Строение и эволюция Вселенной - Зельдович Я.Б., Новиков И.Д.

Автор: Зельдович Я.Б. Новиков И.Д.

Теги: солнечная система физика теория большого взрыва астрофизика издательство наука главная редакция физико-математической литературы теория тяготения строение вселенной

Год: 1975

Похожие

Введение в теорию ранней вселенной. Теория горячего большого взрыва

Большой взрыв. Рождение и эволюция Вселенной

Теория тяготения и эволюция звезд

Эволюция вселенной

Текст

Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ, И. Д. НОВИКОВ
СТРОЕНИЕ
И ЭВОЛЮЦИЯ
ВСЕЛЕННОЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

Б28
3-50
УДК 523.11
Строение и эволюция Вселенной. Зельдович Я. В., Новиков И. Д., Глав-
Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975, 736 стр.
Книга посвящена космологии — науке о строении и эволюции Вселенной. В ней рас-
рассматриваются как классические основы космологии, так и ее иовейшие проблемы: теория
расширяющейся горячей Вселенной, проблема сингулярного состоиния в прошлом, физи-
физические процессы на раииих этапах космологического расширения, гравитационная не-
неустойчивость и образование галактнк. С достаточной полнотой и наглядностью рассмотрены
и классические проблемы: геометрия мира, движение вещества и распространение света
в расширяющейся Вселенной. В доступной форме приводятся сведения иа общей теории
относительности, теории элементарных частиц, физической статистики.
Качественная сторона излагаемых в книге проблем доступна широкому кругу читате-
читателей и представляет общепознавательный интерес. Изложение теории современной космоло-
космологии, ее наблюдательных основ рассчитано иа специалистов — физиков н астреномов, а
также на студентов старших курсов, аспирантов и преподавателей. Книга дает подго-
подготовку, необходимую для самостоятельной работы.
Рисунков 67. Таблиц 17.
® Главиая Редакция
физико-математической литературы
053@2)-75 1OJ"'* издательства «Наука», 1975 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 11
РАЗДЕЛ I
РАСШИРЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЯ ОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
Глава 1. Локальные свойства однородной изотропной космологической
модели 27
§ 1. Локальный закон распределения скорости 27
§ 2. Закон эволюции. Критическая плотность 30
§ 3. Продолжительность расширения 33
§4. Два частных решения. Начальная стадия 35
§5. Влияние давления на закон расширения. Качественные соображе-
соображения 37
§ 6. Уравнения движения с учетом давления 39
§ 7. Время расширения при наличии давления 41
§ 8. Начальная стадия при наличии давления 42
Глава 2. Релятивистская теория однородной изотропной Вселенной . . 44
§ 1. Уравнения тяготения Эйнштейна и космологические уравнения
Фридмана 44
§ 2. Геометрическая структура модели Вселенной как целого; прост-
пространство постоянной положительной кривизны 48
§3. Метрика открытого мира 53
§ 4. Предельный случай малой плотности вещества 53
§ 5. Случай критической плотности 56
Глава 3. Распространение света и нейтрино; методы проверки космологи-
космологических теорий наблюдениями 58
§ 1. Красное смещение и уменьшение импульса 58
§ 2. Наблюдаемые величины и горизонт 61
§ 3. Графики и формулы для функций, определяющих наблюдаемые
величины 67
§ 4. Рабочие формулы с параметром г 77
§ 5. Первое приближение и евклидово пространство 81
§ 6. Распределение по видимым величинам 86
§ 7. О возможности определения космологической модели по наблю-
наблюдениям далеких объектов 93
§ 8. Эволюция радиоисточников 97
§ 9. Определение Но и qa из наблюдений 105

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 10. Наблюдаемые величины во Вселенной, однородной лишь в сред-
среднем JJ2
§11. Кинетическое уравнение для фотонов по
§ 12. Однозначно лн объяснение красного смещения расширением Все-
Вселенной? '23
Глава 4. Космологическая постоянная 126
§ 1. Отлична ли космологическая постоянная от нуля? 126
§ 2. Космологические модели с Л-членом 129
Приложение к разделу I 136
РАЗДЕЛ II
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
Глава 5. Введение 141
§ 1. Вводные замечания и исторический обзор 141
§2. Электромагнитное излучение во Вселенной: обзор наблюдений . 149
§ 3. Наблюдательное доказательство существования реликтового из-
излучения 154
Глава 6. Термодинамическое равновесие в начале космологического рас-
расширения 159
§ 1. Основные периоды в эволюции горячей Вселенной 159
§2. Космологическое расширение высокотемпературной плазмы и ус-
условия термодинамического равновесия 162
§ 3. Адронная стадия эволюции Вселенной 164
§ 4. Теория Хагедорна 173
§5. Концентрация нуклонов и антинуклонов в зарядово-несимметрич-
ной Вселенной при термодинамическом равновесии 177
Глава 7. Кинетика процессов с элементарными частицами 179
§ 1. Нейтрино в теории горячей Вселенной 179
§2. Космологические гравитационные волны 185
§3. Антинуклоны в горячей плазме 191
§4. Реликтовые кварки в горячей модели 199
§5. Нуклеосинтез в теории горячей Вселенной 203
§ 6. Сравнение наблюдательных данных о распространенности легких
элементов во Вселенной с предсказаниями теории 213
Глава 8. Раднационно-домииированная плазма и реликтовое излучение . 219
§ I. Введение и общий обзор 219
§ 2. Рекомбинационное равновесие и кинетика 225
§3. Взаимодействие электронов и излучения в разреженной плазме . 231
§ 4. Влияние электронов на спектр излучения 239
§ 5. Раннее выделение энергии и квазиравновесие 240
§6. Позднее энерговыделение 247
§ 7. Излучение межгалактического газа и его плотность 254
§ 8. Радиоизлучение ионизованного межгалактического газа и период
нейтрального водорода 259
§ 9, Взаимодействие космических лучей с излучением 263

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
РАЗДЕЛ 111
ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КОСМОЛОГИИ
И ОБРАЗОВАНИЕ ГАЛАКТИК
Введение 269
Глава 9. Гравитационная неустойчивость в ньютоновской теории . . . 272
§ 1. Теория Джинса 272
§ 2. Неустойчивость расширяющегося однородного вещества 279
§3. Крупномасштабные возмущения: автомодельное решение .... 284
§ 4. Возмущения как вариации параметров решения 285
§ 5. Формулы, описывающие развитие возмущений 288
§ 6. Численные оценки 292
§ 7. Неустойчивость бесстолкновительного гравитирующего газа . . . 295
Глава 10. Неустойчивость в горячей модели 297
§ 1. Условия роста возмущений 297
§ 2. Диссипативные процессы и затухание адиабатических возмущений 302
§ 3. Взаимодействие возмущений со свободными частицами 307
§ 4. Энтропийные возмущения 308
§5. Вращательные возмущения 311
§6. Сшивание возмущений при изменении уравнения состояния веще-
вещества 312
Глава 11. Гравитационная неустойчивость в ОТО 317
§ 1. Общие принципы и уравнения 317
§ 2. Классификация возмущений 321
§ 3. Скалярные возмущения 323
§4. Векторные (вращательные) возмущения 327
§ 5. Тензорные возмущения — гравитационные волны 332
§ 6. Энтропийные возмущения в релятивистской теории 335
§ 7. Квазиизотропное решение и гипотеза равнораспределения возму-
возмущений 336
§8. Длинноволновые возмущения и их представление сферическими
волнами 339
Глава 12. Статистическая теория 343
§ 1. Случайность и фурье-аналнз 343
§ 2. Корреляционная функция и размеры самогравитирующих объек-
объектов 347
§ 3. Отклонения средней плотности в данном объеме 351
§4. Ограничения и сложности линейной теории 357
Глава 13. Нелинейная теория возмущений и тепловая неустойчивость . 360
§ 1. Возмущения в пылевидной среде; задачи, допускающие точные
решения 360
§ 2. Возмущения в пылевидной среде; приближенный анализ общего1
случая («блины») 364
§ 3. Нелинейная спектральная теория 372
§4. Возникновение длинноволновых возмущений в газе из звезд или
звездных скоплений 376
§5. Тепловая неустойчивость и разделение однородного газа на фазы 382
Глава 14. Теория образования галактик 386
§ 1. Введение 386
§ 2. Адиабатические возмущения. Предпосылки 394

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Ударная волна 396
§ 4. Тепловой режим сжатого газа 403
§ 5. Массы скоплений и фрагментация протоскоплений 408
§ 6. Вращение галактик 413
§ 7. Магнитное поле галактик 420
§ 8. Теория энтропийных возмущений 425
§ 9. Вихревая теория 429
§ 10. Сравнение эволюционных теорий происхождения галактик . . . 437
§ 11. Данные наблюдений галактик и скоплений галактик и средняя
плотность материи во Вселенной 443
Глава 15. Исследование возмущений с помощью реликтового излучений . 450
§ 1. Введение 450
§ 2. Аннигиляция антивещества 452
§ 3. Адиабатические возмущения, акустические колебания и влияние
их на спектр РИ 459
§ 4. Возмущения пространственной однородности и изотропии реликто-
реликтового излучения 464
§ 5. Обнаружение возмущений плотности с помощью реликтового из-
излучения 470
§ 6. Спектр возмущений и гиперболическая модель с малой плотностью 475
§ 7. Угловое распределение флуктуации РИ 476
Глава 16. Гравитационные волны в космологии 482
§ 1. Введение 482
§ 2. Общие сведения о гравитационных волнах 484
§ 3. Гравитационные волны в теории малых возмущений космологиче-
космологического решения 489
§ 4. Ожидаемая интенсивность реликтового коротковолнового грави-
гравитационного излучения 491
§ 5. Гипотеза равнораспределения и длинноволновое гравитационное
излучение 494
§ 6. Генерация гравитационных волн в современную эпоху и оценки
общей плотности энергии гравитационных волн 496
§ 7. Влияние гравитационных волн на реликтовое излучение .... 500
§ 8. Пекулярное движение, вызываемое гравитационными волнами . 502
§ 9. Взаимопревращения гравитационных и электромагнитных волн . . 506
РАЗДЕЛ IV
АНИЗОТРОПНАЯ КОСМОЛОГИЯ
Глава 17. Введение 611
Глава 18. Простейшие анизотропные космологические решения 515
§ 1. Ньютоновская теория простейшего анизотропного однородного ре-
решения как предельный случай локальной задачи 515
§2. Гравитационный парадокс ньютоновской теории 519
§3. Простейшая релятивистская модель; «вакуумное» решение вбли-
вблизи сингулярности . . 520
§ 4. Сравнение ньютоновской и релятивистской задач 522
Глава 19. Материя в анизотропной космологической модели 525
§ 1 Изотропизация решения с паскалевским тензором энергии-им-
энергии-импульса 525

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§2. Влияние пространственной анизотропии тензора энергии-импуль-
энергии-импульса иа космологическое решение 526
§ 3. Космологические модели с однородным магнитным полем .... 530
14. Возмущения в анизотропной однородной Вселенной 536
§ 5. Неустойчивость коемологических решений относительно возник-
возникновения движения всего вещества 542
Глава 20. Физика процессов на ранних стадиях расширения в анизотроп-
анизотропных моделях 547
§ 1. Слабовзаимодействующие частицы в анизотропной космологиче-
космологической модели 547
§ 2. Нейтрино в анизотропном решении 552
§ 3. Влияние вязкости на динамику расширения анизотропных мо-
моделей 555
§4. Кинетическая теория нейтрино в анизотропной модели; автомо-
автомодельное решение 557
§ 5. Образование химических элементов в анизотропных моделях . . 560
Глава 21. Общий анализ однородных космологических моделей 567
§ 1. Понятие однородности космологической модели 567
§ 2. Дифференциальный критерий однородности 673
§ 3. Динамические свойства однородных моделей вблизи сингуляр-
сингулярности 574
§4. Модель «перемешанного» мира 577
§ 5. О невозможности «перемешивания» в модели «перемешанного» ми-
мира 5fi2
§ 6. Квантовые ограничения для модели «перемешанного» мира . . . 584
§ 7. Изотропизация однородных космологических моделей в ходе рас-
расширения 585
§ 8. Анизотропия реликтового излучения в моделях типа I Бианки с
критической плотностью вещества 594
§ 9. Ожидаемая анизотропия космологического радиоизлучения в од-
однородных анизотропных моделях с искривленным трехмерным
пространством 699
РАЗДЕЛ V
СИНГУЛЯРНОСТЬ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
Глава 22. Космологическая сингулярность 607
§ 1. Введение 607
§ 2. Сингулярность в начале расширения 609
§3. Общее космологическое решение с сингулярностью 615
Глава 23. Физические процессы вблизи сингулярности и развитие теории
тяготения 619
§ 1. Введение 619
§ 2. Космологические следствия теории Хагедорна 621
9 3. Космологические выводы из теории Омнеса 623
§ 4. Квантовые явления в сингулярных состояниях метрики и грави-
гравитационного поля 629
§ 5. Рождение заряженных частиц в электродинамике 639
§ 6. Математическая теория рождения частиц 647
§ 7. Сверхпространство и минисверхпространство 651
9 о. Гипотеза несохранения барионов и зарядовая несимметрия эле-
элементарных частиц 654

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9. Холодная Вселенная и спектр возмущений 657
§ 10. Теория стационарной Вселенной 663
§11. Принцип Маха и совпадения больших чисел физики и космоло-
космологии 667
§ 12. ОТО и структура (топология) мира как целого 675
§ 13. Локальная топология, «белые дыры» и космология 683
§ 14. Статистическая физика и тяготение 687
§ 15. Теория тяготения Бранса — Дикке и ее космологические след-
следствия 690
§ 16. Новые гипотезы в теории поля и космология 695
§ 17. Осциллирующая Вселенная? 699
§ 18. Рождение гравитонов вблизи сингулярности 704
§ 19. Сингулярность и конформная инвариантность 707
§20. Направление времени 711
Литература 715
Указатель имен * 729

ПРЕДИСЛОВИЕ
Современная космология представляет собой обширную быстро
развивающуюся область знания.
Теоретической основой ее явились космологические модели со-
советского математика Фридмана, а наблюдательной основой — наблю-
наблюдения Хаббла красного смещения в спектрах галактик. Если кине-
кинематика эволюционирующей Вселенной стала известной десятки лет
назад, то исследование физики процессов в расширяющейся Вселен-
Вселенной получило надежную наблюдательную и теоретическую основу
только в последнее время.
Истекшее десятилетие принесло подтверждение теории так назы-
называемой горячей Вселенной. В общих чертах современное состояние
и ближайшее прошлое Вселенной можно считать известным. Достиг-
Достигнуты результаты непреходящего значения, навечно зачисленные в
золотой фонд науки.
Однако эти достижения привели к возникновению новых проб-
проблем. Начался необычайно активный штурм этих проблем, были
предприняты разнообразные попытки разработки более глубоких
и более трудных вопросов, относящихся к сингулярному состоянию
в далеком прошлом Вселенной, к проблеме возникновения галактик
и к другим задачам.
Исследование космологической сингулярности имеет принципи-
принципиальное значение. Это состояние удалено от нас по времени более
чем на 10 миллиардов лет. Однако нельзя забывать, что каждая
частица (или ее предки) вышла из горнила сингулярности. Настоя-
Настоящее и будущее Вселенной зависят от ее прошлого, а следовательно,
зависят от сингулярного состояния.
Современная космология использует весь арсенал физических и
астрономических знаний. Ставшая классической теория горячей
Вселенной использует общую теорию относительности, термодина-
термодинамику, гидродинамику, теорию плазмы. В исследованиях, посвящен-
посвященных сингулярности, широко используются более молодые области
физики, включая теорию квантовых полей. Предлагаемая моногра-
монография, посвящена бурно развивающейся науке, поэтому, естественно,
в книге соседствуют почтенные установившиеся теории, имеющие
возраст более полувека, и гипотезы, едва вышедшие из младенческо-
младенческого возраста, иногда противоречащие друг другу. Части монографии,
в которых описаны основные наблюдательные факты и классические
теории, должны входить в общеобразовательный минимум каждого

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ
астронома и даже — по нашему убеждению — каждого физика.
С другой стороны, в полном объеме монография действительно необ-
необходима лишь тем, кто работает или намерен работать в области кос-
космологии. Не заменяя полностью оригинальную литературу, моно-
монография дает достаточно полное представление о состоянии космоло-
космологии и особенно теоретической космологии на 1974 год.
Соединение таких разнородных задач оказалось необычайно
трудным; совершенно нереальным оказалось первоначальное наме-
намерение авторов переработать для данного издания космологический
раздел нашей книги «Релятивистская астрофизика» («Наука», 1967).
Монографию пришлось писать заново. Несмотря на большой объем
книги, авторам только с большим трудом удалось охватить все
разделы современной космологии.
Как и в наших предыдущих книгах, мы стремились наряду с ма-
математической теорией процессов дать наглядную интерпретацию тео-
теории и, особенно, показать, как применяется формализм теории в ре-
решении конкретных задач. В заключение наших оправданий по
поводу трудностей написания монографий такого рода приведем из
введения к книге Кеплера «Новая астрономия, основанная на при-
причинах, или Физика неба» следующую злободневную цитату:
«В настоящее время крайне тяжела участь тех, кто пишет мате-
математические, особенно же астрономические книги. Если не соблю-
соблюдается необходимая строгость в терминах, пояснениях, доказатель-
доказательствах и выводах, то книга не будет математической. Если же стро-
строгость соблюдена, то чтение книги становится очень утомительным,
особенно по-латыни, которая лишена прелести, свойственной грече-
греческой письменной речи. Поэтому сейчас очень редко встретишь
подходящих читателей, большинство же предпочитает вообще укло-
уклоняться от чтения».
В работе над монографией мы пользовались неизменной поддерж-
поддержкой наших соратников из отдела теоретической астрофизики Инсти-
Института прикладной математики АН СССР и Института космических
исследований АН СССР, особенно А. Г. Дорошкевича и Р. А. Сю-
няева, совместно с которым написана гл. 8. Весьма полезны бы-
были также обсуждения и дискуссии с сотрудниками ИКИ, ГАИШ,
ФИАН, ИТФ, ИФП, других институтов, а также с зарубежными
коллегами.
Мы пользуемся случаем поблагодарить редактора книги
И. Г. Вирко за помощь при подготовке рукописи к печати.
Я- Б. Зельдович,
И. Д. Новиков

ВВЕДЕНИЕ
О О О
Научная космология появилась значительно позже других астро-
астрономических дисциплин, но, несмотря на это,— а может быть, именно
вследствие этого — в настоящее время разрабатывается особенно
интенсивно и приносит открытия огромного значения.
В настоящем введении мы попытаемся показать структуру и ло-
логические связи современной космологии, полностью отказываясь от
исторического порядка изложения (а заодно и от ссылок на литера-
литературу, которые будут приведены в соответствующих местах, при под-
подробном изложении вопроса). Выражаясь кратко, прошлое Вселен-
Вселенной бесконечно интереснее прошлого науки о Вселенной.
Важнейшим фактом является наблюдаемая изотропия свойств
Вселенной, независимость видимой картины Вселенной от направле-
направления луча зрения. Этот факт относится как к общему радиоизлуче-
радиоизлучению, пронизывающему всю Вселенную («реликтовый фон», о кото-
котором подробнее см. ниже), так и к длинноволновому радиоизлучению
отдельных источников (усредненному по площадкам на небе, со-
содержащим много источников) и к рентгеновскому излучению, про-
происхождение которого еще не вполне ясно. Эти виды излучения при-
приходят к нам с наибольших расстояний; отклонения от изотропии в их
интенсивности не превышают 1%—0,1%.
Следующий шаг к пониманию структуры Вселенной содержит
грандиозную экстраполяцию. Мы знаем, что вместе со всей Солнеч-
Солнечной системой находимся в спиральной галактике, которая в свою
очередь входит в скопление галактик. Мы видим другие скопления
галактик, рассеянные в пространстве. Однако изотропия реликтово-
реликтового и других видов излучений, приходящих издалека, является более
фундаментальной, чем неоднородность ближайших нам окрестно-
окрестностей: распределение скоплений галактик на небе тоже представляет-
представляется в среднем изотропным. Естественно предположить, что Вселенная
однородна в больших масштабах, хотя и неоднородна в малом.
Наблюдаемую изотропию излучения можно привлечь для того, чтобы
дать количественную оценку степени однородности; отклонения от
однородности оказываются меньше 1%—0,1% в масштабе порядка
Ю10 световых лет.
Нужно подчеркнуть, что наблюдательные данные на первый
взгляд сами по себе не противоречат предположению о сферической

12 ВВЕДЕНИЕ
симметрии мира. Можно предположить, что в центре находится
Земля (Солнечная система, Галактика), средняя плотность вещества
во Вселенной зависит от расстояния до центра, но не от направления.
Выбор однородной модели вместо модели с центром в Галактике
происходил на первых шагах развития современной космологии по
общефилософским причинам: в средние века естественным казалось
как раз предположение о центральном положении Земли. С тех пор
господствующие философские взгляды изменились, мы стали скром-
скромнее. Конечно, углубленный анализ всех наблюдательных данных
приводит к выводу об однородности Вселенной без каких-либо ссы-
ссылок на общие концепции и аналогии из истории науки.
Приняв однородную модель Вселенной, нужно сделать выводы,
следующие для этой модели из известных физических законов.
Здесь уместно спросить: насколько правомерно пользование извест-
известными, установленными в лаборатории законами? Не следует ли
ожидать, что при переходе к грандиозным масштабам Вселенной сами
эти законы придется менять? Такое изменение законов физики
в больших масштабах произошло, когда возникли общая теория
относительности (ОТО) и представление о кривизне пространства-
времени. Ясно, что в больших космологических масштабах должна
проявляться кривизна. Уже в пределах Солнечной системы (а в
наиболее изощренных, точных опытах — ив лаборатории) ОТО дает
специфические поправки и находит экспериментальное подтвержде-
подтверждение. Тем самым доказывается справедливость ОТО, а значит, и сле-
следующее из нее искривление пространства-времени в больших мас-
масштабах Вселенной. Кроме доказанного факта кривизны простран-
пространства и времени есть и не выясненный до настоящего времени вопрос,
специфический для больших масштабов,— вопрос о космологиче-
космологической постоянной. Космологическая постоянная описывает опреде-
определенную (положительную или отрицательную) плотность энергии и
соответствующее давление, приписываемое вакууму. Это приводит
к появлению дополнительного относительного ускорения (положи-
(положительного или отрицательного) между любыми двумя частицами, за-
зависящего только от расстояния между ними (но не от их массы). Это
очень небольшое изменение закона тяготения не может быть за-
замечено в лабораторных опытах, однако для динамики Вселенной
как целого из-за огромности расстояний космологическая постоян-
постоянная может быть существенной.
Появление новых законов и новых обобщений в физике всегда
было связано с тем, что старые законы вступали в непримиримое
противоречие с опытом или оказывались логически, внутренне не-
незамкнутыми и непригодными в новой области. Так было, когда до-
квантовая физ'ика столкнулась с ультрафиолетовой катастрофой в
законе излучения и с необъяснимой стабильностью атомов. Так
было и тогда, когда потребовалось релятивистское обобщение урав-
уравнения Шредингера для больших скоростей. Подойдем с такой мер-

13
кой к общей теории относительности: применяя ее к безграничной
Вселенной, мы не сталкиваемся ни с внутренними логическими про-
противоречиями самой теории, ни с какими-либо вопиющими противо-
противоречиями между теорией и наблюдениями. Поэтому представляются
необоснованными предположения о необходимости изменения ОТО
при применении ее к космологии (если не считать вопроса о космо-
космологической постоянной — вопроса, стоящего в рамках ОТО). Нет
никаких наблюдательных данных, указывающих на ограниченность
применения ОТО к масштабам Вселенной *).
Авторы хотят подчеркнуть «ортодоксальность» своей точки зре-
зрения. Мы не согласны с появляющимися время от времени теориями
о нарушении фундаментальных законов физики, например теория-
теориями о постоянном рождении вещества «из ничего», (и притом вдали от
сингулярности — теория стационарной Вселенной), или с теориями
об уменьшении постоянной тяготения. Конкретные причины нашего
несогласия и критика таких теорий даются в V разделе книги.
Итак, однородная и изотропная Вселенная может быть рассмот-
рассмотрена в рамках ОТО.
Как известно, существует обширное семейство решений уравне-
уравнений Эйнштейна, для которых характерна эволюция Вселенной и в
то же время свойства однородности и изотропии сохраняются с те-
течением времени.
Наблюдения показывают, что мы живем в эволюционирующей
и притом расширяющейся Вселенной. Красное смещение спектраль-
спектральных линий света, приходящего к нам от далеких галактик, есть
следствие доп л ер-эффекта, связанного с тем, что эти галактики уда-
удаляются от нас. Новейшие измерения подтверждают пропорциональ-
пропорциональность скорости и расстояния: и=Нг, где величина Н называется
постоянной Хаббла. Во всей книге мы принимаем ее равной
»75 км/сек-Мегапарсек «D-Ю17 сек)'1={1,3-1010 лет)~1. Стоящая
в скобках величина размерности времени приблизительно соответст-
соответствует времени расширения от состояния с большой плотностью.
Заметим, что постоянная Хаббла известна из наблюдений с точ-
точностью по крайней мере до 50%. По последним данным, вероятно
#=50 км/сек-Мпс= B-1010 лет)-1.
*) Как мы увидим, релятивистская космология приводит к выводу
о необходимости в прошлом во Вселенной состояния, в котором вещество имеег
огромную плотность, а пространство-время — огромную кривизну, так назы-
называемого сингулярного состояния. В таких ситуациях ОТО в ее настоящей форме,
возможно, уже неприменима.
Итак, вся совокупность теоретических, экспериментальных и наблюдатель-
наблюдательных фактов говорит о применимости физических законов и общей теории относи-
относительности для описания эволюции Вселенной «почти с самого начала расшире-
расширения» — с моментов, когда плотность вещества была много больше ядерной, т. е.
р>1014 г/см3 (уточнение этого «почти» см. далее), и до настоящего времени. Н
об этом подробно говорится далее.

14 ВВЕДЕНИЕ
Решения уравнений ОТО согласуются с линейным законом а=*
—Нг. Именно такой закон расширения необходим для того, чтобы
на протяжении всей эволюции сохранялись самые общие свойства
решения — однородность и изотропия. При этом предполагается
также, что плотность и давление вещества везде одинаковы, не за-
зависят от пространственных координат, но при этом зависят от
времени. Однако для полного решения задачи недостаточно задать
эти свойства и значение //; необходимо знать численное значение
плотности вещества и давления в настоящее время, т. е. знать свой-
свойства вещества, заполняющего пространство, и значение космологи-
космологической постоянной Л.
Весьма вероятно, что Лз=0. В этом случае можно показать, что
при любой плотности вещества длительность эволюции в прошлом
меньше, чем Н~1. Будущая эволюция существенно зависит от со-
современной плотности вещества: существует критическое значение
плотности рс, зависящее от Н (для //=75 км/сек-Мпс это критиче-
критическое значение pc=10~29 г/см3), такое, что при р<рс расширение бу-
будет продолжаться неограниченно, а при р>рс расширение сменится
сжатием.
От значения плотности зависит также важное свойство Вселен-
Вселенной — ее общая геометрическая структура: конечность или бесконеч-
бесконечность. При р>рс Вселенная конечна, хотя и безгранична, подобно то-
тому как конечна, но не имеет границ поверхность шара. При р^рс Все-
Вселенная бесконечна и в этом смысле не отличается от классического
трехмерного евклидова пространства. Следовательно, плотность, бу-
будущее и геометрическая структура Вселенной связаны между собой.
В случае космологической постоянной, отличной от нуля, ситуация
сложнее: например, при определенных соотношениях Л и р возможен
случай конечной Вселенной, которой тем не менее в будущем пред-
предстоит неограниченное расширение. Здесь во введении было бы не-
неуместно вдаваться в полную классификацию таких решений.
Как мы увидим далее, определение средней плотности материи
во Вселенной прямо из наблюдений различных объектов — это за-
задача очень сложная, так как многие виды материи наблюдать очень
трудно.
В принципе можно определить кривизну пространства (а значит,
и среднюю плотность всей материи) и решить вопрос о структуре
Вселенной, наблюдая, как меняется яркость источника (например,
галактики) с известной абсолютной светимостью в зависимости от
его расстояния или от его красного смещения (поскольку оно непо-
непосредственно связано с расстоянием). В моделях с разной кривизной
пространства эта зависимость разная.
Теория распространения света и теория, указывающая связь
между свойствами далеких объектов и наблюдаемыми величинами,
является тем разделом космологии, который разработан с наиболь-
наибольшей полнотой. В принципе достаточно было бы измерить красные

ВВЕДЕНИЕ 15
смещения спектра и поток света всего даух далеких объектов с из-
известной абсолютной светимостью — и мо>йно найти постоянную Н и
плотность р (при условии, что Л=0; еслй,Л=/=0, нужно еще одно
наблюдение). Для того чтобы установить структуру Вселенной, вме-
вместо светимости можно измерять число объектов данного типа в дан-
данном элементе телесного угла и в заданном интервале красного сме-
смещения, но опять-таки для объектов, для которых нечто известно —
именно плотность которых в пространстве известна из независимых
соображений. Однако эта простая и ясная программа до сих пор не
проведена, и не только по причине технических трудностей. Сущест-
Существует глубокая принципиальная трудность, связанная с тем, что все
небесные тела эволюционируют. Наблюдая далекие объекты, мы на-
наблюдаем их в далеком прошлом и поэтому не можем даже для объек-
объектов известного типа (галактики, квазары) указать с уверенностью их
абсолютную светимость и число в единице объема в момент, когда
было испущено излучение, принимаемое нами сегодня.
Поэтому сопоставление теории с наблюдениями не привело к ус-
установлению структуры Вселенной. Вместо этого получены доказа-
доказательства того, что удельная плотность *) наиболее мощных источни-
источников энергии во Вселенной — квазаров и радиоисточников — в
прошлом была существенно (до тысячи раз!) больше современной;
последние 8—9 миллиардов лет квазары вымирают, рождение новых
квазаров не компенсирует угасание старых. Для обычных галактик
можно предвидеть гораздо большую стабильность, эволюционные
эффекты меньше. Расстояния, на которых можно наблюдать галак-
галактики, малы по сравнению с космологическими масштабами, и эволю-
эволюция их за время распространения света даже от наиболее далеких
до нас не очень велика, но меньше и космологические эффекты. По-
Поэтому окончательно структура Вселенной до сих пор не установлена.
Итак, для определения структуры Вселенной приходится вер-
вернуться к трудной задаче нахождения средней плотности материи
путем непосредственных наблюдений различных небесных тел и из-
излучений во Вселенной. Эти наблюдения необходимы еще по одной
причине.
Развитие космологии неотделимо от вопроса о материальном
составе Вселенной. Для динамики Вселенной достаточно знать одну
лишь величину — среднюю плотность, но для понимания физиче-
физических процессов нужно знать, какие частицы заполняют Вселенную.
Средняя плотность вещества, находящегося сейчас в галактиках,
приблизительно известна. Если его «размазать» по всему пространст-
пространству, то эта величина составляет около C—5)-10~31 г/см3, т. е. в 20—
30 раз меньше критической. В самое последнее время указывается,
что галактики, возможно, окружены коронами, состоящими, веро-
*) Количество источников, приходящихся иа фиксированную массу вещества
во Вселенной.

16 ВВЕДЕНИЕ
ятно, из звезд малой светимости, при учете которых средняя плот-
ность может увеличиться в несколько раз. Масса галактик опре-
деляется из анализа движения звезд и газовых облаков в естествен-.
ном предположении, что возраст галактик во много раз больше пе-
риода обращения по галактической орбите. Такой способ позволяет
определить суммарную массу галактики, включая невидимые формы
материи, например погасшие звезды *). Масса галактики прибли-
зительно равна сумме масс покоя барионов (нейтронов и протонов),
входящих в ее состав; таким образом можно получить среднюю плот-
ность барионов во Вселенной — порядка 3-Ю смгъ в настоящее
время.
Высказывалось предположение о зарядовой симметрии Вселен-
ной, т. е. о существовании одинаковых в среднем количествах
частиц и античастиц. Нужно подчеркнуть, что априори с точки зре-
ния теории элементарных частиц такое предположение возможно,
но вовсе не обязательно. Специально предпринимались поиски эф-
фектов аннигиляции частиц и античастиц в пространстве между га-
лактиками, состоящими из вещества, и галактиками, состоящими из
антивещества. Эти поиски дали отрицательный результат, и поэтому
более вероятным в настоящее время представляется предположение
о зарядово-несимметричной Вселенной, в которой антибарионы
имеются лишь в ничтожном количестве в составе космических лучей.
Наблюдения показывают наличие интенсивного радиоизлучения
в сантиметровом и миллиметровом диапазоне; это излучение нельзя
приписать каким-либо отдельным источникам. Предполагается,
что это излучение является первичным и существует, начиная с весь-
ма ранней стадии эволюции Вселенной, так же как на ранней стадии
уже имелись те барионы, которые затем вошли в галактики.
Основываясь на наблюдениях и небольшой теоретической экстра-
поляции, можно подсчитать плотность первичных (реликтовых)
фотонов, она оказывается равной ~400 в одном смг, что в 10е—
109 раз больше средней плотности барионов во Вселенной. Реликто-
вое излучение соответствует термодинамическому равновесию при
2,7°К. Средняя энергия фотонов около 0,001 аву плотность энергии
излучения 8=4-103 эрг/смв, и по принципу эквивалентности соот-
ветствующая плотность массы рт=е/с2=5-10~34 г/см3. Таким обра-
зом, в настоящее время вклад излучения в общую плотность
весьма мал.
Большая теоретическая и наблюдательная работа по определе-
нию плотности межгалактического газа в настоящее время еще
не закончена. Содержание нейтрального водорода в этом газе весьма
мало, газ практически полностью ионизован, его температура, пред-
положительно, лежит в пределах 2-104< Г<3- 106°К. Такой газ
¦*) Отметим, однако, что это относится к массе внутри галактики: масса в воз-
можной короне, окружающей галактику, не повлияет на движение во внутрен-
ней части и, следовательно, не может быть определена по движению в этой части.

ВВЕДЕНИЕ 17
прозрачен практически для всех длин волн, сам он излучает ультра-
фиолет и мягкий рентген. Лучшие оценки дают для плотности газа
Ргаз^0>3Рс
Прямое определение таких форм материи, как нейтрино и грави-
тационные волны, весьма затруднительно; их плотность могла бы во
много раз превышать плотность обычного вещества (барионов) во
Вселенной, и при этом чувствительности прямых физических методов
все еще не хватало бы для обнаружения нейтрино и гравитонов. Од-
нако из косвенных оценок следует, что плотность таких частиц су-
щественно меньше плотности обычного вещества.
В настоящее время нет надежных оценок возможного количества
потухших квазаров, звезд и каких-либо других слабосветящихся
или несветящихся объектов между галактиками.
Итак, в настоящее время достаточно надежно установлена сред-
няя плотность во Вселенной вещества, входящего в галактики:
ргал^C—5)* 10~31г/сж3^0,034-0,1 рс. О других видах материи можно
сказать лишь, что хорошо изученные виды (например, реликтовое
излучение) имеют плотность существенно меньше рс, плотность ос-
тальных известна очень плохо.
Таким образом, ответа на вопрос, больше ли средняя плотность,
чем рс, или нет и, следовательно, бесконечна ли Вселенная или ко-
нечна, до сих пор нет. Большинство исследователей склоняется
к первой возможности.
Зная сегодняшний состав материи, можно проследить более ран-
ние этапы эволюции Вселенной. Важнейший факт состоит в расшире-
нии Вселенной. С расширением температура реликтового излучения
падает. Сегодняшнее значение этой температуры 2,7 °К, в прошлом
она была гораздо выше. На ранних этапах расширения плотное ве-
щество было непрозрачным для излучения; вещество и излучение
находились в термодинамическом равновесии и имели очень боль-
шую температуру. Отсюда название: «теория горячей Вселенной».
В целом можно считать твердо установленной общую картину
эволюциги, объединяемую названием «теория горячей Вселенной».
Эта картина включает в себя изотропное (т. е. одинаковое во всех
направлениях), однородное (одинаковое во всех точках пространст-
ва) расширение Вселенной. Вселенная заполнена материей, в кото-
рой численно преобладают фотоны. Зная закон расширения и исполь-
зуя законы,физики, можно рассчитать состояние вещества и физиче-
ские процессы в прошлом.
Плотность обычного вещества (барионов) падает с расширением
обратно пропорционально объему, т. е. pB~F~\ плотность реликто-
вого излучения рРел~^~4/з> т- е- падает быстрее, чем рв. Следова-
тельно, в прошлом, на ранней стадии, фотоны преобладали не только
по числу, но и по массе, а обычное вещество состояло из водорода и
гелия, полностью ионизованных. Эту стадию называют РД-стадией
(радиационно-доминированной).

10 ВВЕДЕНИЕ
Из уравнений механики и из известного сейчас соотношения меж-
между числом квантов и атомов можно найти температуру и состав в за-
зависимости от времени (будем отсчитывать время t от момента р=оо
в космологической модели). Так, например, в момент <=1 сек темпе-
температура была около 1 Мэв, т. е. 1010 градусов, плотность 10е г/смя.
Кроме квантов, в равновесии было почти столько же пар электронов
и позитронов. При этом сложные ядра не могли существовать. Су-
Существовали протоны и нейтроны в почти одинаковом числе; столкно-
столкновения с электронами и позитронами приводили к взаимным превра-
превращениям протонов и нейтронов.
По мере расширения исчезали позитроны. Часть нейтронов
распалась, остальные нейтроны соединились с протонами и в конеч-
конечном счете дали состав: 70% водорода и 30% гелия, следы дейтерия и
гелия-3. Практически полностью отсутствуют более тяжелые эле-
элементы. Это предсказание теории не противоречит скудным данным
о возможном составе первичного вещества (т. е. вещества, не про-
прошедшего стадию нуклеосинтеза в звездах). От этого периода должны
оставаться также нейтрино и антинейтрино в количестве, примерно
равном количеству квантов, и с той же средней энергией, соответст-
соответствующей сегодня нескольким градусам, т. е. около 10~s зв.
На стадии расширения, следующей за РД-стадией, т. е. уже в
близкую к нам эпоху, плотность массы обычного вещества превышает
плотность фотонов, вещество находится в виде нейтральных атомов.
В этой общей картине отсутствуют некоторые важные детали —
в частности, не объяснены отклонения от однородности (галактики,
их скопления), не хватает трактовки самых ранних стадий, когда на-
наряду с фотонами присутствовали разнообразные частицы и анти-
античастицы и квантовые явления были существенны.
Как мы увидим дальше, между двумя этими вопросами — неод-
неоднородность и самые ранние стадии — есть определенная связь *).
С наблюдательной точки зрения возможность исследования ран-
ранних стадий ограничена рассеянием электромагнитных волн на элек-
электронах. Все принимаемое сегодня на Земле излучение заведомо рас-
рассеивалось на электронах в эпоху, когда масштаб Вселенной был
приблизительно в 1000 раз меньше теперешнего, т. е. при красном
смещении AAA=z~1000. В эту эпоху вещество представляло собой
ионизованную плазму с температурой больше 4000°. Только в более
близкую к нам эпоху температура упала настолько, что произошла
рекомбинация водорода, плазма стала нейтральной и прозрачной
для излучения. Следовательно, непосредственно «видеть» с помощью
электромагнитных волн более далекое прошлое нельзя. Утвержде-
Утверждение об однородности и изотропии мира, следующее из отсутствия
*) Отметим еще ие решенные вопросы о плотности энергии гравитационных
воли разной длины и о том, можно ли считать равными плотности нейтрино и анти-
антинейтрино.

ВВЕДЕНИЕ 19
видимых флуктуации температуры реликтового излучения на небес-
небесной сфере, относится к моменту рекомбинации водорода, соответству-
соответствующему z~1000, т. е. ~10в лет с момента начала расширения Все-
Вселенной (напомним, что наша эпоха соответствует 1010 лет).
Область пространства, охваченная электромагнитными волнами,
вышедшими при t=W лет и пришедшими к нам без рассея-
рассеяния, мало отличается от «горизонта» — от максимально воз-
возможной области наблюдения в расширяющейся Вселенной при поль-
пользовании излучением, которое бы абсолютно не рассеивалось и воз-
возникло в момент сингулярности (бесконечной плотности вещества),
т. е. в момент начала расширения.
Радиус наблюдения, таким образом, велик: он составляет около
97% радиуса «горизонта», и объем, охваченный наблюдением с по-
помощью реликтового излучения, составляет 90% максимально
возможного видимого объема (объема внутри «горизонта»). Таким об-
образом, однородность в большом масштабе доказана. Однако возмож-
возможность неоднородности Вселенной и анизотропии расширения до мо-
момента рекомбинации водорода, т. е. при z~1000, <<10e лет с начала
расширения, не исключена. Более того, сегодняшняя структура ок-
окружающей нас Вселенной — существование отдельных галактик
и скоплений галактик — с определенностью доказывает и настоя-
настоятельно требует отклонений от идеальной картины однородной во
всех масштабах и изотропной Вселенной.
Общая картина расширяющейся «горячей Вселенной», изложен-
изложенная выше, надежно установлена и является одним из важнейших за-
завоеваний науки XX века. Теперь мы переходим к более тонким во-
вопросам — таким, как проблема происхождения галактик и проблема
начала космологического расширения. Здесь мы обращаемся к проб-
проблемам, лежащим на самом переднем крае исследований сегодняшних
дней. Не удивительно, что здесь мы будем говорить в менее опреде-
определенном тоне и перечислять разные гипотезы. Всесторонний анализ
отклонений от идеальной картины однородной изотропной Вселен-
Вселенной является важнейшей задачей современной космологии. В этом
анализе необходимо комбинировать наблюдения и теорию. Прочный
фундамент для исследований дает теория малых возмущений. Самое
общее свойство Вселенной, близкой к идеальной, заключается в том,
что отклонения от идеальности (возмущения) можно расклассифици-
расклассифицировать на отдельные виды («моды»), развивающиеся независимо друг
от друга. Такая теория представляет огромную ценность для анализа
наблюдений, она дает тот язык, ту систему понятий и взглядов, без
которой невозможно было бы продвижение в познании Вселенной.
В самом деле, сравним идеальную однородную изотропную мо-
модель и теорию малых возмущений. Идеальную модель удается рас-
рассмотреть полностью благодаря ее совершенно исключительным свой-
свойствам, резко упрощающим математическую сторону дела. Идеальная
модель в каждый момент характеризуется всего несколькими числа-

20 ВВЕДЕНИЕ
ми (радиус мира, скорость расширения, плотность вещества, темпе-
температура и т. д.). Вся эволюционная картина в таком приближении
характеризуется зависимостью этих нескольких чисел от времени,
т. е. несколькими функциями переменной t. Следовательно, задача
не сложнее механической задачи о движении одной частицы. Это
упрощение достигнуто за счет ограничения однородной задачей;
как выражаются математики,— за счет рассмотрения «вырожденно-
«вырожденного» случая. Между тем противоположный случай — наиболее общая
постановка задачи — требует рассмотрения функций по крайней
мере от четырех переменных — от времени и трех координат.
В такой постановке задача необычайно сложна. Сложность усугуб-
усугубляется еще и тем, что нам неизвестны начальные условия — условия
в начале расширения. Либо нужно просчитывать множество вариан-
вариантов начального состояния, либо, имея (неполное!) представление о
сегодняшнем состоянии, надо решать уравнения для прошлого. Оба
подхода связаны с большими трудностями.
Теория малых возмущений замечательна тем, что она соединяет
общность постановки задачи с математической простотой решения.
Действительно, однородное изотропное решение с наложенными
возмущениями уже не является вырожденным: возмущения зависят
от координат, возмущенное решение описывает неоднородную Все-
Вселенную.
С другой стороны, благодаря малости возмущений, или, как гово-
говорят математики, благодаря линейности задачи о малых возмущени-
возмущениях, рассмотрение каждой моды возмущений снова сводится к на-
нахождению нескольких функций только от времени, т. е. задача имеет
тот же класс сложности, что и задача о движении точки. Это заме-
замечательное соединение общности и простоты объясняет, почему зна-
значительная часть книги посвящена теории малых возмущений идеаль-
идеальной Вселенной.
Теория малых возмущений рассматривает эволюцию отдельных
мод, и она неполна в том смысле, что абсолютное значение амплиту-
амплитуды различных мод остается за рамками этой теории — его нужно
брать извне, из других теоретических соображений или из наблюде-
наблюдений. Теория дает, например, что возмущение плотности, охватываю-
охватывающее массу больше 1016 М©, растет в 100 раз за время, когда масштаб
Вселенной также возрастает в 100 раз (например, от f=10e лет
после начала расширения до <=109 лет). Однако есть ли в природе
такого рода возмущения, какова их амплитуда — это остается в тео-
теории неизвестным.
О чем же говорят наблюдения?
Прямые наблюдения распределения вещества путем фотографи-
фотографирования неба крупнейшими телескопами свидетельствуют о том, что
в масштабе порядка 10 Мпс (примерно таково среднее расстояние
между соседними скоплениями галактик) и меньше неоднородность
велика. Средняя масса вещества в шаре диаметром 10 Мпс лежит

ВВЕДЕНИЕ 21
в пределах 1018—3-Ю13 Mq (взависимости оттого, равна ли плот-
плотность критической, р=рс, или она равна р=3-10~31 г/см3). В этом
масштабе в настоящее время возмущения плотности бр/р~1. Когда
образовались такие большие возмущения? По-видимому, в недале-
недалеком прошлом при красном смещении z-^b *).
В самом деле, совсем грубо можно считать, что плотность веще-
вещества в скоплениях галактик порядка средней плотности в тот момент,
когда они обособились от расширяющегося фона и превратились в
связанные образования. Наглядно можно представить себе, что до
определенного Zi (т. е. при z>Zi) вещество расширялось, а затем
(при z<Zi) распалось на отдельные части — скопления галактик.
Расстояние между этими частями продолжало увеличиваться, но
сами эти части — или куски — «законсервировались», они поддер-
поддерживаются в состоянии динамического равновесия без изменения
средней плотности.
«Законсервированная» средняя плотность скоплений примерно
совпадает со средней плотностью вещества во Вселенной в момент
их образования и позволяет дать оценку этого момента, приведен-
приведенную выше. Отсюда, пользуясь теорией возмущений, можно сделать
вывод об амплитуде возмущений плотности и других величин в дале-
далеком прошлом.
Для состояния плазмы на РД-стадии получается амплитуда воз-
возмущений плотности 6р/р~10~3—10~4; соответственно того же по-
порядка и скорость движения отдельных элементов вещества, выражен-
выраженная в единицах скорости света, на фоне общего расширения (и/с~
~10~3—10~4) и безразмерные возмущения метрики пространства-
времени. Все это относится к масштабам, соответствующим сегод-
сегодняшнему масштабу скоплений галактик.
Радионаблюдения флуктуации реликтового излучения и его
спектра после привлечения теоретических соображений позволяют
дать оценку величины возмущений как функции масштаба (или мас-
массы), т. е. оценить спектр возмущений. Мы подробно остановимся на
этом в соответствующем месте книги.
Резюмируя, можно сказать, что вырисовывается картина Все-
Вселенной, представляющей собой слабовозмущенный (почти однород-
однородный) расширяющийся мир с определенной (большой) начальной эн-
энтропией. В поддержку этой картины говорит измерение спектра и
пространственного распределения реликтового радиоизлучения.
Таков важнейший итог наблюдений и развития теории послед-
последних лет.
*) Каждому красному смещению г соответствует определенный момент
в прошлом. Этот момент отстоит от нашей эпохи на интервал времени, необходимый
Для того, чтобы лучи.света приобрели соответствующее красное смещение. Для
читателя удобно запомнить, что величина г-f-l показывает, во сколько раз уве-
увеличились масштабы расширяющегося мира от рассматриваемой эпохи до нашей.

22 ВВЕДЕНИЕ
В обрисованной выше схеме образование галактик и других
структурных особенностей объясняется отклонением от однороднос-
однородности, впрочем, достаточно малым для того, чтобы не испортить пере-
перечисленные выше привлекательные черты однородной модели. Однако
такая концепция не общепризнана. Прежде всего, высказывались
сомнения, может ли эта концепция объяснить некоторые конкретные
свойства наблюдаемой картины. Имелось в виду прежде всего вра-
вращение галактик и магнитные поля галактического масштаба. Кроме
того, к списку трудностей теории слабовозмущенного однородного
мира добавляли еще вопрос о происхождении квазаров. Однако для
серьезного рассмотрения этого вопроса нужно, чтобы сама природа
квазаров — их строение и источники энергии в настоящее время —
была установлена с определенностью.
Несколько лет тому назад проблема зарождения и усиления
магнитных полей в космических масштабах была в трудном положе-
положении. Общеизвестна высокая электропроводность плазмы и следую-
следующее отсюда сохранение магнитных потоков — так называемая «вмо-
роженность» магнитного поля в плазму. Для поддержания магнит-
магнитного поля нет необходимости во внешних источниках электрического
тока: так велико время затухания тока в плазме в космических
масштабах. Казалось, что та же «вмороженность» помешает возник-
возникновению упорядоченных полей в плазме, первоначально свободной
от магнитного поля.
В связи с этим рассматривались «магнитные» космологические
модели с первичным полем; поскольку поле выделяет определенное
направление в пространстве, такие модели отличались изначальной
анизотропией.
В настоящее время этот этап поисков решения проблемы галак-
галактических магнитных полей можно считать преодоленным. Среди
сложных трехмерных движений плазмы в процессе формирования
вращающихся галактик есть и такие движения, которые способны
генерировать и усиливать магнитные поля до наблюдаемых в настоя-
настоящее время. Гипотеза изначального магнитного поля стала ненужной,
повисла в воздухе, хотя, разумеется, доказать отсутствие малого на-
начального поля (соответствующего, например, 10~10 гс после расшире-
расширения до сегодняшнего состояния) было бы очень трудно.
Сложнее обстоит дело с вращением. Вращение значительной
части галактик является важнейшей их особенностью; именно вра-
вращением, центробежной силой, обусловлена дискообразная, плоская
их форма. Возникновение отдельных рукавов и спиральной струк-
структуры является уже дальнейшим следствием неустойчивости плоского
вращающегося диска. Итак, вращение, несомненно, имеет место и иг-
играет важную роль; теория, игнорирующая вращение, была бы заве-
заведомо неполна и неприемлема.
Известным аналогом понятия вмороженности магнитного поля
являются свойства вращательного движения. Сюда относятся сохра-

ВВЕДЕНИЕ 23
нение момента вращения изолированной системы и сохранение цир-
циркуляции скорости в сплошной среде на РД-стадии. Если галактики
возникают в результате роста небольших неоднородностей плотно-
плотности за счет сил самогравитации, т. е. из «потенциальных» (безвихре-
(безвихревых) возмущений, как это предполагается в схеме, описанной выше,
то на первый взгляд трудно понять, как возникло вращение галак-
галактик. Простейшее объяснение наблюдаемого в настоящее время вра-
вращения заключается в предположении об изначальном вращении
элементов среды, имевшем место на РД-стадии. Так формулируется
гипотеза турбулентной Вселенной и первичных фотонных вихрей,
которая противопоставляется теории потенциальных возмущений.
Современная теория турбулентности используется для получения
более детальных закономерностей корреляции момента вращения и
массы галактики и т. п.
Однако происхождение вращения галактик можно объяснить
и в рамках потенциальной теории. В момент формирования галактик
из вещества, которое было почти однородным, будущие галактики
сильнейшим образом взаимодействуют и закон сохранения момента
к ним неприменим. Отнюдь не исключено, что вращение возникло са-
самопроизвольно, спонтанно, в ходе развития возмущений, которые
первично были потенциальными, безвихревыми; в частности, это
возможно при сжатии вещества ударными волнами, возникшими из
таких возмущений (речь идет о локальном вращении).
Острота дискуссии между сторонниками потенциальной и вихре-
вихревой теорий, дискуссии, не законченной в настоящее время, связана
с двумя трудностями вихревой теории. Первая из них заключается
в том, что из вихревой теории следует, по-видимому, слишком ран-
раннее обособление галактик из расширяющегося вещества, обособле-
обособление в момент, когда средняя плотность материи во Вселенной была
еще довольно высока — около 10~23—10~26 г/см3. Это приводит к
некоторым свойствам галактик, трудно согласуемым с наблюдения-
наблюдениями. В частности, велики ожидаемые возмущения реликтового радио-
радиоизлучения. Вторая проблема связана с тем, что предположение о су-
существовании первичных вихревых движений требует изменения са-
самого характера начала космологического расширения. Даже скром-
скромные дозвуковые вихревые движения требуют разрыва с теорией изо-
изотропного расширения, с теорией слабовозмущенного однородного
мира. Согласно этой теории, по крайней мере первые 106 сек расшире-
расширения мира не описывались однородной изотропной моделью. Признав
вихревую теорию, придется отказаться и от теории химического со-
состава дозвездного вещества, ибо синтез элементов проходил в пер-
первые 100 сек расширения.
Наконец, нельзя не упомянуть еще одну точку зрения на проис-
происхождение галактик. Согласно этой концепции, галактики образуются
не из разреженного расширяющегося газа путем гравитационной кон-
конденсации малых неоднородностей, а путем взрывов из сверхплотных

24 ВВЕДЕНИЕ
тел. Достоинством такой точки зрения является ее непосредст-
непосредственная связь с мощными взрывами, наблюдаемыми в настоящее вре-
время в мире галактик. Однако трудности такой концепции чрезвычайно
велики. Не останавливаясь в кратком обзоре на этих трудностях,
упомянем только, что сторонникам этой теории приходится говорить
о нарушении в этих догалактических телах фундаментальных зако-
законов физики, например таких, как закон сохранения углового момен-
момента или даже закон сохранения энергии. Мы не думаем, что решение
проблемы образования галактик лежит на пути отказа от основ со-
современной физики.
Выше нами обрисована в общих чертах картина «горячей» рас-
расширяющейся Вселенной от первых секунд расширения до образова-
образования галактик. Затронутые проблемы подводят нас к задаче огромной
важности, к вопросу о самом начале космологического расширения.
С чего началось расширение? Как расширялся мир в самом начале?
Была ли бесконечной плотность материи в начале расширения?
Что было до начала наблюдаемого расширения?
Может быть, самые ранние стадии расширения Вселенной (на-
(например, еще до процесса синтеза химических элементов, т. е. до
К. 1 сек с начала расширения) действительно сильно отличались от
однородной и изотропной модели и характеризовались, например,
резко анизотропным расширением, описываемым анизотропными
космологическими моделями, которые усиленно изучаются в послед-
последнее время. Еще совсем недавно дискутировался вопрос: была ли
действительно сингулярность, бесконечная плотность вещества в
начале расширения? Может быть, сингулярность характерна только
для идеальной однородной изотропной модели, а в общем несиммет-
несимметричном, невырожденном решении сжатие вещества в предыдущую
эпоху сменилось расширением без прохождения через сингуляр-
сингулярность? В настоящее время строго доказано, что сингулярность в ре-
реальной Вселенной в прошлом была, даже если ранние стадии расши-
расширения резко отличались от однородного изотропного расширения.
Мы остановимся подробно на этих проблемах в соответствующих
местах книги. Здесь мы хотим подчеркнуть следующее. Рассмотре-
Рассмотрение различных типов космологических моделей, претендующих на
описание Вселенной вблизи начала космологического расширения,
и рассмотрение конкретных теорий различного типа возмущений на
более поздней стадии подводят нас к фундаментальному вопросу:
можно ли по данным всех возможных сейчас наблюдений, исполь-
используя законы физики, однозначно восстановить прошлое Вселен-
Вселенной, в том числе и самые ранние стадии расширения, саму сингу-
сингулярность и эпоху едо расширения» (если это выражение вообще
имеет смысл)?
В духе термодинамики легко представить себе, что в определен-
определенных условиях широкий класс начальных состояний будет быстро
приводить к одному и тому же равновесному состоянию, которое

ВВЕДЕНИЕ 25
уже в свою очередь послужит начальным состоянием для дальнейшей
эволюции. Тогда начальное состояние «забывается».
На наших глазах возникает новое направление в космологии:
теоретическое исследование ненаблюдаемых ранних стадий. Ставит-
Ставится вопрос о той космологической модели, которая могла бы полу-
получиться из самого широкого класса начальных ранних состояний.
Так, например, оказывается, что целый ряд анизотропных на-
начальных состояний в силу уравнений общей теории относительности
асимптотически приходит в состояние изотропного расширения. Яв-
Является ли это обстоятельство объяснением того, что Вселенная рас-
расширяется изотропно? Может быть, это значит, что из множества «в
принципе возможных» вселенных (кощунственное словосочетание!)
большая часть будет такой, как наша — единственная наблюдаемая
и исследуемая нами.
Но Вселенная одна, и поэтому статистические аргументы кажут-
кажутся неприменимыми. Наряду с вопросом о том, почему Вселенная рас-
расширяется однородно и изотропно, перед космологией стоит и вопрос,
почему энтропия Вселенной велика и Вселенная была в начале рас-
расширения горячей, а также почему малые возмущения таковы, что
привели к образованию галактик в нашу эпоху, а не много раньше
или много позже. Возможно, что новая теоретическая постановка
вопроса возникнет от рассмотрения квантовой космологии.
В заключение еще раз напомним и подчеркнем вопрос о том фун-
фундаменте, на котором строится теоретическая космология,— о фи-
физических законах. Было бы соблазнительно провозгласить необхо-
необходимость новых законов для ноеого (по сравнению с лабораторными)
масштаба Вселенной, подобно тому как новые квантовые законы еоз-
никли в микромире. Однако такая аналогия представляется поверх-
поверхностной и упрощенной.
Микромир сигнализировал о недостаточности классической тео-
теории за 50 лет до ее создания. В космологии до сих пор мы не сталки-
сталкиваемся с каким-либо неразрешимым противоречием теории и опыта
или внутренними логическими трудностями теории. Более того, тео-
теория расширяющейся Вселенной была создана до фактического от-
открытия удаления галактик, доказавшего расширение Вселенной;
теория же горячей Вселенной была создана задолго до открытия
реликтового излучения, подтвердившего эту теорию. Это говорит о
правильности наших теорий, об их применимости к масштабам Все-
Вселенной. Нужно только подчеркнуть, что речь идет не об исключении
нового: необычайное и принципиальное новое, никогда не наблю-
наблюденное в лаборатории, возникает в космологии как результат при-
применения существующей теории.
Общая теория относительности приводит к принципиально новой
ситуации в релятивистском коллапсе. Новые явления возникают при
комбинации квантовой теории материи с теорией тяготения. Неод-
Неоднократно выдвигались теории рождения частиц, повсеместного и

26 ВВЕДЕНИЕ
всегда происходящего в разреженном пространстве в нарушение
лабораторных законов физики. Это направление можно уважать как
поэтическое предвидение, но не как научное предсказание. Такие
теории непрерывного рождения вещества опровергнуты наблюдения-
наблюдениями. Между тем в эволюционной космологии есть период — окрест-
окрестности сингулярности, когда частицы рождаются в гравитационном
поле огромной напряженности. При этом оказывается, что интенсив-
интенсивное рождение частиц происходит лишь при анизотропном расшире-
расширении,— факт отнюдь не очевидный. Наконец, новые явления в тот
же период, возможно, возникнут при учете квантования самих
уравнений эволюции метрики Вселенной. Это — возможное новое
развитие теории в применении к условиям, совершенно неизвестным
современной физике. Таким образом: 1) основные положения со-
современной физики, основанные на точнейших опытах и логической
замкнутости; 2) развитие их в принципиальных новых условиях в
самой сингулярности и 3) наблюдательные данные, полученные с по-
помощью как наземных инструментов, так и с помощью космических
аппаратов,— вот тот фундамент, на котором основывается или долж-
должна быть основана современная космология.
В заключение мы считаем необходимым сделать замечание
исторического характера. Общеизвестно, что теория эволюциони-
эволюционирующей Вселенной была создана в 1922—1924 гг. А. А. Фридма-
Фридманом. Однако в зарубежной литературе иногда высказывается
точка зрения, что только Леметр A927) независимо обосновал
формулы расширяющейся космологической модели, связал их с
открытым Хабблом разбеганием галактик и что Леметра следу-
следует считать отцом теории расширяющейся Вселенной, а саму
космологическую модель следует называть моделью Леметра.
Не умаляя научных заслуг Леметра, мы решительно не сог-
согласны с такой точкой зрения. Все основные формулы теории
однородной изотропной Вселенной имеются в работах Фридмана.
Эти работы были опубликованы на русском и немецком языках
и не остались незамеченными. Эйнштейн сначала не согласился
с результатами советского математика, но после переданных ему
разъяснений Фридмана полностью их признал. В дальнейшем
Эйнштейн в 1931 г., говоря о теории расширяющейся Вселен-
Вселенной, ссылался на Фридмана: «Первым... на этот путь вступил
Фридман.» [Эйнштейн A966)]*).
Теория однородной изотропной Вселенной по праву носит имя
Фридмана.
*) Здесь и в дальнейшем мы ссылаемся на «Собрание научных трудов»
А. Эйнштейна, вышедшее в издательстве «Наука».

РАЗДЕЛ I
РАСШИРЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЯ ОДНОРОДНОЙ
ИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
О О О
ГЛ А В А 1
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ
КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
§ 1. Локальный закон распределения скорости
Будем рассматривать однородную и изотропную космологиче-
космологическую модель. Однородной изотропной космологической моделью на-
называется идеализированная картина Вселенной, в которой: а) оди-
одинаковы все наблюдаемые величины в различных точках простракста
в один и тот же (но любой) момент времени (свойство однородн; сги)
и б) в любой точке пространства, в любой момент времени равноцен-
равноценны все направления (свойство изотропии). Ниже мы покажем, что
если в некоторый момент распределение и движение материи одно-
однородно и изотропно, то это свойство сохранится и в течение всей эво-
эволюции. Кроме того, из свойства однородности следует, что достаточ-
достаточно проследить судьбу одного элемента объема вещества, ибо судьба
всех остальных в точности такая же. Очень важным оказывается для
анализа эволюции то обстоятельство, что в данной модели можно вос-
воспользоваться ньютоновской теорией тяготения. Почему это оказы-
оказывается возможным? Дело втом, что рассматриваемая однородная изо-
изотропная модель является частным случаем сферически-симметричной
модели, причем за центр можно выбрать любую точку. Хорошо из-
известно, что в классической ньютоновской теории тяготения сфериче-
сферически-симметричное распределение вещества не создает гравитацион-
гравитационного поля внутри сферической полости. В действительности это ут-
утверждение справедливо также и в общей теории относительности
(ОТО), если Вселенная однородна и расширяется изотропно. Оба
утверждения подробно рассмотрены в нашей книге «Теория тяготе-
тяготения и эволюция звезд» (ТТ и ЭЗ). Таким образом, если мы выделим
достаточно малый шар радиуса Ro, то поле тяготения, создаваемое
его массой, будет слабым (внешние массы несущественны, ибо они
не создают поля внутри полости), скорости относительных движений
в этом шаре также малы, и можно пользоваться ньютоновской
теорией. В однородной и изотропной модели, которая отлично

28 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГ ИЧ ЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
описывает нашу Вселенную, ОТО используется для строгого дока-
доказательства того, что она не является необходимой для решения ло-
локальных проблем в космологии.
Мы воспользуемся этим фактом и будем использовать привычную
ньютоновскую теорию для вывода формул эволюции модели [Милн
A934, 1935), Мак-Кри, Милн A934), Зельдович A963), Каллан,
Дикке и Пиблс A955)]. Разумеется, когда мы от локальных свойств
перейдем к изучению геометрии больших областей, необходимо
будет вернуться к ОТО.
Итак, мы пользуемся в малой области ньютоновской теорией, ло-
локально являющейся точной. Разумеется, те же формулы можно было
бы получить прямо из уравнений ОТО. Мы это сделаем в § 1 следую-
следующей главы. Однако смысл формул при таком способе вывода был бы
не столь очевиден.
Движение вещества будем рассматривать в системе координат,
выбранной так, что в начале координат @) вещество покоится.
В этой системе координат вещество, находящееся на некотором рас-
расстоянии от начала координат, движется. Пусть скорость движения
положительна, т. е. направлена от начала координат, и пропорцио-
пропорциональна расстоянию. В векторной форме такой закон распределения
скорости записывается в виде
и = Иг, A.1.1)
причем постоянная #>0 называется, как уже говорилось во введе-
введении, постоянной Хаббла. Название «постоянная» указывает на
независимость Н от величины и направления вектора г. Однако Н за-
зависит от времени, эта зависимость будет подробно рассмотрена в § 2.
Очевидно, что указанное распределение скоростей изотропно: для
наблюдателя, находящегося в начале координат, никакое направле-
направление не является выделенным. В произвольной точке А, радиус-
вектор которой гА, вещество движется со скоростью ид и, казалось
бы, изотропия нарушается.
Перейдем в систему координат с началом в точке А, движущейся
со скоростью иА, т. е. произведем перенос начала координат и гали-
леев переход к движущейся системе. Величины, измеренные в новой
системе, отметим штрихом. Очевидно, г'=г—гд. Тогда
и' = и—иА=Нг—НгА=Н (г—гА)=Иг'. A.1.2)
Следовательно, в новой системе имеет место тот же закон распреде-
распределения скоростей и' в зависимости от г', что и в старой для зависи-
зависимости и от г. Распределение скоростей A.1.1) замечательно именно
тем, что оно не выделяет никакой особой точки. Только такое рас-
распределение скоростей изотропно и однородно. Наблюдатель, движу-
движущийся вместе с веществом, в любой точке видит картину удаления
от него всех окружающих его частиц.

g I] ЛОКАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ 29
Закон расширения A.1.1) приводит к следующей картине ло-
локального расширения: расстояние между любой парой материаль-
материальных точек А и В изменяется со временем по закону —^- = НгАВ,
откуда
\ A.1.3)
Рассмотрим закон изменения плотности. Возьмем шар, содержа-
содержащий определенную массу М; радиус его обозначим R=R (t). Плот-
ность вещества p = Mj-^- R3, откуда
dp ЗМ dR
dt~~4ni df
3 Н
dR *
Подставим в последнюю формулу ~7r = u = ^R'-> получим
$=-3РЯ. A.1.4)
То же уравнение более формально можно получить из уравнения
неразрывности
Предположим, что р не зависит от координат, т. е. р=р (t); тогда
div (pM) = pdiv«, div и = div (Hr) = 3#,
отсюда снова
% A.1.4a)
Итак, -Цт не зависит от координат. Следовательно, если в ка-
какой-то момент р не зависело от координат, то при законе расширения
A.1.1) во все последующие моменты р также не зависит от коорди-
координат *), хотя и меняется с течением времени, р=р (/).
Таким образом, однородность, заданная в начальный момент, со-
сохраняется всегда.
Тот же результат следует и для свойств распределения скорости.
В системе покоя центра шара u—Hr. Найдем закон изменения ско-
скорости. Ускорение в данной точке г внутри шара зависит от тяготения
той массы, которая находится внутри соответствующей сферы радиу-
*) В частности, по этой причине -£ = 4-.
dt at

30 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
сом г= \г\. Обозначим эту массу т, где т= -g- prs. Ускорение g по
величине равно -^ = -^-Gpr и направлено к центру, так что в век-
векторной форме
Следовательно, u(t+Ai)=u(t)+Atg, и поскольку u(t)~r и g~r,
то и в любой последующий и предыдущий момент времени и~г,
скорость изотропна, т. е. всегда и=Нг, хотя величина Н и зависит
от времени.
В заключение подчеркнем, что все сказанное применимо для опи-
описания вещества и при наличии давления. Действительно, в силу од-
однородности нет градиента давления, нет никакой силы, связанной с
давлением и влияющей на движение. Все приведенные выше рас-
рассуждения остаются в силе. Правда, необходимо тут же оговориться,
что существует релятивистский эффект, связанный с тем, что давле-
давление создает добавочную силу тяготения-. Этот эффект существен
лишь в случае, когда уравнение состояния вещества релятивистское
и давление порядка плотности энергии: Р~е. Мы остановимся на
этом эффекте далее, в § 5. В последующих параграфах (§§ 2—4)
мы предполагаем, что давление много меньше плотности энергии:
Р<^рс2. Этому условию, например, заведомо удовлетворяет совокуп-
совокупность галактик.
§ 2. Закон эволюции. Критическая плотность
Рассмотрим шар радиуса R, содержащий массу М, и найдем уско-
ускорение частицы, находящейся на поверхности шара. На частицу дей-
действует сила притяжения со стороны М:
d*RGM A2П
Подставив сюда ы== -гг = HR и M = -^-pRB, получим
dHR _ dH HdR dH
т. е.
^=-#2-^Gp. A.2.2)
Уравнения A.1.4) и A.2.2) образуют систему, полностью определяю-
определяющую изменение со временем (и для прошлого, и для будущего)
всех локальных свойств Вселенной. Как и следовало ожидать, в эти

f 2] ЗАКОН ЭВОЛЮЦИИ. КРИТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ gl
уравнения не входит радиус R произвольно выделенной массы М
и не входит также сама величина М.
Для того чтобы представить наглядно общий характер расшире-
расширения вещества, удобно, тем не менее, пользоваться величинами
R и М.
Уравнение движения A.2.1) можно один раз проинтегрировать.
dR
Умножая его на —г- получим
2\dt) ТГ~Л- (l-Z-6)
Это уравнение имеет вид закона сохранения энергии: первый член
слева — кинетическая энергия единицы массы, второй член слева
(отрицательный) — ее потенциальная энергия, константа А есть
полная энергия единицы массы на поверхности шара.
Будем считать известными значения Но и р„ в момент t0 и зада-
зададимся некоторым RB; при этом М= -5- Rlp0. Мы знаем также значе-
значение (-зт) _ =HBRB в момент t0. Таким образом, можно определить
вначение константы в правой части A.2.3). Получим
Итак, из A.2.3) следует:
? / ЪИ\
ж) ~ з —R
( • • >
Это уравнение можно проинтегрировать. Решение мы приведем в § 1
гл. 2 (табл. I), но весьма поучительно дать качественный его анализ.
Легко представить себе общий характер решения A.2.4). В на-
настоящее время -тт положительно. Следовательно, в прошлом R было
меньше, а значит, 8jlGPn#o было больше, чем в настоящее время.
3R
Следовательно, в прошлом -тт обязательно было больше, чем в на-
настоящее время, и был момент, когда
Предсказание для будущего зависит от знака скобки
(ЗЯ2\
р0—g-pU Bo втором члене.

32
СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
Обозначим
A.2.5)
а отношение ро/рс — через Q.
Заметим здесь же, что в космологии часто употребляется и другая
величина: qu=Q/2, носящая название параметра ускорения. Это на-
название связано с тем, что, как
Ра>Рс
легко убедиться из A.2.1), A.2.4)
и A.2.5),
A.2.6)
Если p»>Pc, то скобка в A.2.4)
положительна. Значит, по мере
увеличения R будет достигнуто
такое значение, когда вся правая
часть A.2.4) обратится в нуль.
В этот момент расширение прек-
прекратится и сменится сжатием
(рис. 1).
Если ро<Рс, то расширение будет продолжаться неограниченно.
В пределе при t-^-oo, R->-oo имеем из A.2.4)
Рис. 1. Изменение со временем рассто-
расстояния R между двумя точками, когда
плотность ро больше, чем критическая
плотность [>с: /0— сегодняшний момент
tm и Г, — моменты бесконечной плот-
плотности, tm момент максимального рас-
расширения.
R
Ра<Рс
§ = /xG/?»^-p«) = const-
Соответствующая кривая показана
на рис. 2. Как уже отмечалось, рас-
расстояние между любой парой объектов
меняется пропорционально R, т. е.
проходит через максимум в случае
рис. 1 и неограниченно увеличивает-
Рис. 2. Изменение со временем ся в случае рис. 2. В первом случае
расстояния между двумя точка- (ро>рс, рис. 1) постоянная Хаббла
ми, когда плотность р„ меньше, уменьшается от Я„ при /=/0доЯ=0
чем критическая плотность рс. при /=^ и //=—оо при /=/„. Во
втором случае (ро<рс, Р"с. 2) Н
уменьшается, оставаясь всегда положительной величиной, при
tf-^oo, ~ =b, R=bt, H=-r (асимптотически точно, без какого-либо
численного коэффициента).
Какой случай в действительности имеет место: ро>рс или
Ро<Рс?
Для ответа надо, очевидно, знать значения р0 и Яо для настоящего
момента.

§ 3] ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ РАСШИРЕНИЯ 33
Подробно мы рассмотрим современное состояние вопроса об опре-
определении ро и Но из наблюдений в § 9 гл. 3. Здесь же только коротко
укажем, что наиболее вероятное значение постоянной Хаббла Яо
лежит в интервале 75—50 км/сек-Мпс. Соответствующее значение
критической плотности рс=10~28—5-Ю0 г/см3. Достаточно на-
надежно установлено, что средняя плотность материи во Вселенной р0
не меньше чем ро=3-10~31 г/см3. Эта величина р0 определяется массой
материи, входящей в галактики, и не учитывает массы межгалакти-
межгалактического вещества. Если между галактиками нет значительной плот-
плотности материи, то ро<рс и в действительности осуществляется
случай рис. 2.
Не исключено, однако, что на самом деле плотность вещества
больше — в частности, за счет межгалактического ионизованного
водорода или других труднонаблюдаемых видов материи (подробнее
см. гл. 7, 8, 16).
В заключение параграфа сделаем следующую важную оговорку.
Мы рассматривали эволюцию элемента объема вещества Вселенной
под действием сил тяготения. При этом предполагалось, что космо-
космологическая постоянная Л в уравнении тяготения равна нулю. О кос-
космологической постоянной, ее смысле и возможности ее отличия от
нуля говорится в §§ 1, 2 гл. 4. Отличие Л от нуля может повлиять
на поздние стадии расширения мира. Однако в настоящее время нет
ни теоретических, ни сколько-нибудь убедительных наблюдательных
данных в пользу отличия Л от нуля. Поэтому мы будем считать
Л^О на протяжении всей книги, исключая §§ 1, 2 гл. 4, где подробно
разбираются те следствия, которые получаются при Л, отличной от
нуля.
§ 3. Продолжительность расширения
Найдем момент /„ в прошлом, когда R=0, т. е. когда плотность
вещества была бесконечной. Если бы скорость расширения была по-
постоянной и равной современному значению, то можно было бы на-
написать:
(^),o('o-U=tf0/?0(/0-U. A.3.1)
Для «возраста» Т однородной модели Вселенной, т. е. для времени,
протекшего от tm до настоящего момента /0, мы получили бы (при
#О=75 км/сек-Мпс)
T = tB—/O0=7j-=4.1017ce/c^l010 лет.
"о
Как видно из уравнения A.2.3) и рис. 1 и 2, в прошлом — было
больше, чем в настоящее время. В действительности, как нетрудно
^ Я. В. Зельдович. И. Д. Новиков

34 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
получить из формул предыдущего параграфа (см. A.2.4)),
где мы обозначили Q=po/pc. Аналитический вид функции f (Q)
приведен в приложении к данному па-
параграфу. График f (Q) дан на рис. 3 *).
to
0,8
ав
ОА
6 8
=£s
Рис. 3. Безразмерный возраст
мира (отнесенный к обратной
константе Хаббла \1Й) как
функция безразмерной.,"плот-
безразмерной.,"плотности, отнесенной к крити-
критической плотности. Сплошная
линия — мир, заполненный
материей с уравнением состо-
состояния Р=*0; пунктирная —
мир, заполненный веществом
с Р/3
ПРИЛОЖЕНИЕ К § 3
Сокращение времени эволюции по срав-
сравнению с равномерным расширением вещества
зависит от плотности. Характеризующая эту
зависимость функция / находится решением
уравнения A.2.4). Функция / такова, что
/<1, причем при рл=»0, Q = 0 f@)**\. В
общем случае, при произвольном Q, функция
/ дается формулами, которые имеют различ-
различный вид при Q > 1 и при Q < 1. В первом
случае
arc sin
О
При этом легко проверить, чт£ при Q
/ —^ */3; при Q ^> 1 / —* п/2 fQ, т«с что /
при Q—»-оо. При малой плотности, т. е. при
О< 1.
1 (l-Q)V. L
arsh
A.3.п2)
Эта формула, естественно, также дает в пределе Q—>■ 1 /—*-2/8, так что
/A) не зависит от того, с какой стороны мы подходим к Q=l; / не терпит
раэрыйа или излома, несмотря на различный аналитический вид A.3.In)
и A.3.2п). При Q<1 (см. ниже A.4.8))
/=1—§-ln-i-, A.3.пЗ)
т. е. f—»• 1 при Q—».О.
В случае Q > 1 представляет интерес время достижения максимума плот-
плотности tm—10, а также время до полного сжатия <»—10 (см. рис. 1). Из ре-
решения уравнения A.2.4) можно показать, что
*) Пунктиром показана кривая для случая, когда главную часть вещества
соаавляют кванты и нейтрино; см. § 7.

ДВА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯ. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ
35
где
(Й-II''
Q
— arcsin
A.3.п6)
Функция /m изображена на рис. 4. Плотность вещества проходит через мак.
симум и затем обращается в бесконечность лишь в случае Q > 1. Соответст.
веиио и формулы A.3.5п) и A.3.6п)
определены лишь для Q > 1: при й,
приближающемся к единице, fm и V
уходят в бесконечность пропорци-
пропорционально 1/(Q —l)v>.
§ 4. Два частных решения.
Начальная стадия
Частное решение уравнения
A.2.4) в случае ро=рс (£2=1)
имеет особенно простую форму.
Уравнение A.2.4) в этом случае
приобретает вид (напомним, что
мы обозначили pc=3A/|S/8nG)
г-
1 ■
Рис. 4.
3 4
В 7 8 S
dt)
Безразмерное время, необхо-
необходимое для достижения максимума ра-
радиуса, как функция плотности. Сплош-
Сплошная линия — Р=0, пунктирная —
Р=е/3.
J
R
Решение этого уравнения с учетом A.2.5) дает
t-t -!-L
и из A.1.4) получаем
8-10»
A.4.1)
A.4.2)
A.4.3)
где время дано в сек, плотность — в г/см3. В уравнении A.2.4) при
Ро=рс исчезает второй член. Но при любом ро^Рс в настоящее время
надо иметь в виду, что в прошлом, вблизи tm, был период, для кото-
которого /? было достаточно мало и, следовательно, можно было пренеб-
пренебречь константой — вторым членом в A.2.4) — по сравнению с пер-
первым членом, пропорциональным 1/R. Поэтому выражение плотности
A-4.3) является универсальным для начальной стадии, независимо
от сегодняшнего отношения ро/рс.
Второе частное решение — случай исчезающе малой плотности,
^ В этом случае, пренебрегая в A.2.4) членами с р0, получим
, = const.
A.4.4)

36 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Решением этого уравнения будет
(*—*,).
В этом приближении
77" 1
"о
[ГЛ. 1
A.4.5)
A.4.6)
и для плотности найдем *)
A.4.7)
Сравним плотность в прошлом, т. е. р (t) при t<t0, с критической
плотностью в прошлом Pc(t), т. е. с
Р3Рс
величиной **)
*«>-^-
Р<Рч
Рис. 5. Расширение при плотно-
плотности меньше критической. Левее
пунктирной линии — интервал
времени, когда плотность близка
к критической; с течением вре-
времени в ходе расширения плот-
плотность становится много меньше
критической, в будущем p<^pt.
1
При малых t—t^-^to—t^ плотность
р (t) растет быстрее, чем p'c(t). Поэтому
при любом малом (но конечном) се-
сегодняшнем р0 в прошлом был период,
когда плотность была близка к кри-
критической плотности р'с, вычисленной
по мгновенному значению #=#(<).
В целом решение уравнения A.2.4) и
соответствующего уравнения для плот-
плотности A.1.4) для случая ро<рс (Й<1)
состоит из двух частей (см. рис. 5):
2Q
^. t—tm<:
при
2Q
а <„ в этом случае дается выражением [см. A.3.п.З)]
A.4.8а)
A.4.86)
A.4.9)
*) Еще раз напомним, что мы пренебрегаем давлением вещества. Вблизи
сингулярности (р=оо) этого делать нельзя. О влиянии давления на закон расши-
расширения см. §§ 5—8 этой главы.
•*) Еще раз подчеркнем, что под рс мы везде понимаем сегодняшнее значение,
вычисленное по Но в момент t=te; величина p'f(f) есть критическая плотность
о момент t.

$ Б] ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА ЗАКОН РАСШИРЕНИЯ 37
Напомним, что в A.4.8) и A.4.9) под рс подразумевается величина,
вычисленная по формуле A.2.5) по сегодняшнему значению постоян-
постоянной Хаббла, Я0=Я (tB), соответственно и Q=po/pc=8nGpo/3^
вычислено по сегодняшним Но и р0.
§ 5. Влияние давления на закон расширения. Качественные
соображения
В предыдущих параграфах рассматривалось движение вещества,
давлением которого можно было пренебречь. Таким веществом яв-
является, например, газ при невысокой температуре или пыль, равно-
равномерно распределенная в пространстве. Совокупность галактик также
можно рассматривать как «пыль». Однако, как мы увидим дальше,
на более ранней стадии расширения Вселенной основную долю плот-
плотности массы составляли фотоны, нейтрино (и гипотетические грави-
гравитоны), т. е. частицы, движущиеся со скоростью света.
Для всякого вещества плотность р (г/см3) связана с плотностью
энергии е (эрг/см3) релятивистским соотношением
р = е/с2. A.5.1.)
Если для «обычного вещества» давлением можно пренебречь по
сравнению с е, то для нейтрино, фотонов и гравитонов давление срав-
сравнимо с е:
Р=е/3=(рс2)/3. A.5.2)
Влияние давления на закон расширения Вселенной интересно
в связи с началом эволюции. В настоящее время имеется некоторая
плотность нейтрино и фотонов, которые существовали с начала рас-
расширения (подробнее см. раздел III). Как мы сейчас покажем, из
факта существования таких фотонов и нейтрино (хотя и малой плот-
плотности по сравнению с плотностью обычного вещества) следует, что в
прошлом, на ранних этапах расширения, плотность нейтрино и кван-
квантов была заведомо значительно больше плотности обычного вещества,
а значит, необходимо учитывать давление *). В самом деле, рассмот-
*) Однако и в том случае, если плотность нейтрино, фотонов и гравитонов
была бы пренебрежимо мала, а температура равна нулю, учет давления все равно
был бы необходим в начале эволюции, когда плотность барионов была весьма
велика (от р—оо до плотности атомных ядер порядка pwlO-14 г/см3). При такой
высокой плотности (подробно см. ТТ и ЭЗ) даже обычное вещество, состоящее из
нейтронов, протонов и электронов, имеет давление порядка е=р<;2. Высокое дав-
давление при большой плотности обусловлено двумя причинами. Нейтроны, протоны
и электроны подчиняются статистике Ферми; поэтому при большой плотности
их средняя скорость даже при равной нулю температуре приближается к скорости
света. Следовательно, без учета взаимодействия давление асимптотически прибли-
приближается к Р=е/3, оставаясь меньше этой величины. Кроме того, отталкивание
fttiHOB на °^лизком расстоянии в принципе может привести к Р—е. В горя-
горячей Вселенной роль давления существенна при плотности р~1О~го «/ел8 и

38 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
рим некий объем, содержащий определенное количество обычного
вещества и определенную плотность энергии нейтрино и фотонов.
В ходе расширения плотность обычного вещества уменьшается об-
обратно пропорционально увеличению объема V'1, т. е. как R~3.
Между тем плотность энергии нейтрино и фотонов убывает быстрее,
как V~*/«, т. е. R~*, как раз вследствие того, что нейтрино и фотоны
имеют давление и при расширении совершают работу d (eV)=
=—Р dV. Это закон адиабатического расширения газа. При этом
температура и энергия нейтрино и квантов меняются, как у-'/«=
=R~X. Если в релятивистском газе пренебречь столкновениями, то
это не меняет выводов. Кванты и нейтрино летят теперь по прямой,
из одного места приходят в другое, к удаляющемуся веществу, а
значит, по отношению к этому веществу уменьшают энергию —
испытывают красное смещение («охлаждаются») (см. ниже, гл. 3,
§ 1). Формальный расчет, исходящий из кинетического уравнения
для свободно летящих фотонов, дан в § 11 гл. 3. Итак, для реляти-
релятивистского газа р~е~Р~ V~*/«, в то время как для обычного вещест-
вещества p^e^V, следовательно, вблизи начала расширения плотность
в основном обусловливалась релятивистским газом и давление было
порядка плотности энергии.
Обратимся к закону расширения в модели однородной Вселен-
Вселенной, заполненной релятивистским газом. Можно ли говорить о том,
что высокое давление является причиной расширения Вселенной,
что сильно сжатое вещество расширяется по той же причине, по ко-
которой разлетаются газы высокого давления, образующиеся при дето-
детонации заряда взрывчатого вещества? Нет, такая точка зрения со-
совершенно неправильна. Качественное различие заключается в том,
что заряд взрывчатого вещества окружен воздухом при атмосферном
давлении. Расширение вызывается разностью между колоссальным
давлением газов (продуктов взрыва) и сравнительно слабым давле-
давлением окружающего их воздуха. Но когда мы рассматриваем давление
в однородной Вселенной, то предполагается, что давление распре-
распределено строго однородно! Следовательно, между различными части-
частицами в один и тот же момент нет разности давления, следовательно,
нет и силы, которая могла бы повлиять на расширение и тем более
быть причиной расширения. Сам факт расширения в существующей
теории есть результат начального распределения скоростей. Причи-
Причина этого начального распределения пока неизвестна. Влияние дав-
давления на закон расширения представляет собой более тонкий реляти-
релятивистский эффект, и притом, как будет показано ниже (см. §6 гл. 1),
эффект другого знака — не ускоряющий, а замедляющий расши-
расширение.
Этот релятивистский эффект связан с двумя обстоятельствами.
Первое из них описано выше и заключается в том, что при наличии
давления изменение объема, занятого определенной совокупностью
частиц, сопровождается изменением энергии, заключенной в этом

§ 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С УЧЕТОМ ДАВЛЕНИЯ 39
объеме: при расширении вещество совершает работу и энергия его
уменьшается *).
Плотность для релятивистского газа, как уже было сказано,
пропорциональна #~4 (а не #~а, как было для пыли1). Поэтому
масса рассматриваемого нами расширяющегося шара в случае реля-
релятивистского газа не постоянна, в более ранние моменты она была
больше. Второе обстоятельство связано с тем, что в ОТО гравитаци-
гравитационное поле создается не только плотностью массы, но и всеми
другими компонентами тензора энергии-импульса Tf. В случае ре-
релятивистского газа компоненты Tf, описывающие давление (Г|=
=Г|=Г|=—Р), того же порядка, что и плотность энергии Г£ =е,
ибо е=Р/3. Поэтому давление равноправно с р участвует в создании
гравитационного поля, и гравитационное ускорение, создаваемое
элементом массы релятивистского газа, вдвое больше, чем создавае-
создаваемое элементом массы с той же плотностью, но без давления.
Формулы, описывающие этот эффект, естественно, могут быть по-
последовательно выведены только в рамках ОТО, так как эффект —
релятивистский. Однако еще до вывода формул мы в следующем па-
параграфе воспользуемся простым и ясным соотношением, следующим
из ОТО, которое будет выведено позже (см. § 1 гл. 2), с тем, чтобы
количественно рассмотреть влияние давления на закон расширения.
§ 6. Уравнения движения с учетом давления
С учетом давления, как показал Толмен A930) [см. Паули A958),
Уиттакер A955), ТТ и ЭЗ], ускорение притяжения**) в ОТО для
покоящегося вещества равно
g = —3№[Р+-с^) = — -з7Г#(е + ЗР). A.6.1)
Мы рассматриваем шар небольшого радиуса, скорости расширения в
нем малы по сравнению с с, и выражение A.6.1) остается справедли-
справедливым, хотя скорости и не в точности равны нулю.
Мак-Кри A951) использовал приведенное выражение для того,
чтобы, пользуясь только ньютоновской механикой и теорией тяготе-
о р
ния (с заменой р на р-\—j-), получить закон изменения плотности
и расстояний при давлении, сравнимом с плотностью энергии. Ниже
воспроизведены его результаты. Рассмотрим снова шар радиуса R,
внутри которого (так же как и вовне) все величины постоянны. Урав-
Уравнение движения имеет вид [см. A.6.1)]
ча *) В плотность энергии включается и энергия, соответствующая массе покоя
**) Измеренное локальным наблюдателем по его времени.

40 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
Мы выведем это уравнение в ОТО в § 1 гл. 2. Здесь мы применим его
к анализу космологической проблемы. Общее число сохраняющихся
частиц (нуклонов) внутри данного шара постоянно. Поэтому плот-
плотность сохраняющихся частиц
зависит от радиуса, как и прежде.
Однако зависимость плотности энергии от радиуса сложнее.
Она удовлетворяет уравнению
dE = d Hr#3e ) = — PdV = — PAnR^dR. A.6.4)
Замечательно, что совокупность уравнений A.6.2) и A.6.4) до-
допускает интеграл движения очень простого и наглядного вида, по-
похожий на A.2.3).
Умножим A.6.2) на -g- :
d?R dR I d /dR\2 G/4л „ dR . r)r>dR\
~Ш2Ж = ~2'Ш\Ш') =~!?\!fI<E~dT~T~ * It )'
Пользуясь A.6.4), преобразуем выражение в скобках *):
4л r,dR , . nr,dR 4л d
dt dt 3 dt
Окончательно получим
„ 1 /4л „„
/1 с сч
A.6.5)
Таким образом, при учете связи между давлением и энергией ока-
оказывается, что в выражение A.6.5), в член, описывающий тяготение
(пропорциональный G), входит р=е/с2, тогда как в выражение для
ЗР 8-4-ЗР
ускорения A.6.2) входит р + -,-= -^— Для определения констан-
С С
ты в правой части A.6.5) нужно подставить значения величин в на-
dR
стоящий момент, используя равенство -т- =H0R. Результат полу-
получается в точности такой же, как и раньше: знак константы зависит
от соотношения фактической плотности po=e,Jc2 в настоящее время
и критической плотности рс A.2.5).
*) Так как
а I 1 4я п., \ I d [4п п.,\ . 4л d 1

$7] ВРЕМЯ РАСШИРЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДАВЛЕНИЯ 41
Заметим, что если большая часть вещества состоит из частиц,
движущихся со скоростью света (Р=е/3). то при равной плотности
ускорение вдвое больше, чем при Р=0, так как тогда
=5= 2р. A.6.6)
Для справки отметим, что критическая плотность 10~29 г/см3 соот-
соответствует равновесному планковскому излучению с температурой
30°К или ферми-распределению нейтрино (ферми-газ при 0°К)
с граничной энергией 7,5-10~3 эв (при этом их плотность равна 10е
нейтрино в 1 см3).
Данные о фактической плотности электромагнитного излучения
и нейтрино во Вселенной будут рассмотрены позже.
§ 7. Время расширения при наличии давления *
Предположим, что плотность нейтрино и квантов значительно
больше плотности обычного вещества. Тогда легко проинтегрировать
уравнение A.6.5), полагая Р=е/3. Результат интегрирования дан
в конце § 1 гл. 2 (табл. I). Приведем результаты для возраста Все-
Вселенной:
выражение справедливо как при Q>1, так и при £2<1.
Функция f=(l+\fQ)~x, относящаяся к случаю Р=е/3, нанесена
пунктиром на рис. 3.
Этот результат дает возможность получить грубую, но надежную
оценку верхней границы возможной плотности нейтрино [Перес
A960); Понтекорво и Смородинский A961); Вайнберг A962); Зельдо-
Зельдович и Смородинский A961)].
В самом деле, так как возраст Земли, Солнечной системы и хи-
химических элементов порядка D—5)-109 лет, то следует считать, что
^о—С во всяком случае больше этой величины. Подставляя
jf «dO10 лет, получим отсюда Q<4, т. е. pv<8-10~29 г/см3. Эта идея
оценки плотности вещества применима в равной степени для нереля-
нерелятивистских частиц с массой покоя тфО, для невидимых коллапсиро-
вавших звезд или галактик, для гравитационных волн, нейтрино
или других слабовзаимодействующих частиц с нулевой массой по-
покоя. Для нейтрино в тепловом равновесии получаем 7\<50°К.
Если предположить, что нейтрино распределены по закону Ферми,
их энергия будет меньше 0,01 эв. Такие нейтрино невозможно обна-
обнаружить современными ядерно-физическими методами, тогда как

42 СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 1
гравитационное действие этих нейтрино в космическом масштабе
оказывается более чувствительным детектором *).
По существу, в цитированных работах осуществлена идея, вы-
высказанная еще Эйнштейном A966): любые формы материи и энергии
могут быть обнаружены по их гравитационному действию, незави-
независимо от специфических свойств рассматриваемых видов материи.
Выпишем также формулы, относящиеся к будущему модели Все-
Вселенной, заполненной нейтрино или квантами (хотя этот случай и не
реализуется в действительности).
При й<1 будет иметь место неограниченное расширение. При
1 расширение сменится сжатием через время (см. рис. 4)
и это сжатие закончится достижением бесконечной плотности через
время
§ 8. Начальная стадия при наличии давления
С учетом закона адиабатического сжатия нейтрино и фотонов
e~V~1/',t. е. е=Л//?*, где k — константа, получим уравнения из-
изменения радиуса шара, содержащего данное количество сохраняю-
сохраняющихся частиц:
?К ^i^#3±2i A.8
dt* ~ /?2 3 П с2 R* '
В начале эволюции, вблизи момента tm, когда плотность была
бесконечна, а /?->-0, можно пренебречь константой во втором урав-
уравнении. Решение имеет вид
Зе2
4,510s M ft
*) Можно указать еще более чувствительный детектор. В гл. 7 будет пока-
показано, что влияние тяготения частиц с нулевой массой покоя на расширение Все-
Вселенной в первые секунды сильно меняет реакции синтеза химических элементов.
Это влияние при некоторых естественных предположениях (хотя и не столь бес-
бесспорных, как аргументы в тексте) после сравнения с наблюдениями приводит
к еще гораздо более жесткому ограничению: р(Я=0<Ю-32е/сж3 на сегодняшний
день (подробнее см. гл. 7).

5 8] НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДАВЛЕНИЯ 43
Выражение плотности отличается только численным множителем
(~0,5) от выражения плотности в случае Р=0. При этом, однако,
плотность сохраняющихся частиц
п = Е5Р? = const- (t—t*)-'': A.8.4)
В отличие от численного множителя в A.8.3), постоянная в A.8.4)
не определяется фундаментальными константами, а является сво-
свободным параметром, характеризующим энтропию Вселенной (см.
об этом раздел III).
При t—£„, стремящемся к нулю, п растет слабее, чем р, отноше-
отношение п/р->-0.
Заметим, что плотность нейтрино и квантов, т. е. число частиц
в единице объема, в этом решении также ~R3~(t—C)~a/l- Но тем-
температура и средняя энергия одного кванта и средняя энергия одного
нейтрино пропорциональны l/\^t—t^. Отсюда и получается, что
массовая плотность (г/см3), пропорциональная произведению чи-
числа частиц в единице объема на энергию одной частицы, пропорци-
пропорциональна
Рассмотрим, наконец, случай холодного нуклонного газа в пред-
предположении предельно жесткого уравнения состояния, т. е. сильного
отталкивания нуклонов *). В этом случае
р = е = рс2 = Лп2, A.8.5)
где п — концентрация нуклонов (l/см3). Для оценки константы мож-
можно предположить, что зависящая от взаимодействия плотность срав-
сравнивается с плотностью массы покоя po=nmo (m0 — масса нуклона)
при р0 порядка 100ряд, т. е. при р=101в г/см3:
p = nmo = ^f =101в г/см3, A.8.6)
откуда п»1040 см~3 и А=2,5-К)-*3.
Тем же способом, что и выше, найдем при таком уравнении со-
состояния (Р=е)
1 _ 2-10» л ft 71
р~24я0«-<„J "(<-<«,)*• {i.o.i)
При этом R~(t—O~1/$f a плотность нуклонов
2,5-1034 4-1010
Это решение относится (в холодной модели) к периоду не дольше
нескольких микросекунд, т. е. /—t <3'-10~e сек (из условия р>
*) Подробнее о возможности такого уравнения состояния см. ТТ и ЭЗ,
6. §12.

ГЛАВА 2
релятивистская теория однородной изотропной вселенной
§ 1. Уравнения тяготения Эйнштейна
и космологические уравнения Фридмана
В предыдущей главе локальные свойства однородной изотропной
космологической модели были получены в рамках ньютоновской
теории. Разумеется, для последовательного рассмотрения космоло-
космологической проблемы ньютоновской теории недостаточно. Действи-
Действительно, в § 1 гл. 1 нам приходилось предполагать, что в рамках ОТО,
так же как и в классической ньютоновской теории, внутри сфериче-
сферической полости, выделенной во Вселенной, однородное, изотропно
расширяющееся внешнее вещество никакого гравитационного поля
не создает. Для доказательства, разумеется, надо обратиться к ОТО.
Кроме того, уравнения ОТО совершенно необходимы, когда мы от
локальной проблемы переходим к изучению больших областей про-
пространства, в которых собственное тяготение вещества уже не мало и
не мала скорость расширения. Рассмотрение таких областей совер-
совершенно необходимо при анализе распространения света от далеких
галактик, подсчете слабых галактик и т. д. .
Итак, после элементарного разъяснения сути законов расшире-
расширения Вселенной обратимся к последовательному их выводу из урав-
уравнений Эйнштейна. Мы предполагаем, что читатель знаком хотя бы с
элементарными основами ОТО. Для понимания дальнейшего доста-
достаточно сведений об ОТО, изложенных в гл. 1 ТТ и ЭЗ. Непревзой-
Непревзойденным по четкости и экономности остается изложение ОТО в по-
последних главах «Теории поля» Ландау и Лифшица.
Мы будем строить однородную изотропную модель Вселенной,
т. е. модель, в которой все точки равноценны и все направления
эквивалентны, ничем не выделены. В такой модели трехмерное про-
пространство должно быть однородным и изотропным. Конечно, это
трехмерное пространство вовсе не обязано быть евклидовым про-
пространством, так как согласно ОТО геометрические свойства про-
пространства зависят от материи, ее плотности и движения. Это может
быть любое однородное изотропное трехмерное пространство. Из
математики известно, что таким пространством является простран-
пространство постоянной кривизны (не зависящей от направления и от про

j 1] УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФРИДМАНА 45
странственных координат). ХваДрат элемента длины в таком про-
пространстве записывается в виде
}
где k=l, О, —1, величина а — постоянная, имеющая размерность
длины. Если k=0, то мы имеем дело с обычным евклидовым простран-
пространством (иногда его называют «плоским» пространством) и х, у, z —
обычные декартовы координаты. При k—l пространство называют
пространством постоянной положительной кривизны, при k=—1 —
пространством постоянной отрицательной кривизны. Величину а
называют радиусом кривизны пространства, а величину Co^k'a2
(гауссовой) кривизной пространства *). Мы отложим рассмотре-
рассмотрение геометрических свойств этих пространств до следующих пара-
параграфов.
Радиус кривизны а является естественной единицей длины для
измерения расстояний в случае &#=0. Поэтому перейдем к новым без-
безразмерным координатам:
Теперь B.1.1) перепишется в виде
&+#+& 213)
Выражение B.1.3) формально справедливо и для k—0, только в
этом случае а — произвольный масштабный множитель. Для евкли-
евклидова пространства масштаб а ничем не выделен и может быть выбран
произвольно. Рассматривая а как переменную величину (функцию
времени), можно описать деформацию системы отсчета.
Теперь нашей задачей является написать выражение для четы-
четырехмерного интервала**) ds2=gikdxidxk. Пространственную часть
интервала мы уже выписали [см. B.1.3)].
В системе отсчета, в которой трехмерное пространство однородно
и изотропно и метрика которого имеет вид B.1.3), материя не может
двигаться относительно системы отсчета. Действительно, скорость
движения выделяла бы некоторое направление в каждой точке и,
следовательно, нарушала бы изотропию. Таким образом, система
*) Точнее, в математике радиусом кривизны пространства называют Vq,
!• е. если k=—1, то радиус кривизны мнимый. Мы, однако, будем придерживаться
терминологии, приведенной в тексте, поскольку она принята в космологии.
**) Латинские индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3. Индекс «О» относится
к временной координате, греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3. По
Дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

46 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ [ГЛ. 2
отсчета B.1.3) является сопутствующей. Выберем в качестве коор-
координаты времени собственное время каждой частицы. Тогда goo=c2.
Наконец, все компоненты gOa B ds2 должны быть тождественно равны
нулю. В противном случае они составляли бы трехмерный вектор,
также нарушающий изотропию.
Итак, выражение для ds2 может быть записано в виде
B.1.4)
В выражении B.1.4) координаты-х, у, z являются лагранжевыми ко-
координатами частиц материи, так как материя не движется относи-
относительно системы отсчета. Все движение материи описывается дефор-
деформацией самой системы отсчета. Масштабный множитель в выражении
B.1.4) зависит только от времени, а=а (t). Его возрастание с тече-
течением времени описывает расширение системы отсчета, увеличение
всех расстояний в системе отсчета, а значит, и расширение всего ве-
вещества, так как система отсчета является сопутствующей. Напом-
Напомним, что физическое расстояние между любыми близкими частицами
в нашей модели есть dl и, согласно B.1.3), dl пропорционально a (t),
поскольку их, dy, dz постоянны. Из уравнений Эйнштейна нам ос-
остается найти единственную неизвестную функцию a (t).
Уравнения Эйнштейна записываются в следующем виде:
Rt-±R$ = -™rt. B.1.5)
Здесь Ri — тензор Риччи, R — его след; оба они являются функция-
функциями от g!k, их первых и вторых производных, б*— символы Кроне-
кера, Т\ — тензор энергии-импульса материи. В космологии в ка-
качестве материи чаще всего рассматривается газ. Это может быть и
«обычный» газ, и газ, «молекулами» которого являются галактики,
и ультрарелятивистский газ фотонов и т. д. В этом случае компо-
компоненты тензора энергии-импульса записываются в виде
Т\ = (рс2 + Р) ы*ы,— РЪЧ, B.1.6)
где и' — четырехмерная скорость материи. В сопутствующей сис-
системе отсчета [как в нашем случае B.1.4)] компоненты т\, отличные
от нуля, суть
П = 9с\ Т\ = Т\ = Т\ = — Р. B.1.7)
В однородной изотропной Вселенной р и Р могут зависеть только
от времени, но не от пространственных координат. Нашей задачей
является подставить компоненты^ из B.1.4) в уравнения Эйнштей-
Эйнштейна B.1.5), подставить туда же B.1.7) и определить три неизвестные
функции от времени: a (t), p (t), P (f). По существу, неизвестных
функций только две: аир, так как р и Р связаны уравнением состоя-
состояния вещества.

J 1] УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА И ФРИДМАНА 47
5НЦЯ
Упомянутые подстановки4 лосле несложных преобразований при-
приводят к двум уравнениям *):\
j BЛ-8)
\
з-ра Т-- BЛ-9)
где Л может принимать значения &=0, 6= 1 и &=—1. Эти уравнения
связаны тождеством (при любом к)
H. B.1.10)
Уравнения B.1.8), B.1.9) описывают зависимость а от t (т. е. всех
масштабов модели от времени) и р от /. Они совпадают с уравнения-
уравнениями A.6.2) и A.6.5) соответственно, с той лишь разницей, что R
заменено на а и произвольная const в A.6.5) на to? в B.1.9). Мы пом-
помним, что в предыдущей главе радиус шара выбирался произвольно,
нас интересовала лишь зависимость всех масштабов от времени. Сле-
Следовательно, для этой зависимости от времени уравнения ОТО дают
точно такие же результаты, как и ньютоновская теория в предыду-
предыдущей главе.
Уравнения B.1.8) — B.1.10) носят название космологических
уравнений Фридмана [Фридман A963)]. Их решение подробно
проанализировано в предыдущей главе.
В заключение приведем (табл. I) аналитические формулы реше-
решения уравнений B.1.8) — B.1.10) для двух важных случаев уравне-
уравнения состояния: Р=0 и Р=е/3. Решения записываются в параметри-
параметрическом виде. Последний столбец таблицы дает отношение текущей
плотности р к текущей критической плотности ре= ^ , И =-*- ,
*) Непосредственная подстановка дает
8nO !8jtG 28jiG 3 8jiG р 2а a
Остальные уравнения обращаются в тождества. Из приведенных уравнений сразу
следуют B.1.8), B.1.9).

48 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ [ГЛ. 2
i
ТАБЛИЦА I
Параметрическая зависимость радиуса кривизны пространства а, постоянной
Хаббла Н и плотности И =р/рс от времени <*)
Давление
Р
1
е/3
к
1
0
1
1
0
—1
Бремя /
-^(Т) —sinri)
ат з
12 С Ц
°т A cosn)
1с П
с я '
Радиус кривизны
пространства
о
4n v 4 ;
■тр (chrj-l)
ат sin т)
Постоянная Хаббла
Hssa/a
с 2 sin т)
ага A — cos т)J
8с -я- 2 /-1
с 2shT|
ая (ch!,-!)«
С COS Г|
om sin2 т]
С СИТ)
аи sh2n
Плотность
2
1+COST)
1
2
1+chTj
1
COS2!)
1
1
') <hn — постоянная. Г) — параметр, имеющий следующие пределы изменения:
1) прн Р = 0, ft=l 0<т1<2я,
2) прн Р = е/3, fc=f 0<тКЯ,'
k = 0, -I 0<T|<».
В случае *=0 радиус кривизны равен бесконечности., Для этого случая при-
приведена зависимость масштабного фактора а от времени, причем численный
коэффициент выбран так. чтобы при т1-»-0 разложения прн нсех * = 0,±!
имели одинаковый вид.
§ 2. Геометрическая структура модели Вселенной как целого;
пространство постоянной положительной кривизны
Перейдем теперь к рассмотрению геометрических свойств трех-
трехмерного пространства в однородных моделях.
Эти езойства описываются выражением B.1.3) для интервала в
трехмерном пространстве. Ясно, что мы при этом описываем гео-
геометрические свойства однородной сопутствующей веществу системы
отсчета (рассмотренной в предыдущем параграфе) в фиксированный
момент собственного времени, или, как иногда говорят, свойства
сопутствующего пространства. В ОТО системы отсчета можно выби-
выбирать произвольно. Можно было бы и в нашей задаче выбрать не

S 2] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ 49
\
сопутствующую, а какую-либо другую систему. В ней геометриче-
геометрические свойства трехмерного пространства были бы уже другие. Но
относительно нее вещество бы двигалось, в ней не выполнялись бы
свойства однородности и изотропийл Нас в первую очередь интере-
интересуют свойства расширяющегося вещества Вселенной. Вот почему
сопутствующая система является преимущественной и мы займемся
прежде всего изучением свойств трехмерного пространства этой сис-
системы. Они зависят от одной величины — кривизны пространства
Сс = ^, B.2.1)
где k и а — величины, входящие в формулы B.1.8), B.1.9). Величину
|А/| Са \=а называют радиусом кривизны (см. сноску на стр. 45).
Подставляя в B.2.1) величину k/a? из B.1.9), получаем
i B.2.2)
с
С° Зс*
Таким образом, геометрические свойства пространства зависят от
наличия в нем вещества, его плотности и движения. Из B.2.2) видно,
что знак кривизны определяется тем же критерием для плотности,
что и в § 2 гл. 1: если р>рс [см. A.2.5)], то Сс>0 — кривизна поло-
положительна; если р<рс, то Сс<0 — кривизна отрицательна.
Величина и знак кривизны одинаковы во всех точках простран-
пространства в один и тот же момент. Кроме того, так как в ходе эволюции
все время сохраняется неравенство р @>Рс или p (f)<jp'c lp'c обозна-
обозначает текущее значение pe(Q]. то сохраняется и знак кривизны.
Из дифференциальной геометрии известно, что трехмерное про-
пространство постоянной отрицательной кривизны продолжимо неог-
неограниченно. Следовательно, если для постоянного момента t0 плот-
плотность вещества меньше критической: ро<рс, т. е. ро<10" 2в г/см3,
то однородная Вселенная бесконечна по объему *). Это значит, что
топологически модель Вселенной подобна бесконечному евклидову
пространству. Такая модель получила название открытой модели
Вселенной.
Если ро>Рс, то кривизна положительна, а трехмерное простран-
пространство оказывается замкнутым и конечным (но безграничным!). Все
наши наглядные представления основаны на повседневном опыте и
относятся к евклидову трехмерному пространству. Поэтому наглядно
представить себе замкнутую Вселенную невозможно (так же, впро-
впрочем, как и открытую), можно лишь изучать математически ее свой-
свойства, сравнивать результаты расчетов с опытом и наблюдениями и
*) В этой и последующих главах мы будем рассматривать простейшие с то-
топологической точки зрения модели. ОТО с ее идеей кривизны пространства-вре-
пространства-времени поставила вопрос о возможности более сложных топологий моделей Вселен-
Вселенной. Мы проанализируем эту проблему в §§ 12, 13 гл. 23.

50 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ [ГЛ. 2
/
пояснять их с помощью аналогий и моделей, являющихся непол-
неполными.
Итак, каковы свойства замкнутой Вселенной? Возьмем какую-
либо точку в качестве начала координат. Построим вокруг нее сферу,
т. е. рассмотрим совокупность частиц, равноудаленных от той, ко-
которая находится в начале координат. Определим такие величины,
как длина экватора сферы и площадь поверхности сферы. При этом
нужно иметь в виду нестационарность модели Вселенной. Длина
экватора и площадь сферы, ограничивающей данную совокупность
частиц, зависят от того, в какой момент мы их измерим. Все величи-
величины измеряются в один и тот же момент времени t сопутствующей сис-
системы отсчета.
Важнейший вывод теории (формулы см. далее) заключается в
следующем: при ро>рс, т. е. в случае замкнутого мира, по мере того,
как мы переходим ко все более удаленным сферам длина экватора и
площадь сферы вначале возрастают, но потом проходят максимум и
затем уменьшаются до нуля. Понятия ближе — дальше вполне одно-
однозначны, как и понятия внутри — снаружи; более далекая сфера
включает в себя не только все то вещество, которое находится в более
близкой сфере, но и еще вещество, находящееся между сфе-
сферами.
Сфера, более удаленная, содержащая больше вещества и имею-
имеющая больший объем, в то же время имеет меньший экватор и меньшую
поверхность. Это непривычно, не похоже на евклидову геометрию,
но все это является следствием кривизны пространства, и такая не-
непривычная ситуация логически непротиворечива.
Общеизвестной аналогией является замкнутое, искривленное,
двумерное пространство — поверхность обычного трехмерного шара.
Возьмем северный полюс за центр. Аналогами сфер на поверхности
шара являются окружности, т. е. параллели. Длина окружности
вначале растет по мере удаления от северного полюса, но затем на
экваторе достигается максимум, и далее длина окружности умень-
уменьшается; между тем площадь, охваченная параллелью, монотонно
растет. Наконец, при приближении окружности к южному полюсу
площадь, охваченная ею, становится равной 4яг2, а длина стремится
к нулю.
Заметим, что в случае замкнутого мира сфера разделяет все про-
пространство на две части, каждая из которых конечна. Объемом, за-
заключенным внутри сферы, мы условимся всегда называть ту часть,
которая включает в себя начало координат. В двумерной аналогии
поверхностью, ограниченной параллелью (т. е. линией, все точки
которой находятся на равном расстоянии от северного полюса),
назовем поверхность части шара, лежащей севернее параллели и
включающей в себя северный полюс. При таком определении стяги-
стягивание параллели к южному полюсу сопровождается стремлением к
4лг2 площади поверхности, ограниченной этой параллелью.

, J] ГНОМВТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ 51
\
Вернемся к трехмерному замкнутому пространству, которым яв-
является однородная Вселенная в том случае, если ро>рс- Обращение
в нуль длины экватора и поверхности сферы, описанной вокруг на-
начала координат, при достаточном ■ увеличении ее радиуса, т.е.
удалении ее от центра, как раз и означает, что рассматриваемое трех-
трехмерное пространство является замкнутым. Можно показать, что
кратчайшая линия — «геодезическая» в трехмерном пространстве
возвращается к исходной точке, имеет конечную длину.
Выпишем теперь соответствующие формулы.
Запишем выражение для квадрата длины B.1.3) в других коор-
координатах. Перейдем сначала к сферическим координатам:
x = rs\r\ 6cosq>, |/ = rsin8sin q>, z = rcos6. B.2.3)
Квадрат длины теперь запишется в виде
£ = li0,_l. B.2.4)
Теперь для случая пространства постоянной положительной кри-
кривизны k= 1 сделаем следующую замену радиальной координаты:
= sinr. B.2.5)
1 + /-2/4
В результате получим
d/2 = a2 [dr2 +sin2 r (d62-|--sin2 6 dq>2)]. B.2.6)
Разумеется, преобразования пространственных координат меняют
только выражение для квадрата длины пространственного расстоя-
расстояния, выражение для ds* по-прежнему имеет вид ds2=c dt2—dl2, где
dl2 может записываться в разных пространственных координатах,
например в написанных выше. Определение времени остается без
изменений.
Из B.2.6) следует, что площадь сферы радиуса (координатного,
сопутствующего) г, описанной вокруг центра, есть
s(r) = 4na2sm2r, B.2.7)
а длина экватора сферы
/aKB = 2razsinr. B.2.8)
Из выражения B.2.7), видно, что s достигает максимума smax=4na2
при г=я/2 и снова уменьшается до нуля при г=я. Это значение г=п
и есть тот предел, до которого может изменяться эта координата.
Объем, охваченный сферой координатного радиуса г, равен
V^\s(r)adr= 4яо3 \ sin2 rdr = 4яа3 (j r—~ sin 2r\ B.2.9)
0 ' 0

52 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ [ГЛ. 2
и с ростом г, естественно, монотонно возрастает. При г=я получаем
объем всего замкнутого мира *):
Соответственно, зная среднюю плотность нуклонов в единице
объема п см~а, можно найти общее число нуклонов во всей модели
мира: Л^полН=/гУмира.С помощью формулы B.2.2) запишем выражение
для радиуса кривизны а:
^ B.2.10)
Напомним, что в этом разделе везде обозначено Q = — =—~.
Выражение B.2.10) относится только к Q>1. При Q, близком к еди-
единице, радиус кривизны весьма велик и стремится к бесконечности
при плотности, приближающейся сверху к критическому условию
замкнутости, Q-И.
Рассмотрим обычное вещество с ро=/гто, где т0 — масса нукло-
нуклона, п — их плотность. При данном значении Но оказывается, что
общее число нуклонов N во Вселенной тем меньше, чем больше их
плотность! В самом деле, при /ф>рс/т0, Q^>1 имеем из B.2.10)
а~1/|А/г и VKKV!i~a3~n~4*, а следовательно, общее число нуклонов
^„оЛн=п^мира~/г-1/..
При уменьшении п общее число N возрастает вначале, как п~'/«,
а затем еще быстрее, так как при приближении п к /гс=рс//л0 вели-
величина N стремится к бесконечности.
До сих пор мы рассматривали свойства замкнутой Вселенной
в фиксированный момент времени. Теперь вспомним, что космологи-
*) Разумеется, полный объем не зависит от того, в каких координатах мы
проводили вычисления. Так, можно было воспользоваться координатами B.2.4).
Радиальная координата г в них ие имеет верхнего предела: 0^г<оо. Тем не ме-
менее полный объем мира, соответствующий этим пределам, конечен и совпадает
с B.2.9):
Точно так же одинаков и максимальный физический (т. е. не координатный)
радиус: /,.= \ V—gudx1, где х1— радиальная координата. Вычисленный
с помощью координат г или г, ои равен
я а>
1Г=\ adr=\ а = = па.
О О 1 -1— Г I £■
О О
Замкнутость мира, конечность 1Г и 1^мира СУТЬ объективные свойства трехмерного
пространства постоянной положительной кривизны, не зависящие от координат-
координатной сетки, используемой для их исследования.

$ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛ*(ЧАЙ МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕЩЕСТВА 53
ческая модель нестационарна^ эволюционирует со временем. Эво-
Эволюция описывается зависимостью величины а от времени, a—-a (t).
Подробно эта зависимость выписана в аналитическом виде в табл. I
предыдущего параграфа. В случае замкнутого мира функция a (t)
начинается от нуля, достигает максимума и снова уменьшается до
нуля.
§ 3. Метрика открытого мира
В предыдущем параграфе были рассмотрены свойства замкнутого
мира; мир замкнут в том случае, если он однороден (так что, в част-
частности, его плотность и постоянная Хаббла везде одинаковы в один
и тот же момент времени) и если Po>pc=-g-g- • Однако современные
данные о плотности (см. об этом далее) показывают, что, по-видимо-
по-видимому, в действительности имеет место обратное неравенство: ро<рс-
В этом случае, как видно из уравнения B.2.2), кривизна отри-
отрицательна и мы имеем трехмерное пространство Лобачевского посто-
постоянной отрицательной кривизны. Запишем выражение dl2 для этого
случая. Заменяя при k=—1 радиальную координату в B.2.4):
= shr, B.3.1)
1 —rs/4
приходим к выражению
dl2 = a2 [dr2 + sh2r (d6a + sin2 6dq>2)]. B.3.2)
Трехмерное пространство Лобачевского бесконечно по объему.
В этом случае мир, как говорят, «открыт», т. е. качественно, то-
топологически не отличается от обычного евклидова трехмерного про-
пространства. В частности, полагая по-прежнему, что Вселенная одно-
однородна, мы приходим к выводу о бесконечном количестве галактик,
звезд, нуклонов во Вселенной.
Вместе с тем при ро<рс имеет место определенное отличие мет-
метрики, т. е. количественных геометрических свойств физического про-
пространства от евклидова. Из формулы B.2.2) следует, что в этом слу-
случае кривизна Со отрицательна. Поэтому в сопутствующем простран-
пространстве сумма углов треугольника меньше л: длина экватора и площадь
сферы больше соответствующих евклидовых выражений.
§ 4. Предельный случай малой плотности вещества
Предельный случай малой плотности Po^cw} отличается осо-
особенной простотой. С той точностью, с которой можно считать ро= О,
можно пренебречь силами тяготения. Как уже отмечалось, в прош-
прошлом в таком мире обязательно был период, когда силой тяжести

Б4
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
[ГЛ. 2
нельзя было пренебречь (см. § 4 гл. 1). Мы, однако, не будем сейчас
рассматривать этот период. Вернемся к периоду, когда имеет место
р и силы тяготения пренебрежимо малы.
Всю картину движения можно представить себе совершенно эле-
элементарно следующим образом: в плоском евклидовом пространстве
в начальный момент t=0
из начала координат выле-
вылетает совокупность частиц,
движущихся со всеми воз-
возможными скоростями и;
разумеется, скорости эти
не превышают скорости
света, |ы|<х. Массой частиц
пренебрегаем, поэтому пре-
пренебрегаем и искривлением
пространства, которое мог-
могло бы быть вызвано части-
х
Рис. 6. Линия постоянного собственного вре-
времени 7=const модели Милна в «лабораторной»
системе координат. Пунктир — линия посто-
постоянного лабораторного времени t=const.
цами. Следовательно, дви-
движение происходит в плоском
(евклидовом) пространстве.
Сопутствующее пространство этой системы, как можно видеть из
B.2.2), имеет отрицательную кривизну. На рис. 6 показано сечение
пространства в «лабораторных» координатах т, х. В этих координа-
координатах скорости частиц меньше с, так что все траектории — прямые и
лежат внутри угла, образованного прямыми х=±сх. Итак, х=ит,
и<Сс и длина окружности, проведенной через данную точку х с цент-
центром в х=0, равна 2пх. Собственное время / частицы, движущейся со
скоростью и, выражается известной формулой специальной теории
относительности:
/ = "
B.4.1)
Совокупность точек, в которых находятся частицы через одинако-
одинаковое собственное время /= const, описывается уравнением
B.4.2)
Это — уравнение гиперболы. В самом деле, чтобы построить линию
/=const в координатах рис. 6, мы должны задаться /ит, найти сна-
сначала и и затем, зная и, выразить х через /их. Получим
сх
B.4.3)
КЧт)"
При фиксированном значении / зависимость х от х представляет со-

§ 4] ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕЩЕСТВА 55
бой гиперболу, асимптотами которой являются линии х=±сх (см.
рис. 6). Итак, если назвать «скоростью» и' путь *), пройденный за
единицу собственного времени:
«' = £ = 1=, B.4.4)
получим величину, которая может быть и больше с. Выражение
B.4.4) полезно для популярного пояснения некоторых свойств
космологических моделей Фридмана. Например, иногда спрашива-
спрашивают: известно, что галактики удаляются с тем большей скоростью,
чем они дальше; существуют ли галактики, удаляющиеся от нас со
скоростью больше скорости света? Ответ заключается в том, что та-
такие скорости получаются при пользовании расстоянием, измеренным
в лабораторной системе отсчета (т. е. в случае модели Милна в инер-
циальной системе наблюдателя), и собственным временем частицы,
т. е. это не есть скорость перемещения частицы.
Для вычисления реальной скорости надо и расстояния и время
измерить в одной и той же системе отсчета. При этом всегда и^с.
Известно из лабораторных опытов, что мезон (пион) со временем жиз-
жизни 2-10~8 сек может пройти до распада путь значительно больший,
чем 2-10~8-3-1010 см=6-102 см, когда его скорость близка к скорости
света. Определяя трехмерное пространство из условия одинаково-
одинаковости собственного времени t во фридмановском решении, т. е. сопут-
сопутствующее пространство, мы получили пространство, отличающееся
от трехмерного «лабораторного» пространства t=const. При плот-
плотности р->0 весь четырехмерный мир в целом (пространство-время)
в пределе является плоским, четырехмерная кривизна его равна
нулю, мир евклидов или, точнее, псевдоевклидов в силу особой роли
времени (пространство Минковского s2=t2—х2—у*—z2). Но его
трехмерное сечение поверхностью /=const не плоское.
Зельманов A959а) подчеркивает, что пространственное сечение
совокупности мировых линий внутри светового конуса х=+ы на
рис. 6, отвечающее постоянному лабораторному времени t=const,
является конечным (пунктир на рис. 6): пространственная коорди-
координата х ограничена значениями —-ст^л^ст. Отсюда делается вывод,
что само утверждение о конечности или бесконечности пространства
не является инвариантным, ответ зависит от того, как выбрано «вре-
«время» и «пространство».
Рассмотрим реальный случай, когда плотность р0 хотя и мала, но
конечна. В сечении x=const вблизи границы (х=сх) находятся час-
частицы, собственное время которых мало [см. B.4.1)]. Поэтому плот-
плотность у края возрастает. Можно показать, что в сечении x=const
*) «Путь» при этом определяем по лабораторной системе координат или как
Длину окружности, деленную на 2я.

56 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ [ГЛ. 2
плотность равна ■:—^° . Следовательно, даже при малом р0 в сече-
1 — (XIX)
нии t=const есть область, где нельзя пренебречь плотностью веще-
вещества, нельзя пренебречь искривлением пространства, вызванным
гравитационным полем вещества. При малом, но конечном р0 ввести
«лабораторное время» т во всем пространстве нельзя, парадокс с ко-
конечностью пространства исчезает.
Если же поставить вопрос об общем числе N сохраняющихся
частиц во Вселенной, то с самого начала нет никаких парадоксов:
величина N является инвариантом в ОТО. Выше уже говорилось,
что в замкнутом мире число N конечно: мы приводили конкретную
формулу для Л^П0ЛН.Г1ри ро<рс в открытом мире N бесконечно, и этот
вывод не зависит от способа подсчета.
В сечении <=const плотность п=п0 постоянна, объем пространст-
пространственного сечения бесконечен, N=oo. Но и при рассмотрении сечения
x=const (при ро<^рс) N=\ n dV = оо за счет того, что плотность час-
частиц у края п= -.—"°. .2 неограниченно растет, интегрирование по
1 — уХ/СХ)
конечному объему V=-g-(cr)s дает бесконечное N.
В заключение историческое замечание. Описанное выше в этом
параграфе решение называют моделью Милна. Действительно, Милн
A935, 1948) впервые ввел в рассмотрение совокупность частиц, не
подверженных тяготению и одновременно вылетающих из одной точ-
точки со всеми скоростями.
§ 5. Случай критической плотности
Остановимся вкратце на случае
Если это соотношение имеет место в определенный момент, то урав-
уравнения движения обеспечивают выполнение р=рё в любой другой мо-
момент времени как в прошлом, так и в будущем (притом также и при
давлении, отличном от нуля).
При р=рс метрика мира особенно проста именно в сопутствую-
сопутствующих координатах, трехмерное сечение /=const (/ — собственное
время) является евклидовым.
Выражение B.2.4) для этого случая переписывается в виде
dl* = a2 [dr2 + r" (d6a + sin* 6 dq>a)]. B.5.2)
Это обычное выражение для расстояния в евклидовом пространстве
в сферической системе координат, а — масштабный множитель. При
искривленном пространстве, когда k=+\, множитель а не являлся

§ 5] СЛУЧАЙ КРИТИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИ 57
произвольным, он был равен радиусу кривизны пространства. Этот
радиус был естественным масштабом для измерения всех длин.
В случае евклидова пространства это не так, радиус кривизны равен
бесконечности, выделенного масштаба нет, выражение B.5.2) допу-
допускает масштабное преобразование, и множитель а произволен. Когда
мы обращаемся к расширяющемуся миру с критической плотностью
B.5.1), то в выражении для интервала
ds2 =с2 dt2—а* @ [dr2 + г2 (d62 + sin2 6 d<p2)] B.5.3)
множитель a (t) определен с точностью до численной константы, не
зависящей от времени.
Мы уже знаем (см. табл. I), что в простейшем случае, при Р=0
и p=pci расстояние между каждой парой точек растет пропорцио-
пропорционально /*/», т. е. a=a1t'/>. Константа ах зависит от выбора масштаба
сопутствующей системы координат. В самом деле, при любом at
можно найти такой момент tu когда aJi^ssl, a1=ti'/>. Поскольку
выбор момента <х произволен, то произвольна и константа ах.
Только после выбора <х и ах определяется масштаб координаты г.
В случае РФО справедливо сказанное о произвольности выбора
константы ах. Только в этом случае зависимость а от t будет иная.
Так, при Р=е/3 a=a1t1/'. Как уже отмечалось в § 4 гл. 1, в начале
эволюции отличие плотности от критической всегда мало. Это
справедливо и при Р=0 и при РФО. Поэтому в начале расширения
вблизи сингулярности, когда плотность велика, всегда можно про-
производить расчеты скорости расширения с использованием законо-
закономерностей плоского мира.
Как понять факт, что мир является плоским при вполне опреде-
определенной, отличной от нуля плотности вещества? Все четырехмерное
многообразие пространство-время отнюдь не плоское. В случае
р=рс плоскими являются лишь определенные сечения пространства-
времени, в данном случае — сечения, отвечающие одинаковому
собственному времени совокупности удаляющихся друг от друга
частиц *).
*) Переход от системы отсчета B.5.3), являющейся сопутствующей, к сис-
системе, в которой gZi не зависит от времени (называемой иногда «лабораторной»),
проведен в § 4 гл. 16 нашей книги «Релятивистская астрофизика» A9676). Для
общего случая рфрс вычисления проделаны Станюковичем, Шаршиксевым
A970, 1973).

ГЛАВА 3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО; МЕТОДЫ
ПРОВЕРКИ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ НАБЛЮДЕНИЯМИ
§ 1. Красное смещение и уменьшение импульса
В этой главе мы будем говорить о движении в модели Фридмана
частиц с массой покоя, равной нулю. Примером таких частиц яв-
являются фотоны и нейтрино. При этом мы будем говорить о свободном
их движении, т. е. без учета их возможного взаимодействия с веще-
веществом (рассеяния, поглощения).
Выводы, приведенные в этой главе, применяются для анализа
наблюдений далеких небесных тел — галактик, квазаров; для рас-
расчета их видимой яркости, видимых размеров и т. п. в расширяющей-
расширяющейся Вселенной. Все эти наблюдения осуществляются с помощью
электромагнитных волн, приходящих от этих тел (видимого света,
радиоволн, рентгеновского излучения и т. д.). Естественно, что,
наблюдая источник, мы видим именно тот свет, который пришел к
нам от него, не поглотившись или рассеявшись. Вот почему рассмат-
рассматриваемый вопрос о свободном движении квантов столь важен для
сравнения теории с наблюдениями. Заметим, что в эпоху, близкую
к нашей, большая часть фотонов, путешествующих во Вселенной,
не поглощается и не рассеивается, так как средняя плотность веще-
вещества во Вселенной очень мала. На более ранних этапах расширения
Вселенной ситуация была совсем иной. Но об этом мы будем подроб-
подробно говорить в III разделе книги.
Что касается нейтрино, то, за исключением первых долей секун-
секунды после начала космологического расширения (см. об этом также в
III разделе), они распространяются свободно, Вселенная для них
прозрачна.
В дальнейшем, говоря о движении ультрарелятивистских частиц,
мы будем называть их фотонами, имея в виду, что выведенные фор-
формулы применяются на практике к свету далеких объектов, т. е. имен-
именно к фотонам; но полученные выводы применимы к любым ультраре-
ультрарелятивистским частицам.
Начнем с рассмотрения красного смещения света.
Красное смещение света в расширяющейся Вселенной является
результатом эффекта Доплера. Пусть квант испущен в момент /х

§ 1] КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ИМПУЛЬСА 59
в точке /х с частотой сох и к моменту t2 пришел в близкую точку /а
с частотой со2. Изменение его частоты дается формулой
со,-со2=со,^, C.1.1)
где ы21 есть скорость движения вещества в точке 2 относительно ве-
вещества в точке 1. Формула справедлива для случая, когда скорость
движения вещества мала и направлена по линии /2i, соединяющей
точки 1 и 2, т. е. по линии распространения кванта. Так как /21
мало, то и «si мало, и21<^с. В хаббловском распределении скорости
ы21=///21, так что
Это выражение является асимптотически точным в пределе малого
/2i, так как все поправки — учет кривизны пространства и реляти-
релятивистские поправки к простой формуле C.1.1) — оказываются поряд-
порядка {и/сJ, т. е. более высокого порядка в /21. Поэтому в дифференци-
дифференциальном виде имеем точное равенство (со2—co!=dco; /2i=d/):
d(o = —^H(odl. C.1.2)
Не существенно, был ли квант с частотой сох испущен в точке /х
или он пришел в эту точку откуда-то издалека и имеет частоту сох
в точке /j. Важно только то, что a>i измерено в системе, движущейся
вместе с веществом, находящимся в 1и а со2 — аналогично в точке 2 в
соответствующей системе.
Равенство C.1.2) можно рассматривать как дифференциальное
уравнение, с помощью которого шаг за шагом можно проследить за
изменением частоты кванта, в частности, и в том случае, когда прой-
пройденный им путь и изменение частоты отнюдь не малы.
Запишем dl=cdt и Н = ~-£-= 2° ■ В последней формуле а
есть радиус мира, но с тем же успехом можно написать Н=-.—-£-,
где /12 — расстояние между двумя фиксированными частицами,
пропорциональное a (t). Подставляя выражения для dl и Н в C.1.2),
получим
dai=—со dt, Inco-j- In a = const,
ао) — const, co = coo —. C.1.3)
Таким образом, частота изменяется обратно пропорционально радиу-
радиусу мира.
Совершенно аналогично можно рассмотреть движение материаль-
материальной частицы. Под ее скоростью w будем понимать скорость движения
относительно среднего хаббловского движения вещества в той точке

60 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
пространства, в которой находится частица в данный момент. Для
простоты рассмотрим нерелятивистское движение, w<^.c. Тогда по
закону сложения скоростей
wt=w1—«21=^1—Him, wt—wt=dw=—H dl.
Подставим dl=w dt,H=-^-jf < получим
a dt
и снова
«>=const/a. * C.1.4)
В нерелятивистском случае количество движения частицы p=mw,
так что р~ \1а. В общем случае, когда w сравнимо со скоростью све-
света, применяя релятивистский закон сложения, можно убедиться,
что закон р~\1а остается в силе, хотя теперь р= . " и ско-
скорость w уже не будет обратно пропорциональна а.
Красное смещение квантов, очевидно, также согласуется с за-
законом изменения количества движения; для кванта p=fha>/c. Длина
волны кванта Я,=2яс/со=2я^/р. Так же выражается через р и кван-
товомеханическая (дебройлевская) длина волны любого тела. Таким
образом, оба закона — закон красного смещения для квантов и за-
закон изменения количества движения произвольного тела — можно
совместно сформулировать так: в расширяющейся однородной моде-
модели Вселенной все длины волн меняются пропорционально измене-
изменению всех расстояний, т. е. пропорционально радиусу мира. Полезна
следующая аналогия. Представим себе случай замкнутого мира:
пусть в нем находится одна стоячая электромагнитная волна. Мир
мы рассматриваем в данном случае как полый резонатор, в котором
возбуждено определенное колебание (определенная гармоника),
например, с п узлами. При расширении мира номер гармоники и чис-
число узлов остаются неизменными: естественно поэтому, что длина вол-
волны растет пропорционально радиусу шара. Такая трактовка неод-
неоднократно отмечалась раньше [Лауэ A931), Паули A958), Уилер
A958, I960)].
Рассматривая изменение частоты при последовательном прохож-
прохождении малых отрезков пути dr, мы могли не учитывать гравитацион-
гравитационное изменение частоты, которое здесь порядка (drJ. После интегри-
интегрирования в C.1.3) получен точный результат для немалых отрезков.
Если бы мы проводили вычисления не как в C.1.3), а прямым интег-
интегрированием по пути фотона, то при непосредственном вычислении
изменения частоты на конечном пути г12 гравитационное изменение
частоты нужно было бы, очевидно, учесть (см. § 4 этой главы). Важ-
Важно, что частота измеряется наблюдателями, движущимися подобно
свободным частицам, без влияния градиента давления. В локальной

$ 21 НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ГОРИЗОНТ 61
системе отсчета таких наблюдателей гравитационное ускорение ис-
исчезает в начале координат, и поэтому гравитационный потенциал,
нормированный на нуль в начале координат, порядка (drJ на рас-
расстоянии dr от начала координат.
Вычисление красного смещения как интеграла по доплеровским
красным смещениям между соседними свободными частицами
C.1.2) является точной процедурой. Она применима не только для
однородной изотропной Вселенной, но также и в присутствии воз-
возмущений, неоднородности и анизотропии.
§ 2. Наблюдаемые величины и горизонт
Сопоставление предсказаний теории расширяющейся Вселенной
с данными наблюдений является трудной, до конца не разрешенной
и в настоящее время проблемой.
При изучении космологических вопросов мы имеем дело с рас-
расстояниями, на которых уже сказывается кривизна пространства.
Интерес к большим расстояниям в особенности возрос после от-
открытия квазаров с большими красными смещениями. Поэтому нель-
нельзя пользоваться евклидовой геометрией с ее наглядными привычными
представлениями *). Само понятие «расстояния» не имеет опре-
определенного однозначного смысла. Необходима предварительная ма-
математическая работа для получения соотношений между наблюдае-
наблюдаемыми величинами **). Во все формулы теории входят постоянная
Хаббла и плотность материи. Постоянная Хаббла может считаться
известной с точностью хотя бы ±50% (см. § 9 настоящей главы).
Плотность материи может находиться в пределах 3• 10~sl—10~28 г/см3
за счет возможных больших количеств трудно наблюдаемых форм
материи. Поэтому в ряде работ приводятся соотношения между
наблюдаемыми величинами при различных предположениях о р0
и //„***). Ниже будет приведена сводка соответствующих формул и
кривых. В принципе сравнение с наблюдениями формул, зависящих
от плотности как параметра, должно привести к определению плот-
плотности. Однако параметры источников известны недостаточно хоро-
хорошо. Кроме того, от далеких источников мы наблюдаем свет, испущен-
испущенный давно, т. е. испущенный объектами, находящимися на более
ранней стадии развития, по сравнению с близкими объектами.
Поэтому обработка наблюдений зависит от предположений об эво-
эволюционном эффекте и до сих пор выводы остаются очень неопреде-
неопределенными.
*) Ниже, в § 4 этой главы будет специально рассмотрен вопрос о пределах
применимости евклидова приближения.
**) Эта принципиальная постановка вопроса особенно подчеркнута в извест-
известных обзорах Мак-Витти A959а, 1962а), см. также работы Сэндиджа A961),
Маттига A958, 1959).
***) Следует упомянуть о возможности AjtO. Этот случай будет обсуждаться
в гл. 4.

62 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Начнем с качественных особенностей наблюдаемой картины.
Предполагается, что был момент, когда р=оо, а=0. Условимся этот
момент обозначать t=0. Ясно, что нельзя увидеть свет, испущенный
ранее, уже потому, что при приближении к этому моменту оптиче-
оптическая толща бесконечно велика, ибо Сadx, где а — коэффициент по-
поглощения света, расходится.
Можно определить, какая частица должна испустить свет в мо-
момент /=0, чтобы он (двигаясь без поглощения) был принят нами се-
сегодня, в момент /=/0. Совокупность этих частиц образует сферу с
центром в точке наблюдения. Эту сферу можно назвать горизонтом.
Если правильны представления о том, что было р=оо, то принци-
принципиально можно получить информацию лишь о веществе, находя-
находящемся внутри горизонта. В действительности можно видеть с по-
помощью света еще меньшую область, ибо в начале расширения плот-
плотность вещества настолько велика, что оно непрозрачно для света.
Как мы покажем в разделе III, в действительности из-за рассеяния
и поглощения света можно видеть лучи из области, которая опреде-
определяется тем условием, что свет, приходящий к нам сейчас, покинул
ее, когда средняя плотность вещества во Вселенной была рт^
^10~ао г/см3 (для нейтрино соответственно рт<Ю5 г/см3).
Практически, однако, расчет распространения света при расширении
от рт до сегодняшней плотности р0 или от р=оо до р0 дает одинаковый
результат *), ибо путь, проходимый светом (если бы он не погло-
поглощался при большой плотности) за время расширения от р=оо до
р=рт, много меньше, чем за время от р=рт до р=р0.
Распространение света подчиняется условию ds=0. Начало ко-
координат помещаем в точку наблюдения. Принимаемые лучи движут-
движутся к началу координат. Мы будем работать с интервалом, записан-
записанным в виде
ds2=c2dt2—a2 (t)[dr* + & (r) {dQ2 +sin* В dy2)], C.2.1)
причем
() i для Q>1, <p(r) = shr для Q<1.
При£2= 1 ф (r)=r и мы будем вместо a (f) обозначать масштаб через
b(t).
Вернемся к пф\. Для светового луча, распространяющегося
вдоль радиуса (d0=d<p=O), очевидно, ds*=0=c2dt2—a2dra, a (t)dr=
=—с dt. Знак минус появился потому, что мы рассматриваем све-
световой луч, приходящий к наблюдателю, находящемуся в начале
•) Напомним, что мы все время рассматриваем случай Л^О; Лу^О будет
рассмотрено в гл. 4. Там будет показано (§ 2), что в случае Л фО, вЛ>0 с Длинным
периодом медленного расширения, и для замкнутого мира горизонта не сущест-
существует; в этом случае световой луч имеет достаточно времени, чтобы обойти весь мир.

§ 2] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ГОРИЗОНТ 63
системы координат. Сопутствующая координата горизонта г0 дается
интегралом
Следует указать, что о->-0 при <->0, однако интеграл не расходится.
Для плоского случая Q=l интегрирование C.2.2) непосредственно
дает [заменяем a (t) на b t)]
C.2.3)
Для общего случая Q=^=l интегрирование удобно проводить с ис-
использованием приведенной выше, в табл. I, параметрической
зависимости а от t. Интегрирование во всех случаях дает *
г„ = г]0. C.2.4)
Зная Го, можно вычислить R0=a (to)ro и R0=a (/0)ф (г0), где <р (го)=
=sin г0 при Q>1 и ф (ro)=sh г0 при Q<1. Первая величина, Ro,—
это сегодняшнее расстояние до частицы, которая находится сейчас
на горизонте, вторая, /?0, есть деленная на 2п длина экватора сферы,
на которой сегодня находятся частицы горизонта.
Далее можно найти
V0 = aa(t0Ln\<p*(r)dr,
о
а также
где Vo — это сегодняшний объем, заключенный внутри горизонта,
Мо — масса частиц вещества в объеме Vo, No — полное число нук-
нуклонов в объеме Уо ("о— их плотность).
Общий вид формул для Ro, Vo и Мо удобно записать, выделяя без-
безразмерные функции от Q:
с \s
4л ( с \я

64
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО
[ГЛ. 3
Функции g для двух уравнений состояния (gt для Р=0 и gv для Р=
=е/3) представлены на графике рис. 7. Для справок ниже приводим
формулы; следует предупредить читателя, что формулы громоздки
и вычисления по ним сложны.
?\
\
\
\
\
—1—
rr=i——
*
13
12
11
10
S
8
7
Б
5
4
3
2
1
О 1234 5B7BS7S9
Рис. 7. Безразмерный объем области, доступной для наблюдения (внутри гори-
горизонта). Кривая gj для Р=0 и кривая g2 ДЛЯ Р=е/3 как функции безразмерной
плотности Q. Для сравнения приведена кривая g8 полного объема замкнутого
мира (определенная только для Я>1) при Р=0.
Безразмерные функции S (Q) и g (Q) имеют следующий вид:
а) Случай Р=0:
при Q< 1;
) = 8 при fi=l;
при

$ 2] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ГОРИЗОНТ 65
б) Случай Р— к/3:
, 1 / 1 1 1 г> ^ 1
arsh j/-g~lj приО<1;
^l-^VT^u] при Q> 1.
Наконец, приводим асимптотику:
ft=-|LQ-v. и &==*Lq-v. при
Следует особенно обратить внимание на непрерывность кривых при
критическом значении плотности, т. е. при Q=l. При этом происхо-
происходит качественный скачок—изменение однородной Вселенной от бес-
бесконечной (открытой) модели при Q^Cl к закрытой модели при О>1.
При О<1 общий объем V, масса М, число частиц N бесконечны,
при О>1 величины V, М, N конечны. Однако в обоих случаях до-
доступная наблюдению часть Вселенной конечна, и в этом смысле
различие между открытой и замкнутой Вселенной оказывается мень-
меньше, чем можно было ожидать *).
Рассмотрим случай замкнутого мира, О>1. Уравнение C.2.4)
позволяет судить о том, какая доля мира находится в тот или иной
момент внутри горизонта наблюдателя и доступна его наблюдению.
Пусть Р=0. Из табл. I следует, что за все время расширения до
максимума параметр г\ меняется от 0 до я. Из C.2.4) следует, что г
света при этом также изменится от 0 до л, что, согласно B.2.6),
соответствует прохождению света от одного полюса до другого. На
фазе сжатия свет, идя от противоположного полюса, вернется к ис-
исходной точке. Это максимальный путь, который успеет пройти свет
за время всей эволюции мира.
Для случая Р=е/3 параметр т] за время расширения меняется от
О до я/2. Следовательно, свет успевает пройти при этом только
половину расстояния до противоположного полюса. На фазе сжатия
он доходит до противоположного полюса.
•) Общее число нуклонов в замкнутой Вселенной Nno:m (относящееся к Q > 1)
4л f с \
также можно выразить в безразмерном виде: Nnom=-^- ( — )snogs(^). при
Зя 1
этом функция gs=-g ч~к также показана на рис. 7. Заметим, что при
/2
Я. В. Зельдович, И. Д. Новиков

66 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Можно ли в замкнутом мире наблюдать один и тот же объект с
двух сторон? Пользуясь аналогией с земным шаром, вопрос можно
поставить так: можно ли, находясь на Северном полюсе, наблюдать
одну и ту же радиостанцию, один раз по ближайшему лучу, второй
раз — по лучу, который обошел по дуге большого круга через Юж-
Южный полюс и пришел к наблюдателю на Северном полюсе?
На земном шаре с помощью длинных радиоволн, огибающих зем-
земную поверхность, это возможно. Во Вселенной, находящейся в ста-
стадии расширения, это невозможно: слишком мало времени проходит
с момента <=0, р=оо. Луч, испущенный в этот момент или позже,
не успеет дойти до наблюдателя к сегодняшнему моменту по длин-
длинному пути. Это может стать возможным, если Q>1, P=0, через не-
несколько миллиардов лет, когда расширение сменится сжатием и наши
потомки будут говорить о (хаббловском) синем смещении. Итак, на-
наличие в каждый момент времени горизонта позволяет видеть только
конечный участок Вселенной.
Подчеркнем, что речь идет о принципиальной невозможности,
определяемой не сегодняшним уровнем экспериментальной техники,
а конечной скоростью распространения света; никакая нейтринная
астрономия не расширит горизонта *).
Следовательно, сами утверждения о конечности или бесконеч-
бесконечности мира принципиально связаны с экстраполяцией известной нам
ситуации в нашей окрестности на области не только далекие, но и
ненаблюдаемые сейчас.
Конечно, само понятие «принципиального» горизонта наблюдае-
наблюдаемости имеет место только потому, что в космологических моделях
есть момент р=оо и за конечное время, прошедшее от этого момента,
свет от далеких областей не успевает дойти до наблюдателя.
Если вблизи сингулярности р=оо мир расширялся не так, как в
модели Фридмана (о возможности этого см. разделы IV и V), то за-
закон движения света там был бы иной, свет при некоторых условиях
успевал бы уже вблизи сингулярности проходить огромные расстоя-
расстояния и горизонт бы отсутствовал. Этот вопрос мы подробно разберем
в разделе IV книги. Наконец, если бы до момента сингулярности
р=оо была бы эпоха сжатия Вселенной (см. об этом раздел V), то
никакого «принципиального» горизонта бы не было, так как свет,
вышедший до момента р=оо, успеет пройти дальше и т. д. Конечно,
реальный свет при этом неизбежно поглотится в эпоху очень боль-
больших р, но мы говорим сейчас о принципиальном горизонте для сколь
угодно проникающих сквозь плотное вещество частиц. Для них го-
горизонта не было бы. О ситуации с горизонтом в случае Л=^=0 и о
возможности исследования проблемы эпохи до момента р=оо см.
раздел V книги.
*) Горизонт сам постепенно расширяется с течением времени — по мере
уменьшения Н и увеличения t0. Однако для заметного увеличения Ro, Mo, Vo
потребуется время порядка tQ, т. е. миллиарды лет!

j 3] ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ 67
§ 3. Графики и формулы для функций, определяющих
наблюдаемые величины
Для характеристики красного смещения введем величину (со —
частота)
А _ 1 юнабл _ <0исп— юиабл /о о п
l\ == 1 ==^ . (О.О. 1)
юисп юисп
Очень часто применяется другая величина, г:
^исп
Очевидно,
_ д
1 —Д '
Д= * C.3.3)
1 + г
Преимущество использования А связано с конечной областью изме-
изменения — от Д=0 вблизи точки наблюдения до Д=1 на горизонте;
Д-И соответствует тому, что частота наблюдаемого света стремится
к нулю; Д=1 есть предел возможности наблюдения. Переменная г
меняется от 0 до оо, что затрудняет построение графиков *). По-
Поскольку все же использование г широко распространено, мы даем
формулы в двойной записи: с Д и с г. Для удобства перехода от Д
к z даем таблицу:
Д 0 0,2 0,4 0,5 • 0,6 0,8 1
г 0 0,25 0,67 1 1,5 4 оо
Заметим приэтом, что для Д=а<^1 2«а, адля Д=1—р р^ P
Рассмотрим угол 0, под которым виден объект данного линейного
размера /. В евклидовой геометрии
в = ///?, C.3.4)
где R — расстояние до объекта. В кривом мире назовем, по опреде-
определению, величину //0 угловым расстоянием и обозначим через R.
Длина окружности с центром в точке наблюдения, на которой в мо-
момент испускания света находится рассматриваемый объект, равна
2nR. Сопоставляя с выражением интервала C.2.1), найдем /?=
=а (/е)ф (ге), где ге— сопутствующая координата объекта. Момент
te испускания света задается условием, чтобы в точку наблюдения
(на Землю) свет пришел сегодня. Следовательно, вблизи горизонта
*) Переменная, аналогичная Д, введена Мак-Витти A9626) и обозначена
V, причем К+Д=1.

68
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО
[ГЛ. 3
te-*-Q, a (te)->0, а значит, и R-+0, т. е. угол В неограниченно возра-
возрастает. Так как для близкого к наблюдателю объекта с его удалением
(ростом ге) угол 0 убывает, а у горизонта он возрастает, то отсюда
следует, что угол 0 для объекта с данным / проходит через минимум
при изменении ге. Наличие минимума 0 и максимума R является об-
общим свойством расширяющейся Вселенной, справедливым и для от-
открытой и для закрытой модели. Наглядный подход к физической ин-
интерпретации этого минимума будет изложен в связи с расчетом углов
в неоднородной Вселенной (§ 10).
Перейдем теперь к выражению R
через красное смещение г. Для срав-
сравнительно близких объектов, при А<^1,
геометрия евклидова. Доплер-эффект
можно рассматривать нерелятивист-
нерелятивистским образом, dco = —-^-, изменение
расстояния за время прохождения
света мало. Значит, в пределе при
малых Л
0,5
0,4
0,3
0.2
г/
/
Р=О
А
V
1
1
1
1
1
Y /
/^
1 i
о
1/10
\ \
0.1
О 0,2 П4 ЦВ 0,8
Рис. 8. Безразмерное состояние
V (измеренное по видимому уг-
угловому диаметру объекта с фик-
фиксированным линейным размером)
в зависимости от красного сме-
смещения А при разных значениях
безразмерной плотности Q (зна-
(значения Q даются цифрами над
кривыми) н при Р=0. Пунктир-
Пунктирная линия — геометрическое ме-
место максимумов кривых.
( = c— = cA = H»
= сг.
— -п-г.
"о
R=kA-
C.3.5)
C.3.5a)
Для любых расстояний можно ввести
функцию безразмерного углового рас-
расстояния W и написать *)
C.3.6)
C.3.6а)
Функция W находится следующим образом. По определению R—
=а (te)(f (re). Величины te и ге связаны между собой уравнением
распространения света: dt=adr, и поэтому ге выражается через te
и сегодняшние значения Но и Q. После этого остается выразить te
через г (или через А). Как это делается, подробно рассказано в сле-
следующем параграфе. Здесь мы приведем окончательный ответ и раз-
разберем свойства функции W.
Функция W зависит не только от А или г, но и от отношения Q=
=ро/рс. Вид Y различен при Р=0 и Р=е/3. Функции ¥ имеют
*) Функции
C.3.10).
в C.3.6) и Vte) в C.3.6а) имеют разный вид, см. C.3.9),

ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ
69
следующие общие свойства:
^О; Q) = A;
oo;
C.3.7)
C.3.7a)
На рис. 8, 9 приведены кривые W (А, п) для Q=0, V,n, V3, 1, 3, 10,
причем на рис. 8 даны кривые для Р=0, на рис. 9 — для Р=е/3.
Следует особенно обратить внимание на предельный случай Q=0.
Чем меньше Q, тем дальше находится
максимум (при А, близком к едини-
единице). В пределе при 0=0, т. е. для
модели Милна, функция W имеет
простой вид:
¥(Д; О) = ДA—£), C.3.8)
C.3.8а)
Кривые для Q=0 на рис. 8 и 9, есте-
естественно, совпадают. При Q=0 функ-
функция не имеет максимума или, точнее,
максимум оказывается на краю интер-
интервала определения функции, при Д=1.
При большой плотности, О^>1, мак-
максимум f в случае Я=0 приходится на А=0,25 (г=0,33). При этом
Рис. 9. То же, что и на рис. 8,
но при Р=е/3
Аналогично в случае Р=е/3
Д= 1-^=0,29, (г
Для справок приводим формулы:
=
—2) X
хУ1+(п—2) A—(Q—1)А2-0],
= е/3;
—(О —1)Да—
C.3.9)
C.3.9а)
C.3.10)
C.3.10а)

70 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Разложение при малых А будет рассмотрено отдельно, в § 5 этой
главы.
Наблюдаемая светимость объекта, для которого известны разме-
размеры, яркость и спектр, а также красное смещение, полностью опре-
определяется функцией Ф (A, Q). Удобно расчленить вопрос о светимо-
светимости на вопросы о яркости и об угловых размерах.
Мерой яркости является количество световой энергии, приходя-
приходящей к наблюдателю в единицу времени на единицу площади при-
г сРЕ ,
емника, нормального лучу, отнесенное к телесному углу, / =^-^-as.
В силу изотропии Вселенной элемент телесного угла обычным обра-
образом выражается в сферических угловых KoopflHHaTax,dS=sin QdydQ.
Наряду с интегральной по спектру яркостью можно ввести спект-
спектральную яркость F(co), т. е. dE=F (со) dco dS ds.
Из оптики известно, что в плоском пространстве яркость не
зависит ни от расстояния, ни от преломления лучей, если только нет
поглощения или рассеяния света.
Для расширяющейся Вселенной есть аналогичная теорема:
яркость не зависит ни от чего, кроме красного смещения А. В част-
частности, яркость не зависит от кривизны пространства, плотности
вещества и т. п. (предполагается, что на пути луча нет поглощения
или рассеяния света). В очень общей форме как следствие теоремы
Лиувилля для квантов эта теорема выведена Линдквистом A966).
Излучение черного тела, соответствующее абсолютной темпера-
температуре Тлсп, преобразуется в излучение черного тела с температурой
Формула Планка имеет вид
F((o, Г) do = const-ш^(-£^ю = const—^— .C.3.11)
Полный поток излучения в элементе телесного угла
\ C.3.12)
о
следовательно, при красном смещении / преобразуется по закону
/ = /„с„A—АL, C.3.13)
/ = /«„A + г)~*. C.3.13а)
Спектр произвольного вида, характеризуемый спектральной функ-
функцией F(co), преобразуется по следующему закону:
= A - A). F (^)
C.3.14)

§ 3] ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ 71
при этом
о>иабл = A— А)сйнсп, Жонабл = A— А)^ЙСП, C.3.14а)
юнабл— 1+г . «юиабл = Т+Т' (<5.cU4O)
так что интегральная (болометрическая) яркость всегда убывает,
как A—AL=(l+z)~4, независимо от формы спектра источника.
Дифференциальный закон изменения спектральной яркости для
данной фиксированной частоты зависит от вида спектра испускания.
Формула для произвольного спектра испускания приведена выше
[см. C.3.14)]. В частном случае степенного спектра испускания
^KcnJ^c^AoScndco,,,,,, C.3.15)
наблюдаемый спектр, подвергшийся красному смещению, имеет
также степенной вид:
<з!з! 16)
Выяснив закон изменения яркости, т. е. потока света в единице
телесного угла, обратимся к вопросу о полном количестве света,
попадающего к наблюдателю от данного небесного тела.
Далекая звезда не разрешается по угловым размерам. Измеряет-
Измеряется не яркость ее поверхности, а поток энергии от всей звезды, при-
приходящийся на единицу поверхности в точке наблюдения.
В области, где применима евклидова геометрия, телесный угол,
под которым виден источник, равен отношению проекции площади
источника к квадрату расстояния:
3=7^-. C.3.17)
В расширяющейся Вселенной мы должны поставить R вместо /?,
так что
S = (сЧ75Яо)а . C.3.18)
Полное количество света, приходящееся на 1 см2 поверхности у
наблюдателя, выражается через поток энергии звезды L:
C.3.19а)
Можно определить «болометрическое» расстояние D как расстояние,
на котором в евклидовом пространстве неподвижный объект дал бы
поток энергии наблюдателю такой же, какой дает тот же объект в
расширяющейся модели Фридмана.

72 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ. 3
Из сравнения C.3.19) и C.3.19а) и соотношения, определяюще-
определяющего D:
находим
, fi). C.3.21a)
При малых Д имеем W (Д, Q)«A и поэтому
С ft «•
т. е., естественно, все различные определения расстояния совпа-
совпадают. При А, сравнимых с 1, знаменатель A—Д)а играет большую
роль. С ростом А величина D монотонно растет и не имеет максиму-
максимума, в отличие от R. Во всех вариантах (Р—0, Я=е/3, любое Q) при
Д->-1 D->-oo. Это значит, что красное смещение существенно умень-
уменьшает поток энергии далеких звезд.
Для практических наблюдений важен поток энергии в части
спектра, воспринимаемой фотопластинкой или другим приемником
излучения. Теория спектральных поправок (так называемая Л-по-
правка), учитывающих чувствительность приемника, основана на
формуле C.3.14) и хорошо разработана [Уитфорд A971), Оук A967),
Мак-Витти A959а, б, 1962а, б), Сэндидж A968)]; мы не будем ее
здесь приводить.
В выражении C.3.19) Ё\ есть энергия, принимаемая в единицу
собственного времени наблюдателя, тогда как L есть поток энергии
звезды в единицу ее собственного времени. Здесь, как и выше, фак-
фактически учтено преобразование времени: если на звезде между двумя
явлениями (например, двумя вспышками) проходит время т, то
наблюдатель воспринимает световые сигналы об этих явлениях с
большим интервалом, тнабл = . __ = т A -\~ г).
Формулы, в которые входят звездные величины и которые обычно
используются астрономами, см. далее, в §§ 4, 5.
Наконец, нам остается обсудить еще один тип наблюдений, свя-
связанных с количеством вещества, заключенным в слое с красным сме-
смещением между А и A+dA (или г и г+dz). Начнем опять с классиче-
классической картины: в евклидовой статической Вселенной, очевидно,
dM = р0 An R2 dR, C.3.22)

S 3] ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ 73
где ро — средняя плотность вещества; или, если говорить о числе ча-
частиц (например, нуклонов),
dN=no4nR*dR. C.3.23)
еД
Подставим вместо R его выражение через Д. При малых A R—-n-
и получаем
dN =na~^dA. C.3.24)
н0
Введем функцию £ (A, Q), «исправляющую» классическую фор-
формулу: в действительности в расширяющейся искривленной Все-
Вселенной
^(A, fi)AMA. C.3.25)
Функция £ учитывает и то, что Вселенная расширяется, и раньше,
т. е. при Д, заметно отличающихся от нуля, плотность вещества была
другая, и то, что пространство неевклидово. Выводится эта функция
следующим образом. По определению в момент испускания света te
в искривленном пространстве
dN = n(teLn[a(te)i(re)fa(te)dre.
После этого повторяем вычисления, о которых мы говорили выше
при выводе функции Y, и получаем выражение для dN вида C.3.25),
в котором безразмерный множитель, зависящий от А и Q, и называем
функцией |.
Эта функция приведена на наших графиках для двух случаев:
Р=0 (рис. 10) и Р=е/3 (рис. 11). Она меняется в широких пределах,
поэтому для каждого случая приводится отдельно график, выпол-
выполненный в большом масштабе (рис. 12, 13), на котором удобно считы-
считывать значения £ при малых ||—1 | < 1. По смыслу поправки ясно,
что при Д-»-0 £-»-1 при любых Q. При малых Q значения | достига-
достигают величин, во много раз превышающих единицу.
Переходя к переменной г вместо А, нужно дать новое определе-
определение «исправляющей» функции:
dN=nB^-l'(z, ti)z2dz. C.3.25a)
Новая функция |' связана с | следующим образом:
£'гМг=|Д2<*Д,
поэтому
Г = A-А)Ч=A+г)-^.
Следовательно, чтобы использовать графики рис. 10—13, работая
с z вместо Д, надо преобразовать как шкалу абсцисс, так и шкалу
ординат, разделив функцию | на A-(гL, чтобы получить |'(г, й).

74
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО
[ГЛ. 3
О 0,2 0,4 0,0 Цв
Рис. 10. Безразмерная поправка
£(Д, Q) для количества материи
в слое с данным красным сме-
смешением как функция А для раз-
разных Q и Р=0.
ш
15
10
S
Ч
У
1
1-1
1
/
/
-
О 0.Z 0,4 0,6 0,8
Рис. 11. Тоже, что и на рнс. 10,
но при Р=е/3.
1-6]
{
&
1,0
0,8
0,6
OJ
0,2
О Of 0,4 0,6 0,8 1
Л
Рис. 12. То же, что на рис. 10,
но в увеличенном масштабе.
1
if /
г
\
\
\
W
У
г]
1
/
/
1,6
1,4
0,8
0,6
04
0,2
/
К
\\
\
h
—
-—
•
S?=l
«у
8=10
О 0,2 04
0,6 as 1
л
Рис. 13. То же, что на рис. 11,
но в увеличенном масштабе.

} 3] ГРАФИКИ И ФОРМУЛЫ 75
Качественно поведение 1 отлично от поведения £': |' всегда и
везде имеет отрицательную производную, -$- <0, так что £' всегда
падает. При малых z в обоих случаях (Р=0, Р=е/3)
Е' = 1—22A+0).
При Q=0 (модель Милна) имеют место простые формулы:
При Р=0 и А-*-\ £-»-оо при любых Q, как видно из приведенных
рисунков. Резкая зависимость £ от Q будет, возможно, полезна для
наблюдательного определения величины Q (см. по этому поводу §§ 9
и 10 этой главы). Через функцию \ выражается также распределение
объектов по наблюдаемой величине, которым мы займемся ниже,
в §5.
При практическом применении формулы C.3.25) часто делается
предположение, что число наблюдаемых объектов определенного
типа, например число галактик в данном слое, пропорционально
общему числу нуклонов в этом слое. В случае Р—0 это предполо-
предположение соответствует утвер;кдению, что число галактик пропврцио-
нально общей массе вещества в данном слое.
8 DC2
Случай ^ = "г =-%~ означает, что в общей плотности р главную
часть составляют кванты и нейтрино, а плотность обычного вещест-
вещества, из которого состоят звезды, составляет малую долю р. Эта доля
к тому же переменная, так как в ходе расширения происходит изме-
изменение энергии квантов и нейтрино; поэтому по закону адиабатиче-
ского расширения вещества с Р=■*-=- плотность нуклонов
п = const- p1/.. C.3.27)
В этом случае естественно предположение, что плотность галактик
(или других объектов) пропорциональна именно п, а не р. Поправоч-
Поправочная функция I дается для dN и п, а не для dM и р.
Для справок приводим общие формулы (к сожалению, весьма
громоздкие и неудобные), а также некоторые частные случаи.
а) Случай Р=0:
f. 4 [2 (fi— 1) Д + (Й— 2)(k— 1)]* /о о г
6= ?UA2h f (O.d.^
где fe=K 1+(Q—2)Д—(Q — 1)Д3;

76 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Асимптотические формулы для этого случая имеют вид:
£=1 + ДB—Q) при
^ } C.3.29а,
при 2^>1. ) v '
, Для частного случая Q=0 нами уже получены формулы C.3.26).
При Q=l
^^р) (з.з.зо)
4B+г-2 YT+j)VT+i C.3.30a)
б) Случай Р=е/3:
C.3.31)
асимптотические формулы следующие:
£=1 + 2ДA— Q) при Д<^1; C.3.32)
Е'= 1_2гA+О) при г<^1; C.3.32а)
^ ; (з.з.зз)
6'=^ при г>1. C.3.33а)
Для частного случая Q=l ^=1 (тождественно при всех Д).
Функция £, характеризующая распределение вещества по слоям,
просто связана с функцией g (Q) (см. выше, § 2 этой главы), дающей
общее количество вещества внутри горизонта:
I ао
g (О) = 3 J I (Д, Q) A» dA = 3 J I' B, Q) 2s dz. C.3.34)
о о
При Р=0 и Д->-1 E-voo, но так, что интеграл C.3.34) сходится (за
исключением случая, когда Q=0).
Дадим, наконец, еще одну формулу для случая Р=0 (вывод этой
формулы см. далее, в § 4):

§ 4] РАБОЧИЕ (ЬОРМУЛЫ в ПАРАМЕТРОМ г 77
Хотя сама величина dt и це является наблюдаемой, но она входит в
выражения для таких наблюдаемых величин, как оптическая тол-
толща, полное излучение из слоя с А (или г), меняющимся в заданных
пределах, и т. п. \
ч
§ 4. Рабочие формулы с параметром г
В этом параграфе мы получим формулы, которые обычно непо-
непосредственно используются для обработки наблюдательных данных.
Считают, что в настоящую эпоху и в прошлом, когда существовали
отдельные объекты (галактики, квазары и пр.), давлением Р можно
пренебречь по сравнению с плотностью р. Мы увидим далее, в гл. 5,
что это действительно справедливо. Перепишем формулы B.1.8) и
B.1.10), используя обозначение Н (t)= -jpr '■
М+№@ = £, = _зр(ожо. C.4.1)
Поделив одно уравнение на другое, получим
dH(t) 4nGP(Q+3//'(Q 9
dp(t)~ 9р </)//</) • кал'£>
Удобно ввести новые переменные h = h(t) = -~ и
"*" ; Рп Рс Ро Ц
В этих переменных после несложных преобразований получим
Удобство безразмерных переменных ft и 2 и параметра Q проявляется
при решении задачи о прошлом Вселенной, когда известны парамет-
параметры современного ее состояния Но и р0. Из этих параметров находится
единственный безразмерный параметр Q, который входит в уравне-
уравнение C.4.3). Начальные условия суть тождества: по определению
z=0 и ft= 1 в настоящий момент. Уравнение легко интегрируется —
переменные разделяются после подстановки
. C.4.4)
Приводим сразу решение, удовлетворяющее начальному ус-
условию:
C.4.5)
В этой форме решение можно было получить прямо из уравнения
«энергии» B.1.9). Выразим все величины через г.

78 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Из уравнения C.4.1) для р (*) получим *)
^±£)! = -ЗЯ0/1A+2)», Hodt = -hj^-g. C.4.6)
Подставляя сюда выражение h, имеем
Hodt=-- йг, C.4.7)
В ряде важных вопросов достаточно знать это дифференциальное
выражение. Пусть, например, интенсивность какого-то процесса
(условно — образование некоего вещества х) считается известной
как функция плотности вещества и температуры во Вселенной:
g=Q(p, T), x=$Qdt. C.4.8)
Нет надобности вычислять р (f) и Т (i) для того, чтобы взять интег-
интеграл. Удобнее воспользоваться г как переменной интегрирования.
Средняя плотность просто выражается через z (из определения г в
начале данного параграфа): p=po(l+zK. Как мы увидим в следую-
следующем разделе, температура реликтового излучения меняется по зако-
закону 71=710A+2), так что легко написать Q (p, T)=Q (z). Формула
C.4.7) позволит перейти к г как переменной интегрирования:
C.4.9)
причем (как уже не раз напоминалось) Яо и Q суть константы, сегод-
сегодняшние значения. В дальнейшем при решении многих конкретных
вопросов (излучение газа, поглощение излучения, рост возмущений
однородности) будет широко использоваться именно г как параметр,
заменяющий время t.
С помощью C.4.7) нетрудно найти и t. При этом время t, отсчи-
отсчитанное от сингулярности (z=oo, /=0), получится при подстановке
соответствующего предела:
ао
йг C.4.10)
*) Это уравнение следует и прямо из связи между масштабом, красным сме-
смещением и постоянной Хаббла:

§ 4] РАБОЧИЕ ФОРМУЛЫ С ПАРАМЕТРОМ г
Этот интеграл берется точно, а\алитически:
79
t =
? г;-
При Q=l
В общем случае, при Q#l, й#0, обратить интеграл, т. е. выразить
аналитической формулой z как функцию t, не удается.
Значение интеграла при 2=0 (т. е. полный возраст Вселенной,
выраженный через Но и fi) дано формулами A.3.2) и A.3.2п), там же
(рис.3) приведена кривая зависимости t(z = 0) = -n-f (Q) от Q.
"о
Асимптотику z^>l, Qz^>\ легко усмотреть из интеграла C.4.10)
[а не из выражения C.4.11)]; получим
t =
C.4.13)
Отсюда вытекают все общеизвестные следствия для асимптотики
при малом t и большом z. Из C.4.13), C.4.5) и C.4.1) имеем
J ^. C-4-14)
Мгновенное значение Q (t) также легко выразить через z и сегод-
сегодняшнее Q:
— НЦ()
+Ог) ~ T+fii
Ог "
Наглядно подтверждается, что все локальные свойства приближают-
приближаются к свойствам плоского мира, Q (z)->-l, при приближении к сингу-
сингулярности, т. е. при росте Цг.
Наконец, параметр г удобен и для получения формул, относящих-
относящихся к наблюдаемым величинам — угловому диаметру далеких тел и
болометрическому расстоянию (без вывода эти формулы приведены
выше, в § 3).
Прежде всего, через Но и Q выражается сегодняшний радиус
мира. Для определенности будем говорить об открытой модели,
й1 (вычисления легко повторяются для закрытой модели, Ф1)

80 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ 3
/
Итак, для Q<1 имеем в настоящее время [см. B.2.2) и опреде-
определение QJ /
^ <34Л6>
а в произвольный момент
C.4.17)
Выразим через z безразмерную сопутствующую координату г точкт»
наблюдения, т. е. найдем г для галактики, имеющей красное смеще-
смещение г. Из условия ds—O для света и. ds*=c2dti—a?dr3 находим
a
Соответствующий интеграл берется в элементарных функциях:
2
йг
C.4.18)
Видимая болометрическая (полная) светимость Ё1 источника опре-
определяется количеством энергии, проходящей через единицу поверх-
поверхности приемника в единицу времени. Для источника с координатой г
и абсолютной светимостью L
C.4.19)
Множитель в первых скобках в знаменателе есть площадь сферы
радиуса г в момент приема света /0 (т. е. площадь сферы, на которую
растеклось излучение), второй множитель в знаменателе определяет
уменьшение интенсивности света из-за красного смещения, причем
один множитель A+z) описывает уменьшение энергии каждого
кванта, второй множитель A+z) — уменьшение частоты прихода
отдельных квантов к наблюдателю. Эту формулу можно также запи-
записать в виде
Ё^C.4.19а)
Такую форму записи можно интерпретировать следующим образом:
4я/?2 в знаменателе входит, поскольку этой величине обратно про-
пропорционален телесный угол, под которым виден источник; второй
множитель (A+zL дает изменение яркости, так как яркость про-
пропорциональна Т4 (эта величина определяет энергию в единице телес-
телесного угла), a jT~A+z).
Астрономы используют не величину Ёи а звездные величины m
(десятичные логарифмы потока от объекта).

$ 5] ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕННЕЙ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 81
По определению
т=—2,5 lgg, +const. C.4.20)
Напомним, что светимость объекта L в астрономии характеризуется
так называемой абсолютной звездной величиной. Абсолютной звезд-
звездной величиной М объекта называется его видимая величина на рас-
расстоянии десяти парсек (=3- 101в см). Если Учитывается энергия от
источника во всем диапазоне длин волн, то говорят о болометриче-
болометрических звездных величинах.
Перейдем теперь в C.4.19) к звездным величинам согласно
C.4.20). Подставим в это выражение C.4.16), C.4.18) и параметр
ускорения <70=Q/2 [см. A.2.6I, получим
^\qq)\1 C.4.21)
Величина Ci зависит только от абсолютной звездной величины
источника М (или, что то же, от L) и от Но. Конкретно, используя
определение М, получаем
С-, = М (в момент испускания света)—45,06—51g//0, C.4.22)
где #0 выражено в сек'1.
Формула C.4.21) справедлива и для закрытой модели, т. е. когда
1, <7o>V2. Эта изящная формула была получена Маттигом A958)
и используется для анализа соотношения звездная величина —
красное смещение в космологии. В следующем параграфе мы полу-
получим другую формулу, пригодную для анализа объектов с небольшим
красным смещением (z<0,3).
§ б. Первое приближение и евклидово пространство
Выше мы систематически сравнивали общие результаты, полу-
полученные для различных космологических моделей, с простейшей клас-
классической картиной евклидовой Вселенной, в которой определено
единственное элементарное понятие расстояния R, количество по-
получаемого наблюдателем света от неподвижного источника убывает,
как R~*, объем растет, как R3, а общая плотность вещества никак не
влияет ни на структуру пространства, ни на наблюдаемые зависи-
зависимости.
Точные формулы, относящиеся к теории расширяющейся Вселен-
Вселенной, зависят как от плотности материи, так и от ее уравнения состоя-
состояния; в частности, выше давались формулы для Р=0 и Р=е/3.
Ясно, что при экспериментальном исследовании в первую оче-
очередь и с большей точностью будут получены данные в более близких
к нам областях. Естественно при их обработке разложить теорети-
теоретические формулы в ряд по возрастающим степеням Д или г. В этом
ряду первый член обязательно должен совпадать с классической

82 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
картиной, а следующие члены представляют собой поправки к этой
картине. При этом под классической картиной мы понимаем расши-
расширяющуюся Вселенную в ньютоновской теории, без каких-либо реля-
релятивистских эффектов.
Но поправки, зависящие от кривизны пространства, пропорцио-
пропорциональны квадрату расстояния. Эти поправки должны быть пропор-
пропорциональны плотности, а чтобы получить безразмерную величину,
нужно взять комбинацию GpRa/ca. Расстояние пропорционально
красному смещению, следовательно, указанные поправки порядка
Да. Отсюда следует вывод, что формулы, в которые включены только
члены первого порядка по Д, могут быть получены без учета кривиз-
кривизны пространства.
Рассмотрим картину движения в евклидовом пространстве и ла-
лабораторном времени, пользуясь ньютоновской теорией тяготения *).
Систему координат выбираем так, что наблюдатель находится в на-
начале координат и покоится. За нуль времени берем сегодняшний мо-
момент (момент наблюдения), а не так, как выше, где принималось /=0
в момент сингулярности р=оо. Рассматриваем случай Р=0. Для
сегодняшнего момента, т. е. при /=0, имеем заданную постоянную
во всем пространстве плотность вещества р0 и хаббловское поле ско-
скоростей u=H0R.
Напишем гидродинамические уравнения неразрывности и дви-
движения:
dt Udr~ R*
и найдем первые члены разложения решения в ряд по малому t:
u = H0R-HlRt-^-GPeRt. ] C52)
Вспоминая определения р = — и Q = —, последнюю фор-
гс 8яО Ре
мулу перепишем так:
u=H0R-H*(l + -§-)/?'. (З.б.З)
Рассмотрим распространение света и красное смещение. Уравне-
Уравнение луча, приходящего в начало координат в момент /=0, есть
R = —ct, C.5.4)
•) Относительное различие между собственным временем и лабораторным
временем тоже порядка Д2, следовательно, в рассматриваемом приближении его
можно не принимать во внимание точно так же как и кривизну пространства.

§ В] ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 83
\
где R — расстояние тела от начала координат в момент испускания
(в этот момент, очевидно, £<0).
Учтем сначала только красное смещение, связанное с доплер-
эффектом движения источника света. Мы обозначим эту часть крас-
красного смещения через Д'.
Частота света со' в лабораторной системе, испущенного с частотой
соо частицей, движущейся со скоростью и, дается формулой специ-
специальной теории относительности:
. C.5.5)
«о Vl+u/c
Мы строим формулы, включающие поправки к классическим фор-
формулам порядка А, но не более высокие. Поэтому и выражение Д
разлагаем в ряд и оставляем только
C.5.6)
Для получения полного красного смещения Д с нужной точ-
точностью теперь необходимо еще учесть изменение частоты света при
его движении в поле тяжести от точки испускания /? до начала ко-
координат:
f CD \£\) tp (U) г /ел (- rj\
со—со = £5 со, (а.о./)
где ф — ньютоновский гравитационный потенциал.
Из уравнения Пуассона
C.5.8)
и из сферической симметрии задачи находим
Ф = const -\--£-GpR*. C.5.9)
В нашем приближении заменим р на р0, со' на соо и найдем
C.5.Ю)
Подставим сюда выражение скорости C.5.3) и выразим момент ис-
испускания через R с помощью C.5.4). Подставляя затем выражение
, получим окончательно в нужном приближении (опуская
члены порядка R3 и выше):

84 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕ А И НЕЙТРИНО 1ГЛ. 3
Решая это уравнение с нужной точностью, получим
C'5Л2)
и, соответственно, для момента испускания света, который придет
в точку наблюдения (начало координат) с данным красным смеще-
смещением в момент /=0:
Напомним, что R есть расстояние источника именно в момент t
испускания света, который принят в момент /=0 с красным смеще-
смещением Д наблюдателем, находящимся в начале координат.
Выражение R, выведенное выше, совпадает с первыми двумя
членами разложения в ряд по степеням Д общей формулы C.3.9).
В нашем приближении — приближении евклидовой геометрии —
расстояние имеет единственный смысл. В этой геометрии очевидным
образом находится угловой размер источника, абсолютный размер
которого равен /. Угловое расстояние — это и есть R, так что
Поправка к элементарной формуле евклидовой геометрии
6 = —-^ (причем R — jj—j связана только с поправками к линейной
зависимости между расстоянием в момент испускания света и крас-
красным смещением.
Как было показано выше [см. C.3.20)],
F L _z-A —АL
1 ~~ 4nD2 "~ 4я#2 '
откуда, разлагая в ряд и оставляя члены первого порядка по Д,
найдем

§ Б] ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 85
Найдем выражение для массы М, заключенной внутри сферы
радиуса R в момент испускания света. Подставляя t из C.5.13) в
C.5.2), найдем
Р = РоA+ЗД),
(^)8[(ll)] C.5.17)
Теперь легко найти производную
4^(^АJ[1+Bй)Д]^ C.5.18)
Величина в квадратных скобках есть функция | (Д, Q) [см. C.3.25I
или, точнее, первые два члена разложения ее в ряд Тейлора:
Б=1 + B—Q)A. C.5.19)
Выведенные формулы дают все сведения, необходимые для обработки
наблюдений при не слишком больших Д (Д<0,3).
Выше рассматривался только случай Р=0. В случае произволь-
произвольного давления гравитационное поле и ускорение силы тяжести за-
зя
висят от комбинации р-\—^, тогда как выражение критической
плотности не изменяется. Поэтому при РФО надо везде подставить
вместо Q величину
(j£) C.5.20)
В частности *), Q'=2Q при Р=^. (Если A#0,Q'=Q (
Соответственно и обработка наблюдений (для области А<0,3)
дает именно величину Q': в сущности, мы измеряем ускорение силы
тяжести. Если 1<£У<;2, то для Вселенной, заполненной обычным
веществом, Р=0, Q=Q'>1 и мир замкнут. Но для Вселенной,
заполненной в основном квантами и нейтрино, в этом случае
<1 и мир открыт.
В ряде книг и обзоров расширяющаяся Вселенная характери-
характеризуется двумя параметрами:
й. = ГТ' h»="n- C-5'21)
lab lab
где 1аЬ— расстояние между двумя точками среды.
•) Легко проверить что формулы, которые получаются при замене Q на Q'=2Q
в C.5.12), C.5.15), C.5.16), C.5.19), совпадают с первыми членами разложения
в ряд C.3.10), C.3.31); см. также C.3.32).

86 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО ГЛ. 3
Так как расстояние между любой парой объектов пропорцио-
пропорционально радиусу мира a (t), то формулы C.5.21) эквивалентны фор-
формулам
^=1- h«=4- (з-5-22)
Константа hi есть не что иное, как постоянная Хаббла, hi=H0.
Величина h, зависит от плотности:
l+^). C.5.23)
Вместо ha иногда вводят безразмерный коэффициент ускорения [см.
A.2.6I, который можно выразить через О:
<7о = —J- = Tfi(l+^) = T. (8.5.24)
Итак, в случае Р=0 критическое значение q0=1U отделяет замкну-
замкнутый мир (при qo>1/i) от открытого ((Xq'0<1/8). В случае Р=е/3 кри-
критическое значение qo= 1. Вывод из рассуждений данного параграфа
заключается в том, что формулы, линейные по qon содержащие по-
поправки порядка Д (но не Да), не содержат эффектов кривизны про-
пространства и могут быть последовательно выведены в евклидовом
пространстве с помощью ньютоновской теории тяготения (с учетом
гравитационного изменения частоты кванта и точной формулы доп-
л ер-эффекта).
В заключение параграфа перепишем формулу C.5.15) в виде,
привычном для астрономов, т. е. перейдем к звездным величинам г
и параметру q0:
= 5 lgz+l,086(l —fo)z + Clt C.5.25)
где выражение для d дается формулой C.4.22). Формула C.5.25)
справедлива для z<0,3. Она была получена Гекманом A942), Ро-
бертсоном A955), Мак-Витти A956).
§ 6. Распределение но видимым величинам
В классическом случае, когда можно не учитывать кривизну
пространства, влияние красного смещения на яркость и эволюцион-
эволюционный эффект, получаются общеизвестные четкие зависимости для рас-
распределения объектов данного типа по видимой величине.
Рассмотрим объекты с абсолютной светимостью L. Плотность
распределения таких объектов в пространстве обозначим п. Количе-
Количество света, получаемое наблюдателем от каждого объекта, находя-
находящегося на расстоянии R,

5 6J РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ВИДИМЫМ ВЕЛИЧИНАМ 87
так что
R = lZ-kr-. C.6.2)
' 4n£i
Число объектов внутри шара радиуса R, дающих световой поток
больше Ё1г равно
N=*^-R*n = const •nLi/j£Ti/t- C.6.3)
Соответствующий дифференциальный закон:
dN = const • Ei't'dEi. C.6.4)
Пользулсь величиной т C.4.20), найдем
dN = const . 10°-em dm. C.6.5)
Хорошо известно, что при наличии объектов разных типов (све-
тимостей) этот закон не изменяется. Для дальнейшего полезно при-
привести элементарное доказательство. Пусть в элементе объема имеется
определенное распределение объектов по абсолютной величине или,
что то же, по светимости. Именно, пусть число объектов со свети-
светимостью между L и L-\-dL есть
dn = n0W(L)dL. C.6.6)
Распределение нормировано на единицу,\ W (L)dL= 1, так что
о
W (L) dL есть доля объектов с данным L в интервале dL, а общая их
плотность равна п0. Для каждой группы объектов светимостью меж-
между L и L+dL, находящихся на разных расстояниях и потому даю-
дающих разное Еи получим
d2N = const- W (L)L'''E;'''dLdE,. C.6.7)
Знак d2 означает, что справа стоят два дифференциала dL dEt.
Интегрирование по dL можно выполнить отдельно; получим
dN = АЁТ"'' dElt ' C.6.8)
где
А = const -n0 Jl1/,W (L)dL. C.6.9)
о
Таким образом, закон распределения объектов по видимой ве-
dN „
личине, ^—, не изменился, только вместо одинаковой светимости
dEi
всех объектов L в C.6.3) теперь вошла величина А, определенным
образом взвешенная по распределению W (L). Это взвешивание

88 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
несколько отличается от того выражения, которое дает полное ко-
количество света, испускаемого единицей объема *).
В расширяющейся Вселенной для объектов данной абсолютной
величины получается более сложный закон, так как видимая и аб-
абсолютная величины и число объектов в данной сфере связаны слож-
сложными, не степенными зависимостями. Кроме того, при больших рас-
расстояниях велико время распространения света от момента испуска-
испускания до наблюдения. Поэтому надо учесть и эволюционный эффект,
т. е. изменение распределения объектов по абсолютной величине со
временем. Общие формулы чрезвычайно громоздки и необозримы.
Приведем лишь формулу второго приближения, которая может быть
получена методом, подобным описанному выше, в предыдущем па-
параграфе, из рассмотрения ускоренного (точнее, замедленного) дви-
движения объектов в плоском пространстве. В соответствии со сказан-
сказанным выше ограничимся везде поправками первого порядка по Д.
Распределение объектов по светимости характеризуем функцией
dn = n1{t)W(L, t)dL. C.6.10)
Здесь t отсчитывается от сегодняшнего дня, так что в момент испу-
испускания t=—Rlc, Пх — общая плотность всех объектов в единице
евклидова (не сопутствующего!) пространства. Предполагая, что
источники (галактики) не возникают и не уничтожаются, примем,
что [см. C.5.2I
п1 = ппA_ЗЯ*). C.6.11)
При этом учет эволюционного эффекта полностью связан с за-
зависимостью W от времени. Наконец, видимая звездная величина
(или, что то же, Ё^ связана со светимостью L выражением, учиты-
учитывающим влияние красного смещения [см. C.4.19а)]:
£,= const -L{±=^-, C.6.12)
Я, = const -щ—у,. C.6.12а)
Четвертая степень A—Д) получается при рассмотрении болометри-
болометрической величины. На практике обычно измеряется энергия лишь
в определенном интервале длин волн, к которым чувствителен при-
приемник. При этом в формулу войдет A—Af (v=3—ft), где спектраль-
спектральный поток можно приближенно описать формулой F~co"dco [см.
*) Последнее равно, очевидно, п0 \ LW (L)dL.

$ 6] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ВИДИМЫМ ВЕЛИЧИНАМ 89
выше C.3.16I *). Выразив R через Д (см. § 5 гл. 6), получим
^i = °^ Ai м i!^/i Г о» дм» C.6.13)
где а — некоторая константа,
C.6.13а)
Поскольку весь расчет ведется с точностью до поправок порядка
Д, то
C.6.14)
C.6.14а)
C.6.15)
C.6.1ба)
Д = 1/ ~
г =
3 Q'
Найдем число объектов, расположенных в слое с красным смеще-
смещением от Д до Д+^Д и дающих поток света от Ёг до E^dEx. Исполь-
Используя выражение C.5.18), получим
l—Q')]W(L,t)(-^-)dAdElt C.6.16)
\ d£i /д
dtN =~ const ■ fto22 [ 1— B + fi') z] W (L, t) (-Щ-\ dzdE,. C.6.16a)
Считая Д, а значит, и t=—Д/Я малым, разложим W (L, f) в ряд:
W(L, t) = W(L, 0)—-^-W(L, 0), C.6.17)
где В7=-т- . Имея выражение C.6.16) Д через L и Elt заменим ^Д на
-тт- и проведем интегрирование в C.6.16) по dL при постоянном
*) Применяя формулу Планка, найдем- что для узкой спектральной полосы
с nWifeT>3 с хорошей точностью п=3—JmlkT, \=па/АТ, где йсо — энергия
кванта, k — постоянная Больцмана.

90 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ. 8
Ej. В результате получим
dN = const • Ёг" '■ dEl j j W (L, 0) L1/, dL +
r- 00
-jr- D-2v)jV(L,
C.6.18)
Изучение близких галактик позволяет найти их распределение
по светимостям W (L, 0) для настоящего времени (^=0). Величина v
может быть найдена из распределения интенсивности в спектре
источника и спектральной чувствительности регистрирующего при-
прибора.
Формула C.6.18) является решением поставленной проблемы:
она описывает распределение объектов в зависимости от потока из-
излучения от них Ёг (или, что то же, от их видимой звездной величи-
величины). Этот результат можно записать в других, более наглядных
формах.
Мы уже раньше предполагали, что эволюционный эффект, т. е.
изменение со временем функции W (L, t), зависит не от рождения
или исчезновения новых объектов, а исключительно от изменения их
абсолютной величины.
Пусть светимость отдельного объекта в зависимости от времени
подчиняется дифференциальному уравнению
-^ = /(L, t) = k{L, t)L. C.6.19)
Функция / переписана через k для удобства дальнейшего исполь-
использования.
Из C.6.19), очевидно, следует:
Это уравнение выражает закон сохранения объектов, движущихся
со скоростью / вдоль оси L.
Подставим выражение W=-^-b интеграл в формуле C.6.18);
интегрируя по частям, найдем
00 ОС
J WL*dL =2 \ Lf(L, 0) W (L, O)dL. C.6.21)
о о

$ 6]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ВИДИМЫМ ВЕЛИЧИНАМ
91
C.6.22)
C.6.23)
Для частного случая одинаковых, синхронно эволюционирую-
эволюционирующих объектов можно написать
W(L, 0 = 6(L—Le@),
Теперь из C.6.18) находим
dN = const-E-'°''dElL'"\\ + \/ ^D—2v—ff-)\.
Здесь k = —^-^— величина, характеризующая эволюцию объ-
объектов. По всей вероятности, она отрицательна, как это следует из
расчетов [см. Тинсли A968, 1972), Тинсли и Спинард A971), Сэндидж
A970), Спинард и Тейлор A971I. Константа k имеет размерность
сек'1, т. е. такую же, как и постоянная Хаббла Но. Константа а
имеет размерность обратного квадрата расстояния, а =-г\, и ко-
корень в C.6.23) можно написать в виде
C.6.24)
где E0^aL0 — это поток, который дал бы в точке наблюдения покоя-
покоящийся источник Lo, находящийся на характерном расстоянии с/Н0
от приемника в евклидовом пространстве. Общую формулу C.6.18)
можно привести к виду, аналогичному C.6.23).
Определим средневзвешенные по распределению величины L
икс помощью формул
W(L, O)L*dL
\ W (L, 0) L''' dL
?wdL
C.6.25)
Определим, далее, Ео как поток от источника мощностью L на

92 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ 3
расстоянии с/Но в евклидовом пространстве:
с» 4я(е/Я0J-
Получим
dN = const■E-'l'diAx +]/ |^4—2v—j|) .C.6.26)
В этом виде и надо формулу сравнивать с наблюдениями.
Практически надо взять из наблюдений величину (р:
dN
Ф = =—v—— -
E--dE,
Тогда из C.6.26) следует, что
/"|Л C.6.27)
Откладывая q> на графике в зависимости от 1/т/ Ёх, определяем
коэффициент
S = 4—2v—Щ-.
"о
Наблюдатели зачастую искали эмпирическую зависимость вида
dN = const ■ ЁГ''*'11 dEt = const -d (Ё Т4''11),
т. е. пытались учесть для интегральной величины N отступления от
закона 8/2 изменением показателя степени. Мак-Витти A9596) пока-
показал, что должно быть |i=0, и, действительно, формулы C.6.26) и
C.6.27) показывают, что показатель степени Ёг измениться не мо-
может. При больших Ёи т. е. на близких расстояниях, всегда показа-
показатель равен 3/s для интегральной величины N и Vs для дифференци-
dN '
альной -зтг • Поправка носит характер разложения по степеням, /-г- г
т. е. величины, пропорциональной расстоянию. Выражения C.6.26)
и C.6.27) (о значении v см. примечание на стр. 89) могут быть по-
полезны для обработки наблюдений.
Важнейшее качественное следствие проделанных расчетов заклю-
заключается в том, что найденный выше первый член разложения по Д
не содержит плотности Q' [соответствующая формула A37) и следую-
следующие формулы в обзоре Зельдовича A965в) ошибочны!.
Таким образом, исследования функции распределения объектов
по видимой величине N (Ei), относящейся к близким объектам, мо-
могут быть полезны для характеристики эволюции объектов в недале-
недалеком прошлом и для проверки основного предположения об одно-
однородном (хотя бы в среднем) распределении вещества в пространстве.

$ 7] ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 93
§ 7. О возможности определения космологической модели
по наблюдениям далеких объектов
В формулы, связывающие абсолютную мощность источника и
принимаемый на Земле поток, входят величины Н и Q, определяю-
определяющие космологическую модель. Эти же величины входят в выражение
для числа далеких источников с данным красным смещением и (или)
с данным принимаемым потоком; в это выражение входит также,
очевидно, множителем плотность источников в единице объема со-
сопутствующего пространства. При больших г существенно сказывает-
сказывается неевклидовость пространства, следовательно, влияние Q на
результаты велико. Если значительная часть вещества представляет
собой полностью ионизованный газ, велико также влияние рассея-
рассеяния электромагнитных волн на свободных электронах. Все это надо
учитывать при обработке наблюдений.
Можно ли на основе наблюдений получить сведения о космоло-
космологических величинах? ,
Очевидно, это возможно, если известна абсолютная мощность
источника или если известна плотность источников. В ряде работ
рассчитаны зависимости, на основе которых это можно сделать;
такие зависимости приведены в предыдущих параграфах этой главы.
Однако наиболее трудная часть вопроса заключается как раз в том,
чтобы получить необходимые исходные данные об источниках. Звез-
Звезды главной последовательности представляют собой тот единствен-
единственный тип источников, для которых физическая теория дает вполне
определенные выводы о связи спектра с абсолютной мощностью.
Примером звезд, для которых эмпирически и теоретически установ-
установлена определенная связь между периодом и мощностью, являются
цефеиды. Но цефеиды не видны в далеких галактиках, а для полу-
получения надежных данных, естественно, нужны далекие объекты с
большим z. С больших расстояний мы видим только галактики как
целое (или квазары) и не в состоянии различать отдельные объекты
или структурные образования в них. Но относительно квазаров или
радиогалактик — объектов, наблюдаемых на наибольших расстоя-
расстояниях,— надежных методов определения абсолютной мощности нет.
В §9 мы коротко остановимся на способах определения абсолют-
абсолютной мощности излучения обычных галактик и — с их помощью —
параметров космологической модели. В данном параграфе мы рас-
рассмотрим принципиальный вопрос о влиянии эволюции источников
на способы определения параметров космологической модели. Речь
будет идти главным образом о способах определения параметров мо-
модели по подсчетам радиоисточников. Длительное время с этими спо-
способами космологи связывали большие надежды.
Можно ли определить космологическую модель при наличии
эволюции источников? Ниже мы покажем, что если не известна эво-
эволюция источников из независимых соображений, то это принципи-

94 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. S
ально невозможно. Любая модель, т. е. любые значения Яо и Q,
совместима с любыми наблюдательными данными по статистике
источников, если никак не ограничивать закон эволюции источни-
источников. Следовательно, никакие данные по статистике сами по себе (без
знания эволюции) не позволяют определить Но и Q. Поскольку Но
можно считать известным с точностью порядка ±50%, практически
речь идет об определении Q. В оценке Q неопределенность достигает
более сотни E-Ю-31 г/см3<р0<5-\0~м г/см3, т.е. 0,01<Q<5).
Различия в точности определения Яо и Q объясняются ниже. Учет
рассеяния света электронами ничего не меняет. Всякое утверждение,
относящееся к величине Q, полученное обработкой статистических
данных и сопоставлением их с формулами релятивистской космоло-
космологии, в действительности, явно или неявно, основано на тех или иных
предположениях, касающихся эволюции; достоверность получаемых
значений не больше достоверности эволюционных предположений.
Рассмотрим вопрос в самом общем виде. Обозначим через Р
абсолютную мощность излучения источника. Пусть р(Р, t) есть
функция плотности источников; число источников с мощностью
между Р и P-\-dP в единице сопутствующего объема дается выраже-
выражением dn=p(P, t)dP. Мы используем здесь букву Р для характери-
характеристики светимости источников, чтобы подчеркнуть, что речь идет не
обязательно об интегральной светимости L; так, например, можно
говорить о радиосветимости, которая обычно и обозначается через Р.
Релятивистская космология дает нам, во-первых, связь между /иг,
т. е. t—t(z, Q), и, во-вторых, связь между принимаемым потоком S
и мощностью:
S = P(p.B, Q), или P = S<G1 = S\t>t (z, fi). C.7.1)
Влияние электронного рассеяния заключено в функциях ср.
и tp.: если без рассеяния (p.=(p.0(z, Q), то с учетом рассеяния q>.=
=(р.об~т, где т — оптическая толща. В-третьих, известен сопутст-
сопутствующий объем, приходящийся на слой, в котором красное смещение
меняется от г до z+dz, и на один стерадиан телесного угла:
dV = %(z, Q)dz. C.7.2)
Рассмотрим теперь число наблюдаемых объектов в одном стера-
стерадиане, для которых поток лежит между S и S+dS, а красное сме-
смещение между z+dz и г. Их мощность, очевидно, лежит в пределах
между Р=5ф. и P+dP=(S+dS)ty.. Следовательно,
z, fi), t(z, Q)]i|>.(z, Й)х(Й, z)dSdz. C.7.3)
Итак, для любой функции N"(S, z), полученной из наблюдений
при любом значении Q, можно построить соответствующую

$ 71 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 95
вволюционную функцию
Р(^ °C74)
Шх [«@. О] ' C>7-4)
и это показывает, что знание yV"(S, z) не позволяет определить Q без
фиксирования функции р, т. е. без знания эволюции источников.
Наблюдения неидентифицированных оптических радиоисточников
(для них г неизвестно) дают распределение их по величине потока,
т. е. функцию N'(S):
со
l'(S, z)dz. C.7.5)
Очевидно, что такие менее полные наблюдения тем более не дают ос-
оснований для определения Q. Статистические наблюдения дают све-
сведения об эволюции радиоисточников (см. § 8), но не о космологии
в узком смысле этого слова.
Мы говорили в начале параграфа, что из наблюдений Но вычис-
вычисляется достаточно надежно, a Q, как показано выше, без знания
эволюции вообще не определяется. Здесь мы покажем конкретно
на формулах различие в вычислении Но и Q (подробнее см. § 9).
Предположим, что измерения для некоторых типов объектов в нашей
окрестности дают определенное значение их мощности Р. Мы можем
допустить также, что величина Р подвергается эволюционным из-
изменениям, P=P(f), причем представляется невероятным, что на се-
сегодняшний день t=t0 в эволюции имеется сингулярная точка. Поэто-
Поэтому функция P(t) дается рядом
Р = Pv+ (t-t0) p; + ±(t-t0)* P"o+ ..., C.7.6)
не содержащим отрицательных и дробных степеней: Ро предпола-
предполагается известной в противоположность Р'о, Р"о и т. д. Космологиче-
Космологическая модель дает нам связь между t—10 и г (ср. § 5):
так что
P-Po-4rPo + z4Po + QP'o)+... C.7.8)
"о
Теперь для вычисления наблюдаемого потока S мы должны вспом-
вспомнить [см., например, C.6.14а)], что
^ОТ)] C.7.9)
так что
рвн1 г. (. q 1 р;

96 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ 3
Из C.7.10) видно, что для определения Яо нужен только первый
член разложения, плотность Q переплетается с плохо известной
величиной Р'о (подробнее см. § 9).
Если принять, что эволюционного эффекта нет, т. е. положить
р=р(Р) (не зависит от t), то получаются определенные функции
N"(S, z, Q) и N'(S, fi), зависящие только от Q. Вид функции р(Р)
можно получить исследованием близких объектов. Была надежда,
что таким способом можно найти, хотя бы приближенно, величи-
величину Q. Очевидно, для этого необходимы объекты с достаточно боль-
большой мощностью излучения, поэтому одно время упомянутая надеж-
надежда возлагалась на подсчеты радиоисточников. В действительности
наблюдаемая функция N' (S) для радиоисточников оказалась несов-
несовместимой с функцией р (Р), не зависящей от времени, ни при каких
предположениях об Q @<Q<°o).
Делались попытки задать форму эволюционной зависимости в
каком-либо особо простом виде, например: р(Р, t)=po(P)(t/to)~9
или
р[/\ *(z)] = Po(/>)(l+z)P. C.7.11)
Общая плотность материи в единице физического (не сопутствую-
сопутствующего!) объема pM~(l+zK. Значит, указанное предположение о ра-
радиогалактиках означает, что их плотность в единице физического
объема равна
РфИз = РA+2K—A+2)8 + Р — рм "• C.7.12)
При этом предполагается, что вид распределения их по мощности
[функция ро(Р)] остается неизменным.
Делались также попытки представить простейшими зависимостя-
зависимостями и р (Р) на сегодняшний момент по наблюдениям ближайших источ-
источников. По наблюдаемой интегральной кривой N(S) определялись
параметры, характеризующие эволюцию, а резкий завал этой кривой
для малых S (см. следующий параграф) объяснялся рассеянием света
на электронах межгалактической плазмы. Таким образом определя-
определялась концентрация электронов, а следовательно, и Q. Однако надо
подчеркнуть иллюзорность такого подхода: форма кривой N(S)
и, в частности, ее завал при малых S могут быть обусловлены не вли-
влиянием Q (через электронное рассеяние), а отклонением эволюцион-
эволюционной кривой от простого степенного хода (l+z)p, изменением распре-
распределения источников по мощности с течением времени *) и другими
причинами. При отсутствии полной теории, из которой следовала
бы степенная зависимость (l+z)p, нет никаких оснований считать,
эту зависимость универсальной. Таким образом, следует подчерк-
*) При этом р(Я, t) нельзя уже представить как произведение авух функций
р(Я)/(<) или р(Я)/(г).

$ 8] ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОИСТОЧНИКОВ 97
нуть, что только создание надежной теории эволюции источников,
например эволюции тех или иных типов галактик, позволит по на-
наблюдаемым зависимостям определить q0 и, следовательно, тип моде-
модели. Еще раз отметим, что значение q0 может быть найдено (в предпо-
предположении Л=0) не из зависимостей т—г или N—г, а непосредствен-
непосредственно — выявлением всех видов материи в ближайших окрестностях
нашей Галактики (см. об этом далее).
Есть одно важное исключение из общего утверждения, что любую
космологическую модель можно согласовать с любой наблюдаемой
функцией N(S) за счет произвола в предположениях об эволюции.
Этим исключением является космологическая модель стационар-
стационарной Вселенной (steady state theory на языке ее авторов). Эта теория
подробно охарактеризована в § 10 гл. 23. Здесь достаточно сказать,
что в теории предполагается неизменность всех свойств Вселенной и
заполняющего ее вещества на всем бесконечном времени ее эволю-
эволюции, —oo<ct<X). В теории стационарной Вселенной исключена воз-
возможность эволюции (в среднем, за исключением неизбежных стати-
статистических флуктуации) и предсказывается одна, вполне определен-
определенная функция N(S). Вид ее зависит (впрочем, слабо) только от
функции W (Р) распределения источников по мощности, которую
можно определить в нашей окрестности.
Наблюдения радиоисточников не согласуются с теорией стацио-
стационарной Вселенной. Ниже будут указаны и другие трудности этой
теории.
Именно острая дискуссия по поводу теории стационарной Вселен-
Вселенной вызвала особое внимание к подсчету радиоисточников, особенно
в Англии (где эта теория создавалась и обсуждалась) в последние
два десятилетия.
§8. Эволюция радиоисточников
Прежде чем обращаться к способам определения Но и Q по наблю-
наблюдению обычных галактик, закончим вопрос о том, что же дали под-
подсчеты радиоисточников.
Систематические наблюдения, проведенные кембриджскими ра-
радиоастрономами, возглавляемыми Райлом, явились основой для
теоретических исследований.
Как показано в предыдущем параграфе, данные наблюдений
дают сведения о законе эволюции радиоисточников. Эти сведения
неполны, поскольку интерпретация данных зависит от предположе-
предположений, относящихся к космологии (значения Яо, Q). Приведем резуль-
результаты работы Лонгейра A966) — одной из работ этого направления.
Лонгейр принимает для расчетов модель плоского мира, т. е.
случай критической плотности Q=l. При этом A-J-z)-—-^~"/я.
Он задается различными вариантами закона эволюции. Удовлетво-
Удовлетворительное согласие с наблюдениями вплоть до достаточно малых
* Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

98
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО
[ГЛ. 3
потоков Ss^0,4-10~26 вт/м*-гц дали два варианта. В варианте, обо-
обозначенном Лонгейром (Ь), предполагается, что источники с абсо-
абсолютной величиной МГ>—29,5 (т. е. сравнительно слабые) *) не
эволюционируют, а более мощные, Мг<.—29,5, эволюционируют
так, что мощность их растет пропорционально t~*'2, т. е. пропорцио-
пропорционально (l+zK>3. Этот закон относится к области z<3. При z>3 пред-
предполагается, что нет никаких источников, ни сильных, ни слабых.
Второй вариант, обозначенный (d), предполагает, что плотность
источников с Мг<—33 в прошлом была больше, пропорционально
.—-<-3-8.—^A+г)ь-7. Плотность (на единицу сопутствующего объема)
и мощность более слабых источников, Мг>—33, была неизменной.
При z>4 источников нет.
Эти два варианта, как выяснилось позже, хорошо описывают
также и результаты, относящиеся к источникам вплоть до еще мень-
меньших потоков, 5=0,06-10-гб вт/м2-гц.
Рис. 14. Отношение числа источников N с потоком меньше данного к величине
N0=AS-*^. Кривая/—в предположении (Ь) об эволюции источников (см.
текст), кривая 2 — в предположении (d) об эволюции, кривая 3 — без учета
эволюции. По сси абсцисс отложеи поток на частоте 178 Мгц в единицах
10-м вт/лР-гц.
На графике, приведенном на рис. 14, показана кривая зависимо-
зависимости отношения N(S) к yV0=^4S~*/« в зависимости otS. Кривая дана
в логарифмическом масштабе. Закон NQ~S~'fi соответствует пло-
плоскому пространству, без уч?та эволюции и красного смещения, кон-
константа А выбрана в соответствии с числом близких источников;
поэтому для больших S отношение N/N<r*-l. Для сравнения приве-
♦) Радиосветимость Мг определяется формулой Мг=«33,95—2,51gP178,
где Р1П — мощность в втктер- гц на частоте 178 Мгц (длина волны 1,7 л).

* 8]
ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОИСТОЧНИКОВ
99
дена кривая 3 без учета эволюции, но с учетом космологических
эффектов (Q=l), эта кривая целиком лежит под осью абсцисс. Подъ-
Подъем кривой в области 10<S<l обусловлен эволюционным эффектом—
возрастанием числа источников или их мощности. Спад кривой при
S<1 требует для своего описания эволюционного эффекта противо-
противоположного знака — отсутствия или резкого уменьшения числа ра-
радиогалактик при z>3 или z>4. Крайняя левая точка получена Шо-
ломицким поданным работы Кендердина, Райла и Поолея A966) и в
работе Лонгейра не была учтена, тем не менее она отлично легла на
кривую.
На графике, приведенном на рис. 15, представлено распределение
по мощности радиоисточников, находящихся вблизи нас в области
z<0,01. Для них эволюционный эффект мал.
л
п
-76 -27 -26 -31 -36 Мг
Рис. 15. Распределение по мощно-
мощности радиоисточников, находящихся
в области с z<0,01. По вертикали
отложено количество источников с
г<0,01, приходящихся на стера-
стерадиан, имеющих абсолютную радио-
радиояркость от Мг до УИГ+0,5.
Щ
10
1
К
Г/Г3
1О4
5
1(ГГ
кг*
-16 -21 -26 -31 -36 -41 Мг
Рис. 16. Эволюция радиоисточников в ва-
варианте (Ь). Представлена кривая плотно-
плотности радиоисточников, какой она должна
быть на момент, соответствующий г=3.
Эволюционируют только радиоисточники
с Мг<—29,5. Плотность дана на объем
сопутствующего пространства, который в
настоящее время совпадает с объемом, ис-
используемым для получения п на рис. 15.
Эволюционные предположения Лонгейра соответствуют своеоб-
своеобразной деформации кривой для разных z: в варианте (Ь) при z=3
кривая приведена на рис. 16, в варианте (d) при z=4 вид кривой
приведен на рис. 17. Кривая существенно меняет свою форму!
Особенно надо подчеркнуть «обрезание» при z=3 или 4. Предпо-
Предполагается, следовательно, что при z>3 или 4, т. е. раньше определен-
определенного момента (tf<5- 10е лет), радиогалактик не было. Эта оценка мо-
момента начала массового рождения радиогалактик совпадает с оцен-
оценками, полученными из других соображений.

100 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ. 3
Однако такая оценка основана на соотношении между размерами
скоплений (диаметр порядка D=3 Мпс) и средним расстоянием меж-
между ними (порядка /= 10 Мпс)*). Где-то при z«3,5 скопления соприка-
соприкасались, заполняли все пространство, а следовательно, именно при
этом г произошло их обособле-
обособление друг от друга (Цвикки дает
значение z=4,25). Другая оцен-
оценка связана с рассмотрением теп-
теплового баланса газа до образо-
образования галактик (см. далее).
На первый взгляд представ-
представляется неестественным резкое
изменение самой формы кривой
р(Р) в прошлом по сравнению
с плавной кривой в настоящее
■ время: появление разрыва или
горба на рис. 16 и 17. Это озна-
-16 -21 -Z6 -31 ~36 -41 Мг чает, что современные радио-
Рис. 17. Эволюция радиоисточников в источники состоят из двух групп,
варианте (d). Кривая п=п(Мг) на мо- По Лонгейру, С данными наблю-
мент г=4. Меняется число источников й совмеСтимо предположе-
с М,<—33. Плотность отложена в тех м ^
же единицах, что и на рис. 16. ние, что мощная эволюциониру-
эволюционирующая группа представляет собой
квазары. Необъяснимым остается только тот факт, что в настоящее
время две группы источников дают плавную кривую р(Р), без
изломов или разрывов.
Насколько однозначной является картина эволюции, предложен-
предложенная Лонгейром? Если предположить, что эволюционируют все ис-
источники, т. е. вся кривая р(Р) смещается вправо или вверх без
изменения формы, нельзя получить резкий завал N(S)/N0(S) при
малых S. Его нельзя получить ни за счет выбора г, выше которого
нет источников, ни за счет учета рассеяния.
В самом деле, если при увеличении чувствительности приемной
аппаратуры (т. е. при уменьшении S) мы не видим более далеких
источников (потому что их нет за пределами определенного z или они
скрыты пеленой рассеяния)! то зато мы видим новые, более слабые
источники. Лишь при немонотонной кривой вида рис. 16 или рис. 17
можно добиться того, чтобы прекращался быстрый рост N(S).
Лонгейр не учитывает рассеяния света электронами. Предпола-
Предполагая, что ионизованный газ составляет долю а средней плотности, и
используя соотношения для оптической толщи т (о — сечение рас-
рассеяния, |хе — молекулярный вес на один электрон)
He J
*) Для крупных скоплений С«8 Мпс, I к 40 Мпс, см. § 11 гл. 14.

} 8] ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОИСТОЧНИКОВ 101
и для плотности газа pra3(z)=apu(l+zK = ap^(l+zK, получим
формулу для оптической толщи рассеяния (считаем це=1,16):
т= 0,04а (_ "• м )q[V + *±. C.8.1)
\75 км/сек-Mncj J J^l-fQz l '
о
При Яо=75 км/сек-Мпс, 0=1 и ая*1 формула C.8.1) дает
|-1]. C-8.2)
т. е. т=1 при гжЮ.
Для эволюционных моделей Лонгейра т»0,2—0,3 на границе
образования источников (при z=4). Следовательно, необходимо
предположить дополнительное ничтожное изменение мощности
источников, чтобы компенсировать влияние рассеяния. Напомним,
что эволюционное изменение мощности по Лонгейру составляет
(l+zf-3, т. е. при z=3 достигает 100 раз!
Вопрос о статистической точности кривой N (S) осложняется тем,
что в N (Si) с малым St входит как слагаемое N (S2) с большим пото-
потоком S2, т. е. два значения N (Si) и N (S2) не являются независимыми.
В связи с этим Джонси A970) предложил пользоваться дифферен-
дифференциальной кривой -^р- в зависимости от S. Практически целесообраз-
целесообразно находить AnN — число источников с мощностью в интервале S,
меняющемся в геометрической прогрессии ASn=S(P"—Р"). Р<1.
При степенной функции N(S) получится линейная зависимость
log AnN от п. Преимущество дифференциального или разностного
представления результатов подсчета радиоисточников заключается
в том, что случайная флуктуация количества близких источников
при этом не влияет на последующий ход кривой.
Против работ Лонгейра выдвигались возражения: в частности,.
Келлерман A972) утверждал, что на самом деле в нашей окрестности
не хватает мощных источников, что и приводит к кажущемуся эффек-
эффекту эволюции. По нашему мнению, статья Лонгейра и Риса A972)
содержит убедительную защиту эволюционной картины*).
Рассмотрим теперь соотношение между подсчетами радиоисточ-
радиоисточников и общим фоном радиоизлучения.
Особенно интересны данные о суммарной интенсивности радио-
радиоизлучения на частоте 178 Мгц. Измерения показывают, что эффек-
эффективная температура равна 80 °К (в направлении на полюс Галакти-
Галактики); предполагается, что из этого излучения на внегалактические ис-
источники приходится 28±5° или, по другим данным, 23±5° (см. § 2
*) В последнее время выполнены новые подсчеты в диапазоне от
178 Мгц до 5 Ггц. При обсуждении этих подсчетов необходимо принимать
во внимание разные спектры источников. Новые данные подтверждают об-_
Щую картину, приведенную выше [см. Лонгейр A974)J.

102 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ. 3
гл. 5). Отсюда следует еще вычесть 3° реликтового излучения. Таким
образом, на все, в том числе и неразрешенные, источники излучения
приходится от 15 до 30°. Важная особенность суммарного излучения
состоит в том, что на него не влияет рассеяние, способное изменить
лишь направление, но не частоту и интенсивность излучения.
Обозначим общую радиомощность единицы сопутствующего
объема через Рх:
P, = 4:n$Pp(P)dP.
С учетом эволюционного эффекта Pi=Pi@". удобнее, зная связь t
и г, перейти к Pi=Pi(z). Светимость в единице физического объема
равна (l-\-z)*Pi(z). Для степенного спектра P^v-" закон изменения
плотности энергии на данной частоте в ходе расширения имеет вид
Используя зависимость C.4.7):
dt
получим для плотности излучения в настоящее время выражение
dz
- C>8-3)
Удобно от плотности излучения перейти к эффективной температу-
температуре. Для радиочастот {hv^.kT) эти величины связаны формулой Рэ-
лея — Джинса:
ev = 8nkT -p- у (эрг/смв • щ),
поэтому формула для эффективной температуры будет иметь вид
где
л-
Если выделить эволюционный фактор, т. е. записать Рг=Р0/(г),
где Ро — радиомощность в настоящее время, последнее выражение
приобретает вид *)
*) Численное значение константы взято для частоты 178 Мгц и Нв=
100 км1сек- Мпс.

) 8] ЭВОЛЮЦИЯ РАДИОИСТОЧНИКОВ I(f3
Предположим степенной закон эволюции от некоторого
г до г—0; положим, далее, Q=l. Для /=(Ц-г)э, а=1 найдем
Т = 16°-2(|/Т+7— 1); при z=4 было бы 7^40°.
Если же взять более крутой рост, /(z)~(l-fz)°, который необхо-
димдляописания роста N(S),тоТ = 16°~[A-f-zJ—1] « 190° при
2=4. Предположение об общей эволюции всех источников, и сильных
и слабых, с обрезанием при z=4 противоречит измеренной темпера-
температуре.
Любопытно оценить вклад в температуру, который дают только
идентифицированные источники. Принято характеризовать их функ-
функцией N (S) — числом источников в одном стерадиане, у которых
поток превышает 5. Число источников с потоком в интервале от S
до S+dS равно — -r^-dS, следовательно, полный поток
[ S). C.8.4)
s
В широком интервале от S=0,3-10-2e до S^30-10~ze вш/м2-гц
наблюдательные данные описываются степенной формулой
При таком показателе полный поток определяется нижним пре-
пределом интегрирования 5Н в C.8.4) (S — в единицах 10~мвш/м2-гц),
т. е. в основном зависит от многочисленных слабых источников и
оказывается равным
g = 4• 1035й0л • 10-2в (вт/м* ■ гц ■ стер).
Если же выражать его через эффективную температуру (для v==
•=178 Мгц), то
g=9607M0-ie (вт/ма-гцстер).
Вследствие того, что при 5<0,3 рост N (S) резко замедляется, все
источники с 5>0,3 дают, согласно Лонгейру, T~l(f; более поздние
данные до 5=0,03 незначительно увеличивают это значение. Однако
если бы замедление роста N (S) было связано с рассеянием, то источ-
источники, которые без рассеяния давали бы поток 5>0,03, дали бы Т—
•=44°, что выходит за допустимый предел 15°—тЗО°.
Следовательно, если в принципе замедленный рост N (S) можно
описать как влияние рассеяния, то наблюдаемую температуру опи-
описать нельзя, не предполагая, что где-то при z>4 (или, соответственно
S<0,03) источников нет или по крайней мере закон эволюции таков,
что излучение источников не столь резко нарастает в прошлое.
После опубликования работы Лонгейра последующие измерения
подтвердили его предсказания для малых 5.

104 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Число источников при 5 меньше определенной величины не рас-
растет так быстро, как прежде. Лонгейр предполагал резкое обрезание
fi(z)=0 при z>zc. Как показано позже Дорошкевичем, Лонгейром
и Зельдовичем A970), нельзя исключить, что Рг(г)=const=Pl(zc)
при z~>zc. Даже функция совершенно иного типа, P1=const-e~'/'«,
без какого-либо обрезания также достаточно хорошо объясняет из-
измерения. Необходимость обрезания характерна только для степен-
степенного закона (l+z)e — такой закон нельзя экстраполировать неог-
неограниченно kz->oo. Имеются физические причины полагать, что при
больших z, скажем ;ф>10, нет радиоисточников, тяк как до^ггаточно
рано во Вселенной вообще не было отдельных объектов. Но здесь
утверждается только, что измерения N (S) не дают определенных
указаний о величине максимально возможного г для радиоисточ-
радиоисточников.
Непосредственные наблюдения дают картину, внешне напоми-
напоминающую островную Вселенную с нашей Галактикой в центре. При
удалении от центра плотность источников вначале нарастает, но за-
затем, на определенном расстоянии, резко падает. Однако вся сово-
совокупность теоретических взглядов заставляет нас эту кажущуюся
пространственную неоднородность истолковывать как эволюционный
эффект в пространственно-однородном мире.
Все расчеты в статье Лонгейра были сделаны в предположении
£2=1, Яо=100 км/сек-Мпс. Насколько они чувствительны к этим
предположениям? Определение р (Р) было основано на счете иденти-
идентифицированных источников с 2<0,01, для которых известен поток S.
Пересчет этой величины на плотность на единицу объема выражает-
выражается через Рюо(Р) (где рюо рассчитано для случая Но= 100 км/сек-Мпс):
от Q пересчет не зависит.
Однако вид эволюционных кривых f (z) не зависит от Яо, но зави-
зависит от Q. Иначе говоря, данная функция f(z) дает одинаковый ре-
результат при любом Но, но для получения одних и тех же наблюда-
наблюдательных результатов при различных Q нужно менять закон эво-
эволюции.
Чтобы выяснить, как велики эти изменения, можно сравнить
данные для Q=V3, £2= 1 и £2=3 при z=4. Легко вычислить величины
•^г, D2, D2 -^-, т,ет на моментz— 4. Оказывается, что изменения при
переходе от одной модели к другой отнюдь не малы и достигают од-
одного порядка. Однако их надо сравнивать с предполагаемыми эво-
эволюционными эффектами. Согласно Лонгейру, эволюционные эффек-
эффекты, как показано выше, составляют в разных вариантах от двух до
четырех порядков. По сравнению с такой эволюцией изменения при
переходе от одной модели к другой малы; малое изменение показа-

fl] ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ho и q0 ИЗ НАБЛЮДЕНИИ Ю5
эволюции, не меняющее качественной картины, позволяет со-
согласовать наблюдения с любой космологической моделью.
Отсюда следует вывод: наблюдения свидетельствуют об эволю-
эволюции радиоисточников, но они не помогают в определении парамет-
параметров космологической модели. Способу определения этих параметров
посвящен следующий параграф. Одна из «космологических» целей
подсчета радиоисточников была все же достигнута: результаты под-
подтвердили направленную эволюцию мира как целого, а значит, опро-
опровергли теорию «стационарного состояния» Вселенной. Критический
разбор этой теории будет дан в разделе V.
§ 9. Определение Нй и q0 из наблюдений
Формулы, приведенные в §§ 2—5 и выражающие различные на-
наблюдаемые величины через параметры космологической модели, в
принципе должны (путем сравнения с наблюдениями) приводить
к определению двух параметров Но и q0 (или Q) и нахождению, та-
таким образом, всех параметров однородной изотропной космологиче-
космологической модели. Как подчеркивалось во введении, такая модель с боль-
большой точностью описывает сегодняшнее состояние окружающей Все-
Вселенной, что подтверждается наблюдениями, и в первую очередь
наблюдениями реликтового излучения, о чем подробно говорит-
говорится далее.
Из всех способов проверки космологических теорий наблюде-
наблюдениями далеких объектов, рассмотренных в предыдущих параграфах,
наиболее подходящим для определения Но и q0 оказался способ,
основанный на зависимости видимая звездная величина — красное
смещение (т—lg г). Все другие способы [см. например, Хьюиш, Рид-
хид, Дюффе-Смит A974)] связаны с большими трудностями и ошиб-
ошибками наблюдений, селекции и т. п. Соотношение (т—lg z) описы-
описывается формулой C.4.21) и разложением C.5.25) этой формулы для
г<0,3. Перепишем эти формулы еще раз:
j t, C-9.1)
1,086A — qo)z + Clt z<0,3, C.9.1a)
где
С1 = М6од (в момент испускания света) — 45,06—51g#0; C.9.2)
#о — в единицах сек~1ш
Формулы C.9.1) — C.9.2) показывают, что для нахождения
<7о и Но достаточно измерить m6o., только у двух источников с извест-
известным М6ол (в момент испускания света). Но вся трудность решения
космологической проблемы как раз и состоит в определении величи-
величины Л^бод для какого-либо яркого источника, видимого издалека. В от-

106
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО
1ГЛ. S
сутствие такого «стандартного источника» (т. е. источника с извест-
известной светимостью) используют возможно большее количество источ-
источников со светимостью, известной лишь приближенно, и находящихся
на разных от нас расстояниях.
Конкретно предполагается (это предположение проверяется
наблюдениями, см. далее), что в различных скоплениях галактик
1й
Рис. 18. Зависимость видимая звездная
величина — красное смешение для ярчай-
ярчайших галактик скоплений. По оси ординат
отложена величина lg cz.
3.0
Рис. 19. Диаграмма красное сме-
смещение — видимая звездная вели-
величина для квазаров. Прямая ли-
линия взята с рис. 18.
ярчайшие члены скоплений имеют все одинаковую абсолютную звезд-
звездную величину, и строится диаграмма видимая звездная величина —
красное смещение (т—lg z) для таких объектов (едиаграмма Хаб-
бла»).
На рис. 18 изображена такая диаграмма для наиболее ярких
галактик скоплений [по данным работы Сэндиджа A9726)]. Подоб-
Подобная диаграмма позволила Хабблу в 1929 г. установить закон крас-
красного смещения. В то время он располагал наблюдательными дан-
данными, относящимися к области, примерно соответствующей черному
прямоугольнику в левом нижнем углу диаграммы. К настоящему
времени наблюдательные возможности резко увеличились. Еще
недавно казалось, что прогресс будет даже значительно большим.
Надежды связывались с мощными источниками радиоизлучения,
которые видны с помощью современных радиотелескопов на расстоя-
расстояниях больших, чем галактики. Однако, как было показано в §§ 7 и 8,
сильный эволюционный эффект делает эти источники малопригод-
малопригодными для решения космологических проблем. В прошлом десятнле-

I 9] ОПРЕДЕЛЕНИЕ H, и ?, ИЗ НАВЛЮД ЕНИЙ 107
тии были открыты квазары, которые по мощности оптического излу-
излучения на полтора-два порядка превосходят галактики. Однако и они
оказались непригодными для решения космологической проблемы,
так как в отличие от ярчайших галактик в скоплениях, которые
действительно оказались приблизительно одной абсолютной вели-
величины М, квазары имеют огромный разброс в абсолютных звездных
величинах и, по-видимому, сильный эволюционный эффект. Диа-
Диаграмма (т—lg z) для квазаров, изображенная на рис. 19, не дает
никакой определенной зависимости *). Вернемся к диаграмме
(m—lg z) для галактик.
Прежде чем идти дальше, заметим, что на диаграмме рис. 18
отложены не т^, а так называемые фотовизуальные звездные вели-
величины тр, т. е. величины, полученные с помощью селективного
приемника света и определяющие, таким образом, не полный поток
света (как тбол), а только поток в определенном участке спектра.
В них внесена поправка за счет того, что при больших красных сме-
смещениях z селективный приемник измеряет интенсивность в других
частях спектра по сравнению с малыми z. Эта поправка (так называе-
называемая А-поправка) приводит все наблюдения к единому участку спект-
спектра (разумеется, спектр считается известным по исследованию бли-
ближайших галактик). Кроме того, звездные величины mv исправлены
на поглощение света в межзвездном пространстве нашей Галактики.
В звездные величины галактик вносятся и другие поправки, на ко-
которых мы здесь не останавливаемся. Обзор этого вопроса читатель
может найти в работе Пича A972) (там же список литературы).
Разумеется, формулы для фотовизуальных величин после внесения
поправок имеют такой же вид, что и C.9.1), C.9.2). Мы будем ис-
использовать эти формулы, имея в виду указанные оговорки об астро-
астрономических коррекциях. Точки на диаграмме рис. 18 с малым раз-
разбросом лежат вдоль практически прямой линии, возможно немного
искривленной в верхней части. Эта зависимость для галактик хоро-
хорошо описывается формулами C.9.1а) и C.9.2) с M6ojl=const. Член
51gz описывает прямую линию на диаграмме (при небольших z
этот член главный), а второй член 1,086 A—qo)z мал по сравнению
с первым и описывает небольшое искривление линии при больших z.
Приведенная диаграмма доказывает, что исходные допущения пра-
правильны, по крайней мере в первом приближении. Напомним эти ис-
исходные допущения:
1. Мир галактик расширяется, и галактики удаляются от нас
пропорционально расстоянию [линейность зависимости т от lg г
и тот факт, что коэффициент зависимости равен 5, как требует
C.9.1а)].
*) Впрочем, в ряде работ выделяется и для квазаров класс объектов, для
которых наблюдается зависимость (т—lg г); см. Сегги и Волтьер A973), а также
Бакалл, Хиллс A973), Бэрбидж, О'Делл A973).

108 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
2. Расширение происходит изотропно по разным направлениям
(галактики из разных областей неба ложатся на одну и ту же линию
диаграммы).
3. Абсолютные величины ярчайших галактик в скоплениях дей-
действительно примерно одинаковы (иначе получилась бы не линейная
зависимость, а «облако», как на диаграмме для квазаров).
4. Эволюционный эффект не очень велик, иначе бы линия сильно
искривлялась (подробнее см. ниже).
Для того чтобы определить Но из наблюдений, нужно, согласно
формулам C.9.1а) и C.9.2), знать абсолютную величину ярчайшей
галактики какого-либо скопления. Тогда по линейной части диа-
диаграммы находится Но. Линейная часть диаграммы, как уже было
сказано, включает все слагаемые C.9.1а), кроме члена 1,086 A—qo)z,
который мал при малых г. Этот член описывает небольшое искривле-
искривление линии при больших z и в принципе дает возможность опреде-
определить </0.
Для решения первого вопроса — нахождения Но — определяют
М ярчайших галактик ближайших скоплений, например скопления
в созвездии Девы. Мы очень кратко опишем здесь путь этого опре-
определения, отсылая за подробностями к обзору Сэндиджа A962); но-
новые данные приведены в статьях Симпозиума № 44 MAC [редактор
Эванс A972)] и цитированной там литературе.
Этот метод заключается в постепенном определении расстояний
до все более удаленных объектов, пока не доходят до скопления Де-
Девы. Сначала находят абсолютные звездные величины звезд ближай-
ближайших рассеянных звездных скоплений (как правило, обычно исполь-
используется скопление Гиады). Для этого определяют расстояние до скоп-
скопления, что делается следующим способом. Измерение перемещений
отдельных звезд скопления на небе из-за их движения в простран-
пространстве вместе со скоплением позволяет определить угол а между на-
направлением от нас на скопление и направлением его движения в про-
пространстве относительно Солнечной системы *). Затем, используя
лучевые скорости звезд Улуч, определяют скорость Vt перемещения
звезд в картинной плоскости (в км/сек): Vt=Vay4 tg а. Сравнивая
эту скорость с угловыми перемещениями $>, находят расстояние до
скопления /?=К,/р. Оно оказывается около 40 пс A,2- 10го см). Зная
расстояние и видимые величины звезд, можно определить абсолют-
абсолютную звездную величину звезд скопления, находящихся в стадии
горения водорода (звезд «главной последовательности» диаграммы
т — цвет). Абсолютные звездные величины звезд на главной после-
последовательности зависят только от их цвета (спектрального класса) и
после определения расстояния до Гиад могут считаться известными.
*) Этот угол равен угловому расстоянию на небе между скоплением и точ-
точкой, где пресекаются линии направлений перемещения отдельных звезд скопле-
скопления на небе.

s в] ОПРЕДЕЛЕНИЕ Н„ и д„ ИЗ НАБЛЮДЕНИИ 109
Следующий шаг заключается в определении расстояний до дру-
других, более далеких скоплений путем сравнения видимых звездных
величин звезд на главной последовательности в этих скоплениях и в
Гиадах. Так можно найти расстояния до всех скоплений нашей
Галактики, что позволяет определить абсолютные величины М неко-
некоторых периодических переменных звезд — цефеид, входящих в
эти скопления. Цефеиды подчиняются замечательному соотношению
период Т — светимость М. Зная абсолютную величину М некоторых
из цефеид, входящих в скопления, находят «нуль-пункт» зависимо-
зависимости Т — М, т. е. какое М соответствует определенному Т. Яркие
цефеиды видны с больших расстояний; в частности, они видны и в
одной из ближайших спиральных галактик — М-31 (Андромеда).
Измеряя период цефеид в М-31, определяют их светимость М (по
зависимости Т — М) и, сравнивая Mem, находят расстояние до
М-31. К сожалению, цефеиды не видны в более далеких галактиках
скопления в Деве, которое существенно дальше галактики в Андро-
Андромеде. Приходится делать еще один шаг. В галактике М-31 видно
много шаровых звездных скоплений. Знание расстояния до М-31
позволяет вычислить М шаровых скоплений. Их абсолютная вели-
величина оказывается Mfa—10m,6. Шаровые скопления можно видеть
в галактике М-87, входящей в скопление в Деве. Измеряя видимые
величины шаровых скоплений в М-87 и зная величину М шаровых
скоплений, находят расстояние до скопления Девы (около 17Х
X 10" пс) *). Наконец, из этого расстояния и видимой величины яр-
ярчайшей галактики NGC 4472 находят величину М ярчайшей галак-
галактики. Она приблизительно равна М=—22,5т.
Кроме указанного способа использования цефеид и шаровых
скоплений в качестве индикатора расстояний до галактик исполь-
используют другие яркие объекты с более или менее уверенно известными
абсолютными величинами. Такими объектами, например, являются
ярчайшие видимые звезды, новые и сверхновые звезды. Кроме того,
используют линейные размеры районов ионизованного водорода
(НИ-области). Эти размеры довольно постоянны и поэтому также
могут служить индикаторами расстояния.
Очевидно, что ошибки возможны на каждой ступени длинной
лестницы, описанной выше. Поэтому Но может считаться известной
сейчас с точностью вряд ли лучшей, чем десятки процентов, а может
быть, и с точностью не выше ±50%. Оценки самого Хаббла в 1936 г.
давали для На величину 530 км/сек-Мпс. Современные оценки
Сэндиджа, Вокулера, Ван ден Берга и др. дают оценки между
100 км/сек-Мпс и 50 км/сек-Мпс и даже еще меньше (обзоры см.
в уже упомянутом сборнике под редакцией Эванса). Новые данные
приведены в цикле работ Сэндиджа A972а, б, в, 1973а, б), Сэндиджа,
*) Напомним, что для столь небольших по космологическим масштабам рас-
расстояний понятие расстояния имеет однозначный смысл, см. §§ 3, 5.

ПО РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО 1ГЛ *
Таммана A974а—е). Для конкретных численных оценок будет
использоваться величина Н0=7Ъ км1сек-Мпс. Но, по-видимому,
наилучшее современное значение //„=55 км/сек-Мпс.
На первый взгляд общая тенденция имеет весьма «угрожающий»
характер. Со времен первых определений Но ее значение, получае-
получаемое из все более точных наблюдений, с течением времени только
убывает. Общая причина убывания связана, с одной стороны, с тем,
что по ошибке принимали в других галактиках более яркие объекты
за более слабые (например, светящиеся облака газа за звезды), с
другой стороны — с осознанием того факта, что на большом
расстоянии, имея большое число объектов, при наличии ста-
статистического разброса мы выбираем более яркие [см. Тамман
A973а)].
Поэтому особенный интерес приобретает оценка величины Но
снизу. Интересное замечание по этому поводу сделал Пикельнер
A974). Он отмечает, что радиоактивные изотопы позволяют опреде-
определить, когда в прошлом был период активного нуклеосинтеза в Га-
Галактике. Фаулер A972) дает наиболее современное значение т=
=(П,7±2)-10в лет для периода, отделяющего нашу эпоху от мо-
момента активного нуклеосинтеза в нашей Галактике; новый обзор
см. Шрамм A974).
Предположим, что эта величина того же порядка и для других
галактик (практически х — это возраст галактик). Но в период нук-
нуклеосинтеза галактики должны быть во много раз ярче, чем в настоя-
настоящее время [Партридж, Пиблс A967а)]. Мы в настоящее время не
видим таких сверхъярких галактик, значит, период, когда они были
яркими, соответствует г>1, чтобы красное смещение ослабило их
яркость. Из условия тл; 12- 10влетиг>1 с помощью C.4.7) находим,
что Н0>40—50 км1сек-Мпс. При всей грубости рассуждений ценно
то, что они дают нижний предел Но и никак не связаны с длинными
цепями выводов, необходимых для определения шкалы расстояний.
Возраст галактик т можно оценить еще, считая его приблизи-
приблизительно равным возрасту шаровых скоплений. Определение возраста
последних <щ с основано на теории звезд главной последовательно-
последовательности. Ибен, Рут A970) дают <щ с=A0±3)-109 лет. Другие оценки
возраста галактик см. Тэлбот и Арнет A973а, б). По их данным, х«
»A8,6±5,7)-10в лет.
Перейдем теперь к нахождению q0. Как видно из формулы C.9.1)
или C.9.1а), q0 описывает искривление зависимости (т—lg z),
отклонение зависимости от прямой. Величина q0 определяется прямо
из диаграммы и не требует знания шкалы внегалактических расстоя-
расстояний; тем не менее, как мы увидим, точность ее определения также
очень невелика. По оценкам Сэндиджа A972а), основанных на обра-
обработке данных рис. 18,
^ (дана вероятная ошибка). C.9.3)

,9]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Н„ и ?, ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ
111
На рис. 20 проведены линии, соответствующие зависимостям
при разных q0- Таким образом, q0 находится очень неуверенно.
К этому надо добавить еще следующее. Как мы неоднократно упо-
упоминали выше, зависимость (т — lg z) искривляется не только
благодаря члену с q0, но также еще из-за эволюционного эффек-
эффекта, т. е. из-за того, что М в выражении C.9.2) нельзя считать по-
постоянной.
Перепишем формулу C.9.1) с учетом эволюционного эффекта.
Для этого воспользуемся уже полученным в § 7 выражением
C.7.10). Переходя к звездным величинам, находим
C.9.4)
Таким образом, величина C.9.3), по существу, есть сумма второго
и третьего слагаемых в круглых скобках C.9.4). Теоретические
оценки эволюции галактик
{см. Сэндидж A970), Спинард
и Тейлор A971), Тинсли A968,
1972, 1973)] показывают, что 4*.
третье слагаемое может быть
столь же существенным, как
и q0. Для величины Мо может
быть очень приближенно при-
принято значение
Мож — 0,05 (±0,02). 10-»
(звездн. велич. / год).
Поэтому о надежном опреде-
определении <7о в настоящее время
говорить не приходится *).
Однако, несмотря на это,
один важный вывод можно
сделать. Согласно космологи-
космологической теории «стационарного
состояния», которая одно вре-
время усиленно защищалась Хой-
лом и некоторыми другими
Рис. 20. Зависимость г—т„ для разных q0.
Значения <?„ указаны у кривых.
астрономами, Вселенная неизменна во времени. Это ведет к тому,
что«7о=—1, а М=0. На рис. 20 приведена соответствующая кривая
Для <7„=—1. Как подчеркивает Сэндидж, крайне невероятно, чтобы
эта кривая соответствовала наблюдениям. Впрочем, теория «стацио-
*) Эти определения могут быть отягощены также и селекционными ошиО-
•ими наблюдений; см. Пич A972).

112 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. S
нарного состояния» опровергается и доказательством эволюции ра-
радиоисточников, приведенным выше (§ 8).
Вопрос о прямом методе определения средней плотности вещест-
вещества во Вселенной рассмотрен в § 11 гл. 14.
§ 10. Наблюдаемые величины во Вселенной, однородной
лишь в среднем
Вселенная однородна в больших масштабах, включающих много
галактик. Однако неоднородность распределения вещества во Все-
Вселенной в меньших масштабах очевидна: именно этой неоднородности
мы обязаны существованием отдельных звезд, галактик, скоплений
галактик. Влиянию неоднородности на динамику (геометрию и дви-
движение) мира и на распространение света посвящен третий раздел
книги. Однако один частный вопрос общей проблемы неоднородно-
неоднородности целесообразно изложить уже здесь; речь идет о неоднородности
малого пространственного масштаба /, но большой амплитуды
т. е. неоднородности с местной плотностью, во много раз отличаю-
отличающейся от средней.
Почему именно этот частный вопрос можно и нужно рассматри-
рассматривать в части, посвященной теории «строго» однородной Вселенной?
Дело в том, что неоднородности малого масштаба практически не
влияют на динамику Вселенной как целого и на красное смещение
далеких объектов.
Совсем грубо можно считать, что закон изменения расстояния R
между двумя объектами зависит от массы вещества в шаре диамет-
диаметром R. Если R^>1, то в этом шаре находится много «неоднороднос-
тей», их число N&(R/lK и отклонение плотности от средней мало *).
Однако необходимо подробнее проследить за распространением
того пучка лучей, который приносит энергию от далекого объекта
(галактики, квазара) земному наблюдателю. На распространение
этого пучка специфически влияют неоднородности, расположенные
вблизи лучей, в частности вещество, оказывающееся внутри конуса
лучей, принимаемых наблюдателем. Объем этого конуса ничтожно
мал по сравнению с объемом шара диаметра R. Именно поэтому не-
неоднородности, которые можно не учитывать в общей картине движе-
движения, оказываются существенными для некоторых наблюдаемых ве-
величин.
В частности, рассмотрение неоднородной задачи позволит глубже
понять физический смысл того, что происходит в строго однородной
Вселенной.
*) Примитивная оценка для случайных неоднородностей есть -тг ^ ■-— ,
но в третьем разделе мы увидим, что отклонение от средней плотности может быть
еще меньше,

$ 10J НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ВО ВСЕЛЕННОЙ ЦЗ
В данном параграфе рассматривается влияние неоднородности
Вселенной на угловой размер и видимую величину далеких объектов.
Для однородной Вселенной эти величины уже получены нами в за-
зависимости от расстояния или, точнее, от красного смещения. Оказы-
Оказывается, что для применимости этих формул нужно, чтобы однород-
однородность удовлетворяла требованиям более строгим, чем те, которые
должны быть выполнены для справедливости
закона расширения однородной модели.
Изложение в данном параграфе основано
на нескольких советских работах: Зельдович
A964а), Дашевский, Зельдович A964), Да-
шевский,Слыш A965). Во время симпозиума в
Бюракане A966) американские астрономы со-
сообщили, что соображения, аналогичные при-
приведенным в указанных работах, высказывал Qf ul
Фейнман. Недавно подробные формулы приве- ^
ЛИ Кантовский A969), Дайер И Рёдер A973). Рис.21. Схема измере-
Напомним замечательный факт: угол, под объекта°ЛВ^ОвРоднород-
которым виден далекий объект, с увеличением HOg Вселенной (ввер-
расстояния проходит через минимум, при ху) и во Вселенной,
приближении к горизонту угол неограничен- состоящей из отдель-
отдельно возрастает (см. § 3 этой главы). Наглядно ныхскоплений материи
объяснить этот факт можно, рассматривая
гравитационное фокусирующее действие на свет вещества, находя-
находящегося внутри конуса лучей, сходящихся в точку наблюдения О,
от объекта АВ (рис. 21, вверху). Речь идет об искривлении лучей
того же происхождения, что и знаменитое отклонение лучей на 1,75"
около диска Солнца. Непосредственно видно, что искривление лучей
ОА и ОВ увеличивает угол между лучами в точке О при данном раз-
размере АВ. При этом рассматривается действие вещества внутри ко-
конуса, которое отклоняет луч АО вниз (по ходу луча справа налево),
а луч ВО — вверх. Вещество, находящееся снаружи конуса ОАВ,
при наличии осевой симметрии не влияет на угол 0, как бы много это-
этого вещества ни было *).
Из приведенного наглядного объяснения непосредственно сле-
следует условие применимости формул для угла, относящихся к одно-
однородной Вселенной: нужно, чтобы плотность внутри конуса не отли-
отличалась от средней плотности. Если большая часть плотности связана
с нейтрино, межгалактическим газом и пылью, то это условие может
быть выполнено. Но рассмотрим противоположный случай: предпо-
предположим, что все вещество сконцентрировано в отдельных галактиках
(рис. 21, внизу). Тогда либо в конус попадает галактика целиком или
*) Неоднородное распределение вещества вне конуса лучей также влияет
на наблюдаемую величину. Расчеты эффекта проделаны Пенроузом A9GC), Бер-
ТОгти A966), Ганном A967). ^ " *

114 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. S
частично (Ех или £2). либо в конусе нет ни одной галактики. Заме-
Заметим, что в действительности мы наблюдаем чаще именно такие объ-
объекты АВ, которые не закрыты по лучу зрения другими галактиками.
Все эффекты интересуют нас для далеких объектов: внутри сферы
с центром в О, на которой лежит АВ, находится огромное число га-
галактик, и отклонение этого
числа от среднего ничтож-
ничтожно. Однако если объект АВ
мал, то объем конуса ОАВ
также мал; соответственно
велика вероятность того,
Рис. 22. Схема, поясняющая расчет углового что плотность В конусе ока-
размера объекта во Вселенной, однородной жетСя отличной от средней
лишь в среднем. В незаштрихованной обла- частности что KOHVC
сти плотность вещества равна нулю. и. в частности, что конус
окажется пустым.
Угол в случае пустого конуса удалось рассчитать следующим
приемом [Зельдович A964а)]. Пространство, заполненное веществом
с плотностью р=р@ вне цилиндра (рис. 22) и пустое (р=0) внутри
него, можно представить как_ однородную Вселенную, на которую
наложено возмущение бр=—р (Q внутри цилиндра. Для однородной
Вселенной задача распространения лучей решена точно, с учетом
нестационарности Вселенной.
Возмущенная область мала, поэтому в ней применимо ньютонов-
ньютоновское приближение для гравитационного потенциала. Поскольку
мал угол 6, то радиус цилиндра мал по сравнению с длиной ОА и
локально поле обладает цилиндрической симметрией. Для примени-
применимости теории возмущений нужно, чтобы угол поворота луча Д0
был мал абсолютно, Д(М;1, но не обязательно мал по сравнению с уг-
углом 8 в однородной Вселенной. Отсылая за деталями расчета к ци-
цитированной выше статье Зельдовича, приводим результат для случая
критической плотности *), т. е. р=рс, й = 1. Угол в зависимости от
красного смещения в полностью однородной Вселенной дается вы-
выражением (см. § 3 этой главы).
В случае пустого конуса оказывается
}-1 ^ C.10.2)
Кривые для функций / и /х показаны на рис. 23, на этом же рисунке
дана для сравнения кривая для функции /0, соответствующая пол-
*) Случаи й>1 и й<1 рассчитаны в работе Дашевского и Зельдовича A964).

I id
НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ВО ВСЕЛЕННОЙ
115
ностью однородной модели с р=0 как внутри конуса лучей, так и вне
его (модель Милна). Кривая /t не имеет максимума. Это подтвержда-
подтверждает качественные соображения о физической причине минимума угла
0 в полностью однородной Вселенной.
С другой стороны (в случае вещества, сосредоточенного в галак-
галактиках), кривую для 0 C.10.1) следует рассматривать как среднюю.
Для одних объектов — с пустым конусом — угол дается кривой 0t
C.10.2), для других, в конусе
которых есть галактики (как Ех
и Et на рис. 21), угол гораздо
больше 8, вследствие того что эти
галактики действуют как грави-
гравитационные линзы [согласно Цвик-
ки A959), см. также Климов
A963I.
В действительности между га-
галактиками имеется материя. По-
видимому, в основном это меж-
межгалактический газ. Плотность
его предположительно оценива-
оценивается в 10-29— Ю"82 г/сма. Веро-
Вероятно, газ распределен более или
0,5
G-AO-4)
0,5
1 й
Рис. 23. Безразмерное расстояние, из-
измеренное по угловым размерам объ-
объекта с известным диаметром, как функ-
функция красного смещения Д: f0— для
пустого мира; f—лпя однородной Все-
Вселенной со средней плотностью Q=l;
fi — для неоднородной Вселенной со
средней плотностью Q=l, но с плот-
плотностью, равной нулю в конусе лучей
от объекта к наблюдателю.
менее равномерно. Если это так,
то этот газ всегда будет попадать
в конус лучей. Тем же методом, что и выше, легко получить фор-
формулы для данного случая [Дашевский, Слыш A965)]. Пусть плот-
плотность р* межгалактической среды, распределенная равномерно, со-
составляет долю у всей плотности р, так что p*=vp. Давление газа
пренебрежимо мало, рс2^>/\ поэтому полагаем Р=0.
Тогда, как показывают вычисления, для Q=l
0- lH
та
где к = У2Ъ—24-у. Это выражение имеет максимум при любых у
и на горизонте обращается в нуль. Максимум расположен тем ближе
к горизонту, чем меньшая доля вещества входит в равномерно рас-
распределенную межгалактическую среду.
Заметим, наконец, что все сказанное относится также к вычис-
вычислению количества света, получаемого наблюдателем от далекого объ-
объекта. Количество света равно произведению яркости на телесный
угол. Яркость объекта определяется его свойствами и красным сме-
смещением, а телесный угол пропорционален 82. Поэтому в выражение
видимой величины входит в случае объекта с пустым конусом попра-
поправочный множитель (8i/0J или, соответственно, F/8J, если между

116 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
галактиками есть газ. Такая поправка нужна и в том случае, если
сами 0 и 0j так малы, что не разрешаются телескопом.
При определении q0 по кривой т — z эффект неоднородности
несколько занижает наблюдаемое значение q0. Теоретические кривые
с учетом этого эффекта дают большее т, а сравнение теории с наблю-
наблюдениями дает большее q0. Количественная оценка эффекта весьма
затруднительна.
§11. Кинетическое уравнение для фотонов
До сих пор для расчета наблюдаемых величин мы рассматривали
распространение света от отдельных источников к наблюдателю.
Однако для многих целей важно знать среднюю плотность излучения
в пространстве от всех источников и его спектральное распределение.
Речь идет о средней плотности излучения вдали от отдельных ис-
источников.
К вопросу о средней плотности излучения от отдельных источ-
источников можно подойти совсем иначе, не рассматривая распростране-
распространение света от них к наблюдателю. В однородной и изотропной Вселен-
Вселенной излучение также должно быть в среднем однородным и изотроп-
изотропным. Следовательно, его можно характеризовать функцией двух
переменных — частоты со и времени t. Число квантов в данном ин-
интервале частоты dco в единице объема есть
dn = <p(co, t)da; C.11.1)
соответственно плотность энергии, приходящейся на dco,
dEi = hen dn = /моф (со, /) dco = ev (со, t)d(o. C.11.2)
В изотропном поле излучения обмен квантами между соседними
объемами, очевидно, ничего не меняет, поскольку их спектр и плот-
плотность в любом месте одинаковы. Следовательно, возможен локаль-
локальный подход к вычислению функции <р.
Составим дифференциальное уравнение в частных производных
для <р(со, t). Это уравнение является частным случаем кинетического
уравнения для функции распределения частиц по координатам
и скоростям (или импульсам). Такое уравнение оказывается весьма
сложным в общем случае с учетом кривизны пространства и времени,
а также влияния рассеяния, поглощения и испускания рассматривае-
рассматриваемых частиц. Однако уравнение и его вывод становятся простыми для
частного случая, когда метрика пространства-времени соответствует
однородной и изотропной модели и частицы (в данном случае
фотоны) также распределены в пространстве однородно, а в каждой
точке скорости их изотропно распределены по направлениям. Из
общих соображений ясно, что если в какой-то момент распределение
обладает этими свойствами, то они не нарушатся и позже, так что все

5 ,1) КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОТОНОВ 117
время можно рассматривать функцию двух переменных <р(со, t)
вместо функции семи *) переменных г, р, t или г, я, со, t.
Далее, очевидно, что в изотропном случае рассеяние без измене-
изменения частоты не входит в уравнение. Пренебрежем сначала также
поглощением и испусканием фотонов и будем учитывать только
красное смещение.
Рассмотрим группу clN фотонов, находящихся в сопутствующем
объеме V в интервале частот dco:
dN = Уф den.
В ходе расширения число dN остается неизменным, если нет ни
поглощения, ни испускания. Однако мы'должны учесть изменение
У и со. По общим правилам дифференциального исчисления имеем
dN __, d (Vip dto) _ д (Vip das) , d(Vyda)) dto
~dT~V~ dt ~ dt + ди> dt
При этом
Подставляя, получим уравнение **)
Vd In со ^- + ЗЯУфсо d In со- HuVd In со ^ = О,
или
§^ = О. C.11.3)
Это уравнение упрощается, если ввести число заполнения фотонов п.
Число заполнения определяется как отношение числа фотонов в
данном элементе объема и интервале частоты (в общем случае —
и в элементе телесного угла Q*) к числу отдельных собственных ко-
колебаний (их называют модами) электромагнитного поля. Число таких
мод есть
V dpx dpv dp, = —t—JT .
Hx Hv Hz Bn%K
В избранном случае, интегрируя по углу(^ <Ж* = 4я), имеем
8n./V
_ *) Вектор положения г—три переменные, так же как и импульс р: единич-
единичный мктор направления я соответствует двум переменным, так как р=1шп1с,
) Удобно записать dw=w d In to, так как d In to, очевидно, не изменяется
под действием красного смещения.

118 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. S
Итак, число заполнения п в изотропном случае определяется как
dN nVm /011 л\
"=4T=i/- <ЗЛМ>
Каждую моду электромагнитных колебаний можно рассматривать
как отдельный резонатор. При этом п есть номер возбужденного со-
состояния этого резонатора; энергия резонатора может изменяться на
целые кванты Асо, число заполнения п соответствует энергии nhco.
Отметим (это недостаточно хорошо известно астрономам), что
число п играет огромную роль во всей физике излучения: индуциро-
индуцированное (стимулированное) излучение в лазере отличается от спон-
спонтанного излучения множителем (п+1). В термодинамически равно-
равновесном излучении
n = (etui»kT—l)-1
(формула Планка). При сплошном спектре п статистически распреде-
распределено по соседним модам и мы в действительности везде подразуме-
подразумеваем среднее значение п.
В ходе медленного расширения следует ожидать, что п сохра-
сохраняется как адиабатический инвариант. И действительно, если в
уравнение C.11.3) подставить из C.11.4) «p=-o"i получим
где -уг\с берется вдоль характеристики, т. е. при условии
do) = — Hadt.
Итак, макроскопическое кинетическое уравнение согласуется с кван-
квантовыми представлениями о числе фотонов на моду и о номере кванто-
квантового состояния, сохраняющихся в ходе расширения.
Вернемся к уравнению для <р. Добавляя в C.11.3) вклад источни-
источников /(со, t), получим
^ |£ о, t). C.11.6)
Уравнение для спектральной плотности ev(co, t) [см. формулу
C.11.2)] получим отсюда элементарной выкладкой:
^ ^ + Ф(о), 0-
^ u, t). C.11.7)
Здесь /(со, f) и Ф(о), {)=%($/(со, t) — число квантов и энергия
втих квантов, испускаемых звездами, находящимися в единице объ-

j 11] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОТОНОВ 119
ема, за единицу времени и в единице частоты. По существу,
ясно, что уравнение в частных производных C.11.7) и метод сложе-
сложения света, приходящего из разных слоев, равноценны и эквивалент-
эквивалентны. Локальный подход, т. е. уравнение C.11.7), полезен для выяс-
выяснения общих свойств решения задачи о средней плотности излуче-
излучения. Так, например, сразу видно, что рассеяние света (без поглоще-
поглощения и без изменения частоты) никак не влияет на спектр — изотроп-
изотропное поле излучения после рассеяния остается изотропным.
Для общей плотности энергии е получим, интегрируя C.11.7) по
to, уравнение
± = -4Hz(t) + Q(t), C.11.8)
где
е=^Ву((й, t)d(o, Q = ^O(d), t)d(o.
о о
Из уравнения C.11.7) видно, что к данному решению этого урав-
уравнения с источниками света [т. е. с членом Ф (со, t)] всегда можно при-
прибавить решение однородного уравнения (без Ф, т. е. без источников).
Таким решением является, в частности, планковское распределение
ev((o, t) = const- ""dt0 C.11.9)
с температурой Т, зависящей от времени по закону
^ = _ЯГ. C.11.10)
Это утверждение легко проверить подстановкой C.11.9) в C.11.7)
при Ф=0. Такой планковский спектр, полностью равновесный, т. е.
с коэффициентом дилюции, равным 1, и с Тпл=2°,7, наблюдается в
настоящее время как следствие высокой температуры вещества на
ранних этапах расширения (см. раздел II) *). Грубую оценку плот-
плотности энергии одних источников излучения без учета излучения
горячей модели можно получить из уравнения C.11.8), полагая,
что решение является квазистационарным, т. е. пренебрегая чле-
членом с ~ .
at
*) Из уравнения в характеристиках для я ясно, что любая функция, подобно
сжимающаяся по оси частот является решением уравнения без источников, т. е
Для любой функции т. е. любого вида спектра, полная плотность фотонов
J nw2dw меняется пропорционально (l+z)~3, а плотность энергии меняется про-
«орционалыш A+г)-4.

120 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
Получим
—4#e+Q=0; e = ^- C.11.11)
Аналогично в уравнении для спектральной плотности самое грубое
приближение состоит в вычеркивании -^- и t^ . Получим
ev = ^. C.11.12)
Можно уточнить спектр: пренебрегая -—■, но оставляя член
■ ? , получим
В стационарном приближении легко также построить решение
при наличии в межгалактическом пространстве пыли, поглощающей
свет звезд, нагревающейся при этом и испускающей свой тепловой
спектр. Здесь, однако, мы на этом не останавливаемся.
Линейное дифференциальное уравнение для плотности излучения
может быть решено точно. Ответ можно записать в виде квадратуры
(определенного интеграла) при заданной функции Q(t). При этом
функция Q(t) сама войдет в ответ линейно, что отвечает физическому
смыслу задачи: плотность излучения в данный момент t0 является
суммой вкладов Q (x)dx излучения за каждый малый интервал време-
времени от т до x-\-dx, где т«. Каждый такой вклад преобразуется в ходе
расширения от момента т до момента t0.
Если выделить таким образом вклад источника Q за конечное
время от tt до t0, то нужно еще добавить вклад плотности энергии,
которая уже имелась в момент tt.
Легко проверить, что выражение
е„ = е(<0) =
= $Q(x)exp —4$Я F)d6 dx + effjexp —4 J //@) d6 ,
соответствующее этим идеям, действительно точно удовлетворяет
уравнению. Для четкости переменные интегрирования и пределы
обозначены разными буквами (/„, tlt x, 0).

Ц] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОТОНОВ 121
Экспоненты с интегралами имеют очень простой смысл. Так как
=77f)d7> где а есть РаДиУс мира,то
Плотность энергии, испущенной в момент т за время от т до t0, па-
падает, как четвертая степень радиуса или как ]/~*1ш, где V — объем,
в полном соответствии с термодинамикой излучения. Отношение ра-
радиусов в моменты ти t, связано с величиной красного смещения:
Удобно перейти к А или г в качестве переменной интегрирования.
При этом воспользуемся выражением C.3.35), связывающим диф-
дифференциалы dt и dA или dz. Получим •
а,
eo = JQ(A)(l-A)« |/T
= Q(*)(i
Напомним, что Q есть мгновенная мощность излучения в единице
физического пространства. Если же ввести мощность излучения, от-
отнесенную к единице массы q*, то нужно будет учесть, что Q=q*p, a
также
т. е.
Иногда вводят еще Qs — мощность излучения, отнесенную к еди-
единице сопутствующего пространства, причем определяют эту единицу
так, чтобы она к настоящему времени t0 совпадала с физической еди-
единицей объема 1 см3.
' Очевидно, что Qs=Q(l+z)~s=Q(l— АK. Соответственно
.Q,(z)(l+z)-

122 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО (ГЛ. 3
Предположение о том, что Q, Q3, q* зависят непосредственно именно
от z или Д, а не от t и эта зависимость выражается простыми форму-
формулами, является вполне естественным, так как г и А прямо связаны с
плотностью вещества во Вселенной, Так, например, в наиболее про-
простом предположении об отсутствии эволюции считают g*=const, Qs—
■=const, Q~(l+z)s~(l—A)~*. В этом случае интеграл сходится, да-
даже если распространить его до горизонта (А=0, 2=оо), Именно это
имеют в виду, когда говорят, что в теории расширяющейся Вселен-
Вселенной нет фотометрического парадокса [см., например, Ландау, Лиф-
шиц A973)].
Рассмотрим другой пример. Пусть Метагалактика заполнена
ионизованной плазмой. Мощность ее излучения Q~n2T1'', где Т —
температура. При постоянной температуре Q~(l+z)e~(l—A)~e,
интеграл расходится у горизонта *).
В горячей модели Вселенной как раз и предполагается, что на
ранней, дозвездной стадии вещество находится в состоянии пол-
полностью ионизованной, однородно распределенной плазмы. При этом
определенная плотность излучения получается, очевидно, за счет
того, что при высокой плотности имеет место термодинамическое
равновесие между плазмой и излучением. Это значит, что излучение
уравновешено поглощением света, которое не учитывалось выше.
Впоследствии вещество стало нейтральным, оно перестало взаимодей-
взаимодействовать со светом (см. следующий раздел), фотонный «газ» расши-
расширяется без взаимодействия с веществом. Вклад в среднюю плотность
излучения от этой ранней стадии как раз и представляет собой план-
коеский спектр, соответствующий 2,7 °К, о нем подробно говорится
в следующем разделе.
Рассеяние, как уже отмечалось, не играет роли, если при этом
не меняется частота и энергия света.
Для спектральной плотности ev имеет место уравнение C.11.7)
в частных производных. Это уравнение можно решить тем же мето-
методом, переходя к А или z в качестве переменной [Дорошкевич, Нови-
Новиков A964)]. В формальной теории закон изменения частоты в ходе
красного смещения дает уравнение характеристик для уравнения в
частных производных.
Решение для е, было приведено выше [см. C.8.3)] в связи с кон-
конкретным анализом спектра в области радиочастот. Там было пока.
зано, как с помощью у- может быть записана в удобном виде опти-
оптическая толща для рассеяния света [см. C.8.1)]. В этом же параграфе
•) Если учесть рост температуры с ростом плотности, расходимость только
усилится. В области высоких температур, где Рие/3, меняется выражение dt
через dz или dA, что, однако, качественно не меняет все приводимые ниже
выводы.

< 12] ОДНОЗНАЧНО ЛИ ОБЪЯСНЕНИЕ КРАСНОГО СМЕЩЕНИЯ? 123
(§ 8) говорилось также о способе расчета средней плотности излуче-
излучения. Обзор наблюдательных данных, а также некоторые конкретные
результаты расчетов, выполненных с использованием формул дан-
данного параграфа, приведены в §§ 2 и 3 гл. 5.
§ 12. Однозначно ли объяснение красного смещения
расширением Вселенной?
Щея стационарности Вселенной, как показывает исторический
опыт, обладает большой привлекательностью, основанной, вероятно,
на инерции мышления. Человек привык к малым скоростям. В преде-
пределах жизни человека и даже человечества не происходило заметных
изменений в большинстве космических систем. Поэтому, когда по-
появилось наблюдательное доказательство красного смещения спек-
спектральных линий, последовал ряд попыток дать объяснение смещения
линий, отличное от доплер-эффекта. Многие авторы хотели бы избе-
избежать представления о доплер-эффекте и взаимном удалении галак-
галактик. Уж очень грандиозна картина расширяющейся Вселенной.
Казалось гораздо привычнее и «спокойнее» представление о неэво-
неэволюционирующей Вселенной. Отсюда многочисленные попытки от-
отстоять стационарность Вселенной, дать какое-то иное объяснение
«красному космологическому смещению». К сожалению, подобные
попытки встречаются иногда еще и сегодня.
В этих объяснениях используется тот факт, что смещение именно
красное. Если р>рс, то через 1010 лет красное смещение сменится
фиолетовым; тогда эти объяснения отпадут автоматически. Но сейчас
во всяком случае #>0, смещение спектральных линий соответствует
уменьшению энергии кванта, т. е. потере квантом части энергии на
пути от далеких объектов до земного наблюдателя.
В связи с этим возникает вопрос: насколько однозначна интер-
интерпретация красного смещения как эффекта Доплера? Не может ли
другая физическая причина вести к покраснению квантов света —
фотонов? Первый вариант попытки объяснения основан на гравита-
гравитационном красном смещении ОТО. В ОТО известно, что световые
кванты краснеют, когда они распространяются из области большего
гравитационного потенциала к меньшему. Например, краснеют
кванты, идущие снизу вверх, у поверхности Земли. Этот эффект из-
измерен в лаборатории. Кванты, движущиеся сверху вниз, становятся
более фиолетовыми.
Однако эффект покраснения квантов в сильном поле тяготения
никак не может объяснить космологическое красное смещение.
Это ясно из рассмотрения, проведенного в § 5 этой главы. Во-пер-
Во-первых, эффект чрезвычайно слаб в однородной Вселенной при совре-
современной плотности. Во-вторых, смещение пропорционально квадрату
расстояния, а не первой степени, как это имеет место в законе Хаб-
ола, и, в-третьих, самое важное, имеет другой знак — смещение

124 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И НЕЙТРИНО [ГЛ. 3
должно быть фиолетовым, а не красным! Действительно, это прямо
видно из формулы C.5.10).
Разумеется, гравитационное изменение частоты квантов учиты-
учитывается в точных формулах теории космологического красного сме-
смещения, и формулы § 5 это наглядно демонстрируют. Однако это эф-
эффект второго порядка малости. Он во всяком случае не основной в
красном смещении.
Часто для объяснения красного смещения высказывались идеи
о «старении» квантов, о каком-то механизме потери энергии кванта-
квантами по мере их распространения в пространстве. Возникли два вари-
варианта объяснения:
1. Квант по пути от источника до наблюдателя взаимодействует
с межгалактическим веществом и отдает ему часть своей энергии.
Такое объяснение сразу опровергается, ибо взаимодействие долж-
должно носить характер рассеяния. Отдача энергии сопровождается пере-
передачей импульса. При этом, вообще говоря, должно меняться и на-
направление кванта, что должно привести к размыванию изображения
источника. Такого размывания на опыте нет.
2. Квант спонтанно распадается. Например, он испускает пару
нейтрино — антинейтрино, отдавая им малую долю своей энергии.
Согласно законам сохранения энергии и импульса квант может ис-
испускать только частицы с массой покоя, равной нулю, притом части-
частицы, летящие параллельно направлению полета фотона.
Однако Бронштейн A934) показал, что такой процесс, если бы он
существовал, был бы давно замечен в лабораторных экспериментах.
Бронштейн показал, что вероятность самопроизвольного распада
кванта должна быть обратно пропорциональна частоте.
Вывод Бронштейна вытекает из следующих соображений. Вспом-
Вспомним известную зависимость для самопроизвольно распадающейся ча-
частицы, например [г-мезона, между временем жизни и энергией.
Пусть То — время жизни покоящегося мезона. Тогда, если он
движется со скоростью v, его время жизни Т есть
^ C.12.1)
—^=.
Энергия движущегося мезона есть
3£ C.12.2)
У l~
где то — масса мезона.
Вероятность распада кванта обратно пропорциональна времени
жизни, W~ —, а энергия есть E=hv. Отсюда находим
= moc"Wo = const,' livW = const, w

j 12] ОДНОЗНАЧНО ЛИ ОБЪЯСНЕНИЕ КРАСНОГО СМЕЩЕНИЯ? 125
Это и есть формула Бронштейна. Согласно принципу лоренц-
инвариантности эта формула универсальна и для мезонов и для фо-
фотонов.
Но если бы вероятность распада фотона действительно была об-
обратно пропорциональна частоте, то особенно быстро распадались бы
кванты радиоволн. Ничего подобного не наблюдается. Красное сме-
смещение волн в радиодиапазоне точно такое же, как и в оптическом.
Это непосредственно проверено наблюдением радиолинии Х=21 см у
далеких галактик.
Несмотря на указанные соображения, конкретный вариант ги-
гипотезы старения квантов развивают в последнее время Пекер, Ро-
Роберте и Вижье A972). Они полагают, что фотоны теряют энергию при
рассеянии на других фотонах. Для межгалактических объектов пред-
предполагается, что играет роль рассеяние на реликтовом излучении.
Вижье ссылается на авторов, утверждающих, что лучи, проходящие
возле солнечного диска, испытывают красное смещение, усиленное
в соответствии с плотностью излучения при температуре Солнца.
Наблюдения эти лежат на пределе точности и потому недоказа-
недоказательны. С другой стороны, квантовая электродинамика отрицает
возможность такого взаимодействия фотонов. Все без исключения
предсказания квантовой электродинамики согласуются с опытом,
и, следовательно, нельзя согласиться с гипотезой Вижье. Итак, нет
никаких приемлемых объяснений красного смещения, кроме пред-
представления о расширяющейся Вселенной. Подчеркнем здесь еще раз,
что, без измерения красного смещения, уже из уравнений механики
следует, что однородное распределение вещества должно быть не-
нестационарным (см. § 2 гл. 1), и красное смещение в спектрах галак-
галактик, являющееся эффектом Доплера, подтверждает это.

ГЛАВА 4
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
§ 1. Отлична ли космологическая постоянная от нуля?
Основой теории тяготения является представление о возможности
искривления реального пространства-времени (его римановой мет-
метрики).
Замечательно, что эта идея практически однозначно приводит к
определенному виду уравнений ОТО при использовании только са-
самых общих и естественных предположений о том, что теория в пре-
пределе переходит в специальную теорию относительности и ньютонов-
ньютоновскую теорию тяготения.
Все же, как показал сам Эйнштейн в 1917 г. [см. Эйнштейн
A966)] существует одна возможность изменения ОТО — введение
в ОТО параметра, который должен определяться из наблюдения
или опыта. Этот параметр оказывается существенным лишь в мас-
масштабе всей Вселенной и потому получил название «космологическая
постоянная». Ее обозначают Л, размерность Л — см~2.
В принципе величину Л можно было бы определить и достаточно
точным лабораторным методом. Однако уже из размерности Л видно,
что связанные с этой величиной эффекты характеризуются безраз-
безразмерным произведением Л/2, где / — характерная длина (размер экс-
экспериментального прибора или области наблюдения). Внегалакти-
Внегалактические, космологические наблюдения ограничивают значение Л
такой величиной (|Л|^10~ББ см'2), при которой лабораторное ее
определение становится безнадежным. Вопрос о Л оказывается (как
уже отмечено во введении) как раз той новой проблемой, которая
возникает при переходе к гигантским масштабам Вселенной.
Перед тем как будут выписаны уравнения, остановимся кратко
на истории вопроса (в этом месте неизбежны некоторые повторения
сказанного во введении к книге) и некоторых принципиальных мо-
моментах.
Приступая к развитию космологии на базе ОТО, Эйнштейн счи-
считал желательным найти статическое решение с замкнутой геомет-

f П ОТЛИЧНА ЛИ КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ ОТ НУЛЯ? 127
рией трехмерного пространства. Предполагалось, что статичность,
т. е. независимость от времени, соответствует большому возрасту
небесных тел (начиная с Земли, для которой уже был известен воз-
возраст в несколько миллиардов лет). Замкнутая модель считалась
предпочтительной, как более соответствующая физическим идеям
Маха — принципу Маха (см. об этом раздел V). В замкнутой модели
содержится конечное количество вещества, и можно было предпо-
предположить, что именно это вещество как-то выделяет локально инер-
циальную систему координат. Мах полагал, что инерция тела за-
зависит от взаимодействия этого тела с остальным веществом; такая
точка зрения более приемлема, если количество остального вещества
ограничено.
Все исследования и расчеты предыдущих глав проделаны в пред-
предположении Л=0. Среди этих решений нет статического решения, а
замкнутый или открытый характер геометрии зависит от плотности
вещества.
В 1917 г. Эйнштейн не располагал нестатическими решениями
(они были получены Фридманом в 1922—1924 гг.). Однако прямая
подстановка статической метрики g^4 для замкнутого мира в урав-
уравнения тяготения указывала, что уравнениям удовлетворить нельзя,
если не видоизменить их. Оказалось, что как раз естественный спо-
способ изменения — введение Л — позволяет удовлетворить уравне-
уравнениям с помощью статических g^v и, что особенно замечательно,
такой статический мир автоматически оказывается замкнутым. Каза-
Казалось, что одни только очень общие принципы фиксируют вид урав-
уравнений тяготения вместе сЛ-членом и, что еще важнее, позволяют уга-
угадать строение Вселенной как замкнутого статического мира.
Однако в 20-х годах появились работы Фридмана, в которых
было показано, что, во-первых, космологические уравнения ОТО
B.1.8) — B.1.10) имеют решения и без Л-члена (вопреки мнению
Эйнштейна), но что эти решения должны быть нестатическими, а во-
вторых, что и уравнения с Л-членом могут давать и статические и не-
нестатические решения. Все эти модели с Л-членом могут быть и с
замкнутым пространством и открытые. Статический мир с Л-членом
(автоматически являющийся замкнутым) оказался весьма вырожден-
вырожденным решением уравнений Эйнштейна. После краткого недоразуме-
недоразумения Эйнштейн признал теоретическую корректность этих работ.
Вскоре, в 1929 г. (Фридман не дожил до этого времени), Хаббл
объявил об открытии закона красного смещения, которое было ис-
истолковано как подтверждение эволюционирующей модели Вселен-
Вселенной. Весьма поучительно не только с научной, но и с точки зрения
психологии научного творчества («падающего — толкни»), как од-
одновременно отпали те доводы, которые приводились в пользу стати-
статической замкнутой модели. Стало ясно, что звезды расходуют ядер-
ядерную энергию на излучение, так что они могут светить долго (Солнце
~Ю10 лет, очень массивные звезды — 10е лет), но не бесконечно

128 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ [ГЛ. 4
долго. Уже с этой точки зрения статическая модель не годится! К то-
тому же выяснилось, что статическая модель неустойчива по отноше-
отношению к малым возмущениям плотности.
Правда, одно время казалось, что модели без Л-члена дают слиш-
слишком короткую «шкалу времени» — времени от сингулярности до се-
сегодняшнего дня — всего несколько миллиардов лет, так как по-
постоянная Хаббла оценивалась тогда в 500 км/сек-Мпс. Время Н^1
оказалось меньше даже возраста Земли! Поэтому считалось жела-
желательным введение Л-члена, чтобы растянуть время расширения
Вселенной. Однако в послевоенные годы выяснилось, что расстоя-
расстояния до галактик были сильно занижены! Пересмотр этого вопроса
привел к значению #0»75—50 км/сек-Мпс, и противоречия с корот-
короткой шкалой отпали. Отпала и необходимость в Л-члене.
Принцип Маха постепенно поблек и не может служить аргумен-
аргументом в пользу замкнутости Вселенной. Критический анализ основ
классической физики, проделанный Махом, был психологически
полезен для подготовки новых теорий. Однако СТО, как и ОТО,
построенные на фундаменте (не на развалинах!) классической физи-
физики, оказались локальными теориями, теориями без дальнодействия,
и идеи Маха о том, что инерция тел определяется далекими масса-
массами, в этих теориях не реализуются.
Эйнштейн после открытия Фридманом нестационарных решений
заявил, что введение Л-члена было ненужным осложнением теории,
что нет данных, которые бы требовали введения Л. Такую же точку
зрения высказывают Ландау и Лифшиц A973).
Нельзя, однако, отрицать, что этот подход является субъектив-
субъективным; астрономические данные не требовали Л, отличного от нуля,
но и не опровергали такой возможности. Это Л=/=0 должно быть до-
достаточно малым по модулю для того, чтобы теория не вступила в про-
противоречие с данными о нашей окрестности до 1000—1500 Мпс [или
C—5)- 10е лет по шкале времени], и вместе с тем такое Л может быть
достаточным для того, чтобы радикально повлиять на строение и
эволюцию Вселенной как целого.
Уже одного стремления к объективности и полноте должно бы
хватить для того, чтобы теория с Л=/=0 нашла место хотя бы петитом
в приложении. Здравые, спокойные решения часто принимают лишь
под давлением чрезвычайных обстоятельств, в обстановке пожара
и(или) наводнения и паники.
Роль факела сыграли квазары. В 1967 г. появились данные —
статистическая их значимость до сих пор не ясна и, скорее всего,
сводится к нулю — о концентрации квазаров при определенном
значении красного смещения z=l,95 [последний обзор с библиогра-
библиографией см. Бэрбидж и О'Делл A973)]. Было выдвинуто объяснение
этого в рамках космологической модели, длительное время «почти
статической» при указанном z за счет космологической постоянной
(см. стр. 131). Последовало бурное обсуждение доводов за и

$ 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С Л-ЧЛЕНОМ 129
против такого объяснения *). Знание основных свойств теории с
Л=^=0 стало необходимым уже для того, чтобы понимать статьи, пуб-
публикуемые в журналах. Мы считаем целесообразным привести здесь
основные формулы, касающиеся однородных изотропных моделей
с Л-членом [см. также Зельдович A967)]. Во всей остальной книге
мы считаем Л==0.
§ 2. Космологические модели с Л-членом
Уравнения Эйнштейна при введении Л-члена имеют следующий
вид:
Я» — у
(обозначения см. § 1 гл. 2). Из этого выражения мы видим, что но-
новый член эквивалентен дополнительному члену в тензоре энергии-
импульса. Этот член дает плотность энергии
и давление
Можно ввести также плотность массы
ел с2Л 1А 0 о\
Р D23>
Введенные величины не зависят от плотности частиц, поэтому мож-
можно говорить о рЛ, ел и Рл как о плотности массы, плотности энергии
и давлении пустого пространства, вакуума. Мы проанализируем
влияние этих величин на поведение Вселенной в ньютоновской ма-
манере, как в гл. 1. Такой анализ позволит объяснить также, почему
Эйнштейн назвал Л «космологической» постоянной.
При этом, однако, будет учтено, что в уравнение для ускорения
входит е+ЗР [см. A.6.2) и B.1.8)], так что при Л=/=0 в уравнение
войдет комбинация
= ел— Зел = — 2ел = — ^ .
Далее, уравнение A.6.5) для «кинетической энергии» будет написано
сразу с тем значением константы, которое следует из ОТО [см. урав-
уравнение B.1.9)], когда масштабный фактор выбран как радиус мира:
3^а Че + ел)--у. <4-4>
*) В этой же связи дискутировался и вопрос о соотношении ОТО (и, в част-
частности, космологической постоянной) и теории элементарных частиц. Этот круг
вопросов рассмотрен в ТТ и ЭЗ. В свете новых физических теорий мы коснем-
коснемся этих вопросов в гл. 23.
я- Б. Зельдович, И. Д. Новиков

130 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ [ГЛ. 4
При этом /г=—1 для гиперболической метрики [формула B.3.2),
открытый мир], /г=1 для сферической метрики [формула B.2.6),
замкнутый мир] и /г=0 для плоского евклидова мира [формула
B.5.2), где мы условились писать b вместо а\. Здесь ей Р без индек-
индексов относятся к обычной материи: звездам, межгалактическому
газу, излучению; очевидно, что е>0, Р>0.
Отметим, что с трактовкой ел и Рл как плотности энергии и дав-
давления вакуума полностью согласуется тот факт, что эти величины
удовлетворяют закону сохранения энергии (первому началу термо-
термодинамики) в формеdEb=d(eAV)=—P\dV, причем />Л=—eA=const.
Как отмечено в ТТ и ЭЗ, значения ел и Рл к тому же и лоренц-инва-
риантны, оакнаковы во всех движущихся друг относительно друга
координатных системах.
Вместо B.1.8) и B.1.9) мы теперь имеем
Ua( + 3P + + 3/)) |?( + 3/>2) D.2.5)
Наиболее важное свойство новых уравнений — возможность
статического решения: если
^ D.2.7)
то из D.2.5) и D.2.6) следует:
|
=0, ^- = 0, а = const. D.2.8)
Заметим, что статического решения не существует без космологиче-
космологического члена, так как материя имеет е>0, Р>0, что, согласно D.2.5),
несовместимо с -т-^ = 0. В случае Л=/=0 статическое решение полу-
получается благодаря отрицательному давлению РЛ, которое превосхо-
превосходит положительное еЛ в выражении ел+ЗРл = ел—Зел=—2ел.
Далее, очевидно, что статическое решение должно быть замкнутым:
(Р-а
условие 3/г=0 дает г+ЗР—2еЛ=0, откуда е+ел — величина в
правой части уравнения D.2.6) — получится определенно положи-
тельной, е + ел = е + ^— = —(e + Z5). [Предлагаемая трактовка
близко следует Бонди A961).] Следовательно, еслиГ-^Л2=0,тоk=l,
мир замкнут. Радиус его выражается через плотность и давление
вещества. Такое решение, называемое космологической моделью
Эйнштейна, реализует пожелания Эйнштейна — замкнутость и ста-
статичность Вселенной.

§ 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С Л-Ч ЛЕНОМ 131
Обратимся к космологической модели с Л=г^О, предложенной не-
недавно в связи с исследованием квазаров. Сначала Петросян, Сол-
питер и Шекере A967) ввели Л, чтобы объяснить соотношение крас-
красное смещение — видимая величина для квазаров. Вскоре после этого
Шкловский A967) и Кардашев A967) предложили космологическую
модель с Л, выбранной так, чтобы расширение имело длительную
задержку на определенном радиусе. Одно время казалось, что име-
имеются указания на концентрацию квазаров при определенном крас-
красном смещении z=l,95; возможное объяснение заключается в том,
что это смещение достигается при радиусе а, когда приближенно вы-
выполнены соотношения D.2.7) и Вселенная длительно почти не рас-
расширяется. Таким образом, предлагается модель, которая в течение
длительного времени весьма близка к статической модели Эйнштей-
Эйнштейна; следовательно, модель является замкнутой. Оказывается, что
условие «плато» для функции a(t) при определенном z=l,95 и сегод-
сегодняшнее значение постоянной Хаббла Но полностью определяют ос-
основные свойства модели. Значит, а3адержки =ао/1,95. Связь между
радиусом и красным смещением aJa=\-\-z, полученная нами в гл. 3,
сохраняется, очевидно, и при наличии Л=/=0. Ниже полагаем, что
можно пренебречь давлением материи (в том числе давлением излу-
излучения, входящего в состав материи). Тогда плотность материи на
время задержки р'=роA+гK. После этого из D.2.7) легко найдем
основные характеристики модели.
Расчет дает (полагаем Яо=75 км/сек-Мпс, рс=10~2в г/см3)
рЛ= 1,3-10-2» г/см3, ел =\,2-10-й эрг/см*, Л=2,6- Ю6 см~*.
D.2.9)
Плотность обычной материи в этой модели в настоящее время ро=
= 100 г/см3, радиус мира а=2- 10м см; на плато р'=A + 1,95Kр0=
=2,5-10- wz/cm3, а' = х °°95 = 0,75 • 1028 см. Длительность пребыва-
пребывания на плато можно принять любой. Эта длительность пропорцио-
пропорциональна In —^—j или In -jrr,—-, где величины с двумя штрихами суть
Ро—Ро Л —л
значения параметров, дающие строго статическую модель. Кардашев
принимает длительность порядка 7- 1010лет, для чего нужно ———
Ро
порядка 10~*.Замкнутый мире длительной задержкой расширения
обладает своеобразной особенностью: за время задержки световой
(или радио-) луч успевает несколько раз обойти всю Вселенную. За
время, равное —=2,6-1010 сек, луч приходит от антицентра, т. е.
от точки, где г=п в метрике ds*=c2dt*—a?(t)ldr2+sin2r (d?Q+
+sin20 d<pz)]. За вдвое большее время луч обходит весь мир и воз-
возвращается в точку испускания. Формально при г=п и г=0 происхо-

[32 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ ГГЛ. 4
дит фокусировка лучей, угловое и болометрическое расстояния об-
обращаются в нуль, поток энергии, принимаемый нами, сильно зави-
зависит от того, имеется ли близко от антиполюса (случайно) источник
излучения (то же относится к источнику в далеком прошлом в том
месте, где сейчас находится Галактика и где выбрано начало системы
координат). В ряде работ обсуждаются причины, нарушающие точ-
точную фокусировку лучей, характерную для строго однородной и изо-
изотропной модели. Наблюдения не подтверждают фокусировки лучей.
В целом концепция космологической модели с АфО и плато для аA)
при z= 1,95 в настоящее время в значительной мере утратила свою
привлекательность.
Теперь рассмотрим общую постановку задачи о динамике и гео-
геометрии моделей с АфО с тем, чтобы классифицировать все типы ре-
решений. Для удобства сравнения с наблюдениями (реальными или
будущими) предположим, что известны современные значения посто-
постоянной Хаббла Но и плотности вещества р0; давлением вещества пре-
пренебрегаем. Пусть, далее, известна рл или связанное с ней согласно
уравнению D.2.5) значение ускорения.
Характер решения уравнений D.2.5), D.2.6) зависит только от
безразмерных величин; снова введем безразмерную плотность Q
и безразмерное ускорение q = пг = ~ • До тех пор, пока рас-
сматривалась теория с Л=0 при Р=0, величины qo=q (to) и Q были
синонимами: <7о = -<)-• Однако при АфО из D.2.5) найдем
й 8я0рЛ q рл8я0
<7„ = -9 Г775-, так что разность I = -K—q0 = -тттг- характеризует
^ on о Зп0
Л; величина К есть безразмерная (отнесенная к рс) плотность, соот-
соответствующая космологической постоянной, т. е.
« Рл Ас*
= Р=ЗЯ§ "
„ 1 a(t) ,„ Нв
Введем еще параметры л:=-5-,—=——, т=ш0, а также сс = а0——
1 -\- z а0 с
безразмерный радиус мира в настоящий момент. Уравнение первого
порядка
day 4я0аа . , . k& .. о ...
UJ ^з-(Р+Ра)—Г D-2.10)
преобразуем, деля на Ща\:
\ ( da у_ 1 fdxy AnG( а\аГ fao\3
2 \aoHodt) -2\dx) -3HJW LPoV"^J

} 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С Л-ЧЛЕНОМ 133
Полученное уравнение имеет вид закона сохранения энергии для
движения материальной точки с координатой х в зависимости от
времени т в потенциале, зависящем от х. Уравнение можно преоб-
преобразовать, вводя q0 вместо % и учитывая, что Но характеризует ско-
, da\ и
рость расширения в настоящий момент, когда x—i>jj\ _ =поао,
откуда следует, что 1~= 1 при х= 1. Благодаря этому кон-
константа сс~2 не является независимой, а выражается из D.2.11) через
Q и X или Q и <7„. Окончательно получим
В таком виде уравнение применимо ко всем трем вариантам гео-
геометрии (замкнутый, гиперболический, плоский мир). Решения,
описывающие нашу Вселенную, проходят через точку х=1. Для
получения всех детальных сведений о зависимости яркости и числа
галактик от красного смещения нужно было бы интегрировать урав-
уравнение D.2.12), а затем и уравнение распространения лучей: ds=O,
cdt=a(t)dr. Это и было сделано в ряде работ; см., например, Стей-
белл и Рефсдал A966). Получающиеся зависимости довольно слож-
сложны, особенно когда происходит многократное обегание Вселенной
световыми лучами. Здесь, однако, можно ограничиться исследова-
исследованием общего характера эволюции. Для этого достаточно построить
кривые f{x), где f(x) — правая часть выражения D.2.12). Если
/(л;)>0в интервале 0<^<1, то движение от х=0, т=0 дол;=1, t=Ti
происходило монотонно, в прошлом имела место сингулярность,
эволюция качественно подобна эволюции мира сЛ=0, для которого
функция/(л;) = \-1 — Ои удовлетворяет условию /(х)>0 при
лг<1. Назовем такую ситуацию вариантом I. Возможен, однако, и
случай, когда в области Xt<zx<zxt /(х)<0. Это значит, что указан-
указанная область запрещена (энергетический барьер).
В этом случае в прошлом радиус Вселенной был бесконечен,
Вселенная сначала сжималась от л:=оо до определенного х2, а затем
расширилась от х2 (отражение частицы от энергетического барьера)
и в настоящее время находится в фазе расширения.
Такая ситуация (назовем ее вариантом II) вряд ли годится для
описания нашей Вселенной: в ней нет сингулярности, нет периода
большой плотности вещества. Между тем именно в период большой
плотности естественно возникает равновесный спектр излучения
(реликтовое излучение, РИ, см. далее); в варианте II спектр РИ
необъясним *).
*) Чтобы остановка происходила при большой плотности, когда мог бы уста-
установиться равновесный спектр РИ, понадобилось бы большое значение Л, несов-
несовместимое с наблюдениями.

134 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ 1ГЛ. 4
Аналогично можно рассмотреть и будущее Вселенной. Оно
зависит от поведения f(x) при х>\. Если /(л;)>0 при х>\, то имеет
место неограниченное расширение (вариант III). Если /(л;)=0 при
некоем л;3>1, то сегодняшнее состояние, л:= 1,^=1, приведет
к расширению до л;=л;3, которое затем сменится сжатием, причем
Л'О л ni сжатие дойдет до сингулярно-
/-/ Q л',& С//А, / сти, х=0 (вариант IV).
/ / у/£ / Вся информация о различных
/ /' J/ / вариантах геометрии и эволюции
/ / /у / при Л=/=0 сведена на рис. 24.
/ Ifiy I / Координатами являются величи-
/ /i ' / / ны, в принципе (но, увы, не
'/ / / / практически — сегодня по край-
-1,5 -1 -0,5 0 05 1 ней мере) наблюдаемые по нашей
1° близкой окрестности: параметр
Рис. 24. Диаграмма qg—Q для космо- ускорения q0 и безразмерная
логических моделей с различными зна- плотность материи Q. Напомним,
Ч6НИЯМИ /V. j и
что давление обычной материи
считается пренебрежимо малым, q0 может быть и положительным,
и отрицательным.
Линия ОАА' соответствует Л=0 — случаю, подробно рассмот-
рассмотренному ранее. Параллельные ей пунктирные линии соответствуют
A=const: Л>0 слева от ОАА' и Л<0 справа от ОАА'. Линия BAF
соответствует трехмерному плоскому миру (/г=0), ее уравнение
Q=|-(l+<?«)• D.2.13)
Эта линия отделяет решения, соответствующие замкнутому миру
(левее BAF), от решений для открытого мира (правее BAF).
Обратимся к различным типам эволюции. Линия BED отделяет
два типа прошлого: правее BED (I) и левее BED (II). Модель Кар-
дашева с длительной задержкой весьма близка к точке Е (но чуть
выше и правее). Наконец, линия ОАС разделяет два типа будущего:
левее ОАС уравнения предсказывают неограниченное расшире-
расширение— вариант III, правее ОАС — вариант IV. В моделях без
Л-члена будущее и геометрический тип были связаны однозначно:
замкнутый мир эволюционировал по типу IV, плоский или откры-
открытый — по типу III. Как видно из рис. 24, эта связь не имеет места
в случае АФО. Здесь имеется область, для которой мир геометри-
геометрически (трехмерно) замкнут и тем не менее ему предстоит неогра-
неограниченное расширение. В другой области, напротив, гиперболиче-
гиперболическому миру предстоит остановка и переход от расширения к сжа-
сжатию в будущем.
Отметим в заключение любопытное частное решение, соответ-
соответствующее точке В,— плоский мир без материи, с метрикой,

$ 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ С Л-ЧЛЕНОМ 135
имеющей вид
З//2
для чего нужно Я,= 1, К = —£- = 2- 10"Бв см~г. Это — метрика так
С
называемой стационарной Вселенной.
В этом варианте расширение происходит неограниченно во вре-
времени и в прошлом, и в будущем, мир не статичен, но стационарен
в том смысле, что все его локальные свойства не зависят от вре-
времени *). Буквально это решение неприменимо ко Вселенной с ма-
материей (когда Q=/=0, р=7^0), но оно вдохновляло некоторые попытки
описания вечной стационарной Вселенной, которые, несмотря на
отрицательное отношение к ним, мы рассмотрим позже, в разделе V.
*) Формально, прибавляя к / константу и меняя масштаб безразмерных коор-
координат, мы возвращаемся к исходной ситуации. •

-. .1
I
a)
Ro
ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1
ПОЛУЗАМКНУТЫЕ МИРЫ И ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
МЕТРИКИ КРУСКАЛА
Замкнутый мир (с ft=l) обладает рядом замечательны* свойств. Напри-
Например, полная энергия (масса) его тождественно равна нулю, полный электри-
электрический заряд также равен нулю [см. Ландау и Лифшиц A973)]. Полезно
рассмотреть случай, когда однородное
распределение вещества на некотором
расстоянии от начала координат обры-
обрывается и дальше идет вакуум, т. е. рас-
рассмотреть изолированное тело. Это рас-
рассмотрение поможет понять свойства замк-
замкнутого мира. Для понимания этого
приложения от читателя требуется зна-
знакомство с теорией сферического поля
тяготения, метрикой Шварцшильда и
координатами Крускала в этой метрике
(см. ТТ и ЭЗ).
Для замкнутого мира есть момент
наибольшего расширения, когда ско-
скорость деформации на мгновение равна
нулю и вещество мгновенно покоится.
Будем рассматривать этот момент tm и
для простоты ограничимся случаем пы
левидного вещества без давления, Я = 0.
Напомним (см. § 1 гл. 1), что эволюция
шара произвольного радиуса Ro и все
его свойства никак не зависят от наличия
или отсутствия окружающего вещества,
которое не влияет гравитационно на ве-
вещество внутри шара.
Рассмотрим шар, представляющий
часть замкнутого мира, и будем считать,
что все внешнее вещество (вне радиуса
Ro) отсутствует, т. е. это шар в пустом
пространстве. Вдали от шара поле сла-
слабое, и на бесконечности пространство
евклидово. Вблизи шара искривление
пространства зависит от силы гравитаци-
гравитационного поля. При фиксированной плот-
плотности р сила поля зависит от размера
шара. Пока радиус Rit шара мал кри-
кривизна пространства в нем не проявляет-
#0(рис. 25).
Рис. 25. Вращение кривых вокруг
вертикальной линии дает изобра-
изображение двумерного аналога искрив-
искривленного пространства для изолиро-
изолированного тела. Эти же поверхности
являются пространственными по-
поверхностями А=я/2 в искривлен-
искривленном пространстве: а) радиус шара
/?„ много меньше радиуса кривизны
пространства а, создаваемого веще
том шара плотности р". б) полу-
полузамкнутый мир, R0>na/2.
ся, так как а=
8лСр
Но если увеличивать радиус шара при фиксированной плотности, т. е. добавлять
новые слои вещества, то влияние кривизны на геометрическую структуру

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1
137
пространства внутри шара растет. Как мы видели в § 2 гл. 2, поверхность
шара в = 4яаа sin2 г0, где г0—радиальная координата поверхности шара, а
объем
= 4na» у ro—-£ sin 2г0 ;
радиус шара R0 = ar0. Мы видим, что с ростом г„ отличие от формул евкли-
евклидовой геометрии становится все больше.
Наконец, после увеличения радиуса до значений, больших /?0 = ш1/2,
в геометрии внутренности шара появится характерная особенность, свойст-
свойственная замкнутому миру: уменьшение площади сфер с их удалением от центра
(т. е. с ростом го), если они лежат за максималь-
максимальной «экваториальной сферой» R0=an/2. Каковы
свойства пространства вне такого шара, получив-
получившего название «полузамкнутого мира» [Клейн
A961), Зельдович A962а), Новиков A962, 1963,
1964а), Гаррисон, Торн, Вакано, Уилер A965)]?
Что представляет собой полузамкнутый мир для
внешнего наблюдателя?
Внешнее гравитационное поле шара должно
быть сферически-симметричным. Известно (см., на-
пример, ТТ и ЭЗ), что единственное сферическое
поле тяготения описывается метрикой Шварцшиль-
да и зависит только от одной константы —внеш-
—внешней гравитационной массы m (т. е. от полной энер-
энергии шара). Полная структура поля Шварцшильда
описывается метрикой Крускала (см. § 14 гл. 3
ТТ и ЭЗ). Формулы для этой метрики приведены
в конце данного приложения. Сейчас мы рассмот-
рассмотрим вопрос качественно.
Будем рассматривать шар в фиксированный мо-
момент наибольшего расширения tm и будем менять
только радиус шара г0 в этот момент, добавляя
Рис. 26. Пространство-
время полузамкнутого ми-
мира. Заштрихована область
вещества' шара.
новые слои при фиксированной плотности, и, следовательно, будем менять
массу шара. Чем больше масса, тем больше гравитационный радиус тела rg.
В конце приложения показано, что rg — атак sin3 r0, в то время как шварц-
шильдовский радиус rmax поверхности шара в момент максимального расши-
расширения (определенный как _Vrslnax/4n) есть, очевидно, rmax = с^^ sin r0. Сле-
Следовательно, отношение rg/rmax = s\n2r при малых г0 увеличивается по мере
того, как в начальном условии задается шар все большего размера. Пока
г0 < я/2, гтах > Га и полузамкнутости мира еще нет. Это еще «обычный» шар,
качественно подобный шару в евклидовой геометрии. Теперь вспомним, что
шар нестатичен. Его эволюция во времени определяется зависимостью а от /.
Шар является частью модели Фридмана, и функция a = a(t) нам известна
(см. рис. 1). Шар расширяется от точки, достигает максимума размеров при
tm и снова сжимается в точку. Но как протекает эволюция такого шара для
внешнего наблюдателя? Пространство-время для всей эволюции такого шара
показано на рис. 26. По вертикали—собственное время частиц, по горизон-
горизонтали—:лагранжева координата г, в пустоте система непрерывно продолжена
свободными пробными частицами (подробнее см. § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ). Заштри-
Заштрихована область, занятая материей. Линии r = rg—мировые линии гравита-
гравитационного радиуса. Обычное пространство-время вдали от шара (евклидова
бесконечность) находТггся справа, в области Rt. Эволюция шара протекает
Для внешнего наблюдателя следующим образом. Шар расширяется от беско-
бесконечной плотности и R0 = 0, r = 0 (точка а), выходит из-под своего гравита-

138 ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ 1
ционного радиуса (в точке ft), достигает максимальных размеров rmax = amaxsinr0
(в точке с), снова сжимается и за конечное собственное время достигает
гравитационного радиуса (в точке d), а затем и #0 = 0 (в точке е). Для внеш-
внешнего наблюдателя подход к точке d растягивается ка бесконечное время.
Если выбрать размеры шара так, что го = я/2, то его энергии хватает
как раз настолько, чтобы расшириться до rmax = r^ и снова сжаться (см.
рис. 26). Наконец, при г0 > л/2 мы имеем полузамкнутый мир. Поверхность
шара (полузамкнутого мира) уже никогда не выходит из-под сферы Шварц-
шильда к внешнему наблюдателю, т. е. не выходит в область /?х. Однако
поверхность шара выходит из Г+-области, из-под сферы Шварцшильда, но
не к внешнему наблюдателю в правую /^-область, а в левую /?г-область,
достигает наибольшего размера rmax и вновь сжимается. Вне полузамкнутого
мира, в вакууме метрика является метрикой Крускала (см. § 14 гл. 3 ТТ
и ЭЗ) с «горловиной» в пространстве (т. е. местом минимума площади поверх-
поверхности сфер в фиксированный момент) (см. рис. 26). Размер «горловины»
меняется с течением времени, она расширяется от точки, достигает максимума
и вновь сужается к точке.
Из полузамкнутого мира внешний наблюдатель может получить инфор-
информацию только о ранних стадиях расширения, когда поверхность шара нахо-
находится еще в Г+-области (см. рис. 26).
Имеют ли полузамкнутые миры какое-либо отношение к реальности? Мы
не знаем пока таких объектов [см. анализ в § 5 гл. 14 ТТ и ЭЗ; в последнее
время этот вопрос рассматривал Марков A973)]. Но, независимо от реально-
реальности их существования, рассмотрение свойств полузамкнутых миров имеет
большой методический интерес. Особенно интересны внешние гравитационные
проявления полузамкнутого мира.
Снова будем в момент максимального расширения tm рассматривать все
большие по размерам шары одной и той же плотности. Какова масса таких
шаров? Гравитационная масса т статической (хотя бы только на момент)
конфигурации меньше суммы масс М слагающих ее частиц из-за гравитацион-
гравитационного дефекта масс, и эта масса т может быть измерена далеким наблюдате-
наблюдателем по ее полю тяготения.
Гравитационную массу т можно выразить следующим образом. Исполь-
2Gm
зуем определение гравитационного радиуса rg=—^—, приведенное выше
соотношение г„ = атах sin?r0 и следующее из B.1.9) соотношение для плотно-
Зс2
сти в момент максимального расширения: р=—■ . В итоге получим
SGl
m=—*-= max" »=— яр (tm)a»)ax sin3r0. A.П.1)
Между тем, по определению, сумма масс покоя М дается формулой (на мо-
моменты tm)
При малых размерах шара (го<^1) обе массы, естественно, совпадают, так
как гравитационный дефект мал:
М $1 р (tm).
С ростом г0 сумма М масс слагающих частиц растет, как объем V, а грави-
гравитационная масса т растет медленнее из-за дефекта масс. Величина т

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ I 139
достигает максимума при го = п/2:
С дальнейшим ростом гв масса m уменьшается. Добавление нового слоя
вещества дает добавочный гравитационный дефект больший, чем собственная
масса этого слоя. При г—»-я т—>-0. Таким образом, при стремлении кон-
конфигурации к замкнутой масса стремится к нулю. Кратко можно сказать, что
масса замкнутого мира равна нулю*). В таком мире гравитационный дефект
равен самой собственной массе:
В замкнутом мире равен нулю и полный электрический заряд. Отлич-
Отличный от нуля полный заряд был бы возможен лишь в том случае, если бы
были неверны уравнения Максвелла. Заряд является источником электриче-
электрического поля. В евклидовом пространстве силовые линии электрического поля,
выходя из заряда, либо стекают к заряду противоположного знака, либо
уходят на бесконечность. В замкнутом мире бесконечности нет.
Зададимся произвольным распределением электрического поля g в замк-
замкнутом мире и найдем соответствующую плотность заряда ре по уравнению
div &=4яре. Всегда окажется, что полный заряд равен нулю," т. е.
Z = \ pedV=0, так как если нет бесконечности, то силовые линии, начи-
начинающиеся на одном заряде, обязательно кончаются на другом заряде проти-
противоположного знака, нейтрализующем первый. Подробнее эти вопросы и ана-
анализ других свойств замкнутых и полузамкнутых миров см. Марков A973).
В заключение приведем формулы для полузамкнутого мира [см. Новиков
A964а)], причем воспользуемся решением Толмена (см. § 13 гл. 3 ТТ и ЭЗ).
Интервал запишем в виде
ds2 = a2[dx2 —eKlx<n(dr)*—72(r, r) (de2+sin20dq>2)], A.П.З)
где а—постоянная размерности длины, являющаяся масштабом, скорость
света равна единице и все величины в скобках безразмерны. Решение Тол-
Толмена имеет вид
гДе f(r), F (г) и Ф(г)—произвольные функции, определяемые условием за-
задачи, штрих — производная по г. Пусть область, заполненная веществом
(при г < г„), является частью однородной замкнутой модели. Тогда, переходя
от выражения интервала B.1.10) к A.П.З), получим
/(/•) = — sin2 r, F(r)
) Иной подход к определению массы замкнутого мира с тем же резуль-
результатом щ = о см. Ландау и Лифшиц A973, стр. 457).

140 ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ I
Если -у < г0 < я, то вещество представляет собой полузамкнутый мир.
Вне шара при г > г0—вакуум. Для того чтобы сшить решение A.П.5) с
метрикой Крускала (см. § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ) для вакуума, надо при г > г0
положить
f=-[('"+C1J+C2]-1sin°/.o,
где C2=sine/-0, а С, очевидным образом выражается через /•„ из условия
непрерывности функций при г = г0.
В § 14 гл. 3 ТТ и ЭЗ показано, что Fa=rg. Поэтому, используя выра-
выражение для а из A.П.5), получаем окончательно rg~amali sin3 /■„, где л0 —гра-
—граница шара. Последнее выражение и приведено выше в тексте.

РАЗДЕЛ II
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
О О О
Г Л А В А 5
ВВЕДЕНИЕ
§ I. Вводные замечания и исторический обзор
В этом разделе рассматриваются физические процессы, проте-
протекавшие во Вселенной в прошлом в ходе ее расширения, в предпо-
предположении, что геометрия и динамика эволюции Вселенной описы-
описываются однородной изотропной моделью.
Физические процессы, протекавшие в прошлом, зависят от
состава вещества, заполнявшего Вселенную. Эти процессы проте-
протекают в условиях определенного закона расширения Вселенной (от-
(отчасти процессы сами влияют на закон расширения), подробно изу-
изученного в первом разделе, но полностью геометрией и динамикой
отнюдь не определяются, а зависят еще от состава вещества.
В следующих главах изложение ведется применительно к тому
составу, который со значительной уверенностью следует из совре-
современных экспериментальных данных. Важнейшим наблюдательным
фактом, служащим для определения состава, является открытие
так называемого реликтового электромагнитного излучения (РИ),—
смысл названия будет разъяснен ниже. Наличие РИ приводит
к картине Вселенной, в которой в среднем на один барион (протон
или нейтрон, свободный или связанный в ядре) приходится около
7-Ю7 фотонов, у/В»7-107 *). РИ имеет, по-видимому, равновесный
спектр с Т1«2,7°К. Может ли это излучение возникнуть в каких-
либо астрономических объектах? Несложный анализ, на котором
мы остановимся далее в этом параграфе, показывает, что этого быть
не могло, что излучение присутствовало во Вселенной всегда, на-
начиная с самых ранних этапов расширения. Отсюда и название —
реликтовое. Знания отношения у/В=7-107 оказывается достаточ-
достаточным для того, чтобы охарактеризовать состав, вещества на каждом
этапе расширения Вселенной; более детальные соотношения между
количеством водорода и гелия, фотонами и нейтрино оказываются
*) Значение этого отношения зависит от плотности вещества во Вселенной,
величина в тексте дана для й=1. При й=0,03 было бы -у/В я2-10е.

142 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Б
следствиями теории (при простейших дополнительных предполо-
предположениях).
Дело в том, что наличие РИ свидетельствует о высокой темпе-
температуре вещества в начале расширения («горячая Вселенная»), а при
высокой температуре и плотности в начале расширения быстро
происходили различные процессы превращения одних элементар-
элементарных частиц и ядер в другие. Поэтому количества частиц различных
сортов не являются независимыми, свободными переменными, они
обусловлены закономерностями быстро происходящих процессов.
Лишь одно число — отношение у/В (оно находится из наблюде-
наблюдений) — должно быть задано *).
На более специальном языке говорят, что в начальной стадии
имеет место термодинамическое равновесие, для задания которого
нужно знать удельную энтропию вещества, сохраняющуюся при
медленном (равновесном, адиабатическом), по сравнению с проте-
протекающими процессами, расширении. Вторая термодинамическая
переменная — плотность материи или удельный объем — плавно
меняется в ходе расширения с течением времени; соответствующая
зависимость от времени может считаться известной (см. раздел I).
Теории равновесия при высоких температурах посвящена гл. 6.
По мере понижения температуры реакции протекают все медленнее,
и наконец достигаются условия, когда скорость протекания ка-
какого-либо процесса сравнивается со скоростью расширения, и
результат процесса определяется его кинетикой. Наиболее важным
процессом такого рода является нуклеосинтез на ранних стадиях
расширения Вселенной; в космологических условиях, в дозвезд-
ном веществе можно ожидать превращения 25—30% барионов
в гелий-4, тогда как 75—70% барионов оказываются в виде
протонов.
По-видимому, такой результат не противоречит наблюдениям,
что усиливает доверие к горячей модели в целом. Проблемы ки-
кинетики и, в частности, нуклеосинтеза обсуждаются в гл. 7. Здесь же,
в гл. 5, общая ситуация излагается крайне схематизированно и
более однозначно и определенно, чем это имеет место в действитель-
действительности. В отношении многих немаловажных вопросов (например,
существуют ли еще не открытые частицы типа нейтрино) нет яс-
ясности, и в детальном изложении приходится рассматривать целый
ряд вариантов. Сопоставление полученных результатов с наблюде-
наблюдениями приводит подчас к выводам, интересным для теории элемен-
элементарных частиц.
В гл. 9 рассматриваются процессы на той относительно позд-
поздней стадии расширения, когда «выжили» только фотоны, электроны
и ядра, а также слабо взаимодействующие с веществом нейтрино
(и гипотетические гравитоны). Исчезли за счет аннигиляции и
•) Уточнение этого положения см. далее.

J lj ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ИЗ
(или) распались антинуклоны, мезоны и позитроны, закончились
ядерные реакции. На этой стадии рассмотрению подлежит взаимо-
взаимодействие фотонов с электронами, а конкретно — поглощение, ис-
испускание и рассеяние фотонов.
Нейтрино и гравитоны на этой стадии не исчезли, они при-
присутствуют, но присутствуют «незримо» и не влияют на фотонные
процессы. Существенно, что здесь, в этом разделе, рассматривается
изотропное «по Фридману» расширение, без учета пространствен-
пространственной неоднородности, которая предполагается малой в ту эпоху,
а к настоящему времени приводит к образованию галактик (см.
об этом следующий раздел). Наблюденные свойства РИ согласуются
с теми выводами, которые следуют из картины эволюции горячей
Вселенной, т. е. подтверждают ее. Но поставим более острый воп-
вопрос: в какой мере исследование РИ доказывает теорию горячей
Вселенной? И еще точнее: какую часть теории горячей Вселенной
можно считать доказанной? Для ответа на эти вопросы весьма важ-
важны исследования, изложенные в гл. 7.
Взаимодействие РИ с электронами стерло бы отклонения (если
таковые были) в распределении энергии в спектре РИ от равновес-
равновесного, предсказываемого теорией горячей Вселенной, если эти от-
отклонения имели место достаточно рано — при z>10e или 10Б, т. е.
при /<0,3—30 лет с начала расширения. Более поздние отклоне-
отклонения, связанные с процессами выделения энергии в веществе и ме-
меняющие спектр РИ, были бы обнаружены.
Были попытки объяснения РИ выделением энергии в отдельных
небесных источниках [Парийский A968), Бэрбидж A971), Лайзер
A968)].
Интегральная плотность РИ ерел=4-10~13 эрг/см3 почти в 100
раз больше, чем интегральная плотность излучения источников
(звезды галактик, радиогалактики, квазары), подсчитанная с уче-
учетом их вероятной эволюции в прошлом. РИ с большой точностью
изотропно.
Если разделить плотность энергии ерел=4-10~13 эрг/см3 на
плотность материи 3-10~31 г/см3 (средняя плотность вещества, вхо-
входящего в состав галактик, по данным Оорта), то получим -~ 1018 эрг/г.
Таким образом, горение »20% всего водорода даст достаточно
энергии, чтобы наполнить пространство излучением с температу-
температурой -~3°. Однако мы знаем, что горение ядерного топлива в звездах
дает спектр, очень далекий от трехградусного равновесного излу-
излучения, которое наблюдается, и угловое распределение излучения
было бы дискретным, а не равномерным. Если горение имело место
в далеком прошлом, то испущенное источниками высокотемпера-
высокотемпературное излучение может, в принципе, превратиться в низко-
низкотемпературное излучение, но из-за космологического расширения
энергия уменьшается и требуется выделение энергии в прошлом
больше разумного предела.

144 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 5
Наблюдаемое сейчас РИ можно пытаться объяснить выделением
в прошлом энергии в празвездах только при очень невероятном
соединении многих предположений. Так, надо предполагать вы-
высокую современную среднюю плотность вещества ро^2-1О~29 г/см3.
Надо к тому же сделать предположение о выделении практически
всей ядерной энергии всего вещества, излученной в гипотетических
«празвездах» за короткий период в прошлом (/=3- 10е лет), и далее
о поглощении, а затем переизлучении света пылью, которая состав-
составляет не менее 10~5 всего вещества по весу. Указанную возможность
объяснения РИ можно считать совершенно невероятной [см. Зель-
Зельдович, Новиков A967а)].
Решающим экспериментом было бы измерение фона нейтрино,
который, согласно горячей модели, должен иметь Тж2° (см. далее
гл. 7, § 1). Однако этот «эксперимент века» лежит пока далеко за
рамками возможного *).
При выделении ядерной энергии в «празвездах» образующиеся
нейтрино имели бы, очевидно, неравновесный спектр, а их «терма-
лизация» невозможна, так как вещество для них прозрачно. Их
плотность (число штук/ом3) должна быть порядка плотности нукло-
нуклонов, а современная энергия — сотые доли Мэв **). Попытки объяс-
объяснения РИ как совокупности излучения радиоисточников [Парий-
ский A968), Бэрбидж A971)] противоречат как статистике радио-
радиоисточников, так и соответствию спектра РИ планковскому спектру
в исследованной длинноволновой области.
Итак, можно сказать, что общая картина горячей Вселенной
прямо доказана наблюдениями для периода, начиная от несколь-
нескольких лет, отсчитанных от сингулярности, до сегодняшнего дня, т. е.
для периода 10 лет</<1010 лет ***).
Излагаемая ниже классическая картина является зарядово-
несимметричной. Предполагается, что в настоящее время во Все-
Вселенной представлены только барионы (вещество), но практически
нет антибарионов (антивещества). Предполагается, что далекие
галактики и межгалактический газ также состоят из вещества.
*) Подобный эксперимент, обнаруживающий нейтрино с Тя;2 °К. доказы"
вал бы не только горячую модель, но одновременно и то, что расширение с пер-
первых же секунд протекало изотропно. Дело в том, что в случае анизотропной дефор-
деформации на ранней стадии космологического расширения сегодняшний спектр ре-
реликтовых нейтрино может сильно отличаться от равновесного с Г=2° [Дорошке-
вич, Зельдович, Новиков A967а—г)], см. раздел IV.
**) Определение числа нейтрино позволило бы оценить выделившуюся энер-
энергию, а определение сегодняшней энергии нейтрино дало бы момент в прошлом,
когда выделение энергии произошло, и показало бы, возможно ли таким образом
объяснить фон.
***) О возможности анизотропного начала расширения Вселенной и связан-
связанных с этим искажениях реликтового излучения см. раздел IV. Кроме того, в на-
нарисованной картине не вполне выяснены процессы в период образования галак-
галактик, квазаров и т. п.—об этом см. раздел III.

§ I] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 145
В литературе встречается и противоположная точка зрения,
согласно которой Вселенная в среднем зарядово-симметрична.
Возможны различные варианты предположений о том, насколько
удалены друг от друга области с веществом и антивеществом. Так,
в одних вариантах теорий есть звезды из антивещества и в нашей
Галактике. В других вариантах есть галактики и антигалактики
в одном скоплении галактик, наконец, в третьих вариантах вещество
и антивещество разделены на еще большее расстояние. Ниже при-
приводятся аргументы, в силу которых зарядово-симметричная модель
представляется нам не соответствующей действительности.
Авторам и защитникам симметричной теории [Клейн A961),
Альвен A971), Омнес A969, 1971 а — в), новые данные см. Лон-
гейр A974)] нельзя отказать в логической последовательности и
остроумии. С точки зрения законов физики, изученных в ла-
лаборатории, с точки зрения «естественности» и «здравого смысла»
нельзя выбрать между симметричной и несимметричной теориями
Вселенной.
Аргументы в пользу несимметричной теории существенно опи-
опираются на данные астрономических наблюдений (красное смещение,
реликтовое излучение).
Защитники тех или иных неортодоксальных концепций хорошо
усвоили тезис, согласно которому лучший способ защиты — это
нападение. Бэрбидж, Хойл, Альвен подчеркивают «экзотичность»,
малую вероятность, «удивительность» классической модели с од-
однородной и изотропной структурой и динамикой расширения в на-
начальном сингулярном состоянии, с зарядовой несимметрией.
Этот упрек был бы справедлив, если бы теория горячей Вселенной
была абстрактным творением «чистого разума». Но все дело в том,
что эта картина в настоящее время (так было не всегда!) является
необходимой с наблюдательной точки зрения. Неизбежность стран-
странного мира — формулировка писателя Данина, высказанная по
другому поводу, но замечательно точно характеризующая кос-
космологию.
Вкратце остановимся на истории развития тех идей, которые
в настоящее время объединяются в понятие горячей Вселенной.
Доказательство расширения Вселенной было дано примерно
в то же время, когда возникла современная ядерная физика [ра-
[работы Фридмана — 1922—1924 гг., открытие Резерфордом ядерных
реакций в 1919 г., работы Хаббла — 1929 г., открытие нейтрона
Чадвиком в 1932 г.]. Таким образом, почти одновременно возник
вопрос о том, что же собой представляют вблизи сингулярности
Вселенная и вещество, ее заполняющее, и возникли физические
предпосылки для ответа на этот вопрос. Уже самое общее представ-
представление о сингулярности, о бесконечной плотности в начале расши-
расширения приводило к идее первичного дозвездного вещества более
или менее однородного — в отличие от разнообразия строения и

146 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 5
состава звезд и других небесных тел сегодня. Появились звучные,
но туманные формулировки: Вселенная была одним «первичным
атомом», или — вся Вселенная была одним ядром или каплей ядер-
ядерной жидкости [Леметр A933)].
Дальнейший этап, когда возникла идея горячей Вселен-
Вселенной, является замечательным примером плодотворного развития
теории, в возникновении которой существенную роль играла цепь
ошибок.
Гамов A948) поставил перед собой задачу космологического
объяснения распространенности различных ядер и изотопов. По-
Постановка этой задачи была связана с ошибочным значением постоян-
постоянной Хаббла #-~500 км/сек-Мпс, что соответствовало времени от
момента сингулярности меньше чем 2-10е лет. Но возраст Земли
оценивается в 4- 10е лет\ Даже допуская ошибки в этих величинах,
естественно было предположить, что Земля, так же как и Солнце,
сконденсировалась одновременно из первичного дозвездного ве-
вещества и их химический состав определялся составом этого вещества.
Не только водород и гелий — главные составные части звезд, в част-
частности Солнца, но и все тяжелые ядра, вплоть до железа, свинца,
урана, по гипотезе Гамова, получились в процессе реакций при
расширении дозвездного первичного вещества.
Таблица распространенности различных элементов и изотопов
обнаруживает общую закономерность: в природе преобладают
изотопы с избытком нейтронов. Отсюда был сделан вывод о том, что
в первичном веществе долго сохранялись свободные нейтроны (за-
(захват которых ядрами приводил к возникновению указанных изс-
топов), для этого нужна высокая температура. Так появилась идея
горячей Вселенной.
С сегодняшней точки зрения, можно указать на ряд несоответст-
несоответствий. Постоянная Хаббла уменьшилась в 5—10 раз, время с начала
расширения Вселенной оценивается в 1010—2-Ю10 лет, Солнце
есть звезда второго или третьего поколения. Сперва образовались
звезды первого поколения, в массивных звездах первого поколения
произошел нуклеосинтез тяжелых ядер (тяжелее Не); при взрывах
этих звезд тяжелые ядра рассеялись в галактическом газе, из ко-
которого конденсировались Солнце и Земля. Верно то, что для син-
синтеза тяжелых ядер нужны и свободные нейтроны. Однако эти нейт-
нейтроны появляются как на медленных, так и на взрывных этапах эво-
эволюции массивных звезд. С другой стороны, в первичном дозвездном
веществе, несмотря на наличие свободных нейтронов, синтез тя-
тяжелых элементов не происходит. Не удается «перескочить» барьер
атомного веса 5: ядро Не4 не присоединяет к себе нейтроны.
Тем не менее и Гамов и позднее Альфер и Херман A953) пола-
полагали, что как-то (?) удастся преодолеть массовое число А=5 и по-
получить средние и тяжелые элементы периодической системы путем
последовательного присоединения нейтронов и бета-распада. Пре-

§ 1] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 147
обладание в природе элементов с избытком нейтронов рассматри-
рассматривалось как подтверждение теории. Из того факта, что уцелели изо-
изотопы с большим сечением захвата медленных нейтронов, был сде-
сделан вывод о том, что нуклеосинтез, захват нейтронов, шел при вы-
высокой температуре. Так получена оценка температуры излучения
около 6СК!
Для всей логики развития теории существенно было предполо-
предположение о малом возрасте Вселенной. Современные данные о постоян-
постоянной Хаббла оставляют вполне достаточно времени для нуклео-
нуклеосинтеза средних и тяжелых элементов в звездах.
Таким образом, вопрос о нуклеосинтезе тяжелых элементов
был поставлен незакономерно, и поэтому ответ теории горячей
Вселенной на этот вопрос не совпадает с наблюдениями. Но теории
имеют свою судьбу, их развитие не описывается прямолинейной
схемой «вопрос — ответ». Анализ условий при высокой температуре
в начале космологического расширения привел к выводу, что плот-
плотность массы (Ризл=еизл/'с2) лучистой энергии оказывается больше
плотности обычной материи (РД-стадия, см. об этом введение к кни-
книге и следующую главу).
Эта необычная возможность, следующая из законов лаборатор-
лабораторной физики, но не осуществимая в лаборатории *), заворожила
исследователей. Фотонная плазма, радиационно-доминированное
состояние вещества, его свойства, механика, термодинамика —
короче, возникла новая область! Разработка этой области и раз-
различных следствий из концепции горячей Вселенной приобрела са-
самостоятельный интерес. Проблема нуклеосинтеза в начале космо-
космологического расширения была тем временем правильно решена
трудами Хаяши A950) и Ферми, Туркевича A950). Расчет пред-
предсказывал следующий состав дозвездного вещества: водород 75—
65%, гелий-4 25—35%. Но другого и не требуется — остальные
элементы синтезируются в звездах. Заметим, что работа Ферми и
Туркевича так и не опубликована, по-видимому, они пользовались
данными о реакциях изотопов водорода, которые в то время не
подлежали оглашению. Позднее рассматривались и следы других
элементов: D, He3, Lie, Li7, образующихся в космологическом нук-
нуклеосинтезе.
Любопытно, что авторов горячей модели интересовали главным
образом интегральные свойства реликтового излучения: плотность,
давление, температура, но не его спектр. Основываясь на не слиш-
слишком надежных соображениях, Гамов в 1956 г. дал оценку темпера-
температуры РИ для настоящего времени ~5—6СК.
Главным образом в целях самокритики отметим альтернативную
гипотезу о «холодной Вселенной». Было известно [Пейерльс и др.
*) Впрочем, в фокусе лазерного излучения в пикосекундных импульсах,
может быть, удастся достичь такой ситуации.

148 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 5
A952)], что холодное сверхплотное вещество такого состава, с ко-
которым мы встречаемся в звездах (нейтронные и гиперонные звезды,
см. ТТ и ЭЗ), при расширении дает только тяжелые ядра, водорода
не остается. Такой вариант гипотезы «холодной Вселенной» резко
противоречит наблюдаемой картине (известно, что водород состав-
составляет не меньше 60% всего вещества).
Однако, по замечанию Зельдовича A9626), холодное вещество
с избытком нейтрино в ходе расширения превратится в чистый
водород. Для этого нужно только, чтобы в смеси р, е~, v ферми-
энергия холодных нейтрино все время превосходила ферми-энер-
гию электронов.
В связи с этой гипотезой *), а также в связи с вопросом о сред-
средней плотности электромагнитной энергии во Вселенной Дорошке-
вич и Новиков A964) провели — по-видимому, впервые — полный
расчет широкого спектра электромагнитного излучения в эволю-
эволюционирующей Вселенной — от самых длинных радиоволн до ультра-
ультрафиолета. На кривые, полученные сложением вкладов излучения
радиоисточников и звезд, был наложен планковский спектр РИ,
который должен наблюдаться в случае горячей Вселенной.
Впервые в этой работе отмечено, что в определенном участке
спектра планковский спектр РИ на несколько порядков интенсивнее
суммы излучения от источников. Стала ясна возможность решающе-
решающего опыта наблюдения РИ, от которого зависит выбор между горя-
горячей и холодной моделями Вселенной. В работе Дорошкевича и
Новикова впервые появилась двугорбая кривая (график спектра
с двумя максимумами — один соответствует излучению звезд, вто-
второй — РИ), которая потом, уже после открытия РИ, долго укра-
украшала рекламы фирмы «Белл».
Дальнейшая история хорошо известна: Пензиас и Вилсон A965)
наткнулись на необъяснимый равномерный радиошум на длине
волны 7,3 см. В это время Дикке, Пиблс, Ролл и Вилкинсон A965)
готовили аппаратуру для измерения радиофона на длине волны
3 см с сознательным намерением проверить теорию горячей Все-
Вселенной и определить температуру реликтового излучения. Работая
независимо от Дорошкевича и Новикова, они, очевидно, имели
в это время сходные оценки **). Узнав о результатах Пензиаса и
Вилсона, Дикке и его группа немедленно интерпретировали эти
результаты как подтверждение теории горячей Вселенной и назва-
назвали температуру РИ — около 3СК-
Дальнейшее развитие было бы неуместно излагать в рамках
исторического обзора, так как последующие результаты подлежат
систематическому изложению.
*) Еще один пример полезной ошибки; как сказал поэт про рюмки: «То, что
бьется нечаянно,— к счастью, то, что бьется нарочно,— не в счет».
**) См. книгу Дикке A970).

§ 2] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ВО ВСЕЛЕННОЙ 149
Здесь, для того чтобы дать завершенную картину, мы приведем
лишь выводы: теория горячей Вселенной как теория огромного
этапа эволюции Вселенной в настоящее время установлена оконча-
окончательно. Решающим аргументом является существование и свойства
РИ. Те уточнения, которые могут последовать (в силу того, что
точность всех проделанных измерений не абсолютна), не изменят
основного вывода о горячей Вселенной, а дадут информацию о де-
деталях процессов, которые протекали в прошлом.
Поэтому уже сейчас ясно, что объяснять отклонения можно
(и нужно) будет в рамках теории горячей Вселенной, с учетом не-
небольшой неоднородности, образования галактик и квазаров и дру-
других аналогичных явлений. Нуклеосинтез (ситуация с которым не
вполне ясна, так как не определена точно роль звезд в синтезе Не
и некоторых других элементов) не играет решающей роли в дока-
доказательстве теории горячей Вселенной, хотя то, что он дает резуль-
результаты о количестве Не4 (а также отчасти и D), близкие к наблюдениям,
несомненно является аргументом в ее пользу.
Сказанное не должно рассматриваться как догматизм. В ра'м-
ках теории горячей Вселенной остается много невыясненных воп-
вопросов, которые, по мере разумения, мы будем отмечать ниже. Оста-
Остаются глубокие, принципиальные нерешенные вопросы о природе
сингулярности в начале расширения (см. разделы IV и V).
§ 2. Электромагнитное излучение
во Вселенной: обзор наблюдений
Широкий обзор наблюдений всего спектра электромагнитного
излучения во Вселенной — от радиоволн до гамма-лучей — служит
хорошим введением в детальное изучение реликтового излучения,
которое наиболее важно в космологии. Полный обзор электромаг-
электромагнитного излучения дали недавно Лонгейр и Сюняев A971); мы
используем их рисунки и таблицу. Нас интересует средняя плот-
плотность излучения вдали от тех или иных источников, поэтому все
величины (интенсивность F, плотность энергии е и плотность кван-
квантов п) экстраполированы на внегалактическое пространство, вклад
нашей Галактики вычтен из наблюдательных данных.
Сравнивая рис. 27 и табл. II, следует помнить очевидные соот-
соотношения:
Интегралы (е, г\ ), данные в таблице, не равны площади под кривой
на рис 27 из-за логарифмической шкалы на рисунке; приблизи-

150
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 5
тельно для каждой области спектра е = а — (vf )шах, щ = р -^ Fmaii,
где а, р порядка единицы *).
Дадим краткое описание различных частей спектра.
Предполагается, что левое крыло обязано дискретным радиоис-
радиоисточникам. Основная часть его дается степенным законом /7„=Лг~°'7Б.
100м In км WO/t t/i 100A IA 0,01 А
. Инфрйнрасные
• источник!
Оптическое
излучение
нормальных
галактик
В
10
1В го
lg у, гц
Рис. 27. Спектр электромагнитного излучения во Вселенной.
Принимая во внимание рэлей-джинсовскую формулу Fv=2kT/№,
эти данные можно представить формулой для эффективной темпе-
температуры: Гэфф»3-10-6 X2-' (к в см). При /,= 168 см, v=178 Мгц
Гэфф«30°К [см. Бридль A967, 1968), Ребер A968I. На этой длине
волны наша Галактика дает минимум Гэффл;80сК (в направлении,
перпендикулярном плоскости Галактики; этот вклад исключается
измерениями и вычислениями угловой зависимости галактического
вклада). Каково происхождение внегалактической части радио-
радиоизлучения, составляющей Гэффж30сК? Более чем половину его
дают дискретные источники, только малая часть их (~5%) отожде-
отождествлена с оптическими источниками. Остальное приписывается
дискретным источникам, слишком слабым для современной аппа-
аппаратуры и не наблюдаемым по отдельности. На длинноволновой части
спектра наблюдается излом (Х>100 м).
*) По астрономической традиции, пользуясь частотой \=с/'К, мы возвращаемся
к неперечеркнутому Л=6,54-К)-2* см^-сек'1^.

2]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ВО ВСЕЛЕННОЙ
151
ТАБЛИЦА II
Плотность энергии и числа квантов фонового излучения
в различных диапазонах
Диапазон
1а. Длинноволновое радиоизлучение
16. Реликтовое радиоизлучение
2. Инфракрасный
3. Оптический
4а. Мягкий рентгеновский ($< 1 кэв)
46. Жесткий рентгеновский ($>\ кэв)
Ба. Мягкое v-излученне ((ff—l—
6 Мэв)
56. Жесткое -у-излучение (^ > 10 Мэв)
Плотность энергии
излучения е,
эв/см'
0,25
~ю-а
—з-ю-3
Ю-4—10-5
Ю-4
=£10-5
< 10-5
Плотность числа
фотонов Пу
см — *
400
j
~ю-3
3.A0-'— Ю-8*)
з-ю-8
<;з-10-12
<ю-12
Ионосфера, окружающая нашу Землю, отражает достаточно
длинные радиоволны; измерения для таких волн выполнены с по-
помощью спутников и межпланетных зондов вплоть до Х-~10Б см,
v=0,4 Мгц [см., например, Александер, Броун, Кларк, Стоун,
Вебер A969I. Отчетливый максимум проявляется на частоте 4 Мгц
(^maX-~Ю~" эрг/см2-сек-стер■ гц).
В следующем диапазоне, 109—1012 гц, доминирует реликтовое
излучение. Оно сильно превышает все другие типы излучения,
вместе взятые, как в плотности энергии, так и в плотности квантов
(см. табл. II). Мы обсудим РИ отдельно в следующих параграфах.
Инфракрасная часть A012—1014 гц) известна сегодня плохо, она
показана на рис. 27 пунктирной линией. Приводимые оценки взяты
из работы Лоу и Текера A968). Ядро (центральная часть) нашей
Галактики обладает высокой инфракрасной светимостью (-~108 L©
для X— ЮОц). Недавняя теория объясняет это пылевым облаком,
окружающим ядро. Оптическое излучение поглощается, пыль на-
нагревается и переизлучает при Г<1000°К. Светимость квазаров так-
также часто имеет максимум в инфракрасной области. Как указал
Шкловский A965), инфракрасное излучение в квазарах и ядрах

152 ВВЕДЕНИЕ |ГЛ. 5
галактик, возможно, лучше объясняется синхротронным излуче-
излучением особых малых областей с сильным магнитным полем. Инте-
Интересная гипотеза Бисноватого-Когана и Сюняева A971) связывает
инфракрасный максимум с коллективными механизмами в плазме
около релятивистских объектов.
Измерения в оптической области трудны из-за фона, создавае-
создаваемого рассеянным светом Солнца; наблюдения Роуча и Смита A968)
представляют скорее верхний предел внегалактического излучения.
Многие теоретики вычисляли спектр излучения галактик, пред-
предполагая постоянной плотность галактик в сопутствующем простран-
пространстве или делая некоторые предположения об эволюции. Результаты
слабо чувствительны к космологическим моделям [см., например,
Дорошкевич и Новиков A964)]. Ярчайшие галактики наблюдаются
вплоть до z<0,5, поэтому вычисления основаны на экстраполяции
в прошлое. Большинство звезд имеют массу AJ^IAIq, они могут
светить без заметной эволюции, оставаясь на главной последова-
последовательности, более чем 1010 лет, поэтому «исчезновение» галактик
как светящихся объектов невероятно. Следует предположить, что
плотность галактик в прошлом была не больше, чем сейчас. Однако
возможно, что в молодых галактиках процент очень ярких звезд
больше, чем сейчас. Расчетные данные в табл. II и рис. 27 для этой
области спектра взяты из работ Партриджа и Пиблса A967 а, б).
Наблюдаемый верхний предел в несколько раз выше.
Следует указать, что плотность энергии в оптическом диапазо-
диапазоне, о вычислении которой говорилось выше, а данные даны в табл. II
и на рис. 27, составляет очень малую часть ядерной энергии ма-
материи. Даже принимая нижний предел для оценки плотности ма-
материи в 3-10~31 г/см3 (плотность материи, входящей в галактики),
получим, что если предположить превращение в звездах и других
источниках 30% всего водорода в гелий, что составляет энерговы-
энерговыделение 7,2- 101н эрг/г, то выделившаяся энергия составит еяд=
=0,5 эв/см3. Эта величина в 200 раз превышает оценку оптического
фона. Поэтому нет никаких трудностей в объяснении оптического
фона суммарным излучением всех галактик. Важны прямые наблю-
наблюдения оптического фона; однако измерения яркости ночного неба
трудны, так как мешает зодиакальный свет и свет звезд нашей Га-
Галактики. Последние измерения дают поток /\<10~19 эрг/см2-сек-
стер-гц на волне 5300 А [Роуч и Смит A968)] и Fv<10-20 эрг/см2-
сек-стер-гц на 4100 А Шили A969)], что соответствует е<10эе/сл«3.
Для ультрафиолетового излучения прямые измерения на косми-
космических ракетах [Курт, Сюняев A967 а — в, 1970)] дают верхний
предел /\,<3-10-21 эрг/см2-сек-стер-гц A350>Х>1216 А). Изме-
Измерения располагаются по обе стороны от линии Ly-a A340>X>1225 A
1180>Х>1050 А), длина волны которой 1216 А. Сама линия Ly-a
преобладает в излучении газа в нашей Галактике, включая область
вблизи Солнца. Данные для Я,>1216 А представляют большой ин-

S 2] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ВО ВСЕЛЕННОЙ 153
терес: межгалактический газ должен излучать Ly-a. Будучи сдви-
сдвинутым космологическим красным смещением, это излучение попа-
попадает в интервал 1340>Х>1225 А. Цитированные измерения дают
оценку для верхнего предела межгалактической плотности газа
йгаз=р/рс<4. Конечно, необходимы более точные измерения.
Излучение с длиной волны короче порога ионизации водорода
(Х<916 А, Ly-континуум) сильно поглощается нейтральным водо-
водородом Галактики, и пока не существует способа прямого его изме-
измерения.
Сюняев A969а, б) предложил остроумную оценку коротковолно-
коротковолнового излучения с длиной волны меньше порога Ly-континуума по на-
наблюдениям разреженных нейтральных водородных гало галактик и
мостов между галактиками, причем наличие нейтрального водорода
определяется по наблюдениям линии 21 см. Присутствие нейтраль-
нейтрального водорода с низкой плотностью вокруг галактик несовместимо
с большим ультрафиолетовым потоком в межгалактическом прост-
пространстве; так как нейтральный водород галактик наблюдается по
линии /,=21 см, то это дает верхний предел потока в ультрафиоле-
ультрафиолетовой области, показанный на рис. 27. Отсюда также следует, что
межгалактического нагретого газа, дающего ультрафиолетовый
поток, не может быть слишком много; соответствующая оценка
£203 *)
газ
Начиная с Х<70 А, Галактика становится достаточно прозрач-
прозрачной, так что коротковолновые рентгеновские лучи и ^-лучи изме-
измеряются непосредственно на ракетах и спутниках [см. обзор Лон-
гейра и Сюняева A971)].
Если исключить около 150 известных дискретных рентгеновских
источников, то фон будет изотропным (вариации в пределах 10%).
По-видимому, он не объясняется тепловым излучением горячего
межгалактического газа, так как спектр в жесткой области Е>1 кэв
степенной, F~\~a, а не экспоненциальный, F~e~$v. Имеются
основания полагать, что рентгеновское и ^-излучение (или часть
его) обязаны обратному комптоновскому рассеянию низкоэнергич-
низкоэнергичных фотонов на релятивистских электронах [Фелтен, Моррисон
A966)]. Не решен вопрос, распределены ли эти электроны более
или менее однородно в пространстве или, как полагают Лонгейр
и Сюняев A969а, в), они дают рентгеновское и ^-излучение прямо в
окрестности источника электронов. В последнем случае квазиизо-
квазиизотропный рентгеновский фон разобьется на много дискретных источ-
источников при улучшении углового разрешения. Детальное обсужде-
обсуждение относится скорее к физике космических лучей, чем к космоло-
космологии. Мы вернемся к наиболее важному вкладу в электромагнитный
спектр — реликтовому излучению.
*) Эта оценка отнесена к ЯО=75 км/сек-Мпс, при Н0<$0 Ысек-Мпс резуль-
менее оппеттр.прнт.|й
тат менее определенный.

154
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. S
§ 3. Наблюдательное доказательство существования
реликтового излучения
На рис. 28 и в табл. III *) суммировано большинство измерений,
выполненных к концу 1972 г. Они располагаются в таблице в по-
порядке уменьшения длины волны.
В третьем столбце приведена так называемая антенная
температура Та, обычно используемая радиоастрономами. Эта
-гг
II
12
Цу.гц
Рис. 28. Абсолютные измерения интенсивности реликтового излучения.
температура вычисляется по наблюдаемому потоку Fx на данной
длине волны по рэлей-джинсовской формуле:
2кТ„
к = -
E.3.1)
Если поток излучения равновесный, то Тя соответствует истинной
температуре излучения только при т™-<^1.
В четвертом столбце приведена термодинамическая температура,
вычисленная по формуле Планка:
2h\3
/\,=
Все цитированные измерения, за исключением № 16—18, выпол-
выполнены на радиоастрономических инструментах. Наблюдения заклю-
•) Большая часть данных таблицы взята из книги Пиблса A971а).

3]
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
155
ТАБЛИЦА 111
Наблюдение реликтового излучения
JAJft
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Длина
волны,
см
73,5; 49
21,2
20,9
20,7
7,35
3,2
3,2
1,58
1,50
0,924
0,856
0,82
0,358
0,33
0,33
0,264
0,264
0,264
Антеииая
температура,
°К
3,7±1,2
3,2±1,0
2,5±0,3
2,8±0,6
3,0±1,0
2,8±0,5
2 47+0'16
^•47_0,21
2 35+° -12
2,35_017
1,56±0,8
2,44±0,26
1 R1+0'16
1,81_021
2,1±0,7
0,95±0,58
0,89±0,32
1,01±0,20
1,2±0,4
1,6±0,6
0,93±0,11
Термодина-
Термодинамическая
температура
°К
3,7±1,2
3,2±1,0
2,5±0,3
2,8±0,6
3,1 ± 1,0
3,0±0,5
2 69+0-16
^>ЬУ_0 21
2 78+°-12
2.78_0,17
2,0±0,8
3,16±0,26
2 56+0'17
2,9±0,7
2,4±0,7
2 46+° -40
2'4Ь-0,44
2,61±0,25
3,2±0,5
3,7±0,7
2,83±0,15
Авторы
Хоуэлл, Шейкшафт A966)
Пензиас, Вилсон A967)
Пелючснко, Станкевич A969)
Хоуэлл, Шейкшафт A966)
Пензиас, Вилсон A965)
Ролл, Вилкинсон A966)
Стоке, Партридж, Вилкинсон A967)
Стоке, Партридж, Вилкинсон A967)
Уэлч, Кичи, Торнтон, Уриксон
A967)
Юинг, Бюрк. Стилин A967)
Вилкинсон A967а)
Пузанов, Саломонович, Станке-
Станкевич A967)
Кисляков, Чернышев, Лебский,
Мальцев, Серов A971)
Бойнтон, Стоке, Вилкинсои A968)
Миллеа, Мак-Колл, Педерсои,
Верной A971)
Филд, Хитчкок A966а, б)
Пеймберт A968)
Бортолот, Клаузер, Тадеуш A969)
чаются в измерении шума, возникающего в приемнике в результате
потока РИ. Помехой являются все внутренние, а также атмосфер-
атмосферные и галактические шумы. Аппаратура калибруется с помощью
искусственной чернотельной полости при гелиевой температуре
на входе антенны.
Галактический шум и фон от дискретных радиоисточников имеют
падающий спектр (с различными спектральными индексами), по-
поэтому для //>21 см поправки велики. Соответствующие точки, по-
показывающие поток от РИ и от источников, даны на рис. 28 в левой
части, трудно расширить измерения к длинным волнам, Х>80 см.
На малых длинах волн сильны атмосферные шумы: при X»
»0,33 см они достигают 10—12°К. Для еще более коротких длин
волн приемник должен быть вынесен за пределы атмосферы. Изме-
Измерения № 16—18 выполнены косвенным спектроскопическим ме-
методом с помощью оптических спектральных наблюдений линий меж-

156 ВВЕДЕНИЕ 1ГЛ. 5
звездного CN. Принцип этих наблюдений заключается в следующем.
Молекулы с низколежащими уровнями возбуждения (обозначим
энергию возбуждения через EJ в межзвездном пространстве воз-
возбуждаются РИ с частотой v^Ejh. В отсутствие столкновений рав-
равновесная концентрация возбужденных молекул и молекул на основ-
основном уровне есть n1/n0=e-Ei/kT, где Т — эффективная температура
возбуждающего излучения. Концентрации лх и п„ определяются
по наблюдениям оптических линий поглощения этих молекул.
Интересно отметить, что еще в 1941 г. Мак-Келлар A941) от-
отметил, что молекула CN в межзвездном газе наблюдается не только
в основном состоянии, но и в возбужденном вращательном состоя-
состоянии, что соответствовало температуре возбуждения ~2,3°К. К это-
этому выводу Мак-Келлар пришел, исследуя линии поглощения меж-
межзвездного газа в спектре звезды £ Ophiuchi. Объяснение этого яв-
явления оставалось неясным. Только после открытия реликтового
излучения Тадеуш и Клаузер A966), Филд и Хитчкок A966а, б)
объяснили этот факт как возбуждение межзвездных молекул РИ.
Затем аналогичный эффект был обнаружен в межзвездных линиях
звезды £ Persei, а затем Тадеуш с сотрудниками (см. № 18 в таблице)
обнаружили его в спектрах 11 звезд в разных направлениях на не-
небесной сфере. Это доказывает повсеместное действие возбуждаю-
возбуждающего фактора в Галактике, что укрепляет представление о том, что
этим фактором является РИ. Для молекул СН и СН+, а также для
других уровней CN соответствующие возбужденные состояния не
найдены, хотя основные состояния этих молекул наблюдаются.
Поэтому можно дать лишь верхний предел температуры. Соответ-
Соответствующие пределы показаны на рис. 28 [Бортолот, Клаузер, Та-
Тадеуш A969)]. Данные об интенсивности электромагнитного излу-
излучения в области длин волн около 1 мм были получены [Шивананден,
Хоук, Харвит A968), Хоук, Харвит A969а, б)] с помощью полу-
полупроводниковых болометров на ракетах, поднимающихся на высоту
более 100 км. Приемники были чувствительны к широкому диапа-
диапазону длин волн — 0,4—1,3 мм. Измерения в течение нескольких
полетов дали сенсационный результат: усредненный поток в этой
области длин волн соответствует плотности энергии порядка 10—
20 эв/см3. Это значительно выше (примерно в 40 раз по плотности
энергии) равновесного потока с Т=2,ТК- Кроме того, если этот
поток распределен непрерывно в указанной области длин волн и
приходит к нам из космического пространства (а не возникает
в верхней атмосфере или в Солнечной системе), то измерения про-
противоречат верхним пределам на поток в этой области, полученным
с помощью межзвездных молекул. Измерения не обнаружили
какой-либо анизотропии потока. Согласия с молекулярными из-
измерениями можно добиться, предполагая, что избыточное из-
излучение сосредоточено в узких линиях, не совпадающих с линиями
молекул.

15 3] СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 157
В последующих публикациях этой группы измеренное значение
плотности энергии в этой области спектра варьировалось, оставаясь
выше равновесного. Полный поток, во много раз превышающий
равновесный, зарегистрировали также Мюльнер и Вейсс A970)
в опытах на баллонах в одном из спектральных интервалов в ин-
инфракрасной области. Эти результаты привлекли большое внимание:
если бы они были верны, то теория горячей Вселенной нуждалась
бы в существенных дополнениях. Были поставлены дальнейшие,
более тщательные измерения. Блейр и др. A971) из Лос-Аламос-
ской лаборатории поместили на ракету аппаратуру, охлажденную
сверхтекучим гелием до температуры Т=1,7°К- Они обнаружили
поток, соответствующий температуре 71=3Ilt2;S°K. Затем после-
последовала новая серия опытов на баллонах Мюльнера и Вейсса A973)
с усовершенствованной аппаратурой, они получили 7»3°К. Обзор
наблюдательных данных по коротковолновой части спектра РИ
приведен у Тадеуша A972). Наконец, недавно объявлено о новом
результате другой Лос-Аламосской группы, измерения которой
в инфракрасной области спектра согласуются с планковским спект-
спектром с Г=2,7°К.
Вывод заключается в том, что первые измерения, давшие Ерел>
>а7'р..дЖ, полностью опровергнуты. Наиболее точные измерения
не противоречат полностью равновесному спектру реликтового
излучения. Этот результат является важной частью теории горячей
Вселенной, он говорит о малости отклонений от идеализированной
фридмановской картины эволюции, указывает на реликтовое про-
происхождение излучения. Было бы весьма желательно увеличить
точность опытов по определению плотности и спектра излучения.
Малые отклонения от планковского спектра можно связать с теп-
тепловыми процессами в реальной Вселенной, в которой есть возмуще-
возмущения и образуются галактики. Трудность опытов уравновешивается
их принципиальным значением.
Учитывая трудности измерений в субмиллиметровой области,
обратимся к более надежным длинноволновым наблюдениям (Х>
>3 мм).
Квадратичная зависимость F от v, совместимая с рэлей-джин-
совским законом, проявляет себя в постоянном значении антенной
температуры Та, приведенном в табл. III, вплоть до X»0,8 см.
Но один этот факт еще не доказывает равновесного, планковского
спектра. Можно представить себе дилютированный спектр
с более высокой температурой а/2,7°, а>1, удовлетворяющий
в рэлей-джинсовской области той же зависимости. Существуют
процессы (см. следующую главу), которые искажают планковский
спектр, сохраняя закон F~v2 в длинноволновой области.

158 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 5
Поэтому точки Я,~0,33 и 0,264 см (№ 14—18 в табл. III) пред-
представляют большой интерес. При г~г ~2 планковский закон сильно
отклоняется от экстраполированного закона Рэлея — Джинса
-р-ш- = з—г:-5- = 0,315 при -Лг = 2. Авторы этих измерений
заявляют, что их измерения несовместимы со степенным законом,
но хорошо согласуются с равновесным.
Имеется другое доказательство того, что излучение в диапазоне
50 см — 0,3 см не вызвано дискретными источниками, а потому яв-
является первичным, реликтовым. Доказательство дается идеальной
изотропией излучения, полной независимостью потока от направ-
направления, отсутствием любых временных или угловых вариаций
(-уГ<10|. Более детальный обзор наблюдательных данных о
степени изотропии реликтового излучения дан в работе Партрид-
жа A973).

ГЛ А В А 6
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В НАЧАЛЕ
КОСМОЛОГИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ
§ 1. Основные периоды в эволюции горячей Вселенной
Прежде чем приступить к детальному рассмотрению процессов
в ходе расширения горячей Вселенной, попытаемся обрисовать
общую картину эволюции. ,
Как мы видели в § 3 предыдущей главы, общая плотность энер-
энергии РИ сегодня составляет ет»4'10~13 эрг/см3. Это соответствует
плотности массы рт«?4-10~34 г/см3. Такая плотность много меньше
средней плотности обычной материи (вещество в звездах, разре-
разреженном газе и т. п.), усредненной по всему объему, которая, как
мы видели выше, не меньше, чем ргал»3- Ю1 г/см3. Итак, сегодня
рт<^ргал, и тяготение, связанное с рт, не играет сегодня никакой
роли в динамике расширения. Закон расширения сегодня опреде-
определяется обычной материей с давлением, равным нулю, Р=0, и, как
показано в первом разделе, линейные масштабы изменяются по
закону
1
Плотность обычного вещества меняется, как a~s:
рвещ~я-3- F.1.2)
Плотность числа квантов РИ меняется по тому же закону, п^~а~3
(обоснование этого см. далее в этом параграфе), однако энергия
каждого кванта Е меняется, как сг1, и поэтому плотность энергии
РИ меняется, как а::
Ev~e/ V~4 ' [ F.1.3)
Pv — ~p2 '""' ^ I
Из F.1.2) и F.1.3) следует:
-^-ж4-10-Б-^-^-. F.1.4)

160 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ [ГЛ. 6
Если принять, что £2=1, т. е. что рвещ|/о=10~2в г/см3, то
.£!-«4-1О-»-22.. F.1.5)
Раеш а
Таким образом, в прошлом, когда azzao-l-10~8, тогда рт~рвещ~
г»10~12 г/см3 (при £2=1), а в еще более раннюю эпоху
щ. FЛ-6)
Эта ранняя эпоха, когда выполняется условие F.1.6), носит назва-
название (радиационно-доминированной» (РД) стадии. На РД-стадии
закон эволюции определяется тяготением ультрарелятивистского
газа с Р=е/3 и, согласно §§ 8 гл. 1, a~t'^. Температура излучения
меняется на всех стадиях расширения, как а'1:
Тч~а-1.
Следовательно, на ранних этапах расширения температура была
велика (формулы см. в следующем параграфе).
Итак, на РД-стадии в начале космологического расширения
господствовали огромные температуры, огромные плотности ма-
материи и при этом рт^>рвещ. Обычное вещество в этих условиях на-
находилось в состоянии полностью ионизованной плазмы и было
в термодинамическом равновесии с излучением (подробности см.
в следующих параграфах и главах). Подчеркнем, что отношение
п-/пвеш все время практически не меняется в ходе расширения,
пт/пвещ« 108. На поздней стадии это обеспечивается сохранением
фотонов РИ, которое не взаимодействует с веществом, на ранней
стадии постоянство гь{/пвещ обеспечивается условием термодинами-
термодинамического равновесия.
Как показано в ТТ и ЭЗ, отношение nT/nN (ям=пвещ) характе-
характеризует удельную (на один нуклон) энтропию вещества s:
s== * ^
ftnN knN'
где S — энтропия единицы объема, k — постоянная Больцмана.
Имея в виду применимость этой формулы и к очень ранней стадии
эволюции, когда в горячем веществе есть также много пар частиц —
античастиц, надо уточнить, что понимается под nN и nv Под nN
понимается избыток барионов над антибарионами, а под п7 — сум-
сумма всех частиц и античастиц, имеющихся в веществе за счет его
тепловой энергии (т. е. это y, v, v, e+, e~ и т. д.). Для появления
заметного количества таких пар частиц — античастиц необходимо,
чтобы выполнялось условие kT^mc2, где m — масса покоя частицы.
Таким образом, например, электрон-позитронных пар много, когда
Т>5-108°К. В еще более ранние моменты и, соответственно, при
более высоких температурах в равновесии находятся еще более

} J] ОСНОВНЫЕ ПЕРИОДЫ В ЭВОЛЮЦИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ 161
тяжелые пары частиц и античастиц. (Подробно термодинамика ве-
вещества при больших температурах изложена в гл. 7 и 8 ТТ и ЭЗ.)
Конечно, никакие сложные атомные ядра в этих условиях не могут
существовать, они были бы моментально разбиты. Нуклоны су-
существуют в виде нейтронов и протонов, постоянно превращающих-
превращающихся друг в друга *). Количество частиц и античастиц каждого сорта
(если выполнено условие kT > тс2) в единице объема примерно та-
такое же, как и фотонов. Небольшое различие обусловлено только
статистическими множителями, характеризующими сорта частиц.
Таким образом, на каждый нуклон, присутствующий сегодня во
Вселенной, в самую раннюю эпоху расширения, при 7>10ls CK,
приходилось »108 нуклон-антинуклонных пар. С этой точки зре-
зрения сегодняшние нуклоны представляют собой результат малого
избытка (всего на 10~8!) количества нуклонов над антинуклонами
в той ранней стадии. Именно то, что этот удивительно малый избыток
существовал, а не был в среднем строго равен нулю, подчеркивают
Бэрбидж и др., говоря о «странности» зарядово-несимметричной
модели.
Общую картину расширения горячей Вселенной принято делить
на следующие эпохи, которые мы здесь лишь перечислим, а подроб-
подробно опишем далее:
1. Адронная стадия: /^10~в сек, 7>10ls °K.
В равновесии в плазме, помимо нейтрино, мезонов, электрон-
позитронных пар, имеется много нуклон-антинуклонных пар.
Физика этой стадии рассматривается далее в этой главе.
2. Лептоннаястадия: 10~6 сек< /<10mc, 1013 °К<Г<5- 10е °К.
Нуклон-антинуклонные пары аннигилировали **), в равновесии
в плазме находятся фотоны, нейтрино (в начале стадии мезоны, ко-
которые затем аннигилируют), электрон-позитронные пары и неболь-
небольшая примесь нуклонов. К середине стадии процессы с нейтрино
становятся медленными по сравнению с расширением. Нейтрино
(сначала мюонные, а потом и электронные) перестают взаимодей-
взаимодействовать с плазмой. Они движутся свободно, охлаждаясь из-за
красного смещения, и остаются невзаимодействующими во все
последующие эпохи до наших дней. В конце стадии происходит
синтез ядер Не4 (и небольшого количества других легких ядер),
в это же время происходит аннигиляция пар е+, е~. Процессы во
время этой стадии разобраны в гл. 7.
3. Эра фотонной (или радиационно-доминированной) плазмы:
10 се/с<*< Ю12 сек, 5-109 °К<Г<4-103 °К.
В равновесии находится плазма с излучением, нейтрино сво-
свободны. Об этом периоде см. гл. 8.
4. Эра после рекомбинации водорода первичной плазмы.
**\ А также в виДе ец№ более короткоживущих частиц и «резонансов».
) Особая точка зрения Омнеса разобрана в § 3 этой главы.
Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

162 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ [ГЛ. в
Несколько позже tf^lO12 сек, когда температура падает до 3—4
тысяч градусов, первичная плазма превращается в нейтральную
и становится прозрачной для реликтового излучения. После этого
становится возможным формирование отдельных небесных тел пу-
путем гравитационной неустойчивости из первоначально небольших
флуктуации плотности. Этот период и другие вопросы, связанные
с проблемой образования небесных тел, рассматриваются в следую-
следующем разделе.
Гипотетические гравитоны, вероятно, присутствуют во все эпо-
эпохи, но на всех этапах после «планковского» момента /»103 сек
они практически не взаимодействуют с остальными частицами.
Здесь везде предполагаем справедливой однородную изотропную
модель с самого начала космологического расширения. О возможных
отклонениях от такой модели на ранних этапах расширения гово-
говорится в разделах IV, V. Кроме того, следуя ортодоксальной точке
зрения, мы считаем, что нет сверхтяжелых гипотетических частиц,
и полагаем массу нейтрино равной нулю. О возможных следствиях
неортодоксальной теории см. в гл. 7.
§ 2. Космологическое расширение высокотемпературной плазмы
и условия термодинамического равновесия
В горячей модели на длительной стадии плотность нуклонов и
электронов мала по сравнению с плотностью квантов и других
частиц с массой покоя, равной нулю. Электрон-позитронных пар
много лишь тогда, когда температура больше массы покоя, kT>
>тес2 (Т> 5- 10s °К). Если выполнено это неравенство, то можно
электроны и позитроны рассматривать как релятивистские частицы.
То же относится и к более тяжелым частицам при соответственно
еще более высокой температуре. Следовательно, приближенно
8 ОС2
имеет место соотношение *) Р=—= £_.
Для такого уравнения состояния закон расширения выведен
в § 8 гл. 1. Он имеет вид
3 4,5-105- , „ /с о 14
р=32 0/2 = ~^2—г/смя, F.2.1)
е = рс2 = i^^ эрг/сма. F.2.2)
Если бы газ состоял только из квантов электромагнитного поля,
то мы имели бы
еИзЛ = о7\ где о = -^1 = 7,57.10-» ,аре я. .
*) При этом предполагается, что спектр масс ограничен, так что есть темпера-
температура такая, что kT>Mmc2, где Мт— максимальная масса. Предполагается также,
что при этой температуре взаимодействие частиц между собой несущественно
(об иной точке зрения, т. е. о теории Хагедорна, см. § 4 этой главы).

s j] КОСМОЛОГИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ 163
С учетом того, что в равновесии есть различные сорта частиц, за-
запишем:
где х — безразмерный коэффициент больше единицы. Получим
' 323 Gt2 '
Т (°К) = f-'/oe-1/. .1,5- Ю10; t (сек) =2'25',1.0а°, F.2.3)
Thf. '*
Т(Л1вв) = /-1/чс-1/..1>3; *(ce/c)=—Ы—. F.2.4)
Наконец, для плотности всех сортов частиц получим, принимая
во внимание, что средняя энергия частицы порядка ШТ:
= /-V.xV..5.10»1 см-*. F.2.5)
•
Как уже отмечалось раньше, при высокой температуре все
частицы находятся в термодинамическом равновесии. В самом деле,
для существования термодинамического равновесия необходимо,
чтобы процессы, устанавливающие равновесие, шли быстрее, чем
расширение плазмы. Точнее говоря, необходимо, чтобы время про-
процесса, устанавливающего равновесие (т), было много меньше харак-
характерного времени изменения параметров плазмы (р, Т и т. п.).
В изотропном решении р = «р, где а порядка единицы. По-
Поэтому время, необходимое для изменения плотности от какого-
либо значения р до (— Jp«0,4p, порядка At=-==r.
Таким образом, At порядка t. С другой стороны, время установ-
установления равновесия есть
т = — F.2.6)
спи1
где о — сечение реакции, п — концентрация частиц, v — скорость
их движения. При высоких температурах и»с. Величина п опре-
определяется по формуле F.2.5): п=п^-''> (n^const). Поэтому
т = —. F-2-7)
OriC
Для термодинамического равновесия необходимо:
или
о > tli'nlC. F.2.9)
б*

164 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ [ГЛ. в
Поэтому термодинамическое равновесие имеет место при tf->0,
если только о не уменьшается достаточно быстро с ростом энергии
частиц. Можно надеяться, что условие F.2.9) действительно выпол-
выполняется. Так, например, не подлежит сомнению, что при высоких
температурах число пар е+, е~ не отличается от равновесного.
В самом деле, рассмотрим для примера момент, когда Т= 1 Мэв,
t=\ сек, пе+»пе_»1031 см.-'. Сечение аннигиляции ох порядка
10"м см2, скорость частиц порядка скорости света; следовательно,
время установления равновесия порядка
т = — = Ю-1? се/с.
о1пс
Итак, т ничтожно мало по сравнению с t= 1 сек. Полное равновесие
e++e~^:2Y обеспечено. Точно так же обстоит дело и с установле-
установлением равновесия мюонных пар ц+, ц~, а также мезонов и барионов
всех сортов при соответствующих более высоких температурах.
Лишь вблизи самой сингулярности, при t ££.{-£) tna ( напомним,
что*пл=|/ -£-= 10~43 сек), условие установления равновесия
может не выполняться для заряженных частиц и фотонов. Посколь-
Поскольку позже условие равновесия выполнено с огромным запасом, нель-
нельзя ожидать заметных отклонений от равновесия на этих более позд-
поздних этапах.
Ситуация не ясна для гравитонов (см. § 2 гл. 7). О границах об-
областей, где выполняется условие термодинамического равновесия
для тех или иных частиц, говорится далее, также в гл. 7. В данной
главе в дальнейших параграфах мы рассмотрим адронную ста-
стадию расширения Вселенной, когда температура выше энергии
покоя нуклонов и в равновесии находится много нуклон-антинук-
лонных пар.
§ 3. Адронная стадия эволюции Вселенной
При температуре, сравнимой с энергией покоя протона и нейт-
нейтрона и выше, T^m^lk, количество нуклонов и антинуклонов
в плазме становится порядка количества фотонов; соответствующие
точные формулы можно найти у Ландау и Лифшица A964), формулы
с точностью до безразмерного численного коэффициента даны в пре-
предыдущем параграфе. Разность количества нуклонов и антинуклонов
равна наблюдаемому в настоящее время количеству нуклонов, т. е.
составляет около 10~8 количества фотонов. Этот небольшой избы-
избыток нуклонов задается как начальное условие для того, чтобы после
расширения плазмы, ее охлаждения и аннигиляции пар дать наблю-
наблюдаемую сегодня картину Вселенной с реликтовым излучением.
О попытках объяснения того, почему этот произвольный параметр

f J] АДРОННАЯ СТАДИЯ ЭВОЛЮЦИИ ВСЕЛЕННОЙ 165
должен быть столь мал (или, иными словами, почему энтропия Все-
Вселенной столь велика), см. в разделе V. При высокой температуре
эта разность N—N мала по отношению к общему количеству нукло-
нуклонов и антинуклонов, так что с достаточной точностью можно считать
вещество зарядово-симметричным, нейтральным; к нему приложимы
соотношения гл. 7 и 8 ТТ и ЭЗ.
Каково общее количество различных сортов частиц и анти-
античастиц?
Опыты на ускорителях доказывают существование большого
числа так называемых «резонансов», т. е. элементарных частиц с
чрезвычайно коротким временем жизни, порядка 10~23 сек. Ра-
Разумеется, такие частицы нельзя наблюдать классическими метода-
методами, прослеживая их траекторию от места образования до места
распада. Существование этих частиц проявляется в том, что, на-
например, при рассеянии я+ на р в сечении появляется максимум
(резонанс) при определенной энергии. Этот максимум можно опи-
описать так, что происходит образование частицы А+ +, заряд которой
вдвое больше заряда протона, по реакции р+я+ = А++. Частица
д++ Тут же распадается на р+я+, так что наблюдается только рас-
рассеяние я+ на р. Детальное изучение позволяет определить не толь-
только массу и заряд, но и другие свойства, например спин, «резонанса»
(например, для А++спин равен 3/2)-
Долгоживущие (в том числе и стабильные) частицы образуют
«семейства» — такие, например, как протон и нейтрон или три
пиона: я+, я0, п~. Такие же семейства образуют и резонансы. Таб-
Таблица различных резонансов содержит в настоящее время более
300 частиц. Эта таблица продолжает пополняться *), и возможно,
что расширение таблицы ограничено только мощностью ускорите-
ускорителей и точностью эксперимента. Существуют полуэмпирические
теории, предсказывающие ряды сходных частиц с растущим спином
и массой, квадрат которой линейно растет с ростом спина частицы.
В теории горячего вещества существует направление — теория
Хагедорна (см. следующий параграф), согласно которой все эти
частицы можно рассматривать как независимые компоненты и
прилагать к ним формулы статистической механики. Качественно
результаты можно понять и без подробной теории, изложенной
в ТТ и ЭЗ.
Дело сводится к тому, что в формулах
е = хоТ», S = xoT8-|-f F.3.1)
где 2* — число сортов частиц, S — энтропия, надо считать х функ-
функцией температуры. Крайний случай соответствует тому, что х->оо
газет замечателыюм фильме Михаила Ромма «Девять дней одного года» стен-
стенда причывает открыть новую частицу в следующем квартале.

166 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ [ГЛ. 6
при Т-^в, где© есть некая критическая температура *). Давление
оказывается меньше, чем для релятивистского газа, Р<е/3, а при
х->оо Р/е->0. Следовательно, в предельном случае х->оо закон
космологического расширения оказывается соответствующим плос-
плоской модели с пылевидной материей:
Осуществляется ли такая картина? Представляется, что пре-
пренебрежение взаимодействием в рассматриваемой ситуации ни на
чем не основано. Само существование большого числа резонансов,
возможно, является указанием на то, что мы имеем дело с возбуж-
возбужденными состояниями нуклонов; может быть, барионы не элемен-
элементарны, а состоят в свою очередь из каких-то «более элементарных»
частиц. Тогда при высокой температуре статистическую физику
надо прилагать к этим частицам.
Можно ожидать, что при достаточно высокой температуре kT>
>Mqc2 (где М„ — масса кварка, предполагается, что кварки го-
гораздо тяжелее барионов, например, Мq=30 или 50 Мр) мы вернемся
к простой формуле вида F.3.1) с постоянным небольшим х, а следо-
следовательно, и с Р=е/3. Отметим, не входя в существо дела, что Кирж-
ниц и Файнберг A973) находят противоречие между теорией Хаге-
дорна и современной теорией поля. Вопросы, которые возникают
в этой области, весьма сложны, они нуждаются в теоретическом и
экспериментальном выяснении. Более того, не ясно, имеют ли эти
вопросы точный смысл. Поясним сомнения конкретным примером:
сильновзаимодействующие мезоны, возможно, представляют собой
связанные системы барион — антибарион. Такая точка зрения была
впервые высказана Ферми и Янгом в 1953 г. применительно к пио-
пионам. Позже была развита классификация всех мезонов (частиц
с нулевым барионным зарядом) как связанных состояний кварков
и антикварков **). В плотном горячем веществе, где присутствует
большое число барионов и антибарионов, трудно отличить две
частицы — барион и антибарион — от одного мезона.
Здесь нужно подчеркнуть, что трудности и сомнения относятся
к возможности подсчета числа индивидуальных частиц, т. е., по
существу, к использованию понятий статистической физики не-
невзаимодействующих частиц. Не подлежит сомнению, однако, су-
существование таких понятий, как плотность энергии, давление (эти
*) Необходимое условие для этого заключается в том, чтобы число сортов
частиц (умноженное на статистический вес каждой частицы) росло бы экспонен-
экспоненциально с массой: если к* (т)~еЬт, то предельная температура ©=cVb. Степен-
Степенные множители при экспоненте не меняют этого основного результата.
**) Группу мезонов с массой около 2тр (притом и больше, и меньше этой ве-
дичины) И. Шапиро A973) описывает как барион и антибарион, связанные ядер-
ядерными силами.

} 3] АДРОННАЯ СТАДИЯ ЭВОЛЮЦИИ ВСЕЛЕННОЙ 167
величины входят в правую часть уравнений общей теории относи-
относительности). Несомненно, существуют и такие термодинамические
величины, как температура и плотность энтропии.
Законы сохранения «зарядов», установленные при попарном
взаимодействии частиц, должны иметь место и в плотном веществе.
Отсюда следует существование плотности зарядов — барионного,
электрического, лептонного — у плотного вещества *).
В этом смысле неопределенность теории имеет только количе-
количественный характер. Важно отметить, что неопределенность в об-
области больших температур, которые были в начале расширения
Вселенной, при /<10~в сек,р>1017 г/см3, почти не отражается на
ситуации в последующем, при £>106 сек, благодаря быстрому уста-
установлению термодинамического равновесия **).
Более важными для космологии могут оказаться гипотезы о вза-
взаимодействии барионов. В литературе высказаны две противополож-
противоположные гипотезы. Согласно первой, существует отталкивание барионов
друг от друга и притяжение барионов к антибарионам.
Предполагается, таким образом, что есть подобие электроста-
электростатики, с той разницей, что: 1) роль электрического заряда играет
барионный заряд и 2) радиус сил ограничен — вместо кулоновского
потенциала ~ \1г имеет место потенциал вида e~*rlr, где ц — хими-
химический потенциал. Такая теория получается в предположении, что
существует нейтральное векторное поле, взаимодействующее с ба-
рионным зарядом, но отличающееся от электромагнитного тем,
что кванты этого поля — вектоны — имеют большую массу покоя.
Эта гипотеза приводит [Зельдович A961I для холодного ве-
вещества к уравнению состояния (М — масса барионов)
F.3.3)
где п — плотность барионов, т. е. к так называемому предельно
жесткому уравнению состояния. В этом уравнении не учтены ни
сравнительно слабые «обычные» ядерные силы, ни ферми-энергия
нуклонов. Однако если верно предположение об отталкивании, то
эти неучтенные факторы действительно отступают на второй план
в пределе при л->-оо. В холодном веществе отталкивание может стать
существенным (член ~па в скобках) при
*) Гипотезы о возможности несохранения барионного заряда вблизи син-
сингулярности обсуждаются в разделе V.
) Исключением является ситуация, возникающая в том случае, если при
ределенной температуре однородное вещество разделяется на две фазы — с из-
ытком нуклонов и антинуклонов, согласно гипотезе Омнеса (см. ниже). В этом
учае кинетика установления равновесия зависит от диффузионных процессов.

168 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ (ГЛ. в
Если горячее вещество содержит избыток барионов, причем на
один избыточный барион содержится s»108 нейтральных частиц и
нейтральных пар, то энергия отталкивания по-прежнему есть еотт=
=т7г-п2, а тепловая энергия етепл»Л/(АсЛ/1/«), где N=sn, так что
eTenJi»J&c-s4/»n4/». Отсюда находим то п, начиная с которого оттал-
отталкивание становится преобладающим:
При более высокой плотности уравнение состояния Р=г приведет
к а.~?!'. Приведенные выше выводы связаны с огромной экстра-
экстраполяцией, и потому их никак нельзя считать надежными. С другой
стороны, отметим, что характерная «планковская» плотность еще
гораздо выше:р =—зг=5-10вз г/см3. Пока плотность меньше рпл,
02л
можно пользоваться понятиями плотности и давления, даже если
мы не умеем конкретно вычислять эти величины.
Противоположная гипотеза о взаимодействии барионов и анти-
барионов недавно выдвинута Омнесом A969), см. также Омнес
A971а, б, в), критика дана в докладе Стейгмана A973). Исходя из
теоретического анализа взаимодействия, автор утверждает, что
антинуклоны отталкиваются от нуклонов в определенной области
энергий, а следовательно, и в определенном интервале температур,
порядка сотни или сотен Мэв.
Составим, следуя Омнесу, уравнение для равновесной концентра-
концентрации барионов х и антибарионов у. По-прежнему рассматриваем
зарядово-симметричную систему, так что химические потенциалы
равны нулю: \1х=\1у=0. Энергия бариона содержит член, пропор-
пропорциональный плотности антибарионов:
Ay; F.3.6)
соответственно
Еу = У(Мс*)* + р%с* + Ах. F.3.7)
Отсюда найдем в равновесии
х = В(Т)е-А«'кТ,
где В(Т) — равновесная концентрация без учета отталкивания.
Эта система ур^вн^ний всегда имеет симметричное решение х=у=
=С(Г),гдеС(/')—решение трансцендентного уравненкяС=Бв~'лс/*г.
Однако если энергия взаимодействия на один нуклон больше теп-

} 3] АДРОННАЯ СТАДИЯ ЭВОЛЮЦИИ ВСЕЛЕННОЙ 169
ловой энергии, т. е. если AC/kT>l в симметричном решении, то
оказывается, что система двух уравнений имеет три решения:
х=у = С; xt>C, УгКС; х2 = У1<С, уш = х1>С. F.3.9)
физически это означает, что при высокой температуре отталкива-
отталкивание нуклонов и антинуклонов приводит к разделению зарядово-
симметричного вещества на две фазы: фазу с преобладанием нукло-
нуклонов и фазу с преобладанием антинуклонов. Локально-симметричное
решение становится неустойчивым. Достаточно горячее (по оценке
автора, Т> 300 Мэв) вещество превращается в эмульсию, т. е. ме-
механическую смесь двух фаз; термодинамически выгодно образова-
образование больших капель, при этом уменьшается поверхностная энергия.
Зарядовая симметрия соблюдается лишь в среднем для объема,
содержащего много капель с избытком барионов и капель с избыт-
избытком антибарионов. В ходе понижения температуры становится
термодинамически выгодной одна однородная фаза, но для ее воз-
возникновения нужно, чтобы процесс диффузии выравнял концентра-
концентрации барионов и антибарионов. Омнес полагает, что образование на
определенном этапе двух фаз может оказаться решающим для заря-
дово-симметричной космологии, обеспечивая разделение вещества и
антивещества в астрономическом масштабе. К этой стороне дела мы
обратимся в следующих разделах книги (см. гл. 23).
Наконец, существует предположение, что известные нам час-
частицы — нуклоны, резонансы — не элементарны в том смысле, что
они состоят из каких-то других элементарных частиц (Гелл-Манн,
Цвейг). Несколько лет назад усиленно обсуждалась гипотеза квар-
кварков — трех типов частиц с барионным зарядом, равным 1/s, и с элек-
электрическим зарядом +2/3е у одного типа и —1/ае у двух других типов
кварков. Подразумевается, что в силу зарядовой симметрии су-
существуют и антикварки с барионным зарядом —V8 и электриче-
электрическим -*1ф +73е, +V*e.
Каждый барион, согласно кварковой гипотезе, состоит из трех
кварков [вариант из четырех кварков и одного антикварка см.
Зельдович, Сахаров A966, 1967)]. Заряды подобраны таким обра-
образом, что электрический заряд бариона может иметь только целые
значения. Мезоны в этой схеме представляют собой соединения
кварка с антикварком.
Большой успех гипотезы был связан с тем, что различные час-
частицы получали наглядное объяснение как различные комбинации
кварков (разный набор частиц, разная взаимная ориентация спи-
спинов; спин кварка полагался, равным 1/2).
Были предприняты поиски частиц с дробным зарядом на уско-
ускорителях, в космических лучах и, в виде малой примеси, в обычном
веществе. При поисках кварков в обычном веществе большое зна-
значение имели предсказания, основанные на горячей модели Вселен-
Вселенной (см. § 4 гл. 7).

170 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ [ГЛ. в
Поиски кварков не увенчались успехом; одновременно выяви-
выявились и внутренние трудности теории кварков *). Однако отвергнут
лишь определенный вариант теории, согласно которой известные
нам адроны являются составными, сложными частицами. В общем
виде отвергнуть такую идею трудно, и недавно появились предпо-
предположения о том, что адроны состоят из партонов (от латинского
слова «parte» — часть). В теориях такого рода при достаточно вы-
высокой температуре обычные адроны распадутся, нужно рассмат-
рассматривать газ, состоящий из кварков — антикварков или партонов —
антипартонов.
Ниже отдельные аспекты теории Хагедорна и теории Омнеса
будут обсуждены более подробно. Здесь, в рамках общего обзора,
можно констатировать большое разнообразие вариантов, а значит,
и большую неопределенность наших знаний относительно состояния
вещества при адронных и более высоких температурах.
Возникает естественный вопрос: если так велика неопределен-
неопределенность в прошлом, то может ли теория предсказать последующие
стадии эволюции?
Здесь на помощь приходят законы сохранения: точные законы
сохранения барионного заряда **) и энергии и приближенный закон
сохранения энтропии при медленном адиабатическом процессе.
Задачу об эволюции мы решаем при известных значениях сохраняю-
сохраняющихся величин. Эти значения получены из наблюдений, относя-
относящихся к современной эпохе; к сожалению, теоретически они не
вычисляются.
Однако, как следствие того, что используются эксперименталь-
экспериментальные константы, основные черты сегодняшней ситуации и недавнего
прошлого воспроизводятся точно ***).
Задачей теории остается определение отклонений от равновес-
равновесного состояния. Конкретно, наиболее интересен вопрос о количестве
антибарионов, остающихся к настоящему времени. Аналогично
можно поставить вопрос о количестве кварков и антикварков или
партонов и антипартонов.
Очевидно, что равновесное количество таких частиц при 3°К
невообразимо мало. Таким образом, ответ зависит от кинетики
*) Эти трудности специфичны для наиболее экономной модели с тремя сор-
сортами кварков: чтобы согласовать модель с систематикой известных частиц, при-
приходилось предполагать, что кварки не подчиняются принципу Паули и статистике
Ферми, несмотря на то что спин их равен V2.
В варианте теории, развитом Боголюбовым и др. A965), предполагается су-
существование 3x3=9 сортов кварков. В этом варианте при спине V, кварки яв-
являются фермионами; кроме того, им можно приписать целый электрический за-
заряд. Поэтому опыты, в которых не были найдены дробные заряды, не противоре-
противоречат такому варианту теории. Любопытные геометрические модели частиц в такой
теории в последнее время построил Долгов и др. A974).
**) Возможность отказа от точного сохранения барионного заряда будет рас-
рассмотрена в разделе V.
***) Это не относится к теории Омнеса, см. подстрочное примечание на стр. 167.

$ 3] АДРОННАЯ СТАДИЯ ЭВОЛЮЦИИ ВСЕЛЕННОЙ 171
процесса исчезновения упомянутых частиц. При этом существен-
существенно, что рассматриваются частицы, которые сами по себе стабильны
в вакууме.
Антипротон исчезает, только аннигилируя с протоном. Если
кварки существуют, то один сорт кварков стабилен и исчезает,
лишь столкнувшись с другим кварком (того же сорта или со своей
античастицей). Таким образом, мы имеем дело с процессами, тре-
требующими столкновения двух частиц. Эти процессы становятся мед-
медленными при малой концентрации частиц.
В этих условиях выводы теории становятся устойчивыми, мало
зависящими от неопределенностей теории адронного состояния;
решающие, заключительные аккорды разыгрываются при более
низкой температуре.
Общими для всех вариантов являются предположение о про-
пространственной однородности Вселенной и задание плотности ба-
рионного заряда — иными словами, рассмотрение зарядово-несим-
метричной Вселенной. .
Для того чтобы закончить изложение вопроса, перечислим уже
здесь выводы расчетов, которые будут приведены далее, в §§ 3,
4 гл. 7.
1. Остаточная концентрация антинуклонов в зарядово-несим-
метричной теории необычайно мала (меньше е00) уже в конце
адронной стадии, при температуре ~1 Мэв. Результат является
естественным следствием того, что: а) мы имеем дело с сильным
взаимодействием, сечение аннигиляции велико; б) избыток нуклонов
обусловливает экспоненциальную малость количества антибарио-
нов, когда рождение их прекращается, ибо они аннигилируют при
встрече с нуклонами. Ситуация такая же, как сегодня в окружаю-
окружающем нас мире: антинуклонов и позитронов мало (меньше, чем их
произвели космические лучи за космологическое время) потому,
что они аннигилируют с избыточными, повсеместно присутствую-
присутствующими нуклонами.
2. Остаточная концентрация кварков оказывается сравнитель-
сравнительно большой, порядка У GM^fhc^ 10~18, по отношению к фотонам.
По отношению к обычным нуклонам концентрация кварков долж-
должна составлять около 10"8. Эта величина мала по сравнению с еди-
единицей, но достаточно велика, чтобы вдохновить экспериментаторов.
Понятно, что расчет имеет смысл лишь в том случае, если кварки
существуют. Но теперь, как утверждают экспериментаторы, можно
сказать, что кварки не обнаружены в количестве 10~16—10~ао, зна-
значит такие дробно-заряженные кварки не существуют.
3. При попытке рассмотреть пространственно-однородную заря-
дово-симметричную Вселенную получим для нуклонов задачу,
подобную задаче о кварках. Получится и сходный ответ, т. е. кон-
концентрация порядка Ю-1» нуклонов на фотон.

172 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 1ГЛ. 6
Такой ответ противоречит наблюдениям *), поэтому и прихо-
приходится рассматривать зарядово-несимметричную однородную Все-
Вселенную. Особняком в этом отношении стоит уже упомянутая
теория Омнеса.
Автор исходит из теории зарядово-симметричной Вселенной.
Первоначальная однородность Вселенной спонтанно нарушается
в микроскопическом масштабе: взаимодействие приводит к разде-
разделению однородного вещества на капли вещества и капли антиве-
антивещества размерами порядка 10"8 см в момент <=10 сек. В ходе
понижения температуры тенденция к разделению вещества и анти-
антивещества исчезает; при низкой температуре происходит аннигиля-
аннигиляция. Однако пространственное разделение вещества и антивещества
существенно замедляет аннигиляцию. Ее скорость теперь лимити-
лимитируется переносом нуклонов и антинуклонов к границе областей
с избытком тех или иных частиц. Только на этой границе происхо-
происходит аннигиляция **).
Относительно дальнейшего существуют огромные качественные
разногласия. Омнес полагает, что после аннигиляции в одних об-
областях (порядка размера галактики) окажется избыток вещества —
останется около 10""8 нуклонов на один фотон; в других областях
(того же порядка) столько же антинуклонов. Таким образом, по
мнению Омнеса, зарядово-симметричная теория приводит к совре-
современной картине мира, состоящего из галактик и антигалактик.
Его расчеты дают две характерные величины: отношение средней
плотности нуклонов (и антинуклонов) к плотности фотонов и харак-
характерный размер области, заполненной веществом или антивеществом.
По нашему мнению, предположение Омнеса о разделении ба-
рионов и антибарионов на адронной стадии ведет к другим, более
тривиальным выводам. Разделение происходит путем перемещения
нуклонов и антинуклонов в малых масштабах.
При усреднении по большим объемам и массам возникающие
отклонения от зарядовой симметрии гораздо меньше, чем предпо-
предполагает Омнес. Последовательный расчет разделения и последующей
аннигиляции приводит к гораздо меньшей остаточной концентра-
концентрации нуклонов и антинуклонов. Таким образом, исчезает согласие
между теорией и наблюдениями в важнейшем пункте — в отноше-
отношении современной плотности нуклонов. Теория Омнеса предсказы-
предсказывает также, что аннигиляция затягивается, продолжаясь на протя-
протяжении радиационно-доминированной стадии и позже. Наблюдения
не обнаруживают ожидаемых следствий затянувшейся аннигиля-
*) Противоречие столь сильное, что мы не останавливаемся здесь на других
трудностях.
**) Нейтроны и антинейтроны диффундируют и аннигилируют быстрее, по-
поэтому гелия образуется мало, к тому же гелий «разбивается» при аннигиляции.
Таким образом, существенно меняются выводы, касающиеся нуклеосинтеза
[см. Ривс A973)].

} 4] ТЕОРИЯ ХАГВДОРНА 173
ции. По совокупности мы полагаем, что зарядово-симметричная
Вселенная и при учете фазового разделения не согласуется с наб-
наблюдениями и должна быть отвергнута.
Вернемся к концепции зарядово-несимметричной Вселенной,
с избытком барионов на всем протяжении эволюции. На адроннои
стадии избыток барионов (будучи постоянным по абсолютной ве-
величине) оказывается относительно малым ввиду большого числа
пар. Поэтому на адроннои стадии остается без изменения картина
разделения на нуклонную и антинуклонную фазы, если верна ги-
гипотеза Омнеса. При 7'=300 Мэв зарядовая несимметрия проявится
лишь в небольшом преобладании объема нуклонной фазы над объ-
объемом антинуклонной фазы *).
Однако существенно изменяется картина аннигиляции.
По нашим оценкам, аннигиляция адронов закончится при тем-
температуре выше 1 Мэв, т. е. в условиях обилия электронов и пози-
позитронов. В таком случае спектр реликтового излучения полностью
принимает равновесный вид. Современная плотность барионов
останется равной начально заданному барионному заряду.
Было бы весьма интересно попытаться найти в современном
мире какие-то следы фазового разделения на адроннои стадии,
в частности, в составе первичного вещества (большое количество
осколков — дейтерия, гелия-3).
§ 4. Теория Хагедорна
Краткий очерк теории Хагедорна A965, 1969, 1973) дан в ТТ и
ЭЗ. Для связности изложения напомним, что невзаимодействую-
невзаимодействующие частицы («идеальный газ»), масса покоя которых равна т и
статистический вес g, дают вклад в плотность энергии
F-4.1)
Здесь температура выражена в энергетических единицах (константа
Больцмана &=1). Химический потенциал принят равным нулю, что
всегда справедливо для нейтральных частиц, но справедливо и для
заряженных частиц в симметричном случае, при равенстве числа
частиц с положительными и отрицательными зарядами. Знак плюс
(минус) в знаменателе соответствует фермионам (бозонам).
При наличии многих сортов независимых частиц необходимо
взять сумму подобных выражений:
Щ). F-4.2)
*) Богданова и Шапиро A974) приводят веские доводы против исходного
предположения Омнеса об отталкивании нуклонов и антинуклонов.

174 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИИ 1ГЛ. в
Если число слагаемых конечно и существует некая максимальная
масса ттах, то поведение е(Т) при больших Т тривиально; при
Л2 7ц2
где аб = —-т— для бозонов и аф = —т— для фермионов.
Хагедорн рассматривает бесконечную последовательность типов
частиц. Если массы бесконечного числа частиц ограничены, т,-<Л4
при i-voo, то при любой конечной температуре теория предсказы-
предсказывает бесконечную плотность энергии:
^2 oo. F.4.4)
Очевидно, такой вывод противоречит опыту; поэтому в теории Ха-
гедорна рассматривается последовательность частиц с неограничен-
неограниченно возрастающей массой.
Асимптотически при большом m введем среднюю плотность
числа частиц п(т), так что число сортов частиц с массой в интервале
между т и m+dm равно dN=n(m)dm. В формулы входит произве-
произведение плотности и среднего статистического веса, f (m)=g(m)n(m).
Заменяя сумму интегралом, получим
8 = ^ (Г, m)f(m)dm. F.4.5)
Возникает целый ряд изящных математических задач. Изящество
их, несомненно, играло заметную роль в том большом числе теоре-
теоретических работ, которые последовали за предложением Хагедорна.
Найдем характер функции f(m), приводящий к существованию
верхнего предела температуры Т, т. е. к тому, что e-voo при Т-*-@.
Очевидно, в этой ситуации главная часть интеграла приходится
на область пОТ, где асимптотически
¥G, m)=aT'''m°'*e-™M'T. F.4.6)
Итак, какой должна быть f(m), чтобы
е = аТг/>[ т'/.е-™'/ту (т)dm—+оо
при Т-й*)? Очевидно, что главное условие f(m)&£emctlB или, точ-
точнее, /(m)=q)(m)emc*/e, где <р(т) — медленно меняющаяся функ-
функция. Тогда под интегралом появитсяехртс*f-g-—=-].ПриТ<6
эта экспонента убывает, интеграл сходится; при Г>8 экспонента
растет, интеграл расходится.

малы( 4-= 137^ !• ^м^ ~ Ю~'<^ 1 ]. Сточки зрения статистиче-
статистичеj ц] ТЕОРИЯ ХАГЕДОРНА 175
Итак, определен вид характеристической функции f(m), при
которой существует критическая, максимальная температура в.
Можно уточнять поведение ъ(Т) при Г-ИЭ в зависимости от вида
медленно меняющейся <р(т).
Однако мы не будем заниматься этим математическим сладо-
сладострастием и обратимся к физическим основам теории.
Совместимы ли те два предположения, на которых основана
теория: 1) о невзаимодействующих частицах и 2) о неограниченном
числе типов частиц?
Современная теория частиц не исключает такую ситуацию. Мы
из опыта знаем о существовании электрона и мюона: обе эти час-
частицы обладают электрическим зарядом и «слабым» взаимодействием
(участвуют в бета-распаде и т. п. процессах). Взаимодействия эти
( 4
ской механики е и fx действительно могут рассматриваться как
невзаимодействующие частицы.
Современная теория не позволяет вычислить отношение масс
mv./tne=207. Само существование мюона рассматривается в теории
как эмпирически установленный факт. Поэтому не исключено, что
семейство электрон — мюон имеет продолжение в области еще
больших масс (сверхтяжелый мюон и т. д.), труднообнаружимое
на опыте, но входящее в статистические суммы. Однако представ-
представляется крайне неправдоподобным, чтобы число членов такого се-
семейства было экспоненциально велико.
Автор теории — Хагедорн — вдохновляется эксперименталь-
экспериментальными данными по резонансам сильновзаимодействующих частиц.
Здесь наблюдается закономерность: резонансы с данными зарядами
(электрическим, барионным, странностью) ложатся на прямую
в координатах 5 — Ма, где S — спин резонанса, М — его масса.
На такой траектории плотность уровней п(М)=const-M, сред-
средний статистический вес 2S+l~.Ma, функция f(m)~m3, т. е. растет
для данной траектории, но медленнее, чем экспонента. С увеличе-
увеличением массы могут начинаться новые траектории, соответствующие
новым семействам частиц, с большим изотопическим спином.
В случае адронов возможность экспоненциального роста f(m)
больше, чем в случае лептонов (электронов, мюонов). Однако здесь
заведомо нельзя считать частицы невзаимодействующими в плот-
плотной горячей плазме.
Учет этого взаимодействия в статистической механике весьма
затруднителен (с этим вопросом мы встречались при обсуждении
теории Омнеса в предыдущем параграфе).
Рассмотрим систему, в которой, наряду с протонами и нейтро-
нейтронами, имеются пионы. При вычислении термодинамических вели-
величин, относящихся к такой системе, необходимо учитывать фазу

176
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЙ
1ГЛ. 6
рассеяния пиона на протоне или нейтроне. Но резонанс (например,
так называемый Д-3-З-резонанс) как раз и проявляется в опреде-
определенном поведении сечения и фазы рассеяния.
Рассматривая отдельно а) пионы, взаимодействующие с нукло-
нуклонами, и б) резонансы, мы совершили бы ошибку, учитывая одно и
то же физическое явление дважды Хагедорн считает, что существо-
существование предельной температуры подтверждается опытом.
При лобовых столкновениях энергичных элементарных частиц
(в космических лучах или на наиболее мощных ускорителях) пред-
предполагается образование «огненного шара»—файрболла (fire—ball).
Энергия выделяется в малом объеме, возникает термодинамически
равновесная плазма.
Хагедорн отмечает, что импульс частиц *), разлетающихся из
огненного шара, соответствует температуре 160 Мэв, притом прак-
практически независимо от числа частиц, родившихся в данном столк-
столкновении, т. е. независимо от полной энергии столкновения.
Этот аргумент не убедителен, потому что наблюдаемые частицы,
вероятно, вылетают не непосредственно из объема, в котором пер-
первично выделилась энергия. В ряде работ Ландау, Померанчука и
их последователей рассматриваются стадии столкновения частиц:
на первой стадии образуется сгусток плотной плазмы, затем эта
плазма расширяется по законам гидродинамики, с сохранением
полной энтропии и понижением температуры, и лишь на последней
стадии, когда плотность плазмы становится достаточно малой, вы-
вылетают наблюдаемые частицы. Следовательно, 160 Мэв Хагедорна
есть та температура, при которой плазма
становится прозрачной**), происходит вы-
вылет частиц.
Современная теория поля (теория эле-
элементарных частиц) дает важный аргумент
против теории Хагедорна. Рассмотрим по-
поляризацию вакуума электромагнитным по-
полем и связанную с ней нелинейность элек-
электродинамики, приводящую, в частности,
к рассеянию света светом.
На языке диаграмм Фейнмана речь идет
о процессах, соответствующих рис. 29, а, б,
где входящие и выходящие волнистые линии
соответствуют фотонам, а внутренняя замк-
замкнутая линия — тем или иным заряженным
частицам. Диаграмма а) приводит к перенормировке заряда: на-
наблюдаемый элементарный заряд е связан с «затравочным» зарядом
Рис. 29. Диаграммы Фейн-
ным полем.
*) Рассматривается компонента импульса, перпендикулярная направлению
движения сталкивающихся частиц.
**) Прозрачной для адронов и в масштабе порядка Ю3 см.

$ 8] КОНЦЕНТРАЦИЯ НУКЛОНОВ И АНТИНУКЛОНОВ
ев выражением вида
eg (б47)
Ас «с
где v — безразмерный множителц у = -^-), ртах — максимальный
импульс, к которому применима теория, т — масса частицы *).
Диаграмма б) приводит к сечению рассеяния света на свете:
Xi-' F-48)
где % — длина волны. В настоящее время экспериментально про-
проверены эффекты, зависящие от вклада электронов и позитронов.
В действительности в формулах, соответствующих диаграммам
а) и б), фигурируют суммы по всем заряженным частицам. Все члены
сумм имеют одинаковый знак. Из очевидных фактов, что наблюдае-
наблюдаемый заряд конечен (а не равен нулю), что конечно сечение рассея-
рассеяния фотонов на фотонах, следует, что суммы сходятся; значит,
число типов заряженных частиц конечно. Конечна также сумма
2 Щ~*- Эти результаты противоречат тем предположениям, которые
необходимы Хагедорну!
Строго говоря, соображения, связанные с ■ поляризацией ва-
вакуума, относятся к заряженным частицам. Термодинамические
свойства плазмы зависят одинаково от заряженных и от нейтраль-
нейтральных частиц. Однако в случае адронов нельзя себе представить,
чтобы число типов нейтральных частиц было бесконечно при конеч-
конечном числе заряженных. Соображения, связанные с поляризацией
вакуума, представляются веским доводом против теории Хагедор-
на; см. также упомянутую ранее работу Киржница и Файнберга
A973) с возражениями против теории Хагедорна.
§ 5. Концентрация нуклонов и антинуклонов
в зарядово-несимметричной Вселенной
при термодинамическом равновесии
Итак, в области высокой температуры существует значительная
неопределенность, зависящая от наличия большой концентрации
сильновзаимодействующих частиц — адронов. Именно учет их
взаимодействия (сильного, как показывает само название этих
частиц) является в настоящее время нерешенной задачей. При по-
понижении температуры концентрации алронов убывают, и выводы
теории становятся определенными и четкими. Когда концентрация
*) Перенормировка заряда непосредственно ненаблюдаема, так как с„ неиз-
неизвестен. Однако диаграмма а) дает также наблюдаемые малые отклонения от
чакона Кулона.

178 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 1ГЛ. 6
пар NN (нуклон — антинуклон) становится сравнимой с избытком
нуклонов, уже небезразлично, имеем ли мы дело с зарядово-сим-
метричной или несимметричной моделью Вселенной.
Выпишем формулы (kT-<.mc2), опуская численные множители:
F'5'2)
Удобно рассматривать безразмерные величины:
% 7 г ^
(напомним астрономический способ обозначения: Т-Ю~1в=Т1з).
В зарядово-симметричном мире р=0. В зарядово-несимметричном
мире p=const>0; постоянство р ссответствует тому, что нуклоны
(барионы) сохраняются и при расширении плотность барионного
заряда падает в той же пропорции, что и плотность фотонов; по
порядку величины р=10~8.
В новых переменных
г7=е-зе-!/е, г—Г=р.
Отсюда легко найти
Это решение верно везде. При р=0, очевидно, г=в~3/*е~1/е. При
Р^=0 нужно различать две области: при 6>0,04 (число получено
решением трансцендентного уравнения)
F.5.3)
при G<0,04
| F.5.4)
В рассматриваемой здесь области температур (Т<.4-10" °К)
равновесие может быть вычислено с удовлетворительной точностью,
так как концентрация сильновзаимодействующих частиц невелика.
С другой стороны, кинетика аннигиляции и рождения пар NN
еще достаточно быстрая, так что равновесие действительно осущест-
осуществляется. Лишь при более низкой температуре скорость аннигиля-
аннигиляции оказывается недостаточной и концентрация антибарионов пре-
превышает равновесную. Однако эту кинетическую задачу мы рас-
рассмотрим отдельно (§3 гл. 7).

ГЛАВА 7
КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ
§ 1. Нейтрино в теории горячей Вселенной
На самых ранних стадиях расширения горячей Вселенной нейт-
нейтрино находятся в термодинамическом равновесии с другими час-
частицами. Как было отмечено в § 2 гл. 6, для равновесия необходимо,
чтобы время реакции установления равновесия т было меньше
времени t, прошедшего с начала космологического расширения.
Рассмотрим это условие для электронных нейтрино. •
Рождение электронных нейтрино и антинейтрино идет в основ-
основном по реакциям e~+e+=ve+ve. Ее сечение для релятивистских
электронов и позитронов определяется формулой
G.1.1)
где g— константа слабого взаимодействия («10~49 эрг-см3), Е —
энергия частиц. Подставим вместо Е по порядку величины kT и,
используя зависимость F.2.3) для T=T(t), получим зависимость
времени установления равновесия т от космологического времени t:
~^f'.. G.1.2)
<угс gacV4
Когда т становится больше t, нейтрино становятся свободными,
их взаимодействие с другими частицами и между собой прекра-
прекращается. Приравнивая r=t, находим этот момент fesO.l сек. Эта
оценка сделана с помощью выражений, в которых опущены числен-
численные безразмерные множители. Формула G.1.2) приведена с той
целью, чтобы показать, как входят в искомое выражение константы
С, g и другие.
Для более точной оценки можно выписать точные выражения,
воспользуемся выражением скорости перекачки энергии из
е\ е~ в v, v, вычисленным Чиу A961, 1964) (см. Зельдович,
Новиков A9676), приложение к § 9 гл. 11) (в двух формулах ниже
* в °К):
№ = 4,6-10-ввГ1) эрг/сек-см3, Т > 3-Ю9,

180 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ 1ГЛ. Т
и сравним его с равновесной плотностью энергии v и v:
e = 6,8-10-4 эрг/смя,
откуда время установления равновесной плотности (Т в Мэв)
е 1,5-1051 7 /71 „
=7Т сек- (ТЛ.Ъ)
Используя связь Т и t из F.2.3) и приравнивая t=x, найдем [при
и=4,5 в формуле F.2.3)]
7 = 2Мзв = 4тес2, * = 0,2 сек. G.1.4)
Обозначим этот момент «отключения» электронных нейтрино от
других частиц через t*. Как мы увидим дальше в этом параграфе,
для вывода о сегодняшней плотности нейтрино существенно, что
равновесие между v, v и е+, е~ поддерживается лишь в тот период,
когда 7'>тес2.
Проведенный расчет относился к электронным нейтрино. Мюон-
ные нейтрино рождаются в реакциях
^+ + [i-=vli + vli; [i+=e++vlx + v,, ц~ =е~ -J-v^ + v,. G.1.5)
Время жизни мюона 2- 10~в сек. Отсюда следует, что время установ-
установления равновесия равно приблизительно 2-10~в сек, когда Т^гп^с*
и мюонов много; если же Т^гп^с2 (момент времени, когда 7=m(J_c2,
есть ^«Ю сек) и число мюонов уменьшается, то соответственно
увеличивается время установления равновесия мюонных нейтрино:
т = 2■ 10-W'/r » 2- 10-ве"«/гл*. G.1.6)
Приравнивая t=t и подставляя T—T(t) из F.2.4), находим момент
«отрыва» мюонных нейтрино от остальных частиц (момент прекраще-
прекращения реакций с мюонными нейтрино):
*« 0,01 сек, Т ж 12 Мэв, e~m^c'/T tst 10~4. G.1.7)
Обозначим этот момент через t **. В этот период fcsO.01 сек равно-
равновесная концентрация мюонов уже много меньше концентрации дру-
других лептонов (у, е±, ve, ve, v^, v^), так как t**^>t^ и играет роль
множитель e~"Vc2/ »10~4. Рассмотрим некоторый момент вре-
времени tu который лежит между t и t**:
10~4 ceK<tt< Ю-2 сек. G.1.8)
Обозначим температуру в момент tx через 7\. В этот момент имеется
полное термодинамическое равновесие всех типов лептонов, вклю-
включая оба сорта нейтрино и антинейтрино. Из условия термодинами-

I j] НЕЙТРИНО В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ 181
ческого равновесия можно написать равновесные плотности энер-
энергии для каждого вида частиц. При этом существенно, что т^с2^
>7i>mec2, и поэтому в равновесии концентрация электрон-позит-
ронных пар будет примерно такая же, как и фотонов (отличается
только статистическим множителем), а концентрация мюонов нич-
ничтожна. Соответствующие точные формулы можно найти у Ландау
и Лифшица A964). Выпишем эти соотношения для равновесной
плотности энергий разных частиц на правом краю интервала G.1.8):
"О "О "О "О 1 О • t • О " 1 П~4о /V 1 G\
где е1=а7'{.
Количество остальных частиц пренебрежимо мало (о гравитонах
речь пойдет ниже). Плотность бар ионов в этот момент обозначим
рх. Раньше этого периода в равновесии находятся все типы частиц;
при более высокой температуре добавляются еще сильновзаимодей-
ствующие мезоны, барион-актибарионные пары. Равновесие между
сильновзаимодействующими частицами, электромагнитными кван-
квантами и заряженными лептонами устанавливается практически мгно-
мгновенно. Следовательно, выше Тх есть полное равновесие, ниже 7\ —
после момента t^ — наступает момент t**, а затем и t* и после этого
нейтрино (как ve, так и v^) не взаимодействуют с другими видами
частиц и как бы отключаются от квантов и электронов.
Замечательно, что после отключения энергия нейтрино в ходе
космологического расширения мало отличается от равновесной.
Докажем это.
Пусть вещество является смесью нейтрино и квантов, не взаи-
взаимодействующих между собой. Уравнение состояния квантов:
р еу Рус
Рассмотрим некий объем V, расширяющийся подобно общему рас-
расширению Вселенной, V~a3. Уравнение энергии квантов в этом
объеме имеет вид
dEy=d(EyV) = — PydV = — ^-dV. G.1.10)
Из этого уравнения следует, что
— результат, известный из термодинамики лучистой энергии.
Для нейтрино может возникнуть сомнение: применимы ли по-
понятие энергии внутри некоего объема и понятие давления, если
нейтрино свободно, без столкновений проходят через объем и пере-
пересекают поверхность, его ограничивающую? Будем следить за отдель-
отдельным нейтрино. Как и у всякой частицы, импульс его, измеренный

182 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
в сопутствующей системе в той точке, в которой оно в данный мо-
момент находится, уменьшается обратно пропорционально а (см. § 1
гл. 3):
^=3 = const-а-1. G.1.11)
Общее число нейтрино в элементе сопутствующего объема сохра-
сохраняется, поскольку они ни с чем не взаимодействуют, и, следова-
следовательно, их концентрация убывает:
nv = const-a-3. G.1.12)
Отсюда плотность энергии нейтрино *) уменьшается, как а~*:
ev = nv£v = const -а~*. G.1.13)
Таким образом, закон убывания плотности энергии релятивистских
частиц одинаков для взаимодействующих частиц с малым пробегом
и для невзаимодействующих частиц.
Рассмотрение красного смещения отдельных частиц эквивалент-
эквивалентно термодинамическому рассмотрению адиабатического расшире-
расширения. Выше, в § 11 гл. 3, было подробно рассмотрено кинетическое
уравнение фотонов в расширяющейся Вселенной и было показано,
что равновесное распределение остается равновесным, меняется
лишь параметр этого распределения, т. е. температура. Разумеется,
сказанное там справедливо и для нейтрино. Выяснив закон расши-
расширения «отключенных» нейтрино, вернемся к процессам в расши-
расширяющейся плазме.
Теперь учтем тот факт, что уже после отключения от нейтрино
кванты продолжают взаимодействовать с электронами и позитро-
позитронами.
Нетрудно найти удельную энергию в момент Т=ТХ отдельно для
нейтрино и отдельно для совокупности у-квантов и пар:
с/ ~\ с/ ~\ 4 7 аТ?
S(ve, ve)=S(v,,, Vpl)=-3 .-g--^.
В ходе расширения отдельно сохраняется часть энтропии, завися-
зависящая от нейтрино, и часть, зависящая от у и е+, е~. Однако между
собой у и е± находятся в равновесии и обмениваются энергией и
энтропией. В момент времени, когда 7=тес2=5- 10е СК, т. е. при
<«10 сек, электрон-позитронные пары аннигилируют, превращаясь
в фотоны, энтропия, прежде заключенная в парах* переходит к фо-
*) Для краткости мы говорим об энергии нейтрино, имея «виду сумму энер-
энергий нейтрино и антинейтрино.

$ I] НЕЙТРИНО В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ 183
тонам. После этого расширение приводит (через десяток миллиардов
лет!) к сегодняшней ситуации. Обозначая сегодняшнюю ситуацию
индексом «О», получаем (Sx — энтропия в момент <х)
o(Y)=S1(Y) + S1(e+, е~), или --^- = ^.^-£
So К, Vt)=St (Ve, Ve), ИЛИ _ . _ __v = _ . _ _ ^
c/v _c/v -ч или 4 7ar?v_4 7^arf
О О (Jo О О (Jj
Здесь 7ОТ и есть сегодняшняя температура 2,7 °К, Ро — предполо-
предположительно 10~28 г/см3. Независимо от численного значения р0, из
приведенных выше равенств следует для температуры обоих сортов
нейтрино:
GЛ.15)
Приведенный результат был получен Альфером и Херманом A953),
см. также Пиблс A966а, б).
Итак, теория горячей Вселенной предсказывает наличие се-
сегодня реликтового равновесного нейтринного излучения с 7«2 °К.
Экспериментальное обнаружение равновесного спектра нейтрино
представляло бы огромный интерес. Если подтвердилось бы соот-
соотношение TOv : 7От G.1.15), то было бы получено доказательство
правильности наших представлений о самых ранних стадиях расши-
расширения (ТжЮ10 °К, Ризл=Юв г/см3). В принципе, по замечанию Са-
Сахарова, эксперимент мог бы быть основан на том, что присутствие
нейтрино малых энергий меняет вид спектра электронов 6-распада
вблизи максимальной энергии. Однако, как отметил Понтекорво,
аналогичное изменение вызывает наличие у нейтрино малой массы
покоя. Опыт дает mv<100 эв, космический фон содержит нейтрино
с энергией порядка 5-10~4 эв. Для'их обнаружения нужно повысить
точность опыта в 10е раз *).
Исследование спектра фотонов позволяет проверить однородную
изотропную горячую модель Вселенной вплоть до z около 10е, т. е.
*) Любопытная ситуация возникает для мюонных нейтрино. Методы физики
элементарных частиц позволяют определить их массу покоя лишь с очень малой
точностью, mv < 1,5 Мэв№. Однако из космологических соображений, из того факта,
что в настоящее время должна сохраниться плотность мюонных нейтрино порядка
200 штук/см3, и из максимально допустимой плотности всех видов вещества
в Метагалактике можно получить значительно лучшую оценку: mv < 500 эв/с2
'1еРштейн, Зельдович A966)]. Позднее эту оценку проделали более точно Коусик
и Мак-клелланд A972); при этом они пришли к выводу, что mv<8 эв1& [см. по
•тому поводу Бергквист A969, 1971, 197?), Шрум и Зиок A971), Маркс A973)].

184
КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
начиная с момента около одного года после сингулярности (см.
следующую главу).
Исследование спектра нейтрино и антинейтрино могло бы дать
указания об отклонениях от классической модели на более ранней
стадии, начиная с десятых долей секунды, т. е. с z~1010. Ниже,
в разделе IV, посвященном анизотропным решениям, будут спе-
специально рассмотрены изменения плотности и спектра нейтрино
в соответствующих космологических моделях.
Выше мы видели, что сравнительно ранний отрыв нейтрино от
других частиц (прекращение взаимодействия) при изотропном кос-
космологическом расширении уменьшает сегодняшнюю энергию нейт-
нейтрино по отношению к сегодняшней энергии квантов света РИ, по-
поскольку на ранних стадиях энергия была распределена между
большим числом сортов частиц.
Это рассуждение придает большую стабильность всей теорети-
теоретической картине: если существуют какие-то неизвестные нам типы
e//>
'm
f,!7
e* am
г о,гв
-4 -3 -2 -/ 0
Ю"
0,005
3 Ig*
Ю3 T
Рис. 30. Изменение е/р^" для разных сортов частиц в расширяющейся горячей
модели: е — плотность энергии, pCT="iHyKJIn, где тнукл— масса покоя нуклона,
п — концентрация избытка нуклонов; N и N условно включают четыре вида ба-
рионов и четыре вида антибарионов, 2 — сумма для всех частиц, за единицу при-
принято vJ9m в наст0ЯЩее время.
частиц, взаимодействующие с известными частицами еще слабее,
чем нейтрино, то они отрываются еще раньше, а следовательно,
вносят вклад в общую плотность энергии существенно меньший,
чем нейтрино. В частности, по этой причине, по-видимому, ма-

} J] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 185
лую роль играют гравитоны (о них подробнее см. следующий
параграф).
Неизвестные сильновзаимодействующие частицы, очевидно, мож-
можно себе представить лишь в области больших масс — иначе они
уже были бы открыты! Частным случаем таких неизвестных гипо-
гипотетических частиц являются кварки. Такие тяжелые сильновзаимо-
сильновзаимодействующие частицы меняют соотношение между Т и е при Т>
>тса, но к моменту, когда достигается Т*=Ти они вымирают и ни-
никакого влияния на все дальнейшее не оказывают.
Частицы, способные к самопроизвольному распаду, после сни-
снижения температуры (т. е. когда прекращается их образование) ис-
исчезают по экспоненциальному закону в функции времени, и наблю-
наблюдение реликтовых частиц такого рода невозможно.
Иначе обстоит дело в случае частиц, стабильных в вакууме и
исчезающих только при взаимодействии с другими частицами. К та-
таким частицам относятся антипротоны р, позитроны е+ и, если кварки
существуют, какой-то один сорт кварков (см. в конце главы оценку
их концентрации). Общая картина изменения относительного содер-
содержания частиц в расширяющейся модели показана на рис. 30.
§ 2. Космологические гравитационные волны
Гравитационные волны отличаются от нейтрино тем, что их
взаимодействие со всеми другими видами вещества еще слабее.
В настоящее время не вызывает сомнений, что следствием ОТО
является существование гравитационных волн. Это убежд.ние не
зависит от результатов опытов Вебера и аналогичных работ, вы-
вызванных его статьями (см. обзор в ТТ и ЭЗ). Квантование гравита-
гравитационных волн является принципиально необходимой частью кван-
квантовой теории. Таким образом, появляется понятие гравитона —
кванта гравитационной волны, несущего энергию Дсо. Это понятие
аналогично Максвелловой теории электромагнитного поля, электро-
электромагнитным волнам и фотонам.
Аналогия идет еще дальше: гравитоны, как и фотоны, имеют
нулевую массу покоя, они поперечны и имеют два независимых сос-
состояния поляризации. В уравнениях Максвелла продольное (ку-
лоновское) поле не квантуется; то же относится и к продольным
компонентам гравитационного поля.
В полном термодинамическом равновесии плотность энергии
гравитационного излучения равна плотности энергии электромаг-
электромагнитного излучения; равновесный спектр гравитонов подчиняется
в точности той же формуле Планка.
В чем отличие гравитационного излучения от электромагнит-
электромагнитного? Одно отличие принципиальное: гравитационное излучение
представляет собой разновидность изменения метрики пространства
и времени. Спрашивается, вправе ли мы рассматривать это излуче-

186 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. Т
ние на фоне усредненной классической метрики? На этот вопрос
дает ответ техника разделения метрики на плавно изменяющиеся
и быстропеременные величины. В принципе (в связи с теорией
псевдотензора энергии-импульса) идея восходит к «Теории поля»
Ландау и Лифшица A973), практически она реализована Айзаксо-
ном (Ш68а, б), см. также ТТ и ЭЗ.
При квантовании существенно, что продольное гравитационное
поле не квантуется,— это дает право рассматривать гравитоны на
фоне классической, неквантованной, усредненной метрики.
Практическое, количественное отличие гравитационного излу-
излучения от электромагнитного состоит в том, что взаимодействие его
с веществом исключительно мало, особенно на уровне элементарных
частиц. Испускание электромагнитной волны пропорционально
квадрату заряда, е\ это значит, что безразмерный множитель,
е2 1
характеризующий вероятность излучения, а = -г- = -^. Пусть
происходит какой-то процесс с заряженной частицей, например ее
отклонение при столкновении с другим зарядом. Вероятность того,
что этот процесс сопровождается излучением одного фотона, равна
вероятности безызлучательного процесса, умноженной на а. Могут
войти и другие множители — v/c, г/К — меньше единицы, но мно-
множитель 1/137 обязателен!
При излучении гравитационных волн (гравитонов) аналогичную
роль играет множитель Gm2jhc. Это неудивительно, достаточно срав-
сравнить выражение кулоновской энергии двух зарядов е2/г и гравита-
гравитационной энергии двух масс Gm2/r, чтобы убедиться, что Gm2 играет
роль квадрата заряда, е2. Величина GtvP-fhc равна 10 ~38 для двух
протонов, 10~44 для двух электронов. Малость этой величины при-
приводит к тому, что излучение (а значит, и поглощение) гравитацион-
гравитационных волн ничтожно мало. Поэтому в лаборатории тепловое грави-
гравитационное излучение не наблюдается. Очевидно, что в лаборатории
при измерении теплового излучения черного тела внутри тела име-
имеется равновесная плотность электромагнитного излучения, но нет
ничего похожего на равновесную плотность гравитационного излу-
излучения. Мы всегда имеем дело с неполным термодинамическим рав-
равновесием.
При переходе к астрофизике, ко все большим пространственным
масштабам, к большим плотностям и температурам, становится
более существенным рождение и поглощение слабовзаимодействую-
щих частиц.
В лабораторных опытах в тепловом излучении нет ни гравитонов,
ни нейтрино и антинейтрино. В горячих звездах становится замет-
заметным испускание нейтрино и антинейтрино, но их концентрация
мала по сравнению с равновесной, так как нейтрино свободно уходят
из звезды. В звездах, подвергающихся коллапсу (превращающихся

5 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 187
в нейтронные звезды или черные дыры), в центре достигаются усло-
условия, когда длина пробега v и v мала; v и v уходят диффузионным об-
образом, испытывая много столкновений, имеет место термодинамиче-
термодинамическое равновесие v и v с горячим обычным веществом. Однако и в
этих условиях взаимодействие гравитационных волн с веществом
пренебрежимо мало, мала (по сравнению с равновесной, термодина-
термодинамической) концентрация гравитонов и мала потеря энергии за счет
излучения гравитонов.
Обратимся к космологической сингулярности горячей Вселен-
Вселенной. Будем рассматривать изотропно расширяющуюся, однородную
горячую космологическую модель с конечным числом сортов частиц
с массами покоя порядка барионной или меньше. Другими словами,
идея Хагедорна не учитывается. Причины к тому рассматривались
выше. При конечном числе сортов частиц на раннем этапе вещество
можно считать ультрарелятивистским.
По порядку величины
/4 [1еУ' {Gm*\-lu/mc4\-lU
-Mf) =mchr) (т) •
где тпл— планковская масса, tg — планковский момент времени.
Газ, в котором есть множество барион-антибарионных пар, остается
ультрарелятивистским вплоть до момента t~lO~6 сек. После этого
момента барион-антибарионные пары аннигилируют, исчезают,
в равновесии их нет. Легко убедиться, что уже задолго до этого
момента заведомо пренебрежимо мал обмен энергией между обыч-
обычным веществом и гравитонами, время реакций r^>t и гравитоны
полностью «заморожены». Температура таких невзаимодействующих
гравитонов убывает в ходе расширения обратно пропорционально
радиусу мира (подобно нейтрино после отключения) независимо от
того, какова температура других видов частиц.
Установление равновесия между гравитонами и другими части-
частицами могло бы произойти только на более ранней стадии ультра-
ультрарелятивистской температуры. На этой стадии энергия и импульс
частиц порядка Т и Т/с, т. е. соответственно гораздо больше tnc2
и тс.
В уравнения ОТО входят энергия и импульс частиц. Поскольку
речь идет о столкновениях частиц, их масса покоя не существенна,
так как она мала по сравнению с полной энергией частицы. Отсюда
следует, что вероятность испускания гравитона должна быть про-
пропорциональна множителю GE*/fic6. Этот множитель отличается от
приводимого выше нерелятивистского выражения Gm2[hc тем, что
произведена замена т на £/с2.

188 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Негравитационное взаимодействие частиц в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском пределе дает сечение *) взаимодействия порядка (А/р)*=
=(Ас/ЕJ. Следовательно, для сечения рождения одного гравитона
получается оценка
G2Л)
Это сечение совпадает с квадратом «планковской длины»
I « 1/ г-|, т. е. с^ «/|. Для рождения двух гравитонов
Подобно ситуации с испусканием пар v, v, в ультрарелятивистской
ситуации главную роль играет аннигиляция пар частица — анти-
античастица, а не рассеяние.
Здесь можно опереться на результаты пионерской работы Вла-
Владимирова A963), в которой точно, по всем правилам квантовой
электродинамики, вычислены сечения аннигиляции e~+e+=/y+g
и e~+e+=2g.
В ультрарелятивистском пределе ответ имеет вид
"-Т£* °-т51Г G23)
В первое выражение входит е — электрический заряд частицы;
второе выражение справедливо для любых (заряженных или неза-
незаряженных) частиц. Конкретный численный множитель относится
к аннигиляции частиц со спином 1/2. При энергиях частиц меньше
планковской, т. е. когда GE*fhc<^\, вероятность одногравитонного
процесса больше.
Можно полагать, что для процесса
G.2.4)
сечение в ультрарелятивистском пределе равно просто
"i«^ = 4. G-2.5)
нет «малости», связанной с электромагнитным взаимодействием,
как это было в G.2.3).
*) Если при этом происходит испускание фотона, появится дополнительный
множитель eViic; если есть внутренняя фотонная линия — (е*/ЙсJ. Здесь специ-
специально подчеркнуто, что одногравитонное сечение в ультрарелятивистском случае
не зависит ни от массы покоя, ни от энергии частиц.

I 2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 189
С этими сведениями о вероятности рождения гравитонов попы-
попытаемся определить характерный момент отключения гравитонов <х
подобно тому, как это было сделано для нейтрино и антинейтрино.
Ответ заранее очевиден из соображений размерности: в ультраре-
ультрарелятивистском режиме ti?sitg\ нет никакого другого характерного
времени, кроме той величины, которую можно составить из G, %, с.
Масса покоя частиц не входит в ответ, поскольку рассматри-
рассматривается ультрарелятивистский газ, Е^>тс2. Взаимодействие частиц
характеризуется безразмерным числом g*/flc, которое порядка еди-
единицы для сильного взаимодействия. В принципе в ответ может вхо-
входить число сортов частиц; однако мы полагаем, что это число по-
порядка единицы (не более 10 или 20),— именно в этом и заключается
отказ от гипотезы Хагедорна. Наконец, есть безразмерные числа
о
типа 3/32л в формуле P=*32jiG<2 'см- F.2.1)], безразмерное число
в законе излучения Планка, в выражении сечения и т. д. Учет всех
этих чисел и попытка «более точного» расчета носили бы иллюзор-
иллюзорный характер. "
В действительности мы имеем дело не с взаимодействием двух
частиц р и р в вакууме, а с чрезвычайно плотной плазмой, коли-
количественная теория которой не создана.
Вывод из размерностных соображений: установление равнове-
равновесия не гарантировано, так как по грубому расчету t1~tg, а мы усло-
условились считать te нижней границей по t применимости теории. Этот
вывод не изменится, если в несколько раз изменится оценка tu
так как неизвестно, лежит ли граница теории при tg, при Ыя или
0,2tg. Практически одновременно с выходом нашей книги «Реляти-
«Релятивистская астрофизика», где приведены эти оценки, появилась работа
Матцнера A968), в которой сделан противоположный вывод о том,
что равновесие между гравитонами и другими частицами имеет
место долго, вплоть до t = tg(-T~) ' ■ К этому выводу автор при-
приходит из рассмотрения рассеяния адронов.
Опыт показывает, что при больших энергиях (Е>тс*) сечение
взаимодействия стремится к константе. Этот вывод согласуется и
с современной теорией асимптотики рассеяния частиц.
Опыт и теория относятся к взаимодействию без испускания гра-
гравитона. Для того чтобы получить сечение испускания гравитона,
автор домножает безгравитонное сечение на GE*fhc.
Как нам кажется, в этом месте допущена существенная ошибка.
Дело в том, что в асимптотике Е/тс*->-оо постоянное безграви-
безгравитонное сечение связано с уменьшением угла рассеяния. Средний
переданный поперечный импульс стремится к константе, а угол —
отношение поперечного импульса к продольному — стремится к
нулю. Вероятность излучения гравитонов (с энергией порядка
продольной энергии) или классически рассчитанное гравитационное

190 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
излучение зависит именно от переданного импульса: рассеяние на
малый угол соответственно даст малую амплитуду гравитационной
волны. С учетом уменьшения угла Кобзарев и Пешков A974)
приходят к асимптотике эффективного сечения для гравитационного
излучения а=/|, т. е. к выводу, который использован нами выше.
Итак, в противоположность Матцнеру мы полагаем, что установ-
установление равновесия между гравитонами и другими частицами не
обеспечено, так как характерное время совпадает с границей при-
применимости теории. Фундаментальная теория допускает как воз-
возможность того, что плотность гравитонов меньше равновесной, так
и возможность сверхравновесной плотности.
Равновесная плотность на ранней стадии привела бы к eg~
~0,02ет в настоящее время, с учетом того, что энтропия адронов
в ходе охлаждения при исчезновении адрон-антиадронных пар пере-
перекачивается, передается фотонам, но не гравитонам. К этому вы-
выводу пришли Альфер и Херман A953) по аналогии с рассуждения-
рассуждениями, приведенными в предыдущем параграфе для нейтрино. Плот-
Плотность гравитонов может быть намного меньше указанной, если
энтропия горячей Вселенной возникла в результате каких-то про-
процессов с адронами после tg. Однако eg <| 0,02 ет не приведет к ка-
какому-либо изменению выводов, относящихся к нуклеосинтезу, росту
возмущений, образованию галактик и т. п. В принципе возможна
и другая картина: если энтропия зависит от спонтанного рождения
частиц на ранней, анизотропной стадии расширения, то можно
ожидать преимущественного рождения гравитонов, см. гл. 23.
До сих пор мы говорили исключительно о рождении гравитонов,
но очевидно, что в ультрарелятивистском пределе сечения прямого
и обратного процессов одинаковы. Значит, гравитоны в том случае,
если их концентрация была сверхравновесной, частично передадут
свою энергию (и энтропию) другим частицам, но все же останется
сверхравновесный (по отношению к температуре других частиц)
избыток гравитонов. О возможных пределах этого избытка гравита-
гравитационного излучения можно судить косвенно по его влиянию на
нуклеосинтез. Вывод (см. § 5 этой главы) состоит в том, что eg<
< Зет. В настоящее время это дало бы pg<2-103 г/см3, Qg<2-10~4.
Такой гравитонный фон никак не повлияет на динамику Все-
Вселенной *).
В РД-периоде высокая плотность гравитонов приведет к неко-
некоторым небольшим количественным изменениям скорости расши-
расширения, момента равенства pBem=PT+Pg, сдвинется и момент реком-
рекомбинации водорода. Однако качественные изменения не предвидят-
предвидятся, и поэтому в дальнейшем мы не будем учитывать эту воз-
возможность.
*) Впрочем, он скажется на росте возмущений вскоре после рекомбинации;
см. раздел III.

$ 3] АНТИНУКЛОНЫ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ 191
Гравитационные волны малой частоты (большой длины волны)
следует рассматривать классически, без учета квантовых эффектов.
Они взаимодействуют когерентно с большими объемами, заполнен-
заполненными материей. Систематический обзор разных аспектов гравита-
гравитационного излучения выделен в отдельную главу (гл. 16).
§ 8. Антинуклоны в горячей плазме
В гл. 6 мы отмечали, что в самом начале космологического рас-
расширения в веществе было огромное количество пар нуклонов и
антинуклонов, находящихся в термодинамическом равновесии. Как
меняется их концентрация в ходе расширения? Проанализируем
этот вопрос для двух вариантов теории: 1) полностью зарядово-
симметричного мира и 2) зарядово-несимметричного мира. Мы уви-
увидим, что результаты анализа дают веские аргументы в пользу того,
что реально имеет место второй вариант. Начнем анализ с первого
варианта. •
Итак, имеется полностью зарядово-симметричный мир, т. е.
мир, в котором есть равное число нуклонов и антинуклонов (а так-
также электронов и позитронов и т. д.) и концентрация их равномерна
(т. е. идеи Омнеса не учитываются).
При достаточно высокой температуре (но все же ниже trw*/k,
т — масса нуклона) их концентрация п определяется термодина-
термодинамическим равновесием *):
| ''(£)''• e-mc/kTt kT<tnc\ G.3.1)
При еще больших температурах
kT>mc*'
численное значение р зависит от числа рассматриваемых независи-
независимых сортов частиц.
Термодинамическое равновесие осуществляется за счет баланса
между аннигиляцией при соударении нуклонов и антинуклонов и
рождением пар.
В ходе расширения равновесная концентрация уменьшается,
и при современной температуре »3°К она «астрономически» мала,
<^10-ю10. Однако в действительности скорость аннигиляции стано-
становится пренебрежимой раньше, происходит «закалка» и остается
определенное неравновесное количество нуклонов и антинуклонов.
Рассмотрим этот процесс. Сечение аннигиляции в интересующей
*) Учтен спин 1/2 нуклона; п есть сумма концентраций протонов и нейтро-
Н°В> Пп ~ антипР°тонов и антинейтронов.

192 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
нас области идет как а0^-, где v — скорость соударения, а а0 —
порядка К)-*6 см2. Отсюда получим уравнение изменения концент-
концентрации:
—тг = — ОдСП* -\-yf(t)—an. (t.o.Z)
Здесь я); (f) — функция, описывающая скорость рождения пар. По-
Последний член — an учитывает изменение концентрации из-за кос-
мологического расширения f а = 3# = ^ ). Удобно параллельно с ба-
рионами рассматривать фотоны (более точно — сумму легких час-
частиц е+, е~, у). Их концентрация п^ подчиняется закону, описываю-
описывающему изменение концентрации сохраняющихся частиц:
аЦу= — апч. G.3.3)
dt y
Введем отношение г=п/пг Очевидно, уравнение для г не содержит
эффекта космологического расширения; без аннигиляции и образо-
образования новых пар г будет постоянным. Действительно,
~п = — овсПуГ2 -\- — . G.3.4)
Введем rvaBH: согласно предыдущему [см. G.3.1)]
'равн ~ D 'e i ~пп?^ (I.O.O)
Очевидно,
|, G.3.6)
^0,
так что уравнение для г может быть записано в виде
! -*-г2равн). G.3.7)
В уравнении G.3.7) щ и rvaBH— известные функции 9; 9 зависит от t.
Мы разделим весь интервал изменения времени 0<«оо на две
части: t<Z.tlt где поддерживается приблизительное равновесие
г—'■равн^равн, и t>tlt где г^>/-равн. Для нахождения характерного
времени tt мы подставим r=rvam из G.3.5) в левую часть уравнения
G.3.7), вычислим разность г—гравн и потребуем выполнения усло-
условия г—гравн« гравн:
dt а£Пу(г—/ра
'—/-равн),

5 3] АНТИНУКЛОНЫ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ 193
Условие г—/-равн^рав,, дает
1
dr
равн
dt
din г
равн
dt
G.3.8)
С другой стороны, из G.3.5) приближенно имеем
in
'равн
= 297- <7-3-9)
Подставляя G.3.9) в G.3.8), получаем [помня, что G.3.8) справед-
справедливо для t=ti\
<,nvl=l. G.3.10)
Используя функции с численными значениями констант
tt = 10-ee-2 сек, пУ1 = 1О3 см~3, ао = 2-1О-2в см*
и имея в виду G.3.5), получим уравнение для Э^
1/. G.3.11)
Это уравнение решается последовательными приближениями; экс-
экспонента зависит от 0! намного сильнее, чем Э^'7'. Поэтому мы нач-
начнем с произвольного Q[ в правой части, вычислим rfaBH и со-
соответствующее 01, подставим 0i в правую часть уравнения и т. д.
Получим
6. = -^-»^, Т1 х 21 Мэв, <,^2,5-10-3 сек,
П1С 40
г, « /-pan,.., « Ю-", у, « Ю«в ел*, G.3.12)
И, « Правн. 1 « 2- 1019 СЖ~8.
Итак, в предположении зарядово-симметричной, однородной
и изотропной горячей модели к моменту, когда нарушается термо-
термодинамическое равновесие, нуклоны и антинуклоны составляют долю
10~17 от легких частиц. До этого момента N и N следовали равнове-
равновесию: при kT/tnc2^l их плотность была того же порядка, что и плот-
плотность легких частиц; в интервале \>kTlmc%>\lib плотность N и
N падала экспоненциально и к моменту kT/tnci=l/45 упала до
2- 10~1т плотности легких частиц.
После указанного момента, т. е. при kT/mc2<l/i5, t>
!>2,5-10~8 сек, равновесное значение концентрации прав„ продол-
продолжает убывать экспоненциально, но равновесия в действительности
нет и фактическая концентрация п падает медленнее. Поэтому
"^Яравн и в уравнении для -^- можно пренебречь рождением новых
пар N и N. В уравнении остается только член, описывающий
Я. В. Зельдович, И. Д. Новиков

194 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
аннигиляцию:
-J- = — а<рпуг\ G.3.13)
с начальными условиями, взятыми из рассмотрения предыдущей
стадии:
^ =2,5-10-3, г, = 10-». ОоСЯ^гЛ^-^-. G.3.14)
Это уравнение легко решается. Взяв T = t/t1,n1= «т1т~*/", получим
g = _ol)cnVIT-iMIr«f G.3.15)
г.
Г =
l+2aocn,
VI'
l+2a0cnvl<,/-,'
G.3.16)
В пределе, при t—юо, Vtjt —-»0, из-за аннигиляции количество
нуклонов и антинуклонов падает в конечное число раз — в отно-
отношении (l+4alsct1n1)-1=l : 24.
Само расширение, очевидно, не меняет отношения числа нукло-
нуклонов или антинуклонов к числу легких частиц, равного 10~17 в мо-
момент ti. Однако вследствие аннигиляции это отношение падает в
24 раза, т. е. до ~10~18. Это падение происходит главным образом
за время, в несколько раз большее, чем tu т. е. практически закан-
заканчивается в момент <~2-10~2 сек.
В этот момент кванты и пары е+, е~ составляют ~60% всех
легких частиц. Пары е+, е~ превращаются впоследствии в кванты.
Значит, отношение числа N или N к числу квантов в настоящее вре-
время в зарядово-симметричной Вселенной должно было бы составлять
~10~18. Температуре реликтового излучения 2,7 °К соответствует
плотность квантов около 400 см~3, что дает пы=я^— Ю5 см~3 и
плотность pn=P|q=10~39 г/см3. Эти малые значения являются до-
доводом против гипотезы о зарядовой симметрии Вселенной. Однако
перед обсуждением этих выводов поставим вопрос: чем физически
обусловлено получение такого малого безразмерного числа г=
— пы/'у-'Ю8? Из каких безразмерных параметров задачи можно
наглядно, хотя бы по порядку величины, получить это число без
детального расчета, приведенного выше? Выяснение этих вопросов,
даже после получения численного результата более точным спосо-
способом, в высшей степени полезно. Только таким путем можно ясно
понять смысл результата и область его применимости.
Нам надо определить концентрацию антинуклонов после «за-
«закалки». В ходе расширения и падения температуры равновесная
концентрация антинуклонов начинает экспоненциально падать,

$ 3] АНТИНУКЛОНЫ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ 195
когда kTf&mc*. Ясно, что в силу экспоненциальной зависимости
концентрации от температуры при kT^.nw2 момент «закалки» tx
примерно определяется условием kl\=тсЧа, где число а хотя и
больше единицы, но порядка единицы. (В действительности, как
было показано выше, а=45; по ходу решения трансцендентного
уравнения а есть логарифм большой величины.)
Ясно, что таким способом можно только грубо определить Ти
а следовательно, и 1г. Идея заключается в том, что в очень грубом
расчете можно заменять а на единицу только там, где а является
множителем. Никак нельзя, однако, считать а~1 в выражении для
Яравт гае .«равн~е~О1 так как экспонента очень чувствительна
к а. После того как момент «закалки» грубо найден, можно для
определения n!~npaBH в этот момент использовать условие ра-
равенства времени установления равновесия и гидродинамического
времени aocni<i«l. Используем порядки величин. Так, сечение
дается выражением au~(hlmcy. Как известно, величина fl/mc —
комптоновская длина волны нуклона — характеризует по порядку
величины также и радиус действия ядерных сил, поскольку массы
нуклонов и мезонов одного порядка. Выразим гидродинамическое
время (время расширения) £, через а. Согласно F.2.1)
Pi ^ ~-
С другой стороны, плотность массы выражается через температуру:
Наконец, используем условие kT1=mc2/a и, приравнивая оба вы-
выражения для рь получаем выражение для /х:
<1=a2G-1/.m-2^»c-'/.. G.3.17)
Теперь подставим эти выражения *) в критерий закалки а^сп^^Х.
Получим
J 'h-'f: G.3.18)
Это выражение сравним с выражением для общего числа легких
частиц (лептонов)
ЫЫ G-ЗЛ9)
Получим
£ /¥ G-3-20)
Пу
*) В первом приближении здесь заменяем а на 1— в этом и состоит грубость
расчета.

196 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Величина Gtn2 входит в выражение гравитационного взаимодей-
взаимодействия протонов точно так же, как е2 — квадрат заряда — в выра-
выражение их электростатического взаимодействия. Таким образом,
Gtrfthc — это гравитационный аналог знаменитой «постоянной
тонкой структуры» ег1Тьс= 1/137. Численно Gm*l1ic= 10~38, что дает
njn^~ 10~1B в замечательном (для такого грубого подхода) согла-
согласии с точным расчетом.
Итак, на вопрос о том, почему в горячей зарядово-симметричной
модели остается мало нуклонов и антинуклонов, можно дать крат-
краткий ответ: это происходит потому, что малб их гравитационное
взаимодействие.
Более подробно можно сказать, что число остающихся N и N
зависит от конкуренции между их аннигиляцией и общим расшире-
расширением. Аннигиляция зависит от ядерного взаимодействия, которое
порядка единицы, так как ао~ (п/тс)*. Расширение задается таким
образом, чтобы кинетическая энергия расширения равнялась по-
потенциальной энергии гравитационного взаимодействия (на ранней
стадии расширения это всегда так; см. § 8 гл. 1). Именно вследствие
этого условия скорость расширения ^G'" и та же величина,
G"*7", входит в выражение n-Jnv
Расчет аннигиляции N и N в ходе расширения, изложенный
выше, впервые, по-видимому, сделан одним из авторов [Зельдович
A9656)]; в результаты вкралась численная ошибка, исправленная
выше. Расчет без ошибок приведен в связи с проблемой анниги-
аннигиляции кварков (см. следующий параграф) в работе Зельдовича,
Окуня, Пикельнера A965). Наконец, аналогичные результаты для
антинуклонов получены Чиу A966).
Вернемся к космологическим выводам. В литературе неодно-
неоднократно обсуждался вопрос о зарядово-симметричных моделях. Оче-
Очевидной трудностью, которой выше мы совершенно не касались,
является аннигиляция нуклонов и антинуклонов при образовании
звезд и других небесных тел из разреженного газа.
В связи с этим усилия ряда авторов [Альвен, Клейн A962),
Альвен A965)] были направлены на изобретение (весьма остро-
остроумных) механизмов, разделяющих протоны и антипротоны в газо-
газовом облаке при совместном действии гравитации и магнитного
поля.
Из проделанных расчетов видно, что в однородной модели ан-
аннигиляция происходит на чрезвычайно ранней стадии, задолго до
образования отдельных газовых облаков. Уже на этой стадии
концентрация N и N падает до величин, несовместимых с наблюда-
наблюдаемой в настоящее время плотностью обычного вещества; после-
последующее разделение не поможет согласовать зарядово-симметричную
модель с наблюдениями. Возможность разделения частиц и анти-
античастиц на ранней стадии при Гя^ЗОО Мэв рассмотрена Омнесом;

§ J] АНТИНУКЛОНЫ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ 197
принципы его теории проанализированы нами в предыдущей главе,
а следствия для космологии см. ниже, в гл. 23, § 3.
В принципе можно представить себе Вселенную, зарядово-
симметричную в среднем, за счет ее неоднородности. В начальном
сингулярном состоянии предполагается избыток нуклонов в одних
областях и избыток антинуклонов в других. По существу, для
отдельной области ситуация не отличается от той модели откро-
откровенно несимметричного мира, которая в основном и рассматри-
рассматривается в данной книге. Если область больше охватываемой гори-
горизонтом, отличие в настоящее время принципиально ненаблюдаемо.
Если области меньше, то могут быть наблюдены у-кванты, рожда-
рождающиеся на границе областей, где аннигиляция происходит и в
настоящее время.
Расчет аннигиляции для межгалактического газа критической
плотности дает величину, превосходящую наблюдаемый фон
у-квантов.
Если аннигиляция имеет место задолго до образования галак-
галактик, у-кванты теряют свою энергию при комптоновском рассеянии,
но энергия, инжектируемая в плазму, искажает планковский
равновесный спектр. Эта сторона проблемы обсуждается в следу-
следующей главе.
Эта трудность отпадает, если принять, что межгалактического
газа нет или что магнитные поля на границе между областями
вещества и антивещества препятствуют смещению ионизованных
газов.
Вряд ли нужно более конкретно обсуждать здесь все возмож-
возможные варианты такого рода [см., например, Альвен A965), интерес-
интересный обзор см. Альвен A971), Альвен, Эльвиус A973)]. Стоит, быть
может, лишь отметить, что неоднородная зарядово-симметричная
в среднем модель не представляется эстетически предпочтительной
по сравнению с однородной зарядово-несимметричной. Следует
подчеркнуть, что зарядовая симметрия свойств частиц не требует
зарядовой симметрии числа или плотности частиц в космологиче-
космологическом расширении.
Проблеме зарядовой симметрии частиц посвящен § 8 гл. 23.
Переходим теперь ко второму варианту — к теории зарядово-
несимметричного мира.
В зарядово-несимметричном мире также можно поставить во-
вопрос об остаточной концентрации антинуклонов, оставшихся от
эпохи, когда температура была огромной, kT>mc*, и было много
нуклон-антинуклонных пар. Благодаря расширению здесь также
возникает «закалка» антинуклонов и асимптотически получается
конечное, не равное нулю, отношениеroa=n^ln-i при /->-оо. Обозна-
Обозначим через /•„ постоянное отношение избытка барионов над антиба-
рионами к tiy ro=r—г. Благодаря избытку барионов уравнение

198 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
для г линейно, когда г <^ /•„, г ^ г0:
-£ = ■£ = —aocnvrr +я]}= — (V7iT (/•„/•—/••„„). G.3.21)
Величина г0 известна из современной ситуации (так как г<^ г0):
/•0«-^^10-5-^=2,5-10-8Q. G.3.22)
Величина /"равн, как и прежде, есть равновесная плотность в за-
рядово-симметричном случае.
Уравнение G.3.21) можно записать в виде (/"равн =-7е25)
-гравн). G.3.23)
Выше сделано предположение г=го-{-гжго, так как в период, оп-
определяющий результат, как мы уже упомянули, г<^.гй. Введено
также новое обозначение rvam— равновесная концентрация анти-
антибарионов при данном избытке барионов. В интересующий период
^aBH = e-3e-2/e4-10'Q-i. G.3.24)
Процедура решения G.3.23) та же, что и прежде: находится пер-
первый критический момент tlt когда равновесие больше не поддержи-
поддерживается:
/-о). G.3.25)
Численно из этого уравнения получаем Э^ 10~69р= B- 10~S6-
•3-1010- 104ie?-2,5-Ю-^)-1, т. е.
е.^З-Ю-'Й-1'". G.3.26)
При Q=l это дает 7\=3-107 °К, <1=10всек. Соответствующая
концентрация антибарионов после «закалки»:
('■равн)! « е ~10'к" «w Ю-3"' «>• У*. G.3.27)
Из этих результатов видно, что во Вселенной с однородно рас-
распределенным избытком барионов равновесие для антибарионов
поддерживается вплоть до очень низких температур (Т^З-10' °К),
соответствующая концентрация антибарионов невероятно мала —
меньше чем один антибарион в характеристическом объеме (с/K,
содержащем 1087 фотонов!
С математической точки зрения это происходит потому, что
избыток /•(, не зависит от температуры, температура находится из

j 4] РЕЛИКТОВЫЕ КВАРКИ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ 199
алгебраического уравнения без е~1/е, но после этого температура
подставляется в экспоненту.
физически очевидно, что в зарядово-несимметричной модели
количество первичных антибарионов пренебрежимо мало, после
£>0,01 сек, Т<ЮМэв, 9<0,01 7=7равн<сЮ-70. Таким образом,
в рассматриваемой теории реликтовые антибарионы в нашу эпоху
практически совершенно отсутствуют. Однако в нашу эпоху име-
имеются антибарионы, получающиеся при взаимодействии космических
лучей с обычным веществом; абсолютная их концентрация мала
(около 10~22 см~3), но она значительно выше концентрации релик-
реликтовых антибарионов, о которых говорилось выше.
§ 4. Реликтовые кварки в горячей модели
В соответствии с § 3 гл. 6 предположим, что существуют ча-
частицы (кварки) с барионным зарядом 1/3 и дробным электрическим
зарядом. Отсюда следует, что возможно превращение одних квар-
кварков в другие путем р-распада; можно предположить, что стабилен
q! (если его масса меньше массы q2 и q3). Соответственно стабилен
в таком случае и qt. Подчеркнем, что до сих пор ни в составе пер-
первичных космических лучей или продуктов их взаимодействия с
ядрами, ни на ускорителях свободные кварки не наблюдались.
Существование их в настоящее время является гипотезой, весьма
привлекательной, но недоказанной, и все более подвергается
сомнению.
Немалую роль в развитии этих сомнений сыграла, как мы сей-
сейчас увидим, и космология. Горячая модель Вселенной приводит
к выводу о возможности заметной концентрации реликтовых квар-
кварков, покоящихся или прилипших к ядрам. В ряде стран ведут-
ведутся эксперименты, направленные на обнаружение таких кварков в
обычных веществах путем опытов такого же типа, как классиче-
классические опыты Милликена по измерению заряда электрона.
В связи с этим анализ вопроса о равновесии и закалке кварков
в горячей модели (в предположении, что верна гипотеза об их
существовании) представляет астрофизический интерес. Если квар-
кварки будут обнаружены, то изучение их концентрации и распределе-
распределения во Вселенной даст совершенно новые, весьма ценные данные
о ее эволюции.
Итак, обозначая Mq массу кварка, мы должны ожидать, что
при kT^>Mc* равновесная концентрация кварков и антикварков
не отличается от концентрации всех других сортов частиц. По мере
понижения температуры в ходе расширения концентрация убывает,
как е~ c'/kT. Вся теория закалки кварков строится вполне ана-
аналогично теории закалки нуклонов и антинуклонов в симметричной
модели (см. предыдущий параграф).

200 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Предполагается, что масса кварка в несколько раз больше массы
нуклона. Поэтому равновесная концентрация вскоре становится
ничтожно малой, меньше одного кварка на всю наблюдаемую
Метагалактику при температуре порядка нескольких кэв. Однако
задолго до этого наступает момент, когда скорость реакции, веду-
ведущей к установлению равновесия, становится слишком малой и
происходит закалка остающихся q и q, после чего их абсолютная
концентрация (число в 1 см3) продолжает уменьшаться лишь за
счет общего расширения, а отношение их концентрации к концент-
концентрации нуклонов «n, т. е. nqlnu, п-1пи, стремится к постоянной
величине.
Кварки сильно взаимодействуют между собой. Малая скорость
реакции связана с тем, что для реакции с участием кварка нужно
всегда не меньше двух q или пары q и q. На первый взгляд кажется,
что, поскольку барион В состоит из 3q, необходимо тройное столк-
столкновение. В действительности энергетически вполне возможен
процесс
q+q=B+q G.4.1)
(так как Mq>mn), и ясно, что двойные столкновения происходят
чаще тройных. Пара q+q аннигилирует, превращаясь в мезоны.
Обратное время бимолекулярной реакции уничтожения кварков
дается выражением
. G.4.2)
где а — сечение реакции порядка (fi/McJc/v, v — скорость кварков.
Закалка кварков достигается при температуре более высокой,
чем закалка антинуклонов, т. е. в период приближенной зарядовой
симметрии по N и N даже в зарядово-несимметричной модели.
Поэтому с высокой точностью nqmn~, nq—n-<^nq.
Реакция G.4.1) способствует дальнейшему уменьшению раз-
разности nq—п-, и в дальнейшем, запомнив этот вывод (который
интересен сам по себе и, мы надеемся, с течением времени будет
сопоставлен с наблюдениями, если кварки существуют), будем
писать просто nq. Итак, скорость реакции стремится к нулю при
уменьшении ttq.
Напомним результаты предыдущего параграфа.
Для нахождения времени, при котором происходит закалка,
скорость реакции установления равновесия нужно сравнить со
скоростью расширения или со скоростью изменения равновесной
концентрации (различие между соответствующими характерным"
временами не очень велико).
Итак, существует такое ^ (космологическое время, протекшее
с момента р=оо) и соответствующее п^, при которых время про-

I 4] РЕЛИКТОВЫЕ КВАРКИ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ 201
текания реакции т равно tlt x=tx. Соответствующее отношение
п /Пк после этого приблизительно (с точностью до численного коэф-
коэффициента) сохраняется в ходе дальнейшего расширения, так как
можно написать
d (nq/nN)
Si = — °
и интеграл в последнем равенстве сходится при t->-oo; условие на-
начала закалки tx обеспечивает, что пч1пи не сильно меняется.
Итак, условие закалки выделяет определенное значение nql.
Равновесная концентрация nqipaBH экспоненциально зависит от
массы кварков. Но если nql=n~vaw задано, то это значит, что
момент закалки ^ и температура Ти при которой происходит закал-
ка, сами подстраиваются к значению массы кварка Afq, kT =уг.
где а зависит от сечения а, от скорости расширения и других
факторов, но зависимость от этих факторов только логарифмиче-
логарифмическая. В результате получающееся nqi уже не зависит экспоненци-
экспоненциально от Mq— это и есть важнейший результат. Именно поэтому
можно надеяться обнаружить реликтовые кварки — даже в том
случае, если масса кварков велика и обнаружение кварков ядерно-
физическими методами не удается.
Повторяя теперь рассуждения предыдущего параграфа, прихо-
приходим к формуле
Здесь nSl есть концентрация всех видов частиц (у, е+, е~, v, ...)
на момент закалки, численное значение дано для М порядка
массы нуклона. Обсуждая вопрос об энтропии горячей модели,
мы нашли (см. § 1 гл. 6)
где nN — концентрация барионов. Отсюда находим (подставляя
для момента закалки-^- w 10 ~9
10-"
Это отношение после момента tx практически не меняется и должно
сохраниться к нашему времени.

202 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Мы видим, что концентрация реликтовых кварков, отнесенная
к барионам, пропорциональна удельной энтропии. Горячая модель
предсказывает для первичного вещества ~1О~10 кварков (и столько
же анти кварков) на один барион. Расчет не претендует на точность,
но результат оказывается впечатляющим — ведь распространен-
распространенность (кларк) золота (т. е. Au/H)«10~18, кларк радия Ra/H%
«10~18. Итак, если кварки существуют, то в природе — наверное,
и в земной коре — они должны встречаться чаще, чем волото!
Изложенные результаты, относящиеся к закалке кварков,
были получены в уже упомянутой работе Зельдовича, Окуня и Пи-
кельнера A965). Когда выполнялась эта работа, горячая модель
еще не могла считаться полностью доказанной, поэтому в работе
приведены как высокие цифры, относящиеся к горячей модели,
так и низкие для холодной модели. Здесь мы приводим только
расчет для горячей модели. В работе рассмотрен также вопрос о
дальнейшей судьбе кварков, в частности об их прилипании к ядрам
и выгорании в звездах.
Заметим, что благодаря зарядовой симметрии всегда остаются
q и q обоих знаков заряда. Если стабилен q с зарядом Z=+2e/3,
то остается и реликтовый q с Z=—2е/3. В противном случае остают-
остаются q с Z=—е/3 и q с Z=+e/3, На первый взгляд то, что nq«n-
облегчает дальнейшее выгорание q и q в веществе звезды: при
столкновении q и q нет кулоновского барьера. Однако в действи
тельности, как отмечалось в этой же работе, отрицательные q или q
всегда стабилизируются прилипанием к ядрам! Поэтому наличие
частиц с зарядами обоих знаков способствует выживанию отрица-
отрицательных q или q в звездах. Выгорание, по-видимому, не очень
значительно. Очень труден вопрос о распределении кварков в
ходе эволюции звезд и образования планет. По вопросу об экспе-
экспериментальных методах поисков реликтовых кварков ограничимся
указанием литературы: Бекки, Галлинаро, Морпурго A965), Бра-
Брагинский A966), Чупка, Шиффер, Стевенс A966), Брагинский и др.
A967, 1968), Пикельнер, Вайнштейн A966).
Еще раз подчеркнем, что кварки пока так и не найдены и су-
существование их как отдельных частиц (а не чего-то в виде возбуж-
возбуждений, аналогичных фононам в твердом теле, например) многими
подвергается сильному сомнению. Вспомним, однако, замечания
в гл. 5, § 3 о партонах или кварках с целым зарядом. Их экспе-
экспериментальное обнаружение труднее. В настоящее время не ясно,
доказывает ли эксперимент отсутствие в природе кварков с целым
зарядом или нейтральных.
В самое последнее время, отчасти под влиянием космологиче-
космологических соображений, сформулирован вариант теории кварков, не
требующий изменения законов сохранения.

§ S] 1 НУКЛЕОСИНТЕЗ В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ 203
Предполагается, что существуют три семейства кварков, по три
кварка в каждом семействе. Эти три кварка называем по-прежнему
л п, к. О разных семействах говорят, что они отличаются «цветом».
По типографским соображениям будем отличать семейства индек-
индексом: первое семейство ри пи Х1у второе р2, п2, %а, третье ps, n3, к3.
Барионы представляют собой белые комбинации цветных квар-
кварков: каждый барион состоит из одного кварка первого семейства,
одного кварка второго семейства и одного антикварка третьего
семейства. Тогда можно приписать каждому кварку (любому из
девяти) единичный барионный заряд. Электрические заряды квар-
кварков в такой схеме могут быть целыми, например:
Рг (+). пх (+), К @); р* @), л, (—). К (—); р* (+), «. @), К (О).
В такой схеме, не нарушая принцип Паули, можно собрать барион
из кварков с параллельными спинами, например: А+ + = (р1у р2, п3),
или A~=(ni, п2, р3), или Q~=(XU X2, К )■
Все кварки могут быть нестабильными; можно предположить,
что каждый из них способен распадаться, превращаясь в протон
и лептоны при точном сохранении барионного и электрического
заряда *). В такой теории на ранней стадии горячей Вселенной,
вблизи сингулярности, кварков много, но они полностью вымирают
за счет экспоненциального распада к настоящему времени.
Теперь сформулируем вывод из десятилетнего развития гипо-
гипотезы кварков. Косвенные данные о существовании кварков не дают
уверенного ответа на вопрос об их стабильности. Предположим,
что прямой лабораторный опыт докажет существование нового
типа тяжелых стабильных частиц. Стабильность подразумевает
абсолютный запрет на спонтанный распад одиночных частиц. До-
Добавим еще условие: частицы не должны аннигилировать при встрече
с протонами и электронами (таким образом, исключаем антипротон
и позитрон). Аннигиляция при встрече двух новых тяжелых частиц
не исключается.
Такой лабораторный опыт, такое — и только такое! — откры-
открытие будет иметь огромное значение для космологии. Теория горячей
Вселенной предсказывает определенную остаточную концентрацию
стабильных частиц. Сопоставление этого теоретического вывода с
наблюдениями даст сведения об очень раннем этапе эволюции,
z~1013, абсолютное время порядка 10~в сек.
§ 5. Нуклеосинтез в теории горячей Вселенной
В данном параграфе рассматриваются ядерные реакции, от
которых зависит химический состав дозвездного вещества. Мы рас-
рассматриваем эти процессы в зарядово-несимметричном мире, како-
каковым, по нашему мнению, является (по крайней мере) наблюдаемая
) Лептонные заряды кварков надо выбрать такими же, как у барионов.

204 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
часть Вселенной. В ходе космологического расширения после па-
падения температуры ниже Тв</ПрС2/& в плазме остаются только
нуклоны (но не антинуклоны) в количестве ~10~* от легких ча-
частиц. Нуклоны в дальнейшем вступают в ядерные реакции. Эти
ядерные реакции заканчиваются, как мы увидим, примерно через
100 сек после начала расширения, при температуре в несколько
десятков кэв (~3-108 °К).
После этого химический состав остается неизменным на всем
протяжении расширения радиационно-доминированной плазмы и
позже, после рекомбинации и образования нейтральных атомов.
Из вещества указанного состава образуются звезды первого поко-
поколения — предположительно в момент z~10 или 5, т. е. уже близко
к нашей эре.
Только в звездах после вторичного сжатия вещества до высокой
плотности и температуры начинается новый этап ядерных реакций.
Первые попытки осмысливания химического состава Вселенной
основывались на идее термодинамического равновесия. Отметим
здесь пионерские работы Харкинса A917), Толмена A922), По-
Покровского, Корсунского A931), Сузуки A931). Сама постановка
вопроса об условиях образования элементов заслуживает высокой
оценки. Эта идея представляла собой смелое применение в космо-
космологии достижений ядерной физики, понятий о взаимных превраще-
превращениях.
Однако уже вскоре выяснилось, что нельзя подобрать такие
плотность и температуру вещества, при которых наблюдаемый
состав Вселенной был бы равновесным.
Гамову A946) принадлежит заслуга эволюционной постановки
задачи. В расширяющейся Вселенной существенна кинетика про-
процессов.
Выше мы видели (гл. 6), что поддержание равновесия имеет
место для быстрых процессов. Почему ядерные реакции оказались
медленными, почему для них существенна кинетика? Дело в том,
что ядерные процессы состоят: а) из превращений нейтронов в
протоны и обратно, что связано с испусканием и захватом лептонов
(е+, е~, ve, ve) и слабым взаимодействием; б) из бинарных реакций
ядер типа n+p=D+v, D+D=Hes+n и т. п. Но эти реакции
идут относительно медленно, так как мало отношение плотности
барионов к плотности фотонов.
Как уже отмечалось в гл. 5, ранняя история проблемы нуклео-
нуклеосинтеза изобилует ошибками.
Первоначально Гамов предполагал, что нуклоны при очень
большой плотности находились в состоянии нейтронов, а затем
происходил их радиоактивный распад. В неопубликованной работе
Ферми и Туркевича рассматривались ядерные реакции соединения
нейтронов с протонами и следующие за ними. Позже Хаяши A950)

j бГ НУКЛЕОСИНТЕЗ В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ 205
заметил, что при высокой температуре (выше 2 Мэв, т. е. Г>20-
• 10* °К) электроны, позитроны, нейтрино и антинейтрино горячей
плазмы вызывают весьма быстрое превращение нейтронов в про-
протоны и обратно по реакциям *)
, \
v '
Поэтому при высокой температуре, независимо от выбора началь-
начального состояния, устанавливается термодинамическое равновесие:
% = e-w, G.5.2)
где Д/п есть разность масс нейтрона и протона (Д/пс2=1,28 Мэв), и,
конечно, нет никаких сложных ядер. Так, например, в момент
/=0,01 сек, когда температура равна 9,5 Мэв, время установления
равновесия порядка 2-10~8 сек, равновесное соотношение п : р=
=0,47 : 0,53. При понижении температуры равновесная концент-
концентрация падает, но уменьшается и скорость процессов G.5.1). Как
и другие процессы, становящиеся медленными на некоторой стадии
расширения (см. §§ 1—4), данный процесс распадается на две
стадии: в первой стадии n=nvaw; к концу этой стадии происходит
закалка, т. е. реакции уже слишком медленны для поддержания
равновесия; во второй стадии оставшиеся нейтроны медленно рас-
распадаются без участия плазмы с полупериодом 11 мин, известным
из лабораторных опытов **).
Приведем количественный расчет.
Расчеты Хаяши A950) были чрезвычайно сложны, а предпо-
предпосылки их не вполне соответствуют современным сведениям о нейт-
нейтрино и бета-процессах. Существенное уточнение дано в работе
Альфера и Хермана A953). Эти расчеты были повторены Якубовым
и изложены в работе Зельдовича A965 г.). Концентрации п и р удов-
удовлетворяют уравнениям
2
G-5.3)
более поздние работы — см. Пиблс A966а, б), Вагонер, Фаулер,
Хойл A967), Вагонер A973), Ривс, Аудуз, Фаулер, Шрамм A973).
Коэффициенты а и Ь, выражающие скорость протекания реакций,
*) Везде далее рассматриваются только электронные нейтрино, индекс «е»
опускаем. re v
**) Современное значение среднего времени жизни нейтрона 918^14 сек,
время полураспада получим, умножая на 1п 2.

206 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ-
зависят от температуры, но температура как функция времени
известна. Количество нуклонов ничтожно по сравнению с коли-
количеством легких частиц в плазме, поэтому реакции п и р не оказы-
оказывают никакого обратного влияния на концентрации е~, е+, v, v и,
следовательно, не влияют на функции and; уравнения линейны.
При вычислении аи b принимается во внимание принцип Паули.
Движением протонов и нейтронов можно пренебречь. Распреде-
Распределения е~, e+,v, v в импульсном пространстве даются известными
выражениями статистики Ферми:
Ее = Vc^pl + mlc*, Ev = cP
G5.4)
Здесь ре и pv— импульсы частиц (не путать с обозначением про-
протона — р!). Скорость реакции р-*-п есть
E-)d*pe--d*p-], G-5-5)
где первый член — для v+p=n+e+, второй — для e~+p=n+v.
Множители в квадратных скобках [1—g] учитывают число вакан-
вакансий в импульсном пространстве — реакция запрещена, если ко-
конечное состояние е+ или v уже занято. Дельта-функции учитывают
закон сохранения энергии, только электроны и антинейтрино с
достаточно большой энергией (£e_>Amc2, £->Дтс2+тес2) вызы-
вызывают реакцию. Благодаря б-функции шестикратный интеграл по
d3pld3pa сводится к пятикратному, и поэтому в пределе, когда рас-
рассматриваемые энергии намного больше, чем тес* и А/пс3, интегралы
пропорциональны (р)л~Ел. Постоянная А пропорциональна квад-
квадрату константы слабого взаимодействия, ее можно выразить через
вероятность распада свободного нейтрона. Всегда имеет место
термодинамическое тождество (с учетом всех процессов)
b (t) = e-*mi:''Ta (t)=e~ l-35VTa (t).
При высокой температуре, т. е. малом t,
a = b = const-T5 = const-f-'/« = 4.10-eT!;; G.5.6)
здесь Tt=T °K/10B.
При низкой температуре
a(t)—►IF = 1O-Smc-* при *>lmc, G.5.7)
где W — вероятность распада свободного нейтрона. Пользуясь
тождеством nD-\-nv=l, вместо двух уравнений G.5.3) получим одно:
4* = Ь-{а+Ь)пв, G.5.8)

} ijj НУКЛЕОСИНТЕЗ В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
решение которого легко написать:
' -f(a+b)dx'
nn(t) = )b(x)e * dx.
о
Введем теперь следующее обозначение:
207
G.5 9)
причем при больших t функция /->-0, так как a-+W, fc->-0. Асимп-
Асимптотическое выражение nn(t) при ф>1 имеет вид
nn(t) = nn,e-K't, G.5.10)
где величина
па„ = J Ь (т) exp
о
Wi— J fdi'
L t J
di *)
имеет смысл концентрации нейтронов
после того, как
произошла закалка. Кривые nn(t) и пп n(t) показаны на рис. 31.
Вычисленное таким образом значение nnit. по современным
данным оказалось равным 0,165 и численно мало отличается от
результата Хаяши A950). Гру-
Грубую оценку пп1>, можно, конечно,
сделать и без столь детальных
расчетов, а используя тот же ме- 0,5
тод, к которому мы уже неодно-
неоднократно прибегали в предыдущих
параграфах для определения ПлГп17
момента прекращения реакций "*
взаимодействия. Действительно,
реакции прекращаются и про-
происходит закалка при условии
1см. F.2.8)]
G.5.11)
о
6 t
Рис. 31. Концентрация нейтронов в
горячей модели: кривая / — реальная
концентрация, кривая 2 — равновес-
равновесная концентрация.
где t — время с начала расширения F.2.3), а т — длительность
протекания реакции. В нашем случае, согласно G.5.6),
т ж 1067V сек. G.5.12)
*) Подынтегральное выражение резко падает при t>\ и снова возрастает
лишь при <> 10 000. Поэтому определение лПЯ1 не зависит от конкретного выбора /,
если Ю0</< 10 000. При /-»0 fc(/)-»oo, так же как и /(/); экспонента обращается
в нуль быстрее, чем b(t); в целом подынтегральное выражение стремится к нулю
при /—>о.

208
КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Подставляя G.5.12) и F.2.3) в G.5.11), находим температуру за-
закалки. Коэффициент х берем ж4; это значение получается, если
учитывать только известные сорта элементарных частиц и не пред-
предполагать существование
гипотетических неизвест-
неизвестных частиц (см. об этом
далее, в конце параграфа).
Тогда для температуры за-
закалки получаем
(Гв)'0> G 5 13)
Теперь,
"~ в
подставляя это
G.5.2), находим
zr I на момент закалки:
■'•5»0,2 G.5.14)
(используя тожде-
Рис. 32. Относительная распространенность
химических элементов, синтезированных в на-
начале космологического расширения. Парамет-
Параметром является сегодняшнее значение плотно-
плотности вещества, H2D
\no+ni
п. _
G.5.15)
в согласии с точным вы-
вычислением.
На следующей стадии процесса при tza 100 сек происходит сое-
соединение нейтрона и протона в дейтон:
G.5.16)
за которым следует цепочка термоядерных реакций:
Т + р, T+D — Не'+п, )
D + DC
,Не3+п— Т + р, J
G.5.17)
в результате чего образуется Не4.
Ядро дейтерия представляет собой «энтропийный барьер» на
пути образования Не*. При температуре выше 100 кэв равновесное
содержание дейтерия ничтожно; это значит, что с образованием
дейтерия успешно конкурирует фотораспад -y+D-^P+n. Процесс
образования Не* требует ряда двойных столкновений *), поэтому
*) Любопытно, что прямое соединение D-(-D=He4-J-Y имеет совершенно
ничтожное сечение в силу ряда запретов.

S 61 I
НУКЛЕОСИНТЕЗ В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
209
он представлен тем сильнее, чем выше плотность барионов при
данной температуре, т. е. чем меньше удельная энтропия. При
малой энтропии все нейтроны превращаются в Не*, следовательно,
получится ~33% Не4, ~67% водорода. Мерой энтропии является
отношение Т3/р, где р — плотность обычного вещества. На диа-
диаграмме рис. 32 приведены результаты расчетов Вагонера, Фаулера,
Хойла A967), пересмотренные Вагонером A973), для температуры
реликтового излучения Т=2,7 °К и для разных значений сегод-
сегодняшней плотности р0 с учетом того, что истинное значение плот-
плотности ро известно ненадежно. При вычислении концентрации Не3
Рис. 33. Изменение вследствие ядерных реакций содержания протонов, нейтронов,
дейтерия, гелия-4, гелия-3 и трития в расширяющейся горячей модели. Правая
шкала — только Для D, Т, Не3.
и Li' они учли, что образовавшиеся в ходе реакций Т и Be' путем
Р-распада переходят соответственно в Не8 и Li'.
Общая картина изменения с течением времени содержания р,
п, D,He*, Не8 и Т вследствие ядерных реакций в горячей модели
приГз/рдаЗ-Ю^т.е. Т=2,7°К, ро=6-10-»° г/см3) дана на рис. 33
по расчетам Дорошкевича и Сюняева. Вопрос о фактическом
содержании гелия и других легких элементов в дозвездном
веществе разбирается в следующем параграфе.
Резюмируем ситуацию. Каковы посылки и возможные слабые
пункты расчета? Прежде всего, ненадежно известна сегодняшняя
плотность материи р0 или обратно пропорциональная ей (опять же
сегодняшняя) энтропия Трр0. Величина Г3/р практически не меняет-
меняется со временем, возможная область изменения р0: от 3-10~31 г/см*
До 3-Ю~2В г/см3. Уравнение для слабого взаимодействия ш=-=:£

210 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ 1ГЛ. 7
и закалка не зависят от pJT%. Последующие ядерные реакции за-
зависят от pJT\, но, к счастью, в интересующей нас области 3-10~31<
<Ро<3-10~29 эта зависимость не очень существенна для основного
продукта, Не4 и для остающегося водорода. Предсказываемые
значения концентрации Не*: 25%<Не*<29%. Количества D, Не3,
Li7 очень сильно зависят от pJT%, но они очень малы абсолютно.
Вопрос о содержании их в небесных телах и о синтезе их в совре-
современный период изложен в следующем параграфе.
Резюме проведенного выше исследования ядерных реакций
в космологии таково: очень грубо можно сказать, что почти все
нейтроны, выжившие в результате первой стадии после закалки,
переходят в ядра Не4 в период ядерного синтеза tf»30—300 сек;
весовая концентрация Не4 в дозвездном веществе в первом при-
приближении равна удвоенному весу нейтронов, оставшихся после
закалки:
EМ • G.5.18)
Напомним, что мы условились считать nn+np=l, поэтому Y=2nnSf-
Подставив сюда значение «П!Н«0,165, полученное выше, находим
У «0,33. G.5.19)
Это, по существу, максимальное количество гелия, которое мо-
может получиться. Действительное значение Y несколько мень-
меньше, но формула G.5.18) достаточно хороша для приближенной
оценки.
Таким образом, решающее влияние на исход ядерного синтеза
имеет отношение (—^— ) =пп9 на момент закалки. В какой сте-
пени устойчиво значение пп# при изменении различных параметров
модели? Выше отмечалось, что пп# не зависит от ро/Т%, так как
уравнения G.5.3) линейны, взаимодействием нейтронов и протонов
между собой можно пренебречь при Г>1 Мэв.
Но пп# зависит от скорости расширения плазмы, точнее, от
скорости изменения температуры со временем. Это сразу видно
из формулы G.5.11), где слева стоит 1(Т) — время от начала рас-
расширения, совпадающее с временем изменения параметров плазмы.
Выше при определении температуры закалки мы использовали
в качестве t(T) формулу F.2.3) с коэффициентом х«4. Этот коэф-
коэффициент зависит от числа сортов элементарных частиц, существую-
существующих в плазме к данному моменту. Коэффициент к учитывает только
известные частицы. Шварцман A969) указал, что предположение
о сильном увеличении х меняет выводы о химическом составе

НУКЛЕОСИНТЕЗ В ТЕОРИИ ГОРЯЧЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
211
первичного вещества. Такое увеличение в принципе возможно,
если имеется много неизвестных слабо (или сверхслабо) взаимодей-
взаимодействующих (и потому неоткрытых) частиц. Такие частицы не могут
иметь массу покоя, отличную от нуля. Действительно, в этом случае
при расширении Вселенной отношение их плотности к плотности
обычной материи не изменилось бы и их наличие сегодня в большом
числе означало бы сильное превышение средней плотности этих
частиц над плотностью известных форм материи, а это невозможно
(см. обсуждение вопроса о массе мюонных нейтрино в сноске на
стр. 183).
Но безмассовые частицы (типа нейтрино или гравитонов) не
могут быть исключены таким рассуждением (см. далее). Подчеркнем
еще раз, что гипотетические частицы не участвуют прямо в реак-
реакциях, приводящих к синтезу элементов, а влияют на них косвенно,
меняя динамику расширения плазмы. Для оценки влияния этих
частиц на исход ядерных реакций восполь- 4
зуемся формулами G.5.11) и G.5.18). Обо- ™'7°\
значим через ц отношение общей плотности /дд
материи, включая плотность неизвестных
частиц, к плотности известных частиц (у,
e+,e~,ve, Vg.v^.v^) в термодинамическом
равновесии *):
у = Робщ «g., G.5.20)
Ризв. части.! ^0
где хо«4 — значение к для известных ча-
частиц. С помощью F.2.3) находим
50
G.5.21)
О
1
10s
и из G.5.12), G.5.11) и G.5.21) получаем Рис. 34. Количество син-
_,, тезированного гелия в за-
г-1.5ц «^ G.5.22) висимости от количества
неизвестных слабовзаимо-
= f(n). G.5.23)
действующих частиц.
Кривая на рис. 34 показывает Y в зависимости от ц.
Значение ц1>4 невозможно, так как это дает У>50%, что за-
заведомо исключается наблюдениями.
Подчеркнем, что приведенные рассуждения дают гораздо более
сильные ограничения на \i, чем сравнение постоянной Хаббла для
) Разность ро<5щ.—р изв.частиц включает не только плотность неизвестных
оезмассовых частиц, но также и плотность мюонных нейтрино и антинейтрино,
если имеется большой избыток одних или других по сравнению с их равновесной
концентрацией, и—прежде всего — плотность сверхравновесных гравитонов.

212 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
О
-Юа -10й
сегодняшнего дня с возрастом Земли. Последняя оценка приводит
лишь к неравенству jx<10s [Зельдович, Смородинский A961I *).
Итак, изменение параметра к приводит к изменению пп#. На
это же значение пп# может сильно влиять возможный избыток
электронных нейтрино или антинейтрино. На это обратил внимание
Фаулер A970). До сих пор мы предполагали отсутствие лептонного
заряда и считали количе-
количество нейтрино равным ко-
количеству антинейтрино.Ес-
антинейтрино.Если отказаться от такого
требования, то на стадии
закалки избыток электрон-
электронных нейтрино или антиней-
антинейтрино приведет через реак-
реакции G.5.1) к изменению
равновесной концентрации
нейтронов и протонов, из-
изменится формула G.5.2).
Вторичным эффектом явля-
является влияние наличия из-
избытка частиц на динамику
расширения и,следователь-
и,следовательно, на момент закалки, что
было рассмотрено выше.
В ходе космологического расширения химический потенциал
нейтрино изменяется, как температура. Обозначим q>=\iJkT.
Тогда приблизительно справедливы соотношения
п- = ЬТ3е~ч>, nv = bT3(l + <pK; G.5.24)
для отношения n~/nv имеем
G.5.25)
G.5.26)
G.5.27)
Рис. 35. Количество синтезированного гелня
в зависимости от удельного лептонного заря-
заряда Вселенной.
Вместо формулы G.5.2) теперь имеем
вместо G.5.14)
р/равн
*) Отметим, что громадное увеличение плотности энергии безмассовых частиц
()^>Л) может привести к такому темпу расширения, что не успевают пройти реак-
реакции образования Не4 на втором этапе G.5.16), G.5.17) и его количество будет ма-
малым. Но в этом случае должно быть ц^ЛО5 и частицы сильно бы влняли и на сов-
современную скорость расширения Вселенной, а это несовместимо с оценками вре-
времени жизни Земли и постоянной Хаббла.

$ 6] РАСПРОСТРАНЕННОСТЬ ЛЕГКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 213
Таким образом, Y зависит, вообще говоря, и от к и от ф, причем
если ф>1,6, то Y будет меньше 30% при любом к!
На рис. 35 показана зависимость Y от удельного лептонного
«v —
заряда/^ = — для х=4, т- е- Н>=1. Сильный избыток аНТИ-
нейтрино ведет к У«1 и противоречит наблюдениям, сильный
избыток нейтрино ведет к У«0.
Предположение ф=^=0 ведет к наличию избытка нейтрино или
антинейтрино и для сегодняшнего дня, но избыток, достаточный
для существенного изменения Y, конечно, еще слишком мал для
обнаружения его какими-либо сегодняшними средствами.
§ 6. Сравнение наблюдательных данных
о распространенности легких элементов
во Вселенной с предсказаниями теории
Что говорят наблюдения о распространенности химических
элементов во Вселенной? Подтверждают ли они предсказание
теории горячей Вселенной?
Прежде всего, ясно, что, даже зная химический состав косми-
космических объектов в настоящее время, еще нельзя сравнивать непо-
непосредственно эти данные с космологической теорией, так как хи-
химические элементы могут синтезироваться (и разрушаться тоже)
в течение эволюции небесных тел — например, в звездах или при
взаимодействии космических лучей с межзвездным веществом.
Поэтому необходимо проанализировать вопрос об эволюции рас-
распространенности химических элементов со временем и только после
этого сравнить теорию с наблюдениями. Мы начнем с того, что
приведем данные о распространенности химических элементов,
затем проанализируем возможности синтеза или разрушения эле-
элементов в разных процессах и, наконец, сделаем заключение о хи-
химическом составе дозвездного вещества, из которого формировались
первые объекты. Прекрасный обзор этого вопроса дан в работе
Ривса, Аудуза, Фаулера и Шрамма A973), которой мы, главным
образом, придерживаемся в дальнейшем изложении (там же под-
подробная библиография).
Мы будем говорить только о легких элементах, ибо, как уже
неоднократно отмечалось выше, синтез тяжелых элементов (угле-
(углерода и тяжелее) может быть полностью объяснен процессами, про-
происходящими в ходе эволюции звезд [см. Труран и Камерон A971)],
и последующими выбросами газа из них. В космологическом нук-
нуклеосинтезе количество образующихся элементов тяжелее бора
ничтожно.
Ниже приводится табл. IV наблюдательных данных, взятая из
цитируемой работы. В ней дается относительная концентрация

214
КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
ТАБЛИЦА IV
Относитель-
Относительная концен-
концентрация по
числу атомов
Межзвездный
газ
Звезды
Солнце
Планетная система
D/H
Не3/Не4
Не4/Н
Li/H
Li'/Li»
Ве/Н
В/Н
\~6-10-3*)
<5-10-«
0,11±0,03
<6-10-4
!_4.10-"**)
110-' ***)
>Ю
—5-10-"***)
<5-10-в
/1,5-10-*****)
1B,9—7,5)-10-* *****)
=0,08—
—0,10
>20
я 10-"
<3-10-10
1,2-10-»
12,5±0,2
2-10-"
3.10-10—3.10-*
4±0,5
•) Данные Внлсона н др. A973) по наблюдениям молекул HCN н DCN.
Рогерсон н Йорк A973) по линиям поглощения межзвездного нейтрального Н н
D дают D/H к 14-10-».
•') Концентрация сильно меняется у звезд разного типа и возраста.
•••) В некоторых красных гигантах.
***♦) Для Земли и метеоритов.
*****) Атмосфера Юпитера.
элементов по числу атомов, а не по весу (которую мы обозначаем
через Y), как в предыдущем параграфе.
Мы начнем обсуждение с Не4, который является вторым по
распространенности (после Н) элементом Вселенной. Вопрос о Не4
проанализирован в обзоре Сирла и Сэржента A972).
Содержание Не4 может быть уверенно определено внутри моло-
молодых звезд, в звездных атмосферах и в межзвездном газе.
Теория строения звезд предсказывает определенные соотно-
соотношения для зависимостей между массой, радиусом и светимостью
молодых звезд. Содержание гелия входит в эти зависимости как
параметр. Сравнение теории с наблюдениями дает концентрацию
Не4. В звездных атмосферах и межзвездном газе концентрация Не4
определяется спектроскопически с использованием теории возбуж-
возбуждения и ионизации Не4.
Оказалось, что, за малым исключением (см. далее), массовая
концентрация гелия *) всегда лежит в пределах
0,26<У<0,32. G.6.1)
*) Напомним связь между массовой концентрацией гелия Y и отношением
числа атомов Не4/Н : Не*/Н=У/4A—У). Здесь использован тот факт, что осталь-
остальных элементов во Вселенной пренебрежимо мало.

$6]' РАСПРОСТРАНЕННОСТЬ ЛЕГКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 215
Это относится и к распространенности Не4 в ближайших галак-
галактиках, где гелий наблюдается по эмиссионным линиям ионизован-
ионизованного газа.
Теперь об исключениях. Атмосферы некоторых звезд (таких,
например, как Сел А) крайне бедны гелием. Подобных звезд очень
немного, и все они показывают сильные аномалии в содержании
не только гелия, но и других элементов. По-видимому, какие-то
процессы на поверхности таких звезд резко исказили их поверх-
поверхностный химический состав.
Мог ли весь наблюдаемый Не4 синтезироваться в ходе эволюции
звезд первых поколений, которые затем выбрасывали обогащенный
гелием газ в пространство и из этого «загрязненного» гелием газа
образовывались на более поздней стадии современные объекты?
Тщательный анализ показывает, что это вряд ли возможно. Наи-
Наиболее убедительно против такой возможности говорит анализ
диаграмм светимость — спектральный класс для старых звездных
скоплений. Характер диаграмм этих скоплений зависит от возраста
и начального содержания гелия в звездах. Оказывается, что это
начальное содержание Не4 у наиболее старых (и поэтому бедных
металлами) звезд нашей Галактики около У»0,3.
Сирл и Сэржент A972) и Ривс и др. A973) приходят к выводу,
что содержание Не4 в дозвездном веществе было, вероятно, примерно
таким же, как и сегодняшнее, т. е. около У«0,3.
Содержание D в веществе, из которого образовывалась Солнеч-
Солнечная система, можно оценить, исследуя количество Не3 на Солнце.
Дело в том, что на Солнце D, захватывая протон, превращается
в Не8. Таким образом, количество Не8 дает верхний предел коли-
количества D в досолнечном веществе. Оценки дают
£>///« B,5 ±1)-К). G.6.2)
С другой стороны, содержание D в атмосфере Юпитера оценивается
вО/Я«B,9—7,5)-lO"*. Верхние пределы распространенности D
в других космических объектах даны в табл. IV.
Однако распространенность молекул с Н и D находится в от-
отношении, существенно отличающемся от отношения распространен-
распространенности атомов Н и D. Квантовая механика учит, что потенциальная
кривая U(г), характеризующая силовое поле, в котором движется
ядро (протон или дейтон), одинакова, например, в молекулах
HCN и DCN. Однако при одинаковом 0(г), очевидно, частота ко-
колебаний Н в \^2 раз больше частоты колебаний D. Значит, больше
и нулевая энергия колебаний Дю/2. Поэтому молекула HCN имеет
в основном состоянии больше энергии, чем молекула DCN. Как
следствие, распространенность молекул HCN относительно меньше:
H
[HCN1.IDCN1 -пт
(Hj • [DJ ~e

216 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. Т
При низкой температуре оказывается
[DCN] [D]
Синтез дейтерия идет в огромных масштабах в звездах главной
последовательности: процесс p+p=D+e++v является первым
шагом водородного цикла в звездах. Однако образующийся дей-
дейтерий тут же сгорает по реакции
р + D = Не3 + V-
Обе реакции имеют одинаковый кулоновский барьер, различие масс
невелико, поэтому температурная зависимость обеих реакций от-
отличается мало: e~lb)iTT4' для первой реакции и е'11'^4' для вто-
второй. Но первая реакция включает слабое взаимодействие, поэтому
ее скорость в 3-10|в раз меньше скорости второй реакции. В урав-
уравнении (пи — концентрация дейтерия, «н—концентрация водо-
водорода)
и в стационарном состоянии
"Н "р
(независимо от плотности и практически независимо от температуры).
При р=100 г/см3 и Г7=1 &2рпн= F сек)~х — дейтерий выгорает
мгновенно.
При температуре 7-10' °К и плотности водорода 1 г/сма дейтерий
все еще выгорает за время 10е лет. Поэтому в звездах выгорание
дейтерия с превращением его в Не3 в огромной степени преобладает
над образованием дейтерия. Таким образом, обычно считается, что
D не может синтезироваться в заметных количествах ни в каких
процессах в галактиках, а также в сверхмассивных объектах, если
таковые имеются. Дейтерий может только разрушаться, как это
имеет место, например, на Солнце. Поэтому считается, что весь D
надо объяснять его синтезом в начале расширения горячей Все-
Вселенной.
Однако недавно Хойл и Фаулер A973) высказали предположе-
предположение, что D может синтезироваться при движении полурелятивист-
полурелятивистских а-частиц сквозь ионизованный водород. Такие процессы
могут возникать, например, при взрывах сверхновых или сверх-
сверхмассивных звезд. Авторы приходят к заключению, что даже весь D
мог в принципе быть синтезирован в таких процессах.
Несколько замечаний о других легких элементах. В принципе
весь Не8 может быть синтезирован уже после образования галактик
в процессах, происходящих в звездах. Наконец, Lie, Be", В10,

* 61 РАСПРОСТРАНЕННОСТЬ ЛЕГКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 217
а также, вероятно, В11 и существенная часть Li7 объясняются
процессами взаимодействия космических лучей с веществом.
Итак, вероятно, только распространенность Не* и отчасти D
может служить для оценки их содержания в дозвездном веществе,
т. е. для сравнения теории синтеза элементов в горячей Вселенной
с наблюдениями [обзор происхождения легких элементов см. Ривс
A974)].
Соответствующие массовые (а не по числу атомов, как в табл. IV)
содержания Не4 и D в звездном веществе [см. G.6.1) и G.6.2)] суть
Y «0,3, G.6.3)
Zd«5-10. G.6.4)
Какие можно сделать из этого выводы?
Прежде всего, величина Y очень близка к тому, что предсказы-
предсказывает теория в простейшем, наиболее естественном случае без неиз-
неизвестных частиц и без заметного лептонного заряда (см. предыдущий
параграф). Надо подчеркнуть, что эта величина мало чувствительна
к вариациям сегодняшнего значения средней плотности во Все-
Вселенной (см. рис. 32). Это совпадение теории и наблюдений служит
веским аргументом в пользу правильности теории.
Значение Zd«5- 10~6 может получиться при синтезе D в начале
космологическсго расширения только в том случае, если сегод-
сегодняшняя плотность р0 имеет минимальное допустимое значение
ро«3-10~31 г/сма, равное усредненной плотности материи, вхо-
входящей в галактики. Если это так, то межгалактического газа с
заметной плотностью (существенно большей плотности вещества
в галактиках и достаточной, например, для того, чтобы замкнуть
мир) быть не должно. Однако надо помнить, что значение Zd для
дозвездного вещества известно не очень надежно.
Полагая, что наблюдаемый дейтерий имеет космологическое
происхождение, Ривс и др. A973) делают важные выводы. Дело
в том, что концентрация дейтерия сильно зависит от плотности
вещества (см. рис. 32). Уменьшение концентрации D с ростом р
связано с тем, что дейтерий сильнее выгорает (по реакции D+D
в космологических условиях) при большей плотности.
Наблюденная концентрация дейтерия свидетельствует в пользу
0*0,1. В настоящее время надежность этого утверждения неве-
невелика, однако направление исследований является чрезвычайно
важным и многообещающим. В работе Хойла и Фаулера A973)
ставится вопрос о том, не может ли часть дейтерия (или весь дей-
дейтерий) образоваться при взрывах сверхновых звезд, в ударных
волнах, распространяющихся в межзвездном газе. В этой работе
есть слабые места: структура ударной волны рассматривается
упрощенно, без учета плазменных эффектов, не рассматриваются
другие ядерные реакции (кроме образования D).

218 КИНЕТИКА ПРОЦЕССОВ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ЧАСТИЦАМИ [ГЛ. 7
Возражения против гипотезы Хойла и Фаулера даны в ра-
работе Эпштейна, Арнета и Шрамма A974). Они показали, что
при образовании D одновременно образовалось бы много Li,
что противоречит наблюдениям.
Дискуссия не закончена, авторы данной книги надеются, что
в итоге укрепится и уточнится теория космологического происхож-
происхождения дейтерия.
В заключение отметим, что наблюдаемое в данное время
обилие D [Рогерсон, Йорк A973)], вероятно, даже значительно
меньше, чем в дозвездном веществе, так как межзвездное веще-
вещество в значительной части должно было пройти через стадию
звезд. По оценкам Трурана и Камерона A971) отношение D/H
уменьшилось в 6 раз по сравнению с первоначальным. В одно-
однородной модели такое D/H соответствует, как мы уже упоми-
упоминали, Q<1. Это, возможно, противоречит определениями (см.
§ Г1 гл. 14). Возможное объяснение см. Зельдович A975а).
Итак, можно сказать, что теория ядерного синтеза в космологии
подтверждается наблюдениями, хотя последние еще слишком
грубы, чтобы на их основе делать более тонкие выводы о парамет-
параметрах космологической модели.

ГЛАВА 8
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
И РЕЛИКТОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ •)
§ 1. Введение и общий обзор
Мы приступаем к описанию последних, наиболее близких к
настоящему времени этапов эволюции Вселенной.
На первом этапе (РД — радиационно-доминированная плазма)
пространство заполнено фотонами с небольшой примесью элект-
электронов, протонов и ядер гелия. Этот этап начинается после анниги-
аннигиляции позитронов и заканчивается рекомбинацией водорода: e~f
+р=Н. На втором этапе пространство заполнено фотонами и ней-
нейтральными атомами Н I и Не I.
В соответствии с общим планом книги мы рассматриваем здесь
эволюцию идеализированной однородной модели Вселенной, от-
откладывая рассмотрение возмущений однородности до следующего
раздела.
Насколько такое рассмотрение соответствует действительности?
Ответ зависит как от предположений о возмущениях, так и от рас-
рассматриваемого момента времени.
В настоящее время заведомо возмущения отнюдь не малы и фи-
физическое состояние вещества не имеет ничего общего с предсказа-
предсказаниями строго однородной модели.
С другой стороны, свободный пробег фотонов реликтового излу-
излучения велик и поэтому РИ с хорошей точностью остается однород-
однородным и изотропным (как показывают наблюдения) даже при наличии
сильных неоднородностей в распределении обычного вещества.
Поэтому влияние возмущений на РИ можно частично рассмот-
рассмотреть в рамках однородной модели.
Возмущения — например, вкрапления антивещества или пе-
пекулярные движения вещества на фоне общего расширения — можно
рассматривать как источники энергии. Выделяется энергия анни-
аннигиляции, или кинетическая энергия упорядоченного движения
превращается в тепло.
Эти источники энергии неоднородно распределены в простран-
пространстве, однако в силу быстрого перемешивания фотонов эта неодно-
*) Эта глава написана совместно с Р. А. Сюняевым.

220 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
родность не существенна. Изменение спектра РИ можно рассмат-
рассматривать так, как будто выделение энергии происходит повсеместно,
с одинаковой интенсивностью в каждой точке. Это приближение
будет рассмотрено ниже. Итак, рассматриваем период 010s сек,
г<С108, после окончания ядерных реакций и аннигиляции е+.
На первый взгляд этот период не интересен, потому что рас-
рассматривается однородная Вселенная. Нужно попросить читателя
быть терпеливым и не уснуть на следующих двух страницах, после
которых рассматриваются некоторые современные и интересные
вопросы.
В совершенно однородной Вселенной этот период характери-
характеризуется монотонным падением температуры от ~3-108 °К до совре-
современных 2,7 °К. Эти температуры даются для излучения, спектр ко-
которого все время имеет равновесную плаиковскую форму.
Вначале ядра н электроны совсем не связаны друг с другом,
но позднее из-за охлаждения происходит рекомбинация. В пер-
первом приближении она определяется термодинамическим равно-
равновесием.
Вместо того, чтобы брать время в качестве независимой пере-
переменной, мы предпочитаем пользоваться соответствующим красным
смещением г, связанным с температурой по формуле Т= (l+z)-2,7
°К *). Итак, при Г~16 000 °К будет следующий состав: 50% Не III,
50% Не II по отношению ко всему Не и 100% Н II по отношению
ко всему водороду; при Г~7000° уже будет 50% Не II, 50% Не I
и 0% Не III, 100% Н II.
Наиболее интересен момент, когда Г=4000 °К, z=1500. В этот
момент состав таков: 100% Не I, 50% Н II, 50% Н I.
Все вычисления проводятся по хорошо известной формуле Саха
(см. §2 этой главы). Эта формула предсказывает быстрое исчезно-
исчезновение Н II и свободных электронов. В равновесии при Г=3000 °К,
г= 1100 остается 0,1% Н II и свободных электронов и 99,9% нейт-
нейтрального Н I (и, конечно, 100% Не I).
Поведение нейтрального газа сильно отличается от поведения
ионизованного. Взаимодействие вещества и излучения поддержи-
поддерживается свободными электронами. Без них нейтральный газ прак-
практически не взаимодействует с излучением.
При расширении нейтральный газ охлаждается с показателем
адиабаты 5/3 (вместо */3 для излучения), и для нашего времени
простое вычисление дало бы температуру вещества, равную
0,003 °К при z=0 (сегодня), что явно не соответствует действи-
действительности. Вещество, входящее в звезды, имеет температуру выше
10е °К. Газ в галактиках частично входит в холодные облака с
Г~100 °К. Но в пространстве между галактиками заведомо нет
холодного нейтрального водорода.
*) Связь z и / зависит от величин плотности и постоянной Хаббла, см. § 4 гл. 3.

§ I] ВВЕДЕНИЕ И ОБЩИЙ ОБЗОР 221
Рекомбинация очень важна для роста возмущений и для пеку-
пекулярных движений вещества; до рекомбинации излучение влияло на
эти процессы, сильно препятствуя им (эти вопросы полностью ра-
разобраны в следующих главах).
Форма спектра излучения имеет в настоящее время равновесный
вид не столько из-за того, что процессы, ведущие к равновесию,
сильны, а скорее из-за того, что в однородной Вселенной нет про-
процессов, вызывающих отклонение от равновесия.
Есть только одно исключение, обсуждаемое далее, в § 2 этой
главы, а именно процесс рекомбинации водорода.
Детальные вычисления показывают, что рекомбинация отстает
от равновесия. Первое очевидное следствие — это конечная кон-
концентрация протонов и электронов — порядка 10~2—10~3% — при
низкой температуре, тогда как равновесная концентрация должна
быть пренебрежимо малой. Положение подобно ситуации в теории
аннигиляции кварков или антибарионов (см. предыдущий раздел).
Менее очевидно заметное искажение спектра излучения из-за ре-
рекомбинации в высокочастотной области kv/kT>30, что на сегод-
сегодняшний день соответствует v>l,5-10ia гц, Х<.0,02 см. Интенсив-
Интенсивность излучения возрастает в Несколько раз по сравнению с план-
ковской при Г=2,7 °К.
Это неожиданно, так как общая концентрация протонов и элект-
электронов в 108 раз меньше, чем концентрация фотонов. Однако с ре-
результатом можно примириться, если учесть, что относительно
большое возрастание интенсивности излучения происходит только
в той области спектра, которая содержит очень малую часть фотонов
A0~10 от всех фотонов имеют hv>30 kT). Нет большой надежды,
что это предсказание теории будет проверено наблюдениями, по-
потому что есть много источников фонового излучения с hv/kT^>l;
главным образом это излучение ядер галактик и пыли (последнее
является наиболее сильным в области Х<ЗОО(х). В этой же области
много излучают квазары. Есть также и другие процессы, ведущие
к искажению высокочастотной области спектра.
Теория совершенно однородной Вселенной ведет к картине
холодного однородно распределенного атомарного водорода, по-
погруженного в равновесное излучение.
Эта скучная картина очень далека от наблюдаемого мира, со-
состоящего из звезд, галактик, квазаров, с активными процессами
ядерного горения, гравитационным взаимодействием, с крупно-
крупномасштабными движениями и взрывами, ведущими к излучению
радиоволн, света, рентгеновских н космических лучей. *
Мы понимаем, что вся эта активность — это результат началь-
начальной неоднородности, ведущей к возникновению астрономических
объектов. На ранних стадиях эволюции можно предполагать другие
типы источников энергии: 1) неоднородное распределение анти-
антибарионов, ведущее к задержке аннигиляции,— аннигиляция

222 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
происходит неравновесно, или же 2) неоднородности общего рас-
распределения плотности, вызывающие звуковые и ударные волны.
В литературе рассматриваются вихревые (турбулентные) дви-
движения РД-плазмы; существуют, наконец, однородные анизотроп-
анизотропные космологические модели; превращение нх в изотропную модель
также сопровождается выделением энергии, точнее, ростом энт-
энтропии.
Как отмечено вначале, применительно к воздействию на излу-
излучение большая часть рассматриваемых проблем может быть за-
заключена в рамки однородной теории, даже если источники энергии
возникают в результате неоднородностей.
Когда энергия рассеивается в окружающем пространстве (в
форме излучения, космических лучей или ударных волн), она рас-
распределяется однородно за сравнительно короткое время. Пре-
Превращения одного вида энергии в другие рассматриваются в рамках
однородной теории.
Некоторые источники энергии вначале дают энергию свободным
электронам — прямо или после ионизации нейтральных атомов.
Теоретическая основа всего дальнейшего обсуждения — это взаи-
взаимодействие плазмы с излучением. Мы имеем дело с очень разрежен-
разреженной плазмой. Излучение и поглощение фотонов вследствие р+е~-
и ае~-столкновений менее важно, чем комптон-эффект — рассея-
рассеяние фотонов на электронах. Поэтому § 3 этой главы посвящен из-
изложению общей теории распределения по скоростям электронов,
находящихся в произвольном поле излучения. Показано, что элек-
электроны имеют максвелловское распределение с определенной тем-
температурой. Потом мы рассмотрим кинетическое уравнение для
фотонов, считая, что рассеяние происходит на максвелловских
электронах. Эта теория развилась главным образом на основе
работ Компанейца A956) и Веймана A965); см. § 4 и обзор Зель-
Зельдовича (Ш756).
Переходя к реальной космологии, мы можем ожидать три раз-
различных ситуации.
1) Энергия выделяется очень рано (z>108), концентрация элек-
электронов (и позитронов) достаточно высока, чтобы создать новое
равновесие, неотличимое от начального, начинающегося приг=оо.
Такова ситуация с аннигиляцией е+ и е~: энтропия излучения
возрастает (ST после аннигиляции=5т+5е++5е- до нее), но
спектр остается планковским.
2) Энергия выделяется в интервале 10*<z<I108. Вклад рассеяния
достаточно большой, чтобы создать равновесие, но новые фотоны
рождаются недостаточно быстро. Температура электронов всегда
несколько больше, чем температура излучения. Ясно, что рассея-
рассеяние перераспределяет фотоны по спектру, но не изменяет их кон-
концентрации. Следовательно, в этом случае достигается только ог-
ограниченное равновесие с данной плотностью квантов. Это ведет

; I] ВВЕДЕНИЕ И ОБЩИЙ ОБЗОР 223
(см. § 5) к бозе-эйнштейновскому спектру
2/tv3/о | ^
P
=
(заметим, что в экспоненте (О-О!) вместо настоящего планковского
спектра
Отклонения от формулы Планка наиболее резко выражены в рэлей-
джинсовской части (hv<ZkT). Эта область спектра реликтового из-
излучения сегодня изучена лучше всего, и существующими методами
такие отклонения не были обнаружены. Такой результат дает
верхний предел на раннее выделение энергии.
3) Энергия выделяется при z<1500, т. е. после рекомбинации.
Газ быстро ионизуется вторично. Для ионизации водородной плазмы
электронными ударами требуется температура электронов выше,
чем 104 °К, „что много больше температуры реликтового излучения
в то время. Вследствие малой плотности электронов и малого числа
рассеяний равновесие не успевает установиться. Кинетическое
уравнение для фотонов предсказывает определенные искажения
спектра, главным образом при kv>2kT. Экспериментальные данные
в этой части спектра долгое время были противоречивы. В на-
настоящее время нет указаний на искажение, но точность еще мала.
Эти вопросы обсуждаются в § 6.
Общее заключение §§ 4—6 сводится к следующему.
В первое время после открытия реликтового излучения вопрос
не был изучен детально и полагали, что излучение должно быть
в точности планковским. Теперь стало ясно, что отклонения от
спектра (не найденные, впрочем, в настоящее время) не противо-
противоречат горячей модели Вселенной; скорее, они могут дать добавочную
информацию о физических процессах и балансе энергии.
Физические условия в межгалактическом газе (и в газе вне
скоплений галактик) представляют явный интерес. Исследование
излучения этого газа необходимо для оценок плотности диффузного
вещества во Вселенной. Этот вопрос рассмотрен в § 7.
Хорошо известно, что концентрация нейтрального газа (Н I)
пренебрежимо мала.
Для далеких квазаров (z>2) линия Ly-a приходится на область
Длин волн A= A+2)Хо>3600 А), проходящих свободно через
атмосферу Земли. Изучение спектров квазаров говорит об отсут-
отсутствии атомов нейтрального водорода — его концентрация оказы-
оказывается <10~u см'3. С меньшей точностью те же выводы делаются
по радиоастрономическим наблюдениям (линия Н I с А,=21 см).
В теоретической работе Гинзбурга и Озерного A965) показано,
что космические лучи могут ионизовать и нагревать межгалакти-

224 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА 1ГЛ. 8
ческий газ. Потери энергии газом и скорость рекомбинации при
современных условиях (p<10~se г/см3) малы, так что полная иони-
ионизация очень вероятна.
Излучение полностью ионизованного водорода (и, возможно,
также гелия), составляющего межгалактический газ, исследовалось
во многих работах. Есть два неизвестных параметра — плотность
газа и его температура. При высокой температуре преобладает
рентгеновское излучение, а при более низкой — ультрафиолетовые
эмиссионные линии. Непрерывное распределение газа в простран-
пространстве с учетом красного смещения делает линии эмиссии подобными
широким полосам.
Есть также непрерывное радиоизлучение с плоским спектром,
сильно отличающимся от планковского.
Детальный анализ наблюдений, проведенный Сюняевым A9696),
приводит к заключению, что плотность газа меньше, чем 0,3—
0.2р<:(р<;=|^ = 2-10-2»г/слC при //„=100 км/сек-Мпс). В
дальнейшем мы будем использовать уже известный нам параметр
Q=p/Pc.
Эти выводы основываются на измерениях Курта ультрафиоле-
ультрафиолетового фона на советских космических зондах и на анализе Сюня-
Сюняевым разреженного водородного гало Галактики, являющегося
очень чувствительным детектором жесткого ультрафиолетового и
мягкого рентгеновского излучения [см. Курт, Сюняев A967а, б),
Сюняев A9696)].
В этом цикле работ был сделан очень принципиальный вывод
о том, что Вселенная, вероятно, является открытой, гиперболиче-
гиперболической (см. гл. 2).
За истекшие годы исходный факт, касающийся оценки иони-
ионизующего излучения, падающего на галактики, остался в силе.Воз-
можно, что, прослеживая более тщательно гало в области малой
плотности Н I, удастся даже снизить верхний предел потока из-
излучения.
Однако конечный вывод, касающийся открытой Вселенной,
в настоящее время под вопросом в связи с пересмотром значения
постоянной Хаббла. В оригинальной работе Сюняева A9696) рас-
расчеты проделаны применительно к //=100 км/сек-Мпс. Если же
принять другое крайнее значение, встречающееся в литературе в
настоящее время, Н=50 км/сек- Мпс, то критическая плотность
окажется в четыре раза меньше. Поэтому рассмотрение гало га-
галактик не исключает плоскую модель Вселенной, в которой ос-
основная масса вещества находится в виде полностью ионизованного
разреженного газа, более или менее равномерно распределенного
между скоплениями галактик.
В следующем § 8 исследуется вопрос о периоде эволюции Все-
Вселенной после рекомбинации водорода и до появления активных

$ 2] РЕКОМБИНАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ И КИНЕТИКА 225
источников энергии, нагревающих газ и могущих ионизовать его.
Этот период носит название периода нейтрального водорода. Однако
различные гипотетические причины могут задержать рекомбинацию
плазмы и наступление периода нейтрального водорода. Какие на-
наблюдения могут помочь установить, был ли в действительности
период нейтрального водорода? Оказывается, здесь чрезвычайно
важно радиоизлучение ионизованного газа. Анализу этих вопросов
и посвящен восьмой параграф.
Наконец, в последнем § 9 рассматривается вопрос, стоящий
особняком,— о взаимодействии космических лучей с общим фоном
излучения и, в первую очередь, с реликтовым излучением, со-
составляющим подавляющую долю в усредненной плотности
энергии.
Потери энергии космическими лучами ограничивают макси-
максимальную энергию частиц, составляющих космические лучи; это
ограничение зависит от возраста частицы. В период 1969—1971 гг.
ракетные опыты давали в 20—100 раз завышенную полную плот-
плотность реликтового излучения. Наблюдение космических лучей
с энергией доЮ22 эв было известным противовесом ракетным опытам.
В настоящее время противоречие в значительной мере снято
после опытов Лос-Аламосской группы и других наблюдений, см.
§ 3 гл. 5.
Другой вывод состоит в том, что космические лучи являются
молодой составной частью Вселенной, они не могут иметь релик-
реликтовое происхождение. Сильный обмен энергией между заряжен-
заряженными частицами и фотонами в прошлом (ср. гл. 6) исключает боль-
большие энергии заряженных частиц в РД-плазме на ранних этапах,
до рекомбинации.
§ 2. Рекомбинационное равновесие и кинетика
Запишем равновесную формулу Саха:
-«li—e«&i i «J— exp — -rzr I; (8.2.1)
na ga hr \ Ri J
для р+е~:;=±Н энергия ионизации /=13,6 эв, так что //£=158 000
°К; статистические веса сокращаются, 2^=1; для указан-
указанной реакции заменяем индексы «i» на «р», «а» на Н. Численно по-
получаем
^ = 2,4- 1015Г3/» ехр ( — 158„°—V (8.2.2)
"н \ ' J
Введем степень ионизации а = —-£■—. Плотность выражается
о
Я. Б. Зелвдовн», И. Д. Новиков

226
РАДИАЦИОННО- ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ. 8
через температуру формулой n=const-'T8. На сегодняшний день
n=10-6Q см~3 (Г=2,7 °К) и, следовательно, rt=np+nH=5-10-7Qr3.
Таким образом,
^- = 4,8- 10"Q-^r-3/. ехр [— Щ~). (8.2.3)
В табл. V даны значения равновесной а (Г) для Q=l и Q=l/40,
Но=1ОО км/сек- Мпс (в пересчете на Н=75 км/сек-Мпс это соот-
соответствует Q=2 и Q=l/20).
г
a(Q = l)
a(Q=l/40)
Равновесная степень ионизации
5000
0,996
0,9999
4500
0.9
0,997
4000
0.3
0,85
3500
0,027
0,17
ТАБЛИЦА V
000
0,0007
0,004
2500
ю-»
8- 10-в
Процесс рекомбинации рассматривали Зельдович, Курт, Сю-
няев A968), Пиблс A968), Сюняев, Зельдович A970а).
В космологических условиях основную роль в поддержании
ионизационного равновесия играют процессы фотоионизации Н+у=
=р+е~ и обратный процесс рекомбинации с излучением фотона,
p-f e~=H+Y- Формула Саха, естественно, не зависит от механизма
установления равновесия, она имеет тот же вид, что и в плотном
газе, где происходит ударная ионизация и рекомбинация тройным
ударом, Н+е~ 5=tp+е" -f e".
Однако в космологических условиях для выполнения формулы
Саха необходимо, чтобы спектр излучения был равновесным, план-
ковским.
Кинетика установления равновесия и приближение фактических
концентраций к равновесию определяются двумя факторами:
1) скоростью ионизации и рекомбинации и 2) отклонениями спектра
от равновесного, планковского. Расчет показывает, что прн план-
ковском спектре излучения равновесие, соответствующее табл. V,
имеет место вплоть до а~3-10~4 при Q=l и а~10~а при Q=l/40,
#100 /М
/
Запишем условие поддержания равновесия. Обозначим через w
вероятность рекомбинации (сек~1), т — время изменения в е раз
равновесной концентрации, [е~] — концентрацию электронов. Оче-
Очевидно, что
w = йполн [е~ ] = aaomanv+н,

* 2] РЕКОМБИНАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ И КИНЕТИКА 227
где йпол„— усредненная по максвелловскому распределению кон-
константа рекомбинации, аполН = 4 ■ 10~13 1/ -=- см3/сек [см. Каплан, Пи-
кельнер A963I. Далее, x = t—j-, где t—космологическое
время, поскольку
_, d\na_ 1 / din Г }_J_}_
x — dt — 2 kT dt — 3 kT t ш
Условие поддержания равновесия имеет вид
шт = аполнапр+н^=1. (8.2.4)
Однако в действительности еще раньше сам процесс рекомби-
рекомбинации заметно меняет спектр излучения как раз в той области
(в коротковолновой его части), которая участвует в обратном про-
процессе фотоионизации и влияет на концентрации [е~] и [р].
Общее число фотонов весьма велико, и, следовательно, изме-
изменение спектра может коснуться лишь малой части фотонов. Но
при прямой рекомбинации на основной (IS) уровень и в самом деле
испускаются фотоны с энергией больше /. Так как рекомбинация
происходит при kT<^.I, то число таких фотонов в равновесии,
пропорциональное ехр (—I/kT), оказывается малым, меньше числа
электронов и протонов при данной температуре.
Важная для процесса часть спектра действительно существенно
изменится вследствие рекомбинации в предположении, что реком-
рекомбинация происходит прямо на основной уровень, и, в свою очередь,
это изменение спектра вызовет сдвиг (увеличение) концентрации
электронов и протонов.
Каскадная рекомбинация, в принципе, смягчает отклонения,
если вместо одного большого фотона получается много маленьких.
Однако в случае водорода радиационная рекомбинация неиз-
неизбежно дает один фотон с энергией не меньше Ly-a, т. е. с энергией
не меньше 3/4/ на один образовавшийся атом в основном состоянии;
поэтому эффект задержки рекомбинации остается.
Кинетика определяется тем, что рекомбинация на возбужденные
Уровни атома водорода Н*, Н** происходит легко, так же как
и ионизация возбужденных атомов. Равновесие Y+H*5=tp+e~,
Y+H*^rtH** поддерживается в течение долгого времени. Для этих
процессов нужны фотоны с энергией //4=3,5 эв или меньше, ко-
которых достаточно много в рассматриваемый период времени. Из-
Избавление от энергии возбуждения, соответствующей линии
Ly-a C/4/«10,2 эв) или даже большей,— это трудный шаг.
Если рекомбинация происходит прямо на основной уровень
е +р—>-Н0СН+у, то фотоны имеют Е>1 и немедленно ионизуют

228 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
другие нейтральные атомы. Даже в каскадных процессах
гдеНосн— атом водорода в основном состоянии, энергия £Vl 3^3/4/и,
следовательно, Ya поглощается атомом в основном состоянии, об-
образуя при этом возбужденный Н*-, который легко ионизуется
основной частью излучения.
Для рассмотрения этого вопроса введем р — сумму концент-
концентраций свободных протонов, возбужденных атомов и энергичных *)
фотонов у*, нормированную на общую концентрацию протонов
и а омов водорода:
,- нполн • <°-z-o;
Между различными компонентами, из которых состоит р, поддер-
поддерживается термодинамическое равновесие:
(8.2.6)
Здесь и далее под буквами, обозначающими частицы, подразуме-
подразумевается концентрация данных частиц, число 39 400 в экспоненте
есть //4/г. y* в грубом приближении дается интегралом от функции
Планка:
$(v, TB^)dv, (8.2.7)
где
определяется **) формулой
Н2р gap / £2р — £осн\ - / 118 000Л /о о о.
н~^ = ^"ехР( Ьг ) = 3ехр = . (8.2.8)
На поздних этапах Гэфф несколько больше, чем Т. Важно, что в р
свободные протоны являются наиболее обильными по сравнению
с другими компонентами. Например, если мы зададимся полным
*) Энергичным называем фотон с энергией большей или равной Ly-a, т. е.
*/4/.
*') Исключив Тъ§§ из формул, мы могли бы получить выражение типа закона
действующих масс J£l_^/l(r) или "tP МГ).
ПоснТГ ' ->chY

$ 21 РЕКОМБИНАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ И КИНЕТИКА 229
равновесием, ТЭ^Ф=Т, и выберем Q=l для а=0,1, то получим
следующие концентрации *):
Носн = 2,5-Ю4ои-3, р = е- = 2,5-103сл(-3>
7„олн = Ю12 см-3, у* = 20 см-\
пш
Формула (8.2.7) может считаться определением ГЭфф, тогда (8.2.8)
есть физическое утверждение: отношение Н2р/Носн зависит о г ко-
количества энергичных фотонов, но не от всего спектра. Заметим, что
Ynojm^P. e"> носн, но y*<^P. e~. Нос„. Следовательно, в последую-
последующем можно отождествить степень ионизации с переменной р, as^p.
В кинетических уравнениях для р/Нполн, Н*/Нполн, у*/Иппяи,
взятых отдельно друг от друга, есть большое число быстрых про-
процессов, как, например, e-+p5=tH*+Y, H2p5=tHOCH+Y* и другие,
которые сокращаются, когда мы переходим к уравнению для суммы
Р>— это как раз и есть причина введения р. Эта сумма уменьшается
только из-за двух процессов: 1) красное смещение из-за расширения
Вселенной, преобразующее энергичные фотоны (y*) в фотоны (y),
которые уже не могут возбудить нормальный водород; 2) двух-
фотонный распад метастабильного 25-состояния [Киппер A950),
Спитцер, Гринстейн A951)]. Скорость этого процесса W%s~8 сек'1.
Следовательно,
df^ dv 1 у* Tw H85—На5 равн
dt~ d/|AvHnMH w*s Нполи " ^ozs'
В этом уравнении H25 и y* выражены через р с помощью уе-
ч тт Ti I 117 000 \ ,-,
ловий равновесия; Н25>равч равно Носнехр( ^—1. Введе-
Введение й^25, Н25>равн в правую часть уравнения описывает об-
обратный процесс' HoCH+2y-»-H25,
Первый член в (8.2.9), описывающий красное смещение, отно-
относительно мал. Наконец, мы получаем
ехр Ш {a*-U
(8.2.10)
Отличие а и аравн малб при высокой температуре Г>4000 °К и
оС>О,5. Позднее ос^>аравн, так что в скобках аравн можно прене-
пренебречь; в этот период имеет силу приближенная формула [Сюняев,
*) При вычислении Н* мы находили верхний предел главного квантового
™сла "° формуле Инглиса — Теллера птк:103 Н"*'", учитывающей слияние
уровней вследствие штарк-эффект,а на водороде.

230
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ. 8
Зельдович A970а), см. также Лонгейр, Сюняев A9696)]
1,6 Ю7 / 39 400\
ос = ——п- ехр =— ].
TQ '• у V Т )
(8.2.11)
Наконец, при Г<;2400 °К уже больше нет равновесия между
р, е~ и Над- Результаты собраны в табл. VI для Q=l (сравните
с таблицей для аравн). Вычисление дает а->-5-10~8 при /->-оо, Г->-0.
При малых температурах (Г<;200 °К) с точки зрения термодина-
термодинамики возможен процесс Н I + е"-*-Н~+Т и дальше Н~+Н-»-Н2+
+е~. Даже при более высоких температурах (но все же <1000 °К)
молекула Н2 термодинамически устойчива. Но кинетика образо-
образования Н~ и На столь медленна, что в однородной Вселенной при
ТАБЛИЦА VI
Степень ионизации при уменьшении Т
Т
a(Q=l)
5000
0,996
4500
0,924
4000
0,40
3500
0,07
3000
0,0098
2500
9 Ю-4
2000
ю-4
1500
5-Ю-»
ее низких плотностях они не образуются. Этот вопрос снова воз-
возникнет позднее в связи с образованием галактик. Рекомбинация
водорода ведет к избытку коротковолновых фотонов по отношению
к планковскому спектру. В табл. VII даны некоторые точки (под-
(подробности см. в оригинальных работах, упомянутых выше).
ТАБЛИЦА VII
Избыток коротковолновых фотонов по отношению
к планковскому спектру
hv/kT
Fy, равн
"Ч, вычисл
200
27
2-Ю-22
1500
36
з-ю-2в
5-10-"
Этот эффект относительно велик в области, где абсолютные
потоки малы, т. е. мал как равновесный поток /\,paBH, так и вы-
вычисленный — принимая во внимание рекомбинацию — поток
^v-вычисл- Длины волн в таблице приведены в микронах, потоки
излучения Fv— в эрг/см2-сек-стер-гц для настоящего времени.

$ 3] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ИЗЛУЧЕНИЯ 231
§ 3. Взаимодействие электронов и излучения
в разреженной плазме
В идеальной строго однородной модели Вселенной рекомбина-
рекомбинация происходит так, как это описано в предыдущем параграфе;
при z<600, Г<1600 °К наступает закалка, т. е. достигается оста-
остаточная степень ионизации ос^^Ю или 10~6 (в зависимости от Q).
При этом температура слабононизованного газа следует за темпе-
температурой излучения (благодаря обмену энергией при комптонов-
ском рассеянии) вплоть до z~150, Г~400 °К. В последующем теп-
теплообмен становится слишком слабым, газ остывает адиабатически,
400
Г~A +z)£, что даст к сегодняшнему дню г = 0, Т„ = пр = 2 • 10~£ °К.
Эта идеализированная картина сильнейшим образом отличается
от действительности. Значительная часть газа в действительности
превращается в галактики, звезды, квазары и т. п. плотные тела.
Оставшийся газ нагревается и ионизуется. Ионизованный газ при
этом уже не находится в равновесии с реликтовым излучением,
температура которого низка.
В данном параграфе рассматриваются процессы, ведущие к
охлаждению плазмы, находящейся в поле более холодного излу-
излучения, и находится энергия, необходимая для поддержания
плазмы при высокой температуре.
В частности, при каждой заданной температуре плазмы под-
считывается соответствующая стационарная степень ионизации
газа. Формула Саха в данном случае неприменима, ионизация
происходит за счет электронных ударов, а рекомбинация — с
испусканием фотонов. Для 10ь<Т<.ЮвСК степень ионизации не
зависит от плотности и описывается формулой Эльверта
HI Ополн ~
Аналогичные формулы имеют место для Не II и Не III (с заменой
158 000 на 286 000 и 632 000 соответственно).
Эта формула дает практически полную ионизацию водорода
при 106 и 10е СК, но малую (~10~s) ионизацию при 10* СК, в отличне
от формулы Саха.
Главными процессами в полностью ионизованной нереляти-
нерелятивистской плазме D000 °К<Т<10в °К), взаимодействующей с мяг-
мягкими фотонами (/iv<0,l Мае), являются:
1) тормозное излучение и поглощение;
2) комптоновское рассеяние излучения;
3) рекомбинационное излучение и фотоионизация.
Скорость излучения энергии тормозными процессами e~-\-Z-+-
e~+2+ характеризуется дифференциальным сечением

?32 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА 1ГЛ. 8
излучения фотона в интервале энергии Е, E-\-dE:
где g (Е)=1 для£ > ^ДУ . g (£) = 0 для £>£„,
для
Здесь £0 — энергия электрона, Z — заряд ядра. Число фотонов,
рождающихся в единицу времени, пропорционально интегралу
\-ЦгйЕ, который расходится из-за излучения множества
мягких фотонов, возникающих при прохождении электрона вдалеке
от протона. Однако в энергетический баланс входит среднее се-
сечение, определяемое иной формулой. Больший смысл имеет ве-
величина
к*- (8-3.2)
Эта величина а определяет скорость потери энергии электронов
с данной начальной энергией Е„. Для максвелловского распреде-
распределения электронов и однозарядных ионов (протонов)
•§■ = — пепрот£0= 1,43-10-гУТпепрэрг/см3-сек, (8.3.3)
где g«0,8, v — скорость.
Введем характерное время г потери энергии при тормозном
1свободно-свободном (free-free по-английски)] излучении:
b==3S-l011wceK- (8'3-4)
Выше мы рассматривали только тормозное излучение; такой расчет
относится к оптически тонкой плазме, т. е. к условиям, когда фо-
фотоны немедленно уходят из плазмы.
В противоположном случае, когда в рассматриваемом объеме
излучение находится в равновесии, соответствующем температуре
Ту, а электроны холодные, преобладает тормозное поглощение,
влектроны нагреваются. Очевидно, что при равенстве температуры
электронов и излучения имеет место равновесие и обмен энергией
прекращается. С учетом тормозного поглощения приблизительно
i^=^^, (8.3.5)
причем е выражение Тц входит именно Те, а не Ту.

J 31 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ИЗЛУЧЕНИЯ 233
Перейдем к рассмотрению другого процесса, существенного
при наличии фотонов. Комптоновское рассеяние фотонов имеет
сечение, не зависящее от частоты (томсоновское сечение в нереля-
нерелятивистском пределе):
Угловая зависимость — слабая и симметричная F — угол рассея-
рассеяния, Q — телесный угол):
jdQ. (8.3.7)
Рассмотрим среднюю силу, действующую на покоящийся эле-
электрон в неизотропном поле излучения, т. е. с интенсивностью, за-
зависящей от направления.
Излучение с направлением п несет в этом направлении поток
энергии Фя и поток количества движения Фп/с. Величина Ф имеет
размерность эрг/см2-сек.
Рассеянное излучение, в силу симметрии закона рассеяния,
имеет нулевое количество движения. Количество движения, отда-
отдаваемое в единицу времени электрону, т. е. сила, действующая на
электрон, есть /=Фяат/с. Переходя от отдельного пучка к рас-
распределению излучения по углам, получим *)
Это выражение можно сопоставить с выражением потока энер-
энергии в произвольном поле излучения
\ (8.3.8)
Следовательно,
/=<^**). (8.3.9)
Поставим теперь несколько иную задачу, характерную для
космологии: изотропное, равновесное, покоящееся в среднем из-
излучение (поток энергии равен нулю) заполняет пространство.
В этом пространстве движется электрон со скоростью и, |и|<^с.
Какая сила действует на электрон?
Сведем задачу к предыдущей, переходя в систему координат,
в которой электрон покоится.
*) При этом мы меняем обозначения, под интегралом Ф имеет размерность
врг/см2- сек- стер.
*) Ниже будет показано, что сила содержит также слагаемое, пропорцио-
пропорциональное квадрату потока излучения. Здесь рассматриваем малые а и этим эффек-
эффектом пренебрегаем.

234 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВА ИНАЯ ПЛАЗМА [ГЛ 8
Поток энергии в лоренц-преобразованной системе координат
равен q=—*/3ечи, где ev — плотность энергии излучения. Минус
означает, что в системе покоя электрона поток направлен навстречу
движению электрона в изотропном поле. Множитель V» появляется
потому, что к потоку энергии в собственном смысле вуи добав-
добавляется работа давления up = — и"з"еу
Этот множитель */8 появляется и при формальном лоренц-пре-
образовании тензора энергии-импульса Tik по правилам тензор-
тензорного анализа. Квадратом скорости и2/с2 при этом пренебрегаем.
Итак, средняя сила и соответствующее ускорение суть
Можно ввести время затухания скорости; удобнее, однако, умножив
обе части равенства на и, написать уравнение для кинетической
энергии электрона.
Электроны,'имеющие кинетическую энергию Е, теряют ее из-за
столкновений с фотонами со скоростью
dE _ „т йи _ 8 р^т! /о о 11ч
-5Г--ыте-зг--т£—. (8.3.11)
Здесь е — плотность энергии поля излучения.
Характерное время потери энергии из-за комптоновского рас-
рассеяния есть
|^ (8.3.12)
Закон убывания энергии, выписанный выше, неточен: энергия
электрона падает не до нуля, а до тепловой энергии, соответствую-
соответствующей равенству температуры электронов и температуры излучения.
Следовательно, точное уравнение имеет вид
dE 3/2kTy-E
~T = Т
[Ъ.6.16)
Физическая причина заключается в том, что в поле излучения
электрон испытывает хаотическую силу, увеличивающую его энер-
энергию при случайных актах рассеяния фотонов, наряду со средней
тормозящей силой. Простая формула (8.3.13) относится к электрону
в поле равновесного планковского излучения.
Наконец, роль третьего процесса (см. перечисление в начале
§ 3) —■ процесса рекомбинации и излучения линий велика при
низких температурах. При Г=104 °К излучение в рекомбинацион-
ном континууме и линиях приблизительно в 100 раз сильнее, чем
истинное тормозное.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ИЗЛУЧЕНИЯ
235
ТАБЛИЦА VIII
Характерные времена основных процессов в ионизованной
космологической плазме
еу, эрг/см3
1пе, см-3
t, сек
Гк
Г=10*°к{т/ь(т/ь(Н))
Чь (Чь (Н))
Uee
Ьп
Г = 10«°к{т/ь(т/ь(Н))
Чь (Чь (Н))
Uee
0
4-10-1»
6.10-»
4-10»
4-101»
2-10"
2-10" F-10")
4-10" G-10")
5 101°
4-101»
6-101»
8-10" B-10го)
2-1020(l,5-102i)
1,5-10ia
30
4-10-'
0.2
2,4-101*
4 10»
6-10"
7-1013B-1014)
1013B 10")
1,5-10»
4-10"
2-10"
3-10" (8-10")
7-10" E-10")
5-10'
1000
0,4
6-Ю3
1,3-10"
4-10'
2-10"
2-10» F-10»)
4 108G-10»)
50
4-10'
6-10"
8-101° B,5-10")
2-10" A,5-10")
1,5-103
Время обмена энергией между электронами дается формулой
(я1пЛ)-х; (8.3.14)
1п Л учитывает далекие столкновения [см. Спитцер A962)] и имеет
величину порядка 30.
Для примера сравним xtt, хк и тее при £2=1 и разных z; рас-
рассмотрено вещество, содержащее 30% Не4 по весу (табл. VIII).
При этом тк не зависит от Q, тогда как xff и тее обратно пропорцио-
пропорциональны Q.
В табл. VIII разные столбцы отвечают разным z. В первых трех
строчках приведены: ev— плотность энергии реликтового излу-
излучения, пе — плотность электронов для £2=1, Я„=75 км/сек-Мпс
и при полной ионизации, t — время от начала космологического
расширения. Далее приводятся характерные времена в секундах
Для различных значений температуры электронов Ге=10* и 10е °К.
Помимо тн, xff и тее приведены также характерные времена свободно-
связанных х^ и связанно-связанных хьь переходов. В скобках даны
соответствующие времена для чисто водородной (без гелия) плазмы.
Таблица показывает, что электронные столкновения наиболее
быстрые. Обмен энергией между электронами ведет к максвеллов-
скому распределению по энергиям отдельных электронов. Но эти
столкновения не меняют общей энергии электронов и, следова-

236 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 9
тельно, параметр максвелловского распределения — температура
электронов — определяется другими процессами. Потери энергии
были вычислены выше для того, чтобы дать порядок величины
времени релаксации электронов.
Обратно, по величине времени релаксации можно найти вели-
величину подкачки энергии, необходимую для поддержания высокой
температуры электронов (во много раз превышающей температуру
излучения):
Q эрг/см3 = evy~ = 3nkT(~-\—1--\—1-—|—l-—h-r
В эту формулу не входит тее, поскольку взаимодействие электронов
между собой перераспределяет их энергию, но не меняет ее. С дру-
другой стороны, введено lit (точнее, надо ввести 2Я, где Н — мгно:
венное значение хаббловской константы), так как космологическое
расширение также снижает температуру плазмы, поскольку оно
адиабатическое.
Итак, главным в каждом случае является тот процесс, для
которого т минимально. При отсутствии источников энергии тем-
температура плазмы падает не до нуля, а до температуры излучения Ту.
Для случаев, представленных в таблице, при этом произойдет
рекомбинация и изменятся все параметры. Однако вопрос о ста-
стационарной температуре электронов представляет принципиальный
интерес, особенно для более высокой температуры излучения.
Если поле излучения равновесное, планковское с температурой б,
то стационарная температура Гст тождественно равна 6.
В начале развития квантовой теории гиганты, подобные Эйн-
Эйнштейну, доказывали, что излучение как раз поддерживает нереля-
нерелятивистские частицы в броуновском движении с соответствующей
кинетической энергией *). Теперь мы считаем это само собой разу-
разумеющимся и интересуемся более сложной ситуацией: какова будет
электронная температура в произвольном (не планковском) поле
излучения? Ответ для тормозных процессов дается легко. Обозначим
спектральный объемный коэффициент излучения плазмы через
Q(v, Te). Определяя Q, предполагаем, что плазма оптически тонкая
н никакая радиация извне не приходит. Если теперь плазма на:
ходится в поле излучения, характеризуемого спектральной интен-
интенсивностью Fv (—=—— ] , то
v \см* ■ сек-cmep-гц j '
Г.) [l-т^-j.] rfv, (8.3.15)
*) Тем самым подтверждалась квантовая картина и наличие импульса у
фотона.

{ 3] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ИЗЛУЧЕНИЯ 237
где FpaBH (v. Te) — равновесный поток, соответствующий элект-
электронной температуре Те:
Fvam(y, 7ne)=^-(e"v/ftre_i)-i) (8.3.16)
и электронная температура определяется из условия — = 0.
Ясно, что если Fv=FvaSB(y, 6). то Ге=6, независимо от де-
детального вида Q, благодаря тому, что 1 }' =0 при Te=Q.
Если F=£FvaBll, ответ должен быть найден численно. Важно, что
/ ът \
на малых частотах FpaBH ~ v2, Q~lg(-^-jH, следовательно,
(ЪТ \
-г-), который велик на
малых частотах; значит, именно интенсивность на малых частотах
определяет электронную температуру. Проблема легко обобщается
на случай внешнего источника энергии (космические лучи, плазмен-
плазменные колебания), который должен быть расположен в правой части
rfe
уравнения для -тг.
В общем случае неравновесного F(v) тормозные процессы сами
по себе не должны вести к максвелловскому распределению элект-
электронов, но столкновения электронов друг с другом «максвеллизуют»
их. Проблема взаимодействия электронов с излучением из-за рас-
рассеяния (в пределе при низкой плотности пе) более сложна. Она
была рассмотрена Драйцером A964). Ответ для электронной тем-
температуры в неравновесном (но изотропном!) поле излучения был
дан полностью Пейро A968), Зельдовичем и Левичем A970). Она
имеет вид
2ftv3
Т* = Ж
с-
[ F (v) dv
(8.3.17)
Формула лучше выглядит, если вместо потока ввести число за-
заполнения фотонами фазового пространства:
Л2 [ n(v) [n (v) + l|v4rfv
£Ге=—^ ; . (8.3.18)
4h \ n (v) v3 dv
Знаменатель пропорционален е — общей плотности энергии из-
излучения, потому что он характеризует комптоновские потери
энергии у электрона. Интеграл в числителе — это скорость при-
приобретения энергии. Выражение для набора энергии появится еще
раз в следующем параграфе. Отметим необычную форму числителя.
Он содержит F2/v3. Следовательно, если F~v1,a<0,5, то интеграл

238 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА ГГЛ. 8
расходится; малый поток энергии на длинных волнах очень важен
для электронов, даже если этот поток пренебрежимо мал в полном
потоке энергии. Из второй формулы можно видеть, что на длинных
волнах (малых v) важен индуцированный комптон-эффект. Инду-
Индуцированные процессы появляются потому, что фотоны являются
бозе-частицами, и вероятность перехода в определенное состояние
зависит, как п+1, от числа п фотонов, которые уже есть в этом
состоянии *).
Классическая модель индуцированного рассеяния, нагреваю-
нагревающего электроны, состоит в том, что электромагнитная волна A)
заставляет электрон колебаться: mx = e^>1e'@/, х = — 1-^—^-Дру-
1-^—^-Другая волна B) действует на электрон с силой Лоренца бла-
благодаря своему магнитному полю: ' г м' л
Важно, что Ж\ — магнитное поле первой волны — имеет ту же
фазу, как и Si, так что х сдвинут на 90° по отношению к Жх,
lv, Ж\[=Ъ. В волнах с одним направлением распространения эффекта
нет. Нужно, чтобы вторая волна имела другое направление. В хао-
хаотическом поле квадраты отдельных толчков силы складываются,
так что чистый набор энергии пропорционален ©iffi2, что дает
для изотропного излучения F~(§*~3%2. Слагаемое с h исчезает при
классическом рассмотрении. Для планковского спектра снова
получается тождество Те=Ту. Важный вывод состоит в том, что
комптоновское рассеяние ведет к максвелловскому распределению
даже без электронных столкновений, е+е'=е"+е'". Очевидно,
что электронные столкновения ничему не повредят. Комптоновский
нагрев электронов важен не только в космологии, но также и для
поведения плазмы в окрестности квазаров и пульсаров [подроб-
[подробности см. у Левича и Сюняева A971)]; влияние индуцированного
комптоновского рассеяния на спектры радиоисточников рассмат-
рассматривается в работе Сюняева A971).
Из сравнения характерных времен тк, xff с космологическим
временем t (см. табл. VIII) мы видим, что комптоновское рассеяние
важно для электронов при z> 10. После этого момента электроны
уже практически не взаимодействуют с излучением; их температура
с этого времени и в настоящее время зависит от нагрева ударными
волнами и космическими лучами и охлаждения из-за адиабатиче-
адиабатического расширения, связанного с общим расширением Вселенной.
Последние процессы рассмотрены Гинзбургом и Озерным A965).
Характерное время адиабатического расширения есть tKoCM (оно
приведено в табл. VIII в третьей строчке). При малых г это время
наименьшее, что и означает, что процесс стал главным.
*) В равновесном нерелятивистском случае для планковского спектра и
? индуцированные процессы малы.

§ 4] ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ 239
§ 4. Влияние электронов на спектр излучения
Из предыдущего параграфа мы видим, что комптоновское рас-
рассеяние—наиболее важный процесс для электронов при z 1^1000,
как раз там, где плазма полностью ионизована. Очевидно, он также
важен и для фотонов.
В первом приближении рассеяние на покоящемся электроне
не меняет частоты фотона, но более точно v' (частота после рас-
рассеяния) немного меньше, чем v; среднее понижение частоты равно
= ——-j-. Ьсли же электрон движется вначале со скоростью
v, то эффект Доплера заставляет частоту рассеиваемого фотона
меняться в пределах -^—. Рассеяние на движущихся
электронах ведет к диффузии фотонов по оси частот. Принимая во
внимание точное распределение по углам и индуцированное рас-
рассеяние, можно получить следующее уравнение для спектра фотонов,
взаимодействующих с максвелловскими электронами (фотоны ха-
характеризуются числом заполнения n(v, t), т. е. распределение их
по направлениям предполагается изотропным):
дп-\ (84Л)
= 2!Ь__±^к{1) + кт
dt mec v2 dv [ v ■ ' ' e д\
Мы исследуем некоторые свойства этого уравнения, выведенного
Компанейцем A956) и Вейманом A965) и рассматриваемого в ряде
статей Зельдовича и Сюняева A969), Сюняева и Зельдовича A969,
19706, в), Илларионова, Сюняева A974 а, б). Уравнение можно пере-
писать в безразмерных переменных х =-rf— , dy = oTnem \ cat
[ниже предполагается, что Те не зависит от времени, обобщение
на Ге=Ге@ производится легко]:
Легко проверить, что планковское равновесное п, т. е. п= (е*'—I),
дает -^- = 0. Но то же самое будет и в случае бозе-эйнштейнов-
1
ского распределения: п= f;X-+i)./kT_l •
Другое достаточно очевидное свойство — это сохранение общего
числа фотонов:
^ 4^^ 0. (8.4.3)
Скорость изменения плотности энергии излучения дается формулой
h\3d^^h \3d^h2\ l+ lLdv,
\nv3dv—^ah2\ nln+ l)v4
(8.4.4)

240 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
где а=-£-. Увеличение энергии излучения в единице объема
равно энергии, отдаваемой электронами в этом объеме. Если элект-
электроны не имеют других источников энергии, то их температура ста-
Ар
ционарна, только если -^- = 0. Это нам снова дает формулу (8.3.18).
Кинетическое уравнение для распределения фотонов было на-
написано без учета расширения. Расширение учитывается заменой
~—+-§f+Hv-g^ (гДе Н — постоянная Хаббла), в левой части
уравнения. Без комптоновского рассеяния п сохраняется для «крас-
«краснеющей» при расширении частоты, -тг = — Hv. Простое преоб-
преобразование дает другой путь для учета расширения. Мы введем
идеальную температуру излучения, зависящую от времени по за-
закону красного смещения: Toy(t)=To(l+z), где То — сегодняшняя
температура, z=0, Тв=ТВу @)=2,7 °К. Определим х = -^—.
Уравнение для п(х, t) будет
дп _ cTnekToy(t) 1 д Г п Ге дпЛ (8 5
д( ш,с х* дхХ L ( + )+Tw дх\- К0-*-0)
Если Те=Тоу, тогда равновесное п= -^^Гу оказывается точным
решением, хотя п, как функция от v и t, зависит от времени потому,
что Т„у зависит от времени. Это решение самосогласованно, так как
Те=Т„у —■ это также решение для температуры электронов, если
никакой энергии в системе не выделяется.
Теперь мы обсудим вопрос о выделении энергии на разных
этапах.
§ Б. Раннее выделение энергии и квазиравновесие
Представим себе какие-то локальные мелкомасштабные возму-
возмущения идеальной, однородной, изотропной космологической модели
на стадии радиационно-доминированной плазмы. Примерами таких
возмущений могут быть акустические волны, распространяющиеся
по РД-плазме, или островки плазмы, состоящей из антивещества
и фотонов, окруженные нормальной плазмой из вещества и фотонов.
Эти возмущения исчезают: акустические волны затухают за счет
вязкости, антивещество аннигилирует. Исчезновение возмущений
сопровождается выделением энергии. Плотность энергии РД-
плазмы, т. е. величина ву, увеличивается.
В замкнутом теплонепроницаемом сосуде постоянного объема
конечный результат был бы очевиден. Возникло бы новое термоди-
термодинамическое равновесие, соответствующее новому, увеличенному
значению tv.

$6] РАННЕЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ И КВАЗИРАВНОВЕСИЕ 241
Однако в эволюционирующем, расширяющемся мире равнове-
равновесие может и не успеть установиться. В момент рекомбинации взаи-
взаимодействие излучения с электронами прекращается, между собой
фотоны практически не взаимодействуют, так что замораживается
т.о состояние излучения и тот спектр, которые получатся к моменту
рекомбинации. Принято говорить, что происходит закалка спектра.
Необходимо проследить последовательность изменения спектра
с течением времени после выделения энергии. В зависимости от
того, в какой момент произошло выделение энергии, момент за-
закалки спектра застанет излучение на той или иной стадии. Отметим,
что само по себе общее космологическое расширение меняет спектр,
оставляя его форму, т. е. оставляет неравновесный спектр неравно-
неравновесным. Подробно это было рассмотрено ранее (см. § 11 гл. 3).
Однако вследствие расширения время взаимодействия излучения
и электронов становится конечным. В теорию входят интегралы
вида J nedt, J njedt, J n*f (T)dt. Так как ne~/-'/., Te~/-V.
(см. § 2 гл. 6), значения этих интегралов зависят наиболее сильно
от нижнего предела интегрирования, т. е. от момента выделения
энергии (или соответствующего красного смещения z), а не от верх-
верхнего предела — момента рекомбинации.
Итак, рассмотрим последовательность событий во время и после
выделения энергии. Предполагаем, что до выделения энергии
спектр был равновесным.
Конечным результатом аннигиляции являются быстрые элект-
электроны. Рассеяние равновесного излучения на таких электронах
дает смещенный (чаще вверх, чем вниз, по температуре) планков-
ский спектр. Получающийся при этом результирующий спектр
можно представить как суперпозицию планковских спектров с
различными температурами:
(v, T)R(T)dT. (8.5.1)
где P(v, T) — истинно равновесный планковский спектр, соответ-
соответствующий температуре Т, R — взвешивающая функция [Зельдо-
[Зельдович, Илларионов, Сюияев A972)].
Рассмотрим акустические волны. В РД-плазме происходит
Движение, и градиент скорости не мал, на макроскопическом языке
вязкость плазмы вызывает затухание движения. С микроскопиче-
микроскопической точки зрения наблюдатель, «оседлавший» какой-нибудь элект-
электрон плазмы, «видит» в различных направлениях излучение с раз-
различным — синим или красным — смещением, т. е. видит излучение
разной температуры.
Рассеяние на электронах перемешивает излучение, приходящее
под разными углами.
После затухания макроскопического движения излучение ста-
становится изотропным, спектр его не зависит от направления. Однако

242 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА 1ГЛ. 8
этот спектр оказывается не равновесным, а снова описывается
суперпозицией планковских спектров [см. формулу (8.5.1)].
Такой вид спектра является универсальным для первой стадии
после выделения энергии. Время; необходимое для получения
такого спектра, есть время, необходимое для томсоновского рас-
рассеяния, порядка xve =■ , поскольку каждый акт рас-
рассеяния меняет направление фотона в среднем на л/2, уменьшает
анизотропию вдвое.
Мы полагаем, что до выделения энергии было планковское рас-
распределение с температурой 7\. Это соответствует формально
/?(Т) = 6(Т — Т,), т. е.
При выделении энергии сохраняется плотность фотонов
N ~alT3R(T)dT, (8.5.2)
где
а также сохраняется величина
Плотность энергии выражается величиной
, a = ^(|L^-. (8.5.4)
Спектральная плотность энергии излучения в области низкой
частоты дается формулой Рэлея — Джинса:
^ (8.5.5)
Можно показать, что при сохранении N и J R (T)dT увели-
увеличение ev сопровождается понижением 7\,.-дж: выделение энергии
сопровождается перекачкой фотонов из низкочастотной в высоко-
высокочастотную область. При этом, если
то
(8.5.6)

S 81
РАННЕЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ И КВАЗИРАВНОВЕСИЕ
243
здесь б — относительная величина выделившейся энергии. Полу-
Получающийся спектр показан на рис. 36 пунктиром. Сплошная линия
представляет собой планковский спектр, соответствующий Тх,
приведенный для сравнения.
С учетом расширения в формулы вместо 7\ нужно подставить
Tl j"Z , т. е. ту температуру, которая к данному моменту (дан-
ному z) получилась бы в невоз-
невозмущенном случае.
Изменение спектра, показан-
показанное на рис. 36, очень трудно
обнаружить — для этого необ-
необходимы точные измерения в двух
областях — рэлей-джинсовской
(hv<CkT) и вблизи максимума
(hv>-2kT). Однако дальнейшие
процессы, происходящие в РД-
плазме, дают гораздо более яр-
яркие изменения спектра.
Дело в том, что пунктирный
спектр не является термодина-
термодинамически равновесным. Электро-
Электроны, входящие в состав РД-
плазмы, чувствуют эту нерав-
неравновесность лучше, чем наши
спектральные приборы. По фор-
формулам предыдущего параграфа
10
0.1 А, см
Рис. 36. Эволюция во времени 0</1</2
спектра излучения (вначале, при <=0,
спектр был суперпозицией плаиковских
функций) за счет тормозного излуче-
излучения плазмы с температурой Те>Тргаж,
Для сравнения приведен планковский
спектр излучения с температурой Тх
до выделения энергии.
можно рассчитать ту температу-
температуру, которую приобретут элек-
электроны, взаимодействующие с
излучением, спектр которого задан суперпозицией планковских
функций.
В хорошем приближении
\ T*R
AT
(8.5.7)
Расчет дает (для малого б)
(8.5.8)
Электроны горячее, чем низкочастотное излучение (левее звез-
звездочки на рис. 36), и холоднее, чем высокочастотное излучение.
Яркостная температура излучения вдоль пунктирной кривой не
постоянна, она растет вправо. Происходят два тина процессов:

244
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ. 8
«Г
\
а) тормозные; б) изменение частоты при рассеянии. Тормозное
испускание и поглощение в РД-плазме интегрально (по всему
спектру) мало, однако в области низких частот его роль возрастает.
В самом деле, спектр тормозного излучения плоский (не зависит
отг),а рэлей-джинсовский спектр
Fv~v*, поэтому время достиже-
достижения равновесия пропорциональ-
пропорционально v2. Всегда есть такая область
v<v', в которой достигается
равновесие, соответствующее Те,
это v растет с течением времени.
На рис. 36 схематически пока-
показана эволюция спектра за счет
тормозных процессов. Возникает
вторая рэлей-джинсовская об-
область при v<v'2. Ступенька, на
которой происходит переход, с
течением времени передвигается
вправо (от vj к Vg). Малость
тормозного излучения прояв-
проявляется в том, что v' никогда
не достигает максимума план-
ковской кривой, всегда hx'<^JiT.
Всегда остается существенная
область спектра, в которой рас-
рассеяние, с учетом изменения ча-
частоты фотонов (а не тормозные
процессы), является главным.
В предельном случае, полно-
полностью пренебрегая тормозными
процессами, поставим задачу о
равновесном спектре излучения
при фиксированной плотности
фотонов. Ответ дается обобщен-
обобщенной формулой Бозе — Эйнштей-
to45
ff
//'
to46
г
-
///
i
//I
/I
/I
///
i
{',
\'г
i i i i
ПО W f 0,f Л,а
Рнс. 37. «Замывание» бозе-эйнштейнов-
ских искажений спектра излучения
вследствие совместного действия комп-
тоновских и тормозных процессов.
Химический потенциал излучения па-
падает вдоль последовательности кривых
а-*б-*в (Цо>Н-<>>Н-в)- Кривая в соот-
соответствует конечному планковскому
равновесному спектру. Кривая г —
бозе-эйнштейновский спектр, построен-
построенный с учетом только комптоновских
процессов и соответствующий тому же
химическому потенциалу, что и кри-
кривая а.
на с положительным химическим потенциалом:
п= ехр
(8.5.9)
Легко убедиться, подставляя это п в уравнение (8.4.1), что -^- = 0,
т. е. действительно достигнуто равновесие по процессам рассеяния.
Спектр (8.5.9) весьма сильно отличается от планковского в области
hv<.\i, асимптотически Fv=const•vs(e^lzT—I) вместо Fv ~va
т. е. меняется степень v. Спектр (8.5.9) показан на рис. 37, кривая г.

S 51 РАННЕЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ И КВАЗИРАВНОВЕСИЕ 245
Величину \i легко выразить через выделение энергии. Интег-
Интегрируя по спектру, найдем
W = const-Т3( 1—1,37^), )
) "{ (8.5.10)
е = const-TM1— 1,11 ij J
Отсюда при N=const=Nlt e^=ev(l+6) получим
7 = 7,A + 0,646), \
|х = 1.4*Г,6. ] (8.5.11)
В действительности на спектр влияют оба механизма одновре-
одновременно: и тормозное излучение, и перераспределение фотонов при
рассеянии. В результате получается спектр, показанный на рис. 37
(кривая а), со своеобразным провалом выше определенной частоты vc.
При меньшей частоте имеет место равновесие, поддерживаемое
тормозным излучением и поглощением. В переходной области
v ~ vc фотоны диффундируют в сторону повышения частоты. При
v>vc имеет место бозе-эйнштейновское равновесие с химическим
потенциалом. С течением времени в период, когда выделение энер-
энергии прекратилось, происходит уменьшение химического потенциала
вследствие притока в область v>vc фотонов, рожденных с частотой
v <C vc. При этом сама величина vc практически остается постоянной.
Уменьшается глубина провала, т. е. происходит «замывание» ис-
искажений спектра (рис. 37, кривая б), и спектр приближается к
истинно равновесному планковскому (кривая в) с новой энергией
и температурой:
(£) (8.5.12)
Подробный расчет всех деталей изложен в работах Сюняева, Зель-
Зельдовича A9706), Илларионова, Сюняева A974 а, б).
Здесь ограничимся результатами.
1) Наибольшие искажения в спектре приходятся на область
h\<ckT, т. е. на рэлей-джинсовскую часть спектра; соответствую-
соответствующая длина волны слабо зависит от момента выделения энергии
и от количества выделившейся энергии беу и определяется плот-
плотностью электронов, т. е. выражается через Q, A,m=2,5Q~7/» см:
Кт = 2,5 см при Q=l; 11Л = 8,5 см при fi = 7« (8.5.13)
(Q отнесено к Н=7Ъ км/сек-Мпс).
2) Чувствительность спектра к вьщелению энергии существенно
зависит от момента выделения. Максимальная чувствительность
весьма велика: чтобы получить безразмерное отклонение а от
рэлей-джинсовского закона при К=Кт, нужно, чтобы химический

246 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ 8
потенциал составлял ^=l,7aftvm, где vm=c/A,m. При этом безраз-
безразмерное выделение энергии 6 (отнесенное к плотности энергии е^
в момент выделения)
5 a, (8.5.14)
т. е. 6=0,25а при Q=l или 0,013а при Q=l/«-
3) В настоящее время наблюдения не обнаруживают отклонений
от рэлей-джинсовского закона в длинноволновой части спектра.
Консервативная оценка точности измерений дает a <C 0,1, что соот-
соответствует 6<0,025 при 0=1, б<10~3при п=114ъ.Эти ограничения
весьма сильны и существенно влияют на выбор возможных типов
возмущений и спектра возмущений однородной изотропной Все-
Вселенной.
4) Наиболее «опасным», дающим наибольшие изменения спектра
а при данном выделении энергии 6, является период с z в пределах
2,7-104Q-1/«<z<i,2.10BQ-'/', т. е.
2,7-1С <z< 1,2.10* для 0=1, 1
l,8-106<z< 1,2-Ю7 для О = »/„. ) (O-5.15)
При более позднем выделении энергии время эволюции спектра
недостаточно для выработки отклонений от рэлей-джинсовского
закона. Позднее выделение энергии (в частности, после периода
РД-плазмы, т. е. после рекомбинации) специально рассматривается
в следующем параграфе.
Более раннее выделение энергии при z больше указанного выше
приводит к тому, что успевает произойти некоторое «замывание»
отклонений.
Илларионов и Сюняев A9746) показали, что при наблюдаемых
параметрах Вселенной не успевают существенно уменьшиться даже
искажения, возникшие при z«108.
5) При большом выделении энергии «замывание» происходит
медленно. Количество фотонов, которое должно поставить тормоз-
тормозное излучение для восстановления истинного равновесия, пропор-
пропорционально б, скорость излучения слабо зависит от б. Время уста-
установления равновесия пропорционально б/бт1п, где бт1п— мини-
минимальное б, различимое при наблюдении, а не In 6/бт1п, как это
было бы в линейной теории.
При 6~1 отклонения в спектре, соответствующие а~0,1, могут
быть замечены вплоть до z~107O~*. Это дает z=107 для 0=1,
z=1010 для О=0,2. Но при z=108 уже количество электрон-позит-
ронных пар во много раз превышает современное количество элект-
электронов в единице сопутствующего объема. Поэтому реально макси-
максимальное z достигает 108 при О=0,7 и не растет при дальнейшем
уменьшении О.

S в] ПОЗДНЕЕ ЭНЕРГОВЫДЕ ЛЕНИН 247
ПРИЛОЖЕНИЕ К 9 8
Когда возникло реликтовое излучение?
Подробное исследование эволюции спектра приводит к выводам, важным
для теории горячей Вселенной. Впервые получен ответ на простой вопрос:
когда возникло равновесное реликтовое излучение? Из приведенных чисел
следует, что равновесное излучение уже существовало при г больше 107—108
(для Двух вариантов Q), иначе при сильном отклонении от равновесия оно
не было бы равновесным сегодня.
Из теории однородной Вселенной вытекает, что были периоды, когда
энергия из других форм превращалась в излучение. Наиболее поздний мо-
меит такого рода связан с аннигиляцией электронов и позитронов. Можно
ли надеяться на обнаружение отклонений в спектре, связанных с этим
периодом?
Выделение энергии велико: в интервале от T = mec3 до Г = 0,1тес2 (соот-
(соответственно 2-10е > г > 2-10е) аннигиляция более чем удваивает энергию
излучения. Затем энерговыделеиие быстро падает и составляет 6 = 3-10—а
в интервале 2-10* >г > 108, далее 6 = 2-10-7 для 108>г>5-10' и 6=10-24
для всего остающегося интервала 5-Ю7 > г.
Однако большие значения 6 не могут быть обнаружены ни при каком Q
именно потому, что избыточные электроны и позитроны участвуют в «замы-
«замывании» спектра.
Выделение энергии при ядерных реакциях (образовании Не4) происходит
в момент t ~ 100 сек, Т ~ 100 кзв, г~4-108. Энергия порядка 28 Мэв иа
ядро Не4 в пересчете иа один нуклон, с учетом образования 30% Не4, даст
около 3 Мэв, что соответствует весьма малому б~3-10-7Й.
С учетом того, что в этот момент еще остаются позитроны и электроны,
выделение ядерной энергии не может дать заметного искажения сегодняшнего
спектра.
§ 6. Позднее энерговыделение
Этот случай был рассмотрен в уже цитированной работе Зель-
Зельдовича и Сюняева A969). Если энергия выделяется на поздней
стадии, уже после рекомбинации, тогда снова происходит иониза-
ионизация. Температура электронов возрастает до величины определенно
большей, чем 104 °К. Температура излучения падает от 4000 °К
в начале рекомбинации до современных 2,7 °К- Для поздней стадии
характерно, что Те^>Tv (вместо Те—ТУ<^ТУ в § 5). В основном
уравнении (8.4.5) остается член, умноженный на Те/Тву, а другой
п{п-\-\), отбрасывается из-за малости. И, наконец, мы получаем
линейное уравнение *)
дп _ о^кТе 1 д 4 дп /R к и
Введем снова (см. стр. 239) безразмерную величину у такую, что
*) Здесь х отнесено к начальной температуре излучения или, с учетом рас-
расширения,— к T0(l-fz); при этом То определяется как температура излучения се-
сегодня, если бы не было эиерговыделеиия. Таким образом, мы допускаем, что
7"?Ь270К

248 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
где drT=aTnec dt, тт — оптическая толща. После интегрирования
будет
t
J^dT- тх = тх(О, (8-6.2)
где в момент tx температура электронов увеличивается из-за вы-
выделения энергии; уравнение неприменимо, когда ТежТу.
Сегодняшний спектр (при t=tB) зависит только от величины у0,
получающейся от интегрирования до t=tB. Различные функции
Te(t) дают тот же самый конечный спектр, если для них одинаковы
величины у0. Эта зависимость от одного параметра делает пред-
предсказание более уверенным и облегчает сравнение с наблюдениями.
Мы интересуемся в первую очередь современным спектром, соот-
соответствующим у0; дальше в тексте опускаем нулевой индекс у у0.
Решение уравнения (8.6.1) имеет вид
П?. (8.6.3)
I л.. Г
О
Основные свойства решения:
N = [ п (х, y)x2dx = \n (x, 0) х2 dx = const,
. . } (8.6.4)
е =\п(х, у)х3dx = eiy \ п(х, 0)x3dx = е0е4->\
Решение (8.6.3) громоздко; в последующем мы предполагаем
равновесный начальный спектр п(х, 0)= (е*—I), пренебрегая
случаем, когда энергия выделяется и позже и раньше. Для х<^.1
п(х, 0)= —. Положив п=—^-, получаем } = е~аУ, так что
Условие х<^1 справедливо для длинноволновой части спектра.
Если п(х, у)<1 п(х, 0), это значит, что наблюдатели измеряют ве-
величину температуры более низкую:
Мы уже знаем, что Тр..дЖ=2,7 °К. Следовательно, для того чтобы
сравнить теорию с наблюдениями, нам нужно для любого выбран-
выбранного у взять соответственно температуру ТВу=Тт,..аже2У=2,7 °К-е^.
На рис. 38 показаны кривые для некоторых величин у; все они
соответствуют 71Р..ДЖ=2,7 °К. Для у=0 кривая является равновес-
равновесной планковской, другие кривые совпадают на левом конце, чо
идут выше, чем планковская, на коротких волнах. Общая

6]
ПОЗДНЕЕ ЭНЕРГОВЫДЕЛЕНИЕ
249
плотность энергии дается выражением
ev = O7V1* --= оТ;..лже12У = 4-10 ~13е1*У эрг/см3. (8.6.6)
Выделение энергии равняется
е,-^ = оТр*.дж(е^-е^). (8.6.7)
На один грамм вещества это дает
Ае =4'1°~I130(!~c8J') = 4- lQ^Q-1 (ею—е*У) эрг/г. (8.6.8)
Но энергия излучения на единицу массы уменьшается при
10-
1 0,1 0,01
Я, с»
Рис. 38. Возможные искажения спектра реликтового излучеиия при комптон-
эффекте иа горячих электронах. На кривую реликтового излучеиия иаиесены су-
существующие эксперимеитальиые точки.
расширении, как 1+2. Следовательно, энергия, выделенная
веществом и отнесенная к единице массы, равна
бе = 4 • 101Вй~1 A + z) (е™У — е8>) эрг/г,
(8.6.9)

250 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. ■
где z — красное смещение, при котором происходит выделение
энергии и обмен энергией между электронами и фотонами. Опти-
Оптическая толща тт дается выражением (а — отношение плотности
ионизованного газа к общей плотности)
dxT = oTnec At = °'05уЛ±_г)аг « 0,05Q'/.zv. Аг. (8.6.10)
Последняя формула справедлива для о=1, z>Q~1. Температура
газа ограничивается, Ге<10вA+г) °К, данными по рентгеновскому
фону (см. § 2 гл. 5). Взяв верхний предел, мы получаем dy=0,7x
# = 3.10-«Qx/.z%. (8.6.11)
Таким образом, в принципе, подставляя Q=l и z=1000, можно
получить и очень большое у=Ю0, не вступая в противоречие с
рентгеновскими измерениями. В действительности величина у
ограничена с одной стороны запасом энергии вещества, с другой —
измерениями РИ. Подставим в (8.6.9) 6е, = 101в эрг/г, что соответ-
соответствует ядерной энергии, и бе2=1021 эрг/г, что соответствует полной
энергии покоя вещества, и решим совместно (8.6.9) и (8.6.11) при
Q=l. Получим Zi=75, j/i=0,16, eia^=7 в первом случае и z2=112,
#2=0,4, е12^=125 во втором случае. Таковы максимальные зна-
значения у (от которого зависит искажение спектра) и увеличения
общей энергии РИ, допустимые по закону сохранения энергии,
в предположении полного сгорания водорода или аннигиляции
вещества и антивещества в количестве, равном количеству остав-
оставшегося вещества.
Перед обсуждением экспериментальных данных об искажении
спектра РИ изложим изящный способ описания спектра излучения,
получающегося в результате такого искажения.
Нетрудно убедиться, что решение уравнения (8.6.1) при на-
начальном спектре по(х) можно записать в виде суперпозиции сме-
смещенных спектров того же вида:
п(х, 0 = $л,(-^)я(ф. t)AV. (8.6.12)
В частности, для начального планковского спектра получим
суперпозицию планковских спектров. Результат этот представ-
представляется естественным: изменение спектра происходит вследствие
рассеяния на электронах, имеющих большие тепловые скорости,
т. е., в сущности, вследствие доплер-эффекта, при котором план-
ковское распределение остается планковским, но меняется тем-
температура излучения.
Итак,
$ (у-) R (Т, у) AT, (8.6.13)

$ в] ПОЗДНЕЕ ЭНЕРГОВЫДЕЛЕНИЕ 251
где
Уравнение для R(T, у), эквивалентное уравнению (8.6.1),
имеет вид *)
dR —т-з д f* dTR (8 6 14}
Польза от перехода к уравнению для R заключается в том, что
упрощаются начальные условия: R(T, у=0)=8(Т—Тв). Функция
R обращается в нуль на обоих краях области: при Т=оо и Т=0.
Благодаря этому легко усмотреть два закона сохранения:
\T*R(T, у) dT = const, )
i \ (8.6.15)
)R(T, y)dT = const. J
Первый интеграл имеет очевидный смысл числа фотонов в единице
объема **). Сохранение второго интеграла означает, что не проис-
происходит дилюция («разбавление») равновесного излучения. Для п
соответствующий интеграл есть \ — dv, но такое выражение
расходится для планковского спектра; поэтому до рассмотрения
суперпозиций спектров второй интеграл не был известен. Для б-
образного начального условия нетрудно написать общее решение:
(8-616)
Легко убедиться в справедливости сделанных ранее выводов:
Р \ (8.6.17
е = \ T*R dT = Еве*У = const • Тр..лж
Вернемся к физическим следствиям нагрева электронов.
Другим следствием позднего выделения энергии и связанного
с ним нагрева электронов является тормозное излучение газа. Од-
Однако это излучение существенно зависит от того, как менялась со
временем температура электронов, и уже не определяется одним
только параметром у. При высокой температуре электронов в близ-
*) Оио получается подстановкой интеграла в уравнение (8.6.1) и многократ-
многократным интегрированием по частям.
**) С учетом общекосмологического расширения N = A + г)8 \ T3R dT сохра-
сохраняется число фотонов в единице сопутствующего объема.

252
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ 8
rr't
n-W
кое к нам время они дадут вклад в рентгеновский фон Вселенной.
Наблюдения фона дают ограничение Te<10e(l+z) °K. С другой
стороны, при температуре электронов, ненамного превышающей
температуру излучения после рекомбинации, когда плотность
велика (например, Ге=104
°К от z=1400 до z=300),
возникает тормозное излу-
излучение, которое к настоя-
настоящему времени сместится в
область длинных радиоволн
и в этой области исказит
рэлей-джинсовскую часть
спектра РИ.
Обратимся к наблюде-
наблюдениям РИ, результаты ко-
которых собраны в § 3 гл. 5.
В рэлей-джинсовской ча-
части, в области длин волн
60 еж — 0,5 см, отклонения
от Тр,-„ж=2,7 °К не пре-
превышают 5 или 10%.
Общая плотность излу-
излучения известна плохо. Не
подтвердились работы, в
которых получалось опре-
' деленное отклонение от
яг-
I
ют то юо ю / о/
Л,с» равновесного спектра. Од-
Рис. 39. Результирующий спектр реликтово- нако и та последняя работа
го излучения, искаженный комптоиовским
рассеянием (у«0,1) на горячих «лектроиах
плазмы и добавочным излучением, образо-
образованным в горячей плазме, температура ко-
которой поддерживается на постоянном уровне
в некотором интервале красных смещений:
а) Ге= 10» °К, 13Э4<2<1400; б) Ге=107°К,
1340<г<1400; в) Ге=10в°К, 700<z<1400; г)
106*К, 700 <г< 1400 (в последнем случае комп-
тоновские искажения малы и соответствуют
параметру j/wO.01); d) неискаженный план-
ковский спектр.
[Блейр и др. A971)], кото-
которая согласуется с равно-
равновесным спектром, дает
болометрическую темпера-
температуру 3,ltal5 °K; значит, не
исключена на верхнем пре-
пределе Т=3,6°К с плотностью
энергии в три раза больше
равновесной при Т=2,7 °К.
Если принять за истину
верхний предел, получим
З, #да0,1 .Соответствующее выделение энергии на грамм вещест-
вещества в настоящее время равно 4Q~40ie эрг/г. Для того чтобы получить
нужное у, при выделении энергии сразу после рекомбинации при
Q=0,4 нужно поддерживать Г= 108°Кв интервале 1400>г> 1394,
или 107 °К в интервале 1400 >z> 1340, или 10е °К в интервале
1400 >z> 700. Общие затраты энергии при этом меняются от одного
случая к другому мало, они составляют 1,4-1020 ирг/г, что в 14 раз

$ 6] ПОЗДНЕЕ ЭНЕРГОВЫДЕЛЕНИЕ 253
больше ядерной энергии или — при другом механизме — соот-
соответствует превращению в тепло кинетической энергии движения
со скоростью 1,2-1010 см/сек=0,4 с.
Однако перечисленные случаи дают различную интенсивность
длинноволнового излучения (рис. 39). Поэтому длительный, но сла-
слабый нагрев газа A06°К дог=700) противоречит наблюдательным дан-
данным *). Остается неисключенным вариант горячего газа(Г=107ОК,
1400>z> 1340 или Г=108°К, 1400>z> 1394) с#=0,1, в котором
энергия реликтового излучения почти наполовину приобретена
на поздней стадии при z<1400.
Не означает ли такой вариант замаскированного отказа от
горячей модели Вселенной? Не следует ли отсюда, что наблюда-
наблюдательные данные не доказывают первичного происхождения так
называемого реликтового излучения? Чтобы ответить на эти во-
вопросы, нужно уточнить понятие горячей Вселенной. В этом по-
понятии главное — утверждение, что был период термодинамиче-
термодинамического равновесия с высокой температурой или, точнее, с большой
безразмерной энтропией.
Но это утверждение уже доказано наблюдательными данными
в длинноволновой (рэлей-джинсовской) области спектра незави-
независимо от того, что дает уточнение общей плотности излучения при
болометрических измерениях в максимуме спектра.
Горячие электроны на поздней стадии могут изменить полную
энергию излучения, ио при этом они оставляют неизменной рэлей-
джинсовскую зависимость /7v~v2. Значит, до нагрева электронов
спектр был равновесным — Вселенная была горячей, что и требо-
требовалось доказать.
Измерения полной плотности излучения необходимы, точность
их нужно довести приблизительно до 10%. Эти измерения дадут
важные сведения об эволюции после z=1400, после общей реком-
рекомбинации. Болометрические измерения очень трудны, в настоящее
время приемники имеют широкий угол зрения.
В перспективе необычайно интересны одновременные измерения
на двух длинах волн, hv<CkTy и hv^3kTv, с хорошим угловым
разрешением — порядка 0,01 радиана или лучше. Такие изме-
измерения дают возможность отличить пространственную неоднород-
неоднородность температуры от искажений спектра.
При пространственной неоднородности флуктуации излучения
во всех областях спектра коррелированы — имеют одинаковый
знак в каждом элементе телесного угла. При искажении спектра
облаками горячих электронов происходит увеличение интенсив-
интенсивности коротких волн и снижение интенсивности длинных волн,
флуктуации антикоррелированы.
*) Принимая Q=l, получим более сильное юрмозиое излучение по сравне-
сравнению с Q=0.4.

254
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ. 8
До настоящего времени измерения ведутся только в области
длинных волн, и флуктуации не обнаружены, даются лишь верхние
границы —=- <-' 10~*. Это значит, что и в области коротких волн
нельзя рассчитывать на большие флуктуации, откуда видна труд-
трудность экспериментов. Косвенно данные по длинным волнам указы-
указывают на то, что отдача энергии от электронов излучению, по-види-
по-видимому, мала, меньше, чем предел, следующий из современных боло-
болометрических наблюдений.
§ 7. Излучение межгалактического газа и его плотность
Во введении было указано на практически полное отсутствие
нейтрального газа в межгалактической среде и на трудность ис-
исследования излучения горячего ионизованного межгалактического
газа*). Полное излучение такого газа в расчете на один электрон
как функция температуры дается на рис. 40. Одна кривая соответ-
соответствует чистому водороду, другая — 70% Н и 30% Не. Характерный
е, эрг-смг/сек
Рис. 40. Зависимость излучения энергии гелиево-водородиой плазмой от темпера-
температуры. По оси ординат отложено излучение энергии плазмой, содержащей 30% Не
по весу.
максимум при 2-10* °К возникает главным образом из-за эмис-
эмиссии линий водорода, максимум при Г~8-104 °К возникает из-за
эмиссии линии Не II (Я,=304 А). При температуре более вы-
высокой, чем этот максимум, большая часть энергии излучается
тормозным механизмом со спектром который приближенно
описывается выражением
Fv~e-hv'kTg(v).
(8.7.1)
*) Здесь, по «историческим» причинам, расчеты приводятся для #= 100 км/секХ
Хпс, рс=2- Ю-29 г/сл*. В конце параграфа мы обсудим, как меняются выводы,
если //=50 км/сеК'Мпс.

$ 71 ИЗЛУЧЕНИЕ МЕЖГАЛАКТИЧЕСКОГО ГАЗА 2Б5
При других плотностях излучение меняется пропорционально
р2гаэ. Подробные вычисления были проделаны Гоулдом, Рамсеем
A966), Вейманом A967), Дорошкевичем, Сюняевым A969).
Используем наблюдения далеких квазаров для того, чтобы
оценить возможное количество нейтрального водорода в межгалак-
межгалактическом газе. Если бы нейтральный водород присутствовал в за-
заметных количествах, то он давал бы поглощение в спектрах кваза-
квазаров, соответствующее линии Le. Так как поглощающие атомы рас-
расположены на всем пути от квазара к нам и имеют поэтому разную
хаббловскую скорость удаления, то из-за эффекта Доплера линия
поглощения в спектре растягивается в полосу. Достаточно иметь
плотность нейтральных атомов пн«10~10 см~а, чтобы квазары с
2 « 2 образовали полосу поглощения с ослаблением непрерывного
спектра в несколько раз. Отсутствие подобных полос в спектрах
квазаров *) дает верхний предел на п„, и если считать, что межга-
межгалактического газа много, то надо предполагать, что он имеет вы-
высокую температуру и поэтому ионизован.
Температура газа при 2« 2 должна быть высокой; чтобы объ-
объяснить отсутствие нейтрального водорода **), необходимо, чтобы
Т> 10е °К [Ганн, Петерсон A965)]. Рассмотрим энергетический
баланс. При г < 2 и Q < 1/„ охлаждение происходит главным образом
из-за адиабатического расширения, следовательно, даже без но-
нового выделения энергии
На рис. 41 показано, какой процесс дает главный вклад в ох-
охлаждение газа в зависимости от Т и 2.
С температурой, вычисленной выше, поток, образующийся в
газе сй«=1 и падающий на Галактику, дается на рис. 42. Вычис-
Вычисления сделаны Дорошкевичем и Сюняевым A969), см. Лонгейр
и Сюняев A971). Измерения Роуча и Смита A968), сделанные в
оптическом диапазоне, дают верхний предел на межгалактический
фон (<10~1в эрг/см2-сек-спгер-гц). Он включает в себя фон от нашей
Галактики и Солнечной системы (зодиакальный свет). Но даже ес-
если этот фон устранить, то фон от далеких галактик @,5<2<2),
*) В настоящее время наблюдаются квазары с г«3,5. Полссы поглоще-
поглощения в их спектрах ие обнаружены.
**) Грубая оценка может быть сделана по формуле Эльверта
"р kT f ! \
-— я 10е _ехр I —~рр I для ионизации ударом и рекомбинации с излучением.
Температура, которая нужна, может быть ниже, если часть ионизации происхо-
происходит из-за ультрафиолета, излучаемого гелием раньше, при ги2. В действитель-
действительности вычисления были сделаны из рассмотрения кинетики ионизации и реком-
рекомбинации и с более точными сечениями. При малой плотности газа существенную
роль может играть ионизация газа излучением, и вывод о высокой температуре
становится ие столь обязательным.

256
РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
[ГЛ 8
Расширение
Обратный
комптон-зфазеит
9,-1
I г з 5 /о го за so wo
Расширение
Обратный
комптон-э/р/рект
Рис. 41. На плоскости \gT, г указаны области, в которых потери энергии опреде-
определяются излучением плазмы. Кривые построены для двух значений Q. Видно, что
при больших г доминируют комптоновские потери.
-2D
Ч
и»-
\
\
' \
1 \l
•x
\
i
I
1
Ненаблюдаемый
ультрафиолет
^ 2
I
Ш
\
ют
юо
А,А
10
Рис. 42. Спектр излучеиия межгалактического газа. Данные наблюдений изобра-
изображены стрелками (верхние пределы потока) и отрезком вертикальной линии, ука-
указывающим пределы ошибок.

$ 7] ИЗЛУЧЕНИЕ МЕЖГАЛАКТИЧЕСКОГО ГАЗА 257
неразличимых в лучшие телескопы, все-таки даст много боль-
больше, чем межгалактический газ.
Следовательно, измерения должны быть сделаны не в оптиче-
оптическом, а в ультрафиолетовом диапазоне, где спектр звезд намного
слабее. Для этого нужно вывести приемник за пределы атмосферы,
что и сделал Курт; см. Курт, Сюняев A967а, б; 1970). Измерения
Курта были сделаны в интервале 1225—1350 А при помощи счет-
счетчиков на спутнике. В этом диапазоне фон много слабее. Эта
область спектра пропускается нейтральным водородом нашей Га-
Галактики. Эксперимент был выполнен с помощью ионизационных
счетчиков без антисовпадений, поэтому космические лучи давали
вклад в фон. Результат для ультрафиолетового потока
Fv< 101 эрг/см2-сек-стер-гц [Курт, Сюняев A967а, б; 1970)],
что соответствует £2газ< 4. Результат не очень значительный, но этот
метод можно улучшить. Косвенный подход [Сюняев A9696)] дает
более определенные результаты.
Дело в том, что наблюдение излучения атомарного водорода с
длиной волны 21 см дает распределение нейтрального водорода
внутри и вокруг галактик, включая и нашу. Известно, что гало Н I
часто простирается далеко от центра галактики и имеет очень малую
плотность (п~3-10—10"а cm~s). В некоторых случаях имеются
мосты между соседними галактиками, также тонкие и разреженные.
Сюняев отметил, что такой нейтральный водород очень чувстви-
чувствителен к ионизации ультрафиолетовым излучением (/iv>/). Поток
излучения должен быть достаточно слабым; для того чтобы уста-
установить верхнюю границу потока, нужно потребовать время суще-
существования водородного гало и облаков не меньше чем 107 лет, что
дает Fv< 103 эрг/см2-сек-стер-гц при v> I/h = 3-1016.
Вместе с вычислениями излучения межгалактического газа это
дает строгий предел на плотность межгалактического газа fi< 0,3—
— 0,2 @,3 для чистого Н, 0,2 для 70% Н и 30% Не).
Этот результат служил сильным аргументом в пользу открытой
модели Вселенной. Другие слагаемые плотности (галактики, из-
излучение, нейтрино и другие слабовзаимодействующие частицы)
дают вклад гораздо меньше единицы. Именно горячий, полностью
ионизованный межгалактический газ (точнее, газ между скопле-
скоплениями галактик) труднее всего поддается наблюдению.
Однако намечающееся снижение постоянной Хаббла, к сожа-
сожалению, делает этот результат менее определенным. При данном Qra3
плотность пропорциональна Н*, тормозное излучение единицы
объема ~р2~//4, эффективная длина, с которой приходит излуче-
излучение, порядка с/Н. Окончательно при заданной температуре излу-
излучение пропорционально ~£}п3Н3, значит, при данной измеренной
величине излучения величина Ц.аз~ //~8/«. Снижение Н в два
раза — со 100 км/сек-Мпс до 50 км/сек- Мпс—приводит к уве-
увеличению Qra3 в три раза, т. е. до 0,9 для чистого водорода или 0,6
Q
Я. В. Зельдович, И. Д. Новиков

258 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОБАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
для 70% Н+30% Не. Напомним, что мы имеем дело с верхними
пределами; уточнение наблюдений и теории может снизить эти
величины. Однако сегодня отличие 0,6 от 1 слишкоммало для того,
чтобы уверенно делать выводы об открытой модели Вселенной.
В этой связи отсылаем читателя к косвенным соображениям, свя-
связанным с рождением галактик и возмущениями однородности Все-
Вселенной (§ 6 гл. 9).
Вернемся к излучению газа. Рассмотрим газ, находящийся
внутри скоплений галактик. Этот газ, по-видимому, гравитацион-
гравитационно связан и лишь медленно и незначительно вытекает в простран-
пространство между скоплениями. К тому же аккреция компенсирует от-
отток газа.
Обозначим через пск плотность газа скоплений галактик, де-
деленную на общий объем пространства, приходящийся на каждое
скопление.
Измерения на 21 см показывают, что нейтральный водород
в скоплениях практически отсутствует; «н<10~7 см~я в скопле-
скоплениях соответствует средней пн~Ю~* cm~s, т.е. £2СК(Н 1)<10~4.
Обратимся к вопросу об ионизованном газе в скоплениях. Объ-
Объем внутри скопления, деленный на полный объем пространства
Вселенной, приходящийся на одно скопление, обозначим через а*.
По-видимому, приблизительно а*~10~2. Действительная плот-
плотность газа в скоплениях fi^a*). Излучение пропорционально
квадрату плотности ионизованного газа и занимаемому им объему,
(QCK(a*)-1Ja*=^lK(a*)-1.
Следовательно, общая плотность ионизованного газа, оцененная
по его излучению, даже меньше, если газ сконцентрирован в скоп-
скоплениях, чем если бы он был однородно распределен.
Возвращаясь к межгалактическому газу, мы должны рассмот-
рассмотреть случай, когда температура выше чем 107°К. В этом случае
излучение в видимой области и ультрафиолете уменьшается (~Т~Аеш),
но комптоновские потери на реликтовом излучении и рентгеновское
излучение увеличиваются.
Измерение рентгеновского фона дает Fv<5-10~27 эрг/см2-сек-
cmep-гц на Я~50 А [Бойер, Филд, Мах A968), Генри и др. A968),
Баннер и др. A969)]. Легко показать, что температура газа выше чем
106 (l-j-2) °K противоречит этим экспериментам. Чтобы быть точным,
коэффициент 106 дается для fira3= 1; при меньших Qra3 температура
может быть несколько выше. Зависимость оказывается слабой:
для больших hv /\~£23/«е~л 'kT, значит, для данного Fv темпера-
температура зависит логарифмически от Q.
Наблюдения со спутника «Ухуру» привели к обнаружению мощ-
мощного рентгеновского излучения от ряда скоплений галактик. Спектр
рентгеновского излучения, по-видимому, свидетельствует о том,
что оно рождается в оптически тонком горячем газе. Так, например,

$ 8] РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ ИОНИЗОВАННОГО ГАЗА 259
рентгеновские наблюдения скопления галактик Coma лучше всего
объясняются присутствием в этом скоплении горячего, Т~ 108 °К,
межгалактического газа с плотностью порядка 10~3 см~3. При этом
полная масса газа в скоплении превышает суммарную массу галак-
галактик, входящих в скопление, но в несколько раз меньше вириаль-
ной, т. е. недостаточна для стабилизации скопления. Дисперсия
скоростей галактик в этом скоплении составляет ~1500 км/сек.
Отметим, что это значение соответствует (у2/2~/г77тр) наблюдаемой
температуре газа в скоплении СГ~108СК). Следовательно, можно
представить себе, что движение газа со скоростью галактик в общем
гравитационном поле скопления при столкновении газовых облаков
как раз и дает наблюдаемую температуру.
Отметим также, что в радиодиапазоне излучение горячего газа
очень мало. Гораздо более сильны комптоновские искажения спектра
реликтового излучения при взаимодействии его с горячим газом
в скоплении. Средняя энергия фотонов при этом повышается,
рэлей-джинсовская температура излучения падает. Соответственно
при наблюдениях в сантиметровом диапазоне длин волн реликтовое
излучение в направлении на скопление галактик с горячим газом
должно иметь яркостную температуру ниже, чем в других направ-
направлениях:
где / — размер скопления [Сюняев, Зельдович A970а; 19726)].
По-видимому, этот эффект наблюден Парийским A972).
§ 8. Радиоизлучение ионизованного межгалактического газа
и период нейтрального водорода
В § 2 мы рассчитали процесс рекомбинации. Если отсутствуют
источники энергии, то после рекомбинации начинается период
нейтрального водорода. Он будет продолжаться до тех пор, пока уже
в эпоху, близкую к нашей, источники энергии, связанные с возни-
возникающими объектами, ионизуют газ. Мы будем обозначать красное
смещение, соответствующее моменту ионизации нейтрального газа
какими-либо процессами, через 2ИОН, а рекомбинации — 2рек.
Однако картина может быть более сложной. В §§ 5, 6 рассматрива-
рассматривалась картина межгалактического газа и выделение энергии. Воз-
Возникает вопрос о том, будет ли это выделение энергии мешать ре-
рекомбинации. Наши знания о ранних процессах, в которых может
выделяться энергия, недостаточны. Вопрос об энергетическом
балансе газа, о его рекомбинации и ионизации, тесно связан с тео-
теорией возникновения современной структуры — галактик, их скоп-
скоплений и т. д.; см. об этом следующий раздел. В так называемой
теории адиабатических или энтропийных возмущений, растущих
вследствие гравитационной неустойчивости, возмущения (см. §§ 2, 8

260 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА ГЛ. 8
гл. 14) в момент рекомбинации весьма малы, 6р/р~ 10~3—10~4.
Такие возмущения плотности и соответствующая им скорость дви-
движения приводят к образованию ударных волн и ионизации газа
при 2<10. В момент рекомбинации эти возмущения никак не на-
нарушают картину эволюции однородной плазмы, развитую выше.
В вихревой теории начальные скорости значительны, порядка
0,1—0,01 с, столкновения сверхзвуковых потоков и ионизация
газа происходят не позже, чем при 2~100 (см. § 9 гл. 14).
Наконец, в зарядово-симметричных теориях выделение энергии
при аннигиляции может полностью предотвратить рекомбинацию.
Весьма важно найти все следствия тех или иных предположений
о фактическом ходе рекомбинации. В этой связи радиоизлучение
ионизованного газа крайне важно [Сюняев A968)]. Было упомянуто
(см. § 5), что тормозное излучение имеет плоский спектр в области
частот v < kT/h а общая мощность ~ У Т.
Радиоизлучение на низких частотах пропорционально Т'1'';
следовательно, если кто-то захочет исследовать все возможные
области температуры газа, то нижний предел температуры будет
даваться сравнением вычисленного радиоизлучения с наблюде-
наблюдениями. Верхний предел температуры может быть найден из рентге-
рентгеновского излучения газа или из вычислений энергии, которая тре-
требуется для того, чтобы компенсировать тепловые потери.
Наиболее подходящие для исследований длины волн находятся
из условия минимума интенсивности суммы реликтового излучения
и излучения всех дискретных источников. Пересечение графиков
спектров РИ и дискретных источников имеет место при Я~50 см;
при этом значении К поток с плоским спектром в наблюдениях
незаметен, и потому из наблюдений можно дать верхний предел
Fff< 10-19 эрг/см2-сек-стер-гц (8.8.1)
для тормозного излучения, обозначаемого индексами ff (free-free).
Более тщательно проводя измерения, выбирая направления, где
источников нет, можно значительно увеличить длину волны и сни-
снизить соответствующий предел F^f6n. Прямые вычисления дают *)
Ftt= 5- 10-20Q2
о
< fva6". (8.8.2)
*) Мы применяем формулу для интегрального поля излучения, даваемого
одиородио распределенными эволюционирующими источниками. Излучательиая
способность единицы сопутствующего объёма горячего газа (см. § 3 этой главы)
e//(v)=5,44-10-39 gT'J' exp(—hv/kTe)n2e эрг/см2-сек-стер-гц; Q отнесено к Н=
= 100 км/сек-Мпс, определение g дано иа стр. 232. Спектр излучения в радио-
области считаем плоским, Fff не зависит от у при малых у.

$ 8] РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ ИОНИЗОВАННОГО ГАЗА 261
Взятое само по себе это условие может выполняться и при z(=zr=
= 1400, т. е. согласуется и с отсутствием рекомбинации, так как
этот интеграл может быть сделан сколь угодно малым при увели-
увеличении Т (г). Действительно, это условие выполняется, если z,-=l400
и й=1, T,=6-108°K=const или если fi=V40, 71I-=104°K=const.
Мы предполагаем, что при больших г, которые наиболее важ-
важны в интеграле, большая часть материи находится в виде газа,
"газ ~ £«•
Но есть и другие условия, которые противоречат высокой тем-
температуре. Одно из них: энергетические потери газа (при компто-
новском взаимодействии с реликтовым излучением, см. § 3) не могут
превышать запас полной ядерной энергии вещества W эрг/г. Это
условие дает
e(z)dz < IO-*W. (8.8.3)
Условие (8.8.3) слабо зависит от Q. Есть и другое условие, ограничи-
ограничивающее высокую температуру газа: искажения реликтового спектра,
характеризуемые параметром у (§ 6), не должны превышать опре-
определенного предела. Основываясь на результатах Блейра и др. A971),
можно взять */<0,1 (см. § 6 этой главы). Неопределенность экспе-
экспериментальных данных слабо влияет на конечные результаты. После
подстановки численных величин условие принимает вид
Q Г ,1 + г Т. (г) dz < 9 • 1010#. (8.8.4)
1 /1 ■ е~\ С \ / »/ * '
Эта формула основывается на наблюдениях и не использует апри-
априорных предположений, в отличие от предыдущего условия (8.8.3).
При составлении условий (8.8.2)—(8.8.4) мы предполагали
Т^>ТГ; эти формулы верны только для периода, когда 2<1500,
Ге>4000°К (газ ионизован). Если же 4000>Ге>71г, то газ
состоит главным образом из нейтральных атомов. Поставим
теперь математический вопрос: как лучше всего использовать два
неравенства типа
\T;4'(z)f{z)dz<a,
(8.8.5)
\Te(z)g{z)dz<b
для определения максимума г{, совместимого с обоими этими усло-
условиями? Функции fug известны из теории, а и b даны наблюдениями,

262 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
2/ дает момент вторичной ионизации газа (газ нейтрален при
1400>z>2f и ионизован при 2,->2>0).
- Проблема состоит в выборе Те(г). Предлагается взять линей-
линейную комбинацию двух уравнений с положительными коэффициен-
коэффициентами аир, которые мы определим позже:
b. (8.8.6)
Для любого г выбираем Т (г), минимизируя выражение в скоб-
скобках (8.8.6). Обозначим это выражение через В и найдем его минимум:
Соответствующее Т равно
Ш" <8-8-7)
Подставляя Bmin в (8.8.6), получаем
mind2< ^Bdz
Vtf/.dz = \,ЪаЧф1*Ъ (г,) <аа+
т.е.
^B,.)<0,55^±g-, (8.8.8)
где функция *ф определяется интегралом, приведенным выше. Те-
Теперь выбирается отношение а/р\ минимизирующее правую часть
выражения (8.8.8): a/f>=2b/a. При этом выборе a/р получим из
(8.8.8)
•ф (г,) < а'/'Ь1'; (8.8.9)
откуда находится верхний предел на г,-. Этот способ, примененный
к неравенствам (8.8.2), (8.8.3) [Сюняев A968)], дает
z, < 1,1 • 10е (/^tt^fi-6I/.. =250Q-'/m. (8.8.10)
Численное значение г,- дано для максимального выделения энергии
№=2-10м эрг/г — около половины ядерной энергии газа.
Другой подход, основанный на оценке искажения спектра
(8.8.2), (8.8.4) [Зельдович, Сюняев A969)], дает (при у<0,1)
г( < 1,3- lQlxF'4>y'''Q-'<> < ЗСШ-'/.. (8.8.11)

J9] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 263
Мы видим, что для У=1 в самом худшем случае должно быть 2,-<300.
Следовательно, в течение периода 1500>2>300 газ был нейтрален.
Итак, вывод из всего сказанного в этом параграфе заключается
в том, что период нейтрального водорода действительно был в прош-
прошлой истории Вселенной и должен был кончиться в прошлом.
Действительно, представление о вторичной ионизации, происходя-
происходящей при 2<300, неизбежно следует из отсутствия нейтрального
водорода в нашу эпоху. Однако напомним, что сделанные выводы
относятся к fi=l. Менее очевидна ситуация с fi<l/10 и при Н=
=50 км/сек-Мпс.
В этом случае ограничения недостаточны для того, чтобы быть
совершенно уверенным в существовании периода нейтрального
водорода. Формулы, приведенные выше, показывают, как дальней-
дальнейшие измерения смогут помочь в разрешении этой проблемы.
§ 9. Взаимодействие космических лучей с излучением
Космические лучи, которые проводят огромное время в меж-
межзвездном или межгалактическом пространстве, взаимодействуют
с частицами и полями, заполняющими это пространство [Гинз-
[Гинзбург, Сыроватский A963)]. После открытия реликтового излу-
излучения в ряде работ было обсуждено взаимодействие космических
лучей с реликтовыми фотонами. Краткое изложение основных ре-
результатов, дается ниже. Подробнее см. Березинский A970), Хаякава
A973, 1974), Озерной, Розенталь, Прилуцкий A973).
1. Взаимодействие электронов космических лучей с излучением.
Торможение релятивистских электронов *), Е^>тес2, дается фор-
формулой
S—
где а=2,7-10~" см3/сек, е — полная плотность энергии электромаг-
электромагнитного поля. Она включает энергию магнитного поля 8uan=SV*/8n
и энергию излучения еизл, которая, в свою очередь, состоит из
энергии излучения звезд еизл-зв и энергии реликтового излучения
ерел.нзл- Последняя равна 4-Ю~13 эрг/см3 для планковского спектра
при 2,7°К. Если ^f=10-' гс, то емагн=4-10~14 эрг/см3 — пренебре-
пренебрежимо мала, нодля#=10~5гс емаги=4-10~12эрг/см3 — ужебольше,
чем ерелизл- Внутри Галактики еизл.зв=10~12 эрг/см3. Вне ее еиэл.зв
порядка 10 14 эрг1смъ — много меньше, чем ереЛ.„зл.
*) При этом существенно, что в системе покоя электрона энергия фотонов
меньше тес2, так что сечение рассеяния томсоновское, без большой поправки от
перехода к формуле Клейна — Нишины — Тамма. Это ограничивает £е<101? эв.

264 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА
Уравнение (8.9.1) легко интегрируется:
ate '
1ГЛ. 8
(8.9.2)
Для каждого е, Сдается верхний предел на энергию. Взяв tf^lO8 лет
или 106 лет и е=4-10~13 эрг/см3 или 4- 10~1Х эрг/см3, получаем
следующую таблицу.
ТАБЛИЦА IX
е.
4.
4-
вре/см'
Ю-13
ю-"
Верхний
предел энергии
!=108 лет
£■ = 2-10-2
£ = 2-10-4
арг=\2 Гае
эрг =120 Мэв
Е
£ = 2
£ = 2
t- 10* дет
арг=1Ш
• 10-а эрг =
Гэв
12 Гэв
Энергия, которая отбирается от электронов, зависит только
от общей плотности излучения е. Но форма, в которую эта энергия
преобразуется, зависит от структуры электромагнитного поля.
В случае статического магнитного поля &б~\0~ъ—10~в гс синхрот-
ронное излучение происходит с частотой (в максимуме)
ц. (8.9.3)
Взаимодействие электронов с фотонами дает фотоны с энергией
порядка
—. 4 ,.
Этот процесс предлагается в качестве источника фонового рент-
рентгеновского излучения. Нужно указать, что все оценки сильно за-
зависят от ситуации в коротковолновой области спектра реликтового
излучения (см. §6). Если бы сильное отличие от равновесного спектра
с 2,7°К подтвердилось, то потери были бы много больше, и элект-
электроны в нашей Галактике, взаимодействуя с излучением, могли бы
дать существенную часть рентгеновского фона. Однако последние
измерения говорят в пользу е~4-10~13 эрг/см3, так что более ве-
вероятно, что рентгеновский фон обусловлен внегалактическими
источниками.
2. Взаимодействие гамма-лучей с излучением. Фотон-фотонное
взаимодействие, несомненно, существует как следствие современ-
современной электродинамики, но сечение очень мало. Другое дело, если
может происходить рождение пар е+е~. Этот процесс обратен ан-
аннигиляции на лету, его сечение порядка 10~24 см2.

JB] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 265
Чтобы вычислить нужную энергию, вспомним, что £2—с2р2=
=М2с*, где М — масса покоя системы. Применим это соотношение
к двум фотонам с энергией £1 и £2 и импульсами рх и р2 в нашей
системе координат (индекс «1» употребляется для Y-кванта, «2» —
для реликтового фотона, Е1=с\р1\, Е2=с\р2\).
Полная энергия будет £j+£2, а полный импульс
таким образом,
Если рождается пара, то Мс2>2тес3. Следовательно, необхо-
необходимо E1Ec>miec*. Взяв E2=%kT0= 10~8 эв, мы получим £j>
>2,5-1014 эв. Гашение у-лучей более энергичных, чем предел
в 2,5- 10Б Гэв, очень резкое. Используя концентрацию реликтовых
фотонов ~400 см~3 и сечение 10~24 см3, находим время жизни над-
порогового Y-кванта: t ~ — ~ 10" сек ~ 10* лет.
Экспериментальная ситуация не ясна. Не наблюдаются Y-кванты
с энергией £~10Б Гэв, но мягких Y-квантов тоже мало, так что
неизвестно, есть ли излом, предсказанный в районе 2,5-10Б Гэв.
3. Взаимодействие тяжелых частиц, космических протонов
и ядер с излучением. Прямое электромагнитное взаимодействие
такого же типа, как и для электронов, уменьшается в (Af/meJ»
»4-10° раз и, следовательно, пренебрежимо мало. Но, когда энер-
энергия фотона в системе покоя тяжелых частиц достаточно велика,
имеют- место новые процессы:
а) рождение пар в поле частицы: Y+P~*"e++e~+P; порог
Ev~ 1 Мэв.
б) фотоядерные процессы, ведущие к возбуждению чи развалу
ядра-
в) рождение пионов v+P~vP+JX° или Т+Р~* /# / "ч?Огом
£v~140 Мэв или выше для более тяжелых //у/ ""-
Взяв лабораторную энергию фотонов Е,
числить нужную лабораторную энергию п
дения частицы):
Это дает Е= 10е Мрса= 1018 эв д
= 10" эв для рождения пиона,
атомному весу.
Оказывается, что нек« »
чем 10" эв трудно ••
Космические лучи с э w ..комбинации
нашей Галактикой, -^ , лние амплитуды.

266 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА [ГЛ. 8
удержать их; в теории рассматриваются космические лучи внега-
внегалактического происхождения с возрастом порядка 10е—1010 лет.
Подробное предсказание спектра космических лучей зависит от
окончательных результатов измерения плотности энергии релик-
реликтового излучения. Путь для примирения существования косми-
космических лучей с большой энергией (>1Оао эв) с большой плотностью
излучения дается в цитированной работе Березинского, Зацепина
A969); по их представлению, такие космические лучи рождаются
недалеко от наблюдателя из нейтрино с £>1020 эв; нейтрино же
не теряет энергии при движении. Обратная проблема — взаимо-
взаимодействие космических лучей с реликтовыми нейтрино — обсуж-
обсуждалась Качаровым A965). Плотность нейтрино во Вселенной можно
ограничить по их гравитационному влиянию на расширение Все-
Вселенной [Зельдович, Смородинский A961)]; из этой оценки следует,
что их слабое взаимодействие с космическими лучами не сущест-
существенно.
При обсуждении взаимодействия космических лучей, проведен-
проведенном выше, предполагалось, что космические лучи инжектируются
в течение времени Т порядка возраста нашей Галактики, т. е.
около половины космологического времени. Если время взаимо-
взаимодействия больше, чем вышеупомянутое, то взаимодействие не су-
существенно. Если же время взаимодействия tB3 короче, то концент-
концентрация космических лучей уменьшается в отношении tBJT. Если
tm зависит от энергии, то характеристическое значение ExavaKX,
при котором tm(ExavaKr)=T, должно давать излом в спектре кос-
космических лучей. Не нужно знать эволюцию температуры и плот-
плотности энергии фона, потому что Т короче, чем космологическое
время. Для заряженных частиц в космических лучах, задерживае-
задерживаемых галактическим магнитным полем, нельзя объяснить адиаба-
адиабатические потери импульса и энергии хаббловским расширением,
потому что Галактика не расширяется.
Наконец, в последнее время выдвигается предположение о том,
что самые энергичные частицы космических лучей рождаются
близко, например в пульсаре Крабовидной туманности. Тогда
возраст их мал и противоречия, связанные с потерей энергии, сни-
снимаются, но такие частицы должны приходить всегда из одного
и того же участка неба.
Исследование космических лучей максимальной энергии не-
необыкновенно увлекательно *), но и очень трудно вследствие
редкости событий. Нужно набрать достаточное число собы-
событий, чтобы проверить энергию и определить, нарушается ли
изотропия.
*) На основе данных о таких частицах делались даже предположения об
ограниченной справедливости преобразования Лоренца (см. о таких попытках
в статье Киржница A973)]. По нашему мнению, такие предположения необосно-
необоснованны.

$»] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 267
Недавно было рассмотрено гипотетическое догалактическое кос-
космическое излучение и выдвинуто предположение, что Y-лучи яв-
являются остатками от аннигиляции антиматерии. В совершенно
однородной Вселенной с однородно распределенным превышением
барионов над антйбарионами аннигиляция завершается при
2^>1010 (см. § 3 гл. 7). При огромной плотности в этот период
устанавливается полное равновесие. Следовательно, аннигиляция
является значительным источником Y-лучей, только если она задер-
задерживается; возможная причина задержки — это неоднородное рас-
распределение материи и антиматерии. Детальная теория неоднород-
неоднородной аннигиляции откладывается до раздела V, где будет рассмотрена
неоднородная Вселенная. Здесь мы обсудим проблему распростра-
распространения 7"лУчей-
Прежде всего, температура барионов и антибарионов низка
по сравнению с Mvc2, идет аннигиляция практически покоящихся
частиц. Первичные продукты состоят главным образом из мезонов,
но они короткоживущие, так что выживают только Y-лучи и нейт-
нейтрино. Энергия 7"лУчей составляет 1/3 от общей; их спектр имеет
максимум вблизи 200 Мэв, верхний предел энергии 940 Мэв. Если
аннигиляция проходит при некотором г, энергия Y-лучей, которые
избежали взаимодействия, на сегодня в г раз меньше первичной.
Стекер A969), на основе результатов Ветте и др. A970) *),
обращает внимание на горб в спектре Y-лучей около 1—6 Мэв
(сегодня). Он приписывает его распаду л°-мезонов, проходившему
при-г~ 100. Ароне и Мак-Кри A969) рассмотрели распространение
энергичных Y-лучей с учетом их взаимодействия с плазмой и с уче-
учетом изменения энергии Y-лучей и плотности плазмы в ходе расши-
расширения Вселенной.
Когда энергия у-ф°тонов больше, чем тесг, сечение рассеяния
уменьшается по сравнению с томсоновским **).
Приблизительно
(8.9.5)
Е > теса,
т. е. жесткие ?-кванты рассеиваются слабее. Но при некоторой
*) Наблюдения ленинградских астрофизиков [Голенецкий и Мазец A971)]
показали, что данные группы Ветте о у-ф°не в области ftv~l Мэв сильно за-
завышены.
**) Второй важный факт для чистого томсоновского рассеяния заключается
в том, что частота не меняется (когда hv^nigC2). Следовательно, рассеяние не
меняет мягкой части спектра, проинтегрированного по углу; если велика толща,
то замазываются только дискретные источники. Напротив, если /iv^/ngC2, по-
потери энергии фотонов велики; в других процессах фотон уничтожается полностью.

268 РАДИАЦИОННО-ДОМИНИРОВАННАЯ ПЛАЗМА 1ГЛ. 8
энергии рождение пар на ядрах у+{А, Z)=e++e--{r(Л, Z)
становится более важным, чем рассеяние на электронах. Для водо-
водорода этот порог лежит вблизи 100 Мэв. Результат вычислений та-
таков, что сейчас могут быть зарегистрированы только те -у-кванты с
£т>1 Мэв, которые образовались при 2<100.
Полезно сравнить это обсуждение с косвенным методом обна-
обнаружения аннигиляции из-за выделения энергии и искажений в
спектре. Этот метод будет работать вплоть дог^Ю8 в широких пре-
пределах. Правда, здесь не будет специфических особенностей; любой
процесс выделения энергии даст искажения спектра. Только обна-
обнаружение Y-квантов и измерение их спектра и углового распределе-
распределения будет прямым указанием на аннигиляцию. Существующие же
данные не убедительны.

ч\ Р A3 ДЕЛ III
ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КОСМОЛОГИИ
\ И ОБРАЗОВАНИЕ ГАЛАКТИК
О О О
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о структуре Вселенной, включающий описание галактик
и скоплений галактик, является одним из центральных в современ-
современной космологии.
Идеализированная картина строго однородной и изотропной
Вселенной, изложенная в первых двух разделах, безусловно отра-
отражает реальную действительность, но отнюдь не всю действитель-
действительность, а именно, эта картина не описывает возникновение галак-
галактик и их скоплений.
Идейные основы теории однородной Вселенной (включая теорию
горячей Вселенной) с достаточной полнотой были сформулированы
более 20 лет назад. Последние 10 лет принесли наблюдательные
подтверждения концепции горячей однородной изотропной модели,
но мало изменили теоретические взгляды.
В вопросах структуры и неоднородности Вселенной положение
противоположное, теория находится в состоянии бурного развития.
Высокая степень однородности реликтового излучения (несу-
(несущего информацию о состоянии при гда 1400) наводит на мысль о
том, что в эпоху рекомбинации водорода (г» 1400) возмущения
были малы. С другой стороны, весьма неоднородное распределение
вещества в масштабах галактик и их скоплений в нашу эпоху сви-
свидетельствует о том, что неоднородности нарастали с эпохи рекомби-
рекомбинации водорода до настоящего времени. Такое нарастание возму-
возмущений естественно объясняется гравитационной неустойчивостью
однородного распределения вещества. Первые главы (9—11) на-
настоящего раздела посвящены различным аспектам линейной теории
неустойчивости: в ньютоновском приближении для обычного газа,
в теории горячей Вселенной с учетом взаимодействия обычной ма-
материи и излучения, в рамках общей теории относительности, когда
Длина волны возмущений сравнима с размером, характерным для
Вселенной как целого.
Математически точная теория может быть развита только в ли-
линейном приближении, для малых возмущений, когда каждая ин-
индивидуальная волна возмущений, каждое собственное решение ли-
линейной системы уравнений эволюционирует независимо от других.

270 БВВДВНИЕ
Небольшая гл. 12 посвящена вопросу о случайных возмущениях
и об их описании как суммы (суперпозиции) индивидуальных соб-
собственных решений. Статистически заданные функции часто при-
применяются в теории турбулентности, в теории передачи информации
и помех, но, может быть, недостаточно известны и привычны астро-
астрофизикам, чем и объясняется написание этой главы.
Однако принципиальная трудность теории заключается в том,
что структура Вселенной соответствует большим возмущениям:
средняя плотность вещества в скоплениях галактик в несколько раз
больше средней плотности вещества во всем пространстве, а в га-
галактиках — на несколько порядков больше. Линейная теория ма-
малых возмущений заведомо непригодна в этом круге явлений. По-
Поэтому гл. 13, в которой мы приступаем к описанию реальной струк-
структуры Вселенной, содержит также развитие теории возмущений на
случай возмущений большой амплитуды. Наряду с теорией возник-
возникновения структуры Вселенной как следствия эволюции малых пер-
первичных неоднородностей распределения материи в пространстве
(так называемая теория адиабатических возмущений) рассматри-
рассматриваются и другие, альтернативные гипотезы образования структуры:
гипотеза начальной турбулентности, гипотеза энтропийных возму-
возмущений и гипотеза зарядово-симметричного мира, разбивающегося
на области вещества и антивещества.
Оправданием такого обилия гипотез является тот факт, что вся
современная теория возникновения галактик нацелена на расчет
эволюции возмущений при данных начальных условиях на возму-
возмущения, но сам выбор начальных условий остается в большой мере
произвольным. Чем обусловлено возникновение первичных воз-
возмущений, каков их характер — об этом существуют только смутные
догадки (см. гл. 14). Выбор разного характера начальных возму-
возмущений и приводит к разным теориям происхождения галактик.
Лишь путем сопоставления следствий теорий с наблюдениями
мы приходим к выводу о предпочтительности теории адиабатиче-
адиабатических возмущений. Надо подчеркнуть, что надежность этого вывода
существенно меньше, чем достоверность утверждений классической
теории эволюции Вселенной в целом, излагаемой в разделах I и II.
В гл. 15 излагается вопрос о степени однородности распределе-
распределения плотности и изотропии скорости расширения в большом мас-
масштабе (больше 100 Мпс), содержащем много скоплений. Поистине
удивителен контраст между клочковатым распределением мате-
материи в малом масштабе и закономерным, равномерным распределе-
распределением в большом масштабе.
Здесь средством исследования является реликтовое излучение.
Результаты до сих пор носят характер неравенств — возмущения
меньше определенного предела.
Оценки распределения материи по неоднородностям разного
масштаба на сегодняшний момент и расчеты эволюции неоднород-

^ ВВЕДЕНИЕ 271
ностей.в прошлом позволяют, хотя и грубо, оценить степень началь-
начальной неоднородности вблизи сингулярности.
Вырисовывается определенная характеристика спектра началь-
начальных возмущений. Намечается программа дальнейших исследований.
Особняком стоит гл. 16, посвященная гравитационным волнам.
Сенсационные опыты Вебера по попыткам обнаружения гравита-
гравитационных волн, способствовавшие возбуждению интереса к ним
(в частности, и в связи с их ролью в космологии), не подтвердились.
Но осталась необходимость трезвого теоретического анализа всего
диапазона длин гравитационных волн, анализа их возможного
значения в эволюции Вселенной.
Гравитационные волны остаются примером труднонаблюдаемой
формы энергии. Приходится мобилизовать косвенные методы для
суждения о роли этих волн в космологии.

ГЛАВА 9
ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В НЬЮТОНОВСКОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Теория Джинса
В этом разделе книги мы рассмотрим физические процессы,
приводящие к разбиению однородной расширяющейся среды на от-
отдельные сгустки, т. е. приводящие к появлению небесных тел и
их систем.
Впервые задачу об устойчивости однородного распределения
вещества математически поставил и решил в рамках теории малых
возмущений Джине A902).
Это решение подробно изложено в известном курсе Джинса
A929). Несмотря на некоторую непоследовательность, которая бу-
будет отмечена и исправлена в последующем изложении, теория Джин-
Джинса до сих пор представляет не только исторический интерес. Ее
ценность подчеркивается такими прочно укоренившимися назва-
названиями, как «джинсовская длина волны», «джинсовский инкремент».
Главное в теории Джинса — учет двух факторов: 1) тяготения,
стремящегося собрать вещество в отдельные комки или сгустки, и
2) давления, стремящегося выравнять неоднородности, равномерно
распределить вещество.
Изложим сперва теорию в том наиболее простом виде, в каком
она была создана ее автором.
Напомним общие уравнения гидродинамики и тяготения в нью-
ньютоновском приближении для идеального газа:
(9.1.1)
ad)
P
Аф = div grad ф = 4jxGp,
-^-+(«grad)S = O,
гдер —плотность, a — скорость, S —удельная энтропия вещества,
<р — гравитационный потенциал. Предположим вслед за Джинсом,
что невозмущенным состоянием является покоящийся газ (н=0),
равномерно распределенный в пространстве (p=pu=const, S=50==

$1]
ТЕОРИЯ ДЖИНСА
273
=const).* Давление его везде постоянно (Р=Р(р0, S0)=const).
Молчаливо предполагается, что и силы тяготения в безграничном
равномерно распределенном газе каким-то образом исчезают,
grad ф=0, хотя это и противоречит уравнению Пуассона. Это и есть
та непоследовательность, о которой мы говорили выше. К этому во-
вопросу мы вернемся позже.
Для получения решения для возмущений обычно применяют
метод разложения произвольного возмущения по какой-либо систе-
системе ортогональных функций — метод Фурье — и ищут затем разви-
развитие во времени отдельных составляющих возмущения. В нашем слу-
случае наиболее просто разложить возмущение на систему плоских
волн.
Возмущенное решение ищем в виде одной плоской волны с
волновым вектором k, наложенной на невозмущенное решение.
Итак, предположим:
Р(х,
и(х,
Р=Р0 + ^(
, t)=w(t)etk*,
еИкг,
-Ро) + % (S-So) =
(9.1.2)
В выражении для скорости написано первое слагаемое «О», подчерки-
подчеркивающее, что невозмущенное решение ио=0.
В последнем выражении для давления введены обозначения
^ = Л2, -тг- = Ь2, причем Ъ есть адиабатическая скорость звука.
Подставим эти выражения в уравнения гидродинамики; как
полагается в теории возмущений, рассматриваем только члены, ли-
линейные по б, w, /, ст. Члены нулевого порядка (не содержащие б, w,
/, а) описывают невозмущенное решение, и предполагается, что для
них уравнения выполняются тождественно.
Членами второго порядка (квадраты и произведения малых ве-
величин б2, бег и т. п.) пренебрегаем.
Получим систему линейных однородных уравнений:
= 0.
— —4nGpo6,
!-«■
(9.1.3)

274 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
В теории Джинса невозмущенное решение не зависит от време-
времени. Следовательно, в уравнениях (9.1.3) коэффициенты р0, Ъг, k
постоянны, время t входит только под знаком дифференциала.
В этом случае общая теория предсказывает определенный, а имен-
именно экспоненциальный, характер зависимости возмущений от вре-
времени *):
6 = 6ое«><, w = wifitt>t, / = /оет', а = аое<°'. (9.1.4)
Задачей теории является определение величины со и соотноше-
соотношения между величинами б, w, f, а в собственных решениях. Аб-
Абсолютная амплитуда собственного решения зависит от начальных
условий.
Итак, вернемся к нашей задаче. Подставляя (9.1.4) в систему
(9.1.3), получим
собо = — i(kwB),
cocro = 0.
А. Адиабатические возмущения.
Наиболее интересно решение с ь*#0, т. е. решение, зависящее
от времени. В этом случае ао=0 и вектор w0 параллелен волновому
вектору k Введем обозначение
и получим окончательно систему скалярных уравнений для возму-
возмущений, зависящих от времени, с со^О:
= — ikw0,
\ (9.1.6)
Система (9.1.6) имеет нетривиальное решение при условии
(9.1.7)
*) Примерный ход рассуждений таков: обозначим решение системы через
<р@, где <р — совокупность величин б, ш, /, о в определенных соотношениях.
В силу линейности и однородности уравнений величина A<p(f), где А — постоян-
постоянный множитель, тоже является решением. С другой стороны, в силу того, что
коэффициенты уравнений постоянны, решение допускает также сдвиг по времени:
<Р('+Т) также является решением.
Предполагается, что существуют такие решения («собственные» решения),
для которых обе группы преобразований дают один и тот же результат A<p(t)=
=<р(*+т), причем для каждого т есть свое (одно или несколько) значение А. Та-
Такое функциональное соотношение имеет место, если <р=<роеш*, Л=ешт.

i П ТВОРИЯ ДЖИНСА 275
Ясно, что свойства решения критически зависят от знака подкорен-
подкоренного выражения в (9.1.7). При заданных свойствах вещества (р0 и
Ь2) существует критическое значение &дж, определяемое условием
со=0:
4лСро-Ь2А*ж = 0, )
. 2л илГ~ \ (9-1.8)
Здесь Kmi — критическая длина волны, соответствующая крити-
критическому значению &дж (индекс «дж» от «джинсовский»).
Рассмотрим отдельно следствия теории гравитационной неустой-
неустойчивости в случае ^>^ДЧ( (&<&дж) и в случае Я,<Я,ДЖ (k>ka.J.
1) 7£>Хак (k<Zka.J, величина ю, определяемая (9.1.7), действи-
действительна. Возможны два решения: с положительным и отрицательным
о. Существование решения с положительным ю, растущего, как
еш'(со>0), означает гравитационную неустойчивость однородного
распределения вещества. Из уравнений следует, что при веществен-
вещественном (о отношение б0 к w0 содержит мнимую единицу i. Как известно,
при пользовании комплексными величинами в расчетах, относя-
относящихся к действительным переменным, таким, как плотность, дав-
давление, скорость, подразумевается, что уравнения удовлетворяются
для вещественной части комплексных величин, входящих в расчет.
Предположим, что б0 выбрано вещественным, и выпишем возрастаю-
возрастающее решение в вещественном виде:
р = Re Ро A + 60е»'+'**) =Ро A + 60е»' cos kx),
v = Re ( 4 ёЩ ± 6„е»<) = - g
sin kx.
(9"
Итак, мнимая единица в отношении между возмущениями плот-
плотности и скоростью движения означает, что эти величины сдвинуты
по фазе: в местах максимума и минимума плотности равна нулю
скорость, в местах максимума модуля скорости равно нулю возму-
возмущение плотности. При ^-voo, ft->0 инкремент co-»-j/4:n;Gpo. Время т
р р p р
возрастания возмущений вераз( т = — = —г-—— ) по порядку ве-
V м V4jiGPo//
личины совпадает с космологическим временем, за которое в модели
Фридмана плотность изменяется от р=оо до р=р0:
t-
и это не является случайным совпадением.
2) ^<ЛДЖ (£>£дж). В этом случае формулу (9.1.7) лучше пере-
переписать в виде
а» = ± i y^b'^k2—4jTcGp0. (9.1. Ю)

276 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. в
При мнимой частоте ю отношение между возмущением плотности
и скоростью вещественное.
После перехода к вещественным физическим величинам это
означает, что плотность и скорость имеют одну и ту же фазу, мак-
максимум модуля скорости совпадает с максимумом и минимумом плот-
плотности. При этом собственное решение имеет характер бегущей
волны, скорость движения в направлении распространения про-
пропорциональна возмущению плотности в каждой точке, амплитуда не
зависит от времени:
р=ро[1 — 60cos(fcx—|
©=^ во cos (ft*-| ©|0. } (9.1.11)
—4jtGPo.
Рассмотрим предельный случай весьма коротких волн
k2 ^> &£ж = " Ро. В выражении (9.1.10) можно пренебречь величиной
4jxGp0 по сравнению с k2bs, и решение (9.1.11) переходит в простые
звуковые волны, распространяющиеся со скоростью звука.
Итак, главный вывод заключается в том, что для длинноволно-
длинноволновых возмущений основную роль играет тяготение, обусловливающее
неустойчивость равномерного распределения и существование эк-
экспоненциально нарастающих возмущений плотности; давлением в
этом случае можно пренебречь.
Для коротковолновых возмущений основную роль играет дав-
давление, возмущение плотности сопровождается возмущением давле-
давления, которое приводит к распространению акустических волн по-
постоянной амплитуды *). Для коротковолнового возмущения можно
пренебречь ролью тяготения, в следующем приближении тяготение
меняет скорость звука, но амплитуда остается постоянной, неустой-
неустойчивость не появляется.
Граница гравитационной неустойчивости определяется условием
К=Каж, т. е. длиной волны Джинса. Обычно говорят также о
«массе Джинса» — массе, заключенной в объеме (^дж/2K:
МДЖ=РГ Ро. (9.1.12)
Это наименьшая масса, для которой давление еще не может
помешать росту плотности под действием гравитации. Поэтому
*) При определенном типе начальных условий решение имеет вид стоячих
волн:
р = р0 A + 6о ces (kx) cos Ш), v =-rs sin б0 (kx) sin at;
К
ниже будет показано, что в космологической задаче получается именно такое
решение.

$ 1] ТЕОРИЯ ДЖИНСА 277
предполагается, что с течением времени однородно распределен-
распределенное вещество переходит в отдельные объекты (звезды) с массой,
не меньшей чем Маж *). Удобно выразить Мш и Как в астрономи-
астрономических единицах, т. е. в массах Солнца и парсеках:
Здесь ц — атомный вес, рассчитанный на одну частицу (\а= 1 для
нейтрального водорода, ц=1/2 для ионизованного водорода),
тР?п= 1,7лн Для нейтрального водорода (пн—плотность числа
атомов водорода).
Теория Джинса в том виде, в каком она изложена выше, формаль-
формально ошибочна, поскольку невозмущенное однородное распределение
вещества предполагается стационарным. Между тем в действитель-
действительности невозмущенное решение должно быть нестационарным, по-
поскольку постоянной плотности ро соответствует переменный грави-
гравитационный потенциал ср. Эту «болезнь» нельзя вылечить, взяв в ка-
качестве невозмущенного такое статическое решение, в котором
гравитация уравновешена градиентом давления: как подробно
показано в ТТ и ЭЗ, такое тело имеет конечную массу и размеры
порядка Кяж, так что к нему теория Джинса неприменима. Одно-
Однородное распределение плотности должно быть нестационарным, т. е.
с зависящей от времени плотностью, с общим расширением (или
сжатием).
На первый взгляд нестационарное решение очень сильно от-
отличается от стационарного, которое использовано в теории Джинса.
Но, как мы увидим, все же результаты точной теории весьма близки
к результатам Джинса. Формально ошибочная теория Джинса яв-
является хорошим приближением и помогает пониманию точной, но
более сложной теории.
Как следует обобщить теорию Джинса?
1. Учесть зависимость р0—Ро@> причем po(f) определяется
космологическим решением.
2. Учесть, что давление и скорость звука также зависят от вре-
времени:
*) На какие именно массы (ио не меньше чем Мдж) разобьется среда, зависит
9х спектра малых начальных возмущений — конкретно об этом говорится далее.
Обычно амплитуда возмущения тем больше, чем меньше его масштаб. Поэтому
в таком случае среда разбивается на наименьшие массы, которым давление не
мешает сгущаться, т. е. на массы в среднем ~МДЖ. Однако, как мы увидим
Дальше, в адиабатической теории образования галактик спектр возмущений
таков, что возникают объекты со средней массой много больше Млж.

278 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
3. В ходе расширения длины волн данного элементарного воз-
возмущения возрастают так же, как и расстояния между каждой парой
частиц: po~flns@. h~a(f), k^a'1^).
4. Подставляя р, k, b в (9.1.7) и (9.1.10), мы получим (о=(о(£).
Очевидным обобщением выражения еш1 является eJ и . Это соответ-
соответствует предположению, что в нестационарном случае возмущения
удовлетворяют дифференциальному уравнению вида —п- = v> (t) 6.
В § 3- этой главы точное решение задачи гравитационной неустой-
неустойчивости однородного вещества сравнивается с результатами, полу-
полученными с помощью такого обобщения результатов Джинса; хоро-
хорошее согласие между ними показывает, что «ошибочная» теория
верна по существу.
Б. Энтропийные и вихревые возмущения.
Обратимся к решениям, соответствующим нулевой частоте,
т. е. к таким возмущениям, которые вовсе не зависят от времени
в джинсовской постановке задачи. Условие юсг=0 для возмущения
энтропии допускает решение афО при ю=0. Очевидно, что в отсут-
отсутствие теплопроводности начальная неравномерность распределения
энтропии с течением времени сохраняется, не изменяется. Полное
решение с ю=0 требует также механического равновесия; из урав-
уравнения движения получим
' J* .- (9.1.14)
При большом k, т. е. при малой длине волны, можно пренебречь
вторым членом в знаменателе, т. е. силами тяготения. В этом слу-
случае связь б0 и а соответствует простому условию постоянства дав-
давления. При учете сил тяготения условие равновесия меняется.
Знаменатель обращается в нуль как раз при джинсовском критиче-
критическом &дж, когда ю=0 также и для возмущений плотности и скорос-
скорости, рассмотренных выше в п. А. Можно убедиться, что в задаче с
конечными начальными значениями б0 и а при £=0 значения б0
при £=т^=оо остаются конечными, хотя при &-*-&дж они и представля-
представляются как разность двух бесконечных величин.
Другой тип решения с ю=0 получается, если вектор скорости V
выбрать перпендикулярным волновому вектору, так что (z>ft)=0.
Тогда из уравнений следует ю=0, можно принять также сг=О (слу-
(случай афО был выделен выше) и бо=0, /=0.
Очевидно, что при v J_k равна нулю дивергенция скорости (в
полном соответствии с тем, что плотность остается постоянной
при таком движении), но отличен от нуля ротор скорости:
rot v = i[wxk]. (9.1.15)
Поэтому такое движение называется вихревым. При данном направ-

« 2] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ ОДНОРОДНОГО ВЕЩЕСТВА 279
лении k есть два направления, перпендикулярных k и между собой,
т. е. два линейно независимых вихревых движения.
Подсчитаем общее число типов возмущений с данным k: два
продольных с o = |/4nGp0—b*k2 и а> = —V43xGp0—b2k2, одно
энтропийное и два вихревых — итого пять типов.
Начальное состояние среды характеризуется заданием плот-
плотности, энтропии и скорости. Скорость является вектором, т. е.
характеризуется тремя компонентами. Следовательно, начальное
состояние характеризуется заданием всего пяти величин, что как
раз и позволяет однозначно определить амплитуды пяти независи-
независимых типов возмущений.
До сих пор рассматривались возмущения с заданной периоди-
периодической зависимостью от пространственных координат (е'кх); воз-
возмущения с произвольной зависимостью от координат нужно сперва
разложить в интеграл Фурье (об этом разложении см. ниже, гл. 12).
Сейчас продолжим рассмотрение отдельных волн с периодической
зависимостью от координат.
§ 2. Неустойчивость расширяющегося однородного
вещества
Неустойчивость расширяющегося однородного вещества в нью-
ньютоновском приближении была доказана Боннором A957). В качестве
невозмущенного решения он использовал нестационарные изотроп-
изотропные космологические модели Такие модели были рассмотрены в
первом разделе. Напомним решение, описывающее эволюцию изо-
изотропно расширяющегося однородного вещества. Точное решение
невозмущенной системы уравнений (9.1.1) имеет вид
u = H(t)x, <pn = ™pB(t)x\ p = Po(O. P = P,(t). (9.2.1)
Решением (9.2.1) удовлетворены все уравнения, включая уравнение
Пуассона, правда, ценой бесконечного потенциала и бесконечной
скорости на пространственной бесконечности: х-*-оо, и-*-оо.
В (9.2.1) х — радиус-вектор, х2=х\+х\+х\, H(t) и po(t) удов-
удовлетворяют уравнениям
~+H2=— ^Gp0. (9.2.2)
uf at о
Возмущения будем искать в виде
Pzl£o = б (t) eih <« * = б @ е'*х'а <«
Р° ,, ^ (9.2.3)
к = const, A--7J,

280 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
в соответствии с высказанными в конце § 1 этой главы соображения-
соображениями; длина волны возмущения увеличивается при расширении Все-
Вселенной. Для возмущений скорости и гравитационного потенциала
запишем:
| ; (9-2.4)
возмущения скорости предполагаются потенциальными, т. е. v || k.
Невозмущенное движение частицы описывается уравнением
%j- = u(x, t) = H(t)x,
общее решение которого имеет вид
x = a(t)q,
где
В релятивистской теории a(t) определяет радиус Вселенной.
В нерелятивистской ньютоновской теории a(f) — это масштабный
множитель, определяющий изменение расстояния между каждой
парой частиц. Абсолютное значение a (t) в ньютоновской теории
несущественно, имеет смысл лишь отношение а . Величина q
есть лагранжева координата, постоянный (не зависящий от вре-
времени) вектор х есть волновой вектор в лагранжевых координатах.
Выше мы предположили, что возмущения имеют вид
и аналогично для скорости и потенциала.
Справедливость этого предположения проверяется непосредст-
непосредственно подстановкой величин б, w, f в основные уравнения. Если
учесть, что k=k(t), x=const, то окончательно уравнения для ве-
величин б, w, f могут быть приведены к виду (множитель еыч вы-
выпадает из уравнений)
йЬ =— к
(9.2.5)
Это — система уравнений первого порядка с зависящими от вре-
времени коэффициентами k(t), H(t), po@. b(t) (индекс при р дальше
опускаем), которые определяются невозмущенным решением и
уравнением состояния газа. При ffssO и р, k, b=const система

§ 2] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ ОДНОРОДНОГО ВЕЩЕСТВА 281
(9.2.5) переходит в уравнения Джинса. Из (9.2.5) легко получить
одно уравнение второго порядка:
8 + 2Я6—DjxGp0—b2fc*N = 0. (9.2.6)
В общем случае решение и исследование этого уравнения довольно
громоздки. Поэтому мы начнем с простейших случаев. Уравнение
(9.2.6) сильно упрощается, если предположить Р~р'/г, так что
скорость звука b = (-j-) '^р1''. Заметим, что p~a~s, k2~a~*.
При выбранном уравнении состояния Ь2~р'''~а~1 и, следователь-
следовательно, оба члена в скобках уравнения (9.2.6) пропорциональны а~3,
т. е. находятся в постоянном отношении. В этом случае для дан-
данного сопутствующего объема (для данной массы или для данной
системы частиц) отношение внутренней энергии и гравитационной
энергии остается постоянным в ходе расширения. Эти же свойства
проявляются и в возмущениях.
Сделаем и второе упрощающее предположение — рассмотрим
случай «плоской Вселенной», для которого невозмущенное движение
описывается формулами
aaS' **'-v' ^|^1 bbt-4
В этом случае уравнение (9.2.6) приводится к виду
/■6+-i/6 — (|—bj*j) 6 = 0. (9.2.7)
Это уравнение имеет степенные решения:
6 = 6^", w = wlt"-1'',
где
-ад- (9-2.8)
Очевидно, решение критически зависит от знака подкоренного вы-
выражения в (9.2.8). Этот результат поучительно сравнить с теорией
Джинса. Из (9.2.8) следует, что подкоренное выражение для п
обращается в нуль (показатель п при этом есть п=—1/в) при
Я, =^t 'и = ^г2яЬ1Г>> = ^г2лЫ. (9.2.9)
Для сравнения укажем, что в теории Джинса критическая длина
волны определялась формулой каж = —==■. Подставляя р =
получим
Y\ (9.2.10)

282 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
В расширяющейся Вселенной критическая длина волны по порядку
величины близка к расстоянию, проходимому звуком за время рас-
расширения Ы или, точнее, J bdt. Этот результат широко используется
о
ниже. Все различие между точным значением критической длины
волны Джинса и приближенным, полученным из теории Джинса
заключается в различии множителей Ь1Ъ=\,2 и У 3/3= 1,225. Близ-
Близки и другие выводы точной теории и теории Джинса.
Для k<^kKV получаем nl=2/3, п2=—1. Обобщая результаты
Джинса (как указано в § 1), мы получили бы
_ ± J*
__ „
Другому предельному случаю, ti$>kKV, в точной теории Боннора
соответствуют звуковые волны:
б = /-'/.iibtfttgite = t-4.exp (ikx ± ib^kx In /); (9.2.11)
фазовая скорость совпадает с мгновенной скоростью звука:
t=b Чь=ь
dt
\fci\t-''' dt
Появление в формуле (9.2.11) множителя t~4» легко объяснить
с помощью теории адиабатических инвариантов. Согласно этой тео-
теории, энергия звуковой волны изменяется пропорционально ее ча-
частоте *), £=const-v.
Частота v= j- ~b1t-ll*k1t-*i*~t-1; энергия звука в сопутст-
сопутствующем объеме V есть £-*-ри2У~рУ(Ь6J~ (ЬбJ~^~г/>82. Поэтому
6Я~/-1^»~'/-1/», 6~Г1/«.
Если при обобщении теории Джинса учесть этот множитель
также и для апериодических длинных волн, то получим закон
tV который очень хорошо совпадает с точным решением
( /«0.65, —i~ |/"-|«—0,9в) .
В работе Боннора A957) рассматривалась эволюция со време-
временем не плоских волн, а сферических. Очевидно, это не может изме-
изменить результаты линейной теории, так как с помощью набора плос-
плоских волн можно построить сферическую волну.
Отметим, наконец, что в общую классификацию возмущений в
расширяющейся Вселенной нужно включить также энтропийные и
*) В шутливой статье Парадоксова A966) «Как квантовая теория помогает
понять классическую механику» объясняется, что если E=Nh\\ где N — число
квантов в данной волне или в данном возбужденном состоянии осциллятора, то
7V=const при медленном изменении параметров.
как — -1

§ 2J НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАСШИРЯЮЩЕГОСЯ ОДНОРОДНОГО ВЕЩЕСТВА 283
вихревые возмущения, наподобие того, как это сделано было в тео-
теории Джинса (§ 1).
Энтропийные возмущения от времени не зависят, лишь длина
волны растет по мере всеобщего расширения:
а(х, t) = a^w, k(t) = ^, (9.2.13)
сто = const, x = const.
Выражения для соответствующего возмущения плотности в
общем случае произвольного уравнения состояния достаточно
сложно. В принципе начальное возмущение энтропии может вы-
вызвать нарастающее возмущение плотности; к этим вопросам мы вер-
вернемся позже.
Вихревые возмущения в расширяющейся Вселенной представ-
представляют собой такие же возмущения скорости, направленные перпен-
перпендикулярно волновому вектору, как и в § 1:
v(x, t)=w{t)elkx, («;ft)«=0. (9.2.14)
При этом возмущения всех других величин — плотности, потен-
потенциала, энтропии — тождественно равны нулю.
Для амплитуды вихревой скорости получается уравнение
Сопоставляя его с законом расширения
получим ответ
w(t)=^y (9.2.15)
где w0 — постоянный вектор, перпендикулярный волновому век-
вектору ft; величина и направление w0 определяются начальными
условиями. Этот результат справедлив при любом законе a (f), в ча-
частности и в случае, соответствующем закрытому (Q>1) или откры-
открытому (Q<1) миру. Для единичной волны, т. е. при отсутствии воз-
возмущений другого типа и возмущений с другими волновыми векто-
векторами, результат справедлив и при конечной, не малой амплитуде w0.
В следующем параграфе мы вернемся к растущим и затухающим
возмущениям плотности, которые сопровождаются продольным
движением вещества, z>||ft. Общий случай произвольного уравнения
состояния Р (р) и не плоской Вселенной приводит к сложным вычис-
вычислениям и здесь не рассматривается [см. Хантер A962), Саведов и
Вила A962)]. Ниже будет подробно рассмотрен случай малых ft
(при этом уравнение состояния в уравнения задачи не входит) и не-
неплоской Вселенной.

284 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
§ 3. Крупномасштабные возмущения: автомодельное решение
Полученные выше результаты показывают, что давление не
влияет на развитие крупномасштабных возмущений. Этот факт
весьма важен и заслуживает более подробного обсуждения.
В рамках метода Фурье уравнения для возмущений плотности 8
и произведения ikw=D не зависят от k в пределе k-*~ 0. Следователь-
Следовательно, возмущения любой длины волны с &<^&дж развиваются по одному
и тому же закону с течением времени. Поэтому в этом случае ис-
использование разложения в ряд Фурье является излишним. Точнее,
для каждой волны есть два решения [для возмущения плотносТи и
продольной скорости — возрастающее и убывающее (8~*Ё/" и
b~t~l) в простейшем случае плоского мира]. Поэтому можно пред-
предвидеть, что решение уравнений движения вещества с учетом тяго-
тяготения, но без учета давления, можно будет представить в виде
р(х, 0=
. 0 = -
Для одной волны произведение ikw равно дивергенции скорости.
Мы обобщаем на случай произвольного движения D=div w. Два
решения — с индексом i (increasing — растущее) и с индексом d
(decreasing — затухающее) — факторизованы, т.е. записаны в виде
произведения функции времени на функцию координат. Так как
возмущенная область расширяется в ходе общего расширения
Вселенной, то факторизация достигается лишь при использовании
функций, зависящих от q, т. е. от лагранжевых координат, но не
от х.
Рассматривая дивергенцию скорости D (а не саму скорость©),
мы отвлекаемся от рассмотрения вихревых возмущений со своим
законом зависимости от времени, отличающимся от 8,-(*) и 6d(t).
Две функции времени 8,- и 8d представляют собой решения одного
уравнения второго порядка
8 + 2Я8 —4nGp8 = 0, (9.3.2)
которое совпадает с уравнением (9.2.6), полученным с помощью
разложения в ряд Фурье, если в нем положить k=0. Это не удиви-
удивительно, так как, очевидно, е»**=е'«д есть частный случай функции
я])(<7). Уравнение (9.3.2) имеет два линейно независимых решения
8, и 8d, например упомянутые t%l> и t~l в простейшем случае модели
плоской Вселенной. Поэтому, если в момент t=t0 заданы б(х, t) и
D(x, t), то, вводя д вместо х, можно получить два уравнения:
С.) Ь (я)+^ Со) Ч>* (я)
==6('о, Я). \
=-о (/„ q). J

j 4] ВОЗМУЩЕНИЯ КАК ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЯ 286
Решая эти уравнения относительно я]),(<7) и i])d(<7), получим
(9.3.4)
6f Co) bd (/„) -
6, Co) k Co)-<5/Co) б* Со)
Например, если при t=t0 вещество покоится, т. е. заданы лишь
возмущения плотности, v(q, *0)=0, D(t0, q)=0, то
[д. t)=в W. '.) б'(о6л<о)~ё'"(<о)бло . (9.3.5)
Wl ' W> °;6(/N(/N('N(')
Следовательно, в этом простейшем случае возмущение нарастает
без изменения формы [Дорошкевич, Зельдович A963)]. Поскольку
нарастает с течением времени, a 6rf(Q убывает, то при ф/
0>в,(/о), вй@^вЛ(/о).
Пренебрегая затухающим решением, получим для вещества, по-
покоящегося в момент £о-'
р.« -«с-« Й8 [> -(^/"-^U "'• (9-3-61
В общем случае начальное состояние задается пятью независи-
независимыми функциями координат — возмущением плотности, энтропии
и тремя компонентами вектора скорости. Однако растущее крупно-
крупномасштабное решение есть только одно. В общем случае, если началь-
начальная амплитуда растущего решения не равна нулю по какой-нибудь
специальной причине *), с течением времени растущее решение
оказывается больше остальных решений и можно учитывать только
это растущее решение.
В зависимости от времени оно нарастает пропорционально 8,-.
Пространственное его распределение с течением времени остается
подобным самому себе и с помощью формул (9.3.3), (9.3.4) выража-
выражается через начальное распределение (при t=t0) скорости и плот-
плотности (а в общем случае также энтропии и состава).
§ 4. Возмущения как вариации параметров решения
Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть
использованы для построения решения и в более сложных (по срав-
сравнению с плоским миром) ситуациях. Выберем начальные возмущения
*) В том случае, если в начальный момент 6=0 и скорость чисто вихревая,
div t»=0, то амплитуда растущего решения равна нулю в линейном приближении.
Таковы предположения вихревой теории образования галактик [Озерной, Чернин
A967, 1968)]. Возмущения плотности зависят от более высоких степеней началь-
начальной скорости; для описания наблюдаемой картины необходимы большие началь-
начальные скорости к моменту рекомбинации.

286 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
специальным образом: пусть внутри сферы радиуса R возмущения
6=const, D=const в момент t0, т. е. не зависят от координаты.
Снаружи возмущения положим равными нулю. Очевидно, внут-
внутри сферы справедливо решение, описывающее эволюцию однородной
изотропной Вселенной, но с несколько иными параметрами. Внеш-
Внешняя область не влияет гравитационно на внутреннюю область в силу
сферической симметрии задачи. Давление также не влияет на дина-
динамику расширения, так как возмущения заданы в большом масштабе
(R^>bt, где Ь — скорость звука).
Следовательно, если невозмущенное движение описывается
функцией р=р@, то для описания возмущения нам необходимо
найти близкое решение р^) космологических уравнений. Функ-
Функция 8@ определяется как 6@=lpi@ — р@1/р СО-
Космологические уравнения для p(t) содержат t лишь под зна-
знаком дифференциала. Поэтому-то один из путей получения решения,
близкого к невозмущенному, состоит в том, что производится сдвиг
по времени:
^). (9.4.1)
Постоянный множитель не существен для решения линейного урав-
уравнения . Следовательно, одним из решений (убывающим при расшире-
расширении, 6d в обозначениях § 3)*) является
bd(t)=H(t). (9.4.2)
Для того чтобы найти возрастающее решение b{(f), мы сравним
невозмущенное решение р (t) с решением, отличающимся значением
плотности:
Pl@=P(', Qi)=P(*. Q + ffi). (9.4.3)
Выберем решения так, чтобы моменты сингулярности (р=оо) для
возмущенного решения рх (t, Qx) и для невозмущенного решения
p(t, Q) совпадали; следовательно, оба решения асимптотически
совпадают при £—>-0:
L
Различие в решениях увеличивается с течением времени. Ме-
Метод применим и при конечных возмущениях, где различие решений
*) Справедливость этого решения можно проверить непосредственно: мы
4jtG
знаем, что//-|_//а = £- р; продифференцировав это уравнение и использовав
соотношение —£■=—. 3//р, получим H-\-2HH=inGHp. Поэтому 6=//удовлетво-
6=//удовлетворяет уравнению 8-\-2H6=4nGbp, которое совпадает е уравнением (9.3.2)»

§ 4] ВОЗМУЩЕНИЯ КАК ВАРИАЦИИ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЯ 287
не мало. Наиболее яркий пример дает случай при Q=l для невоз-
невозмущенного решения и кг>0, так что при возмущении плотность
больше критической, Q+(o>l. В этом случае в некоторый момент
расширение возмущенной области сменяется сжатием: p1(tc)=°°
при t=tc, тогда как p(tc) конечно. В случае ю<0 при *->-оо плот-
плотность в возмущенной области изменяется по закону pi~f~3 вместо
р= . „ 2 в невозмущенной области. Таким образом, при Q=l воз-
возмущения любого знака качественно меняют ответ. В линейной
теории мы учитываем лишь член первого порядка по ю и ответ
имеет следующий вид при произвольном Q:
e,(O = Jjlnp(/, Q). (9.4.4)
Выражение (9.4.4) дает растущее решение уравнения для возму-
возмущений. Рассмотрение сферической возмущенной области полезно
также для вывода уравнения развития возмущений (9.3.2) иным
путем.
Для сферически-симметричного случая можно написать (R —
радиус невозмущенного шара, Д — его возмущение):
(PRGM d2(R + A)GM _ 3 М
dt2 ~~ R* ' dt2 ~
d2A 2GMA 8лО ... A 3 M
в = -зА, /г~р/..
Окончательно имеем формулу
jp— =-3-«Р/«, (9.4.6)
которая может быть преобразована к виду (9.3.2) с помощью урав-
уравнений невозмущенного движения. Этот способ нагляднее, чем
длинный вывод с помощью фурье-компонент, использован-
использованный в § 3.
Рассмотрим подробнее возмущение скорости при изменении
плотности внутри заданной сферы радиуса г</?. Наружное веще-
вещество не действует гравитационно на внутреннее, поэтому внутри
возмущенной оболочки имеет место хаббловское расширение с воз-
возмущенной функцией H(t). Однако возмущение плотности внутри
возмущенной области r<CR гравитационно влияет на наружную
область /■>#. В этой области скорость оказывается возмущенной:
и(г)=Яог+Л (^)/г2. Таким образом, не совсем точно было бы ут-
утверждать, что решение в целом складывается из возмущенной внут-
внутренней области и невозмущенной внешней. Однако надо заметить,

288 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
что возмущение скорости во внешней области такое (8a~r~s), что
его дивергенция тождественно равна нулю, т. е. оно не приводит к
изменению плотности. Поэтому, если рассматривать только р и
div U, то внешняя область не возмущена. Когда по величине дивер-
дивергенции мы находим, обратно, поле скорости (при условии rot a=0,
т. е. потенциальную часть скорости), в расчет входят интегралы
такие, что ифО там, где div и=0:
Поскольку линейная теория развития возмущений в модели
Фридмана с уравнением состояния Р=0 проста и может быть по-
построена непосредственно, то некоторые читатели, возможно, ре-
решат, что столь подробный разбор найденного выше автомодельного
решения — стрельба из пушек по воробьям. Но это рассмотрение
полезно для более широких целей — для понимания нелинейной
ситуации и также для более сложных случаев, включая и теорию
возмущений в рамках ОТО. Цель настоящего параграфа — дать
рабочий инструмент и идеи общих методов, а не просто результаты
и готовые формулы.
§ 5. Формулы, описывающие развитие возмущений
Выше были введены величины 6, D, V, выписаны уравнения,
которые определяют изменения этих величин, и даны соображения
о ходе решений. В этом параграфе мы рассмотрим формулы, описы-
описывающие решения этих уравнений в зависимости от времени и от
красного смещения г. Произвольные постоянные выбраны так,
что 8=1 при t=t0 и г—0. Поэтому приведенные формулы позволяют
узнать, какими должны были бы быть возмущения при произволь-
произвольном z для того, чтобы дать 8=1 сегодня.
Масштаб возмущений /0 приведен как длина волны на сегодняш-
сегодняшний день. Принято ko=2n/lo, в формулах использованы Яо и Q —
постоянная Хаббла и безразмерная плотность сегодня. Поэтому
ниже Q рассматривается как постоянная.
В простейшем случае Q = 1, t = ~H^ (I +z)~''; to = ^H^
имеем
2 ( t \-Ч 0 t
-V.
(9.5.1)

$ 8] ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 289
Если вместо t использовать красное смещение г, то
(9 5 2)
Наконец, для вихревых возмущений 6=0, D=0, а соответствующая
скорость
vr = vrO(l+z).
Обратимся теперь к случаю Q#l. Выпишем некоторые формулы,
относящиеся к невозмущенному движению:
a(t) = a(to)(l+z)-\
//(/) = _(l + z)-ig =
(9.5.3)
Нормированная затухающая мода возмущений может быть записа-
записана в виде
6d = (l + z)Vl + Qz, (9.5.4)
в соответствии с упомянутым выше результатом bd~H, см. (9.4.2).
Для соответствующих возмущений скорости и ее дивергенции
имеем
Напомним, что функции, растущие с увеличением г, описывают
величины, убывающие с течением времени, поскольку убывает
само г.
Нарастающую моду b-,{t) или б,-(г) нетрудно получить из урав-
уравнения (9.2.6); из этого уравнения легко найти, что для любых двух
решений 6,.Sd—&fid~-^~• Таким образом, если известно одно
решение Fd), то для другого имеем
j ГО.5.6)
г
10 Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

290 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
Интеграл берется в элементарных функциях:
3Q
±
]/l+Qz-Vl-
(9.5.7)
Это выражение не нормировано условием 6=1 при 2=0; для нор-
нормировки его надо умножить на величину
Это приближенная формула дает правильную асимптотику при Q=l
и при Q=0. Таким образом, произведение (9.5.7) [или (9.5.6)] и
(9.5.8) дает нормированное б,-(г).
Асимптотику при Q<^1 лучше получить непосредственно из
интеграла (9.5.6). Для нормированного значения S,(Q, z) получаем
12 1 1
две асимптотики: при z^>-q- ^;~~5" q7> пРи2<^"о" ^^ '• Прибли-
q 5
2
женно можно считать, что б,- возрастает от z^>\ до zx = 55 по первой
асимптотике, а в дальнейшем при z^z^O б, постоянно и равно 1.
Соответственно скорость, связанная с возмущениями, сперва растет
пропорционально (l+z)"'/», а потом падает пропорционально
A+z). Напоминаем, что выражения «растет» и «падает» относятся
к возрастанию времени, т. е. уменьшению г.
Для того чтобы понять такое поведение возмущений, напомним
свойства невозмущенной модели. При Q<^1 сегодня (точнее, при
z<.zx) расширение происходит с почти постоянной скоростью уда-
удаления каждых двух заданных частиц, гравитация почти не влияет
на невозмущенное движение (см. модель Милна, раздел I). Естест-
Естественно, что в этот период гравитация не влияет и на развитие возму-
возмущений. Поэтому нет и нарастания возмущений, S,=const; естест-
естественно, и падение скорости обратно пропорционально радиусу мира.
Идя в прошлое, мы можем записать (ы12 — относительная хабб-
ловская скорость частиц на расстоянии Гц):
H(t):
f 12 I
где ult(O = «i,(*o), rl2(t) = r-f^-; следовательно,Н(t)=H0(l+z)
до тех пор в прошлом, пока
Дадим количественное выражение этих общих соображений.
Напомним прежде всего закономерности, относящиеся к однородной
Вселенной с малой безразмерной плотностью в настоящее время.
До конца данного параграфа будем обозначать Qo, Но, (к значения,
относящиеся к настоящему моменту z=0, в отличие от Q(z), H (г),

$ Б] ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 291
a(z), относящихся к прошлому, характеризуемому красным сме-
смещением Z.
Итак, выпишем еще раз
I <9-59)
Почти пустая, почти милновская в настоящее время космологи-
космологическая модель (Qo^l) была почти плоской, почти критической в
прошлом (Q«l). Например, Q0=0,2, но в прошлом Q(z=10)=
=0,73, Q(z=30)=0,87. Соответственно и закон роста возмущений
(9.5.6) или (9.5.7) отклоняется от простых законов плоского мира
8~^/»~A+2)~1> u~t4'~ (l+z)-1/» только при приближении к
настоящему времени.
Формулы (9.5.6) и (9.5.7) и соответствующие им формулы для
пекулярной скорости неудобны. Можно предложить простую ин-
интерполяционную формулу, имеющую удовлетворительную точность
во всем интервале z и асимптотически точную при больших z и при
z-M), Q->-0, а именно:
(9.5.10)
Формула для пекулярной скорости (также в растущем со временем
типе возмущений) имеет вид
Пекулярная скорость возмущения достигает максимума [в точном
расчете по (9.5.7), а не по (9.5.11)] при zmaxl =°^^
Можно также поставить вопрос о моменте, когда максимально
отношение пекулярной скорости к хаббловскои разности скоростей
двух частиц, находящихся на расстоянии, равном половине длины
волны z =°'26~Q°
иы. Zraaxe 0>74Q0 •
Соответствующие zmaxl и zmax2 зависят от величины Qo, что видно
уже из того факта, что при Q0=l пекулярная скорость и отношение
ее к хаббловскои непрерывно нарастают, максимумов нет. Из общих
соображений ясно, что zmaxl и zmax2 всегда, при любом Qo, соответ-
соответствуют [по формуле (9.5.9) для Q(z)I определенным, не зависящим
°т й0 значениям:
^maxi = Q (zraaxl) = 0,38, Qmaxa = Q (zmax a) = 0,26.
10*

292 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 1ГЛ. 9
§ 6. Численные оценки
Используем развитую выше теорию для расчета эвелюции воз-
возмущений в модели Фридмана в нейтральном газе после рекомбина-
рекомбинации (z^HOO). С помощью полученных выше формул можно оце-
оценить, какой должна быть амплитуда возмущений плотности и ско-
скорости на момент рекомбинации для того, чтобы к сегодняшнему
дню могли образоваться галактики и скопления галактик. Можно
также рассчитать характерную массу, соответствующую массе
Джинса. Следует иметь в виду, что линейная теория, в принципе,
может дать ответ только с точностью до порядка величины. Напри-
Например, с возмущением данной длины волны по соображениям размер-
(Я. \3
■у) р. В действительности
в силу статистического характера задачи, даже если возмущения
имеют одну определенную длину волны, что нереально, очевидно,
что эволюция возмущений приведет к спектру масс. Расчет этого
спектра очень труден, к тому же в настоящее время параметры
Вселенной определены очень неточно. Особенно плохо мы знаем
значение средней плотности. Поэтому необходимо рассматривать
весь интервал значений l^Q>0,025.
Примем Яо=75 км/сек-Mac, Q=l, po=lO~29 г/см3, р=10-2в
A+zK г/см3, ррек =3-10-*° г/сж3, zpeK= 1400, Грек=3800°К, /„„да
»0,5 ■ 1013 сек (индекс «рек» — рекомбинация). Длина волны Джинса
и соответствующая ей масса на момент рекомбинации равны
^^- «8-107 у - = 2,8-10» следа 10 nc,
V " ■ (9.6.1)
3,3- lO~"T*/.p-1/»Af0« 5- 10*Af©.
Здесь /?=8,3-107 эрг/град-моль — газовая постоянная, \i — моле-
молекулярный вес [[г=1 для нейтрального водорода — учет 30% (по
весу) Не4 не меняет результат заметно]. Длина, соответствующая
^дж.рек. в ходе последующего расширения изменяется по закону
14 кпс/A+г). Следовательно, все объекты, начиная с шаровых
скоплений с Af«10eAfo, надкритичны, т. е. превосходят массу
Джинса, и их эволюцию после рекомбинации можно рассматривать
без учета давления.
В межгалактическом пространстве нет заметной плотности нейт-
нейтрального газа. Возможно, это указывает на то, что после образова-
образования галактик и скоплений галактик газ был разогрет и ионизован
вторичными процессами (тогда ц=1/г). Наблюдения изотропного
рентгеновского излучения дают верхний предел T<;10e(l+z)cK-
Принимая этот закон для зависимости T(z), получим
(9.6.2)

$ в] ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ 293
При такой зависимости T(z) величина Маш не зависит от г. Те же
формулы в предположении Q=0,025, ро=2,5-1О~31 г/см3 дают для
нейтрального газа на момент рекомбинации
^=1,8-10'° еж, МДЖ = 3,ЫО5М0 (9.6.3)
и, наконец, для ионизованного газа с T<10e(l+z)
СП
*■« < iqpj Mnc> мдж < 6,3 • 1013Мо.
В предположении Т«:10вA-Ьг)сК лишь в большом масштабе D0—
60 Мпс), в котором уже неоднородность мала, можно не учитывать
влияние давления при Q«l, но если Q<^1, то и этот масштаб близок
к критическому *).
Найдем, каковы должны быть возмущения плотности 6рек при
красном смещении zpeK, т. е. на момент рекомбинации, для того,
чтобы сделать возможным рождение отдельных объектов при z=
=2Рожд Bрожд выбираем в интервале 2—10); при этом полагаем,
что возмущения скорости отсутствовали:
t, , -с . . с 5 .с , . 5 "I (грек)
°рожд = 1 — Я01 \грожя>> °рек — "з" AOi (Zve«) ~ "J 6,- (грожд)
(множитель 5/3 учитывает, что при z=zveH »=0). При Q=l и 6,-~
это дает
6рек = 1,2-10-з(
В случае Q=0,025, если грожд<20, то
Если же на момент рекомбинации возмущения плотности малы, а ве-
велики возмущения скорости, то можно найти величину DpeK, при-
приводящую к 6(грожд)=1. В этом случае амплитуда возмущений
скорости зависит от масштаба возмущений или от охваченной воз-
возмущением массы.
Для Q=l мы получаем
= 4- ЮМ +2рожд)
) Подчеркнем еще раз, что выражение T=10e(l+z) есть только верхний
предел. При рекомбинации и в последующем периоде до гкзЮО теплообмен газа
и излучения велик, и другие соображения показывают, что температура заведомо
была низка.

294 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
Если в соответствии с наблюдениями взять наибольший масштаб
60 Мпс на сегодня и потребовать рождения при красном смещении
2рожд=2, то i>peK «5,5-10~4 с на момент рекомбинации и, соответ-
соответственно, vРождда10"г с. Величину DpeK — дивергенцию скорости воз-
возмущения — интересно сравнить с дивергенцией скорости невозму-
9
щенного движения, D^eK = — 2>Н (t) — — -— в момент рекомби-
*рек
нации. При Q=l получим D$K=2-103.
Для Q=0,025 и 2рожд<20 соответствующие расчеты дают
DpeK = 0,8-10-15 сек~1,
vveK= 10-"Я,0 = 0,3- 10%, Мпс = 10-ъсХ0 Мпс =
м у/, .„ . / м у/,
Существует качественная разница между случаем Q — 1 (или )
и случаем Q<^1. В случае большой плотности (Q^l) рост малых
возмущений продолжается до настоящего времени. В некоторых
масштабах нарастание возмущений, возможно, закончилось давно,
при некотором г^жа, как это принято выше, но только в том случае,
если в этом масштабе 6=1 при 2=грожд>1. Тогда наступает нели-
нелинейная стадия и образуются галактики и скопления галактик в
состоянии динамического равновесия. Даже в этом случае наблю-
наблюдения показывают, что в больших масштабах (>60 Мпс) возмуще-
возмущения еще меньше единицы, следовательно, в этих масштабах рост
возмущений продолжается при Q^l.
В случае низкой плотности (£2<^1) необходимо предположить,
что почти все вещество уже перешло в галактики и скопления
галактик. Но рост возмущений в моделях с низкой плотностью
прекращается при z=zx~20 для Q=0,025. Поэтому приходится
предполагать, что основная масса галактик и скоплений галактик
образовалась рано, во всяком случае при z>10, длинноволновые
возмущения остаются малыми и не растут уже давно, с периода
Расчеты для Q=0,025 не точны даже при предположении
Р=0 и в рамках линейной теории. Плотность излучения
pv = —|- = 1,8 • 10~21 г/см3 на момент рекомбинации, тогда как плот-
плотность вещества при 2=zpeK иQ=0,025 равна рвещ~0,8-10~21 г/см3.
Излучение непосредственно не взаимодействует с нейтральным
газом, но скорость расширения невозмущенной Вселенной больше,
чем без учета гравитации излучения. К плотности электромагнитного
излучения нужно добавить нейтрино и т. п. Этот эффект важен
некоторое время после рекомбинации. Расчеты Гюйо и Зельдовича
A970) показывают, что при учете влияния плотности излучения
необходимо задавать возмущения в 2—4 раза большие, чем полу-
полученные выше.

$ 7] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ГАЗА 295
§ 7. Неустойчивость бесстолкновительного
гравитирующего газа
Рассмотрим задачу о возмущениях однородного бесстолкнови-
бесстолкновительного газа [Бисноватый-Коган, Зельдович A970), Мак-Кон
A971), Магалинский, Сильвестров A972), Сильвестров A974)].
Для простоты предположим, что массы всех частиц одинаковы,
распределение скорости изотропно. Расчет проведем по методу
Джинса: на примере обычного газа (подчиняющегося уравнениям
гидродинамики) мы знаем, что некорректность такого рассмотре-
рассмотрения (§ 1) не вносит существенных изменений по сравнению с точ-
точной теорией.
Итак, к уравнению Пуассона
A(p = 4nG6p (9.7.1)
добавим определение объемной плотности через плотность в фазо-
фазовом пространстве. Обозначим через т массу частиц, п — их плот-
плотность в фазовом пространстве, г—координаты, v — скорость.
Тогда
-, v)d3v. (9.7.2)
Кинетическое уравнение имеет вид
gr-^divir)vn + diV(t,)/vi = 0, (9.7.3)
где
F= — V<p.
Решение ищем в виде плоской волны, распространяющейся вдоль
оси х:
ф — fgikx+yt (9 7 4)
где Ф — любая из величин 6р, 6п(г»), <р, F.
Соответствующие множители перед экспонентами в (9.7.4) обо-
обозначаем теми же буквами, невозмущенные величины отмечаем ин-
индексом «0». Получим, сокращая экспоненты,
di0 ,Q *J ГЧ
k* y+ikvx rf(^) -
Подставляя (9.7.5) в выражение для плотности
6p = m$6n-d3i>, (9.7.6)
получим уравнение для у(к).

296 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ [ГЛ. 9
В частности, при /г->-0 для длинных волн получим
J^ (9.7.7)
т. е. тот же результат, что и для обычного газа.
Найдем критическую длину волны из условия у=0. Получим
*£ж = — &тGm J ^gj 4л^ А» = 4л Gp (F5). (9.7.8)
Эта формула также весьма похожа на классический результат
Джинса k^=4nGpb~i, где 6 — скорость звука. Вместо Ь~2 в случае
бесстолкновительного газа фигурирует величина, усредненная по
распределению в пространстве скоростей:
(9.7.9)
^ =у .
\ n0d3v \ nov-dv
В случае максвелловского распределения сравним (v~2) со ско-
скоростью звука и средним квадратом скорости:
т. е. имеем
(o=»)=-jgr = |.6-a=y(i?)-1. (9.7.10)
Результаты для обычного газа и бесстолкновительного несколько
отличаются. Существенное качественное отличие бесстолкновитель-
бесстолкновительного газа, например газа из звезд, возникает лишь на далекой нели-
нелинейной стадии, когда обычный газ даст ударную волну, а звезды
пройдут друг мимо друга.
В заключение дадим ссылки на работы по возмущениям в бес-
столкновительной плазме, важные не для космологической тео-
теории развития возмущений, а для теории галактик: Михайлов-
Михайловский, Фридман, Эпельбаум A970), Бисноватый-Коган A971, 1972а),
Михайловский, Фридман A971, 1973), Бисноватый-Коган, Ми-
Михайловский A973), Марочник, Сучков A974).

ГЛАВА 10
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ
§ 1. Условия роста возмущений
В настоящем параграфе соображения, развитые в предыдущей
главе, применяются к ранним стадиям расширения, когда вещество
полностью ионизовано, плотность излучения много больше плотно-
плотности вещества и вещество связано с излучением *). •
В этот период Вселенная заполнена средой с уравнением состоя-
состояния Р=е/3.- Скорость звука b=c/yr3. В расширяющейся Вселенной
Р=Е/3~а~* (а — масштабный фактор); для невозмущенного рас-
расширения а = а0 \Г1, Р = 32л Gt2 = ~Ч*— независимо от зна-
значения Q сегодня. Если отношение общей плотности энергии фотонов,
нейтрино и гравитонов к плотности энергии фотонов равно gt то
goT* = рс2, Т = 0,58- lO'g-'/.p1/. =
= 1,5 .lO10^-1/.*-1/, = 2,7A + 2). A0.1.1)
Плотность вещества равна
Рвещ = &Ро A + гK = Q A + z)a 10-2В г/см3 = 1,7 Qgr-V« *-"/.. A0.1.2)
С помощью критерия Джинса найдем границу между областями
*) В дальнейшем будут сделаны необходимые уточнения: при Q=l есть ко-
короткий период, когда плотность вещества больше плотности излучения, хотя ве-
вещество еще полностью ионизовано. Гелий рекомбинирует раньше, чем водород. Ве-
Вещество может считаться сильно связанным с излучением лишь для длин воли боль-
больше определенной величины, зависящей от Г. В этот короткий период скорость звука
с ( Зрвещ\-'Л
изменяется со временем по закону Ь = .— I 1 -\ ) ; плотности ве-
V 3 \ 4pv /
щества и излучения сравниваются при z=zx= 104 Q, /=2- 10й Q~2 сек; закон из-
изменения плотности вещества со временем следует писать в виде рВещ=77—ГТг" »
где /o=2.ioii Q-a (l_o,135 Qv*) сек. Рекомбинация происходит при z=1400,
Т = 3800° К в момент /v=1013 сек (при Q<0,07) или /v=5Q"'/"-10i2 сек
(при Q>0,07). Более подробно будет рассмотрена и роль слабовзаимодействую-
«Цих частиц.

298 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
устойчивости и неустойчивости. Запишем возмущения в виде
где k = xa-1(t) = k^a-1(t0)(l + z), 1 = Щ- = ^ (kB и К отно-
относятся к настоящему времени).
Критерий Джинса имеет вид b2k2 — 4л Gp; подставляя значения
р и 6, получим
2 V2
Результат, согласно которому джинсовская длина волны Я,дж по-
порядка ct (с учетом того, что скорость звука порядка с), очень нагля-
нагляден: ct есть расстояние, на котором успевает произойти выравнива-
выравнивание плотности за счет перепада давления. Инвариантными харак-
характеристиками возмущения (не зависящей от расширения) являются
Я,Одж> /гОдж и Мдж. Джинсовская масса определяется как коли-
количество вещества (без излучения), содержащееся в объеме (Я,дж/2K.
Мы должны выразить эти величины через z и t, используя приведен-
приведенные выше формулы. В результате получим
Маж =
£1/г A+2) см~\
/. = 5,5- 103«g-'/* (I
0.6Qg-V. *•/. Ме =
) см,
A0.1.4)
Удобно изобразить расположение областей устойчивости и неустой-
неустойчивости на плоскости lg t— lgAf. Мы возьмем за абсциссу lgAf
и за ординату lg t. Тогда формула для М^ (i) изобразится прямой
линией на этой плоскости. Легко проверить, что ниже и справа от
этой линии лежит область, неустойчивости, выше и слева — устой-
устойчивости (рис. 43, 44).
Ограничения в области очень малых масс (левый нижний конец
прямой М=МЛШ) сейчас нас не интересуют. При больших t, оче-
очевидно, теория справедлива лишь до момента рекомбинации р
горизонтальная линия на рис. 43, 44). При Q«0,025 условие pY>
>Рвещ выполнено вплоть до £peK; этому случаю соответствует рис. 43
(для g=2). При Q=l рвещ=Рт достигается при г1=2-10* g. В об-
общем случае произвольного Q условие рвещ—рт достигается при
Zj=2-10* Q/g. В этом общем случае между zx и грек=1400 (если
2i>zpeK) М = const и не зависит от г. Эта константа равна Маш=
= l,2-10iegV'Q-2/Vfo- Значению Q=l соответствует рис. 44. После
рекомбинации вступают в силу соображения предыдущей главы;

$ 1]
УСЛОВИЯ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ
299
критическая джинсовская масса зависит только от давления самого
вещества; возмущения плотности нейтрального вещества теперь,
при £>*Рек. не сопровождаются изменением плотности излучения.
Таким образом, при *<*peK и при f>tpeK существенно различается
15
Lpiir
10
5
У
I
l
Mi ^^^
/M=Mem
IS I
/Ъ 10
I
15
Мг
20
Ш
*
Рис. 43. Расположение областей устойчивости и неустойчивости на плоскости
lg /_ig м при Q=0,025. Линия М=Маж отделяет область устойчивости от об-
области неустойчивости. Линия M=Mt ограничивает область эффективной дисси-
диссипации возмущений (см. § 2 гл. 10). Массы М>М,АЖ находятся в области неустой-
неустойчивости, массы ЛКМдЖ— в области устойчивости, возмущения с массой M<Mt
экспоненциально затухают со временем. В период рекомбинации М4 увеличивается
до М\ (показано крестиками). Момент рекомбинации /=/рек совпадает (при
й=0,025) с моментом, когда сравниваются плотность вещества и плотность излу-
излучения. Мх— масса Джинса после рекомбинации. Она несколько уменьшается
после /я;101Б сек (см. §8 гл. 14). Волнистой линией условно обозначен момент вто-
вторичного разогрева вещества (см. гл. 14). Остальные обозначения даны в тексте.
сам характер движения, связанный с возмущениями плотности:
при t<itveK сжатие вещества сопровождается сжатием излучения,
при £>£реК нейтральное вещество сжимается на фоне равномерного
невозмущенного распределения излучения. Давление излучения
больше давления вещества в отношении числа фотонов к числу про-
протонов и электронов (до рекомбинации) или к числу атомов водорода
(после рекомбинации), что составляет около 3- 10VQ. Не удиви-
удивительно, что в момент, когда выключается влияние излучения на
движение вещества, критическая джинсовская длина волны резко
падает, в ^3- 10VQ раз, а джинсовская масса уменьшается в
C-lO7/Q)'/i раз, до величины Мх порядка 5-104 Q-1/«.M©, найденной
в предыдущей главе.

300
Неустойчивость в горячей модели
{гл. ю
Эволюция возмущения данной массы соответствует продвижению
вдоль вертикальной линии.
При Af<Af !~5- lO^-'/.Af© (область / на рис. 43 и 44) возму-
возмущения , заданные в области неустойчивости, растут только до момента
пересечения вертикальной линии с линией, соответствующей М^.
Позже возмущения всегда остаются в области устойчивости *).
Рис. 44. Расположение областей устойчивости и неустойчивости на плоскости
tg t—lg М при Q=l. Обозначения совпадают с рис. 43. В момент t=tx сравни-
сравниваются плотность вещества и плотность излучения, в момент /peK>'i происходит
рекомбинация. На интервале t1<,t^fveK масса Джинса постоянна.
Для Mi<iM<.Ms (область //) возмущения растут от момента
сингулярности вплоть до наклонной линии, соответствующей Маш.
Затем возмущения попадают в область устойчивости. Мы увидим
далее, что jb этой области происходят колебания постоянной или
затухающей амплитуды. Рост возмущений снова продолжается
после рекомбинации, когда вертикальная линия пересекает гори-
горизонталь t=tveK. Наконец, для Af>Afa возмущения всегда нахо-
находятся в области неустойчивости и растут непрерывно.
Важной характеристикой является масса М2 и соответствующий
размер Х2 (отнесенный к настоящему времени). Для Q=0,025 Af2=
=3-10"MqиК=930Мпс; для Q= 1 М2=3,4-10"Меи Х2= 125Мпс.
*) Точнее, граница / лежит (на рис. 43 и 44) несколько левее Ми так как на
поздних этапах расширения МДН{ уменьшается из-за охлаждения расширяющегося
газа (см. §8 гл. 14).

•\
УСЛОВИЯ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ 301
Эти еначения заведомо больше, чем наблюдаемый в настоящее время
масштаб сильной неоднородности во Вселенной.
Какова скорость роста возмущений в области неустойчивости и
как ведут себя возмущения в области устойчивости в случае радиа-
ционногдоминированной плазмы? В области неустойчивости можно
пренебречь ролью давления. Поэтому для ответа на первый вопрос
используем автомодельную технику. Пусть невозмущенная сфера
расширяется согласно уравнению (см. §§ 6, 8 гл. 1)
\* в /in 1 *\
) =7F' A0Л-5)
т.е. R = {8BLtfl> с плотностью р = -^= Щ* = 32nGt* ' так что
Пусть эволюция возмущенной сферы описывается уравнением,
отличающимся от A0.1.5) постоянной а:
В линейном приближении ( в <^ 1 ) это уравнение решаем
методом последовательных приближений:
Справа в члене с а мы заменим R' на невозмущенное значение R
из A0.1.5). Получим
Относительные возмущения плотности равны
=—4
4
p R
= const-A+z)-2. A0.1.8)
Возмущения плотности с длиной волны больше джинсовской (т. е.
лежащие в области неустойчивости) растут пропорционально t
или (i_|_z)~2, если уравнение состояния Р—е/3 *).
*)Для наиболее жесткого уравнения состояния (P=e)z=/-*'> и тот же метод
дает 6~f /'~г~*. В соответствующей таблице иа стр. 527 «Релятивистской астро-
астрофизики» имеется ошибка. Затухающие возмущения плотности во всех случаях
убывают с течением времени, как t~\ Здесь в качестве невозмущенного решения
взята плоская Вселенная, возмущение в зависимости от знака а соответствует
замкнутой или гиперболической (открытой) космологической модели вблизи
сингулярности.

302 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
Общая плотность р и плотность вещества рвещ связаны нелиней-
нелинейным соотношением рВеЩ'^'Р1/1- Для малых возмущений тем не Менее
выполняется линейное соотношение бвещ = Рвещ~ Рвещ =тв и бвещ
Рвещ
растет также пропорционально t. Обоснованием формул A0.1.5)
и A0.1.6) является проведенное в разделе I точное релятивистское
рассмотрение космологических решений с Р=е/3.
В области устойчивости поведение возмущений подобно звуковым
волнам. В жидкости с Р=е/3 и с постоянной скоростью звука ско-
скорость и плотность возмущений связаны соотношением
Плотность энергии звуковых волн, которая является квадратич-
квадратичной функцией амплитуды, после усреднения на интервале, содер-
содержащем много длин волн, запишем в виде
еэв = 2р-£ = ^рЬ*=-^е. A0.1.10)
При изменении параметров, медленном по сравнению с частотой
колебаний (к= — < с< J, в идеальной невязкой жидкости адиабати-
адиабатические инварианты сохраняются. Энергия волнового пакета или
звуковая энергия в данном сопутствующем объеме (F~z~8~<s/s)
пропорциональна частоте, т. е. £Vv=inv. Частота равна Ь/Я,~г.
Наконец,
Е = e3BV ~ e3Bz-3 ~ 62ez-3 ~ frz ~ b/X~z. A0.1.11)
Следовательно, амплитуды плотности и скорости возмущений
в звуковой волне постоянны до тех пор, пока можно не учитывать
затухание из-за диссипативных процессов.
§ 2. Диссипативные процессы и затухание
адиабатических возмущений
Вопрос о роли диссипативных процессов в эволюции адиабати-
адиабатических возмущений был впервые рассмотрен Силком A968). Ана-
Аналогичные расчеты, проделанные Дорошкевичем A968), содержатся
в его диссертации, но остались неопубликованными.
Простые зависимости и удобные формулы получены Силком для
предельного случая, когда плотность излучения больше плотности
вещества, pT>pDeiu, длина волны меньше расстояния до горизонта,
X<Cct, длина свободного пробега фотонов существенно меньше ct.
Амплитуда возмущений считается малой, т. е. рассматривается
линейная теория. В действительности все эти предположения в
большей или меньшей степени нарушаются в период вблизи момента

i Si. ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 303
рекомбинации; в ряде последующих работ [Пиблс и Ю A970),
Чибисов A972а),Филд A973а), Вайнберг A971)] теория диссипатив-
ных процессов была уточнена и численные результаты заметно
изменились. Тем не менее полезно сперва рассмотреть элементар-
элементарную теорию, область применимости которой ограничена перечис-
перечисленными выше предположениями.
Итак, мы имеем дело со средой с уравнением состояния Р—е/3
и скоростью звука Ь=с1\гЪ; условие X<ict означает также Я,<Я,ДЖ,
так что можно пренебречь ролью тяготения и рассматривать аку-
акустические волны. В макроскопическом рассмотрении причиной
затухания звука являются вязкость и теплопроводность среды.
В свою очередь вязкость и теплопроводность связаны с диффузией
фотонов.
Рассеяние фотонов на электронах определяется формулой Том-
сона, сечение рассеяния равно
ат = — г% = —-£- = 0,665-10~2« см\
т 3 3 mlc1
Это сечение не зависит от частоты при v<<^^—. Рассеянием на
протонах можно пренебречь (т2 в знаменателе!). Точно так же при
z<108 можно пренебречь релятивистскими эффектами рождения
пар е+, е~ и рассеянием фотонов на фотонах. Следовательно, в
интересующей нас области длина пробега
/v=(aI/ie)-1 = 2,5-10"Q-1z-» см. A0.2.1)
Для сравнения с другими характерными длинами найдем массу обыч-
обычной материи в шаре с диаметром /v, обозначим ее М3:
Л*,= £fyw = 0.4- W™Q-*z-°Mo. A0.2.2)
На момент рекомбинации эта масса равна
A0.2.3)
Итак, для масс меньше М3 при соответствующем г затухание
происходит практически мгновенно — достаточно одного свобод-
свободного пробега фотонов, т. е. интервала меньше периода колебаний
Для полного затухания. Для больших масс, М>МЪ, мы вправе
применять макроскопические понятия вязкости и теплопроводно-
теплопроводности, поскольку длина пробега фотонов меньше длины волны воз-
возмущения. Затухание за время одного колебания невелико, но это не
исключает возможности существенного затухания в космологичес-
космологических условиях, так как при X<^jct акустическая волна совершает
много колебаний за характерное космологическое время.

304 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
т
Кинематическая вязкость v, т. е. отношение вязкости vf плот-
плотности v=T]/p, и температуропроводность <р, т. е. отношение, тепло-
теплопроводности к теплоемкости единицы объема, имеют одинаковую
размерность — ту же, что и коэффициент диффузии. Иногда назы-
называют кинематическую вязкость «коэффициентом диффузии скоро-
скорости», а температуропроводность — «коэффициентом диффузии тем-
температуры». В предположениях, сделанных выше *),
v = ф= у/уС = 2,5-Ю38^-^-3 смУсек. A0.2.4)
Составим уравнение для энергии колебания одной монохромати-
монохроматической волны (подразумевается энергия в единице сопутствующего
пространства). Волна характеризуется «сопутствующим» волновым
вектором k0, связанным с текущим (мгновенным) значением волно-
волнового вектора соотношением
A0.2.5)
В интересующем нас периоде до рекомбинации, z>1400, пренебре-
пренебрегаем единицей по сравнению с г. Уравнение для энергии имеет вид
^^ ff (Ю.2.6)
dt 1ШУ V ы / z
где A^2,5-lO3SQ-1kl
В уравнении A0.2.6) фигурирует отношение (Е/ы) потому, что
при расширении без диссипации сохраняется именно эта величина,
адиабатический инвариант. Затухание, зависящее от диссипации,
приводит к результату
A0.2.7)
о
Так как z~t~^', то интеграл сходится; удобно записать
t = t*oz-\ dt =—2t*0z~3dz,
8
^- - 101» сек = 2,2 • 10" сек,
t
z
A0.2.8)
Затухание волны определяется всегда последней частью всякого
рассматриваемого периода: увеличение длины свободного пробега
*) Заметим, что если плотность обычной материи порядка или больше плот-
плотности излучения, но плотность фотонов по-прежнему значительно больше плот-
Pv
ности протонов и электронов, то v уменьшается в отношении — тогда как <р
Р + Р
остается без изменения.

j 2] \ ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 305
фотонов V периода колебаний пересиливает увеличение длины
волны. \
Выберем в качестве конечного момент рекомбинации и z=zpeK'a
= 1400 (это возможно лишь при Й^0,07, так как тогда pv^pBeul
вплоть до zpeK, при больших Q необходимо учесть иной характер
расширения \ при Zi^z^zpeK и учесть влияние теплопроводности).
Интеграл дает определенное число, и ответ имеет вид
ZpeK
Величина в экспоненте зависит от длины волны возмущения;
удобно от этой зависимости перейти к зависимости от массы, ха-
характерной для данной волны:
tlA - tl 25 in». o-i*i--*•!*!--(*k Y'1
где
41Oi2 9 4 ? A0.2.10)
(для Q=l УИ^З.3-1011 Af©).
Таким образом, появляется еще одна характерная масса УИ4;
при M>Mt можно пренебречь затуханием, при УИ<УИ4 затухание
имеет существенное значение, адиабатические возмущения прак-
практически исчезают: при УИ=0,Ш4 ехр [—@,1)/«]=10, при
УИ=0,0Ш4 ехр [—@,01)~7«]=4,5-10о. Поэтому величина М3— мас-
масса, при которой затухание происходит за одно колебание,— не
играет роли. Любопытно, что по порядку величины длина волны
возмущения, затухающего за космологическое время, есть среднее
геометрическое длины свободного пробега фотонов и характерной
длины ct; это видно и сразу из условия
v#~£^~l, K~lrct. A0.2.11)
Соответственно Mt ~ 1ЛИ3МДЖ, где УИДЖ — джинсовская масса.
Весьма интересно отмеченное Силком совпадение характерной мас-
массы Mt и массы крупных галактик.
График для Mt=Mt(t) показан на рис. 43 и 44. Однако мы уви-
увидим в конце этого параграфа, что в действительйости из-за процес-
процессов в период рекомбинации эта характерная масса, меньше которой

304 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
Кинематическая вязкость v, т. е. отношение вязкости yj плот-
плотности v=T]/p, и температуропроводность <р, т. е. отношение тепло-
теплопроводности к теплоемкости единицы объема, имеют одинаковую
размерность — ту же, что и коэффициент диффузии. Иногда назы-
называют кинематическую вязкость «коэффициентом диффузии скоро-
скорости», а температуропроводность — «коэффициентом диффузии тем-
температуры». В предположениях, сделанных выше *),
/c251038Q-1z-3 смусек. A0.2.4)
Составим уравнение для энергии колебания одной монохромати-
монохроматической волны (подразумевается энергия в единице сопутствующего
пространства). Волна характеризуется «сопутствующим» волновым
вектором fc0, связанным с текущим (мгновенным) значением волно-
волнового вектора соотношением
В интересующем нас периоде до рекомбинации, z>1400, пренебре-
пренебрегаем единицей по сравнению с г. Уравнение для энергии имеет вид
ш (Ю.2.6)
где A=2,5-lO3SQ-1kl
В уравнении A0.2.6) фигурирует отношение (Е/ы) потому, что
при расширении без диссипации сохраняется именно эта величина,
адиабатический инвариант. Затухание, зависящее от диссипации,
приводит к результату
о
Так как г~1~1/г, то интеграл сходится; удобно записать
t = t*oz-\ dt = —2t*0z~3 dz,
Г0 = ^4--10и сек = 2,2 • 1018 сек,
g''
A0.2.8)
Затухание волны определяется всегда последней частью всякого
рассматриваемого периода: увеличение длины свободного пробега
*) Заметим, что если плотность обычной материи порядка или больше плот-
плотности излучения, но плотность фотонов по-прежнему значительно больше плот-
Pv
ности протонов и электронов, то v уменьшается в отношении тогда как
Р + Р
остается без изменения.

j 2] \ ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 305
фотонов V периода колебаний пересиливает увеличение длины
волны. \
Выберем в качестве конечного момент рекомбинации и z=zv<,K**
= 1400 (это возможно лишь при Й^0,07, так как тогда pv^pBem
вплоть до грек, при больших Q необходимо учесть иной характер
расширения \ при Zi^z<jzpeK и учесть влияние теплопроводности).
Интеграл дает определенное число, и ответ имеет вид
Величина в экспоненте зависит от длины волны возмущения;
удобно от этой зависимости перейти к зависимости от массы, ха-
характерной для данной волны:
где
Л1=РВещ(|Т=1'5-1°-в1^0-3Л1о, ]
(Ю.2.10)
(для Q=l M4=3,3-10lx Mo).
Таким образом, появляется еще одна характерная масса Mt;
при М>МА можно пренебречь затуханием, при УИ<УИ4 затухание
имеет существенное значение, адиабатические возмущения прак-
практически исчезают: при УИ=0,Ш4 ехр [—@,1)/"]=10, при
УИ=0,0Ш4 ехр [—@,01)~7«]=4,5-10О. Поэтому величина М3—мас-
М3—масса, при которой затухание происходит за одно колебание,— не
играет роли. Любопытно, что по порядку величины длина волны
возмущения, затухающего за космологическое время, есть среднее
геометрическое длины свободного пробега фотонов и характерной
длины ct; это видно и сразу из условия
v*i~££~l, te-l^.ct. A0.2.11)
Соответственно УИ4 ~ УМ^М^, где Млж — джинсовская масса.
Весьма интересно отмеченное Силком совпадение характерной мас-
массы Mt и массы крупных галактик.
График для Mt=Mt (t) показан на рис. 43 и 44. Однако мы уви-
увидим в конце этого параграфа, что в действительйости из-за процес-
процессов в период рекомбинации эта характерная масса, меньше которой

306 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ / [ГЛ. 10
возмущения диссипируют, вырастает за короткий период рекомби-
рекомбинации до M*t=l013M®. Это увеличение отмечено на ряс. 43 и 44
линией с крестиками. /
Можно предполагать, что в начальном спектре возмущений
масса Mt не выделена, амплитуда возмущений, соответствующих
различным массам, плавно возрастает в сторону малых масс. Однако
к моменту рекомбинации диссипативные процессы устраняют все
коротковолновые адиабатические возмущения.
В теории первичных адиабатических возмущений обособление
объектов с массами меньше Mt может происходить лишь путем
последующей фрагментации больших (M>Mt) объектов.
Необходимо иметь в виду, что при Q>0,07 еще до рекомбинации
нарушается условие доминирования излучения. При этом тепло-
теплопроводность становится важнее вязкости. Далее, сама рекомбина-
рекомбинация происходит не мгновенно.
В ходе рекомбинации уменьшается плотность электронов при-
примерно в 10 000 раз при изменении z в 1,5 раза. Длина пробега
фотонов пропорциональна ие. Значит, в ходе рекомбинации при
изменении реещ в 3 раза в 10 000 раз увеличивается длина пробега
фотонов. Согласно формулам для теплопроводности и вязкости эти
величины растут в том же отношении. Затухание акустических волн
усиливается — однако усиления затухания в 10 000 раз не прои-
происходит!
Дело в том, что начиная с момента, когда длина пробега стано-
становится равной длине акустических волн, нельзя пользоваться поня-
понятиями вязкости и теплопроводности. Для массы УИ = 1013 УМ©, й=1,
z=zp2K, это условие достигается при ne=102cw~3, т. е. при сте-
степени ионизации порядка х=пе/и„=0,01. Дальнейшее уменьшение
степени ионизации уже не приводит к усилению затухания. Ха-
Характерное время торможения частично ионизованного (х<1) ве-
вещества в поле излучения с плотностью энергии ev есть
4 Еуох \ г J х
т 3^ /^\М
4 Еуох \ г J х ч
При х<0,01 это время больше космологического. Практически вык-
выключается всякое взаимодействие вещества с излучением; поскольку
на почти нейтральное (>99%) вещество не действует давление
излучения, начинается период движения вещества под действием
одних только сил тяготения с начальным распределением плот-
плотности и скорости, зависящим от процессов на стадии до реком-
рекомбинации.
Итак, характерная масса, меньше которой все адиабатические
возмущения затухают к концу периода рекомбинации есть М\^
«1013УИо [Чибисов A972а, б), Пиблс и Ю A970)]. Эта масса играет
фундаментальную роль в теории образования галактик.

J 3] \ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ЧАСТИЦАМИ 307
§ 3. Взаимодействие возмущений со свободными частицами
При рассмотрении развития возмущений плотности, а также
распрострайения гравитационных волн возникает вопрос о возмож-
возможной роли таких частиц, как нейтрино и высокочастотные гравитоны.
Выше, в связи с теорией горячей Вселенной, обсуждались пределы,
в которых лежит плотность таких труднонаблюдаемых частиц
(ТНЧ); напомним, что 0,5pv<pTH4<10pv (см. § 5 гл. 7). Там же
рассматривалось влияние ТНЧ на закон космологического расши-
расширения.
Упоминалось также косвенное влияние ТНЧ на развитие воз-
возмущений за счет изменения общего темпа расширения.
В принципе, однако, есть и специфический эффект необратимого
отбора энергии от акустических колебаний, приводящий к нагрева-
нагреванию ТНЧ. Этот эффект зависит от гравитационного взаимодействия
волны переменной плотности с ТНЧ. Поскольку ТНЧ образуют
бесстолкновительный газ, рассматриваемое явление подобно зату-
затуханию Ландау в теории власовских колебаний бесстолкновитель-
ной плазмы.
Дадим оценку порядка величины эффекта.
Акустическая волна распространяется со скоростью
Возмущения гравитационного потенциала связаны с возмущением
плотности соотношением
Дф = — k*q>k = 4nGbp = 4nGp-&. A0.3.1)
Среди ТНЧ, движущихся со скоростью света во всех направлениях,
есть также такие, которые движутся в фазе с волной: для этого нуж-
нужно, чтобы их скорость была направлена под углом ~55° к волновому
вектору. Доля частиц порядка ф/с2 захвачена и движется, все время
отбирая энергию. Скорость отбора энергии порядка рзахв изахв F,
где
РтниФ г
Рзахв = -JJTL-. "захв = у=-, F = — ^ = ik^k. A0.3.2)
Таким образом, скорость отбора энергии порядка
W = Лртнчф2^1 = Dл)а G2p268pTH4 с-Ч-3 эрг/см3 -сек. A0.3.3)
Это выражение надо сравнить с плотностью акустической энергии
еав = ры2 = рс2б2. A0.3.4)
Получим уравнение
^^у\. A0.3.5)

308 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
Следовательно, эффект — порядка единицы при переходе через
нижнюю границу области устойчивости <=<х. В этот момент а)~
~1/<!, к~Ълж (мы полагаем ртнч~р). Однако в дальнейшем, как
показал Пиблс A973а) затухание снова мало; таким образом, при
переходе границы устойчивости происходит однократное уменьше-
уменьшение амплитуды в \^е раз (или около того), и на этом влияние ТНЧ
ограничивается.
С другой стороны, до перехода границы устойчивости, при
t<^tlt затухания возмущений, очевидно, не происходит. Уже отме-
отмечалось, что возмущенную область в этом периоде можно рассмат-
рассматривать как независимо развивающийся участок Вселенной с изме-
измененными (по сравнению с окружающим веществом) начальными
параметрами. На краях возмущенной области имеют место градиен-
градиенты плотности, давления, скорости, и от краев в глубь возмущенной
области идут волны разгрузки, нарушающие вышеописанную
идиллическую картину. Условие t<.tx есть условие, чтобы разгрузка
не затронула всю область; но скорость волны разгрузки с/\^3 мало
отличается от скорости ТНЧ, равной с, поэтому при fc^ кар-
картина эволюции возмущенной области сохраняется и в присут-
присутствии ТНЧ.
Итак, общий вывод заключается в том, что во всем интервале
масштабов возмущений, где имеет место период акустических коле-
колебаний, присутствие ТНЧ вызывает очень небольшое уменьшение
амплитуды колебаний по сравнению с теорией, не учитывающей
ТНЧ. Это уменьшение практически не зависит от масштаба и про-
происходит в период превращения растущих возмущений в колеба-
колебательные (акустические).
§ 4. Энтропийные возмущения
Первичная плазма состоит из двух различных субстанций: из-
излучения и вещества. Поэтому можно представить себе, что состав
смеси, т. е. отношение вещества и излучения, может быть непос-
непостоянным, изменяться от точки к точке.
Неоднородности такого типа на ранних стадиях расширения,
при pv^>pBem, не вызывают движения вещества или излучения и
заморожены. Позже, после рекомбинации, неоднородности в рас-
распределении вещества на фоне однородного излучения приведут к
возникновению движения качественно тем же путем, что и адиаба-
адиабатические возмущения.
В качестве первого приближения рассмотрим возмущения плот-
плотности вещества
на фоне однородного излучения pv=const. Предположим, что ско-
скорость вещества utturf=Q, тогда как фоновое излучение покоится,

) 4] ЭНТРОПИЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 309
wv=0. Сила трения, действующая на единицу массы вещества,
равна \
\ 4 ат ивещ—иу 4 атрус
ит "Bern-
"Bern's")
Уравнения сохранения вещества и движения приводятся к виду
= — iku
<#>вещ
j/ вещ»
А? • A0.4.3)
^Щ = — ^веиАещ —Т"вещ + "дТ 4яСрвещ8вещ.
В уравнении движения учтены действие давления самого вещества
[но не излучения(!); изотермическая скорость звука в веществе
Ь1ещ=КТ\, сила трения и гравитация. В этой теории, типа теории
Джинса, ответ должен иметь вид бвсщ, ывещ~еш*, где ш определя-
определяется уравнением
to* = 4nGpBeiu—k'bl^—yv. A0.4.4)
В пределе длинных волн,
«дж V
<■>* = — Y- A0.4.5)
Очевидно, есть неустойчивость, ю^О, но рост возмущений
происходит очень медленно. Подставляя численные значения,
получим на момент рекомбинации [при 0^0,07; иначе необходимо
учитывать иной закон расширения в период от z=Zi (pv=рвещ) Д°
РЕещ = 3.10-2°а г1см\ 61ещ = 5,7-Ю11 см*1сек\ )
pY = 2-10~21 г/см3,
ат = 0,665.10-24 см\ 7 = 3-10-" сек-1,
<рек= 1,5-Ю13 сек,
o1 = 8.10-leQ сек'1, ©2= —3-Ю-11 сек-1,
Хотя в принципе усиление «нарастающей моды» происходит, оно
почти полностью подавляется трением, exp Q ^ dt j ^ 1,012. Вто-
Второй корень, о),,, соответствует затуханию начальных возмущений
скорости движения вещества относительно фона излучения без
возмущений плотности; движение вещества быстро затухает, ин-
интеграл \a>tdt расходится, так как <о,,~*-1'.

310 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
Второй предельный случай соответствует коротким волнам,
^ ЛК5-104УИ©. В этом случае оба корня отрицательны:
2
2
о»! = —, <»2 = — V- Условие |сог <|рек=1 выполнено для £рек=
=3-108 см'1. Это значит, что для всех масс М>15пMq
эволюцией возмущений плотности вещества (в течение всего пе-
периода от сингулярности до рекомбинации) можно полностью пре-
пренебречь. Начальное распределение плотности вещества в сопутст-
сопутствующем пространстве сохраняется с очень ранних моментов (от
сингулярности) вплоть до момента рекомбинации. Возмущения
в малых масштабах, M<C15QiMq, сглаживаются из-за движения
вещества относительно излучения. Можно, конечно, подробно ис-
исследовать процесс сглаживания, который протекает с колебаниями
(при k>y/bKeui) или без колебаний (при k<Cy/bBeui). Однако такая
бесплодная любознательность похожа на позицию врача, который,
узнав, что его пациент умер, настойчиво интересуется, икал ли
больной перед смертью.
Не затухают к моменту рекомбинации — а следовательно, ос-
остаются практически такими же, как и в начальный момент (как
угодно близкий к сингулярности),— энтропийные возмущения с
M>15QMq. Однако сразу после рекомбинации решающую роль
играет давление нейтрального газа, с учетом которого джинсовс-
кая масса равна М1=5- WQ'^'Mq.
Энтропийные возмущения с ЮЪМ(£^М^М1 сохраняются (по-
(постоянны до рекомбинации, но переходят в акустические колебания
нейтрального газа и быстро затухают после рекомбинации). Воз-
Возмущения с М{>М сохраняются до рекомбинации, а затем нара-
нарастают!
Существуют гипотезы, в которых образование объектов, с массой
порядка Мг [сверхзвезды — Дорошкевич, Зельдович, Новиков
A967а) или шаровые скопления — Дикке и Пиблс A968)] рассмат-
рассматривается как следствие энтропийных возмущений.
Отметим, наконец, что идеализированная картина энтропийных
возмущений на фоне постоянного давления излучения справедлива
лишь при длине волны меньше cLtK, т. е. при массе меньше УИ~
~1016— 1017УИо.
Это условие необходимо для того, чтобы действительно успело
произойти выравнивание давления.
Легко убедиться, что в предельном случае волнового вектора
k->~0 (или возмущенной массы УИ-»-оо) энтропийные возмущения в
плоском мире приводят лишь к затухающему возмущению плот-
плотности *)! Сравним два плоских мира с различной энтропией веще-
вещества, эволюционирующих независимо друг от друга. В пределе
*) При возмущении энтропии Вселенная сохраняет топологию — не перехо-
переходит к закрытым или открытым мирам.

5 5] ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 311
t->-oo плотность излучения при любой конечной энтропии стано-
становится малой по сравнению с плотностью вещества. И, следователь-
следовательно, рВещ—► 6яQJ2 независимо от энтропии; относительное различие
плотности, зависящее от различия энтропии, с течением времени
стремится к нулю.
Детальное исследование длинноволновых энтропийных возму-
возмущений в наблюдениях может быть, вероятно, отложено до тех пор,
пока не появятся какие-либо признаки наличия и существенной
роли таких возмущений (см. § 8 гл. 14).
§ 5. Вращательные возмущения
Вращательные (вихревые) возмущения рассматривались в пре-
предыдущей главе. Здесь отметим особенности поведения вращатель-
вращательных возмущений в теории горячей Вселенной, связанные а) с изме-
изменением массы излучения в ходе адиабатического расширения и
б) с фотонной вязкостью.
Напомним, что в данной главе проводится ньютоновское рас-
рассмотрение линейной задачи. Поэтому в дальнейшем мы снова и снова
будем возвращаться к вращательным возмущениям — в трактовке
общей теории относительности и в нелинейной теории, когда воз-
возникает турбулентное движение.
Каков закон эволюции вращательной скорости в простейшем
случае идеальной невязкой жидкости? Рассмотрим сферу радиуса
R с плотностью р и скоростью а=[о)Хг]. Максимальное значение
скорости итах= |ю \R достигается на экваторе. Момент импульса
сферы равен 0,4-д-лр^5о). Если трение отсутствует, то момент им-
импульса сохраняется при расширении. При этом R=R0 a(f) и р=
=РоО~3@ в случае вещества (Р=0) и р=р0йг4@ в случае излучения
(Р=е/3). Поэтому
а>~а-2, ытах~а-1 для Р = 0, A0.5.1)
со^ог1, "max ~ const для Р = е/3. A0.5.2)
На ранних стадиях эволюции Вселенной вихревая (вращательная)
скорость сохраняется при расширении!
Этот закон может быть получен более простым путем: так как
при вращательном движении не возникают градиенты давления
(по крайней мере в линейном приближении), то поступательное
движение данного сопутствующего объема подчиняется тем же зако-
законам, что и движение невзаимодействующей частицы:
ра = const, A0.5.3)
где р — импульс:
р = Ми = pVu. A0.5.4)

31? НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
Это
Р~
Р~
снова
а-;
дает
V~a\
V ~а3,
М =
УМ ~
const,
а-1,
и
и
~а~х
= const
для /
для /
' = 0,
' = е/3.
A0.
A0.
5.5)
5.6)
Результат u=const для Р=е/3 можно сравнить с результатом
u=const для звуковых колебаний в случае Р=г/3 (см. § 1 этой
главы). Ультрарелятивистский газ с Р=е/3 состоит из частиц (фо-
(фотонов), движущихся со скоростью света с. При расширении умень-
уменьшается энергия частиц, но не их скорость. Это и приводит к ре-
результату М~агг, и=const для Р=е/3.
Вязкость первичной плазмы приводит к затуханию вращатель-
вращательных возмущений в малых масштабах. Скорость затухания враща-
вращательных движений и звуковых волн может отличаться лишь безраз-
безразмерным множителем порядка единицы. Поэтому масштаб, в котором
вязкость приводит к сильному затуханию вращательных возмуще-
возмущений до рекомбинации, не может сильно отличаться от результатов,
полученных Силком A968) для звуковых волн.
Так обстоит дело, если вплоть до момента рекомбинации излу-
излучение доминирует, Pv>Pueur В противоположном случае, при
р7<рвещ, в отсутствие диссипации (о~а~2, и~а~х—как для
частиц; кроме того, кинематическая вязкость уменьшается (см.
выше), но звуковые волны затухают также за счет теплопровод-
теплопроводности. Вихревые возмущения не сопровождаются изменением плот-
плотности и температуры, поэтому теплопроводность на них не влияет.
Вследствие этого при большой плотности, Q~l, затухают вра-
вращательные возмущения лишь с УИ<4-1011 Mq, тогда как адиабати-
адиабатические возмущения затухают вплоть до 1018 Mq.
Это обстоятельство выяснил в связи с вихревой теорией Чибисов
A972а, б).
§ 6. Сшивание возмущений при изменении уравнения
состояния вещества
Момент рекомбинации сопровождается переходными явлениями
в нарастающих возмущениях. Сахаров A965) отметил, что эти яв-
явления приводят к своеобразной периодической зависимости конеч-
конечной амплитуды возмущений от длины волны. Он рассматривал хо-
холодную модель Вселенной. Качественно те же явления имеют место
и в горячей модели. Рассмотрим этот эффект в горячей модели.
В первом приближении рассматриваем рекомбинацию как происхо-
происходящую мгновенно и рассмотрим возмущение с длинами волн между
длиной волны Джинса для нейтрального газа и длиной волны Джин-
Джинса в плазме до рекомбинации. Соответствующий интервал масс:
М1 = 5 • W Мо < М < УИЯ = 3,4 • 101в Ме.

} в] СШИВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 313
Этот интервал (числа даны для Q=l) очень широк *). В корот-
короткий период времени около момента рекомбинации расширением
можно пренебречь, т. е. вернуться к джинсовскому способу рас-
рассмотрения возмущений. Растущие и затухающие возмущения^ эк-
экспоненциально зависят от времени; обозначим (o=]/r4nGppeK, где
р ек— плотность в момент рекомбинации. До рекомбинации ре-
решение имеет вид:
б = Akcoskxcos(kbt'-\-ak), \
u = bAksmkxsm(kbt'+ak), J A0.6.1)
где I, = _JL ( i _|__£^i j ",a время /' отсчитано от момента pe-
pel/1} \ 4pv /
комбинации, *'<^рек-
После рекомбинации
б = (Bfte*"' + Cke~ «"') cos kx, )
Коэффициенты Bk, Ck могут быть найдены приравниванием б и и
в момент f=t — ?Рек=0:
= Akcosak, -y^Cft— Bk) =bAk sin aft,
= 4r f cosaft — ^- sin aft ) =
(
I
6=arctg— я»4 при
A0.6.3)
ш 2
В точном решении при учете расширения необходимо заменить
'■' наВк(-—) ' и, соответственно, Cke~at' на Ck(J-z) '•
Ч'рек/ \ t j
Переход t через *рек сопровождается возрастанием амплитуды
плотности в растущей моде Bk после рекомбинации по сравнению
с амплитудой плотности в звуковой волне до рекомбинации. Это
возрастание по порядку величины равно 0,5 (mJMY1*, где УИ2=
=3,4-1016УИ© и М — характерная масса рассматриваемого возму-
возмущения. Этот рост связан со сшиванием скорости и. Для данного
возмущения плотности массовая скорость вещества в звуковой
волне больше, чем в растущих возмущениях.
) Часть интервала Мх<М<М4 в действительности несущественна, так как
в этой части амплитуда волн мала вследствие затухания (см. § 2 этой главы).

314 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ 10
Отметим периодическую зависимость конечной амплитуды (при
£>*рек) В/t от фазы ak. Эта зависимость определяется множителем
cos(aft+6) в A0.6.3).
Каково происхождение и чем определяется фаза aft? Чтобы
выяснить это, необходимо вернуться к ранним фазам расширения,
когда возмущения данного масштаба М были в области неустойчи-
неустойчивости, ниже линии М=Мт, на рис. 43, 44.
В этот период происходит рост одних и затухание других возму-
возмущений. В духе теории малых возмущений в расширяющейся Все-
Вселенной рассмотрим лишь нарастающую моду:
б = Dkt cos kx, и = тр sin kx
Она должна быть сшита со звуковыми колебаниями типа A0.6.1).
Момент сшивки определяется условием (см. рис. 44)
(£)• <10-6-в>
В этот момент
кЬ = УШр& Y~\t&. A0.6.7)
Эти возмущения A0.6.5) сшиваются с решением
б== i4ftcosfex:cosf \j kbdt-\-fik),
Чж J
A0.6.8)
откуда следует определение pft:
Чтобы найти фазу ak на момент рекомбинации, необходимо знать
рост фазы в течение колебаний, т. е. в интервале от tm до £рек. Для
этого учтем изменение длины волны и скорости звука при расши-
расширении:
'рек
J bkdt, ft = xf-V.,xe
A0.6.10)

§ 6] СШИВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 316
Окончательно получаем
^I/'-|. A0.6.11)
Важно, что ak зависит от длины волны возмущения, определяе-
определяемой инвариантом kB или массой М. Если начальные возмущения
задавать в виде гладкой функции Dk(kB) [или Dk(M)], то конечная
амплитуда растущей моды в нейтральном газе имеет вид
Аь(М) = const.£MAf)AfV.cos [гя^I'1—jj-1. A0.6.12)
Она промодулирована последним множителем, который и опи-
описывает колебания [Сахаров A965)]. Грубо говоря, когда начальная
стадия нарастания (при t<.taw) возмущений прерывается колеба-
колебаниями (^дж^^рск) и рост продолжается после рекомбинации
(£>£Рек), то конечная амплитуда возмущений велика, если в ин-
интервале tam— £рек укладывается целое число полуволн, и равна
нулю, если укладывается полуцелое число полуволн. Нули ампли-
амплитуды соответствуют следующим масштабам:
^- = 0,42; 0,166; 0,08; 0,044; 0,027; 0,0176; 0,012;
0,009; 0,0065: 0,005 и т. д. A0.6.13)
Конечно, все числа даны грубо, но очень важно, что периоди-
периодическая модуляция амплитуды вплоть до нуля есть точный резуль-
результат *).
Необходимо пояснить еще одну тонкость. Колебания были взяты
в виде стоячих волн:
k), \ A0 6 14)
ы = ЬЛЛ sin £лг sin (kbt-\-
Стоячие волны принципиально отличаются от бегущих волн, имею-
имеющих вид
8~Akcos(kx—bkt—ак), 1
. V. ... \ } A0.6.15)
и = bAkcos(kx—bkt—ak) ) v '
или, в комплексной форме,
Для бегущих звуковых волн амплитуда растущей моды после
рекомбинации имела бы вид
без модуляции **). Если различие между стоячими и бегущими вол-
нами столь велико, то почему же мы работаем со стоячими вол-
*) Результаты машинного расчета см. Пиблс и Ю A970).
) Пространственная фаза нарастающей моды б (х) после рекомбинации
сдвинута, чю, однако, не влияет на приведенное выше значение амплитуды.

816 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 10
нами? Ответ состоит в том, что при переходе от области нарастания
возмущений при *<*дж к звуковым волнам при £>?дж мы получаем
именно стоячие волны *) без каких-либо независимых допущений.
В связи с явлением модуляции необхедимо отметить следующее.
Мы нашли амплитуду простой единичной моды (амплитуду фурье-
компоненты) с определенным инвариантным волновым числом и=
=ak. Для удобства мы ввели вместо к переменную размерности
массы,связанную с к (вернее, с k) соотношением М =рвещ(-к-\ ~
= зт3рвещ&~3. Эта масса М инвариантна (не зависит от времени),
так как Рвещ^0- Однако не следует думать, что спектр масс
астрономических объектов может непосредственно отражать най-
найденные колебания. Имеются другие процессы (тепловые, грави-
гравитационной неустойчивости), которые искажают влияние началь-
начального спектра на спектр масс астрономических объектов. Осо-
Особенно сильно это влияние на найденные колебания. Эти вопросы
более подробно рассмотрены в следующих главах.
Модуляция не может быть сильной для энтропийных возмуще-
возмущений, которые практически не вызывают движения вещества до
рекомбинации. В этом случае просто Bk=Ak/2. Поэтому, в принципе,
если подробное изучение спектра возмущений в области 1015—
—1018 Mq покажет присутствие модуляций или, наоборот, докажет
отсутствие модуляций, то такой результат позволит выбрать между
адиабатическими и энтропийными начальными возмущениями.
Недавние детальные расчеты Чибисова A972а, б) (с учетом пе-
периода, когда рвещ и pv близки между собой, и с учетом немгновен-
немгновенной рекомбинации) показали, что определенная модуляция — не
достигающая, однако, 100% — имеет место и в случае энтропийных
возмущений. Для адиабатических возмущений принципиально
при любых параметрах (Q, время рекомбинации и т. п.) есть серия
длин волн, для которых теория предсказывает точное равенство
нулю амплитуды получающихся позже нарастающих возмущений,
иначе говоря, для адиабатических возмущений имеет место 100% -ная
глубина модуляции колебаний.
К сожалению, до сих пор нет никаких определенных данных
(кроме неравенств), касающихся амплитуды возмущений. С учетом
всех трудностей неясно, удастся ли когда-нибудь выяснить по моду-
модуляции природу начальных возмущений.
*) Если мы работаем в комплексной форме, то необходимо использовать
условие вещественности А%=А-к.

ГЛАВА 11
ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО
§ 1. Общие принципы и уравнения
Для полного и точного описания развития возмущений с длиной
волны К больше или порядка ct в жидкости с Р=е/3 необходимо
пользоваться общей теорией относительности (ОТО). Некоторые
выводы о законах развития адиабатических возмущений были по-
получены в предыдущей главе без использования ОТО, однако строгое
обоснование этих результатов будет дано ниже. В рамках ОТО мо-
может быть достигнуто более глубокое понимание свойств вращатель-
вращательных возмущений. Только в ОТО возникают возмущения, связанные
с гравитационными волнами.
Вопросы развития возмущений в ОТО были весьма полно про-
проанализированы в классической работе Лифшица A946), позже об-
обзор этого вопроса дан в работе Лифшица и Халатникова A963а, б).
Задача ставилась следующим образом. В качестве невозмущенного
решения берется однородная изотропная модель Фридмана. Тензор
энергии-импульса материи считается гидродинамическим: Tik=
=(е+Р)щик— gikP *). Плотность энергии и давление связаны урав-
уравнением состояния: Р=Р(е). В невозмущенном решении материя
покоится относительно системы отсчета и компоненты 4-скорости
равны н°=1, ы*н=0. Задаются малые «возмущения» модели, т. е.
возмущается метрический тензор etP=gtft+hik (g'$—невозмущен-
(g'$—невозмущенный тензор, hik — возмущения) и тензор энергии-импульса еш=
=е@)+бе, и задаются малые скорости иа (ис определяется из тож-
тождества u'uk—l). Эти выражения подставляются в уравнении Эйнш-
Эйнштейна, которые связывают между собой возмущения hik, бе, иа и
определяют их эволюцию во времени.
Эта задача является типичной задачей Коши; надо задать на-
начальные возмущения и, решая систему уравнений, проследить их
эволюцию во времени.
Здесь необходимы следующие пояснения. Первое пояснение
касается задания начальных возмущений. В фиксированный момент
*) Латинские индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3. греческие —1, 2, 3.
индекс «О» относится к координате времени.

318 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. И
времени /0=const возмущения hlk, бе, иа не могут быть заданы все
независимо друг от друга произвольным образом. Уравнения Эйн-
Эйнштейна накладывают на начальные значения (hik)B, (беH, (и%
определенные связи. Это соответствует тому факту, что и в общем
случае теории относительности начальные значения (g,ft)o и (TikH
не независимы, а подчиняются связям, даваемым уравнениями ОТО.
Физическая причина существования таких связей заключается
в том, что распределение материи (тензор T!k) определяет создавае-
создаваемое ею гравитационное поле. Но задание g# также позволяет вы-
вычислить гравитационное поле. Следовательно, gik не может быть
задано независимо. Конечно, в ОТО помимо гравитационного поля,
зависящего от материи, т. е. от Т^, есть еще и свободное поле (гра-
(гравитационные волны). Поэтому g^ определяется по Tik не полностью.
В классической ньютоновской теории связи между 7^ и gik соот-
соответствует уравнение Пуассона A(p=4:rcGp, которое позволяет по
распределению материи (плотности вещества р) найти гравитацион-
гравитационный потенциал ф*). Мы не останавливаемся здесь подробно на свя-
связях между начальными значениями (g{k)o и (TikH. Математическая
сторона дела разобрана, например, в книге Петрова A966). В нашей
задаче необходимые формулы будут приведены в конце параграфа.
Отдельные уточнения мы сделаем позже.
Второе пояснение касается выбора системы координат и свя-
связанного с этим вопроса о физической трактовке полученных ре-
результатов.
В ОТО выбор системы координат произволен. Это вносит серь-
серьезные проблемы в правильную интерпретацию результатов. Приве-
Приведем пример. Пусть мы никак не меняем космологическую модель
Фридмана, но рассматриваем ее не в общепринятой сопутствующей
системе, а в некоторой другой. Выберем эту другую систему так,
чтобы она с течением времени все больше отклонялась от сопутст-
сопутствующей. В формальном решении мы будем видеть, что hik, бе и ы"
нарастают и решение все больше «уходит» от фридмановского. Яс-
Ясно, что в таком «уходе» нет никакой физики, «уход» связан с неудач-
неудачным выбором системы отсчета. Здесь избавиться от такой «нефизи-
«нефизической неустойчивости» легко — надо вернуться к фридмановской
системе отсчета. А что делать в том случае, когда фридмановское
решение имеет действительные физические возмущения? Как от-
отделить физические отклонения от подобных рассмотренных выше
координатных отклонений?
Одним из возможных способов является выбор сопутствующей
системы отсчета в возмущенных решении, т. е. выбор системы,
*) Подчеркнем, что в ньютоновской теории гравитационное поле создается
только плотностью вещества р, в то время как в ОТО оно зависит и от р и от Р, и1.
Если не ставить условия р=0, <р=0 на пространственной бесконечности, то
и в ньютоновской теории остается произвол, к <р можно добавить решение
для пустоты Дф=0.

§ 1]
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ И УРАВНЕНИЯ 319
в которой вещество покоится, ыа=0. Действительно, нас интере-
интересуют свойства расширяющегося вещества. Если в сопутствующей
веществу системе физические величины (но не координатные, так
как в выбранной системе отсчета можно еще по-разному выбирать
пространственные координаты, например сферические или цилин-
цилиндрические, и по-разному отсчитывать время; см. ТТ и ЭЗ) мало
отличаются от соответствующих величин в решении Фридмана,
то, значит, с физической точки зрения возмущения малы.
Лифшиц A946) и его многочисленные последователи пошли не-
несколько иным путем. Выбиралась для исследования возмущений
синхронная система отсчета, в которой gOB=l и g^ssO. После полу-
получения решения для возмущений в этой системе отсчета (которая
также определяется еще не однозначно!) можно проанализировать
его, варьируя системы координат, и выяснить, какая часть возму-
возмущения является физической, т. е. описывает изменение распреде-
распределения плотности в сопутствующей системе, изменение характера
деформации среды, появление в ней сил ускорения и абсолютного
вращения (математический аппарат для описания этих величин
см. в ТТ и ЭЗ). Анализ позволяет отбросить «нефизические» моды.
Мы будем следовать методу Лифшица *). Прежде чем переходить
к выводу формул, сделаем еще следующее замечание. В работе Лиф-
Лифшица A946) состояние вещества описывалось гидродинамическим
тензором Tik- Однако свойства вещества определяются не только
механическими величинами — плотностью и давлением. Сущест-
Существуют еще такие величины, как, например, состав; при высокой
температуре и плотности, когда все процессы достигают термодина-
термодинамического равновесия, состав характеризуется заданием сохраняю-
сохраняющихся величин — «зарядов»: барионного заряда, лептонных заря-
зарядов — и плотности энтропии. Кроме того, с учетом вязкости и
слабовзаимодействующих «свободных» частиц «гидродинамический»
тензор Tik не является наиболее общим! Тем не менее в рамках
линейной теории есть основания думать, что результаты Лифшица
о росте возмущений не изменятся качественно, да и количественные
изменения, вероятно, не превысят 30%.
В нелинейном приближении можно ожидать важных изменений.
Например, при наличии частиц с большой длиной пробега, в прин-
принципе, возможно нарушение теоремы Гельмгольца и появление вих-
вихревых составляющих скорости в первоначально безвихревой жид-
жидкости. Таким образом, в связи с развитием теории горячей Вселенной
возникли новые проблемы и в теории гравитационной неустой-
неустойчивости в ОТО. Однако значение классических результатов при
этом не уменьшилось. С их изложения мы начнем.
Мы будем рассматривать возмущения в областях пространства,
которые могут быть велики по сравнению с ct, но малы по сравнению
*) Иной подход см. Хоукинг A966а).

320 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО £ГЛ. И
с радиусом кривизны пространства а в рассматриваемый период.
На ранних стадиях эволюции, как мы знаем (см. гл. 2), всегда d^>ct.
Принятые условия эквивалентны тому, что мы будем рассматривать
возмущения в плоском мире с критической плотностью вещества.
Полученные результаты достаточны для нашей ближайшей цели —
анализа возможных путей развития галактик. Общий случай (когда
длина волны возмущения не мала по сравнению с а) рассмотрен все
в той же замечательной работе Лифшица A946).
В плоском мире, р=рс, возмущения «раскладываются» по пло-
плоским волнам подобно возмущениям в ньютоновской теории. Итак,
в случае однородной и изотропной модели Вселенной (модель Фрид-
Фридмана) с плоским сопутствующим пространством запишем:
dsi = c2dti—a2(t)8apdxadx^=ai(r\)(drf—^dxadx^. A1.1.1)
Здесь последнее равенство получено заменой координаты времени
cdt-+adr\. Невозмущенное решение получено нами выше, в § 1
гл. 2. Мы будем работать в метрике с координатным временем ц.
В невозмущенном решении вещество покоится,ы° = ^—г, ыа = 0
(невозмущенная система отсчета является и синхронной и сопутст-
сопутствующей). Наиболее общие малые возмущения метрики задаются
добавлением hlmdxldxm(r\~xQ), но с помощью преобразования
координат всегда можно вернуться к синхронной метрике, т. е. к
метрике, не содержащей перекрестных членов вида dx°dxa, и с
goo=l. Возмущения остаются лишь в пространственной части мет-
метрики:
A1.1.2.)
В формулах A1.1.2) возмущенная метрика задана в синхронной
системе отсчета, но эта система отсчета, вообще говоря, с учетом
Лар уже не является сопутствующей. Все расчеты мы проводим в
линейном приближении, Лар—величины первого порядка малости,
Кроме того, возникают пространственные компоненты скорости и
возмущения плотности. Отклонения и0 от единицы и нарушение
равенств Т^—е и Т&——Р8& возможны лишь во втором порядке, по-
поскольку они пропорциональны произведению uai&. Используя не-
невозмущенную метрику для поднятия и опускания индексов, получим
(это есть определение величин h& со смешанными индексами)
Смешанные компоненты ft£ (включая а=р) безразмерны, они
определяют величину возмущений метрики в том смысле, что если

2] КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 321
ft^l, то мало возмущение метрики (этого нельзя сказать о размер-
размерных ha» и ha?).
Условия синхронности не определяют системы координат пол-
полностью, так как существуют преобразования координат, оставляю-
оставляющие систему координат синхронной. Этот произвол дает возмож-
возможность появления указанных выше нефизических добавок в ft£,
бе, и". Подставляя goo=a2, go!=0, —gap=a26ap+ftap из A1.1.2) и
Tlk=Tli>-\-bTik в уравнения Эйнштейна, мы получаем систему
уравнений для возмущений, которая может быть записана в
синхронной системе в следующем виде [Лифшиц и Х-алатников
A963а, б)]:
(^) ^{ ^) = 0, A1.1.4)
| ^=p), A1.1.5)
(Ф)
с 16лО а*(Р+е) ■ (u.i.i)
Точка обозначает ^г = ^-. h = h% Индексы после запятой оз-
означают простое дифференцирование по соответствующей координате.
Здесь и далее в этом разделе иа — компоненты физической (не
координатной!) скорости. В данном приближении этих уравнений
достаточно для определения эволюции возмущений, разложенных
по плоским волнам в трехмерном пространстве с евклидовой
метрикой. При этом A1.1.4) получается из уравнения для Raa,
A1.1.5) —для /?ttp, A1.1.6) —для Roo и A1.1.7)—для RBa.
§ 2. Классификация возмущений
Решение уравнений A1.1.4) — A1.1.7) для плоских волн воз-
возмущения ищем в следующем виде. Сначала по уравнениям A1.1.4),
A1.1.5) находим Ло„, а затем уже элементарными вычислениями
по A1.1.6) и A1.1.7) находим бе и и\
Возмущения рассматриваются на фоне пространственно-одно-
пространственно-однородной и изотропной, но эволюционирующей Вселенной. Следова-
Следовательно, решения, относящиеся к «элементарным», «собственным»,
«фундаментальным» возмущениям (на которые раскладываются про-
произвольные возмущения), должны обладать инвариантностью отно-
относительно тех преобразований, относительно которых тождественно
инвариантно невозмущенное решение.
Одно преобразование, вытекающее из однородности пространст-
пространства, есть сдвиг пространственных координат. В нерелятивистской
Я Б. Зельдович, И. Д. Новиков

322 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. И
теории было выяснено, что это требование приводит к зависимости
решения от координат вида е1КХ. Таким образом, решение зависит
от одного трехмерного вектора к.
Теперь учтем, что в ОТО «решением» является тензор второго
ранга в трехмерном пространстве, ha?.
Изотропия означает существование группы вращения в трехмер-
трехмерном пространстве. Коэффициенты перед экспонентой и волновой
вектор могут быть использованы для построения тензора второго
ранга в трехмерном пространстве — тензора возмущений Л|.
Следуя Лифшицу, мы введем сначала скаляр Q=eiKX, который
приводит к тензору ftttP следующим путем. Из Q можно составить
тензор двумя способами:
A^?) ("-ал)
Умножив каждый из тензоров на множитель, зависящий от х\, и
сложив их, получим тензор
Заметим, что из такого тензора можно составить и вектор P=xQ/|x|
и скаляр Q.
Опять же следуя Лифшицу, введем вектор S=SeiKX. Чтобы этот
случай не свелся к предыдущему, надо, чтобы из этого вектбр"а
нельзя было построить скаляр. Для этого мы потребуем, чтобы
S_Lx, (Sx)—Q. Следовательно, для данного к имеются две степени
свободы (две независимые компоненты S).
С помощью векторов Sun можно построить тензор Sp:
l A1.2.2)
Умножая S£ на множитель, зависящий от времени, получим
И, наконец, введем тензор второго ранга
. A1.2.3)
Так как мы хотим, чтобы с помощью этого тензора и вектора к нель-
нельзя было бы построить ни вектора, ни скаляра (иначе получим один
из предыдущих случаев), то мы должны потребовать, чтобы
= 0. A1.2.4)
Напомним, что величины Q, S и G£ являются соответственно ска-
скалярами, векторами и тензорами лишь в трехмерном пространстве.
Ниже будет показано, что скаляр Q описывает возмущения ска-
скалярной величины — плотности вещества и соответствующие дви-
движения вещества, т. е. адиабатические возмущения и, в частности,
звуковые волны.

3]
СКАЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
323
Вектор 5 описывает возмущение скорости, но ему не соответ-
соответствует скаляр. Это значит, что div и=0, поле скорости является
вихревым (Totu=£0, иначе при условии конечности и получим я^О).
Наконец, тензор A1.2.3) описывает ортогональные к возмущения
метрики (без возмущений скорости и плотности), чему соответст-
соответствуют распространяющиеся по Вселенной гравитационные волны.
Ниже мы подробно останавливаемся на каждом типе возмуще-
возмущений. Лифшиц A946) рассматривает также возмущения замкнутой
(Й>1) и гиперболической (й<;1) Вселенной. Однако для возмуще-
возмущений, масштаб которых меньше радиуса мира (<с#~1~4-10е пс на
сегодняшний момент), отличия малы. Крайний случай возмущения
мира как целого обсуждается в разделе IV. Мы продолжим рас-
рассмотрение возмущений в плоской модели.
§ 3. Скалярные возмущения
Рассмотрим первый тип возмущений — A1.2.1).
В работе Лифшица было показано, что для ранних стадий рас-
расширения, описываемых уравнением состояния Р=е/3, решения
уравнений возмущения A1.1.4) — A1.1.7) могут быть записаны в
следующем виде: при ф
A1.3.1)
и при
12 J/3
Здесь Q! и Pi определяются A1.2.1), Pa = ^-
V~3xC1. A1.3.3
В полученных решениях уже исключены моды, соответствующие
фиктивным возмущениям, о которых говорилось ранее, и оставлены
только физические моды. Технику выделения нефизических мод см.
Лифшиц, Халатников A963а, б). Для других типов возмущений мет-
метрики (см. далее §§ 4, 5) мы тоже будем выписывать только физичес-
физические моды.
и*

324 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. 11
Эти формальные результаты необходимо сравнить с интуитив-
интуитивными (т. е. не вполне строгими) результатами, полученными в пре-
предыдущей главе. Условие конечных возмущений метрики вблизи
сингулярности есть Сг=0. С учетом этого при кх\<^\ главным членом
в Ь==— будет-^-CVifQ. Вспоминая, что ri~-tfl/s получим b~t.
Прихт]^>1 6~ cos -Д=-, что соответствует акустическим колебани-
V з
ям со скоростью звука Ь=—^=и постоянной амплитудой возмущений
плотности. Таким образом, наиболее важные результаты интуитив-
интуитивного анализа подтверждаются в точной теории. Это же справедливо
и для уравнения состояния Р=0, рассматривавшегося Боннором
A957) в нерелятивистской теории. Любопытно, что эволюция теоре-
теоретической мысли шла в неестественном порядке, точная теория была
развита на 10—20 лет раньше, чем интуитивный подход.
Точная теория работает с возмущениями метрики. Согласно
A1.3.1) мода Сг связана с бесконечным (~\/Vt) возмущением мет-
метрики при £->0. Поэтому, если требовать, чтобы в момент х\0 возму-
возмущения были малы, то Сх<^т]о- Для С2 имеем условие С2<^1. Следо-
Следовательно, в теории малых возмущений, в которой предполагается,
что возмущения в начале расширения при t-*O малы, необходимо
положить Ci=0, как уже упоминалось выше, и рассматривать
только моду с С2, т. е. моду с 6~*. Эта мода, требующая конечных
возмущений метрики при tf-»-0 (h$ при этом вообще не зависят от I),
связана с возмущениями плотности, конечными при конечном вре-
времени, но стремящимися к нулю пропорционально t при t->-0.
Когда этот результат известен, его нетрудно получить и из ин-
интуитивных соображений; мерой возмущений метрики является
„ 6ф
безразмерное отношение -— , где <р— ньютоновский гравитационный
потенциал. По порядку величины 6<р~—т—~G6p£2~ G-p-6-/2. При
Р=е/3, подставляя p~t~s, l~a~tli>, 6~t, получим, что -¥■ = const,
т. е. не зависит от t. Легко проверить, что 6cp=const для больших
длин волн (что соответствует постоянству возмущений метрики)
при любом уравнении состояния. Например, для Р=0
р~ t~\ 6— /'/,, l~a~t'i\ p/26~const.
Еще раз подчеркнем, что эти соображения не имеют силы дока-
доказательств, так как ньютоновская теория используется за границей
области своей применимости (в области, где ф>с2)*).
*) Кроме того, отождествление бф/с2 с возмущением потенциала в деформирую-
деформирующейся системе отсчета "тоже не всегда верно.

. 3-| СКАЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 325
Независимость возмущений метрики от времени на ранних ста-
стадиях расширения полностью согласуется с идеей, которая подчерки-
подчеркивалась при интуитивном анализе длинноволновых возмущений.
В § 4 главы 9 рассматривалась независимая эволюция двух обла-
областей с различными начальными условиями. В рамках ОТО обе эти
области (части) отличаются также метрикой и кривизной. В ходе
независимой эволюции это различие в метриках сохраняется. На-
Например, отношение длины экватора к радиусу (оно меньше, чем
2л) в области замкнутого мира всегда одно и то же в ходе эволюции
этой области мира.
Сферически-симметричные возмущения с 6>0, являющиеся
суперпозицией плоских волн, могут рассматриваться как часть
замкнутого мира, вложенная в плоский мир. Эта интерпретация
важна при сравнении точной теории в рамках ОТО и интуитивного
анализа. Возмущения скорости, даваемые A1.3.1), пропорциональ-
пропорциональны x3r)s~*8/«~A,s, тогда как интуитивный анализ дает и j- ~ tl'>.
Налицо, казалось бы, явное противоречие, но это не так. Дело в
том, что это скорости по отношению к разным системам отсчета.
В интуитивной ньютоновской теории скорость определяется по
отношению к невозмущенной системе отсчета. В точной теории
(ОТО) в возмущенном решении нет «невозмущенной» системы
отсчета, и скорость измеряется в уже возмущенной метрике. Воз-
Возмущения метрики включают изменение локальной постоянной Хаб-
бла, и, следовательно, главная часть «возмущенной» скорости
интуитивной теории уже содержится в возмущениях метрики.
Если в обоих подходах вычислять не скорость, которая зависит от
выбора системы отсчета, а возмущения тензора скоростей деформа-
деформации вещества, то получатся одинаковые результаты.
Различие двух подходов в вычислении и исчезает на поздних
стадиях, когда длина волны возмущения становится мала по срав-
сравнению с горизонтом, %<^ft. Здесь возмущения метрики стремятся
к нулю, есть полное соответствие между 6 и и. Это — описание
звуковых волн. Очевидно, описание коротких звуковых волн в
рамках ОТО — роскошь, но сила и красота метода Лифшица
таковы, что он может себе это позволить! Однако нужно подчерк-
подчеркнуть, что уменьшение возмущений метрики при %<^ft специфично
именно для уравнения состояния плазмы с доминирующей ролью
излучения, со скоростью звука b=cV~3. Здесь играет роль именно
выравнивание возмущений под влиянием градиента давления,
играет роль «звуковой» горизонт. При Р=0 звукового режима нет,
Ь=0, возмущения плотности продолжают расти при X<Cct, остаются
постоянными возмущения метрики; короче — в пыли свет ничего
не выравнивает.
В своей пионерской работе Лифшиц подчеркивал отличие сте-
степенного возрастания 6 в теории, основанной на ОТО, от экспонеи-

326 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. 11
циального роста возмущений в теории Джинса, основанной на
ньютоновской механике. Мы знаем теперь, что дело не в переходе
от ньютоновской теории к ОТО, а в рассмотрении эволюционирую-
эволюционирующей Вселенной. И в действительности ^"«е^', отличия нет.
Однако второй важнейший качественный вывод Лифшица остается
непоколебимым до сегодняшнего дня: для объяснения наблюдаемой
картины с конечными возмущениями плотности сегодня (галактики!)
достаточно, чтобы 6->-0 при t-*-0, но возмущения метрики должны
быть конечными, ft|=#=0 при f->-0. По оценке Новикова A9646),
рассмотревшего конкретную ситуацию в нашей Вселенной, hfcz
«10~2—10~3 при *->-0. Эта оценка, сделанная до открытия реликто-
реликтового излучения, мало изменилась с учетом горячей Вселенной.
Вселенная, асимптотически приближающаяся к строго одно-
однородной по всем параметрам (плотность, энтропия, метрика) вблизи
сингулярности, несовместима с наблюдаемой в настоящее время
картиной! Этот вывод остается справедливым и для других видов
возмущений метрики, которые мы рассмотрим ниже. Энтропийные
возмущения не связаны с возмущением метрики, они совместимы с
ft£=0 при t=0, но при этом конечным остается —^- при t->-0.
Рвещ
Приведем в заключение формулы решения для возмущений пер-
первого типа, справедливые на поздних стадиях расширения, когда
Р=0. Если пылевидное вещество движется без вращений, то син-
синхронная система всегда может быть выбрана сопутствующей ве-
веществу. Рассматриваемый тип возмущений как раз относится к это-
этому классу. Поэтому возмущенное решение будем" рассматривать в
сопутствующей системе отсчета, w=0.
Формулы для возмущений имеют вид:
при т]<§;-
^Q6); (П.3.4)
при -
В обоих случаях
T = (¥+
Наконец, если плотность вещества не равна критической, то на
поздних стадиях расширения, при т]^>1, имеется милновская

. 4] ВЕКТОРНЫЕ (ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ) ВОЗМУЩЕНИЯ 327
стадия, масштабный фактор а~/~е" и для возмущений получаем
Ag= \2Cx(^-2ne-^) + C2e-^](Pi-Q^, A1-3.7)
Последняя формула наглядно показывает, что на милновской
стадии возмущения плотности «застывают» при /-voo.
§ 4. Векторные (вращательные) возмущения
Рассмотрим второй тип возмущений метрики — A1.2.2).
Развитие вращательных возмущений определяется формулами
, S«xa = 0, A1.4.1)
f *L
так что для Р=е/3, a~rj, е~тр* имеем
a = —-£*■, 6 = 0,
u _ IW-3 „а Ых
~~~~ 8 ^ e ■
Главный результат интуитивного анализа — независимость воз-
возмущений скорости от времени — подтверждается. Эта независи-
независимость справедлива как при хт]<;1, так и при хтр>1, т. е. при )£>ct
и K<Cct. Но неожиданным является рост возмущений метрики
(а->оо) при т]->-0. Это приводит к выводу, что начальные возму-
возмущения вращательного типа несовместимы с космологическим ре-
решением типа Вселенной Фридмана *) [Озерной, Чернин A967, 1968),
Зельдович, Новиков A970)]. Результат является тем более неожи-
неожиданным, что кажется естественным взять отношение и/с в качестве
меры отклонения возмущений от решения Фридмана, а это отноше-
отношение остается постоянным при t-+Q. Тот факт, что две безразмерные
величины и/с и а имеют разную асимптотику при f->-0, нуждается
в объяснении. Необходимо напомнить, что скорость и", определяе-
определяемая согласно Лифшицу [см. A1.4.1), A1.4.2)], в некотором смысле
не является полной скоростью. Как мы уже неоднократно подчер-
подчеркивали, понятие скорости связано с выбором системы отсчета и по-
поэтому относительно. Важными абсолютными характеристиками
возмущений являются абсолютное вращение элементов вещества **)
) Точный вывод: возмущения вращательного типа приводят к такой асимпто-
тике^решения вблизи сингулярности, которая отличается от решения Фридмана.
' Вращение является абсолютным относительно локально ииерциениой
делТ^Ы' В КОТОРОЙ нет кориолисовых и центробежных сил. Такая система опре-
f яется локально с помощью гироскопов безотносительно к далеким звездам
\ >ы не боимся антимаховской терминологии).

328 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. И
и изменение характера его деформации. Вращательные возмущения
исчерпываются этими двумя характеристиками. В то время как
скорость иа полностью описывает в данном случае вращение эле-
элементов среды, она не исчерпывает ее деформации. Это связано с тем,
что система отсчета сама не вращается (она синхронна, gOa==O,—
это означает отсутствие вращения, см. ТТ и ЭЗ) и все вращение среды
связано с ее движением в системе. Но сама синхронная система де-
деформируется, и это необходимо учитывать. При вычислении дефор-
деформации среды надо учесть деформацию возмущенной системы отсчета,
в которой проводится все рассмотрение. Деформация среды склады-
складывается из деформации, вызванной движением относительно системы
отсчета, и деформации самой системы отсчета.
Скорость, определяемая A1.4.2), соответствует сдвиговому дви-
движению (например, движению вдоль оси у, причем скорость зависит
от х), которое совмещает и вращение и деформацию элемента среды.
Напомним, как описывается относительное движение сосед-
соседствующих элементов среды *). Вводим систему координат, движу-
движущуюся вместе с избранной частицей, находящейся в данный момент
в начале координат, и требуем, чтобы система координат была
локально евклидовой и локально инерционной. Из условия и(дг=0,
tf=0)=0 следует, что скорости соседних частиц в близкие моменты
времени в первом порядке по малым х, t можно записать как
иа(х, t) = FJ + D*a^.
Здесь Fa — трехмерный вектор ускорения жидкости, зависящего
от негравитационных сил (в рамках гидродинамики такой силой
является градиент давления).
Тензор второго ранга в трехмерном пространстве Dap разбива-
разбивается на две части: антисимметричную Лор — у (Dap — Dpa)
и симметричную Dap = у (Dap + Dpa). Антисимметричная часть
описывает вращение жидкости: угловая скорость дается аксиаль-
аксиальным вектором Qv = -evap ЛаР, где evap — единичный, полностью
антисимметричный тензор. Она может быть измерена в сопутствую-
сопутствующей системе по появлению кориолисовых ускорений. Деформа-
Деформация элемента среды полностью определяется симметричным тен-
тензором Dap.
Отметим принципиальную разницу между Лар и Fa, с одной
стороны, и Dap — с другой. Измерение Лар и Fa требует введения
приборов, например свободных пробных тел и гироскопов. Для
*) Систематическое построение механики в рамках ОТО, основанное на по-
понятии деформации, производилось Зельмановым A9596). Изложение этого во-
вопроса сы. в ТТ и ЭЗ.

. 4] ВЕКТОРНЫЕ (ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ) ВОЗМУЩЕНИЯ 329
определения Dap достаточно измерить расстояния между системой
избранных частиц среды *).
След тензора, т. е. D=Du+D22+D33 (он не зависит от выбора
осей), определяет изменение удельного объема среды при деформа-
деформации, V/V=—n/n=D (n — плотность сохраняющихся частиц). Оста-
Остающийся тензор с нулевым следом Пар = Dap—j 6apD характеризует
анизотропию деформации среды: под действием Пар шар превраща-
превращается в равновеликий трехосный эллипсоид. Тензор ПаР имеет пять
независимых компонент: два отношения осей эллипсоида, характе-
характеризующие его форму, и три угла, характеризующие ориентацию в
пространстве**). Приведенные выше формулы требуют, чтобы в
рассматриваемой точке в данный момент метрика была галилеевой
(gi>o=l.gn=gM=gs3=—1. остальные glk=0). Формулы, позволяю-
позволяющие вычислить тензор скоростей деформации Dap и также F. и
Ааа, не переходя к галилеевой системе, а сразу по величинам
g*k=gik№> х1> х*> *3)> приведены в ТТ и ЭЗ. Здесь нам потребу-
потребуется только частный случай одной из этих формул. Прежде чем ее
выписать, вернемся к рассматриваемой нами задаче.
Мы хотим вычислить деформацию элемента среды в возмущен-
возмущенной задаче. Мы убедимся после вычислений, что вращательные воз-
возмущения приводят к тому, что элемент деформируется сущест-
существенно анизотропно в отличие от строго изотропной деформации
в невозмущенной Вселенной Фридмана. Именно эта анизотропия де-
деформации быстро нарастает в прошлое t -*■ 0. Она описывается ростом
h£ при приближении к сингулярности и растет, несмотря на то что
вращательные скорости остаются малыми. В конце параграфа мы
приведем физическое пояснение этой ситуации.
Итак, займемся вычислениями деформации элемента среды.
Как уже подчеркивалось, полная деформация равна сумме деформа-
деформации системы отсчета, в которой рассматривается вся задача, и де-
деформации, вызванной скоростью движения среды в системе отсчета.
Начнем с деформации системы отсчета. Общая формула для вычис-
вычисления Dap [см. ТТ и ЭЗ, формула A.6.4)] для синхронной системы
записывается в виде
Вторая часть деформации, связанная со скоростями, может
быть вычислена стандартным в гидродинамике способом как произ-
*) Это не значит, что Fa и Л ар менее реальны! В частности, зная уравнения
механики, уравнение состояния среды и измеряя распределение давления и плот-
плотности, а также Dap и Dap, можно определить Fa и А ар и без помощи пробных тел.
) С другой стороны, эллипсоид можно рассматривать как результат возму-
возмущения газа квадрупольными функциями, отвечающими моменту /=2. Число таких
независимых функций равно 2/+1=5.

330 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. 11
водная скорости по координатам. Однако, как мы видели выше,
относительная скорость мала и остается постоянной. Относительная
величина отклонений деформации среды от изотропной, связанная
с этой скоростью, не нарастает в прошлое, поэтому и без вычисле-
вычислений ясно, что этим слагаемым в деформации среды можно пренебречь
по сравнению с A1.4.3) при t->-0.
Итак, при t->~0 полная анизотропия деформации среды описы-
описывается A1.4.3). Из этой формулы видно, что отклонение возму-
возмущенного решения вихревого типа от фридмановского при f->0 свя-
связано не прямо с вращательными скоростями вещества, а с вызван-
вызванной этими скоростями анизотропией деформации. Этот эффект
является чисто релятивистским.
Проведем вычисление анизотропии деформации среды. Пере-
Перепишем уравнение A1.4.3), используя A1.4.2):
DLkb
A1.4.3а)
Здесь Dap — тензор скоростей деформации системы невозмущенного
решения, вместо ftaf, подставлено его значение A1.4.2) для вихревых
возмущений [множитель a2(t) появился при опускании индекса у
Щ], SaB не зависит от t. Вычислим теперь анизотропную часть этого
тензора, П£ = £>а—-s-Dga- Отличные от нуля члены Па имеют еле-
о
о
дующий порядок величины (учитываем, что a(t)~f' для Р=е/3):
Величины П& есть отклонения хаббловских констант по разным
направлениям от средней хаббловской константы Н = -^D =~кг-
Относительная величина этих отклонений
. A1.4.5)
Н Ш t4'
На первый взгляд кажется, что этого нарастания анизотропии
деформации можно избежать, если в качестве возмущения взять
твердотельное вращение в заданном лагранжевом масштабе. При
этом в ньютоновском приближении деформация отсутствует вовсе.
Казалось бы, скорость вращения и, остающаяся все щэемя постоян-
постоянной и малой, не может привести к сильным релятивистским эф-
эффектам. Однако это не так, потому что возмущение любого масштаба
при t->0 оказывается глубоко внутри гравитационного радива
массы, который оно охватывает. Вся задача становится существен-

g 4] ВЕКТОРНЫЕ (ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ) ВОЗМУЩЕНИЯ 331
\
но релятивистской, и даже малая скорость и приводит к сильным
эффектам. Помимо малого параметра и/с в задачу входит еще боль-
большой параметр l/ct (I — длина возмущения), и релятивистские
эффекты определяются произведением этих двух параметров. Фор-
Формула A1-4.5) может быть переписана так:
В рассматриваемой задаче с твердотельным законом вращения воз-
возмущения тождественно отсутствуют лишь на оси вращения, где
скорость и равна нулю.
Произвольные возмущения вихревого типа остаются малыми
при движении к сингулярности, t-+-0, до тех пор, пока * * ■ < 1.
Ясно, что для каждой длины волны возмущения наступает в прош-
прошлом момент, когда |П^| сравнивается с Н. Длины в нашем случае
пропорциональны t4*, l~fi*. Поэтому, согласно A1.4.6), для крити-
ческого момента, когда ' ' = 1, должно быть 1=1— , т. е.
" \ с J ctj' /„'•
t =^—^— ill 4 7)
В период t<Ztc расширение сильно отличалось от хаббловского.
При обсуждении вихревой теории происхождения галактик (см.
гл. 13) эти выводы необходимо учитывать. По существу, сильное
отличие от невозмущенной модели заключено уже в том, что без-
безразмерные возмущения метрики стремятся к бесконечности, как
т]~1=<~1/.> вблизи сингулярности при f->-0. Анализ деформаций,
проведенный выше, помогает наглядно понять характер отклонений
от невозмущенной модели с точки зрения локального наблюдателя.
Тем самым с несомненностью доказывается объективный характер
нарастания отклонений от модели Фридмана, которые не устраня-
устраняются каким-либо преобразованием координат.
В заключение параграфа приведем формулы для вихревых воз-
возмущений на поздней стадии при уравнении состояния Р=0. В от-
отличие от потенциальных движений, рассмотренных в предыдущем
параграфе, здесь при наличии вращения вещества синхронная
система не может быть сопутствующей даже при Р=0.
Формулы для возмущения имеют следующий вид:
при ^1
; A1.4.8)
3ti с 6i} v '
При Т]Г>1
а = —4С3е-\ i£. = _i*y-SV«. A1.4.9)
В обоих случаях скорости и" затухают ~1/а.

332 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО ГЛ. 11
§ 5. Тензорные возмущения — гравитационные волны
Решение, соответствующее тензорным возмущениям, опреде-
определяется формулами
hl = v(r\)C&»*, G|x? = 0, ~^0, ua^0, A1.5.1)
где G| — постоянный (не зависящий ни от координат, ни от времени)
тензор *) (см. § 2 8той главы). Подчеркнем, что возмущенная си-
система отсчета в этом случае является сопутствующей веществу.
Уравнения ОТО A1.1.4), A1.1.5) для релятивистского газа />=е/3
в случае возмущений вида A1.5.1) дают решение
v = Са-ухп =
кц
(П52)
здесь С—комплексная постоянная, Ct, C5 — действительные по-
постоянные.
Если длина волны меньше оптического горизонта ct, решение
описывает волновое гравитационное поле. После этого ясно, что в
ходе расширения для любой длины гравитационной волны (в лаг-
ранжевой сопутствующей системе) наступает момент t, когда эта
длина становится меньше оптического горизонта. Тогда можно по
обычным формулам [см., например, Ландау и Лифшиц A973)]
вычислить плотность энергии гравитационных волн. Амплитуда
гравитационной волны h есть
Q
hж —^- = const • A + г) = const -a,
где C4i6 — наибольшая по модулю величина из Ct и Съ. Плотность
энергии гравитационных волн
Плотность энергии оказывается ~а4, так как согласно предыдущей
формуле Л~а-1; кроме тогоД~а. Это очевидный результат, опи-
описывающий изменение с космологическим расширением плотности
энергии е^, запасенной в виде гравитационных волн. Соотношение
между зависимостью от времени и зависимостью от координат соот-
соответствует волновому решению, скорость волны равна с. Как отме-
отмечалось Лифшицем, с гравитационными волнами не связаны возму-
возмущения скорости и плотности. Утверждение о скорости является пик-
викским **).
*) При данном волновом векторе *. есть два линейно независимых тензора С,
соответствующих двум поляризациям гравитационной волны.
**) «Мистер Блаунтли отмечает, что он назвал достопочтенного председателя
невеждой в чисто пиквикском смысле» (Ч. Диккенс, Посмертные записки
Пиквикского клуба).

•\
ТЕНЗОРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 333
Действительно, скорость вещества относительно возмущенной
системы координат тождественно равна нулю в поле гравитационной
волны, ибо возмущенная синхронная система является сопутст-
сопутствующей веществу. Однако относительные скорости частиц меня-
меняются при наличии гравитационной волны, т. е. имеются деформа-
деформации (возмущения) самой системы отсчета. Если проделать по фор-
формуле A1.4.3) вычисления деформации системы отсчета для метрики
g£p+4tp. гДе ftap удовлетворяют A1.5.1), A1.5.2), то легко убедить-
убедиться, что деформация среды носит следующий характер: шар превра-
превращается в эллипсоид с отношениями осей A+Л) : A —Л), причем
неизменна третья ось, расположенная вдоль направления распро-
распространения волны, а величина h периодически изменяется со вре-
временем. Объем шара не изменяется, плотность остается постоянной,
невозмущенной, в соответствии с тем, что след тензора возмущенной
части Da3 в случае гравитационной волны равен нулю.
Рассмотрим вопрос о взаимодействии гравитационных волн со
средой. Идеальная жидкость (без вязкости и упругости) характе-
характеризуется тем, что ее тензор натяжений ТаГ? сводится к одному ска-
скаляру— давлению (закон Паскаля); при анизотропной деформации
с постоянной плотностью и, следовательно, постоянным давлением
жидкость без сопротивления принимает новую форму. Но это
значит, что в жидкости не выделяется тепло, не растет энтропия и
не рождаются новые гравитационные волны. Между тем именно
рождение новой волны и ее интерференция с проходящей («старой»)
волной являются механизмом, осуществляющим поглощение волны
и изменение ее фазы. Именно за счет объемного излучения вещества,
через которое проходит волна, возникает отличный от единицы
показатель преломления среды для волн.
Итак, идеальная жидкость не меняет закона распространения
гравитационных волн. Именно такой результат получил Лифшиц,
решая задачу о гравитационных волнах в расширяющейся Вселен
ной, заполненной идеальной жидкостью. Если жидкость вязкая, то
при деформации происходит нагревание жидкости. Очевидно, что
энергия черпается из энергии гравитационной волны; отсюда Хоу-
кинг A966а) нашел выражение для коэффициента затухания грави-
гравитационной волны в вязкой среде:
^.--PF dE - ^F £-1влСт>* Ml 541
где т]*— вязкость. Записав вязкость в виде rj*=pv*, где v* = -=- cl—
кинематическая вязкость для релятивистских частиц с пробегом /*),
*) Заметим, что гравитационные волны, как и вихревые возмущения, ие
сопровождаются изменением объема и температуры, поэтому затухание обоих этих
ипов возмущений ие зависит от так называемой второй вязкости, от релаксации
роцессов установления равновесия и от теплопроводности.

334 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ 11
получим |
.. 16я /
^ = "зГ
Однако очевидно, что такое выражение справедливо лишь до тех
пор, пока можно пользоваться понятием вязкости, т. е. пока пробег I
меньше длины волны к. При t^>h нужно рассматривать противо-
противоположный случай (почти) свободных частиц в гравитационной вол-
волне, к чему мы перейдем ниже, в гл. 16.
Поверим, пока без доказательства, что затухание максимально
и может быть вычислено по формуле, приведенной выше, при
X сТ
I = -g- = -g-, где Т — период волны. Применительно к космологиче-
космологической задаче выразим плотность через время: р = „2 „ а для Р = -г-.
Получим компактное выражение для верхнего предела £:
С течением времени период волны Т растет пропорционально
длине волны:
Т ~к~аЦ)~\П. A1.5.6)
Введем обозначение t0 для момента, когда T=t=tB, так что
A1.5.6) перепишется в виде Т=\/ Но. Лишь после момента /0 можно
рассматривать затухание гравитационной волны по приведенным
формулам. Оказывается, что интеграл затухания сходится:
imax"' 4 ] f2
'о
Вязкость среды не более чем в \/~е раз уменьшает энергию гра-
гравитационных волн по сравнению с расчетом для идеальной жидко-
жидкости, учитывающим только адиабатическое изменение энергии волн.
Рассмотрим теперь свойства решения A1.5.2) при t-*-Q. В период,
когда длина волны меньше ct, это решение описывает еще не волны
в привычном смысле. Дело в том, что с начала расширения Все-
Вселенной прошло времени слишком мало даже для одного колебания
волны.
(С \
Важно, что одно из независимых решений (— sin xr\ 1 конечно
при т]-*- 0, t-*-0. Следовательно, если положить С4=0, то такие.ог-
такие.ограниченные начальные возмущения метрики совместимы с конечной
плотностью энергии е^ на более поздних стадиях расширения. По
порядку величины отношение е^/е^ равно квадрату безразмерного
возмущения метрики (ev — плотность энергии электромагнитного

•\
ЭНТРОПИЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 335
излучения). Это соотношение справедливо для гравитационных
волн, длина которых мала по сравнению с горизонтом, но при этом
условии оно не зависит от длины волны. Такое соотношение под-
держийается и до и после момента рекомбинации водорода, посколь-
поскольку ev изменяется пропорционально а~*, т. е. так же, как и eg. К ро-
роли гравитационных волн в космологии мы вернемся в гл. 16.
§ 6. Энтропийные возмущения в релятивистской теории
Интерес к энтропийным возмущениям связан с тем, что они
позволяют получить современную структуру Вселенной из сингу-
сингулярного состояния, метрика которого (асимптотически) точно опи-
описывается решением Фридмана, без каких-либо отклонений от одно-
однородности. Это обстоятельство отмечает Чибисов A9726). Неоднород-
Неоднородно в пространстве распределен барионный заряд (разность
/■ = —5 - плотности барионов и антибарионов, отнесенная, к
"у
плотности фотонов), но вблизи сингулярности заряд не влияет на
метрику.
В пределе, при высокой температуре, соотношение между плот-
плотностью энергии и давлением не зависит от удельного барионного
заряда. В частности, при ограниченном спектре масс элементарных
частиц для давления имеем формулу />=е/3 при kT^>mc2 (m —
наибольшая масса частиц) Независимо от того, является ли вещество
зарядово-симметричным, г=0, или «заряженным», г>0.
Отсюда и следует возможность построить решение с невозмущен-
невозмущенной метрикой и давлением и плотностью энергии, не зависящими
от координат. Лишь в дальнейшем ходе расширения, при kT-CmP,
из-за неоднородности г возникают различные уравнения состояния
в различных местах согласно приближенной формуле
Р = уA — г(х)е-'/.). A1.6.1)
Возникают возмущения метрики, а также движение вещества,
вызванные различием уравнений состояния в разных точках про-
пространства. Начальные энтропийные возмущения порождают адиаба-
адиабатические возмущения плотности и, в частности, порождают
растущую моду адиабатических возмущений, если длина волны до-
достаточно велика. Этот факт не является специально следствием реля-
релятивистской теории. Важно лишь, что рассматриваются возмущения
в эволюционирующей Вселенной, в которой с течением времени
меняется уравнение состояния вещества (в отличие от джинсовской
постановки задачи). Энтропийное возмущение с длиной волны, соот-
соответствующей массе меньше КИМ©, вызывает только затухаю-
затухающие общие колебания плазмы. Но наряду с этим неравномерность

336 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [rjf. 11
энтропии сохраняется и проявляется (для M>lObMQ) после реком-
рекомбинации водорода.
В принципе можно также рассматривать неравномерное рас-
распределение лептонного заряда, т. е. избытка нейтрино над антиней-
антинейтрино. В этом случае также можно задаться невозмущенной
метрикой в сингулярности. Вследствие большого пробега нейтрино
неравномерность выравняется рано, и амплитуда растущего возму-
возмущения плотности окажется относительно малой.
Такая гипотеза лишена изящества и никем подробно не разраба-
разрабатывалась. Известным сходством с энтропийным возмущением обла-
обладает и начальное возмущение в виде хаотического магнитного поля:
магнитное поле вморожено в плазму, как и энтропийные возму-
возмущения. Однако магнитное поле возмущает метрику. Гипотеза маг-
магнитной неоднородности высказана Зельдовичем A969), но не нахо-
находит доводов, которые обосновывали бы ее предпочтительность (см.
об этой гипотезе § 3 гл. 19).
§ 7. Квазиизотропное решение и гипотеза
равнораспределения возмущений
Кажется заманчивой картина Вселенной, различные части ко-
которой вблизи сингулярности имеют слегка различную кривизну в
один и тот же момент времени и вместе с тем расширяются подобно
модели Фридмана.
Математическим выражением такой картины является квази-
квазиизотропное решение [Лифшиц и Халатников A963а, б)], которое для
уравнения состояния Р=е/3 описывается метрикой
№ = L*dt*—[tailv(xa) + t%v(xa)+...]dxixdxv. A1.7.1)
Эта формула показывает, что решение содержит произвольную
функцию пространственных координат ayv. Подставляя A1.7.1)
в уравнения ОТО, можно найти bvv и следующие члены разложе-
разложения, соответствующие данному ayv. Задание ayv дает полный набор
начальных условий в данной задаче. Вблизи сингулярности глав-
главным является член ta . Пренебрегая всеми другими членами, мы
видим, что каждый элемент пространства расширяется изотропно с
одной и той же постоянной Хаббла во всех направлениях. Про-
странственная кривизна, зависящая от тттт,- произвольна, но мала
по сравнению с компонентами тензора кривизны R0ao$ и Ro^- В тен-
тензоре кривизны, с помощью которого можно подсчитать распреде-
распределение плотности энергии и скорость движения вещества, главным
членом являются производные по времени от tav.Jt и учет их дает
для выражения плотности вещества результат, совпадающий с

$7] \ КВАЗИИЗОТРОПНОЕ РЕШЕНИЕ 337
выражением для однородной модели Фридмана (с Р=е/3):
р = — . A1.7.2)
\
В этом порядке плотность не зависит от координат, скорость ве-
вещества относительно выписанной системы координат равна нулю.
Примером квазиизотропной модели является часть замкнутого
мира, сшитая гладко, например, с плоским миром; мы знаем, что
в обеих частях асимптотика плотности одинакова, соответствует
A1.7.1).
Решение A1.7.1) показывает, что аналогичную операцию можно
проделать и в более общем виде: можно соединить части искривлен-
искривленного пространства с неизотропной кривизной. При этом оказы-
оказывается, что если в выражении для плотности энергии учесть члены
следующего порядка разложения, то вместо A1.7.2) получим
р = 32nGt2 t • (П.7.3)
Функция / зависит от aHV, точнее, от ее пространственных про-
производных. Очевидно,
Щ^(ха)~1. A1.7.4)
Какие типы возмущений описывает метрика A1.7.1)?
Прежде всего, она содержит возмущения плотности A1.7.4),
нарастающие ~t, т. е. в ней имеется первый тип возмущений —
адиабатические возмущения. Кроме того, если написать для A1.7.1)
тензор скоростей деформации, то часть тензора деформации с рав-
равным нулю следом соответствует гравитационным волнам ограни-
ограниченной амплитуды. В решении A1.7.1) вихревая скорость отсут-
отсутствует.
Следовательно, общее квазиизотропное решение подтверждает
результат, полученный при исследовании малых возмущений (см.
§§3—5 гл. 11): фридмановское поведение вблизи сингулярности
(gp^t при />=е/3, р~£~2) совместимо с возмущениями плотности
и гравитационными волнами, но не с вихревыми возмущениями.
При обсуждении адиабатических возмущений и гравитационных
волн было отмечено, что необходимо конечное (хотя и малое) воз-
возмущение метрики вблизи сингулярности для того, чтобы сегодня
могли иметь место конечные возмущения плотности и конечная,
не исчезающая амплитуда гравитационных волн.
Таким образом, если поставить вопрос о космологическом реше-
решети, не противоречащем современному состоянию Вселенной и
минимально уклоняющемся от строго однородного решения при
*-Ю, то ответом явится квазиизотропное решение.

340 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО [ГЛ. 11
При этом /
Rkt(r)~rl при kr<^\. A1.8.4)
Дальше асимптотика различна в зависимости от того, k>\ или
k<\. В первом случае в области kr>l, г<1 есть плоская промежу-
промежуточная асимптотика R~r~1 sin kr. В области г>1 асимптотика су-
существенно связана с гиперболичностью метрики мира, т. е. с тем,
что при больших г поверхность шара растет, как
4л sh2 r ^> 4лг2.
Поскольку г ограничено только снизу, г^О, при любом целом I
возможно любое действительное k, в целом спектр непрерывен, что
и естественно для бесконечного объема.
В этом отношении гиперболический мир подобен плоскому миру
и отличается от замкнутого. В плоском мире плоские волны и сфери-
сферические гармоники представляют собой два равноценных способа
описания возмущений. При одном и том же собственном числе
ka возмущение можно описывать совокупностью плоских волн раз-
различных направлений или совокупностью сферических волн с раз-
различными /, т. Переход от одного способа описания к другому вполне
аналогичен повороту системы координат *).
В системе плоских волн легко выразить статистическую однород-
однородность и изотропию пространства.
Система сферических волн имеет свои преимущества для опи-
описания картины, наблюдаемой из данной точки, которую удобно
принять за начало координат.
Плоские волны с данным k2 различного направления статисти-
статистически равновероятны. Отсюда следует, что при правильной норми-
нормировке угловых функций ф
+ 1 2я
S \ Yln(Q, i|>)dcosedq>=l
-1 О
равновероятны сферические волны, нормированные на одинаковую
/2 sin Ikr4-wl) „
v—i_jt_/ на бесконечности, при г->оо.
Итак, возмущение плотности равно
^ = f dkCkBORk0 (г) Роо F) + J dkChlBRkl (г) Р1Р F) +
?klPu F) соэф4- \ dkCkisR^P^ F) sin ф +
' dkCk2ZSRk2 (г) />22 F) sin 2Ф + ... A1.8.5)
*) Этот переход есть поворот в гильбертовом функциональном пространстве.

.81 V
ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 341
функции одной скалярной переменной k (модуля волнового век-
вектора) 6Й... с различными индексами являются случайными функ-
функциями. 1
Однородность и изотропия Вселенной, включающие статисти-
статистическую однородность и изотропию возмущений, означают, что Ck...
с различными значениями индексов /, т, s или с одинаковы, имеют
одинаковый средний квадрат и независимы, не коррелированы
между собой.
Возмущение плотности в точке наблюдения (в начале координат,
г=0) зависит только от первого интеграла, от СА0, так как только
0
Движение относительно реликтового излучения вещества, на-
находящегося в начале координат, записанное через компоненты
скорости, зависит от следующих трех интегралов и только от них:
\ = H dkC,
Jftl0
все для плоского мира, Q=l, H = -
Среднестатистические величины даются выражениями
Си\г^, (П-8.8)
где |СЙ|2 — средний квадрат случайной функции, общий для всех
(различных) I и т.
Положение наблюдателя нельзя считать случайным — возник-
возникновение Галактики, Солнца, цивилизации наиболее вероятно там,
где 6р>0.
С помощью сферических функций наиболее удобно рассматри-
рассматривается вопрос о периодическом распределении тех или иных объ-
объектов.
Упорные поиски таких закономерностей проводит Дж. Бэрбидж.
В гл. 4 описаны рождение и гибель гипотезы о концентрации ква-
квазаров при 2=1,95. В последнее время Бэрбидж и О'Делл A972) с
помощью анализа Фурье установили, что в распределении квазаров
по величине красного смещения есть периоды Az=0,031 и Дг=

342 ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ОТО (ГЛ. 11
=0,062. Мы не будем здесь обсуждать, насколько статистически
значимы эти выводы (надежность их невелика), а обратимся к сле-
следующему вопросу. Какого рода периодичность совместима с пред-
предположением о космологической природе красного смещения спект-
спектров квазаров?
В этом случае красное смещение связано с расстоянием г (со-
(сопутствующей координатой) формулой
J * (О hHj A+«)"'■ Ь0Н0
о
о
*
Подсчитанное по всему небу (проинтегрированное по 6 и ф) число
квазаров зависит только от нулевой гармоники, /=0. Крайнее
предположение, соответствующее выраженной периодичности и
заключается в том, что Ck=Ab(k — k0).
Таким образом, можно ожидать распределения
(П.8.10)
Максимальное значение а, при котором п везде положительно,
равно а«4,5. Потребуем, далее, чтобы период был равен Дг»0,062
при малых z; получим р=200. Тогда при z«2 период равен Azw
^0,3, а амплитуда
п—п I
" Ima
составляет всего 0,05. Такой ход
кривой существенно отличается от простой периодической зависи-
зависимости Бэрбиджа и О'Делла. Разложение возмущений по сферичес-
сферическим волнам подсказывает другой способ обработки наблюдений.
Нетрудно вывести и формулы для гиперболического мира.
В гиперболическом мире плоских волн нет, и только с помощью
сферических волн можно безупречно ввести понятие о статистиче-
статистической однородности и изотропии Вселенной.
В выражении для скорости наблюдателя относительно реликто-
реликтового излучения и было допущено упрощение: предполагалось, что
возмущения представляют собой растущие моды движения вещества
на фоне покоящегося излучения. Такое приближение вполне
оправдано в случае волн, коротких по сравнению с расстоянием до
горизонта, ct~c/H. Длинные волны вовлекают излучение в движе-
движение вместе с веществом; при этом уменьшается и в пределе "к-^-оо
стремится к нулю скорость вещества относительно излучения, наб-
наблюдаемая как дипольная компонента в АТ/Т. Детальный расчет
этого эффекта, особенно в гиперболическом мире (Q<1), требует
использования метода сферических волн.
Следует ожидать, что в ближайшее время метод сферических
волн найдет широкое применение в теории возмущений однородной
изотропной Вселенной.

ГЛАВА 12
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Случайность и фурье-анализ
В предыдущих параграфах с максимальной точностью рассмот-
рассмотрено поведение отдельного возмущения с периодической зависи-
зависимостью от пространственных координат — «плоской волны».
Такой тип возмущения был выбран для рассмотрения в связи
с математическим упрощением задачи, сводящейся к исследованию
зависимости амплитуды и фазы возмущения от времени. Простран-
Пространственное распределение возмущения эволюционирует так, что длина
волны растет пропорционально радиусу мира. Решающим в выбср;
исследуемого решения является тот факт, что, пока возмущения
малы, любое произвольно распределенное в пространстве возму-
возмущение может быть представлено в виде суммы плоских волн и каж-
каждое слагаемое ведет себя так же, как одна-единственная отдельная
волна.
Ниже мы переходим к исследованию разложения возмущений
произвольной формы по плоским волнам и обратной задачи —
свойств различных комбинаций плоских волн.
При малой — но не слишком малой — амплитуде возмущений
можно продвинуть теорию на один-два шага вперед, рассматривая
взаимодействие волн между собой как поправку к линейной теории.
В некоторых простых случаях удается решить точно (или прибли-
приближенно) полную нелинейную задачу.
Характерной особенностью космологических задач является
хаотический характер возмущений; с его рассмотрения мы и
начнем.
Даже первый мимолетный взгляд на карту распределения га-
галактик показывает, что их расположение и форма в большой сте-
степени являются случайными. Ясно, что статистические методы не-
необходимы для описания структуры Вселенной в масштабах галак-
галактик и скоплений галактик. Статистические методы также являются
(или должны являться) важной частью эволюционной теории и
особенно теории развития возмущений. Хотелось бы, приняв слу-
случайные начальные возмущения и применяя к ним фундаменталь-
фундаментальную теорию (гравитация, взаимодействие с излучением и т. д.),
получить статистические законы наблюдаемой Вселенной. Основные

344 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
положения статистического описания, статистических законов и
теории вероятности недостаточно знакомы большинству читателей
и нуждаются в объяснениях.
В простейшем виде, например в связи с бросанием монеты, или
игральных костей, случайность определяется как противополож-
противоположность какой-либо функциональной зависимости. Результат каж-
каждого последующего события не должен зависеть от прошлых собы-
событий (если игрок честный!). Первая трудность в наших задачах зак-
заключается в том, что мы работаем не с дискретными испытаниями и
величинами (отдельные бросания с ответом «да» или «нет» в примере
с монетой), а с функциями непрерывных переменных, например
плотностью как функцией пространственных координат и времени.
С помощью искусственного разделения пространства на отдельные
ячейки можно ввести дискретный набор _р,- ^средняя плотность в
ячейке с индексом i). Предположим, что р,-, pk и т. д. независимы;
очень скоро эта независимость будет разрушаться физическим вза-
взаимодействием с веществом в соседних ячейках. Эти соображения
показывают, что приближение ячеек нецелесообразно. Сама форма
описания должна быть приспособлена к характеру процессов, про-
происходящих в рассматриваемых системах.
В тех случаях, когда однородное распределение вещества яв-
является разумным первым приближением, плоские волны, естест-
естественно, выделяются простыми свойствами, как показано в предыду-
предыдущих главах. Плоские волны в линейном приближении изменяются
независимо друг от друга, т. е. не взаимодействуют. Поэтому можно
использовать фурье-разложение случайных функций.
Большие успехи достигнуты в использовании случайных пере-
переменных и их фурье-разложений в связи с теорией турбулентности,
теорией плазмы и в радиотехнике. Лучшим, известным авторам,
руководством по этим вопросам применительно к гидродинамике
является замечательная книга Монина и Яглома A965, 1967).
Фурье-разложение скалярной функции р, заданной в объеме
V, может быть записано в виде (при пользовании комплексными
величинами подразумевается, что надо взять лишь действительную
часть)
б (х, у, г) = р (*' у~^ = -±=. V Акё*\ A2.1.1)
*) Следует обратить внимание, что мы в этой главе используем волновые
векторы k в физическом пространстве в отличие от используемого в предыдущей
главе х— волнового вектора в лагранжевых координатах. Вектор к более удобен
при непосредственном сравнении с наблюдениями. Подчеркнем, что k зависит от
расширения Вселенной, т. е. от времени. Эта зависимость явно учитывается в вы-
вычислениях § 4 этой главы.

§ t] СЛУЧАЙНОСТЬ И ФУРЬЕ-АНАЛИЗ 345
Отметим прежде всего, что производится разложение по системе
ортогональных нормированных функций
где
с условиями ортогональности и нормировки
6*. л- = 0 при кфк', 6ftft, = 1 при & = &'.
Но из условия нормировки следует, что функции i]) имеют раз-
размерность У-ч^см'4*). Так как 6 = ^—^безразмерно, то коэффи-
коэффициенты Ak, очевидно, имеют размерность см1г.
Иметь дело с размерными коэффициентами неудобно: даже зная
численное значение Ак, нельзя сказать, велики или малы возмуще-
возмущения. Поэтому в дальнейшем (учитывая также статистический ха-
характер задачи) мы введем безразмерную величину Д, пропорцио-
пропорциональную квадрату амплитуды |ЛА|2, усредненному по нескольким
соседним функциям:
где п — число членов суммы. Величина Д безразмерна, так как
размерность |ЛА|2 есть сма, k3 — см~а, множитель 2 я2 введен для
удобства. Если при всех волновых векторах безразмерное Д мало,
то мало и возмущение плотности. Доказательство будет дано ниже,
при рассмотрении предела V-voo.
Волновой вектор k может принимать одно из дискретных значе-
значений, допустимых для данного ограниченного объема V. Например,
если объем кубический и задано условие периодичности 6(L, у, z)=
~& @, у, z) и аналогично по у, z, то
V = L3, ft, = ^. *y = 2-^, *,-!£. A2.1.2)
где пх, пу, п2 — целые числа.
Для определенности постоянную часть Д, соответствующую Ак
при nx=ny=nz=0, исключим из суммирования. В данном случае
это оправдано тем, что по определению среднее возмущение в дан-
данном объеме 6v=0, если под р понимать среднюю плотность по дан-
яому объему V. Проблемы, связанные с переходом к бесконечному
пространству V-voo, обсуждаются ниже. Разумное определение
случайной функции состоит в том, что ее коэффициенты Фурье
случайны. Идея заключается в том, что эта случайность не разру-

346 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
шается физическим взаимодействием, по крайней мере пока возму-
возмущение мало, в линейном приближении. Следовательно, предполо-
предположение о случайности фур ье-компонент лучше, чем предположение о
случайности значений в различных ячейках.
Гипотеза случайности связана с идеей, что мы можем выбрать во
Вселенной много различных объемов Vlt V2, V3,... Каждый из них
называется реализацией, имеющей единственную определенную
плотность p=p[l+6(x, у, z)] и единственный набор Ак. Рассмат-
Рассматривая эти объемы совместно, мы можем спросить: как часто встре-
встречается данное значение ЛА? Следовательно, мы можем ввести ве-
вероятность P(Ak) — или для многих волн сразу P(A'k, A"k,...) —
появления данных значений коэффициентов Фурье. В линейной
теории проще пользоваться записью в комплексной форме. Тогда
Ah=Bk+iCk(B и С — действительные) и более удобно говорить
о P{B'k, C'k; B"k, C"k;...). Если взять N объемов, то число объемов
dN, в которых B'k лежит между B'k и B'k+dB'k, равно
dN = N-P(B'h)dB'k. A2.1.3)
Для случайного распределения интересующей нас величины Ak
естественно предположить, что P(B'k, C'k; Bl, C'k, •••) равно
( В%\ ( С\\
произведению членов типа ехр I г) ехр I ^1 с задан-
ными коэффициентами |Jft, yk, определяющими средний квадрат
амплитуды мод возмущений. Представление Р в виде произве-
произведения множителей, зависящих только от B'k, C'k и т. д., (фактори-
(факторизация) означает, что B'k, C'k; В"к, C'k и т. д. независимы. Выбор эк-
экспоненциальной (гауссовой) формы сомножителей означает, что мы
выбрали нормальный закон распределения, который хотя и не
является наиболее общим законом распределения, но, как правило,
осуществляется в действительности *).
Другое возможное представление есть Ak=ake'fi<, описываемое
заданием P(a'k, q>'k; al, ф*;...). Вместо того, чтобы брать действи-
действительную часть комплексного выражения, можно использовать ус-
условие Alk=Ak, которое также обеспечивает действительность.
Нормальный закон распределения Ак в этом случае означает, что
*) В теории вероятности доказано, что если рассматриваемая величина яв-
является суммой большого числа независимых величин i4^ = 2aftn.TO ПРИ любом
п
вероятностном законе для каждого слагаемого в/„ получается нормальный закон
для суммы А (в пределе при увеличении п).
На ранней стадии — вблизи сингулярности,— если задано поле возмущении
в зависимости от координат, то интеграл, которым определяется фур ье-компо-
ье-компонента, простирается на области, причинно не связанные (если не было периода
«до сингулярности»). Поэтому предположение о. нормальном распределении Аь
является естественным.

s 2] КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ 347
значение Р зависит только от ak, но не от фА, однако так, что
p~ak exp(—аЦ2а®.
Параметры f>k, yk, ak определяют средние квадраты Bk, Ck,
ak—\Ak\. Именно с помощью этих параметров и могут быть точно
сформулированы наши предположения о спектре возмущений.
Например, изотропия и однородность мира выражаются в том,
что pft, Y*. ak зависят лишь от модуля k, но не от его направления,
кроме того, pft=Yft и aft = pftj/2.
Правдоподобно, что функция pft гладкая. Мы знаем, что возму-
возмущения плотности эволюционируют со временем. Следовательно, р
зависит от t. Предыдущие главы этого раздела были посвящены
изучению эволюции возмущений с течением времени, т. е., по суще-
существу, изучению функции $k(t) (или pft(z)). Для того чтобы пол-
полностью определить функцию pft@, задающую спектр возмущений
для произвольного момента времени t, необходимо в полученные
ранее (§ 3 гл. 11) выражения для фурье-образов возмущений плот-
плотности — подставить конкректные значения коэффициентов С1г С2,
определяемые предположением о характере спектра возмущений в
некоторый определенный момент времени (скажем, при t-+0).
В каждой данной реализации q>k или Bk и Ck различны в разных
направлениях; они имеют определенные значения, не гладко из-
изменяющиеся в зависимости от k.
Понятие набора реализаций — важнейшая часть статистической
теории, и мы в дальнейшем будем иметь дело с этим понятием.
§ 2. Корреляционная функция и размеры
самогравитирующих объектов
Фурье-разложение очень удобно для динамических расчетов.
Но функция р(&, 2)=рлB) не является таким ответом, который
согревает душу астрономов. Астроном имеет право спросить, ка-
каково должно быть число и форма скоплений и других объектов,
которые следуют из тех или иных теорий развития возмущений
в расширяющейся Вселенной. Тут теоретик должен извиниться:
точная теория образования скоплений требует сложных нелиней-
нелинейных расчетов, выполнить которые сегодня невозможно. Все, что
может сделать теоретик сегодня более или менее точно и последо-
последовательно,— это рассчитать эволюцию возмущений в периоды, когда
возмущения еще малы.
Если астроном не потеряет интереса к теории уже на этой ста-
Дии^обсуждения *), он спросит о неоднородностях плотности, не
) Мы сознательно несколько сгустили краски. В действительности на основе
очного анализа линейной теории и приближенного анализа нелинейных стадий
g Ре™ки Делают вывод о свойствах, например, скоплений галактик, в которых
°Р/р^>1(см. об этом последующие главы).

348 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
превышающих 10—20% от средней, к которым линейная теория
применима. Но даже для этих (значительно менее интересных) неод-
нородностей астроном хочет знать их форму и амплитуду в тот или
иной момент времени, а не довольно абстрактную функцию $(k, t).
Так возникает проблема перехода от фурье-языка к описанию
пространственного распределения отдельных тел. Для отдельной
реализации ответ дается немедленно [см. A2.1.1)]. Но при статисти-
статистическом подходе вопрос, какова функция р(х, у, z), не имеет смыс-
смысла. Мы можем говорить о средних величинах, усредненных по мно-
множеству реализаций. В космологической задаче усреднение по pea*
лизациям означает рассмотрение множества одинаковых объемов,
расположенных повсюду в однородной Вселенной. Иными словами,
нахождение усредненных по реализациям величин означает на-
нахождение средних по пространству характеристик возмущений во
Вселенной.
Очевидно, по определению Ь(х, у, z)=0, т. е. среднее значение
Ь(х, у, z) равно нулю в каждой точке пространства. Имеет смысл
говорить о среднем квадрате Ь2(х, у, z). Используя свойства фурье-
рядов, легко показать, что
Рассмотрим среднее по всем реализациям и одновременно произ-
произведем переход к пределу V->oo, а от суммирования перейдем к ин-
интегрированию:
6*(х,у, z) = -^rjTld»A! = ^IJpjd»A! = A. A2.2.1)
Величина б2, усредненная по реализациям, не зависит от коорди-
координат. При нормальном законе распределения для Bk, Ck закон
распределения для 6 также нормальный:
J-62/2A. A2.2.2)
В левой части стоит вероятность данного значения 6 в любой данной
точке. Величина Д, очевидно, одинакова для всего пространства и
зависит только от времени.
Эти формулы характеризуют амплитуду неоднородностей, но
ничего не говорят об их пространственной структуре. Характери-
Характеристикой пространственной структуры неоднородностей является
корреляционная функция /(г). Она определяется формулой
г = *,-*.. A2.2.3)

s 2] КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ 349
Каков смысл корреляционной функции? Представим себе про-
пространство, разбитое на области с 6>0 и 6<0 и средним размером
г0. Выберем точку jfi внутри области, где 6>0, так что 6 (л: !)>().
При удалении от этой точки на расстояние меньше г0 мы с большой
вероятностью остаемся в области 6>0. Поэтому 6(дг2)>0 при [жх—
К 6()>0
.К. (
Произведение 6 (х1)Ь(х2) положительно (с вероятностью больше
половины, а значит, и в среднем), если \Хх — лга|<г0.
Благодаря квадратичности выражения /(г)области, где 6 отри-
отрицательно, 6<0, дают вклад того же положительного знака в /(г).
Знглит /(/■) положительно при r<Zr0, при О>г0 /(г) меняет знак.
Итак, смысл корреляционной функции таков. Пусть в некоторой
точке мы задали б0. Тогда средняя кривая, описывающая поведение
6 в окрестности данной точки @), задается /(г):
Индекс после вертикальной черты означает, что средняя кривая
задается при условии 6@)=60. Заметим также, что поскольку
все возмущения эволюционируют со временем, то и /(г), вообще
говоря, зависит от времени. Для нашего анализа эта зависимость
сейчас не важна, и поэтому мы ее явно не выписываем.
Мы определили 6 так, что б -- \ 6 dV = 0. Отсюда следует, что
равно нулю и среднее по объему значение корреляционной функции.
В самом деле, запишем дг2 — дг1=г, дг2=дг1+г и найдем
J / (г) д?г = ± j [б (дг) (J 6 (х+г) d3r)J d?x.
Второй (внутренний) интеграл равен нулю, поскольку он берется
о всему объему, а в этом случае выбор начала отсчета г не играет
роли. Итак,
В однородной и изотропной в среднем Вселенной функция кор-
корреляции зависит только от абсолютной величины расстояния г,
но не от выбора начала отсчета г и не от направления вектора г.
Поэтому, опуская 4зт, имеем
Значит, f{r) обязательно должна быть знакопеременной функ-
о' По определению /@)=1 благодаря выбору знаменателя в
2.3). В области г<.г0 /(г)>0. С другой стороны, где-то f(r) дол-
быть отрицательной. Естественный вывод заключается в том,
0 первый нуль функции f, т. е. то наименьшее значение ги при

350 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
котором f(rt)=O, как раз и дает средний размер области, т.е.
Не будем скрывать от читателя, что выбор определения корре-
корреляционной функции продиктован также и удобством ее вычисления,
наряду с удобными для физической интерпретации свойствами.
Дадим выражение /(г) через спектральную функцию Р(/г), ха-
характеризующую амплитуду волн различной длины:
A2.2.4)
(k) fe2 dk
Зная /(г), можно найти г0. Если рг(&) сконцентрировано в узком
интервале около некоторого значения k0, то, как видно из A2.2.4),
ro=n/kB, т. е. Го есть половина длины волны, соответствующей ke.
Теперь можно высказать первое предположение относительно
момента, когда значительная доля массы перешла в гравитационно
связанные объекты в ходе эволюции первоначально малых возму-
возмущений в расширяющейся Вселенной, а также относительно массы
таких объектов. Предположим, что спектр возмущений р (k, t)
таков, что 6а@=А@ — растущая функция времени (в противном
случае возмущения не нарастают, мы уже знаем — см. гл. 10,—
что для определенных возмущений на определенных стадиях расши-
расширения Вселенной это возможно). Когда в линейной теории Д до-
достигает порядка единицы, то в первом приближении грубо можно
считать, что процесс распада вещества на отдельные части прои-
произошел. В этот момент найдем корреляционную функцию и, в част-
частности, определим гх — положение первого нуля. Характерная масса
частей, на которые разбилось вещество, порядка ~ ог\.
Ясно, однако, что при Д~1 грубой становится линейная теория
роста Р(&, t), и эта «грубость» складывается с «грубостью» опреде-
определения характерной массы по нулю корреляционной функции.
Запишем выражение для б2 [см. A2.2.1)] в виде
СО СО
^^= j Akd\nk. A2.2.5)
Задаваемая этой формулой функция ДА = - *J безразмерна.
Если у функции Ak есть широкий максимум при km3K (интервал
In k порядка 1), то по порядку величины
Д-6* = ДА(*гаах). A2.2.6)

$ 3] ОТКЛОНЕНИЯ СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ В ДАННОМ ОБЪЕМЕ 351
Еще лучше от к перейти к соответствующей массе M = pf-^-
и определить Д(УИ) = -3- Д (k) так, что
Д= S Д(Л1)<ЛпЛ1. A2.2.7)
— со
Первый нуль корреляционной функции примерно определяется
уравнением sin km3X rx = О, г, = -r^— , — это соответствует половине
"max
длины волны моды elkr при \k\=km3x. Теория зависимости от вре-
времени функции р(&, t) была развита выше, но проблема выбора
начального значения в р (k, t=0) или в р (k, te) при и=фО, остается
нерешенной. Эта проблема спектра начальных возмущений (откуда
они берутся, каковы они?) будет кратко обсуждаться в § 9 гл. 23.
§ 3. Отклонения средней плотности в данном объеме "
Естественный путь описания неоднородности распределения
вещества состоит в том, что надо взять сферу радиуса г и определить
массу, содержащуюся в этой сфере. Конечно, эта масса зависит от
выбора положения центра сферы. В статистических задачах мы
можем найти среднее значение массы М и среднюю величину от-
отклонения массы от средней:
ГП з.1)
м
Эта величина, рассматриваемая как функция радиуса; или объема,
или самой массы, т. е. ц(М), является достаточно удобной или, по
крайней мере, самой простой характеристикой* неоднородности
распределения вещества.
Представим себе, что вещество распределено в виде обособлен-
обособленных тел массы Mi со средней плотностью тела рх. Число тел в еди-
единице объема п = -$[-- Таким образом, на каждое тело в среднем
Р
[
приходится объем V = n~1 = -^-, между тем как объем самого те-
Р
М
ЛЭ V = ~cii~' ^ЛЯ ПРОСТОТЫ предполагаем, что все вещество соб-
собралось в отдельные тела, так что между телами вещества не
осталось.
Ясно, что в этом случае функция u (M) ведет себя следующим
образом:

352 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
1) При M^>Mi в объем, рассматриваемый при вычислении ji,
входит много (-TJ-) тел, так что [i мало: ц<1 при M^>MU ц->-0
при Л4->оо.
2) При— Л^ < М < Л^ в рассматриваемый объем иногда входит
одно тело, иногда — ни одного. Можно показать [см. A2.3.3)],
что в этой области (при некоррелированном размещении отдель-
отдельных тел)
Если размещение отдельных тел подчиняется какому-либо другому
статистическому закону, то формула для ц будет иная, но общим
свойством всех формул является то, что в этом интервале М функ-
функция [i(M) проходит через единицу, плавно сшивая области 1) и 3).
3) Наконец, при М < — М1г т. е. при M<.pv, рассматривае-
рассматриваемый объем меньше объема одного тела. При этом, если у тел нет
структуры (плотность р! постоянна внутри тела), получим, что ц
не зависит от М, не растет с дальнейшим уменьшением М:
В свою очередь, имея такую кривую \i(M), можно получить пред-
представление о характере распределения вещества. Так, например,
значение М, при котором ц начинает быстро возрастать и проходит
через 1, характеризует массу отдельных тел. Неоднородное рас-
распределение плотности внутри отдельных тел привело бы к дальней-
дальнейшему подъему [I в области еще меньших М. Однако эта структура
отдельных тел не сказывается на ходе кривой \i(M) при М>ри.
Заманчиво использовать зависимость ц.(М) для систематизации
наблюдений и для сравнения с выводами теории.
Если распределение вещества задано коэффициентами фурье-
разложения, то ц.(М) определяется формулой
-j:,t(kr)k*dk, A2.3.2)
где Af = -g-pr3 и J'/,(x)= у —з [sinл: — xcosx] — функция
Бесселя.

§ з] ОТКЛОНЕНИЯ СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ В ДАННОМ ОБЪЕМЕ 353
Будем по-прежнему рассматривать случай концентрации ве-
вещества в обособившиеся объекты массы Мг. Какова функция ц(М)
для М^>Ми т. е. для объемов, содержащих несколько объектов?
Наивный ответ на этот вопрос заключается в том, что отдельные
объекты ведут себя подобно статистически независимо распреде-
распределенным частицам. Их среднее число N = -тг- и
Van*
_V an* _ i _ Гмх
при М>М1. A2.3.3)
Но этот ответ неверен! В действительности общего ответа нет —
ход кривой в области, где ц<1, зависит от спектра возмущений
|3ft и от процесса обособления, поэтому изучение малых ц может
дать ценнейшую информацию о Вселенной [Зельдович A965 г )].
Каковы основные предположения, приводящие к закону
Закон &N = VN получается в предположении случайного,
некоррелированного размещения отдельных объектов в простран-
пространстве. Можно сказать, что этот закон соответствует гипотезе о боге,
который откуда-то извне засевает пространство Вселенной объек-
объектами (например, галактиками); предполагается, что вероятность
каждой следующей галактики попасть в тот или иной участок
пространства постоянна и одинакова во всех точках, не зависит от
того, как распределены в пространстве предыдущие галактики.
Божественная гипотеза, очевидно, неприемлема. Естественная
постановка вопроса заключается в эволюционном рассмотрении
образования изучаемых объектов (галактик или скоплений галак-
галактик). Предполагается, что вначале плазма была распределена почти
равномерно и образование галактик есть результат роста малых
возмущений вследствие гравитационной неустойчивости.
На первый взгляд такая гипотеза приводит к вполне определен-
определенному выводу о том, что ДМ должно быть меньше, чем VN, меньше,
чем в гипотезе «случайности». В процессе роста возмущений уве-
увеличение плотности в каком-то месте и образование гравитационно
связанного объекта есть результат притока вещества из соседних
областей. Казалось бы, отсюда следует вывод, что вероятность
образования другой галактики рядом с данной меньше, чем вдали.
Такая отрицательная корреляция должна привести к уменьшению
флуктуации в больших объемах с большим N. Однако это простое
рассуждение, справедливое, например, в случае образования капе-
капелек тумана в переохлажденном паре, несправедливо в случае гра-
гравитационной неустойчивости. Глубокая причина заключается в
том, что сила тяготения дальнодействующая.
Я. В. Зельдович, И. Д. Новиков

354 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
Представим себе избыток плотности, сосредоточенный в неболь-
небольшом объеме. Поле тяготения избыточной массы 6УИ характеризу-
характеризуется потенциалом, убывающим, как 6ф = , соответствующее
G&M п
ускорение равно — и направлено к центру. Движение, выз-
вызванное таким ускорением, характеризуется радиальной скоростью
Поток вещества, переносимый через сферу радиусом г внутрь, равен
t
q = 4ш-2р | «рая | = 4nGp J ЬМ (t) dt.
Отсюда можно построить уравнение
решения которого совпадают с джинсовской теорией (см. гл. 9):
6М; = const еУШР*, bMd = const e-v*^1.
Здесь, однако, наша цель — подчеркнуть зависимость и~1/г2,
при которой количество вещества во всех промежуточных слоях не
изменяется (поток q не зависит от г или div ы=0). Можно сказать,
что увеличение массы в центре происходит за счет притока массы из
бесконечности, а не из соседних областей! Значит, при действии
гравитационной неустойчивости нет обязательной антикорреляции
соседних галактик.
Выше, в § 3 гл. 9, было показано, что малые возмущения рас-
растут подобно, не меняя формы.
Окончательный вывод заключается в том, что тот или иной закон
флуктуации AN=f(N) в распределении отдельных объектов за-
зависит от начального спектра исходных малых возмущений. В прин-
принципе, в зависимости от спектра начальных малых возмущений,
возможно, например, как AN~N-''', так и AN~N*'\ Исследо-
Исследование флуктуации может дать такую информацию о начальном со-
состоянии, которую современная теория не может предсказать (по-
(пока!), исходя из одних общих законов физики.
Поучительно проанализировать положение с помощью фурье-
спектра. Отдельный объект объемом v размера l~v''° описывается
условием i4ft=const (не зависит от k) при Ы<.\. Случайно распре-
распределенные объекты имеют также спектр pft=const. В этом случае
A2.3.4)

$ 3] ОТКЛОНЕНИЯ СРЕДНЕЙ ПЛОТНОСТИ В ДАННОМ ОБЪЕМЕ 355
Если есть корреляция в распределении объектов, то коэффициенты
Ak, относящиеся к различным объектам, взаимно уничтожаются
и рй->0 при &->0, например:
P(k)~ka*, a*>\. A2.3.5)
Подставляя такое f>(k) в формулу A2.3.2), получим (г—юо)
у,~г-*~М-Ч; AN~N'':
Ответ оказывается независимым от значения а*. Это разочаровы-
разочаровывает: мы собирались измерять ц и узнать что-то о показателе спек-
спектра а*. Причина разочарования заключена в определении \i.
Взяв сферу с данным радиусом г, мы введем флуктуации даже
в случае наиболее регулярного распределения объектов. Пусть
объемная плотность будет постоянна в больших масштабах. Даже
в этом случае добавление или убирание отдельного объекта, ле-
лежащего вблизи поверхности большого шара радиуса R, из-
изменяет общую массу внутри шара. Число объектов вблизи по-
поверхности
lt A2.3.6)
(г1=п~1/* — среднее расстояние от одного объекта до соседнего) и
y- ~N''>. A2.3.7)
Следовательно, неудовлетворительность определения ц заклю-
заключается в том, что берется шар. с четкой границей. Случайность поло-
положения объектов вблизи границы сильно влияет на результат. Надо
ввести взвешивающую функцию, которая равна единице внутри
шара и плавно спадает к краям, «размазывая» тем самым резкость
границы.
Для того чтобы исследовать регулярность распределения объек-
объектов в данном масштабе порядка R, попробуем определить
dr A2.3.8)
о
или, в случае точечных масс,
2C//?)a. A2.3.9)
2;
Очень важно, что в новом определении отсутствует резкая граница.
12*

356 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
При этом эффективный объем порядка R3, формулы A2.3.8) и
A2.3.9) соответствуют M=n''*R*p.
Небольшие перемещения объектов не приводят к большому
изменению М (R), а значит и ц, как это было при использовании
старого определения.
С новым определением М выполним всю процедуру расчета М
и \х, усредняя по произвольному выбору положения центра шара.
С Другой стороны, обращаясь к фурье-представлению *) для ц:
находим
ii ~ P-sA-«* ~ Af-Vi-a*/s /19 Ч 10^
чему соответствуют отклонения числа объектов от средних
~М'/г-а'/з_ При а*=0, т. е. при плоском спектре, получается «на-
«наивный» результат, соответствующий случайному, некоррелирован-
некоррелированному распределению объектов. Однако теперь влияние а* на разумно
определенное ц прослеживается при любых а*. Например, если
а*=2, то AN~N-''*— абсолютная флуктуация (а не только отно-
сительная -^-1 убывает при Л/->оо.
С другой стороны, в принципе возможен (хотя и представляется
маловероятным) растущий спектр возмущений, а*<0.
Потребуем, чтобы сходился интеграл
з
Для этого достаточно а* > —=-. Следовательно, про показатель
1 а*
У = -к—5" можно утверждать лишь, что у-<1,— относительные
AN
флуктуации -тг~ Ny-1 всегда убывают, если интеграл амплитуды
возмущений конечен.
При сравнении с наблюдениями, особенно в случае а* >0, необ-
необходима осторожность. Результат справедлив для плотности массы,
но не для плотности светимости (L) или плотности числа галактик
(для которых масса не постоянна). Лишь масса является сохраняю-
сохраняющейся величиной. Даже если массы распределены однородно в
больших масштабах, (что означает р (fe)->0 при &->0), флуктуации
отношения L;/m; светимости к массе для отдельных галактик
*) В формуле, приведенной ниже, e~k'R'^ есть фурье-образ взвешиваю-
взвешивающей функции, заданной формулами A2.3.8) или A2.3:9).

j 4] ОГРАНИЧЕНИЯ И СЛОЖНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ 357
приводят к флуктуации
^t A2.3.11)
так что (AL)*~L.
«Гладкость» определения М (R) A2.3.8) и [i{R) с помощью гаус-
гауссовой взвешивающей функции важна для принципиального пони-
понимания структуры неоднородности плотности. Но при реальном ана-
анализе наблюдений надо помнить о только что упомянутых факторах,
осложняющих такой анализ.
§ 4. Ограничения и сложности линейной теории
Одна из основных задач теории гравитационной неустойчивости
заключается в следующем. Пусть задан в некоторый момент (на-
(например, при t-+0) спектр возмущений. Требуется сделать выводы
о том, когда возникнут из возмущений отдельные объекты и каковы
их свойства (масса и др.). Сравнительная легкость расчета эволю-
эволюции спектра $(k, f) после того, как задан начальный спектр, соз-
создает соблазн быстрого вывода. Необходимо уделить внимание труд-
трудностям и ограничениям, возникающим при таком подходе.
Представим себе, что распределение плотности задано и, для
простоты, растет, оставаясь подобным начальному распределению.
Хотелось бы взять часть пространства с 6>0 (или с 6>60, с некото-
некоторым определенным 60) как предвестник выделяющегося объекта.
Можно рассчитать число таких частей, объем каждой части и со-
содержащуюся в ней массу. Окончательный ответ должен носить ста-
статистический характер — должен дать функцию распределения объек-
объектов по массе и другим свойствам, например значению скорости,
моменту импульса и т. д.
Первая практическая трудность состоит в том, что рассчитать
свойства поверхностей данного уровня 6=60 для функции, заданной
ее фурье-разложением,— не простая задача [см. Дорошкевич
(-1970)]. Ответ в окончательном виде неизвестен. Предпринимались
попытки численных экспериментов. В двумерном случае Пиблс
A9696) предложил остроумный метод оптического моделирования
эксперимента.
Некоторые принципиальные трудности можно предвидеть. Если
60 больше, чем среднеквадратичное отклонение у 6s, то часть про-
пространства с б!>60 мала и распределена в виде островков, окружен-
окруженных «морем» с 6<60. Если же 60 мало или 60=0, то топология частей
с б!>60 очень не похожа на топологию определенных астрономичес-
астрономических объектов. Например, поверхности 60=0 могут быть замкнуты
вокруг «объекта» с 6>0, но с равной вероятностью эти поверхности
могут быть замкнуты вокруг «дыры», окруженной более плотным
веществом.

358 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 12
Глубокие корни трудностей лежат в том, что астрономические
объекты есть результат сильной нелинейности, они характеризуются
Лг^>1 DL-»100 для наименее плотных объектов — скоплений
Р \Р
галактик). Эта нелинейность полностью уничтожает симметрию
между 6>0 и 6<0, характерную для линейной теории. Очевидно,
что пространство с — > 50 или 6 = ^-—1 > 49 занимает долю не
Ро Ро
больше, чем 2% всего пространства: ни в какой части пространства
нет 6=—49 (и даже 6<—1), потому что везде плотность положи-
положительна.
Образование астрономических объектов должно описываться
нелинейной теорией. Некоторые гипотезы и результаты, получен-
полученные нелинейной теорией, изложены в следующей главе.
Чтобы закончить со статистической теорией, необходимо упо-
упомянуть вопросы, связанные с фурье-разложением случайных функ-
функций в бесконечном пространстве. В конечном объеме V мы работали
с суммами. Число функций в данном интервале волнового вектора
Vdkxdkydkt
kx—kx+dkx, ky—ky+dky, kz—k2+dkz равно ^r, , когда
V возрастает, число слагаемых в выражении 6 = -^=- V АкеШх
увеличивается. Но эти слагаемые имеют случайную величину. Сле-
Следовательно, их сумма пропорциональна квадратному корню из
их числа. Каждое слагаемое в сумме должно быть пропорционально
V~4*. Эти свойства необходимо иметь в виду, чтобы понять смысл
интеграла J Akeikxd3x. В линейной теории закон эволюции был
получен для дискретных волн, т. е. для отдельных членов суммы.
Когда же делается переход к бесконечному объему и интегралу,
необходимо иметь в виду, что сумма квадратов по определенному
объему в ^-пространстве играет роль квадрата амплитуды данной
волны, т. е.
У^к или «£<*!„*.
В ходе космологического расширения k уменьшается, &(
+z), где z — красное смещение. Для одной волны закон эволюции
Ak(z) (для простейшего случая плоской космологической модели,
заполненной пылевидным веществом) имеет вид
Ak(z)~f'*~(l+z)-1. A2.4.1)
Для амплитуды интеграла Фурье

5 4] ОГРАНИЧЕНИЯ И СЛОЖНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ 359
или, точнее, зная величину р при некотором г', можно вычислить
P(k, г) при любом г по формуле
)ШЧш- A2А2)
При этом k есть волновой вектор в физическом (не в сопутствующем!)
пространстве. Здесь снова выявляется удобство введенных выше
безразмерных функций массы Д(М) и ц(М) [см. формулы A2.2.7)
и A2.3.1)]. По порядку величины |.1г=Д. Постоянному значению
аргумента М соответствует постоянный объем сопутствующего
пространства *). В ходе эволюции J/Д и ^i меняются по тому же
закону, что и безразмерная амплитуда отдельной волны.
•) Под М мы понимаем сумму масс сохраняющихся частиц — барионов, без
учета излучения.

ГЛАВА 13
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. Возмущения в пылевидной среде; задачи,
допускающие точные решения
Существуют три различных пути подхода к нелинейным зада-
задачам. Один путь заключается в точном решении частных задач со
специальными начальными условиями. Примером таких задач мо-
могут служить сферически-симметричные возмущения. Второй путь
состоит в построении приближенного метода, экстраполирующего
линейную теорию. Этот метод очень мощный, но надо Есегда пом-
помнить о его ограниченной точности. Преимущество этого метода со-
состоит в том, что он применим к общему случаю несимметричных
возмущений. Наконец, третий путь состоит в выяснении качест-
качественных свойств общего точного решения; сюда относится, в част-
частности, вопрос об особых точках решения и об асимптотических за-
законах вблизи особых точек.
Именно сочетание всех трех методов дает наиболее надежные
результаты. Хорош тот приближенный метод, который совпадает
с точным решением по крайней мере в каком-то специальном случае
и имеет правильную асимптотику вблизи особых точек.
Случай сферически-симметричных возмущений может быть про-
проанализирован точно, потому что влияние соседних возмущений рав-
равно нулю. Второй метод учитывает приливное действие со стороны
соседних возмущенных областей, но за это приходится расплачи-
расплачиваться тем, что он является приближенным *). Во всех случаях
мы будем пренебрегать силами давления, считая Р=0.
В простейшем сферически-симметричном случае шар, который
является частью фридмановского мира с определенной величиной
QB **), рассматривается на фоне целого фридмановского мира с
другой величиной Q [с дырой для возмущенного шара — наподобие
швейцарского сыра; сравнение, принадлежащее Эйнштейну и
Штраусу A945)].
*) Точное решение получается также для одномерного движения, в котором
все величины зависят от одной декартовой координаты. Это точное решение со-
содержится в формулах приближенной трехмерной теории.
•*) Индекс «в»—возмущенный.

I] ВОЗМУЩЕНИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ 361
Если £2<11, то возможны два случая: 1) £2В<[1, 2)
В первом случае возмущенный шар также расширяется до бес-
бесконечного радиуса и нулевой плотности, связанный объект не обра-
образуется .
Во втором случае, который является более интересным, возму-
возмущенный шар ведет себя как замкнутый мир Фридмана. Следова-
Следовательно, мы можем утверждать, что в некоторый момент времени
tm плотность в возмущенном шаре достигнет минимума, расширение
прекратится и сменится сжатием. Формально это сжатие приве-
приведет к бесконечной плотности при tm=2tm. Фридмановский мир с
Р=0 и Ц>1 сжимается в точку весь одновременно, и поэтому пред-
предположение Р=0 всегда и везде в этом случае неправдоподобно.
Реально при достаточно большой плотности давление даже холод-
холодного вещества уже существенно. На краю шара возникает волна
разгрузки, решение становится неоднородным. Но гораздо реальнее
случай, когда начальное состояние не строго симметрично или,
даже будучи сферически-симметричным, неоднородно, т. е. плот-
плотность зависит от радиуса, р(г). В этом случае также при движении
с Р=0 в некоторый момент возникает бесконечная плотность; отли-
отличие заключается в том, что р=оо возникает не сразу во всем объеме,
а на некоторой поверхности или в одной частице вещества. В этот
момент возникают ударные волны, и в последующем вещество, сжа-
сжатое ударной волной, имеет РфО. До ударной волны мы полагали
энтропию равной нулю, а уравнение состояния таким, что Р(р,
S=0)=0. После ударной волны 5>0, Р>0 и возникнут колебания
вокруг положения равновесия при конечной плотности. При коле-
колебаниях за счет диссипативных процессов кинетическая энергия
переходит в тепло, амплитуда колебаний уменьшается, часть массы
может быть выброшена и предельным состоянием возмущенного
шара является равновесная конфигурация [Зельдович, Каждан
A970)] *).
Полная энергия «части замкнутого мира Фридмана» отрицатель-
отрицательна; в момент остановки при смене расширения сжатием равна нулю
кинетическая энергия (давлением пренебрегаем, пылевидное веще-
вещество), так что полная энергия равна в этот момент потенциальной
энергии:
F 3 ам* ЛЯ 1 П
В равновесии при той же полной энергии по теореме вириала тепло-
тепловая энергия равна — Е„оч„, потенциальная энергия £/равн равна
*) В ньютоновской теории раоновесное состояние возникает всегда, в ОТО
равновесие возможно только в случае, когда радиус равновесного шара больше
гравитационного радиуса.

362 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
2£полн- Следовательно,
_ 3 ОМ* 3 ОМ*
«Л»» —5^-н-2£полн = -2-^-^--, A3.1.2)
откуда tfpaBH = -2-tfm, РРавН = 8рт [Пиблс A967а)].
Этот результат является оценочным (Пиблс пренебрегает потерей
массы). В равновесной конфигурации плотность не постоянна по
радиусу, и поэтому Rp3m и рравн — некоторые эффективные вели-
величины.
Для более подробного анализа необходимо полное изучение
сжатия после момента остановки. Это нетрудно сделать числен-
численными методами, однако результаты уточнения сильно зависят от
конкретных предположений *о нарушениях точной симметрии и
однородности распределения плотности.
Можно предсказать, что если р(г) имеет максимум в центре,
то при сжатии возникает ударная волна и небольшая часть вещества
сбрасывается с положительной энергией. Отрицательная энергия
остающегося гравитационно связанного вещества увеличивается по
абсолютной величине. Также увеличивается и равновесная плот-
плотность рравн [Зельдович, Каждан A970)].
Поучительно сравнить результаты нелинейной теории с «наив-
«наивными» результатами линейной теории. Простой расчет (опущенный
здесь) приводит к следующим формулам нелинейной теории для
возмущенного шара и значения £2=1 в невозмущенном мире.
В момент tm, когда радиус возмущенного шара максимален,
возмущенная плотность равна (напомним, что мы считаем возму-
возмущенный шар однородным)
Р = 5,5р, 6И = 4,5. A3.1.3)
В линейной теории F=const-f/>), которая дает правильную асим-
асимптотику при t<^im, получаем при t=tm
6лнн = ^FлI/«=1,07. A3.1.4)
Следовательно, в плоском мире (£2=1) малые сферически-симмет-
сферически-симметричные растущие возмущения (с асимптотикой &=a*t'i* при 6<^1)
прекратят расширение при 6т=4,5 в момент tm=\,\a*-4> и приве-
приведут к коллапсу, заканчивающемуся (формально) бесконечной плот-
плотностью вещества возмущенного шара, 6=оо, при ta.=2tm=2,2a*~'/t
(см. таблицу).
В случае плоского мира Фридмана с £2=1, заполненного пыле-
пылевидным веществом, полная энергия каждой невозмущенной (сфе
рической) части равна нулю и, следовательно, каждое растущее

Ill
ВОЗМУЩЕНИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ
363
ТАБЛИЦА X
Значение А в линейной и нелинейной теориях
Время
Линейная теория
Нелинейная теория
a*t'l'
tma—V.
1
4,5
t=2a*~'/t
1,7
oo
возмущение (мода) *) с 6>0 имеет отрицательную энергию и приве-
приведет к прекращению расширения и коллапсу с течением времени.
В этом отношении случай сферических возмущений в мире с
£2<1 качественно отличается от случаев с £2^1. При £2<1 невоз-
невозмущенная энергия положительна, так что существует критическая
амплитуда возмущений 6С, которая делает в шаре QB =1. При
6>6С будут возникать гравитационно связанные объекты, при 6<6С
такие объекты не возникают. "
Интересно рассмотреть ранние моменты в решении, когда не-
невозмущенная плотность велика, а возмущения малы, и найти от-
ответ на вопрос, какова критическая величина возмущения плотности,
приводящего к возникновению гравитационно связанного тела,
т. е. к прекращению расширения хотя бы при /->оо.
Для вычисления 6С надо взять нарастающую моду возмущений
плотности в A1.3.1) и связанную с ней моду скорости (члены с С2
в выражениях для — и и"), добавить эти возмущения к р и хабблов-
ской скорости расширения шара. В согласии с нашей моделью одно-
однородных возмущенных шаров 6р и и" выбирают так, что внутри шара
снова применимо решение Фридмана, но с QB, несколько отличной
от Q окружающего вещества. Величина 6С соответствует QB=1.
Критическая величина возмущения оказывается равной
3 1-Q A3.1.5)
Полезно запомнить, что критическая величина возмущения (т. е.
возмущение, которое приведет к рв->°°, 6-»-оо в нелинейной тео-
теории) определяется условием 6=3/а при tf->oo при расчете по ли-
линейной теории. Для 0<£!<1 линейная амплитуда 6ЛИН при г=0,
необходимая для того, чтобы в нелинейной теории произошла оста-
остановка расширения, лежит в пределах 1,5>6лнн>1,07 **). Если из-
*) Мы всегда повторяем «растущая мода», поскольку при начальном б>0
в принципе возможно и расширение—если6>0 и divo>0 (U — пекулярная
скорость) возможно £полн>0.
' :Па °лии соответствует моменту остановки расширения. На момент кол-
коллапса возмущенного шара 0див=1,5 для Q=0 и 6ДИН=1,7 идя Q=»l.

364 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
вестна средняя амплитуда возмущений на ранние моменты времени,
то теперь легко определить долю сконденсировавшегося вещества
р* согласно оценкам нелинейной теории для сферических возмуще-
возмущений. Для £2=1, очевидно, асимптотически £->oo, p*=0,5. Дейст-
Действительно, половина возмущений имеет 6>0 и сконденсируется,
половина — 6<0 и не сконденсируется. Для £2=1 или £2«1 гово-
говорить о t-^-oo не особенно интересно, так как эта асимптотика отно-
относится к далекому будущему и не характеризует конденсацию мате-
материи в объекты в наше время. Асимптотика t-^-oo имеет смысл лишь
для £2<^1, поскольку в этом случае доли вещества, сконденсировав-
сконденсировавшегося в настоящее время (z=0) и при t-^-oo, одинаковы, так как в
линейной теории возмущения не нарастают на поздних стадиях.
Общая формула для р* довольно сложна. Пусть в некоторый
момент в прошлом, соответствующий красному смещению г, сред-
средняя амплитуда возмущений есть 60. Тогда доля сконденсировав-
сконденсировавшегося к нашему времени (г=0, £2<ф) вещества
CD
р* = —К=- \V6Ve»d6, A3.1.6)
Ос Vя ^
с
где 6С определяется A3.1.5).
Еще раз напомним, что все оценки этого параграфа основыва-
основывались на теории сферических возмущений в веществе с Р=0.
§ 2. Возмущения в пылевидной среде; приближенный
анализ общего случая («блины»)
Из астрономических наблюдений известно, что в расширяющейся
Вселенной амплитуда возмущений плотности достигает величины
порядка единицы на том этапе, когда линейные размеры неоднород-
ностей много меньше ct и много меньше радиуса кривизны а. Таким
образом, теория роста неоднородностей перестает быть линейной на
этапе,, когда уже можно пользоваться ньютоновской физикой и
релятивистские эффекты несущественны.
Описываемое ниже приближенное решение [Зельдович A9706)]
заключается в использовании лагранжевых переменных и (обосно-
(обоснованной) экстраполяции линейной теории. Эйлеровская координата
частиц г (или х, у, г) будет записана как функция ее лагранжевых
координат s в виде
A3.2.1)
Прежде чем переходить к обоснованию формулы A3.2.1), сделаем
следующие замечания. Первый член соответствует невозмущенно-
невозмущенному движению. Пренебрегая вторым членом, получим
и йг *da r ' da ■ ПЯ2 2)
asr (\лг4

$ j] ВОЗМУЩЕНИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ 365
т. е. хаббловский закон расширения. Лагранжевы координаты s
определяются как координаты невозмущенного положения частицы
в момент tu определяемый условием a(t1)=l; поэтому s = r —
для невозмущенного решения.
Второй член в формуле A3.2.1) описывает возмущения. Форма
записи A3.2.1) соответствует случаю малых растущих возмущении —
в этом случае функция двух переменных sat может быть фактори-
зована, т. е. записана как произведение b(t) на %(s).
Действительно, в § 3 гл. 9 было показано, что в линейном при-
приближении и! при Р=0 возмущение любой формы растет, оставаясь
подобным:
() (£) «р,(<)•
При этом пространственный масштаб меняется в соответствии с об-
общим космологическим расширением. Здесь следует сделать одну
оговорку: распределение плотности может быть любым, т. е. на
функцию 60 (-£■ J никакие ограничения не накладываются. При дан-
данной функции 60 распределение пекулярной скорости и0 связано с
60 условием div ио~—60. Второе условие, которому удовлетворяет
скорость, заключается в том, что rot uo=0. Это условие должно вы-
выполняться в теории происхождения галактик из адиабатических
возмущений, ибо мы знаем, что вихревая скорость быстро убывает
в ходе космологического расширения, вихревая компонента, даже
если она была в начальном спектре, не содержится в растущем ре-
решении. Другими словами, в качестве и0 можно выбрать произволь-
произвольное потенциальное поле tto=grad ф (так что rot ио=0), а плотность
при этом 6~—div «о- Чтобы от линейного решения перейти к пред-
предлагаемому приближенному решению нелинейной задачи, которое
также будет записано в виде A3.2.1), остается сделать два ша-
шага. Первый шаг заключается в том, что мы вводим лангранжевы
переменные s, т. е. будем следить за движением каждой данной
частицы.
В невозмущенном движении s=r/a; как уже отмечалось, возму-
возмущения зависят именно от этой переменной. Когда возмущения не
считаются малыми (т. е. при выходе за рамки линейной теории),
выбираем в качестве переменной именно s, а не г 1а.
Второй шаг связан с тем, что простая связь между пекулярной
скоростью и плотностью также имеет место только в линейной тео-
теории. При построении (приближенной) нелинейной теории выбираем
Для экстраполяции именно формулу скорости линейной теории и=
~uo(s)(p2(t). Соответствующее выражение для смещения имеет
вид A3.2.1). Вычислим пекулярную скорость:
dr j. • а , . , . ab — Ьа

366 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
(при этом учтено, что постоянная Хаббла Н=а/а). Таким образом
устанавливается связь между функциями ф2 и Ъ; пространственная
зависимость uo{s) и %(s) одинакова.Следовательно,%(s) также яв-
является безвихревой функцией. Строгое доказательство того факта,
что при потенциальности начальных возмущений движение и на
нелинейной стадии остается безвихревым (до возникновения удар-
ударных волн), дано в работе Зельдовича A9706).
Почему именно такой вариант записи линейного приближения
представляется пригодным для экстраполяции в область конечных
и больших возмущений? Для ответа на этот вопрос рассмотрим
сначала пылевидную среду без сил тяготения. Тогда задача о ее
движении решается точно, так как все частицы движутся по инер-
инерции с постоянными скоростями. Мы считаем, что решение без учета
сил тяготения может быть применимо, начиная с некоторого мо-
момента, когда £2<^1. Мы будем отсчитывать время t от этого момента и
лагранжевы координаты s частиц выберем совпадающими с эйле-
эйлеровыми г в момент t=0.
Решение записывается в виде
r = aots + tv{s) + s. A3.2.1а)
Здесь первый член описывает невозмущенное расширение — мил-
новскую расширяющуюся модель (a0=const), второй член дает
пекулярные скорости, а третий — положение частиц в момент 2=0.
В отсутствие тяготения решение фактически имеет вид A3.2.1).
Возьмем небольшой элемент объема такой среды. Расстояние
между двумя близкими частицами есть \dr\, а изменение его с те-
течением времени
-2 \dr\
Используя A3.2.1а), получим
Если градиенты пекулярных скоростей (второй член в круглых
скобках) достаточно велики, то \dr\ может как расти со временем
(в этих направлениях элемент объема растягивается), так и умень-
уменьшаться (в этих направлениях элемент объема сжимается). Относи-
Относительные скорости постоянны во времени. Имеется направление, в
котором скорость сжатия элемента наибольшая. Следовательно,
через конечный промежуток времени элемент в этом направлении
сплющится в «блин». В соседних элементах скорость сжатия и на-
направление наибольшей скорости сжатия несколько иные, но по
непрерывности в близких элементах они близки. Сплющивание
элемента объема вещества в «блин» — важнейшее свойство этого

§ 2] ВОЗМУЙН-НИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ 367
\
решения. В принципе возможно сжатие и в нить или даже в точку,
но для этого надо, чтобы скорости сжатия в двух или, соответствен-
соответственно, трех направлениях совпадали, что крайне маловероятно.
Посмотрим, как повлияют на решение силы тяготения. Если бы
вещество сжималось в виде шара\в точку, то сила тяготения нара-
нарастала бы неограниченно и кардинально бы влияла на решение. При
сплющивании же в «блин» сила тяготения остается конечной даже
при р->-оо. При строго одномерной задаче эта сила для каждого
элемента вообще постоянна во времени. Тяготение не меняет су-
существенно свойства решения на нелинейной стадии. В частности,
оно не меняет вывода о сплющивании в «блин», а только способст-
способствует этому явлению, несколько увеличивая со временем скорость
сплющивания. Вот почему решение для нелинейной стадии с учетом
тяготения следует искать в виде, похожем на решение для пыле-
пылевидной среды без тяготения, только коэффициенты при слагаемых
в A3.2.1) должны иначе зависеть от времени и эта зависимость
определяется тяготением.
В задаче без тяготения A3.2.1а) пекулярные скорости постоянны
во времени и для сжатия объема в каком-либо направлении скоро-
скорости должны были быть заданы достаточно большими. В реальной
задаче с тяготением эти скорости нарастают с течением времени из-за
гравитационной неустойчивости и, будучи сначала малыми и опи-
описываемыми линейной теорией, в конце концов становятся большими,
приводят к сплющиванию элемента в «блин».
Оценка точности предлагаемой приближенной формулы A3.2.1)
для описания нелинейной стадии будет дана ниже, после исследо-
исследования свойств решения.
Важное практическое достоинство формулы A3.2.1) заключается
в том, что она имеет единый вид для линейных и нелинейных ста-
стадий, и, кроме того, в том, что если найдено смещение частиц, то
вычисление плотности и относительной скорости легко проделать
аналитически, требуется только дифференцирование, но не интег-
интегрирование. Отметим, что задачу о движении пылевидной среды
(Р=0) рассматривал Станюкович A971). Эта задача подробно ра-
разобрана также в книге Зельдовича и Мышкиса A973). В ОТО анализ
проведен Грищуком A9676). Итак, принимаем A3.2.1).
В линейном приближении функция b(t) хорошо известна: воз-
возмущения плотности пропорциональны отношению b(t)/a(t), так
что это отношение можно считать известным. Приближение заклю-
заключается в использовании формулы A3.2.1) для описания возмущен-
возмущенного движения и на нелинейной стадии, в частности даже в ходе
коллапса, когда бесконечная плотность достигается по крайней
мере в части массы.
Вычислим, как меняется плотность, если заданы функции a(t)
и b(t). Очевидно, для этого надо вычислить изменение объема эле-
элемента среды. Пользуясь выражением A3.2.1), легко подсчитать

368
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМЕЩЕНИЙ
1ГЛ. 13
деформацию объема. В результате получаем
- »ds -
J
D(s))
где тггт—якобиан преобразования. Расписывая якобиан через
производные, получаем
, Ъ дх, Ь дх~ Ь дха
Djr)_
D (в)
b дхх . b дхг
a ds2 a ds2
b_
a
b dx.
dsx
a ds3
b dx3 11"
~a~dsl, ' a dss
A3.2.3)
Мы уже подчеркивали, что в решении отсутствуют вихревые
движения, поэтому для каждого элемента среды можно выбрать
координаты так, что матрица A3.2.3) станет диагональной. В вы-
выбранной системе выражение для р переписывается в виде
Р =
A3.2.4)
где а, р, у — функции только s, a Ыа — функция только t*).
Величины а, р, у характеризуют деформацию вдоль трех орто-
ортогональных главных осей тензора деформации и выражаются доволь-
довольно сложно через совокупность производных ^ . В общем случае
$у, и для определенности мы выберем а>р>у.
Возможны случаи, когда а<0 (тогда и v<P<a<0). Но если
а>0 (знак р и у произволен), а величина а — растет и достигает
единицы в ходе эволюции, то из A3.2.4) следует, что в этот момент
и в этой частице р->-оо.
Бесконечная плотность возникает в результате одномерного
сжатия вдоль оси, соответствующей а. Таким образом, из нашего
приближения следует вполне определенная картина: когда возму-
возмущения становятся достаточно большими, в различных местах обра-
образуются плоские «блины» коллапсирующей пыли **).
*) Отношение Ыа есть универсальная функция времени, зависящая от Q,
удобно Ыа выразить через г. Напротив, а, р, у зависят от конкретного вида на-
начального возмущения %{s).
**) В общем случае совокупности траекторий частиц в ньютоновской теории,
пересечение траекторий и бесконечная плотность достигаются за счет движения
по одной координате, так что в первый момент возникают плоские области. Пере-
Пересечение вдоль линии или в точке требует дополнительных условий, возникает
в вырожденной задаче. Этот результат появляется и при исследовании движения
пылевидного вещества в ОТО [см. Грищук A967а, б)]. Но надо подчеркнуть, что
в реальных задачах образования галактик вполне достаточно ньютоновской тео-
теории, эффекты ОТО несущественны.

j] ВОЗМУЩЕНИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ 369
1ЦЯ
Обратимся теперь к обсуждению точности предложенного мето-
метода. Уравнения движения в лагранжевой форме имеют вид
%=-\V, ^Ay = 4nGp. A3.2.5)
Для справедливости записи смещений частиц в форме A3.2.1) не-
необходимо, чтобы все уравнения были линейны. Первое уравнение
линейно в смещениях и потенциале. Во втором уравнении, если
мы используем истинное выражение для гравитационного потен-
потенциала ф как функции от эйлеровской координаты г, появляется
нелинейность [см. выражение р через г A3.2.4)]. Только в случае
малых возмущений г можно записать
<P = <Po(r)=^-Gp/* + q>', A3.2.6)
где ф' — линейная функция г — as, a —Gpr2 —невозмущенный
потенциал в ньютоновском приближении. В случае немалых воз-
возмущений совокупность A3.2.1), A3.2.4) и A3.2.5) дает лишь приб-
приближенное решение. Решающим аргументом в пользу предложенной
аппроксимации является то, что бесконечной плотности р в «блине»
соответствует конечная плотность на единицу поверхности. Это
следствие одномерного сжатия, в противоположность сферически-
симметричному случаю. Но бесконечно тонкий диск с конечной
массой и конечной поверхностной плотностью (х создает конечный
потенциал (и конечное поле, т. е. градиент потенциала). Ошибка,
вносимая сделанным нами предположением о факторизованном виде
A3.2.1), несмотря на нелинейность A3.2.5), остается конечной даже
в конце периода сжатия, когда р->оо.
С другой стороны, предлагаемая теория асимптотически точна
вначале, когда возмущения малы, поскольку используемые формулы
являются обобщением линейной теории. Численные расчеты при
случайных начальных условиях показали, что ошибки в моменте
образования «блинов» в среднем не превышают 20—30% [Дорошке-
вич, Рябенький, Шандарин A973), Дорошкевич, Шандарин A974)].
Но что представляется твердо установленным — это одномерный
характер сжатия с пересечением траекторий и возникновением
«блина» из вещества с большой плотностью. Образование «блина»
сопровождается возникновением ударной волны в окружающем
«блин» веществе. Этот процесс вместе с физическими приложениями
теории обсуждается в следующей главе.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что изложенная картина
справедлива лишь в случае равного нулю (или пренебрежимо ма-
малого) давления. Эквивалентной формулировкой является следую-
следующая: теория применима лишь к длинноволновым возмущениям
' --^лж). Функция х(*). которая играет главную роль в прибли-
приближенной теории, определяется начальными значениями 6(s, f) и

370 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 1.ГЛ. 13
u(s, t). Эти величины должны быть разделены (см. гл. 11) на на-
нарастающую, убывающую и вихревую моды (последняя с div и=0
и 6=0). При ф-tt лишь нарастающая мода выживает *) и решение
описывается формулами A3.2.1), где, однако, 5С описывает амплитуду
растущей моды. В этом решении движение безвихревое как в г-
пространстве, так и в s-пространстве, так что ^=grad» ф*(*) и тензор
деформации —■ симметричен.
Можно показать, что при возмущениях, зависящих от одной
только декартовой координаты, например slf решение является
точным. Из условия отсутствия вихря следует, что решение в этом
случае имеет вид
x = a{t)sl+b{t)yil(sl), y = a{t)s3, z = a{t)s3.
При давлении, равном нулю, такое решение справедливо при любой
функции 7i(si) и ПРИ функциях a(t) и b(t), удовлетворяющих уже
известным нам уравнениям, полученным для малых возмущений
в гл. 9, притом для любого £2=1 или £21
2аа
г HoaoQob
Решение для а описывает фридмановское расширение, решение
для Ъ [зависящее от функции a(t) первого уравнения] описывает
линейную стадию возмущений любой формы, но в одномерном
возмущении это решение остается точным и при больших возму-
возмущениях, пока столкновение частиц и появление ударных волн не
приведут к тому, что нельзя будет пренебречь давлением. Эту ста-
стадию мы разберем в следующей главе.
Вернемся к общему случаю трехмерной задачи.
При малом отношении Ыа можно записать первое приближение:
В этом приближении возмущение плотности растет, сохраняя свою
форму, т. е. характер зависимости возмущения от лагранжевой
координаты задан одной функцией f(s). Однако при больших воз-
возмущениях это подобие нарушается. В точках (точнее, в частицах)
с данной суммой а+р+у плотность одинаково меняется на ранней
(линейной) стадии, но по-разному (в зависимости от значений от-
отдельных величин a, P, у) на нелинейной стадии. Можно сказать,
что предлагаемая приближенная теория учитывает не только приток
вещества в область, где уже есть избыток массы, но учитывается и
*) Случай начальных вихревых возмущений будет рассмотрен позже, в гл.

j 2] ВОЗМУЩЕНИЯ В ПЫЛЕВИДНОЙ СРЕДЕ 371
приливное воздействие соседних масс, действующих косвенно на
характер сжатия. "\
Обратимся теперь к некоторым статистическим аспектам теории
«блинов». *
Довольно тонкий вопрос о вероятности появления данного набо-
набора коэффициентов а, р, у исследован Дорошкевичем A970). От-
Отдельные компоненты тензора Dik = ^ в фиксированной системе
координат имеют нормальную функцию распределения, если функ-
функция распределения начальных возмущений нормальна и фурье-
образы возмущений также распределены по нормальному закону.
Но диагонализация тензора Dik, т. е. расчет трех величин а, р, у
по шести величинам -И- ,— операция нелинейная. Следовательно,
функция распределения а, р, у больше не будет нормальной, даже
если функция распределения =-' нормальна.
Дорошкевич получил для вероятности данного набора а, р, у
27exp(-|S \ + ^вЛ )
Я (о, P,V) = 8 Дш*0 V-P)(<*-V)(P-V). [A3.2.8)
где о0 — дисперсия диагональных компонент тензора Dik*). Мно-
Множители (а — Р), (а — у), (Р — у) представляют особый интерес.
Совпадение аир (или а с р и у), превращающее «блин» в «прут»
(или даже в точку), является очень маловероятным, гораздо менее
вероятным (из-за указанных выше множителей), чем совпадение
двух или трех независимых величин. Картина «блинов» получает
дальнейшее подтверждение.
Необходимо отметить, что сжатие по одной координате может
сопровождаться как сжатием, так и расширением в плоскости
«блина». На самом деле, как показал Дорошкевич, лишь около
8% вещества сжимается по всем трем осям (а>р>у>0); 84% ве-
вещества сжимается в одном направлении, но расширяются в одном
или двух направлениях (a>P>0>v или a>0>P>v). Величина
8% близка к оценке Оорта, по которой лишь около 1/16«6% ве-
вещества сжимается по всем направлениям. Конечно, если вещество
сжимается по трем направлениям, то оно образует гравитационно
связанный объект. Однако не очевидно, что только эти 8% будут
гравитационно связаны. Часть из других областей может также
привести к образованию объектов.
*) Величина а0 выражается через фурье-компоненты растущих возмущений
и пропорциональна ( С А (М, t)d In М \ I*, т.е. возмущению плотности, см.
A3.2.7). VJ '

372 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
§ 3. Нелинейная спектральная теория
Случай пылевидного вещества относительно прост, и в линейной
теории общее решение может быть написано непосредственно, без
использования фурье-преобразований. Не удивительно, что в не-
нелинейной теории приближенное решение может быть выписано
через функции, зависящие от пространственных координат.
Теперь мы рассмотрим другой случай, в котором давление
существенно. Это особенно важно для анализа процессов, проис-
происходящих до рекомбинации. Необходимо обсудить законы развития
возмущений, распространяющихся подобно звуковым волнам или
лежащих вблизи границы области неустойчивости. Здесь спектраль-
спектральный подход становится неизбежном. Начав с теории малых воз-
возмущений и построив линейную теорию, необходимо включить эф-
эффекты нелинейности, сначала как поправки к линейной теории.
Уравнения для фурье-амплитуд в линейном приближении могут
быть приведены к виду [см., например, (9.2.6)]
где а, Ъ, с — функции длины волны. Однородность уравнения
A3.3.1) отражает тот факт, что в линейном приближении каждая
фурье-амплитуда Ak изменяется независимо от других и Ak=0
тождественно является решением.
Нелинейные поправки превращают уравнение A3.3.1) в
^ ^ , Л„). A3.3.2)
Из-за нелинейности основных уравнений возникает правая часть.
Наиболее важным результатом учета нелинейности является гене-
генерация гармоник, отсутствующих в начальном спектре: условие
Ak=Q, -j7*=0 в некоторый момент времени не гарантирует Ak=0
в последующие моменты времени, если функция F отлична от нуля.
Конечно, уравнение типа A3.3.2) является приближенным.
Если уравнение A3.3.1) назвать первым приближением, то A3.3.2)
может быть названо вторым приближением, но точное уравнение
содержит функции третьего порядка F(Ak., Аы , Ak.,.) и F(Ak,
А*, А*) и всех более высоких порядков.
Точные уравнения в фурье-представлении являются настолько
сложными интегро-дифференциальными уравнениями, что они бес-
бесполезны; точные уравнения в обычной пространственно-временной
форме удобнее, так как это лишь дифференциальные уравнения в
частных производных. Поэтому ограничимся при обсуждении вто-
вторым приближением A3.3.2).

g 3] НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 373
Функция F описывает взаимодействие двух волн с волновыми
векторами к' и k", дающих третью волну с волновым вектором k,
определяемым законом сохранения
A3.3.3)
Следовательно, функция F может быть записана в виде
F = [ d*k'd*k"Ak.Ak., и {k, k', и") 6 (к—k' —k"). A3.3.4)
Вопросы нелинейного взаимодействия рассматривались во мно-
многих работах. Хорошая сводка содержится в упомянутой ранее мо-
монографии Монина и Яглома A965, 1967). Основные физические
следствия нелинейного взаимодействия следующие:
1. Если пренебречь вязкостью, то взаимодействие продольных
волн между собой не приводит к возникновению поперечных волн.
Этот результат вытекает из точной теоремы сохранения вихря,
поперечные волны соответствуют вихревому движению без возму-
возмущений плотности: •
uk = Bkethx, rot uk = i[kBk]ekx\ A3.3.5)
, но div ик~ (kBk)=O для поперечных волн. Если rot и=0
вначале, он остается равным нулю и далее, если нет вязкости и не
возникают ударные волны. Следовательно, безвихревое движение
создает в квадратичном (второй порядок) приближении безвихревые
продольные волны.
2. Взаимодействие поперечных волн между собой создает про-
продольные волны, и, следовательно, во втором порядке возникают
возмущения плотности (это справедливо и для высших порядков).
Этот эффект лежит в основе вихревой, или турбулентной, теории
образования галактик, которая обсуждается более подробно в сле-
следующей главе.
* Эффект возникновения продольных волн сильно зависит от
уравнения состояния среды.
Поперечные волны не зависят от времени как в плазме с Р=е/3,
так и в пыли с Р=0 *). В среде с большой скоростью звука Ьзв
продольные звуковые волны являются периодическими с периодом
T~b~k- Поперечные волны не приводят к резонансному (по вре-
времени) нарастанию продольных волн, амплитуда генерируемых
возмущений плотности порядка 6 ~ -^- .
Эффект в пыли сильно возрастает. Это использовали Озерной и
Чернин A967, 1968): они предположили существование вихревых
*) Точнее, они затухают из-за вязкости и расширения, но это несущественно
Для дальнейшего.

374 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
(турбулентных) движений до рекомбинации в плазме, в которой
преобладает излучение. После рекомбинации, когда давление
излучения перестает действовать на вещество, эта турбулентность
приводит к возникновению больших возмущений плотности (см.
об этом следующую главу).
3. Взаимодействие продольных возмущений с малой длиной
волны (меньше некоторого Ко) приводит к возникновению продоль-
продольных волн возмущений плотности с большой длиной волны. Если
начальный спектр достаточно круто падал в сторону длинных волн,
то этот процесс будет определять флуктуации плотности в больших
масштабах.
Точный результат зависит от рассматриваемой ситуации: рас-
рассматриваются ли возмущения с длиной волн больше джинсовской
или акустические возмущения — бегущие или стоячие звуковые
волны. При правдоподобных предположениях получается, что
амплитуда длинных волн пропорциональна Ak~k2, что приводит к
закону
^'/.. A3.3.6)
Простое объяснение этого результата дано в следующем параграфе,
где рассматривается газ, молекулами которого являются звезды
или скопления звезд. Очевидно, это крайний случай громадного
числа коротковолновых возмущений.
4. Продольные волны с длиной волны большей, чем некоторое
Ко, из-за нелинейного взаимодействия будут генерировать короткие
волны. Этот процесс также важен для космологии: согласно ли-
линейной теории (см. § 2 гл. 10), вязкость сильно подавляет возму-
возмущения в интервале длин волн, соответствующем ЛК1014 Mq, a
генерация поддерживает возмущения в этом интервале.
Пиблс A970) исследовал процесс образования ударных волн в
плазме, в которой преобладает излучение. Этот процесс вызван,
как раз генерацией коротких волн. Синусоидальная волна не имеет
гармоник, но когда она трансформируется в пилообразную, то ее
фурье-спектр содержит много обертонов. Разрыв в функции р(х)
(при некотором xs), т.е. р(л:=л^+0)#р{x—xs—0), соответствует
убыванию спектра пропорционально k'1 в одномерном случае.
Возникновение ударной волны сопровождается также ростом
энтропии. В этой ситуации флуктуации энтропии останутся даже
после затухания продольных акустических волн.
В пылевидной среде, Р=0, рассмотренное выше образование
«блинов» (§ 2 этой главы) также сопровождалось появлением вы-
высоких гармоник в спектре возмущений плотности.
Теория нелинейного волнового взаимодействия в настоящее
время далека от завершения. Есть лишь несколько важных для
космологии законченных результатов. Поэтому наше обсуждение

s 3] НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 375
лучше рассматривать как введение к нерешенной проблеме, на-
написанное для будущих теоретиков. Отметим некоторые свойства
общей теории.
В статистической механике показано, что в равновесии на каж-
каждую степень свободы приходится одна и та же энергия, равная 6
(эффективная температура в энергетических единицах, Q=kT, где
£ — постоянная Больцмана; мы избегаем пользоваться такой за-
записью, чтобы не путать постоянную Больцмана с k—волновым век-
вектором). Это значит, что Ak=const-V®, где const не зависит от k и t,
должно быть решением кинетического уравнения, если -—■ =0
в левой части этого уравнения (в среднем).
Законы равновесия не зависят от конкретных механизмов вза-
взаимодействия. В равновесии каждый процесс (например, рождение
к из k' и k") сопровождается обратным процессом (распадом k в k'
и Л" в нашем примере), и когда все Ak имеют равновесные значения,
то прямые взаимодействия в точности скомпенсированы обратными.
Это очень общий и очень важный принцип, и его можно применить к
системе уравнений, описывающей продольные и поперечные волны.
Равновесное решение строго реализуется лишь в тривиальном
случае общего равновесия, если нет макроскопических движений и
флуктуации. В тех случаях, когда есть макроскопические движения,
соответствующие значения 6 чрезвычайно велики: например, дви-
движение воды со скоростью 1 см/сек в масштабе порядка 1 см соответ-
соответствует 6~1 эрг, т. е. Т~1016°К. Но, очевидно, невозможны ситуа-
ситуации, в которых все степени свободы в нашем примере находились
бы при такой температуре: вода испарилась бы при температуре
~103°К.
Теория турбулентности и теория флуктуации всегда имеют
дело с неравновесной ситуацией. Следовательно, равновесие может
быть осуществлено только в малой части фазового объема (при k
много меньших, чем обратное межатомное расстояние), и обычно
мы сталкиваемся со стационарной, но неравновесной ситуацией.
Различие между этими двумя возможностями наиболее ясно
видно из примера диффузии (п — концентрация частиц, / — поток,
D — коэффициент диффузии):
дп_ д/ _^Э „ дп
dt дх~дх дхш
° равновесии n=const, /=0, но стационарное состояние дости-
достигается при / = const, п = п0—^.
В задачах с турбулентностью или флуктуациями обычно есть
поток энергии в сторону коротких волн, где энергия из-за диссипа-
диссипации превращается в тепло. В некоторых ситуациях, если Ак->-0

376 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 1ГЛ. 13
при Л->0, в части фазового пространства возможно и обратное
направление потока энергии.
Необходимо иметь в виду еще следующее важное обстоятельство.
Равновесие характеризуется только средним значением Ak, и этого
вполне достаточно, потому что фаза случайна и распределение Лй
(т. е. вероятность найти некоторое значение Ak) нормально, т. е.
гауссово.
В уравнениях нелинейного взаимодействия A3.3.2) заманчиво
использовать те же предположения. Но они недопустимы! Вспом-
Вспомним о «блинах» — возникает распределение плотности с большой
амплитудой коротких волн, но эти короткие волны не случайны,
они коррелированы с длинными волнами и все вместе образуют
плоский «блин». Без этой корреляции тот же спектр коротких волн
дал бы весьма отличную картину распределения плотности. Сле-
Следовательно, в проблемах, подобных проблеме возникновения «бли-
«блинов», и в задачах образования ударных волн спектральный подход
хуже (т. е. несравненно более сложен из-за учета корреляций),
чем прямой анализ в пространственных координатах.
При обсуждении нелинейных задач спектральный подход не
должен применяться далее, чем до второго порядка теории возму-
возмущений.
§ 4. Возникновение длинноволновых возмущений в газе
из звезд или звездных скоплений
Рассмотрим важный вопрос о формировании сгущений большого
масштаба из уже возникших отдельных объектов. Это— так назы-
называемая теория скучивания объектов.
Скучивание может происходить по двум причинам. Во-первых,
потому, что в больших масштабах были первоначальные малые воз-
возмущения на ранней стадии расширения в начальном спектре. Эти
возмущения растут в согласии с законами гравитационной неустой-
неустойчивости и с течением времени дорастают до значительных и приво-
приводят к возникновению скоплений объектов. Во-вторых, скучивание
может происходить из-за нелинейных эффектов, порождающих
длинные волны возмущений из коротких.
Ниже мы проанализируем, при каких условиях осуществляется
каждая из указанных причин скучивания. Дальнейшее изложение
в этом параграфе основано на работе Дорошкевича, Зельдовича
A974).
Предположим, что спектр возмущений — весь или часть его —
соответствует амплитуде, падающей с ростом масштаба, но не слиш-
слишком быстро (ниже мы уточним, что означает «не слишком быстро»).
В таком случае сперва образуются мелкие единицы — отдельные
тела, но они распределены d пространстве неравномерно из-за
наличия (хотя и более слабых) возмущений большего масштаба.

g 4] ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 377
Образование больших единиц в этой картине определяется на-
начальным спектром, начальной амплитудой соответствующих воз-
возмущений. При этом предварительное, более раннее образование
малых единиц в первом приближении несущественно. В большом
масштабе (например, 10187V1q) закон нарастания возмущений оди-
одинаков для газа, состоящего из отдельных атомов Н / с т«10~24 г«
»10~Б7 Mq, и для газа, «молекулами» которого являются шаровые
скопления с массой УИ«106УИ©.
Пусть в момент рекомбинации t^, zpeK заданы возмущения
плотности, зависящие от масштаба, характеризуемого массой М,
по закону
6рек = | = Ь,М-" при M>Mt; \ A34Л)
8рек = 0 при М<МХ. i
Закон роста возмущений (для случая критической плотности)
таков:
^^Г'- A3-4.2)
Примем в качестве приблизительного условия обособления отдель-
отдельных тел 6(УИ, z)=b(M, f) = l. Тогда первые обособившиеся тела с
массой Mi появятся в момент tu zlt который получим из условия
7^У/' = М1Г'пгг=1. A3.4.3)
'рек/ »тм
так что
t1 = tveJ>Z'/'M'i'v, zl+l = zveKl%1M?v. A3.4.4)
В дальнейшем происходит рост характерной массы, т. е. процесс
объединения масс Мг в агрегаты с массой М по закону
ЛЯ / А Я Я I \ Я Л I 1 \ /s ЛЯ I »Т*1 \ Х/ /1О Л С\
M{t) = M{z) = M1[-r) =Mt тхт • A3.4.5)
В частности, при простейшем законе Ь~М~1/г, v=V2 получим
[см. Пресс и Шехтер A974)]
yVf~/V>~(l + z)-2, A3.4.6)
так что число первичных тел с массой Ми объединившихся к дан-
данному моменту (N=M/Mi), растет пропорционально а2 — квадрату
радиуса Вселенной.
Однако закон A3.4.5) независимого роста возмущений разных
масштабов возможен, как мы сейчас покажем, лишь при не слишком
крутом спектре, v<7/6 в случае степенного спектра.
Дело в том, что необходимо учесть нелинейные эффекты. Рас-
Рассмотрим крайний случай, когда в первичном спектре длинноволно-

378 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
вые возмущения вовсе отсутствуют F=0 при УИ>УИг). Коротко-
Коротковолновые возмущения в процессе роста за счет нелинейности рож-
рождают также и длинноволновые возмущения с амплитудой фурье-
компонент Ak~№, где k — волновой вектор. Обоснование этого
закона Ак~№ будет дано ниже в этом параграфе. Здесь остановимся
на физических выводах [Зельдович A965г), Пиблс A9746)].
В пересчете на среднее возмущение плотности, соответствующее
данной массе М^Ми получим
6 (M) = (Alk*I'* \k=M- •/. ~ М-7/.. A3.4.7)
Из размерности следует, что в момент 1и когда 6(УИЬ ti)=l, для
больших масс
7/\ A3.4.8)
Таким образом, если начальный спектр достаточно крут, то нели-
нелинейные эффекты приводят к степенному спектру A3.4.8) с показа-
показателем v=7/6, которому соответствует закон роста массы
М = М, f i±£-V'/7= Ml (f V/f. A3.4.9)
Именно этот закон можно назвать «автомодельным» законом
скучивания. Этот закон устанавливается во всех случаях, когда
начальный спектр является достаточно крутым, т. е. когда в на-
начальном спектре нет длинноволновых возмущений (точнее, эти
возмущения меньше определенного предела) и возникновение боль-
больших масс причинно связано (через нелинейность) с ранее произо-
произошедшим обособлением малых масс.
Напротив, закон A3.4.6) УИ~A+г)~2~а2~^/а не следует назы-
называть автомодельным: степенная зависимость здесь отражает зада-
задание начального спектра в степенном виде, а не физическую сущ-
сущность процесса.
Предположим, что начальные возмущения являются энтропий-
энтропийными. Тогда естественно предположить, что б(УИ) имеет максимум
при Mi»105 — 10е УИ©на момент z»200. В меньшем масштабе воз-
возмущения не растут: этому препятствует газовое давление нейтраль-
нейтрального водорода. Предположим, что массы Mi» 10е УИ© выделяются
наиболее рано, при г» 1000, спектр крутой, и дальнейшая эволюция
заключается в их гравитационном скучивании. При этом к сегодняш-
сегодняшнему моменту z=0 получим УИ«1Ов-AО8)в/'Л10л;5' 108УИо. Следо-
Следовательно, такая концепция неудовлетворительна, она не объясняет
существования объектов с гораздо большей массой.
Пресс и Шехтер A974), принимая закон УИ~A+г)-2, получают
Мщах^ 1012УИо, что близко к массам гигантских галактик или ма-
малых скоплений галактик. Выше было объяснено, что в действитель-
действительности в этом случае образование больших объектов является след-

$ 4] ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 379
ствием задания длинноволновых возмущений в начальных усло-
условиях, и нельзя в этом случае говорить об объяснении процесса об-
образования тел с УИ«1012 Mq.
В ранней работе Дорошкевича, Зельдовича и Новикова A967а)
предполагалось, что физические возмущения, связанные со взры-
взрывами протозвезд УИ«1ОБ—10е УИ©, приводят к более быстрому
нарастанию масштабов. В настоящее время нам представляется бо-
более вероятным наличие начальных возмущений в масштабе до
Ю14—Ю16 Mq, достаточных для того, чтобы 6«1 достигалось
при z«4—10 [см. Сюняев, Зельдович A9726), Дорошкевич, Шан-
дарин A974)].
Такие возмущения могут быть адиабатическими, а не энтропий-
энтропийными, тогда масштаб УИ«1014УИ© обусловливается затуханием
акустических волн меньших масштабов на предыдущей, догалакти-
ческой стадии эволюции. Все эти вопросы будут рассмотрены в
следующей главе.
Перейдем теперь к выводу приведенного выше автомодельного
спектра длинноволновых возмущений A3.4.7).
Предположим, что пространство разбито на малые ячейки,
в каждой из которых находится одна или несколько частиц, причем
выполнены два условия: 1) масса в каждой ячейке постоянна;
2) суммарный импульс частиц в ячейке равен нулю, и центр тя-
тяжести всех частиц в данной ячейке совпадает с центром ячейки.
Покажем, что в этом случае возникают возмущения, характеризуе-
характеризуемые спектром A (k)~k2 при k-+0. Аналогичный вывод может быть
сделан и в рамках гидродинамики [см. об этом Дорошкевич, Зель-
Зельдович A974)].
Пренебрежем космологическим расширением и гравитационным
взаимодействием. В этом случае каждая частица движется по пря-
прямой с постоянной скоростью V[. Можно записать текущую коорди-
координату отдельной частицы в виде
где R; — координата центра ячейки, Дг,- — начальное смещение
частицы из центра ячейки. Разлагая плотность в ряд по степеням
k, получим (V — объем системы)
/ /
— j(kvJrt* — [kAr/Hkvj)t+ ...] . A3.4.10)
Первый член ряда описывает среднюю плотность и не содержит
случайных множителей (Дг; и vj). Второй и третий члены ряда дают
нуль при суммировании в пределах каждой отдельной ячейки,
поскольку, согласно предположению 2), центр тяжести ячейки

380 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 18
совпадает с ее центром и суммарный импульс частиц в ячейке равен
нулю. Лишь квадратичные по k члены дают отличный от нуля вклад
в случайную амплитуду возмущений. Это приводит к амплитуде
возмущений плотности
A(k)~k*. A3.4.11)
Это очень общий результат. Произвольное локальное взаимо-
взаимодействие, рассматриваемое как источник возмущений, удовлетво-
удовлетворяет законам сохранения массы и импульса. Следовательно, воз-
возникающие возмущения плотности характеризуются амплитудой
A (k)~k2. Это, например, проявляется при расчете флуктуации в
гидродинамике, возникающих под влиянием диссипативных про-
процессов [Ландау и Лифшиц A957)]. В случае стационарных флуктуа-
флуктуации (квантовых или равновесных) рассмотренное выше разложение
не применимо ни для каких k и вывод A (k)~k2 не справедлив.
Поэтому в стационарном распределении возможны спектры A2(k)~
~&° — равновесное распределение, квантовые флуктуации бозе-
газа, A2(k)~k— квантовые флуктуации ферми-газа и др.
В упомянутой работе Пресса и Шехтера A974) в отдельной
ячейке была лишь одна частица, причем расположенная случайным
образом. В этом случае центр тяжести ячейки не совпадает с цент-
центром ячейки и возмущения характеризуются амплитудой A (k)~k
в пределе &-»-0. Вернемся к предположению A3.4.11).
Учет расширения и гравитационной неустойчивости приводит
к выводу (для простоты предположим критическую среднюю плот-
плотность):
A2(k, Цш&(-£А*^сР A3.4.12)
\Ор/ Ро
в пределе при k-*-0 (a~t'1* — масштабный множитель, описываю-
описывающий общее хаббловское расширение), или, подставляя по порядку
величины v2fnGm'/'p'/', получим
A2 (k, t) k*o « k* (^-\ha2. A3.4.13)
VPo /
Если определять дисперсию массы в объеме, охватывающем массу
М, условием
2 | A3.4.14)
то для спектра A3.4.13) получим
O/V, A3.4.15)
что и решает, в принципе, вопрос о возможности гравитационного
скучивания объектов.

5 4] ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 381
Для того чтобы связать конечное распределение объектов по
массам и начальный спектр флуктуации плотности, используется
какое-либо условие обособления, объектов, условие слипания частиц
и выделения группы их на общем среднем фоне. В работах Дорош-
кевича A967) и Пресса и Шехтера A974) предполагается, что каж-
каждый выделяющийся объект строго сферически-симметричен, и в
качестве условия обособления используется требование достижения
определенного избытка массы АМ/М в шаре с данной массой М.
При этом границы шара фиксируются резко и, как это отмечено и
обсуждается Зельдовичем, Новиковым A9676), см. также гл. 12,
дисперсия массы в объеме с массой М определяется формулой
A3.4.14) при kr-*O лишь в том случае, если A2(k, f)~k" и n^l.
Если же п>\, то резкое задание границы приводит к тому, что вме-
вместо A3.4.14) мы получим 22(M)~&4~V~V» при любом п^\. В этом
случае 22(М) определяется флуктуацией числа частиц на границе
рассматриваемого объема. В реальной задаче, особенно при отказе
от точной сферической симметрии, резкой границы не возникает и
можно полагать, что формула A3.4.14) лучше соответствует дей-
действительности. Принятое в работе Пресса и Шехтера A974) условие
обособления, в принципе, не позволяет выделить спектр с показа-
показателем п>\.
Результаты численных расчетов Пресса и Шехтера для случая
начальных возмущений с показателем спектра п=0 полностью
совпадают с теорией малых возмущений и не содержат каких-либо
элементов автомодельности. Действительно, при п=0 для связи
относительного превышения массы в объеме с массой М с разме-
размерами объема и временем получим
La2, A3.4.16)
где а — масштабный множитель. Условие обособления
=const, A3.4.17)
)
откуда получаем зависимость массы «объекта» от времени:
М~ а2. A3.4.18)
Для показателя спектра (фактического) п=1 аналогичными рас-
рассуждениями получаем
М~а'1', A3.4.19)
что совпадает с результатами численного эксперимента на началь-
начальной стадии. В общем случае для произвольного показателя степени

382 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 13
п [A2(k)~kn] получаем
^ A3-4-20)
и для флуктуации, соответствующих A3.4.13),
п = 4, УИ~а'/7. A3.4.21)
Аналогичные результаты могут быть получены и для функции рас-
распределения объектов по массам. Формула, обобщающая распре-
распределение по массам Пресса и Шехтера, была получена Дорошкевичем
A967). Там же была выявлена область применимости этой формулы.
Если отказаться от использования резкой сферической границы
выделяющегося объема и использовать для дисперсии массы в дан-
данном объеме формулу A3.4.14), то для функции распределения объек-
объектов по массам получим
dW ~ УИ~*~ехр (—5") dM. A3.4.22)
Для /г=0 и /г=1 это полностью согласуется с результатами Пресса
и Шехтера. Отклонение в численных экспериментах Пресса и Шех-
Шехтера от теории при п=1, по-видимому, связано с использованием
недостаточно большого количества частиц (только 103 точек). Это
приводит к заметному влиянию границы, т. е. частиц, расположен-
расположенных в поверхностном слое, и появлению примеси возмущений со
спектром Az(k)~k°. He случайно эти возмущения проявляются
лишь на поздней стадии расчета и точность этого варианта много
хуже точности варианта с п=0.
§ 5. Тепловая неустойчивость и разделение
однородного газа на фазы
При наличии источников энергии и неравновесных процессов
существует механизм, вызывающий неустойчивость однородного
газа и приводящий к разделению однородного газа на плотные
холодные облака и горячий газ малой плотности между облаками.
Этот механизм, называемый тепловой неустойчивостью, не связан
с действием силы тяготения. Как следствие, его эффективность
(инкремент нарастания возмущений) убывает для длинных волн.
Для тепловой неустойчивости характерно существование оптималь-
иого размера. Подчеркнем сразу, что первичное разделение космо-
космологической плазмы на отдельные тела не связано с тепловой не-
неустойчивостью, так как для ее проявления необходимы источники
энергии. Зато в условиях галактик с большим содержанием газа
значение тепловой неустойчивости весьма велико.

S В]
ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
383
Это явление, хотя оно не относится, строго говоря, к области
релятивистской астрофизики, важно для образования звезд и
близко к другим вопросам, рассматриваемым в этой главе.
Тепловой баланс газа, находящегося под действием внешних
источников нагрева, описывается уравнением вида
A3.5.1)
где СР — теплоемкость газа, первое слагаемое правой части опи-
описывает нагрев газа, второе — охлаждение.
Поступление энергии в единицу массы (функция Л) в первом
приближении не зависит от плотности и температуры газа. Потери
энергии на излучение зависят от
двойных столкновений между ато-
атомами или атома с электроном.
Следовательно, эта величина про- 500
порциональна р. Зависимость W G1)
от температуры довольно сложна:
при низких температурах (~100°К)
главным процессом охлаждения
является возбуждение нижнего
уровня атомов углерода (и других
примесей), при высоких темпера-
температурах преобладает излучение во- 0,01 0,1 1 10
дорода в линии Ly-a, при еще бо- NH=p/mH
лее высоких — свободно-свободное _
излучение Зависимость стационарно-
У " го давления от плотности. Область
Для газа данного состава и АВ неустойчива.
при данных внешних источниках
нагрева можно рассчитать стационарную температуру с помощью
уравнения
A3.5.2)
а также давление согласно уравнению состояния газа (R — газовая
постоянная, |j, — молекулярный вес)
A3.5.3)
Расчет дает в условиях нашей Галактики немонотонную зависи-
зависимость Рст(р), качественно подобную кривой Ван-дер-Ваальса ниже
критической точки (рис. 45).

384 НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ 13
Очевидно, в области между А и В, газ ^- < 0, газ неустой-
неустойчив. Формальный расчет в линейном приближении подтверждает
это. Возмущения растут, как е ' , где
Эта формула справедлива постольку, поскольку со^1 больше, чем
время релаксации температуры
tr CP dT ч '
Именно эта ситуация и носит название тепловой неустойчивости
и связана с увеличением потери энергии, когда при постоянном
давлении температура падает, а плотность возрастает. Отметим
некоторые работы по тепловой неустойчивости: Филд A965), Голд-
смит, Хабинг и Филд A969), Спитцер и Томаско A968).
Представляет интерес и нестационарная задача о тепловой не-
неустойчивости. Рассмотрим газ, не находящийся в тепловом рав-
равновесии с излучением, лишенный подогрева. Газ остывает, и можно
поставить вопрос: как изменятся возмущения за время остывания?
Без учета тяготения (короткие волны) возмущения растут лишь в
течение ограниченного времени: при приближении к полному равно-
равновесию обязательно возникает устойчивость, устанавливается рав-
равновесная температура, и тогда условие постоянства давления при-
приводит и к постоянной плотности. Однако это не исключает возмож-
возможности сильного нарастания возмущений на этапе, далеком от
равновесия.
Вернемся к системе с постоянным подогревом и стационар-
стационарным неравновесным состоянием. Можно рассмотреть и конечный
результат нарастания возмущений, притом точно, не ограничиваясь
теорией малых возмущений. Это было сделано в важной работе
Пикельнера A967). Система стремится к состоянию, в котором при
постоянном давлении она устойчива. Этим условиям соответствует
разделение однородного вначале газа на две фазы — L и N. Обе
фазы устойчивы и обладают равным давлением, N — плотная хо-
холодная фаза, L — разреженная горячая фаза.
Это основы теории, объясняющей происхождение в нашей Га-
Галактике облаков с р«C—6)-КГ24 г/см3 и Т«G0—100)°К, окру-
окруженных горячим газом с р»4-1(Ггв г/см3 и Т«E—10)- Ю8°К. Оцен-
Оценки скорости нагрева дают Л«Л040 эрг/г-сек [Пикельнер A967)).
Необходимо отметить, что решение не является единственным.
На плоскости р, Р можно выбрать горизонтальную линию, парал-

$ В] ТЕПЛОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 385
лельную линии LN, но лежащую ниже или выше и дающую другую
пару точек.
В работе Зельдовича и Пикельнера A969) рассмотрен вопрос о
поверхности, отделяющей плотный холодный газ от горячего раз-
разреженного, при учете теплопроводности. Существует только одна
пара точек и одно давление, для которых эта поверхность не дви-
движется. Если взять более высокие давления, то это приведет к конден-
конденсации разреженного газа в облака. Более низкое давление приведет
к испарению облаков. Следовательно, есть лишь одно полностью
стационарное состояние.
Теплопроводность — медленный процесс, и поэтому полная
стационарность недостижима практически. Точное значение давле-
давления, число и объем облаков могут зависеть от деталей истории си-
системы, а также от наличия магнитных полей и других осложняю-
осложняющих факторов.
С. Зельдович, И. Д. Новиков

ГЛАВА 14
ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК
§ 1. Введение
Уже само название главы, в котором говорится не об одной, а о
многих теориях, характеризует состояние вопроса.
В настоящее время в рамках теории горячей Вселенной разра-
разрабатываются, сравниваются между собой и конкурируют несколько
гипотез.
Общим для этих гипотез является предположение о том, что в
период преобладания излучения (до рекомбинации) плазма была
почти однородной; современная структура в этот период не суще-
существовала. Предполагается, следовательно, что современная струк-
структура возникла после рекомбинации водорода, при г<1400. В фор-
формулировке «почти однородная плазма» перенесем ударение со слова
«однородная» на слово «почти». В чем заключаются отклонения со-
состояния плазмы от строго однородного? Вспомним классификацию
типов возмущений. С учетом этой классификации выкристаллизова-
выкристаллизовались следующие теории происхождения галактик:
1. Адиабатические возмущения плотности и связанные с ними
потенциальные движения и возмущения метрики. В период преобла-
преобладания излучения (РД-период) эти возмущения представляют собой
акустические колебания (возмущения с длиной волны меньше ct).
После рекомбинации возмущения растут по закону гравитационной
неустойчивости.
Учет фотонной вязкости и затухания акустических колебаний
приводит к характерной массе порядка 1013УИо, близкой к наблю-
наблюдаемой массе скоплений. Это совпадение является аргументом в
пользу адиабатической теории. На нелинейной стадии роста воз-
возникают диски («блины»), газ «натыкается» на ударные волны, ра-
разогревающие его. Детальному разбору возникающей картины
посвящены §§ 2—7 данной главы. Здесь отметим только большое
разнообразие физических состояний газа, обещающее возможности
объяснения таких различных объектов, как квазары, эллиптичес-
эллиптические и спиральные галактики.
Долгое время казалось, что вращение галактик (проявляющееся
в дисковой и спиральной структуре и непосредственно измеряемое

,} ВВЕДЕНИЕ 387
по допл ер -эффекту) очень трудно или даже невозможно объяснить
в теории потенциальных, т. е. безвихревых, возмущений. Недавно
Пиблс A967а, 1969а) показал, что в рамках этой теории момент
вращения, возникающий вследствие гравитационного взаимодей-
взаимодействия, лишь ненамного уступает наблюдаемому. В последнее время
Дорошкевич A973) учел современные представления о дисковой
стадии в процессе превращения малых возмущений в скопления
галактик. При этом увеличивается ожидаемый момент вращения и,
что существенно, появляется вихревое движение части газа. При
наличии вращения естественно объясняются и магнитные поля в
галактиках.
Принципиальная особенность теории адиабатических возмуще-
возмущений заключается в наиболее полном использовании гравитационной
неустойчивости. Можно сказать, что теория адиабатических воз-
возмущений решает задачу о тех наименьших возмущениях строго
однородной космологической модели, которые необходимы для
получения наблюдаемой в настоящее время структуры. Малые,
хотя и конечные A0~s — 10~4 в безразмерных единицах), возмуще-
возмущения метрики не меняют качественно локальных свойств Вселенной
на ранних этапах. Строго однородна в этой теории энтропия. Кос-
Космологическое квазиизотропное решение со строго постоянным со-
составом вещества — вот то состояние вблизи сингулярности, которое
приводит к адиабатическим возмущениям.
2) Пространственные флуктуации состава плазмы. Наиболее
естественно считать флуктуирующей малую, но существенную
величину — отношение числа барионов к числу фотонов. Удельная
энтропия приблизительно равна числу фотонов, отнесенных к од-
одному бариону. Поэтому такие флуктуации называются энтропий-
энтропийными. В этой концепции в течение всего РД-периода эволюции мет-
метрика Вселенной и динамика расширения вообще не «чувствуют»
никаких возмущений. Диффузия барионов мала, и заданное в на-
начальный момент распределение барионов остается неизменным до
момента рекомбинации.
После рекомбинации перед нами неоднородный нейтральный
газ при температуре около 4000°К без пекулярных скоростей. Тем-
Температура и средняя плотность в этот момент определяют джинсов-
скую массу УИДЖ «5-Ю4 Й~'^УИ©. Возмущения большего масштаба
растут по закону, не зависящему от масштаба при М^>МДЖ, воз-
возмущения меньшего масштаба не растут.
Наиболее вероятным представляется падающий с увеличением
масштаба начальный спектр возмущений. В таком случае первыми
образуются объекты наименьшей массы, совместимой с джинсовским
порогом, т. е. несколько большей 5- WQ-'^Mq. Физически именно
Давление газа ограничивает снизу эту массу; роль давления суще-
существенна, и можно полагать, что образуются сферические тела, а не
«блины». Дорошкевичем, Зельдовичем и Новиковым A967а) выска-

388 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. U
зано предположение, что так образуются сверхзвезды. Их эволюция
проходит быстро и заканчивается взрывами. Выделяющаяся при
взрыве энергия — лучистая и кинетическая — вызывает цепь
дальнейших процессов. В 1967 г. мы пытались всю структуру Все-
Вселенной получить, исходя из энтропийных возмущений. Последую-
Последующие авторы ставили задачу более скромную, но и более реальную.
Дикке и Пиблс A968) полагают, что объекты с массой порядка
1О—1ОвУИ© превращаются в шаровые скопления звезд. Шаровые
скопления, состоящие из старых звезд с массами около Ш© каж-
каждая, наблюдаются в составе нашей Галактики; до работы Дикке и
Пиблса не было объяснения необычайного сходства таких скопле-
скоплений друг с другом, малого разброса масс и т. д.
Как объяснить структуру Вселенной в самом большом масштабе
с точки зрения гипотезы энтропийных флуктуации? Если началь-
начальная амплитуда длинноволновых флуктуации (М~1018—1014М©)
мала, то распад газа на тела с УИ~10вЛ1©не успеет привести к наб-
наблюдаемой структуре большого масштаба (см. § 4 гл. 13).
Заложив «руками» начальный спектр энтропийных возмущений
с максимумом около 1018УИ©, можно получить те же выводы, что и в
теории адиабатических возмущений.
Такой подход представляется искусственным, даже антиэсте-
антиэстетичным, но опровергнуть его трудно.
3) Гипотеза зарядово-симметричного мира. После открытия
античастиц и создания физической теории зарядовой симметрии
свойств элементарных частиц идея зарядовой симметрии мира как
целого приобрела необычайную привлекательность.
Идея симметрии высказывалась применительно к разным масш-
масштабам. Наиболее смелым является предположение, что в Галактике
представлены звезды и антизвезды и в Солнечную систему вторгаются
куски антивещества (метеоры, кометы) [см. Рожанский A940а, б),
Константинов и др. A966)]. Наиболее осторожное предположение
состоит в том, что одни скопления галактик состоят из вещества,
другие—из антивещества. В зарядово-симметричных теориях
нельзя избежать аннигиляции там, где перемешиваются вещество и
антивещество. При этом должны происходить характерные цепочки
реакций р+р=я°+ другие частицы, я°->-2у с энергией гамма-
квантов в интервале 50—200 Мэв.
Специальные поиски такого гамма-излучения дали отрицатель-
отрицательный ответ. Однако расчет ожидаемого фона в различных вариантах
зарядово-симметричной теории не прост. Для его проведения нуж-
нужно задаться еще различными предположениями. Важный аргумент
против зарядово-симметричной теории образования галактик
выдвинул Бардин |устное сообщение приведено Филдом A973а)].
В такой теории области, занятые веществом, и области, занятые
антивеществом, резко разграничены; на границе равна нулю плот-

I |] ВВЕДЕНИЕ 389
ность как вещества, так и антивещества. Это значит, что контраст
плотности вещества порядка единицы все время. Конденсация
объектов, изолированных друг от друга, начинается сразу после
рекомбинации. Но в таком случае плотность объектов должна
быть порядка плотности вещества в момент рекомбинации,
3-100 £2 г-см~а. Между тем плотность галактик ~10~24 г-см~3,
плотность скоплений галактик порядка 10~27 г-см~*.
В работах Клейна и Альвена [см. обзор Альвена и Эльвиус
A973)] рассматривается зарядово-симметричная модель Вселенной.
Предложен весьма остроумный механизм разделения частиц и ан-
античастиц магнитным и гравитационным полями. Однако надо под-
подчеркнуть, что исходным состоянием альвеновской модели является
плазма малой плотности, не находящаяся в равновесии с излучени-
излучением. Альвен отказывается от горячей космологической модели с
сингулярностью, так что объяснение реликтового излучения в его
теории затруднительно *).
Вернемся от выводов к истокам теории. Современная физика
включает в себя как огромное завоевание XX века зарядовую
симметрию, т. е. симметрию свойств (массы, абсолютной величины
заряда, времени жизни — для нестабильных) частиц и античастиц.
Но эволюция любой системы определяется не только законами фи-
физики (которые включают зарядовую симметрию), но и начальными
условиями. Законы физики — это законы движения, эволюции.
Закон выбора начальных условий в космологии (пока) не известен.
Значит, несимметричная (избыток барионов) или симметричная
Вселенная априори одинаково совместимы с законами физики **).
Особое направление зарядово-симметричной теории развивает
Омнес (см. гл. 7); возможно, хотя и не доказано, что плазма с боль-
большим равновесным содержанием барионов и антибарионов спонтанно
распадается на две фазы, с избытком Вис избытком В. Первона-
Первоначально размеры соответствующих областей малы, но затем они
увеличиваются. Дискутируется вопрос о том, удается ли так объяс-
объяснить наблюдаемую структуру (§ 3 гл. 23). Если разделение фаз
реально, оно скажется и в эволюции несимметричного мира.
Еще один аспект вопроса о зарядовой симметрии связан с пред-
предшествующим водросом об энтропийных флуктуациях. Пока мы рас-
рассматриваем плазму, состоящую из фотонов и барионов, естественно
сделать предположение, что где-то барионов больше, где-то меньше
(концентрация фотонов быстро выравнивается), но везде плотность
барионов отлична от нуля и уж, конечно, положительна.
) Нетрудно объяснить появление значительной общей плотности излуче-
излучения; однако нет условий для установления термодинамического равновесия.
•фч0^ сост°ит в объяснении спектра реликтового излучения.
тонн • ^ г' было показано экспериментально, что зарядовая симметрия не
чна: есть так называемое сверхслабое взаимодействие, нарушающее эту симмет-
симметрию; подробнее см. оО этом в разделе V.

390 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
Но когда мы обращаемся к периоду £<10-в сек,
когда много барионов и антибарионов —в среднем В : В = 1,00000001,
взгляды меняются.
Для того чтобы образовались шаровые скопления (или сверх-
сверхзвезды?) с массой порядка 10eM©, нужно, согласно § 8 этой главы,
чтобы барионный заряд имел в этом масштабе флуктуации порядка
1%. Но в пересчете на состояние в момент, когда много пар В, В,
это означает флуктуации в отношении В: В в пределах
1,0000000099—1,0000000101.
В действительности само среднее отношение (его отклонение от
единицы, принятое выше равным 10~в) мы знаем с плохой точно-
точностью: возможно, что оно в несколько раз больше или меньше, но
отношение флуктуации к избытку, нужное для возникновения
скоплений, правильно отражено приведенными числами.
Отметим сразу, что эти флуктуации гигантски велики по срав-
сравнению со «статистическим» l/V~fT. В самом деле, УИ = 106УИ© соот-
соответствует 1063 барионов, l/]/rN=3-l0-32, а в теории флуктуации
мы оперируем -п-~10~10 до аннигиляции и -=г-~10-2 после анни-
аннигиляции.
Хотя флуктуации и не «статистичны», можно полагать, что чем
меньше масштаб, тем больше флуктуации. Тогда не исключено и
предположение, что в каком-то масштабе флуктуации «перехлесты-
«перехлестывают» средний избыток 10~8 — получается, например, 0,99999997-<
<В : В-< 1,00000005. Но это означает, что по окончании аннигиля-
аннигиляции возникают области антивещества и вещества (В : y~3-10-8 и
В : v~5-10-8).
Итак, гипотеза энтропийных флуктуации (§ 8 этой главы) есте-
естественно смыкается с гипотезой зарядовой симметрии в главном
предсказании о возможности существования областей антивеще-
антивещества. Дальше нужно конкретно рассматривать аннигиляцию этих
областей, зависящую от диффузного взаимопроникновения, выде-
выделение энергии в этом процессе и его физические проявления.
Однако все эти вопросы будут рассмотрены не в связи с теорией
галактик, а позже, в гл. 15, посвященной исследованиям возмуще-
возмущений по их влиянию на реликтовое излучение.
Эти исследования не дали указаний на процесс аннигиляции.
Существует ли концепция, в которой энтропийные флуктуации
автоматически подчинены условию отсутствия антивещества? Пред-
Предположим, что в момент сингулярности вещество было холодным и
на 100% зарядово-несимметричным — состояло из одних барио-
барионов *). Предположим, далее, что огромная энтропия, наблюдаемая
*) См. Зельдович A972а, 19736) и §9 гл. 23.

* I]
ВВЕДЕНИЕ 391
в настоящее время, есть следствие каких-то физических про-
процессов *). При наборе энтропии могут появиться и антибарионы,
но обязательно парами, В+В; гарантирован избыток барионов и
отсутствие областей с антивеществом.
4) Вихревая (турбулентная) теория. Истоки этой теории вос-
восходят к космогонии Солнечной системы (гипотеза Канта — Лап-
Лапласа): для объяснения вращения планет и самого Солнца в одной
плоскости и в одном направлении предполагается, что все возникло
из одного вращающегося облака газа.
Гамов A952, 1954) полагал, что Вселенная не только горячая,
но и турбулентная; Вейцзекер A951) развивал турбулентную тео-
теорию Солнечной системы, а затем и турбулентную теорию Вселенной.
На современном уровне с учетом (не подвергаемой сомнению)
концепции горячей Вселенной вихревую теорию развивают Озер-
Озерной, Чернин, Чибисов, Нариаи, Томита, Силк и другие.
Предполагается, что в эпоху преобладания излучения плазма
находится в состоянии вихревого турбулентного движения, на ко-
которое накладывается общее космологическое расширение. Посколь-
Поскольку на этой стадии фотоны являются главной компонентой плазмы
(не только по числу частиц, но и по плотности массы), говорят о
«фотонных вихрях» [см. Озерной и Чернин A967)].
Подробно, с формулами и числами, вихревая теория будет рас-
рассмотрена позже (§ 9; трудности этой теории рассмотрены в § 10),
здесь будет дана лишь самая общая характеристика ее. Предпола-
Предполагается, что перед рекомбинацией плазма (протоны, электроны и
фотоны) находится в движении. В первом приближении движение
рассматривается как движение несжимаемой среды, изменения плот-
плотности считаются малыми. Движение предполагается хаотическим;
в таком случае при отсутствии общего упорядоченного движения
оно (движение) должно быть вихревым. Считается в последнем ва-
варианте теории, что скорость движения значительно меньше скоро-
скорости света и скорости звука в плазме (Увихр порядка 0,1—0,05 с).
Максимальный масштаб движения значительно и/ельше «горизонта»
на момент рекомбинации.
Авторы теории турбулентности предсказывают определенный
спектр для установившегося движения: условие установления свя-
связывает масштаб, скорость движения и время установления. Задание
максимального масштаба L установившейся турбулентности опре-
определяет картину движения. Теория турбулентности дает скорость в
масштабах меньше L, причем учитывается и фотонная вязкость.
В масштабах, больших L, предполагается падающий спектр. Пред-
Предполагается, как уже отмечалось выше, что турбулентность на
•) Такую точку зрения высказали Лайзер и Хайвел A973). Предлагаемый
ими механизм кажется нам спорным. Рис A972) рассматривает набор энтропии в
Р зультате затухания вихревых движений (см. далее в этом параграфе).

392 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
стадии преобладания излучения — дозвуковая. Это значит, что
давление излучения препятствует отклонению плотности от
средней.
Дадим наглядную оценку флуктуации давления и плотности:
движущиеся навстречу объемы жидкости создают разности давле-
давления порядка ДР=р«2, малые по сравнению с P—pb2 (b — скорость
звука), соответственно -р- ~ -£ ~ ~ <^ 1 — происходит растекание
и дробление потоков, движение почти не отличается от движения
несжимаемой жидкости. Когда наступает рекомбинация, давление
выключается, скорость звука обращается в нуль. Движение про-
продолжается по инерции, с распределением скоростей, унаследован-
унаследованным от предыдущей стадии. При этом движение «несжимаемо»
лишь в первый момент после рекомбинации. Свойство несжимае-
несжимаемости не является сохраняющимся. При движении по инерции с
течением времени происходят столкновения облаков газа, их на-
нагрев за счет сжатия и ударных волн и последующее охлаждение.
Вступает в действие тяготение, области повышенной плотности
(если не все, то ббльшая часть) превращаются в гравитационно свя-
связанные объекты. Важнейшая особенность вихревой теории заклю-
заключается в том, что вращение и галактик и скоплений галактик унас-
унаследовано от начального вихревого движения плазмы до рекомби-
рекомбинации; наличие вращения не нуждается в специальном механизме.
Авторы вихревой теории утверждают, что наблюдаемые зако-
закономерности, касающиеся плотности, момента вращения и масс га-
галактик и скоплений галактик, хорошо согласуются с вычислениями.
Каковы трудности теории? Коснемся их уже здесь, подробнее о
некоторых из них см. в § 10. Начнем с прошлого, т. е. рассмотрим
состояние плазмы задолго до рекомбинации. На стадии преоблада-
преобладания излучения (Р=в/3) скорость вихревого движения не меняется
в ходе расширения. Она все время может оставаться малой по срав-
сравнению со скоростью звука (b—c/V^S) и скоростью света. Казалось
бы, и/с есть мера отклонения от невозмущенной модели. Но, как мы
видели в § 4 гл. И, в действительности, с учетом ОТО, возмущения
метрики зависят не только от и/с, но и от отношения масштаба к
горизонту, Llct. Вихревая теория несовместима с конечными и тем
более с малыми возмущениями модели Фридмана; см. подробно
Зельдович, Новиков A970).
Является ли это трудностью или недостатком вихревой теории?
Должны ли мы догматически отбрасывать возможность нефридма-
новского начала космологического расширения, приводящего к
вихревым возмущениям? Сегодня ответ на этот вопрос в сильной
степени субъективен: нет детальной космологической модели,
соответствующей вихревой теории и прослеживающей эволюцию
турбулентно движущейся плазмы от сингулярности до рекомбина-
рекомбинации. Недостаточно сказать, что сингулярность «не фридмановская»;

3 t] ВВЕДЕНИЕ 393
авторы вихревой теории должны дать позитивный ответ: какая син-
сингулярность нужна, с какими свойствами и выводами относительно,
например, распространенности гелия-4, количества нейтрино, ве-
величины энтропии.
Интересна попытка совместить вихревое движение вещества с
отсутствием возмущений метрики за счет встречного потока гра-
гравитонов (нулевые вихри) — Чибисов A975). Наконец, может быть,
самым существенным является рождение частиц в анизотропной
сингулярности (см. гл. 23, § 4). Этот процесс уничтожает ани-
анизотропию, а следовательно и вихрь! Возможно, что квантовая
теория сингулярности (еще не завершенная) исключит первич-
первичное вихревое движение.
Вихревая теория сталкивается также с конкретными трудно-
трудностями, касающимися процессов после рекомбинации [Пиблс
A9716)]. Вкратце суть их сводится к тому, что большие вихревые
скорости должны привести к образованию гравитационно связанных
объектов на очень ранней стадии (z«*130, по первоначальной оценке
Озерного, или в несколько раз меньше, согласно более поздним
оценкам).
Сильная теплоотдача в этот период приводит к большой плот-
плотности образующихся объектов; сверхзвуковая турбулентность зату-
затухает чрезвычайно быстрой не способна пренятствовать сжатию. От-
Отсутствие заметных возмущений реликтового излучения (его спект-
спектра, его изотропии) *) и сравнительно малая плотность скоплений
галактик — все это заставляет авторов вихревой теории модифици-
модифицировать ее количественно, в сторону уменьшения начальной скоро-
скорости вихревых возмущений в периоде преобладания излучения.
В конце концов количественные изменения меняют картину явле-
явления качественно. Малые вихревые скорости, которые приводили
бы к позднему образованию объектов, в действительности работают
в две стадии: они дают вначале малые возмущения плотности, кото-
которые затем подхватываются гравитационной неустойчивостью, т. е.
за счет гравитации создают потенциальное движение, но в этом слу-
случае вихревая компонента может оказаться недостаточной для объяс-
объяснения вращения.
Для вихревой теории характерны скорости движения плазмы,
значительно превышающие скорости движения в адиабатической
теории на тот же момент рекомбинации. В вихревой теории в первых
вариантах предполагалось раннее образование протоскоплений,
при Z!«130 (а в адиабатической теории обычно предполагают Zi«
^5). Но даже в предположении равного с адиабатической теорией
малого zu т. е. в теории слабой турбулентности, начальные ско-
*) Впрочем, изотропию реликтового излучения авторы вихревой теории объяс-
объясняют рассеянием в газе после его вторичной ионизации, сопровождающей образо-
образование галактик.

394 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
рости должны быть в несколько раз больше в вихревой теории по
сравнению с адиабатической. По этому параметру турбулентную
теорию трудно согласовать с наблюдениями реликтового излучения.
Большие скорости ведут к большим у-реликтового излучения.
Приходится прибегать к предположению о рассеянии реликтового
излучения ионизованным газом. Но для этого нужна большая опти-
оптическая толща: т«4, газ должен быть ионизован рано, при z«50.
Возможна ли такая ранняя вторичная ионизация газа какими-то
источниками энергии? Независимых соображений в пользу этого
нет. Конкретные цифры, иллюстрирующие эту серьезную труд-
трудность, будут даны в § 10 этой главы.
Для оценки вихревой теории небезразлично состояние других,
конкурирующих точек зрения. Особенно важно объяснить наблю-
наблюдаемое вращение галактик в теориях адиабатических и энтропийных
возмущений без привлечения изначального вихревого движения
на стадии преобладания излучения. Если бы в других теориях
(помимо вихревой) вращение галактик не получало естественного
объяснения, то это бы говорило за то, что в вихревой теории, не-
непринужденно объясняющей вращение галактик, есть рациональное
зерно. Но мы уже говорили, что работы Дорошкевича A973), Пиблса
A967а, 1969а) дали объяснение вращения галактик в адиабатической
теории.
Обзор различных теорий мы начали с того, что выбор между
теориями еще не сделан, разработка теорий и дискуссии продол-
продолжаются. Вышеизложенное только иллюстрирует и конкретизирует
этот тезис. Параграф 10 этой главы будет посвящен сравнению
различных теорий после их подробного изложения.
§ 2. Адиабатические возмущения. Предпосылки
Мы начнем с изложения теории происхождения галактик из
адиабатических возмущений. Наиболее современный обзор состоя-
состояния этой теории дан в докладе Дорошкевича, Сюняева, Зельдовича
A973).
Ниже рассматривается развитие возмушений после рекомбина-
рекомбинации (z<1400); рассмотрение доводится до стадии образования
гравитационно связанных обособленных масс, т. е., предположи-
предположительно, протоскоплений галактик.
Таким образом, рассмотрение захватывает период, когда возму-
возмущения нельзя уже считать малыми и линейная теория малых возму-
возмущений неприменима.
Формально можно было бы задаться произвольным начальным
распределением плотности и скорости нейтрального газа после
рекомбинации и исследовать — аналитически или численно —
дальнейшую судьбу и эволюцию газа.

s] АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 395
Однако в действительности очень важно поставить более узкую
задачу и ограничиться возмущениями, получающимися из началь-
начальных адиабатических возмущений. Это составляет содержание «адиа-
«адиабатической теории». Такое ограничение позволит развить прибли-
приближенную теорию процесса, применяя соображения о нелинейных
стадиях эволюции, развитые в предыдущей главе.
Свойства адиабатических возмущений, которые используются
в дальнейшем, следующие
1) Движение является потенциальным, вихрь скорости равен
нулю в начальный момент и, следовательно, остается равным нулю
и дальше, до момента образования ударной волны.
2) Начальные возмущения в момент рекомбинации малы. После
рекомбинации следует продолжительный период, когда возмущения
малы и справедлива линейная теория.
В линейной теории можно выделить затухающие и растущие
возмущения. Начальная их амплитуда одного порядка, за длитель-
длительный период затухающие возмущения практически исчезнут. Дви-
Движение, которое предстоит продлить в нелинейную область, явля-
является растущим возмущением со всеми вытекающими отсюда след-
следствиями: в частности, растущее движение является безвихревым.
3) Линейная теория применима к периоду до рекомбинации.
Естественно предположить, что на ранней стадии амплитуда воз-
возмущений была более или менее плавной функцией длины волны.
Интервал длин волн, важный для образования галактик, не
широк. В этом интервале, вероятно, можно задаться степенной
зависимостью амплитуды от длины волны:
Ak~kr, \ГКЩ) ~ M-v. A4.2.1)
Здесь А(М) есть величина, введенная в § 2 гл. 12, так что пока-
показатели г и v связаны между собой:
гг+з г. г_
М~* » , v = ^- + -^-. A4.2.2)
Затухание, связанное с диссипативными процессами, приводит к
глубокому изменению вида спектра. Обобщенно функцию затуха-
затухания можно записать в виде
e-ak _ e-RcIR _ е-(Мс1М)Ч^ A4.2.3)
гДе Мс порядка 10" УИ© (см. гл. 10, § 2), Rc& (y^8.
Точный вид функции не так важен — дело сводится к тому, что
затухают волны, соответствующие М<.МС, и не изменяются волны
с M>yw

396 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
4) После рекомбинации происходит перестройка движения;
возникающие растущие возмущения характеризуются амплитудой
\/~К(Щ=М-"е-шс/МI/\ n = y + i-*\ A4.2.4)
О
5) После рекомбинации можно пренебречь давлением нейтраль-
нейтрального газа при рассмотрении эволюции возмущений. Основанием
является тот факт, что МС^>Л1ДЖ — джинсовской массы нейтраль-
нейтрального газа (см. ниже§ 3). Благодаря этому применима приближенная
теория роста возмущений в пылевидной среде, изложенная в § 2
гл. 13.
Обратимся к картине движения, вытекающей из пунктов 1)—5).
В приближенной теории было выяснено, что с течением времени
возникают области бесконечной плотности. После возникновения
такой области ближайшие частицы газа наталкиваются на плот-
плотный газ и останавливаются. Ниже мы рассмотрим подробнее движе-
движение газа, его нагревание ударной волной и дальнейшую судьбу
сжатого газа.
§ 3. Ударная волна
Обратимся к приближенному решению, описывающему образо-
образование «блинов» в ходе роста неоднородностей плотности (§ 2 гл. 13).
Величина а [см. формулу A3.2.4)] определяет момент, когда плот-
плотность формально достигнет бесконечности, по условию
а(в)£=1. A4.3.1)
Рассмотрим частицу, в которой а максимально, а=атах. Обоз-
Обозначим ее лагранжеву координату sm. Достаточно локального мак-
максимума, т. е. того, что a(sm) больше, чем в соседних точках, хотя
где-то вдали могут существовать и другие максимумы, часть кото-
которых выше атзх.
Вблизи sm можно разложить а как функцию s в ряд:
s,— Smi)(sk-smk)+ ... A4.3.2)
*) Отвлекаемся от модуляции амплитуды возмущений (см. гл. 10, § 6), т. е.
рассматриваем амплитуду, усредненную по не слишком малому интервалу ЛЛ1.
Формула справедлива для Al>Mawl017M q, т.е. для флуктуации, которые
проходят стадию акустических колебаний до рекомбинации. Отличие п от v свя-
связано с тем, что бр в растущей моде после рекомбинации пропорционально utll,
где и — скорость вещества в акустической волне до рекомбинации и 1~МЧ*.
Наконец, напомним, что Ак есть фурье-амплитуда возмущения плотности в акус-
акустическом режиме до затухания (в частности, на нижней границе области устойчи-
устойчивости, рис. 43). Эта амплитуда и численно (по порядку величины) и по зависимости
от волнового вектора совпадает с амплитудой скалярного возмущения метрики,
не зависящей от времени на всем протяжении от сингулярности до области устой-
устойчивости. Вероятным представляется v=0, п=11а, г=—3/2 (см. ниже); однако не
исключены и другие значения v, п, г.

j 3] УДАРНАЯ ВОЛНА 397
Члены первого порядка (s — sm) отсутствуют потому, что в частице
sm величина а максимальна. По той же причине следующий квад-
квадратичный член везде отрицателен. Поверхности с постоянным а
представляют собой эллипсоиды с частицей sm в центре. Из сообра-
соображений размерности следует, что | Aik\ ~ ~, где Rc — характерный
Re
размер — длина волны возмущений, избегающих затухания в пе-
период до рекомбинации.
В определенный момент /с, подчиняющийся условию""/.с = 1,
aVc)
впервые в частице sm возникает бесконечная плотность. Затем сжи-
сжимается вещество со все меньшим и меньшим значением а. Нетрудно
убедиться, что все три оси эллипсоида, в котором достигнуто усло-
условие a(s) ■ ,/{ =1, по порядку величины равны
■Re
масса вещества в эллипсоиде растет пропорционально (/ — tcY''-
Но эллипсоид имеет три (по порядку величины) одинаковых
оси только в s-пространстве (в лагранжевых координатах). В дей-
действительности в эйлеровых координатах (в /--пространстве) эллип-
эллипсоид сжат в том направлении, в котором деформация происходит
всего быстрее. Это направление, вдоль которого скорость деформа-
деформации дана величиной ат (причем оО>{5>7. СМ- ГЛ- 13, § 2).
Направление ат может и не совпадать ни с одной осью эллип-
эллипсоида.
Переход от лагранжевых координат к эйлеровым сопровожда-
сопровождается сжатием эллипсоида. При сжатии эллипсоида по любому на-
направлению получается (в том приближении, в котором р=оо)
плоская фигура — эллипс, которую мы называем «блином».
На каждом элементе поверхности «блина» сжатие происходит
независимо от того, как развиваются события на соседних элемен-
элементах, потому что все градиенты в направлении нормали гораздо
больше градиентов в плоскости «блина». Поэтому целый ряд ло-
локальных характеристик — законы изменения давления, плотности,
температуры — можно рассматривать в одномерном приближении;
см. Зельдович A9706), Сюняев, Зельдович A9726).
Рассмотрим одномерную картину сжатия вещества в «блин».
Общее решение одномерной задачи выписано в § 2 гл. 13. Здесь
мы только предположим, что возмущение задается в виде одной
синусоидальной волны и Q=l. Решение тогда перепишем в виде
г = aoi'-'s — -* Vv> sin (xs), A4.3.4)

398 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
т.е.
х = aBf*'sx-&„/*'■ sin (xsj, \ A4 3.5)
y = aBt'''sy, z^aof'sz. J
Для плотности получаем выражение
-1 ^ A4.3.6)
Итак, впервые плотность обращается в бесконечность в плос-
плоскости *) sx=0, х—0 в момент *с=(-£") '• Соответствующее зна-
значение красного смещения z назовем zc (далее везде в этом параграфе
z — красное смещение, не путать с координатой z!). Для упрощения
везде вместо z+ 1 будем писать просто z (при z~3—5 читатель сам
легко внесет поправку). С учетом этого — =1 — 1 .
При />/с возникают две ударные волны, рапространяющиеся
симметрично от начала. Сперва рассмотрим случай мгновенного
охлаждения сжатого газа. В этой ситуации плотность его бесконеч-
бесконечна, поверхность ударной волны не отходит от плоскости х=0.
Найдем закон, по которому растет количество сжатого вещества
и давление ударной волны. Ударная волна и сжатое вещество рас-
расположены при х=0, откуда
•!£«£= (Ьу-« A4.3.7)
Y.SK
Это уравнение имеет нетривиальное (бхФ0) решение при t~>tc,
z<.zc. Удобно ввести величину \i=— ■ Эта величина, являющаяся
разновидностью лагранжевой координаты, есть отношение массы,
заключенной между началом sx=0 и данным sx, к полной массе в
половине ячейки периодичности. Получим
sin *Ч* - z A4.3.8)
Jt|X Zc "
При ^<^1 отсюда **)
F1- <14-39)
*) В дальнейшем все изложение ведется для одной ячейки периодичности
<s*<^' также B«-1)-^<^
**) Закон зависимости массы сжатого газа от времени ц ~ Yt — tc отличается
от найденного ранее общего закона т~(<—<с)*/« вследствие того, что здесь рас-
рассматривается вырожденный случай одновременного образования ударной волны
по всей плоскости лг=О. В общем случае количество вещества в каждой точке по-
поверхности «блина» пропорционально У t—tc, но в различных точках различно
значение tc.

УДАРНАЯ ВОЛНА
399
1 2
Далее, (А = у при z=—zc. В сделанных предположениях за беско-
бесконечное время *-»-«», z-»-0 все вещество преходит через волну (ц-Ч),
но лишь асимптотически.
Нужно особенно отметить, что ударному сжатию подвергается
вещество, которое еще не успело достичь бесконечной плотности
за счет сближения соседних слоев, и даже то вещество, которое рас-
расширяется до попадания в ударную волну. Приводим таблицу, ха-
характеризующую динамику сжатия в сделанном приближении.
ТАБЛИЦА XI
Доля вещества, прошедшая через ударную волну
t/t.
We
1
1
0
1
0
0
,025
,983
,1
1,33
0,83
0,333
1
0
0
,96
,64
,5
6
0
0
,1
,30
,76
28
0,
0,
1
9
00
0
1
Найдем скорость, с которой вещество сталкивается с ударной
волной, плотность вещества перед ударом и возникающее давление.
Несложный расчет дает
_ • sin3 пц tg пц
P~Pe(nn)»(tgnn-nn) *
' 2 sin4 п/x tg n/x
A4.3.10)
Здесь введено обозначение 'кс=2па£'1%, т. е. Я,с — это длина волны
возмущения в характерный момент/с; p^=FnG^)—средняя плот-
плотность в этот момент.
Характерной особенностью приведенных выше формул является
поведение описываемых ими величин при малых \i (при малых /—/с,
малых zc — z) вскоре после образования ударной волны:
A4.3.11)
Это не значит, что давление строго постоянно, его производная
вовсе не равна нулю. Важно, что нет степенной зависимости дав-
давления от ц.г давление не равно нулю и не равно бесконечности в
начальной стадии. С течением времени давление уменьшается и
3^/3^ = °) = 0'134 Р(» = 0). A4.3.12)

10,5
f 0,5 /
\ У
3
2
1
-
н
га
О
X
о
•о
X
S
н
S
Рис. 46. Распределение плотности в момент t=tc. По оси
абсцисс отложено ц, по оси ординат lg (р/рр. В точке
ц=0 плотность бесконечна [см. формулу A4.3.6)].
Рис. 47. Распределение плотности в предположении быст-
быстрого охлаждения в момент, когда ударная волна достиг-
достигла координаты ц=0,25. В эйлеровых координатах
область р=ое стягивается в точку.

3]
УДАРНАЯ ВОЛНА
401
Теперь рассмотрим противоположный предельный случай дру-
другого теплового режима — полное отсутствие теплоотдачи.
Картина движения после появления волны уже не может быть
построена элементарно, без численного расчета, даже в сделанных
выше упрощающих предположениях. Просто можно найти лишь
асимптотику начала сжатия, \л<^.1. По-прежнему давление имеет
определенное предельное значение, которое, однако, меньше, чем
в первом случае в ^= 0,92 раза; в у -^= 1,1 раза больше коли-
количество вещества, сжатого ударной волной, на тот же момент вре-
времени, так как волна теперь отделяется от плоскости х=0 и идет на-
навстречу падающему веществу.
Рис. 48. Распределение плотности в адиабатическом варианте в момент достиже-
достижения ударной волной координаты ц=0,25. Без охлаждения, в адиабатическом
случае, плотность после сжатия не обращается в бесконечность.
Средняя плотность сжатого вещества в 12 раз больше плотности
вещества перед фронтом волны. На рис. 46 показано распределение
плотности в момент tc, т. е. как раз в момент достижения р=оо
в плоскости х=0. На рис. 47 и 48 показано распределение плот-
плотности в момент t = -g tc, когда сконденсировалась приблизительно

402 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
четверть вещества. При этом рис. 47 относится к случаю быстрого
охлаждения, а рис. 48 — к адиабатическому случаю.
Уже упоминалась характерная особенность адиабатического
случая, а именно отрыв волны от плоскости симметрии. Вначале
(при ц<^1) путь, пройденный волной, мал, притом мал не только по
сравнению с размером ячейки периодичности, но и по сравнению
с расстоянием, составляющим долю \i от половины ячейки.
В самом деле, средняя плотность за фронтом (т. е. плотность
сжатого вещества) равна рсж=р^—г^. Значит,толщина слоя, отне-
отнесенная к размеру ячейки периодичности (к расстоянию между со-
соседними сжатыми слоями), равна
а^ ^. A4.3.13)
лс Рсж •*•>
Из этих формул получим, что, когда доля вещества, сжатого
ударной волной, равна 10% (ц=0,1), это вещество занимает долю
объема а*=3-10~4; это значит, что его плотность в 300 раз больше
средней. Для 30% (ц=0,31) получим соответственно а*=10~2,
Подчеркнем, что расчет проделан в предположении стро-
строгой адиабатичности, без учета потерь тепла. Истинный объем а
(при данном типе возмущения) может быть только меньше, а плот-
плотность — больше приведенных величин.
По мере дальнейшего хода процесса включается взаимное при-
притяжение слоев сжатого вещества.
Давление на фронте ударной волны создается за счет потока ко-
количества движения падающего вещества. Давление в средней плос-
плоскости между двумя волнами (при х=0) в рассматриваемом случае
больше давления ударной волны на величину гравитационного дав-
давления, равного
Pg^^Ga\ A4.3.14)
где а — поверхностная плотность (г/см°) всего слоя (от — \i до
-\-\i, с учетом вещества слева и справа от начала координат).
По мере увеличения количества сжатого вещества увеличивает-
увеличивается отношение гравитационного давления к давлению ударной
волны.
Численные расчеты Дорошкевича и Шандарина A973) показы-
показывают, что при /~4/с процесс практически замирает, сжатое вещество
удерживается тяготением, падение вещества приостанавливается.
Понадобилось бы нереально большое время для того, чтобы волна
сжала все вещество, а между тем в сжатом веществе начинаются
новые процессы излучения, рождения звезд и т. д., не учтенные
в схематической картине одномерного сжатия.

I 4] ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ СЖАТОГО ГАЗА 403
§ 4. Тепловой режим сжатого газа
В адиабатическом приближении температура газа, сжатого на
фронте волны, дается выражением
для малых \л. Численное значение приведено для синусоидальной
волны, начальной температуры, в точности равной нулю, и полного
отсутствия теплоотдачи. Теплоемкость взята, как у полностью
ионизованного водорода, пренебрегаем энергией ионизации, эк-
эквивалентной 158 000°К- В этих предположениях, вероятно, точ-
точность формулы порядка ц. или ц2*), температура убывает не только
во вновь сжимающихся слоях, но и в ранее сжатом веществе в силу
адиабатического расширения. Температура вычислена в предполо-
предположении быстрого обмена энергией между ионами и электронами.
Будем теперь последовательно отказываться от упрощающих
предположений и строить более реалистическую картину распре-
распределения температуры и термического режима сжатого газа. В духе
метода последовательных приближений давление возьмем то, кото-
которое получалось ранее, в адиабатической картине.
Прежде всего отметим, что в исходном, невозмущенном газе
давление и температура отличались от нуля. Поэтому при плавном
сжатии до заданного давления этот газ сожмется до конечной плот-
плотности и, соответственно, приобретет конечную температуру.
Рассматривая тепловой режим однородной Вселенной, мы наш-
нашли (гл. 8, § 2), что теплообмен вещества и излучения эффективно
прекращается примерно при z=200, Т=540°К, р=0,8-102 г/см3
(все для £2 = 1). В дальнейшем — происходит ли монотонное расши-
расширение или расширение, которое сменяется плавным сжатием,—
давление, температура и плотность связаны адиабатой (изэнтропой)
одноатомного газа р~Я3/», Т~.Рг/». В частности, в невозмущенном
газе при z=5 (точнее, z+l=5) получим Т = 540 (^f = 0,34°К, в то
время как температура излучения равна 14°К. При сжатии до
/)=1,44-10~12 бар, что примерно соответствует давлению в «блине»
с М=101з Мо при zc=5, получим Т=376°К, pm=0,46-102 г/см3.
Эту величину можно сравнить со средней плотностью в тот же мо-
момент, ~10-*7 г/см3.
Грубо можно считать, что плотность равна рт=4,6-10~23 г/см9
там, где по расчету с нулевой температурой плотность была бы
больше, чем рт. Так мы получим толщину слоя, в котором р=рт,
Т- е. толщину адиабатически сжатого слоя.
) Т. е. есть поправки — множители вида
М«. Р. 7)Н-М«. Р.

404 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. U
За фронтом£■ = ц,'2 (см. предыдущий параграф). Приравнивая
цГ2=4,6-1(Г23/1,2-1(Г27=3,3-104, получим цжО,005. Такой же
результат получится, если найти распределение температуры в
приближении Тв=0, затем считать, что температура ниже адиаба-
адиабатической при данном давлении невозможна, и на этом основании
заменить часть кривой Т=Т(ц) на T=const=TaflIia6aT.
Следующий этап заключается в учете тепловых потерь. Тепло-
Тепловое излучение единицы объема при свободно-свободных переходах
дается выражением
s-ceK= 1,4- \Q-"nlVT\ A4.4.2)
пе— концентрация электронов.
В сжатом газе излучение энергии происходит при постоянном
давлении. Поэтому нужно приравнять
W = -CP^ = -5kne§ A4.4.3)
и выразить скорость теплоотдачи через давление и температуру:
5 = — у=, ~а= 1,5-10* см* I эрг-сек (град)*'к A4.4.4)
Отсюда время охлаждения до нулевой температуры
В действительности охлаждение происходит лишь до температуры
рекомбинации, порядка 104 °К; при давлении ~2,6-10~13 бар*)
этому соответствует плотность атомов водорода около 0,2 см~3.
Важно, что время рекомбинации сильно зависит от начальной
температуры. В каждый данный момент получается резкая граница.
Часть газа с Те < (ifa Pt\ ' = 7\ остыла полностью, до 10* °К- ДРУ"
гая часть газа остывает мало: например, если T0=aTlt то конечная
температура Т=(а"''—l)v'i=PT'1, что дает при а=2, 0=1,5, a
приа=1,2 0=0,45. При параметрах, выбранных выше (M~W13Mq,
1+гс=5), и для момента, когда сжата половина вещества, находим
Г1-4-10в°К.
Таким образом, получается весьма своеобразное распределение
температуры (рис. 49) и соответствующее ему распределение плот-
плотности числа частиц (рис. 50).
*) Газ уже не находится в равновесии с тепловым излучением, поэтому усло-
условие рекомбинации определяется формулой Эльверта, а не Саха; температура выше,
чем при первой, равновесной рекомбинации. Давление Р=2,6-10~13 бар соответст-
соответствует сжатию около половины вещества «блина» в рассматриваемом приближении-

f 41
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ СЖАТОГО ГАЗА
405
Численные расчеты одномерной задачи см. Дорошкевич, Шан-
дарин A973). При учете неодномерности задачи расчеты становятся
более сложными [Дорошкевич, Шандарин A974)].
Рис. 49. Зависимость температуры от лагранжевои координаты ц внутри сжатого
вещества в момент, когда ударная волна находится при ц=0,5. Сплошная кривая
показывает температуру с учетом радиационного остывания, пунктиром показана
зависимость Т=Т(ц) без учета остывания.
Рис. 50. Зависимость плотности числа частиц от лагранжевои координаты ц в сжа-
сжатом веществе в момент, когда ударная волна находится при ц=0,5. Сплошная
Кривая показывает плотность с учетом радиационного остывания, пунктирная —
без учета остывания.
Отличительные черты распределения можно суммировать сле-
Дукяцим образом:
1) Около 1% вещества подвергалось только адиабатическому
сжатию и имеет весьма низкую температуру.

406 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК 1ГЛ. 14
2) Около 2—3% вещества нагрето ударной волной до темпера-
температуры от 100 до 104°К. если не учитывать остывания из-за образова-
образования и возбуждения молекул Н2. Такое вещество не ионизовано,
остывает медленно, лишь в силу адиабатического расширения.
3) Около 20% вещества было сжато ударной волной и нагрето
до температуры выше 104°К, но затем остыло за счет излучения до
104 СК и в значительной части рекомбинировало.
4) Около 25% вещества нагрето волной до температуры выше
5-106°К и остается горячим, заметно не остывает.
5) Половина вещества не подвергалась действию ударной волны
вовсе. Из наблюдений известно, что нейтральный водород практи-
практически отсутствует в пространстве между скоплениями галактик.
Убедительным доказательством является спектр квазаров с крас-
красным смещением z>2: нейтральный водород очень сильно ослабил бы
излучение короче .линии Ly-a. Благодаря красному смещению
это излучение попадает в область спектра, доступную земным телес-
телескопам [Ганн, Петерсон A965)]. Независимо от детальной теории «бли-
«блинов» нельзя представить себе, чтобы в пространстве между галак-
галактиками совсем не было вещества. Следовательно, вещество в этом
пространстве практически полностью ионизовано. Объяснение
ионизации газа является одной из задач космологической схемы.
Высказывалось предположение, что излучение сжатого газа
(«блинов») может ионизовать газ, не подвергавшийся действию
ударной волны. Вероятно, однако, этого излучения недостаточно.
Если принять более высокую температуру «блинов», то, наряду с
ультрафиолетовым, усилится чрезмерно рентгеновское излучение.
Оценки см. Дорошкевич, Шандарин A975). Возможно, что иони-
ионизацию осуществляют ранние квазары с 2^4, не наблюдаемые не-
непосредственно.
Все расчеты весьма затруднены неопределенностью важнейших
исходных параметров — постоянной Хаббла и общей плотности
вещества. В зависимости от принятых параметров в интервале
от #=100, Q=l до #=50, Q=0,03 расчетная плотность меняется
в 120 раз!
Можно ли непосредственно наблюдать «блины» (протоскопления)
в далеком прошлом, до превращения их в современное состояние?
Оценки показывают, что оптическое и ультрафиолетовое излучение
вряд ли когда-либо удастся наблюдать на фоне других близких
источников.
Рентгеновское излучение можно наблюдать, по-видимому, лишь
у статистически редких, самых больших скоплений. При этом важ-
важно, что газ высокой температуры не остывает за счет излучения.
Если газ гравитационно связан, то он не подвергается расширению,
а значит, не остывает адиабатически.
Рентгеновское излучение таких источников, как Coma, предпо-
предположительно является тормозным излучением горячего газа.

, 4] ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ СЖАТОГО ГАЗА 407
В гл. 15 в связи с реликтовым излучением обсуждается возмож-
возможность независимого (не пе рентгеневскему излучению) епределения
количества и температуры этого газа. Здесь мы останавливаемся на
данном вопросе потому, что можно предположить космологическое
происхождение горячего газа, предположить, что это газ, сжатый
ударной волной в процессе образования «блина». Этот газ оказался
связанным, когда «блин» превратился в скопление (т. е. когда в
центральных холодных областях «блина» возникли галактики и
звезды и произошла сферизация «блина» — тяготение вдоль по-
поверхности «блина» собрало все вещество в комок, в скопление).
Отметим общую закономерность: если газ нагрет до темпера-
температуры Tj при красном смещении zlt а затем адиабатически расши-
расширяется, то наиболее жесткое излучение, воспринимаемое наблюда-
наблюдателем, приходит от начальной стадии. Обозначая измеряемую
наблюдателем температуру излучения Тэфф, получим ГэффI=
В самом деле, позже Т = 7\ ( fry-) температура газа быстро
падает, уменьшение красного смещения не компенсирует это паде-
падение, для излучения, испущенного при z=zt и принятого сегодня,
получим
Пфф.«=^4т1<:г8фф.1- A4-4-6)
Если газ приобрел температуру Тх при zx и затем не охлаждался
и не расширялся (был гравитационно связан), то, естественно,
наиболее жесткое излучение наблюдатель получит от близкого
объекта:
Пфф,о = ^1>Пфф.1- A4.4.7)
Исследование всеми методами мощных внегалактических источ-
источников рентгеновского излучения интересно как само по себе, так и
для космологии (и теории образования галактик).
Наконец, возможно, по-видимому, обнаружение протоскопле-
ний за счет излучения линии 21 см нейтральным водородом в обла-
области «блина», где температура недостаточна для ионизации [Сюняев,
Зельдович A9726), Зельдович, Сюняев A974), Новокрещенова,
Рудницкий A973)]. Если бы удалось обнаружить это излучение и
доказать его принадлежность «блину», то красное смещение ли-
линии позволило "бы определить момент образования «блинов».
По приближенной оценке яркостная температура в центре линии
может быть порядка 1000°К- Ожидаемая спектральная ширина ли-
линии порядка — ~ 10~4—10~3. Угловые размеры излучающей об-
области порядка одной или нескольких угловых минут.
Трудность наблюдений связана с тем, что неизвестна абсолют-
Ная Длина волны, поскольку неизвестно значение z, при котором

408 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК ГГЛ. 14
образуется сжатый газ. К тому же неизвестно заранее направление
поисков: сжатый газ должен наблюдаться при г, значительно пре-
превышающем красное смещение «обычных» всеволновых радиоисточ-
радиоисточников, таких, как квазары. Вскоре после образования облака сжа-
сжатого газа радиоизлучение в линии 21 см должно прекращаться или
по крайней мере существенно ослабевать. Значительная часть ней-
нейтрального водорода превращается в звезды, часть оставшегося сво-
свободным газа снова ионизуется излучением молодых звезд. Практи-
Практически в любой теории можно ожидать такого эффекта, но в суще-
существенно отличающиеся моменты времени, при разных г. Наблюдение
радиоизлучения протогалактик имело бы огромное принципиальное
значение.
§ 5. Массы скоплений и фрагментация протоскоплений
Теоретическая оценка массы протоскоплений по характерной
(критической) длине волны возмущений является лишь весьма гру-
грубым приближением. В статистической задаче, очевидно, следует
ожидать некоего распределения масс, зависящего от формы спект-
спектра возмущений, т. е. от закона изменения амплитуды возмущений
в зависимости от длины волны.
Могут возникнуть также большие безразмерные числа в соот-
соотношении между массами гравитационно связанных объектов (в ча-
частности, скоплений галактик) и величиной размерности массы —
кубом половины длины волны, умноженным на плотность.
Второй вопрос, рассматриваемый в данном параграфе, касает-
касается дальнейшей судьбы обособленных газовых тел (протоскопле-
(протоскоплений), структура которых была выяснена выше. Гравитационная
неустойчивость протоскоплений приводит к их дальнейшему разде-
разделению на отдельные тела (галактики и квазары).
Для того чтобы определить момент, когда в значительной доле
вещества становятся существенными нелинейные эффекты, или,
попросту, значительная часть сжата в «блины», в первом прибли-
приближении достаточно найти долю вещества, где а—> 1 [см. A4.3.1I-
Как показали гидродинамические расчеты одномерной задачи,
количество вещества, сжатое ударной волной, превышает количе-
количество вещества, которое само (без учета ударной волны, подчиняясь
условию а — ^1) доходит до бесконечной плотности.
На начальном этапе и при мгновенном охлаждении это превы-
превышение составляет У^Граз, а без охлаждения — почти в два раза по
сравнению с условием а-т-^3= 1. С помощью функции распределения
вероятности а, {5, у можно, интегрируя по Р и у, найти W (а) —-
полную вероятность того, что а больше заданной величины при
любых р и у. Отсюда получается закон изменения со временем об-

6]
МАССЫ СКОПЛЕНИЙ И ФРАГМЕНТАЦИЯ ПРОТОСКОПЛЕНИЙ
409
шего количества сжатого вещества. На рис. 51 представлен этот за-
закон: по оси абсцисс откладываем \g(t/tc), по оси ординат 2W [ — = 1) .
При этом tc в статистической задаче определим как момент, когда
вычисленная по линейной теории величина ( —) =1- Для сравне-
сравнения приведена также кривая, относящаяся к одномерной задаче с
синусоидальным возмущением (пунктир). Ее отличие от сплошной
Рис. 51. Зависимость доли вещества, сжатого ударной волной, от времени. Сплош-
Сплошная кривая — в статистической теории, пунктир — в одномерной задаче с сину-
синусоидальным возмущением.
кривой связано главным образом не с одномерностью, а со ста-
тистичностью, так как синусоидальное возмущение очень сильно
отличается от статистического. Расчеты проделаны для £2=1.
От начальной амплитуды возмущений зависит только абсолют-
абсолютное значение tc. Если по оси абсцисс отложено отношение t/tc или
логарифм этого отношения, то кривые универсальны, не зависят
от амплитуды.
Попытка пройти существенно дальше в детализации нелиней-
нелинейного этапа предпринята в работе Дорошкевича и Шандарина A975).
С помощью корреляционной функции с той точностью, которую
имеет приближенная теория, удается определить в каждый момент
плотность «ядер кристаллизации» — число областей высокой плот-
плотности, число «блинов» в единице объема. Оцениваются также тот
объем и масса, расположенные вокруг «блина», которые с боль-
большой вероятностью присоединяются к данному «блину».
Расчеты сложны и на поздних стадиях становятся ненадежными,
так как не все локальные максимумы а дают самостоятельные
отдельные «блины». Частица может быть сжата ударной волной
Другого «блина» раньше, чем в ней возникнет своя, зависящая от
ее значения а, бесконечная плотность. Очевидно, что формулы
приближенной теории зде ь теряют силу уже потому, что в сжатом

410 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК £ГЛ. 14
веществе давлением отнюдь нельзя пренебрегать. Кроме того, оцен-
оценки размеров «блина» очень ненадежны.
Важным выводом работы Дорошкевича и Шандарина является
следующий. Толщина «блина» (по лагранжевой координате) поряд-
порядка Rc, в то время как площадь «блина» доходит до ~ 30 7??.
Очень поучительно появление подобных больших безразмерных
множителей: они показывают недопустимость упрощенного под-
подхода к сложной статистической задаче. Численные трехмерные рас-
расчеты могут внести поправки в оценки Дорошкевича и Шандарина,
но возврат к наивному отождествлению Мс и массы скоплений не
предвидится.
Вопрос о фрагментации (разделении на отдельные части, фраг-
фрагменты) протоскопления рассмотрен в уже цитированной работе
Сюняева и Зельдовича A9726).
Особенность задачи заключается в том, что рассматривается
гравитационная неустойчивость вещества, занимающего тонкий
слой, с толщиной, во много раз меньшей продольных размеров.
К тому же холодное плотное вещество находится под внешним дав-
давлением окружающего горячего вещества, плотность которого го-
гораздо меньше. Это давление на начальной стадии роста «блина»
больше, чем гравитационные силы между частицами плотного
слоя.
Задача о гравитационной неустойчивости тонкого (в пределе бес-
бесконечно тонкого) слоя рассматривалась многими авторами в связи
с теорией галактического диска и вопросами о распаде вращаю-
вращающегося диска на спиральные ветви.
Наша задача проще, так как можно предположить, что нет
вращения и нет пекулярных скоростей в плоскости диска.
Будем рассматривать однородный диск данной поверхностной
плотности а (г/см2). Решение уравнений для возмущений плотности
ищем в виде (в предположении весьма тонкого диска)
^ = const .<*>'+** A4.6.1)
(k, x — двумерные). При этом гравитационный потенциал рас-
рассматривается в трех измерениях. С учетом того, что вне диска Дф=0,
имеем
eq^const-^'+'^-i*"*!, A4.5.2)
и амплитуда потенциала определяется граничным условием в пло-
плоскости:
*£| _*S| =4яОба. A4.5.3)
дг \г+й дг |г-о v
Уравнения для возмущений дают закон нарастания возмущений:
\. A4.5.4)

$ 6] МАССЫ СКОПЛЕНИЙ И ФРАГМЕНТАЦИЯ ПРОТОСКОПЛЕ НИИ 411
Характерное отличие от трехмерной задачи — зависимость скорости
нарастания от волнового вектора \k\; напомним, что в трехмерном
случае
со = jAfciGp—а2 А:2 —* \/lnGp при k—+0 A4.5.5)
(см. гл. 9). Размерность a \k\ та же (г/см"), что и размерность р;
поэтому не удивительно, что в формулу вместо р входит именно
cr|fc|.
При конечной толщине диска («блина») меняются формулы для
гравитационного потенциала, а главное, появляется сила, противо-
противодействующая гравитационной неустойчивости. Эта сила, действую-
действующая в плоскости диска, есть произведение давления на площадь
сечения, перпендикулярного плоскости диска, точнее—градиент
этой величины, возникающий в результате возмущения. Площадь
сечения на единицу длины линии пересечения есть толщина диска
А. С учетом конечной толщины и давления получим
со = V2nGa| k | — ori Phk*. A4.*5.6)
Таким образом, при конечной толщине диска есть критическая
длина волны, аналогичная джинсовской длине волны трехмерной
задачи:
со = 0, k = kim^^f, Ь»* = 1Г- A4-5-7)
гп кдж
Есть и величины, не имеющие аналога в трехмерной задаче: волно-
волновой вектор kmax и длина волны Ятах наиболее «опасного», т. е. наи-
наиболее быстро растущего, возмущения, для которого со максималь-
максимально. Легко убедиться, что /гтах =-^-кш, Атах==2Адж. Если давление
в слое определяется только весом (тяготением) вещества слоя, то в
середине слоя Рц =-^-Gcr2, на краях, очевидно, Р=0 и среднее дав-
давление порядка P=Go*. Подставляя это значение в выражения для
Ядж A4.5.7) и Ятах, будем иметь
*дж = Л, *тах = 2А (Н.5.8)
и, далее, используя а=Ар, получим
сотах = 0,885 |/4ябр. A4.5.9)
Эти результаты вполне естественны с точки зрения теории размер
ности.
Если слой окружен горячим легким газом, то нужно учитывать
Давление этого газа, но можно пренебречь его тяготением и возму-
возмущением под действием возмущения потенциала. В этом случае
критическая длина волны и опасная длина волны возрастают в

412 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
Р I p
отношении -^—- , где Ргаз — давление газа на поверхность слоя,
ё
a Pg — найденное выше значение P=Gd*.
В работе Сюняева и Зельдовича эти соображения применяются
к распаду плоского протоскопления — «блина», структура кото-
которого описана в предыдущем параграфе.
Возможная схема образования галактик (которая весьма пред-
предварительна и может сильно измениться), например, следующая.
Внутренний, самый плотный (сжатый адиабатически) слой должен,
по оценкам, распадаться на массы порядка 10'—108 Mq. Слой,
остывший до ~104°К, распадается на массы порядка 10"—101!7W©.
Горячий газ сГ>4-10в°К частично остается гравитационно не
связанным, а частично образует горячее гало вокруг масс 10"—
1012 М®. Предлагается гипотеза [Сюняев, Зельдович A9726)],
согласно которой наиболее плотные, но малые массы представляют
собой квазары и ядра галактик.
Массы 10"—1012 Mq естественно отождествляются с галакти-
галактиками. С этой точки зрения объясняются и некоторые общие свойства
связанных тел разных типов.
В адиабатически сжатом газе не должно быть вихревой ком-
компоненты скорости. Начальная плотность этого газа порядка
30 атомов/см3; в ходе дальнейшего сжатия средняя плотность может
возрасти.
После образования первых «блинов» часть газа, охваченная
ударной волной, нагревается до высокой температуры, жесткое
излучение этих слоев прогревает уже весь газ до темрературы вы-
выше адиабатической. Такой прогрев не влияет на общую кар-
картину дальнейшего образования «блинов», но в «блинах», обра-
образовавшихся позже, средний слой уже не столь плотный и холодный,
как в первых «блинах». Можно предположить, что образование
квазаров (и ядер галактик?) прекратится раньше, чем прекратится
образование галактик. Возможно, что резкое падение числа ква-
квазаров и радиоисточников при г>3, отмеченное Лонгейром A966)
[см. также Дорошкевич, Лонгейр, Зельдович A970)], связано с этим
обстоятельством.
В первых «блинах» в квазары и ядра переходит, по предположе-
нщо, около 1% всего вещества. Такое количество согласуется с гру-
грубыми оценками, исходящими из представления, что активная жизнь
квазара*) длится всего 105—106 лет.
В каждом «блине» с плотной средней прослойкой можно ожи-
ожидать образования около 100 плотных объектов. Не должны ли в
таком случае квазары располагаться группами, не должны ли их
положения быть коррелированными? Наблюдения не подтверждают
*) Здесь в квазары включены также квазизвездные радиоспокойные объекты;
название «квазаг» (quasistellar galaxies) не привилось.

f 6] ВРАЩЕНИЕ ГАЛАКТИК 413
такой корреляции, но ее и не должно быть, если учесть, что упомя-
упомянутый активный период жизни квазаров A0в—10е лет) во много
раз меньше как сегодняшнего космологического времени A010 лет),
так и времени образования «блинов» (ЗЛО8—Ю9 лет). В каждый
момент мы наблюдаем порядка 10~3 от общего числа плотных объек-
объектов — потенциальных квазаров, так что среднее число наблюдае-
наблюдаемых квазаров на одно протоскопление значительно меньше единицы,
ожидаемые пары квазаров должны составлять менее 10% общего
числа их.
Обращаясь к галактикам, отметим, прежде всего, стабильность
температуры слоя, из которого, предположительно, образуются
галактики. Эта температура (~104°К) определяется особенностями
законов рекомбинации и излучения оптически тонкого газа. Газ
излучает наиболее сильно при частичной ионизации, когда велико
излучение в линиях и рекомбинационное излучение; после рекомби-
рекомбинации излучение резко уменьшается. Поэтому температура, до
которой нагревается газ, слабо зависит от предыстории и парамет-
параметров «блина» как целого (его массы и момента образования). Эта
стабильность температуры, возможно, отражается в том, что (по
замечанию Озерного) галактики отличаются малым разбросом сред-
средней плотности.
Другая возможная схема распада «блина» на галактики, учиты-
учитывающая идеализированный характер рассмотренной выше одномер-
одномерной картины, предложена в работе Дорошкевича и Шандарина
A974). В их схеме важную роль играет появление вихревой компо-
компоненты скорости в сжатом ударной волной газе (см. § 6 этой главы)
и предполагается турбулизация сжатого газа.
Мы закончили обсуждение стадией разбиения «блина» на от-
отдельные облака газа. Возникновение звезд в этих облаках лежит за
пределами космологии. Фактические данные наблюдений о массах
скоплений, групп галактик, о массах самих галактик, их вращении
даны в § 11 этой главы.
§ 6. Вращение галактик
Возможно ли возникновение вращения в теории, в которой
предполагается, что начальные возмущения являются без-
безвихревыми?
В течение долгого времени казалось, что вращение в такой
ситуации не возникает. Такое мнение не было совсем безосно-
безосновательным.
Известные теоремы Гельмгольца — Кельвина говорят о том, что
гравитационные силы, обладающие потенциалом, способны создать
поле скорости только потенциальное, т. е. с равным нулю вихрем.
До рекомбинации плотность и давление однозначно связаны
Друг с другом; силы, связанные с давлением, не создают вихревого

414 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК 1ГЛ. U
движения. Наконец, вязкость в потенциальном движении создает
вихрь лишь при наличии стенок или градиента плотности *).
В принципе не исключено возникновение вихревого движения
в том случае, если потенциальное движение приводит к появлению
ударных волн. Однако в теории адиабатических возмущений весьма
мала амплитуда потенциального движения:— ~ -£ ~ 10~3—10~4—
в области спектра, соответствующей массе 1013 М3 и выше.
Такая амплитуда не приводит к возникновению ударных волн
за космологическое время. Амплитуда может быть больше в обла-
области коротких волн при Af<^1013 Mq.
Не исключено, что эти волны превращаются в ударные раньше,
чем они затухнут за счет вязкости. Этот процесс может иметь зна-
значение для появления энтропийных возмущений и будет обсуждаться
ниже.
Однако вихрь скорости, связанный с мелкомасштабными удар-
ударными волнами, должен быть, соответственно, малого масштаба, и
такой вихрь полностью затухает к моменту рекомбинации. Итак,
действительно, в раннем периоде эволюции при отсутствии изна-
изначальных вихрей движение остается потенциальным, безвихревым.
Другую сторону вопроса составляет соотношение между мо-
моментом вращения тела и ротором скорости.
При вращении твердого тела угловая скорость каждого элемен-
элементарного объема тождественно равна угловой скорости всего тела й.
Поэтому rot tt=2Q. Когда rottt=0, то и £2=0, а значит, равен нулю
и момент тела М. Любопытно, что в общем случае тела неправиль-
неправильной формы (не шары) характеризуются тензором моментов инер-
инерции ltk, направление момента JU не совпадает с направлением Q
и rot ии так как <М~ IikQk, то момент М нельзя представить как
интеграл по объему от rot и.
Для определенной ограниченной массы жидкости или газа связь
между моментом массы и ротором скорости отсутствует. Известны
безвихревые движения несжимаемой жидкости с конечным момен-
моментом, получающиеся при вращении заполненного жидкостью сосуда
неправильной (не осесимметричной!) формы**).
Однако определенная связь между моментом и ротором есть
и в случае жидкости. В самом деле, если жидкость имеет везде
*) О понятии вихря в релятивистской гидродинамике см. Зельманов A9596),
Вайнштейн и Рузмайкин A973), Чернин и Эйдельман A969, 1971), Чернин A969),
Тиунов и Чернин A971). Учет зависимости вязкости от плотности, в принципе,
приводит к появлению вихря, однако эффект в РД-плазме, по-видимому.
ничтожен.
) Движения типа их — °y 2 , иу= г~Т~~г ■ "г=0 не следует рассмат-
х ~г У х ~ У
t
г У г У
ривать как безвихревые: rot и=о(х2-\-у2)пг, вихрь равен нулю везде, кроме оси
пг, где он бесконечен.

§ 6] ВРАЩЕНИЕ ГАЛАКТИК 415
постоянную плотность, заполняет осесимметричный сосуд *) и ро-
ротор скорости отсутствует, то проекция момента на ось тождественно
равна нулю. В этом легко убедиться: найдем проекцию момента на
заданное направление о («ось»):
«#«=pj [их r]ad*r, A4.6.1)
разбивая рассматриваемый объем на кольца с центром на оси. Для
такого кольца
dcrfl@=pr1dS (fiutdl, A4.6.2)
где гх есть радиус кольца, dS — его сечение, dl отсчитывается вдоль
кольца, ы,— проекция скорости на dl.
Интеграл по кольцу представляет собой циркуляцию скорости
и, следовательно, по теореме Стокса выражается через интеграл
ротора по поверхности, натянутой на кольцо. В безвихревом дви-
движении
Отсюда видно, что возможность возникновения момента при
безвихревом движении ограничена, существенно связана с пере-
переменной плотностью. Конечный момент объема жидкости тоже можно
рассматривать как предельный случай резкой зависимости плот-
плотности от координаты: р=р0 внутри V, р=0 вне V; на поверхности
S, ограничивающей V, имеет место разрыв р. Предположим, что
жидкость движется потенциально, но имеет отличный от нуля пол-
полный момент за счет несимметричной формы объема, занятого
жидкостью. Пусть эта жидкость изолирована от действия внешних
сил, так что момент сохраняется. Станет ли движение вихревым с
течением времени?
Общим свойством твердотельного вращения является минимум
кинетической энергии при данном полном моменте вращения.
Поэтому изолированное от внешних сил тело с течением времени
стремится перейти в состояние твердотельного вращения**). Твер-
Твердотельное вращение является вихревым движением. Очевидно,
вязкость должна вызвать переход потенциального движения с мо-
моментом в твердотельное вращательное движение, т. е. создать
вихрь; только при твердотельном вращении вязкость перестает
увеличивать энтропию, превращая в тепло избыток энергии движе-
движения над энергией твердотельного вращения. В твердотельном вра-
вращении жидкость не деформируется, и вязкость перестает увеличи-
*) Сосуд должен быть односвязным, без полости на оси, чтобы исключить
Движения, типа рассмотренного в предыдущем примечании.
**) Внутренние источники энергии, например ядерная реакция внутри тела,
могут создавать отклонения от твердотельного вращения.

416 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. Н
вать энтропию. Детальное рассмотрение показывает, что в потен-
потенциальном несжимаемом движении ограниченного тела с моментом
при учете вязкости энтропия растет во всем объеме, но вихрь воз-
возникает лишь у границы и постепенно, за время ]/ vL (v — кинема-
кинематическая вязкость, L — размер), охватывает весь объем. Этот
факт естественно согласуется с тем, что в неограниченном
пространстве не может быть момента и вязкость не генерирует
вихрь при постоянной плотности.
Подробное (может быть, слишком подробное) обсуждение теоре-
теоремы сохранения вихря и обсуждение взаимоотношения вихря и мо-
момента необходимо для понимания внутренней логики работ послед-
последних лет, которые прояснили возможность возникновения вращения
в космологии в таких объектах, как галактики и скопления галак-
галактик. Рассмотрены три задачи:
1) Ранний период малых адиабатических возмущений после
рекомбинации.
Отдельные моды возмущений растут в соответствии с линейной
теорией. Ротор скорости равен нулю. Вычисляя момент произ-
произвольно выбранной сферы в линейном приближении (ифО, р=р0),
получим нуль. Однако если учесть отличие плотности от средней
(_Р. ^ iiLL ф о V то в этом приближении, квадратичном по амплиту-
амплитуде возмущений, момент сферы отличен от нуля [Дорошкевич
A970), Пиблс A969а)]. Опустим все безразмерные множители, что-
чтобы сделать грубую оценку.
При амплитуде возмущений плотности порядка — ~ 1 амплиту-
амплитуда скорости и~ -г-, где/ — масштаб и /— космологическое время,
поэтому
<^~6ры/«~-^. A4.6.3)
Подставив t^=FnGp)~i;', получим
аЛ ~ G'/.p"/./" „ G'/.M"/./'/., A4.6.4)
где M=pl3. Но это как раз тот момент, при котором центробежная
сила удерживает массу М в состоянии диска с размером /.
Упомянутые выше авторы не делают такого вывода, ибо он со-
совершенно тривиален, так как в задаче нет никаких безразмерных
параметров. Внимание авторов сосредоточено на вычислении без-
безразмерного множителя в выражении для сМ A4.6.4); по их оцен-
оценкам, этот множитель гораздо меньше единицы (~0,005).
2) Сжатие холодного газа ударной волной после рекомбинации
при z<ze.
В нелинейной картине (§ 3 этой главы) развитие возмущений
приводит к формированию сильных ударных волн. При наличии

§ „] ВРАЩЕНИЕ ГАЛАКТИК 417
ударной волны уже не имеет места сохранение вихря *); формально
это связано с тем, что в ударной волне энтропия растет. Заметим,
кроме того, что и при охлаждении газа от температуры порядка
4-Ю5 до 104°К вихрь также не сохраняется.
Важность несохранения вихря в ударной волне для проблемы
возникновения вращения галактик отметил качественно Чернин
A970) и подробно исследовал Дорошкевич A973). Очень грубо
представим себе волну, в первом приближении совпадающую с
плоскостью х=0. Падает газ (х=0, их<С0), движущийся не строго
/ диу \
по параллельным линиям [иуФ0, —-^=^=0). но безвихревой
(дЧу дих ди. дих\ ■.,
-д-^—"д • д==д')' УдаРная волна останавливает нормальное
движение по оси х, так что за фронтом их = 0, -£* = —■ = 0. Пола-
Полагая, что тангенциальная скорость сохраняется, учтем, что увели-
увеличение плотности в волне в четыре раза сопровождается уменьше-
уменьшением х-компоненты вектора расстояния между частицами, так что
диу диу
~ =4—? (индекс «+» — после сжатия, индекс*—» — досжа-
ох + ох —
тия волной). Таким образом, равенство -^—~ = 0, которое при-
приводило к безвихревому движению до сжатия волной, полностью раз-
разрушается после сжатия. Грубый подход дает оценку rot # = #-£-
р '
где Н — постоянная Хаббла на момент сжатия **). В качестве при-
примера примем, чтоz+ 1 =-Т1Г=3' ТогДа^=3'/"Я0=A,5-10влет)-1;
плотность вещества в галактике есть р= 10~24 г/см3, р=3-10~28 г/см3,
и мы получим rot и=G,5-106 лет)'1.
Предположим, что с такой угловой скоростью как твердое тело
вращается галактика; мы получили бы период обращения
Т =^ = я (rot и) = 2,3- 10е лет A4.6.5)
— в 100 раз меньше наблюдаемого!
*) Точнее, надо говорить о сохранении циркуляции скорости по контуру, об-
образованному данными частицами. При адиабатическом движении \ udl сохраня-
сохраняется, а ротор может изменяться. Однако если начальные значения ротора и цир-
циркуляции равны нулю, то обе величины остаются равными нулю — можно гово-
говорить о сохранении безвихревого движения в условиях, предусмотренных тео-
теоремой Гельмгольца — Кельвина.
**) Оценка основана на том, что нелинейное сжатие происходит в том случае,
когда локально градиенты возмущений скорости по одному направлению превос-
превосходят постоянную Хаббла, от которой зависит общее расширение, но по порядку
величины близки к ней. Множитель р/р отражает рост градиента возмущений
скорости из-за сжатия вещества.
14 Я.
. Зельдович, И. Д. Новнко»

418 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК 1ГЛ. Н
Возможно, что в точной теории есть безразмерные малые числа:
видимо, входит малая величина \l — доля вещества, вошедшего в
галактики. Остается обнадеживающим тот факт, что расчет по
порядку величины оставляет большой запас для уменьшения угло-
угловых моментов галактик. Отметим еще, что центральная часть «бли-
«блина», которая подверглась адиабатическому сжатию, остается без-
безвихревой в этой концепции (если не учитывать турбулентность).
3) Рассмотрим последнюю стадию, когда возмущения привели
к образованию отдельных тел, пространственно отделенных, обо-
обособленных друг от друга. Эти тела гравитационно взаимодейст-
взаимодействуют между собой. Гравитационное взаимодействие в первую оче-
очередь приводит к обмену импульсом — к изменению направления и
скорости движения. Так взаимодействуют точечные частицы, а так-
также шарообразные тела, гравитационное поле которых снаружи не
отличается от поля точки.
Однако тело неправильной формы имеет отличный от нуля квад-
рупольный Q (и высшие) момент распределения масс. Внешнее поле
такого тела имеет слагаемое, зависящее от угла:
фв=-д"Рв<г>в> ф), A4.6.6)
где PQ — квадрупольная сферическая гармоника. В таком потен-
потенциале не сохраняется орбитальный момент пролетающего второго
тела; соответственно по закону равенства действия и противодей-
противодействия (или по закону сохранения полного момента) изменяется и
момент вращения первого тела (создающего <р0) под действием
ненаписанного здесь поля второго тела. Говоря проще, несфериче-
несферические невращающиеся тела при пролете друг около друга приоб-
приобретают моменты.
Характерно (и неизбежно по теории потенциала), что квадру-
польное взаимодействие убывает с увеличением расстояния быстрее,
чем потенциал точечной массы. Поэтому теория набора момента при
столкновениях резко отличается от теории перераспределения ско-
скорости поступательного движения. В наборе момента главную роль
играют самые близкие столкновения. Момент силы, действующей
на первое тело с массой Mt и квадрупольным моментом Qt со стороны
второго тела с массой Ms, порядка
При пролете тела с прицельным параметром Ь* имеем по порядку
ь*
величины гы ~b*,t~—, где и — скорость пролета, так что
A4.6.8)

i 6] ВРАЩЕНИЕ ГАЛАКТИК 419
При хаотических соударениях складываются квадраты статисти-
статистически независимых приращений момента. Частота столкновений с
прицельным параметром между Ь* и b*+db* равна d2W=
= nu2nb*db*dt, где п — средняя плотность тел.
Таким образом,
ДО- ж G*Q\M\ £ J 2jy » №<^". A4.6.9)
Ответ существенно зависит от выбора нижнего предела интегри-
интегрирования Ь'о.
В качестве самой грубой оценки, рассматривая процесс обособ-
обособления галактик, подставим в A4.6.9) М.1^аМл=М, Qx=MR*t
n=R~3, bl=R,t — -ц-, ы= у -jr- , <Л0=0 (е£0 — момент при начале
процесса, /=0). Получается результат, который очевиден из размер-
размерности; приобретенный галактикой момент есть в среднем
Z# = VGMSR, A4.6.10)
т. е. как раз момент, необходимый для того, чтобы центробежная
сила галактики с массой М и радиусом диска R уравновесила силу
притяжения.
Возникает вопрос: можно ли предположить, что обособляющееся
тело (протогалактика) обладает квадрупольным моментом Q=£0
вначале, пока еще оно не набрало момент вращения? Изолированное
тело без момента в состоянии равновесия принимает шаровую фор-
форму с Q=0.
Однако в момент обособления тела еще не успевают принять
равновесную форму — такова первая причина того, что 0=^0.
Кроме того, даже если первое тело было сферически-симметричным
до приближения массы М2, то само приближение этой массы вызы-
вызывает приливную деформацию первого тела, а значит, и появление
квадрупольного момента. По порядку величины такой «индуциро-
«индуцированный» второй массой момент меньше, чем Ql=MiRi, в отношении
М R3
-д^-гз" (в момент максимального сближения г12=6*).Для набора
вращательного момента нужно еще, чтобы индуцированный квад-
рупольный момент по направлению главных осей отставал от линии,
соединяющей центры тяжести тел. Это обстоятельство приводит к
дополнительному множителю-^ или f -^) при b*^>R. Однако снова
получится, что после подстановки характерных значений Ь*, и и
Других результирующее выражение для <М окажется тем же.
Итак, только подсчет безразмерных множителей может дать
окончательный ответ на вопрос о среднем моменте галактик и скоп-
Д4»

420 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
лений галактик в теории адиабатических возмущений. Но подсчет
такого рода «теоретическими» (читай: аналитическими) методами
вряд ли возможен; сама формулировка исходных условий статис-
тична, ответ тоже должен формулироваться статистически, в виде
функций распределения обособившихся тел по массам и моментам.
Вероятно, неизбежно проведение численных расчетов трехмер-
трехмерного движения для набора реализаций случайных исходных дан-
данных. Такая программа потребует (с учетом тепловых явлений)
нескольких лет. В настоящее время можно констатировать, что
есть по крайней мере три принципиально разных процесса, приво-
приводящих в адиабатической теории возникновения галактик к набору
момента обособленными телами. Нельзя утверждать, что уже сейчас
строго доказана достаточность этих процессов. Вместе с тем никак
нельзя утверждать и обратное, что теория адиабатических возму-
возмущений будто бы неспособна объяснить наблюдаемое вращение га-
галактик. Фактические данные о вращении галактик даны в § 11
этой главы.
§ 7. Магнитное поле галактик
Происхождение магнитного поля галактик проясняется лишь
в последние годы, в связи с успехами теории динамо-эффекта —
усиления поля при движении плазмы. Предполагается, что первич-
первичное весьма слабое магнитное поле возникает вследствие вращения
газового облака — протогалактики за счет различия масс электрона
и протона и различного взаимодействия электронов и протонов с
реликтовым излучением.
Дальнейшее усиление связано с конвективным движением вра-
вращающегося газа. В этой концепции мы опираемся на наблюдательно
установленный факт вращения спиральных и эллиптических галак-
галактик. Выбор той или иной теории происхождения самого вращения
мало влияет на выводы, касающиеся магнитного поля.
Несколько лет назад казалось, что в теории динамо-эффекта
имеются непреодолимые трудности. Поэтому обсуждалось предпо-
предположение о существовании сравнительно сильного (~10~8 гс в на-
настоящее время) первичного космологического магнитного поля,
вмороженного в реликтовую плазму и заданного в космологической
сингулярности. Мы разберем такую возможность в § 3 гл. 19. Поле
галактик (~10~6 гс) получалось в такой концепции за счет стяги-
стягивания магнитных силовых линий при конденсации разреженного
газа в более плотные галактики. В пространстве между скопления-
скоплениями, где газ разрежен, должно остаться упорядоченное поле ~ 10~егс.
В настоящее время эта концепция хотя и не опровергнута, но
представляется искусственной. Данные об упорядоченном космо-
космологическом поле ненадежны [Кавабата и др. A969), Рейнгардт и
ТилA970), Комберг, Рузмайкин A972)]. Поэтому космологические

§ 7] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГАЛАКТИК 421
модели с первичным полем мы кратко обсудим в §3 гл. 19 в связи с
общефизическим вопросом о влиянии частиц и полей на сингуляр-
сингулярность.
Здесь же мы обратимся к теориям генерации полей в рамках горя-
горячей модели Вселенной без первичного поля, с малыми возмущения-
возмущениями скорости и плотности, наложенными на однородное и изотропное
фридмановское решение.
Гаррисон A968, 19706) рассматривает вращательные возмуще-
возмущения на стадии преобладания излучения. Напомним, что сохранение
момента вращения шара радиуса R дает условие
<>^=/о) = р#во) = const, A4.7.1)
где / — момент инерции. В ходе расширения растет радиус R,
плотность падает (на РД-стадии) по закону p~R~*. Поэтому угло-
угловая скорость уменьшается со^./?, линейная скорость ы=со/?
остается постоянной (§ 5 гл. 10). .
Плотность вещества, взятого в отдельности (барионов, без фото-
фотонов), убывает, как рвещ~Я~3. Вещество «хотело бы» вращаться
медленнее: со~./?~2, u^R'1. При этом легкие электроны увле-
увлекаются излучением, а отстают от вращения РД-плазмы тяжелые
протоны. Возникает электрический ток, плотность его равна /=
=пе(и9—ые), где n=ne=nv—плотности частиц, е — элементар-
элементарный заряд. Такой ток создает магнитное поле, направленное по оси
вращения. При вычислении магнитного поля нужно учесть, что
изменение магнитного потока индуцирует электродвижущую силу,
которая стремится выравнять скорости протонов и электронов.
В первом приближении полагаем, что скорость протонов мало
отличается от скорости электронов, находим э. д. c-,-%f- и SK, не-
необходимые для того, чтобы протоны двигались, не отставая от
электронов, а потом проверяем, что разность скоростей «р— «t,
необходимая для создания такого поля, действительно мала.
Итак, основные уравнения*): уравнение движения протонов
Up = const, т£=-т,£§ + <* = <>. *= ?£g (U.7.2,
(проверьте: при (£=0 было бы ыр= const Я'1); уравнение для
э. д. с.
nSVR = -c2nR£ = ^uv$. A4.7.3)
*) Электрическое поле $ определено в системе отсчета, покоящейся относи-
относительно всей материи, состоящей на этой стадии в основном из фотонов.

422 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
Подставляя uv—(uR=const, получим
= 0. A4.7.4)
Асимптотическое решение этого уравнения
^ A4.7.5)
В вихревой теории рассматривается движение такое, что размер
наибольшего вихря равен произведению скорости на космологичес-
космологическое время, что является условием осуществления законов турбулент-
турбулентности. Значит, со~— , где t—космологическое время в момент
рекомбинации (или окончания доминирования излучения). Вели-
Величина t — порядка 5-Ю12 сек. Получим Ж=0,4-10~" гс при плот-
плотности р„ещ«*3- 10~ао г/см3. Плотность современных галактик мень-
меньше — порядка 10~24 г/см3. Значит, после рекомбинации продолжа-
продолжается расширение отдельных вихрей, прежде чем произойдет
образование галактик. Если расширение происходит подобно, то
условие вмороженности — сохранения потока магнитного поля —
приведет к дальнейшему уменьшению^ еще на два порядка — до
2-Ю-18 гс.
Мишустин и Рузмайкин A971) рассматривают случай возник-
возникновения вращения в стадии, когда плотность фотонов уже мала.
В первом приближении протоны и электроны вращаются с одинако-
одинаковой скоростью, однако электроны тормозятся вследствие трения о
фотонный газ. Условие, из которого определяется магнитное поле,
заключается в том, что индуктивная э. д. с. компенсирует трение
электронов:
mef = -|^-^ = O. A4.7.6)
Здесь ет=4-10~13(l+zL эрг/см3 — плотность энергии излучения,
ст — томсоновское сечение электрона. Уравнение индукции имеет
тот же вид, что и раньше. За время порядка космологического,
не учитывая изменения радиуса газового облака, набирается маг-
магнитное поле порядка
( 4> A4.7.7)
^f = 4A + zI£i£>
'об в
где /коСМ — сегодняшнее космологическое время A010 лет), to6 —
время одного оборота облака (для нашей Галактики ^=2-108 лет),
evo = 4-10~13 эрг/см3. Подставляя l+z=5 и /о6=2-108 лет, получим
Ж = Ю-23 гс.

j 7] МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ГАЛАКТИК 423
Любопытно, что оба изложенных механизма дают величину, не за-
зависящую от плотности носителей тока.
Однако первичное поле оказывается весьма малым по сравнению
с наблюдаемым в Галактике (~10~в гс). То же утверждение отно-
относится и к другим, не рассмотренным здесь механизмам генерации
магнитного поля, например к комбинации термоэлектродвижу-
термоэлектродвижущих сил, конвекции и вращения [Бирман A950), Шлютер, Бирман
A950) и др.1.
Итак, удовлетворительное решение невозможно без динамо-
эффекта, который дал бы экспоненциальное нарастание поля с
течением времени. Простые движения газа с вмороженным магнит-
магнитным полем способны усиливать поле, но это усиление либо связано
с уменьшением масштаба поля (при хаотическом движении), либо
дает эффект, лишь линейный по времени, что недостаточно для за-
заметного роста поля. Для примера рассмотрим диск с начальным
радиальным полем (за исключением центральной области), силовые
линии поля замыкаются сверху и снизу по вакууму; в целом поле
квадрупольное. При вращении с угловой скоростью, зависящей
от радиуса *), со=со(Я), силовые линии вытягиваются. Появляется
ф-компонента поля
-R%SVR. A4.7.8)
Однако Mr остается постоянным, поэтому S%4 растет только ли-
линейно, что явно недостаточно для заметного усиления начального
поля за космологическое время.
Для осесимметричного и плоского движения были доказаны
точные теоремы о невозможности динамо. В трехмерном случае
долгое время были известны лишь такие решения, в которых на-
нарастание поля было экспоненциальным, но с характерным време-
временем, соответствующим времени нарушения вмороженности, т. е.
пропорциональным проводимости («медленное динамо»). Для раз-
разреженной плазмы и космологических масштабов это время недопу-
недопустимо велико. Казалось бы, есть общий закон, запрещающий быст-
быстрое нарастание. Однако в середине 60-х годов был дан простой при-
пример «быстрого динамо». Представим себе тор сечения S, радиуса
R, заполненный полем Жь- Растянем тор, сохраняя его объем, до
радиуса 2R; сечение уменьшится до 5/2, поле из условия сохране-
сохранения момента будет иметь величину 2Жй- Перегнем тор в виде вось-
восьмерки, а затем сложим два кольца восьмерки в один тор. Мы полу-
получим снова тор с радиусом R и сечением S, но с магнитным полем
2$?о — магнитный поток удвоился. Если раньше силовые линии
могли быть замкнутыми кругами, то теперь силовые линии возвра-
возвращаются в исходную точку лишь после двух оборотов. Однако эти
*) Вращение — дифференциальное, не твердотельное.

424 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. U
«тонкие» свойства поля несущественны. Предлагаемая операция
удваивает магнитный поток при каждом цикле движений, и такие
циклы можно проводить неограниченное число раз. При постоянном
темпе — один цикл за время Т — получим нарастание по экспо-
J_ I In a
ненте 2 г = е т
Движение, однако, существенно не плоское, в нем обязательно
присутствует винтовой поворот, превращающий тор в восьмерку.
В работах Штеенбека A963), Штеенбека, Краузе и Рейдлера A966)
построена теория хаотического винтового движения (зеркально
неинвариантной турбулентности) с (и rot ttJ^a^O и показано, что
для магнитного поля получается уравнение
(мы выписываем только главный член), имеющее экспоненциально
возрастающие решения. Авторы рассматривали случай малой про-
проводимости. Позже Вайнштейн A971) показал, что такой тип движе-
движения дает экспоненциальное нарастание и в случае большой прово-
проводимости. Возможно и комбинированное решение: дифференциаль-
дифференциальное вращение создает Ж^ из Жк (как описано выше), турбулент-
турбулентность с а=7*=0 создает Ж% из Ж^.
= const -аЖ9.
Такая система двух уравнений (для Жу и Ж^ уже имеет экспо-
экспоненциальные решения [Фитримэнн, Фриш A969), Е. Паркер A971),
Вайнштейн, Рузмайкин A971)].
Несомненной верхней границей скорости нарастания поля яв-
является закон еш', где со— угловая скорость. При ю=— = 3 • 108 лет'1
и <«Л010 лет такой закон дал бы возрастание в es°0=1070 раз, что
более чем достаточно. Более реалистические оценки сделать труд-
труднее. Необходимо возрастание в 1010—1020 раз, т. е. в 3—7 раз более
медленное.
Как и во многих других разделах космологии, придется конста-
констатировать, что нет сколько-нибудь надежной теории, но нет и тупика,
т. е. нет четкого отрицательного ответа, который требовал бы
введения сильного первичного космологического поля. Подробный
обзор современного состояния теории динамо-эффекта см. Вайнш-
Вайнштейн и Зельдович A972).
В качестве «резервного» варианта выдвигалось предположение
о том, что магнитное поле создается динамо-механизмом в более
плотных областях, где больше скорость вращения и меньше харак-
характерное время, а затем это поле вместе с выброшенным газом расте-

j 8] ТЕОРИЯ ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 425
кается по всей Галактике. Плотными областями могут быть звезды
или ядро галактики [Хойл A969), Бисноватый-Коган, Вайн-
штейн A971), Бисноватый-Коган, Рузмайкин. Сюняев A973)]. Вы-
Выброшенные поля также могут служить эффективной «затравкой»
для действия динамо-эффекта.
§ 8. Теория энтропийных возмущений
В теории горячей Вселенной существует особый тип возмуще-
возмущений, которые в принципе могут привести к выделению отдельных,
обособленных, гравитационно связанных тел на современной ста-
стадии, при полном отсутствии возмущений метрики, плотности, ско-
скорости на ранней стадии и, в частности, вблизи сингулярности. Об-
Общая характеристика этих так называемых энтропийных возмуще-
возмущений была дана в § 4 гл. 10 и § 6 гл. 11. Напомним основной вывод:
энтропийные возмущения с длиной волны, соответствующей массе
M>10Mq, остаются практически постоянными вплоть до момента
рекомбинации. После рекомбинации в нейтральном водороде энт-
энтропийные возмущения превращаются в возмущения плотности и
далее в растущие потенциальные возмущения при М>Млк~5х
X 10* Mq и в затухающие звуковые волны при М<5-10* Q-'^M©.
Здесь будет рассмотрена возможная роль" энтропийных возмущений
в образовании современной структуры Вселенной.
Можно сделать крайнее предположение, что вначале, вблизи
сингулярности, имели место одни только энтропийные возмущения.
На первый взгляд такая гипотеза приводит к следствиям, не
отличающимся от гипотезы адиабатических возмущений. Нужно
только так подобрать спектры энтропийных возмущений и адиаба-
адиабатических возмущений (на РД-стадии), чтобы они дали одинаковый
спектр растущих потенциальных возмущений на поздней стадии,
после рекомбинации.
Однако объективно существующее глубокое различие двух
гипотез, двух типов возмущений (энтропийных и адиабатических)
здесь скрыто за допущением подбора начального спектра. Сущест-
Существует понятие «естественного» начального спектра. Это понятие не-
несколько расплывчато — и не удивительно, так как нет фундамен-
фундаментальной теории начальных возмущений.
Определение «естественного» спектра сегодня скорее негативно:
в естественном начальном спектре не должно быть особенностей
(дельта-функций, разрывов, изломов, максимумов или минимумов)
в момент t0, достаточно близкий к сингулярности, когда все инте-
интересующие нас длины волн гораздо больше горизонта d0.
«Естественным» можно считать появление особенностей в ре-
результате тех или иных физических процессов на более поздних
стадиях при определенных длинах волн. Примером таких длин волн
является горизонт на момент рекомбинации. Масса вещества в шаре

426 ТЕОРИЯ ОВРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК 1ГЛ. 14
с таким радиусом М~1018—101В Mq. Другой пример — длина
волны затухания адиабатических возмущений на тот же момент,
она охватывает массу порядка 10" Mq. Наконец, третий пример —
джинсовская длина волны неустойчивости для нейтрального водо-
водорода охватывает массу порядка 105 Mq.
Совпадение особенностей первичного спектра с характерными
длинами, появляющимися (проявляющимися) на более поздней
стадии, было бы случайностью, представляется искусственным, а
поэтому противоречит понятию естественного первичного спектра.
Поэтому для адиабатических возмущений естественным считался
спектр, не имеющий изломов при М>101а Mq, после рекомбинации
в таком спектре появляются особенности, например максимум в
окрестности 1013 Mq, связанный с затуханием адиабатических
колебаний на предыдущем этапе. Для рассматриваемых здесь энтро-
энтропийных возмущений естественным является спектр, не имеющий
изломов при М > ■ ■ ..-' Mq. После рекомбинации единственной осо-
особенностью спектра растущих возмущений оказывается максимум
около М~106 Mq. Этот максимум образуется вследствие того, что
скорость нерастания возмущений обращается в нуль на джинсовс-
кой длине волны нейтрального водорода.
Какова дальнейшая судьба возмущенного вещества?
Если начальная амплитуда возмущений достаточна, то они успе-
успевают возрасти до 6р/р~ 1 при г>\, т. е. возмущения станут больши-
большими раньше сегодняшнего дня.
Для нелинейной стадии характерна существенная роль давле-
давления газа. Напомним, что именно давление газа обусловило вели-
величину джинсовской массы. Поэтому для рассматриваемых возму-
возмущений давление радикально влияет и на нелинейную стадию; приб-
приближенная нелинейная теория, изложенная выше (§ 2 гл. 13), здесь
неприменима, «блинов» не будет!
Напомним картину эволюции однородной плазмы (гл. 8). При
z=1400, Г=4000°К происходит рекомбинация. Однако еще долгое
время, вплоть до z~200, Г~540°К, сохраняется тепловой контакт
между излучением и материей; при этом Тяещ = Ттл=(\-\-г)-2,Т.
До тех пор, пока Гвещ~A+2), джинсовская масса остается по-
постоянной. Если возмущения с М^МДЖ нарастают до?Р_~ 1 в этот
Р
период, то давление включается сразу и останавливает рост воз-
возмущений при рвещ, всего в несколько раз большей средней плотно-
плотности газа, т. е. порядка 102 атомов/см" для z=200, p~10~2!! г/см3.
Такие тела оказываются гравитационно связанными; в даль-
дальнейшем окружающий газ расширяется в соответствии с общим хаб-
бловским расширением, но гравитационно связанные тела сжима-
сжимаются по мере их охлаждения. В условиях, когда уже небольшое
сжатие приводит к увеличению давления (благодаря адиабатичес-

g 8] ТЕОРИЯ ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 427
кому закону роста давления, р~р"/> для одноатомного газа), оста-
останавливающему сжатие, можно ожидать образования сферических
плотных облаков — может быть, с небольшой сплющенностью,
если тело приобрело вращательный момент *).
Какова дальнейшая судьба таких облаков, какова их роль в
формировании общей структуры?
В работе Дорошкевича, Зельдовича и Новикова A967а) была
сделана попытка получить всю структуру Вселенной как следствие
описанного выше типа возмущений. Была выдвинута гипотеза, что
плотные облака превратятся в сверхзвезды и быстро, может быть
со взрывом, выделят ядерную энергию.
Ядерная энергия сгорания водорода в гелий — около 7 Мэв
на протон — в 106 раз больше энергии ионизации и нагрева во-
водорода до lO^K.. Следовательно, сверхзвезда может прогреть и
«возмутить» массу газа, во много — например, в 10* раз — большую
массы самой сверхзвезды. Достаточно того, чтобы «на хвосте гаус-
совского распределения» доля 10"* всего вещества превратилась в
сверхзвезды и сгорела, как остальное вещество радикально изме-
изменяет свои свойства. Дальнейшие процессы пойдут уже под ре-
решающим влиянием нагрева и возмущений от первых сверхзвезд.
Авторы надеялись эскалацией масштабов дойти до характерного
размера скоплений галактик — порядка 10" Mq. О взрывах
сверхзвезд см. Бисноватый-Коган A968), Фрике A973).
Другая гипотеза высказана Дикке и Пиблсом A968); см. также
Пиблс A9676). Они предполагают, что энтропийные возмущения
ответственны за рождение так называемых шаровых скоплений.
Шаровые скопления состоят из 106—106 звезд, близких по свети-
светимости и массе к Солнцу, так что масса шарового скопления также
порядка 106—106 М©. Они отличаются большой плотностью: раз-
размер их порядка 50 пс и средняя плотность ~10~22 г/см3. Отмечается
стабильность плотности: плотность различных шаровых скоплений
(даже принадлежащих к различным галактикам) приблизительно
одинакова.
Значительная часть шаровых скоплений выделяется также ма-
малым содержанием элементов тяжелее гелия и металлов, о чем судят
по спектрам звезд, входящих в состав этих скоплений.
Наконец, в нашей Галактике (и других галактиках) шаровые
скопления принадлежат сферической составляющей: среднее удале-
удаление их от плоскости симметрии Галактики составляет 5000 пс, тог-
тогда как молодые открытые скопления имеют среднее удаление 120 пс.
Все перечисленные особенности говорят о том, что шаровые скоп-
скопления, вероятно, являются древнейшими составными частями Га-
Галактики. Обзор см., например, сборник Холопов (редактор) A962).
*) Впрочем, давление, стремясь придать телу сферическую форму, одновре-
одновременно уменьшает и набор момента.

428 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ 14
Гипотеза Дикке и Пиблса сразу объяснила (по порядку величины)
характерную массу шаровых скоплений *). Развивая этот успех,
авторы пришли к выводу, что значительная доля вещества (около
половины) может разбиться на гравитационно связанные тела с
массами порядка 106—106 М©. Часть этих тел превращается в ша-
шаровые скопления, т. е. разбивается на звезды, остающиеся гравита-
гравитационно связанными между собой, но большая часть путем столкно-
столкновений и приливных взаимодействий рассеивается. В нашей Галак-
Галактике шаровые скопления составляют около 0,1% полной массы.
Недавно судьбу сферического облака газа исследовала Руз-
майкина A972). Ситуация оказалась сложной, зависящей от боль-
большого числа процессов — образования молекул Н, и их излучения
и т. п. В возможном разбиении газового облака с массой 10Б—10е Мо
на звезды существенную роль играет тепловая неустойчивость. На-
Наряду с превращением облака в шаровые скопления или взрываю-
взрывающуюся сверхзТзезду, автор отмечает возможность прямого коллапса
с возникновением «черной дыры».
В гипотезе Дорошкевича, Зельдовича и Новикова A967а) сде-
сделана попытка увязать раннее образование сверхзвезд с разбиением
вещества на более крупные единицы. В гипотезе Дикке и Пиблса
молчаливо предполагается, что эти два процесса между собой не
связаны. Какие-то (адиабатические) возмущения имеют большой
масштаб и создают скопления галактик и галактики. В первом при-
приближении безразлично, действуют ли эти возмущения на газ из
отдельных атомов или на газ, «атомами» которого являются облака
с массой около 106 Mq каждое.
Однако в действительности детальная картина изменяется су-
существенно.
В отсутствие энтропийных возмущений газ даст структуру, по-
подробно описанную в § 2 этой главы. Если же газ распался на обла-
облака, то эти облака могут «проскакивать» одно мимо другого, и плот-
плотный холодный слой не образуется. Подробно теория с двумя видами
начальных возмущений до настоящего времени не разрабатывалась.
В принципе можно задаться пологим спектром одних только
энтропийных возмущений и подобрать показатель так, чтобы в
масштабе порядка 10е Mq обособление произошло, например, при
z«100, но в большем масштабе — например 1013 или 1014 Mq—
возмущения стали бы порядка единицы при г=3. Трудности такой
концепции возникают при экстраполяции пологого спектра в об-
*) Как было отмечено выше, джинсовская масса нейтрального водорода
■а 5-104 Q"';'MqB период, когда температура водорода равна температуре
■ия. Масса, в которой возмущения наиболее сильны при данном г< 1400,
больше джинсовской: конкретное число зависит от показателя спектра,
-чтолнительные множители появляются при переходе от спектра возму-
* отдельных тел.

$ 9] ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ 429
ластЬ еще более длинных волн. Эта сторона дела обсуждается в
следующей главе в связи с наблюдениями реликтового излучения.
Выше рассматривались следствия возможной большой амплитуды
энтропийных возмущений. Поставим вопрос о том, возможна ли
теория без заметной роли энтропийных возмущений. Ясно, что ша-
шаровые скопления при этом придется объяснять как-то иначе.
Другая сторона дела заключается в том, что адиабатические
возмущения на ранней РД-стадии обязаны были создавать энтропий-
энтропийные возмущения.
Методами § 3 гл. 13 можно показать, что есть два механизма воз-
возникновения энтропийных возмущений—диссипация энергии,— «
« — ( —Г , и ударные волны — «const-( — )
(Ot \s \ Р /адиаб J r р |энтр \ Р /адиаб
Для длин волн, ответственных за образование скоплений галак-
галактик с Af«1013Mqh с соответствующей амплитудой -£■ ~ 10~8,
Р 1адиаб
6р
оба механизма дают ничтожное —
Таким образом, отвег
8НТр
целиком определяется тем, как спектр из начальных адиабатических
возмущений экстраполируется в области малых масс. Поэтому те-
теория с пренебрежимыми энтропийными флуктуациями вполне
возможна, не противоречит общим принципам.
§ 9. Вихревая теория
Вихревая теория исходит из предположения, что на ранней
РД-стадии плазма находится в состоянии турбулентного движения.
В качественной форме вихревая теория предлагалась Гамовым A952,
1954), Вейцзеккером A951) и др.
В последнее время, с учетом современных данных о горячей
Вселенной, вихревую теорию подробно развивают Озерной, Чернин
A967, 1968), Оорт A970), Сато, Матсуда, Такеда A970), Сато A971),
Томита и др. A971); ссылки на другие работы см. на стр. 432.
Важнейшим успехом вихревой теории является простое объясне-
объяснение вращательного движения галактик.
Изложив основные положения вихревой теории, мы остановимся
и на некоторых ее трудностях, отмеченных, в частности, Пиблсом
A9716, 1973в).
Итак, в современной вихревой теории предполагается, что перед
рекомбинацией в плазме имеет место турбулентное движение. Пред-
Предполагается также, что движение является дозвуковым, u<ib3B.
Напомним, что скорость звука на ранней стадии равна b~0,58c, a
вблизи момента, рекомбинации—0,58c/Kl + 14Q , т. е. 0,15с
при Q=l. Дозвуковая турбулентность соответствует несжимаемо-
несжимаемому движению жидкости, отдельные объемы жидкости обтекают друг
Друга; перепады давления порядка ры2 и достаточны для того, чтобы

430 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
менять скорость и направление течения. Но при таких перепадах
давления не возникает заметных перепадов плотности:
Картина резко изменяется в момент рекомбинации. После рекомби-
рекомбинации фотоны и нейтральный водород движутся независимо. Длина
пробега фотонов становится очень большой. Фотоны из разных объе-
объемов, двигавшихся друг относительно друга, перемешиваются. Ней-
Нейтральный водород сразу после рекомбинации наследует от предыду-
предыдущего этапа распределение скоростей. Скорость звука в нейтральном
водороде при температуре около 4000 °К мала, Ьзвж0,7Ь- 10е см/сек.
Скорость движения газа после рекомбинации во много раз боль-
больше скорости звука, турбулентность становится сверхзвуковой. Дру-
Другими словами, давление нейтрального водорода мало — оно меньше
давления РД-плазмы как раз в отношении плотности фотонов к
плотности барионов, т. е. ~ в 108 раз. Влиянием давления нейтраль-
нейтрального водорода на движение газа после рекомбинации можно пре-
пренебречь. Дальнейшее движение происходит по инерции и под дей-
действием сил тяготения. Гидродинамика в предельном случае нуле-
нулевого давления не отличается от закона движения совокупности не
связанных между собой материальных точек. Говоря иначе, нью-
ньютоновские уравнения движения частиц представляют собой урав-
уравнения характеристик системы гидродинамических уравнений в ча-
частных производных [при Р=0; см. Зельдович, Мышкис A973)].
В первый момент после рекомбинации движение остается не-
несжимаемым. В однородном (с постоянной плотностью) веществе с
Р=0 пекулярная (случайная) скорость каждой частицы затухает
на фоне космологического расширения: u~ar1~/~1/'~(z+l), где
а — общий масштаб Вселенной.
Для интересующего нас процесса образования обособленных тел
решающую роль играет тот факт, что движение не остается несжи-
несжимаемым. В начальный момент свободного движения t=tveK (момент
рекомбинации), div«=0, а значит, -& = -^ = ^*)- Однако
-s div ифО, поэтому уже вторая производная, jp^O, зависит
от координат. Поэтому с течением времени возникает неоднородность
распределения плотности; вначале эта неоднородность возрастает
•) При этом мы отвлекаемся от общего космологического расширения. Точ-
Точнее, div u=3H=2t~l,-Jjj-= j- , но это расширение однородно, поэтому, вводя
бр=р—р (усреднение по пространству), получим уже точно: —зт"=О ПРИ t==tv*K'

I 9] i ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ 431
пропорционально (t—t^J*. Из соображений размерности ясно, что
в этом периоде
В этом смысле эффект нелинейный — входит квадрат скорости
возмущения. Для дальнейшего существенно, что в ходе расширения
масштаб увеличивается, скорость убывает; поэтому рост флуктуа-
флуктуации плотности замедляется, не продолжается неограниченно, как
(/—/рекJ- В приложении к этому параграфу будет подробнее рассмо-
рассмотрена формальная сторона дела. Здесь мы ограничимся качествен-
качественной картиной.
Возможны два предельных случая:
1) Слабая турбулентность; флуктуации плотности останавли-
останавливаются на -£-<^ 1 (для этого нужно —j"—<1). Другими слова-
словами, сама турбулентность оказывается недостаточной для того, что-
чтобы произошло обособление галактик, их скоплений и т. п. В дей-
действительности флуктуации плотности, даже малые, порождают и
соответствующее поле тяготения, иными словами, эти флуктуации
являются начальными для дальнейшего роста потенциальных воз-
возмущений за счет гравитационной неустойчивости. Таким образом,
этот предельный случай переходит на рельсы адиабатических воз-
возмущений. Отличие заключается в том, что начальное поле скоростей
содержит вихревые составляющие. Циркуляция скорости постоян-
постоянна, она не исчезает, но потенциальные скорости нарастают с те-
течением времени, как f '•, между тем вихревая компонента скорости
при расширении уменьшается обратно пропорционально масштабу,
т. е. как <-*/•. Поэтому вихревая скорость оказывается относительно
малой. Теория слабой турбулентности лишена той главной привле-
привлекательной черты, ради которой вводится турбулентность. Эта те-
теория не объясняет наблюдаемого вращения [Пиблс A9716)].
2) Рассмотрим теперь случай сильной турбулентности. Только
теория сильной турбулентности может претендовать на роль вихре-
вихревой теории образования галактик. В этой теории рек ^ 1; это
1 3
условие можно наглядно сформулировать так: -— = -=- HveK, где//век
'рек ^
есть параметр Хаббла в момент рекомбинации. Произведение /#рек
есть хаббловская скорость в масштабе /. Значит, условие сильной
турбулентности заключается в том, что (в данном масштабе /) тур-
турбулентные скорости больше хаббловских.
В самом грубом приближении можно пренебречь расширением
и связанным с ним затуханием турбулентной скорости. После ре-
рекомбинации частицы движутся по инерции. С течением времени
траектории соседних частиц пересекаются и возникают слои

432 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
бесконечной плотности. По существу, повторяется ситуация g «бли-
«блинами» (§2 гл. 8). Качественное отличие заключается в том, что дви-
движение является вихревым. Возможно твердотельное вращение
«блина» как целого, а также и скольжение одних слоев «блина» от-
относительно других. Количественное отличие вихревой теории от
теории адиабатических возмущений заключается в том, что пред-
предсказывается раннее образование «блинов», при z>100 (под лозун-
лозунгом «теперь или никогда»). При таком раннем образовании «бли-
«блинов» плотность их велика; средняя плотность при г=100 равна
10~23 Q г/см3, т. е. не меньше lO~2i г/см3.
Плотность вещества, сжатого в «блины», очевидно, еще во много
раз больше. Далее, при большом z и большой плотности излучения
и вещества должна быть сильной теплоотдача газа, сжатого и на-
нагретого ударной волной. К излучению энергии тормозным механиз-
механизмом (при столкновении электронов с ядрами) добавляется отдача
энергии электронами при комптоновском рассеянии, поскольку вели-
велика плотность излучения. При z= 100, еизл=4- 10~13z4=4-10~6 эрг/см3
время потери энергии электроном равно с~^ = 5-1011 сек—
в 600 раз меньше космологического времени £~3-1014 сек.
Быстрое охлаждение означает, что образовавшиеся сгущения
потеряют свою тепловую энергию и останутся плоскими и плотными.
Большая плотность обособленных тел является главной и харак-
характерной особенностью — а может быть, и трудностью — вихревой те-
теории [см., в частности, Пиблс A9716)].
В ряде работ Озерного и Чернина A967, 1968), Озерного
A971), Озерного и Чибисова A970), Чернина A971, 1972), Курс-
кова и Озерного A974а, б, в), Томиты A973) вихревая теория
развивается весьма подробно. Авторы считают оптимальным выбор
характерной скорости около 0,05—0,2с. Задание одного численного
параметра вместе с несколькими качественными принципами, по
утверждению авторов, практически определяет остальные парамет-
параметры (см. по этому поводу § 10 этой главы).
Потребуем вслед за авторами, чтобы указанная характерная
скорость имела место как раз в масштабе L=utvac в момент реком-
рекомбинации или, точнее, в момент равенства плотности материи и плот-
плотности излучения грав=2-104 &.
В масштабах R~>L вихревые скорости будем считать меньшими;
в этих больших масштабах начальные скорости не успели изме-
измениться, возможны в принципе любые предположения. В частности,
наиболее экономное предположение есть предположение о падающем
спектре скорости.
В масштабах R<.L спектр должен быть колмогоровским [см.
Колмогоров A941)]. В таком спектре 'Ц^= (■§-У7'*). Такая форма
U(L> \ L I
*) Здесь u(R) есть разность скоростей на расстоянии /?,

j g] ) ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ 433
спектрй, как известно, следует из того, что крупномасштабное дви-
движение аатухает вследствие турбулентной вязкости. При этом энер-
энергия крупномасштабного (L) движения не прямо переходит в тепло,
а сперва, превращается в энергию движения меньшего масштаба, т. е.
имеет место поток энергии по шкале масштабов. Турбулентная вяз-
вязкость по порядку величины равна vTyp6=flu (R), скорость диссипа-
диссипации энергии
Из условия, чтобы q не зависело от R (вся диссипированная энергия
проходит через все масштабы), и следует закон и (R)~RX/; приве-
приведенный выше. Минимальный масштаб Ro, до которого справедлив
закон, определяется вмешательством истинной (не турбулентной,
фотонной в данном случае) вязкости.
Отсюда получится R0*=L [Re (L)]~'fi*). Таким образом, оказы-
оказывается известным весь спектр турбулентного движения. •
Рассмотрим сначала очень упрощенный случай: предположим,
что до рекомбинации выполняется условие РД (т. е. ризл>Рвещ)
и рекомбинация происходит мгновенно.
Эти упрощения нужны для того, чтобы процесс обособления в
нейтральном водороде начался с колмогоровСким спектром вихре-
вихревых скоростей в интервале от «несущего энергию» максимального
масштаба L до масштаба затухания Ro-
Энергонесущий (наибольший) масштаб L имеет пекулярную,
вихревую скорость движения, как раз равную хаббловской в данном
масштабе, uL=HL. Это значит, что время возникновения контраста
плотности — ~ 1 как раз порядка космологического времени.
В меньших масштабах в колмогоровском спектре характерное
емя т меньше. В самом деле, т
G учетом x=t для R=L получим
р
время т меньше. В самом деле, т ~ — , но u~R4\ значит, t~R"'>.
•
Значит, в наименьшем масштабе RB сильное сжатие, ударные волны
и охлаждение сжатого вещества происходят весьма быстро, за вре-
время, существенно меньшее космологического.
Остаются ли возникающие «микроблины» гравитационно свя-
связанными? Превращаются ли они за столь же малое время в звезды?
Или движение по другим осям (и, в частности, вращение) вызывает
_ *) Это RB меньше, чем силковский масштаб i?c=Z.[Re(Z.)]~ '•, соответствую-
соответствующий затуханию за космологическое время t. Турбулентная подкачка энергии
связана сменьшим временем. Здесь Re есть число Рейнольдса. Рассматриваем Re
Для разных масштабов, Re(R)—u(R)R\-\ В формулу, приведенную в тексте,
входит Re для максимального масштаба &,

434 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК (ГЛ. U
диспергирование, рассеяние этих сравнительно малых по массе,
но плотных образований? В настоящее время на эти вопросы нет
ясных ответов. Важно подчеркнуть, что движение в большом мас-
масштабе — вплоть до энергонесущего — продолжается своим чередом,
независимо от судьбы малых образований.
С течением времени достигается условие 6р/р~ 1 в больших мас-
масштабах. Если к этому моменту процессы в меньших масштабах
оставили вещество в газовом состоянии, то столкновения газо-
газовых масс и высвечивание кинетической энергии столкновений
будут продолжаться. В этом случае скопления галактик (соответ-
(соответствующие максимальному масштабу) также окажутся весьма плот-
плотными, в соответствии с тем, что они образуются при z»100, да еще
с потерей энергии.
Меньшей плотности скоплений можно ожидать, если в малом
масштабе успевают образоваться галактики и звезды. Динамика
скопления, т. е. динамика большого масштаба, есть в этом случае
динамика бесстолкновительного газа, молекулами которого яв-
являются малые образования — галактики. Именно возможность пе-
пересечения траекторий без слипания частиц приводит к тому, что
энергия хаотического движения частиц не исчезает и, в согласии с
теоремой вириала, хаотическое движение ограничивает среднюю
плотность скопления. Таким образом, вихревая теория в этом ва-
варианте приводит к картине образования наибольших структурных
единиц — скоплений, сверхскоплений — путем «скучивания» мень-
меньших образований.
В другом варианте в малых масштабах вещество остается газо-
газообразным и гравитационно не связанным. Рыхлые облака газа
занимают большую долю объема, они сталкиваются между собой,
высвечивая кинетическую энергию относительного движения.
В действительности хаотическое относительное движение в ма-
малом масштабе, которое затухает при пересечении траекторий, не
является источником упругости, такое движение не останавли-
останавливает крупномасштабное сжатие. В этом варианте возникают круп-
крупномасштабные гравитационные образования большой плотности.
Озерной, Чибисов A970) уточняют вихревую теорию, учитывая,
что 1) при Q>0,07 (для #=75 км/сек-Мпс) равенство плотностей
вещества и излучения, ризл=Рвещ. достигается задолго до реком-
рекомбинации, zp3B=2-104 Q, тогда как zpeK=1400; 2) немгновенность
рекомбинации вызывает дополнительное затухание. В периоде
zP3b>z>2:p-k. ^Рав<^<^рек происходит уменьшение всех скоростей,
пропорциональное уменьшению z. Напомним, что в РД-периоде
ПРИ Ризл>Рвещ скорости крупномасштабных движений, в которых
не сказывается вязкость (ни фотонная, ни турбулентная), остаются
постоянными.
Скорости дополнительно уменьшаются во время затянутой ре-
рекомбинации. Существенно, что в ходе изменения доли свободных

ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ 435
электрЬнов от 1 до 10~4 от полного их числа прозрачность меняется
в Ю4 ррз. Для каждой длины волны возмущения есть такой момент
и такой уровень ионизации, при которых данное возмущение зату-
затухает наиболее быстро. Чибисов A9726) получил выражение для
затухания малых вихревых возмущений: "после =е-[М/м.) ',
М*= ЮиМ©. Авторы вихревой теории утверждают, что учет всех
этих факторов позволяет улучшить согласие выводов вихревой тео-
теории с наблюдениями.
Авторы вихревой теории отмечают, что теория а) дает разумное
соотношение между количеством вещества в быстровращающихся
(в том числе спиральных) и слабо- или невращающихся (эллипти-
(эллиптических) галактиках; б) дает разумную величину средней плотно-
плотности галактик и их момента вращения и в) дает разумное распре-
распределение скоплений галактик по массам и плотностям.
При сравнении теории с наблюдениями надо иметь в виду сле-
следующее. Как показали Дорошкевич и Шандарин A974), переход
от фурье-спектра возмущений к распределению по массам отнюдь
не прямолинеен, связан с большой дисперсией и большими безраз-
безразмерными множителями. Результаты зависят не только от одного
параметра — скорости движения в энергонесущем масштабе, но и
от характера исходного спектра в больших масштабах. Однако пред-
представляется, что трудная задача конкретизации теории с целью
решения еще более сложной проблемы — сравнения ее с прямыми
наблюдениями галактик и скоплений — не является единственным
(и, может быть, не является главным) путем проверки правильности
теории. Необходимо привлечь наблюдения и теоретические сообра-
соображения другого типа — искажения реликтового излучения и реля-
релятивистскую теорию космологической сингулярности. Об этом речь
пойдет в следующем параграфе и в следующей главе.
ПРИЛОЖЕНИЕ К § 9
Рассмотрим нелинейную стадию эволюции вихревых возмущений, которая
наступает после момента рекомбинации. Вихревое движение после этого
момента происходит со сверхзвуковой скоростью, поэтому до возникновения
ударных волн можно пренебречь давлением вещества. Пренебрегаем также
и гравитационными полями, связанными с возмущениями плотности. Послед-
Последнее отличает данную задачу от рассмотренной в §2 гл. 13, задачи о нелинейной
стадии адиабатических возмущений. Аналогично методу § 2 гл. 13, разложим
Движение среды на хаббловское расширение и пекулярное движение. Запи-
Запишем вектор г положения каждой частицы в эйлеровой системе координат
в виде
*—лагранжева координата, второй член описывает пекулярное смещение.
Наша задача заключается в нахождении функции f (t). Абсолютная скорость
частицы в ньютоновской картине есть г =-тт (s = const). Пекулярная скорость

436 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
есть разность между абсолютной скоростью и хаббловской скоростью невоз-
невозмущенной среды в той же точке пространства: J
>. A4.9.П.2)
Как известно (см. § 1 гл. 3), пекулярная скорость убывает обратно пропор-
пропорционально масштабу, т. е. как t~ '*. Относя численный множитель к функ-
функции tf получим
/—§■-£-=/-■/.. A4.9.П.З)
Определим лагранжеву координату s как положение точки в момент начала
свободного движения, т. е. в момент рекомбинации <рек:
% /Срек) = 0. A4.9.П.4)
С этим начальным условием получим решение уравнения A4.9.п.З):
/=<'/..3 (<ре1к/"-<~1/а). A4.9.П.5)
Перемещение частицы в сопутствующем пространстве дается функцией ф (не
смешивать ф с потенциалом!):
Как видно из формулы, ф ~ (t—/рек) вблизи начального момента <рек и
ф=3<р~е1(' = const асимптотически при t—>-оо. Этот результат существенно
отличается от результата § 2 гл. 13 ф ^ <1/" —>• оо при t —>• оо для растущих
адиабатических возмущений, усиливаемых своим гравитационным полем.
Зная смещения частиц, вычисляем плотность вещества:
р m ' ■ '"" '" *'" ' 1I'dsft" A4.9.П.7)
В вихревой теории функция tf (s) отнюдь не должна быть потенциальной,
как это было для адиабатических возмущений; тензор ^-^ несимметричен
в вихревой теории, его антисимметричная часть соответствует вращению.
Рациональным выбором осей координат, постоянным для данной частицы,
можно привести тензор -Д^ к виду
ask
am fi II
A4.9.П.8)
Величина со характеризует вращение вокруг оси г (третьей оси). Учтен тот
факт, что начальное движение (еще на стадии до рекомбинации) есть движе-
движение несжимаемой среды, след тензора Sp з-^'= а^'=0- Невихревая (гим-
OSfr OS{
метричная) часть тензора характеризуется также недиагональными бив.
Условившись, что ось г направлена по оси вращения, мы оставили одну
лишь степень свободы—поворот координат вокруг оси г—и использовали
a
— со
е
со
р
е
6
в
-(а+Р)

Ю1 \ СРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ТЕОРИЙ 437
ее чтобы, исключить симметричную часть —^ и ^. Величины а, р, б, е, со
зависят от s, так же как и ориентация осей нашей системы координат.
В принятых обозначениях получим, расписывая A4.9.п.7):
£(£)={1_ф2 [а2+
р
—ф8[сф(а— Р) + б2Р + е2а+(о2(а+Р)]}-х. A4.9.П.9)
Как и следовало ожидать, при малых ф разложение -Jr-=-§—1 начинается
Р Р
с ф2^(<—<реКJ1 поскольку учтено, что в начальный момент движение
(унаследованное от дорекомбинационного) несжимаемое, -^-=0 при < = <рек.
При данных компонентах тензора движение может привести к образова-
образованию ударной волны при обращении в нуль величины, заключенной в фигур-
фигурные скобки. В отличие от потенциального случая (§ 3 гл. 13), эта величина
никогда не имеет всех трех положительных корней для ф. Однако один по-
положительный корень вполне возможен и при и ф 0. Не всякий положитель-
положительный корень для ф реализуется как ударная волна и бесконечная плотность,
поскольку надо иметь в виду ограничение роста ф—>-const, t—>• оо.
В действительности, однако, когда рост <р (эффективно при г «-> 0,Згрек)
останавливается, возникшие возмущения плотности начинают гравитационно
влиять на решение. Наше пренебрежение гравитацией становится незакон-
незаконным, и возмущения плотности являются начальными возмущениями растущего
решения типа решения § 2 гл. 13.
Выражение для -=■ A4.9.П.9) заставляет предполагать, что между плот-
Р
ностью и вихрем скорости есть антикорреляция. В частности, в элементе
объема, в котором равны нулю все компоненты тензора, а = р = б = е = 0,
кроме со Ф 0, плотность монотонно убывает: —=A-}-ф2а>2)~1. В элементе
объема с со = 0 вначале, при ф<^1, плотность обязательно возрастет. Дейст-
Действительно, пренебрегаем ф3 по сравнению с ф2 в A4.9.П.9), а коэффициент
при ф2 в квадратных скобках положителен, так как a2-j-ccp+P2 > 0. В за-
заключение заметим, что подробно статистическая теория описываемой ситуа-
ситуации не разработана.
§ 10. Сравнение эволюционных теорий происхождения
галактик
В предыдущих параграфах мы познакомились с некоторыми
наблюдательными фактами и основными теоретическими утверж-
утверждениями, касающимися строения и происхождения галактик.
Эти теоретические утверждения в большинстве своем носят ха-
характер следствий, вытекающих из начальных условий. В настоящее
время фундаментальной теории выбора начальных условий не су-
существует. Но при этом существуют — и они изложены выше —
несколько теорий, каждая из которых может быть «правильна» в
узком смысле: следствия из принятых начальных условий получены
без ошибок. Нас же интересует то, что происходило во Вселенной

438 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. и
в действительности. В природе осуществляется, скорее всего,
какой-то один тип начальных условий, один тип эволюции или,
по крайней мере, один тип является наиболее важным, ведущим.
Маловероятно, чтобы два или более разных типа возмущений были
одинаково существенны.
В принципе ответ нужно искать, сопоставляя расчеты эволюции
с наблюдательными данными. Однако очень важно использовать
при этом не только данные, касающиеся масс, плотностей, враще-
вращения галактик и скоплений галактик, но и данные о реликтовом
излучении и о процессах вблизи сингулярности.
Теорию образования галактик нельзя строить, игнорируя или
недооценивая общие сведения об эволюции Вселенной, накопленные
к настоящему времени. В данном параграфе мы будем широко ис-
использовать данные первых двух разделов, а также те сведения о
галактиках, о реликтовом излучении и сингулярности, которые
излагаются позже, в следующем параграфе, в последних главах
раздела III и в разделах IV и V. Связанное с этим неудобство для
читателя искупается тем, что общее обсуждение образования га-
галактик не отрывается от изложения отдельных теорий в предыду-
предыдущих параграфах.
В настоящее время нет теории, которая была бы единодушно
признана. Нижеследующее изложение, несомненно, несет отпечаток
субъективности, поскольку мы отдаем предпочтение определенной
системе взглядов. Мы излагаем те причины и доводы, которые
обусловили это предпочтение.
При построение общей картины образования галактик первый
выбор, который можно сделать,— это выбор между конденсацией
разреженного газа и взрывом сверхплотного тела.
Последовательным сторонником второго направления является
Амбарцумян A960). Большой заслугой Амбарцумяна [см. так-
также Амбарцумян, Казютинский A973)] является указание на
активность ядер галактик и на сходство процессов в квазарах
и в ядрах галактик. Амбарцумян предположил, что галакти-
галактики целиком образуются из сверхплотных тел, остатками кото-
которых (сохранившими свою активность и энергию) являются ядра,
наблюдаемые в настоящее время. В рамках эволюционной космоло-
космологии представлялось возможным описать эти сверхплотные тела, на-
например, как вещество в сингулярном состоянии, задержавшееся в
своем расширении по сравнению с основной частью вещества [Но-
[Новиков A9646), Нееман A965)]. Такие задержавшиеся ядра получили
название «белые дыры» (отоны). Высказывались мнения, что, может
быть, не галактики, а только квазары описываются таким образом.
Каково современное отношение к такому направлению?
Идея образования галактик из изолированных сверхплотных
тел наталкивается на трудности, связанные с моментом вращения
галактик. Так, например, наша Галактика при массе ■~2-1011 M

} 10] \ СРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ТЕОРИЙ 439
имеет момент порядка 2-Ю'4 г-см2/сек, соответствующий окруж-
окружной скорости ~ 300 км/сек на радиусе около 5 кпс. Попробуем пред-
представить себе, что Галактика образовалась из начального сверх-
сверхплотного тела с радиусом, скажем, в 1 пс. Момент Галактики соот-
соответствует такой линейной скорости на экваторе такого тела, которая
превышает скорость света. Противоречие усилится, если предста-
представить, что тело целиком находится под своим гравитационным ради-
радиусом при массе и моменте Галактики: rg=0,0l пс для М=10иМо-
Применительно к квазарам это возражение недействительно:
момент квазаров неизвестен *). Однако в последнее время показано,
что вся идея взрывающихся «белых дыр» наталкивается на труд-
трудности [Зельдович, Новиков, Старобинский A974)]. Оказалось, что
квантовомеханический процесс рождения частиц вблизи сингуляр-
сингулярности неизбежно приводит либо к раннему взрыву «белой дыры»,
либо к тому, что она никогда не взрывается. Подчеркнем, что
изложенные критические замечания не касаются идеи современной
активности ядер галактик и квазаров, хотя и ограничивают предста-
представления о возможном источнике энергии, питающей эту активность.
Применительно к образованию галактик в настоящее время до-
доминирует точка зрения конденсации из более разреженного газа.
Если стать на эту точку зрения, то остается вопрос о выборе типа
космологической модели, т. е. о выборе между теориями происхож-
происхождения галактик, изложенными в предыдущем параграфе.
Начнем с поведения возмущений вблизи сингулярности. Адиа-
Адиабатические и энтропийные возмущения совместимы с малостью воз-
возмущений метрики, т. е. с квазиизотропным решением, которое вбли-
вблизи сингулярности не отличается по своим локальным свойствам от
строго однородного и изотропного решения. Следовательно, эти
концепции не изменяют известных результатов строго однородной
теории, касающихся нуклеосинтеза (§ 5 гл. 7): Не4 — 0,25—0,27;
D<10~4; He3<10~4, которые, по-видимому, подтверждаются наб-
наблюдениями.
Вихревая теория требует существенно неизотропной сингуляр-
сингулярности (§§ 4, 6 гл. 11); вихревые возмущения обязательно требуют
изменения закона расширения вблизи сингулярности, а это при-
приводит (§ 5 гл. 20) к начальному химическому составу, резко отлич-
отличному от приведенного выше и, вероятно, не согласующемуся с наб-
наблюдениями (либо больше 30% Не4, либо 2—3% D) **).
Но еще важнее следующее. Представим себе, что начало рас-
расширения действительно было не фридмановским, а каким-то другим
и только с течением времени решение приблизилось к фридмановс-
кому. Согласно вихревой теории, при приближении к фридмановс-
*) По-видимому, из самого факта компактности квазаров следует, что их
вращательный момент мал.
**) О возможности совместить фридмановское начало расширения с вих-
Ревыми движениями см. Чибисов A975).

440 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 1*
кому решению все отклонения от метрики Фридмана, кроме вихре-
вихревых, были резко подавленными. Спрашивается: почему в сингу-
сингулярности начальные условия были именно такими, чтобы в далеком
будущем привести к столь специфичной ситуации? Гораздо правдо-
правдоподобнее считать, что при приближении к фридмановскому реше-
решению все типы возмущений будут представлены одинаково (гипотеза
равнораспределения). Но тогда вихревые возмущения быстро за-
затухнут, а адиабатические будут нарастать (как мы видели в гл. 11),
и развитие пойдет по рельсам теории адиабатических возмущений.
Наконец, важно учитывать еще квантовые явления вблизи син-
сингулярности. Рождение частиц в анизотропной сингулярности в
простейшем случае приводит к изотропизации, переводит космоло-
космологическую модель на рельсы квазиизотропного решения (см. гл. 23).
Конкретно для космологических моделей с вихревым движением
вещества этот процесс еще предстоит исследовать. Весьма вероятно,
что с учетом квантовых явлений такие модели с вихрем исчезнут
вовсе, окажутся внутренне противоречивыми [Лукаш, Новиков,
Старобинский A975)].
Теперь встанем на точку зрения астронома, не считающего
убедительными доводы, относящиеся к периоду от сингулярности
до нуклеосинтеза включительно. Проанализируем более поздний
период, начинающийся по окончании аннигиляции электронов и по-
позитронов и продолжающийся вплоть до сегодняшнего момента, т. е.
103^rz<^0. Этот период включает эпоху РД-плазмы, рекомбинацию
гелия и водорода, рост возмущений в нейтральном газе, образование
галактик, квазаров и т. п. и вторичную ионизацию газа, не вошед-
вошедшего в состав гравитационно связанных объектов.
Начнем с сопоставления выводов теории и наблюдений релик-
реликтового излучения.
Отличительная особенность вихревой теории — это предполо-
предположение о большой амплитуде возмущений, о большой скорости вих-
вихревых движений, наложенных на общее хаббловское расширение.
Эта особенность возникает неизбежно: вихревое движение в первый
момент после рекомбинации не вызывает возмущения плотности.
В первом варианте теории предполагалось, что скорость вихре-
вихревого движения в момент рекомбинации порядка 0,1—0,4 скорости
света. Соответствующие флуктуации температуры реликтового
излучения, очевидно, также равны -=г»0,1—0,4. Ничего подоб-
ного не наблюдается — в действительности -=-<3-10~4.
Для объяснения этого авторы вихревой теории предполагали,
что флуктуации температуры ослабляются при комптоновском рас-
рассеянии. Флуктуации необходимо ослабить по крайней мере в 300 раз,
для этого нужно не менее шести рассеяний, т. е, оптическая тол-
толща ^б

j 10] \ СРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ТЕОРИЙ 441
Большая начальная скорость движения действительно приводит
к тому, что очень рано после рекомбинации происходит столкнове-
столкновение газовых облаков и образование ударных волн.
В рассматриваемом выше первом варианте вихревой теории
предполагалось, что галактики образуются весьма рано, при г» 130.
Раннее столкновение облаков и раннее образование гравитационно
связанных объектов на первый взгляд согласуется с многократным
рассеянием реликтового излучения, необходимым для того, чтобы
совместить большие вихревые скорости РД-плазмы с наблюдаемой
изотропией реликтового излучения.
Однако в действительности раннее возникновение ударных волн
и ранняя ионизация газа создают большие трудности. Раннему мо-
моменту соответствует большая плотность излучения и быстрое ох-
охлаждение электронов за счет «обратного комптон-эффекта» — рас-
рассеяния фотонов с увеличением частоты (в среднем) и с потерей
энергии электронов. Когда в ходе охлаждения температура элект-
электронов падает, плотность плазмы соответственно растет, так как
холодная плазма окружена горячей, еще не остывшей плазмой и в
первом приближении сохраняется давление.
Так, например, при z=130, Q=0,5 средняя плотность равна
3 см~3, в ударной волне плотность возрастает до 12 см~3. При ско-
скорости волны 10s см/сек (начальная скорость м»0,3 с, она падает
с расширением пропорционально г) достигается температура по-
порядка 10s °К. При падении ее до 106°К плотность увеличивается
в 10* раз, достигая 106 см~3. При такой плотности рекомбинация
идет весьма быстро, невозможно длительно поддерживать газ в
полностью ионизованном состоянии.
Позже был предложен другой, так называемый «тихий» вариант
вихревой теории, отличающийся сравнительно малой начальной
вихревой скоростью, м/с?»0,03.
После рекомбинации, в нейтральном веществе, вихревая ско-
скорость затухает обратно пропорционально линейным размерам.
Напомним, что любая скорость (наложенная на общее расширение)
затухает по такому закону *), если ее не усиливает гравитационное
поле возмущения плотности. Пусть в момент рекомбинации (^- ) < 1;
это условие эквивалентно тому, что вихрь (rot и порядка отноше-
отношения и/К) меньше постоянной Хаббла#~Ш. Тогда в приближении,
не учитывающем гравитационное поле возмущений, ударные волны
никогда не успевают образоваться (см. приложение к § 9), при
f->oo получим
A4.10.1)
*) При этом скорость уменьшается, но угловой момент сохраняется!

442 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. U
Общая картина «тихого» варианта такова: начальное вихревое воз-
возмущение затухает, оставляя малое возмущение плотности. Уже
вслед за этим возмущение плотности порождает потенциальное
движение, усиливающее возмущение плотности в соответствии с
гравитационной неустойчивостью (см. приложение к § 9).
Выбирая начальное возмущение, мы получаем ту или иную
амплитуду растущего потенциального возмущения. В «тихом» ва-
варианте предлагается выбор такой, что образование гравитационно
связанных тел приурочено к z~30—20.
Но и при этом снова остается противоречие с наблюдаемой изот-
изотропией реликтового излучения; начальное ы/с«0,03 дало бы АТ/Тж
»0,03 — в 100 раз больше наблюдаемого! В «тихом» варианте не
отпала необходимость сглаживания начальной анизотропии излу-
излучения. Однако если образование галактик и вторичная ионизация
происходят при г»30 или позже, то сгладить анизотропию невоз-
невозможно. Действительно, максимальная оптическая толща есть
получаем т=3,5 и ет=13, тогда как нужно 100, чтобы согласовать
с наблюдаемой изотропией реликтового излучения.
Вихревая теория, по-видимому, несовместима с наблюдаемой
изотропией реликтового излучения.
Наряду с вопросом о том, возможна ли вихревая теория, исходя
из сравнения с наблюдениями реликтового излучения, нужно
рассмотреть и вопрос о том, насколько она привлекательна: какой
элемент произвола содержится в этой теории, каковы другие ее
следствия, кроме предсказаний, касающихся масс и вращения
галактик и анизотропии реликтового излучения, и сравнить ее в
этом смысле с теорией адиабатических возмущений.
В теории адиабатических возмущений для объяснения совре-
современной структуры Вселенной нужно задать возмущения метрики с
амплитудой порядка 10~3 — 10~* в масштабе, соответствующем
М—1013— Ю1* Mq.
Спектр возмущений можно безболезненно продолжить с той же
амплитудой (по метрике) в обе стороны. Более длинноволновые,
соответствующие Л1^>1014 Mq, возмущения растут медленнее, и
они (при той же амплитуде метрики) дадут сегодня (-£-] <^ 1, т.е.
дадут возмущения реликтового излучения порядка 10"*, не про-
противоречащие наблюдениям.
Возмущения с М<^. 1014 Mq затухают и не влияют на рождение
галактик (§ 2 гл. 10). Если амплитуда этих возмущений также по-
порядка 10~3—10~*, то при затухании их не возникнут никакие
наблюдаемые эффекты.
Итак, в адиабатической теории можно выбрать начальный спектр
(без какого-либо выделенного характерного масштаба), задав его

5 Ц] ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ ГАЛАКТИК И ИХ СКОПЛЕНИЙ 443
одной характерной величиной — амплитудой и предоставив зако-
законам природы выделить характерный масштаб скоплений галактик.
Эти свойства теории адиабатических возмущений поучительно срав-
сравнить со свойствами вихревой теории.
Авторы вихревой теории утверждают, что эта теория содер-
содержит только один начальный параметр — характерную скорость и
или безразмерное отношение вихревой скорости к скорости звука
Ь в момент равенства плотности излучения и материи, р = £- « 2 -^.
Предполагается, что эта скорость относится к масштабу, свя-
связанному с ней соотношением Rmut на тот же момент.
Важнейший факт заключается в том, что в вихревой теории
необходимо начальный спектр турбулентности (в начале РД-пе-
риода, при г» 108 или раньше) взять с выделенным масштабом
R, с резким максимумом Р2(л) при r=R, необходимая величина р,
указанная выше, и есть этот максимум, обозначим ее ршах- Надо
взять начальный спектр р (л) <с ртах при r<^.R для того, чтобы на-
начальная мелкомасштабная турбулентность при затухании не иска-
исказила реликтовое излучение. Но спектр возмущений вихревой теории
нужно ограничить и со стороны больших масштабов, r> R. Это огра-
ограничение следует из отсутствия заметных угловых флуктуации ре-
реликтового излучения.
Мы видим, что вихревая теория требует специального подбора
начального спектра и в этом смысле невыгодно отличается от
адиабатической теории. Авторы книги отдают предпочтение
адиабатической теории происхождения галактик.
§11. Данные наблюдений галактик и скоплений галактик
и средняя плотность материи во Вселенной
В этом параграфе мы в очень краткой и схематической форме
приведем сводку некоторых наблюдательных данных об основных
свойствах галактик и скоплений галактик. В качестве обзоров по
внегалактической астрономии можно рекомендовать, например,
книгу Воронцова-Вельяминова A972), более ранние обзоры Эйбла
A962, 1965), а также популярную книгу Агекяна A970). Обзор
данных о межгалактическом газе дан Филдом A9736), о средней
плотности материи во Вселенной — Пиблсом A971а). Необходимо
предупредить читателя, что многие из приводимых ниже параметров
определяются неуверенно и значения меняются от автора к автору.
Оценки же ошибок очень субъективны. Важной характеристикой
свойств галактик, которая относительно просто устанавливается из
наблюдений, является функция светимости — число галактик с
данной абсолютной величиной (точнее, между т и m+dm). Пиблс
A971а) приводит следующую аппроксимационную формулу для
среднего числа галактик в единице объема, имеющих яркость

444
ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК
[ГЛ. 14
большую,
массой!):
чем абсолютная величина М (не смешивать с
а = 0,75,
р = 0,25,
М < М*,
при М=М*, очевидно, А• ЮаМ* = В• №$м*. Абсолютная визуаль-
визуальная величина М* есть
и
М* = - 20,1 + 5 lg {-т^м1сек-Мпс
Для теоретиков большое значение имеют параметры, связанные
с определением масс галактик. Наиболее надежный путь определе-
определения масс заключается в изме-
измерении лучевых скоростей вра-
вращения галактик. Тогда при из-
известных линейных размерах
галактики можно по закону
Ньютона вычислить массу. Но
заметными вращениями облада-
обладают только спиральные и непра-
неправильные галактики. Для эллип-
эллиптических галактик массы могут
бытьопределены по дисперсии лу-
лучевых скоростей звезд. На рис.
52 приведена функция масс *)
для галактик (и отдельно для
спиральных галактик), получен-
полученная Холмбергом A969). Массы
наиболее массивных галактик
около 1012Mq и даже больше.
Это гиганты типа Е, а также
Sb [см. Воронцов-Вельяминов
A972)]. Наибольший вклад в суммарную массу всех галактик дают
галактики с массой около 1011 Mq. Минимальные массы Af»105
Mq имеют карликовые сфероидальные галактики (табл. XII).
ТАБЛИЦА XII
Вклад в общую сумму масс галактик с разными массами
-0,5
-1,5
-2,0
-2,5
8 9 10 ' 11 1 М_
Рис. 52. Функция масс для галактик
разных типов.
M/MQ
Вклад в сумму масс
>10"
46%
10ю_10"
40%
109—101»
11%
<109
3%
*) Функция масс есть отношение числа галактик с массой между М и
M-\-dM к полному числу галактик в фиксированном объеме.

$ И] ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ ГАЛАКТИК И ИХ СКОПЛЕНИЙ
445
Отношение масса/светимость, MIL (М и L — в солнечных еди-
единицах), составляет для неправильных галактик (тип I) около 5,
для спиральных (тип S) 7—20, для эллиптических (тип Е) — около
40. Линейные диаметры ярких галактик составляют около 3-10* пс.
Карликовые галактики имеют гораздо меньшие размеры. Угловые
моменты вращения галактик известны плохо. Согласно одной из
последних работ Нордсека A973), удельный момент спиральных
галактик в его модели обработки наблюдений связан с массой соот-
соотношением
^^. = —0,44-0,67^^; A4.11.1)
с£ — момент в единицах 1012 Mqkhc (км/сек)=6,2-10'11 г-см3/сек,
М — масса галактики в 1010 Mq. Распределение галактик по типам
может быть иллюстри овано табл. XIII [Ван ден Берг (I960)] для
935 галактик ярче 131*.
таблица хш
Распределение галактик по типам
Тип
%
Е и SO
22,9
Sa
7,7
Sb
27,5
Sc
27,3
I
2,1
Разные
12,5
Разумеется, подобные таблицы не отражают прямо распределение
галактик по типам в единице объема пространства. Было выяснено,
что это распределение очень сильно зависит от типа скопления
галактик.
Цвикки, Герцог, Вилд A968) опубликовали каталог нескольких
тысяч скоплений галактик. Эйбл A958) разделил скопления на
правильные и неправильные *). Правильные скопления состоят из
большого количества галактик (иногда более 104 членов), обладают
сферической симметрией, большой концентрацией к центру. Яркие
члены этих скоплений относятся, вероятно, только к типам Е и SO.
Согласно Воронцову-Вельяминову, спирали могут только слу-
случайно проектироваться на такое скопление. В центре скопления
часто находится одна или две ярчайшие эллиптические галактики.
Типичный представитель правильных скоплений — скопление в
Волосах Вероники (Coma). Неправильные (рассеянные) скопления
имеют неправильную форму, в них часто встречаются отдельные
сгущения. Состоят эти скопления из галактик всех типов. Они
*) Помимо этого важного деления скоплений на две группы, существуют
классификации скоплений по разным параметрам, например по богатству (числу
членов), наличию пекулярных галактик и т. п.

446 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК ГГЛ. 14
могут быть и богатыми (более чем тысяча членов), как, например,
скопление Девы, и очень бедными. Согласно Воронцову-Вельями-
Воронцову-Вельяминову, общее поле галактики состоит из слабых внешних частей и
многочисленных перекрывающихся рассеянных скоплений и мел-
мелких групп: см. Эйнасто и др. A974 г).
Наиболее хорошо изучены правильные скопления. Приведем
данные, относящиеся к скоплению Coma. Размер скопления Coma,
согласно Голдсмиту и Силку A972), около 4 Мпс. Общее число
галактик в скоплении (включая слабые) оценивается в несколько
десятков тысяч. Дисперсия лучевых скоростей галактик составляет
около Ди=1000 км/сек. Руд и др. A972) подчеркивают, что Av
сильно зависит от расстояния от центра скопления, спадая от цент-
центра к краю,— на краю она составляет всего ДидабОО км/сек. Если
считать скопление стационарным, то, используя теорему вириала,
по дисперсии скоростей и размерам можно найти массу скопления.
Она оказывается неожиданно большой:
км/сек-Мпс
A4.11.2)
Действительно, по подсчетам галактик можно определить интеграль-
интегральную светимость скопления и вычислить затем отношение MIL. Это
отношение, по Эйблу, составляет
" м )%$-, A4.11.3)
км/сек-Мпс) Lq ' v '
что во много раз больше MIL даже для эллиптических галактик,
у которых MIL наибольшее. Этот результат, по-видимому, озна-
означает, что либо 1) скопление нестационарно, хотя его правильный
вид и концентрация к центру говорят за стационарность, либо
2) в скоплении имеется много невидимой массы между видимыми
частями галактик, либо, наконец, 3) имеются сильные системати-
систематические погрешности наблюдений и их интерпретации. Краткое об-
обсуждение ситуации дается в конце этого параграфа.
Примером неправильного скопления является скопление в Деве.
Оно содержит тысячи членов: размер его, согласно Эйблу A962),
около 3 Мпс. По оценке того же Эйбла, отношение масса/свети-
масса/светимость для скопления не менее 400. Для проверки теорий об
образовании галактик большое значение имеет вопрос об ориента-
ориентации осей вращения галактик в скоплениях. Надежных данных
здесь нет, и мы ограничимся ссылками на литературу: Броун
A964, 1968), Рейнгардт A972), Рейнгардт и Роберте A972).
Долго обсуждался вопрос о том, существуют ли скопления
скоплений галактик. Споры не прекратились и сейчас. Цвикки
A957) считает, что скоплений скоплений не существует. Того
же мнения придерживается и Воронцов-Вельяминов A972). Проти-

ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ ГАЛАКТИК И ИХ СКОПЛЕНИЙ
447
воположной точки зрения придерживается Эйбл A961). Но, по-
видимому, все согласны с тем, что значительных неоднородностей
плотности в масштабах, в десятки раз превышающих размеры
крупных скоплений, не существует. Сильнейшие аргументы в
пользу этого дают косвенные соображения, основанные на наблю-
наблюдении изотропии реликтового излучения, о чем мы уже упоминали
выше и будем говорить еще в следующей главе. Согласно Цвикки,
диаметры наибольших скоплений порядка 8-10е пс и скопления
распределены в среднем однородно: размер наибольшей ячейки не-
неоднородности во Вселенной порядка 40- 10е пс, что составляет
линейный размер, приходящийся на одно большое скопление.
Несмотря на подробные математические исследования вопроса
о наблюдательных доказательствах существования сверхскоплений,
проведенные Нейманом и Скотт A962), задача нуждается в дальней-
дальнейшем тщательном изучении.
Помимо крупных скоплений существует огромное количество
небольших скоплений, групп и кратных галактик. Практически
все исследованные группы галактик, если к ним применять теорему
вириала, оказываются неустойчивыми: их кинетическая энергия,
вычисленная на основе измерения дисперсии лучевых скоростей
галактик, намного превышает потенциальную энергию, подсчитан-
подсчитанную по массам видимых галактик. Очень впечатляющие примеры
неустойчивых групп приведены в обзоре Э. М. Бэрбидж и Сэржента
A971).
Таким образом, при учете только материи, содержащейся в га-
галактиках, все системы — от кратных галактик до скоплений и,
возможно, существующих сверхскоплений — оказываются, соглас-
согласно расчетам, неустойчивыми. Это иллюстрируется табл. XIV, со-
составленной Караченцевым A968). В столбцах: светимость, среднее
число членов, радиус, дисперсия лучевых скоростей, плотность
наблюдаемая, плотность вириальная, время разлета R/Av.
Вопрос о том, устойчивы ли системы галактик, тесно связан
с вопросом об определении средней плотности вещества во Вселен-
ТАБЛИЦА XIV
Средние характеристики
Системы галактик
Триплеты
Группы
Бедные скопления
Богатые скопления
Сверхскопления
L
1 010AJq
4.9
10.5
43
270
1500
N
3
8
35
220
1200
R
10* пс
8,8
39
114
271
1640
систем
До
121
287
354
827
1100
галактик
Рнабл
10-"г/сж«
0.1
0.002
4-10-4
2-Ю-4
4-10-»
Рвир
10-"г/сж«
1.0
9-10-а
2-10-3
2-10-2
6-10-4
t
10» лет
4,5
11
20
18
87

448 ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЛАКТИК [ГЛ. 14
ной. Если учитывать только легко наблюдаемые формы материи,
входящие в галактики, то системы галактик, как мы видели, ока-
оказываются неустойчивыми. При этом средняя плотность вещества во
Вселенной р оказывается заметно меньше критической. Лучшее
определение р, учитывающее только материю в галактиках, при-
принадлежит Оорту A958), и последующие уточнения ничего сущест-
существенно в этой оценке не изменили. Определение Оорта основано
на нахождении средней светимости единицы объема Вселенной по
подсчетам галактик и использовании среднего для галактик зна-
значения MIL. Если это среднее значение
L ~ ° \75 км/сек-Мпс ) LQ '
ТО _
D«2-10-slf - Уи —«0 02
^ \75 км/сек-Мпс ) рс '
Парадокс с неустойчивостью скоплений галактик вызвал пред-
предположение о наличии большого количества невидимых масс ма-
материи в пространстве между галактиками. Если этой материи до-
достаточно много, то скопления окажутся гравитационно связанными,
а средняя плотность вещества во Вселенной — близкой к критиче-
критической.
Первым кандидатом в такие «невидимые массы» является меж-
межгалактический ионизованный газ. Вопрос о возможном количестве
такого газа подробно обсуждался нами в разделе II. Недавно ситуа-
ситуация была подытожена в обзоре Филда A9736). Его выводы сводятся
к следующему. Богатые скопления (например. Кома) являются
рентгеновскими источниками. Предполагается, что если это излу-
излучение газа с 7'«10*оК,то его количество слишком мало, чтобы
сделать скопление гравитационно связанным. Предположение о
том, что в скоплении имеется значительное количество более хо-
холодных облаков газа с 71» 106 °К, исключается комбинацией наб-
наблюдений в ультрафиолете и наблюдений в мягком рентгене. Общая
масса такого газа в скоплении Кома, по крайней мере, в несколько
раз меньше, чем требуется для того, чтобы сделать скопление устой-
устойчивым. Теоретические соображения об аккреции газа, находящегося
между скоплениями, на богатые скопления вместе с наблюдатель-
наблюдательными данными о скоплениях приводят к выводу о том, что для
такого газа Q^C0,05.
Наблюдения пока не могут исключить присутствия значитель-
значительного количества газа с Т между 106—107 °К в так называемых
группах галактик Вокулера. Современные данные не противоречат
тому, что из-за этого газа в среднем во Вселенной Q«l. Для про-
проверки этого нужны наблюдения в мягком рентгеновском диапазоне.
Напомним, что наличие или отсутствие этого газа не имеет никакого
отношения к проблеме стабильности богатых скоплений.

s Ц] ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ ГАЛАКТИК И ИХ СКОПЛЕНИЙ 449
В последнее время появляется все больше сторонников идеи
о том, что галактики могут быть окружены огромными коронами
из слабых звезд. Масса этих звезд не влияет заметно на динамику
внутренних частей галактик, которые хорошо наблюдаются, и по-
поэтому наблюдения этих внутренних частей дают только их массу
и ничего не говорят о массах корон. Возможно, что учет этих ко-
корон существенно изменит оценку масс галактик в скоплениях и
массу самих скоплений; об этой проблеме см. Вокулер A969),
Арп, Бертола A971), Корменди, Бакалл A973), Эйнасто и др.
A974а, б, в, г), Острайкер, Пиблс, Яхил A974), Тартер, Силк
A974), Озерной A974), Комберг, Новиков A975). Наконец, дру-
другими формами невидимых масс могут быть объекты самой разной
природы: карликовые или мертвые галактики или даже «черные
дыры» в пространстве между галактиками [см. Пиблс A971а)].
Вопрос о количестве невидимой материи остается пока открытым.
В § 6 гл. 15 приводятся аргументы в пользу Q<Cl, основанные
на том, что в группах галактик с плотностью, в несколько раз боль-
большей средней во Вселенной, хаббловский закон расширения не
сильно отличается от общего хаббловского закона для Вселенной.
Я. Б. Зельдович. И Д Новиков

ГЛАВА 15
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЕЛИКТОВОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. Введение
Детальное исследование реликтового излучения — его спектра
и углового распределения,— в принципе, может дать весьма цен-
ценную информацию об отклонениях Метагалактики от идеального од-
однородного и изотропного космологического решения.
Существование таких отклонений несомненно: в предыдущей
главе показано, что отклонения необходимы для возникновения
структуры Вселенной — скоплений галактик, галактик, звезд.
Однако обратная задача — определение отклонений от однород-
однородности на стадии до образования небесных тел по наблюдаемой сейчас
макроструктуре Вселенной — оказывается трудной и неоднознач-
неоднозначной. Исследование реликтового излучения существенно дополняет
наши сведения о возмущениях. Возмущения малого масштаба
затухают еще до рекомбинации водорода во Вселенной и не остав-
оставляют видимого следа в структуре. Однако, затухая, эти возмущения
выделяют энергию и искажают спектр реликтового излучения, соз-
создают отклонения спектра от равновесного планковского закона.
С другой стороны, возмущения самого большого масштаба имеют,
по-видимому, малую амплитуду. Статистика внегалактических
объектов (скоплений, квазаров, радиоисточников) имеет дело с дис-
дискретными телами. Эта дискретность создает дополнительные источ-
источники «шума», случайных ошибок. Поэтому, например, точность
определения константы Хаббла до сих пор не лучше 20%. Изотро-
Изотропия константы Хаббла, определенной в разных направлениях на
небе, тоже установлена с точностью не лучше 20%. Между тем
измерение температуры реликтового излучения, приходящего с
различных направлений, отвечает практически на тот же вопрос
об одинаковости расширения во всех направлениях, т. е. об изо-
изотропии Вселенной. Точность измерения разности температур в наи-
наиболее удобной сантиметровой области лучше 0,1%. В настоящее
время набчюдатели не обнаружили ни искажений спектра, ни за-
зависимости температуры от направления, несмотря на разработанную
теорию таких отклонений, известную наблюдателям. На этом месте

. n ВВЕДЕНИЕ 451
5 U
нетерпеливый читатель может прервать чтение главы «о несущест-
несуществующих эффектах». Мы же продолжим детальное обсуждение вопро-
вопроса по двум причинам. Во-первых, сегодня негативные результаты
наблюдений дают возможность получить неравенства, верхние
границы возмущений. Эти верхние границы достаточно интересны,
особенно в сопоставлении с наблюдаемой структурой. Вырисовы-
Вырисовывается картина начального состояния Вселенной вблизи сингуляр-
сингулярности с весьма малыми отклонениями от идеализированной модели
Фридмана. Во-вторых, завтра можно ожидать дальнейшего уточ-
уточнения экспериментальных методов. Одновременные измерения в
нескольких спектральных интервалах позволят точнее отделить
флуктуации реликтового излучения от вклада близких к нам источ-
источников. Можно надеяться, что эффекты, рассматриваемые ниже,
будут реально обнаружены уже после повышения чувствитель-
чувствительности на один-два порядка (доу ~ 10~6), и тогда теория, излагае-
излагаемая ниже, станет практически важной для обработки наблюдений.
Напомним, что пространственно-однородная ситуация уже была
рассмотрена ранее (см. гл. 8). Было выяснено, какие искажения
спектра возникают в результате выделения данной энергии в тот
или иной период, при том или ином значении г.
В § 2 и § 3 рассматриваются две конкретные причины выделе-
выделения энергии — аннигиляция вещества и антивещества (§ 2) и прев-
превращение в тепло кинетической энергии пекулярных движений (§ 3).
Показано, какие ограничения на количество и распределение анти-
антивещества следуют из отсутствия отклонений спектра от равновес-
равновесного (§2). В § 3 аналогичные ограничения получены на пекуляр-
пекулярные движения вещества.
Дальше рассматривается вопрос о зависимости температуры
реликтового излучения^от направления при наличии возмущений.
В § 4 дана общая схема вычисления распределения температуры
при заданном пекулярном движении вещества и заданном распре-
распределении возмущений плотности. В поле излучения, которое в пер-
первом приближении равновесно, однородно и изотропно, задача очень
упрощается: никакое отклонение лучей, их фокусировка или де-
дефокусировка не могут изменить яркости. Только пекулярные дви-
движения (через доплер-эффект) создают изменения яркостной темпе-
температуры. В следующих параграфах эта общая схема применяется
к различным видам возмущений. В § 5 она применяется к адиаба-
адиабатическим возмущениям, т. е. к потенциальным движениям с одно-
одновременными изменениями плотности вещества. Эти возмущения
растут в силу гравитационной неустойчивости (и поэтому наиболь-
наибольшая их амплитуда достигается в настоящее время).
Адиабатические возмущения вызывают также общее движение
того вещества — того скопления или сверхскопления,— к кото-
которому принадлежит наша Галактика, Солнце и, в конечном счете,
15*

452 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
наша планета, несущая наблюдательную аппаратуру. Реликтовое
излучение позволяет определить в каждой точке систему отсчета,
относительно которой измеряется эта пекулярная (случайная, обя-
обязанная возмущениям) скорость движения. В § 6 обсуждаются из-
измерения пекулярной скорости и следующие из них ограничения
на амплитуду адиабатических возмущений.
Наконец, в § 7 рассматриваются вихревые возмущения и длин-
длинные гравитационные волны как возможный источник флуктуации
реликтовой температуры *). Для этих типов возмущений харак-
характерно их ослабление в ходе расширения. Поэтому эффект зависит
главным образом от ситуации в наиболее ранний момент, доступ-
доступный наблюдению, в данном случае — в момент рекомбинации,
когда плазма становится прозрачной. В определенном интервале
длин волн возмущений эффект сильно зависит от того, что рекомби-
рекомбинация и просветление плазмы происходят не мгновенно: излучение,
приходящее с определенного направления, усредняет температуру
толстого слоя.
Далее, вторичная ионизация всего первичного газа или части
его, не вошедшей в скопления, приводит к рассеянию и сглаживает
возможную угловую зависимость интенсивности реликтового излу-
излучения. Поэтому, казалось бы, отсутствие наблюдаемых возмущений
всегда можно приписать сглаживающему действию рассеяния, даже
тогда, когда в момент рекомбинации возмущения велики.
Однако такое универсальное объяснение — или, скорее, отго-
отговорка — сталкивается с большими трудностями. Для эффективного
сглаживания нужна большая оптическая толща, что в свою очередь
требует ранней вторичной ионизации (при z~50—80), но в ранний
момент велика скорость теплоотдачи, трудно удерживать плазму
горячей и ионизованной. Сами процессы, нагревающие газ, вносят
новые возмущения в реликтовое излучение. В целом вывод заклю-
заключается в том, что наблюдаемая высокая степень изотропии релик-
реликтового излучения является сильным доводом в пользу малости
возмущений фридмановской однородной и изотропной модели, в
частности в пользу теории адиабатических возмущений, и против
вихревой (турбулентной) теории образования галактик.
§ 2. Аннигиляция антивещества
Рассмотрим аннигиляцию антивещества (антипротонов, анти-
антиядер гелия) и вещества в РД-периоде. »
В литературе обсуждается зарядово-симметричная космологи-
космологическая модель, где с самого начала предполагается, что в среднем
во Вселенной имеется равное количество вещества и антивещества.
*) Все вопросы, связанные с гравитационными волнами и, в частности, во-
вопрос о флуктуацИях реликтового излучения выделены в отдельную главу.

АННИГИЛЯЦИЯ АНТИВЕЩЕСТВА 453
Ряд авторов считает такую модель предпочтительной из общефило-
общефилософских предпосылок
Общие принципы будут обсуждаться в разделе V книги, посвя-
посвященном космологической сингулярности: зарядовая симметрия
или несимметрия мира должна быть заложена уже в сингулярный
момент, позже это свойство заведомо остается неизменным.
В данном параграфе будут найдены требования к зарядово-
симметричной модели, связанные с тем, что в этой модели неиз-
неизбежна аннигиляция и выделение энергии, ведущее к искажению
спектра реликтового излучения.
Рассмотрение РД-периода принципиально важно, так как в этом
периоде можно рассчитать аннигиляцию: скорость процесса анни-
аннигиляции определяется диффузией вещества и антивещества к гра-
границе раздела соответствующих областей *). В свою очередь ско-
скорость диффузии зависит от трения при движении электронов или
позитронов относительно излучения: протоны не могут опередить
электроны, так как они связаны электростатическими силами.
Теория такого процесса подробно рассмотрена в электрохимии в
связи с диффузией электролитов. Изложим простейший вариант
ее, полностью пренебрегая трением протонов об излучение **).
Давление полностью ионизованного газа равно, очевидно,
P = (nt + nv)kT. A5.2.1)
Градиент этого давления и есть сила, действующая на электроны
в единице объема. Этой силе противостоит трение электронов об
излучение:
-AP = y?=.neo-4>e = nei-evaIbf A5.2.2)
где a — подвижность электронов, ev — плотность энергии излу-
излучения (еу=4-10~1324 эрг/см3), ve — средняя скорость электронов,
0Т — сечение взаимодействия электронов с излучением, электро-
электростатическое взаимодействие дает ле=пр.
Из этого уравнения находим поток электронов qe=neve. Ис-
Используем принцип электронейтральности: пр=пе, так что
ve~ gradne и поток протонов тождественно равен потоку
*) Условия, необходимые для того, чтобы диффузия играла главную роль,
мы выясним ниже. Для этого нужно, в частности, найти значение коэффициента
Диффузии, которое и обсуждается в первую очередь.
**) Учет 7—10% альфа-частиц в составе первичного газа ничего не меняет;
можно проверить, что и более ранняя рекомбинация гелия также не дает заметного
вклада, в частности, потому, что тепловая скорость атомов гелия в 100 раз меньшг,
чем у электронов. Любопытно, что аннигиляция р и п с Не* могла бы дать коли-
количество осколков D, T, Hes, превышающее то, что дает нуклеосинтез в однородной

454 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 18
электронов. Окончательно
«р = — Dvnp. A5.2.3)
Коэффициент при упр есть, по определению, коэффициент диффу-
диффузии D.
Подставляя выражения ev и Т для горячей Вселенной, а также
численные значения констант, получим
D = 0,6- 10м г-*см?1сек. A5.2.4)
Оценим по порядку величины путь, который частица проходит
к моменту, когда z достигает данной величины. Этот путь равен
lz = YWi; в РД-периоде /=3-10"/z*, так что /z=10aez-V.. Однако
для правильного сравнения нужно отнести путь к единому (напри-
(например, сегодняшнему) масштабу, учитывая увеличение масштаба в
z+l«z раз.
Следовательно, сегодняшний размер равен /=102ez~1/> см. При
современной плотности р=10~28 Q г/см3 соответствующий объем
содержит массу
Формула применима лишь в РД-периоде, до рекомбинации;
для й=0,1, z=1400 она дает M=3Mq.
Вернемся к общей картине явления. При расчете предполага-
предполагается, что кинетика аннигиляции полностью определяется диффу-
диффузией. Это значит, что нигде вещество и антивещество не сосуще-
сосуществуют в заметных количествах. Все пространство разбито на об-
области, занятые веществом, и области, занятые антивеществом.
Аннигиляция происходит на границе этих областей. Диффузия
подводит к границе равное количество вещества с одной стороны и
антивещества — с другой. Это условие равенства потоков дости-
достигается за счет того, что граница раздела не остается неподвижной,
сдвигается в ту сторону, с которой поток на неподвижную границу
становится меньше встречного потока *).
Такая картина с резкой границей может рассматриваться лишь
как первое приближение к действительности; в этом приближении
можно вычислить скорость движения границы, время исчезновения
*) Концентрация барионов и взятая с минусом концентрация антибарионов
вместе образуют непрерывную функцию координат /(г): }(г)=В>0 в одной об-
области /(г)=—б<0 в другой области, /=0 есть уравнение границы. Функция
f=B—В удовлетворяет уравнению -gi=D Л/; отсюда легко найти скорость пере-
перемещения границы по нормали к поверхности: ngrad/as—1>Д/,
— |grad /I-1 DA/

й АННИГИЛЯЦИЯ АНТИВЕЩЕСТВА 455
«острова» антивещества, окруженного веществом (за счет стягива-
стягивания границы в точку), наконец, можно вычислить мгновенные пото-
вещества и антивещества к границе, а значит, и число актов
аннигиляции в единицу времени, отнесенное к единице площади
границы раздела. Разумеется, как мы уже сказали, такая картина
со строго разделенными частицами и античастицами является лишь
первы'м приближением. Из факта аннигиляции следует существо-
существование определенной области перекрытия, где одновременно при-
присутствуют и частицы и античастицы. Можно провести аналогию с
пламенем свечи: внутри пламени — избыток горючего, вне пламе-
пламени — избыток кислорода, а само пламя есть та граница двух сред
(окислительной и восстановительной), где идет химическая реак-
реакция. Методами теории горения [Зельдович A949) легко дать оценку
для ширины области перекрытия и концентрации частиц и анти-
античастиц в этой области. При этом считаем заданным (из решения пер-
первого приближения) распределение концентраций вдали от области
перекрытия.
Итак, пусть вдали от границы п=ах, п=0 при х>0; п=0, п=
=а\х\ при х<0, где п — концентрация барионов, п — антибарио-
нов, х=0 — середина зоны, коэффициенты а слева и справа обя-
обязаны совпадать. Скорость аннигиляции q=Dyn=aD частиц!см*-сек.
Дифференциальные уравнения диффузии имеют вид
Tt = DW— P""' Ж = °-д^—Рпп- A5.2.6)
Здесь р есть константа скорости аннигиляции (см3/сек). Мы ищем
стационарное f-хт = 0 )решение этих уравнений с выписанной выше
асимптотикой. Из размерности следует, что в плоскости симметрии
в середине зоны (х=0)
У^ A5.2.7)
тогда как ширина зоны
*»=Кж- A5-2-8)
Легко убедиться, что при этом
A5.2.9)
как и следовало ожидать. По порядку величины р=аг~
~3« 10~1в смэ1сек для аннигиляции при высокой температуре, когда
не происходит заметное образование кулоновски связанного «атома»
РР (что увеличивает |3). Для оценки рассмотрим области, соответ-
соответствующие МжЮ1* Mq. Считаем плотность вещества равной кри-

456 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ 1ГЛ. 1Б
тической плотности, Q=l. Соответственно плотность вдали от д:=0
п„«10~623 в области, занятой веществом, п — такое же в области,
занятой антивеществом. Характерный размер этих областей поряд-
ка К ~ у —, где N — число барионов в области (N& 10е"), так что
Я,~1026/г см. Примема~^-^« Ю-30 г* см~*\ q=l02z см~2'сек-1.
Подставляя эти цифры в выражения A5.2.7) и A5.2.8), получим
n@)=10~4zB/» см~3, XiwlO^z"'/". Подставляя z«104, получим
■^4-\ ~ т- «5-10~в<^ 1, что и оправдывает картину явления,
1 @0) К
положенною в основу расчета.
Выражение для коэффициента диффузии справедливо в огра*
ничейной области 108>z> 1400. При большем z и при более высоких
температурах надо учитывать два обстоятельства.
Первое из них заключается в том, что при температуре выше
1 Мэв в термодинамическом равновесии с протонами находится
заметное количество нейтронов, а в областях с антивеществом
в равновесии с р есть п. Диффузия п и п происходит быстрее —
перемещение нейтральных частиц не создает возвращающего элект-
электрического поля, не требует перемещения е~ и е+ для компенсации
поля. При температуре ниже 20 Мэв, когда равновесная концент-
концентрация адронов (пионов п+, п~, л°) мала, коэффициент диффузии
нейтронов дается формулой D=5-1033 Q z~v>.
Второе обстоятельство связано с тем, что при температуре выше
3-10в°К в области, занятой «веществом» (протонами, барионами),
наряду с электронами в термодинамическом равновесии есть пары
е+е~, общее число пе++пе_^>Пр. В компенсации поля, возникаю-
возникающего при перемещении протонов, участвуют все легкие заряженные
частицы, коэффициент диффузии протонов увеличивается во
много раз.
С учетом обоих обстоятельств к моменту г«108 диффузия и ан-
аннигиляция устраняют малые изолированные «острова» антивещест-
антивещества, окруженные веществом (или «острова» противоположного знака),
и сглаживают градиенты вплоть до масштаба порядка 5-Ю11 см.
В пересчете на сегодняшний момент этот масштаб «5-Ю18 см
(соответствующая характерная масса Af«10~s QMq). Выделе-
Выделение энергии при z>10* никак не сказывается на спектре реликто-
реликтового излучения уже потому, что присутствие электронов и по-
позитронов ускоряет установление термодинамического равновесия.
Какой вывод можно сделать из этих расчетов для зарядово-
симметричной Вселенной? Примем за основу, что скопления галак-
галактик и большие галактики, т. е. массы порядка 10" Mq, состоят
лишь из одного вида материи — либо из вещества, либо из антиве-
антивещества; иначе в настоящее время во внутригалактическом газе про-
происходила бы активная аннигиляция, рождались бы в большом

I АННИГИЛЯЦИЯ АНТИВЕЩЕСТВА 457
числе энергичные кванты (£7да70—100 Afee) по цепочке рр
-*-я°—>-2y. При этом остается еще возможность выбора двух разно-
разновидностей симметричной модели. Эти две разновидности соответ-
соответствуют следующим крайним, предельным случаям (мы не будем
здесь обсуждать все возможные промежуточные ситуации).
Первый случай: области указанного размера (соответствующего
я; 10" Mq) с избытком вещества и области с избытком антивещества
заданы изначально, уже вблизи сингулярного состояния.
В этом случае аннигиляция минимальна. При плавном распре-
распределении концентрации скорость аннигиляции пропорциональна
квадрату волнового вектора фурье-компонент распределения, т. е.
пропорциональна М~'1г. Если к моменту рекомбинации полностью
аннигилируют массы порядка 3Mq, то массы порядка \013 Mq под-
подвергнутся частичной аннигиляции в доле даC-1012)~s/i=l,5-10~8.
Что произойдет после рекомбинации? В приближении свободного
движения атомов водорода (или аитиводорода, Н=ре+) с тепловой
скоростью характерный размер /~ы</рек~10в см/сек-1013 сек~
~10" см. Между тем в этот же момент tfiK характерный размер
области, содержащей lOWW©, порядка L~ 10м см. Вблизи границы
при плавном распределении плотности п—п-^-, так что доля анниги-
аннигиляции вещества порядка( j-j , т. е. порядка 10~6 — 10~в. В более
поздний период, после вторичной ионизации, можно представить
себе, что аннигиляции препятствуют гравитационные и магнитные
поля сформировавшихся астрономических объектов.
В таком варианте выделение энергии при аннигиляции невели-
невелико, и наблюдения спектра реликтового излучения не позволяют
отвергнуть этот вариант. Трудности его лежат в другой плоскости.
В этом варианте к моменту рекомбинации флуктуации плотности
порядка единицы. Гравитационная неустойчивость немедленно под-
подхватит и усилит флуктуации плотности, обособление скоплений
произойдет при г ненамного меньшем, чем zpeK. При этом плотность
скоплений должна быть порядка плотности вещества в момент ре-
рекомбинации, т. е. р-A400K=3-Ю-20 п г/см3. В действительности
плотность скоплений на несколько порядков меньше! Это возра-
возражение приводит Пиблс A9716).
Другое возражение носит скорее вкусовой, субъективный ха-
характер. Интерес к зарядово-симметричной модели связан с предпо-
предположением о тесной связи и соответствии между законами физики и
выбором начального (сингулярного) состояния космологической
модели. Законы зарядово-симметричны *), поэтому предпочтитель-
предпочтительна и симметричная модель Вселенной как целого. Возникает вопрос:
если есть симметрия всей Вселенной, то что нарушает симметрию
*) См., впрочем, § 8 гл. 23.

458 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 18
отдельных ее частей, особенно таких больших частей, как Мя?
»lO12Af0? В этом отношении более последовательным является
второй предельный случай.
Предположим, что области В и В в начальном состоянии малы,
зато соответственно больше плотность барионов (и соответственно
антибарионов) в этих областях. Избыток В или В в больших обла-
областях (MzalO1* Mq) есть результат флуктуации числа и размеров
малых областей внутри каждой большой области.
Возможной причиной возникновения малых областей с избыт-
избытком вещества (антивещества) является предполагаемое (по гипотезе
Омнеса, см. § 3 гл. 23) разделение горячего вещества нейтральной
плазмы на две фазы. Расчеты Омнеса и его сотрудников, в которых
большое значение придается движению фазовой границы, приводят
к обособлению масс до 10" Mq. Но движение границы, по мысли
авторов, само есть следствие аннигиляции и выделения энергии на
границе. Оценка выделения энергии (усредненной по объему, содер-
содержащему много областей) дает Де«20е«, где Де— выделившаяся
энергия в период 108>2!>1400 до рекомбинации и главным образом
вблизи нижней границы этого интервала, еу— энергия излучения.
Но такое выделение энергии абсолютно нетерпимо. Согласно теории
искажения спектра, уже Де«0,1е7 дает отклонения от рэлей-джин-
совского спектра, во много раз превышающие верхний предел,
совместимый с наблюдениями (см. гл. 8).
Наконец, возможен и более формальный подход к проблеме ан-
антивещества в рамках несимметричной модели. Предположим, что
в среднем по всей Вселенной есть избыток барионов, соответствую-
соответствующий 10~8 от числа фотонов. В теории энтропийных возмущений
мы полагаем, что концентрация барионов меняется в пространстве,
пъ(х, у, г)—пвв A+8(х, у, г)). По определению 6=0, так что в
пространстве есть как области с б>0, так и области с б<0.
Для образования шаровых скоплений (§ 8 гл. 14) существенно
среднеквадратичное значение ЬМ = у б2 (М) для массы М~ 106 Mq.
В фурье-разложении 6 (М) ~ Y^b%ka для k, соответствующего
массе М. По порядку величины бA0в Mq) имеет значение между
0,01 и 0,1. От выбора этой величины зависит момент образования
шаровых скоплении (§ 8 гл. 14).
Далее, известно, что для весьма больших масс — порядка
современного горизонта — возмущения малы, 6A024Afo)<10~6,
Таким образом, принимая гипотезу Дикке и Пиблса (§ 8 гл. 14)
о происхождении сферических скоплений и сравнивая 6A06Af0)«
«0,01 и 6A024Afo)<10~B» приходим к выводу о падающем (с ростом
М) спектре б (М). Значения б, приведенные выше, даны для мо-
момента рекомбинации, до этого момента энтропийные возмущения
были заморожены. Ранее нас не интересовали возмущения б(М)

. . АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 459
§ «I
для М<^ЮеЛ^О. так как эти возмущения не растут после рекомби-
рекомбинации в силу критерия Джинса.
Теперь, если считать, что спектр бив области Af^lO6 Mq имеет
тот же характер, что и при М>\& Mq, то при малых М возможно
«, порядка единицы. При знакопеременном б это означает, что есть
области, гдепв =«в„0+6)<0, т. е. пв становится отрицательным.
Такие области нужно рассматривать как области, занятые ан-
антивеществом. «Вмороженность» возмущений б в РД-периоде, т. е.
независимость от времени (см. § 4 гл. 10), относится только к до-
достаточно большим массам, M>Mq.
Если |6(М)|>1 при M<Mq, to такие возмущения затухают,
причем затухание означает аннигиляцию малых областей с избыт-
избытком антивещества, вкрапленнцх в плазму с избытком вещества.
Сюняев, Зельдович A9706), исходя из отсутствия искажений спект-
спектра, получили определенные ограничения на величину 6(М) в об-
области 10~3 Mq<M<Z1Mq: б<10 на нижнем краю и б<0,5 на верх-
верхнем краю указанного интервала масс *).
Если будет доказано существование энтропийных возмущений
cMz&WMq, то ограничения на б при меньших массах и отсутствие
областей с антивеществом окажутся особенно существенными.
При случайном заполнении Вселённой веществом и антивеществом
на ранней стадии (в равновесии) барионы и антибарионы сосущест-
сосуществуют при Т^трса, кажется неизбежным появление областей с
избытком барионов. Но возможна и другая картина. Предположим,
что первично везде энтропия постоянна и везде есть избыток барио-
барионов. Движение вещества ведет к локальному появлению ударных
волн, к росту энтропии и появлению флуктуации энтропии. После
выравнивания давления пв зависит от координат, однородность
утеряна, возникли флуктуации. Но эти флуктуации таковы, что
везде Пв>Ь, аннигиляции (при 7V^mpc2) не происходит.
В заключение подчеркнем, что наблюдения, хотя и недостаточно
определенно, указывают на картину эволюции Вселенной с везде
положительным барионным зарядом.
§ 3. Адиабатические возмущения, акустические колебания
и влияние их на спектр РИ
В связи с теорией образования галактик было выяснено, что
необходимая амплитуда возмущений до рекомбинации порядка
&-£-„Ч_У±„ю-* A5.3.1)
р с у '
*) Эти ограничения связаны с зависимостью от г количества энергии, искажаю-
искажающей спектр. По сравнению с оригинальной статьей Сюияева, Зельдовича нижняя
граница 10~3 Mq изменена в связи с учетом высокотемпературной диффузии (см.
выше). На верхней границе учтено, что при j/^6* < 1 в гауссовом распределении
те»« не менее есть области, где б<—1.

460 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ: IS
Эта амплитуда относится к возмущениям, длина волны которых
соответствует массе порядка 1013 Mq. Возмущения меньшей длины
волны затухают в РД-плазме вследствие фотонной вязкости и
теплопроводности.
Вопрос, который рассматривается ниже, заключается в том,
можно ли обнаружить эти коротковолновые возмущения косвенно,
по искажениям спектра реликтового излучения.
Как было выяснено раньше (см. гл. 8), с современной методикой
наблюдений можно обнаружить выделение энергии порядка 3—
10%ет при 1400<z<104 и порядка 100% ev при 105<z<107 *).
Но энергия колебаний равна удвоенной кинетической энергии. По
порядку величины плотность энергии колебаний есть
Амплитуда акустических волн вблизи порога затухания — ~ 10~4
даст е~10~8 рс2~10~8 гу, т. е. весьма малую величину.
Эффект обнаружимого искажения спектра возможен лишь в
том случае, если амплитуда коротковолновых возмущений вели-
велика— порядка-^ = 0,2—0,3 для возмущений, затухающих при
1400<z<104, и — ~ 1 для возмущений, затухающих при 106<z<108.
В линейной теории возмущений затухание в первом (ближайшем
к нам) интервале z имеет место для возмущений с 1012>Af>108Af©,
а во втором интервале для \0bMo>M>l0~iMQ. Однако именно
потому, что ограничения на амплитуду очень слабые, амплитуда мо-
может быть значительной, и линейная теория затухания возмущений
оказывается неприменимой.
Какие ограничения на возмущения можно сделать априори,
не опираясь на исследования спектра реликтового излучения?
Возмущения плотности связаны с возмущениями метрики. По
порядку величины возмущения метрики в момент, когда линейный
размер возмущения равен / = с^рек (тмГдт") *, равны возмущениям
плотности в акустическом периоде, когда амплитуда возмущений
метрики не нарастает, t > tftK [ тщ-м~ ) * •
Возмущения метрики порядка единицы исключаются с боль-
большой уверенностью. В самом деле, такие возмущения могут при-
приводить к появлению отдельных коллапсирующих плазменных обра-
образований. При — ~ 1 общая плотность таких «черных дыр» космоло-
*) Здесь мы не вдаемся в детали, приводятся значения, относящиеся к Qs;0,3
(все подробности (см. в гл. 8).

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 461
§ 31
гического происхождения была бы сегодня огромной. Надо учесть,
что при раннем коллапсе, на РД-стадии, фотоны давали бы подавляю-
ий вклад в массу таких объектов, предсказываемых общей теорией
относительности («стонов»). Общая плотность отонов была бы больше
плотности обычного вещества даже в том случае, когда лишь в
мяпой части пространства происходит коллапс и образование отонов
1см Зельдович, Новиков A9676, 1971), Хоукинг, Карр A973)].
Итак, с уверенностью можно требовать — < 1.
Другое ограничение на амплитуду акустических волн возни-
возникает по более прозаической причине, и оно, по-видимому, более
действенно. Акустические колебания рассматривались выше в ли-
линейной теории, справедливой для малой амплитуды. Предполага-
Предполагалось, что амплитуда остается постоянной на протяжении длитель-
длительного времени, от момента начала акустических колебаний до момента
начала диссипации (§ 2 гл. 10). За это время волны малого масш-
масштаба — с малой длиной волны и малым периодом — успевают со-
совершить много колебаний. Становятся существенными нелинейные
эффекты: превращение синусоидальных волн в ударные [Пиблс
A970)], генерация высших гармоник. Оба эффекта неразрывно
связаны между собой. Последовательное и строгое рассмотрение
эволюции «акустической турбулентности», совокупности случайных
акустических волн дано в работе Захарова и Сагдеева A970).
Задачу легко решить для упрощенной модели — одномерного
движения без учета космологического расширения.
Скорость распространения малого возмущения относительно
неподвижной системы равна [см. Ландау и Лифшиц A953)]
*). A5.3.3)
где bv — невозмущенная скорость звука, а, р\ у — безразмерные
коэффициенты порядка единицы. Синусоидальная волна превра-
превратится в пилообразную за то время, когда расстояние между верши-
вершиной и впадиной волны (т. е. половина длины волны) будет преодо-
преодолено за счет различия скоростей распространения, Ь0(\-\-у6*)
и Ьо{\ —уб*), где 6* = МИ.Это время порядка*зв==^«-На следую-
следующем этапе распространение пилообразной волны сопровождается
Диссипацией акустической волны *):
*) Как известно, в ударной волне градиенты автоматически подстраиваются
так, чтобы дать диссипацию энергии, следующую из законов сохранения при
сколь угодно малых коэффициентах вязкости и теплопроводности [см., например,
•зельдович, Райзер A966)]. На другом языке, образование ударной волны сопро-
сопровождается появлением в спектре высших гармоник.

462 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
Здесь ры3 есть скорость диссипации энергии на единице поверхности
ударной волны при амплитуде изменения скорости и в ударной вол-
волне. Это уравнение (в котором систематически опускались численные
множители порядка единицы) легко интегрируется. Ответ имеет вид
6* = - ^ < ' . . A5.3.5)
Таким образом, по истечении определенного числа колебаний
N~a(t — /0) безразмерная амплитуда должна быть меньше \/N
независимо от начальной амплитуды — таков результат нелиней-
нелинейной теории. Время возникновения ударной волны из гладкой (на-
(например, синусоидальной) порядка -^ и соответствует времени
падения амплитуды вдвое; учет периода установления в пределе
не меняет результат, относящийся к большой общей длительности
процесса.
Какие изменения вносит отказ от упрощенной модели? При
учете общего космологического расширения нужно иметь в виду
изменение длины волны и частоты *) к ~ \^t, со ~ -^и вместо про-
t
изведения со(/ — /0) будет интеграл \ cod/. На нижнем пределе как
раз X0=ct0, coo/o=l, так. что
5!-. A5.3.6)
Здесь г„ = 5 • 108 1/ -^—, величину г выбираем порядка 106 в соответ-
ствии с моментом, начиная с которого наступают искажения спектра.
Труднее учесть тот факт, что волны распространяются во всех
направлениях. Рассмотрение нужно вести на языке генерации гар-
гармоник при нелинейном взаимодействии волн.
Эффективное взаимодействие возникает лишь для волн, длитель-
длительно действующих вместе с постоянным соотношением фаз. Проекция
скорости одной волны на направление другой равна fc0(l+v6*)cos G,
где G — угол между волновыми векторами. Потребуем, чтобы обе
поправки, уЬ* и A — cos G), были одного порядка, чтобы изменение
скорости волны компенсировало наклон G. Отсюда получим эф-
эффективный угол, при котором происходит взаимодействие:
*) При этом существенно, что рассматривается РД-период, само расшире-
расширение не изменяет амплитуду волны.

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 463
и соответствующий телесный угол составляет следующую долю от
полного: е2
Ж~6*- A5.3.7)
В другом варианте теории эта доля равна б *а.
Соответственно для перекачки энергии в высшие гармоники
получим
^r = co6»3+", A5.3.8)
где я=1 или 2. Решение этого уравнения (опять-таки с опущенным
численным множителем) есть
6* = (Л/ + бГ"~1)~"тт<Л/~"тт. A5.3.9)
Выпишем максимальную долю е энергии, которая может пой-
пойти на искажение спектра (уцелев после более ранкего периода
нелинейного затухания *)) при z=106 или 10е. При п=\ и
Л!=10* Mq е=0,005 для z=10B и е=0,05 для z=10e; при п=\ и
М = \ Мое=0,002 дляz= 10е. Если же п=2, то при Af=104 Mqh
z=10B 8=0,03; при том же М и z=10e е=0,12; соответственно
при М=ЖО и z=10e e=0,016.
Итак, вывод заключается в том, что с учетом нелинейного зату-
затухания акустических колебаний искажения спектра реликтового
излучения порядка нескольких процентов могли бы дать лишь вол-
волны масштаба от 10s — 104© М до 1012 Mq при достаточно большой
(больше 0,2—0,3) начальной амплитуде. Волны меньшего масштаба
при любой начальной амплитуде из-за нелинейных эффектов ослаб-
ослабляются в раннем периоде. К тому же амплитуды возмущений по-
порядка единицы исключены, так как они привели бы к образованию
отонов.
Уже отмечалось, что адиабатическую теорию возмущений можно
рассматривать на всем протяжении эволюции Вселенной от сингу-
сингулярного состояния. При этом достаточно задать в сингулярном
состоянии конечные флуктуации метрики, а флуктуации плотности
бр
— могут быть выбраны равными нулю при /-MJ.
Спектр флуктуации метрики может быть выбран плоским [Гар-
рисон A970а). Зельдович A973а)], с амплитудой возмущений мет-
метрики порядка 10~3 — 10~4 на всех длинах волн. При этом возму-
возмущения спектра соответствуют выделению энергии порядка
~=A0~в—10~8Iп-тг-, гаеМг —Af2 есть интервал масс таких, что
соответствующие возмущения затухают в «чувствительном» периоде
*) Подчеркнем, что при о0 > N п+' остающаяся энергия не зависит от на-
начальной.

464 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 16
эволюции, между z,.~108 и z2=1400. Для Л13— Ю12 Mq и Af,~
АЛ у
~ 10~8AfQ получим In д^ = 4,5 In ^ = 50. Но даже такой большой
логарифмический множитель не может компенсировать малость
исходных возмущений метрики, входящих в квадрате. Получается
~ < 10-*, что на один-два порядка меньше предела чувствитель-
в
ности возмущений спектра.
В целом адиабатическая теория образования галактик вполне
согласуется с отсутствием искажений спектра реликтового излу-
излучения.
§ 4. Возмущения пространственной однородности
и изотропии реликтового излучения
Согласно общепринятой концепции, Вселенная с большой точ-
точностью однородна и изотропна, во всяком случае, в течение большей
части времени расширения. Наиболее точно эту концепцию под-
подтверждает независимость интенсивности (спектра, температуры)
реликтового излучения от направления. До сих пор не обнаружены
отклонения, которые превышали бы точность опыта *) (-=- J < 10~3.
Отсюда и следует разумность выбора однородной изотропной модели
в качестве первого приближения.
В следующем приближении нужно учесть возмущения, нару-
нарушающие однородность и изотропию. Надо полагать, что эти воз-
возмущения могут быть различных типов и имеются во всех простран-
пространственных масштаб ' — от нуля до бесконечности (или от нуля до
размера Вселе1' случае замкнутой модели). Амплитуда воз-
возмущений мг азличной в разных масштабах.
С точ' тлогии для характеристики исходного со-
стоян1 'плитудой изменения метрики ~10~4 в
маг -«ль же интересны, как и возмущения с
У табе 1024 Mq или 0,1 (?) в масштабе
че амплитуда порядка 10~4 во всем
%
о, *о что возмущения плотности 6~
(^ Ое, % г б>1 на сегодняшний день **)
-<Я "О. v Ъ i претендуют на точность еще на
где tr-ч \ Ц. % 173)].
поправки, £j °^, ■%. 'новения жнзни и разума в пе-
СКорости ВОЛЬ^^г. \ до б>1, т. е. до нелинейной
фектИВНЫЙ угол, % \ чсштабах б< 1, тел нет, нет
Ч^ j ' t ^ -новения ядер тяжелее Н
%. 'определяются мировыми
"^ ~м удельной энтропии)
' " * 1013 M,-s, определяе-
•) При этом существенно, что pact*. ПЧ74»
иве не изменяет амплитуду волны. <■ а/ '•

. 4j ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОДНОРОДНОСТИ 465
и явно проявляются в наблюдаемой структуре Вселенной. Возму-
Возмущения малого масштаба, даже если начальная амплитуда их не
мала, затухают задолго до рекомбинации. Они не проявляются как
флуктуации температуры. Возможности косвенного обнаружения
мелкомасштабных флуктуации по спектру РИ обсуждены в пре-
предыдущих параграфах.
Возмущения малой амплитуды и большого масштаба проявляют-
проявляются в настоящее время (z=0) весьма слабо, как малая неравномер-
неравномерность плотности и скорости *). Рассмотрим возможность их обна-
обнаружения с помощью РИ.
Для этого нужно построить теорию углового распределения РИ
в возмущенной Вселенной.
Ряд авторов строит такую теорию, начиная с самого общего
уравнения распространения излучения в произвольной метрике,
зависящей от времени (см. Сакс и Вольф A967)]. Работа этих авторов
замечательна тем, что наряду со сложными расчетами дана ясная и
простая интерпретация результатов, которую ниже мы заимствуем.
В предлагаемой книге последовательно проводится противопо-
противоположный принцип — строятся частные, наиболее простые теории
рассматриваемых явлений; ценой потери общности мы стремимся к
простоте и наглядности.
Каковы особенности задачи, позволяющие упростить трактовку
явления?
В отсутствие возмущений РИ было бы полностью изотропным,
не зависело бы от угла. В этой ситуации изменение направления
лучей, в частности, упругое рассеяние или фокусировка, не вызы-
вызывает наблюдаемых эффектов. Об этом говорит основная теорема
геометрической оптики — сохранение яркости (потока энергии в
единице телесного угла) при преломлении и рассеянии без погло-
поглощения.
Теория изотропного фона оказывается во много раз проще теории
действия больших масс на излучение отдельных источников. Из
сказанного ясно, что никакие покоящиеся (точнее, покоящиеся
относительно общего хаббловского расширения, не обладающие
пекулярными скоростями) гравитационные линзы не нарушают
точной изотропии РИ для земного наблюдателя.
Изменение яркости происходит всегда по типу красного или
синего смещения спектра, имеем ли мы дело с доплер-эффектом
или с изменением частоты в гравитационном поле — в обоих слу-
случаях частоты всех фотонов смещаются в одинаковом отношении, а
безразмерные числа заполнения фотонами ячеек фазового простран-
пространства не изменяются. В результате планковский спектр остается
) Если Q<1, то возмущения малой амплитуды уже не растут и никогда
же при t—*cc) не достигнут большой амплитуды по плотности, не приведут
образованию изолированных, гравитационно связанных тел.

466 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 1Б
планковским, но со смещенным значением температуры. Это смеще-
смещение температуры может быть различным для различных пучков
лучей в зависимости от их «истории», от скорости источника и наб-
наблюдателя, от гравитационного потенциала в точках излучения и
приема и от нестационарных гравитационных полей на пути.
Гравитационное поле изолированного покоящегося тела не на-
нарушает изотропию, так как синий сдвиг на пути луча, приближаю-
приближающегося к телу, в точности компенсируется красным сдвигом на
продолжении пути, когда луч удаляется от тела. Не играет роли
и гравитационный потенциал того скопления или сверхскопления,
к которому принадлежит наша Галактика вместе с Солнцем и Зем-
Землей. Он создает только общий, не зависящий от направления синий
сдвиг, который нельзя выявить наблюдениями.
В не зависящем от времени гравитационном поле излучение оста-
остается в каждой точке равновесным, и, в частности, изотропным,
если оно равновесно на бесконечности; происходит лишь общее си-
синее смещение ^ = — 5.в ньютоновском приближении. Термодина-
Термодинамика в ОТО дает [см. Ландау и Лифшиц A964)] условие Vg0BT=
=const. Так как g00 = 1 -f- -^ , то этот вывод согласуется с ньютонов-
^
™ Д7 Av
ским при учете связи частоты и температуры Т~х, -=г = —.
Итак, возможная анизотропия РИ полностью характеризуется
распределением наблюдаемой температуры (характеризующей план-
ковское распределение) по небесной сфере Т(в, ф). Нет надобности
следить за поворотом, сужением или расширением пучка лучей,
воспринимаемого наблюдателем, поскольку Г F, ф) определяет
яркость *). Но для определения Г F, ф) достаточно проследить за
красным смещением вдоль луча. Это смещение зависит как от доп-
лер-эффекта, так и от действия гравитационных полей (т. е. иска-
искажения метрики) на электромагнитное излучение, на фотоны.
Фотоны являются релятивистскими частицами, поэтому они
«чувствуют» не только скалярный гравитационный потенциал (т. е.
отличие g^oo от 1), но и другие компоненты ga?. В частности, фотоны
взаимодействуют с гравитационными волнами, которые не содер-
ж ' "я в ньютоновской теории тяготения.
однако, рассматривать луч в каждой точке его траек-
чокально инерционной системе; в этом случае явное влия-
-м параграфе не рассматриваются физические процессы поглощения
тонов плазмой и рассеяния с изменением частоты. Эти эффекты,
8 и настоящей главе, могут создавать отклонения спектра от
">льку (как показывают наблюдения) все виды возмущений
шнцип суперпозиции малых возмущений. В данном случае
транственные (угловые) возмущения космологического
^ от тормозных комптоновских) можно рассматривать,

ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОДНОРОДНОСТИ 467
метрики, т. е. гравитационных полей, на красное смещение
гчезает Вычисление сводится к суммированию (интегрированию)
о ровского изменения частоты вдоль всей траектории. В целом
редлагаемый способ расчета сводится к следующему. Представим
pfie пространство заполненным совокупностью пробных частиц,
на которые не действуют никакие силы, кроме гравитационных.
Рассматриваем распространение лучей в этой среде и вычисляем
частоту света, измеренную наблюдателями, движущимися вместе с
пробными частицами. Изменение частоты на малом отрезке зависит
только от мгновенной относительной скорости соседних частиц и вы-
вычисляется по доплеровской формуле. Действительно, на отрезке
dr относительное ускорение дает вклад ~ (drJ в изменение частоты
света, исчезающий при dr-+0 и интегрировании *).
Не следует думать, что мы пренебрегаем влиянием гравитацион-
гравитационных полей: они учитываются точно, хотя и косвенно — через рас-
распределение скоростей пробных частиц. В невозмущенном решении
поле скоростей вблизи любой частицы задано законом изотропного
расширения u=H(f)r. При наличии возмущений — как продоль-
продольных, с изменением плотности, так и вихревых, или тензорных
(гравитационных волн) — поле скоростей становится анизотроп-
анизотропным, характеризуется тензором Hlk(Uj=Hlk гк), и тензор этот за-
зависит как от времени, так и от координаты г— одновременно теря-
теряется изотропия и однородность невозмущенной модели.
Напомним, что такой метод нахождения красного смещения дает
простой способ вывода законов красного смещения в невозмущен-
невозмущенной модели (§1 гл. 3).
. Смысл метода сводится к тому, что движение пробных частиц
находится точно и, если нужно, с использованием ОТО. Когда
движение частиц найдено, красное смещение вычисляется элемен-
элементарно.
Дополнительное соображение заключается в том, что при
малой амплитуде возмущений изменение траектории луча мало и
изменение красного смещения (ведущее к возникновению ДГ),
вычисленное вдоль невозмущенной траектории, также мало.
В невозмущенной задаче изменение траектории движения час-
частиц не меняет красного смещения. Вклад в изменение красного
смещения от изменения траектории — второго порядка малости и
потому может не учитываться. Ниже эти соображения применяются
к расчету AT (в, ф), т. е. амплитуды и углового распределения
по небу отклонений от изотропии РИ.
) Относительное ускорение Д* двух соседних частиц пропорционально рас-
угрянию между ними Дх. Дополнительная разность скоростей, зависящая от
ускорения, пропорциональна времени пробега света —. Зависящий от ускорения
вклад в красное смещение оказывается —(

468 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
Будем рассматривать Вселенную, заполненную веществом с
Я=0, что является хорошим приближением после рекомбинации *).
Очевидно, что рассматривать нужно только этот период: до реком-
рекомбинации фотоны испытывают многократное томсоновское рассеяние
на свободных электронах. После рекомбинации средняя энергия
фотонов и в особенности энергия фотонов в рэлей-джинсовской
части спектра во много раз меньше энергии ионизации водорода,
нейтральный газ прозрачен. Возможность вторичной ионизации
газа и рассеяния фотонов при z<LzveK обсудим отдельно, в связи с
конкретными предположениями о возмущениях. Итак, применим
изложенный выше принцип к произвольному полю пекулярной
скорости пылевидного вещества (Я=0). Это же вещество играет
роль пробных частиц, составляющих систему отсчета. Основное
уравнение доплер-эффекта:
v dt с dt
где и'п есть проекция скорости на направление луча.
В системе координат (со штрихом), в которой одна частица (д;0)
покоится и к тому же равно нулю ускорение этой частицы, разность
скоростей соседней частицы и данной целиком определяется про-
пространственной зависимостью скорости. Для частицы в точке х0
и(хв, /)=0, и'(х0, О^О; ДЛЯ соседних частиц
где дп — дифференциал длины от частицы х0 в направлении п. При
переходе в «лабораторную» систему координат мы добавляем к
и'(х, f) зависящую от времени скорость частицы х0:
и (х, t) = и' (х, t) + u (хв, t), A5.4.3)
поэтому вдоль распространения луча
dun
луч
дип (Xq. t) _ du'n
dt ~" dt
луч
—cgradn(p, A5.4.4)
где ф — ньютоновский потенциал, описывающий движение (уско-
(ускорение) частиц.
Интегрирование соотношения A5.4.4) вдоль луча дает относи-
тельное изменение частоты и, следовательно, температуры — = -jr-
*) Напомним, что плотность излучения равна 2-101 г/см3 при г=гр.к= '400,
плотнеет*вещества «3-10-*° flf ^g J . Следовательно, Р<0,2рс" при й>0,1. если
Як75 км/сек- Мпс, и £2>0,2 при Я=50 км/сек- Мпс. В дальнейшем в ходе рас-
расширения приближение становится все более точным.

i ВОЗМУЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОДНОРОДНОСТИ 469
При интегрировании первый член даст просто разность проекций
скорости в н чале и в конце пути (в момент /J:
(Ц A5.4.5)
элементарный вклад доплер-эффекта. Сложнее обстоит дело со
вторым членом, поскольку потенциал зависит не только от координа-
координаты но и от времени и подынтегральное выражение не является
полным дифференциалом.
Если длина волны возмущения невелика и направление луча
не специально перпендикулярно волновому вектору возмущения, то
<р, и gradncp являются быстро меняющимися функциями времени.
Пусть Ф=фо (t)eixkit), a 6 — угол между лучом и волновым векто-
вектором; тогда
gradnV = cose.Ve@|ft@|ete*('). . „__
fgrad^drf=r-— > A5-4-6)
причем фо@ и \k(f)\ — медленно меняющиеся (например, степен-
степенные) функции времени, а быстрая переменность ф(л;, 1) вдоль луча
зависит от того, что меняется показатель eixM} в ходе распростране-
распространения луча.
Интеграл вдоль луча определяется для функции такого вида
вкладом пределов (см., например, Зельдович, Мышкис A972)]
... A5.4.7)
Медленно меняющиеся функции в нашем случае пропорциональны
степеням времени t, отсчитанного от сингулярности; поэтому
фо <Рп
фо ~ -т-, ф0 ~ т! и каждый следующий член меньше предыдущего
kct ct
в отношениию/ = ^-р = jj-^-g. При cos 6~1 и для коротких волн
отсюда следует возможность оставить только старший член. При
этом получим полное -=-, интегрируя A5.4.4) вдоль луча и учи-
учитывая A5.4.5):
¥ |["@) + ^(^)] + 4k@)?1(M]- A5.4.8)
В этом приближении результат имеет чрезвычайно простой и ясный
вид: изменение частоты есть сумма доплер-эффекта, соответствую-
соответствующего пекулярной скорости, и чисто гравитационного влияния на

470 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ 15
В таком виде результат приведен в тщательно выполненной
работе Сакса и Вольфа, цитированной выше, как итог довольно
сложных расчетов в рамках ОТО. Отметим, что в этой работе гра-
гравитационное смещение содержит коэффициент 1/3. До сих пор не
ясно, как классически истолковать этот коэффициент. Применение
изложенных принципов к адиабатическим возмущениям большого
масштаба, к вихревым возмущениям, к гравитационным волнам
имеет в каждом случае свои специфические особенности, которые
обсуждаются вместе с конкретными физическими результатами
в следующих параграфах.
§ 5. Обнаружение возмущений плотности с помощью
реликтового излучения
■ Рассмотрим возмущение плотности, но не слишком большого
масштаба A013Afo—lO23Af0) и малой амплитуды. Нижний предел
интервала соответствует наименьшему не затухающему из-за дис-
диссипации масштабу при /рек, верхний предел соответствует горизонту
ct0, U — сегодняшний момент. Для простоты сначала примем й=1.
Естественно предположить, что спустя достаточное время после
рекомбинации мы имеем дело с растущим возмущением: если, на-
например, в момент рекомбинации растущие (~/Vl) и убывающие
(~/-1) возмущения были представлены с амплитудой одного по-
порядка, то к настоящему времени амплитуда убывающих возмущений
окажется ничтожно малой по сравнению с амплитудой растущих
возмущений. Из того факта, что мы имеем дело с растущими воз-
возмущениями, вытекают два следствия.
Первое — вполне определенное соотношение между амплитудой
и фазой возмущения плотности, с одной стороны, и амплитудой,
направлением и фазой пекулярной скорости, с другой стороны.
Если записать k-ю фурье-компоненту возмущения плотности в виде
Р A5.5.1)
то скорость
Здесь х — координата (измеренная в см, не сопутствующая), бо,,
и k0 — постоянные величины, /0 — сегодняшний возраст Вселен-
Вселенной (~1010 лет). Рассматриваем плоский мир, й=1, Я=75 км/сек-
•Мпс. Итак, сегодняшней амплитуде плотности бОк соответствует
также сегодняшняя амплитуда скорости
| = c6uft (<^щу- = 4- 10.в- (^)'Л (см/сек),

. j ОБНАРУЖЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ 47j
причем скорость направлена по волновому вектору возмущения •).
Выражение |ы|шах записано в виде, явно выделяющем масштаб гори-
горизонта do, охватывающий Af=4- 1023Af©.
Второе следствие заключается в том, что в растущем возмущении
максимальное воздействие на РИ оказывает ближайший к сегодняш-
сегодняшнему дню период. По этой причине также не существенно, имели
ли мы дел0 Д° рекомбинации с адиабатическими или энтропийными
возмущениями, лишь бы они давали растущую моду возмущений
в нейтральном газе (после рекомбинации) одинаковой амплитуды,
^гот принцип можно распространить и на возмущения плотности,
появляющиеся во втором (нелинейном) порядке из вихревых воз-
возмущений, но здесь влияние первого порядка вихревых возмущений
скорости может оказаться больше.
Итак, мы рассматриваем движение вещества, заданное форму-
формулами A5.5.1), A5.5.2), на фоне РИ, которое в первом приближении
однородно и изотропно **).
Перейдем от отдельной волны к статистической совокупности
волн. Нужно сложить (векторно!) скорости, обязанные возмуще-
возмущениям всех длин волн.
По определению
nk3, где M = p(yJ , A5.5.3)
причем
к оо
lk2dk = \ bl(M)d \r\Al. A5.5.4)
м
Здесь б2 (М) есть среднеквадратичное уклонение плотности от сред-
средней в масштабе, большем заданного нижним пределом М. Отсюда
получим вероятное значение скорости в большом масштабе:
УЪ = с j/j
6l(M) (j-^-y'd In M. A5.5.5)
*) В момент рекомбинации, от которого мы начинаем рассмотрение возму-
возмущения, плотности и скорости находятся не в том соотношении, которое соответст-
соответствует чистому растущему возмущению. Поэтому первично возникает суперпози-
суперпозиция растущих и падающих возмущений.
**) Существенно ограничение масштаба длиной волны меньше ct0, массой
меньше 1023 Mq. В большем масштабе (этот случай будет рассмотрен отдельно)
существенно увлечение РИ вместе с веществом. Возмущение, масштаб которого
превосходит горизонт Х>с*0, ненаблюдаемо в пределе V^>ct, так как соответствует
отличию плотности в точке наблюдения от плотности в области, принципиально
ненаблюдаемой. Чтобы отразить это обстоятельство, можно при вычислении ам-
амплитуды скорости [см. далее A5.5.5)] либо ограничить интегрирование верхним
пределом Маз= ■ =1,либо заменить под интегралом М2 например на

472 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
Итак, главное возмущение изотропии наблюдаемого нами РИ
зависит от сегодняшнего пекулярного движения самого наблюда-
наблюдателя! Получающаяся при этом угловая зависимость РИ дается
простейшим выражением:
[)в A5.5.6)
где 6' — угол между направлением наблюдения и направлением
пекулярной скорости. Наблюдения угловой зависимости интен-
интенсивности РИ (его температуры) проводят обычно с помощью ан-
антенны, неподвижно зафиксированной относительно Земли. При
таком способе действий устраняется ряд экспериментальных оши-
ошибок, что существенно для достижения максимальной чувствитель-
чувствительности.
Антенна прочерчивает на небесной сфере окружность по мере
вращения Земли. Непосредственно измеряется зависимость темпе-
температуры от времени; эту зависимость разлагают в ряд Фурье, как
функцию с периодом в одни звездные сутки, усредняя данные
многих суток наблюдений. Рассматриваемый выше тип возмущений,
зависящий от сегодняшней пекулярной скорости, соответствует
24-часовой гармонике:
(^ )(^ ) A5.5.7)
где ф — угол между вектором скорости и осью вращения Земли,
■ф — угол между направлением приема антенны и осью вращения
Земли.
Наиболее точные измерения дают (полагаем ориентировочно
sin ф sin tj) ~ 0,5) -L^-L « 10~3. Неприятная особенность этих из-
измерений заключается в том, что возмущения различного масштаба
(например, движение Солнечной системы в Галактике и движение
Галактики в местной группе) дают один результирующий вектор
скорости. В рассматриваемом приближении угловая зависимость
не позволяет разделить вклад в общий вектор скорости отдельных
причин.
Тесно связана с предыдущим и вторая трудность. Точное изме-
измерение изотропии РИ проводится только в одной точке Вселенной.
Насколько статистически весомым является результат? Не может
ли измеренное на Земле значение \и\ (или верхняя граница, \и\<С
<300 км/сек) быть результатом случайной компенсации вклада
различных возмущений именно для нашей Галактики, для Земли?
Ответ на этот вопрос может быть только вероятностным. Можно
найти вероятность того, что при большой средней (по Вселенной)
пекулярной скорости случайно скорость Галактики оказалась
малой. При этом весьма существенно, что в принципе измерение

. ОБНАРУЖЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ 473
скорости есть измерение трех компонент вектора и эти три компо-
компоненты статистически независимы. Пусть среднеквадратичное зна-
значение пекулярной скорости по Вселенной равно и0 и вероятность
найти данное значение скорости и определяется нормальным за-
законом. Тогда
- uv uz)duxduyduz =
(JU±ft^)]u'duydu- A5-5-8)
Вероятность того, что скорость меньше ии где Ui<^u0, есть
W(uJ = p@. О, 0)£«г = £(£)"'(£)'. A5.5.9)
Высокий показатель степени, равный трем, как раз и получается
за счет трехмерности мира (и трех независимых компонент). С не-
небольшой нестрогостью можно сказать, что с вероятностью лучше
0,999 среднее и0 меньше 10~2с. Если на Земле измерено |ы|<10~3с,
то с вероятностью лучше 0,93 среднее и„ меньше 2,5-10~8с. В дей-
действительности в настоящее время мы плохо знаем проекцию ско-
скорости на полярную ось, большая часть измерений относится к
проекции скорости на плоскость экватора.
В пределе, если о полярной компоненте ничего не известно,
оценки ухудшаются: получим W (uj ~ ( — ) (степень 2, так как
, \ио/
две компоненты); с достоверностью 0,999 найдем ыо<3-10~2с;
с достоверностью 0,93 найдем ив<С4-Ю~ас (при тех же условиях,
что и выше). Крайне желательно, чтобы были преодолены экспери-
экспериментальные трудности и выяснена изотропия РИ на всей небесной
сфере. Эта задача важна и в связи с некоторыми анизотропными
космологическими моделями (см. раздел IV).
Важнейший вывод из предыдущего заключается в том, что
в плоской космологической модели (Q=l) сегодняшняя амплитуда
возмущений плотности в масштабе горизонта, несомненно, меньше
0,01. Между тем в масштабах скоплений галактик сегодняшняя
амплитуда гораздо больше единицы. Следовательно, спектр воз-
возмущений, несомненно, является падающим. Исследование РИ
наносит решительный удар по концепции иерархической структуры:
в этой концепции предполагается, что галактики образуют скоп-
скопления, скопления образуют сверхскопления, сверхскопления обра-
образуют сверхсверхскопления и т. д., так что в каждом масштабе
амплитуда плотности порядка единицы.
Уточним логическую сторону этого опровержения. В его ос-
основе, кроме наблюдения изотропии РИ, лежат еще и общие пред-
представления об эволюции горячей Вселенной от состояния большой
плотности до современного состояния. Эти представления также

474 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
в конечном счете основаны на наблюдениях, и прежде всего на
наблюдениях спектра РИ.
Прямое исследование распределения скоплений галактик по
небесной сфере, проделанное Цвикки, Герцогом и Вилдом A968),
Ю и Пиблсом A969), Пиблсом A9736, 1974а), Хаузером и Пиб-
Пиблсом A973) (см. § 11 гл. 14), также подтверждает отсутствие
структурных единиц выше Af~1014.Mo, что противоречит идее
иерархической структуры. Однако исследование РИ приводит к
тому же выводу с большей точностью и надежностью.
В заключение заметим, что возмущения скорости в принципе
можно измерять по наблюдениям далеких галактик, а не РИ. От-
Относительные скорости удаленных галактик измеряются и непосред-
непосредственно по смещению спектральных линий. Однако использование
этих измерений для характеристики возмущений затруднено, так
как главная часть измеряемого эффекта связана с невозмущенным
хаббловским красным смещением. Чтобы найти пекулярную ско-
скорость, нужно вычесть хаббловскую скорость, пропорциональную
расстоянию. Очевидно, что такая процедура весьма неточна и
оценки получаются грубые. Не следует думать, что ошибка в опре-
определении пекулярной скорости соответствует неточности, с которой
известна постоянная Хаббла G5±25 км/сек-Мпс по данным до
1972 г.; 53±5 км/сек-Мпс по данным Сэндиджа 1972 г., см. §9
гл. 3). В определении Н труднее всего бороться с систематическими
ошибками, в особенности в связи с многоступенчатой системой
определения шкалы расстояний. Именно с изменением i шкалы
были связаны драматические скачки от #=560 км/сек-Мпс в 1930 г.
к современным значениям.
Для характеристики возмущений достаточно найти среднеквад-
среднеквадратичное уклонение скорости галактик от средней кривой зависи-
зависимости z — т в пределах однотипного ряда наблюдений. Такая
кривая и положение отдельных точек измерений даны на рис. 18
из статьи Сэндиджа A9726).
Приписывая все уклонения от прямой пекулярным скоростям,
получим по данным работ Сэндиджа A9726, в), что среднеквадра-
среднеквадратичное уклонение составляет округленно ы'^0,04ыи=0,04Яг (Мн=
=Нг — хаббловская скорость) во всем интервале 0,03<z<0,5,
С С
т. е. для г от 0,03 jr до 0,5 „- [новые данные см. Сэндидж,
Тамман A974д)]. Из этих данных получаем, что изменения плот-
плотности вследствие растущих возмущений порядка
Й<0'04- A5.5.10)
Итак, мы получили ограничение на флуктуации плотности большого
масштаба из оценки отклонений скоростей удаления скоплений
от кривой Хаббла. Для наибольшего масштаба это ограничение

e] СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ 476
на порядок или полтора слабее того ограничения, которое вытекает
из исследования анизотропии РИ. Однако большим преимуществом
метода красных смещений галактик является то, что используется
много отдельных измерений (практически около 100), тогда как
скорость по РИ измеряется для одного только объекта. Поэтому
представляется, что метод красных смещений хоть и менее чувст-
чувствителен, но более надежен (правда, это интуитивное ощущение
нелегко'выразить в числах).
§ 6. Спектр возмущений и гиперболическая модель
с малой плотностью
Измерения РИ приводят к важнейшему выводу относительно
малости амплитуды наиболее длинноволновых возмущений: б (Af)^
<10~3 для М~ 10мЛ*о, А,~с/0; 6(Л*Х10-2дляЛ*~ 1020Afo, A,~O,lc/;
вДОКЛО для Af=1017Afo, А,~0,01с/1( причем с/0~5000 Мпс.
Наконец, для 1014Af© получим 6(Af)^l. .
Здесь возмущения плотности Ь(М) приведены для настоящего
времени. Но скопления галактик с массами порядка 1013—1014Л!о>
несомненно, существуют и достаточно рельефно выделяются на
картах неба в настоящее время. Есть основания полагать, что они
образовались не позднее гск~2 или 4. Это означало бы, что в ли-
линейной теории б (Л1СН)~ 1 при этом zCK (здесь Мск— масса скоп-
скопления), а значит, сегодня (z=0) экстраполированное по линейной
теории 6(AfCK, z=0)>3—5.
Таким образом, на первый взгляд налицо противоречие (хотя
и не очень надежное) между оценками Ь(М) по 24-часовым флук-
туациям РИ и прямыми наблюдениями структуры Вселенной.
Вопрос о надежности наблюдений и их статистическом весе
кратко обсуждался в предыдущем параграфе. Насколько надежна
-теория?
В основу были положены два предположения: а) малость воз-
возмущений, б) плоская модель с й=1. Если возмущения не малы,
то при б»1 в соответствующем масштабе возникают гравитационно
связанные образования; будем называть их скоплениями. В скоп-
скоплении скорости составляющих его меньших структурных единиц
подчинены теореме вириала, не возрастают с течением времени,
так как рост возмущений прекращается, но и не убывают в хо-
ходе расширения. Таким образом, вывод линейной теории при
б>1, очевидно, уже неприменим и никакого противоречия не воз-
возникает.
После образования скоплений нужно рассматривать в рамках
линейной теории возмущения большего масштаба, но еще малой
амплитуды, для которых скопления являются атомами газа.
Однако еще более важно изменение теории при отказе от рас-
рассмотрения плоской модели. Напомним, что оценка массы вещества

476 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
в звездах и в газе неизменно дает значения плотности меньше кри-
критической (см. §11 гл. 14).
Отказ от второго предположения (Q=l) и учет особенностей
гиперболической Вселенной (Q<^1), по-видимому, объясняют соот-
соотношение между скоростью, измеренной по РИ (и по диаграмме
Хаббла), и возмущениями плотности. Характерным для возму-
возмущений в мире с Q<^1 является то, что, начиная cz+l~ -~- ,
возмущения плотности не растут, а пекулярная скорость падает
с течением времени (см. гл. 11) в линейной теории.
Значит, в этом предположении можно совместить образование
скоплений [т. е. Ь(Мск)ях1 при zCK>l] с тем фактом, что для боль-
больших масштабов (Af>AfCK), где б(М)<1 при z=zCK, возмущения
О 4
скорости малы. После z-\-1 ~-k-- т. е. после выхода на милнов-
ское расширение, скорость падает обратно пропорционально ра-
радиусу мира, т. е. пропорционально z+1-
Таким образом, появляется аргумент в пользу выбора Q<^1,
не зависящий от традиционных методов определения массы скоп-
скоплений, плотности газа или искривления линии на диаграмме Хаббла.
Этот аргумент перекликается с высказыванием Сэндиджа A9726, в);
см. также Сэндидж, Тамман A974д, е).
В этих работах Сэндидж весьма скептически отзывается о воз-
возможности определения параметра ускорения д0 (<?0 = у Для Я=0,
см. §9 гл. 3). Он подчеркивает [см. также доклад Таммана A973а)],
что при средней плотности р=рс, соответствующей Q=l, в областях
с плотностью больше средней отклонения от хаббловского. закона
были бы весьма велики. Солнечная система и галактики действи-
действительно не расширяются (их плотности на много порядков больше
средней), между тем в группах, где р~C—5)р, наблюдается слабо-
слабовозмущенное хаббловское расширение.
На другом языке, этот аргумент совпадает с тем, что было из-
изложено выше с помощью свойств решений теории возмущений.
§ 7. Угловое распределение флуктуации РИ
Реликтовое излучение, вероятно, приходит к земному наблю-
наблюдателю, не испытывая рассеяния после рекомбинации плазмы,
при zpeK~l400. Поэтому угловое распределение температуры
реликтового излучения дает возможность непосредственно «уви-
«увидеть» (в радиодиапазоне) дозвездную плазму на ранней стадии
эволюции.
В частности, можно выяснить, насколько однородной была
плотность плазмы на этой стадии, насколько точно скорость соот-
соответствовала модели Фридмана.

7] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ РИ 477
Локальные отклонения плотности и скорости должны дать ло-
локальные (в направлении луча, приходящего от этого места к на-
наблюдателям) флуктуации температуры на небесной сфере. В прин-
принципе, изучение таких флуктуации, зависящих от 0, ф — двух
угловых переменных, дает гораздо больше информации по срав-
сравнению с измерением одной величины (точнее, одного вектора) —
скорости наблюдателя относительно поля РИ.
функция А7'(в, ф) характеризует амплитуду и пространствен-
пространственный масштаб возмущений фридмановской модели. Изложение в
этом параграфе основано на работе Зельдовича и Сюняева A970).
Начнем с выяснения соотношения между линейным размером
неоднородности в момент рекомбинации грен, размером в настоящее
время г0, характерной массой М и углом 6, под которым видна
такая неоднородность. Принимая, как и везде, Я=75 км/сек-Мпс,
рс= 10-ав г/см3, Р<^и и используя формулы 6 = -^|—°, tjj (г ^> 1) = ^
(см. гл. 3), для момента рекомбинации получаем •
q »—рек-рек '0" / '0 1О1Ч1П-1 iiC7|\
С другой стороны,
A5.7.2)
Поэтому для момента рекомбинации получим
6=2.5.10-0-/. (jgiJSy'" рад^ЮВГь (io4^)% У*л. мин.
A5.7.3)
Силк A968) первый поставил вопрос о том, что возмущения, при-
приводящие к образованию галактик, должны одновременно давать
флуктуации РИ. Он дал оценку амплитуды, соответствующую об-
общему сжатию материи и излучения:
Для оценки б рассматривался рост возмущений. Если 6~1
при 2~4, то при z= 1400 было б ~ ^ , а следовательно, ожи-
ожидаемое (по Силку)
^-10- A5.7.5)

478 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 15
Поисками мелкомасштабных возмущений занимались многие
радиоастрономы. Отметим последние работы: Карпентер, Гулкие,
Сато A973), Бойнтон и Партридж A973), Парийский A973). В
первой работе измерения проведены на длине волны Я,=3,56 см и
показано, что ATJT <0,7-10~3 в масштабе 2',3. Во второй работе
Я,=4 см, АТ/Т<3,7-\0~3 в масштабе 80". В третьей работе ре-
результат, приведенный автором: А7'<1,7-10~4 °К в масштабе 12x40
угловых минут. Однако позже Парийский (устное сообщение) нес-
несколько изменил свою оценку. С учетом сложного вида диаграммы
направленности антенны, его данные, по-видимому, не противоре-
противоречат АТ/Т~A—5)-10~* в масштабе 3—5 угловых минут. Однако
даже после этой ревизии верхняя граница наблюдаемых флуктуа-
флуктуации температуры РИ ниже по крайней мере в три раза по сравне-
сравнению с оценкой Силка.
Означает ли это, что неверна теория образования структуры
Вселенной из возмущений? Нет, в действительности оценка Силка
нуждается в серьезных изменениях. Проведем анализ этого во-
вопроса.
В соответствии с расчетами Сакса и Вольфа (см. § 4 этой главы)
надо учитывать также изменение температуры в ходе распростра-
распространения света и доплер-эффект, связанный с движением плазмы.
Пока грек<с<рек (что соответствует M^10"Mq), вполне допу-
допустимо ньютоновское рассмотрение плазмы в момент рекомбинации.
Движение плазмы до рекомбинации представляет собой суперпо-
суперпозицию стоячих акустических волн. На момент рекомбинации спра-
справедливы формулы
ОРрек6 ек ,
7i ~ , A5.7.6)
йрек
где брек— возмущение плотности, ырек— пекулярная скорость,
бфрек— возмущение гравитационного потенциала, /г^— волновой
вектор возмущения, ррек— плотность,— все на момент рекомби-
рекомбинации. Далее, Ъ есть скорость звука в этот момент, Ь= с
Для более поздней эпохи z<ZpeK можно вычислить возмущение
плотности [см. формулу (9.5.10)]:
Здесь 6(z) есть (вычисленное по линейной теории) возмущение
плотности в момент г. Формула справедлива лишь для z<^H00,
т. е. она относится к периоду после рекомбинации, когда колебания
РД-плазмы полностью превратились в растущие возмущения в
нейтральном газе. В выражении для 6(z) учтены переходные про-
процессы в ходе рекомбинации. Соотношение между 6(z) и ugeK при*

УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ РИ 479
енно описывает результаты линейной теории возмущений для
о^Т Это соотношение позволяет определить амплитуду интере-
цИХ нас величин 6pelf, uPeK, бфрек, задаваясь моментом обра-
С^Ю ия скоплений или предполагаемым современным значением
неоднородности.
Флуктуации температуры РИ состоят из двух частей:
ДГ "рек C°S в ДГ 1с , 6Фрзк
Т — С ' Т 3 "Р<=к^ С2 ■
Они записаны раздельно, потому что в стоячей волне и и б не кор-
ретированы (u~cos kx, 6~sinA:.x:, (u6)=0). Между тем брек и 6фрек
коррелированы между собой, притом так, что гравитационное
красное смещение уменьшает флуктуации, зависящие от избытка
плотности.
Полная компенсация достигается при /грек=с<рек, т. е. на краю
рассматриваемого интервала масс, Мяж«A—3)-1О16£3:"гЛ10 (при
Й>0,1); см. § 1 гл. 10.
&Ррек
При Мяй1014Л1© членом —^— можно пренебречь. Далее,
"рек ^ R
поскольку скорость звука меньше скорости света, то < орек;
значит, вклад допл ер-эффекта меньше (хотя и того же порядка)
по сравнению с «силковским» изменением температуры -o&9tK-
Итак, для Af-<1017Afo подробный анализ подтверждает, по
Д71 1
порядку величины, основной результат A5.7.4): -=- ~ -=- 6рек.
Первая поправка к этому результату заключается в том, что для
получения заданного Ь(г) нужно возмущение плотности б^ мень-
меньшее, чем полагал Силк, благодаря тому, что растущая мода возбуж-
возбуждается движением нейтрального газа после рекомбинации. Поправка
(см. §6 гл. 10) равна (^—J *, т. е. порядка 0,1 для M=1014Mq
и Q=0,3. Таким образом, ожидаемая величина -=- уменьшается
до 10~4. Однако главный эффект, уменьшающий ожидаемое -=-,
связан с тем, что рекомбинация и исчезновение свободных элект-
электронов происходят не мгновенно.
Выше молчаливо предполагалось, что переход от непрозрачной
плазмы к абсолютно прозрачному нейтральному газу происходит
мгновенно, так что наблюдаются скорость, температура, спектр
определенной частицы плазмы. При постепенной рекомбинации
все величины усредняются. Скорость, плотность и температура
VUji бы взвешиваются по траектории луча. Функция взвешивания

480 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ 15
характеризуется тем, что вес равен половине максимального в
пределах 9бО<«<1135 [см. цитированную работу Зельдовича и
Сюняева A970)]. За время изменения z в этих пределах луч проходит
путь, равный (для Q=l) 0,l2ct, т.е. ненамного меньший, чем
характерный размер, соответствующий джинсовской длине волны.
Флуктуации в меньшем масштабе подвергаются сильнейшему
усреднению и сглаживанию. По оценкам для M=1011Mq, коэффи-
коэффициент уменьшения у- составляет 1Q-". Поэтому отсутствие мел-
мелкомасштабных флуктуации температуры РИ не означает отсутствия
флуктуации плотности, температуры и скорости газа после реком-
рекомбинации в соответствующем малом масштабе. Эффект сглаживания
совершенно исчезает при переходе к крупномасштабным флуктуа-
циям, M>1017Q~2Mq.
При данном возмущении плотности возмущение гравитацион-
гравитационного потенциала пропорционально квадрату длины волны, т. е.
~М'/г. Итак, при M>10"Q~'Mq именно «потенциальное», гра-
гравитационное красное смещение становится главным.
Результат можно формулировать иначе: для длинных волн мы
наблюдаем
AT I R 1 бРвещ
~т~ ~ т ° ~ т~х— •
* о *5 Рвещ
но значения б нужно брать на характерный момент, когда длина
волны возмущения становится равной горизонту, А,=с/. Для длин-
длинноволновых возмущений этот момент наступает намного позже
рекомбинации *). ,
Поэтому для максимальной массы, соответствующей всей на-
наблюдаемой Вселенной, изотропия РИ дает-=г < 3-10~4, б (сегод-
(сегодня) < 10~3. Для возмущений с характерным размером (в настоя-
настоящее время) порядка 0,lct=500 Мпс получим оценку амплитуды
возмущений плотности сегодня б<0,1.
Эта оценка чрезвычайно значительна. С достоверностью можно
утверждать, что в масштабе 500 Мпс нет выраженных сверхскоп-
сверхскоплений!
До недавнего времени эволюция наблюдений (обработки на-
наблюдений) вела к обнаружению все больших структурных единиц,
но данные по РИ кладут четкий предел этому процессу.
Наконец, остается недостаточно изученным вопрос о флуктуа-
циях, масштаб которых гораздо больше сегодняшнего горизонта
ctB. Уменьшение наблюдаемых флуктуации РИ для возмущений
сверхдлинного масштаба можно объяснить тем, что в таком мас-
*) Рекомбинация не играет роли для длинноволновых возмущений — эв0'
люция материи и излучения по-прежнему идет параллельно, без разделения,
пока \>ct.

УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ РИ 481
бе происходит главным образом общее движение вещества и
„пО1П|а в малой степени ( ~%-) возникает движение вещества
излучении, и \ а /
носительно ИЗЛучения, а только относительное движение дает
наблюдательные эффекты!
Амплитуда пекулярной скорости, как отмечалось выше, по-
пядка 10~" с. Это не исключает того, что в масштабе 1000 ct (фор-
(формально соответствующем массе 1081Afo) амплитуда скорости порядка
амплитуда отклонений плотности и метрики порядка единицы.
' При рассмотрении Вселенной как целого мы всегда подчерки-
подчеркивали, что представление о бесконечной, однородной и изотропной
Вселенной является экстраполяцией наблюдений, относящихся
к ограниченной области. Но всякая экстраполяция содержит не-
ненадежность, притом возрастающую по мере продвижения дальше.
Приведенные выше числа являются попыткой полуколичественного
выражения ненадежности экстраполяции.
В заключение главы необходимо еще раз отметить следую-
следующее. Анализ показывает, что рассмотренная выше адиабатиче-
адиабатическая теория образования галактик при Q^O.l не противоре-
противоречит верхней границе АТ/Т^5-Ю~*. Численный анализ прове-
проведен Пиблсом и Ю A970), развитие вопроса дано Дорошкевичем,
Зельдовичем, Сюняевым.
16 я.
Б- Зельдович. И Д Иоников

ГЛАВА 16
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ
§ 1. Введение
Гравитационные волны, предсказанные общей теорией относи-
относительности, распространяются со скоростью света, характеризуются
определенной плотностью энергии и потоком импульса [см., на-
например, Зельдович, Новиков A971)] или — в хаотическом наборе
волн — плотностью энергии и давлением. Отличительная особен-
особенность гравитационных волн — их слабое взаимодействие с обычным
веществом и между собой.
Сенсационные сообщения Вебера A969) об открытии гравита-
гравитационных волн, испущенных ядром нашей Галактики, по-видимому,
не подтвердились более поздними опытами *). Тем не менее эти
сообщения чрезвычайно усилили интерес к различным аспектам
гравитационных волн и, в частности, к вопросу об их космологи-
космологической роли.
Мы уже неоднократно упоминали, что во Вселенной могут су-
существовать космологические гравитационные волны с самого на-
начала расширения. Они не имеют каких-либо источников, точнее,
их источником являлось сингулярное состояние. Спектр их может
быть, вообще говоря, произвольным. Это могут быть как высоко-
высокочастотные гравитационные волны, скажем, с длиной волны того же
порядка, что и у реликтового электромагнитного излучения, так
и гораздо более низкочастотные, с длиной волны порядка размеров
скоплений галактик и больше.
Не состоит ли Вселенная в основном из гравитационных волн?
Не может ли плотность гравитационных волн (плотность энергии,
деленная на квадрат скорости света) превышать в настоящее время
*) Обзор экспериментальных данных дан в докладе Тайсона A973); см. также
Брагинский и др. A974).
Эти работы содержат прямое опровержение утверждения Вебера о том, что
ен регистрирует гравитационные волны. Воспринимающий элемент, «антенна»,
в упомянутых работах практически не отличается от веберовской, однако техника
регистрации деформаций антенны усовершенствована.
Возможно, что разгадка разногласий связана с помехами, влияющими на
аппаратуру Вебера. В этой связи весьма интересен впервые отмеченный Адамянц,
Алексеевым и Колосницыным A972) факт корреляции всплесков Вебера с земной
и солнечной магнитной активностью.

ВВЕДЕНИЕ лад
f 1]
ость обычного вещества или, по крайней мере, плотность
электромагнитного излучения?
Каков спектр гравитационных волн? Слабое взаимодействие
с веществом не позволяет дать прямой экспериментальный
ответ на поставленные вопросы. Поэтому в данной главе мы будем
б ждать косвенную информацию, т. е. судить о гравитационном
излучении, заполняющем Вселенную, по различным астрофизи-
астрофизическим проявлениям. Перечислим различные эффекты:
1) Влияние гравитационного излучения на общее расширение
Вселенной и в особенности на возраст Вселенной.
2) Влияние гравитационного излучения (через скорость расши-
расширения) на закон роста возмущений, связь с теорией образования
галактик.
3) Влияние гравитационного излучения на нуклеосинтез на
весьма ранней стадии, при температуре порядка 10е—1010 °К,—
также косвенно, через изменение температуры в процессе расши-
расширения, но на стадии более ранней, чем в пп. 1), 2).
4) Передача энергии от гравитационных волн галактикам в
скоплении или самим скоплениям.
5) Влияние гравитационных волн на распространение реликто-
реликтового излучения. Для длинных волн этот подход наиболее инфор-
информативен. Точность измерения такова, что в области длинных волн
удается доказать космологическую малость плотности энергии
гравитационного излучения, по крайней мере в указанной части
спектра.
Теория в свою очередь приводит к некоторым предсказаниям о
гравитационном излучении. Следует рассмотреть такие проблемы:
6) Тепловое коротковолновое гравитационное излучение, ана-
аналогичное электромагнитному реликтовому излучению; первым
стоит вопрос об установлении термодинамического равновесия
вблизи сингулярности.
7) Длинноволновое излучение и его связь с другими типами
возмущения метрики, в частности с адиабатическими возмущениями
плотности.
8) Генерация гравитационных волн в галактиках и в ядрах
галактик.
Для такого полного рассмотрения вопросов, связанных с кос-
космологической ролью гравитационного излучения, необходимо на-
напомнить фундаментальные классические результаты, касающиеся
гравитационных волн, а именно:
9) Общие выражения и числовые оценки стандартной теории *).
Ю) Результаты, относящиеся к эволюции гравитационных волн
в расширяющейся Вселенной.
) Изложенное ниже развивает сведения о гравитационных волнах, содер-
содержащиеся у Ландау и Лифшица A973) и в ТТ и ЭЗ.
16»

484 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
Перечисленные 10 пунктов в основном исчерпывают содержание
данной главы. Общий вывод, хотя и неокончательный, скорее
неутешителен для любителей сенсаций; устанавливается ряд не-
неравенств, ограничивающих плотность гравитационного излучения.
Однако ударение следует сделать на тех областях спектра, которые
остаются неизученными в настоящее время. В предлагаемой главе
намечается программа дальнейших исследований и обсуждаются
пути и методы исследования.
Порядок расположения следующих параграфов не соответст-
соответствует расположению перечисленных 10 пунктов.
§ 2. Общие сведения о гравитационных волнах
В пустом пространстве (Trt=0) возможно решение уравнений
ОТО с метрикой вида
dsa = cM/2—g^dx^dx», gliv = &liv + hllv(t, *). A6.2.1)
соответствующей слабовозмущенной метрике Минковского. Си-
Систему координат можно выбрать таким образом, что уравнения Эйн-
Эйнштейна Rik—g- gikR = 0 в линейном noh^ приближении приводят
к уравнениям для А^ вида
□ /W = 0. A6.2.2)
Элементарные решения этого уравнения суть
A6.2.3)
Координатные условия, обращающие уравнения Эйнштейна
в уравнения A6.2.2), позволяют наложить еще следующие
условия на h^:
А{{«» = А = О, А"»^ = А<К^ = О. A6.2.4)
Четыре условия A6.2.4) для Аа, образуют четыре связи, остав-
оставляя из шести компонент независимыми только две. Эти две компо-
компоненты характеризуют два состояния поляризации плоской гравита-
гравитационной волны.
Элементарные решения A6.2.3) образуют полную систему (в смыс-
смысле теории интеграла Фурье), любое решение может быть представ-
представлено в виде суперпозиции [линейной комбинации С Адл, (k) a (k) d3k]
таких решений. При пользовании записью в комплексной форме
подразумевается, что А^— вещественная часть комплексного вы-
выражения либо что все выражения удовлетворяют соотношению
вида С (Л)=С* (—k),— условие, обеспечивающее вещественность ин-
интеграла Фурье.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛНАХ 485
ястности, суперпозицией волн с параллельными k можно
ить решение вида h (nx—f), где л— единичный вектор (равный
к отдельных волн); зависимость А от аргумента функции
———ДЛЯ 1"А
ольна, за исключением важного условия поперечности
произв. у/.-1{) и /ф=0 в любой точке пространства.
Итак гравитационная волна распространяется со скоростью
ета и является поперечной (по отношению к направлению рас-
оостранения), что окажется существенным при рассмотрении
взаимодействия с веществом. Метрика A6.2.1) является синхронной
(h о=0» &оо=са. ^Ooi=goa=x0), что позволяет немедленно определить
закон движения одной системы пробных частиц в поле волны:
все ^(/^const являются решением, т. е. частицы покоятся в
системе A6.2.1), так что изменения взаимных расстояний и отно-
относительное движение этих частиц полностью определяются изме-
изменением метрических коэффициентов.
В следующем порядке, квадратичном по h^, можно вычислить
так называемый псевдотензор энергии-импульса гравитационных
волн [см. Ландау и Лифшиц A973I. С помощью псевдотёнзора оп-
определяется плотность энергии eg и плотность потока импульса pig
в гравитационной волне. Для плоской гравитационной волны, рас-
распространяющейся вдоль координаты х1, соответствующее выражение
имеет вид [из условия поперечности волны A6.2.4) в ней отличны
от нуля лишь компоненты Ааа, h3a и А23, причем Л2а=—hS3]
A6-2.5)
Как подчеркивают Ландау и Лифшиц, псевдотензор (в отличие от
истинного тензора) можно обратить в нуль в любой точке путем
преобразования координат, соответственно обратится в нуль и
A6.2.5). Однако интеграл от псевдотензора энергии-импульса (от
е* и Pug) по пространству, плоскому на бесконечности, имеет ин-
инвариантный смысл вектора энергии и импульса Е,р гравитацион-
гравитационного поля внутри рассматриваемого объема (где Ац„ отличны от
нуля). При условии сохранения евклидовости на бесконечности
вектор Е, р не зависит от выбора координат.
Пакет почти плоских волн одного направления имеет \р\ =—.
В соответствии с тем, что скорость гравитационных волн равна
скорости света, масса покоя гравитонов равна нулю. Оговорка
«почти» связана с тем, что ограниченность пакета в пространстве
в направлениях, перпендикулярных х1, требует наличия хотя бы
малых компонент волнового вектора, перпендикулярных х1.
Если же складываются волны существенно различных направ-
направлений, то p=p1-^-pt складываются векторно, Е=Ег-\-Ег склады-
складываются скалярно и в результате Е>с\р\, Е*—с'р3>-0, совокупность

486 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
волн разного направления обладает массой покоя. В случае гра-
гравитационной волны (одной или совокупности волн) можно осла-
ослабить требование к метрике на бесконечности и не требовать ее евк-
лидовости. Достаточно рассматривать объем, все размеры которого
велики по сравнению с длиной волны. Усредненный по такому
объему, псевдотензор обладает всеми свойствами обычного тензора
энергии-импульса, такого, например, как максвелловский тензор
энергии-импульса электромагнитного поля. Это интуитивно оче-
очевидное свойство выведено строго и формально в работах Айзаксона
A968а, б) путем разделения метрики на быстро и плавно изменяю-
изменяющиеся компоненты. Это позволяет рассматривать гравитационные
волны в искривленном фридмановском мире, их движение в поле
тяготения изолированных тел и т. д. Для слабых гравитационных
волн в мире Фридмана конкретные решения проведены в § 5 гл. 11.
Мы их подробно проанализируем в следующем параграфе. Здесь
же заметим, что волны с )J^ct на промежутках времени много
меньше / можно рассматривать как волны в плоском неэволюциони-
неэволюционирующем мире. Поэтому мы прежде всего рассмотрим этот случай.
Для элементарной монохроматической волны
V = Ke (akh<» + $kh™)e'**-"W', A6.2.6)
где А$ и h$l — два единичных тензора, отвечающие двум состоя-
состояниям поляризации, дающие нуль при свертке с вектором k. Имеем
после усреднения по периоду волны
Для хаотического распределения волн по направлениям (в среднем
изотропного, без выделенного направления) поток энергии обра-
обращается в нуль, а пространственные компоненты псевдотензора
дают изотропное («паскалевское») давление. В итоге получаем
>ё- 06.2.8)
В уравнения Эйнштейна для плавно меняющейся части метрики
величины е8 и Ре входят, наряду с соответствующими величинами
для «обычной» материи, в правую часть. Подчеркнем, что в урав-
уравнения ОТО е входит с коэффициентом G. Отсюда следует, что при
подстановке eg и Pg, выраженных через высокочастотные возму-
возмущения метрики, гравитационная постоянная сократится, как и
следует ожидать.
Связь между плавно меняющимися и высокочастотными нели-
нелинейными компонентами метрики есть результат нелинейности урав-
уравнений Эйнштейна для пустоты, но в этих последних уравнениях
никаких констант нет, так как правая часть равна нулю (в точных

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛНАХ 487
внениях до усреднения высокочастотной части по многим длинам
Уолны и перенесения результата в правую часть в виде ве и Pg).
Обратимся к космологическим гравитационным волнам.
В космологической задаче в изотропном (в среднем) мире, за-
олненном одним только гравитационным излучением с частотой со,
порядку величины имеем следующее уравнение эволюции (ин-
(индексы опускаем):
A6-2-9)
Следовательно, достаточно малой амплитуды возмущений метрики:
где t0 — время с начала расширения, Н — постоянная Хаббла
(~ Ю8 сек), для того, чтобы возникли сильные космологические
эффекты. Из A6.2.9) следует, что для ш=1 сек'1 сильный эффект
возникает при Л~10~18, для <о= 10s сект1 (резонансная частота
детекторов Вебера) — при Л~10~21 и для (о=1010 сек'1 (средняя
частота реликтового излучения) — при А—10~28. Малость безраз-
безразмерного h как раз и характеризует невозможность обнаружения
космологических гравитационных волн прямыми методами даже
тогда, когда они играют большую роль в космологии. С другой
стороны, для самых длинных волн — с длиной волны порядка
горизонта — нужна амплитуда порядка единицы для заметного
космологического влияния. Поскольку для таких волн нет никаких
безразмерных величин, отличающихся от единицы, то и влияние
их на излучение, приходящее с горизонта, порядка единицы. Мы
увидим ниже, что наблюдаемая изотропия реликтового электро-
электромагнитного излучения исключает возможность существования длин-
длинных гравитационных волн с амплитудой порядка единицы при
Длине волны порядка горизонта Вселенной. Как уже подчеркива-
подчеркивалось, изотропное гравитационное излучение с длиной волны K<^ct
составляет релятивистский «газ» с eg = -g- Pg и при расширении
Вселенной ведет себя вполне аналогично фотонному газу: zg~a(f)~l,
Длина волны X~a(f). Наряду с той оценкой h, которая дана выше,
интересно рассмотреть также А и Л. Из формулы A6.2.9) сразу
видно, что h порядка постоянной Хаббла, если гравитационные
волны дают главный вклад в плотность Вселенной и мир является
замкнутым или плоским, Q>1. Если же Й<^1 и (или) v^e, то
*ЩН
гравитационных волнах непосредственно наблюдаемой вели-
великой является h^. Действительно, в любом гравитационном поле
Жно измерять только относительные ускорения частиц, которые

488 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
пропорциональны второй производной от hpV. Выберем направление
волны вдоль х1. Тогда, согласно выражениям A6.2.1), A6.5.3) и
A6.2.4), частицы, расположенные перпендикулярно к оси х1, будут
испытывать относительные колебания. Амплитуды этих колебаний
суть у «aft, Pft«ft, где / — расстояние между частицами. Период
этих колебаний есть со. Относительные ускорения частиц, которые
могут возникать в космологических гравитационных волнах, ни-
ничтожны. Так, для примера, положим о>=103 сек'1. Мы видели
выше, что максимальное h (приводящее к заметному влиянию на
эволюцию Вселенной) есть Л=10~и. Отсюда относительное уско-
ускорение частиц есть А (см/сек2)fvha>alf&l0~w l (см).
Как уже отмечалось, хаотический (изотропный в среднем) набор
коротких гравитационных волн ведет себя во фридмановскои Все-
Вселенной как идеальный ультрарелятивистский газ с уравнением
состояния />=е/3. Следовательно, e~[a(/)]~4~(l+zL. Для каж-
каждого отдельного колебания длина волны пропорциональна радиусу
мира, А.~а(/)~ A+г), fi><~(l+z). Имея в виду, что e~A2wa,
получим h~a~1~ A+г), амплитуда волны, выраженная через
безразмерное изменение метрики (индексов не пишем), с течением
времени падает. Наконец, во время эволюции остается постоянным
адиабатический инвариант — отношение энергии волны (в данном
сопутствующем объеме) к ее частоте. Этот адиабатический инва-
инвариант имеет смысл числа квантов, в данном случае числа гравито-
гравитонов. Число гравитонов при расширении сохраняется (как для
отдельной волны, так и для всего газа) в адиабатическом периоде,
когда частота волны больше постоянной Хаббла и длина волны
меньше горизонта.
Изотропное хаотическое распределение волн остается изотроп-
изотропным в изотропно расширяющейся Вселенной, однако при любых
отклонениях Вселенной как целого от фридмановскои однородной
и изотропной модели немедленно проявится важнейшая особен-
особенность «газа», состоящего из гравитонов. Этот газ является бес-
столкновительным, изотропия распределения волн по направле-
направлениям немедленно нарушается при анизотропном расширении Все-
Вселенной или при локально анизотропных воздействиях. Подробнее
об этом см. в разделе IV.
В заключение этого параграфа еще раз подчеркнем принципи-
принципиальную нелокальность гравитационных волн. Локально метрика
везде н, в частности, в поле гравитационной волны может быть
приведена к виду метрики Минковского; выбором координат в дан-
данной точке можно обратить в нуль символы Кристоффеля. Как из-
известно, величины /?rt,,m образуют тензор; в гравитационной волне
эти величины отличны от нуля (пропорциональны h), хотя равны
нулю некоторые их линейные комбинации, а именно Rih и R-
Специфика гравитационной волны заключается в том, что все

ВОЛНЫ В ТЕОРИИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 489
I ™
инварианты, составленные из неисчезающих Rik,,m, исчезают,
ны нуЛю. Такое поведение локальных величин вызывало в
ппошлом общее недоверие к теории гравитационных волн. В на-
настоящее время стал общепризнанным и общепонятным принцип
нелокальности гравитационной волны. Парадоксы разъясняются
при рассмотрении волны в области, вмещающей несколько длин
волны. Для интересующихся подробностями вопроса рекомендуем
наряду с классическим учебником Ландау и Лифшица «Теория
поля» и монографиями перечесть главу о гравитационных волнах
в ТТ и ЭЗ.
§ 3. Гравитационные волны в теории малых возмущений
космологического решения
В гл. 11 была рассмотрена созданная Лифшицем теория эво-
эволюции малых возмущений, наложенных на однородное и изотроп-
изотропное (фридмановское) космологическое расширение.
Отмечалась возможность инвариантно классифицировать воз-
возмущения, разделяя их на скалярные (включающие возмущение
плотности), векторные (вихревые) и тензорные.
Тензорные возмущения определены таким образом, чтобы из
возмущения метрики и волнового вектора нельзя было построить
ни скаляра, ни вектора. Этому соответствуют условия A6.2.4).
Поэтому тензорные возмущения представляют собой гравитацион-
гравитационные волны, а на ранней стадии, когда длина волны больше горизон-
горизонта, тензорные возмущения есть «то, что с течением времени пре-
превратится в гравитационную волну». Рассмотрим подробнее законы
эволюции тензорных возмущений и особенно этот переход «буду-
«будущей» волны в «сущую» волну.
Проследим сперва за соотношением между горизонтом и длиной
гравитационной волны. Длина горизонта *) порядка d, длина
волны пропорциональна a(t), так что мгновенное значение Я,=
a'k^r1(to)a{t), где а (/о) и Я,о относятся к произвольному моменту /0.
Как известно, a(t) растет медленнее, чем /: как ?'• при Р=0, как
f '• при Р=в/3 и как /'/> при Р=е. Поэтому для каждой волны можно
найти Этакое, что при t<Ztt b<Zct, но при £>tt "K>ct. Например, для
Р—е/3 t1=Xl/ct0. Удобнее, однако, пользоваться величинами, вы-
выраженными в сопутствующей системе координат х, у, г, и с пара-
параметром т), заменяющим время:
ds*» с2 d/2— a2 (t) [dx* + dy* + dz*\ = а2 (т)) [drf—dx*—dy*—dz2],
*ч=^щ. A6.3.1)
*) Радиус мира нас не интересует! В частности, вблизи сингулярности все
результаты для замкнутого, открытого и плоского мира одинаковы, так что можно
рассматривать плоский мир с бесконечным радиусом, но конечным горизонтом.

490 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВвЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
В этой системе координат волновой вектор я постоянен, так же как
и сопутствующая длина волны. Определение горизонта здесь очевид-
очевидно: расстояние до горизонта просто равно т], так как уравнение рас-
пространения света в этой системе есть ds = 0, Vdx2 + dy2 + dz2 = dr\.
Таким образом, естественно различаются период щ <Z 1 (гори-
(горизонт меньше приведенной длины волны) и период хт)>1 (го«
ризонт больше приведенной длины волны). Так как x=const, а т)
растет с ростом t, то не подлежит сомнению, что сначала щ<.1,
а потом хт)>1.
Для слабых гравитационных волн в радиационно-доминирован-
ном мире (см. §5 гл. 11) существуют следующие решения:
/i£ = const -Gle й«+*|х|Ла (т)), A6.3.2)
причем в этом случае a=const-T). Решениями являются вещест-
вещественная и мнимая части этого выражения в отдельности. Из решений
такого типа, вместе с комплексно сопряженными, можно построить
два линейно независимых решения:
A6.3.3)
= CaG* cos (+)^ J
Первое решение остается конечным вблизи сингулярности, т)->-0.
Следовательно, конечные (или малые) возмущения метрики в сингу-
сингулярном состоянии, соответствующие СгТ^О и С2=0, ведут к конеч-
конечным (или малым) амплитудам гравитационных волн на поздней
стадии, при ит)> 1.
Подчеркнем, что говорить о плотности гравитационной энергии
на ранней стадии, при хт)<С1, принципиально невозможно.
Выше рассматривалась эволюция отдельной волны. При малой
амплитуде возмущений метрики и соответственно малой амплитуде
волн принцип суперпозиции имеет место. Поэтому результаты ес-
естественно обобщаются и на хаотическую суперпозицию волн. Усло-
Условие конечности возмущений метрики вблизи сингулярности накла-
накладывает определенные ограничения на хаотичность [оно уже учтено
в формуле A6.3.3)]. Оказывается, что этим условием отбираются
стоячие гравитационные волны. В самом деле, возьмем самую
общую линейную комбинацию комплексных решений для волн с
данными|х| и направлением ± т~т :
1К1
f = -^2. gixx-txr\ _|_ Z*_ e-lH.x-tkt) _|_—L ffxx+lv.r\\ z±. g-lxx+Cnr\ A6 3 4)
■ XT) XT) XT) XT)
Условие вещественности этой комбинации даст C4=Q, C6=C:*-
Записывая С3=Ле'¥, C,=yle-'f, Сь=Ве'^, С^Ве-'* (А, В, у, if—

РЕЛИКТОВОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 491
вещественные), получим
^^), A6.3.5)
т е. имеются две бегущие волны противоположного направления
с произвольными неодинаковыми амплитудами. Такое решение
вещественно и удовлетворяет уравнению для волн, но вблизи син-
сингулярности его амплитуда (почти везде) бесконечна. Для того чтобы
сформулировать условие ограниченности амплитуды / при т)-»-0
преобразуем предыдущую формулу:
f = ££L£1 [A cos (ах + ф) + В cos (их—
+ s-i~±-[Asin(KX+
XT)
Ограниченность f требует В=—А, г|з=—ф, и получаем
si± ф)—Bsin(»ur—Ю]. A6.3.6)
A6.3:7)
т. е. амплитуды двух встречных (бегущих) волн равны и вместе
они образуют стоячую волну. Напомним, что такой же вывод
получился для акустических волн (скалярных волн с изменением
плотности) и привел к предсказанию модуляции амгуштуды воз-
возмущений плотности после рекомбинации (см. § 6 гл. 10).
§ 4. Ожидаемая интенсивность реликтового коротковолнового
гравитационного излучения
Рассмотрим несколько различных вариантов ответа на вопрос
об ожидаемой интенсивности коротковолнового гравитационного
излучения. Общим для этих вариантов является выбор начального
момента, /=/g=10-43 сек, когда начинается рассмотрение. Мы уже
неоднократно говорили, что tg является нижней границей примени-
применимости современной теории тяготения.
Наиболее простой вариант заключается в предположении, что
1) на момент tg имеет место термодинамическое равновесие
между гравитонами и другими элементарными частицами и анти-
античастицами и, к тому же, число сортов различных частиц конечно,
а взаимодействие между ними мало (см. § 2 гл. 7).
При температуре выше энергии покоя (Мс2) всех частиц имеем
Ультрарелятивистский газ. Этот случай рассматривается анало-
аналогично тому, как Пиблс рассмотрел вопрос о реликтовых нейтрино
в горячей Вселенной (см. § 1 гл. 7).
Пусть при Т>Мся плотность энергии всех видов частиц, вклю-
включая гравитоны, равна е=и*оТ4, где а— константа для электромаг-

492 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
нитного излучения, х* приблизительно равно числу сортов частиц.
Энтропия гравитонов равна -^ аТ3, остальных частиц — соот-
ветственно (х*—lWar3. В ходе расширения энтропия грави-
гравитонов в единице объема сопутствующего пространства сохраняется.
Между тем все тяжелые частицы и античастицы вымирают, на
момент Т~Ь—19 Мэв остаются только электроны, два сорта нейт-
нейтрино (и их античастицы) и фотоны (гравитоны учтены отдельно).
Эти лептоны (индекс /) наследуют энтропию всех тяжелых частиц
(см. § 1 гл. 7); поэтому оказывается, что
-1)|-аГ|. A6.4.1)
В дальнейшем происходит отъединение фотонов и позитронно-
электронных пар от нейтрино. При вымирании пар е+е" их энт-
энтропия наследуется фотонами, благодаря чему к настоящему вре-
времени получается
7$ = ^7]. A6.4.2)
Сопоставляя A6.4.1) и A6.4.2), получим
Полагая х*«20—40, Гт=2,7 °К, получим для сегодняшних гра-
гравитонов Те= 1 °К. В этом варианте* вклад гравитонов в общую
плотность цренебрежимо мал на всех стадиях, всегда составляя
малую долю полной энергии излучения. Для настоящего момента
имеем eg»s0,02e .
В дальнейшем рассмотрении нужно подчеркнуть, что представ-
представляет интерес не только общая плотность гравитационного излуче-
излучения, но и спектр его, т. е. распределение энергии по частоте. Влия-
Влияние гравитационных волн на другие виды материи и способы детек-
детектирования гравитационных волн совершенно различны для разных
частот. Рассматривая гравитационные волны, находящиеся в начале
расширения в термодинамическом равновесии со всеми остальными
видами материи и излучения, мы получили, что длина гравитацион-
гравитационных волн порядка долей сантиметра (в области, где сосредоточен
максимум энергии), т. е. того же порядка, что и для реликтового
излучения.
Продолжим рассмотрение такого коротковолнового излучения;
предположим, что в момент tg равновесие не имеет места. Два
крайних предположения заключаются в том, что либо
2) в начальный момент tg совсем нет гравитационных волн, а ве-
вещество горячее, имеет нормальную энтропию, либо

$4] РЕЛИКТОВОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 493
3) энергия коротких гравитационных волн почти целиком обу-
обусловливает общую плотность материи во Вселенной.
Дальнейшее протекание процессов и результирующее состояние,
получающееся на сегодняшний день, зависят, очевидно, от скорости
релаксации или, точнее, от соотношения между скоростью релак-
релаксации и скоростью расширения. Расчет (см. § 2 гл. 7) показывает,
что безразмерная величина, произведение скорости релаксации
схпи на характерное время расширения tg, порядка единицы *).
В самом деле, превращение двух гравитонов в пару частица —
античастица соответствует диаграмме с двумя вершинами; следова-
следовательно, сечение пропорционально С2. Размерность С (в системе
Й.=с=1) есть сла; значит, чтобы получить сечение, нужно домно-
жить на квадрат энергии:
Здесь мы используем тот факт, что все частицы, в том числе и
рождающиеся,— ультрарелятивистские, их масса покоя т не
должна входить в ответ.
В момент tg=G4* соответствующая плотность энергии равна
е=С~2. Равновесный спектр гравитационных волн (если в них
одних содержится энергия, предположение 3) соответствует
температуре такой, что
Это значит, что энергия отдельных гравитонов равна С/» и
плотность их n=C~"/i. Соответственно сечение ol=G2Ez=G и
общее число других пар, рожденных за время tg, равно (и=с=1)
n'=oln2tg=G~*/*=n. Расчет проведен без безразмерных множите-
множителей и с заменой (V (t) — физический объем единицы сопутствую-
сопутствующего объема)
r,(/-) n\t) V (t) dt — a,(/g) n2 (tg) t.,
что также может дать только безразмерный множитель. Действи-
Действительно, так как интеграл расходится степенным образом на нижнем
пределе, если заменить tg на 0, то, следовательно, величина п'
определяется значением функции при tetg. Вывод заключается
в том, что число родившихся пар порядка начального числа гра-
гравитонов. Очевидно, что при рассмотрении предположения 2) (от-
(отсутствие гравитонов в горячем веществе в момент tg) обратный
Процесс снова окажется порядка единицы. Значит, можно ожидать,
*) Релаксацию представляем как соударение частиц с рождением или гибелью
гравитонов: at— сечение столкновения, п — плотность частиц, и — их скорость

494 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
что в любом случае плотность энергии коротковолновых грави-
гравитонов окажется порядка равновесной, т. е. в соответствии с тем-
температурой остального вещества, около 1 °К сегодня.
Отличие может быть, например, в пять раз в ту или другую
сторону [для предположения 2) или 3)], но нет малых или больших
величин типа -£-, которые входили бы в задачу.
пс
Выше отмечено, что вследствие вымирания частиц с массой
покоя тф& в случае 1) равновесия при ts сегодняшняя плотность
энергии гравитационных волн eg«0,02e . Можно полагать, что
результат eg<eT для настоящего времени остается справедливым
и тогда, когда eg^>eT в момент tg,— начальная ситуация изменится
за счет релаксации к равновесию. С другой стороны, вряд ли eg<l
<10~3е опять же за счет релаксации, даже если почему-то eg==0
в начальном состоянии (см., впрочем, одну оговорку ниже). На-
Наличие гравитонов, даже в малом количестве, может оказаться
существенным при анизотропном расширении, так как гравитоны
становятся бесстолкновительными раньше, чем нейтрино (об этом
см. раздел IV).
В заключение этого параграфа напомним те ограничивающие
предположения, в которых получены изложенные выше результаты:
1) Рассматриваются лишь короткие гравитационные волны
(длинные волны будут рассмотрены отдельно, см. далее).
2) Не рассматривается вариант, когда вначале вещество холод-
холодное, а энтропия набирается позднее, при t^>tg. В этом случае (см.
раздел V) отношение eg/e окажется малым:
где г, <7>0.
§ б. Гипотеза равнораспределения и длинноволновое
гравитационное излучение
Формально в теории малых возмущений однородной изотропной
космологической модели гравитационные волны независимы от
других видов возмущений, а гравитационные волны с различными
волновыми векторами независимы друг от друга. Независимость
здесь означает, что в дифференциальное уравнение для амплитуды
данной волны не входит амплитуда других волн или других видов
возмущений. Начальная амплитуда каждой волны также может
быть задана произвольно, независимо от других амплитуд.
Тем не менее, задавшись определенной картиной начального
состояния, можно сделать правдоподобные выводы об ожидаемых
амплитудах на более поздние моменты и, в частности, для нашей
эпохи.

j Bj \ ГИПОТЕЗА РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ 495
Как уже неоднократно подчеркивалось, мы не имеем теории
сингулярного состояния и о возмущениях метрики (и, в частности,
о возмущениях типа гравитационных волн) в начале расширения
вынуждены делать те или иные предположения. Одно из таких
предположений было сделано в § 6 гл. 11. Если предположить,
что вблизи сингулярности g^v близки к фридмановским, но отличия
разных компонент независимы друг от друга, то получится вывод,
который мы назвали «гипотезой равнораспределения». Гипотеза
гласит: в начальный момент возмущения метрики, связанные с
возмущениями плотности (скалярные), равны возмущениям мет-
метрики, связанным с вихревыми движениями (векторным), и равны
возмущениям, связанным с гравитационными волнами (тензорным)
[Зельдович, Новиков A970)]. Возмущения метрики вихревого типа
затухают с расширением. Все вопросы, связанные с этим типом
возмущений, уже разобраны в предыдущих главах, и мы ими ин-
интересоваться здесь не будем.
Перейдем к спектральному подходу, т. е. будем разлагать воз-
возмущения на плоские волны. Изотропия пространства приводит
к выводу, что амплитуда зависит только от величины, но не от
направления волнового вектора.
Гипотеза равнораспределения говорит о равенстве двух функ-
функций — амплитуд скалярных и тензорных возмущений, являющихся
функциями |х|. Рассмотрим момент, когда длина волны становится
равной горизонту, X=ct, хт)=1 (см. §3 этой главы и § 3 гл. 11).
В этот момент относительное возмущение плотности материи равно
по порядку величины скалярному возмущению метрики:
Согласно A6.3.1) и гипотезе равнораспределения, в этот момент
амплитуда возмущений метрики гравитационной волны равна ftK.
Значит, амплитуду гравитационной волны можно выразить через
амплитуду возмущения плотности.
Для масштаба, соответствующего скоплениям галактик (М«
«1018iVf©, в линейных единицах сегодня Я,~30 Мпс), получим
амплитуду гравитационной волны ~10~4, h^lO~l/t, pg«*10~»p=
= 10~8р Здесь от отдельных фурье-амплитуд мы перешли к вели-
величинам, проинтегрированным по единичному отрезку логарифми-
логарифмической шкалы длин волн.
Величина pg есть е^/с2, где eg — энергия гравитационных волн,
Рт — плотность излучения. Для рассматриваемого масштаба мо-
момент ит)=1 приходится на период радиационно-доминированной
плазмы, так что р практически совпадает с полной плотностью.
Отношение pg/pT остается постоянным и позже, вплоть до настоя-
настоящего времени. Таким образом, мы приходим к оценке плотности

496 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
энергии гравитационных волн в масштабе скоплений галактик на
сегодняшний момент:
pg(M « 10"Afe) « 10-»pv^ 10-" г/смя,
eg « Ю-20 эрг/см3, h — Ю-"8 сек~1 =- 10"»Я.
Таким образом, в том масштабе, в котором известны возмущения
плотности, плотность энергии гравитационных волн мала (конечно,
все только в гипотезе равнораспределения). В еще большем мас-
масштабе об амплитуде гравитационных волн можно судить по воз-
возмущениям реликтового излучения; этот вопрос рассматривается
дальше, в § 7. В масштабе, меньшем WMq, возмущения релик-
реликтового излучения гравитационными волнами наблюдать трудно.
Возмущения плотности в масштабе, меньшем Af=10"Af©, за-
затухают до рекомбинации, но тепло, выделяемое ими при затухании,
должно менять спектр реликтового излучения. Такие изменения не
наблюдаются, что накладывает ограничение еакуст<;0,05ет в диа-
диапазоне масс 10l8Mo>Af>10~VW©. Гипотеза равнораспределения
дает Eg<0,05ET в том же диапазоне масс.
Если предположить плоский спектр скалярных возмущений
метрики, который может объяснить и структуру и энтропию Все-
Вселенной (см. § 9 гл. 23), и если считать справедливой гипотезу рав-
равнораспределения, то приходим к выводу, что гравитационные волны
вносят малый вклад в общую плотность энергии во всем диапазоне
длин волн, от миллиметров до 1010 пс. Однако сам этот плоский
спектр скалярных возмущений пока не доказан.
§ 6. Генерация гравитационных волн в современную эпоху
и оценки общей плотности энергии гравитационных волн
В современную эпоху генерация гравитационных волн происхо-
происходит двойными звездами и пульсарами, при взрывах сверхновых,
а также в ядрах галактик и квазарах. Все эти явления хотя и свя-
связаны с космологией лишь косвенно, заслуживают рассмотрения
уже потому, что желательно собрать в одном месте всю информацию
о гравитационных волнах любого происхождения во Вселенной.
Гравитационные волны некосмологического происхождения рас-
рассматривались в ТТ и ЭЗ. Там большое внимание было уделено
опытам Вебера по детектированию гравитационных волн; сделаны
оценки энергии пакета гравитационных волн, необходимой для
возбуждения веберовского детектора; отмечена трудность объяс-
объяснения результатов Вебера в рамках того, что известно астрофизике.
В момент написания ТТ и ЭЗ не было других экспериментальных
данных.
В настоящее время можно считать установленным, что всплески
и совпадения, наблюдаемые Вебером, не вызваны гравитационными

$ в] ГЕНЕРАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 497
волнами. Применяя схожие антенны, но изменив способ регистра-
регистрации, Брагинский с сотрудниками A974) показал, что статистичес-
статистически значимых совпадений нет. К тому же выводу об отсутствии
веберовских всплесков гравитационных волн пришел и Тайсон
A973).
Таким образом, при оценке некосмологического гравитацион-
гравитационного излучения нужно обратиться к теории генерации волн, ос-
освобождаясь от гипноза первоначальных, неподтвердившихся экс-
экспериментальных данных [см. Зельдович, Полнарев A974)].
Начнем с общих энергетических соображений.
Во всех случаях, кроме столкновения двух «черных дыр», вы-
выделение энергии в форме электромагнитного излучения больше,
чем в форме гравитационных волн. Это утверждение относится и к
столкновениям обычных звезд, и к столкновению белых карликов
и нейтронных звезд, и к излучению пульсаров. Значит, плотность
энергии гравитационных волн такого происхождения меньше плот-
плотности энергии некосмологического (нереликтового) электромагнит-
электромагнитного излучения, т. е. существенно меньше 10~ls эрг/см3, что соот-
соответствует р<10~8* г/см3.
При столкновении двух черных дыр гравитационное излучение
достигает, вероятно, нескольких процентов массы покоя.
Гравитационное излучение может играть роль в эволюции скоп-
скопления, состоящего из множества черных дыр [Зельдович, Подурец
A964, 1965)]. Но такое скопление теряет устойчивость, когда гра-
гравитационный дефект массы достигает нескольких процентов *).
Только часть этой потери энергии приходится на гравитационное
излучение.
Следовательно, один важный вывод можно сделать немедленно:
некосмологическое гравитационное излучение не может составлять
существенную долю всей плотности материи во Вселенной и, сле-
следовательно, не может сделать мир замкнутым! Если для этого не-
недостаточна суммарная масса обычного вещества и всех черных
дыр всех масштабов, то учет гравитационного излучения, испущен-
испущенного перечисленными телами, ничего не изменит.
Вместе с тем, если черные дыры дают, к примеру, 10% плот-
плотности материи и, в свою очередь, 10% массы черных дыр превра-
превратились в гравитационное излучение, то последнее составляет 1%
плотности материи, т. е. ~10~32 г/см3.
^Напомним способы наблюдательного обнаружения слабовзаимо-
Действующих частиц, которые пригодны также для обнаружения
гравитационного излучения. Во всех случаях, рассматриваемых
Ва самом выгодном случае диска дефект массы достигает 40% [Бардин,
с неР A971)]. Для тела, состоящего из отдельных фрагментов, дефект мас-
К как в случае диска [Солпитер A971)], так и в случае сферы [Бисноватый-
н A9726)] может сколь угодно близко приближаться к тс2.

498 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
ниже, основой является влияние любой формы материи и энергии
на общую динамику расширения Вселенной.
Возраст, плотность и постоянная Хаббла связаны между собой.
В гл. 1 даны формулы, связывающие возраст Вселенной, плотность
материи и постоянную Хаббла. Применим эти формулы для того,
чтобы из оценок возраста Вселенной оценить плотность материи.
Хотя возраст Вселенной (от момента сингулярности) точно и не
известен, но для него есть неравенства. С большой вероятностью
возраст больше A0—12)-Ю10 лет и с абсолютной достоверностью
больше 5-10е лет. Последняя цифра представляет собой возраст
Солнечной системы.
Отсюда для плотности получается неравенство р<2>10~28г/см3
при #=75 км/сек- Мпс и при #=50 км/сек- Мпс. Под р надо
иметь в виду плотность всех видов материи, в том числе и гравита-
гравитационных волн. Эти величины получены в предположении Р=е/3,
они во много раз превосходят плотность электромагнитного излуче-
излучения и в этом смысле малоинтересны.
Другой способ связан с косвенным влиянием слабовзаимодей-
ствующих частиц и, в частности, гравитационных волн на развитие
возмущений плотности. Отсылая за подробностями к работе Гюйо
и Зельдовича A970), напомним суть дела. В стационарной Все-
Вселенной возмущения плотности растут по закону —£-~еа1,
(о = |/4л;бр,ещ. Естественным обобщением этого закона на случай
(mdt
расширяющейся Вселенной является выражение е , согласие с
точным расчетом улучшается при введении множителя t~ll> (см.
§ 2 гл. 9).
От плотности гравитационных волн зависит закон расширения.
Запишем:
Рвещ= Рвещ. О A + ZK = рАещ A + *)8,
Здесь йвещ есть отнесенная к критической плотность нерелятивист-
нерелятивистского вещества (того, которое собирается в галактики), Ci , Qg ■—
то же для электромагнитного излучения и гравитационных волн.
Подставляя выражения ю и рс, получим, интегрируя от момента
рекомбинации до настоящего времени (когда и происходит рост
возмущений),
OL= I/ -5-
3J J V(l+z)[l+QEemz+(Qv+fi?)z(i
При йВещ=1, fiT=Qg=O это дает известный результат:
а=1пBрек+1), в» = гре11 + 1»1401.

„, ГЕНЕРАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 499
Теперь посмотрим, как влияют поправки. Зададимся для при-
примера &вещ=0'2- Как известно, йт=10"*. Если Qg=0, то член с йт
практически не играет роли:
при Qv = 0 «0 = 5,6, еа«=270;
при Qv=10-* ^ = 5,35, еа«=210.
Однако, задавшись Qg2=100QT и fig3=1000fi , получим зна-
значительное уменьшение роста возмущений:
Мы знаем, что скопления галактик сформировались в настоящее
рремя, а скорее даже раньше, при z~4. Необходимые для этого
начальные возмущения тем больше, чем меньше ел. В варианте
figS!=106fiv возмущения плотности на момент рекомбинации долж-
должны были достигать — ~0,1; при адиабатических возмущениях
бт
этому соответствует -=-~0,03. Такие флуктуации реликтового
фона исключены имеющимися наблюдениями.
Теория вопроса недостаточно разработана; главный недостаток,
однако, заключается в том, что по ходу рассуждений приходится
делать много допущений, что снимает доказательную силу аргу-
аргументации.
Обратимся, наконец, к оценке плотности гравитационного из-
излучения из рассмотрения нуклеосинтеза в ходе космологического
расширения.
Напомним, что в § 5 гл. 7 мы рассматривали влияние тяготения,
создаваемого неизвестными частицами, на скорость расширения
Вселенной и, как следствие этого, на процесс нуклеосинтеза.
Вывод состоял в том, что рНеизв/Ризв<3—4, ибо в противном случае
дозвездное вещество более чем на 50% состояло бы из Не.
Таким образом, pg/pT<3—4. В расчете предполагается, что
нейтринный заряд равен нулю, налицо симметрия ve=ve — иначе
число вариантов стало бы необозримо.
Итак, есть три метода оценки плотност» гравитационного из-
излучения. Общей основой этих методов является усредненное гра-
гравитационное поле гравитационного излучения, т. е. эффект, квад-
квадратичный по амплитуде h волны.
Можно ли выбрать из трех методов один, наиболее чувствитель-
чувствительный, дающий нижнюю границу для pg?
Такой подход был бы неправилен, и не только потому, что каж-
ДЫЙ метод не является абсолютно надежным и использует допол-
дополнительные предположения. Дело в том, что методы не вполне пере-
перерываются, так как относятся к различным участкам спектра. В каж-

500
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ
[ГЛ. 16
дый момент времени / в уравнениях динамики в плотности eg нужно
включать вклад «уже волн», X<Cct, но не «будущих волн», fc>ct.
Приведем окончательные результаты (см. табл. XV). Энергию
гравитационных волн характеризуем отношением ее к энергии
электромагнитного излучения *) с температурой 2,7 °К. Длины
волн приведены к настоящему времени. Напомним, что йт/ЙВиц
лежит в пределах 5-10~6—5-10~*.
ТАБЛИЦА XV
Ограничения иа возможную плотность
гравитационных воли во Вселенной
Метод
Нуклеосинтез
Развитие возмущений
Возраст Вселенной
VPT
<4
<200
< 20 000
Область спектра
0<А.<3.10» см
0<Х<5-102в см
0<Х<1028 см
§ 7. Влияние гравитационных волн на реликтовое излучение
Как и всякое нестационарное возмущение метрики, гравита-
гравитационное излучение влияет на реликтовое излучение. По общим
законам оптики это влияние приводит к тому, что наблюдаемая
температура излучения Т становится различной в разных направ-
направлениях. Вид спектра не изменяется; в частности, если спектр был
равновесным в момент рекомбинации, то он и остается равновесным,
планковским в каждом данном направлении. Теорема Лиувилля
в сочетании с ОТО обеспечивает изменение плотности потока фото-
фотонов пропорционально Т3 в соответствии с изменением частоты фото-
фотонов и температуры.
Таким образом, рассматриваются величины 7@, ф) или AT1 F,
ф)=Г@, ф)—Т при наличии гравитационных волн. Важнейшие
теоретические работы по этому вопросу выполнены в Потсдамской
обсерватории Докуром A969).
Не воспроизводя математические выкладки, дадим качественное
описание результатов. Очевидно, что безразмерное изменение ча-
частоты данного луча электромагнитной волны или изменение тем-
температуры вдоль данного луча выражается через безразмерную
амплитуду гравитационной волны h (для краткости не пишем
индексов).
Так как в ходе расширения h уменьшается, то в ответ входят
значения h на момент рекомбинации, ибо в этот момент гравитацион-
*) При этом в ответ не входит неопределенность постоянной Хаббла и плот-
плотности материи.

. 7] ВЛИЯНИЕ НА РЕЛИКТОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 501
ные волны сильнее всего искажают реликтовое излучение. По-
Поскольку итог измерений флуктуации на сегодняшний момент из-
вестей: -™-< 10"*, получим оценку h(t=tveJ<.l0~4, что соот-
соответствует на сегодняшний день, с учетом расширения, Ао<10~'.
Но плотность энергии гравитационных волн зависит от А, уже по-
поэтому необходимо выяснить, к каким длинам волн и частотам от-
относится оценка.
В случае коротких высокочастотных волн рекомбинацию нельзя
считать мгновенной. Мы видим толщу плазмы, дающую вклад в
яринимаемое нами РИ, на протяжении которой укладывается много
длин волн, т. е. видим одновременно несколько слоев с противопо-
противоположным знаком влияния гравитационной волны. Не ослабленный
этим обстоятельством эффект можно наблюдать при Я,р кХ),05с£рек,
что в пересчете на сегодняшнюю длину волны даст Яо>2- 1025ои.
С другой стороны, нужно, чтобы к моменту рекомбинации мы имели
дело со сформировавшейся гравитационной волной, ^■g<ctve*. По
совокупности получим ограничение с двух сторон: 2-1026 см<!к<.
<С5« Ш2в см сегодня. При длине волны в этом интервале получим
для энергии гравитационных волн —=тг~ оценку от 4*10~4 до
10~8. Наибольшая чувствительность достигается для волн длиной,
равной горизонту в момент рекомбинации. Эти волны создают не-
неоднородности температуры Д71 в угловом масштабе порядка
с'рекA+г)рек
; , т. е. около 0,03 радиана.
"о
При детальном рассмотрении взаимодействия гравитационной
волны с реликтовым излучением выявляются любопытные подроб-
подробности, связанные с тем, что скорость гравитационной волны равна
скорости света. Луч света (радиоволна), распространяющийся под
малым углом к одиночной гравитационной волне, длительно под-
подвергается воздействию одной и той же фазы волны, что усиливает
воздействие. С другой стороны, гравитационная волна поперечна,
что ослабляет ее воздействие на луч, скользящий под малым углом.
В результате в окрестности направления распространения одиноч-
одиночной гравитационной волны (примем его за ось г, т. е. 0=0 в сфе-
сферических координатах) появляется своеобразная особенность: ДГ=
==АГ@)со5Bф+а)- Возмущение температуры остается конечным,
но градиент АГ на сфере стремится к бесконечности *) вблизи оси.
Соответственно для данной длины волны в разложении на сфере
по полиномам Лежандра высокие гармоники убывают медленно,
по степенному закону, а не экспоненциально с номером гармоники.
*) Компоненты градиента суть -^ , -g- -j— , бесконечность появляется за
с'1ет множителя 4-.
и

602 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
Для возмущений, которые становятся гравитационными волнами
после рекомбинации, чувствительность, т. е. отношение Д7771,
к амплитуде h меньше; однако при данном h меньше и плотность
энергии. Для волны длиной Я=с*0=1028 см (сегодняшний горизонт)
возмущение AT носит квадрупольный характер — так называемая
12-часовая анизотропия, амплитуда ATIT порядка самого h. Оценка
из наблюдений дает /i<c3-10~* и, соответственно, fig<10~', так
что Qg/QT<10-3.
Ситуация в промежуточной области 5- 102в с-и<Я,<1Оа8 см ясна
из интерполяции между предельными случаями. Волны сЯ>1028 см
в настоящее время не существуют в том смысле, что соответствую-
соответствующие тензорные возмущения еще не стали волнами. Большая чув-
чувствительность флуктуации температуры к волнам Я~102в—5- 102в см
связана с тем, что наблюдается искажение метрики в период ре-
рекомбинации, когда впервые прекращается взаимодействие элект-
электромагнитного излучения с веществом. При этом предполагается,
что вторичная ионизация, связанная с образованием скоплений,
квазаров или, еще раньше, с ударными волнами, происходит до-
достаточно поздно, при z<10—20, так что флуктуации не «замыва-
«замываются» последующим рассеянием.
Короткие гравитационные волны, Я<2-1025, дают флуктуации
AT малые, так как эти флуктуации неизбежно «замываются» в
процессе рекомбинации, который нельзя считать мгновенным *).
Однако любые гравитационные волны, в том числе и короткие,
участвуют в создании квадрупольного возмущения AT с амплитудой,
соответствующей сегодняшнему h.
Для плотности энергии получим выражение (Qe определяется
гравитационными волнами с длиной больше Я)
содержащее предельный случай Я,= 1028 см, рассмотренный выше.
Эту формулу нужно сравнить с табл. XV. Формула дает Qg при
длине волны больше некоторой. В таблице дана плотность энергии
для длин волн меньше определенной величины. Таким образом,
таблица и формула дополняют друг друга.
§ 8. Пекулярное движение, вызываемое гравитационными
волнами
Нельзя ли воспользоваться скоплениями галактик или вхо-
входящими в эти скопления отдельными галактиками или звездами
как детекторами гравитационного излучения? Этот вопрос был
*) В теорию входит время изменения оптической толщи по рассеянию на
пути луча до наблюдателя.

й ПЕКУЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 503
поставлен Рисом A971) в связи с обсуждением опытов Вебера. Рис
дал оценку эффекта для системы свободных частиц, не взаимодей-
взаимодействующих ни между собой, ни с другими телами. Если, расстояние
между частицами равно х, то гравитационная волна вызывает
относительное движение со скоростью v—hx (опускаем множители
порядка единицы, учитывающие угол между х и направлением
главной оси тензора деформации гравитационной волны). Эта ско-
скорость остается постоянной в течение времени порядка периода
гравитационной волны т=—• Рис полагает, что скорость, получен-
полученная в следующем промежутке времени, статистически независима
по величине и направлению.
В этом случае складываются квадраты приращений скорости,
И Рис дает оценку скорости, набранной за время Т (п — число
статистически независимых слагаемых, n^Tlx):
yr~^ A6.8.1)
Возьмем верхний предел плотности гравитационного излучения,
приравнивая ее критической. Это означает:
(см. выше §2 этой главы). В этом случае кхжНх. Здесь Их есть
относительная скорость двух тел, соответствующая общему рас-
расширению Вселенной. Но, согласно Рису [см. A6.8.1)], относитель-
относительная скорость может быть еще в У^п раз больше.
Однако предположения Риса, приведшие его к такому выводу,
требуют тщательного разбора. В этой задаче необходим спектраль-
спектральный подход. В действительности формуле A6.8.1) соответствует
молчаливое предположение о статистической независимости уско-
ускорений h при интервалах времени больше т. Но статистическая неза-
независимость означает плоский спектр возмущений в разложении
Фурье функции ii(t) в данной точке. Итак, /j^const при охСт.
Но в таком случае ha = ^^-, а значит, плотность энергии, рав-
ная j^«^w. расходится! Еще сильнее расходится при оо->-О
величина /ifflr=^5!_. Предположение о независимом наборе
скорости в периоды длительностью т оказывается не столь очевид-
очевидным и безобидным, как это могло показаться.
Структура статистического поля гравитационных волн с пло-
плоским спектром мощности |ftlu|2=const обладает другими свойствами.
Ускорение знакопеременно, в ускорении есть антикорреляция.

Б04 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ 1ГЛ. 16
Скорость остается с течением времени в среднем постоянной, равной
V h x = xy -—-, и не нарастает со временем. Растет пропорцио-
пропорционально У t лишь смещение относительно невозмущеиного поло-
положения.
Таким образом, ответ зависит от предположений о спектре гра-
гравитационных волн [см. Зельдович, Полнарев A974)].
По данным Сэндиджа (см. § 9 гл. 3), в широком интервале рас-
расстояний от 10 до 2000 Мпс отличие красного смещения отдельных
скоплений от средней кривой порядка 10%. Тот факт, что абсолют-
абсолютное значение постоянной Хаббла нам известно лишь с точностью
до десятков процентов не противоречит предыдущему утверж-
утверждению — главная неопределенность относится лишь к общему мас-
масштабному фактору в шкале расстояний.
Только часть' отклонений данных для отдельных скоплений
на кривой lgz—lgAf зависит от пекулярного вклада в относительное
движение, и только часть этого последнего может быть обусловлена
гравитационными волнами. Поэтому выводы, касающиеся плот-
плотности гравитационных водн, основанные на данных Сэндиджа,
представляют собой неравенства. Эти данные дают верхнюю гра-
границу. Итак, для длин волн 3-Ю*5—6- 10я7 см получаем оценку
Л» < 0,01//* Q.<0,01, fr^-<100. A6.8.3)
* "вещ
Вернемся к принципиальной стороне вопроса. Заметим, что
нельзя использовать для оценок известную малую скорость отно-
относительно реликтового излучения нашей Галактики (а вместе с ней
и всей местной группы). Дело в том, что гравитационная волна
одинаково вовлекает в движение и материальную точку (скопление)
и окружающий ее газ (излучение). Локально, в одной точке, отно-
относительные скорости излучения и частицы не возникают *). Изме-
Измерение относительных скоростей удаленных объектов (при изме-
измерении постоянной Хаббла) нельзя заменить локальными измере-
измерениями. Есть ли такие условия, когда кинетическая энергия отно-
относительного движения монотонно растет в поле гравитационного из-
излучения? Мораль предыдущего изложения заключается в том, что h
с течением времени меняет знак и среднее значение
чем для «случайного» ft.
Монотонный набор энергии при спектре |ftJ2=const возможен
в том случае, если относительная скорость в движении, не возму-
возмущенном гравитационной волной, также меняет свой знак **).
*) Остаются только более тонкие эффекты, связанные с тем, что газ бесстолк-
новительный (см. предыдущий параграф).
•*) Подразумевается составляющая скорости вдоль заданной оси.

§ g] ПЕКУЛЯРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 505
Простым примером является гравитационно связанная система
тел (скопление), в которой тела движутся по орбитам более или
менее периодически *). Набор энергии при этом пропорционален
спектральной плотности гравитационного излучения в соответст-
соответствующей области частот. Но совокупность частиц также и излучает
гравитационные волны. Набор или отдача энергии зависит от соот-
соотношения эффективных температур излучения и частиц. Пусть
частицы с массой т и скоростью и движутся по траектории радиуса
R. Кинетическая энергия и эффективная температура частиц по-
порядка tnus, частота порядка u/R, соответствующая длина гравита-
гравитационной волны XmcRlu. По формуле Рэлея — Джинса тепловое
излучение с длиной волны порядка X (от X до оо или от -гг= до XV е )
Т
имеет плотность энергии порядка egt равн = ^- , что даст е^ равн =
miA me2 u*
™ Я5?*" R3 е*""
Набор энергии частицами происходит при плотности энергии
гравитационных волн, малой по сравнению с плотностью энергии
связи частицы на траектории. По теореме вириала энергия связи
частицы порядка ее кинетической энергии.
Оценим время, потребное для диссоциации совокупности ча-
частиц, как время набора энергии, равной начальной кинетической
энергии **). Скорость набора энергии при e^>eg, paBH для широкого
спектра гравитационных волн равна
d rmia GmuRe,
Соответственно характерное время равно
mu\dmu2_ ис* _ <? „сосч
где т0 — период невозмущенного движения частицы, то = —.
Далее, плотность энергии гравитационного излучения ев выражена
через fi =-£*- = !1^1, где рс в свою очередь выражена через возраст
Ре Рс
Вселенной t0; по порядку величины рс« (G/jj).
Мы достоверно знаем, что fie^l. Далее, то<7о — это неравен-
неравенство есть прямое следствие обособления скопления от расширяю-
расширяющегося вещества и того факта, что система гравитационно связана.
Но согласно формуле A6.8.5) отсюда следует, что x>t0, т. е. набор
энергии за все космологическое время мал.
*) Точная периодичность имеет место при ньютоновском движении в поле
Центральной массы или внутри области, где плотность постоянна.
) При этом не будем учитывать изменение параметров и, R в ходе диссо-
диссоциации.

506 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
§ 9. Взаимопревращения гравитационных и электромагнитных
волн
Процессы взаимного превращения волн представляют интерес
в нескольких аспектах. В принципе возможно, что такие процессы
идут во Вселенной. Эти процессы обсуждаются как способ лабора-
торной генерации высокочастотных коротких гравитационных
волн. Наконец, детектирование гравитационных волн требует их
предварительного превращения в другие формы энергии; в част-
ности, для коротких волн (космологических или созданных в ла-
боратории) естественно искать способ их превращения в электро-
магнитные волны.
Важнейший случай — превращение волн при наличии магнит-
ного поля SVq постоянного (не зависящего от координат и времени)
и поперечного (направленного по оси у) по отношению к направ-
лению распространения волн (оси х).
Впервые особенность этого явления, связанная с равенством
скорости электромагнитных и гравитационных волн, отмечена Гер-
ценштейном A961). Плоская электромагнитная волна в пустом про-
странстве не излучает гравитационных волн, так как тензор энер-
гии-импульса такой волны не содержит переменного квадруполь-
ного натяжения (которое, как известно, и излучает гравитационные
волны). Однако в электромагнитной волне, распространяющейся
в постоянном магнитном (или электрическом) поле, появляется
переменное во времени квадрупольное натяжение. Подробные
уравнения приведены в работе Боккалетти и др. A970).
Поляризованная электромагнитная волна с амплитудой S%v
в поле Ж о дает в максвелловском тензоре натяжений квадрупольный
член Туу = —Tzx= \n °cos(kx—(dt). В уравнении для из-
лучения гравитационных волн [см. Ландау, Лифшиц A973), ТТ и ЭЗ,
стр. 80] этот тензор натяжений входит в правую часть:
tCOsikx-at); A6.9.1)
аналогичное уравнение имеет место и для hzz. Поскольку cos (kx—cot)
есть решение уравнения без правой части, т. е. является резонанс-
ным членом, то при наличии такой правой части решение имеет вид
hyy = ax cos (kx—®t). A6.9.2)
Постоянное поле включается в начале координат:
х<0, Ж = 0; х>0, $V = $V0. A6.9.3)

*) Пользуемся случаем исправить неверное утверждение, содержащееся
в ТТ и ЭЗ: вместо х2 в выражении для а там фигурирует хХ.
**) Коэффициент а описывает начальную стадию, когда одна волна слаба^
а другая мало изменилась. *.
§ 9] ВЗАИМОПРЕВРАЩЕНИЯ ВОЛН 507
При этом доля энергии электромагнитной волны, превращающейся
в энергию гравитационной волны, равна *)
а = *Щ?. A6.9.4)
Ряд авторов отмечают, что когерентность существенна и для
обратного процесса. Гравитационная волна при распространении
в поле Жъ создает возмущения магнитного поля, которые играют
роль источников в уравнении электромагнитной волны:
ПЖу=^к22Ж0=^-Ж0ксов(кх-Ы). A6.9.5)
Имеется полная аналогия с предыдущим случаем, энергетический
коэффициент обратного превращения совпадает с а.
В лаборатории и даже в пульсарах а мало: для Жо=\0ь гс,
х=102 см получим а=10~35, для fflo=l013 гс, д:= 10е см соответ-
ственно а= 10" п.
В крайних предположениях о космологическом поле Ж\^^
(Жо=№~* гс сегодня,Ж0=1 гс в момент рекомбинации) за космо-
логическое время можно было бы получить а~10~3 при 3^zpeK.
Такое превращение могло бы быть замечено в реликтовом излу-
чении, причем характерно в этом случае ослабление компоненты
радиоволн с одной поляризацией. Однако в среде (электроны,
атомы) с проводимостью, отличной от нуля, и диэлектрической
проницаемостью, отличной от единицы, когерентность нарушается.
По этой причине в космологических условиях коэффициент а остает-
ся неизмеримо малым. Зельдовичем A973в) отмечена симметрия урав-
нений A6.9.1) и A6.9.5). Обозначая Жу = \,Ж,\ГС = р, y= = g,
получим уравнения (с=1) вида
D/ = GW, Ug = ®pf. A6.9.6)
Нормальными модами для такой системы уравнений являются
смещенные волны [фазированные гравитационно-электромагнитные
волны с одинаковой (q) или противоположной (г) фазой]. Для них
уравнения разделяются:
?<7 = сор<7, ?/-==_со/7г. A6.9.7)
Таким образом, можно построить изящную точную теорию взаи-
мопревращения волн **). Однако не ясно, где в природе осуществ-
ляется рассматриваемая ситуация.

Б08 ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. 16
Если в пространстве присутствуют электроны и атомы, то
уравнение электромагнитных волн имеет вид (с=1)
nMv-*v>4i^Ve + (a + ib)Mv, f A6.9.8)
где а и Ь — вещественная и мнимая части поляризуемости среды.
Симметрия двух уравнений нарушается, и, как отмечено выше,
эффекты становятся ничтожными даже в космологических условиях.
Задача электромагнитного детектирования гравитационных волн
близка к предыдущей. Коротко и схематически опишем основные
принципы. Подробности см. Брагинский и др. A973) и Пресс и
Торн A972).
Представим себе резонатор — закрытый металлический сосуд
со стенками, имеющими возможно лучшую проводимость. Част-
Частные решения уравнений Максвелла в этом сосуде, удовлетворяющие
условиям на стенках, имеют вид
£. X = VkV)fk(x). A6.9.9)
В отсутствие гравитационной волны и потерь уравнение для функ-
функции фл и решение его имеют вид
5^ю?Фл = 0, <P* = C*e-'V. A6.9.10)
Пусть в резонаторе находится постоянное магнитное поле и он
подвергается воздействию гравитационной волны с частотой со.
Тогда в уравнении для ц>к появляется правая часть — возбуждаю-
возбуждающая сила:
^ «'. A6.9.11)
Наилучшим для детектирования является резонансный случай
(о=сол при начальном Фл=0. Решение имеет вид
(pk = const«t-e-le>k'. A6.9.12)
Энергия резонансного колебания, накопленная за время t, про-
пропорциональна Р. Если отнести ее к энергии гравитационной волны,
прошедшей через резонатор за это время (пропорциональной /),
получится коэффициент преобразования
Очевидно, что максимальное значение t определяется затуха-
затуханием колебаний в резонаторе. Характерное время затухания т
может быть большим! По сравнению с превращением гравитацион-
гравитационных волн в электромагнитные в открытом пространстве коэффици-

, ej ВЗАИМОПРЕВРАЩЕНИЯ ВОЛН 509
ент преобразования резонатора больше в -y«wftT=Q раз, где
q — так называемая добротность (число колебаний до затухания).
Видоизменение этого способа заключается в том, что в резона-
резонаторе возбуждается п-е колебание с частотой <о„, а под действием
гравитационной волны возникает другое, k-e колебание с частотой
аи. Резонанс достигается при частоте гравитационной волны (о=*
= (й£ С0п ИЛИ C0 = (Oft+COn.
Возбуждаемое k-e колебание может иметь отличную от нуля
начальную амплитуду AOk. Тогда после воздействия гравитацион-
гравитационной волны приобретенная амплитуда ЬАк (которая пропорциональ-
пропорциональна (o#iO складывается с начальной AOk. При оптимальном выборе
фаз энергия, приобретенная за данное время, оказывается больше,
&Ек~М, а не Л2/2. Очевидно, однако, что труднее измерить изме-
изменение энергии АЕк на фоне начальной энергии, отличной от нуля.
Можно возбудить в резонаторе данное т-е колебание и изучать
его изменение под действием гравитационной волны двукратной
частоты (о=2сот (частный случай предыдущей формулы со=соЛ4-(от
при k=tn). Такая ситуация называется «параметрический резо-
резонанс».
Под действием гравитационной волны медленно меняются амп-
амплитуда и фаза электромагнитного колебания в резонаторе:
Здесь ар0 есть сдвиг фазы гравитационной волны относительно
электромагнитного колебания. В зависимости от выбора т)з0 элект-
электромагнитное колебание под действием гравитационной волны может
усиливаться, ослабляться или сдвигаться по фазе. Эффект пропор-
пропорционален к, т. е. V^g-- Использование электромагнитных детек-
детекторов, по-видимому, наиболее перспективно для лабораторных
опытов по детектированию гравитационных волн, созданных тоже
в лаборатории с известной частотой и фазой в высокочастотной
области спектра. Однако оценки даже для громоздких устройств
с полями Жж\$> гс, размерами в десятки метров, еще не дают
приемлемых результатов, реального проекта пока не существует.
С другой стороны, при детектировании возможного космологи-
космологического гравитационного излучения с широким спектром принци-
принципиальные преимущества резонатора теряются. Его чувствитель-
чувствительность велика в узкой полосе частот, усредненная же по спектру
чувствительность не лучше, чем для магнитного поля, не ограни-
ограниченного стенками. Выше для лабораторных условий Ж=Ш гс,
лг== 100 см мы нашли коэффициент превращения гравитационных
волн в электромагнитные порядка Ю"86. Примем плотность кос-

БЮ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В КОСМОЛОГИИ [ГЛ. щ
мологических гравитонов 10* см~". Поток их через поверхность
jes=10* см2 равен 10" сек'1. Значит, вероятность образования фо-
фотонов под влиянием такого излучения во всем объеме равна 1017х
X 10~3*=10~18 сек'1, т. е. один фотон за время, равное возрасту
Вселенной. По-видимому, лабораторное обнаружение гравитацион-
гравитационных волн и регистрация низкочастотных волн от двойных звезд,
пульсаров и взрывов сверхновых *) намного опередят экспери-
экспериментальное исследование высокочастотного реликтового гравита-
гравитационного излучения.
*) Излучение гравитационных воли при взрыве вращающейся сверхновой,
превращающейся в диск, см. Туан, Острайкер A974) и Новиков A975). По
поводу превращений гравитационных и электромагнитных волн см. также
Сибгатулин A974).

РАЗДЕЛ IV
АНИЗОТРОПНАЯ КОСМОЛОГИЯ
О О О
ГЛАВА 17
ВВЕДЕНИЕ
Есть все основания полагать, что в настоящее время и в недале-
недалеком прошлом Метагалактика удовлетворяла наиболее простым,
«естественным» предположениям об изотропии и однородности рас-
распределения вещества и его движения. При этом мы отвлекаемся от
той мелкомасштабной (по сравнению со всей наблюдаемой Мета-
Метагалактикой) неоднородности, которая проявляется в существовании
галактик и их скоплений. Как уже отмечалось, решающим аргу-
аргументом в пользу изотропии и однородности является изотропия
реликтового излучения горячей Вселенной, наблюдаемого на Зем-
Земле в настоящее время (верхний предел возможной анизотропии излу-
излучения ^)
Изотропия излучения свидетельствует об одинаковости условий
в различных направлениях от нас. Фоновое реликтовое излучение
в хорошо изученной области спектра Я.=20—0,25 см слабо взаимо-
взаимодействует с пылью, нейтральными атомами и плазмой. Это позво-
позволяет сделать заключение об изотропии, относящейся к гораздо боль-
большему расстоянию, чем это можно сделать по статистике далеких
дискретных объектов. Приходящие к иам сегодня кванты испыта-
испытали рассеяние (в среднем) на таком расстоянии, которое соответ-
соответствует красному смещению не менее чем z=6 или 8, а может быть,
z=1400. Как будет показано ниже, из наблюдений вытекает, что,
начиная с периода /«0,01 to(to— сегодняшний момент), расширение
заведомо происходит изотропно, а вероятнее всего, расширение
происходит изотропно, начиная, по крайней мере, с fctdO t0.
Таким образом, изотропия и однородность Вселенной в наше
время являются наблюдательным фактом. Но, с другой стороны,
сам факт изотропии и однородности является загадочным, что особен-
особенно подчеркивается в работе Мизнера A969а).
Действительно, если Вселенная прозрачна, начиная с z=7, то
фотоны, приходящие к нам сегодня по направлениям, разделенным
на небе более чем на 30°, исходят из точек, которые в момент выхода
Квантов (соответствующий гтаТ) находятся на расстоянии большем,

512 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 17
чем оптический горизонт, т. е. не связаны причинной зависимостью.
Таким образом, в одной из этих точек не может быть известно, какая
температура в другой точке, не может быть никакого механизма
выравнивания температуры и вообще любых неоднородностей, и
надо предполагать, что строгая изотропия и однородность заложены
в сингулярном состоянии.
С другой стороны, предположение о строгой однородности и
изотропии сингулярного состояния отнюдь не может считаться до-
доказанным из каких-либо общих принципов. Наблюдательные дан-
данные не дают однозначного ответа о сингулярности.
Возникают следующие два вопроса:
1. Действительно ли Вселенная с самого начала расширялась
однородно и изотропно [по крайней мере с момента, когда применимы
известные в настоящее время наиболее общие законы физики, т. е.
когда кривизна пространства-времени —1/A0~83 см)а] и каковы тог-
тогда причины строгой однородности и изотропии сингулярного со-
состояния?
2. Если начальные стадии расширения были отличными от
фридмановскои теории, то какими именно они были и почему в
конце концов Вселенная стала однородной и изотропной?
Для выяснения этого необходимо рассмотреть модели, началь-
начальные стадии которых нефридмановские, определить, по каким наб-
наблюдаемым сегодня свойствам можно судить о ранних стадиях рас-
расширения. Кроме того, если в начале расширение действительно
было нефридмановским, то надо выяснить те причины, те процессы,
которые привели к сегодняшней фридмановскои картине.
Если бы удалось показать, что при широком произволе началь-
начальных условий космологическое решение должно выходить, в ходе
расширения, на фридмановское, то мы могли бы считать, что объяс-
объяснили свойство однородности и изотропии. Вот почему в последнее
время вслед за выяснением всех свойств простейте^ фридмановскои
модели последовало исследование более общих решений.
Мы должны оговориться здесь же, что совокупность всех наблю-
наблюдательных и теоретических данных заставляет нас склоняться к
первой из отмеченных выше возможностей, а именно что с того мо-
момента времени, когда применима классическая (не квантовая)
ОТО для описания Вселенной, т. е. с /гж10~48 сек, космологическое
расширение было однородным и изотропным. Возможные причины
однородности и изотропии сингулярного состояния будут рассмо-
рассмотрены в следующем разделе.
В этом разделе рассмотрим возможность ситуации, когда ран-
ранние стадии расширения существенно нефридмановские, так как
такую возможность, как отмечено выше, пока исключить нельзя.
Мы рассмотрим частный случай строго однородных, но анизотроп-
анизотропных решений уравнений ОТО. Этот класс решений выделяется не
только своей относительной математической простотой, позволяю-

„. 17] ВВЕДЕНИЕ 513
щей во многих случаях исследовать решение до конца. Есть надеж-
надежда, что АО (анизотропные однородные) космологические решения
отражают по крайней мере некоторые существенные особенности
общего случая, в котором нет уже и однородности [Халатников,
Лифшиц A970), Белинский, Халатников A969а, б), Белинский, Лиф-
шиц, Халатников A972), Зельдович A970а), Мизнер A969а, б)].
Как показал Мизнер A969а), в определенном классе АО моде-
моделей с замкнутым трехмерным пространством свет успевает на ран-
ией стадии многократно обойти весь мир, и, следовательно, нет
отмеченной выше трудности с наличием оптического горизонта и
принципиальной невозможностью выравнивания неоднородностей
в большом масштабе, как во фридмановской модели. Правда, как
выяснили позднее Дорошкевич, Лукаш, Новиков A971), класс та-
таких моделей очень узок.
АО модели интересны еще и потому, что в них отсутствие изо-
изотропии дает возможность рассматривать первичное магнитное поле,
направленные потоки вещества и свободных частиц, ведущих, в
частности, к неравновесным процессам, увеличению энтропии
и т. д.
Высказывались предположения, что общий неоднородный слу-
случай можно будет получить наложением своего рода «возмущений»
на однородную модель {Зельдович A970а), Халатников A965)].
В следующем разделе будет показано [Белинский, Лифшиц, Халат-
Халатников A972)], что вблизи сингулярности в общем неоднородном
случае характер деформации подобен деформации в модели «пере-
«перемешанного мира» (см. гл. 21), которая однородна.
Все это, наряду с возможностью обозримого математического
анализа решения, делает рассмотрение АО моделей весьма важным.
Вместе с тем уместно сразу предупредить об ограниченной приме-
применимости АО моделей к общему неоднородному случаю. Ведь в АО
модели однородность уже предполагается. Общий же неоднородный
случай должен быть гораздо сложнее. Отдельные аспекты этой проб-
проблемы см. в разделе V.
Мы начнем с рассмотрения кинематики расширения АО моделей.
Как и в случае фридмановского решения, начнем с аналогичной
ньютоновской задачи [Линден-Белл A962, 1964), Зельдович A9646)]
и потом перейдем к рассмотрению в ОТО [Шюкинг, Гекман A958),
а затем и многие другие авторы]. Сразу же подчеркнем, что ньюто-
ньютоновская и релятивистская задачи дают здесь во многих отношениях
непохожие результаты, в отличие от изотропного и однородного
случая.
После рассмотрения основных свойств кинематики АО-моделей
и роста возмущений в них рассмотрим особенности физических про-
процессов в этих моделях и наблюдательные предсказания. Послед-
Последние параграфы этого раздела будут посвящены общему анализу
однородных моделей и сравнению с наблюдениями.
я- Б. Зельдович, И. Д. Новиков

514 ВВЕДЕНИЕ 1ГЛ. 17
Все рассмотрение в этом разделе проводится в рамках класси-
классической ОТО, квантовые эффекты не рассматриваются. Теоретиче-
Теоретические оценки, проведенные в последние годы, показали, что вблизи
сингулярности при анизотропной деформации должно происходить
интенсивное спонтанное рождение частиц из вакуума благодаря
квантовым эффектам. Мы подробно разберем эти эффекты в V раз-
разделе книги. Но уже здесь мы должны указать, что спонтанное рож-
рождение частиц вблизи сингулярности должно сильно влиять на ди-
динамику расширения и на многие физические процессы в анизо-
анизотропных моделях. Весьма вероятно, что именно этот процесс
играет решающую роль в изотропизации АО моделей, а может
быть, и в прохождении через сингулярность. Однако, не разо-
разобравшись в классических процессах в АО моделях без квантового
рождения частиц, нельзя понять те ограничения и те явления, ко-
которые связаны с квантовыми процессами. Вот почему мы откла-
откладываем рассмотрение квантовых явлений до следующего раздела.

ГЛАВА 18
ПРОСТЕЙШИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
§ 1. Ньютоновская теория простейшего анизотропного
однородного решения как предельный случай
локальной задачи
Выше мы строили космологическое решение в изотропном и
однородном случае, начиная с рассмотрения расширения конечного
шара. Попытаемся построить анизотропное однородное космологи-
космологическое решение, также исходя из рассмотрения задачи для конеч-
конечного тела — трехосного эллипсоида с веществом постоянной плот-
плотности.
Будем рассматривать вещество без давления, Р=0. Известно
(см., например, ТТ и ЭЗ), что в ньютоновской теории добавление
(к уже существующему эллипсоидальному распределению одно-
однородного вещества) новых слоев с сохранением подобия не меняет
гравитационного поля внутри первоначального распределения.
Таким образом, если удастся найти решение для движения ве-
вещества однородного эллипсоида, которое все время переводит на-
начальный однородный эллипсоид в однородный же эллипсоид (но
другой формы, ориентации в пространстве и размера), то затем,
добавляя неограниченно новые слои с сохранением подобия (что
никак не сказывается на движении вещества во внутренних частях),
мы получим космологическое решение однородное, но с анизотроп-
анизотропной, вообще говоря, деформацией.
Рассмотрим однородное вещество, заполняющее трехосный эллип-
эллипсоид.
Как известно [см., например, Сретенский A946)], внутри эллип-
эллипсоида гравитационный потенциал является квадратичной функцией
координат:
* A8.1.1)
причем коэффициенты ф0, ф,л не зависят от точки. Оси тензора
Ф,А совпадают с осями эллипсоида. Если выбрать координатные оси
Х2 ф г2
по осям эллипсоида -i + ?2 + ~2 = l> T0 внутри его
ф=Фо+у ф***2+i ф^2+у <р«г2- A8-L2)
17»

ei6 ПРОСТЕЙШИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. lg
В соответствии с уравнением Пуассона
Ф** + Ф„„ + Ф„ = 4яОр, A8.1.3)
но сами ф^, q>yy, 4>zz не равны между собой: их отношения зависят
от отношения осей эллипсоида. Конкретное выражение этих функ-
функций через оси эллипсоида дается длинными интегралами, явный
вид которых для нас сейчас неважен [см. Сретенский A946I. Ве-
Величина ф,7 (здесь нет суммирования по t!) — наибольшая для на-
направления х;, соответствующего самой короткой оси эллипсоида;
например, в пределе а=Ь<^с для вытянутого эллипсоида с осью г
а для тонкого диска сф-с,
Корректная постановка задачи в ньютоновской теории заклю-
заключается в следующем: задаемся в начальный момент плотностью р
и обобщенным хаббловским линейным [Нарликар A963I полем ско-
скоростей (которое, как увидим далее, обеспечит нужные свойства
решения):
u, = Hik(tB)xk. A8.1.6)
Эта формула допускает, наряду с деформацией, наличие вращения
при Н!кфНы. Зададимся также и уравнением *) эллипсоида
Aik(t0)x; xk =1, ограничивающего область, заполненную веществом
(внутри), от пустоты.
Выбор формы области в виде эллипсоида обеспечивает квадра-
квадратичный вид потенциала ф, что приводит к линейной зависимости
ускорения от координат:
*<•=— Ф/Л- A8.1.7)
Отсюда следует, что зависимость скорости от координат остается
с течением времени линейной: коэффициенты тензора Hik зависят
от времени, но не от координат. Уравнение для H!k имеет вид
Hik= -Я,.„Я„,;-ф/л. A8.1.8)
В свою очередь линейная зависимоств скорости обеспечивает сохра-
сохранение с течением времени однородности, поскольку —= —div u =
=—Ни не зависит от координат (по индексу I произведено сум-
*) Удобно записать уравнение эллипсоида в таком виде с учетом того что
оси эллипсоида с (течением времени могут отклониться от координатных осей-

{ |] НЬЮТОНОВСКАЯ ТЕОРИЯ 517
мирование). Кроме того, линейная зависимость скорости от коор-
координат приводит к тому, что поверхность, ограничивающая вещест-
вещество, все время остается эллипсоидальной, хотя коэффициенты Aik
меняются с течением времени:
A!k=-HuAlk-HmkAim. A8.1.9)
Следует подчеркнуть, что меняется не только ориентация осей в
пространстве, но и форма эллипсоида, характеризуемая отноше-
отношением его полуосей. Так, в частном случае, когда в начальный мо-
момент вещество покоится, через некоторое время плотность обра-
обратится в бесконечность за счет того, что обратится в нуль полуось,
которая была наименьшей в начальный момент; две другие полуоси,
уменьшаясь, останутся еще конечными, в этот момент эллипсоид
выродится в плоскую фигуру. С другой стороны, предположим, что
в начальный момент вещество заполняло шар, так что тензор ф,А
был единичным, т. е. изотропным, ф = фо + —V^/- Пусть, однако,
начальное распределение скоростей анизотропно, т. е. тензор Н(к
не единичен. Тогда с течением времени шар, деформируясь, прев-
превратится в эллипсоид, а значит, начальная изотропия ф,Л, естест-
естественно, нарушится.
Система уравнений Н=Н(Н, ф), А=Л(А, Н) становится зам-
замкнутой заданием зависимости ф,Л от А !к и р, которая дается теорией
потенциала [см. Сретенский A946)]. Эта зависимость выражается,
как известно, эллиптическими интегралами, при этом ф,А симметрич-
симметрична и положительно определена.
Мы не будем разбирать все свойства решения задачи, отсылая
интересующихся к работе Зельдовича A9646). Остановимся, однако,
на случае, который интересен с точки зрения приложений к кос-
космологической задаче получения однородного анизотропного реше-
решения.
Именно рассмотрим сначала случай, когда вращение отсутству-
отсутствует, т. е. тензор Hik симметричен, главные его оси совпадают с ося-
осями эллипсоида *). Кроме того, ограничимся сначала случаем осе-
осевой симметрии а=Ь (эллипсоид вращения) и потребуем, чтобы в
ходе расширения при очень больших размерах (соответственно
Р-Ю) форма эллипсоида приближалась к форме шара, т. е. наступала
«изотропизация» и скорость расширения на бесконечности стреми-
стремилась к нулю (случай критической плотности). Проще всего рассмо-
рассмотреть не задачу об анизотропном расширении, а обратную задачу
о сжатии, а затем обратить время.
Пусть имеется большой шар, слабо деформированный в эллип-
эллипсоид вращения. Возможны два случая: а=£>с — сплюснутый, как
.. *) Если вращение отсутствует в начальный момент, т. е. Н^—Ны, то ия
We. 1.8) следуеТ| что »то свойстве сохранится и а дальнейшем!

518
ПРОСТЕЙШИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
[ГЛ. 18
репа, эллипсоид или a=b<Lc — вытянутый, как огурец. Вначале
в обоих случаях \а—с\<^.а.
Рассмотрим первый случай, а=Ь>с. Как отмечено выше, уско-
ускорение по более короткой оси больше, q>xx= Фуу< Фгг- Следователь-
Следовательно, с течением времени сплюснутость будет возрастать (рис. 53)
и тело превратится в некоторый момент /0 в плоский блин, с=0.
Объемная плотность вещества р в этот момент обращается в беско-
бесконечность. Гравитационная энергия блина (отрицательная) конечна.
Конечным также является и гравитационное поле в любой точке,
несмотря на р^>- оо. Отсюда видно, что и скорость остается конечной.
а=Ъ
а, 6, с
a,b,c
Рис. 53. Сжатие в диск сплюсну-
сплюснутого эллипсоида. На графике
показано изменение со временем
величин а, б и с, а=Ь>с.
Рис. 54. Сжатие в нить вытяну-
вытянутого эллипсоида. На графике
изображено изменение со вре-
временем величин a, b и с, а=Ь<с.
Следовательно, асимптотический прир-voo закон изменения ве-
величин сире течением времени есть
с~/.-*, Р-г-Ц- A8.1.10)
«о —'
Во втором случае а=Ь<с и ф^ =Фуу>Ф2г. Эллипсоид с течением
времени становится все более узким (рис. 54), и при некотором t=t0
превращается в отрезок нити, а=Ь=0, с конечно. Поле вблизи длин-
длинной нити возрастает неограниченно, как 1/г (расстояние от нити),
следовательно, скорость в ньютоновской теории стремится к бес-
бесконечности:
(a)i^ln^y, A8.1.11)
где а0— величина порядка c(t0).
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда скорость
сжатия различна по всем трем осям. Из предыдущего изложения
ясен характер этого решения. Ускорение по самой короткой оси
будет наибольшим, и тело превратится в некоторый момент /„ в
плоский эллипс, с=0, афЬ (а не круг, как было, когда а=Ь). Асим-
Асимптотический закон A8.1.10), очевидно, будет справедлив и теперь.
Таким образом, случай стягивания в нить в общей ньютоновской
задаче является вырожденным, он требует одновременного обра-
обращения в нуль двух величин (а и Ь).

2] ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПАРАДОКС НЬЮТОНОВСКОЙ ТЕОРИИ 519
Наличие вращения при обобщенном хаббловском распределении
скорости, т, е. случай, когда Н[кФНы, качественно не изменит
результат и приведет лишь к тому, что оси эллипсоида будут пово-
поворачиваться в пространстве. Бесконечная плотность достигается за
счет сжатия вдоль оси вращения.
Вернемся к случаю Hik = Hki. Теперь остается обратить время
(т. е. рассматривать расширение), увеличить неограниченно (до-
(добавляя новые слои вещества) размеры эллипсоида в фиксированный
момент при фиксированной плотности вещества, и мы получим ре-
решение ньютоновской космологической задачи.
Величины а, Ь и с будут (вследствие однородности) характери-
характеризовать изменение расстояний между любыми парами точек соот-
соответственно по осям х, у и z. В силу сказанного в начале параграфа
переход от конечного эллипсоида к неограниченному распределе-
распределению никак не изменит зависимости а, Ь, с и р от времени.
Итак, мы получили однородную анизотропную модель в нью-
ньютоновской теории. Анализ более сложных АО моделей в ньюто-
ньютоновской теории см. Шикин A970).
§ 2. Гравитационный парадокс ньютоновской теории
Можно ли было сразу решить задачу для неограниченного рас-
распределения, пользуясь уравнениями движения и уравнением Пу-
Пуассона Aq>=4:rtGp, а не рассматривать предварительно задачу об
эллипсоидах? Остановимся в связи с этим на некоторых принципи-
принципиальных вопросах. Прежде всего заметим, что потенциал ф и век-
вектор гравитационного поля grad q> являются ненаблюдаемыми вели-
величинами.
Наблюдаемыми величинами являются вторые производные
д2а>
(Р/а==л—а~ * от которых зависит относительное ускорение со-
седних частиц. На ф,А наложено только одно условие (уравнение
Пуассона). Следовательно, остается пять степеней свободы
(имеем в виду Ф,*=ФА;). Таким образом, уравнений меха-
механики и уравнения Пуассона недостаточно для решения кос-
космологической задачи! Именно этот произвол в выборе ф,А в
ньютоновской теории в случае бесконечного однородного вещества
и следовало бы назвать гравитационным парадоксом. Обычно грави-
гравитационным парадоксом называют расходимости в ф или grad <p
при бесконечных распределениях вещества. Однако, поскольку се
и grad ф ненаблюдаемы, тот факт, что |ф|->-оо, |grad ф|->-°°, труд-
трудностей не вызывает *), и называть это парадоксом не следует.
) В этом смысле высказывания Лаидау и Лифшица A973) о трудностях
ньютоновской теории в бесконечном пространстве представляются недостаточно
корректными.

520 ПРОСТЕЙШИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. 18
Многие авторы рассматривали вопрос об устранении неопреде-
неопределенности ф,А в ньютоновской космологии. Нарликар A963), напри-
например, предлагал потребовать, чтобы величины ц>!к были изотропны-
изотропными при анизотропии Hik. Второй способ заключается в том, чтобы
предварительно рассмотреть конечное тело, а затем сделать пре-
предельный переход к бесконечности. Так мы поступили в предыдущем
параграфе, взяв в качестве конечного тела эллипсоид.
Однако ясно, что любой способ выбора дополнительных условий
для (p,-ft является выходом за рамки собственно ньютоновской теории.
Очевидно, эта неоднозначность ньютоновской теории получается
именно в результате рассмотрения бесконечного пространства, за-
заполненного веществом. В задаче с плотностью, достаточно быстро
спадающей на бесконечности,'где можно поставить условие ф = 0
на бесконечности, это условие вместе с уравнением Пуассона пол-
полностью определяет потенциал.
Зельманов A959а) предлагает в качестве дополнительных ус-
условий для устранения неоднозначности брать условия, следующие
из аналогичной задачи в релятивистской космологии. Очевидно,
при этом предполагается уже известным решение релятивистской
задачи. Тем не менее такой подход может оказаться полезным для
рассмотрения, например, локальных возмущений в той или иной
модели, так как позволит применять несравненно более простой ап-
аппарат ньютоновской теории. Мы еще вернемся к этому вопросу после
рассмотрения релятивистской задачи.
В заключение еще раз подчеркнем, что ньютоновская теория не
дает замкнутого решения космологической задачи. Полностью в
замкнутом виде задача может быть решена лишь в ОТО.
§ 3. Простейшая релятивистская модель; «вакуумное»
решение вблизи сингулярности
Мы начнем с рассмотрения анизотропного однородного решения
без вращения с евклидовым сопутствующим пространством.
Очевидно, в этом случае все точки трехмерного пространства
равноправны, т. е. решение действительно однородно, но рас-
расширение в разных направлениях может происходить с разной ско-
скоростью.
Метрика такой модели может быть записана в виде (скорость све-
света положена равной единице)
ds* = dt'i —a2(t)dx\ —b*(t)dx\—&(t)dx\. A8.3.1)
Функции а, Ь, с зависят только от времени. Если эти функции не
все одинаковы, то расширение анизотропно. Уравнения Эйнштейна

. 3j ПРОСТЕЙШАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ 521
могут быть записаны в таком виде:
4 + i(-F + f) 8«0(rj—l-r). A8.3.2)
4 + 1D + 4) =-^0G-!-! 7). A8.3.3)
4+i D+4)=-8л° (^'-тт) • <18-з-4>
Подчеркнем, что в левые части уравнений входят только величины
— и —, но не сами величины а, Ь, с. Это связано с тем, что сопут-
сопутствующее трехмерное пространство плоское и его кривизна (выра-
(выражающаяся через а, Ь, с) равна нулю и в уравнениях отсутствует.
Проведем анализ этих уравнений. *
Предположим, что в некоторый момент члены в правых частях
уравнений A8.3.2) — A8.3.5) много меньше, чем слагаемые в ле-
левых частях. Тогда мы можем рассматривать эти уравнения без пра-
правых частей, т. е. решение для пустого пространства. Такое решение
получено Казнером A921):
a = ajP\ b = bjp,, c = cotP°, A8.3.6)
P,+P, + P, = Pl + Pl + Pl=l- A8-3.7)
Соотношение A8.3.7) оставляет из трех величин ри р2, р3 только
одну произвольную, являющуюся свободным параметром, и вели-
величины plt p2, р3 могут быть выражены через этот параметр (обозна-
(обозначим его р, 0Л)
л—?т5тт- л-да- "-длит <«"■•>
I 9 9
При этом —y^Pi^O; 0^p2^y; y^p^l.B решении Каз-
нера система отсчета расширяется по двум направлениям (х2, х3) и
сжимается по третьему (jcx). Единственным исключением является вы-
вырожденный случай рх= ps=0, ря=\. Однако он соответствует пло-
плоскому 4-мерному пространству-времени R,klm=0. Преобразованием
координат метрика A8.3.1) в этом случае может быть приведена в
метрике Минковского. В случае общего казнеровского решения,
конечно, Riklm=£0, хотя Rik=0. Заметим, что «вакуумное» реше-
решение Казнера не содержит изотропного решения pi=Pz=p3- Объем
элемента сопутствующего пространства в решении Казнера меня-
меняйся, как V~t.

522 ПРОСТЕЙШИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. 18
Теперь можно найти область применимости полученного реше-
решения. Сравним, как меняются члены в правых частях уравнений
A8.3.2) — A8.3.5) при движении повремени к сингулярности, t-+0,
и к бесконечности, £->-оо.В левые части этих уравнений входят
величины вида -^ , f-^-j и т. п., имеющие порядок t~2. Пусть тензор
энергии-импульса является гидродинамическим и уравнение сос-
состояния Р=$е. Вещество покоится относительно системы отсчета.
Тогда величины, стоящие в правых частях уравнений, пропорци-
пропорциональны 7*~У-(|+3)~^-A+^. Мы видим, что для 0^Р<1 пока-
показатель степени при t для правых частей уравнений A8.3.2) — A8.3.5)
меньше по модулю, чем 2, т. е. меньше, чем для левых частей урав-
уравнений. Значит, при продвижении к сингулярности, £->-0, правой
частью можно всегда пренебречь по сравнению с левой и решение
асимптотически не зависит от наличия вещества, что подчеркивают
Лифшиц и Халатников A963а, б). Эту стадию можно назвать «ваку-
«вакуумной».
При продвижении к £->-оо члены, описывающие материю, умень-
уменьшаются медленнее, чем l/t2, и наступает момент, когда этими чле-
членами нельзя пренебречь. Кончается период «вакуумного» решения.
Подробнее этот поздний период расширения мы рассмотрим в сле-
следующей главе.
§ 4. Сравнение ньютоновской и релятивистской задач
Для простейшего случая Р=0 точное решение уравнений
A8.3.2) — A8.3.5) было получено Шюкингом и Гекманом A958).
Мы рассмотрим прежде всего это решение с целью сравнить его с
аналогичной задачей в ньютоновской теории (см. § 1). Кроме того,
как мы увидим далее, это решение содержит некоторые основные
особенности решений более сложных задач. Решение Шюкинга —
Гекмана записывается в виде
a =--antP,(t+t„)■/.-!>,,
\ A8.4.1)
: <I8-4-2)
для ри р2, ps справедливы соотношения A8.3.7) и A8.3.8). В этом
решении вакуумная стадия имеет г.тесто при t<^.t0. При f^>tn реше-
решение изотропизуется и переходит в решение Фридмана.
Сравним релятивистское решение с приведенным выше, в § 1.
решением ньютоновской задачи. Для этого будем рассматривать,
как и там, не расширение, а сжатие, т. е. обратим время. Как и в

СРАВНЕНИЕ НЬЮТОНОВСКОЙ И РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЗАДАЧ
523
а,Ь,с
ньютоновском решении, возможны два качественных разных слу-
случая. Первый случай связан со специальным, единственным выбором
p.; pi=0, р2=0, А)=1; зависимость а=Ь и с от времени полностью
аналогична в пределе t-+ О случаю сплюснутого эллипсоида враще-
вращения ньютоновской задачи. Если же руфО, поведение решения вбли-
вблизи особенности приобретает совсем другой характер (рис. 55). При
больших \t\ имеемa<L0, b<zO, c<LО аналогично ньютоновской зада-
задаче. Но при некотором t изменяется знак относительного ускорения
по оси хг иа>0. В момент t=^-\p1\t(l меняется и знак относительной
скорости по этой оси — сжатие меняется на растяжение, наступает
вакуумная стадия. В пределе при t-*-oo рассто-
расстояние между соседними частицами по оси х, растет
неограниченно.
Указанные особенности решение имеет при
любых допустимых значениях plt за исключени-
исключением указанного выше случая рх=0. Следователь-
Следовательно, в релятивистской задаче, изучаемой здесь,
сжатие в нить является общим, а в блин — ис-
исключительным случаем. Таким образом, реля-
релятивистское решение с вакуумной стадией каче-
качественно отличается от решения ньютоновской
задачи для эллипсоида. Локальные свойства
релятивистского решения не получаются путем
ньютоновского рассмотрения задачи, как это
было для изотропного однородного случая.
Растяжение по одной оси и сжатие по двум
другим на вакуумной стадии (при рассмотрении
сжатия вещества) аналогично приливному эф-
эффекту во внешнем поле тяготеющего тела. Например, водная
оболочка Земли испытывает такие относительные ускорения в поле
тяготения Луны. Она вытягивается вдоль линии Земля — Луна и
сжимается в перпендикулярных направлениях.
Вернемся к вопросу о причинах несоответствия ньютоновских
и релятивистских космологических решений. В рамках ньютонов-
ньютоновской механики все линейные размеры, фигурирующие в задаче,
можно менять, сохраняя подобие, без изменения локальных свойств
решения, т. е. без изменения зависимости от времени величин
P(t), Hih(t), <pik(t).
Почему же получающиеся закономерности не согласуются с
релятивистскими космологическими решениями?
В релятивистской теории играет роль скорость света. Точное
релятивистское решение задачи о движении конечного объема, за-
заполненного веществом, зависит не только от р, Н!к, <р!к, но и от
безразмерных критериев вида Gpr2/c2 и Н!к г/с, где г — характерный
размер.
t
Рис. 55. Сжатие од-
однородного анизот-
анизотропного вещества в
релятивистской за-
задаче. На графике
изображено измене-
изменение со временем ве-
величин а, Ь, с для
случая Рх=—1/3.

524 ПРОСТЕЙШИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ [ГЛ. 18
Ньютоновские решения являются предельной формой точных
релятивистских решений в пределе при стремящихся к нулю крите-
критериях, указанных выше. Однако космологические решения должны
осуществляться в противоположном предельном случае, когда кри-
критерии стремятся к бесконечности. Поэтому эти решения не совпадают
с ньютоновскими.
Особенность задачи заключается в том, что в специальном слу-
случае симметрии задачи (соответствующей изотропному решению)
релятивистские критерии выпадают из формул, относящихся к ло-
локальным величинам. Однако этот факт не обобщается на эллипсо-
эллипсоидальные решения. Различие между сферическим и эллипсоидаль-
эллипсоидальным случаями проявляется, в частности, при рассмотрении гравита-
гравитационного излучения.
В общей теории относительности при движении сферического
слоя вещества поле снаружи не изменяется, поле внутри равно
нулю и также не меняется. При движении эллипсоидального слоя
квадрупольный момент распределенной массы изменяется, следо-
следовательно, должно происходить излучение гравитационной волны.
По-видимому, и поле внутри движущейся эллипсоидальной
полой оболочки (равное нулю в ньютоновском приближении) в
общей теории относительности отлично от нуля. Происходит нечто
вроде проникновения гравитационной волны внутрь полости, хотя
строго о волне нельзя говорить на расстояниях меньше ст, где
х — характерное время движения, и лучше говорить о переменном
гравитационном поле.
Рассмотрим тело, для которого в начальном состоянии реля-
релятивистские критерии малы. Если это тело сжимается, то плотность
и скорость движения нарастают, и поэтому на последних стадиях
движение в теле конечной массы может приобрести черты, характер-
характерные для анизотропного космологического решения. При этом пере-
переменное гравитационное поле от движения внешних оболочек, име-
имеющее «приливной» характер (т. е. растягивающее вещество в одном
направлении и сжимающее в двух других направлениях), будет
определять динамику движения внутренних слоев.
Качественное отличие первого (вырожденного) случая pi=0,
когда релятивистское решение аналогично ньютоновскому, от вто-
второго (общего) случая рхф0, когда эти решения не похожи, состоит
в том, что в первом случае в ньютоновской задаче гравитационное
поле и скорость сжатия вблизи р=оо остаются конечными, во вто-
втором случае они неограниченно нарастают.

ГЛАВА 19
МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
§ 1. Изотропизация решения с паскалевским тензором
энергии- импульса
Рассмотрим теперь сравнительно поздние стадии расширения
анизотропной модели, когда в уравнениях тяготения уже нельзя
пренебречь членами в правой части, описывающими тяготение ма-
материи, и решение уже не является «вакуумным». По-прежнему счи-
считаем материю покоящейся относительно системы отсчета.
Время окончания вакуумного решения при любом гидродина-
гидродинамическом уравнении состояния материи Р=$г легко определить
из указанных в § 3 гл. 18 соображений. Этот момент наступает, ког-
когда члены в правой части уравнений Эйнштейна сравниваются с
членами в левой части. Члены в левой части имеют порядок — » -т^,
1 А
члены в правой части 4л0р л; 4nG -pj^g- = AnG -—^-, где А — про-
произвольная константа — параметр задачи, описывающий количест-
количество материи в модели, р — коэффициент в выражении Р=$е. При-
Приравнивая эти члены, находим момент 0Х окончания вакуумного ре-
решения:
()1""- A9ЛЛ>
Конечно, утверждение, что все члены в левой части уравнений
имеют порядок не меньше чем 1/72, справедливо только в том слу-
случае, если показатель р1 (а значит, и ps) не специально мал по моду-
модулю. В противном случае ответ будет зависеть и от рх. В случае,
когда l^xl^l, старшие члены в левых частях уравнений A8.3.2)
и A8.3.3) будут иметь порядок |pi|/^, и мы находим момент 62
начала влияния правых частей в системе уравнений A8.3.2) —
A8.3.5):
«HW1""- <19Л-2)
Эта формула обобщает A9.1.1) на случай малых |pi|<^l.
Как можно показать, в случае не малых |рх| сразу после момента
«1 решение быстро приближается к фридмановскому изотропному

526 МАТЕРИЯ Б АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. L9
решению. Если же |pi|<^l, то вслед за окончанием вакуумной ста-
стадии со сжатием вдоль первой оси и сменой его расширением насту-
наступает длительная стадия медленного расширения по двум осям и
быстрого расширения по третьей оси, т. е. решение еще сильно ани-
анизотропно. К моменту 6Ь даваемому формулой A9.1.1), темп рас-
расширения по всем трем осям выравнивается и наступает изотропи-
зация. Таким образом, 6j есть всегда для любых рх время «изотро-
пизации» анизотропного решения.
Физическая причина сравнительно слабого влияния тяготения
материи на динамику расширения в случае |pi|<^l указана в по-
последнем абзаце предыдущего параграфа.
Очевидно, для приложений наибольший интерес представляет
случай горячей модели, когда уравнение состояния есть Р=е/3.
Точные решения этой задачи были'получены Компанейцем и Черно-
Черновым A964), Дорошкевичем A965) и Рубаном (частное сообщение).
Мы не будем приводить здесь точные решения, а укажем удобную
приближенную запись, хорошо аппроксимирующую решение на всем
интервале изменения времени 0^/<С°° и дающую точные асимпто-
асимптотические выражения при £->-0 и £->-оо. Эта приближенная форма за-
записывается в следующем виде:
a[ = aJ^(t + tu)"'-\ A9.1.3)
где а,-— масштабные коэффициенты вдоль трех осей, a pt удовлетво-
удовлетворяют соотношениям A8.3.7). При tf-М) получаем решение Казнера,
как это и должно быть. При £->-оо решение переходит во фридманов-
ское. Время изотропизации Q^t0. Это время удобно принять за
произвольный параметр задачи.
§ 2. Влияние пространственной анизотропии тензора
энергии-импульса на космологическое решение
До сих пор мы рассматривали в космологических задачах лишь
гидродинамический тензор энергии-импульса G"i*)rwtp=(8+
-\-Р) UiUk-\-gik P. Этот тензор пространственно изотропен; для дав-
давления выполняется закон Паскаля. Однако, как известно, это усло-
условие выполнено далеко не всегда. Например, для однородного маг-
магнитного поля, направленного по оси х3, тензор энергии-импульса
может быть записан в виде
ТЧ 'ri тз &ь т° Зъ 11 о 9 П
~yi— ~J 2—' з— -g- . У° —"&Г' AУ.— Ч
где Ж — напряженность поля.

j 2] ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ АНИЗОТРОПИИ 527
Этот тензор неизотропен. По оси х3 имеется натяжение, «отри-
«отрицательное» давление, по осям х1 и х2— положительное давление.
Другим примером может служить направленный поток релятивист-
релятивистских частиц (например, фотонов или нейтрино), движущихся
без столкновений вдоль оси х3 поровну в обоих направлениях этой
оси. Для такого потока тензор энергии-импульса записывается
в виде
71 = — е, 78 = е, остальные П = 0. A9.2.2)
Здесь положительное давление, равное плотности энергии, име-
имеется лишь в направлении оси х3. Вдоль двух других направлений
давление равно нулю.
Подчеркнем, что в обоих упомянутых случаях нет направлен-
направленного потока энергии относительно системы отсчета, все 7^=0.
Мы увидим далее, что при рассмотрении задач анизотропной
космологии возникновение пространственной анизотропии тензора
энергии-импульса неизбежно. В частности, рассмотренные выше при-
примеры A9.2.1) и A9.2.2) не искусственны, тензоры такого вида дей-
действительно встретятся при дальнейшем изложении. В этом пара-
параграфе мы не будем касаться случаев направленных потоков энергии
Т\>Ф0, хотя эти случаи важны для космологии, однако они требуют
специального подхода и будут рассмотрены далее. В данном пара-
параграфе рассматривается влияние пространственной анизотропии
на расширение, на ускорение вещества в разных направлениях. Сра-
Сразу же подчеркнем, что вследствие однородности никакого градиента
давления нет, нет и никаких сил, с ним связанных. Влияние анизо-
анизотропии давления может быть только гравитационным.
Как известно, в ОТО гравитационное поле зависит и от давле-
давления (см. § 1 гл. 2 данной книги и более подробно § 5 и § 6 гл. 1 ТТ
и ЭЗ). Изотропное положительное давление замедляет расширение.
Анизотропия давления должна создавать анизотропию ускоре-
ускорений деформации вещества. Из вида уравнений A8.3.2) -— A8.3.5)
видно, как влияет анизотропия 7* на относительное ускоре-
ускорение. В самом деле, рассмотрим два решения. Пусть для
обоих решений (обозначим их 1 и 2) в некоторый момент
времени все первые производные по соответствующим осям
равны
[D).-(!).■ D),-D).- D),-D)J
и для плотности энергии и следа тензора имеем G'S),=G^J,
(T)i=(TJ. Пусть, далее, в первом решении тензор 7„э изотро-
изотропен: 7} =Т1 = 7£, а во втором решении тензор Та? анизотропен.
Как повлияет это на ускорения?

52Я МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 19
Из уравнений A8.3.2) — A8.3.5) находим
A9.2.3)
Таким образом, возникающая анизотропия относительных ускоре-
ускорений пропорциональна анизотропии 7$ и противоположна по зна-
знаку. Очевидно, заметное влияние тензора Tlk на расширение модели
возможно лишь в том случае, когда в правой части уравнений
A8.3.2) — A8.3.5) есть члены, сравнимые по порядку величины с
членами в левой части, так же как это было для изотропного Tik
в анизотропных моделях. Однако анизотропный тензор Tik, во-
вообще говоря, не может обеспечить изотропизацию решения (если
нет других факторов изотропизации, см. об этом далее).
Для иллюстрации сказанного рассмотрим анизотропные космо-
космологические решения с приведенными выше тензорами энергии-им-
энергии-импульса A9.2.1) и A9.2.2). Первое решение с однородным магнитным
полем и метрикой A8.3.1) рассмотрено, например, Розеном A964).
Пусть поле направлено вдоль оси z ( W = ^f-) . Решение может
быть записано в параметрическом виде:
A9.2.4)
где
?„ = -^^ = const, 0<Л<1. 0<£<oo.
Вблизи сингулярности |->-0 решение имеет следующий асимпто-
асимптотический вид:
a = a'otp>, Ь = Ь'в1"', c = c'ot"', A9.2.5)
а р1г р2, р3 удовлетворяют соотношениям, аналогичным A8.3.8),
причем
^ ^ 1.A9.2.6)
Очевидно, рх, р2, р3 удовлетворяют соотношениям A8.3.7) и
асимптотическое решение A9.2.5) является «вакуумным». Показа-

2j ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ АНИЗОТРОПИИ 529
тель Pi всегда отрицателен, 0<— Pi^ir , а р2 и р3 положительны,
причем возможно и р2>ря и ps>pt.
Так как решение «вакуумное» при *-»-0, то, следовательно, маг-
магнитное поле асимптотически при *-»-0 не влияет на решение. Дей-
Действительно, в этом случае энергия поля растет, как
*-*</>■+/>,>, A9.2.7)
и вследствие A9.2.6) имеем 2{рг+р^^2. Поэтому членами в пра-
правой части уравнений тяготения можно пренебречь по сравнению с
членами в левой части, которые пропорциональны ~Ш2.
Подчеркнем, что решение с магнитным полем ие допускает ре-
решения с отрицательным ps (вдоль поля). В этом случае энергия поля
при *-»-0 нарастала бы быстрее, чем lit2, и пренебрегать этими чле-
членами было бы нельзя.
Когда в ходе расширения в рассматриваемом решении кончается
вакуумная стадия, влияние правой части на решение отличается
от случая изотропного тензора Тае. Рассмотрим, в чем заключается
это влияние. Сравним влияние (Тар)мп магнитного поля с влия-
влиянием изотропного тензора G'ор)из0Тр с тем же б и с тем же сред-
средним давлением /3=-д- Б (т- е- с тем же Т\ +Т1 + Т%, а значит, и с
тем же T=Pt=0). Тензор (Та^КЗо^, очевидно, описывает реляти-
релятивистский газ. Подставив A9.2.1) и тензор релятивистского газа в
уравнения A9.2.3), получим
|) 1 D) A9.2.8)
Сильнее всего влияние анизотропии Та^ на —, увеличивающее
модуль отрицательной величины—. В результате замедленное рас-
расширение по оси Xs переходит в сжатие. По оси х1, как и в изотропном
случае, сжатие меняется на расширение. И в целом при t-*-oo ре-
решение снова становится «вакуумным» и имеет вид A9.2.5), только в
A9.2.6) надо сделать замену р-*- р-\- 1, а ра и ря поменять местами.
Разумеется, рассмотренная задача является модельной, и при
t~*-oo решение, во всяком случае, неприменимо для описания ре-
реальной Вселенной. Однако, как мы покажем в § 3, на некотором ин-
интервале времени решение, возможно, имеет отношение к анализу
процессов в начале космологического расширения.
Приведем теперь решение для релятивистских частиц, движу-
движущихся по оси х3 с Тар ={—Т°0=Т1=— б, Т\=Т\=0}:
а = а„Е".-', ft = &„£"/•+', с = с„Г-1/.е1, ^

530 МАТЕРИЯ Б АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 19
где а0, Ь„, с0, /0=const, О^р^/а, * — постоянная тяготения Эйн-
Эйнштейна. /
При /-»-0 решение асимптотически «вакуумное», с отрицательным
показателем р3 по оси х3. При t-*-oo решение вновь становится «по-
«почти вакуумным», но уже с расширением по оси х3 по закону с~1 и
с логарифмически медленным расширением по осям х1 и х2. Качест-
Качественный анализ влияния анизотропии Та$ на решение в этом случае
читатель проделает самостоятельно по аналогии с предыдущим.
§ 3. Космологические модели с олнородным магнитным полем
До недавнего прошлого проблема спонтанного возникновения
магнитного поля в галактиках встречалась с серьезными трудно-
трудностями (см. § 7 гл. 14). В тот период появился целый ряд работ (как
теоретических, так и основанных на обработке наблюдательных
данных), в которых рассматривается изначальное магнитное поле,
существовавшее до появления галактик, и усилением этого изна-
изначального магнитного поля пытались объяснить магнитное поле га-
галактик.
В настоящее время теории генерации и последующего усиления
магнитного поля, вероятно, позволяют объяснить наблюдаемые
магнитные поля в галактиках. Таким образом, непосредственная
причина введения первичного магнитного поля в теоретическую кос-
космологию отпала. Тем не менее, конечно, нет никаких доказательств
отсутствия изначального слабого межгалактического поля с Ж та
та 10~' гс или меньше для сегодняшнего момента. Более того, появ-
появляются работы [см., например, Рейнгардт и Тил A970), Рейнгардт
и Роберте A972), Рейнгардт A972)], основанные на обработке на-
наблюдательных данных, в которых высказываются соображения в
пользу существования такого поля.
Мы рассмотрим в настоящем параграфе космологические модели
с однородным магнитным полем. Упомянем здесь некоторые работы
по этой проблеме (список, разумеется, не полный): Брахмачарн
A965), Хойл A958), Розен A964), Зельдович A9656, 1969), Халат-
Халатников A965, 1967), Дорошкевич A965), Торн A967), Якобе A969).
Важнейшие свойства такой модели заключаются в том, что маг-
магнитное поле существует, несмотря на отсутствие электрического
тока где бы то ни было, что формально следует из однородности поля
rot B=0*). Уравнения ОТО совместно с уравнениями Максвелла
приводят к выполнению условия геометрической вмороженности
поля (сохранения потока поля через контур, состоящий из данный
прзбных частиц, образующих систему отсчета, независимо от про-
проводимости вещества или даже в отсутствие вещества).
*) Конечное тело при 1аком условии имев! гок на поверхности.

3] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 531
Зависящее от времени магнитное поле сопровождается появле-
появлением электрического цоля, однако вмороженность поля приводит к
тому, что наблюдатель, движущийся вместе с веществом, естест-
естественно, никакого электрического поля в своей системе не обнаружи-
обнаруживает (это и есть признак вмороженности).
Выведем это свойство в ОТО для метрики A8.3.1).
Уравнения Максвелла записываются в виде
= 0, A9.3.1)
так как ток отсутствует в силу однородности поля. Теперь предпо-
предполагаем, что однородное магнитное поле направлено по оси а'3.
Тогда частным решением написанного выше уравнения Максвелла
будет
^ &• = О, ЖХ.=ЖХ. = О. A9.3.2)
Таким образом, в сопутствующем пространстве магнитное поле не
вызывает появления электрического. Силовые линии поля непод-
неподвижны относительно системы отсчета.
Другим независимым решением будет вмороженное электриче-
электрическое поле, направленное по любой из осей. Например, для электри-
электрического поля по оси Xs
ЫГ <&• = <£*• = О, ЯГ,. = ЯГ,. = ЯГ,. = 0.A9.3.3)
Формально все модели и выводы этого параграфа остаются в силе,
если однородное магнитное поле заменить электрическим. Однако
однородное метагалактическое электрическое поле должно вызывать
появление электрического тока заряженных частиц и быстро зату-
затухать. В настоящее время нет никаких оснований предполагать на-
наличие общего электрического поля (в отличие от предположений
об общем магнитном поле). Поэтому модель с электрическим полем
вряд ли имеет какое-либо отношение к реальности.
Вернемся к модели с магнитным полем и расширяющимся веще-
веществом. Заряженные частицы, движущиеся относительно вещества,
отклоняются полем, но их энергия, измеренная наблюдателем там,
где они в данный момент находятся, по-прежнему только уменьша-
уменьшается в ходе расширения.
Уравнения общей задачи о магнитной модели Вселенной полу-
получаются из уравнений A8.3.2) — A8.3.5), где в правую часть надо
подставить тензор 7^, являющийся суммой тензора магнитного по-
ля A9.2.1) и тензора энергии-импульса обычной материи, имеющего
Для релятивистского газа следующий вид:
'* о)ве.ц = Е, (' i)ueui = (' г)вещ=1 (' з)вещ= * о •

532 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ 19
Отсылая за подробностями вычислений к работам Дорошкевича
A965) и Зельдовича A969), приведем здесь качественные сообра-
соображения и выводы. Так как мы уже знаем по отдельности анизотроп-
анизотропные решения только с обычной материей (§ 1) и только с магнитным
полем (§ 2), то нетрудно получить их комбинацию.
Прежде всего, как мы видели в § 2, магнитное поле не допускает
решения, в котором при t-*-0 имеется отрицательный показатель
степени в зависимости масштабного фактора от времени вдоль на-
направления поля. Это свойство сохраняется и в рассматриваемом ком-
комбинированном решении. Физический смысл этого свойства тот же,
что и в § 2: если бы при t-*-0 уменьшались оба масштабных фактора в
направлении, ортогональном полю, то плотность энергии поля
г~Жг стремилась бы к бесконечности быстрее, чем Ш2, и тяготение,
связанное с магнитным полем, изменило бы характер решения,
переведя его на «вакуумное» с расширением при t-*-0 вдоль одного
из направлений, ортогональных полю.
Конец вакуумной стадии определяется сравниванием одного из
членов в правой части A8.3.2) — A8.3.5), т. е. G?)поля или G?)в
с Ш2. Если первым сравнивается с I//2 член (Т{)вещ, связанный с
обычным веществом, то это означает, что к концу вакуумной стадии
плотность энергии магнитного поля меньше плотности энергии обыч-
обычной материи и поле ни на какой стадии не оказывает влияния на ди-
динамику расширения. Решение совпадает с описанным в § 1.
Наконец, если первым сравнивается с I//2 член (Т?)лопя, свя-
связанный с магнитным полем, то поле существенно влияет на расши-
расширение. Оно переводит решение с одной вакуумной асимптотики на
другую (см. § 2). Лишь после того, как вступают в игру силы тя-
тяготения, связанные с материей, решение изотропизуется и прибли-
приближается к фрндмановскому.
Рассмотрим теперь более подробно процесс изотропизации ре-
решения [Зельдович A969)], а именно рассмотрим стадию, когда ре-
решение почти изотропно и влияние анизотропии поля мало. Для ко-
количественных оценок рассмотрим осесимметричное решение
ds2 = dt2—a*(t) ((dxlJ+(dy2)*) —b*(t) {dx3J A9.3.4)
(поле направлено по оси х3).
Обозначим а=а/а, Р=Ь/Ь. Уравнения Эйнштейна имеют вид
(принято 8яС=1, с=1)
A9.3.5)
(a2b)~l J-(a2bP)=y—со, е = const (cfb)
со = const -a~*

, 3] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 533
или, если избавиться от а и Ь,
р рB Р) = -|—со,
4
е = —з-Bа + Р)е, « = — 4асо.
В этих обозначениях изотропное решение есть
, со = О, б = ^. A9.3.7)
Выделим величину, характеризующую изотропное расширение:
п= a^ (такими бы были аир при изотропном расширении).
О
С другой стороны, вьщелим безразмерные величины, характеризу-
a—В ы
,r=_JL и f = _.
После этого точные уравнения приобретают вид
ющие анизотропию: г= — и q
tX Е
q = —j
rn + nr + 3n2r =
A9.3.8)
Кроме того, имеет место еще одно соотношение, являющееся интег-
интегралом выписанных выше уравнений:
2—2а2—Р2 =
или, в обозначениях г, я, q,
3n2(l-|r2)=e(l+9). A9.3.9)
Это соотношение следует из условия, что рассматривается мир трех-
трехмерно плоский (в изотропном случае это условие превращается в
0=1). Соотношение A9.3.9) является интегралом системы A9.3.8)
И позволяет исключить одно из дифференциальных уравнений, на-
например первое.
В принципе выписанная выше система уравнений A9.3.8) поз-
позволяет построить космологическое решение с любым наперед задан-
заданным магнитным полем и анизотропией расширения в данный момент
и при данной плотности энергии б.
Задавшись б, д, г в произвольный момент t0, находим соответ-
ствующее п из последней формулы и далее интегрируем уравнения
A9.3.8) в прошлое и в будущее. Единственное ограничение заключа-
заключается в том, что рассматривается лишь РД-период (Р=б/3, т. е.

534 МАТЕРИЯ Б АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 18
г>2-104, <><2«1012 сек, см. гл. 6, § 1). Теперь от задачи о плоском
мире с анизотропным расширением и магнитным полем перейдем
к специфическому случаю слабого поля и малой анизотропии,
<7<Cl, г<1, и потребуем, чтобы эти условия выполнялись на протя-
протяжении всего интервала времени от некоторого момента tx до t2.
За начало интервала ti можно выбрать либо «планковское время»
<!=10-43 сек, либо момент закалки равновесия между нейтронами
и протонами <i=l сек (см. гл. 7). Выбор зависит от поста-
постановки задачи: требуем ли мы, чтобы мир на всем протяжении
эволюции от «планковского момента» был максимально близок к
решению Фридмана, был максимально упорядочен (в этом случае
<1»10~43 сек), или мы довольствуемся тем, что магнитное поле не
влияет на предсказания теории относительно химического состава
первичного вещества (в этом случае ^,«1 сек).
Математически задача резко упрощается: плотность энергии
б и общая скорость расширения п по условию мало отличаются от
изотропных: n=\/2t, б=3/4/2. Подставим эти величины в уравнения
A9.3.8), считая г и q малыми. Получим
'=-£ + ?• ? = —37"?- <19-ЗЛ°)
В отсутствие магнитного поля (д=0) анизотропия расширения бы-
быстро убывает: r=ro]/rtjt. Магнитное поле «консервирует» анизо-
анизотропию расширения подобно потокам нейтрино и гравитонов.
Легко найти квазистационарное решение: очевидно, что при нали-
наличии магнитного поля г стремится не к нулю, а к тому значению, при
котором г=0, т. е. г-»-6 д.
Подставим это значение г во второе уравнение A9.3.10), получим
В итоге из A9.3.11) получаем неравенство q(t2) < Ы In-p J ;
таким образом,
для *, = 10— сек, tt= 10» сек ?'(',)< 2-Н>-«,
для <1 = 1 сек, tt= 10й сек q"(t2)<№-*.
1
Отношение энергии магнитного поля к энергии Бргл реликтового
излучения остается практически постоянным в ходе дальнейшей
эволюции вплоть до настоящего времени. Поэтому из A9.3.12) и
сегодняшнего значения врел получаем неравенства для сегодняш-
сегодняшнего значения магнитного поля. Плотность энергии врсл=4Х
X 10~13 эрг/сек; в двух вариантах q' и q" получим для магнитного
поля^'<1,5-10-' гс и ^Г"<3-10-' гс.

j 3] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 535
Предполагаемое первичное (космологическое) магнитное поле
существенно меньше — порядка 10~9— 10~10 гс. Такая оценка сле-
следует из величины магнитного поля галактик, которая порядка
Ю~в гс. Но плотность галактик в 10Б—10е раз больше средней плот-
плотности Вселенной. В простейшем случае изотропного сжатия поле
возрастает пропорционально pv», значит, поле галактик (даже без
учета усиления его дифференциальным вращением и динамо-ме-
динамо-механизмами, см. § 7 гл. 14) в 10s—10* раз больше первичного поля.
Итак, вывод заключается в том, что первичное космологическое
магнитное поле, необходимое для объяснения магнитного поля га-
галактик, «вписывается» в изотропную модель Фридмана, мало меняя
все свойства модели на всем протяжении эволюции.
Легко убедиться также, что такое магнитное поле порядка 10~8—
Ю0 гс вызывает достаточно малую анизотропию расширения:
соответствующее <7=5-1О~в—5- 10~в. Следовательно, анизотропия
расширения г~3-10~6—3-10~7 в РД-стадии. Позже, когда рвещ>
£>Ризл> стационарное значение г уменьшается, так как по порядку
величины
_
4л (Еизл + сРвещ) '
Анизотропия температуры реликтового излучения удобно вы-
выражается через параметр г. В самом деле, пусть мир стал прозрачен
в момент t0 и в этот момент температура равнялась То, излучение
было изотропно. После этого получим: для лучей, распространяю-
распространяющихся вдоль осей х1, х2,
ВДОЛЬ ОСИ X3
Тп_т Ъ0_т -
Следовательно,
-1 е
= J г-g-Л =yjrd In
Анизотропия реликтового излучения (соответствующая полю 10~8—
Ю~10 гс в настоящее время) оказывается -^г-<10~в,т. е. далеко
за пределами современной точности наблюдений и меньше, чем
возможная анизотропия от других причин.
Таким образом, гипотеза первичного магнитного поля не проти-
противоречит наблюдениям, так же как она не противоречит предполо-

Б36 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 19
жению о почти фридмановском выходе из сингулярности (т. е.
предположению, что и при <=10~43 сек расширение практически
фридмановское). Скептическое отношение к этой гипотезе и желание
обойтись без первичного поля, желание объяснить поле галактик
динамо-механизмом — все это связано с интуитивными, почти что
эстетическими мотивами и с предвидением будущей теории сингу-
сингулярности. Кажется невероятным, чтобы в этой будущей теории
спонтанно появилось магнитное поле, нарушающее симметрию пра-
правого и левого. Впрочем, нужно помнить шаткость и субъективность
таких эстетических критериев!
§ 4. Возмущения в анизотропной однородной Вселенной
В предыдущем разделе были рассмотрены вопросы, связанные
с флуктуациями в изотропной и однородной модели Фридмана. Од-
Однако если начальные стадии космологического расширения были
ие фридмановские, то, естественно, и законы роста флуктуации были
иными.
В этом параграфе рассматривается космологическая задача о
росте возмущений плотности в расширяющейся материи, в среднем
покоящейся относительно синхронной системы отсчета, а также
изменение амплитуды гравитационных и акустических волн [Лиф-
шиц, Халатников A963а, б), Дорошкевич A966), Дорошкевич,
Зельдович, Новиков A971I.
В разделе о гравитационной неустойчивости фридмановского
мира было подробно показано, что при джинсовской неустойчивости
причиной роста возмущений плотности является самогравитация
возмущений: более плотные комки материи обладают ббльшими
полями тяготения, что и вызывает их рост.
Рост возмущений в анизотропном мире носит совсем иной ха-
характер.
Цель данного параграфа показать, что рост возмущений плот-
плотности материи в анизотропной расширяющейся Вселенной на ва-
вакуумной стадии существует, но является кинематическим эффектом,
обусловленным движением вещества в гравитационном поле, опи-
описываемом решением уравнений тяготения для пустого пространства,
и найти законы роста возмущений плотности материи. Ясное по-
понимание процесса роста флуктуации позволяет продвинуться и в
рассмотрении конечной, не малой неоднородности плотности в не-
некоторых частных случаях.
Рассмотрение неоднородных возмущений (т. е. возмущений, за-
зависящих от координат) в анизотропной однородной Вселенной пред-
представляет большой интерес.
Такое рассмотрение можно считать первым приближением к ре-
решению общей задачи о неизотропной и неоднородной Вселенной.
Нелинейность уравнений ОТО, сложность физических процессов и

I 4] ВОЗМУЩЕНИЯ В ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ 537
математические трудности приводят к тому, что прямое решение
общей задачи в настоящее время невозможно. Приходится приобре-
приобретать сведения о характере решения, рассматривая частные случаи,
среди которых почетную роль играют точные решения — как пра-
правило, вырожденные, например обладающие инвариантностью типа
сферической симметрии, т. е. группой поворота, или пространствен-
пространственной однородностью, т. е. группой сдвига.
Слабовозмущенные точные решения образуют множество го-
гораздо большей мощности (совпадающей с мощностью общего ре-
решения), так как возмущения снимают вырождение и не обладают ин-
инвариантностью точных решений. Вместе с тем пока возмущения
малы, они удовлетворяют линейным уравнениям и после фурье-раз-
ложения по пространству приводят к обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям для фурье-амплитуд. Поэтому задачи о малых воз-
возмущениях соединяют математическую простоту и обозримость ре-
решений с большой общностью начальных условий.
Ниже будут рассмотрены малые возмущения плотности материи
на фоне расширяющейся плоской анизотропной модели Вселенной.
Физическая интерпретация результатов, показывающая, что рост
возмущений есть кинематический эффект, может быть полезна при
рассмотрении более сложных случаев, в частности задачи об эво-
эволюции возмущений на стадии конечной (не малой) неоднородности
плотности н конечных возмущений скорости.
Рассмотрим анизотропную однородную модель с обычным ве-
веществом. Как уже неоднократно отмечалось, на ранней вакуумной
стадии расширения анизотропного мира тяготение вещества не иг-
играет роли.
Дадим ньютоновское описание ситуации. Локально наблюдатель
чувствует приливные силы, по сравнению с которыми гравитацион-
гравитационное взаимодействие соседних объемов пренебрежимо мало. Элемент
объема сопутствующей системы координат сжимается по одной оси
и расширяется по двум другим осям, так как в общем невырожден-
невырожденном случае для показателей степени (plt p2, ps) масштабных фак-
факторов а~р\ Ь~Р*, с~<р» вдоль трех осей имеем
-у</>. <0<p2<f <Р3<1. A9.4.1)
Для удобства в дальнейшем обозначим »!=—a;0^a^-s-. Рассмот-
О
Рим сперва частицы, покоящиеся в сопутствующих координатах,
т- е. с постоянными х1=\, х2=ц, х3=£,. Их «лабораторные» коорди-
координаты суть
Возьмем пары частиц, расположенные по той или иной оси, напри-
меР Si , 0, 0 и £„ 0, 0 или 0, T]lf 0 и 0, т]а, 0.

53fc МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 1ГЛ. 19
Их относительное ускорение равно
= -i. г1
A9.4.2)
В ньютоновской интерпретации такое относительное ускорение сви-
свидетельствует о действии гравитационного потенциала, удовлетво-
удовлетворяющего условиям
<Р<р _ a d2<p _ Ъ d2ip _ с
dx~ ~ a"' dy" F ' dz2 ~ T'
В общем случае, согласно A8.3.5), получим Аф = -^- (e
в нерелятивистском веществе Tg<^e, — = р, Дф = 4л Ср. На ва-
вакуумной стадии отдельные члены вида -4пг ^>Дф, можно поэтому
положить Дф=0. Поскольку Дф=О, что соответствует уравнению
Ньютона для пустоты, локальный наблюдатель может считать,
что силы тяготения не связаны с присутствующей материей, и в
этом смысле их можно назвать приливными. С точки зрения реля*
тивистскои теории гравитационное поле в данной модели является
свободным гравитационным полем типа гравитационной волны бес-
бесконечно большой длины; это поле не имеет своим источником ве-
вещество.
Приливные силы расталкивают покоящиеся в данной системе
отсчета частицы по оси х (замедляя сжатие) и стягивают сопутству-
сопутствующие частицы по осям у и z (замедляя расширение). Частицы, дви-
движущиеся с произвольной скоростью, испытывают те же гравитаци-
гравитационные силы, во всяком случае пока скорость их нерелятивистская,
Обратимся теперь к возмущениям в рассматриваемой модели.
Рассматривается казнеровская вакуумная стадия, поскольку после-
последующая стадия быстро переходит в тривиальную фридмановскую
модель, и поведение в ней возмущений известно. Как уже упомина-
упоминалось, на вакуумной стадии гравитационное взаимодействие веще-
вещества не играет роли в поведении возмущений точно так же, как оно
не играет роли в невозмущенном движении. Покажем это, т. е.
покажем, что самогравитация материи не приводит к заметному ро-
росту неоднородности. Приближенную оценку роли гравитационного
взаимодействия материи получим, взяв мгновенное значение ин-
инкремента по формуле Джинса (см. гл. 9) (б = — j:
A9.4.3)

j 4] ВОЗМУЩЕНИЯ В ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ 539
Подставим в A9.4.3) зависимость р от t на вакуумной стадии
(см. § 1 этой главы).
В случае пыли подставим р=рвеш, в случае излучения р=ризл
по формулам pBeux=At-1, pK!a=Bt~'': Константы А или В выразим
через момент изотропизации вг выхода на решение Фридмана. О том,
как это делается, сказано с § 1 этой главы. Используя формулу вида
A9.1.1), получаем
лег1 = (блсе?)-1, Ббг4/§=з
Подставим теперь p=p(Q в A9.4.3) с найденными значениями кон-
констант и проинтегрируем полученные выражения от нуля до 6,.
В результате найдем, что за время от сингулярности (t=0) до 6j
возмущение б возрастает на конечную величину:
и
| для р = рвещ и \Y\
для р = ризл. A9.4.4)
В изотропном мире такой интеграл расходится вблизи нуля. Срав-
Сравнивая бесконечное значение интеграла в изотропном мире и ко-
конечное значение интеграла, т. е. конечный вклад гравитационного
/ /~2~ 3 /~з~\
взаимодействия ( 2 1/ -^ или "о" г Т / • в анизотРопном мире,
можно сделать вывод о том, что гравитационное действие на воз-
возмущение несущественно. При отсутствии гравитационного вза-
взаимодействия невозможно говорить о гравитационной неустойчивости
однородного мира.
Однако это, конечно, не означает, что и все возмущения не
нарастают в анизотропном мире. Мы доказали только, что причиной
роста возмущений не может быть гравитация материи. Как мы сей-
сейчас покажем, в вакуумном периоде имеются нарастающие возмуще-
возмущения, причем закон этого нарастания даже более сильный по срав-
сравнению с нарастанием возмущений за счет джинсовской гравитацион-
гравитационной неустойчивости в изотропной модели Фридмана.
Рост возмущений в анизотропной модели имеет существенно
иную, не джинсовскую природу. Этот рост связан со сжатием по
одной нз осей (х1).
Будем говорить сейчас о случае Р=0 (пылевидное вещество).
Пусть какие-либо частицы пыли обладают малой пекулярной ско-
скоростью относительно системы отсчета х1, х2, х3. Обозначим эту ско-
скорость через v. Тяготение, связанное с возмущением плотности, как
мы уже выяснили, несущественно. Поэтому скорость частицы будет
меняться, как скорость пробной частицы в невозмущенном решении.
Для изменения скорости пробной частицы в невозмущенном реше-
иии применимы все рассуждения § 1 гл. 3. Каждая составляющая

540 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 19
скорости по осям х1, х2, ха меняется обратно пропорционально (соот-
(соответственно) а, Ь, с. Составляющие по х2 и х3 затухают, но и*.~
~a~1~ta и, следовательно, нарастает. Это нарастание и обусловли-
обусловливает рост флуктуации плотности. Движения же по координатам
х2 и х3 затухают, не ведут к нарастанию плотности, и их поэтому
можно не учитывать.
Для определения скорости роста плотности найдем, как меня-
меняется объем вещества, а для этого прежде всего определим, как ме-
меняется координата частицы из-за наличия tv- Физическая скорость
dx1 dx1
vxi=a-rr-. Величина a~t~a, a v^^t1; следовательно, — ~ t2a
и x1=xB-\-Dt1+2a. Объем вещества благодаря этому движению ме-
меняется иначе, чем в невозмущенном решении. Это отклонение
AV
— ~t1+2a, где V — объем в невозмущенном решении. Отсюда
окончательно для растущей моды возмущения плотности находим
6@ = — ~t1+2a. A9.4.5)
Имея в виду, что 0< а^ 1/3, мы видим, что при падении плот-
плотности в п раз возмущения возрастают в «1+2а, т. е. в п1—«'/• раз.
В изотропной модели с пылью было Ь~№>, p~t~2, б-^р/», т. е.
соответствующий рост возмущения происходил только в пЧг или
в 3—5 раз медленнее, чем в анизотропном случае.
Рассмотрим теперь другой тип возмущений в анизотропной мо-
модели.
Когда рассматриваются короткие волны в упругой среде (на-
(например, в релятивистском газе с Р=е/3) или короткие гравитацион-
гравитационные волны (так что длина волны l<^.cf), то изменение их амплитуды
связано, в силу адиабатической инвариантности, с изменением дли-
длины волны и частоты. Длина волны уменьшается и частота увеличи-
увеличивается, если распространение волны происходит вдоль оси х1.
Видно, что распространение вдоль оси х1, так же как и движение
пыли вдоль х1 в предыдущем примере, не является исключитель-
исключительным случаем. В силу чисто геометрических причин при произволь-
произвольном начальном волновом векторе (с компонентами kbxzxkByzzkoz
одного порядка в момент t=t0) с течением времени происходит рост
kx и уменьшение ky и kz. Направление распространения любой волны
приближается к оси х.
Таким образом, асимптотически волновой вектор направлен по
оси х и растет со временем пропорционально ta. Скорость гравита-
гравитационных волн постоянна и равна с. Скорость упругих волн в высо-
высокотемпературной плазме (в газе с Р=е/3) также постоянна и равна
C/J/5L Следовательно, в обоих случаях частота растет пропорцио-
пропорционально Л~<°; из адиабатической инвариантности следует, что рас-
растет, как ta, и энергия гравитационных и упругих волн, заключенная

j 4] ВОЗМУЩЕНИЯ В ОДНОРОДНОЙ ВСЕЛЕННОЙ 541
в данном сопутствующем объеме. Сопутствующий объем растет в
невозмущенном решении Казнера как t.
Плотность энергии гравитационных волн пропорциональна
(—■) , где h — безразмерное возмущение метрики: dx2-+(l+h) dx2.
Окончательно получим h~t-°+a)/2\ отношение плотности энергии
гравитационных волн к плотности энергии плазмы растет, как
/'/, + <*; в изотропном мире это отношение оставалось постоянным*).
Для упругих (акустических) волн е«фс262; относительная ам-
амплитуда коротких волн A<фЛ), к которым применима адиабатическая
инвариантность, растет с течением времени, как i^n; в изотропном
мире эта амплитуда была постоянной.
Действуя тем же методом, т. е. пренебрегая гравитационным
влиянием вещества, легко рассчитать и развитие длинноволновых
(X^cf) возмущений в среде с Р=е/3. В этом случае можно пренебречь
градиентами давления и границы объемов возмущения движутся
как свободные частицы. Рассуждения здесь полностью аналогичны
случаю Р=0, только теперь плотность связана с объемом соотно-
соотношением р~у-ч/- Получаем для наиболее быстро нарастающей
моды возмущений плотности
б = — ~*4/,+2а~е-<1+'/оа> A9.4.6)
вместо б~е~х в модели Фридмана. Интересно заметить, что поведение
абсолютных значений возмущений плотности не зависит от уравне-
уравнения состояния вещества (в пределе длинных волн); для Р=0 и для
Р=е/3 имеем
Следует также отметить, что, рассматривая движение вещества на
фоне невозмущенной метрики, мы не можем описать некоторые типы
возмущений, а именно возмущения свободного гравитационного
поля модели, т. е. того поля, на фоне которого рассматривается
движение вещества. Как мы уже отмечали, это общее поле можно
рассматривать как гравитационную волну бесконечно большой дли-
длины. Ясно, что для гравитационных возмущений с большой длиной
волны (K^>cl) метод адиабатических инвариантов (применяемый
выше для анализа волн с )к^.с() неприменим. Такие возмущения
всего поля рассмотрены в работе Лифшица и Халатникова A963а, б).
Они также приводят к возмущениям плотности и скорости (за ис-
исключением особых случаев, связанных с симметрией задачи). Од-
Однако эти моды при расширении нарастают более медленно и не яв-
являются главными.
*) Напомним, что предполагается плазма с Р=е/3 — с достаточно частыми
^олкиовеииями частиц, так что изотропия их распределения и закон Паскаля
"« нарушаются.

Б42 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 19
В этом параграфе не рассматриваются другие, более тонкие во-
вопросы, например превращение поперечных волн в продольные. Мы
отсылаем за подробностями к работе Дорошкевича A966).
Сформулируем кратко выводы:
1. В анизотропной космологической модели на ранней стадии
рост возмущений — движение вещества и распространение волн —
может быть рассмотрен без учета самогравитации вещества, в соот-
соответствии с общим выводом о «вакуумности» этой стадии эволюции.
2. Получен закон роста малых возмущений и общее решение для
конечных возмущений с давлением, равным нулю. Возмущения
растут в 3-5 раз быстрее
посрав-
нению с изотропной моделью.
3. Объяснены законы изменения амплитуды коротких гравита-
гравитационных и упругих (акустических) волн.
4. Получен закон роста длинноволновых возмущений в среде с
Р=е/3. Возмущения растут в 2—3 раза быстрее, чем в изотроп-
изотропной модели.
§ 5. Неустойчивость космологических решений относительно
возникновения движения всего вещества
До сих пор предполагалось, что вещество все время в среднем
dxa
покоится относительно системы отсчёта модели, т. е. все -^- = 0.
Посмотрим, устойчиво ли такое решение.
В предыдущем параграфе было рассмотрено возникновение ло-
локальных флуктуации с X<^.ct и показана их «кинематическая» при-
природа (в смысле несущественности самогравитации флуктуации).
В этом параграфе будет показано, что анизотропная модель неус-
неустойчива в том же приближении (без обратного влияния) и относи-
относительно возникновения однородного движения всего вещества в це-
целом, т. е. относительно возмущения с )j^>ct.
Как и для всякой неустойчивости, в данной задаче нарастают
разные моды в зависимости от того, рассматривается ли сжатие
всего вещества (коллапс) или расширение (космологическая задача).
Для коллапса подобная задача была рассмотрена Лифшицем и Ха-
латниковым (I960, 1963а, б), космологическая задача рассмотрена
Новиковым A970) на основе результатов Лифшица и Халатникова.
Здесь будет рассмотрена космологическая задача; задачу о кол-
коллапсе можно найти у Ландау и Лифшица A973).
Будем рассматривать вакуумную стадию. Наличие материи не
влияет на решение, метрика записывается в виде
dss = dt2— tw (dx1)*— t*P*{dx*y— t*P>(dx3)*, \ {)
j (

g Б] НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 543
Предположим теперь, что в некоторый начальный момент вре-
времени to есть определенная (малая) скорость всего вещества. По-
Посмотрим, как будет двигаться материя в момент времени ф><0.
Хак как рассматриваются ранние стадии расширения, то уравне-
уравнение состояния полагается равным Р=е/3. Уравнения движения ве-
вещества записываются в виде 1см. Ландау, Лифшиц A973), стр. 412]
здесь и1— четырехмерная скорость.
Нас интересуют сейчас возмущения длинноволнового типа
Q^>ct), т. е. все производные по пространству в системе отсчета
A9.5.1), меньше, чем по времени. Таким образом, мы рассматриваем
однородное возмущение скорости всего вещества. Если величины в
A9.5.2) зависят только от времени, то уравнения легко интегриру-
интегрируются. Считаем, что в начальный момент времени (и все физические
компоненты скорости одного порядка. Рассматривается расшире-
расширение модели. При ф>10 решение системы A9.5.2) дает для главных
членов по степеням t(pi— наименьший показатель)
e = elB)t-2il-p>\ и« = и«,о1*11~л1"- A9.5.3)
Из решения A9.5.3) и тождества и,и' = 1 следует, что
Здесь v — модуль трехмерной скорости, выраженный в единицах
скорости света. Таким образом, скорость стремится к световой по
закону
/nZ^,f~T-. A9.5.4)
Найдем компоненты трехмерной физической скорости *) по разным
осям координат. Эти компоненты в данном случае суть
A9.5.5)
Из A9.5.5), подставляя A9.5.3), A9.5.4) и^и из A9.5.1), и.-ходим,
что в первом порядке
dA)»1, г/21/^^-(/>2-/>,)> 1/а|~<~(А~л|. A9.5.6)
*) Это компоненты, которые измеряет локальный наблюдатель, покоящийся
в системе отсчета. Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что это оп-
определение не совпадает с данным у Ландау н Лифшица A973) на стр. 323, где вво-
вводятся координатные компоненты 3-скорости.

544 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ 19
Для dA) более точно можно написать dA)=1—const• ^зр,—1_ Таким
образом, d'1'^-^2', dC) и скорость стремится к световой вдоль оси
х1, по которой происходит сжатие системы отсчета. Выражения
A9.5.3), A9.5.4) и A9.5.6) описывают релятивистскую стадию дви-
движения. Эти выражения показывают неустойчивость решения от-
относительно однородного возмущения скорости.. Начальные стадии
развития такой неустойчивости, когда v/c<^.l, не описываются соот-
соотношениями A9.5.3) и были получены в предыдущем параграфе.
Вернемся к релятивистской стадии неустойчивости. Обратим
внимание на то обстоятельство, что все рассмотрение проводится в
системе, относительно которой материя движется с релятивистской
скоростью. Это ведет к двум важным следствиям.
Во-первых, собственное время т в сопутствующей системе от-
отсчета (движущейся вместе с материей) отличается от времени t
системы A9.5.1). Связь между временами находится из релятивист-
релятивистского соотношения
dx = dtVT^tf. A9.5.7)
Используя A9.5.4), находим
Зр, + 1
X~t 2 .
Подставляя это выражение в A9.5.3), получаем для плотности
энергии
— 4 A—Pi)
ь«ёот 3pi+1 . A9.5.8)
Во-вторых, события, одновременные в системе отсчета A9.5.1),
не одновременны в сопутствующей системе. В системе A9.5.1)
нет пространственных градиентов плотности и давления — мы вы-
выбрали однородное решение. Однако пространственная неоднород-
неоднородность появляется в сопутствующей системе отсчета из-за относитель-
относительности одновременности. Наличие градиентов давления в сопутству-
сопутствующей системе отсчета ведет к тому, что деформация вещества зависит
от уравнения состояния. Поэтому материя с разными уравне-
уравнениями состояния набирает скорость относительно системы A9.5.1)по
разным законам, что легко видеть из уравнений A9.5.2). Например,
для пыли с уравнением состояния Р=0 из A9.5.2) сразу получаем
иа =const, что отличается от A9.5.3), полученного для Р=е/3.
Для пыли (Р=0) изменение компонент скорости вещества в
системе A9.5.1) есть чисто кинематический эффект и физическая
компонента импульса вдоль данной оси обратно пропорциональна
масштабному фактору вдоль этой оси. Поэтому скорость всегда
растет вдоль оси, по которой происходит сжатие, и убывает вдоль
осей, по которым происходит расширение.
При наличии давления картина осложняется градиентами сил
давления в сопутствующей системе, и иногда эффект этих сил мо-

, 6j НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ 545
жет превалировать над кинематическим эффектом. Для демонстра-
демонстрации сказанного рассмотрим случай, когда уравнение состояния
вещества Р=е/3, а скорость движения направлена строго вдоль од-
одной из осей (назовем ее а). Остальные компоненты скорости тож-
тождественно равны нулю. Тогда справедливо решение A9.5.3) и соот-
соотношение A9.5.4), только рх может принимать любые значения —
от—Х1ъю 1 в зависимости от того, по какой из осей направлена ско-
скорость.
Если бы в росте скорости играл роль только кинематический
эффект, физическая скорость росла бы для отрицательных значе-
значений pi и убывала для положительных. Это действительно имеет
место для пыли. Однако из A9.5.4) видно, что в рассматриваемой
задаче с Р=е/3 критическим для роста скорости является не нуле-
нулевое значение показателя, a Pi—lls-
Таким образом, даже если движение направлено вдоль расширя-
расширяющейся оси, но расширяющейся не слишком быстро (pi<73). ско-
скорость релятивистского газа относительно однородной системы от-
отсчета растет. Это обстоятельство важно для космологических задач.
Вернемся теперь к тем исходным предположениям, в которых
рассматривалась задача.
Первое замечание связано с предположением о том, что материя
не оказывает обратного влияния на решение для метрики, т. е.
рассматривалась вакуумная стадия. Это предположение справед-
справедливо лишь со следующей оговоркой. Мы рассматривали до сих пор
метрику вида A8.3.1), в которой трехмерное пространство плоское,
все -g^-= 0 («=1. 2, 3). Для такой метрики все ^??= 0, а зна-
значит, и Т™ = 0. так как R^ =xT% (х — постоянная тяготения
Эйнштейна). Таким образом, метрика вида A8.3.1) не допускает
движения вещества в системе отсчета. Следовательно, строго говоря,
движение вещества должно предполагать искривление трехмерного
пространства однородной системы отсчета. Если это искривление
не влияет на эволюцию модели вблизи сингулярности, /=0, то оно
не влияет и на движение материи, пока расстояния, пройденные ма-
материей, малы по сравнению с радиусом кривизны трехмерного про-
пространства. В этом случае все изложенное выше справедливо как
первое приближение на вакуумной стадии, хотя и надо помнить,
Что трехмерное пространство искривлено. Мы увидим в гл. 21, при
каких типах искривления трехмерного пространства сингулярность
при t->-0 действительно имеет описанный выше «казнеровский» ха-
характер с a~iPi, b~tPi, c~fp> и справедлив проделанный анализ.
При некоторых типах искривления трехмерного пространства
(см. гл. 21) кривизна коренным образом меняет характер решения
Для ^v вблизи сингулярности, /—>-0 [Белинский, Лифшиц, Халат-
Халатников A970)]. Решение носит осцилляционный характер и не опи-
описывается простыми степенными формулами вида A9.5.1)."Хотя в
Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

546 МАТЕРИЯ В АНИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. lg
таких решениях имеется неустойчивость, аналогичная описанной
выше, но характер эволюции будет, разумеется, .иным.
Второе замечание относится к предположению об однородности
скорости в очень большом масштабе, K^>ct. Если это условие вы-
выполнено в некоторый момент для фиксированного лагранжева мас-
масштаба, то оно с течением времени будет нарушено. Тогда в уравне-
уравнениях A9.5.2) члены с пространственными координатами будут иг-
играть основную роль и изменят характер решения. Таким образом,
всегда надо помнить об ограниченности применения полученного
решения со стороны будущего времени. Разумеется, вакуумные ре-
решения во всех случаях ограничены во времени, о чем подробно
говорилось выше.
Наконец, в заключение отметим следующее. Мы предполагали,
что в некоторый начальный момент U все компоненты скорости од-
одного порядка. Момент t0 может быть моментом возникновения
флуктуации скорости или может совпадать с tg=l0~iS сек — мини-
минимальным временем, возможным в неквантовой космологии (под-
(подробнее см. V раздел). Сделанное предположение о компонентах
скорости тогда кажется разумным. Однако если стать на точку
зрения неограниченной применимости уравнений ОТО вплоть до
сингулярности, /-М), то из предположения об отличии всех ком-
компонент скорости материи от нуля в некоторый момент t0 следует, что
наибольшей при /-М) была компонента скорости вдоль оси, по кото-
которой происходит наиболее быстрое расширение (показатель степени
положительный и наибольший). Тогда мы приходим вблизи /=0
к картине релятивистского движения вещества вдоль оси z; ско-
скорость движения затухает по мере расширения. Мы не будем под-
подробнее останавливаться на этом *), так как неограниченная приме-
применимость ОТО при t-*0 представляется неправомерной. При столь
пекулярных начальных условиях для скорости (релятивистское
движение вдоль г при /-»-0) требовалось бы специальное обоснова-
обоснование. Однако при рассмотрении коллапса, в отличие от космологиче-
космологической задачи, такое поведение вещества (движение вещества вдоль
оси с наибольшим положительным показателем степени в зависимо-
зависимости от времени), конечно, необходимо.
*) См. об этом в работе Лифшица и Халатникова A963а, б); конкретные мо-
модели построены в работе Грищука, Дорошкевича, Новикова A968).

ГЛАВА 20
ФИЗИКА ПРОЦЕССОВ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ
В АНИЗОТРОПНЫХ МОДЕЛЯХ
§ 1. Слабовзаимодействующие частицы в анизотропной
космологической модели
При анизотропном начале космологического расширения меня-
меняется физика процессов на ранней стадии. Это связано с двумя об-
обстоятельствами. Во-первых, закон изменения плотности вещества
(и температуры) со временем в анизотропных моделях иной по срав-
сравнению с изотропными. Во-вторых, оказывается, что в анизотроп-
анизотропных моделях чрезвычайно важна роль слабовзаимодействующих
частиц (гравитонов, нейтрино), имеющихся в дозвездном веществе
Щорошкевич, Зельдович, Новиков A9676), Мизнер A967)]. Учет
этих частиц резко меняет картину анизотропного расширения и
физику процессов на ранней стадии. Причина особенного поведения
слабовзаимодействующих частиц заключается в том, что разные
компоненты импульса свободно летящих частиц в анизотропном ре-
решении меняются по-разному и равновесное сферически-сим-
сферически-симметричное распределение частиц по импульсам превращается в дви-
движение преимущественно вдоль одного направления (но поровну
в обе стороны). Кроме того, возможно, что в анизотропных решениях
при сверхвысоких плотностях вообще отсутствует термодинамиче-
термодинамическое равновесие. Следствия, к которым приводят эти явления, об-
обсуждаются в последующих параграфах. Сразу же заметим, что если
бы анизотропное однородное решение действительно имело место в
прошлом, то в результате всех процессов могло бы оказаться, в ча-
частности, что современная средняя энергия реликтовых нейтрино
существенно больше энергии реликтовых фотонов, соответствующей
71=2,7 °К, при той же примерно средней плотности энергии.
Мы пока оставляем в стороне вопросы, связанные с квантовыми
эффектами в начале расширения вблизи сингулярности при кривиз-
кривизнах пространства-времени порядка 10~вв см~2. Эти эффекты будут
Рассмотрены в следующем разделе. Дальнейшее изложение основа-
основало на цикле работ Дорошкевича, Зельдовича, Новикова A9676,
*9б9а).
Начнем рассмотрение с выявления роли слабовзаимодействующих
18*

548 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
Для нейтрино, например, на ранних этапах расширения при
больших температурах рассеяние, рождение и аннигиляция идут
достаточно быстро, чтобы поддерживать полное термодинамическое
равновесие между нейтрино и другими частицами*); в частности,
плотность нейтрино ~Т3, средняя энергия ~5&Т, распределение
по импульсам изотропно. Будем называть эту стадию расширения
паскалевской (тензор энергии-импульса изотропен). Начиная с не-
некоторого момента t=x процессы взаимодействия нейтрино стано-
становятся медленными по сравнению с расширением и нейтрино явля-
являются уже свободными частицами.
Пусть в ходе дальнейшего расширения при t>x свободные ча-
частицы не взаимодействуют ни с другими частицами, ни друг с дру-
другом. Мы увидим далее, что для нейтрино это предположение не
всегда справедливо и картина оказывается более сложной, однако
для гравитонов это предположение справедливо всегда.
В изотропном решении «отключение» нейтрино от других частиц
не вызывало нарушения равновесия, так как и нейтрино, и у-кван-
ты, и пары е+е~ «остывали» по одинаковому закону (при &Т>тес2).
В анизотропном решении плотность и импульс свободных частиц
меняются в соответствии с космологическим расширением; каждая
компонента импульса **) ilt i2, /3 меняется обратно пропорциональ-
пропорционально alt a2, Oj. На вакуумной стадии a1~f>, а2—№, с3~/Рз; обо-
обозначим —рх^а. Энергия E=c\i\ определяется наибольшей компо-
компонентой импульса, так что средняя энергия E^f~Pl=ta. Распределе-
Распределение частиц в импульсном пространстве становится все более ани-
анизотропным.
Пусть в момент «отключения» t=x плотность энергии частиц е*
составляла долю Р от полной плотности энергии. В ходе расширения
на вакуумной стадии
n*~t-\ E*~ta, e»~/«-i B0.1.1)
(n*— плотность частиц). При изотропном тензоре энергии-импульса
на вакуумной стадии плотность менялась по закону [см. A9.1.4)]
р = 32^/.б'/, = 77Г-
где 6 — конец анизотропной стадии расширения ***), и мы обозначи-
*) В анизотропных моделях, в отличие от изотропных, возможны условия,
когда вообще нет термодинамического равновесия (подробнее об этом см. далее § 5).
Здесь мы считаем, что на ранних стадиях расширения есть термодинамическое
равновесие.
**) Мы обозначаем здесь импульс буквой /, так как буква р уже занята дпя
обозначения казнеровских показателей. Кроме того, масштабные факторы вдоль
осей будут здесь обозначаться через alt а2, Оз, а не а, Ь, с, как раньше. Это позво-
позволит в дальнейшем экономнее вести записи.
***) Точнее, 6 определяется как момент изотропизации в модели, когда при
прочих равных условиях при данном К нет слабовзаимодействующих частиц.

§ 1] СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 549
о
ли- ij-^K. Цля свободных ча
32яб6 /3
при />т имеет место соотношение
о
ли- ij-^K. Цля свободных частиц из B0.1.1) находим, что
32яб6 /3
(у B0.1.2)
При этом р* становится главным слагаемым в общей плотности, а
тензор энергии-импульса сильно анизотропен:
— Т°в = ежс*р*жТ\^>Т1 71. B0.1.3)
Наличие свободных частиц, плотность энергии которых падает мед-
медленнее, чем взаимодействующих, существенно уменьшает период
применимости вакуумного решения. Поступая аналогично нахожде-
нахождению момента окончания вакуумного решения при изотропном 7яР
в § 1 гл. 19, находим момент /=<7 окончания вакуумного решения
при B0.1.2):
l+sa 1 •
q = Q[j) & . B0.1.4)
Отношение плотности энергии свободных частиц е* к плотности
энергии всех других частиц Ei в момент окончания вакуумного ре-
решения есть
1 __»— 2(sa+i)
Следовательно, поскольку р не специально мало, то рассматрива-
рассматриваемые эффекты сокращают длительность вакуумного решения и при-
приводят к тому, что к концу вакуумной стадии e*^>ei.
В модели без свободных частиц за вакуумной стадией наступала
быстрая изотропизация решения при О>6. В рассматриваемой мо-
модели за вакуумной стадией при t>q следует стадия, в которой доми-
доминирующее влияние в динамике имеют свободные частицы с резко
анизотропным тензором энергии-импульса:—Т°0~Т\^Т\, Т%.
Космологическое решение с таким тензором энергии-импульса
приведено в § 2 гл. 19.
В этом решении гравитация направленного потока частиц ведет
к тому, что асимптотическое решение для больших t имеет вид
B0.1.6)
Итак, свободные частицы, энергия которых Е* на вакуумной
стадии росла при сжатии по х1, при t>q вызывают такую перестрой-
t, a2 ~ (In tL*
t-Hlnt)-1'*-^',
+р, а
Е*~
:3 ~ (In t) '*-р,
t-l(\nt)-P*-'i*
/-1 (In ty^-P'.

550 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
ку решения, в результате которой их энергия начинает быстро
падать.
Изменение плотности энергии частиц с импульсом в основном по
некоторой (/) оси определяется соотношением ej~nij~na~j1. Из-
Изменение плотности взаимодействующих частиц определяется соот-
соотношением е^п1''. Используя эти соотношения, можно найти, что
частицы с импульсом по оси х1 будут играть доминирующую роль
до момента t=tlt где
tl « ep'-!/,6'/s"[ln (p-^-V.)]'/,-/> t e = -g-. B0.1.7)
К моменту h плотности энергии частиц с импульсами в основном
по осям х1, хг сравниваются и сильно превосходят плотность энер-
энергии всех других частиц: е^дае^^-е^, ег.
После tx основную роль играют частицы с импульсами по оси х2:
8««^>exs е'х», Еь и снова применимо решение B0.1.6), но с ал
вдоль оси а-2 и другими значениями параметров. Теперь расширение
идет вдоль прежней оси х2, а по осям х1, х3 расширение слабое. Та-
Такая перестройка решения вызовет через некоторое время быстрое
падение е**, и снова наступит момент ех*я*еХ1. Так две оси будут
меняться местами и анизотропия будет «колебательной» с убывающей
амплитудой и частотой, пока все плотности энергии не станут од-
одного порядка, 8*1 ~ ЕХг ~ еЛ8 ~et (Р считаем порядка единицы),
после чего наступит изотропизация решения.
Для оценки времени изотропизации t% рассмотрим два предель-
предельных случая.
1. Пусть в решении B0.1.6) оси х2, х3 эквивалентны, т. е. /?=0.
Тогда уже к концу первого периода «колебаний», когда t=t%, ока-
оказывается е*«еь после чего наступает быстрая изотропизация.
Следовательно, для осесимметричного случая, т. е. для а, близких
к Vs. время изотропизации t2 получается из B0.1.7) при р=0:
ta« 6p-v.[ln (p-^-V.)?/.. B0.1.8)
2. Другой предельный случай соответствует а=0. В этом слу-
случае на вакуумной стадии
el^el = const, ej~tf-a. et ~ t~*'». B0.1.9)
После вакуумной стадии доминирующую роль играют частицы
с импульсом не по какой-нибудь одной оси [как в B0.1.6I, а в пло-
плоскости к1, х2, с одинаковой вероятностью по любым направлениям
в этой плоскости. Тензор энергии-импульса частиц при этом есть
B0.1.Ю)

j |] СЛАБОВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ 551
Пренебрегая энергией всех других частиц, получаем точное
решение:
f)"'\ ай = а30 [l-(f ] \
'в / L \ 'о / J V /on I
maj. i.
Момент существенного изменения вакуумного решения есть /0.
Из B0.1.9) следует, что к моменту ^«P'W/» будет е*=е*^>е*. е^
При t>t0 снова, аналогично B0.1.6), расширение идет таким
образом, что плотность энергии частиц с импульсами в плоскости
Xх, ха падает быстрее, чем гх», е, . К моменту
^«р-%66-1/» B0.1.12)
Ej = в\ та Eg 7HEt (Р — порядка единицы), и наступает изотропи-
зация.
Таким образом, при а, близком к нулю, когда более быстрое рас-
расширение идет то по оси х1, то по оси хг, но г[, г\ ^> е'3, е1, для оцен-
оценки времени изотропизации можно воспользоваться B0.1.12). Сле-
Следовательно, в этом случае
/.«ев-*/». B0.1.13)
Время изотропизации в общем случае лежит между значениями
B0.1.8) и B0.1.13). Изотропизация решения в общем случае носит
колебательный характер, и, когда анизотропия уже мала, решение
записывается в виде
а, ~ а,0Г/ш {1 + bjt-ч* sin [-0.1П (с/)] + ...}. B0.1.14)
Значит, изотропное расширение свободных частиц устойчиво.
Наконец, отметим, что для гравитонов «отключение» происходит
в условиях, когда существенны квантовые эффекты гравитации
(см. § 2 гл. 7). Поэтому гравитоны в момент «отключения» могут и
не находиться в равновесии с другими частицами.
При наличии равновесия р~10~2; если же равновесия нет, то
возможно еще большее отличие Р от единицы. Если Р<^1, то после
изотропизации все равно должно быть e*f^elt т. е. сегодняшняя
плотность энергии гравитонов порядка плотности энергии квантов,
что примерно составляет ~10~1а эрг/см3, или ~10~33 г/см3. Это
означает, что при Р<^1 распределение импульсов гравитонов ани-
анизотропно, и если на момент «отключения» их средняя энергия была
порядка энергии других частиц, но была мала их плотность, п*<фги
10 сегодня также /г*<п„ £*>£г
До сих пор мы не рассматривали возможности неустойчивости
описанных процессов. Само анизотропное вакуумное решение сте-

ББ2 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
пенным образом неустойчиво [Лифшиц, Халатников A963а, б)]. Если
начальные возмущения малы, то эта неустойчивость может не успеть
проявиться. Но возможны процессы изотропизации строго направ-
направленного потока частиц за счет коллективного взаимодействия. Мы
этого здесь не рассматриваем. Заметим только, что если такая изо-
тропизация произойдет на стадии Е*^>Е^, то и сегодня энергия
гравитонов больше энергии у-квантов.
§ 2. Нейтрино в анизотропном решении
Поведение нейтрино отличается от рассмотренного выше тем,
что при анизотропии, сопровождающейся сжатием по одной из
осей на ранней стадии, часть нейтрино и летящих навстречу ан-
антинейтрино получает такую энергию, что при некоторых условиях
снова становится заметной вероятность их необратимого превра-
превращения в электроны и позитроны.
Будем предполагать сначала, что гравитонов нет совсем *), и
рассмотрим для определенности поведение электронных нейтрино.
Замечание о совместном поведении нейтрино и гравитонов см. в кон-
конце этого параграфа.
Момент отключения нейтрино т найдем из условия равенства ре-
релаксационного и гидродинамического времен, что дает
f = cncx=\. B0.2.1)
Здесь п — концентрация частиц, с — скорость света, а — сечение
взаимодействия e++e~5=±ve+ve, o~E*. Если£<300 Гэв, будем счи-
считать это условие выполненным (о случае £>300 Гэв см. конец этого
параграфа)**).
Будем считать, что т<6, так как в противном случае нейтрино
отключаются после изотропизации решения и никаких эффектов
анизотропии нет. До момента т на паскалевской стадии a~E2~t~2/',
n^t'1. В изотропной фридмановской модели о-^Е2^^1, п~£~3/г.
Зная, что во фридмановской модели момент отключения (темпера-
(температура отключения ~3 Мэв) т'«0,1 сек для ve или t'«5-10~3 сек
для v^, и воспользовавшись написанными соотношениями, выразим
т через т' и 6. Получаем
в-'/<. B0.2.2)
Момент отключения определяется плотностью энергии и скоростью
объемного расширения, и так как эти величины не зависят от а,
то и т не зависит от а.
*) Точнее, к моменту отключения нейтрино плотность энергии гравитонов
много меньше ех. _
**) Согласно некоторым новым гипотезам, сечени! растет с энергией, с~Е ,
лишь до энергий ~35 Гэв, а затем падает. Имея в виду лишь иллюстративный
характер численных оценок, мы оставляем в качестве максимального значения
£w300 Гэв.

, 2] НЕЙТРИНО В АНИЗОТРОПНОМ РЕШЕНИИ 553
При £>т средняя энергия нейтрино с импульсами вдоль х±
растет: £v~ ii~ta, O^joc^}/3. Соответственно увеличивается сече-
сечение взаимодействия. Для процесса рассеяния нейтрино
ve+e^ve + e B0.2.3)
сечение пропорционально квадрату энергии v и е в системе их об-
общего центра инерции: а~Е%;. В лабораторной системе для реляти-
релятивистских электронов c~EvEe. Условие того, что процесс играет
роль для нейтрино, есть f=canet>\. В момент отключения /=1.
Как меняется / в дальнейшем? Зависимость отдельных величин от
времени такова:
a~EvEe, Ev~ta, «<y, Ee~t-1'*, ne~t~\
Значит, обязательно f уменьшается, /<1 при £>т. Этот процесс
B0.2.3) сам по себе не приводит к нарушению условия ccnt<il и к
заметной перекачке энергии свободных нейтрино в пары е+е~
(о значении этого процесса при наличии аннигиляции нейтрино
см. следующий параграф).
Однако встречные потоки нейтрино и антинейтрино вдоль оси
х1 взаимодействуют. Действительно, для процесса аннигиляции
ve + ve—>e+ + e- B0.2.4)
сечение а~Е% ~Р", и при сохранении числа частиц условие anct<C\
не будет выполняться. Следовательно, процесс B0.2.4) будет при-
приводить на вакуумной стадии к необратимому превращению нейтрино
в пары е+ е~, которые мгновенно термализуются*). Найдем скорость
роста средней энергии нейтрино Ev и уменьшения их концентра-
концентрации nv в этих условиях.
В импульсном пространстве распределение нейтрино изобра-
изображается эллипсоидом с осями ij, iit i3. Процесс B0.2.4) в каждый
момент ограничивает величину |tx | некоторым значением. Для
остальных частиц с |i"i| меньше этого значения справедлива теорема
Лиувилля, поэтому nv~|ii 's hi сечение a~ij. Из условия
onct = 1 находим
Ev~ta'3, rtv~/-<1+2«/3>, ev~M1+a'3K B0.2.5)
Из закона сохранения энергии нетрудно вычислить скорость
изменения общей плотности энергии пар е+е~ и квантов е^е*
(находящихся в равновесии) с учетом «подогрева» процессом
*) Взаимодействие х , х приводит к рождению пар мюонов, которые терма-
термализуются и после этого распадаются на е+, е~, х , х , ve, ^е. Энергия этих вто-
вторичных нейтрино иЗО Мэв много меньше все возрастающей энергии первичных
неитрино, движущихся по оси а1.

554 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
B0.2.4), а также скорость роста энтропии из-за такого «подогрева».
Получаем для ф>т
f*- <20-2-6>
.. '+^(i)'|'. B0.2.7)
Момент окончания вакуумной стадии t=q находится так же, как
в предыдущих параграфах. Он равен
9 A—а)
\ т'<в. B0.2.8)
К моменту t=q отношение плотностей и отношение средних энергий
[при немалых а, а> ( — j J есть
_ 8 (з + ьа)
Еъе±~(*Л^-«\ B0.2.9)
П7. е± Bv
После t=q расширение идет во всех направлениях и взаимодействие
нейтрино и антинейтрино прекращается. Для t>q
"v.e±
Е
t=q
F
При немалых а из B0.2.6) следует, что плотности энергии нейт-
нейтрино, квантов и пар к моменту t—q одного порядка. Большая ани-
анизотропия быстро исчезает, время изотропизации порядка q. Но
поскольку /г/фгу,^ [см. B0.2.9)], то Ё.^Ёуше± и распределе-
распределение импульсов нейтрино резко анизотропно.
Мы здесь не рассматривали возможности изотропизации на-
направленного потока нейтрино, которая "^южет иметь место.
В написанных соотношениях не учтен фактор р, который для
нейтрино может принимать значение (в зависимости от т) от lU
до 10.
Выше в этом параграфе предполагалось, что при любых энер-
энергиях для сечения аннигиляции нейтрино [см. B0.2.4)] справедливо
условие cv~El. Однако это условие выполняется, по-видимому,
лишь при £v^300 Гэв. При больших энергиях сечение аннигиляции
нейтрино или остается постоянным, или даже убывает с ростом
энергии.
Как уже отмечалось в сноске на стр. 552, при высоких энергиях
сечение зависит от предположений о существовании так называемо-

j 3] ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ 555
го промежуточного заряженного Ц^-бозона [см. Окунь A966I и
от конкретного значения его массы. Возможно, сечение убывает
уже при £v>35 Гэв. Мы приведем оценки в предположении, что
сечение растет, как Е2, до 300 Гэв. Оценки показывают, что макси-
максимальное увеличение энтропии происходит в следующем случае:
8= 10™ сек, а«0,02, т= Ю" сек, qx*200ceK,
(tif— плотность фотонов реликтового излучения). Современная
энергия нейтрино £v^3-104 эв. В рамках рассмотренной схемы всег-
всегда g-j||<^ 10е, и энергия нейтрино сегодня £v<3-104 эв. Следует,
однако, иметь в виду, что в рассматриваемых условиях Te~£-<3 +а>" 2,
и поэтому для процесса B0.2.3) произведение am/=const, как и
для процесса аннигиляции. Поэтому процесс B0.2.3) также даст
вклад в набор энтропии. Однако, поскольку ведущим остается про-
процесс аннигиляции, вклад процесса рассеяния B0.2.3) не может су-
существенно изменить оценок, приведенных выше. Если к моменту
отключения нейтрино плотность энергии гравитонов станет много
больше еь то кинематика расширения будет определяться грави-
гравитонами и процессы с нейтрино будут определяться этой кинема-
кинематикой.
Подытожим кратко сказанное в этом параграфе.
1. Динамика анизотропных космологических моделей и физика
процессов в них тесно связаны с присутствием слабовзаимодейст-
вующих частиц и с возможной неравновесностью вещества.
2. Энергия слабовзаимодействующих частиц (нейтрино, грави-
гравитонов) в настоящее время может сильно отличаться от предсказы-
предсказываемой изотропной моделью и может быть весьма велика при соот-
соответственном уменьшении числа этих частиц в единице объема.
3. В анизотропных моделях возможно сильное увеличение на-
начальной энтропии вещества.
§ 3. Влияние вязкости на динамику расширения
анизотропных моделей
В работах Мизнера A967, 1968) развит подход к вопросам пове-
поведения слабовзаимодействующих частиц в анизотропных космоло-
космологических моделях, отличный от изложенного в предыдущем
параграфе. Мизнер обращает внимание на то, что при малых откло-
отклонениях от равновесной функции распределения частиц рост энт-
энтропии можно описать с помощью понятия вязкости. Этот рост тем
больше, чем сильнее функция распределения отличается от равно-
равновесной, чем больше время релаксации. Однако понятием вязкости

556 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
можно пользоваться лишь до тех пор, пока время релаксации мень-
меньше гидродинамического. Если, однако, на время забыть об этом
ограничении, то расчеты, основанные на понятии вязкости, при-
приводят к выводу, что из-за влияния вязкости набор энтропии всегда
столь значителен, что отключения нейтрино на вакуумной стадии
не произойдет, рассмотренный в предыдущем параграфе режим не
будет иметь места и, вне зависимости от параметров модели, изот-
ропизация происходит при температуре Г«^3 Мэв. Лишь после изо-
тропизации происходит отключение нейтрино. Согласно этой мо-
модели, сегодня нейтрино большой энергии нет.
В настоящем параграфе рассмотрим кратко этот процесс набо-
набора энтропии, следуя в основном идеям Мизнера. В следующем па-
параграфе мы рассмотрим кинетическое уравнение для нейтрино
в анизотропной космологии и на основе этого, более общего, под-
подхода определим, когда справедливо приближение вязкости, а ког-
когда — приближение свободных частиц.
Уравнение сохранения энергии с учетом вязкости в модели
с метрикой Казнера A8.3.6), A8.3.7) на вакуумной стадии приво-
приводится к виду
—+ -----^ {20 ЗП
где е — плотность энергии всех частиц, а ц — коэффициент вяз-
вязкости. Примем (скорость света с=1)
где t * — время свободного пробега, с~ (EvEe)m~T*m — сечение
рассеяния v на е* (т>0), /ге и Ее — плотность и энергия рассеива-
теля (электронов и позитронов), k=ejs; в равновесии *) k может
быть выражено через статистические веса нейтрино и остальных
частиц плазмы. Считаем (как и Мизнер) &=const, т. е. в течение всего
процесса количество сортов частиц остается неизменным.
Решение уравнений B0.3.1), B0.3.2) легко получить в виде
. B0.3.3)
где еа=еа (/) — адиабатический закон изменения плотности энер-
энергии, С — константа. Из B0.3.3) следует, что при 23
E~t 3+2m B0.3.4)
независимо от начальных параметров задачи.
*) Если есть равновесие, то k совпадает с {3 из § 1 этой главы.

$ 4] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЙТРИНО 557
Мизнер рассматривал случай m=0,5, k=\ и получил, что на
вакуумной стадии е~/-1 и нейтрино находятся в равновесии вплоть
до изотропизации модели, происходящей вне зависимости от началь-
начальных параметров при 7=3 Мэв.
В действительности главный вопрос заключается в обоснован-
обоснованности приближений, приводящих к B0.3.4). Из B0.3.3) следует,
что рассматриваемый режим устанавливается при k ~Г т >1.
В реальных условиях в термодинамическом равновесии находится
много частиц (при Т~0,5 Гэв в равновесии находятся е, у, ve, |.i,v^, я,
при Г>3 Гэв необходимо учитывать также барионы, скалярные и
векторные мезоны).
Поэтому, в зависимости от температуры, k лежит в пределах
0,25^^^0,025. Следовательно, решение выходит на рассматри-
t* t*
ваемый режим Мизнера при -у- = 4,8—48 (m=l) или при — =
= 3—30 (т^0,5) в зависимости от значения k, т. е. в условиях, когда
применимость понятия вязкости совершенно не очевидна. Непра-
Неправомерность макроскопического описания явления с помощью поня-
понятия вязкости еще не означает, что выводы Мизнера неправильны ка-
качественно, так как возможно существование решения кинетиче-
кинетического уравнения со свойствами, подобными свойствам решения,
полученного Мизнером. В этих условиях для получения достоверных
результатов необходимо исследовать кинетическое уравнение. В то
же время открыта и другая возможность, а именно, что осуществ-
осуществляются процессы, описанные в предыдущем параграфе, и нельзя
говорить о вязкости. С этой целью исследуем кинетическое уравне-
уравнение для нейтрино.
§ 4. Кинетическая теория нейтрино в анизотропной
модели; автомодельное решение
Исследование кинетического уравнения для нейтрино проведе-
проведено в работах Дорошкевича, Зельдовича, Новикова A968, 1969а, б).
Будем рассматривать вакуумную стадию; кроме того, положим а=
= V3, т. е. a1~t-t/s,a2=a3~f/*. Функция распределения нейтрино
в импульсном пространстве (плотность w), соотнесенная к ячейке,
равной Bл^)~3, определяется кинетическим уравнением
dw . ij f)w 2 i2 dw 2 i3 dw / dw \ .„„ . ,,
~ш+1иж~~т~дГ~~зтж;=\дГ)' \А)-ъл)
где (-qt-J — столкновительный член, описывающий изменениефунк-
Ции распределения нейтрино из-за взаимодействия с остальными
частицами.
Остальные частицы находятся в термодинамическом равновесии,
которое характеризуется заданием температуры Т (в энергетических

5&8 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 2U
единицах). Предположим, что все эти частицы ультрарелятивист-
ультрарелятивистские, так что для них имеет место уравнение состояния Р=е/3,
24л
плотность энергии е=и7Л и = £>—=—, b — сумма статистических
весов. Пренебрежем отличием ферми-и бозе-газов от классического,
т. е. заменим (ея/г±1)-1^п * на е~Е/т в формулах равновесного
распределения и, соответственно, выбросим п * во множителях
A—п *), A+п *) в интеграле столкновений. Тогда£ = 2ё). гае
gj — статистический вес /-го сорта частиц (g=2 для е1, (j,; g= 1
для скалярных мезонов и двухкомпонентных нейтрино). При сде-
сделанных предположениях
8vv 2
Температура определяется уравнением сохранения энергии:
Q(W.7), B0.4.2)
где Q(w, T) — член, описывающий влияние на температуру взаимо-
взаимодействия плазмы с нейтрино. Если предположить, что сечения вза-
взаимодействия нейтрино с остальными частицами степенным образом
зависят от энергии сталкивающихся частиц в системе центра инерции
(а=о0Е*т), то можно убедиться, что система B0.4.1) — B0.4.2)
допускает автомодельное решение вида
w = w(q), T~t 2т+я, B0.4.3)
где q=HT.
Физическими параметрами, определяющими задачу, являются
(при заданной метрике): показатель ш, постоянная а0 (или несколько
постоянных аоу) в выражении для сечения взаимодействия, числа
b и k, характеризующие термодинамику системы. Практически для
определения области существования автомодельного решения удоб-
удобно действовать следующим образом: задаваясь значениями о0 и
T=T(t), определять область изменения k.
Эту общую программу удалось осуществить лишь после допол-
дополнительных упрощающих предположений относительно взаимодейст-
взаимодействия нейтрино с равновесной плазмой и друг с другом.
Задачу удается решить в двух случаях:
1. Рассматривается только одиночное рождение и гибель ней-
нейтрино согласно реакции
B0.4.4)
где вместо n, p, e могут фигурировать и другие частицы, находя-
находящиеся в равновесии. Кроме них могут присутствовать и другие
частицы, не взаимодействующие с нейтрино.

I 4] КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЙТРИНО 559
2. Рассматривается только парная аннигиляция и рождение
нейтрино и антинейтрино согласно реакции
v + v^ie+ + e- B0.4.5)
с добавочным ограничением на показатель степени в выражении
для сечения т=\. Здесь также допускается присутствие частиц,
не взаимодействующих с нейтрино.
Учет рассеяния нейтрино, а также отказ от ограничения условием
/п=1 во втором случае приводят к большим техническим трудно-
трудностям, и пока эти варианты не рассмотрены. В задаче только с од-
одним рассеянием (без рождения — парного или одиночного) автомо-
автомодельного решения, очевидно, нет.
Подробный анализ проведен в работе Дорошкевича, Зельдовича,
Новикова A969а), здесь мы приведем только выводы из этого
анализа.
Эти выводы следующие:
1. Автомодельное решение рассматриваемого выше типа при
/п=1 возможно лишь при A — k)lk<^\. Это следует как из задачи 1,
так и из задачи 2. По-видимому, учет рассеяния e±+v^zie±+v не
сможет заметно изменить этот результат.
2. Из анализа задачи 2 следует существование критических
значений показателя степени то»О,545 и /rai=l,5 таких, что при
т<т0 автомодельное решение существует при любом значении
k, 0<#<1. При то<.т<.т1 автомодельное решение существует
лишь при \~^k~^kmln. Наконец, при пО>тх автомодельного решения
нет вообще.
В работе Дорошкевича, Зельдовича, Новикова A969а, б) получе-
получено общее решение кинетического уравнения для нейтрино в случае
задачи 2 и строго показано, что в приближении квазисвободных
частиц действительно возникает решение для функции распределе-
распределения нейтрино, описанное в § 2 этой главы.
Для наиболее важного (реального) значения т=1 (т. е. о~Е2)
о
и реального k = —- < 0,25 при а=1/а нет автомодельного решения
кинетического уравнения, подобного вязкому решению Мизнера *).
Физический вывод заключается в том, что когда в анизотропном
космологическом решении при а, близком к 1/„ начинается откло-
отклонение от равновесия слабовзаимодействующих частиц, то вскоре
эти частицы становятся свободными, число их уменьшается, а сред-
средняя энергия растет, как это описано в § 2. Последующие работы
Мизнера с сотрудниками [см. Матцнер и Мизнер A972)] подтверди-
подтвердили этот результат.
*) Такое решение получается при формальном применении уравнений гидро-
гидродинамики с вязкостью для значений t*lt> 1, что, очевидно, незаконно и приводит,
как мы видим из анализа кинетического уравнения, даже к качественно неверному
Результату.

560 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
§ 5. Образование химических элементов в анизотропных
моделях
Обратимся теперь к влиянию на ядерные реакции и другие про-
процессы с частицами иного (по сравнению с изотропной моделью) типа
расширения материи.
Как уже отмечалось в простейшем случае расширения от син-
сингулярного состояния, согласно решению Казнера с покоящейся
материей, объем V~t и, следовательно при Р=е/3 плотность е~/~4/з.
В более общем случае, когда материя движется с ультрарелятивист-
ультрарелятивистской скоростью относительно однородной системы отсчета, плот-
плотность меняется в зависимости от собственного времени т по закону
[см. A9.5.8)]
4A—Pi)
е = ёот 3Р<+1 . B0.5.1)
Это выражение можно переписать в виде
е = ёот-Р. B0.5.2)
В конце § 5 гл. 19 отмечалось, что в принципе при разном выборе
начальных условий величина р может пробегать все значения от 0 до
оо (т. е. —V3^Pi^l)- Однако при наиболее естественном выборе
начальных условий показатель |3 меняется от 4 до оо, т. е. —V3^Pi^
^0. Разумеется, за первым, «вакуумным» этапом расширения мате-
материи в анизотропной модели следуют другие этапы, с иным законом
расширения. Имея в виду все сказанное, мы не будем здесь кон-
конкретизировать возможные значения |3 и рассмотрим, как протекают
физические процессы в расширяющемся веществе при всем спектре
значений |3: 0^Р<оо.
Начнем рассмотрение с вопроса о термодинамическом равновесии
на ранних этапах расширения. Полное равновесие имеет место, если
характерное время t * любых реакций, устанавливающих равнове-
равновесие, меньше «гидродинамического» времени т, т. е. времени, про-
протекшего с начала расширения:
п — плотность частиц, а — сечение взаимодействия, скорость света
равна единице.
В модели Фридмана для Р= е/3 величина п ~ у ~ т-*'^ Т3 (Т —
температура). Поэтому пт~т~г/'~Т. Следовательно, если а растет
с энергией или, даже падает, но не быстрее, чем Т, то неравен-
неравенство B0.5.3) заведомо выполняется при т-Ч), Т-^оо и в модели
Фридмана на ранних этапах имеется полное термодинамическое
равновесие *).
*) За исключением, может быть, гравитонов (см. раздел 11).

j e] ОБРАЗОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 561
На казнеровском этапе расширения при покоящемся в системе
отсчета веществе nr=const при т-Я). Если а стремится к константе
с ростом энергии или падает, возможны ситуации, когда при т-^0
нет равновесия между некоторыми сортами частиц или даже всеми
частицами.
В общем случае, когда е=еот~р, имеем
--2-Р+1
пт~т • . B0.5.4)
Если Р<4/3, то произведение пт-^0 при т-^0. В этом случае на
самых ранних этапах расширения нет термодинамического равнове-
равновесия и частицы свободны (если только сечение а не стремится к бе-
бесконечности при Г-^оо, как о~ Т р или быстрее). Если нет тер-
термодинамического равновесия, то, вследствие анизотропии дефор-
деформации, давление анизотропно и необходимо рассматривать эффек-
эффекты, описанные в § 1 этой главы. Однако для наиболее реального
случая (Р>4) равновесие имеет место, даже если сечение а стремит-
стремится к нулю при Т-хх> (но не быстрее, чем Т В или, для боль-
больших р, т~а).
Мы ограничимся здесь краткими замечаниями о возможности
отсутствия термодинамического равновесия и перейдем к проблеме
образования химических элементов в анизотропной космологии.
Если на ранней стадии расширения не было термодинамического
равновесия между частицами, то, очевидно, нельзя сказать ничего
определенного об исходе ядерных реакций и распространенности хи-
химических элементов в дозвездном веществе; все зависит от произ-
произвольного «начального» состава частиц материи. Мы будем предпола-
предполагать в дальнейшем, что термодинамическое равновесие между из-
известными частицами существует (до описанного в §§ 2—4 нарушения
равновесия с нейтрино).
Повторим очень кратко описание процесса синтеза элементов,
данное в разделе II. В горячей изотропной модели Фридмана про-
процесс образования химических элементов идет в два этапа. На ран-
ранней стадии равновесие между нейтронами и протонами поддержи-
поддерживается реакциями слабого взаимодействия:
B0>5>5
Характерное время этих реакций для высоких температур (время
в сек, Тв=Т К7109) есть (индекс «ел» — слабое взаимодействие)
Тел '°г- B0-5.6)
1 9

Б62 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
Равновесное относительное содержание пир:
JL) =е кт =е т. B0.5.7)
р /равн v '
где Am — разность масс нейтрона и протона.
Изменение температуры в ходе расширения определяется соот-
соотношением (см. § 2 гл. 6), связывающим время, прошедшее с начала
расширения, и температуру в этот момент:
*«-!£■. * B0.5.8)
1 q
Как мы уже отмечали в гл. 6, время существенного изменения тем-
температуры плазмы в расширяющемся мире порядка т. Для тер-
термодинамического равновесия необходимо тсл<^т. В начале
расширения, приГв>10, т^^т и устанавливается термодинамиче-
термодинамическое равновесие, отвечающее B0.5.3). Когда тслстановится больше
т, термодинамическое равновесие между пир нарушается, реакции
B0.5.5) уже не успевают проходить и отношение n/р «застывает».
Приравнивая B0.5.6) и B0.5.8), находим температуру в момент
застывания 7^= 10. Подставляя это значение в B0.5.7), получаем
:0,2. B0.5.9)
На втором этапе ядерных реакций в ходе дальнейшего расширения
при более низких температурах (Тв»1) становится возможным об-
образование ядер легких элементов.
Большая часть нейтронов захватывается протонами и дает
в результате Не* (а также некоторое очень малое количество Не3,
Li7 и D). Если захватываются все нейтроны, то содержание Не* по
весу
-«0,33. B0.5.10)
В действительности подробные расчеты (см. § 5 гл. 7) показы-
показывают, что не все нейтроны успевают захватиться до их распада и
образуется несколько меньше гелия (У«0,3), но оценка B0.5.10)
вполне удовлетворительна.
В анизотропных однородных моделях скорость изменения плот-
плотности вещества со временем иная, чем в изотропной. Это приводит
к другому исходу протекания ядерных реакций в расширяющемся
веществе и, как следствие, к иному химическому составу первичного
вещества.
Простейшие анизотропные модели Гекмана — Шюкинга с пло-
плоским сопутствующим пространством (критической плотностью ве-

* «1
ОБРАЗОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
5fi3
щества ро=10~2' г/см3 для сегодняшнего момента) характеризуются
одним параметром — моментом времени 8, который отделяет период
резко анизотропной деформации от периода практически изотроп-
изотропного расширения. Очевидно, что если 8<1 сек, то все реакции, важ-
важные для образования химических элементов, идут на стадии, когда
модель расширяется уже по фридмановскому закону, и исход ядер-
ядерных реакций будет такой же, как во фридмановской модели. Иной
исход будет для анизотропной модели с 8>1 сек.
Первые расчеты были сделаны Хоукингом и Тейлором A966)
и Торном A967). Они были проведены в «канонических» предполо-
предположениях о частицах (нет неизвестных частиц, и нет большого леп-
тонного заряда) и без учета неравновесных процессов с нейтрино
(см. §§ 2—4 этой главы). Проведем оценку количества синтезирован-
синтезированного гелия в этих предположениях. На стадии /<;6 для т вместо
B0.5.8) будем иметь
*=$ГШ- B0-5.11)
Эта формула легко получается из A9.1.4) после подстановки в нее
в=рс*=сТ* и решения относительно времени.
Приравнивая т из B0.5.11) итсл из B0.5.6), находим температуру
закалки Гв=10 &и (формула справедлива для К>1 сек). После
этого для закалки
(п/р)зас
70'
10"
1ОВ
)
/заст
B0.5.12)
В дальнейшем ней-
нейтроны захватываются
протонами.
Подставляя B0.5.12)
в B0.5.10), находим, что
в анизотропных моделях
с 8>1 сек содержание
Не4 практически состав-
составляет 100%. Однако при
очень больших парамет-
параметрах анизотропии, 6> 1011
сек, расширение на ста-
стадии захвата нейтронов идет столь быстро [время т в формуле
B0.5.11) при фиксированном Т и очень большом 8 мало], что
DD-реакции и захват не успевают пройти. По расчетам Торна A967),
при 0>Юи сек имеет место почти полное отсутствие Не4 в первич-
первичном веществе. В целом зависимость содержания Не4 (а также D
и Не3) в дозвездном веществе от параметра 8 показана на рис. 56.
10г 70*
в, годы
Рис. 56. Относительная весовая концентрация
Не4, D и Не3 в дозвездном веществе как функция
параметра анизотропии 6.

564 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ 1ГЛ. 2U
Но в реальном случае в анизотропных моделях надо учесть про-
процессы с нейтрино, рассмотренные в предыдущих параграфах дан-
данной главы. В этом случае формула B0.5.11) справедлива только
до момента закалки. После этого энтропия возрастает, и реальный
момент изотропизации 6* не совпадает с 6. Так, для параметра
Рх=—V3 B модели Казнера (см. предыдущие параграфы)
6* сек « F секO'". B0.5.13)
»
Само наличие направленных потоков энергичных нейтрино, влияя
на зависимость т от Т и 6, как показывают грубые прикидки при
простейших предположениях, не меняет существенно процессов,
приводящих к синтезу Не4.
Согласно грубым оценкам, если принять во внимание все эти
факты, кривая для Не4 на рис. 56 качественно не меняется, ее правый
склон немного смещается влево (под В подразумевается реальный
момент изотропизации, т. е. мы здесь и в дальнейшем опускаем звез-
звездочку у 6). Однако процессы взаимодействия потоков нейтрино
с образовавшимся Не4 не могут привести к образованию заметного
количества других легких элементов (конкретные расчеты, к сожа-
сожалению, отсутствуют).
Оценки образования Не4, проведенные для случая более слож-
сложных анизотропных моделей, с искривленным трехмерным простран-
пространством, для плотности вещества меньше критической, дают аналогич-
аналогичные изменения содержания гелия в дозвездном веществе. В целом
же качественно картина остается прежней. Согласно данным наб-
наблюдений, как мы уже видели в § 6 гл. 7, количество Не4 в дозвездном
веществе не более 30% и, вероятно, близко к этому значению. Таким
образом, химический состав первичного вещества накладывает
сильные ограничения на параметр изотропизации 6 *).
Во всех расчетах, о которых говорилось выше, предполагалось,
что материя покоится относительно системы отсчета модели.
Однако материя в общем случае движется относительно систе-
системы отсчета (см. § 5 гл. 19). Это приводит к возникновению, по
крайней мере, еще одного параметра в выражениях типа B0.5.11) и
B0.5.12).
Мы рассмотрим для примера самый простой случай: до момента
t=Q плотность энергии меняется по закону е=е„ т~Р, после этого
момента решение изотропизуется и выходит на фридмановское
решение.
*) Здесь мы не рассматриваем возможного влияния гипотетических слабо-
взаимодействующих частиц (например, гравитонов) и ограничиваемся простей-
простейшими предположениями о свойствах нейтрино. Учет всех этих фактов качественно
не изменит заключений.

5] ОБРАЗОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 565
Тогда для т будем иметь
е
где к = щ*).
Далее находим
_ юо 5~3fc ■
B0.5.15)
Модели с покоящимся веществом соответствуют k= 1. В принципе
возможны модели с 0<£<оо. Заметим, что при t£>\ условия обра-
образования Не4 еще более благоприятны, чем при k=l. Для k—>-b/3
температура закалки Т—>-оо. При к>ъ13 вообще не было периода
равновесия между нейтронами и протонами, и содержание Не4
в дозвездном веществе определяется начальными условиями для
горячей Вселенной.
Хотя в принципе возможны любые значения k, но наиболее ве-
рятно, как мы уже отмечали в начале параграфа, значения 0<
<&^У3, соответствующие 4<Р<оо. Такое k соответствует однород-
однородным анизотропным моделям, в которых однородное движение вещест-
вещества с релятивистской скоростью получается как результат неустой-
неустойчивости модели по отношению к возникновению такого движения.
Для k=1/3 имеем
(?)-e -1.5ff''); B0-5.16)
для k—>-0
Из этих формул видно, что в анизотропных моделях с движением
вещества содержание гелия в первичном веществе будет меньше
процента, если б>A03—104) сек.
Итак, в анизотропных моделях возможны только три «стабиль-
«стабильных» значения распространенности гелия в дозвездном веществе:
1. Около 30% Не4 для 6<1 сек.
2. Почти 100% Не4 для моделей с покоящимся веществом и
с 100 c«c<e<10fi сек.
3. Отсутствие Не4 для моделей с покоящимся веществом и
с 0^>1О8 сек и для моделей с движущимися веществом и 6^>103 сек.
*) Мы надеемся, что читатель не будет путать эти k и Р с теми, которые ис-
использовались в §§ I и 3 этой главы.

566 ПРОЦЕССЫ НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ [ГЛ. 20
О том, что дают наблюдения для химического состава первичного
вещества, говорилось в § 6 гл. 7. С уверенностью можно сказать,
что содержание Не4 в дозвездном веществе меньше 30%. Поэтому
все модели, приводящие к большему содержанию Не4, заведомо
противоречат наблюдениям. Однако и модели, дающие Не* <10—
15%, следует считать маловероятными, особенно в том случае,
если они дают относительно много D.
Естественно, в этом параграфе мы не говорим об ограничениях
на анизотропные модели, даваемые наблюдениями степени изотро-
изотропии реликтового излучения (об этом см. §§ 8, 9 гл. 21).

ГЛАВА 21
ОБЩИЙ АНАЛИЗ ОДНОРОДНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
§ 1. Понятие однородности космологической модели
До сих пор рассматривались анизотропные космологические мо-
модели с трехмерным евклидовым (плоским) пространством. Такое
пространство заведомо однородно по своим геометрическим свойст-
свойствам. В этом пространстве рассматривалось простейшее однородное
распределение и движение материи. Однако такие простейшие мо-
модели далеко не исчерпывают все возможные типы однородных (но
анизотропных, вообще говоря) пространств.
Мы переходим к систематическому рассмотрению других, более
сложных случаев.
Понятие пространственной однородности интуитивно кажется
очевидным: требуется «одинаковость» свойств модели во всех точках
трехмерного пространства в фиксированный момент времени.
Во всех точках должны быть одинаковы как геометрические
свойства трехмерного пространства (его кривизна), так и деформация
пространства с течением времени, его вращение, распределение и
движение в нем материи.
Ясно, что понятие однородности связано с выбором системы от-
отсчета. Если свойства однородности выполнены в некоторый системе
отсчета, то переход к другой системе нарушит эти свойства. Таким
образом, вопрос — однородна ли модель, заключается в том, су-
существует ли такая система отсчета, в которой выполнены условия
однородности.
Попытаемся дать математическую формулировку свойства од-
однородности.
В математике понятие однородности пространства давно иссле-
исследовано [см., например, книгу Эйзенхарта A947)]. В применении
к ОТО и космологии это понятие также исследовано многими ав-
авторами.
Сошлемся здесь на работы Тауба A951), Зельманова A9596),
Петрова A966), Гекмана и Шюкннга A962), Шюкинга и Гекмана
A958), Хоукинга и Эллис A973), Дорошкевича A968), Белинского,
Лифшица и Халатникова A970), Грищука A967а, в).

568 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
Остановимся сначала только на геометрических свойствах трех-
трехмерного пространства, важных для рассмотрения однородных
моделей. Геометрические свойства трехмерного пространства в двух
областях, скажем в окрестностях точек А и В, будут одинаковы,
если возможно в каждой из этих окрестностей выбрать координат-
координатные сетки х и х* соответственно так, чтобы метрические тензоры
были одинаковы, т. е. чтобы функциональная зависимость ga$(x) от
х1, х2, х3 в окрестности точки А была точно такая же, как ga$(x*) от
х*1, х*2, х*3 в окрестности точки В. э
Пусть задана система координат х во всем пространстве. В точке
А известна метрика ga°(x). Для одинаковости геометрических
свойств пространства во всех других точках надо, чтобы в окрест-
окрестности каждой из них возможно было перечертить координаты, т. е.
сделать преобразование, зависящее от координат точки В (Ь1, Ь2, Ь3):
х* = х*{х,В), B1.1.1)
такое, чтобы функции ga$(x) ugap(x*) одинаково зависели от своих
аргументов. Можно выразить то же самое и другими словами. Пре-
Преобразование B1.1.1) при тождественности функций ga?(x) от х и
gap(x*) отх* описывает сдвиг пространства в самом себе, при кото-
котором точка с координатами х1, х2, х3 перемещается в другую точку
с координатами Ь1, Ъ2, Ъ3\ сетка координат преобразуется при этом
по закону B0.1.1), и метрика ^„остается неизменной, но начало
координат, например, лежит уже в другой точке. Для однородности
необходима возможность каждую точку пространства совмещать
таким образом с любой другой.
Если в трехмерном пространстве, помимо его метрики, заданы
другие тензоры, векторы или скаляры (например, тензор энергии-
импульса материи), то и они должны обладать аналогичным свойст-
свойством, т. е. при преобразовании B1.1.1) функциональная зависимость
величин от новых координат должна быть такой же, как и от старых.
В четырехмерном мире для выполнения свойства однородности
на трехмерных пространственных сечениях необходимо выполнение
условия тождественности функциональной зависимости при преобра-
преобразовании B1.1.1) для величин, описывающих не только кривизны
трехмерного пространства, но и кривизну четырехмерного прост-
пространства.
Заметим, что если величины, характеризующие четырехмерное
пространство-время, однородны на трехмерных пространственных
сечениях, то автоматически будет однороден на тех же сечениях и
тензор энергии-импульса, так как он выражается с помощью урав-
уравнений Эйнштейна через тензор кривизны четырехмерного простран-
пространства-времени.
Пусть трехмерное пространство однородно, тогда в окрестности
каждой точки его можно смещать в любом направлении на малый

$ l] ПОНЯТИЕ ОДНОРОДНОСТИ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 569
вектор £*. Этим обеспечивается возможность совмещения данной
точки с любой близлежащей. При таком смещении пространства
заданием вектора |* в данной точке и условием однородности в
остальных точках смещение однозначно определяется, т. е. опреде-
определяется вектор £"=£"(*) как функция координат. Оказывается,
вектор £" должен удовлетворять уравнениям
кр + £р.а = 0, B1.1.2)
где запятая обозначает ковариантное дифференцирование. Вектор
£а носит название вектора Киллинга, а уравнения B1.1.2) называ-
называют уравнениями Киллинга. Очевидно, в однородном трехмерном про-
пространстве, задавая в окрестности некоторой точки три некомпланар-
некомпланарных смещения пространств, можно получить три независимых се-
семейства векторов Киллинга.
Структура однородного пространства или, иными словами, раз-
разные типы однородных пространств определяются структурой полей
векторов Киллинга. Классификация однородных трехмерных прост-
пространств по структуре полей векторов Киллинга была проведена Биан-
ки. Мы дадим здесь эту классификацию применительно к космологии
в несколько иной форме, приведенной, например, в работах Эллис
и Мак-Коллама A969), Белинского, Лифшица, Халатникова A970).
На языке математики описанная выше пространственная од-
однородность космологической модели формулируется следующим
образом.
Космологическая модель называется пространственно-однород-
пространственно-однородной, если допускает трехпараметрическую [зависимость от Ь1, Ь2,
Ь3 в преобразованиях B1.1.1)] группу движений (т. е. преобразо-
преобразований с сохранением функционального вида метрики), действующую
транзитивно (т. е. позволяющую совместить каждую точку с каждой)
на пространственноподобных трехмерных гиперповерхностях. Ока-
Оказывается [см., например, Петров A966) и упомянутую работу Эллис
и Мак-Коллама], что трехмерные сечения, на которых осуществля-
осуществляется однородность, геодезически параллельны, т. е. близкие сече-
сечения везде отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии. Поэтому,
если провести мировые линии, ортогональные во всех точках к этим
сечениям, и выбрать эту конгруэнцию линий за систему отсчета, то
метрика в такой системе может быть записана в форме
ds2 = dt2 + gafidxadxb; B1.1.3)
иными словами, такая система отсчета «синхронна» по терминоло-
терминологии Лифшица и Халатникова. Трехмерные пространства этой си-
системы отсчета при £=const мы выбрали как однородные пространства.
Известно (см. ТТ и ЭЗ), что если g«a=0, то система отсчета не враща-
вращается. Это, однако, вовсе не означает, что материя в однородной кос-
космологической модели обязательно не вращается. Ведь материя мо-
может двигаться относительно данной системы отсчета. Конечно, в

670 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
однородной модели и движение материи должно быть однородным.
Как мы увидим далее, при этом не исключается и движение материи
с вращением.
Сформулированные выше условия однородности получили наз-
название «групповой» однородности. Требование однородности можно
было бы сформулировать и по-другому.
Пусть расширение материи в космологической модели начинается
от сингулярности. Будем отсчитывать время в каждой точке материи
как собственное время этого элемента, начиная от сингулярности.
Назовем теперь однородными такие модели, в которых для каждого
элемента среды в один и тот же момент собственного времени Вселен-
Вселенная выглядит по всем свойствам точно так же, как и для любого
другого наблюдателя в тот же момент его собственного времени.
Однако, как заметил Грищук, при выполнении уравнений Эйнш-
Эйнштейна этот критерий однородности сводится к «групповому», т.е.
все такие модели однородны и в «групповом» смысле *). На еще од-
одном критерии однородности мы остановимся несколько позже.
Вернемся к групповому критерию. Рассмотрим однородные трех-
трехмерные пространства моделей B1.1.3). Так как они однородны, то
в них имеются поля векторов Киллинга, удовлетворяющие B1.1.2).
Наличие полей векторов Киллинга в трехмерных пространствах
позволяет, как показано в цитированных выше работах, записать
пространственную часть метрики B1.1.3) в виде
№ = УаЬ №dxa) (e%dx*). B1.1.4)
Мы условимся в этой главе, что латинские индексы пробегают
значения 1, 2, 3, как и греческие. Здесь уаЬ=уаь (t) зависят только от
/, величины вида е£=е£ (х) зависят только от пространственных
координат, а е£ dxa — три дифференциальные формы, не меняю-
меняющиеся при движении, т. е. не меняющие своего вида при преобра-
преобразовании B1.1.1). Латинский индекс в выражении е£ нумерует диф-
дифференциальную форму. Независимость выражений в скобках B1.1.4)
при преобразовании B1.1.1) и обеспечивает выполнение одинаковой
функциональной зависимости g,lv (х) от л; и g^v (x*) от л;*. Далее, оказы-
оказывается, что для выполнения неизменности дифференциальных форм
е£ dxa при преобразовании B1.1.1) необходимо, чтобы выполнялись
следующие соотношения:
е>\ (д$еса—даеЪ) = С.аь. B1.1.5)
Здесь выражения вида е" определяются из соотношений е" е& =
=6*; e"eg =6g, СЧаь —константы. Из формул B1.1.5) ясно, что
Cc.ab = C.ba. B1.1.6)
*) Обратное, вообще говоря, неверно, так как групповой критерий не пред-
предполагает обязательно наличия сингулярности.

$ I]
ПОНЯТИЕ ОДНОРОДНОСТИ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
671
Кроме того, должно выполняться тождество
= 0.
B1.1.7)
В заданном трехмерном однородном пространстве выбор векторов
d£ не однозначен, точно так же как и векторов Киллинга. Линей-
Линейная комбинация А% е% с постоянными Л*, очевидно, снова удов-
удовлетворяет B1.1.5), но с другими постоянными СсаЬ. Классификация
однородных пространств состоит в составлении списка констант
dab, удовлетворяющих B1.1.5) и несводимых друг к другу до-
допустимыми преобразованиями.
Анализ этого вопроса показывает, что такой «базисный» набор
может быть представлен в виде табл. XVI.
ТАБЛИЦА XVI
Значения структурных коистаит для разных типов Бианки
Тип по
классифи-
классификации
Виаики
I
II
vn0
VIo
IX
VIII
С2 =С3
•12 -13
0
0
0
0
0
0
Г1
■23
0
с"
•31
0
0
1
—1
1
1
С3
•12
0
0
0
0
1
—1
Тип по
классифи-
классификации
Бианки
V
IV
vnft
III
vift
с2 =са
•12 -13
1
1
а*)
1
аф\
•) Параметр а пробегает все положительные значения.
С1
•23
0
0
0
0
0
С2
•31
0
0
1
1
1
*
с3
•12
0
1
1
—1
—1
Компоненты С.аь, отличающиеся от приведенных в таблице
порядком нижних индексов, имеют, согласно B1.1.6), противопо-
противоположный знак. Остальные компоненты фундаментального набора
Qab тождественно равны нулю.
Решение уравнений Киллингадля операторов группы позволяет
найти явную зависимость метрики от пространственных координат.
Зависимость метрик всех типов от пространственных координат
можно найти, например, у Петрова A966). Мы здесь не будем при-
приводить полностью эти результаты и отметим только важнейшие
случаи. Трехмерные пространства моделей типа I всегда являются
плоскими пространствами, но тензор скоростей деформации прост-
пространственных сечений, вообще говоря, анизотропен. Метрика для
этого типа моделей записывается в виде
ds2 = dt2-\-ga$ (t)dx2dx^, B1.1.8)
ГАе gap — ФУНКЦИИ ТОЛЬКО t.

572 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
Движениями группы здесь являются параллельные переносы в трех-
трехмерном пространстве вдоль координатных линий декартовой си-
системы координат. Свойства моделей B1.1.8) подробно рассмотрены
в предыдущих главах. Модели с плоским трехмерным пространст-
пространством содержатся также как частный случай в типе VII0, но в этих
моделях деформация пространства иная (см. следующий параграф).
Трехмерные пространства моделей типа V являются пространствами
постоянной отрицательной кривизны, но деформирующимися с те-
течением времени, вообще говоря, анизотропно. 9
Пространства постоянной отрицательн й кривизны содержатся
также в моделях типа VII,,.
Наконец, трехмерные замкнутые пространства постоянной по-
положительной кривизны содержатся в моделях типа IX.
Приведенная выше классификация охватывает все однородные
пространства согласно «групповому» определению, приведенному
на стр. 569. Грищук A970) заметил, что следует называть простран-
пространственно-однородными модели не только, допускающие трехпарамет-
рическую группу движений, действующих транзитивно на трехмер-
трехмерных пространственноподобных гиперповерхностях, но и допускаю-
допускающие на этих гиперповерхностях группу движений большей подвиж-
подвижности (т. е. 4-или 6-параметрическую) *), даже если она не содержит
в качестве подгруппы трехпараметрическую (на трехмерных ги-
гиперповерхностях) и поэтому не попала в приведенную выше клас-
классификацию.
Действительно, увеличение числа параметров группы только
увеличивает симметрию пространства (добавляя, например, к воз-
возможности трансляции еще и вращение) и вовсе не нарушает одно-
однородности.
Анализ этого вопроса показал, что такое расширение понятия
однородности заставляет добавить к девяти типам Бианки лишь
космологическую модель следующего вида:
ds2 = dt2—a2{t)dz2 —b2 (I) (dQ2 +sin2 Qdtp2). B1.1.9)
Трехмерное пространство этой модели является топологическим
произведением сферы на прямую. Модели такого вида были рас-
рассмотрены Новиковым A961), Дорошкевичем A965), Зельдовичем
A965а), Грищуком A967а), Рубаном A971) и другими. Эта модель
допускает 4-параметрическую группу движений, действующую
транзигивно на трехмерных пространственных сечениях. В даль-
дальнейшем, говоря о групповом критерии однородности, мы будем по-
понимать его в указанном расширенном смысле и включать в рассмот-
рассмотрение модель B1.1.9).
*) Пятипараметрическая полная группа движений на трехмерных гиперпо-
гиперповерхностях невозможна [см. Петров A966)]:

§ 2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ОДНОРОДНОСТИ 573
§ 2. Дифференциальный критерий однородности
В литературе встречается критерий однородности, отличный
от группового. Он был предложен Зельмановым A9596) и получил
название дифференциального. Согласно этому критерию, модель
считается однородной, если трехмерные ковариантные производные
от всех скалярных, векторных и тензорных полей по всем простран-
пространственным координатам равны нулю.
На первый взгляд этот критерий кажется столь же естественным,
как и групповой критерий. Однако дифференциальный критерии
накладывает на модели более жесткие требования, чем групповой.
Действительно, этот критерий требует, чтобы свойства Вселенной
были не только одинаковы в разных точках трехмерного простран-
пространства в один и тот же момент времени, но и чтобы при переходе от
одной точки трехмерного пространства к другой (в фиксированный
момент времени) ориентация векторных и тензорных полей не ме-
менялась.
Для пояснения различия между двумя критериями мы приведем
пример, который является упрощением примера из работы Грищука
A971).
Пусть в плоском трехмерном пространстве имеется неизменный
во времени поток пробных частиц (не создающих поле тяготения).
Зададим скорости частиц в декартовой системе координат формулами
vx = a cos (Az + В), "I
vv = asin (Az + B), \ B1.2.1)
Здесь а, А, В — постоянные. По абсолютной величине скорость
везде одинакова. Векторы скорости лежат в плоскостях z=const,
в каждой плоскости скорость не зависит от координат х, у. При
переходе от одного сечения z=const к другому z'=const вектор
скорости поворачивается, меняется его ориентация. Согласно диф-
дифференциальному критерию, эта модель неоднородна, так как про-
производная от вектора скорости по z-координате отлична от нуля
(вектор поворачивается). Согласно групповому критерию, эта
модель однородна, ее можно сдвигать в трехмерном пространстве
так, чтобы поле скоростей переходило само в себя и каждую точку
можно было совместить с каждой. Модель можно сдвигать парал-
параллельно вдоль осей х и у, а также вдоль оси г, поворачивая при этом
вокруг оси z на угол a=AAz. Такая группа движений принадлежит
к типу VII по классификации Бианки.
На этом примере наглядно видно различие между критериями.
Подчеркнем, что иногда в нерелятивистской механике поле век-
векторов или тензоров в плоском пространстве называют однородным
только в том случае, если производные от компонент тензора по
декартовым координатам равны нулю, т. е. когда выполняется

Б74 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
дифференциальный критерий. Нас интересует одинаковость свойств
всех точек пространства, а не то, поворачиваются ли векторы и тен-
тензоры при переходе из одной точки в другую точку трехмерного про-
пространства.
В приведенном выше примере свойства всех точек пространства
явно одинаковы и модель следует считать однородной. Мы поэтому
будем в дальнейшем понимать под однородностью однородность
в групповом смысле, если не делается специальных оговорок.
Что касается моделей, удовлетворяющих дифференциальному
критерию, то Грищук показал, что все такие модели должны быть
либо изотропными моделями Фридмана, либо анизотропными моде-
моделями с плоским пространством вида B1.1.8), либо моделями вида
B1.1.9), либо, наконец, моделями, пространство которых является
произведением псевдосферы на прямую, т. е.
ds2 = dt2—a2 (t) dz2—b2 (t) [йв2 + sh2 GdG2]. B1.2.2)
Эта модель содержится как частный случай в типе III моделей по
классификации Бианки. Таким образом, класс дифференциально
однородных моделей уже класса моделей с групповой однородностью,
причем все дифференциальные модели однородны и в групповом
смысле, если понимать последний так, как это сформулировано
в конце предыдущего параграфа.
В заключение параграфа вернемся к примеру векторного поля
B1.2.1) в плоском пространстве. Этот пример методически интересен
еще и тем, что наглядно демонстрирует, как в одном и том же про-
пространстве (в данном случае в трехмерном плоском) разное задание
векторных полей (в данном случае поля скоростей пробных частиц)
может приводить к тому, что они будут относиться к разным типам
Бианки. Модель с полем B1.2.1) относится, как уже отмечалось,
к типу VII; так как при сдвиге по оси z все пространство надо по-
поворачивать на угол а=Аг. Если же в трехмерном пространстве за-
задать поле скоростей, везде одинаковых и параллельных между со-
собой, то модель будет относиться к типу I. Таким образом, для клас-
классификации важны не только геометрические свойства пространства,
но, вообще говоря, и свойства всех рассматриваемых векторных
и тензорных полей.
§ 3. Динамические свойства однородных моделей
вблизи сингулярности
Обратимся теперь к проблеме эволюции однородных космоло-
космологических моделей во времени.
Для однородных космологических моделей эта задача сильно
упрощается по сравнению с общим случаем, так как уравнения
Эйнштейна сводятся к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для получения этих уравнений в каждой точке тоех-

j 3] ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ 575
мерных пространственных сечений вводят тройки реперных векто-
векторов е£, где е% — те же самые величины, которые входят в выра-
выражение B1.1.4). После этого все трехмерные векторные и тензорные
поля проектируются на эти реперы. Например:
Поднятие и опускание индексов производится с помощью мат-
матрицы уаЬ или обратной ей матрицы Yab(Y°b Уьс—^")'-
Tab = Tcdyacybd. B1.3.2)
Проделав такое проектирование уравнений Эйнштейна, при-
приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений [вывод их см. Шюкинг A963)]:
B1.3.3)
-Dl (Cbca-bbadfc) = ^ П, B1.3.4)
1 d (лг~ъЬ\ , .мл j , м j \ 8яО,
с*
B1.3.5)
Здесь обозначено:
Dab = ±£yab, B1-3.6)
B1.3.7)
К этому добавляется уравнение состояния, не нарушающее од-
однородности (в том числе и для бесстолкновительных частиц).
Все величины в B1.3.3), B1.3.5) зависят только от времени и не
зависят от пространственных координат, С0.^, — константы. Под-
Подставляя в B1.3.3)—B1.3.5) значения структурных констант из
табл. XVI, получаем уравнения, описывающие эволюцию во вре-
времени моделей разных типов.
Остановимся на анализе поведения моделей вблизи сингуляр-
сингулярности. Поставим следующий вопрос: является ли асимптотика ре-
решения вблизи сингулярности /-ИЗ вида A8.3.6) — A8.3.7) приме-
применимой и в общем случае анизотропных моделей с искривленным
однородным пространством, т. е. представляет ли собой решение
вблизи сингулярности расширение по двум направлениям и сжатие
потретьему (рассматривается расширение модели от сингулярности)

576 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
в общем случае? Анализ этого вопроса проделан Лифшицем и Ха-
латниковым A963а, б), а затем Дорошкевичем A968), Грищуком
A970), Эллис и Мак-Колламом A969) и Мак-Колламом A971).
Обратимся к уравнениям B1.3.3) — B1.3.5).
Уравнение B1.3.3) не содержит структурных констант СсаЬ,
определяющих тип модели по Бианки. Оно не отличается от урав-
уравнения для моделей с плоским пространством, подробно разобран-
разобранных выше.
Уравнения B1.3.4) не содержат вторых производных по времени
от искомых величин yab(t). Они лишь накладывают ограничения на
выбор возможных начальных условий. Эти уравнения [см., на-
например, Петров A966)] не участвуют непосредственно в интегриро-
интегрировании по времени: если они удовлетворяют начальным условиям,
а остальные уравнения выполнены в четырехмерной области, то
и уравнения B1.3.4) автоматически выполняются в той же области.
Структурные константы Ccah существенно входят в уравнения
B1.3.5). Рассмотрим эти уравнения.
Предположим, что асимптотика решения вблизи сингулярности
носит характер A8.3.6), A8.3.7). Слагаемые в первом члене уравне-
уравнений B1.3.5) имеют порядок ~l/t2. Для тензора энергии-импульса
можно повторить сказанное в § 3 гл. 18: имеется, вообще говоря,
вакуумная стадия вблизи сингулярности, когда членами в правой
части B1.3.5) можно пренебречь при t-+0, так как они имеют мень-
меньший показатель степени в знаменателе, чем двойка.
Выполнение условий вида A8.3.6), A8.3.7) обеспечивает вы-
выполнение уравнения B1.3.3) и обращение в нуль первого члена урав-
уравнений B1.3.5). Что касается членов в B1.3.5), содержащих струк-
структурные константы СсаЬ> то здесь, вообще говоря, могут появиться
члены, имеющие более высокий порядок, чем l/t2. Это связано с тем,
что в режиме A8.3.6), A8.3.7) вдоль одного направления масштаб-
масштабный фактор входит с отрицательной степенью t. Пусть это будет,
например, направление вдоль репера с индексом 1. Тогда появля-
появляется член вида O2S Ти /у, где у — определитель матрицы уаЬ.
Этот член имеет порядок ~ t~2(Ра + р»~ р>> = t~2(I + 21 p, i) Ве-
Величина в скобках в показателе степени больше единицы, т. е. весь
член имеет порядок больше, чем l/t2, и уравнения B1.3.5) не вы-
выполняются. Для выполнения этих уравнений необходимо, чтобы
была равна нулю константа СсаЬ{афЬфс), соответствующая реперу
с индексом с, вдоль которого масштабный фактор имеет отрицатель-
отрицательный показатель степени в зависимости от t. Так, при t-+0 отрица-
отрицательный показатель степени у t вдоль направления репера с ин-
индексом 1 возможен лишь в том случае, если СЬ,3 =0 и т. д.
Теперь одного взгляда на табл. XVI достаточно, чтобы убедиться,
что в первых семи типах моделей есть по крайней мере одна констан-
константа Сс.аЬ(афЬфс) (последние три столбца таблицы), равная нулю.
Это делает возможным установление при t-+0 в этих типах асимп-

s 4] МОДЕЛЬ сПЕРЕМЕШАННОГО» МИРА 577
тотики вида A8.3.6), A8.3.7) с отрицательными показателями сте-
степени вдоль соответствующего направления.
Таким образом, подобная казнеровская асимптотика решения
является общей для первых семи типов при условии Т$ = 0*).
Разумеется, при приближении к сингулярности еще до установ-
установления асимптотического режима типа Казнера свойства решения
уравнений Эйнштейна более сложные, чем для модели с плоским
пространством. Подобно тому как в модели с плоским пространст-
пространством, но с магнитным полем члены в уравнениях с тензором энер-
энергии-импульса запрещали асимптотику с отрицательным показате-
показателем степени у t вдоль поля (см. § 2 гл. 18), так и члены с кривизной
пространства заставляют решение перестраиваться при t->0 до
тех пор, пока не установится режим Казнера с /v<0 в «разрешен-
«разрешенном» направлении. Мы подробнее остановимся на промежуточных
этапах в следующих параграфах.
Оговоримся сразу, что решения уравнений ОТО для первых
семи типов моделей допускают в качестве частных вырожденных
случаев и иную асимптотику вблизи сингулярности, отличную от
казнеровской. Таковы, например, фридмановские решения. Но все
эти случаи вырождены, требуют специальных начальных условий.
Мы их детально рассматривать не будем, за исключением модели
Фридмана (для рассмотрения этого случая есть особые причины,
см. предыдущие разделы книги), отсылая за подробностями к ци-
цитированным в этом параграфе работам.
Типы моделей VIII и IX не допускают казнеровской асимптотики
вблизи сингулярности, так как в этих моделях все структурные
константы вида Сс.аь(афЬфс) отличны от нуля. Эволюция моделей
этого типа будет рассмотрена в следующих параграфах.
§ 4. Модель «перемешанного» мира
Вернемся к одному из вопросов, поставленных во введении к раз-
разделу IV. Как там отмечалось, однородность и изотропия Вселенной
в больших масштабах требуют специального объяснения. Если
считать, что однородность возникает в результате каких-то физи-
физических процессов в начале космологического расширения, то для
этого требуется, как минимум, чтобы точки, разнесенные на рас-
расстояние, соответствующее масштабу однородности, были причинно
связаны на момент протекания выравнивающих процессов, т. е.
чтобы сигнал, идущий со скоростью света, успел пройти это расстоя-
расстояние за время, протекшее с начала расширения. Конечно, этого ус-
условия отнюдь не достаточно для выравнивания неоднородностей;
*) Заметим, что в случае моделей, в которых материя движется относительно
системы отсчета, Т&фй и могут появиться слагаемые, нарушающие казнеров-
скую асимптотику A8.3.6), A8.3.7). В этом случае асимптотика аналогична
модели §4 гл. 21; см. Лукаш A9746), Лукаш, Новиков, Старобинский A975).
Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

578 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
более того, Зельдовичем A970а) показано, что выравнивания всех
неоднородностей не происходит, но указанное требование является
необходимым.
Наличие оптического горизонта в однородной изотропной модели
Фридмана делает принципиально невозможным выравнивание не-
неоднородностей «перемешиванием» в заметных масштабах в начале
расширения.
Мизнер A969а, б) предложил космологическую модель, в которой
отсутствует оптический горизонт и возможно перемешивание. Мо-
Модель Мизнера основана на открытом Лифшицем, Халатниковым
и Белинским [см. Халатников, Лифшиц A970), Белинский, Лиф-
шиц, Халатников A970), Белинский, Халатников A969а, б)] реше-
решении уравнений Эйнштейна для моделей типа IX Бианки.
Идея Мизнера заключалась в следующем. Пусть на протяжении
некоторого промежутка времени модель описывается казнеровским
решением с Pi=pa=0, p^^l. В этом случае для распространения
света вдоль третьей оси получаем из условия ds=0 (полагаем ско-
скорость света с=1)
t
dt = tdx, х = §~~\п~, B1.4.1)
Если /0-*-0, то л:-»-оо. Таким образом, вдоль третьей оси свет успе-
успевает пройти сколь угодно большое расстояние, если t0 достаточно
мало. В то же время вдоль двух других осей свет успевает пройти
лишь малое расстояние, пропорциональное At=t — t0. Если затем
решение перестраивается таким образом, что pt=l, Рг=р3=0,
то свет успевает пройти большое расстояние вдоль первой оси, и т. д.
Мизнер показал, что в принципе возможна такая модель типа
IX Бианки с замкнутым трехмерным пространством, которая об-
обладает именно такими свойствами и в которой свет успевает обойти
мир много раз по всем направлениям. В такой модели решение вбли-
вблизи сингулярности уже не описывается казнеровской ситуацией, а на
общее расширение модели наложены осцилляции вдоль разных осей.
То, что решение для типа IX должно быть не казнеровским (так же
как и для типа VIII), ясно из табл. XVI и уравнений B1.3.5).
Действительно, для этих типов все Сс.аЬ{афЬфс) отличны от нуля
и установление казнеровской асимптотики невозможно (см. § 3
этой главы).
Поведение решения для модели перемешанного мира вблизи
сингулярности исследовалось в работах Халатникова, Лифшица
A970), Белинского, Халатникова A969а, б), Мизнера A969а, б), Бе-
Белинского, Лифшица, Халатникова A970), Е. Лифшица, И. Лифши-
Лифшица, Халатникова A970), Дорошкевича, Новикова A970), С. Нови-
Новикова A972), Белинского, Лифшица, Халатникова A971), Грищука,
Дорошкевича, Лукаша A971), Матцнера, Шепли, Уоррена A970).

§4]
МОДЕЛЬ «ПЕРЕМЕШАННОГО» МИРА
679
П следние три работы рассматривают общий случай, когда материя
ижется относительно системы отсчета. Впрочем, это условие не
меняет основных черт решения, и мы здесь рассмотрим только слу-
случай покоящейся материи.
Анализ показывает, что решение вблизи сингулярности отли-
отличается от упрощенной картины, нарисованной выше.
Метрика модели перемешанного мира записывается в синхрон-
синхронной системе отсчета в следующем виде:
(a2 (t) 0 0 \ / cos a3 sin x3 sin xl 0\
О Ь2 (t) 0 ), е£ = (— sin*3 cos*3 sin xl 0
О 0 c2(t)J \ 0 cos*1 \.
B1.4.2)
Функции а, Ь, с описывают анизотропную деформацию в каж-
каждой точке; их величина характеризует протяженность замкнутого
мира в трех ортогональных направлениях. Изменение а, Ь, с с те-
течением времени описывает эволюцию модели.
Мы уже отмечали выше, что вблизи сингулярности тензором
знергии-импульса можно пренебречь (вакуумная стадия). Мы вы-
выпишем уравнения Эйнштейна
для типа IX сразу для ва- 1па2
куумной стадии *): Inb2
In с2
= 0,
abc ' 2 (abcJ
B1.4.2а)
(точка — дифференцирование
по f).
На рис. 57 показано пове-
поведение функций a(t), b(t) и
с@ (по горизонтали отложен In t, по вертикали — значения функ-
функций In йа, In fc2, In с2).
Будем рассматривать поведение этих функций при продвиже-
продвижении к сингулярности. Две функции (скажем, аг и Ь2) осциллируют
на некотором интервале t (назовем его большим циклом), в то время
как третья (с2) монотонно убывает по мере продвижения к сингуляр-
к , *) О поздней стадии расширения, когда Тц, становится существенным, см.
S ( этой главы.
19*
Ш
Рис. 67. Эволюция модели «перемешанно-
«перемешанного» мира при приближении к сингуляр-
сингулярности.

680 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
ности. Затем с9 начинает возрастать (идем к /-»-0), в то время как
одна из осциллирующих функций (например, а2) убывает монотон-
монотонно. В дальнейшем fc2 и са осциллируют, а а? опять убывает монотон-
монотонно. Через некоторое время снова происходит смена осциллирующих
и монотонно изменяющейся функции и т. д. Заметим, что объем мира
V~a.bc меняется монотонно. На небольших участках, когда все
три функции изменяются монотонно, решение описывается фор-
формулами Казнера [подробнее см. Белинский Лифшиц, Халатников
A970)]. %
Обозначим ai/bi=Q в точках максимума функции а2 и Р=а?/с2 в
точке минимума с2 в данном цикле. Анализ показывает, что при дви-
движении к сингулярности внутри большого цикла амплитуда осцил-
осцилляции нарастает. Поэтому, если Q мало в начале данного цикла, то
оно становится большим в данном или (за исключением вырожден-
вырожденного случая, о чем говорится далее) в следующем цикле. Поведение
модели существенно зависит еще от одного параметра: u=k-\-x>\,
где k — целая часть и, равная числу колебаний в данном цикле,
ах — дробная часть и, определяющая параметр и для следующего
цикла: us+l=l/xs (здесь s— номер цикла).
Пусть Q^>1; тогда оказывается
P = DQo)tt'. B1.4.3)
где Qo — амплитуда осцилляции в начале цикла (напомним, что
мы идем от больших t к малым). При переходе к следующему боль-
большому циклу оказываются справедливыми соотношения
Qnt*Pi. B1.4.4)
т. е. амплитуда осцилляции Q02 порядка Pt и велика. Для величины
Р2 имеем
Р2~Р"\ B1.4.5)
Таким образом, величина Р катастрофически быстро нарастает.
Для s-ro большого цикла имеем
Подчеркнем, что эта формула практически описывает масштаб пол-
полного изменения наименьшей в цикле s функции за время всех циклов
от первого до s-ro, так как фактически все изменения амплитуды Р
происходят в s-м цикле, который является ближайшим к сингуляр-
сингулярности из всех рассмотренных (хотя за s-м циклом, конечно, следует
(s+lj-й и т. д.; число циклов бесконечно, если не накладывать ог-
ограничений на применимость ОТО, см. следующий параграф).
Приведенные формулы описывают основные характеристики ре-
решения при движении к сингулярности.

МОДЕЛЬ «ПЕРЕМЕШАННОГО» МИРА 581
ГТ и движении в противоположном направлении все возрастаю-
Р оль в уравнениях тяготения играют члены, описывающие
, которые мы отбросили. Мы рассмотрим поведение модели
леы становяся важыми в§6 данной лавы
епию, котр р рр
стадии, когда эти члены становятся важными, в§6 данной главы.
Н Вернемся к анизотропной стадии.
С приближением к сингулярности наблюдается стремительный
пост относительных амплитуд колебаний функций а, Ь, с (рост
Р и 0). Этот процесс может нарушиться лишь в следующем случае.
В каждом цикле числа u=k-\-x не целые. «Опасная» ситуация,
как показывает анализ B1.4.2а), может возникнуть, если и очень
близко к целому числу, т. е. еслилгмалб, а именно если х или 1+л;
попадает в интервал
1±DQ')-1, B1.4.7)
где Q* —амплитуда осцилляции в конце большого цикла.
Если, в дополнение к этому, в некоторый момент t в конце цикла
все функции оказываются одного порядка (ажЬянс), то анализ урав-
уравнений B1.4.2а) показывает, что в этом случае может возникнуть
осцилляция с малым значением Q в следующем цикле.
Прежде чем идти дальше, отметим, что именно систематическое
возникновение при продвижении к сингулярности таких циклов
с малым значением Q и большим и (т. е. с большим числом осцилля-
осцилляции) рассматривает Мизнер, имея в виду осуществление идеи «пере-
«перемешанного» мира. Когда Q мало, то свойства решения сходны с каз-
неровским решением (в этом случае c~t, а и Ь приблизительно по-
постоянны, слабо осциллируют). В этой Вселенной свет успевает много
раз обойти мир вдоль оси с, осуществляя перемешивание. Если по-
подобные ситуации систематически повторяются, то перемешивание
происходит по всем направлениям.
Однако необходимо подчеркнуть, что систематическое возник-
возникновение циклов с малым Q практически невероятно.
Действительно, вероятность того, что в данном цикле х или 1 -f-лг
лежит в интервале 1±DQ *)-\ есть
о>=~*. B1.4.8)
Величина w от цикла к циклу катастрофически быстро умень-
уменьшается (мы движемся в сторону сингулярности!). Полная вероят-
вероятность того, что мы попадаем в опасную зону (хотя бы один раз!
в каком-либо цикле вплоть до сингулярности, определяется суммой
ряда
2> = DQD-1 + DQ2*)-1+ ...; B1.4.9)
пРактически равна первому члену ряда, а так как
то она мала,

582 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
Вероятность систематического повторения мизнеровской ситуа-
ситуации исчезающе мала. Мы пока не останавливаемся на вопросе о том,
что модель «перемешанного» мира нельзя применять неограниченно
вплоть до сингулярности, ибо, когда кривизны пространства-вре-
пространства-времени достигает A0~33 см)~2, начинают играть роль квантовые эф-
эффекты в тяготении (см. раздел V). Некоторые замечания по этому
поводу мы сделаем в конце следующего параграфа. Здесь же под-
подчеркнем, что и без ограничений применимости ОТО при случайном
выборе параметров модели Q всегда нарастает при движении к син-
сингулярности.
В заключение параграфа отметим, что подобными же свойства-
свойствами эволюции вблизи сингулярности обладает и модель типа VIII
Бианки.
§ 5. О невозможности «перемешивания» в модели
«перемешанного» мира
Модель Мизнера была первоначально задумана для обеспечения
возможности «перемешивания» неоднородностей. Для этого необ-
необходимо, чтобы сигнал со световой скоростью мог многократно об-
обходить мир (см. § 4 этой главы).
Обратимся теперь к проблеме возможности обхода мира типа IX
Бианки сигналом, движущимся со световой скоростью [Дорошке-
еич, Лукаш, Новиков A971), Грищук, Дорошкевич, Лукаш A971)].
Уравнения для нулевых геодезических показывают, что лучи
света, вышедшие из некоторой точки и движущиеся вдоль главных
осей тензора кривизны трехмерного пространства, всегда будут
двигаться вдоль этих направлений.
Для осуществления идеи Мизнера необходимо, чтобы свет боль-
большое число раз успевал обходить мир во всех направлениях. Измене-
Изменение масштабов мира вдоль главных осей тензора кривизны описы-
описывается функциями а(т), Ь(х), с(т). Зная эти функции, можно рас-
рассчитать, сколько раз свет успевает обойти мир по тому или иному
направлению за определенный отрезок времени.
Если в некотором цикле амплитуда Q мала, то свет может успеть
много раз обойти мир вдоль наименьшей оси с. Действительно,
в этом случае (см. § 4) ось c~i и применимы формулы B1.4.1). Од-
Однако мы видели, что с огромной вероятностью вблизи сингулярности
малые амплитуды Q никогда не осуществляются.
Возникает вопрос, возможно ли перемешивание, т. е. многократ-
многократные обходы светом и звуком (так как скорость звука в горячем ве-
вемира в случае, когда
У 3/
Рассмотрим распространение света вдоль трех главных направ-
направлений модели. В каждом цикле монотонно меняющаяся функция
(одна из трех — а Ь, с) всегда много меньше осциллирующих.

О НЕВОЗМОЖНОСТИ «ПЕРЕМЕШИВАНИЯ» 583
аиболее благоприятные условия для обходов светом мира имеются
лля луча, движущегося вдоль этой оси.
Число' обходов светом мира по наименьшей оси с за время боль-
большого цикла, как показано в работах, цитированных в начале этого
параграфа, определяется формулой
N.& %=, "*>!■ B1.5.1)
Для числа обходов по оси а или b
Т образом, по какому бы направлению свет ни шел, всегда
число обходов им мира Ns в течение s-цикла удовлетворяет нера-
неравенству
/^Щ. 'B1.5,2)
Для полного числа обходов светом мира N вдоль фиксированного
направления за все время, начиная от сингулярности и до цикла
с номером единица, справедливо неравенство
N<J,N;. B1.5.3)
s=l
Пусть параметры модели выбираются случайным образом. В ра-
работе Дорошкевича, Лукаша и Новикова A971) показано, что в этом
случае при больших Qoi с вероятностью, пренебрежимо мало от-
00
личающейся от единицы, сумма 2 ^« мала п0 сравнению
5=1
с единицей.
Более точно, показано следующее. Вероятность того, что
|л/;<~*<1, B1.5.4)
5=1
отличается от 1 на величину W меньшую, чем
W< ! +- Д-*- • B1.5.5)
5001nQ0i] хУЖГ*
В работе Грищука, Дорошкевича, Лукаша A971) показано так-
также, что эти оценки справедливы и в более сложном случае, когда
имеется движение вещества.
Таким образом, приведенные выражения доказывают, что без
крайне специального выбора параметров модели свет ни разу не
Успевает обойти мир ни по какому направлению за все время,

584 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
начиная от сингулярности и до конца анизотропной стадии, когда
Q все еще велико. В период изотропизации модели, когда вступает
в игру самогравитация обычной материи, свет, возможно, и успеет
один раз обойти мир, но этого явно недостаточно для осуществления
идеи Мизнера о перемешивании.
§ 6. Квантовые ограничения для модели
«перемешанного» мира
Мы уже неоднократно отмечали, что ОТО заведомо неприменима
в масштабах меньших, чем /g~10~83 см, ибо при этом существенны
квантовые флуктуации метрики (подробнее см. §§ 4—7 гл. 23).
В частности, если какой-либо масштаб замкнутой однородной
модели мира меньше lg, то описывать поведение модели в этом
масштабе уравнениями ОТО некорректно. Однако в работе
Мизнера "A9696) высказано утверждение, что в случае модели
перемешанного мира этого ограничения нет и ОТО применима
для сколь угодно малых масштабов, вплоть до истинной сингу-
сингулярности. Этот вывод получен Мизнером из анализа квантова-
квантования расширения мира в целом (подробно см. следующий раздел).
Здесь мы отметим только, что им показано, что если при больших
масштабах мира, много больших lg, состояние расширения соответст-
соответствует большому квантовому числу п, т. е. описывается классическими
неквантовыми уравнениями, то по мере продвижения к сингуляр-
сингулярности (в прошлое) число п является адиабатическим инвариантом и,
следовательно, с уменьшением масштабов роль квантовых эффек-
эффектов не возрастает и никакого предела применимости ОТО нет.
Мы считаем, что несмотря на это замечание Мизнера, lg является
все же пределом применимости неквантовых уравнений ОТО.
Дело в том, что в масштабах /</g«*10~33 см существуют кванто-
квантовые флуктуации метрики безотносительно к состоянию расширения
всего мира в целом. Например, сегодня такие флуктуации есть в мире
в масштабах /<10~83 см или /<10~48 сек независимо от масштабов
всего мира и состояния его расширения и в этих малых масштабах
сегодня неприменима неквантовая ОТО. Это же утверждение можно
повторить для любого момента в прошлом. Поэтому, когда какой-
либо масштаб во Вселенной в прошлом был меньше /g»10~33 см
или время, протекшее от сингулярности, меньше 10~43 сек, то урав-
уравнения ОТО для описания эволюции этого масштаба уже непри-
неприменимы.
Рассмотрим вопрос о применимости модели перемешанного мира
к ранним стадиям расширения реальной Вселенной. В общем слу-
случае, когда свет не успевает обойти Вселенную, ограничения, свя-
связанные с продолжительностью эволюции во времени, более жесткие,
чем ограничения на пространственные масштабы, но и ограничения
на пространственные масштабы очень сильные.

ИЗОТРОПИЗАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ 585
Рассмотрим их. Характерный масштаб во Вселенной сегодня
£^,с/#«1028 см. По крайней мере, начиная со времени в про-
прошлом, когда этот масштаб был ~1026 см, наблюдаемая часть Все-
Вселенной расширялась изотропно. Наименьший масштаб примени-
применимости неквантовой теории, как говорилось выше, ~10~33 см или
во времени 10~4S сек. Таким образом, в течение интервала времени,
когда Вселенная, может быть, описывалась моделью перемешанного
мира, ее масштаб изменился не более чем в 1026: 10~33=1068 раз.
Посмотрим, сколько при этом возможно было циклов осцилляции
и сколько раз свет мог бы обойти мир по разным направлениям.
Для оценки возможного числа осцилляции мы должны воспользо-
воспользоваться формулой B1.4.6). Как указано в § 4, эта формула дает квад-
квадрат изменения масштаба наименьшего размера мира. Для.того чтобы
получить в левой части величину РЧ* меньше 1068 при любом Qo,
заметно большем 1, необходимо, чтобы было заведомо не более
двух-трех циклов с двумя-тремя осцилляциями в каждом цикле.
Если же число осцилляции в цикле 8—10, то не могло быть больше
одного цикла.
Таким образом, квантовые эффекты в ОТО должны сильно ог-
ограничить возможное число колебаний в окрестности сингулярности
в космологической модели Мизнера.
В заключение мы еще раз подчеркнем (см. § 5 этой главы), что
многократный обход светом и звуком мира невероятен в модели
перемешанного мира даже без всяких ограничений на примени-
применимость ОТО, т. е. при формальном продолжении решения вплоть до
сингулярности.
§ 7. Изотропизация однородных космологических моделей
в ходе расширения
В данном разделе мы рассматриваем однородные анизотропные
модели с целью их возможного применения для описания ранних
стадий космологического расширения. Естественно, что на эту
роль могут претендовать модели, которые с течением времени «изот-
ропизуются», приближаются к модели Фридмана. Что следует по-
понимать под терминами «изотропизация», приближение к решению
Фридмана?
Наиболее «естественный» ответ заключается в следующем. Изот-
ропизацией в момент t0 считается близость (с заданной точностью)
всех параметров модели (геометрических, динамических, распре-
распределения и движения вещества и излучения) к соответствующим
величинам во фридмановской модели. Такой подход вполне удовлет-
удовлетворил бы закоренелого теоретика-космолога, но он, по-видимому
слишком строг, когда мы хотим применять наши понятия к реальной
Вселенной. Наблюдения, во всяком случае наблюдения сегодняш-
сегодняшнего дня, еще очень далеки от возможности проверки всех свойств

686 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
моделей. Основным орудием астрономов по проверке степени изот-
изотропии расширения является реликтовое излучение и, в гораздо
меньшей степени, наблюдение галактик и подсчеты радиоисточни-
радиоисточников в разных направлениях на небе. В последних двух случаях
ошибки слишком велики (об этом мы говорили в предыдущих раз-
разделах). Косвенным критерием может быть химический состав пер-
первичного вещества, ибо, как мы видели в § 5 гл. 20, синтез элементов
очень чувствителен к темпу расширения в период протекания ядер-
ядерных реакций. Разумеется, близость химсостава к предсказаниям
фридмановской модели означает только совпадение темпа изменения
со временем объема вещества с темпом в модели Фридмана.
При решении вопроса об изотропизации надо иметь в виду, что,
согласно астрономическим наблюдениям, если Вселенная и была
скачала анизотропной, то изотропизация произошла достаточно
рано, при г^>103 (из наблюдений реликтового излучения, об этом
см. далее *), и, с большой вероятностью, еще гораздо раньше, при
г>>109 (из данных о химическом составе вещества, см. § 5 гл. 20).
Итак, минимальные требования к тому, чтобы однородная мо-
модель по важнейшим используемым в настоящее время наблюда-
наблюдательным свойствам была похожа на фридмановскую, заключаются
в следующем. Модель должна достаточно рано (во всяком случае
до начала синтеза химических элементов) начать расширяться с за-
заданной точностью изотропно, по темпу это расширение должно
быть таким же, как в модели Фридмана, и эти свойства должны
сохраняться в течение длительного времени, пока модель меняет
свои линейные размеры от начала расширения и до наших дней.
Подчеркнем, что изотропизация должна произойти на стадии,
когда расширение происходит с практически параболической ско-
скоростью и плотность материи практически равна критической. Что
касается «изотропизации» таких параметров, как кривизна трехмер-
трехмерного пространства в разных направлениях, то это пока не требу-
требуется в нашем определении. Когда анализ наблюдательных данных
покажет, что эти параметры существенны, то их также надо будет
ввести в определение, которое следует назвать «практической,
наблюдательной изотропизацией».
В литературе по математическому анализу анизотропных моде-
моделей есть другие определения изотропизации. Так, иначе определяют
изотропизацию С. Новиков A972), Коллинз и Хоукинг A973а).
Это надо иметь в виду, чтобы при чтении литературы не возникло
недоразумений. Среди однородных моделей существуют такие,
которые в ходе расширения никогда не похожи на фридмановскую
модель по своим свойствам; существуют такие модели, которые
с расширением на некотором этапе приближаются по своим свойст-
*) Как доказано в §9 гл. 21, при некоторых вероятных предположениях
наблюдения реликтового излучения дают гораздо более сильные ограничения-

7] изотропизация однородных моделей 587
вам к модели Фридмана, а затем расширение вновь становится рез-
резко анизотропным; наконец, есть такие модели, которые после изот-
попизации все более приближаются к модели Фридмана (или во
всяком случае не отдаляются от нее) при /-»-оо.
Кажется почти очевидным, что анизотропные модели, прибли-
приближающиеся к фридмановской при t-*-oo, могут входить лишь в те
типы по классификации Бианки, которые содержат фридмановскую
модель как частный случай. Анализ этого вопроса [Грищук A967а),
Дорошкевич A968), Мак-КолламA971)] показывает, что это дейст-
действительно так.
Открытые, или «плоские», модели Фридмана входят в типы I, V.
VII. Только в моделях этих типов, в принципе, возможно неогра-
ниченноэ приближение к модели Фридмана. Однако в других мо-
моделях близость с заданной точностью на длительном промежутке
времени возможна. Поэтому все такие модели, которые длительно
похожи на фридмановскую, надо проанализировать и сравнить
с наблюдениями.
Важнейшей задачей является построить решение для анизотроп-
анизотропных моделей, справедливое на всем интервале времени, т. е. про-
проследить весь процесс от сингулярности до изотропизации, и связать
начальные данные вблизи сингулярности с параметрами на позд-
поздней стадии расширения. Эго позволяет выяснить, какие из моделей
с заданными вблизи сингулярности параметрами согласуются
с данными астрономических наблюдений о степени изотропии кос-
космологического расширения, и решить, таким образом, вопрос, на-
насколько общий класс начальных условий для анизотропных моде-
моделей может привести к наблюдаемой сейчас картине Вселенной. Про-
Процесс изотропизации моделей типа I рассмотрен в гл. 19, 20.
Мы начнем с анализа изотропизации моделей типа V. Затем рас-
рассмотрим изотропизацию моделей типов VII и IX. Эти модели в из-
известном смысле являются наиболее общими. Анализ эволюции мо-
моделей других классов на предмет их возможной изотропизации яв-
является частным случаем анализа для моделей типов VII и IX. На
анализе других типов мы здесь останавливаться не будем, читатель
может найти эти вопросы в работах Дорошкевича, Лукаша, Нови-
Новикова A973), Лукаша A974а), Мак-Коллама A971).
Итак, начнем с моделей типа V.
Трехмерное пространство типа V всегда является пространством
постоянной отрицательной кривизны. Рассмотрим сначала модели
с тензором энергии-импульса идеального газа и с материей, покоя-
покоящейся в однородном трехмерном пространстве модели, т. е. положим
T%s^0. Тогда, как было показано Дорошкевичем A968), решение
всегда сводится к решению Гекмана — Шюкинга A962) Это реше-
решение может быть записано в виде
'"]}. B1-7.1)

588 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
где функции времени R(t) и S(i) находятся из уравнений Эйнш-
Эйнштейна. Вблизи сингулярности решение имеет вид (Р)
; S~t*'v~', B1.7.2)
т. е. имеет казнеровский вид, показатели имеют следующие зна-
значения:
Р, — —, Рп — —\-—~=?, Ра— =-. Показатели степени в
1 з 2 з уН1 * з yHi *
зависимости масштабных факторов от времени удовлетворяют
соотношениям A8.3.6), A8.3.7); наименьший показатель (для оси
На поздних стадиях расширения модель изотропизуется и асим-
асимптотически имеет
R(t)~t, S(/) = (i-t|). B1-7.3)
Для случая пылевидного вещества (Р—0) решение может быть вы-
выписано полностью:
^ * (a,j|r), B1.7.4)
fl-l+^ + J
где
М = const, a, = const, P — >
nR3
постоянная /ф в асимптотике B1.7.3) в случае решения B1.7.4)
выражается через аг, если М мало: /|=а]/2
Асимптотика B1,7.3) описывает выход решения на милновскую
модель (см. раздел I), когда самогравитацией вещества можно пре-
пренебречь и все вещество расширяется, двигаясь по инерции с
постоянной скоростью (масштабный фактор R пропорционален вре-
времени). Однако возможна изотропизация решения на гораздо более
ранней стадии, когда самогравитацией материи пренебречь нельзя.
В этом случае модель сначала приближается к решению Фридмана
для открытого мира на стадии, когда в нем еще существенна грави-
гравитация материи (см. § 4 гл. 1 и рис. 2), а затем уже, как и всякая от-
открытая модель Фридмана, переходит в модель Милна. Очевидно, нас
должен интересовать именно этот случай, ибо если в реальной Все-
Вселенной начало расширения и было анизотропным, то изотропиза-
изотропизация произошла достаточно рано, когда гравитация материи была
существенна.

$ 7] изотропизация однородных моделей 589
Указанные свойства легко проследить в решении B1.7.4). В этом
решении в выражении для R2 первое слагаемое описывает энергию
разлетающегося вещества, второе слагаемое описывает тяготение
материи, а третье — энергию свободного гравитационного поля.
Вблизи сингулярности R-+0 и первое и второе слагаемые малы по
сравнению с третьим, решение анизотропное (казнеровское). Если
(pM'^xiu то третье слагаемое сначала сравнивается со вторым,
но оба они много больше единицы, модель изотропизуется и вы-
выходит на промежуточную фридмановскую асимптотику*) с R~t2/t
и самогравитация материи существенна. Лишь затем модель выхо-
выходит на милновскую асимптотику B1.7.4). Если же G2M2<^.alt то
изотропизация модели наступает в момент, когда третье слагаемое
сравнивается с единицей, а самогравитация материи никогда не
существенна. Модель сразу с казнеровской стадии переходит на
милновскую.
Как мы видим, тип V моделей с Г?=0 допускает лишь единствен-
единственную асимптотику решения B1,7.2) вблизи сингулярности J-*0.
Это ограничение снимается, если допустить возможность движения
материи относительно системы отсчета. В конце § 5 гл. 19 мы уже
отмечали, что если предположить, что в некоторый момент времени
t# на вакуумной стадии все компоненты скорости имеют одинаковый
порядок величины, то при /-»-0 наибольшей является компонента
скорости вдоль оси, масштабный фактор которой имеет наибольший
положительный показатель степени в зависимости от времени. Ве-
Вещество движется вдоль этого направления с релятивистской ско-
скоростью при /-»-0. Однако тип V все еще оставляет сильные ограниче-
ограничения на параметры расширения и движение вещества. Так, в этом
решении задание параметров расширения модели в некоторый мо-
момент однозначно определяет поток вещества в модели. Это связано
с тем, что трехмерное пространство модели имеет изотропную кри-
кривизну, а это требует точного сбалансирования отдельных факторов,
влияющих на кривизну.
В заключение обсуждения модели типа V приведем закон зату-
затухания анизотропии расширения для случая горячей Вселеннол
(Р=е/3). Вещество будем считать покоящимся в системе отсчета.
Определим «хаббловские константы» Яь Я2, Я3 вдоль трех коорди-
координатных осей системы B1.7.1). На вакуумной стадии НхфН^¥=Нъ. Оп-
Определим отличие Я, от среднего Я = у (Я, + Нг+Н3): ДЯ,- = Я,—Я.
На втором этапе в уравнениях Эйнштейна существенны члены с ма-
материей, решение быстро приближается к фридмановскому. Закон
затухания -~ следующий [вывод такой же, как вывод формулы
*) Совершенно аналогична ситуация при Я=е/3, отличие в том, что R~t
в промежуточной асимптотике.

590 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛВЙ [ГЛ. 21
B1.8.3I:
ля.- //,л>/,
B1.7.5)
дя,-
h
Момент /ф, когда решение выходит на фридмановское, является
произвольным параметром модели.
Мы не будем останавливаться больше на типе V, который явля-
является очень частным, и перейдем к более общим типам VII, VIII и
IX, имеющим анизотропную
кривизну. Приведем итоги
анализа [Дорошкевич, Лу-
каш, Новиков A973I.
Начнем с типа IX. Мате-
Материю считаем покоящейся в
системе отсчета, уравнение
состояния Р—е/3. Картина
изотропизации показана на
рис. 58.
Как мы видели в § 4 этой
главы, эволюция модели этого
типа вблизи сингулярности
заключается в осцилляции
осей на фоне общего расшире-
расширения по мере удаления от син-
сингулярности. В некоторый мо-
момент /*, который является
произвольным параметром мо-
модели, на решение начинают
влиять члены, описывающие
тяготение материи. Как видно
из рис. 58, на котором изобра-
изображены логарифмы масштабных
факторов вдоль разных осей,
после промежуточного этапа
две оси сравниваются, начиная осциллировать с малой и быстро
затухающей степенным образом амплитудой. После этого все оси
с точностью до логарифмических множителей расширяются по фрид-
мановскому закону. Начало этого этапа обозначено через /ф. Далее
в течение длительного времени, практически до момента наиболь-
наибольшего расширения модели, когда расширение сменяется сжатием,
расширение происходит «почти» изотропно. Это «почти» выража-
выражается в том, что после момента /ф, когда а=Ь, анизотропия тензора
скорости деформации мала и затухает, но очень медленно, пропорци-
пропорционально In (-г-) . Эта зависимость является очень важной. Сле-
Следует подчеркнуть, что тензор кривизны трехмерного пространства
Рис. 58. Процесс «изотропизации» модели
типа IX Бианки. На рисунке показана
так . е эволюция модели после смены рас-
расширения сжатием.

j 7] ИЗОТРОПИЗАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ 591
моделей и на этом этапе далек от изотропного и, как правило, ни-
никогда не становится изотропным в дальнейшем. Именно влияние
анизотропии тензора кривизны приводит к очень медленному (ло-
(логарифмическому) убыванию малой анизотропии деформации с те-
течением времени. О влиянии этого факта на анизотропию реликтово-
реликтового излучения см. в § 9 этой главы. Лишь после смены уравнения со-
состояния, когда в ходе расширения становится Р=0 (обозначим этот
момент через /с), все отклонения от точного изотропного закона
затухают степенным образом. Наконец, с t=tM на решение начи-
начинают влиять члены, описывающие усредненную кривизну трехмер-
трехмерного пространства. Расширение вновь становится анизотропным,
объем расширяющейся модели проходит максимум и вновь сжи-
сжимается ко второй сингулярности.
Наиболее интересным является то, что при произвольных на-
начальных условиях тяготение вещества не приводит автомати-
автоматически к такой изотропизации решения, когда все величины а, Ъ, с
в течение длительного времени практически равны между собой.
Для такой изотропизации необходим весьма специальный подбор
начальных условий.
Еще раз подчеркнем, что при произвольных (в широком диапа-
диапазоне) начальных условиях в решении есть длительный период, ког-
когда расширение происходит практически изотропно (с малыми по-
поправками) и хорошо описывается решением Фридмана для крити-
критической плотности. Однако главные значения тензора кривизны
остаются различными и атаЬ^с.
Рассмотрим теперь эволюцию модели типа VII. Она отличается
от описанной выше на двух краях временной шкалы: вблизи са-
самой сингулярности в типе VII решение казнеровское *), потом воз-
возникают осцилляции (только один большой цикл, описанный в § 4
этой главы), затем происходит изотропизация, описанная выше
для типа IX. Длительно модель расширяется по Фридману. Од-
Однако и здесь анизотропия кривизны трехмерного пространства ве-
велика. Наконец, на последнем этапе эволюции, когда начинает
влиять на решение средняя кривизна модели, в типе VIIft решение
иное.
Этот третий заключительный этап наступает, если плотность
вещества модели не равна критической, р ф рс = ^-^. До сих пор
расширение протекало практически, как в модели Фридмана с крити-
критической плотностью, теперь р начинает заметно отличаться от рс,
(р—Рс)/р«*1. Обозначим момент, когда это происходит, через tM
(так же как и в модели IX, см. рис. 58). Он, так же как и /ф и tc,
является произвольным параметром модели.
*) Это справедливо для покоящегося в системе отсчета вещества. Более
сложный случай рассмотрен Лукашом A9746).

692 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
В модели типа VIIft после момента /м (назовем этот этап милнов-
ским) амплитуды анизотропии кривизны и анизотропии деформации
-jp застывают *):
^ = const. B1.7.6)
Величины -^ имеют порядок величины (обозначим его к)
И -K
Частным случаем (модель типа VIIn) является случай, когда р=
—рс; в этом случае /м=°° и третий этап отсутствует.
Возвращаясь к случаю р<рс и к милновской стадии, важно
отметить, что решение B1.7.6) не стремится к фридмановскому,
а представляет собой скорее «застывшее» возмущение фридманов-
ского решения на милновской стадии. Действительно, как возму-
возмущения кривизны, так и относительная разность хаббловских кон-
констант здесь постоянны. Правда, отношение с/а очень медленно, но
неограниченно нарастает при /-»-оо, однако сам по себе рост этого
отношения еще ничего не означает. Говоря точнее, в любой момент
времени / модель описывается решением Фридмана плюс малые
поправки. В § 9 этой главы будет показано, что анизотропия релик-
реликтового излучения на этой стадии также мала **).
В заключение еще одно замечание о ранних этапах эволюции
модели типа VII.
Снимем ограничение, заставляющее вещество покоиться в си-
системе отсчета. Как показано выше в § 5 главы 19, из-за неустойчи-
неустойчивости вещество на казнеровской стадии эволюции модели придет
в движение с релятивистской скоростью. Тогда после вакуумной
стадии и колебаний из-за анизотропии пространственной кривизны
наступает стадия, когда на решение влияет член, описывающий ани-
анизотропный поток вещества относительно системы отсчета модели.
В этот период, как можно показать, решение описывается формула-
формулами a~t, b~c~V\n t. Поток направлен вдоль оси, по которой про-
происходит сжатие. Его гравитационное влияние таково, что модель
начинает расширяться вдоль именно этой оси (а) и очень слабо де-
деформируется вдоль двух других. Это приводит к быстрому падению
*) Вывод о «застывании» был получен в работе Коллинза и Хоукинга A973а);
см. также Дорошкевич, Лукаш, Новиков A973).
**) Отметим, что в принципе возможен эксперимент по обнаружению эффекта
неограниченного возрастания отношения c/a~t при /->оо. Действительно,
сфера (с радиусом много меньше радиуса кривизны пространства) из покоя-
покоящихся или медленно движущихся в синхронной системе отсчета частиц должна
с течением времени превращаться в эллипсоид с неограниченно нарастающей
вытянутостью. Однако такой эксперимент практически поставить нельзя.

j 7] ИЗОТРОПИЗАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ 593
скорости потока и выходу решения на последующие этапы, упоми-
упоминаемые выше. К аналогичным результатам приводит и рассмотрение
слабовзаимодействующих частиц (см. §§ 1, 2 гл. 20) в моделях обсуж-
обсуждаемых типов.
В принципе возможно подобрать начальные условия так, чтобы
отдельные этапы исчезали или иначе комбинировались. Мы описа-
описали лишь наиболее общие случаи эволюции моделей типов IX и
VII с течением времени и выбрали параметры моделей таким обра-
образом, чтобы модели изотропизовались достаточно рано. Что каса-
касается эволюции моделей типа VIII, то ее ранние стадии вплоть до
tM протекают аналогично моделям типа IX. После tM деформация
становится анизотропной.
Общий вывод для всех типов заключается в том, что при широ-
широком произволе в выборе множества параметров моделей (по мощ-
мощности это множество совпадает с полным набором произвольных
параметров, определяющих модель) модель изотропизуется по ха-
характеру деформации и приближается в этом смысле к модели Фрид-
Фридмана *). Однако кривизна трехмерного пространства моделей все
время остается анизотропной. Анизотропия кривизны в моделях
типа VIII и IX сказывается в том, что с<^л, Ь, — одно из главных
значений метрического тензора мало по сравнению с двумя други-
другими. Поскольку в модели типа IX мир «замкнут» в направлении с на
расстояниях порядка с, то модели типа IX совместимы с наблюде-
наблюдениями лишь при достаточно больших значениях с. Более сложным
является сопоставление с наблюдениями моделей типа VII, которые
«открыты» по направлению с. В этом случае речь идет лишь о пе-
периодичности свойств Вселенной с периодом ~с.
Лукаш A9746) показал, что такие модели можно рассматривать
как циркулярно-поляризованные гравитационные волны в, со-
соответственно, плоском нестационарном пространстве для модели
типа VI10, когда средняя кривизна равна нулю, и в пространстве
постоянной отрицательной кривизны для модели типа УНЛ, когда
средняя кривизна отлична от нуля.
Волновой вектор гравитационной волны k направлен по оси
х*=г и является произвольным параметром моделей. При &=0
(бесконечно длинные волны) метрика типа VII0 переходит в метрику
типа I, а метрика типа VIIft — в метрику типа V с однородным со-
сопутствующим пространством постоянной отрицательной кривизны.
При КфО в модели типа VII0 присутствуют только стоячие волны,
тогда как в модели типа VIIA в однородной синхронно-сопутствую-
Щей системе отсчета присутствуют лишь бегущие волны (вдоль
оси г).
*) Иной подход к проблеме выбора начальных условий дан в работах
<-■ Новикова A972) и Богоявленского и С. Новикова A973). Коллинз и Хоу-
кинг A973а, б) пришли к выводу, что при их подходе к выбору параметров
моделей изотропизующиеся модели образуют множество меры нуль.

Б94 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ 21
Возможность представления однородных анизотропных космо-
космологических моделей как изотропных моделей, на которые наложены
те или иные возмущения, уже неоднократно обсуждалась [см.,
например, Грищук, Дорошкевич, Юдин. A972); Бергер A972)].
В наиболее общем виде это было сделано Грищуком A973), выска-
высказавшим гипотезу, что любая однородная анизотропная модель
может быть представлена как более симметричная модель с нало-
наложенными на нее возмущениями (не обязательно малыми). Рассмот-
Рассмотрение Лукаша A9746,в) позволяет лучше понять физические процес-
процессы, происходящие в ходе эволюции модели типа VII и описанные
выше. Мы отсылаем интересующихся к цитированным работам.
Из рассмотренного в этом параграфе характера расширения
моделей типов VII, VIII и IX следует, что модели типов VIII и IX
могут описывать современное состояние Вселенной лишь на «ква-
«квазиевклидовой» стадии эволюции (/Ф</<О, П°Д которой мы пони-
понимаем период, когда по динамике эти модели близки к модели Фрид-
Фридмана с критической плотностью. Позднее в ходе расширения (£>/„)
сильная анизотропия кривизны трехмерного пространства этих
моделей приводит к сильной анизотропии деформации, и такие мо-
модели противоречат наблюдениям. Что касается модели типа VII,
то она может оказаться совместимой с наблюдениями и на поздней
стадии расширения, когда гравитационным влиянием вещества
можно уже пренебречь и расширение определяется кривизной трех-
трехмерного пространства модели (£>/„; милновская стадия).
В последующих двух параграфах анализируется вопрос, как
исследования реликтового излучения могут помочь выяснить, дей-
действительно ли ранние стадии расширения Вселенной могли быть
анизотропными.
§ 8. Анизотропия реликтового излучения в моделях типа I
Бианки с критической плотностью вещества
В этом параграфе вопрос об анизотропии реликтового излучения
рассматривается для простейшей модели с плоским сопутствую-
сопутствующим трехмерным пространством (типа I Бианки). Это позволит
выделить ряд важных особенностей проблемы [Дорошкевич, Зель-
Зельдович, Новиков A967 г)]. В следующем параграфе будут рассмотре-
рассмотрены более сложные модели.
Наблюдения показывают, что крупномасштабная анизотропия
Д71
реликтового излучения меньше, чем -~-^3-10~3. Таким образом,
Вселенная стала прозрачной для реликтового излучения на ста-
стадии, когда анизотропия расширения была уже мала.
Следовательно, для сравнения теории с наблюдениями необ-
необходимо вывести формулы для расширения модели, когда она уже
мало отличается от фридмановской.

. 8] АНИЗОТРОПИЯ РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 595
Мы напишем формулы для процесса изотропизации модели, учи-
учитывающие как возможное наличие упорядоченного магнитного по-
поля (см. § 3 гл. 19), так и направленные потоки релятивистских частиц
(см. § 1 гл- 20). Следует особенно подчеркнуть, что если наличие
магнитного поля в анизотропной модели не обязательно (наличие
его зависит от начальных условий), то, как показано в§1гл. 20,
анизотропные потоки слабо взаимодействующих частиц неизбежно
возникают в результате процессов на ранней стадии анизотроп-
анизотропного расширения, и их учет совершенно необходим.
Пусть магнитное поле направлено по оси z (индекс 3); Ри Р2,
pt — давление свободных частиц соответственно по осям х, у и z;
е иР — плотность энергии и давление обычной материи; W — плот-
плотность энергии магнитного поля; е ^> W, Рг, Р2, Р3>-^- » -g~ ~ -у-.
х. е. расширение в первом приближении происходит изотропно.
Напомним некоторые выводы § 3 гл. 19 и § 1 гл. 20. Из
A8.3.2) — A8.3.5) следует:
1 с
abc d
B1.8.2)
Положим Р=е/3, тогда ахЬ?ас~?1* и (tx — параметр)
а Ь
а а
B1.8.3)
Из этих формул следует, что в отсутствие магнитного поля и
потоков релятивистских частиц анизотропия деформации затухает,
как /-•/•. В общем случае главными в анизотропии деформации яв-
являются члены, связанные с магнитным полем и анизотропным по-
током. Отношения — или — на стадии почти изотропного рас-
8 6
ширения остаются постоянными (при />-=е/3). Поэтому важный вы-
вывод заключается в том, что при наличии магнитного поля или по-
потока релятивистских частиц анизотропия деформации на стадии
^=е/3 «консервируется», не уменьшается *). в то время как без
анизотропии Г& анизотропия деформации падала ~t~xl'.
(см 2ч^еШение B1-8.3) дано с точностью до логарифмических множителей
чес Л- '^)- При учете этих множителей анизотропия падает логарифми-

596 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 1ГЛ. 21
Для случая Р=0, ажЬжс^г'1* имеем
B1.£.4)
a—b_ gPi — Pi h
a0^ P-P 1>W t \ <21-8-5)
±^=1-6' 3 — 12-—±.
a e ее
Из этих уравнений видно, что анизотропия деформации, связанная
с анизотропией Т|, изменяется ~t~Z1*, т. е. медленнее, чем в случае
изотропного Г£.
Итак, во всех случаях анизотропия Г^ замедляет изотропиза-
цию решения.
Обратимся теперь к формулам для определения анизотропии
температуры реликтового излучения, связанной с анизотропией
расширения. Найдем красное смещение для луча света, распростра-
распространяющегося вдоль 1-й оси. Пусть масштабный фактор вдоль этой
оси есть a(f) и уравнение для света
ut=a{t)dx!. B1.8.6)
Пусть источник и наблюдатель покоятся в системе отсчета и раз-
разность их координат есть Д#'\ Луч покидает источник в момент t и
воспринимается наблюдателем в момент t0. Тогда из B1.8.6) на-
находим
dt =Ax'. B1.8.7)
J а (О
г
Для определения красного смещения надо найти с помощью B1.8.7)
отношение разности времен 8/„ получения двух близких по времени
сигналов к разности времен Ы их выхода из источников. Из B1.8.7)
находим при Ax'sconst
6t _ 6t0 6t0 _ a(tn) ,9] R 8\
Итак, красное смещение определяется отношением масштабных
факторов в данном направлении в момент выхода и приема сигнала.

$ 8] АНИЗОТРОПИЯ РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 597
Так как изменение температуры пропорционально красному сме-
смещению, то для температуры в момент выхода и приема сигнала
h=a-M- B1-8-9)
формулы для анизотропии температуры реликтового излучения
получаются следующим образом. Пусть до некоторого момента,
соответствующего z—zx. Вселенная непрозрачна для излучения и
поле излучения изотропно, несмотря на анизотропию деформации.
После момента г, излучение распространяется свободно, без рас-
рассеяния. Тогда для наблюдателя, принимающего излучение много
времени спустя в направлении двух осей (скажем а к Ь), разность
температур в этих направлениях есть
ЛГ| а~Ъ . B1.8.10)
т
Здесь положено а=Ь=--с при t-^-oo (или t=t0 сегодня).
Полученные формулы приводят нас к следующим выводам. Если
резко анизотропная стадия заканчивается до момента, когда плот-
плотность энергии излучения совпадает с рс2 обычной материи, ризл =
=РвеЩ.то независимо от конкретного значения этого момента анизот-
анизотропия деформации будет все время, грубо говоря, порядка единицы,
вплоть до момента, когда ризл~РЕец. Действительно, из формул
B1.8.3) следует, что на этой стадии (когда Р—е/3) малая анизотро-
анизотропия деформации «консервируется». Более точная оценка амплитуды
анизотропии деформации требует учета логарифмических множи-
множителей, и, как можно показать, анизотропия скоростей деформации
падает по логарифмическому закону, как об этом говорилось в
§3гл.19и§7 гл. 21. Далее после момента ризл~Рвещ на стадии,
когда Р=0, анизотропия падает по закону [см. B1.8.5)]
£Z^ = 6 Раниз _,_./„ B1.8.11)
а Рчещ
Из приведенных формул следует оценка для -у-. Если считать, что
межгалактический газ непрозрачен для излучения вплоть до мо-
момента, соответствующего 2j=8, то получим
АГ _в — Ъ\ _с£аниз| ^ СА ГРаниз Ризл!
m — ^~^~~~~ | —— U I S^S \J\J I ' I у
B1.8.12)
где . t0 — сегодняшний момент, раниз — плотность анизотропного
потока частиц, ризл — плотность у-квантов с ТжЗ "К и рвеШ —
плотность барионов, рвещ(^о) = 10~29 г/см3 (напомним, что расчет
ведется для модели типа I и р=рс).

Б98 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛВЙ [ГЛ. 21
Из рассмотрения процессов со свободными частицами и нейтрино
в гл. 20 следует, что плотность анизотропного потока нейтрино
должна составлять сегодня ^^л;0,1 — 1.Для второго отношения
Риз л
в квадратных скобках B1.8.12) имеем ^sm./^ 3. Ю~5; отсюда
Рвещ
следует:
-^-» 10-*—Ю-8*). B1.8.13)
Итак, если анизотропия расширения была велика на стадии, когда
нейтрино перестают взаимодействовать с другими частицами, то
независимо от конкретного значения момента изотропизации моде-
модели **) выражение B1.8.13) дает оценку ожидаемой анизотропии ре-
реликтового излучения. Подчеркнем, что для оценки B1.8.13) су-
существенно наличие ионизованного межгалактического газа, ста-
становящегося прозрачным при 2=8. Можно получить несколько более
точную формулу для-уг-, чем B1.8.12), если учесть логарифмиче-
логарифмическое затухание -jp на РД-стадии (ем. предыдущий параграф).
Эта более точная формула будет приведена в следующем параграфе.
В анизотропных однородных моделях с евклидовым сопут-
сопутствующим пространством, в рамках которых получена формула
B1.8.13), анизотропия излучения должна носить квадрупольный
характер. В направлении наибольшей скорости расширения наб-
наблюдается минимум Т, в направлении наименьшей скорости расшире-
расширения (ортогонально первому направлению) — максимум Т. При из-
измерении отношения -у- неподвижной относительно Земли антенной
оно должно иметь 12-часовой период.
Обзор результатов измерений крупномасштабной анизотропии
реликтового излучения дан Партриджем A973) (см. табл. XVII).
Верхний предел возможной анизотропии, как уже сказано в нача-
начале параграфа,
и он ненамного превосходит теоретические оценки, приведенные
выше. Напомним еще раз, что эти предсказания относятся только
к модели срвещ=рс. Относительно анизотропных моделей с искрив-
искривленным пространством оценки будут даны в следующем параграфе.
*) Формула B1.8.13) не учитывает логарифмические множители. Учет их
приводит к формуле, аналогичной B1.9.6).
**) Есл момент изотропизации наступает позже момента Рвец^Риэл» т0
B1.8.13) дает нижнюю границу -=-.

ОЖИДАЕМАЯ АНИЗОТРОПИЯ
599
ТАБЛИЦА XVII
Измерения анизотропии реликтового излучения по данным
обзора Партриджа A973)
Место проведения
, эксперимента
и дате
Наблюдатели
Склоне-
Склонение кру-
круга ска-
нир.
К см
Амплитуда,
литуда
-« ск
Прямое
восхож-
восхождение мак-
максимума
Принстон A967)
Юма A968)
Белые горы A972)
Принстон A971)
Техас (на балло-
баллонах) A971)
Лос-Аламос A968)
Принстон A967)
Юма A968)
Белые горы A972)
Принстон A971)
Лос-Аламос A968)
Дипольная составляющая
Партридж, —8° 3,2 2,2±1,8
Вилкинсон
Дисмукис, 0° 3,2 2,2±2,1
Вилкинсон, 42° 3,2 1,5±2,7
Партридж
Конклин 32° 3,8 2,3±0,9
Боун, Фрэм, 0° 0,86 7,5±11,6
Партридж
Генри — 2,9 3,2±0,8
Бири, 0° 3.2 0.7±1,2
Вилкинсон,
Партридж
Квадрупольная составляющая
Партридж, —8° 3,2 2,7±1,9
Вилкинсон
Дисмукис, 0° 3,2 2,1 ±2,0
Вилкинсон, 42° 3,2 4,0±2,4
Партридж
Конклин 32° 3,8 1,35±0,8
Боун, Фрэм, 0° 0,86 5,5±6,6
Партридж
Бири, 0° 3,2 1,9±1,2
Вилкинсон,
Партридж
17"
2Л(?)
8*(?)
6Л(?)
10—И»,
6 =—30°
7",19Л
5Л,17"
8л,20л
6Л,18Л
0л,12л(?)
9Л,21"
§ 9. Ожидаемая анизотропия космологического радиоизлучения
в однородных анизотропных моделях с искривленным
трехмерным пространством
Обратимся теперь к вопросу об анизотропии микроволнового
космологического излучения на поздних стадиях расширения в мо-
моделях с искривленным сопутствующим пространством. Прежде все-
всего отметим следующий важнейший факт. Как нами было показано
8 § 7 этой главы, в моделях с искривленным анизотропным простран-
пространством на стадиях, близких к фридмановской, анизотропия дефор-»

600 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
мации «консервируется» при уравнении состояния Я=е/3. Соглас-
Согласно выводам § 7, после момента изотропизации /ф анизотропия дефор-
деформации убывает только логарифмически на РД-стадии. Следователь-
Следовательно, на всей РД-стадии вплоть до момента, когда рвгщ=Ризл> ани-
зотропия деформации будет сравнима с единицей (если только
изотропизация не произошла чрезвычайно рано, так что и логариф-
логарифмический множитель существен) и лишь после момента рвещ=Ризл
анизотропия будет падать по закону t~M/: На некотором этапе рас-
расширения вещество становится прозрачным для фонового излучения
и фотоны распространяются свободно. Разная скорость расширения
вещества в разных направлениях в момент, когда оно становится
прозрачным, приводит к сегодняшней анизотропии фона. В моделях
с плоским сопутствующим пространством фотоны, движущиеся
вдоль главных осей тензора скоростей деформации, всегда будут
двигаться вдоль этих осей. Поэтому, как мы видели в предыдущем
параграфе, угловое распределение интенсивности фона по небес-
небесной сфере будет соответствовать трехосному эллипсоиду и макси-
максимальная разность измеряемых температур фона будет наблюдаться
на небе во взаимно перпендикулярных направлениях. В работе
Новикова A968) показано, что в моделях с искривленным сопутст-
сопутствующим пространством анизотропия фона будет, вообще говоря,
уже не такой. Таким образом, в анизотропных моделях есть две
важнейшие особенности в анизотропии реликтового излучения.
Первая связана с «консервацией» анизотропии деформации на РД-
стадии, причем консервация вызывается каким-либо анизотропным
фактором — либо анизотропией в Та$, либо анизотропией прост-
пространственной кривизны. Эта особенность определяет амплитуду
-=-. Вторая особенность связана с движением лучей в искривлен-
искривленном анизотропно расширяющемся пространстве. Эта особенность
Д71
вызывает своеобразное угловое распределение -у на небе.
Мы начнем с рассмотрения анизотропного фона для модели типа V
Бианки, в которой пространственная кривизна изотропна. Это рас-
рассмотрение продемонстрирует основные особенности, которые вно-
вносит кривизна трехмерного пространства в угловое распределение
Д71
-=г на небе, и позволит сделать важнейшие выводы для сопостав-
сопоставления с наблюдениями. Затем для выяснения влияния анизотропии
д m
кривизны пространства на амплитуду -=-мы рассмотрим модели
типов VII и IX.
Итак, рассмотрим анизотропную модель типа V с веществом,
покоящимся относительно системы отсчета. Напомним, что трех-
трехмерное пространство этой модели есть пространство постоянной
отрицательной кривизны (не зависящей от направлений в трехмер-
трехмерном пространстве).

9]
ОЖИДАЕМАЯ АНИЗОТРОПИЯ
601
X
На схематическом рис. 59, изображающем координатную пло-
плоскость хх, х3 трехмерного пространства, сплошными линиями пока-
показаны лучи света, приходящие в точку наблюдения О, штрихами —
направление координатных линий х3, окружность — линия, начи-
начиная с которой лучи фона, сегодня приходящие к наблюдателю, ра-
распространялись свободно, без рассеяния. Из рисунка видно, что
луч ВО (или В'О) шел перпенди-
перпендикулярно оси х3 в момент, когда
вещество стало прозрачным. По-
Поскольку скорость расширения
наиболее сильно отличается от
средней в направлениях осей х1
и х2 (ортогональных х3), то ясно,
что наибольшая разность изме-
измеренных температур фона будет
вдоль направлений лучей АО
(или А'О) и ВО (или В'О). В
других плоскостях, проходящих
через АО А', картина аналогич-
аналогична, и анизотропия температуры
отличается множителем cos 2ф,
где ф — угол между плоскостя-
плоскостями. В целом
B1.9.1)
где А — постоянная, определя-
определяющая амплитуду анизотропии
температуры. По порядку вели-
величины для А справедливы оценки
предыдущего параграфа [см.
B1. 8. 12)]. Функция /F) [точное ее выражение см. далее B1. 9. 3)]
близка к нулю везде, за исключением области шириной порядка
260, где Go — угол между О А' и ОВ (см. рис. 59), причем
Рис. 59. Движение лучей света (сплош-
(сплошные линии) в искривленном сопутству-
сопутствующем пространстве. Наблюдатель на-
находится в точке О, Окружность —
положение выходящих лучей в момент,
когда Вселенная становится прозрач-
прозрачной для излучения.
sin Gn=-
4*0-0)
B1.9.2)
где Q = —, Н — постоянная Хаббла при t=t0, p — плотность при
t=t0, Zi соответствует моменту, при котором наступает прозрач-
прозрачность межгалактического газа.
Таким образом, температура фона почти постоянна по всему
небу, за исключением пятна размером порядка 4 nQl с четырьмя
чередующимися секторами избытка и недостатка интенсивности.

602 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
При Q^l имеем 0О<^1. Для предельного случая, когда вещество
становится прозрачным на стадии, уже мало отличающейся по де-
деформации от пустой изотропной модели Милна, функция /@) B1.9.1)
имеет вид [Грищук, Дорошкевич, Новиков A968)]
, cosne° .-* ri + T-gj\(i
\1 —cos6cob60 sina6 L 1— cos в0 v
B1.9.3)
Рассмотрим теперь случай, когда вещество движется вдоль
координатных линий х3, т. е. и^фО [Грищук, Дорошкевич, Нови-
Новиков A968)]. Легко видеть, к каким следствиям это ведет. Во-первых,
изменится зависимость -=- от ф. Вместо B1.9.1) для составляющей
-у, связанной с анизотропией деформации, получаем
iii-=/(G)(sinacos^ + cosasin^), B1.9.4)
где /@) по-прежнему определяется B1.9.3), величина а зависит
от параметров модели (подробнее см. цитированную выше работу).
Во-первых, надо еще учесть влияние скорости вещества. С момента
*пр» когда вещество стало прозрачным, до момента наблюдения t0
скорость вещества относительно синхронной системы сильно умень-
уменьшилась. Скоростью наблюдателя можно поэтому пренебречь в мо-
момент t0 по сравнению со скоростью вещества в момент /пр. Таким
образом, на рассмотренный выше эффект анизотропии фона, свя-
связанный с анизотропией деформации, описываемый B1.9.4), наложит-
ся еще допл ер-эффект, связанный с движением вещества вдоль
линий х3 *). Этот эффект при ы3>0 (и3 — скорость по 3-й коорди-
координате) ведет к дополнительному положительному АТД везде внутри
указанного выше пятна и отрицательному АТД для остального
неба. При ы3<0 знаки ДТД внутри и вне пятна будут обратными.
Ясно, что при достаточно большом и3 этот эффект может стать глав-
главным и определять анизотропию фона. Для рассматриваемого эф-
эффекта на стадии, близкой к модели Милна, имеет место формула
Рассмотренные примеры показывают, что характер анизотропии
фона может быть сложным. Обсуждаемая выше космологическая
модель предсказывает анизотропию фона, зависящую от многих
параметров: параметров самой анизотропной модели, трех парамет-
•) Мы предположили, что доплер-эффект, связанный с движением наблюда-
наблюдателя, мал также и по сравнению с рассмотренной выше анизотропией фона при
и.,=0. Если это не так, то надо учесть и движение наблюдателя, что приведет к до-
добавочному дипольному эффекту.

s 9] ОЖИДАЕМАЯ АНИЗОТРОПИЯ 603
ров, определяющих неизвестное движение Солнца относительно
поля излучения, еще трех параметров, определяющих переход к ис-
использованной выше системе координат от, например, галактиче-
галактической. Следует иметь в виду, что здесь рассмотрена весьма частная
модель и реально число параметров, определяющих анизотропию
фона, может быть больше. В качестве примера можно указать на
модель типа V, в которой ы^О и ы^О. В такой модели число пара-
параметров увеличится еще на два. Возможны и еще более сложные
модели. Поэтому сравнение предсказываемой анизотропии фона
с наблюдениями представляет весьма сложную задачу.
В качестве возможного метода решения такой задачи можно
предложить следующий: часть наблюдений используется для опре-
определения параметров выбранной модели с помощью разложения по
системе ортогональных функций (например, полиномов Лежандра).
Проверка справедливости избранной модели будет состоять в этом
случае в сравнении предсказанной анизотропии (с найденными уже
параметрами) с остальными наблюдениями.
Наиболее важный вывод из рассмотрения даже простейшей мо-
модели типа V заключается в том, что для проверки возможной ани-
анизотропии расширения Вселенной на ранней стадии недостаточно
выделения 12-часовой составляющей анизотропии фонового излу-
излучения при сканировании неба по большим кругам (этого достаточ-
достаточно лишь в простейших моделях типа 1, а также в некоторых
других, например типа IX) и необходимы поиски пятна с предсказан-
ДГ
ным распределением -вг- в нем при почти полной изотропии излу-
излучения по остальной части небесной сферы.
Обратимся теперь к более общим моделям типов VII и IX с ани-
анизотропной кривизной трехмерного пространства [Дорошкевич, Лу-
каш, Новиков A974I. Анизотропия кривизны в этих моделях, как
уже неоднократно подчеркивалось, «консервирует» анизотропию
расширения на РД-стадии. Эта «консервация» определяет амплитуду
ДГ
-яг- и играет ту же роль, что и невзаимодействующие частицы, кото-
которые здесь не учитываем.
Будем рассматривать случай вещества, покоящегося относи-
относительно системы отсчета модели.
Как показано в § 7 этой главы, анизотропия деформации моде-
модели на поздних стадиях практически не зависит от начальных ус-
условий. Поэтому амплитуда анизотропии реликтового излучения
зависит только от момента начала изотропной стадии /ф, от момента
смены уравнения состояния tc и от момента наступления прозрач-
прозрачности вещества /пр.
В конце § 7 этой главы было сказано, что наша эпоха расширения
Вселенной может соответствовать либо «квазиевклидовой» стадии

604 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
эволюции (/ф<^<^„), если сейчас p»pc, либо милновской стадии
в случае моделей типа VIIft (если сейчас р<Срс)-
Предположим, что сейчас рлфс и квазиевклидовская стадия.
Тогда теория предсказывает следующие выводы для анизотропии
реликтового излучения. Отклонения температуры AT от минималь-
минимальной Т должны иметь такой вид:
8 f tryi. _.._.„ B1.9.6)
' 8+In [lf-
Угол G отсчитывается от выделенного направления на небе. Это
направление также является произвольным параметром модели.
Принято АТ=0 при 0=0, я.
Д71
Таким образом, в этом случае распределение -=- по небу квад-
рупольно. Особенностью этой формулы является крайне слабая
зависимость от момента изотропизации модели /ф. Из B1.9.6) сле-
следует, что если принять момент просветления вещества совпадаю-
Д71
щим с моментом рекомбинации *) и считать -=- ~ 10~8, то момент
изотропизации модели /ф будет близок к квантовой границе приме-
применимости ОТО /g~10~44 сек.
Интересной особенностью модели типа IX является условие
Ь в окрестности максимума расширения (см.§7 этой главы).
Это позволяет свету на поздних стадиях расширения успеть много
раз обойти мир по направлению с. Число обходов определяется
формулой N ~Л/ — ~ Q'f'^> 1. Так как с наблюдениями совмести-
мо не очень малое с (скажем, с>400 Мпс), то N~W. Пока неясно,
в какой степени астрономические наблюдения ограничивают такую
возможность.
Д71
Предположим теперь, что сейчас р<рс- Распределение-=-по
небу в этом случае не будет квадрупольным. На небе образуется
пятно, в котором^- много больше, чем на всем остальном небе.
Причина образования пятна та же, что в моделях типа V. Она свя-
связана с особенностями анизотропного расширения искривленного
пространства. Мы будем считать, что /с</п0</„, как это должно быть
ду
в реальной Вселенной. Тогда распределение -=- по небу следующее:
B1.9.7)
*) А так должно быть, если нет заметного количества межгалактического
газа (см. раздел II этой книги).

ОЖИДАЕМАЯ АНИЗОТРОПИЯ
605
Здесь znp, zM — красные смещения, соответствующие /пр, /м; / —
сегодняшний момент. Характер распределения анизотропии по
небу показан на рис. 60; -у- заметно отлично от нуля в пятне
(в окрестности 6=я) размером G1»z-1»
ftj_£- = Q. Максимум Щ- имеет порядок ве-
личины
4Н ««г- <21-9-8>
I У г
Определение у. — см. B1.7.7). Заметим, что
вне угла G^z^ г'^'распределение -у- ди-
польно (если z^ г~„л<1) *).
Итак, в обоих случаях, B1.9.6) и B1.9.7),
амплитуда -=- имеет величину, очень слабо
(только логарифмически) зависящую от мо-
момента изотропизации /ф:
У
Рис. 60. Распределе-
B1.9.9) ние анизотропии РИ
по небу для модели
типа УПЛ.
Эта слабая зависимость есть следствие медленного уменьшения
~- на второй стадии эволюции. Заметим, что к такому же медлен-
медленному затуханию —гг при Р = 4 ведет и наличие небольшого направ-
направленного потока нейтрино или гравитонов или направленного потока
всего вещества. Таким образом, формулу B1.9.9) можно считать
общей.
Какие же все-таки ограничения накладывают наблюдения сте-
степени анизотропии реликтового излучения на параметры анизотроп-
анизотропных космологических моделей? Напомним, что крупномасштабная
анизотропия РИ не более, чем 3-10~3.
Прежде всего, важнейший результат заключается в том, что,
согласно формулам типа B1.9.6), амплитуда -у-может быть мала
sin2 6 th In ~
AT 'пр
*) Заметим, что если бы было tnv~tM, то = х
распределение совпадает с дипольным: :
Т
i+coseth ln-/-
'np
: x A + c°s б) на всем небе,
эа исключением пятна в окрестности 6=я размером 6 -р- ~ Znp1.

606 ОБЩИЙ АНАЛИЗ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. 21
(А \ I I
-Г~) '•
Это означает, что момент прозрачности наступает много позже момен-
момента конца РД-стадии: tn^>tc. В свою очередь это возможно только при
значительном количестве ионизованного межгалактического газа.
Если момент прозрачности /пр соответствует znp«10, то -=- < 10~3
и наблюдаемая степень анизотропии РИ согласуется с любой ани-
анизотропной моделью, в которой изотропизация наступает не позже
конца РД-стадии, т. е. при /ф</с. »
Если Вселенная прозрачна для реликтового излучения начи-
начиная с эпохи рекомбинации водорода (а так, по-видимому, и должно
Д71
быть), то /пр не сильно отличается от tc и -у- может быть мало, толь-
только если велик знаменатель, т. е.
А это означает, что для получения амплитуды -у- заметно меньше
единицы необходима чрезвычайно ранняя изотропизация. В этом
случае Вселенная должна расширяться изотропно практически
с /пл«10~44 сек, т. е. начиная от границы применимости некванто-
неквантовой космологии. В случае р<рс столь категоричного вывода сде-
сделать нельзя, ибо в этом случае-=- близко к максимальному значе-
значению только в малом пятне Gi. Вне его-^- порядка и, т. е. существен-
ДУ
но меньше. Так как измерения -=- не покрывают всего неба, то
AT
маленькое пятно с амплитудой -у-, скажем, 10 или даже 1 можно
было и пропустить. Для исключения подобной возможности необ-
необходимы специальные поиски такого пятна.

РАЗДЕЛ V
СИНГУЛЯРНОСТЬ И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
О О О
ГЛАВА 22
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ
§ I. Введение
Мы обращаемся к рассмотрению важнейшего вопроса космоло-
космологии — вопроса о начале космологического расширения, вопроса
о сингулярности. Обобщающий итог изложенного в предыдущих
разделах состоит в том, что Вселенная расширяется изотропно и од-
однородно, начиная, по крайней мере, с момента, когда выполнялось
равенство pBem~PT~10~12 г/см3, и с большой степенью вероятности
описывалась моделью Фридмана еще гораздо раньше, начиная
с эпохи протекания синтеза химических элементов, т. е. с первых
секунд расширения и с плотностей порядка 10е г/см3.
Что было еще раньше? Расширялась ли Вселенная по Фридману,
начиная с сингулярности (или, по крайней мере, с «планковского»
момента /= 10~43 сек), или ранняя эпоха была существенно не фрид-
мановской? Проходило ли вещество Вселенной через бесконечно
большую плотность (или, по крайней мере, через «планковскую»
плотность раЛО93 г/см3) или же сжатие Вселенной в еще более ран-
раннюю эпоху сменилось расширением при конечной плотности [см.,
например, Альвен A971)]?
Согласно модели Фридмана, расширение Вселенной начиналось
от сингулярности. Начиная с 30-х годов, на протяжении десятиле-
десятилетий перед космологией стоял вопрос: не является ли наличие син-
сингулярности в начале расширения специальным свойством модели
Фридмана (и других достаточно симметричных.'моделей), не исчезнет
ли сингулярность при введении небольших пекулярных скоростей
движения материи или вращения?
Аналогия с механической задачей о расширении шара в теории
Ньютона подкрепляла такие предположения. Действительно, если
рассматривать в теории Ньютона разлет тяготеющих частиц, одно-
одновременно вылетающих по радиусам из одной точки, то расширение
начинается от сингулярности. Однако при наличии небольших
пекулярных скоростей точки пролетают друг мимо друга вблизи
Центра, плотность частиц всегда конечна и сингулярности не

608 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ [ГЛ. 22
возникают. Может быть, аналогичная ситуация возможна и в кос-
космологической задаче теории Эйнштейна?
Здесь существенно отметить одно обстоятельство, которое под-
подчеркивается Лифшицем и Халатниковым A963а, б). Если сингуляр-
ности в прошлом не было и наблюдаемому расширению Вселенной
в прошлом предшествовало сжатие, то космологическая модель,
описывающая прохождение вещества через максимум плотности и
последующее расширение, должна быть устойчивой, т. е. относиться
к «общему решению» по терминологии Лифшица и Халатникова. Ина-
Иначе говоря, пусть есть какая-то модель без сингулярности, описы-
описывающая сжатие вещества до конечной плотности (без сингулярности),
а затем его расширение, и пусть малое изменение параметров моде-
модели на фазе сжатия приводит к возникновению сингулярности. Тог-
Тогда, очевидно, эта модель не может осуществляться в действитель-
действительности, так как всегда найдутся случайные флуктуации, уводящие
модель от решения без сингулярности. Таким образом, решение
без сингулярности должно быть не исключительным, не вырожден-
вырожденным, а общим, чтобы претендовать на описание реальной Вселенной.
Однако если расширение начинается от сингулярности, то тре-
требование общности решения вблизи сингулярности уже не обяза-
обязательно. Действительно, в этом случае начальные условия, опреде-
определяющие решение, задаются какими-то неизвестными процессами
при огромных кривизнах пространства-времени, т. е. в услови-
условиях, не описываемых современной теорией. Возможно, процессы
в этом случае приводят к специальным начальным условиям рас-
расширения Вселенной, например к почти полной однородности
и изотропии [см. Пиблс A971а)]. Поэтому, если бы даже удалось
доказать, что общее решение не содержит сингулярности, то это еще
не означало бы, что расширение начиналось не от сингулярности.
Итак, перед космологией стояло два разных вопроса: 1) имеется
ли общее (в смысле «устойчивое») космологическое решение без
сингулярности? и 2) была ли сингулярность в прошлом в условиях,
имеющих место в реальной Вселенной?
В конце 60-х годов был дан положительный ответ на второй
вопрос (Пенроуз, Хоукинг, Героч). Было доказано, что расширение
Вселенной начиналось с сингулярности (если, конечно, справедлива
ОТО, но само изменение ОТО, если это связано с большой кривизной,
требует «почти» сингулярности), однако, как именно протекало
расширение вблизи сингулярности — по Фридману или более слож-
сложным образом,— установлено не было. После этих работ острота пер-
первого вопроса для космологии отпала *). Действительно, структу-
структура решения вблизи сингулярности не обязательно соответствует
общему решению, и возникает задача: каким-либо способом
*) Общее аналитическое решение с сингулярностью чрезвычайно важно для
проблемы гравитационного коллапса.

- й СИНГУЛЯРНОСТЬ В НАЧАЛЕ РАСШИРЕНИЯ 609
установить истинный характер начала расширения реальной Все-
Вселенной.
В 1972 г. после длительной работы Белинский, Лифшиц, Ха-
Халатников построили общее (устойчивое) решение с сингулярностью,
т. е. дали положительный ответ на первый вопрос.
По своим свойствам общее решение оказалось качественно та-
таким же, как решение вблизи сингулярности для модели «перемешан-
«перемешанного» мира (см. §§ 4 и 5 гл. 21).
При дальнейшем изложении мы остановимся на доказательстве
наличия сингулярности в прошлом во Вселенной и на физических
процессах вблизи самой сингулярности. Можно надеяться, что в бу-
будущем анализ этих процессов и следствий из них позволит устано-
установить истинный характер расширения Вселенной на самых ранних
стадиях, при плотностях, существенно превышающих ядерную.
§ 2. Сингулярность в начале расширения
Предположения о том, что отклонения от фридмановской модели
в начале расширения не позволяют избежать сингулярности, вы-
высказывались давно. Они основывались в общих чертах на следую-
следующих аргументах.
В настоящее время астрономическими методами непосредствен-
непосредственно исследуется часть Вселенной, радиус которой меньше, чем гра-
гравитационный радиус массы этой части.
Тот факт, что при расширении массы из-под своего гравитаци-
гравитационного радиуса сингулярность вначале неизбежна, казался весьма
вероятным, хотя строгого доказательства не существовало. Отсюда
делалось предположение, что расширение Вселенной начиналось
от сингулярности, даже если ранние стадии расширения не описы-
описывались моделью Фридмана.
В 1965 г. появилась первая теорема Пенроуза A965), касающа-
касающаяся проблемы гравитационного коллапса. В этой теореме доказы-
доказывалось, что сингулярность неизбежно возникает после сжатия тела
до размеров меньше гравитационного радиуса. Вслед за этой рабо-
работой последовал целый ряд теорем Пенроуза, Хоукинга и Героча,
рассматривающих возникновение сингулярности как при коллапсе
изолированных тел, так и в космологической проблеме. В 1970 г.
Хоукингом и Пенроузом была опубликована обобщающая работа.
Сформулированная в ней теорема использует предположения, кото-
которые непосредственно проверяемы астрономическими наблюдениями,
поэтому она наиболее подходит для обсуждения проблемы сингу-
сингулярности в космологии. В этой же работе можно найти подробную
библиографию.
Все работы рассматриваемой серии используют для доказательст-
доказательства наличия сингулярности геометрические методы, в них не
строятся аналитические решения вблизи сингулярности. Таким
я- Б. Зельдович. И. Д. Новиков

610 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ [ГЛ. 22
образом, доказанные в них теоремы являются теоремами суще-
существования, и о структуре сингулярности почти ничего сказать
нельзя.
Прежде чем переходить к изложению теоремы Пенроуза — Хоу-
кинга, остановимся на определении понятия сингулярности. Нас
интересуют, конечно, истинные сингулярности пространства-вре-
пространства-времени, т. е. такие, которые объективно существуют независимо от
выбора системы отсчета. Их называют истинными сингулярностями
в отличие от мнимых, которые связаны с «неудачным» выбором си-
системы отсчета. Прежде всего, существуют чисто координатные син-
сингулярности, подобные пересечению радиальных линий полярной
системы в полюсе. Таковы, например, пересечения геодезических ли-
линий, образующих синхронную систему отсчета в искривленном про-
пространстве-времени, что особенно подчеркивается Лифшицем и Ха-
латниковым. Несколько другого рода сингулярности, подобные
гравитационному радиусу rg в системе отсчета Шварцшильда (см.
ТТ и ЭЗ). Здесь в системе отсчета Шварцшильда на rg гравитацион-
гравитационная сила обращается в бесконечность. Таким образом, в системе
отсчета имеется физическая особенность. Но эта особенность прису-
присуща только системе отсчета, а не пространству-времени. Например,
уже давно выяснено, что сингулярность на гравитационном ра-
радиусе в сферически-симметричном поле Шварцшильда (см. ТТ и
ЭЗ) связана просто с тем, что внутрь сферы гравитационного радиу-
радиуса нельзя продолжать жесткую, недеформирующуюся систему от-
отсчета. Если же перейти в этом поле к системе отсчета из свободно
падающих частиц, то никакой сингулярности на гравитационном
радиусе нет.
Еще более поучителен следующий пример [Новиков A964а)].
Рассмотрим в плоском пространстве-времени совокупность частиц,
покоящихся в некоторый момент. Частицы начинают двигаться
с ускорением, обратно пропорциональным расстоянию от некоторой
точки. Это ускорение не гравитационное. Оно постоянно во времени
для каждой частицы в ее собственной системе отсчета и равно с'2/г.
Переход от сферических координат г, 6, ф плоского пространства
и лабораторного времени / к сопутствующим координатам рассмат-
рассматриваемой системы отсчета задается преобразованиями
0 = 0, ф =
B2.2.1)
(здесь g—постоянная размерности ускорения). Подставляя эти
преобразования в ds2=c2di2 — dr%— rs(dG3 + sin*^2), получаем

СИНГУЛЯРНОСТЬ В НАЧАЛЕ РАСШИРЕНИЯ
611
выражение для ds2 в нашей системе:
ds' = ^-dti—dr* —r2ch*f-^-
r-rf
). B2.2.2)
Мировые линии частиц, образующих эту систему, изображены
на рис. 61. Из выражения B2.2.2) следует, что в центре системы
/•=0 (всего в одной точке!) име-
имеется особенность; здесь goo=0.
Природа этой особенности видна
из рис. 61. Эта система отсчета
не охватывает всей внутренности
светового конуса с вершиной в
точке 0. В то время как в коор-
координатах г, 6, ф, / сингулярна
«всего» одна точка г=0 при всех
/, в координатах г, 0, ф, t это
соответствует всей внутренней
полости конуса г—ct^.0.
Как можно, оставаясь в си-
системе г, G, ф, /, обнаружить, что
она не охватывает целого куска
пространства-времени? Это мож-
можРис. 61. Мировые линии пробных ча-
частиц, образующих систему B2.2.1).
Вертикальная точечная линия — миро-
мировая линия частицы, покоящейся в ла-
лабораторной системе отсчета (тильды
у координат опущены).
но сделать, заметив, что частица,
свободно «падающая» к сингуляр-
сингулярной точке г=0, достигает этой точки только за бесконечное время наб-
наблюдателя, покоящегося в этой системе. Но по собственному времени
частица достигает сингулярности за конечный промежуток времени.
Убедимся в этом. Возьмем частицу с r=const, G=const, ф=сопз1,
т. е. покоящуюся в лабораторной системе. В системе г, G, ф, / урав-
уравнение ее мировой линии имеет вид г = и(ц\> Q^const, cp=const.
Длина ее мировой линии S, определяющая ее собственное время
t=Slc, есть
t ■ t
^ р , г ГgV2 ,,2 , t С -ш/82>'г I dr \а ,, с2 I, gt
J ~J Ус2 ~ J У с2 \ dt ) ~ g с
о о
B2.2.3)
При /-*-оо собственное время t конечно. Дальнейшая «жизнь»
частицы после достижения г=0 за конечное собственное время 1
не описывается в данной системе, хотя сама мировая линия частицы
не встречает здесь никаких особенностей пространства-времени и
продолжается дальше (точечная линия выше линии r=ct на рис. 61).
Такие системы получили название геодезически неполных, ибо
20»

612 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ [ГЛ. 22
некоторые геодезические (например, рассмотренные выше) охваты-
охватываются ими лишь частично.
Итак, сингулярности в геодезически неполных системах могут
быть устранены переходом к другой системе отсчета. Нас сейчас
интересуют истинные «инвариантные» неустранимые сингулярно-
сингулярности пространства-времени. На первый взгляд, следует называть
истинной сингулярностью в пространстве-времени место, где ин-
инварианты тензора R-lklm, описывающие кривизну и не зависящие от
выбора системы отсчета, достигают бесконечно больших значений
(хотя бы один из них) *). В этих местах могут нарушаться законы
ОТО. Можно ли от такой сингулярности избавиться, просто выре-
вырезав кусок пространства-времени вокруг сингулярности? Конечно,
такое пространство-время с «дыркой» следует тоже считать сингу-
сингулярным, хотя в нем нет бесконечных кривизн, но в края дырки упи-
упираются мировые линии частиц, и частицы должны здесь «исчезать»
или «рождаться». Можно было бы попытаться исключить возмож-
возможности «дырок», требуя односвязности пространства-времени. Но
известно, что возможно многосвязное пространство-время, которое
со всех точек зрения следует считать регулярным, в нем нет границ
«дырок».
Наиболее естественно считать пространство-время без сингу-
сингулярности, если все времениподобные мировые линии (а также ну-
нулевые) можно было бы продолжать в прошлое и будущее неограни-
неограниченно до бесконечно собственной длины (для нулевых линий до
бесконечного аффинного параметра). Это означало бы, что частицы
и фотоны движутся по любым возможным для них путям и нигде
не возникают спонтанно и не исчезают ни в прошлом, ни в будущем.
В таком пространстве-времени нет ни бесконечных кривизн, ни
«дырок». Однако такое требование для мировых линий заведомо
слишком сильно и невыполнимо даже в бесконечном плоском евк-
евклидовом пространстве-времени.
Действительно, времениподобная мировая линия, достаточно
быстро приближающаяся по направлению к нулевой линии (траек-
(траектории света), будет иметь конечную длину. Но частица, движущаяся
по такой линии, будет испытывать неограниченно нарастающее
ускорение.
Пусть, например, частица набирает скорость по закону
^ , B2.2.4)
где g — постоянная размерности ускорения (но не ускорение са-
самой частицы!). Тогда собственное время частицы Т, протекшее после
•) О вычислении инвариантов тензора кривизны см. Петров A966).

- 2j СИНГУЛЯРНОСТЬ В НАЧАЛЕ РАСШИРЕНИЯ 613
начала ее движения, есть
При t—- °° Т —► j < оо.
Для ускорения частицы в собственной системе отсчета, т. е.
для испытываемой частицей силы на единицу массы, вычисления
(см. ТТ и ЭЗ) дают
F=j- j/ch4^ — 1. B2.2.6)
Ускорение частицы равно нулю при /=0 и стремится к бесконеч-
бесконечности, когда /->оо.
Можно считать, что бесконечные ускорения нефизичны, части-
частицы не могут двигаться с неограниченно нарастающим ускорением.
Тогда мы приходим к следующему определению: пространство-
время не сингулярно, если любые геодезические времениподобные
(т. е. линии для частиц, движущихся без ускорений в собственной
системе отсчета) или нулевые линии неограниченно продолжимы
в будущее и прошлое до бесконечной собственной длины (до бес-
бесконечного аффинного параметра для нулевых геодезических).
Такое пространство-время называют причинно геодезически пол-
полным. Требования полноты представляются минимально необходи-
необходимыми для того, чтобы считать пространство-время не содержащим
сингулярностей *).
Надо сразу же оговориться, что пространство-время, не удовлет-
удовлетворяющее этим требованиям, т. е. пространство-время с сингуляр-
сингулярностью, не обязательно содержит точки с бесконечной кривизной
или «дырки», в которые упираются геодезические. Построены при-
примеры, в которых времениподобная геодезическая быстро подходит
к нулевой геодезической и имеет конечную собственную длину.
Но, конечно, с физической точки зрения любое пространство-
время, в котором геодезическая мировая линия частицы не может
быть неограниченно продолжена по собственному времени этой
частицы, следует считать сингулярным, приводящим к нарушению
законов сохранения. Мы будем придерживаться этого определения.
Теорема Хоукинга — Пенроуза A970) в применении к космо-
космологической проблеме читается следующим образом.
Теорема. Пространство-время М, как кусочно-гладкое
Дифференцируемое многообразие, не может быть причинно геодези-
*) Заметим, что для описания полного пространства-времени может быть
недостаточно одной несингулярной системы отсчета, а потребуются перекрываю-
перекрывающиеся системы отсчета, составляющие, как говорят, «полный атлас карт» [см. об
этом Пенроуз A968)].

614 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ [ГЛ. 22
чески полным, если выполняются уравнения ОТО и следующие
условия:
1) М не содержит замкнутых времениподобных кривых;
2) для уравнения состояния справедливы условия
B2.2.7)
где е — плотность энергии, Ра(а=1, 2, 3) — три главных значе-
значения тензора давления (так называемая энергодоминантность);
3) на каждой времениподобной или нулевой геодезической есть
хотя бы одна точка, для которой
i B2.2.8)
где Ка касателен к кривой в данной точке, [abj— знак альтерни-
альтернирования;
4) М содержит либо а) точку р, для которой все пучки расходя-
расходящихся лучей при прослеживании их в прошлом начинают сходиться,
либо б) компактную пространственноподобную гиперповерхность.
Разберем условия теоремы.
Требование 1) представляется естественным. Наличие замкну-
замкнутых линий времени нарушает причинность, и существование таких
линий само по себе означало бы некую «сингулярность». Хоукинг
и Пенроуз A970) подчеркивают, что в работе Хоукинга A9666) до-
доказана теорема о существовании сингулярности в расширяющемся
замкнутом мире без условий относительно замкнутых линий време-
времени. Однако там требовалось, чтобы на некоторой компактной прост-
ранственноподобной поверхности все вещество расширялось. Фор-
Формально такая теорема неприменима ко Вселенной (даже если счи-
считать ее замкнутой), в которой есть коллапсирующие тела. Эта
тонкость существенная для математического доказательства, однако
для астрофизика теорема является очень сильным аргументом в поль-
пользу того, что образование замкнутых линий времени не есть способ
избежать сингулярности.
Требование 2) всегда выполнено для всех известных видов ве-
вещества и полей в условиях, когда кривизна пространства-времени
далека от «планковских» значений A0~33 см~2).
Требование 3) чисто математическое. Оно, по-видимому,
справедливо в любом невырожденном решении, и появление
геодезической со столь вырожденными свойствами, чтобы вдоль
нее всегда выполнялось B2.2.8), вряд ли может быть способом из-
избежать сингулярности. Наконец, требования 4), по существу, яв-
являются теми глобальными физическими условиями, которые при-
приводят к появлению сингулярности. Эти условия утверждают, что
тяготение всей материи настолько сильно, что сингулярность не-
неизбежна. Условие 4а), в принципе, непосредственно проверяется
наблюдениями. Реально это условие может быть проверено ком-

, .3]
ОБЩЕЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
бинацией наблюдательных данных и простейших вычислений. На-
Например, если доказать, что это условие выполняется во фридманов-
ской модели, а затем показать, что, согласно наблюдениям, фрид-
мановская модель применима в прошлом вплоть до момента, когда
лучи начинают вновь сходиться (и условие сходимости сохраняет-
сохраняется в этой слегка возмущенной модели), то тем самым доказывает-
доказывается выполнение условий 4а).
Мы рассматривали проблему сходимости лучей в прошлом в § 3
гл. 3. При однородном распределении вещества и й=1, как следует
из формул § 3 гл. 3, при красных смещениях порядка гта\ лучи на-
начинают сходиться. Даже если считать, что средняя плотность ма-
материи во Вселенной £2=0,03, вся материя входит в галактики и пуч-
пучки света, не встречающие ни одной галактики, не сходятся в про-
прошлом для г, превышающих 1, то все равно, перейдя к еще большим
z>10—20, мы приходим к условиям, когда любые пучки света долж-
должны сходиться, и в это время Вселенная расширялась по Фридману.
Таким образом, условие 4а) выполняется в реальной Вселенной.
Следовательно, расширение Вселенной начиналось от сингуляр-
сингулярности, во всяком случае постольку, поскольку применимы уравне-
уравнения ОТО. К сожалению, теорема Хоукинга — Пенроуза практиче-
практически ничего не говорит нам о структуре сингулярности *). Она про-
просто утверждает, что по крайней мере одна мировая геодезическая
линия частицы или фотона непродолжима неограничено в прошлое
(или будущее). Несмотря на возможные экзотические примеры, ког-
когда пространство-время подобным образом геодезически неполно,
а бесконечных кривизн в нем все же нет, практически все специ-
специалисты считают, что в общем невырожденном случае сингулярность
означает бесконечную кривизну пространства-времени. Нерешен-
Нерешенными в этой теореме остаются следующие вопросы: вся ли материя
проходила в прошлом через сингулярное состояние или только часть
ее и как проходило расширение вблизи самой сингулярности? Вто-
Вторая из этих проблем разбирается в следующем параграфе**).
§ 3. Общее космологическое решение с сингулярностью
В § 1 мы уже подчеркивали, что при рассмотрении космологи-
космологической сингулярности в прошлом в начале расширения нет специ-
специальных оснований предполагать, что характер расширения описы-
описывается наиболее общим решением, а не каким-нибудь специальным,
вырожденным. Характер расширения в этом случае определяется
начальными условиями в сингулярности, которых мы не знаем и
*) Строго говоря, она даже не говорит, была ли сингулярность в прошлом,
а не^в будущем! [См. оригинальную работу Хоукинга и Пенроуза A970).]
) Интересная возможность избежать космологической сингулярности
Рассмотрена Траутманом A973) в теории Эйнштейна—Картана, учитывающей
влияние спина на геометрию.

616 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ (ГЛ. П
которые могут определить характер расширения в соответствии
с каким-либо специальным решением, а не наиболее общим. Одну
из таких возможностей — интенсивное рождение пар частиц —.
античастиц вблизи сингулярности, приводящее к изотропному рас-
расширению,— мы рассмотрим далее. Но, конечно, решение, описы-
описывающее наиболее общий характер расширения от сингулярности,
представляет громадный интерес для понимания того, что могло
происходить, и, следовательно, для выяснения того, что происходи-
происходило в действительности. Помимо этого, следует подчеркнуть, что
именно общее решение описывает коллапс — сжатие к сингуляр-
сингулярности космологической модели (если расширение сменяется сжа-
сжатием, т. е. если р>рс), а также и коллапс отдельного тела, сжав-
сжавшегося под свой гравитационный радиус (см. ТТ и ЭЗ).
Общее решение вблизи сингулярности было построено Белин-
Белинским, Лифшицем, Халатниковым A972). В данном параграфе изла-
излагаются результаты их работы. Оказалось, что в общем случае при
приближении к сингулярности решение, описывающее деформацию,
имеет локально, в окрестности каждой точки, тот же характер, что
и в модели типа IX или VIII Бианки (модель «перемешанного»
мира). Решение состоит из чередующихся «казнеровских эпох» и
описывает осцилляционный режим приближения к сингулярности.
Для удобства изложения мы здесь будем описывать сжатие —
коллапс. Для описания расширения нужно изменить знак времени.
Общее решение строится следующим образом. Еще в работе
Лифшица и Халатникова A963а, б) приведено так называемое обоб-
обобщенное решение Казнера. Это решение локально описывает дефор-
деформацию согласно решению Казнера [см. A8.3.6), A8.3.7)]. Но на-
направление главных осей деформации и величина казнеровских по-
показателей степени рх, р2, р3 меняются от точки к точке трехмерного
пространства. Метрика обобщенного казнеровского решения за-
записывается в синхронной системе отсчета в виде
= аЧа1р + ЬЬпатр + с2яапр, B2.3.1)
tpi, Ъ~1р™, c~tpn, B2.3.2)
*1. B2.3.3)
Греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3; pt, pm, рп— функции
пространственных координат; пространственные векторы l,m, n —
тоже функции пространственных координат, они являются единич-
единичными векторами. Выпишем теперь уравнения Эйнштейна для син-
синхронной системы отсчета (скорость света равна 1):
B2.3.4)
fl B2.3.5)
—pL I- (VgD?)-p*= 8яС(П—i ОДГ) . B2-3.6)

" , ОБЩЕЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ £17
Здесь Axp=-2"lw ' точка с запятой означает ковариантное диффе-
дифференцирование в трехмерном пространстве с метрикой ga?; pa? — трех-
трехмерный тензор кривизны Риччи, построенный из ga$.
Мы будем исследовать решение уравнений Эйнштейна вблизи
сингулярности. Оценки показывают, что в этом случае компонентами
тензора энергии-импульса в уравнениях B2.3.4) и B2.3.6) можно
пренебречь по сравнению с членами в левых частях уравнений
(«вакуумная стадия»). Уравнение B2.3.5) пока рассматривать не
будем. Оно позволяет вычислить распределение и движение мате-
материи после того, как решение для ga? уже найдено. Итак, рассмотрим
уравнения B2.3.4), B2.3.6) без правых частей. Если в B2.3.6) пре-
пренебречь р£, т. е. считать р|=0, то решение B2.3.4), B2.3.6) будет
обобщенное казнеровское решение B2.3.1) — B2.3.3). Предполо-
Предположим, что на некотором интервале изменения / решение B2.3.1) —
B2.3.3) справедливо и р& можно пренебречь. Будем продолжать
решение к сингулярности /-*-0 и определим границу применимости
B2.3.1) — B2.3.3). Для этого мы в каждой точке трехмерного прост-
пространства будем проектировать все тензоры на направления векторов
1,т,п. Для того чтобы решение B2.3.1) — B2.3.3) удовлетворяло
уравнениям B2.3.4), B2.3.6), надо, чтобы диагональные проекции
тензора Риччи были меньше остальных слагаемых в B2.3.6), а эти
слагаемые имеют порядок I//2. Поэтому должны выполняться ус-
условия
p\<t~\ f%<t-, pnn<t~K B2.3.7)
Что касается недиагональных компонент, то, как показывает ана-
анализ [см. оригинальную работу Белинского, Лифшица, Халатникова
A972)], ими воообще можно пренебречь в главном порядке всегда
при продолжении решения к сингулярности, если только ими мож-
можно было пренебречь в начальный момент *). Итак, в главных по-
порядках мы должны рассматривать четыре уравнения: для нулевой
компоненты B2.3.4) и три диагональные проекции //, mm, tin урав-
уравнений B2.3.6).
В диагональных проекциях тензоров Риччи р[, р™, р% есть
члены вида
/frothy
\bcl[mn]j y '
и такие же члены с круговой заменой вектора / на т ил и соответ-
соответствующих скалярных функций а, Ь, с.
В обобщенном казнеровском решении одна из функций а, Ь, о
Растет, а две другие падают, когда t-*-0. Пусть растущей будет а.
) Надо все время помнить, что мы исследуем общее решение. Конечно, всегда
южны те или иные вырожденные случаи, но они требуют специального под-
5 начальных условий: и мы сейчас на них не останавливаемся.

618 КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ СИНГУЛЯРНОСТЬ [ГЛ. 22
Подстановка B2.3.2), B2.3.3) в B2.3.8) показывает, что этот
член А при уменьшении / растет, как
Л~/-2<1р,1+1>. B2.3.9)
Величина в.скобках в показателе B2.3.9) больше 1, т. е. А растет
быстрее t~2 при /-*-0. Поэтому в некоторый момент член А сравня-
сравняется с остальными членами уравнения B2.3.6), которые росли, как
Г3, и применимость казнеровского решения нарушится. В эту эпоху
надо учитывать влияние на решение члена А. Четыре уравнения:
О—0, / — /, т — т, п — п (которые только и важны в главных
порядках) — теперь запишутся в виде
4
+ с
B2.3.10)
[ab(c)\-
аЬс
где ^=77р—Г> а точка означает дифференцирование по /. Эти
уравнения совпадают с соответствующими уравнениями для модели
типа IX Бианки (§ 4 гл. 21) для периода, когда одна казнеровская
эпоха сменяется другой. Единственное отличие состоит в том, что
в уравнениях B3.3.10) Л есть функция пространственных коорди-
координат. Однако для локальных свойств решения это не имеет значения.
Поэтому смена «казнеровских эпох» происходит точно так же, как
и в модели «перемешанного» мира. В итоге эволюция при прибли-
приближении / к нулю локально в каждой точке происходит качественно
так же, как и в модели «перемешанного» мира, описанной в § 4 гл. 21.
Следует только добавить, что учет недиагональных проекций
уравнения B2.3.6) (которые являются величинами следующего по-
порядка малости) приводит к следующему выводу. При смене «каз-
«казнеровских эпох» поворачиваются также направления векторов /,
т, п в каждой точке. Заметим, что такой же поворот имеется и
в случае однородной модели типа IX, когда вещество движется от-
относительно модели.
Итак, локально, в каждой точке пространства, в общем случае
при приближении к сингулярности решение, описывающее метрику,
имеет осциллирующий характер и изображено на рис. 57.
Для описания расширения от сингулярности надо изменить
знак времени.
В заключение параграфа еще раз подчеркнем, что начало рас-
расширения Вселенной вовсе не обязательно описывалось общим ре-
решением. Об этом подробно говорилось в начале параграфа.

ГЛАВА 23
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ
И РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
§ 1. Введение
Общая теория относительности приводит к выводу о том, что
Вселенная в прошлом находилась в сингулярном состоянии. Этот
вывод основан на классических уравнениях ОТО и на определен-
определенных представлениях о правой части уравнений, описывающей по-
поведение вещества, т. е. частиц и полей, заполняющих пространство.
Сингулярность означает, по-видимому, достижение бесконечных
значений кривизны пространства-времени и бесконечной плотности
вещества, по крайней мере, в рамках вышеописанной теории. Тем
самым становится невозможным продолжить решение еще дальше
в прошлое.
В предыдущей главе мы подчеркивали, что более модное и более
точное определение сингулярности заключается в том, что не могут
быть продолжены мировые линии частиц, в том числе нулевые ли-
линии — траектории частиц с нулевой массой покоя.
Но в физике известны законы сохранения зарядов, которые на
языке частиц формулируются как непрерывность мировой линии
частицы, как невозможность для этой мировой линии где-то начаться
или окончиться. Значит, нужно избежать сингулярности или из-
изменить ее. Но, с другой стороны, когда кривизна и плотность при-
приближаются к бесконечности, вполне вероятно и возможно, что ис-
исходные положения (ОТО, свойства вещества) изменятся. Таким
образом, вблизи сингулярности нужно и можно ожидать выхода
за рамки тех представлений, которые использовались ранее. Ранее
рассматривались процессы рождения и аннигиляции пар нуклонов
и антинуклонов, позитронов и электронов в горячем веществе при
г~Ю13—10в,процессы нуклеосинтеза, поведение нейтрино (осо-
(особенно в анизотропных моделях). Эти процессы идут вблизи сингуляр-
сингулярности по космологической шкале времени, /<jc/0- В самом деле, про-
процессы идут в период /~10~в—100 сек, тогда как /0<~5-10" сек. Но
эти процессы происходят в условиях, когда действительна клас-
классическая ОТО. Поэтому они изложены раньше и не попадают в дан-
данный раздел.

620 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Мы начнем здесь изложение с рассмотрения космологических
следствий теорий Хагедорна и Омнеса. Затем здесь будут рассмат-
рассматриваться специфически квантовые явления в гравитационном поле.
При этом сперва будут рассмотрены необходимые следствия экспе-
экспериментально установленного факта квантования различных полей
(электромагнитного, нейтринного и т. д.). Метрика и геометрия про-
пространства-времени при этом будут считаться классическими, детер-
детерминированными. Точнее, мелкомасштабная флуктуирующая часть
метрики (гравитационные волны) рассматривается квантовым обра-
образом вместе с электромагнитным и другими полями на фоне детерми-
детерминированной усредненной метрики.
Исследуется обратное влияние квантовых полей на метрику.
В определенных условиях это влияние можно рассматривать как
поправки к классическим уравнениям ОТО. В § 7 кратко рассмат-
рассматривается квантование Вселенной как целого — рассмотрение эво-
эволюционных путей как траекторий, имеющих различную вероятность
или, точнее, комплексную амплитуду вероятности. Уилер ввел
понятие сверхпространства траекторий. Мизнер рассматривает ми-
нисверхпространство, ограничиваясь однородными моделями Все-
Вселенной. Так как Вселенная велика — даже если она замкнута, она
содержит порядка 1080 барионов и 1090 фотонов,— то такой гло-
глобальный подход без учета локальных эффектов (наступающих рань-
раньше) представляется нефизичным (ср. §6 гл. 21).
Естественно задать вопрос, не могут ли другие законы физики
измениться вблизи сингулярности. В §8 дан обзор имеющихся в ли-
литературе предположений о нарушении закона сохранения барион-
ного заряда. Рождение барионов (не компенсированное рождением
антибарионов) в количестве порядка 10~8 от количества других
частиц могло бы объяснить наблюдаемую в настоящее время удель-
удельную энтропию Вселенной. Цель авторов заключается в том, чтобы,
задавшись начальным зарядово-симметричным состоянием Вселен-
Вселенной, получить (в результате эволюции с несохранением барионного
заряда) Вселенную с избытком вещества над антивеществом.
Проблема состояния Вселенной Еблизи сингулярности еще очень
далека от окончательного, разрешения. Поэтому возможны и сосу-
сосуществуют диаметрально противоположные гипотезы. Наряду с опи-
описанной выше зарядово-симметричной гипотезой (и зарядово-сим-
метричными гипотезами Альвена — Клейна и Омнеса) возможна и
100%-ная зарядово-несимметричная космологическая гипотеза.
В этой последней рассматривается холодное начальное состояние
Вселенной и единый спектр возмущений геометрии и плотности.
Длинноволновая часть спектра ответственна за образование галак-
галактик, коротковолновая часть спектра дает акустические волны. Эти
волны, затухая, создают энтропию.
В данной главе рассмотрение явлений вблизи сингулярности
послужило поводом к расшатыванию классических теорий. По этому

2] КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРИИ ХАГЕДОРНА 621
принципу в ней (§§ 10 и 11) рассмотрены и некоторые другие пред-
предложения, выходящие за рамки стандартной теоретической физики,
лаже если они не связаны прямо с сингулярностью. К этим пред-
предложениям относится прежде всего «теория стационарного состояния»
(Steady State Theory) и теория «С-поля», развитые Хойлом и др.
(в 10). Рассмотрен так называемый принцип Маха — гипотеза пря-
прямого влияния всей Вселенной на каждое локальное явление. Кон-
Конкретное проявление этой связи Дирак усматривает в численных со-
совпадениях между локальными физическими константами и величи-
величинами, характерными для Вселенной как целого.
В § 12 рассматриваются некоторые обобщения ОТО и возможное
космологическое значение этих обобщений.
В § 13 рассматриваются экзотические модели Вселенной с не-
необычной топологией. Интересные идеи по некоторым затронутым
вопросам читатель найдет, например, в книгах Уилера A968),
Шамы A971), Вайнберга A972). О новых явлениях в связи с
современной теорией элементарных частиц см. Киржниц, Линде
A974), Зельдович, Кобзарев, Окунь A974).
В заключение этих вводных замечаний авторы хотят еще раз
подчеркнуть свою позицию.
Мы глубоко убеждены, что в необычных условиях вблизи кос-
космологической сингулярности должны видоизменяться не только
известные фундаментальные физические законы, но и такие физиче-
физические понятия, как метрическое непрерывное пространство-время
и т. п., и мы излагаем в этой главе попытки анализа таких видо-
видоизменений, в том числе и наши собственные попытки.
Мы полагаем, что вне таких экзотических условий в диапазоне
различных физических параметров, достигнутых в лаборатории или
надежно проверенных исследованиями ближайшего космоса, фун-
фундаментальные физические законы общеприменимы для описания
эволюции Вселенной [см. Гинзбург A971)]. Теории, основываю-
основывающиеся на других предпосылках, критикуются в данной главе.
§ 2. Космологические следствия теории Хагедорна
Для теории Хагедорна (§ 4 гл. 6) характерны две особенности:
1) максимум температуры порядка kT^mj;*, Тта~A—2)х
X10" °К;
2) «мягкое» уравнение состояния, Я<^е, при температуре, при-
приближающейся к максимуму.
При температуре ниже Ттах, т. е. при Т<5-1011—1012 °К, тер-
термодинамические свойства не отличаются от свойств обычной теории,
Рассматривающей конечное небольшое число сортов частиц. Таким
образом,теория нуклеосинтеза и теория реликтового излучения оста-
•ртся без изменения. Однако есть и проблемы, зависящие от того,
был ли период, когда

622 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ 1ГЛ. 23
Первая особенность существенна для вопроса о количестве квар-
кварков или партонов, остающихся после охлаждения. Если принять
массу кварка Mq, то при Ттах доля свободных кварков в равновесии
(по отношению ко всем частицам) порядка
V
/ Mq \ ( Mq
ехр I —р=— ) ~ ехр I
\ Hi max/ \ -Мл
Следовательно, при достаточно большой массе кварка (или
партона), Afq>50mK, Mq>7 Mv, начальное равновесное количество
Mq
кварков меньше того, которое в обычной теории (где Т —► °°'VF —* ^
вблизи сингулярности) имеется после закалки. На это обстоятельст-
обстоятельство указывают Фраучи, Стенгман, Бакалл A972).
Если бы опыты на ускорителе или в космических лучах доказа-
доказали существование стабильных тяжелых свободных кварков, а по-
поиски остановившихся кварков подтвердили бы отношение -^- <^ 10~9,
то теория Хагедорна явилась бы якорем спасения современной кос-
космологии. Однако, как уже отмечалось, стабильные тяжелые кварки
не обнаружены, и, следовательно, это предсказание теории Хагедор-
Хагедорна повисает в воздухе. Отсутствие холодных кварков в такой ситу-
ситуации не является подтверждением теории Хагедорна. Заметим, что
и логически теория Хагедорна плохо согласуется с гипотезой квар-
кварков; если барионы состоят из кварков, то резонансы — возбужден-
возбужденные состояния барионов — нельзя рассматривать как независимые,
невзаимодействующие частицы.
Обратимся ко второй особенности. Изменение уравнения со-
состояния вблизи сингулярности несколько меняет закон расширения,
зависимость плотности и радиуса от времени. Однако при фикси-
фиксированных сегодняшних значениях плотности и параметра Хаббла
все изменения строго локализованы в области Т~Ттах, никаких
изменений на стадии нуклеосинтеза и рекомбинации не происходит.
Может ли теория Хагедорна менять картину развития возму-
возмущений?
В термодинамической теории равновесных возмущений давление
и упругость f -zr- = b2, где b — скорость звука ] существенны. Именно
градиент давления ^- = ^—-^- = б2-^- препятствует возникнове-
возникновению флуктуации плотности. При заданной, равной kT, энергии
каждой акустической моды в термодинамическом равновесии соот-
соответствующее отклонение плотности от среднего значения обратно
пропорционально скорости звука. Следовательно, термодинамиче-
термодинамические флуктуации в теории Хагедорна существенно больше (в преде-
пределе р ->оо в бесконечное число раз) по сравнению с теорией невза-
невзаимодействующих частиц.

j КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ОМНЕСА 623
В космологии, однако, нет условий для осуществления термо-
термодинамического равновесия флуктуации на ранней стадии.
Более естественная постановка вопроса заключается в задании
начального возмущения метрики. Напомним, что, согласно решению
Лифшица (см. § 3 гл. 11), вблизи сингулярности возмущение метрики
остается постоянным, не обращается ни в нуль, ни в бесконечность.
Этот пер иод длится до тех пор, пока Ы<Х и— < 1. Так как b<ic
Р
Во всяком случае возмущение метрики постоянно, пока между со-
соседними участками (например, максимумом и минимумом плотности)
нет обмена информацией. Этот результат мы формулировали ранее
так, что в этом периоде отдельные участки возмущенного фридма-
новского решения развиваются независимо, сохраняя свою метрику.
Крайняя оценка К > ct (со скоростью света вместо скорости звука)
справедлива при любом уравнении состояния.
Найдем характерную длину волны в момент, когда уравнение
состояния Хагедорна сливается с обычным, Р=е/3. В этот момент
Г^Ю12 °К, f=10~4 сек, гсв=1024 см~3, число частиц в объеме Л^=
=я(с/K=3-1033, масса возмущенной области М=10~23 Mq, т. е.
масса возмущенной области ничтожна! Но для всякой большей мас-
массы данное возмущение метрики доживет, не изменяясь, до того
периода, когда все резонансы аннигилируют и распадутся, т. е.
до того, как исчезают эффекты, характерные для теории Хагедорна.
Вопросы образования галактик и флуктуации реликтовой темпе-
температуры суть те вопросы, в которых теория возмущений связана
с наблюдениями. В этой области можно быть уверенным, что теория
Хагедорна не изменяет выводов, сделанных ранее.
§ 3. Космологические выводы из теории Омнеса
Теория Омнеса (см. § 3 гл. 6) с самого начала возникла как кос-
космологическая теория. Автор поставил задачу объяснить структуру
Вселенной (ее деление на галактики, скопления галактик) неустой-
неустойчивостью горячей адронной плазмы, без каких-либо произвольных
предположений о начальных возмущениях метрики плотности или
барионного заряда! Предполагается зарядово-симметричная Все-
Вселенная, структура которой на современном этапе соответствует
разбиению на области, содержащие вещество, и области, содержащие
антивещество.
В настоящее время отнюдь не доказано само существование не-
неустойчивости симметричной (В=В) горячей плазмы, лежащее в ос-
основе теории Омнеса *). Но и при наличии неустойчивости последова-
последовательное рассмотрение следующих стадий приводит, по-видимому,
к выводам, не согласующимся с наблюдениями: масса отдельных
*) Напоминаем критическою работу Богдановой и Шапиро A974).

624 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
обособляющихся объектов (галактик) слишком мала (<Юв ©),
плотность их слишком велика (>10~40 г/сма), велика аннигиляция
и выделение энергии в плазме, что не согласуется с планковским
спектром реликтового излучения.
Однако для того, чтобы обосновать эти пессимистические вы-
выводы, необходимо более подробно рассмотреть теорию процессов,
возникающих в случае неустойчивости плазмы.
В данном параграфе мы не будем подвергать сомнению саму не-
неустойчивость при температуре выше~0,ЗУИс2, т.е. 1012—3-101В°К.
(Об этом см. §3 гл. 6.) Рассмотрим макроскопическую сторону де-
дела — размер возникающих неоднородностей барионного заряда,
амплитуду плотности В и В, кинетику разделения и аннигиляции
в последующем периоде.
При этом совершенно необходимо пользоваться спектральной
теорией, т. е. рассматривать фурье-амплитуды флуктуации (пре-
(превышение числа барионов над антибарионами) Ьк и соответствующие
величины
/
*=ft.VT
j b$*dk, B3.3.1)
k=kJVT
характеризующие амплитуду флуктуации в данном масштабе k0.
Будем и впредь (как это мы делали в III разделе книги) характери-
характеризовать масштаб той массой, которая содержалась бы в шаре радиу-
радиусом l/k0 при средней плотности вещества (и антивещества, если прав
Омнес) во Вселенной в настоящее время. В момент возникновения
барионной неустойчивости при kT~0,3 Mvc2 (или выше) уравнения
диффузии барионов и антибарионов приводят к неустойчивости
зарядово-симметричного состояния. Омнес рассматривает взаимо-
взаимодействие барионов и антибарионов между собой. Естественно, что
коэффициент диффузии становится функцией концентраций.
Итак, уравнения для концентрации барионов В и антибарионов
В имеют вид
^ = -divQ + <D,-|! = _divQ + a>. B3.3,2)
Здесь Q есть диффузионный поток барионов, Q — антибарионов,
Ф — разность числа рождающихся пар и числа аннигилирующих
пар. Очевидно, в обоих уравнениях Ф одно и то же. Поток Q, как
обычно, зависит от градиента В, но вследствие взаимодействия *)
зависит и от градиента В:
Q = — a(B, B)gradB—f>(B, B)gradB. B3.3.3)
*) Без взаимодействия было бы в нижеследующем уравнении р=0,
= wnst,

, КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ОМНЕСА 625
Соответственно
Q р (В, В) grad В—а (В, Ъ) grad В. B3.3.4)
Здесь « и Р — коэффициенты переноса, которые в силу зарядовой
симметрии зависят от В и В. Вычитая одно уравнение из другого и
обозначая Ь=В — В, получим
Л*.**[а (ВВ)—$(ВВ)] grad В—[а (ВВ) —р (ЁВ)] grad Ъ. B3.3.5)
01
В это уравнение Ф прямо не входит. Однако благодаря явлению
аннигиляции и рождения пар, происходящему весьма быстро, мы
уверены, что при каждой данной температуре и данном значении
Ъ мгновенно устанавливается локальное термодинамическое равнове-
равновесие, при котором Ф s* 0. Таким образом, косвенно мы используем Ф
для того, чтобы утверждать, что всегда с хорошей точностью инте-
интересующие нас функции зависят от следующих переменных:.
Т), В = Вф, Т),
I B3.3.6)
В, Т) = $(Ь, Т),
a-f> = D{b, Т).
Последнее соотношение определяет коэффициент диффузии D.
При низкой температуре В=Ь, В=0 при fc>0; В=0, В=—Ь при
Ь<0. При малом Ь<^.у очевидно D=D{T), т. е. не зависит от Ь.
Однако при высокой температуре (независимо от того, находим-
находимся ли мы в устойчивой или неустойчивой области) статистическая
физика дает (см. § 5 гл. 6; функция /G) — степенная функция Т)
_ 2Мс>
ВВ - / G) е~ кТ = q* (T), B3.3.7)
5=-|- + VrV+^, B = —j + V4tf + b: B3.3.8)
Функция q3 G) сильно зависит от Т; взаимодействие барионов, точ-
точнее, та его часть, которая имеет противоположный знак для В и
В, не влияет на величину произведения BB=q2.
Главное изменение в области неустойчивости, типичное для те-
теории Омнеса, заключается в том, что зависимость D(b, 71) имеет
необычный вид (Do и Ьо — постоянные):
B3.3.9)
Отрицательный знак D=—£>0 ПРИ 6—0 как раз соответствует не-

626 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
устойчивости зарядово-симметричного состояния. Те два значения
Ь=±Ь0, при которых D=0, соответствуют равновесным составам
барионных и антибарионных капель после разделения.
В результате в период неустойчивости (Т>350 Мэв по оценке
Омнеса) все пространство разделится на две равные по объему об-
области — одна, заполненная веществом, точнее, горячей плазмой
с избытком барионов (Ь=-{-Ьо), другая — антивеществом (Ь=—Ьп).
Говорить о «каплях» антивещества, вкрапленных в вещество, было
бы неточно: при равных объемах столь же часто встречаются изоли-
изолированные области («капли») вещества, со всех сторон окруженные
антивеществом.
Нужно решить два вопроса: 1) каков характерный размер г
областей, занятых веществом и антивеществом? и 2) каков средний
избыток вещества или антивещества в больших областях (размера
R^>r), содержащих много капель? На первый вопрос легко дать
правдоподобный ответ: т~У Dot. В адронной стадии коэффициент
диффузии определяется столкновениями сильновзаимодеиствующих
частиц; сечение не меньше, чем 10в см2, скорость частиц мало от-
отличается от скорости света. Температуре 350 Мэв соответствует
время t= 10 сек, плотность 5-1016 г/см3, при средней энергии частиц
103 Мзб=10~3 эрг плотность частиц равна 3-1039 см~3. Полагая,
что адроны составляют одну треть, получим длину пробега 10~13 см
и окончательно характерный размер
у.З-1010-10-13-10-5 = 10~* см.
Капля такого размера содержит избыток барионов порядка Ьвга=
= 3-1038-10-12=3-1026штук, что соответствует 500 граммам.
При высокой температуре имеет место термодинамическое рав-
равновесие как внутри областей с избытком В и В, так и на границе
этих областей. Везде аннигиляция компенсирована рождением пар.
В ходе дальнейшего расширения происходит охлаждение. Те-
Теплопроводность осуществляется фотонами, пробег которых больше
пробега адронов; температуру можно считать постоянной. В каж-
каждой из областей аннигиляция заканчивается истреблением тех ча-
частиц, которые в данной области находятся в меньшинстве. Необ-
Необратимо распадаются и тяжелые сильновзаимодействующие мезоны.
Остаются области, содержащие только В (но не В) наряду с лепто-
нами и фотонами, и области, содержащие только В (но не В). На
границе областей происходит необратимая аннигиляция В и В,
перетекающих из глубины соответствующих областей. При темпе-
температуре выше 3 Мэв протоны превращаются в нейтроны, позже оста-
остаются только протоны (а в В-областях — антипротоны), диффунди-
диффундирующие медленнее, чем нейтроны. Одно из следствий гипотезы
Омнеса, отмеченное им же, заключается в том, что нейтроны ан-

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ОМНЕСА 627
нигилируют, а потому не образуется Не*. Без аннигиляции на гра-
границе сохранялась бы масса («500 г) характерных областей, а разме-
размеб Аннигиляция приводит
состав по большим областям
нице сохранялась бы масса («500 г) характе
ры росли бы в соответствии с расширением.
К тому, что к моменту tx усредняется соста
у
1/ Г [)
). Но в большой области средний
барионный заряд меньше! Здесь-то и возникает вторая задача — об
амплитуде длинноволновых возмущений. Было бы неправильно
считать, что малые области распределены совершенно случайно и
отклонения от среднего | Дл | = ]/ п , где п = —g— число малых об-
областей в одной большой области. Мы уже отмечали в главе 12, что
нельзя подсчитывать флуктуации, рассматривая резкую границу
шара, так как поверхность шара R2, число малых объемов, пересека-
пересекаемых поверхностью, ns = — и \Ans\ = Y~ns. Правильный подход
заключается в том, чтобы найти амплитуду длинных волн [малые
k в фурье-представлении ёкх или cos(fce+<p)]. Из нелинейного урав-
уравнения диффузиисО = О0( 1 -)видно, что длинные волны могут
возникнуть из коротких. Для этого нужно, чтобы векторная сумма
fti+fta+ft3=ft. Так как уравнение для изменения Ъ со временем
имеет вид
^ B3.3.10)
то получим
3klu'kidsk3. B3.3.11)
Важно то, что амплитуда Ьк содержит множитель k, так что \b%\ ~
~&2. Интеграл оценим, учитывая, что на размерах г достигнуто насы-
насыщение диффузии, концентрация равна 60, что означает b% kf = b%
Для kr=\. По порядку величины получим отсюда (V=RS, v=ra)
'\ B3.3.12)
Закон убывания флуктуации с увеличением объема оказался зна-
значительно более резким, чем для независимых случайных объемов
\~irj '. но ненамного сильнее, чем для поверхностных флуктуации.
В результате локальной аннигиляции концентрации В иВ,
равные Ьо, составляют долю порядка 0,1 концентрации фотонов.
в настоящее время Ь/у~10~в или 10~s. Из формулы B3.3.12) сле-
ет что такая концентрация получится после усреднения по объе-

628 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
мам, которые в 10 в л* 1011 раз больше первоначальных. При этом
каждый характерный объем содержит массу барионов или антибари-
онов всего в 500 г- 10е-»>г»5-10* г.
Неумолимый вывод заключается в том, что диффузионные про-
процессы совершенно недостаточны для того, чтобы создать разделе-
разделение вещества и антивещества в макроскопических размерах. Омнес
дает для конца стадии диффузионной аннигиляции Ь/уш10~8 при
температуре 30 кэв, размер /?«3-103 см, что соответствует массе
барионов ЛТ»30- 10Б г. Эти оценки мало отличаются»от приведенной
выше оценки по соотношению между Ь/унМ. Однако представляется
возможным, что при Т=3 кэв процесс диффузионной аннигиляции
должен зайти дальше: коэффициент диффузии (рассчитанный по
взаимодействию электронов и позитронов с излучением) по-
порядка 108 см2/сек, космологическое время <~3000 сек, что дает
R~j//)*~5-105 см.
Начальный радиус г=10~4 см увеличивается за счет расшире-
расширения в отношении обратных температур: г'=Ю~й C50Мэв/30 кэв)=
= 1 см. Получим — = 0,1 f-^-J 'л; 10~15. Такая оценка уже нео-
необратимо расходится с реальной Вселенной.
Омнес A971а—в) полагает, что после достижения Ь/у= 10~8 всту-
вступает в действие новый, гидродинамический механизм разделения —■
коалесценция, слияние областей вещества между собой и, соответст-
соответственно, слияние областей антивещества. Предполагаемый механизм
связан с выделением энергии при аннигиляции на поверхности
раздела. При рассмотрении принято вспоминать поведение капель
воды на раскаленной плите, их движение под влиянием испарения—
феномен Лейденфроста A745—1794). Плоская поверхность раздела
при этом по симметрии не сдвигается. Однако если поверхность
искривлена, то возникнет повышение давления, более сильное с той
стороны, которая охвачена поверхностью, поверхность раздела
будет перемещаться так, что радиус кривизны ее уменьшится. Та-
Таким образом, выделение энергии аннигиляции феноменологически
действует наподобие поверхностного натяжения, вызывая
движение, уменьшающее поверхность раздела вещества и анти-
антивещества.
Омнес полагает, что за счет этих механизмов к моменту реком-
рекомбинации размеры областей увеличиваются (с учетом также и об-
общего расширения) до 1022 см при малом изменении b/у. Это соответст-
соответствует обособлению масс около 10" Mq — порядка масс больших
галактик.
Надежный расчет коалесценции весьма труден. Можно
опасаться резкого преувеличения эффекта в расчетах Омнеса; к тому
же аннигиляция на предыдущем этапе, до начала движения, по-
видимому, проходит глубже, чем предполагает Омнес.

4] КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИНГУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 629
•
Однако еще важнее трудности, с которыми встречается теория
симметричной Вселенной при сопоставлении с наблюдениями.
По формулам Омнеса коалесценция сопровождается выделением
энергии аннигиляции, в 20 раз превышающей плотность лучистой
энергии в планковском спектре к данному моменту. Рассматривая
теорию плазмы, мы показали, что уже выделение 0,1—0,05ет долж-
должно приводить к заметным искажениям спектра реликтового излу-
излучения в хорошо исследованной длинноволновой части спектра (см.
§ 2 гл. 15).
Таким образом, необходимое для теории Омнеса выделение энер-
энергии в сотни раз больше верхнего предела, совместимого с наблю-
наблюдениями.
В ряде работ Стейгмаиа A971, 1973) последовательно показано,
что и наблюдения гамма-лучей говорят против зарядово-симметрич-
ных моделей Вселенной. Важный момент, относящийся к сим-
симметричным теориям, отметил Бардин [цитируем по Филду A973а)]:
в таких теориях в момент рекомбинации вещество и антивещество
разделены, в промежутке — около границ — плотности гораздо
меньше средних, так что возмущения плотности порядка — ~ 1.
Но в таком случае образование гравитационно связанных объектов
происходит быстро, и теория приводит к большим их плотностям
(~10~21 г/см3), что больше средней плотности галактик, не говоря
уже о средней плотности скоплений.
В целом, при всей красоте замысла, теория Омнеса встречается
с такими трудностями, которые заставляют отказаться от предла-
предлагаемой им картины эволюции Вселенной.
§ 4. Квантовые явления в сингулярных состояниях метрики
и гравитационного поля
Выше неоднократно отмечалось, что в экстремальных условиях
вблизи сингулярности необходимо учитывать одновременно и ОТО
и квантовые эффекты. Учет квантовых эффектов может внести прин-
принципиальные изменения в выводы классической ОТО.
В какой области можно ожидать существенных эффектов? ОТО
не вносит в теорию новых физических констант, кроме уже извест-
известных *): скорости света с и ньютоновской постоянной тяготения G.
Планк ввел свою знаменитую постоянную h в теорию излучения
в 1899 г. (сейчас принято пользоваться величиной % — ~-=\,0Ь'Х
X Ю~"г-см2-сек'1). Он отчетливо понимал значение идеи кванто-
квантования для всей физики, всего естествознания.
*) Космологическая постоянная Л, если она отлична от нуля, существенна
лишь в очень больших масштабах, где нет квантовых явлений.

630 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Рассматривая с, G, ft как три равноправные фундаментальные
величины, Планк показал, что через них могут быть выраже-
выражены величины любой размерности. В частности, _ через с, G и %
можно выразить единицы длины lg, времени tg, массы те, плот-
плотности ре:
CM,
10"** сек,
B3.4.1)
е%
Легко заметить сходство закона Кулона V = — и ньютоновского
U = -Ш- ; так как е2 и Gm2 одной размерности, то, очевидно, -^— есть
г Тьс
е2 1
безразмерная величина, подобно знаменитой -j— = а = т^=. Для
Пс ldf
элементарных частиц Gmytic = 2- 10~*s, Gm$/nc = 6-10~38. Условие
Gmyfic= 1 дает характерную массу те, приведенную выше. Длина lg
есть «комптоновская длина волны» массы mg, а именно lg=Klm^c.
Наконец, в теории элементарных частиц применяется еще один
способ выражения. Примем %=с=\. В такой системе единиц длина
и время имеют одинаковую размерность, обратную размерности
массы, l=t=m~1. Произведение Gm* безразмерно, следовательно,
размерность G есть щ~2=12. Соответствующие G «площадь», «сече-
«сечение» равны 2,5-10~66 см2.
Эти величины характеризуют область, в которой принципиаль-
принципиальную роль играют квантовые эффекты в гравитации: нужно, чтобы
кривизна пространства-времени была порядка /?£!~^гг~10вв см~%.
Такая ситуация может возникнуть в вакууме, но в вакууме она «не
обязательна». С другой стороны, если плотность вещества достигает"
порядка pg, то соответствующая кривизна (порядка /g2) следует
из уравнений ОТО и в этом смысле «обязательна».
Насколько просто найти область, где важны квантовые явления,
настолько же трудно выяснить, что именно происходит в этой об-
области [С. Де Витт, Уилер A968), Гинзбург, Киржниц, Любу шин
A971)]. Здесь становится трудно даже сформулировать проблему.
Вся обычная (в том числе и квантовая) физика рассматривается

. 4] КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИНГУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 631
в рамках заданного пространственно-временного многообразия.
В квантовой физике классические траектории и поля заменяются
понятием волновых функций, с помощью которых можно выска-
высказывать вероятностные предсказания о результатах опытов. Однако
координаты и время рассматриваются как обыкновенные детерми-
детерминированные величины (С-числа).
Искривление пространства-времени, зависящее от усредненных
величин, не меняет принципиальной стороны дела, если это искрив-
искривление меньше /g2. Между тем в квантово-гравитационной области
сами пространство и время, возможно, приобретают вероятностные,
недетерминированные свойства.
В космологии выход состоит в том, чтобы задавать вопросы (и
вычислять величины), относящиеся к тому периоду, когда мир уже
вышел из сингулярного состояния, когда нигде нет ни грандиозной
кривизны, ни огромной плотности материи.
Такой подход был бы похож на теорию S-матрицы. Как извест-
известно, Гейзенберг предложил рассматривать лишь состояния до и
после столкновения элементарных частиц, отказываясь от деталь-
детального описания самого акта столкновения. Ценность такого подхода
заключается в том, что доказывается принципиальное существова-
существование ответа, однако для получения конкретного ответа этого недо-
недостаточно *)! Квантово-гравитационная теория необходима именно
в космологии, поскольку имеется уверенность, что Вселенная (по-
видимому, можно даже усилить: вся Вселенная, все вещество Все-
Вселенной!) прошла через состояние, анализ которого требует этой
теории. Такое рассмотрение тем более необходимо, что выше мы
видели, как велико разнообразие классических (не квантовых) кос-
космологических решений. Может быть, квантово-гравитационная
теория сингулярного состояния укажет условия выбора из этого
множества.
Законченной квантово-гравитационной космологической тео-
теории в настоящее время не существует, е'сть лишь отдельные резуль-
результаты, излагаемые ниже. Однако и в таком несовершенном виде
можно усмотреть указания на то, что, может быть, окажутся запре-
запрещенными анизотропные сингулярные метрики, останется разре-
разрешенным только квазиизотропное решение [см. Зельдович A970в,
1973а), Лукаш, Старобинский A974I. Намечается подход к объяс-
объяснению энтропии Вселенной (§ 9 этой главы). Следовательно, не-
несомненно огромное значение рассматриваемой проблемы для кос-
космологии (опосредствованно, через длинную цепочку выводов —
и для наблюдательной космологии). Общий характер данной книги
заключается в том, что излагаются (наряду с твердо установленными
фактами) также гипотезы и вопросы, подлежащие исследованию.
*) В теории S-матрицы получено много важных конкретных результатов,
но и в области элементарных частиц, этой теории недостаточно!

632 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Поэтому мы, не колеблясь, посвящаем следующие параграфы кванто-
во-гравитационной теории.
Примером для такой теории служит квантовая электродинамика,
где удалось получить замечательное согласие с опытом специфи-
специфических эффектов, предсказанных теорией в конце 40-х годов. Мы
имеем в виду прежде всего лэмбовский сдвиг уровней водородного
атома и аномальный магнитный момент электрона. Успех достигнут
путем последовательного применения квантовой теории с преодоле-
преодолением трудностей (что потребовало введения новых понятий: пере-
перенормировки массы, перенормировки заряда, поляризации вакуума).
Однако не потребовалось вводить элементарную длину, не потребо-
потребовалось отказываться от общих принципов квантовой механики.Кван-
механики.Квантовая электродинамика является вдохновляющим примером для
будущей квантово-гравитационной теории.
В ряде работ развивается логическая схема такой теории и вы-
вычисляются квантово-гравитационные поправки к величинам, на-
наблюдаемым в лабораторных опытах. Первый шаг был сделан в 30-х
годах; была проквантована линейная теория гравитационных волн.
При этом гравитационные волны рассматривались как малые воз-
возмущения геометрии плоского пространства или как постороннее
(не геометрическое) тензорное поле, вложенное в плоское простран-
пространство. С сегодняшней точки зрения результаты тривиальны: энергия
гравитонов равна п<л, они являются бозонами со спином 2 и нулевой
массой покоя и т. п. В следующем порядке оказывается существен-
существенной нелинейность исходной классической теории (ОТО): гравитоны
сами обладают массой и импульсом (хотя масса покоя их и равна
нулю) и являются, следовательно, источником гравитационного
поля. Последовательный учет этого факта начат Фейнманом A963)
и доведен до ясности в последнее время Фаддеевым и Поповым A967)
и Де Виттом A967 а, б).
Специфические квантово-гравитационные эффекты в лаборатор-
лабораторной физике (да и в астрофизике, за вычетом теории сингулярностей)
малы. Деятельность Фейнмана и ряда других авторов вдохновля-
вдохновлялась скорее эстетическими целями, что Фейнман и не скрывает.
В космологии ситуация существенно иная: при t~tg квантово-
гравитационные эффекты порядка единицы, и представляет интерес
даже грубое представление о характере этих эффектов. Как будет
показано ниже, наиболее важным эффектом, вероятно, является
рождение частиц или пар частиц в сильных гравитационных полях.
Влияние гравитационного поля на движение частиц и распрост-
распространение волн полностью описывается заданием метрики пространст-
пространства-времени. Постоянная G не входит в уравнения движения частиц
и распространения волн в заданном пространстве-времени *).
*) Величина С появляется лишь в обратной задаче влияния вещества на
метрику. '

. 4] КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИНГУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 633
Самое общее представление о процессе рождения частиц можно
получить, начиная с рассмотрения классической (не квантовой)
линейной волны. В плоском пространстве-времени волна распрост-
распространяется так, что сохраняются ее энергия и частота в отдельности.
В искривленной и нестационарной метрике существует важный пре-
предельный случай геометрической оптики, если длина волны и период
малы по сравнению с размером области, в которой происходит за-
заметное отклонение от евклидовой геометрии, и по сравнению со
временем, за которое метрика изменяется. Геометрическая оп-
оптика содержит два понятия:
1) понятие о лучах, являющееся для волнового пакета анало-
аналогом понятия траектории для частицы;
2) понятие адиабатического инварианта, относящееся к амплитуде
и интенсивности волнового поля. Энергия волнового поля изменя-
изменяется пропорционально его частоте.
Следовательно, отношение энергии к частоте является инвариан-
инвариантом, остается постоянным в геометрической оптике. .
Но это отношение как раз пропорционально числу квантов поля:
Е=п1ш, — = nh. Классическая геометрическая оптика включает
в себя сохранение числа квантов, хотя в этой теории и не рассмат-
рассматривались никакие квантовые эффекты *). Но при быстром измене-
изменении метрики адиабатическая инвариантность нарушается, а значит,
меняется число квантов, они рождаются или уничтожаются. Важ-
Важно, что изменение числа квантов происходит без каких-либо внешних
источников поля (движущихся зарядов и т. п.), только за счет вза-
взаимодействия с геометрией пространства-времени.
В квантовой теории обозначим волновую функцию низшего
состояния (вакуума) через Т,,, а состояния с частицей — через
Ч^. При рассмотрении переменной метрики и рождения частицы
возникает суперпозиция:
V0(t = — oo) — W(t) = C0(t)V0 + СМУР^ B3.4.2)
По правилам квантовой теории вероятность найти частицу равна
ICjI2, соответственно и энергия поля Го0'^'|С1|2. Но в выражениях
тензора натяжений есть и недиагональные члены; например,
Тхх=А(СвС1-\-С*вС1) + В\С1\*. B3.4.3)
В начале процесса при малых |СХ|, нарушается обычное условие
энергодоминантности (см. стр. 614), возможно \ТХХ\ > |Т00|. Рожде-
Рождение частиц и коэффициенты типа Ct зависят от соотношения между
частотой волны tOj (соответствующей разности энергий состоянии
*) Этот аспект связи между классической и квантовой теориями рассмотрен
в статье Парадоксова A966) «Как квантовая механика помогает понять класси-
классическую». Общее выражение числа фотонов в произвольном электромагнитном
поле см. Зельдович A965а).

634 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
}¥1 и Чги) и скоростью изменения метрики г:
со = (£,-£„)/&, С^С^а/г). B3.4.4.)
Для типичной для космологии степенной зависимости метри-
метрики от времени характерное время изменения метрики равно
времени t, прошедшему с момента сингулярности. Следователь-
Следовательно, неадиабатичны волны с со<-г, k < —г .Считая, что в этой
t Ct
области рождается в среднем по одному кванту на моду, получим
порядок, величины плотности энергии рожденных квантов е =
Заметим, что, хотя речь идет о рождении частиц в гравитацион-
гравитационном поле, величина G не вошла в ответ!
Отметим, далее, сильную зависимость е от t. Строго говоря, мы
нашли (по порядку величины) плотность энергии частиц, родив-
родившихся за время между t и It (или —^ и t У е ). Здесь возникает
огромное различие между задачей о коллапсе (сингулярность в бу-
будущем) и космологической задачей (сингулярность в прошлом).
В задаче коллапса рассматривается период, когда «О, время
отрицательно (положено, что сингулярность отвечает t=0). В дан-
ный момент t0 частицы, родившиеся давно (например, в период
раньше 2t0 или 5t0), дают малый вклад в е. Скорость рождения частии
быстро возрастает; в каждый данный момент главную роль играют
частицы, родившиеся в самое последнее время, например в интервале
2te<.t<.t0 (напоминаем, «0, to<ff). Формула ъ = -т имеет место
хотя бы как порядковая оценка. Рассматривая дальше задачу о кол-
коллапсе, можно спросить: когда родившиеся частицы сами существен-
существенно повлияют на метрику? До сих пор мы рассматривали распрост-
распространение «пробных» волн (ср. «пробные» частицы) в заданной мет-
метрике.
В уравнениях ОТО степенные решения соответствуют тому, что
компоненты тензора кривизны порядка (ct)~2. В правой части урав-
Се
нений ОТО находится -j-. Подставляя выражение е и приравнивая
правую и левую части, получим характерное время, которое выра-
выражается через G, А, с, а следовательно, не может отличаться от tg.
Итак, в задаче о коллапсе уже проясняется то новое, что должна
принести квантово-гравитационная теория.
При приближении к сингулярности в силу нарушения адиаба-
тичности рождаются новые частицы — фотоны, электрон-позитрон-
ные пары, пары vv, гравитоны. Их плотность энергии при f-»-0
растет быстрее, чем плотность энергии «вещества», заполнявшего
пространство вдали от сингулярности и сжатого по адиабатическому

j 4] КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИНГУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 635
закону. При приближении *) к tg влияние новорожденных частиц
становится преобладающим и действует на дальнейшее изменение
метрики даже в том случае, если до tg «вещество» не влияло
на метрику, происходил вакуумный подход к сингулярности (см. §3
гл. 18).
В принципе мы можем продвинуться дальше, в интервал tg<lt<CO,
решая совместно уравнения изменения метрики и рождения частиц.
Совершенно иная ситуация возникает при попытке применить
теорию рождения частиц к космологии. Начнем рассмотрение в мо-
момент tt. Примем, что в этот момент задана метрика; например, в про-
пространственно-однородной задаче заданы значения кривизны и ско-
скоростей расширения (по разным направлениям) и структурные
константы, характеризующие тип пространства. Пренебрежем плот-
плотностью энергии и импульса вещества в момент tt в соответствии
с «вакуумным» характером решения. За время с tt до 2tt в вакууме
возникнут частицы с плотностью энергии, по порядку величины
h
е ■—■ •—г •
Л}
Подчеркнем, что в космологической задаче эта формула дейст-
действует очень недолго: в более поздний момент tt, <2>tfi, плотность энер-
энергии недавно рожденных частиц е' = ——, но рожденные ранее
(при t~ti) частицы не исчезают — они расширяются и дадут
k
k
Оказывается, что е">е'. Плотность энергии в данный момент t
(в отличие от задачи коллапса) радикально зависит от момента вклю-
включения рождения частиц, от того, в каком смысле и как происходило
включение.
Итак, в задаче о коллапсе, по крайней мере до поры до времени
(до tg, а может быть, и дальше), возможен анализ явления безот-
безотносительно к границам существующей квантово-гравитационной
теории. В космологии Вселенная в каждый момент «помнит» на-
начальные условия.
Наряду с этими общими соображениями можно отметить важный
конкретный факт. В теории распространения волн — а следователь-
следовательно, и в теории рождения частиц — существует весьма важный прин-
принцип конформной инвариантности. Подробно этот принцип разбира-
разбирается в § 19 этой главы. Этот принцип позволяет пойти дальше сооб-
соображений размерности и выявить качественное различие между
•) Здесь подразумевается te=— 1 / =~ . <» < 0.
— ■■Л*
- у ■?■•

636 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
сингулярностями фридмановского и анизотропного (казнеровского)
типа *).
Конформным называется изменение метрики, заключающееся
в изменении масштаба всех длин и времен, причем это изменение
масштаба может быть различным в разных мировых точках, но
обязано быть одинаковым в данной точке для всех пространствен-
пространственных направлений и времен. Так, например, плоский мир Минков-
ского можно преобразовать в «конформно-плоский» мир:
ds*=dti—йхг—dy2—dz2 —ds2=a2(x, у, z, t)(tifi—dx2—dy2—dzi).
Подчеркнем, что при таком преобразовании существенно меняет-
меняется геометрия,— речь идет не о преобразовании координат, а об
установлении соответствия между различными четырехмериями.
Конформно-плоский мир имеет отличный от нуля тензор кривизны
/?арт8, выражающийся через производные функции а(х, у, г, t).
В конформно-плоском мире особенно просто рассматривается рас-
распространение волн со скоростью света: луч, подчиняющийся условию
ds=0, соответствует решению efkx~i[k[ct в мире Минковского.
Такое же решение имеет место и в конформно-плоском мире: если
ds=0, то и а(х, у, z, t)ds=O. Распространение волн в плоском мире
Минковского не сопровождается рождением частиц. Следовательно,
рождения безмассовых частиц нет и в конформно-плоском мире.
Начальная стадия фридмановской модели описывается метрикой
ds* = dt* —a?(t) (dx2 + dy2+dz2). B3.4.5)
Такая метрика является конформно-плоской; введем
и, выразив a(t) в функции т], a(t)=b(iq), окончательно получим
ds2 = 62(T])(dT]2—dx2—dy*—dz*), B3.4.7)
что и требовалось. Напротив, казнеровское решение
ds* = dt* — t*P> dx2 — t*P* dy*—pp* dz* B3.4.8)
нельзя привести к такому виду, его метрика не является конформно-
плоской.
Во фридмановском решении частицы с нулевой массой покоя
не рождаются совсем, а частицы с ненулевой массой покоя не рож-
•) Напомним, что, задавшись вопросом о характере общего решения урав-
уравнений ОТО, Лифшиц, Халатников и их сотрудники пришли к выводу об анизот-
анизотропном типе особенности. В коллапсе должно осуществляться общее решение,
в космологии может осуществляться тот или иной частный тип решения вблизи
сингулярности (см. гл. 22).

j 4] КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИНГУЛЯРНЫХ СОСТОЯНИЯХ 637
даются практически*). Сделанные выше размерные оценки рождения
частиц в действительности относятся только к анизотропной син-
сингулярности.
Это результат можно наглядно истолковать в терминах гидроди-
гидродинамики. Рождение частиц можно назвать проявлением вязкости
вакуума: при деформации вакуума выделяется тепло, растет энтро-
энтропия. В гидродинамике известны два типа вязкости: первая, свя-
связанная со сдвиговой деформацией элемента объема жидкости, и
вторая, связанная с изменением плотности, т. е. со всесторонним
расширением или сжатием. Известно, что ультрарелятивистский
газ не имеет второй вязкости.
Этот результат можно перенести и на «вакуум ультрареляти-
ультрарелятивистских частиц», т. е. на проблему рождения. В решении Казнера
происходит деформация сдвига и имеет место рождение частиц.
В решении Фридмана расширение изотропно, могла бы работать
только вторая вязкость, но она отсутствует, а потому и не происходит
рождения частиц. Рождение частиц в изотропных моделях рас-
рассматривали Л. Паркер A968, 1969, 1971—1973), Гриб, Мамаев
A969, 1971), Черников, Шавохина A973), в анизотропных моде-
моделях — Зельдович A970в), Зельдович, Старобинский A971), Ху,
Фуллинг, Л. Паркер A973), Ху A974), Бергер A974).
Подчеркивая различие рождения частиц в анизотропной и в изо-
изотропной сингулярности, мы основываемся на малости безразмерной
величины ~Р~ для всех известных частиц. В этой связи следует от-
ГЬС
метить, что ряд авторов высказывали гипотезу о существовании
сверхтяжелых частиц с массой М как раз такой, что -т—да 1.
пс
Это значит, что М равно «планковской» единице массы 10~8 г.
Отсюда название гипотетических частиц «планкеоны» — Станюко-
Станюкович A965, 19666); Марков A966) называет эти частицы «максимоны».
По нашему мнению, теория не дает указаний на существование
таких элементарных частиц. Стремясь к ортодоксальности и к ми-
минимуму гипотез, ниже мы не рассматриваем возможное влияние
таких частиц на физические процессы.
Выше отмечались трудности решения космологической задачи
с учетом рождения частиц.
Можно выдвинуть гипотезу, согласно которой в природе осу-
осуществляется изотропный выход из сингулярности — именно по-
потому, что в противном случае рождение частиц привело бы к внут-
внутренним противоречиям теории. Такая гипотеза была высказана
Зельдовичем A970в) и подробно проанализирована Лукашом и Ста-
Робинским A974).
*) Нас интересуют столь высокие частоты co~/~'~<gl, по сравнению с ко-
которыми mcVh частиц пренебрежимо мало.

638 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 28
Рассмотрим начальный этап космологической задачи — выход
из сингулярности.
В этом случае неизвестно решение, начинающееся с /=0и учи-
учитывающее квантовые эффекты. Как мы уже отмечали, уравнение
для «вязкой» (зависящей от рождения частиц) плотности энергии
имеет в казнеровской метрике следующий вид:
dt ~&* 3 t • lAJ.^.yj
Такое уравнение не имеет решения, удовлетворяющего t=0, e=0.
Включим процесс в какой-то выбранный момент: t=tu e=0. Реше-
Решение имеет вид
>t>tlt B3.4.10)
в= .у<<4/. , «>^l+-g-)f,. B3.4.11)
1
Частицы, родившиеся вблизи tu не исчезают! С течением времени
эти частицы становятся главными, определяющими динамику рас-
расширения,—когда е «1/GJ2 (см.§ 1 гл. 19). Из этого условия получаем,
что решение становится изотропным в момент
*. = *?'™- B3.4.12)
Казнеровское решение становится изотропным за счет квантового
рождения частиц. Чем меньше tlt тем меньше t2; при tfi=tfnjl ti=tnsi.
При £г-»-£пл исчезает область существования казнеровского решения.
Такой результат, вероятно, означает, что квантовые эффекты за-
запрещают анизотропные сингулярные решения (те самые решения,
которые отвечают наиболее общей восьмифункционной асимптотике)
для космологической задачи.
Решения, которые при этом «выживают», включают в себя фрид-
мановское решение, но не ограничиваются этим наиболее узким
классом. Точнее, следует предположить, что истинное решение будет
локально изотропным. Для Вселенной в целом такое рассуждение
приводит к квазиизотропному решению, свойства которого описа-
описаны выше.
Там же отмечено, что эти свойства хорошо согласуются с тем,
что известно о современной Вселенной. Остаются неизвестными мас-
масштаб и амплитуда отклонений метрики от однородной, однако есть
и определенные нетривиальные результаты, например отсутствие
вихря скорости *). Таким образом, глубокие теоретические сооб-
•) Уточним: в квазиизотропном решении вблизи сингулярности вихрь ока-
оказывается равным нулю всегда (<>0) и везде, если вещество, заполняющее мир,
является идеальной жидкостью с определенным паскалевым давлением Р=/(Р)
без вязкости и с постоянной энтропией. В этой связи интересна гипотеза Чи-
бисова A975) о нулевых вихрях.

. в] РОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 639
ражения, в принципе, могут (подчеркнем, что в настоящее время
мы находимся на уровне гипотез) привести к следствиям, существен-
существенным для поздних стадий.
В такой концепции остается, однако, без объяснения величина
энтропии. Другой подход к этой проблеме описан в §9 этой главы.
В теории хотелось бы иметь объяснение всех важнейших свойств
Вселенной. Однако, в частности, без объяснения остается спектр
возмущений, приводящих к образованию галактик. Конформная ин-
инвариантность строго доказана для уравнений Дирака (для нейтрино,
а также — в пределе больших импульсов, р^>тс,— и для других
частиц со спином 1/2) и для электромагнитных уравнений Максвел-
Максвелла. Ситуация сложнее для гравитационных волн (см. § 18 этой главы).
Вопросы, затронутые здесь в общих чертах, качественно,
ниже рассматриваются количественно, с формулами*).
Авторы не обольщаются: математическое изложение гипотез не
делает их в действительности надежными и доказанными, поскольку
некоторые самые глубокие вопросы остаются без ответа. л
§ 5. Рождение заряженных частиц в электродинамике
Рождение частиц в гравитационных полях является чрезвычай-
чрезвычайно экзотическим процессом с точки зрения лабораторной физики; нет
надежды на экспериментальное изучение процесса в ближайшем
будущем. Между тем рождение частиц в электромагнитных полях
наблюдается экспериментально. Теоретические предсказания сов-
современной квантовой электродинамики проверены и подтверждены
на опыте. Поэтому квантовую электродинамику можно считать
«старшим братом», хорошим примером для теории квантово-грави-
тационных явлений. Напомним вкратце, какие идеи и результаты
известны в электродинамике; значительная часть их имеет свои
аналоги в теории гравитации.
Ни читатель, ни авторы не должны иметь и не имеют иллюзий —
нижеследующее не научит вычислять эффекты, не заменит учеб-
учебники, такие, например, как учебники Ахиезера и Берестецкого
A969), Берестецкого, Лифшица, Питаевского A968). Эксперимен-
Экспериментально хорошо изучена аннигиляция е+-\-е~ =2у. По общим прин-
принципам квантовой теории отсюда следует также возможность обрат-
обратного процесса 2у->е++е~. Если кинетические энергии е+, е~ в
системец.и.порядка тс2 (е+ не- релятивистские, но не ультрареля-
ультрарелятивистские), то сечения прямого и обратного процессов одного по-
порядка, а именно порядка —^-j — rl, где г„ — так называемый «клас-
«классический радиус» электрона (ег/г0 = тс2). На языке диаграмм рож-
рождение пар описывается рис. 62.
*) О применении гамильтонова формализма см. Райан A972).

640 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Развитие событий во времени происходит снизу вверх. Волни-
Волнистые линии представляют собой «входящие» в реакцию фотоны. Пря-
Прямая линия изображает движение электрона. Позитрон можно
описывать как «электрон, движущийся по времени в противополож-
противоположную сторону». Зависимость волновых функций от времени опреде-
определяется множителем e~lEtih. Изменение знака времени (направле-
(направления стрелки) эквивалентно изменению знака энергии. Позитрон,
по Дираку, есть дырка в море электронов с отрицательной энергией.
Эти соображения не есть доказательство, но, может быть, они по-
помогут интуитивно примириться с тем, что позитрон — нормальный,
движущийся вперед во времени — можно описывать линией элект-
электрона, движущегося вспять из будущего в прошлое.
У
Рис. 62. Диаграмма Фейнмана для Рис. 63. Диаграмма Рис. 64. Рождение
рождения пар е+е~. рассеяния фотона пары е+е~ меняю-
на свободном элек- щимся алектриче-
троне. ским полем.
В процессе участвуют два фотона, есть две «вершины» — две
точки, в которых сходятся одна фотонная и две электронные линии.
В каждой вершине взаимодействие пропорционально заряду элект-
электрона е, итого при двух вершинах матричный элемент пропорцио-
пропорционален es, сечение или вероятность процесса пропорциональны е4.
Заметим, что, «положив на бок» диаграмму рис. 62, получим
рис. 63 — диаграмму для процесса е~-\-у=е~-{-'у, т. е. комптонов-
ского рассеяния фотона на свободном электроне. Два процесса —■
рождение пар и рассеяние — тесно связаны.
Существует ли рождение пар в более низком, первом порядке,
т. е. по диаграмме рис. 64? Вершина типа рис. 64 возможна, но
при этом необходимо, чтобы электромагнитное поле, которое изоб-
изображено волнистой линией, не было полем свободного фотона, по-
полем свободно распространяющейся электромагнитной волны. Сво-
Свободный фотон характеризуется релятивистским соотношением
между энергией Е и импульсом р, Е=рс, поскольку скорость его
равна скорости света с. Рождение пары е+е~, у которой Е+-\~Е-~>
> (р++р_)с, свободным фотоном несовместимо с законами сохра-
сохранения.

.i РОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 641
* 6J
Однако это не значит, что процесс с вершиной типа рис. 64 во-
вообще невозможен. Энергия фотона задана и везде одинакова, если
задана частота колебаний системы, излучающей фотон. Импульс
Лотона задан (и соответствует вышеприведенной формуле) только
вдали от излучающей системы. На расстоянии г неопределенность
импульса порядка Др = —. Поэтому электромагнитное поле вблизи
излучающей системы(на расстоянии порядка —, что в случаеУш~2/лса
даст характерную длину —) способно рождать пары по типу рис. 64.
Более того, таким образом могут рождаться пары е+е~ и в том слу-
случае, когда излучения реальных фотонов (способных уйти на беско-
бесконечность) вообще нет!
Такая ситуация возникает при 0—О-переходах. Здесь первый
нуль есть спин возбужденной системы, второй нуль — спин си-
системы в основном состоянии. Нулевой спин означает полную сфе-
сферическую симметрию системы. Классически можно представить себе
сферически-симметричное заряженное облако, совершающее ра-
радиальные колебания. Внешнего излучения, очевидно, нет—ведь
поле излученной волны должно быть поперечно (перпендикулярно
направлению распространения). Однако электрическое поле внутри
облака есть, и оно периодически изменяется. Такое поле способно
вызвать рождение пары. Процесс наблюден на опыте; хорошо
известны возбужденные состояния ядер углерода С12 и кислоро-
кислорода О", превращающиеся в основное состояние путем испускания
пары е+е~.
Во всех случаях, изложенных выше, энергия фотона (или фото-
фотонов) — свободного или несвободного — превышает сумму масс ча-
частиц е+ и е~, иначе рождение было бы энергетически невозможно.
Но у фотонов энергия связана с частотой: Е=%ш. Значит, необходи-
ма достаточно высокая частота поля: to > —j— или а1 -f- со2 > —г
Квантовая природа фотонов здесь несущественна!
Представим себе когерентную электромагнитную волну такого
типа, как испускается лазером. С одной стороны, можно сказать,
что число заполнения N — число фотонов на одной моде электро-
электромагнитного поля — велико. Но при N^-1 можно говорить о клас-
классической электромагнитной волне. Если вероятность процесса под-
подсчитана для одного фотона (или для двух встречных фотонов), то
при переходе к N -фотонному состоянию вероятность увеличивается
в N раз (в NiNz раз при столкновении двух пучков с числами за-
заполнения Nt и N2).
Таким образом, получается выражение для вероятности рож-
рождения пар в классических электромагнитных полях — пропорцио-
пропорциональное плотности энергии, т. е. £2 для рис. 64 и пропорциональ-
я- Б- Зельдович, И. Д. Новиков

642 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
ное Е* для рис. 62 (в последнем случае не различаем Е±~Еъ~Е
в двух встречных лучах). Поле должно быть высокочастотным:
to > —j в случае рис. 64,to > -^в случае рис. 62. В такой теории
условие на частоту, содержащее постоянную Планка %, есть следст-
следствие применения квантовой механики к электронам и позитронам.
Возможно ли рождение пар статическим полем с со=0? Такой
процесс возможен, но он имеет принципиально иной механизм. Пред-
Представим себе постоянное (в пространстве и во времени) электрическое
поле £• Пусть в точке х„ родилась пара (для этого нужна энергия
2тс2). Перемещение позитрона из х0 в х± сопровождается выделе-
выделением энергии eS(xt—хв). Перемещение электрона из хв в ха сопро-
сопровождается выделением энергии — e£(x*—х„) *). Таким образом,
необходимая затрата энергии при рождении покоящегося позитрона
в Хх и покоящегося электрона в х2 есть
Д£0=-2/лс2—eS(xl—xt). B3.5.1)
Если xt — х2 мало, процесс невозможен без какого-то дополнитель-
дополнительного источника энергии. Если хг—jc2>-^-, то Д£о<;0, но из
положения легко выйти: на таком расстоянии электрон и позитрон
движутся с конечной скоростью, энергия каждого из них больше тс2.
Таким образом, рождение пар статическим полем энергетически
возможно. Однако при этом первое условие заключается в том, чтобы
область пространства, занятая полем, была достаточно велика (раз-
(разность потенциалов больше -~ больше 10е в). При этом е+ и
е~ рождаются на определенном расстоянии и лишь после этого
ускоряются. Очевидно, что классически нельзя себе представить
одновременное возникновение разных зарядов в разных точках
пространства. Нарушается не только причинная связь, нарушается
(в каждой точке в отдельности — не в системе в целом) сохранение
заряда при попытке классического описания процесса.
Следовательно, для понимания процесса и здесь необходима
квантовая механика движения электрона и позитрона. Область про-
пространства (при малых Хг — jc2), где электрон и позитрон по энерге-
энергетическим соображениям не могут находиться классически, они
проходят туннельно, под барьером. Из этих соображений можно
определить вероятность рождения пары: главный множитель есть
В &х тс \ А 2/гас2 ^ %
- ' 1 где Дл; = -^я— ширина барьера,— — ха-
*) Представьте себе, что они родились в х0, а потом перемещались; энергети-
энергетический баланс зависит от их пути.

$ 5] РОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 643
рактерная длина волны C,7-10~" см), р — численный коэффици-
коэффициент порядка единицы. Характерное поле, при котором вероятность
рождения не слишком мала, порядка 10" в/см.
Такой процесс до сих пор не наблюдался. Развитие лазерной
техники позволяет надеяться на его осуществление в ближайшие
10—20 лет *).
Подробные расчеты процесса проделали Никишов A969), На-
рожный и Никишов A970). В непосредственной близости к атом-
атомному ядру электрическое поле значительно больше приведенной
выше характерной величины; около ядра урана поле достигает
Ю18 в/см\ Однако поле ядра быстро убывает с расстоянием. Поэтому
спонтанное рождение пар е+е~ в поле ядра могло бы происходить
лишь для гипотетических ядер с зарядом (атомным номером) боль-
больше 170.
Рождение пар в электромагнитном поле тяжелых ядер рассмот-
рассмотрено в обзоре Зельдовича и Попова A971), там же см. ссылки на
оригинальные работы. Рождение пар статическим полем нельзя
представить в виде суммы диаграмм типа рис. 64 (с одной фотонной
линией), рис. 62 (с двумя фотонными линиями) и т. д. **).
Обратимся к предельному случаю низкочастотного слабого
поля, т. е. к условиям, когда можно пренебречь рождением реальных
пар электронов и позитронов. Квантовая механика предсказывает
своеобразное явление — виртуальное рождение пар. Наглядно
можно представить себе, что пары рождаются и тут же исчезают.
Нет свободных заряженных частиц, но все же в среднем по времени
появляются плотность заряда и электрический ток, отличные от
нуля. Это явление принято называть «поляризацией вакуума».
Полезно обратиться к принципиальным основам. Теория элемен-
элементарных заряженных частиц симметрична относительно знака заря-
заряда. «Положительный» знак заряда позитрона — это условность,
преобладание электронов и протонов (по крайней мере в нашей ок-
окрестности, см. главу о зарядовой симметрии) отражает начальные
условия Вселенной, а не локальные законы физики.
Отсюда следует, что вакуум должен быть электрически нейт-
нейтральным.
*) Отметим, что в плоской волне какой бы то ни было интенсивности рожде-
рождение пар невозможно. Это видно уже из того, что при определенном преобразо-
преобразовании Лоренца (т. е. для наблюдателя, движущегося в направлении распростра-
распространения волны) напряженность электрического и магнитного поля данной волны
может быть сделана как угодно малой. Для того чтобы с помощью лазерного луча
Рождать пары, надо столкнуть два встречных сфокусированных пучка лучей.
Вопрос рассмотрен, в частности, Багровым, Бозриковым, Гитманом A973).
**) Формально это проявляется в том. что вероятность процесса
— ехР ( —-£■ 1 нельзя разложить в ряд по степеням Е.
21»

644 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Однако электрические и магнитные поля, очевидно, нарушают
зарядовую симметрию вакуума *). При наличии полей появляются
заряды и токи. Эти заряды и токи должны выражаться через элект-
электромагнитные поля**). При этом самые общие свойства—векторный
и тензорный характер рассматриваемых величин, инвариантность
теории относительно калибровки потенциала и т. п.— сильно огра-
ограничивают вид формул, связывающих поля и вакуумные токи.
Будем характеризовать поле с помощью 4-вектора А{= (А^,
Л0=ф). Наряду с Ai векторами являются также ПЛ,- DD^/ и т. д.—
пока мы ограничиваемся величинами, линейными йо полю. Следо-
Следовательно, для вакуумного тока можно предложить формулы (ин-
(индекс в скобках «в» — вакуум)
/B) = aOi4, /,„, = «! О Л, /■> = а,ППЛ, ••• B3.5.2)
Из них выражение с а0 отпадает в силу калибровочной инвариант-
инвариантности. Только сами поля, электрическое и магнитное, имеют фи-
физический смысл, могут быть локально измерены и однозначно опре-
определены; вектор-потенциал А определен неоднозначно, следователь-
следовательно, соотношение с а0 не может иметь место.
Любопытна ситуация с ах; согласно уравнениям Максвелла
П А = 4nJ= 4л (Увн +/„,). B3.5.3)
В правой части стоит полный ток, т. е. сумма «внешнего» тока за-
заряженных частиц Увн и вакуумного тока /(в). Если, в свою очередь,
У,в) выражается формулой с аи то получим
□ Л = 4яУвн+4яа1П;4, п Л = 4л/вн/A—4яах) = 4я/набл. B3.5.4)
Все формулы электродинамики сохраняются, но вместо Увн фигу-
фигурирует пропорциональная ему величина унабл (наблюдаемый ток),
отличающаяся множителем A—4яа1)~1. Наблюдаемый заряд каж-
каждой элементарной частицы отличается на тот же множитель от
«истинного», «первоначального», «голого» заряда — происходит так
называемая перенормировка заряда.
Коэффициент перенормировки одинаков для всех заряженных
частиц, определить его экспериментально невозможно; расчет дает
,/набл</вн, поляризация вакуума частично экранирует го-
*) Остается филологический вопрос: следует ли называть вакуумом прост-
пространство, в котором существует электромагнитное поле? Примем здесь такое сог-
соглашение. В вакууме не должно быть свободных заряженных частиц, хотя и не
исключено электромагнитное поле, а следовательно, присутствие фотонов. Таким
образом, здесь следовало бы точнее сказать «вакуум заряженных частиц». В основ-
основных главах, посвященных теории тяготения, «вакуумом» называется пространство,
в котором отсутствуют какие бы то ни было свободные частицы и поля.
**) Об эффективных зарядах, появляющихся при рассмотрении уравне-
уравнений Максвелла в кривом пространстве, см. Зельдович A972в).

РОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
645
ль1Й заряд. При последовательном проведении расчетов [Ландау,
Померанчук A955I оказывается, что экранировка расходится (ло-
(логарифмически); в этом смысле не существует логически замкнутой,
последовательной квантовой электродинамики. Однако можно по-
построить расчеты так, чтобы во все наблюдаемые величины (сечения
рассеяния, уровни энергии и т. п.) входил наблюдаемый заряд ча-
частиц, и такая теория согласуется с опытом *).
Следующий член формулы с а2, дает реально наблюдаемые эф-
эффекты. Одной из компонент 4-вектора / является плотность заряда,
формула с а2 дает вакуумную плотность заря-
заряда, отличающуюся (как функция координат) от
плотности внешнего заряда. Именно член с а2
(и, в принципе, следующие) экспериментаторы
называют «поляризацией вакуума». Этот член
изменяет распределение потенциала около атом-
атомного ядра и вследствие этого сдвигает атомные
уровни. Такой сдвиг наблюден в настоящее вре-
время. Рассматриваемый эффект составляет около
2,5% всего квантовоэлектродинамического сдви-
сдвига в атоме водорода. Однако точность расчетов
и наблюдений столь велика (лучше 0,01%), что
вклад поляризации вакуума установлен вне вся-
всяких сомнений.
В ионах с большим зарядом ядра и в особен-
особенности в ионах с мюоном вместо электрона на
орбите эффект поляризации вакуума еще больше.
Выше рассматривались лишь линейные по потенциалу и полю
слагаемые /(в). На языке диаграмм они соответствуют рис. 65: ли-
линия электромагнитного .поля прерывается образованием виртуаль-
виртуальной пары е+е- (возникает /(в)), затем пара снова превращается
в поле — /(в) появляется в правой части уравнения для А. Пере-
Перенормировку заряда можно рассматривать как следствие того, что
фотон (или в более общей формулировке — поле) часть времени
проводит в виде пары: поскольку в эту часть времени фотон (поле)
не взаимодействует с другими, реальными заряженными частицами,
эффективное взаимодействие — а значит, и наблюдаемый заряд —
уменьшается.
Рис. 65. Образова-
Образование виртуальной
пары е+е-.
*) Уточним: не существует теории без параметра обрезания (на малых длинах
или на больших импульсах). Однако если такой параметр введен, то отношение
/иабл:/ви ~ (l S?5i in—) .Ошибки в теории, в которой фигурирует
\ ЗяЛс mtP/
/71 С
ен»бл> порядка —L_ , Не существует теории с Л-* оо («замкнутой»), но с
Л
практически удовлетворительная теория с т%с <^ А ^ т^с ехр ( -j J •

646 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Наряду с линейными эффектами, есть и слагаемые в плотности
заряда, пропорциональные третьей степени электромагнитного
поля (и более высоким нечетным степеням). Включая в рассмотре-
рассмотрение еще взаимодействие этого /(в) с полем, получим эффекты, соот-
соответствующие диаграмме с четырьмя фотонными (полевыми) линиями
(рис. 66). Такая диаграмма описывает рассеяние света на свете,
не наблюдавшееся до сих пор, а также
рассеяние света электрическим полем
ядра. Последний процесс, предсказан-
предсказанный Дельбрюком, успешно наблюдал-
наблюдался в лаборатории.
Эти процессы можно трактовать
как нелинейность электродинамики:
в лагранжиане появляются члены
~ (&*—Ж2У и (£&?У и более высокого
порядка. Соответственно в уравнениях
Максвелла появляются кубичные чле-
члены.
Рис. 66. Нелинейные процессы В электродинамике есть случаи,
в электродинамике; рассеяние когда поле можно рассматривать
света на свете. классически: уже указывалось, что
так можно действовать при боль-
больших числах заполнения. Не нужно квантовать также электро-
электростатическое поле, например кулоновское поле ядра или постоянное
магнитное поле. Квантовые эффекты в этих случаях связаны с при-
применением квантовой механики к электронам и позитронам. Однако
если условия таковы, что реальное рождение пар не происходит, то
эти эффекты можно выразить через мгновенные значения полей и
их производных.
В этом смысле говорят о квантовых поправках к уравнениям Мак-
Максвелла: вакуумный ток выражают через поля и помещают в левую
часть уравнений, оставляя в правой части лишь ток реальных ча-
частиц: ,
/*;* + 4я/да , = - 4я/,., „. B3.5.5)
Очевидно, что такая процедура с /<B)=/(F) возможна лишь до тех
пор, пока не становится существенным рождение реальных пар.
Эти пары неотличимы от внешних зарядов. Число пар, их дви-
движение, создаваемый ими ток — все эти величины зависят от всей
предыстории поля, их нельзя выразить через мгновенные локальные
величины. Поэтому для задач с рождением пар квантовые эффекты
обязательно требуют изменения правой части. Последовательное
описание рождения пар включает поляризацию вакуума как пер-
первую стадию. Только при совместном рассмотрении поляризации
вакуума и рождения пар устраняются парадоксы кажущегося на-
нарушения причинности и локального несохранения заряда. В таком

м1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ 647
* w
случае все эффекты — и виртуальные и реальные — рождения пар
целесообразно собрать в одном месте, в правой части уравнения,
как разные части вакуумного тока.
Вакуумный ток в данный момент в данной точке оказывается
сложным нелинейным нелокальным функционалом электромагнит-
электромагнитного поля в прошлом, в области влияния, примыкающей к данной
точке.
Ток /(В) удовлетворяет принципу причинности и сохранению
заряда. В такой концепции можно считать, что уравнения Максвел-
Максвелла не изменяются. Квантовые эффекты создают отличную от нуля
правую часть (ток) даже при отсутствии заряженных частиц в ис-
исходном состоянии. Именно такая трактовка, приспособленная
к случаю больших эффектов и рождения реальных пар, послужит
нам моделью при рассмотрении квантовых явлений в гравитацион-
гравитационном поле вблизи сингулярности.
Мораль, следующая из истории развития электродинамики, сво-
сводится к двум тезисам: 1) рассматриваются те (и только те) эффекты
и поправочные члены, которые являются прямым, необходимым,
неизбежным следствием неизменного начального предположения
об исходном взаимодействии электромагнитного поля с заряжен-
заряженными частицами; 2) опыт во всех деталях подтверждает теоретиче-
теоретические выводы, полученные таким путем. Продолжением данного па-
параграфа может служить статья Зельдовича A9726) в сборнике
«Магия без магии».
§ 6. Математическая теория рождения частиц
Данный параграф ориентирован на читателя, интересующегося
также и методической стороной теории. Все общефизические сооб-
соображения изложены ранее, в § 4; читатель, интересующийся только
результатами и общими идеями теории, без ущерба может пропустить
нижеследующее. В изложении следуем работе Зельдовича и Старо-
бинского A971).
Пусть мы имеем пространственно-плоскую однородную метрику
вида
dsi=-dti—a2(t)dx2—ba(t)dy2—c2(t)dzi, B3.6.1)
где а, Ь, с как функции t в задаче о рождении частиц считаем про-
произвольными. В этой метрике рассмотрим скалярное безмассовое
поле, удовлетворяющее конформно-инвариантному уравнению
(п-4)ф=о. <23-6-2)
что соответствует лагранжиану
B3.6.3)

648 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ 1ГЛ 23
О происхождении и роли добавки R/Ь, где R — скалярная кривизна,
см. работы Пенроуза A964), Тагирова и Черникова A968), в кото-
которых показано, как эта добавка обеспечивает конформную инвариант-
инвариантность.
Заметим, что простейшие волновые уравнения для поля со спи-
спином х/2 (нейтринное поле) и для векторного поля (уравнения Мак-
Максвелла) являются конформно-инвариантными без всяких добавок, но
рассмотрение их слишком сложно.
Произведем преобразование метрики к боЛее удобным пере-
переменным:
з/— —si. З/-7- —sb. 3/—
1/ etc 1/ efcc 1/ abc
B3.6.4)
3/Г ' ^ 3/Г
у abc v abc
В новых переменных
ds*= (abc)'/' [dr2—g*dx*—gldy*—gldz*]. B3.6.5)
Уравнение для ф имеет вид (при g1>2>s, зависящих только от т)
Пространственная однородность позволяет искать частные ре-
решения в виде
ф = е«'-%Л(т)- B3.6.7)
Уравнение для % имеет вид (индекс k опускаем)
= 0. B3.6.8)
• 2 .2 t2
Величину 4+-|+-1 удобно назвать частотой и обозначить
& & 8»
ш2(т). Конформная инвариантность теории использована выше
для того, чтобы уменьшить с трех до двух число функций, от которых
нетривиально зависит решение. Действительно, в последнее урав-
уравнение входят три функции, но они связаны одним тождеством
l
Решение уравнений ищем по методу Лагранжа, т. е. в виде ре-
решений, справедливых в адиабатическом приближении, умножен-
умноженных на функции времени.
•) Штрих означает дифференцирование по т.

,eJ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
Итак, по определению
а (т) - t f odx Q/x\ l Г <в dx
B3-6-9>
На Две функции аир накладываем дополнительное условие:
/ -tfodx й /т\ * Г <в dx\
Сопоставляя с полным выражением для Хй, получим уравнение,
связывающее а' и Р'.
С учетом этого уравнения получим окончательно систему
B3-6-M>
Рассмотрим общие свойства системы. Она имеет точный интеграл
|о|«—|р |« = const. B3.6.12)
При итеративном решении, задавшись начальным условием а=1,
Р=0при £=т=—оо, получим (при малых —^ и -^)
Эти свойства имеют ясное истолкование. В классической теории
-tftadx+ikr tftadx+tkr
решения <хе и |3е соответствуют распро-
распространению волн в противоположных направлениях. Пока a=const,
Р=0, имеем одну волну, адиабатически изменяющуюся в пе-
переменной метрике.
Условие | а \2— | р |2= | а_ „ |а означает, что одновременно рождают-
рождаются две волны противоположного направления, так что общее коли-
количество движения поля не изменяется: если начальная волна несла
импульс с1г\а-„\2, то добавились волны, несущие сЛ(|а|2—|а„,_|2)
и с(—k) | р|2; суммарный их вклад равен нулю. Сохранение количест-
количества движения является естественным следствием однородности прост-
пространства.
Другим проявлением попарного рождения волн является тот
факт, что в дифференциальные уравнения, связывающие аир
между собой, входят экспоненты удвоенной частоты. Следовательно,
амплитуда р зависит от фурье-компоненты изменения метрики с уд-

650 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
военной частотой. На квантовом языке можно сказать, что у внеш-
внешнего гравитационного поля заимствуются порции энергии, равные
2^ю, в соответствии с тем, что кванты скалярного поля рождаются
парами, с энергией Асо каждый.
Если бы при t=—оо была задана стоячая волна вида
~а„ sin (со*+6) sin (kr f x), то при t=+oo получилась бы также стоя-
стоячая волна, амплитуда которой может быть больше или меньше на-
начальной амплитуды а0, в зависимости от начальной фазы.
Возмущение метрики происходит во вполне определенный пе-
период времени, характеризуемый видом функций а, Ь, с. Поэтому
в формулировке задачи нет группы сдвига по времени и возникает
зависимость от начальной фазы. Результаты для бегущей комплекс-
-« I adx+ihr
ной волны вида а-^е , очевидно, не зависят от
начальной фазы. Изменение энергии бегущей волны под действием
возмущения метрики всегда положительно и равно усредненному по
фазе б изменению энергии стоячей волны; оно и вычислено.
Конформная инвариантность теории проявляется в том, что
в уравнения входят только разности скоростей расширения, раз-
разности постоянных Хаббла по различным осям.
• До сих пор рассматривалась задача о классическом поле. Пос-
После фурье-разложения уравнение, характеризующее амплитуду
данной пространственной моды, есть уравнение гармонического ос-
осциллятора. Спектр гармонического осциллятора эквидистантен:
Е=A/2+п*)Ьы, где п* — целое число. В полном соответствии
с этим энергия данной волны может принимать собственные значе-
значения £=const+п*%ы в соответствии с числом п* квантов поля
с данным волновым вектором. Хорошо известно, что в случае ос-
осциллятора между -результатами квантовой и классической тео-
теорий есть далеко идущее совпадение. Расчеты по теории квантован-
квантованных полей (слишком сложные для данной книги) приводят к ре-
результатам, совпадающим с классическими, описанными выше, при
условии правильного выбора начальной амплитуды а_„, соответст-
соответствующей энергии ^?.
В космологические задачи входят плотность энергии и другие
компоненты тензора энергии-импульса, зависящие от рассматрива-
рассматриваемого поля. Эти величины получаются сложением вклада отдельных
мод, т. е. интегрированием в пространстве волновых векторов k.
Такие интегралы оказываются расходящимися, так, например, сум-
сумма нулевых энергий fiw/2 всех возможных колебаний бесконечна.
Поэтому возникает необходимость перенормировки теории, при-
притом такой, которая оставляла бы в силе все общие свойства резуль-
результата. Предлагается каждой данной волне с импульсом Л сопоставлять
волну с ббльшим импульсом nk и, соответственно, меньшей ам-
амплитудой а-п/У^п. Вычитая из энергии Л-волны энергию nk -волны,

s 7] сверхпространство и минисверхпространство 651
уничтожим нулевую энергию; аналогично устраняем и другие рас-
расходимости. В конечных результатах полагаем п-*-°о. Достоинство
метода заключается в том, что на всех этапах рассматриваются ре-
решения полевых уравнений (и для Л-волны и для яЛ-волны). Это
обеспечивает конформную инвариантность и выполнение законов
сохранения.
С другой стороны, Л-волна подвергается нетривиальному воздей-
воздействию гравитационного поля, тогда как яЛ-волна при п->-оо ведет
себя строго адиабатично. Поэтому энергия новых волн, рожденных
гравитационным полем (|р|2,|сс|2—|а_„|2), остается нетронутой, не
подвергается вычитанию при такой процедуре ренормализации.
Этот метод подобен методу Паули — Вилларса, с той разницей, что
не вводятся большие массы, а значит, сохраняется конформная ин-
инвариантность теории. Паркер, Фуллинг A974), Фуллинг, Паркер
A974) нашли другое обоснование предлагаемого способа перенор-
перенормировки . в
§ 7. Сверхпространство и минисверхпространство
Квантование эволюции Вселенной как целого — такова конеч-
конечная цель теории сверхпространства, развиваемой, начиная с 1960 г.,
Уилером [обзор см. Мизнер, Торн, Уилер A973)] и его последо-
последователями.
Для решения этой задачи Уилер использует формулировку кван-
квантовой теории, предложенную Фейнманом в 1948 г.,— формулировку,
в которой связь с классической теорией проявляется наиболее ярко.
Классическую теорию (механику, электродинамику и даже об-
общую теорию относительности) можно формулировать в виде «прин-
«принципа наименьшего действия».
При заданных начальном и конечном состояниях рассматривае-
рассматриваемой системы осуществляется то движение, для которого интеграл
\Sdt экстремален. Квантовая теория является вероятностной.
В ней осуществляются и такие процессы (например, прохождение
под барьером), которые невозможны в классической теории.
Фейнман предлагает рассматривать абсолютно все траектории,
ведущие из начального состояния в конечное. В понятие «все»
попадают, например, в задаче о свободной частице, на которую не
действуют никакие силы, движения по зигзагу, с переменной ско-
скоростью и т. д. Для каждой траектории вычисляется интеграл ^ 3 dt.
Вероятность попадания из данного начального состояния в данное
конечное дается квадратом величины \G(xlt *2)|, а сама G есть сумма
G(xlt xi) = 2iexp(jrfedt\ B3.7.1)

652 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
взятая по всем траекториям. Фейнман показывает, что такая фор-
формулировка эквивалентна традиционной шредингеровской или гей-
гейзенберговской квантовой механике. Ясно, что наибольший вклад
в сумму дают те траектории, для которых фазовый множитель
1 С
\S?dt почти одинаков, отличается меньше чем на п. В этом случае
экспоненты просто складываются. Если в совокупности траекторий
1 С
-r\3?dt меняется сильно, соответствующие экспоненты в сумме
уничтожают друг друга. Очевидно, что близкие значения }& dt
дают именно те траектории, которые близки к экстремальной, т. е.
к классической. Принцип Фейнмана можно применить и к сложной
системе. Полная характеристика сложной системы требует задания
большого числа параметров. Следовательно, надо рассматривать
«траекторию» в пространстве большого числа измерений.
Уилер смело обобщает эту идею на Вселенную как целое —
4-мерное многообразие, вместе с веществом, содержащимся в этом
многообразии. Пространство, точками которого являются все воз-
возможные состояния Вселенной, названо сверхпространством. Ли-
Линия — траектория в этом пространстве — представляет собой один
вариант эволюции Вселенной, вообще говоря, не удовлетворяющей
уравнениям ОТО. Однако вычисление интеграла действия и отбор
групп траекторий, дающих главный вклад в G(xx, xa), приводят
(благодаря правильному выбору L) к траекториям, соответствую-
соответствующим ОТО. Одновременно можно, в принципе, определить и степень
квантовых отклонений от классической траектории.
Практическое проведение такой программы в общем случае свя-
связано с гигантскими трудностями, не преодоленными в настоящее
время. Например, одна и та же картина эволюции в общем случае
может быть по-разному параметризована, можно по-разному выби-
выбирать последователвность трехмерных сечений; не ясно, как в общем
случае уберечься от описания одного и того же явления разными
траекториями в сверхпространстве; не ясно, как быть с открытым,
бесконечным миром.
Мизнер поставил задачу ограниченную, но реальную: он рас-
рассматривает эволюцию замкнутого однородного мира, типа IX Биан-
ки. Предполагается, что мир все время остается однородным и тип
его не меняется. Мгновенное состояние описывается теперь тремя
параметрами а, Ь, с. Следовательно, в этом приближении бесконеч-
бесконечномерное сверхпространство свелось к пространству трех измере-
измерений — «минисверхпространству» Мизнера.
Квантовую теорию в этом случае можно формулировать с по-
помощью фейнмановских траекторий в минисверхпространстве, но
можно также писать уравнение Шредингера для волновой функции
У (а, Ь, с, /).

j 7] СВЕРХПРОСТРАНСТВО И МИНИСВЕРХПРОСТРАНСТВО 653
Квадрат модуля Ч? дает вероятность того, что мир в данный мо-
момент t имеет определенные значения а, Ь, с. В уравнении Шредин-
гера (или в функции Лагранжа) фигурирует кинетическая энер-
энергия, зависящая от импульсов ра, рь, ре или соответствующих скоро-
скоростей а, Ь, с. Роль потенциальной энергии играет вклад пространст-
пространственной кривизны, т. е. величины типа -^ и т. д. Вблизи нулей а,
Ь, с, т. е. вблизи сингулярности, потенциальная энергия бесконечна.
Особенность квантовой задачи состоит в том, что в принципе возмо-
возможен переход от коллапса к космологическому расширению подобно
тому, как заряженная частица может быть рассеяна на кулоновском
центре. Впрочем, аналогия здесь не точна, ведь рассеяние частиц
возможно и в классической теории, частица может пролетать «сбоку»
от кулоновского центра. Между тем в задаче ОТО коллапс однород-
однородного мира неизбежно приводит к бесконечной плотности, объем
мира V, пропорциональный abc, обращается в нуль.
Как помогает в данном случае квантовая теория минисверх-
пространства? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно прежде всего
выяснить, насколько «квантовым» является мир. Общеизвестно, что
основное квантовое состояние (нижнее, номер один) любой системы
не похоже на классическое. Напротив, высоковозбужденные кван-
квантовые состояния с большими квантовыми числами (и их суперпози-
суперпозиции) описывают классическое движение. Дадим оценку номера того
квантового состояния, которое соответствует усредненному дви-
движению мира в настоящее время.
Грубая оценка дает кинетическую энергию *) {ажЬжс)
_с*.. B372)
Импульс ра, соответствующий координате а, ра=-Щ- = —^-. По
да "
порядку величины
где Т — возраст Вселенной, Т~ 10" сек, ^пл = V ff = 10~43 сек
(для оценки принимаем а=аТ~ *, а=сТ). Квантовые поправки к дви-
движению мира как целого в настоящее время порядка п-1=10~120
и невообразимо малы. Число п — номер уровня — является адиа-
адиабатическим инвариантом. Действительно, в казнеровском решении
и в решении Лифшица, Халатникова, Белинского V~as<~t, a2a=
=const (в самом грубом приближении, полагая fc)
•) Здесь С — скорость света, в отличие от с — одного из параметров задачи.

654 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Характерные параметры наибольшего сжатия в такой теории
определить гораздо труднее. Простейшая оценка состоит в том,
чтобы положить а ~Ь ~с ~ 1ЛЛ~ }/ ^g- ~ 10~33 см, что даст
tx — время остановки:
ll Aш \ — Aм. V- / / ( *па У 1Г)-1вз грк ОЧ 7 41
т~[ст) ~\ т ) ' *~ лл\^Г) ~ K^.i.i)
Возможно, что параметры зависят именно от анизотропии сжатия,
т. е. от того, что а, Ь, с различны, тогда как выше мы приближенно,
усредняя по циклам и эрам решения Лифшица, Халатникова, Бе-
Белинского, считали а~Ъ~с.
Но и в этом случае получится Л<^пл.
Такой результат не удивителен, так как Вселенная представ-
представляет собой огромный — самый большой — объект. Но тогда естест-
естественно, что для Вселенной в целом квантовые эффекты возникают
позже (ближе к сингулярности), чем для ее частей. Поэтому вряд
ли верна буквально теория минисверхпространства Мизнера, осно-
основанная на классических уравнениях ОТО. Вероятно это направление
возродится позже, когда будут достаточно исследованы локально-
квантовые эффекты.
§ 8. Гипотеза несохранения барионов и зарядовая
несимметрия элементарных частиц
Радикальным решением вопроса о зарядовой симметрии Вселен-
Вселенной является отказ от сохранения барионного заряда. Одновременно
отпал бы и важнейший мотив — непрерывность барионных миро-
мировых линий — для поисков теории перехода через сингулярность.
Рассмотрим вкратце некоторые работы, в которых делается по-
попытка развить гипотезу несохранения барионного заряда.
В первой работе — Сахарова A967а) предполагается, что воз-
возможен процесс р ±=5 2ц.++Ц-~ .Во второй работе— Кузьмина A970)
вводится процесс х°-»-Ы(или N) +1+1. где х°—истинно ней-
нейтральный фермион, N (N) — барион (антибарион), 1 A)— лептон
(антилептон). Наконец, в недавних работах Пати, Салама A973)
возможность несохранения барионного заряда связывается с гипо-
гипотезой, согласно которой барионы состоят из кварков с целыми элек-
электрическими зарядами.
Конечной целью упомянутых работ является получение совре-
современного зарядово-несимметричного состояния в предположении
начального симметричного состояния горячей плазмы. Нужно под-
подчеркнуть, что для получения этого результата необходимо, но не-
недостаточно ввести несохранение барионов.
В самом деле, в теории элементарных частиц можно переносить
частицу с правой стороны на левую сторону, превращая ее в анти-

- g] ГИПОТЕЗА НЕСОХРАНЕНИЯ БАРИОНОВ 655
частицу. Следовательно, наряду с процессами рождения и уничто-
уничтожения барионов, идут и процессы рождения и уничтожения анти-
барионов.
До 1964 г. догматом веры было к тому же равенство всех вероят-
вероятностей и сечений, относящихся к частицам и античастицам. В такой
теории зарядовая асимметрия, очевидно, не возникнет и после того,
как будет сделано предположение о несохранении барионного за-
заряда.
Однако в настоящее время мы знаем на основе точных лабора-
лабораторных экспериментов, что нет точной симметрии свойств частиц
и античастиц. Согласно современной теории, точно равны массы
частиц и античастиц, равны по величине и противоположны по
знаку заряды частиц и античастиц. Более того, равны полные вероят-
вероятности распада нестабильных частиц и античастиц. Однако при на-
наличии нескольких вариантов распада проявляется нарушение заря-
зарядовой симметрии. Так, например, экспериментально достоверно
установлено, что вероятность распада долгоживущего нейтрального
каона К^ на п~, е+, ve больше,1 чем на п+, е~, ve, в отношении 1,003.
Следовательно, в принципе можно представить себе, что W+ и W~ —
бозоны, у которых есть несколько каналов распада,— имеют раз-
различную вероятность распада с изменением барионного заряда. Пусть
вероятность процесса W+=p+v больше вероятности процесса W~ =
=p+v и это компенсируется обратным соотношением вероятностей
W+=e++v и W~=e-+v. При распаде смеси из равного числа
W+ и W~ может возникнуть избыток р и е~ над р и е+, т. е. возник-
возникнет обычное вещество.
Ожидаемый эффект ничтожен, и, по-видимому, объяснить та-
таким образом асимметрию Вселенной не удается. Дело в том, что про-
происходит перемножение малых величин, нагромождение малове-
маловероятных гипотез. Прежде всего, несохранение барионного заряда
до сих пор не наблюдалось. При несохранении барионов любое ядро
способно распадаться, например:
Не4 = р + Р + энергия.
Эксперимент приводит к суровым ограничениям: вероятность рас-
распада такого рода меньше 10~37 сек, что соответствует времени
жизни больше 1080 лет. Отсюда вытекает малая вероятность самого
элементарного процесса W+=p+v или 2ji+ + H-~=P или других
подобных процессов.
Все остроумие цитированных выше работ заключается в прео-
преодолении этого кажущегося противоречия. Можно ли совместить
значительную вероятность процессов несохранения барионного
заряда (необходимую для того, чтобы процесс мог играть космоло-
космологическую роль) с наблюдаемой стабильностью нуклонов и ядер?
Предположим, что Кварки способны распадаться на п лептонов,

E56 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
q-^nl, и взаимодействие распада пропорционально малой кон-
константе g#, так что время жизни кварка iq~g72.
Барион состоит из трех кварков; динамика взаимодействия
кварков предполагается такой, что кварк и дикварк гораздо тяже-
тяжелее, чем трикварк, т. е. барион:
В таком случае распад
B-Cq) —Bq) + «l ,
энергетически запрещен. Барион либо распадается целиком, т. е.
так, что все три кварка превращаются в лептоны, например:
В
либо совсем не распадается. В такой схеме распад бариона есть про-
процесс третьего порядка, и грубая оценка даст
Значит, полагая, например, Tq«?10~8 сек, получим тв«1088 сек,
что не противоречит опыту [Пати, Салам A973)].
Такая гипотеза является необходимым — с точки зрения кос-
космологии — дополнением идеи кварков. Спонтанный распад
кварков, если такие частицы вообще существуют, нужен для объяс-
объяснения отрицательного результата поисков свободных кварков*).
Вернемся к вопросу о возможном объяснении избытка барионов.
Асимметрия — различие между частицами и античастицами —
во всех случаях мала. Выше написано, что в принципе такое от-
отличие есть, но надо уточнить: в теории сильного и электромагнит-
электромагнитного взаимодействий отличия нет, оно появляется только как малая
поправка в процессах слабого взаимодействия. Наконец, асиммет-
асимметрия частиц и античастиц не нарушает термодинамики применитель-
применительно к стационарному, равновесному состоянию. Если и^-вероятность
процесса W+=p+\> больше ша-вероятности процесса W~=p+v,
то обязательно оусечение v+p=W+ также больше оусечения v+p=
=W~ .По-видимому, равновесная концентрация рир останется оди-
одинаковой в статическом случае и при учете того, что теория несим-
несимметрична. Это утверждение подобно точной теореме о равенстве
масс частиц и античастиц. К сожалению, нет работ, в которых ис-
исследовались бы термодинамические выводы зарядово-несимметрич-
ной теории.
*) Другой выход заключается в предположении, что барионы состоят из
двух кварков и одного антикварка (B=»2qq), барионный варяд целый и они
нестабильны, несмотря на точное сохранение барионного заряда.

j 9] ХОЛОДНАЯ ВСЕЛЕННАЯ И СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ 657
Вернемся к космологии. Избыток барионов над антибарионами
может получиться лишь в связи с тем, что задача нестационарна,
происходит расширение, задана «стрела» времени! Но это значит,
что появится еще один множитель меньше единицы. Дальнейшая
дискуссия о теории, не сформулированной количественно ее авто-
авторами, вряд ли целесообразна. Никто до сих пор не показал, что
можно совместить наблюдаемую стабильность ядер в лаборатории
и состав Вселенной с зарядово-симметричным сингулярным со-
состоянием.
Но высшая ирония заключается в том, что после эксперимен-
экспериментального открытия зарядовой несимметрии в физике частиц сама
идея зарядово-симметричной Вселенной в значительной мере теряет
свою привлекательность!
§ 9. Холодная Вселенная и спектр возмущений
Рассмотрим гипотезу о холодном веществе, состоящем из одних
только барионов (без примеси антибарионов), вблизи сингулярности.
Эта гипотеза противоположна гипотезам о зарядово-симметрин-
ной Вселенной, изложенным выше.
Сосуществование противоположных гипотез в одной книге отра-
отражает всю трудность вопроса о состоянии Вселенной и заполняющего
Вселенную вещества вблизи сингулярности. Последовательное ло-
логическое и математическое развитие каждой гипотезы и ее следствий
до сопоставления с наблюдениями является единственным способом
выяснения истины. Возрождение гипотезы холодной Вселенной
только отчасти связано с трудностями других, «горячих» теорий.
«Холодная» гипотеза естественно сочетается с предположением об
изотропном (фридмановском) характере расширения вблизи сингу-
сингулярности.
Изотропия означает макроскопическую упорядоченность на-
начального состояния, малая начальная энтропия соответствует
упорядоченности на микроскопическом уровне!
В настоящее время Вселенная является «горячей», удельная
энтропия велика.
Неотъемлемой частью гипотезы о холодном начале эволюции
является объяснение того, когда и как возникла современная боль-
большая энтропия, когда и как Вселенная стала горячей. Предпола-
Предполагается, что это произошло при V таком, что 10"e ceK^>t'^>tn]l=^
=10~*s сек, в результате превращения в тепло энергии малых воз-
возмущений.
Для этого необходимы возмущения той же амплитуды, что и для
образования скоплений галактик, но предельно малой длины волны.
Предположение о едином спектре возмущений в широчайшем диа-
диапазоне длин волн приводит к разумному объяснению величины
энтропии.

658 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Привлекательность такой теории (или гипотезы) состоит в том,
что находит естественное объяснение очень своеобразный состав
вещества в адронной эре.
Мы отмечаем, что в адронной эре при Т^трс2 на 108 антибарио-
нов приходится 108+1 барион, и это соотношение с характерным
избытком барионов имеет место везде. При рассмотрении вопроса об
антиматерии во Вселенной был сделан вывод, что маловероятно
существование макроскопических областей с избытком антибари-
онов.
В рассматриваемой здесь гипотезе холодное вещество везде
состоит из барионов. В результате его нагревания возникают пары
ВВ; очевидно, что при этом везде сохраняется избыток барионов,
соответствующий их начальной плотности.
Если дополнительно предположить, что лептонный заряд исход-
исходного холодного вещества того же порядка, что и барионныи, или
равен нулю, то после нагрева получится вещество с почти одинако-
одинаковой плотностью нейтрино и антинейтрино. Исследование нуклеосин-
нуклеосинтеза приводит к выводу, что состав с v«v наиболее вероятен.
Для того чтобы теория нуклеосинтеза осталась действительной,
необходимо, чтобы нагревание вещества и переход от холодной мо-
модели к горячей происходили бы достаточно рано, при температуре
выше 10 Мэв, т. е. не позднее 2=0,01 сек после сингулярности. При
этом полностью обеспечено и установление равновесного планков-
ского спектра излучения. Гипотеза естественно приводит к этим ре-
результатам.
Что можно предположить об источнике нагрева? В данном пара-
параграфе предлагается гипотеза, основанная на экстраполяции воз-
возмущений плотности и метрики от масштабов скоплений галактик
до самого малого масштаба, равного среднему расстоянию между
соседними барионами. Эти возмущения наложены на однородное
и изотропное фридмановское решение. Предполагается, что исход-
исходный холодный барионныи газ подчиняется известному предельному
жесткому уравнению состояния [Зельдович A961)]е = Р = -^, где
п — плотность барионов, т — величина размерности массы, по-
порядка массы покоя бариона; принято %=с=\.
Длинноволновая часть спектра возмущения ответственна за
образование скоплений галактик. Необходимо, чтобы начальное
возмущение метрики и геометрии было (в нужном масштабе) по-
порядка fe=10~4. Этому соответствует возмущение плотности в том
же масштабе, достигающее fc=10~4 к моменту, когда длина волны
сравнивается с «горизонтом» ct. Во время периода X>ct возмущение
метрики постоянно, что с очевидностью следует из отсутствия вза-
взаимодействия между частями Вселенной, находящимися на рас-
расстоянии Я друг от друга. Между тем -£ в этом периоде

ХОЛОДНАЯ ВСЕЛЕННАЯ И СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ 659
S 9]
стет, причем закон роста зависит от уравнения состояния
(bfL^t'1' для Р = е;-Ц-~( для Р = ~\. Поэтому удобно ха-
актеризовать начальный спектр именно возмущениями метрики.
ГТпи этом нет надобности уточнять, к какому именно моменту
времени эти возмущения относятся.
Предлагается считать начальные возмущения метрики не за-
зависящими от масштаба *). Нужно подчеркнуть, что «независимость»
есть частный вид функции; в этом месте делается еще одно опреде-
определенное произвольное предположение, которое, по крайней мере
в настоящее время, не обосновано фундаментальной теорией, наб-
наблюдения дают только косвенные намеки в пользу предположения
о постоянстве b в ограниченном интервале масс от 1012 Mq до 1023
Mq, т. е. 1023 п~1/"<Х<1О2вп~1/". Между тем для предлагаемой ги-
гипотезы нужно экстраполировать спектр возмущений к массе, рав-
равной массе одного бариона, т. е. 10~67 MQ. .
Итак, все предположения перечислены. Покажем, как произво-
производится вычисление. Будем систематически опускать все численные
множители и пользоваться системой единиц %=с=\, сохраняя
обычные обозначения G для постоянной тяготения и т (без
индекса) для массы протона. Обозначим безразмерную величину
g = Gm* I = -т— ) = 10 38.
Невозмущенная динамика расширения дается формулами
p = n2m-2 = G-^-2, n = mG-1/'t-1. B3.9.1)
Флуктуации плотности выражаются через флуктуации метрики
Ь (ср. гл. И, § 3):
6р = bG-1X~2. B3.9.2)
Отсюда получим для наиболее коротких волн (Atoin=n~1/») и при-
притом в течение того периода, когда Amin;>*, а следовательно, fc=const:
ep = fcG-*W./-V. B3.9.3)
и, соответственно, -£ ~ t*':
Найдем момент tu когда возмущения превращаются в акусти-
акустические волны. Условие
вместе с выражением для п дает
'i = G'/«m-1\ p.=G~''m, 6p.=fcC- -m, ^ = b. B3.9.5)
P
) От масштаба не зависит безразмерная величина возмущения метрики h(M),
0 не фурье-компонента hk; связь их: А = ^(ЛдJ Л3 (см. гл. 12).

660 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ £ГЛ. 23
Последнее выражение можно было написать сразу: известно, что
в момент перехода от автомодельных к акустическим возмущениям
возмущение плотности (безразмерное) как раз равно возмущению
метрики.
Подсчитаем акустическую энергию и затем температуру и энтро-
энтропию, получившуюся при затухании акустических колебаний, пре-
превращающихся в другие формы энергии:
Р
7» = fc'/,G-V.mV«. B3.9.6)
Безразмерная энтропия равна
с ^8 »,•/ -»/ • •/ •
"= п = ё яа • I • •')
Итак, для того чтобы получить значение S, соответствующее наб-
наблюдениям (для круглого счета выберем его равным 108'26), необ-
необходимо выбрать fc=10~4, что и утверждалось в начале параграфа.
Остановимся на мотивировке проделанного расчета.
Наиболее важный вопрос заключается в том, что вправе ли мы
ограничиваться длиной волны К^Кт1п=п~1/'. Ответ связан с оп-
определенными представлениями о состоянии вещества с предельно
жестким уравнением состояния. Главный вклад в плотность энер-
энергии такого вещества дает статическое векторное поле, источником
которого являются барионы. Мезоны, соответствующие этому полю,
названы вектонами [Кобзарев, Окунь A962)], поле кратко называем
вектонным.
Статическое поле подобно кулоновскому полю заряда (отличие
заключается в конечном радиусе действия векторного поля), и
потому это поле не флуктуирует и не квантуется. У вектонного поля
есть поперечные степени свободы, подобные электромагнитным вол-
волнам, однако их возбуждение означало бы начальную температуру,
отличную от нуля. Вернемся к статическому полю; оно однозначно
зависит от распределения барионов в пространстве. Поэтому барио-
барионы вместе со своим полем образуют систему, в которой число сте-
степеней свободы равно числу барионов. Этому и соответствует (как
в теории теплоемкости твердого тела) выбор минимальной длины
волны *). Именно возмущение распределения барионов для длин-
длинных волн соответствует флуктуациям плотности. Возмущения
с ХтН1==п-1/' являются коротковолновым краем спектра, длинио-
*) Условие заключается в том, что интеграл V \ к2 dk, дающий число
о
волн в объеме V. равен nV — числу барионов в этом объеме.

9] ХОЛОДНАЯ ВСЕЛЕННАЯ И СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ 561
волновая часть которого вызывает образование скоплений галак-
галактик. Формулировка, касающаяся не зависящих от масштаба флук-
флуктуации метрики /i1=fc=10~4=const, удобна и легко запоминается,
однако надо подчеркнуть, что здесь приходится делать произволь-
произвольное предположение, оправданное только последующим совпадением
значения удельной энтропии с наблюдаемым. Можно сформулировать
исходную гипотезу как предположение о степенной зависимости
флуктуации плотности от массы (точнее—от числа барионов):
B3.9.8)
в области «tt (так что имеет место жесткое уравнение состояния)
иЯ>Ат1п, т. е. N>1. Как уже отмечалось, нужные нам флуктуации
меньше тех, которые получились бы при наивном подходе:
■P = -^-=W~1/1. Момент ti можно записать как
t1r=G1^g-1/'=l0a'bG1': B3.9.9)
Здесь (?/■ есть планковская единица времени глл, равная 0,5- 10~48се/с.
Как видно из выражения для tu существенны процессы,
происходящие значительно позднее (лд, а именно при ^=104 сек,
когда уже нет эффектов, связанных с квантованием самого прост-
пространства-времени или с поправками к общей теории относитель-
относительности.
В момент tt среднее расстояние между соседними барионами
равно 3-10~24 см, т. е. гораздо меньше комптоновской длины волны
бариона( — = 2 • 10* см ) ■ В более точной формуле для уравнения
состояния
B3.9.10)
последние два члена меньше первого в 1020 и 1030 раз, что и показы-
показывает главную роль вектонного поля в плотности энергии *).
Для расчета энтропии точный момент затухания акустических
волн и превращения их в тепло не играет роли. Если затухание
происходит позднее, при t>tt, то адиабатическое уменьшение плот-
плотности энергии акустических волн происходит по закону ъ~п<1г,
5=e*/.//i= const.
До затухания число фотонов на каждую моду акустических
колебаний равно ^ = bg-1f>-= 10ls. После затухания возникает
планковское равновесие, возбуждаются новые степени свободы
*) Малость барионного вклада по сравнению с энергией вектонного поля
как раз и позволяет не учитывать флуктуации плотности, зависящих от дискрет-
"ости «штучности» отдельных бариоиов.

662 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
(поперечные вектонные колебания, электромагнитные волны, пары
е+е~, пары vv, пары ВВ) с импульсом порядка Т, т. е. с длинами
волн порядка Т~1<ф.т1п=п~ч\ зато энергия каждой степени сво-
свободы в среднем оказывается меньше одного кванта поля (тождест-
(тождественно меньше 1 для фермионов и порядка 1/20 для бозонов около
максимума и в среднем, хотя в рэлей-джинсовской области т- > 1 ) .
Возбуждение большого числа степеней свободы с одновремен-
одновременным уменьшением числа элементарных возбуждений на моду от
10" до 1 — в этом заключается необратимый процесс возникнове-
возникновения энтропии из когерентных колебаний. Оценки амплитуды коле-
колебаний для длинных волн подробно рассмотрены в главе, посвящен-
посвященной образованию скоплений галактик.
В области, промежуточной между Amin и большими длинами волн,
возмущения, соответствующие fc~10~4, затухают, не оставляя наб-
наблюдаемых следов. Предлагаемая гипотеза задает величину этих
возмущений.
Отметим, что в момент tt возникает энтропия, но плотность энер-
энергии и давление определяются еще вектонным полем, тепловая энер-
энергия составляет долю b от полной энергии. Переход к радиационно-
доминированной ситуации происходит позже, в силу того что евек1 ~
~ я2, етепл~я4/з. Значит, еВект>етепл начиная с момента t2, когда
п < п2 = &'/„П1 = 10-«nlt *2 > Ь-шЫг = 10е*, = Ю-28 сек.
Остается неясным, являются ли возмущения метрики скалярными
(терминология Лифшица) или они удовлетворяют принципу равно-
равнораспределения,— тогда плотность гравитационных волн сравнима
с плотностью электромагнитного излучения (хотя и меньше), спектр
не похож на планковский и имеет максимум при Я~100 см.
В заключение напомним, что гипотеза, изложенная в настоящем
параграфе, использует недоказанные предположения (уравнение
состояния барионов, спектр возмущений), поэтому обязательной
она не является. Следует, однако, уже здесь указать на соображе-
соображения, которые высказал Грищук A974) и которые мы подробнее
разбираем в § 18. Согласно этим соображениям, уравнения для гра-
гравитационных волн не являются конформно-инвариантными: напом-
напомним, что равная нулю масса покоя соответствующих частиц (грави-
(гравитонов) есть условие, лишь необходимое для конформной инвариантно^-
сти. Как следствие/гравитоны рождаются также и в изотропной
сингулярности, т. е. в решении Фридмана вблизи 2=0. Спонтанное
рождение гравитонов отсутствует лишь в том частном случае, когда
отсутствует скаляр кривизны, ^=0, а для этого нужно, что-
чтобы Р=г/3.
В анизотропном мире рождение фотонов, нейтрино и других
частиц путем обратного влияния на метрику переводит мир на рель-

j ,„ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ВСЕЛЕННОЙ 663
сы изотропного расширения. Согласно Грищуку, рождение грави-
гравитонов путем обратного влияния на метрику переводит изотропное
произвольное расширение на рельсы изотропного расширения
с /?=0, Р=е/3 и лишь после этого эффективно выключается. Это
соображение накладывает существенное ограничение на уравнение
состояния при учете фактического, известного из наблюдений, со-
состояния Вселенной. В частности, изложенная выше в данном па-
параграфе картина холодного предельно жесткого барионного газа
существенно меняется. Уравнение состояния Р=е=л2т2 приво-
приводит к обильному рождению гравитонов, которое прекратится
лишь после того, как удельная энтропия достигнет значения
S = —= (Gm2)-'/t= Ю18, что резко превышает наблюдаемое зна-
В
чение (~109).
Если же уравнение состояния не является предельно жестким,
то при Р=е/3 (начиная с самой сингулярности) рождения гравито-
гравитонов вовсе нет. При Же/3 — например, в модели Xai едорна (см. § 2
этой главы) — роль гравитонов порядка единицы вблизи сингу-
сингулярности, но затем, по мере расширения, роль гравитонов умень-
уменьшается и становится гораздо меньше единицы, когда кончается
адронный период. Таким образом, соображения Грищука специфи-
специфически исключают только жесткое уравнение состояния.
Является ли это исключение окончательным? В работе Грищука
отмечается существование таких модификаций ОТО (совпадающих
со стандартной ОТО вне сингулярности), при которых рождение
гравитонов в изотропном случае запрещено. В связи с тем, что воп-
вопрос поставлен лишь очень недавно и до конца еще не выяснен, мы
ограничимся здесь сказанным.
§ 10. Теория стационарной Вселенной
Один из способов решения проблемы сингулярности заключается
в том, чтобы избавиться от сингулярности вовсе. Доказательство
существования сингулярности основано на предположении об
уравнении состояния вещества, заполняющего Вселенную. Вводя
гипотетическое поле с отрицательной плотностью энергии, можно
избежать космологической сингулярности *). Теория такого рода —
теория стационарной Вселенной (СВ) или, на языке авторов, «Steady
State Theory» — была развита Хойлом A948) и Бонди и Голдом
A948). В течение двух десятилетий значительная часть теоретиче-
теоретических и наблюдательных работ была посвящена проверке, развитию
и критике теории стационарной Вселенной.
*) Выводы, касающиеся коллапса изолированных тел большой массы и
плотности (например, звезд, исчерпавших горючее), при этом сохраняются.

664 ФИЗИЧР.СКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Уже по этой причине необходимо изложить ее содержание и сов-
современные взгляды на нее.
В теории СВ принимается метрика (с=1)
ds* = dt* —e2Ht(dx* + dy* + dz2). B3.10.1)
Из формулы видно, что пространство (сечение tf=const) является
плоским, Вселенная однородна и изотропна — можно смещаться
по координатам х, у, г и поворачиваться в этом пространстве. Эти
свойства СВ-модели являются общими с моделью Фридмана.
Новым свойством, специфичным для СВ, является группа сдвига
по времени. Все свойства метрики одинаковы в любой момент t.
Заменяя t на t+x, необходимо лишь переопределить координаты:
х' = еи*х, у' = еНху, z'=eHxz. B3.10.2)
Метрика СВ описывает расширение Вселённой, красное смещение
спектральных линий; значение постоянной Хаббла равно Н —
коэффициенту в показателе eiHt; при этом Н оказывается постоян-
постоянной величиной, не меняющейся в ходе эволюции *). Однородность
Вселенной, т. е. группу пространственных сдвигов, Бонди и Голд
A948) называют «космологическим принципом». Обобщая этот тер-
термин, Бонди называет «совершенным космологическим принципом»
полную группу сдвигов по пространству и времени, характерную
для метрики СВ.
С помощью уравнений ОТО найдем тот тензор энергии-импульса,
ту правую часть уравнений, которая необходима для того, чтобы
имело место B3.10.1) с //=const. В соответствии с общими формула-
формулами раздела I получим
^ |? B3.10.3)
откуда следует, в частности, Р=—е. В величины е и Р здесь
входит космологическая постоянная, если она отлична от нуля:
с4 с4
ел=8л<3 ^' ^л = — 8яО^' Метрика СВ является как раз точным
решением для пустого мира с положительной космологической по-
стояннои Л = —г- (см. об этом гл. 4).
*) Метрику Фридмана — Леметра можно записать в виде, схожем с B3.10.1).
заменяя Ж на \ Н (t)dt. Сингулярность решения Фридмана проявляется, в част-
частности, в том, что Н-* оо при некоем t, которое можно выбрать за нуль в отли-
чн« от СВ.

§ 10] ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ВСЕЛЕННОЙ 665
Однако авторы СВ предлагают свою теорию для описания реаль-
рой, наблюдаемой, «нашей» Вселенной, содержащей материю, звез-
звезды, барионы, реликтовое излучение.
Так как для обычной материи, плотность которой не менее
3- 10~sl г/см3, Явещ«^евещ, то в составе тензора энергии-импульса
должно быть поле («С-поле»), у которого Рс=—евещ—ес. Такое
поле нарушает одно из предположений, лежащих в основе теорем
о необходимости сингулярности [см. B2.1.7)]; формально именно
поэтому становится возможным решение без сингулярности в про-
прошлом и будущем.
Важнейший момент заключается в том, что авторы СВ требуют
истинной, физической, а не только метрической и геометрической
стационарности. Они не ограничиваются заданием метрики
B3.10.1).
По теории СВ необходимо, чтобы вечно, от t=—оо, сохранялась
одна и та же средняя плотность вещества рвещ и (добавлено после
1965 г.) реликтового излучения ррел. Если рождения барионов^не
происходит, то для плотности рвещ имеет место уравнение
^ щ, рвещ = в-з« const, B3.10.4)
что несовместимо с идеологией СВ. Авторы делают добавочное пред-
предположение о рождении барионов из С-поля:
*£ = _СМ-ЗЯ(ес+/>с). B3.10.5)
Подобрав подходящее А=ЗНрвещ, можно тождественно удовлет-
ворить обоим условиям стационарности, —^— = 0, -^ = 0, при
учете связи Рс и ес, следующей из уравнений ОТО *). Однако при
этом пришлось ввести неизвестный ранее процесс рождения вещест-
вещества из С-поля. Теория СВ по этой причине называют также теорией
непрерывного творения материи. Конкретный вид члена А и его
зависимость от ес, рвещ или других величин остаются неопределен-
неопределенными: можно положить А=Вгс и считать ес не зависящим от коор-
координат. В этом случае рождение происходит равномерно по всему
пространству; в работе Хойла и Нарликара A963) авторы полагают
Л=Весрвещ, рождение происходит преимущественно там, где уже
велика плотность вещества. Независимо от этого ответственным за
рождение является С-поле, член описывающий рождение должен
входить с плюсом в уравнение для вещества и с минусом в уравне-
уравнение для энергии С-поля, иначе нельзя совместить решение с урав-
уравнениями ОТО **).
4*) Плотность излучения рИЗл^Рвещ> Учет Ризл не изменит сути дела.
) Глубокая причина заключается в том, что уравнения ОТО содержат в себе
сохранения энергии.

666 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Сначала теория СВ попала в руки (точнее, была создана руками)
астрономов и проверке подвергались космологические выводы.
Совершенный космологический принцип является весьма жестким
утверждением: средняя плотность галактик, средняя их светимость,
число и свойства радиоисточников и т. п. должны быть неизменными,
в далеком прошлом они должны быть такими же, как в настоящее
время.
Предсказывается определенная кривая log N — log S для
числа радиоисточников. Оказалось, что предсказанная зависимость
не согласуется с наблюдениями (см. § 8 гл. 3). В теорию СВ нельзя
ввести функцию эволюции источников для согласования с наблю-
наблюдениями — отдельные источники эволюционируют, но Вселенная
в целом, в среднем, стационарна! Теория СВ предсказывает параметр
ускорения <7о=—1,-что также не согласуется с наблюдениями
(см. § 9 гл. 3).
Точность наблюдений невелика, статистическая обработка слож-
сложна, поэтому споры вокруг наблюдений продолжаются. Однако,
как нам кажется, главные и непреодолимые трудности теории СВ
выявляются при попытке конкретизировать на уровне элементарных
частиц и теории поля те гипотезы, которые приходится вво-
вводить.
_ , , . ^Рвещ,
Дифференциальное уравнение для —-г—■ может относиться к сред-
средней плотности, но рождение каждого отдельного бариона представ-
представляет собой микроскопический взрыв. Если рождаются пары бари-
он — антибарион, то должна происходить в определенной доле
случаев аннигиляция раньше, чем какой-либо механизм про-
пространственно разделит барионы от антибарионов.
Аннигиляционное излучение специально искали и не нашли на
уровне в 1000 раз ниже того, который соответствует полной анни-
аннигиляции.
Рождение барионов (без антибарионов) означало бы нарушение
сохранения барионного заряда. Следовательно, по общим принци-
принципам, возможен и обратный процесс превращения барионов в С-поле.
Такой процесс наблюдался бы как радиоактивный распад ядер, ста-
стабильных в обычном смысле *). Как уже упоминалось, такой процесс
не обнаружен, несмотря на специальные поиски.
Реликтовое излучение и его равновесный планковский спектр
естественно объясняются в эволюционной космологии. В стадии
радиационно-доминированнои плотной плазмы происходит установ-
установление равновесия. В теории СВ, прозрачной для радиоволн вплоть
*) Отметим также, что гипотеза спонтанного излучения частиц нуклонами
в переменном гравитационном, поле Метагалактики выдвигалась Станюкови-
Станюковичем A965). Здесь мы ограничимся ссылкой на обсуждение этой концепции —
см. Зельдович и Смородинский A966а, б) и Станюкович A966а).

$ ,,] ПРИНЦИП МАХА 667
до очень большого красного смещения порядка z~100, спектр ре-
реликтового излучения не поддается объяснению *).
По совокупности наблюдательных данных и теоретических
соображений теория стационарной Вселенной может считаться
опровергнутой.
Надо отдать должное интеллектуальной смелости ее авторов;
дискуссии вокруг теории СВ были полезны и способствовали общему
подъему космологии.
§11. Принцип Маха и совпадения больших чисел физики
и космологии
Отношения между астрономией и физикой сложны и многооб-
многообразны, в том числе и в психологическом аспекте. Астроном с удоволь-
удовольствием применяет новинки физики (экспериментальной и теорети-
теоретической) для своей науки — от спектрального анализа до счетчиков
фотонов, от классической механики до квантовой физики. И вместе
с тем в астрономах зреют гроздья — не гнева, но желания реванша,
конечно,— ничто так не ценится астрономами, как возможность
активно вмешаться в физику. Не брать у физиков, а дать им нечто
новое! На этом пути у астрономии есть великолепные достижения,
примерами могут служить закон тяготения, определение скорости
света и многое другое. Попытки продвинуться в том же направлении
и дать астрономическое объяснение важнейшим физическим вели-
величинам и явлениям продолжаются и до сих пор. Авторы их заслужи-
заслуживают глубокого уважения уже за смелость постановки задачи. Здесь
мы рассмотрим две связанные между собой идеи — принцип Маха
и связь константы тяготения со свойствами Вселенной как целого.
Космология является той областью, в которой одновременно играют
роль законы тяготения, квантовой механики и теории элементар-
элементарных частиц, как это мы уже подробно обсуждали в § 4 этой главы.
Напомним, что из констант G, %, с и массы покоя элементарной ча-
частицы можно составить безразмерную величину g = -r- . Эта ве-
пс
личина составлена по образу и подобию безразмерной величины,
характеризующей электромагнитное взаимодействие,— так назы-
е2
ваемой постоянной тонкой структуры а = т- , где е — элементар-
ric
ный заряд.
Величина а впервые появилась в атомной спектроскопии как
отношение магнитной энергии электрона, от которой зависит тон-
*) Попытки объяснить излучение с температурой 3 °К конденсацией твер-
твердого водорода не выдерживают критики; в соответствующей работе Хойл и Нар-
ликар A963) не рассматривают оптических свойств кристаллов водорода, резко
отличающихся от свойств черного тела. Для превращения энергии в излучение
с планковским спектром нужно многократное рассеяние или поглощение и пере-
излученне. Авторы СВ не решили этот вопрос.

668 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
кая структура линий, к электростатической (~а2). Еще важнее
тот факт, что отношение электростатической энергии электрона
в водородном атоме к энергии покоя электрона порядка а2. Констан-
Константа а равна 1/137. Именно тот факт, что а<1, позволил последова-
последовательно создать нерелятивистскую квантовую теорию атома, являю-
являющуюся хорошим приближением, а уже после этого развить реля-
релятивистскую теорию Дирака и затем квантовую электродинамику
и теорию перенормировки. Будь сО>1 или а~1, нерелятивистская
теория не могла бы существовать, все этапы теории были бы пере-
перемешаны, физика оказалась бы бесконечно труднее! С ситуацией
большой безразмерной константы физики столкнулись в сильном
взаимодействии и в ядерной физике — и действительно, эти области
до сих пор отстают от атомной физики (не в идейном смысле, конеч-
конечно, а в смысле точности предсказаний).
Возвращаясь к астрофизике и тяготению, убедимся в сходстве
а и g: кулоновское взаимодействие двух частиц есть е*/г, гравита-
гравитационное взаимодействие Gnfijr, так что Gm3 играет ту же роль, что
е2, и имеет ту же размерность. В § 4 были вычислены значения #для
массы протона и массы электрона:
£р = ^Е = 6.10-88, gt = 9™s = 2-10-«. B3.11.1)
ПС ПС
В обоих случаях получаем необычайно малую величину. Естест-
Естественной мерой является натуральный логарифм:
= 87,9, —1п£е= 102,8. B3.11.2)
Итак, даже логарифм g сильно отличается от единицы; для двух
частиц р и е логарифмы отличаются не сильно. В дальнейшем не
будем отличать их, округленно примем
£=10-", —In £-92. B3.11.3)
Среди физиков существует убеждение, что безразмерные величины,
существенно отличающиеся от единицы, подлежат объяснению, яв-
являются предметом (по крайней мере) качественной теории. Это убеж-
убеждение наталкивает на мысль, что близость больших безразмерных
чисел *) из различных явлений природы указывает на наличие
внутренних связей между этими явлениями и может служить мая-
маяком, указывающим путь развития науки.
Пример такого подхода дает Ландау: он обращает внимание
на то, что а~ (Ing). Далее подводится идейная основа под это
совпадение. В определенном варианте квантовой электродинамики
*) Для краткости будем везде говорить о больших числах, переворачивая
малые: -^=ч-^137, Jfg==g-. = W« „ т. д.

,,]
ПРИНЦИП МАХА
наблюдаемый заряд элементарной частицы е ограничен неравенст-
неравенством, в которое в знаменателе под логарифмом входит «импульс обре-
обрезания» — предельный импульс, при котором еще верна теория.
В этом смысле электродинамика с неограниченными импульсами
неполна, незамкнута — она приводит к выводу, что наблюдаемый
заряд обязан равняться нулю. В этом контексте соотношение меж-
между а и g Ландау истолковывает так, что гравитационные эффекты
ограничивают максимальные импульсы; электродинамика в стро-
строгом смысле существует лишь при одновременном учете роли тяго-
тяготения (см. § 5 гл. 21).
В качестве другого примера использования больших чисел,
относящегося к астрономии, отметим оценку максимальной массы
белого карлика (Ландау—Чандрасекар). Солпитер показал, что пре-
предельное число нуклонов в белом карлике по порядку величины
равно N=g^'l'w\Qbl, что соответствует массе Солнца и близко
к пределу, вычисленному точно. В этот расчет входитgp, относящееся
к нуклонам (протонам), так как электроны в белых карликах с М«
&Mq релятивистские и их масса не должна входить в ответ. В оценке
опущены численные множители типа 2,3,я и отношения атомного
веса к атомному номеру. Однако еще раньше Дирак смело применил
идеологию больших чисел к космологии. Конкретно это применение
будет рассмотрено ниже. При отсутствии логически замкнутой те-
теории намеки или указания на роль больших чисел неоднозначны.
Одно направление заключается в выводе свойств Вселенной из
теории тяготения, т. е. в предположении, что величина g является
основой космологии.
Однако есть и другая гипотеза — предположение об опреде-
определенной роли Вселенной в локальных законах. Эта гипотеза назы-
называется принципом Маха.
В зародыше принцип Маха содержался в знаменитом вопросе
Ньютона: почему во вращающемся теле есть центробежная сила
и кориолисовы силы? Возникает дилемма: либо вращение абсолют-
абсолютно, т. е. центробежные силы возникают при вращении относительно
«абсолютного» ньютонова пространства, либо играет роль вращение
относительно всех остальных масс Вселенной?
Опыт показывает, что вращение тела относительно неподвижных
далеких звезд приводит к появлению центробежной силы и сил Ко-
риолиса. Вопрос состоит в том, есть ли эти силы при вращении тела
в мире, в котором нет звезд — ни далеких ни близких, нет никакой
материи, кроме рассматриваемого тела.
Очевидно, что прямо, экспериментально ответить на этот вопрос
нельзя, такого мира нет, опыт навсегда останется воображаемым,
мысленным. Тем не менее теоретический вопрос остается. Но в общей
теории относительности силы инерции и тяготение тесно связаны
Между собой (см. об этом в ТТ и ЭЗ, особенно § 10 и приложение

670 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ 23
к нему). Не удивительно, что возник вопрос, не зависят ли силы
инерции и тяготение от Вселенной как целого.
Но в таком случае величина g, характеризующая тяготение,
может зависеть от больших чисел, характеризующих Вселенную как
целое. Принцип Маха, возможно, перекликается с проблемой боль-
больших чисел в локальной лабораторной физике. Так получился
набор вопросов под общим названием «многоликий Мах».
Две постановки вопроса о больших числах рассмотрим после-
последовательно. Начнем с фактической стороны дела. Одно большое чис-
число g-1=l0iO найдено выше. В качестве числа, характеризующего
Вселенную, Дирак рассматривает общее число нуклонов во Все-
Вселенной (если Вселенная замкнута!). Он получает его, принимая за
радиус отношение-^ = 1028 ел, критическая плотность 10~28 г/см3
соответствует л=10~в см~3 нуклонов, так что
N = -%-1 if n = 4-10"«g-2, B3.11.4)
— впечатляющее совпадение, которое Дирак считает слишком хо-
хорошим, чтобы быть случайным.
Подставим в B3.11.4) выражение плотности нуклонов, соответст-
ЗЯ2 о
вующее критической плотности 9с = ^г • Выражение для плотности
ЗЯ2
нуклонов ecTbrtc = g-j2—, откуда
Опуская численные множители, после простых выкладок получим
другое замечательное соотношение, эквивалентное B3.11.4):
h(-L\J
\сек )
*" К ' \ B3.11.6)
Аналогичное соотношение приведено у Станюковича A965), соотно-
соотношение B3.11.6) имеется у ГамоваA948, 1968). Совпадение мало из-
меняется, если вместо g взять отношение —^- = 0,8 • 10~зв, как это
сделано в первоначальной работе Дирака. Современное изложе-
изложение см. Дирак A974).
Гамов называет «темпоном» единицу времени —5»10~24 сек,
характерную для нуклона. Возраст мира, измеренный в темпонах,
~3-1041 (безразмерное число) напоминает характерную для гра-
гравитации величину g~1=1040.

. И] ПРИНЦИП МАХА 671
Уточним физические идеи, связанные с этими совпадениями.
Само понятие общего числа нуклонов имеет смысл только для замк-
замкнутого мира. Вычисление N по формуле B3.11.5) справедливо —
хотя бы по порядку величины — тогда, когда горизонт порядка
радиуса мира, т. е. возраст составляет долю порядка единицы от
полного цикла расширения и сжатия мира. В однородном открытом
(гиперболическом) или плоском мире не существует «общего числа
барионов» — эта величина бесконечна!
В замкнутом мире можно предположить, что соотношение для
N имеет какой-то физический смысл и (с постоянным коэффициентом
порядка единицы) имеет место всегда.
Соотношение между N и Н с течением времени изменяется (N по-
постоянно, Н меняется; отношение возраста мира к темпону лишь по
порядку величины равно g-1, коэффициент меняется по мере из-
изменения Н).
Однако возможна и другая интерпретация, и для плоского мира
она является единственно возможной, если поверить в соотношение
B3.11.6) как закон природы. Величина Н в плоском мире не по-
стоянна,Я = ^=;. Справа стоят так называемые физические константы
G, %, с, тр. Значит (по мнению ряда авторов), по крайней мере одна
из них в действительности не постоянна! Надо подчеркнуть, что
такое предположение требует откровенного отказа от современной
физической теории *). В пользу такой концепции нет никаких
других аргументов, кроме упомянутого совпадения.
Возможна переменность G, и ее следствия широко обсуждались.
Из формулы следует, что 5-10" лет**) тому назад G было
в 1,6—2 раза больше. При сохранении момента вращательного дви-
движения Земли вокруг Солнца большему G соответствует меньшее
(в 1,5—2 раза) расстояние Земли от Солнца. По теории внутреннего
строения звезд светимость Солнца также зависит от G, притом весьма
сильно — приблизительно как G7. Таким образом, количество сол-
солнечного тепла, падающее на единицу поверхности Земли, в теории
с переменным G меняется, как G9.
Геологические и палеонтологические данные решительно про-
противоречат этому. Кроме того, непосредственные радиолокационные
наблюдения движения планет Солнечной системы, проведен-
*) Дирак A937) в первой своей работе совершенно четко формулирует отказ
°т общей теории относительности. Но в таком случае за попытку объяснить «боль-
«большие числа» приходится платить ценой отказа от ясной теоретической интерпре-
интерпретации принципа эквивалентности и от всех других достижений ОТО.
Радиоастрономы обещают в ближайшие несколько лет проверить непосредст-
непосредственно, изменяется ли G так, как это предсказывают Дирак, Дикке и др. В настоя-
настоящее время иет реальных причин для сомнения в ортодоксальной ОТО. О послед-
последних результатах см. Шапиро A972). Точность измерений еще недостаточна
Для категорических выводов.
) Примерный возраст Солнечной системы, возраст Земли.

672 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 2i
ные Шапиро A972), дают для верхнего возможного предела
0-" лет-1.
Наконец, существует попытка прочесть формулу для Н так: сов-
современная эпоха, жизнь, человек, цивилизация и сама возможность
изучения природы и писания формул и книг (в том числе и дан-
данной) появляются лишь тогда, когда Н падает до величины порядка
g~Ym^[h. В горячей Вселенной образование галактик и звезд проис-
происходит лишь после рекомбинации протонов и электронов, т. е. после
окончания радиационно-доминированной стадии. Действительно,,
этот момент (при 0 = 1) соответствует космологическому времени
/=5-1012 сек. Выраженный в темпонах возраст равен 5- 1Озв, что
также еще не сильно отличается от g'1, или gp1, или от
■ 2 — 1.25- 1Озв; на это совпадение указал Гамов.
Такое утверждение вполне совместимо с обычной физикой, с за-
законами природы, в которых G, %, с, заряды и массы частиц являют-
являются константами. Соотношение B3.11.6) в действительности пред-
представляет собой утверждение, относящееся к удельной энтропии
вещества, заполняющего горячую Вселенную. Но удельная энтропия
есть локальная величина, ее можно определить и в открытом и в
замкнутом мире (в отличие от общего числа барионов N). Таким об-
образом, соотношение B3.11.6) выгодно отличается от соотношения
B3.11.5).
Численно соотношение B3.11.6) эквивалентно (разумеется, приб-
приближенно) соотношению s = —b = /_^L) ' —g-'/.. Последнее
пв \ «с /
было получено Зельдовичем и Новиковым A9676) как вывод из схе-
схемы, предпосылки которой в настоящее время представляются мало-
маловероятными; однако как эмпирическая формула утверждение остает-
остается верным. В теории с космологической постоянной, отличной от
нуля (гл. 4), можно предположить, не нарушая принципа постоян-
mbGc
ства констант, что ел «—i—. В модели Леметра — Петросяна —
ft4
Солпитера — Шкловского — Кардашева (см. § 2 гл. 4) при ел<0
получается период замедленного расширения. Возраст Вселенной
в этот момент и характерное время последующего расширения удов-
удовлетворяют соотношению B3.11.6) (Зельдович A968)]. Однако в пос-
последние годы не подтвердились те исходные наблюдательные дан-
данные (концентрация квазаров при z=l,95), на которых основывались
авторы, возрождавшие модель с задержкой расширения и Л до-
довернемся к многоликому принципу Маха.
Суть этого принципа состоит в следующем: инерция тела опре-
определяется его взаимодействием (гравитационно-инерционным) с дрУ'
гими телами Вселенной. Этот принцип сыграл большую эвристиче-

s ,, ПРИНЦИП МАХА 673
скую роль в создании Эйнштейном ОТО. Но после создания тео-
теории относительности выяснилось, что принцип Маха в ней не
содержится! Рассмотрим вопрос несколько подробнее.
Что значит утверждение: инерция определяется взаимодействием
с другими телами? Прямолинейный ответ на этот вопрос состоит
в следующем: инертная масса тела, т. е. мера его сопротивляемости
действующей силе, определяется его взаимодействием с другими
телами. Если бы этих тел не было, то не было бы инертной мас-
массы у пробного тела. С другой стороны, «инерция тела должна
возрастать по мере скопления весомых масс вблизи него» [Эйн-
[Эйнштейн A966)].
Оба последних утверждения не выполняются в теории относи-
относительности. Во-первых, в пустом пространстве справедлива СТО,
где тела обладают инерцией, где во вращающейся системе есть силы
Кориолиса и центробежные силы. Во-вторых, одна и та же сила,
например сила сжатой пружины, всегда сообщает данному телу
одинаковое ускорение, независимо от близости тяжелых масс или
отсутствия их. Значит, инерция тела не возрастает «по мере скоп-
скопления весомых масс вблизи него». Противоположное утверждение
Эйнштейна связано с ошибочной интерпретацией полученной им
формулы [на эту ошибку указывали Бранс A962), Дикке A962)].
С этой точки зрения, каждое подтверждение теории относительно-
относительности есть удар по принципу Маха.
Иначе обстоит дело с некоторыми другими физическими идеями,
которые иногда связывают с принципом Маха. Так, Эйнштейн
[A966)] пишет, что, с точки зрения Маха, следует ожидать, что
«тело должно испытывать ускоряющую силу, когда близлежащие
массы ускоряются; эта сила по направлению должна совпадать с
направлением ускорения.
Вращающееся полое тело должно создавать внутри себя «кори-
олисово поле сил, стремящееся отклонить движущиеся тела в на-
направлении вращения...».
Оба эффекта имеют место в ОТО (см. ТТ и ЭЗ). Но они не свя-
связаны с изменением инертных свойств тела, а описывают изменение
инерциальной системы отсчета при движении тяготеющих масс.
Иначе говоря, масса пробного тела остается неизменной, но инер-
Циальная система отсчета будет разная в зависимости от наличия
и движения окружающих тел. Принципиально эти эффекты, ука-
указанные Эйнштейном, того же характера, что и изменение инерциаль-
инерциальной системы в присутствии неподвижной тяготеющей массы (ска-
(скажем, вблизи невращающейся планеты). Инерциальная система сво-
свободно падает в поле тяготения массы, в то время как в отсутствие
массы она совпадала с инерциальной системой на бесконечности.
Очевидно, такое изменение инерциальной системы никак не связано
с изменением инерциальных свойств тела, которые являются мерой
сопротивляемости тела ускоряющим (негравитационным) силам.
Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков

674 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ 1ГЛ. 23
Итак, принципа Маха в ОТО нет. Поэтому нельзя согласить-
согласиться с теми, кто ОТО считает теорией, подтверждающей принцип
Маха. Впрочем, поскольку уравнения ОТО считаются верными,
спор становится схоластическим, любые предсказания об исходе
того или иного реального или мысленного опыта не меняются от
того, какие слова «приговаривают» авторы расчетов*).
Другая точка зрения на принцип Маха более радикальна. При-
Придерживающиеся ее авторы считают ОТО неверной или неполной
именно потому, что в ОТО не учтено в явном виде (а не только через
влияние на метрику) воздействие далеких масс на^ инерцию и тяго-
тяготение. Эти авторы считают существование решения для пустого
пространства (ср. выше) недостатком ОТО, который будущая
теория сможет преодолеть.
Спор с будущей теорией всегда затруднителен, он подвергает
испытанию чувство юмора и порядочность спорящих. Опасно ока-
оказаться в роли критика Латунского, выступающего со статьей «Уда-
«Ударим по пилатчине» и громящего ненапечатанный роман Мастера**).
И все же не для нападения на нерожденные теории, ав защиту
ОТО следует отметить факты, неблагоприятные для критиков ОТО.
ОТО не встречается ни с экспериментальными опровержениями,
ни с логическими трудностями. Поэтому нет реальных объективных
побудительных причин для замены ее «более маховской теорией».
Если же обратиться ко Вселенной, в которой мы живем, то в ней
фактически далекие звезды и реликтовое излучение выделяют в каж-
каждой точке одну «покоящуюся» (в среднем относительно материи)
систему координат. Не только вращение, но и поступательное дви-
движение относительно далеких звезд может быть обнаружено и из-
измерено, хотя на локальные законы природы они и не влияют!
В покоящейся системе мы во всех направлениях наблюдаем изотроп-
изотропное красное смещение света далеких галактик, температура радио-
радиофона во всех направлениях равна 2,7 °К. В равномерно поступатель-
поступательно движущейся системе в направлении движения мы наблюдали бы
анизотропию красного смещения галактик, температура фона была
бы выше 2,7 °К (а в противоположном направлении — ниже).
Таким образом система, связанная с реликтовым излучением,
с общей массой далекого вещества, действительно физически
преимущественна и она инерциальна в каждой точке. Может
быть, это как-то можно трактовать в духе подтверждения прин-
принципа Маха? Мы думаем, что этого делать нельзя. Прямолиней-
Прямолинейное применение принципа Маха в такой редакции ведет к следующе-
следующему. Раз выделена преимущественная система, то даже движение по
инерции по отношению к ней (а не обязательно с ускорением или
вращением) должно вести к отличию в новой системе локальных
*) М. Булгаков, Мастер и Маргариса.
**) О принципе Маха см. также Уилер A964), Мизнер,
Торн,

. ,2] ОТО И СТРУКТУРА МИРА КАК ЦЕЛОГО 675
физических законов от законов в системе преимущественной. Но
этого нет — законы физики инвариантны относительно преобразо-
преобразований Лоренца, т. е. относительно перехода к движущейся системе.
Таким образом, принцип Маха (если бы он оказался верным) дол-
должен был бы вернуть нас не только к Ньютону, но и, вероятно,
к Аристотелю — во Вселенной можно было бы определить абсолют-
абсолютный покой. Если опыт показывает лоренц-инвариантность законов
природы (а это так!), то он прямо указывает на независимость за-
законов от влияния далеких тел. Тем самым подрывается привлека-
привлекательность объяснения частной группы явлений влиянием да-
далеких тел.
Резюмируя, мы не считаем вероятным радикальный пересмотр
ОТО в направлении идей Маха. Проблему больших чисел мы счи-
считаем реальной лишь в формулировке, связывающей локальные
свойства и не требующей переменности физических величин (кон-
(констант). Теория Бранса — Дикке, в которой вводится специальное
скалярное поле, осуществляющее воздействие далекого вещества,
будет рассмотрена в § 15 этой главы.
§ 12. ОТО и структура (топология) мира как целого
Вопрос о структуре мира как целого является одной из важней-
важнейших проблем, лежащих на грани между естественными нау-
науками и философией. Этот вопрос получил новый смысл, новое
содержание в начале века в связи с созданием теории относитель-
относительности.
До этого считалось самоочевидным, что пространство является
евклидовым трехмерным, а время является независимой переменной.
Специальная теория относительности изменила это наивное (с се-
сегодняшней точки зрения) убеждение, пространство и время оказа-
оказались объединенными в единое 4-мерное многообразие. Конкретным
выражением этого объединения явилось установление закона пре-
преобразования координат и времени при переходе к движущейся
системе координат. Эти преобразования были найдены Пуанкаре
из условия инвариантности уравнений Максвелла для электромаг-
электромагнитного поля. Принято говорить о преобразовании Лоренца, учи-
учитывая заслуги Лоренца в развитии теории электронов и электромаг-
электромагнетизма. Бессмертный вклад Эйнштейна, в силу которого именно он
по справедливости является творцом теории относительности, зак-
заключается в осознании универсальности связи пространства и вре-
времени. Эйнштейн понял, что речь идет не о свойствах одного частного
поля (электромагнитного), а об общих свойствах всей природы, всех
частиц и полей. Не случайно, что только Эйнштейн, исходя из за-
законов ОТО, высказал идею эквивалентности массы и энергии (Е—
= тсг) и без колебаний применил это соотношение к атомным ядрам,
несмотря на отсутствие конкретной теории ядерных сил.
22»

676 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Вернемся к вопросу о структуре мира. В этом частном вопросе
создание специальной теории относительности дало удивительно
мало! Возникло представление о 4-мерном псевдоевклидовом много-
многообразии (пространство Минковского), в котором можно по-разному
выбирать ось времени t и соответствующее ортогональное трехмер-
трехмерное многообразие — «пространство». Однако в этой картине по-
прежнему не возникает сомнения в том, что время и каждая из трех
пространственных декартовых координат в жесткой инерциальной
системе отсчета могут изменяться от —оо до +оо. Специфи-
Специфические свойства пространства Минковского (преобразований Ло-
Лоренца) приводят к тому, что сохраняется понятие абсолютного про-
прошлого и абсолютного будущего. Не возникает специально вопрос
о топологии пространства-времени *). До создания общей теории
относительности проблема структуры Вселенной понималась как
пространственное распределение и эволюция вещества и полей,
наполняющих Вселенную. Структура самого пространства (и вре-
времени) казалась самоочевидной.
В схематическом изложении выше в этом параграфе мы не упо-
упоминали о высказываниях Лобачевского, Больяи, Римана, о неопуб-
неопубликованных идеях Гаусса; глубокие идеи творцов неевклидовой
геометрии предвосхищали в этом вопросе ОТО, эти идеи будут об-
обсуждаться ниже в рамках ОТО. Итак, именно ОТО поставила вопрос
о структуре самого пространства и времени. Локально вопрос фор-
формулируется как вопрос о метрике и геометрии 4-мерного пространст-
пространства-времени. Как обобщающий вывод из опыта принимается трехмер-
трехмерность пространства, псевдоевклидовость четырехмерия и его непре-
непрерывность (и дифференцируемость). Отсюда уже с логической
неизбежностью вытекает специальная теория относительности для
малых масштабов.
История науки показывает, что всякий переход к новой области
исследования приводит к формулировке новых законов и, главное,
новых понятий. Хрестоматийные примеры — большие скорости и
СТО, малые (атомные) масштабы и квантовая механика. Переход
к изучению больших масштабов привел как раз к созданию ОТО.
Здесь не место останавливаться на своеобразной промежуточ-
промежуточной области — теории тяготения в узком смысле. При плотности
вещества, реально существующей в природе, благодаря высокой
чувствительности опыта гравитационные эффекты удается наблю-
наблюдать и в малых пространственных масштабах: так, например, в опы-
опытах Кавендиша в масштабах лаборатории наблюдаются эффекты
взаимодействия, энергия которого составляет долю порядка 10~25
от энергии покоя (тс2). В этой промежуточной области можно поль-
*) Формально вопрос о топологии пространства можно поставить и в ньюто-
ньютоновской физике. Речь идет о специальных побудительных причинах постановки
такого вопроса.

j 12] ОТО И СТРУКТУРА МИРА КАК ЦЕЛОГО 677
зоваться линеаризованной теорией тяготения, ОТО в полном объеме
не необходима.
Средняя плотность вещества во Вселенной на 30 порядков меньше
плотности свинцовых шаров, с которыми экспериментировал Ка-
вендиш.
Однако обратимся к масштабу, в котором сейчас ведутся астро-
астрономические исследования. В этом масштабе (порядка 1028 см) энер-
энергия гравитационного взаимодействия порядка энергии покоя. Со-
Соответственно порядка единицы искривление пространства-времени,
предсказываемое ОТО.
Именно возможность большого искривления пространства-вре-
пространства-времени, т. е. существенного отклонения его глобальных свойств от
евклидовых, естественно и неизбежно приводит к вопросу о тополо-
топологии пространства-времени.
В частном случае однородной и изотропной модели мы уже столк-
столкнулись с этим вопросом: при плотности больше критической (Ф>1)
метрика имеет вид •
. B3.12.1)
Безразмерной инвариантной мерой искривления является произ-
произведение кривизны а~г (размерность см~2) и квадрата масштаба
(см2). Ситуацию можно сформулировать так: локальные исследова-
исследования обнаруживают ту систему отсчета, в которой наблюдатель по-
покоится относительно окружающего его вещества и излучения *).
Эти же наблюдения показывают однородность Вселенной (независи-
(независимость свойств относительно сдвигов в трехмерном пространстве)
и изотропию ее (независимость свойств от поворотов в этом простран-
пространстве). Таким образом, «сопутствующее» пространство, в котором
имеют место однородность и изотропия, определено реальными из-
измерениями. Далее, измерения средней плотности вещества, грави-
гравитационных эффектов и, в принципе, также метрики в близкой к нам
окрестности дают кривизну избранного трехмерия. Предположим
здесь, что измерения дадут с определенностью Q > 1, хотя сегодня
точность измерений недостаточна ий<1 кажется даже более ве-
вероятным.
Вывод о том, что мир является замкнутым, получается при этом
благодаря экстраполяции: свойства метрики в нашей окрестности
нужно экстраполировать на далекие области, пользуясь локально
установленной однородностью мира.
Локальные наблюдения плюс наблюдениями же установленная
Однородность привели к выводу, что в метрике, выписанной выше,
Коэффициент при угловой части (d62+sin26 dtp2) равен a2 (/)sin2r.
Но функция sin r обращается в нуль при г=п, метрика непродолжи-
*) Переход к движущейся системе (лоренц-преобразование) нарушил бы
однородность № изотропию распределения вещества и потоков излучения.

678 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
ма при г>я. Соответственно следует, что полный объем У
а также вытекают все другие следствия, характерные для замкнутого
мира (см. гл. 2).
Такова логическая цепочка, которая с необходимостью приводит
к выводу о замкнутости мира при Q>1.
Итак, есть случай, когда топология, отличная от евклидовой,
необходима. Дальше следует естественное обобщение: можно искать
возможные топологические неевклидовы модели и в том случае,
когда необходимыми они не являются.
Приведем простейший пример: пусть локальные исследования
дают Q=l и, соответственно, плоскую метрику трехмерия:
ds2 = dt*—b2 (t) [dr* + r* (d62+sin2 6 dtp2)] =s
= dt*—b* (t) (dx* + dy* + dz*). B3.12.2)
Эта метрика, очевидно, совместима с евклидовой топологией, в ко-
которой — oo<jc<oo, —oo<jr<oo, —oo<z<oo.
Однако возможна (хотя и не необходима) топология замкнутого
трехмерия. Для этого делают отождествление:
x + k, у, zssx, у, г, \
х, У + р, zssx, у, z, > B3.12.3)
х, у, г + пжах, у, г. }
В сопутствующем трехмерии выделяется параллелепипед периодич-
периодичности с координатным объемом kpn (или b3 (t)kpn в физическом прост-
пространстве в данный момент t). Этот случай называется «трех-
«трехмерный тор».
Таким образом, можно предположить, что существует плоское
замкнутое трехмерное пространство. Следует подчеркнуть, что
при выполнении условий B3.12.3) мы имеем дело именно с замкну-
замкнутым плоским пространством, а не с периодически повторяющейся
структурой в неограниченном плоском пространстве. Это значит,
что при выполнении B3.12.3) в мире существует ограниченное ко-
количество галактик, а не повторяющийся до бесконечности набор
одинаковых совокупностей галактик. Мир B3.12.3) не имеет границ
и разрывов. В этом случае наблюдения дают много изображений,
«духов», соответствующих каждому объекту данного типа, который
одновременно виден с разных сторон и в разные моменты времени
за счет свойств распространения лучей (см. об этом ниже). В прин-
принципе ситуация не отличается от предсказаний теории сферического
замкнутого мира — модели Леметра с космологической постоянной
(см. гл. 4). Напомним, что специальные поиски совпадающих объек-
объектов в противоположных участках неба, предпринятые в связи с этой
моделью, не привели к положительному результату.

j „] ОТО И СТРУКТУРА МИРА КАК ЦЕЛОГО 679
Итак, выше необходимость рассмотрения топологии пространст-
пространства-времени Вселенной обоснована с общих позиций истории и фило-
философии науки и проиллюстрирована простыми примерами. Количест-
Количество различных топологических вариантов 4-мерного пространства-
времени необычайно велико, и на первый взгляд в космологии
открывается огромное количество возможностей. Мы отсылаем за
подробностями к книгам ПенроузЪ A968), Хоукинга, Эллис A973).
В действительности уже минимальная информация о фактических
свойствах Вселенной сильно ограничивает безбрежный простор топо-
топологических структур. Но, что особенно важно, теория эволюции
Вселенной оказывается почти не зависящей от топологии. Именно
втим и объясняется сравнительно малое число работ по данному воп-
вопросу. Здесь отметим работы Шювегеша A966), Паала A971), Зель-
Зельдовича и Новикова A9676, в), Соколова и Шварцмана A974),
Соколова A970), Соколова и Старобинского A975).
Будем рассматривать пространственно-однородный мир, ^ за-
затем слабовозмущенный пространственно-однородный мир.
Отметим прежде"всего, что условие пространственной однород-
однородности выделяет параллельные трехмерные многообразия (простран-
(пространства в разные моменты времени), на которых осуществляется од-
однородность, и ортогональную к ним одну определенную ось времени
(см. выше). По оси времени «отождествления» (такие, как описаны
выше), вероятно, запрещены законами физики и исключаются.
Этот запрет обосновывают обычно принципом причинности. Дейст-
Действительно, пусть на оси времени /2> ti. После отождествления *2=^
оказывается, что будущее и прошлое выделены только локально,
а в целом, глобально, они перепутаны. Вмешательство в физические
явления в момент t2 в точке х вызывает изменения в момент tt
в той же точке х, т. е. в прошлом.
На самом деле замкнутость линий времени может носить гораздо
более «хитрый» характер, чем в рассмотренном простейшем примере.
Могут, например, замыкаться не все линии времени, а только не-
некоторые (при отсутствии однородности). Подробности см. в упо-
упомянутых выше книгах Пенроуза и Хоукинга и Эллис. Здесь
же мы отметим, что соотношения между замкнутостью линий
времени и принципом причинности отнюдь не столь тривиальны.
По-видимому, из замкнутости линий времени вовсе не однозначно
следует нарушение принципа причинности, ибо события на замкну-
замкнутой линии времени уже «самосогласованы». Они все влияют друг на
ДРуга по замкнутому циклу, но это еще, по-видимому, не означает
нарушения законов природы. Во всяком случае вопрос требует
более тщательного изучения.
Однако при учете однородности по пространству и необратимости
эволюции можно, вероятно, запретить любое отождествление по
времени. С течением времени монотонно растет удельная энтропия
\на один барион или на единицу сопутствующего пространства).

680 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
Монотонно убывает в результате ядерных реакций доля протонов
в среднем составе Вселенной. Уже по этим причинам ситуация
в более поздний момент t2 не тождественна ситуации в момент ti.
Став на эту точку зрения,.мы должны заключить, что примени-
применительно к оси времени остается лишь вопрос о том, простирается ли
шкала: 1) от —оо до +оо, или 2) от <х до +оо, или 3) от —оо до tlt
или 4) от <i до t2. Для однородных моделей ответ на этот вопрос полу-
получается путем интегрирования уравнений эволюции. В принципе
здесь нет произвола. Хотя в настоящее время наблюдательные дан-
данные и отвергают варианты 1) и 3),ноне позволяют выбрать между
вариантами 2) и 4). Здесь под «началом» и «концом» шкалы времени
подразумеваются сингулярные состояния *). Итак, вопрос о топо-
топологии мира сузился до топологии трехмерного пространства.
При этом все еще остается значительное число разных токологи-
токологических вариантов: существуют [Ефимов A961), Волф A967), Шю-
вегеш A966)] 18 топологических вариантов плоского трехмерия и
бесконечное число (!) вариантов гиперболического изотропного трех-
трехмерия постоянной отрицательной кривизны.
Анизотропия мира — при сохранении однородности — допол-
дополнительно ограничивает число возможных топологических вариантов.
Этот вывод наглядно очевиден: при всяком отождествлении двух
поверхностей или (что практически то же самое) при обходе по каж-
каждому циклу, характеризующему топологический вариант, в изо-
изотропной модели достаточно тождества скалярных величин, а это
тождество обеспечивается условием однородности**). В анизотроп-
анизотропном мире после обхода нужно вернуться в исходную точку с теми
же значениями векторных и тензорных величин, с теми же направ-
направлениями скорости вещества, главных осей деформации и главных
осей тензора кривизны пространства.
Количество остающихся топологических вариантов при этом
зависит от типа трехмерия поверхности (в смысле классификации
Бианки). В плоском случае всегда остается в силе возможность пе-
перехода к топологии цилиндра или тора, что соответствует периоди-
периодическому условию отождествления. Решения Фридмана допускают
максимальное количество топологических вариантов.
*) Еще раз напомним (см. введение к книге): вопрос о том, что было «до»
сингулярности в начале расширения или что будет «после» сингулярности, сле-
следующей за сжатием [вариант 4)], не может пока быть решен в рамках существую-
существующих физических теорий. В сингулярности возникают квантовые эффекты тяготе-
тяготения, вероятно, перестают быть применимыми понятия непрерывного метрического
пространства-времени, возможно, лишаются смысла или изменяются понятия
«до» и «после» и т. д. Исследование всего этого — дело будущего.
**) Как известно, законы физики не инвариантны относительно зеркального
отражения трехмерного пространства. Поэтому нужЛо различать скаляры и
псевдоскаляры. Обход по циклу не должен превращать правую систему в левую.
Это условие устраняет часть топологических вариантов [см. Шювегеш A966),
Зельдович, Новиков A9676, в\ Соколов A970)].

g 12] ОТО И СТРУКТУРА МИРА КАК ЦЕЛОГО 6g]
Обратимся к задаче об эволюции. Важнейшие факты заключают-
заключаются в том, что в однородной космологии: 1) топология не меняется
в ходе эволюции; 2) уравнения эволюции для локальных величин
не зависят от топологического варианта. Напомним, что все локаль-
локальные свойства в такой космологии можно выразить через значения
физических величин (тензора плотности энергии-импульса вещества,
полей) и геометрических величин (структурных констант в случае
анизотропной космологии и параметров, характеризующих абсо-
абсолютное значение искривления пространства).
Следовательно, анализ протекания-ядерных реакций и многих
аналогичных процессов в однородной Вселенной — или, точнее,
во всех топологических вариантах модели однородной Вселенной —
оказывается строго независимым от топологических свойств модели.
Топология модели существенно влияет, однако, на решение более
общей неоднородной задачи.
Это влияние можно описывать по-разному, на разных языках.
Вспомним, что в теории «перемешанного» мира ставилась задача
о возможности обмена информацией между различными частями Все-
Вселенной (§§ 4, 5 гл. 21). Очевидно, что отождествления типа x=x+k
в плоском мире приводят, (при достаточно малом k) к возможности
полного обмена информацией. Топологический вариант с отождест-
отождествлением уменьшает размер Вселенной, «перемешивание» становится
возможным в локально-фридмановском мире. Здесь становится
существенным абсолютное значение длины отождествления и кон-
конкретный характер тех неоднородностей, которые предстоит сгла-
сгладить. Подробное обсуждение сейчас преждевременно. Топология
существенно влияет на глобальное распространение сигналов, на
глобальные свойства нулевых геодезических (лучей света) или пуч-
пучков частиц. Появление «духов» — многократных изображений дан-
данного объекта — является примером влияния топологии на распрост-
распространение света.
Возможен другой подход к влиянию топологии на эволюцию
неоднородной Вселенной. Рассмотрим теорию малых возмущений.
Малые возмущения могут быть разложены по собственным функ-
функциям. Набор собственных функций, их спектр, радикально зависит
от топологии пространства.
Обратимся снова к Элементарному примеру плоского простран-
пространства. В евклидовой топологии спектр непрерывен, собственные функ-
функции суть eikx, допустимы любое значение волнового вектора к,
любая длина волны Я,, вплоть до А,->оо, |Л|->0.
Однако в пространстве с отождествлением типа тора возмущение
также подчиняется условию отождествления. Это значит, что вол-
волновой вектор должен иметь компоненты, кратные обратным длинам
отождествления. Возмущения разлагаются в ряд Фурье с дискрет-
дискретным спектром вместо интеграла Фурье и сплошного спектра в слу-
случае бесконечного евклидова пространства.

682 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 2»
В случаях пространств с отличной от нуля кривизной и более
сложной топологией качественно результат тот же — структура
спектра зависит от топологии,— но вид собственных функций слож-
сложнее, чем в простейших случаях. В качестве примера вспомним клас-
классическую работу Лифшица A946), при рассмотрении возмущений
в закрытой модели был получен дискретный спектр и найдена систе-
система собственных функций (см. § 7 гл. 11).
Рассмотрим теперь вместо сферической модели Вселенной так
называемую эллиптическую модель. Эта модель получается, если
в трехмерной сфере (в пространстве сферической модели) отождест-
отождествить диаметрально противоположные точки. В этому случае «вы-
«выживает» только половина собственных функций замкнутого мира
сферической модели.
Известно, что амплитуда возмущения большой длины волны
мала. Этот факт установлен наблюдателями на основании малости
флуктуации реликтового излучения. Почему длинноволновые воз-
возмущения малы? Убедительного ответа пока нет. Нельзя ли малость
этих возмущений поставить в связь с топологией, с тем, что в мо-
моделях с близкими отождествлениями в приципе нет длинных волн?
Эта возможность заслуживает анализа. Но мы думаем, что такой
вывод был бы неправилен, он не проходит количественно.
Наблюдаются неоднородности — скопления масштабом не более
40 Мпс (по сегодняшнему масштабу), в большем масштабе уже весьма
заметен спад амплитуды неоднородностей. Для указанной выше
возможности объяснения этого спада топологическими свойствами
мира пришлось бы брать масштаб отождествления того же порядка.
Но считать, что Вселенная имеет масштаб всего в сотню Мпс,
казалось невозможно.
Однако в недавней работе Соколова и Шварцмана A974) утверж-
утверждается, что наблюдательные данные не исключают топологической
структуры такого типа, что элементарная повторяющаяся ячейка
имеет линейный размер (в настоящее время) порядка 400 Мпс для
шкалы расстояний, соответствующей #=75 км/сек- Мпс. Указан-
Указанный размер соответствует красному смещению z=0,l. Если всерьез
признать такое сокращение размеров Вселенной, то крупномасштаб-
крупномасштабная изотропия реликтового излучения получит новое, неожиданное
объяснение.
Впрочем, утверждения Соколова и Шварцмана скорее нужно
рассматривать как призыв к проведению наблюдений, специально
ориентированных на доказательство того, что Вселенная не мала.
Формально это не доказано в настоящее время, но может быть до-
доказано, если привлечь данные по радиоисточникам, которые, по
оценке, видны вплоть до гтЗ—4. Время активной жизни радио-
радиоисточников может быть невелико; это затрудняет обработку наб-
наблюдений, уменьшает число объектов, которые можно одновременно
варегистрировать с помощью лучей, приходящих до разным путям.

,sj ЛОКАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ, «БЕЛЫЕ ДЫРЫ» 683
Может быть, более надежны будут данные по далеким скоплениям
галактик. Подробнее о предлагаемых наблюдениях см. работы Со-
Соколова и Шварцмана A974), Соколова и Старобинского A975).
Невозможно и ненаучно определять «вероятность» того, что мир
топологически сложен. Организация тщательных наблюдений для
выяснения вопроса весьма желательна: строгое экспериментальное
установление нетривиальность топологической структуры Вселен-
Вселенной имело бы огромное значение.
§ 13. Локальная топология, «белые дыры» и космология
Возможность необычных топологических структур в ОТО исполь-
вовалась рядом авторов для объяснения астрономических явлений.
Еще в 1928 г. Джине писал в связи с вопросом о спиральных вет-
ветвях галактик: «Настойчиво заявляет о себе предположение, что
центры туманностей имеют природу точек сингулярности, в кото-
которых в нашу Вселенную вливается вещество из каких-то других,
совершенно неизвестных нам пространственных измерений и которые
проявляют себя в нашей Вселенной как точки, где происходит не-
непрерывное образование вещества».
Еще большее искушение — использовать втекание материи и
энергии из «других измерений» для объяснения активности ядер
галактик и квазаров. Нельзя ли это втекание использовать в теории
стационарной Вселенной? Выясним, какие ограничения наклады-
накладывает ОТО.
Окружим трехмерную область, в которой находится локальная
сингулярность, далекой двумерной замкнутой поверхностью *),
лежащей в области, где гравитационное поле уже слабо. Изучая
метрику пространства вне этой поверхности, можно определить
общую массу, находящуюся внутри (а также вращательный момент),
а измеряя электрическое поле,— полный заряд.
Уравнения ОТО, написанные для наружной, не сингулярной
области, приводят к законам сохранения: масса, находящаяся внут
ри области, меняется лишь тогда, когда через поверхность втекает
или вытекает вещество или энергия, в том числе и энергия гравита-
гравитационных волн. Значит, независимо от самых фантастических пред-
предположений о сингулярности внутри поверхности, можно заранее
сказать, сколько массы и энергии можно получить из внутренней
области **).
Таким образом, наглядная картина Джинса — отверстие в «дру-
«другой мир», откуда в любом количестве может поступать энергия,—
оказывается несовместимой с ОТО. Тем самым отпадает возможность
*) Например, это может быть сферическая поверхность r=const.
**) Необходимы две оговорки: 1) мы считаем справедливой ОТО; 2) не су-
существуют отрицательные массы, области с отрицательной плотностью энергии.

684 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
переформулировать теорию стационарной Вселенной, заменяя вте-
втеканием рождение вещества из С-поля.
Обсудим гипотезу «белых дыр»; в настоящее время это название
употребляется вместо длинного названия «задержавшиеся в космо-
космологическом расширении ядра...» [Новиков A964в)].
«Белая дыра» представляет собой гипотетическое тело, которое
расширяется от сингулярности из-под своего гравитационного ра-
радиуса. Новиковым A964в), а затем позже Нееманом A965) была
показана возможность существования таких тел (в рамках клас-
классической общей теории относительности, без учет* квантовых эф-
эффектов) в расширяющейся Вселенной. Согласно этой гипотезе,
белые дыры представляют собой задержавшиеся в космологическом
расширении (из-за локальной неоднородности начальных условий)
ядра вещества фридмановской космологической модели. Задержка
расширения по времени внешнего наблюдателя может быть задана
произвольно. Величина задержки, состав и кинетическая энергия
вылетающего вещества задаются как начальные условия в сингу-
сингулярности (сколь угодно близко к сингулярности). Задержавшееся
ядро окружено полостью пониженной плотности (вакуолью) или
в предельном случае — вакуумом.
Гипотезу «белых дыр» заманчиво (но не необходимо!) сопоста-
сопоставить с целым рядом не вполне еще выясненных астрофизических
явлений, в частности с квазарами и взрывами ядер галактик.
Идея белой дыры отличается от идеи Джинса. Рассматривается
одно пространство с односвязной топологией. Учитывается, что
Вселенная в целом эволюционирует, расширяется, расширение на-
начинается от сингулярности.
Внутри белой дыры в вакууме (вакуоли) сингулярность в про-
простейшем сферически-симметричном случае шварцшильдовская, вне
ее — фридмановская.
Сингулярность всюду — и вне белой дыры и внутри ее — прост-
ранственноподобна, т. е. существует система отсчета, в которой эта
сингулярность одновременна. Однако из-за неоднородности сингу-
сингулярности происходит задержка (по часам внешнего наблюдателя)
расширения части вещества, и эта часть расширяется позднее для
внешнего наблюдателя. При этом в зависимости от выбора длины
шварцшильдовской сингулярности между задержавшимся веществом
и внешним веществом задержка для внешнего наблюдателя может
быть произвольно долгой.
Для вещества с нулевым давлением (Р~0) [Новиков A964вI
построено точное решение в случае, когда в однородной изотропной
Вселенной некоторая сферическая масса М заменяется «белой дырой»
той же массы. В этом случае во внешней области сохраняется невоз-
невозмущенное космологическое решение.
Если задержавшееся вещество имеет давление РфО, в частности
P=t/3, то при рассмотрении внутренней области вакуоли возни-

13] ЛОКАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ. «БЕЛЫЕ ДЫРЫ» 685
кают математические трудности, которые, однако, не являются прин-
принципиальными, не вызывают сомнений в существовании решения типа
«белой дыры». Однако если во всей окружающей Вселенной РФО,
то внешнее решение возмущается. Действительно, без «белой дыры»
в однородной Вселенной с РфО масса внутри выделенного сопутст-
сопутствующего объема уменьшалась из-за адиабатического уменьшения
энергии с расширением (см. гл. 1). В случае белой дыры централь-
центральное ядро не расширяется, масса его для внешнего наблюдателя не
уменьшается. Кроме того, в решении есть разрыв давления на гра-
границе между невозмущенной Вселенной и вакуумным решением
Шварцшильда. Разрыв давления приводит к истечению плазмы
снаружи во внутреннюю область. «Белая дыра» вызывает аккре-
аккрецию плазмы при любом соотношении между собственной массой
дыры и массой, «вырванной» из космологического решения.
До сих пор существуют лишь грубые оценки эффекта, но полная
картина явления не построена. Остается невыясненным, можно ли
при учете аккреции использовать гипотезу «белой дыры» для объяс-
объяснения астрофизических явлений. •
Однако, помимо вопросов аккреции, существует другая сторона
вопроса, связанная, во-первых, с тем, что в белой дыре в вакуоли
вблизи шварцшильдовской особенности имеется весьма сильное
анизотропное расширение пространства в отличие от изотропного
расширения вне «белой дыры» в изотропной Вселенной; и, во-вторых,
связанная с тем, что в гипотезе «белой дыры» далекий наблюдатель
в течение всего времени задержки «видит» шварцшильдовскую син-
сингулярность. В «белой дыре» под гравитационным радиусом rg рас-
расположена так называемая Т+-область (см. ТТ и ЭЗ), в которой все
частицы двигаются только от сингулярности кг?и могут выходить
из-под rg к внешнему наблюдателю.
Первое обстоятельство — анизотропное расширение вблизи
сингулярности — ведет, как показано в §§ 5 и 6 этой главы, к ин-
интенсивному спонтанному рождению частиц. Второе обстоятель-
обстоятельство — то, что это происходит в расширяющейся Г+-области,—
создает возможность выброса родившихся частиц из-под rg к внеш-
внешнему наблюдателю и, следовательно, может привести к спонтанному
уменьшению массы «белый дыры». В действительности, как показано
в работе Зельдовича, Новикова, Старобинского A974), родившиеся
частицы очень сильно меняют метрику пространства-времени под
rg. В результате в реальном случае горячей Вселенной родившие-
родившиеся частицы оказываются «запертыми» в «белой дыре». Сначала,
на самых ранних этапах расширения Вселенной, при t<^.rg/c, час-
частицы не выходят из-под rg из-за давления окружающего газа горя-
горячей Вселенной, а позже, при t порядка rg/c и t>rglc, из-за гравита-
гравитационного самозамыкания — тяготение родившихся частиц не вы-
выпускает их наружу из-под rg. На этапе t<^rg/c масса «белой дыры»
Уменьшается из-за того же эффекта адиабатического уменьшения

686 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
энергии, который имеет место для любого сопутствующего объема
горячей Вселенной. На более позднем этапе «белая дыра» из-за
истечения родившихся частиц может потерять лишь небольшую
долю массы. Численные оценки см. в упомянутой выше работе
Зельдовича, Новикова, Старобинского A974).
Но весьма существенно, что все изменения, связанные с родивши-
родившимися частицами, приводят к тому, что они препятствуют взрыву за-
задержавшегося ядра, если задержка много больше rg/c. «Белая дыра»
либо взрывается практически сразу при t<CrJc, либо не взрывается
никогда (за исключением крайне вырожденных начальных условий).
Итак, основной вывод заключается в том, что в горячей Вселен-
Вселенной «белая дыра» представляет собой массу родившихся вблизи
шварцшильдовской сингулярности частиц. Вещество, состоящее
из этих частиц, расширяется, и для далекого наблюдателя внешняя
граница вещества асимптотически изнутри приближается к rg.
Для времени / ^> rg/c какое-либо излучение или истечение веще-
вещества из «белой дыры» экспоненциально быстро затухает (несмотря
на то, что приближение вещества к rg идет с расширением!).
Таким образом, хотя «белая дыра» может существовать неогра-
неограниченно долго, но для внешнего наблюдателя она приобретает
черты «черной дыры» — происходит застывание процессов, стремле-
стремление границы вещества к rg. Однако качественным отличием является
то, что этот объект возникает как результат взрыва (квантового)
изнутри — от сингулярности к rg, а не в результате гравитационно-
гравитационного коллапса — падения к rg первоначально разреженной материи.
Переходя от физической природы «белых дыр» к собственно
космологии, отметим следующее.
В книгах Зельдовича и Новикова A9676, 1971) показано, что
если «белые дыры» и существуют, то в начале космологического рас-
расширения доля массы, заключенная в «белые дыры», составляла
ничтожную долю массы всей материи. Действительно, в начале
расширения вещество представляет собой ультрарелятивистский
газ с Р=е/3. В ходе расширения масса этого газа в любом выделен-
выделенном сопутствующем объеме уменьшается из-за адиабатического
охлаждения. Масса же, заключенная в «белых дырах», не уменьша-
г \ *)
ется после их обособления (после момента t та—] . Чтобы к насто-
настоящему моменту суммарная масса, заключенная в «белых дырах»,
не была слишком велика и не влияла очень существенно на время
расширения Вселенной, необходимо, чтобы в начале расширения
доля массы в «белых дырах» была достаточна мала. В упомянутых
выше работах показано, что эта доля а (зависящая от момента вре-
времени) должна быть на ранний момент не более, чем ос<—-, z ^> Ю3-
*) Считаем, что «белые дыры» не обладают релятивистскими скоростями пе-
пекулярного движения.

s 14] СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЯГОТЕНИЕ 687
К моменту t, соответствующему rg/c, для массы порядка 10е 7W©
(порядка массы квазара), т. е. для tmlO* сек, получаем, а<109.
В заключение подчеркнем, что в этом параграфе речь шла о ги-
гипотетических объектах. На существование таких объектов во Все-
Вселенной пока нет никаких серьезных указаний. Детальная теория
показывает, что свойства «белых дыр» сложнее, чем ранее пред-
предполагалось; квазары и взрывы ядер галактик нуждаются в дру-
другом объяснении.
Вернемся к вопросу о локальной топологии. На уровне самых
малых масштабов — в масштабе планковской длины /пл=10~33 см —
можно ожидать больших флуктуации метрики и сложной топологии.
Выдвигается гипотеза Уилера A960) о структуре пространства,
напоминающей пенопласт, с неисчислимым количеством топологи-
топологических ручек, связывающих разные близкие области, и т. п. Для
таких масштабов что-либо утверждать и что-либо опровергать труд-
трудно. Однако мы твердо знаем, что макроскопически усредненная
плотность энергии и все компоненты Tik этой структуры равны нулю
или ничтожно малы, если Л#0. Вводя «идею пенопласта», нужно
одновременно вводить такие методы перенормировки, которые
обеспечивают этот макроскопический результат. К этому нас обя-
обязывает наблюдение, опыт — высший критерий истины.
§ 14. Статистическая физика и тяготение
Статистическая физика систем, в которых тяготение играет су-
существенную роль, имеет нетривиальные, необычные особенности.
В прошлом, без должного учета этих особенностей, поверхностное
применение термодинамики (т. е., по существу, статистики) в кос-
космологии приводило к совершенно неправильным выводам. Так,
в частности, возникла пресловутая проблема «тепловой смерти
Вселенной» и, как следствие неправильных предпосылок,— флук-
туационная теория *) нарушения термодинамики в космологическом
масштабе.
Для понимания особенностей задачи рассмотрим основную ве-
величину— статистический интеграл Z= J e~ElkT dpdx, взятый
по всему фазовому объему системы**). Энергия системы представляет
собой сумму кинетической энергии частиц и энергии их взаимодей-
взаимодействия, в частности гравитационного взаимодействия.
*) Не смешивать с флуктуационной теорией возникновения неоднородностей
(см. раздел III).
**) Через Z, как известно, выражается свободная энергия системы!
F=—kT In Z. Легко выразить с помощью Z и все другие величины: энергию
с дЕ
~df и т- д>

688 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 2 3
В классической теории интеграл разбивается на произведение
двух интегралов — по импульсам и по координатам. Итак, мы долж-
должны рассматривать J е~и ix^kT dx, где U(x) есть потенциальная
энергия гравитационного взаимодействия; х есть символическое
обозначение всех координат всех частиц, составляющих систему.
В ньютоновской теории
() Gj\.
Г ik
С таким выражением потенциальной энергии U интеграл рас-
расходится. Интеграл расходится при г-+оо, когда t/->0 в том случае,
если бесконечен объем интегрирования, приходящийся на одну
частицу *). Это свойство является общим для тяготения и для всех
других потенциалов. Расходимость при больших г существенна при
рассмотрении системы конечного числа частиц в бесконечном прост-
пространстве, например скопления звезд [см. Зельдович, Новиков A9676)].
Однако это свойство интеграла с гравитационной энергией не от-
отличается от свойств других типов взаимодействия, например элект-
электромагнитного или ядерных сил.
Существенно, что статистический интеграл с гравитационным
взаимодействием расходится и при малом г-*0. Экспонента растет
при г-+0 быстрее, чем убывает объем (г3).
Кулоновское электромагнитное взаимодействие двух разно-
разноименных зарядов обладает тем же свойством. Однако квантовые
эффекты ограничивают снизу то минимальное расстояние, на кото-
которое электрон может приблизиться к ядру. В системе из большого
числа заряженных частиц притяжение разноименных зарядов ком-
компенсируется отталкиванием одноименных. Поэтому кулоновские
силы обусловливают образование атомов, жидкости, кристаллов,
но не приводят к более сильным катастрофическим эффектам.
Между тем силы тяготения, ничтожно малые на атомном уровне,
возрастают с увеличением числа частиц.
В макроскопических, астрономических масштабах силы тяготе-
тяготения и расходимость статистического интеграла при малых расстоя-
расстояниях, т. е. при больших плотностях, играют решающую роль.
При рассмотрении невзаимодействующих частиц статистическая
физика приводит к выводу, что наиболее вероятным является рав-
равномерное распределение частиц в пространстве.
На несколько более ученом языке можно сказать, что энтропия
максимальна для равномерного однородного распределения веще-
вещества, к тому же с постоянной температурой. Учет короткодействую-
короткодействующих сил может привести к разделению вещества на отдельные фазы
(кристаллические фазы, жидкости, одна газовая фаза) при низкой
*) Само по себе рассмотрение бесконечного объема и бесконечного числа
частиц при конечной чх плотности ие создает трудностей.

s U] СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЯГОТЕНИЕ 689
температуре, т. е. при малой удельной энтропии. Однако в астро-
астрономических условиях эти силы играют малую роль. Не учитывая
их, мы возвращаемся к тому, что без тяготения равновесное со-
состояние было бы однородным и изотропным. В этом равновесном
состоянии невозможно, по второму началу термодинамики, воз-
возникновение макроскопического движения, магнитных полей, какой
бы то ни было организованной структуры.
Наблюдаемое в настоящее время состояние характеризуется рез-
резкой неоднородностью плотности и температуры (существуют пла-
планеты, звезды, галактики), макроскопическими движениями и маг-
магнитными полями.
Из противопоставления наблюдаемого и равновесного состояний
возникают вопросы:
1) Применительно к будущему — должна ли Вселенная перейти
в однородное изотермическое равновесное состояние («тепловая
смерть»)?
2) Применительно к прошлому — если когда-то Вселенная была
в однородном изотермическом равновесном состоянии, то как воз-
возникло сегодняшнее наблюдаемое явно неравновесное состояние?
Не следует ли приписать его появление гигантской флуктуации,
нарушению термодинамики?
Ошибка в постановке этих вопросов заключается в том, что (мол-
(молчаливо) в рассмотрении не учитывалась гравитация. С учетом гра-
гравитации однородное распределение вовсе не соответствует макси-
максимуму энтропии.
Соберем вещество в отдельные сгустки звезды или галактики.
При сохранении полной энергии произойдет выделение гравитаци-
гравитационной энергии и повышение температуры. Вероятность состояния
есть произведение вероятности пространственного распределе-
распределения частиц на вероятность того, что частицы имеют данные скорости,
данную кинетическую энергию. При собирании вещества в сгустки
«пространственная» вероятность уменьшается, но зато растет «ско-
«скоростная» вероятность, так что общее произведение растет. Обра-
Образование звезд и галактик из равномерно распределенного вещества
происходит с ростом энтропии, является естественным процессом,
не требует нарушения термодинамики.
Направление эволюции звезд, галактик, всей Вселенной под-
подробно обсуждается во многих разделах книги, и здесь неуместно
было бы повторяться.
Во всяком случае, современный читатель должен ясно пони-
Мать, что энтропия растет и в то же время эволюция в будущем,
с учетом тяготения, отнюдь не ведет к однородному, «серому» изо-
изотермическому состоянию*).
главы.
*) Вопросы термодинамики Вселенной затрагиваются также в §§ 17, 20 этой

690 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
§ 15. Теория тяготения Бранса — Дикке
и ее космологические следствия*)
Указанная в заглавии теория, именуемая далее кратко ТБД
[см. Бранс, Дикке A961); Дикке A962, 1964, 1968)], тесно связана
с принципом Маха. В этой теории, так же как и в ОТО, рассматри-
рассматривается неевклидово, искривленное 4-мерное многообразие — прост-
пространство-время.
В этом многообразии, наряду с известными частицами и полями,
рассматривается еще гипотетическое «ранее неизвестное» **) ска-
скалярное безмассовое поле, так называемое ф-поле. Авторы вводят
его необычным способом, поэтому в теории тяготения и в космологии
ф-поле играет роль, существенно отличающуюся от роли других
полей например скалярного поля нейтральных пионов.
В первоначальной формулировке ТБД в действии J RdV
скаляр кривизны R умножается на функцию <р.
Таким образом, полное действие ТБД состоит из трех членов:
где V — четырехмерный объем, dV = |/ — gd*x', 2т— лагранжиан
известных частиц и полей, 2^ — лагранжиан ф-поля, также имею-
имеющий не вполне обычный вид:
^ф = «^, B3.15.2)
где запятая означает ковариантное дифференцирование, а ю есть
безразмерный численный параметр. Специфика ТБД заключена
в том, как написан первый член.
Идеи, связанные с такой записью, заключаются в том, что при
Ф=0 теперь нет теории тяготения, так как исчезает член, описы-
описывающий упругость пространства (исчезает R). С другой сторо-
стороны, поле ф оказывается зависящим от распределения материи во
всем пространстве. Таким образом, в ТБД, в соответствии с идеями
Маха, лишь при наличии (обычной) материи оказывается возмож-
возможным найти метрику и определить локально инерциальную систему
координат. На протяжении данного параграфа много раз будут
употребляться выражения типа «удается», «оказывается», «соот-
«соответствует»; надо сразу же сказать, что эти выражения не означают,
что ТБД правильна и адекватно описывает природу. «Соответствие»
принципу Маха, с точки зрения авторов ТБД, является достоинст-
достоинством теории. Но принцип Маха не доказан (см. § И) и «соответствие»
*) При написании данного параграфа большую помощь оказали Л- Э. Гу-
ревич и А. М. Финкельштейн, за что мы им искренне благодарны.
**) Здесь пародируется терминология патентов; однако в данном случае
существование поля, «неизвестного ранее», остается недоказанным и поныне.

. 18] ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ БрАНСА — ДИККЕ 691
ему не есть доказательство правильности ТБД. То же относится и
к другим свойствам ТБД.
Дифференциальные уравнения ТБД получаются, естественно,
варьированием приведенного выше действия. Варьирование мет-
метрики приводит к уравнениям, похожим на уравнения стандартной
ОТО. Скалярное поле также дает обычный вклад в Тензор энергии-
импульса Тццъ) наряду с тензором обычной материи Tlkim). Но эф-
эффективная гравитационная «постоянная» не является больше уни-
универсальной константой, на ее место входит ——, причем <р есть
функция точки! Итак, имеем
Варьируя действие по ф, получим уравнение
0. B3.15.3)
Но так как R, в свою очередь, выражается через Тш и T(tf), то урав-
уравнение можно переписать так, чтобы выявить роль материи как источ-
источника поля:
В правую часть последнего уравнения входит скаляр Т — след
тензора энергии-импульса, т. е. плотность энергии, точнее, (рс2)
для «пыли» (при Р=0) или (е — ЗР) для жидкости. Любопытно,
что для ультрарелятивистского газа 7s=0 и, следовательно, □ ф=0.
Все операции (дифференцирование, □) производятся, как уже го-
говорилось, в неевклидовом пространстве-времени.
В ТТ и ЭЗ рассматривались разные варианты теории тяготения
в плоском пространстве-времени: тензорный, векторный и скаляр-
скалярный. Скалярный вариант связывался с именами Бранса и Дикке
(ТТ и ЭЗ, стр. 104). Более точно, следует сказать, что в ТБД роль
скалярной функции сложнее, функция <р не является аналогом ска-
скалярного ньютоновского потенциала. ТБД содержит безразмерный
свободный параметр ю. Наблюдаемые выводы зависят от избран-
избранного значения ю. При этом ю = оо соответствует стандартной ОТО.
Итак, характерной особенностью ТБД является тот факт, что
гравитационная «постоянная» оказывается функцией точки,
G~lq>(x, у, z, Q], и функция эта подчиняется определенным урав-
уравнениям, в которых в роли источника выступает материя. Безраз-
Безразмерные величины —j- , -г- , где m, e — масса и заряд элементарных
е ПС
Частиц, не являются постоянными. Вся остальная «физика», харак-
характеризуемая числами -г-, !, одинакова во всем пространстве и всег-
пс тл

692 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
да. ТБД напоминает теории Иордана A948, 1955) и Дирака A938),
в которых G также не является постоянной. Выгодным отличием
ТБД (в связи с которым мы подробнее останавливаемся именно на этой
теории) является то, что в ТБД не предполагается изменение числа
частиц, ТБД не вступает в противоречие с законами лабораторной
физики.
Как показал Дикке A962), возможна и другая, эквивалентная
формулировка теории, в которой поле <р прямо взаимодействует со
скаляром Т вещества, гравитационная постоянная (без кавычек)
постоянна, но зато эффективные массы m всех частиц зависят от <р и,
следовательно, не постоянны. Не постоянна и локально наблюда-
наблюдаемая величина -т—, как и раньше, в первом варианте ТБД
(см. выше).
На первый взгляд такой вариант теории ближе к привычным
уравнениям, результаты легче поддаются интерпретации. Однако
в действительности, если масса элементарных частиц переменна,
то, следовательно, атомные часы идут непостоянным темпом, атом-
атомная единица времени и атомная единица длины зависят от локального
мгновенного значения скалярного поля <р. Время и длина, измерен-
измеренные атомными стандартами, не совпадают с тем временем и длиной,
которые входят в определение метрики ds2=dt2—dl2 (после локаль-
локального приведения к форме Минковского). Таким образом, в интер-
интерпретации любого эксперимента возникают осложнения. По этой
причине будем придерживаться ниже первого варианта теории,
в котором ф-поле взаимодействует непосредственно с кривизной R,
но не с материей, так что гравитационная «постоянная» G не по-
постоянна (С~ф-1), но зато постоянны массы. Для того чтобы опре-
определить ф, нужно не только уравнение и задание источников, но
нужны и начальные и граничные условия. Далекие источники вли-
влияют на ф в данной точке с коэффициентом, обратно пропорциональ-
пропорциональным расстоянию г, число таких источников возрастает с расстояни-
расстоянием пропорционально гЧг. Поэтому в первом приближении поле
Ф определяется далекими источниками и можно считать его постоян-
постоянным, не зависящим от пространственных координат (даже в Галак-
Галактике, или в Солнечной системе, или на Земле, несмотря на гигантские
отличия плотности от среднего космологического значения) *).
В случае простейшего космологического решения (однородная и
изотропная модель, «пыль», Р=0, плоский мир, ф=0 при t=0)
*) Заметные отличия ф от среднего появляются лишь там, где гравитацион-
гравитационный потенциал изолированной массы становится порядка с2 (с — скорость света).
Поэтому ТБД вносит количественные изменения в теорию нейтронных звезд
и особенно существенно (качественно) изменяет теорию коллапса и «черных дыр»
[Бранс A962), Нариаи A969а, б)]; однако этот вопрос выходит за рамки данной
книги.

, ,5] ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ БРАНСА — ДИККЕ 693
получается
Ф-f. а~*. r = ^, ? = |±£. B3.15.5)
При о>->-оо это решение содержит стандартные результаты: <р и
О постоянны, a~f/>.
В частности, при ю=6 *) предсказывается изменение константы
тяготения (или массы частиц):
~ ^j- = — 0,14Я«— 5-10-" лет-1, B3.15.6)
где Н — постоянная Хаббла.
В теории Дирака -гг в 10 раз больше. Точность радиолокацион-
радиолокационных межпланетных измерений расстояний позволяет надеяться на
прямой ответ — есть ли такие изменения — на протяжении бли-
ближайших 10 лет. Сейчас эксперименты Шапиро A965), Шапиро и
др. A971, 1972) дают G/G не более 4-Ю1 лет-1.
В настоящее время более интересны тесты, не требующие дол-
долгого ожидания. Наблюдаемые выводы ТБД развиты подробно. ТБД
дает поправки к классическим тестам ОТО. Отклонение а луча при
прохождении вблизи края Солнца в ТБД выражается формулой
, __„3+2сй „,,./. I \
а = 1,75 4~тГ2со= ' 1 —4+2со)' изменяется также вековое
смещение перигелия Меркурия.
Измерения последних лет неблагоприятны для ТБД: последние
данные дают для а величину, из которой следует, что |ю|>6 или
|ю|>10. Смещение перигелия Меркурия согласуется с ОТО с очень
хорошей точностью.
Дикке A964) полагал, что гравитационное поле Солнца обла-
обладает значительным квадрупольным моментом. Совпадение смеще-
смещения перигелия с ОТО, по его мнению, является результатом слу-
случайной компенсации двух поправок — одной, связанной с ТБД, и
другой, зависящей от квадрупольного момента Солнца. Доказа-
Доказательство квадрупольного момента Дикке видел в сплюснутости
солнечного диска. Новые данные Хилла и др. A974) показывают
отсутствие сплюснутости Солнца. Небесно-механические следст-
следствия ТБД рассматриваются в ряде работ [Нутку A969), Шапиро
и др. A971, 1972), Финкельштейн и Крайнович A974)]: Эти следст-
следствия до сих пор не нашли экспериментального подтверждения.
Специфическим предсказанием ТБД являются продольные гра-
гравитационные волны (точнее, волны ф-поля). Измерения типа вебе-
ровских в момент взрыва близкой сверхновой могли бы подтвер-
*) Наблюдения (о которых см. далее) приводят к выводу, что |ш|^6; напом-
напомним, что ТБД совпадает с ОТО в пределе при со—то.

694 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
дить ТБД или дать чувствительную оценку параметра ю. Даже при
малых отклонениях от ОТО (т. е. при большом |ю|>6) эффект может
быть значительным, так как излучение скалярных волн (в отличие
от гравитационных волн в ОТО) происходит также и при сферически-
симметричных колебаниях или коллапсе [Дикке A964); Гуревич
и Дынкин A972)]. «Обычные», предусмотренные ОТО, гравитаци-
гравитационные волны являются тензорными и излучаются лишь постольку,
поскольку колеблющееся или коллапсирующее тело отклоняется от
сферической симметрии, имеет квадрупольный момент (см §2 гл. 16
и более подробно ТТ и ЭЗ). Как известно, однако, повторе-
повторение опытов Вебера не подтвердило наличие импульсов, скалярные
волны также не наблюдались. Итак, с ТБД возникла часто встречаю-
встречающаяся ситуация. Нет экспериментальных доказательств недоста-
недостаточности ОТО, нет экспериментальных аргументов в пользу ТБД.
Вместе с тем, благодаря предусмотрительно введенному параметру
ю, все недовольные жесткой формой стандартной ОТО имеют право
перевести вопрос в количественную плоскость. Такие исследователи
говорят, что ТБД не опровергнута, но лишь подвергнута количест-
количественному ограничению.
Каковы космологические следствия ТБД?
Для «пыли» и при определенном выборе начальных условий выше
выписана формула B3.15.5), показывающая, как меняется показа-
показатель в космологическом решении. Для ТБД уравнение состояния
Р=е/3 является особым. Существенны отклонения от этого закона.
Нуклеосинтез в ТБД рассмотрен в работе Дикке A968). В первом
варианте теории с постоянными массами элементарных частиц и
с временами, измеренными по атомным часам, суть изменений нук-
нуклеосинтеза сводится к тому, что в космологии в ТБД ускоряется
темп космологического расширения. Но мы знаем, что ускоренное
расширение приводит к увеличению доли нейтронов, выживающих
после адронной эры. При увеличении скорости расширения в s раз
при s от 10 до 1000 содержание гелия оказывается больше 40%,
что недопустимо. При s от 1000 до Юв содержание гелия меньше 10%,
но недопустимо велико предсказываемое количество дейтерия
(>3%) и Не3 (>2-10~4). Поэтому необходимо s>106. Конкретно
Дикке отстаивает скалярно-тензорную космологическую модель
с s=l,5-lO6 (соответствующую ю=5), с практически нулевым со-
содержанием гелия. Однако если ю>6 (как указывают, по-видимому,
небесно-механические и радиоизмерения в Солнечной системе),
то в космологии возникнут трудности!
Отметим, что в ТБД, наряду с «обычными» решениями с началь-
начальным условием t=0, ф=0, можно также рассматривать решения
с фо#О или (pa8=const#0, т. е. со «свободным» ф-полем. Эти решения
обладают любопытными особенностями. Поле ведет себя в опре-
определенных условиях как предельно жесткое (Р=е) вещество. При
определенном выборе параметров /)=е<0 и возможен плавный пере-

I ie] новые гипотезы в теории поля и космология 695
ход от сжатия к расширению в изотропной (фридмановской) мо-
модели.
Положительное ю, когда сингулярность сохраняется (но за-
зависит от ф-поля, а не от материи), рассмотрел Гринстейн A968),
см. также Моргенстерн A973), а для анизотропных решений —
Белинский и Халатников A972), Рубан и Финкельштейн A973),
Матцнер, Райан и Бтон A973). Принципиально новый случай от-
отрицательного ю рассмотрели Гуревич, Финкельштейн и Рубан
A973). На первый взгляд отсутствие сингулярности в этом случае
реализует давнишнюю мечту теоретиков (и философов). Сингуляр-
Сингулярность означает необходимость привлечения новых теоретических
идей, только несингулярное решение является полным и логически
замкнутым. Однако, избавившись от сингулярности, мы сталкива-
сталкиваемся с новыми вопросами: как происходил нуклеосинтез? каким
образом получилось равновесное планковское реликтовое излуче-
излучение? Бесконечная плотность, может быть, и не является необходи-
необходимой, но плотность порядка 10е—108 г/см3 и температура выше 1010 СК
нужны для понимания наблюдаемой картины Вселенной.
Наконец, наиболее важна принципиальная трудность: избав-
избавление от сингулярности возможно лишь в рамках теории с полем,
которое может дать отрицательную плотность энергии. Без отри-
отрицательной плотности энергии сингулярность неизбежна — в этом
состоят теоремы Пенроуза и Хоукинга (см. § 2 гл. 22). Но поле,
дающее отрицательную плотность энергии, способно также вызвать
«взрыв вакуума». В квантовой теории такого поля в вакууме (пло-
(плоском, стационарном!) могут рождаться кванты этого поля вместе
с обычными частицами. Как было показано Зельдовичем A974), та-
такое спонтанное рождение частиц противоречит наблюдениям.
Подведем итог обсуждению ТБД. Разнообразие решений оказа-
оказалось значительно большим, чем предполагали авторы теории. По-
Появились новые, не связанные с идеями Маха, варианты, рассматри-
рассматриваются свободные поля. Появляется значительное число публикаций
по ТБД. Несмотря на это, наблюдения и общие соображения, выд-
выдвинутые в последние годы, неблагоприятны для ТБД, и представля-
представляется вероятным, что в ближайшие годы интерес к ТБД исчезнет.
§ 16. Новые гипотезы в теории поля и космология
В 70-х годах получило дальнейшее развитие и стало популярным
особое направление теории квантовых полей и теории элементарных
частиц — идея спонтанного нарушения симметрии, или, кратко,
«сломанной симметрии».
Вкратце идея сводится к следующему: в природе усматриваются
определенные симметрии, которые, однако, оказываются неточными.
Такова например СР-инвариантность, т. е. симметрия по отноше-
отношению к зеркальному отражению, сопровождающемуся заменой частиц

696 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
на античастицы *). Таково сходство (симметрия) свойств электронов
и мюонов и более скрытое сходство нейтрино с заряженными лепто-
нами — электронами и мюонами.
Естественно в качестве первого приближения построить теорию,
в которой та или иная указанная симметрия является точной. Из-
Известно, как нужно строить лагранжиан (выражение, варьированием
которого получаются уравнения полей и частиц) для того, чтобы
получить уравнения с данными свойствами симметрии. Лагранжиан
может быть СР-инвариантным или соответствовать теории, в которой
равны нулю все массы — электрона, мюона и нейтрино. Но в дейст-
действительности известно, что симметрия не является точной: наруша-
нарушается СР-инвариантность в некоторых процессах, масса мюона не
равна массе электрона и не равна нулю. Должны ли мы отказывать-
отказываться от идеализированного лагранжиана? Идея нарушенной симмет-
симметрии заключается в том, что сохраняется симметрия лагранжиана,
симметрия идеализированной теории, но подбирается такая функ-
функциональная зависимость, при которой несимметричное решение
является устойчивым.
Поясним эту мысль примером. Пусть потенциальная энергия
является четной функцией координаты, U=ax2+bx4+... Потен-
Потенциальная кривая симметрична относительно замены х—>—х. Состоя-
Состояние равновесия частицы получается из условия минимума U(x), т. е.
F = д- = 0. Пусть а>0, fc>0, остальных членов нет. Кривая
потенциальной энергии имеет один минимум, х=0, как и следовало
ожидать: симметричная теория lU(x)=U(—х)] имеет симметричное
равновесное состояние.
Возьмем, однако, случай а<0, fc>0.
Потенциальная энергия имеет два минимума: х1>2 = ± у -тяг- ,
t/liS= — 46 • Начало координат х3=0, U3=0 представляет
собой максимум кривой.
Итак, теория по-прежнему симметрична [U(x)=U(—х)], но
в состоянии равновесия осуществится либо одно ( х1 = -(- у ^ь) >
либо другое (х3 = — у 26/ несимметричное решение.
•) В связи с нарушением С была выдвинута Ландау идея комбинированной
инверсии, т. е. СР-инвариантности. Нарушения СЯ-инвариантности наблюдают-
наблюдаются в настоящее время только в распаде нейтральных К-мезонов и весьма малы
[Кристенсен и др. A964)]. В обыденной жизни с хорошей точностью выполняется
зеркальная симметрия и без зарядового сопряжения. Однако в явлениях бета-
распада и других явлениях слабого взаимодействия нарушение С-зеркальнои
симметрии достигает 100%: нейтрино только левополяризованные, антинейт-
антинейтрино только правополяризованные.

, ,6] НОВЫЕ ГИПОТЕЗЫ В ТЕОРИИ ПОЛЯ И КОСМОЛОГИЯ 697
Один из авторов C.) живо помнит, как Л. Д. Ландау, исследуя
течение вязкой жидкости в расширяющейся трубе (задачу с сим-
симметричными уравнениями и граничными условиями), обнаружил
неустойчивость симметричного решения и существование устойчи-
устойчивых несимметричных решений в определенном интервале чисел
Рейнольдса, какое большое принципиальное значение Ландау при-
придал этой ситуации, как он радовался возможности проследить ана-
аналитически за возникновением неожиданного решения.
Н. Н. Боголюбов подчеркивает, что в статистической механике
при образовании ферромагнетика или кристалла происходит на-
нарушение изотропии, равноценности всех направлений в ситуации,
когда исходные уравнения изотропны.
С точки зрения математической физики в современных теориях,
«сломанной симметрии» рассматривается явление такого же типа,
но с простейшим объектом — вакуумом.
Вводится скалярное поле ф, и предполагается, что энергия поля,
наряду с обычными членами, содержит £/(ф) как раз такого вида,
как описано выше, U=a(p2-\-b(pl-\-c, причем а<0.
Теория такова, что ф=0 соответствует полной симметрии —
нет нарушения СР-инвариантности, или массы мюонов и электронов
равны нулю. Однако в действительности осуществляется состояние
вакуума, при котором U минимально, например ф =
несимметричном состоянии из-за связи <р с другими полями (эту связь
мы не выписываем) нарушается и симметрия других полей: наруша-
нарушается СР-инвариантность, или m|Jl#me#mv=0. Константа с выбрана
таким образом, с = -!^L-, что плотность энергии несимметричного
вакуума равна нулю, в соответствии с тем, что, по астрономическим
данным, равна нулю (или очень мала) космологическая постоян-
постоянная. Следовательно, энергия неустойчивого симметричного состоя-
I а I2
ния положительна, U (ф = 0) = с = -Чг— •
Конечно, вышеизложенное дает лишь самое общее представле-
представление об идее «сломанной симметрии». Киржниц A973) сделал важное
замечание о следствиях этой гипотезы применительно к теории
горячей Вселенной.
Вблизи сингулярности при высокой температуре следует ожи-
ожидать, что поле ф (как и другие поля!) окажется высоковозбужден-
высоковозбужденным и при этом среднее значение <р окажется равным нулю, несмотря
на то что плотность энергии не минимальна. При повышении темпе-
температуры исчезает упорядоченность, подобно тому как плавится кри-
кристалл и исчезает ферромагнетизм. Восстанавливаются и другие
предсказания симметричной теории (например, me=m =m,=0
И Т. П.).

698 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 13
Линде A974) предлагает считать, что в высокотемпературном
симметричном состоянии плотность энергии вакуума, а значит,
и космологическая постоянная становятся положительными и
большими.
Сущность перестройки поля при высокой температуре представ*
ляется физически обоснованной; однако выражение «космологи-
«космологическая постоянная, зависящая от температуры» таит определенные
опасности.
Принято определять космологическую постоянную как энер-
энергию вакуума или, точнее, как предел плотности энергии при плот-
плотности частиц (возбуждений), стремящейся к нулю. Но при заданной
высокой температуре плотность частиц, в частности квантов поля,
нельзя считать равной нулю, плотность частиц задана температу-
температурой, частицы в среднем покоятся лишь в одной системе координат,
горячий газ не лоренц-инвариантен.
Плотность энергии при конечной температуре имеет определен-
определенное значение, но разбиение этой плотности на две части (материя
и «вакуум») содержит произвол.
При обычном определении (v — вакуум, т — материя) е*=
=ev+em, P=Pv+Pm; принимаем ev=—/>j,=const и dE=—PdV.
При этом закон сохранения энергии справедлив для каждой части
в отдельности: d(eV)=—PdV, d(evV)=etidV=—PtidV, d(emV)=*
=PndV. При определении Линде, т. е. при e^const, этих равенств
нет, нужно учитывать отдельно взаимодействие вакуума с материей,
а поскольку материя не лоренц-инвариантна, то не очевидна и ло-
ренц-инвариантность взаимодействующего с ней вакуума.
При такой сложной ситуации, естественно, возникает вопрос,
нужно ли делить е на две части; во все уравнения входит лишь полное
е, полное Р.
В работе Зельдовича, Кобзарева и Окуня A974) проводится ана-
анализ эволюции горячей космологической модели, в которой уравне-
уравнения поля допускают симметричное решение при высокой темпера-
температуре и «сломанную симметрию» при низкой температуре.
В простейшем варианте теории в ходе расширения и охлаждения
достигаются условия «сломанной симметрии» и получается моза-
мозаичная (доменная) структура. Пространство распадается на множест-
множество областей, в одних <р = + \ -т^. в других <р = — у -^г-. Соот-
Соответственно в этих областях различен знак нарушения СР-инвари-
антности, в частности различен знак разности вероятности двух ка-
каналов распада: KL-*-n+ц~\^ и КЕ-ь-л'ц+Хр (однако в этом варианте
теории масса мюона везде положительна!). Между (+)-и (—^обла-
(—^областями образуется переходный слой с определенной, и притом боль-
большой, поверхностной энергией, поверхностным натяжением, повер-
поверхностной плотностью массы. Большая плотность и натяжение стенок
позволяют рассматривать всю совокупность как газ с Р = —2/s8

{ 17] ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ ВСЕЛЕННАЯ» 699
(при хаотическом распределении и медленном движении стенок).
Существенно меняется общий закон расширения Вселенной, ока-
оказывается, что в этом случае a~t2.
Разбиение пространства на мозаику (+)-, (—)-областей должно
вызвать заметную неоднородность плотности и всех других величин
даже в том случае, если начальное высокотемпературное состояние
было строго однородным. Большая плотность стенок (порядка
Ю2е эрг/см2 =ЮЬ г/см" по грубой оценке) приводит к выводу, что
стенки, уцелевшие к настоящему времени, вызвали бы недопусти-
недопустимое искажение изотропии реликтового излучения. Реликтовое из-
излучение еще раз играет роль «большой дубины», ограничивающей
полет фантазии.
Означает ли это, что необходимо нацело отказаться от теорий
с нарушенной симметрией? Оказывается, что это не так, можно
указать варианты, в которых противоречие устранено.
1. В варианте комплексного <р при высокой температуре |ф|=0,
при низкой температуре |(p|=const=(po, различные области прост-
пространства отличаются фазой ф, но не величиной: (p=(poel'aix).
Такая теория не объясняет нарушения СР-инвариантности,
но годится для объяснения масс мюона и электрона. В этом случае
фаза а(х) может меняться плавно и вместо стенок появляются
вихревые нити.
2. В варианте с вещественным ф=±ф0 и резкой границей воз-
возможно, что зарядовая асимметрия вещества (избыток барионов)
вызывает асимметрию (+)- и (—)-областей, например, преимущест-
преимущественно образуются (+)-области, и к настоящему времени все прост-
пространство представляет собой одну (+)-область, тяжелых стенок ни-
нигде нет.
Изложенная выше гипотеза (так же как и только что указанные
варианты) еще очень далека от экспериментального подтверждения
методами физики элементарных частиц, ускорителей и т. п. Приводя
ее здесь, мы хотим показать, насколько еще неопределенны наши
представления о физике процессов вблизи сингулярности, какие
большие неожиданности возможны в этой области.
§ 17. Осциллирующая Вселенная?
Представление о статической, неизменной Вселенной, несом-
несомненно, не согласуется с действительностью и оставлено. Не соот-
соответствует действительности и стационарная Вселенная (см. § 10),
в которой хаббловское расширение компенсируется рождением ве-
вещества.
Однако поражает длительное существование и популярность
этих теорий! Напомним, что Эйнштейн сознательно видоизменял
ОТО так, чтобы уравнения оказались совместными со статическим
космологическим решением (см. гл. 4).

700
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ
[ГЛ. 23
Мы уже отмечали (§ 12 гл. 3), что идея стационарности, очевид-
очевидно, имеет определенную внутреннюю привлекательность. В XIX веке
эта привлекательность могла быть связана с видимой статичностью
астрономических систем. В XX веке законы сохранения зарядов —
электрического, лептонного и, главное, барионного (все эти законы
являются абсолютными во всех известных процессах) — являются
веским аргументом в пользу вечного существования Вселенной, об-
обладающей отличным от нуля барионным зарядом. Нельзя ли вечное
существование Всел иной сделать
стационарным в среднем, предпо-
предположив, что эволюция является ос-
осциллирующей: за сингулярностью
следует расширение, которое плав-
плавно замедляется и сменяется сжати-
сжатием, сжатие протекает, убыстряясь,
и заканчивается коллапсом?
Предполагается, что коллапс
Вселенной как целого может в син-
сингулярном состоянии изменить знак,
превратиться в антиколлапс, т. е.
смениться расширением из сингу-
б) t
Рис. 67. Осциллирующая модель
при р>рс: а) осцилляции без уве-
увеличения энтропии; б) осцилляции
с увеличивающейся энтропией.
лярного состояния, стать началом следующего цикла, повторяю-
повторяющего предыдущий.
Для того чтобы расширение (переживаемое нами в настоящее
время) сменилось сжатием, необходимо, чтобы во Вселенной плот-
плотность была больше критической. Предполагаемое изменение радиуса
Вселенной со временем показано на рис. 67, а.
Вопрос о возможности перехода коллапс — антиколлапс в син-
сингулярности (с учетом квантовых явлений и пр.) в настоящее время
остается открытым. Будем считать, что возможен такой переход —
точка возврата, в которой кривая рис. 67, а подходит к оси абсцисс
и отражается от оси.
Каковы следствия такой теории? В горячей модели Вселенной
есть одна особенность, благоприятная для осциллирующей модели.
Каким бы ни был химический состав вещества, подвергающегося
коллапсу, после прохождения через «огненную печь» сингулярности
вещество возвращается к первоначальному составу — к преслову-
пресловутым 70% Н, 30% Не4 для изотропного расширения (см. § 5
гл. 7).
Казалось бы, возможно повторение циклов. Однако второе на-
начало термодинамики запрещает осциллирующую модель. В самом
деле, энтропия Вселенной только растет. Энтропия растет и в ходе
расширения и в ходе сжатия. При коллапсе можно ожидать осо-
особенно сильного возрастания энтропии. На последних этапах сжа-
сжатия должно осуществляться наиболее общее «8-функционное» ре-
решение с анизотропным сжатием (см. § 3 гл. 22). В этих условиях

$ 17] ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ ВСЕЛЕННАЯ? 701
вязкость, ускорение нейтрино, спонтанное рождение частиц осо-
особенно сильны.
Для дальнейших выводов центральную роль играет предполо-
предположение, что энтропия не уменьшается при прохождении через сингу-
сингулярность. Это предположение мы принимаем, даже не имея последо-
последовательной квантовой теории сингулярного состояния.
Основанием для такой экстраполяции является один из важ-
важнейших принципов современной теоретической физики — принцип
соответствия. Будущая квантово-гравитационная теория включит
в себя и ОТО, и ньютоновскую теорию тяготения. В ОТО и в ньюто-
ньютоновской теории энтропия только растет; сингулярное состояние,
вероятно, не должно нарушать этот общий закон, так же как и за-
закон сохранения барионов. Но если от одного цикла к другому энтро-
энтропия возрастает, то каждый следующий цикл отличается от преды-
предыдущего.
Как показал еще Толмен A934), расчет приводит к циклам, уд-
удлиняющимся по времени и с растущей амплитудой, с увеличиваю-
увеличивающимся максимальным радиусом Вселенной (см. рис. 67, б).
Относительно нашей Вселенной еще точно не известно, являет-
является ли она открытой или замкнутой, т. е. больше или меньше р,
чем рс. Доводы в пользу открытой Вселенной несколько более убе-
убедительны, но считать вариант р>рс исключенным нельзя. С этой
точки зрения осциллирующий вариант эволюции также не исключен.
Но удельная энтропия нашей Вселенной (на один барион) ко-
конечна. Отсюда следует, что Вселенная пережила в прошлом лишь
конечное число циклов, имеет конечное время существования, ибо
в каждом цикле энтропия возрастает на конечную величину и при
бесконечном числе циклов удельная энтропия была бы бесконечна.
С учетом роста энтропии осциллирующая модель Вселенной не
позволяет описать вечное существование Вселенной от t=—оо.
Теория осциллирующей Вселенной не достигает цели, стоящей перед
этой теорией,— дать описание вечной Вселенной.
С точки зрения вечной Вселенной предпочтительной оказывает-
оказывается картина открытой Вселенной, однократно сжимающейся в про-
прошлом —оо</<;0, сменяющей сжатие на расширение в сингуляр-
сингулярности /=0 и неограниченно расширяющейся на современном этапе
0</</0 и в будущем /о<^<+°° (^о — сегодня). Но, конечно, пока
мы ничего не можем сказать о том, была ли истинная эволюция Все-
Вселенной такой.
Вернемся к теории осциллирующей Вселенной. Проиллюстри-
Проиллюстрируем простыми расчетами утверждения Толмена о влиянии роста
энтропии на эволюцию циклов расширения — сжатия в случае
замкнутой модели. Расчет будет проделан для однородной изотроп-
изотропной космологической модели (см. гл. 1).
Итак, метрика имеет вид
ds2=c2 dt2—a2 (t) [dr2 + sin2 r (sin2 Gdcp2 + dQ% B3.17.1)

702 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 21
Уравнение для радиуса:
1(^2.У-4*0по» с% Г23 17 2^
Однородная модель при этом замкнута и закон сохранения нуклонов
формулируется элементарно: число N не меняется от одного цикла
к другому. Относительно энтропии S было сделано предположение,
что S не меняется в момент перескока от одного цикла к другому.
Однако она возрастает в ходе каждого цикла. Возрастание энтропии
особенно велико, если во время цикла образуются звезды и проис-
происходят ядерные реакции.
Будем рассматривать плотность энергии в сопутствующей систе-
системе координат. Для определенности в каждом цикле будем сравни-
сравнивать моменты, когда радиус максимален (момент, когда расширение
сменяется сжатием). Для этого момента из уравнения B3.17.2)
при тй~ = О найдем
„ _ DC2 _
pc-
Плотность энергии зависит от плотности нуклонов и от удельной
энтропии, приходящейся на один нуклон. Плотность нуклонов есть
N
здесь N — полное число нуклонов, SnMH — полная энтропия,
2я2а3 — объем замкнутого мира. Зависимость
е (n, S) s
дается уравнением состояния вещества. С определенностью можно
de . п дг ^ е
сказать только, что -тя- > 0 и -g- ^ —.
Уравнение
N SnojlH\ _
служит для определения максимального радиуса в данном цикле
по известной энтропии. Из свойств е следует, что в каждом следую-

j IT] ОСЦИЛЛИРУЮЩАЯ ВСЕЛЕННАЯ» 703
щем цикле атях больше, чем в предыдущем *). Больше также и
энергия, приходящаяся на один нуклон в момент остановки
Б -=-- -^ = const amaxe = const, amax.
Вследствие гравитационного взаимодействия увеличение энергии,
приходящейся на один нуклон, не противоречит закону сохранения
энергии. Полная энергия замкнутого мира всегда тождественно
равна нулю.
Таким образом, в осциллирующей модели все время растет
амплитуда колебаний. Расчет изменения амплитуды в каждом цик-
цикле зависит от изменения энтропии, т. е. от конкретных процессов.
Итак, необратимый рост энтропии при учете гравитации и общей
теории относительности приводит к картине, весьма непохожей на
картину тепловой смерти (постоянная температура всюду и покой),
как ее рисовали физики XIX века (см. об этом подробнее § 14 этой
главы).
Будем продолжать решение в прошлое. Минимальная амплитуда
цикла в прошлом определяется соотношением
Зс4
*) Дадим формальное доказательство. Введем энергию, приходящуюся на один
барион и зависящую от п и S: в=пЕ(п, S), имеем dE =— Р dV =— Pd I — )=з
*=Pn~2dnприS=const. Отсюда, таккакР>0, то и -г— > 0, -^-=Е+п-Т- >
an on on
>£= — Значит, -=т > 1. Запишем уравнение остановки в виде
л о Inn
Зе4
°maxe(nmax, S) = ^-^;=const (Пп,ах—плотность в максимуме расширения)
и найдем логарифмическую производную левой части по атах и S:
dln(amaxe)damax dln(amaxe) ,,o
О In an,ax amax dS
. aine d\nn XrfOmax, 1 ^е rf5_,Q
'ainn dlnamax; amax e dS
Т„ N dlnn . d\ne , „dine
1ак как n=r—т-, то -г-.— =— 3, а так как -^-, > 1, то —3 -^-j =я
a3 din а д Inn д In n
"= — k < 0, откуда и следует
dS к в dS
С ростом энтропии растет радиус остановки: замкнутый мир расширяется при
нагревании.

704 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
где
Ебарнон = т<1арнон"с2-
Иными словами, минимальная амплитуда определяется суммой
масс барионов.
Амплитуда, таким образом, всегда конечна и в каждом цикле
энтропия изменяется на конечную величину. Так как энтропия сей-
сейчас конечна, то в прошлом возможно только конечное число цик-
циклов. Предположение о возможности циклов, таким образом, только
отодвигает трудность с начальным сингулярным состоянием, но не
устраняет ее.
§ 18. Рождение гравитонов вблизи сингулярности
Гравитоны появляются в теории как неизбежное следствие ОТО
(предсказывающей гравитационные волны) и квантовой механики
(требующей квантования этих волн). Классическая теория — в дан-
данном случае ОТО — предсказывает, что скорость гравитационных
волн равна скорости света, а следовательно, масса покоя гравито-
гравитонов равна нулю.
В этом отношении гравитоны подобны фотонам (квантам электро-
электромагнитных волн) и нейтрино. Однако, как подчеркивает Грищук
A974), уравнения гравитационных волн не являются конформно-
инвариантными (в отличие от уравнений Максвелла для фотонов)
относительно преобразования той усредненной крупномасштабной
метрики, на фоне которой рассматривается (как ее малое корот-
коротковолновое возмущение) гравитационная волна.
В этой связи надо подчеркнуть, что скорость волны, равная ско-
скорости света, и равенство нулю массы покоя частиц — это условия
необходимые, но недостаточные для конформной инвариантности
соответствующего поля.
На примере скалярного поля Пенроуз A964) и Тагиров и Черни-
Черников A968) показали, что, обобщая уравнения, написанные в плоском
пространстве Минковского, на кривое пространство, можно по
произволу получить конформно-инвариантное или неинвариантное
уравнение. Но в уравнениях гравитационных волн нет произвола,
когда заданы уравнения ОТО, прямым следствием которых они
являются.
Оказывается, что уравнения гравитационных волн не конформно-
инвариантны. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим пло-
плоскую гравитационную волну на фоне расширяющейся Вселенной
(см. § 5 гл. 11).
Метрика
ds* = a*(r\)(drf—bafidxadx^)-\-ha(idxadxfi B3.18.1)
при условиях
hi = ylaeinrv(r), т£яР = 0, п = const B3.18.2)

5 18] РОЖДЕНИЕ ГРАВИТОНОВ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ 705
приводит к уравнению для амплитуды
При большой частоте, >ф> —г-, имеет место квазиклассическое
приближение
Как уже отмечалось (см. гл. 16), при этом плотность энергии гра-
гравитационных волн
^ i^ B3.18.5)
т. е. меняется, как а~*.
Условие сохранения числа гравитонов в единице объема сопутст-
сопутствующего пространства даст плотность гравитонов в объеме физиче-
физического пространства п(см~в)~сга, длина волны пропорциональна а,
частота и>~а~1, плотность энергии, в согласии с B3.18.5), есть
г=пКи>~сг*. Квазиклассическое приближение B3.18.4) соответст-
соответствует тому, что гравитоны не рождаются и не исчезают. Но квазиклас-
квазиклассическое решение является приближенным, и именно отступление
от него и означает, что уравнение не конформно-инвариантно, потому
что переход от метрики Минковского (a=const) к эволюционирующей
Вселенной (например, а~г\ или а~г\2), является примером конформ-
конформного преобразования.
Подобно тому, как это сделано в теории рождения других ча-
частиц [Зельдович, Старобинский A971), см. также § 6 этой главы]
ищем решение в виде суперпозиции двух встречных волн:
v = -te-'*v+-£e+i*\ B3.18.6)
Подставляя это решение в уравнение B3.18.3) с дополнительным
условием (согласно методу Лагранжа)
iK- 1*Iе-'*п + (ы-±£.)*-е+**п /23.18.7)
a dt\ J a l \ a dr\ ) a ' v '
получим уравнение первого порядка для величины /:
и аналогичное (с заменой f-*-g, i-*—t) для g. Из этого уравнения вид-
видно, что в пределе для коротких волн (х->оо) fug постоянны и не
связаны между собой. Однако при хт]~ 1 / и g не постоянны, чистая
/■волна (/=1, g=0) рождает встречную g-волну и усиливается сама.
Я. Б. Зельдович. И. Д. Новиков

706 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
В квантовом случае такой ситуации соответствует рождение
пар гравитонов в изотропно расширяющейся космологической мо-
модели. Напомним, что для конформно-инвариантного скалярного
поля (см. § 6 этой главы) рождение пар частиц происходило лишь
в анизотропной метрике
ds* = dt2~a2dxi—b4y!i—c2dzi B3.18.9)
и зависело от разностей типа ( "а -^—) , т. е. обращалось
в нуль при изотропном расширении.
Грищук A974), подробно исследовавший рождение гравитонов,
отмечает, что связь / и g пропорциональна -g-т и, следовательно,
исчезает не только при a=const, но и при a=const-t].
Такой закон расширения имеет место в том случае, если мир за-
заполнен веществом с />=е/3; тогда
= ^~уТ, a~i\. B3.18.10)
da n
так что ^jr=O.
Но в случае Р=е/3 след тензора энергии-импульса Т=е—ЗР=0,
а также обращается в нуль и скаляр кривизны R (хотя /?0и^=0, как
И КОМПОНеНТЫ R;kim).
Весьма вероятно, что отсутствие рождения гравитонов при
R=0 не случайно *).
Отсюда Грищук делает вывод, что, с учетом обратного влия-
влияния родившихся частиц на космологическое расширение, рождение
гравитонов приблизит уравнение состояния к уравнению Р=е/3,
если вещество не имеет с самого начала такого уравнения состоя-
состояния. Если первоначально мир заполнен веществом с Рвещ<евещ,
то расширение происходит c-j-^-^O и гравитоны рождаются до
тех пор, пока не будет достигнуто условие ев~евещ и уравнение со-
состояния станет Р=е/3. В ходе последующего расширения роль
гравитонов уменьшится и окажется пренебрежимо малой в настоя-
настоящее время.
Предположим, однако, что начальное состояние соответствует
жесткому уравнению состояния РВещ=гвещ- При этом ТфО, R¥=0,
происходит рождение гравитонов. Включим рождение гравитонов
в момент /пл=10~48 сек, тогда в момент 2/пл рождение, в основном,
закончится и плотность рожденных гравитонов окажется порядка
плотности материи. В дальнейшем, когда рождение гравитонов
*) Любопытно, что при R=0 скалярные частицы с m = 0 ие рождаются
ии в каком варианте волнового уравнения. Это отметил еще Л. Паркер A968,
1969).

I if] СИНГУЛЯРНОСТЬ И КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 707
выключается, плотность их падает, как а~*, тогда как плот-
плотность обычного вещества при жестком уравнении состояния пада-
падает как а~в. Получился бы мир с недопустимым (по данным сего-
сегодняшних наблюдений) преобладанием гравитонов.
Подводя итог, можно констатировать, что рождение гравитонов
происходит в изотропной космологической модели при Рфе/3
и является аргументом против жесткого уравнения состояния вблизи
сингулярности (см. § 9 этой главы).
§ 19. Сингулярность и конформная инвариантность
В настоящее время для исследования сингулярностей часто
используют конформное преобразование [см., например, Пенроуз
A968)]. Пусть с помощью конформного преобразования удается
сопоставить данному сингулярному четырехмерию, данному миру
(прототипу), другой несингулярный мир (эталон). Распространение
волн в эталонном мире может быть рассмотрено без принципиальных
трудностей. После этого распространение волн в прототипе находим
по законам конформного преобразования. Особенно прост тот
случай, когда эталоном является плоский мир с метрикой Минков-
ского. Для этого нужно, чтобы прототип был конформно-плоским
(равен нулю тензор кривизны Вейля, но не равен нулю тензор кри-
кривизны Римана Rihim)-
Подразумевается; что волны, распространение которых рассмат-
рассматривается, подчиняются конформно-инвариантным волновым урав-
уравнениям; этим свойством обладают, в частности, электромагнитные
волны (но не гравитационные волны, см. предыдущий параграф).
Примером конформно-плоского мира является фридмановская
Вселенная; вблизи сингулярности для всех физических процессов
пространственная кривизна ее несущественна*), поэтому записыва-
записываем метрику в следующем виде:
ds2 = dt*—a*(t) (dx2 + dy2+dz2) — я2 (r\) (drf—dx*—dy2—dz2).
B3.19.1)
Последнее равенство демонстрирует, что эталоном модели Фридмана
является мир Минковского. При z<3-108 мир заполнен в основном
фотонами и нейтрино, т. е. частицами с массой покоя, равной нулю,
которые описываются конформно-инвариантными уравнениями. При
больших z появляются сперва позитронно-электронные пары, а за-
затем адроны (в том числе барионы и антибарионы), с отличной от
нуля массой покоя т0. Однако при приближении к сингулярности
(г-»-оо, t-*-0) отношение массы покоя т0 к средней энергии частиц
становится все меньше. Для частиц (полей) с т„фО конформной
*) Конформно-плоское представление для открытого мира см. Фок A961).
23»

708 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ (ГЛ. 23
инвариантности нет, но вблизи сингулярности можно говорить о при-
приближенной, асимптотической (при t-*-0) конформной инвариантности.
В этом приближении Хойл и Нарликар A963) рассматривают
в качестве прототипа Вселенную вблизи сингулярности, заполнен-
заполненную всеми видами частиц (фотонами, нейтрино, адронами). При
/->0 эти частицы в совокупности представляют собой ультрареляти-
ультрарелятивистскую плазму с температурой, стремящейся к бесконечности при
приближении к сингулярности. Эталон получается конформным
преобразованием. Он представляет собой пространство Минковско-
го, заполненное релятивистской плазмой, состоящей из безмассовых
частиц — фотонов, нейтрино, но также и безмассовых электронов
и позитронов, безмассовых протонов и т. п.
Речь идет о выдуманных, несуществующих частицах, все свойст-
свойства которых — заряд, спин, закон взаимодействия — совпадают
со свойствами истинного электрона или протона, за исключением
того, что у каждой выдуманной частицы то=0. Температура этой
плазмы может быть выбрана любой: ведь у нас нет величины тосг,
с которой можно было бы сравнивать kT.
Взаимодействие частиц — электромагнитное, сильное и слабое —
не нарушает конформной инвариантности плазмы в целом. Ее урав-
уравнение состояния Р=е/3 как в эталоне, так и в прототипе (в послед-
последнем — вблизи сингулярности).
В неизменном мире Минковского стационарная плазма с постоян-
постоянной температурой проходит через поверхность т]=0 (от т]<0 к т]>0)
без какой-либо особенности.
Хойл и Нарликар полагают, что, возвращаясь от эталона к про-
прототипу, можно получить, таким образом, описание перехода от
сжатия к расширению, от /<0 к £>0, в космологической модели
Фридмана. Рассматривая такую возможность, заметим прежде всего
следующее. Выпишем уравнение, связывающее t и t] в прототипе.
В мире, заполненном релятивистской плазмой, выполняются сле-
следующие соотношения: a~Yt, df\ = ^r, v\~Vt, t = const -t]2.
Но отсюда следует, что обе части эталона, т]<0 и тр»0, соответст-
соответствуют одинаковому знаку истинного мирового времени t.
Поставленная задача описания прохождения через сингулярность
не решается в данном случае привлечением конформной инвариант-
инвариантности.
Другое замечание, касающееся гипотезы Хойла и Нарликара,
заключается в том, что гравитационное взаимодействие даже для
безмассовых частиц не является конформно-инвариантным, подобно
тому как не конформно-инвариантны уравнения для гравитонов *).
*) Вероятно, этот факт связан с тем, что константа тяготения G имеет такую
размерность, что из нее вместе с ft и с можно построить величины размерности
кассы и длины.

I if] СИНГУЛЯРНОСТЬ И КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 709
В трактовке гравитационного взаимодействия частиц есть тон-
тонкости. Коллективное взаимодействие частиц учтено законом эво-
эволюции a~Vt. Таким образом, в уравнении состояния остается
учесть так называемое обменное взаимодействие — поправку, свя-
связанную с тем, что между положениями одинаковых частиц есть
корреляция, усредненный гравитационный потенциал и усреднен-
усредненная метрика не полностью описывают взаимодействие. По мнению
Сахарова A966), при этом возникает максимум температуры, резко
меняется уравнение состояния. Эффекты становятся порядка еди-
единицы тогда, когда температура порядка «планковской», кТпл=
=шплс2, Т'пл=10за СК, что, в свою очередь, происходит при tetn]i=
= 10-43 сек.
Итак, снова — хотя и по другой причине — характерное план-
ковское время, отсчитанное от сингулярности, оказывается тем барь-
барьером, за который не удается проникнуть без существенно новых
идей. Идея конформной инвариантности, справедливая для всех
полей при t-*~0, кроме гравитационного, позволяет продвинуться
в исследовании интервала 10~ысек — 10~13 сек, но для преодоления
барьера 10~43 сек эта идея недостаточна.
Рассмотрим в свете идей конформной инвариантности связь
гравитации с другими полями. Основная идея теории тяготения
Эйнштейна состоит в том, что пространство и время образуют че-
четырехмерное искривленное многообразие (см. ТТ и ЭЗ, § 2 гл. 1).
Свободные частицы движутся в этом многообразии по геодезическим
линиям. Исходя из этого находятся траектории частиц в кривом про-
пространстве-времени и воздействие кривизны пространства-времени
на другие поля и частицы (электромагнитное поле, электрон-позит-
электрон-позитроны, нейтрино и т. д.). Это воздействие включает рождение частиц
в пространстве, метрика которого зависит от времени, и поляриза-
поляризацию вакуума — появление отличной от нуля плотности энергии
и импульса, зависящих от кривизны. Другая сторона теории тяго-
тяготения состоит в том, что самому пространству-времени приписыва-
приписывается определенная «упругость». Качественная идея восходит к Клиф-
Клиффорду: если пространство, в принципе, может быть искривленным,
то должен быть фактор — упругость, — благодаря которому фак-
фактически пространство с хорошей точностью остается плоским в мас-
масштабах Земли, Солнечной системы, Галактики. Идее упругости
соответствует член const \ RdV в лагранжиане, введенный Эйн-
Эйнштейном. Именно этот член при варьировании дает левую часть
Уравнений Эйнштейна, правая часть которых есть плотность энер-
энергии и импульса реального вещества.
В книге ТТ и ЭЗ была изложена идея Сахарова A9676), согласно
которой упругость пространства зависит от поляризации вакуума.
С этой точки зрения теория тяготения, в принципе, не может сущест-
существовать без учета других полей (у, е±, v, ...), хотя практически

710 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ 1ГЛ. 31
суммарный вклад этих полей выражается в величине гравитацион-
гравитационной постоянной С
Выше вкратце изложена ситуация на 1971 г. [см. ТТ и ЭЗ, Миз-
нер, Торн, Уилер A973)]. Новые моменты, радикально меняющие
картину, появляются при учете конформной инвариантности полей,
описывающих у, е±, v, ... и, по-видимому, и адроны. Из конформной
инвариантности следует, что вклад перечисленных полей и частиц'
в упругость вакуума пренебрежимо мал, порядка
или
где р0 — предельный импульс. Частицы с нулевой массой покоя и
вовсе ничего не дают. Такой вывод следует сразу из того, что в кон-
конформно-плоском пространстве ds*=a(x, у, z, t) (dP—йхг—dy2— dz2)
нет поляризации вакуума (при mo=O), хотя /?шт=0. Однако из
списка частиц надо изъять гравитоны (см. § 18 этой главы): урав-
уравнение, описывающее гравитационные волны (и их кванты — грави-
гравитоны), не конформно-инвариантно.
Таким образом, в принципе возможна (хотя и не построена
в настоящее время) теория, где рассматривается одно только про-
пространство-время и получаются содержательные результаты, описы-
описывающие гравитоны и искривленное их тяготением фоновое про-
пространство-время, в котором они распространяются, т. е. получается
замкнутая картина для гравитонов без привлечения других полей
и частиц.
Исходным пунктом такой теории являются коммутационные со-
соотношения для величин, описывающих метрику. При обычной нор-
нормировке гравитационных волн (е~г2) эти соотношения имеют (сим-
(символически) вид
rl\= \y=hi(х), -~h^(*')] =blbib(x-x')h. B3.19.2)
В результате учета этих коммутационных соотношений для коротко-
коротковолновых возмущений метрики должен (во всяком случае может)
получиться вклад в лагранжиан вида
В квантовую теорию входит
\j)=e's/fe,
т. е. входит величина (в экспоненте)
В коммутационные соотношения для метрики входит произведение

j 20] НАПРАВЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 711
G% (но не G и h в отдельности или в других степенях), и это же
произведение *) вошло в выражение волновой функции всей сис-
системы. Тем самым подтверждается внутренняя логическая зам-
замкнутость рассматриваемого построения. При этом «замкнутость»
теории не исключает, конечно, возможности рассмотрения в теории
других частиц и полей (что потребует и новых констант). Утверж-
Утверждается лишь, что распространение гравитационных волн и вызыва-
вызываемое ими общее плавное искривление пространства могут быть пол-
полностью поняты и описаны, включая квантовые эффекты, в теории
с двумя размерными величинами, /пл и с, и без привлечения других
полей и частиц.
В настоящее время предпринимаются настойчивые попытки
объединения теорий электромагнетизма и слабого взаимодействия,
в близкой перспективе — их объединение с теорией адронов.
Поэтому особенно важно выяснение принципиальных вопросов свя-
связи разных полей.
§ 20. Направление времени
Физик XVIII века без каких-либо обоснований принимал сущест-
существование абсолютного пространства и независимого от него абсолют-
абсолютного времени с заданным направлением течения времени от прошлого
к будущему. При этом, например, механическую задачу о движении
он мог решать и для определения будущего (предсказание затмений)
и для определения движения в прошлом, приводящего по законам
механики к известному состоянию в данный момент (вычисление
прошлых затмений). Специальная теория относительности, свя-
связавшая время и пространство преобразованиями Лоренца, ничего
не изменила в вопросе о знаке времени: как известно, световые ко-
конусы (r=ct, r=—с/), ограничивающие «абсолютное будущее» и
«абсолютное прошлое» по отношению к выбранному «событию»
(четырехмерной точке г=0, /=0), инвариантны относительно преоб-
преобразований Лоренца. Машина времени Уэллса для путешествия в
прошлое невозможна, как и во времена Ньютона.
Вопрос о направлении времени возник около 100 лет назад
в связи с теоремами статистики и термодинамики о необратимом воз-
возрастании энтропии в замкнутой системе. Были предложения опре-
определить будущее как то направление времени, для которого проис-
происходит рост энтропии. Сравнительно недавно высказывалась Голдом
A962) идея о связи направления времени («стрелы времени») и
нейтрино.
*) Оно равно, очевидно, йл= 10~вв см2. Скорость света везде выше принята
8а единицу. Заметим, что при инвариантном способе выделения расходящихся
интегралов в квантовой теории гравитации, который используют Т'Хуфт
л Вельтман A974), поправка вида -tt\^v автоматически не возникает.

712 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
В ряде работ, в том числе и в московском докладе Хойла
(ноябрь 1963), предлагается определить положительное направле-
направление бремени по расширению Вселенной, т. е. увеличению расстоя-
расстояний между галактиками; если раньше галактики сближались, то
и время, по Хойлу, текло в противоположную сторону по сравнению
с современным.
По мнению авторов, принципиально неправильны попытки свя-
связать направление времени только с теми или иными конкретными
и сложными явлениями. Различие между прошлым и будущим су-
существует в любом процессе, в том числе и в системе, состоящей из
двух частиц. Физика локальна, и явления, происходящие с парой
частиц, не должны зависеть от роста энтропии в какой-то другой,
не взаимодействующей с частицами сложной системе или от удале-
удаления галактик. В качестве возражения последнему утверждению
обычно выдвигают обратимость законов механики и электродина-
электродинамики — возможность замены / на —/ в уравнениях.
Однако для решения уравнений нужно, кроме самих уравнений,
задать начальные условия. В теории, в которой рассматривается
поле (для определенности электромагнитное), мы задаем условие
излучения, которое несимметрично относительно прошлого и бу-
будущего.
В самом деле, при движении зарядов они излучают электро-
электромагнитные волны и энергия движения самих зарядов уменьшается
.по мере роста времени, в будущем. Потерю энергии можно рассмат-
рассматривать как результат воздействия волнового поля, на сами заряды,
создающие это поле.
Благодаря обратимости уравнений можно задать такое поле
сходящейся волны, чтобы волна, действующая на заряды, увеличи-
увеличивала бы энергию системы. Однако ясно, что такая постановка задачи
искусственна, нет причин для того, чтобы приходящие извне волны
имели частоты и фазу, нужные для раскачки системы. Между тем
волны, излучаемые системой, в силу самого их происхождения на-
находятся в фазе с движением системы. Именно это фазовое соотно-
соотношение обеспечивает то, что поле излучаемой волны тормозит дви-
движение зарядов, отбирает от них энергию. Таким образом, условие
излучения или, выражаясь более общо, принцип причинности по-
позволяет однозначно определить будущее и прошлое.
Попытки изгнать из теории понятие поля, которые делались
20—30 лет назад, с заменой поля дальнодействием и с рассмотрением
на равных основаниях запаздывающего и опережающего взаимодей-
взаимодействия, предпринимались в связи с трудностями теории элементарных
частиц [Уилер и Фейнман A945)]. В такой теории каждая частица
взаимодействует с остальными частицами, но не сама с собой, чтобы
избежать бесконечности в собственной энергии.
Однако вскоре после этого правильный способ рассмотрения
взаимодействия частицы с тем полем, которое создает она сама (так

- 20] НАПРАВЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ 713
называемая теория перенормировки), привел к результатам, бле-
блестяще согласующимся с точными опытами: сдвиг Лэмба — Резер-
форда, аномальный магнитный момент электрона. Теории действия
на расстоянии были опровергнуты [см. Фейнман A948, 1967)]. Тем
самым отпали и теории, включающие «опережающее» взаимодейст-
взаимодействие, т. е. сходящиеся волны.
Итак, направление времени, заданное на языке» математи-
математической физики условием излучения, объективно существует в
природе.
Необратимость термодинамических явлений есть следствие за-
законов, относящихся к элементарным частицам и элементарным яв-
явлениям столкновений частиц. Таким образом, например, закон роста
энтропии формулируется после того, как само понятие будущего
уже определено. Отсюда следует, что рост энтропии удобно исполь-
использовать практически для определения направления роста времени
in
(поскольку закон -^- > 0 установлен), но это есть именно
следствие. * .
Наконец, вовсе не обоснованными представляются попытки уста-
установления связи стрелы времени с космологией, с расширением Все-
Вселенной.
Верно то, что мы живем в расширяющемся мире или, по крайней
мере, в таком мире, который в настоящее время является расширя-
расширяющимся.
Можно ли это частное свойство возвести в ранг принципа и ис-
использовать для определения направления стрелы времени?
Можно ли сказать: «...будущим называется та эпоха, когда ра-
радиус мира (или, что эквивалентно, когда расстояние между данной
парой далеких галактик) больше, чем в настоящее время»? Такой
взгляд, как уже упоминалось выше, высказывался в литературе
[примеры см., например, Гриб A974)]. Но приняв эту точку зрения,
мы должны были бы принять и ее следствия.
В закрытом мире (й>1) после достижения максимального ра-
радиуса ат начинается сжатие. Значит, если стрела времени опре-
определяется космологией, то в момент, соответствующий ат, стрела
меняет направление.
Вывод этот явно бессмыслен.
Представьте себе ракету, запущенную с Земли со скоростью
меньше второй космической, vB<l 1 км/сек. Такая ракета сперва под-
поднимается, удаляется от Земли, затем, достигнув определенной
максимальной высоты hm, она начинает падать.
Ясно, что на высоте hm не происходит перестройка каких-либо
физических законов в ракете: в частности, монотонно идут часы,
помещенные на ракете. Переход от расширения к сжатию в закрытой
Вселенной полностью аналогичен переходу от подъема к опусканию
ракеты. Поэтому совершенно ясно, что в момент максимального

714 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ВБЛИЗИ СИНГУЛЯРНОСТИ [ГЛ. 23
расширения Вселенной стрела времени не меняет направления.
Если бы она сменила направление, то в сжимающейся Вселенной
лучи света, например, вместо того, чтобы излучаться звездами и
уходить в мировое пространство, входили бы в звезды и т. д. Это
явно бессмысленно. Если О>1, то после смены расширения сжатием
еще очень долго плотность излучения во Вселенной будет мала, звез-
звезды будут излучать свет и все локальные процессы во Вселенной
будут продолжать течь в том же направлении.
Связь стрелы времени с расширением есть (очень важное, ра-
разумеется) свойство нашей Вселенной в настоящее время, но эта
связь не может быть использована как определение стрелы времени
для определения понятия будущего.
Приведенные соображения весьма элементарны. Единственным
извинением того, что мы их здесь приводим, является настойчивое
повторение ошибочных взглядов в литературе.

ЛИТЕРАТУРА
О О О
Белинский В. А
Белинский В. А.
Белинский В. А.
Белинский В. А.
Агекян Т. А., Звезды, галактики, Метагалактика, «Наука», 1970.
Адамянц Р. А., Алексеев А. Д., Колосницын Н. И., Письма ЖЭТФ 15, 277 A972).
Амбарцумян В. А., Научные труды, т. 1, 2, Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1960.
Амбарцумян В. А., Казютинский В. В., Вопросы философии 3, 91 A973).
Ахиезер А. //., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, «Наука», 1969.
Багров В. Г., Бозриков П. В., Гитман Д. И., Изв. вузов, сер. Радиофиз., 16, 129
A973).
Белинский В. А., Лифшиц Е. М., Халатников И. М., УФН 102, 463 A970).
" Лифшиц Е. М., Халатников И. М., ЖЭТФ 60, 1969 A971).
Лифшиц Е. М.. Халатников И. М., ЖЭТФ 62, 1606 A972).
Халатников И. М., ЖЭТФ 56, 1700 A969а).
Халатников И. М., ЖЭТФ 57, 2163 A9696).
Белинский В. А., Халатников И. М., ЖЭТФ 63, 121 A972).
Березинский В. С, ЯФ 11, 399 A970).
Береэинский В. С, Зацепин Г. Т., Phys. Lett. 28B, 6, 423 A969).
Берестецкий В. Б-, Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Релятивистская квантовая
теория, «Наука», 1968.
Бисноватый-Коган Г. С, Астрон. ж. 45, 74 A968).
Бисноватый-Коган Г. С, Астрофизика 7, 121, 223 A971).
Бисноватый-Коган Г. С, Астрон. ж. 49, 1238 A972а).
Бисноватый-Коган Г С, ЖЭТФ 62, 1593 A9726).
Бисноватый-Коган Г. С, Вайнштейн С. И., Astrophys. Lett. 8, 151 A971).
Бисноватый-Коган Г. С , Зельдович Я- Б., Астрон. ж. 47, 942 A970).
Бисноватый-Коган Г. С, Михайловский А. Б., Астрон. ж. 50, 312 A973).
Бисноватый-Коган Г. С, Рузмайкин А. А., Сюняев Р. А., Астрон. ж. 50, 2!0
A973).
Бисноватый-Коган Г. С, Сюняев Р. А., Астрон. ж. 48, 881 A971).
Богданова Л. М., Шапиро И. С, Письма ЖЭТФ 20, 217 A974).
Боголюбов Н. #., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н., Препринт ОИЯИ, Д-1968
A965).
Богоявленский О. И., Новиков С. П., ЖЭТФ 64, 1475 A973).
Брагинский В. Б., Письма ЖЭТФ 3, 69 A966).
Брагинский В. Б., Грищук Л. П., Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Нови-
Новиков И. Д., Сажин М. В., ЖЭТФ 65, 1729 A973).
Брагинский В. Б., Зельдович Я. Б., Мартынов В. К., Мигулин В. В., ЖЭТФ 52,
29 A967).
Брагинский В. Б., Зельдович Я- Б., Мартынов В. К-, Мигулин В. В., ЖЭТФ 54,
120 A968).
Брагинский В. Б-, Манукин А. Б., Попов Е. И., Руденко В. Н., Хорее А. А.,
ЖЭТФ 66, 801 A974).
Бронштейн М. П., Phys. Z. Sowiet. 2, 100 A934).
ЖЭТФ 61, 612 A971).
Зельдович Я- Б., УФН 106, 431 A972).
Рузмайкин А. А., Астрон. ж. 48, 918 A971).
Рузмайкин А. А., Астрой, ж. 49, 448 A972).
Вайнштейн С. И.,
Вайнштейн С. И-,
Вайншт.ейн С. И..
Вайнштейн С. //.,

716 ЛИТЕРАТУРА
Вайнштейн С. И., Рузмайкин А. А., Астрон. ж. 50, 12 A973).
Владимиров Ю. С, ЖЭТФ 45, 251 A963).
Воронцов-Вельяминов Б. А., Внегалактическая астрономия, «Наука», 1972.
Герценштейн М. Е., ЖЭТФ 41, 113 A961).
Герштейн С. С, Зельдович Я- Б., Письма ЖЭТФ 4, 174 A966).
Гинзбург В. Л., УФН 103, 87 A971).
Гинзбург В. Л., Киржниц Д. А., Любушин А. А., ЖЭТФ 60, 451 A971).
Гинзбург В. Л., Озерной Л. М., Астрон. ж. 42, 943 A965).
Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И., Происхождение космических лучей, Физ-
матгиз, 1963.
Голенецкий С. В., Маэец Е. П., Письма ЖЭТФ 14, 201 A971).
Голенецкий С. В., Маэец Е. П., Ильинский В. Н., Аптекарь Р. ., Бредов М. А}.,
Бурьян Я- А., Панов В. #., Astrophys. Lett. 9 , 69 A971).
Гриб А. А., Природа № 4 A974).
Гриб А. А., Мамаев С. Г., ЯФ 10, 1276 A969).
Гриб А. А., Мамаев С. Г., ЯФ 14, 800 A971).
Грищук Л. П., Кандидатская диссертация, ГАИШ, МГУ, 1967а.
Грищук Л. П., ЖЭТФ 53, 1699 A9676).
Грищук Л. П., Астрон. ж. 44, 1017 A967в).
Грищук Л. П., ДАН СССР 190, 1066 A970).
Грищук Л. П., Bulletin de L'Academie Polonaise des Science XIX, 12 A971).
Грищук Л. П., Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Грищук Л. П., ЖЭТФ 67, 825 A974).
Грищук Л. П., Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Н., ЖЭТФ 61, 3 A971).
Грищук Л. П., Дорошкевич А. Г., Новиков И. Д., ЖЭТФ 55, 228 A968).
Грищук Л. П., Дорошкевич А. Г., Юдин В. М., Тезисы докладов III Советской гра-
гравитационной конференции, Ереван, 1972.
Гуревич Л. Э., Дынкин С Д., ЖЭТФ 63, 369 A972).
ГуревичЛ. Э., Финкельштейн А. М., Рубан В. А., Ар. and Space Sci. 22, 231 A973).
Дашевский В. М., Зельдович Я- Б., Астрон. ж. 41, 1071 A964).
Дашевский В. М., Слыш В. И., Астрон. ж. 42, 863 A965).
Долгов А. Д., Захаров Б. У., Окунь Л. Б., Phys. Lett. 46B, 90 A973).
Дорошкевич А- Г., Астрофизика 1, 255 A965).
Дорошкевич А- Г., Астрофизика 2, 37 A966).
Дорошкевич А. Г., Астрофизика 3, 175 A967).
Дорошкевич А- Г., Кандидатская диссертация, ИПМ, 1968.
Дорошкевич А- Г., Астрофизика 6, 581 A970).
Дорошкевич А. Г., Astrophys. Lett. 14, 11 A973).
Дорошкевич А. Г., З'.льдовичЯ■ Б., Астрон. ж. 40, 807 A963).
Дорошкевич А. Г.. Згльдович Я- Б., Препринт ИПМ, № 36 A974); Ар. and Space Sci.
(в печати).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., Астрон. ж. 44, 295 A967а).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., Письма ЖЭТФ 5, 119 A9676).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б.. Новиков И. Д., ЖЭТФ 53, 644 A967в).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., АЦ № 442 A967г).
Дорошкевич А- Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., Письма ЖЭТФ 8, 95 A968).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., Проблемы теоретической физи-
физики. Сборник, посвященный Н. Н. Боголюбову, «Наука», 1969а.
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Астрофизика 5, 15 A9696).
Дорошкевич А. Г., Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., ЖЭТФ 60, 3 A971).
Дорошкевич А. Г., Лонгейр М. С, Зельдович Я- Б., MNRAS 147, 139 A970).
Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Н., Новиков И. Д., ЖЭТФ 60, 1201 A971).
Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Н., Новиков И. Д., ЖЭТФ 64, 1457 A973).
Дорошкевич А. Г., Лукаш В. Н., Новиков И. Д., Астрон. ж. 51, 940 A974).
Дорошкевич А. Г., Новиков И. Д., ДАН СССР 154,809 A964).
Дорошкевич А. Г., Новиков И. Д., Астрон. ж. 47, 948 A970).
Дороихкевич А. Г., Рябенький В. С., Шандарин С. Ф., Астрофизика 9, 258 A973).

ЛИТЕРАТУРА
717
Б..
Дорошкевич А. Г., Сюняев Р. А., Астрон. ж. 46, 955 A969).
Дорошкгвич А. Г., Сюняев Р. А., Зельдович Я- Б., Proc IAU Symp. № 63, Poland
A973).
Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф., Астрофизика 9, 549 A973).
Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф., Астрон. ж. 51, 41 A974).
Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф., Астрой, ж. 52. 9 A975).
Ефимов Н- В., Высшая геометрия, «Наука», 1961.
Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3., ДАН СССР 192, 297 A970).
Зельдович Я- Б., ЖТФ 19, 1119 A949).
Зельдович Я- Б., ЖЭТФ 41, 1609 A961).
Зельдович Я- Б., ЖЭТФ 43, 1037 A962а).
Зельдович Я- Б., ЖЭТФ 43, 1561 A9626).
Зельдович Я- Б., УФН 80, 357 A963).
Зельдович Я- Б., Астрон. ж. 41, 19 A964а).
Зельдович Я- Б., Астрой, ж. 41, 873 A9646).
Зельдович Я. Б., ДАН СССР 163, 1359 A965а).
" ЖЭТФ 48, 986 A9656).
УФН 86, 303 A965в)..
Advances Astronomy and Astrophys. 3, 241 A965 г).
Письма ЖЭТФ 6, 1050 A967).
УФН 95, 209 A968).
Астрон. ж. 46, 775 A969). •
Письма ЖЭТФ 11, 30 (t970a).
Астрофизика 6, 119 A9706).
Письма ЖЭТФ 12, 443 A970в).
Зельдович Я. Б., MNRAS 160, \р A972а).
Зельдович Я- Б. , in «Magic without Magic: John Archibald Wheeler», ed. J. Klauder,
San Francisco, 19726.
Зельдович Я. Б., Письма ЖЭТФ 16, 425 A972в).
Зельдович Я. Б., Препринт ИПМ № 66 A973а); см. Лонгейр A974).
Зельдович Я. Б., ЖЭТФ 64, 58 A9736).
Зельдович Я- Б., ЖЭТФ 65, 1311 A973в).
Зельдович Я. Б., Письма ЖЭТФ 20, 338 A974).
Зельдович Я- Б., Письма в АЖ 1, № 1 A975а).
Зельдович Я. Б., УФН 115, 169 A9756).
Зельдович Я. Б., Илларионов А. Ф., Сюняев Р. А., ЖЭТФ 62, 1217 A972).
Зельдович Я. Б., Каждан Я- М., Астрофизика 6, 109 A970).
Зельдович Я. Б., Кобзарев И. Ю„ Окунь Л. Б., ЖЭТФ 67, 3 A974).
Зельдович Я- Б., Курт В. Г., Сюняев Р. А., ЖЭТФ 55, 278 A968).
Зельдович Я. Б., Левич Е. В., Письма ЖЭТФ 11, 57 A970).
Зельдович Я- Б., Мышкис А. Д., Элементы прикладной математики, «Наука», 1972.
Зельдович Я. Б., МыШкис А. Д., Элементы математической физики. Среда из не-
невзаимодействующих частиц, «Наука», 1973.
Зельдович Я- Б., Новиков И. Д., Астрон. ж. 44, 663 A967а).
Новиков И. Д., Релятивистская астрофизика, «Наука», 19676.
Новиков И. Д., Письма ЖЭТФ 6, 772 A967в).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 46, 960 A969).
Новиков И. Д., Астрофизика 6, 379 A970).
Новиков И. Д., Теория тяготения и эволюция звезд, «Наука»,
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я- Б
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я-
Зельдович Я. Б.
Зельдович Я. Б.
Зельдович Я-
Зельдович Я-
Б-,
Б..
Зельдович Я- Б
Зельдович Я. Б.
Зельдович Я.
Зельдович Я.
Зельдович Я-
1971.
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я- Б.
Зельдович Я-
Б.,
Б.,
Б.,
Новиков И. Д., СтаробинскийА. А., ЖЭТФ 66, 1897 A974).
Окунь Л. Б., Пикельнер С. Б., УФН 87, \ 13 A965).
Пикельнер С. Б., ЖЭТФ 56, 310 A969).
Подурец М. А., ДАН СССР 156, 57 A964).
Зельдович Я. Б., Подурец М. А., Астрон. ж. 42, 963 A965).
Зельдович Я. Б., Полнарев А. Г., Астрон. ж. 51, 30 A974).
Зельдович Я- Б., Попов В. С. УФН 105, 403 A971).

718 ЛИТЕРАТУРА
Зельдович Я- Б., Райзер Ю. П., Физика ударных воли и высокотемпературных
гидродинамических явлений, Физматгиз, 1966.
Зельдович Я- Б., Сахаров А- Д., ЯФ 4, 395 A966).
Зельдович Я- Б., Сахаров А. Д., Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 22, 153 A967).
Зельдович Я- Б., Смородинский Я- Л./ЖЭТФ 41, 907 A961).
Зельдович Я- Б., Смородинский Я- А., УФН 88, 199 A966а).
Зельдович Я- Б., Смородинский Я- А., УФН 89, 734 A9666).
Зельдович Я- Б., Старобинский А. А., ЖЭТФ 61, 2161 A971).
Зельдович Я- Б., Сюняев Р. А., Ар. and Space Sci. 4, 285 A969).
Зельдович Я- Б., Сюняев Р. А., Ар. and Space Sci. 6, 358 A970).
Зельдович Я- Б., Сюняев Р. А., Препринт ИПМ, № 94 A974).
Зельманов А. А., ДАН СССР 124, 1030 A959а). »
Зельманов А. А., Труды 6-го совещания по вопросам космогонии, Изд-во АН СССР,
19596.
Илларионов А. Ф., Сюняев Р. А., Астрой ж. 51, 698 A974а).
Илларионов А- Ф-, Сюняев P. A-, Аетрон. ж. 51, Г162 A9746).
Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Межзвездная среда. Физматгиз, 1963.
Караченцев И. Д., Сообщения Бюраканской обсерватории 39, 76 A968).
Кардашев Н. С, АЦ № 430 A967).
Качаров Г. Е., Изв. АН СССР 5, 795 A965).
Киппер А., Аетрон. ж. 27, 321 A950).
Киржниц Д. А., Природа № 1, 38 A973).
Киржниц Д. А., Линде А. Д., ЖЭТФ 67, 1263 A974).
Киржниц Д. А., Файнберг В. Я-. Письма ЖЭТФ 18, 596 A973).
Кисляков А- Г., Чернышев В. И., Лебский Ю. В., Мальцев В. А., Серов Н. В.,
Аетрон. ж. 48, 39 A971).
Климов Ю. Г., Астрой, ж. 40, 874 A963).
Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б., ЖЭТФ 43, 1904 A962).
Кобзарев И. ЯЗ., Пешков П. И., ЖЭТФ 67, 428 A974).
Колмогоров А. #., ДАН СССР 30, 299 A941).
Комберг Б. В., Новиков И. Д., Письма в АЖ 1, № 1 A975).
Комберг Б. В., РуэмайкинА- А., Препринт ИПМ№ 8 A972).
Комтнеец А. С, ЖЭТФ 31, 876 A956).
Комтнеец А. С, Чернов А. С, ЖЭТФ 47, 1939 A964).
Константинов Б. П., Бредов М. М., Белявский А. И., Соколов И. А., Космические
исследования 4, 66 A966).
Кузьмин В. А., Письма ЖЭТФ 13, 335 A970).
Курское А. А., Озерной Л. М., Аетрон. ж. 51, 270 A974а).
Курское А. А., Озерной Л. М., Аетрон. ж. 51, 508 A9746).
Курское А. А., Озерной Л. М-, Аетрон. ж. 51, 1177 A974в).
Курт В. Г., Сюняев Р. А., Письма ЖЭТФ 5, 299 A967а).
Курт В. Г., Сюняев Р. А., Космические исследования 5, 573 A9676).
Курт В. Г., Сюняев Р. А., Аетрон. ж. 44, 6 A967в).
Курт В. Г., Сюняев P. A., Proc. IAU Symp. № 36. Holland A970).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1953.
Ландау Л.-Д., Лифшиц Е. М., ЖЭТФ 32, 618 A957).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, Физматгиз, 1964.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, «Наука», 1973.
Ландау Л. Д., Померанчук И. Я-, ДАН СССР 102, 489 A955).
Левич Е. В., Сюняев Р. А., Астрой, ж. 48, 461 A971).
Линде А. Д., Письма ЖЭТФ 19, 320 A974).
Лифшиц Е. М., ЖЭТФ 16, 587 A946).
Лифшиц Е. М., Лифшиц И. М., Халатников И. М., ЖЭТФ 59, 322 A970).
Лифшиц Е. М., Халатников И. М., ЖЭТФ 39, 149 A960).
Лифшиц Е. М., Халатников И. М., УФН 80, 391 A963а).
Лифшиц Е. М., Халатников И. М. , Adv. in Physics 12, 185 A9636).
Лонгейр М. С, Сюняев Р. А., Письма ЖЭТФ 10, 56 A969а).

ЛИТЕРАТУРА 719
Лонгейр М. С, Сюняев P. A., Nature 223, 719 A9696).
Лонгейр М. С, Сюняев P. A., Astrophys. Lett. 4, 65 A969в).
Лонгейр М. С, Сюняев Р. А., УФН 105, 41 A971).
Лукаш В. #., Астрон. ж. 51, 281 A974а).
Лукаш В. #., Письма ЖЭТФ 19, 499 A9746).
Лукаш В. Н., ЖЭТФ 67, 1594 A974в).
Лукаш В. Н., Новиков И. Д., Старобинский А. А., ЖЭТФ (в печати).
Лукаш В. И., Старобинский А. А., ЖЭТФ 66, 1515 A974).
Магалинский В. Б., Сильвестров В. В., Тезисы докладов III Советской гравита-
гравитационной конференции, Ереван, 1972.
Марков М. А., ЖЭТФ 51, 878 A966).
Марков М. А., Доклад на 6-й гравитационной конференции, Ереван, 1973.
Марочник Л. С, Сучков А. А., УФН 112, 275 A974).
Михайловский А. Б., Фридман А. М., ЖЭТФ 61, 457 A971).
Михайловский А- Б., Фридман А. М., Астрон. ж. 50, 88 A973).
Михайловский А. Б., Фридман А. М-, Эпельбаум Я-Г., ЖЭТФ 59, 1608 A970).
Мишустин И. #., Рузмайкин А. А., ЖЭТФ 61, 441 A971).
Монин А. С-, Яглом А- М-, Статистическая гидромеханика, ч. 1, «Наука», 1965.
Монин А. С-, Яглом А- М., Статистическая гидромеханика, ч. 2, «Наука», 1967.
Нарожный Н. Б., Никишов А. И., ЯФ 11, Ю72 A970).
Нарожный Н. Б., Никишов А. И., ЖЭТФ 65, 862 A973).
Никишов А. И., ЖЭТФ 57, 1210 A969).
Новиков И. Д., Астрой, ж. 38, 564 A961).
Новиков И. Д., Вестник МГУ, серия III, № 6, 61 A962).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 40, 772 A963).
Новиков И. Д., Сообщения ГАИШ № 132, 3, 43 A964а).
Новиков И. Д., ЖЭТФ 46, 686 A9646).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 41, 1075 A964в).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 45, 538 A968).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 47, 1203 A970).
Новиков И. Д., Астрон. ж. 52, 1000 A975).
Новиков И. Д., Зельдович Я- Б., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 5, 627 A967).
Новиков И. Д., Зельдович Я- Б., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 11, 387 A973).
Новиков С. П., ЖЭТФ 62, 1977 A972).
Новокрещенова С. И., Рудницкий Г. М., Астрон. ж. 50, 877 A973).
Озерной Л. М., Астрон. ж. 48, 1160 A971).
Озерной Л. М., Астрон. ж. 51, 1108 A974).
ОзернойЛ. М., Розенталь И. Л., Прилуцкий О. Ф., Астрофизика высоких энергий,
Атомиздат, 1973.
Озерной Л. М., Чернин А. Д., Астрой, ж. 44, 1131 A967).
Озерной Л. М., Чернин А. Д., Астрон. ж. 45, 1137 A968).
Озерной Л. М., Чибисов Г. В., Астрой, ж. 47, 769 A970).
Окунь Л. Б., УФН 89, 603 A966).
Парадоксов П., УФН 89, 707 A966).
Парийский Ю- Н., Астрон. ж. 45, 279 A968).
Парийский Ю. Н-, Астрон. ж. 49, 1322 A972).
Парийский Ю- Н-, Астрон. ж- 50, 453 A973).
Пелюченко С- А-, Станкевич К С., Астрон. ж. 46, 283 A969).
Петров А- 3.. Новые методы в общей теории относительности, «Наука», 1966.
Пикельнер С. Б., Астрон. ж. 44, 915 A967).
Пикельнер С. Б., Comm. on Astrophys. and Space Phys. 6, 15 A974).
Пикельнер С. Б., Вайнштейн Л. А., Письма ЖЭТФ 4, 307 A966).
Покровский Г- И., Корсунский В. К , Naturwiss. 19, 421 A931).
Понтекорво Б. М., Смородинский Я- А., ЖЭТФ 41, 239 A961).
Пузанов В. И., Соломонович А. Е., Станкевич К. С, Астрон. ж. 44, 1129 A967).
Рубан В. А., Препринт ЛФТИ №355 A971).
Рубан В. А-, Финкельштейн А. М., Препринт ЛИЯФ № 59 A973).

720 ЛИТЕРАТУРА
Рузмайкина Т. В., Астрой, ж. 49, 1229 A972).
Сахаров А. Д., ЖЭТФ 49, 345 A965).
Сахаров А. Д., Письма ЖЭТФ 3, 439 A966).
Сахаров А. Д., Письма ЖЭТФ 5, 32 A967а).
Сахаров А. Д., ДАН СССР 177, 70 A9676).
Сибгатулин Н. Р., ЖЭТФ 66, 1187 A974).
Сильвестров В. В., Астрой, ж- 51, 293 A974).
Соколов Д. Д., ДАН СССР 195, 1307 A970).
Соколов Д. Д., Старобинский А. А., Астрон. ж- 52, 1000 A975).
Соколов Д. Д., Шварцман В. Ф., ЖЭТФ 66, 412 A974).
Спитцер Л., Физика полиостью ионизованного газа, «Мир», 1962.
Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат, 1946.
Станюкович К- П., Гравитационное поле и элементарные частицы, Атомиздат
1965.
Станюкович К. П., УФН 89, 731 A966а).
Станюкович К- П., ДАН СССР 168, 781 A9666).
Станюкович К- П., Неустановившиеся движения сплошной среды, «Наука», 1971
Станюкович К- /7-, Шаршикеев О. Ш., Астрофизика 6, 571 A970).
Станюкович К. П., Шаршикеев О. Ш., ПММ 37, 739 A973).
Сюняев Р. А., ДАН СССР 179, 45 A968).
Сюняев Р- А., Астрой, ж. 46, 929 A969а).
Сюняев P. A., Astrophys. Lett. 3, 33 A9696).
Сюняев Р. А., Астрой, ж- 48, 244 A971).
Сюняев Р. А., Зельдович Я- Б., Nature 223, 721 A969).
Сюняев P. A-, Зельдович Я Б., Ар. and Space Sci. 7. 3 A970а).
Сюняев Р. А., Зельдович Я- Б., Ар. and Space Sci 7, 20 A9706).
Сюняев Р. А., Зельдович Я- Б., Comm- on Astrophys. and Space Phys. 2, 66 A970b)
Сюняев Р. А-, Зельдович Я- Б.. Comm. on Astrophys. and Space Phys. 4, 173 A972a)
Сюняев Р. А-, Зельдович Я Б-, Astron. and Ap. 20, 189 A9726).
Тагиров Э- А., Черников H- А., Препринт ОИЯИ Р2-3777 A968).
Тиунов Е. А., Чернин А- Д., Астрофизика 7, 161 A971).
Фаддеев Л. Д., Попов В. Н., Phys. Lett. 258. 29 A967).
Фейнман Р., УФН 91, 29 A967).
Фейнман Р., Лейтон Р., СэндсМ-, Фейимаиовские лекции по физике, «Мир», 1965
Финкельштейн А. М-, Крайнович В. Я-, Celestial Mechanics, 1974-
Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения, изд. 2-е, Физматгиз, 1961
Фридман А. А., УФН 80, 439, 447 A963).
Халатников И. М-, ЖЭТФ 48, 261 A965).
Халатников И. М., Письма ЖЭТФ 5, 195 A967).
Халатников И. М., Лифишц Е- М., Phys. Rev. Lett. 24, 76 A970).
Хаякава С, Физика космических лучей, ч. I, «Мир», 1973.
Хаякова С, Физика космических лучей, ч. II, «Мир», 1974.
Холопов А. С- (ред.), Строение звездных систем, ИЛ, 1962.
Черников Н. А., Шавохина Н. С, ТМФ 16, 77 A973).
Чернин А. Д., Астрофизика 5, 656 A969).
Чернин А. Д., Письма ЖЭТФ 11, 317 A970).
Чернин А- Д., Astrophys. Lett. 8, 31 A971).
Чернин А. Д., Astrophys. Lett. 10, 125 A972).
Чернин А. Д., Эйдельман Е. Д., Астрофизика 5, 654 A969).
Чернин А. Д., Эйдельман Е. Д., Астрофизика 7, 314 A971).
Чибисов Г. В., Астрой, ж- 49, 74 A972а).
Чибисов Г- В., Астрой, ж. 49, 286 A9726).
Чибисов Г. В., Кандидатская диссертация, МФТИ, 1972в-
Чибисов Г. В., Письма в АЖ 1, № 3 A975).
Шандарин С Ф., Астрон. ж. 51, 667 A974).
Шапиро И. С-, УФН 109, 432 A973).
Шварцман В. Ф-, Письма ЖЭТФ 9, 315 A969).

ЛИТЕРАТУРА 72j
Шикин И. С, ЖЭТФ 59, 182 A970).
Шкловский И. С-, Астрой, ж. 42, 893 A965)
Шкловский И. С. Щ № 429 A967).
Эйзенхарт Л. П., Непрерывные группы преобразований, ИЛ. 1947
Эйнасто Я-. Каасик А-, Саар Э-, Nature 250, 309 A974а).
Эйнасто #., Саар Э., Каасик А., Траст Р., АЦ № 811 A9746).
Эйнасто #., Саар Э., Каасик А., Чернин А. Д., Препринт №2, Тарту П974П>
Эйнасто #Чернин А. Д., Каасик А., Каламис П., Венник #., Препринт № з!
Эйнштейн А., Собр. научных трудов, «Наука», 1966.
Abell G. О., Ар. J. Suppl. 3, 211 A958).
Abell G. 0., Astron. J. 66, 607 A961).
Abell G. 0., Proc. IAU Symp- № 15, ed- G- McVittie, p 213 1962
Abell G. О-, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 3, 1 A965).
Alexander J. К , Brown L- W., Clark T- A-, Stone R G., Weber P. R Ad I I rit
157, L163 A969). ' P '""•
Alfven H., Rev. Mod. Phys. 37, 652 A965).
Alfven H., Physics Today 24, 28 A971).
Alfven #., Elvius A-, Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Alfven H-, Klein 0., Zs- fur Phys. 23, 187 A962).
Alpher R., Herman R-, Ann. Rev- Nucl. Sci. 2, 1 A953).
Arms J., McCray R., Ap. J- 158 291 A969).
Arp #., Bertola F., Ap. J. 163, 195 A971)-
Bahcall J. N-, Hills R. £., Ap. J. 179, 699 A973).
Bardeen J. M., Wagoner R. V., Ap. J. 167, 359 A971).
Bechi C, Gallinaro G., Morpurgo G , Nuovo Cimento 39, 409 A965).
BergS. Van den, Publ. Obs. Dunlap 2, № 6 A960).
Berger В. К-, University of Maryland, Technical Report, 73-024, 1972.
Berger В. К-, Ann. Phys. 83, 458 A974).
Bergkvlst К. Е-, Topical Conference on Weak Interactions, Geneva, 1969, CERN
69-7, p. 91.
Bergkvist К Е. Reviews of Particle Physics, Rev. Mod. Phys. 43, №2, 11
A971).
Bergkvlst K. E. Nucl. Phys. B39, 317 A972).
Bertottl В., Proc. Roy. Soc. 294, 195 A966).
Blefmann L, Zs. Naturforsch. 5a, 65 A950).
Blair A. G., Beery J. G-, Edeskuty F., Hiebert R.D.,Shipley J. P., Williamson K- D ,
Phys. Rev- Lett. 27, 1154 A971).
Boccaletti D-, De Sabbata V., Fortini P., Gualdi G., Nuovo Cimento 70B.129 A970).
Bondi H-, Cosmology, 2nd ed., Cambridge Univ- Press, London and N- Y., 1961.
Bondi H-, Gold Т., MNRAS 108, 252 A948).
Bonnor W. В., MNRAS 117, 104 A957).
Bortolot V. J., Clauser J. F., Thaddeus P., Phys. Rev. Lett- 22, 307 A969).
Bowyer С S., Field G. В., Mach J. E-, Nature 217, 32 A968).
Boynton R. E-, Partridge R. В., Ар. J. 181, 243 A973).
Boynton P. E-, Stokes R. A., Wilkinson D. Т., Phys. Rev. Lett. 21, 462 A968).
Brachmachary R. L, Nuovo Cimento 2, 850 A965).
Brans C, Phys. Rev. 125, 2194 A962).
Brans C, Dicke R., Phys. Rev. 124, 965 A961).
Bridle A. N.. MNRAS 136, 219 A967).
Bridle A. N., Nature 219, 1136 A968).
Brown F. A., MNRAS 127, 517 A964).
Brown F. A., MNRAS 138, 527 A968).
Bunner A. N-, Coleman P. C, McCammon D., Kraushaar W- L-, Palmieri T- M-,
Shilepsky A., Ulmer M., Nature 223. 1222 A969).
Burbidge G. R., Nature 233, 36 A971).
Burbldge G. R., O'DellS- L., Ap. J. 178, 583 A972).

722 ЛИТЕРАТУРА
Burbidge G- R-, O'DellS- L., Ap. J. 183, 759 A973).
Burbidge E. M-, Sargent W- L. W-, Les Novaux des Galaxies, Vatican, p. 351, 1971.
Callan C- G-, Dicke R. H-, Peebles P. J. £., Amer. J. Phys. 33, 105 A965).
Carpenter R. L-, Gulkis S-, Sato H-, Ap. J. Lett- 182, L61 A973).
Chiu H- Y., Ann. Phys. 16, 321 A961).
Chiu H. Y., Ann. Phys. 26, 364 A964).
Chiu H. Y., Phys. Rev. Lett. 17, 712 A966).
Chupka W. A., Schiffer J. P., Stevens С. M., Phys. Rev. Lett. 17, 60 A966).
Collins С В., HawkingS. W., Ap. J. 180, 317 A973a).
Collins С В., Hawking S. W., MNRAS 162, 307 A9736).
Cowsik R., McClelland J ..Phys. Rev. Lett. 29,669A972). •
Cristensen J. H., Cronin J. W., FitchV. L., Turley R., Phys. Rev. Lett. 13, 138 A964).
Dautcourt G., MNRAS 144, 255 A969).
Davies P. С W., Nature 249, 208 A974).
De Witt B. S., Phys. Rev. 160, 113 A967a).
De Witt B. S., Phys. Rev. 162, 1195 A967C).
De Witt C, Wheeler J. A., Battelle Rencontres, Benjamin Press. New York,
1968.
Dicke R. H., Phys. Rev. 126, 1875 A962).
Dicke R.H., in «Gravitation and Relativity», ed. H. Y. Chiu, W.Hoffmann, N. Y.,
1964; русск. перевод в сб. «Гравитация и относительнось», «Мир»,
1965.
Dicke R. Н., Ар. J. 152, 1 A968).
Dicke R. H., Gravitation and Universe, Philadelphia, 1970.
Dicke R. H., Peebles P. J. E., Ap. J. 194, 838 A968).
Dicke R. H., Peebles P. J. E., Roll P. G., Wilkinson D. Т., Ар. J. 142, 414 A965).
Dirac P. A. M., Nature 139, 323 A937).
Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. 199 A938).
Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. A338, 439 A974).
Dreicer H., Phys. of Fluids 7, 735 A964).
Dyer С. С, Roeder R. C, Ap. J. Lett. 180, L31 A973).
Einstein A., Strauss £., Rev. Mod. Phys. 17, 120 A945).
Ellis G., McCallum M. A- N-, Commun. Math. Phys. 12, 108 A969).
Epstein R. I., Arnett W. D., Schramm D. N.. Ap. J. Lett. 190, L13 A974).
Evans D. S.. (ed), Proc. IAU Symp. № 49 A972).
Ewing M. S., Burke B. F., Staelin D. H., Phys. Rev. Lett. 19, 1251 A967).
Felten J. E., Morrison P., Ap. J. 146, 686 A966).
Fermi E., Turkevich A., unpublished see Alpher R. A-, Herman R. C, Rev. Mod.
Phys. 22, 153 A950).
Fermi E., Yang С N.. Phys. Rev. 76, 1739 A949).
Feynman R. P., Phys. Rev. 74, 939 A948).
Feynman R. P., Acta Phys. Polon. 24, 697 A963).
Field G. В., Ар. J. 142, 531 A965).
Field G. В., Galaxies and the Universe; Stars and Stellar Sistems, v. 9, ed. A. and
M. Sandage, Chicago Univ. Press, 1973 a (in press).
Field G. В., Proc. IAU Symp. №63, Poland A9736).
Field G. В., Hitchcock J. L, Phys. Rev Lett. 16, 817 A966a).
Field G. В., Hitchcock J L., Phys. J. 146, 1 A9666).
Fitremann M., Frisch U., Compt. Rend. B268, 705 A969).
Fowler W- A., Comm. on Astrophys. and Space Phys. 2, 134 A970).
Fowler W. A., in «Cosmology, Fusion and Other Matters», ed. Reines F., Adam Hilger
Ltd, London, p. 67, 1972.
Frautschi S., Steigman C, Bahcall J. N.. Ap. J. 175, 307 A972).
Fricke J., Preprint OAP-341 A973).
Fulling S. A., Parker L, Ann. Phys. 87, 176 A974).
Gamow G., Phys. Rev. 70, 572 A946).
Gamow G., Phys. Rev. 74, Б05 A948).

ЛИТЕРАТУРА 723
Gamow 0., Phys. Rev. 86, 251 A952).
Gamow С, Proc. Nat. Acad. Sci. 40, 480 A954).
Gamow C, Proc. Nat. Acad. Sci. 59, №2, 313 A968).
Gold Т., Recent Developments in GR, ed. McMillan, N. Y., Pergamon Press, p. 225,
1962.
GoldsmithD. W., HabingH. J., Field G. В., Ар. J. 158, 173 A969).
Goldsmith D. W., Silk J., Ap. J. 172, 563 A972).
Gould R. J., Ramsay W., Ap. J. 144, 587 A966).
Greenstein C, Ap. and Space Sci. 2, 155 A968).
Gunn J. E., Ap. J. 147, 61 A967).
Gunn J. E., PetersonS. A., Ap. J. 142, 1633 A965).
Guyot M., Zeldnvich Ya. В., Astron. and Ap. 9, 227 A970).
Hagedorn R., Nuovo Cimento Suppl. 3, 147 A965).
Hagedorn R., Ref. Th. 1027-CERN A969).
Hagedorn R., Cargese Lectures in Physics, ed. E. Schatzman, p. 643, 1973.
Harrison E. R., Astrophys. Lett. 3, 133A968).
Harrison E. R., Phys. Rev. Dl, 2726 A970a).
Harrison E. R., MNRAS 147, 279 A9706).
Harrison В. К-. Thorne K- S., Wakano M., Wheeler J. A., Gravitation Theory and
Gravitational Collapse, Univ. Chicago Press, 1965; русск. перевод: Теория гра-
гравитации и гравитационный коллапс, «Мир», 1967.
Harkins J. D., J. Am. Chem. Soc. 39, 856 A917). •
Hauser M. C, Peebles P. J. E., Ap. J. 185, 757 A973).
Hawking S. W., Ap. J. 145, 544 A966a).
Hawking S. W., Proc. Roy. Soc. London A294, 511 A9666).
Hawking S. W., Ellis С F., The Large Scale Structure of Space time, Cambridge
Univ. Press, Cambridge, 1973.
HawkingS- W., Karr £.,Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Hawking S. W., Penrose R., Proc. Roy. Soc. London A314, 528 A970).
HawkingS. W., Taylor R. Т., Nature 209, 1278 A966).
Hayashi C, Progr. Theor. Phys. 5, 224 A950).
Heckmann 0., Theorien der Kosmologie, Berlin, 1942.
Heckmann 0., SchuckingE. Z., Astrophys. 38, 95 A955).
Heckmann 0., SchuckingE. Z., Astrophys. 40. 81 A956).
Heckmann 0., SchuckingE. Z., in «Handbuch derPhysik», ed. S. Fliigge, 53, Springer,
Berlin, 1959.
Heckmann 0., Schucking E., Gravitation, New York, p. 438, 1962.
Henry R. C, Fritz G., Mecking J. E., Friedmann H.. Byram E. Т., Ар. J. 153, L199
X1968).
Hewish A., Readhead A. C. S., Duffet-Smith P. J., Nature 252, 657 A974).
Hill H. A., Clayton P. D., PatzD. L., Healy A. W..Stebbins R. Т., Oleson J. R.,
Zanoni С A., Phys. Rev. Lett. 33, 1497 A974).
HolmbergE., Arkiv for Astronomi 5, 305 A969).
Houck J. R., Harwit M. 0., Science 164, 1271 A969a).
Houck L. R., Harwit M. 0., Ap. J. 157, L45 A9696).
Howell T. F., Shakeshaft J. R., Nature 210, 1318 A966).
Howell T. F., Shakeshaft J. R., Nature 216, 753 A967).
Hoyle F., MNRAS 108, 372 A948).
Hoyle F., in «La structure et L'evolution deL'universe», 11 Conseil de Physique Sol-
vay, Bruxelles, 1958.
Hoyle F., Nature 223, 936 A969).
Hoyle F., Fowler W. A., Nature 241, 384 A973).
Hoyle F., Narlikar J. V., Proc. Roy. Soc. 273, 4 A963).
Ни В. L., Phys. Rev. D 9, 3263 A974).
Ни В. L., Fulling С. A., Parker L., Phys. Rev. D 8, 2377 A973).
Hunter С, Ар. J. 136, 594 A962).
/ben /., Root R. Т., Ар. J. 159, 605 A970).

724 ЛИТЕРАТУРА
Isaacson R. A., Phys. Rev. 166, 1263 A968a).
Isaacson R. A., Phys. Rev. 166, 1272 A9686).
Jacobs К- С, Preprint, Cambridge A969).
Jancy D. L., Preprint A970).
Jeans J. H.. Phil. Trans. 129, 44 A902).
Jeans J. H., Astronomy and Cosmology, Cambridge, 1929; Cambridge Univ. Press,
London and New York, 1969.
Jordan P., Astron. Nachr. 276, 1955 A948).
Jordan P., Schwerkraft and Weltall, Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1955.
Kantowski R., Ap. J. 155, 89 A969).
Kasner E., Amer J. Math. 43, 217 A921).
Kawabata K-. Fujimoto M-, Sofue Y., Fukui M., Publ. Astron. Soc. Japan 21, 293
A969).
Kellerman R. /., Astron. J. 77, 531 A972).
KenderdineS., RyleM., Pooley G. G.,- MNRAS 134, 189 A966).
Klein 0., Werner Heisenberg und die Physik unserer Zeit, S- 58, Keweg, Braunsch-
Braunschweig, 1961.
Kormendy J., Bahcall J. N.. Astron. J. 79, 671 A973).
Laye von M., Sitzber Preuss Akad. Wiss. 723 A931).
Layzer D., Astrophys. Lett. 1, 99 A968).
Layzer D., Hively R., Ap. J. 179, 361 A973).
Lemaitre G., Ann. Soc. Sci. Bruxelles 47A, 49 A927).
Lemaitre G., Ann. Soc. Sci. Bruxelles A53, 51 A933).
Lillie С F., Bull. Amer. Astr. Soc. 1, 132 A969).
Lindquist R. W., Ann. Phys. 37, 487 A966).
Longair M. S., MNRAS 133, 421 A966).
Longair M. S., ed., Confrontation of cosmological theories with observationed data,
Reidel, Dordrecht, 1974.
Longair M. S., Rees M. J., Comm. on Astrophys. and Space Phys. 3, 79 A972).
Low F. J., Tucker W. H., Phys. Rev. Lett. 21, 1538 A968).
Lynden-Bell D., Proc. Cambr. Phys. Soc. 58, 709 A962).
Lyndel-Bell D., Ap. J. 139, 1995 A964).
Marx G., Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Mattig W., Astron. Nachr. 284, 109 A958).
Mattig №.. Astron. Nachr. 285,1 A959).
Matzner R., Ap. J. 154, 1123 A968).
Matzner /?., Mistier С №.. Ap. J. 171, 415 A972).
Matzner R., Ryan M. Bton R., Preprint, 1973.
Matzner R., Shepley L. C, Warren I. B., Ann. Phys. 57, 401 A970).
McCallum M. A. N.. Commun. Math. Phys. 20, 57 A971).
McCone A. I., Nucl. Sci. Abstr. 25, № 15 A971).
McCrea W. H.. Proc. Roy. Soc. A206, 562 A951).
McCrea W. H., Milne E., Quart. J. Math. 5, 73 A934).
McKellar A., Publ. Dominion Astroph. Observ. 7, № 15 A941).
McVittie G. C, General Relativity and Cosmology, London, 1956; русск. перевод:
Общая теория относительности и космология, ИЛ, 1961; 2nd ed. Univ. of Ж 111—
nois.Urbana, Illinois, 1965.
McVittie G. C, in «Handbuch der Physik», ed. S. Flugge, 53, Springer, Berlin, 1959a.
McVittie G. C, Report on Rouaymont's Conference, Paris, 19596.
McVittie G. C. Fact and Theory in Cosmology, MacMillan, New York, 1962a.
McVittie G. C, Phys. Rev. 128, 2871 A9626).
Millea M. F., McColl M., Pedersen R. J., Vernon F. L., Phys. Rev. Lett. 26, 919
A971).
Miln E. A., Quart. J. Math. Oxford 5, 64 A934).
Milne E. A., Relativity, Gravitation and World-Structure, Oxford Univ. Press,
London and New York, 1935.
Milne E. A., Kinematic Relativity, Oxford Univ. Press, London and New York, 1948.

ЛИТЕРАТУРА 725
MlsnerC. W., Phys. Rev. Lett. 19, 533 A967).
Mistier C. W., Ap. J. 158, 431 A968).
Misner С W., Phys. Rev. Lett. 22, 1071 A969a).
Misner С W., Phys. Rev- 186, 1319, 1328 A9696).
Misner С W., Thorne K- S., Wheeler J. A., Gravitation, San-Francisco, W. H. Fre-
Freeman and Company, 1973.
Morgenstern R. E., Phys. Rev. D7, 1570 A973).
MuehlnerD. J., Weiss R., Phys. Rev. Lett. 24, 742 A970).
MuehlnerD. J., Weiss R., Phys. Rev. Lett. 30, 757 A973).
Nariai H., Progr. Theor. Phys. 42, 544 A969a).
Nariai H., Progr. Theor. Phys. 42, 742 A9696).
Narlikar J. V., MNRAS 126, 203 A963).
Ne'eman Y.. Ap. J. 141, 1303A965).
Neyman J., Scott E. L., Ap. J. 67, 582 A962).
Nordsieck К- Н., Ap. J. 184, 719 A973).
Nutku Y., Ap. J. 158, 991 A969).
Oke J. В., Ар. J. 147, 901 A967).
Omnes R., Phys. Rev. Lett. 23, 38 A969).
Omnes R., Astron. and Ap. 10, 228 A971a).
Omnes R., Astron. and Ap. 11, 450.A9716).
Omnes R., Astron. and Ap. 15, 275 A9716).
Oort J- H., in «La structure et L'evolution de L'universe», 11 Conseil de Physique
Solvey, Bruxelles, 1958.
Oort J. H., Astron. and Ap. 7, 384 A970).
Ostriker J. P., Peebles R. J. E., Yahil A., Ap. J. Lett. 193, LI A974).
Paal C, Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 30, 51 A971).
Parker E. N.. Ap. J. 163, 255 A971).
Parker L., Phys. Rev. Lett. 21, 562 A968).
Parker L., Phys. Rev. 183, 1057 A969).
Parker L., Phys. Rev. D3, 346 A971).
Parker L., Phys. Rev. Lett. 28, 705 A972).
Parker L., Phys. Rev. D7, 976 A973). '
Parker L., FullingS. A., Phys. Rev. D9, 341 A974).
Partridge R. В., Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Partridge R. В., Peebles P. J. E., Ap. J. 147, 868 A967a).
Partridge R. В., Peedles P. J. E., Ap. J, 148, 377 A9676).
Pati J. S., Salam A., Phys. Rev. Lett. 31, 661 A973).
Pauli W., Theory of Relativity, 2nd ed. MacMillan (Pergamon), New York, 1958;
русск. перевод: Теория относительности, Гостехиздат, М.—Л., 1947.
Peach J. V., Proc. IAU Symp. № 44, ed. D. S. Evans, 1972.
Peebles P. J. E., Phys. Rev. Lett. 16, 410 A966a).
Peebles P. J. E., Ap. J. 146, 542 A9666).
Peebles P. J. E., Ap. J. 147, 859 A967a).
Peebles P. J- E., Proc. 4th Texas Conf. Relativ. Ap. New York, 19676.
Peebles P. J. E., Ap. J. 153, 1 A968).
Peebles P. J. E., Ap. J. 155, 393 A969a).
Peebles P. J. E., Ap. J. 157, 1075 A9696).
Peebles P. J. E., Phys. Rev. Dl, 391 A970).
Peebles P. J. E., Physical Cosmology, Princeton Unlv- Press, Princeton. 1971a; русск.
перевод: Физическая космология, «Мир», 1975.
Peebles P. J. E., Ap. and Space Sci. 11, 443 A9716).
Peebles P. J. E., Ap. J. 180, 1 A973a).
Peebles P. J- E., Ap. J. 185, 413 A9736).
Peebles P. J. £., Publ. Astron. Soc. Japan 25, 291 A973b).
Peebles P. J. E., Ap. J. Lett. 189, L51 A974a).
Peebles P. J. E., Astron. and Ap. 32, 391 A9746).
Peebles P- J. E., Hauser M. G., Ap. J. Suppl. 252 A973).

726 ЛИТЕРАТУРА
Peebles P. J. E., Yu. l. Т., Ар. J. 162, 815 A970).
Pecker J. C, Roberts A. P., Vigier J. P., Nature 237, 227 A972).
Peierls S. E., Singwi K- S., Wroe D., Phys. Rev. 87, 46 A952).
Peimbert M., Bol. Observ. Tonantzintla Tacubaya 30, 233 A968).
Penrose R., in «Relativity, Groups and Topology», ed. С M. De Witt and B. S. De
Witt, Gordon and Breach, N. Y., p. 565, 1964; русск. перевод в сб. «Грави-
«Гравитация и топология», «А1ир», 1966.
Penrose R., Phys. Rev. Lett. 14, 57 A965).
Penrose R., General Relativity Energy Flux and Elementary Optics, V. Hlavaty's
Festschift, 1966.
Penrose R., Structure of Space-time, New York, Amsterdam. W. A. Benjamin, 1968;
русск. перевод: Структура пространства — времени, «Мир 1972.
Penzias A. A., Wilson R. №.. Ар. J. 142, 419 A965).
Penzias A. A., Wilson R. W., Astron. J. 72, 315 A967).
Peres A., Proc. Theor. Phys. 24, 149 A960).
Petrosian V., Salpeter E., Szekeres P., Ap. J. 147, 1222 A967).
Peyraud J., J. de Phys. 29, 88, 306, 872 A968).
Press W. H., Schechter P., Ap. J. 187, 425 A974).
Press W. H., Thome K- S., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 10, 335 A972); русск. пе-
перевод: УФН ПО, 569 A973).
Reber G. R., Franklin Institute 285, 1 A968).
Rees M. J., MNRAS 154, 187 A971).
Rees M. J., Phys. Rev. Lett. 28, 1669 A972).
Reeves H., Preprint SEP (SES) 73-77R HR, 1973.
Reeves H., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 12, 437 A974).
Reeves H., Audouze J., Fowler W. A., Schramm D. N.. Ap. J. 179, 909 A973).
Reinhardt M., MNRAS 156, 151 A972).
Reinhardt M.. Thiel M., Astrophys. Lett. 7, 101 A970).
Reinhardt M., Roberts M. S., Astrophys. Lett. 12, 201 A972).
Roach F. E., Smith L. L., Geophys. J. 15, 227 A968).
Robertson H. P., Publications of the Astronomical Society of the Pacific 67, № 395,
82 A955).
Rogerson Y. В., YorkD. C, Ap. J. Lett. 186, 95 A973).
Rojansky V., Ap. J. 91, 257 A940a).
Roiansky V., Phys. Rev. 58, 1010 A9406).
Roll P. C, Wilkinson D. Т., Phys. Rev. Lett. 16, 405 A966).
Rood H., Page T. L., Kintner E. C, King 1. K-, Ap. J. 175, 627 A972).
Rozen C, Phys. Rev. 136, 2798 A964).
Ryan M., Hamiltonian Cosmology, Springer Verlag, Berlin — Heidelberg—New
York, 1972.
Sachs R. K., Wolfe A. M., Ap. J. 147, 73 A967).
Salpeter E. E., Nature Phys. Sci. 233, 5 A971).
Sandage A. R., Ap. J., 133, 355 A961).
Sandage A. R., Proc. IAU Symp. № 15, ed. G. С McVittie, p. 359, 1962.
Sandage A. R., Observatory 33, 91 A968).
Sandage A. R., Physics Today 23, 44 A970).
Sandage A. R., Ap. J. 173, 485 A972a).
Sandage A. R., Ap. J. 178, 1 A9726).
Sandage A. R., Ap. J. 178, 25 A972b).
Sandage A. R., Ap. J. 183, 711 A973a).
Sandage A. R., Ap. J. 183, 731 A973 6).
Sandage A. R., Tamman G. A., Ap. J. 190, 525 A974a).
Sandage A. R., Tamman G. A., Ap. J. 191, 603 A9746).
Sandage A. R., Tamman G. A., Preprint III A974b).
Sandage A. R., Tamman G. A., Preprint IV A974r).
Sandage A. R-, Tamman G. A., Preprint V A974д).

ЛИТЕРАТУРА 727
Sandage A. R. Tamman G. A., Preprint VI A974е).
Sato И., Progr. Theor. Phys. 45, 370 A971).
Sato И., Matsuda Т., TakedaH., Progr. Theor. Phys. 43, 1115 A970).
Savedoff M. P., Vila S., Ap. J. 136, 609 A962).
SchluterA., BiermannL., Zs. Naturforsch. 5a, 237 A950).
Schramm D. N.. Ann. Rev. Astron. Astrophys. 12, 383 A974).
Sciama D. №.. Modern Cosmology, Cambridge Univ. Press, 1971; русск. перевод:
Современная космология, «Мир», 1973.
Schucking Е., in «Gravitation. An introduction to current research», ed. L. Witten,
N. Y.— London, p. 460, 1963.
Schucking E., Heckmann 0., in «La structure et devolution de L'universe», 11 Conseil
de physique Solvay, Bruxelles, 1958.
Searle L., Sargent W. L., Comm. on Astrophys. and Space Phys. 4, № 2, 59 A972).
Setti G., WoltjerL., Ap. J. 181, L61 (.1973).
Shapiro /., Icarus 4, 549 A965).
Shapiro /., General Relativity 1, 135 A972).
Shapiro /., Smith W., AshM., Ingolls R., Petengill G., Phys. Rev. Lett. 26, 27 A971).
Shapiro I., Petengill G., Ash M., Ingolls R., Campbell D., Dicke R., Phys. Rev. Lett.
28, 1597 A972).
Shivanandan K., Houck J. R., Harwitt M., Phys. Rev. Lett. 21, 1460 A968).
Shrum E. В., Ziock K- 0. H., Phys. Lett. 37B, 115 A971).
Silk J., Ap. J. 151, 459 A968).
Spinard H.. Taylor B. Z., Ap. J. 22, 445 A971).
Spitzer L., Greenstein J. L., Ap. J. 114, 407 A951).
SpitzerL- J., Tomasko M. G., Ap. J. 152, 971 A968).
Stabell R., Refsdal S., MNRAS 132, 379 A966).
Stecker F. W., Nature 224, 870 A969).
Steenbeck M., Monatsberiehte Dtsch. Akad. Wiss. Berlin 5, 625 A963).
Steenbeck M., Krause F., Reidler К- П., Zs. Naturforsch. 21a, 369 A966).
Steigman G., General Relativity and Cosmology, ed. R. K- Sachs, Acad. Press, 1971.
Steigman G., Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973).
Stoyks R. A., Partridge R. В., Wilkinson D. Т., Phys. Rev. Lett. 19, 199 A967).
Suveges M-, Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 20, 273 A966).
Suzuki S., Proc. Math. Soc. Japan 13, 277 A931).
Talbot R. J., Arnett W. D., Ap. J. 186, 51 A973a).
Talbot R. J., Arnett W. D., Ap. J. 186, 69 A9736).
Tamman G. A., Proc. IAU Symp. № 63, Poland A973a).
Tamman G. A., Preprint Astronom. Inst. der Univ. Basel und Hamburg. Sternwartl,
19736.
Tarter J., Silk J., Quart. J. 15, 122 A974).
Taub A., Ann. Math. 53, 472 A951).
Thaddeus P., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 10, 305 A972).
Thaddeus P., Clauser J. F., Phys. Rev. Lett. 16, 819 A966).
Thorne K- S., Ap. J. 148, 51 A967).
T'Hooft G., Veltman M., Ann. Inst. Henry Poincare 20, 69 A974).
Thuan T. X., Ostriker J. P.. Ap. J. Lett. 191, L105 A974).
Tinsley В. М., Ap. J. 151, 547 A968).
Tinsley В. М., Ap. J. Lett. 173. L93 A972).
Tinsley В. М., Ap. J. 186, 35 A973).
Tinsley B. M.. Spinard H., Ap. and Space Sci. 12, 118 A971).
Tolman R. C, J. Am. Chem. Soc. 49, 1902 A922).
Tolman R. C, Phys. Rev. 35, 875 A930).
Tolman R. C, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Oxford, 1934; русск.
перевод: Относительность, термодинамика и космология,«Наука». 1974.
Tomita K-. Progr. Theor. Phys. 50, 1283 A973).
Tomita K-. Nariai M., Sato H., Matsuda Т., Takeda H., Progr. Theor. Phys. 43,
1511 A971).

728 ЛИТЕРАТУРА
Trautman A., Nature 242, № 114, 7 A973).
Truran J. W., Cameron A. G. W., Ap. and Space Sci. 14. 179 A971).
Tyson J. A., Proc. IAU Symp. №64, Poland A973).
Vaucouleurs de C, Astrophys. Lett. 4, 17 A9®).
Vette J. I., GruberD., Matteson /. L., Peterson L. E., Ap. J. Lett. 60, L161 A970).
Volf J. A., Spaces of constant curvature, McGrow-Hill, 1967. ,
Wagoner R. V., Ap. J. 179, 343 A973).
Wagoner R. V., Fowler W. A., Hoyle F., Ap. J. 148, 3 A967).
Weber J., Phys. Rev. Lett. 22, 1320 A969).
WeinbergS., Phys. Rev. 128, 1457 A962).
WeinbergS., Ap. J., 168, 175 A971).
WeinbergS., Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 197'
Weizsacker С F., von, Ap. J. 114, 165 A951).
Welch W. J., Keachie S., Thornton D. D., Wrixon G., Phys. Rev. Lett. 18, 1068
A967).
Weymann R., Phys. of Fluids 8, 2112 A965).
Weymann R., Ap. J. 147, 887 A967).
Wheeler J. A., in «La structure et L'evolution de L'universe», 11 Conseil de physique
Solvay, Bruxelles, 1958.
Wheeler J. A., Neutrinos, Gravitation and Geometry, Bologna, 1960; русск. пе-
перевод: Гравитация, нейтрино и Вселенная, ИЛ, 1962.
Wheeler J. A., in «Gravitation and Relativity», ed. H. Y. Chiu, W. Hoffmann,
N. Y., 1964; русск. перевод в сб. «Гравитаций и относительность»,
«Мир», 1965.
Wheeler J. A., Einstein's Vision, Springer Verlag, Berlin, 1968; русск. перевод:
Предвидение Эйнштейна, «Мир», 1970.
Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys. 17, 157 A945).
Whitford A. £., Ap. J. 169, 215 A971).
Whittaker E. Т., Proc. Roy. Soc. A149, 384 A955).
Wilkinson D. Т., Phys. Rev. Lett. 19, 1195 A967a).
Wilkinson D. Т., Phys. Rev. Lett. 19, 1251 A9676).
Wilson R. W., Penzias A. A., Jefferts К- В., Solomon P. M., Ap. J. Lett. 179, L107
A973).
Yu J. Т., Peebles P j. E., Ap. J. 158, 103 A969).
Zwicky F., Morphological Astronomy, Berlin, 1957; русск. перевод: Строение звезд-
звездных систем, ИЛ, 1962.
Zwicky F., in «Handbuch der Physik», ed S. Flfigge, 53, Springer, Berlin, 1959.
Zwifky F. Herzog £., Wild P., Catalogue of Galaxies and Clusters of Galaxies, Pasa-
Pasadena, 1968.

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
О О О
Агекяи 443
Адамянц 482
Айзаксон (Isaacson) 186, 486
Александер (Alexander) 151
Алексеев 482
Альвен (Alfven) 145, 196, 197. 389,
607
Альфер (Alpher) 146, 183, 190, 205
Амбарцумян 438
Аптекарь, см. Голенецкий и др. 267
Арнет (Arnett) 110, 218
Ароне (Arons) 267
Арп (Агр) 449
Аудуз (Audouze) 205, 213
Аудуз, см. также Ривс и др. 215, 217
Ахиёзер 639
Аш (Ash), см. Шапиро и др. 693
рагров 643
Байрам (Byram), см. Генри и др. 258
Бакалл (Bahcall) 107, 449, 622
Баннер (Bunner) 258
Бардин (Bardeen) 388, 497, 629
Бекки (Bechi) 202
Белинский 513, 545, 567, 569, 578,
580, 609, 616, 617, 695
Белявский, см. Константинов и др.
388
Бергер (Berger) 594, 637
Бергквист (Bergkvist) 183
Берези некий 263, 265, 266
Берестецкий 639
Бертола (Bertola) 449
Бертотти (Bertotti) 113
Бири (Beery), см. Блейр и др. 157
252, 261
Бирман (Biermann) 423
Бисноватый-Коган 152, 295, 296, 425,
427, 497
Блейр (Blair) 157, 252, 261
Богданова 173, 623
Боголюбов 170, 697
Богоявленский 593
Бозриков 643
Бойер (Bowyer) 258
Бойитон (Boynton) 155, 478
Боккалетти (Boccaletti) 506
Бонди (Bondi) 130, 663, 664
Боннор (Bonnor) 279, 282, 324
Бортолот (Bortolot) 155, 156
Брагинский 202, 482, 497, 508
Бранс (Brans) 673, 690, 692
Брахмачари (Brachmachary) 530
Бредов, см. Голенецкий и др. 267,
Константинов и др. 388
Бридль (Bridle) 150
Бронштейн 124
Броун (Brown) 151, 446
Бтон (Bton) 695
Бурьян, см. Голенецкий и др. 267
Бэрбидж (Burbidge) 107, 128, 143—145,
341, 447
Бюрк (Burke) 155
Вагонер (Wagoner) 205, 208, 497
Вайнберг (Weinberg) 41, 303, 621
Вайнштейн 202, 414, 424, 425
Вакано (Wakano) 137
Ван ден Берг (Berg Van den) 109, 446
Вебер (Weber) 151, 482
Вейман (Weymann) 222, 239, 255
Вейсс (Weiss) 157
Вейцзекер (Weizsacker) 391, 429
Вельтмаи (Veltman) 711
Веиник, см. Эйиасто и др. 446, 449
Верной (Vernon) 155
Ветте (Vette) 267
Вижье (Vigier) 125
Вила (Vila) 283
Вилд (Wild) 445, 474
Вилкинсон (Wilkinson) 148, 155
Вилсои (Wilson) 148, 155, 214
Вильямсон (Williamson), см. Блейр в
др. 157, 252
Владимиров 188

730
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Вокулер (Vaucouleurs) 109, 449
Волтьер (Woltjer) 107
Волф (Volf) 680
Вольф (Wolfe) 465
Воронцов-Вельяминов 443—446
Вро (Wroe), см. Пейерльс и др. 147
Галлинаро (Gallinaro) 202
Гамов (Gamow) 146, 204, 391, 429,
670
Ганн (Gunn) 113, 255, 406
Гаррисон (Harrison) 137, 421, 463
Гекман (Heckmann) 86, 513, 522, 567,
587
Генри (Henry) 258
Героч (Geroch) 608, 609
Герценштейн 506
Герцог (Herzog), 445, 474
Герштейн 183
Гиберт (Hiebert), см. Блейр и др. 157,
252, 261
Гинзбург 223, 238, 263, 621, 630
Гитман 643
Голд (Gold) 663, 664, 711
Голдсмит (Goldsmith) 384, 446
Голенецкий 267
Гоулд (Gould) 255
Гриб 637, 713
Гринстейн (Greenstein) 229, 695
Грищук 367, 368, 546, 567, 572, 573,
576, 578, 582, 583, 587, 594, 602,
662, 704, 706
Грищук, см. также Брагинский и др.
508
Грубер (Gruber), см. Ветте и др. 267
Гуальди (Gualdi), см. Боккалетти и др.
506
Гулкие (Gulkis) 478
Гуревич 694, 695
Гюйо (Guyot) 294, 498
Дайер (Dyer) 113
Дашевский 113— 115
Де Витт Б. (De Witt) 632
Де Витт С. (De Witt С.) 630
Джеффертс (Jefferts), см. Вилсон и др.
214
Джине (Jeans) 272
Джонси (Jancy) 101
Дикке (Dicke) 28, 148, 310, 388, 427,
673, 690, 692—694
Дикке, см. также Шапиро и др. 693
Дирак (Dirac) 670, 671, 692
Докур (Dautcourt) 500
Долгов 170
Дорошкевич 104, 122, 144, 148, 152,
255, 285, 302, 310, 357, 369, 371,
376, 379, 381, 382, 387, 394, 402,
405, 406, 409, 413, 416, 417, 427,
428, 435, 481, 513, 526, 530, 532,
536, 542, 546, 547, 557, 559, 567,
572, 576, 578, 582, 583, 587, 590,
592, 594, 602, 603
Дорошкевич, см. также Брагинский и
др. 508 *
Драйцер (Dreicer) 237
Дынкин 694
Дэвис (Davies) 464
Дюффе-Смит (Diffett-Smith) 105
Ефимов 680
Занони (Zanoni), см. Хилл и др. 693
Захаров 461
Захаров Б., см. Долгов и др. 170
Зацепин 265, 266
Зельдович 28, 41, 57; 92, 104, 113, 114,
129, 137, 144. 148, 167, 169, 179, 183,
196, 202, 205, 212, 218, 222, 226, 230,
237, 239, 241, 245, 247, 259, 262,
266, 285, 294, 295, 310. 327, 336,
338, 353, 361, 362, 364, 366, 367,
376,378, 379, 381, 385, 387, 390,
392, 394, 397, 407, 410, 412, 424,
427, 428, 430, 439, 455, 459, 461,
463, 469, 477, 480—482, 495, 497,
498, 504, 507, 513, 517, 530, 532,
536, 547, 557, 559, 572, 578, 594,
621, 631, 633, 637, 643, 644, 647,
658, 666, 672, 679, 680, 685, 686,
688, 695, 698, 705
Зельдович, см. также Брагинский и
др. 508
Зельманов 55, 328, 414, 520, 567, 573
Зиок (Ziock) 183
Ибен (Iben) ПО
Илларионов 239, 241, 245, 246
Ильинский, см. Голенецкий и др.
267
Инголлс (Ingolls), см. Шапиро и др.
693
Иордан (Jordan) 692
Йорк (York) 214, 218

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
731
Каасик, см. Эйнасто и др. 446,
449
Кавабата (Kawabata) 420
Каждан 361, 362
Казнер (Kasner) 521
Казютинский 438
Каламис, см. Эйнасто и др. 446, 449
Каллан (Kalian) 28
Камерон (Cameron) 213, 218
Кантовский (Kantowski) 113
Каплан 227
Караченцев 447
Кардашев 131
Карпентер (Carpenter) 478
Карр (Кагг) 461
Качаров 266
Келлерман (Kellerman) 101
Кемпбелл (Campbell), см. Шапиро и др.
693
Кендердин (Kenderdine) 99
Книг (King), см. Руд и др. 446
Кинтнер (Kintner), см. Руд. и др.
446
Киппер 229
Киржниц 166, 177, 266, 621, 630,
697
Кисля ков 155
Кичи (Keachie) 155
Кларк (Clark) 151
Клаузер (Clauser) 155, 156
Клейн (Klein) 137, 145, 196, 389
Климов 115
Клэйтон (Clayton), см. Хилл и др.
693
Кобзарев 190, 621, 660, 698
Коллинз (Collins) 586, 592, 593
Колмогоров 432
Колосницын 482
Комберг 420, 449
Компанеец 222, 238, 526
Константинов 388
Корменди (Kormendy) 449
Корсунский 204
Коулмен (Coleman), см. Баннер
и др. 258
Коусик (Cowsik) 183
Крайнович 693
Краузе (Krause) 424
Краушаар (Kraushaar), см. Баннер
и др. 258
Кристенсен (Cristensen) 696
Кронин (Cronin), см. Кристенсен и др.
696
Кузьмин 654
Курское 432
Курт 152, 224, 226, 257
Лайзер (Layzer) 143, 391
Ландау 122, 128, 136, 139, 164, 181,
186, 332, 380, 461, 466, 483, 485,
506, 519, 542, 543, 645, 668, 696
Лауэ (Laye von) 60
Лебский 155
Левич 237, 238
Леметр (Lemaitre) 26, 146
Лили (Lillie) 152
Линде 621, 698
Линден-Белл (Lynden-Bell) 513
Линдквист (Lindquist) 70
Лифшиц 122, 128, 136, 139, 164, 181,
186, 317, 319—321, 323, 332, 336,
339, 380, 461, 466, 483, 485, 506,
513, 519, 522, 536, 541—543, 545,
546, 552, 567, 569, 576, 578, 580,
608, 609, 616, 617, 639, 682
Лифшиц И. 578
Лонгейр (Longair) 97—100, 101, 103,
104, 145, 149, 153, 230,. 255,
412
Лоу (Low) 151
Лукаш 440, 513, 577, 578, 580, 582,
583, 587, 590—594, 603, 631, 637
Любу шин 630
Магалинский 295
Мазец, см. Голенецкий и др. 267
Мак-Витти (McVittie) 61, 67. 72. 86,
92
Мак-Келлар (McKellar) 156
Мак-Клелланд (McClelland) 183
Мак-Колл (McColl) 155
Мак-Коллам (McCallum) 569, 576,
587
Ma к-Кон (МсСопе) 295
Мак-Кри (МсСгеа) 28, 39, 267
Мак-Кэммон (McCammon), см. Баннер
и др. 258
Мальцев 155
Мамаев 637
Манукин, см. Брагинский и др. 482
Марков 138, 139, 637
Маркс (Marx) 183
Марочник 296
Мартынов, см. Брагинский и др. 202
Матсуда (Matsuda) 429
Маттесон (Matteson), см. Ветте и др.
267
Маттиг (Mattig) 61, 81
Матцнер (Matzner) 189, 559, 578,
695
Max (Mach) 258

732
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Мекинг (Mecking), см. Генри и др.
258
Мигулии, см. Брагинский и др.
202
Мизнер (Misner) 511, 513, 547, 555,
559, 578, 584, 651, 674, 710
Миллеа (Millea) 155
Милн (Milne) 28, 56
Михайловский 296
Мишустин 422
Монин 344, 373
Моргенстерн (Morganstern) 695
Морпурго (Morpurgo) 202
Моррисон (Morrison) 153
Мышкис 367, 430, 469
Мюльнер (Muehlner) 157
Нариаи (Nariai) 391, 429, 692
Нарликар (Narlikar) 516, 520, 665,
667, 707—708
Нарожный 643
Нееман (Neeman) 438, 684
Нейман (Neyman) 447
Никишоз 643
Новиков 57, 122, 137, 139, 144, 148,152,
179, 310, 326, 327, 338, 379, 381, 387,
392, 427, 428, 438—440, 449, 461,
482, 495, 510, 513, 536, 542, 546,
547.557,559,572,576—578, 580,582,
583, 587, 590, 592, 594, 600, 602,
603, 610, 672, 679, 680. 684—686,
688
Новиков, см. также Брагинский и др.
508
Новиков С. 578, 586, 593
Новокрещенова 407
Нордсек (Nordsieck) 445
Нутку (Nutku) 693
О'Делл (o"Pell) 107, 128, 341
Озерной 223, 238, 263, 285, 327, 373,
391, 413, 429, 432, 434, 449
Окунь 170, 106, 202, 555, 621, 660.
698
Олесон (Oleson), см. Хилл и др.
693
Омнес (Omnes) 145, 168, 169, 172, 623—
629
Оорт (Oort) 143, 429, 448
Острайкер (Ostriker) 449, 510
Оук (Оке) 72
Паал (Paal) 679
Палмиери (Palmierl), см. Баинер и др.
258
Панов, см. Голенецкий и др. 267
Парадоксов 282, 633
Парийский 143, 144, 259, 464, 478
Паркер (Parker) 424
Паркер Л. (Parker L.) 637, 651,
706
Партридж (Partridge) ПО, 152, 155.
158, 478, 598 *
Пати (Pati) 654, 656
Паули (Pauli) 39, 60
Пац (Patz), см. Хилл и др. 693
Педерсон (Pedersen) 155
Пейдж (Page), см. Руд и др. 446
Пейерльс (Peierls) 147
Пеймберт (Peimbert) 155
Пейро (Peyraud) 237
Пекер (Pecker) 125
Пелюченко 155
Пензиас (Penzias) 148, 155
Пензиас, см. также Вилсон и др.
214
Пенроуз (Penrose) 113, 608, 609, 613—
615, 648, 679, 704, 707
Перес (Peres) 41
Петенгилл (Petengill), см. Шапиро и
др. 693
Петерсон (Peterson) 255, 406
Петерсон, см. также Ветте и др.
267
Петров 318, 567, 569, 571, 572, 576,
612
Петросян (Petrosian) 131
Пешков 190
Пиблс (Peebles) 28, ПО, 148, 152, 154,
183, 205, 226, 303, 306, 310, 315,
357, 362, 374, 378, 387, 388, 393,
394, 416, 427, 429, 431, 432, 443,
449, 457, 461, 474, 481, 608
Пикельнер ПО, 196, 202, 227, 384,385
Питаевский 639
Пич (Peach) 107, 111
ПодуреЦ 497
Покровский 204
Полнарев 497, 504
Померанчук 645
Понтекорво 41
Поблей (Pooley) 99
Попов 632, 643
Попов Е., см. Брагинский и др.
482
Пресс (Press) 377, 378, 380, 381,
508
Прилуцкий 263
Пузанов 155

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
733
Райан (Ryan) 639, 695
Райзер 461
Райл (Ryle) 97, 99
Рамсей (Ramsay) 255
Ребер (Reber) 150
Рейдлер (Reidler) 424
Рейнгардт (Reinhardt) 420, 446, 530
Рефсдал (Refsdal) 133
Редер (Roeder) 113
Ривс (Reeves) 172, 205, 213, 215, 217
Ридхид (Readhead) 105
Рис (Rees) 101, 391, 503
Роберте (Roberts) 125. 446, 530
Робертсон (Robertson) 86
Рогерсон (Rogerson) 214, 218
Рожанский (Rojansky) 388
Розен (Rozen) 528, 530
Розенталь 263
Ролл (Roll) 148, 155
Роуч (Roach) 152, 255
Рубан 526, 572, 695
Руд (Rood) 446
Руденко, см. Брагинский и др. 482
Рудницкий 407
Рузмайкин 414, 420, 422, 424, 425
Рузмайкина 428
Рут (Root) ПО
Рябенький 369
Саар, см. Эйнасто и др. 446, 449
Сабата (Sabbata), см. Боккалетти и др.
506
Саведов (Savedoff) 283
Сагдеев 461
Сажин, см. Брагинский и др. 508
Сакс (Sachs) 465
Салам (Salam) 654, 656
Саломонович 155
Сато (Sato) 429, 478
Сахаров 169, 312, 315, 654, 709
Серов 155
CeTTH-(Setti) 107
Сибгатулин 510
Силк (Silk) 302, 312, 391, 446—449,
477
Сильвестров 295
Сингви (Singwi), см. Пейерльс и др. 147
Сирл (Searle) 214, 215
Скотт (Scott) 447
Слыш 113, 115
Смит (Smith) 152, 255
Смит В (Smith W.), см. Шапиро и др.
693
Смородинский 41, 212, 266. 666
Соколов 679, 680, 682, 683
Соколов И., см. Константинов и др. 388
Соломон (Solomon), см. Вилсон и др.
214
Солпитер (Salpeter) 131, 497
Софуи (Sofue), см. Кавабата и др.
420
Спинард (Spinard) 91, 111
Спитцер (Spitzer) 229, 235, 384
Сретенский 515—517
Станкевич 155
Станюкович 57, 367, 637, 666, 670
Старобинский 439, 440, 577, 631, 637,
647, 679, 683, 685, 686, 705
Стеббинс (Stebbins), см. Хилл и др.
693
Стевенс (Stevens) 202
Стейбелл (Stabell) 133
Стейгман (Steigman) 168, 622, 629
Стекер (Stecker) 267
Стилин (Staelin) 55
Стоке (Stokes) 155
Стоун (Stone) 151
Струминский, см. Боголюбов и др.
Сузуки (Suzuki) 204
Сучков 296
Сыроватский 263
Сэндидж (Sandage) 61, 72, 91, 106,
108—111, 474, 476, 574
Сэржент (Sargent) 214, 215, 447
Сюняев 149, 152, 153, 224, 226, 229,
230, 238, 239, 241, 245—247, 255,
257, 259, 260, 262, 379, 394, 397,
407, 410, 412, 425. 459, 477, 480
481
Тавхелидзе, см. Боголюбов и др. 170
Тагиров 648, 704
Тадеуш (Thaddeus) 155—157
Тайсон (Tyson) 482, 497
Такеда (Takeda) 429
Тамман (Tamman) НО, 474, 476
Тартер (Tarter) 449
Тауб (Taub) 567
Тейлор (Taylor) 91, 111, 563
Текер (Tucker) 151
Тил (Thiel) 420, 530
Тинсли (Tinsley) 91, 111
Тиунов 414
Толмен (Tolman) 39, 204, 701
Томаско (Tomasko) 384
Томита (Tomita) 391, 429, 432
Торн (Thome) 137, 508, 530, 563, 651,
674, 710

734
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Торнтон (Thornton) 155
Траат, см. Эйиасто и др. 449
Траутман (Trautman) 615
Труран (Truran) 213, 218
Туан (Thuan) 510
Туркевич (Turkevich) 147
Т'Хуфт (t'Hooft) 711
Тэлбот (Talbot) ПО
Тюрли (Turley), см. Крнстенсен и др.
696
Уилер (Wheeler) 60, 137, 612, 621, 630,
651, 674, 687, 710, 712
Уиттакер (Whitakker) 39
Уитфорд (Whitford) 72
Ульмер (Ulmer), см. Баннер и др.
258
Уоррен (Warren) 578
Уринсон (Wrixon) 155
Уэлч (Welch) 155
Фаддеев 632
Файнберг 166, 177
Фаулер (Fowler) НО, 205, 208, 212,
213, 216, 217
Фейнман (Feynman) 113, 632, 712, 713
Фелтен (Felten) 153
Ферми (Fermi) 147, 166
Филд (Field) 155, 156, 258, 303, 384,
388, 443, 448, 629
Финкельштейн 693, 695
Фитримэнн (Fitremann) 424
Фитч (Fitch) 696
Фок 707
Фортини (Fortini), см. Бокалетти и
др. 506
Фраучи (Frautschi) 622
Фридман А. А. 26, 47, 127
Фридман А. М. 296
Фридман (Friedmann), см. Генри и
др. 258
Фрике (Fricke) 427
Фритц (Fritz), см. Генри и др.
258
Фриш (Frisch) 424
Фуджимото (Fujimoto), см. Кавабата
и др. 420
Фу?уи (Fukui), см. Кавабата и др.
420
Фуллинг (Fulling) 637, 651
Хагедорн (Hagedorn) 173—177, 621—
623
Хабинг (Habing) 384
Хайвел (Hively) 391
Халатников 317, 321, 323, 336, 513,
522, 530, 536, 541, 542, 545, 546,
552, 567, 569, 576, 578, 580, 608,
609, 616, 617, 695
Хантер (Hunter) 283
Харвит (Harwitt) 156
Харкинс (Harkins) 204
Хаузер (Hauser) 47
Хаякава (Hayakawa) 263
Хаяши (Hayashi) 147, 204, 205, 207
Херман (Herman) 146, 183, 190, 205
Хилн (Healy), см. Хилл и др. 693
Хилл (Hill) 693
Хиллс (Hills) 107
Хитчкок (Hitchcock) 155, 156
Хойл (Hoyle) 145, 205, 208, 216, 217,
425, 530, 663, 665, 667, 707, 708,
712
Холмберг (Holmberg) 444
Холопов 427
Хорев, см. Брагинский и др. 482
Хоук (Houck) 156
Хоукинг (Hawking) 319, 333, 461, 563,
567, 586, 592, 593, 608, 609, 613—
615, 679
Хоуэлл (Howell) 155
Ху (Ни) 637
Хьюиш (Hewish) 105
Цвикки (Zwicky) 100, 115, 445. 446,
474
Черников 637, 648, 704
Чернин 285, 327, 373, 391, 414, 417,
429, 432
Чернин, см. также Эйнасто и др. 446,
449
Чернов 526
Чернышев 155
Чнбисов 303, 306, 312, 316, 335, 338,
391, 393, 432, 434, 435, 439, 638
Чиу (Chiu) 179, 196
Чупка (Chupka) 202
Шавохина 637
Шама (Sciama) 621
Шандарин 369, 379, 402, 405, 406, 409,
413, 435

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
735
Шапиро (Shapiro) 671, 672, 693
Шапиро И. 166, 173, 623
Шаршикеев 57
Шварцман 210, 679, 682, 683
Шейкшафт (Shakeshaft) 155
Шекере (Szekeres) 131
Шепли (Shepley) 578
Шехтер (Schechter) 377, 378, 380, 381,
382
Шивананден (Shivanandan) 156
Шикин 519
Шилепски (Shilepsky), см. Баннер и
др. 258
Шипли (Shipley), см. Бленр и др. 157,
252, 261
Шиффер (Schiffer) 202
Шкловский 131, 151
Шлютер (Schluter) 423
Шоломицкий 99
Шрамм (Schramm) ПО. 205, 213, 218
Шрум (Shrum) 183
Штеенбек (Steenbeck) 424
Штраус (Strauss) 360
Шювегеш (Suveges) 679, 680
Шюкинг (Schucking) 513, 522, 567,
675, 587
Эванс (Evans) 108
Эдескути (Edeskuty), см. Блейр и др.
157, 252. 261
Эйбл (Abell) 443, 445—447
Эйдельман 414
Эйзеихарт (Einsenhart) 567
Эйнасто 446, 449
Эйнштейн (Einstein) 26, 42, 126, 360,
673
Эллис (Ellis) 567, 569, 576, 679
Эльвиус (Elvius) 197, 389
Эпельбаум 296
Эпштейн (Epstein) 218
Ю (Yu) 303, 306, 315, 474, 481
Юдин 594
Юинг (Ewing) 155
Яглом 344, 373
Якобе (Jacobs) 530
Якубов 205
Янг (Yang) 166
Яхил (Yahil) 449