действия, то для этого
необходимо, чтобы подынтегральное выражение G содержало
производные от g^ не выше первого порядка; таким образом,
G должно содержать только тензор g^ и величины Г^.
Однако из одних только величин g^ и Г^ невозможно по-
построить скаляр. Это видно уже из того, что посредством соот-
соответствующего выбора системы координат можно всегда обратить
все величины Г^ в данной точке в нуль. Существует, однако,
скаляр R — кривизна 4-пространства, — который хотя и содер-
содержит наряду с тензором g^ и его первыми производными еще и

§93	ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	361
вторые производные от g^, но последние входят только линейно.
Благодаря этой линейности инвариантный интеграл f R^/—g dTt
можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса в интеграл от
выражения, не содержащего вторых производных, т. е. его можно
представить в виде
дхг
где G содержит только тензор g^ и его первые производные,
а подынтегральное выражение во втором интеграле имеет вид
дивергенции некоторой величины wl (подробное вычисление про-
произведено в конце настоящего параграфа). Согласно теореме Гаус-
Гаусса, этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по
гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому произво-
производится интегрирование в двух других интегралах. При варьиро-
варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно,
исчезает, так как по смыслу принципа наименьшего действия на
границах области интегрирования вариация поля равна нулю.
Следовательно, мы можем написать
Слева стоит скаляр; поэтому скаляром является и стоящее спра-
справа выражение (сама же величина G скаляром не является).
Величина G удовлетворяет поставленному выше требованию,
так как содержит только g^ и его первые производные. Таким
образом, мы можем написать
(93.1)
где к — новая универсальная постоянная. Аналогично тому, как
это было сделано в § 27 для действия электромагнитного поля,
можно видеть, что постоянная к должна быть положительна
(см. конец этого параграфа).
Постоянная к называется гравитационной постоянной. Раз-
Размерность к следует непосредственно из (93.1). Действие имеет
размерность г • см2 • с; все координаты можно считать имею-
имеющими размерность см, a g^ — безразмерными, и, следовательно,
R имеет размерность см~2. В результате находим, что к имеет
размерность см3 • г • с~2. Ее числовое значение равно
к = 6,67 • 1(Г8 см3 • г • с.	(93.2)

362	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Заметим, что мы могли бы положить к равной единице (или
другому произвольному безразмерному числу). При этом, одна-
однако, определился бы выбор единицы для измерения массы1).
Вычислим, наконец, величину G в (93.1). Из выраже-
выражения (92.7) для Щк имеем
В первых двух членах справа имеем
i
dxl
дхк дх
Опуская полные производные, находим
—
дх1
—	Г771 —(-к/^ё(?ш) - Г-7 — (-к/
—	L im Qxk \v ьь / гкд1
~ I1 il l km ~ l ik1 lm)g V~g-
С помощью формул (86.5)-(86.8) находим, что первые два члена
справа равны \/—g, помноженному на
ОР^ Р* „тк рга тлг kl y\l pra ik
ZL ik1 Irne — L imL klS - L ik1 ime —
	 rrikfcy-pl pra pra p/ p/ pra \ 	 о^г/с/ргар/	р/ рга \
— ё \Zl mkl li — l lml ik ~ l ik1 Im) ~ Zg \l il l km ~ l ik1 lm)'
Окончательно имеем
G = gik{VrnTlkm_vlikVTm)	(933)
Величинами, определяющими гравитационное поле, являют-
являются компоненты метрического тензора. Поэтому в принципе наи-
наименьшего действия для гравитационного поля варьированию
подлежат именно величины g^. Здесь необходимо, однако, сде-
сделать следующую существенную оговорку. Именно, мы не мо-
можем теперь утверждать, что в реально осуществляющемся по-
поле интеграл действия имеет минимум (а не просто экстремум)
1) Если положить к = с2, то масса будет измеряться в сантиметрах, причем
1 см = 1,35 • 1028 г.
Иногда пользуются вместо к величиной
---87гА:=1,86-1О-27смт-\
с2
которую называют эйнштейновой гравитационной постоянной.

§ 93	ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	363
по отношению ко всем возможным вариациям g^. Это связа-
связано с тем, что не всякое изменение g^ соответствует измене-
изменению метрики пространства-времени, т. е. реальному изменению
гравитационного поля. Компоненты g^ меняются уже и при
простом преобразовании координат, связанном лишь с перехо-
переходом от одной системы к другой в одном и том же простран-
пространстве-времени. Каждое такое преобразование координат пред-
представляет собой, вообще говоря, совокупность четырех (по чи-
числу координат) независимых преобразований. Для того чтобы
исключить такие не связанные с изменением метрики измене-
изменения gik, можно наложить на них четыре дополнительных усло-
условия и потребовать выполнения этих условий при варьировании.
Таким образом, в применении к гравитационному полю прин-
принцип наименьшего действия утверждает лишь, что можно на-
наложить на gik такие дополнительные условия, при соблюдении
которых действие имеет минимум по отношению к варьиро-
варьированию gik1)-
Имея в виду эти замечания, покажем теперь, что гравита-
гравитационная постоянная должна быть положительной. В качестве
указанных четырех дополнительных условий потребуем обраще-
обращения в нуль трех компонент goa и постоянства определителя \gap\,
составленного из компонент ga/#:
gOa = 0, \gap\ = const;
в силу последнего из этих условий будем иметь
g
дх°
Нас интересуют здесь те члены в подынтегральном выражении в
действии, которые содержат производные от g^ по х° (ср. с. 101).
Простое вычисление с помощью (93.3) показывает, что такими
членами в G являются
1 00„аЯ
4° ° ° дх° дх°
Легко видеть, что эта величина существенно-отрицательна. Дей-
Действительно, выбирая пространственную систему координат, ко-
которая была бы декартовой в данной точке пространства в данный
) Подчеркнем, однако, что все сказанное не влияет на вывод уравнений
поля из принципа наименьшего действия (§95). Эти уравнения получаются
уже в результате требования экстремума действия (т. е. исчезновения его
первой вариации), а не обязательно минимума. Поэтому при их выводе
можно подвергать варьированию все компоненты gik независимо.

364	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
момент времени (так что ga/# = ga@ = —5^), получим
дх°
и поскольку g00 = 1/goo > 0, то знак этой величины очевиден.
Достаточно быстрым изменением компонент ga/# со временем
х° (в промежутке между двумя пределами интегрирования по
dx®) можно, следовательно, сделать величину —G сколь угодно
большой. Если бы постоянная к была отрицательной, то действие
при этом неограниченно уменьшалось бы (принимая сколь угод-
угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения),
т. е. не могло бы иметь минимума.
§ 94. Тензор энергии-импульса
В § 32 было получено общее правило для вычисления тензора
энергии-импульса любой физической системы, действие которой
представлено в виде интеграла C2.1) по 4-пространству. В кри-
криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в
виде
S= 1 Г A^/^du	(94.1)
(в галилеевых координатах g=—l и S переходит в - f AdVdt).
Интегрирование производится по всему (трехмерному) про-
пространству и по времени между двумя заданными моментами,
т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между
двумя гиперповерхностями.
Как уже было указано в § 32, тензор энергии-импульса, опре-
определенный по формуле C2.5), не является, вообще говоря, сим-
симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его
симметричным, необходимо было прибавить к выражению C2.5)
надлежащим образом подобранный член вида —j^ikh причем
ох
ФгЫ = -Фпк-
Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энер-
энергии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу
приводит к симметричному выражению.
Произведем в (94.1) преобразование от координат хг к коор-
координатам х'г = хг + ?г, где ?г — малые величины. При этом преоб-

§ 94	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА	365
разовании компоненты glk преобразуются, согласно формулам
Тензор gHk является здесь функцией от х'1, а тензор gz/c —функ-
—функцией прежних координат х . Для того чтобы представить все
члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим
gHk(xl + ?г) по степеням ?г. Далее, пренебрегая членами высшего
порядка по ?г, мы можем в членах, содержащих ?г, написать glk
вместо gllk. Таким образом, находим
gfl (x)=gl (х ) — ? ——г- + g* ——г + g -—г.
дх	дх	дх
Легко убедиться путем непосредственной проверки, что по-
последние три члена справа могут быть написаны в виде сум-
суммы ?г;/с + ^к'г контравариантных производных от ?\ Таким об-
образом, находим окончательно преобразование glk в виде
g'ZAC = gZAC + og , og = ? ' + ? ' .	(94.2)
Для ковариантных компонент имеем при этом:
glk = gik + Sgik, Sgik = "?г;^ " ?*;г	(94.3)
(так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости
соблюдалось условие g'uglkl = SfI).
Поскольку действие S есть скаляр, то при преобразовании
координат оно не меняется. С другой стороны, изменение 6S дей-
действия при преобразовании координат можно написать в следую-
следующем виде. Пусть, как и в §32, q обозначают величины, опреде-
определяющие ту физическую систему, к которой относится действие S.
При преобразовании координат величины q меняются на 8q. При
вычислении 6S можно, однако, не писать членов, связанных с
изменениями q. Все эти члены все равно взаимно сокращаются
в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку
эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю
) Отметим, что уравнения
определяют те инфинитезимальные преобразования координат, которые
не меняют данной метрики. В литературе их часто называют уравнения-
уравнениями Киллинга.

366	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
вариации S по величинам q. Поэтому достаточно писать толь-
только члены, связанные с изменением gik. Воспользовавшись, как
обычно, теоремой Гаусса и полагая на границах интегрирова-
интегрирования 6glk = 0, находим 6S в виде1)
Введем теперь обозначение
^тг, = ^-А^.	(94.4)
а-
2v e-»«	%ifc	вя., dgik ,
тогда 6S примет вид2)
SS = l-cJTik8gik^gdn = -l-cJTik8gik^gdn (94.5)
(замечаем, что g%kSgik = ~gikSgtk и потому TlkSgik = -TikSgtk).
Подставляя сюда для Sg выражение (94.2), имеем, воспользо-
воспользовавшись симметрией тензора %к\
Далее преобразуем это выражение следующим образом:
SS = \ J(T?e);kV=gdu - I -T^V4du.	(94.6)
1) Необходимо подчеркнуть, что введенное здесь обозначение производных
по компонентам симметричного тензора gik имеет, в некотором смысле, сим-
символический характер. Именно, производные dF/dgik(F—некоторая функ-
функция от gik) имеют, по существу, смысл лишь как выражающие тот факт,
что dF = (OF/dgik)dgik. Но в сумму (dF/dgik)dgik члены с дифферен-
дифференциалами dgik каждой из компонент с г ф к входят дважды. Поэтому при
дифференцировании конкретного выражения F по какой-либо определенной
компоненте gik с i ф к мы получили бы величину, вдвое большую, чем то,
что мы обозначаем через dF/dgik- Это замечание необходимо иметь в виду,
если придавать определенные значения индексам г, к в формулах, в которые
входят производные по gik.
) В рассматриваемом случае десять величин Sgik не независимы, так как
являются результатом преобразования координат, которых имеется всего
четыре. Поэтому из равенства SS нулю отнюдь не следует, что Tik = О!

§ 94	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА	367
Первый интеграл с помощью (86.9) может быть написан в виде
и преобразован в интеграл по гиперповерхности. Поскольку на
границах интегрирования ?г обращаются в нуль, то этот инте-
интеграл исчезает. Таким образом, приравнивая SS нулю, находим
6S = --
Ввиду произвольности ?г отсюда следует, что
Ткк = 0.	(94.7)
Сравнивая это уравнение с уравнением C2.4) dTik/dxk = 0,
имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор
Г^, определяемый формулой (94.4), должен быть отождествлен
с тензором энергии-импульса, — по крайней мере с точностью
до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице,
легко проверить, производя, например, вычисление по формуле
(94.4) для случая электромагнитного поля, когда
Л = —-FikFik = —-FikFlrngilgkm.
16тг гк	16тг гк 1шЬ 6
Таким образом, формула (94.4) дает возможность вычислить
тензор энергии-импульса путем дифференцирования Л по ком-
компонентам метрического тензора (и их производным). При этом
тензор Tik получается сразу в явно симметричном виде. Форму-
Формула (94.4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не
только в случае наличия гравитационного поля, но и при его от-
отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного
смысла и переход к криволинейным координатам производится
формально как промежуточный этап при вычислении Т{к.
Выражение C3.1) для тензора энергии-импульса электромаг-
электромагнитного поля должно быть написано в криволинейных коорди-
координатах в виде
Tih = ± (-FuFkl + \FlmFlmgik).	(94.8)
Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен
(ср. C5.2)):
(94.9)

368	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Отметим, что компонента Too всегда положительна1):
Too ^ 0	(94.10)
(смешанная же компонента Т$ не имеет, вообще говоря, опреде-
определенного знака).
Задача
Рассмотреть возможные типы приведения к каноническому виду сим-
симметричного тензора второго ранга.
Решение. Приведение симметричного тензора Aik к главным осям
означает нахождение таких «собственных векторов» пг, для которых
Aiknk = Хщ.	A)
Соответствующие главные значения Л получаются как корни уравнения 4-й
степени
\Aik-\gik\ = 0	B)
и являются инвариантами тензора. Как величины Л, так и соответствующие
им собственные векторы могут оказаться комплексными. (Компоненты же
самого тензора Aik предполагаются, разумеется, вещественными.)
Из уравнений A) легко показать обычным путем, что два вектора п\ '
и щ , соответствующие двум различным главным значениям А' ' и А^,
взаимно оргогональны:
п^п^ = 0.	C)
В частности, если уравнение B) имеет комплексно-сопряженные корни Л
и Л*, которым соответствуют комплексно-сопряженные векторы щ и п*, то
должно быть
ТЦП** = 0.	D)
Тензор Aik выражается через свои главные значения и соответствующие
собственные векторы формулой
E)
2_^г
*-^ гцп1
(если только какое-либо из щп1 не равно нулю — см. ниже).
В зависимости от характера корней уравнения B) могут иметь место
следующие три различных случая.
I. Все четыре главных значения Л вещественны. При этом вещественны
также и векторы пг, а поскольку все они взаимно ортогональны, то три
из них должны иметь пространственное, а один — временное направление
х) Действительно, имеем Too = suo + p(uo — goo)- Первый член, очевидно,
положителен. Во втором же члене пишем
о ,	ос goodx0 + goq
Uq = gooU + gOaU =
и после простого преобразования получим goop(dl/dsJ, где dl— элемент
пространственного расстояния (84.6); отсюда видно, что и второй член в
Too положителен. В том же самом легко убедиться и для тензора (94.8).

§ 94	ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА	369
(их можно нормировать соответственно условиями щп = — 1 и п/п = !)•
Выбрав направления осей координат вдоль этих векторов, приведем тензор
к виду
/А<°> 0	0	0 \
F)
Л(о)
0
0
0
0
_Д(!)
0
0
0
0
_ЛB)
0
0
0
0
_Л(з)
П. Уравнение B) имеет два вещественных (А'2', А'3') и два комплекс-
комплексно- сопряженных (A'dzzA") корня. Комплексно-сопряженные векторы n«, n*,
соответствующие двум последним корням, напишем в виде ai±ibi\ поскольку
они определены лишь с точностью до произвольного комплексного множи-
множителя, можно нормировать их условием щпг = п*пг* = 1. Учитывая также
D), найдем для вещественных векторов а^, bi условия:
aid + bib1 = 0, aib1 = 0, aid - bib1 = 1,
откуда aid1 = 1/2, bib1 = —1/2, т. е. один из этих векторов имеет временное, а
другой — пространственное направление 1). Выбрав координатные оси вдоль
векторов аг, Ьг, rr2-**, rr3-**, приведем (согласно E)), тензор к виду
А" О	О
Л" -Д/ °	° I	G\
О	О -А^2) О I '	G)
О О О -АC)>
III. Если квадрат одного из векторов пг равен нулю (щп = 0), то этот
вектор не может быть выбран в качестве направления координатной оси.
Можно, однако, выбрать одну из плоскостей х°ха так, чтобы вектор пг
лежал в ней. Пусть это будет плоскость х°хг. Тогда из щп1 = 0 следует,
что п° = п1 и из уравнений A) имеем
откуда
где fi — неинвариантная величина, меняющаяся при поворотах в плоскости
х°х1] должным поворотом она всегда может быть сделана вещественной.
Выбирая оси ж2, х3 по двум другим (пространственным) векторам п^г,
п^г, приведем тензор к виду
+¦ и
-fj,
0
0
—ц
—А + ji
0
0
0
0
_ДB)
0
0
0
0
_Л(з)
Aik=\ n	n _,B) n .	(8)
Этот случай соответствует равенству двух корней (А^, А^) уравнения B).
Отметим, что для физического тензора энергии-импульса Tik вещества,
движ:ущегося со скоростями, меньшими скорости света, может иметь место
1) Поскольку временное направление должен иметь лишь один из век-
векторов, уравнение B) не может иметь двух пар комплексно-сопряженных
корней.

370	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
лишь первый случай; это связано с тем, что всегда должна существовать
такая система отсчета, в которой поток энергии вещества, т. е. компонен-
компоненты Tq;o, равен нулю. Для тензора же энергии-импульса электромагнитных
волн имеет место третий случай с Л = А^ = А^ = 0 (ср. с. 119); можно по-
показать, что в противном случае существовала бы система отсчета, в которой
поток энергии превышал умноженную на с ее плотность.
§ 95. Уравнения Эйнштейна
Мы можем теперь перейти к выводу уравнений гравитацион-
гравитационного поля. Эти уравнения получаются из принципа наименьшего
действия S(Sm + Sg) = 0, где Sg и SV™ — действия соответственно
для гравитационного поля и материи1). Варьированию подвер-
подвергается теперь гравитационное поле, т.е. величины g^.
Вычислим вариацию SSg. Имеем
I R^<m = s I gik
Подставляя сюда, согласно (86.4),
находим
=f(Rik ~ \
(95.1)
Для вычисления SRik заметим, что хотя величины Тгк1 и не
составляют тензора, но их вариации 5Ггы образуют тензор. Дей-
Действительно, T^Akdx есть изменение вектора при параллельном
переносе (см. (85.5)) из некоторой точки Р в бесконечно близкую
к ней Р'. Поэтому ST^Akdx1 есть разность двух векторов, по-
получающихся соответственно при двух параллельных переносах
(с неварьированными и варьированными Тгк1 ) из точки Р в
одну и ту же точку Р1. Разность же двух векторов в одной
и той же точке является вектором, а потому SYlkl есть тензор.
Воспользуемся локально-геодезической системой координат.
Тогда в данной точке все Г^ = 0. С помощью выражения (92.7)
1) Вариационный принцип для гравитационного поля указан Гильбертом
(D. Hilbert, 1915).

§ 95	УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА	371
для Rik имеем (помня, что первые производные от glk равны
теперь нулю):
где
wl = gik5T\k-gl5Tl.
Поскольку wl есть вектор, то мы можем написать полученное
соотношение в произвольной системе координат в виде
(заменяя dw /дх на w.^ и пользуясь (86.9)). Следовательно, вто-
второй интеграл справа в (95.1) равен
и по теореме Гаусса может быть преобразован в интеграл от wl
по гиперповерхности, охватывающей весь 4-объем. Поскольку на
пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот
член исчезает. Таким образом, вариация 6Sg равна1)
3/»
вод; =	/ I rCjh	gjkK)dg \/—gail.	(yo.z)
6	16тгА; J \	2	/
Заметим, что если бы мы исходили из выражения
для действия поля, то мы получили бы, как легко убедиться,
ik
дх1
Сравнивая это с (95.2), находим следующее соотношение:
1	1 jd(Gy/=g) д 8{Gy/=g)\	,
дх1
х) Отметим здесь следующее любопытное обстоятельство. Если вычислять
вариацию s f R^—gdQ (с Rik из (92.7)), рассматривая Г^ как независимые
переменные, a gik — как постоянные, после чего воспользоваться выражени-
выражениями (86.3) для FJ.J, то мы получили бы, как легко убедиться, тождественно
нуль. Обратно, можно было бы определить связь между Г^ и метрическим
тензором, если потребовать обращения указанной вариации в нуль.

372	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Для вариации действия материи напишем, согласно (94.5),
SSm = ±-cjTikdgikV=gdd,	(95.4)
где Tik — тензор энергии-импульса материи (включая электро-
электромагнитное поле). Гравитационное взаимодействие играет роль
только для тел с достаточно большой массой (благодаря малости
гравитационной постоянной). Поэтому при исследовании грави-
гравитационного поля нам приходится обычно иметь дело с макроско-
макроскопическими телами. Соответственно этому для Г^ надо обычно
писать выражение (94.9).
Таким образом, из принципа наименьшего действия 6Sm +
+ SSg = 0 находим
Rik ~ lgikR ~ ^
откуда ввиду произвольности Sglk
Rik - \gikR = ^Tik,	(95.5)
или в смешанных компонентах
Д? - ~SkR = ^Тгк.	(95.6)
А	С
Это и есть искомые уравнения гравитационного поля — основные
уравнения общей теории относительности. Их называют уравне-
уравнениями Эйнштейна.
Упрощая (95.6) по индексам г и fc, находим
^	(95.7)
(Г = Т%). Поэтому уравнения поля можно написать также в виде
(95.8)
Уравнения Эйнштейна нелинейны. Поэтому для гравитаци-
гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Этот принцип
справедлив лишь приближенно для слабых полей, допускаю-
допускающих линеаризацию уравнений Эйнштейна (к ним относятся, в
частности, гравитационные поля в классическом, ньютоновском
пределе —см. §99).
В пустом пространстве Г^ = 0 и уравнения гравитационного
поля сводятся к уравнениям
Rik = 0.	(95.9)

§ 95	УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА	373
Напомним, что это отнюдь не значит, что пустое простран-
пространство-время является плоским, — для этого требовалось бы вы-
выполнение более сильных условий Rikim — 0.
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля обладает
тем свойством, что Т\ = 0 (см. C3.2)). Ввиду (95.7) отсюда
следует, что при наличии одного только электромагнитного поля
без каких-либо масс скалярная кривизна пространства-времени
равна нулю.
Как мы знаем, дивергенция тензора энергии-импульса равна
нулю:
Т$к = 0.	(95.10)
Поэтому должна быть равна нулю также и дивергенция левой
части уравнения (95.6). Это действительно так в силу тождества
(92.10).
Таким образом, уравнения (95.10) по существу содержатся
в уравнениях поля (95.6). С другой стороны, уравнения (95.10),
выражая собой законы сохранения энергии и импульса, содержат
в себе уравнения движения той физической системы, к которой
относится рассматриваемый тензор энергии-импульса (т. е. урав-
уравнения движения материальных частиц или вторую пару уравне-
уравнений Максвелла).
Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат
в себе также и уравнения для самой материи, которая создает
это поле. Поэтому распределение и движение материи, создаю-
создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы про-
произвольным образом. Напротив, они должны быть определены
(посредством решения уравнений поля при заданных начальных
условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей
полем.
Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситу-
ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного по-
поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в
себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение
непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. По-
Поэтому распределение и движение зарядов могут быть заданы
произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоян-
постоянным. Заданием этого распределения зарядов посредством урав-
уравнений Максвелла определяется создаваемое ими электромагнит-
электромагнитное поле.
Надо, однако, уточнить, что для полного определения рас-
распределения и движения материи в случае гравитационного поля
к уравнениям Эйнштейна надо присоединить еще (не содержа-

374	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
щееся, конечно, в них) уравнение состояния вещества, т. е. урав-
уравнение, связывающее между собой давление и плотность. Это
уравнение должно быть задано наряду с уравнениями поля1).
Четыре координаты хг могут быть подвергнуты произвольно-
произвольному преобразованию. Посредством этого преобразования можно
произвольным образом выбрать четыре из десяти компонент
тензора g^. Поэтому независимыми неизвестными функциями
являются только шесть из величин g^. Далее, четыре компонен-
компоненты входящей в тензор энергии-импульса материи 4-скорости иг
связаны друг с другом соотношением щиг = 1, так что незави-
независимыми являются только три из них. Таким образом, мы имеем,
как и следовало, десять уравнений поля (95.5) для десяти неиз-
неизвестных величин: шести из компонент g^, трех из компонент иг
и плотности материи s/c2 (или ее давления р). Для гравитацион-
гравитационного поля в пустоте остается всего шесть неизвестных величин
(компонент gik) и соответственно понижается число независимых
уравнений поля: десять уравнений R^ = 0 связаны четырьмя
тождествами (92.10).
Отметим некоторые особенности структуры уравнений Эйн-
Эйнштейна. Они представляют собой систему дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка. Однако в
уравнения входят вторые производные по времени не от всех
10 компонент g^. Действительно, из (92.1) видно, что вторые
производные по времени содержатся только в компонентах RoaO/3
тензора кривизны, куда они входят в виде члена — ga^/2 (точкой
обозначаем дифференцирование по ж0); вторые же производные
от компонент goa и goo метрического тензора вообще отсутству-
отсутствуют. Ясно поэтому, что и получающийся путем упрощения из
тензора кривизны тензор i?^, а с ним и уравнения (95.5) тоже
содержат вторые производные по времени лишь от шести про-
пространственных компонент gap.
Легко также видеть, что эти производные входят лишь в
а-уравнения (95.6), т.е. в уравнения
?.	(95.11)
) Уравнение состояния связывает между собой в действительности не
две, а три термодинамические величины, например давление, плотность
и температуру вещества. В применениях в теории тяготения это обстоя-
обстоятельство, однако, обычно несущественно, так как используемые здесь при-
приближенные уравнения состояния фактически не зависят от температуры
(таковы, например, уравнения р = 0 для разреженного вещества, ультраре-
ультрарелятивистское уравнение р = г/3 для сильно сжатого вещества и т. п.).

§ 95	УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА	375
Уравнения же q и ^, т. е. уравнения
до_1д=^ Д° = ^2* (95.12)
содержат производные по времени лишь первого порядка. В
этом можно убедиться, проверив, что при образовании путем
свертывания Щыш величин R^ и Дд	R = - (Д§ — R%) компо-
компоненты вида RoaO/З действительно выпадают. Еще проще увидеть
это из тождества (92.10) записав его в виде
(г = 0,1,2,3). Старшие производные по времени, входящие в
правую часть этого равенства, — вторые производные (фигури-
(фигурирующие в самих величинах i?f, R). Поскольку (95.13)— тожде-
тождество, то и его левая часть должна, следовательно, содержать
производные по времени не выше второго порядка. Но одно
дифференцирование по времени фигурирует уже в нем явным
образом; поэтому сами выражения R® — (8fR)/2 могут содержать
производные по времени не выше первого порядка.
Более того, левые части уравнений (95.12) не содержат также
и первых производных goa и goo (а лишь производные gap)- Дей-
Действительно, из всех Г^/с/ эти производные содержат только Га5оо
и Го,оо> а эти величины в свою очередь входят только в компо-
компоненты тензора кривизны вида Roaoi3i которые, как мы уже знаем,
выпадают при образовании левых частей уравнений (95.12).
Если интересоваться решением уравнений Эйнштейна при
заданных начальных (по времени) условиях, то возникает вопрос
о том, для скольких величин могут быть произвольно заданы
начальные пространственные распределения.
Начальные условия для уравнений второго порядка долж-
должны включать начальные распределения как самих дифференциру-
дифференцируемых величин, так и их первых производных по времени. Однако
поскольку в данном случае уравнения содержат вторые произ-
производные лишь от шести ga/#, то в начальных условиях не могут быть
произвольно заданы все g^ и g^. Так, можно задать (наряду со
скоростью и плотностью материи) начальные значения функ-
функций gap и ga?, после чего из 4 уравнений (95.12) определятся до-
допустимые начальные значения goa и goo; в уравнениях же (95.11)
останутся еще произвольными начальные значения goa и goo-
В число задаваемых таким образом начальных условий вхо-
входят, однако, также и функции, произвольность которых связана
просто с произволом в выборе 4-системы координат. Между тем

376	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
реальным физическим смыслом обладает лишь число «физиче-
«физически различных» произвольных функций, которое уже не может
быть уменьшено никаким выбором системы отсчета. Из физиче-
физических соображений легко видеть, что это число равно 8: началь-
начальные условия должны задавать распределение плотности материи
и трех компонент ее скорости, а также еще четырех величин,
характеризующих свободное (не связанное с материей) гравита-
гравитационное поле (см. ниже §107); для свободного гравитационного
поля в пустоте начальными условиями должны задаваться лишь
последние четыре величины.
Задача
Написать уравнения постоянного гравитационного поля, выразив все
операции дифференцирования по пространственным координатам в виде
ковариантных производных в пространстве с метрикой 7ск/з (84.7).
Решение. Вводим обозначения goo = h, goa = —hga (88.11) и трех-
трехмерную скорость va (88.10). Ниже все операции поднимания и опускания
индексов и ковариантного дифференцирования производятся в трехмерном
пространстве с метрикой ja/3 над трехмерными векторами ga, va и трехмер-
трехмерным скаляром h.
Искомые уравнения должны быть инвариантны по отношению к преоб-
преобразованию
ха^ха, х° ^x° + f(xa),	A)
не меняющему стационарности поля. Но при таком преобразовании, как
легко убедиться (см. примеч. на с. 335), ga —>- ga — df/dxa, а скаляр h
и тензор 7ск/з = — gap + hgagp не меняются. Ясно поэтому, что искомые
уравнения, будучи выражены через jap, h и ga, могут содержать ga лишь в
виде комбинации производных, составляющих трехмерный антисимметрич-
антисимметричный тензор:
f	dgP dga	(o\
инвариантный относительно указанного преобразования. Учитывая это об-
обстоятельство, можно существенно упростить вычисления, полагая (после
вычисления всех входящих в Rik производных) ga = 0 и ga.p + gp. a = 0 1).
Символы Кристоффеля:
ГО	-L а. 1	т^а.	-L т ; а.
00 = ~g ^;а, 1оО = -П 5
А	А
т^О	1т	, "- /3 г |	т^с*	h r a I i;a
J-оЮ = — rl-a + ~g Jot? + -.., 1 0/3 = -7/3 ~ ~gph ,
An	A	A	A
) Во избеж:ание недоразумений подчеркнем, что изложенный упрощенный
способ проведения вычислений, давая правильные уравнения поля, был бы
непригоден для вычисления любых компонент Rik самих по себе, поскольку
они не инвариантны относительно преобразования A). В уравнениях C)-E)
слева указаны те компоненты тензора Риччи, которым в действительности
равны написанные выражения. Эти компоненты инвариантны по отноше-
отношению к преобразованию A).

96	ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	377
Г)з7 = А^7 - -(gpf-ya + g-yfpa) + • • •
Опущенные здесь члены (вместо которых стоят многоточия) квадратич-
квадратичны по компонентам вектора ga] эти члены заведомо пропадут, когда мы
положим ga = 0 после проведения дифференцирований в Rik (92.7). При
вычислениях использованы формулы (84.9), (84.12), (84.13); А^7— трехмер-
трехмерные символы Кристоффеля, построенные по метрике уар- Тензор Т^ вычис-
вычисляется по формуле (94.9) с иг из (88.14) (причем тоже полагаем ga = 0).
В результате вычислений из (95.8) получаются следующие уравнения:
Mhf faP S7rk
4(YTi
с \1 — v /с
^2)	2 7 J"
E)
Здесь Ра/3 — трехмерный тензор, построенный из jap так, как Rlk строится
1
из
§ 96. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного
поля
При отсутствии гравитационного поля закон сохранения
энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным по-
полем) выражается уравнением
= 0.
дхк
Обобщением этого уравнения на случай наличия гравитационно-
гравитационного поля является уравнение (94.7)
„* _ 1 d(T?y/=g) idgklrrki_n	,ОЙ1.
dxk 2
1) Аналогичным образом уравнения Эйнштейна могут быть написаны и в
общем случае зависящей от времени метрики. Наряду с пространственными
производными в них будут входить также и производные по времени от
величин 7а/з, ga, h. См. А. Л. Зельманов// ДАН СССР. 1956. Т. 107. С. 815.

378	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
В таком виде, однако, это уравнение, вообще говоря, не вы-
выражает закона сохранения чего бы то ни было1). Это обсто-
обстоятельство связано с тем, что в гравитационном поле должен
сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс ма-
материи вместе с гравитационным полем; последний же не учтен в
выражении для Тк.
Для определения сохраняющегося полного 4-импульса
гравитационного поля вместе с находящейся в нем материей мы
поступим следующим образом [Л. Д. Ландау, Е.М.Лифшиц,
1947J). Выберем систему координат так, чтобы в некоторой
заданной точке пространства-времени все первые производные
от gik по координатам обратились в нуль (сами же g^ при этом
не должны обязательно иметь галилеевы значения). Тогда в
этой точке второй член в уравнении (96.1) обратится в нуль, а в
первом можно вынести ^/—g из-под знака производной, так что
остается
— Тк = О
дхк г
или в контравариантных компонентах
-®-Tik = 0.
дхк
Величины Тгк, тождественно удовлетворяющие этому уравне-
уравнению, могут быть написаны в виде
~ дх1 v '
где if —величины, антисимметричные по индексам к, I:
rfkl = -rflk.
х) Действительно, интеграл f Tk^—gdS сохраняется лишь при выполне-
выполнении условия —-—^—— = 0, а не (96.1). В этом легко убедиться, произведя
ох
в криволинейных координатах те же вычисления, которые были проделаны
в § 29 в галилеевых координатах. Достаточно, впрочем, просто заметить,
что эти вычисления имеют чисто формальный характер, не связанный с
тензорными свойствами соответствующих величин, как и доказательство
теоремы Гаусса, имеющей в криволинейных координатах тот же вид (83.17),
что и в декартовых.
) Может возникнуть мысль применить к гравитационному полю формулу
(94.4), подставив в нее Л = — c4G/A6тгк). Подчеркнем, однако, что эта
формула относится только к физическим системам, описывающимся вели-
величинами q, отличными от g^; поэтому она неприменима к гравитационному
полю, определяющемуся самими величинами g^. Заметим кстати, что при
подстановке в (94.4) G вместо Л мы получили бы просто нуль, как это
непосредственно видно из соотношения (95.3) и уравнений поля в пустоте.

§ 96	ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	379
Нетрудно фактически привести Тгк к такому виду. Для этого
исходим из уравнений поля:
Тгк = ^(Rik _ I ikR\
8ттк\	2 6 )'
а для Rlk имеем согласно (92.1):
Ык _ 1 im kp In [ d2giP , d2gmn _ d2gin _ d2gmP
2ё ё ё I ажтажп аж^жр дхтдхр дх1дхп
(напоминаем, что в рассматриваемой точке все Тг1к = 0). После
простых преобразований тензор Т может быть приведен к виду
Im	И
g
Стоящее в фигурных скобках выражение антисимметрично
по индексам fc, / и есть то, что мы обозначили выше как rfkl.
Поскольку первые производные от g^ в рассматриваемой точке
равны нулю, то множитель 1/(—g) можно вынести из-под знака
производной д/дх1. Введем обозначения
hikl = ^Аш™,	(96.2)
величины hlkl антисимметричны по индексам к, I:
hikl = _hilk^
Тогда можно написать
dhikl
дх1 "v
Это соотнопсение, выведенное в предположении dgi^/dx =
= 0, перестает иметь место при переходе к произвольной системе
координат. В общем случае разность dhlkl/дх1 — {—g)Tlk отлич-
отлична от нуля; обозначим ее через {—g)tlk. Тогда будем иметь по
определению:
' +tik) = 9S--	(96-5)
Величины t%k симметричны по индексам г, к:
tik = tki.	(96.6)

380	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Это видно непосредственно из их определения, поскольку как
тензор Тгк, так и производные dhlkl /дх1 являются симметрич-
симметричными величинами. Выражая Т через R согласно уравнени-
уравнениям Эйнштейна, получим соотношение
}?• (96-7>
из которого можно найти после довольно длинного вычисления
следующее выражение для tlk\
^	11 11
±хк __	Г/р-ртг -рр _ -рп тлр _ тлп тлр \/г1 km _ г/с /га\,
16 к	1Ш пр	Ipmn	Inmp/Ko ь	ь ь /~г
I И тп(тлк тлр | р/с рР р/с рР	р/с рр \,
+ ^ ^ I1 /p1 mn + Х тп1 /р "" -1 пр1 /т "" l lml np)^~
-U crk^ crrriri (Y^^ Y^P -U T^* T^^ 	Т^* Т^^ 	Т^* Т^^ \ |
+ glmgnp{T\nTkmp-T\mTknp)}, (96.8)
или, непосредственно через производные от компонент метриче-
метрического тензора:
	 с f~ik Am	Al „km , ljfe_ An „pm
- gPggnr)9nr,i9Pq,m}, (96.9)
где Qlk = ^—gglk, а индекс «,г» означает простое дифференци-
дифференцирование по хг.
Существенным свойством величин tlk является то, что они не
составляют тензора; это видно уже из того, что в dhlkl/дх1 стоят
простые, а не ковариантные производные. Однако tlk выража-
выражаются через величины Тгк1, а последние ведут себя как тензор по
отношению к линейным преобразованиям координат (см. §85);
то же самое относится, следовательно, и к tlk.
Из определения (96.5) следует, что для суммы Тгк + tlk тож-
тождественно выполняются уравнения
+ fk) = 0.	(96.10)
UJU
Это значит, что имеет место закон сохранения величин
Р{ = \ J(-g)(Tik + tik) dSk.	(96.11)

§ 96	ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	381
При отсутствии гравитационного поля в галилеевых коорди-
координатах tlk = О, и написанный интеграл переходит в - J TlkdSk, T- е-
в 4-импульс материи. Поэтому величины (96.11) должны быть
отождествлены с полным 4-импульсом материи вместе с грави-
гравитационным полем. Совокупность величин tlk называют псевдо-
псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.
Интегрирование в (96.11) может производиться по любой бес-
бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное
пространство. Если выбрать в качестве нее гиперповерхность
х° = const, то Рг можно написать в виде трехмерного простран-
пространственного интеграла:
Pi = I f(-g)(Ti0 + ti0) dV.	(96.12)
Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается
в виде интегралов от симметричных по индексам г, к величин
(—g)(Tlk + tlk), весьма существен. Он означает, что сохраняется
4-момент импульса, определяемый как (см. § 32)х)
Mik
ik = Г(хЧРк - xkdPi) =
= -с f[x\Tkl + tkl) - xk(Til + til)](-g) dSi. (96.13)
Таким образом, и в общей теории относительности у замкну-
замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент
импульса и, кроме того, по-прежнему может быть дано опре-
определение центра инерции, совершающего равномерное движение.
Последнее связано с сохранением компонент МОа (ср. §14), вы-
выражающимся уравнением
х° Г(Та0 + ta0)(-g) dV - Гха(Т°° + too)(-g) dV = const,
x) Необходимо отметить, что полученное нами выражение для 4-импульса
материи и поля отнюдь не является единственно возможным. Напротив,
можно бесчисленными способами (см., например, задачу к этому параграфу)
подобрать такие выражения, которые бы в отсутствие поля переходили в
Тгк, а при интегрировании по dSk давали бы сохраняющиеся величины.
Однако сделанный нами выбор — единственный, при котором псевдотензор
энергии-импульса поля содержит лишь первые (но не более высокие) про-
производные от gik (условие, представляющееся вполне естественным с физи-
физической точки зрения) и при этом симметричен, так что дает возможность
сформулировать закон сохранения момента.

382	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
так что координаты центра инерции даются формулой
Х - f(T^ + n(g)dv ¦	(96Л4)
Выбирая систему координат, инерциальную в данном эле-
элементе объема, можно обратить все tlk в любой точке простран-
пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль
все Тъы). С другой стороны, можно получить отличные от нуля
t в плоском пространстве, т. е. при отсутствии гравитационного
поля, если просто воспользоваться криволинейными координата-
координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет
смысла говорить об определенной локализации энергии гравита-
гравитационного поля в пространстве. Если тензор Г^ = 0 в некоторой
мировой точке, то это имеет место в любой системе отсчета, так
что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электро-
электромагнитного поля. Напротив, из равенства нулю псевдотензора в
некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того
же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смыс-
смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в
данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим
выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле
в данном элементе объема, причем, согласно сказанному выше,
одновременно исчезает и псевдотензор tlk в этом элементе.
Величины же Рг — 4-импульс поля и материи — имеют вполне
определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора си-
систем отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на
основании физических соображений.
Выделим область пространства, включающую в себя все рас-
рассматриваемые массы. В четырехмерном пространстве-времени
эта область с течением времени прорезывает «канал». Вне этого
«канала» поле убывает, так что 4-пространство асимптотиче-
асимптотически приближается к плоскому. В связи с этим при вычислении
энергии и импульса поля надо выбрать четырехмерную систему
координат таким образом, чтобы по мере удаления от канала она
переходила в галилееву систему и все tlk исчезали.
Этим требованием система отсчета, конечно, отнюдь не опре-
определяется однозначно, — внутри канала она может быть выбрана
произвольно. В полном согласии с физическим смыслом вели-
величин Рг они оказываются, однако, совершенно не зависящими
от выбора системы координат внутри «канала». Действительно,
рассмотрим две системы координат, различные внутри «канала»,
но переходящие вдали от него в одну и ту же галилееву систему,
и сравним значения 4-импульса Рг и Р1г в этих двух системах
в определенные моменты «времени» ж0 и ж'0. Введем третью

§ 96	ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	383
систему координат, совпадающую внутри «канала» в момент ж0 с
первой системой, в момент ж'0 — со второй, а вдали от «канала»—
с той же галилеевой. В силу закона сохранения энергии и им-
импульса величины Рг постоянны (dPl/dx® = 0). Это имеет место в
третьей системе координат, как и в первых двух. Отсюда следует
рг _ рн^ что и Требовалось доказать.
Выше было отмечено, что величины tlk являются тензором
по отношению к линейным преобразованиям координат. Поэтому
величины Рг образуют 4-вектор по отношению к таким пре-
преобразованиям, в частности по отношению к преобразованиям
Лоренца, переводящим на бесконечности одну галилееву систему
отсчета в другую1).
4-импульс Рг может быть выражен также в виде интеграла
по удаленной трехмерной поверхности, охватывающей «все про-
пространство». Подставив (96.5) в (96.11), находим
эг = I [
с J
дх
dSk.
Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по обычной
поверхности с помощью F.17):
Pi = 1- ф hikldftj.	(96.15)
Если в качестве области интегрирования в (96.11) выбирается
гиперповерхность ж0 = const, то в (96.15) поверхность интегри-
интегрирования оказывается чисто пространственной поверхностью2):
Pi = i IhiOadfa.	(96.16)
1)	Строго говоря, при определении (96.11) Рг есть 4-вектор лишь по от-
отношению к линейным преобразованиям с равным единице определителем;
сюда относятся и преобразования Лоренца, которые только и представляют
физический интерес. Если допускать также и преобразования с не равным
единице определителем, то в определение Рг надо ввести значение g на
бесконечности, написав в левой части (96.11) у/—goo Рг вместо Рг.
2)	df^i есть «нормальный» элемент поверхности, связанный с «тангенци-
«тангенциальным» элементом dftk посредством F.11): df*k = -eikimdflm. На поверхно-
поверхности, охватывающей гиперповерхность, перпендикулярную к оси х°, отличны
от нуля только компоненты dflm с /, т = 1, 2, 3, и следовательно, df*k имеет
только компоненты с одним из г или к, равным нулю. Компоненты df^
являются не чем иным, как компонентами трехмерного элемента обычной
поверхности, который мы обозначаем через dfa.

384	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
Заметим, что, как будет показано в § 105, величины /ггОа
убывают в стационарном случае на больших расстояниях от тел
по закону 1/г2, так что интеграл (96.16) остается конечным при
удалении поверхности интегрирования на бесконечность.
Для вывода аналогичной формулы для момента импульса
подставим (96.5) в (96.13) и представим hlkl в виде (96.2). Про-
Проинтегрировав затем «по частям», найдем
2cf \ дх"	дх" Г"т
\ I («^ 4^) dS
/ & (\ klin \Hkn
Из определения величин \гЫгп легко видеть, что
\ilkn \klin 	 \ilnk
л — л — л
Поэтому оставшийся интеграл по dSi равен
~cj ~^rdSl-Ycfx dfln-
Наконец, снова выбирая чисто пространственную поверхность
интегрирования, получим окончательно:
Mik = - 1(х{ккОа - xkhiOa + XiOak) dfa.	(96.17)
Задача
Получить выражение для полного 4-импульса материи и гравитацион-
гравитационного поля, воспользовавшись формулой C2.5).
Решение. В криволинейных координатах имеем вместо C2.1)
S= I A^/=gdVdt
и потому для получения сохраняющейся величины надо писать в C2.5)
/—g вместо Л, так что 4-импульс имеет вид
р * f\ Л .r-z* , \^д<1 д(л/^Л) 1

§ 97	СИНХРОННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА	385
При применении этой формулы к материи, для которой величины q^ ' от-
отличны от gik, можно вынести y/—g из-под знака производной, и подынте-
подынтегральное выражение оказывается равным y/—gT^, где Т*—тензор энер-
энергии-импульса материи. При применении же написанной формулы к грави-
4
тационному полю надо положить Л =	G, а величинами q"> являются
16тг&
компоненты gik метрического тензора. Полный 4-импульс поля и материи
равен, следовательно,
Воспользовавшись выражением (93.3) для G, можно преобразовать эту фор-
формулу к виду
Второй член в фигурных скобках определяет 4-импульс гравитационного
поля при отсутствии материи. Подынтегральное выражение не симметрично
по индексам г, к и потому не дает возможности сформулировать закон
сохранения момента импульса.
§ 97. Синхронная система отсчета
Как мы знаем из § 84, условие, допускающее синхронизацию
хода часов в различных точках пространства, заключается в ра-
равенстве нулю компонент goa метрического тензора. Если, кроме
того, goo = 1, то временная координата х° = t представляет со-
собой собственное время в каждой точке пространства1). Систему
отсчета, удовлетворяющую условиям
goo = 1, goa = 0,	(97.1)
назовем синхронной. Элемент интервала в такой системе дается
выражением
ds2 = dt2 - ja/3dxadxP,	(97.2)
причем компоненты тензора пространственной метрики совпа-
совпадают (с точностью до знака) с компонентами ga/#:
7a/3 = -gap-	(97.3)
В синхронной системе отсчета линии времени являются гео-
геодезическими линиями в 4-пространстве. Действительно, 4-век-
тор и1 = dxl/ds касательной к мировой линии ж1, ж2, ж3 =
= const имеет составляющие иа = 0, и0 = 1 и автоматически
1) В этом параграфе полагаем с = 1.
13 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

386	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
удовлетворяет геодезическим уравнениям
поскольку при условиях (97.1) символы Кристоффеля Fq0, Г[]о
равны нулю тождественно.
Легко также видеть, что эти линии нормальны к гиперпо-
гиперповерхностям t = const. Действительно, 4-вектор нормали к такой
гиперповерхности щ = dt/dx1 имеет ковариантные составляю-
составляющие па = 0, по = 1. Соответствующие контравариантные ком-
компоненты при условиях (97.1) тоже равны па = 0, п° = 1, т.е.
совпадают с компонентами 4-вектора и1 касательных к линиям
времени.
Обратно, этими свойствами можно воспользоваться для
геометрического построения синхронной системы отсчета в
любом пространстве-времени. Для этого выбираем в качестве
исходной какую-либо пространственноподобную гиперповерх-
гиперповерхность, т. е. гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее
точке имеет временное направление (лежит внутри светового
конуса с вершиной в этой же точке); все элементы интервала на
такой гиперповерхности пространственноподобны. Затем строим
семейство нормальных к этой гиперповерхности геодезических
линий. Если теперь выбрать эти линии в качестве координатных
линий времени, причем определить временную координату t
как длину s геодезической линии, отсчитываемую от исходной
гиперповерхности, мы получим синхронную систему отсчета.
Ясно, что такое построение, а тем самым и выбор синхронной
системы отсчета в принципе возможны всегда. Более того, этот
выбор еще и не однозначен. Метрика вида (97.2) допускает любые
преобразования пространственных координат, не затрагивающие
времени, и, кроме того, преобразование, соответствующее произ-
произволу в выборе исходной гиперповерхности в указанном геомет-
геометрическом построении.
Аналитически преобразование к синхронной системе отсчета
можно в принципе произвести при помощи уравнения Гамиль-
тона-Якоби. Основание этого способа состоит в том, что тра-
траектории частицы в гравитационном поле как раз и являются
геодезическими линиями.
Уравнение Гамильтона-Якоби для частицы (массу которой
положим равной единице) в гравитационном поле есть
ik dr dr
(мы обозначили здесь действие буквой т). Его полный интеграл

§ 97	СИНХРОННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА	387
имеет вид
T = f(Sa,xi) + A(?*),	(97.5)
где / — функция четырех координат хг и трех параметров ?а;
четвертую постоянную А рассматриваем как произвольную
функцию трех ?а. При таком представлении т уравнения
траектории частицы можно получить приравниванием про-
производных дт/д?а нулю, т. е.
^ = -М.	(97.6)
Для каждых заданных значений параметров ?а правые части
уравнений (97.6) имеют определенные постоянные значения и
определяемая этими уравнениями мировая линия является од-
одной из возможных траекторий частицы. Выбрав постоянные
вдоль траекторий величины ?а в качестве новых пространствен-
пространственных координат, а величину т — в качестве новой временной ко-
координаты, мы и получим синхронную систему отсчета, причем
уравнениями (97.5), (97.6) определится искомое преобразование
от старых координат к новым. Действительно, геодезичность
линий времени при таком преобразовании обеспечивается авто-
автоматически, причем эти линии будут нормальны к гиперповерхно-
гиперповерхностям т = const. Последнее очевидно из механической аналогии:
4-вектор нормали к гиперповерхности —дт/дхг совпадает в меха-
механике с 4-импульсом частицы и потому совпадает по направлению
с ее 4-скоростью и1, т.е. с 4-вектором касательной к траекто-
траектории. Наконец, выполнение условия goo = 1 очевидно из того,
что производная —dr/ds действия вдоль траектории есть масса
частицы, которую мы приняли равной 1; поэтому \dr/ds\ = 1.
Напишем уравнения Эйнштейна в синхронной системе от-
отсчета, отделив в них операции пространственных и временного
дифференцирований.
Введем обозначение
** = ^	(97-7)
для производных по времени от трехмерного метрического тен-
тензора; эти величины сами составляют трехмерный тензор. Все
операции перемещения индексов у трехмерного тензора ха/# и его
ковариантные дифференцирования производятся в дальнейшем
в трехмерном пространстве с метрикой 7а/?1) • Отметим, что
1)Но это не относится, конечно, к операциям перемещения индексов у
пространственных компонент 4-тензоров ifo., T^ (ср. примеч. на с. 339).
Так, Т? надо понимать по-прежнему как g/3jTia + g^°Toaj что сводится в
данном случае к g^^T^a и отличается знаком от
13*

388	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
сумма xf^ есть логарифмическая производная определителя у =
= Ыр\ = -g-
^ |	(97.8)
Для символов Кристоффеля находим выражения
¦рО 	 тла. 	 -рО 	 с\
1 00 — L 00 — L 0a — и>
ГО	„^	"р^*	„^ "р^ л^
а/3 = 2 а/3' °^ = 2 #' ^ = &V
где Л2 — трехмерные символы Кристоффеля, образованные из
тензора 7а/3- Вычисление по формуле (92.7) приводит к следую-
следующим выражениям для компонент R
= ~\di*« ~ \K«K^ R°a = \^Р ~ ^<*^
+
Здесь Рад — трехмерный тензор Риччи, построенный из 7а/3 так
же, как Uik строится из g^; поднятие его индексов производится
ниже тоже с помощью трехмерной метрики 7а/3-
Уравнения Эйнштейна напишем в смешанных компонентах:
=87гЧ
т°° - \т)' (97Л1)
(97ЛЗ)
Характерным свойством синхронных систем отсчета являет-
является их нестационарность: в такой системе гравитационное поле не
может быть постоянным. Действительно, в постоянном поле бы-
было бы к^ = 0. Между тем при наличии материи обращение всех
Kaj3 в нуль во всяком случае противоречило бы уравнению (97.11)
(с отличной от нуля правой частью). В пустом же пространстве
мы нашли бы из (97.13), что все Ра/з, а тем самым и все компонен-
компоненты трехмерного тензора кривизны Pa/3jS обращаются в нуль, т. е.
поле вообще отсутствует (в синхронной системе при евклидовой
пространственной метрике пространство-время плоское).
В то же время заполняющая пространство материя не может,
вообще говоря, покоиться относительно синхронной системы от-
отсчета. Это очевидно из того, что частицы материи, в которой
действуют силы давления, движутся, вообще говоря, не по гео-
геодезическим мировым линиям; мировая же линия покоящейся

§ 97	СИНХРОННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА	389
частицы есть линия времени и в синхронной системе является
геодезической. Исключение представляет случай «пылевидной»
материи (р = 0). Не взаимодействуя друг с другом, ее части-
частицы движутся по геодезически мировым линиям; в этом случае,
следовательно, условие синхронности системы отсчета не проти-
противоречит условию ее сопутствия материи1). Для других уравне-
уравнений состояния аналогичная ситуация может иметь место лишь в
частных случаях, когда во всех или в некоторых направлениях
отсутствует градиент давления.
Из уравнения (97.11) можно показать, что определитель
—g = 'у метрического тензора в синхронной системе отсчета
непременно должен обратиться в нуль за конечное время.
Для этого заметим, что выражение в правой части этого
уравнения при любом распределении материи положительно.
Действительно, в синхронной системе отсчета для тензора энер-
энергии-импульса (94.9) имеем
(компоненты 4-скорости — из (88.14)); положительность этой ве-
величины очевидна. То же самое справедливо и для тензора энер-
энергии-импульса электромагнитного поля (Г = 0, Г^ — положитель-
положительная плотность энергии поля!. Таким образом, имеем из (97.11):
-Ro = \i< + \^i^Q	(97-14)
(знак равенства достигается в пустом пространстве).
В силу алгебраического неравенства2)
можно переписать (97.14) в виде
) Но и в этом случае для возможности выбора «синхронно-сопутствую-
«синхронно-сопутствующей» системы отсчета необходимо еще, чтобы материя двигалась «без вра-
вращения». В сопутствующей системе контравариантные компоненты 4-ско-
4-скорости и0 = 1, иа = 0. Если система отсчета также и синхронна, то и
ковариантные компоненты uq = 1, иа = 0, а потому ее 4-ротор
дщ дик п
u,,k-uk.,i = ^- — =0.
Но это тензорное равенство должно быть тогда справедливым и в любой
другой системе отсчета. Так, в синхронной, но не сопутствующей системе
получим отсюда условие rotv = 0 для трехмерной скорости v.
2)В его справедливости легко убедиться, приведя тензор х^ (в любой
заданный момент времени) к диагональному виду.

390	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
ИЛИ
i-k * i	(97-15)
Пусть, например, в некоторый момент времени к^ > 0. Тогда
при уменьшении t величина 1/и% убывает, имея всегда конечную
(не равную нулю) производную, и потому должна обратиться в
нуль (с положительной стороны) в течение конечного времени.
Другими словами, к^ обращается в +ос, а поскольку к^ =
= dlwy/dt, то это значит, что определитель 7 обращается в нуль
(причем, согласно неравенству (97.15), не быстрее чем ?6). Если
же в начальный момент к^ < 0, то же самое получится для
возрастающего времени.
Этот результат, однако, отнюдь не доказывает неизбежности
существования истинной, физической особенности в метрике.
Физической особенностью является лишь такая, которая свой-
свойственна пространству-времени как таковому и не связана с ха-
характером выбранной системы отсчета (такая особенность долж-
должна характеризоваться обращением в бесконечность скалярных
величин — плотности материи, инвариантов тензора кривизны).
Особенность же в синхронной системе отсчета, неизбежность ко-
которой мы доказали, в общем случае в действительности является
фиктивной, исчезающей при переходе к другой (не синхронной)
системе отсчета. Ее происхождение ясно из простых геометриче-
геометрических соображений.
Мы видели выше, что построение синхронной системы сво-
сводится к построению семейства геодезических линий, ортогональ-
ортогональных к какой-либо пространственноподобной гиперповерхности.
Но геодезические линии произвольного семейства, вообще гово-
говоря, пересекаются друг с другом на некоторых огибающих гипер-
гиперповерхностях — четырехмерных аналогах каустических поверх-
поверхностей геометрической оптики. Пересечение же координатных
линий дает, разумеется, особенность в метрике в данной коор-
координатной системе. Таким образом, имеется геометрическая при-
причина для появления особенности, связанной со специфическими
свойствами синхронной системы и потому не имеющей физиче-
физического характера. Произвольная метрика 4-пространства допус-
допускает, вообще говоря, существование также и непересекающихся
семейств времениподобных геодезических линий. Неизбежность
же обращения в нуль определителя 7 B синхронной системе
означает, что допускаемые уравнениями поля свойства кривиз-
кривизны реального (не плоского) пространства-времени (выражаемые
неравенством Rq ^ 0) исключают возможность существования

§ 97	СИНХРОННАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА	391
таких семейств, так что линии времени во всякой синхронной
системе отсчета непременно пересекаются друг с другом1).
Мы упоминали выше о том, что для пылевидной материи
синхронная система отсчета может быть в то же время и со-
сопутствующей. В таком случае плотность материи обратится на
каустике в бесконечность, — просто как результат пересечения
мировых траекторий частиц, совпадающих с линиями времени.
Ясно, однако, что эта особенность плотности устранится уже
введением сколь угодно малого, но отличного от нуля давления
материи и в этом смысле тоже не имеет физического характера.
Задачи
1. Найти вид разложения решения уравнений гравитационного поля в
пустоте вблизи не особой, регулярной точки по времени.
Решение. Выбрав условно рассматриваемую временную точку в ка-
качестве начала отсчета времени, будем искать jap в виде
Jap = CLotp + tbaj3 + t Cap + . . . ,	A)
где aap, bap, cap — функции пространственных координат. В том же прибли-
приближении обратный тензор:
где аа^ — тензор, обратный аар, а поднятие индексов у остальных тензоров
производится с помощью аа . Далее имеем
Хар = Ъар + 2tcap, >ci = hi+ tBci - ЪаУ1).
Уравнения Эйнштейна (97.11)-(97.13) приводят к следующим соотношениям:
Л8 = -с + i bgb| = 0,	B)
4
Д° = \Кр - ь,а) + t[-c,a + ^(ь^);« + ?.р +1 bib;0 - ±(Ь1ъ%),р\ = о,
C)
-ci=O	D)
(Ь = Ь^, с = с^). Здесь операции ковариантного дифференцирования про-
1) Аналитическое построение метрики вблизи фиктивной особенности в
синхронной системе отсчета см. Е. М. Лифшиц, В. В. Судаков, И. М. Халат-
Халатников/I ЖЭТФ. 1961. Т. 40. С. 1847. Общий характер этой метрики ясен
из геометрических соображений. Поскольку каустическая гиперповерхность
во всяком случае заключает в себе времениподобные интервалы (элементы
длины геодезических линий времени в точках их касания с каустикой), она
не является пространственноподобной. Далее, на каустике обращается в
нуль одно из главных значений метрического тензора уар соответственно
тому, что обращается в нуль расстояние (E) между двумя соседними геоде-
геодезическими линиями, пересекающимися друг с другом в точке их касания с
каустикой. Обращение д в нуль происходит пропорционально первой степени
расстояния (/) до точки пересечения. Поэтому главное значение метрическо-
метрического тензора, а с ним и определитель j обращаются в нуль как I2.

392	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
изводятся в трехмерном пространстве с метрикой аар] по этой же метрике
определяется тензор Рар.
Из D) коэффициенты сар полностью определяются по коэффициентам
а>ар и Ьар. После этого B) дает соотношение
P+]b2-]b% = 0.	E)
4	4
Из членов нулевого порядка в C) имеем
ь1,Р = Ь;а.	F)
Члены же ~ t в этом уравнении при использовании B), D)-F) (и тождества
рР = р.а/2] ср. (92.10)) обращаются в нуль тождественно.
Таким образом, 12 величин аар, Ьар связаны друг с другом одним
соотношением E) и тремя соотношениями F), так что остается восемь про-
произвольных функций трех пространственных координат. Из них три связаны
с возможностью произвольных преобразований трех пространственных ко-
координат и одна— с произволом в выборе исходной гиперповерхности при
построении синхронной системы отсчета. Остается, как и следовало (см. ко-
конец §95), четыре «физически различные» произвольные функции.
2. Вычислить компоненты тензора кривизны Rikim в синхронной систе-
системе отсчета.
Решение. При помощи символов Кристоффеля (97.9) получим по
формуле (92.1):
Rap^S = —Ра/З^/S ~\	(	)
4
2 dt	4
где Рар-у5 — трехмерный тензор кривизны, соответствующий трехмерной
пространственной метрике jap.
3. Найти общий вид бесконечно малого преобразования, не нарушаю-
нарушающего синхронности системы отсчета.
Решение. Преобразование имеет вид
/ —у / 4- т(т1 т2 т3) та —V та 4- ^(т1 т2 т3 t)
Ь Т Ь \^ \L/1 Jb • Jb • Jb I • Jb	T Jb \^ w I Jb • Jb • Jb • Ь I •
где (^, ^a — малые величины. Соблюдение условия goo = 1 обеспечивается
независимостью (р от t, а для соблюдения условия goa = 0 должны выпол-
выполняться уравнения
7а/3 dt ~ дха '
откуда
где fa — снова малые величины (образующие трехмерный вектор f). При
этом пространственный метрический тензор уар заменяется согласно
JcxP -> Jap ~ ?а; Р ~ ?р; ос ~ <fXap	B)
(в чем легко убедиться с помощью формулы (94.3)).
Преобразование содержит, как и следовало, четыре произвольные (ма-
(малые) функции пространственных координат <?, fa.

§ 98	ТЕТРАДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА	393
§ 98. Тетрадное представление уравнений Эйнштейна
Определение компонент тензора Риччи (и тем самым состав-
составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного спе-
специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими
вычислениями. Поэтому приобретают значение различные фор-
формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычис-
вычисления и представить результат в более обозримом виде. К числу
таких формул относится выражение тензора кривизны в так
называемом тетрадном виде
Введем совокупность четырех линейно-независимых репер-
ных 4-векторов в/ч (нумеруемых индексом а), подчиненных
лишь требованию
е\а)е{Ъ)г =Vab,	(98.1)
где r}ab — заданная постоянная симметричная матрица с сигнату-
сигнатурой Н	; матрицу, обратную матрице г]аь, обозначим через
^а/3 G7^77^ = SfrI). Наряду с четверкой (тетрадой) векторов
е| ч, введем также четверку взаимных с ними векторов е^г
(нумеруемых верхними реперными индексами), определенных
условиями
4% = 6%,	(98.2)
т. е. каждый из векторов е\а' ортогонален трем векторам е^ч с
Ъ ф а. Умножив равенство (98.2) на е^ ч, получим (ek(a\ei )е\ь) =
= в/U, откуда видно, что наряду с (98.2) автоматически выпол-
выполняются также и равенства
4%) = Sf.	(98.3)
Умножив обе части равенства е)^е^ф = г\ас на г\ , получим
Х)В этом параграфе первыми буквами латинского алфавита а, 6, с, ...
... будут обозначаться индексы, нумерующие реперные векторы; 4-тензор-
ные индексы обозначаются по-прежнему буквами г, к, I, ... В литературе
реперные индексы принято обозначать буквами (или цифрами) в скобках.
Во избежание чрезмерного утяжеления записи формул мы будем, однако,
писать скобки лишь там, где реперные индексы фигурируют вместе (или
наравне) с 4-тензорными, и будем опускать их в обозначении величин, кото-
которые по своему определению имеют лишь реперные индексы (например, г]аъ
и ниже 7abc, Aabc). По дважды повторяющимся реперным (как и тензорным)
индексам везде подразумевается суммирование.

394	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
сравнив с (98.2), находим, что
е?) = r]bce{c)i, eF)i = %ce;c).	(98.4)
Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осу-
осуществляется матрицами г] и щс.
Значение введенных таким образом реперных векторов со-
состоит в том, что через них может быть выражен метриче-
метрический тензор. Действительно, согласно определению связи между
л	(а)
ко- и контравариантными компонентами 4-вектора имеем е\ J =
= gue^ ) ; умножив это равенство на е^^ и использовав (98.3) и
(98.4), найдем
(«)	(«) (Ъ)	/по г\
gik = e{a)iel = г)аЪе\ ']е\}.	(98.5)
Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98.5) при-
принимает вид
ds2 = T]ab(e^)dxi)(e^dxk).	(98.6)
Что касается произвольно задаваемой матрицы г}аь, то наибо-
наиболее естественный ее выбор —в «галилеевой» форме (т.е. диаго-
диагональная матрица с элементами 1, —1, —1, —1); при этом реперные
векторы согласно (98.1), взаимно ортогональны, причем один
из них времениподобен, а три других—пространственноподоб-
ны1). Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обяза-
обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным причинам
(например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен вы-
выбор неортогональной тетрады2).
Тетрадные компоненты 4-вектора Аг (и аналогично для
4-тензоров любого ранга) определяются как его «проекции» на
реперные 4-векторы:
A(a) = e\a)Ah A^ = e{?)Ai = r1ahA{b).	(98.7)
х) Выбрав линейные формы dx^a' = e^dx1 в качестве отрезков координат-
координатных осей в данном элементе 4-пространства (и взяв «галилеевы» rjab), мы
тем самым приведем метрику в этом элементе к галилееву виду. Подчерк-
Подчеркнем лишний раз, что формы dx^ не являются, вообще говоря, полными
дифференциалами каких-либо функций координат.
2) Целесообразный выбор тетрады может диктоваться уже предваритель-
предварительным приведением ds к виду (98.6). Так, выражению ds в виде (88.13)
отвечают реперные векторы
причем выбор е^а) зависит от пространственной формы dl2

§ 98	ТЕТРАДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА	395
Обратно:
Ai = e(?)A(a), Л = е\а)А^.	(98.8)
Таким же образом определим операцию дифференцирования
«вдоль направления а»:
^,(а)=е(а) —.
Введем нужные для дальнейшего величины1)
lacb = e{a)i.ke\b)ek{c)	(98.9)
и их линейные комбинации
ЛаЪс = Ifabc Ifacb =
= (е(а)цк ~ Z{a)k-iY(b)e\c) = (е(а)г,& " е{а)к^е\ь)в\су (98«10)
Последнее равенство в (98.10) следует из (86.12); отметим, что
величины \аъс вычисляются простым дифференцированием ре-
перных векторов.
Обратное выражение 7аЬс через \аЪс:
1аЪс = \{Къс + Xbca ~ Kab)-	(98.11)
Эти величины обладают свойствами симметрии:
1аЪс = -
Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тен-
тензора кривизны. Надо исходить из определения (91.6), применен-
примененного к ковариантным производным реперных векторов:
e(a)i;k;l ~ е{а)цЦк = e7(l)
ИЛИ
R(a)(b)(c)(d) = (e(a)i-k-l ~ e{a)i'^k)z\b)e\c)e\dy
Это выражение легко выразить через величины 7абс- Пишем
_	(Ь) (с)
е(а)г; к — labcei ек i
а после следующего ковариантного дифференцирования произ-
производные от реперных векторов снова выражаются таким же обра-
образом; при этом ковариантная производная от скалярной величины
1) Величины jabc называют коэффициентами вращения Риччи.

396	УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ	ГЛ. XI
7абс совпадает с ее простой производнойг). В результате получа-
получается:
R(a)(b)(c)(d) = la,c,d ~ Jabd,c + labfilcd ~ T dc)+lafcT bd~
\о (98.13)
где в соответствии с общим правилом 7а&с — V iabc и т. п.
Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые
тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженны-
выраженными уже через величины \аъс-
¦*Ь(B)F) — ~у^сьЬ ,с "т" ^ba ,c "i~ ^* со.,Ъ ~г ^* сЬ^а)*
Наконец, обратим внимание на то, что изложенные постро-
построения по существу никак не связаны с четырехмерностью мет-
метрики. Поэтому полученные результаты могут быть применены и
к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмер-
трехмерной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных
4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов,
а матрица т]аь должна иметь сигнатуру + + + (мы встретимся с
таким применением в § 116).
1) Приведем для справок преобразованные аналогичным образом выраже-
выражения для ковариантных производных произвольных 4-векторов и 4-тензоров:
Aik;iela)e(b)e(c) = ^(о),(Ь),(с) + A (b)Jdac + ^(a) Jabc,

ГЛАВА XII
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ
§ 99. Закон Ньютона
Произведем в уравнениях Эйнштейна предельный переход к
нерелятивистской механике. Как было указано в § 87, предполо-
предположение о малости скоростей всех частиц требует одновременно,
чтобы само гравитационное поле было слабым.
Выражение для компоненты goo метрического тензора (един-
(единственной, которая нам понадобится) в рассматриваемом предель-
предельном случае было найдено в § 87:
Далее, для компонент тензора энергии-импульса мы можем вос-
воспользоваться выражением C5.4) Zf = ц(?щик, где \i — плотность
массы тела (сумма масс покоя частиц в единице объема; индекс
О у \i для краткости опускаем). Что касается 4-скорости иг, то
поскольку макроскопическое движение тоже, конечно, считается
медленным, то мы должны пренебречь всеми ее пространствен-
пространственными компонентами, оставив только временную, т. е. должны
положить иа = 0, и0 = щ = 1. Из всех компонент Тк остается,
таким образом, только
Т° = цс2.	(99.1)
Скаляр Г = Т\ будет равен той же величине /хс2.
Уравнения Эйнштейна напишем в форме (95.8):
при % = к = О
7?° 4жк ,,
щ = -j-v-
При вычислении i?(j по общей формуле (92.7) замечаем, что
члены, содержащие произведения величин Г^, во всяком слу-
случае являются величинами второго порядка малости. Члены же,
содержащие производные по ж0 = с?, являются малыми (по

398
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
сравнению с членами с производными по координатам жа), как
содержащие лишние степени от 1/с. В результате остается Rq =
= Roo = дГ$0/дха. Подставляя
00	2б да*
находим
Таким образом, уравнения Эйнштейна дают
(99.2)
Это и есть уравнение гравитационного поля в нерелятивист-
нерелятивистской механике. По своей форме оно полностью аналогично урав-
уравнению Пуассона C6.4) для электрического потенциала, в кото-
котором теперь вместо плотности заряда стоит плотность массы,
умноженная на — fc. Поэтому мы можем сразу написать общее
решение уравнения (99.2) по аналогии с C6.8) в виде
= -к Г | dV.	(99.3)
Эта формула определяет в нерелятивистском приближении по-
потенциал гравитационного поля любого распределения масс.
В частности, для потенциала поля одной частицы с массой т
имеем
и, следовательно, сила F = —mf—^-, действующая в этом поле на
OR
другую частицу (массы ттт/), равна
2	Vw,	у
Это — известный закон тяготения Ньютона.
Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле рав-
равна ее массе, умноженной на потенциал поля, аналогично тому,
что потенциальная энергия в электрическом поле равна произ-
произведению заряда на потенциал этого поля. Поэтому мы можем
написать по аналогии с C7.1) для потенциальной энергии любого
распределения масс выражение
U = - fjupdV.	(99.6)

§ 99	ЗАКОН НЬЮТОНА	399
Для ньютоновского потенциала постоянного гравитационно-
гравитационного поля вдали от создающих его масс можно написать разло-
разложение аналогичное тому, которое было получено в § 40, 41 для
электростатического поля. Выберем начало координат в центре
инерции масс. Тогда интеграл J/xrdF, аналогичный дипольно-
му моменту системы зарядов, тождественно обратится в нуль.
Таким образом, в отличие от электрического поля, в гравитаци-
гравитационном поле всегда можно исключить «дипольный член». Разло-
Разложение потенциала <р имеет, следовательно, вид
где М = f /j, dV — полная масса системы, а величины
Dap = ! цCхахр - r25ap) dV	(99.8)
можно назвать тензором квадруполъного момента масс1). Он
связан с обычным тензором моментов инерции
Jap = / V>(r26ap - ХаХр) dV
= /
ар = / Ц\Т Оар - Ха
очевидными соотношениями
Dap = J^Sap - 3Jap.	(99.9)
Определение ньютоновского потенциала по заданному рас-
распределению масс составляет предмет одного из разделов ма-
математической физики; изложение соответствующих методов не
входит в задачу этой книги. Мы приведем здесь для справочных
целей лишь формулы для потенциала гравитационного поля,
создаваемого однородным эллипсоидальным телом.
Пусть поверхность эллипсоида задается уравнением
х2 у2 z2
Тогда потенциал поля в произвольной точке ж, у, z вне тела
дается следующей формулой:
	т-	т—\ — 1 ("-11)
\ u ts Ъ + s с + s/ Rs
Rs =
) Мы пишем здесь все индексы a, /3 внизу, не делая различия между
ко- и контравариантными компонентами, соответственно тому, что подра-
подразумеваются операции в обычном ньютоновском (евклидовом) пространстве.

400
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
где ? — положительный корень уравнения
Т2	7У2	Z2
1ё~~ + ~^~~ + ^~~ = 1в	(99.12)
Потенциал поля внутри эллипсоида определяется формулой
<р = -тгцаЬск П- -?— - -^—g - -^-J jj-,	(99.13)
J	ills
0
отличающейся от (99.11) заменой нижнего предела нулем; от-
отметим, что это выражение является квадратичной функцией
координат ж, у, z.
Гравитационная энергия тела получается, согласно (99.6),
интегрированием выражения (99.13) по объему эллипсоида. Оно
производится элементарнох) и дает
оо
jj 	 Зкт2
c2+
оо
2
О
(т = —аЬс/х —полная масса тела); интегрируя первый член по
о
частям, окончательно получим
оо
ТТ	Зкт2
U = —
/I-	<w-i4>
10
о
Все интегралы, входящие в формулы (99.11)—(99.14), при-
приводятся к эллиптическим интегралам первого и второго рода.
Для эллипсоидов вращения эти интегралы выражаются через
элементарные функции. В частности, гравитационная энергия
сплюснутого эллипсоида вращения (а = Ъ > с):
U =
а для вытянутого эллипсоида вращения (а > Ъ = с):
(99.16)
1) Интегрирование квадратов ж2, у2, z2 проще всего производится путем
подстановки х = ах , у = by', z = cz , сводящей интеграл по объему эллип-
эллипсоида к интегралу по объему шара единичного радиуса.

§ 100	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	401
Для шара (а = с) обе формулы дают значение U = —3fcra2/5a,
которое, разумеется, можно получить и элементарным путем1).
Задача
Определить равновесную форму равномерно вращающейся как целое
однородной гравитирующей массы жидкости.
Решение. Условие равновесия заключается в условии постоянства
вдоль поверхности тела суммы гравитационного потенциала и потенциала
центробежных сил:
if	(х2 + у2) = const
(Q—угловая скорость вращения; ось вращения—ось z). Искомая форма
представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения. Для определения его
параметров подставляем (99.13) в условие равновесия и исключаем z с
помощью уравнения (99.10); это дает
ОО
С2 [	US	| _
a2c a2 У (а2+ s)(c2+ )s/2\ ~	'
(s)(c2
откуда следует, что выражение в квадратных скобках должно обращаться
в нуль. Произведя интегрирование, получим в результате уравнение
(а2+2с2)	с _ Зс2 _ _О^_ _ 25 /4тг\
(а2 _ с2K/2 arCCOS а а2-с2~ 27гк» ~ 6 U )
(М = B/5)ma2Q — момент импульса тела относительно оси z), определяю-
определяющее отнопгение полуосей с/а по заданному Q или М. Зависимость отнопге-
ния с/а от М — однозначная; с/а монотонно убывает с увеличением М.
Оказывается, однако, что найденная симметричная форма устойчива
(по отношению к малым возмущениям) лишь при не слишком больших
значениях М. Именно, она теряет устойчивость при М = 0,24fc1/277i5/3/i~1/6
(причем с/а = 0,58). При дальнейшем увеличении М равновесной стано-
становится форма трехосного эллипсоида с постепенно убывающими (соответ-
(соответственно от 1 и от 0, 58) значениями Ъ/а и с/а. Эта форма в свою очередь
становится неустойчивой при М = 0, ЗХк1/2!!^^ц~1/€> (причем а : Ъ : с =
= 1 :0,43:0,34J).
§ 100. Центрально-симметричное гравитационное поле
Рассмотрим гравитационное поле, обладающее центральной
симметрией. Такое поле может создаваться любым централь-
центрально-симметричным распределением вещества; при этом, конечно,
Потенциал поля внутри однородного шара радиуса а:
о
о
а	).
2) Указания по литературе, посвященной этим вопросам, можно найти в
книге: Г. Дамб. Гидродинамика. — М.: Гостехиздат, 1947, гл. XII.

402
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
центрально-симметричным должно быть не только распределе-
распределение, но и движение вещества, т. е. скорость в каждой точке
должна быть направлена по радиусу.
Центральная симметрия поля означает, что метрика про-
пространства-времени, т. е. выражение для интервала ds, должна
быть одинакова во всех точках, находящихся на одинаковом рас-
расстоянии от центра. В евклидовом пространстве это расстояние
равно радиус-вектору; в неевклидовом же пространстве, каким
оно является при наличии гравитационного поля, нет величины,
которая обладала бы всеми свойствами евклидова радиус-век-
радиус-вектора (одновременно равного расстоянию до центра и деленной
на 2тг длине окружности). Поэтому выбор «радиус-вектора» те-
теперь произволен.
Если пользоваться «сферическими» пространственными ко-
координатами г, 0, <р, то наиболее общим центрально-симметрич-
центрально-симметричным выражением для ds2 является
ds2 = Л(г, t)dr2 + fe(r, t)(sin2 в • dtp2 + d62)+
+ l(r, t)dt2 + a(r, i)dr dt, A00.1)
где a, /i, k, I — некоторые функции от «радиус-вектора» г и «вре-
«времени» t. Но, ввиду произвольности в выборе системы отсчета в
общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть коор-
координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной
симметрии ds2] это значит, что мы можем преобразовать коор-
координаты г и t посредством формул
r = f1(r',t'), t = f2(r',t'),
где /i, /2 —любые функции от новых координат г', tf.
Воспользовавшись этой возможностью, выберем координату
г и время t таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент a(r, t)
при dr dt в выражении для ds2 обратился в нуль и, во-вто-
во-вторых, коэффициент k(r,t) был равен просто —г21). Последнее
означает, что радиус-вектор г определен таким образом, чтобы
длина окружности с центром в начале координат была равна 2тгг
(элемент дуги окружности в плоскости в = тг/2 равен dl = rdip).
Величины h и I нам будет удобно писать в экспоненциальном
виде, соответственно как — ел и c2e^, где Л и v— некоторые
функции от т и t. Таким образом, получим для ds2 следующее
выражение:
ds2 = evc2dt2 - r2(d62 + sin2 в ¦ d<p2) - exdr2.	A00.2)
1) Эти условия не определяют еще выбора временной координаты одно-
однозначным образом: она может еще быть подвергнута любому преобразованию
вида t = /(?'), не содержащему г.

§ 100	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	403
Подразумевая под ж0, ж1, ж2, ж3 соответственно с?, г, 0, (р,
мы имееем, следовательно, для отличных от нуля компонент
метрического тензора выражения
goo = e", gn = -eA, g22 = -r2, g33 = -r2 sin2 в.
Очевидно, что
я00 _ -I/	11 _ _ -А	22 _ _ -2	33 _ _ -2 j -2 #
С помощью этих значений легко вычислить по формуле (86.3)
величины Тгк}. Вычисление приводит к следующим выражениям
(штрих означает дифференцирование по г, а точка над буквой
дифференцирование по cb):
г	Г	r2
Г0 _ ^p\-v Г1 _ гр-\ Г1 _ ^' I/-A
1 11 — 7е ? Х 22 — ~ге -> L 00 — ^	'
,	A00.3)
Г2 _ Г3 _ 1 Г3	0	^
1 12 — -1 13 — ~? i23
Все остальные компоненты Г^ (кроме тех, которые отличаются
от написанных перестановкой индексов к л I) равны нулю.
Для составления уравнений надо вычислить по формуле
(92.7) компоненты тензора Щ.. Простые вычисления приводят
в результате к следующим уравнениям:
) ?,	A00.4)
?~f)' (m5)
i	A00.6)
г
^^ = -е~х^	A00.7)
(остальные компоненты уравнения (95.6) тождественно обраща-
обращаются в нуль). Компоненты тензора энергии-импульса могут быть

404
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
выражены с помощью формулы (94.9) через плотность энергии
материи ?, ее давление р и радиальную скорость v.
Уравнения A00.4)—A00.7) могут быть проинтегрированы до
конца в очень важном случае центрально-симметричного поля
в пустоте, т. е. вне создающих его масс. Полагая тензор энер-
энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения:
4 = 0,	(Ю0.8)
г
4 = 0,	(Ю0.9)
Г
А = 0	A00.10)
(четвертое уравнение, т.е. уравнение A00.5), можно не выпи-
выписывать, так как оно является следствием трех остальных урав-
уравнений) .
Из A00.10) мы видим, что Л не зависит от времени. Далее,
складывая уравнения A00.8), A00.9), находим А' + z/ = 0, т.е.
A+ i/= /(*),	A00.11)
где /(?)— функция только от времени. Но, выбрав интервал
в виде A00.2), мы оставили за собой еще возможность произ-
произвольного преобразования времени вида t = f(tf). Такое преобра-
преобразование эквивалентно прибавлению к v произвольной функции
времени, и с его помощью можно всегда обратить /(?) в A00.11)
в нуль. Итак, не ограничивая общности, можно считать, что А +
+v = 0. Отметим, что центрально-симметричное гравитационное
поле в пустоте автоматически оказывается статическим.
Уравнение A00.9) легко интегрируется и дает
е"А = е" = 1 +-^.	A00.12)
г
Как и следовало, на бесконечности (г —»> ос) е~х = ev = 1,
т. е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически ока-
оказывается галилеевой. Постоянную const легко выразить через
массу тела, потребовав, чтобы на больших расстояниях, где по-
поле слабо, имел место закон Ньютона1). Именно, должно быть
gQQ = 1 + 2(??/с2, где потенциал (р равен своему ньютоновскому
г) Для поля внутри сферической полости в центрально-симметричном рас-
распределении вещества должно быть const = 0, так как в противном случае
метрика имела бы особенность при г = 0. Таким образом, метрика внутри
такой полости автоматически оказывается галилеевой, т. е. гравитационное
поле в полости отсутствует (как и в ньютоновской теории).

§ 100	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	405
выражению (99.4): <р = —km/r (т—полная масса создающего
поле тела). Отсюда видно, что const = —2кт/с. Эта величина
имеет размерность длины; ее называют гравитационным ра-
радиусом тела rg:
rg = ^.	A00.13)
Таким образом, окончательно находим пространственно-вре-
пространственно-временную метрику в виде
ds2 =(l- rAc2dt2 - r2(sin2 Otbp2 + d62) - -^-. A00.14)
V	r /	1 — rg/r
Это решение уравнений Эйнштейна было найдено Шварцшиль-
дом {К. Schwarzschild, 1916). Им полностью определяется грави-
гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центрально-сим-
центрально-симметричным распределением масс. Подчеркнем, что это решение
справедливо не только для покоящихся, но и для движущихся
масс, если только движение тоже обладает должной симметрией
(скажем, центрально-симметричные пульсации). Отметим, что
метрика A00.14) зависит только от полной массы гравитирую-
щего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории.
Пространственная метрика определяется выражением для
элемента пространственного расстояния:
dl2 = dr\ + r2(sin2 6d<p2 + d62).	A00.15)
1 fg/r
Геометрический смысл координаты г определяется тем, что в
метрике A00.15) длина окружности с центром в центре поля
равна 2тгг. Расстояние же между двумя точками г\ и г2 на одном
и том же радиусе дается интегралом
>г2-п.	A00.16)
Далее мы видим, что goo ^ 1. В связи с формулой (84.1) (dr =
= y^goo dt/c), определяющей истинное время, отсюда следует, что
dr ^ dt.	A00.17)
Знак равенства имеет место на бесконечности, где t совпадает с
истинным временем. Таким образом, на конечных расстояниях
от масс происходит «замедление» времени по сравнению со вре-
временем на бесконечности.

406
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Наконец, приведем приближенное выражение для ds^ на
больших расстояниях от начала координат:
Второй член представляет собой малую поправку к галилеевой
метрике ds§. На больших расстояниях от создающих поле масс
всякое поле центрально-симметрично. Поэтому A00.18) опреде-
определяет метрику на больших расстояниях от любой системы тел.
Некоторые общие соображения можно высказать и по по-
поводу центрально-симметричного гравитационного поля внутри
гравитирующих масс. Из уравнения A00.6) видно, что при г —>•
—>• 0 Л должно тоже обращаться в нуль, по крайней мере как
г2; в противном случае правая часть уравнения обратилась бы
при г —»> 0 в бесконечность, т. е. Т$ имело бы в г = 0 особую
точку. Интегрируя формально уравнение A00.6) с граничным
условием Л|г—о = 0, получим
г
Л = _ln(l - ^ jTydr).	A00.19)
о
Поскольку в силу (94.10) Т$ = e~vT§§ ^ 0, то отсюда видно, что
Л ^ 0, т. е.
еЛ ^ 1.	A00.20)
Далее, вычитая уравнение A00.6) почленно из уравнения
A00.4), получим
еЛ Л/ _l \'\ 87гк (Т® Т^\ (g+p)(l + ^2/c2)
— [у +л ) - -rUo -1i) - —i-^/г	^ '
т. е. v' + \' ^ 0. Но при г —>• схэ (вдали от масс) метрика переходит
в галилееву, т. е. z/ —»> 0, Л^0. Поэтому из v1 + Л' ^ 0 следует,
что во всем пространстве
Z/ + AO.	A00.21)
Поскольку Л ^ 0, то отсюда следует, что v ^ 0, т. е.
ev ^ 1.	A00.22)
Полученные неравенства показывают, что указанные выше
свойства A00.16), A00.17) пространственной метрики и хода ча-
часов в центрально-симметричном поле в пустоте относятся в той
же мере и к полю внутри гравитирующих масс.

§ 100	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	407
Если гравитационное поле создается сферическим телом «ра-
«радиуса» а, то при г > а имеем Т$ = 0. Для точек с г > а
формула A00.19) поэтому дает
С другой стороны, здесь можно применить относящееся к
пустоте выражение A00.14), согласно которому
2кт\
Сравнивая оба выражения, найдем формулу
т
а
=% [T$r2dr,	A00.23)
о
определяющую полную массу тела по его тензору энергии-им-
энергии-импульса. В частности, для статического распределения вещества
в теле имеем Г^ = ?, так что а
т
= J I er2dr.	A00.24)
о
Обратим внимание на то, что интегрирование производится по
4тгг2б?г, между тем как элемент пространственного объема в мет-
метрике A00.2) есть dV = 4тгг2ел/2с?г, причем, согласно A00.20),
еЛ/2 у j qtq различие выражает собой гравитационный дефект
массы тела.
Задачи
1. Найти инварианты тензора кривизны для метрики Шварцшиль-
да A00.14).
Решение. Вычисление по (92.1) с Тгы из A00.3) (или по формулам,
полученным в задаче 2 § 92) приводит к следующим значениям отличных от
нуля компонент тензора кривизны:
S	D
= —=-, Л0202 =
_ rg(r -rg)
9	9 5
sm в	2г
Д1212 = ^f| = п/ ^ ,, ^2323 = -TTg Sin2 0.
sin в 2(r — rg)
Для инвариантов 1\ и Ii (92.20) находим
(произведения с участием дуального тензора Rikim равны нулю тождествен-
тождественно). Тензор кривизны относится к типу D по Петрову (с вещественными
инвариантами А^ = А^ = —rg/2r3). Отметим, что инварианты кривизны
имеют особенность лишь в точке г = 0, но не при г = rg.

408
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
2. Для той же метрики определить пространственную кривизну.
Решение. Компоненты пространственного тензора кривизны Рар>у5
могут быть выражены через компоненты тензора Рар (и тензор 7ск/з)) так
что достаточно вычислить только Рар (см. задачу 1 §92). Тензор Рар выра-
выражается через jap так же, как Rik выражается через gik. Co значениями ja/3
из A00.15) получим после вычисления:
-рв _ тэ<Р _ гё	тэг _ rg
6 ~ v ~ 2?' г ~~^
и Р? = 0 при а ф /3. Отметим, что Рев , Р§ > 0, Ргг < 0, а Р = Р% = 0.
По формуле, полученной в задаче 1 § 92, найдем
Ргвгв = (Рг + РвЪггУвв =
Отсюда следует (см. примеч. на с. 355), что для «плоскостей», перпендику-
перпендикулярных к радиусам, гауссова кривизна
к = а(ра(р = -р; > о
Jeejtptp
(это значит, что для небольших треугольников, проведенных на участке
«плоскости» вблизи ее пересечения с перпендикулярным к ней радиусом,
сумма углов больше чем тг). Для «плоскостей» же, проходящих через центр,
гауссова кривизна К < 0; это значит, что сумма углов, проведенных в «плос-
«плоскости» небольших треугольников, меньше чем тг (подчеркнем, однако, что
последнее свойство не относится к треугольникам, охватывающим центр, —
сумма углов в таком треугольнике больше чем тг).
3. Определить форму поверхности вращения, на которой геометрия
была бы такой же, как на проходящей через начало координат «плоскости»
в центрально-симметричном гравитационном поле в пустоте.
Решение. Геометрия на поверхности вращения z = z(r) (в цилин-
цилиндрических координатах) определяется элементом длины
dl2 = dr2 + dz2 + r2dif2 = dr2(l + z'2) + r2dif2.
Сравнивая с элементом длины A00.15) в «плоскости» 9 = тг/2
t = г2 dip2 +
dr2
находим
откуда
Vg(g)
При г = rg эта функция имеет особенность — точку разветвления. Это
обстоятельство связано с тем, что пространственная метрика A00.15) в
противоположность пространственно-временной метрике A00.14) действи-
действительно имеет особенность при г = rg.
Указанные в предыдущей задаче общие свойства геометрии на проходя-
проходящих через центр «плоскостях» можно найти также и путем рассмотрения
кривизны полученной здесь наглядной модели.
4. Преобразовать интервал A00.14) к координатам, в которых простран-
пространственная метрика имела бы конформно-эвклидов вид (т. е. dl2 пропорцио-
пропорционально своему евклидову выражению).

§ 100	ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ	409
Решение. Полагая
получим из A00.14):
PI 2 г^ /	^L2 + р2^2 + р2 gin2 ^ 2)>
+ rs/Dp)J	V V
Координаты р, в, if называют изотропными сферическими координатами;
вместо них можно ввести также и изотропные декартовы координаты ж,
у, z. В частности, на больших расстояниях (р ^> rg) имеем приближенно:
ds2 = A - ^)c2d?2 - (l + — Vcfo2 + dy2 + cte2).
5. Получить уравнения центрально-симметричного гравитационного по-
поля в веществе в сопутствующей системе отсчета.
Решение. Двумя возможными преобразованиями координат г, t в
элементе интервала A00.1) воспользуемся для того, чтобы, во-первых, обра-
обратить в нуль коэффициент a(r, t) при dr dt и, во-вторых, обратить в каждой
точке в нуль радиальную скорость вещества (остальные компоненты скоро-
скорости вообще отсутствуют в силу центральной симметрии). После этого коор-
координаты г и t могут еще быть подвергнуты произвольному преобразованию
вида г = r(r/), t = t(t').
Обозначим выбранные таким образом радиальную координату и время
через R и т, а коэффициенты h, к, I — соответственно через — еЛ, — е^, ev (A,
/х, v — функции Лит). Тогда для элемента интервала имеем
ds2 = cedr2 - exdR2 - e»(dO2 + sin2 в dip2).	A)
Компоненты тензора энергии-импульса равны в сопутствующей системе
отсчета:
Вычисление приводит к следующим уравнениям полях):
87r&^i 8тгк 1 -\(ц'2 . , ,\ _„/.. 1.. . 3.2\ -,, /оч
	^-Ti = —-7-р = -е ( —	V ilv \ — е [ц	/х^ + -и ) — е ^, B)
2 V 2	/	V 2	4
ii/" + у12 + 2М/; + //2 - //А' - ^А7 + MV)
О7Г/С	1 _Л/^ // , /2 , о // , /2	/Л/	/л/
4
+ -e~u(\v + /iz> - A/i - 2А - А2 - 2Д - /i2), C)
4
8тг/сто = 8тг^? = _е_Л / „ + 3 /2 _ m[V \ + 1 е_„ Л + ?\ + g_M D)
г4	г4	V4	2/2V	о /
2
8тгктг _ _ 1 _л ,2 . / . / _ j, / _ / . ч	,g4
с4	2
(штрих означает дифференцирование по i?, а точка — по ст).
Некоторые общие соотношения для A, /i, v могут быть легко найдены,
если исходить из содержащихся в уравнениях поля уравнений Т^. к = 0.
1) Компоненты Rik можно вычислять непосредственно как это делалось в
тексте, или же по формулам, полученным в задаче 2 § 92.

410
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Воспользовавшись формулой (86.11), получим следующие два уравнения:
А + 2? = —^-, „' = --&-.	F)
р+е	р +е
Если р известно как функция е, то уравнения F) интегрируются в виде
^- + /1(Д), и = -2 f-^- + Mr),	G)
p+?	J р+?
где функции fi(R) и /г(т) могут быть выбраны произвольным образом
ввиду указанной выше возможности произвольных преобразований вида
R = R(R'),t = t(t').
6. Найти уравнения, определяющие статическое гравитационное поле
в пустоте вокруг неподвижного аксиально-симметричного тела (Н. Weyl,
1917).
Решение. Статический элемент интервала в цилиндрических про-
пространственных координатах х1 = (р, х2 = р, х3 = z ищем в виде
ds2 = euc2dt2 - eUJd<p2 - e»(dp2 + dz2),
где и,ш, ii — функции р и z; такое представление фиксирует выбор координат
с точностью до преобразования р = p(p',z'), z = z(p',z'), умножающего
квадратичную форму dp2 + dz2 лишь на общий множитель.
Из уравнений
R°o = \e-"[2i>,p,p + i/p(i/р + и,р) + 2i/,z>z + i/,z(i/,z + w,z)] = 0,
4
i^i = -е'^ш^р + w,p(i/,p + w,p) + 2cj,Z)Z + w,z(i/,z + w,z)] = 0
4
(где индексы , р и , z означают дифференцирование по р и z), взяв их сумму,
находим
Р,р,р+ P,z,z = 0,
где обозначено
p'{p,z) = е^'\
Таким образом, pf(p,z)—гармоническая функция переменных р, z . Со-
Согласно известным свойствам таких функций это значит, что существует
сопряженная гармоническая функция z'(p, z) такая, что р + iz = f(p + iz),
где / — аналитическая функция комплексной переменной p-\-iz. Если теперь
выбрать //, z' в качестве новых координат, то в силу конформности преоб-
преобразования р, z —»> р , z будет
где jjl'(p',z') — некоторая новая функция. В то же время еш = p2e~v\ обо-
обозначив ио + v = 7 и опустив далее все штрихи, напишем ds2 в виде
ds2 = evc2dt2 - p2e~vdV2 - e"<-v{dp2 + dz2).	A)
Составив для этой метрики уравнения Rq, R?> — R2* =0, R\ = 0, найдем
i д ( а*\ d2v
^7 dvdv dj p\(dv\2 (dv\
dz dp dz dp 2 L V dp' ^dz'

§ 101 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 411
Отметим, что B) имеет вид уравнения Лапласа в цилиндрических коор-
координатах (для функции, не зависящей от ф). Если это уравнение решено,
то функция j(p,z) целиком определяется уравнениями B), C). Вдали от
создающего поле тела функции г/и) должны стремиться к нулю.
§ 101. Движение в центрально-симметричном
гравитационном поле
Рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном
гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движе-
движение будет происходить в одной «плоскости», проходящей через
центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости 6 = к/2.
Для определения траектории частицы воспользуемся уравне-
уравнением Гамильтона-Якоби
где га— масса частицы (массу же центрального тела обозначим
здесь как га'). С метрическим тензором из A00.14) это уравнение
принимает вид
где rg = 2m! к/с?— гравитационный радиус центрального тела.
По общим правилам решения уравнения Гамильтона-Якоби
ищем S в виде	S =-«>t +My + Sr(r)	A01.2)
с постоянными энергией ?q и моментом импульса М. Подставив
A01.2) в A01.1), найдем производную dSr/dr и затем
Зависимость г = r(t) дается, как известно (см. I, §47), урав-
уравнением dS/d(oo = const, откуда
	 <^о /
~ тс2 J Л
ct= ~u '	dr
m с r ' ч г
Траектория же определяется уравнением dS/dM=const, откуда
dr.	A01.5)
Этот интеграл приводится к эллиптическому.

412
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Для движения планет в поле тяготения Солнца релятивист-
релятивистская теория приводит лишь к незначительным поправкам по
сравнению с теорией Ньютона, поскольку скорости планет очень
малы по сравнению со скоростью света. В уравнении траектории
A01.5) этому соответствует малость отношения rg/r, где rg —
гравитационный радиус Солнца1).
Для вычисления релятивистских поправок к траектории
удобно исходить из выражения A01.3) радиальной части дей-
действия до его дифференцирования по М. Заменим переменную
интегрирования согласно г(г — rg) = г'2, т.е. г — rg/2 « г',
в результате чего член с М2 под корнем примет вид М2 /г12.
В остальных же членах производим разложение по степеням
rg/r' и получаем с требуемой точностью:
A01.6)
где мы для краткости опустили штрих у г' и ввели нереляти-
нерелятивистскую энергию $' (без энергии покоя).
Поправочные члены в коэффициентах в первых двух членах
под корнем отражаются только на не представляющем особого
интереса изменении связи между энергией и моментом частицы
и параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение
же коэффициента при 1/г2 приводит к более существенному
эффекту — к систематическому (вековому) смещению перигелия
орбиты.
Поскольку траектория определяется уравнением <р -\	=
дМ
= const, то изменение угла <р за время одного оборота планеты
по орбите есть
где ASr— соответствующее изменение Sr. Разлагая Sr по степе-
степеням малой поправки в коэффициенте при 1/г2, получим
= ASi°>
vr дм 7
где ASr соответствует движению по несмещающемуся
замкнутому эллипсу. Дифференцируя это соотношение по М и
1) Для Солнца rg = 3 км; для Земли rg = 0, 9 см.

§ 101 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ 413
учитывая, что
найдем
о , Зтгт2с2г2ё	6irk2m2m'2
2 + ^ 2 +
Второй член и представляет собой искомое угловое перемещение
5<р ньютоновского эллипса за время одного оборота, т. е. смеще-
смещение перигелия орбиты. Выражая его через длину большой полу-
полуоси а и эксцентриситет эллипса е с помощью известной формулы
М2/(кт'т2) = аA - е2), получим1)
Далее рассмотрим путь светового луча в центрально-симмет-
центрально-симметричном гравитационном поле. Этот путь определяется уравнени-
уравнением эйконала (87.9)
g дх1 дхк " '
отличающимся от уравнения Гамильтона-Якоби только тем, что
в последнем надо положить т = 0. Поэтому траекторию луча
можно получить непосредственно из формулы A01.5), положив
в ней т = 0; при этом вместо энергии частицы ?q = —dS/dt
надо писать частоту света с^о = —дф/dt. Введя также вместо
постоянной М постоянную р согласно р = cM/luq, получим
Ч>
= [
J
р2
При пренебрежении релятивистскими поправками (rg —»> 0) это
уравнение дает г = р/ cos <p, т. е. прямую, проходящую на рассто-
расстоянии р от начала координат. Для исследования же релятивист-
релятивистских поправок поступим аналогично тому, как было сделано в
предыдущем случае.
Для радиальной части эйконала имеем (ср. A01.3)):
r(r - rg)
х) Числовые значения смещения, определяемого формулой A01.7), для
Меркурия и Земли равны соответственно 43,0" и 3,8" в сто лет.

414
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Производя такие же преобразования, которые служили для пе-
перехода от A01.3) к A01.6), получим
Разлагая теперь подынтегральное выражение по степеням rg/r,
имеем
где фг отвечает классическому прямолинейному лучу.
Полное изменение фг при распространении луча от неко-
некоторого очень большого расстояния R до ближайшей к центру
точки г = р л затем снова на расстояние R есть
с	р
Соответствующее же изменение полярного угла <р вдоль луча
получается дифференцированием по М = /
д	KJL-\yjr	KJL-\yjr	ZVg±t
V ~ Ш~ ~ дМ
Наконец, переходя к пределу R —»> ос и замечая, что прямоли-
прямолинейному лучу соответствует А(р = тг, получим
р
Это значит, что под влиянием поля тяготения световой луч
искривляется: его траектория представляет собой кривую, обра-
обращенную вогнутостью к центру (луч «притягивается» к центру),
так что угол между ее двумя асимптотами отличается от тг на
s* = -f = ^7;	A0L9)
другими словами, луч света, проходящий на расстоянии р от
центра поля, отклоняется на угол Stp1).
§ 102. Гравитационный коллапс сферического тела
В шварцшильдовой метрике A00.14) goo обращается в нуль,
a gn —в бесконечность при г = rg (на шварцшильдовой сфере).
Это обстоятельство могло бы дать основания к заключению о на-
1) Для луча, проходящего мимо края Солнца, д<р = 1,75/;.

§ 102	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА	415
личии особенности пространственно-временной метрики и затем
к заключению о невозможности существования тел с «радиусом»
(при заданной массе), меньшим гравитационного радиуса. В дей-
действительности, однако, такие заключения были бы неправильны-
неправильными. На это указывает уже то обстоятельство, что определитель
g = —r4 sin2 в никакой особенности при г = rg не имеет, так что
условие g < 0 (82.3) не нарушается. Мы увидим, что фактически
мы имеем дело лишь с невозможностью осуществления при г <
< rg жесткой системы отсчета.
Для выяснения истинного характера пространственно-вре-
пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование ко-
координат вида1)
7Т- A02Л)
Тогда
dg	^ (crfr fdR^ r((W + sin
Мы устраним особенность при г = rg, выбрав /(г) так, чтобы
было f(rg) = 1. Если положить /(г) = \frg/r, то новая система
координат будет также и синхронной (gTT = 1). Выбрав сначала
для определенности верхние знаки в A02.1), будем иметь
2 г3'2
или
r=[l(R-cr)] rj/з	A02.2)
(постоянную интегрирования, зависящую от начала отсчета вре-
времени т, полагаем равной нулю). Элемент интервала:
2тё
A02.3)
В этих координатах особенность на шварцшильдовой сфере
о
(которой соответствует здесь равенство -(Л — ст) = rg) отсут-
отсутствует. Координата Л является везде пространственной, а т —
) Физический смысл шварцшильдовой особенности был впервые выяснен
Финкельштпейном (D. Finkelstein, 1958) с помощью другого преобразования.
Метрика A02.3) была ранее найдена Леметром (О. Lemaitre, 1938).

416
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ
ГЛ. XII
временной. Метрика A02.3) нестационарна. Как во всякой син-
синхронной системе отсчета, линии времени в ней являются геодези-
геодезическими линиями. Другими словами, покоящиеся относительно
системы отсчета «пробные» частицы—это частицы, свободно
движущиеся в данном поле.
Заданным значениям г отвечают мировые линии R — ст =
= const (наклонные прямые линии на диаграмме рис. 20). Ми-
Мировые же линии частиц, покоящихся относительно системы от-
отсчета, на этой диаграмме изображаются вертикальными пря-
прямыми; передвигаясь вдоль них, частицы за конечный интервал
собственного времени «падают» в центр поля (г = 0), представ-
представляющий собой точку истинной особенности метрики.
Рассмотрим распространение радиальных световых сигна-
сигналов. Уравнение ds2 = 0 (при 0,<р = const) дает для производ-
производной dr/dR вдоль луча:
A02-4)
два знака отвечают двум границам светового «конуса» с верши-
вершиной в заданной мировой точке. При г > rg (точка а на рис. 20)
наклон этих границ \cdr/dR\ < 1, так что прямая г = const
(вдоль которой cdr/dR=l) по-
попадает внутрь конуса. В обла-
области же г < rg (точка а') имеем
\cdr/dR\ > 1, так что прямая
г = const — мировая линия
неподвижной (относительно
центра поля) частицы — лежит
вне конуса. Обе границы ко-
конуса на конечном расстоянии
пересекают линию г = 0,
подходя к ней вертикально.
Поскольку никакие причинно
связанные события не могут
лежать на мировой линии
вне светового конуса, отсюда
следует, что в области г < rg
никакие частицы не могут
быть неподвижными. Все вза-
взаимодействия и сигналы распространяются здесь по направлению
к центру, достигая его за конечный промежуток времени т.
Аналогичным образом, выбрав в преобразовании A02.1)
нижние знаки, мы получили бы «расширяющуюся» систему
отсчета с метрикой, отличающейся от A02.3) изменением
R
Рис. 20

§ 102	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА	417
знака перед т. Она отвечает пространству-времени, в котором
(в области г < rg) по-прежнему невозможен покой, но распро-
распространение всех сигналов происходит в направлении от центра.
Изложенные результаты можно применить к вопросу о пове-
поведении массивных тел в общей теории относительности.
Исследование релятивистских условий равновесия сфериче-
сферического тела показывает, что для тела достаточно большой мас-
массы равновесного статического состояния может не существовать
(см. «Статистическая физика», ч. 1, §109). Очевидно, что такое
тело должно неограниченно сжиматься (так называемый грави-
гравитационный коллапсI).
В не связанной с телом галилеевой на бесконечности системе
отсчета (метрика A00.14)) радиус центрального тела не может
быть меньше rg. Это значит, что по часам t удаленного наблю-
наблюдателя радиус сжимающегося тела лишь асимптотически при
t —>• оо стремится к гравитационному радиусу. Легко выяснить
предельный закон этого приближения.
Частица на поверхности сжимающегося тела находится все
время в поле тяготения постоянной массы т — полной массы
тела. При г —»> rg силы тяготения становятся очень большими;
плотность же тела (а с нею и давление) остается конечной. Пре-
Пренебрегая на этом основании силами давления, мы сведем опре-
определение зависимости радиуса тела от времени к рассмотрению
свободного падения пробной частицы в поле массы т.
Зависимость r(t) для падения в шварцшильдовом поле дается
интегралом A01.4), причем для чисто радиального движения
момент М = 0. Так, если падение начинается на «расстоянии» г о
от центра с нулевой скоростью в некоторый момент времени to,
то энергия частицы Sq = тпс2yl —г^/го и для времени t дости-
достижения ею «расстояния» г имеем
	 го
ф _ t) = Jl-Ъ Г	dr	A02.5)
r
Этот интеграл расходится при г —>• rg как —rg In (r — rg). Отсюда
асимптотический закон приближения г к rg:
r-rg = const • e-ct/r*.	A02.6)
Таким образом, конечная стадия приближения коллапсирующе-
го тела к гравитационному радиусу происходит по экспоненци-
экспоненциальному закону с очень малым характерным временем ~ rg/c-
1) Основные свойства этого явления были впервые выяснены Оппенгейме-
ром и Снайдером (J.R. Oppenheimer, H. Snyder, 1939).
14 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

418
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Хотя скорость наблюдаемого извне сжатия асимптотически
стремится к нулю, скорость v падающих частиц, измеренная в их
собственном времени, напротив, возрастает, стремясь к скорости
света. Действительно, согласно определению (88.10):
Взяв gn и goo из A00.14), a dr/dt из A02.5), найдем
1 - 4 = I ~ rg/r •	A02.7)
Приближение к гравитационному радиусу, требующее беско-
бесконечного времени по часам удаленного наблюдателя, занимает
лишь конечный интервал собственного времени (время в сопут-
сопутствующей системе отсчета). Это ясно уже из изложенного выше
общего анализа, но в этом можно убедиться и непосредственным
вычислением собственного времени т как инвариантного инте-
интеграла
f	f Г 2 dt2	1 V2
ст = / ds = /с gooTT + ?п dr.
у	J I dr	J
Взяв dr/dt из A02.5), находим для собственного времени падения
из точки го в г:
го
т — то = -/( — — —) dr-	A02.8)
с J \ г то/
г
Этот итеграл сходится при г —>• rg.
Достигнув (по собственному времени) гравитационного ра-
радиуса, тело будет продолжать сжиматься, причем все его ча-
частицы достигнут центра за конечное собственное время; момент
падения каждой порции вещества в центр представляет собой ис-
истинную особенность пространственно-временной метрики. Весь
процесс сжатия тела под шварцшильдовой сферой, однако, не
наблюдаем из внешней системы отсчета. Моменту прохождения
поверхностью тела этой сферы отвечает время t = ос; можно
сказать, что весь процесс коллапса под шварцшильдовой сферой
происходит как бы «за временной бесконечностью» удаленного
наблюдателя — крайний пример относительности хода времени.
Никаких логических противоречий в этой картине, разумеется,
нет. В полном соответствии с ней находится указанное выше
свойство сжимающейся системы отсчета: в этой системе из-под
шварцшильдовой сферы не выходят никакие сигналы. Частицы
или лучи света могут пересекать эту сферу (в сопутствующей

§ 102	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА	419
системе отсчета) лишь в одном направлении— внутрь, и, раз
пройдя туда, уже никогда обратно выйти не могут. Такую по-
поверхность «одностороннего клапана» называют горизонтом со-
событий.
По отношению ко внешнему наблюдателю сжатие к грави-
гравитационному радиусу сопровождается «самозамыканием» тела.
Время распространения посылаемых с тела сигналов стремится
к бесконечности. Действительно, для световых сигналов ds^ = 0
и в шварцшильдовой системе имеем cdt = dr/(l — rg/r)\ время
распространения от г до некоторого го > г дается интегралом
го
cAt = [ -^— = го-г + гЛп ^^,	A02.9)
J lr/r	* rr
расходящимся (как и интеграл A02.5)) при г —>• rg.
Интервалы собственного времени на поверхности тела сокра-
сокращены по отношению к интервалам времени t бесконечно удален-
удаленного наблюдателя в отношении
при г —»> rg, следовательно, все процессы на теле по отношению
ко внешнему наблюдателю «застывают». Частота спектральной
линии, испускаемой на теле и воспринимаемой удаленным на-
наблюдателем, уменьшается, однако не только этим эффектом гра-
гравитационного красного смещения, но и эффектом Доплера от
движения источника, падающего к центру вместе с поверхностью
шара. Когда радиус шара уже близок к rg (так что скорость
падения уже близка к скорости света), этот эффект уменьшает
частоту в
1 + v/c
раз. Под влиянием обоих эффектов наблюдаемая частота обра-
обращается, следовательно, в нуль при г —»> rg по закону
(l- bV	A02.10)
оо = const
Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя гра-
гравитационный коллапс приводит к возникновению «застывшего»
тела, которое не посылает в окружающее пространство никаких
сигналов и взаимодействует с внешним миром только своим ста-
статическим гравитационным полем. Такое образование называют
черной дырой или коллапсаром.
14*

420
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
В заключение сделаем еще одно замечание методического ха-
характера. Мы видели, что для центрального поля в пустоте инер-
циальная на бесконечности «система внешнего наблюдателя» не
полна: в ней нет места для мировых линий частиц, движущихся
внутри шварцшильдовой сферы. Метрика же A02.3) применима
также и внутри шварцшильдовой сферы, однако и эта система
отсчета в известном смысле не полна. Действительно, рассмот-
рассмотрим в этой системе частицу, совершающую радиальное движение
по направлению от центра. Ее мировая линия при т —»> ос уходит
в бесконечность, а при т —>• — оо она должна асимптотически
приближаться кг = rg, поскольку в данной метрике внутри
шварцшильдовой сферы движение может происходить лишь по
направлению к центру. С другой стороны, продвижение частицы
от г = rg до любой заданной точки г > rg происходит за конеч-
конечный промежуток собственного времени. По собственному време-
времени, следовательно, частица должна подойти к шварцшильдовой
сфере изнутри прежде, чем начать двигаться вне ее; но эта часть
истории частицы не охватывается данной системой отсчетах).
Подчеркнем, однако, что эта неполнота возникает только
при формальном рассмотрении метрики поля, как создаваемо-
создаваемого точечной массой. В реальной физической задаче, скажем, о
коллапсе протяженного тела, неполнота не проявляется: реше-
решение, получающееся путем сшивания метрики A02.3) с решением
внутри вещества, будет, разумеется, полным и будет описывать
всю историю всех возможных движений частиц (мировые линии
частиц, движущихся в области г > rg по направлению от центра,
при этом непременно начинаются от поверхности шара еще до
его сжатия под сферу Шварцшильда).
Задачи
1. Для частицы в поле коллапсара найти радиусы круговых орбит
(С.А.Каплан, 1949).
Решение. Зависимость r(t) для частицы, движущейся в шварцшиль-
довом поле, дается формулой A01.4) или, в дифференциальном виде,
1 ^ i^-U\r)f\	A)
1 — rg/r cdt
где
т с
(т—масса частицы, rg = 2krn /с—гравитационный радиус центрального
тела с массой т) . Функция U(r) играет роль «эффективной потенциальной
энергии» в том смысле, что условием <?Ь ^ U(r) определяются (аналогично
г) Построение системы отсчета, свободной от такой неполноты, будет рас-
рассмотрено в конце следующего параграфа.

§ 102
ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА
421
нерелятивистской теории) допустимые области движения. На рис. 21 изоб-
изображены кривые U(г) для различных значений момента частицы М.
U/mc2
1
0,943
2 3
г/г
М = 0
Рис. 21
Радиусы круговых орбит и соответствующие им значения So и М
определяются экстремумами функции U(r), причем минимумы отвечают
устойчивым, а максимумы— неустойчивым орбитам. Совместное решение
уравнений U(r) = So, U'(r) = 0 дает
М2
m2c2r2g
причем верхний знак относится к устой-
устойчивым, а нижний — к неустойчивым ор-
орбитам. Ближайшая к центру устойчивая
круговая орбита имеет параметры
г = 3rg, М = VSmcrg, So = л/8/9тс2.
Минимальный радиус неустойчивой ор-
орбиты равен 3rg/2 и достигается в пределе
М —>- оо, So —» оо. На рис. 22 изображена
кривая зависимости r/rg от M/(mcrg); ее
верхняя ветвь дает радиусы устойчивых,
а нижняя — неустойчивых орбит х) .
r/rg
15
10
5
0
2	3 M/{mcrg)
Рис. 22
) Напомним для сравнения, что в ньютоновском поле круговые орбиты
были бы возможны (и устойчивы) на любом расстоянии от центра (радиус
связан с моментом согласно г = М2/(кт'т2).

422
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ
ГЛ. XII
2. Для движения в том же поле определить сечение гравитационного
захвата падающих на бесконечности: а) нерелятивистских, б) ультрареля-
ультрарелятивистских частиц {Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков, 1964).
Решение.
а)	Для нерелятивистской (на бесконечности) скорости г^оо энергия ча-
частицы S'o « тс?. Из кривых рис. 21 видно, что прямая S'o = тс? лежит выше
всех потенциальных кривых с моментами М < 2mcrg, т.е. с прицельными
расстояниями р < 2crg/voo. Все частицы с такими р гравитационно захва-
захватываются: они достигают (асимптотически, при t —»> оо) шварцшильдовой
сферы, не уходя снова на бесконечность. Сечение захвата:
а = 4тгг| (
б)	В уравнении A) задачи 1 переход к ультрарелятивистской частице
(или к лучу света) осуществляется заменой т —>> 0. Введя также прицельное
расстояние р = cM/S'o, получим
p/rg
г
13
2
3 4 5 6
1-Tg/rcdt у г" г"
Границы движения по г (точки поворота) опре-
определяются нулями подкоренного выражения. Как
функция от р они изображаются кривой на
рис. 23; возможным движениям отвечает неза-
штрихованная часть плоскости. Кривая имеет
минимум в точке
Рис. 23
Р =
3\/3
3
Г = -7V.
2 ё
При меньших значениях прицельного расстоя-
расстояния частица не встречает точки поворота, т. е. проходит к шварцшильдовой
сфере. Отсюда сечение захвата
27 2
§ 103. Гравитационный коллапс пылевидной сферы
Выяснение хода изменения внутреннего состояния коллапси-
рующего тела (в том числе в течение процесса его сжатия под
шварцшильдовой сферой) требует решения уравнения Эйнштей-
Эйнштейна для гравитационного поля в материальной среде. В централь-
центрально-симметричном случае уравнения поля могут быть решены
в общем виде в пренебрежении давлением вещества, т. е. для
уравнения состояния «пылевидной» материи: р = 0 (R. Tolman,
1934). Хотя такое пренебрежение в реальных ситуациях обычно
недопустимо, общее решение этой задачи представляет заметный
методический интерес.
Как было указано в §97, пылевидная среда допускает вы-
выбор системы отсчета, являющейся одновременно синхронной и

§ 103	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ПЫЛЕВИДНОЙ СФЕРЫ	423
сопутствующей1). Обозначив выбранные именно таким образом
время и радиальную координату через т и Л, напишем сфериче-
сферически-симметричный элемент интервала в виде2)
ds2 = dr2 - ex^RUR2 - т2{т, R)(d62 + sin2 edtp2). A03.1)
Функция r(r,R) представляет собой «радиус», определенный
так, что 2тгг есть длина окружности (с центром в начале коор-
координат). Форма A03.1) фиксирует выбор т однозначным образом,
но допускает еще произвольные преобразования радиальной ко-
координаты вида R = R(Rr).
Вычисление компонент тензора Риччи для этой метрики при-
приводит к следующей системе уравнений Эйнштейна3):
-e"V2 + 2тт + r2 + 1 = 0,	A03.2)
-е—Bг" - г'А') + ^ + А+- + - = 0,	A03.3)
г	г	2 г
- VBrT" + г'2 - гг'х') + 4(Г?;А + г2 + 1) = 8тгА;е, A03.4)
Г	Г
2rf - Xrf = 0,	A03.5)
где штрих означает дифференцирование по Л, а точка —по т.
Уравнение A03.5) непосредственно интегрируется по време-
времени, давая
ел = —	,	A03.6)
1 + f(R)'	V	J
где f(R) —произвольная функция, удовлетворяющая лишь усло-
условию 1 + / > 0. Подставив это выражение в A03.2), получим
2rr + r2 - f = 0
(подстановка же в A03.3) не дает ничего нового). Первый инте-
интеграл этого уравнения есть
г2 = f(R) + *W,	A03.7)
1)	При этом требуется, чтобы материя двигалась «без вращения» (см. при-
примеч. на с. 389). Это условие в данном случае заведомо выполняется, посколь-
поскольку сферическая симмметрия подразумевает чисто радиальное движение
вещества.
2)	В этом параграфе полагаем с = 1.
3)	Ср. задачу 5 § 100. Уравнения A03.2)-A03.5) получаются соответственно
из уравнений B)-E) этой задачи, если положить в них v = 0 е^ = г2,
р = 0. Заметим, что второе из уравнений F) этой же задачи при р =
= 0 дает v = 0, т. е. v = ^(т); оставшийся в метрике A) произвол в
выборе т позволяет поэтому обратить v в нуль, чем снова демонстрируется
возможность введения синхронно-сопутствующей системы отсчета.

424
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
где F(R) — еще одна произвольная функция. Отсюда
, [ dr
J 77Т^Д
Получающуюся в результате интегрирования зависимость
r(r,R) можно представить в параметрическом виде
F	F
г = —(ch?7 — 1), то(Д) — т = —jj^(sh.rj — rj) при / > О,
A03.8)
F	F
г =	A — cos77), то(Д) — т =	ш^Л ~ smri) ПРИ / < 0,
A03.9)
где то(Д)—снова произвольная функция. Если же / = 0, то
1 /Ч
г = №р) [то(Л) - т]2/3 при / = 0.	A03.10)
Во всех случаях, подставив A03.6) в A03.4) и исключив / с
помощью A03.7), получим следующее выражение для плотности
материи1):
8тгке= 4-2-	A03.11)
г г
Формулы A03.6)-A03.11) определяют искомое общее реше-
решение2) . Заметим, что оно зависит всего от двух «физически раз-
различных» произвольных функций: хотя в нем фигурируют три
функции /, F, то, но сама координата Д может еще быть под-
подвергнута произвольному преобразованию Д = R(Rf). Это число
как раз соответствует тому, что наиболее общее центрально-сим-
центрально-симметричное распределение материи задается двумя функциями
(распределение плотности и радиальной скорости материи), а
свободного гравитационного поля с центральной симметрией во-
вообще не существует.
Поскольку система отсчета сопутствует материи, то каждой
частице вещества отвечает определенное значение Д; функция
) Функции F, /, то должны удовлетворять лишь условиям, обеспечиваю-
обеспечивающим положительность ел, г и е. Помимо отмеченного уже условия 1 + / > 0,
отсюда следует, что hF>0. Будем считать также, что и F' > 0, г' > 0; тем
самым исключаются случаи, приводящие к пересечению сферических слоев
веществ при их радиальном движении.
2)Из него выпадает, однако, особый случай, в котором г = г(т) и не
зависит от R, так что уравнение A03.5) сводится к бессодержательному
тождеству; см. В. А. Рубан// ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 1914. Этот случай,
однако, не соответствует условиям задачи о коллапсе конечного тела.

§ 103	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ПЫЛЕВИДНОЙ СФЕРЫ	425
же r(r,R) при этом значении R определяет закон движения
данной частицы, а производная г есть ее радиальная скорость.
Важное свойство полученного решения состоит в том, что зада-
задание входящих в него произвольных функций в интервале от 0
до некоторого i?o полностью определяет поведение сферы этого
радиуса; оно не зависит от того, каким образом заданы эти
функции при R > i?o- Тем самым автоматически получается
решение внутренней задачи для любой конечной сферы. Полная
масса шара дается, согласно A00.23), интегралом
r(r,R0)	Ro
т
= 4тг / ег2 dr = 4тг / erV dR.
Подставив сюда A03.11) и заметив, что F@) = 0 (при R = 0
должно быть и г = 0), найдем
(rg — гравитационный радиус шара).
При F = const т^ 0 из A03.11) имеем е = 0, так что решение
относится к пустому пространству, т. е. описывает поле точечной
массы (находящейся в центре — особой точке метрики). Так, по-
положив F = rg, / = 0, то = i?, получим метрику A02.3)г).
Формулы A03.8)—A03.10) описывают (в зависимости от про-
пробегаемой параметром г\ области значений) как сжатие, так и
расширение шара; то и другое в равной степени допускаются
самими по себе уравнениями поля. Реальной задаче о поведении
неустойчивого массивного тела отвечает сжатие — гравитацион-
гравитационный коллапс. Решения A03.8)—A03.10) выписаны таким образом,
что сжатие имеет место когда т, увеличиваясь, стремится к то-
Моменту т = tq(R) отвечает достижение центра веществом с
заданной радиальной координатой R (при этом должно быть
т'о > 0).
Предельный характер метрики внутри шара при т —»> то (Л)
одинаков во всех трех случаях A03.8)—A03.10):
A03.13)
х) Случай же F = 0 (причем из A03.7): г = \//(т — то)) соответствует
отсутствию поля; надлежащим преобразованием переменных метрика может
быть приведена к галилеевой.

426
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Это значит, что все радиальные расстояния (в рассматриваемой
сопутствующей системе отсчета) стремятся к бесконечности, а
окружные —к нулю, причем все объемы тоже стремятся к нулю
(как т — тоI). Соответственно этому плотность материи неогра-
неограниченно возрастает2):
8тгк? «	р	.	A03.14)
Таким образом, в соответствии со сказанным в § 102, происходит
коллапс всего распределения материи в центр3).
В частном случае, когда функция то (Л) = const (т.е. все
частицы достигают центра одновременно), метрика внутри сжи-
сжимающегося шара имеет другой характер. В этом случае
Sirke и 4 ,	A03.15)
о (то — г)
т.е. при т —>• то все расстояния—как окружные, так и ради-
радиальные— стремятся к нулю по одинаковому закону ~(то — тJ/3;
плотность материи стремится к бесконечности как (то — т)~2,
причем в пределе ее распределение становится однородным.
Обратим внимание на то, что во всех случаях момент прохож-
прохождения поверхности коллапсирующего шара под шварцшильдову
сферу (г(т, До) — rg) ничем не замечателен для его внутренней
динамики (описываемой метрикой в сопутствующей системе от-
отсчета). В каждый момент времени, однако, определенная часть
шара уже находится под своим «горизонтом событий». Подобно
тому, как F(Rq) определяет, согласно A03.12), гравитационный
радиус шара в целом, так F(R) для любого заданного значе-
значения Д есть гравитационный радиус части шара, расположенный
х) Геометрия на проходящей через центр «плоскости» при этом такая, ко-
которая была бы на конусообразной поверхности вращения, растягивающейся
с течением времени по своим образующим и одновременно сжимающейся по
всем своим окружностям.
2)	Тот факт, что в рассматриваемом решении коллапс возникает при любой
массе шара — естественное следствие пренебрежения давлением. Разумеется,
при s —>¦ оо предположение о пылевидности вещества с физической точки
зрения во всяком случае непригодно, и следует пользоваться ультрареляти-
ультрарелятивистским уравнением состояния р = е/3. Оказывается, однако, что общий
характер предельных законов сжатия в значительной степени не зависит
от уравнения состояния материи (см. Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников//
ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 149).
3)	Случай то = const включает в себя, в частности, и коллапс полностью
однородного шара—см. задачу.

§ юз
ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС ПЫЛЕВИДНОЙ СФЕРЫ
427
под сферической поверхностью R = const; поэтому указанная
часть шара определяется в каждый момент времени т условием
r(r,R) ^F(R).
Наконец, покажем, каким образом полученными формулами
можно воспользоваться для решения поставленного в конце § 102
вопроса: построения наиболее полной системы отсчета для поля
точечной массы1).
Для достижения этой цели надо исходить из такой метри-
метрики в пустоте, которая содержала бы как сжимающуюся, так и
расширяющуюся пространственно-временные области. Таковым
является решение A03.9), в котором надо положить F = const =
= rg. Выбрав также
получим
R2
A03.16)
когда параметр г\ пробегает значения от 2тг до 0, время т (при
заданном R) монотонно возрастает, а г воз-
возрастает от нуля, проходит через максимум
и снова убывает до нуля.
На рис. 24 линии АС В и А1 С В1 отвеча-
отвечают точке г = 0 (им соответствуют значения
параметра т\ = 2тг и т\ = 0). Линии АО А'
и ВОВ1 отвечают шварцшильдовой сфере
г = rg. Между А'С В' и А'О В' расположе-
расположена пространственно-временная область, в
которой возможно лишь движение от цен-
центра, а между АС В и АОВ— область, в
которой движение происходит лишь по на-
направлению к центру.
Мировая линия частицы, покоящейся
относительно данной системы отсчета,—
вертикальная прямая (Л = const). Она на-
начинается от г = 0 (точка а), пересекает
сферу Шварцшильда в точке Ь, достигает
Рис. 24
х) Такая система была впервые найдена Крускалом (М. Kruskal, 1960) в
других переменных (см. Phys. Rev. 1960. V. 119. P. 1743). Приведенная
ниже форма решения, в котором система отсчета синхронна, принадлежит
И.Д.Новикову A963).

428
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
в момент т = 0 наибольшего удаления (г = rg(R2/r^ + 1)),
затем частица снова начинает падать к сфере Шварцшильда,
пересекает ее в точке с и вновь достигает г = 0 (точка d) в момент
3/2
Полученная система является полной: оба конца мировой ли-
линии всякой движущейся в поле частицы лежат либо на истинной
особенности г = 0, либо уходят на бесконечность. Не полная же
метрика A02.3) охватывает собой только область правее линии
АО А1 (или левее ВОВ1), а такая же «расширяющаяся» система
отсчета — область справа от ВОВ' (или слева от АО А'). Что же
касается шварцшильдовой системы отсчета с метрикой A00.14),
то она охватывает лишь область справа от BOA1 (или слева от
АО В1).
Задачи
1. Найти решение внутренней задачи для гравитационного коллапса
пылевидной однородной сферы, вещество которой в начальный момент по-
покоится.
Решение. Положив
го = const, / = — sin2 R, F = 2ao sin3 R,
получим
r = ao sinR(l — cosrj), т — то = ao(rj — sinrj)	A)
(радиальная координата R здесь безразмерна и пробегает значения от 0
до 2тг). При этом плотность
. — cos г?)
и при заданном т не зависит от R, т.е. шар однороден. Метрику A03.1) с г
из A) можно представить в виде
ds2 = dr2 - а2(т)[dR2 + sin2 R(dO2 + sin2 0 dip2)],
(л	\	№'
a = ao(l — cosrj).
Обратим внимание на то, что она совпадает с решением Фридмана для
метрики мира, полностью заполненного однородной пылевидной материей
(§112),— вполне естественный результат, поскольку сфера, вырезанная из
однородного распределения материи, обладает центральной симметрией1).
Поставленному начальному условию можно удовлетворить решением A)
с определенным выбором постоянных a®, tq. Изменив здесь для удобства
определение параметра (rj —»> тг — rj), представим решение в виде
Го sini? .	ч	го / , . ч	//|Ч
Г= — ——-A + COS77), Т= ——-G7 + Sin 77),	D)
2 smi^o	2smi?o
г) Метрика C) отвечает пространству постоянной положительной кривиз-
кривизны. Аналогичным образом, положив / = sh R, F = 2ао sh R, получим
решение, отвечающее пространству постоянной отрицательной кривизны
(§пз).

§ 104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	429
причем (согласно A03.12)) гравитационный радиус шара rg = rosin2 Ro.
В начальный момент (т = 0, ц = 0) вещество покоится (г = 0), а 2тгго =
= 2тгг@,До) — начальная длина окружности шара. Падение всего вещества
в центр происходит в момент т = Trro/^smi^o).
Время t в системе отсчета удаленного наблюдателя (шварцшильдова
система) связано с собственным временем на шаре т уравнением
где под г надо понимать значение г(т, Ro), отвечающее поверхности шара.
Интегрирование этого уравнения приводит к следующему выражению t в
функции того же параметра г):
t	ctgRo -\-tg(rj/2)	г	1	. I
rg	ctg #0 - tg G7/2)	L 2 sinJ Ro	J
(причем момент t = 0 отвечает моменту т = 0). Прохождению поверхности
шара через шварцшильдову сферу (г(т, Ro) = rg) отвечает значение пара-
параметра 77, определяемое равенством
cos — = — = sm Ro.
2 ro
При приближении к этому значению время t —»> 00 — в соответствии со
сказанным в 8 102 х).
§ 104. Гравитационный коллапс несферических
и вращающихся тел
Все сказанное в двух предыдущих параграфах в своем бук-
буквальном виде относилось к телам, строго сферически-симмет-
сферически-симметричным. Простые соображения показывают, однако, что каче-
качественная картина гравитационного коллапса остается той же
и для тел с малыми отклонениями от сферической симметрии
(А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И.Д.Новиков, 1965).
Будем сначала говорить о телах, отклонение которых от цен-
центральной симметрии связано с распределением вещества в них,
но не с вращением тела как целого.
Очевидно, что если массивное центрально-симметричное те-
тело гравитационно неустойчиво, то эта неустойчивость сохранится
и при малом нарушении симметрии, так что и такое тело будет
коллапсировать. Рассматривая слабую асимметрию как малое
возмущение, можно проследить за его развитием (в сопутствую-
сопутствующей системе отсчета) в ходе сжатия тела. Возмущения, вообще
х) Функция r(r,Ro), определяемая формулами D), совпадает, конечно, с
функцией, вычисленной по внешней метрике и даваемой интегралом A02.8).
То же самое относится к функции ?(г), определяемой формулами D) и E),—
она совпадает с даваемой интегралом A02.5).

430
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
говоря, возрастают по мере увеличения плотности тела. Но если
возмущения были достаточно малы в начале сжатия, то они
останутся еще малыми и в момент достижения телом гравита-
гравитационного радиуса; в § 103 было отмечено, что этот момент ничем
не замечателен для внутренней динамики сжимающегося тела,
а его плотность, разумеется, еще конечна1).
В силу малости внутренних возмущений в теле остаются ма-
малыми также и возмущения создаваемого им внешнего централь-
центрально-симметричного гравитационного поля. Это значит, что остает-
остается почти неизменной также и поверхность «горизонта событий»—
шварцшильдова сфера, и ничто не мешает коллапсирующему
телу (в сопутствующей системе отсчета) пересечь ее.
О дальнейшем нарастании возмущений внутри тела к внеш-
внешнему наблюдателю не поступает никаких сведений, поскольку из-
под горизонта событий не выходят никакие сигналы; весь этот
процесс остается «за временной бесконечностью» удаленного на-
наблюдателя. Отсюда, в свою очередь, следует, что по отношению к
внешней системе отсчета гравитационное поле коллапсирующего
тела должно стремиться к стационарности, когда тело асимпто-
асимптотически приближается к гравитационному радиусу. Характерное
время этого приближения очень мало (~ rg/c), и по его истече-
истечении можно считать, что во внешнем пространстве остаются лишь
ранее возникшие возмущения центрально-симметричного поля.
Но все переменные возмущения должны с течением времени
рассеяться в пространстве, как гравитационные волны, уходя на
бесконечность (или проходя под горизонт).
Во внешнем гравитационном поле возникающего коллапса-
ра не могут остаться также и не зависящие от времени, ста-
статические возмущения. Этот вывод можно извлечь из анализа
постоянных возмущений, налагаемых на шварцшильдово поле в
пустоте. Такой анализ показывает, что в статическом случае вся-
всякое (убывающее на бесконечности) возмущение неограниченно
возрастает при приближении к шварцшильдовой сфере невозму-
невозмущенной задачи2); между тем для возникновения больших воз-
1) Развитие возмущений в нестационарном безграничном однородном рас-
распределении материи рассмотрено в § 115 (полученные там формулы в равной
степени относятся как к случаю расширения, так и к случаю сжатия).
Неоднороность невозмущенного распределения или ограниченность тела не
меняют данного утверждения.
2)См. T.Regge, J.A. Wheeler// Phys. Rev. 1957. V. 108. P. 1063. Подчерк-
Подчеркнем, что речь идет о возмущениях, происходящих от самого центрально-
центрального тела. Поставленное условие на бесконечности исключает случаи, когда
статические возмущения исходят от внешних источников: в таких случаях
малые возмущения лишь несколько искажают шварцшильдову сферу, не
меняя ее качественных свойств и не создавая на ней истинной простран-
пространственно-временной особенности.

§104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	431
мущений внешнего поля в данном случае, как уже было указано,
нет никаких оснований.
Отклонения от сферической симметрии в распределении
плотности тела описываются квадрупольным и высшими муль-
типольными моментами этого распределения; каждый из них да-
дает свой вклад во внешнее гравитационное поле. Сделанное утвер-
утверждение означает, что все такие возмущения внешнего поля зату-
затухают на конечных (с точки зрения внешнего наблюдателя) ста-
стадиях коллапсах). Установившееся гравитационное поле коллап-
сара оказывается снова центрально-симметричным полем Швар-
цшильда, определяющимся одной только полной массой тела.
Вопрос о конечной судьбе тела в его коллапсе под гори-
горизонтом событий (не наблюдаемом из внешней системы отсчета)
не вполне ясен. Можно, по-видимому, утверждать, что и здесь
коллапс заканчивается истинной особенностью пространствен-
пространственно-временной метрики, но особенностью совсем другого типа,
нежели в центрально-симметричном случае. Этот вопрос, одна-
однако, в настоящее время еще не выяснен до конца.
Обратимся к случаю, когда слабое нарушение сферической
симметрии связано не только с распределением плотности, но и
с вращением тела как целого; предполагаемая малость отклоне-
отклонений от сферической симметрии означает при этом достаточную
медленность вращения. Все сказанное выше остается в силе, за
одним лишь исключением. Заранее ясно, что в силу сохранения
полного момента импульса тела М поле коллапсара в этом слу-
случае не может зависеть от одной только массы. Этому как раз
соответствует то обстоятельство, что среди не зависящих от вре-
времени стационарных (но не статических) возмущений централь-
центрально-симметричного гравитационного поля есть одно, которое не
растет неограниченно при г —>• rg. Это возмущение связано имен-
именно с вращением тела и описывается добавкой к шварцшильдову
метрическому тензору g^ (в координатах ж0 = ?, х1 = г, х2 = 6,
xs = ф) малой недиагональной компоненты2):
2кМ . 2л	(лс\а л \
gO3 = 	siir0	A04.1)
г
(см. задачу к § 105). Это выражение остается справедливым (во
внешнем пространстве) при приближении тела к гравитацион-
гравитационному радиусу, и, таким образом, гравитационное поле медленно
вращающегося коллапсара будет (в первом приближении по ма-
х) Закон этого затухания см. R. H. Price// Phys. Rev. D. 1972. V. 5. P. 2419,
2439. Начальные статические /-польные возмущения внешнего гравитацион-
гравитационного поля затухают при коллапсе как l/t2l+2.
2) В этом параграфе полагаем с = 1.

432
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
лому моменту М) центрально-симметричным шварцшильдовым
полем с малой поправкой A04.1). Это поле уже не статично, а
лишь стационарно.
Если гравитационный коллапс допускается при малых нару-
нарушениях сферической симметрии, то коллапс такого же характера
(с уходом тела под горизонт событий) должен быть возможен
и в некоторой конечной области значительных отклонений от
сферичности; условия, определяющие эту область, в настоящее
время еще не установлены. Вне зависимости от этих условий
можно, по-видимому, утверждать, что свойства возникающего в
результате такого коллапса образования (вращающегося коллап-
сара) с точки зрения внешнего наблюдателя не зависят ни от ка-
каких характеристик первоначального тела, за исключением лишь
его полных массы т и момента М1). Если тело не вращается
как целое (М = 0), то внешнее гравитационное поле коллапсара
есть центрально-симметричное поле Шварцшильда2).
Гравитационное же поле вращающегося коллапсара дает-
дается следующей аксиально-симметричной стационарной метрикой
Керра3)
ЩЬ2 _ ldr2 _ p2 dQ2_
Vf sin2 ^
где введены обозначения
A = r2 -rgr + а2, р2 = г2 + a2 cos2 0,	A04.3)
a rg по-прежнему равно 2тк. Эта метрика зависит от двух посто-
х) Во избежание недоразумений напомним, что мы не рассматриваем тел,
несущих на себе нескомпенсированный электрический заряд.
) Это утверждение существенно подкрепляется следующей теоремой Из-
раэля: среди всех статических, галилеевых на бесконечности решений урав-
уравнений Эйнштейна с замкнутыми односвязными пространственными поверх-
поверхностями goo = const, t = const решение Шварцшильда является един-
единственным без особенностей пространственно-временной метрики, имеющим
горизонт (goo = 0) (доказательство этого утверждения: см. W. Israel// Phys.
Rev. 1967. V. 164. P. 1776).
3) Это решение уравнений Эйнштейна было открыто Керром (R. Кегг,
1963) в другом виде и приведено к форме A04.2) Бойером и Линдквистом
(R. H. Boyer, R. W. Lindquist, 1967). В литературе нет конструктивного ана-
аналитического вывода метрики A04.2), адекватного ее физическому смыслу, и
даже прямая проверка этого решения уравнений Эйнштейна связана с гро-
громоздкими вычислениями. Утверждение об единственности метрики Керра
как поля вращающегося коллапсара подкрепляется теоремой, аналогичной
упомянутой выше теореме Израэля для поля Шварцшильда (см. В. Carter//
Phys. Rev. Lett. 1971. V. 26. P. 331).

§ 104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	433
янных параметров, шиа, смысл которых ясен из предельного
вида метрики на больших расстояниях г. С точностью до членов
~ 1/г имеем
1 rg	rga . 2 л
goo « 1 - —, go3 ~ — sin 0;
r	r
сравнение первого выражения с A00.18), а второго с A04.1) пока-
показывает, что т есть масса тела, а параметр а связан с моментом М
соотношением
М = та	A04.4)
(М = mac в обычных единицах). При а = 0 метрика Кер-
ра переходит в шварцшильдову метрику в ее стандартном ви-
виде A00.14)х). Обратим внимание также на то, что форма A04.2)
в явном виде выявляет симметрию по отношению к обращению
времени: это преобразование (? —»> —t) меняет также и нап-
направление вращения, т.е. знак момента (а —»> —а), в результате
чего ds2 остается неизменным.
Определитель метрического тензора из A04.2):
-g = р4 sin2 в.	A04.5)
Приведем также контравариантные компоненты gl , сведя их в
следующем выражении для квадрата оператора 4-градиента:
ё дх'дхк~ д1 + + р2	)\dt) р
д \2	1 Л rgr\ ( д \2 , 2?-gra д д ,лпл пЛ
)	fK) +-^Г^л- A046)
При 7П = 0, в отсутствие тяготеющей массы, метрика A04.2)
должна сводиться к галилеевой. Действительно, выражение
V "т" С1
представляет собой галилееву метрику
ds2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2,
написанную в пространственных сплюснутых сфероидальных
координатах; преобразование этих координат в декартовы осу-
1) С точностью до членов первого порядка по а метрика A04.2) при а <^ 1
отличается от метрики Шварцшильда лишь членом Brga/r) sin Odipdt —
в согласии со сказанным выше о случае слабого отклонения от сферической
симметрии.

434
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
ществляется формулами
х = у г2 + a2 sin в cos <р,
у = у г2 + a2 sin в sin <р,
z = г cos 0;
поверхности г = const представляют собой сплюснутые эллип-
эллипсоиды вращения:
г2 + а2
Метрика A04.2) имеет фиктивные особенности, подобно тому
как метрика Шварцшильда A00.14) имеет фиктивную особенно-
особенности при г = rg. Но в то время как в шварцшильдовом случае на
поверхности г = rg происходит одновременное обращение goo B
нуль и gn в бесконечность, в метрике Керра эти две поверхности
разделены. Равенство goo — 0 имеет место при р2 = rrg\ больший
из двух корней этого квадратного уравнения есть
(goo = O).	A04.8)
Обращение же gn в бесконечность имеет место при А = 0;
больший из двух корней этого уравнения:
Ггор= 2+VV2J "°2 km = o°)- A04-9)
Поверхности г = г о и г = ггор, физический смысл которых вы-
выяснится ниже, будем обозначать для краткости символами So и
Srop. Поверхность Srop представляет собой сферу, a So — сплюс-
сплюснутую фигуру вращения, причем Srop заключена внутри So и обе
поверхности касаются друг друга в полюсах (в = 0 и в = тг).
Как видно из A04.8),A04.9), поверхности So и Srop существу-
существуют только при а ^ гё/2. При а > rg/2 характер метрики A04.2)
радикально меняется, причем в ней появляются физически
недопустимые свойства, нарушающие принцип причинностиг).
х) Эти нарушения проявляются в появлении замкнутых времениподобных
мировых линий: они давали бы возможность отправиться в прошлое с
дальнейшим возвращением в будущее. Сразу же упомянем, что такие же
нарушения появляются при продолжении метрики Керра внутрь SVop уже
и при а < rg/2, что свидетельствует о физической неприменимости этой
метрики внутри Srop (мы вернемся еще к этому обстоятельству ниже).
По этой же причине не представляют физического интереса поверхности,
определяемые меньшими корнями квадратных уравнений goo = 0 и 1/gii =
= 0 и лежащие внутри 5гор; см. В. Carter// Phys. Rev. 1968. V. 174, P. 1559.

§ 104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	435
Потеря смысла метрикой Керра при а > rg/2 означает, что
значение
^	^р	A04.10)
дает верхнюю границу возможных значений момента коллапса-
ра. При этом, по-видимому, его надо рассматривать как предель-
предельное значение, к которому можно подойти сколь угодно близко,
но точное равенство а = атах невозможно. Соответствующие
предельные значения радиусов поверхностей So и Srop:
го = ^A + sine), ггор = ^.	A04.11)
Покажем, что поверхность Srop является горизонтом собы-
событий, пропускающим движущиеся частицы и лучи света лишь в
одном направлении —внутрь.
Предварительно покажем с более общей точки зрения, что
свойством одностороннего пропускания мировых линий движу-
движущихся частиц обладает всякая нулевая гиперповерхность (т. е.
гиперповерхность, нормаль к которой в каждой ее точке явля-
является нулевым 4-вектором). Пусть гиперповерхность задана урав-
уравнением /(ж0, ж1, ж2, ж3) = const. Нормаль к ней направлена вдоль
4-градиента щ = д//дхг, так что для нулевой гиперповерхности
имеем щпг = 0. Это значит, другими словами, что направление
нормали лежит в самой гиперповерхности: вдоль гиперповерхно-
гиперповерхности df = щ dx1 = 0 и это равенство выполняется, когда направ-
направления 4-векторов dx1 и пг совпадают. При этом, в силу того же
свойства щпг = 0, элемент длины на гиперповерхности в том же
направлении: ds = 0. Другими словами, вдоль этого направления
гиперповерхность касается в данной точке построенного из этой
точки светового конуса. Таким образом, построенные (скажем, в
сторону будущего) из каждой точки нулевой гиперповерхности
световые конусы лежат целиком по одну из ее сторон, касаясь
(в этих точках) гиперповерхности вдоль одной из своих обра-
образующих. Но это свойство как раз и означает, что (направленные
в будущее) мировые линии частиц или световых лучей могут
пересекать гиперповерхность лишь в одну сторону.
Описанное свойство нулевых гиперповерхностей имеет обыч-
обычно физически тривиальный характер: одностороннее пропуска-
пропускание через них выражает собой просто невозможность движения
со скоростью, большей скорости света (простейший пример тако-
такого рода: гиперплоскость х = t в плоском пространстве-времени).
Нетривиальная новая физическая ситуация возникает, когда ну-
нулевая гиперповерхность не простирается на пространственную

436
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
бесконечность, так что ее сечения t = const представляют собой
замкнутые пространственные поверхности; эти поверхности и
являются горизонтом событий в том смысле, как это было опи-
описано для шварцшильдовой сферы в центрально-симметричном
гравитационном поле.
Такой же является и поверхность S^op в поле Керра. Действи-
Действительно, условие щпг = 0 для гиперповерхности вида f(r,6) =
= const в поле Керра имеет вид
(glk из A04.6)). Это уравнение не выполняется на So, но выпол-
выполняется на Srop (для которой df/дв = 0, А = 0).
Продолжение метрики Керра внутрь поверхности горизонта
(подобно тому, как это было показано в § 102, 103 для метри-
метрики Шварцшильда) не имеет физического смысла. Такое продол-
продолжение зависело бы лишь от тех же двух параметров (га и а),
что и поле вне Srop, и уже отсюда ясно, что оно не могло бы
иметь отношения к физической задаче о судьбе коллапсирующе-
го тела после его ухода под горизонт. Эффекты несферичности в
сопутствующей системе отсчета отнюдь не затухают, а, напротив,
должны нарастать при дальнейшем сжатии тела, и потому нет
никаких оснований ожидать, чтобы поле под горизонтом могло
определяться лишь полными массой и моментом тела1).
Обратимся к свойствам поверхности Sq и пространства меж-
между нею и горизонтом (эту область поля Керра называют эргосфе-
рой).
Основное свойство эргосферы состоит в том, что никакая
частица здесь не может оставаться в покое по отношению к си-
системе отсчета удаленного наблюдателя: при r,6,(p = const имеем
ds2 < 0, т. е. интервал не времениподобен, как это должно было
бы быть для мировой линии частицы; переменная t теряет свой
временной характер. Таким образом, жесткая система отсчета
не может простираться от бесконечности внутрь эргосферы, и в
этом смысле So можно назвать пределом стационарности.
Характер движения, в котором должны находиться частицы
в эргосфере, существенно отличается от того, что мы имели
внутри горизонта в поле Шварцшильда. В последнем случае ча-
частицы тоже не могли покоиться относительно внешней системы
отсчета, причем для них было невозможно г = const: все частицы
должны двигаться радиально по направлению к центру. В эрго-
1) Математически эта ситуация проявляется в упомянутом уже нарушении
принципа причинности при продолжении метрики Керра внутрь Srop.

§ 104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	437
сфере же поля Керра для частицы невозможно <р = const (части-
(частицы непременно должны вращаться вокруг оси симметрии поля),
но г = const для частицы возможно. Более того, частицы (и све-
световые лучи) могут двигаться как с уменьшением, так и с увеличе-
увеличением г, выходя при этом из эргосферы во внешнее пространство.
В соответствии с последним обстоятельством находится также
и возможность достижения эргосферы частицей, приходящей из
внешнего пространства: время достижения поверхности So такой
частицей (или лучом света), отсчитываемое по часам t удален-
удаленного наблюдателя, конечно для всей So, за исключением лишь
ее полюсов, в которых So касается Srop, время достижения этих
точек, как и всей Srop, разумеется, по-прежнему бесконечно1).
Ввиду неизбежности вращательного движения частиц в эрго-
сфере естественная форма представления метрики в этой области:
ds2= (goo-^)dt2+gndr2+g22de2+g3s(dip+^dt). A04.13)
V	g33/	V	g /
Коэффициент при dt2
goo - — =
g33 t2 + a2 + rgra2 sin2 0/p2
положителен везде вне Srop (и не обращается в нуль при So);
интервал ds на г = const, в = const dip = —(gos/g33)dt времени-
подобен. Величина
_^ = 	^	(Ю4.14)
g33 p2(r2 + a2)+rgra2 sin2 0	V	J
играет роль общей «угловой скорости вращения эргосферы» от-
относительно внешней системы отсчета (причем направление это-
этого вращения совпадает с направлением вращения центрального
телаJ).
) Время достижения отдельных точек So может оказаться бесконечным
также и в частных случаях специальных значений энергии и момента им-
импульса частицы, подобранных так, чтобы радиальная скорость обращалась
в нуль в данной точке на So.
2) Обратим внимание на то, что интервалы собственного времени для ча-
частиц, движущихся вдоль границы эргосферы, не обращаются в нуль вместе
с goo- В этом смысле So не является поверхностью «бесконечного красного
смещения»; частоты световых сигналов, посылаемых с нее движущимся
источником (покоиться источник здесь вообще не может) и наблюдаемых
удаленным наблюдателем, не обращаются в нуль. Напомним, что на швар-
цшильдовой сфере в центрально-симметричном поле вообще не могли нахо-
находиться ни неподвижные, ни движущиеся источники (нулевая гиперповерх-
гиперповерхность не может содержать в себе времениподобных мировых линий). «Беско-
«Бесконечное красное смещение» состояло в этом случае в стремлении к нулю при
г —»> rg интервалов собственного времени dr = y/goo dt (при заданном dt),
отсчитываемых по неподвижным относительно системы отсчета часам.

438
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Энергия частицы, определенная как производная —dS/дт от
действия по собственному времени частицы т, синхронизован-
синхронизованному вдоль траектории, всегда положительна (см. §88). Но, как
было объяснено в § 88, при движении частицы в поле, не зави-
зависящем от переменной ?, сохраняется энергия ?q, определенная
как производная —dS/dt\ эта величина совпадает с ковариантной
компонентой 4-импульса ро = тщ = mgoidx1 (здесь т — масса
частицы). Тот факт, что переменная t (время по часам удален-
удаленного наблюдателя) не имеет в эргосфере временного характера,
приводит к своеобразной ситуации: в этой области goo < 0, и
потому величина
r + gosu°J = m[goo— + gos~^
может быть отрицательной. Поскольку во внешнем простран-
пространстве, где t — время, энергия Sq не может быть отрицательной, то
частица с ?q < 0 не может попасть в эргосферу извне. Возмож-
Возможный источник возникновения такой частицы состоит в распаде
влетающего в эргосферу тела, скажем, на две части, из которых
одна захватывается на орбиту с «отрицательной энергией». Эта
часть уже не может выйти из эргосферы и в конце концов за-
захватывается внутрь горизонта. Вторая же часть может выйти
обратно во внешнее пространство; поскольку ^ — сохраняюща-
сохраняющаяся аддитивная величина, то энергия этой части окажется при
этом больше энергии первоначального тела — произойдет извле-
извлечение энергии из вращающегося коллапсара (R. Penrose, 1969).
Наконец, отметим, что хотя поверхность So не является осо-
особой для пространственно-временной метрики, чисто простран-
пространственная метрика (в системе отсчета A04.2)) имеет здесь осо-
особенность. Вне So, где переменная t имеет временной характер,
пространственный метрический тензор вычисляется по (84.7) и
элемент пространственного расстояния имеет вид
df = Pldr2 + p2d62 + Asin*2 V.	A04.15)
A	1 — rrg/p
Вблизи So длины параллелей (в = const, г = const) стремятся
к бесконечности по закону 27rasin2 в/^goo. Здесь же стремится
к бесконечности также и разность показаний часов (см. (88.5))
при их синхронизации вдоль этого замкнутого контура.
Задачи
1. Произвести разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
для частицы, движущейся в поле Керра (В. Carter, 1968).
Решение.В уравнении Гамильтона-Якоби
s дхгдхк

§ 104	ГРАВИТАЦИОННЫЙ КОЛЛАПС НЕСФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ	439
G77,— масса частицы, не смешивать с массой центрального тела!) с gl из
A04.6) время t и угол ip—циклические переменные; поэтому они входят в
действие S в виде — S^t + Lip, где <?Ь — сохраняющаяся энергия, а буквой L
обозначена компонента момента частицы вдоль оси симметрии поля. Оказы-
Оказывается, что и переменные 9 и г могут быть разделены. Представив S в виде
S = -got + Lip + Sr(r) + Se(9),	A)
сведем уравнение Гамильтона-Якоби к двум обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнениям (ср. I, §48):
У + а2т2 cos2 в = К,
81П^	B)
Г^у _ ± 2 +a2	_ aL]2 +ш2г2 = _R
V dr ) A
где К (параметр разделения) —новая произвольная постоянная. Функции Se
и Sr определяются отсюда простыми квадратурами.
4-импульс частицы:
р1 = 777,	 = g% Pk = — g% -Z—J7-
ds	ox
Вычисляя правую часть этого равенства с помощью A) и B), получим
следующие уравнения:
dt	rgra S'o ( 2 2 rgra . 2 n\	/o\
777-	 =	~	L -\- 	 [ V \ CL \ 	7)— Sin C/ I ,	( о)
ds	p A	A ^	p	'
dip	L	(	7V7" \ TgTQj -
ds Asin20^ f? ' p2A
ds' p	p
— ) = —7 [K — a2m2 cos2 в)	j (a<?b sin0	) .	F)
ds' p V	/ p V	sin^/
Эти равенства — первые интегралы уравнений движения (уравнений геоде-
геодезических линий). Уравнение траектории и зависимость координат от вре-
времени вдоль траекторий могут быть найдены либо из C)-F), либо прямо из
уравнений
as + as + as
	= const, — = const, 	= const.
OS'o	OL	8K
Для световых лучей в правых частях уравнений C)-F) надо положить m =
= 0 и писать ujq вместо S'o (ср. § 101), а в левых частях вместо производных
dm/ds надо писать производные d/d\ по параметру Л, меняющемуся вдоль
лучей (ср. §87).
Уравнения D)-F) допускают чисто радиальное движение лишь вдоль
оси вращения тела, как это ясно уже из соображений симметрии. Из тех
же соображений ясно, что движение в одной «плоскости» возможно, лишь
если эта плоскость экваториальная. В последнем случае, положив в = тг/2 и

440
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
выразив К через So и L из условия d6/ds=0, получим уравнения движения
в виде
А
т = f
ds А
- ^[(aS0 - LJ + mV].	(9)
r4
2. Определить радиус ближ:айп1ей к центру устойчивой круговой орбиты
частицы, движущейся в экваториальной плоскости предельного поля Керра
(а -> rg/2) (R. Ruffini, J. A. Wheeler, 1969).
Решение. Поступая аналогично решению задачи 1 § 102, вводим
«эффективную потенциальную энергию» t/(r), определенную согласно
[(г2 + a2)U(r) - aLf - A[(aU(r) - LJ + r2m2] = 0
(при So = U правая часть уравнения (9) обращается в нуль). Радиусы устой-
устойчивых орбит определяются минимумами функции t/(r), т.е. совместным
решением уравнений U(r) = So, U'(r) = 0 при U"(r) > 0. Ближайшей к
центру орбите отвечает равенство [/"(rmin) = 0; при г < rmin функция U(r)
не имеет минимумов. В результате получаются следующие значения пара-
параметров движения:
а) При L < 0, т. е. при движении частицы в направлении, обратном
направлению вращения коллапсара:
Tmin	9	^05	L	11
I g	A	III	ОV *->	иь> g
б) При L > 0 (движение в направлении вращения коллапсара) при
а —»> — радиус rmin стремится к радиусу горизонта. Положив а = — A +
+ д), получим при <5 —»> 0:
Ггор i	.— Гт1п i	г.3
rg 2	rg 2
При этом
W3i
Обратим внимание на то, что все время остается rmm/rvop > 1, т.е. орбита
проходит вне горизонта. Так и должно было быть: горизонт представляет
собой нулевую гиперповерхность, в которой не могут лежать времениподоб-
ные мировые линии движущихся частиц.
§ 105. Гравитационное поле вдали от тел
Рассмотрим стационарное гравитационное поле на больших
расстояниях г от создающего его тела и определим первые члены
его разложения по степеням 1/г.

§ 105	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ	441
Вдали от тела поле слабое. Это значит, что метрика простран-
пространства-времени здесь почти галилеева, т. е. можно выбрать такую
систему отсчета, в которой компоненты метрического тензора
почти равны своим галилеевым значениям:
Соответственно этому представим gik B виде
Sik = Е§ + Ьк,	(Ю5.2)
где hik — малые поправки, определяющие гравитационное поле.
Оперируя с тензором /г^, условимся в дальнейшем поднимать
и опускать его индексы с помощью «невозмущенной» метрики:
hi — g^klhu—n При этом необходимо отличать hlk от поправок
в контравариантных компонентах метрического тензора glk. По-
Последние определяются решением уравнений
так, с точностью до величин второго порядка малости находим
gik = gik(Q) _ hik + hihlk	A05 3)
С той же точностью определитель метрического тензора
A05.4)
где h = h\.
Сразу ж:е подчеркнем, что условие малости h^ отнюдь не
фиксирует однозначного выбора системы отсчета. Если это усло-
условие выполнено в какой-либо одной системе, то оно будет выпол-
выполнено и после любого преобразования х'г = хг + ?г, где ?г — малые
величины. Согласно (94.3) тензор h^ переходит при этом в
^ = "-*-0-i-	<105-5>
где ?г — ёж € (ВВИДУ постоянства g}kJ ковариантные производ-
производные в (94.3) сводятся в данном случае к обычным производ-
производным) х).
В первом приближении, с точностью до членов порядка 1/г,
малые добавки к галилеевым значениям даются соответствую-
соответствующими членами разложения центрально-симметричной метрики
1) Для стационарного поля естественно допускать лишь преобразования, не
нарушающие независимости gik от времени, т. е. ?г должны быть функциями
лишь от пространственных координат.

442
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Шварцшильда. В соответствии с отмеченной неопределенно-
неопределенностью в выборе (галилеевой на бесконечности) системы отсчета,
конкретный вид h^ зависит при этом от способа определения
радиальной координаты г. Так, если шварцшильдова метрика
представлена в виде A00.14), первые члены ее разложения при
больших г даются выражением A00.18). Перейдя в нем от сфе-
сферических пространственных координат к декартовым (для чего
надо заменить dr = nadxa, где п —единичный вектор в направ-
направлении г), получим следующие значения:
4о=-7> h^ = -rfnanp, 4^=0,	A05.6)
где rg = 2кт/с2 х).
Среди членов второго порядка, пропорциональных 1/г2, име-
имеются члены двоякого происхождения. Часть членов возникает в
результате нелинейности уравнений Эйнштейна из членов пер-
первого порядка. Поскольку последние зависят только от массы (но
не от каких-либо других характеристик) тела, то только от нее
же зависят и эти члены второго порядка. Ясно поэтому, что и
эти члены можно получить путем разложения шварцшильдовой
метрики. В тех же координатах найдем
Остальные члены второго порядка возникают как соответ-
соответствующие решения линеаризованных уравнений поля. Имея в
виду также и дальнейшие применения, произведем линеариза-
линеаризацию уравнений, выписывая сначала формулы в более общем ви-
виде, чем понадобится здесь, — не учитывая сразу стационарности
поля.
При малых hik величины Ггк1, выражающиеся через произ-
производные от hik, тоже малы. Пренебрегая степенями выше первой,
мы можем оставить в тензоре кривизны (92.1) только члены в
первой скобке:
2	d2hki d2hkm d2hu
1) Если же исходить из метрики Шварцшильда в изотропных простран-
пространственных координатах (см. задачу 4 § 100), мы получили бы:
&#=--, C = --<W> С=0-	(Ю5.6а)
Г	Г
Переход от A05.6) к A05.6а) осуществляется преобразованием A05.5) с

§ 105	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ	443
Для тензора Риччи имеем с той же точностью:
ИЛИ
d%fc | d2h\	d2hj
- ( J
~ \ g
dxkdxl + дхЮх1 дх
Выражение A05.9) можно упростить, воспользовавшись ос-
оставшимся произволом в выборе системы отсчета. Именно, нало-
наложим на hik четыре (по числу произвольных функций ?г) допол-
дополнительных условия
g? = 0, ^ = К\-\ь\Ъ.	A05.10)
Тогда последние три члена в A05.9) взаимно сокращаются и
остается
\?&- <105-п>
В интересующем нас здесь стационарном случае, когда h^
не зависят от времени, выражение A05.11) сводится к R^ =
= Ahik/2, где А —оператор Лапласа по трем пространственным
координатам. Уравнения же Эйнштейна для поля в пустоте сво-
сводятся, таким образом, к уравнениям Лапласа
Ahik = 0,	A05.12)
с дополнительными условиями A05.10), принимающими вид
о,	(Ю5.13)
= 0.	A05.14)
Обратим внимание на то, что эти условия все еще не фиксируют
вполне однозначного выбора системы отсчета. Легко убедиться
в том, что если h^ удовлетворяют условиям A05.13), A05.14),
то таким же условиям будут удовлетворять и hfik A05.5), если
только ?г удовлетворяют уравнениям
Af = 0.	A05.15)
Компонента /гоо должна даваться скалярным решением трех-
трехмерного уравнения Лапласа. Такое решение, пропорциональное
1/г2, имеет, как известно, вид aV(l/r), где а — постоянный век-

444
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
тор. Но член такого вида в /гоо всегда может быть ликвидирован
путем простого смещения начала координат в члене первого
порядка по 1/г. Таким образом, наличие такого члена свиде-
свидетельствовало бы лишь о неудачном выборе начала координат и
потому не представляет интереса.
Компоненты hoa даются векторным решением уравнения Ла-
Лапласа, т. е. должны иметь вид
h	\ д 1
где \ар — постоянный тензор. Условие A05.14) дает
д2 1 -п
откуда следует, что Ха/з должны иметь вид аа/з + \5а/з, где аа/з —
антисимметричный тензор. Но решение вида А	может быть
дха г
исключено преобразованием A05.5) с ?° = А/г, ?а = 0 (удо-
(удовлетворяющими условию A05.15)). Поэтому реальным смыслом
обладает лишь решение
Наконец, аналогичными, хотя и более громоздкими рассу-
рассуждениями можно показать, что надлежащим преобразованием
пространственных координат всегда можно исключить величи-
величины haj3, даваемые тензорным (симметричным по ск, /3) решением
уравнения Лапласа.
Что касается тензора аа/#, то он связан с тензором полного
момента Ма/#, и окончательное выражение для hoa имеет вид
l	М^'	A05Л6)
Покажем это путем вычисления интеграла (96.17).
Момент Мар связан только с /ioa5 и потому при вычислении
все остальные компоненты h^ можно считать отсутствующими.
С точностью до членов первого порядка по hoa имеем из (96.2),
(96.3) (замечаем, что ga0 = — ha0 = /iao, а — g отличается от 1
лишь на величины второго порядка):

§ 105	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ	445
При подстановке сюда A05.16) второй член под знаком произ-
производной исчезает, а первый дает
8тг ' дхрдх1 г	8тг '	г
С помощью этого выражения находим, производя интегрирова-
интегрирование в (96.17) по поверхности сферы радиуса г (df1 = ^
= —±- Г(паг
1	2
-{Sa-yMp^ - бр^Ма-у) = ~Мар.
о	о
Аналогичное вычисление дает
- h0odfa) = i
Складывая обе величины, получим требуемое значение Ма/#.
Подчеркнем, что в общем случае, когда поле вблизи тела
может не быть слабым, Мар есть момент импульса тела вместе
с гравитационным полем. Лишь если поле слабо на всех рассто-
расстояниях, его вкладом в момент можно пренебречь1).
Формулы A05.6), A05.7) и A05.16) решают поставленный
вопрос с точностью до членов порядка 1/г22). Ковариантные
компоненты метрического тензора:
в* = «*)+л2)+л2)-	A05-17)
При этом, согласно A05.3), контравариантные компоненты с той
же точностью равны
ik = gik@) _ hik(i) _ hikB)
gik =
1)	Если вращающееся тело имеет сферическую форму, то направление М
остается единственным выделенным направлением для поля во всем про-
пространстве вне тела. Если при этом поле слабо везде (а не только вдали
от тела), то формула A05.16) справедлива во всем пространстве вне тела.
Эта формула остается справедливой во всем пространстве и в том случае,
когда центрально-симметричная часть поля не является везде слабой, но
сферическое тело вращается достаточно медленно — см. задачу 1.
2)	Преобразования A05.5) с ?° = 0, ?а = ^(ж1,^2,^3) не меняют hOa.
Поэтому выражение A05.16) не зависит от выбора координаты г.

446
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Формула A05.16) может быть переписана в векторном виде
как1)
g=J^[nM],	A05.19)
где М — вектор полного момента тела. В задаче 1 § 88 было
показано, что в стационарном гравитационном поле на частицу
действует «кориолисова сила», такая же, какая действовала бы
на частицу в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью:
Поэтому можно сказать, что в поле вращающегося тела на уда-
удаленную частицу действует кориолисова сила, отвечающая угло-
угловой скорости:
Пъ ^rotg= -^[М-Зп(Мп)].	A05.20)
Наконец, применим выражения A05.6) для вычисления пол-
полной энергии гравитирующего тела по интегралу (96.16). Вычис-
Вычислив нужные коэффиценты hlkl по формуле (96.2), (96.3), полу-
получим с требуемой точностью (оставляем члены ~ 1/г2):
д ^оо^
8тг ОхЛ г ^ г3 ) 4тг г2 *
167Г& дхР V° °
Интегрируя теперь в (96.16) по сфере радиуса г, получим окон-
окончательно:
Р* = 0, Р° = тс	A05.21)
— результат, который естественно было ожидать. Он является
выражением факта равенства, как говорят, «тяжелой» и «инерт-
«инертной» масс («тяжелой» называют массу, определяющую создава-
создаваемое телом гравитационное поле, — это та масса, которая входит
в метрический тензор в гравитационном поле или, в частности,
в закон Ньютона; «инертная» же масса определяет соотношение
между импульсом и энергией тела и, в частности, энергия покоя
тела равна этой его массе, умноженной на с2).
В случае постоянного гравитационного поля оказывается воз-
возможным вывести простое выражение для полной энергии мате-
материи вместе с полем в виде интеграла только по пространству,
1) С рассматриваемой точностью вектор ga = — goa/goo ~ —goa- По той же
причине в определениях векторного произведения и ротора (см. примеч. на
с. 341) надо положить 7=1, так что их можно понимать в обычном для
декартовых векторов смысле.

§ 105	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ	447
занятому материей. Получить его можно, например, исходя из
следующего выражения, справедливого, когда все величины не
зависят отж01):
R°o = ^=^(х/=^°Г?).	A05.22)
Интегрируя R^—g по (трехмерному) пространству и применив
трехмерную теорему Гаусса, получим
r? dfa.
Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и вос-
воспользовавшись на ней выражениями A05.6) для g^, получим
после простого вычисления:
Замечая также, что, согласно уравнениям поля,
получаем искомую формулу
Р° = тс = - Лго° - Tl - Г22 - T%)^gdV,	A05.23)
Эта формула выраж:ает полную энергию материи и постоянного
гравитационного поля (т. е. полную массу тела) через тензор
энергии-импульса одной только материи (R. Tolman, 1930). На-
Напомним, что в случае центральной симметрии поля мы имели для
той же величины еще и другое выражение — формулу A00.23).
х)Из (92.7) имеем
Л0 = g HiO = g
а с помощью (86.5) и (86.8) находим, что это выражение может быть напи-
написано как
с помощью того же соотношения (86.8) легко убедиться в том, что второй
-|	р\ lm
член справа тождественно равен	Г°т	— и вследствие независимости
2 дх
всех величин от х° обращается в нуль. Наконец, заменив по той же причине
в первом члене суммирование по / суммированием по а, получим A05.22).

448
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Задачи
1. Показать, что формула A05.16) остается справедливой для поля
во всем пространстве вне вращающегося сферического тела при условии
медленности вращения (момент М <С cmrg), но без требования слабости
центрально-симметричной части поля (А. Г. Дорошкевич, Я.Б.Зельдович,
И.Д.Новиков, 1965; В. Гурович, 1965).
Решение.В сферических пространственных координатах (х1 = г,
х2 = в, х3 = (р) формула A05.16) записывается как
.	2кМ .2	...
/103 = 	«~ Sm в'	A)
ГС
Рассматривая эту величину как малую поправку к шварцшильдовой метри-
метрике A00.14), надо проверить выполнение линеаризованного по /1оз уравнения
_R03 = 0 (в остальных уравнениях поля поправочные члены выпадают
тождественно). Доз можно вычислить по формуле D) из задачи к §95,
причем линеаризация сводится к тому, что трехмерные тензорные операции
должны производиться по «невозмущенной» метрике A00.15). В результате
получается уравнение
d2h03 , 2rgu sin<9 д ( 1 dhO3\ n
которому выражение A) действительно удовлетворяет.
2. Определить систематическое (вековое) смещение орбиты частицы,
движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего
(J.Lense, H. Thirring, 1918).
Решение. Ввиду малости всех релятивистских эффектов они накла-
накладываются друг на друга линейно, и при вычислении эффектов, происходя-
происходящих от вращения центрального тела, можно пренебречь рассмотренным в
§ 101 влиянием неньютоновости центрально-симметричного силового поля;
другими словами, можно производить вычисления, считая из всех hik от-
отличными от нуля лишь hoa.
Ориентация классической орбиты частицы определяется двумя сохра-
сохраняющимися векторами: моментом импульса частицы М = [гр] и вектором
kmm'r
сохранение которого специфично для ньютонова поля (р = —km'/г [т —
масса центрального тела, т— масса частицы); см. I, §15. Вектор М пер-
перпендикулярен к плоскости орбиты, а вектор А направлен вдоль большой
полуоси эллипса в сторону перигелия (и по величине равен ктт'е, где е —
эксцентриситет орбиты). Искомое вековое смещение орбиты можно описы-
описывать как изменение направления этих векторов.
Функция Лагранжа частицы, движущейся в поле A05.19):
L = — тс— = Lo + oL, 6L = mcgv =	(M [vrjj	A)
dt	с г
(момент центрального тела обозначаем здесь через М7 в отличие от момента
частицы М). Отсюда функция Гамильтона (ср. I, D0.7))
czr6

§ 105	ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВДАЛИ ОТ ТЕЛ	449
Вычисляя производную М = [гр] + [гр] с помощью уравнений Гамиль-
Гамильтона г = dJ$?/dp, p = —dJ$?/dr, получим
с2 г3
Интересуясь вековым ходом изменения М, мы должны усреднить это вы-
выражение по периоду Т обращения частицы. Усреднение удобно произвести
с помощью параметрического представления зависимости г от времени при
движении по эллиптической орбите в виде
Т
г = аA — ecos?), t =—(? — esin?)
2тг
(а и е — большая полуось и эксцентриситет эллипса; см. I, § 15):
Т	2тг
Т	Т J г3 2тга3 J A-ecoeO2 о3A-е2K/2'
Таким образом, вековое изменение М дается формулой
dM _ 2fc[M;M]
dt "c2a3(l-e2K/2'	( j
т. е. вектор М вращается вокруг оси вращения центрального тела, оставаясь
неизменным по величине.
Аналогичное вычисление для вектора А дает
Усреднение этого выражения производится аналогично тому, как это было
сделано выше; при этом из соображений симметрии заранее очевидно, что
усредненный вектор г/г5 направлен вдоль большой полуоси эллипса, т. е.
вдоль направления вектора А. Вычисление приводит к следующему выра-
выражению для векового изменения вектора А:
(п, л' — единичные векторы в направлении М и М7), т.е. вектор А враща-
вращается с угловой скоростью ft, оставаясь неизменным по величине; последнее
обстоятельство означает, что эксцентриситет орбиты не испытывает веково-
векового изменения.
Формулу C) можно написать в виде
dt
с тем же ft, что и в D); другими словами, ft есть угловая скорость вращения
эллипса «как целого». Это вращение включает в себя как дополнительное
(по отношению к рассмотренному в § 101) смещение перигелия орбиты, так
и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний
72 15 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

450
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с экваториальной
плоскостью центрального тела).
Для сравнения укажем, что рассмотренному в § 101 эффекту соответ-
соответствует
_ бтгкт
~ с2аA-е2)ТП'
§ 106. Уравнения движения системы тел
во втором приближении
Как мы увидим ниже (§110), система движущихся тел из-
излучает гравитационные волны, теряя при этом энергию. Эта
потеря, однако, появляется лишь в пятом приближении по 1/с.
В первых же четырех приближениях энергия системы остается
постоянной. Отсюда следует, что система гравитирующих тел
может быть описана с помощью функции Лагранжа с точностью
до членов порядка 1/с4 в отличие от электромагнитного поля,
где функция Лагранжа существует, в общем случае, только с
точностью до членов второго порядка (§65). Мы дадим здесь
вывод функции Лагранжа системы тел с точностью до членов
второго порядка. Тем самым мы найдем уравнения движения
системы в приближении, следующем после ньютоновского.
При этом мы будем пренебрегать размерами и внутренней
структурой тел, рассматривая их как «точечные»; другими сло-
словами, мы ограничиваемся нулевыми членами разложения по сте-
степеням отношений размеров тел а к их взаимным расстояниям I.
Для решения поставленной задачи мы должны начать с оп-
определения в соответствующем приближении слабого гравитаци-
гравитационного поля, создаваемого телами на расстояниях, больших по
сравнению с их размерами, но в то же время малых по сравнению
с длиной излучаемых системой гравитационных волн Л (а <С г <С
< А ~ Ic/v).
С точностью до величин порядка 1/с2 поле вдали от тела
дается полученными в предыдущем параграфе выражениями,
обозначенными там как h\k ; воспользуемся здесь этими выра-
выражениями в форме A05.6а). В § 105 подразумевалось, что поле
создается всего одним (находящимся в начале координат) телом.
Но поскольку поле ]цк представляет собой решение линеари-
линеаризованных уравнений Эйнштейна, для него справедлив принцип
суперпозиции. Поэтому поле вдали от системы тел получится
просто суммированием полей каждого из них; напишем его в

§ 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 451
виде
где
h°0 = 4<^, К = 0,	(Юб.2)
есть ньютонов гравитационный потенциал системы точечных тел
(га —радиус-вектор тела с массой та). Выражение для интерва-
интервала с метрическим тензором A06.1), A06.2):
ds* =(l + ^y)c2dt2 - (l - l<p) (dx2 + dy2 + dz2). A06.3)
Отметим, что члены первого порядка по <р имеются не только
в goo, но и в gap] в § 87 было уже указано, что в уравнениях дви-
движения частицы поправочные члены в ga/# приводят к величинам
более высоких порядков малости, чем члены, происходящие от
goo 5 в связи с этим путем сравнения с ньютоновыми уравнениями
движения можно было определить только goo-
Как будет видно из дальнейшего, для получения искомых
уравнений движения достаточно знать пространственные ком-
компоненты haj3 с полученной в A06.1) точностью (~ 1/с2); сме-
смешанные же компоненты (отсутствующие в приближении 1/с2)
необходимо иметь с точностью до членов 1/с3, а временную /гоо —
с точностью до членов 1/с4. Для их вычисления обратимся снова
к общим уравнениям тяготения, учтя в них члены соответству-
соответствующих порядков.
Пренебрегая размерами тел, мы должны писать тензор энер-
энергии-импульса вещества в форме C3.4), C3.5). В криволинейных
координатах это выражение переписывается как
^ V^ d d V
(появление множителя l/y/—g сравните с аналогичным пере-
переходом в (90.4)); суммирование производится по всем телам в
системе.
Компонента
15*

452
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
в первом приближении (галилеевы g^) равна ^2атас25(г — га);
в следующем приближении подставляем g^ из A06.3) и после
простого вычисления получаем
Too = ^mac2(l + ^ + ?M(г - го),	A06.5)
a
где V—обычная трехмерная скорость (va=dxa/dt), а ^—по-
^—потенциал поля в точке ra (на наличие в (ра бесконечной части —
потенциала собственного поля частицы гпа — пока не обращаем
внимания; о нем см. ниже).
Что касается компонент Та/#, Гоа тензора энергии-импульса,
то для них, в том же приближении, достаточно оставить лишь
первые члены разложения выражений A06.4):
- Га), ГОа = - ^ maCVaa5(r - Га).
A06.6)
Далее переходим к вычислению компонент тензора R^. Вычис-
Вычисление удобно ПРОИЗВОДИТЬ ПО формуле R^ = g Rlimk c Rlimk из
(92.1). При этом надо помнить, что величины /ia/#, /loo содерж:ат
члены порядка не ниже 1/с2, а hoa — ue ниже 1/с3; дифференци-
дифференцирования по х° = ct в свою очередь повышают порядок малости
на 1.
Главные члены в Rqq порядка 1/с2; наряду с ними мы должны
сохранить также и члены следующего неисчезающего порядка —
1/с4. Простое вычисление приводит к результату:
ldfdhS ldh%\ 1Л, | lhq0 d2h00
4 V 0xa ) 4 дх?
1дха aJ)'
В этом вычислении не было еще использовано никакого допол-
дополнительного условия для величин h^. Пользуясь этой свободой,
наложим теперь на них условие
в результате которого из i?oo полностью выпадают члены, содер-
содержащие компоненты hoa. В остальных членах подставляем
~<

§ 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 453
и получаем, с требуемой точностью:
Доо = l&hoo + \ч>Ьц> - 4(V</?J,	A06.8)
2	с	с
где мы перешли к трехмерным обозначениям.
При вычислении компонент i?oa достаточно сохранить лишь
члены первого неисчезающего порядка — 1/с3. Аналогичным об-
образом получим
1 дЧ% 1 ах 1 эх 1А,
ЛОа ~ ic m dx? + 2 дхадхр ic atdxa + i Oa
и затем, с учетом условия A06.7):
l	±?^	(Ю6.9)
С помощью полученных выражений A06.5)—A06.9) составим
теперь уравнения Эйнштейна:
(шло)
Временная компонента уравнения A06.10) дает
4
a
с помощью тож:дества
и уравнения ньютоновского потенциала
= 4тгА: ^ ma6(r - та)	A06.11)
a
переписываем это уравнение в виде
f + ШN{г~Га)- A06Л2)
После проведения всех вычислений мы заменили в правой части
уравнения A06.12) (ра на
' ТПъ
т.е. на потенциал в точке ra поля, создаваемого всеми телами,
15 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

454
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ
ГЛ. XII
за исключением тела та\ исключение бесконечного собственного
потенциала тел (в используемом нами методе, рассматривающем
тела как точечные) соответствует «перенормировке» их масс,
в результате которой они принимают свои истинные значения,
учитывающие создаваемые самими телами поляг).
Решение уравнения A06.12) может быть написано сразу, учи-
учитывая известное соотношение C6.9)
! = -4тг(У(г).
Таким образом, найдем
2ip 2(р2
+
2ip
= — +
2k
с4
3&
с4
Смешанная компонента уравнения A06.10) дает
AhOa =
.13)
A06-14)
Репсение этого линейного уравнения есть2)
mavaa I d2f
с3 dtdxa'
где / — решение вспомогательного уравнения
Учитывая соотнопсение Ar = 2/г, находим
1)	Действительно, если имеется всего одно неподвижное тело, в правой
части уравнения будет стоять просто (8тг&/с2)таE(г — га), и это уравнение
правильно (во втором приближении) определит создаваемое телом поле.
2)	В стационарном случае второй член в правой части уравнения A06.14)
отсутствует. На больших расстояниях от системы его решение может быть
написано непосредственно по аналогии с решением D4.3) уравнения D3.4):
hoa = --5-9 [nM] a
С Г
(где М = /[г • jjlv] dV = J2 ma[rava] — момент импульса системы), в соответ-
соответствии с формулой A05.19).

§ 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 455
и затем, после простого вычисления, окончательно получаем
где па — единичный вектор в направлении вектора г — га.
Выражения A06.1), A06.13), A06.15) достаточны для вы-
вычисления искомой функции Лагранжа с точностью до членов
второго порядка.
Функция Лагранжа одного тела в гравитационном поле, соз-
создаваемом другими телами и рассматриваемом как заданное:
La = —тас— = —тас A + /loo + 2hoa—	f + h^-2^ )
dt	\	с с	н с J
Раскладывая радикал и опустив несущественную постоянную
—гаас2, переписываем это выражение с требуемой точностью
как
+ коЛ + ^harfv* ~f + ^Vl). A06.16)
Значения всех h^ здесь берутся в точке га; при этом снова
должны быть опущены обращающиеся в бесконечность члены,
что сводится к «перенормировке» массы гаа, стоящей в виде
коэффициента в La.
Дальнейший ход вычислений состоит в следующем. Полная
функция Лагранжа L системы, разумеется, не равна сумме
функций La для отдельных тел, но она должна быть составлена
так, чтобы приводить к правильным значениям сил fa, действую-
действующих на каждое из тел при заданном движении остальных. Для
этого вычисляем силы fa путем дифференцирования функции
Лагранжа La:
(дифференцирование производится по бегущим координатам г
точки наблюдения в выражениях для /г^). После этого легко
составить такую общую функцию L, из которой все те же силы fa
получаются взятием частных производных dL/dra.
Не останавливаясь на простых промежуточных вычисле-
вычислениях, приведем сразу окончательный результат для функции
15*

456
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
Лагранжа1):
V \~^ \~^f ЗкттпьУ v~^ mv v~^ \~^' кта
С\аЪ	^
а	а Ъ	а	а Ъ
а Ь
где гаь = |га — гь|, паь — единичный вектор в направлении га —17,,
а Н1трих у знака суммы означает, что должен быть опущен член
с Ъ = а или с = а.
Задачи
1. Определить действие для гравитационного поля в ньютоновском при-
приближении.
Решение. С помощью gik из A06.3) по формуле (93.3) находим G =
= 2(V(^J/c4, так что действие для поля
Полное действие для поля вместе с массами, распределенными в простран-
пространстве с плотностью /л:
Легко убедиться в том, что варьирование S по <р приводит, как и следовало,
к уравнению Пуассона (99.2).
Плотность энергии находится из плотности функции Лагранжа Л
(подынтегральное выражение в A)) согласно общей формуле C2.5), что
сводится в данном случае (в силу отсутствия в Л производных от ip
по времени) к изменению знака второго и третьего членов. Интегрируя
плотность энергии по пространству, подставив при этом во втором члене
jjup = (рА(р/Dтгк) и интегрируя его по частям, получим окончательно
полную энергию поля и материи в виде
2 8тгк
Следовательно, плотность энергии гравитационного поля в ньютоновской
теория есть W = — (V(pJ /(8тгк) 2).
х) Уравнения движения, соответствующие этой функции Лагранжа, были
впервые получены Эйнштейном, Инфельдом и Гоффманом (A. Einstein,
L.Infeld, В. Hoffman, 1938) и Эддингтоном и Кларком (A. Eddington,
О. Clark, 1938).
) Для устранения возможных недоразумений укажем, что это выражение
не совпадает с компонентой (—g)too псевдотензора энергии-импульса (вы-
(вычисленной с gik из A06.3)); вклад в W возникает также и из (-)

§ 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 457
2. Определить координаты центра инерции системы гравитирующих тел
во втором приближении.
Решение. Ввиду полной формальной аналогии между законом Нью-
Ньютона для гравитационного взаимодействия и законом Кулона для электро-
электростатического взаимодействия координаты центра инерции даются формулой
ту	1 V^ /	2 . Pa	kma V~V ГПЪ \
R=— > Ya[mac + -^	> — ,
S^ V	2та	2 ^ TaJ
2m« 2 ь г
аналогичной формуле, полученной в задаче 1 §65.
3. Определить вековое смещение перигелия орбиты двух гравитирую-
гравитирующих тел сравнимой массы (Н. Robertson, 1938).
Решение. Функция Лагранжа системы двух тел
т mw\ m2vi kmim2 . 1
L =	 Н	 Н	1	2
2	2	г	8с
2 . 2ч ^t \ ( \( м к mim2(mi + ГП2)
+ V) - 7(V1V2) - (Vin)(v2n)V'
+ 0 2 t3K + 2) 7A2) (i)B)V^
2cr	2c r
Переходя к функции Гамильтона и исключая из нее движение центра инер-
инерции (ср. задачу 2 § 65), получим
«р _ pVJ_, J_A _ km1m2 _ P?_{J_, J_A
2 \тг т2'	г	8с Vmf гщ)
(рпJ1
2с г
где р — импульс относительного движения.
Определим радиальную составляющую импульса рг как функцию пере-
переменной г и параметров М (момент импульса) и ? (энергия). Эта функция
определяется из уравнения Ж = $ (при этом в членах второго порядка надо
заменить р2 его выражением из нулевого приближения):
1712
8с \ l
. 7711 \
р	^
2c2r L Vmi 7тг2/ J Ш1 + 7тг2 V	г /
fc 2 . ^2ГП\ТП2 (ГГЦ
" 2VPr
2cV	'
Дальнейший ход вычислений аналогичен произведенным в § 101. Определив
из написанного алгебраического уравнения рг, производим в интеграле
Sr= Pr dr
так, чтобы пр
к виду М2/г2. Произведя затем в подкоренном выражении разложение по
преобразование переменной г так, чтобы привести член, содержащий М2,
22

458
ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ	ГЛ. XII
малым релятивистским поправкам, получим
Sr= / \ А+	М2
У у	г V
1
г
(ср. A01.6)), где Л, 5—постоянные коэффициенты, в явном вычислении
которых нет необходимости.
В результате для смещения перигелия орбиты относительного движения
получим
~ _ 6тгк2т1т1 _ 6тг&(т1 + m2)
^ " с2М2 ~ с2аA-е2) '
Сравнивая с A01.7), мы видим, что при заданных размерах и форме орбиты
смещение перигелия такое же, каким оно было бы при движении одного тела
в поле неподвижного центра с массой т\ + т^.
4. Определить частоту прецессии шарового волчка, совершающего ор-
орбитальное движение в гравитационном поле вращающегося вокруг своей оси
центрального тела.
Решение.В первом приближении искомый эффект представляется
суммой двух независимых частей, одна из которых связана с неньютоново-
стью центрально-симметричного поля (Н. Weyl, 1923), а другая—с враще-
вращением центрального тела (L. Schiff, 1960).
Первая часть описывается дополнительным членом в функции Лагран-
жа волчка, соответствующим второму члену в A06.17). Представим скорость
отдельных элементов волчка (с массами dm) в виде v = V + [шг], где V —
скорость его орбитального движения, ш — угловая скорость, г — радиус-век-
радиус-вектор элемента dm относительно центра инерции волчка (так что интеграл
по объему волчка f r dm = 0). Опустив члены, не зависящие от о;, а также
пренебрегая квадратичными по ш членами, имеем
где т — масса центрального тела, R = |Ro + г| — расстояние от центра поля
до элемента dm, Ro — радиус-вектор центра инерции волчка. При разло-
разложении 1/R « l/.Ro — nr/i^ci (где n = Ro/.Ro) интеграл от первого члена
обращается в нуль, а во втором интегрирование производится с помощью
формулы
xaxpdm = -
I-
где / — момент инерции волчка. В результате получим
где М = 1ш — вращательный момент волчка.
Дополнительный член в функции Лагранжа, обязанный вращению цен-
центрального тела, можно было бы также найти из A06.17), но еще проще
вычислить его с помощью формулы A) из задачи 2 к § 105:
где М7 — момент центрального тела. Разложив

§ 106 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 459
и произведя интегрирование, получим
^' - 3(пМ)(пМ')}.
с Ro
Таким образом, полная добавка к функции Лагранжа
SL = -МП, n
ZC Hq	С Hq
Этой функции отвечает уравнение движения
dM. г__ _,
dt [ J
(ср. уравнение B) из задачи 2 к §105). Это значит, что момент волчка М
прецессирует с угловой скоростью Г2, оставаясь постоянным по своей вели-
величине.

ГЛАВА XIII
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
§ 107. Слабые гравитационные волны
Конечность скорости распространения взаимодействий при-
приводит в релятивистской теории тяготения, как и в электроди-
электродинамике, к возможности существования не связанного с телами
свободного гравитационного поля — гравитационных волн.
Рассмотрим слабое свободное гравитационное поле в пустоте.
Как и в § 105, введем тензор /г^, описывающий слабое возмуще-
возмущение галилеевой метрики:
gik = gi + hik.	A07.1)
При этом с точностью до величин первого порядка по h^ кон-
травариантный метрический тензор:
gik = gik@) _ hik
а определитель тензора g^:
g = g<®(l + h),	A07.3)
где h = h\\ все операции поднимания и опускания тензорных
индексов производятся по невозмущенной метрике g^/.
Как было уже указано в § 105, условие малости Нц* оставля-
оставляет возможность произвольных преобразований системы отсчета
вида хн = хг + ?г с малыми ?г; при этом
Воспользовавп1ись этим произволом в калибровке (как говорят
в этой связи) тензора /г^, налагаем на него дополнительное
условие
|? = 0, ti = ht-\6?h,	A07.5)
после чего тензор Риччи принимает простой вид A05.11):
\ohik,	A07.6)

§ 107	СЛАБЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	461
где ? обозначает оператор д'Аламбера:
? = М # = Д 1 &
ё дх1дхт	с2 dt2'
Условия A07.5) все еще не фиксируют однозначного выбора си-
системы отсчета: если некоторые h^ удовлетворяют этим услови-
условиям, то им же будут удовлетворять и h^ A07.4), если только ?г
являются решениями уравнения
? f = 0.	A07.7)
Приравняв выражение A07.6) нулю, найдем, таким образом,
уравнения гравитационного поля в пустоте в виде
ПЛ* = 0.	A07.8)
Это—обычное волновое уравнение. Следовательно, гравитаци-
гравитационные поля, как и электромагнитные, распространяются в пу-
пустоте со скоростью света.
Рассмотрим плоскую гравитационную волну. В такой волне
поле меняется только вдоль одного направления в пространстве;
в качестве этого направления выберем ось х1 = х. Уравне-
Уравнения A07.8) тогда превращаются в
решением которых является любая функция от t ± х/с (§47).
Пусть волна распространяется в положительном направле-
направлении оси х. Все величины hf в ней являются функциями от
t — х/с. Дополнительные условия A07.5) дают в этом случае
ф\ — щ = 0, где точка над буквой означает дифференцирование
по t. Эти равенства можно проинтегрировать, просто вычеркнув
знак дифференцирования; постоянные интегрирования можно
положить равными нулю, так как мы интересуемся здесь (как и в
случае электромагнитных волн) только переменной частью поля.
Таким образом, между отдельными компонентами ф\ имеются
соотношения:
Как было указано, условия A07.5) еще не определяют од-
однозначно системы отсчета; мы можем подвергнуть координаты
преобразованию вида х1г = хг+?>г(г—х/с). Этим преобразованием
можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль четыре
величины: ф®, ф®, ф®, ф\ + ф\- Из равенств A07.10) следует, что

462	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
при этом обратятся в нуль также и компоненты ф\, ф\, ф\, ф$.
Что же касается остающихся величин ф%, ГФ\ ~ Фз> то их нельзя
обратить в нуль никаким выбором системы отсчета, поскольку
при преобразовании A07.4) с & = &(? — х/с) эти компоненты
вообще не меняются. Заметим, что обращается в нуль и ф = ф\,
а потому ф\ = hk.
Таким образом, плоская гравитационная волна определяется
двумя величинами: /г^з, ^22 = — ^33- Другими словами, грави-
гравитационные волны являются поперечными волнами, поляриза-
поляризация которых определяется симметричным тензором 2-го ранга
в плоскости yz и сумма диагональных членов которого /i22 + ^зз
равна нулю. В качестве двух независимых поляризаций можно
выбрать случаи, в которых отлична от нуля одна из двух величин
/i23 и (^22 — ^зз)/2. Такие две поляризации отличаются друг от
друга поворотом на угол тг/4 в плоскости yz.
Вычислим псевдотензор энергии-импульса в плоской грави-
гравитационной волне. Компоненты tlk — величины второго порядка
малости; мы должны вычислить их, пренебрегая членами еще
более высокого порядка. Поскольку при h = 0 определитель g
отличается от g(°) = — 1 лишь величинами второго порядка, то
в общей формуле (96.9) можно положить 0г/с,/ ~ gtk,i ~ —htk,i-
Для плоской волны все отличные от нуля члены в tlk заключены
в члене
1 г/ /cm	nv pq _ \un,i^q,k
в фигурных скобках в (96.9) (в этом легко убедиться, выбрав
одну из осей галилеевой системы отсчета в направлении распро-
распространения волны). Таким образом,
j^	A07.11)
" ~ згтгл'^ п '
Поток энергии в волне определяется величинами —cgtOa «
~ с?Оа. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ж1, в
которой отличные от нуля /i23 и ^22 — ~^зз зависят только от
разности t — ж/с, этот поток направлен вдоль той же оси ж1 и
равен
3 г	~i
ct01 = -?— hL + -(h22 - АззJ •	A07.12)
16тгк L	4	J
Начальные условия для произвольного поля гравитационных
волн должны задаваться четырьмя произвольными функциями
координат: в силу поперечности волн имеется всего две незави-

§ 108	ВОЛНЫ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ	463
симые компоненты Нар, вместе с которыми должны быть заданы
также и их первые производные по времени. Хотя этот подсчет
мы произвели здесь, исходя из свойств слабого гравитационного
поля, но ясно, что его результат — число 4 —не может быть свя-
связан с этим предположением и относится к любому свободному,
т. е. не связанному с гравитирующими массами, гравитационно-
гравитационному полю.
Задача
Определить тензор кривизны в слабой плоской гравитационной волне.
Решение. Вычисляя Rikim по формуле A05.8), найдем следующие
отличные от нуля компоненты:
— ^0202 = ^0303 = — R\212 = ^0212 = ^0331 = ^3131 = &,
^0203 = —^1231 = —^0312 = ^0231 = /-fc,
где обозначено: а =	/133 = -/122, /^ =	/123- В терминах введенных
в (92.17) трехмерных тензоров Аар и Вар имеем
/О 0 0\	/0 0
Аа/3 = I 0 -a \i , Ва/3 0 \i а
\0 II aj	\0 а -II)
Надлеж:ащим поворотом осей х2, х3 можно обратить (в заданной точке
4-пространства) одну из величин а или /х в нуль; обратив в нуль величи-
величину сг, приведем тензор кривизны к вырожденному типу Петрова II (тип N).
§ 108. Гравитационные волны в искривленном
пространстве-времени
Подобно тому как мы рассмотрели распространение гравита-
гравитационных волн «на фоне» плоского пространства-времени, можно
рассмотреть распространение малых возмущений по отношению
к произвольной (негалилеевой) «невозмущенной» метрике g^k'.
Имея в виду также и некоторые другие возможные применения,
выпишем здесь необходимые формулы в наиболее общем виде.
Написав снова g^ в виде A07.1), найдем, что поправка перво-
первого порядка к символам Кристоффеля выражается через поправ-
поправки Ни* согласно
в чем можно убедиться прямым вычислением (здесь и ниже
все тензорные операции— поднимание и опускание индексов,
ковариантные дифференцирования— производятся с помощью

464	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
негалилеевой метрики g^/. Для поправок к тензору кривизны
получается:
Rklm = 2^hm;l + Kn]k]l ~ hkml-l ~ ^;/;m ~ Щ;к;т + ^М'*;т)-
A08.2)
Отсюда поправки к тензору Риччи:
4? = Rlul = \(h\;k;l + hUl ~ **";! - fhi-Л	(Ю8.3)
Поправки же к смешанным компонентам тензора Риччи получа-
получаются из соотношения
= (д@)
= (д@
откуда
д*A) = ^@)да) _ ^д(о).	(Ю8.4)
Точная метрика в пустоте долж:на удовлетворять точным урав-
уравнениям Эйнштейна R^ = 0. Поскольку невозмущенная метрика
@)	„@)	п
g>kJ удовлетворяет уравнениям Щк; = 0, то для возмущения
получается уравнение Щк = 0, т. е.
hli;k;i + h{.i;l - hik'l;l -h;i.k = 0.	A08.5)
В общем случае произвольных гравитационных волн упроще-
упрощение этого уравнения до формы, подобной A07.8), невозможно.
Это можно, однако, сделать в важном случае волн большой
частоты: длина волны Л и период колебаний Л/с малы по сравне-
сравнению с характерными расстояниями L и характерными временами
L/c, на которых меняется «фоновое поле». Каждое дифферен-
дифференцирование компонент hik увеличивает тогда порядок величины в
отношении L/X по сравнению с производными от невозмущенной
метрики g\k - Если ограничиться точностью лишь до членов
двух наибольших порядков ((L/AJ и (L/A)), то в A08.5) можно
менять порядок дифференцировании; действительно, разность
hl	hl ^ hl nm@) ^гпЫ(О)
Пцк-1 — Пц1-к ~ ПтК ikl ~ ni K mkl
имеет порядок (L/AH, между тем как каждое из выражений
^i'k-l и ^Ч'1'k соДеРжит члены обоих больших порядков. Наложив
теперь на h^ дополнительные условия
WU = O	A08.6)

§ 108	ВОЛНЫ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ	465
(аналогичные A07.5)), получим уравнение
/4fc;/;Z = 0,	A08.7)
обобщающее уравнение A07.8).
По причинам, указанным в § 107, условие A08.6) не фик-
фиксирует однозначный выбор координат. Последние можно еще
подвергнуть преобразованию х1г = жг + ?г, где малые величины ?г
удовлетворяют уравнению ?цк-к = 0- Этими преобразованиями
можно, в частности, воспользоваться для того, чтобы наложить
на hik также и условие h = h\ = 0. Тогда ф% = /г|, так что h^
подчинены условиям
Л*;А. = 0, h = 0.	A08.8)
Круг все еще допустимых преобразований суживается после это-
этого требованием ?\^ = 0.
Псевдотензор ttk содержит, вообще говоря, наряду с невоз-
невозмущенной частью ?г*ч0) также и члены различных порядков
по hik. Мы придем к выражению, аналогичному A07.11), если
рассмотрим величины ?г/с, усредненные по участкам 4-простран-
4-пространства с размерами, большими по сравнению с Л, но малыми по
сравнению с L. Такое усреднение (обозначаемое ниже угловыми
скобками (...)) не затрагивает g^/ и обращает в нуль все члены,
линейные по быстро осциллирующим величинам h^. Из квад-
квадратичных же членов сохраним лишь члены наиболее высокого
(второго) порядка по 1/Л; это — члены, квадратичные по произ-
производным hikj = dhik/дх1.
При такой степени точности все члены в ?г/с, представляю-
представляющие собой 4-дивергенции, могут быть опущены. Действитель-
Действительно, интегралы от таких выражений по области 4-пространства
(области усреднения) преобразуются согласно теореме Гаусса, в
результате чего их порядок величины по 1/Л уменьшается на
единицу. Кроме того, выпадают члены, обращающиеся в нуль
в силу A08.7) и A08.8) после интегрирования по частям. Так,
интегрируя по частям и опуская интеграл от 4-дивергенции,
находим	(ип hp v _ (hinhp v _ n
В результате из всех членов второго порядка остается лишь
{tik{2)) = ?rk{h^k)-	A08-9)
Отметим, что при этом, с той же точностью, (?* ) = 0.

466	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
Обладая определенной энергией, гравитационная волна сама
является источником некоторого дополнительного гравитацион-
гравитационного поля. Вместе с создающей его энергией это поле — эффект
второго порядка по величинам h^. Но в случае высокочастот-
высокочастотных гравитационных волн эффект существенно усиливается: тот
факт, что псевдотензор tlk квадратичен по производным от /г^,
привносит в его порядок величины большой множитель А~2.
В таком случае можно сказать, что сами волны создают фоновое
поле, на котором они распространяются. Это поле целесообразно
рассматривать, проводя описанное выше усреднение по участкам
4-пространства с размерами, большими по сравнению с А. Та-
Такое усреднение сглаживает коротковолновую «рябь» и оставляет
медленно меняющуюся фоновую метрику (R. A. Isaacson, 1968).
Для вывода уравнения, определяющего эту метрику, надо
учесть в разложении тензора R^ члены не только линейные, но
и квадратичные по h^: R^ = Щ^ + Щ^ + Rik . Как уже указыва-
указывалось, усреднение не затрагивает членов нулевого порядка. Таким
образом, усредненные уравнения поля {Rik) = 0 принимают вид
причем в Щк надо сохранить лишь члены второго порядка
по 1/А. Их легко найти из тождества (96.7). Квадратичные по hik
члены, возникающие из правой части этого тождества, имеющей
вид 4-дивергенции, исчезают (с рассматриваемой точностью)
при усреднении и, таким образом, остается
или, поскольку {tj ) = 0, с той же точностью:
/7?B)\ - 87гк/Л2)\
\Нгк I ~	~^\1гк /'
Наконец, используя A08.9), получим окончательно уравнение
A08.10)	в виде
4° = \(КЛ,к)-	A08-11)
Если «фон» создается целиком самими волнами, уравнения
A08.11)	и A08.7) должны решаться совместно. Оценка выраже-
выражений в обеих частях уравнения A08.11) показывает, что в этом
случае радиус кривизны фоновой метрики по своему порядку
величины L связан с длиной волны А и порядком величины ее
поля h согласно L~2 ~ h?/А2, т. е. X/L ~ h.

§ 109	СИЛЬНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ВОЛНА	467
§ 109. Сильная гравитационная волна
В этом параграфе будет рассмотрено решение уравнений
Эйнштейна, представляющее собой обобщение слабой плоской
гравитационной волны в плоском пространстве-времени (/. Ro-
Robinson, H.Bondi, 1957).
Будем искать решение, в котором все компоненты метриче-
метрического тензора оказываются, при надлежащем выборе системы от-
отсчета, функциями лишь одной переменной, которую назовем ж0
(не предопределяя, однако, ее характера). Это условие допускает
еще преобразования координат вида
ха ^ха + (ра(х°),	A09.1)
х° -> (р°(х°),	A09.2)
где (??°, ipa — произвольные функции.
Характер решения существенно зависит от того, можно ли
тремя преобразованиями A09.1) обратить все goa в нуль. Это
можно сделать, если определитель \gap\ ф 0. Действительно, при
преобразовании A09.1) goa —»> goa + ga/зФ^3 (гДе точка означает
дифференцирование по ж0); при \ga/3\ Ф 0 система уравнений
goa + gcLpyP = 0
определяет <pP(xQ), осуществляющие требуемое преобразование.
Такой случай будет рассмотрен в § 117; здесь же нас будет инте-
интересовать решение, в котором
\gap\ = 0.	A09.3)
В таком случае системы отсчета, в которой бы все goa = 0, не
существует. Вместо этого, однако, четырьмя преобразованиями
A09.1), A09.2) можно добиться того, чтобы было
goi = 1, goo = gO2 = gO3 = 0.	A09.4)
Переменная х° имеет при этом «световой» характер: при dxa = 0,
dx° ф 0 интервал ds = 0; выбранную таким образом переменную
ж0 будем обозначать ниже как ж0 = rj. Элемент интервала при
условиях A09.4) можно представить в виде
ds2 = Idx1 dr] + gab(dxa + gadx1)(dxb + gbdx1).	A09.5)
Здесь и ниже в этом параграфе индексы а, Ь, с,... пробегают зна-
значения 2, 3; gabiji) можно рассматривать как двумерный тензор,
а две величины ga{rj)—как компоненты двумерного вектора.

468	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
Вычисление величин Rab приводит к следующим уравнениям
поля:
Rab = -~gacgCgbdgd = 0.
Отсюда следует, что gacgc — 0 или gc = 0, т.е. gc = const.
Преобразованием ха + gax1 —»> ха можно поэтому привести рас-
рассматриваемую метрику к виду
ds2 = 2UX1 drj + gab(r)) dxa dxb.	A09.6)
Определитель — g этого метрического тензора совпадает с
определителем |ga&|, a из всех символов Кристоффеля отличны
от нуля лишь следующие:
тла 	 1 ..a -pi 	 1 .
1 60 — 2 6'	ab — —-^аЪ,
где мы ввели двумерный тензор каъ = ga^, кьа = gbcKac. Из всех
компонент тензора Риччи не обращается тождественно в нуль
лишь Rqq, так что имеем уравнение
Roo = -lK-\xba"b=V-	(Ю9.7)
Таким образом, три функции g22fa), g2s(v): gss(v) должны
удовлетворять всего одному уравнению. Поэтому две из них
могут быть заданы произвольно. Удобно представить уравне-
уравнение A09.7) в другом виде, написав величины ga^ в виде
gab = ~X2lab, Ы\ = I-	(Ю9.8)
Тогда определитель — g = \gab\ — X4 и подстановка в A09.7) дает
после простого преобразования
\	= Q	(Ю9.9)
(п^аЬ _ дВуМерный тензор, обратный тензору 7аб)- Если задать
произвольные функции jabiv) (связанные друг с другом соотно-
соотношением Y)ab\ — 1)? этим уравнением определится функция хG?)-
Мы приходим, таким образом, к решению, содержащему две
произвольные функции. Легко видеть, что оно представляет со-
собой обобщение рассмотренной в § 107 слабой плоской гравита-
гравитационной волны (распространяющейся в одном направленииI).
Последняя получается, если произвести преобразование
t + х 1 t — х
?7=^-' х =^д
г) Решение родственного характера от большего числа переменных см.
I. Robinson, A. Trautman// Phys. Rev. Lett. 1960. V. 4. P. 431; Proc. Roy.
Soc. 1962. V. A265. P. 463.

§ 109	СИЛЬНАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ВОЛНА	469
и положить 7аб = $аЪ + hab(rj) (где hab — малые величины, подчи-
подчиненные условию /i22 + ^зз — 0) и х — 1? постоянное значение х
удовлетворяет уравнению A09.9), если пренебречь в нем малыми
членами второго порядка.
Пусть через какую-либо точку х пространства проходит сла-
слабая гравитационная волна конечной протяженности («волновой
пакет»). До начала прохождения имеем каъ = 0, х — 1; после
конца прохождения снова hab = 0, d2x/dt2 = 0, но учет членов
второго порядка в уравнении A09.9) приведет к появлению от-
отличного от нуля отрицательного значения
dt	8 J V dt
(интеграл берется по времени прохождения волны). Поэтому
после прохождения волны будет ^ = 1 — const -t и по истечении
конечного промежутка времени х изменит знак. Но обращение
X в нуль есть обращение в нуль метрического определителя g,
т. е. особенность в метрике. Эта особенность, однако, не имеет
физического характера; она связана лишь с недостатками систе-
системы отсчета, «испорченной» проходящей гравитационной волной,
и может быть устранена надлежащим ее преобразованием; после
прохождения волны пространство-время оказывается в действи-
действительности снова плоским.
В этом можно убедиться непосредственным образом. Если
отсчитывать переменную т\ от ее значения, соответствующего
особой точке, то х = 77, так что
ds2 = 2dr1dx1 - rJ[(dx2J + (dx3J}.
После преобразования
2	Я	1 > V2 + Z2
rix = у, rix = z, х = t —
2rj
получаем
ds2 = 2dn d? — dy2 — dz2,
и подстановка rj = (t + ж)/\/2, ? = (t — х)/\/2 окончательно
приводит метрику к галилеевой форме.
Это свойство гравитационной волны — возникновение фик-
фиктивной особенности — не связано, конечно, с ее слабостью и при-
присуще также и общему решению уравнения A09.7); как и в рас-
рассмотренном примере, вблизи особенности % ~ 77, т. е. — g ~ 7741).
1)Это можно показать с помощью уравнения A09.7) в точности тем же
способом, как это было сделано в § 97 для аналогичного трехмерного урав-
уравнения в синхронной системе отсчета. Как и там, происхождение фиктивной
особенности связано с пересечением координатных линий.

470	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
Задача
Найти условие, при котором метрика вида
ds2 = dt2 - dx2 - dy2 - dz2 + f(t - x, y, z)(dt - dxf
является точным решением уравнений Эйнштейна для поля в пустоте
(A.Peres, 1960).
Решение. Тензор Риччи вычисляется проще всего в координатах и =
= (t — х)/у/2, v = (t + x)/y/2, у, z, в которых
ds2 = -dy2 -dz2 + 2 du dv + 2f(u, y, z) du2.
Помимо g22 = g33 = — I? отличны от нуля лишь следующие компоненты
метрического тензора: guu = 2/, guv = 1; при этом gvv = —2/, guv = 1, а
определитель g = — 1. Прямое вычисление по (92.1) дает для отличных от
нуля компонент тензора кривизны:
-ГСуици 		о" 1	-lIsZUZU 		о" 1	-lI'VUZU
Единственная отличная от нуля компонента тензора Риччи: Ruu = A/,
где А — оператор Лапласа по координатам у, z. Таким образом, уравнение
Эйнштейна: А/ = 0, т. е. функция f(t — x,y,z) должна быть гармонической
по переменным у, z.
Если функция / не зависит от у, z или линейна по этим переменным,
поле отсутствует — пространство-время плоское (тензор кривизны обраща-
обращается в нуль). Квадратичная по у, z функция
f(u,y,z) = yzh{u) + i(y2 - z2)h(u)
отвечает плоской волне, распространяющейся в положительном направле-
направлении оси х\ действительно, тензор кривизны в таком поле зависит только
от t — х:
Ryuzu = —fl(u), Ryuyu = —Rzuzu = —f2(u).
В соответствии с двумя возможными поляризациями волны метрика содер-
содержит в этом случае две произвольные функции /i (и) и /2 (и).
§ 110. Излучение гравитационных волн
Рассмотрим слабое гравитационное поле, создаваемое тела-
телами, движущимися со скоростями, малыми по сравнению со ско-
скоростью света.
Благодаря наличию материи уравнения гравитационного
поля будут отличаться от простого волнового уравнения
вида ? h^ = 0 A07.8) наличием в правой части равенства
членов, происходящих от тензора энергии-импульса материи.
Напишем эти уравнения в виде
in^ = ^rf,	A10.1)

§ 110	ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН	471
где мы ввели вместо h^ более удобные для этого случая величины
a rf условно обозначает дополнительные выражения, получаю-
получающиеся при переходе в точных уравнениях тяготения к случаю
слабых полей в рассматриваемом приближении. Легко убедиться
в том, что компоненты Tq и т^ получаются непосредственно из
соответствующих компонент Тк путем выделения из них величин
интересующего нас порядка малости; что же касается компо-
компонент т?, то они содержат наряду с членами, получающимися из
Т%, также и члены второго порядка малости из Rf — SfR/21).
Величины ipf удовлетворяют условию A07.5) dipf /дхк = 0.
Из A10.1) следует, что такое же уравнение имеет место и для rf\
^4 = 0.	A10.2)
Это уравнение заменяет здесь общее соотношение Т?к = 0.
Рассмотрим с помощью написанных уравнений вопрос об
энергии, излучаемой движущимися телами в виде гравитацион-
гравитационных волн. Решение этого вопроса требует определения гравита-
гравитационного поля в «волновой зоне», т. е. на расстояниях, больших
по сравнению с длиной излучаемых волн.
Все вычисления принципиально вполне аналогичны тем, ко-
которые мы производили для электромагнитных волн. Уравне-
Уравнения слабого гравитационного поля A10.1) по форме совпадают
с уравнением запаздывающих потенциалов (§62). Поэтому их
общее решение можно сразу написать в виде
ti = -"ftf)t-R/c%.	(ПО.З)
Поскольку скорости всех тел в системе малы, то для поля на
больших расстояниях от системы можно написать (ср. § 66 и 67):
-^Jirfh-Ro/cdV,	A10.4)
) Из уравнений A10.1) можно вновь получить использованные в § 106 фор-
формулы A06.1), A06.2) для слабого постоянного поля вдали от тел. В первом
приближении пренебрегаем членами со вторыми производными по времени
(содержащими 1/с2), а из всех компонент -rf оставляем лишь tq = /лс2.
Решение уравнений Аф^ = 0, Aipg = 0, А^о = 16тг&/л/с2, обращающееся на
бесконечности в нуль, есть ф^ = 0, фо = 0, фо = А(р/с , где (р — ньютоновский
гравитационный потенциал; ср. уравнение (99.2). Отсюда для тензора h![ =
= ф\ - ij)8i/2 получаются значения A06.1), A06.2).

472	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
где Rq — расстояние от начала координат, расположенного где-
нибудь внутри системы; индекс t — Ro/c в подынтегральных
выражениях мы будем ниже для краткости опускать.
Для вычисления этих интегралов воспользуемся уравнения-
уравнениями A10.2). Опуская индексы у т^ и выделяя пространственные
и временные компоненты, пишем A10.2) в виде
Умножив первое уравнение на яг, проинтегрируем по всему про-
пространству
Поскольку на бесконечности т^ = 0, то первый интеграл пра-
правой части, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает.
Полусумма оставшегося равенства и его же с переставленными
индексами дает:
dV = -\^ J(TaOxP + трот") dV.
Далее умножим второе из уравнений A10.5) на хах@ и тоже
проинтегрируем по всему пространству. Аналогичное преобра-
преобразование приводит к равенству
^ I тоохахР dV = - J(таОхР + трОха) dV.
Сравнивая оба полученных результата, находим
^dV.	A10.6)
Таким образом, интегралы от всех тар оказываются выра-
выраженными через интегралы, содержащие только компоненту tqq.
Но эта последняя, как указано выше, совпадает с соответствую-
соответствующей компонентой Too тензора энергии-импульса, и с достаточной
точностью (см. (99.1)) имеем
too = Me2-	(П0.7)
Подставляя это в A10.6) и вводя время t = ж0/с, переписыва-
переписываем A10.4) в виде
фа(>= ~тк<Ь] ^х dV-

§ 110	ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН	473
На больших расстояниях от тел можно рассматривать вол-
волну (в небольших участках пространства) как плоскую. Поэтому
можно вычислить поток энергии, излучаемой системой, скажем,
в направлении оси ж1, воспользовавшись формулой A07.12).
В эту формулу входят только компоненты /i23 = ^23 и ^22 —
= ^22 — фзз- Из A10.8) находим для них выражения1)
^	^	(П0.9)
(точка означает дифференцирование по времени), где введен
тензор квадрупольного момента масс (99.8)
Dap = [ ц(ЗхаХР - r25ap) dV.	A10.10)
В результате находим плотность потока энергии в направлении
1
у
оси х1 в виде
У
Поток энергии в элемент телесного угла в данном направлении
получится отсюда умножением на Rq do.
Два члена в этом выражении отвечают излучению волн двух
независимых поляризаций. Для записи их в инвариантном (не
зависящем от выбора направления излучения) виде, введем трех-
трехмерный единичный тензор поляризации плоской гравитационной
волны еа?, определяющий, какие именно из компонент hap от-
отличны от нуля (в калибровке /г^, в которой hoa = /loo — h = 0).
Тензор поляризации симметричен и удовлетворяет условиям
еаа = 0, еарпр = 0, еареар = 1,	A10.12)
где п — единичный вектор в направлении распространения вол-
волны; первые два условия выражают тензорность и поперечность
волны.
С помощью этого тензора интенсивность излучения заданной
поляризации в телесный угол do запишется в виде
^(i>a?e^fdo.	A10.13)
х) Тензор A10.8) не удовлетворяет тем условиям, при которых была вы-
выведена формула A07.12). Однако преобразование системы отсчета, приво-
приводящее hik к требуемой калибровке, не затрагивает значений используемых
здесь компонент A10.9).
16 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

474	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
Это выражение зависит от направления п неявным образом —
через условие поперечности еарпр = 0. Суммарное угловое рас-
распределение излучения всех поляризаций получается суммирова-
суммированием A10.13) по поляризациям или, что то же, усреднением по
поляризациям и умножением результата на 2 (число независи-
независимых поляризаций). Усреднение осуществляется формулой
= -{папрп7щ + (nanp8lS + п7щ8ар)-
(П0.14)
(выражение справа —тензор, составленный из единичного тензо-
тензора и компонент вектора п, обладающий требуемой симметрией
по своим индексам, дающий единицу при упрощении по парам
индексов а, 7 и Р, S, и обращающийся в нуль при скалярном
умножении на п). В результате находим
[фJ + D DD^ do. A10.15)
Полное излучение по всем направлениям, т. е. потерю энергии
системой в единицу времени (—dS/dt), можно найти, усреднив
dl/do по направлениям п и умножив результат на 4тг. Усреднение
легко производится с помощью формул, приведенных в примеч.
на с. 255, и приводит к выражению (А. Эйнштейн, 1918)
-— = -^jDlo.	A10.16)
11	л г* о OLD	\	/
Cut 40C
Отметим, что излучение гравитационных волн оказывается
эффектом пятого порядка по 1/с. Это обстоятельство, вместе с
малостью гравитационной постоянной к, приводит, вообще гово-
говоря, к чрезвычайной малости эффекта.
Задачи
1. Два тела, притягивающиеся по закону Ньютона, движутся по круго-
круговым орбитам (вокруг их общего центра инерции). Определить среднюю (по
периоду обращения) интенсивность излучения гравитационных волн и его
распределение по поляризациям и направлениям.
Решение. Выбрав начало координат в центре инерции, имеем для
радиус-векторов двух тел:
1712 ГГЦ
1*1 = 	Г, Г2 —	Г, Г = 1*1 — Г2-
7711 + ТП2	1711 + ТП2
Компоненты тензора Dap (плоскость ху совпадает с плоскостью движения):
Dxx = fir2 C cos2 ф-1), Dyy = fir2 C sin2 ф - 1),
Dxy = 3fir2 cos-0sin-0, Dzz = —fir2,

§ 110	ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН	475
где II = mim2/'(mi +7712), -0 — полярный угол вектора г в плоскости ху. При
круговом движении г = const, а ф = г~3'2^/к(тп\ +7712) = ш.
Направление п задаем сферическими углами (полярным углом в и ази-
азимутом ф) с полярной остью z, перпендикулярной к плоскости движения.
Рассматриваем две поляризации, для которых: 1) ее<р = 1/л/2, 2) евв =
= — e^tp = 1/л/2. Проецируя тензор -Da/3 на направления сферических ор-
ортов ев и е^, вычисляя по формуле A10.13) и усредняя по времени, получаем
в результате для этих двух случаев и для суммы / = 1\ +1^:
cos4	^4
do	2тгс5	do	2тгс5
dl kjjL2^6^ .	2 n , 4 лч
— = ——г—A + 6 cos в + cos 0),
do	2тгс
и после интегрирования по направлениям:
dS _ т _ 32fc/i2uV _ 32fc4mfm|(mi + m2) Д_5
dt ~ ~ 5с5 ~	5с5г3	' /2 ~ 7
(для вычисления одной лишь полной интенсивности / следовало бы, конеч-
конечно, воспользоваться A10.16)).
Потеря энергии излучающей системой приводит к постепенному (как
говорят, вековому) сближению обоих тел. Поскольку ? = —kmim2/2r, то
скорость сближения
. _ 2r2 dS _ 64:k3m1m2(m1 +m2)
dt	5cV
2.	Найти среднюю (по периоду обращения) энергию, излучаемую в виде
гравитационных волн системой двух тел, движущихся по эллиптическим
орбитам (Р. С. Peters, J. Mathews 1)).
Решение.В отличие от случая кругового движения, расстояние г и
угловая скорость меняются вдоль орбиты по законам
—	 = 1 + ecos^, — = —^[k(mi + 77i2)a(l — е2)]1 ,
г	dt r
где е — эксцентриситет, а а — большая полуось орбиты (см. 1, § 15). Довольно
длинное вычисление по A10.16) дает
_d?_ _ 8 '
dt ~
При усреднении по периоду обращения интегрирование по dt заменяется
интегрированием по dip и приводит к результату:
~dS _ 32fc4mjm2(mi + m2)	1	/ 73 2 37 А
—	^ ^	/	9 \ 7 /9 \ "^	"^
Обратим внимание на быстрое возрастание интенсивности излучения с уве-
увеличением эксцентриситета орбиты.
3.	Определить среднюю (по времени) скорость потери момента импульса
системой стационарно движущихся тел, испускающей гравитационные вол-
волны.
г) Угловое, поляризационное и спектральное распределения этого излуче-
излучения—см. Phys. Rev. 1963. V. 131. P. 435.
16*

476	ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ	ГЛ. XIII
Решение. Для удобства записи формул будем временно рассмат-
рассматривать тела как состоящие из дискретных частиц. Представим среднюю
скорость потери энергии системой как работу действующих на частицы «сил
трения» f:
— = у&	(i)
(индекс, нумерующий частицы, не выписываем). Тогда средняя скорость
потери момента вычисляется как
dMa
dt
(ср. вывод формулыG5.7)). Для определения f пишем
do	к '" '"	к • (v)
(использовано равенство нулю средних значений от полных производных по
времени). Подставив сюда Dap = ^2mCxavp + 3xpva — 2rv5ap) и сравнив
с A), найдем
Р	2к ^(v)
Подстановка этого выраж:ения в B) приводит к результату:
dMa	2k	n(v)n	2к
~dT = ~45?ва/37 ps	= ~~^
4. Для системы двух тел, движущихся по эллиптическим орбитам, найти
средний теряемый ею в единицу времени момент импульса.
Решение. Вычисление по формуле C) из предыдущей задачи, ана-
аналогичное произведенному в задаче 2, приводит к результату:
dMz _ 32k7/2mlmly/m1 + m2
dt	Ъс^а7'2	A - е2J
При круговом движении (е = 0) значения ? и М находятся, как и следовало,
в соотношении $ = Мои.

ГЛАВА XIV
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ
§111. Изотропное пространство
Общая теория относительности открывает новые пути подхо-
подхода к решению вопросов, связанных со свойствами мира, рассмат-
рассматриваемого в космических масштабах. Возникающие здесь новые
замечательные возможности (впервые указанные Эйнштейном в
1917 г.) связаны с негалилеевостью пространства-времени.
Эти возможности тем более существенны, что ньютоновская
механика приводит здесь к противоречиям, которые не могут
быть обойдены в достаточно общем виде в пределах нереля-
нерелятивистской теории. Так, применяя ньютоновскую формулу для
гравитационного потенциала к плоскому (каким оно является в
ньютоновской механике) бесконечному пространству, заполнен-
заполненному веществом с произвольно распределенной нигде не исчезаю-
исчезающей средней плотностью, мы найдем, что потенциал обращается
в каждой точке в бесконечность. Это привело бы к бесконечным
силам, действующим на вещество, т. е. к абсурду.
Прежде чем приступить к систематическому построению ре-
релятивистских космологических моделей, сделаем следующее за-
замечание по поводу основных исходных уравнений поля.
Требования, поставленные в §93 в качестве условий для
определения действия гравитационного поля, будут по-прежне-
по-прежнему удовлетворены, если к скаляру G добавить постоянный член,
т. е. если положить
где Л—новая постоянная (с размерностью см 2). Такое изме-
изменение приведет к появлению в уравнениях Эйнштейна дополни-
дополнительного члена Agik'.
Rik - -Rgik = -^rTik + Agik.
2	с
Если приписать «космологической постоянной» Л очень малое
значение, то наличие этого члена не будет сказываться суще-
существенным образом на гравитационных полях в не слишком боль-
больших областях пространства-времени, но приведет к появлению

478
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
новых типов «космологических решений», которые могли бы
описывать мир в целом1). В настоящее время, однако, нет ни-
никаких настоятельных и убедительных оснований — как наблю-
наблюдательных, так и теоретических— для такого видоизменения
основных уравнений теории. Подчеркнем, что речь шла бы об
изменении, имеющем глубокий физический смысл: введение в
плотность лагранжевой функции постоянного члена, вообще не
зависящего от состояния поля, означало бы приписывание про-
пространству-времени принципиально неустранимой кривизны, не
связанной ни с материей, ни с гравитационными волнами. Все
дальнейшее изложение в этой главе основано поэтому на уравне-
уравнениях Эйнштейна в их «классическом» виде, без космологической
постоянной.
Как известно, звезды распределены по пространству весьма
неравномерным образом — они сконцентрированы в отдельных
звездных системах (галактиках). Но при исследовании Вселен-
Вселенной «в больших масштабах» следует отвлекаться от «местных»
неоднородностей, вызванных скоплением вещества в звезды и
звездные системы. Так, под плотностью масс должна подра-
подразумеваться плотность, усредненная по областям пространства,
размеры которых велики по сравнению с расстояниями между
галактиками.
Рассматриваемые ниже (в § 111-114) решения уравнений
Эйнштейна— так называемая изотропная космологическая
модель (впервые открытая А.А.Фридманом в 1922 г.) —
основаны на предположении об однородности и изотропии
распределения вещества по пространству. Существующие астро-
астрономические данные не противоречат такому предположению2),
и в настоящее время есть все основания считать, что изотропная
модель дает в общих чертах адекватное описание не только
современного состояния Вселенной, но и значительной доли ее
эволюции в прошлом. Мы увидим ниже, что основным свойством
этой модели является ее нестационарность. Нет сомнения в
том, что это свойство («расширяющаяся Вселенная») дает
правильное объяснение фундаментального для космологической
проблемы явления красного смещения (§ 114).
В то же время ясно, что предположение об однородности и
изотропии Вселенной уже по самому своему существу неизбеж-
неизбежно может иметь лишь приближенный характер, поскольку эти
) В частности, появляются стационарные решения, отсутствующие при
Л = 0. Именно с этой целью «космологический член» был введен Эйнштей-
Эйнштейном до открытия Фридманом нестационарных решений уравнений поля —
см. ниже.
2
) Имеются в виду данные о распределении галактик в пространстве и об
изотропии так называемого реликтового радиоизлучения.

§ 111	ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО	479
свойства заведомо нарушаются при переходе к меньшим мас-
масштабам. К вопросу о возможной роли неоднородности Вселенной
в различных аспектах космологической проблемы мы вернемся
в §115-119.
Однородность и изотропия пространства означают, что мож-
можно выбрать такое мировое время, чтобы в каждый его момент
метрика пространства была одинаковой во всех точках и по всем
направлениям.
Займемся прежде всего изучением метрики изотропного про-
пространства как таковой, не интересуясь пока его возможной за-
зависимостью от времени. Как мы уже делали выше, обозначим
трехмерный метрический тензор как 7а/3> т-е- напишем элемент
пространственного расстояния в виде
dl2 =
Кривизна пространства полностью определяется его трех-
трехмерным тензором кривизны, который мы обозначаем как Ра/З-уб?
в отличие от четырехмерного тензора Щыт- В случае полной
изотропии тензор Paj3jS должен, очевидно, выражаться только
через метрический тензор 7а^? a потому в силу своих свойств
симметрии должен иметь вид
где Л — постоянная. Тензор Риччи Рар = Р^а^/3 равен соответ-
соответственно
Рар = 2А7о0,	(Ш.З)
а скалярная кривизна
Р = 6\.	AП-4)
Таким образом, свойства кривизны изотропного простран-
пространства определяются лишь одной постоянной. Соответственно это-
этому возможны всего три существенных различных случая про-
пространственной метрики: 1) так называемое пространство посто-
постоянной положительной кривизны (соответствующее положитель-
положительным значениям Л), 2) пространство постоянной отрицательной
кривизны (соответствующее значениям Л < 0) и 3) пространство
с кривизной, равной нулю (Л = 0). Из них последнее представ-
представляет собой плоское, т. е. евклидово, пространство.
При изучении метрики удобно исходить из геометрической
аналогии, рассматривая геометрию изотропного трехмер-
трехмерного пространства как геометрию на заведомо изотропной
гиперповерхности (в некотором фиктивном четырехмерном

480
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
пространстве1)). Такой поверхностью является гиперсфера;
соответствующее ей трехмерное пространство и является
пространством положительной постоянной кривизны. Уравнение
гиперсферы с радиусом а в четырехмерном пространстве
Ж1,Ж2,жз,Ж4 имеет вид
2 2 2 2 2
х1 + х2 + х% + х4 = а ,
а элемент длины на ней выражается как
dl2 = dx\ + dx\ + dx\ + dx\.
Рассматривая координаты жх, #2, xs как ТРИ пространствен-
пространственные координаты и исключая из dl2 фиктивную координату х^ с
помощью первого уравнения, находим элемент пространственно-
пространственного расстояния в виде
dl2 = dx\ + dx\ + dx\
Из этого выражения легко вычислить постоянную Л в A11.2).
Поскольку нам заранее известно, что тензор Рар имеет вид
A11.3) во всем пространстве, то достаточно вычислить его толь-
только для точек, находящихся вблизи начала координат, где 7а/3
равны
с , 2Cot.2Cfi
lap = °olC H	—•
Так как первые производные от 7а/3> a значит, и величины А2 —
(ср. задачу 1 § 88), —трехмерные символы Кристоффеля, соот-
соответствующие метрике 7а/3>~в начале координат обращаются в
нуль, то вычисление по общей формуле (92.7) оказывается очень
простым и дает в результате
А =4-	(ш-6)
Величину а можно назвать «радиусом кривизны» простран-
пространства. Введем вместо координат х\, х2, х% соответствующие им
«сферические» координаты г, 0, (р. Тогда элемент длины примет
вид
dl2 = drl 2 + г2(sin2 в dip2 + d62).	A11.7)
1 — г /а
Начало координат может быть выбрано в любой точке простран-
пространства. Длина окружности в этих координатах равна 2тгг, а поверх-
x)He имеющем, разумеется, ничего общего с четырехмерным простран-
пространством-временем .

§ 111	ИЗОТРОПНОЕ ПРОСТРАНСТВО	481
ность сферы 4тгг2. Длина же «радиуса» окружности (или сферы)
равна
г
dr	. г
= = a arcsm -,
/l-r^/a?	a
О
т. е. больше г. Таким образом, отношение длины окружности к
радиусу в таком пространстве меньше 2тг.
Другую удобную форму dl2 имеет в «четырехмерных сфери-
сферических координатах», получающихся, если ввести вместо коор-
координаты г «угол» х согласно г = asinx (x меняется в пределах
от 0 до тгI). Тогда
dl2 = a2[dX2 + sin2x(sin20d<p2 + d62)].	A11.8)
Координата х измеряет расстояние от начала координат,
равное ах- Поверхность сферы в этих координатах рав-
равна 4тга2 sin2 х- Мы видим, что по мере удаления от начала
координат величина поверхности сферы увеличивается, пока
не достигнет на расстоянии тга/2 максимального значения,
равного 4тга2. Вслед за этим она начинает уменьшаться,
пока не превратится в точку на «противоположном полюсе»
пространства на расстоянии тга— наибольшем расстоянии,
которое вообще может существовать в таком пространстве (все
это видно, конечно, и из A11.7), если заметить, что координата
г не может принимать значений, больших чем а).
Объем пространства с положительной кривизной равен
2тг тг тг
V=	a3 sin2
0 0 0
откуда
V = 2тг2а3.	A11.9)
Таким образом, пространство положительной кривизны оказы-
оказывается «замкнутым само в себе»—конечным по объему, но, ра-
разумеется, не имеющим границ.
Интересно отметить, что в замкнутом пространстве полный
электрический заряд должен быть равен нулю. Действительно,
1) «Декартовы» координаты xi, X2, #з, #4 связаны с четырехмерными
сферическими координатами а, в, ip, \ посредством соотношений
х\ = a sin х sin 0 cos <р, Х2 = a sin x sin 0 sin <?>,
хз = a sin х cos в,	х± = a cos х-

482
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
всякая замкнутая поверхность в конечном пространстве с обеих
своих сторон охватывает конечные же области пространства.
Поэтому поток электрического поля через эту поверхность равен,
с одной стороны, полному заряду, находящемуся внутри поверх-
поверхности, а с другой, —равен находящемуся вне ее заряду, взятому с
обратным знаком. Сумма же зарядов с обеих сторон поверхности
равна, следовательно, нулю.
Аналогичным образом, из выражения (96.16) 4-импульса в
виде интеграла по поверхности следует обращение в нуль полно-
полного 4-импульса Рг во всем пространстве.
Перейдем теперь к рассмотрению геометрии пространства,
обладающего постоянной отрицательной кривизной. Из A11.6)
мы видим, что постоянная Л становится отрицательной, если а
мнимо. Поэтому все формулы для пространства отрицательной
кривизны можно непосредственно получить из предыдущих, за-
заменив в них а на га. Другими словами, геометрия пространства
отрицательной кривизны получается математически как геомет-
геометрия на четырехмерной псевдосфере с мнимым радиусом.
Таким образом, постоянная Л равна теперь
а2 '
а элемент длины в пространстве отрицательной кривизны в ко-
координатах г, в, (р имеет вид
dl2 = drl + r2(sin2 в d(f2 + d62),	A11.11)
1 + г /а
где координата г может пробегать все значения от 0 до ос.
Отношение длины окружности к радиусу теперь больше чем 2тг.
Выражение для dl2, соответствующее A11.8), получится, если
ввести координату х согласно г = ashx (x меняется здесь от О
до ос). Тогда
dl2 = a2{dX2 + sh2 X(sin2 в dp2 + d62)}.	A11.12)
Поверхность сферы равна теперь 4тга2 sh2 x и ПРИ удалении
от начала координат (увеличении х) возрастает неограниченно.
Объем пространства отрицательной кривизны, очевидно, беско-
бесконечен.
Задача
Преобразовать элемент длины A11.7) к виду, в котором он был бы
пропорционален своему евклидову выражению (конформно-евклидовы ко-
координаты) .

§ 112	ЗАКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	483
Решение. Подстановка
г =
приводит к результату:
dl2
= (l + ^Y\drl + rldO2 + r\ sin2 в dip2).
§ 112. Закрытая изотропная модель
Переходя к исследованию пространственно-временной мет-
метрики изотропной модели, мы должны прежде всего условиться
о выборе системы отсчета. Наиболее удобна «сопутствующая»
система отсчета, движущаяся в каждой точке пространства вме-
вместе с находящимся в ней веществом. Другими словами, системой
отсчета является сама заполняющая пространство материя; ско-
скорость вещества в этой системе по определению равна везде нулю.
Очевидно, что такой выбор системы отсчета для изотропной
модели естествен: при другом выборе направленность скоростей
материи создавала бы кажущуюся неэквивалентность различ-
различных направлений в пространстве. Временная координата должна
быть выбрана указанным в начале предыдущего параграфа об-
образом, т. е. так, чтобы в каждый данный момент времени метрика
во всем пространстве была одинаковой.
Ввиду полной эквивалентности всех направлений, компонен-
компоненты goa метрического тензора в выбранной нами системе от-
отсчета равны нулю. Действительно, три компоненты goa можно
рассматривать как компоненты трехмерного вектора, который,
будучи отличен от нуля, создавал бы неравноценность различ-
различных направлений. Таким образом, ds2 должно иметь вид ds2 =
— goo(dx0J — dl2. Компонента goo является здесь функцией толь-
только от ж0. Поэтому можно всегда выбрать временную координату
так, чтобы goo обратилось в 1. Обозначая ее через с?, имеем
ds2 = c2dt2-dl2.	A12.1)
Переменная t является синхронным собственным временем в
каждой точке пространства.
Начнем с рассмотрения пространства положительной кривиз-
кривизны; ниже мы будем для краткости говорить о соответствующем
решении уравнений Эйнштейна как о закрытой модели. Для dl
воспользуемся выражением A11.8), в котором радиус кривизны
а является, вообще говоря, функцией времени. Таким образом,

484
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
ds2 пишем в виде
ds2 = с2 dt2 - a2(t){dX2 + sin2 X(d62 + sin2 6dy2)}. A12.2)
Функция a(t) определяется уравнениями Эйнштейна. Для
решения этих уравнений удобно воспользоваться вместо времени
величиной 77, определяемой соотношением
cdt = adrj.	A12.3)
Тогда ds2 напишется в виде
ds2 = a2(r)){drJ - dX2 - sin2 X(d62 + sin2 в dip2)}. A12.4)
Для составления уравнений поля надо начать с вычисления
компонент тензора R^ (координатами ж0, ж1, ж2, ж3 являются 77,
X, #, ф). С помощью значений компонент метрического тензора
goo = a2, gn = -а2 g22 = -а2 sin2 x, g33 = -а2 sin2 x sin2 б
вычисляем величины Г^:
ра _ а га рО _ ра _ п
рО _ а
00 ~" а"'
_	р
00 ~" а"' а/3
где штрих означает дифференцирование по г) (компоненты Г2
нет надобности вычислять в явном виде). С помощью этих зна-
значений по общей формуле (92.7) получим
Из тех же соображений симметрии, которые были примене-
применены выше к goa, заранее очевидно, что компоненты i?oa = 0.
Для вычисления же компонент Ra замечаем, что если выде-
выделить в них члены, содержащие только gap (т.е. только Г2 ),
то эти члены должны составить компоненты трехмерного тензо-
тензора —Ра, значения которых заранее известны из A11.3) и A11.6):
где многоточие подразумевает члены, содержащие наряду с
также и goo- В результате вычисления последних получим
и затем

§ 112	ЗАКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	485
Поскольку в выбранной нами системе отсчета материя непо-
неподвижна, то иа = О, и0 = 1/а и из (94.9) имеем Т$ = ?, где е-
плотность энергии материи. Подставляя полученные выражения
в уравнение
получим
—? = — (оГ + arz).	(П2.5)
с	a
Сюда входят две неизвестные функции е и а; поэтому необ-
необходимо получить еще одно уравнение. В качестве него удобно
выбрать (вместо пространственных компонент уравнений Эйн-
Эйнштейна) уравнение Tq.^ = 0 — одно из четырех уравнений (94.7),
содержащихся, как мы знаем, в уравнениях поля. Это уравнение
можно вывести и непосредственно с помощью термодинамиче-
термодинамических соотношении следующим образом.
Пользуясь в уравнениях поля выражением (94.9) для тензора
энергии-импульса, мы тем самым пренебрегаем всеми процес-
процессами диссипации энергии, приводящими к возрастанию энтро-
энтропии. Такое пренебрежение, разумеется, здесь вполне законно,
поскольку дополнительные члены, которые надо было бы при-
прибавить к Т^ в связи с диссипацией энергии, ничтожно малы по
сравнению с плотностью энергии е, включающей в себя энергию
покоя материальных тел.
Таким образом, при выводе уравнений поля мы можем счи-
считать полную энтропию постоянной. Воспользуемся теперь из-
известным термодинамическим соотношением d<§ = T dS — pdV,
где §, /S, V — энергия, энтропия и объем системы, ар, Г —давле-
—давление и температура. При постоянной энтропии имеем просто d<§ =
= —pdV. Вводя плотность энергии е = $/V, без труда находим
de = -(e + p) — .
Объем пространства V пропорционален, согласно A11.9), ку-
кубу радиуса кривизны а. Поэтому dV/V = 3da/a = 3d In a, и мы
можем написать:
	= 3d In a,
е+р
или, интегрируя,
3lna = - / -^— + const	(П2.6)
(нижний предел в интеграле постоянен).

486
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Если связь между е и р (уравнение состояния материи) из-
известна, то уравнение A12.6) определяет е как функцию от а.
Тогда из A12.5) мы можем определить г\ в виде
(П2.7)
8тгк( 2_ .
Уравнения A12.6), A12.7) решают в общем виде задачу об опре-
определении метрики в изотропной закрытой модели.
Если материя распределена в пространстве в виде отдель-
отдельных макроскопических тел, то при определении создаваемого ею
гравитационного поля мы можем рассматривать эти тела как
материальные частицы, обладающие определенными массами,
не интересуясь вовсе их внутренним строением. Считая скорости
тел сравнительно малыми (малыми по сравнению с с), можно
положить просто е = /хс2, где /х —сумма масс тел, отнесенная к
единице объема. По той же причине давление «газа», состоящего
из этих тел, крайне мало по сравнению сей им можно прене-
пренебречь (давления же внутри тел, согласно сказанному, не имеют
отношения к рассматриваемому вопросу). Что касается имеюще-
имеющегося в пространстве излучения, то его количество относительно
мало и его энергией и давлением тоже можно пренебречь.
Таким образом, для описания в терминах рассматриваемой
модели современного состояния Вселенной следует пользоваться
уравнением состояния «пылевидной» материи
еу
Е = \1С , р = 0.
Интегрирование в A12.6) дает тогда /m3 = const. Это равен-
равенство можно было бы написать и сразу, так как оно выражает со-
собой просто постоянство суммы М масс тел во всем пространстве,
как и должно было быть в рассматриваемом случае пылевидной
материи1). Поскольку объем пространства в замкнутой модели
равен V = 2тг2а3, то const = М/2тг2. Таким образом,
uas = const = ^.	A12.8)
^	2тг2	V	J
Подставив A12.8) в уравнение A12.7) и произведя интегри-
интегрирование, получим
а = аоA -cosry),	A12.9)
1) Подчеркнем во избежание недоразумений (при сопоставлении с упо-
упомянутым в §111 равенством нулю полного 4-импульса замкнутого мира),
что М есть именно сумма масс тел, взятых по отдельности, без учета их
гравитационного взаимодействия.

§ 112	ЗАКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	487
где постоянная
2кМ
Наконец, для связи между t и г\ находим из A12.3)
t= ^(rj-smrj).	A12.10)
С
Уравнения A12.9), A12.10) определяют в параметрическом виде
зависимость a(t). Функция a(t) возрастает от нуля при t = 0
(rj = 0) до максимального значения а = 2ао, достигаемого при
t = тгао/с [г] = 2тг) и затем снова убывает до нуля при t = 2тгао/с
(г, = 2тг).
При г] <^ 1 имеем приближенно а = а^гJ/2, t = ао?73/6с,
так что	/п 2\ 1/з
а^(^.у\ч\	A12.11)
При этом плотность вещества
М=^ = ^4^	A12.12)
Р бтгЫ2	t2	V	J
(числовое значение коэффициента дано для плотности в г • см~3
при t в секундах). Обратим внимание на то, что в этом пределе
зависимость /x(t) имеет универсальный характер в том смысле,
что не зависит от параметра ао-
При а —>• 0 плотность \i обращается в бесконечность. Но
при \i —)> ос давление тоже становится большим, и потому для
исследования метрики в этой области надо рассмотреть проти-
противоположный случай наибольшего возможного (при данной плот-
плотности энергии е) давления, т. е. описывать материю уравнением
состояния
е
V — ~
F 3
(см. примеч на с. 127). Из формулы A12.6) получим тогда
sa4 = const = ^	A12.13)
(ai —новая постоянная), после чего уравнения A12.7) и A12.3)
приводят к зависимости
а = а\ sin?7, t = — A — cos77).
с
Поскольку это решение имеет смысл рассматривать только при
очень больших значениях е (т.е. малых а), то положим т\ ^С 1.

488
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Тогда a rs ait], t ta aii]2/2c, так что
a = \j2a\ct.	A12.14)
При этом	45 10s
e _ 3 = ^O,	A12.15)
(эта зависимость снова не содержит никаких параметров).
Таким образом, и здесь а —»> 0 при ? —»> 0, так что значение ? =
= 0 действительно является особой точкой пространственно-вре-
пространственно-временной метрики изотропной модели (и то же самое относится
к закрытой модели и ко второй точке, в которой а = 0). Мы
видим также из A12.14), что при изменении знака t величина
a(t) сделалась бы мнимой, а ее квадрат—отрицательным. Все
четыре компоненты g^fc B A12.2) стали бы при этом положитель-
положительными, так же как и определитель g. Но такая метрика физически
бессмысленна. Это значит, что не имеет физического смысла
аналитически продолжать метрику за особую точку.
§ 113. Открытая изотропная модель
Решение, соответствующее изотропному пространству отри-
отрицательной кривизны (открытая модель), получается вполне
аналогично предыдущему. Вместо A12.2) имеем теперь
ds2 = c2dt2 - a2(t){dX2 + sh2 X(d02 + sin2 в dip2)}. A13.1)
Вводим снова вместо t переменную г] согласно cdt = adrj]
тогда получаем
ds2 = a2(r]){dr]2 - dX2 - sh2X(de2 + sin2 в dtp2)}.	A13.2)
Это выражение может быть формально получено из A12.4) за-
заменой 77, x> a соответственно на irj, i\, ш- Поэтому и уравнения
поля можно получить просто путем этой же замены из A12.5),
A12.6). Уравнение A12.6) сохраняет при этом свой прежний вид:
31па= - ( j^+ const,	A13.3)
а вместо A12.5) имеем

§ 113	ОТКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	489
Соответственно этому находим вместо A12.7)
_.	A13.5)
3c*?a2 + 1
Для пылевидной материи получаем отсюдах):
а = ao(chrj - 1), t= —(shrj - 77),	A13.6)
с
с
/m3 = — a0.	A13.7)
4тг&
Формулы A13.6) определяют в параметрическом виде зависи-
зависимость a(t). В отличие от замкнутой модели, здесь радиус кри-
кривизны меняется монотонно, возрастая от нуля при t = 0 G7 = 0)
до бесконечности при t —»> ос G7 —» ос). Плотность же материи,
соответственно, монотонно убывает от бесконечного значения
при t = 0 (при г] <С 1 закон этого убывания дается той же
приближенной формулой A12.12), что и в закрытой модели).
Для больших плотностей решение A13.6), A13.7) непримени-
неприменимо, и надо снова обратиться к случаю р = е/3. При этом снова
получается соотношение
sa4 = const = ^^,	A13.8)
8тгк	v	y
а для зависимости a(t) находим
а = а\ sh?7, t = — (chrj — 1),
с
1) Отметим, что преобразованием
г = АеР sh х, ст = Ае1 ch x,
Ле7* = Л/С2Г2_Г2?
ст
выраж:ение A13.2) приводится к «конформно-галилееву» виду
rfs2 = /(r,r)[c2 dr2 - dr2 - r2(d02 + sin2 в dip2)].
Конкретно, в случае A13.6) получим (положив А = ао/2):
g
2vc2t2 — r2
(В.А.Фок, 1955). При больших значениях л/с2т2 — г2 (чему соответству-
соответствуют rj ^> 1) эта метрика стремится к галилеевой, что естественно было
ожидать ввиду стремления радиуса кривизны к бесконечности.
В координатах г, в, <?, т материя не неподвижна, и ее распределение
не однородно; при этом распределение и движение материи оказываются
центрально-симметричными вокруг произвольной точки пространства, вы-
выбранной в качестве начала координат т, в, ip.

490
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
или при г\ <С 1:
а = y/2aict	A13.9)
(и прежняя формула A12.15) для s(t)). Таким образом, и в
открытой модели метрика имеет особую точку (но в отличие от
закрытой модели—лишь одну).
Наконец, предельным случаем рассмотренных решений, со-
соответствующим бесконечному радиусу кривизны пространства,
является модель с плоским (евклидовым) пространством. Интер-
Интервал ds2 в этой модели можно написать в виде
ds2 = c2dt2 - b2(t)(dx2 + dy2 + dz2)	A13.10)
(в качестве пространственных координат выбраны «декартовы»
координаты ж, у, z). Зависящий от времени множитель в элемен-
элементе пространственного расстояния не меняет, очевидно, евклидо-
вости пространственной метрики, так как при заданном t этот
множитель постоянен и простым преобразованием координат
может быть приведен к единице. Вычисления, аналогичные про-
произведенным в предыдущем параграфе, приводят к следующим
уравнениям:
8тгк	3 fdb\	о1 ,	Г ds ,	,
—2-е = "о ( — I ? 3 In fe = — /	h const.
с2	b2 \dtj '	J p + e
Для случая малых давлений находим
fib3 = const, b = const • t2/s.	A13.11)
При малых t опять надо рассматривать случай р = е/3, при
котором получаем
sb4 = const, Ъ = const • y/i.	A13.12)
Таким образом, и в этом случае метрика имеет особую точку
(* = о).
Отметим, что все найденные изотропные решения существу-
существуют лишь при отличной от нуля плотности материи; для пустого
пространства уравнения Эйнштейна не имеют такого рода ре-
решений1). Упомянем также, что в математическом отношении
х) При г = 0 из уравнения A13.5) мы получили бы а = аое11 = ct (уравнение
же A12.7) вообще теряет смысл ввиду мнимости корня). Но метрика
ds2 = с2 dt2 - c2t2{dX2 + sh2 X(d02 + sin2 0 dy2)}
преобразованием r = ctshx, r = tchX приводится к виду
ds2 = с2 dr2 - dr2 - r2{dd2 + sin2 в dip2),
т. е. просто к галилееву пространству-времени.

§ 113	ОТКРЫТАЯ ИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	491
они являются частным случаем более общего класса решений,
содержащего три физически различные произвольные функции
пространственных координат (см. задачу).
Задача
Найти общий вид вблизи особой точки для метрики, в которой расшире-
расширение пространства происходит «квазиоднородным» образом, т. е. так, что все
компоненты jap = — gap (в синхронной системе отсчета) стремятся к нулю
по одинаковому закону. Пространство заполнено материей с уравнением
состояния р = г/3 (Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников, 1960).
Решение. Ищем решение вблизи особой точки (t = 0) в виде
lap = taap + t2bap + ...,	A)
где аар, bap — функции координат (пространственныхI); ниже полагаем
с = 1. Обратный тензор
где тензор аа/3 обратен аар, а Ъа/3 = aaja/3Sb1s', ниже все операции под-
поднимания индексов и ковариантного дифференцирования производятся при
помощи не зависящей от времени метрики аар.
Вычисляя левые части уравнений (97.11) и (97.12) с необходимой точ-
точностью по 1/?, получим
3.1, 8пк , 2 , -ч 1,,	je ч 32тг&
(где 6 = 6^). Учитывая такж:е тож:дество
-I	г	2 1	ав
1 = щи ~ г^о	иаира ,
L
найдем
Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор Рар в первом
по 1/t приближении не зависят от времени; при этом Рар совпадают с
выражениями, получающимися при вычислении с метрикой просто аар.
Учитывая это, найдем, что в уравнении (97.13) члены порядка t~2 взаимно
сокращаются, а члены ~ 1/t дают
откуда
Ы = -^ + ^-5%Р	C)
1
1) Фридмановскому решению отвечает специальный выбор функций аар,
соответствующий пространству постоянной кривизны.

492
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
(где Р = а^1 Р/з-у)- Ввиду тождества
* р - п
(см. (92.10)) имеет место соотношение
и потому иа можно переписать в виде
t2
иа =	Ъ-а.	D)
9
Таким образом, все шесть функций аар остаются произвольными, а по
ним определяются коэффициенты Ъар следующего члена разложения A).
Выбор времени в метрике A) полностью определен условием t = 0 в осо-
особой точке; пространственные же координаты допускают еще произвольные
преобразования, не затрагивающие времени (ими можно воспользоваться,
например, для приведения тензора аар к диагональному виду).
Поэтому полученное решение содержит всего три «физически различ-
различные» произвольные функции.
Отметим, что в этом решении пространственная метрика неоднородна
и анизотропна, а распределение плотности материи стремится при t —»> 0
к однородному. Трехмерная скорость v имеет (в приближении D)) равный
нулю ротор, а ее величина стремится к нулю по закону
2	осв .3
V = VaVpJ H rsj t .
§ 114. Красное смещение
Основной характерной чертой всех рассмотренных решений
является нестационарность метрики: радиус кривизны простран-
пространства является функцией времени. Изменение же радиуса кривиз-
кривизны приводит к изменению всех вообще расстояний между тела-
телами в пространстве, как это видно уже из того обстоятельства,
что элемент пространственного расстояния dl пропорционален а.
Так, при увеличении а в таком пространстве тела «разбегаются»
друг от друга (в открытой модели увеличению а соответствуют
г\ > 0, а в закрытой 0 < т\ < тг).
С точки зрения наблюдателя, находящегося на одном из них,
тело будет выглядеть так, как если бы остальные тела дви-
двигались в радиальных направлениях, удаляясь от наблюдателя.
Скорость этого «разбегания» (в данный момент t) сама пропор-
пропорциональна расстоянию между телами.

§ 114	КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ	493
Это предсказание теории следует поставить в соответствие с
фундаментальным астрономическим фактом — эффектом крас-
красного смещения линий в спектрах галактик. Истолковав это сме-
смещение как доплеровское, мы приходим к заключению о «разбе-
гании» галактик, т. е. о том, что в настоящее время Вселенная
расширяетсях).
Рассмотрим распространение лучей света в изотропном про-
пространстве. Для этого проще всего воспользоваться тем, что вдоль
мировой линии распространения светового сигнала интервал
ds = 0. Точку, из которой выходит луч света, выберем в качестве
начала координат х-> #, (р. Из соображений симметрии очевидно,
что лучи будут распространяться «радиально», т. е. вдоль линии
в = const, <p = const. Полагая соответственно этому в A12.4)
или A13.2) d6 = dip = 0, получим ds2 = a2(dr]2 — dx2)- Прирав-
Приравнивая нулю, находим drj = ±dx или, интегрируя:
X = ±?7 + const.	A14.1)
Знак плюс перед г\ соответствует лучу, распространяющемуся
по направлению от начала координат, а знак минус — лучу, при-
приходящему в начало координат. В таком виде уравнение A14.1)
применимо к распространению лучей как в открытой, так и в
закрытой моделях. С помощью формул предыдущих парагра-
параграфов можно выразить отсюда проходимое лучом расстояние как
функцию времени.
В открытой модели луч света, вышедший из некоторой точки,
по мере своего распространения неограниченно удаляется от нее.
В закрытой же модели вышедший из исходной точки луч света
в конце концов может дойти до «противоположного полюса»
пространства (чему соответствует изменение % от 0 до тг); при
дальнейшем распространении луч начнет приближаться к исход-
исходной точке. Обходу луча «вокруг пространства» и возвращению
в исходную точку соответствовало бы изменение х от 0 до 2тг.
Из A14.1) мы видим, что при этом и г\ должно было бы изме-
измениться на 2тг, что, однако, невозможно (за исключением одного
случая — выхода луча в момент, соответствующий т\ = 0). Таким
образом, луч не мог бы успеть возвратиться в исходную точку,
обойдя «вокруг пространства».
1) Заключение о «разбегании» тел при увеличении a(t) можно сделать,
конечно, лишь при условии малости энергии их взаимодействия по сравне-
сравнению с кинетической энергией их движения при «разбегании»; это условие
во всяком случае удовлетворяется для достаточно удаленных галактик.
В противном же случае взаимные расстояния тел определяются в основном
их взаимодействием; поэтому, например, рассматриваемый эффект практи-
практически не должен сказываться на размерах самих туманностей и тем более
звезд.

494
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Лучу, приходящему в точку наблюдения (начало координат),
соответствует уравнение A14.1) со знаком минус перед rj. Если
момент прихода луча в эту точку есть ?(?7о), то при г\ = щ должно
быть х — 0, так что уравнение распространения таких лучей
имеет вид
Х = г]0-г].	A14.2)
Отсюда видно, что к наблюдателю, находящемуся в точке X — О,
могут дойти к моменту времени t(rjo) лучи, вышедшие из точек,
находящихся на «расстояниях», не превышающих х = Vo-
Этот результат, относящийся как к открытой, так и к за-
закрытой моделям, весьма существен. В каждый момент времени
t(rj) в данной точке пространства физическому наблюдению до-
доступно не все пространство, а лишь его часть, соответствующая
X ^С 77. С математической точки зрения «видимая область»
пространства представляет собой сечение четырехмерного про-
пространства-времени световым конусом. Это сечение оказывается
конечным как для открытой, так и для закрытой моделей (бес-
(бесконечным же в открытой модели является сечение гиперповерх-
гиперповерхностью t = const, соответствующее пространству, рассматривае-
рассматриваемому во всех своих точках в один и тот же момент времени t).
В этом смысле разница между открытой и закрытой моделями
оказывается менее глубокой, чем это могло бы на первый взгляд
показаться.
Чем более удалена от наблюдателя наблюдаемая им в дан-
данный момент времени область пространства, тем более ранним
моментам времени она соответствует. Представим себе сфериче-
сферическую поверхность, являющуюся геометрическим местом точек,
из которых свет вышел в момент времени t(rj — x) и наблюдается
в начале координат в момент t{rf). Площадь этой поверхности
равна 4тга2(т7 —х) sin2 X (в закрытой модели) или 4тга2(г] — х) sh2 x
(в открытой модели). По мере удаления от наблюдателя площадь
«видимой сферы» сначала возрастает от нуля (при х — 0), затем
достигает максимума, после чего снова уменьшается, обращаясь
в нуль при х = V (гДе а(г}~х) — а@) = 0). Это значит, что сечение
световым конусом не только конечно, но и замкнуто. Оно как бы
замыкается в точке, «противоположной» наблюдателю; ее можно
увидеть при наблюдении в любом направлении в пространстве.
В этой точке е —>> ос, так что наблюдению доступна, в принципе,
материя на всех ступенях ее эволюции.

§ 114	КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ	495
Полное наблюдаемое количество материи равно в открытой
модели интегралу
v
Л^набл = 4тг / /ш3 sh2 х dx-
о
Подставив /ш3 из A13.7), получим
Мнабл = ^(shrychr? - ту).	A14.3)
Эта величина неограниченно возрастает при т\ —»> ос. В закрытой
же модели возрастание -Мнабл ограничено, разумеется, полной
массой М; аналогичным образом получим в этом случае
Л^набл = —(v~ sin г/cos г/).	A14.4)
7Г
По мере возрастания г\ от 0 до тг эта величина возрастает от О
до М; в дальнейшем же увеличение Мнабл, согласно полученной
формуле, фиктивно и соответствует просто тому, что в «сжи-
«сжимающемся» мире удаленные тела наблюдались бы дважды (по
свету, «обошедшему пространство» с двух сторон).
Рассмотрим теперь изменение частоты света при его рас-
распространении в изотропном пространстве. Для этого замечаем
предварительно следующее обстоятельство. Пусть в некоторой
точке пространства происходят два события, разделенные про-
промежутком времени dt = a(rj)drj/c. Если в моменты этих событий
отправляются световые сигналы, наблюдаемые в другой точке
пространства, то между моментами их наблюдения пройдет про-
промежуток времени, соответствующий тому же изменению drj вели-
величины ?7, что и в точке отправления. Это следует непосредственно
из уравнения A14.1), согласно которому изменение величины т\
за время распространения луча света из одной точки в другую
зависит только от разности координат х этих точек. Но посколь-
поскольку за время распространения сигнала радиус кривизны а изме-
изменится, то промежутки времени t между моментами отправления
двух сигналов и моментами их наблюдения будут различными;
отношение этих промежутков равно отношению соответствую-
соответствующих значений а.
Отсюда следует, в частности, что и периоды световых коле-
колебаний, измеренные в мировом времени ?, меняются вдоль луча
пропорционально а. Частота же света будет, очевидно, обратно
пропорциональна а. Таким образом, при распространении луча
света вдоль него постоянно произведение
ооа = const.	A14.5)

496
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Предположим, что в момент времени t(rj) мы наблюдаем
свет, излученный источником, находящимся на расстоянии, со-
соответствующем определенному значению координаты х- Мо-
Моментом испускания этого света является, согласно A14.1), мо-
момент t(rj — х)' Если с^о есть частота света в момент его испуска-
испускания, то наблюдаемая нами частота ио равна, согласно A14.5),
и = шоа-^.	A14.6)
При монотонно возрастающей функции a(rj) имеем ио < с^о,
т. е. происходит уменьшение частоты света. Это значит, что при
наблюдении спектра приходящего света все его линии должны
оказаться смещенными в красную сторону по сравнению со спек-
спектрами тех же веществ в обычных условиях. Это явление красного
смещения представляет собой, по существу, эффект Доплера от
взаимного «разбегания» галактик.
Величина красного смещения, измеряемая отношением си/сио
сдвинутой частоты к несдвинутой, зависит (при данном моменте
наблюдения) от расстояния, на котором находится наблюдаемый
источник света (в соотношение A14.6) входит координата х ис~
точника света). При не слишком больших расстояниях можно
разложить а(г] — х) в ряд по степеням х-> ограничившись первыми
двумя членами:
1 х
ujq	a(rj)
(штрих означает дифференцирование по 77). Далее замечаем, что
произведение x^v) является здесь не чем иным, как расстояни-
расстоянием I до наблюдаемого источника. Действительно, «радиальный»
элемент длины равен dl = adx\ при интегрировании этого соот-
соотношения возникает вопрос о том, каким способом физического
наблюдения определяется расстояние, — в зависимости от этого
надо брать значения а в разных точках пути интегрирования в
разные моменты времени (интегрирование при r\ = const соответ-
соответствовало бы одновременному рассмотрению всех точек пути, что
физически неосуществимо). Но при «малых» расстояниях можно
пренебречь изменением а вдоль пути интегрирования и написать
просто I = ах со значением а, взятым в момент наблюдения.
В результате находим для относительной величины измене-
изменения частоты (ее обозначают обычно буквой z) следующую фор-
формулу:
z = ^^ = *1,	A14.7)
UJQ	С

§ 114	КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ	497
где введено обозначение
Н = С«Ш 1*Л	A14.8)
a2(rj) adt	v	J
для так называемой постоянной Хаббла. Эта величина не за-
зависит при заданном моменте наблюдения от I. Таким образом,
относительный сдвиг спектральных линий пропорционален рас-
расстоянию до наблюдаемого источника света.
Рассматривая красное смещение как результат эффекта До-
Доплера, можно определить скорости v галактик, с которыми они
удаляются от наблюдателя. Написав z = v/c и сравнив с A14.7),
находим
v = Hl	A14.9)
(эту формулу можно получить и непосредственно, вычисляя про-
производную v = d(ax)/dt).
Астрономические данные подтверждают закон A14.7), но
определение значения постоянной Хаббла затрудняется неопре-
неопределенностью в установлении масштаба космических расстояний,
пригодного для удаленных галактик. Принятое в настоящее вре-
время значение Н составляет:
Я « 0,8 • КГ^год = 0,25 • КГ^с, - « 4-1017с =
н
= 13-109год. A14.10)
Это значение Н соответствует увеличению «скорости разбега-
ния» на 75 км/с на каждый мегапарсек расстояния1).
Подставляя в уравнение A13.4) е = \м? и Н = со!/а2, полу-
получим для открытой модели следующее соотношение:
4 = Я2 - ?=*/,.	A14.11)
а	3
Комбинируя это уравнение с равенством
получим
ТТ	CShn	С ,л 77
Я = —	'-—г = - cth -,
ao(ch77-lJ a 2'
) Существуют также оценки, приводящие к меньшему значению Н, отве-
отвечающему увеличению скорости разбегания на 55 км/с на каждый мегапар-
мегапарсек; при этом 1/Н « 18 • 109 год.

498
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Для закрытой модели аналогичным образом получим
A14.13)
A14.14)
Сравнивая A14.11) и A14.13), мы видим, что кривизна про-
пространства отрицательна или положительна, смотря по тому, от-
отрицательна или положительна разность 8тг&/л/3 — Н2. Эта раз-
разность обращается в нуль при /х = /Л&, где
Со значением A14.10) получим /л& « 1 • 10~29г/см3. При со-
современном состоянии астрономических сведений оценка сред-
средней плотности материи в пространстве может быть произведена
лишь с весьма небольшой точностью. Для оценки, основанной
на подсчете числа галактик и на их средней массе, принимают
в настоящее время значение около 3 • 10~31г/см3. Это значение
в 30 раз меньше /х& и, таким образом, свидетельствовало бы в
пользу открытой модели. Однако, не говоря уже о недостаточной
достоверности самого этого значения, следует иметь в виду, что
в нем не учитывается возможное существование межгалактиче-
межгалактического темного газа, учет которого мог бы существенно повысить
среднюю плотность материи.
Отметим некоторое неравенство, которое оказывается воз-
возможным получить при заданном значении величины Н. Для
открытой модели имеем Н = cshr]/ao(cb.r] — IJ, и отсюда
r,)	f.
U H(chrj-1J
Поскольку 0 < г] < ос, то должно быть
Ш <' < 5-	<114Л6>
Аналогично для закрытой модели получим
_ sin 77G7 — sin 77)
~~ #A-cost7J
Возрастанию a(rj) соответствует интервал 0 < т\ < тг; поэтому
получаем
0 < t < ^.	A14.17)

§ 114	КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ	499
Далее определим интенсивность / света, доходящего до на-
наблюдателя от источника, находящегося на расстоянии, соответ-
соответствующем определенному значению координаты х- Плотность
потока световой энергии в точке наблюдения обратно пропорцио-
пропорциональна поверхности сферы, проведенной через рассматриваемую
точку с центром в точке нахождения источника; в простран-
пространстве отрицательной кривизны площадь поверхности сферы рав-
равна 4тга2 sh х- Свет, испущенный источником в течение времени
dt = a(r] — x)dri/c, будет приходить в точку наблюдения в течение
времени a(rj) dt/a(rj — х) — a(v) drj/c. Поскольку интенсивность
определяется как поток световой энергии в единицу времени, то,
следовательно, в / появится множитель а(г] — х)/«(^)« Наконец,
энергия волнового пакета пропорциональна частоте (см. E3.9));
поскольку частота меняется при распространении света по зако-
закону A14.5), то это приведет к появлению в / еще одного множи-
множителя a(rj — x)/a>(v)- В результате окончательно получаем интен-
интенсивность в виде
/ = const • \ ^ ~ ^ .	A14.18)
Для закрытой модели получилось бы аналогично:
/ = const • 4,(?~^ -	A14.19)
аг (г]) shr х
Этими формулами устанавливается зависимость видимой ярко-
яркости наблюдаемого объекта от его расстояния (при заданной абсо-
абсолютной яркости). При малых х можно положить а(г] — х) ~ a{v)i
и тогда / ~ l/a2(rj)x2 = 1/12, т.е. обычный закон уменьшения
интенсивности обратно пропорционально квадрату расстояния.
Наконец, рассмотрим вопрос о так называемых собствен-
собственных движениях тел. Говоря о плотности и движении мате-
материи, мы везде подразумевали усредненную плотность и усред-
усредненное движение; в частности, в той системе отсчета, кото-
которой мы все время пользуемся, скорость усредненного движе-
движения равна нулю. Истинные же скорости тел обнаруживают
некоторый разброс вокруг своего среднего значения. С тече-
течением времени скорости собственного движения тел меняют-
меняются. Для определения закона этого изменения рассмотрим сво-
свободно движущееся тело и выберем начало координат в ка-
какой-либо точке его траектории. Тогда траекторией будет яв-
являться радиальная линия в = const, <p = const. Уравнение
Гамильтона-Якоби (87.6) после подстановки значений glk примет
вид

500
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Поскольку в коэффициенты этого уравнения х не входит
(т.е. координата х циклична), то имеет место закон сохранения
dS/дх = const. Импульс же р движущегося тела равен, по об-
общему определению, р = dS/dl = dS/adx- Таким образом, при
движении тела остается постоянным произведение
ра = const.	A14.21)
Вводя скорость v собственного движения тела согласно
р =
получим
-7=— = const.	A14.22)
а/1 — v2 /с2
Этим соотношением определяется закон изменения скоростей со
временем. По мере возрастания а скорости v монотонно падают.
Задачи
1. Найти первые два члена разложения видимой яркости галактики как
функции ее красного смещения; абсолютная яркость галактики меняется со
временем по экспоненциальному закону /абс = const -eat (H. Robertson, 1955).
Решение. Зависимость видимой яркости туманности, наблюдаемой
в «момент» rj, от расстояния х дается (для закрытой модели) формулой
= const .
а4 (г)) sin2 х
Красное смещение, определенное согласно A14.7),
ujq — uj Q>(j)) — Q>(j) — х)
и	a(v ~ X)
Разлагая / и z по степеням х (с функциями a(rj) и ^G7) из A12.9), A12.10) и
исключая затем х из получающихся выражений, находим в результате:
/ = const •— 1— A— -Н
где введено обозначение
2	II
q = 	 = — > 1.
1 + cos rj iik
Для открытой модели получается такая же формула с
2	ц
q = 	 = — < 1.
1 + ch rj iik
2. Найти первые члены разложения числа галактик, находящихся вну-
внутри «сферы» заданного радиуса, как функции от красного смещения на
границе сферы (пространственное распределение галактик предполагается
однородным).
Решение. Число N галактик, находящихся на «расстоянии» $С ^,
есть (в закрытой модели)
х
N = const • / sin2 у d\ « const •
• / si

§ 115	ГРАВИТАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИЗОТРОПНОГО МИРА	501
Подставляя сюда первые два члена разложения функции x(z)i получим
N = const -z3 Гх — —B 4- q)z\.
В таком виде эта формула справедлива и для открытой модели.
§ 115. Гравитационная устойчивость изотропного мира
Рассмотрим вопрос о поведении малых возмущений в
изотропной модели, т. е. о ее гравитационной устойчивости
(Е. М. Лифшиц, 1946). При этом мы ограничимся рассмотрением
возмущений в сравнительно небольших областях пространства —
областях, линейные размеры которых малы по сравнению с
радиусом а1).
В каждой такой области пространственная метрика может
быть принята в первом приближении евклидовой, т. е. метри-
метрика A11.8) или A11.12) заменится метрикой
dl2 = a2(r])(dx2 + dy2 + dz2),	A15.1)
где ж, у, z—декартовы координаты, измеренные в единицах
радиуса а. В качестве временной координаты будем по-прежнему
пользоваться переменной т\.
Без ограничения общности, будем описывать возмущенное
поле по-прежнему в синхронной системе отсчета, т. е. наложим
на изменения Sgik метрического тензора условия Sgoo=5goa=0.
Варьируя при этих условиях тождество gikUluk = 1 (и имея в
виду, что невозмущенные значения компонент 4-скорости мате-
материи и0 = 1/а, иа = О2)), получим gQQU°5u° = 0, откуда 5и° = 0.
Возмущения же 8иа, вообще говоря, отличны от нуля, так что
система отсчета —уже не сопутствующая.
Возмущения пространственного метрического тензора обоз-
обозначим посредством h^p = #7а/3 — —$ёа/3- Тогда 5ja@ = —ha@,
причем поднимание индексов у ha/3 осуществляется с помощью
невозмущенной метрики 7а/3-
В линейном приближении малые возмущения гравитацион-
гравитационного поля удовлетворяют уравнениям
ЙДг - ^^г ^Д = —^Тг •	A15.2)
1)	Более подробное изложение вопроса, в том числе исследование возмуще-
возмущений в областях сравнимых с а размеров — см. Е. М. Лифшиц// УФН. 1963.
Т. 80. С. 411; Adv. in Phys. 1963. V. 12. P. 208.
2)	Невозмущенные значения величин мы будем обозначать в этом парагра-
параграфе буквами без дополнительного индекса @).

502
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
В синхронной системе отсчета вариации компонент тензора
энергии-импульса (94.9) равны
= -6%6р, STg = а(р + еNиа, 5T$ = 5е.	A15.3)
Ввиду малости 5е и 5р можно написать 5р = — 5е, и мы получаем
соотношения
n -5idf?5T».	A15.4)
Формулы для 5Rf можно получить варьированием выра-
выражений (97.10). Поскольку невозмущенный метрический тензор
1olC — a2Sa/3: то невозмущенные значения
	 la 	 la	p 	 la c.p
^olC	TolB	2~To!j9j ^a	2~^a?
а	а	а
где точка означает дифференцирование по с?, а штрих—по т\.
Возмущения же величин Кав и Ка =
где ha = 'y^haj. Невозмущенные значения трехмерного тензо-
тензора Ра для евклидовой метрики A15.1) равны нулю. Вариации
же 5Ра вычисляются по формулам A08.3), A08.4); очевидно,
что 6Ра выражается через 6jaj3 так же> как 4-тензор 8Щь вы-
выражается через 6gik, причем все тензорные операции произво-
производятся в трехмерном пространстве с метрикой A15.1); ввиду ев-
клидовости этой метрики все ковариантные дифференцирования
сводятся к простым дифференцированиям по координатам ха
(контравариантные же дифференцирования — еще и к делению
на а2). Имея все это в виду (и переходя везде от производных по
t к производным по 77), получим после простого вычисления:
—h-—h	—
2с? а3	2а3
h ^ti, SRg \
2a2	2a3 '	° 2a2
V = -±-h" - ^ti, SRg = \(
0	2a2	2a3 '	° 2a2 V
A15.5)
(h = ha). Здесь как нижние, так и верхние индексы после запятой
означают простые дифференцирования по координатам ха (мы
продолжаем писать индексы вверху и внизу лишь для сохране-
сохранения единообразия обозначений).

§ 115	ГРАВИТАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИЗОТРОПНОГО МИРА	503
о
Окончательные уравнения для возмущения ha мы получим,
подставив в A15.4) компоненты ?ТД выраженные через SRf
согласно A15.2). В качестве этих уравнений удобно выбрать
уравнения, получающиеся из A15.4) при аф C и при упрощении
по индексам ск, /3. Они гласят:
№;? + л?:2 - h:i - hkV + Л«" + ^€ = о, а / д
Возмущения плотности и скорости материи могут быть опре-
определены по известным ha с помощью формул A15.2), A15.3). Так,
для относительного изменения плотности имеем
6Я) = —f-j(/?* - Л'2 +
2	2 V ^	а
Среди решений уравнений A15.6) есть такие, которые могут
быть исключены простым преобразованием системы отсчета (не
нарушающим ее синхронности) и поэтому не представляют собой
реального физического изменения метрики. Вид таких решений
может быть заранее установлен с помощью полученных в за-
задаче 3 §97 формул A) и B). Подставив в них невозмущенные
значения 7а/3 — а2$а/3? получим следующие выражения для фик-
фиктивных возмущений метрики:
; + ^к€ + Шр + f,a),	A15-8)
где /о, fa — произвольные (малые) функции координат ж, у, z.
Поскольку метрика в рассматриваемых нами небольших об-
областях пространства предполагается евклидовой, то произволь-
произвольное возмущение в каждой такой области может быть разложено
по плоским волнам. Понимая под ж, у, z декартовы координаты,
измеренные в единицах а, мы можем написать пространственный
периодический множитель плоских волн в виде етг, где п —
безразмерный вектор, представляющий собой волновой вектор,
измеренный в единицах 1/а (волновой вектор к = и/а). Если
мы имеем возмущение в участке пространства с размерами ~ Z,
то в его разложение войдут в основном волны с длинами Л =
= 2тга/п ~ I. Ограничиваясь возмущениями в областях с раз-
размерами I <^1 а, мы тем самым предполагаем число п достаточно
большим (п ^> 2тг).
Гравитационные возмущения можно разделить на три типа.
Эта классификация сводится к определению возможных типов

504
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
плоских волн, в виде которых может быть представлен симмет-
симметричный тензор hap. Таким образом, получим следующую клас-
классификацию:
1. С помощью скалярной функции
Q = einr	A15.9)
можно составить вектор Р = nQ и тензоры1)
Таким плоским волнам отвечают возмущения, в которых наряду
с гравитационным полем испытывают изменения также скорость
и плотность материи, т. е. мы имеем дело с возмущениями, со-
сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений
материи. Возмущение ha выражается при этом через тензоры Qa
и Ра , возмущение скорости — через вектор Р, а возмущение плот-
плотности—через скаляр Q.
2.	С помощью поперечной векторной волны
S = se*nr, sn = 0,	A15.11)
можно составить тензор (n^Sa + naS^)] соответствующего же
скаляра не существует, поскольку nS = 0. Этим волнам отве-
отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем
испытывает изменение скорость, но не плотность материи; их
можно назвать вращательными возмущениями.
3.	Поперечная тензорная волна
Gi = g^\ dnp = 0.	(П5.12)
С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра. Этим
волнам отвечают возмущения гравитационного поля, при кото-
которых материя остается неподвижной и однородно распределенной
в пространстве. Другими словами, это — гравитационные волны
в изотропном мире.
Наиболее интересны возмущения первого типа. Полагаем
A15.13)
Из A15.7) получим для относительного изменения плотности
— = °4 Ап2(\ + и) + — //|q.	A15.14)
г 24тг/г?а L	а \
1) Мы пишем верхние и нижние индексы у компонент обычного декарто-
декартового вектора п лишь для сохранения единообразия обозначений.

§ 115	ГРАВИТАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИЗОТРОПНОГО МИРА	505
Уравнения, определяющие функции Ли//, получаются под-
подстановкой A15.13) в A15.6):
A15 15)
Эти уравнения имеют прежде всего следующие два частных
интеграла, соответствующие тем фиктивным изменениям мет-
метрики, которые могут быть исключены преобразованием системы
отсчета:
Л = —\i = const,	A15.16)
л	2 f drj	2 f drj За'	(л 1 r 1 _Л
Л = — п —-, fi = п —	2"	A15.17)
у a	J а а
(первый из них получается из A15.8) выбором /о = 0, /а = Ра,
ВТОрОЙ — Выбором /о = Q, /а = 0).
На ранних стадиях расширения мира, когда материя описы-
описывается уравнением состояния р = е/3, имеем а « air/, 77 ^С 1
(как в открытой, так и в закрытой моделях). Уравнения A15.15)
принимают вид
А" + 2 А' - ^(Л + /х) = 0, /х" + V + ^(Л + /х) = 0. A15.18)
Исследование этих уравнений удобно производить раздельно для
двух предельных случаев в зависимости от взаимного соотноше-
соотношения между двумя большими величинами п и 1/rj.
Предположим сначала, что число п не слишком велико (или г\
достаточно мало), так что пг\ <^ 1. С той точностью, с которой
справедливы уравнения A15.18), находим из них в данном слу-
случае:
п2 2\	2гг2	Л п2
где d, С2 — постоянные; отсюда исключены решения вида
A15.16) и A15.17) (в данном случае это—решение, в котором
Л = —\i = const и в котором Л + /х ~ 1/?72)- Вычислив также бе/е,
согласно A15.14) и A12.15), получим следующие выражения
для возмущений метрики и плотности:
х 2	V	л	(Н5.19)
- = \{С1П + C2r?)Q при	р = ? ^ « 1.
?	9	3	тг
17 Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Том II

506
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Постоянные Ci, C2 должны удовлетворять определенным
условиям, выражающим малость возмущения в момент 770 его
возникновения: должно быть ha <С 1 (откуда А «С 1, /х «С 1)
и 6s/e <С 1. В применении к A15.19) эти условия приводят к
неравенствам С\ <С щ, С2 <С 1.
В выражениях A15.19) имеются члены, возрастающие в рас-
расширяющемся мире как различные степени радиуса а = а\т\.
Однако это возрастание не приводит к тому, чтобы возмуще-
возмущение могло стать большим: если применить формулы A15.19) по
порядку величины при r\ ~ 1/п, то мы увидим, что (в силу
полученных выше неравенств для Ci, C2) возмущения остаются
малыми даже на верхнем пределе действия этих формул.
Пусть теперь число п настолько велико, что nrj ^> 1. Решая
уравнения A15.18) при этом условии, найдем, что главные члены
в А и \i равны1):
A	COnstVA
2	г,2
Отсюда находим для возмущений метрики и плотности:
=^, -<??<1,	A15.20)
где С— комплексная постоянная, удовлетворяющая условию
|С| <С 1. Наличие периодического множителя в этих выражениях
вполне естественно. При больших п мы имеем дело с возмуще-
возмущением, пространственная периодичность которого определяется
большим волновым вектором к = п/а. Такие возмущения долж-
должны распространяться как звуковые волны со скоростью
и =
Соответственно временная часть фазы определяется, как
полагается в геометрической акустике, большим интегралом
/ kudt = nrj/y/З. Амплитуда относительного изменения плот-
1) Предэкспоненциальный множитель 1/rj2 — первый член разложения по
степеням 1/nrj. Для его определения в данном случае надо рассматривать
одновременно два первых члена разложения (что допускается точностью
уравнений A15.18)).

§ 115	ГРАВИТАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИЗОТРОПНОГО МИРА	507
ности остается, как мы видим, постоянной, амплитуды же
возмущений метрики при расширении мира убывают как а~2 х).
Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения, ког-
когда материя разрежена уже настолько, что можно пренебречь
ее давлением (р = 0). При этом мы ограничимся здесь лишь
случаем малых 77, соответствующих тем стадиям расширения,
когда радиус а еще очень мал по сравнению с его современным
значением, но все же материя уже достаточно разрежена.
При р = 0 и г] <С 1 имеем а « a^rf1 /2 и уравнения A15.15)
принимают вид
Г)	б
Решение этих уравнений:
Вычислив также 6s/s (с помощью A15.14) и A12.12)), находим
hi = Сх{Н + Qi) + ^(Pg - Qi) при г, « 1,
hi = %nW(Pg - Qi) + 2j^(Pi - Qi) при 1-«v« 1,
A15.21)
Se
30 + rf
Мы видим, что 8s/s содержит член, возрастающий пропорци-
пропорционально а2). Однако если nrj <^i 1, то 6s/s не становится все же
большим даже при r\ ~ 1/п в силу условия С\ ^С 1. Если ж:е rjn ^>
^> 1, то при т\ ~ 1 относительное изменение плотности становится
порядка С in2, между тем как малость начального возмущения
1) Легко проверить, что (при р = s/3) nr\ ~ L/X, где L ~ и/\/кг/с2. Есте-
Естественно, что характерная длина L, определяющая поведение возмущений
с длиной волны А < а, составляется лишь из «гидродинамических» вели-
величин — плотности материи е/с и скорости звука в ней и (и гравитационной
постоянной к). Отметим, что возрастание возмущений имеет место при Л ^>
>L (в A15.19)).
) Более тщательный анализ с учетом малого давления p(s) показыва-
показывает, что возможность пренебрежения давлением требует соблюдения усло-
условия щп/с <^ 1 (где и = сл/dp/ds — малая скорость звука); легко проверить,
что и в этом случае оно совпадает с условием Л ^> L. Таким образом,
возрастание возмущений всегда имеет место, если Л ^> L.
17*

508
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
требует лишь, чтобы было CiuPtjq <С 1. Таким образом, хотя
возрастание возмущений происходит и медленно, но общее уве-
увеличение может быть значительным и в результате возмущение
может стать сравнительно большим.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены возмущения
второго и третьего из перечисленных выше типов. Однако зако-
законы затухания этих возмущений могут быть найдены и без деталь-
детальных вычислений, исходя из следующих простых соображений.
Если в небольшом участке вещества (с линейными размерами
I) имеется вращательное возмущение со скоростью 8v, то момент
импульса этого участка ~ (e/c2)fi • I • v. При расширении мира I
растет пропорционально а, а е убывает как а~3 (в случае р = 0)
или как а~4 (при р = s/S). В силу сохранения момента имеем
поэтому
Sv = const при р = -, Sv со - при р = 0.	A15.22)
3	а
Наконец, плотность энергии гравитационных волн должна
убывать при расширении мира как а~4. С другой стороны, эта
плотность выражается через возмущение метрики как ~ к2(haJ,
где к = п/а — волновой вектор возмущения. Отсюда следует, что
амплитуда возмущения типа гравитационной волны убывает со
временем как 1/а.
§ 116. Однородные пространства
Предположение об однородности и изотропии пространства
определяет его метрику полностью (оставляя свободным лишь
знак кривизны). Значительно больше свободы оставляет пред-
пол ожение об одной только однородности пространства, без ка-
какой-либо еще дополнительной симметрии. Рассмотрим вопрос
о том, каковы могут быть метрические свойства однородного
пространства.
Речь будет идти о метрике пространства, рассматриваемой в
заданный момент времени t. При этом предполагается, что про-
пространственно-временная система отсчета выбрана синхронной,
так что t есть единое для всего пространства синхронизованное
время.
Однородность означает одинаковость метрических свойств во
всех точках пространства. Точное определение этого понятия
связано с рассмотрением совокупности преобразований коорди-
координат, которые совмещают пространство само с собой, т. е. остав-
оставляют его метрику неизменной: если до преобразования элемент

§ 116	ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	509
ДЛИНЫ
dl2 =
то после преобразования тот же элемент
с той же функциональной зависимостью 7а/3 от новых коорди-
координат. Пространство однородно, если оно допускает совокупность
преобразований (или, как говорят, группу движений), позволяю-
позволяющих совместить любую заданную его точку с любой другой
точкой. В силу трехмерности пространства очевидно, что для
этого различные преобразования группы должны определяться
значениями трех независимых параметров.
Так, в евклидовом пространстве однородность выражается
инвариантностью метрики по отношению к параллельным пе-
переносам (трансляциям) декартовой системы координат. Каж-
Каждая трансляция определяется тремя параметрами — компонента-
компонентами вектора смещения начала координат. Все эти преобразова-
преобразования оставляют инвариантными три независимых дифференциа-
дифференциала (dx, dy, dz), из которых и строится элемент длины.
В общем случае неевклидова однородного пространства пре-
преобразования его группы движений тоже оставляют инвариант-
инвариантными три независимые линейные дифференциальные формы,
не сводящиеся, однако, к полным дифференциалам каких-либо
координатных функций. Напишем эти формы в виде
e^dxa,	A16.1)
где латинский индекс (а) нумерует три независимых реперных
вектора (функции координат).
С помощью форм A16.1) инвариантная по отношению к дан-
данной группе движений пространственная метрика строится как
dl2 = Vabie^ dxa)(ef dxp),	A16.2)
т. е. метрический тензор
^ef,	A16.3)
где симметричные по индексам а, Ъ коэффициенты т]аъ — функ-
функции времени.
Таким образом, мы приходим к «триадному» представлению
пространственной метрики с помощью тройки реперных векто-
векторов; к этому представлению применимы все полученные в § 98
формулы. При этом выбор реперных векторов диктуется свой-
свойствами симметрии пространства и, вообще говоря, эти векторы
не ортогональны (так что матрица г}аь не диагональна).

510
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Как и в §98, наряду с тройкой векторов е& введем тройку
взаимных с ними векторов е? ч, для которых
e?e)e?>=& efa)e^=^.	A16.4)
В трехмерном случае связь между теми и другими векторами
может быть представлена в явном виде как
еA) = ±[е<2>е<8>], eB) = ^eV], eC) = ^е*»], A16.5)
где
а ега\ и е^а) надо понимать как декартовы векторы с компо-
компонентами соответственно е? ч и е? • Определитель метрического
тензора A16.3)
7 = т/г;2,	A16.6)
где г] — определитель матрицы т]аъ.
Инвариантность дифференциальных форм A16.1) означает,
что
e<g\x) dxa = e<g\x') dxfa,	A16.7)
причем е& в обеих частях равенства — одни и те же функции
соответственно от старых и новых координат. Умножив это ра-
равенство на e?Jxr), заменив dx'^ = (dxf@/дха) и сравнив коэф-
коэффициенты при одинаковых дифференциалах dxa, получим
f^ efa)(*>ia)(*).	(П6.8)
Эти равенства представляют собой систему дифференциальных
уравнений, определяющих функции х'^{х) по заданным репер-
ным векторам1). Для того чтобы быть интегрируемыми, урав-
уравнения A16.8) должны тождественно удовлетворять условиям
1) Для преобразований вида xf/3 = х13 + ?^, где (?—малые величины,
из A16.8) получаются уравнения
Три линейно-независимых репгения этих уравнений ?ffoN (Ь = 1,2,3) опре-
определяют бесконечно малые преобразования группы движений пространства.
Векторы ??Ьч называют векторами Киллинга (ср. примеч. на с. 365).

§116	ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	511
Вычислив производные, получим
Умножив обе части равенства на е?*{х)е1Лх)еЧ {х1) и перене-
перенеся дифференцирования с одних множителей на другие с уче-
учетом A16.4), получим в левой части:
dx's
а в правой — такое же выражение как функцию от х. Поскольку
жиж' проиг
постоянным:
жиж' произвольны, то эти выражения должны сводиться к
Постоянные Ссаъ называются структурными константами
группы. Умножив на е7ч, можно переписать A16.9) в виде
Ое(а)
Это и есть искомые условия однородности пространства. Вы-
Выражение в левой части равенства A16.9) совпадает с определе-
определением величин \саъ (98.10), которые, таким образом, оказываются
постоянными.
По своему определению структурные константы антисиммет-
антисимметричны по нижним индексам:
СсаЪ = -СсЪа.	A16.11)
Еще одно условие для них можно получить, заметив, что равен-
равенство A16.10) эквивалентно правилу коммутации
[Ха, Хъ] = ХаХь — ХьХа = СсаьХс	A16.12)

512
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
для линейных дифференциальных операторов1)
Тогда упомянутое соотношение возникнет из тождества
[[Ха,Хь]Хс] + [[Хъ,Хс]Ха}[[Хс,Ха}Хъ] = О
(так называемое тождество Якоби) и имеет вид
f + С*саС% = 0.	A16.14)
Определенное преимущество перед трехиндексовыми кон-
константами Ссаъ представляют двухиндексовые величины, полу-
получающиеся путем дуального преобразования
СсаЪ = eabdCdc,	A16.15)
где еаьс = еаЬс — единичный антисимметричный символ (причем
?123 — +!)• Правила коммутации A16.12) с помощью таких
констант запишутся в виде
еаЪсХъХс = CadXd.	A16.16)
Свойство A16.11) уже учтено в определении A16.15), а свойст-
свойство A16.14) примет вид
ebcdCcdCba = 0.	A16.17)
Укажем также, что определение A16.9) для величин СаЬ можно
представить в векторном виде
СаЪ = --e^Yot^b\	A16.18)
V
где снова векторные операции производятся так, как если бы
координаты ха были декартовыми.
Выбор трех реперных векторов в дифференциальных фор-
формах A16.1) (ас ними и операторов Ха), разумеется, не однозна-
однозначен. Они могут быть подвергнуты любому линейному преобра-
1) В математической теории так называемых непрерывных групп (или
групп Ли) операторы, удовлетворяющие условиям вида A16.12), называ-
называют генераторами группы. Во избежание недоразумений при сравнении с
другими изложениями отметим, однако, что систематическая теория непре-
непрерывных групп строится обычно, исходя из генераторов, определенных по
векторам Киллинга: Ха = ?™д/да

§ 116	ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	513
зованию с постоянными коэффициентами:
е{а)=Аьае{ь).	A16.19)
По отношению к таким преобразованиям величины г}аь и СаЪ
ведут себя как тензоры.
Условия A16.17) — единственные, которым должны удовле-
удовлетворять структурные константы СаЪ. Но среди допускаемых
этими условиями наборов констант есть эквивалентные — в том
смысле, что различие связано лишь с преобразованиями A16.19).
Вопрос о классификации однородных пространств сводится
к определению всех неэквивалентных наборов структурных
констант. Это можно сделать, воспользовавшись «тензорными»
свойствами величин СаЬ, следующим простым способом
(C.G.Behr, 1962).
Несимметричный «тензор» СаЪ можно разложить на симмет-
симметричную и антисимметричную части. Первую обозначим через
паЬ, а вторую выразим через дуальный ей «вектор» ас:
СаЪ = паЪ + еаЬсас.	A16.20)
Подстановка этого выражения в A16.17) приводит к условию
паЪаъ = 0.	A16.21)
Преобразованиями A16.19) симметричный «тензор» паЪ мо-
может быть приведен к диагональному виду; пусть ni, П2, щ —
его главные значения. Равенство A16.21) показывает, что «век-
«вектор» аь (если он существует) лежит в одном из главных на-
nh
правлении «тензора» п , — в том, которое отвечает нулевому
главному значению. Не уменьшая общности, можно поэтому по-
положить аь = (а, 0,0). Тогда A16.21) сводится к ап\ = 0, т.е.
одна из величин а или п\ должна быть нулем. Правила же
коммутации A16.16) примут вид
[ХЪХ2] = -аХ2 + п3Х3, [Х2, Х3] = П1Хи
[Х3,Х1]=п2Х2 + аХ3	{	]
После этого остается еще свобода в изменении знака опера-
операторов Ха и в произвольных их масштабных преобразованиях
(умножению на постоянные). Это позволяет одновременно из-
изменить знак всех ni, П2, пз, а также сделать величину а поло-
положительной (если она отлична от нуля). Можно также обратить
все структурные константы в ±1, если по крайней мере одна из
величин а, П2, щ равна нулю. Если же все эти три величины

514
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ
ГЛ. XIV
отличны от нуля, то масштабные преобразования оставляют ин-
инвариантным отношение а2/п2П^1).
Таким образом, мы приходим к следующему перечислению
возможных типов однородных пространств; в первом столб-
столбце схемы римской цифрой указан номер, которым принято
обозначать типы по классификации Бианки (L. Bianchi, 1918J):
Тип
I
II
VIIo
VIo
IX
VIII
V
IV
VIIa
III (a = 1) \
Via (а ф 1) /
a
0
0
0
0
0
0
1
1
a
a
ni
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
n2
0
0
1
-1
1
1
0
0
1
1
n3
0
0
0
0
1
-1
0
1
1
-1
Тип I — евклидово пространство; все компоненты простран-
пространственного тензора кривизны (см. ниже формулу A16.24)) обра-
обращаются в нуль. Помимо тривиального случая галилеевой мет-
метрики, сюда относится зависящая от времени метрика, которая
будет рассмотрена в следующем параграфе.
Тип IX содержит в себе как частный случай пространство
постоянной положительной кривизны. Оно получается, если в
элементе длины A16.2) положить г}аь = #а&/4А, где Л — положи-
положительная постоянная. Действительно, вычисление по A16.24) с
С11 = С22 = С33 = 1 (структурные константы типа IX) дает
р(а)(Ь) = (V2)^a6 и затем
что как раз и соответствует указанному пространству
(ср. A11.3)).
г) Строго говоря, для соблюдения «тензорных» свойств СаЪ надо было
бы ввести в определение A16.15) множитель y/rj (ср. сказанное в § 83 о
том, как должен быть определен антисимметричный единичный тензор по
отношению к произвольным преобразованиям координат). Мы не будем,
однако, входить здесь в эти детали: для поставленной цели можно извлекать
закон преобразования структурных констант прямо из равенств A16.22)
2) Параметр а пробегает все положительные значения. Соответствующие
типы представляют собой фактически однопараметрические семейства раз-
различных групп, их объединение в сводные типы VI и VII имеет условный
характер.

§ 116	ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	515
Аналогичным образом пространство постоянной отрицатель-
отрицательной кривизны содержится как частный случай в типе V. Дей-
Действительно, положив г}аь = 8аь/\ и вычислив Р(а)(Ъ) по A16.24)
с С23 = -С32 = 1, получим
Р{а)(Ъ) — —^аЪ, РаC = —^1аC,
что и отвечает постоянной отрицательной кривизне.
Наконец, покажем, каким образом уравнения Эйнштейна для
мира с однородным пространством сводятся к системе обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только
функции времени. Для этого пространственные компоненты
4-векторов и 4-тензоров надо разложить по тройке реперных
векторов данного пространства:
Щ
а)(ъ) =
причем все эти величины являются уже функциями только от
?; функциями времени являются также и скалярные величины —
плотность энергии е и давление р материи.
Уравнения Эйнштейна в синхронной системе выражаются,
согласно (97.11)—(97.13), через трехмерные тензоры ха/# и Ра/#.
Для первого имеем просто
*(«)(Ь) = Vab, *$ = VacVCb	(H6.23)
(точка означает дифференцирование по t). Компоненты
же Р(а)(ъ) можно выразить через величины г}аь и структур-
структурные константы группы с помощью (98.14). После замены
трехиндексовых \аъс = Саъс на двухиндексовые СаЪ и ряда
преобразований1) получим
pg = ^{жмсаа + cdbcad + cMcda - cdd{c\ + cab)+
+ Sba[(CddJ-2CdfCdf]}. A16.24)
Здесь, в соответствии с общим правилом,
СаЪ = Г)асСС\ Cab = VacVbd^'.
Отметим также, что тождества Бианки для трехмерного тензора
Рар в однородном пространстве принимают вид
\а + PcaCbcd = 0.	A16.25)
1) В которых используются формулы
e G = Г}еЪ	ebfG° = SSb

516
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Окончательные выражения для реперных составляющих
4-тензора Риччи1):
- SbaCddc),	(Цб.26)
Подчеркнем, что для составления уравнений Эйнштейна нет, та-
таким образом, необходимости в использовании явных выражений
для реперных векторов как функций координат.
§ 117. Плоская анизотропная модель
Адекватность изотропной модели для описания поздних эта-
этапов эволюции Вселенной сама по себе не дает оснований ожи-
ожидать, что она столь же пригодна и для описания ранних стадий
эволюции, — вблизи особой точки по времени. Этот вопрос будет
детально обсужден в § 119, а в этом и следующем параграфах бу-
будут предварительно рассмотрены решения уравнений Эйнштей-
Эйнштейна, тоже обладающие особой точкой по времени, но принципи-
принципиально отличных (от фридмановской особенности) типов.
Будем искать решение, в котором все компоненты метриче-
метрического тензора являются, при надлежащем выборе системы от-
отсчета, функциями лишь одной переменной — времени х° = t2).
Такой вопрос рассматривался уже в § 109, где, однако, был рас-
рассмотрен только случай, когда определитель \gap\ = 0. Теперь
же будем считать этот определитель отличным от нуля. Как
было показано в § 109, в таком случае можно, без ограничения
общности, положить все goa = 0. Преобразованием переменной
?, согласно л/goodt —>• dt, можно затем обратить goo B еДиницу5
так что мы получим синхронную систему отсчета, в которой
gOO = 1, gOa = 0, gaC = ~Jap(t)'	Щ?-1)
Теперь мы можем воспользоваться уравнениями Эйнштей-
Эйнштейна в виде (97.11)—(97.13). Поскольку величины 7а/3> a c ними
и компоненты трехмерного тензора кар = jap не зависят от
координат жа, то Roa = 0. По той же причине Рар = 0, и в
г) Ковариантные производные х^;7, входящие в i?°, преобразуются с по-
помощью формулы, приведенной в примеч. на с. 396.
2)В §117, 118 для упрощения записи формул полагаем с = 1.

§ 117	ПЛОСКАЯ АНИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	517
результате уравнения гравитационного поля в пустоте сводятся
к следующей системе:
К + \>4*% = О,	(П7.2)
Из A17.3) следует, что
e = 2Ag,	A17.4)
где Ха — постоянные величины. Упрощая по индексам а и /3,
получим
откуда видно, что 7 — const-t2. Без ограничения общности
можно положить const = 1 (это достигается просто изменением
масштаба координат жа); тогда Л^ = 1. Подстановка A17.4) в
уравнение A17.2) дает теперь соотношение
\Ра\<$ = 1,	A17.5)
связывающее между собой постоянные Ла-
Далее, опустив в A17.4) индекс /3, перепишем эти равенства
в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
для 7а/3-
7а/? = -гКър-	(П7.6)
Совокупность коэффициентов Ла можно рассматривать как мат-
матрицу некоторой линейной подстановки. Путем соответствующего
линейного преобразования координат ж1, ж2, ж3 (или, что экви-
эквивалентно, величин gi^, g2?, gs/з) можно, вообще говоря, привести
эту матрицу к диагональному виду. Обозначим ее главные зна-
значения через pi, p2, рз и будем считать, что все они вещественны
и различны (о других случаях—см. ниже); единичные векторы
в соответствующих главных направлениях пусть будут п^1), п^2\
пC). Тогда решение уравнений A17.6) можно представить в виде
7«/9 = t^n^nf + P»nV>nf + t^n^nf	A17.7)
(постоянные коэффициенты при степенях t можно обратить в
единицу путем соответствующего выбора масштаба координат).
Наконец, выбрав направления векторов п^1), п^2\ п^ в качестве

518
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
окончательного направления осей (назовем их ж, у, z\ приведем
метрику к виду
ds2 = dt2 - t2pi dx2 - t2p2 dy2 - t2p* dz2	A17.8)
(E. Kasner, 1922). Здесь pi, p2, рз—любые три числа, удовлетво-
удовлетворяющие двум соотношениям:
Pi +P2 +PS = 1, р\ +pl +р1 = 1	(П7.9)
(первое следует из — g = ?2, а второе получается затем из A17.5)).
Три числа pi, p2, рз не могут, очевидно, иметь одинаковые
значения. Равенство двух из них имеет место в тройках значений
@,0,1) и (—1/3, 2/3, 2/3). Во всех других случаях числа pi, p2,
Рз различны, причем одно из них отрицательно, а два других
положительны. Если расположить их в порядке pi < Р2 < Рз5 то
их значения будут лежать в интервалах
-^Pi^O, 0^р2^, ^рзО.	A17.10)
о	о о
Таким образом, метрика A17.8) соответствует плоскому одно-
однородному, но анизотропному пространству, все объемы в котором
растут (с увеличением времени) пропорционально ?, причем ли-
линейные расстояния вдоль двух осей (у, z) увеличиваются, а вдоль
одной [х) убывают. Момент t = 0 является особой точкой реше-
решения; метрика имеет в ней особенность, не устранимую никаким
преобразованием системы отсчета, причем инварианты тензора
четырехмерной кривизны обращаются в бесконечность. Исклю-
Исключением является лишь случай pi = р2 = 0, рз = 1; при этих
значениях мы имеем дело просто с плоским пространством-вре-
пространством-временем: преобразованием tshz = ?, tchz = г метрика A17.8)
приводится к галилеевойх).
Метрика A17.8) является точным решением уравнений Эйн-
Эйнштейна для пустого пространства. Но вблизи особой точки, при
) Решение типа A17.8) существует и в том случае, когда переменная в
нем является пространственной; при этом надо только соответствующим
образом изменить знаки, например:
ds2 = x2pi dt2 - dx2 - x2p2 dy2 - х2рз dz2.
В этом случае, однако, существуют также и решения другого вида, возни-
возникающие, когда матрица А^ в уравнениях A17.6) имеет комплексные или
совпадающие главные значения (см. задачи 1 и 2). В случае временной
переменной t эти решения оказываются невозможными в силу того, что
определитель g в них не удовлетворял бы необходимому условию g < 0.
Дадим также ссылку на статью, в которой найден ряд точных решений
уравнений Эйнштейна в пустоте родственных типов, зависящих от большего
числа переменных: В. К. Harrison// Phys. Rev. 1959. V. 116. P. 1285.

§ 117	ПЛОСКАЯ АНИЗОТРОПНАЯ МОДЕЛЬ	519
малых ?, она остается приближенным (с точностью до членов
главного порядка по 1/?) решением уравнений и при наличии
равномерно распределенной в пространстве материи. Скорость и
ход изменения плотности материи определяются при этом просто
уравнениями ее движения в заданном гравитационном поле, а
обратное влияние материи на поле оказывается пренебрежимым.
Плотность материи стремится к бесконечности при t —»> 0 — в со-
соответствии с физическим характером особенности (см. задачу 3).
Задачи
1.	Найти решение уравнений A17.6), соответствующее случаю, когда
матрица А^ имеет одно вещественное (рз) и два комплексных (pi,2 = р' =Ь
± гр") главных значения.
Решение. В этом случае переменная х°, от которой зависят все
величины, должна иметь пространственный характер; обозначим ее как х° =
= х. Соответственно в A17.1) должно быть теперь goo = — 1. Уравнения же
A17.2), A17.3) не меняются.
Векторы п^1), п^2) в A17.7) становятся комплексными: п^1'2-* =
= (n; ± in")/>/2, где п', п" — единичные векторы. Выбирая оси ж1, х2,
х3 в направлениях n', n", rr3\ получим решение в виде
-gn = §22 = х2р cost 2р" In -J, gi2 = -x2p sm\2p" In - J,
g33 = -Х2РЗ, -g = -goo\gaC\ = X2,
где а— постоянная (которую уже нельзя устранить выбором масштаба
вдоль оси ж, не изменив других коэффициентов в написанных выражени-
выражениях). Числа pi, p2, Рз по-прежнему удовлетворяют соотношениям A17.9),
причем вещественное число рз либо меньше —1/3, либо больше единицы.
2.	То же в случае совпадающих двух главных значений (р2 = Pз)^
P е ш е н и е. Как известно, из общей теории линейных дифференци-
дифференциальных уравнений, в этом случае система A17.6) может быть приведена к
следующему каноническому виду:
2pi	.	2р2	.	2р2	Л
gll = 	gllj g2ot = 	g2a, g3a = 	g3a = fla H	g2aj a = J, «3,
Ж	Ж	Ж	Ж
где Л—постоянная. При Л = 0 мы возвращаемся к A17.8). При Л ф 0 можно
положить Л = 1; тогда
gll — —X , g2o; — «скЖ , g3a: — «скЖ 1П Ж -\- 0аХ
Из условия g32 = g23 находим, что п2 = 0, аз = &2- Надлежащим выбором
масштаба вдоль осей х2, ж3 окончательно приводим метрику к следующему
виду:
ds2 = -dx2 - x2pi (dx1J ± 2ж2р2 rfx2 rfx3 ± x2p2 In -(dx3J.
a
Числа pi, p2 могут иметь значения 1, 0 или —1/3, 2/3.
3.	Вблизи особой точки t = 0 найти закон изменения со временем
плотности материи, равномерно распределенной в пространстве с метри-
метрикой A17.8).

520
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Решение. Пренебрегая обратным влиянием материи на поле, исхо-
исходим из гидродинамических уравнений движения
fdui I idgu\	dp	k dp	, .
^dx 2 дх ' дх	дх
содержащихся в уравнениях Т*к = 0 (см. «Гидродинамика», §134). Здесь
а—плотность энтропии; вблизи особенности надо пользоваться ультраре-
ультрарелятивистским уравнением состояния р = г/3, и тогда а ос е3'4.
Обозначим временные множители в A17.8) через а = tpi, Ъ = tP2, с =
= tP3. Поскольку все величины зависят только от времени, а у/—g = abc,
уравнения A) дают
d г ¦, з/4ч п л diiot . de
— {abcuQE1 ) = 0, 4г	\-иа— = 0.
at	at	at
Отсюда
abcuos3^ = const,	B)
ua?1/4 = const.	C)
Согласно C) все ковариантные составляющие иа — одинакового порядка
величины. Из контравариантных ж:е компонент наиболее велика (при t —»> 0)
и3 « из/с2. Сохранив в тож:дестве щиг = 1 лишь наибольшие члены,
получим поэтому Uq « U3U3 = A13J/с2 и затем из B) и C):
г сх) -5—5-, ua ex) Vab,
а Ъ
е со Г2(Р1+И) = Г2A-рз), мв со tA-p3)/2.	D)
Как и следовало, г стремится при t —>> 0 к бесконечности для всех значе-
значений рз за исключением лишь рз = 15—в соответствии с тем, что особенность
в метрике с показателями @, 0,1) фиктивна.
Справедливость использованного приближения проверяется оценкой
компонент Tf, опущенных в правых частях уравнений A17.2), A17.3). Глав-
Главные члены в них:
То° ~ sul со ГA+и\	Tl ~ г со Г2A"рз),
f	со *-A+2и-и)> Т| ^ ?M3W3 со
Все они действительно растут при t —»> 0 медленнее, чем левые части
уравнений, возрастающие как t~2.
§ 118. Колебательный режим приближения
к особой точке
На примере модели мира с однородным пространством типа
IX изучим особенность метрики по времени, имеющую коле-
колебательный характер {В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц, И. М. Ха-
Халатников, 1968). Мы увидим в следующем параграфе, что такой
характер имеет весьма общее значение.

§ 118	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ	К ОСОБОЙ ТОЧКЕ	521
Нас будет интересовать поведение модели вблизи особой точ-
точки (которую выберем в качестве начала отсчета времени, t = 0).
Как и в рассмотренном в § 117 решении Казнера, наличие мате-
материи не отражается на качественных свойствах этого поведения, и
для упрощения исследования будем предполагать пространство
пустым.
Положим в A16.3) матрицу величин r]ab{t) диагональной, обо-
обозначив ее диагональные элементы через а2, Ь2, с2; три реперных
вектора е^, е^2\ е^ обозначим теперь через 1, т, п. Тогда
пространственная метрика запишется в виде
1схC = a2lJC + b2mamp + с2папр.	A18.1)
Для пространства типа IX структурные константы1):
С11 = С22 = С33 = 1	A18.2)
(при этом G12з = С231 = C3i2 = 1).
Из A16.26) видно, что для таких констант и при диагональ-
диагональной матрице т]аъ компоненты Д9 ч тензора Риччи в синхрон-
синхронной системе отсчета обращаются в нуль тождественно. Соглас-
Согласно A16.24) обращаются в нуль также и недиагональные ком-
компоненты Р(а)(ь)). Остальные компоненты уравнений Эйнштейна
дают для функций а(?), Ь(?), c(t) систему уравнений:
2 2ч2 гЛл
abc
(abc)'
abc
abc
a
2a:
2*
~2*
b "
1
ь
2 с2
2f
с
A18.4)
х) Соответствующие этим константам реперные векторы:
О	О		О	О	
l=(sin# , — cos ж sin x ,0), m=(cos# ,sinx sin x ,0),
n = (Ojcosx1,1).
Координаты пробегают значения в интервалах 0 $С х1 $С тг, 0 ^ х2 ^ 2тг,
0 ^ ж3 ^ 4тг. Пространство замкнуто и его объем
V = / л/j dx1 dx2 dxs = abc / sin ж1 rfx1 с?ж2 с?ж3 = 16тг2 abc.
При a = b = с оно переходит в пространство постоянной положительной
кривизны с радиусом кривизны 2а.

522
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
(A18.3)-уравнения i2((}j = i?[2j = Д^ = 0; A18.4)-уравне-
A18.4)-уравнение Д§ = 0).
Производные по времени в системе A18.3), A18.4) принима-
принимают более простой вид, если ввести вместо функций а, Ь, с их
логарифмы а, /3, 7
а = еа, Ь = е^, с = е7,	A18.5)
а вместо t — переменную т согласно
dt = abcdr.	A18.6)
Тогда:
2а т,т = (б2 - с2J - а4,
2ДТ;Т = (а2-с2J-Ь4,	A18.7)
27,т,т = (а2 - Ь2J - с4,
i(a + /3 + 7),r,r = а.тДт + a,r7,r + Дт7,т,	(И8.8)
где индекс т означает дифференцирование по т. Сложив почлен-
почленно уравнения A18.7) и заменив в левой части сумму вторых
производных согласно A18.8), получим
а,т/3,т + а т7,т + Дг7,г = J(a4 + Ь4 + с4 - 2а2Ь2 - 2а2с2 - 2Ь2с2).
A18.9)
Это соотношение содержит только первые производные и пред-
представляет собой первый интеграл уравнений A18.7).
Уравнения A18.3), A18.4) не могут быть решены точно в ана-
аналитическом виде, но вблизи особой точки допускают детальное
качественное исследование.
Прежде всего замечаем, что в отсутствие правых частей в
уравнениях A18.3) (или, что то же, в уравнениях A18.7)) система
имела бы точное решение, в котором
a~t*\ 6~tPm, c~?^,	A18.10)
где р/, рт, рп — числа, связанные соотношениями
VI +Рш +Рп = Р21+Р2ш+р1 = 1	A18.11)
(аналог решения Казнера A17.8) для однородного плоского про-
пространства). Мы обозначили здесь показатели степеней какр/, рт,
рп, не предопределяя их последовательности в порядке возрас-
возрастания; обозначение же pi, ^2, Рз из § 117 сохраним за тройками
чисел, расположенных в порядке р\ < р^ < рг и соответственно
пробегающими значения в интервалах A17.10). Эти числа могут

§ 118	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ	К ОСОБОЙ ТОЧКЕ	523
быть представлены в параметрическом виде как
pi(u) =
A18.12)
Все различные значения pi, р2, рз (с соблюдением условного
порядка) получаются, если параметр и пробегает значения в
области и ^ 1. Значения же и < 1 приводятся к той же области
согласно
). A18.13)
На рис. 25 изображены графики pi, Р2, Рз в зависимости от 1/и.
Предположим, что в некотором
интервале времени правые части в
уравнениях A18.7) действительно
малы, так что ими можно прене-
пренебречь и имеет место казнеровский
режим A18.10). Такая ситуация не
может продолжаться (при t —»> 0)
неограниченно, так как среди ука-
указанных членов всегда имеются воз-
возрастающие. Так, если отрицатель-
отрицательный показатель степени относится
к функции a(t) (pi = p\ < 0), то
возмущение казнеровского режима
возникает от членов а4; остальные
же члены при уменьшении t будут
убывать.
Сохранив в правых частях A18.7) лишь эти члены, получим
систему уравнений
V*.	A18.14)
р
1,0
Q8
Q6
Q4
Q2
Q0
-Q2
-Q4
/
Q2
Р\
ру
0,4
Q6
Q8
2
3
;о i/u
1
з
Рис. 25
1 4а
= --е4а,
Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики
из «начального» состояния1), в котором оно описывается фор-
формулами A18.10) с определенным набором показателей (причем
pi < 0); пусть pi = pi, рш = p2j Рп = Рз, так что
a = tp\ b = tp\ c = tP3
(коэффициенты пропорциональности в этих выражениях можно
положить равными 1 без ограничения общности получаемого
) Напомним, что мы рассматриваем эволюцию метрики при t —>¦ 0; поэто-
поэтому «начальные» условия соответствуют более позднему, а не более раннему
времени.

524
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
ниже результата). При этом аЪс = ?, т = kit + const, поэтому на-
начальные условия для уравнений A18.14) формулируются в виде
а,т = pi, Дт = р2, 7,т = Рз-
Первое из уравнений A18.14) имеет вид уравнения одномер-
одномерного движения частицы в поле экспоненциальной потенциаль-
потенциальной стенки, причем а играет роль координаты. В этой анало-
аналогии начальному казнеровскому режиму соответствует свободное
движение с постоянной скоростью а^т = р\. Отразившись от
стенки, частица будет снова двигаться свободно со скоростью
обратного знака: а^т = —р\. Заметив также, что в силу всех трех
уравнений A18.14)
а?т + Дт = const, а^т + 7,т — const,
найдем, что Дт+ и 7,т приобретут значения C^т = р2 + 2pi, 7,т —
= рз + 2pi Определив отсюда а, /3, 7 и затем t согласно A18.6),
получим
т.е. а ~ tpi, Ь ~ tPm, с ~ ip«, где
Р2	, _ P8-2|pi
Pi-
2|pi|	l-2|pi|	l-2|pi|
Таким образом, воздействие возмущения приводит к смене
одной «казнеровской эпохи» другой, причем отрицательная сте-
степень t перебрасывается с направления 1 на направление т: если
было pi < 0, то теперь р'ш < 0. В процессе смены функция a(t)
проходит через максимум, a b(t) — через минимум: убывавшая
прежде величина b(i) начинает возрастать, возраставшая a(i) —
падать, а функция c(t) продолжает убывать. Само возмущение
(члены а4 в уравнениях A18.7)), прежде возраставшее, начинает
убывать и затухает. Дальнейшая эволюция метрики приведет
аналогичным образом к возрастанию возмущения, выражающе-
выражающегося членами Ь4 в уравнениях A18.7), следующей смене казне-
ровских показателей, и т. д.
Правило смены показателей A18.15) удобно представить с
помощью параметризации A18.12): если
Pi = Pl(u), Pm = Р2(и), Рп = Рз(и),
то
p'l=p2(u-l), p'm=Pl(u-l), р'п=р3(и-1). A18.16)
Остается положительным больший из двух положительных по-
показателей.

§ 118	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ПРИБЛИЖЕНИЯ	К ОСОБОЙ ТОЧКЕ	525
В процессе смен казнеровских эпох лежит ключ к пониманию
характера эволюции метрики при приближении к особой точке.
Последовательные смены A18.16) с перебросом отрицатель-
отрицательного показателя степени (pi) между направлениями 1 и m про-
продолжаются до тех пор, пока не исчерпается целая часть началь-
начального значения и и не станет и < 1. Значение и < 1 преобразуется
в и > 1 согласно A18.13); в этот момент отрицателен показа-
показатель pi или рш, а рп становится меньшим из двух положительных
чисел (рп = р2). Следующая серия смен будет уже перебрасы-
перебрасывать отрицательный показатель между направлениями п и 1 или
между пит. При произвольном (иррациональном) начальном
значении и процесс смен продолжается неограниченно.
При точном решении уравнений показатели ?>ь ?>2, Рз теряют,
конечно, свой буквальный смысл. Отметим, что вносимая этим
обстоятельством некоторая «размытость» в определении этих
чисел (а с ними и параметра и), хотя она и мала, лишает смысла
рассмотрение как-либо выделенных (например, рациональных)
значений и. Именно поэтому реальным смыслом обладают лишь
те закономерности, которые свойственны общему случаю произ-
произвольных иррациональных значений и.
Таким образом, процесс эволюции модели в направлении к
особой точке складывается из последовательных серий колеба-
колебаний, в течение каждой из которых расстояния вдоль двух про-
пространственных осей осциллируют, а вдоль третьей — монотонно
убывают; объем убывает по закону, близкому к ~ t. При переходе
от одной серии к следующей направление, вдоль которого проис-
происходит монотонное убывание расстояний, переходит с одной оси
на другую. Порядок этих переходов приобретает асимптотически
характер случайного процесса. Такой же характер приобретает
и порядок чередования длин последовательных серий колебаний
(т. е. чисел сменяющихся в каждой серии «казнеровских эпох»)х).
1)Если «начальное» значение параметра и есть ио = ко + хо (где ко—
целое число, а хо < 1), то длина первой серии колебаний будет ко, а
начальное значение и для следующей серии будет ui = 1/жо = к\ + х\ и
т. д. Отсюда легко заключить, что длины последовательных серий даются
элементами ко, ki, &2,... разложения ио в бесконечную (при иррациональ-
иррациональном ио) непрерывную дробь
ио = ко-\	;	.
Ц
к2 +
А* + ...
Чередование значений дальних элементов такого разложения подчинено
статистическим закономерностям.

526
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
Последовательные серии колебаний сгущаются по мере при-
приближения к особой точке. Между любым конечным моментом
мирового времени t и моментом t = 0 заключено бесконечное
множество колебаний. Естественной переменной для описания
временного хода этой эволюции оказывается не само время ?,
а его логарифм, lnt, по которому весь процесс приближения к
особой точке растянут до —ос.
В изложенном решении мы с самого начала несколько упро-
упростили задачу, предположив матрицу r]ab(t) в A16.3) диагональ-
диагональной. Включение в метрику недиагональных компонент г}аь не
меняет описанного колебательного характера эволюции метрики
и закона A18.16) смен показателей р/, рт, рп чередующихся
казнеровских эпох. Оно приводит, однако, к появлению допол-
дополнительного свойства: смена показателей сопровождается также
и изменением направлений осей, к которым эти показатели от-
относятся г).
§ 119. Особенность по времени в общем космологическом
решении уравнений Эйнштейна
Уже было отмечено, что адекватность модели Фридмана для
описания современного состояния Вселенной сама по себе еще
не дает оснований ожидать, что она столь же пригодна и для
описания ранних стадий эволюции мира. В этой связи возникает
прежде всего вопрос о том, в какой степени существование осо-
особой точки по времени вообще является обязательным свойством
космологических моделей, и не связано ли оно со специфиче-
специфическими упрощающими предположениями (в первую очередь с
симметрией), лежащими в их основе. Подчеркнем, что, говоря
об особой точке, мы имеем в виду физическую особенность —
обращение в бесконечность плотности материи и инвариантов
тензора четырехмерной кривизны.
Независимость от специфических предположений означала
бы, что наличие особенности присуще не только частным, но и
общему решению уравнений Эйнштейна. Критерием общности
является число содержащихся в решении «физически произволь-
произвольных» функций. В общем решении число таких функций долж-
должно быть достаточным для произвольного задания начальных
1) Об этой и о других деталях поведения однородных космологиче-
космологических моделей рассматриваемого типа см. В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц,
И. М. Халатников// УФН. 1970. Т. 102. С. 463; Adv. in Phys. 1970. V. 19.
P. 525; ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 1969.

§ 119	ОСОБЕННОСТЬ В ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЭЙНШТЕЙНА	527
условий в какой-либо выбранный момент времени D для пусто-
пустого пространства, 8 для пространства, заполненного материей,—
см. §95I).
Нахождение общего решения в точном виде для всего про-
пространства в течение всего времени, разумеется, невозможно. Но
для решения поставленного вопроса в этом нет необходимости:
достаточно исследовать вид решения вблизи особенности.
Особенность, которую имеет решение Фридмана, характерна
тем, что обращение в нуль пространственных расстояний про-
происходит по одинаковому закону во всех направлениях. Такой
тип особенности не является достаточно общим: он свойствен
классу решений, содержащему лишь три произвольные функции
координат (см. задачу к § 113). Отметим также, что эти решения
существуют только для пространства, заполненного материей.
Особенность же колебательного типа, рассмотренная в пре-
предыдущем параграфе, имеет общий характер — существует реше-
решение уравнений Эйнштейна с такой особенностью, содержащее
всю требуемую совокупность произвольных функций. Мы обри-
обрисуем здесь кратко способ построения такого решения, не вникая
в детали вычислений2).
Как и в однородной модели (§118), режим приближения к
особой точке в общем решении складывается из чередующихся
серий сменяющих друг друга «казнеровских эпох». В течение
каждой такой эпохи главные (по 1/t) члены в пространствен-
пространственном метрическом тензоре (в синхронной системе отсчета) имеют
вид A18.1) с функциями времени а, Ь, с из A18.10), но векторы 1,
m, n являются теперь произвольными (а не вполне определенны-
определенными, как в однородной модели) функциями пространственных ко-
координат. Такими же функциями (а не просто числами) являются
теперь показатели р/, рш, рп, по-прежнему связанные друг с дру-
другом соотношениями A18.11). Построенная таким образом метри-
метрика удовлетворяет уравнениям Rq = 0 и R& = 0 для поля в пустоте
1) Сразу же подчеркнем, однако, что для системы нелинейных дифферен-
дифференциальных уравнений, которую представляют собой уравнения Эйнштейна,
понятие общего решения неоднозначно. В принципе может существовать
более чем один общий интеграл, каждый из которых охватывает собой
не все многообразие мыслимых начальных условий, а лишь его конечную
часть. Существование общего решения с особенностью не исключает поэто-
поэтому наличия также и других общих решений, не обладающих особенностью.
Например, нет оснований сомневаться в существовании общего решения без
особенности, описывающего устойчивое изолированное тело с не слишком
большой массой.
2)Их можно найти в статье: В.А.Белинский, Е. М. Лифшиц,
И. М. Халатников// ЖЭТФ. 1972. Т. 62. С. 1606; Adv. in Phys. 1982.
V. 31. P. 639.

528
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
(в их главных членах) в течение некоторого конечного интервала
времени. Уравнения же R^ = 0 приводят к трем соотношениям
(не содержащим времени), которые должны быть наложены на
содержащиеся в 7а/3 произвольные функции пространственных
координат. Эти соотношения связывают между собой 10 раз-
различных функций: по три компоненты трех векторов 1, m, n и
одна функция в показателях степеней времени (какая-либо из
трех функций pi, Pm, рп, связанных двумя условиями A18.11)).
При определении числа физически произвольных функций надо
учесть также, что синхронная система отсчета допускает еще
произвольные преобразования трех пространственных коорди-
координат, не затрагивающие времени. Поэтому метрика содержит все-
всего 10 — 3 — 3 = 4 произвольные функции— именно столько,
сколько должно быть в общем решении для поля в пустоте.
Смена одной казнеровской эпохи на другую происходит (как
и в однородной модели) благодаря наличию в трех из шести
уравнений Ra = 0 членов, которые при уменьшении t растут
быстрее других, играя, таким образом, роль возмущения, разру-
разрушающего казнеровский режим. Эти уравнения в общем случае
имеют вид, отличающийся от уравнений A18.14) лишь завися-
зависящим от пространственных координат множителем (lrot l/l[mn]J
в их правых частях (подразумевается, что из трех показателей р/,
рт, рп отрицателен pi)x). Поскольку, однако, уравнения A18.14)
составляют систему обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений по отношению ко времени, это отличие никак не сказывается
на их решении и на следующем из этого решения законе смены
казнеровских показателей A18.16), а тем самым —на всех даль-
дальнейших следствиях, изложенных в § 1182).
Степень общности решения не уменьшается при введении
материи: материя «вписывается» в метрику со всеми вносимыми
ею 4 новыми координатными функциями, необходимыми для
задания начальных распределений ее плотности и трех компо-
компонент скорости. Тензор энергии-импульса материи Т^ привносит в
уравнения поля члены, оказывающиеся более высокого порядка
по 1/?, чем главные члены (в точности аналогично тому, как
это было показано в задаче 3 к § 117 для плоской однородной
модели).
1)	Для однородной модели этот множитель совпадает с квадратом струк-
структурной константы С11 и по определению постоянен.
2)	Если наложить на произвольные функции в решении дополнительное
условие lrotl = 0, то колебания исчезнут и казнеровский режим будет
продолжаться до самой точки t = 0. Такое решение, однако, содержит на
одну произвольную функцию меньше, чем требуется в общем случае.

§ 119	ОСОБЕННОСТЬ В ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЭЙНШТЕЙНА	529
Таким образом, существование особой точки по времени яв-
является весьма общим свойством решений уравнений Эйнштейна,
причем режим приближения к особой точке имеет в общем слу-
случае колебательный характер1). Подчеркнем, что этот характер
не связан с наличием материи (а потому и с ее уравнением состо-
состояния) и свойствен уже самому по себе пустому пространству-вре-
пространству-времени. Зависящая же от присутствия материи особенность мо-
монотонного изотропного типа, свойственная решению Фридмана,
имеет лишь частное значение.
Говоря об особенностях в космологическом аспекте, мы имеем
в виду особую точку, достигаемую всем пространством, а не
лишь его ограниченной частью, как при гравитационном кол-
коллапсе конечного тела. Но общность колебательного решения дает
основание полагать, что такой же характер имеет и особенность,
достигаемая конечным телом в его коллапсе под горизонтом
событий в сопутствующей системе отсчета.
Мы везде говорили о направлении приближения к особой
точке как о направлении уменьшения времени; но ввиду сим-
симметрии уравнений Эйнштейна по отношению к изменению знака
времени, с тем же правом могла бы идти речь о приближении к
особенности в направлении увеличения времени. В действитель-
действительности, однако, ввиду физической неэквивалентности будущего и
прошедшего между этими двумя случаями имеется существен-
существенное отличие в отношении самой постановки вопроса. Особенность
в будущем может иметь физический смысл, лишь если она до-
допустима при произвольных начальных условиях, задаваемых в
какой-либо предшествующий момент времени. Ясно, что нет ни-
никаких оснований для того, чтобы распределение материи и поля,
достигаемое в какой-либо момент в процессе эволюции Вселен-
Вселенной, соответствовало бы специфическим условиям, требуемым
для осуществления того или иного частного решения уравнений
Эйнштейна.
На вопрос же о типе особенности в прошлом исследование,
основанное на одних лишь уравнениях гравитации, вряд ли вооб-
вообще может дать однозначный ответ. Естественно думать, что от-
отбор решения, отвечающего реальному миру, связан с какими-то
глубокими физическими требованиями, установление которых
на основании одной лишь существующей теории гравитации
1) Факт существования особой точки в общем решении уравнений Эйн-
Эйнштейна был впервые доказан Пенроузом (R. Penrose, 1965) топологическими
методами, которые, однако, не дают возможности установить конкретный
аналитический характер особенности. Изложение этих методов и получен-
полученных с их помощью теорем см. Р. Пенроуз. Структура пространства-време-
пространства-времени. — М.: Мир, 1972.

530
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОСМОЛОГИЯ	ГЛ. XIV
невозможно, и которые смогут быть выяснены лишь в резуль-
результате дальнейшего синтеза физических теорий. В этом смысле в
принципе могло бы оказаться, что этому отбору соответствует
какой-либо частный (например, изотропный) тип особенности.
Наконец, необходимо сделать еще следующее замечание. Об-
Область применимости уравнений Эйнштейна самих по себе ни-
никак не ограничена со стороны малых расстояний или больших
плотностей материи в том смысле, что уравнения не приводят в
этом пределе ни к каким внутренним противоречиям (в отличие,
например, от классических уравнений электродинамики). В этом
смысле исследование особенностей пространственно-временной
метрики на базе уравнений Эйнштейна вполне корректно. Нет
сомнений, однако, в том, что в действительности в указанном
пределе должны стать существенными квантовые явления, о
которых при современном состоянии теории мы еще ничего не
можем сказать. Лишь в будущем синтезе теории тяготения и
квантовой теории сможет выясниться, что именно из результатов
классической теории сохранит реальный смысл. В то же время
нет сомнений и в том, что сам факт возникновения особенностей
в решениях уравнений Эйнштейна (как в космологическом ас-
аспекте, так и для коллапса конечных тел) имеет глубокий физиче-
физический смысл. Не надо забывать и о том, что достижение в процессе
гравитационного коллапса уже тех огромных плотностей, при
которых еще нет оснований для сомнений в законности класси-
классической теории тяготения, достаточны для того, чтобы говорить
о физически «особом» явлении.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Аберрация света 30
Адиабатические инварианты 83
Астигматизм 193
Бианки, типы пространства 514
Вековое смещение орбиты 412, 448,
457
Вектор Герца 263
—	Пойнтинга 111
Векторы аксиальные, полярные 37
—	ковариантные,
контравариантные 31, 310, 311
—	реперные 393
Волновая зона 236
Волновой вектор 162, 164
—	пакет 186
Время собственное 23, 315
Галилеевы координаты 307, 321
Галилея преобразование 25
Геодезическая линия 330
	нулевая 332
Геодезическое отклонение 352
Гомоцентрические пучки 193
Горизонт событий 419, 435
Гравитационная постоянная 362
Гравитационное поле
аксиально-симметричное 410
	статическое 335
	стационарное 335
Гравитационный потенциал 305, 333
—	радиус 405
Градиентная инвариантность 78
Группа движений 509
Движение в параллельных полях
88
	перпендикулярных полях 88
	поле волны 160
	коллапсара 420
Дельта-функция 51, 103, 345
Деполяризации коэффициент 173
Деполяризация при рассеянии 296
Дипольное взаимодействие 145
Дифракция на отверстии 220
	решетке 219
	щели 219
Длина, объем, собственные 27, 28
Дрейф в поле 87, 89
Дуальные тензоры 36, 314
Единичный антисимметричный
псевдотензор 35, 36, 313, 341
Естественный свет 171
Закон Био и Савара 148
Запаздывающие потенциалы 223
Излучение в поле волны 270
	поле диполя 288
—	вращающегося диполя 243
—	одинаковых частиц 261
—	при испускании частицы 249
Интервалы времениподобные 20
—	пространственноподобные 20
Каустика 189, 209, 390
Квадрапульный момент масс 399,
473
	электрический 140, 260
	эллипсоида 143
Когерентность 298, 303
Коллапсар 419
Коэффициенты вращения Риччи
395
—	связности 322
Красное смещение 338
	космологическое 496
Кривизна гауссова 354
—	скалярная 354
Линза 194
—	магнитная 198
Лоренцева калибровка 156, 352
х)Этот указатель дополняет оглавление, не повторяя его. В указатель
включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в оглавле-
оглавлении.

532
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
—	сила 75
Лоренцево сокращение 28
Масса инертная и тяжелая 446
Метрика Казнера 518
—	Керра 432
—	Шварцшильда 405
Метрический тензор 34, 312
Минимальная ширина
дифрагирующего пучка 204
Мировое время 334
Мировые линии, точки 17
Напряженность поля 75, 331
Обобщенный импульс 73
Обращение времени 76
Оптическая длина пути 191
—	ось 193
Осциллятор в магнитном поле 85
Отклонение света гравитационным
полем 414
Падение на центр 135, 284
Параллельный перенос 321, 348
Параметры Стокса 173
Перенормировка массы 130, 454
Петрова типы кривизны 357
Плотность импульса, энергии 116
—	скалярная, тензорная 314
—	функции Лагранжа 113
Поляризация линейная 164
—	эллиптическая 164
Постоянная Хаббла 497
Потенциал векторный, скалярный
72
Потеря момента при излучении 266,
281, 475
Предельная энергия 288
Прецессия волчка в
гравитационном поле 458
—	ларморова 153
Принцип Бабине 218
—	Гюйгенса 206
—	Мопертюи 80
—	Ферма 187, 342
—	суперпозиции 100
—	эквивалентности 304, 325, 332
Пространство скоростей 59
Псевдоевклидова геометрия 18
Псевдотензоры 35
Пылевидная материя 389, 486
Равновесие вращающейся
жидкости 401
Равноускоренное движение 42
Радиус электрона 131
Разрешающая сила 204
Рассеяние в кулоновом поле 137
—	света движущимся зарядом 297
	осциллятором 296, 298
	электрическим диполем 296
Свертывание тензора 34
Световое давление 160
Световой конус 22
Сигнатура метрики 308
Сила в постояном гравитационном
поле 340
—	взаимодействия движущихся
зарядов 134
—	отдачи при излучении 262
—	торможения излучением 281, 286,
295, 475
Символы Кристоффеля 322, 327
Синхронизация времени 319, 336
Система единиц гауссова,
Хевисайда 102
—	отсчета инерциальная 13
	локально-геодезическая 326
	локально-инерциальная 326,
332
	сопутствующая 389, 409, 423
Степень поляризации 171
Структурные константы 511
Телескопическое изображение 197
Тензор В ей л я 356
—	Риччи 353
—	кручения 325
—	напряжения 117, 119
—	поляризационный 170
Теорема Гаусса 40, 315, 330
—	Стокса 40, 349
Тождество Бианки 353
—	Якоби 512
Тормозное излучение 244
Увеличение линзы 196
Ультрарелятивистский случай 48
Уравнение Гамильтона-Якоби 50,
73 332
—	Киллинга 365, 510
—	Пуассона 128, 398
—	д'Аламбера 155
—	состояния ультрарелятивистское
127, 373
Усреднение произведений
компонент вектора 260, 294

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ	533
Фаза волны 162	Черная дыра 419
Фазовое пространство 52
Фокус 189, 195	Шварцшильдова сфера 414
Фокусное расстояние 196
--двух линз 198	Эйконал 184, 337
Функция Гамильтона 73, 235	Электродвижущая сила 99
-	Лагранжа 45, 72, 305, 333	Эргосфера 436
-	сЭири 210	Эффект Доплера 165
Центр инерции 67, 234, 457	Эффективное излучение 245,
Частота ларморова 152	— сечение 57, 293

Учебное издание
ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
(Серия: «Теоретическая физика», том II)
Редакторы: А. Ф. Курбатов, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: Д. С. Переверзева, Е. Ю. Морозов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 27.07.01. Формат
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 33,5. Уч.-изд. л. 31,6
Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0056-4
785922 100564